Лекция 11,12 Раздел 2: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Лекция 11,12
Раздел 2: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Тема 2.4: ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ СИСТЕМ
План лекции:
1. Типовые звенья систем:
• характеристики и уравнения;
• физические модели.
Литература:
[1] Дядик В.Ф. Теория автоматического управления: учебное пособие/ В.Ф. Дядик, С.А.
Байдали, Н.С. Криницын; Национальный исследовательский Томский политехнический
университет. − Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. – 196 с.
[2] Ричард К. Дорф Современные системы управления. - М.: Лаборатория Базовых
Знаний, 2004 - 702 с.: ил.
[3] Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. - М.: Лаборатория
Базовых Знаний, 2001 - 616 с.: ил.
[4] Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. Санкт-Петербург: изд. "Профессия", 2003 - 749 с.: ил.
ДИНАМИЧЕСКИМ ЗВЕНОМ называют устройство любого физического вида и конструктивного
оформления, представленное определенным дифференциальным уравнением.
Динамическое звено можно представить в виде "черного ящика" на который воздействуют
управляющее воздействие x(t) и внешнее возмущение f(t). Реакция звена на эти
воздействия определяется как y(t).
Рис. 1. Представление динамического звена.
Динамика большинства функциональных элементов САУ независимо от исполнения может
быть описана одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями не более второго
порядка. Такие элементы называют элементарными (типовыми) динамическими звеньями.
Передаточная функция элементарного звена в общем виде задается отношением двух
полиномов не более чем второй степени:
Wэ(p) = .
Поэтому любую сложную передаточную функцию линеаризованной САУ можно представить
как произведение передаточных функций элементарных звеньев. Каждому такому звену в
реальной САУ, как правило, соответствует какой - то отдельный узел. Зная свойства
отдельных звеньев можно судить о динамике САУ в целом. В теории удобно ограничиться
рассмотрением ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ, передаточные функции которых имеют числитель или
знаменатель, равный единице. Из них могут быть образованы все остальные звенья.
Звенья, у которых порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя,
технически не реализуемы.
Классификация
динамических
звеньев
производится
по
виду
дифференциального
уравнения, описывающего поведение звена в динамических режимах работы САУ. Однако
вид дифференциального уравнения не является единственным признаком, по которому
проводится СРАВНЕНИЕ динамических звеньев. Для этого используются следующие
характеристики:
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ динамического звена.
2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ W(s) (или G(s), или W(p), или G(p));
3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, к которым относятся:
переходная характеристика h(t),
импульсная характеристика ω(t).
4. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, к которым относятся:
амплитудно-частотные характеристики (АЧХ),
фазово-частотные характеристики (ФЧХ),
амлитудно-фазовые частотные характеристики (АФЧХ),
логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ).
ОСНОВНЫЕ ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО – звено нулевого порядка,
АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО – звено первого порядка,
ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО – звено первого порядка,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ЗВЕНО – звено первого порядка,
КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО – звено второго порядка.
БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ (ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ, УСИЛИТЕЛЬНОЕ) ЗВЕНО
1.
2.
3.
4.
Уравнение движения звена: Y = KX.
Передаточная функция звена: W(s) = K.
Частотная функция звена: W(jω) = K.
АЧХ: A(ω) = К (амплитуда выходного гармонического сигнала отличается от
амплитуды входного гармонического сигнала в К раз).
5. ФЧХ: φ(ω) = 0 (сдвиг фаз между входным и выходным гармоническим сигналами
звена отсутствует).
6. ЛЧХ:
(а)
(б)
(в)
(г)
Рис.1. К пояснению пропорционального звена:
(а) переходная характеристика звена h(t), (б,в,г) примеры технической реализации звена.
В ответ на единичное ступенчатое воздействие сигнал на выходе мгновенно достигает
величины в k раз большей, чем на входе, и сохраняет это значение (рис.1, а).
При k = 1 звено никак себя не проявляет, а при k = -1 - инвертирует входной сигнал.
АФЧХ звена представляется точкой на комплексной плоскости (координата К на
вещественной оси комплексной плоскости, рис.2, а). ЛЧХ представляется прямой
параллельной оси частот (рис.2, б). Из чего следует, что звено пропускает все
частоты одинаково с увеличением амплитуды в К раз и без сдвига по фазе.
Рис.2. (а) АФЧХ и (б) ЛЧХ пропорционального звена.
Любое реальное звено обладает инерционностью, но с определенной точностью некоторые
реальные звенья могут рассматриваться как безынерционные.
Примеры технической реализации звена:
• жесткий механический рычаг (рис.1, б),
• редуктор (рис.1, в),
• потенциометр (рис.1, г),
• электронный усилитель и т.п.
АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО (ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО ПЕРВОГО ПОРЯДКА)
1. Уравнение движения звена:
.
2. Передаточная функция звена:
3. Частотная функция звена:
4. АЧХ звена:
5. ФЧХ звена:
6. ЛЧХ звена:
(а)
(б)
Рис. 3. Временные характеристики апериодического звена:
(а) переходная характеристика h(t), (б) импульсная характеристика ω(t).
(а)
(б)
(в)
(г)
(д)
Рис.4. К пояснению апериодического звена:
(а) переходная характеристика звена h(t) и постоянная времени Т,
(б,в,г,д) примеры технической реализации звена.
Переходная характеристика имеет вид экспоненты (рис.3, а, рис.4, а), по которой
можно определить ПЕРЕДАТОЧНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ К, равный установившемуся значению h(t),
и ПОСТОЯННУЮ ВРЕМЕНИ Т по времени t, соответствующему точке пересечения касательной
к кривой в начале координат с ее асимптотой. При достаточно больших Т звено на
начальном участке может рассматриваться как интегрирующее, при малых Т звено
приближенно можно рассматривать как безынерционное.
Примеры технической реализации звена:
• термопара (рис.4,б),
• электродвигатель (рис.4,в),
• четырехполюсник из сопротивления и емкости
(рис.4,г) или сопротивления и индуктивности
(рис.4,д).
Рис. 5. (а) АФЧХ и (б) ЛЧХ апериодического звена.
ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО
1. Уравнение движения звена:
2. Передаточная функция звена:
3. Частотная функция звена:
4. АЧХ звена:
5. ЛЧХ звена:
Рис. 6. Временные и частотные характеристики интегрирующего звена
(а)
(б)
(в)
(г)
Рис. 7. Переходная характеристика и примеры технической реализации интегрирующего звена.
Все частоты звено пропускает с запаздыванием по фазе на 90о. Амплитуда выходного
сигнала увеличивается при уменьшении частоты, и уменьшается до нуля при росте
частоты (звено "заваливает" высокие частоты).
При k = 1 звено представляет собой “чистый” интегратор W(p) = 1/p. Интегрирующее
звено неограниченно "накапливает" входное воздействие (рис.7,а). Введение его в САУ
превращает систему в астатическую, то есть ликвидирует статическую ошибку.
Примеры технической реализации звена:
• электродвигатель (рис.7,в),
• поршневой гидравлический двигатель (рис.7,б),
• электрическая емкость (рис.7,г) и т.п.
ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО
Различают ИДЕАЛЬНОЕ и РЕАЛЬНОЕ дифференцирующие звенья. Для идеального
дифференцирующего звена:
1. Уравнение движения звена:
2. Передаточная функция звена:
3. Частотная функция звена:
4. АЧХ звена:
5. ЛАЧХ звена:
Рис. 8. Переходная характеристика, АФЧХ и ЛАЧХ
идеального дифференцирующего звена.
Идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно, так как величина
всплеска выходной величины при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия
всегда ограничена. На практике используют реальные дифференцирующие звенья,
осуществляющие приближенное дифференцирование входного сигнала:
1. Уравнение движения звена: Tpy + y = kTpu
2. Передаточная функция звена:W(p) = .
Рис.9. Переходная характеристика и примеры технической реализации реального дифференцирующего
звена.
При подаче на вход единичного ступенчатого воздействия выходная величина
оказывается ограничена по величине и растянута во времени (рис.9). По переходной
характеристике, имеющей вид экспоненты, можно определить передаточный коэффициент k
и постоянную времени Т. Дифференцирующие звенья являются главным средством,
применяемым для улучшения динамических свойств САУ.
Примеры технической реализации звена:
• четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности,
• демпфер и т.п.
КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО (ИНЕРЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА)
1. Уравнение движения имеет вид:
где T1, T2– постоянные времени звена:
ξ— ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ДЕМПФИРОВАНИЯ (ЗАТУХАНИЯ) колебаний:
Чем выше ξ или меньше Т, тем быстрее затухают колебания (рис.10).
2. Передаточная функция звена:
3. Частотная функция звена:
4. АЧХ звена:
5. ФЧХ звена:
Рис. 10. Переходные характеристики колебательного звена.
Рис.11. Переходная характеристика и примеры технической реализации колебательного звена.
При ξ < 1 корни полинома знаменателя W(p) комплексно сопряженные: p1,2 = α ± jω.
Переходная характеристика представляет собой выражение, характеризующее затухающий
колебательный процесс с затуханием α и частотой ω (рис.13,а). Такое звено
называется колебательным. При ξ = 0 колебания носят незатухающий характер
(рис.13,б). Такое звено является частным случаем колебательного звена и называется
консервативным.
Рис.12. АФЧХ, АЧХ и ФЧХ колебательно звена.
Примеры технической реализации звена:
• пружина, имеющая успокоительное устройство,
• электрический колебательный контур с активным сопротивлением и т.п.
Зная характеристики реального устройства можно определить его параметры как
колебательного звена. Передаточный коэффициент k равен установившемуся значению
переходной функции.
(б)
(а)
Рис.13.