Дмитриенко И.С. Альфвеновские волны при начальном

Солнечно-земная физика. Вып. 20 (2012) С. 50–62
УДК 533.9.01, 533.951
АЛЬФВЕНОВСКИЕ ВОЛНЫ ПРИ НАЧАЛЬНОМ ВОЗМУЩЕНИИ В БМЗ-ВОЛНОВОДЕ
И.С. Дмитриенко
ALFVEN WAVES WITH THE INITIAL DISTURBANCE IN THE FMA WAVEGUIDE
I.S. Dmitrienko
Показано, что фурье-образ быстрого магнитозвукового (БМЗ) возмущения (по координатам, вдоль которых плазма
однородна) с начального момента времени можно представить в виде суперпозиции коллективных мод главного по связи БМЗ и альфвеновских волн приближения. На основе такого представления БМЗ-возмущения описана эволюция альфвеновского возмущения, в которое трансформируются пакеты волноводных мод, вызванные начальным возмущением
произвольной продольной структуры.
Показано, что продольная структура альфвеновского возмущения, производимого пакетом коллективных мод, определяется отношениями между продольными масштабами начального возмущения и масштабами, задаваемыми условиями резонанса, – резонансным волновым числом и шириной резонанса по продольным волновым числам. Описаны
структуры альфвеновского возмущения при различных таких отношениях.
We show that Fourier transform of fast magnetoacoustic (FMA) disturbance (in coordinates along which plasma is homogeneous)
can be presented as the superposition of collective modes of the basic approximation of relation between FMA and Alfven waves since
the initial moment of time. On the basis of this approximation of the FMA disturbance, we describe evolution of the Alfven disturbance
into which waveguide mode packets (caused by the initial disturbance of random field-aligned structure) transform.
The field-aligned structure of the Alfven disturbance generated by the packet of collective modes is shown to be determined
by ratios between longitudinal scales of the initial disturbance and scales given by resonance conditions, resonant wave number
and resonance width in longitudinal wave numbers. We describe Alfven disturbance structures, given different ratios.
резонанс между БМЗ-волнами и альфвеновскими волнами, т. е. в области непрозрачности для волноводного
возмущения. Предполагается, что в этой области
начального возмущения нет, поэтому альфвеновские
возмущения возбуждаются в результате трансформации волноводного БМЗ-возмущения, а вызванные
непосредственно начальным возмущением отсутствуют.
Сначала мы рассматриваем эволюцию волноводного возмущения. Как известно [Uberoi, 1972; Tataronis,
Grossmann, 1973; Grossmann, Tataronis, 1973; Zhu, Kivelson, 1988], волноводные моды, если пренебречь
связью БМЗ и альфвеновских волн, обладают дискретным спектром действительных частот. В таком приближении начальное возмущение должно представляться в виде суммы мод, амплитуды которых постоянны во времени. Однако известно, что при учете связи БМЗ и альфвеновских волн спектр волноводных
мод становится непрерывным, а дискретные частоты
выделяются только при t   [Tataronis, Grossmann,
1973; Grossmann, Tataronis, 1973; Zhu, Kivelson, 1988].
В настоящей работе связь БМЗ и альфвеновских волн
предполагается слабой вследствие малости волновых
чисел, соответствующих координате y (в системе координат: x – вдоль направления неоднородности, z –
вдоль невозмущенного магнитного поля). Слабость
связи БМЗ и альфвеновских волн приводит к медленности резонансной трансформации БМЗ-волн в альфвеновские, т. е. к малости декремента БМЗ-волн по
сравнению с их частотой. Мы показываем, что в этом
случае фурье-образ БМЗ-возмущения (по координатам, вдоль которых плазма однородна) можно представить в виде суперпозиции коллективных мод главного по связи БМЗ и альфвеновских волн приближения. Это моды, частоты и структура по x-координате
которых совпадают с частотами и структурой волноводных мод, получаемых без учета связи БМЗ и альфвеновских волн. Декремент таких коллективных мод
Введение
Мы рассматриваем в настоящей работе эволюцию
возмущения, имеющего место в некоторый момент
времени в области, расположенной вблизи поверхности, где альфвеновская скорость имеет минимум в
направлении поперек магнитного поля. В такой области имеются условия для волноводного распространения БМЗ-волн, поэтому начальное возмущение
приводит к появлению БМЗ-возмущения, распространение которого по координате в направлении
неоднородности ограничено. В направлении двух
других координат возмущение распространяется
свободно. Вследствие наличия связи БМЗ и альфвеновских волн волноводное возмущение постепенно
трансформируется в альфвеновские волны и по истечении некоторого периода времени распространяется уже в виде альфвеновского возмущения.
МГД-возмущения, эволюция которых развивается по такому сценарию, могут иметь место в хвосте
магнитосферы. В его центральной части имеются
условия для локализации БМЗ-волн в поперечном
направлении, поэтому хвост можно рассматривать
как вытянутый вдоль магнитного поля БМЗ-волновод
[Allan, 1998; Allan, Wright, 2000; Mills, Wright,
2000; Lysak, 2009; Mazur et al., 2010]. Возмущения,
связанные с различными процессами в дальней
части хвоста (например, теми процессами, которые
связаны с пересоединением), могут возбуждать
БМЗ-волны. БМЗ-волны, распространяясь вдоль
волновода, трансформируются в альфвеновские
волны, которые достигают Земли, вызывая возмущения геомагнитного поля и высыпания частиц
[Wright, Allan, 2008]. Аналогичные возмущения могут иметь место также в солнечных стримерах
[Deforest, Gurman, 1998; Verwichte et al., 2005].
Мы полагаем, что начальное возмущение локализовано вблизи оси волновода, и рассмотрим образование альфвеновского возмущения там, где имеет место
50
И.С. Дмитриенко
вычисляется методом возмущений.
В координатном представлении волноводное
БМЗ-возмущение, вызванное начальным возмущением произвольной пространственной структуры,
представляется в виде суперпозиции пакетов коллективных мод, каждый из которых состоит из мод с одним номером. Поэтому мы далее получаем аналитическое описание пространственно-временной эволюции
альфвеновских возмущений, производимых такими
волноводными пакетами. Для этого мы используем
решение уравнения, описывающего трансформацию
БМЗ-возмущения в альфвеновское возмущение на
языке фурье-образов этих возмущений. Из этого решения посредством обратного преобразования Фурье
находим альфвеновское возмущение, в которое трансформируется отдельный волноводный пакет.
Полученные для пространственно-временной эволюции альфвеновского возмущения формулы описывают связь параметров альфвеновского возмущения с
параметрами начального возмущения и параметрами,
задаваемыми условиями резонанса, – резонансным
волновым числом и шириной резонанса по продольным волновым числам. С их использованием проводится анализ зависимости пространственно-временной
структуры альфвеновского возмущения, в которое
трансформируется отдельный волноводный пакет, от
соотношения масштабов начального возмущения и
резонансных масштабов.
кулярном магнитному полю:
v  t  0  v  0  , t v  t v  0 ,
Исходные уравнения
Обозначим через B0 невозмущенное магнитное
поле. Будем предполагать, что оно однородно и
направлено вдоль оси Z. Будем предполагать, что
невозмущенная концентрация n0 неоднородна в
направлении x. Тогда альфвеновская скорость
получаем из (1)
Va  B0
 4mi n0 
1/2
где начальные возмущения ν(0) и tv(0) – функции
x и z.
Сделаем для возмущенных величин преобразование Фурье по z вида

v  k   eikz v  dz.

