Лабораторная работа №1 -

Селезнева С.В., Прошин И.А.
ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНОСТЬ
по специальности 220301
«Автоматизация технологических процессов и производств»
учебно-методическое пособие
Пенза
ПГТА
2010
УДК 681.3.06
Рецензент –
Кандидат технических наук, доцент кафедры «Физика, электрификация и
автоматизация сельскохозяйственного производства» ПГСА
А.В.Поликанов
Селезнева С.В., Прошин И.А.
Введение в специальность: учебно-методическое пособие. – Пенза: Изд-во.
Пенз. гос.технол. акад, 2010. – 53 с.: ил. 28, табл. 7, прилож. 2, библиограф. 4.
Рассматриваются вопросы практического применения вычислительной среды
MathCAD. Излагается методика выполнения лабораторных работ с вариантами
заданий, контрольными вопросами по введению в специальность «Автоматизация
технологических процессов и производств
Учебное пособие подготовлено на кафедре «Автоматизация и управление» и
предназначено для студентов специальности 220301.
Учебное пособие одобрено и рекомендовано Методическим советом ПГТА
для использования в учебном процессе.
УДК 681.3.06
© Пензенская государственная технологическая академия, 2010
© Селезнева С.В., Прошин И.А. 2010
2
ВВЕДЕНИЕ
Учебно-методическое пособие предназначено для подготовки студентов
специальности «Автоматизация технологических процессов и производств».
Пособие способствует овладению основными понятиями и характеристиками
среды MathCAD, что позволяет использовать полученные знания при решении
задач теории автоматического управления, которая является основой знаний
инженера по специальности «Автоматизация технологических процессов и
производств».
Целью данного пособия является ознакомить студентов с методикой решения
задач теории автоматического управления с использованием программного пакета
MathCAD, а именно с задачами анализа и синтеза систем управления,
определения и построения переходных характеристик системы.
Для выполнения лабораторных работ требуется знание основных приёмов
работы в ОС Windows, умение пользоваться ими на практике.
Учебное пособие можно использовать для проведения теоретических и
практических занятий. Оно раскрывает интерфейс пользователя как совокупность
универсальных средств управления функциями среды: настройка, управление,
перемещение состав меню и панелей инструментов, использование вычислений и
операций и т.д.
При изучении материала необходимо обратить внимание на функции и
взаимодействие инструментальных средств, необходимых при анализе и синтезе
систем управления: меню приложения, панелей инструментов и контекстного
меню.
Для успешного освоения материал должен изучаться последовательно.
Некоторые разделы имеют ссылки на Приложения, которые содержат
теоретический материал по рассматриваемому разделу.
3
Лабораторная работа №1
Исследование математических моделей
использованием программной среды MathCAD
систем
управления
с
Цель работы:
1. Ознакомиться с методикой проведения расчётов и подготовки документов
в программе MathCAD, сформировать навыки выполнения основных операций.
2. Научиться рассчитывать параметры передаточных функций систем
управления.
3. Ознакомиться с правилами вычисления эквивалентных передаточных
функций при типовых соединениях звеньев.
Краткие пояснения
Для проведения теоретических исследований системы и её отдельных
элементов необходимо иметь уравнения, описывающие их поведение при
изменяющихся внешних воздействиях. Эти уравнения представляют собой
выраженные в математической форме соотношения, связывающие входные и
выходные сигналы и воздействия.
При анализе и синтезе систем в теории автоматического управления
используются различные программные пакеты, одним из которых является
MathCAD. Принципы работы и характеристики данного программного пакета
рассмотрены ниже.
Основные характеристики и принципы работа в среде MathCAD
Что такое MathCAD?
MathCAD – программная среда, предназначенная для решения расчётных
задач. Она представляет собой автоматизированную систему, позволяющую
динамически обрабатывать данные в числовом и аналитическом (формульном)
виде.
Другими словами – это
среда для выполнения на компьютере
разнообразных математических и технических расчётов, предоставляющая
пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и
текстами, снабжённая простым в освоении графическим интерфейсом. Среда
MathCAD сочетает в себе возможности проведении расчётов и подготовки
форматированных научных и технических документов.
Документ программы MathCAD называется рабочим листом. Он содержит в
себе объекты: формулы и текстовые блоки. В ходе расчётов формулы
обрабатываются последовательно, слева направо и сверху вниз, а текстовые
блоки игнорируются.
Программа MathCAD использует три вида курсоров:
1. Крестообразный курсор [ ] красного цвета используется в случае, если
ни одно поле объекта не выбрано;
2. При вводе формул или выражений используется уголковый курсор [ ]
синего цвета (выделяющая рамка), указывающий текущий элемент выражения;
4
3. При записи текстовых комментариев (пункт Текстовый Регион меню
Вставка) применяется текстовый курсор [ ] красного цвета в виде вертикальной
черты.
Записывать выражения можно двумя способами:
1.
С помощью клавиатуры;
2.
Либо пользоваться группой операций панели математических
инструментов, которая называется Панель Калькулятор.
При записи выражений с клавиатуры, символы и значки нужно вводить
последовательно, шаг за шагом. Например, выражение 3х, записанное в тетради,
мы понимаем как 3 перемноженное на х. MathCAD поймёт такую запись как имя
нарицательное и выдаст сообщение об ошибке, т.к. была нарушена
последовательность при записи выражения. Правильно нужно записать: <3>, <·>,
<x>.
При вводе отдельных символов или целых выражений, нужно обращать
внимание на выделяющую рамку синего цвета (рис. 1).
Рисунок 1.1
В первом случае выделяющая рамка содержит в себе только переменную х,
поэтому использование какой-либо команды в таком случае (например,
возведение в степень) будет применимо только к одной переменной х. Если же
переменная не соответствует выбранной команде (в данном случае, например,
числовое вычисление), то MathCAD выдаст сведение об ошибке.
Во втором случае выделяющая рамка содержит в себе всё выражение,
поэтому любая команда будет относиться ко всему выражению.
Перемещение выделяющей рамки осуществляется с помощью клавиши Space
(Пробел).
Записывать выражения можно с помощью Панели Калькулятор, которая
находится на математической панели инструментов.
Графический интерфейс пользователя – это совокупность способов
взаимодействия пользователя с программой с помощью пиктограмм, диалоговых
окон, меню и других инструментов, расположенных на экране, см. рис.1.2.
Строка заголовка – это стандартная строка windows–приложений, которая
содержит имя приложения – MathCAD Профессиональная Русская версия, имя
файла, в котором сохраняются результаты работы. На рис.1.2 это надпись:
[Безымянный:1]. Справа расположены три стандартные кнопки для работы с
окнами Windows
, соответственно означающие: свернуть, развернуть на
полный экран и закрыть окно, см. рис.1.2.
Главное меню программной среды MathCAD расположено в верхней части
окна, см. рис.1.2. Подробное описание каждого пункта меню описано в
Приложении А. Некоторые строки ниспадающих меню содержат знак ►,
означающий, что здесь доступны операции, список которых разворачивается.
5
Контекстные или всплывающие меню выполняют функции, схожие с
главным меню. Однако у всплывающего меню есть огромное преимущество: его
содержание зависит от того, при каких обстоятельства (контексте) оно было
вызвано. Система анализирует, какие параметры или команды могут
понадобиться при форматировании именно этого объекта, и наиболее важные из
них заносит в контекстное меню. Вызывается контекстное меню щелчком правой
кнопкой мыши по соответствующему объекту.
Рисунок 1.2. Графический интерфейс пользователя
Контекстные или всплывающие меню выполняют функции, схожие с
главным меню. Однако у всплывающего меню есть огромное преимущество: его
содержание зависит от того, при каких обстоятельства (контексте) оно было
вызвано. Система анализирует, какие параметры или команды могут
понадобиться при форматировании именно этого объекта, и наиболее важные из
них заносит в контекстное меню. Вызывается контекстное меню щелчком правой
кнопкой мыши по соответствующему объекту.
Панели инструментов (Toolbar) – это специальные элементы окон Windows
– приложений, позволяющие получать быстрый доступ к наиболее важным
командам главного меню. Соответствующие ссылки на панелях разбиты на
функциональные группы (с помощью специальных вертикальных линий –
разделителей) и отображаются, как правило, в виде кнопок со стилизованными
рисунками (см. рис. 1.2). Установить панели инструментов можно через меню
Вид, строка Панели инструментов. Подробное описание команд панелей
инструментов можно найти в Приложении В.
6
Рабочая область занимает большую часть экрана и имеет вид белого
бесконечного белого листа, разбитого на прямоугольники формата А4. Ниже
приведена таблица операций, с помощью которых можно настроить рабочую
область по желанию пользователя.
Настройка рабочей области
Операции настройки
Как сделать
Результат
Цвет рабочей области и Меню Вид, пункт
Серый цвет.
регионов.
Регионы.
Цвет рабочей области и Меню Формат, пункт
Фоновый цвет (48 шт.)
регионов.
Цвет, строка Фоновый,
выбрать цвет
Цвет региона.
Меню Формат, пункт
Фоновый цвет (48 шт.)
Свойства, подсветка
региона, выбрать цвет.
Заключить объект в
Выделить объект, меню Объект выделиться
рамку.
Формат, пункт
рамкой.
Свойства, Вкл границу.
Выравнивание объектов. Меню Вид, Линейка.
Линейка отобразится на
экране.
Установить единицу
Контекстное меню
На линейке установится
измерения градуировки линейки, выбрать
выбранная единица
линейки
единицу измерения.
измерения.
Установить направляяВыбрать мышью
На рабочей области
ющую для выравнисоответствующее
отобразится
вания текста.
деление на линейке,
вертикальная черта для
контекстное меню
выравнивания объектов.
деления, показать
направляющую.
Перемещение по
Вертикальная и гориПостепенное
рабочей области
зонтальная линейки
перемещение по
прокрутки
документу
Переход на нужную
Меню Правка, пункт
Перемещение на
страницу
Идти на стр., указать
нужную страницу
номер страницы.
Масштаб документа
Меню Вид, Пункт
Документ отобразится в
Масштаб.
нужном масштабе
Расположение
Меню Окно, выбрать
Документы отобразятся
нескольких документов вид расположения.
на экране выбранным
на экране
способом
В нижней части окна MathCAD располагается строка состояния (Status bar),
которая служит для отображения самой общей служебной информации.
Например, на рис.1.2 указано, что видна первая страница рабочего документа, что
система находится в режиме автоматических вычислений, и программа
7
рекомендует пользователю обратиться за помощью к справке, нажав на
клавиатуре клавишу <F1>.
Библиотека встроенных математических функций
Меню Вставка (Insert), пункт Функция (Function), Категория функции:
Наименование
Наименование
Все (All)
Теория чисел (Number Theory)
Функции Бесселя (Bessel)
Кусочно – непрерывные функции
(Piecewise Continuous)
Комплексные
числа
(Complex Вероятность
плотности
и
Number)
распределения (Probability Density
and Distribution)
Функции сглаживания (Curve Fitting) Случайные числа (Random Numbers)
Решение
дифференциальных Регрессия и сглаживание (Regression
уравнений
(Differential
Equation and Smoothing)
Solving)
Тип выражения (Expression Type)
Функции
решения
уравнений
(Solving)
Функции базы данных (File Access)
Сортировка (Sorting)
Финансовые функции (Finance)
Специальные функции (Special)
Преобразования
Фурье
(Fourier Статистические функции (Statistics)
Transform)
График (Graph)
Строковые функции (String)
Гиперболические
функции Тригонометрические
функции
(Hyperbolic)
(Trigonometric)
Функции для чтения – написания Функции сокращения и округления
образных файлов (Image Processing)
(Truncation and Round-Off)
Интерполяция
и
предсказание Функции определения (User defined)
(Interpolation and Prediction)
Логарифмы и экспонента (Log and Функции преобразования координат
Exponential)
(Vector and Matrix)
Функции выражения (Lookup)
Преобразования частотных волн
(Wavelet Transform)
Графики являются наиболее мощными средством вывода результатов в
MathCAD. Программа среда включает несколько различных типов графиков,
которые можно разбить на две большие группы:
1) Двумерные графики:
a) XY График (XY Plot);
b) Полярный График (Polar Plot).
2) Трёхмерные графики:
a) Поверхностный График (Surface Plot);
b) Контурный График (Contour);
c) График 3Dполос (3D Bar Plot);
d) График 3D Разброса (3D Scatter Plot);
8
График векторного Поля (Vector Field Plot).
Два способа построения двумерных и трёхмерных графиков:
1.
Через меню Вставка (Insert), пункт График (Graph), щёлкнуть в
ниспадающем меню по строке с названием нужного графика;
2.
С помощью панели Графики (Graph) панели Математика (Math).
В появившейся области графика необходимо ввести соответствующие
значения функции вместо черных маркеров и щёлкнуть в пустое место рабочего
документа. Готовые графики можно форматировать и изменять их тип (кроме
двумерных графиков). Подробно построение графиков будет изучено в 4
лабораторной работе.
Помимо того, что MathCAD является мощным математическим
и
графическим редактором, позволяющим проводить самые различные числовые и
символьные расчёты, в нём ещё предусмотрены богатые возможности
форматирования представления внешнего вида расчётов:
e)
Объектами в MathCAD являются формулы, текстовые комментарии,
графики и другие элементы, которые водятся через меню Вставка (Insert), с
помощью панелей инструментов и с клавиатуры. При вводе объекта в рабочий
документ, он автоматически выделяется рамкой, которая определяет область
объекта, см. рис. Не путайте её со скрывающейся областью (зоной) меню
Вставка (Insert).
№
Операции
1 Вставка нового объекта
Перемещение
по документу
3 Изменение
объекта
2
объекта
размера
4
Разделение объектов
5
Удаление объектов
6
Выделение
цветом
7
Выделение
объектов
обрамлением
объектов
Как сделать
Через меню Вставка (Insert); с помощью
панелей инструментов; с клавиатуры
Выделить мышью объект и переместить
курсором − рукой
Выделить мышью объект и растянуть (сжать)
курсором − стрелками объект; с помощью
панели Форматирование (Formatting)
Меню Формат (Format), пункт Разделить
Регионы (Separate Region)
Выделить мышью объект, затем Меню Правка
(Edit) пункт Удалить (Delete) либо клавиши
<Del> или <Backspace>
Меню Формат (Format), пункт Свойства
(Properties), переключатель Подсветка Региона
(Highlight Region) с выбором цвета
Меню Формат (Format), пункт Свойства
(Properties), переключатель Показать Рамку
(Show Border)
9
Областью (Зоной) в MathCAD называют внутренние границы местного
региона см. рис, которые показывают либо скрывают область (зону).
Использование таких областей преследует следующие цели:

