Задачи к зачету

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
1. Используя известные формулы площади треугольника, доказать
следующие:
а) S  Rha sin A
б) S  2R2 sin Asin B sin C
1
2
с) S  R 2 (sin 2 A  sin 2B  sin 2C )
2. Доказать, что площадь треугольника, стороны которого равны
медианам данного треугольника, составляет
3. Доказать, что
r
( p  a)( p  b)( p  c)
,
p
треугольник окружности.
4. Доказать, что в любом треугольнике
3
его площади.
4
r-
радиус вписанной в
bca
bc
 ma 
2
2
5. В окружность радиуса R вписан треугольник, вершины которого делят
окружность на 3 части в отношении 2:5:17. Найти площадь
треугольника. Задачу решить несколькими способами.
6. Используя известные формулы площади треугольника, доказать
следующие:
а) S  Rr (sin A  sin B  sin C)
б) S 
1 hb hc
2 sin A
7. Доказать, что медианы треугольника делят его на шесть равновеликих
частей.
abc
4 p( p  a)( p  b)( p  c)
p
9. Доказать, что в любом треугольнике
 ma  mb  mc  p
2
8. Доказать, что R 
10.Прямая, параллельная основанию треугольника делит его на две
равновеликие части. В каком отношении она делит боковые стороны?
11.Точка на гипотенузе, равноудаленная от катетов, делит гипотенузу на
отрезки длиной 30 и 40. Найти сумму длин катетов.
12.Биссектриса внешнего угла при основании равнобедренного
треугольника образует с высотой, опущенной из вершины этого угла,
угол 87. Найти угол при вершине этого треугольника.
13.Катеты прямоугольного треугольника относятся как 1:3, а гипотенуза
равна 40. Найти длину высоты, опущенную на гипотенузу.
14.Высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника, делит
угол в отношении 1:2. В каком отношении высота делит площадь
треугольника.
15.В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены
медиана длиной 2 3 и биссектриса длиной 2 . Найти площадь
треугольника.
16.Одна из диагоналей параллелограмма длиной 4 6 составляет с
основанием угол 60, а вторая диагональ составляет с тем же
основанием угол 45. Найти длину второй диагонали.
17.В треугольнике АВС АВ = 5, ВС = 10, ВК – биссектриса. Площадь
треугольника АВК равна 1. Найти площадь треугольника АВС.
18.В треугольнике АВС медиана АД и биссектриса ВЕ пересекаются в
точке О. АД перпендикулярно ВЕ. Площадь треугольника АОЕ равна
2. Найти площадь треугольника АВС.
19.Медианы треугольника равны 3, 5, 4. Найти площадь треугольника.
20.Две стороны треугольника равны 2 и 2 15 . Медиана третьей стороны
равна 4. Найти площадь треугольника.
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
1. Доказать теорему Чевы: Точки А1, В1, С1 лежат соответственно на
сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС, причем отрезки АА1, ВВ1,
СС1 пересекаются в одной точке. Тогда
АС1 ВА1 СВ1


 1.
С1В А1С В1 А
2. Воспользовавшись теоремой Чевы, доказать, что медианы
треугольника пересекаются в одной точке.
3. Воспользовавшись теоремой Чевы, доказать, что высоты треугольника
или их продолжения пересекаются в одной точке.
4. Доказать, что чевиана является медианой тогда и только тогда, когда
она (чевиана) делит внутренний угол треугольника на два таких угла,
синусы которых обратно пропорциональны прилежащим сторонам.
5. Доказать, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками
касания вписанной в этот треугольник окружности, пересекаются в
одной точке.
6. Доказать теорему, обратную теореме Чевы: Точки А1, В1, С1 лежат
соответственно на сторонах ВС, АС, и АВ треугольника АВС, причем
АС1 ВА1 СВ1


 1 , тогда отрезки АА1, ВВ1, СС1
С1В А1С В1 А
пересекаются в одной
точке.
7. Воспользовавшись теоремой Чевы, доказать, что биссектрисы
треугольника пересекаются в одной точке.
8. Доказать, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками
касания вневписанных окружностей со сторонами треугольника,
пересекаются в одной точке.
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ
ТРЕУГОЛЬНИКА. РАВЕНСТВО, ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
1. Доказать теорему Менелая: Пусть прямая пересекает произвольный
треугольник АВС, причем С1 – точка пересечения со стороной АВ, А1 –
точка пересечения со стороной ВС и В1 – точка пересечения с
продолжением стороны АС. Доказать, что
АС1 ВА1 СВ1


 1.
С1В А1С В1 А
2. Примените теорему Менелая к решению следующей задачи: Дан
треугольник АВС. ВМ – его медиана. Точка Р лежит на АВ, точка О
АР 2
ВО
,

 6 . Отрезок РО пересекает
РВ 5
ОС
ВR
медиану ВМ в точке R. Найти
.
RM
принадлежит ВС, причем
3. В треугольнике АВС угол С равен 90. ВС = 3, АС = 4, СД –
биссектриса, АМ – медиана. Найти площадь треугольника СЕМ. (
Примените теорему Менелая)
4. Из вершины С прямого угла треугольника АВС опущена высота СК. В
треугольнике АСК проведена биссектриса СЕ. Прямая, проходящая
через точку В параллельно СЕ, пересекает СК в точке F. Докажите, что
прямая ЕF делит АС пополам.
5. Доказать с помощью теоремы Менелая, что медианы треугольника
пересекаются в одной точке и эта точка пересечения делит каждую из
медиан в отношении 2:1, считая от вершины.
6. Дан правильный треугольник АВС со стороной 6. Точка К делит
сторону АС так, что
АК 1

, а точка М делит сторону АВ так, что
КС 2
АМ 1
 . Найдите длину отрезка КМ.
МВ 2
7. Найдите длину биссектрисы прямоугольного треугольника с катетами
3 и 6, проведенной из вершины прямого угла.
8. Длина катета прямоугольного треугольника равна 18. Точка, которая
принадлежит данному катету, удалена от гипотенузы и от другого
катета на 8 . Найдите периметр треугольника.
9. АМ и СК – высоты треугольника АВС. АС = 12 3 , ВК = 24 , ВС=
9 2 . Найдите длину отрезка КМ.
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ОКРУЖНОСТИ
1. Докажите теорему Карно: В остроугольном треугольнике сумма
расстояний от центра описанной окружности до сторон
треугольника равна сумме радиусов вписанной и описанной
окружностей.
2. Сформулировать и доказать теорему Карно для тупоугольного
треугольника.
3. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 15, а
основание равно 8. Найти диаметр описанной около треугольника
окружности.
4. В треугольнике АВС заданы длины сторон АВ = 6, ВС = 7 и АС = 8.
Найти синус угла В.
5. Синусы двух острых углов треугольника равны
3
5
и
. Радиус
5
13
описанной окружности равен 32,5. Найти площадь треугольника.
6. Из точки В, взятой на окружности, проведены диаметр ВС и хорда ВА,
которая стягивает дугу в 46О. Найти угол меду диаметром и хордой.
7. Доказать, что угол между двумя пересекающимися хордами равен
полусумме градусных мер тех дуг, на которые опирается этот угол и
угол вертикальный к нему.
8. Доказать, что угол между двумя секущими равен половине разности
градусных мер большей и меньшей дуг, высекаемых этими секущими
на окружности и заключенными между ними.
9. Доказать, что угол, образованный касательной и хордой, проведенной
через точку касания равен половине градусной меры дуги,
заключенной между сторонами этого угла.
10. Доказать, что угол образованный касательной и секущей равен
половине разности градусных мер большей и меньшей дуг,
высекаемых сторонами этого угла и заключенными между ними.
11. Доказать, что угол, образованный двумя касательными равен
полуразности градусных мер большей и меньшей дуг заключенными
между точками касания.
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ И
ОКРУЖНОСТИ
1. Доказать, что треугольник АВС будет прямоугольным тогда и только
тогда, когда
1
1
1
 2  2.
2
ha hb hc
2. Доказать, что высота, опущенная из вершины прямого угла АСВ
треугольника АВС, равна сумме радиусов окружности, вписанных в
треугольник АВС, АСД и ДСВ, то есть
i. h = r + r1 + r2.
3. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен
полуразности его катетов. Найти отношение большего катета к
меньшему.
4. Доказать обобщенную теорему Пифагора. Для любых сходственных
элементов da , db, dc прямоугольных треугольников ВДС, СДА, АСВ
имеет место равенство
5. da2 + db2 = dc2 .
6. С помощью обобщенной теоремы Пифагора решить следующую
задачу.
Прямоугольный треугольник АВС разделен высотой,
проведенной к гипотенузе на два треугольника, в которые вписаны
окружности радиусами 5 и 12. Найти радиус окружности вписанной в
треугольник АВС.
7. Доказать метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
8. b2 = c bc , a2 = c ac , h2 = bc ac , a b = ch, R =
с
abc
= mc , r =
,
2
2
a  b aa a 2
,
.
Rr 

2
bc b 2
9. Сформулировать определение вневписанной окружности. Сделать
соответствующий рисунок.
10.Доказать, что точка касания вневписанной окружности треугольника
делит его периметр пополам.
11.Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 3,
а радиус окружности, которая касается гипотенузы и продолжений
катетов за вершины острых углов, равен 18. Найти больший катет
треугольника.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
2b 2  2c 2  a 2
.
4
m2  m2  m2 3
2. Доказать, что в треугольнике АВС a2 2b 2c  .
a b c
4
4
3. Доказать, что в треугольнике АВС a 2  (2mb2  2mc2  ma2 ) .
9
1. Доказать, что в треугольнике АВС ma2 
4. Доказать, что в треугольнике АВС угол С будет равен 90 тогда и
только тогда, когда ma2  mb2  5mc2 .
5. Доказать, что длину медианы треугольника АВС можно вычислять по
формулам тф 
1 2
1
b  c 2  2bc cos A 
4b 2  a 2  4ab cos C .
2
2
6. Медианы треугольника равны 3, 5, 4. Найти площадь треугольника.
7. Две стороны треугольника 2 и 2 15 . Медиана третьей стороны 4.
Найти площадь треугольника.
8. Докажите, что треугольник, имеющий две равные медианы –
равнобедренный.
9. В равнобедренном треугольнике к боковой стороне длиной 4 проведена
медиана равная 3. Найдите периметр треугольника.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА
1. Доказать, что биссектриса
противолежащую
сторону
АК
на
треугольника АВС делит
части,
пропорциональные
соответствующим боковым сторонам, т.е.
СК АС
.

КВ АВ
2. Доказать, что отрезки СК и КВ находятся по формулам
3. СК =
ав
ас
, КВ =
, где а, в, с - стороны треугольника АВС.
вс
вс
4. В треугольнике АВС из вершины угла проведена биссектриса АК,
которая делит сторону треугольника на отрезки СК = m и КВ = n.
Доказать, что АК2 = bc – mn .
5. Доказать, что для любого треугольника АВС длина его биссектрисы
вычисляется по формуле la 
2 bc
bc
p( p  a) .
6. Доказать, что расстояние от инцентра треугольника (точка пересечения
биссектрис треугольника) до его вершины А можно вычислить по
формуле AI 
bc( p  a)
.
p
7. Доказать, что биссектриса угла А треугольника АВС
пересечения делится в отношении
bc
, считая от вершины.
a
точкой
8. Доказать, что биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего
угла треугольника перпендикулярны.
9. Доказать, что биссектрису треугольника, заключенную между
сторонами a и b можно вычислить по формуле
2ab cos a / 2
.
ab
10.В выпуклом четырехугольнике АВСД угол А равен 90 и угол В равен
130. Найти величину острого угла между биссектрисами двух других
углов. (27)
11.Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 5 5 , а длина
катета - 5. Найдите длину его биссектрисы, проведенной из вершины
прямого угла.
12.Периметр треугольника равен 30. Найдите угол, противолежащий
стороне равной 14, если биссектриса треугольника делит ее в
отношении 3:5.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА
1. Пусть На , Нв , Нс – основания высот треугольника АВС, Н – его
ортоцентр. Доказать, что угол АННв равен углу С, угол ВННс равен углу А,
угол СННа равен углу В.
2. Доказать, что высоты треугольника лежат на биссектрисах
ортоцентрического треугольника.
3. Доказать, что треугольники АНв Нс , На Нв С, На ВНс и треугольник
АВС подобны.
4. Доказать, что стороны ортоцентрического треугольника находятся по
формулам Нв Нс = acosA , Нс На = bcosB , На Нв = ccosC
5. Доказать, что углы ортоцентрического треугольника связаны с углами
треугольника АВС следующими равенствами:  На = 189 – 2А, Нв = 189
– 2В,  Нс = 180 – 2С.
6. Доказать, что радиус окружности, описанной около ортоцентрического
треугольника вдвое меньше радиуса окружности, описанной около
треугольника АВС.
7. Доказать, что в треугольнике АВС расстояние от ортоцентра до вершин
вычисляется по по формулам АН = 4R2  a 2  2R cos A ; и т.д.
8. Доказать, что периметр ортотреугольника равен
р =
4 R sin A sin B sin C 
2S
, если данный треугольник остроугольный.
R