Обратное преобразование имеет вид
v    2 

e

ikz
v  k dk .
По времени делаем преобразование Лапласа:

v  k   eit v  k dt.
0
Обратное преобразование дается формулой
v  k   2 
1
 ic

eit v  k  d ,
 ic
где контур интегрирования должен лежать выше
всех особенностей подынтегрального выражения.
Умножаем обе части уравнений (1) на eikz eit и
интегрируем от – до  по z и от 0 до  по t. Обозначив U   t v k  0  iv k  0 и la  2Va2  k 2 ,
la vxk   x k  U x ,
(2)
la vyk  ik y k   U y ,
(3)
k   x vxk   ik y vyk  .
(4)
Из этих уравнений следует уравнение на k:
также неоднородна в направле-

где F    l
нии x. Обозначим: B – возмущение магнитного поля,
v – скорость плазмы в возмущении. Будем рассматривать волны с заданным волновым числом ky.
Линейные МГД-возмущения описываются уравнениями
 

 x la1 x k   1  k y2la1 k   F ,
x
1
a
(5)

U x  ik y la1U y .
Дивергенция скорости  описывает сжимаемую
часть возмущения, таким образом, мы имеем уравнение (5) в качестве уравнения для БМЗ-возмущения.
Будем для определенности полагать, что альфвеновская скорость имеет один минимум при x=0 и монотонно возрастает как функция x, так что V a  при
x. Тогда l a –k 2 при x. В таком случае
можно в качестве граничных условий для (5) выбрать
убывание возмущения при x.
Решение уравнения (5) может быть представлено
в виде
Vа2 t t vx   z  z vx   x ,
Vа2 t t vy   z  z vy  ik y ,
1
(1)
  div v   x vx  ik y vy .
Осуществим переход к безразмерным переменным и функциям с использованием каких-либо параметров размерности длины L и размерности времени T:
t  tT , x  xL, z  zL, y  yL, k y  k y L,

k 
vx  vx L / T , vy  vy L / T ,    / T .
 F  ,  G  x, ,  d ,

где G(x, , ) – функция Грина. Она удовлетворяет
уравнению
Тогда, используя обозначение ky для k y L и обозначение Va для безразмерной альфвеновской скорости

V a L –1 T , мы имеем в качестве исходных попрежнему уравнения в виде (1), но уже для безразмерных переменных и функций.
Будем полагать, что при t=0 имеет место смещение и ускорение плазмы в направлении, перпенди-
 

 x la1 x G  x, ,   1  k y2la1 
G  x, ,     x   
и граничным условиям (ГУ) при x  . Мы ука51
Альфвеновские волны при начальном возмущении в БМЗ-волноводе
зываем у F и G в качестве аргументов только те переменные, которые участвуют в последующих преобразованиях с использованием F и G .
Обратное преобразование Лапласа по  дает
временную эволюцию БМЗ-возмущения, производимого vk(0) и tvk(0). Имеем
k  x  
 ic
случая, когда в начальном возмущении являются
существенными только малые ky. В этом случае
связь БМЗ и альфвеновских волн можно считать
слабой, и мы будем далее использовать это обстоятельство. В настоящем разделе мы получим соотношения для нулевого по связи БМЗ и альфвеновских волн приближения, которые применим в дальнейшем. Будем обозначать верхним индексом (0)
величины в нулевом приближении.
Для дивергенции скорости при k y =0 имеем из (5)
уравнение без учета трансформации в виде

1
 it
 ice  F  ,  G  x, ,  d d . (6)
2 
Функция Грина может быть записана в виде
G  x, ,  

1
g  x, ,  ,
l  x, W  x, 
g  x, ,   1  x,   2  ,      x  
 2  x,  1  ,    x    .

 

0
0

0
(9)

где F     x la1U x . Это уравнение не учитывает
0
(7)
связь БМЗ и альфвеновских волн, и, хотя в нем имеется особенность, его решения не имеют особенности, соответствующей резонансу БМЗ и альфвеновских волн. В этом легко убедиться, например, с помощью метода Фробениуса. Еще более простой вид
Функции 1 и 2 – решения однородного уравнения, соответствующего (5):
 x la1 x k   1  k y2la1 k   0,

 x la1 x k   k   F   ,
1
a
(8)
 0
имеет уравнение на vxk
 , через решения которого мы
выразим решения (9). Так как при k y =0 дивергенция
скорости определяется только x-компонентой скорости
решение 1 удовлетворяет ГУ при x–, а решение
2 удовлетворяет ГУ при x. W(1, 2) в (7) – определитель Вронского для функций 1 и 2:
 
k    x vxk
,
W  1 , 2   1 x 2  2  x 1 ;
произведение
la1  x, W  x, 
0
0
(10)
 
то из (9) получаем уравнение для vxk
 в виде
0
 
 
 x  x vxk
  la vxk   U x .
0
не зависит от координаты x. Функция  в (7) –
функция Хэвисайда: =1 при x0, =0 при x0.
Представление
для
эволюционирующего
МГД-возмущения через решение неоднородного
уравнения для преобразования Лапласа этого возмущения с использованием функции Грина применялось, например, в [Tataronis, Grossmann, 1973;
Grossmann, Tataronis, 1973]. Исследование выражения вида (6) в [Tataronis, Grossmann, 1973; Grossmann, Tataronis, 1973; Zhu, Kivelson, 1988] позволило определить асимптотическое поведение БМЗвозмущения при t при наличии связи БМЗ и
альфвеновских волн. Мы хотим сначала получить
описание временного поведения БМЗ-возмущения с
заданным k во все моменты времени t0, а затем,
используя уравнение (3), найти также временное
поведение альфвеновского возмущения с заданным
k. После этого с помощью обратного преобразования Фурье мы получим описание пространственновременной эволюции альфвеновского возмущения.
Для того чтобы с помощью обратного преобразования Лапласа получить описание временного поведения БМЗ-возмущения с заданным k во все моменты
времени, мы до его выполнения предварительно преобразуем подынтегральное выражение в (6) – при этом
необходимо учесть, что связь БМЗ и альфвеновских
волн является слабой, – и перейдем от решений уравнения (5) к решениям соответствующего уравнения
нулевого порядка по связи БМЗ и альфвеновских волн.
0
(11)
Граничными условиями для этого уравнения яв 
ляются условия убывания vxk
 при x.
0
Таким образом, однородное уравнение, соответствующее уравнению (11):
 x  x v   la v   0,
0
0
(12)
совместно с граничными условиями убывания, является
задачей Штурма–Лиувилля на бесконечном интервале.
Обозначим vn
0
собственные функции (12), отве-
чающие собственным значениям  2n . Нетрудно убедиться, что задача (12) обладает теми же свойствами,
что и задача Штурма–Лиувилля на конечном интервале: собственные функции vn  , отвечающие различ0
ным значениям  2n , ортогональны с весом Va2 ; собственные значения  2n действительны. Собственные
функции могут быть выбраны действительными. Мы
будем полагать далее, что vn  выбраны действительными и нормированы следующим образом:
0

 0
 0
2
Va  x  vn  x  vm  x  dx  nm ,
(13)
где nm – символ Кронекера.
В силу (10) собственные функции  (0)
однородn
ного уравнения

 x la1 x 
Волноводные моды без учета связи БМЗ и
альфвеновских волн, дисперсионное уравнение,
декремент
Мы будем описывать эволюцию возмущения для
0
 0
n
связаны с v
52
     0
0
соотношением
(14)
И.С. Дмитриенко
 
(0)
n   x vn .
0
тельное значение. Значение декремента не зависит от
знаков k и действительной части n; запишем последовательность вычисления n только для Ren = n , k>0.
Представляя n и vn в виде
(15)

Обозначим W 1 0 , 20
 определитель Вронско-
го для функций 1 0 , 20 – решений уравнения (14),
удовлетворяющих условиям убывания при x– и
соответственно.
x

W v1  , v2 
Обозначим
0
0

 n   (0)
n  n ,


       
W  v  , v     v    v    v    v   .
 0
 0
W 1 , 2
0
1
0
2
1
0
1
x
 0
 0
2
2
0
x 2
0
2
x
 0
1
0

0
 0
 
W 1 ,  2
a
0
1
 0
1
2
x 1
сят от x.

(16)
0
1

 0
Определитель Вронского W v1 , v2
1
a

0



 0


обра-
  
решения 1  , 2  совпадают c  (0)
n , а v1 , v2
0
0

сов-

уравнения


W vx1 , vx 2  0
и

 0
l W 1 , 2
0
1

 (0)
n  dx.

0

 (0)
n  dx 

 l  
2
2
n
a

1
dx,
Va
2 k   kVa 

Va  Va xn1, 2    xVa  x
являются разными формами дисперсионного уравнения нулевого по связи БМЗ и альфвеновских волн
приближения. Решения такого дисперсионного уравнения определяют действительные  2n как функции k–
2
.
Уравнение (14) имеет действительные собственные
значения 2  n2 потому, что в нем по сравнению с
n1, 2
и
  x  xn1, 2  ,
где xn1, 2 – точки, в которых выполняется резонансное условие la n2  0.
 
В случае, когда альфвеновская скорость имеет
один минимум и монотонно возрастает как функция
х, таких точек две – xn1 и xn2. Учитываем, что правило обхода особенности la n2  0 задается тем,
 
(8) отсутствует член с k y2 , описывающий связь БМЗ и
что Im>0; в результате получаем
альфвеновских волн. Учитывая этот член в (8) как малую поправку, с помощью стандартной процедуры
теории возмущений можно найти мнимые части частот, при которых имеются решения (8) n, удовлетворяющие граничным условиям убывания при x.
Дифференцируя обе части (8) по x и используя в первых двух членах обозначение vn:
n  

0
  x vn
4k n 

k y2
2

0
   x vn 


2
  xVa  / Va

2
1
  xVa  / Va



.
 xn 2  
1



 xn1 
(19)
Запишем функцию Грина для уравнения (12).
Она нам также понадобится в следующем разделе
для использования в (6) малости связи БМЗ и альфвеновских волн. Обозначим функцию Грина для
1
a
x
vn  l  n ,
получаем


1
а также полагаем la1 
0
 0
  
 x  la n2

    x vn
падают с vn  , т. е. при 2  2n ; таким образом,
1
a
 0
 vn

щаются в нуль при тех значениях  , при которых
 0
  
0
2
 0
dx 
 k y2 Im  vn   x  la  n2


и тожде-
 0
0
2
Используем условия нормировки (13) и то, что
ственно равная ему функция l W 1 ,  2
0
 
2in  n  Va2 vn
0
2
 0

Умножая обе части этого уравнения на vn 0  и интегрируя от – до , получаем
0
1
a
0
2

 k y2  x la1 (0)
.
n
2i  V v
,
0
 0
0
 x  x vn  la 2n vn 
(17)
  l W v , v .
Функции W  v  , v   и l W    ,    не зави 0
1
2  0 
n n a
n
1, 2   x v1, 2 , la1 x 1, 2  v1, 2 , то
0
vn   vn  ,
1
имеем
Так как из (10) и из (10), (14) имеем
0
1
vn  vn   vn  ,
определитель Вронского для функций v1 0 , v2 0 – решений уравнения (12), удовлетворяющих условиям
убывания при x– и x соответственно. Имеем
 0
n    (0)
n ,
1
уравнения (6) как Gx  . Она может быть представ-

0
 x  x vn  la vn  k y2  x la1n .
В этом уравнении правая часть учитывает связь
БМЗ и альфвеновских волн. Комплексные частоты,
при которых имеются решения (8), удовлетворяющие граничным условиям, записываем в виде
(18)
n  n  i n ,
лена в виде разложения по собственным функциям
где для n при действительных k выбрано положи-
можно представить в виде
vn  . Действительно, если предположить, что решение уравнения
0
 x  x Gx   la Gx     x   
0
53
0
Альфвеновские волны при начальном возмущении в БМЗ-волноводе
g (0)  x, ,   1(0)  x,  (0)
2  ,      x  
Gx    an vn  ,
0
0
n
(0)
(0)
2  x,  1  ,    x    .
имеем
У g(0) нет особенностей, связанных с наличием
резонанса, поэтому особенности функции Грина G в
виде (21) как функции  обусловлены только знаменателем этого выражения. Функция G имеет полюсы
при тех значениях , при которых знаменатель в
(21) равен нулю. Функция la1W  1 , 2  не зависит
 0
2
2
 an  V12   n   vn    x    .
 a