разграничение участков документа по смыслу;

временное скрытие участков документа;

запирание
участков
документа
таким
образом,
что
несанкционированный доступ к ним был запрещён.
№
1
2
3
4
5
Операции
Создание области (зоны)
Как сделать
Меню Вставка (Insert), пункт Область
(Area)
Перемещение и изменение Выделить мышью границу и переместить
размера области (зоны)
курсором − рукой
Скрытие области (зоны)
Поместить курсор внутрь области, меню
Формат (Format), пункт Область (Area),
Сжать (Collapse); либо двойным щелчком
мыши по любой из границ
Запирание области (зоны) Поместить курсор внутрь области, меню
Формат (Format), пункт Область (Area),
Блокировать (Lock), ввести пароль
Разблокирование области Поместить курсор внутрь области, меню
(зоны)
Формат (Format), пункт Область (Area),
Разблокировать (Unlock), ввести пароль
Форматирование текста и формул заключается в управлении форматом
шрифта и абзаца. Основные элементы управления находятся на панели
Форматирование, которая содержит кнопки выбора шрифтов, размера шрифтов,
стиля (полужирный, наклонный, с подчёркиванием), кнопки форматирования
текста на странице (выравнивание по левому краю, центрирование и
выравнивание по левому краю), кнопки организации нумерованного и
маркированного списка. Для установки параметров абзаца используется
горизонтальная линейка (меню Вид (View)).
Управление параметрами разметки страницы для вывода документа на
печать осуществляется через диалоговое окно Настройка Страницы (Page
Setup) меню Файл (File).
Параметры настройки:

Размер (Size) – размер страницы;

Источник (Source) – тип подачи бумаги;

Ориентация (Orientation): Вертикальная или Портрет (Portrait),
Горизонтальная или Ландшафт (Landscape);

Поля (Margins) – Левое (Left), Правое (Right), Верхнее (Top), Нижнее
(Bottom).
Колонтитулами называют элементы оформления документа, которые
появляются в унифицированном виде на каждой странице печатной копии
документа. Порядок вставки колонтитула в документ:
10

Меню Формат (Format), пункт Заголовки/Колонтитулы (Header,
Footer);

Вставьте текст, используя встроенные инструменты, строки Опции и
вид Обрамления, нажмите ОК;

для оценки колонтитула, организуйте предварительный просмотр
документа.
Гиперссылки – это активные объекты документа MathCAD, которые выводят
на экран какое–либо другое место в активном документе, другой документ
MathCAD или другого приложения, либо на сайт в Интернете. Гиперссылки
эффективны в больших документах, в обучающих и презентационных системах,
выполненных в MathCAD. Для вставки гиперссылки используется меню Вставка
(Insert), пункт Гиперссылка (Hyperlink).
MathCAD имеет средства оформления документов, позволяющие вставлять и
редактировать рисунки
, сохранённые в файлах самых разных графических
форматов. Для создания рисунка используется панель Матрица (Matrix) панели
Математика (Math), кнопка Рисунок (Picture).
Для вставки программного кода в документ MathCAD используется панель
инструментов Программирование (Programming) панели Математика (Math).
Большинство кнопок панели представлены в виде текстового представление
операторов программирования.
Операторы преобразования алгебраических выражений
Для того, чтобы преобразовать алгебраическое выражение, вычислить
значение функции, построить график функции или решить уравнение,
необходимо, прежде всего, ввести соответствующее выражение в рабочий
документ MathCAD.
В MathCAD можно выполнить следующие символьные преобразования
алгебраических выражений:

Упрощение (simplify) выполнить арифметические операции,
привести подобные, сократить дроби, использовать для упрощения тождества
(формулы сокращённого умножения, тригонометрические тождества и т.п.);

Расширить (expand) – раскрыть скобки, перемножить и привести
подобные;

Фактор (factor) – представить, если возможно, выражение в виде
произведения простых сомножителей;

Подставить (substitute) – заменить в алгебраическом выражении
букву или выражение другим выражением;

