h - Тольяттинский государственный университет

Тольяттинский государственный университет
Физико-технический институт
Кафедра «Общая и теоретическая физика»
Потемкина С.Н.
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ
3й семестр
Модуль 9
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
Тольятти 2007
Содержание
Глава 23. Квантовая природа излучения.........................................................................................................................3
§34. Тепловое излучение и его характеристики .......................................................................................................3
§35. Закон Кирхгофа ...................................................................................................................................................5
§36. Законы Стефана-Больцмана и смещения Вина.................................................................................................6
§37. Формулы Релея-Джинса и Планка .....................................................................................................................7
§38. Оптическая пирометрия......................................................................................................................................8
§39. Яркостная пирометрия ........................................................................................................................................9
Вопросы для повторения.....................................................................................................................................10
§40. Фотоэффект. Законы внешнего фотоэффекта.................................................................................................11
§41. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.......................................................................................13
Вопросы для повторения.....................................................................................................................................15
Глава 24. Теория атома водорода по Бору ....................................................................................................................15
§42. Модели атома Томсона и Резерфорда .............................................................................................................15
§43. Спектральные серии атома водорода ..............................................................................................................18
Вопросы для повторения.....................................................................................................................................19
Глава 25. Элементы квантовой механики.....................................................................................................................19
§44. Фотоны ...............................................................................................................................................................19
§45. Корпускулярно-волновой дуализм. Его экспериментальные проявления. Гипотеза де Бройля................20
§46. Микрочастицы. Соотношение неопределенностей Гейзенберга ..................................................................21
§47. Волновая функция .............................................................................................................................................21
§48. Уравнение Шредингера ....................................................................................................................................24
§49. Прохождение частиц через потенциальный барьер .......................................................................................26
§50. Квантование энергии.........................................................................................................................................28
Движение частицы в одномерной "потенциальной яме" с бесконечно высокими стенками .......................28
Вопросы для повторения.....................................................................................................................................30
Глава 26. Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц .........................................................................31
§51. Состав и характеристики элементарных частиц.............................................................................................31
Характеристики атомного ядра ..........................................................................................................................32
§52. Дефект массы и энергия связи ядра.................................................................................................................32
§53. Ядерные силы ....................................................................................................................................................33
§54. Радиоактивное излучение. Закон радиоактивного распада ...........................................................................34
§55. Альфа- и бета распады ......................................................................................................................................36
§56. Ядерные реакции ...............................................................................................................................................36
Вопросы для повторения.....................................................................................................................................37
Глава 27. Современная Физическая Картина Мира.....................................................................................................38
§57.Атомно-молекулярное строение вещества. Вещество и поле ........................................................................38
§58. Кварки ................................................................................................................................................................39
§59. Фундаментальные взаимодействия. Иерархия взаимодействий. О единых теориях материи ...................40
§60. Современная физическая картина мира как философская категория...........................................................41
2
Глава 23. Квантовая природа излучения
§34. Тепловое излучение и его характеристики
Все тела, температура (to) которых больше нуля излучают электромагнитные волны за счёт
энергии теплового движения атомов и молекул вещества (то есть за счёт его внутренней энергии).
Например, сильно нагретые тела светятся. Если температура тела выше 1000о, то большая
часть энергии излучается в световом диапазоне, если же температура тела обычная, то большая
часть энергии излучается в инфракрасном диапазоне.
Итак, электромагнитное излучение, испускаемое веществом и возникающее за счёт его
внутренней энергии называют тепловым или температурным излучением.
Теплообменом при излучения (радиационным теплообменом) называют самопроизвольный
процесс передачи энергии в форме теплоты от более нагретого к менее нагретому, осуществляющийся путём теплового излучения и поглощения электромагнитных волн этими телами.
Тепловое излучение – практически единственный вид излучения, который может быть равновесным (т.е. в единицу времени поглощается столько же энергии, сколько и излучается). Оно
характеризуется сплошным спектром.
Характеристики теплового излучения.
1) Очень важной характеристикой является спектральная плотность энергетической светимости тела Rν ,T – это мощность излучения с единицы площади поверхности тела в интервале частот единичной ширины (т.е. от ν до ν+dν):
изл
Rν ,T =
dWν ,ν +dν
dν
,
(34.1)
изл
где dWν ,ν + dν – энергия электромагнитного излучения, испускаемая за единицу времени (мощность излучения) с единицы площади поверхности тела в интервале частот от ν до ν+dν). Си:
⎡ Дж ⎤
Rν ,T = ⎢ 2 ⎥ .
⎣м ⎦
Записанную формулу можно представить в виде функции длины волны:
dWν ,ν +dν = Rν ,T dν = R λ ,T dλ ,
изл
т.к.
c = λν ,
то
dλ
c
λ2
=− 2 =−
,
c
dν
ν
где знак “–” указывает на то, что с возрастанием одной из величин (λ или ν) другая величина
убывает. Поэтому в дальнейшем знак “–” будем опускать.
Rν ,T = R λ ,T
λ2
(34.2)
.
c
Т.о., с помощью формулы (34.2) можно перейти от Rν ,T к R λ ,T и наоборот. Зная спектральную плотность энергетической светимости, можно вычислить интегральную энергетическую
светимость (её называют просто энергетической светимостью тела), просуммировав по всем
частотам:
3
∞
RТ = ∫ Rν ,T dν .
(34.3)
0
Если излучение падает на какое либо тело, то часть светового потока поглощается, часть отражается, а часть (если тело прозрачное) проходит сквозь тело.
Способность тел поглощать падающее на них излучение характеризуется спектральной поглощательной способностью:
погл
Aν ,T =
dWν ,ν +dν
dWν ,ν +dν
,
(34.4)
показывающей, какая доля энергии, приносимой за единицу времени на единицу площади поверхности тела падающими на неё электромагнитными волнами с частотами от ν до ν+dν, поглощается телом.
Спектральная поглощательная способность - величина безразмерная.
Величины Rν ,T и Aν ,T - зависят от природы тела, его термодинамической температуры и
при этом различаются для излучений с различными частотами. Поэтому эти величины относят
к определённым T и ν (вернее, к достаточно узкому интервалу частот от ν до ν+dν).
Спектральная поглащательная способность (коэффициент поглощения) для любых тел разный и зависит от to и λ(ν ) .
n
A λ,T
чёрное
1
серое
λ
Рис. 34.1
Тело, способное поглощать полностью при любой температуре, всё падающее на него излучение любой частоты ( λ ), называется чёрным. Следовательно, спектральная поглощательная
способность чёрного тела для всех частот (длин волн) и температур тождественно равна единице ( Aνч ,T ≡ 1 или Aλч,T ≡ 1 ).
Абсолютно чёрных тел в природе нет, однако такие тела, как сажа, платиновая чернь, чёрный бархат и другие в определённом интервале частот по своим свойствам близки к ним.
Рис. 34.2
Идеальной моделью чёрного тела является замкнутая полость с небольшим отверстием,
внутренняя поверхность которой зачернена. Луч света, попавший внутрь такой полости, испытывает многократные отражения от стенок, и практически полностью поглощается. Вследствие
4
чего открытые окна домов со стороны улицы кажутся чёрными, хотя внутри комнат достаточно
светло из-за отражения света от стен.
Наряду с понятием чёрного тела используют понятие серого тела – тела, поглощательная
способность которого меньше единицы, но одинакова для всех частот и зависит только от to,
материала и состояния поверхности тела. Aνс ,T = ATс = const < 1 .
§35. Закон Кирхгофа
Кирхгоф, опираясь на второй закон термодинамики и анализируя условия равновесного излучения в изолированной системе тел, установил количественную связь между спектральной
плотностью энергетической светимости и спектральной поглощательной способностью тел.
Отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела; и является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры.
Rν ,T Aν ,T = rν ,T .
(35.1)
Для чёрного тела Aνч ,T ≡ 1 , поэтому из закона Кирхгофа следует, что Rν ,T = rν ,T . Т.о., универсальная функция Кирхгофа rν ,T , есть не что иное, как спектральная плотность энергетиче-
ской светимости чёрного тела.
Следовательно, согласно закону Кирхгофа, для всех тел отношение спектральной плотности
энергетической светимости к спектральной поглащательной способности равно спектральной
плотности энергетической светимости чёрного тела при той же температуре и частоте.
Из закона Кирхгофа следует:
1. спектральная плотность энергетической светимости любого тела в любой области спектра всегда меньше спектральной плотности энергетической светимости чёрного тела
Rν ,T < rν ,T (при тех же значениях ν и Т), т.к. Aν ,T < 1
2. если тело при данной температуре Т не поглощает эл.м. волны в интервале частот от ν
до ν+dν, то оно их в этом интервале частот при температуре T и не излучает, т.к. при
Aν ,T = 0 , Rν ,T = 0 .
Используя закон Кирхгофа, выражение для энергетической светимости тела можно записать
в виде:
∞
RT = ∫ Aν ,T rν ,T dν .
(35.2)
0
Для серого тела:
∞
R =A
c
T
c
T
∫ rν
,T
dν
=AR,
c
T
e
(35.3)
0
где
∞
Re = ∫ rν ,T dν
(35.4)
0
энергетическая светимость черного тела ( зависит только от температуры). Итак, закон Кирхгофа описывает только тепловое излучение. Излучение, которое закону Кирхгофа не подчиняется,
не является тепловым.
5
§36. Законы Стефана-Больцмана и смещения Вина
Из закона Кирхгофа следует, что спектральная плотность энергетической светимости черного тела является универсальной функцией, поэтому нахождение ее явной зависимости от частоты и температуры является одной из важнейших задач теории теплового излучения.
Австрийские физики Й. Стефан и Л. Больцман решили эту задачу лишь частично, установив
зависимость энергетической светимости Rе от температуры. Согласно закону СтефанаБольцмана:
Энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры.
Re = σ ⋅ T 4 ,
(36.1)
где σ – постоянная Стефана-Больцмана. σ = 5,67 ⋅ 10−8 Вт
.
м2 К 4
Закон Стефана-Больцмана определяя зависимость Rе от температуры, не дает ответа относительно спектрального состава излучения черного тела. Из экспериментальных кривых зависиc
мости rλ ,T от λ ( rλ ,T = rν ,T ) при различных температурах следует, что распределение энергии
λ
в спектре черного тела является неравномерным. Все кривые имеют явно выраженный максимум, который по мере повышения температуры смещается в сторону более коротких волн.
rλ,T
T
ра
ё
ст
т
λ
Рис. 36.1
Площадь, ограниченная кривой зависимости rλ ,T от λ и осью абсцисс, пропорциональна
энергетической светимости Rе черного тела и, следовательно, по закону Стефана-Больцмана,
четвертой степени температуры.
Немецкий физик В. Вин установил зависимость длины волны λmax, соответствующей максимуму функции rλ ,T от температуры Т.
Закон смещения Вина: длина волны λmax, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости rλ ,T черного тела, обратно пропорционально его
термодинамической температуре.
λmax = b ,
Т
(36.2)
где b –постоянная Вина, b =2,9⋅10-3м⋅К.
Выражение (36.2) потому называют законом смещения Вина, что оно показывает смещение
положения максимума функции rλ ,T по мере возрастания температуры в области коротких длин
волн. Закон Вина объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектре все
сильнее преобладает длинноволновое излучение (например, переход белого каления в красное
при остывании металла).
6
§37. Формулы Релея-Джинса и Планка
Из рассмотрения законов Стефана-Больцмана и Вина следует, что термодинамический подход к решению задачи о нахождении универсальной функции Кирхгофа rν ,T не дал желаемых
результатов. Следующая строгая попытка теоретического вывода зависимости rν ,T принадлежит английским ученым Д.Релею и Д.Джинсу, которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.
