МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) А.А. ЗЛЕНКО ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) ЗАОЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ Утверждаю Декан заочного факультета, проф. Карагодин В.И. ______________ «____» ____________ 2014 г. ЗЛЕНКО А.А. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ МОСКВА МАДИ 2014 УДК 517 ББК 22.161 З 67 Зленко, А.А. З 67 Введение в математический анализ: методические указания к самостоятельной работе по математике / А.А. Зленко. – М.: МАДИ, 2014. – 36 с. Данные методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов первого курса, квалификации бакалавриата и специалитета, начинающих изучать математический анализ. В краткой, сжатой форме они содержат основные теоретические сведения по теории пределов, производной, исследованию функций и построению графиков. Теоретические положения иллюстрируются примерами, помогающими понять суть излагаемых вопросов. В конце каждого раздела даны упражнения для лучшего понимания и усвоения материала. УДК 517 ББК 22.61 © МАДИ, 2014 3 ПРЕДИСЛОВИЕ Данные методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов первого курса, квалификации бакалавриата и специалитета, изучающих высшую математику, а именно начала математического анализа. Как правило, студенты-заочники обладают дефицитом времени и имеют недостаточную базовую подготовку. Им трудно сразу читать учебники по высшей математике, которые предполагают, что читатель уже подготовлен. И данные методические указания служат первым приближением к изучению материала. Они содержит в сжатом, компактном виде, основные определения, теоремы и свойства по теории пределов, производной, исследованию и построению графиков функций. Теоретические сведения снабжены многочисленными примерами, помогающими лучше понять суть излагаемых вопросов и методическими указаниями по практическому применению теории к решению задач. В конце каждого раздела даны упражнения для усвоения и закрепления теоретического материала от самых простых задач до среднего уровня сложности. Если рассматривать эти методические указания как некую образовательную услугу, то этого явно недостаточно. Мы хотим дать именно знания, а это возможно только при самостоятельной интерактивной проработке материала. Как обычно, студенты-заочники обладают уже неким жизненным опытом, который подсказывает им, что до всего нужно «докапываться». И этот навык они стараются применить и при изучении математики. Они часто задают вопросы, а почему это определение формулируется именно так, а не иначе. А что получится, если немного изменить формулировку. А откуда все это взялось? И так далее и тому подобное. И это замечательное качество, которое нужно, несомненно, применять и развивать при работе с данными методическими указаниями. Только на этом пути возможно получение знаний и достижение истины. Возникающие вопросы нужно записывать, а затем находить ответы у преподавателя, в Интернете и в учебниках. Проработав темы данных методических указаний, можно приступать к углубленному изучению теории, с разбором доказательств теорем в учебниках по математическому анализу. Методические указания могут быть использованы при выполнении контрольных работ и для подготовки к экзаменам. Изучение введения в математический анализ служит основой для дальнейшего успешного овладения математикой и является базой для овладения другими, инженерно-техническими, дисциплинами на пути становления грамотного, высококвалифицированного, бакалавра и специалиста. Историческая справка До ХХVII века математический анализ представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач таких, например, как вычисление площадей плоских фигур, объемов тел с кривыми границами, работа переменной силы и т.д. Каждая задача или частная группа задач решалась своим, подчас довольно-таки громоздким и сложным способом. В связи с возникновением понятия бесконечно малой величины, возникло и понятие предела функции, на котором зиждется понятие производной. Оказалось, что все вышеназванные задачи, и многие другие можно решать одними и теми же методами. Нужно сказать, что представление о преде- 4 ле функции имели еще древнегреческие ученые (Архимед и др.), но окончательно теория пределов была разработана О. Коши в начале XIX в. В 1673–1686 гг. Г. Лейбниц заложил основы дифференциального и интегрального исчислений, ввел термины функция, дифференциал, производная dy , абсцисса, ордината и др. dx И. Ньютон также стоял у истоков новой науки, разрабатывая математику непрерывных процессов. В 1748 г. Л. Эйлер опубликовал монографию «Введение в исчисление бесконечно малых». В 1797 г. Ж. Лагранж ввел современные обозначения производной: y ,f x ,f x ... В математическом анализе объектом изучения явля- ется, прежде всего, функция, строгое определение которой дано Н. Лобачевским. В природе и технике всюду встречаются процессы, описываемые функциями. Отсюда вытекает объективная важность математического анализа как средства изучения функций. Фундаментальное значение играют элементарные функции, с которыми чаще всего оперируют на практике. Понятие функции существенно базируется на понятии действительного числа, которое окончательно сформировалось в конце XIX в. Благодаря этому удалось формально обосновать идеи Р. Декарта, который ввел прямоугольную систему координат и представление в ней функций графиками. Наряду с изучением функций действительной переменной возникла и теория функций комплексной переменной благодаря трудам Л. Эйлера, К. Гаусса и других ученых, которая нашла свое применение в гидродинамике, аэродинамике в решении многих важных проблем (явление флаттера крыла самолета, М. Келдыш 1941 г.). Глубокое осмысление исходных понятий математического анализа связывают с развитием в ХIX–XX вв. теории множеств, теории меры, теории функций действительного переменного, которое привело к разнообразным обобщениям. 