универсальный метод топологического синтеза многоконтурных

Структура механизмов
УДК 621.01
В.И. ПОЖБЕЛКО
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ МЕТОД ТОПОЛОГИЧЕСКОГО СИНТЕЗА
МНОГОКОНТУРНЫХ СТРУКТУР И АТЛАС КИНЕМАТИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ ВОСЬМИЗВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ И ИХ ИНВАРИАНТОВ
1. Постановка задачи и предлагаемый путь её решения
В общей теории механизмов и машин под синтезом структур (структурным синтезом)
понимается обнаружение (раскрытие) данных строения, объективно существующих, но ранее неизвестных специалистам [1–6].
В настоящее время структурный синтез чаще всего осуществляется на основе эвристических соображений или справочников и учебников со структурными схемами на основе
уже выявленных групп Ассура [2]. Однако данные методы синтеза имеют ограниченные
возможности воспроизведения всего возможного многообразия кинематических цепей, так
как не используют для этого обобщённые математические структурные модели и общие топологические закономерности образования замкнутых структур разнообразных механических систем.
Другие (альтернативные) методы синтеза структур [3, 4] содержат трудноразрешимые
(даже с применением компьютерных технологий) проблемы генерирования, распознавания
и отбора неповторяющихся схем (причём согласно [4] таких оригинальных схем оказывается менее 1% из создаваемого программой ЭВМ массива в сотни тысяч и миллионы возможных вариантов строения замкнутых цепей). Более подробно эта труднейшая в ТММ задача
распознавания и отбора всех неизоморфных структур и предлагаемый путь её решения на
основе ранжирования всех элементов сравниваемых структурных схем – рассмотрена в работе [6].
В связи с этим возникает проблема разработки универсального метода синтеза всего
возможного многообразия структурных схем различных кинематических цепей и однозначного установления их неизоморфности для создания «банка» таких топологически неповторяющихся цепей с различными числами звеньев – в виде полного атласа таких схем, из которых конструктор имел бы возможность подобрать подходящую структурную схему для
креативного (творческого) проектирования многоконтурного объекта (в виде механизма или
фермы).
Предлагаемый путь решения проблемы обнаружения всего многообразия топологически неповторяющихся структур взаимосвязанных тел заключается в разработке численного
структурного синтеза на основе следующей поэтапной технологии креативного проектирования:
I. Математическое моделирование топологической взаимосвязи между всеми составными элементами строения многозвенных механических систем с учётом как простых (однократных), так и многократных соединений, применяемых для их сборки.
II. Нахождение всего массива целочисленных неотрицательных структурных решений
системы топологических уравнений с многими неизвестными проектными структурными
параметрами и создание по ним полного атласа (т.е. «банка») изоморфных структур и всех
их структурных инвариантов схемы строения.
III. Ставится задача создания своеобразной «Периодической системы структурных
элементов», охватывающей всё множество возможных на практике структурных решений и
предлагается её решение в виде «Универсальных структурных таблиц стандартных кодов
строения многоконтурных систем» – для направленного синтеза статически определимых
замкнутых кинематических цепей разнообразных механических систем (одно- и многоподвижные механизмы, фермы, шарнирные структурные группы нулевой подвижности). Ком-
66
http://tmm.spbstu.ru
Универсальный метод топологического синтеза многоконтурных структур и атлас …
плекс таких «Универсальных структурных таблиц» для анализа и синтеза оптимальных
структур без избыточных связей представлен в работах [5] и [6].
Примечание. Для более полного охвата всех вариантов возможного графического изображения схемы строения одной и той же синтезируемой многоконтурной структуры введём
новое понятие в ТММ – «структурный инвариант кинематической цепи» со следующим определением: «Структурными инвариантами многоконтурной кинематической цепи» называются разные графические представления сборки замкнутых контуров в кинематическую
цепь одной и той же структуры, отличающиеся между собой тем, какой из общего числа L
замкнутых контуров данной цепи будет изображён на схеме её строения в качестве ограничивающего L0 (внешнего), внутри которого будут располагаться все остальные K = L  1
контуры.
