Решение задач на топографической карте

1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ТОПОГРАФИЧЕСКОЙ КАРТЕ
1.1. Топографические планы и карты
При составлении планов и карт ставится математическая
задача отображения физической поверхности Земли на плоскость. Для решения этой задачи поверхность всей Земли или
ее участков вначале проецируется на вспомогательную поверхность.
Если участок местности имеет сравнительно небольшие
размеры (до 20 км), для которых кривизной Земли можно пренебречь, проецирование производится на плоскость по отвесным линиям (направлению силы тяжести) и уменьшенное подобное изображение проекции участка местности называется
планом.
Для обширных участков земной поверхности проецирование производится на эллипсоид вращения по направлению
нормалей. Размеры и ориентация эллипсоида в теле Земли заданы и его называют референц-эллипсоидом.
Затем применяется картографическая проекция - математический закон, по которому производится взаимно однозначное отображение поверхности эллипсоида на плоскость.
Полученное таким образом уменьшенное условное изображение земной поверхности на плоскости, выполненное в какойлибо картографической проекции, называется картой.
Если на поверхности Земли заданы точки А и В, то расстояние между проекциями этих точек на вспомогательной
поверхности называется горизонтальным проложением линии
АВ. Степень уменьшения проекций линий местности при изображении на плане или карте называется масштабом.
Для решения инженерных задач используются топографические карты. Их основными свойствами являются:
3
1. Сохранение на всей площади листа карты (см. 1.3)
постоянного масштаба.
2. Единство содержания, оформления и математической основы (см. 1.4).
3. Построение с жесткой привязкой к пунктам геодезической сети, координаты которых определены в единой системе плоских прямоугольных координат.
4. Применение единой системы условных знаков.
В странах СНГ топографические карты строятся в картографической проекции Гаусса-Крюгера по шестиградусным
зонам. При этом вся поверхность Земли разбивается на картографические зоны меридианами, проведенными через 6 по
долготе, начиная от нулевого (проходящего через пригород
Лондона Гринвич). Зоне, западной границей которой служит
нулевой меридиан, присвоен первый номер. Номера зон возрастают с запада на восток от 1 до 60. Средний меридиан зоны
называется осевым. Его долгота определяется формулой:
ос = 3(2N – 1),
где N – номер зоны. Осевой меридиан и экватор изображаются на карте прямыми линиями.
1.2. Масштабы
На топографических планах и картах масштаб указывается внизу как численный, именованный и графический.
Численный масштаб записывают в виде отношения 1:N,
где N – знаменатель масштаба (например, 1:500; 1:1000;
1:2000). Поскольку знаменатель масштаба указывает степень
уменьшения горизонтальных проложений линий местности
при изображении их на карте, нетрудно сообразить, что линии
на карте длиной l на местности соответствует линия с горизонтальным проложением L = l*N . При подобных вычислениях следует помнить, что измерения на карте делаются в
миллиметрах или сантиметрах, а на местности – в метрах.
4
1:50 000
а)
в одном сантиметре 500 метров
м 1000
б)
500
0
1
2 км
АВ
а9 b9
а6
b6
5
а2 b2
а1 b1
8 6 4 2 0
10
20
30
40
Длина линии – 2,46
Рис. 1. Масштабы:
а)численный, именованный, графический;
б) поперечный
Чтобы упростить согласование единиц измерения, ниже
численного приводится именованный масштаб, например, на
листе карты масштаба 1:10 000 написано: «В 1 сантиметре 100
метров». (Заметим, что для того, чтобы найти, сколько метров
на местности соответствует одному сантиметру на карте, достаточно закрыть пальцем или отделить запятой последние два
нуля знаменателя масштаба).
Чтобы решить эту задачу вообще без вычислений, ниже
именованного масштаба помещается графический (линейный)
масштаб – линейка, оцифрованная в метрах. Сделав раствор
5
циркуля-измерителя равным длине линии на карте и приложив затем циркуль к линейному масштабу, получим горизонтальное проложение соответствующей линии на местности.
Десятые доли деления при этом оцениваются на глаз. Для достижения максимальной точности при измерениях на карте используется поперечный масштаб (см. рис. 1, б).
Поперечный масштаб выглядит как таблица, состоящая
из нескольких столбцов равной ширины и десяти строк равной высоты. При этом каждая горизонтальная линия оказывается разделенной на равные части. Длина этого деления а –
основание масштаба. Первое слева деление на нижней линии,
в свою очередь, разделено на десять равных частей длиной
0,1а. Самая верхняя линия разделена точно так же; риски малых делений на верхней и нижней линиях соединены косыми
линиями, как показано на рисунке. Косые и горизонтальные
линии образуют систему параллелограммов, поэтому каждая
горизонтальная линия делится косыми на равные деления
длиной 0,1а.
Рассмотрим треугольник АВ0. Основание АВ имеет
длину 0,1а. Отрезки равноотстоящих параллельных горизонтальных линий, заключенные между сторонами А0 и В0, являются основаниями треугольников, подобных АВ0. Нетрудно сообразить, что отрезок а1b1 = 0,01а; а2b2 = 0,02а; … a9b9 =
= 0,09a.