n
Умножая обе части на vm 0  и интегрируя с использованием условия нормировки (13), получаем
Gx   
1
0
n
vn   x  vn     .
0
  2n 
2
0
(20)
от х; она обращается в нуль при тех значениях ,
при которых обращается в нуль вронскиан, т. е. при
тех значениях , при которых решения 1 , 2 сов-
Эволюция волноводного БМЗ-возмущения
при слабой связи БМЗ и альфвеновских волн
Описание эволюции начального возмущения при
слабой связи БМЗ и альфвеновских волн в настоящей работе основывается на том же методе, который использовался для исследования эволюции в
общем случае произвольной связи [Tataronis,
Grossmann, 1973; Grossmann, Tataronis, 1973; Zhu,
Kivelson, 1988] и который восходит к задаче Ландау
о затухании электромагнитных волн в плазме. Ключевым звеном этого метода является аналитическое
продолжение функции Грина из области значений  с
положительной мнимой частью, для которых осуществлялось преобразование Лапласа, в область  с
отрицательной мнимой частью с сохранением правила обхода особенностей, получаемого в верхней полуплоскости. Последующая деформация контура интегрирования по  в обратном преобразовании
Лапласа позволяет получить асимптотическое описание эволюции начального возмущения при t [Tataronis, Grossmann, 1973; Grossmann, Tataronis, 1973].
Отличие способа, применяемого в настоящей работе, от классической процедуры исследования интеграла в обратном преобразовании Лапласа состоит
в следующем: чтобы получить возможность описания эволюции с начального момента времени, мы до
выполнения аналитического продолжения подынтегрального выражения в (6) преобразуем его, используя медленность резонансной трансформации, обусловленную слабой связью БМЗ и альфвеновских
волн, а уже затем осуществим аналитическое продолжение.
Запишем 1, 2 в виде
падают c  n , удовлетворяющими граничным условиям на обоих концах. Процедура аналитического
продолжения функций 1 , 2 в область значений 
с отрицательной мнимой частью с сохранением правила обхода особенностей по , имеющего место в
верхней полуплоскости комплексного , дает также
аналитическое продолжение вронскиана в область
значений  с отрицательной мнимой частью. Однако для вычисления нулей вронскиана в случае слабой связи сами функции 1 , 2 не нужны. Мы уже
нашли в предыдущем параграфе значения , при
которых имеются решения  n , удовлетворяющие
граничным условиям на обоих концах, тем самым
мы определили нули вронскиана. В результате применения теории возмущений мы имеем для нулей
формулы (18), (19), содержащие только функции нулевого приближения; при получении (19) использовалось
правило обхода, соответствующее аналитическому
продолжению 1 , 2 из верхней полуплоскости комплексного . Нули вронскиана располагаются в области значений  с отрицательной мнимой частью:
  n   n  i n и   n  n  i n .
Таким образом, интеграл по  в обратном преобразовании Лапласа с функцией Грина в виде (21)
можно свести замыканиями контуров в нижней полуплоскости при t > 0 и в верхней полуплоскости
при t < 0 к суммированию вкладов от полюсов
функции Грина (21) при =n+ и =n– .
Перед вычислением интеграла по  предварительно преобразуем входящий в него интеграл по .
Во-первых, полагаем в нем
1, 2  x,   1, 2  x,   1, 2  x,  .
0
1
0

1
0
F  ,  G  x, ,  d    la1W  1 ,  2  
Пренебрегая малыми отличиями 1, 2  x,  от

1, 2  x,  , получаем в (6)
0
1
g (0)  x, ,  ,
l W  1 ,  2 
1
a

Во-вторых, используем равенства
 0
1, 2  x,   1, 2  x,  .
G  x, ,  

F  F     x la1U x .
В силу слабости связи БМЗ и альфвеновских
волн можно полагать
1
(22)
  la1  , U x  ,    g (0)  x, ,  d ,

(21)
  g (0)  x, ,       x  1(0)  x,     (0)
2  ,  
(0)
  x     (0)
2  x,    1  ,  .
где
Так как с учетом (16) имеем
54
И.С. Дмитриенко
Так как можно полагать
la1  g (0) ( x, , ) 



(0)
( x  )  x  (0)
2 ( x, ) 1 (, ),
 0
0
    x  v1

 dW  0 ,  0
 dW  1 ,  2  
1
2



2
2
d
d

  2n  

 0(  x)  x 1(0) ( x, )  (0)
2 (, ) 
 x,  v2  ,  
0
  x    v2  x,  v1   ,  
0
0
0
 W  v1  , v2   Gx   x, ,  ,
 

  2n 
,
то вблизи полюсов

0
W 1  , 2 
0
0

 W  ,   

1
2


1 2  2n  1 2  2n  ;
то
для знаменателя имеем
la1      g (0)  x, ,  

 0
 0
Обозначение
0
Gx 
 W v1 , v2

0
 x Gx 

2
 x,
,  .
Также следует положить
U x  , n    U x  ,  n  .
введено выше для функции Грина


уравнения (12). Так как W v1 0    , v2 0    не зави-

 0
сит от , то мы заменили W v1

 0
 x,
W v1
 0
v2
 x .
l
  v    x, k
   
1
2
n
 
0
x n
2
n


  v     .
 
2
0
n
 
cn  k 2 
(23)
 F  , , k  G  x, ,  d 


0
0
W  1 ,  2 

n

  U x  ,  vn
0
cn  

1
2  n2

 (0)
n  x 
   d .
Обратное преобразование Лапласа (6) принимает вид

 e
1

2

W 1  ,  2 
 it
0
0
W  1 ,  2 


  U x  ,  vn
0

n

1
 (0)
n  x
2
  n
2

   d d .
Замыкая контур в нижней полуплоскости при t > 0 и в
верхней полуплоскости при t < 0, можем заменить
интегрирование суммированием вкладов от вычетов.
При 2  2n  0 особенности нет, так как
W

 0
1
 0
, 2
(24)
i 
0
 U x , n , k 2 vn  , k 2 d .
2n 

 


 0
1 
1
t vxk  0   vn  , k 2 d .
 vxk  0   i

2  
n



Эволюция альфвеновского возмущения при
начальном возмущении в волноводе
Альфвеновское возмущение является несжимаемым, компоненты возмущения скорости в нем
vx( a ) , v(ya ) связаны уравнением  x vx( a )  ik y v(ya ) , по-

 0

Мы получили, что в случае слабой связи БМЗ и
альфвеновских волн фурье-образ БМЗ-возмущения с
начального момента времени представляет собой
суперпозицию мод, которые можно назвать коллективными модами главного приближения при малой
связи БМЗ и альфвеновских волн. Структура этих
коллективных мод по координате вдоль неоднородности определяется функциями  (0)
n , т. е. такая же,
как у мод нулевого приближения, в котором связью
БМЗ и альфвеновских волн пренебрегается, но их
комплексные частоты содержат декременты, отражающие трансформацию коллективных мод в альфвеновские волны.

k 

Поскольку в дальнейшем  kn будут использоваться в обратном преобразовании Фурье по k, то
мы выписали в выражениях для них аргумент k2,
который опускали ранее. С учетом определения Ux
имеем

