Дифференциалы функций одной и нескольких

12
Т е м а 3
Дифференциалы функций одной и нескольких переменных
Понятие дифференциала функции тесно связано с
понятием
ее
производной.
Дифференциалом
функции
называется произведение производной этой функции на
dy  f ( x)x . Таким
приращение
ее
аргумента,
т.е.
образом, дифференциал функции пропорционален приращению
аргумента. При достаточно малых приращениях аргумента
величина
приращения
функции
приближенно
равна
дифференциалу этой функции. На этом основано применение
дифференциала функции в приближенных вычислениях.
Литература для подготовки к занятию по теме:
Ю.В.Морозов
"Основы
высшей
математики
и
статистики", М., 1998, с.32-36, 56-58.
В процессе подготовки к практическому занятию по
теме необходимо выполнить следующее:
1. Повторить следующие теоретические вопросы:
1) Дифференцирование сложной функции.
2) Правила дифференцирования функций
вида y  u( x)  v( x); y  kf ( x)
3) Частные производные.
П. Изучить по указанной литературе следующие
теоретические вопросы:
1) Понятие дифференциала функции.
2) Частный и полный дифференциалы.
3)
Применение
полного
дифференциала
в
приближенных вычислениях.
Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля
Задача 1. Найти дифференциал функции y  3x  ln( x  3)
Решение
По определению дифференциала функции dy  y ( x)dx .
Таким образом, задача нахождения дифференциала функции
требует прежде всего нахождения производной функции.
Используя
правила
дифференцирования,
получим:


1  ( x  3)
1

2
2



y ( x)  (3x )  ln( x  3)  3( x ) 
 6x 
x3
x3
В результате искомый дифференциал принимает вид:
1 

dy   6 x 
dx
x  3

2
13
Найти самостоятельно дифференциалы следующих функций:
2x
2
4
1) y  sin 3x ,
2) y  ( x  1) , 3) y  e
Задача 2. Пользуясь понятием дифференциала, найти
приближенно изменение силы тока в цепи с сопротивлением
R  5000 Ом при напряжении на концах участка U  10 В, при
увеличении сопротивления на R  5 Ом.
Решение
По
закону
Ома
I
U
.
R
Учитывая,
что
изменение
сопротивления цепи мало по сравнению с величиной
сопротивления ( RR ), для упрощения решения задачи
можно изменение силы тока при изменении сопротивления
заменить
дифференциалом
этой
величины,
то
есть
воспользоваться приближенным соотношением I  dI . По
определению dI  I ( R)dR . Найдем производную силы тока
(дифференцируя закон Ома) I   
U
R2
Тогда для дифференциала силы тока имеем
dI  
U
dR .
R2
Подставляем числовые значения величин: dI  2  10 6 A
6
Ответ: ток в цепи уменьшился примерно на 2  10
А.
Самостоятельно решить задачу:
T
Период
свободных
незатухающих
колебаний
колебательного контура выражается формулой Томсона
C
L
T  2 LC , где
- индуктивность,
- емкость
колебательного
контура.
Найти
изменение
периода
колебаний при увеличении индуктивности на L = 1 мкГн,
если L=100 мкГн, C=500 пФ (1 пФ=10-12 Ф, 1 мкГн=10-6 Гн).
Задача 3. Вычислить приближенно изменение площади
квадрата S со стороной l = 10 см при увеличении ее
длины на l = 0,01 см.
Решение
Считаем, что S  dS
dS  (l 2 )dl  2  l  dl
Зная, что dl  l , найдем изменение площади
dS  2  l  dl  2 10  0.01  0.2 см 2
Тогда S  dS cм 2
14
Таким
величину
образом,
S 
Задача
функции Z 
площадь
квадрата
увеличится
на
0,2 см 2
4.
Найти
частные
и
полный
дифференциалы
x
y
Решение
Данная функция является функцией двух аргументов:
x и y.
По
определению,
полный
дифференциал
функции
нескольких
переменных
равен
сумме
частных
дифференциалов: dZ  d x Z  d y Z ,
где d x Z 
Z
Z
dy
dx ; d y Z 
y
x
Прежде всего найдем частные производные функции.
При нахождении частной производной функции по одному из
аргументов,
все
другие
аргументы
функции
рассматриваются как постоянные величины. Тогда
Z
  x  1 x 1
   