Обратить в частичную дробь (convert to partial fraction) – разложить
рациональную дробь на простейшие дроби.
Если MathCAD не может выполнить требуемую операцию, то он выводит в
качестве результата вычислений исходное выражение.
11
Математическое описание элементов и систем автоматического
управления
В общем случае действие непрерывной линейной САУ описывается
неоднородным дифференциальным уравнением следующего вида:
dny
a0 n
dt
d n 1y
a1 n 1 ... an y
dt
d mx
b0 m
dt
d m 1x
dkz
b1 m 1 ... bm x c0 k
dt
dt
d k 1z
c1 k 1 ... ck z
dt
где a, b, c - постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы.
Модель системы управления имеет ряд параметров: количество входных
воздействий r ; порядок n старшей производной выходной переменной x t
(порядок полинома собственного оператора системы); порядок m старшей
производной входных переменных у; коэффициенты ai , i=1,n при выходной
переменной x t и её производных (коэффициенты полинома собственного
оператора системы); коэффициенты bi i=1,m при входной переменной y t и её
производных (коэффициенты полинома оператора входного воздействия);
статические коэффициенты передачи K ; постоянные времени T .
Понятие передаточная функция является наиболее важной категорией в
теории автоматического управления:
W ( s)
Y ( s)
.
X ( s)
Передаточная функция является своего рода математической моделью
системы, т.к. полностью характеризует динамические свойства системы.
Передаточные функции содержат особые точки на комплексной плоскости –
нули и полюса. Полюса – это те значения, при которых передаточная функция
превращается в бесконечность. Для определения полюсов необходимо
собственный оператор (знаменатель передаточной функции) приравнять к нулю и
произвести решение алгебраического уравнения относительно S. Нули - это те
значения, при которых передаточная функция равна нулю. Для нахождения нулей
числитель передаточной функции приравнивается к нулю и полученное
алгебраическое уравнение решается относительно S.
Обычно структурная схема системы автоматического управления состоит из
отдельных элементов, соединенных последовательно, параллельно или с
помощью обратных связей. Каждый элемент имеет один вход и один выход и
заданную передаточную функцию.
При последовательном соединении элементов передаточные функции
звеньев перемножаются. При параллельном соединении передаточные функции
суммируются.
12
Х
W1 ( s )
W2 ( s )
У
n
Wý ( s)
Wi ( s )
i 1
Рисунок 1.3. Последовательное соединение звеньев
Х1
W1 ( s )
У
Х2
W2 ( s )
Х3
W3 ( s )
n
Wý ( s)
Wi ( s)
i 1
Рисунок 1.4. Параллельное соединение звеньев
K4
T11
Порядок выполнения работы
Задание 1.1
Для системы управления, описываемой дифференциальным уравнением
d 3x
d 2x
dx
d 2 y1
d 2 y1
dy
a3 3 a2 2 a1
a0 x b13 2 b12 2 b11 1 b10 y1
dt
dt
dt
dt
dt
dt
d2y
dy
dy
b22 22 b21 2 b20 y2 b31 3 b30 y3 b40 y4
dt
dt
dt
b30
рассчитать статические коэффициенты передачи K1 b10 ; K 2 b20 ; K 3
;
a0
a0
a0
b40
a3
a2
a1
b13 2 b12
2
3
и постоянные времени T33
; T2
; T1
; T13
; T12
;
a0
a0
a0
a0
b10
b10
b11
b22
b21
b31
2
; T22
; T21
; T31
.
b10
b20
b20
b30
Параметры для расчета взять из таблицы 1.1 по номеру своего варианта.
Задание 1.2
Определить нули и полюса передаточной функции системы, описываемой
дифференциальным уравнением, представленным в задании 1.1.
Задание 1.3
Вычислите эквивалентную передаточную функцию системы, структурная
схема которой представлена на рисунке 1.3, учитывая, что
13
W1 (s)
k
Ts 1
передаточная
W2 ( s)
функция
апериодического
звена
первого
порядка,
а
k
- передаточная функция апериодического звена первого порядка.
T2 s T1s 1
2
Задание 1.4
Определите эквивалентную передаточную функцию системы, структурная
схема которой представлена на рисунке 1.4, если W1 (s)
передаточные
W3 ( s)
функция
апериодического
звена
k
, W2 ( s)
Ts 1
первого
k
Ts 1
порядка,
а
k
- передаточная функция апериодического звена первого порядка.
2
T2 s T1s 1
Контрольные вопросы
1.
Какие функции MathCAD вы использовали при определении
параметров передаточной функции системы?
2.
Что представляет собой статический коэффициент передачи системы?
3.
Перечислите известные вам математические операции, реализованные
в MathCAD, используемые при вычислении параметров системы управления.
4.
Какие структурные преобразования используются при параллельном и
последовательном соединении элементов?
5.
Опишите порядок вычисления нулей передаточной функции?
6.
В чем заключается определение полюсов передаточной функции?
14
Таблица 1.1. Варианты заданий
№
1.1
1.2
1.3
1.4
a3
a2
a1
a0
1
6
11
6
2.1
2.2
2.3
2.4
1
3.1
3.2
3.3
3.4
1
4.1
4.2
4.3
4.4
1
5.1
5.2
5.3
5.4
1
6.1
6.2
6.3
6.4
1
7.1
7.2
7.3
7.4
1
8.1
8.2
8.3
8.4
1
9.1
9.2
9.3
9.4
1
7
9
8
8
10
9
10
11
14
26
19
17
31
23
29
38
8
24
12
10
30
15
20
40
15
bi 2
bi 3
bi 0
bi1
49
b10
20
2
b21 18
b20
40
b32
0
b31
4
b30
2
0
b42
0
b41
0
b40
6
b13
1
b12
14
b11
63
b10
90
b23
0
b22
1
b21
8
b20
15
b33
0
b32
0
b31
2
b30
6
b43
0
b42
0
b41
0
b40
2
b13
1
b12
12
b11
41
b10
30
b23
0
b22
2
b21 12
b20
10
b33
0
b32
0
b31
3
b30
3
b43
0
b42
0
b41
0
b40
3
b13
1
b12
13
b11
52
b10
60
b23
0
b22
3
b21
21
b20
30
b33
0
b32
0
b31
7
b30
14
b43
0
b42
0
b41
0
b40
4
b13
1
b11
54
b10
72
b23
0
b21
14
b20
24
b33
0
b31
3
b30
9
b43
0
b12 13
b22 2
b32 0
b42 0
b13
2
b12
22
b41
b11
0
68
b40
b10
5
48
b23
0
b22
5
b21
25
b20
20
b33
0
b32
0
b31
7
b30
7
b43 0
b13 1
b23 0
b33 0
b43 0
b42
b12
0
12
b41
b11
0
44
b40
b10
6
48
b22
2
b21
12
b20
16
b32
0
b31
3
b30
6
0
22
b41
b11
0
72
b40
b10
7
72
b13
2
b12
19
b23
0
b22
b33
0
b43
b11
b13
2
b42
b12
b23
0
b22
3
b21
15
b20
18
b33
0
b32
0
b31
3
b30
16
b43
b13
0
2
b42
b12
0
20
b41
b11
0
54
b40
b10
8
36
b23
0
b22
3
b21
12
b20
9
b33
0
b32
0
b31
2
b30
2
b43
0
b42
0
b41
0
b40
9
Продолжение таблицы 1.1. Варианты заданий
№
10.1
10.2
10.3
10.4
a3
a2
a1
a0
1
12
47
60
11.1
11.2
11.3
11.4
1
12.1
12.2
12.3
12.4
1
13.1
13.2
13.3
13.4
1
14.1
14.2
14.3
14.4
1
15.1
15.2
15.3
15.4
1
16.1
16.2
16.3
16.4
1
17.1
17.2
17.3
17.4
1
18.1
18.2
18.3
18.4
1
3
5
4
5
6
7
10
9
2
6
3
4
8
12
27
20
0
0
0
0
0
0
18
12
16
bi 2
bi 3
bi 0
bi1
b13
2
b12
18
b11
40
b10
24
b23
0
b22
3
b21
9
b20
6
b33
0
b32
0
b31
5
b30
5
b43 0
b13 1
b23 0
b33 0
b43 0
b42
b12
0
12
b41
b11
0
47
b40
b10
10
60
b22
2
b21
14
b20
24
b32
0
b31
3
b30
9
0
20
b41
b11
0
58
b40
b10
11
40
b13
2
b42
b12
b23
0
b22
5
b21
25
b20
20
b33
0
b32
0
b31
6
b30
6
b43 0
b13 1
b23 0
b33 0
b43 0
b42
b12
0
11
b41
b11
0
38
b40
b10
12
40
b22
2
b21
12
b20
16
b32
0
b31
3
b30
6
0
20
b41
b11
0
62
b40
b10
13
60
b13
2
b42
b12
b23
0
b22
4
b21
20
b20
24
b33
0
b32
0
b31
5
b30
10
b43
b13
0
2
b42
b12
0
18
b41
b11
0
46
b40
b10
14
30
b23
0
b22
5
b21
20
b20
15
b33
0
b32
0
b31
7
b30
7
b43
b13
0
3
b42
b12
0
24
b41
b11
0
51
b40
b10
15
30
b23
0
b22
6
b21
18
b20
12
b33
0
b32
0
b31
8
b30
8
b43
b13
0
2
b42
b12
0
22
b41
b11
0
76
b40
b10
16
80
b23
0
b22
30
b21
18
b20
24
b33
0
b32
0
b31
2
b30
4
b43
b13
0
2
b42
b12
0
24
b41
b11
0
94
b40
3
b10
120
b23
0
b22
3
b21
21
b20
36
b33
0
b32
0
b31
2
b30
6
b43
0
b42
0
b41
0
b40
3
Продолжение таблицы 1.1. Варианты заданий
№
19.1
19.2
19.3
19.4
a3
a2
a1
a0
1
13
52
60
20.1
20.2
20.3
20.4
1
21.1
21.2
21.3
21.4
1
22.1
22.2
22.3
22.4
1
23.1
23.2
23.3
23.4
1
24.1
24.2
24.3
24.4
1
25.1
25.2
25.3
25.4
1
26.1
26.2
26.3
26.4
1
27.1
27.2
27.3
27.4
2
13
11
12
11
12
14
15
12
54
34
44
36
41
63
74
10
bi 2
bi 3
72
24
48
36
30
90
120
0
17
bi 0
bi1
b13
2
b12
16
b11
38
b10
24
b23
0
b22
3
b21
12
b20
9
b33
0
b32
0
b31
4
b30
4
b43
0
b13
2
b42
b12
0
16
b41
b11
0
34
b40
b10
5
20
b23
0
b22
3
b21
9
b20
6
b33
0
b32
0
b31
4
b30
4
b43
b13
0
2
b42
b12
0
20
b41
b11
0
62
b40
b10
5
60
b23
0
b22
3
b21
15
b20
18
b33
0
b32
0
b31
4
b30
8
b43
b13
0
2
b42
b12
0
18
b41
b11
0
46
b40
b10
5
30
b23
0
b22
3
b21
12
b20
9
b33
0
b32
0
b31
4
b30
4
b43
b13
0
2
b42
b12
0
20
b41
b11
0
58
b40
b10
5
40
b23
0
b22
3
b21
15
b20
12
b33
0
b32
0
b31
4
b30
4
b43
b13
0
3
b42
b12
0
27
b41
b11
0
78
b40
b10
5
72
b23
0
b22
3
b21
15
b20
18
b33
0
b32
0
b31
4
b30
8
b43
b13
0
2
b42
b12
0
14
b41
b11
0
28
b40
b10
5
16
b23
0
b22
3
b21
18
b20
24
b33
0
b32
0
b31
4
b30
16
b43
b13
0
2
b42
b12
0
12
b41
b11
0
22
b40
b10
6
12
b23
0
b22
3
b21
15
b20
18
b33
0
b32
0
b31
4
b30
12
b43
b13
0
4
b42
b12
0
36
b41 0
b11 104
b40
b10
7
96
b23
0
b22
6
b21
30
b20
36
b33
0
b32
0
b31
8
b30
16
b43
0
b42
0
b41
0
b40
12
Лабораторная работа №2
Исследование математической модели двигателя постоянного тока в
среде MathCAD
Цель работы – изучить принцип действия, расчет параметров, исследование
характеристик двигателя постоянного тока с независимым возбуждением с
использованием программной среды MathCAD
Краткие пояснения
Двигатель постоянного тока с независимым возбуждением
Двигатель постоянного тока (ДПТ) с независимым возбуждением в
настоящее время основной тип двигателя, используемый в автоматизированных
системах управления при наиболее высоких требованиях к статическим и
динамическим показателям. Обмотки этой машины, образующие цепи якоря и
возбуждения, получают питание от одного или двух независимых источников
постоянного
тока.
Необходимым
условием
непрерывного
процесса
электромеханического преобразования энергии является протекание хотя бы по
части обмоток машины переменных токов. Выполнение этого условия в машине
постоянного тока обеспечивается работой коллектора, коммутирующего
постоянный ток, поступающий в якорную обмотку со стороны источника
питания, с частотой, равной частоте вращения ротора . Таким образом, с точки
зрения внутренних процессов двигатель постоянного тока является машиной
переменного тока и уравнения, описывающие его динамическую характеристику,
являются частным случаем обобщенного математического описания процессов
электромеханического преобразования энергии.
Принципиальная и эквивалентная схемы ДПТ приведены на рис.2.1
Двигатель постоянного тока состоит из двух частей: неподвижной – статора, на
котором размещается индуктор с обмоткой возбуждения, и ротора с якорной
обмоткой, напряжение U я на которую подводится через коллектор (в вентильном
двигателе – через тиристоры). Якорь ДПТ имеет момент инерции J Д .
Присоединяемые к якорю рабочие органы машины с моментом инерции J р
увеличивают суммарный момент инерции на валу якоря ДПТ: J J Д J р . Со
стороны рабочей машины на якорь ДПТ действует момент сопротивления M c ,
закон изменения которого определяется особенностями этой рабочей машины.
Подаваемое
на
обмотку
возбуждения
постоянное
напряжение
U в обеспечивает создание магнитного потока Ф . В результате взаимодействия
тока якоря i я , возникающего при подключении к обмотке якоря постоянного
напряжения U я , и этого магнитного потока на валу двигателя образуется
двигательный момент M . Под действием разности моментов M M c якорь ДПТ
вращается с угловой скоростью
. При вращении якоря в магнитном поле,
создаваемом обмоткой возбуждения с магнитным потоком
f (iв ) , в цепи якоря
18
наводится электродвижущая сила Е я , уравновешивающая прикладываемое к
нему напряжение U я . Обмотки якоря и возбуждения намотаны медным проводом
и обладают активными сопротивлениями Rя , Rв и индуктивностями Lя и Lв . Вал
якоря имеет момент инерции J Д .
Рисунок 2.1. Схемы ДПТ: а) принципиальная, б) эквивалентная
Электрическая машина постоянного тока, работающая в двигательном
режиме, как это видно из энергетической диаграммы ДПТ (рис. 5.2), преобразует
электрическую энергию P1 , потребляемую от источника постоянного напряжения,
в механическую P2 на валу двигателя. При этом часть мощности P1 идёт на
возбуждение Pв , а часть теряется в виде электрических потерь Pэл. я R я i я2 в
цепи якоря. Оставшаяся мощность составляет электромагнитную мощность якоря
Pэм P1 Pв
P' эл. я E я I я , которая преобразуется в механическую мощность
Pмх .Мощность поступающая в якорную цепь меньше входной мощности P1 на
величину мощности возбуждения Pв : Pя P1 Pв .
Потери магнитные
Pмг , добавочные
Pд и механические
Pмх
покрываются за счёт механической мощности Pмх . Оставшаяся часть мощности
представляет полезную механическую мощность P2 на валу двигателя, которая
обычно и указывается в справочниках.
Показатель энергетической эффективности двигателя – его коэффициент
полезного действия
P2
.
P1
При известных значениях P2 и первичная мощность P1 определяется так:
19
P1
P2
.
При известных значениях напряжения U в и сопротивления Rв возбуждения
могут быть вычислены значения тока iв и мощности Pв в обмотке возбуждения по
следующим формулам
Uв
U в2 2
iв
Pв U в iв
iв Rв .
Rв
Rв
Поэтому мощность в цепи якоря вычисляют по выражению
P2
Pя P1 Pв
Pв .
При этом ток якоря i я двигателя для заданного напряжения U я цепи якоря
может быть вычислен по формуле
Pя
,
iя
Uя
а угловая скорость
(рад/с) при известной номинальной частоте вращения
n (об./мин.) определена из выражения
2 n
.
60
В двигателе постоянного тока с независимым возбуждением основной
управляющей величиной служит напряжение на якоре, изменение которого
обеспечивает широкий диапазон регулирования скорости вращения, что
обуславливает широкое применение таких двигателей в качестве исполнительных
элементов систем автоматического регулирования, в регулируемом приводе
многих производственных механизмов, в силовых следящих системах.
Математическое описание ДПТ, соответствующее эквивалентной схеме (см.
рис.1.3,б), объединяет уравнения для цепей якоря и возбуждения, выражения для
ЭДС в цепи якоря и момента, уравнение движения.
di
U я R я i я Lя я E я ;
dt
di
U в Rв iв Lв в ;
dt
;
Eя k
f (iв ) ;
M k iя ;
d
M Mc J
.
dt
Здесь k -конструктивная постоянная, t - время.
Математическое описание динамики двигателя постоянного тока нелинейно
