10 класс 2 2 1. Число а на 1 больше числа b. Могут ли числа a и b быть равными? Ответ. Могут. 1 1 2 2 , b = − , то а = b+1 и a = b . 2 2 а 2 = b 2 , Также можно решить систему уравнений:  a = b + 1. Критерии проверки. • Верный ответ с указанием чисел a и b – 7 баллов. • Составлена система уравнений, но при ее решении допущена арифметическая ошибка – 3 балла. • Только ответ – 1 балл. Решение. Если а = 2. Петя сбегает с четвёртого этажа на первый на 2 секунды быстрее, чем мама едет на лифте. Мама едет на лифте с четвёртого этажа на первый на 2 секунды быстрее, чем Петя сбегает с пятого этажа на первый. За сколько секунд Петя сбегает с четвёртого этажа на первый? (Длины пролетов лестницы между всеми этажами одинаковы). Ответ. За 12 секунд. Решение. Между первым и четвертым этажами 3 пролета, а между пятым и первым – 4. Согласно условию, Петя 4 пролета пробегает на 2 секунды дольше, чем мама едет на лифте, а три пролета – на 2 секунды быстрее мамы. Значит, за 4 секунды Петя пробегает один пролет. Тогда с четвертого этажа на первый (т.е. на 3 пролета) Петя сбегает за 4⋅3=12 секунд. Критерии проверки. • Верный ответ с полным решением – 7 баллов. • Объяснено, что на один пролет требуется 4 секунды, в ответе указано 4 секунды – 5 баллов. • Верное обоснование в предположении, что путь с пятого этажа на первый в 1,25 раз больше пути с четвертого этажа на первый и ответ 16 секунд – 3 балла. • Только ответ – 0 баллов. 3. Постройте график функции у = х2 . | x| Ответ. См. рисунок. Решение. Т.к. х2=|х|2, то у=|х|, причем х≠ 0. Можно также, используя определение модуля, получить, что  x, если х > 0, − x, если х < 0 у=  y 1 0 (при х=0 функция не определена). Критерии проверки. • Верный график с объяснением – 7 баллов. • Верный график без каких-либо пояснений – 5 баллов. • График функции у=|x| без выколотой точки – 3 балла. Всероссийская олимпиада школьников 2014-2015 гг. x 1 4. В квадрате со стороной 5 произвольным образом отметили 201 точку. Верно ли, что какие-то 5 точек можно накрыть квадратом со стороной 1? Ответ. Да. Решение. Разделим данный квадрат со стороной 5 прямыми, параллельными его сторонам, на 25 квадратов со стороной 1 (см. рис.). Если бы в каждом таком квадрате было не больше 4 отмеченных точек, то всего было бы отмечено не более 25⋅4=100 точек, что противоречит условию. Следовательно, хотя бы в одном из полученных квадратов должно быть 5 из отмеченных точек. Критерии проверки. • Верное решение – 7 баллов. • Только ответ – 0 баллов. 5. На числовой прямой закрашивают красным и синим цветом точки с целыми координатами по следующим правилам: а) точки, разность координат которых равна 7, должны быть покрашены одним цветом; б) точки с координатами 20 и 14 должны быть покрашены красным, а точки с координатами 71 и 143 — синим. Сколькими способами можно раскрасить все точки с целыми координатами, соблюдая эти правила? Ответ. Восемью способами. Решение. Из пункта а) следует, что раскраска всех точек с целыми координатами однозначно определяется раскраской точек, соответствующих числам 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Точка 0=14-2⋅7 должна быть покрашена так же как 14, т.е. красным. Аналогично, точка 1=71-10⋅7 должна быть покрашена синим, точка 3=143-20⋅7 – синим, и 6=20-2⋅7 – красным. Поэтому остается только посчитать, сколькими различными способами можно раскрасить точки, соответствующие числам 2, 4 и 5. Так как каждую точку можно раскрасить двумя способами – красным или синим – то всего способов 2⋅2⋅2=8. Примечание. При подсчете числа способов раскрашивания точек 2, 4 и 5, можно просто перечислить все способы, например, в виде таблицы: 2 кр кр кр кр син син син син 4 кр кр син син кр кр син син 5 кр син кр син кр син кр син Критерии проверки. • Верный ответ с правильным обоснованием – 7 баллов. • Задача сведена к подсчету числа способов раскрасить 3 точки, но получен ответ 6 или 7 – 4 балла. • Задача сведена к подсчету числа способов раскрасить 3 точки, но подсчет числа способов отсутствует или получен ответ, отличный от указанных ранее – 3 балла. • Ответ (в том числе правильный) без обоснования – 0 баллов. Всероссийская олимпиада школьников 2014-2015 гг. 6. Дан прямоугольник АВСD. Точка М – середина стороны АВ, точка К – середина стороны ВС. Отрезки АК и СМ пересекаются в точке Е. Во сколько раз площадь четырехугольника МВКЕ меньше площади четырехугольника АЕСD? Ответ. В 4 раза. К С Решение. Проведем отрезки МК и АС. В Четырехугольник МВКЕ состоит из треугольников МВК и МКЕ, а Е четырехугольник АЕСD – из треугольников М АЕС и АСD. Далее можно рассуждать разными способами. 1 способ. Треугольники МВК и АСD – А D прямоугольные и катеты первого в 2 раза меньше катетов второго, поэтому они подобны и площадь треугольника АСD в 4 раза больше площади треугольника МВК. Т.к. М и К – середины АВ и ВС соответственно, то МК – средняя линия треугольника АВС, поэтому МК||АС и МК=0,5АС. Из параллельности прямых МК и АС следует подобие треугольников МКЕ и АЕС, а т.к. коэффициент подобия равен 0,5, то площадь треугольника АЕС в 4 раза больше площади треугольника МКЕ. Теперь: SАЕСD =SAEC+SACD=4SMKE+4SMBK=4(SMKE+SMBK)=4SMBKE. 2 способ. Пусть площадь прямоугольника АВСD равна S. Тогда площадь треугольника АСD 1 равна S (диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника), а площадь 2 1 1 1 1 1 1 треугольника МВК равна МВ⋅ВК= ⋅ АВ⋅ ВС= АВ⋅ВС= S. 2 2 2 2 8 8 Т.к. М и К –середины отрезков АВ и ВС, то АК и СМ – медианы треугольника АВС, поэтому Е – 1 точка пересечения медиан треугольника АВС, т.е. расстояние от Е до АС равно h, где h – 3 высота треугольника АВС, проведенная из вершины В. Тогда площадь треугольника АЕС равна 1 1 1 1 1 1 1 1 АС⋅( h)= ⋅( АС⋅h)= SABC= ⋅( S)= S. Тогда для площади четырехугольника АЕСD, 2 3 3 2 3 3 2 6 1 1 2 равной сумме площадей треугольников АЕС и АСD, получаем: S+ S= S. 2 6 3 Далее, т.к. МК – средняя линия треугольника АВС, то площадь треугольника МКЕ равна 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 МК⋅( h– h)= ( AC)⋅( h)= ( AC⋅h)= SACD= S. Поэтому для площади 2 2 3 2 2 6 12 2 12 24 четырехугольника МВКЕ, равной сумме площадей треугольников МВК и МКЕ, получаем: 1 1 1 S+ S= S. 8 24 6 2 1 Таким образом, отношение площадей четырехугольников АЕСD и МВКЕ равно S:( S)=4. 3 6 Критерии проверки. • Верное решение и верный ответ – 7 баллов. • Верное решение, но ответ неверен из-за арифметической ошибки – 5 баллов. Всероссийская олимпиада школьников 2014-2015 гг.