10. Интегралы, зависящие от па - video

Дисциплина “Математика”
лекция
5. Теоремы о непрерывности,
дифференцируемости и
интегрируемости НИЗОП
Раздел:
10. Интегралы, зависящие
от параметра
6. Гамма-функция, беттафункция и их применение.
Тема:
1. Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра
Вопросы:
1. Собственные интегралы,
зависящие от параметра
2. Непрерывность
собственных интегралов,
их дифференцирование и
интегрирование
3. Несобственные интегралы,
зависящие от параметра
(НИЗОП)
4. Равномерная сходимость
НИЗОП. Признак
Вейерштрасса
2
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
Пусть задана функция n + 1 переменных
f :( x, p1,..., pn ) → f ( x, p1 ,..., pn )
с множеством определения
{
}
функция является функцией одной переменной
ной на отрезке [0;1] , и интегрируемой на [0;1] по
a , b ∈ , Pi ⊂ , i = 1, n ,
I : p → ∫ f ( x, p )dx, ∀p ∈ P ⊂ ,
такая, что при любых фиксирован-
ных значениях переменных
pi
из соответствия множеств
∫ f ( x, p1,..., pn )dx
a
определяет функцию
n
переменных:
b
I : ( p1,..., pn ) → ∫ f ( x, p1 ,..., pn )dx, ∀pi ∈ Pi , i = 1, n .
a
Переменные, от которых зависит подынтегральная функция, и которые при интегрировании рассматриваются как постоянные, называются параметрами, а сам интеграл – определенным
интегралом,
зависящим
от
параметров p1 ,..., pn .
Пример 1. Определенный интеграл:
1
1
 x