в связи с тем, что ЭДС двигателя E я и электромагнитный момент М
пропорциональны произведениям потока соответственно на скорость и на ток
якоря.
20
Если в уравнения ввести постоянные времени цепей возбуждения Tв
и якоря Tя
Lя
Rя
Lв
Rв
, то они примут следующий вид:
di я
di
Eя ,
U в Rв iв Tв в .
dt
dt
При этом уравнения динамической механической и электромеханической
характеристик могут быть представлены в виде:
Uя
Rя i я
Tя
kФ
k 2Ф 2
dM
,
M
Uя
Tя
Rя
Rя
dt
di
1
kФ
iя
Uя
Tя я ,
Rя
Rя
dt
или в операторной форме для момента и тока:
kФ
Uя p
R я 1 Tя p
1
Uя p
R я 1 Tя p
M p
iя p
k 2Ф 2
R я 1 Tя p
kФ
R я 1 Tя p
p ,
p ,
для скорости:
Rя
1
Uя p
1 Tя p M p ,
kФ
k 2Ф 2
Rя
1
p
Uя p
1 Tя p i я p .
kФ
kФ
Эти модели отражают взаимосвязь основных механических величин ДПТ и
тока якоря без учёта уравнения движения. При исследовании и анализе
переходных процессов ДПТ более удобны независимые выражения
устанавливающие зависимость этих величин от времени.
p
Порядок выполнения работы
Задание 2.1
Используя математическую систему MathCAD по заданному варианту
табл.2.1 провести расчёт номинальных значений величин (токов, мощностей,
скорости, момента) двигателя постоянного тока (для вариантов 0-9 момент
инерции J 0.004 кг м2, для вариантов 10-19 момент инерции J 0.005 кг м2, для
вариантов 20-29 момент инерции J 0.015 кг м2).
Задание 2.2
По рассчитанным параметрам в задании 1 построить естественную
механическую характеристику двигателя постоянного тока
ñ
U
.
0
Сделать вывод по проделанной работе и оформить отчет.
21
(M )
0
Rÿ
M , где
ñ2
Таблица 2.1. варианты заданий
№
Мощность
кВт
Напряже
ния
обмоток
якоря и
возбужде
ния, В
1
2
3
Технические данные двигателей серии 2П
Номинальная
КПД,
Сопротивление обмотки при 150
частота
%
С, Ом
вращения,
якоря
Добавоч- Возбуждеоб/мин
ных
ния
полюсов
4
5
6
7
Индуктивность цепи
якоря, мГн
8
9
162
610
162
610
162
610
123
470
92
365
128
514
78.7
297
48
190
18
79
12
48
145
555
145
555
112
432
87
340
87
340
106
430
64.5
264
33
132
14.6
64
8.2
33
61,4
233
61,4
233
44
181
39,4
156
33,6
129
13.9
58
9.3
44
4.8
19.5
2.3
9.3
1
4.8
Тип 2ПН90МУХЛ4, 2ПН90МГУХЛ4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.17
0.17
0.25
0.25
0.37
0.37
0.71
0.71
1
1
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0.2
0.2
0.34
0.34
0.55
0.55
0.9
0.9
1.3
1.3
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
0.6
0.6
0.85
0.85
1.5
1.5
2.5
2.5
3.6
3.6
110
220
110
220
110
220
110
220
110
220
750
47.5 5.84
4.40
750
48.5 27.2
16.2
1060
56
3.99
2.55
1120
57 15.47
11.2
1500
61.5 2.52
1.47
1500
61.5 10.61
6.66
2360
69.5
1
0.54
2360
70
3.99
2.55
3000
71.5
0.6
0.35
3000
72.5 2.52
1.47
Тип 2ПН90LУХЛ4, 2ПН90LГУХЛ4
110
750
54
4.51
2.99
220
800
54.5 17.5
13.13
110
1060
60
2.85
1.731
220
1000
60
12.2
7.96
110
1500
67.5
1.3
0.932
220
1500
67.5 5.44
3.89
110
2000
73 0.644
0.4
220
2120
73
2.85
1.731
110
3150
76 0.355 0.257
220
3150
78
1.3
0.932
Тип 2ПН112МУХЛ4, 2ПН112МГУХЛ4
110
800
59
1.29
1.12
220
800
60.5 5.07
4.5
110
1060
63 0.788 0.682
220
950
64
3.85
3.08
110
1500
70
0.42
0.355
220
1500
70
1.77
1.55
110
2120
76 0.196 1.134
220
2200
76 0.788 0.682
110
3150
78.5 0.084 0.089
220
3000
79
0.42
0.356
22
Контрольные вопросы
1.
Какие символьные алгебраические преобразования необходимо
выполнить в MathCAD для определения номинальных значений двигателя?
2.
С помощью, какой функции в MathCAD можно упростить
выражение?
3.
Приведите и проанализируйте аналитические выражения и графики
переходных характеристик ДПТ.
23
Лабораторная работа №3
Анализ устойчивости систем управления по критерию Гурвица с
использованием MathCAD
Цель работы – научиться использовать инструменты, операции и
встроенные функции MathCAD при анализе систем управления на устойчивость.
Краткие пояснения
Особенности работы с матрицами и определителями
в среде MathCAD
При решении задач в теории автоматического управления, а именно при
составлении дифференциальных уравнений, при определении устойчивости
системы возникает необходимость выполнить различные операции с матрицами.
Для этого существует панель операций с матрицами и векторами, которая
открывается щелчком по кнопке в панели математических инструментов. За
кнопками панели матрица (рис.3.1.) закреплены следующие функции:
- определение размеров матрицы;
- ввод нижнего индекса;
- вычисление обратной матрицы;
- вычисление определителя матрицы
- поэлементные операции с матрицами:
- определение столбца матрицы;
- транспонирование матрицы
- вычисление скалярного произведения векторов
- вычисление векторного произведения двух векторов
- вычисление суммы компонент вектора
- определение диапазона изменения переменной
- визуализация цифровой информации, сохранённой в матрице.
Рисунок 3.1. Панель матрица
Меню символьных операций с матрицами содержит три функции –
Переместить
(Transpose),
Инверсировать
(Invert)
и
Вычисление
детерминанта (Determinant).
Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры, можно
разделить на три группы: функции определения матриц и операции с блоками
24
матриц, функции вычисления различных числовых характеристик матриц и
функций, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры.
Функции определения матриц и операции с блоками матриц:
matrix(m,n,f) – создаёт и заполняет матрицу размерности m×n, элемент
которой, расположенный в i-й строке, j-м столбце, равен значению f(i,j) функции
f(x,y);
diag(v) – создаёт диагональную матрицу, элементы главной диагонали
которой хранятся в векторе v;
identity(n) – создаёт единичную матрицу порядка n;
augment(A,B) – формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится
матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь
одинаковое число строк);
stack(A,B) – формирует матрицу, в первых строках которой содержится
матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь
одинаковое число столбцов);
submatrix(A,ir,jr,ic,jc) – формирует матрицу, которая является блоком
матрицы А, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc, ir≤ jr,
ic≤ jc,.
Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора
хранится в MathCAD в переменной ORIGIN. По умолчанию в MathCAD
координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются начиная с 0
(ORIGIN:=0). Поскольку в математической записи чаще используется нумерация
с 1, то перед началом работы нужно определять значение переменной ORIGIN,
равным 1, т.е. будем прежде всего выполнять команду ORIGIN:=0.
Функции вычисления различных числовых характеристик матриц:
last(v) – вычисление номера последней компоненты вектора v;
length(v) – вычисление количества компонент вектора v;
rows(A) – вычисление числа строк в матрице A;
cols(A) – вычисление числа столбцов в матрице A;
max(A) – вычисление наибольшего элемента в матрице A;
min(A) – вычисление наименьшего элемента в матрице A;
tr(A) – вычисление следа квадратной матрицы A (след матрицы равен сумме
её диагональных элементов);
rank(A) – вычисление ранга матрицы A (определение ранга матрицы);
norm1(A), norm2(A), norme(A), normi(A) – вычисление норм квадратной
матрицы A (определение норм матрицы).
Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной
алгебры:
rref(A) – приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным
минором (выполняются элементарные операции со строками матрицы);
eigenvals(A) – вычисление собственных значений квадратной матрицы А
(определение собственных значений);
eigenvecs(A) – вычисление собственных векторов квадратной матрицы А;
значением функции является матрица, столбцы которой есть собственные
25
векторы матрицы А, причём порядок следования векторов отвечает порядку
следования собственных значений, вычисленных функцией eigenvals(A);
eigenvec(A,I) – вычисление собственного вектора матрицы А, отвечающего
собственному значению I;
Isolve(A,b) – решение системы линейных алгебраических уравнений Ax=b.
Вычисления с использованием описанных функций выполняются:
 стандартным для MathCAD способом, т.е. с помощью клавиатуры;
 имя функции можно вставить из списка: меню Вставка (Insert), строка
Функция (Function), в открывшемся окне списка стрелками прокрутки выбрать
нужную функцию и нажать
. Кроме того, на Стандартной панели
инструментов есть кнопка
, которая тоже открывает это окно.
Рисунок 3.3. Вставка функции
В нижней части окна можно найти краткое пояснение выбранной функции, а
также кнопка
, которая вызывает справку по этой функции. Весь текст
написан простым языком, поэтому не требуют глубоких знаний английского
языка.
При выполнении символьных операций через меню можно изменить режим
отображения результатов вычислений – результат может быть отображён ниже
или справа от матрицы, над которой выполнены операции. Режим отображения
результатов символьных вычислений определяется в пункте Стиль вычисления
меню Символика как Вертикальный (Verticaly) и Горизонтальный
(Horizontally). Вид меню и окно диалога настройки режима отображения
результатов приведён на рис.3.4.
Рисунок 3.4. Окно диалога настройки режима отображения результатов
26
Вычисления могут производиться в двух режимах – автоматическом и
последовательном. В первом случае операция выполняется сразу после ввода
команды и щелчка по рабочему документу вне выделяющей рамки, во втором –
после команды Вычислить (Calculate).
Режим вычислений устанавливается в меню Математика (Math). По
умолчанию включен режим автоматических вычислений, строка меню помечена
символом . Если автоматический режим отключён, результат будет вычислен
после щелчка по строке Вычислить (Calculate) в меню Математика (Math) или
по кнопке
на Стандартной панели инструментов.
Критерий устойчивости Гурвица
При решении задач теории автоматического управления часто приходится
встречаться с задачей определения устойчивости системы, которая определяется
по нескольким критериям. Здесь MathCAD является очень хорошим помощником.
Один из критериев определения устойчивости системы – критерий Гурвица,
который заключается в следующем. Для характеристического уравнения
составляют квадратную матрицу, содержащую n строк и n столбцов
an 1
an
0
an
an
an
0
...
0
3
2
1
an
...
0
an
an
an
5
4
3
... 0 0
... 0 0
... 0 0
.
... 0 0
... ... ...
an 2
...
0
... ... a0
Эта таблица составляется следующим образом: по диагонали от верхнего
левого до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку.
Каждая строка дополняется коэффициентами с нарастающими индексами слева
направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В
случае отсутствия коэффициента, а так же если индекс его меньше нуля или 0
больше n, на месте его пишется нуль.
Критерий устойчивости сводится к тому, что при a0 0 должны быть больше
все определители Гурвица, полученные из квадратной матрицы по следующему
правилу:
1
a1
0,
2
a1
a3
a0
a2
0,
3
a1
a0
a3
a2
a5
a4
0
a1
a3
0 и т .д.
Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в
последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то
последний определитель Гурвица выражается через предпоследний: n an n 1 0 .
27
Порядок выполнения работы
Задание 3.1
Используя критерий Гурвица, определите устойчивость системы с
характеристическим уравнением, D s a4 s 4 a3 s 3 a2 s 2 a1s ao 0 . Значения
коэффициентов взять из таблицы 1.1 по номеру своего варианта в журнале.
Сделать вывод об устойчивости системы и оформить отчет.
Контрольные вопросы
1.
Перечислите операции с матрицами, которые вы выполняли при
определении системы на устойчивость по критерию Гурвица.
2.
В чем заключается критерий Гурвица?
3.
Какую матрицу необходимо построить для для определения
устойчивости по критерию Гурвица?
4.
По какому правилу строятся определители при использовании
критерия Гурвица?
28
Лабораторная работа №4
Построения переходных характеристик систем в среде MathCAD
Цель работы – ознакомиться с методикой построения переходных
характеристик в программе MathCAD, сформировать навыки выполнения
основных операций по построению временных и частотных характеристик
типовых динамических звеньев и систем..
Краткие пояснения
Временные и частотные характеристики типовых
динамических звеньев
Критериями
количественной
и
качественной
оценки
системы
автоматического управления и ее элементов являются временные и частотные
функции и характеристики, которые могут быть определены на основе свойств
типовых динамических звеньев. Исследование типовых динамических звеньев
производится в системе MathCAD.
Пот типовым динамическим звеном понимают математическую модель
устройства любого физического принципа действия
и конструктивного
оформления, но описываемого определенным дифференциальным уравнением.
Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной
функции. Переходная функция или переходная характеристика, представляет
собой переходной процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход
скачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице.
Временные и частотные характеристики типовых динамических звеньев
представлены в таблице 4.1.
В теории автоматического управления довольно таки часто приходится
встречаться с построением переходных характеристик систем управления, и
программная среда MathCAD оказывает в этом огромную помощь. Особенности
построения графиков в этом программном пакете описаны ниже.
Особенности построения графиков в программной среде MathCAD
Графики являются наиболее мощными средством вывода результатов в
MathCAD. Программа среда включает несколько различных типов графиков.
В Меню Вставка (Insert) пункт График
(Graph) (рис.4.1) открывает
доступ к восьми операциям построения различных типов графиков. После щелчка
по строке дополнительного меню в рабочем документе открывается поле
построения:

X-Y график
(X-Y Plot) – графика функций одной переменной в
декартовых координатах;

Полярный график
(Polar Plot) – графика функций одной
переменной в полярных координатах;

Мастер 3D графиков
29
(3D Plot Wizard) – мастер трёхмерной графики, открывает диалог настройки
параметров трёхмерных изображений.

График Поверхности
(Surface Plot) – графика функций двух
переменных в декартовых координатах – поверхности;

Контурный График
(Contour Plot) – графика контурных линий
(линий уровня функций двух переменных) в декартовых координатах;

График 3D разброса
(3D Scatter Plot) – изображения точек в
трёхмерном пространстве, заданных декартовыми координатами;

График 3D Полос
(3D Bar Plot) – графика трёхмерной
гистограммы;

Векторный график
(Vector Field Plot) – графика векторного поля.
Рисунок 4.1. Меню вставка
Порядок действий при построении всех графиков одинаков. После щелчка
мышью по строке меню в рабочем документе открывается поле построения
графика с помеченными для ввода позициями, которые нужно заполнить для
определения графика. Когда график определён (т.е. заполнены все помеченные
позиции), то для построения графика нужно щёлкнуть по строке Вычислить
(Calculate) в меню Математика (Math), нажать F9 или щёлкнуть в панели
инструментов Стандартная по кнопке .
MathCAD
предоставляет
пользователю
разнообразные
средства
форматирования графика: изменение толщины и цвета линии, вида осей
координат, координатные сетки, текстовые комментарии и др. (см. рис.4.2). Для
этого нужно щёлкнуть дважды по полю графика и в появившемся окне
настройки установить требуемые параметры.
Рисунок 4.2. Меню форматирования графика
30
Пункт График (Graph) в Меню Формат (Format) содержит операции
форматирования графиков. Здесь открывается дополни-тельное меню, причём
воз-можность использования его пунктов зависит от позиции курсора в рабочем
документе и от определений, введённых в рабочий документ. Когда курсор
установлен вне поля двумерного декартова графика, открывается меню
определения параметров графиков Плоского Декартова (X-Y Plot), Полярного
(Polar Plot) или Трёхмерного (3D Plot). Щелчок по соответствующей строке
открывает окно настройки параметров изображения (см. описание Графики меню
Вставка). Если же курсор установлен в открытом для ввода поле двумерного
декартова графика, то дополнительное меню содержит строки X-Y график –
форматирование графика. След, Трассировка (Trace) – определяет координаты
точки на помеченной линии. Масштаб (Zoom) – увеличивает масштаб
изображения помеченной области графика.
Окно форматирования двумерных графиков
Оси X-Y:

Журнал (нарисовать график оси в логарифмическом масштабе);

Сетка (показать линии сетки);

Нумерация (показать нумера-цию шкалы);

Автошкала (диапазона шкалы выбирается автоматически);

Показать маркеры (выделить значения на осях);

Автосетка (шкалы разбиваются автоматически);

Стиль осей (выбрать один их трёх видов осей координат);

Одинаковые (оси X и Y принудительно рисуются в одинаковом
масштабе).
Рисунок 4.3. Меню форматирования двухмерных графиков
Следы:

Метка легенды (текст легенды, описывающий ряд данных);

Символ (символ обозначения отдельные точки данных);

Линия (стиль линий);

Цвет (цвет линий и точек);

Тип (тип представления ряда данных);

Вес (толщина линий и точек).
Метки:

Название (заголовок графика);

Над, Под (расположение заголовка);

Показать (Показать заголовок);
31

Метки Осей (название осей).
Умолчания включает два элемента:

Изменить на умолчания (изменяет установки выделенного графика
на установки по умолчанию, принятые для текущего документа);

Использовать для умолчаний (делает установками по умолчанию для
данного документа установки выбранного графика).
Окно форматирования трёхмерных графиков
Рисунок 4.4. Меню форматирования трехмерных графиков
Общие (General) (см.рис.4.4):

Вид (View): Вращение (Rotation), Наклон (Tilt), Поворот (Twist),
Масштаб (Zoom);

Стиль Осей (Axes Style): Периметр (Perimeter), Углом (Corner), Нет
(None), Выровнить Шкалы (Equal Scales).

