;docx

Задания для самостоятельной работы
Эти задания предназначены для выполнения к классе.
1. 1. На рисунке АВ=АС и АД=АЕ,  ВАД=  САЕ.
2. а) Назовите треугольник, который равен треугольнику
ВАД;
3. б) есть ли другие равные треугольники;
4. в) если имеются другие равные треугольники, то назовите
все пары равных треугольника, вершины которых
находятся в точках А, В, С, Д, Е.
5. г) докажите равенство какой-то пары треугольников и
получите следствия о равенстве углов и отрезков.
2. Изучите рисунок к задаче и, выполнив
наблюдение, выскажите предположение о равенстве
треугольников.
Запишите условие и требование задачи.
Докажите равенство треугольников.
Получите следствия о равенстве углов и отрезков.
3. Изучите рисунок к задаче и, выполнив
наблюдение, выскажите предположение о
равенстве треугольников.
Запишите условие и требование задачи.
Докажите равенство треугольников.
Получите следствия о равенстве углов, отрезков и
параллельности прямых.
4. Изучите рисунок к задаче. Дано АК=ДС и
имеются равные углы.
А) Докажите, что треугольники АВС и ДЕК равны.
Б) Получите следствия из равенства треугольников.
В) Можно ли доказать равенство треугольников АКЕ
и ВСД.
Г) Пересекаются ли прямые АЕ и ВД?
5. Школьник утверждает, что треугольники АДЕ и
ВСЕ равны.
7. Докажите это утверждение.
8. Получите следствия из равенства треугольников.
9. Прямые АД и ВС пересекаются в точке К. Назовите
равнобедренные треугольники, у которых точка К
является вершиной.
10.Можно ли указать взаимное положение прямых КЕ и
6.
ДС.
6. Изучите рисунок и предложите задание
А) на доказательство равенства треугольников;
Б) установление вида треугольника;
В) взаимного положения прямых, определяемых
точками K, H, E, P, F.
7. На рисунке : AD = AE,  CAD =  BАЕ. Доказать разными методами, что BD =
СЕ.
6. На рисунке :  1 =  2,  5 =  6. Получить следствия о равенстве углов и
отрезков. Обоснование утверждений выполните разными методами. Сформулируйте и
исследуйте справедливость обратных утверждений.
7. Нарисуйте  ABC. Продолжите его стороны: АВ за вершину В, ВС за вершину
С, СА за вершину А. Соедините последовательно отрезками полученные точки.
Сколько отрезков на рисунке? Предложите другим вопросы, связанные с полученным
рисунком.
8. Это упражнение выполняйте, не пользуясь рисунком. Для треугольника MNP
запомните таблицу:
Предложите аналогичное задание.
9. На прямой взяты три точки, а вне нее точка А. Точку А соединили отрезками с
точками на прямой. Сколько треугольников получили на рисунке? Сколько получится
треугольников, если на прямой взять 4, 5, к точек, где к - некоторое натуральное число
(к > 1)?
11. Нарисуйте треугольник. Можно ли нарисовать новый треугольник так, чтобы
в пересечении с первым получилось: а) точка; б) отрезок; в) треугольник; г)
четырехугольник; д) пятиугольник?
Какие фигуры могут получиться при пересечении двух треугольников?
12. Объясните, почему треугольники на рисунке равны и укажите в них
равные углы в каждом случае.
13. Используйте рисунок . Какие углы в этих четырехугольниках равны?
14. Известно, что треугольники АМВ и CMD равны (рис. 23). Какие следствия
можно обосновать. Сформулируйте и проверьте справедливость обратных утверждений.
15. Известно, что С - середина отрезков АЕ и BD (рис. 24). Какие следствия из
условий можно получить?
Сформулируйте и докажите обратные утверждения.
16. На рисунке 25 найдите равные треугольники. Выполните доказательство
равенства каждой пары треугольников.
Укажите для каждой пары треугольников пары равных сторон и углов.
Предложите аналогичное задание, в котором фигурирует: а) треугольник; б)
четырехугольник.
17. Известно (Рис. 26), что АВ = ВС = СА и AM = BN = СК.
Верно ли, что треугольник MNK является равносторонним? Выполните обоснование. Сформулируйте и проверьте справедливость обратного утверждения.
18. В окружности с центром О проведены диаметры АС и BD, а также хорды АВ,
ВС, CD, AD. Определить: а). Сколько при этом может образоваться равнобедренных
треугольников? б). При каком условии среди образованных треугольников окажутся и
равносторонние треугольники?
19. Доказать, что в равностороннем треугольнике все медианы равны между
собой.
20. Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются
вершинами другого равнобедренного треугольника.
21. Из 16 равных равносторонних треугольников составлен равносторонний
треугольник ABC (Рис. 27).
Каждую из 15 вершин покрасили в белый или черный цвет. Доказать, что
найдется равносторонний треугольник с вершинами одного цвета.
22. В четырехугольнике ABCD известно: АВ = DC, AD = ВС. Диагонали АС и BD
пересекаются в точке О. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.
Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
23. Удастся ли доказать равенство отрезков из предыдущего упражнения, если в
четырехугольнике ABCD будет известно:
а) AB||DC, AB=DC.
б) АВ = DC, AD = ВС.
24. В четырехугольник ABCD противоположные стороны АВ, CD и AD, ВС
попарно параллельны. Середины сторон ВС и AD соединены с вершинами D и В (рис.
28).
Доказать, что эти отрезки делят отрезок АС на три равные части. При этом
предлагается найти три различных доказательства. (Могут оказать помощь дополнительные рисунки, приведенные на рис 28).
25. Четырехугольник ABCD называется квадратом, если все его стороны равны, а
углы прямые. Укажите и обоснуйте свойства квадрата, связанные с какими-то
отрезками и углами.
26. Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом В (Рис. 29).
На стороне АС, вне треугольника, построен квадрат ACDE. AD и СЕ
пересекаются в точке О. На вопрос «В каком случае ВО делит угол ABC пополам?»
два ученика ответили следующим образом:
1). Только в том случае, если АВ = ВС.
2). Во всех случаях  Z АВО =  ZCBO.
Кто из этих учеников прав?
27. Окружность с центром в точке О образует при пересечении со сторонами
треугольника ABC равные хорды. Докажите, что у треугольников ABO, BCO и САО
равные высоты, выходящие из вершины О.
28. ABC и АРК - два равных треугольника. Известно, что АВ = 3, АС = АР = 4,
АК = 5. Чему равны стороны ВС и РК?
22. В треугольнике ABC известны углы:  ВАС = 52°,  ВСА = 44°. Из вершины
В провели медиану и высоту и продолжили их за сторону АС на расстояния, равные
им. Получили точки Р и К.
Чему равен  РСК?
23. Докажите или опровергните такие утверждения:
а) Если две стороны и медиана, лежащая между ними, одного треугольника
соответственно равны двум сторонам и медиане, лежащей между ними другого
треугольника, то такие треугольники равны;
Указание: выполните стандартное дополнительное построение, которое
выполняется при наличие в ситуации медианы.
б) Если две стороны и медиана, проведенная к одной из этих сторон,
соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон,
то такие треугольники равны;
Указание: рассмотрите и докажите равенство вспомогательных треугольников.
в) Если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам
второго треугольника, то такие треугольники равны;
Указание: примените продолжение медианы на одну треть медианы и примените
свойства медиан.
г) Сформулируйте и проверьте выполнение других признаков равенства
треугольников.