Теперь понятно, что расстояние между концами иголок
циркуля-измерителя на рисунке складывается из двух целых
делений, четырех десятых долей деления и отрезка а6b6 длиной 0,06 – в сумме 2,46.
Горизонтальные линии поперечного масштаба пронумерованы – самая нижняя имеет номер ноль, самая верхняя –
номер десять. Тогда, чтобы измерить на карте длину линии
MN, следует сделать раствор циркуля-измерителя равным
расстоянию MN и приложить циркуль к нижней линии попе-
6
речного масштаба так, чтобы правая иголка находилась на пересечении с вертикальной линией, а левая – левее деления «0»
(см. рис. 1, б). Отсчитывается число целых делений и число
десятых деления поперечного масштаба между иголками циркуля-измерителя. Затем обе иголки перемещаются вверх до
тех пор, пока не окажутся: правая – на пересечении с той же
вертикальной чертой, левая - на пересечении с косой линией.
Тогда число сотых равно номеру горизонтальной линии, на
которой находятся иголки. Чтобы по полученному отсчету
найти горизонтальное проложение соответствующей линии на
местности, необходимо, исходя из величины основания поперечного масштаба и масштаба карты, найти переводной коэффициент.
В геодезической практике часто пользуются поперечным
масштабом с основанием 2 см. Пусть на карте масштаба
1:50000 с помощью этого поперечного масштаба измерена линия длиной l = 2,46. Для данной карты в одном сантиметре
500 метров, тогда в 2 сантиметрах – 1000 метров, т.е. основанию а соответствует 1000 метров; 0,1а – 100 метров; 0,01а 10 метров. Тогда для l = 2,46 величина L = 2460 метров.
1.3. Номенклатура топографических карт
Для решения научных и инженерных задач требуются
карты разных масштабов, отображающие поверхность всей
суши Земли. В России используются топографические карты
масштабов от 1:1 000 000 до 1:10 000. Масштабы 1:5000 и
крупнее используются для планов. Для удобства издания и
практического использования карты делятся на листы по определенной системе, называемой разграфкой. Для изображения территории России только листов карты масштаба 1:10000
требуется более 800 тысяч. Чтобы разобраться с таким множеством листов, применяется система их обозначения – номенклатура.
7
В основе номенклатуры лежит международная система
разграфки поверхности всей Земли на листы карты масштаба
1:1 000 000. Эти листы карты “покрывают” весь земной шар
колоннами и поясами (рядами). Границы колонн совпадают с
границами картографических зон, но номера отличаются от
номеров зон на 30. Пояса ограничены параллелями, проведенными через 4, начиная от экватора. Они обозначаются буквами латинского алфавита от A до V, одинаково к югу и к
северу от экватора.
Рис. 2. Разграфка и номенклатура листов карты масштаба 1:1 000 000
Таким образом, лист карты масштаба 1:1 000 000 представляет собой криволинейную трапецию, образованную дугами параллелей и меридианов, размером 6  4 и имеет обозначение, состоящее из буквы пояса и номера колонны. Например, Москва находится на листе N-37 (см. рис.2).
Разграфка карт более крупных масштабов получается
последовательным делением листа масштаба 1:1 000 000 на
равные части. Так, дополнительные параллели и меридианы,
проведенные соответственно через 20 и 30 , делят его на 144
8
1
13
25
37
49
61
73
85
97
109
121
133
2
14
26
38
50
62
74
86
98
110
122
134
3
15
27
39
51
63
75
87
99
111
123
135
4
16
28
40
52
64
76
88
100
112
124
136
М 1:1 000 000
5 6 7 8 9
17 18 19 20 21
29 30 31 32 33
41 42 43 44 45
53 54 55 56 57
65 66 67 68 69
77 78 79 80 81
89 90 91 92 93
101 102 103 104 105
113 114 115 116 117
125 126 127 128 129
137 138 139 140 141
10
22
34
46
58
70
82
94
106
118
130
142
11
23
35
47
59
71
83
95
107
119
131
143
12
24
36
48
60
72
84
96
108
120
132
144
Рис. 3. Схема разграфки листа карты масштаба 1:1 000 000
на листы масштаба 1:100 000
листа карт масштаба 1:100 000, расположенных в 12 рядов и
12 столбцов. Они нумеруются от 1 до 144 по строкам и обозначение каждого листа состоит из обозначения исходного
листа карты масштаба 1:1 000 000 , к которому добавляется
номер данного листа, например N-37-112 (см. рис.3).
Дальнейшая разграфка до масштаба 1:10 000 производится делением каждого листа на четыре равных трапеции.