Обрамления (Frames): Показать Границу (Show Border) и Показать
Куб (Show Box) с выбором цвета;

Показать Как (Display As) – изменить тип трёхмерного графика.
Стиль Осей (Axes) (рис.4.5):

Сетка (Grids): Рисовать Линии (Draw Lines) и Рисовать Пометки
(Draw Ticks) с выбором цвета, количества и толщины линий; Автосетка (Auto
Grid);

Формат Осей (Axis Format): Показать Числа (Show Numbers); Цвет
Осей (Axis Color); Толщина Осей (Axis Weight);

Пределы Осей (Axis Limits): Автошкала (Auto Scale); Минимальное и
Максимальное значения (Minimum and Maximum Value).
Рисунок 4.5. Меню форматирования осей графика
32
Меню Оформление(Appearance) показано на рис.4.6:

Опции заливки (Fill Options): Заливка Повер-хности(Fill Surface) с
выбором Ровного От-тенка (Smooth Shading) и с установкой Цветовой Схемы
(Colormap) разных оттенков или Одного Цвета (Solid Color); Заливка Контуров
(Fill Contours); Нет Заливки (No Fill); Альтернативная Сеть (Alternate Mesh);

Опции Линии (Line Options): Связный Каркас (Wireframe);
Контурные Линии (Contour Lines); Нет Линий (No Lines); Скрытые Линии
(Hide lines); Толщина Линий (Weight); установка Цветовой Схемы (Colormap)
разных оттенков или Одного Цвета (Solid Color);

Опции Точки (Point Options): Рисовать Точки (Draw Points)
определённого Символа (Symbol) с выбором Размера (Size) и установкой
Цветовой Схемы (Colormap) разных оттенков или Одного Цвета (Solid Color).
Рисунок 4.6. Меню оформление
Включение Возможной Подсветки (Enable Lighting) даёт возможность
выбрать: использо-вать встроенные Схемы Подсветки (Lighting Scheme);
самостоятельно задавать Рассеивающий (Diffuse Color) или Отражающий
Цвет (Specular Color) и Направление Линий (Direction) осей X, Y и Z при
Включенном режиме (On); включать режим Источника Бесконечного Света
(Infinite Light Source).
Заголовок (Title) может располагаться сверху, снизу либо быть скрытым.
Закладка Задние планы (Back plane) позволяет редактировать задний план
графика: рисовать линии осей с выбором их цвета и толщины; делать метки на
осях, помечать Границу Заднего Плана графика (Back plane Border).
Закладка Специальные (Special) предоставляет пользователю некоторые
параметры, влияющие на представление контуров графиков: сочетание различных
цветовых схем, заливок, стилей и многое другое.
Закладка Дополнительно (Advanced) имеет доступ к управлению
несколькими специальными эффектами оформления графиков:

Туман (Fog) – эффект тумана;

Перспектива (Perspective) – показ перспективы с определением
видимости расстояния;

Вертикальная Шкала – определяется масштаб вертикальной
шкалы;
33

Сияние (Shininess) – возможность регулировать сияние в пределах
от 0 до 128 условных единиц;