1. ПРЕДЕЛЫ 1.1. Определения и свойства пределов Введем предварительные понятия, необходимые для понимания определения предела функции. 0 ) точки a называется множество точек x – окрестностью ( таких, что a x a ,x a , или 0 x a . a x a ‒ левосторонняя ‒ окрестность точки a . 0 x a ‒ правосторонняя ‒ окрестность точки a . x a ‒ означает, что x может быть в любой, сколь угодно малой, ‒ окрестности точки a . x a 0 ‒ означает, что x может быть в любой, сколь угодно малой, левосторонней ‒ окрестности точки a . x a 0 ‒ означает, что x может быть в любой, сколь угодно малой, правосторонней ‒ окрестности точки a . 5 x ‒ означает, что x может быть больше любого, сколь угодно большого, наперед заданного положительного числа. x ‒ означает, что x может быть больше любого, сколь угодно большого, наперед заданного положительного числа. x ‒ означает, что x может быть меньше любого, сколь угодно малого, наперед заданного отрицательного числа. Пусть числа a и A конечные величины. Определение 1. Число A называется пределом функции a , если для любого, сколь угодно малого, 0 суy f x при x ществует такое 0 , что как только 0 Записывается это так: lim f x x , следует f x x a x Возьмем любое, сколь угодно малое, 3 5. 0 . Тогда 2x 1 5 / 2 . Итак, мы можем взять x 3 . A. a Пример. Докажем по определению, что lim 2 x 1 2x 6 A равным / 2 и, следовательно, наше утверждение доказано. Определение 2. Число A называется левым (правым) пределом функции y f x при x a 0 ( x a 0 ), если для любого, сколь угодно малого, a x a (0 x так: lim f x x a 0 0 a существует такое ), следует f x A A ( lim f x x a 0 0 , что как только . Записывается это A ). Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами. Определение 3. Число A называется пределом функции , если для любого, сколь угодно малого, 0 суy f x при x ществует такое 0 , что как только x писывается это так: lim f x x , следует f x A . За- A. По аналогии можно самим сформулировать определение предела при x и x . Пример. Найти lim 2x . Это также односторонний предел. x x z Решение. Сделаем замену: z . Отсюда следует, 1 1 что lim 2x lim 2 z lim z . Мы видим, что выражение z при x z z 2 2 6 z уменьшается, оставаясь положительным, и может быть меньше любого, наперед заданного, сколь угодно малого 0 , т.е. 1 1 . Тогда 2z и, логарифмируя это неравенство слева и справа z 2 1 1 по основанию 2 , получим log2 z . Итак, за мы можем взять log2 и, следовательно, если z или x log2 1 1 0. x z 2z Определение 4. Функция x или 2x , т.е. lim 2x 1/ 2z log2 1 lim называется бесконечно малой функцией в точке a , если ее предел равен нулю при x Пример. x x a. n a , где n – любое натуральное число. Определение 5. Функция x называется бесконечно большой a. функцией в точке a , если ее предел равен при x Это означает, что для любого, сколь угодно большого, B 0 суx B. 0 , что как только 0 x a ществует такое , следует При этом x либо положительна, либо отрицательна в ности точки a . Записывается это так: lim x a x – окрест- . 1 . 0 x2 Пример. Вычислить lim x 1 . x2 Логично предположить, что предел равен бесконечности. Пусть 1 B , где B – любое, сколь угодно большое положительное число. x2 Нам нужно найти ‒ окрестность нуля, где это неравенство выполня1 1 1 1 ется. Из него получаем, что . x2 x x B B B B 1 1 Следовательно, за возьмем и lim 2 . x 0 x B Арифметические свойства пределов Пусть существуют конечные пределы lim f x и lim g x , (здесь Решение. Чем меньше аргумент x , тем больше выражение x под a мы подразумеваем конечное число или 1. lim cf x c lim f x , где c const, x a x a a x ) тогда: a 7 2. lim f x x a 3. lim f x x a f x 4. lim x ag x g x lim f x x g x x x a , где g x a a lim g x , a lim g x x x lim f x lim f x x lim g x , a 0, lim g x x 0. a a 1.2. Основные методы вычисления пределов 1.2.1. Если y f x элементарная функция, то lim f x x f a в a области определения функции. x 2 3 22 3 1 Пример. lim . x 2 x 2 2 2 4 1.2.2. Если предел числителя равен конечному числу, а предел знаменателя равен нулю, то предел дроби равен . cos x 1 1 Пример. lim . x 2 sin x 1 0 1.2.3. Проблемы при вычислении пределов возникают, если встречаются неопределенности. Укажем основные из них и способы их раскрытия. 0 1.2.3.1. Неопределенность типа . Она возникает, если чис0 литель и знаменатель дроби являются бесконечно малыми функцияa. ми в точке a , т.е. их предел равен нулю при x 1.2.3.1.1. Если дробь представляет собой отношение двух многочленов, предел каждого из которых равен нулю, то можно разложить на множители числитель и знаменатели и сократить на множители, дающие ноль. Пример. x3 1 lim 2 x 1x x 2 0 0 lim x x 1 x2 x 1 x 1 x 1 x2 x 1 lim x 1 x 2 2 3 3 1. 