Вопросы к коллоквиуму по алгебре и геометрии I семестр 2014 г

Вопросы к коллоквиуму по алгебре и геометрии I семестр 2014 г.
гр. 8101, 8102
Лектор Н.Ю. Золотых
1. Поле комплексных чисел: операции над комплексными числами в алгебраической форме записи.
2. Тригонометрическая форма записи и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Умножение
и деление комплексных чисел в тригонометрической записи. Формула Муавра.
3. Извлечение корня натуральной степени из комплексных чисел.
4. Числовые кольца и поля.
5. Многочлены. Сложение и умножение многочленов. Свойства операций. Деление с остатком.
Делимость.
6. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Коэффициенты Безу. Расширенный алгоритм
Евклида
7. Взаимно простые многочлены. Критерий. Свойства.
8. Деление на линейный множитель. Теорема Безу. Схема Горнера
9. Корни многочлена. Кратность корня. Производная многочлена. Корни производной.
10. Основная теорема алгебры (без доказательства). Разложение на линейные множители. Единственность
разложения. Разложение на линейные и квадратичные множители многочлена с вещественными
коэффициентами.
11. Формулы Виета.
12. Интерполяционный многочлен. Существование и единственность. Интерполяционный многочлен в
форме Лагранжа.
13. Неприводимые многочлены над полем. Существование и единственность разложения многочленов на
неприводимые множители. Освобождение от кратных множителей.
14. Отыскание рациональных корней многочлена с целыми (рациональными) коэффициентами.
15. Неприводимость многочленов над полем рациональных чисел. Примитивные многочлены. Лемма
Гаусса.
16. Признак Эйзенштейна неприводимости многочленов над кольцом целых чисел.
17. Алгоритм Кронекера разложения многочлена над кольцом целых чисел.
18. Геометрические векторы. Линейные операции над ними. Коллинеарные и компланарные векторы.
Базис. Аффинная (общая декартова) и прямоугольная системы координат. Деление отрезка в заданном
отношении.
19. Скалярное произведение геометрических векторов. Его свойства. Выражение скалярного
произведения через координаты в ортонормированном базисе.
20. Векторное и смешанное произведения. Их свойства. Выражение смешанного произведения через
координаты векторов. Выражение векторного произведения через координаты векторов в
ортонормированном базисе.
21. Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений.