230600 (100110.65) ОПД.;doc

Sammanfattning 16
Lösning av dierentialekvationer via Laplaetransform:
an y (n) + · · · + a1 y ′ + a0 y = f (t), −∞ < t < ∞ ger (an s(n) + · · · + a1 s + a0 )Ly = Lf ,
Lf
. Konvergensstrimlan bestäms av de krav man får på
dvs Ly =
(n)
an s + · · · + a1 s + a0
lösningen y .
Ex 1: Bestäm en kausal lösning till y ′ + y = θ(t) − θ(t − 1), −∞ < t < ∞. Lösning:
1
1
1
1
1 − e−s
1 − e−s
= −
−e−s ( −
); där σ = ℜ(s) > −1
, dvs Y (s) =
s
s(s + 1)
s s+1
s s+1
ty lösningen är kausal. Notera att singulariteten i s = 0 är hävbar. Inverse Laplae, välj
σ = ℜ(s) > 0 (det blir enklare räkningar) oh använd (26), (27) oh (33):
y(t) = θ(t) − e−t θ(t) − θ(t − 1) + e−(t−1) θ(t − 1).
(s+1)Y (s) =
Övn 14.24 Bestäm en begränsad lösning till u(4) + 4u = δ′. Lösning: (s4 + 4)U(s) = s,
s
. U har poler i s = ±1 ± i. Inverse Laplae via residykalkyl. Olika poler
+4
omringas beroende på om x > 0 eller x < 0:
X
e(−1−i)x
1
e(−1+i)x
esx s
= [Regel 4] =
+
= − e−x sin x.
x > 0: u(x) =
Res 4
2
2
s +4
4(−1 + i)
4(−1 − i)
4
s=−1±i
(1+i)x
sx
(1−i)x
X
e
e s
e
1 x
x < 0: u(x) = −
Res 4
= [Regel 4] = −
−
=
−
e sin x.
2
2
s
+
4
4(1
+
i)
4(1
−
i)
4
s=1±i
dvs U(s) =
s4
dvs u(x) = − 41 e−|x| sin x.
Sats 14.12 (Faltningsatsen) Om f , g oh f ⊛ g kan Laplaetransformeras, L(f ⊛ g) =
Lf · Lg . Beviset bygger på det nära sambandet Fourier Laplae.
Ly
S
y(t), så är H(s) =
.
Sats 14.14 Låt S vara linjärt oh tidsinvariant. Om w(t) −→
Lw
Bevis: y = h ⊛ w ⇒ Ly = Lh · Lw = H(s) · Lw.
Ex 2:
S linjärt, tidsinvariant oh kausalt: y (4) + y ′′ = w . Bestäm h(t) oh H(s). Är S
1
1
1
stabilt? Lösning: (s4 + s2 )Y (s) = W (s), dvs H(s) = 4
, σ > 0 ty S
= 2−
2
s +s
s
1 + s2
kausalt.
R ∞ Inverse Laplae ger h(t) = (t − sin t)θ(t). Enl Sats 9.1 är systemet inte stabilt
ty −∞ |h(t)|dt = ∞.
Övn 14.31 S
linjärt, tidsinvariant oh kausalt: y (4) + 4y = w ′. Bestäm h(t), H(s) oh
s
. Konvergens
avgör om stabiliteten. Lösning: (s4 + 4)Y (s) = sW (s), dvs H(s) = 4
s +4
X
1
est s
= sinh t sin t θ(t). Ej stabil.
Res 4
i högra halvplanet pga kausalitet. h(t) =
s +4
2
±1±i
Q(s)
linjärt, tidsinvariant, kausalt oh av ändlig ordning (dvs H(s) =
en
P (s)
a) gradP ≥ gradQ
rational funktion). S stabilt ⇔
b) Poler till H(s) ligger i ℜ(s) < 0.
Q (s)
Bevis: a) Utför divisionen: H(s) = P1(s) + 1 . Inverse transform av P1(s) ger
P (s)
Sats 14.17 S
h1 (t) = an δ (n) + · · · + a1 δ ′ + a0 δ . Om systemet är stabilt så måste P1 (s) vara konstant.
Annars, kan en begränsad insignal som w(t) = cos (t2 ) ge obegränsade utsignaler som
w ′ (t) = −2t sin (t2 ). Omvänt gäller okså.
Q1 (s)
b) Via partialbråk uppdelning kan
skrivas som en summa av bidrag av typen
P (s)
cn
, oh inverse Laplae ger att h(t) har bidrag av typen cn tn eat θ(t). Systemet är
(s − a)n+1 R
stabilt om |h|dt < ∞, vilket kräver att ℜ(a) < 0, oh då ligger alla poler av H(s) på
ℜ(s) < 0.
1
med poler i s = 0, ±i. Systemet är inte stabilt.
s2 (1 + s2 )
s
är H(s) = 4
, med poler i s = ±1 ± i, systemet är inte stabilt.
s +4
Ex 3: (a) I Ex 2 är H(s) =
(b) I
Övn 14.31
Övn 14.35 S
linjärt oh tidsinvariant med stegsvar Sθ = (1 − e−t )θ(t). Insignalen w(t)
ger utsignalen y(t) = e−t cos t θ(t). Bestäm w(t).
Lösning: h(t) = dSθ
= e−t θ(t) + (1 − e−t )δ(t) = e−t θ(t). Dessutom gäller att
dt
L(e−t cos t θ(t))
(e−t cos t)θ(t) = (e−t θ(t)) ⊛ w(t). Faltningsatsen ger Lw =
, dvs
L(e−t θ(t))
1
s+1
· (s + 1) = 1 −
Lw =
, med konvergens i högre halvplan. Inverse
2
1 + (s + 1)
1 + (s + 1)2
Laplae ger w(t) = δ − e−t sin t θ(t).