Далее в п.3 на конкретных примерах построения атласов многоконтурных шестизвенных и восьмизвенных структур будет показано, что наибольшее число структурных инвариантов одной и той же кинематической цепи ( In ) зависит от номенклатуры (неодинаковости)
входящих в эту цепь многосторонних замкнутых контуров и ограничено их количеством: 1  In  L .
2. Методика численного топологического синтеза многоконтурных структур
многозвенных механических систем
Будем рассматривать проектируемую сложную механическую структуру, как единую
многоконтурную систему топологически взаимосвязанных между собой одно- и многовершинных твёрдых тел (звеньев) с применением для их связи как простых (однократных), так
и многократных шарниров (или вообще с применением только многократных шарниров).
Понятие «шарнир» при этом можно распространить не только на вращательные, но и на поступательные кинематические пары (как имеющие бесконечный радиус кривизны).
Тогда структурную математическую модель такой механической системы взаимосвязанных твёрдых тел можно в пространстве движений h =3 представить в виде следующей
совокупности линейных алгебраических уравнений с многими неизвестными проектными
структурными параметрами синтеза из «Единой теории структуры статически определимых механических систем» [5, 6]:
1. Топологическое уравнение подвижности W (через сумму сторон S L всех L контуров):
W  0,5S L     3K .
(1)
2. Оригинальное уравнение подвижности W (в отличие от известных структурных
формул Чебышева-Грюблера не требующее подсчёта общего числа всех одноподвижных
пар):
W  2n1  n2  3  i  3ni  .
(2)
3. Общее число i -вершинных звеньев механической системы:
n~  ni  n1  n2  n3  ...  nK W .
(3)
4. Приведённое число многократных шарниров  (кратностью j  2 ):
   j  1 j   2  2 3  3 4  ...  K K 1 ,   n1  2K  1 .
Теория Механизмов и Машин. 2014. Том 12. №2(24).
(4)
67
Структура механизмов
5. Общее число замкнутых контуров L в механической системе:
L  2  0,5  n1   i  2ni  , ( i  K  W ).
(5)
6. Число независимых замкнутых контуров K (отличающихся друг от друга хотя бы
одним звеном или одной кинематической парой):
K  1  0,5  n1   i  2ni  , ( i  K  W ).
(6)
7. Аналитические закономерности топологической взаимосвязи между числом каждого вида многовершинных звеньев ( n2 , n3 , n4 ,..., ni ) и числом независимых замкнутых контуров ( K ) в механической системе подвижностью W , существующей (работающей) в пределах пространства движений с числом степеней свободы h =3:
n2  h  W     3  W   ; n3  2K  1 ; n4  K  1 ; ni  2 ;   n1  2K  1 .
(7)
8. Базисное уравнение сборки любых кинематических цепей – представляет собой необходимое и достаточное условие собираемости в единую механическую систему заданного
набора i -вершинных звеньев посредством их j -кратных соединений между собой:
n1  2k  1  i  2ni   j  1 j .
(8)
9. Уравнение структурного баланса в кинематической цепи между общим числом
сторон всех замкнутых контуров механической системы ( S L ) и числом  k каждого из этих
k -сторонних контуров, составленных из i -вершинных звеньев:
SL  k k  ini  2 W  3K    , ( k  n~  ).
(9)
Для выполнения аналитического определения всех возможных неотрицательных значений проектных структурных параметров и затем образования по ним разных вариантов
строения механических систем, указанные отдельные топологические уравнения (1) – (9)
далее объединим в следующие 2 несовместные системы расчётных линейных алгебраических уравнений с натуральными рядами целочисленных коэффициентов при неизвестных:
n~  n1  n2  n3  ...  ni  W  2 K  1;

33  4 4  ...k  k  2 W  3K   ;
n1  2n2  3n3  ...  ini     2W  3K ; 

 (I) 3   4  ...   k  K  1;
 (II)
n3  2n4  ...i  2ni     n1   2K  1;

k  n  ;   n1  2  K  1 .