Прозрачность (Transparency) – задаётся процент прозрачности
графика.
Порядок выполнения работы
Задание 4.1. Построить графики временных и частотных характеристик всех
звеньев, представленных в таблице 4.1.
Значение коэффициента передачи звена принять равным k 1 0,01 N , где
N номер варианта по журналу, значение постоянных времени T T1 10 0, 01 N ,
T2 T 2, 2 .
Задание 4.3. Проанализировать графики, полученные в п. 4.1,4.2 и сделать
вывод. Оформите отчет о проделанной работе.
Контрольные вопросы
1. Опишите порядок построения графика функции, а также возможность
корректировки
его параметров на примере переходных характеристик
апериодического звена первого порядка.
2. В чем заключаются особенности построения временных и частотных
характеристик типовых динамических звеньев?
3. Чем определяются динамические свойства звена?
34
Таблица 4.1. Переходные характеристики типовых звеньев
Наименование
функции
Апериодическое звено
первого порядка
T
Передаточная
функция
dX 2
dt
X2
Апериодическое звено
второго порядка
d 2 X2
dX
T2
T1 2
2
dt
dt
KX1
K
Ts 1
K
(1 T3 s)(1 T4 s )
Амплитудная
частотная функция
Фазовая частотна
функция
Вещественная
функция
Мнимая функция
Амплитуднофазовая частотная
функция
Логарифмическая
амплитудная
частотная функция
Асимптотическая
логарифмическая
амплитудная
частотная функция
Переходная
функция
K
A( )
T2
( )
( )
K
U( )
T2
2
1
T
2
2
1
K
KT
W( j )
j 2 2
2 2
T
1 T
1
1
,
T
L( ) 20 lg( K )
c :
K
L( ) 20lg( )
c :
T
20lg( )
c
K 1 eT
1(t )
35
2
K (T3 T4 )
(T3 2 1)(T4 2 2 1)
2
20 lg( K ) 20 lg 1 T 23
20 lg 1 T 2 4
1)
2
2
1
1
, c2
,
T3
T4
L( ) 20 lg( K )
c1 :
c1
c2 :
K
L( ) 20lg( ) 20lg( )
T3
c2 :
K
L( ) 20 lg(
) 40 lg( )
T3T4
c1
t
h(t )
1 T4 2
K (1 T3T4 2 )
(T32 2 1)(T4 2 2 1)
W( j )
L( )
2
2
K (1 T3T4 2 )
(T32 2 1)(T4 2 2 1)
K (T3 T4 )
2 2
(T3
1)(T4 2 2 1)
V( )
j
L( ) 20lg( K ) 20lg( T 2
2T2 )
arctg ( T3 ) arctg ( T4 )
U( )
KT
V( )
1 T32
1
arctg ( T )
,
K
A( )
2
T 21
T22 , (T1
4
T1
2
T3,4
KX1
K
T22 s 2 T1s 1
W ( s)
W ( s)
X2
h(t ) K 1
T3
T3 T4
e
t
T3
T4
T3 T4
e
t
T4
1(t )
Продолжение таблицы 4.1. Переходные характеристики типовых звеньев
Наименование функции
Колебательное звено
d 2 X2
T
dt 2
dX 2
dt
2 T
X2
KX1
Передаточная функция
W ( s)
Амплитудная частотная
функция
T s
K
A( )
(1 T3
Фазовая частотна функция
Мнимая функция
Логарифмическая
амплитудная частотная
функция
Логарифмическая
амплитудная частотная
функция
при
1
,
T
при
1
,
T
2 2
(2 T ) 2
)
arctg (
1
arctg (
1
Асимптотическая
логарифмическая
амплитудная частотная
функция
T
)
T2
2
2
T
)
T2
2
2
K (1 T 2 2 )
(1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2
L( )
2
2K T
(1 T 2 )2 (2 T )2
V( )
W( j )
2
K (1 T 2 2 )
(1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2
U( )
Амплитудно-фазовая
частотная функция
K
2 Ts 1
2 2
2
j
2K T
(1 T 2 ) 2 (2 T ) 2
2
20lg(k ) 20lg (1 T 2
2 2
)
(2 T ) 2
1
,
T
L( ) 20 lg( K )
c :
K
L( ) 20lg( 2 ) 40lg( )
c :
T
c
Переходная функция
T
,
arctg
2
h(t )
36
K 1
1
2
2
e
t
sin( t
) 1(t )
Продолжение таблицы 4.1. Переходные характеристики типовых звеньев
Наименование
функции
Консервативное звено
T2
Передаточная
функция
Амплитудная
частотная функция
Фазовая частотна
функция
Дифференцирующее звено с
замедлением
2
d X2
dt 2
X2
KX1
T
Амплитуднофазовая частотная
функция
Логарифмическая
амплитудная
частотная функция
Асимптотическая
логарифмическая
амплитудная
частотная функция
Переходная
функция
X2
W ( s)
W ( s)
K
T s 1
K
A( )
T2
1
: ( ) 0
T
Ks
Ts 1
2
1
K
T2
U( )
K
T
2
1
K
V( )
W( j )
2
T
2
K T
T2 2 1
2
1
j
K
T
2
2
2
T2
L( ) 20lg( K ) 20lg 1 T 2
1
, L( ) 20lg( K )
T
1
K
, L( ) 20lg( 2 )
T
T
40lg( )
K 1 cos
2
2
L( ) 20lg( K ) 20lg 1 T 2
h(t )
2
0 : ( ) arctg ( T )
V( ) 0
1
T2
0 : ( ) arctg ( T )
1
: ( )
T
K
U( )
1 2T 2
W( j )
dX 1
dt
K
A( )
2
1
1
T
K
2 2
1
: ( )
T
Вещественная
функция
Мнимая функция
dX 2
dt
t
T
37
1(t )
2
2
20lg
1
,
T
L( ) 20 lg( K )
c :
K
L( ) 20lg( )
c :
T
c
h(t ) Ke
t
T
1(t )
1
Продолжение таблицы 4.1. Переходные характеристики типовых звеньев
Наименование
функции
Идеальное
интегрирующее звено
dX 2
dt
Передаточная
функция
Амплитудная
частотная функция
Фазовая частотна
функция
Амплитуднофазовая частотная
функция
Логарифмическая
амплитудная
частотная функция
Асимптотическая
логарифмическая
амплитудная
частотная функция
Переходная
функция
d2 X2
T
dt 2
KX1
dX 2
KX1
dt
K
s(Ts 1)
W ( s)
W (s)
K
s
A( )
K
0: ( )
2
j
K
T
arctg T
2
2
1
K
T
KT
T
arctg T
2
V( )
2
1
KT
U( )
K
2
2
0: ( )
2
W( j )
W( j )
T2
0: ( )
U( ) 0
V( )
K
A( )
0: ( )
Вещественная
функция
Мнимая функция
Интегрирующее звено с
замедлением
2
1
2
2
1
K
j
T
L( ) 20lg( K ) 20lg T 2
2
2
2
1
1
L( ) 20lg( K ) 20lg
L( ) 20lg( K ) 20lg
1
,
T
L( ) 20 lg( K ) 20 lg
c :
K
L( ) 20lg( ) 40lg
c :
T
c
h(t ) Kt 1(t )
h(t ) K t T 1 e
38
t
T
1(t )
Продолжение таблицы 4.1. Переходные характеристики типовых звеньев
Наименование
функции
Передаточная
функция
Изодромное звено
dX 2
dt
KX1
K
s
W ( s)
Амплитудная
частотная функция
A( )
Фазовая частотна
функция
K
K1
K
K T2
2
A( )
1
0 : ( ) arctg
T
0 : ( ) arctg
T
Вещественная
функция
Мнимая функция
dX 1
dt
W (s) Ks
X2
K Ts 1
s
K1
T
Идеальное
дифференцирующее
dX
K1 1
dt
2
2
U ( ) KT
0: ( )
0: ( )
2
2
U( ) 0
V( ) K
K
V( )
K
АмплитудноK
фазовая частотная
W ( j ) KT j
функция
Логарифмическая
амплитудная
L( ) 20lg( K ) 20lg T 2
частотная функция
W( j )
jK
L( ) 20lg( K ) 20lg
2
1
20lg
Асимптотическая
логарифмическая
амплитудная
частотная функция
Переходная
функция
c
c
L( ) 20lg( K ) 20lg
1
,
T
:
L( ) 20lg( K ) 20lg
L( ) 20 lg( KT )
c :
h(t )
Kt
K1 1(t )
39
h(t ) K (t )
Тестовые задания
1. При параллельном соединении звеньев передаточные функции звеньев:
а) складываются,
б) перемножаются,
в) делятся,
г) вычитаются,
д) приравниваются к нулю.
2. Статический коэффициент передачи – это:
а) зависимость входной величины от выходной величины,
б) зависимость выходной величины от входной величины,
в) отношение входной величины к выходной величине,
г) отношение выходной величины к входной величине,
д) отношение приращения выходной величины к приращению входной
величины.
3. При последовательном соединении звеньев их передаточные функции:
а) складываются,
б) перемножаются,
в) делятся,
г) вычитаются,
д) приравниваются к нулю.
4. Значения, при которых передаточная функция системы обращается в нуль
называются:
а) нули,
б) полюса,
в) критические точки,
г) экстремумы,
д) крайние точки.
5. Значения при которых передаточная функция обращается в бесконечность
называются:
а) нули,
б) полюса,
в) критические точки,
г) экстремумы,
д) крайние точки.
6. Для определения нулей передаточной функции:
а) приравнивают к нулю знаменатель передаточной функции,
б) приравнивают к нулю числитель передаточной функции,
в) приравнивают к 1 знаменатель передаточной функции,
г) приравнивают к 1 числитель передаточной функции,
д) приравнивают к нулю передаточную функцию.
7. Для определения полюсов передаточной функции:
а) приравнивают к нулю знаменатель передаточной функции,
б) приравнивают к нулю числитель передаточной функции,
в) приравнивают к 1 знаменатель передаточной функции,
г) приравнивают к 1 числитель передаточной функции,
40
д) приравнивают к нулю передаточную функцию.
8. Показателем энергетической эффективности двигателя является:
а) КПД,
б) механическая мощность,
в) первичная мощность,
г) угловая скорость,
д) частота вращения.
9. Какая панель среды MathCAD используется при анализе устойчивости
системы по критерию Гурвица:
а) панель матрица,
б) панель графики,
в) панель формулы,
г) панель форматирования,
д) панель редактирования.
10. Система будет считаться устойчивой по критерию Гурвица, если все
определители, полученные из квадратной матрицы будут:
а) >0,
б) <0,
в) >1,
г) <1,
д) равны 0.
11. Квадратичная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, а
остальные нули называется:
а) нулевой,
б) единичной,
в) скалярной,
г) транспонированной,
д) ортогональной.
12. Матрица, получаемая из матрицы заменой строк столбцами называется:
а) нулевой,
б) единичной,
в) скалярной,
г) транспонированной,
д) ортогональной.
13. Какая панель MathCAD используется при построении и исследовании
переходных характеристик системы:
а) панель матрица,
б) панель графики,
в) панель формулы,
г) панель форматирования,
д) панель редактирования.
14. Выражением W (s)
K
определяется:
Ts 1
а) передаточная функция апериодического звена первого порядка,
б) передаточная функция апериодического звена второго порядка,
в) передаточная функция консервативного звена,
41
г) передаточная функция изодромного звена,
д) передаточная функция идеального дифференцирующего звена.
15. Совокупность способов взаимодействия пользователя с программой с
помощью пиктограмм, диалоговых окон называется:
а) текстовым интерфейсом,
б) графическим интерфейсом,
в) табличным интерфейсом.
16. Постоянная времени системы обознается через:
а) Т,
б) К,
в) а,
г) b,
д) s.
17. Амплитудно-частотная характеристика апериодического звена второго
порядка определяется выражением:
а) A( )
б)
K
K
A( )
T
в)
A( )
г) A( )
,
2
,
2
1
,
K
1 T32
2
1 T4 2
K T2
2
2
1
,
д) A( ) K .
18. Какая функция в MathCAD используется для создания единичной
матрицы?
а) diag(v),
б) identity(n),
в) augment(A,B),
г) stack(A,B),
д) submatrix (A,ir,jr,ic,jc).
19. При каких значениях
фазовая частотная функция интегрирующего
звена определяется выражением
( )
2
?
а)
0,
б)
0,
в)
0,
г)
,
д)
.
20. Переходной характеристикой какого звена является предсталеенное
выражение: h(t ) Kt 1(t ) ?
а) апериодическое первого порядка,
б) идеальное интегрирующее,
в) консервативное,
г) интегрирующее с замедлением.
42
Приложение А
Меню MathCAD
Меню Файл (File).
Пункты Новый (New) , Открыть (Open) , Закрыть (Close), Сохранить
(Save) , Сохранить как (Save as) стандартные для большинства окон и
выполняются стандартным для Windows способом: указанием имён и папок в
окнах диалога. Пункт Послать (Send) предназначен для пересылки содержимого
рабочего документа по электронной почте. Для этого необходимо сначала
подключиться к почтовому серверу.
Пункты Настройка страницы (Page Setup), Просмотр
печати (Print Preview) , Печать (Print)
содержат
соответственно операции подготовки, просмотра и печати
рабочих документов MathCAD.
Следом расположен список имён последних четырёх
документов MathCAD. Щелчком по строке с именем можно
вызвать на экран любой из этих документов.
Последний пункт Выход (Exit), как и у всех других
windows-приложений, завершает сеанс работы с MathCAD.
Меню Правка (Edit).
Это меню содержит операции редактирования рабочего документа:
Отменить (Undo) , Восстановить (Redo) , Вырезать (Cut) , Копи-ровать
(Copy) , Вставить (Paste) , Специаль-ная Вставка (Paste Special), Удалить
(Delete) , Выбрать Всё (Select All), Найти (Find) , Заменить (Replace), Идти
на страницу (Go to Page), Проверка орфографии (Check
Spelling) , Ссылки (Links), Объект (Для MathConnex и OLE).
Меню Вид (View).
Это меню содержит операции настройки окна Mathcad.
Если одна из строк меню Панели (Toolbar), Строка состояния
(Status Bar) или Линейка (Ruler) помечена символом , то на
экране размещается соответствующая панель. Пункт меню
Панели (Toolbar) открывает доступ к панелям инструментов:
Стандартная (Standart), Форматирование (Fprmatting),
Математика (Math), а также доступ к специализированным
панелям математических инструментов:
Вычисления
(Calculator), Графики (Graph), Матрица (Matrix), Оценка
(Evaluation), Исчисления (Сalculus), Логические (Boolean),
Программирование (Programming), Греческие (Greek), Символика (Symbolic),
Модификаторы (Modifier).
Пункты Регионы (Regions), Масштаб (Zoom), Обновить (Refresh), содержат
операции преобразования изображения в рабочем документе. Анимация (Animate)
и Проигрывание (Playback) – операции построения и запуска анимации. Пункт
Настройки (Preferences) открывает доступ к панелям настройки режима запуска
Mathcad, клавиатуры и связи с Internet.
43
Меню Вставка (Insert).
В этом меню пункт График
(Graph)
открывает доступ к восьми операциям
построения различных типов графиков. После
щелчка по строке дополнительного меню в
рабочем
документе
открывается
поле
построения:

X-Y график
(X-Y Plot) –
графика функций одной переменной в
декартовых координатах;

Полярный график
(Polar Plot)
– графика функций одной переменной в
полярных координатах;

Мастер 3D графиков
(3D Plot Wizard) – мастер трёхмерной
графики,
открывает
диалог
настройки
параметров трёхмерных изображений.

График Поверхности
(Surface Plot) – графика функций двух
переменных в декартовых координатах – поверхности;

Контурный График
(Contour Plot) – графика контурных линий
(линий уровня функций двух переменных) в декартовых координатах;

График 3D разброса
(3D Scatter Plot) – изображения точек в
трёхмерном пространстве, заданных декартовыми координатами;

График 3D Полос
(3D Bar Plot) – графика трёхмерной
гистограммы;

