Демонстрационные варианты

Северо-Восточная олимпиада школьников
по физике
второй (заключительный) этап
2013-2014 уч. г.
Демонстрационный вариант
задача №1
Два тела брошены одновременно из одной
точки – одно вверх, другое вниз, оба с начальной
скоростью Vо = 30м/с под углом α = 60о к
вертикали. Найти разность уровней, на которых
будут находится тела спустя время t1 = 2с.
Решение
Из приведенного рисунка видно, что тело 1 движется по траектории 1, тело 2 – по
траектории 2. Система координат ХОY нарисована таким образом, чтобы начало
координат совпадало с точкой бросания тел. Интересующая нас разность уровней ΔY в
момент времени t1 равна разности координат Y1 точки А и Y2 точки В.
Координаты Y1 и Y2 находим из баллистического уравнения движения:
R = Ro + Vot + gt2/2,
проецируя его на ось ОY для тела 1 и тела 2. Учитывая, что модули начальных скоростей
тел 1 и 2 равны Vo1 = Vo2 = Vo и t = t1 определим координаты Y1 и Y2 летящих тел в
момент времени t1:
для тела 1: Y1(t1) = Vocosα t1 – gt12/2 (1),
для тела 2: Y2(t1) = -Vocosα t1- gt12/2 (2).
Искомую разность уровней ΔY получим вычитая уравнение (2) из уравнения (1):
ΔY = Y1(t1) - Y2(t1) = Vocosα t1 – gt12/2 + Vocosα t1 + gt12/2 = 2Vocosα t1 = 60 м.
задача №2
Для нагревания 1 кг неизвестного газа на 1 К при постоянном давлении требуется
912 Дж, а для нагревания при постоянном объеме – 649 Дж. Что это за газ?
Решение
Когда газ нагревается при постоянном объеме, затрачиваемая энергия идет только на
изменение внутренней энергии газа, а при нагревании при постоянном давлении – еще и
на совершении работы. Закон сохранения энергии для этих двух случаев запишется так:
mcV  t  W
mc P  t  W  A ,
где cp– удельная теплоемкость газа при постоянном давлении, cV- удельная теплоемкость
газа при постоянном объеме, Δt- изменение температуры, ΔW- изменение внутренней
энергии газа, m- масса газа и A=pΔV–совершенная при расширении газа работа (ΔVизменение объема, p-давление).
Так как при одинаковом изменении температуры газа изменение его внутренней энергии
одинаково независимо от того, происходит ли это нагревание при постоянном объеме или
при постоянном давлении, то можно записать:
cpmΔt=cvmΔt + pΔV.
Пользуясь уравнением газового состояния, можно совершенную работу выразить через
массу газа m и газовую постоянную R :
Поставив это выражение в уравнение(1), получим:
c p  cV 
R
M
Откуда:
M 
R
 32  10 3 кг / моль.
c P  cV
Неизвестный газ-кислород.
задача №3
Лазерные трубки одинакового объема V0 заполняются смесью гелия и неона.
Причем количественное (молярное) отношении He:Ne должно быть равно 5:1 при общем
давлении смеси газов Р0. Имеются баллоны с этими газами одинакового объема V=100V0.
В баллоне с гелием давление Р1=10Р0, в баллоне с неоном давление Р2=4Р1. Какое число
трубок можно заполнить? Температура газов одинакова и постоянна.
Решение
PV = νRT. При V=const и T=const, P~ν.
P0=P10+P20, где P10 и P20 — парциальные давление гелия и неона.
По условию в трубке должно быть P10:P20 = 5:1, а в баллонах мы имеем P1:P2 = 1:4,
следовательно, число заполненных трубок определяется только количеством гелия.
ν1 — количество гелия в баллоне, ν10 — количество гелия в одной трубке.
Тогда количество трубок (первое приближение)
Используя данные условия
.
.
Надо учесть, что после падения давления газа в баллоне до величины Р10 газ в трубку не
пойдет, отсюда, уточненное количество трубок.
задача №4
Двум плоским одинаковым конденсаторам, соединенным параллельно, сообщен
заряд q. В момент времени t=0 расстояние между пластинами первого конденсатора
начинает равномерно увеличиваться по закону d1=d0+vt, а расстояние между пластинами
второго конденсатора равномерно уменьшаться по закону d2=d0-vt. Пренебрегая
сопротивлением подводящих проводов, найти силу тока в цепи во время движения
пластин конденсаторов.
Решение
Обозначим через q1 и q2 заряды на первом и втором конденсаторах к моменту времени t.
Заряды q1 и q2 связаны соотношениями
q1 + q2= q, q1/С1=q2/С2.
Так как
С1=
 0S
 S
, С2= 0
,
d 0  vt
d 0  vt
то
q1 d 0  vt

q 2 d 0  vt .
Отсюда вытекает, что
q1  q
d 0  vt
d  vt
q2  q 0
2d 0 ,
2d 0 .
Убыль заряда на первом конденсаторе равна увеличению заряда на втором конденсаторе.