Формула Релея-Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного
тела имеет вид:
2
2
rν ,T = 2πν2 < ε >= 2πν2 kT ,
с
с
где <ε > = к⋅Т – средняя энергия осциллятора с собственной частотой ν.
rν,T
(37.1)
по Релею-Джинсу
по Вину
ν
Рис. 37.1
Как показал опыт, выражение (37.1) согласуется с экспериментальными данными только в
области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула
(37.1) резко расходится с экспериментом, а также с законом смещения Вина. Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефана-Больцмана из формулы Релея-Джинса приводит к
абсурду. Действительно, вычисленная с использованием (37.1) энергетическая светимость черного тела, равна:
∞
R e = ∫ rν ,T dν =
2πkT
2
∞
∫ν
2
dν = ∞ .
(37.2)
0
c
А согласно по закону Стефана-Больцмана энергетическая светимость – Rе пропорциональна
четвертой степени температуры. Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы».
Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения
энергии в спектре черного тела. Правильное, согласующееся с опытными данными выражение
для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено в 1900 году
немецким физиком Планком. Он предположил, что атомные осцилляторы излучают энергию не
непрерывно, а определенными порциями – квантами, причем энергия кванта пропорциональна
частоте колебания:
ε 0 = hν = hc ,
(37.3)
0
λ
-34
где h=6,625⋅10 Дж⋅с – постоянная Планка.
Так как излучение испускается порциями, то энергия осциллятора ε может принимать
лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии ε 0 :
ε = nhν ,
7
(37.4)
(n=0,1,2,3…).
Итак, в данном случае среднюю энергию < ε > осциллятора нельзя принимать равной k⋅Т.
Она равна:
ε
< ε >= ε
e 0
0
kT
−1
,
(37.5)
где ε0=h⋅ν.
Таким образом, Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу (37.6)
2πν 2
hν
2πhν 3
1
(37.6)
⋅
=
⋅ hν kt
,
2
hν kt
2
e
c
−1
c
e
−1
которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в
спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур.
При малых частотах, когда h⋅ν << k⋅Т формула Планка совпадает с формулой Вина. Из формулы Планка можно получить закон Стефана-Больцмана и закон смещения Вина. Можно вычислить все постоянные: σ, b, h и k.
Следовательно, формула Планка является полным решением задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом.
rν ,T =
§38. Оптическая пирометрия
Совокупность оптических (бесконтактных) методов измерения температуры называется пирометрией.
А приборы для измерения температуры нагретых тел по интенсивности их теплового излучения в оптическом диапазоне спектра называют пирометрами.
В зависимости от того, какой закон теплового излучения используется для измерения температуры тел, различают: радиационную, цветовую, яркостную температуры.
1. Радиационная температура – это такая температура черного тела, при которой его энергетическая светимость равна энергетической светимости исследуемого тела.
Т.е. регистрируется энергетическая светимость исследуемого тела и по закону Стефана–
Больцмана вычисляется его радиационная температура:
R рад (Τ ) = aΤ R АЧТ (Τ ) ,
(38.1)
Для
4
σΤрад
= σаΤ Τ 4 ,
(38.2)
Τр = 4 RΤ σ .
(38.3)
RΤ
= аΤ , а аΤ ≺ 1 для нечерного тела тогда:
R АЧТ
Τрад = 4 аΤ ⋅ Τ ,
(38.4)
т.е. истинная температура Т больше Трад . Значение аТ для различных излучателей есть в таблице.
При Т=1500 К, аТ вольф. = 0,15 Τрад = 4 0,15 ⋅1500 = 933К
Т=3000 К, аТ вольф. = 0,32 Τрад = 4 0,32 ⋅ 3000 = 2250 К
Серое тело – тело, поглощающая способность которого меньше 1, но одинакова для всех
частот и зависит только от Т, материала и состояния поверхности тела.
Аλс ,Τ = АΤ = const ≺ 1 .
8
2. Цветовая температура
Для серых тел, или тел близких к ним по свойствам, спектральная плотность энергетической
светимости.
Rλ ,Τ = AΤ ⋅ rλ ,Τ ,
где AΤ = const ≺ 1
Следовательно, распределение энергии в спектре излучения серого тела такое же, как и в
спектре черного тела, имеющего туже температуру, поэтому к серым телам применим закон
смещения Вина. Зная длину волны λmax, соответствующую максимальной спектральной плотности энергетической светимости Rλ ,Τ исследуемого тела, можно определить его температуру:
Τц = в .
(38.5)
λmax
Эта температура называется цветовой. Для серых тел цветовая температура совпадает с истинной. Температура на поверхности солнца и звезд – цветовая.
3. Яркостная температура
Яркостная температура –Тя – это температура черного тела, при которой для определенной длинны волны его спектральная плотность энергетической светимости равна спектральной
плотности энергетической светимости исследуемого тела: rλ ,Τя = Rλ ,Τ , где Т – истинная температура.
Rλ ,Τ
Aλ ,Τ
= rλ ,Τ .
(38.6)
Для нечерных тел A ≺ 1 ,то rλ ,Τя ≺ rλ ,Τ ⇒ Tя ≺ Т , истинная температура больше яркостной.
§39. Яркостная пирометрия
Наибольшее распространение получил метод определения температуры, основанный на
сравнении излучения светящегося тела с излучением АЧТ на одном и том же одинаковом узком
участке спектра Δλ.( λ≈660нм).
Ф
ОК
Л
ОБ
G
Р
Рис.39.1. Схема пирометра с исчезающей нитью
Схема пирометра с исчезающей нитью показана на рисунке 39.1., где:
Л – нить лампочки
9
ОБ – объектив
Ф – светофильтр, пропускающий лишь красные лучи
Р – реостат
ОК – окуляр.
Наблюдая через окуляр, с помощью реостата подбирают такую t накала нити, чтобы ее яркость совпадала с яркостью излучателя (нить исчезает т.е. становится неразличимой на фоне
изображения).
Тепловые источники света.
В 1873 г. изобретена лампа накаливания А.Н. Лодыгиным, дуговая лампа – 1876 г. – П.Н.
Яблочковым – русским ученым.
Лучшими тепловыми источниками являются источники, обладающие селективным излучением в видимой области спектра. Например, вольфрам, он обладает селективным излучением в
видимой области спектра, даже больше чем а.ч.т. Он используется при изготовлении нитей накаливания в лампах.
Т в ≤ 2450 К в вакуумных лампах.
max ϕ (λ , Τ) → λmax = 1,1мкм.
Для человеческого глаза λmax = 0,55 мкм. при P ≈ 50кПа.
Заполнение баллонов лампы инертным газом приводит к увеличению температуры нити до
3000 К и уменьшению спектрального состава излучения.
η лампы накаливания ≤ 5℅.
Пример решения:
1. Максимум спектральной плотности энергетической светимости rλ,Τ звезды Артур приходится на λm=580нм.
Считая звезду АЧТ, найти Т поверхности звезды.
Дано:
Решение:
-9
λmax=580·10 м
в
λm = ⇒
-3
b=2,90·10 м
Τ
в
Т=?
Τ = ≈ 5000 К
λ
2. Диаметр вольфрамовой спирали в электрической лампочке равен 0,3 мм, длина спирали 5
см. При включении лампочки в цепь напряжением в 127 В через лампочку течет ток силой 0,31
r
= 0,31 .
А. Найти температуру лампочки t1, если λ ,ΤΛ
rλ ,Τ
Вопросы для повторения
1. Какова особенность теплового излучения, выделяющая его из все известных видов излучения?
2. Каково отличие между черным и серым телами?
3. Каков физический смысл универсальной функции Кирхгофа?
4. Как раз изменится энергетическая светимость черного тела, если его термодинамическая
температура увеличится вдвое?
5. Как сместится максимум спектральной плотности энергетической светимости rλ , T черного тела при понижении температуры?
10
6. С помощью какого закона теплового излучения можно объяснить переход белого каления в красное?
§40. Фотоэффект. Законы внешнего фотоэффекта
Гипотеза Планка блестяще решила задачу теплового излучения абсолютно твердого тела,
она получила подтверждение и дальнейшие развития при объяснении фотоэффекта – явления,
открытия и исследования которого сыграло важную роль в становлении квантовой теории. Различают три вида фотоэффекта: внешний, внутренний и вентильный.
Внутренний фотоэффект – это вызванные электромагнитным излучением переходы
электронов внутри полупроводника или диэлектрика из связанных состояний в свободные без
вылета наружу.
В результате концентрация носителей тока внутри тела увеличивается, что приводит к возникновению фотопроводимости или к возникновению Э.Д.С.
Вентильный фотоэффект – является разновидностью внутреннего фотоэффекта – возникновение Э.Д.С. (фото – Э.Д.С.) при освещении контакта двух разных полупроводников или
полупроводника из металла (при отсутствии внешнего электрического поля).
Рис. 40.1
Вентильный фотоэффект открывает пути для прямого преобразования солнечной энергии в
электрическую.
Мы с вами более подробно рассмотрим внешний фотоэффект.
Внешним фотоэффектом называется испускание электронов веществом под действием
света.
Внешний фотоэффект наблюдается в твердых телах (металлах, полупроводниках, диэлектриках), а так же в газах на отдельных атомах и молекулах (фотоионизация).
Фотоэффект обнаружен Герцем в 1887 году наблюдавшим усиления процесса разряда при
облучении искрового промежутка ультрафиолетовым излучением. Опыт Герца продолжил русский ученый А.Г. Столетов. Он предложил следующую схему для исследования фотоэффекта.
Цинковая пластинка, медная сетка, гальванометр и источник света.
Столетов установил ряд закономерностей:
1. при отсутствии освещения ток не регистрировался гальванометром;
2. если освещается (-) пластинка, то в цепи появляется ток,
3. если поменять полюса батареи местами, то ток в цепи будет отсутствовать;
4. если вместо цинковой пластины поставить железную, то фотоэффект не наблюдается.
Учитывая это, Столетов сделал вывод, что фотоэффект зависит от рода вещества и спектрального состава падающего света.
11
Столетов предположил, что свет выбивает из цинковой пластины отрицательно заряженные
частицы, которые участвуют в проводимости меду цинковой пластинкой и медной сеткой.
Для дальнейшего исследования внешнего фотоэффекта Столетов использовал более совершенную установку, в которой было устранено влияние молекул воздуха.
Два электрода (катод – из исследуемого металла и анод) находятся в вакуумной трубке, подключенной к источнику. С помощью потенциометра можно изменять не только значение, но и
знак подаваемого на них напряжения. Ток, возникающий при освещении катода монохроматическим светом (через кварцевое окошко – оно дает большое излучение), измеряется включенным в цепь миллиамперметром.
Опыты показали:
1) при отсутствии освещения ток в цепи фотоэлемента отсутствует не зависимо от величины
напряжения на фотоэлементе.
2) если напряжение на фотоэлементе нулю, а -К – освещается, то в цепи появляется малый
ток I0.
если увеличивать напряжение на фотоэлементе и освещать -К-, то ток в цепи будет нарастать до насыщения.
3) если на -К- подать плюс, а на -А- минус, то с увеличением напряжения по абсолютной величине ток уменьшается и при некотором значении напряжения станет равным нулю.
свет
Рис. 40.2
Данная установка приведена для исследования вольтамперной характеристики фотоэффекта,
т.е. зависимости фототока I, образуемого потокам электронов, испускаемых катодом под действием света от напряжения между электродами.
Итак, под действием падающего света с поверхности катода вырываются электроны и устремляются к аноду. Чем больше напряжение на фотоэлементе, тем больше вырванных электронов увлекаются к аноду.
Пологий характер кривой показывает, что электроны вылетают из катода с различными скоростями. Наконец, при некотором U нас. все электроны, испускаемые катодом, достигают анода.
При этом ток достигает предельного значения Iнас. фототок насыщения и при дальнейшем повышении напряжения, Iнас. уже не изменяется.
I HAC = en ,
(40.1)
где n – число электронов, испускаемых катодом в 1 секунду.