Векторный график
(Vector Field Plot) – графика векторного поля.
Пункт Матрица
(Matrix) открывает в рабочем документе окно
определения размерности матрицы (число строк и столбцов), после чего в
рабочем документе открывается поле ввода матрицы с помеченными позициями
для ввода элементов.
Пункт Функция
(Function) открывает окно диалога списка встроенных
функций MathCAD. Для вставки функции в рабочий документ, нужно выбрать в
окне с помощью стрелок нужную функцию из списка функций, в нижней части
которого приведено краткое описание
функции, имя которой помечено в окне
списка. Затем щёлкнуть по кнопке
и ввести в помеченных позициях аргументы
функции.
Пункт Юнит
(Unit) открывает окно
списка определённых в Mathcad единиц
измерения. В окне Система (System)
вводится используемая единица измерения
(SI, CGS, US, MKS), в окне Измерение
(Dimension)
–
соответствующая
размерность, а в окне Единица (Unit) –
44
нужная единица измерения. После щелчка по кнопке
соответствующее
наименование будет вставлено в рабочий документ, а окно выбора останется
открытым; после щелчка по кнопке
будет выставлено наименование
единицы измерения и окно закроется.
Пункт Рисунок (Picture) задаёт операцию вставки рисунка. Щелчком по
полю Область (Area) в рабочий документ можно вставить «закрывающуюся»
область. В рабочем документе появляется изображение двух разделительных
линий со стрелками. Между разделительными линиями можно записать несколько
операторов, а затем «закрыть» её двойным щелчком по стрелке – введённые
операторы исчезают, в рабочем документе отображается только разделительная
черта с изображением стрелки. Щелчок по стрелке «открывает» область. Пункт
Текстовый Регион (Text Region) используется для определения поля текстовых
комментариев; щелчком по строке Математический Регион (Math Region) в
текстовый комментарий вставляется поле ввода математических символов;
щелчком по строке Разрыв Страницы (Page Break) в рабочий документ
вставляется признак конца страницы.
Операция Гиперссылка
(Hiperlink) содержит набор операций для
создания гипертекстовых ссылок; Ссылка (Reference) – операция создания
перекрёстных ссылок для документов Mathcad; Компонент
(Component) и
Объект (Object) – операции внедрения компонент и объектов из других
приложений.
Меню Формат (Format).
Все операции этого меню предназначены для определения стиля и формы
отображения в рабочем документе выражений, данных, результатов вычислений и
графиков – определения цветов фона и надписей, размера и типа шрифта,
выравнивание текстов, разделения рабочего документа на области и др. При
установке Mathcad по умолчанию выбран некоторый нейтральный стиль
оформления. Если пользователь хочет разнообразить оформление, он может
ознакомиться с возможностями меню Формат (Format) в справочнике,
руководстве пользователя или «экспериментально». Мы рассмотрим только
пункты Результат (Result) и График (Graph),
которые наиболее часто
используются при решении математических задач.
Пункт Результат (Result) содержит операции определения форматов
отображения результатов вычислений. Щелчок по этому пункту открывает
диалоговое окно ввода параметров (см. рис). Закладка Формат Номеров (Number
Format) определяет формат числовых результатов. Здесь можно выбрать:
45
Главные (General) – способ отображения меняется в зависимости от
величины результата; Десятичные (Decimal) – число с десятичной точкой;
Научные (Scientific) – число с порядком и знаком в целой части; Инженерные
(Engineering) – число с порядком и указанным количеством знаков в целой части.
В этом же окне определяется количество знаков дробной части и число позиций
для отображения порядка. Закладка Опции Отображения (Display Options)
позволяет выбрать стиль отображения матриц, обозначение для мнимой единицы
и систему счисления. Закладка Отображение Единиц (Unit Display) позволяет
настроить режим отображения единиц измерения у переменных с
размеренностью. Закладка Допуск (Tolerance) определяет границу для
отображения нуля (действительного и мнимого) – числа, порядок которого
меньше указанного, отображаются в виде нуля.
Пункт
График
(Graph)
содержит
операции
форматирования графиков. Здесь
открывается
дополни-тельное
меню, причём воз-можность
использования
его
пунктов
зависит от позиции курсора в
рабочем документе и от определений, введённых в рабочий документ. Когда
курсор установлен вне поля двумерного декартова графика, открывается меню
определения параметров графиков Плоского Декартова (X-Y Plot), Полярного
(Polar Plot) или Трёхмерного (3D Plot). Щелчок по соответствующей строке
открывает окно настройки параметров изображения (см. описание Графики меню
Вставка). Если же курсор установлен в открытом для ввода поле двумерного
декартова графика, то дополнительное меню содержит строки X-Y график –
форматирование графика. След, Трассировка (Trace) – определяет координаты
точки на помеченной линии. Масштаб (Zoom) – увеличивает масштаб
изображения помеченной области графика.
Меню Математика (Math).
Это меню содержит операции управления
вычислениями.
После щелчка Вычислить
(Calculate)
вычисляются выражения, расположенные выше и
левее курсора. После щелчка Вычислить Рабочий
Лист (Calculate Worksheet) выполняются все
вычисления и перерисовываются все графики, определённые в рабочем
документе. Если строка Автоматические Вычисления (Automatic Calculation)
помечена символом , то любое выражение вычисляется немедленно после
окончания ввода, а график строится после щелчка вне поля графика. Если же
пометка отсутствует, то вычисления и построения производятся только после
соответствующей команды. Если строка Оптимизация (Optimization) помечена
символом , то включен режим оптимизации вычисления. Режим оптимизации –
это режим вычислений с включённым символьным процессором. В этом режиме
сначала упрощаются все выражения, помещённые справа от знака присвоения
,
46
и только затем выражение обрабатывается числовым процессором. В противном
случае числовой процессор обрабатывает выражение в исходном виде.
Пункт Опции (Options) открывает временное окно настройки параметров
режима вычислений с пятью закладками:
Встроенные переменные (Built-in Variables), Вычисление (Calculation),
Отображение (Display), Система Единиц (Unit System), Измерения
(Dimensions).
Здесь можно установить:
 номер первого массива;

погрешность при вычислении пределов, в том числе и в
интернациональных последовательностях;

погрешность в приближённых вычислениях;

число, инициализирующее датчик случайных чисел;

количество значащих цифр при записи данных в ASCII;

ширину столбца при записи данных в ASCII;
 режим упрощения выражений перед началом вычислений;

выбрать символы для отображения умножения, производной, нижних
индексов, присваивания, глобального и локального определения переменных,
знака равенства;

выбрать систему единиц физических величин и имя меры переменной.
Меню Символика (Symbolics).
Это
меню
содержит
операции
символьной математики. Пункт Вычисление
(Evaluate) содержит операции: Символически
(Symbolically), Плавающая точка (Floating
Point), Комплексно (Complex).
После щелчка по одной из этих трёх
строк вычисляется значение выделенного в
рабочем документе выражения, причём
вычисления производятся соответственно
символически, численно с плавающей точкой
или комплексно.
Команда
Упрощение
47
(Simplify) передаёт символьному процессору выражение, выделенное в рабочем
документе, а преобразованное выражение отображается в рабочем документе
ниже или справа от исходного выражения. Команда Расширить (Expand) в
выделенном выражении раскрывает скобки. Команда Фактор (Factor)
выделенное выражение раскладывает на множители. Команда Собрать (Collect) в
выделенном выражении приводит подобные.
Если выражение является многочленом относительно выделенного
фрагмента, то команда Многономинальные коэффициенты (Polynomial
Coefficients) в рабочий документ выводит вектор-столбец коэффициентов
многочлена, записанных в порядке возрастания степеней выделенного выражения.
Например:
Каждая из следующих строк – Переменная (Variable), Матрица (Matrix),
Трансформация (Transform) – объединяет группу символьных операций:
символьные вычисления относительно выделенной переменной, символьные
вычисления с выделенной матрицей и интегральные преобразования
соответственно.
В пункте Переменная (Variable) объединены операции мат. Анализа:
Разрешить (Solve);
Подставить (Substitute);
Дифференцировать (Differentiate);
Интегрировать (Integrate);
Расширить в серии (Expand to Series);
Обратить в частичную дробь (Convert to Partial Fraction).
В пункте Матрица (Matrix) объединены символьные вычисления с
матрицами:
Переместить или Транспонирование (Transpose);
Инверсировать или Обращение (Invert);
Детерминант или Определитель (Determinant).
В пункте Трансформация (Transform) объединены символьные вычисления
прямых и обратных интегральных преобразований:
Фурье (Fourier) и Инверсная Фурье (Inverse Fourier) – преобразование
Фурье;
Лапласа (Laplace) и Инверсная Лапласа (Inverse Laplace) – преобразование
Лапласа;
Z и Инверсная Z (Inverse Z) – Z-преобразование.
Команда Стиль Вычислений (Evaluation Style) открывает окно, в котором
определяется формат вывода результатов символьных вычислений. В поле
Показать Шаги Оценки (Show evaluation steps) можно установить режим
отображения результатов символьных вычислений в строке, расположенной
непосредственно под исходным выражением (с вставкой строк), прямо под
48
исходным выражением (без вставки) или справа от исходного выражения
(горизонтально).
Меню Окно (Window).
Это меню позволяет установить стиль расположения окон, содержащих
различные рабочие документы MathCAD. Окно можно расположить «каскадом»,
чтобы они перекрывались, но при этом были видны заголовки окон (Cascade), без
перекрытия Горизонтальной Мозаикой (Tile Horizontal) или Вертикальной
мозаикой (Tile Vertical). В нижней части меню расположен список всех окон,
открытых в текущий момент. Щелчком по соответствующей строке можно
вызвать на экран любое из окон.
49
Приложение В
Панели инструментов MathCAD
В окне MathCAD можно удобно расположить три кнопочные панели
инструментов.
Верхняя – Стандартная (Standart), большая часть кнопок которой –
стандартные для windows-приложений кнопки работы с файлами и текстом.
Средняя – Форматирование (Formatting) содержит кнопки выбора шрифтов,
стиля (полужирный, наклонный, с подчёркиванием), а также кнопки
форматирования текста на странице (Выравнивание по левому краю,
центрирование и выравнивание по левому краю).
Нижняя – Математика (Math), каждая кнопка которой открывает
дополнительную панель, содержащую кнопки операций с математическими
объектами определённого класса.
Стандартная (Standart). Большинство кнопок этой панели дублируют меню
Файл (File) и Правка (Edit). Кнопка
выполняет операцию вставки
гипертекстовых ссылок, кнопка
открывает интерактивный диалог вставки
компонент, кнопка
– окно запуска Math Connex. Следующие две кнопки
относятся к справочному режиму и будут описаны ниже.
Математика (Math). Это панель математических инструментов – наиболее
часто используемая панель, поскольку именно здесь расположены кнопки
вычислительных операций и операций конструирования вычислительных
процедур.
Панель математических инструментов содержит девять кнопок, каждая из
которых открывает дополнительную панель математических операций.
Кнопка – Панель Калькулятор
(Calculator Toolbar) открывает панель
простейших вычислений. Щелчком по этой панели в рабочий документ вставляем
имя функции, символ, цифру или знак операции с помеченными для ввода
позициями.
Кнопка – Панель Графиков
(Graph Toolbar). Щелчком по этой панели в
рабочий документ вставляем поле графика соответствующего типа.
Кнопка Панель Векторов и Матрицы
(Vector and Matrix Toolbar).
Кнопка Панель Оценки
(Evaluation Toolbar)
50
Кнопка Панель Исчислений
(Calculus Toolbar).
Кнопка Панель Логики
(Boolean Toolbar).
Кнопка Панель Программирования
(Programming Palette).
Кнопка Панель Греческих символов
Кнопка Панель Ключевой Символики
51
(Greek Symbol Palette).
(Symbolic Keyword Palette).
Библиографический список
1. Плис А.И., MathCAD. Математический практикум для инженеров и
экономистов [Текст]: учеб.пособие./А.И.Плис, Н.А.Сливина. – 2-е изд. Перераб. И
доп. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 656 с.
2. Теория систем автоматического управления [Текст] / В.А. Бесекерский,
Е.П. Попов. – 4-е изд., перераб. И доп. – СПб.: Профессия, 2003.
3. Автоматизация и управление / С.К.Найденов. – Пенза: Изд-во Пенз.
гос. технол. академии, 2008. – 340 с.
4. Теория автоматического управления / Под ред. Ю.М.Соломенцева. –
М.: Высш. шк., 2001. – 268 с.
52
Содержание
Введение………………………………………………………………………3
Лабораторная работа №1. Исследование математических
моделей систем управления с использованием программной
среды MathCAD………………………………………………………………..4
Лабораторная работа №2. Исследование математической
модели двигателя постоянного тока в среде MathCAD……………………18
Лабораторная работа №3. Анализ устойчивости систем
управления по критерию Гурвица с использованием MathCAD………….24
Лабораторная работа №4. Построения переходных характеристик систем в среде MathCAD………………………………………………29
Тестовые задания…………………………………………………………..40
Приложения………………………………………………………………...43
Библиографический список…………………………………………...….52
53