Так, одному листу карты масштаба 1:100 000 соответствует 4
листа карты масштаба 1:50 000, обозначаемые буквами А, Б,
В, Г ; номенклатура листа этой карты имеет вид, например N37-112-Г. Одному листу карты масштаба 1:50 000 соответствует 4 листа карты масштаба 1:25 000 , обозначаемые буквами
а, б, в, г ; например N-37-112-Г-в. Одному листу карты масштаба 1:25 000 соответствует 4 листа карты масштаба 1:10000,
9
обозначаемые цифрами 1, 2, 3, 4; например N-37-112-Г-в-1.
Схема такой разграфки показана на рис. 4.
1
а
3
2
1
2
1
б
4
3
4
2
а
3
2
1
в
3
2
4
1
г
4
3
2
б
A
1
1
2
3
Б
1
3
2
г
в
4
4
4
3
4
112
б
а
В
Г
в
г
Рис. 4. Схема разграфки листов карт масштабов от 1:100 000 до 1:10 000
Разграфка на планы масштаба 1:5000 производится делением листа карты масштаба 1:100 000 на 256 частей, которые нумеруются арабскими цифрами от 1 до 256; номенклатура такого листа плана может иметь вид N-37-112 (246).
Номенклатура каждого листа карты указывается на его
верхнем поле. Номенклатура соседних верхнего, нижнего, левого и правого листов вписана мелким шрифтом в разрывы
внешней (оформительской) рамки вверху, внизу, слева и справа соответственно.
Задача. Определить номенклатуру листа карты масштаба 1:10 000, на котором находится точка М с координатами: широта  = 56 31, долгота  = = 87 43 .
С помощью рисунка 2 определяется номенклатура листа карты масштаба 1:1 000 000 , на котором находится данная точка:
10
60
1:1 000 000
N-45
59
N-45 . На бланке учебного задания найдем
58
шаблон с надписью 1:1
000 000 , надпишем над
57
ним эту номенклатуру,
слева и снизу подпишем
границы листа по ши56
84 85 86 87 88 89 90
роте и долготе соответственно (см. рис. 5). ЗаРис. 5. Разметка шаблона листа карты
тем производим дополмасштаба 1:1 000 000
нительную разметку на
градусы. Учитывая, что
1 = 60, строка имеет высоту 20 по широте , а столбец – ширину 30 по долготе.
После этого находим на шаблоне клетку, соответствующую листу карты масштаба 1:100 000 и с помощью рисунка 3
определяем его номер. Над шаблоном листа карты масштаба
1:100 000 подписываем его номенклатуру: N-45-128.
Подпишем границы этого шаблона по широте и долготе
(рис. 6), причем можно написать только минуты, чтобы не загромождать чертеж. Подпишем буквенные обозначения листов карт масштаба 1:50 000, а также их границы – средние
арифметические границ листа масштаба 1:100 000.
Теперь без труда находим номенклатуру нужного листа
масштаба 1:50 000 и подписываем ее над следующим шаблоном: N-45-128-А. Границы этого листа по широте и долготе
уже найдены, осталось только переписать их. Далее точно так
же определяем номенклатуру листа масштаба 1:25 000 (N-45128-А-г) и, наконец, листа масштаба 1:10000 (N-45-128-А-г-2).
Записываем его номенклатуру в строке «Ответ».
11
1:100 000
N-45-128
40
40
А
30
1:50 000
N-45-128-A
Б
35
а б
в г
Иногда возниВ Г
кает необходимость
20
30
склеить несколько
30
45
60
30 3730 45
листов карты. Что1:25 000
бы
затребовать
1:10 000
N-45-128-A-г
N-45-128-A-г-2
нужные листы кар35
35
ты из хранилища,
1 2
необходимо знать
3230
их номенклатуру.
3 4
Задача. Найти но30
3230
менклатуру восьми
3730 4145 45
4145
45
листов
карты
Рис. 6. Разметка шаблонов 1:100 000 – 1:10 000
масштаба 1:10 000,
граничащих с листом N-45-128-А-г-2 (см. рис. 7).
Для решения задачи используем
последний шаблон (рис. 8). Считая, что он изображает лист карты масштаба 1:100000, подпишем
его номер – 128 и буквенные обозначения четырех соответствуюРис. 7. Каждый лист карты
щих ему листов карты масштаба
граничит с 8 соседними
1:50 000 - А, Б, В, Г. Лист «А», в
свою очередь, разделим на четыре части, соответствующие
листам а, б, в, г карты масштаба 1:25000, затем аналогично
разделим на четыре части лист «г» и подпишем номера соответствующих им листов карты масштаба 1:10 000 - 1, 2, 3, 4.
Заштрихуем на полученной схеме разграфки клетку «2», соответствующую данному листу карты масштаба 1:10 000. Номера трех соседних листов уже подписаны, осталось только правильно переписать их номенклатуру.