1.2.3.1.2. Если дробь представляет собой алгебраическое выражение, содержащее корни, то можно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение, предел которого не равен нулю. Пример. x2 lim x 3 x 9 3 0 0 x2 9 x 3 lim x 3 x 3 x 3 8 x 3 x 3 x 3 lim lim x 3 x 3 12 3 . x 3 x 3 1.2.3.1.3. Применение первого замечательного предела: x 3 lim sin 0 0 0 1. Он и называется первым замечательным, потому что часто используется и широко известен. Пример. sin x 2 2 x2 4 lim x sin x 2 2 x 2 lim x 0 0 sin x 2 x 2 x 2 lim x 1 4 2 x 2 , sin x 2 2 x 2 lim x 1 sin lim 4 0 0 1.2.3.2. Неопределенность типа lim x 2 1 1 4 1 x 2 1 . 4 . Если выражение представляет собой отношение двух многочленов или это отношение содержит иррациональное выражение со степенью переменной, то можно разделить числитель и знаменатель на максимальную степень этой переменной. x 2 3x 5 Пример. Найти предел lim . x x 2x 2 Мы видим, что это неопределенность типа . Максимальная степень числителя и знаменателя равна x 2 . Разделим почленно числитель и знаменатель на x 2 . Получим: 1 3 / x 5 / x2 lim x 1/ x 2 lim 1 3 / x x lim 1/ x x 5 / x2 2 1 0 0 0 2 1 . 2 При делении на x 2 неопределенность исчезла и мы легко вычислили предел. 1.2.3.3. Неопределенность типа . Если выражение представляет собой разность корней, то для раскрытия этой неопределенности можно умножить и разделить выражение на сопряженное. 9 Пример. 2x 2 lim x 2x 2 3x lim x lim 2x 2 3x 2x 2 3x x 5x 2x 2 3x 2x 2 3x 2x 2 5x 5x 2x 2 2 3/x 2x 2 x 5x 2x 2 3x 2 3/x x 8 5x 5x 8 lim 2 5/x 2x 2 8x lim 8x x 5x 2x 2 2x 2 lim x 2x 2 3x 2 5/x 2 2. 2 2 1.2.3.4. Неопределенность типа 1 . Эту неопределенность можно раскрывать с помощью второго замечательного предела: 1 lim 1 0 x 1 lim 1 x x 1 e 2.71828. Этот предел замечателен тем, что дает нам число e , являющееся основанием натуральных логарифмов, и который широко применяется. Пример. lim x 1 4 3x 8 x 1 x 1 1 lim 1 x 1 1 x 1 4 1 x 8 x 4 1 x , 8 x 4 2 0, x 4 Замена : x 1 4 lim 1 4 7 1 lim 1 0 0 7 1 4 7 e . 1.3. Упражнения 1. Найти пределы: x2 4 1. lim . x 2 x 2 x 2 . 2 2 x 5x 6 4. lim x x 2 25 2. lim . x 5 3x 15 16 x 2 . 4 x2 6x 8 5. lim x 2x 2 32 3. lim . x 4 x 4 6. lim x 3 x3 x2 9 . 2x 2 3 x 10 x 7. lim x 1 x 0 10. lim x 4 1 x x 2 sin x 1 . cos2x 9. lim x 6 3 . 3 x 1 cos x . 0 sin2 x 12. lim tg 2 x . tgx 15. lim cos x . cosx cos3x x 14. lim x 6 x sin x 17. lim 3x 2 1 19. lim 2 . x x 4x x 5 7x 4 20. lim . x 9 x 3 2x 5 4x 2 x 3 22. lim . x 10x 1000 23. lim x 2 4 2 6x 3 x 5x 3 18. lim . 25. lim 2 . x 28. lim x 3 30. lim x2 x 2x 1 2 . 29. lim x x2 6x x2 3x 4 x 11x 2x 20 3 3 3 x 1 21. lim . x x 5x 3 3 4 x6 1 x3 24. lim . x x 1 . 1 26. lim . x 3 2x 3 x x 0,5 x x 2 6 x 3 7x 2 16. lim 2 . x x 10x x 3 x 3 2 . sin 2 x sin x . 0 sin2x sin4x x x 11. lim 13. lim x x 1 . 12 5 x 8. lim . 27. lim 4 7 1 5 x 4x x2 x . x . 9 . 2. Найти пределы, используя первый замечательный предел: sin3 x 2sin5 x 4x 1. lim 2. lim 3. lim . . . x 0 x 0 x 0 sin0.5 x x 3x sin x tg10 x sin2x 4. lim 5. lim 6. lim . . . x 0 tg 7 x x 0 tg 8 x x 0 sin6 x sin2 x 2 . 2 6x 3 7. lim x 10. lim x 2 13. lim x 2 cos x x . 3x 3 . 1 sin 4 x 4 8. lim x tg 2 x 10 . 5 x 5 9. lim x x tgx 11. lim . x x 12. lim tg 2 x . tg 5 x 15. lim3 x 2 2. ctgx 2 tgx . sin3 x 14. lim x x 2 tg 7 x . ctgx . 11 arcsin x . 0 x 2x . x x 0 arctgx 1 cos2x 1 cos 4 x 19. lim 20. lim . . 2 x 0 x 0 1 cos2 x x sin x sin3 x 7x 22. lim 23. lim . . x 0 x 0 cos2 x x cos 4 x cos x cos3 x sin 4 x sin x 25. lim . 26. lim . x x 0 sin13 x sin2x sin5 x sin7 x 16. lim 17. lim x 2 . 29. lim cos x x 4x . 0 arcsin9 x 18. lim x x sin x . x 0 1 cos x sin x sin2x 24. lim . x 0 6x cos x cos3 x . 27. lim sin x sin3 x x 21. lim 2 3 sin2x 28. lim . x 01 1 x 2 30. lim x 1 2 5 x . sin2 x 3. Найти пределы, используя второй замечательный предел: 1 x 1. lim 2 x x 0 1 x 4. lim 1 x x 0 x 0 13. lim 1 x 16. lim 1 x 0 19. lim 1 x x . 1 x x 1 x 0 . x 1 x x x x ctgx . . 20. lim 1 x 1 2x 1 x . 1 28. lim ln 1 x . x 0 x 1 x 1 x 0 2x 3 x . 12. lim 1 x x . 2x 1 3 4 x tgx . . 1 x 3x 8 x . 3x 18. lim 1 x 0 4 x 21. lim 1 x x . 1 5x 2x 2 5 2x 3 x 1 x 2 ctg 2 x 0 1 29. lim ln 1 x . x 0 x . 27. lim x 1 4 6 x x ex 1 30. lim . x 0 x 3 x 1 . 6 x 10 8 3 2x 24. lim 1 sin x . x 9 15. lim 1 x 3 7x . 2 3x x 0 . x 6 9. lim 1 x x 1 x . 2 26. lim x 0 x . 7 x 6. lim 1 3 x x 23. lim 1 ctgx x 1 x x . 6x 17. lim 1 x 0 1 x . x 4 2 1 2 5x 0 3. lim 4 4 14. lim 1 x 1 2x . 5 2 1 x 0 11. lim 1 x 2 x . 1 8. lim 1 x 5x 0 25. lim x 5. lim 1 4 x . 22. lim 1 tgx x x x 2 7. lim 1 x x 10. lim 1 2. lim 3 . x 2 x . . . 12 2. ПРОИЗВОДНАЯ 2.1. Краткие теоретические сведения и примеры Обозначения: функции, y y x x ‒ приращение аргумента; x y ‒ приращение y x . Определение. Производной функции y f x в фиксированной точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (есy ли этот предел существует): y . lim x 0 x Существуют и другие обозначения производной: y f x yx dy . dx Если производная конечная величина, то функция является дифференцируемой в точке x . Механический смысл производной – это скорость изменения процесса, описываемого данной функцией. Пример. Если S t – путь, проходимый автомобилем за время t , то V t S t (производная пути по времени) – мгновенная ско- рость движения автомобиля, т.