I Исследовать характер сходимости следующих рядов

I Исследовать характер сходимости следующих рядов:
∞
P
1).
xn
n=0
a). на интервале |x| < q, где q < 1;
б). на интервале |x| < 1.
2).
3).
∞
P
(1 − x)xn на сегменте 0 ≤ x ≤ 1.
n=0
∞
P
1
на сегменте 0 < x < +∞
n=1 (x + n)(x + n + 1)
II Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную
сходимость в указанных промежутках следующих функциональных
рядов:
∞
P
1
4).
,
−∞ < x < +∞;
2
2
n=1 x + n
∞
P
nx
5).
,
|x| < +∞;
5 2
n=1 1 + n x
∞ cos nx
P
6).
,
|x| < +∞.
n2
n=1
III Исследовать на равномерную сходимость
промежутках следующие функциональные ряды:
∞ sin nx
P
7).
n
n=1
а) на сегменте ε ≤ x ≤ 2π − ε, где ε > 0;
б) на сегменте 0 ≤ x ≤ 2π;
в
указанных
∞ (−1)n
P
;
0 < x < +∞
n=1 x + n
(Указание: Оценить остаток ряда);
8).
IV Может ли последовательность
равномерно к непрерывной функции?
Рассмотреть пример
fn (x) =
где
½
ψ(x) =
1
ψ(x)
n
0,
1,
разрывных
функций
(n = 1, 2, . . .),
если x иррационально;
если x рационально.
1
сходиться
V Доказать, что если ряд
∞
P
n=1
∞
P
n=1
|fn (x)| сходится равномерно на [a, b], то ряд
fn (x) так же сходится равномерно на [a, b].
2