Математическая модель для прогнозирования показателей

ISSN 2072-9502. Âåñòíèê ÀÃÒÓ. Ñåð.: Óïðàâëåíèå, âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà è èíôîðìàòèêà. 2014. ¹ 3
УДК 004.942
Н. В. Яндыбаева, В. А. Кушников
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ
ÄËß ÏÐÎÃÍÎÇÈÐÎÂÀÍÈß ÏÎÊÀÇÀÒÅËÅÉ
ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÎÉ ÁÅÇÎÏÀÑÍÎÑÒÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ
Основными характеристиками состояния экономической безопасности являются: уровень
безработицы; децильный коэффициент; уровень роста потребительских цен; уровень государственного внешнего и внутреннего долга (% от валового внутреннего продукта); уровень
обеспеченности ресурсами здравоохранения, культуры, образования и науки (% от валового
внутреннего продукта); уровень ежегодного обновления вооружения, военной и специальной
техники; уровень обеспеченности военными и инженерно-техническими кадрами. Разработан
комплекс математических моделей, позволяющий осуществлять имитационное моделирование
и прогнозирование показателей национальной безопасности РФ. Математическая модель, разработанная на основе модели системной динамики, позволяет формализовать сложные причинно-следственные связи между системными переменными. Модель системной динамики состоит из следующих элементов: системных уровней, которые представляют собой накопления
(аккумуляцию) в цепях обратной связи; потоков, перемещающих содержимое одного уровня
к другому; процедур решений, которые регулируют темпы потока между уровнями; каналов
информации, соединяющих процедуры решений с уровнями. Для описания разработанной модели используется аппарат обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве системных уровней представлены показатели национальной безопасности. Для иллюстрации причинно-следственных связей между системными уровнями в разработанной математической
модели используется графовая модель. Регрессионные модели используются для проверки
адекватности модели системной динамики. Предложен алгоритм определения показателей национальной безопасности из решения системы нелинейных дифференциальных уравнений.
Показана практическая реализация разработанного математического обеспечения и проведено
сравнение прогнозных значений показателей национальной безопасности, вычисленных по
модели системной динамики и регрессионной модели.
Ключевые слова: показатели экономической безопасности, математическая модель,
системная динамика.
Введение
Проблема обеспечения национальной безопасности в настоящее время является чрезвычайно актуальной. Одним из документов, который содержит официально признанную систему
целей, стратегических приоритетов и мер в области внутренней и внешней политики, направленных на обеспечение национальной безопасности и устойчивое развитие государства на долгосрочный период, является Указ Президента РФ от 12 мая 2009 г. № 537 «О Стратегии национальной безопасности Российской Федерации до 2020 года». Основными характеристиками состояния национальной безопасности являются: уровень безработицы; децильный коэффициент;
уровень роста потребительских цен; уровень государственного внешнего и внутреннего долга
(% от внутреннего валового продукта (ВВП)); уровень обеспеченности ресурсами здравоохранения, культуры, образования и науки (% от ВВП); уровень ежегодного обновления вооружения, военной и специальной техники; уровень обеспеченности военными и инженернотехническими кадрами [1].
Методологические подходы к исследованию экономической безопасности рассматриваются в трудах А. А. Куклина, А. Л. Мызгана, Е. А. Олейникова, Е. Д. Кормишкина, Д. С. Львова, Н. В. Дюженкова. Политический аспект национальной безопасности отражен в трудах
С. О. Алехновича, В. К. Белозерова, А. В. Васильева, М. В. Жуковского и др. К недостаткам существующих систем индикаторов и показателей безопасности относятся: эмпирический подход,
акцент на статистических взаимосвязях в ущерб причинно-следственным зависимостям; субъективизм в отборе показателей и, как следствие, отсутствие целостной картины; статическая
интерпретация экономико-политических явлений без учета их динамической составляющей.
В совокупности эти недостатки способствуют формированию неадекватной оценки социальноэкономической и политической ситуации в стране и, как следствие, приводят к ошибкам в ха93
Óïðàâëåíèå â ñîöèàëüíûõ è ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ
рактере принимаемых решений. Следует отметить, что в настоящее время отсутствует математический аппарат, позволяющий осуществлять моделирование и прогнозирование показателей