12
Колонна
Колонна
34
35
144
А
133
а
б
3 4 3
1 2 1
в
г
3 4 3
Б
Пояс Q
3
128
1
Пояс Р
Б
12
а)
В
Г
3
г
б
4
3
2
1
4
3
в
а
А
1
б)
Рис. 8. Определение номенклатуры листов карты масштаба 1:10 000, граничащих с листом: а) N-45-128-А-г-2; б) Р-34-12-Б-б-2
Чтобы найти номенклатуру еще пяти листов, необходимо сделать дополнительную разграфку (см. рис. 8, а). Теперь
можно записать номенклатуру всех восьми листов:
1. N-45-128-А-б-3
5. N-45-128-Б-в-1
2. N-45-128-А-б-4
6. N-45-128-А-г-3
3. N-45-128-Б-а-3
7. N-45-128-А-г-4
4. N-45-128-А-г-1
8. N-45-128-Б-в-3
Задача была решена без особых затруднений. Разберем
более сложный случай. Найдем номенклатуру соседних листов для листа Р-34-12-Б-б-2. В этом случае разграфка шаблона
будет более сложной, поскольку данный лист попадает на
стык колонн и поясов (см. рис. 8, б).
1. Q-34-144-Г-г-3
5. Р-35-1-А-а-1
2. Q-34-144-Г-г-4
6. Р-34-12-Б-б-3
3. Q-35-133-В-в-3
7. Р-34-12-Б-б-4
4. Р-34-12-Б-б-3
8. Р-35-1-А-а-3
13
1.4. Математическая основа топографической карты
1.4.1. Географическая сетка
Собственно лист карты ограничен трапецией, образованной параллелями (верхняя и нижняя границы) и меридианами (левая и правая границы). Для каждого из углов трапеции в междурамочном пространстве подписаны его широта
(рядом с меридианами) и долгота (вдоль параллелей). Между
трапецией и внешней рамкой находится картографическая
рамка, разделенная на минутные интервалы (см. рис. 9). Между внешней и картографической рамками через десять секунд
нанесены черные точки. Эта разметка позволяет определить
географические координаты любой точки на листе карты или
нанести на карту точку по ее координатам .На рисунке 9 показано, как найти географические координаты точки N на карте.
1.4.2 Плоские прямоугольные координаты Гаусса
В СНГ топографические карты масштабов 1:500 000 и
крупнее составляются в системе плоских прямоугольных координат Гаусса. При этом в каждой картографической зоне
вводится прямоугольная система координат с началом в точке
пересечения проекций осевого меридиана данной зоны и экватора. Ось абсцисс совпадает с осевым меридианом и направлена на север, ось ординат совпадает с экватором и направлена с запада на восток.
14
 = 660042
66 00
49
00
252 82
81
5433
 = 485906
N
32
17
Х = 550 м
Y = 780 м
Х1 М
Y
5416
48
50
66 00
80
Х
Y1
Х =5416550 м
Y = 25281780 м
252 81
Рис. 9. Лист карты масштаба 1:50 000 . Определение географических и плоских прямоугольных координат точки
15
16
меридиан
Осевой
Условное начало координат
На картах территории нашей страны, расположенной в Северном полушарии, абсцисса любой точки положительна. Для того, чтобы и ординаты принимали только положительные значения, на топографических
Х
картах применяется преобразованная система плоских прямоугольных координат. Преобразование заключается в том, что ось
абсцисс сдвигается на 500
км к западу. Если учесть,
что длина дуги экватора в
один градус приблизитель0 167
833
500
но равна 111 км, то очеY
видно, что начало такой
системы координат оказывается за пределами шестиградусной картографической зоны и ордината любой точки данной зоны в
целых километрах выражается трехзначным числом
Рис. 10. Зональная система координат
(см. рис. 10). Поскольку
для каждой зоны вводится своя система координат, необходимо указывать, в какой зоне находится определяемая точка.
Для этого к ординате точки слева приписывается номер соответствующей картографической зоны. Например:
Y = 5683 км - 5 зона, Y = 18478 км - 18 зона. На топографических картах проведены линии так называемой километровой сетки (см табл. 1). Эта сетка едина для всех листов
карты данной зоны. Вертикальные линии сетки параллельны
осевому меридиану, горизонтальные – экватору. В общем случае эти линии не параллельны краям листа карты (см. рис. 9).
Таблица 1
Расстояние между линиями километровой сетки
Масштаб карты
На карте, см
На местности, км
1:10 000
10
1
1:25 000
4
1
1:50 000
2
1
1:100 000
2
2
1:200 000
2
4
Линии сетки выходят в междурамочное пространство и
там подписаны. Для горизонтальных линий указаны их расстояния от экватора, для вертикальных – от оси абсцисс. Расстояния даны в километрах, причем только для ближайших к
краям листа горизонтальных и вертикальных линий числа даны в полной записи, для всех остальных в сокращенной – последние две цифры.
Задача. Определить прямоугольные координаты точки M.
Рисунок 9 показывает, что для решения этой задачи
достаточно измерить на карте отрезки X и Y (или X1 и
Y1), перевести их длину, в соответствии с масштабом карты,
в метры и сложить (вычесть) с оцифровкой линии километровой сетки, от которой измерялось расстояние до точки.
1.5. Ориентирование линий на карте
Ориентировать линию – значит определить угол между
этой линией и неким исходным направлением. В геодезии за
исходное обычно выбирают северное направление истинного,
магнитного или осевого меридиана.
Азимутом называется отсчитываемый по часовой
стрелке горизонтальный угол между северным направлением
меридиана и направлением данной линии.
17
Азимут называется истинным, если он отсчитывается
от истинного (географического) меридиана, и магнитным,
если от магнитного меридиана.
На местности направление истинного меридиана находят из
астрономических наблюдений, магнитного – с помощью магнитной стрелки. Азимут обычно обозначается буквой А.
Дирекционным углом называется отсчитываемый по
часовой стрелке горизонтальный угол между северным направлением осевого меридиана и направлением данной линии.
Обычно дирекционный угол обозначается буквой . На
топографической карте дирекционный угол отсчитывается от
северного направления вертикальной линии километровой
сетки.
Азимуты и дирекЛинии килоционные углы могут
метровой
сетки
быть прямыми и обратными (см. рис. 11). Прямой дирекционный угол
линии MN MN и обратный  NM отличаются на
N
180.


На карте удобнее
М
всего измерять дирекциNM = MN + 180
онные углы линий. По
измеренному дирекционному углу можно выРис. 11. Прямой и обратный дирекчислить истинный и
ционные углы
магнитный азимуты линии. Для этого на нижнем поле листа карты слева от масштаба
помещается диаграмма, называемая «веер меридианов». Диаграмма наглядно показывает взаимное расположение направлений среднего истинного, среднего магнитного и осевого меридианов для данного листа карты. На ней указаны также зна-
18
чения углов между ними: сближение меридианов  - угол между направлениями осевого меридиана (вертикальной линии
сетки) и среднего (проходящего через середину данного листа
карты) истинного меридиана, а также склонение магнитной
стрелки  - угол между направлениями средних истинного и
магнитного меридианов. Эта информация дублируется в блоке
Истинный меридиан
Линия
сетки
Магнитный
меридиан
М
N
Рис. 12. Веер меридианов. Определение истинного и магнитного азимутов
линии MN по измеренному дирекционному углу
текста, помещенном левее «веера». В тексте приводится и дата определения величины склонения магнитной стрелки и его
годового изменения.
Чтобы определить истинный азимут Аи и магнитный Ам
линии MN, для которой измерен дирекционный угол MN,
следует изобразить на листе бумаги “веер меридианов” и провести линию MN так, чтобы точка М совпала с углом «веера»
(см. рис. 12). Отметив на рисунке углы , Аи и Ам, нетрудно
сообразить, что в данном случае Аи =  -  , Ам = Аи +  .
19
1.6. Решение задач с помощью горизонталей
1.6.1. Изображение рельефа на планах и картах
Рельефом называют совокупность неровностей земной
поверхности. Поверхность воды в водоемах представляет собой поверхность равных значений силы тяжести (уровенную
поверхность). Можно провести бесчисленное множество уровенных поверхностей, причем каждая из них характеризуется
своей абсолютной высотой – высотой над уровнем моря.
Численное значение абсолютной высоты точки или поверхности называется ее отметкой.
уровенная
поверхность
h
h
горизонталь
Рис. 13. Схема изображения рельефа горизонталями.
h – высота сечения рельефа
Если мысленно рассечь физическую поверхность Земли
равноотстоящими между собой уровенными поверхностями и
следы такого пересечения спроектировать на плоскость или
эллипсоид, получим линии, называемые горизонталями (см.
рис. 13). Уменьшив полученную проекцию в соответствии с
масштабом плана или карты, получим избражение рельефа
20
горизонталями. Горизонтали на планах и картах проводятся
линиями коричневого цвета.
Расстояние между смежными секущими плоскостями по
отвесной линии называют высотой сечения рельефа. Высота
сечения рельефа зависит от масштаба карты или плана и характера изображаемой местности (равнинный, холмистый,
горный).
Для изображения рельефа пологих участков местности
могут использоваться полугоризонтали (проводятся через половинную высоту сечения прерывистой линией). Каждая пятая горизонталь, а для масштаба 1:25 000 каждая четвертая,
проводятся утолщенными линиями. Отметки утолщенных горизонталей, а иногда и основных, подписываются в разрывах
а
212,7
М
а
191,7
h=5м
НМ = 205,0 м
Рис. 14. Определение направления ската и отметки горизонтали;
линия а-а – полугоризонталь
линий цифрами коричневого цвета, причем верх цифр направлен вверх по склону. Кроме отметок горизонталей, черными цифрами подписываются отметки характерных точек
рельефа (вершины гор, самые низкие точки седловин и котловин) и точек, которые могут служить ориентирами (перекрестки дорог, одиночные деревья, крупные камни и т.д.). Синими цифрами подписываются отметки урезов воды в водоемах
и реках. В отличие от надписей отметок горизонталей, черные
и синие надписи параллельны нижнему краю листа карты.
21
Все основные формы рельефа образованы наклонными
поверхностями – скатами. Направление ската можно определить по следующим признакам (см. рис. 14 ):
1. из сравнения помещенных на карте отметок;
2. по ориентировке подписей горизонталей;
3. по бергштрихам - коротким черточкам у горизонталей, указывающим направление стока воды;
4. по воде – скаты всегда направлены к воде.
Задача. Определить отметку точки М на карте с высотой сечения рельефа h.
Если точка М находится на горизонтали, следует найти
ближайшую подписанную горизонталь, затем, «шагая» от
подписанной горизонтали к горизонтали точки М, в соответствии с направлением ската, шагами по h метров («плюс» –
МЕСТНОСТЬ В
h1
М
Cекущие поверхности
HB
h – высота
сечения
h
HA
А
G
F
КАРТА
d
d1
m
а
b
D
Младшая
горизонталь
Старшая горизонталь
Рис. 15. Определение отметки точки на карте линейным интерполированием:
НА – отметка точки А (младшей горизонтали); НВ – отметка точки В (старшей горизонтали)
22
если движемся вверх и «минус» – если движемся вниз), получаем отметку данной точки НМ (см. рис. 14). Но можно не искать подписанную горизонталь, а использовать отметки характерных точек. Например, по отметке вершины 212,7 метра
можно сообразить, что при высоте сечения рельефа h = 5 метров ближайшая к вершине горизонталь будет иметь отметку
210 метров. Отметка земли у подножия камня 191,7 метра
указывает, что на карте он находится между горизонталями
190 и 195 метров. В таком случае горизонталь с меньшей отметкой называется младшей, с большей отметкой – старшей.
Если точка m находится между горизонталями, ее отметку находят линейным интерполированием (см. рис. 15 ).
Для этого на карте через точку m проводится линия ab по
кратчайшему расстоянию между старшей и младшей горизонталями. На местности ей соответствует линия АВ с горизонтальным проложением АF. Отметка НМ точки М находится по
формуле НМ = Нмг + h или НМ = Нсг - h1 .
Из подобия треугольников АВF и AMG находят h:
Младшая
горизонталь
Старшая
горизонталь
D
d = 10,3 мм
D = 19,2 мм
d
m
0
1
2
h 
h  AG
AF
Заменяя отношение
горизонтальных проложений AG и AF отношением
пропорциональных им отрезков d и D, окончательно получим:
H m  H мг 
Рис. 16. Измерения на карте при определении отметки точки m
hd
D
На практике вместо
того, чтобы проводить
линию ab, достаточно
23
просто приложить линейку к карте (см. рис. 16), совместив
нулевой штрих с младшей горизонталью, и взять два отсчета:
отсчет на точке m даст расстояние d, отсчет на старшей горизонтали – расстояние D. Подставляя в формулу d и D в миллиметрах, а h в метрах, получают h в метрах.
h м   d  мм 
  h м 
D мм 
1.6.2. Построение вертикального профиля местности
по заданному направлению
Вертикальным профилем называется след сечения физической поверхности участка местности вертикальной плоскостью, проходящей через заданную линию. Пусть на карте
проведена линия MN. Необходимо построить вертикальный
h = 10 м
НМ = 163 м
HN = 166 м
N
170
180
180
160
170
180
170
160
180
170
М
183,2
196,1
М
N
Рис. 17
профиль поверхности земли по данной линии. Вначале на
листе бумаги строятся горизонтальная и перпендикулярно ей
24
вертикальная оси. Затем бумага сгибается по горизонтальной
оси, линия сгиба совмещается с линией MN на карте так, чтобы точка М или N оказалась на пересечении осей (см. рис. 17).
Плотно прижав лист бумаги к карте, наносят на ней риски напротив точек M и N, а затем напротив каждой горизонтали, которая пересекается с линией MN.
Далее следует рядом с каждой риской подписать отметку соответствующей горизонтали. Здесь главное - не ошибиться в определении направлений скатов.
Затем, если бумага не разлинована, отступив 12 сантиметра от горизонтальной оси, проводят параллельно ей линии
через 5 миллиметров. Теперь можно оцифровать вертикальную ось с шагом, равным высоте сечения рельефа для данного
листа карты. Оцифровку начинают с наименьшей отметки
среди подписанных на горизонтальной оси.
170
180
160
170
180
170
160
180
М
170
190
180
170
160
150
гор. 1:50 000
верт. 1:2000
180
Масштабы:
N
Рис. 18. Вертикальный профиль по линии MN
После этого проводятся перпендикуляры от каждой риски на горизонтальной оси до линейки с соответствующей
оцифровкой. Соединив концы перпендикуляров ломаной линией, получают вертикальный профиль (см. рис. 18).
Данный метод построения профиля автоматически задает горизонтальный масштаб, равный масштабу карты. Знаменатель вертикального масштаба получится от деления высоты
25
сечения рельефа на величину расстояния между проведенными на чертеже горизонтальными линейками.
Следует отметить, что СНИПы (Строительные Нормы И
Правила) предписывают при вычерчивании вертикальных
профилей по заданной линии использовать вертикальный
масштаб в 10 раз более крупный, чем горизонтальный.
1.6.3 Определение крутизны скатов
Рассмотрим линию АВ с горизонтальным проложением
D, наклоненную к плоскости горизонта под углом  (см. рис.
19). Угол  называют крутизной ската. Но во многих случаях
удобнее пользоваться понятием уклон.
В
H
А

D
Рис. 19
Уклон i - это отношение i = H/D. Иначе говоря, уклон это превышение (перепад высот), которое приходится на единицу горизонтального проложения линии. Например, если
i = 0,012 , это значит, что на 1 метр горизонтального проложения линии приходится перепад высот 0,012 метра.
Уклон часто выражают в сотых (процентах) или тысячных (промилле). Тогда i = 0,012 = 1,2% = 12 0/00 . Если уклон
выражен в процентах, это означает, что на каждый метр приходится перепад высот 1,2 сантиметра, если в промилле – на
каждый метр приходится перепад высот 12 миллиметров.
На карте обычно определяют уклон участка линии между соседними горизонталями:
i
26
h
 tg .
D
Расстояние D между соседними горизонталями называют заложением. Нетрудно увидеть связь между величиной
заложения и крутизной ската:
D
h
 h  ctg  .
tg 
График зависимости D = hctg помещен на нижнем
поле листа карты справа от масштаба и называется графиком
заложений. Рисунок 20 показывает, как с помощью графика
заложений и циркуля-измерителя определить крутизну ската.
При высоте сечения 10 м
 = 1,6
0 30 1 2 3 4 5
8 10
20
Рис. 20. Определение крутизны ската с помощью графика заложений
На планах нередко строятся и графики зависимости величины заложения от уклона
h
D 
.
i
1.6.4 Построение линии заданного уклона
При проектировании линейных сооружений (автодорог,
трубопроводов и т.д.) часто возникает задача построения на
карте или плане линии заданного уклона (заданной крутизны)
или линии с предельно допустимым уклоном (предельно допустимой крутизной).
27
Пусть необходимо провести на карте линию, уклон которой не превышает заданного уклона i0, из точки А в точку В
(см рис. 21). Определив по графику заложений величину заложения D0, соответствующего уклону i0, делают раствор
циркуля-измерителя равным величине D0 и из точки А делают
засечки на следующей горизонтали. Выбрав одну из двух полученных засечек, не изменяя раствор циркуля, из нее делают
засечки на следующей горизонтали и т.д. Очевидно, что существует много вариантов проведения линии, но обычно выбирают линию минимальной длины.
50
В
40
30
А
Рис. 21. Построение линии равного уклона на карте
Проведенная на рисунке линия не попадает в точку В.
Чтобы добиться попадания в эту точку, необходимо на некоторых участках проводить линии с уклоном, меньшим i0
(длиннее D0). Например, из двух засечек на горизонтали 50
выбрать не правую, а левую и из нее провести последнее звено линии до точки В практически по горизонтали.
28
2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕХНИКЕ
ВЫЧИСЛЕНИЙ
2.1. Основные правила вычислений с приближенными
величинами
При любых геодезических измерениях получаются приближенные значения измеряемых величин. Поэтому при математической обработке результатов этих измерений необходимо руководствоваться обычными правилами вычислений
для приближенных чисел.
Приближенные числа характеризуются числом верных
цифр (которым можно доверять), числом десятичных знаков
(цифр после запятой) и числом значащих цифр. Значащими
называются цифры числа, начиная с первой слева, отличной
от нуля. Например, в числе 0,00371 – 5 десятичных знаков и 3
значащих цифры, в числе 75,80 – 2 десятичных знака и 4 значащих цифры.
Запись числа должна содержать только верные цифры,
тогда она характеризует его точность. Например, если при использовании рулетки с сантиметровыми делениями была измерена длина линии и получен результат «ровно 25 метров»,
следует записать, что длина линии 25,00 метров, т.к. это число содержит 4 верных цифры. Если же с помощью спидометра
было определено, что расстояние между двумя пунктами равно 33 км, то можно написать, что оно равно 33*103 м, но не
33 000 м – в этой записи числа только две верных цифры.
При вычислениях с приближенными числами руководствуются правилами:
1. В сумме и разности приближенных чисел сохраняют
столько десятичных знаков, сколько их содержится в том из
приближенных чисел, в котором меньше десятичных знаков.
Например, если а  8,1956 и b  2,3 , то a + b  8,2 + 2,3 
29
 10,5 . Если же записать, что a + b  10,4956 , то ясно, что
последние три знака не являются верными цифрами и дают
фиктивную точность.
2. В произведении и частном приближенных чисел сохраняют столько значащих цифр, сколько их содержится в
том из приближенных данных, в котором меньше значащих
цифр. Например, если a  4,17 и b  1,6 , то результат деления 4,17/1,6 = 2,60625 следует округлить до двух значащих
цифр и записать a/b  2,6 .
3. При возведении приближенного числа в степень или
при извлечении из него корня в результате следует сохранить
столько значащих цифр, сколько их было в исходном числе –
следствие из правила 2.