x x  y  y x y
 1 
Z
 x
 1
x
    x
y  x  2    2
y y  y 
y
y
 y 
 
Соответственно частные дифференциалы функции равны
Z
dx
dxZ 
dx 
;
x
y
dyZ 
dZ 
Z
dy
dy   x 2 , а полный дифференциал
y
y
dx xdy
 2
y
y
Задача 5. Радиус основания цилиндра R=50 см, а
высота h=120 см. Как изменится объем цилиндра, если R
увеличить на 0,4 см, а высоту h уменьшить на 0,5 см.
Объем цилиндра V  R 2 h .
Решение
Если R и h получают приращения, то и объем цилиндра
получит приращение V . Но V  dV .
V
V
dV 
dR 
dh
R
h
В нашем случае dR  R  0,4 см; dh  h  -0,5 см.
Найдем частные производные
15
V


(R 2 h)  2Rh  2  50  120  12000
R R
V


(R 2 h)  R 2  2500
h h
Тогда
dV 
V
V
dR 
dh  12000  0.4  2500  (0.5)  11147 см 3
R
h
Следовательно,
величину
V  11147 см 3 .
Найти самостоятельно
функций:
1) Z  ln( x  y)
3) Z  y ln x
объем
цилиндра
частные
и
увеличился
полный
на
дифференциалы
2) Z  sin(3x  4 y)
3) Z 
sin x
cos y
Задачи для решения на практическом занятии.
Найти дифференциалы функций:
3
1. y  cos( x )
ex
6. y 
x 1
2
2. y  sin x
7. y  cos 3 x
3. y  x ln x
8. y  x sin x
4. y 
9. y  x cos( x  3)
3
5. y  e
x4
cos x
10.
y  3 x2  3
Найти частные и полные дифференциалы функций двух
переменных:
2
2
1. Z  x  y
2. Z  e
xy
3. Z  x ln y
2
4
4. Z  x  y
5.
Z e
xy  x 2
x 
6. Z  ln   1
y 
3
4
7. Z  ln( x  y )
RT
8. P(T ,V ) 
V
16
Решить задачи
4 3
1. Определить изменение объема шара V  R , если радиус
3
R =2,5 м, а R = 0,1 м. Воспользоваться формулой
V  dV .
2. Количество теплоты Q , выделяющейся в единице объема
раствора электролита при УВЧ-терапии, описывается
Q  kE 2 t ,
формулой
электропроводность,
где
k

-
-
удельная
коэффициент
пропорциональности, E - напряженность электрического
поля между электродами терапевтического контура, t время
процедуры.
Найти
приближенно
изменение
количества тепла (считая Q  dQ ), если E = 200 В/м,
E =-10 В/м; t = 10 мин, t = 2 мин, k=1.
3. При нагревании круга радиусом R =40 мм его площадь
увеличилась. Определить увеличение площади круга,
если его радиус увеличился на R  0.1 мм.
4. Из порошка анальгина спрессовали таблетки. Определить
плотность
анальгина
в
таблетке
по
формуле

4m
.
d 2 h
Вычислить приближенно изменение плотности таблетки,
если m =5,5 10 4 г, m = 0,488 г; h = 4,0 10 3 см,
h =0,54 см; d =0,4 10 3 см;
d =0,82 см.
5. Медный кубик, ребро которого r  5 см, подвергался
равномерной шлифовке со всех сторон. Зная, что масса
его уменьшилась на 0,69 г, и считая плотность меди
равной 8 г/см 3 , определить приближенно насколько
изменилось его ребро.