национальной безопасности на различных временных интервалах.
Таким образом, постановка задачи математического моделирования имеет следующий
вид: необходимо разработать математические модели для имитационного моделирования
и прогнозирования основных показателей национальной безопасности РФ.
Разработка математической модели
Алгоритм разработки комплекса математических моделей имеет следующий вид:
1. Сформировать математическую модель на основе модели системной динамики: выявить взаимосвязи в системе, записать дифференциальные уравнения системных уровней. Задать функциональные зависимости и решить систему уравнений, выбрав начальные условия
и временной интервал.
2. Создать регрессионную модель: используя метод наименьших квадратов, определить
вид функциональной зависимости каждого показателя национальной безопасности от времени.
3. Выполнить проверку адекватности полученных уравнений регрессии: рассчитать величину ошибки аппроксимации Ai и определить величину коэффициента корреляции. Заменить
уравнения в системе, ошибка аппроксимации в которых превышает пороговые значения [2].
4. Задать начальные условия, временной интервал, количество итераций и определить
расчетные значения показателей Х1, …, Хn.
5. Провести сравнение значений показателей безопасности, вычисленных с использованием модели системной динамики, регрессионной модели и определяемых лицом, принимающим решения, эвристически.
Модель системной динамики [3, 4] позволяет отследить причинно-следственные связи
в системе и состоит из следующих элементов: системных уровней, которые представляют собой
накопления (аккумуляцию) в цепях обратной связи; потоков, перемещающих содержимое одного уровня к другому; процедур решений, которые регулируют темпы потока между уровнями;
каналов информации, соединяющих процедуры решений с уровнями. На рис. 1 показана простейшая возможная структура цепи обратной связи, которая описывается переменными двух
видов – темпом и уровнем.
Процедура решения
Канал потока
Источник информации
Рис. 1. Базовая модель системной динамики
Действие потока аккумулируется, определяя уровень системы. Информация об уровне –
это основа для управления темпом потока. Уровень инфляции, численность населения, предложение труда, величина налогов – это переменные уровня. Каждая из них есть результат аккумуляции внутренних и внешних потоков, связывающих однородные уровни и перемещающих содержимое от уровня к уровню. Темпы потока служат причиной изменения уровней. Сведения об
уровнях являются входными величинами в уравнениях темпов, которые управляют темпами
потока. Изменение уровней определяется только темпами потока. Переменные темпов потока,
94
ISSN 2072-9502. Âåñòíèê ÀÃÒÓ. Ñåð.: Óïðàâëåíèå, âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà è èíôîðìàòèêà. 2014. ¹ 3
в свою очередь, зависят только от информации об уровнях. Один уровень может воздействовать
на другой уровень только темпом потока. Для системных уровней записываются дифференциальные уравнения вида dy / dt = y + − y − , где y+/y- – положительный/отрицательный темп скорости переменной y, включающий в себя все факторы, которые вызывают рост/убывание переменной y. Темпы представляют собой произведение функций, зависящих только от «факторов» –
комбинаций основных переменных, которые, в свою очередь, сами являются функциями системных уровней:
y ± = g ( y1, y2 , ... , yn ) = f ( F1 , F2 , ...., Fk ) = f1 ( F1 ) f 2 ( F2 ).... f k ( Fk ) ,
где F j = g j ( yi1 ... yim ) – факторы; m = m(j) < n, k = k(j) < n (число уровней). Количество факторов
меньше, чем число основных переменных в модели. В свою очередь, каждый фактор зависит
не от всех системных уровней. Это сделано с целью упрощения задачи моделирования.
Выделим в приведенных выше показателях национальной безопасности, следующие системные уровни: Х1 – уровень безработицы (доля от экономически активного населения); Х2 –
децильный коэффициент; Х3 – уровень роста потребительских цен; Х4 – уровень государственного внешнего долга, % от ВВП; Х5 – уровень государственного внутреннего долга, % от ВВП;
Х6 – уровень обеспеченности ресурсами здравоохранения, % от ВВП; Х7 – уровень обеспеченности ресурсами культуры, % от ВВП; Х8 – уровень обеспеченности ресурсами образования и науки, % от ВВП; Х9 – уровень ежегодного обновления вооружения, военной и специальной техники; Х10 – уровень обеспеченности военными кадрами; Х11 – уровень обеспеченности инженернотехническими кадрами.
Дифференциальное уравнение для системного уровня Х1 имеет вид
 (И + МЗП + Д)