W 1  , 2 

kn   cn  k 2 (0)
x, k 2 ,
n
 0
Таким образом, подставляя (23) в правую часть
(22) и учитывая (17), (15), получаем в (6) вместо
выражение

k    t   kn  eint  kn  eint ,
на
,   W v1 , v2
(0)

v2
Получаем
где
 0
     g  x,
  ,
 0
n
С учетом (20) получаем
1
a

 n2  2n    n    2n   n   .
этому достаточно найти v (ya ) . Воспользуемся для
0
этого уравнением (3). Нас интересует альфвеновское
возмущение, образующееся в результате трансформации БМЗ-возмущения в волноводе, а не альфвеновское возмущение, вызываемое непосредственно
начальным возмущением. Поэтому мы предполага-
при
2  2n  0.
55
Альфвеновские волны при начальном возмущении в БМЗ-волноводе
ем, что в области, где происходит трансформация,
начального возмущения нет, и полагаем Uy = 0. Так
как y-компоненту скорости мы вычисляем только
для альфвеновского возмущения, то индекс (a) писать далее не будем. Для сокращения записи мы
будем далее рассматривать альфвеновское возмущение, производимое пакетом коллективных мод с одним номером n; будем отмечать такое возмущение
нижним индексом n. Сначала найдем альфвеновское
возмущение в k-представлении. Из (3) имеем:
v yk n  ik y
падают по знаку с действительной частью частоты,
которой они соответствуют, и, значит, возмущения с
такими k имеют положительную фазовую скорость
и распространяются в направлении z=. Решениями
(27) являются k=–k n , действительные части которых противоположны по знаку действительной части частоты, следовательно, возмущения с таким k
имеют отрицательную фазовую скорость и распространяются в направлении z=–.
Обозначим K n2 значение k2, которое является
корнем уравнения
 k n
.
la
 
2n k 2  k 2Va2  x   0.
Обратное преобразование Лапласа для v yk n дает
v ykn
Мы положили для простоты, что такой корень
только один. Выбираем Kn0. Ясно, что Kn является
функцией одной переменной x. Эта функция (назовем ее резонансное волновое число) дает модуль
волнового числа, при котором БМЗ-волна, квадрат
частоты которой равен 2n k 2 , будет в резонансе с
 ic

1
 ik y
eit k n d .

2 ic
la
Записывая  k n в виде


 

 k n  ei  kpn  ein t   kpn  eint d 
альфвеновской волной, квадрат волнового числа
которой равен k2. Запишем решения (26) в виде
k n =K n . Запишем n (k n ) в виде разложения вблизи k=K n :
0
и сводя интеграл по  замыканием в нижней полуплоскости при (t–)>0 и в верхней при (t–)<0 к суммированию вкладов от полюсов, получаем при t > 0
v ykn
n   kn    na  
V
 ik y a   kn  
2k 

1
ein t  eikVa t  



kV


n
 a

n  

i  n  i n .
 
и n   n Kn2 .


2
    xVn    xVa  / Va

1

  xVa  / Va
,
 Xn2  
4 K n2 n
2
1

 X n1 


где Xn1, 2 – точки, в которых выполняется резонансное условие la n2  0. Таким образом, декремент
 
n является функцией только x. Он описывает затухание коллективных мод, модуль волнового числа
которых равен Kn, вследствие их трансформации в
альфвеновские волны на поверхностях (точнее, с
учетом коллективного характера мод, вблизи поверхностей), где альфвеновская скорость имеет значение V a (x).
Обозначим Vgn групповую скорость при k=K n :

 in t
Va
1
1

,
  kn  
e

2k
 kVa  n  kVa  n  
Va
  kn  
2k 


1
1

eikVa t 
eikVa t  .
kV


kV


n
a
n
 a

d n
dk
При  n t1 вынужденные альфвеновские колебания
vykn затухают и остаются только незатухающие собI
k  Kn
 Vgn .
Ясно, что Vgn равна модулю групповой скорости
резонансных мод. n как функции k2 определяются
из уравнения
ственные альфвеновскиe vykn .
E
Мы видим, что vykn как функция k имеет полюсы,
положение которых на плоскости комплексного k
определяется уравнениями
kVa  n 
k y2
   xVn 
нижним знаками.
Альфвеновское возмущение vykn состоит из вынужденных и собственных колебаний:
E
k  K n
Согласно (19)

vykn  ik y
dk
 
где  означает суммирование выражений с верхним и
I
 
d n K n2
Мы обозначили na  n Kn2
(25)

1
ein t  eikVa t   ,


kVa  n 

vykn  ik y
(28)


W vx 1 , vx 2  0,
0
0
где W является функцией 2 и k2 (не зависит от x),
так что можно записать W(2, k2) = 0.
Дифференцируя это равенство по k, получаем
(26)
и
kVa  n  .
(27)
Обозначим решения (26) kn, где kn – функции
одной переменной x. Их действительные части сов-
d
k dW dW

/
,
dk
 dk 2 d 2
56
И.С. Дмитриенко
отсюда
и
d  n 
 Kn
dk
vykn  vykn   vykn  ,

 Vgn .
I

E 
vyn  
I
1
 i  k V V  k  k   t
e n a gn n ,
 k  kn  
ik yVa
2k Va  Vgn 
  kn 

1
eikVa t .
 k  kn  

ik yVa
4 Va  Vgn 



ikz
(0)
2
  e cn   n x, k 


(29)

  ik V  iV  k  k   t 
1

e  n a gn n   dk .
 k  k  kn  

n   kn Va  Vgn  k  kn   ,
и при k, близких –kn,
Мы вернулись в (29) к записи  kn в виде (24).
Запишем  t v xk (0) и v xk (0) в виде интегралов, которые дают преобразование Фурье функций t vx  0 
n   kn Va  Vgn  k  kn   ,
то с использованием этих разложений получаем вместо (25)
и v xk (0) по продольной координате:




 exp i  kn Va  Vgn  k  kn    t  exp  ikVa t 
   kn  



 k  kn  


1
 i  k V V  k  k   t

e n a gn n  eikVa t  .
 k  kn  

Действительная часть kn  выделяет резонансные зна-

vxk  t  0    eikl vx  0  dl

и

t vxk  0    eikl t vx  0  dl.


Подставляя эти интегралы в cn  , имеем

cn    eikl cn  dl ,
чения k( k  K n ), а мнимая часть задает ширину ре-

зонанса n по продольным волновым числам.
где
Возмущение vykn состоит из волн v ykn , vykn , рас


 0
1
cn    vx  0   i 1 2 t vx  0   vn  , k 2 d .
n  k 
2  

Вследствие наличия в правой части начальных
возмущений  t v x (0) и v x (0), функции c n зависят от

пространяющихся в направлениях z= и z=– соответственно. Имеем
I   

Индексами (I) и (E), как и выше, отмечены вынужденные и собственные колебания соответственно.
Для получение формулы, описывающей продольную структуру возмущения, следует сделать
обратное преобразование Фурье функции vykn по k.
Вычислим обратное преобразование Фурье сначала
для v ykn (I)(+). Получаем
пользовать вместо n их разложения вблизи k=K n и
k=–K n или эквивалентные им в силу малости n разложения вблизи kn и –kn. Поскольку при k, близких
kn±,

2k Va  Vgn 
vykn   
Мы получили, что на поверхности с координатой
x в резонансе с альфвеновскими волнами находится
набор коллективных мод, у которого спектр значений k имеет ширину n, малую в силу малости n.
Таким образом, наличие функций (kV a –n ) –1 и
(kV a +n ) –1 приводит к тому, что в возмущении,
создаваемом пакетом коллективных мод с номером
n, существенен только вклад мод с такими действиn . Поэтому можно истельными k, что k  Kn
2k Va  Vgn 

   kn 
n  n / Va  Vgn  .
ik yVa
ik yVa
vykn  
Подстановка n   kn   в таком виде в (26) дает
vykn  vykn 
E 
где
Таким образом,
n   kn    na  Vgn in  in .
v ykn 
I 
 vykn 
E   
,

продольной координаты l, а наличие n и vn  приводит к зависимости c n  от k2, так что cn  – функ-
где
0
v ykn 
I   

   kn 
2k Va  Vgn 

E   

exp i  kn Va  Vgn  k  kn    t

v ykn 
ik yVa

 k  kn  
ik yVa
2k Va  Vgn 
  kn 

ции l и k2.
Используя cn  , вместо (29) получим
,
 exp  ikVa t 
 k  kn  
;
57
Альфвеновские волны при начальном возмущении в БМЗ-волноводе
ik yVa
vyn  

I
4 Va  Vgn 
 
 e



ik  z  l 
vyn   vyn   vyn   ,



 dk .