1  0,5n3  2n4  ...  i  2ni     K
Таким образом, рассматриваемая методика численного структурного синтеза многозвенных механических систем с заданным числом замкнутых контуров K (величина K количественно задаёт допустимый уровень сложности проектируемой системы [5]) и с необходимым числом степеней свободы этой системы W – использует указанные топологические закономерности строения многоконтурных замкнутых систем (1) – (9) и содержит следующие этапы:
68
http://tmm.spbstu.ru
Универсальный метод топологического синтеза многоконтурных структур и атлас …
Этап 1. Решение системы структурных уравнений (I) и определение количественных
наборов многовершинных звеньев с учётом допустимого числа многократных шарниров
( ).
Этап 2. Решение системы структурных уравнений (II) и определение количественных
целочисленных наборов многосторонних замкнутых контуров ( L ).
Этап 3. Построение по найденным целочисленным решениям систем структурных алгебраических уравнений (I) и (II) искомых неизоморфных механических систем и их
«структурных инвариантов» (данное новое понятие рассмотрено далее в п.4).
Этап 4. Составление атласа всех возможных топологически неповторяющихся (неизоморфных) структур и их «структурных инвариантов».
3. Численный структурный синтез и составление атласов многозвенных структур
с заданным числом многосторонних замкнутых контуров ( K  2 )
Рассмотрим конкретные примеры совместного решения в целых числах указанных в
п.2 систем алгебраических уравнений (I), (II) и построения на основе этих неотрицательных
решений атласов топологически неповторяющихся многоконтурных структур и их «структурных инвариантов схемы строения замкнутых кинематических цепей».
Пример 1. Синтез многоконтурных структур с заданным числом избыточных связей
( q ).
С л у ч а й 1. Исходные данные: K  3, q  1W  1 и рекомендуемый порядок синтеза.
Этап 1. Система структурных уравнений (I) примет вид:
2n2    2W  3K   2 1  3  3  16 ;
~
n  n2  W  2K  1  6;   2  2 3  2K  1  4
и имеет единственное действительное целочисленное решение:
n2  6 , n  n2  6 ,
  2  4 .
Этап 2. Система структурных уравнений (II) примет вид:
33  2 W  3K     2  1  3  3  4  12; 3  K  1  3  1  4
и
также
имеет
единственное
действительное
целочисленное
решение: 3  4 ,
L  3  3  3  3 .
Этап 3. Вывод по численным решениям – искомая структура должна состоять из 6
двухшарнирных звеньев, образующих 4 трёхсторонних замкнутых контура с применением 4
двукратных шарниров (рис. 1), причём может быть выполнена плоской или пространственной.
С л у ч а й 2. Исходные данные: K  4, q  1W  1 и рекомендуемый порядок
синтеза.
Этап 1. Система структурных уравнений (I) примет вид:
2n2    2W  3K   22; n~  n2  W  2K  1  8;   2  2 3  3 4  2K  1  6
и имеет следующее действительное решение: n2  8 , n  n2  8 ,   6   2  4 , 3  1 ,
4  0 .
Этап 2. Система структурных уравнений (II) примет вид:
33  44  2 W  3K     2  1  3  4   6  16; 3  4  K  1  4  1  5
и имеет следующее действительное целочисленное решение:
3  4, 4  1; L  3  3  3  3  4  3  3  3  3  4 .
Теория Механизмов и Машин. 2014. Том 12. №2(24).
69
Структура механизмов
Этап 3. Вывод по численным решениям – искомая структура должна состоять из 8
двухшарнирных звеньев, образующих 4 трёхсторонних и 1 четырёхсторонний замкнутых
контура (с применением 4 двукратных шарниров и 1 трёхкратного шарнира) и может быть
выполнена (см. рис. 1) как плоской, так и пространственной в виде двух равнозначных
структурных инвариантов схемы строения: (a) L0  3 и (b) L0  4 .
Пример 2. Синтез статически определимых ферм ( q  0 ) и структурных групп с
W  0.
Исходные данные: W  0, K  3,  0 и рекомендуемый порядок синтеза.
Этап 1. Система структурных уравнений (I) примет вид:
~  n  n  n  W  2K  1  0  2  3  1  7
2n2  3n3  4n4  2W  3K   20  3  3  18; n
2
3
4
~
и имеет следующее действительное целочисленное решение: n  7, n  5, n  0, n  2 .
2
3
4
Этап 2. Система структурных уравнений (II) примет вид:
33  44  55  66  77  2 W  3K   18; 3  4  5  6  7  K  1  4 и имеет следующие 2 действительных целочисленных решения:
1) 3  1, 4  1, 5  1, 6  1;  L  3  4  5  6  ;
2) 3  2, 6  2;  L  3  3  6  6  .
Этап 3. Вывод по 2-м численным решениям – искомые структуры статически определимых ферм должны представлять 2 варианта сочетаний многосторонних замкнутых контуров:
1) L  3  4  5  6 ; 2) L  3  3  6  6 (для случая применения только простых шарниров), состоящих из 5 двухшарнирных и 2 четырёхшарнирных звеньев. Синтезированные 7звенные фермы представлены на рис. 2 , а их структурный код
n2 n3 n4
502 – есть в пе 
0
речне стандартных кодов «Универсальных структурных таблиц» [6, Прил.3] (т.е. они безызбыточные).
Этап 4. Отбрасывая в структуре обоих ферм с кодом 502/0 одно из четырёхшарнирных звеньев (любое), получаем 2 новые 6-звенные открытые структурные группы с W = 0
(рис. 2, б).
Примечание (для обсуждения). С учётом отсутствия данных кинематических цепей в
перечне известных 6-звенных групп Ассура (а разные авторы согласно [2] утверждают и
одинаково показывают, что таких 6-звенных групп существует только 10) – синтезированные на рис. 2, б шарнирные цепи можно считать выявленными 11-ой и 12-ой 6-звенными
группами с W = 0.
Рис. 1. Топологический синтез плоских и пространственных многоконтурных структур
70
http://tmm.spbstu.ru
Универсальный метод топологического синтеза многоконтурных структур и атлас …
Рис. 2. Структурный синтез 11-ой и 12-ой шестизвенных шарнирных групп с W  0
Рис. 3. Атлас 6-звенных 3-контурных базовых замкнутых кинематических цепей
и их инвариантов
Рис.4. Атлас структурных схем синтезированных 6-звенных 3-контурных механизмов
Пример 3. Синтез трёхконтурных замкнутых кинематических цепей механизмов
( W =1).
Исходные данные: W  1, L  3, K  2,  0 и рекомендуемый порядок синтеза.
Этап 1. Система структурных уравнений (I) примет вид:
2n2  3n3  2W  3K   21  3  2  14; n~  n2  n3  W  2K  1  1  2  2  1  6
~  6, n  4, n  2 – реалии имеет следующее действительное целочисленное решение: n
2
3
зуемое
Code
в
n2 n3
замкнутой
кинематической
цепи
со
стандартным
кодом
строения
42
  0.
Этап 2. Система структурных уравнений (II) примет вид:
44  55  66  2 W  3K   2 1  3  2   14; 4  5  6  K  1  2  1  3
и имеет следующие 2 действительных целочисленных решения:
1) 4  2, 5  0, 6  1;  L  4  4  6  ; 2) 4  1, 5  2, 6  0;  L  4  5  5 .
Теория Механизмов и Машин. 2014. Том 12. №2(24).
71
Структура механизмов
Этап 3. Вывод по полученным численным решениям уравнений (I) и (II) – реализующие эти структурные решения искомые структуры должны быть шестизвенными и состоять
из 4-х двухшарнирных и 2-х трёхшарнирных звеньев, образующих только 2 набора замкнутых контуров ( L  4  4  6 и L  4  5  5 ) с применением только простых шарниров
(  0 ).
На рис. 3 представлены синтезированные по решениям уравнений (I) и (II) две топологически неповторяющиеся замкнутые кинематические цепи (№1 и №2) и их 4 структурных
инварианта схемы строения (для каждой кинематической цепи её структурные инварианты
отличаются между собой по числу сторон L0 ограничивающего данную структуру, т.е.
внешнего замкнутого контура, внутри которого расположены все остальные K независимых
контуров).
Этап 4. На основе представленных на рис. 3 неизоморфных структур за счёт перемены
в них стойки возможно образование только 5 разных схем 6-звенных механизмов (рис. 4).
Пример 4. Синтез трёхконтурных замкнутых кинематических цепей механизмов ( W =
1).
Исходные данные: W  1, L  4, K  3,  0 и рекомендуемый порядок синтеза.
Этап 1. Система структурных уравнений (I) примет вид:
~  n  n  n  W  2K  1  1  2  3  1  8
2n2  3n3  4n4  2W  3K   21  3  3  20; n
2
3
4
и имеет только 3 следующих действительных целочисленных решения:
~  8, n  4, n  4, n  0 ; 2) n~  8, n  5, n  2, n  1 ; 3) n~  8, n  6, n  0, n  2 ,
1) n
2
3
4
2
3
4
2
3
4
реализуемых в 3-х типах замкнутых кинематических цепей со стандартными кодами строения:
1) Code
Этап
n2 n3 n4
2.
440 ; 1) Code n2 n3 n4  521 ; 1) Code n2 n3 n4  602 .
 
0

0

0
Система
структурных
уравнений
(II)
примет
вид:
44  55  66  77  88  2 W  3K   2 10  20; 4  5  6  7  8  K  1  4
и имеет только 5 следующих
действительных
целочисленных
решения:
1) L  4  4  4  8 ; 2) L  4  4  5  7 ; 3) L  4  4  6  6 ; 4) L  4  5  5  6 ;
5) L  5  5  5  5 .
Этап 3. Вывод по полученным численным решениям уравнений (I) и (II) – реализующие эти структурные решения искомые структуры должны быть 8-звенными с одним из
трёх рассчитанных возможных кодов строения (440/0, 521/0, 602/0 – все эти коды есть в
«Универсальной структурной таблице 1 стандартных кодов» [6]) и реализовывать каждый из
5 возможных наборов замкнутых контуров с определённым числом сторон (где сумма всех
сторон равна 20):
L  4  4  4  8 ; L  4  4  5  7 ; L  4  4  6  6 ; L  4  5  5  6 ;
L  5  5  5  5 .
Этап 4. Всё множество синтезированных по этим решениям неизоморфных 4контурных структур представлено на рис. 5 и позволяет:
а) выявить существование топологически неповторяющихся 24 замкнутых 8-звенных
кинематических цепей, а также существование 66 их структурных инвариантов (см. расширенный атлас на рис. 5) – ранее было известно только 16 цепей (история их открытия дана в
работе [3]).
б) синтезировать на основе этих 24 цепей за счёт разных вариантов стойки – целых
116 разных схем одноподвижных механизмов (см. расширенный атлас 8-звенных механизмов на рис. 6 (ранее в атласе Пейсаха Э.Е. [2] из 16 цепей получено с разной стойкой только
80 схем).
72
http://tmm.spbstu.ru
Универсальный метод топологического синтеза многоконтурных структур и атлас …
Рис. 5. Расширенный атлас 8-звенных 4-контурных базовых кинематических цепей одноподвижных рычажных механизмов с простыми шарнирами (24 неизоморфные структуры: I  XXIV в
виде 66 структурных инвариантов схемы строения a, b, c, d)
(н а ч а л о)
Теория Механизмов и Машин. 2014. Том 12. №2(24).