(ПТ + Н + ВВП)
dX 1 (t )
= X 1 (t ) 
f1 ( X 3 ) f 2 ( X 4 ) f 5 ( X 2 ) −
f4 ( X 5 )  =
dt
X
(
t
)
X
(
t
)

1
1

= (И + МЗП + Д) f1 ( X 3 ) f 2 ( X 4 ) f 5 ( X 2 ) − (ПТ + Н + ВВП) f 4 ( X 5 ),
где Х1(t) – текущее значение уровня безработицы; МЗП – минимальный уровень заработной
платы, руб.; И – уровень инфляции, %; Д – демографические факторы, чел.; ПТ – предложение
трудовых ресурсов, чел.; ВВП, млн руб.; Н – налоги, млн руб.
В уравнении используются также функциональные зависимости: f1(X3) – функциональная
зависимость уровня безработицы от уровня роста цен; f2(X4) – функциональная зависимость
уровня безработицы от уровня внешнего долга страны; f3(X2) – функциональная зависимость
уровня безработицы от децильного коэффициента; f4(X5) – функциональная зависимость уровня
безработицы от уровня внутреннего долга.
Орграф показателей экономической безопасности приведен на рис. 2. На нем наглядно
проиллюстрированы причинно-следственные связи между системными уровнями Х1 …, Х11;
функциональные зависимости, которые характеризуют взаимовлияние системных уровней [5].
В разработанной математической модели (1) приняты следующие обозначения: Ч – численность населения, чел., ЧП – количество частных предпринимателей, чел.; СДД – среднедушевой доход населения, руб.; ЗП – уровень заработной платы, руб.; Им – величина импорта,
руб.; Э – величина экспорта, руб.; ДБ – дефицит госбюджета, руб.; ПБ – профицит бюджета,
руб.; Ин – инвестиции, руб.; Д – доходы населения, руб.; В – количество высших учебных заведений, шт.; М – миграция кадров, чел.; МО – количество выпущенных монографий, шт.; ППС –
численность профессорско-преподавательского состава с учеными степенями/званиями, чел.;
НИ – среднегодовой объем научных исследований, руб.; ФИ – объем финансирования научных
исследований, руб.; ЗА – число аспирантов, защитившихся в течение года после окончания аспирантуры, чел.; ГЗ – объем гособоронзаказа, руб.; ОФ – обновление основных фондов предприятий оборонно-промышленного комплекса (ОПК), %; К – численность солдатконтрактников, чел.; ЭВ – экспорт вооружения, руб.; ЗО – затраты на обучение и переподготовку кадров, руб.; БЗ – уровень безработицы, %; ПЦ – уровень потребительских цен, руб.;
УЗ – количество учебных заведений; Ф – объем финансирования, руб.; ДЭ – денежная эмиссия.
95
Рис. 2. Орграф экономической безопасности Российской Федерации
Óïðàâëåíèå â ñîöèàëüíûõ è ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ
96
ISSN 2072-9502. Âåñòíèê ÀÃÒÓ. Ñåð.: Óïðàâëåíèå, âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà è èíôîðìàòèêà. 2014. ¹ 3
 dX 1 (t )
 dt = (И + МЗП + Д) f1 ( X 3 ) f 2 ( X 4 ) f5 ( X 2 ) − (ПТ + Н + ВВП) f 4 ( X 5 ),

 dX 2 (t ) = (ЧП + И + Ч + ВВП) f ( X ) f ( X ) f ( X ) − (Н + СДД),
6
3
7
4
8
5
 dt

 dX 3 (t ) = (И + Ч + Д) f ( X ) − (Н + ВВП + Э + Им) ⋅ f ( X ) f ( X ),
11
9
9
5
10
4
 dt
 dX (t )
 4 = (ПБ + И + ВВП) − (ДБ + Н) f12 ( X 5 ),
 dt
 dX (t )
 5 = (ДБ + И + Н + Ин) − (ДЭ + ВВП),
 dt
 dX 6 (t )
= (ВВП + И) f16 ( X 8 ) − (МЗП + Н + Ч) f14 ( X 4 ) f15 ( X 5 ) ⋅ f13 ( X 6 ),