Для выполнения интегрирования по k используем то обстоятельство, что подынтегральное выражение имеет полюсы при k=kn. Так как kn=Kn–
iΛn, Λn0, то полюсы находятся в нижней части
комплексной плоскости. При (z–l–Vgnt)0 замкнем
контур интегрирования по k снизу с охватом полюсов, при (z–l–Vgnt)0 замкнем контур интегрирования в верхней полуплоскости, где полюсов нет. Как
в том, так и в другом случае интеграл по замыкающей части контура стремится к нулю в силу того,
  iknVa  iVgn  k  kn   t

 e
iV
 z Vgnt 
ik
z  l Va t 
ikn  z l Va t 
  e n 
n  e
n  dl .
 z Va t 
vyn   i


(0)
n
v
2
n



2
n

Cn1   vx  0 Vn    d .
(0)
n
 x, K 
2
n
Коэффициенты Сn1 и Сn2 представляют собой коэффициенты разложения начального возмущения по
собственным функциям V; они являются функциями
z. Таким образом, пакет (32) состоит из двух составляющих: одна обусловлена наличием в начальный
момент времени начального сдвига плазмы со скоростью vx(0), а другая – наличием ускорения  t v x (0),
которое получает плазма при этом сдвиге.
Формула (32) описывает весь процесс возникновения, нарастания и распространения альфвеновского возмущения. При t = 0 альфвеновское возмущение отсутствует, его нарастание происходит, когда с
увеличением t увеличивается интервал интегриро-
и

1
1
 vx  0 Vn    d   i 2na 
2 
(30)

   t vx  0 Vn    d .
a 
, убывающий при возвания. Множитель e n 
растании переменной интегрирования от ее нижнего
предела, ограничивает область интегрирования, дающую существенный вклад в интеграл. В результате
при n Va  Vgn  t 1, т. е. при n t 1, верхний


I



  e
 z Vgnt 

получаем
Va
1
n

2Kn
Va  Vgn 
ikn  z  l Va t 
n
e
ikn  z  l Va t 
n

 e
z V t
a

ikn  z  l Va t 
n
e
ikn  z  l Va t 
n
z l V t
предел интегрирования в (32) можно заменить на ,
и мы получаем (31), т. е. только собственные колебания. Таким образом, формула (31) описывает альфвеновское возмущение после затухания породившего его волноводного возмущения.
Применим (32) для исследования зависимости
пространственно-временной структуры альфвеновского пакета от соотношения масштабов начального
возмущения и резонансных масштабов, т. е. продольных масштабов, задаваемых условиями резонанса. Резонансных масштабов два. Один задается
резонансным волновым числом Kn. Это длина волны
коллективных мод, резонансно поглощающихся на
 dl.
Аналогично для собственных колебаний получаем
Va
1
E 
vyn    k y
n

2Kn
Va  Vgn 
(31)




– функция x, то 
I

  dl ,

– функции только x. Обозначим их  n
vyn   k y

1
Cn 2 cos  K n  z  l  Va t  
 na


2
n
Таким образом, для vyn
n 
2 K n Va  Vgn 
Cn 2    t vx  0 Vn    d ,
и Vn соответственно; они описывают структуру по
координате x возмущений дивергенции скорости и
x-компоненты скорости в резонансных модах.
Обозначим также cn  при k 2  K n2 как Cn. Имеем
Cn  
Va
где
2
n
0
n
2
n
Поскольку K
vn(0) x, K n2
(0)
n
ky

 0
Функции  (0)
– функции k2 и x. В полюсах
n , vn
при k=kn в силу малости мнимой части kn можно
полагать n kn2  na , а также
(0)
n

 z Vgn t 
 z  l Va t  
  e n
 Cn1 sin  K n  z  l  Va t    (32)

 z Va t 
 k  Kn  t
 
 x, k     x, K  ,
 x, k   v   x, K .

Поставляя Cn+ и Cn– из (30), получаем

что eikz eikl e
 0 при k, поэтому
интеграл от – до  равен интегралу по замкнутому контуру. Таким образом, интеграл по k сводится к суммированию вкладов от вычетов.
gn
E 
распространяющееся в направлении z=, описывается формулой
Va
1

vyn   k y
n

2Kn
Va  Vgn 

1
cn  dl  (0)
x, k 2 

n
k
k

kn  



I 
 dl.
Поскольку V gn V a , все возмущение
58
И.С. Дмитриенко
данной поверхности,  n ~ Kn1. Другой задается ши-
 cos 0 
риной спектра по k этих мод, он есть ~  n1 .
Рассмотрим начальные возмущения с различными
соотношениями их масштабов и резонансных масштабов.
Альфвеновское возмущение от начального возмущения большого продольного масштаба
Рассмотрим случай, когда начальное возмущение
как функция продольной координаты представляет
собой гармонику с волновым числом k0 и с огибающей большого продольного масштаба, так что Cn1 и
Cn2 можно представить в виде

 n
n
1
 sin 0 ;
 

2   k  K 2   2  k  K 2   2 
0
n
n
0
n
n


I2 
  z  z0  
Cn 2  cos  k0 z  An 2  y,
,
Sn 

где Sn
n1. Если начальное возмущение представляется в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной из координат x и z, то масштаб Sn будет одним при всех n.
z l V t
k y Kn
2Kn  x 

