Всероссийской олимпиады школьников по экологии;pdf

/•fB-i96}urj
V
7---—-
'
УДК 517.55+515.17+517.958
ИЮЛЯ ЯНГА - МИЛЛСА,
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА—ПЕНРОУЗА
И УРАВНЕНИЯ КОШИ —РИМАНА j
Р. Г. Новиков, Г. М. Хенкин
С О Д Е Р Ж А Н ИЕ
i
}
*
}
•
Введение
§ 1. Калибровочные поля и уравнения Янга — Миллса — Хиггса
.
§ 2. Уравнения Янга — Миллса как уравнения совместимости линейной
системы
§ 3. Голоморфные расслоения и когомологии в терминах ^-урав­
нений
§ 4. Неабелево преобразование Радона
§ 5. Преобразование Радона — Пенроуза как предельный
случай
данных рассеяния типа Фаддеева
§ 6. Ъ -когомологии многообразия комплексных световых лучей . .
§ 7. Уравнение Янга —Миллса в терминах данных рассеяния
. .
§ 8. Уравнения
Максвелла — Янга — Миллса,
Вейля — Дирака и
Клейн — Гордона как уравнения Коши — Римана на простран­
стве твисторов
§ 9. Уравнения Янга —Миллса —Хиггса —Дирака как голоморфные
векторные расслоения
Литература
I
113
125
132
1*2
I*-7
158
163
169
177
185
193
ВВЕДЕНИЕ
}
I
'
)
•
;
I
)
\
'
•
(
'
f
f
В настоящей статье рассматривается ряд вопросов комп­
лексного анализа и математической физики, связанных с теорией калибровочных полей Янга — Миллса с одной стороны и
теорией уравнений Коши — Римана с другой.
Перечислим сразу основные темы нашей статьи:
I. Неабелево преобразование Радона для калибровочных полей. Преобразование Радона —Пенроуза.
П. Связь преобразования Радона — Пенроуза и данных рассеяния типа Фаддеева.
III. Уравнения Янга — Миллса, как условия совместности
линейной системы дифференциальных уравнений с комплексным спектральным параметром.
_
IV. Уравнения Янга — Миллса в терминах (^-уравнения на
данные расстояния.
8—7894
113
V. Интерпретация решений уравнений Янга — Миллса —
Хиггса — Дирака в терминах голоморфных векторных расслое­
ний над многообразием комплексных световых прямых.
Опишем вкратце содержание статьи по этим темам в от­
дельности.
1-й теме посвящены, главным образом, § 4, 6.
з
Рассмотрим калибровочное поле a> = j^ctj{x)dxj
в открытой
у-о
и выпуклой области .25с=С4, где {^(х)} —голоморфные функ­
ции со значениями в gl(n, С). Поле а рассматривается
с точ­
ностью до калибровочного преобразования
а~g'lagJrg"xdgr
гле g — голоморфная функция со значениями в GL(n, С).
Рассмотрим многообразие Р{2)) всех комплексных прямых
в С4, пересекающих 3).
Неаб влево преобразование Радона, введенное в § 4, пере­
водит поле а в форму 6 = 2 М * ' т)й™>^
х
£&>> т£С4\{0}
со
у=о
свойствами:
функции 6/(я, пг)—голоморфны по XQ3);
д^~+[вк>
~~Щ
6 Js==a
'
>
(0.1)
з
- S ^ / r r M - * ' яг)==0;
cQj(x,c-m) = Qj(x,m)9
сеСг\{0};
форма ^9 рассматривается с точностью до <?-калибровки
§~H~ldH+H~lQH,
где Я — голоморфная по х функцисо значениями a GL(/z, С),
удовлетворяющая
уравнению
К4)я=о.
г я _ 2 § -&,•
Форма 8 с такими свойствами является (0,1)—формой на
многообразии Р(&>) и задает на Р^З)) голоморфное векторное
расслоение £ 0 , являющееся деформацией тривиального n-мер­
ного расслоения Е. Голоморфные сечения расслоения EQ — это
те гладкие сечения h расслоения £, которые удовлетворяют
уравнению Коши—Римана вида dh+Qh=0.
Обращение неабелева преобразования Радона сводится к
решению линейного ^-уравнения.
Снабдим пространство С4 комплексной метрикой rfx2=»
з
~7*/ - олахг
114
.
.
(
I
1
t
:
[
/
^
\
I
\
I
'
}
)
\
\
,
'
/
j
;
)
}
.
J
/
Ограничение формы 6 со свойствами (ОД) на многообра­
зие L{3))—всех
комплексных
световых {нуль)—прямых
(т2=-=-0), пересекающих 3), естественно назвать преобразова­
нием Радона—Л енроуза, поскольку фундаментальная идея
представлять физические поля голоморфными объектами на
пространстве световых лучей
принадлежит
Р.
Пенроузу
[57—59]. В работах Уорда [64], Виттена [70] и Дж. Айзенбер­
га, Ф. Яоскина, П. Грина [49], [50] калибровочные поля в об­
ласти 3) были впервые проинтерпретированы, как голоморфные векторные расслоения над многообразием L(3)). В форме близкой, но более сложной, чем приведенной выше, преоб­
разование Радона—Пенроуза было введено в [17].
Комплексная размерность многообразия Р(3)) равна шести, многообразия Ь(Ю)—пяти, тогда как калибровочное поле задано в четырехмерной области 3>. Таким образом, полное неабелево преобразование Радона в и преобразование
Радона—Пенроуза переопределены. Поэтому естественно и полезно ввести в рассмотрение преобразование Радона—Пенроуза
по части световых прямых, являющееся непереопределенным.
Это сделано _ § 4, где получены также формулы обращения,
характеризация и интерпретация в терминах
голоморфных
расслоений для таких частичных преобразований Радона—Пенроуза.
Отметим, что в настоящей статье изучены ограничения полного неабелева преобразования Радона 6 только на те подмно-^
гообразия в Р(0), которые наиболее естественно возникают в
контексте уравнений Яяга—Миллса (см. § 1).
Если область 3) является вещественной, например, 3)а$'®
или 3>аЖ^
где ^0={хвС4 : Im х=0} и Ж0={х£С4: Im x 0 =
= R e x i - « R e x 2 = R e # 3 = 0 } — пространства Евклида
и Минковского, то Р(3>) и L(3)) являются многообразиями Коши—
Римана (С/?-многообразиями). (см. §§ 3,4).
Формулы § 4
позволяют определить неабелево преобразование Радона 8 от
(гладких) калибровочных полей я, заданных в области -2J, и
в этом случае. При этом, преобразования Радона калибровочных полей могут быть проинтерпретированы, как С/?-раослоения над Р{3>), L{0) и так далее.
Если комплексное пространство Мшковского С7И0-^С4 снабДить (спинорными)
координатами
Х=*{ХАВ>},
А = 0Д;
А'=О', V и метрикой 4et\dxAB>\, то нуль-плоскости в этой
метрике задаются уравнениями
ЪВ'^ХАВ'1А
\
)
\
i
[
'
(
)
I
или ЦА^=ХАВ'ЧВ\
(0.2)
А
гДе £--==(£ , 1в') и Т1=(г1д, т]^')-™точки трехмерных проективных
пространств СР% и CPL.
Точка £ задает так называемую
а-плоскость, a т| — ^-плоскость
в СМ0. Вместе уравнения
(0.2) задают нуль-прямую в СМ0. Для фиксированной точи*
8*
115
х£СМ0 уравнения (0.2), рассматриваемые как уравнения на £ и
на т), порождают двумерные подпространства S± (х) в С±
и9 соответственно, компактные подмногообразия
S?±(x)^CPl
в СР*±. Многообразия всех а или р-плоскостей, пересекающих
область 3)czCMQ, имеют, соответственно, вид L±(2D) =
— U £± (х).
Многообразие же нуль—прямых, пересекающих
3),
может
быть представлено в виде
1()2>)-{(С,т|)€1 + (Д>)Х^(Д>):<С-Ч>-0}.
Так называемые скалярные и спинорные поля ср±, ^А, (^>А/ в
области 3>czCM0 могут рассматриваться, как -сечения над 3)
тривиальных, соответственно, n-мерных и 2я-мерных расслое­
ний Е и E®S±.
В § б суммируются результаты и конструкции ряда работ
И , [6], [8], Г17], [22], [34], [41], [43], [45], [72] по представле­
нию преобразованием типа Пенроуза разнообразных полей в
области 3) через d-когомологии многообразия L(3)). В частно­
сти, в теореме 6.1 указываются явные формулы для преобразо­
ваний типа Пенроуза, устанавливающие изоморфизмы про­
странств голоморфных (соответственео, гладких) сечений над
3)czCM0 (соответственно, М0) расслоений Е или E®S± и про­
странств одномерных д-когомологий L(3)) с коэффициентами
в £е(—2,0), £ 6 (0,—2) или£ е (—1,0), £ в (0,—1), где £ 0 ( Ы ) =
=ЕЬ®0(k/l)
(см. § 3). Теорема 6.1 дает также интерпрета­
цию в терминах полей на 3), по существу, всех пространств
когомологий вида №(L(3)),EQ(k, I)), &<0, / < 0 .
Эти
про­
странства понимаются здесь (см. § 3), как фактор-простран­
ства (d+Q)-замкнутых (0,/)-форм на L{3)) с коэффициента­
ми— гладкими
сечениями
EQ(k,l)
по
подпространству
(сЦ-Э) -точных форм такого вида. Преобразования типа Пен­
роуза этих когомологий на tL(3)) в поля на 3) состоят в ин­
тегрировании соответствующих форм вдоль компактных под­
многообразий & (х) = в 2 7 + (х) Х - ? - (x)czL(3>).
В связи с классическим уравнением Янга — Миллса (см.
§ 1) наибольший интерес представляет преобразование типа
Радона от полей в четырехмерном пространстве. Однако, в дру­
гих задачах (см., например» [10, 12, 44, 66, 71]) естественно воз­
никают преобразования типа Радона (как абелевы, так и неабелевы) от различных полей, заданных в пространствах раз­
мерности отличной от четырех. Отметим, что рассмотренное
здесь неабелево преобразование Радона может быть опреде­
лено
(
0 = 2 9/(-*| tri)dmA
у-о
J
116
и охарактеризовано также, как и в § 4
-—1
для полей la =- ^ aj (x) dxj\
на пространстве любой раЗМер-
^ 0
ности / г > 2 .
П-й теме посвящен § 5.
При исследовании многомерной обратной задачи рассеяния
для уравнения Шрёдингера
—Ая|) (х, к) +v (х) 'Ц>(х} к) =#Ч|) (х, k),
x£Rn,
i
)
Л. Д. Фаддеев в 1966 г. ввел (на основе подходящего выбора
функции Грина и уравнения типа Липпмана — Швингера)
обобщенные данные рассеяния h(k, I), где к, /6СЛ, &2 = /2, Imfe =
= Im/ (см. [10, 16]). Функция h является очень полезным (не«
аналитическим) продолжением классической амплитуды рас­
сеяния f(k} /), где к, ЫКп, к2=12. При описании свойств функ­
ции h удобно сделать замену переменных k=k, p=k—I и пе­
рейти к функции H(k, p)=h(k, k—p), где &6Cn, p6i?n, p 2 =
=2k-p.
К наиболее существенным (характеристическим) свойствам
функции Н(к, р) относятся следующие (см. (10], (21], [56]).
k(k + iOk, l + i0k)=~f(k, I), если к, lQR\
k2=P
(0.3)
г
/
)
-ел"
l i m / / ( A , p ) = ( i - ) n ^ v(x)e4>xdx^-6(p)t
keCn,
pSRn- (0.4)
Обобщенные данные рассеяния могут быть введены и для
уравнения Шрёдингера в магнитном поле [10], [44]
)
л-1
>
2(i-^+M*))W^(xH-^При этом равенства (0.3) остаются в силе. Равенство же (0.4)
меняется на следующее
H(k.,p)~H0(mtpy\k\+H1(m.,p)+o(-±]),
\
)
i
где H0(el9m, p)—е1ч>Н0(т, р), т=—-, щ-р=0.
Имеет место
следующая формула, связывающая функцию Н0(т, р) с неабелевым преобразованием Радона от поля а, заданного на Rn
<
Qj(x, от)==-2я jj Ъ]Нй{т, —S)e^6(2£./re)dS,
(
)
)
(0.5)
... . е л "
117
Важно отметить, что все формулы, выведенные в [10], [44], в
случае, когда a, v, h, г|з — скалярные функции, остаются почти
без изменений (при правильном порядке множителей) и в слу­
чае, когда а, v, h принимают значения в gl (к, С), а ф— в
GL(n, С). В § 5 установлено, в частности, что в случае п = 4
данные рассеяния H(k, p), ограниченные на фиксированный
уровень энергии &2==£, в пределе при й-^оо переходят в преоб­
разование Радона — Пенроуза по формуле (0.5).
Связь данных рассеяния типа Фаддеева с неабелевым пре­
образованием Радона интересна и полезна, по крайней мере,
по двум причинам. Во-первых, она важна при решении обрат­
ной задачи рассеяния для оператора Шредингера в калибровоч­
ном (магнитном) поле (10], [44]. Во-вторых, преобразование
Радона — Пенроуза, рассматриваемое, как предельный случай
данных рассеяния типа Фаддеева, это один из важных приме­
ров спектрального преобразования, связанного с уравнением
Шредингера (или Клейн — Гордона), применяющегося при ис­
следовании нелинейных уравнений. Другой важный пример ис­
пользования данных рассеяния типа Фаддеева в нелинейных
уравнениях см. в [9].
Третья тема изложена в § 1, 2.
Как известно, представление нелинейного уравнения в виде
условия совместности линейной системы является одной из ос­
нов метода обратной задачи. Такое представление позволяет,
как правило, переписать исходное нелинейное уравнение в тер­
минах данных рассеяния, где оно обычно резко упрощается.
Метод обратной задачи оказался очень эффективным при ис­
следовании многих важных нелинейных уравнений (см. [1], [3],
[2Ц, (26], [37], [55]).
В § 1 излагаются классические факты о фундаментальных
уравнениях математической физики — уравнениях Янга —
Миллса.
Представление уравнения Янга — Миллса в виде условия
совместности линейной системы было первоначально получено
для автодуального и анти-автодуального случаев в работе
А. А. Белавина и В. Е. Захарова [1].
Такое представление эквивалентно открытому независимо
Р. Уордом [64] и С. Янгом [73] факту, что автодуальному или
антиавтодуальному уравнению Янга-Миллса удовлетворяют те
и только те калибровочные поля в С4, кривизна которых зануляется на одной из двух связных компонент пространства 2-мер­
ных комплексных нуль-плоскостей в (в комплексной метрике
(у—г)2=
3
2 (i/j—Zj)2). Линейная система имеет вид
7-0
(ovVy)4(!/* fci)—0 Для автодуального поля а (у)
(pvV*)^(2,^2)==0 для антиавтодуального поля a(z),
118
l
где v=i, 2, %геср\ %2еср\ yea), zes>,
a 2 =(x 1 , a l f l , — 0; P2==(^2, ^ 2 , i, 0;
i
I
;
/
)
)
Из работ Виттена [70], Айзенберга, Ясскина, Грина [49], [50]
и Форгача, Хорвата, Палла [38] вытекает (теорема 2.1), что
полное уравнение Янга — Миллса с нулевым током может быть
рассмотрено, как условие совместности для линейной системы
вида
(avV y )4(J/. г, К к2)^0(у-~гУ),
где
'
/
'
?
I
i
I
у
i
j
'
)
|
/
'
!
i
) .
V
i/y==/r + V ^ ' ~ ) j
VJ = -£j + azt(y, z)3 v = l, 2; А = 3.
В § 2 эти результаты излагаются вместе с рядом новых ре­
зультатов, касающихся уравнений, получаемых в виде условий
совместности системы (0.7).
Теорема 2.2, например, устанавливает, что уравнение Ян­
га— Миллса для калибровочного поля а(х), дополненное уеловием коммутирования между автодуальными и антиавтодуальными частями кривизны f=da-\-a/\a, есть в точности условие
совместности системы (0.7) при k—4.
Далее, теорема 2.3 полностью описывает (для полей а(х)
со значениями в gl(2, С)) все поля Янга — Миллса, удовлетво­
ряющие условиям теоремы 2.2.
В линейной системе (0.7) фигурируют два спектральных параметра Xi и %2. В развитие идеи работы {38] в § 2 предлагается несколько полезных (для интерпретации уравнений Янга —
Миллса в терминах данных рассеяния) подстановок (например,
Я1=-А,2+Я, ^2=X2—X), сводящих систему (0.7) к системе с од­
ним спектральным параметром, но с теми же условиями совместности.
Центральной IV-й теме посвящены §§ 7, 8.
Преобразование Радона — Пенроуза (после соответствую­
щей калибровки) может быть выбрано_в виде %\{у, fa)dXi для
автодуального поля и в виде 02(~, k2)d%2 для антиавтодуального поля. При этом справедливы формулы
/
62(2, М - * 1 ^ * » ^2)-=-. л(«» Н
где ц (у, Й,) и т)(г, Яг) — решения систем (0.6).
119
В терминах таких данных рассеяния автодуальное и, соответ­
ственно, антиавтодуальные уравнения Янга — Миллса прини­
мают вид
(av|)6i(j/,l,M;
(Pv-^)e 2 (*,b 2 )=0;
v—1,2, %геср\ к2еср\
(0.8)
4
уез>, z e ^ c c .
Таким образом, в этих случаях уравнения на данные рассея­
ния— линейные. Это обстоятельство, выраженное на том или
ином языке, и лежит в основе успеха при исследований авто­
дуального (и антиавтодуального) уравнения Янга — Миллса в.
работах [2], [7], [22], [23], [24], [33], [37], [46], [64], [65], [72],
[73] и др.
Развивая эти работы, а также работы [17], [49], [70], полное
уравнение Янга —Миллса удается свести к следующим уравне­
ниям на обобщенные данные рассеяния в (у, е, Xu Х2) (теоре­
ма 7.1)
--?-•-е2(#,2, ku%2)—т=-е2(у,~, х1д2)+[01,в2]-«о,
д%1
дХ2
^0.9)
(Pv^)ej(i/, z, %u %2)=oi(y~-zT)
Qj(y,z,%bh)=0[ ' 1 + | A y | a ) ,
v, J = 1, 2, y9 ze&aC\
%x, %2eCPK
Форма e=-=6i (-*;, x , A,b A - 2 ) ^ i + 62(^1 А:, Х 1Э ^2)^X2
является
преобразованием Радона — Пенроуза поля Янга—Миллса.
Чтобы получить решение уравнения Янга—Миллса, доста­
точно найти решение системы (0.9) и сделать обратное преоб­
разование рассеяния (или Радона — Пенроуза) формы
Ь(х, х, %и Х2) в калибровочное поле а(х), хб_5. Первое уравне­
ние в (0.9), к сожалению, нелинейное.
Теорема 7.2 позволяет тем не менее найти все формы 6 с
достаточно малой нормой, удовлетворяющие (0.9), по формам.
0°, удовлетворяющим линеаризованному варианту (0.9). Для
этого используется нелинейное интегральное уравнение вида
е=-б°+#(вЛв),
(0-Ю)
где R — подходящий интегральный оператор, обращающий
с^-оператор на (0,1)—формах,m определенных на третьей иифинитезимальной окрестности L {3)) подмногообразия Ь(<Ю) в
L+(2))XL-(2)). Отображение 9 ^ 9 ° (после обратного преобра­
зования Радона—Пенроуза) дает линеаризующее отображе­
ние аналитических полей в iZ> с малой нормой, преобразующее
уравнение Янга—Миллса в его линейную часть, т. е. в урав120
нения Максвелла. Тем самым развивается результат Флато и
Саймона [36] о формальной линеаризации уравнений Янга —
Миллса.
Теорема 7.3 устанавливает дополнительные условия, при ко­
торых преобразование Радона — Пенроуза приводит к полной
линеаризации уравнений Янга —Миллса. Если, например, урав­
нение Янга — Миллса для калибровочного поля со значениями
в gl(2, С) дополнить условием коммутирования автодуальной
и антиавтодуальной частей кривизны этого поля, то в терми­
нах обобщенных данных рассеяния 6 (у, z, %u fa) такая система
может быть представлена в виде
Ж ~ ^
0
'
[01 е2]==О;
'
•
v, y=-=l,2, y9zQ3>9
%иЫСР\
Это представление позволяет, например, дать линейную
процедуру решения задачи Коши для указанной системы урав­
нений.
Теорема 7.4 позволяет записать уравнение Янга — Миллса в
терминах частичных (непереопределенных) данных рассеяния
(или, иначе, частичного преобразования Радона — Пенроуза)
вида
((21 + 1)9- (х, № + Х, Я2 —Х)+(2Х —1)е 2 (^, № + Х, %2-%))dI
с одномерным спектральным параметром. Ранее безуспешная
попытка в этом направлении была сделана в [38]. Далее, в § 8
дается интерпретация в терминах преобразований типа Пен­
роуза неоднородных уравнений Янга — Миллса, Вейля — Дира­
ка и Клейн — Гордона. Для этого прежде всего изложен ре­
зультат [17, 8] (теорема 8.1) о том, что преобразование Радо­
на— Пенроуза 6 на L(S>) калибровочного поля а(х) хЪЮаСМ
(соответственно М) может быть продолжено в область L+(iZ>)X
XL- (3)) так, что
^е + 9Л0 = / { ? - т ) > 3 .
(0.11)
При этом элементы пространств когомологий L(2)) с коэффи­
циентами в End Е9(— 1,0), End £6(0—1) и End£ 0 (—2,0),
EndEQ(0—2) могут быть представлены {0,1)-формами W± и Ф±
на L + (k>) XL- {3» со свойствами
^ ± + [ е , ¥ ± ] = 0 ± <С.т,>2
(0.12)
дФ± + [В,Ф±] = Г±(^ц).
(0.13)
Основной результат [17, 8, 42] состоит в следующем (теоре­
ма 8.2). Для того, чтобы формы 0 и 1,.УР± и G±, Ф± и F± удов­
летворяли, соответственно, уравнениям Коши — Римана (0.11),
121
{0.12), (0.13) необходимо и достаточно, чтобы соответствующие
обратные преобразования Пенроуза (ОД)-форм 6, ¥ ± , Ф± и
(0.2)-форм /, G±i F± удовлетворяли соответственно неоднород­
ным уравнениям Янга — Миллса; Вейля — Дирака; Клейн —
Гордона.
V-ая тема освещена в §§ 7, 8, 9. Первоначально, в виде го­
ломорфных векторных расслоений Е± над L±(£D) были проин­
терпретированы автодуальные или антиавтодуальные решения
% в Ж) уравнения Янга —Миллса (Уорд [64], [65], Атья, Уорд
[24]). При этом когомологиям Ь±(&) с коэффициентами в
Е±®0(—1) соответствуют решения безмассовых уравнений
(Вейля — Дирака при 1=1, Клейн — Гордона при /==2 и т. д.)
в соответствующем калибровочном поле а± (Пенроуз [57], Иствуд, Пенроуз, Уэллс [34], Хитчин [45]).
Интерпретация решений в 2) полного уравнения Янга —
Миллса в виде голоморфных векторных расслоений на Lm(2D)
была впервые получена в работах Айзенберга, Ясскина, Грина
[49] и Виттена [70].
В теореме 8.3 приводятся следующие результаты [8],
[41], [42], развивающие и уточняющие фундаментальные работы
Пенроуза, Уорда, Виттена, Айзенберга, Ясскина — Грина.
Преобразования типа Пенроуза устанавливают изоморфиз­
мы между:
а) пространством голоморфных (соответственно, CR—)
расслоений Е6 над 1 ( 3 ) ( ^ 5 ) с 1 + ( Й ) ) Х ^ - ( ^ ) , тривиальных на
всех квадриках L(x), хЪЗ), и пространством голоморфных (со­
ответственно, гладких) связностей V c в фиксированном рассло­
ении Е над областью SDaCM (соответственно, М), удовлетво­
ряющих бестоковому уравнению Янга — Миллса.
б) пространством d-когомологий многообразия L{2)(£D) с ко­
эффициентами в £ е (—1,0) или £е(0, —1) и пространством голо­
морфных (соответственно, гладких) решений "фА> tyA' в Ф со
значениями в E®S± однородных уравнений Вейля — Дирака в
калибровочном поле сц
в) пространством <9-когомологий L(l)(<Z>) с коэффициентами
в £е(—2,0) или Ев(0—2) и пространством голоморфных (со­
ответственно, гладких) решений cp± в 3) со значениями в Е од­
нородного уравнения Клейн — Гордона в поле а.
Теорема 7.4 дает новую, и как мы надеемся, более эффек­
тивную интерпретацию решений уравнения Янга — Миллса в
терминах голоморфных (соответственно, CR—) расслоений над
многообразием вида:
{(С Tf)6l(3)Щ' 2iC°Tf>' ( W + W ) = ( W -
W)2}
Теоремы 7.1 и 8.4 позволяют охарактеризовать те поля Ян­
га— Миллса, которые соответствуют голоморфным (соответст­
венно, CR—) расслоениям Ев на k-й инфинитезимальнои
Окрестности L(h}(2)) многообразия L(SD) в L + (S>)X^-(-~5).
122
В частности, имеет место следующее важное утверждение. Для
того, чтобы (0.1)-форма 9 со значениями в End £ и (0,2) -фор­
ма Q со значениями в End £(—4, —4) были связаны на
I+(S>)X-<-(-2>) уравнениями Коши — Римана вида
5в+еле«а<£-11> 4 ,
необходим^ и достаточно, чтобы соответствующие обратные пре­
образования Пенроуза е^<~]'(х), £1^<й%£'(х) удовлетворяли од­
новременно однородным уравнением- Яяга — Миллса и соотноше­
ниям коммутации вида [/АВ, / Л ' В ' 1 = ~ " ^ / ' , где
/лс = [усс, VcAl fA'c'=[vcc\
у£1> УАВ' =
^~,—VaAB'{x).