Сила тока I=-∆q1/∆t=∆q2/∆t=qv/(2d0). Ток будет течь в направлении от положительно
заряженной пластины первого конденсатора к положительно заряженной пластине
второго конденсатора.
задача №5
Вычислить общее сопротивление
участка цепи между точками А и В (рис.
а). Сопротивление каждого резистора
равно
R.
Сопротивлением
соединительных проводов пренебречь.
Решение
Находим и объединяем точки равного потенциала (а) и (b), преобразуем исходную схему в
более простую, с помощью которой проведём расчет сопротивления.
Резисторы 4 и 6 а также резисторы 7 и 9 соединены попарно параллельно. Их суммарные
сопротивления равны R46 = R79 = R/2.
Эти два сопротивления соединены последовательно Rоб1= R46 + R79 = R.
Резисторы 2 и 5 соединены последовательно, их суммарное сопротивление R25 = 2R.
Резисторы 8 и 11 также соединены последовательно и их суммарное сопротивление R811 =
2R. Резисторы Rоб1, R25 и R811 соединены параллельно, их общее сопротивление Rоб2
будет
.
Резисторы 1 и 3 соединены параллельно, их суммарное сопротивление R13 = R/2.
Резисторы 10 и 12 также соединены параллельно и их суммарное сопротивление R102 =
R/2. И, окончательно, сопротивление всей цепи равно RАВ = Rоб2 + R13 + R102= 3R/2.
задача №6
Hа дне сосуда, заполненного водой, лежит плоское зеркало.
Человек, наклонившийся над сосудом, видит изображение своего
глаза в зеркале на расстоянии наилучшего зрения d = 25 см, когда
расстояние от глаза до поверхности воды h = 5 см. Определить
глубину сосуда. Показатель преломления воды n = 4/3.
Решение
Для решения задачи нарисуем рисунок (рис.). Мнимое изображение своего глаза (точки О)
наблюдатель увидит в точке О1 – точке пересечения двух лучей: О1О и О1СD. Рассмотрим
произвольный луч ОАВСD, выходящий из глаза и после отражения от зеркала снова
попадающий в глаз. Обычно, при рассмотрении предметов глазом углы падения и
преломления лучей бывают малы, следовательно, можно пользоваться равенствами: для
угла падения sinα ≈ tgα ≈ α и для угла преломления sinβ ≈ tgβ ≈ β. Глаз видит
изображение точки О в точке О' лежащей на продолжении луча CD. Из треугольника
ΔОО1D выразим катет ОD как
ОD = ОО1·tgα = d·α (1).
С другой стороны катет ОD можно выразить через расстояние h, глубину сосуда b, угол
падения луча ОА – α и угол преломления луча АВ – β.
Предварительно запишем закон преломления луча при переходе его из воздуха в воду:
sinα/sinβ = n или α/β = n, откуда угол преломления равен β = α/n. Тогда катет ОD равен
ОD = 2htgα + 2btgβ = 2hα + 2bβ, откуда получаем ОD = 2α(h + b/n)
Приравниваем правые части выражений (1) и (2)
(2).
задача №7
Электрон в атоме водорода может находиться на круговых орбитах, радиусы
которых равны rn1 = 5,2·10-9 м и rn2 = 2,1·10-10 м. Как относятся угловые скорости
вращения электрона на этих орбитах?
Решение
Для решения данной задачи воспользуемся двумя уравнениями. Уравнением второго
закона Ньютона, описывающего движение электрона по орбите в атоме водорода:
И уравнением первого постулата Бора:
meVnrn = nћ
(2).
Согласно модели атома водорода на электрон, вращающийся вокруг ядра, заряд которого
+е, по окружности радиуса r со скоростью V, действует кулоновская сила
которая сообщает электрону с массой mе центростремительное ускорение ац = V2/r.
В уравнении (2) n - главное квантовое число (порядковый номер стационарной орбиты
электрона), n = 1, 2, 3, ...; ћ = h/2π = 1,05·10-34 Дж·с - постоянная Планка, являющаяся
единицей измерения момента импульса электрона на стационарной орбите; в
классической механике величину L = mVr называют моментом импульса.
Из системы двух уравнений (1) и (2) находим две неизвестные величины rn и Vn для
стационарных орбит. Для этого выразим из уравнения (2) скорость Vn и подставим это
выражение в уравнение (1):
Радиусы стационарных орбит квантованы, т. е. имеют дискретные значения, пропорциональные квадрату главного квантового числа.
Атом имеет минимальный размер, когда n = 1. Радиус первой орбиты электрона,
ближайшей к ядру, равен:
Радиусы последующих стационарных орбит можно определить из выражения:
rn = r1n2 = 5,3·10-11·n2 м
(5).
Применяя выражение (5) определим значения квантовых чисел n1 и n2:
Скорость движения электрона по n-й орбите найдём подставив выражение (4) в формулу
(3):
Линейные скорости электронов, а также их угловые скорости на последующих орбитах
также квантуются, их можно определить из выражений:
Найдем отношение угловых скоростей для орбит n2 = 2 n1 = 10: