Задание по информатике №2 для 10

Министерство образования и науки Российской Федерации
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Заочная физико-техническая школа
ИНФОРМАТИКА и ИКТ
Алгебра логики
Задание №2 для 10-х классов
(2014 – 2015 учебный год)
г. Долгопрудный, 2014
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
Составитель: В.В. Мерзляков, ассистент кафедры информатики СУНЦ МГУ.
Математика: задание №2 для 10-х классов (2014 – 2015 учебный год),
2014, 24 с.
Дата отправления заданий по информатике - 3 декабря 2014 г.
Составитель:
Мерзляков Василий Владимирович
Подписано 17.10.13. Формат 60×90 1/16.
Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,5
Уч.-изд. л. 1,33. Тираж 400. Заказ №23-з.
Заочная физико-техническая школа
Московского физико-технического института
(государственного университета)
ООО «Печатный салон ШАНС»
Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Москов. обл., 141700,
ЗФТШ, тел/факс (495) 408-51-45 – заочное отделение,
тел./факс (498)744-63-51 – очно-заочное отделение,
тел. (925) 755-55-80 – очное отделение.
e-mail: [email protected]
Наш сайт: www.school.mipt.ru
© ЗФТШ, 2014
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
2
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
§1 Введение в алгебру логики
Алгебра логики является частью активно развивающейся сегодня
науки – дискретной математики. Дискретная математика – это тот раздел математики, где не используется понятие непрерывности.
Термин «дискретный» в русском языке имеет следующие значения:
1) Состоящий из отдельных частей.
2) Изменяющийся между несколькими стабильными состояниями.
3) Существующий лишь в отдельных точках.
Для того, чтобы лучше понять этот термин, рассмотрим следующий
пример. Мы знаем, что график некоторой функции (например, y=x2)
является непрерывной линией (параболой), если аргумент функции
принимает все значения из множества действительных чисел. А теперь
представим, что x может принимать только значения из множества целых чисел. В этом случае график будет представлять собой бесконечное количество отдельных точек, располагающихся на координатной
плоскости в определённом порядке. В расположении точек будет угадываться парабола, но непрерывной линии мы не увидим. Вместо неё
мы увидим дискретную структуру.
В прошлом задании мы говорили о представлении чисел в компьютере, и знаем, что каждое число представляется в виде определённой
последовательности значений битов. В каждом бите может храниться
ноль или единица. То есть, по сути, представление чисел (в будущем
мы увидим, что не только чисел, а вообще любых данных) в компьютере является дискретной структурой. Поэтому, изучение дискретных
структур – важная часть информатики. В этом задании мы будем изучать наиболее простую дискретную структуру, которая называется высказыванием.
Определение 1. Высказывание – это повествовательное предложение, в отношении которого можно судить о его истинности либо ложности.
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
3
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
Например, предложение: «Я – твой друг» является высказыванием, а
предложение: «Положи это сюда!» высказыванием не является, поскольку не является повествовательным предложением.
Истинность или ложность каждого высказывания зависит от трактовки его содержания. Например, высказывание: «Город Москва – столица России» является истинным, а высказывание: «Город СанктПетербург стоит на реке Лене» является ложным.
Определение 2. Высказывание называется простым, если никакая
его часть сама по себе не является высказыванием.
Высказывание: «Эта шляпа – красная» является простым, в то время
как высказывание: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую» является примером сложного
высказывания, которое, по сути, состоит из трёх простых: «две прямые
параллельны», «прямая пересекает одну из двух прямых», «прямая пересекает другую прямую». В сложном высказывании простые высказывания соединяются при помощи логических связок. В рассмотренном
выше примере логической связкой является союз «если то».
Алгебра логики изучает структуру сложных логических высказываний и способы установления их истинности при помощи алгебраических методов. Причём, конкретное содержание высказываний предметом изучения алгебры логики не является, и, соответственно, интересовать нас в дальнейшем не будет.
В прошлом задании при изучении основ программирования мы
столкнулись с понятиями констант и переменных. Константа – это некоторое конкретное значение, а переменная – это объект, который может менять свои значения и которому можно присваивать различные
значения. Этими же понятиями пользуется и алгебра логики, чтобы абстрагироваться от конкретных содержаний высказываний. Будем считать, что любое простое высказывание – это есть константа. И введем
понятие переменной в алгебре логики.
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
4
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
Определение 3. Переменной в алгебре логики называется объект,
имеющий уникальное имя, и значением которого может являться любое простое высказывание.