Из ВАХ следует, что при U=0 фототок не исчезает. Следовательно, электроны, выбитые светом из катода, обладают некоторой начальной скоростью υ, а значит, и отличной от нуля кинетической энергией и могут достигнуть анода без внешнего поля.
12
Рис. 40.3
Для того чтобы фототок стал равным нулю, необходимо приложить задерживающее напряжение U0 при U=U0.
Ни один из электронов, даже обладающий при вылете из катода максимальной скоростью
υmax, не может преодолеть задерживающего поля и достигнуть анода, следовательно:
2
mυmax
= eU 0 .
2
(40.2)
Т.е. измерив задерживающееся напряжение U0 можно определить максимальное значение
скорости и кинетической энергии фотоэлектронов.
На основании этих опытов было установлено три закона внешнего фотоэффекта:
При фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых из катода
в единицу времени, пропорционально интенсивности света
I HAC = ne .
(40.3)
Максимальная начальная скорость υmax (максимальная начальная Wk max) фотоэлектронов не
зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой ν.
Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, т.е. минимальная частота
ν0 света, при которой еще возможен фотоэффект. Эта частота зависит от материала катода и состояния его поверхности.
Качественное объяснение фотоэффекта с волновой точки зрения на первый взгляд не должно было бы представлять трудностей.
Действительно, под действием поля световой волны в металле возникает вынужденные колебания электронов, амплитуда которых, например, при резонансе, может быть достаточной
для того, чтобы электроны покинули металл; тогда и наблюдается фотоэффект. Кинетическая
энергия вырываемого из металла электрона должна была бы зависеть от интенсивности падающего света, с увеличением интенсивности электрону передавалась бы большая энергия.
Однако этот вывод противоречит второму закону фотоэффекта.
По волновой теории, энергия, передаваемая электронами, пропорциональна интенсивности
света, то свет любой частоты, но достаточно большой интенсивности должен был бы вырывать
электроны из металла, иными словами, красной границы фотоэффекта не должно быть, что
противоречит третьему закону фотоэффекта. Кроме того, волновая теория не смогла объяснить
безынертность фотоэффекта, установленную опытами. Фотоэффект необъясним с точки зрения
волновой теории света.
§41. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
В 1905 году А.Эйнштейн показал, что явление фотоэффекта и его закономерности могут
быть разъяснены на основе предложенной им квантовой теории фотоэффекта. Согласно Эйн13
штейну, свет частотой ν не только испускается, как предполагал Планк, но и распространяется в
пространстве и поглощается веществом отдельными порциями (квантами), энергия которых
ε = hν
0
.
(41.1)
Таким образом, распространение света можно рассматривать не как непрерывный волновой
процесс, а как поток локализованных в пространстве дискретных световых квантов, движущихся со скоростью света в вакууме. Кванты электромагнитного излучения получили название –
фотоны.
По Эйнштейну атом излучает квант энергии, если электрон в атоме переходит из возбужденного состояния в стационарное, т.е. с верхнего уровня на нижний. При этом энергия кванта:
hν = Wm – Wn,
(41.2)
где m и n – энергетические уровни.
При поглощении атомом кванта света наблюдается обратный переход электрона с нижнего
уровня на верхний.
Итак, каждый квант поглощается только одним электроном. Поэтому число вырванных
электронов должно быть пропорционально интенсивности света (первый закон фотоэффекта).
Безынертность фотоэффекта объясняется тем, что передача энергии при столкновении фотона с
электроном происходит почти мгновенно.
Энергия падающего фотона расходуется на совершение работы выхода электрона из металла и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону кинетической энергии
2
mυmax
(41.3)
.
2
Уравнение (41.3) называется уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Оно выражает закон сохранения энергии при фотоэффекте.
Уравнение Эйнштейна позволяет объяснить второй и третий законы фотоэффекта.
Из него следует второй закон фотоэффекта:
hν = A +
2
mυmax
(41.4)
= eU 0 = hν − A .
2
Следовательно, ϑ max и U0 зависят только от частоты света и работы выхода электрона и не
зависят от его интенсивности (числа фотонов), так как ни работа ни частота от интенсивности
света не зависят (второй закон фотоэффекта).
Т.к. с уменьшением частоты света кинетическая энергия фотоэлектронов уменьшается (для
данного металла A = const), то при некоторой достаточно малой частоте ν= ν0 кинетическая
энергия фотоэлектронов станет равной нулю и фотоэффект прекратиться (третий закон фотоэффекта).
Согласно сказанному из уравнения (41.4) получим: WK = hν 0 − A , то
ν0 = A ,
(41.5)
h
это и есть красная граница фотоэффекта для данного металла. Она зависит лишь от работы выхода электрона, т.е. от химической природы вещества и состояния его поверхности
Выражение (41.3) можно записать, используя (41.2) и (41.4) в виде:
eU 0 = h(ν − ν 0 ) .
(41.6)
Уравнение Эйнштейна было подтверждено опытами Милликена в 1916 году. В 1926 году
российские физики П.И. Лукирский и С.С. Прилежаев для исследования фотоэффекта применили метод вакуумного сферического конденсатора. Анодом в их установке служили посеребренные стенки стеклянного сферического баллона, а катодом – шарик из исследуемого металла,
помещенный в центр сферы. В основном схема принципиально не отличалась от нами рассмот14
ренной. Такая форма электродов позволила увеличить наклон ВА- характеристик и тем самым
более точно определить задерживающее напряжение U0 (а следовательно и постоянную h). Значение h, полученное из данных опытов, согласуются со значением, найденым другими методами. Все это является доказательством правильности уравнения Эйнштейна, а вместе с тем его
квантовой теории фотоэффекта.
Нужно отметить, что при очень больших интенсивностях света, достижимых с помощью лазеров, наблюдается многофотонный или нелинейный фотоэффект. При многофотонном фотоэффекте электрон может одновременно получить энергию не одного, а N – фотонов (N = от 2
до7). В это случае уравнение закона сохранения энергии при внешнем фотоэффекте имеет вид:
2
mυmax
,
2
а красная граница N – фотонного фотоэффекта имеет вид:
Nhν = A +
(ν 0 ) N = A .
Nh
Домашнее задание: применение фотоэффекта.
(41.7)
(41.8)
Вопросы для повторения
1. Почему фотоэлектрические измерения весьма чувствительны к природе и состоянию поверхности фотокатода?
2. Как изменится фототок насыщения при заданной частоте фотонов падающего света с
уменьшением освещенности катода?
3. Приведите пример расчета постоянной Планка из опытов по фотоэффекту.
4. При замене одного металла другим длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта уменьшается. Что можно сказать о работе выхода этих металлов?
5. Объясните I и II законы фотоэффекта исходя из уравнения Эйнштейна.
6. Как пользуясь вольтамперной характеристикой для фотоэлемента с внешним фотоэффектом определить: 1. фототок насыщения; 2. максимальную скорость фотоэлектронов.
Глава 24. Теория атома водорода по Бору
§42. Модели атома Томсона и Резерфорда
Учение об атомах возникло еще в античные времена. Атомос - в переводе с греческого - неразложимый. Древнегреческий философ Демокрит считал атомы мельчайшими неделимыми
частицами вещества.
Опытами Ломоносова М.В. и Лавуазье А. была доказана реальность существования атомов.
В 1869 г. Д.И. Менделеев при разработке периодической системы элементов, поставил вопрос о
единой природе атомов. Затем, во второй половине 19 века экспериментально было доказано,
что электрон является составной частью любого атома.
Так в 1903 г. Дж. Дж. Томсон предпринял попытку создать первую модель атома.
По модели Томсона атом - это непрерывный положительно заряженный шар радиусом ~ r =
10-10м, внутри которого около своих положений равновесия колеблются электроны. Суммарный
положительный заряд шара равен равен суммарному отрицательному заряду электронов, и атом
в целом электрически нейтрален.
Однако эта модель оказалась несостоятельной.
15
В 1911 г. Резерфорд предложил ядерную модель атома, после объяснения экспериментальных результатов опыта Резерфорда и его сотрудников.
M
Р.П
θ
Рис. 42.1 Схема опыта Резерфорда
Опыт Резерфорда осуществляется так (рис. 42.1): узкий пучок α-частиц от радиоактивного
препарата - РП, падал на тонкую золотую фольгу Ф. После Ф α-частицы отклонялись от первоначального направления на угол θ. Рассеянные частицы ударялись об экран, покрытый сернистым цинком и вызываемые ими вспышки наблюдались в микроскоп - М, который можно было
вращать вокруг оси, проходящей через центр фольги, и устанавливать под любым углом. Весь
прибор помещался в откачанный кожух, чтобы устранить рассеяние α-частиц за счет столкновения с молекулами.
Оказалось, что некоторое количество α-частиц рассеивается на очень большие углы (α ≈
180º). Из анализа результатов опыта Резерфорд пришел к выводу:
1. внутри атома имеется чрезвычайно сильное электрическое поле;
2. оно концентрируется в очень малом объеме.
Ядерная модель Резерфорда: атом представляет систему зарядов, в центре которой расположено тяжелое положительно ядро с зарядом Ze, размером 10–14м, а вокруг ядра расположены Z
электронов. Почти вся масса атома сосредоточена в ядре. Но эта модель оказалась в противоречии с законами классической механики и электродинамики:
1. Заряженная частица, движущаяся ускоренно, должна непрерывно излучать, и процесс
излучения сопровождается потерей энергии, так что электрон должен упасть на ядро, а
он не падает.
2. Атомные спектры должны быть непрерывны, а они - линейчатые !!!
Выход из такого тупика был найден в 1913 Нильсом Бором.
Бор ввел допущение противоречащих классическим представлениям, эти допущения носят
название постулаты Бора:
Iый постулат: из бесконечного множества электронных орбит, возможных с точки зрения
классической механики, в действительности осуществляются только некоторые дискретные орбиты, удовлетворяющие определенным квантовым условиям. Электрон, находящийся на одной
из этих орбит, несмотря на то, что он движется с ускорением, не излучает электромагнитных
волн. Эти орбиты называются стационарными.
IIой постулат: излучение испускается или поглощается в виде светового кванта энергии ħω
при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое.
Световой квант равен:
ω = En − Em ,
(42.1)
где m и n – номера состояний
Условие для стационарных орбит:
Le = me vr = n ,
(n = 1, 2, 3, ...)
Число n --называется главным квантовым числом.
16
(42.2)
Существование дискретных энергетических уровней подтверждается опытами Франка и
Герца. Найдем формулу для расчета радиуса nой допустимой (разрешенной) орбиты. Ньютоновское уравнение для электрона, движущегося по орбите радиуса rn со скоростью V:
2
2
me V = 1 e 2 .
rn 4πε 0 rn
(42.3)
Исключив из (42.2) и (42.3) V, получим:
r0 = 4πε 0
me e
2
n2 ,
(42.4)
где (n = 1, 2, 3, …)
Если n = 1, то rmin = 5,29·10-11м.
Радиус первой орбиты водородного атома называется боровским радиусом.
r0 = 4πε 0
me e 2
.
(42.5)
Боровский радиус имеет значение порядка газокинетических размеров атома.
Внутренняя энергия атома слагается из кинетической энергии электрона (ядро неподвижно)
и энергии взаимодействия электрона с ядром:
E=
meV 2
1 e2
−
.
2
4πε 0 r
(42.6)
Из (42.3) получаем:
meV 2
1 e2
=
,
2
8πε 0 r
(42.7)
тогда:
E=
1 e2
1 e2
1 e2
1 e2
−
=−
=−
.
8πε 0 r 4πε 0 r
8πε 0 r
4πε 0 2r
(42.8)
Подставив (42.4) в (42.8), получим:
2
⎛ 1 ⎞ me e 4
e 2 me e 2
⎜⎜
⎟⎟
En = −
=
−
,
2 2
4πε 0 2 ⋅ 4πε 0 2 n 2
⎝ 4πε 0 ⎠ 2 n
1
(42.9)
(n = 1, 2, 3,...)