(33)
  z  Va t  z0   
1
An 2  y,
 I 2  ,
na
Sn

 
где
I1 
1
2 Va  Vgn 
exp   n t  

   k0  K n  cos  0  n    n sin  0  n 


2
k0  K n    n2






 k0

 K n  cos  0  n    n sin  0  n  

2

 k0  Kn   2n



 n cos 0   k0  K n  sin 0 
.
2

 k0  K n    n2

Формулы для I1 и I2 описывают процесс возникновения и нарастания альфвеновских волн в пакете
следующим образом: при t=0 функции I1 и I2 равны
нулю, так как вынужденные колебания (члены с
множителем exp(–Г n t)) и собственные колебания
(члены без этого множителя) компенсируют друг
друга; затухание вынужденных колебаний приводит
к нарастанию суммарного возмущения; при n t 1
вынужденные колебания становятся малы и остаются только собственные колебания.
Область локализации альфвеновских волн по
продольной координате задается An1 и An2 в (33).
Поскольку они являются функциями продольной
координаты и времени только через (z–V a t), то An1 и
An2 описывают распространение пакета альфвеновских волн с локальной альфвеновской скоростью.
Кроме того, как видим из (33), структура огибающей
альфвеновского пакета по продольной координате
определяется структурой огибающей начального
возмущения, так что огибающая пакета имеет продольный масштаб Sn. Если начальное возмущение
представляет собой гармоническое возмущение с
k=k 0 без огибающей, т. е. An1, 2 не зависят от z, то
альфвеновские волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, складываются в стоячую
по продольной координате волну.
Из выражений для I1 и I2 видим также, что возмущение локализовано по координате x вблизи поверхности, где k0=Kn. Используя неравенство


  z  Va t  z0  
  An1  y,
 I1 

Sn



  cos    k  K  sin 
0
0
n
0
 n

2
2
2 Va  Vgn  
k

K




0
n
n

1
k0  z  Va t   0 , Kn Vgn  Va  t  n .
  l  z0  
  z  Va t  z0  
An1, 2  y,
  An1, 2  y,
 .
Sn 
Sn



Тогда получаем


Мы обозначили
a 
Множитель e n 
в подынтегральном выражении убывает при возрастании переменной интегрирования от ее нижнего предела, вследствие чего
размер области интегрирования, дающий существенный вклад в интеграл, ограничивается размером порядка  n1 . Поскольку Sn
n1 , то изменением An1, An2 на масштабе области интегрирования
можно пренебречь и положить под интегралом
vyn   iVa  n
exp   n t  
  cos        k  K  sin     
n
0
n
0
n
0
n


2
2

k

K




0
n
n

 n cos  0  n    k0  K n  sin  0  n  


2

 2n   k0  K n 

  z  z0  
Cn1  cos  k0 z  An1  y,
,
Sn 


1
2 Va  Vgn 
1

 k0
 Kn   
2
2
n

1
 k0
 K n    n2
2
,
можно переписать I1 и I2 в виде
  k K

k0  K n
0
n




2
2
2 Va  Vgn    k0  K n    n2  k0  K n    n2 


1



I1  I  0 , n  , I 2  I  0  , n   ,
2
2

59
Альфвеновские волны при начальном возмущении в БМЗ-волноводе
I  exp   n t  
малом, но конечном масштабе s:

z  z0
Cn1   n1  x, y,
sn



   k0  K n  cos  0  n    n sin  0  n  

2

2
2
V

V
k

K






a
gn
0
n
n





 k0
 K n  cos 0   n sin 0
2 Va  Vgn 
 k
 K n    n2
2
0


z  z0 
Cn 2   n 2  x, y,
.
sn 

Если начальное возмущение представляется в виде
произведения функции x на функцию z, то s n = s .

z  z0 
Будем полагать, что функции  n1  x, y,
,
sn 

.
На поверхности x=x n выполняется равенство
k 0 =K n и I принимает значения
1
I
 exp n   xn   t sin  0  n   sin 0 .
2Гп





,

возмущение, имеет ширину  n ~  n  xn  / Kn  xn  .

z  z0 
 n 2  x, y ,
 имеют по продольной координате
sn 

масштаб sn в том смысле, что их можно считать равz  z0
ными нулю при
1.
sn
Альфвеновское возмущение от начального возмущения малого продольного масштаба
Рассмотрим сначала случай, когда начальное
возмущение имеет место только на поверхности
z = z0. Полагая
Предположим, что масштаб sn много меньше резонансной длины волны: K n s n 1. Тогда можно полагать в интегралах все функции, кроме αn1, 2, равными
их значениям при l=z 0 . Таким образом получаем
Вблизи xn имеем K n (x)=k 0 +K n (x n )(x–x n ), так
что слой, в котором локализуется альфвеновское

Cn1  n1  z  z0  , Сn 2  n 2   z  z0  ,
из (32) получаем
Va
1

vyn   ik y
n

2Kn
Va  Vgn 
e
 n  z  z0 Va t 

n
где  n 2

1

 n 2 cos  K n  z  z0  Va t    .
na

Возникновение альфвеновского возмущения и
расширение занятой им области по продольной координате описывается произведением -функций.
Произведение -функций также описывает перемещение переднего края альфвеновского пакета (обозначим его координату z1) по продольной координате с альфвеновской скоростью z1=z 0 +V a t. Как видим,
возмущение возникает на поверхности z=z 0 , оно
сразу (при t=0) имеет конечную амплитуду на поверхности z=z 1 и дальнейшая потеря энергии волноводным возмущением не приводит к ее увеличению.
Однако происходит увеличение размера L альфвеновского пакета по продольной координате: он увеличивается со временем от 0 до L=(V a –V gn )t. При
n Va  Vgn  t 1, т. е. при n t 1, после затухания

n  z  z0 Va t 
 n  z  z0 Va t 

(34)
 z Vgnt 
 z Vgnt 
   n 2 dl ,  n1    n1dl.
 z Va t 
 z Va t 
z  z0 

 n1  x, y,
,
s 

z  z0 
z  z0

 n 2  x, y ,
1, то
равными нулю при

s 
s

Поскольку можно считать
 z Vgnt 
 n1, 2 dl  0
 z Va t 
Va t  sn s и z  z0
при z  z0
Vgnt  sn .
После затухания вынужденных колебаний при
n t 1 имеем

n2 
резонансных коллективных мод увеличение продольного размера пакета прекращается. Таким образом, максимальный продольный масштаб пакета
L max Λ n , а форма огибающей как функции продольной координаты при n t 1 % может быть описана
множителем
    z  z0  Va t   e
e
  sin K n  z  z0  Va t   n1  ,

 z  z0  Va t    

n
2 K n Va  Vgn 

1
  cos  K n  z  z0  Va t  
n2 
 na

    z  z0  Va t     z  z0  Vgnt  
  sin  K
n1

vyn   ik yVa

 n 2  z  z0  dl ,  n1 
 z Va t 


 n1dl.
 z Va t 

Интегралы

 n1, 2 dl на интервале z z  Va t
sn
 z Va t 
изменяют свои значения от нуля до некоторых
предельных значений, которые они имеют при
zV a t–s n . Таким образом, за счет наличия этих интегралов в (34) передний край пакета имеет ширину
s n и его структура дается n1 , n 2 .
.
Теперь рассмотрим случай начального возмущения, локализованного по продольной координате на

Если масштаб sn является малым sn
60

 n1 , но
И.С. Дмитриенко
больше или порядка продольной длины волны
Kn s 1 , то в интегралах (32) можно полагать равными своим значениям при l=z 0 только экспоненты.
Получаем
vyn   ik y

ний. С использованием такого представления описана эволюция альфвеновского возмущения, в которое трансформируется волноводное возмущение,
вызванное начальным возмущением произвольной
продольной структуры. Такое начальное возмущение разбивается на суперпозицию волноводных пакетов, каждый из которых образован коллективными модами с одним номером n, но с разными волновыми числами. Трансформация мод этих пакетов в
альфвеновские волны приводит к образованию альфвеновских пакетов.
Получено аналитическое описание эволюционирующего альфвеновского пакета как функции времени и координаты вдоль направления неоднородности x и координаты вдоль невозмущенного магнитного поля z. Полученные формулы применены
для исследования зависимости пространственновременной структуры альфвеновского пакета от соотношения масштабов начального возмущения и
продольных масштабов, задаваемых условиями резонанса. Имеется два таких масштаба. Один задается резонансным волновым числом Kn. Это резонансная длина волны коллективных мод, поглощающихся на поверхностях, где альфвеновская скорость
равна Va(x). Другой задается шириной Λn(x) полосы
резонансных продольных волновых чисел k и равен
 n1 . Ширина резонанса по k связана с временным
Va
1
 z  z V t
n
e n 0 a  
2Kn
V

V
 a gn 
 c
1 s 
   n1 
 n 2  sin  K n  z  z0  Va t   

na



 s
1 c 
  n1 
 n 2  cos  K n  z  z0  Va t    ,

na



где
n1, 2 
 z  z0 Vgnt 
n1, 2 
cos  K n  d ,

c
 z  z0 Va t  n1,
2
 z  z0 Vgnt 
sin  K n  d ,

s
 z  z0 Va t  n1,
2
а   l  z0 .
После затухания вынужденных колебаний при
n t 1 имеем
n1, 2 

c
 z  z0 Va t 
n1, 2 
s

cos  K n   n1, 2  x, y,  d ,
декрементом резонансных мод  n соотношением
sin  K n   n1, 2  x, y,  d .
где Va(x) – альфвеновская скорость, а Vgn – модуль
групповой скорости резонансных мод. Декременты Гn
и Λn, как и Kn, являются функциями только x. В случае когда начальное возмущение как функция продольной координаты представляет собой одну гармонику (например, вся зависимость от продольной координаты может быть задана в виде cos(k0z)), для
каждого волноводного пакета имеется резонансная
поверхность x=xn, на которой волновое число резонансных мод совпадает с k0. Волноводный пакет с
номером n за время, обратно пропорциональное временному декременту Гn(xn), трансформируется в стоячую по продольной координате альфвеновскую волну в слое вблизи поверхности x=xn. Ширина слоя
определяется продольным декрементом Λn(xn). Амплитуда альфвеновской волны обратно пропорциональна временному декременту Гn(xn).
Если начальное возмущение как функция продольной координаты представляет собой гармонику с волновым числом k0 и с огибающей, продольный масштаб
которой много больше  n1 , то альфвеновское возмущение имеет структуру по координате x такую же, как
в случае чисто гармонического возмущения, т. е. распадается на слои, локализованные вблизи поверхностей x=x n . Огибающие альфвеновских пакетов распространяются по продольной координате с альфвеновской скоростью в противоположных направлениях.
Продольные масштабы огибающих определяются коэффициентами разложения начального возмущения по
собственным функциям V n (x), отвечающим резонансным коллективным модам.


 z  z0 Va t 
n  n / Va  x   Vgn  ,
Функции n1, 2 , n1, 2 определяют структуру пеc
s
реднего края альфвеновского пакета. Как и в предыдущем случае, передний край имеет масштаб
начального возмущения sn.
В заключение заметим, что мы полагали резонансное уравнение (28) имеющим только одно решение. Из вышеизложенного ясно, что полученные
выше решения (как (32), так и следствия из него)
отвечают одному корню, не обязательно единственному. В случае если их несколько, решения,
соответствующие различным корням, должны
суммироваться.
Заключение
Получено описание эволюции начального возмущения в БМЗ-волноводе: возбуждение волноводного
БМЗ-возмущения, его затухание вследствие резонансной трансформации в альфвеновские волны;
возникновение и нарастание альфвеновского возмущения. Показано, что фурье-образ БМЗ-возмущения
(по координатам, вдоль которых плазма однородна) с
начального момента времени можно представить в
виде суперпозиции коллективных мод главного по
связи БМЗ и альфвеновских волн приближения.
Для этих мод частота и структура по координате
вдоль неоднородности находятся при условии, что
связью БМЗ и альфвеновских волн можно пренебречь, а декремент вычисляется методом возмуще61
Альфвеновские волны при начальном возмущении в БМЗ-волноводе
В случае начального возмущения с продольным
масштабом много меньше  n1 волноводный пакет
трансформируется в альфвеновский пакет, амплитуда
которого экспоненциально затухает за передним краем с показателем равным Λn, т. е. альфвеновский пакет имеет продольный размер ~  n1 . Ширина переднего края пакета, на которой огибающая нарастает от
нуля до своего максимума, много меньше продольного размера пакета: ее масштаб определяется малым
масштабом начального возмущения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Mills K.J., Wright A.N. Trapping and excitation of modes
in the magnetotail // Phys. Plasmas. 2000. V. 7. P. 1572.
Tataronis J.A., Grossmann W. Decay of MHD waves by
phase mixing I. The sheet-pinch in plane geometry // Z.
Physik. 1973. V. 261. P. 203–216.
Uberoi C. Alfven waves in inhomogeneous magnetic
fields // Phys. Fluids.1972. V. 15. P. 1673.
Verwichte E., Nakariakov V.M., Cooper F.C. Transverse
waves in a post-flare supraarcade // Astron. Astrophys. 2005.
V. 430, N 7. P. L65–L68.
Wright A.N., Allan W. Simulations of Alfven waves in the
geomagnetic tail and their auroral signatures // J. Geophys.
Res. 2008. V. 113, iss. A2. CiteID A02206.
Zhu X.M., Kivelson M.G. Analytic formulation and quantitative solutions of the coupling ULF problem // Ibid. 1988.
V. 93. P. 8602.
Allan W. Hydromagnetic wave propagation and coupling
in a magnetotail waveguide // J. Geophys. Res. 2000. V. 105.
P. 317–328.
Allan W., Wright A.N. Hydromagnetic wave propagation
and coupling in a magnetotail waveguide // Ibid. 1998. V. 103.
P. 2359–2368.
Deforest C.E., Gurman J.B. Observation of quasi-periodic
compressive waves in solar polar plumes // Astrophys. J. Lett.
1998. V. 501. P. L217.
Grossmann W., Tataronis J.A. Decay of MHD waves by
phase mixing II: The theta-pinch in cylindrical geometry // Z.
Physik. 1973. V. 261. P. 217–236.
Lysak R.L., Song Y., Jones T.W. Propagation of Alfven
waves in the magnetotail during substorms // Ann. Geophys.
2009. V. 27. P. 2237–2246.
Mazur N.G., Fedorov E.N., Pilipenko V.A. MHD waveguides in space plasma // Plasma Phys. Rep. 2010. V. 36, N 7.
P. 609–626.
Институт солнечно-земной физики СО РАН, Иркутск, Россия
62