На языке расслоений близкое утверждение сформулировано
сначала (без доказательства) Бухдалем [28] и затем в качестве
гипотезы Ясскиным [74].
Содержательные физические модели описываются обычно
не свободными безмассовыми полями Янга — Миллса, Вейля —
Дирака или Клейн — Гордона, а взаимодействующими (систе­
мы Максвелла—Дирака, Янга — Миллса — Хиггса, Салама —
Вайнберга [15]).
В § 9 приведены результаты [18, 19], показывающие, что по­
ля Янга — Миллса, взаимодействующие, к примеру, со скаляр­
ными полями Хиггса, также допускают интерпретацию
в виде
подходящих голоморфных расслоений над L{2)(2D). Именно,
введем в рассмотрение
голоморфные (соответственно, CR—)
расслоения над L(2'5)(3b) aL+(2))Y,L-.(2)),
которые топологи­
чески эквивалентны расслоению Е°=п+(У(—1, 0)®л-С?(0- —1)
и аналитически
эквивалентно этому расслоению на каждой
квадрике i?(1)(x)[\L{3)). Такие расслоения Ее кодируются фор­
мами 6 на L+(2))XL- {3)) со значениями в End Е° и такими,
что
/<С-Т|>*|<С-Т1>,\
де+елв«о
L
Г!
(
где 6==
G+
(0Л4)
! Ф+а-г])
\
•
Теоремы 9.1, 9.2 утверждают следующее:
а) Неабелево преобразование типа Радона— Пенроуза 8±^&±,
ф±ь+-Ф± осуществляет взаимно—.однозначное соответствие между
голоморфными
(соответственно, CR—) расслоениями £ 9 на
Li2'b){2)) и голоморфными (соответственно, гладкими) реше­
ниями (а±, ф±) системы Янга —Миллса —Хиггса на 2>czCM
(илиМ) (см. §§ 1, 9).
б) При фиксированном расслоении Ев на L(2'5)(£5) (абелево) преобразование типа Пенроуза осуществляет изоморфизм
123
пространства когомологий многообразия L(2) (3)) с коэффици­
ентами в Ев И пространства голоморфных (соответственно»
гладких) решений системы Дирака в поле Янга — Миллса—
Хиггса (а±, ср±) (см. §§ 1, 9).
Из результатов [8, 19, 42] вытекает также описание в терми­
нах голоморфных векторных расслоений на L(2>5)(iZ>) решений
общей (более физической, но и более громоздкой) системы
уравнений Янга — Миллса — Хиггса — Дирака. К сожалению.,
в соответствующих формулировках в [19] вместо расслоений на
L(2,5) (SD) по ошибке фигурирует расслоение на L(3) (3)).
С помощью этих результатов (также как и в теореме 7.2)
сложную нелинейную систему уравнений Янга — Миллса —
Хиггса —Дирака можно линеаризовать, то есть, например,,
найти все достаточно малые по норме голоморфные решения в
области 3), стартуя с решений в iZj, соответствующих линеари­
зованных однородных уравнений.
Теорема 9.3 описывает те решения системы Янга — Мил­
лса— Хиггса, которые соответствуют голоморфным расслое­
ниям Ев, продолжимых с LC2-5)(^5) на L(3)(iZ>).
Интерпретация Р. Уорда [64] автодуальных решений урав­
нений Янга— Миллса в терминах голоморфных векторных рас­
слоений не только прояснила комплексно-геометрический смысл
этих решений, но и оказалась чрезвычайно полезной для по­
строения и описания глобальных решений этих уравнений на
компактифицированном пространстве Евклида (см. теорию
инстантонов и монополей в {7], [22], [23], [24], [33], [46], [65]).
Представление в виде голоморфных векторных расслоений на
пространстве световых лучей полных уравнений Янга — Милл­
са— Хиггса—Дирака выявляет ясный комплексно-геометри­
ческий смысл этих фундаментальных уравнений релятивистской
физики. Такая интерпретация может дать также новые интерес­
ные явные решения этих уравнений. Отметим здесь явные реше­
ния полных уравнений Янга — Миллса, полученные на комп­
лексно-геометрическом пути Ю. И. Маниным и М. М. Капра­
новым (см. [4], [7]).
Мы затронули в этой статье лишь небольшую часть работ
последних лет по комплексной интерпретации с помощью пре­
образований типа Радона — Пенроуза физических полей и
уравнений. Одна из наиболее ярких, не затронутых здесь тем,—
интерпретация уравнений Эйнштейна в терминах комплексных
структур на пространстве нуль-геодезических. Такая интерпре­
тация была открыта в автодуальном случае Пенроузом [58].
Наиболее законченные результаты для полного уравнения Эйн­
штейна получены Ле Брэном [52], [53], [54].
Среди современных математических моделей, описывающих
взаимодействующие физические поля, особенно эффектны так
называемые суперсимметричные уравнения Янга — Миллса и
супергравитация. Оказалось, что суперсимметричные уравнения
124
также весьма красиво описываются в комплексно-геометричес­
ких терминах (см. [[7], [14], [41], [70], [71]).
В рамках теории твисторов Пенроуза хорошо трактуется
также ряд вопросов современной теории струн (см. [47], [48]).
Отметим, наконец, что глубокая связь теории полей Янга —
Миллса с голоморфной геометрией оказывается плодотворной
не только (и не столько) для современных физических моделей,
сколько для новейших математических теорий (см., например,
[7], [33]).
|
'
§ 1. КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ
И УРАВНЕНИЯ ЯНГА-МИЛЛСА-ХИГГСА
I
I
i
I
|
i
|
|
i
[
\
\
;
г
Здесь излагаются основные факты классической теории полей Янга — Миллса на пространстве Минковского или Евклида
(см. также [15], [22], [29], [51], [59]).
Пусть G обозначает либо группу GL(n, С) всех обратимых
матриц порядка п, либо какую-либо подгруппу этой группы.
Наиболее важен случай, когда в качестве такой подгруппы рассматривается группа SU(n). Пусть © — алгебра Ли группы G.
Пусть х=(х0, хи я2, хъ)—точка пространства R\ снабженного метрикой Минковского или Евклида.
Калибровочным потенциалом называют набор гладких
функций а-Дх), fi=0, 1, 2, 3 со значениями в ©. Такому набору
соответствуют операторы ковариантного дифференцирования
д ,
\
{
;
J
Эти операторы действуют на вектор-функциях со значениями в
Сп, т. е. на сечениях (тривиального) n-мерного расслоения Е
над R4. Форма
з
)
^=2^( x )^ x " u '
(1Л)
\
называется формой связности (в расслоении Е) с калибровоч­
ной группой G. Положим
f=da+a/\a.
2-форма f называется формой кривизны связности а. Она мо­
жет быть записана в виде
1
+fl2dx1Adx\
(Ь2)
где
125
/nv = [V}x, V v ] =
— + [<~ц, (h\*
Поле а называется калибровочно эквивалентным полю а\
если найдется функция g(x) со значениями в G, такая что
fl'^ff-^ff+S-1^(1.3)
При этом формы кривизны полей а и а' связаны равенством
Справедливо так называемое тождество Бьянки:
df+aAf-fAa^O.
(1.4)
В терминах ковариантных производных — это тождество имеет
следующий вид
[Vb[Vn, Vv]] + [Vv, [V*. Vn]] + [Vn, [Vv, V^]J = 0.
Введем следующие обозначения
Ea*=foa, a = l , 2, 3; Hi=f2z, Hz=hu
Hs=fi2.
В частном случае, когда G = C/(1), вектор E—(EU E2i £3) на­
зывается электрическим, а Н=(Ни Я2, #з) магнитным полем..
Введем в рассмотрение двойственную 2-форму *f=7» коэффи­
циенты которой определяются равенствами
7iw—4"2^1det«"«яI.в^«э/вЭ; / a 3 - 2 > W * ; >
^ а,Э
if/
где метрику £а|з будем считать евклиДовой или псевдоевклиДовой^
(8рд-аз--знак перестановки (0123)«->(|i, v, a, p).
Для случая евклидовой метрики gav^&aQ имеем
/ ' ^ l d H « d x 0 Adx« + Exdx2 Adx* + E2dx* Adxl +
a
-\-Еъйх1/\йх2.
(1.5)
Для случая псевдоевклидовой метрики gap = ea6a.-, где s . = e 2 =
--=6--= — s — —-1 имеем
f = yjHadx°Adxa
— Erdx2Adxs
— E2dx3Adx1
—
EsdxlAdx2.
а
Следующее дифференциальное уравнение называется урав­
нением Янга — Миллса с заданным током:
df + aAf-f/\a-j,
где / = ^
Ja$ydxaAdx$Adxy.
a<f<Y
(аксиального) тока,
126
(1.6)
3-форма / называется формой
Уравнение (1.6) можно записать в виде
I][Vu,/^] = /v(x),
где
jO=^Jw,
У1 = /023, У2=—Уо13> У3 == У012-
Особый интерес представляет уравнение Янга —Миллса с
нулевым током:
2[V„/*1-=0.
(1.7>
й-
На евклидовом пространстве и для калибровочной группы
SU(n) уравнения (1.7) являются уравнениями Эйлера для ла­
гранжиана вида
| | / | Р = —С Тгасе(/Л?).
Плотность этого лагранжиана (а, следовательно, и уравнения
Янга — Миллса)
зависит только от конформного класса метри­
ки на R4.
Форма f, как и любая 2-форма на R4, раскладывается в сум­
му вида / = / + + / - , где
2 / + - / + /, 2 / " - / - 7 , 7 ± - ± / ± .
(1-8)
в случае евклидовой метрики и
2f+~f-if,2f= f + if9 7 ± ~ ± * / ± . J - J ^ l , (1.9)
в случае метрики Минковского.
Поля а со свойством /+==0 или /"-—*0 автоматически являют­
ся решениями уравнения (1.7). При этом поля со свойством
/"-^0 называются автодульными, а со свойством f+=0, антиавтодуальными.
На евклидовом пространстве наибольший физический и ма­
тематический интерес представляют поля
а с калибровочной
группой SU(fl), конечным действием ||/||2 и фиксированным то­
пологическим инвариантом (зарядом)
8я2&= — jj Тгасе(/Л/Х А—±1, ± 2 , , . . .
Оказалось [26], что при фиксированном А минимум действия
(If||2 достигается' на полях со свойством 7=- (sign К")/, т. е. на
автодуальных (fe>0) или антиавтодуальных (k<0) полях Янга—Миллса (с топологическим зарядом k). Эти поля названы
соответственно инстантонами (k>0) или антиинстантонами
(&<0). Подробное изложение математической теории инстантонов можно найти в [6], [22].
Один из наиболее интересных нерешенных вопросов, примы­
кающих к теории инстантонов состоит в следующем: существу127
ют ли неавтодуальные
решения уравнения Янга —Миллса
(1.7) на 2R4 с калибровочной группой SU(n)9 конечным дейст­
вием Ц/1) и фиксированным зарядом &>0? В связи с этой за­
дачей в работе [27] 2показано, что любой локальный минимум
для лагранжиана ||/|| является одновременно и глобальным ми­
нимумом, т. е. реализуются снова на инстантонах.
На евклидовом пространстве уравнения (1.6) можно запи­
сать в виде
^ [ V i x , [Vn, V v ] ] = 7 v W
(1.10)
п урав тения (1.7), соответственно, в виде
2[VM,lVii, Vv]3 = 0.
"(1.11)
Эти уравнения весьма полезно рассматривать также на С4. При
этом функции ail(x), jv(x) будем считать аналитическими по пе­
ременным л* ц = 0 , 1, 2, 3. ЕСЛИ в уравнениях (1.10), (1.11)
положить х°=х°, xl=i%\ x2=i%27 #3=£"х3, где {хй} — веществен­
ные переменные, то в переменных^} уравнения (1.10), (1.11)
будут уравнениями Янга — Миллса на пространстве Минковского.
Перейдем теперь в С4 к так называемым спжорным коорди­
натам хаа', где а = 0, 1, « ' « О ' , Г
-Цл* + №)\
xo + ixi
хаа ==
2
3
{
-~-i(x ~~ix )
xo-ix1
J
'
4
Пространство С с такими координатами снабдим метрикой
uet\dx**'\. В соответствии с этой метрикой индексы а и а' подни­
маются И ОПуСКаЮТСЯ ПО формуле Хааг=х№ъраЦ'а', ГДв 801=:
------е0'1'—---1;
8аР=-= — г$а; га'®'= —е-3'»'. В спинорных коорди­
натах форма а да (1.1) принимает вид
a _ * 2 aaa>dx«*'.
(1.13)
a,a'
Справедлива формула
Форма / ' и з (1.2) принимает вид
f^foo'ovdx^Adxor
+ foo'io'dxm'Adx^
+foo'wdx00'Adxu,
+ f1o^dx^Adx^
+
OVJ
ov
lor
Adx rfovio>dx Adx .
Справедливы формулы
4/оО'ОГ==^/о2 + ^ / з Г + " / о 3 1 + / 1 2 ;
128
+
fwovdx^A
4/oo'10'=^/o2^^/ai"~/o3+/l2>
4/iror = //o2 — */з1 + /оз —/12; 4/ono'= — 2i/23B спиноряых координатах форма / разбивается в сумму двух
слагаемых:
/aa'flB' = - 2 ~ ( / a a ' № ' — /pa'ap' + / p a ' a 0 ' — /.00'аа')~=
из которых одно—автодуальное, а другое—антиавтодуальноеПОЛОЖИМ /a(J = ^ - / ^ a ; / а ' Р ' - 4 " ^ « ' Э ' в
Тогда / а а ' Э Р ' ^ в о р / о Т + в а ' Р ' / а З -
Имеем
/ а «'00' = — бар/a'f»' +8а'Р'/оЭ
(1 -14)
5 спанорных координатах уравнение Янга —Миллса
(1.6), (1.10) приобретает вид
где
J=*2j%dx*°'Adx*vAdXafi>.
Подробнее смотри [59], [2].
Уравнения Янга — Миллса образуют довольно сложную не­
линейную систему уравнений. В большинстве физических при­
ложений эти уравнения решают и исследуют лишь по теории
возмущений, фиксируя калибровку и вводя подходящие гранич­
ные условия на бесконечности (см., например, [15]).
В пионерской работе Полякова, Белавина, Шварца, Тюпкина [26] было обнаружено, что у уравнения Янга — Миллса на
евклидовом пространстве имеются физически интересные яв­
ные решения («инстантоны»), которые можно найти на основе
алгебро-топологических конструкций, вне рамок теории возму­
щений. Вслед за этим большой и интересный класс решений ва­
куумного (бестокового) уравнения Янга — Миллса с ' группой
SL(2, С) был получен с помощью следующей остроумной под­
становки (см. [31]):
п
1_ / \7ро-Ф
| 0
;
% ' - 2 Ф [11'^Щ-чт ч>)'
\
%]
_ J _/-УргФ|-2Уэо'ф\
'-~2Ф [
ь
i УЭГФ ;•
(1.16)
где Va8' = "i
9—7894
• Отсутствие тока в уравнении
Янга—Миллса
129
для пОля а вида (1.16) Оказалось эквивалентнО следующему
э:
скалярному Ф4 — уравнению:
•Ф + ^фЗ^о,
(1.17)
где • - - - - V ^ ' V a p ' , J.6C.
Для того, чтобы соответствующее (1.17) поле Янга — МИллса a
было автодуальным, оказалось необходимо и достаточно, чтобы
константа К=0. При этом для скалярных функций ф вида
Ф(*) =
det ( хаа
—caa |
где c£R, caa/ — унитарная матрица, соответствующие поля Ян­
га— Миллса в точности совпадают с SU(2)—инстантонами с
топологическим зарядом 1. Чтобы получить на этом пути все
SU(2) — антиинстантоны (с зарядом —1) оказалось достаточно
взять специальные решения (1.17) (с константой А,= 1) вида
Ф(*)=
с2 + det | * a a —c a
Большой интерес вызывают не только вакуумные поля Ян­
га— Миллса, но и калибровочные поля, взаимодействующие с
полями материи (см., например, модель Вайнберга — Салама
в [15]). Приведем здесь систему уравнений Янга — Миллса —
Хиггса, описывающую взаимодействие полей Янга — Миллса с
так называемыми скалярными полями Хиггса.
Пусть
голоморфные GL(/z ± , С)—связности в фиксированных (Для просто­
ты тривиальных) я±-меряых расслоениях Е± над некоторой об­
ластью 3D в С4. (л±ХЛт)г-матрицы-функции Ф ± будем считать
калибровочю эквивалентными матрицам-функциям Ф^_, если Ф+ =
= g±4>±g~\ где g± — калиброзочные преобразования для полей
а±. Положим
дф+
v^±--^r-+^a^±-9±«:a''
• ±тФ± = [У« а ± , [Ч&,
Ф±]].
Калибровочные поля а ± .и ±ф будем называть взаимодейст­
вующими полями Янга — Миллса — Хиггса, если они удовлетво130
ряют на 2) системе уравнений вида;
v u t / p ; , = ^([v+ e -7, Ф + ] Ф . - Ф + [ У « ^ ] ) ,
V^/i
a
^ y ( [ V - + , Ф . 1 Ф + - Ф . ^ + т , Ф+]),
(1.18)
•+-Ф + + Яф+<р.Ф+«0,
П-+ф-+^Ф-Ф+Ф-.=°1 л,ес,
где / ± — формы кривизны связностей V ± .
Классические уравнения Янга — Миллса — Хиггса получаются
из уравнений (1.18), если в них ограничиться случаем, когда
/г + =м-, 2) — область вещественного пространства Минковского, ф-=ф + *, а - = — а + * и калибровочная группа G==SV(n)
(см. [15], [23]).
Физически и математически содержательные решения систе­
мы Янга — Миллса — Хиггса вне рамок теории возмущений
найдены впервые в 1974 г. и названы монополями Полякова —
Тофта (см. (51]).
Взаимодействие полей Янга — Миллса одновременно как со
скалярными, так и спинорными полями, описывается более
громоздкой системой уравнений Янга — Миллса — Хиггса —Дирака (см., например, [15]).
Привлечение в последние годы серьезной алгебро-геометрической техники привело к фундаментальным результатам —
описанию инстантонов и монополей (в пределе Богомольного
Лг>0) с любым топологическим зарядом (см. [7], [22], [23], [33],.
[37], [46], [62], [63], [65]). Важнейшую роль в этом описании сыг­
рала интерпретация-автодуальных полей Янга — Миллса в виде
голоморфных векторных расслоений над пространством твисторов Пенроуза, появившаяся в работе Уорда [64].
Среди наиболее важных и интересных аналитических задач:
об уравнениях Янга — Миллса — Хиггса — Дирака — исследова­
ние разрешимости задачи Коши. Достаточные условия сущест­
вования глобальных решений задачи Коши для этих уравнений
на пространстве Минковского получены в важных работах [61],
[36]. Имеются теоретико-групповые и аналитические аргументы,,
(см. [36] и здесь § 7), что задача Коши для уравнения Янга —
Миллса должна допускать линеаризацию. Линеаризация (пре­
образованием Радона — Пенроуза) задачи Коши для автоду­
ального уравнения Янга — Миллса вытекает из конструкций
работ [2], [17], [41], [55]. Дальнейшие результаты смотрите в
§§ 7, 8, 9.
9*
131
§ 2. УРАВНЕНИЯ Я Н Г А - М И Л Л С А
КАК УРАВНЕНИЯ СОВМЕСТИМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
В развитие работ Белавина, Захарова [1], Виттена [70] и
Форгача, Хорвата, Палла [38] здесь дается развернутая трактов­
ка уравнений Янга — Миллса, как уравнений совместности ли­
нейных систем с комплексными спектральными параметрами.
Результаты этого параграфа излагаются, в основном, для урав­
нений Янга — Миллса (1.10), (1.11) в области iZ)€C4. На случай
уравнений на вещественном евклидовом (или псевдоевклидо­
вом) пространстве соответствующие результаты специализиру­
ются почти автоматически.
Рассмотрим в пространстве С8 (соответственно, JR8) С коор­
динатами увС4 и г£СА диагональ y=z. На этой четырехмерной
диагонали в качестве координат возьмем х= ~9 (у+z). Введем
в рассмотрение также антидиагональ у=—г, на которой в ка­
честве координат возьмем w = ~^(y—z).
Введем в тривиальном ^-мерном расслоении над С8 опера­
торы ковариантного дифференцирования вида:
OXJ
х
х
OWJ
w
y = — j - +a jty, z); V / - - - — г +
v
dyJ
у
у
v
w
у
а
dzJ
z
*(У> z)>
z
где функции a j , a j , a j , a j со значениями
x
w
в
gl(/i,C) зависят
z
от своих аргументов голоморфно (соответственно, гладко).
Петь далее a j=a j+a /; a j = a j — a j ; Тогда справедливы
х
равенства
у
г
w
у
г
V j = V ; + V у*, V / = V j — V ;.
х
у
z
w
у
z
Все уравнения этого параграфа рассматриваются в выпук­
лых областях вида x+w^k), x—w£g), где 3D —область в С4
(соответственно, RA).
Рассмотрим на С8 (соответственно, R8) вслед за [1], [38],
[70] следующую линейную систему уравнений, зависящую от
двух спектральных параметров %и Ад*-С1
(<*vVy)t\{y,z,bu
^)^0{{y
ф*-Ч*)1\(У,гЛиЬ2)=0((у
где
v—1,2,
^ = ( 1 , —f, —%i, —ik\);
p1=(l,
— i , —Ji,2, tkz)]
(2.1)
a2-==(X1, i%u 1, — i),
p2=(->-2*i ^ 2 » 1» l)i
k — натуральное число. Здесь через 0(wk),
132
— z)k),
— .г)*),
-гзубС4 обозначено вы
I
ражение вида
|
Cv.v,v,v,(-«, я»)"ву,«У,да?-«»^.
2
I
Ve+Vi+V2+V3--ft
Систему (2Л) удобно записать в переменных х и w> Имеем
(т-Чх)\ъ{х. w, 1)^=0(wk); (яг-VJH(-*- w, X)=0(wk);
^^x» — m0^7xt — mzs/w* + m24w')V'(x9 w, X) = 0(wk); (2.11)
где
|
/7г0<^)=(1 — Я^з), ml{%)=-i(l + X1%2\
m2(X)= — (Xi4-X2), m3(k)=—d(Xl — %2)Систему (2.1) полезно записать также в спинорных координатах
!
I
(Vyoo' + ^iV^io')4(y.«, Ь)«Р(я>*),
(bi4yiv — iVyovi\(y, z, Я,)—О (о;*).
|
I
(Vaoo'+iX2V,or)4(l/, ^ Х) = 0 ( ^ )
( А ^ - п ' - * У , 1 о О Ш *> Х)==0(^й).
Уравнения совместности лцгя системы (2.1) имеют следующий вид:
[V^it, У ^ ] - } в ^ | » [ 7 , . , 7 Д + 0 ( « | И )
I
I
I
I
^
(2*2)
[V^, V,v]-0(«*- 1 ).
В уравнениях (2.1), (2.2) поля axJ(xfw) и aj(x,w)
можно
считать по переменным w многочленом
(k—1)-й
степени.
Функ*дию же \i(x9до,Я) в уравнении (2.11) можно считать по w
многочленом k-й степени.
Если выполнены уравнения совместности (2.2), то на осно­
ве подходящего линейного интегрального уравнения можно
найти голоморфную1 (соответственно гладкую) по х, w и глад­
кую по ЯбС/^ХСР функцию \х(х, шД) со 1 значениями в
GL(n, С), удовлетворяющую уравнениям (2.1 ), Поясним по­
дробнее, как получить соответствующее интегральное уравне­
ние, поскольку возникающие при этом операторы полезны для|
дальнейшего изложения.
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравне­
ний вида
Df=h+0(wh)
(2.3)
133
или подробнее,
Djf(x,
i>, &)«*,('*, w, X) + Oj(w"l
y = 0 , 1,2, 3 9
где
Оз^шг(Х)^~т0(Х)^~тф)^
+
т2(Х)^.
Функция f(x, ш, X) является многочленом &-й степени по w,
функции /i-(x, w, X) являются многочленами (к—1)-й степени по
w и линейно растущими по Х\ и по Х2.
Для разрешимости системы (2.3) в функциях /, голоморф­
ных (соответственно, гладких) по х и гладких по (Хи X2)£CPlyi
ХСР 1 , необходимо и достаточно, чтобы функции hi были также
голоморфны (соответственно, гладкие) по х и чтобы выполня­
лись условия совместности вида
Dh^O{wk~l)
(2.4)
или подробнее,
/)
^ _ д / 1 . = 0(ш^1),
/, / = 0 , 1, 2, 3.
Более того, на пространстве функций h(x, w, Я), удовлетворяю­
щих (2.4), можно построить интегральный оператор G, дейст­
вующий в указанное пространство функций f(x, w, X) так, что
DGh = h.
(2.31)
Существование такого оператора вытекает, например, из «фун­
даментального принципа» Эренпрейса — Пйламодова или из
явных формул для решения ^-уравнения (см. статью 1 настоя­
щего тома).
Формула1 (2.31) позволяет найти необходимое решение си­
стемы (2.1 ) (или (2.1)) на основе интегрального уравнения
вида
где
~
134
(m(X)ax(x,w)
^№(X)aw(x,w)
I шг (X) ax* — mQ(X) axi — тъ (Х)ат*-\-т2(Х)ат*
[m1(X)aw*~m0(X)aw^m2(X)ax*+?ri2(k)ax*
Для нахождения явного вида оператора О полезно сделать замены
переменных:
(xQw°\_(/nQ
х2 w2\
тЛ(х°Ъ^
2е
2
z
(т
1Ю
щ 2 -^mщ\(х
2l \x tsfi
и далее
уо^^ + х2, у} = Ъ — х2, %2=>xl + w\ x s = ^ x + ^ 3
со°=5;0 + <ш2, о)1='Ш0 — w2, (о2==—тг, о)2—^^1.
После этих замен система (2.3) принимает вид
D;./'(х, о, Ь)«А;(Х, ©, м+о/(^Х у «о, 1,2,3,
где
Л'_±^О—ах
0
'
Л'--
D'«-
^-"""^0)0'
^2
а©2'
D ' - -
3— do3'
функции f ии А/ являются голоморфными
(гладкими) по пе­
ременным х <-• Переменные %*, Х2> Х3> 0)l являются по отно­
шению к операторам D / ) параметрами. Выписывание далее
разрешающего оператора G для полученной системы является
(в случае выпуклой области ЗЬ) стандартной задачей теории
функций (см. [20]).
Рассмотрим далее систему (2.2) специального вида:
— -у [J^J
(^)— "2" 8^va^a|3j (*)) ® ^ 0 (W2)
Из этих уравнений вытекает равенство
2 t V ^ ' I V ^ ' V x v]]=A(x)+OH,
(2.51)
|i-0
которое означает, что поле a{x)=alx{x)dx^
такое, что
aj(x)=~axj(x, 0)
удовлетворяет уравнению Янга — Миллса (1.10).
(2.6)
Обратно, пусть поле а(х)
удовлетворяет уравнениям
Янга— Миллса (1.10). Тогда можно определить axJ (х, w) и
awj(x, w) так, что будут выполнены уравнения (2.5), (2.6), На­
пример, этл поля можно определить по формулам
axll(x, w) = all(x)—fnj(x)wJ—
!
-~-^% A [V/ 5 /НА (-*)]1
.
(2.7)
V ( * ^ ) - = - T / i i y ( x ) ^ - » - - T ^ ^ [ V j , /n*(.*)J.
г
е
# /ну» /iij» Vj определены формулами (1.2), (1.5). Из приве­
денных соотношений вытекает теорема.
Т е о р е м а 2.1 (Виттен [70]). Если уравнения совместности
(2.2) для-системы (2.1) выполнены при &:=3, то поле а(х), х^Юу
определенное формулой (2.6), удовлетворяет вакуумному уравне­
нию Янга— Миллса (1.11). Верно и обратное, если поле а(х)
удовлетворяет (1.11), то поля awil(x, w) и awVL(x9 «до), определен­
ные формулами (2.7), удовлетворяют уравнениям (2.2) при k=3.
Этот важный результат приводит далее (см. §§ 7, 8) к со­
держательной интерпретации^ уравнений Янга—Миллса для
калибровочных полей через ^-уравнения на данные рассеяния
этих полей.
Следующий результат описывает все те решения уравнения
Янга—Миллса, которые порождаются уравнениями совмест­
ности (2.2) при £>4„ .
Т е о р е м а 2.2. Если уравнения совместности (2.2) выпол­
нены при &=4, то поле а(х), Х&3), определенное формулой
(2.6), удовлетворяет вакуумному уравнению Янга—Миллса
(1.11) и, кроме того, автодуальные / аР и антиавтодуальные
fe-p' компоненты кривизны поля а вида (1.14) коммутируют
[Лр(х), / a - r ( x ) ] = = 0 , xbSD.(2.8)
Справедливо и обратное, для любого решения а(\х), xQS) урав
нения (1.11) с дополнительным свойством (2.8) найдутся поля
axj (х, w)9 awJ(x, w% удовлетворяющие условию (2.6), и такие,
что равенства (2.2) будут выполнены при k = 4 .
Выполнение условий совместности (2.2) при k>5 приводит к
решениям уравнения Янга—Миллса с условиями коммутирования
(2.8) и со следующими дополнительными условиями: Для любых
( а , , . . . , а,) и (pi,..., р,'), а , « 0 , 1 , ру = 0Д
s[v^[...[v«^./4l.j*)./,>;:(JE)]...]
= 0, (2.81)
где /-=3, ...,k—3;
сумма берется по всем перестановкам
ih, • •• > к), (ji,...,ji)
последовательности (1, 2 , . . . , / ) .
Наметим доказательство 1-ой части теоремы. Для доказа136
тельства того, что из (2.2) при k=4 вытекает (2.8), достаточ­
но доказать равенство
[fxixJ + fxbJ, Л « , 3 - 7 * а * э ] — О И .
(2.9)
где
/ - W — [V^, ~ V ] , 7xixx4=-2-eiivafi[S7xa, V / ] .
Из (2.1) и (2.2) при k = 4 вытекает равенство
[ V ^ , V^]----[VyJl + V ztl , VyV + Vzv] =
= [V ytl , Vyv] + [V2,x, Vzv] + 0 ( ^ ) .
Отсюда и из (2.2) вытекают равенства
/ ^ v + 7 A .v=([V y w. Vyv] + [V2n, v 2 v])+
+ -2-8w,e|J([Vya, V y P ]+[V 2 a, V z p])+0(^ 3 ) =
- 2 [ V y „ , VyV] + O K )
fxixJ-fjxf=2[V2i,
V,y]+(w-)
Из этих равенств получаем
[fxW + fw
fx^-f^]~[[v^
V,v],[v,i, Vzf]] + 0(w*).
В силу тождества Якоби имеем
- [ [ V , * V„v], [V,-, V / | ] = [[[V,-, 4ZJ], Vy4
V,v] +
+ [[v^[v^,v^]] J v # ].
В силу тождества Якоби и (2.2) имеем
Из последних четырех равенств и вытекает (2.9).
Следующий результат показывает, что Для полей %(.*;) со
зшачениями в gl(2, С) и удовлетворяющих уравнениям Янга.—
Миллса, равенства (2.8) (или 2.2) при k = 4) являются при соот­
ветствующем определении полей а^(х, w) и aj{x, w) критерием
выполнения равенств (2.2) при любом й>4.
Т е о р е м а 2.3. Пусть а»(х)йх» — решение уравнения (1.11)
со свойством (2.8), причем поля a{mu}(x) принимают значения в
gl(2, С). Тогда при некоторой калибровке поле а имеет одну;
137
из следующих форм
a==z
(а11 0 \
[
0 a 2 2 j ; а^[0
(а11 0 \
(а11 а?\
а11)>
.
где а2'-1' — решения уравнений Максвелла, а* — автодуальное
или антиавтодуальное решение уравнения Янга—Миллса.
З а м е ч а н и е . Аналогичный результат, несомненно, имеет
место и в более общем случае. Например, он доказан уже в
случае полей а(х) со значениями в su(3).
С л е д с т в и е . Уравнения совместности (2.2) при любом
фиксированном &>4 для полей ax(x,w), aw(x,w)
со значе­
ниями в su(2) влекут автодуальность или антиавтодуальность
или абелевость полей Янга—Миллса а(х)=ах(х, 0). С. В. Ма­
натов сообщил нам, что результат этого следствия является
также одним из его неопубликованных результатов. Отметим,
кроме того, что утверждение этого следствия при k^6 вытекает
из опубликованных результатов [13], [28], [49].
Доказательство теоремы 2.3 использует несколько вспомо­
гательных утверждений.
Л е м м а 2.1. Пусть %=%idx{; f^fijdx^dx^
i < / , где х*(*Ь
fij(x)—комплекснозначные
функции. Пусть f = f либо f = — f.
Пусть 2|f»j(*) \Ф0 при хвй). Тогда, если %Af = 0, то х = 0 в 3).
Л е м м а 2.2. Пусть Q и N— (2X2) -матрицы. Пусть Q не
пропорциональна единичной,
т. е,
С}Ф%-1, VMiC.
Пусть
[Q,Af] = 0. Тогда найдутся числа а, ££С такие, что NT=a-I+$-Q.
Л е м м а 2.3. Любое решение уравнения Янга—Миллса а
можно представить в виде
a y = a } + ( t r a ; ) 7 ; / / j = / i j + (tr fi3)I.
При этом tr a — решечие ур авнения Максвелла, аг•— решение
уравнения Янга — Миллса, а матрицы а; ,и fij
имеют нулевой
след.
Л е м м а 2.4. Пусть а удовлетворяет уравнению (1.11). Тог­
да справедливы равенства
df-+a/\f-—f-/\a=Q%
±
где f
=
f±f.
Доказательство тефемы 2.3. Предположим сначала, что либо
все ft}, либо все /J} пропорциолальны
единичной матриие.
Тогда, учитывая равенство из леммы 2.3, приходим к третьему
равенству из теоремы 2.3. Поэтому, можно предположить, что
-среди матриц ftj найдется матрица, не пропорциональная еди.
138
ничной. Пусть такой матрицей является /oi = Q(x) Тогда в силу
леммы 2.2 и равенства (2.8) справедливы равенства
fr.^arjr + $7jQ.
(2Л0)
Можно считать, что не |*се, рГ/ равны нулю. (В противном случае
реализуется уже разобранный случай). Отсюда и из равенства
(2.8) и леммы 2.2 вытекает, что справедливы также равенства
ftj = *tjI +
tfjQ
(2-Й)
(при этом а+===0, р+ = 1). Сделаем •калибровочное преобразова
ние, после которого матрица Q(x) будет приведена к жордановой нормальной форме. (При калибровочном преобразова­
нии Q преобразуется, как компоненты кривизны Q*+g~lQg).
Возможны два варианта Q==( Q Q J и Q==-( Q „ i
В первом случае в силу (2.10), (2.11) имеем
,-(?<>> r - ( U >
5
<,.2)
Докажем, что в это * калибровке форма а также имеет Диаго­
нальный вид (с точностью до уж г разобранного случая)
-М-М
2ЛЗ
< >
Воспользуемся для этого леммой 2.4 и леммой 2.1. Для форм
щ2 и ап в силу леммы 2.4 и (2.12) вытекают равенства:
fli2A/2±-/1±Aol2«flt12A(/2±-/1±)«0
.
Если / + = / + или / - = : / j \ то такой случай уже был разобран
в самом начале доказательства. Поэтому, можно считать
/+Ф/+ и f-=£f-m
Тогда из (2Л4) и леммы 2Л вытекает
a12—=a2l=-—0. Таким образом, равенство (2.13) доказано. Таким
образом, случаю Q------(о а) с оо тветст ^У ет первый случай гз тео­
ремы 2.3.
Теперь осталось разобрать второй вариант. Воспользуемся
леммой 2.3.
a ~ a ' + (tra)/; / e / ' + ( t f t r a ) / ,
(2.15)
где
/tf-MQ'; Q'-So
139
Из равенства леммы (2-4) для а' и f отсюда вытекает
Далее, из уравнения fr = darA~a,f\at вытекает равенство
da'n=Q. Отсюда вытекает, что найдутся фулкции gx и g2 такие,
что gf'rfgi-^^p g~1dg2=— a'u. Сделаем калибровочное пре­
образование решения а вида (2.15) с помощью матричной функ­
ции G = ( Q * 1. Имеем
(О q-± аи\
G-1aG+G--rfO.-(0
G
"VG-=L ? 1 n
ftgl+(tra)/,
+(dtr«)j-
Отсюда вытекает, что вариант Q==( Q ~ ) соответствуем второму
случаю из теоремы 2.3.
Укажем теперь на простейший способ построения решений
уравнения Янга—Миллса (1.11), для которых равенства (2.8)
не выполнены. Пусть поле а имеет вид
Но" 2")-
(2Л6)
Кривизна этого поля имеет вид
f=[0
/22),
2 l2
где f =*da \ p ^da \^f =dal2
+ {all-^a22)/\al\
П р е д л о ж е н и е 2.1. Для того, чтобы поле а вида (2.16)
удовлетворяло уравнениям Янга—Миллса (1.11), необходимо и
достаточно, чтобы компоненты а11 и а22 удовлетворяли уравне­
ниям Максвелла df u =0, df22-==.(), а компонента а12 удовлетво­
ряла линейному уравнению вида
ll
l
2
При этом коммутатор автодуальной /+ и антиавтодуальной fкомпонент кривизны имеет вид
(Л (/•%[(/ в )»-(/ 1 >Ы+'
[/4. л ] - !1+1/°М/%т1/ЧЬ1
Из этого предложения вытекает, в частности, что поля а(х)
вида (2.16), удовлетворяющие уравнениям Янга—Миллса, во140
Обще говоря, не удовлетворяют дополнительным равенствам
(2.8) и тем более (2.81).
Приведем здесь еще один пример, иллюстрирующий с одной
стороны теоремы 2.1—2.3, а с другой — трудности нахождения
из условий совместности нетривиальных решений уравнений
Янга—Миллса, зависящих только от двух переменных.
П р е д л о ж е н и е 2.2. Пусть форма a = a[X(x)dxlx удовлетво­
ряет уравнениям Янга —Миллса (1.11), причем поля а^(х) прини­
мают значения в gl(2, С) и an(x)^=aVi(XQ, jq), | x = 0 , 1 , 2 , 3
Тогда поля axj{x, w) и a j(x, w), удовлетворяющие (2.2) и
(2.6) при & = 3, можно выбрать в виде axJ(x, w)=axj(x.Q, Х\9
wQ, Щ) И a J(X, w) = a j(x0, XX„ WQ, Щ) в том и только в том
случае, если выполнены равенства (2.8) и (2.81).
Одной из основных трудностей в практическом использова­
нии изложенной интерпретации уравнений Янга—Миллса в
виде уравнений совместности линейной системы состоит в на­
личии в системе (2.1) двух спектральных параметров Х\ и %%.
Форгач, Хорват и Палла [38] заметили, что те же уравнения
совместности (2.2) возникают, если в линейной системе (2.1)
использовать лишь только один спектральный параметр в виде
Xl==X, Х2=№+\ A « l , 2 . . .
(2.17)
Эта идея привела авторов [38] к ошибочному утверждению
о возможности линеаризации уравнений Янга—Миллса с по­
мощью задачи Римана—Гильберта по параметру Я6СР1.
Мы покажем в § 7, что сведение уравнений Янга—Миллса
к одномерной задачи Римана—Гильберта (или <Э-уравнению)
в принципе возможно, но не на сфере СР1, а на вырожденных
торах, при следующих специальных выборах одного спектраль­
ного параметра.
. ^ _ Х + у - , %2 = %—L
%1==*№ + К Ь2 —А,2 — Ь.
(2.181)
(2.1811)
Сформулируем здесь следующее простое, но важное утверж­
дение.
П р е д л о ж е н и е 2.3. Пусть в системе (2.1) сделана одна
из подстановок (2.17), (2.181), (2.18 й ) или A,i-=y\,2. Тогда урав­
нениями совместности получившейся системы с одним спект­
ральным параметром попрежнему являются уравнения (2.2).
Для подстановки (2.17) это утверждение впервые отмечено
в [38].
141
§ 3. ГОЛОМОРФНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И КОГОМОЛОГНИ
В ТЕРМИНАХ д'-УРАВНЕНИЙ
Напомним здесь (см. также обзоры [5], [20], [И]), как век­
торные расслоения и d-когомологии на комплексном многооб­
разии трактуются в терминах уравнений Коши—Римана.
Пусть X — комплексное многообразие; {Xj}—локально ко­
нечное покрытие X областями
голоморфности
Xj,
/б/;
GL(n, С) —группа обратимых
комплексных
/гХ^-матриц.
Пусть в областях Xj[\Xk определены голоморфные функции
pjh==pkj~i с о значениями в GL(/x, С), образующие мультипли­
кативный коцикл, т. е.
/ > (х) Fkt (х) FtJ (х) = /, xeXj П Xk П Xh
где / — единичная матрица. Коцикл {Fjk} определяет голо­
морфное n-мерное векторное расслоение F над X. Сечением
этого расслоения F над X называется система отображений %
областей Xj в О таких, что
hj(x) = Fjk(x)hk(xl
xeXjDX*.
Будем называть топологически тривиальными такие рас­
слоения F, которые имеют п гладких сечений, линейно неза­
висимых в каждой точке х£Х. Последнее означает, что сущест­
вуют такие гладкие матрицы-функции Aj на Xj со значениями
в GL(n, С), что
Fjk(x)=,Af(x)(Ak(x))-\
xeXjnXk.
Введем в рассмотрение (0, 1)-форму 6 с (/г X я)-матричными
коэффициентами со значениями в gl(n, С) вида:
e(z) = {(Aj(x)ridAj(x),
xeXj, ye-/}.
Это определение корректно, поскольку в области Xfr\Xk
l
l
имеем
l
Aj dAj = AJ FJkdAk = AJ dAk.
Заметим, что во-первых, форма 0 определяется по векторному
расслоению F с точностью до д-калибровки;
Q~B~ldB-\-B~lQB,
(3.1 >
где В — любая гладкая функция со значениями в GL(n, С) и,
во-вторых, что форма 0 удовлетворяет нелинейному уравнению
Коши—Римана
^9 + вЛе—0.
(3.2)
Обратно, если на X задана (0, 1)-форма 0 с (п\п) -матрич­
ными коэффициентами^ удовлетворяющая (3.2) и рассматри­
ваемая с точностью до (9-калибровки (3.1), то в силу обобщен­
ной леммы Гротендика — Дольбо (см. [11]) в областях Xj най142
дутся та_кие матрицы-функции Л,- со значениями в GL(n, С),
что ^ j - 1 (9 i i4 i =e на X,. Полагая далее
Fjk^AjAk}
на
XjViXb
имеем
dFJk = Aj {AJldAj-AlldAk)
Л^=0
на Х,{]Хк.
Построенные таким образом голоморфные матрицы —функ­
ции Fjfe со значениями в GL(n, С) задают (топологически три­
виальное) расслоение F над X.
Пространство (0, 1)-форм 0 на X, удовлетворяющих условию
(3.2) и рассматриваемых с точностью до ^"-калибровки (3.1),
обозначим через Н0Л(Х, GL(n, С)). Это пространство называют
пространством д-связностей в фиксированном (в данном случае
тривиальном) n-мерном расслоении £ = J X C 4 с калибровочной
группой GL(n, С).
С произвольным голоморфным, я-мерным расслоением Е
над X ассоциировано /г2-мерное расслоение End E. Аналогично
предыдущему можно ввести в рассмотрение (0, 1)-формы 9
на X со значениями в End£ и со свойствами (3.1), (3.2), где
в (3.1) В — гладкая функция со значениями в невырожденных
эндоморфизмах Е. Пространство таких форм обозначается
через
Я0-1 (Я, GL(£)).
Голоморфное расслоение, полученное _из фиксированного
расслоения Е с помощью фиксированной <3-связности 6 будем
обозначать через £V Расслоение £ 0 называют деформацей рас­
слоения Е. Голоморфные сечения расслоения £ 0 — это те глад­
кие сечения h расслоения £, которые удовлетворяют уравнению
Коши — Римана вида
5А •-{-• ей-=о.
Пусть далее X является гиперповерхностью в комплексном
многообразии У. Дивизор на У, соответствующий гиперповерх­
ности X, порождает линейное расслоение 5 на У, в котором
имеется сечение s, равное нулю в точности на X (см. [10, 40]).
В дальнейших рассмотрениях важную роль играют вектор­
ные расслоения на инфинитезимальных окрестностях Х{у) мно­
гообразия X в У, v==0, 1, 2 . . . Такие расслоения обычно за­
дают с помощью локально конечного покрытия {Y3} многообра­
зия У и голоморфных (пХп) — матриц-функций
Fih=(FKj)'1
в областях У]ПУь образующих голоморфный коцикл на Xiv\
то есть
на Y;r\Yh£\Yt.
FjkFklFl]^I+0(s^)
Имеет место следующий вариант теоремы Гротендика—Дольбо.
14а
П р е д л о ж е н и е 3.1 (см. [17], [8]). Пусть Е — фиксирован­
ное я-мерное голоморфное расслоение над У (в частности, три­
виальное). Имеется канонический изоморфизм между прост­
{v
ранством голоморфных векторных расслоений ранга п над
X(V)
\
0,1
топологически эквивалентных Е, и пространством # (.X ,
GL(E))—гладких
(0,1)-форм 6 на У со значениями в End is,
рассматриваемых с точностью до калибровки
6 - В'1ЪВ + B~lQB + О (5V+1) на У
1
(В, В~ — принимают значения в EndE)
соотношению
и удовлетворяющих
^е+еле=Л+15л7+1 на г.
k
(3.3)
(3.4)
При этом пространства iv}
когомологий H (X \ Ев) (или Hh(Xiv\
End£ 0 )) многообразия X
с коэффициентами в пучке голо­
морфных сечений Ее (или End£ 0 ) изоморфно факторпространству пространства гладких (0, k) — форм -ф (или W) на У с
коэффициентами —сечениями Е (или E n d £ ) , удовлетворяю­
щих соотношениям
^
iv
+ 6A^==CL) V+1 S V + 1
(3.5)
или
№.+[& ¥]=Q v + 1 s v + 1 на Г
по подпространству форм вида
^^Ф+ЭЛФ+О^Н-1)
(3.51)
(з.б)
или
^.=^Ф+[е, ©] + o(5v+l),
где [е, Ф]=елФ-(~1) & Фле, k—порто* формы Ф.
(з.б1)
Отметим, что формы Iv и Qv в правых частях (3.4), (3.51)
принадлежат пространству Н2(Х, End£ e ®s- V ), а форма ©„ в
правой части (3.5) принадлежит пространству Н2(Х, £0®-S~v).
Результат предложения 3.1 можно при желании принять за
определение соответствующих
пространств когомологий ком­
плексного пространства X(v).
Нам потребуется далее определение <Э-когомологий частично
комплексных многообразий (или иначе CR-многообразий).
Пусть М — действительное подмногообразие коразмерности
/ в комплексном многообразии У, Тяе(М) —наибольшее комп­
лексное подпространство, лежащее в касательном пространст­
ве ТХ(М) в точке хШ. Многообразие М называют CR-лшогообразием, если число dimr x c (Af) не зависит от хШ. Будем пред144
полагать, что М — порождающее многообразие, т. е. в любой
координатной_окрестности QczY имеем
М№ = {хШ : Р1 (х) = ... =pz(х) =0},
где _{pv (х)}—гладкие, вещественнозначные функции со свойством
др\/\др2/\.../\др1фЪ
на М.
Через Ср*\(М, Д) обозначим пространство Дифференциальных
форм типа (/?, q) на М, коэффициенты которых принимают значе­
ния в Е и имеют гладкость класса С(а). Две формы g ц g из
Ср*<*(М, Е) считаются равными, если ) £ЛФ==) £ЛФ Для любой
.
м
• •
м
финитной формы фбС^.^—ДГ, Е*), где £ * ~ расслоение,
двойственное к Е*
-Если формы /6Cof^-i(iW, £) и g*6C0,^(M, £) таковы, что Для
любой финитной формы ФеС^—г—^К, £*) имеем \^Лф-=
= ( — Ч ) ^ \ / л ^ Ф , то по определению считаем, что ~dxf^g, где
А
дх —касательный оператор Коши—Римана (см. [41], [20])»
Пусть введенная выше комплексная гиперповерхность XczY
пересекается с М в общем положении, т. е.
dlmTcx(MnX) = dlmTZ(M) — l
для любого хШ[)Х. Положим №v)=M[)XiyKВведем в рассмотрение пространство #0,1(iV(v), GL(£))
(0,1)-форма 0 на М с коэффициентами в End£ гладкости С(оо),
удовлетворяющих соотношению
5e+0Ae-=-/v+i5v+1 на м
и рассматриваемых с точностью до калибровки
Q~В~гдВ + B~lQB +0(s^)
на М.
Каждый элемент из H°'l(N(v\ GL(£)) определяет так назы­
ваемое CR-расслоение ранга п над v-й инфинитезимальнои
окрестностью CR-многообразия
N в М. При этом пространства
когомологий Hk(Niv\ Ев) и Hh(Niv\ End£ e ) определяются соот­
ношениями
(3.5), (3.6), j которых формы имеют гладкость
класса С(оо), а оператор д заменен на дх.
В отличие
от комплексных многообразий Xiv) на CR-много{v)
образиях N аналог леммы Гротендика — Дольбо, вообще го­
воря, не имеет места (эффект Г. Леви). Кроме того, пространст­
ва когомологий; Hh(N{v\ Ее) не всегда даже отделимы (см.
[20], [41]).
На основе предложения 3.1 доказывается следующий вари­
ант известного результата Гриффитса [39] о продолжении рас­
слоений и d-когомологий с X на У.
10—7894
Щ
П р е д л о ж е н и е 3.2 ([8]). Для
того, чтобы форма
BbH°'l(X<v\ GL(-E)) была калибровочно эквивалентна на X(v)
форме, продолжимой до элемента ~Q£H°>l(Xiv n , GL(E)) необ­
ходимо и достаточно, чтобы форма-препятствие Iv+i в правой
части
(3.4)
представляла
нулевой
элемент
[h+i] в
Н2(Х, EndEe®s-v-1).
Если [/v+i]==0, то на множестве таких
продолжений 6* эффективно и транзитивно действует группа
Hl(X,
EndE6®s~v~l).
Аналогичный результат о продолжении справедлив и для
CR-расслоений.
Приведем теперь простейшие и полезные для дальнейшего
примеры комплексных многообразий, расслоений над ними и
некоторые вычисления их (9-когомологий.
Расслоение 0(k, I) над СРПХСРП. Пусть £°, ..., ^-—коор­
динаты в C n+1 или, иначе, однородные координаты в СРп. По­
ложим Х,-={Е;6СРП : &Ф0}. Через 0(1) обозначим линейное
расслоение над СРП, задаваемое функциями перехода (tkIV)1
на Xjf}Xh. Сечениями расслоения 0(1) являются функции на
Си+1 переменных g°, ..., £п однородности /. Пусть 0(k, l) обоз­
начает одномерное расслоение над СРпУ(СРп, сечения которо­
го— функции однородности (k, l) на C n + 1 X- n + 1 В случае, когда ХаСРпХСРп
и Е — голоморфное векторное
расслоение над X, положим E(k, I) =E®0(k, l).