73
Структура механизмов
Рис. 5. Расширенный атлас 8-звенных 4-контурных базовых кинематических цепей одноподвижных рычажных механизмов с простыми шарнирами (24 неизоморфные структуры: I  XXIV в виде 66 структурных инвариантов схемы строения a, b, c, d)
(п р о д о л ж е н и е)
74
http://tmm.spbstu.ru
Универсальный метод топологического синтеза многоконтурных структур и атлас …
Рис. 5. Расширенный атлас 8-звенных 4-контурных базовых кинематических цепей одноподвижных рычажных механизмов с простыми шарнирами (24 неизоморфные структуры: I  XXIV в
виде 66 структурных инвариантов схемы строения a, b, c, d)
(о к о н ч а н и е)
Теория Механизмов и Машин. 2014. Том 12. №2(24).
75
Структура механизмов
Рис. 6. Расширенный атлас структурных схем 8-звенных 4-контурных плоских рычажных механизмов с простыми шарнирами (K=3, W=+1 – при разном выборе стойки и без учёта перемены
входного звена) (н а ч а л о)
76
http://tmm.spbstu.ru
Универсальный метод топологического синтеза многоконтурных структур и атлас …
Рис. 6. Расширенный атлас структурных схем 8-звенных 4-контурных плоских рычажных механизмов с простыми шарнирами (K=3, W=+1 – при разном выборе стойки и без учёта перемены
входного звена) (о к о н ч а н и е)
Теория Механизмов и Машин. 2014. Том 12. №2(24).
77
Структура механизмов
Заключение
1. Разработанный на основе новых топологических структурных формул (1) – (9) универсальный метод синтеза различных сложных механических систем (замкнутые цепи, статически определимые фермы, шарнирные группы с W  0 , механизмы с заданным W  1 ,
структуры с заданным числом избыточных связей q  1 ) – позволяет находить всё многообразие многозвенных кинематических цепей с заданным числом замкнутых контуров (т.е.
заданной сложности) для их применения в машинах различного назначения.
2. Применение указанного «Универсального топологического метода структурного
синтеза» для решения практических задач оптимального конструирования позволяет:
1) Обнаружить в дополнении к уже известным 10 шестизвенным группам Аcсура [2]
~  6 (см. рис. 2).
ещё 2 новые структурные шарнирные группы с W  0, n
2) Расширить в 1,5 раза атлас разных структурных схем замкнутых кинематических
цепей 8-звенных одноподвижных механизмов с простыми шарнирами – от традиционно
считающегося законченным количества из 16 схем [3] до 24 неизоморфных (топологически
неповторяющихся) структур (рис. 5) и впервые создать атлас из 66 реальных «структурных
инвариантов» 8-звенных кинематических цепей, реализующих указанные 24 неповторяющиеся структуры.
3) Расширить в 1,5 раза (с 80 схем [2] до 116 схем) атлас 8-звенных одноподвижных
плоских рычажных механизмов с простыми шарнирами при разном выборе стойки (см. рис.
6).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
78
Grubler M.F. Allgemeine eigenschaften fur zwanglanfigen ebenen kinematischen
ketten. – Civiling, Berlin, 1883, № 29. – S. 167-200.
Пейсах Э.Е. Атлас структурных схем восьмизвенных плоских шарнирных механизмов. // Теория механизмов и машин. 2006. Том 4. №1(7). С. 3-17.
Пейсах Э.Е. Структурный синтез замкнутых кинематических цепей (цепей
Грюблера). Часть 1.// Теория механизмов и машин. 2008. Том 6. №1(12). С. 4-14.
Пейсах Э.Е. Структурный синтез замкнутых кинематических цепей (цепей
Грюблера). Часть 2.// Теория механизмов и машин. 2008. Том 6. №2(12). С. 3-17.
Пожбелко В.И. Единая теория структуры, структурный синтез и анализ статически определимых механических систем на основе новой формулы подвижности.