4. При нахождении приближенного значения выражения, содержащего несколько действий, в промежуточных результатах сохраняют на одну цифру больше, чем рекомендуют правила 1-3.
При округлении приближенных чисел обычно пользуются правилом Гаусса: если первая отбрасываемая цифра
меньше пяти, последняя оставляемая цифра не изменяется;
если первая отбрасываемая цифра больше пяти, последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу; если первая отбрасываемая цифра равна пяти, последняя цифра не изменяется, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная. Иногда говорят, что цифра 5 округляется к ближайшему четному.
Например: 2,7246  2,72 ; 53, 4281  53,43 ;
1,8256  1,82 ; 4, 6351  4,64 .
В геодезии правило сохранения запасного знака иногда
не соблюдается. Это делается в том случае, если производится
уравнивание – введение поправок в измеренные или вычисленные величины с целью скомпенсировать случайные погрешности измерений. В этом случае погрешности округления
30
рассматриваются как составная часть случайных погрешностей.
2.2. Арифметические действия с величинами,
выраженными в угловой мере
В геодезии углы измеряются в градусах или градах (гонах). При этом полная окружность делится на 360 или 400g
(градов). Один градус делится на 60 минут (1 = 60), минута –
на 60 секунд ( 1 = 60). При особо точных измерениях используются десятичные доли секунды. Доли града выражаются десятичными дробями.
Круги отечественных инструментов делятся только в
градусной мере.
При вычислениях с помощью калькулятора следует установить специальный переключатель в одно из трех положений: Г (градусы), ГРАД (грады ) или РАД (радианы) на калькуляторах отечественного производства или DEG (degree) ,
GRAD (grad), RAD (radian) на импортных.
При ручных вычислениях сложение и вычитание величин, выраженных в градусной мере, удобно выполнять столбиком. Например:
185 31 46
+
122
43 15
308
15 01
Сложение начинают с секунд: 46 + 15 = 61 = 101 .
Далее складываются минуты: 1 + 31 + 43 = 75 = 115 .
Затем градусы 1 + 185 + 122 = 308 .
Вычитание:
215 17 25
110
35 40
104
41 45
Чтобы вычесть 40 из 25, занимаем одну минуту (60):
31
25 + 60 - 40 = 45 .
Далее нужно вычесть 35 из 16 . Занимаем один градус (60):
16 + 60 - 35 = 41 .
И, наконец, вычитаем градусы:
214 - 110 = 114 .
Умножение выполняется аналогично сложению, а вот
деление следует начинать с градусов. Например:
173529,2/2 = 84744,6 .
Вначале выполняется деление градусов (17/2 = 8 и 1 в
остатке), затем остаток прибавляется к минутам (60 +35 =
= 95) и выполняется деление минут (95/2 = 47 и 1 в остатке),
остаток прибавляется к секундам (60 + 29,2 = 89,2) и производится последнее деление (89,2/2 = 44,6).
В геодезии часто приходится вычислять среднее арифметическое двух близких чисел. При этом удобнее использовать не обычную формулу, а преобразованную:
а  а1
а ср  а1  2
.
2
Например, для чисел 1 = 13742 и 2 = 13748 среднее
арифметическое ср = 13742 + 6/2 = 13745.
В заключение отметим, что компьютеры вовсе не избавляют от необходимости ручных вычислений хотя бы потому,
что несложные и небольшие по объему вычисления проще и
быстрее произвести в уме или с помощью калькулятора. Для
обработки больших массивов данных имеет смысл использовать готовые компьютерные программы или составить программу самостоятельно. И в том и в другом случае необходимо иметь контрольный пример, просчитанный без ошибок.
32
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Господинов Г.В. Топография / Г.В. Господинов, В.Н. Сорокин . – М.: Изд-во МГУ, 1976. - 359 с.
2. Чеботарев А.С. Геодезия, ч. 1. – М.: Изд-во геодезич. литературы, 1955. - 627 с.
33
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Решение задач на топографической карте ....................... 3
1.1. Топографические планы и карты ................................... 3
1.2. Масштабы ....................................................................... 4
1.3. Номенклатура топографических карт ............................ 7
1.4. Математическая основа топографической
карты .................................................................................... 14
1.4.1. Географическая сетка .......................................... 14
1.4.2 Плоские прямоугольные координаты Гаусса ....... 14
1.5. Ориентирование линий на карте .................................. 17
1.6. Решение задач с помощью горизонталей .................... 20
1.6.1. Изображение рельефа на планах и картах .......... 20
1.6.2. Построение вертикального профиля
местности по заданному направлению ......................... 24
1.6.3 Определение крутизны скатов .............................. 26
1.6.4 Построение линии заданного уклона..................... 27
2. Некоторые сведения по технике вычислений.................29
2.1. Основные правила вычислений с
приближенными величинами ............................................. 29
2.2. Арифметические действия с величинами,
выраженными в угловой мере ............................................ 31
Список литературы ................................................................34
34