( 3 - к о г о м о л о г и и СРп и к в а д р и к и в СРП. Пусть
2? — квадрики в СРп, имеющая в однородных координатах
следующий вид
&={гвСРп: (2Р)*+(г1)2+...+(*п)*=0}.
(3.7)
В важном частном случае / г = 3 имеем изоморфизм S>^CPlYK
ХСР 1 , который осуществляется формулами
2o=^o+s^i^i==_f(5oT]o^iT1i))
(3.8)
8
22 = t ( £ y + E V ) . Z = - . ( ^ T I 4 V ) .
где (£°, g1, Y]°, r\l)—однородные координаты в CPl*XCPl.
Нам потребуются классические факты о (9-когомологиях СРп
и квадрики 9? в СРП, которые мы сформулируем в виде сле­
дующего предложения (см. подробности, например, в [12],
[40], [67]).
П р е д л о ж е н и е 3.3. /Серр/. Для d-когомологий СРП и
квадрики 3? в СРп с коэффициентами в 0(1) имеем
# * ( C P V t f ( / ) ) = 0 , £=—1,2, . . . , л - 1 ; / = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . 1
Нп(СРп, 0(1))=[НЦСРп,
0(-1-п-\)]*
) (3'9)
Hk(S?,0(l))=*O, £ = 1 , 2 , . . . , л - 2 ; / = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . 1
Я * - 1 ^ - 0(1))=\№(&,
0( — 1-ц+Щ*
)(ЗЛ0)
146
где Н°(СРпу 0(1)) —пространство полиномов от 2°,..., zn од­
нородности /, №(2, 0(1)) —пространство тех же полиномов,
суженное на S'.
Для квадрики SE в СР3 ввиду изоморфизма ^---ХЯХС-Р 1
возможны также d-когомологии с коэффициентами в расслое­
нии 0(k, I). Если /г = /, то расслоение 0(1, I) на 2 является в
силу (3.8) ограничением расслоения О(I) из СР3-и мы можем
непосредственно воспользоваться (3.10). Если же кф1, то расслоение 0(k, l) не продолжается до расслоения на СР3. В этом
случае для вычисления когомологий 2 можно воспользовать­
ся формулой Кюннета для когомологий прямого произведения
(см. [40], [67]) и (3.9) для /г=1.
Нам потребуются, в частности, для 2aCPz
следующие ра­
венства:
Н1{&, 0(1, / ) ) = 0 , Н1(&, 0(-1,
0))=0
(3.11)
1
№(2?, 0 4 — 2 , - 1 ) ) = 0 , Я ^ , С(—2, 0 ) ) ~ С
НЦ2, 0(1, /))=-0, / > - 1 , Н\2, 0(-% - 2 ) ) - С ,
НЦ2, < ? ( - 1 , 0 ) ) = 0 , НЦ2, <7(—2, 0 ) ) = 0 ,
Я 2 (-г,0(—2,—1))==0(3.12)
1
Равенства Н (2, С^)=0 и Н2(2,__О)=0 означают, к при­
меру, что на 2 разрешимо любое ^-уравнение вида dg==fT
где / — д-замкнутая (0, /+1) — форма с непрерывными коэф­
фициентами / / = 0 , 1/.
Можно указать полезные^явные формулы [12,20] для операто­
ров, решающих уравнение dg = f на 2cCPz
?= (#/)(*)"•_
—-.const
j
/(у
<l-»(i-M«
где ^бС 4 :|г|==1, z2 = 0, ©(S)—йСоЛ^хЛ^Л^Сз. (EdE)-l <о(5) —
голоморфная 3-форма, такая что
(WC)A(Wei©(S))-(o(C).
§ 4. НЕАБЕЛЕВО ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА
В развитие оригинальных работ Пенроуза [57], Уорда [641,
Айзенберга-Ясскина—Грина [49], Виттена [70], Делиня [32], а
также более поздних работ [17], [41], [55] здесь излагается но­
вая более общая и одновременно более конструктивная версия
неабелева преобразования Радона по комплексным прямым в
С4. При ограничении на комплексные нуль-прямые в С4 (с ком­
плексной метрикой (dx)2) это преобразование превращается в
так называемое преобразование Радона-Пенроуза, перево­
дящее калибровочные поля на пространстве Минковского Ж
или Евклида & в ^-калибровочные поля (CR-расслоения) на
пространстве комплексных световых прямых, пересекающих
Ж или &. Даны характеризации образа и формулы обращения
для подходящих частичных преобразований Радона-Пенроуза.
Комплексную прямую в С4, проходящую через точку х°£С4
будем задавать уравнением
x=ms+x°,
(4.1)
4
где вектор тбС , тФО фиксирован, a sGC — комплексный па­
раметр.
Прямые вида (4.1), в которых вектора га отличаются умно­
жением на константу, совпадают, поэтому множество комп­
лексных прямых в С4, проходящих через фиксированную точку
х°у образуют трехмерное комплексное многообразие СРХ°
Множество же всех комплексных прямых в С4 образует ком­
плексное многообразие Р размерности 6.
Пусть 2) — выпуклая область в С4 (соответственно, в
4
J? czC4). Рассмотрим уравнение
з
2 % ( ^ + М * ) ) !*(•*»
tfi)=0,
(4.2)
где mGC4\{0}, а^(х) —функции со значениями Ав gl(n, С), голо­
морфные (соответственно, гладкие) по х£3)аС
(соответствен­
но, /? 4 ).
В силу общей теории (см. § 2) существует голоморфная
(соответственно, гладкая) по х&3), гладкая по тбС 4 \{0} функщия \L(X, m) со значениями в GL(n, С), удовлетворяющая (4.2).
При этом \х(х, m)=[i(x, cm) для любого комплексного с-т-0.
Положим
Фу(х, т) = \ьг1{х, m)~r=r- \i(x, т).
(4.3)
По переменной х^2Е) эти функции голоморфны (соответственно,
гладкие). Из (4.2), (4.3) вытекают следующие равенства
дФь(х, т)
дт]
з
•[Фй, Ф;] = 0-
.
(4.4а)
2*V ±-Ф (х т)^0
(4.46)
сФ](х, ст)= Ф 7 (х, т), с^О.
(4.4в)
j=o
148
дф]{хщ т)
дти
0х
к
9
9
Фор му Ф = 2
j—o
ф
/ (х» w ) * и у назовем жабелевым
преобра-
зованием Радона от поля а ( х ) = 2 а Д х ) ^ " .
Если поле 0,(л;) задано в области 3), то форма Ф является
(0,1)-формой на многообразии Р(Ю) всех комплексных пря­
мых в С4, пересекающих j®. Поле а следует рассматривать с
точностью до калибровочного преобразования (1.3), а форму
ф с точностью до д-калибровочного преобразования вида
Ф - Г ^ й + ^ФА,
где А-функция со значениями в GL(/z, С),
уравнению
(4.4г)
удовлетворяющая
з
Т е о р е м а 4.1. Неабелево преобразование Радона вида
(4.2), (4.3) осуществляет взаимно-однозначное соответствие
между голоморфными (соответственно, гладкими) калибровоч­
ными полями а(х) в выпуклой области £DczC4 (соответственно^
i?4) и голоморфными (соответственно, гладкими) по х (0,1)формами ф(х,т) со свойствами (4.3), (4.4).
Формы Ф с такими свойствами задают (см. § 3) топологи­
чески тривиальные голоморфные векторные расслоения ЕФ над
Р(&), аналитически тривиальные на каждом СР*° dP(_5) a j
Комплексную прямую вида (4.1) называют комплексной све­
x
товой прямой, если m2 = j^m)==®Уравнение т2=0 задает в CPj 0
поверхность j?(x°)-=*-—-СЯХСР1 (см. § 3). В афинной части этой поверхности мож­
но ввести координаты Х\ и %2 так, что будут выполнены равен­
ства (ср. (2.11))
mQ(h)=l—b.iX2l
mi{K)^—1(1+^2);
Щ(^) =
- - ( Я ! + М; т а ^ Н . - г ^ - Я з ) .
Множество комплексных световых прямых образует
плексное многообразие L размерности 5.
Рассмотрим далее уравнение
(4.5)
ком­
3
Jdrnj(%)[^
+ aj(x))\i(x,%)^0,
хв&>.
(4-6)
149
Пусть |я(*Д)—решение (4.6) со значениями в GL(п, С), глад­
кое по А,££?, голоморфное по х09). Положим
Ь,(хЛ)~\ГЧхЛ)-ягР(хЛ),
У-1,2.
(4.7)
Из (4.3), (4.7), (4.5) вытекают равенства
6- -= — М>0 + ~M>i - Ф2 + Щ,
02= — ^Фо + ^ Ф , — Ф2 + ^Ф3-
( 4 - 7 ')
Из (4.6), (4.7) вытекают следующие неравенства
- j U f o (*.-•)—-4--е,(.*.М+1в1.е*]--=0,
(4.8а)
3
0;.(-х, Я ) — = о ( ^ ^ » ) при Ifyl-^oo.
(4.8в)
Форму 0 = 0 1 (хД)<^ 1 +02(*, Я)й^2 назовем
преобразова­
нием Радона—Пенроуза калибровочного- поля а(х). Форма 0
является (ОД)-формой на многообразии L(2D) всех комплекс­
ных световых прямых, пересекающих область 5 с С 4 . Её сле­
дует рассматривать с точностью до д-калибровочного преобра­
зования
е - й - ^ А + А^еА,
где
(4.8г)
(m,(X)—\h==0.
Имеет место следующий (уточненный) вариант результата
Уорда—Виттеена—Айзенберг—Ясскина—Грина (ср. ниже тео­
рему 4.4).
Т е о р е м а 4.2. Пусть _5 — выпуклая область в С4. Преоб­
разование Радона—Пенроуза осуществляет взаимно-однознач­
ное соответствие между голоморфными калибровочными по­
лями а(х),х§@) и голоморфными по х (0,1)-формами 0(х,Я) со
свойствами (4.7), (4.8).
Для калибровочных полей над вещественным
простран­
ством Евклида &={z£CA: l m z = 0 } или Минкоеского
Л—
={гбС 4 : Im z 0 =0, Re 2^=0, ]= 1, 2, 3} возможно дальнейшее
уточнение теоремы 4.2.
Т е о р е м а 4.21. Пусть Ю — выпуклая область в <S или Л.
Тогда преобразование Радона—Пенроуза вида (4.6), (4.7)
устанавливает
взаимооднозначное
соответствие
между
150
С(00)
-гладкими калибровочными полями
в
области 3) и
С(оо)-гладкими по xQSD (0,1)-формами 9(хД) со свойствами
(4.7), (4.8).
Формы 6 со свойствами (4.7), (4.8) задают (см. § 3) топо­
логически тривиальные n-мерные голоморфные векторные рас­
слоения (или CR-расслоения) над L(£D), которые аналитиче­
ски тривиальны на каждой квадрике
2?{x)aL{g)).
Ниже будет показано (теорема 4.4), что такие формы 8 за­
дают все голоморфные векторные расслоения с описанными
свойствами.
Неожиданно оказалось, что аналогичные (теоремам 4.1 и
4.2) результаты имеют место также для некоторых специаль­
ных 4-мерных подмногообразий в многообразии всех комплекс­
ных световых прямых.
Во-первых, можно ограничиться комплексными световыми
прямыми, выделяемыми в каждой двумерной квадрике 3? (х)
уравнением
{тЬ2(х) : m2m3=i(mo+im{)2}^&'(x).
(4.91)
1
Уравнение (4.9 ) задает особый тор, полученный из сферы Риманв
отождествлением двух различных точе#, На этом торе можно
ввести параметр л по формулам (4.5), где Х1==.Х + ^, Х 2 =^ — —.
Значения параметра А,, равные нулю и бесконечности, соот­
ветствуют одной и той же точке на этом торе.
Во-вторых, можно также рассматривать комплексные све­
товые прямые, задаваемые равенством
{ть2{х)\ (m0+iml)m2^ml}=&"(x).
(4.9й)
й
Поверхность (4.9 ) также является особым тором. Этот тор
получается из сферы Римана
введением
двойной
точки
(«ущипыванием») в точке оо. На поверхности (4.911) можно
ввести
параметр Я по формулам
(4.5), где К1=№+К
X2==z№—X. Значение параметра Х=оо соответствует
особой
(двойной) точке на этом торе.
Комплексные многообразия световых прямых вида (4.9)
или (4.9 й ), пересекающих область 2>аС\ обозначим, соот­
ветственно, через U(@)) и L" (;£>). Эти многообразия имеют
комплексную размерность 4.
Рассмотрим
частичное преобразование
Радона—Пенроуза по световым прямым вида (4.91) или (4.911). Исполь­
зуя решение уравнения (4.6), в котором сделаны подстановки
(4.91) или (4.9 й ), положим
ИГ1 ~= !*(•*, Ь ) « в ' ( * Д ) .
(4Л01)
дк
где \i(x, 0)=-{mu}(JC, -о) в случае (4.91),
^-4ji(x,x)—e'/(x,^
<4Л0">
где №~ii(x,%)\^oo^%2^~v(x,X)\x~oo^0
в
случае
(4.911).
Формы Q'dX и Q"d{% определены с точностью до подходящей д-калибровки.
В случае (4.91) верна формула
» ( i - i ) M * > M U ^2W)+(i+i-)e2(^^i(M, ММ). (4.И1)
В случае (4.911) верна формула
6"<*. Я)=(1 +2X)6i (х, %г (%),
М%))-(I -2АГ)е 2 (*, М М . ММ)-
(4Л 1")
Из (4.6), (4.10) вытекают равенства
(т(1)-§-х)в'(хЛ)-0,
в'^.М-О^)
в случае (4.9!) и
Н ^ й - К ^ м - 0 * ^(*vx>~o(7rir)
(4.121)
(4Л21Г)
в случае (4.9 й ).
Т е о р е м а 4.3. Частичное преобразование Радона—Пенроуза вида (4.6), (4.101)
(соответственно,
(4.10 й ))
осу*
ществляет взаимно-однозначное соответствие
между
голо*
морфными
калибровочными полями а(х) в выпуклой области
_5с=С4 и голоморфными по х (0, 1)-формами
Q{(x,X)dl (соответственно, tf'(x9K)dk) со свойствами (4.101),
(4Л21) (соответственцо, (4.10ц), (4.1211)). Такие формы e'db
(соответств^лно, 6"*М), определенные с точностью до <?-калибровкинаходятся во взаимно-однозначно соответствии с топологически
тривиальными/г-мерными голоморфными векторными расслоениями
£V (соответственно, £ » над V (£>) (соответственно, L" (2))),
аналитически тривиальными на каждом' вырожденном
торе
2'{х) (соответственно, &"(х)).
Для обращения частичного преобразования
Радона—Пе;нроуза, например, в случае
(4.911),
представим
функцию
|х(х, X) в окрестности точки Я=оо в виде
И х Д ) - г н ( 1 + | - ^ + ^ |
Представим калибровочное поле а(х) в виде
a(x) = [dg(x))g-l(*)+g(x)b{x)g-Hx).
Тогда для поля b(x) =Zbv(x)dxv в силу (4.6),
имеем соотношение
152
(4.13),
(4.13)
(4.14)
(4.14)
b0(jc) + ibx(x)^0;
b2(x)=l
• (д^г + ^ 1 3 ^ ) м И
* 0 (*) — * M * ) « ( - j 0 + i ^
Отметим, что свойство (4.3) в теореме 4.1 (тривиальность
расслоения Еф на каждом СРХ3) и свойство (4.7) в теореме 4.2/
(тривиальность расслоения EQ на каждой квадрике 9? (х)) яв­
ляются при п = 1 и для малых по норме форм Ф и 0 при лю­
бом п автоматическими следствиями (нелинейных) уравнений
Коши—Римана (4.4а), (4.8а) и классических, фактов о триви­
альности d-когомологий Н1(СРЪ,С?) и Я 1 {9?>0) (см. предло­
жение 3.3).
В теореме (4.3) (нелинейные) дифференциальные уравнения
Коши—Римана на формы Q'dX и tf'dX отсутствуют. Свойства же,
(4.101) и (4.1011) о тривиальности расслоений £V и £V на вырож­
денных торах 9?'(х) и &"(х) автоматически не выполняются
(и потому приобретают
большую
значимость), поскольку
имеют место равенства (см. [40]): Я 1 (<-?'• 0)&Н1(2"
Д)^С^-0
Для дальнейшего важно переизложить введенное выше пре­
образование Радона—Пенрюуза на языке теории
твисторов
Пенроуза [59] и в спинорных координатах.
Введем основные понятия теории твисторов. Пусть С4+ и С ^ , два . взаимно двойственные 4-мерные комплексные пространства
(твисторы и дуальные твиспгоры) с координатами £=-=(£л- Ея'Х
и <П==(т1л, цв') и с билинейной формой <'С*л> = £д,-1д-— £А'1\А'Г
где А « 0 , 1; 5 / = 0', Г; £Аг\А=*&%+£%Координаты в С*.
и С_ будем также рассматривать как однородные координаты
соответствующих точек в трехмерных проективных пространствах
СР% и С Р 1 . Рассмотрим далее пятимерную комплексную гипер­
поверхность
I = {(£, Tl)eCP 3 +XCPi: < C-Ti > = 0 } .
(4.16>
Если £ интерпретировать, как точку, а т), соответственно, как
гиперповерхность в СР3, то соотношение <£*т.>=0 означает,
что £<-% Положим L(CM0)={(t),y\)eL:t)A¥-Oy
г\в/Ф0}.
Точки
L(CM0) параметризуют комплексные нуль—прямые в ком­
плексном пространстве Минковского СМ0-=*С4 со спинорными
координатами х={хАв*} и метрикой det\dxABi |. Именно, фик­
сированной точке (£, T))6L(CM0) соответствует комплексная
нуль-прямая в СМ о, определяемая уравнениями
GB'-JCAB'C A
(4.17*)ЧА-ХАВ>ЧВ'.
(4.17»}
153-
Порознь уравнения (4Л71) и (4.17й) задают нуль-плоскости в
пространстве СМ0, называемые, соответственно, а и fi-плоскоети. Обратно, для фиксированной точки х£СМ0
уравнения
(4.171) и (4.1711), рассматриваемые, как уравнения на £ и на г],
порождают два взаимно-ортогональных двумерных
подпро­
странства в С+4 и С-4, которые определяют на L компактное
подмногообразие
^(x)=^+(x)X—?-W^CP1XCP1,
где&±(х)с:СР±*.
Приведенная конструкция Пенроуза, 1967 г. (см. [59],)
позволяет определить компактифицированное (и комплексыфицированное) пространство Минковского СМ, как грассманово многообразие всех
двумерных
подпространств в С+4
4
(или С_ ). Соответствующие тавтологические двумерные рас­
слоения над СМ, обозначаемые через S±, называются спинорными расслоениями. Расслоение S+®S~ канонически изо­
морфно кокасательному расслоению к СМ.
В силу (4.17) над СМ0 имеется естественная тривиализация этих расслоений. При этом
£А — координаты
в
слое
в/
S+(x), а г\ —координаты в слое S_(x), x£CM0. Метрики же
det\dxAB>\ есть фиксированное сечение
расслоения Д 2 -$+®
2
2
зиа]
®Л ^~, где Л —
к внешней (второй) степени.
Для области 3)с СМ положим
L(3)) = U £?(*); L±{3)) = U
2±(х\
Многообразие L(3)) состоит из всех комплексных
нуль—пря­
мых, пересекающих область 3). Многообразия L±(SD) состоят,
соответственно, из всех двумерных а (или р)—нуль-плоско­
стей пересекающих область 3).
Рассмотрим действительные пространства Минковского Жо,
состоящие из тех точек хвСМ0, для которых матрица
хАвг
эрмитова, и Евклида |Го, состоящее из тех точек хбСМ0, для
которых матрица хАВ i — ортогональная вида (1.12).
Пусть Ж—компактификация ЛС0, (§ — компактификация &о
в СМ. Тогда, соответствующие многообразия L(<%), L±(&) и
Ь(Ж),Ь±(Ж)
являются CR-подмногообразиями в комплексных
многообразиях L или СР ± 3 вида:
i(jr)-{(E,4)ei:C6i:+(^). чем*»Через F{£D) обозначим
154
(флаговое)
подмногообразие
в
L(_5)X~9, задаваемое уравнениями
(4.171), г(4.1711)
или,
геометрически,
соотношениями инцидентности3 1&хс:% где ? —
3
точка СР+ , х— проективная прямая в СР+ ,
ц—гиперпло­
скость в СР+3, #G^5, (^, T])GL(_5). Имеем естественное двой­
ное расслоение
F(D)
Ф)
л
Используя это расслоение и спинорные координаты, опре­
делим заново преобразование Радона—Пенроуза связностей V
в фиксированном расслоении над 3) в голоморфные векторные
расслоения над L(SD).
Будем предполагать теперь, что Й) — такая область в СМ,
что любое непустое пересечение области 3) с нуль-прямой стя­
гиваемо.
Для голоморфной 1-формы a^a,AA'dxAA\
задающей связ­
ность в тривиальном /г-мерном расслоении Е над 3), рассмотрим
поднятие я*а этой формы на F(2D). Слои расслоения
jti : F{£D)-^L{3)) задаются в спинорных координатах уравне­
ниями
Поэтому, оператор
^-^V'-JF
АА'
(4.18)
о х
есть в точности оператор дифференцирования вдоль слоев я-...
В обычных координатах этот оператор появился выше, как
т{К)-~^ . Ввиду стягиваемости слоев ati существует гладкое
сечение слоения щ над L(2)). Поэтому, мы можем на F(2>)
так решить уравнение относительно jr.
(дг\1)\Г1 = $в1\в'авв',
(4Л9)
что \л является
гладкой
функцией
со
значениями
в
GL(n, С), голоморфной вдоль слоев пи Рассмотрим теперь на
F{S>) (0,1)-форму вида
0*-=(х-^р (ср. (4.17)).
(4.20)
1
Ввиду (4.17 ) дифференциалы в форме 9* зависят только от
(£,т|) Поэтому что-бы форма 0* была поднятием я\Ч некото­
рой формы 6 на Ь{Й>)9 достаточно
проверить
равенство
Й1в*=-0 (ср. (4.86)). Имеем .
_
155
...Построенная форма. 8 на Х(™5) в силу (4.20) удовлетворяет
нелинейному уравнению Коши—Римана. При этом форма 6
определяется по связности а не однозначно (см. (4.19), (4.20)),
а с точностью до д-калибровки (3.1). В (4.8) фиксирована од­
на из калибровок.
__
Мы построили таким образом <?-связность в топологически
тривиальном я-мерном расслоении над Ь(3)), которая (см. § 3)
определяет голоморфное векторное расслоение EQ=E4 над
L{3)). Соотношение (4.20) означает, что расслоение Е6 ана­
литически тривиально на всех квадриках S?{x), xGSD. Опреде­
лим теперь обратное преобразование (для простоты) при до­
полнительном предположении, что 3)— область голоморфности
(многообразие Штейна, см. [11]). Пусть 0 — форма д-связности в топологически тривиальном
расслоении
над
L(3)),
удовлетворяющая условию
я;9 = И'"1#1
(4-201)
где 1x
. — гладкая функция со значениями в GL(/vC). Ввиду
стягиваемости слоев яь условие (4.201) вытекает из аналити­
ческой тривиальности расслоения £ е на квадриках 3? (х) и
штейновости 3). Препятствием к опускаемаста
функции \ir
удовлетворяющей (4.201), с F{3>) на Ь(3>) является возмож­
ное необращение в нуль функции дх\х. Покажем, что функция
(diii)ix-1 голоморфна на F(3)). Действительно,
Так как слои проекции щ компактны, то из голоморфности и
однородности первой степени по S и . функции (дг\1)[Г1 вытекает
равенство (4.19), где CLA А' — голоморфные функции от х£3). При
заданной д-связности 0 голоморфная форма u=aAA'dxAA'
опре­
деляется на 3) этой конструкцией лишь с точностью до ка­
либровки (1.3). Таким
образом,
форма
а
определяет.
GL(n, С) —связность в тривиальном n-мерном расслоении Е
над 3). Таким образом, мы получили следующий геометриче­
ский вариант теоремы 4.2.
Т е о р е м а 4.4. ([49], [64], [70]). Пусть пересечения обла­
сти 3) со всеми нуль-прямыми в СМ
стягиваемы.
Тогда,
преобразование Радона—Пенроуза (4.19), (4.20) устанавли­
вает взаимно-однозначное соответствие между множеством го­
ломорфных связностей У в /г-мерном тривиальном расслоении £
над 3) и множеством всех /г-мерных топологически тривиаль­
ных голоморфных векторных расслоений Е^ над Ь(3)), кото­
рые еще и аналитически тривиальны на всех квадриках 2*(х),
x£2D.
I
Сформулируем уточнение [17] теоремы 4.4 для полей над
вещественным пространством Миншвского или Евклида.
156
Т е о р е м а 4.41. Пусть пересечения области SDaJC со все­
ми световыми прямыми связны или пусть Фа&. Тогда преоб­
разование Радона—Пенроуза (4.19), (4.20) устанавливает вза­
имно-однозначное соответствие между множеством
гладких
связностей V в /i-мерном тривиальном расслоении Е над &) и
множеством всех /г-мерных топологически тривиальных
CRрасслоений Ev над CR-многообразием L(^))czCP + 3 XCP- 3 , ко­
торые еще и аналитически тривиальны на всех квадриках
2(х),хЬ2£>.
Аналогичные результаты справедливы и Для частичных преоб
разовамий Радона— Пенроуза, когда многообразие C P + x C P i
заменено на многообразия вида (см. (3.8), (4.91), (4.911))
{(£, T i ) : ( ^ n 0 4 " W ' ) ( - W ' ^ W l - ( 2 S 4 ' J 2 } - =
= (CP+XCPL)'
(4.211)
ит
{(£, T 1 ):2i£V4^4-W')==(^ 0 '--- W) 2 ) =
X(CP^XCPl)"
(4.21u)
квадрики SB(x)
замечены ^на вырожденные торы 2' (JC)=
= 5* (х) П (СР+ X CPlY
или SB» (JC) =_ i? (JC) П (CP+ X CP3_)",
многообразие L(2>) заменено на многообразие L' (2D)=L(2D)V\
f\{CPlxCPiy
или
L»(SD)^L(S>)(][CPz+XCPlY.
В силу предложения 3.1 (или «определения
пространства
Нол (N{V\QL(E)) из § 3) пространство я-мерных топологически
тривиальных голоморфных (или CR-) расслоений над много­
образием L(SD), аналитически тривиальных
на
квадриках
SB{x), описывается такими (ОД)-формами 0 на L+(£D)XL-(2>)
со значениями в gl(n, С), которые удовлетворяют соотноше­
ниям
д8+вЛв-Л<£-Л>
(4.22)
рассматриваются с точностью дэ калибровки
Q~B-l'dB+B-lQB + 0( < &Ti >)
и д — тривиальны в смысле (4.20) на всех квадриках
х<Щ).
(4.23)
2{х),
•
Пространство таких форм обозначим через Я о л (L (0) (^)),
GL(n, С)).
В дальнейшем нам потребуется следующее дополнительное
свойство расслоений, соответствующих элементам этого про­
странства.Предложение
4.1
([8]).
Для
любой
формы
e£# a l (L(^)),GL(H-, С)) расслоение £ е аналитически триви­
ально не только на квадриках 3?(x),xGS),'m и на их инфинитезимальиых окрестностях 2?a)(x)£\L(£D).
167
Для доказательства этого утверждения достаточно знать,.
множества
продолжений
тривиального расслоения
а)
EQ\S?(X)
С 3?Ф)(Х) на & (х) состоит из одного единственного
(тривиального) продолжения. В силу предложения 3.2 это эк­
вивалентно тому, что действующая на множестве продолже­
ний расслоения Ев\&(х) с ^0)(х)
на S{l)(x){\L(3>),
группа
1
Я [SS (х), iV*®End Е) равна нулю, где iV * — конормальное
расслоение для j?(.r) в L(£D). Последнее утверждение немед­
ленно вытекает из элементарного равенства N*<=*{20{—1,0) ©
©26?(О, — l))/tf(—1, — 1) (см. (3.7), (3.8) и предложения 3.3 с
коэффициентами в расслоениях 0{ — 1, 0), 0(0, — 1),
б(—\у
-1).
что
§ 5 . ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА—ПЕН РОУЗ А
КАК ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ ДАННЫХ РАССЕЯНИЯ
ТИПА ФАДДЕЕВА
Здесь приводится характиризация данных рассеяния типа
Фаддеева [10], [16], [21], [25], [44], [56] для лапласиана в ка­
либровочном поле а на пространстве Евклида S'Q. На этой
основе доказывается, что эти данные рассеяния переходят в
подходящем пределе в преобразование Радона—Пенроуза ка­
либровочного поля а, заданного на &%. Аналогичные результа­
ты имеют место и для даламбертиана в калибровочном поле
на пространстве Минковекого М^
Итак, рассмотрим на R4 уравнение
з
2(^Г+«у)Ч + ^ - 0 ,
(5.1 >
где a5(x),v(x)
и ф(дг)—гладкие функции со значениями в
gl(n, С), причем а5(х) и v(x) достаточно быстро убывают при
Для любого
3
7=0
определим решения тф(х, &) уравнения (5.1) из следующего ин­
тегрального уравнения
q(x, k) = eik4^
G(x~y,k)(2a(y)vy(y, k) +
+(a2(y)-\-V-a(y)+v(y))^(y,k))dy, y&R\
где
1)8
(5-2>
Функция Грина G(x, k) для оператора A+k2 введена Л. Л. Фаддеевым в 1965 г.
Функция я|?(х, k), вообще говоря, экспоненциально растет»
если |х|—J-СЮ или ikx
|&|->оо. Поэтому, удобно ввести функцию
ф(#, k) —ty(x, k)e~ , которая удовлетворяет, в виду (5.1) сле­
дующему уравнению
Дф + 2£(£.уф) = А(ср),
(5.1 У
2
где -А(ф)= — [2a\74> + {2iak4- 4-a+a + v)<p].
Следующую функцию H(k,p) со значениями в gl(n, С)
естественно назвать обобщенными данными рассеяния для
уравнения (5.1)
H(k,p)
= [—\
f e*M(<p)(jc)dje,
(5.3)
где keC4: i%2 = 0, p£R\
Данные рассеяния такого типа для классического потенци­
ального уравнения Шредингера, когда а = 0 , введены Л. Д. Фаддеевым [16].
Формулы (5.2), (5.3) нуждаются в уточнении при &=0.
Можно показать, например, что существует предел
lim Hlk,
p)=H(0,p).
Обозначим через 5 множество исключительных точек &€С4
(имеющее меру нуль на многообразии & 2 =0), для которых
теряет однозначную разрешимость уравнение (5.2). Можно
показать (см. [10], [44]), что при фиксированных p£R4, x£R4 на
трехмерном комплексном многообразии {z6C4: /г 2 =0, k$S} вы­
полнены следующие ^-уравнения по k на данные рассеяния
Я(k, р) и на функцию ^{х, k)
d<f(x, &)=
j (t-dk)el**v(x,
да_2я
k + QH{k, - £ ) 6 ( £ 2 + 2 « ) d ; ,
(5.4)
Ън{к,р)*=
„—2л
J (^dk)H(k,
- £ ) # ( * + £, p-Hr£)-5(£2+2A£)flfS,
(5.5}
где
2tt(^)6(^+2£Q = a p ^ g ,
т» е. интегралы в правой части имеют следующий смысл.
f /(E)fi(P + 2A£)d£«
tgV
J
|-/^Д)Г/(£)|^зЛ^4|,
г2+2Л':=о
159»
J(k, S) —якобиан отображений
(So, d, & b M £ 2 + 2 £ R e A , 2£Irn£, & Ь)
^-уравнения подобного типа на обобщенные данные рассея­
ния для классического потенциального оператора Шредингера
появились впервые в работах Биллса, Койфмана [25] и Нахмана, Абловица [21].
Уравнения (5.4), (5.5) позволяют (см. [10], [44]) выразить
обобщенные данные рассеяния H(k, /?), суженные на много­
образия
Q={(Jfe, p)eC4XR4: k2=0, 2kp=p2}
(5.6)
через «физические» данные рассеяния (амплитуда рассеяния
и т. п.). Пользуясь этим, можно показать, что при замене в
(5.1) полей а(х) и v(x) на калибровочно эквивалентные поля
a'=g-lag+g~ldg
и v'=g~lvg,
где g — гладкая, быстро убы­
вающая функция со значениями в GL(n, С), соответствующие
данные рассеяния H(k, p) на многообразии Q не меняются.
Обозначим через C^(R4) пространство гладких функций/(х)
на /?4 со свойством: любая производная порядка | а ' | < : а допус­
кает оценку вида \Da f (х)\=0((\ +\х\)~в). Через C(^(Q) обоз­
начим пространство гладких функций Н(k, р) на Q со свойствомлюбая производная порядка | а ' | < а по (к, р)&1 допускает оцен­
ку вида
\D*'H{k,
р)\=ОЦ1+\р\)-*).
Следующее непростое утверждение, доказываемое методами
[10], [44], дает характеризацию данных рассеяния для уравне­
ния (5.1) с гладкими, быстро убывающими полями а(х) и v(x).
Т е о р е м а 5.1. Пусть поля а(х) и v(x) со значениями в
gl(/z, С) принадлежат С^)(/? 4 ) и имеют достаточно малую норму
в каком-либо пространстве С^\
а > 7 , В>5.
Тогда исключите<льное множество 5 для уравнения (5.2) пусто и соответствую­
щие данные рассеяния Я ( £ , р) удовлетворяют уравнением (5.5)
на Q, причем функция (1 +\k \)"] H(k, p) принадлежит C^-(Q).
Обратно, если функция (1 4-| k \)~lH{k, p)£C£){Q) принимает зна­
чения в gl(n, С) и удовлетворяет (5.5), то существуют поля
а(х) и v(x) со значениями в g\(n, С) и класса С (R4) (един­
ственные с точностью до калибровки), для которых #(&, р) —
данные рассеяния соответствующего уравнения (5.1). При этом
поле а(х) калибровочно тривиально тогда и только тогда, ког­
да функция H(k, p) ограничена на Q.
• *
Т е о р е м а 5.1 развивает результаты по характеризации
данных рассеяния для классического потенциального оператора
Шредингера, полученные в [10], [16], [25].
160
Из теоремы 5.1 вытекает, что для гладких быстро убываю­
щих полей данные рассеяния имеют при фиксированном р не
более, чем линейный рост по fc->oo, k2—Q.
При фиксированных р и т таких, что т 2 ==0, рт=0, \т\ ==1
и при А-ьоо, так что й2===0, й==т- \k\, имеют место следующие
асимптотические формулы [10], [44]:
Ф ( * , А ) - И * . ^
(5j)
Функции # 0 , #l, (х и ры в (5.7) являются по переменному m
однородными порядков, соответственно, 1, 0, — 1 :
H0(eiam, p)=eiaHo(fn, p); fi(x, eiam)=*\i(x, m) (5.8а)
Hx(eiam, p) = Hl(m, р)\ \хг(х, eiam,) = e~ia\i1(x, m\ (5.86)
Поэтому, эти функции можно считать сечениями соответствую­
щих одномерных расслоений над многообразиями переменных
тбСР 3 , pGR\ x£R*:m? = Q, /тг-р = 0.
Положим
ф(х,т)=—2л
\ (t'dm,)HQ(m,
— £) elt*6 (2£-m) d£ (5.9a)
• \ F ( * , m ) « - - 2 j i J (^tf/rc)*^ [#<,(**. - E ) ( E * ^ ) e ( 2 C - / w ) +
+ # ! (/rc, - S) 6 (25; /и)1 d£
(5.96)
(0, 1)-формы Ф(х, т) и W(x, m) имеют по переменному т од­
нородность порядков, соответственно, 0,—1. Из соотношений
(5.9) непосредственно вытекают равенства
означающие, что формы Ф и ¥ определены на многообразии
комплексных световых прямых L(£fo).
Т е о р е м а 5.2. При &-->~оо(&2=0) уравнения (5.4); (5.5),
(5.1) на данные рассеяния jp(#, &) и # ( й , р) вида (5.7) прев­
ращаются в следующие d-уравнения на функции \х(х, га),
щ(х, т) и формы ф(х, m), W(x, m), m2==0, x€# 4 ,
д\х=\1Ф
(5.10а)
д ^ + Ф ^ —[^Ф—Y
аФ+фдф-=о, ^ - 4 г = °
сЗт+Фл11/+,ГлФ-=0, / n - - ^ - 0
1—7894
(5.106)
(5.11а)
(5.116)
161
(m-^)\L(x9
m)+(tn-a)\i(x,
m)==0
(5.12a)
-2ilx[(m^F)}il]ii-'i==<v.
(5.126)
Уравнения (5.11а) и (5.116) означают, что форма Ф зада­
ет CR-расслоение £ Ф над многообразием L(<^0)> а форма W
задает
элемент
пространства
когомологий
Н1(Ь(ё'о),
ЕпйЕф (—1, —1)) (см. § 6). Уравнение (5.10а) означает, что
расслоение ЕФ тривиально на каждой квадрике 9?(x\czL(&<>).
Уравнение (5.106) означает, что форма W является д+Ф-точной на каждой квадрике $В(х).
Уравнения (5.10а) и (5.12а) получаются из (5.4), (5.1) и
(5.7) непосредственным предельным переходом. Чтобы полу­
чить (5.11а) из (5.5), достаточно сначала заметить, что из (5.5)
и (5.7) вытекает равенство
дН0(т9 р)^—2п
[ (l-dm)HQ{m,
—l)HQ(m,p^l)b(2^m)dl.
се* 4
Это равенство в сочетании с (5.9а) дает (5.11а). Используя
(5.10а) —(5.12а), можно получить также, но более громоздко,
уравнения (5.106) — (5.126).
Уравнения (5.8а) — (5.11а) можно записать в виде (4.3),
(4.4), а уравнение (5.12а) в виде (4.2). Поскольку т2 = 0, то
эти уравнения можно записать также в виде (4.6), (4.7), (4.8).
Таким образом, формула 5.9(a) показывает, как обобщен­
ные данные рассеяния связаны с преобразованием РадонаПенроуза Ф(х, т) поля а(х).
Полезно заметить теперь, что в пределе при &->оо уравне­
ния (5.2), (5.3) принимают следующий (относительно простой)
вид
\i(x, т)=1-+-
\ Ш0(х — у, m)(m-a)\i(y,
m)dy,
(5.13)
где
-.MHil'l-S-,
Но(т,'р)=—(^-\
\ 2i(m'0,))x(x,m)dx.
•*е*
(5.14)
4
Интегральное уравнение (5.13) и формулы (5.9а), (5.14) дают»
в частности, -способ построить конкретное (среди калибровочно
эквивалентных) преобразование Радона-Пенроуза вида (4.7),
(4.8) лля поля а, заданного на пространстве Евклида.
В [10], [44] изложенные в теореме 5.2 формулы были полу­
чены (для скалярного случая / г = 1) с целью решения следую162
щей обратной задачи рассеяния: найти «магнитное» поле а(х)
и потенциал v(x), если известны данные рассеяния Н(k, p) на
многообразии Q.
Оказалось, что для нахождения поля а(х) нужно сделать
обратное неабелево преобразование Радона данных рассеяния
#о(/п, р), которое в данном случае заключается в следующем.
Сначала по формуле (5.9а) вводится форма Ф. Затем решается
d-уравнение (5.10а) на основе линейного интегрального урав­
нения вида
1
|х=т;ч-/г (ix<D2_,
(5-15)
где R1 — оператор,
обращающий д оператор на квадрике
{mGCP3: m2==0} (например, вида (3.13)). Решение интеграль­
ного уравнения(5.15) удовлетворяет в силу (5.11а) также и
дифференциальному ^-уравнению (5.10а). Наконец, искомое
поле а(х) находится из формулы (5.12а).
Для нахождения потенциала v(x) нужно сделать следую­
щее преобразование данных рассеяния # о ( т , р) и #l(m, p).
Сначала по формулам (5.9а), (5.96) вводятся формы Ф и l F.
Затем решается 5+Ф-уравнение (5.106) на основе интеграль­
ного уравнения вида
1Н=&(Чг+1х1Ф-Ф[1.1).
(5.16)
Искомое поле v(x) находится далее по формуле (5.126). Опре­
деленное здесь преобразование W(x, m)^v(x)
играет важную
роль в дальнейшем изложении. Оно будет введено заново в
твисторных и спинорных координатах в § 6 и названо там
преобразованием
Пенроуза
пространства
когомологий
Hl(L(&o), Еп<1Еф(—1, - 1 ) ) .
§ 6. d-КОГОМОЛОГИИ МНОГООБРАЗИЯ КОМПЛЕКСНЫХ
СВЕТОВЫХ ЛУЧЕЙ
Для интерпретаций уравнений Янга—Миллса в терминах урав­
нений Коши—Римана на данные рассеяния оказалась важна
детальная информация о пространствах (9-когомологий. Много­
образия комплексных нульпрямых L{3))7 где 2) — область в*
CAL Вычисление этих пространств когомологий использует вы­
числение их ограничений на квадриках 3?{х), хв<2), идейно вос­
ходящее к Пенроузу [57]. Наше изложение суммирует и в опре­
деленной степени обобщает результаты и конструкции работ
12], [6], [81 [17], [221 [34], [41], [43], [45], [72].
Для области £Z> в СМ имеем
L(g>)={& 4 ) 6 L + ( 2 > ) X L ( a > ) : « . T i > = : 0 } .
Дивизор, соответствующий гиперповерхности
( £-rj ) = 0 Э
C P + X C P i , порождает линейное расслоение 5 = (?(1, 1), сечение
s— < 6-Tf ) которого равно нулю в точности на L(CM),
11*
163»
Для v-ой инфшитезимальной окрестности Z,
Х—_ (—5) положим
^H°'\L{0)(2)1
QL(n,C))(]H0t\L(y)(S)\
(2))с!^(2))Х
GL(/z, С)),
где использованы определения из §§ 3, 4.
Пусть EQ обозначает топологически тривиальное голоморф­
ное расслоение над Liv)(2))9 соответствующее фиксированной
форме QeH0>l(L™(£)), GL(n, С)). Положим EQ(ky /) =
-=£е®С?(А, /). Рассмотрим пространства d-когомологий вида
H>(L(&),EQ(kJ)),
где &<0, / < 0 .
Такие когомологий вычислены для многих компактных мно­
гообразий и для многих голоморфно выпуклых многообразий
(см. [11], [40]).
Однако, многообразие L(2D) не принадлежит к этим хорошо
изученным классам. Используя более общую теорию когомоло­
гий р-выпуклых многообразий Андреотти и Грауэрта (см., на­
пример, [20], можно показать [43], что для псевдовыпуклых 2D
пространства W(L{2D), EQ(k, / ) ) = 0 для /==3, 4, 5.
Если же / = 1, 2, то соответствующие (наиболее важные для
нас) пространства когомологий могут быть не только отличны
от нуля, но даже бесконечномерны.
Метод спектральных последовательностей Лере (см. [11],
{40]) в применении к введенному в § 4 двойному расслоению
/(D)
Ф)
Б
позволяет, тем не менее, легко получить следующее общее ут­
верждение об исчезновении д-когомологий.
П р е д л о ж е н и е 6.1 ([43]). Пусть 2D— псевдовыпуклая об­
ласть в СМ. Тогда Hl(L(3))7 EQ(k, /))==0, если &+/<—3,
£ < 0 , / < 0 , Н*(Ц&), E9(k, / ) ) = 0 , если 0 > * > — 2 , 0 > / > ~ - 2 ,
й+/>—3.
Если k9 l не удовлетворяют условиям предложения 6.1, то
соответствующие пространства когомологий, вообще говоря,
бесконечномерны. Точное их описание можно получить в терми­
нах преобразований типа Радона—Пенроуза.
Пусть далее \хх(^ г\)—гладкая функция на L(2D) со значе­
ниями в GL(n, С), зависящая от параметра х£3), и такая что
^\^0)(х)Г1Чщ
=^
1
^
>6iZX
(6Л)
Существование такой функции \хх вытекает из предложения 4.1.
164
Пусть (0,1)—форма Q представляет элемент простран­
ства Н1(Ь(2)), End ..Бе (—1, —1)). Введем преобразование Пен-
роуза формы вида
ш + (х,гЛ =
{Xl
^
$
^ ^ ' ^ ( М а д М ^ с ,
J
f\(*<g-(x) ~~A
^^l^^1171^40'^'
Эти определения корректны, поскольку векторные поля 2
и
2^Л~~А
(6.2)
ГЛ
-
ГХ
являются касательными к L{£D). Поскольку функции
о)± голоморфны по своим аргументам, они по теореме Лиувилля
фактически зависят только от х&З).
Можно дать другое определение преобразования Пенроуза
для Q (ср. (5.106) и (5.126).
Поднимем Q на F(!D), т. е. рассмотрим форму я*Й. Ввиду
предложения 3.3 на F(S)) имеется такая функция A(JC, £с, цс)
однородности (л—1, — I) по £ с , цс , что
Применяя к обеим частям этого равенства оператор дифферен­
цирования дх вдоль слоев п\ вида (4.18), получим
~д(дгк + [п% <уг])==0.
Отсюда и из (6.1) вытекает, что функция вида
^(^/1)^1=0
(6.2 1 )
голоморфна на F(2)), т. е. зависит только от х§&).
П р е д л о ж е н и е 6.2 ([8]). Преобразование Пенроуза фор­
мы Q*Hl(L{2)), End£ e (—1, —1)) вида (6.2) и (6.21) связаны
соотношениями со + =о)-=—2jtico.
Для форм XF+, и W-y представляющих элементы пространств
H"(L{2)), End£ e (—1, 0)) и Hl(L(@),
End£ e (0, - 1 ) ) , опре­
делим преобразование Пенроуза следующим образом.
Рассмотрим формы n\W±. Ввиду предложения 3.3 на F{3>)
найдутся гладкие матрицы-функции A ± (JC, £с5 Л0') соответственно
однородностей ( - 1 , 0 ) и (0, - 1 ) по £ с , г\с\ такие что п?¥±=*.
= о%± + [я*е, h±\. Отсюда и ив (6Л) вытекает, что функции
)x{dxh±)ycl голоморфны и имеют однородности соответственно
0, 1) и (1, 0) по Сс, rf'. Из теоремы Лиувилля получаем
т
где яр*4' и а|И —-голоморфные функции от х£&) со значениями
8 End£'®5q:®A2--*±- S±-~спинорные расслоения (см, § 3).
Если расслоение Ев соответствует форме
в£Н0Л (La) (<Ю),
GL(n.C)), то имеется другое полезное определение преобразо­
вания Пенроуза форм Ч?±. Чтобы его ввести, отметим, что в си­
лу предложений 3.2 и 6.1 имеет место 'следующее предложение.
П р е д л о ж е н и е 6.3 ([8]). В условиях предложения 6.1
отображение
ЯЧIaЧ^))End£e(-l>0))^Я1(L(^),End£e(-l,0))J
порождаемое ограничением когомологий -с 1(1)(й9) на L(3)),
является изоморфизмом.
Определим далее преобразования Пенроуза форм х¥± в
виде:
^ЧГ+(*, Пс')~
.
J-PxV+lblAFdtc
(6.31)
По теореме Лиувилля эти преобразования зависят только от
П р е д л о ж е н и е 6.4 ([8]). Преобразования Пенроуза ви­
да (6.3) и (6.31) связаны соотношениями
&А'Ч+ (х) = —2пЩА'\ ^ л ^ ( х ) =
—2Щ\
Для форм Ф+ и Ф_, представляющих
элементы пространств
Н1(Цд>),Еп&Еъ(—2,Ъ))
и Hl(L(2)),EndEQ{0,—
2)) поло­
жим
q>+(*. т ) * ' ) Ф _(х,
С с )=
J
J
(1Ф +[ х^Л£ С ^с
(6.4)
^|i" 1 A4 C f dTf C r.
Вновь по теореме Лиувидля эти преобразования
Пенроуза
фактически зависят только от хЪЮ.
Определим теперь преобразования Пенроуза для некоторых
пространств двумерных когомологий на Ь(Ю).
Для формы Г, представляющей элементы
пространства
# 2 ( L ( ^ ) ) , E n d £ 0 ( — 2,— 2)), положим
Ч (х) =
J
№\£lAicdtcAr\c'dric'.
(6.5)
Для форм F+ и F-y представляющих, соответственно, эле­
менты пространств H2(L(;2>),EndE9(— 3, — 1)) и Я 2 (1(_5),
EndjE"e(— 1,—3), положим
166
:
^
+
W - I ^A^^F^l)AZCdScAr\C>d4c,
_ ? ( * ) A'
,
[
(6.6)
^
|
I
•
Нам потребуется также другое определение преобразова­
ний Пенроуза форм F+ и /_. Рассмотрим формы 3ti*-F±. Ввиду предложения 3.3 на F{0) найдутся гладкие (0,1)-формы и±
с. коэффициентами со значениями в End£e(—3,—1) или
End .Ее (—1,—3), такие что
i
;
I
Отсюда и из (6.1) вытекает, что £0,1)-форма
v±~)i{d\U±)yrl,
имеющая однородность (—2,0), д — замкнута на F(3)). Положим
!
/ + ( х , ii)==
I
i
j
|
t
;
.
|
/_(*, С)-
J
J
v+(x, g, л)С с Лс;
(6.61)
* _ ( * . £, Ti)tiC'dtic,.
П р е д л о ж е н и е 6.5 ([8]). Преобразования Пенроуза вида (6.6) и (6.61) связаны соотношениями
&>F+ (х) = —2nif+ {х); &>F- (x) «— 2ш?- (*).
Для форм G+ и G_, представляющих элементы пространств
ИЦЬ {3)), End EQ ( —3, —2))
и Я2 (L ( 0 ) , End £ 0 ( —2, —3)),
положим
**(*)J
GA|i^+iiJ1AScrfEcA4c,d4c
(6.7)
I
(t.ti)6^(Jr)
i
?
1
\
j
g A -(x)-=
J
ги.^.4£1Л£сЛсЛЛс'-*1с'.
Для форм
JeH2(L(3>), E n d E e ( - 3 , 3))
End E 9 ( — 4, —4)) положим
yT(x)=
$$
и
Q6H2(jW
^H-*W'A£cdfcA4c'.*lc-
(6.8)
С-Об.;?..--)
|
J
:
ш^'(x)-
jjj
{mu}iQ|iJ,eA£s4A''nB'ACc-iecAT|c'tit-c'.
(6.9)
({..Ч).н.-?<.*)
Непосредственно из определений (6.2)—(6.9) вытекает, что
функции г|>А, "-И. ->. Ф±, If. /±> gA. g.*'' j l . ш .л/' голоморфны,
t
167
зависят только от переменного хЬЖ> и (при фиксированном \ix)
определяются классами когомологий соответствующих форм
Ф±, Q, Ф ± , Г, F±, G±9 J.
Сформулируем теперь основной результат этого параграфа.
Т е о р е м а 6.1. Пусть 2D—;такая псевдовыпуклая область
в СМ, что её пересечения с комплексными нуль-прямыми стя­
гиваемы. Тогда для фиксированной
формы
Q^H0A{L(2))>
GL(/i, С)) преобразования Пенроуза вида (6.2) —(6.9) устанав­
ливают изоморфизмы:
а) пространств одномерных д-иогомологий L{2D) с коэффи­
циентами
в EndEe( — 1, 0), End£ e (0, —1), End EQ ( — 1 , —1),
End EB ( —2, 0), End Ee (0, —2) соответственно с пространства­
ми 2 голоморфных селений
над 2D расслоений
End E®S~®
®A2S+,
End E®S2 +®A2$~,
End £ ® Л 2 5 + ® Л 2 5 _ , End E®
®A S+y
EndE®A S~.
б) пространств двумерных д-когомоло-гий L(2D) с коэффи­
циентами в End£ e (—2,—2), E n d £ в ( — 3 , - 1 ) , E n d £ e ( — 1,—3), End EQ ( —3, —2), End Ee ( —2, —3)
соответственно с
пространствами голоморфных сечений над
2D расслоений
End E® A2S+<g>A2S-,
End Е® (Д 2 5+) 2 ® (Л 2 5_),
End Е®
®(A25-)2®(A2-S+),
EndE®S+®A2S+®A2S->
End E®S„®
<8>A2S+®A2-S~
в) пространств двумерных d-когомологий L{2D) с коэффициен­
тами в End EQ (— 3,'— 3), End Еь (.— 4, — 4) соответственно
с пространствами тех голоморфных сечений у*' и &%$' над 2D
расслоений EndE^S^S^A2S^A2S_;
EndE®S2{S+)®S\SJ)®
2
2
® A S+<%> A S_, которые удовлетворяют уравнениям
[v£, уЗ']-о
(ело)
[ v £ , ©*/]=<>.
(6Л1>
Если Ж> — область в вещественном пространстве Минковского Ж или Евклида 8\ то имеет место следующий дополнитель­
ный результат.
Т е о р*е м а 6.11 ([41]). Пусть ее/У0-1 ( I (£>), GL{п, С)), где 2D—
произвольная область в $ или любая область в М, пересече­
ния которой со световыми прямыми связны. Тогда утвержде­
ние теоремы 6.1 справедливо при замене д+0-когомологий на
д*+6-когомологии CJR-многообразия L(2D)
и замене голо­
морфных сечений соответствующих расслоений над 2D на
гладкие сечения тех же расслоений. При этом сечения этих
расслоений: i])A/, i|)A, со,
Ф±, Т> - / ± i ёл, gA', Уд', ®АВВ\ вещественно аналитичны на D
тогда и только тогда, когда соответствующие им формы
W±, Q, Ф ± , Г, F-t, C7±, J являются локально (но не глобально)
(д%-гд)—точными на L\2>).
168
Теорема 6.11 показывает, что эффект Г. Леви на_ L(SD)\,
т. е. существование ^-замкнутых, но локально не суточных
форм на L{3)), имеет простую физическую
интерпретацию:
неаналитичность соответствующих полей на 2Е).
Одним из наиболее полезных для нас следствий теоремы 6.1
является следующий критерий d-точности форм, представля­
ющих элементы пространств #2(L(V) (0), End EQ).
П р е д л о ж е н и е 6.6. Пусть бе# о д (L (v) (0),.GL(n, С)). Для
того, чтобы (0,2)-форма Gv, представляющая
эл_емент про­
странства # 2 (L ( v ) (^),End£e),v==2, 3 , . . . , была (д'+6)-точной
на L(v)(£?)), т. е. представляла нулевой элемент, достаточно,
чтобы для любого хЫЯЬ ограничение G v |i? (v) (x) было ( д + 9 ) точными на 2?м(х).
Действительно, в силу предложения 6.1 имеем H2(UX)(2D)*
End EQ) =0. Поэтому, в силу предложения 3.1 форма Gv яв­
ляется (<?+6)-калибровочно
эквивалентной
форме
вида
Г<^т]>2, где форма T\L(£D) представляет элемент простран­
ства H2(L{3))yEndEQ{—
2, — 2)). В силу теоремы 6.1 форма Г
является (5+9)-точной на L{2D) тогда и только тогда, когда
её преобразование Радона—Пенроуза у{х) вида (6.5) равно
нулю на 3). Отсюда вытекает, что для (<Э+0)-точности формы
Gv на L(2)(iS5) достаточно, чтобы для всех хШ> были ( 3 + 9 ) точными ограничения Gv на &{2){х). Пусть далее v = 3 . _Если
форма G3 является (3+0)-точной на L{2)(i29), то ома ( 3 + 8 ) калибровочно эквивалентна на L(3) (3)) форме вида /<£-ri>3,
где форма J\L(3))
представляет
элемент
пространства
# 2 ( L ( ^ ) ^ E n d £ e ( — 3 , —3)). В силу теоремы 6.1 форма / яв­
ляется (3+0)-точной на L(£D) тогда и только тогда, когда её
преобразование Пенроуза вида (6.8) равно нулю. Следователь­
но, для ((9+9)-точности формы G3 на Ub){SD) достаточно, что­
бы были (сН-6)-точными все ограничения Ог на 5£{Ъ) (х), хЪЗ).
§ 7. УРАВНЕНИЯ ЯНГА-МИЛЛСА В ТЕРМИНАХ
ДАННЫХ РАССЕЯНИЯ
На основе § 4 и работ [17], [28], [49], [64], [70]
здесь
дается характеризация через d-уравнения данных рассеяния,
соответствующих нолям Янга—Миллса. Эта
характеризация
используется для получения условий линеаризации уравнения
Янга—Миллса и для получения интегрального уравнения для
нахождения всех локальных решений этого уравнения.
Пусть, как и в § 2, в области (x+w)G£D, (х—ш)6_5 опре­
делены голоморфные (соответственно, гладкие) поля axj(x,w)
и' awj(x,w) со значениями в gl(n, С), удовлетворяющие урав­
нениям совместности (2.2). Пусть > ( # , шД)-голоморфная (со169
ответственно, гладкая) по х, w и гладкая по №СР1У<СР1 функ­
ция со значениями в GL(/z, С), удовлетворяющая линейной си­
стеме (2.11), где £—1,2,... . Развивая построения § 4, введем
в рассмотрение (0,1) -форму вида
e=*6](JC, w,X)dXl+Q2(x,w,
Ь)й%ъ
(7.1)
где Qj(x, w, АО-ц-Ч*. *>, %)д^{х:^Л\
у - 1 , 2. Из (2.1>) и
(7.1) вытекают следующие, обобщающие (4.8), равенства:
Dy9*=.0(w*),
£=1,2;
/ — 0,1,2,3,
|e/(x,^^)| —0(—-i-7),
(7.3)
( 7.4)
где { Д } - операторы, определенные в (2.3). Форму 0 следует
рассматривать с точностью до d-калибровки вида
Q~hrldh+hrm,
(7.5)
где матрица-функция h со значениями в GL(n, С) удовлетво­
ряет уравнениям
Dih=0(wh).
При w=Q форма 6(я, ОД) превращается в данные рассе­
яния
(преобразование
Радона—Пенроуза)
поля а(х) =
8=8
я*/ (х, 0)dxJ". Форму 8, удовлетворяющую (7.2) — (7.5), без
ограничения общности можно считать по ш полиномом А-ой
степени.
Свойства (7.2) — (7.5) означают, в частности, что форма 9
определена на LF>ig>) и «Эб+вЛв^О на Dh)(&), где Uh){SD) —
й-ая инфинитезимальная окрестность многообразия
L(2D)a
czL^{2))y^L-.(S)).
Такие формы находятся во взаимно-одно­
значном соответствии с топологически тривиальными n-мерны­
ми голоморфными векторными расслоениями EQ над много­
образием Dh)(3))y которые еще и аналитически тривиальны на
каждой квадрике 3? (х), х£2) (см. §§ 3, 8).
Теоремы 2.1, 2.2, 4.2 приводят к следующей интерпретации
уравнений Янга—Миллса в терминах данных рассеяния, раз­
вивающей результаты рбот [70], [49], [17], [28].
Т е о р е м а 7.1. Пусть SD — выпуклая область в С4 (соот­
ветственно, /?4с=С4). Тогда справедливы следующие утвержде­
ния:
а) Данные рассеяния 8(хД) от произвольного голоморф­
ного (соответственно, гладкого) поля а(х), xQS)
допускают
продолжение до формы &(x,w,h) вида (7.1)-(7.5), где &=2.
б) Для того, чтобы форма Q(x,h)yxG3),№2? соответствова­
ла голоморфному (соответственно, гладкому) полю а (х), x&2D7
удовлетворяющему вакуумному
уравнению
Янга-Миллса
170
(1.11), необходимо и достаточно-, чтобы она допускала продол­
жения до формы Q(x,w,K) вида (7.1) —(7.5), где &=3.
в) Для того, чтобы форма 6 (я, А,) отвечала голоморфному
(соответственно, гладкому) полю а(х), xG3),№3?9 удовлетво­
ряющему уравнениям (1.11) и (2.8) (или 2.81)), необходимо
и достаточно, чтобы она допускала продолжение до
формы
Q(x,w,k) вида (7.1) — (7.5), где /г=4 (или А>5).
Итак, чтобы предъявлять решения уравнения Янга—Миллса с нулевым током (1.11), достаточно предъявлять решения
6(я, ад,Я) системы (7.2) — (7.4), где й=3. Взяв от такой фор­
мы при w = 0 обратное преобразование Радона—Пенроуза, мы
получим решения уравнения (Г11).
Укажем теперь общий метод получения всех локальных ре­
шений системы (7.2) —(7.4) "при й=-=3, обобщающий на данные
рассеяния вида (7.1) — (7.4) известный в математической фи­
зике метод теории возмущений.
Введем пространства Съл(2)тУ,3?)у
состоящие из таких
(О, #)-форм g на квадрике J^-^Ci^XCP 1 , которые голоморфны
по х§2), полиномиальны &-ой степени по w и имеют конечную
норму вида
Пусть {£) ,•}=/)—дифференциальные операторы
вида (2.3),
зависящие от параметра Я= (Я1Д 2 )^СР 1 Х-Р 1 . Пусть 3)л обо­
значает е-окрестность области ЮаС4.
П р е д л о ж е н и е 7.1. Пусть ЗЬ—ограниченная
выпуклая
область .®с:С 4 . Для любого &=1, 2, 3 , . . . и любого е > 0 су­
ществует непрерывный (интегральный) оператор
со следующими свойствами: для любой
C o ^ f ^ X i ? ) вида g==o>/, где Df=*0(wk\
где DRg
= 0(wk)
и \\R\\ =
формы g^ из
имеем g=*dRg,
0(B~2).
Интегральный
оператор R, обладающий
необходимыми
свойствами, может быть выписан в явном виде. Пусть RK R2—
операторы вида (3.13), обращающие ^-оператор на функциях
и (ОД)-формах на квадрике S. Пусть G — оператор, обраща­
ющий дифференциальный оператор D вида (2.3), a G — под­
ходящий оператор, обращающий дифференциальный оператор
D вида (2.4). Тогда для формы geCo^i:^)^, _?) можем поло­
жить
£>g==s^g~~-dQ(RlDR2g~~GDRlDR2g).
Условие g = dj\ где D / = 0 ( „ A ) , позволяет при подходящем
выборе б получить условие совместности
DWDRtg-GDRWRtg^Oiw*)
171
одновременно с условием dQDRlDR2g=*0,
где х,+^6~9,
x-~w£2), %&S?. Отсюда вытекает утверждаемое в предложении
7.1 равенство DJRg=0(wk).
Равенство g = dJRg и оценка
jj /? || == 0(в~2) вытекают непосредственно из определения оператора
/? и свойств, участвующих в определении операторов R1, i?2»
D, Z>, G, G.
Рассмотрим теперь линеаризованную систему (7.2) — (7.4)
при &^3. Решение такой системы обозначим через
е° = 6?(х, w, l)d%x+Ql(x,w,
%)dl2Форма 6° удовлетворяет уравнениям (7.3), (7.4) при
вместо (7.2), линейному уравнению
^ £ _ _1——0.
k^3 и»
(7.6)
Свойства (7.3), (7.4), (7.6) означают, в частности, что фор­
ма 8°, определена на L^{£D) и д6°=0 на Dh)(3)).
В силу теоремы 7.1 каждая скалярная клетка такой мат­
ричной формы 6° является преобразованием
Радона—Пенроуза 4 (голоморфного) решения системы Максвелла в области
ZDczC (с нулевым током).
Следующий результат позволяет, стартуя с решения ли­
неаризованной системы (7.3), (7.4), (7.6), с помощью подхо­
дящего интегрального уравнения найти все достаточно малые
по норме решения уравнения Янга—Миллса в фиксированной
выпуклой области й)с:С4.
Т е о р е м а 7.2. Пусть 3) — ограниченная выпуклая область
в С4. Для любого е > 0 и для любой формы 60£C0>i(-5e(&\ %) с
достаточно малой нормой и со свойствами (7.3),' (7.4), (7.6),
где хб£>е, £.3*3, интегральное уравнение вида
е=е°+Я(еле)
(7.7)
имеет (и притом единственное) решение 6 с достаточно малой
нормой в пространстве CQA(3){h\ 3£). При этом форма 6 обла­
дает свойствами (7.2) — (7.4) при k=3; т. е. в силу теоремы 7.1
(и предложения 3.3) 8 является преобразованием Радона —
Пенроуза голоморфного поля а(х), х£2), удовлетворяющего
уравнению Янга—Миллса.
З а м е ч а н и е . Интегральное уравнение (7.7) может быть
использовано также для решения задачи Коши для уравнения
Янга—Миллса на вещественном пространстве
Минковского.
Мы предполагаем, что на этом пути удастся продвинуть ин­
тересные исследования последних лет о существовании
гло­
бальных решений задачи Коши для уравнений Янга—Миллса
[61], [30].
Первое утверждение теоремы 7.2 доказывается с использо­
ванием оценки нормы оператора i?, данного в предложении 7.1.
172
При этом решение интегрального уравнения 7.7
следующей итеративной процедурой
I
I
S
j
получается
e=e 0 +e 1 +ie 2 +...
где е0-=е°,
е2==#(9оЛ01 + 01Лео)
ву+i -"- 7? (в0Лву + 6i Лву.1 + - • • - f вуЛв0).
Наиболее содержательная часть доказательства состоит в про­
верке
для формы 6 свойств (7.2)—(7.4) при &=3, если форма
б0 обладает свойствами (7.3), (7.4), (7.6) при &>3. Эта про­
верка основана на совместном использовании предложения 7.1
и следующего предложения.
П р е д л о ж е н и е 7.2. Для любого / = 0 , 1, 2 , . . . и для лю­
бых (0,1)-форм во, в ь . . . , 0; на многообразии L(3) (S>) czL+(2))X
Х---(-25) с гладкими (/гХд)-матричными коэффициентами, удо­
влетворяющими на LiZ)(2)) системе (^-уравнений вида
ае0=-о
5Э1=80Лво
I
Jey=е0 ле^1+6i л в/^2 -f- • •. +в у лв 0 .
!
[
найдется (0,1)-форма бя-i с гладкими {пУ^п) -матричными коэффициентами, удовлетворяющая на Li3)(S)) уравнению вида
I
^е; + 1=0 о Л9 / +0 1 ле н -г•.. +9/Лво-
j
i
!
\
•
j
\
\
|
(
|
Выведем здесь это предложение из предложения 6.6. Пусть
имеется (0,1)-форма 0<) со свойством
^9о=0 на №(Я>).
(7.8)
(3)
Тогда справедливо также равенство <?(0оЛ9о)=О на L (._5).
В силу предложения 4.1 форма 0о является d-точной на любом
многообразии i? ( 1 ) (x), х&2). Отсюда вытекает, что форма
боЛбо является <5-точной на любом многообразии 2?т(х), х£<Ю.
Пользуясь предложением 6.6, получаем, что форма боЛбо яв "
ляется d-точной на L<3)(^5). Таким образом, существует (0,1)форма 01 с гладкими коэффициентами, удовлетворяющая уравнению
|
е 0 ле 0 =ае 1 на №(Я>\
1
!
Рассмотрим далее форму 0 o A0i-NiA0. Эта форма д — замкнута
на LW (2)), поскольку в силу (7.9), (7.8) имеем
j
<Э(0Л01 + 9i А0 О )= -0 о Л0оЛео+0 о Л0оЛ0 о -=О,
(7.9)
173
на L (3, (^>). Точность формы 9 0 A9i+6iA6o не зависит от д-ка~
либровки формы 6о и от последующего выбора решения 9i
уравнения (7.9). Поэтому для любого фиксированного х^ЗУ
выберем такую <?-калибровку формы 9о, что 6о/\9о=0 на
2*(3)(х). В такой калибровке из (7.9) следует, что o>9i==0 на
i? ( 3 ) (.r). В силу предложения 4.1 можно выбрать такое реше­
ние (7.9) на £(3)(—Ь), что 6i = 0 на 3?{1)(х). При такой калиб­
ровке форм 9о и 9i получаем, что 6oA6i+6iA , 9o=0 на 3?{Ъ)(х),
Таким образом, при любом x^SD форма 9oA0i-~HiA0o является
d-точной на S£iZ)(x). В силу предложения 6.6 эта форма являет­
ся также d-точной на LiZ) (££>), т._е. существует (0,1)-форма 92,.
удовлетворяющая уравнению ^9 2 =9oA6i+9iAeo на L{Z){2))
и т. д.
Преобразование Радона—Пенроуза сводит сложную нели­
нейную систему уравнений Янга—Миллса к относительно менее
сложной, но, к сожалению, также нелинейной системе (7.2) —
(7.4) на данные рассеяния. Следующий результат дает допол­
нительные условия, при которых это преобразование приводит
к линеаризации системы уравнений Янга—Миллса.
Т е о р е м а 7.3. Пусть ^-выпуклая область в С4 /соответ­
ственно, R4/. Для того, чтобы голоморфная /соответственно,
гладкая/ связность а(х), x£2D удовлетворяла уравнениям Ян­
га—Миллса (1.11) и дополнительным уравнениям коммутации
(2.8) и (2.81) с любым k9 необходимо и достаточно, чтобы дан­
ные рассеяния для этого поля Q(x, X) были калибровочно экви­
валентны форме 0(я, w, X) вида (7.1) со следующими свой­
ствами
-зг-^г- 0 : te-e'i-0:
< 7Л0 >
где Хв2; (x+w)e2>, (X—W)e£>; / = 1 , 2; v = 0 , l, 2, 3. При
этом автодуальным полям соответствуют формы 9, в которых
компонента 92 = 0, а антиавтодуальным — в которых 6 i = 0 .
Д о п о л н е н и е 1. Теорема 7.3 верна для случая любой мат­
ричной группы. В силу теоремы 2.3 для группы GL(2, С), т. е.
для связностей а со значениями в gl{2, С), утверждение теоре­
мы 7.3 остается справедливым, если в ее формулировке выбро­
сить дополнительные условия (2.81), оставив лишь условия
(2.8) о коммутировании автодуальной и антиавтодуальной ком­
понент кривизны связности а.
Д о п о л н е н и е 2. Теорема 7.3 в применении к пространству
Минковского J[Q—{xeC4: Im* 0 -=0, R e * v = 0 , v = l , 2, 3} дает,
в частности, линеаризацию задачи Коши для уравнения Янга—
Миллса (1.11), дополненного соотношениями коммутации (2.8),
174
(2.8 1 ). Действительно, в силу теоремы 7.3 по данным Коши этой
системы на плоскости QQ={xej[Q: х 0 =0} можно построить
соответствующие данные рассеяния Q(x, w, к), (х+ш) _Q0,
(х—w)GQo, №2?, со свойствами (7.10). В твисторных координа­
тах эти данные рассеяния определяют форму <3-связностн
9(£, ц) на CR-многообразии L + (^ 0 )X^-(^o)=>L(^o). Обрат­
ное преобразование
Радона—Пенроуза превращает форму
6(£, ц) в решение задачи Коши для (1.11), (2.8) на простран­
стве Л<>. Приведенная процедура обобщает на уравнения Янга—Миллса известную твисторную процедуру решения задачи
Коши для уравнения Максвелла (см. [2], [72]).
Достаточность в теореме 7.3 является непосредственным
следствием теоремы 7.1в. Доказательство необходимости мож­
но свести к случаю голоморфных полей а (я), х^З) с достаточно
малой нормой. В этом случае по теореме 7.2 данные рассеяния
8, соответствующие полю а, можно получить из формы 8° со
свойствами (7.3), (7.4), (7.6), решая интегральное уравнение
(7.7). Элементы матричной формы 0° в силу теоремы 7.16 об­
ратным преобразованием Радона—Пенроуза переводятся в го­
ломорфные поля ац°у удовлетворяющие уравнениям Максвелла.
Из (7.7) и из соотношений коммутации (2.8), (2.81) вытекает,
что для матричного поля а°={а{р} выполняются соотношения
коммутации вида: для любых двух точек х' и х" из 3> имеем
[/«*(*'), /«т(*")1-=0.
(7.И)
где / а р и / а ' р ' —соответственно компоненты автодуальной / + =
= fa$dx^' /\dx&'
и антиавтодуальной / ~ =-= fa'&dx0a'
/\dx1^
+
части 2-формы da°=f +f~. Делая далее скалярные преобразо­
вания Пенроуза—Уорда /ср. [2]/ матричных элементов форм /и используя (7.11), получим форму вида, калибровочно эквива­
лентную исходной
0°(х, w, %и Я2) = 01)(х + '2У, XJdK^Q^x
— w, X2)d~~k2, (7.12)
где [в?, eg] —0, Dv95-O f в ; - 0 ( 1 Т ^ ) , У - 1 , 2 .
Рассмотрим теперь нелинейное уравнение (7.7) с формой 0°
вида (7.12). В силу теоремы 7.2 и условий (7.12) уравнение
(7.7) имеет единственное решение (с малой нормой) вида
9 = 0°. Таким образом, данные рассеяния 0 исходного поля а
оказываются калибровочно эквивалентными форме 0° со свой­
ствами (7.12), а следовательно, и (7.10).
Уравнение Янга—Миллса допускает также весьма содержа­
тельную интерпретацию и в терминах частичных данных рас­
сеяния, введенных в § 4.
..о, ж
Т е о р е м а 7.4. Пусть_^> — выпуклая область в С4. Форма
B'lx, k)dXlwm е"'(х, Я)dX/, х№), ЯбС со свойствами (4.101) и
(4.121)/соответственно, (4.10й) и (4.1211)/. Тогда и только тогда
175
преобразуется по (4.6) в голоморфное поле а(х), удовлетворяю­
щее уравнению Янга—Миллса (1.11) в области 2), если сущест­
вует форма 8(х, ш, %)dX со следующими свойствами
а) в(х, О, Х)=в'(х, X) (соответственно, Q"(х, Я))
б) L£{x, w, Я ) = 0 ( ш 3 ) , v = 0 , 1, 2, 3,
Lv — операторы вида (2.3), где %г = X + ----, Х2=Х——. (соотX
X
ветственно, Хг = Х2-\~Х, Х2=Х2 — X).
г) 9 (xt w, А,)==0 (| X |~2) (соответственно, 0([ X |"~3)).
д) 9 ( х , «a;, X) = \i~1(x, w, Х)дхи(х, w, X),
где [х и [х-1 — гладкие по Я, голоморфные по х, w матрицыфункции со свойством
\i(x, ад, 0)=|х(л:, ад, сю)+0(ад 4 )
соответственно
Л2 —— i-i (х, «ад, Я)
А,=оо
б
-= О (ЯУ4), X2 —4-- [х (*, -ад, Х)\
дХ
= О (^ 4 ).
Л=оо
Такие формы 6(х, ад, X)dX находятся во взаимнооднозначном
соответствии с топологически тривиальными га-мерными голо­
морфными векторными расслоениями £ 0 над многообразием
LW(2))f)(CPlxCPiy
(или £( 3 )(^))П(СР^ХСР1У0,
•которые еще и аналитически тривиальны на каждом вырожден­
ном торе &'{х, ад) (или 3?"{х, ад)), лежащем в этом многооб­
разии.
Приведем здесь еще одну любопытную интерпретацию урав­
нений Янга—Миллса в терминах уравнений Коши—Римана.
Рассмотрим снова в выпуклой области y££D, г^З) голоморфные
(соответственно, гладкие) поля ayj (г/, г) и ах] (г/, г) со значе­
ниями в gl(/i, С), удовлетворяющие уравнениям совместности
(2.2) при /г=3. Учитывая предложение 2.3, сделаем ^линей­
ной системе (2.1), где &=3, подстановку Х\=Х, Я2=Х и рас­
смотрим 1-форму вида
Q^Qx(y9
z, X)dX+Q2(y,
z, X)dX,
(7.13)
где
&2=Р~г(У'
2 , Х)-^=~Г](у,
Z, X).
Из (2.1), где & = 3, Хг=Х2 и (7.13) вытекают следующие
венства
176
ра­
(a, -§j)Ck(y, гч
Ь)-0((у-г?)
(Pv ^ ) З Д > *, ^) = 0((y-2:) 3 ), v = l , 2,
\Qj(y, г, %)\ = o(-j^r),
7 = 1, 2,
(7.15)
(7.16)
где вектора « ь а2, р ь р 2 определены в (2.1). При этом фор­
ма £2 определена с точностью до калибровки вида
Q~Irldk + /rlQh,
(7.17)
где (av^h=0({y-~zf\
($vj^)fi~=0((y-zf). Обратно, пусть
форма Q обладает свойствами (7.14) —(7.17). Из (7.14), (7.16)
вытекает, существование гладкой функции i\(y, z, %) у, z&2),
Я6СР1 со значениями в QL(n, С), удовлетворяющей (7.13). Ра­
венства (2.1), (7.15) и предложение 2.3 позволяют найти поля
ayf(y, z) и az/ (у, г), удовлетворяющие уравнениям совместно­
сти (2.2). Отсюда и из теоремы 2.1 получаем следующее ут­
верждение.
П р е д л о ж е н и е 7.3. Преобразование a^Q вида (7.13)
осуществляет взаимно-однозначное соответствие между голо­
морфными (соответственно, гладкими) решениями уравнения
Янга—Миллса в выпуклой области 2)аС4 (соответственно, i?4)
и формами Q со свойствами (7.14) — (7.17).
§ 8. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА —ЯНГА —МИЛЛСА,
ВЕЙЛЯ—ДИРАКА И КЛЕЙН — ГОРДОНА
КАК УРАВНЕНИЯ К О Ш И - Р И М А Н А
НА ПРОСТРАНСТВЕ ТВИСТОРОВ
Здесь излагаются результаты [2], [8], [12], [17], [34], [41], [42],
[49], [53], [64], [70], [72], показывающие, что неоднородные урав­
нения Максвелла—Янга—Миллса, Вейля—Дирака и Клейн—
Гордона превращаются в результате преобразования Радона—
Пенроуза в неоднородные уравнения Ко'ши—Римана на про­
странстве твисторов.
, Прежде всего имеет место следующий важный для дальней­
шего результат, дополняющий теорему 7.1а.
Т е о р е м а 8.1 ([17], [8]). Пусть 3) — область голоморфности
в СМ (или область в Ж, или S>)i пересечения которой со всеми
комплексными нуль-прямыми стягиваемы. Тогда любой элемент
bGH°'l(L(3)), GL(.n, С)) может быть продолжен (не единствен­
ным образом)
до элемента 0 пространства
H0il(Lil)(3)))
GL(n, С)). Существует, однако, единственное продолжение 0
до элемента пространства Нол(L(2)(&),
GL(n, С)), который
представляется gl(n, С)-значной (0,1)-формой на L + (^5)X
Х--- (2)), удовлетворяющей ^уравнению вида
12—7894
6
177
?е+0Л0=/<^>3-
(8Л>
гд_/бЯ 2 (1(^)), End£e( —3, —3)). Все продолжения 6|z(#) До
элемеята пространства Й0Л(Ь^(2)),
GL(n, С)) описываются
формами вида
0 = 0 + Й<£-г1>,
(8.2)
где аеН1(ЦФ), End£ 0 (—1, —1)).
Утверждение теоремы 7.1а/ является специализацией теоре­
мы 8.1, для того случая, когда 2D— выпуклая область в CMQP
В силу предложения 6.1 имеем Я2(L(2D), EndE Q (—1,—1)) =
= 0 . Отсюда вытекает (см. предложение 3.2), что любой эле­
мент 0 из H°>l(L(2D), GL(n} С)) беспрепятственно продолжает­
ся до элемента 0 из # од (1 (1) (3D), GL(n, С)). Такое продолже­
ние неоднозначно, поскольку на множестве продолжений рас­
слоения EQ до расслоения EQ эффективно и транзитивно дейст­
вует отличная от нуля (по теореме 6.1) группа
Hl(L(3))f
End jE'e(—1, — 1)). Существование (и притом, единственного)
продолжения 0 до элемента Я 0 ' 1 (L(2)(2D), GL(n, С)) основано на
следующем утверждении.
П р е д л о ж е н и е 8.1 ([8], [42]). Пусть на
L+(g))XL-(2>)
задана (0, 1)-форма Q со значениями в Endij(—1, —1) такая,
что
dQ+[Q, 0] = Г- < C-Ti > на LW(S>),
(8-3>
где QeHQ'l(LWg>), GL(n, С)), ГбЯ 2 (1(®), E n d £ 0 ( ™ 2 . - 2 ) )
Тогда
а) (0,2)-форма ИДИ представляет нулевой элемент в
Я 2 (L(2)), End£ e (—2, —2)).
б) преобразования Радона—Пенроуза а>± и у форм Q и Г
вида (6.2), (6.5) связаны равенством
ю ± ( * ) - - ^ ?(*), хе2>.
(8.4)
Выведем теорему 8.1 из предложений 8.1, 6*2 и теоремы 6.1.
Любой элемент 06ЯОЛ(~(1)(®)> <3-(я, С)) удовлетворяет соот­
ношению
дв+Q лЪ=Г
( С-п) 2 ,
где feH*(L(3>)9 E n d £ e ( - 2 , - 2 ) ) . В силу теоремы 6.1 найдет­
ся такой элемент №Hl(L(2)), EndE~Q( — I, — 1)),- что
®(х)=-1[~гЧ(х),
*£2D,
где ®(х) и г(х)—преобразования вида (6.21) и (6.5).
178
В силу предложения 3.1 элемент Й представим формой на
L+(.25)X-^-(-2))- удовлетворяющей соотношению вида
Й} + [е, Q] = r<S-T]> 9
где ГбЯ 2 (1(^)) ? Е п а Я ^ - г , - 2 ) ) .
Из выписанных соотношений, предложений 8.1, 6.2 и теоремы
6.1 вытекает, что формы Г и Г эквивалентны в
ffi(L(SD\ Endi?9~(~-2, _2)).
Рассмотрим теперь другое продолжение д — связности 0 с L(2>)
на LW(£D\ задаваемое формой вида ё = 8 — Q < £*Л > <• Имеем
д в + е Л 6 = Г < Е - 1 1 > 2 —(Sa + [e, Q])<£- f n> +
+ ОХЙ<С-11 > 2 - = ( f - r + QAQ)<£-i1> 2 = f < S-Ч >2-
Из предложений 8.1 и теоремы 6.1 вытекает, что форма Г пред­
ставляет нулевой элемент в H2(L(2)\ End£g-( —2, —2)), т. е.
f = 5 f i + [й, Q] + 0 ( < £-т1 > ) на Z,W(£>). Положим теперь 6-== 6 -—Q { i-Ц >2. Из двух последних равенств имеем
50 + 8 A e = ( f - d Q — [в, Q]) < Е-ч > 2 +
-fUAU <Е-т|>4 = ./ (g.-rj >з,
где JeH*(L(2>), End£ e ( — 3, —3)).
Таким2) образом, искомое продолжение расслоения Ее с L(S>)
на D (SD) построено.
В силу предложения 8.1 и теоремы 6.1 среди продолжений
Ев с L(2D) на L(1)(1)(_Z)) имеется
только одно, которое продол­
жается далее(1) с L (_5) на I(2)(.S5). Все остальные продолже­
ния Еь на Ь (й>) описываются формами вида
(8.2). Наконец,,
множество продолжений расслоения Ее с Lil)(2D) на Li2)(3))
состоит не более, чем из одного элемента, поскольку на мно­
жестве таких продолжений действует нулевая группа Hl(L(2))r
End £e (—2, —2)) (см. предложения 6.1 и 3.2).
Фиксируем далее форму 6 со свойством (8.1) и форму §
вида (8.2). В силу предложений 6.3 и 3.1 элементы Ч;±, Ф^
пространств
Hl{L{3)), End£ e [(—1, 0), или (0, —1)1),
Hl(L(3>)9 End£e[(—2, 0), или (0, —2)]),
представимы формами со свойствами
№± + [в, V±\ = 0± ( I • г\ > г на L(2> (<2>)
(8.5>
дФ± + [в, Ф±1=-~± < е-П > «a L™(2>),
(8.6>
где
12*
179
G ± e# 2 (L(^),End£ e |[(—3, —2), или (—2, —3)]);
F±eH*(L(S>), End£ e {(—3, —1), или (—1, —3)]);
Оказалось, что ^-уравнения вида (8.1), (8.5), (8.6) эквива­
лентны соответственно неоднородным уравнениям Максвелла—
Янга—Миллса, Вейля—Дирака и Клейн—Гордона.
Т е о р е м а 8.2 ([17], ;[8], [42]). Для того, чтобы (в условиях
теоремы 8.1) формы 9 и /; 4?±t 6 и G±; Ф±, 0 и F± удовлетворя­
ли, соответственно, уравнениям (8.1), (8.5), (8.6), необходимо
и достаточно, чтобы преобразования Пенроуза этих форм вида
(4.19), (6.20, (6.3), (6.4), (6.61), (6.7), (6.8) удовлетворяли
уравнениям
а)[УСЛ',/лс]--|т/й';
б) [VAA>,4A'] = ~
[VAC',fA'c']
= i^JA
gA\ [VAA>,V\ = ^gA'
в) ПФ± + К Ф ± ] = - ^ / ± ,
/лс-[^сс^П
4AB'^j^r+aAB',
fA'C' =
(8.7)
(8.8)
(8.9)
[Vcc\VAc],
D = [ V A 5 \ [ V A * ' , -J].
Из теоремы 8.2 с использованием предложения 6.1 и теорем
6.1, 8.1 вытекает следующее важнейшее следствие.
Т е о р е м а 8.3 ([49, 70, 42]). В условиях теоремы 8.1 преоб­
разования Пенроуза Q*-»a%, Ун-хо, -г±-^'ЦзА, -фА,, Ф±«-^Ф± вида
(4Л9), (6.3), (6.4), (6.2') устанавливают изоморфизмы:
а) между пространством топологически тривиальных голо­
морфных (соответственно, CR—) расслоений EQ ранга п над
L (3) (^5), аналитически тривиальных на всех квадриках £{х),
хЪЗ), и пространством голоморфных (соответственно, гладких)
GL(n, С) связностей V A B' В тривиальном /г-мерном расслоении
над £$, удовлетворяющих бестоковому уравнению Максвелла—
Янга—- Миллса
[ У С Л 7 л с ] = [Удс/ Л ' с , ]—=0
(8.10)
б) пространством d-когомолог.ий Hl(Lm(2>), End Ee[( — l> 0)
или (0, -1)]), где ееЯ 0 , 1 (/, ( 2 ) (^)> GL(/z, С)), и пространством
голоморфных (соответственно, гладких) сечений я.|>д, I^BS спинорных
расслоений End £ (g) S-c ( g ) A 2 5 ± над S), удовлетворяющих уравне­
ниям Вейля-Дирака
[VAB',4>*'1--0,
[VABS^]=0
з) пространствами сякогомологий Я 1 (Х (1) (2)), E n d ^ R - 2, 0)
или (0, -2)]), где ееЯ 0 , 1 (- ( 1 ) (®) 5 GL(n, С))
180
и пространствами голоморфных (соответственно, гладких) се­
чений ф± расслоений End£<g)A2S± над iZV удовлетворяющих
уравнению Клейн—Гордона
П Ф± +[о), ф±]==0.
Утверждение теоремы 7.16) является специализацией тео­
ремы 8.3а).
Теоремы 8.3а), б), в) для автодуального и антиавтодуально­
го случаев, когда 9e#°>V(L±(^)), GL(n; С)),
V±GHl(L±(2>), E n d £ e ( - 1 ) ) , a>±e№(I ± (2>), E n d £ 0 ( - 2 ) )
были для голоморфных полей и на языке когомологий Чеха
впервые установлены в основополагающих работах Пенроуза
[57] и Уорда £64] (см. также [2], [34], [45]). Обобщение этих ра­
бот на случай неаналитических автодуальных полей и д-когомологий получено в [2], [69], [12], [72]. В полной общности теоре­
ма 8.3а) для голоморфных полей была получена впервые в
работах Виттена [70] и Айзенберга, Ясскина, Грина [49], [50]
(см. также доказательства в [7], [8], [17], [28], [60]). Теоремы
8.36), в) для голоморфных полей а, я|и, 'ФА, <р± были получены
в [8], [42]. Обобщения этих результатов на неаналитические по­
ля в [17], [18], [41].
Утверждение, эквивалентное теореме 8.2а), с неопределен­
ным множителем в правой части (8.7) было первоначально по­
лучено в работе Ю. И. Манина [6] на языке теории препятствий
[39] и на основе результатов [49], [70] с помощью теоретикогрупповых рассуждений. В приведенном виде теорема 8.2а)
получена в [17] не столько ради уточнения постоянной в правой
части (8.7), сколько для нахождения элементарного пути к
этому результату, не зависящему от (не вполне детальных),
конструкций [49], [70]. Теоремы 8.26), с) получены в работах
И; [42].
Доказательство теоремы 8.2 в [8] поточечно и использует
для каждой фиксированной точки x*Gj0 специальные калибров­
ки соответствующих друг другу форм <3-связности 0 на L(3))
и обычной связности а на Ю. Пусть \хх (£, г\) —гладкая функ­
ция на L(SD) со значениями в GL(n, С), зависящая от парамет­
ра x*Q£D, со свойством (6.1). Для формы 9, удовлетворяющей
j
(8.1), положим
Форма 6 равна нулю на j? ( 1 ) (x*), т. е. равна нулю на 3?{х*)
вместе с первыми производными. Такую калибровку б формы 9
будем называть х*-калибровкой.
Положим далее
Г*\х^')- j
al^№
(8.11)
181
Ввиду ^-замкнутости форм под знаком интегралов (8.11) эти ин­
тегралы голоморфны, соответственно, по rjgj?_.(x*) и ZfcZ+(x*).
В силу теоремы Лиувилл-я интегралы (8.11) от переменных Л и J
не зависят. Ввиду равенства Ъ\ &{i) ~=0 существует функция fx
т L(£D) со значениями в GL(#, С), зависящая от параметра
х*£3> со свойством (4.20) и ( х = / + 0 ( jx — x* j 2 ). Определим по­
ле а л д г равенством (4.19), где |х==(Г. Имеем аЛА'(лс*)===0.
Важную роль в доказательстве теоремы 8.2а) играет следу.ющее предложение.
П р е д л о ж е н и е 8.2. Преобразования
Ъ»аАА\ е~/л'в', ё-/ ЛЙ
связаны равенствами
•С" А А'
1
V«'a4A'(x*)--^—-(x*)--—r7^B'(x*)
Х
(8Л2)
В'
Это предложение получено в работах [2] (автодуальный слу­
чай) и [17] (общий случай) прямым вычислением. Эквивалент­
ное утверждение с неопределенным множителем в правой части
(8.12) получено также в [6], где соответствующее преобразова­
ние определялось, как образ элемента группы Hl{S?(x), S2N*),
соответствующего ограничению расслоения £ 0 на -2?(2)(#*);
•N* — конормальное расслоение для квадрики L(x*)czL(2>).
Выведем здесь теорему 8.2а), используя предложение 8.2.
Докажем сначала равенство (8.7) в фиксированной точке х*£2)
для 6 = 6 и а в х*-калибровке. Для этого в силу предложения
8.2 достаточно установить равенства
VBB?AB(x*)^VAA'fA'BXx^^JBA'
(х*У
(8.13)
В'
где величина j A определяется преобразованием (6.8), в котором
Р==1~, V B B ' = a - ^ — j-aBB'. Из (8.11), с учетом (4.17) имеем
2+{х*)
=
^
ЧА
(по формуле Коши—Грина)
182
d*Q
д
' дц
1 ид$*А'тд£в>
т^СЛсА
".ST SS *--'. дц
А
Ч дПс
d 2 de
•tfdZt V
^1о'д^в'
4 4°'
(в силу (8.1))
SS т1о'67САт|д'т|0-Б^СсЛ:
*"25"
Tj 1 Ч ] 0 ?
2>(.**)
Если равенство (8.13) установлено для х*-калибровок: е==-9
ж а=а, то оно верно также и при любых калибровках, поскольку
«%вые д правые часги (8.13) согласованно преобразуются при
Калибровочных преобразованиях. Обратно, если выполнено равенст­
во (8.13), то в силу теоремы 8.1 и предложений 3.1, 3.2, теорем
4.2, 6.6, соответствующие полям алв' и jАВЧ элементы 6 и J
пространств Я 0 ' 1 (L {Щ, OL (я, С))_ и Я 2 (L(3)\ End EQ(-3,
-3))
имеют представления, связанные ^-уравнениями (8.1).
Доказательства теорем 8.26) и с) аналогичны (см. [8]).
Следующий результат одновременно дает условия для про­
должения расслоения £ е с L{2)(S>) на L{2+h){3)) и вычисляет
препятствие к продолжению £9 на L(2+fe)(iZ5), &>2.
Т е о р е м а 8.4. Для того, чтобы представители элементов
ее#°'Ч-(2)№ QL(>*i с))кйенць(2)), End EQ ( - 2 - Й , -2-k))
были связаны уравнениями Коши—Римана вида
ае + е Л 9 - = а < ^ > 2 ^ на L{2+k)(£D),
(8.14)
необходимо и достаточно, что-бы их преобразования Радона—
в'
в'
Пенроуза а% и со * ' " / , k > 2 удовлетворяли уравнениям Янга—
Миллса и следующим дополнительным соотношениям коммутирования
Л
V
'Л,
[.-[v^/.J...
-с (к) \в'г...м'л
, /
В. В.
Jx 1*
если k — 2 < / < £ ;
если / = £ ,
(8.15)
где сумма берется по всем перестановкам (i\9
.(/ь ...,/z) последовательности (1, 2, • . . , / ) .
При & = 2 теорема 8.4 влечет теорему 7.1в).
На языке расслоений близкое (менее точное) утверждение
сформулировано без доказательства в [28] и в качестве гипо­
тезы в [74].
Приведем доказательство теоремы 8.4 в наиболее интерес­
ном случае k = 2. В этом случае в силу теоремы 8.3а) уравне183
ния (8.10) необходимы и достаточны для того, чтобы форма 9
была калибровочно эквивалентна форме (8.14), где k = 2. До­
кажем, что равенство
Зен-еле-о<£-ч> 4 , (C-rj)gz,(iZ))
.
(8.16)
эквивалентно равенствам (8.10) ч следующему
R
->' D '
R
R
R
1 2
- / г \Х)1АХАЛХ) + /АХАЛХ)/
(х)=24<оА\А22(х). (8.17)
Пусть выполнено (8.16). Тогда (8.10) вытекает из теоремы
8.3а). Докажем (8.17) в фиксированной точке х*&3). Исполь­
зуем х*-калибровку, когда a(#*)=0, в j-~^(jc*}=-0.
Поскольку
д
*а-чу
=
ЧАдПАд1в>д1в
1
24цВ^ц\А%А\
2 \1(3>)
то в силу определения (6.9) имеем'
С.Ч)6.2,(-«*)
1
2
Подставляя в этом интеграл соотношение (8.16) и используя ис­
чезновение когомологий
№(2, О), H-(3.(7(^1,0)),. H i ( 2 , О(-1.—1)),
получим
а
1 2
(x*)-=
2
1 С / <?е
24 J .Ад^дпл.
Л———— л
Л
Используя далее тот факт, что все (0, 1)-формы под знаком
последнего интеграла когомологичны на .^(x*) формам, за­
висящим либо только от г], либо только от t> получим
©В-В-Л1Л'(•**)=
чб.д'-cj-*) ~
184
24'
'
[ Z- 4 .- 4 -. / S i a 2
:б.г+(-*>
fBlB2.
B
i
/А-Л'),,
B
2
Обратно, при выполнении соотношений (8.10) в силу теоремы
8.3а) и предложения 3.1 форма G калибровочно эквивалентна:
форме со свойством
дв-ЬвЛв-=Й<£-т1>^
При выполнении (8.17) получим, как и выше, равенства
Отсюда и из предложения 6.6 вытекает, что форма Q d+,6когомологична форме Q. Теорема 8.4 для fe = 2 доказана.
§ 9. УРАВНЕНИЯ ЯНГА-МИЛЛСА-ХИГГСА-ДИРАКА
КАК ГОЛОМОРФНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
Здесь мы приведем результаты, развивающие [18, 19] и по­
казывающие, что поля Янга—Миллса, взаимодействующие оп­
ределенным образом со скалярными и спинорными полями,
также могут быть описаны в терминах голоморфных вектор­
ных расслоений над пространством комплексных световых
прямых.
Пусть V J - - =
АВ,
+ а А в' ~гол0
М0
Рфные (соответственно*
гладкие) GL{n±, С)—связности в фиксированных (для прос­
тоты, тривиальных) п.±-мерных расслоениях над областью го­
ломорфности SDczCM (соответственно, Ж или &). Будем попрежнему предполагать, что пересечения 3) с комплексными
нуль-прямыми — стягиваемы.
В силу результатов, изложенных в § 8, калибровочным по­
лям а± соответствуют на U2){3)) голоморфные (соответствен­
но, CR — ) расслоения Е±, топологически эквивалентные п±мерным тривиальным расслоениям Е±° и аналитически экви­
валентные Е±° на всех квадриках 3?{х), х&3£>. Оказалось, что
калибровочным полям a±t взаимодействующим со скалярными
полями Хштса ф± в форме (1.18), соответствуют такие голо­
морфные (соответственно, CR—) расслоения Е на L (2) (^5), ко­
торые при ограничении на Ь(3)) имеют вид
EU(D)-£+(-l,0)©£—(0,-l)jx<D)).
(9Л)
В силу результатов §§ 3, 4, 8 (теорема 8.1 и предложения 3.1,.
4.1) расслоения Е± можно кодировать гладкими gl(/i±, С ) значными (0, 1)-формами 6 ± на L + (^)XL—C2>), удовлетво-'
ряющими соотношениям
а э ± + 0 ± Л е ± = О на 1<«(2>),
(9.2)
Ъ^гЩх^Р±д\ь±
на 2W(x),
хб2>,
1№
где fx± —функции т S^)(x) со значениями в QL(n±i С), гладко
зависящие от параметра хб_5.
Положим £ ° « £ 0 „ ( —1,0)ф£_(0,.—1).'
П р е д л о ж е н и е 9.1 ([18]). Любое голоморфное векторное
расслоение Е над L(2)(2)), имеющее при ограничении на Ь(3))
вид (9.1), кодируется (с точностью до ^-калибровки на
L™(2))) (0,1)-формой 6 на !+•(#)ХМ-30) со значениями в
Bud E° вида
„?+Х.И>
/9++.Q+<С-Ч>
в:тйГ<т-ч"Т
(9.3)
где (0,1) —формы Q ± со значениями в End E°± и Ф± со Значе­
ниями в Нога(£_, £+(,— 2, 0)ХилиНот(£'гИ £_(0, —2))) удовлет­
воряют уравнениям вида
?Ф ± +в±ЛФ± + Ф±Лв± + (0±ЛФ± + Ф±ЛП±)< £-4) = 0 . (9.4)
50 ± + в±ЛО±+0±Л8± + Ф±ЛФ± < £-4 > +^±ЛЙ± < С-П > —
= 0.
(9.5)
на 1Я(£5).
При этом элементы пространства Hl{L{2)(3)), EQ) описываются
(с точностью до д-калибровки) (0, 1)-формами Ч?± со значе­
ниями в Е±°, удовлетворяющими уравнениям
а¥ + +е + л¥ + +(о + л- г + +Ф + л^_) < z-n > = о ,
(9.6)
5 ^ + е . л т . + ( о + л ^ + Ф _ л т + ) < £.|х > - о ,
на L<2>(£Z>).
Для доказательства предложения 9.1 важно заметить, что
(0, I) —форма в задает новую комплексную структуру в рас­
слоении £° над U2){2)) тогда и только тогда, когда выполнено
условие
интегрируемости Коши—Римана—Картана
<?64~
\+$/\Q = Q на Lm($).
В подробной записи (и при условии
(9.1)) это условие интегрируемости эквивалентно сотношениям (9.2), (9.4). Аналогично, уравнения (9.5)—это подробная
запись уравнения Коши—-Римана
вида «ЭТГ+еЛТ—О на Н2Ц2>), где ^ = ( т ] Н Обобщая опреде­
ления (6.2), (6.3)* (6.4), введем преобразования Пенроуза форм
Q ±f Ф ± , У±.
&+м Л'
185
s
Ф+(•«)---ЛJ М-М-='Л№:
яг
.-•;(*>
<P_(x)=——
_TT/
ш
f
*' .
(9.7)
1
!-1-Ф-(хт ЛП ^чс
.
'
sew
Ч ^ - й
с
S aT-"^ + A^d£c
(9.8)
П р е д л о ж е н и е 9.2 ([18]). Для того, чтобы(0,1) — формый ± ,
Ф ± , *F±, представляющие соответствующие классы когомологий
НЧЦЗ)), EndEo*(-Д. - 1 ) ) ; Hl(L(&), Hom(E 9 --, E e ± ( ( - 2 , 0)
или (0, —2))); Hl{L{2)), E 9 ± ( ( - - . 0) или (0, - 1 ) ) ) удовлетво­
ряли ^-уравнениям (9.4)—(9.6), необходимо и достаточно, чтобы
их преобразования Пенроуза со±, Ф ±> \|ЭА' И aj)A удовлетворяли
•соотношениям
со —. — \
й
+
Ф+Ф_;
л=-«АтФл;
©_= j
Ф_Ф+;
П-+Ф-—----Ф-—Ф-И+;
УАА'-Ф А '+Ф + ^А-=0;
У1А'"фА+ф-Фл'-=-0,
(9.9)
(9-Ю)
(9.11)
где
v-AA'* A '=|^r+---J A .* A ';
Г
4--Г
1
П±*Ф±-[у.т£, [у.-г.л',Ф±]];
^Ф +
[ V A £ , Ф±]-^П7+л±А,<р±-Ф±^А'.
Тот факт, что <?-ур#внения (9.5) переходят после преобразо­
ваний ф ± ^ ф ± , й±к>со± в уравнения (9.9), вытекает из предло­
жения 8.1. Чтобы показать, что уравнения (9.4) переходят
после тех же преобразований в уравнения (9.10), достаточно
в силу теоремы 8.2в) проверить, что преобразования Пенроуза
/ ± от (0, 2)-форм ^±=Й ± ЛФ±+Ф±Л^-р равны, соответственно,
/ + = (00+Ш+—ф+0)-)Ш
(9.12)
/.—=- (ф_со+— <й-Ц)-)т
187
mmmi
В соответствии с определениями 6.6 имеем
д
Л=4 $ $
g(X)
cg{x) I
^^(кР+^)А^сАЧс^цс^
А
А
+ (V+%VZi)A^SA^№-VZ1\WcdZcA4c'd4c'
+
А
.<?(*) ~
^ .
Поскольку формы
|i±Q±fx^1 являются
^-точными на -?(х), то
второй интеграл в правой части последнего равенства равен
нулю. Учитывая определения (6.2),, (6.4) и тот факт, что в пер­
вом слагаемом правой части формы \ ] ~ л -т~£ (tx±-^±(xJ1) и
А
(|А±Ф±(Х^1)
когомологичщ формам, зависящим лишь только от 5
или только от ц, получим (9.12).
Аналогично, с использованием, теоремы 8.26) доказывается
соответствие при преобразовании Радона—Пенроуза уравне­
ний (9.6) и (9.11).
Из предложений 9.1, 9.2
вытекает следующий результат о
4
представлении решений
<р
уравнения
в 2) в виде голоморфных"
расслоений над L{2){<£)).
Т е о р е м а 9.1 ([18]). Пусть фиксированы область голо­
морфности 2Е> в СМ (или область Л или йГ), пересечение ко­
торой с любой комплексной световой прямой — стягиваемо*
голоморфные (соответственно, гладкие) связности V ± в ^ - м е р ­
ных расслоениях над 3) и соответствующие V ± расслоения Е±
над Lm.(3)) с (0,1)-формами Связности 6±. Тогда преобразова­
ние Радона—Пенроуза @Ф±=у± вида 9.7) осуществляет изомор­
физм пространства расслоений Ев9 8 = 9 ( Ф ± ) н а д ! ( 2 ) ( ^ ) , сов­
падающих с расслоением £+(—1,0)ё£_(0,—1) на L(2>), и
множества голоморфных (соответственно, гладких) решений
Ф± системы уравнений
•+-Ф+=.Ф+Ф_Ф+; а^+Ф-=Ф_Ф+Ф.
(9.13)
При этом, при фиксированных матрицах-функциях <р±=&Ф±9
удовлетворяющих (9.13) f преобразование Пенроуза вида (9.8)
188
осуществляет
изоморфизм
пространства
когомологий
Hl(D2)(2)), Ев) и пространства голоморфных (соответственно,
гладких) решений системы Дирака (9.11) на -25.
Опишем теперь на языке расслоений решения системы Янга—Миллса—Хиггса, состоящей из уравнений (9.13), допол­
ненных уравнениями
V A B ' / + A ' —-£ {[VAA'
VAJ'/-A'-=2
, Ф+].Ф——<P+[VAA"' , <р_])
^9Л4^
([vJ^.фJф+--Ф-[VAA;.Ф+]),
где f± = da±+a±/\&±~формы
кривизны связностей v ± . Пусть
6—форма вида (9.3), удовлетворяющая на L + ( 2 ) ) X L ( 2 ) )
соотношению
Зе+еле-о(^^
(9.15)
В подробной записи это соотношение означает, что формы Ф±,
б±, Q± удовлетворяют наряду с (9.4), (9.5) еще и следующим
уравнениям на DZ)(2D):
dQ± + Q±AQ±+(dQ±^rQ±AQ±+Q±AQ±)(^^)
+
2
2
+ Q ± AQ± < С--П > + Ф ± Л Ф т < 5-Л > = 0 .
(9Л6)
В развитие предложения 9.2 имеет место следующее утвержде­
ние.
П р е д л о ж е н и е 9.3. Для того, чтобы (0, 1) — формы 6±, й ± ,
Ф ± удовлетворяли ^-уравнениям (9.4), (9.5) и (9.16), необхо­
димо и достаточно, чтобы их преобразования Радона—Пенроу­
за а±, о)±, ф± удовлетворяли уравнениям (9.9), (9.10) и (9.14).
Чтобы показать, что уравнения (9.16) переходят после пре­
образований Радона—Пенроуза в уравнение (9.14), проверим,
пользуясь (9.5) и теоремой 8.2а), что имеет место равенство
-jdvJi', фJф.-Ф+[vItvфJ)в(-•йг)(-•sг)><
где
J + = — (dQ+ +Q+Ae + +e^AQ + )-S2 + ASif ( £• Л ) - Ф + А Ф - ( С-Ч >.
Докажем это равенство, используя «х»--калибровку форм 6+, 0+»
Ф-±. Имеем
&(х)
(используя предложение 8 Л а)
- - Т & Щ Ь
-^(Ф + ЛФ_)-чл^(Ф + ЛФ_))л
2{х)
(используя Определения (9.7) и равенства (4.17))
« • j ([УлГ',Ф+]ф- — Ф+IVJA', Ф_]).
Обозначим теперь через # ол (L (2 ' 5) (£D), GL(E0)) простран­
ство гладких
(0, 1)-форм 6 на L+(j£))XL_(j£>) со значениями в
Endi? 0 , которые, во-первых, рассматриваются с точностью до
калибровки
где ^ — гладкая функция со значениями в невырожденных эн­
доморфизмах Е°, во-вторых, удовлетворяют уравнению (9.15)
t
и в-третьих, ограничение формы 0 на любую квадрику &а)(х)(\
(]L(3)) калибровочно тривиально.
Сопоставим каждой форме
0
№H0>l(D2*5>(2>)9 GL(£
))
голоморфное
(соответственно, CR —)
расслоение Ев на U%b)(k>) по правилу: голоморфные (соответ­
ственно, CR — ) сечения Ев—это те гладкие сечения Я рас­
слоения Е°, которые удовлетворяют уравнениям Коши—Римана вида
UH>-i<g.Ti>4J'
Можно показать, что
т^опйа
Я0*1 LW(®)
m trow
цемент
пространства
(
V М0ЖН0 з а Д а в а т ь
вид (9.3).
Формой 0, которая имеет
м
в-(а ± ,°Й М о?ущест В - ( £т J)'nо „ П Р е Я б Р азов а«ие Радона - Пенроуза
ЙЗОМ
(соотв^твеннТ CR
°РФи3м пространства голоморфных
п
Е
•-ески эквивале^тных^о 1*1™°™*
° н а L™ ®> топологиH 4 e C K H эквив
каждой квадрике S ( . ) l m L ? ^
-лентных £« н а
(соответственно, гладких) o e m L f t ПсРиОсСт Те Рм аын с т в а голоморфных
Хиггса на ® вида (9™)/ ( Г н )
Янга-Миллса—
Н
е т е Ш М м Уравнений
№
^
Г
<
й
а
^
^
2
^
о
^
(9-13),
п
•-*, когда - = ф *
= Г * -f
Ро с тРан тва Минковского
Ф
+
а
С
соответствуют рассло~ения+£в Н аа ™ & . B 0 ^ o f i ГРУ-шой U(n)
ми е вида Y9 3}
... '
/,
I-®). задаваемые формаФ-(Щг)~Щ+(}м\
?
0
К
2
)
=
в + ( ш , 2 ) = - * е + ( 2 w)
ф
/ в о / '
+(2^).
с калибровочной функцией Л
веда'
10 в / , где В принимает значения в ."/(/-.)• Ч.\
_
ЧНЯ1m
( j
знак
т а
понирования.
''
Р нс190
По аналогии с теоремой 7.2 форму в вида (9.3), удовлетво­
ряющую нелинейному (9-уравнению (9Л5), можно получить из
интегрального уравнения вида
в-Цв°+Д(вЛв)>
е°+
где форма б°-—=( 0
ч
^!L<C.t|>
ному ^-уравнению:
Ф+<^>
)
л0
e!
^-(<8.Ч>»КСп>*>
удовлетворяет
линей-
М/№Г>
Rf — операторы, обращающие ^-оператор ва (0, 1)-формах на
Ь^(й)), / = 2, 3 (ср. предложение 7.1). Отсюда и из теорем
8.3 и 9.2 вытекает, что все достаточно малые по норме реше­
ния уравнения Янга—Миллса—Хиггса вида (9.13), (9.14) в об­
ласти 3)аСМ можно получить, стартуя с решений линейных
уравнений Максвелла и волнового. Тем самым системам (9.13)*
(9.14) линеаризуется в смысле работы [36].
Оказалось, что расслоения Е& на 1 ( 3 ) (^) кодируют решения
системы Янга—Миллса—Хиггса, дополненные еще двумя не­
тривиальными уравнениями.
Предложение
9.4.
Любое
расслоение Ее, где
&6ff°»l(L(a5)(i0), G L ( J E 0 ) ) продолжается, и притом, единствен­
ным образом до расслоения на L{3)(SD) тогда и только тогда,,
когда соответствующие преобразования
Радона—Пенроуза
9±^-± и Ф±^ф± удовлетворяют наряду с уравнениями Янга—
Миллса—Хиггса (9.13), (9.14) еще и следующим дополнитель­
ным уравнениям:
/АВ(Х)-Ч+(Х)
— Ч+(Х)-/1В(Х)=*0,
,9щ
/А'В'{Х)Ц_(Х)Г-Ц^{Х)/%В'{Х)=Ъ.
Из теоремы 9.2 и предложения 9.4 вытекает следующее выра­
зительное следствие.
Т е о р е м а 9.3. Пусть п ± = 1 , т. е. Е°=С{— 1, 0)0(7(0, — 1).
Преобразование Пенроуза осуществляет изоморфизм
про­
странства голоморфных векторных расслоений на LiZ)(&))t то­
пологически эквивалентных
Е° и аналитически эквивалентных
Е° на каждой квадрике &{l) (x) [\L (3)) и пространства решений
системы невзаимодействующих уравнений Максвелла и ска­
лярного <р4-уравнения:
VAB'fU—b
V^'/XB-O,
/АВ
= /АВ,
ПФ+=Ь<Р*.,
f
(9-18)
А'В'=^/А'В',
<р_«а,ф+, ьес
(9Л9)
191
Проиллюстрируем этот результат на простом примере.
Фиксируем покрытие области X=L + (CMo)X---(C-M 0 ) областя­
ми вида ХАА> = {(£, rfiGXilU-iiji' —1\А-£>А,Ф0} и зададим на X
голоморфное расслоение, эквивалентное О (—1), 0)Ф-£?(0, —1)
на X[)L(CM0) следующим равенством
( / + Я 1 ) ( / + Я о ' ) - ( / + Я г ) ( / + Я 0 ),
где НА, НА'-—'голоморфные матрицы перехода вида
U-T))
н
(
СА"ЛА'!
ЧА'
)
где (£, ц)еХоА>Г\Хы' и
Яд==
._
<s-r)j
($А:М Ул
где (е,т])бА^о'П^Аг.
В примеаечии иГ этому расслоению утверждение теоремы 9.3
дает одно из немногих известных явных решений системы (9.19),
где д±=*0, 9 + =.9.^==(l + detxAA0""1В качестве интересного дополнительного следствия из
предложений (9.2), (9.3), (9.4) можно получить твисторную
интерпретацию решений уравнений Янга—Миллса вида (1.16),
(1.17).
П р е д л о ж е н и е 9.5. Пусть поля а+ и а~ удовлетворяют
уравнениям Максвелла в области ЮаСМ, причем поле а°=
= (а+—аг) — автодуально. Пусть также скалярные функции
ф + и ф_ удовлетворяют уравнениям вида (9.19), где D=D-j—
Пусть, наконец, (0, 1)-формы 0±, Ф± и Q± на Ь{Ю) таковы, что
их преобразования Пенроуза равны, соответственно, а±, ф± и
/-*--- -Р+-<р-)- Тогда:
а) уравнению Янга—Миллса
(1.16), где
удовлетворяет
поле
вида
б) это поле Янга—Миллса соответствует такому голоморф­
ному векторному расслоению на L(3)(iZ5), которое задается
(О, 1)-формой <Э-связности :6 на L+{g))X>L~{9)) со значениями
в E n d K ? ( - 1 , 0 ) 0 0 ( 1 , 0 ) ] вида
{'-ж'а"ч'р I" ё: таггсТГJ"
Предложение 9.5 получено в 1983 г. совместно с А. Беллом. В случае когда параметр Я в (9.19) равен нулю, резуль­
тат предложения 9.5 содержится в работе Уорда [65]. Утверж­
дение а) является небольшим обобщением результата класси192
ческой работы [31]. Часть утверждения б), состоящая в том,
что указанная деформация, задаваемая формой 6, топологи­
чески тривиального расслоения ' О(—1,0)®О(1,0)
действи­
тельно порождает некоторое расслоение на 1(3)(~5), вытекает
из предложений 9.2, 9.3, 9.4. Из теоремы 8.3а) вытекает далее,
что это расслоение соответствует некоторому полю Янга—
Миллса. Наконец, совпадение этого поля с полем из утвержде­
ния а) вытекает из формул для преобразования Пенроуза
(см. такие близкие вычисления в [28]).
ЛИТЕРАТУРА
1. Белавин А. А., Захаров В. Е. Уравнения Янга—Миллса, как обратная
задача рассеяния // Письма в ЖЭТФ.— 1977.— 261.— С. 608—611
2. Гиндикин С. Г,, Хенкин Г. М. Преобразование Пенроуза и комплексная
интегральная геометрия // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл.
матем.— 1981.— 17 — С. 57—111
3. Захаров В. Е., Манате С, В., Новиков С. Я., Питаевский Л. П. Теория
солитонов. Метод обратной задачи.— М.: Наука, 1980.— 320 с.
4. Капронов М. М., Шанин Ю. И. Твисторное преобразование и алгебро-геометрические конструкции решений уравнений теории поля // Успехи мат.
наук.— 1986,— 41, № 5.— С. 85—108
5. Лайтерер Ю. Голоморфные векторные расслоения и принцип Ока—Грауэрта // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем. Фундам.
направления.— 1986.— 10.— С. 75—122
6. Манин Ю. И. Калибровочные поля и голоморфная геометрия // Итоги
науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Соврем, пробл. матем.— 1981.— 17.—
С. 3 - 5 5
7. — Калибровочные поля и комплексная геометрия.— М.: Наука, 1984.—
336 с.
8. —, Хенкин Г. М. Уравнения Янга—Миллса—Дирака, как уравнения Коши—Римана на пространстве твисторов // Ядер, физика.— 1982.— 35,
№ 6.— С. 1610—1626
9. Новиков Р. Г. Обратная задача рассеяния для двумерного уравнения
Шрёдингера при фиксированной энергии и нелинейные уравнения // Авто­
реферат дисс на соискание ученой степ. канд. физ.-матем. наук.— М.:
МГУ, 1989.— 16 с. _
10. —, Хенкин Г. М. д — уравнение в многомерной обратной задаче рассе­
яния // Успехи мат. наук.— 1987— 42, N° 3— С. 93—152
11. Онищик А. Л. Методы теории пучков и пространства Штейна // Итоги
науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления.—
1986.— 10.— С. 5--73
12. Поляков
П. Л., Хенкин Г. М. Формулы гомотопии для d-оператора на
СРП и преобразование Радона—Пенроуза // Изв. АН СССР. Сер. мат.—
1986.— 50, № 2.— С. 566—597
13. Пономарев
Д. А. Ростки на С Р ^ С Р 1 голоморфных векторных расслоений
3
3
на СР хСР // Докл. АН СССР,— 1984.— 276, № 2
,14. Рослый А. А., Худавердян О. М., Шварц А. С. Суперсимметрия и комп­
лексная геометрия // Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Соврем.
пробл. матем. Фундам. направления,-— 1986.— Р.-— С. 247—284
15. Славное А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в теорию калибровочных полей.—
М : Наука.— 1988.— 238 с.
16. Фаддеев Л. Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния. II / / Итоги
науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем.— 1974,— 3 — С. 93—180
17. Хенкин Г. М. Представление уравнений Янга—Миллса в виде уравнений
13—7894
6
193
Коши—Римана на пространстве твисторов // Докл. АН СССР,— 1980.—
255, № 4.— С 844—847
18. _ Представление решений <р4-уравнения в виде голоморфных расслоений
над пространством твисторов // Докл. АН СССР.— 1981.— 260, № 5.—
С. 1085—1089
19. — Поля Янга—Миллса—Хиггса—Дирака, как голоморфные векторные
расслоения // Докл. АН СССР.— 1982.— 265, № 5.— С. 1081—1085; Тр.
II международного семинара «Теоретико-групповые методы в физике».—
М.: Наука, 1983.— С. 107—116
20. — Метод интегральных представлений в комплексном анализе // Итога
науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления.—
1985.— 7.— С. 23—124
21. Ablowitz M. /., Nachman A. I. Multidimensional nonlinear evolutions and
inverse scattering // Physica.— 1986.— 18D.— С 223—241
22. Atiyah M. F. Geometry of Yany—Mills fields.— Pisa: Lezioni FermianL
1979.— 98 с
23. —, Hitchin N. J. The Geometry and dynamics of magnetic monopoles //
Princeton: Princeton University Press, 1988.— 134 с
24. —, Ward R. S. Instantons and algebraic geometry // Communs Math.
Phys.— 1975.— 55.— С 111—124
25. Beats R., Coifman \R. R. The D-bar approach to inverse scattering and non­
linear evolutions // Physica.— 1986.—18D.— C. 242—249
26. Belavin A. A., Polyakov A. M., Schwartz A. S., Tyupkin Yu. Pseudo-parti­
cle solutions of the Yang—Mills equations // Phus. Lett.— 1975.— 59By
№ 1.— С 85-87
27. Bourguignon V. P., Lawson H. B. Jr. Stability and isolation phenomena
for Yang—Mills fields // Communs Math. Phys.— 1981.— 79.—- C. 189—
230
28. Buchdahl N. P. Analysis on analytic spaces and non-self-dual Yang—Mills
fields // Trans. Amer. Math. Soc— 1985.— 288, № 2,— С 431—470
29. Chaohao Gu. On classical Yang—Mills fields // Phys. Repts.— 1981.— 80,
№ 4.— С 251—337
30. Choquet-Bruhat У., Christodoulov.
Existence of global solutions of the
Yang—Mills—Higgs and spinor field equation in 3+1 dimensions // Ann.
scuola norm, super. Pisa. Sci. fis. e mat. (4).— 1981.— 14, № 4.— C.
481—506
31. Corrigan E. F., Fair lie D. B. Scalar field theory and exact solution of a
classical SU(2) —gauge theory // Phys. Lett.— 1977.— 67B,-~ С 69—71
32. Deligne P. Equations differentielles .a points singuliers reguliers // Lect.
Notes Math.— 1970.— 163
33. Donaldson S. K. Instantons and geometric invariant theory / Communs
Math. Phys.— 1984.— 93.— С 453—460
34. Eastwood M. G.f Penrose R., Wells R. O. Cohomology and massless fields
//• Communs Math. Phys.™ 1981.— 78.— С 305—351
35. Eastwood M. G.t Pool R., Wells R. O. The inverse Penrose transform of
a solution to the Maxwell—Dirac—Weyl field equations // J. Funct. Anal.—
1985.— 60.—. C. 16—35
36. Flato M.t Simon I. On a linearization program of non-linear field equations
// Phys. Lett.— 1980.— 94B.— С 518—522
37. Forgacs P., Horvath £., Palla L.
Towards complete integrability of the
self-duality equations // Phys. Rev. D.— 1981.— 23, № 8.— С
1876—
1879
3 8 . __5 —9 — On the linearization of source free gauge field equations //
Phys. Lett.— 1982.— 11 SB, № 6.— С 463—467
39. Griffiths P. A. The extension problem in complex analysis II; emleddings
with positive normal bundle // Amer. J. Math.— 1966,— 88, № 2.— С
366—446
40. Hartshorne R, Algebraic geometry.— New York, Heidelbery, Berlin: Sprin­
ger Verlag, 1977 (Пер. на рус. яз.: Хартсхорн Р. Алгебраическая геомет­
рия.— М.: Мир, 1981.— 600 с.)
194
41. Henhn G M: Tangent Cauchy-Riemann equations and the Yang-Mills,
Higgs and Dlrac fields. Proc. of the Intern. Congress of Math. August
К
^
^
Warszawa: Polish Scientific Publishers,
42
' 17'J1^
I,U- / ; 2 w i s t o r description of classical Yang-Mills—Dirac fields
// Phys. Lett.— 1980.— 95B, № 3,4.— С 405—408
43.
On the cohomology of twistor flag spaces // Сотр. Math.— 1981 —
44, № 1—3.— С 103—121
44. —, Novikov R. G. A mutidimensional inverse problem in quantum and
acoustic scattering // Inverse Problem.-— 1988.— 4.— С 103—121
45. Hitchin N. /. Linear field equations on self-dual spaces // Proc. Roy. Soc.
London.- 1980.— A370.- С 173-191
46. — Monopoles and geodesies // Communs Math. Phys.— 1982.— 83 — C.
579—602
47. Hughston L. P. Supertwistors and superstrings // Nature.— 1986.— 32L
№ 60—68.— С 381—382
48. Isenberg J., Yasskin P. Ambitwistors and strings.™ In «Proceedings of the
Oregon Meeting».— Hwa R. (ed). Singapore: World Scientific, 1986
49. ._ __ Twistor description of non-self-dual Yang—Mills fields.
Complex
Manifold. Techniques in Theoretical Physics (D. E. Lerner and P. D. Sum­
mers, eds.) // Res. Notes.— San Francisko and London: Pitman, 1979
50. —, —-, Green P. S. Non-self-dual gauge fields // Phys. Lett.— 1978.— 78B„
№ 4,— С 462—464
51. Jaffe A,, Taubes С H. Vortices and monopoles.— Boston: Birkhanser.—
1980
52. Le Brun C. Spaces of Complex Null Geodesies in Complex—Riemamanniam
Geometry // Trans. Amer. Math. Soc— 1983.— 278.— C. 209—231
53. — The first formal neighborhood of ambitwistor space for curved spacetime // Lett. Math. Phys.— 1982.— 6.— С 345—354
54. — Thickenings and conformal gravity / Preprint— Univ. Story Book,,
New York, 1989
55. Manakov S. V., Zaharov V. E. Three-dimensional model of relativistic in­
variant field theory integrable by the inverse scattering transform // LettMath. Phys.— 1981.— 5, № 3,— С 247—253
56. Newton R. С Inverse Schrodinger scattering in three dimensions.— Sprin­
ger—Verlag, New York, 1989
57. Penrose R. Solutions of the zero-rest mass equations // J. Math. Phys.—
1969.— 10.— С 38—39
58. — Non-linear gravitons and curved twistor theory // Gen. Rel. Grav.—
1976.— 7.— С 31—52
59. —, Rindler W. Spinors and space time I, IL— Cambridge, London, NewYork: Cambridge Univ. Press, 1984, 1986
60. Pool R. Yang—Mills fields and extension theory // Memoirs Amer. Math»
Soc— 1987.— 67.— С 358
61. Segal L The Gauchy problem for [the Yang—Mills equations // J. FuncL
Anal. — 1979.™ 33, № 2.— С 175—194
62. Taubes С. Н. Morse theory and monopoles: topology in long range forces.
— In «Progress in Gauge field theory». Plunum. Publ. Corp., 1984.— C,
eco
i-:ft7
63. — Min—Max theory for the Yang—Mills—Higgs equations//Communs
Math. Phys.— 1985.— 97.- C. 473-540
64. Ward R. On self-dual gauge fields // Phys. Lett— 1977— 61A.— C. 81—
82
65. — Ansatze for self-dual Yang—Mills fields // Communs Math. Phys.—
1 9 8 1 . - 80,— С 563-574
. . .
л.
66 — Completely solvable gauge-field equation m dimension greater than
four // Nucl. Phys.— 1984.— B236.— С 381-396
67. Wells R. O. Differential analysis on complex manifolds— Springer—Ver­
lag, 1980.— 252 с
195
13*
68. — Complex geometry in mathematical physics.— Montreal: Univ. of Mont­
real Press, 1982.— 170 с
69. — Hyper function solutions of the zero-rest-mass field equations // Com­
mune Math. Phys.— 1981.— 78.— С 567—600
70. Witten E. An intepretation of classical Yang—Mills theory / Phys. Lett.—
1978.— 77B.— C. 394—398
71. — Twistor-like transform in ten dimensions // Nucl. Phys.— 1986.— B266.
— С 245—264
72. Woodhouse N. M. J. Real methods in twistor theory // Class. Quantum
Grav,- 1985.— Z— С 257—291
73. Yang С. H. Phys. Rev. L e t t - 1977.— 38.— 1377
74. Yasskin P. B. An ambitwistor approach for gravity / Preprint.— Texas
University, 1984.— С 1—22
УДК 517.95+517.55
К. Б е р е н с т е й н , Д. С т р у п п а . Комплексный анализ и уравнения
в свертках // Итоги
науки и техн. Соврем. пробл. матем.
Фундам.
направления- ВИНИТИ, 1989.— 54.— С. 5—Ш
Дается обзор феномена периодичности в среднем, возникающего в связи с классическими вопросами в комплексном анализе, в уравнениях в ча­
стных производных и в уравнениях в свертках. Библ. 496.
УДК 513.7+517.55
Р. Г. Н о в и к о в , Г. М. Х е н к и н . Поля Янга — Миллса, преобразова­
ние Радона — Пенроуза и уравнения Коши — Римана // Итоги науки и
техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления,.— ВИНИТИ, 1989.— 54.—
С. 113—196
Рассматривается ряд вопросов комплексного анализа и математической
физики, связанных с теорией калибровочных полей Янга—-Миллса с од­
ной стороны и теорией уравнений Коши — Римана с другой. Библ. 74.
УДК 530.145+513.7
А. Ю. М о р о з о в , А. М. П е р е л о м о в . Комплексная геометрия и
теория струн Ц Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. нап­
равления.— ВИНИТИ, 1989.— 54.— С. 197-279
Представлены методы вычислений на римановых поверхностях. Описана
структура детерминантных расслоений над пространствами модулей рима­
новых поверхностей. Приведены явные формулы для сечений этих расслое­
ний и для меры Полякова в теории замкнутых бозонных струн. Библ. 55.
Зак." 7894