Теперь частоту спектральной линии, излучаемой при переходе водородного атома с уровня с
номером n на уровень m, можно определить так:
⎡⎛ 1 ⎞ 2 m e 4 ⎛ 1
Ε n − Em
1 ⎤
1
1
⎟⎟ e 2 ⋅ ⎜ 2 − 2 ⎞⎟⎥ = R ⎡⎢ 2 − 2 ⎤⎥ ,
= − ⎢⎜⎜
ω=
h
⎝ n m ⎠⎥⎦
⎣n m ⎦
⎢⎣⎝ 4πε 0 ⎠ 2
2
(42.10)
⎛ 1 ⎞ me e 4
⎟⎟
= 2.07 ⋅1016 c −1 .
R = ⎜⎜
(42.11)
2
4
πε
2
h
0 ⎠
⎝
Вычисленные по формуле (42.10) частоты спектральных линий водородного атома оказываются в превосходном согласии с экспериментальными данными. Недостатком теории Бора
является то, что она не была ни последовательно классической, ни последовательно квантовой
теорией.
17
§43. Спектральные серии атома водорода
Атом водорода является простейшим атомом. Его ядро имеет массу больше в 1840 раз массы электрона. Спектр атомного водорода состоит из отдельных спектральных линий. Эти линии
располагаются в определенном порядке. В 1885 г. Бальмер обнаружил, что длины волн серии
Бальмера могут быть описаны формулой:
λ = λ0
2
n2 − 4
,
(43.1)
(n = 3, 4, 5,...)
или
⎛1 1 ⎞
− 2 ⎟,
2
n ⎠
⎝r
ω = R⎜
(43.2)
(n = 3, 4, 5,...),
где R – постоянная Ридберга, серия Бальмера.
В спектре водорода существуют серии:
⎛1 1 ⎞
серия Лаймана: ω = R⎜ 2 − 2 ⎟ , (n = 2, 3, 4...)
⎝1 n ⎠
⎛1 1 ⎞
серия Пашена: ω = R⎜ 2 − 2 ⎟ , (n = 4, 5, 6...)
⎝3 n ⎠
⎛ 1 1 ⎞
серия Брэкета: ω = R⎜ 2 − 2 ⎟ , (n = 5, 6, 7...)
⎝4 n ⎠
⎛1 1 ⎞
серия Пфунда: ω = R⎜ 2 − 2 ⎟ , (n = 6, 7, 8...)
⎝5 n ⎠
⎛1 1 ⎞
серия Хемфри: ω = R⎜ 2 − 2 ⎟ , (n = 7, 8, 9...)
⎝6 n ⎠
или в общем виде для всех серий:
1 ⎞
⎛ 1
− 2 ⎟,
2
n ⎠
⎝m
где m=1 для серии Лаймана, 2- для серии Бальмера и т.д.
При возрастании n частота линии в каждой серии стремиться к предельному значению –
R/m2 .
Границей серии является значение:
R
ω гр =
.
(43.3)
m2
Серия Лаймана находится в ультрафиолетовой области, серия Бальмера – в видимой области
спектра, а серии Пашена, Брэккета, Пфунда, Хэмфри - в инфракрасной.
ω = R⎜
18
8
7
6
с. Пфунда
с.Брэкета
с. Пашена
с. Бальмера
5
4
3
2
с. Лаймана
Рис. 43.1
Вопросы для повторения
1. Почему ядерная модель атома оказалась несостоятельной?
2. Что такое граница серии?
3. Почему из всевозможных спектральных серий атома водорода первой была изучена серия Бальмера?
4. Какой смысл имеют числа m и n в обобщенной формуле Бальмера?
5. Как с помощью постулатов Бора объяснить линейчатый спектр атома?
Глава 25. Элементы квантовой механики
§44. Фотоны
Было экспериментально доказано существование особых световых частиц — квантов (фотонов). Энергия фотонов определяется:
ε = hν ,
(44.1)
где h ≈ 6,62 × 10-34 Дж • с — постоянная Планка
h / 2π = ħ ≈ 1.05 × 10-34 Дж • с
2π
ε =h ν = ω,
(44.2)
2π
W
ω 2π hν h
p= =
=
= .
(44.3)
c
c
c
λ
Из теории относительности следует, что соотношение (44.1), (44.2) и (44.3) справедливы для
частиц у которых масса покоя равна нулю.
Теория относительности:
1. Фотон – это частица, масса покоя которой равна нулю
2. Фотон является частицей, отличной от элементарных частиц.
Т.к. ω = 2 π c / λ, то для импульса фотона получаем:
2π
p=
= k,
(44.4)
λ
или
19
p=k .
(44.5)
§45. Корпускулярно-волновой дуализм. Его экспериментальные проявления. Гипотеза де Бройля
Гипотеза де Бройля. Любые частицы материи, наряду с корпускулярными, обладают также волновыми свойствами, т.е. с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны,
корпускулярные характеристики ( W , p ) , а с другой стороны связываются волновые характеристики (λ , ν ).
ε = hν
(45.1)
h .
p=
λ
Любой частице обладающей импульсом, сопоставим волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:
h
λде Бройля = .
(45.2)
p
Если частица не релятивистская, то импульс её будет определяться по формуле:
p = mV .
(45.3)
Если частица релятивистская, то:
p=
m0V
1− β 2
,
(45.4)
где β = V / с.
h
.
(45.5)
mV
Наличие волновых свойств у элементарных частиц – это универсальное явление являющееся
общим свойством материи. Волновые свойства должны быть присущи тогда и макроскопическим телам.
Рассмотрим шарик массой 1 г ( V = 1 м /с )
λ = h / p = h / mV ≈ 6,62 × 10-31 м/с
Волновые свойства макроскопического тела мы не можем наблюдать, т.к. λ этого макроскопического тела лежит за пределом области наблюдения.
Некоторые свойства волн де Бройля.
λнерелят. =
Vфаз =
ω
k
=
ω
p
=
ε
p
=
mc 2 c 2
=
.
mV V
(45.6)
Формула (45.6) определяет фазовую скорость частицы, свободно двигающейся со скоростью
V и обладающей массой m . с > V
Фазовая скорость может быть больше или меньше скорости света.
E = m02 c 4 + p 2 c 2 .
Vгруп =
dE
pc 2
pc 2 pc 2
p mV
=
=
=
= =
=V .
2
dp
E
m
m
mc
m02 c 4 + p 2 c 2
(45.7)
(45.8)
Групповая скорость волн де Бройля равна скорости распространения частицы. Волны де
Бройля испытывают дисперсию.
20
Vafp =
ω
k
= m02 c 4 + p 2 c 2
λ
λ
= m02 c 4 + p 2 c 2 .
2πh
(45.9)
§46. Микрочастицы. Соотношение неопределенностей Гейзенберга
Элементарные частицы (электроны, нейтроны, фотоны и др.), а также сложные частицы, образованные из сравнительно небольшого числа элементарных частиц (молекул, атомы, ядра
атомов) называют микрочастицами.
Всякий микрообъект представляет собой образование особого рода. Ни видеть, ни обонять
его нельзя.
При определенных условиях понятие траектории оказывается приближенно применимо к
движению микрочастиц.
Можно обнаружить наличие микрочастиц (например, в камере Вильсона, когда при движении микрочастицы в перегретом пара в виде капелек тумана обнаруживаются следы движения
микрочастиц или так называемые треки), или если рассмотрим движение электронов в электроннолучевой трубке.
Информацию о микрочастицах мы получаем, наблюдая за их взаимодействием с приборами,
представляющими собой макротела. Результаты выражаются через динамические характеристики: импульс, энергию.
Одновременно для частицы нельзя зафиксировать точные измерения координат и импульсов. Говорят для микрочастиц о неопределенностях в определении координат или импульсов.
⎧ΔxΔp x ≥ 2
⎪
(46.1)
⎨ΔyΔp y ≥ 2 .
⎪
⎩ΔzΔp z ≥ 2
Соотношение (46.1) называется соотношением неопределенностей Гейзенберга.
Произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть
по порядку величины меньше половины постоянной Планка.
ΔAΔB ≥ 2 .
(46.2)
Следовательно, для х и р , а также для W и t можно записать
ΔWΔt ≥ 2
.
ΔxΔp x ≥ 2
(46.3)
§47. Волновая функция
С 1900 по 1920 г - создание квантовой механики. Её создание связано с: 1) формулировкой
М. Планком квантовой гипотезы в 1900 г; 2) работами австрийского физика Э. Шредингера,
немецкого физика В. Гейзенберга и английского физика П. Дирака.
На этом этапе возникли новые принципиальные проблемы, например, проблема физической
природы волн де Бройля. Для выяснения этой проблемы сравним дифракцию световых волн и
микрочастиц. Согласно волновым представлениям о природе света, интенсивность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. А согласно фотонной
теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной картины. Т.е. число фотонов в данной точке дифракционной картины задается квадратом
21
амплитуды световой волны, в то время как для одного фотона квадрат амплитуды определяет
вероятность попадания фотона в ту или иную точку.
Дифракционная картина для микрочастиц также характеризуется неодинаковым распределением потоком микрочастиц по разным направлениям. Наличие max в дифракционной картине
с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. А интенсивность волн де Бройля оказывается больше там, где
имеется большее число частиц. Т.е. дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статической (вероятностной) закономерности.
Но волны де Бройля нельзя истолковывать как волны вероятности, т.к. тогда вероятность
обнаружения частиц в некоторых точках пространства может быть отрицательна, что не имеет
смысла.
Де Бройль связал со свободно движущейся частицей плоскую волну. Реальная плоская волна распространяющаяся в направлении оси X, описывается уравнением:
⎛
⎝
ξ = A cos(ωt − kx ) = A cos⎜ ωt −
2πx ⎞
⎟.
λ ⎠
(47.1)
Но
ω=
E
,
а
λ=
2πh
,
p
тогда
⎛ Et 2πp ⎞
−
⎟?
2π ⎠
⎝
ξ = A cos⎜
или в комплексной форме:
[( )( px − Et )],
Ψ = A exp i
(47.2)
(47.3)
уравнение волны де Бройля для свободной частицы, где ψ – волновая или пси-функция.
Правильную интерпретацию волновой функции дал в 1926 г. М. Борн. По Борну:
2
dP = Ψ dV = ΨΨ * dV .
(47.4)
Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность (dP) того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV.
По волновому закону меняется не сама вероятность, а амплитуда вероятности: Ψ(x,y,z,t).
∫ ΨΨ dV = 1 .
∗
V
(47.5)
(47.5) – условие нормировки.
Функции, удовлетворяющие условию (47.5), называют нормированными.
dP
– плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства.
dV
Стандартные условия, которым должна удовлетворять волновая функция: однозначность,
непрерывность, конечность (за исключением, быть может, особых точек). Кроме того, непрерывность и конечность первой производной.
Из физического смысла волновой функции следует, что квантовая механика имеет статистический характер.
22
Δx
центральный
Центральный
max
max
С помощью волновой функции можно предсказать с какой вероятностью частица может
быть обнаружена в различных точках пространства. В квантовой механике состояние микрочастиц описывается с помощью функции Ψ(x,y,z,t). Ψ является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах.
φ Δpx
p = mV
x
Рис. 47.1
Пусть частица свободно летит и встречает на своем пути щель ширины Δx, перпендикулярно распложенную к направлению движения частицы.
До прохождения щели импульс частицы Px, тогда Px = 0, а координата частицы совершенно
не определена. В момент прохождения щели вместо полной неопределенности координаты появляется неопределенность x, за счет утраты определенности значения Px. Т.к. вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла
2φ,(где φ – угол, соответствующий первому дифракционному min, т.е.:
Δp x = p sin ϕ ,
а
sin ϕ =
λ
Δx
(условие главного min: a sin ϕ = mλ , a = Δx ; тогда sin ϕ =
λ
Δx
)
m =1.