е. та скорость, которую водитель видит на спидометре. Геометрический смысл производной – это тангенс угла наклона касательной к графику функции y f x в данной точке x (рис. 1). Y y = f(x) y'(x) = tgφ φ O x Рис. 1 Пример. Найти производную функции y sin x по определению. X 13 y lim x sin x 0 sin x lim 0 x 2 lim x x 2x x cos 2 2 x 2sin x x x x 2sin lim 0 cos x x 2 x x 0 sin x x x 2 lim cos x x 0 x 2 x 2 1cos x cos x. Свойства производной для дифференцируемых функций cf x , где c 1. cf x 2. f x g x g x . f x 3. f x g x f x g x f x g x 4. const . f x g x g x 5. Пусть f u и u x f x g x . f x g x , g x 2 0. – дифференцируемые функции, тогда f u x – сложная функция, а fx u x fu u ux x – ее производная. Таблица производных основных элементарных функций 1 2. sin x 1. x x . 4. tgx 1 . cos2 x 5. ctgx 1 7. arccos x 1 x 2 . 8. arctgx cos x. 3. cos x sin x. 1 . 6. arc sin x sin2 x 1 . 9. arcctgx 1 x2 1 2 . 1 x 1 . 1 x2 1 1 a x ln a, e x ex. 11. a x , ln x . x ln a x Примеры вычисления производных функций с помощью свойств и таблицы 1 3 ,y x3 3x 4 . 1. y 3 x x4 2. y cos3 x . Это сложная функция, сделаем замену u cos x , 10. loga x тогда y u3 3. y ln2x x 3u 2u x ln2 x, y 1 x ln2x 1. 3cos2 x cos x x ln2 x x ln2 x 3cos2 x sin x . x ln2x 1 ln2x x 2x 2x 14 Дифференциал функции Из определения производной следует, что приращение функции можно приближенно представить в виде y y x x . Определение. Главная, линейная относительно x , часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается так: dy y x x . Из этого определения следует, что y x x y x dy y x y x y y x x dy и y x x . Эта формула используется для приближенных вычислений без калькулятора. Пример. Вычислить 8.98 . Решение. Введем функцию y x x 1 0.01 0.02 3 3 0.003 3 2 9 Производные высших порядков x 8.98 3 Определение. Второй производной y . В общем случае n -ой производной y зывается производная от ее y n x y n 1 x e4 x n x y 2 x x функции y x на- n 1 -ой производной y n 1 , т.е. . Пример. Найти y , если y y 2.997 . x функции y x назы- вается производная от ее первой производной, т.е. y y x 9 0.02. Отсюда следует, что 8.98 9 y x 1 . Пусть x 2 x x, y x e4 x 4x 4e 4 x , y e4x . 4e 4 x 16e 4 x , y 16e 4 x 64e 4 x . Производные функций, заданных параметрически Можно задать функцию в явном виде y метрически: y y t ,x x t , t – параметр, f x , а можно параt . Как в этом слу- чае найти производные y x , y x ? Приведем готовые формулы: y x y t , x t y x y t x t x t y t x t 3 . 15 Пример. Известно уравнение окружности с центром в начале координат x 2 y 2 R2 , где R – радиус окружности. Параметрическое уравнение окружности зададим в виде: x R cos t, y R sin t, 0 t 2 . Вычислим y x , y y x x . R sin t R cos t R sin t R cos t R cos t y R sin t R cos t R sin t ctgt , 2 R sin t R sin t R cos t 3 R sin3 t 3 R 2 sin2 t cos2 t R 3 sin3 t 2 1 . R sin3 t 2.2. Упражнения 1. Найти производные: 1. y 4. y x2 7. y 5 x x3 e x 2 e x 2 2x 3 . x2 sin x 1 8. y . cos x 11. y cos3x. 14. y cos3 x. 17. y cos2 3x. 20. y . 1 x 22. y 2 . 25. y ln tg 23. y x . 2 3. y x3 5. y . . x2 1 10. y sin2x. 13. y sin2 x. 16. y sin3 2x. 19. y 1 . x 2. y x. 26. y 6. y 9. y 12. y 15. y 18 y 3 8 10 x 2 . 21. y 1 6cos7 x. 24. y 5 1 x arcsin x . 27. y 1 . x x 4 4x 2 6x . x cos x 1 . sin x tg 4x. ctg 4 x. tg 5 6x. x sin . x 2 1 . 3 5 e3 x ln x 1 x2 . 1 x . 1 x 2. Вычислить приближенно выражения, используя дифференциал функции: 1. 4.02. 2. tg48 . 3. ln0.98. 4. cos95 . 5. 3 66. 28. y 6. e0.03. x sin2x x 2 cos2x. 7. sin32 . 29. y 1 x 4 arctgx 2 . 8. arctg 0.05. 9. 2.01 10 . 30. y ln 10. arcsin0.03. 16 3. Найти производные высших порядков: 1. x 5 6 2. ln 2 x . 3 6. arcsin0.5 x 3 3. cos2 3 x . . 4 . 7. arctgx n 10. Докажите, что sin x . 3 8. ctg 3 x sin x 1 x 4. tg . 2 4. Найдите производные y x и y . 5. 45 x . 3 . 1 x2 9. ln x . n x функций, заданных па- раметрически: 3t 2 1. 1 3. x , y cos2t. t cos2t, y ctg 2t. 6. x 2. x t2 1 1. x t, y 4. x ln t 2, y 7. x 1 t 2 , y arc sin t. 8. x sin34t , y tg 34t. 9. x 1 4t 2, y arcctg 2t. 5. Написать уравнение касательной y k x и нормали y n x к 5. x t. 4, y 1 t 2, y . 2 t arctgt. кривой y x в точке с абсциссой x0 , если они имеют следующий вид: yk x y x0 y x0 x x0 , y n x x3 1. y x 2 5x 6, x0 2. 2. y 4. y x ln4x 1 , x0 0,25. 5. y 7. y x 10. y 13. y x 1 , x0 1. 8. y 3 sin 4 x 1, x0 8 1 tg 2x 2, x0 3 16. y cos3 4 x, x0 19. y arccos 4 x, x0 22. y 2x 3, x0 3 . 14. y . 17. y 1 , x0 x x3 3 cos 5. 3. y x, x0 10 x3 , x0 . 11. y 6 4x 2 1 y x0 y x0 x x4 2. 6. y 3. 9. y x 2 4, x0 sin3 2 x, x0 4arctg 2x, x0 12 3 x x0 . 2 ,x0 1. 1 , x0 3. 1 x2 1 , x0 3. 6 x ln x , x0 e 1. x x 3 ctg 2 , x0 . 3 4 . 12. y . 15. y 3 . 18. y 2 arcsin3 x, x0 1 x . 20. y 2ln x 5, x0 e. 21. y , x0 4. 8 x 3 4 x 2 , x0 1. 3. 23. y 5 3x 1, x0 0. 24. y 1 25. y 28. y 1 . 6 x x 7 e , x0 sin x , x0 cos6 x 6 0. 26. y . 29. y xe x , x0 ln x 1 , x0 ln x 1. 27. y e. 30. y e x , x0 1. x 2 6x , x0 x 6 3. 17 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 3.1. Основные свойства функций 3.1.1. Непрерывность функции Определение 1. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x a , если выполнены три условия: 1) функция существует в этой точке и f a A ; 2) существует конечный предел lim f x ; 3) этот x предел равен значению функции в точке x Определение 2. Функция y f x a a , т.е. lim f x x a A. называется непрерывной на интервале a, b , если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Определение 3. Функция y f x называется непрерывной на отрезке a, b , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого интервала и непрерывна в точке a справа, а в точке b ‒ слева (смотри односторонние пределы). Теорема. Все элементарные функции непрерывны в области их определения. Если хотя бы одно из вышеперечисленных трех условий в первом определении не выполнено, то функция называется разрывной в точке x a . Классификация разрывов 1. Устранимый разрыв. Определение. Точка x a является точкой устранимого разрыва, если существует конечный lim f x и этот предел не равен знаx a чению функции в точке x a (в самой точке функция может существовать, а может и не существовать). sin x Пример. Рассмотрим функцию: y (рис. 2). В точке x 0 x функция не определена, хотя существует конечный предел sin x lim 1. Разрыв можно устранить, определив функцию следуюx 0 x sin x , если x 0 и y 1, если x 0. щим образом: y x 2. Разрыв первого рода. Определение. Точка x a является точкой разрыва первого рода, если существуют конечные, не равные между собой, односто- 18 ронние пределы lim f x x a 0 x lim f x (в самой точке функция может a 0 существовать, а может и не существовать). y 0.75 0.5 0.25 0 –5 –2.5 0 2.5 5 x x Рис. 2 x Пример. Дана функция: y . Это означает, что y 1, если x 0 и y 1, если x 0 (рис. 3). В точке x 0 функция не существует, но существуют конечные односторонние пределы: lim y ( x ) x 0 0 1, lim y ( x ) 1. Как мы видим, они не равны друг другу. x 0 0 Y 1 0 X –1 Рис. 3 3. Разрыв второго рода. Определение. Точка x a является точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен . Пример. Рассмотрим функцию: y пределы в точке x 2 : lim y x x 2 0 3 1 x 2 ,x 2 . Найдем односторонние 0, lim y x x 2 0 этой точке разрыв второго рода (рис. 4). . Следовательно, в 19 y 50 37.5 25 12.5 0 –5 –2.5 0 2 2.5 5 x Рис. 4 3.1.2. Четность и нечетность функции Определение. Функция называется четной, если y x y x . Геометрически это означает, что график функции симметричен относительно оси OY . Если y x y x , то функция называется нечетной. У этой функции график центрально симметричен относительно начала координат. Если функция не является ни четной ни нечетной, то ее называют функцией общего вида. Пример. Функция y x 2 четная, так как x 2 x 2 . Ее график – всем известная парабола (рис. 5). x 3 ‒ нечетная, потому что Функция y x 3 x 3 . График этой функции – кубическая парабола (рис. 6). y 25 20 15 10 5 0 –5 –2.5 0 2.5 5 x Рис. 5 20 y 100 50 0 –5 –2.5 0 2.5 5 –50 x –100 Рис. 6 3.1.3. Периодичность функции Функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям ее аргумента или вычитании от значений ее аргумента некоторого, не равного нулю, числа T называется периодической функцией с периодом функции T , т.е. f x T f x . При этом предполагается, что аргумент x T также принадлежит области определения функции, как и x . Периодов у функции может быть много. Как правило, за T берут наименьший положительный из них. Для построения графика функции с периодом T 0 достаточно построить ее график на отрезке [0, T ] , тогда весь график получается сдвигом построенной части вдоль оси абсцисс на T , 2T ,... . Пример. Функции sin x и cos x имеют период 2 , функции tgx и ctgx – В общем случае, функции sin x,cos x имеют T tg x , ctg x период равен функции y / cos x на интервале . , а у функций 2 / . На рисунке 7 изображен график 4, 7 (в радианах). 3.1.4. Асимптоты функции Определение 1. Прямая x a называется вертикальной асимптотой функции y f x , если хотя бы один из ее односторонних пределов равен , т.е. lim f x x a 0 , или lim f x x a 0 . Заметим, что при построении графика функции важен именно знак этой бесконечности. 21 1 y 0.5 –2.5 0 2.5 5 2π x –0.5 –1 Рис. 7 Пример. 1 . Очевидно, x x Дана функция y x 1 1 , lim x 0 0 x x 0 0 x асимптота (рис. 8). lim 0 . Рассмотрим пределы: . Отсюда следует, что x y 0 – вертикальная 25 20 15 10 5 0 –2.5 1.25 –5 0 1.25 2.5 –10 x –15 –20 –25 Рис. 8 Определение 2. Прямая y kx b называется наклонной асимптотой функции y f x , если lim f x x kx b 0 . Если k асимптота называется горизонтальной. Заметим, что под символом мы подразумеваем или При этом коэффициенты k и b вычисляются по формулам: f x k lim , b lim f x kx x x x и асимптота существует, если эти пределы конечны. 0 , то . 22 Пример. 4x 2 1 Дана функция y x . Очевидно, она имеет вертикальx 0.5 ную асимптоту x 0.5 . Найдем наклонные асимптоты. 1 4 2 2 4x 1 4x 2 1 x k lim lim 4, b lim 4x x x x 0.5 x x 0.5 x 0.5 1 x 1 2 4 x 2 1 4 x 2 2x 1 2x x lim lim lim 2. x x x 0.5 x 0.5 x 0.5 1 x Отсюда следует, что y 4x 2 ‒ наклонная асимптота. Схематиче- 4x 2 1 с асимптотами изображен на рис. 9. x 0.5 ский график функции y x y 50 25 0 –5 2.5 0 2.5 5 x –25 Рис. 9 3.1.5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума Определение 1. Функция y f x называется возрастающей (не убывающей) на интервале a, b , если для любых x1 и x2 , принадлежащих a, b и таких, что x1 x2 , следует f x1 Определение 2. Функция y f x2 f x2 . f x1 f x называется убывающей (не возрастающей) на интервале a, b , если для любых x1 и x2 , принадлежащих a, b и таких, что x1 x2 , следует f x1 f x2 f x1 f x2 . Определенные выше функции называются монотонными. Сформулируем условия монотонности функции. 