x
p q
2
(
px
+
qx
+
1)
dx
=
p
+
q
+
x
=
+ +1


∫
3
2
3
2

0
0
зависит от 2-х переменных ( p и q ) и определяет функцию
p q
I : ( p, q) → + + 1, ∀( p, q) ∈ 2 .
3 2
3
2
То, что данный интеграл является определенным, зависящим от параметра устанавливаем из того, что подынтегральная
3
(1)
a
и
Pi
представляет собой функцию одной переменной, интегрируемую по Риману на отрезке [a; b] , тогда интеграл
b
непрерыв-
С целью упростить рассуждения будем рассматривать
определенные интегралы, зависящие от одного параметра:
b
G = ( x, p1 ,..., pn ) : a ≤ x ≤ b, pi ∈ Pi , i = 1, n
где
x,
x.
b( p )
I:p→
∫
f ( x, p )dx, ∀p ∈ P ⊂ ,
(2)
a( p)
который при каждом фиксированном значении переменной
p ∈ P является определенным интегралом. Такой интеграл
также будет определенным интегралом, зависящим от параметра (ОИЗОП). Здесь (1) – ОИЗОП с постоянными пределами интегрирования, (2) – ОИЗОП у которого подынтегральная функция и пределы интегрирования зависят от параметра.
2. Непрерывность собственных интегралов,
их дифференцирование и интегрирование
Теорема 1. (о непрерывности функции, заданной
ОИЗОП с постоянными пределами интегрирования)
Пусть функция f : ( x , p ) → f ( x , p ), ∀x ∈ [a; b], ∀p ∈<c; d > ,
−∞≤ c < d ≤ +∞ ,
непрерывна
G = {( x, p ) : x ∈ [a; b], p ∈< c; d >} , тогда
на
множестве
заданная ОИЗОП функ-
b
ция
I : p → ∫ f ( x, p )dx, ∀p ∈< c; d >,
непрерывна на числовом
a
промежутке. < c; d > .
Теорема 2. (о непрерывности функции, заданной
ОИЗОП, у которого подынтегральные функции и пределы интегрирования зависят от параметра).
Пусть выполняются условия:
4
f : ( x, p ) → f ( x, p ) непрерывна на множестве
G = {( x, p ) : x ∈ [ A; B ], p ∈< c; d >},
2) функции a : p → a ( p ), b : p → b( p ), ∀p ∈< c; d > , с множеством их значений: E ( a ), E ( b) ⊂ [ A; B ] , непрерывны на числовом промежутке < c; d > . Тогда функция, заданная ОИЗОП:
1) функция
b( p )
I: p→
∫
f ( x, p )dx, ∀p ∈< c; d >,
Пусть выполняются условия:
1) функция f : ( x , p ) → f ( x , p ), ∀x ∈ [a; b],
прерывна на множестве
при каждом фиксированном значении переменной
x ∈ [ A; B ] функция f представляет собой функцию одной переменной, дифференцируемой на числовом промежутке
∂f
∂f ( x, p )
: ( x, p ) →
, ∀x ∈ G ,
∂p
∂p
a( p)
G = {( x, p ) : x ∈ [a; b], p ∈< c; d >} ,
прерывна на множестве
2)
x ∈ [ a; b]
при каждом фиксированном значении переменной
функция f представляет собой функцию одной пере-
менной, дифференцируемой на числовом промежутке
3) функция
на множестве
∂f
∂f ( x, p )
: ( x, p ) →
, ∀x ∈ G ,
∂p
∂p
< c; d >
– непрерывна
функция,
заданная
ОИЗОП
I : p → ∫ f ( x, p )dx ,
a
∀p ∈< c; d > , непрерывно дифференцируема на числовом промежутке < c; d > и ее производная определется следующим
– непрерывна
p → a ( p ), b : p → b( p ), ∀p ∈< c; d > , с множеством их значений: E ( a ), E ( b) ⊂ [ A; B ] , непрерывно дифференцируемы на числовом промежутке < c; d > .
b( p )
I: p→
Тогда функция, заданная ОИЗОП
∫
f ( x, p )dx ,
a( p)
∀p ∈< c; d > , непрерывно дифференцируема
< c; d > и для ∀p ∈< c; d >
межутке
на числовом проее
производная
определется следующим образом:
b( p )
b
Тогда
< c; d >
на множестве G .
4) функции a :
I ′( p ) =
G.
не-
2)
3) функция
непрерывна на числовом промежутке < c; d > .
Теорема 3. (о дифференцировании функции, заданной ОИЗОП с постоянными приделами интегрирования)
Пусть выполняются условия:
1) функция f : ( x , p ) → f ( x , p ), ∀x ∈ [a; b], ∀p ∈<c; d > не-
∀p ∈<c; d >
G = {( x, p ) : x ∈ [ A; B ], p ∈< c; d >},
∂f ( x, p )
∫ ∂p dx + f ( b( p), p ) ⋅ b′( p) − f ( a( p), p ) ⋅ a′( p) .
a( p)
Теорема 5. (об интегрировании функций, заданных
ОИЗОП с постоянными пределами интегрирования)
Если функция
f : ( x, p ) → f ( x, p ), ∀( x, p ) ∈ Π = {( x, p ) :
x ∈ [a; b], ∀p ∈ [c; d ]}
непрерывна на
Π,
то заданная ОИЗОП
b
образом:
b
∂f ( x, p )
I′: p → ∫
dx, ∀p ∈< c; d > .
∂
p
a
Теорема 4. (о дифференцировании функции, заданной ОИЗОП, у которой подынтегральная функция и пределы интегрирования зависят от параметров)
5
функция
I : p → ∫ f ( x, p )dx, ∀p ∈ [c; d ]
интегрируема по Рима-
a
ну на
[c; d ] . При этом справедлива формула:
bd


I
(
p
)
dp
=
f
(
x
,
p
)
dx
dp
=
f
(
x
,
p
)
dp
dx .