 dt
 dX 7 (t )
 dt = (ВВП + Д + МЗП) − (МЗП + Н + Ч) f17 ( X 1 ) f18 ( X 4 ) f19 ( X 5 ),

 dX 8 (t )
 dt = (ВВП + В + МО + ППС + НИ + ФИ + ЗА) − (Д + М + Ч + И + МЗП) f 20 ( X 5 ) f 21 ( X 4 ),

 dX 9 (t ) = (ГЗ + ВВП + ОФ + К + ЭВ) − (И + ЗО) f ( X ) ⋅ f ( X ) f ( X ),
22
8
3
1
11
3
 dt

 dX 10 (t ) = (ГЗ + ВВП + ЗП + К) f 26 ( X 9 ) f 27 ( X 8 ) − (БЗ + ЗО + ПЦ) f 24 ( X 1 ) f 23 ( X 5 ) f 25 ( X 4 ),
 dt
 dX (t )
 11 = (УЗ + ЗП + Н + Ф) f 28 ( X 8 ) f 29 ( X 1 ) − (БЗ + ЗО).
 dt
(1)
Функциональные зависимости в разработанной математической модели и аппроксимирующие их кривые представлены на рис. 3.
Их можно записать также в виде полиномов невысокой степени:
f 1 ( X 3 ) = 0, 91 ⋅ X 12 + 0, 02 2 ⋅ X 1 + 0, 2 7 ,
f 2 ( X 4 ) = 1, 3 ⋅ X 43 − 2,1 ⋅ X 42 + 2, 3 ⋅ X 4 − 0,1 .
f1 (X1)
X3
y = 0,91*x2 + 0,022*x + 0,27
Quadratic
f1
X1
а
Рис. 3. Графики функциональных зависимостей: a – f1(X3)
97
Óïðàâëåíèå â ñîöèàëüíûõ è ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ
f2 (X4)
y = 1,3*x3 – 2,1*x2 + 2,3*x – 0,1
Cubic
X1
f2
X4
б
Рис. 3. Продолжение. Графики функциональных зависимостей: б – f2(X1)
Для проверки адекватности модели (1) была построена регрессионная модель (2). Статистические данные для системного уровня Х1 приведены в таблице. Xin в таблице – значение
уровня безработицы, нормированное относительно уровня безработицы в 2000 г.
Уровень безработицы в РФ в 2000–2013 гг.
Год
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
Значение,
%
10,6
9,0
7,9
8,2
7,8
7,1
7,1
6,0
6,2
8,3
7,3
6,5
5,5
5,5
Xi n
1
0,85
0,75
0,77
0,74
0,7
0,7
0,57
0,59
0,78
0,69
0,61
0,52
0,52
Коэффициенты в уравнениях регрессии были определены с помощью метода наименьших
квадратов. На рис. 4 приведен график кривой, аппроксимирующей значения уровня безработицы на интервале 2000–2013 гг.
Подобные статистические расчеты проводились также для остальных системных уровней
Х2–Х11.
X1
1
0,8
0,6
0,4
0,2
X1 = –0,001t ^ 3 + 0,0236t ^ 2 – 0,1837t + 1,1505
0
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Год
Рис. 4. График зависимости Х1n от t
98
ISSN 2072-9502. Âåñòíèê ÀÃÒÓ. Ñåð.: Óïðàâëåíèå, âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà è èíôîðìàòèêà. 2014. ¹ 3
 Х 1n (t ) = − 0, 001 ⋅ t 3 + 0, 0236 ⋅ t 2 − 0,1837 ⋅ t + 1,1505,
 n
3
2
 Х 2 (t ) = − 0, 0004 ⋅ t + 0, 0071 ⋅ t − 0, 0083 ⋅ t + 0, 936,
 Х n ( t ) = 0, 0003 ⋅ t 3 − 0, 0055 ⋅ t 2 + 0, 0271 ⋅ t + 0, 9681,
 3
 Х 4 n (t ) = − 0, 0069 ⋅ t 3 + 0,1639 ⋅ t 2 − 0,8504 ⋅ t + 1, 9035,
 n
 Х 5 ( t ) = 0, 0092 ⋅ t 3 − 0,1234 ⋅ t 2 + 0, 555 ⋅ t + 0, 3689,
 n
3
2
 Х 6 (t ) = − 0, 0174 ⋅ t + 0, 3577 ⋅ t − 1, 4137 ⋅ t + 2, 244,
 n
4
3
2
 Х 7 (t ) = 0, 0006 ⋅ t − 0, 0194 ⋅ t + 0, 2027 ⋅ t + 0, 6355 ⋅ t + 1, 5063,
 Х n ( t ) = − 0, 0051 ⋅ t 3 + 0,1601 ⋅ t 2 + 0,1535 ⋅ t + 0, 7334,
 8
 Х 9 n (t ) = − 0, 0025 ⋅ t 3 + 0, 0547 ⋅ t 2 − 0, 2908 ⋅ t + 1, 2133,