23 Теорема 1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале a, b функция не убывала (не возрастала) необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции y была неотрицательной (неположительной) везде на a, b . Теорема 2. Для того чтобы дифференцируемая на интервале a, b функция y f x возрастала (убывала) на этом интервале, достаточно, чтобы производная этой функции y была положительна (отрицательна) везде на a, b . Пример. Найти участки монотонности функции y x 2 5x 6 . Решение. Вычислим производную этой функции: y 2x 5 . Мы видим, что производная больше нуля, если x 2.5 и отрицательна, если x 2.5 . Из вышесказанного следует, что на интервале , 2.5 функция убывает, а на интервале 2.5, функция возрастает (рис. 10). y 6.25 5 3.75 2.5 1.25 0 0 1.25 2.5 3.75 5 x Рис. 10 Определение 3. Функция y f x имеет в точке x c локаль- ный максимум (локальный минимум), если существует такая – окрестность точки c в пределах которой значение f c является наибольшим (наименьшим). Локальный максимум и минимум функции называются экстремумами функции. На рисунке 11 точка M1 – точка максимума, а точка M2 – точка минимума. Определение 4. Точки, в которых производная y y функции f x равна нулю, называются стационарными точками функции. 24 Первое достаточное условие экстремума Теорема 3. Пусть функция y f x дифференцируема всюду в некоторой окрестности стационарной точки c . Тогда, если при переходе через эту точку слева направо производная y меняет знак c «+» на «-» , то в этой точке – максимум, если – с «-» на «+», то в этой точке – минимум. Если же при переходе через эту точку производная знак не меняет, то экстремума в точке c нет. Y M1 M2 O x1 – δ x1 + δ x1 x2 – δ x2 x2 + δ X Рис. 11 Пример. 1 3 x . Найдем стационарные точки. 3 0 . Отсюда получаем две стационарные Рассмотрим функцию y y 4x 3 x2 точки x1 x 2 4x 1 0 и x2 x4 0.25 . При переходе через точку x1 производная знак не меняет, а при переходе через точку x2 слева направо производная меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в этой точке – минимум (рис. 12). Второе достаточное условие экстремума Теорема 4. Пусть функция y f x имеет в данной стационарной точке c конечную вторую производную. Тогда в этой точке локальный максимум, если y с 0 , и локальный минимум, если y с 0. 25 y 0.0075 0.005 0.0025 0 –0.25 –0.125 0 0.125 0.25 0.375 x Рис. 12 Пример. Дана функция y Стационарная точка c e x2 0 . Вычислим y : y сюда следует, что y 0 максимум, ymax y 0 . Найдем ее производную: y x 2e x2 4 x 2e 2xe x2 x2 . . От- 2 0 и в данной стационарной точке – 1 (рис. 13). y 1 0.75 0.5 0.25 0 –2.5 –1.25 0 1.25 2.5 x Рис. 13 3.1.6. Выпуклость графика функции, точки перегиба Пусть функция y f x дифференцируема в любой точке интервала a, b . Тогда, как мы знаем, существует касательная к графику функции в любой точке данного интервала, причем эта касательная не параллельна оси OY . Определение 1. Функция y f x имеет на интервале a, b выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции 26 лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на этом интервале. Функцию, направленную выпуклостью вниз, также называют вогнутой, а направленную выпуклостью вверх, просто выпуклой. На рисунке 11 часть функции в окрестности точки x1 является выпуклой, а в окрестности точки x2 – вогнутой. Теорема 1. Если функция y f x имеет на интервале a, b конечную вторую производную y и она на нем неотрицательна (неположительна), то график функции является вогнутым (выпуклым) на этом интервале. Пример. Рассмотрим функцию y x 3 на любом конечном интервале a, a , где a и равна y 0 . Ее вторая производная на этом интервале конечна 6x . Тогда на интервале a, 0 вторая производная от- рицательна и, следовательно, график функции является выпуклым, а на интервале 0, a вторая производная положительна и, следовательно, график функции является вогнутым (рис. 6). Определение 2. Точка C c,f c графика функции y f x на- зывается точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки c , в пределах которой график функции слева и справа от точки c имеет разные направления выпуклости. Теорема 2. (необходимое условие перегиба графика дважды дифференцируемой функции). Если функция y f x имеет в точке c вторую производную и график этой функции имеет перегиб в точке C c,f c , то y c 0. Теорема 3. (достаточное условие перегиба графика функции). Пусть в некоторой окрестности точки c существует вторая производная функции y f x и y c 0 . Тогда, если в этой окрестности вторая производная y x имеет разные знаки слева и справа от c , то график этой функции имеет перегиб в точке C c,f c . На рисунке 14 изображены графики функций, имеющие перегиб в точках C1 и C2 . При переходе через эти точки слева направо у них разные направления выпуклости и в этих точках существует касательная. 27 y''(x) < 0 y''(x) < 0 C2 C1 y''(x) > 0 y''(x) > 0 Рис. 14 Пример. Дана функция y sin x . Вторая производная y x sin x . Она существует везде в области определения функции. Найдем точки, в которых производная обращается в ноль: sin x 0 . Корни этого уравнения x . При перехоk, k Z . Рассмотрим точки x 0 и x де через точку x 0 слева направо вторая производная функции меняет знак c «+» на «-». Это означает, что график функции слева от точки x 0 является вогнутым, а справа – выпуклым и, следовательно, точка x 0 ‒ точка перегиба (рис. 15). При переходе через точку x слева направо вторая производная функции меняет знак c «-» на «+». Это означает, что график функции слева от точки x является выпуклым, а справа – вогнутым и, следовательно, точка x – точка перегиба (рис. 15). Функция y sin x является периодической с периодом T 2 . Поэтому все остальные точки из множества {x k, k Z } также являются точками перегиба. Таким образом, функция y sin x имеет бесконечное число точек перегиба на интер- вале . ; y 1 0.5 π 0 –4 –π –2 2 –0.5 –1 Рис. 15 4 x 28 3.1.7. Общая схема исследования и построения графика функции 1. Область определения функции D f . Это множество значений аргумента, при которых функция существует, т.