Договор №_ об оказании платных;pdf

с .
в.
Б О Р О Д И Н
ИСКАЖЕНИЯ
И ПОМЕХИ
В МНОГОКАНАЛЬНЫХ
СИСТЕМАХ
РАДИОСВЯЗИ
С ЧАСТОТНОЙ
МОДУЛЯЦИЕЙ
Издательство «Связь»
Москва 1976
6Ф2.19
Б83
У Д К 621.391.8:621.396.274
Бородин С. В.
Б83
Искажения и помехи в многоканальных системах ра
диосвязи с частотной модуляцией. М., «Связь», 1976.
256 с. с ил.
в книге дан анализ переходных помех в телефонных к а н а л а х систе
радиорелейной и спутниковой связи с частотным уплотнением и частотно
модул'яцией сигнала. А н а л и з основан на применении теории случайных пр(
цессов и математической модели многоканального телефонного сигнала в ви;
нормального стационарного случайного процесса. П р е д л о ж е н ы
инженернь
методы расчета переходных помех по известным х а р а к т е р и с т и к а м т р а к т а '
методы определения требований к этим х а р а к т е р и с т и к а м по заданной допу
стимой величине п е р е х о д н ы х помех в к а н а л а х системы.
Книга рассчитана на научных работников и аспирантов, специализирук
щ и х с я в области радиорелейной и спутниковой связи.
Б
30402—008
045(01)—76
25—76
6Ф2.1
V.
<g) Издательство «Связь», 1976 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Первые системы многоканальной телефонной связи, работавшие
по принципу разделения каналов по частоте и однополосной передачи, были созданы и введены в действие на кабельных линиях
Б 30-х гг. В 1936 г. появились системы 12-канальной связи по
симметричному кабелю, работавшие в спектре частот до 60 кГц, а
уже к 1939 г. была осуществлена одновременная передача по коаксиальному кабелю 240 телефонных разговоров в спектре частот
до 1 МГц. С увеличением числа каналов и сокращением расстояния между усилительными пунктами острее становилась проблема уменьшения переходных помех, возникающих в каналах из-за^
нелинейности усилителей. Д л я определения требований к усилителям нужен был математический анализ переходных помех, но 0№
не мог быть выполнен в то время из-за отсутствия подходящегск
математического аппарата. В теоретических работах по проводной
и радиосвязи использовалось общепринятое тогда представление
сигналов в виде гармонических колебаний, т. е. детерминированных процессов, тогда как многоканальный сигнал представляет собой случайный процесс.
В 1939 г. А. Л. Лубны-Герцык') предложил использовать при
расчете переходных помех представление многоканального сигнала ка'к случайной величины, расоределение вероятности которой
при очень большом числе каналов стремится к нормальному на
основании центральной предельной теоремы. Эта работа не нашла
отклика в кругах специалистов по связи и не получила дальнейшего развития, так как математический аппарат, подходящий для
анализа переходных по'Мех, еще только создавался математиками.
В 1945 г. была опубликована работа Р. А. Брокбэнка п А. А.
Уосса^), в которой был дан анализ переходных помех в каналах
многоканальной системы, вызванных нелинейностью усилителей.
Хотя анализ был выполнен при представлении многоканального
сигнала суммой гармонических колебаний разных частот, т. е. детерминированным процессом, тем не менее были получены формулы для расчета переходных помех с учетом распределения мощности продуктов нелинейности в полосе частот многоканального
сигнала, такие же, какие позже были получены в работах других
авторов при представлении многоканального сигнала случайным
процессом. Эта работа, ставшая классической, получила широкое
применение в расчетах при проектировании многоканальных систем связи, однако дальнейшее развитие теории могло основы«Электросвязь», il939, № 6, с. 63—70.
«Р1ЕЕ», part III, March, 1945, v. 92, p. 45—46.
ваться только на применении нового математического аппарата —
теории случайных процессов.
Общая теория случайных процессов создавалась в 30-х гг.,
главным образом, трудами А. Я. Хинчина и А. Н. Колмогорова.
А. Я. Хинчин разработал теорию корреляции стационарных случайных процессов 1), в которой вьивел соотношения между спектральной плотностью случайного процесса и его функцией корреляции. Несколько ранее Н. Винер получил такие же соотношения
но только для одного класса стационарных случайных процессов. Поэтому доказательство этих соотношений называют сейчас теоремой Хинчина—Винера. Еще довольно долгое время посл е ее создания радиотехники не использовали теорию случайных
лроцессов и только в середине 40-х гг. появились первые работы,
в которых эта теория была применена к анализу флуктуационных
.процессов в радиоприемных устройствах.
В 40-х гг. начала развиваться многоканальная радиосвязь,
.появились первые системы радиорелейной связи, в которых был
.'Применен тот же способ частотного разделения каналов и использовалась такая же каналообразующая аппаратура, что и в системах многоканальной связи по кабелю, но для передачи использовался радиосигнал, модулированный по частоте многоканальным
сигналом. Вследствие этой разницы в способе передачи анализ переходных помех в многоканальных системах радиосвязи оказался
значительно сложнее, чем в системах проводной связи.
В 1950 г. автор этой книги предложил использовать для анализа переходных помех в системах многоканальной радиорелейной
связи математическую модель многоканального сигнала в виде
нормального стационарного случайного процесса со сплошным
равномерным спектром и применить спектральную теорию случайных процессов. Этот путь оказался весьма плодотворным, в ре/зультате анализа были получены формулы для расчета переход-,
ных помех, возникающих при прохождении ЧМ сигнала через
тракт с неравномерной характеристикой группового времени запаздывания и через антенный фидер, не полностью согласованный
на концах. При анализе переходных помех, возникающих в групповом тракте, были получены формулы, полностью - совпавшие с
формулами Р. А. Брокбэнка и А. А. Уосса. В дальнейшем с помощью теории случайных процессов были исследованы и другие
причины появления переходных помех и разработаны методы расчета. Результаты этих исследований распространены и на появившиеся позднее системы спутниковой связи, в которых применяются частотное разделение каналов и частотная модуляция радиосигналов.
Настоящая книга представляет собой монографию, основанную
на оригинальных работах автора и посвященную анализу переходных помех и искажений в многоканальных системах р.адиоредаей«Успехи математических наук», 1938, вып. V, с. 42—51.
2) «Acta Math», 1930, v. 55, № 2—3, p. 117—258.
ной и спутниковой связи, в ней рассмотрены переходные помехи,
возникающие в групповом и высокочастотном трактах линии связи вследствие неидеальности их характеристик, переходные помели, вызванные действием радиопомех и взаимодействием нескольких радиосигналов в нелинейном ретрансляторе. Даны методы расчета искажений, возникающих при прохождении ЧМ сигнала через
тракт с заданными характеристиками. Эти методы применимы в
тех случаях, когда квазистациюнарное приближение неприменимо.
При анализе переходных помех, вызванных эхо-сигналами в антенных фидерах, мощность переходных помех в канале на выходе
линии рассматривается как случайная величина,
принимающая
различные значения в различных реализациях линии, что является
следствием случайного разброса коэффициентов отражения в различных реализациях антенных фидеров. Такой же вероятностный
подход применен к расчету переходных помех, возникающих в высокочастотном тракте. Отклонения характеристик тракта от идеальных в необходимой полосе частот рассматриваются как случайные величины, и на этой основе разработан метод определения
допусков на неравномерность характеристик, исходя из заданных
величин средней мощности переходных помех и мощности, превышаемой в малом проценте реализаций. Метод позволяет в наиболее удобной и наглядной форме предъявлять требования к характеристикам трактов, например, при заводской настройке аппаратуры или при настройке участков радиорелейной линии, исходя из
допустимой мощности переходных помех на выходе линии.
Книга, конечно, не исчерпывает всех вопросов теории переходных помех в многоканальных системах радиосвязи, в нее не включены разделы, касающиеся менее существенных причин, вызывающих переходные помехи, как, например, паразитной амплитудной
модуляции радиосигнала с последующим преобразованием AM в
ФМ, действия на частотный детектор гармоник ЧМ 1си:пнала, появляющихся на выходе амплитудного ограничителя. Д л я полноты
теории нужно было бы рассмотреть в комплексе все виды переходных помех, возникающих во всех элементах трактов линии, с "
учетом их корреляционной связи, случайного разброса характеристик и определить статистические характеристики мощности переходных помех на выходе линии. Это очень сложная задача, которая вероятно может быть решена лишь в результате труда многих авторов.
Автор надеется, что книга будет полезна радиоинженерам, знакомым с теорией вероятностей, аспирантам и научным работникам, специализирующимся в области радиорелейной и спутниковой связи. Отзывы о книге просьба направлять в издательство
«Связь» (101000, Москва, Чистопрудный бульвар, д. 2).
Г Л А В А
1
Виды искажений
и помех
в многоканальных
системах радиосвязи
и метод их
исследования
1.1. ВИДЫ И С К А Ж Е Н И Й И ПОМЕХ
В этой книге рассматриваются многоканальные системы радиосвязи, к которым относятся системы радиорелейной связи и системы спутниковой связи, использующие ретрансляторы, помещенные на искусственных спутниках Земли. Системы радиорелейной
связи появились и начали развиваться в то время, когда уже существовали системы проводной (кабельной) связи, на основе которых были созданы сети магистральной, междугородной связи.
Поэтому естественно, что в системах радиорелейной связи был
принят такой же (за малым исключением) способ многократной
передачи, как на кабельных линиях — способ частотного уплотнения. Это позволило упростить соединения радиорелейных линий
с кабельными и включать радиорелейные линии в существующие
сети связи без каких-либо затруднений.
На вход радиорелейной линии подается уже сформированный
в аппаратуре уплотнения многоканальный сигнал, представляющий собой ансамбль разделенных по частоте сигналов, передаваемых по индивидуальным каналам. Каждый такой сигнал образован путем однополосной модуляции несущего колебания сообщением, передаваемым в данном канале. Многоканальный сигнал
модулирует частоту радиосигнала, передаваемого по радиорелейной линии. Таким образом, в многоканальных системах радиорелейной связи применяются две ступени модуляции: однополосная
модуляция (ОБ) несущих колебаний индивидуальных каналов и
частотная модуляция (ЧМ) радиосигнала ансамблем однополосных сигналов индивидуальных каналов, т. е. многоканальным сигналом. При этом способе передачи образуются универсальные телефонные каналы тональной частоты с полосой эффективно передаваемых частот от 300 до 3400 Гц, которые могут использоваться
как для телефонной связи, так и для передачи телеграфных и фототелеграфных сигналов путем вторичного уплотнения, а также
для передачи цифровой информации. Объединение нескольких телефонных каналов позволяет 'организовать более широкополосный канал для передачи программ радиовещания (путем объединения двух или трех телефонных каналов) или канал для пере-
дачи цифровой информации средней и высокой скорости (объединение 12 или 60 телефонных каналов). На одной радиорелейной
линии, как правило, организуется несколько разнесенных по частоте широкополосных радиоканалов или стволов, часть из которых используется для многоканальной связи, часть — для передачи телевизионных сигналов, а часть служит резервом на случай
повреждения рабочих стволов. С ростом потребности в обмене
информацией в сети связи растут и требования к пропускной способности каждого ствола радиорелейной линии. Увеличение пропускной способности ствола связано с решением многих проблем,
из которых главной является борьба с помехами в каналах.
Помехи в телефонных каналах радиорелейной линии с частотным уплотнением и частотной модуляцией складываются из двух
составляющих: тепловых шумов и переходных помех. Тепловые
шумы вызваны тепловым движением электронов в элементах схемы, главным образом, во входных цепях приемников. Меры, необходимые для уменьшения тепловых шумов, сводятся к увеличению
мощности передатчиков, уменьшению шумовой температуры приемников, увеличению коэффициента усиления антенн, уменьшению потерь в антенных фидерах, т. е. короче говоря, к увеличению «энергетического потенциала» системы. Эти меры ясны и
хорошо изучены, хотя их осуществление в ряде случаев связано
с серьезными техническими трудностями.
Переходные помехи возникают вследствие нелинейных искажений многоканального сигнала, передаваемого по линии. Нелинейные искажения многоканального сигнала вызывают появление гармоник частот спектра многоканального сигнала и составляющих,
частоты которых представляют комбинации частот многоканального спектра. В результате в телефонных каналах появляются
токи, вызванные сообщениями, передаваемыми по другим каналам, т. е. переходные помехи. Во многих случаях переходные помехи являются главным препятствием увеличению пропускной
способности радиорелейной линии, и борьба с ними является очень
сложной задачей.
На заре развития радиорелейной связи было распространено
мнение, что применение частотной модуляции радиосигнала обеспечивает возможность получения минимальных нелинейных искажений многоканального сигнала и, следовательно, минимальных
переходных помех в каналах, для чего следует лишь получить
линейные характеристики модулятора и демодулятора и скорректировать характеристику группового времени запаздывания высокочастотного тракта. По мере развития техники радиорелейной
связи и увеличения пропускной способности радиорелейных линий
выяснялись все новые и новые причины возникновения переходных помех. Оказалось, что, буквально, во всех элементах основ•<
ного тракта радиорелейной линии могут 'возникать переходные помехи и нужны тщательная коррекция характеристик элементов и
правильный выбор их параметров для минимизации переходных
помех.
Рассмотрим основные виды переходных помех, возникающих
в каналах радиорелейных линий, и причины, их вызывающие.
На рис. 1.1 изображена структурная схема тракта радиорелейной линии, состоящей из двух оконечных (передающей и приемной) станций'и одной промежуточной станции гетеродинного типа.
/!
CmWSVH'P
А
J
Ф 'См
Е
CMWsm^r
I
т
Ш
М
щ
Е
т
Огр
ГУ
V
Рис. 1.1. Структурная схема тракта Р Р Л
Будем различать групповой тракт, по которому проходит многоканальный (групповой) сигнал, и высокочастотный тракт, по которому проходит радиосигнал, модулированный по частоте многоканальным сигналом. К элементам группового тракта относятся:
групповые усилители ГУ на входе передающей и выходе приемной
оконечных станций, модулятор М и частично демодулятор Д.
К элементам высокочастотного тракта относятся: ограничители
(Огр), усилители промежуточной частоты УПЧ, смесители См,
фильтры Ф, усилители высокой частоты УВЧ, антенные фидеры
(волноводы) В и антенны Л. В элементах группового тракта переходные помехи возникают вследствие нелинейности передаточной характеристики. В групповом усилителе эта характеристика
представляет зависимость мгновенных значений напряжения на
выходе от мгновенных значений напряжения на входе. В модуляторе — это зависимость мгновенных значений отклонения частоты от мгновенных значений напряжения, а в демодуляторе
это обратная зависимость. Нелинейность передаточной характеристики вызывает нелинейные искажения многоканального сигнала и, следовательно, переходные помехи в каналах. В элементах
высокочастотного тракта, таких, как фильтры Ф, усилители промежуточной частоты УПЧ, усилители высокой частоты УВЧ, основной причиной появления переходных помех служат неравномерность амплитудно-частотной и нелинейность фазо-частотной
характеристик, приводящие к искажению спектра ЧМ радиосигнала и, следовательно, к нелинейным искажениям модулирующего
многоканального сигнала. При прохождении ЧМ радиосигнала че-
рез элементы высокочастотного тракта возникает паразитная амплитудная модуляция радиосигнала многоканальным сигналом по
искаженному закону вследствие отклонения характеристик тракта
от идеальных. В некоторых элементах высокочастотного тракта
эта амплитудная модуляция преобразуется в фазовую, что приводит к нелинериным искал^ениям многоканального сигнала и переходным помехам. Преобразование AM в ФМ может возникать в
УПЧ вследствие изменения динамической емкости каскадов при
изменении амплитуды сигнала и особенно в амплитудных ограничителях, смесителях и в лампах бегущей волны, работающих в
усилителях высокой частоты. Во всех этих элементах фаза сигнала на выходе зависит от амплитуды сигнала на входе, что и
приводит к преобразованию AM в ФМ. Неполное подавление паразитной амплитудной модуляции в ограничителе также приводит
к появлению переходных помех, так как изменение амплитуды сигнала, воздействуя на частотный дискриминатор, вызывает нелинейные искажения демодулированного многоканального сигнала.
В антенных фидерах вследствие отражений сигнала от концов фидера (при неполном согласовании) и от стыков секций возникают
эхо-сигналы или попутные потоки, запаздывающие относительно
основного сигнала. При воздействии основного сигнала и запаздывающего эхо-сигнала на частотный детектор возникают нелинейные искажения многоканального сигнала. На участке распространения радиосигнала между антеннами соседних станций могут появиться отраженные от земли или от неоднородностей тропосферы запаздывающие эхо-сигналы, что также вызовет появление переходных помех. Наконец, есть еще одна причина возникновения переходных помех — это радиопомехи. Если на приемник
действуют полезный ЧМ сигнал и помеха, причем спектры сигнала и помехи перекрываются, то в телефонных каналах появляются переходные помехи, определяемые перекрытием спектров.
Даже, если спектры сигнала и помехи не перекрываются, могут
возникать переходные помехи вследствие преобразования AM в
ФМ в элементах высокочастотного тракта. Радиопомехи можно
разделить на внутренние, возникающие внутри самой радиорелейной системы, и внешние, вызванные другими системами или другими радиоэлектронными средствами.
На рис. 1.2 изображен план частот для восьми радиоканалов
(стволов) многоканальной радиорелейной системы. План основан
на следующих основных принципах: для каждого ствола выделяются всего две частоты (для передачи и приема), все частоты
передачи размещаются в одной половине выделенной полосы, а
частоты приема — в другой, для соседних стволов используются
разные антенны и разные поляризации волн, частоты местных гетеродинов размещаются в интервалах между рабочими частотами
стволов, а частоты зеркальных каналов — внутри полосы, выделенной для системы. Все частоты кратны частоте задающего кварцевого генератора /к, причем расстояние между частотами соседних стволов равно 2/к, минимальное расстояние между частотами
приема и передачи — З/к, а промежуточная частота равна 5/к.
Как видно из рис. 1.2, зеркальные частоты некоторых стволов совпадают с рабочими частотами других стволов. Так, например,
зеркальные частоты стволов 1, 2, 3 совпадают с рабочими частотами стволов 6, 7, 8 и, наоборот, зеркальные частоты стволов
1
2 3
i! 5
6 7 S
Г 2' Г
5' 6' 7' 8'
Рис. 1.2. План частот м^но'гоствольной радиорелейной системы:
I. Р а б о ч и е частоты; II. Частоты
III. Зеркальные частоты
гетеродинов;
в, 7, 8 совпадают с рабочими частотами стволов 1, 2, 3. Следовательно, возможно возникновение взаимных помех между стволами системы.
Внутри системы возможны и другие помехи вследствие приема
сигнала с обратного направления и приема через три пролета.
На рис. 1.3 изображена схема, поясняющая возникновение таких
Рис. '1.3. Схема возиикиовеиия помех на трассе Р Р Л :
1. 2, 3,
номера
станций
помех. На каждой станции линии при работе по плану частот^
аналогичному изображенному на рис. 1.2, приемники обоих направлений связи работают на одной частоте, но на разные антенны. Если антенна имеет недостаточное защитное действие от приема с обратного направления, то в каждый приемник, кроме полезного рабочего сигнала, попадает и сигнал с обратного направления, являющийся помехой. Частоты передачи и приема меняются
местами от станции к станции, поэтому на станции 4 частоты
приема оказываются такими же, как на станции 2. При некоторых условиях, например при повышенной рефракции, станция 4
может принимать сигнал не только от станции 3, но и от станции
а так как время распространения этих сигналов различно (сигнал от станции 1 опаздывает относительно сигнала от станции 3),
то появятся помехи, аналогичные тем, которые возникают в антенных фидерах из-за эхо-сигналов. Д л я борьбы с этими помехами трасса линии прокладывается по ломаной линии, а углы ai и аг
выбираются по диаграмме направленности антенны из условия
необходимого ослабления помехи.
Из внешних радиопомех отметим помехи, создаваемые системами спутниковой связи, работающими в тех же полосах частот,
что и радиорелейные линии.
Другим видом многоканальных систем радиосвязи являются
системы спутниковой связи. Линия спутниковой связи, включающая передающую земную станцию, ретранслятор на спутнике и
приемную земную станцию, отличается от радиорелейной линии
тем, что промежуточная станция (ретранслятор) помещена на спутнике, и тем, что передатчик оконечной (земной) станции имеет значительно большую мощность, а приемник — большую чувствительность, чем передатчик радиорелейных станций. На спутниковых
линиях связи так же, как и на радиорелейных, применяют частотное уплотнение тракта и частотную модуляцию сигнала, т. е. две
ступени модуляции: однополосную AM и ЧМ. Существенная особенность систем спутниковой связи по сравнению с другими системами связи заключается в том, что земные станции осуществляют
связь между собой через один ретранслятор на спутнике и образуют сеть связи. При этом сигналы земных станций проходят через одни тракт ретранслятора и осуществляется так называемый
«мпогостанционный доступ» к ретранслятору. Существует несколько способов многостанционного доступа, но в системах с частотным уплотнением и частотной модуляцией применяется многостанционный доступ с разделением сигналов земных станций по
частоте. При этом в полосе высокочастотного тракта ретранслятора размещается несколько сигналов, несущие частоты которых
разнесены друг от друга так, чтобы спектры сигналов практически
не перекрывались.
В системах спутниковой связи помехи в телефонных каналах
также складываются из двух составляющих: тепловых шумов и
переходных помех. Энергетический потенциал спутниковой линии
меньше, чем радиорелейной, но зато отсутствуют замирания сигнала и нет накопления шумов, так как линия состоит только из
двух участков с одной промежуточной станцией. Применение на
земных станциях антенн с большим усилением и малошумящих
параметрических усилителей, охлаждаемых жидким азотом или даже парами гелия, позволяет удержать уровень тепловых шумов в
каналах в допустимых пределах. Переходные помехи в системах
спутниковой связи имеют столь же важное значение, как и в радиорелейных системах. В элементах земных станций и ретранслятора, аналогичных элементам оконечных и промежуточных станций радиорелейной линии, возникают такие же виды переходных
помех, как перечисленные выше. В отличие от радиорелейной ли-
НИИ, в спутниковой линии переходные помехи на участках распространения радиоволн не возникают, так как отсутствуют эхо-сигналы. Зато на спутниковых линиях возникает другой вид переходных помех, который на радиорелейных линиях не существует,
этот вид помех вызван прохождением сигналов нескольких земных станций через один ретранслятор. Вследствие нелинейности
передаточной характеристики ретранслятора и преобразования
AM в ФМ в ретрансляторе образуются продукты нелинейности.
Продукты нелинейности нечетных порядков (главным образом,
третьего порядка) попадают в полосы сигналов земных станций и,
действуя как радиопомехи, вызывают появление переходных помех в каналах. Эти радиопомехи являются внутренними для данной системы, а внешние радиопомехи могут создаваться другими
системами спутниковой связи и наземными радиорелейными линиями, работающими в тех же полосах частот.
•Как видно из приведенного краткого обзора, имеется много
причин возникновения переходных помех в каналах многоканальных систем радиосвязи. Изучение этих причин и определение необходимых мер борьбы с помехами имеют важное значение для разработки и проектирования систем многоканальной радиосвязи.
В последующих главах книги рассмотрены переходные помехи,
возникающие в групповом и высокочастотном трактах, в антенных фидерах и на участках распространения радиоволн, а также
вызванные действием радиопомех. Кроме того, рассмотрены линейные искажения передаваемого сообщения, вызванные отличием
характеристик высокочастотного тракта от идеальных. В результате анализа получены формулы, пригодные для инженерного расчета переходных помех и определения требований к элементам
тракта, обеспечивающих допустимую величину помех.
1.2. МЕТОД А Н А Л И З А
Нелинейные искажения многоканального сигнала выражаются
в появлении продуктов нелинейности, т. е. составляющих с частотами, кратными частотам многоканального сигнала, и составляющих, частоты которых являются комбинациями разного порядка
из частот многоканального сигнала. Часть продуктов нелинейности попадает в полосу многоканального сигнала и вызывает переходные помехи в каналах. Очевидно, что наиболее подходящим
методом анализа переходных помех является спектральный метод,
позволяющий найти распределение продуктов нелинейности в
спектре полезного сигнала и определить их величину.
Многоканальный сигнал является случайным процессом, поэтому следует избрать метод спектрального анализа случайных
процессов. Выпишем основные формулы и соотношения из теории
случайных процессов, которые используем в последующих главах
для анализа переходных помех.
Если случайный процесс l{t)
имеет одномерную и двумерную функции распределения вероятностей
{х, t) 1И W2{xi, X'i, ti, 4 ) , ТО его числовые характеристики
определяются следующими формулами.
Среднее значение или математическое ожидание
00
М [I(01
^ XW, {х, t) dx = а^(/).
00
Дисперсия
00
D [I (01 =
(О - W
=
j
-
«I (О)'
О
dx = ( j | (/).
00
Корреляционная функция
t,) = М
00 00
it,) - а^ it,)] \1 {t,) - а^ т
=
—00 —00
В большинстве случаев в дальнейшем анализе встречаются
стационарные случайные процессы функции, распределения вероятностей которых не зависят от положения начала отсчета времени. Если одномерная функция распределення Wi(x) не зависит
от времени, а двумерная функция W2ixu Х2, т) зависит тишь от
разности
— т о
J x w M d x = a^,
—00
(1.1)
00
D [Е(0] =
j [x~a^fw,ix)dx=Gl,
—00
(1.2)
00 00
f
(1.3)
00
oo
Процесс, у которого среднее значение и дисперсия не зависят
от времени, а корреляционная функция зависит только от разности — н а з ы в а е т с я стационарным в широком смысле. При
анализе переходных помех применяется корреляционная теория,
в которой используются распределения не выше двумерного и
моменты не выше второго порядка, поэтому в рамках этой теории
рассматриваются процессы, стационарные в широком смысле.
Будем пользоваться результатами спектральной теории стационарных случайных процессов, разработанной А. Я. Хинчиным, согласно которой корреляционная функция и спектральная плотность
стационарного случайного процесса связаны между собой преобразованиями Фурье:
00
(со) COS md(D,
г}), (т) = 1*
6
(1.4)
00
\r,((0) = А
Я
Гя1).(т;)С05(ОТ^Т.
J S
о
(1.5)
функция W^ ((о) является спектральной плотностью мощности
стационарного случайного процесса, и среднюю мощность процесса можно выразить через интеграл от спектральной плотности.
Действительно, из (1.4) легко получить выражение дисперсии процесса, пропорциональной средней мощности, если принять т = 0:
00
^
(0] =
(0) = f
6
(со) d CO.
(1.6)
тех случаях, когда будут встречаться нестационарные случайные процессы, у которых корреляционная функция зависит от
времени, будем усреднять ее на бесконечном интервале и обозначать волнистой чертой сверху:
L.
1
tg(T)-lim~
%{t,%)dt.
(1.7)
Т-*оо
2
В таких случаях можно говорить об усредненной во времени
спектральной плотности мощности процесса
которая связана с усредненной функцией корреляции соотношениями, аналогичными (1.4) и (1.5):
M'l ('С) =
J W'l (со) cos
о
(ОТ (О,
(1 8)
00
^
{^^^cosmdx.
(1.9)
о
Корреляционная теория очень хорошо подходит для анализа переходных помех в многоканальных системах связи. Рассмотрим
ооновные этапы этого анализа.
Многоканальный сигнал на выходе группового тракта всегда
можно представить в виде
(1.10)
U*{t) = U{t) + B{i),
где U(t)—неискаженный
многоканальный сигнал;
&{t)—продук^
ты нелинейных искажений.
Обычно 8 ( 0 т а к ж е является стационарным случайным процессом.
Следующий шаг заключается в нахождении корреляционной
функции П1р0дукт0|В нелинейных искажений. Если процесс г{() является некоторой функцией процесса U(t), т. е. &{t)
(t)], то
очевидно, что
\
(т) = 8(/)8(/Н-т) -
=
оо
00
J
J /M f M w ,
оо
00
а:^, т) dx,dx„ (1.11)
где W2{xi, Х2, т) — д в у м е р н а я функция распределения U(t). Обычj^o среднее значение процесса e{t) равно нулю: &{t)=0, так как
постоянной составляющей в тракте нет.
Нужно иметь в виду, что необходимо взять только ту часть продуктов нелинейных искажений, которая некогерентна с самим многоканальным сигналом U(t), так как продукты, когерентные с
lJ(t), не создают переходных помех, а лишь изменяют уровни сигналов в каналах системы. Обычно удобнее учесть когерентный
продукт в корреляционной функции процесса
Это легко сделать, если корреляционная функция'ф ^ (т) может быть представлена в виде некоторой функции ^[/(т), т. е.
Тогда когерентный продукт соответствует линеинои части этой
функции
'dFjx) dx Jx=o
Таким образом, корреляционная функция продуктов нелинейных
искажений с вычетом когерентного продукта равна
если
Д а л е е нужно найти спектральную плотность мощности
дуктов нелинейных искажений по ф-ле (1.5):
про-
00
\V,{Q)=—^y^l{x)cosQxdx.
(1.13)
jt
о
We (Q) называют т а к ж е энергетическим спектром процесса
e{t).
З н а я We (Й), легко найти мощность переходных помех, создаваемых продуктами нелинейных искажений в телефонном канале,
средняя частота которого в групповом спектре равна Qk- Эта мощность, очевидно, равна
1
=
^к+-2
J
\Ve{Q)dQ,
2
?
К 2
где AQk — ширина полосы телефонного канала; R — сопротивление
нагрузки.
Так как полоса телефонного канала АЙн много у ж е полосы
всего группового тракта, то приближенно можно считать, что
спектральная плотность помех постоянна в пределах полосы одного канала. Нужно учесть еще псофометрнческий коэффициент,
отражающий восприятие компонент различных частот человеческим ухом и телефоном, и характеристику предыскажений многоканального сигнала.
с учетом этого получим выражение псофометрической мощности переходных помех в телефонном канале со средней частотой
Qk 'на С10)П|р0т;ивле1Нии R
i
где к;п = 0,75 — псофометрический коэффициент; B^(йк) — коэф—
фициент передачи предыскажающего четырехполюсника на частоЯ
те Qk1
В этой же точке тракта средняя мощность многоканального
сигнала, очевидно, равна
Уровень средней мощности многоканального сигнала в какой-либо точке группового тракта
lOlg
^ = (Рк +
1 мВт
Рср).
где рк — измерительный уровень канала в этой точке; рср — разность между уровнем средней мощности многоканального сигнала
и измерительным уровнем канала, называемая уровнем загрузки
тракта, дБ.
Средняя мощность (в мВт) многоканального сигнала на сопротивлении R может быть выражена через уровень загрузки:
^ср -
-
^^
Из этого выражения найдем R и подставим в (1.14), умножим полученное выражение на 10^, чтобы перейти от милливатт к пиковаттам,
В результате окончательно получим (в пВт)
(U5)
При анализе переходных помех, возникающих в высокочастотном тракте, рассматривается прохождение через тракт радиосигнала, модулированного по частоте многоканальным сигналом:
i^BX (О = «о c o s IcOo^ н - 5 (/)],
t
где 5(/) = См
\U{t)dt,
—т
'—Т — момент включения модуляции; См — крутизна характеристики модулятора.
Сигнал на выходе тракта представляется в виде
«вых (О =
ф COS W
+ 5 (/) - f 0 (01.
Такая запись показывает, что после прохождения через тракт
радиосигнал получил дополнительную модуляцию по амплитуде
и фазе.
16
На выходе идеального частотного детектора
сигнал с продуктами искажений будет
многоканальный
at
где Сд — крутизна характеристики демодулятора.
Удобно считать, что остаточное затухание полного тракта от
входа модулятора до выхода демодулятора равно нулю, тогда
Сд=|1/См и
U*{t) = U{t)-i--^-^Q{t).
'-м dt
(1.16)
Для определения мощности переходных помех можно воспользоваться ф-лой (1.15), приняв
t-M
(U7)
dt
и найдя далее корреляционную функцию и энергетический спектр
процесса 8(/). Однако задачу можно упростить, если воспользоваться теоремой о спектре производной случайного процесса.
В соответствии с этой теоремой между корреляционными функциями процессов 0(/) и е ( / ) =
существует соотношание
'-м dt
=
(1.18)
а энергетический спектр производного процесса равен
(IJ9)
Соотношения (1.18) и (1.19) справедливы, если процесс 0 ( 0
дифференцируем в среднем квадратичном, что верно при условии ограниченности xJjq (т), т. е. при условии
Ушур'Мфоо.
(1.20)
т-»0
Если условие (1.20) соблюдено, то можно подставить (1.19) в
(1.15) и получить выражение мощности переходных помех (в
пВт) в телефонном канале через спектральную плотность фазовой
ошибки 0 ( / ) :
= Ю'' ^
10е.
(1.21)
Дсо^БМОк)
При выводе этого выражения учтено, что ij^u- (0) С^^ = Дсо^э, где
Асоэ — эффективная величина девиации частоты радиосигнала многоканальным сигналом.
Если эффективное напряжение Мк соответствует измерительному уровню в канале, равному рк, дБ, то, очевидно, что
R
и эффективная величина девиации частоты радиосигнала, соответствующая измерительному уровню рк, равна
Аюк = С м Мк.
Средняя мощность многоканального сигнала
р = 10°'' ^
= ^^ ^^^ _
R
А .
R
'
Отсюда получим
Умножим числитель и знаменатель этого отношения на Chi, тогда
и
=
(1.22)
Подставив (1.22) в (1.21), получим мощность переходных помех (в пВт)
52 (Qj.)
VAcoj^
(1.23)
в этом случае задача сводится к нахождению корреляционной
функции фазовой ошибки Q{t) и ее энергетического спектра Щ
Из корреляционной функции il^e (т) т а к ж е необходимо исключить
часть, соответствующую когерентному продукту.
Формулы (1.15) и (1.23) будут применяться в последующих
главах для расчета мощности переходных помех в каналах.
Г Л А В А
2
Многоканальное
сообщение и сигнал
2.1. МНОГОКАНАЛЬНОЕ СООБЩЕНИЕ
И ЕГО МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
В системах многоканальной связи с частотным уплотнением
отдельные, индивидуальные сигналы передаются путем амплитудной модуляции несущих колебаний различных частот с подавлением несущей и одной боковой полосы частот. Таким образом,
многоканальный сигнал представляет собой сумму преобразованных по частоте индивидуальных сигналов, передаваемых по каналам. В дальнейшем, ради упрощения терминологии, хотя и допуская некоторую неточность, будем называть многоканальный
сигнал просто многоканальным сообщением, так как в системах
многоканальной радиосвязи, которые здесь рассматриваются, многоканальный сигнал модулирует частоту радиосигнала. Радиосигнал будем в дальнейшем называть просто сигналом.
Итак, многоканальное сообщение, имеющее размерность напряжения, является суммой индивидуальных сообщений, передаваемых по каналам:
п
=
(2.1)
Уило-
Очевидно, что индивидуальные сообщения независимы друг от
друга, так как представляют собой разговорные напряжения разных абонентов, или различные телеграфные, фототелеграфные и
другие сообщения. Число индивидуальных сообщений п в выражении (2.1), вообще говоря, не равно числу каналов в системе N.
Оно равно числу «активных» каналов, по которым в данный момент передаются сообщения.
Число активных каналов п является случайной величиной, подчиняющейся биномиальному закону распределения вероятностей.
Вероятность того, что в системе из N каналов п являются активными, равна
Р{п) =
N1
п1 {N — n)l
т " ( 1 - т)''-"
где т— вероятность активного состояния одного канала.
(2.2)
^Каждое индивидуальное сообщение, передаваемое по каналу
связи, можно рассматривать как случайный процесс, характеризуемый определенными статистическими характеристиками. Различают стационарные и нестационарные случайные процессы. Стационарным (в узком смысле) случайным процессом называется
такой процесс функции, распределения вероятностей (любого порядка) которого не зависят от положения начала отсчета времени. Результаты многочисленных измерений статистических характеристик сигналов связи (сообщений) показывают, что эти сигналы (сообщения) обладают свойством стационарности. Следовательно многоканальное сообщение, являющееся сум1м0й индивидуальных сообщений, представляет собой стационарный случайный процесс. Стационарность многоканального сообщения проявляется в течение достаточно большого промежутка времени, когда
условия работы многоканальной системы связи приблизительно
постоянны. Таким промежутком времени обычно считают так называемый час наибольшей нагрузки ( Ч Н Н ) , в течение которого
число активных каналов в системе максимально.
Известно, что статистические свойства случайного процесса
можно охарактеризовать с помощью я-мерной функции распределения (/г-мерной плотности вероятностей) и тем точнее, чем больше п. Д л я исследования искажений в многоканальных системах
связи достаточно знать двумерный закон распределения вероятностей многоканального сообщения и соответственно моменты распределения первых двух порядков: среднее значение, дисперсию и
корреляционную функцию. Двумерный закон распределения вероятностей многоканального сообщения, в принципе, можно найти, если известны соответствующие законы распределения индивидуальных сообщений и их моменты. Такой путь определения статистических характеристик многоканального сообщения чрезвычайно сложен. С другой стороны, очевидно, можно указать некоторый предельный закон распределения, к которому стремится
функция распределения многоканального сообщения при неограниченно1М возрастании числа индивидуальных соо^бщений. Это следует из центральной предельной теоремы теории вероятностей.
Согласно центральной предельной теореме закон распределения
суммы независимых случай.чых величин, имеющих
одинаковые
функции распределения, по мере увеличения числа слагаемых
стремится к нормальному независимо от вида распределения слагаемых. Необходимым условием являются существование средних
значений и дисперсий слагаемых и конечность этих величин. Эта
теорема справедлива при некоторых дополнительных предположениях и тогда, когда функции распределения слагаемых неодинаковы. Она распространяется и на многомерные распределения и, следовательно, на двумерные. В работе А. Л. Лубны-Герцык [2.1]
центральная предельная теорема была впервые применена для
обоснования нормального закона рспределения вероятностей мгновенных значений многоканального сообщения и для расчета переходных помех в многоканальных системах.
Однако на основании одной только центральной предельной
теоремы нельзя сказать, при каком числе каналов распределение
мгновенных значений многоканального сообщения достаточно
близко к нормальному. Ответ на этот вопрос могут дать экспериментальные исследования. В работе Хольбрука и Диксона [2.2]
изложены результаты фундаментальных теоретических и экспериментальных исследований статистических характеристик многоканальных сообщений. В частности, в этой работе приведены результаты измерений р а ш р е д е л ш и я мгновенных значений разговорных напряжений при числе одновременных разговоров, равном
1, 4, 16 и 64. Показано, что при 64 разговорах распределение весьма близко к нормальному. По данным некоторых измерений, проведенных на отечественных системах связи и изложенных в работе В. М. Белоуса [2.3], распределение мгновенных значений многоканального сообщения близко к нормальному уже при числе каналов, равном 24. Отсутствие достаточно полных данных экспериментальных измерений распределения многоканального сообщения не позволяет пока точно определить, при каком числе каналов
в системе распределение можно считать нормальным. Очевидно,
что это число каналов зависит и от вида передаваемых сообщений. Тем не менее, основываясь на имеющихся неполных данных,
можно принять, что распределение приблизительно нормально при
числе каналов, большем 60.
Д л я анализа помех и искажений в многоканальных системах связи необходимо принять какую-либо математическую модель многоканального сообщения^
наиболее полно отражающую его основные свойства и в то же время удобную
для анализа. Такая модель, являющаяся сейчас общепринятой, была предложена автором в 1950 г., опубликована в документах Международного консультативного комитета по радио (МККР) в 1954 и ,в 1956 гг. в работе [2.4].
Модель представляет собой нормальный стационарный случайный процесс
U(t) с нулевым средним значением
M[U{t)) = U{r) = 0
и двумерной функцией распределения
) =
1
,/-—22ncbVl-Rl
(
ехр I
1 ( 1 - 4 )
.
(2.3)
где U=U{t)\
a'^u = D(U)—mcuepcm
процесса; Яи='Яи{т:) —
коэффициент корреляции процесса U(t), являющийся функцией разности времен т, так как процесс стационарный.
Энергетический спектр процесса U(t) принят равномерным и ограниченным:
(Q) = Wo в полосе
< Q <
(Q) = О
при Q <
и Й > Qg, j
1'Де Qi и Q2 — граничные частоты спектра многоканального сообщения.
Допущение о равномерности и ограниченности энергетического спектра,
принятое в модели, не совсем строго, так как не учитывает защитные полосы
между каналами и группами каналов и неравномерность спектра в канале.
Однако это допущение не может привести к существенным ошибкам в расчетах,
особенно при больщом числе каналов, но очень упрощает анализ.
Реализация рассмотренной модели многоканального сообщения сейчас широко применяется для испытаний многоканальных систем связи. .МККР
в
1056 г. реком&ндовал для испытаний многоканальных радиорелейных систем имитировать многоканальное сообщан'ие флуктуационпым шумом с равномерным и
огра1Ниче.ш1ьш спектром. Разработаны специальные-измерительные приборы, предназначенные для загрузки тракта многоканальных систем «белым» шумом и
измерения мощности переходных помех в каналах. Первые отечественные приборы и их применение описаны в работах А. И. Зудакина [2.5] и [2.6].
]
i
;
^
2.2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И
МНОГОКАНАЛЬНОГО СООБЩЕНИЯ
Как уже упоминалось, для целей исследования искажений достаточно знать
такие статистические характеристики многоканального сообщения, как двумерное распределение и моменты первых двух порядков. Двумерное распределение
мы приняли нормальным, а первый момент (среднее значение) — равным нулю.
Остановимся подробнее на определении моментов второго порядка. Найдем
смешанный момент второго порядка или корреляционную функцию многоканального сообщения. Энергетический спектр многоканального сообщения в соответствии с (2.4) равномерен и ограничен. Корреляционная функция, согласно
теореме Винера—Хинчииа, определяется преобразованием Фурье от энергетического спектра (1.4):
00
% (г) ==иЩГ{Г^Т)== ^ W^ {Q) COS QxdQ,
(2.5)
о
где черта сверху обозначает усреднение по множеству.
Подставив сюда выражение (2.4), получим
С
sinQaT — s i n Q , t
^p^{x)=Wo\cosQtdQ=Wo
^
(2.6)
Приняв в (2.6) т = 0 , получим дисперсию многоканального сообщения
=
(2.7)
Поскольку процесс U(t) имеет размерность напряжения, то его
мощность на сопротивлении R равна
средняя
UHt)
Рс^ =
=
=
( Й 2 - ^i)-
/2.8)
Величина средней мощности многоканального сообщения определяет загрузку группового тракта системы. Загрузку тракта принято характеризовать уровнем, выраженным в децибелах по отношению к измерительному уровню канала.
В точке тракта с измерительным уров1нем рц, дБ, средняя мочность (в мВт)
загрузки равна
10°'^ ( ^x+^cp)-,
(2.9)
где рср — уровень загрузки, дБ.
Приравняв (2.8) и (2.9), получим (в мВт)
0,1 (р+р
=
( Q a - Q i ) = Ю"'' (
)
^ср) .
(2.10)
Это выражение потребуется при дальнейшем анализе.
Д л я выравнивания мощности шума в каналах многоканальных систем радиосвязи с частотным уплотнением и ЧМ обычно применяют предыскажения
многоканального сообщения (перекос уровней), при которых уровни передачи
верхних каналов несколько повышаются, а }шжних — понижаются. Это досх»-
гается включением в т р а к т передачи перед модулятором четырехполюсника с соответствующей частотной характеристикой (предыскажающего четырехполюсника). В т р а к т е приема
после д е м о д у л я т о р а включается восстанавливающий четырехполюсник с обратной частотной характеристикой.
М К К Р рекомендует д л я многоканальных
радиорелейных систем связи частотную х а р а к теристику предыскажающего четырехполюсника, показанную на рис. 2.1. Форма этой характеристики такова, что средняя мощность загрузки т р а к т а практически не изменяется при
включении предыскажающего
четырехполюсника. Т а к а я ж е характеристика предыскажений
применяется и в системах спутниковой связи.
Обозначим к в а д р а т модуля коэффициента
передачи предыскажающего четырехполюсниРис. 2.;1. Характеристика прека через B^{Q).
Д л я характеристики, представленной на дыскажений, рекомендованных
МККР
рисунке, модуль коэффициента передачи (в
дБ) определяется по формуле
2 0 1 g B ( Q ) = 5 — lOlg
6,90
1+
(2.11)
5,25
1 + (Qp/Q -
Q/Qp)2
ГАе Q p = 1,25^2 — резонансная частота.
Эта характеристика хорошо аппроксимируется выражением
52 (Q)
0 , 4 + 1,35 (Q/Qa)^ + 0 , 7 5 (Q/Qa)*
(2.12)
при
В случае применения предыскажений энергетический спектр многоканального сообщения на входе модулятора будет описываться выражением
(Q) =
(Q)
ITo [0,4 - f 1,35 (Q/Q^)» + 0 , 7 5 (Q/Qa)']
в полосе
при
(2.13)
Qa,
Q<QihQ>Q2.
Л е г к о убедиться, что средняя мощность многоканального сообщения после
введения предыскажении практически не изменилась. Д л я определения средней
мощности проинтегрируем плотность энергетического спектра (2J1.3) в полосе
многоканального сообщения:
^СР
1 '
= — I
--J
Wa
00,6/
,6/
1
г
( ^ 2 - ^i) 1l + i " 1 + ^
где р = Й2/Й1.
Т а к как в многоканальных
(2.14) будет
R
Р \
системах
\ /
Р / V
0,25
1+-0,-
обычно |5 = Q 2 / ^ i > i l ,
(2.14)
р-
то
выражение
(Qa- Qi),
что совпадает с (2.7).
Найдем теперь корреляционную функцию многоканального
использовании предыскажений. Подставив в (2.5) выражение
спектра (2.13), получим после интегрирования:
сообщения при
энергетического
% п р (f) = J ^с/пр (Q) CCS Qt d fi = w J 0,4 •
sinQgT — sin QjT
n
1,35
Q^sinQ.t-QjsinQiT
Q^ cos Q^x -
+
Q^ cos Q,x
t2
sin QgT — sin Q j t
й | cos Й2Т— Q? cos
QgSinQgT— Q j S i n Q i t
0,75
+
fijT
sin Q^x — fij sin fi^x
12
+ 4
cos QaT —
24
cos QiT
24
sin Qgf — sinQiT
t5
(2.15)
Это выражение может быть записано в более компактной форме. Известно [2.7], что энергетический спектр п-н производной стационарного в широком
смысле случайного процесса U(t) равен
W(7(Q), а соответствующая ему корреляционная функция равна производной порядка (2/г) корреляционной функции исходного процесса:
й.
(т) = ( - 1 ) ' ^ f
(Q) cos
QxdQ.
Используя эти соотношения при определении корреляционной функции многоканального сообщения после предыскажений, получаем
[ 0 , 4 + 1 , 3 5 (Q/Q2)2-f 0,75 (Q/^a)^] c o s Q T d Q =
0А%
{X)-
1.35/Q-^
(т) + 0 , 7 5 / f i | y^jf (т),
(2.16)
где г|зс; (т) определяется выражением (2 6).
Итак, выше получены выражения корреляционной функции многоканального сообщения при отсутствии предыскажений — ф-ла (2.6) и при использовании предыскажений — ф-лы (2.115), (2.16), а также выражение дисперсии —
ф-ла (2.7). При принятых допущениях многоканальное сообщение, как случайный процесс, характеризуется одной численной характеристикой: средней мощностью Рср, или уровнем средней мощности рср, выраженным в децибелах.
Уровень средней мощности (или уровень загрузки тракта), очевидно, зависит от числа активных каналов и от вида передаваемых по каналам сообщений.
Этот уровень максимален в час наибольшей нагрузки (ЧНН), поэтому помехи
и искажения в многоканальных системах связи рассчитываются при уровне
средней мощности в час наибольшей нагрузки.
Международный консультативный комитет по телефонии и телеграфии
(МККТТ) рекомендует определять уровень загрузки (дБ) в ЧНН по формуле
РсР = Р1 + l O l g A ^ ,
(2.17)
где
N — число телефонных каналов в системе (Л^^240);
Pi — абсолютный уровень средней мощности, дБ, токов, загружающих телефонный канал в ЧНН в точке с нулевым относительным уровнем.
Формула (2.|17) основана на независимости сообщений, передаваемых по
разным каналам системы.
На основании данных многочисленных измерений, проведенных во многих
странах, МККТТ рекомендовал величину pi принять равной —15 дБмо, что
соответствует мощности 32 мкВт. Эта величина является средней для большого
числа телефонных каналов и учитывает разговорные токи (включая эхо), токи
тонального вызова, остатки несущих токов и телеграфные сигналы (в небольшом проценте каналов). Она учитывает также, что в многоканальных системах
в ЧИН каждый канал занят в среднем в течение 70% времени, причем, в течение 25% говорит абонент на одном конце канала, в течение 25% — на другом
конце, а паузы между разговорами и розыски корреспондентов занимают 20%
времени. Другими словами, вероятность активного состояния канала принята
равной т=0,25.
Для систем с числом каналов от 12 до 240 МККТГ и М К К Р рекомендуют
определять уровень загрузки (в дБ) по эмпирической формуле
=
+
(2.18)
При Л^=2140 величина загрузки по ф-ле (2.18) совпадает с величиной, полученной по ф-ле (2.17) при p i = — 1 5 дБ. Эти рекомендации не учитывают передачу
по большому числу каналов системы других видов информации (телеграф, фототелеграф, бинарная информация, вещание).
Д. Р. Бубманом в {2.8] предложен метод расчета статистических характеристик многоканального сообщения, который позволяет учесть различные варианты загрузки системы всеми видами сообщений. Согласно этому методу
среднюю мощность многоканального сообщения в ЧИН можно определить по
формуле
Рср = РтфЛ^тФ + ^'тгЛ'тг + ЯфтЛ^фт + Р д ^ я + Р в ^ в .
(2.19)
где
Ртф — средняя мощность загрузки одного телефонного канала при телефонной
передаче;
Ртг — то же, при телеграфной передаче;
Рфт — то же, при фототелеграфной передаче;
Рд — то же, при передаче данных (бинарной информации);
Рв — средняя мощность загрузки канала вещания, образованного из двух или
трех телефонных каналов;
Л^тф, N^т, Л'фт, Л^д — число телефонных каналов в системе, используемых соответственно для телефонных разговоров, телеграфной, фототелеграфной передачи
передачи данных;
Л'в — число каналов вещания, образованных из двух или трех телефонных каналов.
В работе [2.9] того же автора приведены результаты измерений уровней
абонентских речевых сигналов в телефонных каналах отечественных систем связи. По этим результатам, а также результатам измерений уровней речевых
сигналов телефонисток, сигналов установления соединений и вероятностей активного состояния канала при передаче этих сигналов получены следующие
величины средней мощности загрузки одного телефонного капала в ЧНН при
телефошюй передаче и при разных способах соединения:
Способ соединения: Ртф, мкВт:
ручной
54,6
полуавтоматический
64,3
• автоматический
39,0
Средние
ниже:
. Ртг=
Яфт=
Рд=
Рв=
Рв=
мощности загрузки при передаче других видов информации даны
135
640
50
780
920
мкВт
мкВт
мкВт
мкВт
мкВт
(тональный телеграф ЧМ);
(AM) или 100 мкВт (ЧМ);
или 100 мкВт (при ограничении числа каналов);
(первая союзная программа);
(программа «Маяк»).
в системах с большим числом каналов (Л^^бОО) в среднем, при типовых
з а г р у з к а х , уровень средней мощ.ности многоканального сообщения рср м о ж е т
быть определен по ф-ле (2Л,7), если принять p i = — i l 2 , —13 д Б , т. е. на 2 — З д Б
выше величины, рекомендованной М К К Т Т и М К К Р .
Приведенные выше величины средней мощности загрузки телефонных каналов являются средними д л я часа наибольшей нагрузки, т. е. д л я интервала
стационарности многоканального сообщения. Однако в течение Ч Н Н мощность
загрузки изменяется в значительных пределах вследствие изменения числа активных каналов, изменения уровней речевых сигналов разных п а р а.бояет1тов,
изменения с о д е р ж а н и я программ вещания (речь, музыка) и т. д. Следовательно,
мощность многоканального сообщения является случайной величиной. Ее среднее значение, т. е. средняя мощность в Ч Н Н , м о ж е т быть определена по ф-ле
(2.19) и по средним величинам мощности индивидуальных сигналов, приведенным выше, а отклонение мощности от среднего значения характеризуется дисперсией. Согласно [2.8], на основании статистической независимости индивидуальных сигналов, дисперсия мощности многоканального сообщения может быть
определена как сумма дисперсий мощности этих сигналов
D{P) = D (Рхф) Л^тФ + D (Рфт) Л^фт + D (Рв) УУв,
(2.20)
где В(Р1ф), D(P(^t), D(Pjs) — дисперсии мощности сигналов соответственно при
телефонной, фототелеграфной передаче и передаче сигналов вещания. Мощности
сигналов тонального телеграфа и бинарной информации постоянны и их дисперсии равны нулю.
Величины дисперсий мощности индивидуальных сигналов, определенные по
экспериментальным данным, приведены ниже.
Способ соединения: Дисперсия мощности D (Ртф), мкВт^:
ручной
80-102
полуавтоматический
146-110*
автоматический
69,5-lO^
Дисперсии мощности сигналов вещания: £ ) ( Р в ) = 25-10* мкВт^ (первая союзная программа) и D ( P s ) = 4 8 - 1 0 ^ мкВт^ (программа « М а я к » ) .
Д а н н ы х о дисперсии мощности фототелеграфного сигнала AM нет. Д л я
фототелеграфного сигнала с Ч М дисперсия равна нулю.
В [2.8] показано также, что р а с п р е д е л и т е мощности многокаяального сообщения приблизительно нормально и что с достаточной д л я практики точностью
величина мощности, превышаемая с малой вероятностью е, м о ж е т быть рассчит а н а по формуле
+
(2.21)
где Хг определяется в соответствии с нормальным законом распределения вероятностей и в зависимости от величины g равна:
8
Я8
10-2
2,33
цо-з
3,1
1.0-4
3,72
10-5
4,17
2.3. Ф А З А СИГНАЛА, 1М0ДУЛИР0ВАНН0Г0
ПО ЧАСТОТЕ МНОГОКАНАЛЬНЫМ СООБ1ЦЕНИЕ1У1
Рассмотрим сигнал, частота которого модулирована многоканальным сообщением U(t).
Мгновенное отклонение частоты сигнала при такой модуляции
очевидно равно
Aco(0 = C M f / ( 0 .
(2.22)
где С м — крутизна характеристики модулятора.
Средний к в а д р а т отклонения частоты соответственно равен
Д
^
= Да)2 = С ^ I P J F ) = C l , t t , (0).
(2.23)
Величину Ао)э будем называть эффективной девиацией
многоканальным сообщением.
Введем еще понятие эффективного индекса модуляции
М. =
частоты
.
сигнала
(2.24)
где Й2 — верхняя граничная частота спектра многоканального сообщения.
Квадрат эффективного индекса модуляции в соответствии с (2.23) равен
в
lAcosV
ш-.
I III
(2.25)
Сигнал, модулированный
записать в виде
по частоте многоканальным
сообщением,
можно
(2.26)
о (О = "в cos l(Oot + S(t)],
где uo — амплитуда сигнала; «о — несущая частота;
t
(2.27)
где — Т — момент включения модуляции.
Фаза 5(1) сигнала v{t) является случайным процессом, имеющим, как и
процесс V(t),
нормальное распределение, поскольку интегрирование является
линейной операцией. Так как среднее значение процесса lJ{t) равно нулю, то и
среднее значение процесса 5 ( 0 также равно нулю.
Найдем корреляционную функцию процесса S(t). По определению она равна
t
Т) = cji J
^I^S (^ п = S (/) S
-T
t
J
=
-T
t'
J
у
J TfWHv)
dudv =
-T
dudv.
(2.28)
—T
Подстави® JB (2.28) выражение (2.6), найдем корреляционную функцию процесса S{t) при отсутствии предыскажений:
= C^Wo
V
i-v
—T
—T—V
sin Q^x— sin fiijf
J [Si «2 (^ - 1 ' ) + Si Qa (T + f ) - Si
dx =
( f - o ) - S i Q^iT + t»)] dv.
-T
После интегрирования получаем
ypS
i') =
- f COS Q 2 T + 1] 4 -
~it-\-T)
-f
cos Й2 {i' + T)x=t—t'.
IJ-
{t.+ DSi Qa (^ + Л + TT cos Й2
"a
Si QAt-\-T)-—-
Q2
где
( t T l^i-c Si (ЙгТ) + cos Q^t
cos Qi {t -f T)
+
(Qa^) +
ii-\-T)-
(Г+r)SiQ2
it' + T) Si fii {f + Л - 7Г
^h
+
(2.29)
27
Так как корреляционная функция зависит от ^ и t\ то процесс S(t) нестационарен, что и отмечено в (2.7], где показано, что неопределенный интеграл от
стационарного случайного процесса является процессом нестационарным. Однако легко показать, что при Г-^оо процесс S(t)
становится стационарным.
Действительно, при х-^оо можно заменить интегральный синус его асимптотическим выражением
с - .
я
Si
(Q Д-) « —
—cosQ.jr .
Подставив это в (2.29), за.метим, ито третий и четвертый члены в к в а д р а т ных скобках обратятся в нуль, и получим
^S
п
= "^S (т^) =
(1
тг
\ Qj^
—^^^—
i]-
s i ( q ^ t ) + cos
— - ^ [ Q a t S i (Q2'r)+cosQ2T+lj| .
(2.30)
Здесь учтено, что согласно (2.7)
(0)
Qa —
Таким образом, если с момента включения модуляции прошел достаточно
большой промежуток времени (Т-^оо), то процесс S ( t ) становится стационарным
и его корреляционная функция
зависит только от разности времени
В последующем 'анализе будем считать процесс S ( f ) стационарным, т а к
как нас интересуют помехи и искажения в установившемся режиме, спустя
бачьшой промежуток времени после включения модуляции.
Из
^
(2.30) легко получить дисперсию процесса S ( 0 , приняв
т=0:
=
(2.31)
где (3 = Q2/S2i, а М^э определяется выражением (2.25).
При т->-оо, к а к видно из (2.30:), 'vj)s(t) не обращается в нуль:
=
^ д,.
Q2 — Q1
(2.32,
ЯА
Q2I
Вследствие этого в энергетическом спектре процесса S(t) д о л ж н а присутствовать дискретная с о с т а в л я ю щ а я на частоте Q = 0. Действительно, из соотношения м е ж д у энергетическим спектром и корреляционной функцией получим
= ^
—
1 ,Г
J
\
Й2
'I's ( f ) cos Q t d т =
[QgT Si (Й2Т) +COS
'^М^о
Г f 1
j-^
[QiX Si
(QiT) + cos
+6(Q)
2Q2 ^ ^ '
[ cos Q t d T = C ^ W^ —
где 6 ( Q ) — д е л ь т а - ф у н к ц и я . Непрерывная с о с т а в л я ю щ а я спектра
Г
tJ,.
2Q2
"Ри
—
> Q> —
Q,x +
1]-
(2.33)
равна
и Q i < fi < Й2
и р а в н а нулю вне этих лределов. Д и с к р е т н а я с о с т а в л я ю щ а я C^mWoS (Q) не
равна нулю только при Q = 0 .
Появление в спектре процесса S(t)
дискретной составляющей на первый
в з г л я д к а ж е т с я странным. Процесс U(t) по определению является производной
процесса S(t), и, следовательно, согласно теореме о спектре производной стационарного случайного процесса должно быть справедливо соотношение:
о WrjiQ)
(Й) = Й^Г 5 (й) и
(й) = c l
.
Наличие в cneiKTpe Ws (й) дискретной составляющей нарушает эти соотношения.
Рассмотрим причину этого явления, для чего возьмем выражение (2.27),
определяющее процесс S(t). Очевидно, что
t
S (О = См J
f / (I) d Е = SO (/) -
S 0 ( ~ Г),
(2.34)
где S°(t) — первообразная функция. Ее значение в момент t=—Т
является
случайной величиной. Считая процесс S{t) стационарным, найдем его корреляционную функцию, пользуясь выражением (2.34):
^ S (т^) = S (О S (^ + т) =
(О
(^ + т)
-
— 50 ( - Т) 5° [t + x)— 5® ( - Т) 5° (О + [50(-7')]2.
Так как 5 ° ( 0 = 0, то t j 5 s ( T ) - Н 5 о ( — Г ) ^ .
Отсюда видно, что в корреляционной функции присутствует постоянная составляющая {5"(—Г)р, равная среднему квадрату или дисперсии процесса в
момент вклю^feния модуляции. При т = 0 получаем r|)s(0)
(—
=2[5°(/)]2 и при т->оо i|)s(oo) = [ 5 ° ( — Г ) Р = [5°(^)]2, что соответствует выражениям (2.31) и (2.32) при
-.2
[5° (OF
=
Й1Й2
Таким образом, появление постоянной составляющей
в
корреляционной
функции процесса S(t) и дискретной составляющей в его энергетическом спектре вызвано случайной величиной первообразной функции 5''(—Г) в момент
включения модуляции. Если исключить эту неопределенность, то из (2.30) получим:
% (0)
ti)5o(T) =
Й2 —Й1
X
Si
(Й1Т) +
cos Й1Т
^
Й1
— T
Si
_
(ЙоТ)
cos Й2Т
1
(2.35)
rl^^o (0)=
Й1Й2
yjp^o ( 0 0 ) =
0
Соответственно из (2.33) получим энергетический спектр:
Wco
=
2Й2
при — Й1 > й > — Й2 и Й1 < й < йз
ИЛИ, если рассматривать только положительную ось частот,
W S.
Ьд
= - ЙЗ
W50 (й) = О
при
Й1 < й < Й2,
(2.36)
вне этих пределов.
Однако выражения (2.3I0'), (2.31), (2.32) соответствуют физической
ности и мы будем пользоваться ими в дальнейшем анализе.
реаль-
в следующем параграфе потребуются выражения [ijJs(0) —ibs(т)], [ibsCO) —
—^s(oo)], [г|58(0)+ф8(т)], из (2.30), (2.31) и (2.32) легко получим:
^ s (0) - ^ s
=
Ml
—
I —- п1/рг f^^o
(2.37)
- ^ У* (-"/Р)!'
(2.38)
(2.39)
Р-1
где
г/о (дг) = дг Si (дг) + cos ;ir — 1,
х ~ Qj'f.
(2.40)
Так как величина Р обычно очень велика, рассмотрим пределы этих выражений при р->-оо. Сначала найдем
: lim Р — S i — j + p c o s y - p
lim
Р->-ОС
[
f
x
у
= lim р cos — — I = 0.
P-w L V
р
/.
Используя это, получим
lim [1)5(0)—•^5(00)] =
jS-kOO
Иш
+
^,
(2.41)
=
Получим теперь аналогичные выражения для случая применения предыскажений многоканального сообщения. Найдем корреляционную функцию процесса
Snp(t) в этом случае, для чего подставим (2.16) в (2.28), тогда
t t'
—T
= 0.4г1)5 {t, n 4- Cl,
0.75
,
(0)+ tc;
—T
[ я!)^ (0) - f Ij)^ (t) _ г])^ (/ + 7) _
„
^£7 (t + Л -
„
Г)]-
1
j .
После перехода к пределу при Г-voo члены, зависящие от t и t\
в нуль и мы получим
Г1,35
0,75
(т) = 0,4^1)5 (т) + С ^
[
(0) -f % ( т ) ] [ tl,^(0)+
обратятся
)
,
(2.42)
где 'i|)s('c) определяется выражением
(2.30),
а
у!;>и{х) — выражением
(2.6),
Приняв в (2.42) т = 0 , найдем дисперсию процесса З ч р ( ( ) :
1,35
=2М;Р
1,6
0,4 + - ^
0,75
,-1 + Р
(2.43)
+0,25
При т-^оо г|)8пр(т) не обращается в нуль:
•1,'35
0,75
I't/ (0)
^^snv (T) = 0.4xl)s(oo)+Cм
Q4
(2.44)
0,4 + 1 ^ 4 0 . 2 5 ^ ;
Это, как у ж е было сказано выше, объясняется случайной величиной первообразной функции S°{—Т) в момент включения модуляции.
Подставим (2.30) и (2.6) в (2.42) и вычтем полученное выражение из (2.43),
тогда после преобразований получим
М?
О,.4 г/oW —РУо
-1/р
+1
- у
ЗШЛ-
,35
sin
sin
+0,75
Хф
. Т
i
^ j
Зр' ~
dx^ \
Р dx^
р
Д-/Р
(2.45)
Далее найдем
^Snp (0) - ^ S h p ( - ) = M l
А гЬ
J4
o,25i#
(2.46)
о fl.35
^Snp ( 0 ) + ^ s n p (t) = 0 , 4 [ 01)5 (0) + ^ S
+ Cl, j - ^ [ 3 % ( 0 ) + % (T)]
0,75
-
{0)+% (T)] [ = 1 ,Ш1 P 11
sin л-—sin
3 +
+
P - 1
P l/o
—
—Уо
-
+
0,75
1-1/P
1/P
sin-
s'mx\
d^ I /sinx
(2.47)
P dA-2
A-/P
где x^QzT, a уо(х) определяется выражением (2.40).
Найдем пределы при р->оо:
sinx
0,4г/о(л-)- 1 . 3 5 - — +
+0,75
/ sin X У
+ 1 .6
= Mi
I ' ^ J b n p (O)-M'Snp
lim [ ^ f s n p ( 0 ) + t s n p ( ^ ) l =
р-> 00
= lim 1М ^ р
- '
(2.48)
упр{х),
)]
f
1,6
1+ P
^+0,25
/ 0n . 44 +4- -—
\
P
(2.49)
(2.50)
31
t
Итак, в этом п а р а г р а ф е было показано, что ф а з а S(t) = C-M. f U { l ) d l
сиг-
—т
нала, модулированного по частоте многоканальным сообщением U(t)y является
нормальным случайным процессом, и если модуляция включена достаточно давно
(Г-^оо), — то и стационарным. Среднее значение этого процесса равно нулю, а
дисперсия
и корреляционная функция
определяются выражениями: (2.31),
( 2 . 3 0 ) — п р и отсутствии предыскажений и (2.43), (2.42) — при использовании
предыскажений многоканального сообщения. Корреляционная функция процесса S(t)
содержит постоянную составляющую, вызванную случайной величиной
первообразной функции S°{—Т)
в момент включения модуляции. Численные
величины статистических характеристик процесса S(t) зависят от величины эффективного индекса модуляции Мэ и от отношения Р граничных частот спектра
многоканального сообщения.
2.4. К О Р Р Е Л Я Ц И О Н Н А Я Ф У Н К Ц И Я
И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР СИГНАЛА,
МОДУЛИРОВАННОГО ПО ЧАСТОТЕ
МНОГОКАНАЛЬНЫМ СООБЩЕНИЕМ
Выше, в § 2.3, сигнал, модулированный по частоте многоканальным
щением, был представлен выражением
сооб-
w ( 0 = UoCos((Oo^ + S ( 0 1 .
(2.51)
Поскольку S(t) — случайный процесс, то и v(t) т о ж е является случайным
процессом. Однако это процесс нестационарный.
Действительно, среднее (по
множеству) значение процесса v(t), очевидно, равно
V ( 0 = "в cos [соо< + S (/)] = Ufl cos (OqI cos [S (^)] — «oSin Wq^ sin [S {i}].
(2.52)
К а к видно, среднее значение процесса зависит от времени t, что указывает на
нестационарность процесса.
Найдем средние значения cos { 5 ( 0 ] и sin [ 5 ( 0 ] - Если случайная величина z
распределена нормально с нулевым средним значением, то средние значения
cos 2 и sin 2, по определению, равны:
V ^ d w
I
—
"
= е" —
.
(2.53)
00
00
Ш1=—Г=1—_
/2яг])И0)
.
Sinze
rf2=
О,
(2.54)
со
где •фг(0)=22 — дисперсия случайной величины 2.
Процесс S(t) распределен нормально с нулевым средним значением, поэтому на основании (2.5в) и (2.54) напишем:
COS [S (01 =
(2,55)
е
s i n [ S ( 0 ] = 0.
Подставив (2.55) в (2.52), получим
^5(0)
V (/) = Ыо е
2
cos (Dot.
(2,56)
При анализе нестационарных процессов применяют двойное усреднение: по
множеству и по времени. Обозначим усреднение по времени волнистой чертой,
сверху и найдем
Т
(0)
Т
lim—
\
Г->00 Т
J
^t)dt
= Uoe
Ит —
Т-1-00 Т
т_
I
J
cos(DoM^=0.
(2.57)
_т_
2
2
Д а л е е найдем усредненную по времени функцию корреляции процесса
(среднюю функцию корреляции). По определению она равна
(t)
c o s [COo^ +
S ( 0 1 c o s [COo^ +
COot +
S{t
+
T)] -
[V ( 0 1 ^
{t) + (Dot] + cos [2(0o^ + (OoT +
=V
v(t)
+ t) + S (01}
(cos [S (^ + T) — S (01 cos ЩХ — sin [S
- f t ) — S (01 sin (OqT +
2
+ cos (2q)oO cos [S{t + t)i-S (t) + cOoTl — sin (2a)oO sin [S (^ -f t) + S (0 + ЩГ]}.
:—
После усреднения по времени члены, зависящие от t, обратятся в нуль и
мы получим
t) = — (cos [S {t -г- т) — S (01 cos cogt — sin [S (^ -j- т) — S (01 sin «оТ}.
Обозначив 5 ( / + т ) — S { t ) = z , найдем, что г = 0 :
(0) = [S{t + x ) - S т
= 2[
(0) -
г|)5 ( t ) ] ,
и, используя выражения (2.53) и (2.54), получим окончательно:
"о
%{т) = —е
2
^
^
^coscOoTT.
/о cov
(2-58/
Из теории случайных процессов известно (см., например, 12.7]), чго средняя
функция корреляции и средний энергетический спектр нестационарного случайного процесса связаны м е ж д у собой парой взаимных формул преобразования
Фурье так же, как связаны корреляционная функция и энергетический спектр
стационарного случайного процесса. На этом основанли можно найти средний
энергетический спектр процесса v(t) по ф-ле (1.9):
2 Г
—
я J
о
+ \ е ^
"о f r
(t) c o s w x d T = — { \ е ^
2л J
^
^ cos (со - (Oo)TdT-4r
^ cos(co + coo)TdT .
о
]
Второй интеграл очень мал
по сравнению с первым, так как функция
e—l'^S
С^)] меняется сравнительно медленно, а cos(co+(Oo)t осциллирует
очень быстро. Поэтому можно отбросить второй интеграл и н^аписать:
=
2—194
"о
Г -Г
^ ^
,
, ,
J cos((o —(i)o)TdT.
/9 CQ4
(2.59>
33
функция {•\lps (0) —ylps (т)] определяется в ы р а ж е н и я м и : (2.37) — пр,и о т с у т с
^ и и предыскажении и (2.45) — при использовании предыскажений многоканал^
лого сообщения.
При т-^оо функция е-[г1)5(0)-а1,5(т)]
обращается в нуль, что видно и
в ы р а ж е н и й (2.38) и (2.46) д л я [li)s(O)—'»j)s(T)]. Это означает, что в спектре сиг
« а л а присутствует дискретная компонента на частоте соо. Ее можно выделить
переписав выражение (2.59) в виде
п^г^ч
"о ( г
-Г^с(0)-Фс(«>)1
0
j
[е
I
^
S
J_g
I
S
S
J
со8(со-соо)тйт|
i
oo
б (СО -
СОо) +
-
я
Г
=
"I
л
J -
J Le
1 Jcos(co-cOo)tdT
I
f2.60
?где Pq =
_ полная мощность сигнала на сопротивлении 1 Ом;
00
1 С
S^ioa"— сод) = —
cos (со — coq) t d т — дельта-функция.
я J
о
Первый член в (2.60) представляет дискретную компоненту спектра на не^сущей частоте со==соо. Мощность этой компоненты равна
|
(а)]
^'дискр^Рое
1
(2.61)
.
00
,
б(со—coo)rf(o=l.
так как интеграл от дельта-функции равен единице:
—
00
Второй член в (2.60) представляет сплошной спектр на всех частотах
Из выражений (2.38) и (2.46), определяющих [al5s(0)—^s(oo)], следует, что1
при
дискретная компонента спектра становится очень малой. В многоканальных системах связи величина ^ =
всегда очень велика ( Р ^ 2 0 ) , поэтому дискретную компоненту спектра нужно учитывать только при очень малых величинах эффективного индекса модуляции Мэ, как, например, в радиор е л е й н ы х системах емкостью более 600 телефонных каналов. Ниже, в табл. 2.1
г приведены данные типовых радиорелейных систем и показана величина отнокшения мощности дискретной компоненты спектра к полной мощности Ч М сигм;ала при использовании предыскажений. И з табл. 2.1 видно, что мощность дисгкретной компоненты спектра существенна только в системах большой емкости.
Обозначив со—соо = й и приняв Р о = « ^ о / 2 = 1 , получим из (2.59) в ы р а ж е н и е
^среднего энергетического спектра Ч М сигнала единичной мощности
,,
"
со
Ц П —г
—
1
(0)—Фо (т^)!
VosQrdi;.
'
(2.62)
ь
1Э.ТОТ-спектр :распространяется на положительные и отрицательные частоты Й
;,и симметричен _ относительно Q = 0. Вычисление энергетического спектра Ч М сиг-
:т
Таблица
Число
каналов, N
Границы
спектра
многоканального
сообщения
Р
А f ^ . кГц
Pi.
дБ
2. Г-
^ДИСКР'
р»
Рср' дБ
кГц
1920
1020
600
300
312—8524
312
60—2540
0,01625
0,8159
-12
20,8
0,0325
0,6657
—15
15,1
0,031
0,791&
— 12
18,1
0,062
0.6266
—15
12,8
0.12
0,1075
—12
15,8
0.24
0,01156-
—15
9.8
0.226
0,098
—12
12,8
0,452
0,0096
6,67-10^^
200
42,3
200
21,7
60—1300
17,8
140
14,85
4636
—15
140
27,3
120
12—552
46
200
—
7,3
0,706
60
12—252
21
200
—
6,1
2,56
7,63-10"'
нала по общим ф-лам (2.59) и (2.62) или по ф-ле (2.60), удобной при малых.'
индексах модуляции, довольно сложно вследствие сложности функции [i|)s(0)—
—'H)s(x)]. Некоторые способы вычисления и результаты расчетов даны в следуют
щем параграфе.
2.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА
СИГНАЛА, МОДУЛИРОВАННОГО ПО ЧАСТОТЕ
МНОГОКАНАЛЬНЫМ СООБЩЕНИЕМ
Рассмотрим сначала один частный случай, имеющий большое практическоезначение. Возьмем функцию [t|)s(0)—i|)s(t)] и р а з л о ж и м ее в р я д по степеням т:
(0) -
(t) = -
^
(0) -
S
^
(0).
(2.63Ь'
n=2
вследствие четности функции i1)s(t) разложение содержит только четные- степени т.
Известно [2.7], что корреляционная функция п-й производной стащионарногов широком смысле случайного процесса равна
Т а к к а к п - я производная
= {—1)" С^м
и
на
основании
то очевидно, что
соотношения
(2.64)
=
В результате получим
(2.65)
Н е определяя пока форму энергетического спектра Wt/(Q)
Q,
сообщения V(t),
напишем
многоканального
lFu(Q)cos QrdQ.
t.
fii
Дифференцируя это равенство 2п раз по т, получим
Q,
(т) = (— 1)" j
Q^^W^J (Й) c o s Q x d Q .
•На основании этих равенств и
шения:
(2.65)
Vs (0) - - С^ ^с/ (0)=-Aa)f = -
легко получить следующие
= -Cl, J W^j (Й) d Q,
a.
(0)=(- i r c l j Q'-^W^
.(-!)«
соотно-
(2.66)
{Q)d Q=
a2n_2»
где
,2n-2
Wy {x)dx
.i
(2.67)
dx
m
Заметим, что а 2 л - 2 < 1 при любом
Подставим (2.66) в (2.63):
я>:.
2п\
п=2
Далее м о ж н о функцию е
(2.68)
'2п-2.
представить в виде
(2.69)
п=2
.путем разложения в ряд Маклорена функции ехр
М^ ^
(— 1)"
^^^
^2п—2 | •
п=2
Коэффициенты С^п. легко определить при таком разложении. Так,
Ai!
С,-
Ml
=
Ml
=
—
2
а,
ИТ. д .
например,
Подставим (2.69) в (2.62) и воспользуемся интегральной формулой для по;1йН0М0В Эрмита:,
2(2ft+l) ( - 1 ) "
=
,
Vn
о
После интегрирования получим
ч*
2Af;
1+
П=:2
X*
где (7=Й/Й2;
( е
Яап(лг)=е
(2.70)
Л1э1А2
—
полином Эрмита порядка 2п.
расчеты показывают, что при
ф-ла (2.70) дает достаточно точный
результат вплоть до значений спектральной плотности, на 40 д Б меньших спектральной плотности на центральной частоте при учете только трех слагаемых в
фигурных скобках:
я*
2М
1
^чьл (я)
fla
Мэ V2Я
1 +
«4
«2
н:
8М1
я
(2.71)
где Н*2п(х)
к
W = ^
— нормированный полином Эрмита,
;
(в.»=(-1)"
табулированный
; «^-1/3; а . - 1 / 4
в
[2J101;
- при отсутствии
предыскажений и при Р > 1 ; а2==0,51, а4=0,356 — при использовании предыскажений, рекомендованных М К К Р и при P ^ - L
Из ф-лы (2.71) следует, что влияние формы спектра модулирующего процесса на форму спектра ЧМ сигнала проявляется лишь во втором и третьем
членах в фигурных скобках, содержащих коэффициенты аг и 04. Это влияние
тем меньше, чем больше величина эффективного индекса модуляции М^. Таким
образом, оказывается, что при М^э!^ 1 энергетический спектр сигнала, модулированного по частоте нормальным стационарным случайным процессом, имеет
форму гауссовой кривой независимо от формы спектра модулирующего процесса:
WЧМ
(я)
—г
2Мэ
Qa Afg / 2 я
2
.
Дс), Y 2 я
•Эта формула при М^ъ'^Ъ у ж е дает очень малую ошибку вплоть до
(2.72)
^г— gg 3,
Л1э У 2-
Формулу (2.71) легко объяснить т а к ж е с помощью понятия мгновенной частоты. При этом ЧМ сигнал представляется одной спектральной линией постоянной амплитуды, но изменяющейся частоты. Спектральная плотность средней
Мощности при таком представлении пропорциональна времени нахождения этой
спектральной линии в бесконечно узкой полосе, расположенной на данной частоте, т. е. соответствует плотности вероятности мгновенной частоты. Так как
Модулирующий процесс нормален, то спектральная плотность мощности изображается нормальной кривой с дисперсией, равной дисперсии мгновенной частоты, т. е.
Oq^ а
£7^ =
% (0) = Аа)2 .
кривая описывается выражением (2.72).
Формулы (2.71) и (2.72) применимы д л я систем спутниковой связи, для^^
которых характерны большие индексы модуляции. В многоканальных системах
радиорелейной связи величины эффективного индекса модуляции значительно
меньше, поэтому д л я расчета спектра сигнала в таких системах нужно исполь-:
зовать другие способы.
i
Вернемся к в ы р а ж е н и ю (2.62). При больших величинах [3, как это следует'
из (2.4il) и (2.48), можно написать
^чм(^) = — ] ®
cosQTdt
(2.73>
о
при р->оо, где i ' ( Q 2 t ) = i/o(Q2T) — при отсутствии предыскажений; i/(Q2T) =i
=!/пр(^2Х) — при использовании предыскажений, а функции г/о(Й2т) и t/np(£22T)
определяются в ы р а ж е н и я м и (2.40) и (2.48).
Путем замены переменных (2.73) приводится к виду
I
р -м^Мх)
.
cosqxdx,
^
(2.74)
О
где <7=Q/Q2Д л я большей общности результатов примем, что энергетический спектр многоканального сообщения
W^j (Q) = W^ [Со + Са (fi/Qa)^ +
(Q/Qg)^]
(2.75)
при
Qi^Qi^QzКоэффициенты Со, Сг, с^ определяют характеристику предыскажений, которую можно аппроксимировать полиномом четвертой степени. При отсутствии
предыскажений: Со=1; С2=С4=0, а при использовании предыскажений, рекомендованных М К К Р : Со=0,4; С2=1,35; С4=0,75.
Используя (2.75), получим общее выражение у(х)\
sin X
/sin х\"
Са
y(x)^c^(xSix^cosx—\)-C2
X
+ С4 \
/
^
.
(2.76)
На рис. 2.2 представлены графики функций уо(х) и Уар(х).
Интеграл (2.74) сложен и не в ы р а ж а е т с я через элементарные функции.
Трудности его вычисления заключаются в том, что при больших значениях q
подынтегральная функция быстро осциллирует и при численном интегрировании'
ошибка м о ж е т быть больше самого интеграла. При сравнительно небольших
величинах q можно применить следующий способ вычисления.
Разобьем интервал интегрирования на две части: {OA) и (Лоо). Величину А выберем достаточно большой так, чтобы при х'^А
м о ж н о было заменитЬ|
функцию у{х) ее асимптотическим значением, используя асимптотическое представление Si х:
п
Si л - » — ^
2
созлX
прид->1.
(2.77)
Тогда
c^-jx
Интеграл
лучим
^
L
прих^А.
(2.74) на интервале (Л,оо) вычисляется
и
^
2
i I ®
cosqxdx-r
(2.78)
элементарно,
и
мы
по-
о
/
^
^
'
Рис. 2.3. Спектры ЧМ сигналов при
Р = оо без предыскажений
Рис. 2.2. Функции Уа{х) ,и
Упр(х)
Оставшийся интеграл в конечных пределах (ОЛ) можно вычислить способом
Филона [2.М]. Этот способ численного интегрирования интегралов вида
А
^ Kx)cos qxdx.
Если интервал
(ОЛ) разбить на 2л интервалов длиной А и
вычислить суммы
"
1
г=Ю
п
Ы
hg],
то искомый интеграл выражается через эти суммы:
Hq)=h[af{A)
sin дЛ - f р s ^ + 7
.
Точность, естественно, тем выше, чем меньше Л. Формулы и таблицы для определения коэффициентов а, р и Y приведены В [2Л!1].
Способ Филона основан на параболическом интерполировании в каждом
промежутке интегрирования x r — h ^ x ^ x f + h . В нашем случае достаточная для
практики точность вычисления интеграла достигается при Л=4л;, '2л=40, А=0,1 я
39
д л я величин
При q>2
способ Филона неудобен, так к а к нужно уменьш а т ь величину h и увеличивать число слагаемых в суммах s'an и «"гпПри сравнительно больших значениях q можно воспользоваться асимптотической оценкой интеграла (2.74) по методу перевала [2.12]. П о этому методу
интеграл по контуру С, имеющему уравнение z=z(t), асимптотически оценивается выражением
' Ф(2)
d z ^ e V (^о) ф(2о) е^®
l /
2п
^Пго)
(2.80)
где zo — точка перевала, в которой f ^ ( z o ) = 0 . П у т ь интегрирования д о л ж е н п р о - '
ходить через точку перевала по линии наибыстрейшего спуска, где I m [ / ( 2 ) ] = j
= const.
!
Возьмем интеграл (2.74) и переведем интегрирование на комплексную плос-^
кость z—x+i у, тогда, очевидно,
i
оо
-м: у ( г ) - i
2
- л ^ э у (X)
^
"
Mt
dz.
е
cos qxdx = — \
(2.81):
t.
Д и ф ф е р е н ц и р у я показатель степени е подынтегральной функции и приравнивая
нулю результат, находим условие в точке перевала zo:
y'izo)
(2.82)
0.
Ml
Вообще этому условию удовлетворяет бесконечное множество точек на комплексной плоскости, но мы возьмем только одну Zo=i Уо, л е ж а щ у ю на положительной мнимой полуоси. Чтобы найти условие (2.82), в этой точке продифференцируем в ы р а ж е н и е (2.76) и получим
лх\
"Г
2 /
созл-
у' (х) = Со Six — Cg
Подставим сюда значение x=i
Si (i у ) = i
r'ishu
0
i
и
+C4
I
\-
cosX
X
sinx
- f 3 - — +
x^
cosx
Д-8
sin
6 — - 6
Уо, но при этом заметим, что по
определению
du; sin (i Y.) = i sh Yq; cbs (i Yo)=ch Y^.
В результате получим из (2.82)
Уо
С Shu
shf
„
. . /
. 6С4 \ chКо
du +
С2 - f Г4 - f
_
, 6С4 \ sh Fo
Z г\
о
' r\
(2.83)
Mt
Далее, no тем ж е правилам находим вторую производную ^ " ( х ) в точке 2о=1Уо:
2 (С2+6С4)
/(Zo) =
24С4
Co+Ci + С4
shFo
2 (С2+2С4) +
24с
—^
сНУр
(2.84)
Таким ж е образом найдем показатель степени подынтегральной
менив величину q/M^a выражением (2.83):
q
У (Zo) — 1
/
за-
8С4 \
2о = I C0+C2-I- С4 +
8^4
2(с2+ 2 С 4 ) + - 2 -
функции,
sh^o
Ко
+
1 ch Го —
Q
—
3
Со.
(2.85)
Теперь, имея выражения (2.84) и (2.85), по ф-ле (2.80) найдем асимптотическую оценку интеграла (2.74):
2 ( c 2 - f 6С4)
24с^ s h F o
Со+ С2+ С4+
МэА, / 2 я
о
24с
2С2 + 4c4-f
у!О
8С4
'п
ехр {— М
Го
8ci
Ca-f С4+
У:
сЬУо-
с.
Уо
3
где величина Уо определяется из выражения (2.83). Это уравнение решается
графически. Первый член удобно выразить через интегральную показательную
функцию
j
lEi, (Уо) -
Ei ( - Го)1.
(2.87)
таблицы которой имеются, например, в [2.13].
Частный случай ф-лы (2.86) при Со = 1, Сг = С4 = О получен в [2Л4] для оценки аналогичного интеграла.
Поскольку учтена только одна точка перевала Zo=i Уо, то ф-ла (2.86) может давать большую погрешность, если вклад-остальных точек сравним по величине с вкладом первой. Однако расчет, выполненный с помощью графиков
интегрального синуса в комплексной области, приведенных в [2,15], показал, что
вклад остальных точек пренебрежимо мал, если
При увеличении М \
требуемая точность достигается при меньших величинах q/M^^. Так, например,
при Л12э=0,016 ф-ла (2.86) достатотчно точна при <7/^^8^100, т. е. при ^^11,6,
а п р и М\=0,2А
2 "ЧМ ty/'""
— у ж е п р и qlMh'^3,
т . е. п р и ^ ^ 0 , 7 2 .
Результаты расчетов рассмотренными
-г-г-т-т-, выше способами представлены на рис. 2.3,
2.4, 2.5, 2.6, 2.7 в виде графиков для наиболее употребительных величин Мв.
Рис. 2.4. Спектры ЧМ сигналов
при р = о о с предыскажениями
Рис. 2.5. Спектры ЧМ сипналов при Р = оо:
с предыскажениялки,
дыскажений
без
пре-
0,01
0,05
OJ
0,5
1
5
Ml
и
Рис. 2.6. Спектры ЧМ сигналов при р = о о
без предыскажений
Рис. 2.7. Спектры ЧМ сигналов при Р=сх) с
предыскажениями
рассмотрим теперь случай, когда условие pAf^a» 1 не выполняется и при
зачислении спектра нужно учитывать дискретную компоненту на несущей частоте. Средний энергетический спектр ЧМ сигнала описывается выражением
(2.60), которое при и^о=\ и с о — и м е е т вид
I ^
^
Мб(Й)+—
I
е^ ^
^
cosQTdxL
J
о
J
(2.88)
Корреляционная функция [г1)в(т)—o|3s(oo)] стремится к нулю при т-^оо,
следовательно, соответствующий ей энергетический спектр не имеет дискретной
составляющей и, как показано в § 2.3, справедливы соотнощения:
[ ^ s ("f) -
^s
I = -^s»
^s*
= ^M
•
с помощью (2.37), (2.38) — при отсутствии предыскажений, или (2.45),
(2.46) — при использовании предыскажений многоканального сообщения выражение [г|:з(т)—'фв(оо)] легко привести к виду
^S
— "^S
1 = K ' f z (f).
а спектр, соответствующий функции ijJz (t),
предыскажений
по
(2.89)
будет:
при
(2.90)
отсутствии
при Qi < Q < Qg и — Qi > Q > — QgJ
при использовании предыскажений
1
0,4
WziQ)
2(Q,-Qi)
при
(2.92)
if)
Qj < £2 < Qg и —
> Q i > — Йа.
Разложив подынтегральную функцию в
(2.88)
в степенной ряд, получим
(т)cosQtd^^}.
2я
(2.93)
п=1
—«о
На основании теоремы о свертках преобразований Фурье (см. гл. 3, § 3.1)
выражение (2.93) можно представить в виде
- Г ilJo (О)-Ф^ (<»)1
^
^
где спектры
Л^э"
(2.94)
п=1
f
последовательно вычисляются путем сверток:
00
00
it)^(t)cosQTdT =
J
W2{x)W2{Q — x)dx,
00
00
W^^iQ)
=
f
2я J
—0»
eo
(T) c o s fit d t =
W2Z ix) WA^
-
X)
dx,
(2.95)
—0»
00
При
в сумме (2.94) достаточно взять только несколько первых членов
для получения удовлетворительной точности, что упрощает вычисления.
Hal рис. 2.8, 2.9, 2.10 и 2.11 представлены в виде графиков спектры, рассчитанные по ф-ле (2.94) д л я четырех значений
равных: 0,01625, 0,0325»
0,065 и 0,12 при Р = Й2/Й1 = 25 И при использовании предыскажений многоканального сообщения. При расчетах учитывались первые пять членов ряда от IFii(Q)
до
причем первые д в а члена определялись аналитически, а остальные —
яЛиГ?),^^
-ю
ч
\
-20
ч
-J0
N
>
VJ
V
-70
.0 .
'
2
Рис. 2.10. Спектры Ч М сигналов при
р=25.
р = оо
J
0,065:
q
путем численного интегрирования. На этих же рисунках для сравнен1^я пунктиром показаны спектры, рассчитанные рассмотренными выше способами при
Р = оо. Как видно, сущ,ественная разница Наблюдается только при q=!0, когда
спектральная плотность мощности бесконечна (равна 6(q)) при р==25/(на грасфиках она не показана), а при р = оо спектральная плотность мощности конечн а . При значениях q в интервале
совпадение спектров полное, а
;.при q>\
спектры при |3=с» имеют несколько более сглаженную форму.
Это сравнение показывает, что при 9 >11 графики спектров ЧМ сигналов,
вычисленные при допущении, что Р = оо, дают точность, вполне удовлетвори-тельную .для практики. При q=i) нужно учитывать дискретную компоненту,
спектральная плотность мощности которой бесконечна, а мощность имеет значения, показанные в табл. 2jL
Список литературы к гл. 2
2.1. Лубны-Герцык А. Л. Расчет кросс-модуляции при многоканальной передаче с очень большим числом каналов. —«Электросвязь», 1939, № 6, с. 63—70.
2.2. Holbrook В. D., Dixon J. Т. Load rating theory for multichannel ampliliers. —«Bell System Technical Journal (B.S.T.J.)», 1939, October, v. 18, p. 624—
544.
2.3. Белоус В. М. Распределение мощности на выходе системы К-24. —
«Электросвязь», 1958, № 1, с. 51—57.
2.4. Бородич С. В. Расчет шумов в каналах радиорелейной линии с частотным уплотнением
и частотной модуляцией. — «Электросвязь», 1956, № 1.
10—20.
2.5. Зудакин А. И. Прибор для измерения относительного уровня переход-яых и флуктуационных шумов в многоканальных радиорелейных линиях. Техника связи. — В кн.: «Новые разработки в области радиосвязи и радиовещания». М., Связьизддт, 1957, с. 28—36.
2.6. Зудакин А. И, Использование белого шума для измерения помех, возникающих в телефонных каналах радиорелейных линий. — «Электросвязь», 1959,
.№ 4, с. 56—64.
'2.7. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга
первая. М., «Советское радио», 1969. 751 с.
2.8. Бубман Д. Р. Статистические характеристики многоканальных сигналов
'И методы их расчета. — «Сборник научных трудов ЦНИИС», 1968, вып. 3,
. с. 68—86.
2.9. Бубман Д . Р. Статистическое исследование характеристик абонентских
•речевых сигналов, передаваемых в междугородных телефонных каналах систем
связи. — «Сборник научных трудов ЦНИИС», 1968, вып. 1, с. 19—23.
2.10. Берлянд О. С., Гаврилова Р. И., Прудников А. П. Таблицы интегральных функций ошибок и полиномов Эрмита. Минск, Изд. Академии наук БССР,
1961. 164 с.
2.11. Снеддон И. Преобразования Фурье. Перевод с английского под ре.дакцией Ю. Л. Рабиновича. М., Изд. иностранной литературы, 1955. 667 с.
2.12. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного
^переменного. М., Гос. изд. физико-математической литературы, 1958. 678 с.
2.13. Шпильрейн Я. Н. Таблицы специальных функций. Часть I. М., ГТТИ,
1933. 159 с.
2.14. Bennett W. R., Curtis Т. Е., Rice S. О. Interchannel Interference in FM
•and P M Systems under Noise Loading Conditions. — «B.S.T.J.», 1955, May,
-V. 34, №, p. 601—636.
2.15. Kreyszig E. Uber den allgemeinen integralsinus. — «Acta mathema
•iica», — Uppsala 1951, v. 85, s. 117—181.
Г Л А В А
3
Переходные помехи
в групповом тракте
3.1. К О Р Р Е Л Я Ц И О Н Н А Я Ф У Н К Ц И Я
И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ПЕРЕХОДНЫХ ПОМЕХ
В гл. 1 групповым трактом многоканальной системы радио^
связи был назван тракт, по которому проходит многоканальное сообщение, а не модулированный им сигнал. К элементам группового тракта относятся: групповые усилители на входе модулятора
и на выходе демодулятора, модулятор и частично демодулятор.Причиной появления переходных помех в групповом тракте
служит амплитудная нелинейность его элементов. Назовем передаточной характеристикой тракта (элемента) зависимость мгновенных значений напряжения на его выходе от мгновенных значений на входе «выхСО =/пер1"вх(0]- Обычно эта характеристика не
может быть выражена аналитически, и ее удобно представить на
некотором участке изменения входного напряжения в виде полинома
00
(3.1>
где U*(t)—напряжение
на выходе тракта (элемента);
U(t)—напряжение на входе тракта (элемента); а-п — коэффициенты, определяющие нелинейность передаточной характеристики.
Выражение (3.1) должно быть справедливо в некоторых границах
U{t) < (/,0>
(3.2)
в которых укладываются все возможные изменения входного напряжения. Если теперь допустить, что входное напряжение U(ty
представляет собой многоканальное сообщение, то величину V^.
нужно выбрать такой, чтобы вероятность ее превышения, т. е_
вероятность того, что \ U { t ) \ > U Q , была достаточно малой. Количественная оценка величины Uq может быть сделана на основе'
материала § 3.3.
Ограничимся рассмотрением передаточной характеристики трак-та, представляемой полиномом пятой степени, так как 'искажения
более высоких порядков в практически реализуемых шстемах оченьмалы и их можно не учитышть. Не нарушая общно1ст,и анализа.
что коэффициент усиления тракта раюен единиф, т. е.
a i = l . Тогда (3.1) перепишется в виде
'
допустим,
U*{t)^U{t) + V
{t) = (/(О +
(3.3)
П=:2
где Ег(0 — продукты нелинейности группового тракта.
•корреляционную функцию этих продуктов
Найдем
•Согласно правилу нахождения математического ожидания,
среднего по множеству функции случайной величины,
t »
= J J ^г it) 8г (t + т) w,{U,Ur ) dUdUr - I j
OO
00
или
(U) duX. (3.4)
J
[—OO
Так как многоканальное сообщение ll(t) представляет собой
нормальный стационарный случайный процесс, то его одномерная
и двумерная функции распределения в соответствии с (2.3) равны
wAU)^
'
ла
w^iU/Ur )
е
,
;
ехр
2 п о Ь У 1 = ^
где
U=Uity,
П
2а?, ( 1 - 4 )
Ur==U{t + iy,
Подставив эти выражения, а также выражение Er(t) из (3.3)
в (3.4), получим
= i ^ h w^ —00—oon=2m=2
И S S
С/2
После интегрирования получаем
y p j i ) = 2а2г|)2 (т) +
+
+ а^[Эя])?,(0) %{т)+
{45г|зЗ (0) я])^ (т)+60^^(0)
+ a l ( 0 )
(т)]+ a j
+ 600tj)2 (0)t2; (т) + 120г1^^(т)] ,
6г|)3^(т)] +
+
(3.6)
где ^ ( т ) — корреляционная функция процесса U(t). Исключим
из корреляционной функции продуктов искажений часть, соответствующую когерентному продукту. Д л я этого нужно из выраже48
нйя (3.6) исключить члены, 'содержащие ^ и (т) в первой степени:
tp;, (т) ^ 2 [а, +
( 0 ) ] 2 ( т ) + 6 [а, + lOa^t^; (О)]^
(т)+
+ 24а2я1)4^(т)+120а2я1)^(т).
(3.7)
Таким образом, корреляционная функция продуктов искажений
определяется полиномом по степеням корреляционной функции
многоканального сообщения.
Далее, пользуясь соотношением (1.5) между корреляционной
функцией и энергетическим спектром, найдем энергетический
спектр продуктов нелинейных искажений:
оо
^ег(^) = ^
|г1);г(т^)С05Йхй?Т.
(3.8)
о
После подстановки в (3.8) выражения (3.7) получим интегра-
лы вида
( t ) c o s Q t ^ / t .
их вычисления применим теорему
Для
о свертках для преобразования Фурье ^8.1], в которой доказано
соотношение
00
h {t)m
^^ = — J
W
(^ - X) dx,
00
где f\(t), / 2 ( 0 — н е к о т о р ы е функции времени;
ответствующие им спектральные плотности,
(3.9)
—00
00
= j
—00
dt.
П р и м е м , ч т о fi{%) = ! 2 { т : ) ,
=
со=
причем
тогда ^ i ( Q )
=
И ИЗ (3.9) получим
оо
U7t;2(Q) = ^
00
U 2 (т)COSQxdт= —
Я|)^(т)
dt =
—00
^
Wu{x)Wu{Q
— x)dx.
(3.10)
Рассмотрим случай, когда предыскажения не используются и
энергетический спектр многоканального сообщения равномерен:
Wu (х) = Wo при Q^<x<
Q^;
Wu {х) = О при
x>Q^.
Так как интегрирование в (3.10) распространяется и на отрицательные частоты, то нужно учитывать и сопряженные спектры. На
рис. 3.1 показаны спектры Wu(x)
(сплошными линиями) и
л:) (пунктирными линиями) для четырех характерных областей значений Q. По этому рисунку легко определить области
существования интеграла (3.10), где спектры Wu{x) и
.jc)
перекрываются:
-Q,
^
П
/
"
/
TP.
I
ЩС^)
IT
li
ZK
1 — 1
i
s?.
Q
Рис. 3.1. Пояснение к свертке спектров
I.
Рис. 3.2. Форма спектров искажений второго порядка
0<Q<2Qi
p
dx-\п.
dx
2 Q i < Q < Q ^ — Qi
Q—2i
j
dx-\-
dx +
dx
2,+2
= Wl {Q, - Q - Q) +
III. fig —
IV.
< ^<
W,
(Q -
2Q,).
+
Q,
Qj + Qg < ^ <
«2
Заметим, что четыре области значений fi, показанные выше, можно свести к трем характерным областям, где спектральная плот50
ность продуктов нелинейности второго порядка определяется следующими выражениями:
=
при
=
—
при 2Qi < Q < Q i + Q^,
Wu2 (Й) =
(2^2 -
при Й1+Й2< ^ < 2^2.
(3.11)
Значения, показанные в первой и второй строках выражения (3.11),
могут существовать одновременно в области II на рис. 3.1, где
На рис. 3.2 показана форма спектра продуктов нелинейности
второго порядка. Из этого рисунка, а также из выражения (3.11)
очевидно, что при
продукты нелинейности второго порядка не попадают в полосу многоканального сообщения
Однако этот случай на практике почти не встречается, так как во
всех многоканальных системах связи, как правило, Й г ^ й ь
Д л я определения спектральной плотности продуктов нелинейности третьего порядка применим ту же теорему о свертках:
00
1Гс/з(Й) =
—
It
00
W
J
u
Q
t
d
т
=
—
г
J
я
0
(t)4v(-f)
d x
=
—00
00
= ^
^ Wu2 {X) Wu {Q - X) dx,
(3.12)
00
где Wu2(x) определяется выражением (3.11).
Здесь не приводятся соответствующие области существования
интеграла (3.12), а дается лишь окончательный результат:
\Vu3
= — U73 (Й2 — 2Qi + Qf
8
Wu3 {Щ = —
Wu3
{Q)
=
4о
о (Й2 —
— Qif
при О < Q < Qj,
при О < й < Qa — 2Qi,
12 (^2 - ^ i ) ' - (й -
- (^2 -
m
при fij < й <С Ц ,
Wuz
= ~ W l (2Q2 —
8
Wu3 {Q) =
8
Wu3 ( f i ) = —
8
— Qf
— 3Qi)2
при
< ^ < 2^2—
при 3Qi < Q < 2Q, + Qg,
[2(Q2—Qi)'—2Qi—Q2)=^—(Qi-b
при 2^1-f Йа < Q <
(Й) =
(3^2 — ^ f
+ 2Q2,
при Qi - f 2 Й 2 < Q < 3Qa.
(3.13)
Из выражений (3.11) и (3.13) видно, что только часть продуктов'
нелинейных искажений попадает в полосу многоканального сообЛ
щения
Нас интересует именно эта часть, так как она
создает переходные помехи в каналах. Д л я определения этой части нелинейных продуктов удобно ввести безразмерную координату
а = (Й —Ql)/(^2
—
(
3
.
1
4
)
которая изменяется в пределах 0 < ( т < 1 , когда частота Q находится в полосе многоканального сообщения Q i < Q < Q 2 .
Учитывая, что 1^о='ф1;(0)/(Й2—^i),
выразим спектральные
плотности продуктов нелинейности второго и третьего порядков в
полосе многоканального сообщения через функции безразмерной
координаты а на основании выражений (3.11) и (3.13):
Wu2{g) =
•Фгл (0)
(T)cos fit (11=
Уг {(У),
(0)
(3.15)
(3.16)
AQ
где Afi=ifi2—fib Безразмерные функции г/г (a) и уг{о) в рабочей
полосе 0 < ' а < 1 находятся из (3.!lil) и (3.13):
У2{(У) =
У2{о) =
/р — 2
при 0 < а < 1 — ^ ,
р— 1
lp-1
1
(3.17)
а
при
р - 1
[1 +
2а(1-а)1
При о <
<а<1;
а <
1,
р - 3
(3.18)
(J —
Уз (о) =
p - i ;
при
р-1
< а <
I,
где p = fi2/fiiАналогично вычисляются и спектральные плотности продуктов
нелинейности четвертого и пятого порядков. Вследствие громоздкости этих вычислений они здесь не приводятся. По аналогии с
(3.15) и (3.16) можно выразить спектральную плотность продуктов нелинейности п-го порядка в полосе многоканального сообщения в виде
WuniQ)
=
ru{^)cosQxdT
=
(0)
-^Уп{о),
(3.19)
где Уп{о)—безразмерная
функция, определяющая распределение
мощности продуктов нелинейности п-то порядка в рабочей полосе 0 < а < 1 .
На рис. 3.3 и 3.4 приведены графики функций //2(a), г/з(а>
и
(а).
\
0,8
i
\
/Л
¥
0,4
0,2
i
06
0,2
0.8
Рис. 3.3. Функции 1/2(а) и
О,if
0,6
0,8.-^6
без предыскажений
ш
0.7
Рис. 3.4. Функции 1/4 (а) и г/5 (а) без предыскажений
Теперь, вернувшись к выражениям (3.7) и (3.8), можно с помощью (3.15), (3.16) и (3.19) представить энергетический спектр
продуктав нелинейности группового тракта в полосе Q i < Q < Q 2 :
W^er
(0)1^
у,{а)
ДЙ
+ 10а,%{0)]*
^Q
(3.20)
3.2. МОПЩОСТЬ П Е Р Е Х О Д Н Ы Х ПОМЕХ В К А Н А Л Е
З н а я спектральную плотность мощности продуктов нелинейности в полосе многоканального сообщения, легко по ф-ле (1.15)
определить псофометрическую мощность переходных помех в телефонном канале (в пВт) в точке с измерительным уровнем рк,.
д Б . Подставив в ф-лу (1.15) вместо W^e (Q) выражение (3.20), получим
AFB^Q)
+ 6[аз+10а,г|)^(0)Г
10 ' ( "к+Рср)
(3.21)
Здесь размерность мощности имеет только множитель 10 О'^^^к+^ср)'
так как согласно (2.9) Р с р = 1 мВт-Ю-^-^^Рк+^'ср). Выражение в фигурных скобках безразмерно, поскольку коэффициенты йп в соответствии с (3.1) имеют размерности
где и —напряжение.
Так как \j)i7(0) =
то произведение
—безразмерно
так же, как и « ^ ^ ^ ( О ) , и т. д. Формулой (3.21) можно пользоваться, если известна передаточная характеристика тракта (или
его элемента) и определены коэффициенты а». Однако в большинстве случаев на практике удобнее определять коэффициенты
йп путем измерения гармоник синусоидального колебания на выходе тракта. Рассмотрим, как это можно сделать. Пусть на вход
тракта подан испытательный сигнал Wi cos
Подставив это выражение в (3.3), получим после простейших преобразований продукты нелинейности в виде
А\
/
U'
1
1
cos2fi^+
2 У
O g — + аб—м?
16
созЗЙ^Н-
(3.22)
+ 04 — c o s 4 Q / + flg — c o s 5 Q / .
16
Затухания нелинейности тракта по 2, 3, 4 и 5-й гармоникам, по
определению, равны:
«1
"З
«2
^4i = 201g
«5
"4
С учетом того, что коэффициент усиления тракта принят равным
единице и амплитуда испытательного сигнала на выходе тракта
равна Ui. Подставим в эти выражения амплитуды гармоник из
(3.22) и изменим знак на обратный:
— 62i =
20]g
-^3i=201g
-,з
-
=
а5
16
,.4 \
\
201g
+
-^5i =
(3.23)
201g
16/
Уровень
основного
сигнала
амплитуды
щ
яа
выходе
тракта
(3.24)
где R — сопротивление нагрузки тракта.
Из (3.23) и (3.24) найдем
-
Ь.гг -
P i = 201g
_ ^ у щ
a^Vma^^ ,
+ а^ VRI2 и\ = аа УRf2 -f а^ VR/2 2R• 10°'*"».
(3.26)
так как
=
. И далее
_
откуда
= 201g (а^ K W ) ;
= а, У Ш ,
Подставив (3.26) в (3.25), найдем выражение «г:
а^ = Y W R
[ 1—4•
.
(3.27>
Действуя аналогичным образом, найдем —651—4pi = 201g(a:, —)»
откуда
^
= Л
^
(3 28)
И далее
И далее -
Ь,, -
= 201g («3 - f + «5 - f
; \
=
Подставив сюда (3.28), найдем выражение
аз = А
J
5.
(3 29),
R
Итак, коэффициенты аг—as выражены через соответствующие затухания нелинейности:
fls
R
(3.30)
2
Подставим теперь эти выражения в (3.21). После преоб|раз'ований получим ф-лу мощности переходных помех в «анале (ъ пВт),
выраженную через затухаиия нелинейности тракта:
Р , =
A ^ ^ i l ^ L {4. Ю^'^^СР ю-о-Ч^^+Р-Рк) X
X [ 1 + 4 - ( 3 . 1 0 ° ' ^
-f 24- Ю^'^^ср.
X (4-
^Рср+Рк-Р.) _
_j_ 5.
\)fy^{a) +
X
1 )fy^{a) + 192-
Xi/,(a);+ 1920. lO^'^^cP. 10-°'»
x
,
(3.31>
55
-где
А/^к==ЛЙк/2я — ширина полосы телефонного канала;
AF = AQ/2n — ширина спектра многоканального сообщения;
0,75 — псофометрический коэффициент;
рк — измерительный уровень канала, дБ;
Рср — уровень загрузки тракта, дБ;
b2i—b5i — затухания нелинейности тракта по 2—5-й гармоникам,
дБ, измеренные при уровне испытательного |силнала на .входе тракта, рав'ном ри дБ;
(а) — безразмерные функции, определяющие распределе- i
ние мощности продуктов нелинейности в полосе многоканального '
сообщения;
ог= ( й — Q i ) / ( Q 2 — Q i ) — б е з р а з м е р н а я координата, соответствующая частоте канала Q в полосе многоканального сообщения.
Здесь принято, что предыскажения отсутствуют и
(Q) = 1.
Если измерять затухания нелинейности при уровне испытательного сигнала, равном номинальному измерительному уровню канала, то р1 = рк, b2i = b2K, Ьз1 = ^зк, Ьа\ = Ь4к, &51 = &5к и ф - л а ( 3 . 3 1 )
несколько упростится:
=
^ M i ^ L
{4.
Д F
X [ 1
+ 24+
+
4
1920-
-
\
)
f y , { a )
+
5 . ^ б к - Ы X
. Ю-'-'^ну^ (а)} .
(3.32)
Групповые тракты многоканальных систем связи имеют очень
малую нелинейность, и на практике обычно можно пренебречь
влиянием нелинейных искажений четвертого и пятого порядков.
Тогда в ф-лах (3.31), (3.32) можно принять ^>41=^51 = 00, &4к=Ь5к=
= оо, и формулы примут вид
Д Fk
+ 24 •
.
у^ ^^^ ] ^
(3 33)
И при р1=рк
+ 24.10°''''ср.
].
(3.34)
Формулы (3.33), (3.34) весьма просты и удобны для инженерных расчетов, они получили широкое распространение на практике. Впервые они были получены в известной работе Брокбэнка и
Уосса [3.2], но более сложным путем и с помощью представления
:56
многоканального сообщения в виде суммы гармонических колебаний. Применение корреляционного метода анализа и математической модели многоканального сообщения в виде нормального стационарного случайного процесса с ограниченным спектром позволяет получить результат значительно более простым и наглядным^
путем, как это было впервые показано в работах [ 3 . 3 ] и [ 3 . 4 ] . Точность расчетных ф-л ( 3 . 3 3 ) , ( 3 . 3 4 ) подтверждена многочисленными экспериментами. Приведенный выше анализ основан на предположении о независимости от частоты коэффициентов а-п полинома, аппроксимирующего передаточную характеристику тракта.
В тех случаях, когда эти коэффициенты являются функциями частоты, в расчетные формулы необходимо вводить соответствующие поправки.
Иногда, для измерения затуханий нелинейности тракта используют двухчастотный испытательный сигнал, т. е. сигнал вида^
Ml cos Qii-fU2Cos
и измеряют не амплитуды гармоник, а амплитуды
комбинационных составляющих
U2k.cCos(Qi±Q2)^'
и
«3K.cC'0s(2Qi±Q2)i? и затухадия нелинейности по комбинационным
составляющим. Очев'идно, что соотнощения между этими затуханиями нелинейности б21к.с, ^sik.c и затуханиями b%i, 631, входящими в
ф-лу (3.30) при Ui = U2, следующее:
Ьи =
с +
6
дБ,
^31 =
^31К с +
дБ.
(3.35)',
Рассмотрим теперь влияние предыскажений многоканального
сообщения на мощность переходных помех, возникающих в элементах группового тракта. Очевидно, что при введении предыскажений спектральное распределение мощности нелинейных продуктов изменится таким образом, что мощность переходных помех,
возрастет в нижних каналах и уменьшится в верхних. Согласно.
(2.13) энергетический спектр многоканального сообщения на входе тракта при введении предыскажений, рекомендованных МККРг
будет:
Wunp (й) =
[0.4 + 1,35 (Q/Q2)'+ 0.75 (Q/Q./J при Ц < Q < Q^]
Wunp (й) = О
при Q < fii и Q > Qg.
Спектр продуктов нелинейных искажений второго порядка можно •
вычислить по ф-ле (3.10), подставив в нее выражение спектра
многоканального сообщения (2.13):
00
Wu2up{Q)= -Y
J
^ t ^ n p (Х)
Wunp ( й
-
X)dx.
(3.36).
—00
Области существования интеграла (3.36) такие же, как в (3.11).
Аналогично по ф-ле (3.12) можно вычислить спектр нелинейных искажений третьего порядка
00
Wubnp
j
(Х) tt^c/np ( Q 00
и более высоких порядков.
X) dx
(3.37),
Далее, введя безразмерную координату о (3.14), получим аналогично (3.19)
"ФГ/ (0)
(3.38)
где уппр (а) —.без;ра'зм.е.рная функция, аналогична'Я функции Уп (а),
описывающая форму спектра продуктов нелинейности п-то порядка при использовании предыскажений.
Аналитические выражения функций Упщ){о) довольно сложны и громоздки, удобнее пользоваться графиками этих функций,
которые изображены
на рис. 3.5. Графики вычислены для
\
12
1,0
\
\
\
V
>
0,6
\
.0,6
к,
\
сч
0,6
V,.
0,4
0,2
.0,2
0,2
0,4
О,В
0,8
О
6
Рис. 3.5. Функции t/2up(a), ysnvio),
с предыскажениями
0,2
0,4
утр{о),
0,6
г/5яр(сг) при Р = сх5
P = Q2/Qi = oo, н о о н и достаточно точны при р > 2 0 , т. е. для всех
применяемых на практике многоканальных систем связи.
Мощность переходных помех в канале при использовании предыскажений можно рассчитать по ф-лам (3.31) — (3.34), если заменить в них функции Уп{о) на ^ппр(а), а также учесть, что на
выходе тракта включается восстанавливающий четырехполюсник
с коэффициентом передачи 1/5 (Й), обратным коэффициенту передачи предыскажающего четырехполюсника. После такой замены
ф-лы (3.32) и (3.34) примут вид:
Р, „ , =
И . ЮО'^^'СР.
X
AFB^Q)
X (3 •
_
X [ 1+5•
+ 192- Ю^'^^'сР.
1)]2
(а) + 24 •
(
4
.
.
_
х
,
1)руз^р(а) +
+ 1920.
. 10-°'^Чбпр(а)},
(3,39)
Гш.Н.Г
'
AFB2(Q)
4- 24•
.
'
Уд^р (a)} .
(3.40)
Величины затуханий нелинейности Ьгк—Ьбк, входящие в эти формулы, такие же, что и в ф-лах (3.32), (3.34), т. е. они измеряются
с помощью испытательного сигнала без предыскажений.
Оценим количественно влияние предыскажений на составляющие мощности переходных помех в каналах. Д л я этого вычислим
отношения мощности продуктов нелинейности л-го порядка при
отсутствии предыскажений к мощности тех же продуктов при
использовании предыскажений. Как видно из ф-л (3.32) и (3.39) „
эти отношения равны:
'
г/зпр (а)
!/.п,(<1)
ymv {о)
Ушр {(У)
Графики этих функций приведены на рис. 3.6. Они показывают,
что предыскажения вызывают увеличение переходных помех в
дБ
У
/ Су
У
0,2
/
/Г
/
J
5
/
/
Ч
J
/г
i'
/
0,8
W
О
-1
0,2
-г
-J
-h
'5
/
/
у
/
Cs^
^0,6
/
/J
0,8
7
-6
Рис. 3.6. Выигрыш от предыскажений
нижних каналах: от искажений четных порядков — на 5 дБ и от
искажений нечетных порядков — на 2 дБ. При этом в верхних каналах переходные помехи уменьшаются: от искажений четных порядков — на 5 дБ и от искажений нечетных порядков — на 3—4 дБ. Величины отношений
и Сз(а) вычислены в [3.5], но при
другой аппроксимации характеристики предыскажений
3.3. ПЕРЕХОДНЫЕ ПОМЕХИ ИЗ-ЗА ОГРАНИЧЕНИЯ
АМПЛИТУД МНОГОКАНАЛЬНОГО СООБЩЕНИЯ
В предыдущих параграфах рассмотрены переходные помехи^
возникающие из-за нелинейност.и передаточной характеристики
59-
группового тракта. Эта характеристика аппроксимирована полиномом по степеням мгновенных значений входного напряжения в
предположении, что входное напряжение очень редко превышает
границы ± U q , в которых действительна эта аппроксимация. Другими словами, было принято, что вероятность того, что \ IJ{t)\>UQ,
очень мала. Однако вопрос о том, какова должна быть величина Uq, остался невыясненным. В данном параграфе попытаемся
ответить на этот вопрос.
Сформулируем задачу следующим образом: многоканальное
сообщение U ( t ) , представляющее собой нормальный стационарный случайный процесс с ограниченным спектром, действует на
входе идеального ограничителя с линейным участком, передаточная характеристика которого имеет вид (рис. 3.7)
пи
т
=
- а о
u{t),
и,о»
U i t ) < - U , ]
(3.41)
Требуется определить мощность переходных помех в каналах на выходе такого ограничителя в зависимости от величины Uq. Определив величину Uo, при которой переходные
помехи в каналах незначительны,
можно ответить на вопрос о том, в
каких пределах ± t / o должна быть
относительно линейна передаточная
характеристика группового тракта,
например характеристика усилителя или модуляционная характеристика частотного модулятора.
Влияние ограничения амплитуд
многоканального сообщения на величину переходных помех рассмотрено в i[3.6] и 13.7], однако результаты этих работ нам непосредственРис. 3.7. Передаточная характеристика тракта с ограничено не подходят, так как в {3.6] пронием
цесс на входе тракта представлен в
виде узкополосного случайного процесса с гауссовым энергетическим спектром, а в [3.7] допущено
грубое приближение, справедливое только при очень высоких уровнях ограничения. Влияние предыскажений многоканального сообщения в этих работах не рассматривалось.
Д л я решения нашей задачи нужно найти корреляционную
функцию процесса на выходе тракта, с передаточной характеристикой (3.41), при действии на его входе нормального стационарного случайного процесса, а затем по корреляционной функции
найти энергетический спектр продуктов нелинейности и мощность
переходных помех в каналах. Прохождение нормального стациоt60
парного случайного процесса через идеальный ограничитель с линейным участком рассмотрено в ряде работ по статистической радиотехнике. В [3.8] получено следующее выражение корреляционной функции процесса на выходе ограничителя:
2Ф
(
\
+
К^^и j
2 00
£/п
(3.42)
J
«=1
где
ф(х) = -у^:г- ( е ^ d^ — интеграл вероятности;
V ^^ J
2
Ru (т) =
%
(0)
( е - ? ) -
полином Эрмита порядка п;
— коэффициент корреляции процесса
U(t).
Первое слагаемое в правой части выражения (3.42) представляет собой корреляционную функцию неискаженного процесса на
выходе. Множитель в квадратных скобках отражает уменьшение
мощности неискаженного процесса при понижении уровня ограничения. Второе слагаемое, являющееся бесконечным рядом по степеням коэффициента корреляции входного процесса, представляет
корреляционную функцию продуктов нелинейных искажений. Поскольку ограничитель симметричный, ряд содержит только нечетные степени коэффициента корреляции.
Найдем энергетический спектр продуктов нелинейных искажений на выходе тракта. Очевидно, что
W'H.orp
=
/ t/, \а
и.
s
(3.43)
(2п-М)!
«=1
На основании выражения (3.20) можно представить интегралы в
(3.43) в виде
со
О
00
^
О
(3.44)
61
Подставив (3.44) в (3.43), получаем
В § 3.1 получены спектры нелинейных продуктов до пятого порядка включительно и определены функции
и ysio), графики которых при отсутствии предыскажений представлены на рис. '
3.3 и 3.4 и на рис. 3.5 — при использовании предыскажений. Эти
функции позволяют вычислить только два первых члена ряда
(3.45). Однако ряд (3.45) сходится медленно, поэтому нужно вычислить значительно большее количество членов, т. е. необходимо
определить функции ^2n+i(a) более высоких порядков. Функции
y2n+i{o) вычисляются путем последовательной свертки спектров
многоканального сообщения, что представляет собой довольно трудоемкую задачу. Вычисления можно упростить, сделав некоторое
допущение. Так как в многоканальных системах отношение граничных частот спектра p=.Q2/^i обычно очень велико, допустим,
что р = схз, т. е. Qi = 0. Тогда спектр многоканального сообщения
= Wq
й равен нулю за пределами этой.
—при
Qj
полосы.
Далее воспользуемся аналогией математических выражений
свертки спектров и композиции законов распределения случайных
величин. Функция распределения суммы двух независимых случайных величин, как известно, равна
00
=
j
(")
-
(
3
.
4
6
)
00
где Wi(u), w'i(u)—функции
распределения слагаемых.
Этот интеграл является сверткой функций Wi(u) и w'](u) и
полностью аналогичен выражению
(3.10),
представляющему
свертку спектров.
Согласно центральной предельной теореме распределение суммы независимых случайных величин стремится к нормальному
при увеличении числа слагаемых, т. е. функция распределения
суммы
определяемая последовательной сверткой вида
(3.46) при достаточно большом числе слагаемых п, приближается
к функции Гаусса. На этом основании можно полагать, что функция y2n+i{o), определяемая последовательной сверткой спектров,,
при достаточно большом п описывается кривой Гаусса.
При отсутствии предыскажений энергетический спектр многоканального сообщения с учетом сопряженного спектра на отрицательных частотах описывается выражением ^t/(0)/2Q2
при
—
т
а
к
как принято, что Qi = 0. Спектральная плотность, соответствующая коэффициенту корреляции Ди{т:), равна
1 / 2 ^ 2 при —
и
аналогична плотности равномерно распределенной случайной величины с дисперсией
Функция ^2n+i(a), аналогичная функции распределения (2/г+1)
случайных величин, будет описываться нормальным законом (кривой Гаусса) с дисперсией, равной {2п+\)х5\\
/ч
22
^
2(2n+I)a^
2Q2
,/•
6
з а ^
2(2п+1)
где a =
Множитель 2 в числителе введен для перехода к реальному спектру на положительных частотах.
При использовании предыскажений, рекомендованных МККР,
спектральная плотность, соответствующая коэффициенту корреляции Runp{t), равна
1/2Й2 [0,4 + 1,35 (Q/Qaf + 0,75 ( й / ^ при — Qj < Q <
Принимая ее за плотность распределения случайной
найдем дисперсию
/
V
\2
/ г \*
< = т
Q2 /
—2,
л2
^ (о,А + А 1,35 + А 0,75 j » 0,51Q2.
величины.
dx =
J
(3.49)
Функция ^(2п+1)пр(а) будет также описываться кривой Гаусса:
и
(а\=
- р 1.02(2п+1) .
(3.50)
Определим теперь, при каких величинах {2п+\)
можно пользоваться ф-лами (3.48) и (3.50) на интересующем нас интервале
изменения а, т. е. O ^ a ^ l . На рис. 3.8 представлены графики
функций уз{о), Уъ{о) при отсутствии предыскажений и функций
^'зпр(а), г/511р(а), г/7пр(а) при использовании предыскажений МККР.
Графики вычислены путем свертки спектров. Пунктиром показаны
графики этих же функций, вычисленные по ф-лам (3.48) (рис. 3.8а)
и (3.50) (рис. 3.86). Видно, что при отсутствии предыскажений
ф-ла (3.48) верна уже при (2Аг-|-1)^5, а при использовании предыскажений ф-ла (3.50) — при ( 2 д + 1 ) ^ 7 .
Найдем псофометрическую мощность (в пВт) переходных помех в телефонном канале в точке с измерительным уровнем рк,
дБ, по ф-ле (1.15), подставив в нее выражение спектра продуктов
нелинейных искажений (3.45):
р
_
^шн.огп—
Ш
( ^н+^ср) Ц^н.огр(^)
(3.51)
63
где
и.
У,
-(t-y
=
2
я 2п—1
(3.52)
— е
Графики функции Гогр (
1
' ^ , рассчитанные по ф-ле (3.52)
с помощью таблиц (3.9] полиномов Эрмита, представлены на
рис. 3.9 для двух значений
а : а = 0 (нижний канал) и ( j = I
(верхний канал). Как видно
из рисунка, при отсутствии пре0,9
дыскажений разница в велиl/s
чине Уогр между нижним и
0,8
верхним каналами весьма не»
0,1
велика и тем меньше, чем выше
у1ювень
ограничения
o,s
^о/(an
1^2).
Это
объясняется
0,5
тем, что при высоком уровне
0,4
J
^огр
0,3
-15
•ъ
«ч.
0,2
-20
-25
OJ
л
—
ч
-JO
-35
о 0,2 0,if 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,5 1,8 6
S
S
-IfО
1
OJ
^ 0,6
0,5
0,^
О,J
0,2
1
\
-
N
•"s
>
>L
N
—
Я
• С ' *
ч
N
-U5
-50
-55
-60
-65
-10
-75
-80
1
\
\
>1
\
0.1
О
0,2 0,0 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,6 fi
Рис. 3.8. Функции г/2п+1 (сг): а) без
предыскажений; б) с предыскажениями
О 0,2 0}10,6 0,81,0 1,2 Iji 1,6 1,8 2,0 2^2,4 ?J 2,8 3
Рис. 3.9. Функция Yotv{UoIouY
2)
ограничения срезаются узкие пики многоканального сообщения,
имеющие почти равномерный спектр в полосе рабочих частот.
На рис. 3.10 даны графики функции
У
1 Qrp f - ^/•"""
V2
(Q)
также
для двух значений о, но пр.и ишользоваеии предьюкажений. В этом
случае мощность переходных помех возросла в нижнем канале
н уменьшилась в верхнем из-за влияния предыскажений. В графиках на рис. 3.9 и 3.10 в качестве независимой переменной взята
величина отнооителыного порога ограничения, равная
Uol{OuV2)
=
VPJP ср>
210'*
Ъи.дБ
\
-20
-25
-30
-35
-if О
ч
2-lf
к
- -
-50 . . . . . t—
-55
-60
-65 —
-70
- 75
8f0l
610^
Ш
.... —
-15
-
\\
\\
спп
1I
г
1
wo
L
\
-
20
j'u
2
Yovp{Uaj(JuV^)IB^Q)
1
\\
i}
/
Рис. 3.10. Фуикция
\\
/У=300
кО
N\
S
1
i
!
/К= 60
100
%
ч
11 1
- Кi1 1
\
\
Ч
\
1 '
>
V
1,8 2,0 2,2 2,4 26 2,8 3,0 Uo
Рис. 3.11. Зависимость мощности переходных помех в нижнем канале от уровня ограничения
где Ро — мощность синусоидального сигнала, амплитуда которого
равна порогу ограничения
Pep — средняя мощность многоканального сообщения.