∫
∫∫
∫∫


c
ca
ac


d
db
6
Если несобственный интеграл (5) сходится, то будем говорить, что НИЗОП (4) сходится в точке p = p0 ∈ P . Если же
3. Несобственные интегралы, зависящие от
параметра (НИЗОП)
несобственный интеграл (5) расходится, то будем говорить, что
НИЗОП (4) расходится в точке p = p0 ∈ P .
Интеграл
b
I ( p ) = ∫ f ( x, p )dx, p ∈ P, P ⊂ , − ∞ ≤ a < b ≤ +∞,
(3)
a
в случае, когда хотя бы при одном значении параметра p является несобственным, назовем несобственным интегралом,
зависящим от параметра (НИЗОП).
В дальнейшем будем считать:
a – вещественное число;
b – вещественное число или +∞ ,
т.е. несобственность 1-го рода может наблюдаться только в
верхнем пределе интегрирования, когда b = +∞ .
При любом фиксированном значении p ∈ P функция
f : ( x, p ) → f ( x, p ), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P ,
представляет
собой
функцию одной переменной, интегрируемой по Риману в собственном смысле на ∀[a;η ) ⊂ [a; b) . Тем самым допускается наличие несобственности 2-го рода, но лишь в верхнем пределе интегрирования.
Принятые соглашения позволяют НИЗОП задать посредством предела
b
b
∫
f ( x, p )dx = lim η ∫ f ( x, p )dx, ∀p ∈ P .
a
a
η →b −0
Если зафиксировать некоторое значение
p = p0 ∈ P ,
то
НИЗОП
b
I ( p ) = ∫ f ( x, p )dx, p ∈ P ,
(4)
a
примет вид:
p ∈ P ⊂ , то
будем говорить, что НИЗОП (4) сходится на множестве P .
4. Равномерная сходимость НИЗОП. Признак
Вейерштрасса
Если НИЗОП (4) сходится в каждой точке
Если НИЗОП (4) такой, что построенный на его основании
НИЗОП
b
∫
I ( p0 ) = ∫ f ( x, p0 )dx, ,
(5)
выполняется неравенство
b
∫ f ( x, p)dx < ε , ∀p ∈ P.
η
Если НИЗОП (4) такой, что построенный на его основании
НИЗОП (6) равномерно сходится на P , то будем говорить, что
НИЗОП (4) равномерно абсолютно сходится на множестве P .
Теорема 6. (признак Вейерштрасса равномерной абсолютной сходимости НИЗОП)
Пусть выполняются условия:
1)пусть функция ϕ ( x ) задана на интервале [a; b) и интег2) функция
ϕ ( x)
∀[a;η ) ⊂ [a; b) ,
– знакоположительная для
a
где (5) является уже несобственным интегралом.
7
(6)
a
сходится на множестве P , то будем говорить, что НИЗОП (4)
сходится абсолютно на множестве P .
Сходящийся на множестве P НИЗОП (4) называется равномерно сходящимся на множестве P , если для ∀ε > 0 на
числовом промежутке [a; b) ∃η * = η *(ε ) такое, что ∀η ∈ (η *; b)
рируема по Риману на
b
f ( x, p ) dx, ∀p ∈ P,
8
∀x ∈ [a; b) ,
b
3) несобственный интеграл
b
∫ ϕ ( x)dx сходится,
2) НИЗОП
I ( p ) = ∫ f ( x, p )dx, ∀p ∈ [c; d ]
a
f : ( x, p ) → f ( x, p ), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P ,
4) функция
пред-
ставляет собой функцию одной переменной при любом фиксированном p ∈ P , при этом функция f интегрируема по Риману
на
∀[a;η ) ⊂ [a; b) ,
5) имеет место оценка:
f ( x, p ) ≤ ϕ ( x ), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P .
b
Тогда НИЗОП
∫ f ( x, p)dx, ∀p ∈ P
равномерно абсолютно
a
P.
5. Теоремы о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости НИЗОП
сходится на
Теорема 7. (о непрерывности функции, заданной
НИЗОП)
Пусть выполнены условия:
1) функция f : ( x , p ) → f ( x , p ), ∀x ∈ [a; b), p ∈ [c; d ] , не-
Π = {( x, p ) : x ∈ [a; b), ∀p ∈ [c; d ]} ,
прерывна на множестве
b
2) НИЗОП
I ( p ) = ∫ f ( x, p )dx, ∀p ∈ [c; d ]
равномерно схо-
a
дится на отрезке
Тогда
b
[c; d ] .
заданная
I : p → ∫ f ( x, p )dx, ∀p ∈ [c; d ],
НИЗОП
непрерывна на
функция
[c; d ] .
менной
x ∈ [ a; b)
f
Теорема 8. (о дифференцировании функции, заданной НИЗОП)
Пусть выполнены условия:
1) функция f : ( x , p ) → f ( x , p ), ∀x ∈ [a; b), p ∈ [c; d ] , не-
Π = {( x, p ) : x ∈ [a; b), ∀p ∈ [c; d ]} ,
9
[c; d ] ,
a
при каждом фиксированном значении пере-
представляет собой функцию одной перемен-
[c; d ] ,
∂f
∂f ( x, p )
4) функция
: ( x, p ) →
, ∀( x, p ) ∈ Π , – непре∂p
∂p
рывна на множестве G ,
b
∂f ( x, p )
5) НИЗОП I ′( p ) = ∫
dx, ∀p ∈ [c; d ] , равномерно
∂
p
a
сходится на [c; d ] .
ной, дифференцируемую на
Тогда заданная НИЗОП функция
b
I : p → ∫ f ( x, p )dx, ∀p ∈ [c; d ],
a
непрерывно дифференцируема на [c; d ] и имеет место формула
дифференцирования под знаком НИ:
b
 b
d
∂f ( x, p )
dx, ∀p ∈ [c; d ].
 ∫ f ( x, p )dx  = ∫

dp  a
∂
p
 a
Теорема 9. (об интегрировании функции, заданной
НИЗОП в собственном смысле)
Пусть выполнены условия:
1) функция f : ( x , p ) → f ( x , p ), ∀x ∈ [a; b), p ∈ [c; d ] , не-
Π = {( x, p ) : x ∈ [a; b), ∀p ∈ [c; d ]} ,
прерывна на множестве
a
прерывна на множестве
3) функция
сходится на
b
2) НИЗОП
I ( p ) = ∫ f ( x, p )dx, ∀p ∈ [c; d ]
a
дится на отрезке
[c; d ] .
10
равномерно схо-
Тогда
b
заданная
НИЗОП
I : p → ∫ f ( x, p )dx, ∀p ∈ [c; d ],
функция
интегрируема
по
Риману
6. Гамма-функция, бетта-функция и их применение.
Интеграл
1
a
на
[c; d ]
и имеет место равенство:
d
b
b
∫ξ
d
∫ dp ∫ f ( x, p)dx = ∫ dx ∫ f ( x, p)dp.
c
a
a
c
Теорема 10. (об интегрировании функции, заданной
НИЗОП в несобственном смысле)
Пусть выполнены условия:
1) функция f : ( x , p ) → f ( x , p ), ∀x ∈ [a; b), p ∈ [ c; d ) , не-
прерывна на множестве
Π={( x, p ): a ≤ x<b≤+∞, c≤ p<d ≤+∞} ,
b
2) НИЗОП
I1 ( p ) = ∫ f ( x, p )dx, ∀p ∈ [c; d )
равномерно схо-
a
дится на отрезке
[c;θ ] ⊂ [c; d ) ,
I 2 ( p ) = ∫ f ( x, p )dp, ∀x ∈ [a; b)
1) если
c
f ( x, p ) dx
или
a
∫ dx ∫
a
при всех
бой ОИЗОП.
2) если
f ( x, p ) dp .
I1
и
I2
интегрируемы по
Риману в несобственном смысле на числовых промежутках
[c; d ) и [a; b) соответственно, а также имеет место формула:
d
b
b
d
∫ dp ∫ f ( x, p)dx = ∫ dx ∫ f ( x, p)dp.
c
a
a
c
(7)
представляет со-
p < 1, q ∈ , то функция (7) не определена в левом
конце ξ = 0 . Причем функция f неограниченно возрастает при
стремлении к нулю справа ( +0) , т.е
ξ →+0
p ∈ , q < 1 , тогда
ξ = 1 . При этом
3)
c
Тогда заданные НИЗОП функции
p ≥ 1, q ≥ 1 , то функция
f : ξ → ξ p −1 (1 − ξ ) q −1
ξ ∈ [0;1] непрерывна на [0;1] и (6)
равномерно схо-
дится на отрезке [a;η ] ⊂ [a; b) ,
4) существует хотя бы один из повторных интегралов:
d
b
b
d
(6)
0
lim ξ p −1 (1 − ξ ) q −1 = +∞
c
∫ dp ∫
(1 − ξ ) q −1 d ξ
называется Эйлеровым интегралом 1-го рода.
Свойства Эйлерового интеграла определяют параметры p и q :
d
3) НИЗОП
p −1
конце
∀p ∈ ( −∞;1), ∀q ∈ .
функция (7) не определена в правом
lim ξ p −1 (1 − ξ ) q −1 = +∞
∀p ∈ , ∀q ∈ ( −∞;1) .
ξ →1−0
Из пунктов 2) и 3) следует, что, если min{ p, q} < 1 , то интеграл (6) представляет собой НИЗОП.
Эйлеров интеграл (6) является сходящимся на множестве
P = {( p, q) : p > 0, q > 0} , во всех остальных точках плоскости –
расходящимся.
Функцию
Β
с
D ( Β) = {( p, q) : p > 0, q > 0} ,
множеством
определения
заданную с помощью Эйлерового
интеграла первого рода:
1
Β : ( p, q) → ∫ ξ p −1 (1 − ξ ) q −1 d ξ , ∀( p, q ) ∈ D ( Β),
0
11
12
будем называть бетта-функцией.
Свойства бетта-функции:
1) бетта-функция непрерывна на своем множестве определения;
2) для бетта-функции имеет место соотношение симметричности:
1
5
4
∫ ξ (1 − ξ ) d ξ =
Ответ.
0
1
.
1260
Интеграл
+∞
∫ξ
Β( p, q) = Β( q, p ), ∀p ∈ (0, +∞), ∀q ∈ (0, +∞ ).
3) для бетта-функции имеют место формулы приведения:
а)
б)
q −1
Β( p, q − 1), ∀p ∈ (0, +∞ ), ∀q ∈ (1, +∞);
p + q −1
p −1
Β( p, q) =
Β( p − 1, q), ∀p ∈ (1, +∞), ∀q ∈ (0, +∞).
p + q −1
Β( p, q) =
4) Формула дополнения:
Β( p,1 − p ) =
5)
π
sin( pπ )
, 0 < p < 1.
1
(8)
∫ξ
∫ξ
1
5
(1 − ξ )4 d ξ .
p −1 −ξ
e dξ ,
Интеграл (10), с четом
Решение. Это есть бетта-функция Β(6,5) . Воспользуемся
формулами приведения бетта-функции и свойством симметричности этой функции:
5 −1
4
4 −1
Β(6,5) =
⋅ Β(6, 4) = ⋅
⋅ Β(6,3) =
6 + 5 −1
10 6 + 4 − 1
4 3 3−1
4 3 2 2 −1
= ⋅ ⋅
⋅ Β(6, 2) = ⋅ ⋅ ⋅
⋅ Β(6,1) =
10 9 6 + 3 − 1
10 9 8 6 + 2 − 1
1
4 3 2 1
1
1
1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Β(6,1) =
⋅ Β(6,1) =
⋅ ∫ ξ 5d ξ =
.
10 9 8 7
210
210 0
1260
p −1 −ξ
e dξ .
(11)
дится при
p>0
ξ p −1e −ξ ∼ ξ p −1
и расходится при
Интеграл (11) сходится при
является сходящимся при
имеет место формула:
+∞
∫ξ
e dξ = ∫ ξ
p −1 −ξ
e dξ +
0
Γ
при
ξ → +0 ,
+∞
∫ξ
∫ξ
и
p −1 −ξ
e dξ .
D ( Γ ) = (0; + ∞ ) ,
данная с помощью Эйлерового интеграла 2-го рода:
Γ: p →
p≤0
1
с множеством определения
+∞
схо-
Поэтому интеграл (9)
и расходящимся при
1
p −1 −ξ
0
Функция
p>0
p ≤ 0.
∀p ∈ .
p −1 −ξ
e d ξ , ∀p ∈ D ( Γ),
0
13
(10)
1
0
=
(9)
0
0
+∞
∫ξ
e dξ
называется Эйлеровым интегралом 2-го рода. Входящий в
его задание параметр p определяет характеристики Эйлерового интеграла 2-го рода. Интеграл (9) является несобственным,
причем при p < 1 кроме несобственности 1-го рода ( ξ → +∞ )
он обладает и несобственностью 2-го рода, которая наблюдается в точке ξ = 0 .
С целью различия этих несобственностей рассмотрим два
интеграла:
1 1
Β ,  = π .
2 2
Пример 2. Вычислить
p −1 −ξ
14
за-
называется гамма-функцией.
Свойства гамма -функции:
1) гамма-функция непрерывна на всем своем множестве
определения;
2) гамма-функция бесконечное число раз дифференцируема на множестве определения и ее производная находится по
формуле:
+∞
Γ
(k )
( p) =
∫ξ
p −1
⋅ ln k ξ ⋅ e −ξ d ξ , ∀p ∈ (0; + ∞ ).
+∞
пользуемся
замену:
+∞
∫
e
ξ = x , x ∈ (0; + ∞), x = ξ
− x2
+∞
dx =
Ответ.
Γ( p + 1) = p ⋅ Γ( p ), ∀p ∈ (0; + ∞ ),
Γ(1) = 1, Γ( n ) = n ! ∀n ∈ .
∫
0
+∞
3) Формула приведения:
∫
0
1
e dξ = ⋅
2
−ξ
2
e − x dx =
1
2
π
2
+∞
∫
ξ
− 12
0
.
Γ( p ) ⋅ Γ( q )
, ∀p ∈ (0; + ∞), ∀p ∈ (0; + ∞).
Γ( p + q )
5) Формула дополнения:
Γ( p ) ⋅ Γ(1 − p ) =
π
, ∀p ∈ (0;1),
sin( pπ )
π
1 1
Γ ⋅Γ  =
=π,
 2   2  sin π
2
1
Γ  = π .
2
( )
6) Продолжение гамма-функции:
Γ( p ) =
Γ( p + 1)
, ∀p ∈ (0; + ∞).
p
+∞
Пример 3. Вычислить
∫
2
e − x dx .
0
2
Решение. Отметим, что неопределенный интеграл
−x
∫ e dx
является не берущимся. Для вычисления этого интеграла вос-
15
p −1 −ξ
e dξ .
Сделаем
, тогда
4) Формула связи бетта-функции и гамма-функции:
Β( p, q) =
∫ξ
0
2
0
0
Γ ( p) =
гамма-функцией:
16
⋅ e −ξ d ξ =
1 1
π
⋅Γ  =
.
2 2
2