// Теория механизмов и машин. 2013. Том 11. №2(22). С. 15-37.
Пожбелко В.И. Метод топологического структурного анализа и новые критерии
идентификации многоконтурных механических систем. // Теория механизмов и
машин. 2014. Том 12. №2(24). С. 51-66.
Ассур Л.В. Исследование плоских стержневых механизмов с низшими парами с
точки зрения их структуры и классификации. // Известия СПб политехн. института, 1913. Том 20. Вып. 1. – С. 329-385.
Баранов Г.Г. Классификация, строение, кинематика и кинетостатика плоских
механизмов с парами первого рода. // Труды семинара по теории машин и механизмов. 1952. Том. 2. Вып. 46. – М.: ИМАШ. – С. 15-39.
Пейсах Э.Е., Нестеров В.А. Система проектирования плоских рычажных механизмов. – М.: Машиностроение, 1988. – 232 с.
Евграфов А.Н., Петров Г.Н. Геометрия и кинематика механизма турбулентного
смесителя // Современное машиностроение. Наука и образование: Материалы 3ей Международной научно-практической конференции. / Под ред. М.М. Радкевича и А.Н. Евграфова. – СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2013. – С. 701-708.
Kolovsky M.Z., Evgrafov A.N., Semenov Yu.A., Slousch A.V. Advanced Theory of
Mechanism and Machines. – Springer Verlag, Berlin, 2000. 394 p.
http://tmm.spbstu.ru
Универсальный метод топологического синтеза многоконтурных структур и атлас …
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
A.G. Erdman , G.N. Sandor. Mechanism Design: Analysis and Synthesis. Vol.1.
PRENTICE-HALL of USA, Englewood Cliffs, New Jersey. 1984. 530p.
P.L. Ballaney. Theory of Machines. Delhi: Khanna Publishers, 1992. 484p.
M. Ceccareli. Fundamentals of Mechanics of Robotic Manipulations. – Kluwer
Academic Publishers, 2004. 400 p.
Crossley F.R. E. The permutation of kinematic chains of eight member or less from
the graf-theoretic viewpoint. // Developments in Theoretical and Applied Mechanics.
Vol. 2. – Pergamon Press, 1965. pp.467-486.
Manolescu N.I. The history of the original methods used in the synthesis of the planar
kinematic chains with different degrees of liberty. // V Conference about history the
theory of mechanism, Liberec, 1988. pp.145-157.
Franke R. Von Aufbau der Getriebe. Bd.1. – Dusseldorf: VDI-Verlag, 1948. pp. 160165.
Hain K. Die Analyse und synthese der 8 gliedrigen Gelenkgetriebe. – VDI-Berichte,
1955. pp.581-593.
Hwang W.-M., Hwang Y.-W. Computer-aided structural synthesis of planar kinematic
chains with simple joints. // Mechanism and Machine Theory. Vol.27. No.2. March
1992. pp.189-199.
M. Saura, A. Celdran, D. Dopico, I. Cuadrado. Computational structural analysis of
planar multibody systems with lower and higher kinematic pairs. // Mechanism and
Mashine Theory, 71. Elsevier, 2014. pp. 79-92.
REFERENCES
[1]
Grubler M.F. Allgemeine eigenschaften fur zwanglanfigen ebenen kinematischen
ketten. Civiling, Berlin, 1883, 29. pp.167-200.
[2] Peisach E.E. Atlas of Type Diagrams of Eight-link Planar Linkage. (in russian). Theory of Mechanisms and Machines. 2006. Vol. 4, № 1(7). pp. 3-17. (tmm.spbstu.ru)
[3] Peisach E.E. Structural Synthesis of Closed Kinematic Chains (Grubler’s chains). Part
1. (in russian). Theory of Mechanisms and Machines. 2008. Vol. 6. № 1(12). pp. 4-14.
(tmm.spbstu.ru)
[4] Peisach E.E. . Structural Synthesis of Closed Kinematic Chains (Grubler’s chains).