В отличие от языков программирования в алгебре логики нет ограничений при именовании переменных. Переменные могут иметь абсолютно любые имена, но чаще всего их обозначают заглавными или
строчными латинскими буквами (A, B, C, x, y, z, s), либо последовательностью, состоящей из заглавной или строчной латинской буквы и
целого числа (A1, A2, A4, A10000000). Ещё одно отличие от языков
программирования заключается в том, что после присвоения переменной высказывания можно говорить об её истинности либо ложности. То
есть существует два понятия «значение логической переменной». С одной стороны – это конкретное высказывание, а с другой стороны – это
истина, либо ложь.
Определение 4. Логическим выражением называется объект, состоящий из логических переменных и логических операций и имеющий
значение истина, либо ложь. Процесс построения логического выражения по сложному высказыванию называется формализацией высказывания.
В процессе формализации нужно сделать следующие действия: выделить из сложного высказывания простые и превратить их в логические переменные. Затем каждая логическая связка превращается в логическую операцию. В описанных действиях остаётся два непонятных
момента. Первый – что такое логическая операция, и второй – каким
образом логические связки превращаются в логические операции. Будем последовательно отвечать на эти вопросы.
Для того, чтобы определить операцию необходимо указать количество операндов (объектов, над которыми выполняется операция) их тип
и результат выполнения операции. Логические операции чаще всего
имеют два операнда, как и математические. Однако, мы также будем
изучать операции, которые имеют всего один операнд. Независимо от
количества операнды должны быть логического типа, то есть иметь
значение истина, либо ложь. Результатом логической операции также
является логическое значение – истина или ложь. Для того, чтобы немного сократить запись условимся в дальнейшем логическое значение
«истина» обозначать единичкой ( 1 ), а логическое значение – «ложь» –
нулём ( 0 ).
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
5
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
Очевидно, что если у операции два операнда, и значением каждого
является 0 или 1, то существует всего четыре набора значений операндов (00, 01, 10, 11). Для каждого из наборов необходимо определить
значение логической операции. Удобно это представлять в виде таблицы. Таблицы соответствия значений логических операций набору значений операндов называются таблицами истинности.
§2 Логические операции. Формализация высказываний
Сейчас мы познакомимся с шестью основными логическими операциями. Каждая из них имеет несколько названий и обозначений.
Названия операции
Отрицание, инверсия.
Возможные обозначения
 ,,
Конъюнкция, логическое умно&, ,  , по аналогии с алжение, операция И, операция AND.
гебраическим умножением
может никак не обозначаться
Дизъюнкция, нестрогая дизъюнк|,,+
ция, логическое сложение, операция
ИЛИ, операция OR.
Строгая дизъюнкция, раздели, 
тельная дизъюнкция, исключающее
ИЛИ, сложение по модулю 2.
Эквивалентность, эквиваленция,
, 
равенство, равнозначность.
Импликация, следование, след, 
ствие
Теперь для того, чтобы строго определить эти логические операции,
нам нужно для каждой из них выписать таблицу истинности. Все перечисленные операции кроме отрицания имеют два операнда. Знак операции в выражениях пишется между операндами (как в алгебре чисел).
Операция отрицания имеет один операнд и в выражениях записывается
либо в виде черты над операндом, либо в виде символа «приставка»
слева от операнда.
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
6
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
Для того, чтобы не путаться и гарантированно перебрать все возможные комбинации значений операндов, принято записывать их в лексикографическом порядке (условно считается, что «ложь» < «истина»)
Таблица истинности для конъюнкции
Первый операнд
Второй операнд
Значение операции
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Таблица истинности для дизъюнкции
Первый операнд
Второй операнд Значение операции
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Таблица истинности для строгой дизъюнкции
Первый операнд Второй операнд
Значение операции
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Таблица истинности для эквивалентности
Первый операнд Второй операнд
Значение операции
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Таблица истинности для импликации.
Первый операнд Второй операнд
Значение операции
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
7
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
Таблица истинности для отрицания
Значение операнда
Значение операции
0
1
1
0
Теперь осталось лишь установить соответствие между логическими
операциями и логическими связками в русском языке.
Логическая операция
Логические связки в русском языке
Отрицание
Неверно что…
Конъюнкция
и, а, но, а также, при этом, одновременно с этим, хотя
Дизъюнкция
Или
Строгая дизъюнкция или, либо
Эквивалентность
Тогда и только тогда когда, необходимо
и достаточно чтобы
Импликация
если то, необходимо чтобы, достаточно
чтобы
Обратите внимание, что союз ИЛИ может означать, как строгую так
и нестрогую дизъюнкцию. Его интерпретация зависит от содержания
(!!!) высказывания.
Пример 1. Рассмотрим высказывание: «Мы идём в кино в субботу
или в воскресение». Здесь два простых высказывания: «Мы идём в кино в субботу» и «Мы идём в кино в воскресение». Между ними стоит
союз ИЛИ, который можно интерпретировать двояко. В данном случае
очевидно, что мы можем пойти в кино и в субботу, и в воскресение,
поэтому дизъюнкция будет нестрогая. Возьмём две логические переменные – p и q и присвоим им простые высказывания. Тогда исходное
высказывание в формализованном виде будет выглядеть, как pq.
Пример 2. Рассмотрим высказывание: «Я сейчас на севере Москвы
или на юго-западе Москвы». Здесь тоже два простых высказывания,
которые связаны союзом ИЛИ. Но в этом случае союз ИЛИ интерпретируется, как строгая дизъюнкция, поскольку нельзя одновременно
находиться в двух местах. Таким образом, если снова взять логические
переменные p и q, то получится следующая логическая формула: pq
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
8
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
Пример 3. Рассмотрим высказывание: «Для того, чтобы четырёхугольник был квадратом, необходимо, чтобы все его стороны были
равны». Здесь два простых высказывания: «Четырёхугольник является
квадратом» и «Все стороны четырёхугольника равны». Присвоим их
соответственно логическим переменным p и q. Логическая связка
«необходимо, чтобы» - это импликация. Весь вопрос в том, что из чего
следует. (Какая запись правильная: pq или qp?) Импликация ложна только в единственном случае: когда левый операнд имеет значение
«истина», а правый – «ложь». Рассмотрим все возможные значения
операндов и проанализируем, какая из ситуаций невозможна.
1) p и q ложны. Это значит, что четырёхугольник не является квадратом и его стороны не равны. Это возможная ситуация.
2) p – ложно, q – истинно. Это значит, что четырёхугольник не является квадратом, но стороны у него равны. Это возможно (ромб).
3) p – истинно, q – истинно. Это значит, что четырёхугольник является квадратом и стороны у него равны. Это возможная ситуация.
4) p – истинно, q – ложно. Это значит, что четырёхугольник является
квадратом, но стороны у него не равны. Это невозможная ситуация.
Анализ ситуаций показывает, что левым операндом импликации
должна быть переменная p. Таким образом, в формализованном виде
исходное высказывание выглядит как pq.
Очень часто вместо «присвоим логическим переменным эти высказывания» говорят «обозначим высказывания следующим образом». В
дальнейшем мы тоже будем использовать этот речевой оборот.
§3 Законы алгебры логики
Итак, мы познакомились с понятием логического выражения и увидели, каким образом его строить по высказыванию на русском языке.
Следующий шаг – изучение преобразований логических выражений.
Определение 5. Логические выражения, зависящие от одних и тех
же логических переменных, называются равносильными, если на любом наборе значений переменных они принимают одинаковое значение
(0 или 1). В дальнейшем для обозначения равносильности логических
выражений мы будем использовать знак равенства.
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
9
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
Законы алгебры логики – это некоторые стандартные преобразования логических выражений, при которых сохраняется равносильность.
Начнём с самых простых законов:
1) Законы поглощения констант
x  0 = x, x & 1 = x ;
2) Законы поглощения переменных
x  1 = 1, x & 0 = 0 ;
3) Законы идемпотентности
x & x = х, x  x = х;
4) Закон двойного отрицания
x = x;
5) Закон противоречия
x &x = 0;
6) Закон исключённого третьего
x x = 1;
Приведённые законы ещё называют аксиомами алгебры логики. Истинность этих и всех последующих законов легко можно установить,
построив таблицу истинности для левого и правого логического выражения.
Переходим к группе законов, которые практически аналогичны законам алгебры чисел.
7) Законы коммутативности
x & y = y & x,
x  y = y  x;
Здесь стоит сделать замечание, что помимо конъюнкции и дизъюнкции свойством коммутативности также обладают эквивалентность и
строгая дизъюнкция. Импликация – единственная из изучаемых операций, которая имеет два операнда и не обладает свойством коммутативности.
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
10
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
8) Законы ассоциативности
(x & y) & z = x & (y & z),
(x  y)  z = x  (y  z);
9) Законы дистрибутивности
x & (y  z) = (x & y)  (x & z),
x  (y  z) = (x  y)  (x  z);
Первый из законов дистрибутивности аналогичен закону дистрибутивности в алгебре чисел, если конъюнкцию считать умножением, а
дизъюнкцию – сложением. Второй же закон дистрибутивности отличается от алгебры чисел, поэтому рекомендуется обратить на него особое
внимание и в дальнейшем использовать при решении задач на упрощение выражений.
Кроме аксиом и алгебраических свойств операций ещё существуют
особые законы алгебры логики.
10) Законы де Моргана
x & y  x  y,
x  y  x & y;
11) Загоны поглощения (не путать с аксиомами поглощения переменных нулём или единицей)
x  (x & y) = x;
x & (x  y) = x.
Рассмотрим пример доказательства первого закона де Моргана при
помощи построения таблицы истинности.
x
Y
0
0
1
1
0
1
0
1
x&y
0
0
0
1
x& y
x
y
xy
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
Так как результирующие столбцы совпали, то выражения, стоящие в
левой и правой частях закона, равносильны.
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
11
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
В алгебре при решении задач на упрощение выражений большой
популярностью пользовалась операция вынесения общего множителя
за скобки. В алгебре логики эта операция также является легитимной,
благодаря законам дистрибутивности и закону поглощения константы 1.
Продемонстрируем этот приём на простом примере: докажем первый
закон поглощения, не используя таблицу истинности.
Наше начальное выражение: x  (x & y). Перепишем его в следующем виде (x & 1)  (x & y). Выносим x за скобки (по первому закону дистрибутивности) и получаем следующее выражение:
x &(1  y). Используем закон поглощения переменной константой 1
и получаем следующее выражение: x & 1. И теперь используем закон
поглощения константы и получаем просто x.
В заключение, следует сказать несколько слов об операции импликации. Как уже отмечалось выше, импликация не обладает свойством
коммутативности. Её операнды неравноправны, поэтому каждый из
них имеет уникальное название. Левый операнд импликации называется посылкой, а правый – следствием. Из таблицы истинности импликации следует, что она истинна, когда истинно следствие, либо ложна
посылка. Единственный случай, когда импликация ложна – это случай
истинной посылки и ложного следствия. Таким образом, мы подошли к
последнему закону алгебры логики, который бывает полезен при
упрощении выражений.
12) Закон преобразования импликации
x  y = x  y
Необходимо ещё отметить, что в сложных логических выражениях у
операций есть порядок приоритетов.
1) Отрицание
2) Конъюнкция
3) Дизъюнкция, строгая дизъюнкция, эквивалентность
4) Импликация
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
12
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
§4. Примеры задач на использование законов алгебры логики и
формализацию высказываний
Задача 1. С помощью тождественных преобразований максимально упростить следующее логическое выражение:
С  (A & С)  ( A  C  B )
Решение. Максимально упростить, это значит довести выражение
до такого вида, когда невозможно применить ни один из законов алгебры логики, которые сокращают длину выражения.
Для того, чтобы не запутаться, можно использовать общую стратегию упрощения логических выражений.
1) Избавиться от операций импликации.
2) Продвинуть отрицание вглубь выражения. То есть применять законы де Моргана, и закон двойного отрицания пока знак отрицания не
будет стоять только над переменными (но не над операциями).
После пункта 2 наступает относительная свобода действий. Можно
использовать тождества поглощения или раскрывать скобки.
В нашей задаче операция импликации отсутствует, поэтому первый
пункт мы пропускаем. Переходим к пункту 2. Применяем два раза второй закон де Моргана (для дизъюнкции) и закон двойного отрицания к
правой скобке и получаем следующее логическое выражение:
С  (A & С)  (A &C & B)
Если теперь внимательно посмотреть на выражение, то очевидно,
что к первому и третьему слагаемому можно применить первый закон
поглощения, так как отрицание переменной C является первым слагаемым и входит в третье в качестве множителя.
Поскольку дизъюнкцию ещё называют логическим сложением,
её операнды называют слагаемыми, аналогично конъюнкция – это
логическое умножение, и её операнды называют множителями.
После применения первого закона поглощения получается следующее логическое выражение: С  (A & С)
Применим второй (нестандартный для алгебры) закон дистрибутивности. Получаем: (С  A)&(С  С)
Ко второй скобке применяем закон исключённого третьего, превращаем её в единицу, а затем применяем закон поглощения константы 1 и
в итоге получаем выражение: С  A, которое упростить уже нельзя.
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
13
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
Для лучшего понимания, рекомендуется выписать исходное логическое выражение, последовательно применить к нему все описанные
действия и сравнить свой результат с приведённым в конце решения
задачи.
Обратите внимание, что исходное логическое выражение зависело
от трёх переменных (A, B, C) , в то время как упрощённое в итоге зависит от двух логических переменных (A и C). При этом выражения всё
равно остаются равносильными! Это происходит потому, что в процессе упрощения применялись законы поглощения. Аналогичный результат мог бы получиться, если в процессе упрощения выражения используются законы поглощения переменных константами. Исчезновение
переменной при упрощении означает, что в исходном выражении она
является несущественной.
Задача 2. Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых
логическое выражение (L  M)  (¬ K  M)  ¬ N  ¬ M истинно.
Решение. Будем следовать стратегии, описанной в предыдущем
примере. Первым делом избавляемся от операции импликации. Получаем следующее выражение:
(L  M)  ( K  M)  ¬ N  ¬ M
Отрицание вглубь продвигать не надо. Теперь раскроем скобки. Для
упрощения условимся операцию конъюнкции никак не обозначать (по
аналогии с алгеброй чисел).
(LK  LM  MK  M) ( ¬ N) ( ¬ M)
В первой скобке можно применить тождество поглощения, и
«съесть» второе и третье слагаемое, которые содержат M в качестве
множителя. Получается такое выражение:
(LK  M) ( ¬ N) ( ¬ M)
Выполнив оставшиеся операции умножения, получим следующий
результат:
LK¬ N¬ M
Получили одну конъюнкцию. Следовательно, существует всего один
набор значений переменных, при котором получится значение «1»:
L=1, K=1, N=0, M=0.
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
14
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
Задача 3. Сколько решений имеет уравнение:
(((K¬L¬N) (¬L → M)) \/ ((¬K \/ L \/ N) (¬L¬M))) (K\/N) = 1
Решение. Исходное выражение достаточно сложное, поэтому будем
его упрощать. Первым делом избавимся от импликаций, получим:
(((K¬L¬N) (L\/ M)) \/ ((¬K \/ L \/ N) (¬L¬M))) (K\/N) = 1
Теперь раскроем скобки. Для упрощения условимся не записывать слагаемые, куда одновременно входят некоторая переменная и её отрицание (они всё равно равны нулю):
(K¬L¬NM \/ ¬K¬L¬M \/ N¬L¬M) (K\/N) = 1
Продолжаем раскрытие скобок. Получаем:
K¬L¬NM \/ ¬K¬L¬MN \/ KN¬L¬M \/ N¬L¬M = 1
Ко второму, третьему и четвёртому слагаемому можно применить тождество поглощения. В итоге получится:
K¬L¬NM \/ N¬L¬M = 1
На этом упрощение закончено, теперь будем анализировать. Дизъюнкция равна единице, если хотя бы одно из слагаемых равно единице.
Первое слагаемое равно единице на единственном наборе переменных:
(K=1, L=0, N=0, M=1). Второе слагаемое равно единице на двух наборах: (N=1, L=0, M=0, K – любое (или 0 или 1)). Соответственно, уравнение имеет три различных решения.
Задача 4. В нарушении правил обмена валюты подозреваются четыре работника банка — Антипов (А), Борисов (В), Цветков (С) и
Дмитриев (D). Известно, что:
1) Если А нарушил, то и В нарушил правила обмена валюты.
2) Если В нарушил, то и С нарушил или А не нарушал.
3) Если D не нарушил, то А нарушил, а С не нарушал.
4) Если D нарушил, то и А нарушил.
Кто из подозреваемых нарушил правила обмена валюты?
Решение. Чтобы решить эту задачу, необходимо провести процесс
формализации условия, сформировать единое логическое выражение и
провести его упрощение. Выделим из условия четыре простых высказывания: «A нарушил правила», «B нарушил правила», «C нарушил
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
15
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
правила», и «D нарушил правила». Обозначим их соответственно буквами A, B, C, D. Тогда высказывания из условия формализуются следующим образом (конъюнкция не обозначается никак):
1) A → B;
2) B → C \/ ¬A;
3) ¬D → A¬C;
4) D → A.
Нам известно, что выполняются все 4 высказывания, следовательно,
нужно объединить их знаками конъюнкции и найти наборы, при которых получившееся общее высказывание будет истинным. Эти наборы и
покажут нам, какие возможны ситуации (правила обмена нарушил тот,
у кого переменная в итоговом наборе имеет значение «1»).
Итак, строим логическое выражение:
(A → B)( B → C \/ ¬A)( ¬D → A¬C)( D → A).
Теперь будем его упрощать. По алгоритму первым делом избавляемся от операции импликации. Получаем следующее выражение:
(¬A \/ B)( ¬B \/ C \/ ¬A)( D \/ A¬C)( ¬D \/ A).
Раскрываем скобки. Первую перемножаем со второй, а третью с
четвёртой.
(¬A¬B \/ ¬AC \/ ¬A \/ BC \/ B¬A) ( DA \/ A¬C¬D \/ A¬C).
Напомним, что слагаемые, равные нулю по причине того, что в них
входит сразу и переменная и её отрицание, мы не записываем. В первой
скобке теперь можно применить тождество поглощения, и «съесть» все
слагаемые, имеющие в своём составе A с отрицанием. Во второй скобке можно также применить тождество поглощения, и «съесть» второе
слагаемое. В итоге получаем:
( ¬A \/ BC ) ( DA \/ A¬C).
При раскрытии оставшихся скобок три из четырёх слагаемых окажутся равными нулю, а последнее будет выглядеть следующим образом: ABCD. Из этого следует, что все четверо работников банка нарушили правило обмена валюты. (Только в этой ситуации предположения
из условия задачи одновременно выполняются)
Ответ. Правила обмена валюты нарушили все.
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
16
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
Задача 5. Известно, что обе надписи на дверях либо истинны, либо
ложны одновременно. Надпись на первой двери – "Клад за другой дверью", на второй двери – "Клада за этой дверью нет, а за другой –
есть". Где находится клад?
Решение. По сути нас интересуют два простых высказывания:
«Клад есть за первой дверью» и «Клад есть за второй дверью». Обозначим первое из них буквой A, а второе буквой B. Тогда изначальные
предположения формализуются следующим образом:
1) B;
2) ¬BA.
В этой задаче в отличие от предыдущей у нас две возможные ситуации относительно комбинирования начальных предположений – они
либо оба истинны, либо оба ложны. Предположим, что они оба истинны, тогда при их перемножении получится тождественный ноль, что
означает невозможность данной ситуации.
Предположим, что оба высказывания ложны, тогда необходимо перед перемножением на каждое из них «навесить» отрицание (рассматривать истинность противоположных высказываний) В итоге получится следующее логическое выражение:
¬B ¬(¬BA).
Упрощаем его по алгоритму: отрицание продвигаем вглубь, применяя тождество Де Моргана. Получаем:
¬B (B \/ ¬A).
Раскроем скобки. Первое слагаемое сокращается, а второе выглядит
следующим образом: ¬B¬A.
Полученный результат означает, что условия задачи выполняются,
только в случае, когда оба высказывания ложны, а это означает, что
клада нет ни за одной дверью. Не повезло нам 
Ответ. Клада нет ни за одной дверью.
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
17
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
В заключение приведём общую схему решения текстовых логических задач, которую мы уже применяли на практике при разборе примеров.
1) Выделить из условия задачи элементарные (простые) высказывания и обозначить их буквами.
2) Записать условие задачи на языке алгебры логики, соединив простые высказывания в сложные с помощью логических операций.
3) Составить единое логическое выражение для всех требований задачи (возможно не одно).
4) Используя законы алгебры логики попытаться упростить полученное выражение и вычислить все его значения либо построить таблицу истинности для рассматриваемого выражения (Таблицу можно
строить, если в выражении не более трёх логических переменных).
5) Выбрать решение — набор значений простых высказываний, при
котором построенное логическое выражение является истинным;
6) Проверить, удовлетворяет ли полученное решение условию задачи.
§5 Логический тип данных в языке
программирования Паскаль
Теперь применим полученные знания по алгебре логики к изучению
программирования.
В прошлом задании мы работали с числовыми типами переменных и
учили арифметику, теперь познакомимся с логическим типом переменных, который называется Boolean. Переменные этого типа имеют всего
два значения – true и false (соответственно, «истина» и «ложь»). Подобно числовым переменным им можно присваивать значения при помощи оператора присваивания. При этом необходимо строго соблюдать
правило совместимости типов. То есть, логическим переменным
нельзя присваивать числовые значения, а числовым – логические.
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
18
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
В языке Паскаль помимо арифметических операций ещё существует
6 операций сравнения: больше» (>), «больше или равно» (>=),
«меньше» (<), «меньше или равно» (<=), «равно» (=), и «не равно» (<>).
Операция «не равно» записывается, как последовательность знаков
«меньше» и «больше». Результатом каждой из этих операций является
логическое значение true или false. Например, операция 5 > 2 выдаст
значение true, а операция x<>3 выдаст значение true, если переменная X
имеет любое значение, кроме 3. Сравнивать можно не только числа
(причём как целые, так и вещественные), но и логические значения.
При этом считается, что значение true больше, чем значение false. При
сравнении обязательно соблюдать правило совместимости типов, то
есть можно сравнивать числа между собой (причём в отличие от
оператора присваивания, здесь никаких ограничений нет). Можно
сравнивать между собой логические значения. Но нельзя сравнивать
логическое значение с числом любого типа.
Помимо операций сравнения, в паскале существуют четыре
логические операции, абсолютно аналогичные операциям алгебры
логики.
1) Операция AND (в алгебре логики – «конъюнкция»)
2) Операция OR (в алгебре логики – «дизъюнкция»)
3) Операция XOR (в алгебре логики – «строгая дизъюнкция»)
4) Операция NOT (в алгебре логики – «отрицание»)
Все операнды этих операций должны быть логического типа, а
никак не числового. Причём, операции AND, OR и XOR имеют по 2
операнда, а операция NOT – один операнд, который записывается
справа от названия операции (аналогично обозначению операции NOT
при помощи ¬ в алгебре логики)
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
19
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
Теперь у нас есть достаточно много операций и нужно расставить их
по приоритету выполнения. В Паскале есть четыре приоритета операций:
1) Операция not;
2) Операции группы умножения: *, /, div, mod, and;
3) Операции группы сложения: +, – , or, xor;
4) Операции группы сравнения: >, <, <=, >=, =, <>.
Операции одного приоритета выполняются слева направо. Операции
в круглых скобках имеют более высокий приоритет, чем вне скобок.
Теперь рассмотрим несколько примеров задач на использование логического типа.
Общая Задача. Записать на Паскале логическое выражение истинное при выполнении указанного условия и ложное в противном случае.
Результат вычисления данного выражения присвоить переменной F.
Условие 1: Числовая переменная X имеет значение на отрезке
[–1,1].
Решение: F:=abs(X)<=1;
Условие 2: Числовая переменная X имеет значение на отрезке [2,7].
Решение: F:=(X>=2)and(X<=7).
Обратите внимание на скобки. Они обязательны, поскольку операции сравнения имеют более низкий приоритет, чем операция and.
Условие 3: Числовая переменная X имеет значение на одном из 2
отрезков: [–10, 3] или [10, 20].
Решение: F:=(X>=-10)and(X<=3)or(X>=10)and(X<=20).
Условие 4: Логические переменные A и B имеют различные значения.
Решение: F:=A<>B.
Условие 5: По крайней мере 2 из логических переменных A, B и C
имеют значение true.
Решение: F:=A and B or A and C or B and C.
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
20
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
Контрольные вопросы
1(1). Приведите пример предложения, которое является высказыванием и пример предложения, которое не является высказыванием.
2(1). Приведите примеры простого и сложного высказывания.
3(1). Приведите примеры сложного истинного и сложного ложного
высказывания.
4(2). Какие значения должны иметь логические переменные, чтобы
логическое выражение: ((¬A\/ B) /\ B) → C имело значение «ложь»?
5(1,2). Перечислите как минимум семь логических связок русского
языка, которые при формализации превращаются в конъюнкцию.
(Плюс балл, если перечислите более семи).
6(1). Докажите второй закон поглощения, не используя таблицы истинности.
7(2). Какой из списков операций языка Паскаль правильно записан
по порядку приоритетов от высшего к низшему? Ответ обосновать.
1) *, xor, =, >;
2) not, or, mod;
3) and, +, div;
4) xor, =, *;
5) >, *, <>.
8(4). Объясните ошибки в следующих записях на языке Паскаль.
1) sqrt(false)
2) not 0 + 2
3) x = 0 and y <> 0
4) not not b or or d (переменные b и d имеют тип boolean).
Задачи
1(2). С помощью тождественных преобразований максимально
упростите следующую логическую формулу:
F  A A B  B & A& B.
2(2). Для какого минимального натурального числа А, логическое выражение ¬(x делится на 12) → ((x делится на
4) → ¬(x делится на A)) тождественно истинно (то есть
принимает значение 1 при любом целом значении переменной х)?
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
21
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
3(2). Постройте отрицание к следующим высказываниям на русском
языке.
а) Если я не сдам зачёт по информатике, то зачёт
по геометрии я смогу сдать только при условии,
что не завалю зачёт по алгебре.
б) Если две прямые пересечены третьей, и сумма
внутренних односторонних углов не равна 180 градусам, то данные прямые пересекаются.
Для решения этой задачи формализуйте исходные высказывания, затем постройте отрицание к логическому выражению, проведите упрощение и переведите результат с языка алгебры логики на русский язык
4(3). Запишите на языке Паскаль логическое выражение, имеющее
значение true при выполнении указанного условия и false в противном
случае. Результат вычисления выражения присвойте логической переменной F.
а) Цифра 6 не входит в десятичную запись натурального четырёхзначного числа X.
б) Число X находится вне отрезков[-2,3 и [0, 9].
в) Только два из чисел X, Y, Z равны между собой.
5(4). Отметьте штриховкой на координатной плоскости область, в
которой и только в которой данное логическое выражение имеет значение true.
а) (sqr(x)<=1)<>(sqr(y)>=1);
б) (sqr(x)+sqr(y) >= 9) = (abs(y)+abs(x)<=2).
6(4). Поле шахматной доски определяется парой целых чисел – номером строки (от 1 до 8) и номером столбца (от 1 до 8). Пусть заданы
два поля: (k,l) и (m,n). Запишите логические выражения (по синтаксису
Паскаля), которые имеют значение true при выполнении указанных ниже условий.
1) Поля имеют одинаковый цвет.
2) Ферзь, стоящий на одном из полей, может взять коня, стоящего на
другом поле (другие фигуры не мешают).
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
22
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
7(3). На числовой прямой даны два отрезка: P = [33, 39] и
Q = [36, 44]. Каким должен быть отрезок A, чтобы логическое выражение ( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q) было бы тождественно истинным, то
есть принимало бы значение 1 при любом значении переменной х?
8(6). Пятеро друзей решили записаться в кружок любителей логических задач: Андрей (А), Николай (N), Виктор (V), Григорий (G), Дмитрий (D). Но староста кружка поставил им ряд условий. “Вы должны
приходить к нам так, чтобы:
1) если А приходит вместе с D, то N должен присутствовать обязательно;
2) если D отсутствует, то N должен быть, а V пусть не приходит;
3) А и V не могут одновременно ни присутствовать, ни отсутствовать;
4) если придет D, то G пусть не приходит;
5) если N отсутствует, то D должен присутствовать, но это в том
случае, если не присутствует V; если же и V присутствует при отсутствии N, то D приходить не должен, а G должен прийти”.
В каком составе друзья смогут прийти на занятия кружка? Приведите
полное решение задачи.
9(6). Сколько решений имеет уравнение:
((J → K) → (M /\ N /\ L)) /\ ((J /\ ¬K) → ¬(M /\ N /\ L)) /\ (M → J) = 1.
Решите задачу, не используя таблицы истинности.
10(6).Сколько существует различных наборов значений логических
переменных x1, x2, x3, x4, y1, y2 y3, y4, которые удовлетворяют
всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → x2) /\ (x2 → x3) /\ (x3 → x4) = 1
(¬y1 \/ y2) /\ (¬y2 \/ y3) /\ (¬y3 \/ y4) = 1
(y2 → x2) /\ (y3 → x3) /\ (y4 → x4) = 1
Приведите полное решение задачи с пояснениями.
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
23
2014-2015 уч. год, №2, 10 кл. Информатика и ИКТ. Алгебра логики
11(6). Сколько существует различных наборов значений логических
переменных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1/\x2) or (x3/\x4) = 1
(x3/\x4) or (x5/\x6) = 1
(x5/\x6) or (x7/\x8) = 1
(x7/\x8) or (x9/\x10) = 1
Приведите полное решение задачи с пояснениями.
12(9). Сколько существует различных наборов значений логических
переменных x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10, которые удовлетворяют
всем перечисленным ниже условиям?
x1 /\ (x2 → x3) \/ ¬x1 /\ x4 = 1
x3 /\ (x4 → x5) \/ ¬x3 /\ x6 = 1
x5 /\ (x6 → x7) \/ ¬x5 /\ x8 = 1
x7 /\ (x8 → x9) \/ ¬x7 /\ x10 = 1
Приведите полное решение задачи с пояснениями.
 2014, ЗФТШ МФТИ, Мерзляков Василий Владимирович
24