n
4
3
2
 Х 10 (t ) = 0, 0001 ⋅ t − 0, 0042 ⋅ t + 0, 0496 ⋅ t − 0, 2128 ⋅ t + 1,1708,

n
3
2
 Х 11 ( t ) = 0, 0003 ⋅ t − 0, 002 ⋅ t − 0, 0486 ⋅ t + 1, 049.
(2)
Результаты расчетов показателей Х1–Х11, определенных по регрессионной модели на временном интервале 1 год, приведены на рис. 5. Определим значения Х1 в 2014 г. по модели системной динамики и сравним с расчетными значениями по регрессионной модели.
(И + М ЗП + Д ) f1 ( X 3 ) f 2 ( X 4 ) f 5 ( X 2 ) − (П Т + Н + ВВП ) f 4 ( X 5 ) =
= (0, 22 + 39, 4 + 1, 04) 0, 9 ⋅ 0, 8 ⋅ 0, 41 − (1, 58 + 34, 9 + 9,13) 0, 22)) ≅ 1, 9.
X8
Xi
X0i
X0i
X5
X11
X6
X7
X10
X3
X2
X4
X9
X1
Время, t
Рис. 5. Динамика показателей Х1–Х11
На рис. 6 приведен график сравнения значений показателя Х1, определенного по двум различным моделям. Кривая 1 – значения показателя Х1, вычисленного по регрессионной модели,
кривая 2 – по модели системной динамики.
99
Óïðàâëåíèå â ñîöèàëüíûõ è ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ
1
2
Рис. 6. График сравнения значений Х1, рассчитанных по разным моделям
Относительная погрешность вычислений – 7,3 %, что говорит об адекватности разработанных математических моделей.
Заключение
Таким образом, нами разработан комплекс математических моделей, позволяющий осуществлять имитационное моделирование и прогнозирование показателей национальной безопасности РФ. Он состоит из модели системной динамики, позволяющей формализовать сложные причинно-следственные связи между системными переменными, и регрессионных моделей, используемых для проверки адекватности сформированного математического обеспечения. Предложен
алгоритм определения показателей национальной безопасности из решения системы нелинейных
дифференциальных уравнений, полученные результаты проиллюстрированы графиками.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Стратегия национальной безопасности РФ до 2020 г. (утв. Указом Президента РФ от 12 мая
2009 г. № 537) // URL: http://www.scrf.gov.ru (дата обращения: 15.11.2013).
2. Кушников В. А. Яндыбаева Н. В. Модель Форрестера в управлении качеством образовательного
процесса вуза / В. А. Кушников, Н. В. Яндыбаева // Прикладная информатика. 2011. № 3 (33). С. 65–73.
3. Форрестер Дж. Динамика развития города / Дж. Форрестер. М.: Прогресс, 1974. 275 с.
4. Форрестер Дж. Мировая динамика / Дж. Форрестер. М.: Наука, 1978. 230 с.
5. Яндыбаева Н. В. Математическая модель для прогнозирования аккредитационных показателей
вуза / Н. В. Яндыбаева, В. А. Кушников // Управление большими системами. Вып. 41. М.: Ин-т проблем
управления РАН, 2013. С. 314–343.
Статья поступила в редакцию 21.04.2014,
в окончательном варианте – 17.07.2014
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß ÎÁ ÀÂÒÎÐÀÕ
ßíäûáàåâà Íàòàëüÿ Âàëåíòèíîâíà – Ðîññèÿ, 413865, Áàëàêîâî; Áàëàêîâñêèé ôèëèàë
Ñàðàòîâñêîé ãîñóäàðñòâåííîé þðèäè÷åñêîé àêàäåìèè; êàíä. òåõí. íàóê; äîöåíò êàôåäðû «Ñîöèàëüíî-ïðàâîâûå è ïðèêëàäíûå þðèäè÷åñêèå äèñöèïëèíû»; [email protected]
Êóøíèêîâ Âàäèì Àëåêñååâè÷ – Ðîññèÿ, 410054, Ñàðàòîâ; Ñàðàòîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò èìåíè Þ. À. Ãàãàðèíà; ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð; ïðîôåññîð êàôåäðû «Ïðèêëàäíûå èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè»; [email protected]
100
ISSN 2072-9502. Âåñòíèê ÀÃÒÓ. Ñåð.: Óïðàâëåíèå, âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà è èíôîðìàòèêà. 2014. ¹ 3
N. V. Yandybaeva, V. A. Kushnikov
MATHEMATICAL MODEL
FOR FORECASTING OF INDICATORS
OF ECONOMIC SAFETY OF THE RUSSIAN FEDERATION
Abstract. The main characteristics of the state of economic security are the following: the level
