za 2014 rik;doc

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
1
ЛЕКЦИЯ 25 Устойчивость продольно сжатых стержней
1 Понятие об устойчивости форм равновесия. Критическая сила
Под устойчивостью механической системы вообще следует понимать
свойство сохранять свое исходное состояние при внешнем воздействии.
Рис. 1
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
2
Рис. 2
Исходная прямолинейная форма продольно – сжатого стержня (как
форма его упругого равновесия) считается устойчивой, если деформации,
вызванные приложением бесконечно малой поперечной силы, исчезают
после ее удаления.
Исходная прямолинейная форма продольно сжатого стержня является
неустойчивой, если приложение бесконечно малой поперечной силы
сопровождается развитием больших упруго-пластических деформаций или
разрушением стержня (т.е. образованием новых форм равновесия и
невозможностью возврата к исходной форме равновесия при снятии
поперечного возмущения).
Критической силой называется такое значение продольной
сжимающей силы, при котором исходная прямолинейная форма
упругого
равновесия
стержня
из
устойчивой
превращается
в
неустойчивую.
Расчеты и опыты показывают, что для достаточно длинных стержней
Pкр   T F , т.е. потеря устойчивости происходит до разрушения от
появления напряжений текучести.
По этой причине предельным значением продольного сжимающего
усилия для стержней следует считать
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
3
Ркр, а не Рпред =  ТF =  BF.
И в этом случае говорят о необходимости производства расчета не на
прочность, а на устойчивость.
При производстве расчетов на устойчивость рабочая нагрузка
определяется как часть критической:
P
Pкр
или
ny
ny 
Pкр
P
,
(1)
ny > 1 - запас устойчивости. Тогда условие устойчивости приобретает
где
вид:
 
ny  ny ,
 
где n y – допускаемый запас устойчивости (задаётся).
В такой постановке задачи устойчивости основной проблемой
является проблема определения величины критической силы.
2 Задача Эйлера
E, Iy, l,
Дано:
Определить:
при
каких
условиях возможно равновесие
стержня со слегка изогнутой
продольной осью (т.е. в начале
потери
устойчивости).
Таким
образом, предстоит определить
значение
Рис. 3
силы
Р
и
форму
упругой линии стержня.
Как известно, приближенное дифференциальное уравнение упругой
линии имеет вид:
EI min z x    M y  x  .
(2)
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
4
Отметим следующее:
1) Уравнение (2) справедливо только при z  l ;
2) Уравнение (2) получено с использованием закона Гука, следовательно,
полученные результаты справедливы только при    пц ;
3) В уравнении (2) Iy = Imin, т.к. изгиб стержня при потери устойчивости
происходит в плоскости минимальной жесткости.
Из рисунка видно, что
M y x    P  z
(3)
Тогда
EI min z  x    Pz
или
z  x   
Pz  x 
EI min
или
z  x  
P  zx 
 0.
EI min
Обозначим
P
2
k .
EI min
Тогда
z  x   k z  x   0 .
2
(4)
(5)
(6)
Решением этого дифференциального уравнения является
z  x   C1 sin kx  C2 cos kx
(7)
Постоянные С1 и С2 определяют из граничных условий на опорах А и
В:
1) на опоре А, т.е. при х = 0
z = 0 и 0=С10+С21, откуда С2 = 0;
2) на опоре В, т.е. при x = l
z = 0, тогда
0 = С1 sin kl.
(8)
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
5
Это уравнение может быть удовлетворено при двух условиях:
а) С1 = 0
и тогда (7) приобретает вид z(x) = 0, т.е продольная ось стержня
прямолинейна. Очевидно, что тот случай нас не интересует.
sin kl = 0,
б)
(9)
т.е. kl = n  ,
где
(10)
n – произвольное целое число. Из (10) k 
n
, или с учетом уравнения
l
(5), получаем
P
n

EI min
l
(11)
и
2 2
P
 n
l
EI min .
2
(12)
При этом уравнение упругой линии будет иметь вид:
 x
z  x   C1 sin n  .
 l
(13)
Из (12) следует, что для сохранения криволинейной формы равновесия сила
Р должна принимать строго определенные значения.
Наименьшая отличная от 0 сила Р будет иметь величину
Э

Pкр
 2 EI min
l
2
.
(14)
Эта сила называется первой критической или силой Эйлера. При этом
Э
упругая линия имеет вид:
значении силы Pкр
Рис. 4
6
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
 x 
z  x   C1 sin  ,
 l 
(15)
т.е. стержень изгибается по полуволне синусоиды.
При наличии промежуточных подкреплений число n может быть
другим. Очевидно, что для получения n волн (при условии подкрепления)
2 Э
следует приложить P  n Pкр :
Рис. 5
Э
(n=2)
P2  4 Pкр
(n=3)
P3  9 Pер
Очевидно,
Э
что
при
производстве расчетов на устойчивость нас не могут интересовать значения
Э
Р2 и Р3 и т.д., т.к. при P  Pкр начинается развитие больших деформаций,
что приводит к необходимости пересмотра полученных результатов.
Э
3 Зависимость Pкр от условий закрепления стержня
Как было сказано выше, в пределах малых перемещений изгиб
стержня происходит по полуволне синусоиды и критическая сила
определяется по формуле Эйлера. В этой формуле в качестве длины l0
должна приниматься длина полуволны синусоиды. Очевидно, что она поразному связана с фактической длиной в зависимости от условий
закрепления стержня:
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
7
Рис. 6
Учет способа закрепления производится путем введения в расчет
приведенной длины l0 = vl:
l = l0
l0 = 2l
l0 = 0,5l
l0 = 0,7l
v=1
v=2
v = 0,5
v = 0,7
Именно это значение длины необходимо подставлять в формулу Эйлера, т.е.
для учёта способа закрепления концов стержня необходимо пользоваться
формулой:
2
 2 EI min
Э 
,
Pкр 
EI min 
2
l02
vl
 
(16)
v – коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа
крепления
l
v 0
l
(17)
4 Пределы применимости формулы Эйлера
Так как при выводе формулы (2) был использован закон Гука, то,
следовательно, формула Эйлера применима при
8
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
0   кр   пц ,
(18)
где  кр – критические напряжения,  пц – предел пропорциональности:
Э
 кр 
Ркр
F


2
I
E min   пц .
l 2 F
Вспомним, что
I min
2
 imin – минимальный радиус инерции.
F
Тогда
 кр 
2
 vl 
Ei 2   пц
2 min
 кр 
или
vl
Введем обозначение
imin
2
 vl 


 imin 
2
(19)
E   пц .

(20)
и назовем ее гибкостью стержня. Тогда
2
 кр 
 E
2

2
  пц
 E
 
.
 пц
(21)
2
Величину
 E
  пред
 пц
называют
предельной
гибкостью
материала. Тогда условия применимости формулы Эйлера приобретает вид
  пред
(22)
или
 2E

.
imin
 пц
vl
(23)