1571 - XII Всероссийское совещание по проблемам управления

1571
УДК 519.71
СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
А.Г. Кушнер
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Московский Государственный
Университет им. М.В. Ломоносова
Россия, 117997, Москва, ул. Профсоюзная, д. 65
E-mail: [email protected]
В.В. Лычагин
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Университет Тромсе
Россия, 117997, Москва, ул. Профсоюзная, д. 65
E-mail: [email protected]
Ключевые слова: гамильтоновы системы, преобразования обратной связи, инварианты Петрова, джеты, дифференциальные инварианты
Аннотация: В докладе рассматривается проблема классификации гамильтоновых
систем с произвольным числом степеней свободы и произвольным числом управляющих параметров относительно псевдогруппы Ли преобразований обратной связи.
Построены инвариантные мульти-дифференцирования и указан способ построения
скалярных дифференциальных инвариантов.
1.
Введение
Преобразования обратной связи часто используются в теории управления [3,7,8].
Такие преобразования являются аналогами преобразований Ли в теории дифференциальных уравнений (см., например, [5]). Как правило, в теории управления рассматриваются преобразования обратной связи аффинных систем.
В работе [1] построены дифференциальные инварианты и инвариантные дифференцирования , названные инвариантами Петрова, для гамильтоновых систем с
произвольным числом степеней свободы и скалярным управляющим параметром относительно преобразований обратной связи. На множестве дифференциальных инвариантов введена структура пуассоновой алгебры. Пуассонова структура использована для классификации систем с управляющим параметром.
В данной работе вводится псевдогуппа Ли преобразования обратной связи для
общих гамильтоновых систем с произвольным числом управляющих параметров.
Рассмотрим гамильтонову систему
(1)
q˙ =
∂H
,
∂p
p˙ = −
∂H
,
∂q
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1572
с гамильтонианом H = H(q, p, u), где q = (q1 , . . . , qn ) и p = (p1 , . . . , pn ) — фазовые
переменные, а u = (u1 , . . . , um ) — вектор управляющих параметров. Мы полагаем,
что функция H гладкая.
Преобразования вида
(2)
ϕ : (q, p, u) 7→ (Q(q, p), P (q, p), U (u)),
называются преобразованиями обратной связи (see [7, 8]).
Для того, чтобы такие преобразования сохраняли класс гамильтоновых систем,
преобразование
(q, p) 7→ (Q(q, p), P (q, p))
должноыть симплектическим. В этом случае преобразования вида (2) назовем симплектическими преобразованиями обратной связи (см. [2]).
2.
Псевдогруппа Ли симплектических
преобразований обратной связи
Пусть M = R2n — фазовое пространство и пусть
Ω=
n
X
dpi ∧ dqi
i=1
— симплектическая структура на нем. Пусть B = M × Rm — расширенное фазовое
пространство с координатами q, p, u и пусть
π : B × R → B,
π : (q, p, u, h) 7→ (q, p, u)
— одномерное локально тривиальное расслоение над B.
Сечения h = H(q, p, u) этого расслоения могут рассматриваться как гамильтонианы систем (1).
Пусть J k (π) — пространство k-джетов сечений расслоения π и пусть q, p, u, h, hσ
— локальные канонические координаты на этом пространстве (см. [4]). Здесь
σ = (σ1 , . . . , σ2n+m )
— мульти-индекс, |σ| = σ1 + · · · + σ2n+m 6 k.
Инфинитезимальные симплектические преобразования обратной связи образуют
псевдогруппу Ли, которую мы обозначим G. Соответствующую алгебру Ли обозначим G. Она состоит из векторных полей на пространстве J 0 (π) вида
X
m
n X
∂H ∂
∂
∂H ∂
−
+
λj (u)
,
XH,λ =
∂pi ∂qi
∂qi ∂pi
∂uj
j=1
i=1
гле H ∈ C ∞ (M ), λj ∈ C ∞ (Rm ).
Такие векторные поля назовем симплектическими векторными полями обратной связи.
(k)
Продолжения XH,λ , ϕ, G и G в пространство джетов J k (π) обозначим XH,λ , ϕ(k) ,
G(k) и G (k) соответственно.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1573
3.
Дифференциальные инварианты
Рациональную функцию J на J k (π), гладкую в ее области определения, назвем
a G-инвариантом или инвариантом Петрова порядка 6 k, если
∗
ϕ(k) (J) = J
для любого ϕ ∈ G. Это эквивалентно выполнению равенства
(k)
XH,λ (J) = 0
для любого XH,λ ∈ G.
Например, функция J0 = h является G-инвариантом порядка нуль.