Следовательно:
Δp x = p
λ
Δx
,
а
λ=
2π
,
p
.
ΔxΔpx = pλ = 2π .
(47.6)
Соотношение (47.6) по порядку величины согласуется с (47.1)
Соотношение неопределенностей Гейзенберга обусловлено корпускулярно-волновой природой микрообъектов и указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрообъектам.
Для макрочастицы размером 1 мкм неопределенности значений x и Vx оказываются за пределами измерения этих величин, так что ее движение будет практически неотличимо от движения по траектории.
П р и м е р : Движение электрона в электронно-лучевой трубке.
Пусть след электронного пучка на экране имеет радиус r=10-2 мм, длина трубки l = 100мм;
тогда Δpx/px ≈ 10-4м.
23
При U = 104 В энергия электрона равна 104 эВ=1,65·10-15 Дж. Оценим импульс электрона:
p = 2meU = 5 ⋅10 −23 кг ⋅ м .
с
-23
Следовательно, Δ px = 5·10 ·10-4 = 5·10-27 кг·м/с, тогда:
Δx =
2 ≈ 10 −8 м = 10 −5 мм = 10 −3 r
Δp x
Т.е. движение электрона в электронно-лучевой трубке практически неотличимо от движения
по траектории.
§48. Уравнение Шредингера
В 1926 г. развивая идеи де Бройля о волновых свойствах вещества, Шредингер получил свое
уравнение. Оно позволяет найти волновые функции частиц, движущихся в различных силовых
полях.
∂Ψ
(48.1)
,
2m
∂t
где m - масса частицы, i - мнимая единица, U - потенциальная энергия, Δ - оператор Лапласа,
результат действия которого на некоторую функцию представляет собой сумму вторых частных
производных по координатам:
−
2
ΔΨ =
ΔΨ + UΨ = i
∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ
+
+ 2 .
∂x 2 ∂y 2
∂z
(48.2)
Из (48.1) следует, что вид волновой функции определяется функцией U, т.е. характером сил,
действующих на частицу.
Уравнение Шредингера является основным уравнением релятивистской механики. Оно не
может быть выведено из других соотношений. Шредингер установил свое соотношение, исходя
из оптико-механической аналогии.
Для одномерного случая придем к уравнению Шредингера. В этом случае оператор Лапласа
определяется выражением:
∂ 2Ψ
(48.3)
.
∂t 2
Пусть частица движется свободно. Согласно идее де Бройля ей нужно сопоставить плоскую
волну:
Ψ = A exp i ( px − Et ) .
(48.4)
ΔΨ =
[( )
]
Продифференцируем эту функцию дважды по x и один раз по t. Получим:
∂Ψ
= − i EA exp i ( px − Et ) = − i EΨ
∂t
или
∂Ψ
= − i EΨ ,
∂t
[( )
∂ 2Ψ
p2
=
−
∂x 2
Отсюда:
24
]
2
Ψ.
(48.5)
(48.6)
p2 = −
1
Ψ
2
∂ 2Ψ
∂x 2 .
(48.7)
1 ∂Ψ
E= i
Ψ ∂t
В нерелятивистской механике энергия Е и импульс р свободной частицы связаны соотношением:
p2
.
2m
Тогда подставим (48.6) и (48.7) в (48.5) и получим:
Ek =
(48.8)
∂ 2Ψ
∂Ψ
(48.9)
−
=i
.
2
2m ∂x
∂t
Это уравнение (48.9) совпадает c уравнением (48.1), если U=0.
Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то
энергия и импульс связаны соотношением:
2
p2
= E −U.
2m
(48.10)
Используя выражение (48.7), получим:
1
∂ 2 Ψ 1 ∂Ψ
= i
−U .
Ψ 2m ∂ x 2 Ψ ∂t
Умножив это соотношение на Ψ и перенеся член UΨ влево, придем к уравнению:
−
∂ 2Ψ
∂Ψ
+ UΨ = i
.
2
2m ∂x
∂t
Уравнение (48.12) совпадает с уравнением (48.1).
Для стационарного силового поля (постоянного во времени) Ψ не зависит от t:
(48.11)
2
−
Ψ ( x, y, z, t ) = ϕ ( x, y, z ) ⋅ e
−i
Et
,
(48.12)
(48.13)
где E – полная энергия частицы.
Тогда дифференциальное уравнение принимает вид:
2
⎡ E ⎤
⎡ E ⎤
⎡ E⎤
⎡ E ⎤
exp⎢− i t ⎥ Δϕ + Uϕ exp⎢− i t ⎥ = i ⎢− i ⎥ϕ exp⎢− i t ⎥ .
(48.14)
2m
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
Сократив на общий множитель exp[- i (E/ħ) t], придем к дифференциальному уравнению,
определяющему функцию φ:
−
2
(48.15)
Δϕ + Uϕ = Eϕ .
2m
Уравнение (48.15) называется – уравнение Шредингера для стационарных состояний.
Это уравнение часто записывают в виде (48.16):
2m
Δϕ + 2 (E − U ) = 0 .
(48.16)
−
В случае стационарного силового поля волновая функция имеет вид (48.13), соответственно:
⎡ E ⎤ ∗
⎡ E ⎤
t ⎥ϕ exp ⎢− i t ⎥ϕ ,
(48.17)
⎣
⎦
⎣
⎦
так что плотность вероятности равна ϕϕ ∗ и, следовательно, от времени не зависит. Состояния,
описанные функциями (48.13) называют стационарными.
25
ϕϕ ∗ = exp ⎢i
В квантовой механике состояние частиц задается волновой функцией. Если известна волновая функция в начальный момент времени и силовое поле, то, решив уравнение Шредингера,
найдем ψ в следующий момент времени.
Сущность причинности в квантовой механике: ψ0 - причина, ψ - ?
Состояние системы микрочастиц в квантовой механике однозначно вытекает из предшествующего состояния. В классической механике состояние частиц (материальных точек) определяется заданием положения и скорости частицы. Если известно состояние в начальный момент
времени (xo, Po, или xo и vo) и силовое поле, в котором находится частица, то, решив его, получим положение частицы и скорость в любой последующий момент времени. В этом состоит
сущность причинности в классической механике.
F = m a для квантовой механики классическое понятие состояния лишено смысла, т. к. одновременно не могут быть определены скорость и координата частицы. Но состояние частицы в
квантовой механике задается волновой функцией. Следовательно, если известно ψo (x, y, z, t) в
начальный момент времени и силовое поле, то из решения уравнения Шредингера получим значение волновой функции в последующий момент времени.
Квантовая механика не отменяет принцип причинности, она лишь придает ему другую форму, соответствующую истинной природе вещей.
§49. Прохождение частиц через потенциальный барьер
Различие в поведении классической и квантовой частиц отчетливо проявляется в тех случаях, когда на их пути встречается потенциальный барьер.
U
E2
U0
E1
x
0
Рис. 49.1
Пусть движется вдоль оси x. Uo - высота потенциального барьера
Потенциальная энергия частицы
при x>0 - Uo,
при x < 0 U = 0;
Рассмотрим поведение классической частицы (частицы, подчиняющейся законам классической механики).
Если полная энергия частицы E < Uo , частица отразится от барьера и полетит в противоположную сторону с той же энергией.
Если Е2 < Uo , частица пройдет над барьером, потеряв лишь часть своей скорости, и будет
двигаться в прежнем направлении.
Поведение квантовой частиц выглядит совершенно по-другому.
Если E < U , то квантовая частица проникает в барьер на некоторую глубину и лишь затем
поворачивает обратно.
Глубиной проникновения Xe будем называть расстояние, на котором вероятность обнаружения частицы уменьшается в e раз. (На границе барьера X = 0).
26
xe =
8m(U 0 − E )
.
(49.1)
Теоретический расчет дает формулу (49.1).
Знаменатель этого выражения будет тем меньше, чем меньше m и чем меньше (Uo - E), но
тем на большую глубину проникает частица в процессе отражения.
Пусть свободный электрон движется в металле: металл представляет для электрона потенциальную яму глубиной Uo. Электрон, двигаясь к поверхности металла, натыкается на ступенчатый потенциальный барьер высотой Uo. Для наиболее быстрых электронов: Uo - E = 1эв = 1.6
·10-15 Дж
Тогда
xe =
8 ⋅ 9,1 ⋅10
−31
⋅1,6 ⋅10
−19
≅
1,05 ⋅10 −39
10
− 48
≈ 10 −10 м;
Т.е. свободные электроны вылетают за пределы металла на расстояние ~ 10-10м, а затем возвращаются в металл.
Металл оказывается окруженным электронным облаком.
В случае же если E > U , то квантовая частица не обязательно проникает в область x < 0, и
движется в первоначальном направлении. Имеется вероятность того, что частица отразится от
барьера и полетит в обратном направлении
xe =
8m(U 0 − E )
,
(49.2)
вероятность отражения квантовой частицы.
Если 2U0 = E, то
2
2
⎛ 2U 0 − U 0 ⎞ ⎛ 2 − 1 ⎞
0,16
⎟ =⎜
⎟ =
R=⎜
≈ 0,03
⎜ 2U + U ⎟ ⎜ 2 + 1 ⎟
5
,
8
0
0 ⎠
⎝
⎠
⎝
Если E = 1,1U0, то
2
2
⎛ 1,1U 0 − 0,1U 0 ⎞ ⎛ 1,1 − 0,1 ⎞ 0,6
⎟ =⎜
⎟ =
R=⎜
≈ 0,3
⎜ 1,1U + 0,1U ⎟ ⎜ 1,1 + 0,1 ⎟
1
,
8
0
0 ⎠
⎝
⎠
⎝
Если частица, квантовая, проходит сквозь прямоугольный барьер конечной ширины, то коэффициент прозрачности D округляется формулой:
⎡ l
⎤
D ≅ exp ⎢−
8m(U 0 − E ) ⎥ .
(49.3)
⎣
⎦
Т.е. вероятность прохождения частицы сквозь потенциальный барьер зависит от ширины
барьера l и от (Uo - E). С увеличением ширины D резко уменьшается.
Для потенциального барьера произвольной формы
⎡ l
D ≅ exp ⎢−
⎣
b
∫
a
⎤
8m(U 0 − E ) dx ⎥ ,
⎦
где U = U(x).
27
(49.4)
U
E
a
b
x
Рис. 49.2
При прохождении потенциального барьера частица как бы проходит сквозь "туннель" в этом
барьере, и рассмотренное явление называют туннельным эффектом.
§50. Квантование энергии
Уравнение Шредингера позволяет найти волновую функцию данного состояния и определить вероятность нахождения частицы в различных точках данного пространства.
В уравнение Шредингера входит полная энергия частицы E
2m
ΔΨ + 2 (E − V )Ψ = 0 .
(50.1)
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (50.1) имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых значениях E, а лишь при некоторых избранных значениях. Эти избранные значения называются собственными значениями
энергии. Решения, соответствующие собственным значениям E, называются собственными
функциями задачи. Совокупность собственных значений называется спектром величины.
Если эта совокупность образует дискретную последовательность, спектр называется дискретным.
Если собственные значения образуют непрерывную последовательность, спектр называют
сплошным или непрерывным.
Мы будем рассматривать задачи, у которых спектр собственных значений является дискретным.
Для дискретного спектра собственные значения и собственные функции можно пронумеровать:
E1, E2,...,En
ψ1, ψ2,...,ψn.
Квантование энергии получается из основных положений квантовой механики. Нахождение
собственных значений и собственных функций весьма трудная математическая задача.
Движение частицы в одномерной "потенциальной яме" с бесконечно высокими стенками
Пусть микрочастица движется в одномерной прямоугольной яме с бесконечно высокими
стенками вдоль оси x.