of unemployment, the decile coefficient, the growth rate of consumer prices, the level of public external and domestic debt (% of gross domestic product), the level of health, culture, science and
education resources (% of gross domestic product), the level of the annual renewal of weapons,
military and special equipment and the level of security and military engineers. A complex of the
mathematical models that helps realize simulation and prognostication of the indicators of the Russian Federation national security is developed. The mathematical model based on the system dynamics models, allows formalizing the complex casual relationships between the system variables.
The system dynamics model consists of the following elements: the system levels, which represent
the reserves (accumulation) in the feedback chains; the streams conveying the content of one level
to another; the decision-making procedures that govern the rate of flow between the levels; the information channels connecting the procedures of decisions and the levels. To describe the developed model, the apparatus of ordinary differential equations is used. The indicators of national security are presented as the systemic levels. To illustrate the casual relationships between the system
levels, in the developed mathematical model the graph model is used. The regression models are
used to verify the adequacy of the system dynamics models. An algorithm for determination of the
indicators of national security while solving a number of nonlinear differential equations is proposed. The practical implementation of the developed mathematical models is shown, and the predictive values of the indicators of national security, calculated by the system dynamics models and
the regression model, are compared.
Key words: indicators of economic security, mathematical model, system dynamics.
REFERENCES
1. Strategiia natsional'noi bezopasnosti RF do 2020 g. [National Security Strategy of the Russian Federation until 2020 (approved by Presidential Decree of 12 May 2009 N 537)]. Available at: http://www.scrf.gov.ru
(accessed: 15.11.2013).
2. Kushnikov V. A., Iandybaeva N. V. Model' Forrestera v upravlenii kachestvom obrazovatel'nogo protsessa vuza [Forrester model in quality management of the university educational process]. Applied informatics,
2011, no. 3 (33), pp. 65–73.
3. Forrester Dzh. Dinamika razvitiia goroda [The dynamics of the city]. Moscow, Progress Publ., 1974. 275 p.
4. Forrester Dzh. Mirovaia dinamika [World Dynamics]. Moscow, Nauka Publ., 1978, 230 p.
5. Iandybaeva N. V., Kushnikov V. A. Matematicheskaia model' dlia prognozirovaniia akkreditatsionnykh
pokazatelei vuza [Mathematical model to predict the performance of high school accreditation]. Upravlenie
bol'shimi sistemami. Moscow, Institut problem upravleniia Rossiiskoi akademii nauk, 2013, iss. 41, pp. 314–343.
The article submitted to the editors 21.04.2014,
in the final version – 17.07.2014
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Yandybaeva Natalya Valentinovna – Russia, 413865, Balakovo; Balakovo branch of Saratov State Law Academy; Candidate of Technical Sciences; Assistant Professor of the Department "Socio-Legal and Applied Legal Disciplines", [email protected]
Kushnikov Vadim Alekseevish – Russia, 410054, Saratov; Saratov Technical State University named after Yu. A. Gagarin; Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the
Department "Applied Information Technologies"; [email protected]
101