PDF версия задачи

Задачник КВАНТА.
http://fizportal.ru
Ф10. Как из четырех тонких проволочных спиралей с сопротивлениями 10 Ом,
20 Ом, 30 Ом и 40 Ом, рассчитанных на выделение мощности не более 2 Вт на каждой, составить нагреватель наибольшей возможной мощности, если имеется источник тока с ЭДС 20 B и внутренним сопротивлением 20 Ом?
Решение.
Докажем вначале, что во внешней цепи выделяется тем большая мощность, чем
ближе сопротивление нагрузки к внутреннему сопротивлению источника.
Ток в цепи, состоящей из включенных последовательно источника с ЭДС E и
внутренним сопротивлением r и нагрузки с сопротивлением R, равен I 
E
. ПоRr
E2
R . Нарисуем график зави( R  r )2
симости W от сопротивления нагрузки R. При R = 0, W = 0; при R   можно пренеE2R E2
бречь r по сравнению с R в знаменателе дроби. Тогда W  2  .
R
R
То есть при больших R ( R  r ) график зависимости W от R – это гипербола,
этому мощность, выделяемая на нагрузке, W  I 2 R 
асимптотически приближающаяся к оси R. Так как функция W(R) непрерывна, равна
нулю при R = 0 и убывает при R   , то она должна иметь максимум. Найдем его.
Выражение W 
E2
( R  r )2
R
максимально,
когда
обратное
выражение
миE2R
( R  r )2
нимально. Но
( R  r )2
1 R 2  2 Rr  r 2
2
1 
r2 




r
R

.
E2R
E2
R
E2
E2 
R
Это выражение минимально, когда минимально выражение
R
r2
.
R
r2
r2
2 R
(соотношение между средним арифметическим и средR
R
r2
r2
), то R   2r . Следовательно, минимум
ним геометрическим двух чисел R и
R
R
2
r
суммы R  равен 2r и достигается при r = R.
R
Так как R 
Итак, мощность, выделяющаяся на нагрузке, максимальна при R = r. График зависимости W ( R) показан на рисунке.
Из графика видно, что W ( R) тем больше, чем ближе R к r. Это
означает, что из спиралей нужно составить нагреватель с сопротивлением, как можно более близким к 20 Ом. Использовать лишь спираль с сопротивлением 20 Ом нельзя, так как
при этом на ней будет выделяться мощность
W
r
R
40 Ом
30 Ом
10 Ом
20 Ом
2
 E 
W 
 R  5 Вт, а каждая из спиралей рассчитана на вы Rr 
деление мощности не более 2 Вт.
Из всех возможных схем соединения спиралей наилуч-
шая приведена на рисунке. Сопротивление такого нагревателя равно 20 Ом, выде2
20 
ляющаяся в нагревателе мощность W  
 20  5 Вт. Нетрудно подсчитать, что
 20  20 
наибольшая мощность выделяется на спирали с сопротивлением 20 Ом и равна 1,8
Вт.
Рассмотрим вопрос, о том, как зависит КПД электроустановки от сопротивления нагрузки.
E2
, а полезная мощRr
R
E2R
ность, как мы получили, равна
, то, обозначив отношение
через , полу2
(R  r)
r
R

чим для КПД следующее выражение:  

. КПД велик при больших соR  r 1 
Так как мощность, отдаваемая источником, равна EI 
противлениях нагрузки, когда в цепи идет маленький ток. При  = 0,  = 0; при
  ,   1 . При  = 1, когда в нагрузке выделяется максимальная мощность,  =
0,5 = 50 %. При этом, конечно, в самом источнике выделяется такая же мощность,
как в нагрузке. Источник становится печкой.
Увеличивая КПД установки, мы одновременно уменьшаем полезную мощность, выделяющуюся на нагрузке.