В случае n = m = 1 функции
(3)
J32
J33
1
(hq hu hpuu
h3u
1
(h2q hppu −
hu
− hp hu hquu − hq hpu huu + hp hqu huu ),
2 hq hp hqpu + h2p hqqu − hq hqu hpp +
hq hqp hpu − hp hpu hqq + hp hqu hqp ),
= h12 (hq hqu hppu − (hq hpu + hp hqu )hqpu +
u
hp hpu hqqu − h2pu hqq + 2 hpu hqu hqp − h2qu hpp ),
= h13 (hpu hquu − hqu hpuu ).
J30 =
J31 =
u
являются дифференциальными инвариантами порядка три.
Гладкая функция R на J k (π) называется относительным дифференциальным
инвариантом порядка k, если
∗
ϕ(k) (R) = λϕ R
для любого симплектического преобразования обратной связи ϕ и некоторой функции λϕ .
Дифференциальный оператор
∇=
n X
i=1
d
d
Ai
+ Bi
dqi
dpi
+
m
X
Cj
j=1
d
,
duj
называется инвариантным дифференцированием, если он коммутирует с любым векторным полем из G (∞) . Здесь Ai , Bi и C — послойно рациональные функции на проd
странстве J ∞ (π) и dx
— оператор полной производной по переменной x (см. [4, 5]):
X
d
∂
∂
=
+
hσ+1i
,
dxi
∂xi
∂hσ
|σ|>0
где 1i — (2n + m)-мульти-индекс с 1 на i-м месте и нулем на остальных местах.
Инвариантные дифференцирования позволяют строить новые дифференциальные
инварианты из уже известных.
В случае n = 1 и m = 2 определим функцию
h[u1 ,u2 ] = hpu1 hqu2 − hpu2 hqu1
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1574
Эта функция является относительным дифференциальным инвариантом. Однако
тензорные поля
(4)
(5)
d
d
∧
,
h[u1 ,u2 ] du1 du2
d
d
d
d
∧
∧
∧
,
du1 du2 dhu1 dhu2
h[u1 ,u2 ] du1 ∧ du2 ,
du1 ∧ du2 ∧ dhu1 ∧ dhu2
1
являются абсолютными инвариантами: их производные Ли вдоль любого симплектического векторного поля обратной связи равны нулю.
d
d
Заметим, что бивекторные поля (4) и dp
∧ dq
определяют некоммутирующие пуассоновы структуры. Их скобка Схоутена дает новые тензорные инварианты.
Аналоги этих тензорных полей существуют для произвольных значений n и
m. Используя аппарат симплектической алгебры, развитый в [5], можно построить
полный набор скалярных дифференциальных инвариантов гамильтоновых систем с
управляющими параметрами.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (12-08-01238-a, 12-01-00886-а, 11-01-93106-НЦНИЛа).
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Kushner A., Lychagin V. Petrov Invariants for 1-D Control Hamiltonian Systems // Global and
Stochastic Analysis. 2012. Vol. 2, No. 1. P. 241-264.
Кушнер А.Г., Лычагин В.В. Инварианты Петрова гамильтоновых систем с управляющим
параметром // Автоматика и телемеханика. 2013. № 3. С. 83-102.
Гриценко Д.С., Кирюхин О.М. Классификация уравнений колебаний относительно преобразований обратной связи // Материалы Международного молодежного научного форума
«ЛОМОНОСОВ-2013». Секция «Физика». Подсекция «Математическое моделирование». М.:
Макс Пресс, 2013
Виноградов А.М., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 336 с.
Kushner A.G., Lychagin V.V., Rubtsov V.N. Contact geometry and nonlinear differential
equations. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 101. Cambridge: Cambridge
University Press, 2007. xxii+496 P.
Lychagin V.V. Feedback Equivalence of 1-dimensional Control Systems of the 1-st Order / V.V.
Lychagin // Геометрiя, топологiя таїх застосування. Збiрник праць Iн-ту математики НАН
України. Т. 6, № 2. 2009. С. 288-302.
Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. М.: Физматлит, 2004. 464 С.
Agrachev A., Zelenko I. On feedback classification of control-affine systems with one and twodimensional inputs // arXiv:math/0502031. 2005. P. 1-26.
Lychagin V.V. Feedback Equivalence of 1-dimensional Control Systems of the 1-st Order // In
“Geometry, topology and there applications”. Proceedings of the Institute of mathematics of NAS
of Ukraine. 2009. Vol. 6, No. 2. P. 288-302.
Lychagin V.V. Feedback Differential Invariants // Acta Applicandae Mathematicae. 2010. Vol.
109, No. 1. P. 211-222.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г