С помощью ф-лы (3.51) и графиков на рис. 3.9 и .3.10 легко
рассчитать мощность переходных помех в канале при разных величинах относительного порога ограничения и определить пределы
в которых передаточная характеристика группового тракта
должна быть относительно линейной. Д л я примера на рис. З.П
показана зависимость псофометрической мощности переходных помех в нижнем телефонном канале (в точке ри- = 0) от относительного порога ограничения для систем с числом телефонных каналов
.V=:60, 300, 600 и 1920 при отсутствии предыскажений. Как видно
из этих графиков, мощность переходных помех, вызванных ограничением амплитуд многоканального сообщения, становится незначительной при (Уо/
>3.
3-194
65
Можно предположить, что величина переходных помех в канале не является достаточным критерием для определения пределов
относительной линейности передаточной характеристики группового тракта, так как ограничение амплитуд многоканального сообщения может вызывать сбои посылок при передаче по каналам
цифровой информации. Действительно, процесс на выходе тракта
с передаточной характеристикой (3.41) можно представить в виде
неискаженного входного процесса с наложенными на него срезанными пиками в обратной полярности. При таком представлении
на выходе тракта, кроме неискаженного многоканального сообщения, действуют импульсы случайной длительности т, случайной
амплитуды А, следующие через случайные интервалы (см. рис. 3.7).
Эти импульсы создают в каналах всплески помех. Если импульсы
возникают сравнительно редко и в промежутках между ними
отклик в канале успевает затухнуть, то средняя мощность переходных помех, определенная выше, не может служить критерием
для определения вероятности сбоя цифровой посылки, так как
пиковая мощность во время всплеска помехи может значительно
превысить среднюю и вызвать сбой.
Рассмотрим влияние относительного
порога
ограничения
на достоверность передачи цифровой информации в
каналах. Для этого обратимся к теории выбросов случайных процессов. Согласно этой теории [3.10] средняя длительность выбросов над положительным уровнем Uo для нормального стационарного случайного процесса t / ( f ) определяется выражением
i2
2я
1—Ф
(3.53)
Средний интервал между этими выбросами
ТШ=
2я
^
(3.54)
- ( - о : ) '
и среднее число выбросов в единицу времени, превышающих положительный уровень Uo,
(3.55)
2л
Такое, же число выбросов превышает отрицательный уровень —Uo:
X
В этих формулах
^ '
/2л
t^
dt
интеграл вероятности;
(Р
dx^
%
С Q^Wy {Q)d Q
(Т)
^ i / (0)
(3.56)
t=o
Wfj {Q)dQ
Подставив в (3.56) выражение энергетического спектра многокан а л ь н о г о сообщения, получим: при отсутствии предыскажений —
= W3(H-l/ip+.l/p2)
'И .при использовании предыскажений МК'КР — R'^u {0)
Q^g. Далее подставим зн-з'чвния
в (3.53), (3.54) и (3.55):
I
1—Ф
о^)
(3.57)
Uo
^ti^'o)
—
— ^ е.
1
2
(3.5а)
( Up\2
I
(3.59)
где коэффициент с равен: при отсутствии предыскажений
при использовании предыскажений с=1,4.
Ш
swl
610^
14Ю
№
2)0'
8-10^
SW
\W20
10
2.0 22
2,4 2,6 2,8 U^
••и
Рис. 3.12. Зависимость
средней
длительности выброса от уровня
ограничения
Рис. 3.13. Зависимость среднего
интервала между выбросами
от уровня ограничения
На рис. 3.12 и 3.13 даны зависимости средней длительностк
выбросов и среднего интервала между положительными выбросами от относительного порога ограничения для систем с числом
каналов N = 60, 300, 600 и 1920 при отсутствии предыскажений^ рассчитанные по ф-лам (3.57) и (3.58). Как видно из этих графиков,
средняя длительность выбросов сравнительно слабо зависит от
уровня ограничения, тогда как средняя длительность интервала
меняется существенно. Наибольшая средняя длительность выбросов для 60-канальной системы равна xff/oj
Ю"''с, и, следовательно, произведение длительности импульса на полосу телефовного канала значительно меньше единицы. Отсюда следует, что
отклик телефонного канала на импульс длительностью t:(Uo) будет таким же, как отклик на единичный импульс (дельта-функЦию), т. е. будет соответствовать импульсной реакции канала.
367
Это остается справедливым и для каналов с большей шириной
полосы, например для канала шириной 48 кГц (12-канальная групла)" во всех рассматриваемых системах и для канала шириной
.240 кГц (60-канальная группа) во всех системах с числом телефонных каналов y v ^ 3 o o .
Имея в виду, что форма амплитудно-частотной характеристики
рассматриваемых каналов весьма близка к прямоугольной, возьмем • импульсную реакцию полосового фильтра, составленного из
цростых звеньев и имеющего поч;ти прямоугольную частотную характеристику [3.11]:
=
(3.60)
X
где 5и = Лт — площадь импульса; AQk — ширина полосы
канала;
Q — средняя частота капала; 1гп(х,)—функция Бесселя
первого'рода порядка 2/г.
Огибающая импульсной реакции при ShAQk=1 будет Н(х) =
{mix)
— 2п~—,
График этой огибающей для фильтра при /г = 3 изображен на рис. 3.14.
— •
il
V
/
//
и
\
\
1
/
- -
i
О
\\
/
/
f
\
\
/
—
•0,1
О,? 1 1 1
о
2
6
8
10 12
W 18 20
Рис; 3.14. Огибающая импульсной реакции канала
При передаче цифровой информации методами ЧМ, ФМ или
ОФМ ошибка возникает тогда, когда амплитуда импульса помехи
превышает амплитуду сигнала. В реальных системах вследствие
собственных искажений импульсов сигнала устойчивость к действию помехи на 2,5—3,5 дБ ниже теоретической {3.12]. На основании этих данных допустим, что при Л п ^ 0 , 7 « к происходит сбой
с вероятностью 0,5, где Лд — амплитуда импульса помехи в канале, «к—-амплитуда сигнала. Мощность сигнала в канале Рк =
= u \ l { 2 R ) , а средняя мощность многоканального сообщения в той
же точке Рс]-, = о^иЩ. Отсюда найдем амплитуду сигнала в канале
Uk=Y2(Pu/Pcj)).
в соответствии с (3.60) амплитуда импульса
помехи е канале равна
j-де А — амплитуда импульса на входе канала; т — длительность
^1У1пульса; AQk — полоса канала; Ямакс — максимальная величина
()гибающей импульсной реакции канала. Используя это, получим
условие сбоя знака с вероятностью 0,5
Ои
Д^к'Г^макс '
V•
J
Так как А есть величина выброса над уровнем Uq, ТО нужно учесть,
что сбой с вероятностью.. 0,5 произойдет при условии, что выброс
процесса U(t) превысит уровень Uq+A.
Изменение уровня порога оказывает малое влияние на среднюю длительность выброса (см. рис. 3.12), поэтому в ф-ле (3.61)
можно вместо т взять среднюю величину x(Uo). Величину Ямакс
примем равной 0,3 согласно рис. 3.14. Заметим, что такая ж е
величина Ямакс получается у идеального фильтра с импульсной
sin д-
реакцией S^AQk
Найдем среднее в единицу времени число выбросов процесса
U(t), превышающих уровень Uo+A и вызывающих с вероятностью
0,5 сбои знаков. При этом учтем как положительные, так и отрицательные выбросы. Согласно (3.59) получим. .
1
\2
с
где в соответствии с'(3.61)
1
(3.63)
""и /
Средняя потеря достоверности при передаче цифровой информации, очевидно, будет равна
\
,
(3.64)
где N J, — число переданных знаков в единицу времени.
Подставив (3.62) и (3.63) в (3.64), получим формулу, определяющую среднюю потерю достоверности при передаче цифровой
информации, из-за ограничения амплитуд многоканального сообщения
Р2
Рош= — ехр
cN^
^ /
2 V Gf;
,
/ P J ^ P
V
OMQh4UO)J _
(3.65)
Расчет по ф-ле (3.65) показывает (3.13], что д а ж е в 60-канальной системе передача цифровой информации в телефонном канале
(при скорости 1200 Бод) или в тракте 12-канальной группы (при
скорости 48 кБод) осуществляется практически без потерь при
^о/(а17 "К 2) ^ 2 , 1 - ^ 2 , 5 . В системах с большим числом каналов результаты еще более благоприятны. Таким образом, величина мощности переходных помех является достаточным критерием для оп-
ределения пределов ±Uo относительной линейности передаточной
характеристики тракта. Для получения малой величины мощности
переходных помех относительный уровень ограничения должен
и
(
fj^ у ^ ^ ^j, чем уровень, при котором передача цифровой информации осуществляется без потерь. Это объясняется
тем, что длительность импульсной реакции канала сравнима или
даже больше, чем интервал между выбросами. Как следует из
рис. 3.14, длительность импульсной реакции д:и=
20,
что соответствует:
— для телефонного канала
с,
— для канала шириной 48 кГц
1,33-10"^ с;
— для канала шириной 240 кГц
Ю-^с.
Средний интервал между выбросами, с учетом положительных
и отрицательных, равен 1/2 Г и, как видно из рис. 3.13, он меньше
длительности импульсной реакции уже при |^7о/(ааУ"2)
2,1ч-2,2.
Следовательно, при таких уровнях ограничения в канале возникают непрерывные колебания, средняя мощность которых близка
к пиковой.
Список литературы к гл. 3
3.1. Харкевич А. А. Спектры и анализ. М., Гее. издательство технико-теоретической литературы, 1957. 236 с.
3.2. Brockbank R. А., Wass А. А. Nonlinear distortion in transmission systems. — «Р1ЕЕ», 1945, March, v. 92, part III, N 17, p. 45—56.
3.3. Вклад С С С Р по вопросу № 93 IX Исследовательской комиссии М К К Р .
The calculation of non-linear distortion in FDM radio-relay systems with frequency modulation. Документ № 29. Женева, 14 сентября 1954, p. 26.
3.4. Бородич С. В. Расчет шумов в каналах радиорелейной линии с частотным уплотнением и частотной модуляцией. — «Электросвязь», 1956, № 1,
с. 10—20.
3.5. Геренрот Е. Л . Расчет шумов в каналах радиорелейной линии при введении предыскажений. — «Электросвязь», 1960, № 6, с. 28—32.
3:6. Cahn С. R. Crosstalk due to finite limiting of frequency—multiplexed
signals. — «P.I.R.E.», 1960, J a n u a r y , v. 48, p. 53—59.
3.7. Бубман Д . P. К оценке энергетического спектра помех, возникающих в
каналах многоканальных ВЧ систем уплотнения вследствие перегрузки групповых устройств. — «Электросвязь», 1968, № 2, с. 10—18.
3.8. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга
первая. М., «Советское радио», 1969. 751 с.
3.9. Берлянд О. С., Гаврилова Р. И., Прудников А. П. Таблицы интегральных функций ошибок и полиномов Эрмита. Минск, Изд. Академии наук Б С С Р ,
1961. 164 с.
3.10. Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. .М., «Наука», 1970. 392 с.
3.11. Евтянов С. И. Переходные процессы в приемо-усилительных схемах.
М., Связьиздат, 1948. 210 с.
3.12. Гуров В. е., Емельянов Г. А., Етрухии Н. Н., Базилевич Е. В. Основы
передачи данных по проводным каналам связи. М., «Связь», 1964. 311 с.
3.13. Бородич С. В. Влияние ограничения амплитуд в тракте многоканальной
системы связи на передачу сообщений в каналах. — «Электросвязь», 1971, № 1,
с. 33—44.
Г Л А В А
4
Переходные помехи,
вызванные эхосигналами
4.1.
ВВЕДЕНИЕ
Эх'Онсигналы или, иначе го'вюря, попутные потоки, запаздывающие относительно основного сигнала, вызывают появление переходных помех в каналах систем с частотным уплотнением и частотной модуляцией. Эхо-сигналы возникают на интервалах радиорелейной линии вследствие отражения волны от земной поверхности или от неоднородностей тропосферы. Они возникают также
при отражениях волны в антенных фидерах: от концов фидера,
от стыков секций, изгибов и т. п. В системах с большим числом
каналов даже слабые эхо-сигналы могут вызвать большие переходные помехи, если запаздывание их относительно основного сигнала достаточно велико, как, например, в случае применения длинных антенных фидеров. Поэтому к антенно-волноводному тракту
многоканальных систем связи предъявляются строгие требования
в отношении его однородности.
Влияние запаздывающих эхо-сигналов на искажения сообщений, передаваемых посредством ЧМ сигналов, исследовалось в
ряде работ. Основы теории этого явления были даны в работе
В. А. Смирнова [4.1], а в работе L. Lewin [4.2] эта теория была
впервые применена к анализу переходных помех, вызванных эхосигналами в антенных фидерах многоканальных радиорелейных
систем. В последующих работах [4.3—4.7] для исследования переходных помех, вызванных эхо-сигналами, были применены методы
корреляционного анализа. Из-за больших трудностей вычисления
энергетического спектра помех формулы, пригодные для инженерных расчетов, получены только для некоторых частных случаев
и для одного эхо-сигнала (случай однородного несекционированного фидера). Секционированный фидер с многими эхо-сигналами
рассмотрен в работах [4.5] и [4.6]. Д л я вычисления энергетического
спектра помех применена кусочная аппроксимация корреляционной функции, предложенная в [4.5]. Однако полученные при такой
аппроксимации формулы слишком сложны и непригодны для инженерных расчетов. В работе [4.7] вычислены графики для расчета
энергетического спектра помех при наличии одного эхо-сигнала.
Влияние отражений от стыков секций в секционированном фидере
рассмотрено недостаточно полно. В работе [4.8] рассмотрен вопрос
в сложении переходных помех, вызванных эхо-сигналами во всех
антенных фидерах радиорелейной линии. Разработан метод ста»;
тистического расчета этих помех и вычислены графики для рас- |
чета энергетического спектра помех для нескольких значений эф, ^
фективного индекса модуляции. В данной главе рассмотрены переходные помехи, вызванные волной, отраженной от земной поверхности, на интервалах радиорелейной линии (случай одного
сильного эхо-сигнала с малым запаздыванием), а также помехи,
вызванные эхо-сигналами в антенных фидерах (случай многих
слабых эхо-сигналов). Метод статистического расчета переходных
помех, возникающих в антенных фидерах радиорелейной линии,|
изложен по результатам работы [4.8].
j
4.2. П Е Р Е Х О Д Н Ы Е П О М Е Х И , В Ы З В А Н Н Ы Е
ОДНИМ ЭХО-СИГНАЛОМ
Допустим, что на вход приемника поступают: основной сигнал,
модулированный по частоте многоканальным сообщением, и отраженный эхо-сигнал, запаздывающий относительно основного на
время ti.
и,, it) = и, cos [соо/ + S it)] + Кщ cos [соо {t-t,) -f S{t - 1 , ) + ф^],
(4.1)
где Uo — амплитуда основного сигнала; соо — круговая несущая частота; К — модуль коэффициента отражения; ф1 — фаза коэффи/•9
циента отражения; S(t) = CM
U(t)dt\ Слг— крутизна харажтери—т
стики модулятора; U(:t) — многоканальное сообщение.
Прибавим к аргументу косинуса второго слагаемого в (4.1)
функцию S(t) и отнимем от этого аргумента ту же функцию. Тогда
после простейших преобразований получим
"вх (О = «о {Л (О cos [соо^ + 5 (t)] + В it) sin [(Оо/ + 5.(01} =
=
(О cos К М - 5 ( О - 9 (01,
где
Л(0=
(4.2)
\+Kcos[S{t)-S{t-t,)-{-a),t,-^>,],
B{t) = Ksin[S{t)~S{t-1,)
+ (Do^j -Ф1 ].
Переменная амплитуда Uj,(t) суммарного сигнала и фазовая
ошибка d(t) определяются выражениями:
(О = "о ] / 1 + i ( 2 + 2/(cos[z(/,
e(0^arctg
+
+
.
(4.4)
В этих формулах обозначено:
=
=
(4.5)
(4.6)
. Будем рассматривать только такой случай, когда минимальная
амплитуда суммарного сигнала, равная (при Ф1 = я) и^ мии =
=
— б о л ь ш е порога ограничения приемника, и будем считать частотный детектор идеальным. При этих условиях паразитная амплитудная модуляция суммарного сигнала полностью устраняется ограничителем и на выходе частотного детектора мы получим неискаженное сообщение и продукт искажений:
=/7(0 +
^
=
at
+
Дифференцируя по t выражение (4.4), получаем
(4.7)
м
Поведение функции
/VN.
v
К + cos O i
1 + / С 2 - b 2/CcosOi
(4.8)
хорошо известно, на рис. 4.1 представлены ее графики для нескольких значений К. При К=1 функция /(/С, ФО обращается
в дельта-функцию б (я—Oi).
• .1 • •
I
I
I
I
I
I
i
1
!
I
I
.
.
._! -
-2
-6
-В
If
-Ю f
-п\
-т
Щ
18
-2L
-ti
-2S
-28
f-К=0,97
-30
-32 1
Рис. 4.1. Графики функции f {К, ФО =
/С4-С08Фх
+
cos O i
7
Рассмотрим практически важный случай искажений, вызван- '
ных одним эхо-сигналом, а^шлитуда которого близка к амплитуд^
основного сигнала, т. е. величина К близка к единице. Такой случай может быть на интервале радиорелейной линии прямой видймости при интерференции основной волны и волны, отраженной
от земиой noiBopxH'OCTiH. Первый интерфарвнционный 'мини'мум возникает при разности хода прямой и отраженной волн, равной длине волны А=Я, при этом время запаздывания эхо-сигнала (отраженной волны) равно =
т. е. очень мало. На этом основании процесс z(t, ti) можно с достаточной точностью представить
в виде
г (/, t^) = 5 (О - 5 (/ ^ t,) ^ t,S' {t) =
U{t).
(4.9)
Дисперсия этого процесса будет равна
?(ПГ) =
% (0) = (ДсоЛ)'.
(4.16)
где А<оэ — эффективная девиация частоты многоканальным сообщением. Учитывая малость величины z(t, ti), разложим функцию
E(t) по степеням z, ограничившись первыми тремя членами разложения:
8 (t) « i l ^
(К, Фг) + г {t, t,) Г (К, Ф,) + ^ ^ ^
Г
(4.11)
где >1{К,Ф\) — функция,
производные
/'(/С,
=
П/С,
определяемая
I)
^ ^
[1 +/C2 + 2/(cos®i]2
выражением
(4.8), а ее
,
(4.12)
[созФ, + 2К
1 f
к^ + чк
(4.13)
CPS Ф 1
Подставив (4.9) в (4.11), получим
8 (О =
{К, ф,) w it) + f f i ^ г {К, ф,) w (/) U{t)+
,
Как видно из этого выражения, процесс z{t) является производной
=
процесса 0(0/^^1, определяемого выражением
^"м dt
0(г) =
+
о
(К, ф , ) f / ( / ) + 4 "
Ф . ) ( О
+
(4.14)
в котором первый член представляет когерентный продукт, а второй и третий — продукты нелинейных искажений второго и третьего порядк&в.
74
На основании теоремы о спектре производного процесса спектр
процесса z(t) выражается через спектр процесса Q(t)\
(Q) =
^ ^ е
Поэтому, чтобы определить спектр продуктов нели-
нейных искажений, достаточно найти спектр процесса (4.14) без
когерентного продукта, т. е. процесса
v{t)= \
t\cj'
i^t)-^
^
Ф,) и^ (ty
Такой процесс исследован в гл. 3. Согласно выражению (3.7)
его корреляционная функция равна
где коэффициенты «2 и аз в данном случае равны:
Согласно выражению (3.20) спектр процесса v(t)
(0)
(0)
у,
ГДЙ) =
будет
у,
(а) + ба^
(а).
Умножив это выражение на
и подставив значения коэффициентов аг и аз, получим спектр продуктов нелинейных искажений, вызванных эхо-сигналом:
Ге (Q)=
[/' {К, Ф,)т\
X {-^[Г
у, (о) +
AQ
{К,ф,)?
+
~
[Г
{К, ф,)?
(Асоз/i)^
ys (ст)}
.
(4.15)
Используя теперь ф-лу (1.15), найдем псофометрическую мощность переходных помех в телефонном канале (в пВт):
=
^^
10°'^ ^
(0)
^^
(Q
-
j - f I/'{К, Ф1)1МЛ0)Л)Ч(п)+
Д л я иллюстрации на рис. 4.2 и 4.3 показаны графики функций
f'{K, Ф1) и Г ( / С , Ф1) в окрестности угла Ф1 = л, вычисленные по
ф-лам (4.12) и (4.13), при /С = 0,97, соответствующем глубине
замирания сигнала 30 дБ в интерференционном минимуме.
Как следует из ф-лы (4.16) и рис. 4.2 и 4.3, переходные помехи, вызванные эхо-сигналом, максимальны вблизи интерферен75
ционного минимума, т. е. вблизи Ф1 = я, и тем больше, чем выше
частота канала в групповом спектре. На рис. 4.4 приведены зависимости мощности Рш.н в верхнем телефонном канале от угла
рассчитанные по ф-ле (4.16) для системы емкостью 1920 телефонных каналов, работающей на частоте 4 Ггц при следующих данных:
m^i)/ \\
\
1
/
1
i
к
500\
л
Ш
V
Ш
NJ S
200
т
IST
18Г
т г° П8° /73' 0
1
-100
1
-200
1\
-300
>
-ш
V
Л
-500
S
1
> -600
\ / -700
-т
/
т
9V
//1
/
\
1
Рис. 4.2. График первой производной функции
f{K, Oi) при К= 0,97
гЩ
—
\s-10''
—
г\
1
f
1
//
1 11
2-й минимум
\
2-ю'
¥
J
ею1
/
Л 1
/
—
1
—
/
/7>7°
0
178°
179°
tsr
-1
К.
ч
-2
\\
182° 183°
1
i/
—
Рис. 4.3. График второй производной функции ЦК, Ф1) при /C=0,97
к
"N
н
•
минимум
Г
л
Ю'
so 4 -
f
\
1
\
\
\
\\
\
\
>
\
\
\
\
W
18Г
180^173" 178° ПГ П6'
Рис. 4.4. Мощность пере.кодных
помех в верхнем канале системы:
Л'=1920. Д/„ = ИО кГц, P(,J^ = -lЯдБм
прн /(=0,97
1
\
j
'
Л^=1920, рк = 0, рср = —13 + 10 l g A / = 19,84 дБ, AFk=3,1 кГц, Кп =
= 0,75, Q = 27iF2, ^2 = 8524 КГЦ,
А(Оэ=А(йкХ
Х10°-1Рср =2л-140-100-^Рср :=2я-1380кГц; функции г/2(а) и ^ / з ( а )
для верхнего телефонного канала при использовании предыскажений в соответствии с графиками на рис. 3.5 равны: ^2ир(1) =0,36,
г/зяр(1)=0,54.
Расчет выполнен для величины /( = 0,97, т. е. при глубине замирания сигнала 30 дБ и для первого и второго интерференционных минимумов. Время запаздывания эхо-сигнала, соответствующее первому интерференционному минимуму, равно ti = iff=^
= 1/4-10^ = 0,25-10-^ с, а второму минимуму — ^i = 0,5-10~^€. Как
видно из рис. 4.4, наибольший вклад в мощность переходных помех дают продукты нелинейности второго порядка и максимум
мощности соответствует максимуму функции f^{К, Ф1). Вблизи первого интерференционного минимума мощность переходных помех,
вызванных эхо-сигналом, сравнительно невелика при глубкне замирания сигнала до 30 дБ.
Радиорелейные линии обычно проектируют так, чтобы вероятность попадания сигнала в первый интерференционный минимум
была весьма малой, при этом переходные помехи в каналах, вызванные отраженным сигналом, не будут препятствовать увеличен
нию емкости системы.
Рассмотрим теперь второй крайний случай, имеющий практическое значение, когда амплитуда эхо-сигнала мала, а время его
запаздывания может быть велико. Этот случай соответствует эхо;
сигналу, возникающему в однородном антенном фидере, при отражении волны от его концов. Разложив выражение фазовой ошибки (4.4) в ряд по степеням К, получим
00
0(0=
sin[Ai(z(/,
(4.17)
Так как рассматривается малый эхо-сигнал, т. е. /С,<С1, то
в выражении (4.17) можно ограничиться одним членом
е (/) = л: sin [z {t, /1) + O J = К cos Oi sin [z (/, ti)] -f Ksin Ф^ cos [z {t, f^)].
Случайный процесс z(t, t\), определяемый выражением (4.5),
распределен нормально, поскольку процесс S(t) — нормальный. Используя это, найде.м корреляциодную функцию процесса 9 {t)\
г|)0 (т) = К^ {cos2 Ф, sin [Z it, t,)] sin [z {t + т, t,)] -f
+ sin2 0,cos[2(/,
/i)]cosfz(/
+ T, t,)] +
+ cosOisinOisin[z(/, /1)] cos[2(/ + T, /1)]-f+ sin O j cos Ф1 cos [z [t, /1)] sin [z {t + т, /j)] —
< cos Ф1 sin [2 (t, ti)] + sin Ф1 cos [z (/,
применим известные тригонометрические формулы:
sin Z sin z^ — — [cos (г — г^) — cos (z + z^)],
cos Z COS z^ = ^
sin
z COS
=
cos z sin z^ = ~
[COS (z — Z^) + COS (z + z^)] ,
[sin (z — z j + sin (z + z^)] ,
[sin (z + 2^) — sin (z — z^ j ].
Воспользуемся выражениями (2.5.3) и (2.5.4), приняв в них:
2а = Z /j) - Z (/ -f т, /i),
(0) = 2
(О, t,) - al), (т. t,)],
=
+
t,), г1),2(0)^2[г|),(0,
+
f,)],
тогда получим:
_
{cos^OJ
_
2
(4.18)
Ha основе определения z(t, ti) (4.5) найдем:
% ( 0 , / , ) = [ 5 (/) -
5 (/ -
/1) = [5 (/) -S{t-1,)]
= 2 [yp, (0) - ( / , ) ] .
[S {t + T) - S (/ + T - 1 , ) ] =
где t[)s(t) —корреляционная функция процесса S(t).
Д л я упрощения дальнейшего анализа примем, что величина
p=ifi2/Qi велика и тогда в соответствии с (2.41) и (2.48)
% (0) — %
= Щ у (х), где
и функция у(х) определяется выражением (2.40) или (2.48) при
отсутствии или при использовании предыскажений. Корреляционные функции z(t, ti) можно представить в виде:
Ы О , t,) = 2Mly{x,),
(4.19)
где Xi=Q2ti;
Ч'г (т, h) =-Mll2y{x)~y{x
+ X,) - у { х - X,)].
(4.20)
Подставив (4.19) и (4.20) в (4.18), получим
-М^[2!/(х)-г/(х+х,)-1/(х-х,)]
—e
-Ь e
78
„V
'' -M^[2{/(x)-!/(X+X,)-I/(X-X^)]
+ sin2 Ф1
. — 2.
+
Первое слагаемое с множителем соз^Ф! соответствует искажениям
нечетного порядка, а второе — четного. Чтобы исключить из ^ {%)
часть, соответствующую когерентному продукту, нужно к первому
слагаемому в квадратных скобках прибавить
2M^2y(x)—y(x-i+
xi)—y(x—xi)].
После простых преобразований получим корреляционную функцию фазовой ошибки с исключенным когерентным продуктом
в виде
-М^гЦх.х,)
е
- 1 + М2т1(л:, л:^)](4.211
где
(4.22^
Т1(л:, xj} = 2y{x) — y{x + x,) — y{x — xi).
1
Так как продукт искажений равен е = (t) =
dQ(t)
> то, определив
энергетический спектр фазовой ошибки и умножив его на Q^IO-ji
в соответствии с теоремой о спектре производного процесса, получим энергетический спектр продукта искажений
(т)cosQxdx ~
/(2
-2м1У(Х,)
—MZ
е ^
2Q2
2 ^
- 1 + МЫх,
х,) cos bxdx —
|О'
MZ
— cos20i
cos bxdx
[
о
где b = QIQ2Обозначим:
I
G(x„ Q)
Н{х„
-2м1у(Х,) j.
Я
- 1 +
МЫх, X^) cos bx dx^ (4,23)
0
1 -2М1у(Х,)
=
cos bxdx.
— e
Тогда выражение энергетического спектра продукта
ний можно записать в виде
U^'e {Q) = К ' ^ { G {х„ Q) -
я {х„ Q) cos 20^}.
(4.24)
искаже-
(4.25)
"м
79
По ф-ле (1.15) найдем псофометрическую мощность переходных помех в телефонном канале (в пВт):
р
_ 10°'^ ( ^к+А'ср)
~
• ^
^^
(0) B2(Q)
Д/"к/Сп-ЮЭ
г
Р
^^
-
\2
^4G{X„Q)-H{X„.Q)cos20,}.
(4.26)
При
выводе этого выражения учтено, что C^Mij^y(0) =(Д(о2э =
IQO'^Pcp ; А(0к=2яД/к, где А[к — эффективная величина девиации частоты сетнала, соответствующая измерительному уровню
тока в телефонном канале.
^ .Функции G(xi, Q) и H{xi^Q,) определяют спектральное распределение мощности продуктов искажений в групповом тракте. Они
зависят также от
—
т. е. от времени запаздывания эхо-сигнала. Как видно из (4.23) и (4.24), эти функции сложны и не выр а ж а ю т с я через элементарные функции. Д л я их вычисления приходится прибегать к способам численного или приближенного интегрирования и строить графики зависимостей этих функций от
переменных х^ и
Эти функции встретятся в последующих параграфах, где и будут рассмотрены некоторые способы их вычисления.
4.3. И С К А Ж Е Н И Я , В Ы З В А Н Н Ы Е МНОГИМИ
ЭХО-СИГНАЛАМИ, И И Х СЛОЖЕНИЕ
В этом и последующих параграфах данной главы рассмотрим
искажения, вызванные многими слабыми эхо-сигналами, возникающими в антенных фидерах радиорелейной линии, и метод статистического расчета переходных помех в каналах.
Пусть на вход приемника радиорелейной станции вместе с основным сигналом поступает N эхо-сигналов;
N
«вх (О = «О COS [О)о/ + 5 {t)] +
I
c o s [ ( O o ( ^ - / , ) + Sit -
(4.27)
I
i=l
где Ki = Ui/uo — относительная амплитуда i-то эхо-сигнала; ti — время его запаздывания; <рг — его фаза.
После идеального амплитудного ограничителя сигнал (4.27)
будет
и cos [ V + 5 ( О - 9 ( 0 ] ,
(4 2 8 )
а фазовая ошибка, вызванная эхо-сигналами:
N
^
Ki Sin [z{t.
+
8 ( 0 = arc tg
' •
где
•
,
(4.29)
t=l
z{t, t,) = S { t ) - S { t - f , ) .
(4.30)
Н а с интересует случай малых искажений,
эхо-сигналов малы и
у
когда
амплитуды
Ki-tl
(4.31)
IT.
При зтом условии выражение (4.29) можно упростить
N
е it) « ^ Ki sm [z{t, t,) +
(4.32)
е=1
На выходе идеального частотного детектора сигнал (4.28) создает неискаженное сообщение U(t) и продукт нелинейных искажений г(1)\
(О
(^)J =
- -с(О + е (/). . (4.33)
^-м. df
^-м dt
Рассмотрим теперь радиорелейную линию, состоящую из m
участков, на которой имеется 2 т антенных фидеров. Сигнал, действующий на входе приемника второй станции, проходит через
два фидера: передающий фидер первой станции и приемный фидер второй. В каждом фидере возникают эхо-сигналы, отраженные
от концов фидера и стыков секций, и на вход приемника вместе
с основным сигналом поступают две группы эхо-сигналов
*вх2 ( О = М О 2 COS { i ^ J +
5 (0]
I
+ V Ki
cos
ф,]
+
i=l
COS [COOL
{t
(/-/,)+
.
После прохождения через . тракт второй станции
амплитудного ограничения сигнал приобретает вид
cos
+
,(/)].
(4.34)
и
идеального
(4.35)
Д в е группы эхо-сигналов в (4.34) можно объединить в одну,
в соответствии с (4.27), приняв Л/^1 + Л/'2=Л^12- Тогда 9i2f0 будет
определяться вьфажвнием (4.32), разделив которое на две группы, получим
012(0 = 0 1 ( 0 +
02(0,
где ©iff) и вгГО т а к ж е определяются выражением (4.32) при подстановке соответствующего числа членов суммы Ni или N2Вторая станция преобразует несущую частоту сигнала woi
в <Do2, и сигнал снова проходит через два фидера, где образуются
две новые группы эхо-сигналов. После амплитудного ограничения
в тракте третьей станции сигнал принимает вид
и, cos
+ S (О (О - 034 Ш
(4.36)
где
0заО = 0з(О + 0 4 ( 0 -
Фазовая ошибка, внесенная третьим фидером:
08 (О = 2
~
^^^ +
-
(4.37)
1=1
а 6 4 ( 0 определяется таким же выражением, но с числом членов,
равным
Поскольку рассматривается случай малых искажений, то с учетом малости 012(0 можно выражение (4.37) переписать в виде
Nг
е, (/)
2
-
^^
^i) +
-
-
(О - 012 {t - /i)] COS [z {t, t,) + (Oo/i -
9i]}.
Подставив сюда выражение 012(0 из (4.32), получи'М
0, it) « V iCf {sin [z{t, ti) + (Ooa^i — Ф,] —
i=l
-
Nt+Nr
V KHsin[2(/,+Оо^О-ф,]
-
— sin [z {t — ti, f j ) + (Dq.Jj — ф^]] cos [z {t, ti) + (nji
—
ФJ}.
В соответствии с условием (4.31) можем пренебречь вторым
членом в фигурных скобках ввиду его малости и считать, что
63 (О
V Ki sin [z (/, ti) + 0)02 ti -
ФJ.
(4.38)
t=i
Следовательно, 0з(О и 04(0 определяются такими же выражениями, что и 01 ( 0 . 02(0» но с соответствующим числом членов.
Итак, если искажения достаточно малы и можно пренебречь
«вторичными» искажениями, т. е. искажениями продуктов искажений, то суммарную фазовую ошибку, возникаюш,ую после прохождения сигнала через 2т фидеров, можно считать равной сумме
фазовых ошибок, возникающих в каждом фидере. Здесь не учтены искажения, возникающие при прохождении сигнала через тракт
каждой станции, эти искажения могут быть коррелированы с искажениями, вызванными эхо-сигналами, что приведет к тому, что
мощность полных искажений на конце линии будет больше или
меньше (в зависимости от знака корреляции) суммы мощностей
составляющих. Однако в данной главе рассматриваются только
искажения, вызванные эхо-сигналами. Поэтому, отвлекаясь пока
от их корреляционной связи с другими видами искажений, будем
считать, что на входе частотного детектора последней т - й станции
радиорелейной линии действует сигнал
и^ cos [со, ,
+ 5 (О - 0^ (/)],
(4.39)
где суммарная фазовая ошибка равна сумме фазовых ошибок,
2т
розникающих в каждом фидере: di: (t) = I,dk(t),
Qk(t) для каж-
дого из 2т фидеров определяется выражением (4\32) с соответствуюш.им числом членов Nk.
Объединив все Qk(t) в одну сумму, получим
V
(4.40)
i=)
2т
где jVs = 2
— полное число эхо-сигналов в 2т фидерах;
= «0.1.2
(4.41)
Удобнее представить 02 (t) в виде
02 (/) =
V Ki {sin [z {t, ti)] cos Ф^ + cos [z {t, ti)] sin Ф^}.
(4.42)
1=1
Каждый из 2m фидеров состоит из ряда секций приблизительно
одинаковой длины. Очевидно, что величины Кг,
и ti в различных реализациях фидеров являются случайными вследствие разброса модулей и фаз коэффициентов отражений и разброса длин
секций в пределах установленных допусков. Небольшой разброс
длин секций и, следовательно, небольшой разброс величин
не вызывает сколько-нибудь существенного изменения величины
z(t, ti), так как изменение фазы Q.2ti
— верхняя граничная частота спектра многоканального сообш,ения) очень мало. В то же
время этот разброс может вызвать существенные изменения фазы
<оо,
так как (00,1,2^^^2 и величина возможного разброса длин
секций соизмерима с длиной волны сигнала. На этом основании
сумму (4.42) можно разбить на п сумм, где п — наибольшее число
секций в фидере. В каждой из этих сумм величина z{t, ti) приблизительно постоянна и ее функция может быть вынесена за знак
суммы. Тогда (4.42) примет вид
02(0 =
/,)]+YiCOs[z(/, ti)]},
(4.43)
t=i
где
= V KjCosOj,
Y
(4.44)
(4.45)
/=1
^ i — число эхо-сигналов в 2m фидерах с приблизительно одинаковым временем запаздывания ti±Ati.
Фазовый угол O j = (0o, 1 , — я в л я е т с я случайной величиной,
которая может принимать любые значения от О до 2я с одинаковой
вероятностью. Действительно, уже небольшой разброс длин секций вызывает большие изменения величины о)о, i,
кроме того,
несущая частота сигнала принимает два значения, чередуюш.иеся
через каждые два фидера, и, наконец, фаза коэффициента отра- ^
жения может быть любой в зависимости от характера неоднородности. Амплитуды эхо-сигналов т а к ж е случайны вследствие случайного разброса модулей коэффициентов отражений. Отсюда
следует, что Xi и Yi являются суммами большого количества случайных величин.
Не все слагаемые в суммах (4.44) и (4.46) статистически независимы. Слагаемые, относящиеся к одному фидеру, могут быть
попарно коррелированы, как, например, члены вида
г^гзcosФ12 + ^'а^'зcosФ23 +
. . .,
где Ги Г2, Гз — коэффициенты отражения от стыков секций. Однако такая же группа слагаемых, относящихся к другому фидеру,
независима от первой и т. д. Следовательно, суммы (4.44) и (4.45)
состоят, по крайней мере, из 2т независимых групп членов. Н а
этом основании, согласно центральной предельной теореме, можно
считать, что величины Xi и Yi распределены нормально, поскольку
число фидеров 2т достаточно велико.
Так как величина O j распределена равномерно на интервале
от О до 2л, то математические ожидания Х{ и Y^ равны нулю
=
=
(4.46)
а дисперсии определяются выражением
1
=
= — X Щ.
/=1
(4.47)
По этой ж е причине случайные величины Xi и Yi, Xi и Xk, а
также Yi и У^ (,при
некоррел'Ированны, а поскольку они ipacпределены нормально, то и независимы.
4.4. Э Н Е Р Г Е Т И Ч Е С К И Й С П Е К Т Р П Е Р Е Х О Д Н Ы Х
ПОМЕХ, В Ы З В А Н Н Ы Х ЭХО-СИГНАЛАМИ
Найдем сначала корреляционную функцию суммарной, фазовой
ошибки 62 (t). Как мы уже установили выше, процесс
нормален, поскольку нормален процесс
Введем обозначения:
г^ (/, ti) =
34
{t, tk) = ol
S(t).
z {t, /,) г {t + T, t,) ^ R^, a,a,.
Используя выражения (2.53), (2.54), найдем
1
cos [z {t, ti)] COS [z {t + T, tk)] = ~
^s[z{t,
[урш (t) + ^U-^)],
(4.49)
^,)]sin[z(/ + T, h)] = 0,
(T) = exp
-L (aj + aj -
W = exp
-L
(4.50)
},
( a ? + a2 +
(4.51)
a,a,) } .
(4.52)
Используя определение z ( f , ti), легко найти
a? == 2 [г!)^ (0) -
Rik^i^k = "ts
(/,)].
+ ^S
+
ст^ = 2 [ij^^ (0) -
— ^ft) — "^S
г!)^ ( / , ) ] .
— ^Л) — 'ts (t^ + ^i)-
Подставив эти выражения в (4.51) и (4.52), получим
(т) - ехр { - [2г1)5 (0) - ^ s i ^ i ) " ^ s
- t s (х) -
(т +
(т) - ехр { - [2я1)5 (0) -
- h) + г!;^ (т + h) +
(/,) -
(т - /,)]},
(/,) + ^l^s Ь) +
В соответствии с (2.41) и (2.48) примем
тогда
^life (т) - ехр {— Ml [у (д:^) + У Ы
У
+ У
+
— х^) —
— у{х-[- Xi) — у{х — х^^)]},
bik (t) = ехр { - Ml [у
(4.53>
+ у {Xk) — у{х) —
-y{x-\-Xi-Xk)
+ y{x + Xi)^y{x-X,)]},
где X=Q2T, Xi=Q2tu Xk^Q2thКорреляционная функция процесса 02 (О равна
(4.54)
oi^Q. (т) = 6^ (/)е^(/ + т) - Т е ^ ==
+ У,У, cos [z {t, ti)] cos [z {t + T, /,)]
-
- y,y,cos[2(/, t,)] C0S[2(/, /,)]}.
Здесь учтено выражение (4.50), a также и то, что sin
В соответствии с (2.53)
(4.55)
=
-{At
•COS[г(/,е
^ =е
Подставив (4.48), (4.49) и (4.56) в (4.55), получим
п
(4.56)
п
-f S
S
+ yiVkl^iik (T) + taz;^ (T)
k=i
1=1
2e
(4.57)
]}.
Д л я определения спектра процесса E(t), являющегося производной процесса
применим теорему о спектре производной,
тогда спектр переходных помех будет определяться выражением
Й2
2
(т) cos Qt d X.
Ом
Подставим сюда
п
(Q) = ^
у;
(4.57) и заменим переменную т на x = Q2t::
00
п
V
-L г
(X) -
+
(^)J
COS Шх
+
cos bxdx . (4.58)
где t)=iQ/Q2В двойной сумме (4.58) рассмотрим сначала члены при 1 = /г.
Подынтегральные функции, определяемые выражениями (4.53) и
(4.54), будут при Xi = Xk равны:
tl;,,,-(x) = exp{-yW2[2r/(x,) + ri(.^. х,)]},
(4.59)
(X) = ехр { - Ml [2у (х^) - г] {х,
(4.60)
гце'г](х, Xi) определяется выражением '(4.22):
г]{х, xi) = 2y{x) — y{x + xi) — y{x — xi).
Исключим из корреляционных функций части, соответствующие
когерентному продукту. Д л я этого из функции (4.59) нужно вычесть линейную часть: —е ^^ ^^^^^ M\-X\(x,xi), а из функции (4.60)
.вычесть е
' ^^^^^(х, Хг).
Выполнив это, запишем члены двойной суммы (4.58) при i = k
в виде
JCf [G,, (X, Q) - Ни (XiQ)] + К? [Gu ( ^ А + Н ^ {х^О)],
(4.61)
где
OiiixtQ)
и Hii{XiQ) — у ж е знакомые нам функции:
_
1
г) Д е
®
.) j.
О
л:^)] COS М д : , (4.62)
2
X.)
COS bxdx. (4.63)
Рассмотрим остальные члены двойной суммы (4.58). Их можноразбить на пары, причем в каждой паре в одном члене будет
Xi>Xh, а в другом, наоборот, Хг<Хк'. например, -^mix) и
и т. д. В каждой паре коэффициенты перед интегралами одинаковы, а подынтегральные функции разные, поэтому рассмотрим сразу
суммы интегралов в каждой паре:
00
"
j ^life
COS ^^^^ + 1 "^Iki
COS bxdx.
в
первом интеграле введем новую переменную и = х-\+ (Xi—Xh)/2, а во втором переменную и = —x+(xi—Xh)/2.
После
такого преобразования, как видно из (4.63), подынтегральные
функции станут одинаковыми:
bik
(и) = ехр {— Ml
—
{и)
{X,) -Ь У {Xk)
I/ («
+
—
Hi) + 1/ (" -f Hi)
-
—Цг) —^/(«-ЬИг)]}.
= ехр { +
[у
Ml
[у (Xi) +
у {Xk) +
1/ (
—
fii)
- « +
—
+
— ^2)]},
(4.64)
где \i\ = (xi—xk)l2\ \i2=(Xi+Xk)l2.
Учитывая четнюсть функции
y(x) находим, что
^ик(и)
В результате, поскольку ilJiifefwj четная функция, получим сумму интегралов:
00
00
j* ^life
6
00
COS bxdx + J
0
{x) COS bxdx =
—00
= j -^life (") cos b{u — jAi) du— j
Hi
00
(") COS b{—и + iLi)du =
Hi
00
=
J tiife (") COS b{u — Ц1) du = 2cos 6 |ii f ypuk (") cos budu.
(4.65)
—00
6
Аналогичное выражение получается и для подынтегральных
функций ^^zikix),
которые после замены переменных преобразуются к виду
(«) =
(и) = ехр {—
[у
(дгг) +
У {Ч)
—
—
—
—
У(и — Иг) + У {и-V JXa)]},
и сумма интегралов от этих функций т а к ж е будет равна
00
j
0
со
(4.66)
00
cos bxdx -f Г '\p2ki cos bxdx= 2cos b [л^ rp2iji(u) cos budu. (4.67)
0
0
Чтобы исключить когерентный продукт, нужно из функции
^iik(ii) вычесть
а и з фуНКЦИИ"'ф2г7г(и} ВЫЧССТЬ
^-л^э
(^л)] щ ^у ^^
jXi) — у
[Лз)].
Выполнив это :и иодставив (4.65), (4.67) в (4.58), получим:
п
п
+
+
.
(4.68)
где
я
cos bxdx,
о
(4.69)
Л..
= ^
е-"'
Я
00
X
2
f
— 1—/И2г1(а:,
х,,)] cos bxdx.
(4.70)
Функция ^ ( x , x i , x k ) в выражениях (4.69) и (4.70) равна
т]{X, Xi,
Xk) =
у{х
—
цг) +
у{х
+ pii) —
y{x—ix.,)—y{x-\-
[Лг).
(4.71)
где
=
ix, = {Xi-hXk)/2.
(4.72)
Легко видеть, что при Xi = Xk, |j-i==0, \i2 = Xi функция •ц(х, Xi, хи)
обращается в функцию r](x,Xi), а функции Gih{Q) и Hih{Q) обращаются в
и Я г г ( й ) . В ф-лб (4.68) члены при1" = ^ не отделены
•от остальных и принято, что Gik{Q) = Ghi{Q), НгьЩ)
м С^)Итак, получено выражение (4.68), определяющее энергетический спектр переходных помех, вызванных эхо-сигналами. Группа
членов с коэффициентами XiXji определяет спектр продуктов нелинейности нечетного порядка, а группа с коэффициентами YiYh —
спектр продуктов нелинейности четного порядка. Величины Xi, Yi
согласно (4.65) и (4.66) зависят от относительных амплитуд и фаз
эхо-сигналов, функции Gik{Q) и
определяются в общем
виде интегралами (4.69), (4.70), которые при i = k переходят в интегралы (4.62), (4.63). Эти интегралы очень сложны и не выражаются элементарными функциями. В следующем параграфе рассмотрим некоторые способы их приближенного вычисления.
4.5. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО
СПЕКТРА ПЕРЕХОДНЫХ ПОМЕХ
Энергетический спектр переходных помех, вызванных эхо-сигналами, определяется функциями Gih{Q) и
выражаемыми
интегралами (4.69) и (4.70). Получить эти функции в явном виде
не удается и приходится прибегать к способам численного или
приближенного интегрирования и вычислять графики этих функций в зависимости от Xi и Xk для нескольких значений М^э и
Рассмотрим сначала поведение функции г[(х, Хь Xk). На рис. 4.5
изображены графики этой функции в зависимости от л; для не-
/
у
1
i
у
/
/
MrPi-n ,
/
/
f
/
/
/
/
/
r
!
!
t i
/
J J
/r
!
)
/
f
/
!
/
/
1
J^flr^
A
/
^
Ч
s
Ч ••V
'•V
/
/
/
к
уr
/
/
/
/
r/
fЛJ'
>
>>
/
/
j
1
1
1
1
......
1
j1
1
1 1—
—
—
-
//
1
—
i
^
JX
Рис. 4.5. Графики функции ri(v, Ц1, Цг)
скольких значений \ix = (Xi—Xk)!2 и \Х2= {Хг + Хи)12. Как видно,
функция ц(х, Хь Xk) стремится к нулю при х>\х2, следовательно,
и подынтегральные функции в (4.69) и (4.70) тоже стремятся
к нулю при х>[12. На этом основании можно заменить бесконечный верхний предел интегралов конечным пределом Хо/2>[Х2.
После такой замены можно применить способ Филона, рассмотренный в гл. 2 (§ 2.5). Однако при больших величинах цг, т. е. для
длинных фидеров, этот способ неудобен, так как приходится разбивать интервал интегрирования на очень большое число частей
и вычислять подынтегральные функции в большом количестве точек. Интегралы нужно вычислять для многих значений параметров:
x-i, Xk, Мэ, b, поэтому применение способа Филона сопряжено с
весьма трудоемкими вычислениями. Более удобен способ, рассмотренный ниже.
Функция r\{x,xuxk) является взаимокорреляционной функцией
случайных процессов z(t, ti)=S{t)—S(t—ti)
и z(t, tk) =S(t) —
— S ( t — t k ) . Спектры этих процессов, как и спектр процесса S(t),
ограничены верхней частотой Q2. Поэтому энергетический спектр,
соответствующий функции 'Г](х, х^ х,,), также ограничен верхней
частотой Q = ^2- в соответствии с теоремой Котельникова функция
с ограниченным спектром может быть представлена на произвольном конечном промежутке времени тригонометрическим рядом
с конечным числом членов, как это показано в [4.9]. Так, функция
имеющая спектр, ограниченный верхней частотой сос, может .
быть представлена на интервале длиной Т р я д о м / ^ ^ k ^
»
k=—N
где номер наивысшей гармоники определяется из соотношения
=(0с. Функция
полностью определяется на интервале ^
Т посредством N комплексных амплитуд си и постоянной составляющей Со, причем коэффициенты с^ определяются формулами
т
j
f(Oe
'
'' dt.
_ -L
2
Ha основании этой теоремы можно представить функцию
'ц(х, Xi, Xk) на конечном интервале —Хо/2<х<Хо/2
тригонометрическим рядом с конечным числом членов. Учитывая, что функция
•г](х, Xi, Xk) четная и взяв за период величину ^о, получим
1
Xk)
^
Xk) + У aniXi, X k ) c o s - ^ x ,
где коэффициенты an(Xi,Xh), являющиеся
определяются выражениями:
(4.73)
функциями Xi и
2
2
Г) ( Х , XF, Xk) C O S — xdx
=
2
2
^
X
^ [y {x-ii,)+y{x+ii,)-y{x-ii,)~y{x-}-ii,)]
Число членов ряда
nos^^xdx.
(4.74)
2nN
_
,
(4.73) определяется из соотношения"^ — ь
Aq
так как верхняя граничная частота спектра равна
=
и поскольку x = Q2T, ТО аргумент косинуса последнего члена ряда дол2яМ
^
жен быть равен —^ х = ь^з'р.
Отсюда
iV = ^
.
(4.75)
Далее.воспользуемся известным разложением
^«cos ых ^J^
22
(а) cos k(ax,
k=\
где /fc,(.a) — модифицированная функция Бесселя.
90
{4.76)
На основании (4.73) и (4.76) можно получить
2
ч
,,2 Од N
1о{М1ап)+ 2 У h Щ а п ) cos k
.
(4.77
П=1
где коэффициенты а-п, являюш,иеся функциями Xi и Xh, определяются ф-лой (4.74).
Выражение (4.77) путем преобразований можно привести к
виду
(4.78).
fci
где коэффициенты Ah(M^a.) представляют собой суммы произведений N модифицированных функций Бесселя.
Аналогичным образом можно представить
.2а„ N
п=1 I
\ч-Щ
°
+ i
(4.79)
c o s .
На основании (4.78) и (4.79) подынтегральные
в (4.69) и (4.70) можно представить в виде:
^
е
Е ' " ^ ^ ^ Л ( - щ - 1
COS
2я k
функции
V
+
(4.80)
X,
,2 а.
2я
COS
k
(4.81)
А:.
Хо
k=\
Эти выражения представляют собой ряды Фурье с периодом, равным ХоТеперь функции Gik(Q) и Hik{Q) можно вычислить очень просто, если заменить верхний предел интегралов на 'Хо/2 и допустить,
что b=Q/Q2 принимает только дискретные значения, равные
2nk
Ко'
Тогда
-Щ
[f (
^й)] Хо
4п
А,
Ml)Mia,
(4.82)
91
4я
где Qk=Q2
2jtfe
e
yVPa.
(4.83)
,
=bM2-
Итак, вычисление функций G^ftOQ) и Ягл(Й) для дискретных
значений частоты Q = QK СВОДИТСЯ к вычислению коэффициентов
Лк(М^э), Ah(—M%) и ak(Xi,Xk). являющихся функциями Xi и Xk.
Коэффициенты ak(xi, Xk) находятся сравнительно просто по
ф-лам (4.74), поскольку функция j\(x, Хи Xk) интегрируется. Однако выражения получаются громоздкими и они здесь не приведены.
Вычисление коэффициентов Ah(M^3) и Ak(—M%) усложняется
с увеличением числа членов ряда (4.73). Число членов N зависит
от периода разложения Хо в соответствии с (4.75) и, следовательЛО, от максимальной величины Хг макс
макс, поскольку Хо/2>
>XiMaKc- Эта величина, в свою очередь, определяется максимальной длиной фидера /ф.макс:
=
(4.84)
где Urp — групповая скорость распространения сигнала в фидере.
Максимальная длина фидера обычно не превышает / ф = 1 0 0 м ,
а групповая скорость приблизительно равна Угр = 0,7-10^ м/с. При
этих данных получаем следующиие величины Xi „акс в зависимости
>от числа каналов в системе и величины .Й2 = 2зг^2 (табл. 4.1):
Таблица
4.1
60
120
300
600
1920
F-i, кГц
250
550
1300
2540
8524
макс
0,5 я
1 я
4,8 я
16 я
Число каналов
,5 я
Из поведения функции г](х, Xi, Xk) следует, что д а ж е при
период разложения не может быть меньше Х о = ^ л .
Поэтому для систем с небольшим числом каналов можно взять
такой период разложения, при котором число членов ряда (4.73)
•будет равно N = 2. В этом случае определение коэффициентов Л/i
суп1,ественно упрощается. Действительно, в этом случае находим:
(4.85)
т=—со
(4.86)
т——«з
А(М!) = 2
V
(4.87)
т.——со
Л ( -
= 2
£
( m=—00
1т { M i a , ) l2m+2 { М ^ а , ) .
(4.88)
С П О М О Щ Ь Ю ЭТИХ коэффициентов по ф-лам (4.82) и (4.83) легко
рассчитать функции Gih(Qii) и
на двух частотах 9.к = 9.о!2
и
Д л я систем с большим числом каналов необходимо выбирать
большой период разложения. Так, например, для системы емкостью 1920 телефонных каналов период разложения должен быть
не менее Хо==32п и число членов ряда (4.73) N=\6. Однако в такой системе М^эс^;!, что позволяет упростить расчет коэффициентов Ak, поскольку аргументы функций Бесселя будут очень малы
и многие члены в произведениях вида (4.77) можно будет отбросить из-за их малости.
Этими методами вычислены функции Gik{Q) и Hih{Q), представленные в приложении (рис. П.1—П.23), для нескольких значений М^э для случая применения предыскажений многоканального сообщения.
4.6. МОЩНСКЛ'Ь П Е Р Е Х О Д Н Ы Х П О М Е Х ,
В Ы З В А Н Н Ы Х ЭХО-СИГНАЛАМИ, И ЕЕ
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Подставим в ф-лу (1.15) выражение (4.68) спектральной плотности переходных помех и получим псофометрическую мощность
этих помех (в пВт) в телефонном канале на частоте F в точке
с измерительным уровнем рк-
+ У ^ п [Gik ( й ) + Н , , (Q)]} c o s b
,
(4.89)
где AFk — ширина полосы телефонного канала; /Сп — псофометрический коэффициент; F^ — верхняя граничная частота многоканального сообщения; Д/к — эффективная девиация частоты, соответствующая измерительному уровню рк в канале; B{F) — частотная характеристика предыскажающего контура.
В § 4.3 было показано, что Xi и Yi являются независимыми
нормальными случайными величинами с нулевыми средними значениями и дисперсиями, определяемыми выражением (4.47). Пу93
тем нормирования случайных величин приведем выражение (4.89)
к виду
=
• l\J- / f \'2
100.Ч
(
(4.90)
где
Pin = Цл + ^п.
п п
=
(4.91)
Y, ^ikiiik,
(4.92)
V
(4.93)
t=l
V. = ^
t=l ft=l
I, ^ — нормированные нормальные случайные величины (0,1).
Коэффициенты Щк и Рг^ определяются выражениями:
=
^ik =
(Q) -
Xi~
Hi, (Q)] УЩЩЩ
[Gi,(Q)+
cos b ^
Xk
Xi— Xk
VD{Y,)D{Y,)zos
b
(4.94)
(4.95)
Итак, мощность переходных помех является случайной -величиной, пропорциональной р2п- Она может принимать разные значения для различных реализаций линий, содержащих 2т фидеров,
в зависимости от конкретных величин амплитуд и ф а з эхо-сигналов, получающихся в этих реализациях. Можно считать, что каждое сочетание из 2т однотипных фидеров, реализуемое на линии,
состоящей из т участков, является случайной выборкой из некоторой «генеральной совокупности» выборок. Чтобы сделать заключение о возможных будущих выборках, необходимо знать статистические характеристики «генеральной совокупности» или, иначе
говоря, характеристики случайной величины ргп. К таким характеристикам относятся моменты и распределение. Моменты случайной величины р2п можно найти, не зная ее распределения, поскольку распределение ^ и ^ нормально. Так как
и Ih, а также
и ^k,
независимы при 1 ф к , а дисперсии их равны единице, то из
(4.91) — (4.95) легко найти математическое ожидание ргп:
г-
N ,
(4.96)
УК)
г=1
S
L/=1
Здесь учтено также выражение дисперсий Х{ и У,- (4.47).
Найдем теперь дисперсию случайной величины ргп- Дисперсия
случайной величины цп, очевидно, равна
D
=
М
2
2 гТ4
= 2 Г Ц -
\
a,i
t=i
i-\
(I?F
1
1
2 T2i:2
^
(4.97)
Дисперсия вели'чины Vn выражается аналогично:
РЫ
=
^
t=i
k=\
п
1-]
= 2 Р"га- с г э т й Ш !
1=1
(4.98)
t=2
Подставим (4.94) в (4.97) и (4.95) в (4.98) и, кроме того,
учтем, что для нормированной нормальной случайной величины
=
Поскольку [Хп и Уп независимы, то дисперсия р2п
равна
N,i
\21
G%{Q)+Hl{Q)
1=1 [
п
i=2
J=\
1=1
2 \ / V-t Т>2
\/=1
/
к
/ J
COS 6
Д - j — ДГ/е
.(4.99)
\/=1
Найденные величины M(ip2n) и /)(р2п) характеризуют среднее
для всех реализаций значение мощности переходных помех и среднеквадратическое уклонение. Для более полной характеристики
нужно оценить вероятность превышения случайной величиной р2п,
заданного уровня, т. е. найти интегральное распределение р2п.
Из (4.92) видно, что величина \хп имеет вид положительно определенной формы и в матричном обозначении записывается
в виде
=
>00)
где Л = (аг/{} — матрица, составленная из элементов щи', Е — вектор-строка; ^ — вектор-столбец.
Д л я любой действительной квадратичной формы существует
ортогональное преобразование переменных, приводящее ее к каноническому виду [4.10, 4.11]. Ортогональное преобразование вида
^ = Ct), где С — ортогональная матрица, превращает форму |.in в
форму, содержащую только квадраты
(4.101)
j=i
где Xi — характеристические числа матрицы А.
В работе [4.12] доказано, что матрицу С можно выбрать так,
что случайные величины Vi и
будут не коррелированы при
i¥=k. Ортогональное преобразование линейно и не изменяет распределения, поэтому случайные величины Vi нормальны, а
является суммой квадратов м. независимых нормальных случайных величин. Такое же преобразование с аналогичным результатом применимо и к случайной величине Vn- Величины [Хп и Vn независимы, следовательно, величина р2п, являющаяся их суммой,
является суммой квадратов 2п независимых нормальных случайных величин. Если бы эти случайные величины имели равные дисперсии, то величина ,р2п была бы распределена по известному закону
с 2п степенями свободы. Однако в данном случае дисперсии слагаемых, вообще говоря, не равны. Поэтому величина рг^
подчиняется обобщенному закону х^ с 2п степенями свободы (4.12].
Д л я такого закона, как указано в [4.12], невозможно вывести точные выражения при 2/г>2 и придется ограничиться лишь приближенной оценкой.
Рассмотрим два крайних случая. Если отражения от ст.ыков|
фидера пренебрежимо малы по сравнению с отражениями от концов, то в суммах (4.92), (4.93) можно сохранить лишь по одному,^
члену: апп
и (3,гп
Если, кроме того, фидер достаточно длинный, так что
ТО, как видно из (4.94) к (4.-95-), й п п ^
^ р?гп и (р2п имеет распределение х^ с двумя степенямр! свободы.
Если же отражения от стыков и от концов фидера одинаковы,
а длина одной секции фидера настолько велика, что Gif^E;const
и / / ц ^ О для. всех iy то все эхо-сигналы приблизительна равноправны и распределение рг?! стремится к распределению х^ ^
степенями свободы. Все остальные случаи занимают промежуточное положение между этими двумя. Следовательно, можно предположить, что распределение р2п не сильно отличается от раюп.ределения х^ с 2п' степенями свободы при п ' ^ п .
Д л я приближенного представления закона распределения рг»
воспользуемся методом, рассмотренным в {4.13], согласно которому
неизвестный закон распределения выражается рядом по соответствующим системам функций
fix)
(4.102)
4oix)
/=1
где f ( x ) — искомая плотность вероятности; 'fo(x) — некоторая «эталонная» плотность вероятности; qi(x) — система полиномов, ортонормированных относительно f(i(x), т. е. удовлетворяющих условиям
1 при I = т
f qi [х) Ят (Х) dx =
О при I фт.
6
Примем, что
/
Qiix) = 2 Ц^шх",
тогда коэффициенты разложения Ci определяются
С/ =--= У
А=о|
где ah — мо.меит k-vo порядка случайной величины х
96
(4.103)
(4.104)
соотношением:
(4.105)
Исходя из (4.102), найдем интегральную функцию распредеслучайной величдны х:
ления
P{x>X)^]f
(х) dx = J /oW
X
С, I qt {X) f , (x) dx,
X
Z==l
(4.10^
X
Допустим, что случайная величина р2п = Лх и что х имеет распределение, близкое к распределению
с 2/г' степенями сво^дкг
(п'^п).
Постоянную величину А выберем так, чтобы математическое ожидание х было равно первому моменту распределения з^
с
степенями свобоЙы
а, = М{х) = 2п',
{иЩ
откуда
Л=
(4.1081
При этом второй момент величины х будет равей
{х^)
=
D{x)
+
М^ {X) =
^(Р^^)
_
(4.10^
Подставив (4.108) в (4.109), получим
02
1 + D (Р2П)
=
(P2rt)
где
D{i>2n)
(4.1111
МЧ92п)
в качестве «эталонного» возьмем распределение х^ с 2п' степенями свободы
foix) =
(4.11^
2"'Г(п')
Тогда система ортонормированных полиномов будет системо»
X
полиномов Лягерра
=
(о):
JT \
Ml с - - 1 ) 1
2
I
I' (п' -
1)1
{1+п'-
1)!
2
S
—
{k + л ' — 1)! •
{4ЛЩ
Л=0
Отсюда легко найти коэффициент при л:'^;
^
'
24lil-k)l{k
+ n'-l)\
'
Коэффициенты разложения Ci определяются выражением (4Л05)
через (pik и моменты а^. Подставим (4.105) и (4.113) в (4Л06),
4-194
97
а при интегрировании учтем, что полиномы Лягерра определяются
выражением
I
i f - '
(4.115)
В результате получим
Р{х:>Х)
=
Р2п'{х>Х)-
где Р г п ' — интегральная функция распределения
степенями свободы.
Удобно представить X в виде:
X = М (л;) + X
—
с 2п'
(4.117)
Подставив сюда (4.107) и (4.110), получим
(4.118)
УР{92п)
^
М{Р2п)
'
При таком представлении X очевидно, что
Р{х>Х)
= Р [р,, > М (рз J +
УЩЫ].
(4.119)
Д л я инженерных расчетов не требуется большой точности
оценки величины этой вероятности, поэтому, чтобы не слишком
усложнять расчет, ограничимся в ф-ле (4.116) двумя членами
до 1 = 2. Подставим в нее выражения моментов (4.107) и (4.110),
а также выражение X из (4.118). В результате получим
Р [р2п > М ( p j + К УЩ^)]
=
Р2П' [X > 2п' (1 + Щ]
.
(4.120)
Итак, получены выражения (4.90), (4.96), (4.99), (4.120),
с. помощью которых, располагая значениями функций Огк(Й),
Hih{Q), можно провести статистический расчет мощности переходных помех, вызванных эхо-сигналами во всех фидерах радиорелейной линии. В ф-лы (4.96) и (4.99) входят суммы средних
квадратов относительных амплитуд эхо-сигналов.
Рассмотрим эти суммы. Вследствие малости коэффициентов
отражения мы будем учитывать только те эхо-сигналы, которые
образовались при отражении от двух неоднородностей. ОтносительН'-я амплитуда одного такого эхо-сигнала равна:
К, =
(4.121)
где г - и>;;2—модули коЕ;ф:Ьгцнелто:^ от}:аже::Пи от ; - о г
остей; t;2 — рв^^стп-л п:п ^лсжду нео/-юр-д:-•^С'Ям.::; а — .чу1 о> ":ое гатух^
с
i-./л-::.,
Возьмем секционированный фидер, имеющий три вида неодноодностей: места соединения с аппаратурой и с антенной, с коэффициентами отражения гц и Гл и места соединения секций с коэфЬйЦиентамн отражения г. Обычно на эти три вида отражений задаются соответственно свои допуски. Напишем теперь выражение
гуммы средних квадратов относительных амплитуд всех зхо-сигналов, запаздывающих на время tu в 2т фидерах радиорелейной!
тинии. Число таких эхо-сигналов равно Nc
Vг
2 X? =
т / и /л +
( Г^и 4- Л ) V /72.^. +
(4.122)
/=2
" "J
где п — наибольшее число секций в фидере; i — число секций, соответствующее времени запаздывания iu tUi — число фидеров, состоящих всего из i секций; U — длина одной секции.
.П•o^^cним построение ф-лы (4.122). Если из всех .2 т фидеров
tm фидеров состоят из i секций каждый, то в этих mt фидерах
эхо-сигналы, запаздывающие на время /j, образуются при отражении от концов фидера. Средний квадрат их амплитуды равен
/"^л
а их число — т ^ . Эта группа ;Эхо.-сигналов представлена первым членом в (4.122). Вторая группа эхо-сигналов, запаздывающих на время
образуется при отражении от одного ш
концов фидера и от стыка секций. Эта группа, образуется в фидерах-, состоящих из числа секций, большего, чем i, средний к в а д р а т
их амплитуды равен
•
или
ю-о.гаг'!, а числом
равно числу фидеров, состоящих из (t + /) секций, где / может
принимать значения от I до {п—i). Эта группа эхо-сигналов представлена вторым членом в (4.122). Третий член в (4.122) пред-'
ставляет третью группу эхо-сигналов, запаздывающих на время
образующихся при отражении от двух стыков секций. Средний
квадрат их амплитуды равен (г2)2. lO-O'^aiZi j^j^^jg эхо-сигналы
образуются только в фидерах с числом секций не менее, чем i - f 2 ,
причем в фидере с числом секций (ч'-1-2) образуется только один
такой эхо-сигнал, в фидере с числом секций (г-ЬЗ) — два эхо-сигнала и т. д. Следовательно, полное число этих эхо-сигналов во
n—i
всех фидерах равно
2 (/—l)mi+j, где m,+j — число фидеров, со/=2
стоящих из (i + j) секций.
Модули коэффициентов отра>кения случайны и могут принимать любые значения в пределах некоторых .допусков. Если, например, известно, что коэффициенты отражения находятся в пределах
+
то средний квадрат коэффициента отражения равен
? >-2
(4.123)
3
\ r j
При р а в н о м е р н о м р а с п р е д е л е н и и
нли при нормальном распределении
В заключение изложим примерный порядок статистического
расчета мощности переходных помех.
По заданным параметрам системы определяют постоянный множитель пере» рхт В ф-ле (4.90). Далее находят группову» скорость сигнала в фидере Угр
н всупгавны Xi = 2я Ft^ili/Vrf, где h — длина одной секции фидера; i — число секцшй (вэмеашющееся от 1 до п).
По графикам функций Gii(fi) ы
для известной величины
нахсмхт зааяепия этих функций (для определенной ча|стх>ты канала Q = Йк) для
всех величин
от
до Хп. По тем же графикам находят величины Giik(Q) и
Я » {Щ дл» всех вед«чин Xi и Xh<Xi. Для этих же значений
и Хк находят
велшчтаы cos b (*, — Хк>/2.
Дале(^ задавшись допусками_на величины коэффициентов отражения, опремюааот шж средние квадраты
г^а, г» —по ф-лам (4.123) или (4.Г24)
эвая w » o фя1г1е2>01в ,и число сезсций в каждом из них, находят суммы квадратов
амшиггуд эхо-снгналов^ для всех i т 1 до п по ф-ле (4.122).
После этого, используя все найденные величины, находят математическое
охмдшие Af(pt«) и дисперсию 1>(ргп) случайной величины рг»^ключительный этап расчета — оценка вероятности того, что величина ргп
превысят величину
2п ). Для ЭТОГО сначала определяют величвкгт и® Ф--"® (4.118) и подбирают такую величину п' (целое число), при которой
яеляпша fn'-y"—И имеет наименьшее значение. Задавшись достаточно малой
в е л я ш о й вероятности Р щ ^ ^ х Ж ) , например от 0,1 до 0,01, по таблицам х*-расцмщеленшя с 2п' степенями свободы (см., например, [4Л1]) находят величину Л^,
сдотастствующую этой вероятности. Так как согласно (4.1)18) Д С = 2 л ' ( 1 , + т о
веишчану X иахюдят по формуле Л, = (Л" — 2п)/2п'у. Далее по ф-ле (4.120) ощенив » о г в с к о м у ю вероятность Р [ р » п > Л 1 ( р 2 п ) - Ы V />(Рап)].
Результаты расчета заключаются в определении следующих величин:
средней для всех возможных реализаций мощности переходных помех
аВт)
(в
10» / р
мшцности, превышаемой в р% реализаций (в пВт),
AFe«c*-10» / с \2
•
= P | p t » > A f (pi«) + я у D (р2п)] 100%, определяемой по ф-ле (4.120).
Если величины
и Рш.н.р окажутся недопустимо большими, то следует
эадапь более стротие допуски на коэффициенты отражения — г jj, г а, г.
При проектировании радиорелейной системы конструктор обычно задает требования к отдельным элементам, исходя из того,
ч т о ^ полная мощность шума, вносимого ими, не превышала допустимой величины на конце гипотетической эталонной цепи.
Метод расчета, изложенный в данной главе, позволяет, в результате нескольких проб, определить требования к фидерам (длине
коэффициентам отражения), допустив, что лишь в р % всех воз'' жных реализаций линии мощность помех, создаваемых эхо-сиг^1алами во всех фидерах, может превысить заданную величину.
0 1 2 3
Olf,5 9 Ц5
5
22,5
15 п
Рис. 4.6. Зависимость мощности переходных помех от
длины волноводов на линии протяженностью 2500 км:
JV=1920. J?2=8524 КГЦ. Л{2э=0,0325.
« г р ^ г . И З • 10» м/с, а ° 0,045^ дБм/м;
Ь-0.75.
Г,=3%.
г=0.5%.
г-0,3%
Для примера на рис. 4.6 показаны результаты статистического расчета данным методом мощности переходных помех, вызванных эхо-сигналами во всех
волшвводах радиорелейной линии длиной 2500 км. Все волноводы одинаковой
длниы и однотипны, а длина каждого из них меняется от 4,5 м до 67,5 м. На
рисунке показана зависимость Рш.ш.ор и Рш.н.р при р=110% и р=5% от длины
«олимодов. При примененад предыскажений максимальная мощноють помех будет не в верхнем телефонном канале, поэтому расчет производился для канала
с частотой F = 0,75iF2.
Данные волноводов были приняты следующими. Общее число волноводов
100, длина каждого волновода от 4,5 до 67,5 м, сечение волновода 2 5 x 5 8 мм,
погонное затухание 0,045 дБ/м, / i = 4 , 5 и, t = 1-^15, U r p ^ , l l € v l 0 « м/с. Среднеквадуатичные величины коэффициентов отражения: 1 0 0 | ^ г * а = 4 % ,
=3%, 100К7»=0,3% и 0,5% (второй вариант).
100 V T ^
=
Как видно из рисунка, мощность переходных помех растет с
увеличением длины волноводов до определенной величины, а затем начинает даже падать вследствие увеличения затухания
эхо-сигналов. Отражения от стыков секций не играют существенной роли, если коэффициент отражения от стыка значительно
Меньше, чем от концов волновода. На этом основании в ряде
случаев для упрощения расчета можно в ф-ле (4.99) отбросить
двойную сумму, как величину значительно меньшую, чем первая
сумма. При таком упрощении для расчета нужны •
:
функций G^t(Q) и / / i u Q ) .
Для
облегчения
расчетов
вероятности
-\-% YD{pzn)] по ф-ле (4.122) в табл. 4.2 приведены велики: ы /J
в зависимости от вероятности Ргп'[>^>2п'{{-{-'ку)], соответсг ;yiQ
щей х^-распределению с 2 п ' степенями свободы.
Таблица
Xv при различных величинах вероятности Р2п'[х-
4.S
2п'(l-i-?.y)]
2п'
0,2
0,1
i
0,05-
1
0,02
1
0,01__J
1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0,6095
0,4972
0,4263
0,3787
0,3442
0.3177
0,2965
0,2790
0,2644
0,2519
1,3025
0,9447
0,7741
0,6702
0,5987
0,5457
0,5046
0,4714
0,4438
0,4206
1,9955
1,3720
1,0987
0,9383
0,8307
0,7521
0,6918
0,6560
0,6038
0,5705
2,9120
1,9170
1,5055
1,2710
1,1161
1,0045
0,9195
0,8520
0,7970
0,7510
3,6050
2,3192
1,8020
1.5110
1,3209
1,1847
1,0815
I,000
0,9336
0,8783
1
1
1
1
J
i
i
Список литературы к гл. 4
4.1. Смирнов В. А. Теоретическое изучение влияния многолучевого распро^
странення радиоволн на KB связь при ЧМ. — « Ж у р н а л технической физики»^
1945, т. XV, вып. И , с. 815—832.
4.2. Lewin L. Interference in multi-channel circuits. — «Wireless Engineer»,!
1950, Dec., V. 27, N 12, p. 294—304.
4.3. Bennett W. R., Curtis H. E., Rice S. O. Interchannel Interference in FMi
and P M Systems under Noise Loading conditions. — «В.S.T.J.», 1955, May, v. 34,"
N 3, p. 601—636..
4.4. Бородич С. В. О нелинейных искажениях, вызванных несогласованностью антенного фидера в многоканальных ЧМ системах. — «Радиотехника»,
1955, т. 10, № 10, с. 3—14.
4.5. Смирнов В. А. Нелинейные искажения в многоканальных системах связи с частотной модуляцией. — «Радиотехника», 1956, т. И , Х9 2, с, 14—28.
4.6. Просин А. В. Перекрестные шумы, возникающие в радиорелейных линиях связи с частотной модуляцией вследствие многолучевого распространения
радиоволн или несогласованностей и неоднородностей антенных фидеров. —
«Сборник трудов Н Т О Р Э им. А. С. Попова», 1958, вып. И, с. 1.68—209.
4.7. Калабеков Б. А. К, расчету переходных шумов, возникающих за счег
отражений в длинных фидерах многоканальных Ч М систем. — «Труды учебных
институтов связи», 1960, вып. 1, с. 57—72.
4:8. Бородич С. В. Статистический расчет нелинейных переходов, вызванных
отражениями в антенных фидерах, многоканальных радиорелейных систем. —~
«Электросвязь», 1963, № 8, с. 1—13 и № 9, с. 1—7.
4.9. Харкеви'ч А. А. Спектры и анализ. М., Гос. изд. технико-теоретической
литературы, 1957. 236 с.
4.10. Мишина А. П. и Проскуряков И. В. Высшая алгебра. Справочная математическая библиотека. М., Физматгиз, 1962.
4.11. Крамер Г. Мате.матические методы статистики. Перевод с английского
А. С. М о н н н а и А. А. П е т р о в а под редакцией академика А. Н. К о л м ог о р о в а. М., Гос. изд. иностранной литературы, 1948. 631 с.
4.12. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. То:.-: 2. Под
редакцией Б. Р. Левина. М., «Советское радио», 1962. 831 с.
4.13. Пугачев В. С. Теория случа!?ных функций н ее применение к задладм
автоматического управлен11я. М., Физматгиз, 1960. 883 с.
Г Л А В А
б
Переходные помехи
в телефонных
каналах, вызванные
радиопомехами
5.1.
ВВЕДЕНИЕ
Известно, что действие радиопомех на приемник ЧМ сигналов
многоканальных систем радиосвязи проявляется в увеличении переходных помех в телефонных каналах. Радиопомехи можно разделить на внутренние, присущие самой многоканальной системе
радиосвязи, и внешние, от нее независящие. В радиорелейных
системах связи к внутренним радиопомехам относятся различного
рода паразитные сигналы, возникающие в самой системе и попадающие в полосу приемника полезного сигнала, например сигналы от соседних радиостволов, сигналы с обратного направления
передачи, сигнал от станции, отстоящей на 3 пролета от данной,
паразитные продукты преобразования частот в аппаратуре данной
станции и т. д. В системах спутниковой связи к внутренним радиопомехам относятся, прежде всего, сигналы земных станций данной системы, работающих через один общий ретранслятор спутника. Эти сигналы создают взаимные помехи друг другу как в общем ретрансляторе спутника, так и в приемо-передающей аппаратуре каждой земной станции. Кроме них, внутренними радиопомехами в системах спутниковой связи могут быть также паразитные продукты преобразования частот в аппаратуре земной
станции.
К внешним радиопомехам относятся сигналы других радиослужб, работающих в тех же полосах частот, что и рассматриваемые здесь системы. Так, разные радиорелейные линии, работающие в общих полосах частот, могут создавать друг другу
взаимные помехи яри недостаточном удалении их станций друг
от друга. Системы радиорелейной и спутниковой связи работают
в общих полосах частот и могут создавать взаимные помехи. Д л я
уменьшения этих помех в Международном регламенте радиосвязи.
Рведе .'ы ограничения на величину эффективной излучаемой мощное?: ;,;:диорелейных станций и на величину плотности потока
''-^м:- -/':; на гг^серхности
с оз/'.иппе^ую тгялучсп^^^и со сиут;
•
того, д р у г и е
п
• ^^астот и л и пзлутгятог;!,.:': ^ ^ п г г о ^ ^ ь т
; •1п;ц,ю1дне t-s по^-^рсу ч:-ст<;т г р и с ы п п л а р а
* п
-
}:<е
гппи'О-
многоканальной системы, могут быть источниками внешних р^^
диопомех для этой системы.
При расчете и проектировании многоканальной системы рд,
диосвязи очень важно количественно оценить величину ожидае,
мых радиопомех и разработать меры для уменьшения их влияние
на полезные сигналы. Эти меры могут заключаться: в разработку
необходимых фильтров, выборе рабочих частот, определении минимально допустимого расстояния между станцией и источнике]^
помех (для внешних радиопомех) или в разработке необходимых
требований к аппаратуре данной системы (для уменьшения внутренних радиопомех). Исследованию влияния радиопомех на прием
ЧМ сигналов в радиорелейных и спутниковых системах связи посвящено довольно большое число работ. Одними из первых работ
на эту тему были работы [5.1; 5.2; 5.3 и 5.4], в которых рассмат,}
ривалось действие полезного ЧМ сигнала и ЧМ радиопомехи на
идеальный частотный детектор и определялась величина переходных помех, вызванных радиопомехой в телефонных каналах мне!
гоканальной системы с частотным уплотне№ием. В работах [5.5J
5.6; 5.7 и 5.8] рассмотрено влияние преобразования амплитудной
модуляции в фазовую в амплитудном ограничителе приемника
на переходные помехи, вызванные ЧМ радиопомехой в соседнем
радиоканале. В [5.9] рассмотрены переходные помехи, вызываемые радиопомехой, модулированной по амплитуде последовательностью импульсов. В [5.10] сделана попытка учесть влияние фильтров в линейном тракте приемника и в мешающем передатчике
на величину переходных помех, вызванных радиопомехой. Однако
взяты идеализированные фильтры с нулевым затуханием в полосе
и бесконечным затуханием вне полосы пропускания. В [5.12] рассмотрены возможные отклонения характеристик приемника ЧМ
сигналов от идеальных, приводящие к появлению дополнительных
переходных помех, вызванных радиопомехой. Впервые указаны
такие причины появления дополнительных помех, как нелинейность
частотного детектора, неполное подавление амплитудной модуляции в ограничителе. Работы (5.13; 5.14; 5.15 и 5.16] посвящены анализу прохождения многих ЧМ сигналов через общий нелинейный
ретранслятор спутника связи и расчету возникающих при этом
переходных помех, причем в [5.16] рассмотрены внятные помехи,
возникающие вследствие преобразования AM в ФМ в общем усилителе.
Несмотря на значительное количество работ проблему влияния
радиопомех на многоканальные системы радиосвязи с ЧМ нельзя
считать исчерпанной. В данной главе обобщены результаты, известные из опубликованных работ; несколько более полно рассмотрено действие радиопомех на приемник ЧМ сигналов, причины
появления переходных помех в телефонных каналах многоканальных систем связи при действии радиопомех, получены расчетные
формулы.
ДЕЙСТВИЕ ПОЛЕЗНОГО Ч М С И Г Н А Л А
t tiM Р А Д И О П О М Е Х И Н А И Д Е А Л Ь Н Ы Й
ЧАСТОТНЫЙ Д Е Т Е К Т О Р
14з работ (5.1—5.4] известно, что при действии полезного сигяла н радиопомехи на идеальный частотный детектор переходные
юмехи в каналах определяются перекрытием спектров полезного
Сигнала и помехи. Линейный тракт приемника, предшествующий
Частотному детектору, содержит фильтры, которые ограничивают
спектр радиопомехи, если ее средняя частота не совпадает со средj^eft частотой полезного сигнала. Влияние фильтров в упомянутых
работах не учитывалось, а это влияние необходимо учесть, чтобы
сделать выводы более общими.
Рассмотрим сначала влияние фильтра на корреляционную
функцию и энергетический спектр сигнала. В теории случайных
процессов соотнощения между корреляционными функциями и
спектральными плотностями процессов на входе и выходе линейного четырехполюсника выводятся следующим образом.
Пусть на входе линейного четырехполюсника с коэффициентом
передачи /C(ico) действует случайный процесс Ui(i). Процесс на
выходе четырехполюсника, считая, что процесс на входе действует
достаточно долго, можно выразить интегралом Д ю а м е л я в следующем виде:
со
Uiit)
= ^ h{x)ui{t—
Q
T)dx,
где h{x) — импульсная реакция четырехполюсника.
Импульсная реакция /г(т) и коэффициент передачи /((ico) связаны соотношениями:
00
/z(x) = J L
r/((i(o)e'®''da),
2я J
—оо
(5.1)
о
Найдем корреляционную функцию процесса на выходе
оо 00
«2 (О "2
+ т) -
С f h (тг) h (Та) и^ {t — TJ)
+
х^) d х^ d Тг-
о 6
Очевидно, что среднее значение процесса на входе
=
Если процесс на входе стационарен в широком смысле, то его
корреляционная функция зависит только от разности моментов
времени
•
'
'
{t — Ti) Ml
+ т — Тз) = -фи! (т — Т2 -Ь ti).
Тогда процесс на выходе тоже стационарен в широком смысле
и его корреляционная функция равна
^«а W = J J ("Ti) ^ (fa)
(т — Та + t j ) dx^d t j .
оо
Дисперсия процесса на выходе соответственно равна
f
(5.2)
ов ео
«1 (О =
(0) = f f Л (Ti) /г (Та)
( t j - Та) Tj d т^.
6б
Найдем энергетический спектр процесса на выходе
J
(5.3)
"
— 00
w
X J h (Та) TT)„'I(T — Та - b Tj) d Tj.
Переменим порядок интегрирования и заменим в последнем
интеграле переменную т на
т—^тг+ть Тогда получим
^иг
J Л (т,)
«
б
dT,]h
б
(Та) dx,^
J
rp,, (т - Та + ь)
—а»
оо
ее
dx^ f Л ( т , ) е - ® ^ ' dTa-10
п
0
d т ^^
{t)^-''^*di.
—«в
Теперь переменные разделены и получено произведение трех
интегралов, которое с учетом (5,1) преобразуется к виду
(®) = / ( ( - i (0) /С (i со)
(со) = 1К (i со) I»
(со).
(5,4)
Энергетический спектр процесса на выходе равен произведению
квадрата модуля коэффициента передачи на энергетический спектр
процесса на входе.
Покажем теперь, что такие же соотношения (5.2) — (5.4) существуют между средними корреляционными функциями и средними энергетическими спектрами процессов на входе и выходе
линейного четырехполюсника, если процесс на входе представляет
собой ЧМ сигнал « i f ^ = cos [ с о ( ( / ) ] .
Его средняя корреляционная функция
(т) =
е
^
^ c o s cojT.
Установившийся процесс на выходе
«
[h (т) cos (coj / — (OjT -f
(О =
(/ — t)] d x.
e
Корреляционная функция процесса на выходе равна
106
со 09
=
h (Ti) h (To) c ^ i o D j t — 0)iTi
{t — Ti)] X
06
H- coiT — o)iT2 + 5i (/ + T — T2)]dxidr2. Преобразуем подынтегральное выражение и усредним его по времени, после чего слаг а е м о е , зависящее от времени, обратится в нуль:
2
00 00
h (Ti) /г Тз X
о о
X cos [со^т +
9
00
CO
0
0
+ t — Та) —
h (ti) h (ts) cos [S, it+
X
{t — Tj) — cOiTi + cojXa] dTidx^
=
r - X,) - S , { t - Xy)] X
COS 0)i (t — Ti + Та) dx^d Та,
так как sin[.$i(^+T—тг)—'Si(/—n) = 0 в соответствии с (2.54).
Д л я определения среднего значения cos[5i(^ + t—тд)—Si{t—ti)]
воспользуемся ф-лой (2.53). Тогда будет: z =
( / 4 - т — тг) —
— 5i (/ —Ti) и il^z (0) = 2 [\|)si (0) — oj^si (т —Т2 + Ti)]. В результате
2
(Т) =
2 .
о о
X COS ©i (т — Т] + Тз) dx^d Tg.
(5.5)
Средний энергетический спектр процесса на выходе равен
00
2 ^ ^ ^
"/Z(Ti)/Z(t2) X
И
— ооО О
Х^
4oscoi(т — Ti + Тз)е
'""^dxidx^dx.
Переменим порядок интегрирования и заменим в последнем интеграле переменную т на t=x—Т1 + Т2:
-icot, ^
0
X e-'
г д е, и..^ ч м
' dt
0
К {I
I
X
—0»
(5.6)
((О
^^ — ( o i
оредний энергетический спектр Ч М сигнал.
Таким образом, средний энергетический спектр Ч М сигнала
на выходе линейного четырехполюсника равен произведению квад^
рата модуля коэффициента передачи на средний энергетический
спектр сигнала на входе.
Допустим теперь, что на входе приемника действуют полезны^}
Ч М сигнал и Ч М радиопомеха:
Мс cos fCOc t +
{t)] + Мп cos [(х)„ t +
(f)].
(5.
Пройдя линейный теракт ориемника ic коэффициентом передачи
K(i(o), сигнал и помеха приобретают паразитные амплитудную
и фазовую модуляции и могут быть представлены в виде
и, (О cos [со, t + К (01 + "п (О cos [со„ t + к {i)l
(5.8)
где Xc(t)=Sc(t)-{-Qc(t)-,
Xn(t)=Sn(t)+QnOt)-,
Qc(t) и бпСО—фазовые ошибки, вносимые трактом.
Выражение (5.8) преобразуем следующим образом:
и, (t) cos [СОе t + К (0] + «п (О cos [со, t + К. (О + (0)п - Юе) ^ + К (О "
- ^с ( 0 ] = {"с (О + «п {t) COS [(со, - со,) ^ + к it) - к т
X
X COS [со, t+ X, (/)] (О sin [(со„ - со,) ^ + ^п (О - к (0] X
X sin[co, ^
(
О
COS [со, ^ +
(О + А т
(5.9)
Здесь обозначено:
результирущая амплитуда сигнала
= {
(О +
(О +
(О «п it) COS [бсо t + к (О - \ (0]
(5.10)
фазовая ошибка, вызванная помехой,
А it) = arc tg
un (0 sin [6(0 / + Яц (О (Q]
/5 11)
«с (0 + «П (0 cos [бсо / + Xn (0 - Xc (0]
В (5.10) и (5.11) разность частот помехи и сигнала обозначена:
5С0 = СОп СОсD
Введем отношения:
г lf\ - "П М О _ -"П {t) ^ /.Ч _ Цр (О
^п
——
—^
» ^cW —
•
"с
«п
"п
"с
Допустим, что на входе частотного детектора амплитуда помехи много меньше- амплитуды сигнала. Этот случай наиболее
интересен для практики, так как система связи должна иметь
высокие качественные показатели, которые можно обеспечить лишь
при достаточно большом отношении сигнала к помехе. Кроме того,
исходя из тех же соображений можно считать, что тракт приемника вызывает лишь малые искажения полезного сигнала, тогда
При этих условиях из (5.11) получим
А it) - arc t r
^ ^ ^ ^ +
^^^ ~ ^^ ^^^^
{t) Sin [бсо t + \ {t) - к (?)]
(5.12)
Очевидно, что процесс h(t) нестационарен, поэтому будем искать его среднюю корреляционную функцию, применяя усреднение
по времени и по множеству.
Среднее значение процесса равно нулю:
"аг^ ^ ^ ^ у ж ^ ^ Т + х т т у ^ х ^
108
=
0.
средняя корреляционная функция определяется путем двойного усреднения произведения:
д (/) А (/ + г) ==
it) /
+ О sin [бсо ^ f
+ А-н + т) - К Kt + С \ = ~Га
{t) - \ (/)J sin 16® / + бшт +
/•„ {t + т) cos [6a)t + ^ а + t)
c) + 4 n - - } / - H ( 0 ' - H ( ^ 4 - t ) c o s [ 2 d a ) / - f
-
бшт-f
+
(/ + т) + К (О V -i-1) - К (01.
После усреднения по времени второе слагаемое обратится в
нуль и мы получим
=
^^
+
-
(5.13)
Так как полезный сигнал и помеха являются независимыми
случайными процессами, то усреднение по множеству в (5.13)
должно производиться раздельно:
Л/
X
COS
+ т) -
(0] +
^п
(О ' а
+ х) sin {бо)Г +
(/ + t) —
(/)]X
Помеху на выходе линейного тракта приемника представим
интегралом Дюамеля
00
«п (О cos [0)„ / + К (0] = «п J /г (т) cos [co„ ^ — 0)„t -h
S„ (/
— t)J d T.
0
Отсюда найдем
r^ {t) cos Xji (t) = r ^ h (t) cos [5n {t — t) — сопт] d т,
0
(5.15)
00
Гп {t) sin
= r J /i (t) sin [Sn (/ — t) — со^т] d x.
0
Аналогично выразим сигнал на выходе тракта
00
«с (О COS [(й<. t +
(/)] =
{h (т) cos [сОс / — CD^T + 5с {t — т)] d т
о
и найдем
00
/'с (О COS
(О =
f /г (т) cos [5, {t — т) — со,, т] d т,
б
00
г^ {t) sin
(/) = j /г (т) sin
— т) - ю^т] d т.
(5.16)
Из (5.16) легко получить
00 оо
(О ^с {t Ч- т) COS [X, (t + т) - К (Oi = j f h (Ti) h (To) COS [S, {t +
^с
X-T.)
0 0
00 00
•Scit — Ti) - f (0,Ti — (o^Tal d%j_dx2
h (tj) h (To) c o s [5^ {t + T—Та)
0 0
00 00
— ' ^ c ~ T^i)] C
O
S
(
0
^
(
t
i
'
Г /г(tj)h (т..)sin[5^{t -f т—т,) —
6 о
— 5c {t — Tj)] sin (0^ (Ti — Та) dx^d Xy
После усреднения по множеству второе слагаемое исчезнет,
так как согласно (2.54) sin[5c(/+'r—Т2)~5с(/—ti)] = 0.
В первом слагаемом средняя величина косинуса в соответствии
с (2.53) будет
COS [ 5 , (^ + т -
ToJ -
5, (/-Ti)J = е
Поскольку вследствие малых искажений сигнала принято, что 'I
rc(t) ^ 1, то можно написать
''с
(t) г, (/ + т) COS [Х^ (^ + т) - X, (/)]
/г(ti)/г(то)е
^
^^
cos
[X, (t + т) — Х^ (^)] =
(5.17)
Ых-^dx^.
о о
Далее таким же путем получим из (5.16)
''с it) г, {t + т) sin [X, (/ + т) - X, (0J = f J h (ti) h (т.з) X
6 о
-г
Хе
(0)-ф
(T-Tj+Ti)i
^
(5.18)
4ino),(Ti~T2)dTiafT2.
Т а к как процессы rc(t)cos Xc(t) и rc(t)smXc('t)
являются результатом фильтрации процессов cos[5с(О] и sin(5с(01. то естественно
было бы предположить, что выражение (5.18), представляющее
вз а им OIK о р р ел я цианн у ю ф'ун кци ю этих процеооов, равно нулю, так
как s i n { 5 c ( / + T ) — 5 с ( 0 ] = 0. Однако так может быть только при
определенных условиях. Покажем это. Найдем энергетический
спектр, соответствующий взаимокорреляционной функции (5.18):
OD
00
ОО
X
— oe о О
X
dx,dx,dx=^
^h (ti)
0
110
dx,x
X
€
2ni
Л
т»
w
r'^
Xe
(ti)e-'^C^' d x , [ h ( x a ) d x ^ X
J
00
Заменив в последнем интеграле переменную т на ^ == т —tg+Ti,
получим
res (Й) = - i «^чм
(I ^ fi («с + Й)] Р - 1 К [i (сОе - Й)1 р).
(5.19)
Отсюда следует, что если квадрат модуля коэффициента передачи четырехполюсника симметричен относительно средней частоты сигнала, то взаимный спектр
обращается в нуль
и только при этом условии можно не учитывать взаимокорреляционную функцию (5.18). Это условие нам еще понадобится в
дальнейшем, а сейчас без большой погрешности можем его принять и на этом основании отбросить второе слагаемое в (5.14).
Используя (5.15), легко найти, что
'•и (О '•п
+ f ) cos [Ш 4 -
(/ 4 - т) -
К (01 =
J J
(^i) ^ ("^а) X
оо
^ g- {
^
^
^
^
^
__ ^^^^
^ ^ ^ ^ ^^ ^ ^^
20)
Подставив (5.17) и ('5.20) в (5.14), получим выражение средней функции корреляции фазовой ошибки, вызванной радиопомехой:
COS (Oj. (tj—Та) d Xi dta X
О о
О О
Xcos
(ti — Та) +fitOT]d rf Tj = Г» yp^^ (x)
(x).
(5.21)
Как видно, корреляционная функция фазовой ошибки равна
произведению двух корреляционных функций. Следовательно,
энергетический спектр фазовой ошибки можно найти как свертку
спектров, соответствующих этим корреляционным функциям. Найдем сначала эти спектры:
ж
о» «• о>
X
— а>
—тО
9
-f^t
Xе
cosc«),(x, — t , ) e
dtidxidx
=
т
—CB
S
4я
T - f
К
+ Й) +
К'
К
-
«^ечм(^).
(5-22) ^
где
— квадрат модуля коэффициента передачи, а и^счм
j
— энергетический спектр огибающей ЧМ сигнала, определяемый i
выражением (2.62):
J
00 00
Я
.
— 00 О О
в
,
X J-1
е" 1
-= K ' К
+
2я J
0
"Ч е - '
ЧМ
-
' d f + l h (Tj е - ' ( " п - ' - Н
d т, X ^
J
(0)c + Й)] + K ' (CO, -
Q)
^ ^ [ co„ -
(CO, - Q ) ] ,
(5.23)
аде Wn
(to) — энергетический спектр огибающей ЧМ помехи,
определяемый выражением (2.62).
Взяв свертку спектров: (5.22) и (5.23), получим средний энергетический спектр фазовой ошибки сигнала, вызванной ЧМ радиопомехой:
i
% {х) е
К'
т
»
+ Q -
о)
ЧМ
I
-
+ Ф
+
К
-
+
'
W^
(-1;)
К'
(со, - f
—о
J
+ f)
00 . .
+
V)
6(j3 = (On—СОс.
ЧМ
(«е -
^
+
\
Для большей наглядности графического вычисления свертки
спектров лучше заменить переменные интегрирования, введя ноgbie переменные: в первом интеграле м = б(о—Й + и и w = 6a) + Q—v
__ во втором. Тогда получим
00
00
00
—
00
(5.24)
Из (5.24) легко получить простые формулы для случая немодулированной помехи или немодулированного сигнала. Если помеха не модулирована^ то ее энергетический спектр изображается
дельта-функцией:
Подставив это в (5.24) и воспользовавшись фильтрующим свойством дельта-функции, получим
^ А (^) = - у {
(«п -
+
й ) ^^^е ЧМ
-
+
(®п)
}..
+
(5.25)
Эта формула выражает. биения компонент спектра сигнала,
расположенных по обе стороны от несуш;ей частоты помехи, на
расстоянии, равном Q. Амплитуды этих компонент пропорциональны квадрату модуля коэффициента передачи на частотах (Оп—
и азп + Q, а амплитуда компоненты помехи пропорциональна квадрату модуля коэффициента передачи на частоте помехи озпЕсли помеха модулирована, а сигнал не модулирован, то приняв ^'счм
из (5.24), получим
+ К ' (со,) К ' (со, -
„ ^ ^ (бсо - f Q ) } .
(5.26)
Здесь видны биения компонент спектра помехи, расположенных
по обе стороны от несущей частоты сигнала на расстоянии,
равном Q.
Из ф-л (5.21) и (5.24), определяющих среднюю корреляционную функцию и средний энергетический спектр с)зазовой ошибки,
легко получить известные из [5.4] выражения для случая, когда
полезный сигнал и помеха проходят линейный тракт приемника
практически без искажений. Для этого в (5.21) нужно принять
Л(Т,)=6:(Т1);
/г(Т2)=:б(Т2)..
Тогда
= ^ е- (
jL
"
Ч
Г [
'"J со, в.«.
(5.27)
^п чм (") ^ с чм (бсо - Q - и) du +
2
ОС
чм (") ^в чм
—
(5.28)
+ Й — и) du
06
Эти формулы можно применять при малых расстройках частоты
помехи относительно частоты сигнала.
Из (5.27) легко получить один частный случай, важный для
практики. Обратимся к выражениям (2.37) и (2.45), определяющим I i j ) s ( O ) — i | 5 s ( t ) ] при отсутствии или при использовании
предыскажений многоканального сообщения. Из этих выражений
видно, что величина [-1138(0)—г|)з(т)] равна произведению квадрата
эффективного индекса модуляции М^э на некоторую функцию т,
зависящую от граничных частот спектра многоканального сообщения. Если помеха модулирована таким же, что и сигнал, но независимым многоканальным сообщением, то показатели степени е
в выражении (5.27) можно объединить. Так, например, при отсутствии предыскажений из (2.37) мы получим в этом случае
М^
I^SC (0) -
W] + [%„ (0) -
4 - М^
(Т)] = - ^ f ^ l j f ^ [Уо (х) - Р Уо i m i
где а:=Й2т; p='Q2/fii; Мэ.с, Мал — эффективные индексы модуляции
сигнала и помехи.
Тогда вместо (5.27) получим корреляционную функцию сигнала со средней частотой 6<о, модулированного по частоте многоканальным сообщением с эффективным индексом модуляции, равным Л1э= V
Спектр фазовой ошибки будет при этих
условиях равен
та=т
+«»-«]+
+
+
«» + "]}.
(5.29)
где W
+
6со±й] изображает спектр огибающей ЧМ
сигнала на частотах 6<o±Q с эффективным индексом модуляции,
равным Y
с+
Найдем мощность переходных помех в телефонном канале,
вызванных радиопомехой. Сигнал на входе частотного детектора
определяется выражением: и^ (/) cos [(аJ +
(t) -f Л (/)].
Так как частотный детектор идеальный, то на его выходе напряжение пропорционально только производной фазы сигнала
= ^
dt
= ^ ^ « + Л
^ fit
+ (f-
dt
•
в данном случае нас не интересуют искажения, вызванные
прохождением полезного сигнала через линейный тракт нриемниj<a, т. е. фазовой ошибкой 0r,(/). Мы рассматриваем лишь искажения, вызванные радиопомехой:
1
d^{t)
Известно, что спектр этих искажений по теореме о спектре производного процесса равен
(5.30)
Подставим общее выражение спектра фазовой ошибки в (5.30),
а (5.30) в выражение мощности переходных помех в телефонном
канале (1.15) и получим (в пВт)
р
_
(''к+Рср)
Дйк^-^О"
/ F
_
олр,
\2 1
X
U / J
X
К' (О), -
и)
2 I ,
—w
(и) da Н- J К"- (О), + ^ - ") К чм
+ ^ -
") X
—оэ
(5.31)
Преобразуем это выражение к виду, более удобному для расчетов. Спектр ЧМ сигнала представлен в гл. 2 выражениями
(2.71), (2.86) и графиками на рис. 2.3—2.11 в виде W4m(u) =
где g-fi/j — безразмерная функция, q = u/Q2, Q2 — верхняя граничная частота спектра модулирующего процесса. Д л я
вычислений удобнее заменить в (5.31) выражения спектров безразмерными функциями и соответственно заменить переменную
интегрирования и на q. Если помеха модулирована процессом с
другой верхней граничной частотой
то в аргумент безразмерной функции gu, выражающей спектр помехи, нужно ввести
отношение v = Q2/^2n и саму функцию умножить на это отношение,
чтобы сохранить ту же переменную интегрирования q.
Постоянные величины в подынтегральных функциях — разность частот помехи и сигнала бсо и среднюю частоту телефонного
канала в групповом спектре Q. — также сделаем безразмерными,
отнеся их к Qg и обозначив: 6со/Й2 = б; Q/Q2 = b. Аргумент модуля
коэффициента передачи линейного тракта приемника выразим в
безразмерных величинах, имея в виду, что
—«) =
Выполнив эти преобразования, получим выражение мощности
переходных помех в канале (в пВт) в более удобном виде
р
=
60)),
(5.32)
где
1
00
'
+
—о»
] K4^ + b-q)g,{b + b - q ) K 4 ^ - q ) v g A v q ) d q Y
— 00
(5.33)
}
В ф-лах (5.32) и (5.33) обозначено:
рк — измерительный уровень канала, дБ;
(Ип/«с)2 — отношение мощности помехи к мощности сигнала
на входе приемника;
AFk — ширина полосы телефонного канала;
Fz — верхняя граничная частота спектра многоканального сообщения;
Кп — псофометрический коэффициент (к:п = 0,75);
B{Q) —частотная характеристика цепи предыскажений;
F — средняя частота телефонного канала в групповом спектре;
Ai/k — эффективная величина девиации частоты сигнала, соответствующая измерительному уровню канала;
q = u/Q2 — относительная частота, переменная интегрирования;
v=Q2/Q2n — отношение верхних граничных частот процессов, модулирующих сигнал и помеху;
K^•{б±b—q) — к в а д р а т модуля коэффициента передачи линейного
тракта приемника на частоте
—и.
В частных случаях функция ^{Q, баз) принимает следующие
виды:
1) помеха не модулирована
=
.f (Й, бсо) =
/С^ (б) [К' (б - Ь) g, (б - ft) -f К' (б + Ь) g, (б 4(5.34
2) сигнал не модулирован
Г'(Q, бсо) =
(0) [К^ ф) V g,
=б(б±6—
[V
(б - Ь)]
+
К'
( -
Ь) V g,
[V
(б + Ь)]]-
(5.35)
3) сигнал и помеха проходят линейный тракт приемника без
существенных искажений
со
T|_J
g,i6 + b-q)vgAvq)dq\-,
00
116
(5.3 л)
4) если при этом помеха модулирована таким же сообщением^
как и сигнал, то
(5.37)
где
(6±&) соответствует спектру ЧМ сигнала с эффективным
индексом модуляции, равным М^^
+
Рассмотрим несколько примеров применения полученных формул. На рис. 5.1 и 5.2 даны результаты расчета переходных помех»
вызванных радиопомеP....J ST
хой, по ф-лам (5.32) и
(5.37), когда сигнал и
помеха проходят лиwнейный тракт прием/\ 1
1
ника без существенЖ
ных искажений. Сиг/ >J > Si \
нал и помеха модулич
рованы
по
частоте
одинаковыми (но неза•ч
10^
висимыми)
многокал\
нальными сообщенияN к
[\
—
ми с числом телефон\
NЛ
.\
ных каналов, равным
N
/V=1920, при следую•"Ч
N
ч
щих
данных:
р2=
л
= 8524
кГц,
А/к=
= 100кГц,Д^к = 3,1 кГц,
— >
W
Кп = 0,75,
=
0
/
= 0,01625, рк = О, характеристика
предысРис. 5Л. Переходные помехи, вызванные
ЧМ радиопомехой в зависимости от раскажений соответствует
стройки:
М2э.с=М2,.п=0,0)1625,
Л^=1920,
рис. 2.1.
f 2 = 8 5 2 4 кГц, р = оо, г = 1
Графики, представленные на рис. 5.1 и 5.2, изображают мощность переходных помех,
в нескольких каналах (Ь = 0,5; 0,75; 1) в зависимости от величины
б = (6(о)/Й2. В целях удобства применения этих графиков при разных г в расчете принято, что
= 1, однако нужно иметь в виду, что
ф-ла (5.32) справедлива лишь при ir2< 1. Разница между рис. 5.1 и 5.2
заключается в том, что результаты, показанные на рис. 5.1, получены с помощью графика функции g(q), данного на рис. 2.4 при
М2д=0,0325, р = оо, а на рис. 5.2 — с помощью графика такой ж е
функции па рис. 2.9 при
=
и р = 25. Как видно, эта разница невелика. На рис. 5.1 и 5.2 хорошо видно, что переходные
помехи в канале максимальны, когда разность частот сигнала
и помехи бсо равна средней частоте канала в групповом спектре
и уменьшается с увеличением боо. Несмотря на применение
предыскажений переходные помехи максимальны в верхнем
телефонном канале. На рис. 5.3 даны такие же графики,
рассчитанные при тех же условиях, но для случая, когда
л \
\
<
Ч
'
\
\
V
Ршм^П^Т
сигнал и помеха модулированы одинаковыми многоканальными
сообщениями с числом телефонных
каналов, равным Л^ = 60, и
при следующих услови51х:
^ 2 - 2 5 2 кГц, А/к=100 кГц,
!
1
1
ю"
ю"
10'
=
li i
i\ ( ил
=
В
ЭТОМ
случае нет 'резко выраженного максимума «переход10*
\
ных помех при разности
V
ч N is:
частот сигнала и помехи,
10't .
равной частоте канала. Это
щ /
1 V
объясняется более гладкой
V
10^
формой спектра ЧМ сигнаS
ла при больших индексах
ч
10^
•ч
Ч модуляции.
\ S, ч
По графикам на рис. 5.1,
5.2 и 5.3 можно определить
>
защитное действие антенн
10"
>
радиорелейной станции, необходимое для уменьшения
10'
переходных помех, вызванных помехой от приема сигРнс. 5.2. Переходные помехи, вызванные налов с обратного направЧМ радиопомехой в зависимости от расстройки:
М2в.с=Л4г,.п = 0,01625,
Л^=1920, ления. Так, на рис. 5.1 и 5.2
видно, что при бсо = 0 мощр2 = 8Ъ'2А кГц, р = 2 5 , г = а
ность
переходных
помех
имеет порядок 10^ пВт при
/-2=1. Отсюда следует, что
защитное действие антенны
должно
быть
—65 или
10^
ч ч
—70 дБ, чтобы переходные
#
N
помехи были незначительчч >
ными. По графикам на рис.
V
5.3
П|ри б со = О М'ож«о оп(реЮ
0,75
S
делить,
что защитное дейст7N
вие антенны должно быть
—60 или —65 дБ.
N
При более сложных усN
ID'
ловиях расчета помех необходимо вычислять функцию
10
Ч ,f (Q, б(й) по ф-ле (5.33).
Это вычисление приходится
о
•
2
J
If
5
е,
7 б делать путем графического
поскольку
Рис. 5.3. Переходные помехи, вызванные интегрирования,
ЧД\ радиопомехой, в зависимости от рас- спектр ЧМ сигнала
и мостройки:
дуль коэффициента передаj^=0,65; Л'=60, F,=252 КГЦ, Г=\
чи тракта в большинстве
у
V
\
\ \Г
ч
\ \\ \S
ч
случаев
аналитически
не
рыражаются. Д л я иллюст^^
р а ц и и графического вычис- .
ления свертки спектров на
рис. 5.4 изображены в логарифмическом
масштабе
спектры полезного ЧМ сигнала и помехи после прохождения линейного тракта
п,р|иемни1ка и ква'драт модуля коэффициента передачи
этого TpaiKiTa. Сигнал и помеха модулированы многоканальными
сообщениями
•J J,2S=6'
при .V=1920 и
=
= 0,01625.
Относительная Рис. 5.4. Графики спектров к расчету перевызванных радиопомехой в
разность несущих частот по- ходных помех,
соседнем стволе:
мехи и сигнала 6 = 3,28, что
2-K4(>-q)g^[b-q)-,
SЩЬ-Хсоответствует разности частот двух соседних стволов
радиорелейной линии. Как
видно из рисунка, спектр помехи
деформирован вследствие прохождения через тракт, а спектр
сигнала практически не изменился. Пунктиром показан спектр
сигнала, смещенный влево на
величину 6 = 1, что соопвешствует
верхнему телвфшно1му каналу
при (Вычислении первого интеграла ов'ерши в (5.23).
На рис. 5.5 шриведен график
зависямооти мощности переходных помех в верхнем канале от
крутизны ската полосового фильтра, модуль коэффициента передачи которого показан на рис. 5.4.
Разность частот сигнала и помеIt
2
if
& L
хи соответствует разности частот
крутит шта, дВ/МГц
двух соседних стволов радиореРис. 5.5. Зависимость переходных полейной линии. Сигнал и помеха
мех, вызванных радиопомехой в сомодулированы многоканальными седнем стволе, от крутизны ската
сообщениями с числом каналов
характеристики полосового фильтра:
/^=.1920,
Л1«,.е=Л1а».п=0,01625,
N = 1920 и индексами модуляции
6=6<i)/Qa=3,28, i =
r=l
0,01625. Как видно
из этого графика, фильтр в линейном тракте приемника заметно уменьшает помехи от соседнего
ствола в радиорелейных системах. Его действие сказывается
т а к ж е в уменьшении отношения помехи к сигналу на входе частотного детектора.
В заключение этого параграфа рассмотрим применение полученных формул для расчета помех радиорелейной линии со стороны спутника связи, раб0та10ш,ег0 в той ж е полосе частот. Системы спутниковой связи работают с очень большой девиацией частоты сигнала, поэтому энергетический спектр сигнала, излучаемого ретранслятором спутника, имеет гауссову форму, а так как
ретранслятор обычно излучает несколько сигналов, разделенных
ПО; частоте, то принято считать, что энергетический спектр сигналов спутника приблизительно равномерен в широкой полосе частот. М К К Р рекомендует принимать специальные меры, чтобы д а ж е
при малой загрузке системы излучаемая энергия равномерно распределялась в широкой полосе частот. Д л я этого обычно применяется модуляция сигналом треугольной формы низкой частоты.
Допустим, что это условие выполнено и во всей полосе приемника радиорелейной станции энергетический спектр помехи равномерен и в принятых нами обозначениях выражается
=
= IMt», где Доз — ширина полосы приемника.
Обратимся к ф-ле (5.31). Поскольку спектр помехи постоянен,
его можно вынести из-под интегралов, а каждый из оставшихся
интегралов по спектру сигнала будет равен 1. Подставив в эту
формулу г2=Рд/Рс, получим в точке нулевого уровня мощность переходных помех (в пВт)
А/
PaB^Q)
U/k
Величина Pu/A\f = Wo представляет спектральную плотность мощности помехи на входе приемника.
В Регламенте радиосвязи нормируется величина плотности потока мощности, создаваемой излучением спутника на 1 кв. метре
у поверхности Земли в полосе шириной 4 кГц. Обозначив эту величину через ро, получим мощность помехи (в Вт) на входе приемника радиорелейной станции в полосе телефонного канала
•
4ВфВп
где
•Sa.a — эффективная площадь антенны радиорелейной станции, пересчитанная в направлении на спутник, м^;
^Ф — ослабление сигнала в антенном фидере станции;
Вп — ослабление помехи вследствие различной поляризации волн,
излучаемых спутником и радиорелейной станцией.
Если на спутнике применена круговая поляризация, то 5 п = 2 .
С учетом этого соотношения получим окончательно мощность
переходных помех (в пВт) в телефонном канале Р Р Л :
Л..И.П-
'
0,775ро5а.э4 -10®
РоВфВпВ^ (О)
i^r\А/„
(5.38)
Здесь мощность полезного сигнала на входе приемника Рс выражается в ваттах, поскольку плотность потока мощности ро в ы р а жается в ваттах на кв. метр поверхности.
5.3. ДЕЙСТВИЕ ПОЛЕЗНОГО ЧМ СИГНАЛА
И AM РАДИОПОМЕХИ Н А И Д Е А Л Ь Н Ы Й
ЧАСТОТНЫЙ ДЕТЕКТОР
Переходные помехи в телефонных каналах многоканальной системы связи с ЧМ, вызванные радиопомехой, модулированной поам'плитуде, рассмотрены в [5.9]. В этом параграфе дан более общий анализ действия AM радиопомехи с учетом влияния фильтра:
в линейной части приемника до частотного детектора.
Итак, пусть на входе пр'иемника действуют полезный ЧМ сиг-^
нал и ДМ радиопомеха:
и, c o s [(О, t +
(/)] + «п/п (О c o s Q)„ t,
(5.39>
здесь Un — максимальная амплитуда помехи;
fu(t)—безразмерная
функция, выражающая амплитудную модуляцию, она может изменяться в пределах O ^ f u ( t )
На входе частотного детектора после линейного тракта приемника, имеющего коэффициент передачи К { ш ) , сигнал и помеха
могут быть представлены в виде
u, {t) c o s [со, t - f X, (/)] + «п/п.в (О COS [й)„ t + в„ (/)],
(5.40>
где Uc(t) и /п.вСО отражают паразитную AM, внесенную трактом,
Kc(<t)=Sc(t) + Qc(t)\ ОсСО» 9 п ( 0 — Ф а з о в ы е ошибки, внесенные
трактом.
Поступая таким же образом, как в § 5.2, преобразуем выражение (5.40) к виду
« И / ) cos [ ( 0 , ^ - f Я Л / ) - Ь А ( / ) ] ,
где
«I {t)=ul
it)
(5.41>
{t) + 2u, (t) U, f^ ^ it) cos [бсо / +
"u/n в ( 0 sin [6CD t + Ge it) - Xc (01
A (/) = a r c t g
—
^ Uc ( 0 + "n/n. в ( 0 cos [dco t + 0П {t) - %c. ( 0 ]
(6(0 = (On — (0,).
(/) -
Ш
,
Допустим, что на входе приемника амплитуда помехи много
меньше амплитуды сигнала и что линейный тракт приемника вызывает малые искажения полезного сигнала. При этих условиях
Uc(t)^Uc, Un/Uc = r ^ \ и фазовая ошибка, вызванная радиопомехой, равна
Д (О « ' • / п . в (О s i n [6(01 + 0 , (t) -
К т
{5.42>
Процесс А(/) нестационарен, его среднее значение по времени
равно нулю, и мы, как и в § 5.2, будем искать его среднюю корреляционную функцию, применяя двойное усреднение: по множеству
н по времени.
Очевидно, что
^п. в ( О f n . в
+ х ) + х м
Kit
=
-Y'^
+
COS [ d c o t +
fn. в W L
е л /
в
+
Т) -
COS [б(от +
в„ (О
-
е„
+
-
т)
- е„ (0] c o s [ + т) - к it).
(5.43)
так как сигнал и помеха «езависимы, то усреднение по
множеству производится независимо. Здесь учтено также, что
s i n [ ^ c ( / + T ) — = 0 при условии симметрии модуля коэффициента передачи тракта относительно частоты сигнала, как показано в § 5.2.
Представив сигнал и помеху на выходе тракта интегралами
Дюамеля, найдем в соответствии с (5.17)
=
J I
h ы h f e ) е - 1 " - . + ' . > 1 X
0 0
X cos cOc (Tj — Tj) dxi^d Tj.
и в соответствии с (5.20)
(5.44)
(О fn. в (^ + Т) COS [бсот - f е„
+ Т) -
бп (/)]
=
00 со
=
7-2 J j /z(ti)/z(T2)/n
0
{t — Ti) /п {t + T—Та) COS [(On ( t i — Тз) + 6(0t] dXxd t 2 .
0
(5.45)
Корреляционная функция огибающей AM (радиопомехи единичной амплитуды, очевидно, равна
^лм
= Y
+
(5.46)
С учетом (5.44), (5.45) 'И (5.46)
00
вы|ражение
(5.43)
примет вид
00
о о
00 со
X J J / г ( t i ) ( т
о о
— Та + Ti)COS[со^(tj — х^) + б с о т ] d x ^ d x ^ =
=
(5.47)
где
=
—корреляционная функция огиба-
ющей ЧМ сигнала единичной амплитуды.
Выражение (5.47) показывает, что корреляционная функция
}з 30
0111 ко::и т)авча произведению двух корреляционных функI'vl
^
ад о. '
"-Г!..-:
' <
1
С"
" с
,
,
.•
' I :;
р
I
'
U с.
"i
я
Л'
г т.тро., со(
•.
' ^ ; и
"
и n с ly-
- ' иую^^'ЛчГ'^
(Q)
^
(Й) =
IK'
^
(CO,
К ' (cOe +
-f Q) 4- K' (0), -
Q)
[(0„ ~
(Q),
(CO, +
Q)]
+
Отсюда no аналогии с (5.24) найдем
Г.,
{Q)
К ' (со„ - Q - - U ) W^
+
f
К ' (со, +
Q -
« ) l^^e Ч М
(бсо - Q - и) К ' (со, ^и)
+
^
^^{и) da +
(«)
(5.48)
где 1\^плм(^) — энергетический спектр. огибаюш,ей AM радиопомехи единичной монхности.
Иа выходе идеального частотного детектора мощность переходных помех, вызванных AM радиопомехой, в телефонном канале будет определяться выражением, аналогичным (5.31): .
ВЦ^)
U/iJ
1—00
+
J КМсоп + ^ - " ) U ^ e ЧМ (бо) + Q - Ы) К' (со, - u) W^
{u) du 1 . (5.49)
Выражение (5.49) является самым общим, действительным для
AM радиопомехи любого вида, чтобы сделать его более удобным
для расчетов, нужно иметь выражение спектра огибающей AM
помехи WnAM(Q).
^
Рассмотрим наиболее важный для практики вид AM радиопомехи — последовательность радиоимпульсов. Такую помеху может создавать радиолокационная станция, если она работает в
той же полоске частот, что и многоканальная система радиосвязи
с ЧМ. Примем для простоты, что радиоимпульсы имеют прямоугольную форму и длительность то, а период их повторен1^я равен Гп. Такая помеха представляет собой детерминированный процесс, по, тем не менее, к ней нр.именимы понятия 'корреляционной,
функции и энергетического спектра. Спектр огибающей единичной мощности iB этом случае будет
\2
...
sin
QTq
(5.49а)
.
V (QTe)/2
где
5(Q—(2я/г)/Гп)
\
и
V
Тп
— дельта-функция.
Спектр состоит из дискретных линий на частотах, кратных ча-стоте повторения импульсов {2л)/Т^. Он распространяется и на
отрицательные частоты, а его полная энергия равна
V
sin
Тл \а
(fito)/2
/
[Тг,
S
/
.
sin
п=-0» \
S
6(Q-
[Тг^
/То
«
2я п
dQ =
Т„)
П=—ее
Я П То
{nnXfi)/Tn
"Умножим и разделим это выражение на 2я и заменим сумму
интегралом
/
S
«=_«> \
яТп
. ЯПТр
sin
\
( я п тГо)/Гп
/
sin
Т-п
(ОТо
\
d(D
2 я Гг
Jfo. \
(й)То)/2
/
\ Jf /
• ы р а ж е н и е совершенно очевидное, так как средняя мощность радиоимпульсного сигнала равна
Р
= Р
—
*п
Подставим (5.49а) в (5.48) и воспользуемся фильтрующим свой•стаом дельта-функций:
W с ЧМ
/
Ти
. ЯП to
Sin
\{ППХ,)/Тп
/
п/
\
Я П То
sin———
(япТо)/Гп
Умножим и разделим это выражение на 2л и заменим суммы
интегралами. Заметим также, что г ^
.2 Г .
ср есть
•отношение средней мощности помехи к мощности сигнала. В результате получим
«^А
= ip ^
I J ^
/
/
sin
<"» -
" -
">
™ (6® -
«) X
^а
ихп \
\(«То)/2
У
. их,
+
j / ( • (0)„ + Й -
Заменим
l^'e ЧМ
+ " -
")
-
«) +
V
du
2
("to)/2
/
выражение спектра сигнала безраэмерной функцией
(«) и введем новую переменную интегрирования
<7 = « / Й 2 :
sin — ^ — а
2 ^
{б-q)
fiito
4я
\
/
чо
2
•
у
. Q,to
sin
—
QaTo
\
/
где б = б|й)/Й2; b=QfQ2Подставим это выражение в (5.49) и, чтобы сохранить полную
аналогию с (5.32), умножим и разделим на Q2В результате получим окончательно мощность переходных помех (в пВт) в канале
F
ш.н.п
ср
(5.50)
А/к^
где
оо
2
е Ш
^ К"{б-b-q)g,{6-b-q)К'(б-q)
— — — / т
2
=
Qgt,
/
\
00
(
+
.
S i n — ^
\
dq . (5.51)
\
/
125
Если сигнал и помеха г.роходят лилейный тракт приемника без'^
существенных искажений, то
/
Гим. п
б®)
-
F-2 Го
-
^
dq +
Q^to
-q
-со
оо
\
sin—— ^
sm-——
dq
Q.Xo
(5.52)
/
Интегралы свертки в этих выражениях приходится вычислять
графически или способами численного интегрирования.
На рис. 5.6 приведены для примера результаты расчета мои;пости переходных no?viex в верхнем телефонном канале систем ем-
>
Ю'
i
чv
•ч
10'
\ч
1i
1В''.
'0
/
S
S
Ч
ч
1
- -
л,
1
!
...1
О
чS
Я
Рис. 5.6. Переходные помехи, вызванные импульсной радиопомехой, в завнсимости от расстройки' при То = 5 мкс,
/ —-Y=60, -Р'2=252
.'!У/,,=200 КГЦ"
КГЦ,
Д/,.= 100
КГЦ;
2 —Л-=600, ii'2=2540 кГц,
костью 60 И 600 телефонных каналов, вызванной импульсной радиопомехой. Расчет производился по ф-лам (5.50) и (5.52) при
следующих данных. Помеха представляет собой прямоугольные
радиоимпульсы длительностью 5 мкс, полезный сигнал модулирован по частоте многоканальным сообщением: 60 телефонных каналов (кривая 1) при ^2 = 250 кГц, Д/к=100 кГц, М2э = 0,65 и 600 телефонных каналов (кривая 2) при ^2 = 2540 кГц, А/к = 200 кГц,
Л'12э = 0,24, при использовании предыскажений, рекомендованных
МККР.
Графики на рис. 5.6 представляют-зависимость мощности переходных помех в верхнем телефонном канале от разности несу-
щих частот сигнала и помехи бсо при г2ср=1. Как видно из графиков, влияние радиопомехи на систему емкостью 600 телефонных каналов уменьшается с увеличением разности часто г более
резко, что объясняется тем, что ширина спектра помехи значительно меньше ширины спектра полезного сигнала. Когда спектры
полезного сигнала и помехи сравнимы по ширине, как в случае
60-канальной системы, мощность переходных помех уменьшается
с увеличением разности частот более плавно.
5.4. ДЕЙСТВИЕ ПОЛЕЗНОГО ЧМ СИГНАЛА
И РАДИОПОМЕХИ Н А Р Е А Л Ь Н Ы Й ЧАСТОТНЫЙ
ДЕТЕКТОР
В предыдущих параграфах рассмотрено действие полезного
сигнала и радиопомехи на идеальный частотный детектор и установлено, что переходные помехи в каналах определяются перекрытием спектров сигнала и помехи на входе частотного детектора. Характеристики реального частотного детектора отличаются
от идеальных, и это отличие может быть причиной появления дополнительных переходных помех при действии радиопомехи даже
тогда, когда спектры сигнала и помехи почти не перекрываются.
В этом параграфе рассмотрим три наиболее важные причины
появления дополнительных переходных помех: преобразование амплитудной модуляции в фазовую в приемном тракте, неполное подавление амплитудной модуляции сигнала ограничителем приеминка и нелинейные искажения второго порядка в дискриминаторе.
Последние две причины впервые указаны и рассмотрены в [5.12].
Преобразование AM в ФМ происходит в амплитудном ограничителе и в меньшей степени в усилителе промежуточной частоты.
Оно вызвано изменением соотношения реактивной и активной составляющих сопротивления цепи при изменении амплитуды сигнала. В еще большей степени это преобразование свойственно
усилителю на лампе бегущей волны, в которой скорость электронов и вместе с ней фазовая скорость усиливаемых колебаний зависят от величины проходящей мощности.
Нелинейный прибор такого типа, как амплитудный ограничитель или усилитель на лампе бегущей волны, принято характеризовать коэффициентом компрессии и коэффициентом AM—ФМ
преобразования. Если на вход такого прибора подан AM сигнал
Wgx {t) = Uq{ \
М cos Q t) cos ©с if
TO сигнал на выходе будет
"эых(О ^
где
[ 1 -f М (1 — с) cos Q/] cos [СОсt -[-коэффициент компрессии;
КрМcosQt],
/Ср — коэффициент
AM—ФМ
Ф'-.л -hm с:;!:, и г, г.носимып прибором, ил;' его фр.зо-а^лплзпуд• .;i"K':e::;:c'riiKy с-бьтч!.;: ]'.ыра/лают фу]:;-л1'1С;П К1зи;фяа оги-
бающей сигнала
Эту функцию можно разложить в ряд по степеням квадрата огибающей
блф (О = F (0) + F' (0) 4
+ ^
4 (/) н
(5.53)
В случае AM сигнала с огибающей
сдвиг соответственно равен
еЛФ
= ^ (0) + F' (0) «2 (1 + М cos Q tf + ^
фазовый
mJ (1 + М cos Q / ) Ч • . .
Отсюда легко найти фазовый сдвиг с частотой Q, выделив члены, содержащие cos Ш\
=
+
+
. . .]cosQ/.
(5.54)
Коэффициент AM—ФМ преобразования равен отношению максимальной девиации фазы к относительному изменению амплитуды:
F"'(0)
=-Ж
(5.55)
= ^
Обычно этот коэффициент выражают в градусах изменения
фазы на децибел изменения амплитуды. Д л я этого нужно отклонение фазы Ф д ^ перевести из радиан в градусы, умножив его на
57,3, а относительное изменение амплитуды выразить в децибелах:
201gf
+
=
+ M ) = 8,691n(l -f
\
"о /
с учетом этого из (5.55) получим
8,69М
8,69^^
И, следовательно,
=
при
1.
8,69
(5.56)
Подавление амплитудной модуляции сигнала в ограничителе
удобнее характеризовать не коэффициентом компрессии, а коэффициентом подавления (в дБ)
=
=
(5.57)
Рассмотрим теперь действие полезного ЧМ сигнала и радиопомехи на частотный детектор, в котором подавление амплитудной модуляции сигнала характеризуется коэффициентом /САМ, ДБ,
или /, а преобразование AM в ФМ — коэффициентом /Сф, град/дБ.
Сумму сигнала и помехи на выходе линейного тракта приемника представим как в (5.9):
и, COS [0), t +
к
(OJ + «П {t) COS [0)n t +
+
+
(0] =
(5.58)
Допустим, что линейный тракт приемлика вызывает малые искажения полезного сигнала лишь в виде фазовой ошибки 0с (О =
=^Kc(i)—Sc(t), а амплитуда сигнала Uc остается постоянной.
Помеха модулирована по амплитуде, но мы пока не определяем, в какой мере эта модуляция вызвана линейным трактом
приемника. Огибающая суммарного сигнала согласно (5.10) при
«c='Const рав,на
(О = "с (1 +
(О + 2Г (О COS [бй) / + К {t) - К (0J}
(5.59)
а фазовая ошибка А(/), вызванная радиопомехой, определяется
выражением (5.12). По-прежнему допустим, что
=
(5.60)
Ис
Представим огибающую суммарного сигнала в виде огибающей AM колебания
(5.61)
где М ( О — н е к о т о р ы й процесс, выражающий действие радиопомех'и на амплитуду сигнала. Очевидно, что среднее значение этого процесса должно быть равно нулю.
Исходя из (5.59) и при условии (5.60), получим
и^ (/) ^ а 11 +
+ г (О COS [бш / + К (t) - К (0]} .
(5.62)
откуда следует, что
М (О «
г^
(t)
-f г (О COS [бсо t +
(t) ~ К т,
(5.63)
где г ^ (t) — переменная составля! лдая процесса г^Ц).
На" выходе амплитудного ограничителя, который подавляет
AM в 1// раз и преобразует AM в ФМ, суммарный сигнал будет
и ^ J 1 4- Ш {t)] COS [со, / + Ч (О + А (О + е^ф (0].
(5.64)
где 9 д ф ( 0 определяется выражением (5.53).
В дальнейшем анализе принято, что коэффициент подавления
AM в ограничителе и коэффициент AM—ФМ преобразования не
зависят от частоты изменения огибающей сигнала.
Допустим, что характеристика дискриминатора, кроме линейной части, имеет еще квадратичную составляющую, создающую
нелинейные искажения второго порядка. На выходе такого дискриминатора под действием сигнала (5.64) появятся полезное сообщение, продукты искажений и помехи:
5-194
129
у . (/) = ^
[1 + ш «1
[— [Х, (О +
+А (О+^ЛФ^} = ^
+ ш (О
(/) + ^
X
+
Д (П + в ^ (01 +
+ 4
i"
^
^^^^ +
-А [6, (/) + А (О + в^ф (/)]] + ^
+
+
dt
[ 1 + Ш (01X
+
(5.65)
Фазовая ошибка 0 с в ы з в а н н а я прохождением сигнала через
линейный тракт приемника, здесь не учитывается. Вследствие
неидеальности частотного детектора радиопомеха
вызывает
не только фазовую ошибку А(/), но ещ,е три составляющих, зависящих от AM—ФМ преобразования, от степени подавления AM и
от нелинейности дискриминатора. Рассмотрим эти составляющие.
Фазовая ошибка, вызванная AM—ФМ преобразованием, определяется выражением (5.53). Подставим в это выражение (5.59),
отбросим члены, содержащие r(t) в степени выше второй, ввиду
их малости и выделим две составляющие фазовой ошибки:
F'"
XCOS [Ш+К
=
(0)
X
(01 = 0 . 1 5 г ( / ) c o s [ Ш Ч- К
+
К Ш
' ' •].
(5.66)
(5.67)
Обычно в разложении (5.55) главную роль играет первый член,
имеющий наибольшее значение, поэтому вместо (5.67) примем:
гЧП
(5.68)
Итак, вследствие AM—ФМ преобразования в нелинейном тракте радиопомеха вызывает фазовую ошибку
= о, 1516/с^
+ К 0 COS
+ К (О — к т
(5.69)
Составляющая 0дфJ (t) аналогична ошибке A(f),. на находится
с ней в квадратуре. Очевидно, что 8дф,(/) и A(t) не коррелированы, что легко показать. Возьмем средшою корреляционную
функцию их суммы
= [Д (О + вдф! Щ
+
- A(/)A(/ + T)-f е^ф^ (О + влФ1
+
130
+
+ Т)1 =
+ т) + А (Ов^ф,(^ -f t) Ч-
Составляющие взаимокорреляционной функции соответственно
равны:
Ш0ЛФ1
= ОЛ 51б/С^г (/) г
^05[бй) ^ -I- бют -Ь
0АФ1
А
4-
.. бсо / +
(/) - К (0) X
-f г) — Яс (/ + т)1 = — 0,0758/С^г(/)г(/ + т) X
+ "t) = 0,1516iC, г (/) г
X sin [6(0/ + бог 4-
+ t) cos [йсо / + Х„ (О -
— 4 -
(/)! X
т] = 0,0758/(ф г (f) г (/ + t ) X
X sin[6cDT + ^n
+ к
m
Как видим, они равны по абсолютной величине, но имеют обратные знаки, вследствие чего их сумма равна нулю, что и доказывает некоррелированность процессов А(/) и
(ОСредняя корреляционная функция процесса Одф1 (О равна
(О
+
= 0,023Klr{t)r{t
•
- К im c
o
s
.
X COS ]60)T 4- Kit
m
1
+
T)COS[6Q)/ +
-
)
]
+
ЛПО
= ^
Kit)
-
» •.u».^-—»».»—.
/<2 r (/) г (/ + t ) X
(t)] = 0.023KJt|,^ (т).
(5.70)
что следует из выражения (5.13).
Итак, составляющая вдф1 {t) фазовой ошибки, вызванной AM—
ФМ преобразованием при действии радиопомехи, не коррелирована с фазовой ошибкой Д ( 0 . но имеет такую же корреляционную
функцию и, следовательно, такой же энергетический спектр:
f ^ )
= OmKlWj^:
(5.71)
где Wi, (Q) — спектр процесса А (О определяется выражением
(5.24) при ЧМ радиопомехе или — (5.48) при ДМ радиопомехе.
Соответственно мощность переходных помех, вызванных фазовой
ошибкой 9дф1 (/), можно определить по ф-лам (5.31) или (5.49),
умножив их 1на 0,023/(J. Очевидно, что уже при К^ > 4 град/дБ
мощность переходных помех, вызванных составляющей вдд^ (Oi
сравнима по величине с мощностью переходных помех, вызванных фазовой ошибкой А(/).
Спектр
(й) вычисляется как свертка спектров сигнала и
помехи, поэтому переходные помехи, вызванные процессами А(/)
и 9 дф.^ (/), быстро убывают при увеличении разности частот бы и
становятся пренебрежимо малыми, когда спектры сигнала и помехи практически не перекрываются. Иначе ведут себя переход-
ные помехи, вызванные составляющей Одфз (О фазовой ошибки,''
Они не определяются перекрытием спектров сигнала и помехи, ав
зависят только от амплитудной модуляции помехи. Действитель-'
но, допустим, что переменная амплитуда помехи на выходе линейного тракта приемника может быть представлена в виде
где m(t)—процесс
детерминированный или случайный, в зависимости от вида помехи, причем — l ^ m ( t )
При таком представлении
(5.72);
«с
где r=Un/uc.
^
Вторая составляющая фазовой ошибки, вызванной AM—ФМ^
преобразованием при действии радиопомехи:
ii
=
=
-1-[1 + 2m{t) +
(5.73)
Отсюда видно, что спектр помехи на выходе частотного детектора соответствует спектру производной процесса m(t)+
~ rrfi (t),
т. е. полностью определяется амплитудной модуляцией радиопомехи на выходе линейного тракта приемника независимо ст того,
перекрываются спектры полезного сигнала радиопомехи или нет.
Если радиопомеха представляет собой AM сигнал, то модулирующий процесс, соответственно преобразоваиный после прохождения помехи через линейный тракт приемника, и квадрат этого
процесса модулируют фазу полезного сигнала и вызывают переходные помехи в каналах. Если радиопомеха представляет собой
ЧМ сигнал, то она может вызвать фазовую ошибку 0дф2 (О только в том случае, если она приобретет амплитудную модуляцию
после прохождения через линейный тракт прием,ника. Такой случай типичен для радиорелейных систем связи, в которых для сигнала каждого ствола сигналы соседних стволов являются радиопомехами. Спектры полезного сигнала и радиопомехи практически не
перекрываются, но если несущая частота соседнего ствола попадает
на скат амплитудно-частотной характеристики линейного тракта
приемйика данного ствола, то радиопомеха приобретает амплитудную модуляцию и вызывает переходные помехи в каналах данного ствола, поскольку возникает фазовая ошибка бдфгСОРассмотрим подробнее этот наиболее важный для практики
случай. Радиопомеха, представляющая собой сигнал, модулированный по частоте многоканальным сообщением,, на выходе линейного тракта приемника может быть выражена интегралом
Дюамеля:
00
{t) COS [(О, t Ч- К (01 == "п f Л (т) COS к
о
- т) + 5„ {t - т)] d т.
Полагая, что
'kn(t)=Sn(t)где
9п(0 — фазовая ошибка,
вносимая линейным трактом приемника, найдем аналогично выражению (5.15)
u,{t) cos е„ (О =
6
(т) cos
- т) -
(/) -
со.т] d т,
(5.74)
00
и^ (/) s i n
(О = м„ J ^ (т) s i n [ 5 „ (/ -
т) -
(/) -
C0„TJ d т .
Чтобы упростить дальнейшие выкладки, ограничимся квазистационарным приближением и допустим, что импульсная реакция тракта затухает настолько быстро, что в пределах ее существова'ния справедливо приближение
а при таких величинах т, когда это приближение уже несправедливо, импульсная реакция /I(T) равна нулю.
Тогда выражения (5.74) упростятся:
(О cos е„ (t) ^
J /г (т) cos [0), + 5 ; ( / ) ] X d т =
{к [ -
i ((о„ - f
+ 5 ; (t)] + К [i (со„ -f s ; (/))] } = «„/( (со„ -f s ; (/)) cos ф (co„ ч- 5 ;
щ
(5.75)
u„ it) sin e„ it)
(t) sin [0)„ + 5 ; it)] T dT = - / С
[ - i ((0„ -f
0
+ s ; it))] -K[i
(co„ -f s ; it))]} = «„K (co„ + 5 ; (0) sin Ф ((D„ + s ; it)).
(5.76)
Из (5.75) и (5.76) легко находим, что
(О == it) cos^ е„ (/) -f al it) sin^
+
(0 « ul
(0)„ + 5 ; (/)),
(5.77)
Разложим квадрат модуля коэффициента передачи линейного
тракта в ряд по степеням отклонения частоты помехи S'n(t) =
~CMnlJn.(t) (Смп —крутизна характеристики модулятора помехи,
^ n ( t ) — многоканальное сообщение модулирующее помеху) и выразим фазовую ошибку вд^д (/) с помощью этого ряда:
л "Ы
кС(соп)
Q2 1/2 ( f ) I [з
п W-t-j^
(^п) К' (С&п)
I
X
(5.78)
133
Теперь легко найти корреляционную функцию фазовой ошибки.
По аналогии с выражениями (3.6) и (3.7) найдем
' К (соп) l ^ j f j
1 /зГ(соп) ,
.11
2 V л:(соп)
Г((Оп)_^Г(соп)
X
C
L
t
^
n
(0)
к'(соп);
[К{(Ои) К'{(On)]
3 К" (сод) , К'Чсоп)
К' (соп)
^(соп)
(5.79)
где \|)о-п(т}—корреляционная функция многоканального сообщения помехи и-ait).
Ограничимся тремя членами в выражении (5.79), содержащими корреляционную функцию \1)17п(т) в степени не выше третьей, и
найдем энергетический спектр фазовой ошибки Эдфз (О •
(^) = —
^02
X
+
2 I
К" (0)п)
К' (о)п)
Асо?
cos QT d т = 0,023^2 r^iC^ (со„) AQn
Г(соп)
1 ГзГ((йд)
i/i К)
К'
+
(Юп)
1
X
К' (соп)
L^(COn)
+
^ К"'{а>и) X
Г(а)п) J
(5.80)
где
А'а)28.п = С2мп'ф171т(0) — к в а д р а т эффективной девиадии частоты помехи;
AQn = Q 2 n — — ширина спектра многоканального сообщения помехи;
У2{оп), Уз{оп)—функции распределения спектра продуктов искажений второго и третьего порядков, определяемые выражениями
(3.15), (3.16).
Функция yi{on) введена по аналогии, о«а связана со спектром
многоканального сообщения сЪотношением
где Ои=
i^TT" — безразм©р.ная координата.
Спектр переходных помех,вызванных фазовой ошибкой 9дф2 (О»
определяется аналогично выражению (5.30) по теореме о спектре
производного процесса:
Q2
(5.81)
Используя (5.80) и (5.81), найдем мощность переходных по(в пВт) в телефонном канале на частоте F в точке с нулевым
относительным уровнем:
р
А FkkI • 10»
, = 0,023К1 rW (соп) —
+
^ 2 I
К" {(On)
iC((On) ^
J
Д/к/ Afn ^(СОд)
1
(®п) Ао)2
К' (соп)
I
(Шх,)
^
К' (соп)
2
Г"(С0о)
iC' (СОп)
X
+
X
(5.82)
ХА<„г/з((Тп)
Как видно из (5.82), переходные помехи имеют как внятный,
так и невнятный характер. Составляющая внятных помех определяется функцией i/i(an), выражающей спектр многоканального
сообщения помехи, составляющи!е невнятных помех, определяются
функциями у2{оп) и ^з(стп), выражающими спектр продуктор искажений многоканального сообщения помехи. Наибольшую величину имеет составляющая внятных помех.
Формула (5.82) показывает также, что мощность переходных
помех, вызванных составляющей 6дф2(0 фазовой ощибки, пропорциональна коэффициенту передачи линейного тракта приемника
и его первой производной на частоте радиопомехи и не зависит от
перекрытия спектров сигнала и помехи. Это означает, что при
большой разности частот бш помехи и сигнала, когда их спектры
практически не перекрываются и переходные помехи, вызванные
фазовыми ошибками А(/) и 0АФ1 {t), исчезают, переходные помехи,
вызванные фазовой ошибкой 0АФ2 {t), могут быть значительными,
если несущая частота помехи попадает на скат амплитудно-частотной характеристики линейного тракта приемника и если существует преобразование AM в ФМ в нелинейном тракте.
Отличительной особенностью переходных помех этого вида является также и то, что их мощность пропорциональна не отношению мощности радиопомехи к мощности полезного сигнала на
входе частотного детектора, а квадрату этого отношения, т. е. при
уменьшении мощности радиопомехи на 1 дБ мощность переходных помех уменьшается на 2 дБ. Поэтому действенным способом
уменьшения переходных помех этого вида служит уменьшение величины коэффициента передачи линейного тракта приемника на
частоте радиопомехи.
Вернемся теперь к выражению (5.65) и рассмотрим составляющую переходных помех, вызванную неполным подавлением амплитудной модуляции сигнала:
•^ог ( 0 = ш (/)
(О + 4
^
[0с (О + А (О + е^ф ( 0 ] ) .
в этом выражении можно не учитывать 6с(О и ЭАФ(0 вслед
ствие их относительной малости и сохранить только А(/):
А(/)
См dt
Подставим сюда выражение M(t)
А(/') П'редста'вим в виде:
(5.83>:
из (5.63) и r(t)
из (5.72), а
А (О = г [ 1 + m(/)] sin [ ^ t + K (О - К (0]•
После перемножения отбросим члены, содержащие г^, вследствие
их малости и получим
^
8ог(0
[ 1 -f m (/)]2 [6(0 + я ; (О - х; (/)] + ir' m{t) +
Ir^
+ ^ [1 +
M
-
+ ^
{t)f i6co + x ; (/) -
(r)] cos 2 [Ш+ к it)
-
(/) - X, (/)].
Заметим, что
=
+
несложных преобразований получим
-V
U{t)
m' (/) [ 1 4- m (/)] sin 2 [бсо / + К (О - ^c (01 +
+ Zr [ 1 + m (/)] f / (/) cos [бсо ^ +
вог (О = -
ml it)
(О + ^
м
Отбросим 9 ' с ( 0 и после
[ 1 + m (/)]2 [6(0 + V (0] + Zr [ 1 + m (/)] X
X V ф cos [6(01 + К (t) - К (0] +
^+
2 X
^
(5.84)
Первый член в выражении (5.84) не создает переходных помех, а два последних определяются перекрытием спектров полезного сигнала и радиопомехи. Сравним их по величине с продуктом
искажений, создаваемым фазовой ошибкой А(/). Очевидно, что на
выходе частотного детектора процесс А (О вызовет процесс
«л ( О = ^ — { [ 1 + m (0] sin [бсо / + ( О - К
^^м dt
= ^
m' (О sin [6(01 + К (О - ^с (0] + ^
- я; (0] cos [6(0/ +
т =
[ 1 + /п (01
+ К (О -
(/)-;.ЛО].
Легко видеть, что последний член в (5.84) много меньше ед (/),
по крайней мере в 4//г раз..Предпоследний член в (5.84) можно
рассматривать как часть (одно из слагаемых) ЕД (/), но умноженную на /(/<С1). На этом основании можем отбросить два последних слагаемых в (5.84) и считать, что вследствие неполного подавления амплитудной модуляции радиопомеха создает на выходе частотного детектора продукт искажений
^ог (0 =
m{t) +
ml it)
1,2
6(0
(5.85)
п р е ж д е чем анализировать это выражение, рассмотрим последнее слагаемое в (5.65), обусловленное квадратичными искажениями. Отбросив члены второго порядка малости, получим
еЛ/) = ^
[ 1 + Ш (/)] {с^ ^ ( О [ б с (О + А (О + е^ф ( 0 ] } ' «
« ^
[С^
it) + А' (0]^ = а , С^
i f ) + 2а, U{t) А' (/) +
+
(5.86)
Здесь первый член представляет продукт искажения основного
сообщения и не связан с действием радиопомехи, второй член
можно не рассматривать, поскольку он определяется перекрытием
спеяктро© и существенно меньше ел (t). Остается только третий
член, который равен
82 (/) л? ^
[А'
= ^
{т' it) sin [бсо / +
(/) - К it)] + [ 1 -f
'М
+ т it)] [бсо +
(/) - к; (/)] COS [6(01 + К it) - К т ' -
в этом выражении учтем только члены, не определяемые перекрытием спектров, а члены, содержащие косинус и синус двойного аргумента, отбросим, так как они малы по сравнению с е д ( 0 В результате получим
«2 (О « ^
X
^
[ 1 + m (0]^ [бсо + К (О - К
« ^
X
^ [ 1 +т(0]^б(оХ;(/).
m{t) +
(5.87)
Здесь мы отбросили члены, не создающие переходных помех, и
чле1иы заведомо малые. Сравнив (5.87) и (5.85), заметим их полное сходство, что свидетельствует о полной корреляции процессов
Е О Г ( 0 И 8 2 ( 0 - Объединим эти ироцеосы IB один иро'цеос:
(О = ео, it) + Ез (/) = 4
+
2
(5.88)
См
Если радиопомеха модулирована только
Un(i)=0 и
mlit)
^S (О — CM
n-
+
бсо (/ + а^бсо) \т (/) +
+ ОдбСО)
по
амплитуде, то
(5.89)
Переходные помехи, созданные этим продуктом, не зависят от
перекрытия спектров, а определяются модуляцией радиопомехи
m(t) и существуют только при наличии разности частот 6со=7^=0.
Они не коррелированы с помехами, создаваемыми фазовой ошиб«
кой 9аф2 (О» что следует из сравнения выражений (5.89) и (5.73).
Если радиопомеха модулирована только по частоте, тогда
mfO = 0 и
^Мп
(О = - V — ^ + 2«2бо)) и, {t)
(5.90)
^ См
— помеха внятная и не зависит от перекрытия спектров. Коэффициент az, характеризующий нелинейность дискриминатора, представим в более удобном для расчетов и более наглядном виде.
Сравнив первый член выражения (5.86) со вторым членом выражения (3.3), заметим, что в (5.86) произведение агСм соответствует коэффициенту «2 в (3.3). Коэффициент аг определяется через
затухание нелинейности по второй гармонике bzi выражением
(3.25). Следовательно, можем написать agC^^ = К З Д
Возведем обе части равенства в квадрат и умножим на ij)i7(0)
Так как
„
R
то, имея ЭТО В виду, получим
=
=
~2 Ш
Ю
•
^-p « i
Так как & 2 1 = Ь2к+Рк, то для удобства произведем эту замену
и учтем также, что Д(о2э=Аш ^к" Ю
Тогда получим окончательно:
а^бсо = ] / 2 ^
Асок
,
(5.91)
где Ь2к — затухание нелинейности, дБ, по 2-й гармонике, измеренное при уровне испытательного сигнала рк, дБ.
Рассмотрим уже известный нам случай, когда радиопомеха
представляет собой ЧМ сигнал соседнего ствола в радиорелейной
системе связи. Если несущая частота помехи попадает на скат амплитудно-частотной характеристики линейного тракта приемника
данного ствола, то помеха приобретает амплитудную модуляцию.
Примем, как и ранее, в (5.77), что
Разложим коэффициент передачи в ряд по степеням отклонения
частоты S^n(t)= Смп Uu(t) и подставим в (5.88). После простых
преобразований получим
(/) = ^
+ А
^М
f(
К' (соп)
L^(COn)
it)
^и 'vin^ " W
+. Л. ^^^^^^^
t/^ (О +
(5.92)
где
Л =
1+
2 +
Л -
2 ^ ^ 6 0 ) (Z + аабю) + ajSfo,
/С(соп)
К" (соп)
6 С О №
+
{I + афи)) + 202600,
U(con)
А:'(0)П)
1 +
Г(®п) \
з г (сОп) а:'(«п)
Г(сОп)/С(Шп)
X (/ + азбсо) + «2
1 + К' {(On) К' (соп)
Найдем корреляционную функцию 82 (О, Для чего снова воспользуемся аналогией с выражениями (3.6) и (3.7):
К' («п)
/С(соп)
К' (шп)
(Мп)
+
+
}.
(5.93)
Д а л е е найдем энергетический спектр переходных поме?«;
гЩ*- (соп) Асо:
I. п
(К' (соп)
^ez(^) =
+ ЗЛ^Асо^. „
(К' (соп) V
(f^n) +
(соп)
(5.94)
Здесь приняты те же обозначения, что и в ф-ле (5.80),
Мощность переходных помех в телефонном канале в точке с
нулевым относительным уровнем равна (в пВт):
o.iPcp Г^К^ (соп) /А п.
^Р Д
•
А/э / Afn A f B ^ f i )
+ 9Л2Ай)1
(СОп)
^(COn)i
(5.95)
Как видим, переходные помехи имеют как внятный, так и невнятный характер, а их мощность пропорциенальна квадрату отношения мощности радио'помехи к мощности сигнала на входе частотного детектора, т.е. величине г^/С^((йп). Если несущая частота
помехи не попадает на ш а т амплитудно-частотной характеристики
линейного тракта приемника, то/С''(ооп) = 0 и невнятные составляющие переходных помех исчезают, остаются только внятные, пропорциональные
щри'чем в этом случае
(/+'2а2!5со)^. Если
несущая частота радиопомехи совпадает с несущей частотой ситнала, то бсо = 0 « нелинейность дискриминатора не оказывает влияния на величину переходных помех и в данном случае
=
За-
метим еще, что зависимость мощности переходных помех от частоты канала выражена только функциями у2{оп) и уъ{<5п).
Подведем теперь некоторые итоги. Мы рассмотрели действие
полезного ЧМ сигнала и радиопомехи на реальный частотный
детектор и определили четыре основные составляющие переходных помех, не коррелированные между собой и складывающиеся |
по мощности:
>
^ш. р. п ~ -^шЛ
АФ1
АФ2 "Ь
(5.96)
Первая составляющая — Рщд, определяется перекрытием спек- |
тров сигнала и помехи и не зависит от характеристик частотного |
детектора. Она рассмотрена в § 5.2 и 5.3.
|
Вторая составляющая — РШАФ! , также определяется перекры- &
тием спектров сигнала и помехи, но существует только, если в |
приемном тракте имеется преобразование AM в ФМ.
|
Третья составляющая — Ршаф2 , существует также лишь при t
наличии преобразования AM в ФМ, но не зависит от перекрытия |
спектров, она может существовать и тогда, когда спектры практически не перекрываются.
Четвертая составляющая — Рш2, вызвана неполным подавлением амплитудной модуляции сигнала в ограничителе и нелинейностью второго порядка дискриминатора. Она также не зависит
от перекрытия спектров сигнала и помехи.
Первые две составляющие пропорциональны отношению мощности радиопомех к мощности полезного сигнала на входе частотного детектора, а последние две составляющие пропорциональны
квадрату этого отношения. Последняя составляющая очень слабо
зависит от частоты канала в групповом спектре. Эта зависимость
выражена лишь в функциях у2{ои) и Уз{оп)- Мощность внятных
помех от частоты канала не зависит.
В заключение этого параграфа рассмотрим пример вычисления мощности
составляющих переходных помех Р ш А Ф 2 и Р ш1 по ф-лам (5.82) и (5.95).
Для этих вычислений нужно задаться формой амплитудно-частотной характеристики линейного тракта приемника. В приемниках многоканальных систем в
тракте промежуточной частоты обычно включен фильтр сосредоточенной селекции, затухание которого (в дБ) за пределами плоской части приблизительно
линейно зависит от частоты. Коэффициент передачи за пределами полосы пропускания можно представить выражением:
+
=
где 0)1 — граничная частота плоской части АЧХ.
Тогда величины, входящие в ф-лы (5.82) и (5.95), будут:
^
К{а>п)
iC(con)
K{iOn)
Если крутизна ската АЧХ, выраженная в дБ на МГц, равна Si, дБ/МГц, то
йДопустим, что полезный сигнал и радиопомеха модулированы по частоте одинаковыми многоканальными сообщениями с числом телефонных каналов N —
Д/к = 200 кГц,
кГц, рср=|Ю дБ, Д / э « 9 0 0 кГц.
ф о р м у л а (5.82) примет вид д л я верхнего к а п а л а :
-
2,73-[1+2.14-10-2
4.3.08-10-3
BW
+
6,6.10-5 Б}} ^
результаты расчета зависимости РшАФ2 от рааности частот l / i — ' f n \ д л я
нескольких значений Bi представлены иа рис. 5.7. К а к видаю, переходные помехи могут быть сделаны очень малыми, д а ж е при равных величинах сигнала и радиопомехи на входе ( г = 1 ) , при соответствующей разности частот.
Чем больше крутизна ската, тем меньше может быть разность частот.
Обратимся теперь к ф-ле (5.95). Допустим сначала, что радиопомеха находится в полосе приемника, а полоса приемника достаточно широка. Тогда
и Л1 = /-|-2а2'б<о. Формула примет вид
ш н2
=
—
ОЛРг
10
^F
^
200
Здесь учтено выражение (5.91).
Результаты расчета представлены на рис. 5.8 в виде
зависимости мощности
внятных переходных помех от разч
ности частот сигнала и радио\
помехи при нескольких значениях коэффициента
подавления AM и з а т у х а н и я нелинейЧ Г
— Ч
ности по второй
гармонике.
V
т
Видно, что переходные помехи
^дБ/МГц
Ч/МГц
будут малыми, если отношение
200
радиопомехи к сигналу г ^ 0 , 1
д а ж е при плохих характериso ^ \
стиках частотного
детектора
60
V ( / = — 2 0 д Б , ^>2.<=60 д Б ) .
tfOл > ч
>
Допустим теперь, что ча\
\ \ ч
20
стота радиопомехи попадает на
S
скат АЧХ, как в первом при10 -4V
V —
г
мере. Тогда, очевидно, величиS
— V - \\
f
на внятных помех возрастет и
\
If
ч
Л
появятся, кроме того, и невнятные помехи. Результаты расче2
\
та представлены на рис. 5.9.
\
1
1
Видно, что переходные помехи
J
5
slJrUM
этого вида при сравнительно
плохих характеристиках
час- Рис. 5.7. Переходные помехи, вызванные претотного детектора могут быть образованием AM—ФМ при действии ЧМ разначительными при равенстве
диопомехи: Л^ = 600,
— к р у т и з н а ската АЧХ,
сигнала и радиопомехи на вхог=1, Л:ср=:17дБ:
де приемника ( г = 1 ) . Чтобы их
внятная помеха,
невнятиая помеха
уменьшить", нужно увеличивать
крутизну ската АЧХ.
X
€
\
\
X
\
дл
5.5. ПОМЕХИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ П Р И ОДНОВРЕМЕННОМ
УСИЛЕНИИ НЕСКОЛЬКИХ ЧМ СИГНАЛОВ
В 0Б1ЦЕМ УСИЛИТЕЛЕ
Эта проблема возникла в связи с развитием систем спутниковой связи, в которых через общий тракт ретранслятора спутника
проходят разделенные по частоте ЧМ сигналы нескольких зем141
ных станций, а на земных станциях, работающих с несколькими
корреспондентами, сигналы этих корреспондеятов усиливаются в
общих приемном и передающем устройствах.
5
jiт
4
•А
г
/
-J—
л-'
<11
2-Hfi
i
Z
/
J
Г tf
f
г
О
it
6
8 61 МГц
Рис. 5.8. Внятные переходные
помехи, вызванные
радиопомехой, при неполном подавлении AM н при нелинейности
ЧД для
г=1:
i—l
20 дБ. Ь2к=60 дБ; 2 —
1 — 2 0 д Б , 62^=70 д Б ; 3 - Z = — 3 0 д Б ,
Ь2к"=60 д Б ;
-
~ю УГЖмги,
Рис. 5.9. Переходные
помехи,
вызванные
радиопомехой, частота которой попадает
на скат АЧХ: Л^=б(Х),
i = — 2 0 дБ,
б2к =
= 60 д Б , г = 1 ;
30 дБ, 62^=70 дБ
внятная помеха,
невнятная по-
меха
В выходных ступенях ретранслятора спутника и передатчика
земной станции используются обычно лампы бегущей волны
(ЛБВ) или клистроны, передаточные характеристики которых,
т. е. зависимость мгновенных значений напряжения на выходе от
таких же значений на входе, нелинейны, и, кроме того, эти приборы обладают свойством преобразования амплитудной модуляции
усиливаемых сигналов в фазовую модуляцию. Эти два явления,
т. е. амплитудная нелинейность и преобразование AM в ФМ, служат причинами появления взаимных помех при усилении нескольких сигналов. Продукты нелинейных искажений нечетных порядков попадают в полосы полезных сигналов и создают им помехи,
даже если спектры полезных сигналов практически не перекрываются. Эти помехи, в свою очередь, создают переходные помехи в
телефонных каналах усиливаемых ЧМ сигналов. Расчет помех и
исследование методов их уменьшения имеют важное практическое
значение.
Д л я расчета помех, возникающих при одновременном усилении
нескольких ЧМ сигналов в общем тракте, необходимо иметь аналитическое выражение передаточной характеристики тракта и величину коэффициента преобразования AM в ФМ. Эти характеристики индивидуальны и различны для различных типов усилительных приборов^ они могут быть различными даже у разных экземпляров приборов одното типа. Очевидно, что общих аналитических
выражений для этих характеристик получить нельзя.
В некоторых работах с целью получения качественной картины явления и общих закономерностей приняты идеализированные
формы передат0Ч(Н0Й характеристики усилителя, описываемые аналитически. Так, например, в [5.13] передаточная характеристика
усилителя на Л Б В представлена как характеристика идеального
ограничителя с линейным участком. Сумма многих ЧМ сигналов
на входе усилителя представлена в виде узкополосного нормального стационарного случайного процесса с равномерным спектром.
Такое представление допустимо, поскольку распределение вероятностей мгновенных значений суммы синусоидальных колебаний со
случайными фазами стремится к нормальному при увеличении
числа слагаемых- Действие узкополосного нормального стационарного случайного процесса на идеальный ограничитель с линейным
участком исследовано еще ранее в [3.6], но при гауссовой форме
энергетического спектра процесса на входе. В гл. 3 рассмотрено
действие на такой ограничитель широкополосного нормального
стационарного случайного процесса с равномерным спектром. Результаты, полученные в гл. 3, легко можно распространить и на
узкополосный процесс. Корреляционная функция процесса на выходе ограничителя как в случае широкополосного, так и узкополосного процесса описывается выражением (4.42). В случае узкополосного процесса коэффициент корреляции процесса на входе
лучше представить в виде
где 0)0 — средняя частота. Подставив это выражение в (3.42) и
выделив члены, содержащие COS COOT, получим
^f/вых W = ^o(t) [ 2 ф ( | / 2
-
^
ijcoscOoT +
(2/^+1)! 22"
где Ро/Рс — отношение пороговой мощности к мощности сигнала
на входе 2Pq/Pc= {Uojay. Отсюда легко найти спектр продуктов
искажений, расположенных около частоты юо и попадающих в полосу сигнала:
Hi
Я
^
iV^k)
4 - ПI
(2л+1)!2^
где I ( 0 ) ) = —
R-^n+x
cos о)оТ cos ют d т.
я J
о
Заметим, что согласно (3.44)
9 °°
—
(т) COS ©оГ COS 0)Т С? Т « — fen+1 (t) COS {(И — (И^) X d X ^
ао
1
I
"
cosfiTdT =
— ( а ) ,
(0)
где Дсо —ширина полосы входного сигнала a = 2(co—о)о)/(А(й).
Тогда
_
Р» «« „rt rj2
—92 •-ь2 % (0) ^
^С ^ Чп+\
«
Д®
Спектр неискаженной части процесса
равен
^50(0)
Ай)
У2П+Х
(2/г+1)122«
2Ф
—
на
(5•^7)
выходе, очевидно,
1
Отношение помехи к сигналу на выходе равно отношению спектральных плотностей мощности:
рП
^^'нск (to)
TJ
J.V4)
(2л + 1)! 22п
г с (со)
У2П+1
(5.98)
Это отношение (выражеиное в д Б ) в центре полосы входного
процесса, т. е. при а = 0, в зависимости от отношения мощности
процесса на входе к пороговой мощности Ро/Рс представлено на
рис. 5.10 (кривая 1). К|ружок на кривой — точка, принятая в (5.13]
за нуль отсчета по шкале абсцисс, так как в этой работе за пороговую мощность принята величина Япор =
Передаточная характеристика реального усилителя .на Л Б В или
клистроне далека от характеристики идеального ограничителя с
линейным участком. В (5.14] сделана попытка приблизиться к
реальной характеристике с плавным переходом к режиму ограничения. С этой целью в качестве аналитического выражения передаточной характеристики взята функция интеграла вероятности
«о
y=-fix)
dz,
кУ2п
где ао — п а р а м е т р характеристики; /с — постоянная, определяющая
усиление. Эта функция имеет вид плавного ограничителя.
щ
с W
\
S,
V
\
\
\S
ч
\
1Я
JJ
1й
ю
/7'
у
\
\
N
15^ N
/
ч^
ч
S
\
'N к
о
•Ю>s
b
00•J
J
/
Ч
ис
-6-5-Ч -3 -2 -1 О 1 2 3 If
Ч
ч
Ч|
Ч
ч
24
23
21
21
20
19
ч 18
чч
16
15. УЛ
т
•Л
Рис. 5ч10. Отношение спектральных плотностей продуктов искажений и сигнала на выходе нелинейного прибора в зависимости от
отношения мощности процесса на
входе к пороговой мощности:
чS
к
щ
Рис. 5.11. Отношение мощностей сигнала и продукта искажений третьего порядка на
выходе Л Б В при действии на
входе четырех сигналов с общей мощностью Рвх
/ — идеальный ограничитель;
плавный ограничитель;
3 —реальная ЛБЕ
При воздействии на вход такого ограничителя нормального
стационарного случайного процесса корреляционная функция процесса на выходе описывается выражением
и вых ( Т )
где
цесса;
arc sin
=
Rit)
.1 + « 2
==/?о(т) COS соот —коэффициент корреляции входного про(ог2 —дисперсия входного процесса).
После разложения этого выражения в ряд Тейлора и выделения составляющих, содержащих cos соот, получаем
1
2л k^ М + а»
2j
Li
п=2
{2п-
1)!
(1 +
c o s
COqT.
(5.99)
Первый член в (5.99) представляет корреляционную функцию
неискаженной части процесса на выходе, а члены под знаком суммы соответствуют продуктам искажения. Здесь \jjo(0)=ia2.
По аналогии с предыдущим найдем спектр продуктоо искажений, расположенных около частоты юо и попадающих в полосу
сигнала,
2пА:2Д(о
1)1 22"-2(1 + а2)2п-1
^
'
И отношение спектральных плотностей мощности
W-иск (со) ^ у
Wc (со)
L
[(2" - З)-"]^
{2п - 1)1
В работе [5.14] принято, что
У2П-Х
(1 + а2)2"-2 •
,,
/^ч _ т /
У2п-Л^)у
.gjyj
6
п{2п-1Г
За^
2 (2д-1) ;
Дсо
Это выражение соответствует (3.48) и, строго говоря, справедливо при 2п—1^5.
Отношение спектральных плотностей продуктов искажений и сигнала в зависимости от отношения мощности
процесса на входе к пороговой мощности в центре полосы,
(or = 0) представлено также на рис. 5.10 (кривая 2). Как видно,
в данном случае помехи оказываются заметно большими, чем в случае идеального ограничителя с линейным участком. Это объясняется тем, что передаточная характеристика, описываемая интегралом вероятности, нелинейна на всех участках. Д л я сравнения
на том же рисунке (кривая 3) показан результат, полученный в работе [5.15] при измерениях с реальной Л Б В . Он учитывает, кроме нелинейности передаточной характеристики, также и преобразование AM в ФМ. Характер зависимости отношения сигнала к
помехе от мощности сигнала на входе во всех трех случаях одинаков, но количественное отличие значительно. Из этого следует,
что представление передаточной характеристики усилителя в виде
функции, выражаемой аналитически, может дать лишь качественную картину явления, но не может служить основой для количественных расчетов. Кроме того, чтобы представить передаточную
характеристику усилителя какой-либо функцией или аппроксимировать степенным или тригонометрическим полиномом, ее нужно
измерить, а непосредственное измерение ее практически невозможно.
Д л я расчета помех необходимо также знать характеристику
преобразования AM в ФМ, измерение которой довольно затруднительно. По-видимому, эти две характеристики взаимно связаны
и выражают свойства усилителя или прибора как четырехполюсника, обладающего комплексной нелинейностью. Поэтому желательно найти такой способ косвенного измерения комплексной нелинейности, который позволил бы рассчитывать отношение помехи к сигналу по результатам этих измерений. Такой способ изме-
рения и метод расчета описаны в [5.15]. К изложению основных
результатов этой работы теперь и перейдем.
Будем рассматривать прохождение через усилитель п синусоидальных сигналов одинаковой амплитуды и с равномерчо расставленными частотами:
(5.102)
м
Суммарная мощность сигналов
1 Ом равна
на
входе на сопротивлении
=
(5-103)
Передаточную характеристику усилителя представим
ным полиномом
степен-
"вых =
+
+
+ • • •
(5.104)
Подставив (5.102) в (5.104), можно показать, что амплитуда
каждого сигнала на выходе равна
1
п — 2
V П
+ 15 а^ \ п I
а. fP.
+ ( / г - 1 ) ( я - 2 ) + - ^ ( / г - 1 ) + 105
ai \ п
Х{п-2){п-3)-{-3{п-1){п-2)
+
1
34
+ ^ { п ~ 1 ) + ^^
(5.105)
Здесь величина {п—k) может быть либо полож.ительньш числом,
или нулем. Выражение в фигурных скобках представляет характеристику компрессии, которая зависит от числа и мощности сигналов на входе при данных коэффициентах полинома. При увеличении числа сигналов характеристика компрессии быстро достигает предельной величины. Действительно, рассмотрим амплитуду
сигнала на выходе при разном числе сигналов:
п= 1
= а,
f 1 + 1,5 ^ Р з . + 2,5
[
Cl
Qi
+ 4 , 3 7 .
п= 2
+ 19,1
П
оо
«овь« =
+
. .],
V K A ^ + 2 , 2 5 ^ Р з , + 6,25
Р1 +
. .
= %
{1 + 3
+ '5 ^
+
Как видим, уже при п = 2 характеристика компрессии близка
к предельной, поскольку | «з | > |fls| !> | а? |.
Рассмотрим теперь амплитуды продуктов нелинейности. Амплитуда продуктов искажений третьего порядка, частота которых
2fh—fi, равна
3
«31
=
(\ —
]
п J
+ 43- а^ \ п J [12.5 + 1 5 ( / г - 2 ) ] +
+ 105 5L (Е^У
Пз \ п I
о
+
12
(5.106)
Множитель перед фигурными скобками представляет вклад в
продукт искажений третьего порядка кубичного члена полинома,
а выражение в фигурных скобках — сумму относительных вкладов остальных членов. Это выражение можно считать характеристикой компрессии, поскольку оно нарушает кубический закон
изменения амплитуды продукта искажений. При увеличении п характеристика компрессии быстро стремится к предельной величине. Посмотрим это:
Я
=
О
«31
=
V8 /
Действительно, уже при /г>4 характеристика компрессии меняется очень мало.
Амплитуда продуктов нелинейности третьего порядка, частота
которых fm + fh — fi, равна
«32 = Y^^a
J
X
-h
аз \ п }
. . .}.
(5.107)
Здесь тоже, рассматривая выражение в фигурных скобках как
характеристику компрессии, заметим, как быстро она стремится к
предельному значению с увеличением п:
П=3
«32 =
а..
2Р„
3/2
Оз
2Рвху/2
4;
Я= 8
148
иг>2
аз
a^
аз
3
оо
(2Р
3/2
1 4-
f )
р2
+ 105
as
аз
вх
+
'
Заметим, что при
характеристики компрессии амплитуд,
продуктов нелинейности третьего порядка двух видов — Ыз1 и Мз2 —
приблизительно одинаковы, поэтому амплитуда М32 на 6 дБ больше «31- Заметим также, что при
характеристики компрессии
меняются очень мало и близки к предельной величине, которая
получается при очень большом числе сигналов {п-^оо).
Очевидно,,
что без большой погрешности можно считать характеристику компрессии амплитуд продуктов искажений третьего порядка приблизительно постоянной при
и при постоянной величине суммарной мощности сигналов на входе Рвх- При этом же условии уровень продукта искажений третьего порядка уменьшается приблизительно на 9 дБ при удвоении числа сигналов, а отношение амплитуд сигнала и продукта нелинейности увеличивается при этом
на б дБ.
Еще более ярко постоянство характеристики компрессии при
проявляется у продуктов искажений пятого порядка. Так,,
например, амплитуда продукта с частотой 3fk—2fi равна:
п —4
/г = 8
n-^ 00
«51
«61
5
а.
2Рвх' 5/2
4
а.
(2+ 13.56^Рзх+ • •
I
«5
2Рях\5/2
\ 8 J
[
1 + 17,28^-?,,+
QS
. . . ,
J
Щ1 = —a^
Результаты измерений показывают, что уменьшение амплитуды'^
продуктов искажений пятого порядка с увеличением числа сигналов более чем компенсирует увеличение числа этих продуктов.
Поэтому многосигнальные характеристики Л Б В
определяются
только искажениями третьего порядка во всем диапазоне изменения суммарной мощности на входе вплоть до точки насыщения.
Этот очень важный вывод подтвержден результатами измерений
усилителей с разными типами Л Б В . Очевидно, он справедлив и;
для усилителей на клистронах.
Мы рассмотрели продукты искажений, вызванных нелинейностью передаточной характеристики усилителя, а теперь рассмотрим искажения, вызванные преобразованием AM в ФМ.
Сумму п сигналов, действующих на входе, представим в виде
AM колебания:
«о 2 cos coj / = £ (/) cos [coo/ + Ф (/)],
где (00= ((0i + 0)n)/2,
E'{t) = ul
2 cos
—COo)/
+
n
2
_j
1гФ(0 =
sin
V sin(0)fe —cOo)^
й=1
{Щ — coo) t
n
2
COS
— COO)
t
Преобразуем выражение квадрата огибающей:
Е' (t) = «2
«+
V cos {щ — СО;) t
n
п
1Н
2 ^
(сОд; — 00/) /
(5.108)
Аг=1 /=1
Квадрат огибающей AM сигнала с той же средней мощностью
равен
= 2Р„
=2P,Jl+2McosQ/].
(5.109
Из предыдущего параграфа известно, что фазовый сдвиг, вызванный амплитудной модуляцией сигнала, является функцией
квадрата огибающей и в соответствии с (5.54), если перейти от
напряжения к мощности, равен
cos Q / =
(5.110)
где /Сф — коэффициент преобразования AM в ФМ, выражаемый в
градусах на децибел.
Имея в виду аналогию выражений (5.108) и (5.109), напишем
на основе (5.110) выражение фазового сдвига при действии п сигналов
кф1
Этот фазовый сдвиг получат все п сигналов, и сумму сигналов на выходе можно записать в виде
It
"вых (О = « о У COS [СО^ ^ + Ф^, , (t)] =
m=l
0,151Ь/Сф
m=l
L
nji п
cos (%
/г==1
Ш
(D;) t
Хак как
это выражение можно упростить:
ИъШ
т=\
т=1 k=l 1=1
Ш
0,1516/С,
= а,
COS (О, / + «о
' ^^
'' 5 ]
т=\
S
т=\ k=\
кф1
+ sin [(0;„ + (сОк —
СО/)]
S
~
^ ^
/=1
О-
Так как индексы k и I можно поменять местами, то последнее
выражение можно представить как
"
О 1516^"
" " "
Цвых (О ^ «о ^ COS(0;„/ + Цо
^
m=l
m=l ^=1 Z=1
—(0/)^.
Теперь в тройной сумме выделим члены, в которых т = 1 и вкоторых m = k, после чего получим окончательно:
ft
«вых (О » «о J ]
m=l
— Ип
COS (0^ ^
2n
— sin Oi^ t
0,1516/C„
2n
k=\ 1=1
кф1
0,1516/c„
— Mn
m=l k=\ l=\
тфкф1
Первая сумма в (5.111) представляет сумму первоначальных
сигналов и квадратурных искажений. Вследствие малости /Сф
квадратурные члены не имеют практического значения. Две последующие сум'мы представляют продукты искажений третьего порядка. Амплитуда Мзг продукта с частотой fm+fh—fi на 6 дБ больше амплитуды продукта Мзь Отношение амплитуды сигнала Uq к
амплитуде продукта искажений пропорционально п, т. е. увеличивается на 6 дБ при удвоении числа сигналов.
д^^К1им образом, установлено, что вследствие преобразования
AM в ФМ и пр,и условии малости коэффициента преобразования
образуются продукты искажений третьего порядка, обладающие
теми Же свойствами, что и продукты, образовавшиеся вследствие
елинейности передаточной характеристики, но находящиеся в
вадратуре по отношению к ним. Это еще более оправдывает тот
Ь'^вод, что искажения третьего порядка являются определяющиа искажения более высоких порядков можно не учитывать.
Рассмотрение продуктов искажений, вызванных преобразованием AM в ФМ, не изменило полученного ранее вывода о том, что
при
характеристика компрессии продуктов искажений третьего порядка приблизительно постоянна при постоянной величине
суммарной мощности сигналов на входе Рвх и что отношение
мощности одного сигнала к мощности одного продукта искажений
пропорционально п^. Отсюда приходим к заключению, что отношение мощности сигнала к мощности продукта искажений третьего порядка, измеренное при подаче на вход четырех сигналов, может служить величиной, характер,изующей свойства усилителя как
четырехполюсника с комплексной нелинейностью. Измерив это отношение при определенной величине суммарной мощности сигналов на входе, можно рассчитать отношение мощности сигнала к
полной мощности продуктов искажений третьего порядка, попадающих в полосу сигнала, при заданном числе сигналов п, если
известно число продуктов искажений третьего порядка, попадающих в пшосу сигнала. Обозначим через Nn {k) числ'О продуктов
искажений третьего порядка, частота которых совпадает с частотой (Oft k-YO сигнала, при количестве сигналов на входе, равном п.
Отношение мощности одного сигнала
к мощности одного
продукта искажений третьего порядка, измеренное при числе сигналов на входе, равном четырем, обозначим как («о/"з)^4= {Рс/Рз)^Тогда отношение мощности одного сигнала с частотой со^ к полной мощности продуктов искажений третьего порядка, частота
которых равна т, при числе сигналов на входе, равном п, равно
(5.112)
[PsUlbNnik)
при условии, ЧТО суммарная мощность сигналов на входе равна
Рвх как при числе сигналов, равном четырем, так и при числе
сигналов, равном п.
Выражение (5.112) основано на том, что отношение мощности
сигнала к мощности продукта искажений третьего порядка пропорционально квадрату числа сигналов /г, и на том, что продукты
искажений третьего порядка с совпадающими частотами складываются по квадратичному закону (по мощности). Последнее предположение безусловно справедливо при модулированных сигналах, когда фазы продуктов искажений складываются из фаз разных сигналов и являются случайными.
Величина Nn(k) находится аналитически. Д л я продуктов с частотой 2Jh—fi она равна
иск /In
п
А
= -i-
- 2-
[1 - ( - 1)"] ( - 1)^} ,
(5.! 13)
а для продуктов с частотой fm + fh—fl
•Nn{k) = ± i n - k + l ) + - ^ [ { n ~ 3 f - S ] ~ - ^ [ l - { - 1)"] ( 2
4
8
(5.114)
I
|
|
|
|
'1
|
.{
j
J
i
I
.i
'
Н и ж е (в табл. 5.1) приведены величины N n ( k ) для продуктов
с частотой 2fh—fi, а в табл. 5.2 — для продуктов с частотой
fm + fh—А П'Р^'^ числе сигналов от 1 до 8.
Таблица
N^
(k)
5.1
при различных значениях k
п
3
4
5
6
1
0
1
1
—
2
!
—
—
—
—
—
—
2
0
0
—
—
—
—
—
—
3
1
0
1
—
—
—
—
—
4
1
1
1
1
—
—
—
—
5
2
1
2
1
2
—
—
—
6
2
2
2
2
2
2
—
—
7
3
2
3
2
3
2
3
—
8
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
1
7
8
Таблица
N^
5.2
(ft) при различных значениях k
п
4
5
6
7
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
1
0
—
—
—
—
—
1
2
2
1
—
—
—
—
5
2
4
4
4
2
—
—
—
6
4
6
7
7
6
4
—
—
7
6
9
10
11
10
9
6
—
8
9
12
14
15
15
14
12
9
1
2
1
0
—
2
0
0
3
0
4
3
1
8
Как видно ИЗ этих таблиц, число продуктов с частотой fm + fh—fi
очень быстро растет с увеличением числа сигналов и у ж е при
п ^ б эти продукты преобладают иад продуктами с частотой
2fh—fi ,и последние можно не учитывать. При очень большом числе
сигналов число продуктов с частотой fm-^fk—fi достигает предельной величины: при п-^оо N n ( k ) = {3IS)n^ — па центральной часто-
те,
= (l/4)rt2 — н а крайних частотах. Подставив эти выражения в (5.112), получим:
'(^с/^иск)оо =
(Рс/^з)4(1/6),
ИЛИ (В д Б )
=
= (^с/Рз)4 — 7,8 — на центральной частоте;
'(Рс/Риск)» = (РС/РЗ)4(1/4), или (в дБ)
(5.115)
(Ре/Риск)оо =
= (Рс/Рз)4 — 6 — на крайних частотах.
(5.116)
При практических измерениях величины (Рс/Рз)4 следует применять неравномерную
расстановку частот четырех сигналов с
тем, чтобы частоты продуктов искажений третьего порядка не совпадали с частотами сигналов и друг с другом. Так, например, в
работе [5.15] были применены частоты: / ь /i + ЗО, fi + 67, /i + 98, что
лозволило легко выделить частоты продуктов:
2 / W i = / i + 60 и /2 + / 4 - f 3 = f l + 66.
Мы рассматриваем случай, когда все п сигналов одинаково
модул,ированы независимыми многоканальными сообщениями с эффективной девиацией частоты А/э и эффективным индексом модуляции Мэ. При этом продукты искажений третьего порядка представляют_собой ЧМ колебания с эффективной девиацией частоты А/э]^3 и эффективным индексом модуляции М^'УЪ. При рав«омерной расстановке частот сигналов частоты продуктов искажений совпадают с частотами сигналов. Сумма продуктов искажений, частоты которых совпадают с частотой данного сигнала, является ЧМ радиопомехой для него и вызывает переходные помехи
в его телефонных каналах. Если спектры продуктов искажений на
частотах соседних сигналов мало перекрываются, то расчет переходных помех в телефонных каналах можно производить по ф-лам
(5.32) и (5.37), положив бсо = 0, поскольку частоты полезного сигнала и радиопомехи совпадают. Применив эти формулы, получим
:мощность переходных помех (в пВт)
AFk/£-IO®
р \2
Л " п. ^
gx(^)
(5-П7)
РгВЧ^) \Д/к/
ъ точке нулевого относительного уровня. Здесь г^ — отношение
мощности радиопомехи к мощности полезного сигнала.
Используя (5.112), получим
=
(5.118)
п' {Pc/Pz)i
gs (b) — соответствует спектру ЧМ сигнала с эффективным индексом модуляции, равнымМэ2=
+/И^
3 данном случае,
поскольку эффективный индекс модуляции помехи равен Мэ.п =
= -^3x1^3, получаем, что Mgs =2Мэ.сВ системах спутниковой связи обычно модуляция сигналов осуществляется с большими индексами и при этом энергетический
спектр сигнала имеет форму, близкую к гауссовой кривой. Спектр
продуктов искажений третьего порядка еще ближе к этой кривой,
что позволяет написать
где Ь = 0,10,2=Р1р2\ Мэ — эффективный индекс модуляции сигнала.
Подставив (5.118) и (5.119) в (5.117), получим формулу для
расчета мощности переходных помех (в пВт), возникающих в телефонных каналах при прохождении п сигналов через общий нелинейный тракт:
Fш.
Шп
н. н
(k)
п^ { P c / P s ) ,
ДV n •
2 / 2 д А /зВ2 (Q)
VА /к
е
\eNn{k)AFuK^ -109
так как —е ~ F^ I^2Д^э
^ )^
(5.120)
1 при
Эту формулу можно использовать для определения требований
к усилительному прибору, т. е. по заданной допустимой мощности
переходных помех в каналах найти необходимое отношение
{Рс/Рз)4, характеризующее комплексные нелинейные свойства
прибора.
Р.адиопо:м1еха в данном случае представляет собой сум.му синусоидальных колебаний со случайными фазами. Огибающая суммарного колебания распределена по закону Рэлея, как огибающая тепловых шумов, поэтому продукты искажений, попадающие
в полосу сигнала, действуют подобно тепловым шумам, т. е. если
отношение (5.118) окажется больше определенной величины, то
наступит порог улучшения ЧМ, ф-ла (5.120) перестанет быть справедливой, а шумы в телефонных каналах резко возрастут. Д л я
стандартного частотного детектора пороговое отношение составляет приблизителыно 10 дБ, поэтому можно считать ф-лу (5.120)
правильной при условии
(Рс/РЗ)4 2 / 2 я А / Э
где Af — ширина полосы приемника сигнала.
Пример расчета.
Пусть через усилитель на Л Б В требуется пропустить 8 сигналов с равномерной расстановкой частот. Каждый сигнал модулирован 60-канальным сообщением с девиацией частоты Л/к=4100 кГц. Нелинейные свойства усилителя характеризуются зависимостью {Рс/Рз)^ от Рвх, приведенной на рис. 5.,11 (график
взят из работы [5Л5]). Нужно найти режим усиления, т. е. найти Рвх/Яо, при
котором мощность переходных помех в телефонных каналах не превышает примерно ЙОЮО пВт в точке нулевого относительного уровня.
.Наибольшие помехи испытывают сигкалы со средними частотами, поэтому
расчет будем вести для них по ф-ле (•5..120) и для верхнего телефонного канала. Выпишем все известные нам данные: п = 8, Nn(k) = \b (см. табл. 5.2), так
как n > 6 , то продукты с частотой 2/к—fi можно не учитывать; f 2 = 2 5 0 кГц;
Д / к = 4 Ш кГц; рср = 6 дБ; А/э=800 кГц; Л1э=3,2; B2(Q2)=2,5; /Сп=0,75.
Подставив все эти величины в ф-лу (5.120), получим:
2,56-106
Рш.н.п =
(р^рз)^
и при P^.H.j, =2000 пВт
(Рс/Рз)1=1.28.102^^21 дБ.
По графику на рис. 5.11 определяем, что величине (Рс//^з)4=2^1 д Б соответствует
отношение суммарной мощности сигналов на входе к мощности в точке насыщения Рвх1Ро=—'^,7 дБ.
В заключение этого параграфа заметим, что при одновременном усилении нескольких ЧМ сигналов в общем усилителе могут
возникать внятные переходные помехи в телефонных каналах. Механизм их возникновения такой же, как и рассмотренный в § 5.4.
Внятные переходные помехи этого типа рассмотрены также в [5.16]
Список литературы к гл. 5
5.1. Medhurst R. G., Hicks Е. N., Grosset W. Distortion in frequency division
multiplex FM systems due to an interfering carrier. — «Р.1.Е.Е.», 1958, part C,
V. 105, N 5, p. 282—292.
5.2. Hamer R. Radio-frequency interference in multichannel telephony FM
radio systems. —«Р.1.Е.Е.», 1961, part C, v. 108, N 1, p. 75—89.
5.3. Medhurst R. G. RF spectra and interfering carrier distortion in FM
trunk radio systems with low modulations ratios. — «I.R.E. Transactions CS-9,
1961(107), p. 107—115.
5.4. Бородич С. В. Расчет допустимой величины радиопомех в многоканальных радиорелейных системах.
«Электросвязь», 1962, № 1, с. 13—24.
5.5. Curtis Н. Е., Collins Т. R. D., Jamison В. S. Interstitial channels for
doubling TD-2 radio system capacity. — «В.S.T.J.», 1960, Nov., p. 1505—1529.
5.6. Чиби Ш. Непосредственная интерференция между расположенными близко друг к другу радиорелейными каналами с частотным уплотнением и частотной модуляцией. «Acta Technica Academiae Scientiarum Hungaricae», 1963, т. 42,
с. 7—18.
5.7. Ruthroff С. L. A mechanism for direct adjacent channel interference.—
sKProc. I.R.E.», 1961, V. 49, N 6, p. 1091—1092.
5.8. Марченко Ю. Ф. К расчету радиопомех в многоканальных радиорелейных системах с частотной модуляцией.—«Электросвязь», 1068, Kb 10, с. 1—Г!.
5.9. Марченко Ю. Ф. К расчету допустимой величины радиопомех с амплитудной модуляцией в радиорелейных системах. — «Электросвязь», 1968, № 3,
с. 11—18.
5.10. Lundquist L. Channel spacing and necessary bandwidth in FDM—FM
systems. — «В.S.T.J.», 1971, March, v. 50, N 3, p. 869—880.
5.11. Prabhu V. K., Enloe L. H. Interchannel interference considerations in
angle modulated systems. — «В.S.T.J.», 1969, Sept. v. 48, N 7, p. 2333—2358.
5.12. Кантор Л. Я-, Дьячкова М. Н., Дорофеев В. М. Влияние радиопомех
па приемник ЧМ сигналов. — «Электросвязь», 1971, № 6, с. 39—45.
5.13. Sunde Е. D. Intermodulation distortion in multicarrier FM systems.—
«IEEE International Convention Record», 1965, part 2, p. 130—146.
5.14. Аболиц A. И. Энергетические соотношения при передаче сигналов с
частотным разделением через нелинейный ретранслятор. — «Электросвязь», 1967,
№ 3, с. 1—9.
5.15. Westcott R. J. Investigation of multiple FM/FDM carriers through a satellite TWT operating near to saturation. — «Proc. IEEE», 1967, June, v. 114,
N 6, p. 726—739.
5.16. Chapman R. C., Millard J. B. Intelligible crosstalk between frequency
modulated carriers trough AM-PM conversion. — «IEEE Transactions on Communication Systems», 1964, June, v. CS-12, N 2, p. 159—166.
Г Л А В А
6
Переходные помехи
в высокочастотном
тракте
6.1. НЕОБХОДИМАЯ Ш И Р И Н А ПОЛОСЫ ПРОПУСКАНИЯ
ВЫСОКОЧАСТОТНОГО Т Р А К Т А
Высокочастотным трактом называется тот тракт, через который проходит сигнал, модулированный по частоте многоканальным
сообщением. Этот тракт, начинающийся от модулятора передатчика и кончающийся демодулятором приемника, включает в себя
много элементов и в том числе антенные фидеры, антенны и участки распространения радиоволн между передающими и приемными антеннами. В данной главе рассматривается, сторого говоря, только часть этого тракта, включающая приемо-передающую
аппаратуру. Антенные фидеры и участки, распространения радиоволн рассмотрены в гл. 4.
Известно, что при прохождении ЧМ сигнала через высокочастотный тракт возникают нелинейные искажения передаваемого
сообщения и, следовательно, переходные помехи в каналах при
многоканальной связи. Эти искажения и помехи вызваны нелинейностью фазо-частотной и неравномерностью амплитудно-частотной
характеристик тракта, поэтому для анализа переходных помех необходимо знать эти характеристики.
Воз1Никает естественный вопрос: в какой полосе частот должны быть известны эти характеристики? Вопрос этот возникает потому, что спектр ЧМ сигнала занимает бесконечную полосу частот
и для анализа прохождения сигнала через тракт, строго говоря,
нужно иметь описание характеристик тракта в той же бесконечной
полосе частот. Однако, очевидно, что вследствие быстрого уменьшения спектральной плотности ЧМ сигнала с удалением от центральной частоты существенное влияние на нелинейные искажения
оказывают характеристики тракта в конечной полосе частот.
Применительно к задаче анализа переходных помех сформулируем вопрос немного иначе: в какой полосе частот отклонение
реальных характеристик тракта от идеальных вызывает появление заметных переходных помех и за пределами какой полосы
частот поведение реальных характеристик тракта практически не
влияет на величину переходных помех? Ответ на поставленный
вопрос нужен для последующего анализа, в котором характеристики тракта должны быть выражены аналитически или числен-
но, что можно сделать в большинстве случаев только в ограниченной полосе частот. При коррекции характеристик тракта для
уменьшения переходных помех также нужно знать, в какой полосе частот необходима коррекция. Впервые вопрос о необходимой
ширине полосы частот высокочастотного тракта был поставлен в
работе [6.1], а решение дано в [6.2].
Представим себе некоторый линейный четырехполюсник, характеристики которого идеальны в ограниченной полосе частот шириной Afn с центром на частоте
fo,
а вне этой полосы частот
Нп
четырехполюсник вообще не
пропускает
колебаний. При
т
прохождении ЧМ сигнала с
центральной частотой fo через
этот четырехполюсник в каналах появятся переходные поме0J
хи, вызванные только ограниченностью полосы. Выберем
ширину полосы IA/H так, чтобы
величина переходных помех
была пренебрежимо малой, и
включим этот идеализированный четырехполюсник перед
исследуемым трактом
(рис.
6.1). Тогда, очевидно, можно
Шеализирокниый Исследуемый
"тырехполюснин тракт
считать, что отклонение реальных характеристик тракта от
Рис. 6.1. к определению необходиидеальных в полосе частот
мой ширины полосы пропускания ВЧ
Afn будет полностью определять величину переходных помех, вносимых трактом, а по1ведание
характеристик тракта за пределами полосы А/„ не будет иметь
никакого влияния на величину переходных помех. Таким образом,
задача сводится к определению величины переходных помех, возникающих при прохождении ЧМ сигнала через четырехполюсник,
имеющий идеальные характеристики в полосе частот Af„ и не пропускающий колебаний вне этой полосы.
В соответствии с такой постановкой задачи допустим, что на
вход идеализированного четырехполюсника с коэффициентом передачи
Дсо„
(i (0) = К, е'^
в полосе соо - ^
< (о < о),
\
л
1\к
п р и CLXCCOq —
Д(о„
СО>Сйо -f
Дсон
(6.1)
подан сигнал
(6.2)
модулированный по частоте многоканальным сообщением.
158
Четырехполюсник не пропустит часть спектра сигнала, и поэтому сигнал на выходе можно представить в виде
«вых (О = «0^0 (cos [о)о / + 5 (OJ - А it) cos {о)о / -f X it)]},
(6.3)
где Л(/)со8[соо^+Я,(/)] — представляет процесс, спектр которого
соответствует части спектра первоначального сигнала (6.2), не
пропущенной четырехполюсником.
В выражении (6.3) опущено групповое время пробега сигнала,
так как оно постоянно в полосе четырехполюсника и не оказывает влияния на результаты анализа. Выражению (6.3) можно
придать более удобную форму:
«вых (О =
где
COS [0)0 / + 5 ( f ) + е (t)],
(6.4)
их (t) = щКо V \ +A'{t)2 А (t) cos [S (/) - X (/)],
е (О ^ arc tg
.
^^
^ I—A{t) cos [S{t)—'k{t)]
(6.5)
^6.6)
Полагая амплитудный ограничитель идеальным, будем исследовать только фазовую ошибку Э(/), поскольку она вызывает переходные помехи в каналах. Заметим, что дисперсия величины
A(t), т. е. A^(t), равна отношению энергии части спектра сигнала,
не пропущенной четырехполюсником, к полной энергии сигнала.
Очевидно, что
поскольку полоса четырехполюсника выбрана так, чтобы величина переходных помех была незначительной. Тогда можио ограничиться первым приближением выражения
(,6.6) и считать, что
Q{t)^A
(О sin [S (/) — X (г)].
(6.7)
Найдем корреляционную функцию этого процесса:
^е (т^) =
е ( / ) е (/4- т) = sin (5) sin (S^) А cos (X) А^ cos ( Х ^ ) +
-f cos (5) cos (S^) A sin (X) A^ sin ( X^) — cos (S) sin (5^) A sin (X) A^ cos( X^)— sin (S) cos (S J A cos (X) A^ sin
(
(
6
.
8
)
В этом (Выражении индекс т обозначает значение функции в момент t + T.
Используя выражения (2.53) и (2.54), легко найти:
cos (5) cos (5^) = Y
[
(0)-vi;5
[cos(5-S^) +
+
e ~
f
cos(S + 5^)] =
1 ^
( 6 . 9 )
sin (5) sin (5^) = - j1- [cos (5 — S J — cos (5 + S^)] =
r i b
sin (S) cos ( 5 J = cos (5) sin (5^) = 0.
(6.10)
(6.11)
159
Величина функции \J)s(0)+а|?б(т) пропорциональна
этому, поскольку
можно считать, что
cos(5)cos(S,) = s i n ( S ) s i n ( S , ) = у е "
р=
^ ^^^
по(6.12)
Процессы cos[5(0] "
стационарны в широком смысле,
так как их корреляционная функция зависит только от т и не завиюи1т от t. Процессы А (/) oos[X (01 и Л {t) sin[X (/)] являются результатом фильтрации процессов cos [5
и sin(5 (/)] и поэтому
сохраняют те же свойства. Так как коэффициент парадачи симметричен относительно ооо, то, как nowaiaano в § 5.2, взаимокорреляционная функция равна нулю
Л sin (Я,)
cos
= Л cos {Ц А^ sin (
=
О,
а корреляционная функция существует
Лсо8ЩЛ^со5|я7) ••= Л sin (А,) Л^ sin
= -фд (т),
(6.13)
Корреляционная функция
(т) нам пока неизвестна, она связана со спектром процессов Л('0cos[X(0] и Л('/)sin[X(0] соотношением
00
-фд (Т) = J ^^д
COS Qx d Q.
(6.14)
о
По условию задачи спектр процессов Л
И Л (/)SIN[X((0]
совпадает со спектром процессов cos[5(^)] и sin[5(/)] в полосе
(А<0н)/2<Й<оо, т. е.
(Q) =
(Q)
при ^
< Q < со,
(6.15)
^д(й) = 0
п р и О < Й < ^
где
—спектр процессов cosISfO] и sin{S(0]- Этот спектр,
очевидно, равен
1 г - Г ^с (о)-^с
=
^ ^
^ U o s Q x d x = W^j^{Q)
я J
о
на основании выражений (6.12) и (2.62).
Теперь, используя (6.16) и (6.15), получим из (6.14)
(6Л6)
^ д ( т ) = J\?7^(Q)cosQTdQ.
(6.17)
2
Из теории случайных процессов (см., например, [6.3]) известно,
что спектральные компоненты стационарного в широком смысле
процесса не коррелированы между собой. Процессы coslSfOL
sin[S(t)], A(t)cos[k{t)]y
стационарны в широком смыс-
ле, поэтому у процессов cos[5(/)] и A(t)cos['k{t)] так же, как и у
npoiueccos sin [5 (/)] и Л (/) s i n f i (/)], кор.релированы только спектральные компоненты на совпадающих частотах, т. е. на частотах
в полосе (Ай)п)/2<Й<оо.
Отсюда следует, что
cos (5) А^ cos
А cos (Я) А^ cos (
= Asin(X}A^sin
(Х^) =
=
sin (5) Л ^ sin ( =
'
(6.18)
(т).
Теперь на 0(сн'0;ва1ни'и выражений (6.М), (6.12), (6.13) и (6.18)
мы можем преобразовать выражение (6.8):
яРд (т) = sin (5) sin(S^) Acos(X)A^cos
X A sin (k) A^ sin ( —
- sin (5)
+ cos (5) cos(S^) X
cos (5) A^ cos ( s i n ( 5 ^ ) ^sin (?o) —
sin (Я,)
2
(т) % (т) -1|)2 (т)].
(6.19)
Применив теорему о спектре производного процесса, найдем
спектр продуктов искажений:
со
^^'е(^) = ^ ^ е ( ^ ) = ^
С и
й» 4
с
^
{%ix)cosQTdx
о
'
=
А/1
Q0
I
('f) Фд (т^) cos QxrfТ — j
(т) COS Qt d Т I
(6.20)
.
Используя теорему о свертках для преобразования Фурье
со
00
— f%(t)ib2(T)cosfiTdT=
л J
1
(")
— 'wJu)WJQ
2 J
- ") du + J
—
u)clu^
(M) W^ (Q + M) da j ,
преобразуем выражение (6.20):
(^) =
( f ^''A (")
^M I 6
+ ")
+ j Г д {и) w^^ (Q
0
-
-
~u)du~
I.
[ ^^A (") ^^''a
")
- f ^A (") ^^A (^
6
6
j
Подставив сюда выражение W. (Q) из (6.15), получим
-21
(")
+ u) d a f
(u) W^^ (Q
-u)du-
A©.,
6 — 194
161
До)
«
2
Ла)„
и _LQ
2 ^
2
= -V
(6.21)
A(OH
2
В ГЛ. 2 вычислены и построены графики функции
где <7 = Q/Q2. Ркпользуем эту функцию для вычисления интеграла (6.21):
ад +6
г^ о
Г g{q)gib-q)dq,
J
(6.22)
где 6 = Q/Q2; ^д = (Л(Он)/(2Й2) = (Д/н)/(2/^2).
Обозначив
j g{q)g{b-q)dq,
(6.23)
"л
подставим (6.22) в (1.15), чтобы найти псофометрическую мощность переходных помех (в пВт), вызванных ограничеиием полосы высокочастотного тракта, в телефонном канале на частоте F
в точке с нулевым измерительным уровнем:
U/к/
^^^
Функцию Яд (^д ^ Ь) можно вычислить путем численного интегрирования выражения (6.23), так как подынтегральная функция
g(q) не выражается аналитически, за исключением случая большого индекса модуляции. Результаты вычисления представлены
на рис. 6.2 и 6.3 в виде графиков функции Яд (^7д,1) Для верхнего
телефонного канала ( Ь = 1 ) для нескольких величин эффективного
индекса модуляции Л1э при использовании предыскажений МККР.
Теперь, задавшись достаточно малой величиной мощности переходных пюмех в верхнем телефонном канале Рш.н, легко из (6.24)
найти соответствующую этой мощности величину Яд {q^ , 1 ) :
1)=.Р
1 , 4 2 8 . ( 6 . 2 5 )
где Д/к и р2. вы'ражены в кГц, а Рш.п — в пВт.
!62
Далее по графикам на рис. 6.2 и 6.3 по величине
1) при
заданном М^ следует найти q^ и определить необходимую ширину
полосы высокочастотного тракта
=
-50
MU0,0W25\00m \0,065
\0,/2
Л
\
\
i1 ^
\ j
i
\\ \\
\ \
\ \ \\
\
\ К
i
\ \\ \
\
-1Q
;;
\
! "
1 \Г i
i 1 \ i
1 !
Л
1 \
11 •
•• \
- -i
1
1
- -
!
к 1
\ !
!
!
|\
i
.
\
i
\
i
\ \ \
\
\
i
\
у
i \
-
\\
V
Y
V
-90f
ч
\
\
2,0
к
N
V
л
"
\
1
I—
i
1
\
\
i
1
1
\
\ Jк
\
\
\
-SO
\
-"1I
t .
—
i
3.0
2.5
г
Рис. 6.2. Функция Я д(^7д , 1) при Л'12э = 0,01625-^0,55
1
i
!
\
1
\
Nj
у
\
\
\
\
\ \ 1!
•/и
—
— -
у
\
-80
\\
—
\
Ч
-Л\2.0
\
i
i\
Jfi
\
Л/,J
\
1\
—
•x
\
\
IL
\i
! X
—
\
1
]
\\
N
\
\
\\
—
\\
\
к
Ч
\
^
\
\ Л0
\
\
1
>
V
N
\
\
1
1
г
-
1 1
1
Рие. 6.3. Функция Яд((?д . 1) при 7И2в = 0,65ч-5,2
' Таким способом рассчитаны графики зависимости необходимой
Ширины полосы Д/„ от уровня загрузки группового тракта для систем емкостью 60, 120, 300, 600, 1020 и 1920 телефонных каналов.,
163
На рис. 6.4 представлены зависимости А/н от уровня загрузки
группового тракта рср для систем емкостью 60 и 120 телефонных
каналов при нескольких величинах эффективной девиации часто-
Т '1
__ J
1
1 к
К
=тги
А
.!
— ^
—
>
'
7/Г
—
1
!
11
>
1
г
— -
200
шо
г
\!
2ао,1!Г\
'
1М
lOdnS'. f - r "
Г 6 1 8 9 W 11 П 13' 1к
16 LMm
ср
Рис. 6.4. Необходимая ширина полосы ВЧ
тракта:
при
при Рш,н=10 пВт
Рис. 6.5. Необходимая ширииа
полосы ВЧ тракта:
при Pjji.h""^ ПВ''''
при
ТЫ
На рис. 6.5 даны зависимости А/н от уровня загрузки одного канала pi для систем емкостью 300, 600, 1020 и 1920 телефонных каналов. При расчетах было принято, что мощность переходных помех, возникающих в верхнем телефонном канале из-за
ограничения полосы высокочастотного тракта, равна 10 и 1 пВт,
е. достаточно мала. На рис. 6.4 и 6.5 графики необходимой полосы частот А/н, соответствующей мощности переходных помех,
равной 1 пВт, изображены сплошными линиями, а графики А/н,
соответствующей мощности 10 пВт, — пунктиром.
По характеру зависимости Яд {q^ ,1) видно, что мощность переходных помех, вызванных ограничением полосы, очень быстро
растет при уменьшении полосы ВЧ тракта. При увеличении эффективного индекса модушяции Мэ ,ра;стет и величина q^ = (А/и)/(2/^2).
т. е. чем больше индекс модуляции, тем большее количество боко164
pbix полос частот сигнала должно помещаться в необходимой полосе А/н- Эта зависимость cjf^=f(M9) изображена на рис. 6.6. Разделив ^ д на Мэ, получим ^ д / М э = ( Д , / н ) / ( 2 А / э ) — отношение необходимой полосы ВЧ тракта к удвоенной эффективной девиации частоты сигнала. Очевидно, что чем больше эффективный индекс
M-W,
/ —
?
W^nBr
—
1—
г —
1
г)
iп
к \
\ \
^^пВт
ч
'i —
Г/
I1
Рис. 6.6. Зависимость необходимой ширины полосы ВЧ тракта от
индекса модуляции
модуляции, тем в большей степени необходимая полоса частот ВЧ
тракта должна определяться девиацией частоты сигнала. Зависимость (А/н)/(2А/э) от эффективного индекса модуляции Мэ также
показана на рис. 6.6. Действительно, с увеличением Мэ величина
(А!/П)/(2А/Э) асимптотически стремится к постоянной величине,
равной отношению квазипиковой девиации частоты к эффективной.
Некоторые иностранные авторы определяют ширину полосы
тракта по «правилу Карсона»:
где А/т — максимальная девиация частоты. При модуляции нормальным случайным процессом полагают, что квазипиковая девиация частоты на 10 дБ больше эффективной и, следовательно:
Д:/карс=2(3,16А/з+/'^2).
Найдем отношение необходимой ширины полосы А/н к ширине
полосы, определенной по правилу Карсона:
^/н
_
А[/«аРС~
^А
3,16Мэ+1
/g 26^
•
^ '
'
Графики зависимости этого отношения от величины эффективного индекса модуляции М^ приведены на рис. 6.7. Как видим,
'Ширина полосы, определенная по правилу Карсона, А/карс очень
близка к необходимой ширине полосы А/н при
/if,коре
1
1
i
V
/,J
\
\
V
W
\
-
Рис. 6.7. Отношение необходимой ширины полосы ВЧ тракта к полосе,
определенной по правилу Карсона:
Рш.„=1 пВт,
0 0,2 0,4 0,5 0,8 1,0 1,2 1,4 1,В 1,8 2.0 2,2—Мд
„ =10 пВт
6.2. ОБЩЕЕ В Ы Р А Ж Е Н И Е ФАЗОВОЙ ОШИБКИ,
ВОЗНИКАЮЩЕЙ П Р И ПРОХОЖДЕНИИ ЧМ СИГНАЛА
Ч Е Р Е З Л И Н Е Й Н Ы Й ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК
Искажения, возникающие при прохождении ЧМ сигнала через
линейный четырехполюсник, исследовались многими авторами. Основополагающими работами, посвященными этому вопросу, являются работы Карсона и Фрая [6.4], Ван-дер-Поля [6.5] й И. С. Гоно;ровс'Кого [6.6]. В ЭТИХ рзботах ЧМ сигнал на выходе линейного
четырехполюсника представлен рядом, содержащим производные
коэффициента передачи четырехполюшика по переменнюй расстройке. Этот ряд не сходится, но имеет асимптотичский характер
и пригоден для расчетов. Расчет становится чрезвычайно сложным,
если приходится учитывать несколько членов ряда.
Здесь мы применим другой метод анализа, который больше
подходит для рассматриваемого случая: прохождения через ВЧ
тракт сигнала, модулированного по частоте многоканальным сообщением.
Допустим, что на входе линейного четырехполюсника с комплексным коэффициентом передачи
=
(6.27)
действует сигнал
=
5(/)],
(6.28^
модулированный по частоте многоканальным сообщением.
U(t).
Нас интересует установившийся процесс на выходе четырехполюсника, и поэтому считается, что сигнал (6.28) действует на входе
неограниченно долгое время. Тогда сигнал па выходе можно представить следующим интегралом Дюамеля:
«вых (О
j h (т) «зх {t — x)d т,
где /г(т)—импульсная реакция четырехполюсника.
Подставив (6'28) в (6.29), лолучим
' •
«вых (О = "о '
(f) COS [О)о / -ь 5 (/ — т) ~ (0^,т] d т.
(6.29)
Это выражение не изменится, если к аргументу косинуса прибавим S(t') и отнимем от него эту же величину, но тогда можно
представить сигнал на выходе несколько иначе:
оо
«вых(О = "оCOS [со„/ + 5(/')] I' h(т)COS[S (/ _х)
6
- 5(/') -
d x -
00
Wo SIN [О)о t -h 5 (/')] j h (T) sin [5
— T) — 5 (/') —
d т.
(6.30)
0
С другой стороны, сигнал на выходе четырехполюсника
можно представить в самом общем виде:
всегда
^^вых it) == и^ {П COS [(Оо / + 5 {П + е {П] =
COS 0 (/') COS [(O.t+S {t')]~u^ {t') sin 9 (Г) sin К / + 5
(6.31)
где
—переменная ам!плитуда колебаний; в
7~ Фазовая
ошибка; t' = t—Тгр (тгр — групповое время запаздывания сигнала).
Приравняв выражения (6.30) и (6.31), получим
^ ^ ^ cos е (Г) = ? /г (т) cos lSi^t — x) — S ( f ) — соот] d x = X^ (Г),
"о
J
(6.32)
О
00
sin е (Г) = г /г (т) sin [S (^ — т) — 5 [Г) — ©оТ] dx = x^ {t').
(6.33)
«о
о
Отсюда легко получить выражения переменной амплитуды сигнала и фазовой ошибки:
«гit') = «о 1 /
+
(6-34)
00
00
где Xs {t') '-= Г h fx) cos cOot sin [5 (/ — т) — 5 {t')] dx — Г Л (т) sin ©оТ X
о
о
Xcos[S{t-x)-S{t')]dx,
00
«>
i'/z(T)coscOoTCOs[5(/ —т) —
X sin [5 (/ —
Имея- в виду,
= т — Тгр. Тогда
00
.
^s (П = j h (т' +
Г
/
г
(т) sincOoX X
т) — 5 (Г)] d X.
что
= / —Тгр, введем новую переменную
•
т,р) COS соо (т' + х,р) sin
[ 5 (Г
- т') -
5 (Г)]
dx'-
-'гр
.-
j /I (т' + т,р) sin (Do (т' + т,р) COS [5 (Г - х') - S (/')] d т'.
гр
т'=
Аналогично можно написать и выражение Xc{t'). Д л я упрощения \
обозначений отбросим штрихи у ^ и т, имея в виду, что учтено i
запаздывание на Тгр, и перепишем выражения Xs(t) и Xc(t) в виде: •
00
^s
{t) = - j h {x +
--^rp
00
— j
Тгр)
COS o)o (T +
TRP)
sin
[ S (/ — T ) —
5 (/;]
d т—
+ %,p)cos[S{t — x) — S {t)]dr,
(6.36)
-•^i-p
oo
j /z(T + t,p)cosco0(T + T , p ) c o s [ S ( ^ - T ) - 5 ( / j ] d t +
-•^rp
00
+
J /i(T + T,p)sin(Oo(T + Trp^ sin[S(^ — i )
—
(
6
.
3
7
)
-Vp
Импульсная реакция h{x) и комплексный коэффициент передачи К { ш ) четырехполюсника связаны между собой известными
соотношениями:
00
/г(т) = —
2л
(
J
—со
(6.38)
(6.39)
6
Используем эти соотношения для определения функций:
+ trp) cos (Do (т + Тгр) и /z (т + t^p) sin (Oj, (т + Трр).
В выражении (6.39) примем, что (0 = (00+'Q:
j h (т) е-"^»^
е
dx = K[i{c^o +
= К ((Оо + Q) е'^
,
Заменим переменную т = т ' + тгр:
5
h{x'л-
t.p) е"'"-
е"'"
d т' == К (0), + Q) е'^^
.
-^гр
Отбросим штрихи и умножим обе части равенства на е'^^'т*»
] hix+
--^гр
т,)
d т = К (Со + Q) е ' ^^
^
=
+
(6.40)
где
Ф(о)о + Й) = ф(со, + ^ ) - ( - Й т , р )
(6.41)
168
представляет собой разность между фазовой характеристикой четырехполюсника 1и линейной характеристикой, наклон которой
определяется групповым временем запаздывания сигнала Тгр на
частоте щ .
Преоб!разуя выражение (6.40), получим:
/I (т +
^ГР)
[cos СОД (т +
^ К К + Q) cos Ф К
Tj,P) cos
+
Qt — sin COQ
(T +
TRP)
sin
QT]
dx ^
=
(6.42)
00
— I* /i(t-bTrp)[coscOo(T + Trp)sinQT + sincOn(T: + 't'rp)cosQT](it =
= К (coo + fi) sin Ф (cOo + Q) = Ks (Q).
(6.43)
Это — вы!раже,ния ,веществ'ениой и -.миимой составляющих коэффициента передачи (6.40), о'тличающегося от коэффициента передачи рассматриваемого четырехполюсника только тем, что из фазовой характеристики исключена линейная часть.
С помощью (6.42) и (6.43) получим выражения четных и нечетных шста1вляющих вещ'ествеиной Кс
-и мнимой Ks (Q) частей коэффициента передачи:
00
j
.
^ e ( t + t,p)C0SfiT^/t = y[i(((Oo + Q)COsO(CO,+Q) +
-Vp
+ / ( ( « о - fi) COS Ф (coo
[K, [Q) + K , ( - Q}] = / С , (fi),
(6.44)
00
— j
Яз(1Г + Т,р)81ПЙТ^Т= -y[^((cOo^-Q)COSФ((Oo + Й ) -
— к ( ( D o - Q ) c o s Ф { щ - и ) ] = -у [К, (Q) - к, ( - Q)] = К,^ (Q),
OO
. .
(6.45)
.
Яз (T + T,p)cosQTa!T= -^[/^((Do + ^)sinФ(cOo +
+ К'0)о--^)51пФ(сОо
^Я,
—
•L/
'
(T
Q)]
+ Tpp) sin QT
Y [^s (Q) + Ks ( ^ Q ) ] = KsAQh.
T
= i
[K (©o
(6.46)
' sin Ф (co^ + Й) — '
; "
•
-Vp
— К ((Oa-^jsin Ф (0)o - CO)] = у
••
V
[Ks (Q) - Ks ( - Щ = KsH {^У.
{QA7)
Здесь обозначено:
. /-/с (t + Трр) = /I (т + т,р) COS (Do (Т + т,р),
Яз (Т + т,р) = /г (т + Трр) sin (Оо (т + т,р).
(6.48)
:
"
(6.4&>
169
Выражения (6.44) —(6.47) представляют собой косинус- и синус-преобразования Фурье огибающих импульсной реакции четырехполюсника Яс (т + тгр), Яв(т-|-Тгр), сдвинутых влево па величину группового времени запаздывания Xi-p. Эти выражения нам понадобятся в дальнейшем.
Итак, получены общие выражения переменной амплитуды сигнала
«2(0 = «о /
(6.50)
и фазовой ошибки
=
(6.5,)
на выходе линейного четырехполюсника с коэффициентом передачи /С (ico) че|рез некоторые функции Xs {t) и Х^ (/), опредач.яемые
выражениями (6.36) и (6.37). Эти функции, в свою очередь, связаны с компонентами огибающей импульсной реакции четырехполюсника. Косинус- и синус-преобразования Фурье этих компонентов являются четными и нечетными составляющими действитешьной и МНИ1М0Й частей коэффициента .передачи
/ ( (,соо + Й )
.
Все полученные выше выражения справедливы для любого модулированного процесса как детерм.иниро1ванного, так и случайного. Далее будем их использовать применительно к интересующему нас случаю модуляции сигнала многоканальным сообщением.
6.3. КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
И УСЛОВИЯ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
Так называемое кваэистационарное приближение [6.4—6.6] широко используется для анализа и расчета нелинейных искажений,
возникающих при прохождении ЧМ сигнала через произвольный
линейный четырехполюсник. Это приближение используется также
для расчета переходных помех, возникающих в высокочастотном
тракте многоканальных радиорелейных систем с частотным уплотнением [6.7]. Однако оно далеко не всегда применимо, особенно
для расчета переходных помех в системах с очень большим числом каналов.
Квазистационар,ное приближение основано на предположении
об очень медленном изменении частоты сигнала, когда в каждый
данный момент сигнал является гармоническим, и его частота равна мгновенной частоте в этот момент. Тогда амплитуда сигнала
на выходе будет изменяться в соответствии со статической амплитудно-частотной характеристикой четырехполюсника, а к мгновенной фазе сигнала добавится величина, соответствующая значению статической фазо-частотной характеристики четырехполюсника на данной частоте:
где w< — мгновенная частота сигнала на входе.
Если Мвх (/) = "о cos
+ 5
то
(О = "оК К + 5'(0) cos [соо / + S (О + ф (соо + 5 ' (0)].
Квазистационарное приближение выводится методом мгновенной частоты и определяется первым членом асимптотического ряда [6.6]. В работе [6.8] квазистационарное приближение получено
путем применения пр,инципа стационарной фазы к двойному интегралу Фурье, определяющему сигнал на выходе четырехполюсника. Покажем, что квазистационарное приближение получается
также из общего выражения фазовой ошибки, выведенного в предыдущем параграфе.
Рассмотрим выражения (6.36) и (6.37) и допустим, что импульсная реакция четырехполюсника затухает очень быстро и
+
(6.52)
при | т | ^ т 0 .
Допустим также, что величина то достаточно мала и приближенное равенство
S (/ _ X) - 5 (/) » - т 5 ' (О = - т С^ (О
(6.53)
справедливо при | т | ^ т о .
Тогда можно аргументы косинусов и синусов подынтегральных
функций (6.36) и (6.37) заменить выражением (6.53), так как,
прежде чем это выражение станет несправедливым, подынтегральные выражения обратятся в нуль, поскольку обратится в нуль
/г(т+тгр) по условию (6.52). Подставив (6.53) в (6.36) и (6.37),
заметим, что C u V ( t ) представляет мгновенное отклонение частоты, и, используя (6.44) —'(6.47), оолучим:
00
x,{t)=J /г (т + Трр) cos соо (т + t,p) sin [т С ^ U Щ dx —
-^гр
се
— J /i(t 4 - t r p ) s i n a ) o ( t + t r p ) c o s [ t C ^ ( / ( 0 ] ^ T =
-•^гр
= ^SH [См^ (01 +
^ (01 =
[^м ^ (0].
00
^ с ( 0 = [ /l(T+Vp)COS(Oo(T + T,p)COS[tC^^(y(0]^^T-
(6.54)
-•^гр
-
f /i(T + T,p)sina)„(T + T,p)sin[TC^(/(0]^iT =
-Vp
= Кеч [С,, и (/)] + iCcH [С^ и (0] = Ке [С^ и (01.
(6.55)
Подставив теперь (6.54) и (6.55) в (6.50) и (6.51), получим
к в а з'и с т ац ион ар н о е пр и б л иж ©ни е:
(О =
(6.56
[С^ и {t)] + К1 [С^ и (0] ^ и,К [С^ и (О ],
« О
0 ( 0 = arc tg
(6.57)
Таким образом, лолучено ;квазй€тационарное приближение при
выполнении условий (6.50) и (6.51). Однако эти условия слишком
неопределенны и их трудно вы'рааить количественно. Попробуем
получить более определенные услов'ия, применив метод отадионарной фазы, следуя [6.8].
Сначала на1П0.мни.м существо метода стационарной фазы. Он
применяется для .приближенного вычисления интегралов от быстро
осциллирующих функций, н аир им ер.
/ (/7)= J
Здесь f (х) и ф (х) — медленно меняющиеся функции, а р — большой параметр. Подынтепральная функция быстро осциллирует, и
поскольку f (х) меняется медленно, то две соседние полуволны
почти полностью компенсируют друг друга. Только .в окрестности
*точ:ки стационарной фазы, где ф' (хо) ==0, частота
колебаний
РФ' (х) стремится к нулю и подынтегральная функция не осциллирует. Величина интеграла I (р) зависит, главным образом, от д о ведения .подынтегральной функции в окреотности точки стационарной фазы. В этой окрестности можно принять, что
Ф' С^о)
и вычислить интеграл
НР)
f (х) е
=
ах
f
Л
V
2я
—^—
—'РФ
в случае двойного интелрала от функции
аналогично можно получить
J
] f i x , у)е
1РФ (X, dxdy
у)
2п
двух
переменных
/(^0.
У^'Уо
(6.58)
х'о и
где
— К00(рдин-а1ты точки стационарной фазы,
r^Ci {X, у)
•(?ф(дг, у)
0.
= 0,
дх
ду
У=Уо
У=Уо
Применим метод стационарной фазы к вычислению интеграла,
определяющего ЧМ сигнал на выходе линейного четырехполюсни-
ка. Предста-вим ЧМ с и п Ц л «а входе четырехполюсника в виде
Сигнал на выходе лреадтавим, как и ранее, интегралом Дюамеля:
оо
Ивых
А [«о ( / - t ) + S ( Ц т ) ]dx.
=
\
(6.59)
\
Имлульсную реакцию четырех1П0лю'0Ника выразим через его коэффициент передачи
(6.60)
2я
Подставим (6.60) в (6.59)
"вых(О
2.П
J,,. . i [(со-о)о)
K(ico)e
dxd(x).
0 —с
Этот интеграл можно привести к виду (6.58) и применить метод стационарной фазы, если доказать, что показатель экспоненты
содержит большой параметр IB 'ВИде множителя. Вспомним, что
^ (О - с ,
и it) dt, CI,
Дсоч
(0) = Ао.^, С ,
^ ^ ^
= ^
,
-
с•м
' Мэ
Вынесем за скобку в показателе экспоненты величину эффективного индекса модуляции:
t-x
iM^
00 00
' ji((io))e
,
b —00
Перейдя к НОБЫМ переменным
d(^=A(M^dx; y = Q2X, dx={HQ2)
Щ ых(О
".ых(О
AM,
[U(t)dt
о,, .)
dxd(o.
-2п
"об
2я
м..
S
A;=I((O—соо)/(Аооэ);
dy, получим
' с
о) = ©о+А(ОЭ-*^;
(к, у) , ,
/([i((0o4-А«эХ)]е
о —00
•
(6.61)
dxdy,
Q^t-y
где ф.(х,
=
+ —
Оц .
U{l)dl.
(6.62)
Если К [i (соо + АозэХ)]—медленно меняющаяся функция, а М э > 1 ,
173
то к интегралу (6.61) применим метод стацию,нарнюй фазы.
Найдем координаты точ-ки с т а ц и о н а м о й фазы:
Чтобы .применить ф-лу (6.58) к/Интегралу (6.61), найдем входящие в нее /величины и функции: /
дх^
ду^
at; / ^ 2
УЬ
Qj t
]
= - 1 , Ф(хо,
Оц
t .
t
u{i)di
.
-^гТ
=
и
^
{t)dt,
0(j ^
—Т
—т
Подставив эти величины .в (6.58), получим
(6.63)
— это и есть |Квазистацио«арное приближение.
Этот результат получен путем .применения .метода стационарной
фазы к интегралу (6.59) 1при условии, что М э > 1 и что /C[i(o)o +
+Ай)эл:)] — медленно меняющаяся функция. Следовательно, для
применегшя квазистационарного приближения нужны два условия:
одному должен удовлетворять сигнал ( М э > 1 ) , а другому — четырем! гол юс ник (|коэффициент .передачи—'медленно мен1яющаяся
функция).
Эти условия можно сделать более ооределенными применительно к рассматриваемым нами сигналам, модулированным по частоте но-рмальным случайным процессам. Действительно, первое условие (Л1э>1) означает медленное изменение частоты сигнала, когда .в .каждый данный момент сигнал является гармоническим. Как
показано в гл. 2, при этом энергетический спектр сигнала имеет
форуму 'Гауссовой кривой. Таким образом, « нашем случае модуляции сигнала нормальным случайным процессам перовое условие
применимости 'ювазистационарного приближения сводится к тому,
чтобы энергетический спектр сигнала имел форму кривой Гаусса.
Д а л е е очевидно, что в силу соображений, изложенных в § 6.1, достаточно, чтобы это условие выполнялось ,в пределах необходимой
ш:и1рины атолосы высокочастотного тракта.
Второе условие применимости квазистационарного приближения требует медленности изменения коэффициента передачи четырехполюсника. В [6.8] показано, что для применения метода стационарной фазы достаточно, чтобы функция, которую мы считаем
медленно меняющейся, не имела особенностей вблизи точки ста-
\
цйонарной фазы. В надаем случае это озна'чает, что коэффидиент
передачи четырехполюсника не должен иметь особенностей (иулей
и аюпюшв) 1вблизи мгно^нной частоты соо + С м ( О • Очевидло,
что это условие будет выполнено, если 1пот(ребовать, чтобы в пределах необходимой шир.иныролосы ВЧ тракта, определенной в
§6.1, коэффициент передачи
имел особенностей.
Итак, можно заключить, ч1;о в рассматриваемых нами случаях
квазистационарное .приближение применимо, если в пределах необходимой ширцны полосы ВЧ VpaiKTa (в смысле, определенном в
§ 6.1) энергети'чеокий спектр с и й а л а имеет фор.му гауссовой 1фивой, а коэффициент передачи четырехполюсника не имеет особенностей.
На рис. 6.8 изображены энергетические спектры ЧМ сигналов
при разных величинах эффективного индекса модуляции. ПунктиО
-10
S
•20
V<N V
>S
N
\
-ио
\
-60
-70
п
1
лра
1пВт
т
V
Ч
|\
11f ч | \
Ч
\
h 1
i
i'
1
1 1
\
-50
s,
ч
\
-30
ЮпВт
-
^
J
к
1
Г
1
11
\
11
1
1 j
1 1
1
i
тг
ч
1
1
1
1
1
1
7
Рис. 6.8. К определению условий применимости квазистационарного приближения:
точное
приближение
выражение,
квазистационарное
ром изображены спектры, рассчитанные по ф-ле (2.72), имеющие
форму (Кривой Гаусса. Там же показаны (границы необходимой полосы частот ВЧ тракта, рассчитанные при условии, что мощность
переходных (помех 'из-за опранниения оолссы /ра1вна il пВт (штрихпунктирные шин ии) и Ю п В т (пунктирные линии). Как видно, удовлепвсрительное совпадение фю'р;мы реального спектра с кривой
Гаусса в пределах необходимой полосы частот получается при
Мэ>1. Это условие менее строгое, чем вытекающее из метода стационарной фазы (Л4э>'1).
Сформулировать более точные количественные условия применимости KB аз и стадион арного приближения или оценить в общем
виде ошибку, которую дает это приближение, очень трудно. Полу-
ченные здесь условия достаточны для опретелеашя области применения квазистационарного нр.и.блил<ения/ расчету переходных помех ,в системах /Мйогоканальной радиосв/зи с ЧМ. Эта область ограничена радиорелейными системами Небольшой емкости (до 300
телефонных каналов) и системам'и ciWTHHKOBoft связи, в которых
эффективный индекс модуляции
В системах с малыми искажениями, т. е. в системах, удо©летвмяющих нормам, второе условие, отпосящееся к ВЧ T p a i K T y , почти всегда выполняется.
6.4. МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПОМЕХ,
ОСНОВАННЫЙ Н А КВАЗИСТ^)ЩИОНАРНОМ
ПРИБЛИЖЕНИИ
/
/
V В тех случаях, когда К1ва:^стациоБарное .приближение применимо, метод расчета переходных помех, возникающих в высокочаCTOTIHOM тракте миого'каналь'ных сиютем радиосвязи, прост [6.7].
Допустим, что квазистационарпое приближение применимо и
фазовая ошибка, вносимая/трактом, определяется выражением
(6.57) и не зависит от' амплитудно-частотной характеристики
тракта 9 ( / ) = Ф{См'(; (/)].
Допустим далее, что фазовую характеристику тракта (за вычетом линейной части) можно представить полиномом по степеням
расстройки Q относительно центральной частоты
N
=
.
(6.64)
п=2
В полосе частот— (Аа)н)/2^^01^ (Аи)1,)/2, определенной в § 6.1.
М'лновенное отклопение частоты сигнала относительно центральной частоты равно
— т — С и ^ (/), поэтому выражение (6.64)
можпо переписать .в виде
D[C^f;(/)] =
(6.65)
jlKlS
п=2
Ограничимся полиномом пятой степени {N=5),
тогда по анапогии с .выражением (3.3) и в соответствии с выражением (3.7)
аолучим корреляционную функцию фазовой ош'ибки без когерентцого продукта
W = 2 [Ф2 + 6ф,
+
я})^ {0)f CJ,
+6
24ф2С«,г1)4^(т)+ 120ф2С^
(6.66)
Здесь вместо коэффициентов йп поставлены коэффициенты фпС^ .
Найдем спектр фазовой ошибки
00
(Й)
=
j
(х) COS Q T
о
D Т.
Подставив сюда
(3-20)
Го
= 2
(b.bbV получим по аналогии с выражением
+
^
+
6 1ф5
ЮсрзАсоу^ ^
у, (а) +
До»
-f
(6.67)
где
V
C^MijJr/ (0) — квадрат эффективной девиации частоты;
=
— — ! П о л о с а многоканального сообщения;
yz (о)—Уь (ст) — функции, оп.ределя^ющие спектральное распределение мощности 'HpWyKTOB нелинейности.
Теперь легко найти 1пс.0ф0'мет|ричес\<ую монхность (в пВт) neipeходных помех в телефонном ка.нале на частоте Q = 2nF:
^ ^
Q^ IFe (Q) AQh^; -10^
Ao^lB^iQ)
^
A
F^kI •
iqo
> p
.
^
AFBHQY^AfJ^
+ 6ф4Ао)2 p Aco4 y., (a) + 6 [фз + 1 Оф^Лсо^]^ Aco^^ у., (a) +
24ф2 Ао)«г/Ла) - f 120ф2Aco'o^^(a)).
(6.68)
В выражение (6.68) входят коэффициенты ф2—ф5 полинома
(6.64), аппро^ксим'ирующего фазо/вую характеристику тракта. На
практике фазовую характеристику трагкта измерить трудно, вместо
нее измеряют характеристику группового времени залаздывания
сигнала, являющуюся производной фазовой характеристики по
частоте. Поэтому для практичеокого трименееия ф-лы (6.68) необходимо выразить коэффициенты ф,г через коэффициенты полинома, аппроксимирующего характеристику группового времени запаздььваиия.
По определению из (6.64) получим
N
=
' ;
(6.69)
п=2
Удобнее пользоваться характеристикой rpynnoiBoro времени запаздывания iB зависимости от частоты F, а не круговой частоты Q.
Допустим, что такую характеристику мы аппроксимируем .полиномом
T(F)=.yY.r
(6.70)
п=1
•'
по степеня:м расстройки E—f—fo относительно центральной частоты в пошосе —
(Л/„)/2.-^Тоода, сравнив (6.70) с (6.64),
получим соотношение между коэффициентами
'
•
(6.71)
Подста.ви'в (6.71) в (6.68), получим/мощность переходных помех (в пВт)
Р
-10» F
4л2
AFB^Q)
U/kJ
=
+6
+
•Гг
2y,^fЦ
Уэ^п
А/1^2 (а)
AflyAo)
24
(6.72)
Групповое время з а п а з д ы в ш и я измеряют обычно в наносекундах (1 Hic=I0-9 с), ipas'MetpiHOCTb коэффициентов уп 'будет 10"^ c^+i.
В ф-ле (6.72) мож'но в ы р ^ и т ь величину эффективной де©'иации
частоты Д/э через величину/девиации частоты от измерительного
уровня в канале А/к и среднюю мощность загрузки тракта:
=
=
(6.73)
Иногда на практике можно аппроксимировать характеристику
группового времени запаздывания тракта полиномом второй степени. В этом случае ^ 3 = 7 4 = 0 и расчетная формула получается особенно п/ростой:
AF^kI -Ю»
4я2
Р
ПУг{о)] . (6.74)
Д FB^ (Q) А/к
Эта формула получила широкое распространение в практике
инженерных расчетов.
Пример расчета.
Д л я примера рассчитаем ожидаемую величину переходных помех в верхнем канале системы емкостью 60 телефонных каналов, возникающих в ВЧ тракте, характеристики которого изображены на рис. €.9.
Система имеет следующие параметры:
N = 60- Д/к = 140 кГц; рср = 6,15 дБ;
Д/э = 285 кГц; F2 = 250 кГц; Л12э=1,3;
предыскажения не применяются.
По графику на рис. 6.4 находим,
что необходимая ширина полосы ВЧ
тракта в данном случае Д/н~2,4
МГц. В этой полосе характеристики
тракта не имеют особенностей, и поскольку Л1э>1, то квазистационар-
Рис. 6.9. Характеристики ВЧ тракта
,-МГц к примеру расчета
иоз приближение применимо. Аппроксимируем характеристику группового времени запаздывания в полосе Д/н лолиномом второй степени, удобно этот полином записать в виде
T iF) = УО + У Л Р - 6 FoV = YO + Y2 (Б РоГ -
F,F + y^F^,
где 6 f o — расстройка, соответствующая точке симметрии характеристики
x{F),
а — 2 y ^ F o - Yi- Аппроксимирующая юривая показана па рис. 6.9 пунктиром, ее
параметры: YI =—4,7-Ю"'-'; у2= 12--10-2>.
П о д с т а в и в все д а н н ы е в 4\-лу (6.74), получим
Яш.н= ( 1 , 4 2 - 1 0 3 V i + 0 , \ 5 3 5 - 1 0 4 ^ 2 ) п В т = 3 1 , 4 + 2 2 , 1 = 5 3 , 5 пВт.
При измерениях получепо Piii^.H = 53,9 пВт.
Совпадение расчета с экспериг^ентом очень точное.
Мощность переходных помех, возникающих в высокочастотном
тракте, можно вылазить через^,затухания 'нелинейности также, как
в § 3.2 выражена мощность переходных помех в групповом т1ракте.
' Допустим, что «а .вход ВЧ тракта подан сигнал, модулирован•нын :по частоте испытательным гармюничеоким сигналом:
U{t) = MiCOsQ/.
Подставим это выражение ъ (6.65) и найдем продукты нелинейности на выходе идеального частотного детектора:
^-м dt
V
— ЗЙ Фз С^ ^
м
+ Ф4СлМ
+ Ф5 С^ А г/Н siп ЗЙ / - 40ф4 Сз^
16
sin 4Q / (6.75)
16
Примем, что при измерении затухания нелинейности по п-й
гармонике частота иапытательного гармонического сигнала выбирается так, чтобы частота п-й гармоники была равна частоте того
телефонного канала, в котором определ^яется мощность переходных .помех, т. е.
Тогда амплитуды гармоник испытательного сигнала на выходе будут:
/цЗ \
и.у = Q^
+
+ Ф4 С1
"з = ^к
м
2 /
2j\
(.—
16;
Йкф4 Cli
м
16
Сравнив эти выражения с амплитудами гармоник в (3.22), заметим аналогию коэффициенго.в йп с коэффициентами
На этом основании можем воспользоваться ^выражениями (3.30)
для определения коэффициентоБ йкф п^
М•
^кФз
_2_
= л
2
—5(6.76)
10
V i
_L Ю-0,05 (6s,+4pi)
Подставим эти выражения в (6.67) Латем найдем спектр продуктов нелинейности на вьгходе идeaJ;IЪHO'ГO частотного детектора
по формуле W^ (Q) = {Q^'/Chi) W g {Q^ и, наконец, мощность переходных помех, (в 1пВт) в канале на ч/стоте QK:
%(0)BHQ^y
X { 4 . 1 0 " ° ' '
AFBMQK)
[1
X (3-10°-' (''ср+Рк-^'О _
X [ 1 + 5 • 10-°'°'
4
1
0
^
^.^(а,) + 24.
(4 •
( "ср+Рн-РО
+ 192- Ю^-'^^'ср
^
.
у^ (а,) +
1920. Ю'^'^^СР Х
-
0
.
1
(
6
.
.
(
6
7
7
)
Это выражение'ПОЛНОСТЬЮ сов1падает с (3.31) с той только разницей, что оно более общее, поскольку учитывает возможность использования предыскажений и содержит В^ (йк) в знаменателе.
Если пренебречь влиянием нелинейных искажений четвертого
и пятого порядков и, иро'ме того, принять, 'ЧТО =
ТО легко получить простую формулу для мощности переходных помех (в п В т ) :
Р
^ юо-'^'к
+ 24 •
{4..10'^•^^cp
у,^ (а,)
I/, (Ок)}.
(6.78)
совпадающую с (3.34) или (3.40).
Особенность ф-л (6.77) и (6.78) заключается в том, что входящие в них «еличины затухаиий нелинейности измерены с помощью
испытательного гармонического сигнала, частота .которого равна
QiJn, где QK — частота канала, в котором определяется мощность
переходных помех, a n — порядок измеряемой гармоники испытатель н ото с игн ала.
6.5. МЕТОД Р А С Ч Е Т А , ОСНОВА1ШЫЙ Н А О Б Щ Е М
В Ы Р А Ж Е Н И И ФАЗОВОЙ О Ш И Б К И
В § 6.3 показано, что квазистационарное приближение неприменимо для расчета переходных помех в высокочастотных т р а к т а х ,
если эффективный индекс модуляции сигнала меньше единицы
( М э < 1 ) . Это означает, что квазистационарное приближение неприменимо для расчета переходных помех в радиорелейных систсхмах
большой емкости. Существуют другие методы расчета [6.9, 6.10],
применимые в таких случаях. Они основаны на приближении первого порядка 'В выражении фазовой ошибки и пригодны поэтому
для расчета малых искажений. Однако расчетные фор^мулы /получены при условии предста1вления соста'вляющих коэффициента передачи тракта полиномами по степеням расстройки относительно
частоты. Эти метЬды неудобны из-за трудностей а^ндроксимации характеристик траста .поли'номам'и, особенно, если характеристики корректируются, aVipn повышении степени полиномов расчетные формулы становятся ^очень сложными. Путь анализа нелинейных искажений при частотной модуляции многоканальны'м сигналом :при самых общих усло!Виях намечен в работах [6.11, 6.12],.
но не доведен до расчетных формул. Метод расчета, рассматриваемый в данном параграфе, был предложен автором в. [6.13]. Он основан на общих положениях, принятых в [6.10, 6.11 и 6.12], в том
числе и на приближении лервого порядка, но особенность его заключается в том, что в расчетные формулы входят ординаты составляющих коэффициента передачи, заданные в определенных точках. Это позволяет вести расчет по реальньим xapaKTepncTHiKaiM
тракта, не прибегая к их агшроксим.ации.
Возьмем 'Выражение (6.51) в 'Качестве исходного для анализа
средней
e(0 = a r c t g { ^ } .
(6.79>
Оно определяет фазовую ошибку сигнала через некоторые случайные процессы Xs (t) и Хс (/), определяемые выражениями (6.36) и
(6.37). Перепишем эти выражения с учето1М обозначений (6.48) и
(6.49):
Чр
-
f
_
tj\{x + x,^)cos[S{t-T)-S{t)]dr,
' '
(6.80)
-Vp
f
/-/e(t + T , p ) c O S [ 5 ( / - T ) - S ( 0 ] ^ T
+
Лр •
4-
\ H^{x + x,,)s\n[S{t-T)-S{t)]dr.
(6.81)
В идеальном случае отсутствия искажений очевидно, что
Не (т + Тгр) = б (т), Hs (т -f Тгр) = 0. Это соответствует Кеч ( й ) = 1,
Ксп ( й ) = Ks4 {Q) =
(Q) = 0.
Тогда из (6.80) и (6.81) получаем
{t) = О, Х^ (/) = 1. Найдем
средние значения случайных процессов Xs (/) и Х^ {t): .
I l-f^{x + x,,)cos[S{t-T)~S{t)]dx
= —
Я Д т + Тгр)е
' ^
5
=
MT,
/
j Яе(Т+Тгр)С05[5(^ —T)
-^rp
—
=
Здесь учтены выражения (2.53) и (2.54), в соответствии с которыми sin i S J t - ^ —S {•t)] = 0, и '6СЛИ z i't) =S {t — %) —S {t), то
(0)
{t-T)
- S (.0F = 2[al)s (0)
Из соотношений между корреляционной функцией и энергетическим спектром ЧМ сигнала находим
J
Подста'вив это в выражения Xs {t) и Хс (t), получим:
со 00
- 0 0
=
-Т,.р
] к^, (Й) и
— 00
^
ч
м
(
Й
)
ir^M(Q)dfi;
(6.82)
—оо
00
00
J
j
H,{x + x,,)W^^{Q)cosQxdxdQ
=
=
j к , , (Q)
(Q) d fi = j
(fi) r ^ ^ (Q) d Й.
(6.83)
— 00
—00
Здесь использованы вьсражения ( 6 . 4 6 ) ,и ( 6 . 4 4 ) .
Пр'И'мем, что /СС ( ^ 2 ) = 1 + | Д / С С ( I Q ) , тоода из ( 6 . 8 3 ) получаем
00
Если характеристики тракта © пределах необходимой полосы
мало отличаются от идеальных, то среднее значение процесса
Xs (t) близко к нулю, а среднее значение процесса Х^ (/) близко
к единице. На этом основании можно принять
Х,(0=
(6.84)
где Хс {t) — случайный продесс, среднее значение которого близко
к .нулю, а раапределен.ие такое же, к а к процесса Хс (t).
Перепишем 1ВЫ|ражение (6.79):
Найдем корреляционные функции и дишерсии процессов JCS (t)
и Хс (t). При этом нужно «айти средние значения произведений:
182
^ S
{t - xi) - 5 (/)] cos [S (/ + T - T2) -S{t
+ x)].
Д л я этого вошользуемся выражениями (4.48) « (4.49), а т а к ж е
(4.53) и (4.54). В них только нужно заменить ti на t i И tn на тг:
= Y f^l
~
12 (t)],
c'os[S(/ — т , ) — 5 ( 0 ] cos[S(/ + T — T2)—5(/ + т)] =
Y ^ ^ i i ^ W +'Ф2 12(Т)].
12 (t) = exp { — Ml [у (% J + i/ 0^2) +
— А'г) —
— «/(^ + -^0 — — ^ 2 ) ] } .
^212 W = exp [ — МЦу (Xi) + У {x^ —
где л: = Qg
A;I
—
— x^) +
= Qg TI, x^ = Q2 T2.
С учетом этих выражений найдем:
со
со
^гр Vp
-м1[у(х,)+у (X,)]
-ь О е
?
"
-Ь
-м1г\{х,
ТГ
/
I
\
дг,, ЛЧ)
'
LJ
-V,. -Vj)
d Т] ^/xg-j-
—е '
/
I
Ч
,2
м1ц(х, X,, Xt)
X е
\
(Х) =
+ е
(О
{t + Т) -
[Х, {t)r =
Ti
X
s
Х2 + Y
00
00
j
j
— e
J'
J' ^ с (ГI + Тгр) Я , (X.,
тгр X'гр
+ е
iWgiK.t, V,. Xt)
— 2
-.M^ [y (x,)+y
ЯДТ1 + x,p) Я3 (Xa + T,p) e
MJ Л (JC.
- Л 1 % (л:, A:,, ДГ,)
Y
дг,, X,)
(х,)]
X
(6.86)
— ^ d Ti d Ха,
. -^I)
{X,)]
X
(6.87)
dxi^d Та,
где .т) (л:, ati, Х.,) = i/ (д:) + у {х Л- х^ — х^) — у { х х ^ ) ~у{х—
X
х^).
(6.88)
183
Чтобы найти дисперсии, нужно дриеять в (6,86). и (6.87) х =
-MX \_2y {л:,)+2у {x,)-y (.4-.V2)]
—e
[
со
00
j
]' ^s(T^i-i-^rp) X
—М1[2у {x^)+2y (x,,)-y
+ e
-Mi [(/(А-,) + г/(л-о)]
dxidx^,
— 2e
D
(X,)
- 4-
+ e
Г
f ^c
(ri
(6.89)
+ t,p) Яе (r, + T,p) e
'
— 2e
-M2 [2y
(x,)-y (xi-x^)
dx^dx^.
(A'l-JTj)
^
+
'
(6.90)
Из (6.89) и (6.90) можем за-ключить, что дисперсии процессов
x's (/) и Хс (/) близки по величине, так как в подынтегральных выражениях главную роль, очевидно, играет первое слагаемое в квадратных скобках. Процессы Xs (/) и Хс (t) коррелированны и легко \
можно найти их взаимокорреляционную функцию
\
Af^n (дг, Xi, Х2)
dxi dxo.
X
(6.91)
Итак, процессы Xs {t) и Хс (t) стациоеарны ;в широком смысле,
поскольку их корреляционные функции зависят только от т, стационарно связаны и имеют одинаковые распределения, а их дисперсии близки по величине. Если характеристики тракта в необходимой полосе мало отличаются от идеалыны.х, то дисперсии процессов Xs (/) и Хс (О близки к нулю.
В исследуемых нами системах Многоканальной радиосвязи доTiycTHiMbie искажения очень малы. Поэтому, считая .искажения -ма•лыми, .мы можем вследствие малости Xs (О и Хс (/)• воспользоватьоя приближением пер'вого еорядка в (6.85), т. е. принять
e(/) = arctg
184
1
"^' х Ж
(О
6.92)
TaiKoe же приближение ^допускается при расчете тепловых шумов на выходе приемника ЧМ сигнало©, когда сигнал 'Выше порога. Здесь оно допустимо в еще большей степени, 'КОГда искажения^
малы.
Возьмем теперь корреляционную функцию процесса A;S (t) и
вычтем из нее часть, соответствующую когерентному продукту:
-Vp-'^iP
—M\y\(x,xi,xt)
+
X
Af2 т] (х, х , . Xj)
+ е ^
X
- 2 d Ti (i Та +
-м1[у(х,+у (X,)]
X
f j Яе(Т1 + Т,р)Яе(Т2+Т,р)е
-Чр-Vp
—М2т1 (X. X,. Xi)
Af^Ti (X, X,, Xj)
e "
—e + 2 M l r \ { x , x^,
(6.93)
Энергетический онбктр процесса 0 {t) без когерентного продукта соответственно равен
00
00
W (Q) = —
(х) cosQxdx = - ^ Г {х) cos bxdx,
(6.94)
я J
яЯг J
—00
—00
где x=Q2%, b=QI0.2Подста-вим (6.93) в (6.94) и переменим порядок интегрирования, т. е. сначала проинтегрируем по х. При это1М получим два следу юЩ1ИX интеграла:
—Al^T] (X, X,, Xj)
Л^2т1 (X, X,, xj)'
S '
+ e '
— 2 cos bxdx,
nQ,
(6.95)
—M2TI(X, X,, Xj)
AI2T)(X, X,, XJ)
e '
- e '
+
cos bxdx,
(6.96)
где Г] (x, Xi, X2) определяется выражением (6.88). Введем новую
переменную z = х — (Х1 — Х2)/2 = х — ць Тогда функция т] {х, Хи Хг)
преобразуется и станет четной функцией переменных
|j,i и [лг".
Л (Z, i^i, ^1.,) = y{z — \ix)-\-y{z
+
+ n,) — y{z — Из) — y{z + ^i.,),
(6.97)
(6.98)
185
Интегралы (6.95) и (6.96) также .преобразуются:
Г —м\-(\(г, ц,, MJ)
iM^Ti
е
+е '
— 2 cos bzdz,
(6.99)
-Af2Ti (г. й,, цг)
М1п (г, д,. ц^)
е ^
—е ®
+
JxQo
4-2M2T](Z,
fXs) cos bzdz.
(6.100)
Теперь из (6.94) .получим
^ c (T^I + Trp) /-/c (T2 + trp) X
-^rp-Vp
-Mlly {x,)+y (xj)]
X e
J2(1x1, \i2,
(6.101)
b)dTidx2.
Функции Ji ([.lb 112, b), /2 (lii, |i2, b) мож,но привести к известным
нам из гл. 4 функциям
и Hi^. Сравнив (6.99) ,и (6.100) с (4.64)
и (4.70), получим
^
/
GI2 (^г,
^) + ^12
~ г
'
я
X
(2. Ц,. HJ)
+ е
'
—
2
COS bzdz =
xj
X
(6.102)
Q) - Н,, {X,, X,, Q) = - L е - ^ ? ^У
00
2
cosь^il '
^12
=
1
А:2, Q) = — е
(Z. Д,, Дг)
xj
Хе
.
г —m2TI(Z, Д,, HJ)
УМ2Т1(2. Ц,. Ц,)
—е
^ e
+ 2М1у]{г, lii, fig) COS bzdz -
b)
2
х
1
b HI
Используя эти соотношения, преобразуем выражение
^^fl
= ^
COS
00
00
J
/ ^s (Ti + Трр) я , (Т2 + Т,р)
Ху — л'з
- d Ti d Та +
(ATi.
Й) +
(6.103)
(6.101)^:
(6.104)
Идея дальнейших 1преоб:разощаний выражения (6.104) и вы'чисопектра фазовой ошибки заключается в следующем. Нужно
представить функции ^12(^:1,
Q)=h^i2 {Xi, Х2, Q) в виде тригонометри'ческих |рядо1в по переменным
—Q2T1 и Хг—.Q2T2. Тогда,
используя вы>ражения (6.96) — (6.99),'МОжно выразить .спектр фаз о в о й ошибки IB 'виде некоторого двойнюго ряда функций Кеч {^п),
Хсп (^^п), Ks4 ( ^ п ) , Ksii (^7i), аргументы которы.х оцределяются аргументами тригонометрических рядо®.
Очевидно, !Что функции G12 (лч, Х2, Q) =h//i2(-'V'i, Х2, i^) можно
представить тригонометрическим.и рядами по переменным х^ и Х2
лишь на ограниченном интервале изменения этих переменных, тогда как интервал интелрнрования в (6.104) бесконечен, но « реальных 'четырехполюсниках переходный продесс затухает в течение
конечного 'Времени, .и лоэтому дасегда можно указааъ такую величину То, что Не (то + Тгр) = Hs (то + Тгр) = О, и бесконечный предел
интегралов в (6.104) мюжно зз'менить ;на конечный то.
Очевидно, что длительность импульсной реакции тем меньше,
чем шире полоса четырехполюсника, и, 'по-видимому, можно указать величину произведения ширины полосы четырехполюсника на
длительность импульсной реакции Д/то, которая постоянна для данного вида четырехполюсника. Так, например, в [6.14] можно найти для усилителя с полосовыми двухконтурными фильтра'ми при
числе ка1Скадо!В, равном пяти, что А/то. = il,6. При увеличении числа
каскадов'эта величина растет и достигает величины Д/то = 2 при
числе каскадов, равном 10. Если считать, что в системах большой
емкости согласно §6.1 необходимая ширина полосы Д/~4.р2, то произведение Л/то = 1,6-:-2 соответствует величине Хо = йгто = 0,8л.
В работах [6.15] и [6.16] приведены результаты непосредственных измерений импульсной реакции усилителя промежуточной частоты радиорелейной аппаратуры емкостью 960 телефонных каналов. Для получения заметных искажений в усилитель была введена неоднородность, вызвавшая эхо и удлинившая таким образом
импульсную реакцию. Полная длительность импульсной реакции
была при ЭТО1М равна IS/fo, а с вычетом группового времени за1паздывания То = 10//о, где /о = 70,25 МГц. Верхняя частота спектра
многоканального сообщения на 960 канал'ов равна F2 = 4,028 МГц,
поэто'му интересующая naic величина Хо рав^на Хо = Q2T0 = 1,15я. Если
учесть, что запаздывание эхо составляет тз = 4,25//о, что соответствует Хз=Й2Тз—0,5jt, то окажется, что длительность импульсной ре-,
акции усилителя характеризуется величиной Хо=Й2То=0,66я.
• О'сновываясь на этих данных, можно принять
(6.105)
Теперь нужно разложить функции G12 (хи Х2, Q)ztHi2 (xi, Х2, Q)
в ряды Фурье по переменным Xj и Хг 'Нй интервалах —
лен'ия
Это сложная задача, решить которую в общем виде не лред-ставляется возможньгм, поэтому придется ограничить общность
анализа, использовав приближениое рещение.
При выполнении условия (6.105) можно опранич'ить интервал
из-менения переменных jxi и р,2:
— 2jt < i-ij 2 <
2л.
.
I
При этом максимальная величина модуля функции ц {z, |.ii, цг),
KaiK 'следует из (6.97), равна
j
JT] {z, ix^, |12)|макс = 2у{2л) = 10,25 при [XI = о, (|.12=2Я, г = 0).
1
Если принять, что М2э^0,12, т. е. ограничить наш анализ система- j
ми емкостью от 600 ,и более каналов, то в выражениях
(6.99), ®
(6.100) или в (6.102), (6.103) можно без существенной ошибки допустить следующие приближения:
— M ^ T I (2, (.1,, Иг)
е
'
Af2Ti ( г . 1^1, Иг)
+е ^
—м2т1 (z, U,. йг)
(6.106)
Т1 (г, и,, йг)
— е
+2M2TI(Z,
li,).
(6.107)
Разложим функцию т] {z, jjn, цг) в ряд Фурье по переменным
jxi и [12. Наиболее удобно разложить ее на интервале — 2 , 5 л ^
2 ^ 2 , 5 я , искусственно продолжив за пределами интервала нечетным образом. При этом период разложения равен Юл н ряд
будет содержать только члены с нечетными коэффициентами.
Спектр функции т) {z^ ixi, 112) олраничен высшей частотой Q2, поэтому ряд Фурье должен содержать конечное число членов. В данном случае будем иметь только три коэффициента, являющиеся
функциями переменной г, а функция т) {z, .|i,i, 112) может быть представлена в виде
lU (Z,
ц,) = 2 ^
(г) sin
sin J E l : ^
.
(6.108)
n=l
Д а л е е вычислим функции h (ху, хф) и /2 (xi, хф)
по ф-ла!М
(6.99) и (6.100), для чего возведем выражение (6.108) в квадрат и
•куб и подставим полученные выражения в (6.99) и (6.100). При
этом встретим интегралы вида
{z) cos bzdz,
где показатели степени k н I таковы, что k-\-i—2 в выражении для
J^ и k+l=3
в выражении для /2. Эти интегралы легко вычислить
на основании теоремы Котельникова. Так как функция г] [z,
1,12)
имеет спектр, ограниченный частотой ^2, то функции irf {z,
[хг)
й ri^ (2, р.1, |i2) имеют спектры, ограниченные частотами 2Q2 и Зйг
соответственно. Следовательно, их можно представить рядом Котельникова и интегралы свести к суммам, которые содержат значения коэффициентов Фурье a2n-i [z] при дискретных значениях
переменной 2.
Д а л е е разложим функцию у (х) в ряд Фурье на интервале —
и представим
-М2 у (X)
= 1-М1у{Х)
=
+
м:
Ml
уЧХ)^
у'' {х) —
2 ^ ^ '
6
пх
Сп COS
н-
(6.109)
2
П=1
где коэффициенты Сп являются функциями
С помощью такого разложения представим функцию
в виде
произ1ведения тригонометрических полиномов аргументов х^ и Хг.
Итак, функции /1 (Xi, хг, Ь), /2 (х^ Х2, Ь),
3 представлены в виде тригонометрических полиномов по переменным Xi и Хг. Подставив эти полиномы в выражение (6.101), воспользуемся выражениями (6.96) — (6.99), определяющими составляющие коэффициента передачи четы;рехполюсника. В результате
получим выражение спектра фазовой ошибки (6.101) в виде сложного ряда, содержащего составляющие коэффициента передачи на
дискретных частотах, соответствующих аргументам членов тригонометрического полино'ма. Опуская все промежуточные преобразования, приведем окончательную расчетную формулу, определяющую псофометричеокую мощность переходных помех в телефонном
канале в точке с нулевым относительным уровнем (в п В т ) :
F,B4F)
(6.110)
Р.
где AFji — ширина полосы телефонного канала; Кп — псофометрический коэффициент; F2 — верхняя граничная частота многоканального сообщения; B^• (F) — характеристика предыскажеиня;
F — частота к а н а л а в спектре многоканального сообщения; Д/к —
эффективная величина девиации частоты, соответствующая измерительному уровню к а н а л а .
Величина р в (6.110) определяется по формуле
•б
г
п2 г л^
а„ КенХ
а„ К
+
10
и
p+2rt=—N
m=l
Ь Р4-2П=—Л^
N
10
P + 2/I+1
+ M 5 V Q^(p)
+
S
10
10
lp+2n+l^-N
т=\
~ 2
N
(6.111)
У
Утп ^^сч I
"'г I
S
•
где Мэ — эффективный иидекс .мо'душяции многоканальным 'сообщением; Ks4, Дсн, Ksii, Кеч — 'составляющие коэффициента передачи
четырех1110лю1сника; Рт{р),
Qm ( р ) — коэффициенты,
зависящие
только от р =
{Ь ^ FIPz) и ,не зависящие от Мэ; Чтп, Pnm — коэффициенты, зависящие только от М.^ и не зависящие от р, они имеют
•следующие свойства:
00
п—1
Таблицы коэффициентов Рт(р), Qm(p) для р = 2; 3; 4; 5 (что
соответствует 6 = 0 , 4 ; 0,6; 0,8; 1) и атп, ^тп Для 7^^3=0,01625;
0,0325; 0,065; 0,12 приведены в приложении (табл. П.1—П.19).
Ита|К, выведены ф-лы (6.110), (б.ЬМ), выражающие псофометрическую мощность переходных помех в телефонном канале, вызванных отклонением характеристик высокочастотного тракта от
идеальных. В ф-лу (6.111) входят значения составляющих коэффициента передачи тракта на дискретных частотах, отстоящих друг
от друга на расстоянии, равном ih/b. Ч'исло N, определяющее последние учитываемые члены сумм, легко выбрать, рассматривая
величины коэффициенто1В Omn и prnn, быстро убывающие с ростом
п. Когда эти коэффициенты становятся столь малыми, что последующие члены сум'мы уже не дают заметного вклада, суммирование можно оборвать.
Из (6.111) очевидно, что 1мощность лереходиых помех складывается из четырех составляющих, определяемых четными и нечетными составляющими действительной и (мни.мой частей коэффициента 'Передачи тракта. Б отличие от квазистационарного приближения, мощность переходных помех определяется не только «елинейностью фазо-частотной характеристики, но и неравномерностью
амнлитудно-частотной характеристики.
Достоинство ф-л (6.110), (6.111) заключается в том, что для
расчета не требуется аппроксимировать характеристики четырехполюсника. Расчет ведется оо реальным характеристикам, заданным в виде графиков 'или таблиц. Достаточно иметь данные двух
характеристик: амплитудно-частотной К
и характеристики
груштового времени запаздывания т (Q). Фазу Ф (Q) легко найти
как площадь, ограниченную осью .абсцисс Q, графиком т (Q) и соответствующей ординатой (/г/10)^2. Далее легко найти К с { ^ ) =
= К
COS Ф (Q), Ks {Q)==K (^2) sin Ф (fi) и их четные и нечетные составляющие. Если характеристики четырехполюсника в учитываемой полосе частот не сильно отличаются от идеальных, то
можно несколько упростить вычисления.
Действителыно, если Ф (Й) < 1 и К (Q) = 1 + Л/с (У),
Ak{Q)<^\,to
Ks (Q)
190
Ф (Q),
К, {Q) ^ К (Q).
Этими приближениями
можно пользоваться в большинстве
практических случаев, поскольку переходные помехи, возникающие в высокочастотных трактах многоканальных
радиосистем,
вбычно малы.
6.6. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА П А Р Н Ы Х ЭХО
К РАСЧЕТУ ПЕРЕХОДНЫХ ПОМЕХ
В ВЫСОКОЧАСТОТНОМ ТРАКТЕ
Метод .расчета, изложенный Б предыдущем па1раг,рафе, имеет
несколько недостатков. Прежде всего, расчетная ф-ла
(6.111)
сложна, что затрудняет ее практическое иопользо1вание. Область
ее применения ограничена р1асчетом систем большой емкости с
малыми индексами модуляции Л12э^0,12. Вывод расчетной формулы основан на предположении о том, что дл'ительность импульсной
реакции ВЧ тракта то такова, что
Это предположение
создает некоторую неуверенность ъ лравомер'ност.и применения
ф-лы (6.111) в каладо'М коккретно^м случае, так как проверить правильность исходного предположения гграктически невозможно.
Желательно было бы разработать метод расчета, свободный от
этих недостатко!В. В основу этого метода нужно положить более
определенное предположение о свойствах четырехполюсника, чем
длительность ими^ульсной реакции. В § 6.1 определена .необходимая
ширина полосы ВЧ тракта, исходя из условия, что поведение коэффициента передачи тракта в этой полосе полностью определяет величину переходных ломех, а за пределами этой полосы поведение
коэффициента передачи не имеет практичеоки никакого значения.
На этом основании при исследовании переходных помех можно заменить реальный тракт с коэффициентам передачи К (i(o) некоторым гипотетическим четырехполюсником, имеюш,им коэффициент
передачи Ki (iw), такой, что Ki { ' ш ) = К (ico) в пределах необходимой полосы (00—A(x)yi/2 <(о<о)о+(Асон)/2, а за пределами этой
полосы Ki (ico) может быть любым. При такой замене интересующая нас величина переходных помех не изменится.
За пределами необходимой полосы можно так представить поведение Ki (ico), чтобы его можно было легко аппроксимировать
тригонометрическим полиномом. Сделав это, мы придем к методу
парных эхо, сущность котсрото состоит в том, что коэффициент передачи четырехполюсника в некоторой полосе частот представляется рядом Фурье, вследствие чего сигнал на выходе этого четырехполюсника представляется в виде суммы входного сигнала и парных эхо-сигналов, опережающих и отстающих от осно-вного сигнала на время, пропорциональное номеру гармониии ряда Фурье, и
имеющих амплитуды, пропорциональные коэффициентам этото ряда. Слабость метода парных эхо заключалась в том, что полоса,
в которой коэффициент передачи четырех1Полюсника представлялся рядом Фурье, оставалась неопределенной. В нашем случае этой
неопределенности нет, поскольку нам известна необходимая полоса Дсош определенная в § 6.1,
Из § 6.5 известно, что величина переходных помех определяется четырьмя соста1Вляющ'и;М1И коэффициента передачи четырехполюсника: Ks4 (Й), Ксп (S^), Km {Q), Кеч
Поэтому ЭТИ составляющие мы и аппроксимируем тригоа^ометрическими полиномами:
N
2л n
= l - f - y / a , , cos
Aoor
n=0
N—l
n=l
Дсо-т
(6.112)
N
Дсоп
n=0
N-\
^<3H(Q)= У
e „ s iA
ncO
| oJ i Q
при
Штрих у знака .суммы оз.нач-ает, что члены iopn п = О и п = N берутся с весом 1/2.
За период :разложения взята полоса Acor^iAtOH, в общем случае не равная необходимой полосе Асон, а выбраБная из условия
удобства предста'вления составляющих .коэффициента передачи
тригонометрическими полиномами. Нечетные составляющие д о л ж ны обращаться в нуль на конце интервала, а у четных составляющих должна обращаться в нуль производная. Если эти условия не
выполняются в точке Q = (Aa)ii)/2, то составляющие коэффициента передачи следует искусственно продлить так, чтобы у к а з а н н ы е
условия вьшо.тнились в точке Й = ( А ( 0 г ) / 2 , где А0)г>А(0н.
Коэффициенты 'полиномов (6.Id2) -можно определить через дискретные отсчеты характеристик в равноотстоящих точках (см., например, [6.17]):
а„ =
S'
1=0
N-\
COS nl
2N
До)у- \
IN
sin ril
1=1
N
(6.ПЗ)
N
COS nl
а„ =
1=0
N-\
1=1
N
N
Acoy.
sin nl
W
N
^
1
1
1
;
Представив выражениями (6.112) составляющие коэффициента
передачи тракта, найдем составляющ'ие имлульсной реакции. Д л я
этого возьмем выраже'ние (6.38) и .преобразуем его:
Д(т) =
2я
2я
и далее
2я
Имея в виду обозначения (6.48) и (6.49), получим
И с ( t + t r p ) - i ^ s (т + т,р)= 2n
Ks (й)][со8 Qx + i sin Qt] d Q.
Приравняв действительные и мнимые составляющие, получим
интересующие нас соотношения:
Яе
(Т + т:,р) = —
2я
[Кеч ( ^ )
COS Qx - Ksh
sin Qx] d Q=
00
(6.114)
2я J
^s ( т + Л р ) = -
2я
[/(s4
COS Qx + Кен
sin Qx]flfQ =
(6.115)
2я
Теперь подставим (6.112) » (6.114) и (6.115) и п о ш е элементарных преобразований, имея в виду определение дельта-функции
б(т)=
2я
e^^'^dQ, получим:
N
Я е (Т + Х,р) = ( 1 +
6 » +
Y
« Л б (Т„ -
Т) + б (Т„ +
Т)]-
п=1
N-1
f
7—194
J ] Р „ [ 6 ( т „ - т ) - б ( х „ + т)1,
П-.1
(6.116)
193
N
Яз (Т +
= -
6 (т)- - f
[б (Т„ - т) н- б (т„ +
т)]-
п=1
N-1
1
2
^Лй (Тп - т) - б (т, + х)],
(6. 1 17)
п==1
п
2 я/г
где Т п = - — = - — .
До)т
А/т
Итак, П1ри представлении соста!Вляк>щих коэффициента передачи тригонометричешими полиномами камлоненты имлульшой ipeакции изображаются суммами откликов в виде дельта-функций,
опережающих 'и отстающих от основного отклика. Д а л е е воспользуемся общим выражением фазовой ошибки и первым приближением, к а к ,в § 6.5, и подстаъим (6.116) и (6.117) ъ выражение
(6.104). После несложных преобразований, используя фильтрующее свойство дельта-функции, получим вьцражение спектра фазовой ошибки
(Q) =
-
I 2 ' 2 ' ^п^^ sin b^sinb-^
ЛГ—1 JV-l
Hnk {Xn, Xk, й ) 1 +
V
n=l k=l
X,. Q) -
b^cosb^X
N-l
X [G^kiXn, Xk, Q)-H,k{Xn,
X sin b^[G^k{Xn,
N
N-l
X„ Q)] + V 2
n=l
bAslnb
^
X
Xk. Q) -h H„k{Xn, Xk, Q)] +
N
\
J
k=l
(6.118)
Здесь Хп—^2'т:п=
^
•
ACOT
Таким образом, интегрирование в выражении
(6.104)
заменено
суммированием в (6.I1I8) с конечным числом членов, что позволит
упростить расчет. С целью дальнейшего упрощения, учитывая малость искажений !в практичеоиих системах, допустим, что
Ke(Q)«/((Q);
(6.119)
На практике измеряют не фазовую характеристику Ф (Q), а
характеристику группового времени запаздывания т (Q). Представим составляющие этой характеристики тригонометричеокимй полиномами в полосе Аодт:
N
2
n=0
(6.120)
N-l
n=l
Исключим постоянную составляющую
равную do/2, что
равносильно исключению линейной части фазовой характеристики,
которая не создает искажений. Нечетную составляющую фазовой
характеристики найдем путем интегрирования:
N-\
Асй,
Sin
п=1
п=1
Дсо,
Q.
После исключения постоянной составляющей площадь под кривой
тч
равна нулю, следовательно, и Фн (
»7 »
.
=0.
Последний,
2 ЯП ^
Л'-и член исчез, поскольку sin
Q во всех дискретных точках
отсчета Q n = ib/V п равен нулю.
Четную составляющую фазовой характеристики найдем аналогично
N
Аюгг
2л п
х^ '
2п п г\
1 — COS Лсот Q
Z7t П
п=0
п=1
N-\
Здесь появилась постоянная составляющая — = V C ^ ^ L ,
2
iJ
2 дп
n=l
которую мы не будем учитывать, поскольку она не создает искажений, а N-и член в данном случае отсутствует.
Итак в выражении (6.118) можно заменить коэффициенты an
и Рп на их выражения через Сп и dn'.
=
=
(6.121)
В результате вместо (6.118) получим
.ЛГ-1
I n=l
N-l
7*
+ f f n , {X,.
Й)Ц- A
5
X [G^kiXn,
Q) + HnkiXn,
N-l
S ^
*^
'' f
X
Щ +
195
N
N
+ S'
rt-fl A^l
ysin
Й) -
HUxn. x,, Q)J-f
n=l k=l
X
(6.122)
Щ — Нггк {Хп, х^, Q)] L
Выразим коэффициенты разложения через равноотстоящие дискре-шые отсчеты функций К (Q) \и т (Й), имея в 'виду приближение (6.119):
N
ДсОг \
2N
COS nl
/=0
Ьп =
N
S /с„ I
sin nl
2N
1=1
N '
N
(6.123)
N-\
с» =
^
J
sin nl •
l=\
N
N
Ao)
2 ст
2yv ) COS nl N
N
/=о
Бели мы теперь ш д с т а в и м выражения коэффициентов (6,123) в
(6.122), то получим выражение спектра фазовой ошибки через
равноотстоящие отсчеты характеристик К {Q) и т (Q). Покажем
пример такой подстановки. Д л я упрощения используем символическую фо,рму записи. Возьмем первую двойную сумму в (6.122) и
запишем ее сим'волически в виде произведения двух сум)м:
S
^
п=1
^ b,b,sin b f s i n b ^
k=l
{х,, х,, Q)] =
N-l
N-\
= ^
n=:l
{Хп, X,, Q) +
b^smb^V
b.sinbfV,.
Лг= 1
Символичность этой записи заключается ъ том, что мы представили функцию \Gnk {Хп, Xk, Q) +Hnh {XnXti^) условно в виде произведения двух функций VnVh- Возьмем одну сумму и подставим в
нее выражение коэффициента Ьп из (6.123):
Л^—1
iV-I
2
Переменив порядок €у1ммир0вани.я, получим
N-1
N-\
I. Асо,.
2
т
— У1
V
У N и
п=1
/=1
tt=i
N-1
i=l
где
^
Sinn/
N
—
=
2
( Дсо^ \
А^-1
В/ = — V .
^
N La
sin п/ — sin 6 —
N
2
п= 1
в .символической записи.
Исходную двойную сумму можно теперь записать в виде
^
6„6*sin Ь
n=l
sin г; ^
[Gnk {Хп,
Й) + Я , ,
fi)]
=
*=1
N-l
(6.124)
m=l
Ы—l
ГДЕ
N-l
^
U=1
1 лn •
x^, Q)]X
Q) +
k=l
к k • I Xn .
f Xb
(6.125)
X SIN / — SIN m — SIN 6 — SIN 6 —
N
N
2
2
Выражение (6.124) можно записать .в символической форме
/
А^.ч
\ 12
, имея
в виду,
что
произведение
N-\
коэффициентов BiBm=BmBi определяется выражением (6.125).
Таким же преобразованиям подвергнем и остальные двойные
суммы в (6.122) и перейдем от спектра фазовой ошибки к выlpaл^eнию псофо.метри'чеокой мощности переходных помех в телефонном
канале на частоте F в точке с нулевым относительным уровнем
(в оВт):
А с ,.2 1 л» , _ ^
(F
(6.126)
Рщ и
Р.
—
гЛГ-1
ЛсОг \
Р =
г
+
N
'А;
(К.
2N
N-\
+
А/,
^
/=1
2N
+
+
(6.127)
/-0
Выражение (6.127) записано в символической форме, символичность этой заииси поясней а выше.
Выралсения коэффициентов запишем также в символиче'окой
форме
N
tv7
N
f п tl
Wr, COS I
n=l
N
•
пп
sinAcon Q.
N-l
Bi
• , 71 n •
Vn Sin I — S i n
=
N
N
n=\
71 n
Дсо-,
(6.128)
N-l
N
• , 71 n
Tin
sin / — COS i — Q,
Aco,
N
n==l
N—l
N
1
,Я«
n
N
Tin
Wn — COS I — COS — Q.
n=l
В (6.127) вхюдят произведения коэффициентов; при их вычислении
по ф-лам (6.128) нужно иметь в виду принятые выше условия:
VnVk = Gnk{Xn, Xk, Q)-{-Hnk{Xn,
WnW, = Gnk{Xn, Xk, Q)~Hn,AXn, Xk, Q).
(6.129)
Итак, получена новая ф-ла (6.127), определяющая мощность
переходных помех, возникающих в высокочастотном тракте, через
равноотстоящие отсчеты четных и нечетных со-ставляющих амплитудно-частотной характеристики и характеристики rpynnoiBoro времени запаздывания этого тракта. Эта формула проще ф-лы (6.111)
и не имеет ее недостатков. Действительно, она справедлива для
любых величин индекса модуляции М^, зависимость от величины
Мэ заключена в функциях (6.129). Ее вывод оснавывался на необходимой ширине полосы тракта, а не на ограничении длительности
импульсной реакции.
Некоторая неопределенность заключается лишь в определении
необходимого числа отсчетов N. Однако эта неопределенность всегда может быть устранена путем проверки точности представления
характеристик тригонометрическими полиномами с числом членов
N—1 и N. Произвегдения 'Коэффициентов А, В, С, D, входящие в
ф-лу (6.127), легко .рассчитать, располагая таблицами или графиKaiMH функций (6.129), которые даны в приложении.
6.7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И МОЩНОСТИ
ПЕРЕХОДНЫХ ПОМЕХ И ОПРВДЕЛЕНИЕ ДОПУСКОВ
Н А ОТКЛОНЕНИЯ Х А Р А К Т Е Р И С Т И К В Ч Т Р А К Т А
ОТ И Д Е А Л Ь Н Ы Х
В предыдущих параграфах мы познакомились с несколькими
методами расчета переходных помех, 'возникающих в вы-сокочастотном тракте вследствие отклонений его характеристик от идеаль-
ных. в большинстве практических случаев, когда характеристики
тракта не могут быть алпро'ксимироъаны полиномами невысокой
степени или когда кваз'истационарное приближение неприменимо,
формулы сложны и 'расчеты по ним трудоем'ки. При наличии современной аппаратуры проще измерить переходные помехи непосредспвенно, чем рассчитать их по измеренным характеристикам тракта. Поэтому очевидно, что практическое значение рассмотренных
.выше методов расчета и расчетных формул (Заключается не в том,
что с их помощью можно определять мощность переходных помех,
возникающих в данно'М, конкретном ВЧ тракте с известными характеристиками, а в том, что они позволяют выяснить зависимость
мощности переходных помех от поведения характеристик тракта.
С помощью полученных методов можно решить очень .важную для
практики задачу определения допуско1В на отклонения характеристик тракта от идеальных. Эта задача возникает при заводской настройке радиоаппаратуры, предназначенной для радиолинии связи,
например для радиорелейной линии. В этом случае необходимо
знать, в каких границах можно допустить отклонение характеристик (амплитудно-частотной и группового времени запаздывания)
одного комплекта аппаратуры (например, одного приемопередатчика) от идеальных в необходимой ширине полосы с тем, чтобы на
конце линии мощность переходных помех не превысила заданную
величину. В данном параграфе показано, как можно решить эту
задачу с помощью метода расчета, рассмотренного в § 6.6.
Рассмотрим сначала сложение переходных помех, возникающих в ВЧ трактах, при прохождении ЧМ сигнала через несколько
трактов, включенных последовательно. Пусть на вход первого
тракта поступает сигнал Wicos [o)i/+5 (/)]. На выходе этого тракта сигнал получает дополнительную амплитудную и фазовую модуляцию и может быть записан в виде
2 (О cos [(0^^ + 5 ( 0 + 01(0].
Здесь не учитывается запаздывание сигнала на время группового
пробега, так как в данном случае оно не влияет на результат. Фазовая ошибка 01 (t), как 'мы установили выше, определяется выражением (6.85).
После амплитудного ограничения (если считать его идеальным)
и преобразования частоты на вход второго тракта поступит сигнал
cos
+ 5 ( 0 + 01 (/)].
На выходе второго тракта сигнал можно представить в виде
и^^ (О cos [(D,t + 5 (О + 01 (/) + 0.2 (01,
где фазовую ошибку 02 (t) нужно определять тем же выражением
(6.85), но только во входящие в него выражения Xs (t)
(6.80) и
Хс (/) (6.81) нужно подставлять BIMccto 5 (t) сумму: 5 (^0+01 (ОСчитая, как и прежде, искажения малыми, можно пренебречь «вторичными» искажениями, т. е. искажениями продуктов искажений,
и считать, что фазовая ошибка G2 (О определяется, к а к и 9i ( 0 .
выражением (6.85) без каких-либо поправок, а суммарная фазовая ошибка, возникающая ори прохолсдении сигнала через два
тракта, равна сумме 0 i ( O + 9 2 ( O - Рассуждая таким же образом,
получим, что суммарная фазовая ошибка, возникающая при прохождении сигнала через т ВЧ трактов с идеальным амплитудным
ограничением в каждом, равна
0^(0 =
(6.130)
Г=1
причем фазовая ошибка 0г (t), вносимая каждым трактом, определяется общим выражением (6.85),
Болп квазистационарное приближение применимо, то согласно
(6.57)
и, следовательно,
т
i=\
Т. е. суммарная фазовая ошибка равна сумме отклонений фазовых
характеристик трактов от идеальных в необходимой ширине полосы.
Если KBазистационарное приближение неприменимо, то дело
обстоит несколько сложнее. В этом случае можно, как показано
в § 6.5, воспользоваться приближением первого порядка и считать
согласно (6.92), чтот
где Xsi (t) для каждого тракта определяется выражением (6.80).
Если характеристики каждого тракта аппроксимировать в необходимой ширине полосы тригонометрическими полиномами, как
это сделано в § 6.6, то составляющие импульсной реакции каждого тракта будут определяться выражениями (6.116), (6.117) через
коэффициенты этих полиномов. Подставив (6.116) и (6.117) в
(6.80), получим
N
Xsiit)
=
-j-
^ n i { s i n [S{t
- x , ) - S
(01 +
s i n [ 5 (/ +
r„) -
sin [5
{t +
5
S (/)]}
n=l
N—1
12
1
{Sin
[S {t -
T„) -
5 (/)] -
T,)
-
it)]} +
n=l
N-\
2 S
rt=i
(COS [5 {t -T„)-S
(/)] - cos [S (/ + t„) - 5 m
+
-
N
+
^^ ^^
(/)] + cos [5 {t + t , ) - S{t)]},
(6.131)
n=l
2ял
ttni, Oni, CLni,
Pni — коэффициенты тригонометрических полиномов,
изображающих х ар актер истиии i-ro тракта. Так как эти коэффициенты определяются, согласно (6.113), через дискретные отсчеты
характеристик гракта, то мы приходим к выводу, что суммарная
фазовая ошибка определяется суммой отклонений характерисгик
тракта от 'Идеальных в необходимой шир'ине полосы.
Допустим, что отклонения характеристик тракта от идеальных
молено разделить на систематические и случайные, причем систематические отклонения существуют только у четных составляющих
Кч (Q) и тч {Q), тогда
=
kol +
Дсо,
2N }
Доу.
+
Ih
2N =
(6.132)
Дсох
КЛ1 2N J = 11/.
Дсоу.\
)
где Koi, Toi — систематические отклонения; хь
"Пг, — случайные
отклонения.
Если мы рассматр/иваем т ВЧ трактов, включенных последовательно, как, например, радиорелеЙ1ную линию из т станций, то отклонения в (6.132) нужно рассматривать как сум1мы отклонений в
т трактах:
. j
т
Koi = ^ «огь
1=1
Е/ = V hi,
m
= Yi
i=i
Л/ = ^ Лп'
i=i
m
^
S
(6.133)
=
X
i=i
Случайные отклонения характеристик каждого тракта х/ь
TiH, ^н вызваны многими причинами, поэтому логично предположить, что они распределены нормально с нулевыми средними. Если это щредположение и не совсем точно, то случайные величины
У4, Ъ'
6 можно считать ^распределенными нормально на основании
центральной предельной теоремы, как суммы одинаково распределенных случайных величин, если т достаточно велико.
Согласно ф-ле (6.126) мощность переходных помех равна произ'ведеиию постоянной величины, зависящей от параметров систе-
мы, на (Величину р, определяемую отклонениями характеристик
практа от идеальных. Подставив (6.132) в (6.127), получим, что
величина р будет состоять из детерминированной и случайной составляющих:
Р = Рд4-Рс.
где детерминированная составляющая определяется только
матическнми отклонения'ми ха ма ктеристик:
2
•N
- N
+
AiKqi
Рд = ^
. /=о
- '=0
а случайная составляющая зависит как от случайных, так и
тем ати'чесюих отклонений:
ЛГ-1
N-l
•N
2
V
В^Щ
У
А,XI
Рс = •м»
А /г 2
ЫаЛ
/=1
/=0
2
М
N
-Ь ^ f r l ' Di
/=0
1=0
N—\ N
1
(6.134)
систе(6.135)
от сис-
/=о
Л^—1
(6.136)
+ 2Д
V
/=0 k=l+l
Соответственно и мощность переходных помех будет состоять
из детерминированной и случайной составляющих:
AFi^l-lO^ / р \2
^
F^B^ iF) ilJJ
^
•
^^^^
Рассмотрим распределение вероятностей случайной составляющей мощности .переходных помех. Для этого сначала выясним взаимную зависимость случайных величин т];,
хг ,и h. После коррекции характеристик группового времени запаздывания цепями немини'мально-фазовото типа случайные отклонения характеристики
груипового времени запаздывания
и
становятся иекоррелированными со случайны'ми отклонениями амплитудно-частотной характеристики У.1 и щ а так как все эти величины распределены
нор.мально, то некоррелированность означает и независимость.
Четные и нечетные составляющие случайных отклонений одной и
той же характеристики тоже оказываются некоррелированными и,
следовательно, независимыми. Действителыно, четная составляюДо)г
AcOl
щая, по определению, равна
т
1
а нечетная составляющая
2N
\
2N
I
Математическое ожидание их произведения равно
1
U l 202
Acoj- \
~Wj
—
/
Acoj'
ш
2N )
[^ж]
и
w j
являются случайньши величинами с нулевыми средеими значениями и 0'дина'К0,выми дисперсиями, июэто'му
^г = О, что доказывает
•н.еко,ррели(рова1няость этих случайных ^величин. Диалогично доказывается некоррелированность х^и r\i.
Вернемся теперь к ф-ле (6.136), определяющей случайную составляющую мощности .переходных помех. Последние три члена в
этой формуле распределены нормально, поскольку представляют
собой суммы нормальных величин. Первые четыре члена в ф-ле
(6.136) записаны в символической форме. На самом деле 'каждый
из них является двойной суммой, как, например.
N-l
У
JmJ
N—1 N—1
=12= 1 m=:l
Е
а произведение коэффициентов BiBm определяется ф-лой (6.125).
Такую двойную сумму мы уже рассматривал.и в гл. 4 н установили, ЧТО ее можно привести к сумме {N—1) квадратов независимых случайных величин и что она имеет обо.бщенное х^-распределение с (Л^—1) степенями свободы. Остальные три члена в ф-ле
(6.136) имеют обобщенные ^^-распределения соответственно с {N —
.— 1) и (Л'' + 1) степеня'ми свободы. Поскольку случайные величины "f\i, h,
и h независимы, то закон распределения вероятностей
суммы первых четырех членов в (6.136) является обобщенным законом
с AN степенями свободы, а общий закон распределения вероятностей случайной составляющей мощности переходных помех
представляет С'обой композицию обобщенного ^^-распределения с AN
степенями свободы и нормального распределения. При достаточно
большом N это распределение приближается к нормальному.
Д л я дальнейшего анализа нам иеобходим.о знать корреляцию
между случайными отклонениями характеристик в разных точках,
т. е. корреляцию между 'щ и т^^;
и
хг и ки; Ь и Ik при 1 ф к .
Очевидно, что эта корреляция существует, но какова она—это неизвестно. Можно указать только одну работу [6.18], в которой
корреляция между отсчетами характеристики группового времени
запаздывания исследовалась экспериментально. В этой работе показано, что корреляционная функция очень быстро уменьш-ается с
увеличением расстояния между отсчетами и практически равна нулю при расстоянии, равном (2/10) Асон- Конечно, это лишь частный
случай, !но и из физических представлений очевидно, что при увеличении расстояния между отсчетами корреляция между ними должна уменьшаться. Если соседние отсчеты не коррели!ров.аны, то это
соответствует большей изрезанности характеристики и, следовательно, большей мощности переходных помех. Поэтому примем для
упрощения анализа, что соседние отсчеты не коррелированы, т. е.
что
при 1 ф к При этом, очевидно, не буд е т большой ошибки и, во всяком случае, не преуменьшена ожи-
даемая мощность переходных помех. Исходя из этого предположения, найдем основные статистические характеристики случайной
составляющей рс. Математическое ожидание очевидно равно
V
/^0
СЩ+
АГ^У^'
./=1
ПЩ^
(6.!38)
/=о
Как 1ВИДИМ, эта величина «е зависит от систематических отклонений характеристик, а только от дисперсий случайных отклонений. После иесложных преофазо/ваний найдем выражение дисперсии величины Рс:
D (р,) = 2 V
1^0
+ li
(Щу -Ь
1
f
1=0 k=i+i
+
+ 2А п
k=l+l
(q)2 ( ц у
1=1
N—2 N-l
+A/^
£
S
N
C,f Ц Щ + 2A
(
+
1=0
-fA/4'2 f ;
/=0
(6.139)
/
При выводе этого выражения учтено известное соотношение
для нормальных случайных величин x^i—в {п^чУ.
Как видно, дисперсия случайной составляющей мощности переходных помех зависит не только от случайных, но и от систематических отклонений четных составляющих характеристик. Располагая выражениями (6.137), (6.138) и (6.139), можно перейти к
определению зависимостей статистических характеристик мощности
переходных помех от допусков на отклонения характеристик ВЧ
тракта от идеальных. Допуски можно задать в любом виде, но
наиболее удобная для практики форма допусков такая, какая показана на рис. 6.10. В пределах некоторой полосы частот Дсоп, которую называют полосой точной коррекции, допуск на отклонения
характеристики минимален и равен ± A i , а в оставшейся лол'осе частот до границ ч=(Лсот)/2 допуск молсет быть больше и равен ±А2.
При настройке аппаратуры на заводе настройщики добиваются того, чтобы характеристика ВЧ тракта комплекта аппаратуры (например, одного приемопередатчика) укладывалась в незаштрихованном пространстве на рис. 6.10а. При этом допуски на отклонения четных и нечетных составляющих одной характеристики будут
одинаковы и такие, как на рис. 6.106. Д л я отсчетов от / = О до / =
=
допуск равен ±Ai, а для отсчетов от / = # 1 + 1 до N допуск
равен dhAg.
Учитывая, что случайные оталонения характеристик распределены нормально, можно считать, что с вероятностью 0,997 характеристика останется в пределах допуска, если допуск равен утроенному значению среднего квадратичнотч) отклонения Л=3сг. Если
расомаприваемая нами система состоит из т ВЧ трактов, напрл-
—t
а
\
г3
\\\ \
•/
[/
\
\\
1/
/
/1
\
N
\ \л
\ к
f
Рис. 6Л0. Допуски на отклонения характеристик ВЧ тракта
ч
ГУ
2
Рис. 6.11. Графики сверток
спектров:
I - yi(x)*x*yi{x); 2-УЛХ)*
мер радиорелейная линия, состоящая из т станций, и если допуски
на о т л о н е н и я характеристик каждого тракта заданы в форме, показанной на рис. 6.10, то дисперсии случайных отклонений характеристик, входящие в ф-лы (6.138) и (6.139), будут определяться
следующими выражениями:
т-
т
т
5! = т
9
9
(6.140)
Af.
9
9
где
Aijo Агк — допуски на отклонения амилитудно-частотной характеристики; Alt, Агт — дшусии на отклонения хараетеристики группового времени запаздывания.
Здесь не учтены систематические отклонения ха1ракте|ри|стик. Будем считать для простоты, что рассматриваемые допуски определяют случайные отклонения характеристик относительно систематических. Подста(вив (6.140) в (6.138), найдем математическое
ожидание случайной составляющей:
1
г Л^
N-\
./=0
Nt
1=1
Nt
ID]
1=0
l=\
+
J
']
Г N—l
N
(6.1 1)
Далее подставим (6.140) в (6.139) и найдем выражение дисперсии рс в зависимости от допусков:
1 2S
+ /=1S £
i^W +
/=0
N-\
+
l=Ni+lk=l+l
,
2
1=1
f ;
L l=Ni+l
у;
(В2)2+
l=Ni+l
• Ni N
2
2
L /=0 k=Nt+1
• Nt
N—2
N—l
£
y^
l=Ni+l
N-l
2
(2WJ
/=1 k=N, +1
Nt—l Ni
Nt
/=1
Nt
2 2
1=1 k=l+l
1=1
k=i+i
1=0
2
+ An Ч
2
Л^
+
N—l
2
(2CA)^+2
• Nt
+ ^ ? K 2 (
2
+
V {Dff +
k=l+l
Ni f N
+
N-l
+ 22
г и'-'гт
{2BiB,f
k=l+l
Ni
2 ^ f'f +
/=0
+ 2 V {B^f +
N—l
^(2ЛЛГ+2
+
S
+A52K
N
^
Nt-l
S
Z=0 k=l+\
1=0
k=l+l
Nt
N-l
L/=U=Ni-|-l
/=0\fe=0
/
N
2
+
N
+
l=Ok=Nt+l
+
2
( S
/=N,+ 1 \A:=0
/
+
+
S
(|;2DATotTj.
(6.142)
/=0 \fe=0
/
/=^1+1 \ft=0
/ )
Воспользуемся 1результатам;и, полученными в § 4.6, для определения вероятности того, что мощность переходных помех превысит
206
заданную величину. Полагая, что закон распределения
(Вероятностей мощности переходных помех близок к закону
с
степенями свободы, 'возьмем ф-лу (4.120) и применим к данному
случаю:
некоторую
? (Рш.н >
Р [ре >
Рм) =
М (Ре) +
^ У Щ ^ ) ] = Р2П' [Х
+- l y ) f
> 2п'+
.
Ху)] (6.143)
где 7 = УЩ^)
Величина произведения Ху определяется по табл. 4.1 в зависимости от .выбранной величины вероятности Pin {х>2п'
{\+'ку)'\.
Напомним, что величина п' выбирается из условия минимума абсолютной величины разности
—МПр:имер определения допусков.
Пусть 'пеобход-имо определить допуски на отклонения от идеальных характеристик ВЧ тракта одного приемопередатчика радиорелейной линии со следующими данными:
число телефонных каналов — 11920;
девиация частоты, соответствующая измерительному уровню, Л / к = 1 4 0 кГц;
высшая частота группового спектра Fi — 8,524 МГц;
эффективный индекс модуляции JW3=0,I18; Л12З = 0,0325
(загрузка рк='
= - 1 2 дБ);
предыскажения — соответствуют рекомендации М К К Р ;
число станций на линии т = 5 ' 4 .
Определим необходимую ширину полосы ВЧ тракта по рис. 6.5. При допустимой мощности помех, равной 10 пВт,
необходимая ширина полосы при
Ри = —12 д Б рав1па Д / н ~ 4 / ^ 2 ~ 3 4 МГц.
Допустим, что для разложения характеристик тракта в ряды Фурье нужно
их искусственно продлить за пределы необходимой полосы и взять за период
разложения полосу Д/т ~ 5 f 2 ~ 42,'5 МГц. Допустим также, что число отсчетов
достаточно взять равным Л/= 6.
Величины Хп в функциях (6.128) равны:
2я
Х,1 = " г Т л = д ^
п
=
0,4яп,
а отсчеты характеристик / берутся через
^fJ^
=
42,5
1 Zi
=3,54 МГц.
Произведения коэффициентов А, В, С, D, рассчитанные для
0,0325, верхнего телефонного канала и д л я числа отсчетов N = 6, приведены в приложении
(табл. П.М—П.14).
Рассматривая величины квадратов коэффициентов, замечаем, что, начиная
с 1 = 4, эти величины значительно меньше, чем при / ^ 3 . И з этого следует, что
полоса точной коррекции определяется отсчетами от 1=0 до 1=3, т. е. JVi=3.
Допустим, далее, что систематических отклонений характеристик нет, что
имеются только случайные отклонения. Случайная величина мощности переходных помех в верхнем телефонном канале на конце линии (в пВт) равна
(fa)
Подставив величины произведений коэффициентов А, В, С, D в ф-лы (6.141),
(6.142) и приняв Ni='3, получим
Л^(Рс) = 4,614.10-®
D (рс) = 3 , 6 4 6 - 1 0 - 1 1
7,313-10-8 Д2^+7,06Ы0-^
06-10-15
10"® А^^ ;
10-13
+8,08-10-11 А}^+9,27-10-15
+ 2 , 1 1 -10-1^ Д?^
^
где
AiK, Агк — допуски на отклонения амплитудно-частотной характеристики, выраженные в процентах;
Alt, Агт — д о п у с к и на отклонения характеристики группового времени запаздывания, выраженные в наносекундах (10"® с).
Путем перебора нескольких величин допусков можно найти подходящий
вариант, при котором средняя величина мощности переходных помех невелика и
невелика дисперсия.
Н и ж е приведены несколько вариантов расчета:
(I) AiK = 17o, А2к = 3%, A l t =11 НС, А 2 Т = 3 не, М ( р с ) = 13,213-110-в; D ( p c ) = 126,7-10-'2;
>/'D(PC) = 11,25-1 О-в; Рш.н.ср = 39210 пВт;
Y=0,855;
Я ( Р ш . н > 1 1 7 0 0 пВт)=0,04.
2) Ai„=0,75%, Д2к = 3%. Alt =0,75 не, А2т = 3нс, М(рс) =8,138-10-®;
42,91-10-12;
]/ D ( p c ) =6,55-10-6;
Рш.н.ср=2420 пВт;
у=0,80а;
Р(Ршн>7050 пВт) =0,0267.
D(pc)=
3) AiK = 0,5%, Д2к='2%, A l t = 0 , 5 не, Агт = 2 не; Л4(рс) =3,604-ШО-в; D ( p c ) =
=8,486-110-12;
/ D ( p c ) =2,91-110-6;
Рш.н.ср=1070 пВт;
y=0,807;
Р{Рт.в>
ai'20 ПВТ)=10,027.
4) Ai„ = 0,75%. Д2н = 3%, A l t = 0 , 5 не, Агт = 2 не; М ( р с ) = 5 , 4 1 4 - 1 0 - в ; D ( p c ) =
= 18,752-10-12;
K l ) ( p c ) =4,325-10-6;
Р ш . н . с р = ШЮ пВт;
y=0.80;
Р (Рш.н>4690 пВт) = 0,0265.
5) A i „ = 0 , 7 5 % ,
Агк = 4,5%, A i t = 0 , 5 не, А 2 Т = З н с ;
М(рс) =6,725-10-«;
D(Pc) =28,29-10-12;
D ( p c ) = 6 , 3 2 - Ю - ^ ; Рш.н.ср=2000 пВт; у = 0 , 7 9 ;
P ( P i r - H > 5830 пВт) =0,0253.
Из ЭТОГО примера видно, что для обеспечения приемлемых величин мощности переходных помех требуются очень малые допуски на отклонения характеристик тракта от идеальных. В зависимости от ожидаемого баланса шумов на линии конструктор может
выбрать наиболее лодходящие величины допусков.
6.8. ПЕРЕХОДНЫЕ ПОМЕХИ, ЮЗНИКАЮЩИЕ
В ЧАСТОТНОМ ДЕТЕКТОРЕ
Выше при анал'изе переходных иомех, возникающих IB высокочастотном тракте, частотный детектор считался идеальным, не вносящим искажений. В этом параграфе рассматриваются переходные
помехи, возникающие в неидеальном частотном детекторе.
Будем считать, что сигнал на входе частотного дискриминатора не имеет амплитудной модуляции, т. е. что амплитудный ограничитель подавляет ее полностью. Нас интересует огибающая напряжения сигнала на выходе дискриминатора. Рассмотрим два
случая: когда квазистационарное приближение применимо и коща
оно неприменимо. Е о и квазистационарное приближение применимо, то согласно (6.56) огибающая напряжения сигнала на выходе
дискриминатора равна
=
(6.144)
где Uo — амплитуда сигнала на 1входе; /Сд (Q) — модуль коэффициента передачи диокр.иминатара.
Бели дискриминатор идеален, т. е. если в пределах необходимой ширины полосы, определенной в § 6.1, его коэффициент передачи равен
2
Тогда
2
u^{t) = u,k,C^U{t):==V{t)
и по условию нормировки Ио^1=1/См.
Представим модуль коэффициента передачи дискриминатора в
виде полинома по степеням расстройки © пределах необходимой
ширины полосы:
ед
= f
№
(6.145)
П=1
при — (Асон)/2^Й^(Асоп)/2.
Топда, очевидно,
(О = «о 2
П=1
= ^^ (О + Вд(0,
(6.146)
ед (О = "о V KC'kVr^it) = У a,V"{t),
п=2
п=2
где
=
С-^ =
(6.147)
.
(6.148)
В этом случае продукты искажений выражаются так же, как
в групповом тракте. Энергетический опектр продуктов искажений
согласно (3.20) можно представить в виде
^f/ (0)
(Q) = 2 [х., + 6х,Дсо2]2 Ао)2
г/2 (а) +
-f 6[x3-f Юх^Ашуг Аа)4
+ ;24х2Ао)б
^г/ (0)
г/,(а) +
^з(а) -f
120х2А(оВ ^ ^
г/, (а).
(6.149)
Подставив (6.149) в (1.15), получим мощность переходных помех в телефонном канале (в пВт)
^ - 6 [ Х з + 10х5А(о2]2А(й41/з(а)4-24х2А(об^,(а)+120х|А(о8г/Ла)} .
(6.150)
Здесь обозначения такие же, к а к в (3.21). В этой формуле учтено,
что А<д)2. =
(0).
Величины Xn можно определить через затухания нелинейности,
KaiK это сделано в гл. 3, но это не очень удобно, поскольку трудно
намерить искажения только в одном частотном детекторе. В измерениях должны участвовать частотный модулятор и групповой усилитель, которые вносят свои искажения, и отделить их от искаже- ]
ннй в частотном детекторе трудно. Обычно измеряют искажения
ВС6Г0 модема, включающего частотный модулятор, частотный ле-А
тектор и групповой усилитель. В этом случае мощность переходных помех, возникающих в модеме, можно рассчитать по ф-ле :
(3.31) или (3.32). Если требуется оценить вклад частотного детектора в мощность -переходных помех, то можно измерить его дифференциальную ха!рактеристику и по ней определить величины Хп.
Дифференциальная характеристика дискриминатора может быть '
представлена как
N
Д-1
п==2
Р1змерив значения дифференциальной характеристики при отклонениях частоты Q = ± A ( o i и Й —±Л(02, можно найти:
ДУ(Асо.>-ДУ(-Д...) ^
(д^^^ ^
+ 4х,До>з ,
2
если мы ограничились полиномом пятой степени.
Решив эти два уравнения, получим:
/Acoi
A„(Aoji) - ( ^ J Дн(Дю2)
ХоАсоо = Acoi
/Acoi Y
2
А(02
\ACO2 /
Асо,
A(Oi)
Ан ('
х^ДЦ =
/А(01
Acoi
4
АсОа
уАсоз /
(6.151)
(6.152)
Теперь возьмем четные составляющие:
ДУ (Лео,) + д у ( - Awi)
1 = А, (AcOi) ЗхзА(о2 + SxgAco} ,
ДУ (Дсог) + ДУ ( - Д(02)
2
1 = А, (Acog) == ЗхзАсо2|4- бхьАЦ
и решим эти два уравнения:
/А(о, \
А, {Ащ)
ХчАсо^ =
"/Aoii
/AcOl
.Ucoj
Uwa .
(6.153)
/Acoi
Aq (Acog) — К (AcOi)
UcOa
(6.154)
McDi у fAcoi У"
оо
1
Ucoa / .
Полученные выражения можно подставить в (6.51) и выразить
мощность переходных помех через отсчеты дифференциальной характеристики. Примем д л я простоты, что
До)2 = Ао)Э,
Ao)i = 2Ао)Э,
т о г д а мощность переходных помех (в пВт):
(
ш.н.д = 10
+
Рср)
г 1 Г Ан (Асоэ) + Ан (2А(0з)
А FB^Q)
5Ач (2АсОэ) — 8Ач (Асо^)
Ув (О) + ^24 [Ан(2Ас0з)- 2А„ (Асоз)]^^4 {О) +
+ ±
(6.155)
[А, (2АО)з) - 4А, (Асоз)]^ у, (о)}.
Если учитывать искажения не выше третьего порядка, то формула упрощается:
р . , - , . = 10°'' '
г / , ( а ) + 6и'Да>5г/з(<')} =
(6.156)
Рассмотрим теперь случай, когда квазистацио,парное приближение неприменимо. Тогда согласно (6.51) огибающая напряжения
сигнала ,на выходе частотного дискриминатора о;п,ределяется выражением
Согласно (6.84) Хс {t) = l+Xc {t), поэтому
it) = «о Vl-\-2x,{t)+xl{t)+xl{t).
Полагая искажения малыми, ограничимся в
приближением
=
157)
(6.157)
первым
(6.158)
Положим далее, что модуль и фазу коэффициента передачи
дискриминатора в необходимой ширине полосы можно представить
следующими полиномами:
^(д(Q) = V
П=1
п=2
(6.159)
при —
. Здесь учтено, что линейная часть фазы
2
2
исключена, посколь;ку входящие в выражеви^ Хс (t) компоненты
огибающей импульсной реакции сдвинуты на величину группового
времени запаздывания тгр.
Очевидно, что у хорошего дискриминатора Ф д ( ^ ) < с 1 , тогда
cos Фд (Q) ~ 1; sin Фд (Q)
{Q):
5
К, (Q) = К^ {Q) cos Фд (Q)
П=1
n=l
П=2
n=l
где Фп='^1<Рп-1+^2фп-2Ч
Четные и нечетные составляющие будут соответспвенно:
^сч
==
+
Кен
= kSi^ 4Ks4 (Q) = Ф4^^ ^SH (Q) = Фз^-'' + Фа^'.
+
Подставим эти выражения в (6.114) и (6.115) и найдем:
00
+ т,р) = ^
Г
—
2я J
—00
+ i K s n m e ' ""'а Q =
00
[i^aQ^ + k^Q' + i Фв^' + i
= -
(t) +
где б<")(т) =
(T) Q
'
2Д
'
J
e'
d Q=
Фзб^'^
п
-
(т),
я
производная
(6.160)
дельта-функции;
00
00
Яз (т + t,p)= ^
J [Кен (Й) + i Ks.
"^dQ^
— 00
00
= — f [yfeiQ + i^gO» + k^Q^ + i Ф^О^] e'
2л
Q=
J
= M ' (T) -
(T) +
(T) -Ф^б^'^ (T).
'
(6.161)
Подставим (6.160) и (6.161) -в (6.114).
Заметим при этом, что производные дельта-функции обладают
фильтрующим свойством, а именно
J
— 00
212
=
(0).
Используя это овойспво, легко лолучим
Хс(0 = -
— sin [S{t-x)~S
a To
a T^
-
k,
дч
+ Фз ^
(t)]
sin [S {t- x ) - s {t)] —
^
- T) - 5 (t)]- Ф, ^
sin [S{i-x)-S
dxi
sin [S
cos [5 (/ - x) - S{t)] +
dxl
cos [5 ( / - T ) - 5 (/)] - Ф5 ^
(/)]—
c o s [ S { t - x) -
S{t)]
cos [5 ( / - T ) - S(0].
Здесь индекс «О» обозначает, что все производные взяты три
Вычислим эти производные и отбросим члены, когерентные с
сообщением U (t), не создающие переходных помех, в результате
с учетом условия нормировки
получим
и^ (t) -
(t) =
+ X,
[U it) +
и^ it) +
-
(/)-5
it) + щС^и' {t) +
+ 3^
К
kl
C^U{t)U'{t)-4x,C,,U{t)U(^t)
v^^^ (/) _ 10
kl
c^u'{t)
u^'^ (o +
«X
-10 ^
kl
it) U'{t)] = и {t) + 8, (/) + 83(0,
(6.162)
где Xn — kn/ki.
в выражении (6.162) выделены две составляющие продуктов
искажений: ei (t) и ег (t). Первая составляющая аключает со второго по пятый члены выражения (6.162), она такая же, как при
квазистационарном приближении. Вторая составляющая, начиная
с шестого члена и до последнего в выражении (6.162), оаключает девять членов, из них пять членов искажений второго порядка, три—
третьего и один — четвертого. При .квазистационарном приближении этой составляющей нет. Интересно отметить, что если Х4=
= Х 5 = Ф 4 = Ф 5 = 0 , ТО выражение (6.162) упрощается:
и^ (t) = и it) +
+ K,CUU\t) + 3 ^ C^U{t)lJ'{t).
ky
(6.163)
Это выражение отличается от подобного же при квазистационарном приближении только наличием последнего члена.
Теперь нужно найти корреляционную функцию продуктов искажений
^ е д (Т) = [ 8 1 ( О +
8а
(t)] [г, (^
+ т) + 82
(/ н- T)J - [г, (/) -f
е,
{t)]\
п р и ее определении нам нужно искать .математические ожидания
т1ро.из|ведения случайных процессов вида z'^i^zz^i^ причем процессы Zi, Zz, Zz, 2:41К0ррелир01ваны между собой. Д л я вычисления таких
про'изведаний воспользуемся следующим приемом. Четырехмерное
нормальное распределение выразим через преобразование Фурье
от характеристической функции
- - ^ b M i + ^^Zntn
Z2, гз, z^ =
dt^dt^dt^dt^ е
(271)^
где bki=ZkZi.
Математическое ожидание ороизведения
ставлять собой уже восьмикратный интеграл:
т23^4 —
_
Zjп Zg
z^ Z324
будет пред-
dz^dz^dz^dz^^ dt^dt^dt^dt^ X
{2nY
-^^bkihtl+l^Zntn
k.i
X z^l z"^ z^z^^ e
i zt
заметим, что
где
z" e
2я
=
—
(/) — п-я производная дельта-функции.
Теперь получим
н
00
= ("lynW j j J J
(^x)
(^3)
X
CO
-Y^^kitkti
X e
dt^dt^dt^dt^.
Эти интегралы вычисляются очень просто на основании фильтрующего свойства производных дельта-функции. После громоздких
преобразований и отбрасывания членов, не создающих спектра переходных помех, получаем:
% (t) " ^
+ 6 (ХзД®2 +
_ М-Ъ (0)
+
+ Юх-Лсо^^
^с/ (0)
%
+ 120(х.А(о52
%
(0)
+ 16Х4Аа)э (XjAcOa -f бх^Асо^)
^t/
^ i^)
^biO)
+
+
+
34 х2А(02 +
(?>1Ао)з-5рзЛсоЗ)
16х2Дсо2 + ~
(^хАсОз - бРзЛсоЗ)
(0)
VJ^ (0)
/бол
\2
[-Мсоэ]
f 5
РзАсо,
2
% (0)
"^Ь (0)
120Х5АО)2 ( Х З А ( О 2 +
10Х,АСО^З)]
^^
,
^^
+
t''?; (0)
(т) [
+ 2(10x5A(oЭ^
(Т)
(0)
(6.164)
(бРзАсоу
.
2 ^
)
d'l
п-я производная
корреляционной
где
(х) == ---(т)
дх"
функции сообщения; рп — коэффициенты ;Т10Л1И«0.ма, выражающего характеристику лруипоеого врем'бни запаздыва»ия; Тд (Q) =
-
Очевидно, что коэффициенты полинома фп, выражающего фазовую характеристику, связаны с |3,г соотнощением cpn= — Рп-ь а
п
коэффициенты,'©ходящие в выражение (6.162),
Фп _ Фп-1^1 + Фп-2^2-f • • • ^
_ Рп-2
k^ —
^
^
"" П — 1 '
Первые четыре члена выражения (6.164) соответствуют квазистациопарному приближению, а последующ'ие девять членов выражают иокажен.ия второго, третьего и четвертого порядков, возникающие в нестационариом режиме. Если Х 4 = Х 5 = ^ 2 = р з = 0 , то выражение (6.164) сильно упрощается:
(-с)
% (t)
f6(X3A(02)2
(0)
(Т)
(6.165)
- - f4 (М^Э)^
Здесь только один третий член отражает нестационарный режим.
Взяв преобразование Фурье от (6.164), выразим энергетический
спектр и ^мощность переходных помех в телефониом канале. При
этом используем известное соотношение между производными корреляционной фуикции и спектром
ij,(2N) ( х ) =
(—])«
f
( Й ) COS Q T d
Q,
показывающее, что производной порядка {2п) от корреляционной
'функции сообщен'ия соответствует опектр сообщения, умноженный
на
Энергетический опектр переходных помех удобно представить в /виде \Уед
%
(Q)—
Кд (а),
где Уд (ст) — безразмерная
•функция.
Тогда мощность переходных ' П о м е х
(в пВт) будет [выражаться формулой
"^Ш.н.д - IU
^^
в телефонном
канале
^^^ VI/8Д {IJ)-
AFB^(Q)
(6.166)
^^ ''
а безразмерная функция Уд (а) будет:
':1/д(а) = 2(Х2А(0З + 6х,Дсо^)2у,((т) + 6 (ХзАсо^ + lOx^Aco^^^aCa) +
+ 24 (х4Аа)3)2 i/, (а) + 120 (x^Aco^s ^^ (а) +
+ [ у (PiA(i)2- б^зАшу-Ь 8К4А(ОЗ(Х2АО)з + 6K4Aco3)]/£-V
/ Q
\ ДсОэ
4+
X
Й. N4
(х) * xhj, {X)] -f
/
(бРзАсоу ( ^ )
\Лсйэ /
г/2 (а)
\в
+ ^
\Ао)э
+
+ 40х,Ао)^(хзА(о2 + 10x,A(oJ)]
X
Здесь
X
( ^ )
(X) .
[уг {X) * х'у, (X)] + ^
(х)]
4-
(бРзАсод^
Q V
г/з(а) +
у, (и).
(6.167)
[yi (х) * x'^yl {х)] обозначает свертку спектров Wt/(Q) и
нормированную относительно Q и поэтому безразмерную.
Как видно, в спектре продуктов искаже!ний имеются составляющие, пропорциональные Q^ fJ^ и Q^ с увеличением индекса моду-ляцин 'ИХ величина уменьшается и в квазистационарном режиме
ими можно пренебречь. Графики сверток [ух{х) *
[yi{x)
•
»
и [yii^) * ^'^yiix)] приведены па рис. 6.11. Они вычислены.
^ри условии ^^1 = 0, р =
=
Величины хг, хз, Х4 и xs можно
дыразить через отсчеты дифференциальной характеристики, как этосделано выше.
Список литературы к гл. 6
6.1. Medhurst R. G., R. F. Bandwidth of frequency-division multiplex systemsusing frequency modulation. — «Р.I.R.E.», 1956, v. 44, N 2, p. 189—199.
6.2. Бородич С. В. О необходимой ширине полосы пропускания высокочастотного тракта многоканальных радиорелейных снстем,— «Электросвязь», 1'962„.
№ 7, с. 3—10.
6.3. Давенпорт В. Б. и Рут В. Л. Введение в теорию случайных процессов
и шумов. Перевод с английского под редакцией Р. Л. Добрушина. М., Изд.
иностранной литературы, 1960. 387 с.
6.4. Carson J. R., Fry Т. С. Variable electric circuit theory with application:
to the theory of frequency modulation. — «В.S.T.J.», 1937, October, v. 16, N 4,
p. 510—540.
6.5. Van Der Pol B. The fundamental principles of frequency modulation. —
Journ. «ШЕЕ», 1946, May, part III, v. 93, p. 153—158.
6.6. Гоноровский И, С. Радиосигналы и переходные явления в радиоцепях.
М., Связьиздат, 1954. 326 с.
6.7. Бородич С. В. Расчет шумов в каналах радиорелейной линии с частотным уплотнением и частотной модуляцией. — «Электросвязь», 1956, № U
с. 10—2о;
6.8. Вакман Д. Е., Асимптотические методы в линейной радиотехнике. М.,.
«Советское радио», 1962. 247 с.
6.9. Medhurst R. G. Explicit form of F. M. distortion products with white—
noise modulation. — «Р.1.Е.Е.», 1960, March, part C, v. 107, N 11, p. 120—126;
I960, Sept., part C, v. 107, N 12, p. 367—369.
6.10. Magnusson R. L. Intermodulation noise in linear F. M. Systems.—
«Р.1.Е.Е.», 1962, March, part C, v. 109, N 15, p. 32—45.
6.11. Rice S. O. Distortion produced in a noise—modulated FM signal by
nonlinear attenuation and phase shift. — «В.S.T.J.», 1957, July, v. 36, p. 879—889.
6.12. Прибельски Д. Анализ искажений ЧМ радиостволов цри общих условиях.— «Acta Technica Academiae Scientarum Hungaricae». Budapest. 1963,
Tomus 42, c. 21—28.
6.13. Бородич С. В. Метод расчета нелинейных переходов в высокочастотном тракте многоканальных радиорелейных систем. — «Электросвязь», 1967,
№ 1, с. 1—13.
6.14. Евтянов С. И. Переходные процессы в приеыно-усилительных схемах.
М., Связьиздат, 1948. 210 с.
6.15. Di Blasio G., Valdoni Р. Sinewave Signal Dynamic Distortion in frequency-modulated radio links. — «Proceedings of the Third Colloquim of Microwave Communication», Budapest, 19—22, 1966, April, Academiai Kiado Budapest,
1968, p. 129—139.
6.16. Di Blasio G. Computation of Dynamic intermodulation noise in frequency-modulated telephone radio links. — «Alta Frequenza», 1968, v. XXXVIl,
N 5, p. 4 3 1 — 4 5 8 .
6.17. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Справочное
руководство. Перевод с английского М. 3. Кайнера под редакцией А. М. Лопшица. М., Гос. издательство физико-математической литературы, 1961. 524 с.
6.18. Мяснянкин В. С. Корреляционная функция неравномерности характеристики ГВЗ в многоканальных Р Р Л . Труды НИИР, 1973, № 1, с. 19—21.
г л А в А
7
Линейные искажения
сообщения
в высокочастотном
тракте
7.1. ПОСТАНОВКА З А Д А Ч И И ОБЩЕЕ В Ы Р А Ж Е Н И Е
ПРОДУКТОВ И С К А Ж Е Н И Й П Р И ГАРМОНИЧЕСКОЙ
МОДУЛЯЦИИ
При прохождении через высокочастотный тракт линии связи !
оигнала, модулированного по частоте каким-либо сообщением, воз- '
никают как линейные, так и нелинейеые искажения передаваемого
сообщения, вызванные неравномерностью а мллитудн о-частотной и
;нели1нейностыо фаз о-часто иной характе|рист,ик тракта. Нелинейные
искажения рассмотрены в предыдущей главе, а здесь рассмотрим
линейные искажения. Линейными искажениями сообщения, как известно, называют изменения амплитуд и фаз его спектральных составляющих, не зависящие от уровня мощности всего сообщения.
В многоканальных систечмах связи линейные искажения сообщения
не вызывают переходных помех, а лишь изменяют соотношение
уровней сообщений в отдельных телефонных каналах и поэтому
мало влияют на качество телефонной связи. Но при передаче по
•групповому или видеотракту линии телевизионных сообщений или
высокоскоростной цифровой информации линейные искажения оказывают существенное влияние на качество связи. Амплитуд но-частотная и фазо-'частогаая характеристики группового тракта полностью определяют линейные искажения сообщения и не влияют
на нелинейные искажения, влияние таких же характеристик высокочастотного тракта на линейные искажения несколько сложнее.
Это влияние мы и рассмотрим в данной главе.
Линейные искажения, вносимые каким-либо трактом, оцениваются обычно путем измерения амплитуды и фазы синусоидального
испытательного колебания в зависимости от его частоты на выходе
тракта. Поэтому для практики важно исследовать прохождение
через высокочастотный тракт сигнала, модулированного по частоте гармоническим колебанием, и определить зависимость амплитуды и фазы этого колебания от частоты на выходе тракта.
Злдачу можно сформулировать следующим образом.
Пусть на вход линейного избирательного четырехполюсника с
коэффициентом передачи К ( i ( d ) = K (оз)
подан сигнал
i/,,(/) = «oCOs[cOo^ + 5(0],
модули|роваеный по частоте гармоническим колебанием
218
(7.1)
у (/) = UmCOsQt. П,р1И этом 5 (/) = М sin
где
м = {CMU,n)/Q = (Acom)/^.
На выходе четырехполюшика включен идеальный частотный
детектор, на выходе которого испытательное гармоническое колебание, претерпевшее линейные и-скажения, может быть записано в
виде
V4
f/3(Q)cos[Q^ + X(Q)].
(7.2)
Требуется найти функцию
=
(7.3)
определяющую линейные искажения сообщения.
Эту функцию мы назо'вем коэффициентом передачи высокочастотного тракта по групповым частотам, поскольку
и , {Q) cos [ Q t - \ - x (Q)] = Re [U^ e'^^ x (i Q)],
(7.4)
где
В такой постановке эта задача была решена автором впервые
и опубликована в [7.1]. Позднее появилась работа [7.2], в которой независимо был получен тот же результат, но для ^менее общих условий. В [7.3] получено решение первого приближения, являющееся частным случаем решения, изложенного в данной главе.
Р1та«, долустим, что н.а входе высокочастотного тракта, представляющего собой линейный избирательный четырехполюсник с
коэффициентом передачи К (ico), действует ЧМ сигнал (7.1), модулированный гармоничесми'м колебанием. Сигнал на выходе четырехполюсника выразим, как обычно, в общем виде
«вых (П == «X (П COS К ^ + S {П + е (Г)],
где f = / —Тгр, "2 {t') определяется выражением (6.34), а 9 (/') —
выражением (6.35).
На выходе идеального частотного детектора будет действовать
неискаженное сообщение и продукт искажений
и* (О =
4
^-м
dt
f^
+ 0
= ^ (О +
^
"-м
= Urn cos
(7.5)
dt
Здесь и далее пишем t вместо f , имея в виду, что запаздывание
сигнала на групповое время Тгр учтено.
Возьмем общее выражение фазовой ошибки (6.51) и, продифференцировав его, найдем:
Функции JCs [t] и Xc (О определяются выражениями (6.36) и
(6.37). Подставив в них S ( ^
sin Q/
и приняв обозначения
(6.48), (6.49), получим:
jCf {t) — COS [M sin Q/J
J ЯС (T + TRP) sin [M sin
l-Vp
Q.{i~%)]dx
^ s (x + Tpp) cos [M sin Q {t— %)]d x
sin [M sin Q/]
J ЯсСт + Trp)cos[MsinQ(^—T)]dT+
l-Vp
00
\
(7.7)
)
00
;'C,(/) = cos[MsinQ^]
J
^ , ( T + Trp)cos[AlsinQ(^ — T ) ] d t +
+
] ^,(t + T,p)sin[MsinQ(/-x)]bx +
-''rp
00
+ sin[MsinQ/]
j Я с ( т + Trp)sin[MsinQ(/ —T)]fiJt —
l-.tpp
00
— J
ЯДт + T r p ) c o s [ Л l s i п Q ( / — .
(7.8)
•Воспользуемся иэвестаьгми разложениями по функциям Беоселя
sin[MsinQ(^ —т)] =
£os [М sin Q (/ — т)] =
2
(М) sin [(2/72—1)Q(/ — t)],
2
'^am (М) cos [2tn Q[t~
x)]
(7.9)
(7.10)
m=—00
H подставим 1ИХ в (7.7) ш (7.8). В результате получим:
A^s (О = / i (О cos [М sin Q /] — 4 (О sin [ М sin Q ,
X, (О = / i (О sin [М sin Q + /2 (/) cos [М sin Q
где
(7.11)
(7.12)
со
=
^
Jm (М) [Кс {т й) sin m Q^ + К, {т Q) cos mQt],
m=—00
(7.13)
со
/2(0=
2
Jm{M)[KAmQi)cosmQt — K,{mQ)s\nmQt].
(7.14)
00
При вы'воде этих выражений были использованы выражения
(6.44) — (6.47), определяющие составляющие коэффициента передачи в виде (преобразований Фурье от компонентов опибающей импульсной реакции.
Развернув далее cos {М sin Q/] и sin [М sin Qt] по ф-лам (7.9),
(7.10) ори т = 0 и подставив эти 1разложения в (7.11) и (7.12), получим после несложных преобразований:
Xs{t)=
2
2
Jт{М) Jn{M)[KAfnQ)sin{ni-n)Qt
m—— 00 n=—00
+ K, (mQ) cos{m — n)Qt],
+
(7.15)
П1——00 fl=—00
— Ks {m Q) sin {т — п)Ш1
(7.16)
Эти вы,раж€1ния легко привести « виду
00
Хз (О = ^
(Дл^ COS iV Q / + B,N sin л/ Q /).
XJ/) =
где
{ A e ^ z o s N Q t ) ,
(7.17)
(7.18)
rt=—00
n=—CO
V
Jn{M){Jn- M (M) /(s [(n-yv) Q
]
-
[
{
n
+ N) Q]}.
вить В более удобном виде:
2
J Л М ) [/„_//(M) + /„+A^(M)]Ks(nQ),
(7.19)
П=—са
(7.20)
BsN =
Л=—ОО
(7.21)
П=—OS
BcN -
(7.22)
221
Теперь из (7.17), (7.18) лелко найдем:
00
jc; (/) = Q ^
N {BsN COS NQt — Asn sin N Q t),
(7.23)
N {B^N COS NQt — A^n sin N Q t).
(7.24)
00
x ; (/) = Q ^
Далее'Най.дем числитель выражения (7.6):
00
х; (/) X, (/) -
00
(О ч ^ ) = ^ S
S
i"
~
п=1 k=0
— AskB^ri — AnB^k) COS {n — k)Qt-{- {A,kBsn —
— AskB,^ +
+
cos (/г +
^ ^ + {A,nAsk — А^пА,^ — ^sn^cA + B,^Bsk) X
X sin (Я - ife) Q / + {A,Лk - ^sn^cft + BsnB,k - BM
sin {n + k)Q t}.
(7.25)
Выражение (7.25) представ,им в более удобном виде:
00
х; (/) X, (/) — Xs (t) х ; {t) = 2 {An cosNQt + Вы sin NШ).
(7.26)
Тогда коэффициенты An И Bn будут определяться выражениями :
00
^yv = — ^ ^ {Ack{Bsk+N + Bsk-N — BsN-k ) —
k= 1
— B^k (^s^fe+Z/ + Ask-N + ^sJV-A; ) + Bsk {Ack+N + Ack- N + AcN-k )—
—
Ask {Bck+N
+
Bck-N
—
BcN-
^fe)},
00
{A,k
— A^k-N — A^N-k ) —
k=\
— Лек (Лзй+Л^ — Ask-N — AsN-k ) — ^Cft {Bsk-\-N — B^k-N + B^N- k) +
+ Bsk [Bf^k+N — B^k-N + ^ciV-ft )}.
Подставив сюда выражения (7.19) — (7.22), получим после несложных преобразований
Am=Q
^
2
il
^
[Jn-N-k{M)
+
со П=—00 k=l
+ 2Jn+N-k (M)] — Jm +k {M) [Jn+N+k (M) +
+ 2Jn-N+k (M)]} [Kc {n Q) Kc {m Q) - Ks {n Q) Ks (m Q)l
2
m=—CO n=—00
Л=1
^Jm{M)JniM)k{Jm-k{M)[JM+N+k{M)-
(7.27)
- 2Jn-N-^k (М)] + Jm^- k (M) [Jn-N-k {Щ
-
- 2Jn+N-k (M)]} [Kc {n Q) Ks {m Q) - K^ {m
Ks {n Q)].
(7.28)
Теперь найдем зиаменатель выражения (7.6), для чего воспользуемся выражениями (7.11) и (7.12):
xl{t) + Xl{t) = I \ { t ) + I I { t ) .
Подста1Вив сюда (7.13) и (7.14), получим
Л'2(О + Х2 (О =
^
(М) Jn {М) {[Ке(тQ) Ке {п Q) +
т=—00 п——00
+ Ks (тQ)Ks {ПQ)] cos{т —n)Qt
+ [K^{mQ) Ks {пQ) —
— Кс {п Q) Ks {т Q)] sin (m — п) Q /}.
Преобразуем это выражение:
00
х1 (О + XI (/) =
S (Civ cos iV Й/ + Dn sin NQt)
(7.29)
и определим коэффициенты:
Cn=
j \ {Jm{M)Jm-N{M)[KAm^)KA{m~N)Q]
m=—00
+ Ks {m Q) Ks [{m
+
+ J^ (M) Jm+м (M) [Kc {m Q) K, [{m +
+ N)Q] + Ks {m Й) Ks [{m + N) Q]]}.
Dn^
j]
(7.30)
{Jm{M)Jm-N{M)[KAmQ)Ks[{m-N)Q]~
m=—00
- Ke m - N) Q] Ks {m Q)] -
Jm (M) J^+n (M) [Kc {m Q) Ks X
X [{m + Щ Щ - Ke{[m -f N)Q] Ks {mQ)]}.
(7.31)
Итак, после всех преобразований получено общее выражение
продуктов искажений на выходе идеального частотного детектора
при гармонической частотной модуляции
e (0 = - i См
^ {Aj^ cos N Q tBj^
//=0
00
^
( C j v COS
sin NQt)
,
(7.32)
Л^ Q ^ + D^ sin A'QO
N=0
где коэффициенты Л ^ и B n определяются выражениями (7.27) и
(7.28), а к о э ф ф и ц и е н т ы Cn И Div— в ы р а ж е н и я м и
(7.30) и (7.31).
Очевидно, что выражение (7.32) включает продукты как линейных,
так и нелинейных искажений. Интересующие нас продукты линейных искажений раосмотри-м в .следующем параграфе.
•ж
7.2. ЛИНЕЙНЫЕ ИСКАЖЕНИЯ СООБЩЕНИЯ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ТРАКТА
Выделим из выражения .продуктов искажений (7.32) часть, соответствующую линейным и1скажен;ия!м. Очевидно, что она будет
состоять из С0|Ставляющих основной частоты Q, амплитуды которых
должны линейно зависеть от амплитуды модулирующего 'колебаНИН, т. е. о т М . Из (7.32) получим
ел(0=
П
^
ill cos Q
— sin Q
Cq
СО
Д а л е е -нужно в
Л,
Bi
AoCi
СО
CQ
CQCQ
— , — , ---
А / ^ cos Q
Cq \ CQ
,
AqDi
CQCQ
— sin ш ] ] . (7.33)
CQ
/J
сохранить составляющие,
зависящие линейно от М, а остальные отб|росить.
Рассмотрим эти коэффициенты, пользуясь ф-лами (7.27), (7.28),
(7.30), (7.31).
Из (7.27) получим
= 3Q 2
i;
2
(М) [Jm- k {М) Jn-k (М) т=—<х> гг=—00 k=\
- Jm+k {M)Jn+k{M)] [Ке {т Q) к,{п Q) - Ks {т Q) Ks {п Q)].
Легко 1видеть, что это выражение не имеет составляющих, содержащих Ji (М) !в пер!БОЙ степени, т. е. не имеет лииейных составляющих. Это означает, что два последних члена в (7.33) «ужно отбросить, так как они не являются продуктами линейных искажений. Остается рассмотреть линейные составляющие в
1 ^AcosQ/+-^sinQ/
Сп
'М Сп
(7.34)
Рассмотрим выражения коэффициентов Ai, Bi и Со. Из (7.30),
(7.27) и (7.28) получим
Со=2
^
PjM)[Kl{mQ)
т——00
+ KlimQ)]=2
= 2J2(M) К' (0) + 2 2 JI (М) mm
т=1
^
—00
Q) + К\-т
PJM)K4mQ)=
Q)],
(7.35)
m=—00 n=—00 А=1
+ 2Jn+l-k (М)] - Jm+ k (M) [Уп-Ы-i- A (M) +
+ 2Jn-i+k (M)]} [K, {m Q) Ke {n Q) - Ks {m Q) K, {n Q)J,
= ^
11
^
ti •^rniM) Jn (M) k {Jm- k {M) [
m=—«о n=—00 k=\
(7.36)
- 2Jn-K+k W ] + Jm^ k (M) [Jn-^- k (M) - 2Jn+i-k M)} X
X [ / ( c K s {mQ) - Kc{mQ) Ks {n Q)].
(7.37)
В выраж&ииях (7.36) и (7.37) только несколько первых членов
содержат составляющие, линейно зависящие от М. Возьмем следующие пять членою |Пр,и:
т=0, п=0;
т=1,
п=0;
k=l, т=—1, п=0; k=l, т=0, п=1; k=U w = 0 , /i==—1 и сохраним в них Л1ишь только составляющие, содержащие А (М) в
первой степени, отбросив остальные. После этого получим:
A, = 4уз (М) Л (М) Q
B, = -
(0) Кеч (Q) - К ' (0)],
(7,38)
4уз (М) J, (М) Q К (0) KsH (Q).
(7,39)
Здесь учтены следующие очевидные равенства:
в выражении (7.35) сохраним лишь один член
Со = 2У2(М)/(МО),
(7.40)
так как остальные при всех условиях нелинейно зависят от М.
Тогда, подста'вжв (7.38), (7.39) и (7.40) в (7.34), получим
Q
Ксчт — 1
(7.41)
К(0)
Известно, что /о (М) = 1
м
м
Следовательно, для того чтобы выражение (7.41) представляло
продукты линейных искажений, необходимо соблюдение условия
( М / 2 ) 2 < 1 , при вылолненни которого Jo(M)^\,
/ i (A!)»Af/2
и
cosQt-^^^^smOt
(7.42)
К{0)
Здесь учтено, что М= {А(От)/^=
{CmUm)/^При выводе выражений (7.38) и (7.39) мы отбросили члены,
наибольший из которых содержал J^ (тИ). Следовательно, чтобы
отброшенные члены не влияли на результат, необходимо выполнение условия А {M)<^Ji (М), что эквивалентно полученному выше
условию ( М / 2 ) 2 < 1 .
Подставив (7.42) в (7.5), получим сообщение «а выходе частотного детектора с учетом линейных искажений, внесенных высокочастотным TpaKTOiM:
—
(J* (t) = — ^
8—194
1
{Кеч (Й) COS Й ^ — KsH (Q) sin Q tl
(7.43)
225
Отсюда легко .найти искомый коэффициент передачи высокочастотного тракта по гр'уипо1вы1м частотам
X (i Q) = X (Q)
= ^ ^ - VK!^
m<г) + А^
K l (!»J)
(Й) exD
exp —1 arc ш
|/ л^ (!,
^сч (^)J
(7.44)
Выразим отдельно модуль и фазу коэффициента Т1е(редачи:
2л (0)
^
cos [ф (Й)+ Ф(-Й)], (7.45)
X (Q) = - arc tg
К (fi) COS Ф (Q) + Л" (— Q) cos Ф (— Q)
| _
^^^^^
Действительная часть коэффициента передачи ,по групповым
частотам р а ш а четной составляющей действительной части коэффициента передачи высокочастотного тракта, а .миима^я часть коэффициента передачи .по групповым частотам — нечетной составляющей 'МНИМОЙ части коэффициента .передачи высокочастотного
тракта.
Если фазовая характеристика высокочастотного тракта сим1метрична, т. е. если ф (—.Й)——(ф
то из (7.45) следует
(7.47)
т. е. модуль коэффициента передачи по груоповьим частотам равен
четной составляющей модуля коэффициента передачи высокочастотного тракта.
Если амплитудно-частотная х а р а к т е р ж т и к а
высокочастотного
тракта сим>метрич)на, т. е. если К (Й) = К ( — й ) , то из (7.46) на основании известных тождеств
•о
о
СЬ + Р - с б — 6
sin а — sm в = 2cos ^ ^ sin
^ ,
^
2
COS а 4- COS
2cos
^ ^ cos
2
^ ^
следует, что
т. е. фаза коэффициента передачи ио групповым частотам равна
нечетной составляющей фазы коэффициента передачи высокочастотного тракта.
Выражение (7.46) можно преобразовать, приведя его к более
удобному виду. Д л я этого аргументы тригонометричеоких функций
в числителе и знаменателе нужно представить как
Ф (Q) =
Ф ( - Й) =
2
'
ф (Q) -j- Ф (— Й)
226
\
+
2
'
ф(Й) — ф (— Q)
Тогда после несложных (преобразований получим
tg
5((Й)=—arc tg
1-tg
ф ( й ) - ф ( _ Q)
KiQ) + Ki-Q) ^
K{Q)—K{- Й)
tg
K { Q ) + ^
2
К {Q)
. (7.49)
LiC (Q) + К ( - Q) V
2
Это вы^ражение удобно тем, что включает (7.48)^ как частный
случай при К { Q ) = K (—Q). Оно показывает, что при ф (—Q) =
= —ф (Q) второе слагаемое обращается в «уль и (7.48) оказывается также справедливым. Этот случай не вытекал явно 'из выражения (7.46).
Выражение (7.45) тоже можно преобразовать к виду, более наглядно показывающему частный случай (7.47):
(Ф(й) — ф(— Q)
к (Q) =
^ч (Q)
+ arc tg
1 - 4
KiQ) '
К{- й)
1 +
K{Q)
•sin^
2
(7.50)
Из этого выражения следует другой частный случай, а именно
при К { Q ) = K (—Q):
X (Q) =
cos Гф(й)^-ф(-Q)
(7.51)
^
/С (0)
Итак, получены весьма простые выражения (7.44) — (7.51), определяющие коэффициент передачи по групповым частотам через
коэффициент передачи высокочастотного тракта. Эти выражения
определяют линейные иокажения сообщения, которые можно измерить, если индекс модуляции настолько мал, что вы;полняется
условие
Бели индекс модуляции больше, то появляются когерентные продукты нелинейных искажений, имеющие ту же
частоту Q, их величина становится заметной, и они иаменяют «еличину коэффициента передачи тракта по групповым частотам. Таким
образом, если измерения производятся при индемсе'Модуляции, величина которого не удовлетворяет приведенному выше условию,
то продукты линейных искажений невозможно отделить от когерентных продуктов нелинейных искажений.
Полученные выражения соответствуют случаю, когда спектр
ЧМ колебания может быть (предстравлен всего тремя составляющими: одной с несущей частотой и двумя с боковыми частотами, что
вытекает из условия малости индекса модуляции. Поэтому в формулы входят величины коэффициента передачи четырехполюсника
на первой паре боковых частот. Эти же выражений можио попользовать для определения дифференциальных характеристик тракта:
дифференциального усиления и дифференциальной фазы, с помощью которых принято оценивать его пригодность, например, для
передачи сигналов цветного телевидения.
я.
227
Для измерения дифференциальных харачсгеристик !в видеотракт
йодают пилообразный сигнал с синусоидальной насадкой, частота
которой равна частоте цветовой поднесущей. Р.азмах опилообразного сигнала равен (полному размаху уровней сигнала яркости, а размах синусоидальной насадки равен 0,1 разма)ха пилообразного сигнала. На выходе тракта измеряют изменение амплитуды и фазы
синусоидальной насадки за период изменения пилообразного сигнала. Частоту пилообразного сигнала выбирают низкой (например,
50 Гц), поэтому можно считать, что в каждый данный момент t несущая частота сигнала, 'сдвинутая под влиянием /пилообразного
нашряЖ'ения, равна <о<, и рассматривать в этот момент действие на
высокочастотный тракт ЧМ сигнала с несущей частотой т , модулированного гармоническим колебанием частоты Q. Поскольку амплитуда синусоидальной насадки мала, то индекс модуляции удовлетворяет условию
мгновенный спектр ЧМ сигнала состоит .из составляющих с частотами ши
—
Следовательно, можно применить полученные выше формулы—
модуля а» фазы коэффициента передачи тракта по групповым частотам для определения дифференциального усиления и дифференциальной фазы. Удобнее всего использовать выражения (7.45) и
(7.49) с небольшой поправкой, учитывающей то, что фаза на несущей частоте не влияет на результат. Итак, получим
ДУ =
X COS
У КМ®/ +
+ КМо), -
{щ — Q) +:ф {щ - й) - 2ф (со,)],
2
Xtg
+ 2К (©, + й) /С («>, - й) X
(7.52)
°[Ki(Ot+Q) + K{(i>t-Q)
«р ((Of -}- Q> + ф {(Of — Q) — 2ф (co<)
(7.53)
где К (<at), Ф (rtot), К ( © t i Q ) , Ф (©t±Q) — значваия модуля и фазы воэ^ициент:а передачи высокочастоттного тракта на несущей
частоте ю* и на боковых частотах fo/±iQ.
Выражения (7.52) и (7.53) определяют дифференциальное усиление и дифференциальную фазу на 'частоте Q в за1Висимости от
зиачения несущей частоты
Список литературы к главе 7
7.1. Бородич С В. Линейные искажения при частотной модуляции. — «Радиотехника», 1954, т. 9, № 6, с. 66—72.
7J2. SkwirzynskI J. К. The linear distortion of FM signals in band-pass
filters for large modulation frequencies. — «Marconi Review», 1954 (4th Quarter),
N !15, p. 101—112.
7.3. Medhnrst R. G. Fundamental and Harmonic distortion of waves frequency-modulated with- a single tone. — «Р.1.Е.Е.», part B, 1960, March, v. Ш7,
N 32, p. 155.—164.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Карты горизонталей функций ^^ ^^^ Gtft(£2) и
B*iQ)
ких значений
МККР.
М^ь и b при использовании
' '
B^Q)
Hik{Q) для несколь-
предыскажений,
рекомендованных
ffce цифри у множитк
!
> гг
г-л 3jt
S% 671 7л
6»
9л
ЮЛ
11л
12л
13л
Рис, п л . Функция - Щ щ G<k(Q) при 6 = 1 , Л42э=0,01б25
1'*Л X: •
Все цифры утомить на. 10'
О
7t
гл
зл
k^
5jC
Рис. П.2. Функция
8oi
7л
8Л
9Л
10Л
1Ы
Ш
ШЛ ПЛ
Hih{^) при 6 = 1, М2э=.0,01625
х,
See цифры умножить на. W'^
^
О
i
,
ж
2Ж
дл
у
S7i
8Л
вл
9Л
1ВЛ
1Ы
12Л
Ш
1k7i
62
Рис. П.З. Функция ^ ^
Gift(Q) при 6 = 0,75 M h = 0,01625
^
' Bcs^iiu(ppu умножить mW'^ 2,0^
2fi,
M
Л
Jjt
k-Tt
5Л
Рис. П.4. Функции
ел
7Л
8Л
9%
10л
1Ы
12л
!ЗтС Ш
Hik{Q.) при 6 = 0,75, Л12э=0,01625
Xi
Sen цифри умножить на 10'
втс
Рис. П.5. Функция
b'
Эп
Штс 11л
Птс Ш
Пл
С<д(й) при &=0,5, Л12в=0,01625
Xi
See jjiuppi,! ушшит ий
2Я
3jC
I^jt'
5Л
Рис. П.6. функция
Ijt
8л
9л
1Ы
1Ы
ПЖ
Ш
Hik{Q) при 6 = 0,5, ЛГ2а = 0,01625
Xj^
Y ^ft ци1рры умножигт на W
О ,
гос 3JC Ы
STC SJC 7ТС ' BJC Зуб ЮЛ ш
Рис. п.7. Функция
Gift(Q) при b=\,
ггзг; ш
Л12э = 0,325
ikic xi
Всб цшрры умнтипи, на W'^
Ы
ЗЛ
kTC
ВЛ
£Л
ь*
Рис. П.8, Функция щщ
Ы
Ьи
Зл
Гдтс Ил
Ш
13 л
Я<ь(Й) прн 6=(1, Af», ==0,0326
Пл
бее цицт titumiamt mt Ю'^
11.
Рис П.9. Функция
Gik(fi) при & = 0,75, М«в=0,0325
' В№ цшрры §мтж}т тш'
о
si
гас зус hx
5л Bit 771: В7( ' 9л
Рис. ПЛО. Функция - Щ щ
1вл 1Ы 1гл ш
при 6=0,75, Mh=0,Q3&5
хс
-15,
ш
-к40
ш
ш
у
1IX
Е
а
W
01
S
Bss Щфы 1/ытсот на Ш
, rf Ы Jjt
Ы
5Л £Л 7Л 8Л ЗЛ ЮЛ 1Ы 12Л 13jt Пл xi (
Рис. П.12. Функция щ д у HiK{Q) при
Л1«в=0,06
Bee цифры умножить
наЮ
25В
о
гтс Ы
ВЛ
Рис. ПЛЗ. функция ^ ^
7JC 8Л
9Л
10л
ПтС
Ш
13j(
Ш
Gifc(Q) при 6 = 0,75, М2э = 0,06
лг^
'Все Щфры умножит на 10'
л
2Л Ы
IfjC 5Л 6л 7л
Рис. п . 14. Функция
9ж ЮЛ
Hik{Q)
Ш Ш Х^
при 6 = 0,75, M2g = 0,06
\\
к V
Л
у / tr \
V
/
1 I VN
J /
\
\
\
\
\ \
\
/
«0-
/
—
\\
\
/ 11 11
/
— "
\1
\\
>
t
J
//
/
•
—
\
\
\
/
1
\ T
1 СЧ,
11
1
T~ —
hi
1
t/ 1 11
1i
/
1
11
'A -r\\
—1—
>
1
\
L4 N
\
7
S ^ I I-1-
s I I Я
^ H - S ^ l . 1-й
I - I I S
a
л;
a?
a
s
a
e
(S ii
-
^
•a;
4s
а
<Nl t3-iS.
v сч,
N.
1 / T 11
/
/
//
\
1 i7
/
/ / \
/
ЧЪ
i
к S'-Si
N
N
. s
s.
\
\
(i
\ \\( \\\
M
\
\
\
\
со
с5"
\
G,
\
Ш
Ъ m
ЩЩ
Ш.w,J
/11//
/V
i
a
c«
QQ
я
С
S
S
J-
Ui
X
>1
©
<
CN
N
У®
CX II
a
•at
cS*
'
о (М
11
ю
(С
N
а>
Ою
со
00< осо
—<
со
я
ч
vo
та
Н
со1
о^ 1
оо
^
(
00
г-
со 1
C!S CN о <N
11
11 1
1
<
м (М с51 ю
о00
Р
О)
ю
со
оСП to ст>
сч
00
со
сгю
05
00 t-- см
ОN ю
00 cr> оо C
CM о со оо О)
—'
со
J.
со
ю
со
со
1
1
со
00
ю
ю
со ю
CJ5 осо
C
N со
ссо
м
со
со
со
11
05
о
со
11
со
c-j
оt^
со
ю
ю
<М (П
<м
11
а>
со
ю
со
со
о
со
о <N см о1 Сч1 со1 со !
1 1 11 1
1
ю
со1 ою1 со ю
^
00
ю
ю га>
со t^
ссо
м 00
^^
сч
оо
t^
со
со
о
соо
г>
со
СП аз
00 оо осо ю
со
о со" см" о со см стГ
соi
t--1 ю со со1 1
1 t^11 со г-1 <313
осм1 ю
оа>
О оf ^см ю
о
с^
ооо
00 С
С
О см
ю
со
со
С<1 со t-- ю
ю о 00
со —Г О) со
ю со
y—t
<M(NOOCNCOCOCOCO
C
C
M О)
ст> 00 о
с00
м
00
00
ю
оD о оз
со
с-ф
м
S2
С
7
3
с
м
ю
t-.
t
>
о
С
П
<У>
ю
со
С
О
со
ю
ю
ip
тг
со
СП CD ооо 'Г о ю
с-- 00
00 оо оо ю
со о о Cvj 00 <л Cv) со — '
—'
Ю Ю <£>
оз со
о
со со
со
ю
ю
со
о
00
см со
СО СО оо
со ю1 со
t^
оз
оо со со
CJ3
00
f^
ю со"
о
IS
оо
ю
ооо<
со1
1
о
ю
со
со
00
со
со
со
1
со1
оо
^
00
см
11 см11 о11 см11 со11
оз ю ом осо
о о ' оссо
00«
соз
м ю
CJ3 осм C
00J3 газ ю
^
ю со о см ю
со
со
сз
о
со
см
С7)
11 со
00
00
со
со
C
J
3
со
соJ о <
C
rt< со
т—<
1
см1
аз
ю
со
ю
^
ю1
1
00
аз
о
со
ю
см
со
со
1
о1
аз
осо
аз
1
оо1
00
м
^
ю ссо
ю со CQ
11
ссм
м
т-Н
со ч ю1 ю1 С£> со
00 00
1
1
1 11 11 4
со1 CJ> 001 00
ю
оо
00 ю1
со
ю
со
'
<л
tю
00
со
о
сзз 00
00 сч 00
оо ю
Г-.
смJ3 S
соом C
м ю
сю
м ссо
t^
оз
ю со
см" см"
со" со" ^ ю со" ю" ю"
1 7
1
1 1
о
_
f--< ю
00 о'
CJ> 00
ю" о
о
_
со
оt^
00
о
1
см
1i
ю
со
оз
см
со
1
11
00
t-аз
со
со1
ссо
м1
со
со
со
аз
001
1
со
смн
N.
осч
о00 о
ю
оо
О)
сг>
ю аз
00
о
i
сч
11
осо
сом
00
со
1
см
ю
^
со
аз
с^
см со
11
со
со
00
см
t^
C
D сз
со
00
t-ю
1
со
11
ссо
м
о00
со
со
см
1
о
см со
ю со
ю1 ю1 со со
11 11
Г-осо1 О
со
со
ю
аз
ю
со
г- со
С
Мю
00
ю
со
00
о ю СМ со
со со CJ3
1
1
7
11
ю
аз
о00
оо аз о
—'
г^1
1
со
ю
оhсо
аз
со
1
1 001 0011
о
t^
^
t-со
1
—н ю
ю
осм аз о
10
см со
—I
ю
о о (М
1
<N со о
Oi
СП S
а> со
со о нI -н
—1 о —1
ю
ю
оN
<
c-q
CS)
11 1 о
оо а>
Tf осо
ю
со со
гг
ю
о
СП
оо
о о со ю о
1 1
о о
со
Л
CN 1со
ю
о00 о
(N Л
о <N
11
J, г}<
00
—
Н сч
оз
•-Н t^
00 со
о ю
со1 <м
1 11
ю
со
05 t^
ю
<J><м
см
1
со1
оо
гсо
ю
см1 см со 1 ю
1 11
1 11 11 СМ
t^
оt^ со1 ю со
С
t^
оМ юt
о С
П 00
t^
£3
ю со
со
со ю
т—1 ^ ю ю f-H
1 1 1 1 1
!
со1
1
00
со
со
оо
со
сом
со со 1
11
J, 001
ю
С
П
оюП f—1
оо С
со
ю СП со
со
—< ю ю
со"
I II
C^CNOOC-ICNCNCrjcOTf ю
1
СС
О
ю
оо ю
о1
0С>
О
ю
ст>
оз
ЯСОСОgсо
OJ —
со' ю
О
о rt- 00 Ю ю
С
О
Ю
с
м
00
00 с»
Ю <NCN со t>
^ rf LO Юоо'
(М со о о ю
о
о
со
ссо
м
со
^
о см1
осо1
«
<
7
5
м
со сS?
со
—
tо^ ю
о ю
о см
1!
00
см со
со
со
<л
t>-см
о ю
со см
11 11
оСП
t-ю
ю
г^
00 со
со
со
со
00 ^
Ю со
— 'I I
05 CD
С
О С
'О
оосо —
05
ю
ю
со
^
сзо
—1 —I (N
4 со ю со
1 11 11
сю> о1 со
со сом
сt^м 00 со
со
00
о t-. t--Г СП —г см'
со со ч со1 1
1 1
аП
о1 со1 С
D о1 ^со1
П
со сз С
ю со
со
СП ю
СП аз
СП со
С
г-П со
ю m со
о о о см1 см1 см со со
1 ci 0011 11 ю11
| | со
ю
со
N.
г- осо
О
Зю
оЗ со со
00
О
tсо
со
о со ю СП iQ
со С
П со
ю
t^ со СП ю
о о о ю
ю
1 !
—
§ I ^Ю
О о
11
т—1
ю
11
О
З
t00
ю
о
11
11 со11 ю11
со
со
с
м
осо
со
о
о со«
СП со
со ю
оО
00
ю
о о З t-СП
ю —<
N.
oi
ю1 со1 00
1 1 оI
С
П
со
со
СМ С
t^М
ю
СП ю
см
ст>
со
1
001
со
ю
ОЗ
11
сTмf
со
СМ со
11
t^
со
со
00
оо
со
(М С
О со -^t*
Ю Ю to t^
00
о о СЧ
1 i 05I со
I О t^ 00 CN
I I I I II
—
00 05 (N о со C O O O T J ^ C O - ^ — ' ю о о о о е о
iS
^ г-t^юю — COCJ>Tt<CNOO—'
01 со ю
со со
00
«N CNоо ст>
^Tj< й(М Ю (М
.
_^ ^СОт»<ЮСТ>—<CN
(N Ю
с^ OслС
^П(сч
N•ю^-^oooo
ю
СО О О ю ^ - ( N
Cvl —< сч со ю
-hOCOCOCSO-^CO
О^СЧСО-^ЮСОГ^ООСЛО'-'СЧСО'^Ю
•00
OOCOCN<MO(>J(M(MCOCOCO
—< 2? о о CD г^t^ ^ Ю Tf о ю
J< С^
00 от (м
ю 00
а> « со ю ю ст>Tсо
-г
t^ со
t^ t^
rf о g 00
со t-^
г-. ю
г^
о .с^ ю
СП
_
о
00
t^ О)
t^ ю
t^ <
N
о
00 со со Oi о
CTj СП 00
о Оо"
о" ОО —<' rf сг> —'
1
с
АО
тг ^ СП 00
—Ч -ЧГ ^
ю " —. oq
^ 2• г-1 —н
С<1 ~ ^ см
О) Tf t^" r-J"
(N (Т)
о о о
11
rf Th CM со со о о
о—
со
со
со
Ю
о
ю
о
tr
о
о
Cv) ООО
t^П 00
00 со
о о t^ о см
JP со о
t-ю
см С
t^ сt^
м
ю
со
со со
05
о о О t^OOOCOCM'^Cn^—<СОсо
у—4
см
11 1
ю
ОО
Cvн)
со
ю1 сt-м
00 о
о о СМ см
11 1 11 со11
ю
со
ю
П СМ
сСм
со осо С
Г
П осо
Г> ю
соР С
ом
00
ю
00
с
со
СП СП о^ ОО
оСП
ю
00
• 1 см
о с> 00 —
со со1
1 1
оI t^
а>
со ю
00
со
с^
о со
ОО
1 1
осм1 t^1
со
С
П
00
-н со
ю ю ю
11 11 11
о Cvj
со
ссо
м СП со
С
М
00
со
С
П СП
со со —1
t-. ю1
1
оо1
О
О 00
см
ю
см 00
СП ю
1
о
о
см о
см со см со со
1
1
1
1 1
i 1
1 1
1 11
П
со С
со
П
о о С
CD о
00
О/
^
со
ю
со
ю
00
—ч
о 22 со 00 см со 1
о со С
ю
П см П 00
о
см со см С
со
^
со
со
см со со
со
ю
см
00
о
о 00 С
П смМ СП —< 00
1 I I I I
о о
ю
СП ю
£0
ю
со 00
ю
о о
о
T
смf
t^
осм
'-Г
о см см
11
гсо
со
С
П
С
П
со
со
ю
С
t^П ю
со осt^м
ю
о" 00 см
со 4
11
11 1
с005 О
О
оо
с
м
t-- ссо
м
ю
ссл
м со
со ю 00
см со
г-"
см' со
см
1
CJ15
со
t-см
см
со1
о1
00
00
со
со
1
о1
00
T
t<
00
о о см 04 со
1
11
1
ю ю
ю
с00м о
осо
со
сюм о юсо t^
со о
СП со
о" о*
см
со
1
1
о
00
со
со
со
со
—<
V—«
ю
юI
осо
о
S
со"
со со
II
со
со
осм
00
00
1 1
1
со i
см CM
CM
со
со
ю CO
ю
11
ю
Г-00
ссо
м
ю
ю
00
со
гсо
С
ю
1—1
I
Ю Ю
00
t^
00
ai
t-со
со
о
ою
соо
ОО
ю со со
1
С
о
со1 со
00-) со
00
00
со осм 00
ю
со
—<
см"
ЮЮ
CO
11 lO CO
11 1i 11
C
M
оCO Ю
о 00
T
f CO rCO
oo Ю
00
00
CO
С
П
o^
Ю
OC
O)
lO C
СП
CO
Oо C
CO
OС
CП
O
CO CM
Ю CO
I 1
<—>
о —'CMCOTt<lOCOt-QOCnO— счеот»<ю
O O C O < N O O O ( N ( M ( N ( N C O C 7 C O
<N
О
_
Ю
oo
CO
CJ>
CO
00
CO
(N Я)
о СЧ
—< —
—T o" 05 1С o' о о см"
CO (N"
1
о
о
о
см о
1
1
о
t^
со
о 00
СП <35 со
со
1—ч
ю «о ол
00 о см со т—<
со СП
СМ
о
о о о 05 о о
см о
1
1
о
см СП СП
со г^
0 0 СП
00
СП
со
см
со о" о"
см
1
1
00 о
оо см
со со
о о
ю
СП
со 0 0
о" СП
о
ся
1
1
о
СП
со
со
о
см
1
1
со
о
со
со
со
со
со
<N
1
1
со
со
со
ОЗ
оо<
-7
д
I I
7
см
1
1
о
см t o
ю t-о 00 CO
сл (M
CO CO
г^
со
T
j< C
No o1
Oi
Ю
oo
о Ю
CO
00
Tt< o^
^
Ю —« о
rf" oo' —'
O
со см C
1 1
1
1
qj
о
Tf о
>ю
—< (оо
о 1
со
о со со г-н
о со
о
S
2
со 0 0 СП о 00
^ см —Г —Г
OI
E3 <M
—
" to
(N CO
•Tt<
(Nо
1
1
00
Ю
1
оо о 001
00 СП
t^
о см
ю
оо
О) —CJ3
t^
11 ю11
СП
ю
с^
00
со ю
осо
-н1 со
Ю
Iо
00
о
CO
:::
со
1
оt--1
со
оо
см
см'
OOfMOOCOCNCNCNCOrf'^'^-^lOlO
со 00 г- о
осо о
ю
ю с^
Ю
см со —< со Tf со со
00 О)<>5со
СО
о --I
оо
00 со 00
ю
со Ю О
02
со СП
О
со сч t> о а> 00
о
CD
с
о
о
05
о
о
см
о
о
о
о
см
1
1
tсм
^
1
см
00
00
ю
см
о
см
00
со
со
о
CD
о"
см
о
со
о
о
со
со
см
о
ю
ю
см
см
со
со
1
1
о
ю
00
00
t^
t>
со
11
о
см
ю
ю
со
оз
со
11
N.
о
1
1
о
1
1
Tt
—н а>
сэ
со
о
00
ю
см
см
со
со
со
см
г-
Ю
со со
о со
о
ю со
а> ооо
см ю
со"
сг>
оосмс^<о»сосо-^'^юююсососо
о
о
о
см
о о 05
о
СП -г»* T f
00
о 00 о
со со
см СТ5
02 о
см
ю
t^
t ^ о о С7> ^
о
_
, _о оо
о
с о см ю
со
ю
о
00 CM
О
О
оо
(
N
сл
с
м
со
t^ со г^ О) 00 ю ю г- >
—1
—1 00 со —н (О 1Л со
С
П
г
н
ю
с
м
о
с
м
ООСМ — Ю'-<^СМСМ с 00 оо о СП to со 00 со
о с : > о " т ^ с О ' ч ' ' с о - ^ о о с о с м с о с о 1 ^ оо" —Г
1 I
С^СО'ФЮСОГ^ООСПО—<СМС0^10
P/nra
2Г1+1
I
—1
—3
—5
—7
-9
—11
—13
—15
—17
—19
—21
—23
—25
—27
—29
1
2
1
4
3
2,609446 0 —0,811567 0 1,741662 0
—0,811567 0 1,741662 0 9,197541--2
-5,621637--2 —0,838119 0 0,859353 0
2,966431--2 -4,418926--2 —0,861644 0
—1,763710--2 2,066447--2 -3,521205--2
8,637269--3 —1,168737-_2 1,468596--2
—2,687530--3 5,708858--3 -8,810702--3
—2,408707--4 —2,832187--3 2,686924 3
9,621483--5 — 1,897479-- 4 -2,956724--3
4,509216 -5 6,521085--5 -1,602622--4
1,408820--5 -3,544352--5 3,891733--5
4,439561 -6 9,253940--6 -3,107077--5
-4,986501---7 —4,776520--6 3,967576--6
1,616914--7 -4,058869--7 -5,074373--6
-6,892830--8 1,080340--7 -3,564403--7
-5,621637--2
—0,838119 0
1,735689 0
—0,855897 0
-3,555200--2
1,797694--2
—1,192825--2
5,812074--3
-3,877279--3
1,756598 4
6,077129--5
—3,594218--5
9,311670--6
-4,845449--6
-3,906160--7
1
различных
5
9,197541--2
2,692991 0
8,968392--2
-3,743606--2
—0,882170 0
-2,933681--2
8,562178--3
—9,080502--3
-4,297802--4
—3,077786--3
-1,521333--4
1,181483--5
-3,217686--5
-1,463238--6
-5,368846--6
^mn
различных
2fi+l
1
—1
—3
—5
—7
-9
— 11
—13
—15
—17
—19
—21
—23
—25
—27
—29
2
1
3
1
2,272287 0 —0,655373 0 1,519738 0
—0,655373 0 1,519738 0 0,162235 0
-9,717631-- 2 —0,730593 0 0,741103 0
5,042172-- 2 —7,650445-- 2 -0,743684 0
-2,975076-- 2 3,494828-- 2 -6,113123--2
1,427642-- 2 —1,957505-- 2 2,472330--2
—4,101612-- 3 9,350070-- 3 -1,483127--2
—8,247310-- 4 -4,606313-- 3 4,090529--3
3,200409-- 4 -6,582479-- 4 -5,044965--3
-1,485578-- 4 2,145859- 4 -5,567932--4
4,310271-- 5 — 1,181312-- 4 1,234580--4
-1,257611-- 5 2,700349-- 5 1,061458 -4
-3,423108-- 6 —1,502801-- 5 9,173600--6
1,081100--6 -2,811769--6 -1,713512--5
-4,697615-- 7 7,047587--7 -2,501681--6
4
5
-9,717631-- 2
—0,730598 0
1,540409 0
—0,717602 0
—5,221803-- 2
3,084647-- 2
-2,039979-- 2
9,670120-- 3
—4,754861-- 3
-6,101452-- 4
2,019098-- 4
1,215548- 4
2,807459-- 5
-1,548788-- 5
—2,718331-- 6
0,162235 0
2,423076 0
0,159655 0
-6,371120-- 2
-0,780092 0
—5,123920-- 2
1,398255-- 2
—1,578571-- 2
-1,511229-- 3
—5,478299-- 3
-5,394810-- 4
2,648590-- 5
-1,140973-- 4
-1,046321-- 5
—1,927965-- 5
значениях т
:
М2= = 0 , 0 1 6 2 5
э
6
—0,838119 0
0,859353 0
6,845073-- 2
0,868330 0
-0,867623 0
—3,233539-- 2
1,166402-- 2
—8,890239-- 3
2,716644-- 3
—2,983014-- 3
-1,556071-- 4
3,373491-- 5
—3,136791-- 5
4,017021-- 6
—5,123270-- 6
7
8
9
1,753689 0
6,845083--2
2,600507--2
4,794737--2
0,874227 0
—0,873695 0
-2,943860--2
8,620834--2
-9,055067--3
2,741183--3
-3,009554--3
— 1,511946--4
2,850918-- 5
-3,166101-- 5
4,060426--6
0,859353 0
8,968392--2
1,796135 0
6,915883--2
-3,163294--2
—0,878289 0
-2,959760--2
5,445475--3
-9,201565--3
—4,219329--4
—3,104890--3
-1,532401--4
6,384010--6
—3,247416-- 5
— 1,458390-- 6
6,845083-- 2
1,796135 0
9,039303-- 2
0,896177 0
4,848746-- 2
-2,889852-- 2
—0,894512 0
-2,987293-- 2
2,306850-- 3
-9,323438-- 3
-4,195659-- 4
—3,132240-- 3
—1,543464- 4
9,086040-- 7
-3,277310-- 5
10
2,600507-- 2
9,039303-- 2
2,718317 0
9,093311-- 2
-6,956219-- 3
2,766959-- 2
-2,933285-- 2
—0,900827 0
-3,014131-- 2
-8,538989-- 4
-9,446123-- 3
4,22/178-- 4
-3,160013-- 3
-1,554585-- 4
4,611710-- 6
Таблица
значениях т:
6
-0,730593 0
0,741103 0
0,120679 0
0,756478 0
—0,753909 0
—5,638745-- 2
1,946376-- 2
— 1,569528-- 2
4,186984-- 3
—5,136091-- 3
-5,448079-- 4
1,056283-- 4
-1,082529-- 4
9,473700-- 6
-1,747274-- 5
П.6
М 2 = 0 , 0 3 25
э
!
1
i
1
i
7
1,540409 0
0,120679 0
4,282689--2
8,437136--2
0,762627 0
—0,764468 0
-5,157764--2
1,412918--2
-1,569428--2
4,264996-- 3
-5,228950-- 3
-5,325875--4
8,748260-- 5
-1,103411--4
9,741390--6
1
8
9
0,741103 0
0,159655 0
1,618261 0
0,123248 0
-5,381917--2
—0,790833 0
-5,219378--2
8,380803-- 3
-1,621904-- 2
-1,493916-- 3
-5,575272-- 3
5,474426- 4
6,849090-- 6
-1,162518-- 4
-9,988020-- 6
0,129679 0
1,618261 0
0,115188 0
0,807995 0
8,532365-- 2
-6,207015-- 2
—0,807514 0
-5,427411-- 2
1,699896-- 3
-1,664823-- 2
-1,496541-- 3
-5,674050-- 3
-5,554416-- 4
-1,311263-- 5
-1,184249-- 4
10
4.282689-- 2
0,115188 0
2,469053 0
0,164176 0
-8,080880-- 3
4,887518-- 2
-5,119046-- 2
—0,813346 0
—5,410669-- 2
-3,061641-- 3
-1,710333-- 2
-1,519385-- 3
-5,774650-- 3
—5,635254-- 4
—3,340365-- 5
Р/пп " Р " разлжчшых
—1
—3
—5
— 7
—9
— И
—13
—15
—17
—19
—21
—23
—25
—27
—29
1
2
3
1,728839
0
—0,419289
0
—0,145366
0
7 , 2 9 1 3 8 2 -- 2
4 , 2 4 0 8 1 2 -- 2
1 , 9 4 7 3 2 0 -- 2
—4,555120-- 3
—2,416349-- 3
1 , 0 2 2 4 5 3 -- 3
4,006716
4
9 , 5 3 4 6 2 0 -- 5
—2,270214-- 5
—2,010388-- 5
5,743337-- 6
—2,475138-- 6
—0,419287
0
1,164183
0
—0,491742
0
0
-0,114861
4 , 9 9 7 8 8 5 -- 2
- 2 , 7 4 9 0 0 7 -- 2
1,250175-- 2
- 6 , 0 9 2 4 3 0 -- 3
- 1 , 9 3 7 9 8 5 -- 3
5,737109—4
3,280265
4
5,254120-- 5
- 3 , 7 0 6 2 6 7 -- 5
—1,683569-- 5
3,595696-- 6
1,164183
0
0,253151
0
0,557580
0
—0,556624
0
- 9 , 2 3 7 1 8 5 -- 2
3 , 4 9 9 0 5 4 -- 2
- 2 , 1 0 8 0 7 4 -- 2
3,815180-- 3
- 7 , 4 5 6 6 7 0 -- 3
—1,692300-- 3
2,982255-- 4
3,125479
4
- 1 , 3 5 7 1 8 0 --6
- 5 , 0 3 0 2 6 8 -- 5
- 1 , 5 4 9 8 1 8 -- 5
1
11
4
0
—0,145366
0
—0,491742
1,194685
0
0
—0,514676
- 9 , 5 3 8 7 4 2 -- 2
4,542374-- 2
—2,990642-- 2
1 , 3 3 8 0 7 8 -- 2
—6.493100-- 3
—1,842638—3
5,510087-- 4
- 3 , 4 8 1 3 0 4 -- 4
5 , 8 2 8 4 5 0 -- 5
- 3 , 9 5 3 7 8 1 -- 5
- 1 , 6 5 0 8 1 9 -- 5
0
0,253151
0
1,984913
0
0,254107
- 9 , 1 4 1 6 3 4 -- 2
—0,614005
0
—7,846205-- 2
1 , 8 5 4 0 9 2 -- 2
- 2 , 4 0 6 6 1 0 -- 2
- 4 , 6 7 7 6 5 9 -- 3
—8,850780—3
—1,706623
4
1,567970-- 5
—3,642079—4
- 6 , 7 1 6 8 0 7 --8
—6,433276-- 5
1J
2п+1
1
1
—1
—3
—5
—7
—9
— И
— 13
—15
— 17
- 1 9
—21
—23
—25
—27
—29
5
1 , 1 0 0 5 9 9 -- 0
-0,177885
0
—0,164044
0
7,681870-- 2
—4,332129-- 2
1 , 8 2 4 9 4 8 -- 2
—2,209670-- 3
- 4 , 9 0 5 7 2 7 --3
1,572359-- 3
—7,039170--4
8 , 9 8 8 1 0 0 -- 5
—4,134400--6
- 7 , 3 2 1 6 2 5 --5
1,553728-- 5
—6,557420--6
Пр и м е ч а н .и е.
2
3
i1
1
0
0,756170
0 —0,164044
—0,179885
0
0
0
0,756170
0 —0,267110
0,309175
0
0,789667
—0,267110-- 0
0
0,358513
0
0 —0,345910
0 -0,292182
-0,130546
0
0 —0,112297
5,174691-- 2 —0,106081
4,953723-- 2
- 2 , 7 2 8 1 4 9 --2
3,559948-- 2
1,113407-- 2 - 2 , 1 6 9 0 4 7 -- 2 — 3 , 2 1 7 2 2 2 -- 2
1,270643-- 2
1 , 4 6 3 7 6 0 -- 3
- 5 , 5 4 3 9 4 0 --3
—4,037284-- 3 - 8 , 6 2 0 8 9 0 -- 3 —6,246970-- 3
3,947404-- 3
9,583230
4 —3,307042-- 3
1,004184-- 3
3,526830-- 3
-6,181700
4
1,253040-- 5 - 6 , 6 7 4 5 3 0 - - 4 — 6 , 9 1 3 8 7 0 - - 4
2,906770-- 5
- 6 , 0 8 1 3 4 0 - - 5 — 1 , 1 3 5 1 9 5 -- 4
- 6 , 4 2 3 6 3 8 -- 5 — 1 , 3 7 7 9 3 1 --4 —6,837090-- 5
8,451160--6 - 6 , 4 1 3 3 3 3 --5 — 6 , 4 7 6 5 1 0 --6
Коэффициенты
а^^ и
п р и равлнчных
в табл. П.1 — П.8
0,309175
0
1,423958 0
0,321778
0
- 9 , 3 4 7 7 0 9 -- 2
0
—0,416391
—9,217186—2
1,546276-- 2
- 2 , 8 7 5 8 7 4 -- 2
—1,076540-- 2
—1,196646-- 2
4,011902-- 4
- 4 , 2 8 2 9 7 0 --4
- 8 . 9 8 5 7 2 0 --4
—2,942514--4
— 1 , 8 0 9 1 6 5 -- 4
записаны
«12 = -3.842003 • .10-2
Таблица
PffiiP)
т
2
1
2
3
4
5
6
12,739780
5,569774
0,315146
0,426244
0,511766
—0,154388
при различных значениях
3,561868
7,812264
—0,098316
1,981462
0,145548
;—0,019600
р
5
1
1
П.9
—2,420844
7,421578
—0,016388
2,994134
—0,158560
0,134960
—4,373886
4,860388
0,356332
2,751346
—0,104986
0,011882
так,
что
Л|2=0,065
э
значениях т:
6
7
8
9
—0,491742
0
0,557580
0
0
0,188269
0,606712
0
0
—0,598256
—8,596251-- 2
2,696013-- 2
- 2 , 2 4 2 9 2 8 -- 2
—4,717030-- 3
—7,732190-- 3
- 1 , 6 7 6 8 2 2 -- 3
2,443271
4
—3,257880-- 4
—1,971000-- 8
—5,243025-- 5
1,194685 0
0,188269
0
5,704023-- 2
0
0,131335
0
0,594049
—0,587660
0
- 7 , 9 3 8 0 1 6 - -2
1,869704-- 2
- 2 , 3 7 7 9 4 6 -- 2
4,905550-- 3
- 8 , 0 1 8 7 6 0 -- 3
- 1 , 6 6 0 2 2 4 -- 3
1,884980-- 4
3,390079
4
1,051090-- 6
0,557580
0
0,254107
0
1,325917
0
0
0,196725
- 7 , 7 5 0 6 5 4 -- 2
—0,630615 0
- 9 , 2 4 2 4 6 7 -- 2
9,232140-- 3
- 2 , 5 4 6 0 1 8 -- 2
- 4 , 7 9 1 9 8 1 -- 3
- 9 , 1 6 4 6 8 7 -- 3
- 1 , 7 5 8 2 8 2 --3
8,148070-- 5
- 3 , 7 8 0 3 8 0 --4
- 6 , 7 9 9 7 9 3 --5
0,188269
0
0
1,325917
0,262562
0
0,668342
0
0
0,116669
- 6 , 2 9 9 1 4 5 -- 2
0
—0,647343
- 8 , 4 4 6 2 5 8 -- 2
- 1 , 7 6 8 7 0 0 -- 4
- 2 , 6 8 9 2 6 8 -- 2
4,773442 - 2
- 9 , 4 9 0 4 9 3 --3
— 1 , 8 1 0 7 3 3 -- 3
— 1 , 4 9 4 5 8 9 -- 4
-3,925750-
10
-ч
5,704023-- 2
0,262562
0
0
2,051299
0
0,268951
1,301790-- 3
7,703906—2
—7,807386-- 2
0
—0,937217
- 8 , 7 5 7 5 7 9 -- 2
—9,855860-- 3
- 2 , 8 3 6 4 4 0 -- 2
- 4 , 9 2 3 9 5 2 -- 3
- 9 , 8 2 8 4 4 0 -- 3
— 1 , 8 6 4 3 0 1 -- 3
— 2,296728 - 4
Таблица
П.8
М2=0. 12
значениях т :
6
7
8
9
—0,267110
0
0,358513 0
0,230375 0
0,382979
0
—0,362057 0
—0,100490
0
2,601916-- 2
—2,476943-- 2
1,893890-- 3
—9,227650-- 2
—3,746415-- 3
2,266330-- 4
—7,232390-- 4
—1,124164-- 4
—1,262243-- 4
0,789667 0
0,230375 0
4,817518-- 2
0,160500
0
0,396995 0
—0,408009
0
—9,464443-- 2
1,591054-- 2
- 2 , 7 8 3 9 9 9 --2
2,099010-- 3
- 9 , 8 8 1 9 9 6 -- 3
- 3 , 7 9 3 8 0 4 --3
9,270600-- 5
- 7 , 7 9 5 6 2 8 --4
- 1 , 1 3 5 1 1 8 --4
0,358513 0
0
0,321778
9,718674-- 2
0.256285 0
- 7 , 9 5 7 8 0 8 -- 2
0
—0,436528
—9,924013-- 2
3,143610-- 3
- 3 , 2 1 0 3 1 8 -- 2
- 1 , 1 0 8 0 1 7 --2
—1,274744-- 2
- 4 , 2 4 2 0 6 0 --3
- 7 , 0 8 8 2 2 0 --4
- 9 , 6 1 8 7 9 8 --4
- 3 , 0 3 8 0 3 1 --4
0,230375 0
9,718674-- 2
0
0,342700
0,509321
0
0
0,176826
- 6 , 2 1 3 0 9 9 -- 2
0
-0,459403
—0,106574
0
- 9 , 8 3 0 4 4 0 -- 3
- 3 , 5 6 2 2 9 6 -- 2
— 1 , 1 5 7 6 7 8 -- 2
- 1 , 3 5 8 3 0 9 --2
- 4 , 4 8 0 6 6 1 --3
- 8 , 0 0 4 0 9 3 --4
- 1 , 0 2 8 4 6 1 --3
после семи значащих цифр следует показатель степени числа
i1
10
4,817518-- 2
0,342700
0
1,529363 0
0
0,359026
3,400662-- 2
9,809231-- 2
—0,116802
0
—0,485142
0
—0,114357
0
- 2 , 3 5 0 6 2 4 -- 2
- 3 , 9 3 2 4 0 6 -- 2
- 1 , 2 2 6 4 6 4 -- 2
- 1 , 4 4 7 6 2 0 -- 2
- 4 , 7 2 9 5 5 9 -- 3
- 1 , 0 0 2 9 9 0 --3
10. Например, в табл. F1.1
Т а б л и ц а П.10
С/
1
1
1
0,0965
—
4
5
Cft при разных значениях k
3
1
—0,4096:2
0,4589
—0,0118:2
0,0531 : 2
0,0167
—
—
—
—
—
—
—
—
В с е значения нужно умножить на 1,056 • 1 0 - \
1
1
—0,0160:2
0,0274:2
—0,0071 : 2
0,0029
—
0.0067:2
—0,0072:2
0,0044:2
—0,0024:2
0,005
(р) при различных значениях р
Qm
3
2
19,569252
9,995450
2,160298
1,469274
0,275672
1,428806
0,440150
0,174288
0,031874
0,039404
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
6,809700
14,328310
0,565248
3,928700
0,409388
0,503896
0,299064
0,267592
0,120542
0,002802
S
1
—2,519212
14,511482
0,273394
5,458742
0,361154
—0,027728
—0,308394
0,327668
0,148824
-0,018194
—6,034062
10,265510
1,159682
5,519498
0,182706
0,025134
—0,130738
0.293604
0,075730
0,025560
Таблица
1
0
©
1
2
3
П. 12
А^, при разных значениях к
•
1
1
1
1
\
2
11,6613-4 0,4653 —35,6783
6,8208
—
2,6725:2
0,9031 -4,0408:2
—
—
— 19,1801:2
31,5765
—
—
—
6,1982
4
1
— 1,5281
1,6843:2
— 1,0587:2
2,3413:2
—2,4044:2
0,8785
5,6826
— 1 , 8 5 7 1 i: 2
— 3 , 3 5 3 0 i :2
— 3 , 9 8 6 1 ;; 2
4
—
—
—
—
5
6
— .
—
—
—
—
—
—
—
—
—
!1
5
2,3841
—
6
0,9149-2
—0,7315
0,1518
— 1,0648
1,1487
—0,7917
0,1833-4
Все значения нужно умножить на 1,144 • 10-
Табл:ица
П.13
Bj^ при разных значениях k
1
2
1
5,7790
1
2
3
4
5
1
—0,1078:2
0,0200
—
3
—
—
—
—
—
—
—
1
1,1189:2
—0,0422:2
—0,4504:2
0,0671
-4,6583:2
0,0424:2
0,9383
—
4
1
—0,4895:2
0,0195:2
0,1989:2
—0,0586:2
0,0110
—
Все значения нужно умножить на 1,056'Ю-'.
Таблица
Di Од, при разных значениях к
1
0
0
1
2
3
4
5
6
П. 14
1
1
2
0,6746-4 —2,2334 —0,3837
—
1,9838 0 , 8 6 7 7 : 2
—
—
0,1960
1
3
1,6152
—2,9828:2
—0,7934:2
1,1724
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Все значения нужно умножить на 1,144-.10-
1
5
4
—0,6751
0,9098:2
—0,0330:2
-0,5322:2
0,2606
—
0,6113
—0,9848:2
—0,0742:2
0,6380:2
—0,3777:2
0,1734
—
6
-0,2904-2
0,4559
0,0247
—0,2896
0,1869
—0,1664
0,0394-4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие
Глава
Л. Виды искажений и помех в многоканальных
радиосвязи и метод их
исследования
системах
1Л. Виды искажений и помех
1.2. Метод анализа
Глава
2. Многоканальное
сообщение
и
сигнал
2Л. Многоканальное сообщение и его математическая модель
2.2. Статистические характеристики многоканального сообщения .
2.3. Фаза сигнала, модулированного по частоте многоканальным сооб
щением
2.4. Корреляционная функция и энергетический спектр сигнала, модулиро
ванного по частоте многоканальным сообщением
2.5. Вычисление энергетического спектра сигнала, модулированного по ча
стоте многоканальным сообщением
Список литературы к гл. 2
.
Глава
3. Переходные
помехи
в групповом
4. Переходные
помехи,
вызванные
Введение
Переходные помехи, вызванные одним эхо-сигналом
. . . .
Искажения, вызванные многими эхо-сигналами, и их сложение .
Энергетический спектр переходных помех, вызванных эхо-сигналами
Способы вычисления энергетического спектра переходных помех
Мощность переходных .помех, вызван-ных эхо-сигналами, и ее стати
стические характеристики
Список литературы к гл. 4
5. Переходные помехи в телефонных
вызванные
радиопомехами
Переходные
помехи
35
44
47
53
59
70
71
72
80
84
93
102
каналах,
5.1. Введение
5.2. Действие полезного ЧМ сигнала и ЧМ радиопомехи на идеальный
частотный детектор
.
5.3. Действие полезного ЧМ сигнала и AM радиопомехи на идеальный частотный детектор
5.4. Действие полезного ЧМ сигнала и радиопомехи на реальный частотный детектор
6.5. Помехи, возникающие при одновременном усилении нескольких ЧМ
сигналов в общем усилителе
Список литературы к гл. 5
Г л а в а 6.
32
эхо-сигналами
4.il,.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
Глава
26
тракте
3.1. Корреляционная функция и Э1нергет1ический спектр переходных помех
3.2. Мощность переходных помех в канале
3.3. Переходные помехи из-за ограничения амплитуд многоканального сообщения
Список литературы к гл. 3
Глава
19
22
103
105
121
127
141
156
в высокочастотном тракте
6.1. Необходимая ширина полосы пропускания высокочастотного тракта .
6.2. Общее выражение фазовой ошибки, возникающей при прохождении
ЧМ сигнала через линейный четырехполюсник
6.3. Квазистационарное приближение и условия его применения
157
166
170
1
Стр.
6.4. Метод расчета переходных помех, ooHOBaHiHbift на квазистационаргном
приближении
6.5. Метод расчета, основанный на общем выражении фазовой ошибки
.
6.6. Применение метода парных эха к расчету переходных помех в высокочастотном тракте
6.7. Статистические ха(рактеристи1к1и мощности переходных помех и огеределевие допусков на отклонения характеристик ВЧ тракта от идеальных
6.8. Переходные помехи, возникающие в частотном детекторе
.
.
.
Список литературы к гл. 6
Глава
7. Линейные
искажения
сообщения
в высокочастотном
17Q
180
191
198
208
217
тракте
7.1. Постановка задачи и общее выражение продуктов искажений при
гармонической модуляции
7.2. Линейные искажения сообщения и дифференциальные характеристики
тракта
Список литературы к гл. 7
Приложение
218
224
228
229
Сергей Владимирович
Бородич
ИСКАЖЕНИЯ и ПОМЕХИ В МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ
РАДИОСВЯЗИ С ЧАСТОТНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
Редактор Ф. Г.
Художник С. И.
Цейтлин
Томилин
Технический редактор К. Г.
Корректор М. П.
Маркой
Механик
Сдано в набор 9/IX 1975 г.
Подп. в печ. 4/ХИ 1975 г.
Т-18964. Формат 60 x 90/,е. Бумага тип. № 2
16,0 усл.-печ. л. 17,35 уч.-изд. л.
Тираж 5 500 экз.
Изд. № 14241.
Зак. № 194.
Цена 1 руб. 71 коп.
Издательство «Связь>. Москва 101000, Чистопрудный бульвар, д. 2
Типография издательства «Связь»
Москва 101000, ул. Кирова, д. 40
Госкомиздата
СССР