(m, l, U).
Частица может двигаться только вдоль оси x.
Значения потенциальных энергий для такой ямы имеет вид:
28
⎧U = ∞, x < 0
⎪
U ( x) = ⎨U = 0,0 ≤ x ≤ l ,
⎪U = ∞, x > l
⎩
(50.2)
(50.2) граничные условия.
l - ширина ямы, а энергия отсчитывается от ее дна.
U →∞
U =0
x=0
U →∞
x=l
x
Рис. 50.1
Запишем уравнение Шредингера для стационарных состояний (одномерный случай):
∂ 2 Ψ + 2m (E − U )Ψ = 0 .
2
∂x 2
Частица за пределы ямы не проникает (U = 0).
Из граничных условий (50.2): ψ(0) = 0;ψ(l) = 0.
Для движения частицы внутри ямы имеем:
∂ 2Ψ
+ k 2Ψ = 0 ,
2
∂x
(50.3)
(50.4)
где
k2 =
2m
2
E.
(50.5)
Общее решение уравнения (50.4) имеет вид:
ψ(x) = Asin(kx+α)
(50.6)
из граничных условий вытекает:
ψ(0) = Asinα = 0; α = 0;
ψ(l) = 0, 0 = Asin(kl)
nπ
k=
.
(50.7)
l
Из (50.4) и (50.7) следует, что статическое уравнение Шредингера, описывающее движение
частицы в "потенциальной яме" удовлетворяется только при собственных значениях энергии En,
зависящих от целого числа n
n 2π 2 2
E=
,
2ml 2
Т.е. энергия принимает определенные значения, т.е. квантуется.
n = 1, 2, 3, ...
Emin =
π2
2
2ml 2
минимальная энергия частицы.
29
(50.8)
,
(50.9)
Квантованные значения энергии E - называют уровнями энергии, а число n - главным квантовым числом.
Микрочастица в "потенциальной яме" с бесконечно высокими стенками может находиться
только в определенном квантовом состоянии n
nπ
Ψn ( x) = A sin
x,
(50.10)
l
собственные значения волновой функции, а n = 1, 2, 3, ... - собственные функции.
Согласно условию нормировки
nπ
2
2 nπ
∫0 A sin l xdx = 1 ⇒ A ∫0 sin l xdx = 1
l
l
2
2
2
A=
;
l
,
2
nπ
sin
x.
l
l
Оценим расстояние между соседними энергетическими уровнями:
Ψn ( x) =
ΔEn = En +1 − En =
π2
2
π2
(50.12)
2
(50.13)
⋅n .
2ml 2
2ml 2
Для электронов в металле при l = 10-1м, ΔEn ≈ 10-35 кДж, энергетические уровни очень близко расположены друг к другу, можно считать спектр практически непрерывным.
Если же l = 10-10м, то ΔEn ≈ 10-17 кДж ≈ 10-2 кэВ - спектр линейный.
Рассмотрим зависимость от m:
1. m ≈ 10-26, а l ≈ 0,1, то ΔEn ≈ 10-35 кДж ≈ 10-20 кэВ
2. m ≈ 10-31, а l ≈ 10-10, то ΔEn ≈ 10-16 кДж ≈ 102 кэВ
1) Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона в атоме и может
принимать значения: n = 1, 2, 3, ...
2) Из уравнения Шредингера следует: момент импульса электрона квантуется:
Le =
(2n + 1) ≈
(50.11)
l (l + 1) ,
(50.14)
где l - орбитальное квантовое число, принимающее при заданном n значения: l = 0,1,2,..., (n-1),
т.е. всего n значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.
3) Вектор момента импульса Le может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при
которых его проекция на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные
значения, кратные ħ:
Le = ml ml = 0, ±1,± .l ,
(50.15)
Магнитное квантовое число ml определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве ( 2l+1) ориентаций.
Вопросы для повторения
1.
2.
3.
4.
Что определяет квадрат модуля волновой функции?
Почему квантовая физика является статистической теорией?
В чем отличие понимания принципа причинности в классической и квантовой механике?
Какова наименьшая энергия частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими
«стенками»?
30
5. Во сколько раз больше энергия частицы, находящейся в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» в состоянии с n=2 по сравнению с состоянием n=1?
6. Какими свойствами микрочастиц обусловлен туннельный эффект?
7. В чем отличие поведения классической и квантовой частиц с энергией Е<U при их падении на прямоугольный потенциальный барьер прямоугольной формы конечной ширины?
Глава 26. Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц
§51. Состав и характеристики элементарных частиц
1911 г. – Резерфорд установил экспериментально ядерную структуру атомов.
Ядро состоит из протонов и характеризуется зарядом Zя и массой mя. Заряд ядра равен:
Z я = + Ze ,
(51.1)
где Z – порядковый номер элемента в периодической системе Менделеева.
Масса ядра: mя = А·mp , где mp – масса протона, А – массовое число; Резерфорд показал, что
атомное ядро имеет размеры ~ 10-14 ~ 10-15 м (а линейные размеры атома ~ 10-10 м). Но эта модель противоречит экспериментальным данным.
В 1932 г. английским физиком Д. Чедвиком был открыт нейтрон, частица элементарная с зарядом en=0, а масса близка к массе протона.
Итак ядра атомов состоят из протонов и нейтронов. Частицы, входящие в состав атомного
ядра называются нуклонами – ядерными частицами.
Протонно-нейтронную модель ядра предложил в 1932 г. Дм. Дм. Иваненко, советский физик.
Протон. Элементарная частица обладает зарядом +е и массой mp = 1,6726·10-27 кг.
В физике элементарных частиц массу принято выражать в единицах энергии:
mp= c2·1,6726·10-27кг = 938,28 МэВ, а масса электрона: me= с2·9,11·10-31кг = 0,511 МэВ. Тогда:
mp = 1836me ,
(51.2)
Применяется также единица измерения называемая атомной единицей массы (а.е.м.):
1 а.е.м.= 931,50 МэВ
Протон обладает спином S=½ и собственным магнитным моментом:
μp = μe ,
(51.3)
где
μя =
e
= 5.05 ⋅10 −27 Дж/Тл ,
2mp
(51.4)
μя называется ядерным магнетоном – т.е. единицей измерения магнитного момента.
Нейтрон:
mn = 1.6749 ⋅10 −27 кг ≈ 1839me ,
(51.5)
mn = 939,57 МэВ ,
(51.6)
mn – mp = 2,5 me= 1.3 МэВ,
31
(51.7)
или
Спин нейтрона S=½ и, несмотря на отсутствие электрического заряда, нейтрон обладает
собственным магнитным моментом
μn = –1,91 μя,
(51.8)
В свободном состоянии нейтрон нестабилен. Он самопроизвольно распадается, превращаясь
в протон, испуская электрон и антинейтрино – ύ. Период полураспада нейтрона равен ~ 12 мин.
Схема распада:
n → р + е- + ύ.
(51.9)
Масса нейтрона больше массы протона на 2,5me. Следовательно масса нейтрона превышает
суммарную массу частиц, фигурирующих в правой части уравнения (9) на 1,5mе·с2, т.е. на 0,77
МэВ, эта энергия выделяется при распаде нейтрона в виде кинетической энергии образующихся
частиц.
Характеристики атомного ядра
Одной из важнейшей характеристик атома ядра является зарядовое число – Z. Оно равно количеству протонов, входящих в состав ядра и определяет его заряд. Заряд ядра - (+Ze).
Суммарное число протонов и нейтронов в ядре обозначается буквой А и называется массовым числом ядра. Число нейтронов в ядре равно:
N = A – Z.
(51.10)
A
A
Для обозначения ядер используется символ: Z X или ZX , где Х – химический символ данного элемента.
Ядра с одинаковыми Z, но разными А называются изотонами. У многих химических элементов имеется по нескольку стабильных изотонов.
Например:
водород: 11Н – протий (Z=1, N=0)
Д=12Н – дейтерий (Z=1, N=1)
T=13H – тритий (Z=1, N=2)
Протий и дейтерий стабильны, а тритий радиоактивен.
Изобарами называются ядра с одинаковыми массовыми числами: 18Ar40 и 20Ca40.
Изотонами называются ядра с одинаковыми числом нейтронов: 6С13 и 7N14.
Изомерами называются ядра с одинаковыми Zи А, отличающиеся периодом полурас-пада:
80
35Br – T(1/2)=18 мин и Т(1/2)=4,4 часа.
В природе встречаются ядра с атомными номерами Z от 1 до 92, исключая текнеций (Тс,
Z=43) и прометий (Pm, Z=61). Плутоний (Pu, Z=94) после получения его искусственным путем
был обнаружен в ничтожных количествах в природном минерале – смоляной обманке. Остальные трансурановые (т.е. заурановые) элементы (Z с 93 до 107) были получены искусственным
путем, посредством различных ядерных реакций.
В первом приближении ядро можно считать шаром с радиусом:
r = 1,3·10-15 А1/3 (м).
1φ=10-15м – ферми – единица длины в ядерной физике.
А – число нуклонов ядре. Спин нуклона – ½ ; спины ядер – I – не превышают нескольких
единиц.
§52. Дефект массы и энергия связи ядра
32
При объединении нуклонов в ядро выделяется энергия связи нуклонов друг с другом, поэтому mя < Zmp +Nmn. По соотношению Эйнштейна энергия покоя частицы:
E 0 = m0 c 2 ,
тогда:
(52.1)
[
]
Eсв = c 2 { Zmp + ( A − Z )mn − mя }.
(52.2)
Энергия связи (52.2) равна той работе, которую нужно совершить, чтоб разделить образующие его ядро нуклоны и удалить их на такие расстояния, на которых они практически не взаимодействуют.
При решении задач удобнее использовать для расчета энергии связи другое соотношение,
где вместо mя было бы ma.
[
Eсв = c 2 { Zmp + ( A − Z )
(52.3)
.
Т.к. в таблицах обычно даются массы атомов, то (52.3) удобнее.
Удельной энергией связи называют энергию связи, приходящуюся на один нуклон: - Есв/А;
дефектом массы называется величина:
Δ = c Zmp + ( A − Z )mn − mя .
(52.4)
[
]
Энергия связи валентных электронов в атомах ~ 10 эВ, а удельная энергия связи имеет порядок нескольких МэВ.
Eсв/А (МэВ)
9
8
4
0
40
80 120 160 200
А
Рис. 52.1 Зависимость Есв/А=f(A)
Из рис. 52.1 видно, что сильнее всего связаны нуклоны с массовыми числами ~ 50-60 (т.е. от
Cr до Zn), а затем она постепенно уменьшается. Таким образом, энергетически возможны два
процесса:
1. деление тяжелых ядер на несколько более простых;
2. слияние (синтез) легких ядер в одно ядро.
Оба процесса сопровождаются выделениями большого количества энергии. Наиболее устойчивыми оказываются так называемые магические ядра: 2Не4, 8О16, 20Са40, 20Са48, 82Pb208 (магические числа: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126).
Магическими называют те ядра, у которых число протонов или число нейтронов равно магическому числу.
§53. Ядерные силы
33
Огромная сила связи нуклонов в ядре (например, для 2Не4 – энергия связи ядра на одном нуклон – 7,1 МэВ).
Силы, специфические, действующие между нуклонами, называются ядерными. Ядерные силы намного превышают гравитационные, электрические, магнитные взаимодействия и не сводятся к ним. Ядерные силы относятся к классу сильных взаимодействий.
Особенности ядерных сил:
1. ядерные силы – короткодействующие, радиус их действия ~ 10-15м, это силы притяжения. Если r<10-15м – притяжение нуклонов сменяется отталкиванием;
2. зарядовая независимость ядерных сил, т.е. силы, действующие между двумя протонами,
протоном и нейтроном, двумя нейтронами, имеют одинаковую величину;
3. ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов нуклонов. Например, протон и
нейтрон, образуя ядро тяжелого водорода – дейтрон, удерживаются вместе, только если
их спины параллельны друг другу;
4. ядерные силы не являются центральными;
5. ядерные силы обладают свойством насыщения (т.е. каждый нуклон в ядре взаимодействует с ограниченным числом нуклонов).