Part 2. (in russian). Theory of Mechanisms and Machines. 2008. Vol. 6. № 2(12)., pp.
3-17. (tmm.spbstu.ru)
[5] Pozhbelko V.I. A complete Theory of Structure, Structural Synthesis and Analysis of
Statically Determinate Mechanical Systems on Base a New Degrees of Freedom Equation. (in russian Theory of Mechanisms and Machines. 2013. Vol. 11, № 2(22). pp. 1537. (tmm.spbstu.ru)
[6] Pozhbelko V.I. Method of Topological Structural Analysis and a New Identifical Criterions of Complicated Multiloop Mechanical Systems.(in russian). Theory of Mechanisms and Machines. 2014. Vol. 12, № 2(24). pp. 51-66. (tmm.spbstu.ru)
[7] Assur L.V. Investigation of Plane Hinged Mechanisms with Lover Pairs from the Point
of View of their Structure and Classification. Part 1, 2 (in russian). Bulletin of Petrograd Polytechnical Inst. Vol. 20 (1). 1913. pp. 329-385.
[8] Baranov G.G. Classification, Structure, Kinematics and Kinetostatics of Planar Mechanisms with Lower Pairs. (in russian). Proceeding of Seminar on Mechanism and Machine Theory. 1952. Т. 2. M.: IMASH Press, pp.15-39.
[9] Peisax E.E., Nesterov V.A. System of Planar Linkage Design. (in russian). Moscow,
Mashinebuilding, 1988. 232 p.
[10] Evgrafov A.N., Petrov G.N. Geometry and Kinematics of Turbo Mixer Mechanism.
(in russian). Modern Engineering: Science and Education. Proceeding of 3-th International scientific conference. Saint-Petersburg. Russia. 2013. pp.701-708.
Теория Механизмов и Машин. 2014. Том 12. №2(24).
79
Структура механизмов
[11] Kolovsky M.Z., Evgrafov A.N., Semenov Yu.A., Slousch A.V. Advanced Theory of
Mechanisms and Machines. – Springer Verlag, Berlin, 2000. 394 p.
[12] A.G. Erdman, G.N. Sandor. Mechanism Design: Analysis and Synthesis. Vol.1.
PRENTICE-HALL of USA, Englewood Cliffs, New Jersey. 1984. 530 p.
[13] P.L. Ballaney. Theory of Machines. Delhi: Khanna Publishers, 1992. 484 p.
[14] M. Ceccareli. Fundamentals of Mechanics of Robotic Manipulations. Kluwer Academic Publishers, 2004. 400 p.
[15] Crossley F.R. E. The permutation of kinematic chains of eight member or less from
the graf-theoretic viewpoint. // Developments in Theoretical and Applied Mechanics.
Vol. 2. Pergamon Press, 1965. pp.467-486.
[16] Manolescu N.I. The history of the original methods used in the synthesis of the planar
kinematic chains with different degrees of liberty. // V Konference about history the
theory of mechanism. Liberec, 1988. pp.145-157.
[17] Franke R. Von Aufbau der Getriebe. Bd.1. Dusseldorf: VDI-Verlag, 1948. pp. 160165.
[18] Hain K. Die Analyse und synthese der 8 gliedrigen Gelenkgetriebe. VDI-Berichte,
1955. pp.581-593.
[19] Hwang W.-M., Hwang Y.-W. Computer-aided structural synthesis of planar kinematic
chains with simple joints. Mechanism and Machine Theory. Vol.27. No.2. March 1992.
pp.189-199.
[20] M. Saura, A. Celdran, D. Dopico, I. Cuadrado. Computational structural analysis of
planar multibody systems with lower and higher kinematic pairs. Mechanism and
Mashine Theory, 71. Elsevier, 2014. pp. 79-92.
Поступила в редакцию 28.08.2014
После доработки 30.10.2014
80
http://tmm.spbstu.ru