§3. Теорема Коши

§3. Теорема Коши
Теорема Коши. Если функции f (x) и g (x)
1. определены и непрерывны на отрезке [a, b],
2. дифференцируемы на интервале (a, b),
3. g ( x)  0 на интервале (a, b),
то на интервале (a, b) найдѐтся хотя бы одна точка с такая, для которой
будет справедливо равенство
f (b)  f (a) f (c)
,
(3.1)

g(b)  g(a) g(c)
называемое формулой Коши.
►Из условия теоремы следует, что g(b)  g(a) , иначе бы, в силу теоремы
Ролля, на интервале (a, b) нашлась бы хотя бы одна точка х0 , в которой бы
g(х0)  0 , что противоречит условию g(x)  0 на интервале (a, b).
Рассмотрим вспомогательную функцию
f (b)  f (a)
g(х)  g(а) .
F (x)  f (x)  f (a) 
g(b)  g(a)
Она обладает следующими свойствами:
1) F (x) непрерывна на отрезке [a, b] как алгебраическая сумма
непрерывных функций;
2) F (x) дифференцируема на интервале (a, b) как алгебраическая сумма
дифференцируемых функций, при этом
f (b)  f (a) 
(3.2)
F (x)  f (x) 
g (x) ;
g(b)  g(a)
3) F(а)  F(b) = 0.
Итак, для функции F (x) выполнены условия теоремы Ролля, поэтому на
интервале (a, b) найдѐтся хотя бы одна точка с такая, что F(с)  0. При х  с
f (b)  f (a) 
из (3.2) получаем: 0  f (с) 
g (с) , отсюда следует равенство
g(b)  g(a)
(3.1).◄
Пример 3.1. Проверить справедливость теоремы Коши для функций
f (x)  x3  8x и g ( x)  x 2 2  2 x , заданных на отрезке [2, 4].
►Для f (x) и g (x) на отрезке [2,4] выполнены все условия теоремы
Коши. Поэтому на интервале (2, 4) есть хотя бы одна точка с, для которой
справедлива формула Коши, имеющая в данном случае вид:
2
f (4)  f (2) 3c2  8
или 40  3c  8 . Отсюда для с получаем уравнение:

2
c2
g(4)  g(2)
c2
3c2  20c  32  0 , которое имеет два корня: c1  4, c2  8 3 . Так как
c1  4  (2, 4) , то заключаем, что c  8 3 .◄
Замечание 3.1. Как и в случае теоремы Ролля, можно привести примеры,
показывающие, что условия теоремы Коши существенны для еѐ заключения.
1º. Геометрическая интерпретация теоремы Коши. Пусть дуга Г задана
параметрически: x  x(t ) , y  y(t ) , t  [α, β] , а функции x(t ) , y (t )
удовлетворяют на отрезке [α, β] условиям
y


y (β)  y (α) yt ( γ)
B
у (β)
теоремы Коши, поэтому:
, где

x(β)  x(α) xt ( γ)
T
(α,β) (см. (3.1)). Правая часть этого равенства
у (γ)
C

yt ( )
= yx (x( γ))
–
угловой
коэффициент
у (α)
xt ( )
A
x
касательной, проведѐнной в точке C(х(γ),(y(γ)) к
x() x( ) x()
O
кривой Г, а левая – угловой коэффициент хорды
Рис. 4.1. К геометрической
АВ, А(х(α),(y(α)),B(х(β),(y(β)).
интерпретации
Итак, на кривой Г есть точка С такая, что
теоремы Коши
проведѐнная в ней касательная Т к Г параллельна
хорде, соединяющей концы дуги Г (рис. 4.1).
2º. Физическая интерпретация теоремы Коши. Пусть материальная
точка движется по дуге Г, заданной параметрически: x  x(t ) , y  y(t ) ,
[t1 , t 2 ] . Параметр t трактуется как время, а функции x(t ) , y (t ) удовлетворяют
на этом про
межутке условиям теоремы Коши. В силу формулы (3.1) получаем равенство:
y (t 2 )  y (t1 ) y(t*)
, t* (t1 , t 2 ) . Итак, на интервале (t1 , t2 ) есть момент

x(t 2 )  x(t1 ) x(t*)
времени t*, в который вектор скорости движения точки v( x(t*), y(t*))
будет коллинеарен вектору AB , где A( x(t1 ), y(t1 )), B( x(t 2 ), y(t 2 )) – концы
дуги Г.