До сих пор не разработана единая последовательная теория атомного ядра. Рассмотрим две
модели ядра: капельная и оболочечную.
1. Капельная модель ядра (1936г. Н. Бор и Я. Френкель). Капельная модель ядра трактует
ядро как каплю электрически заряженной, несжимаемой жидкости, подчиняющейся законам
квантовой механики. Она позволила получить полуэмпирическую формулу для энергии связи
ядра, объяснила механизм ядерных реакций, реакции деления ядер, но не могла объяснить повышенную устойчивость ядер, содержащих магические числа протонов и нейтронов.
2. Оболочечная модель ядра (1949-1950гг. – Геннерт-Майер – американский физик и немецкий физик Х. Ченсен). Оболочечная модель представляет распределение нуклонов в ядре по
дискретным энергетическим уровням (оболочкам), заполняемым нуклоном согласно принципу
Паули, и связывает устойчивость ядер с заполнением этих уровней. Оболочечная модель ядра
позволила объяснить спины и магнитные моменты ядер, различную устойчивость ядер и периодичность изменений их свойств. Затем, по мере накопления экспериментальных фактов возникли обобщенная модель ядер (синтез капельной и оболочечной моделей) и оптическая модель
ядра (объясняет взаимодействие ядер с налетающими частицами) и другие модели.
§54. Радиоактивное излучение. Закон радиоактивного распада
В 1896г. французский физик А. Беккерель при люминесценции солей урана случайно обнаружил самопроизвольное испускание ими излучения неизвестной природы, которое ионизировало воздух, проникало сквозь тонкие металлические пластинки, вызывало люминесценцию
ряда веществ.
Обнаруженное излучение было названо радиоактивным, а само излучение – радиоактивностью (носителями беккерелевского излучения были: полоний - 84Ро210 и радий - 88Ra226).
Под радиоактивностью понимают способность некоторых ядер самопроизвольно (спонтанно) превращаться в другие ядра с испусканием различных видов излучений и элементарных
частиц.
Радиоактивность подразделяют на естественную – существует в природе – и искусственную
– наблюдается у изотопов, полученных посредством ядерных реакций. Радиоактивное излучение бывает трех типов: α-, β-, γ-излучение.
34
α-излучение отклоняется электрическими и магнитными полями, обладает высокой ионизирующей способностью (поглощается слоем алюминия толщиной – 0,05 мм). α- излучение – поток ядер гелия, заряд α-частицы равен: qα=+2e, mα=2mp+2mn.
β излучение отклоняется электрическими и магнитным полями, его ионизирующая способность на два порядка меньше, чем у α- излучения, а проникающая способность больше (поглощается слоем алюминия ~ 2мм). β- излучение – это поток быстрых электронов.
γ излучение. Оно не отклоняется электрическими и магнитным полями, обладает относительно небольшой (слабой) ионизирующей способностью и очень большой проницающей способностью (например, проходит через слой свинца ~ 5см). γ- излучение – коротковолновое
электромагнитное излучение с λ<10-10м, т.е. является потоком γ- фотонов.
Под радиоактивным распадом понимают естественное радиоактивное превращение ядер,
происходящее самопроизвольно.
Атомное ядро, испытывающее распад, называется материнским, возникающее ядро – дочерним.
Т.к. радиоактивный распад подчиняется законам статистики, то число ядер dN распавшихся
в среднем за интервал времени dt равно:
dN = −λNdt ,
(54.1)
где λ – постоянная радиоактивного распада, знак « – » показывает, что число ядер в процессе
распада уменьшается.
Разделим переменные и проинтегрируем:
dN/N = –λdt => ln(N/N0) = –λt ;
N = N 0 e − λt ,
(54.2)
где N0 – начальное число нераспавшихся ядер (t0=0), N – число нераспавшихся ядер в момент
времени t. Формула (54.2) описывает закон радиоактивного распада.
N расп = N − N 0 = N 0 (1 − e − λt ) .
(54.3)
Интенсивность процесса распада характеризуется временем полураспада Т½ – время, за которое исходное число радиоактивных ядер в среднем уменьшится вдвое, и среднем временем
жизни радиоактивного ядра – τ.
∞
∞
1
1
λNtdt = λ ∫ te −λе dt = .
τ=
∫
λ
N0 0
0
(54.4)
Среднее время жизни τ радиоактивного ядра обратно пропорционально постоянной радиоактивного распада λ.
Активностью А- нуклида называется число распадов, происходящих в образце за 1с.
dN
A=
=λN .
(54.5)
dt
В СИ [A]=1 Бк – беккерель. 1 Бк – активность нуклида, при котором за 1с происходит 1 акт
распада.
1 Ки (один Кюри) = 3,7·1010 Бк = 3,7·1010 распад/с.
Найдем период полураспада Т½ :
N0
= N 0 e −λT1 / 2 ,
(54.6)
2
ln 2 0.693
.
T1 / 2 =
=
(54.7)
λ
λ
35
§55. Альфа- и бета распады
Альфа- распад. α-распад протекает по схеме:
A
A-4
+ 2He4
ZX →Y
или
A
A–4
– 2α4.
(55.1)
ZX → Z-2Y
Скорости, с которыми α- частицы вылетают из распавшегося ядра, очень велики (Ư~ 107м/с).
На образование одной пары ионов в воздухе тратится ~ 7 эВ. Т.е. пролетая в воздухе α-частица
образует ~ 105 пар ионов. В воздухе, при нормальном давлении пробег α- частицы ~ несколько
сантиметров, в твердом веществе ~ 0,01мм (α- частицы полностью задерживаются обычным
листом бумаги). Для α- частицы имеется отличная от нуля вероятность прохождения через
барьер.
Бета- распад. Существует три разновидности бета- распада: β–- распад, β+- распад, электронный захват.
β–- распад (или электронный захват) происходит по схеме:
A
A
0
(55.2)
ZX → Z+1Y + -1e + ν,
т.е. связано с выбросом е .
α-распад и β-распад происходят в соответствии с правилами смещения, которые являются
следствием двух законов, выполняющихся при радиоактивном распаде:
1. закон сохранения электрического заряда;
2. закон сохранения массового числа.
Закон сохранения электрического заряда: сумма зарядов возникающих ядер и частиц
равна заряду исходного ядра.
Закон сохранения массового числа: сумма массовых чисел возникающих ядер и частиц
равна массовому числу исходного ядра.
Каково же происхождение электронов при β–- распаде? Было сделано предположение, что
электрон (β–-электрон) рождается в результате процессов, происходящих внутри ядра. Т.е. один
из нейтронов ядра при β–- распаде распадается по схеме:
1
1
0
0
(55.3)
0n → 1p +-1e +0 ύ e ,
0
где 0ύ e – антинейтрино
β+- распад или позитронный распад происходит по схеме:
A
A
0
(55.4)
ZX → Z-1Y ++1e + υ,
где υ – нейтрино.
Нейтрино или маленький нейтрон, масса его равна нулю или близка к нулю. Спин нейтрино
и антинейтрино – ½. Экспериментальное существование нейтрино было получено в 1956 г, а
ещё в 1932 г. Паули высказал предположение, что при β– - распаде вместе с электроном испускается ещё одна частица, которая уносит с собой энергию ( Емах-Е). Т.к. эта частица никак себя
не обнаруживает, следовательно, она нейтральна и обладает очень малой массой – нейтрино.
Процесс β+- распада протекает так, как если бы один из протонов исходного ядра превратился в нейтрон, испустив позитрон и нейтрино:
p→ n+e++υ.
(55.5)
Такой процесс невозможен для свободного протона, но в ядре протон может заимствовать
требуемую энергию от других нуклонов, входящих в состав ядра.
§56. Ядерные реакции
36
Процесс взаимодействия атомного ядра с элементарной частицей или другим ядром, приводящий к преобразованию ядер, называется ядерной реакцией.
Наиболее распространенный вид ядерной реакции: взаимодействие легкой частицы a с
ядром Х, в результате которого образуется ядро Y и легкая частица b:
X+a→Y+b.
(56.1)
В качестве легких частиц a и b могут фигурировать нейтрон- n, протон- р, дейтрон- d, α- частица- α и γ- фотон- γ.
Ядерные реакции могут сопровождаться как выделением, так и поглощением энергии.
Если сумма масс образующихся ядер превосходит сумму масс исходных ядер – реакция идет
с поглощением энергии и энергия реакции будет отрицательной.
Ядерные реакции могут протекать в два этапа, если они вызываются не очень быстрыми
частицами:
X+a→П→Y+b,
(56.2)
где П – промежуточное или составное ядро.
Если испущенная частица тождественна с захваченной (а≡b), то (2) процесс называют рассеянием.
Если Еа=Eb – рассеяние упругое, если Еа≠Eb – рассеяние неупругое.
Ядерная реакция имеет место, если a≠b.
Впервые реакция была осуществлена Резерфордом в 1919 г., облучался азот α- частицами, ее
уравнение:
14
4
17
1
(56.3)
7N + 2α → 8O + 1p .
Первая ядерная реакция, вызванная искусственно ускоренными частицами, была осуществлена английским физиком Дж. Дуглас Кокрофтом в 1932 г., ее схема:
7
4
(56.4)
3Li +p→ 2He +α.
Первый уран-графитовый реактор был пущен в 1942 г. в Чикагском университете под руководством итальянского физика Энрико Ферми.
В СССР реактор такого же типа пущен в 1946 г. в Москве под руководством И. В. Курчатова.
В 1938 г. Отто Ган и Фриц Штрассман – немецкие физики – обнаружили, что при облучении
урана нейтронами образуются элементы из середины Периодической системы – лантан и барий
– т.е. возникают ядерные реакции нового типа – реакции деления ядра. Эта реакция сопровождается испусканием двух-трех вторичных нейтронов, называемых нейтронами деления.
Вопросы для повторения
1. Какие частицы образуют ядро дейтерия? Сколько их?
2. Какие частицы называются нуклонами?
3. Как называется общее число нуклонов в атомном ядре?
4. Какие ядра называются изотопами?
5. Какие ядра называются изобарами?
6. Какие ядра называются изомерами?
7. Какие ядра называются изотонами?
8. Чем отличаются изотопы и изобары?
9. Почему прочность ядер уменьшается при переходе к тяжелым элементам?
10. По какому закону изменяется со временем число нераспавшихся ядер в момент времени
t?
37
11. Как объясняется α-распад на основе представлений квантовой теории?
12. Под действием каких частиц (α-частиц, нейтронов) ядерные реакции более эффективны?
Глава 27. Современная Физическая Картина Мира
§57.Атомно-молекулярное строение вещества. Вещество и поле
Под термином «физическая картина мира» понимают представление о природе, исходящем
из общих физических принципов. В основе античной физической картины мира лежала атомистика (учение о прерывистом строении материи).
Идея (греческое слово idea означает «понятие, представление») дискретности строения материи зародилось в 6-5 вв. до н. э. в Индии (философ Канада) и в 5-4 вв. до н. э. в Греции (Демокрит из Абдер). Демокрит признавал два первоначала: атомы и пустоту. Атомы вечны, неделимы (греческое слово atomos означает «неразделимый»), невидимы, не имеют протяженности,
находятся в непрерывном движении; их сочетания образуют все протяженные предметы. Различие в числе, массе, скорости движения и взаимном расположении считалось причиной всего
многообразия мира.
Однако глубокое развитие и обоснование эта идея получила лишь в 19 в. И стала научно
обоснованным фактом в результате экспериментального доказательства молекул (как правило,
атомы не существуют в свободном виде и образуют молекулы).