е. принимает конечные значения. 2. Область непрерывности функции. Точки разрыва и их тип. 3. Асимптоты функции. Поведение функции на бесконечности (при x ). 4. Четность, нечетность функции. 5. Периодичность функции. 6.Точки пересечения графика функции с осями координат и области знакопостоянства функции. У точек пересечения графика функции с осью OY абсцисса x 0 , а у точек пересечения графика функции с осью OX ордината y 0 . Области знакопостоянства функции – это те интервалы из области определения функции, на которых она или положительна или отрицательна. 7. Интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума. 8. Интервалы выпуклости и вогнутости функции. Точки перегиба. 9. Область значений функции E f . Это множество тех значений функции, которые она принимает. Замечание. Иногда бывает трудно сразу найти область значений функции и мы можем определить ее, только построив график функции. Для построения графика функции нужно сначала отметить точки пересечения с осями, точки экстремума, провести асимптоты, а затем использовать все остальные свойства. Пример. 1 . Исследовать и построить график функции y x x 1. Область определения функции: x R, x 0. 2. Функция непрерывна при x разрыв: lim x x 0 0 1 x {( , 0) (0, )} . В точке x 0 – . Отсюда следует, что это разрыв второго рода. 29 3. Найдем асимптоты. Точка x k lim x y x x lim 1 x 1 x2 1, b 0 – вертикальная асимптота. lim y x kx x lim x 1 x y 0 kx b x – наклонная асимптота. 1 4. y x x y x . Следовательно – функция нечетная. x 5. Определим, является ли функция периодической? Пусть y x T y x . Отсюда следует, что x T T 1 x T T x( x T ) 1 x x 0 T 1 1 x x T 1 T 1 x( x T ) 0 0. Последнее равенство возможно для всех x только при T 0 , т.е. функция является непериодической. 6. График функции не имеет точек пересечения с осью OY , т.к. x2 1 x 0 , и не имеет точек пересечения с осью OX , т.к. y 0 . Из x этой формулы мы видим, что y 0 , если x 0 , и y 0 , если x 0 . 7. Найдем производную функции и определим ее знак: 1 x2 1 x 1 x 1 )} , y 1 2 y 0 , если x {( , 1) (1, x x2 x2 1. Это и y 0 , если x ( 1, 1) . Производная равна нулю, если x 1 ‒ абсцисса максимума функции, так как y точки экстремума. x меняет знак при переходе через эту точку слева направо c «+» на «-», ymax y 1 2 . x 1 ‒ абсцисса минимума функции, так как y ме- няет знак при переходе через эту точку слева направо c «-» на «+», ymin y 1 2 . 8. Найдем вторую производную функции и определим ее знак: y 1 1 x2 2 x3 y 0 , если x 0, и y 0 , если x 0 . Отсюда получаем, что при x 0 функция вогнута, а при x 0 – выпукла. Мы видим, что вторая производная в ноль не обращается и при x 0 не существует, и сама функция в этой точке не определена. Следовательно, точек перегиба нет. Схематический график функции приведен на рисунке 16. Мы видим, что функция не принимает значе- 30 ний в интервале 2; 2 , следовательно, область значений функции E f это объединение интервалов: ; 2 2; . Y 2 –1 X 1 O –2 Рис. 16 3.1.8. Полярные координаты В декартовой прямоугольной системе координат OXY координаты точки M ‒ это ее проекции на оси OX и OY , т.е. x и y , которые однозначно определяют ее положение на плоскости. Но однозначно положение точки на плоскости можно задать и другим способом с помощью чисел и , связанных с координатами x и y следующими соотношениями (рис. 17): x cos , y sin . Y M y ρ(φ) φ O x Рис. 17 X 31 Здесь ‒ расстояние от точки M до начала координат O , полярный радиус, 0 , ‒ угол, который радиус-вектор OM образует с положительным направлением оси OX , полярный угол. Если 0 , то угол не определен. Для получения однозначных координат точки, обычно ограничивают значения угла интервалом 0, 2 (или , ), хотя каждой точке на плоскости может соответствовать бесконечное значение углов с точностью до 2 n . Точка O называется полюсом, ось OX ‒ полярной осью. Полярный радиус , тригонометрические функции полярного угла и угол выражаются через x и y по следующим формулам: x y y x 2 y 2 , cos , sin , tg , x x2 y 2 x2 y 2 arctg y , если x x 0, y arctg 0; arctg y x y x , если x 2 , если x > 0, y < 0; 0; 3 , если x 0, y 0. 2 2 Многие уравнения, которые в декартовой системе координат записываются сложным образом, в полярной системе записываются значительно проще. На рисунке 17 через точку M проходит некоторая кривая, заданная уравнением , если x 0, y 0; Пример 1. Уравнение окружности радиуса R в декартовой и в полярной системах координат имеет соответствующий вид: x 2 y 2 R2 и R, 0 2 Пример 2. Дана функция cos2 . Построить по точкам ее график в полярной системе координат. Записать уравнение полученной кривой в декартовой системе координат. Так как 0 , то cos2 0 4 2 k 2 4 2 , если k 2 0; 2 k 3 4 4 k 5 , если k 4 4 1. k 32 При остальных значениях k области допустимых значений угла на плоскости повторяются. Ниже приведена таблица значений функции в нескольких точках на интервалах 4 0 8 2/2 0 1 8 2/2 3 5 . ; 4 4 и ; 4 4 4 3 4 7 8 0 0 2/2 1 9 8 5 4 2/2 0 По этим нескольким точкам построим схематический график функции (рис. 18). Y φ = π/4 φ = 3π/4 φ = π/8 φ = 7π/8 O 1 X φ = 9π/8 φ = –π/8 φ = 5π/4 φ = –π/4 Рис. 18 Мы видим, что график состоит из двух одинаковых, симметричных относительно осей OX и OY , лепестков. В декартовой системе координат уравнение данной кривой имеет вид: x 2 y 3 2 2 x2 y2. 3.2. Упражнения 1. Найти точки разрыва функции их тип (если они есть) и указать характер поведения функции (четная, нечетная, общего вида): 1 3 x 1 . . 1. y 2. y 3. y . x x 2 4x 5 sin x cos x . . 4. y 5. y 6. y sin2x 1. x x 1 sin3 x . . 7. y 8. y 7x 2 0.5. 9. y 2 x x 33 10. y 4cos5x. 13. y x2 4 . x 2 16. y ctg 3x. 19. y 21 x. 22. y x2 25. y ctgx . 4 4x. sin x . x 1 x 3 14. y . x2 9 x 17. y . x 11. y 12. y 8x 3. 15. y 5x. 18. y 4 . x 21. y 1 2 x 3 20. y 3x 2 23. y 1 2 sin x. 2 24. y tgx 1. 26. y 3tg 2x. 27. y arcsin x. 6x. 5x 2. ln( x 1) ex 28. y arctgx. 29. y 30. y . . x x 2. Найти асимптоты следующих функций: 1 1 2 1. y 2. y 3. y . . . x x 2 x 3 5 4 3 4. y 5. y 6. y . . . 2 2 2 x 4 x 9 4 x 25 1 2x 1 x 7. y x 8. y 9. y . . . x x x 1 3x x x2 5 10. y 11. 12. y . . y . x2 1 x 2 25 9 x 2 16 x2 1 x3 x2 x 13. y 14. 15. . y . y . x 2 5x 6 x 1 x2 2 16. y 3e x . 17. y 2e 3 x . 18. y ln x 1 . 19. y ln 4 x . 20. y tg 2x. 21. y 2ctgx 5. 22. y arctgx. 23. y arcctgx. 24. y arctgx + 2x . 26. y sin5x 27. y cos2x 25. y x 2 1. x. x. 29. y arctg 2x. 30. y xe x . 2x 2 3. 3. Найти интервалы возрастания и убывания функций, и точки экстремума (если они есть): 1. y x 2 1. 2. y x 2 4x. 3. y x 2 x 6. 28. y 4. y x2 2x 8. 5. y x3 3x. 6. y x4 8x. 34 7. y 10. y 13. y 16. y 19. y 1 . x 4x 2 1 . x e3 x . sin2x. 2tgx + 0.5. 14. y 17. y 20. y x 1 . x x . x2 1 e 2x . 3sin x 1. ctgx 7. 8. y 11. y 15. y 18. y 21. y 1 . x x 2 . x2 5 xe x . 4cos x + 5. ln6 x. 9. y x 12. y 22. y x ln x. 23. y arctg 3x. 24. y arctg 2x 2 . 25. y 3arcsin x 2. 26. y 5arccos x 8. 27. y arcsin x 2. x 3 x. 30. y 2sin2 . 2 2 4. Провести полное исследование и построить графики следующих элементарных функций: 1. y 2x 2 1. 2. y 3. y x 2 2x 1. 3x 2 4. 1 4. y 5. y 2x 2 x 1. 6. y . x 2 5x 6. x 1 x 3x 1 x 4 7. y 8. y 9. y . . . 2 x x 8 7x 1 3 5x 2 10. y x 11. y 12. y sin2x. . . x x 28. y sin x 0.5x. 29. y 13. y 2cos x 16. y tgx 1. 17. y 19. y 3 2x 20. y 22. y ln2x. 25. y 2arcsin x 28. y arctgx . 15. y cos2 x. 3. 18. y e2 x . xe x . 21. y 1 3 x. 23. y log2 x 1 . 24. y ln 3 x . 26. y arccos x 14. y 3. 6. . cos x sin x 4 3ctgx 2 . 27. y 2arcsin x 3 . . 29. y 2arctg x 1 . 30. y arcctgx 4. 2 5. Найти область определения и построить по точкам графики функций, заданных в полярной системе координат: cos . 1. 2. 3. sin . cos 1. 4. sin 7. cos 0.5. 2 . 2 5. 2cos 8. sin2 . 1. 6. 2sin 9. cos3 . 3. 35 10. sin . 3 13. 3 2 16. . . 11. 4cos . 2 12. 3sin5 14. 0.5 . 15. e 17. 2 2 19. . 20. 3 22. cos . 23. sin . 25. ln 28. arcsin 1. 3 2 . 3 2 4 18. . 1. 1 2 2 . . 27 . 21. 24. 2 1 . cos2 26. ln . 27. ln 29. 3arccos . 30. 2arctg sin2 . 1. 4 . СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ .......................................................................................... 3 Историческая справка ................................................................................ 3 1. ПРЕДЕЛЫ ................................................................................................ 4 1.1. Определения и свойства пределов ............................................... 4 1.2. Основные методы вычисления пределов..................................... 7 1.3. Упражнения ...................................................................................... 9 2. ПРОИЗВОДНАЯ .................................................................................... 12 2.1. Краткие теоретические сведения и примеры ............................. 12 2.2. Упражнения .................................................................................... 15 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ........... 17 3.1. Основные свойства функций ........................................................ 17 3.1.1. Непрерывность функции .................................................... 17 3.1.2. Четность и нечетность функции ........................................ 19 3.1.3. Периодичность функции .................................................... 20 3.1.4. Асимптоты функции ............................................................ 20 3.1.5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума .... 22 3.1.6. Выпуклость графика функции, точки перегиба ................ 25 3.1.7. Общая схема исследования и построения графика функции................................................................. 28 3.1.8. Полярные координаты ........................................................ 30 3.2. Упражнения .................................................................................... 32 ЗЛЕНКО Александр Афанасьевич ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ Редактор Т.А. Феоктистова Подписано в печать 20.01.2014 г. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,25. Уч.-изд. л. 1,8. Тираж 500 экз. Заказ . Цена 40 руб. МАДИ, 125319, Москва, Ленинградский пр-т, 64.
© Copyright 2021 DropDoc