Скачать

Иткина А.Я. Временные ряды
Построение и анализ кореллограммы временного ряда
Коррелограмма – это графическое представление автокорреляционной функции.
Автокорреляционной функцией временного ряда называют теоретическую корреляцию
между значениями ряда в момент времени t и t + k, где k меняется от 1 до n, например до 20. k
показывает порядок автокорреляции. Под выборочной автокорреляционной функцией
понимают ряд из оцененных по заданному временному ряду yt коэффициентов корреляции
r k ( yt ; yt k ) .
Коррелограмма доступна из нескольких различных окон. В зависимости от того, из
какого окна вызывается коррелограмма, возникает несколько различных опций, которые
предлагаются Eviews.
Во-первых, программа позволяет выбрать максимальный порядок автокорреляции,
который будет представлен в коррелограмме. Во-вторых, можно выбрать по каким данным
строить автокорреляционную функцию: по данным исходного временного ряда или по
преобразованным данным, например по ряду yt , где yt = yt - yt -1 .
Для построения кореллограммы временного ряда выберите пункт Correlogram… в
меню View окна временного ряда – View/Correlogram…
В появившемся окне выберите, будете ли Вы строить кореллограмму (Correlogram of)
самого временного ряда (Level), либо его первых (1st difference) или вторых разностей (2d
difference), а также количество лагов*), для которых Вы хотите построить кореллограмму
(Lags to include). После того как Вы отметите все необходимые поля, нажмите ОК.
В заголовке появившегося окна представлена информация о том, с каким временным
рядом Вы работаете (AA), и из какого рабочего файла он взят (VR_RYD). В столбцах
Autocorrelation
и
автокорреляционной
Partial
и
частной
Correlation
представлены
автокорреляционной
функций
графики
с
выборочных
соответствующими
доверительными интервалами (пунктирные линии).
*)
Простое эмпирическое правило говорит, что достаточно взять Т/4 запаздываний, где Т – длина временного
ряда (количество наблюдений). При большом количестве наблюдений, как правило, по умолчанию предлагается
построить кореллограмму для 36 запаздываний.
1
Построение и анализ коррелограммы временного ряда
Рис. 1. Коррелограмма временного ряда АА
Пунктирные линии на графиках выборочных автокорреляционной и частной
автокорреляционной функций удалены от оси соответствующего графика на расстояние в два
стандартных отклонения и вычисляются как 2
T
, где Т – длина временного ряда. Если k-е
значение выборочной автокорреляционной (либо частной автокорреляционной) функции
находится внутри данного интервала, то можно говорить о том, что соответствующий
коэффициент приблизительно (на 5%-м уровне значимости) равен нулю.
В
столбцах
AC
и
PAC
приведены
численные
значения
выборочных
автокорреляционной и частной автокорреляционной функций соответствующего порядка,
информация о котором приведена в третьем столбце таблицы.
2
Иткина А.Я. Временные ряды
И, наконец, в столбцах Q-Stat и Prob приведены значения Q-статистики Льюнга-Бокса (Ljung-Box) и Pзначения для этой статистики. Статистика Льюнга-Бокса позволяет проверить нулевую гипотезу об отсутствии
автокорреляции порядка меньшего либо равного k (т.е. о равенстве коэффициентов автокорреляции 0).
k
H0 :
r
i 1
2
i
0
Если тест Льюнга-Бокса применяется непосредственно к временному ряду yt , то Qkасимптотически
распределена как
2 (k ) . Если же данный тест применяется к остаткам моделей типа ARIMAp, d, q, то Qk
асимптотически распределена как 2 (k  p  q) .
Одной из важнейших целей исследования выборочных автокорреляционной и частной
автокорреляционной функций является диагностика временного ряда. Если временной ряд
представлен более чем ста наблюдениями, то по коррелограмме можно с большой
надежностью делать выводы о его стационарности/нестационарности, сезонности и других
особенностях.
Стационарность временного ряда
Для решения практических задач обычно используется понятие стационарности
временного ряда в слабом смысле.
Слабо стационарным называется временной ряд в случае, если его теоретические
математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а ковариация (корреляция)
между его значениями в моменты t и t + s зависит только от s, а не от времени [1].
В случае стационарного ряда теоретическая автокорреляционная функция сходится к 0,
причем для авторегрессионного процесса сходится постепенно, а для процесса скользящего
среднего обрывается и становится равной 0 резко. Поскольку исследователь имеет дело с
выборочными автокорреляционными функциями, то сделать вывод по коррелограмме
несколько сложнее.
По Рис. 1 можно сделать вывод о стационарности ряда АА (AC сходится к 0). Однако
длина ряда всего 60 наблюдений, что не позволяет делать уверенных выводов, так как
большинство рядов являются асимптотически стационарными, т.е. не сразу, а через
продолжительный промежуток времени.
Проверяя гипотезу о равенстве автокорреляции k порядков 0 (статистика ЛьюнгаБокса) приходим к выводу, что присутствует автокорреляция всех порядков. Сезонность
отсутствует. Можно говорить о возможности применения авторегрессионных моделей.
3
Построение и анализ коррелограммы временного ряда
Выбор параметров модели ARMA по коррелограмме
В том случае, когда мы хотим построить модель авторегрессии AR(p) для определения
наилучшего числа p используют частную автокорреляционную функцию. Порядком
авторегрессии p будет максимальный лаг (порядок автокорреляции), в котором коэффициент
PAC заметно отличается от 0. Модель типа AR(p) применима лишь в том случае, когда,
начиная с некоторого уровня (лага) PAC статистически равны 0. В приведенной выше (Рис.
1) коррелограмме – p = 1, 2 или 6. (если брать все порядки до 6-го, то порядки 3-5 будут
скорее всего незначимы).
При идентификации модели ARMA(p, q) выбор порядка p зависит от лага, начиная с
которого убывает PAC, а порядка q от лага, начиная с которого убывает AC. Для
приведенной коррелограммы – это ARMA(1, 1) или ARMA(6, 6), где несколько
промежуточных порядков окажутся незначимыми.
Рис. 2. Коррелограмма временного ряда Z1
4
Иткина А.Я. Временные ряды
Рассмотрим Рис. 2. Наблюдается автокорреляция всех порядков. До 21-го –
положительная,
поскольку
коэффициент
автокорреляции
больше
нуля,
а
затем
отрицательная. Однако, начиная с 16-го порядка можно говорить о том, что коэффициент
автокорреляции незначимо отличается от нуля. Поскольку AC монотонно убывает, начиная с
1-го порядка, можно сделать вывод о стационарности исходного временного ряда. Рост AC
начиная с 24-го порядка возможен по причине наличия автогрегрессионной зависимости. Т.е.
стоит построить модель ARMA(1,0) (PAC тоже убывает, начиная с 1-го порядка), и скорее
всего этого будет достаточно. Изучив коррелограмму остатков от ARMA(1,0), можно будет
принять решение о необходимости использования ARMA(1,1).
Литература:
1. Брюков В.Г. Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с
использованием Excel и Eviews. М.: КНОРУС; ЦИПСиР, 2011.
2. Доугерти К. Введение в эконометрику. М: ИНФРА-М, 2009.
3. Турунцева М.Ю. Анализ временных рядов. М: МИЭФ ГУ-ВШЭ, 2003.
4. Eviews Users guide, 2003
5. Eviews Users guide, 2004
6. Википедия
5