В начале 20 в. физики поставили вопрос: имеет ли атом внутреннюю структуру и как рапределяется материя внутри атома? В результате опытов под руководством английского физика Э.
Резерфорда появилась ядерная модель атома. Согласно ей атомы практически пусты. Почти вся
масса атома (более 99%) сосредоточена в ядре. Атомное ядро окружено облаком электронов.
Ядро состоит из нуклонов. Дискретность материи оказалась многоступенчатой
Современная атомистика считает материю не только дискретной, но и непрерывной. Вещество и поле – два фундаментальных понятия, обозначающих два вида материи на макроскопическом уровне. Вещество – совокупность дискретных образований, обладающих массой покоя.
Поле – вид материи, осуществляющий взаимодействие между частицами вещества, характеризующийся непрерывностью и имеющий нулевую массу покоя.
МОЛЕКУЛЫ
АТОМЫ
ЯДРА
АДРОНЫ
ЭЛЕКТРОНЫ
ФОТОН
ЛЕПТОНЫ
КВАРКИ
Рис. 57.1. Многоступенчатость дискретной материи
38
Но на микроскопическом уровне уже неправомерно различать вещество и поле по наличию
или отсутствию массы покоя, т. к. нуклонные, мезонные и другие поля обладают массой покоя.
Поля и частицы выступают как две неразрывные стороны микромира, как выражение единства
корпускулярных (дискретных) и волновых (непрерывных) свойств микрообъектов.
§58. Кварки
Адроны (рис. 57.1, греческое слово hadros означает «сильный») – класс элементарных частиц, участвующих в так называемом сильном взаимодействии. Лептоны (греческое слово leptos
означает «легкий») – класс элементарных частиц, не обладающих сильным взаимодействием.
Кварки – это гипотетические частицы, являющиеся составными частями адронов. В таблице
1 приведены кварки шести типов («ароматов»). Каждый из кварков существует в трех физически неразличимых «цветовых» разновидностях: «красный», «желтый», «синий». Характеристика кварка «аромат» включает в себя всю совокупность квантовых чисел – электрический заряд,
«странность», «очарование» и т. д. за исключением «цвета».
Кварки ( В = 1/3; L sz= ħ/2)
Таблица 58.1
Квантовые числа
Электр.
Шарм
Странность
Истина
Красота
Масса
Название
заряд, Q
C
S
t
В
ГэВ
U (up-«вверх»)
+2/3
0
0
0
0
0,3
D(down-«вниз»)
–1/3
0
0
0
0
0,3
С (charm+2/3
1
0
0
0
1,5
«очарованный»)
S(strange-«странный»)
–1/3
0
–1
0
0
0.5
T (truth-«истинный»)
+2/3
0
0
+1
0
1.8
B (beauty-«красивый»)
–1/3
0
0
0
1
4.9
«Цвет» - квантовое число, характеризующее кварки и глюоны (английское слово glue означает «клей»). Глюоны – это гипотетические электрически нейтральные частицы с полуцелым
спином и нулевой массой покоя, являющиеся переносчиком взаимодействия между кварками.
Кварки непрерывно испускают и поглощают глюоны, создавая глюонное поле, которое действунт на другие кварки. Глюоны являются «окрашенными» частицами. Поэтому при испускании глюонов «цвет» кварков изменяется, но их «аромат» охраняется. Например, кварк u не может превратиться в кварк d. Глюоны взаимодействуют и друг с другом, обмениваясь «цветом».
Теория взаимодействия «цветных» кварков и глюонов называется квантовой хронодинамикой. Согласно этой теории сила взаимодействия между кварками не убывает с увеличением
расстояния между ними. Поэтому кварки могут существовать только внутри адронов и в принципе не могут наблюдаться в свободном состоянии. Невозможность вырывания кварка из адрона называется удержанием кварка или конфайнментом (английское слово confinement означает
«тюремное заключние»).
Другой отличительной особенностью кварков является их асимпотическая свобода: при малых расстояниях кварки ведут себя как свободные частицы.
В экспериментах по рассеянию электронов на нуклонах было обнаружено существование в
адронах точечных образований, названных партонами (латинское слово partus означает
«часть»). Оценки электрических зарядов партонов оказались очень близкими к дробным элек39
трическим зарядам кварков. В модели партонов считается, что адроны участвуют в реакциях
лишь некоторой своей частью – партоном. Существует гипотеза, отождествляющая партоны с
другими кварками.
§59. Фундаментальные взаимодействия. Иерархия взаимодействий. О единых теориях материи
Взаимодействие в физике – взаимодействие тел или частиц друг на друга, приводящее к изменению их состояний. Несмотря на разнообразие этих взаимодействий в природе, по современным данным имеется лишь четыре типа фундаментальных взаимодействий: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. Классификация фундаментальных взаимодействий
может быть приведена по разным признакам (таблица 59.1).
Взаимодействие
Сильное
Слабое
Таблица 59.1
Электромагнитное Гравитационное
Сфера действия
ядро
частицы
атом
Макромир
Интенсивность
1
10-10
10-2
10-38
Радиус действия
10-15 м
10-18м
∞
∞
Переносчики
взаимодействия
глюоны
Бозоны
Фотоны
гравитоны
В обычном стабильном веществе роль сильного взаимодействия сводится к созданию прочной связи между нуклонами в ядре. При столкновении ядер или нуклонов с достаточно большой энергией (1 МэВ) сильное взаимодействие приводит к реакциям деления и синтеза ядер.
Начиная с энергий сталкивающихся нуклонов от 0,1 ГэВ сильное взаимодействие приводит к
рождению пионов, а при больших энергиях – к рождению странных, «очарованных», «красивых» частиц и множества мезонных и барионных резонансов.
Электромагнитному взаимодействию (1860 г.) подвержены все электрически заряженные
частицы, фотон и нейтринные частицы, обладающие магнитным моментом. Радиус действия
электромагнитного взаимодействия не ограничен. Поэтому на атомных расстояниях (10-10 м)
электромагнитные силы на много порядков превышают ядерные, радиус действия которых 10-15
м. Электромагнитное взаимодействие, характеризуется временем 10-15 с. Переносчиком взаимодействия является фотон.
Хотя электромагнитное взаимодействие играет определенную роль в ядерных силах, главной сферой его действия являются атомы и молекулы, структура которых определяется типом
взаимодействия.
К электромагнитному взаимодействию сводится большинство сил, наблюдаемых в макроскопических явлениях: силы упругости, трения, поверхностного натяжения в жидкостях и т.д.
Этим взаимодействием объясняются свойствах различных агрегатных состояний вещества, химические превращения, электрические, магнитные, оптические явления. Проявление электромагнитного взаимодействия широко используется в электротехнике, радиотехнике, оптике,
электронике. Короче, электромагнитное взаимодействие обуславливает подавляющее большинство явлений окружающего нас мира.
40
Слабому взаимодействию, характеризуемому временем 10-8 с, подвержены все элементарные частицы, за исключением фотона. Но должны быть особые условия, чтобы слабое взаимодействие проявилось на фоне сильного и электромагнитного. Оно ответственно за бета-распад
ядер, взаимодействие нейтрино с веществом, распад нестабильных частиц. Например, свободный нейтрон распадается по схеме
n → р + е- + ύ.
Слабое взаимодействие осуществляется путем обмена т.н. промежуточными бозонами W и
0
Z.
Гравитационному взаимодействию подвержена вся материя в целом. Проявляется оно, главным образом, между макроскопическими телами. В микромире это взаимодействие непосредственно не проявляется из-за малой массы частиц. Не исключено, что ему предназначена какаято особая, существенная, но пока еще не известная роль в мире элементарных частиц2 на расстояниях 10-35 м.
Философы утверждают, что материальный мир един. Это относится и к миру взаимодействий.
В 60-е годы двадцатого века (1967 г.) создана теория, объединяющая слабое и электромагнитное взаимодействия в единое электрослабое. Созданы схемы «великого объединения», исходящие из представлений о единой природе сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий. (Для проверки таких схем требуется энергия частиц 106 – 108 ГэВ. Сейчас достигнуты
энергии 102 ГэВ). В схемах «великого объединения» (1980 г.) на единой основе рассматриваются лептоны, кварки, промежуточные векторные бозоны, фотоны и глюоны. При этом допускается превращение кварков в лептоны и обратно.
Существуют модели «суперобъединения», в которых все четыре типа фундаментальных
взаимодействий объединяются в одно, т.е. рассматриваются как имеющие единую природу.
§60. Современная физическая картина мира как философская категория
Целью любой науки является истина, т.е. знание, которое соответствует объективному миру.
Одной из форм отражения мира на ступени познания, формой обобщения предметов и явлений
служит понятие. Форма осознания в понятиях способов отношения человека к объективному
миру называется категорией (греческое слово kategoria означает «высказывание, свидетельство»).
В течении всего развития физики она была тесно связана с философией (греческие слова
phileo и Sophia означают «люблю» и «мудрость») – наукой о всеобщих закономерностях бытия
(т. е. природы и общества) и мышления человека. В древности физические сведения и гипотезы
были составной частью различных философских систем. Сейчас эта связь проявляется в том,
что в основе физики лежат фундаментальные физические теории, опирающиеся на философские гипотезы и постулаты.
В физике широко используются такие философские категории как материя и движение, время и пространство, количество и качество, необходимость и случайность и другие. Философской категорией является и физическая картина мира. Наиболее общие представления о природе, сложившиеся под влиянием философских идей, называются парадигмой естествознания(
греческое слово парадигма- означает «пример, образец»).
За последние 300 лет развитие физики осуществлялось в рамках парадигмы Ньютона (парадигмы «движения»). Физика, основанная на этой парадигме, называется «физикой существующего». Центральную роль в анализе физики играют философская категория «современная физическая картина мира», как наиболее общая теоретическая модель физических процессов.
Установление современной физической картины мира сводится к нахождению «клеточки»
современной физики, позволяющей с единых методологических (методология-учение о методах
41
научного исследования) позиций трактовать классическую и квантовую, нерелятивистскую, релятивистскую, статистическую динамическую физики. В рамках современной, так называемой
квантово-физической, картины мира такой клеточкой является физическая величина, измеренная на опыте.
Физический эксперимент никогда не сводится к однократному измерению. Вследствие необходимости многократного повторения измерения мы всегда имеем дело лишь со средним
значением физической величины, в котором на микроуровне в диалектическом единстве слиты
составляющие её элементы: физическая величина сама по себе, или наблюдаемая, и состояние
физической системы, определяемое условиями эксперимента.
Физическая величина, измеряемая на опыте
наблюдаемая
Среднее значение
состояние
Наблюдаемая (физическая величина сама по себе) характеризуется набором всевозможных
экспериментальных значений физической величины, а состояние системы- распределением вероятностей этих значений.
Итак, в качестве современной физической картины мира можно рассматривать совокупность
понятий, концепций (концепция- система взглядов на те или иные явления; латинское словоconceptio означает «восприятие») и структур, образующих триаду (единство трёх понятий):
«физика наблюдаемых – физика средних значений - физика состояний»). Ей соответствует следующая триада «физики существующего»: «релятивистская классическая физика – статистическая физика – квантовая физика».
В релятивистской классической физике обычно имеют дело с такими экспериментами, в которых та или иная наблюдаемая величина при повторных измерениях даёт одно и то же значение, т.е. среднее значение физической величины по существу не зависит от состояния физической системы.
В статистической физике центральным является понятие среднего значения (по ансамблю)
физической величины, по существу объединяющее в себе два принципиально различных типа
макроскопических параметров. Макропараметры первого типа являются аналогами соответствующих макроскопических параметров, встречающихся в динамике (внутренняя энергия, число
частиц и т.п.). Второй тип параметров – это физические величины, не имеющие аналога в динамике (температура, энтропия и др.). В квантовой физике возможны такие условия эксперимента, в которых данная наблюдаемая величина может с разной вероятностью принимать любые
значения.
42