Болотник Н. Н. 2172 - XII Всероссийское совещание по

2172
УДК 62.50
АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ КАЧЕСТВА
ПРОТИВОУДАРНОЙ ИЗОЛЯЦИИ К ФОРМЕ
ВНЕШНЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
Н.Н. Болотник
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Россия, 119526, Москва, просп. Вернадского, 101, корп. 1
E-mail: [email protected]
В.А. Корнеев
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Россия, 119526, Москва, просп. Вернадского, 101, корп. 1
E-mail: [email protected]
Ключевые слова: противоударная изоляция, оптимальное управление, анализ
чувствительности
Аннотация: На модели с одной степенью свободы исследуется зависимость оптимального качества противоударной изоляции объекта, расположенного на подвижном основании, от формы ударного воздействия (внешнего возмущения), которому
подвергается основание. Под формой ударного воздействия понимается конкретный
вид зависимости ускорения основания, вызванного ударом, от времени. Изменение
скорости основания в результате удара считается заданным. Выделен класс возмущений, внутри которого оптимальное управление и оптимальное значение критерия
качества противоударной изоляции не зависят от формы возмущения. Предложена
методика численного анализа чувствительности критерия качества противоударной
изоляции к форме ударного воздействия. С помощью этой методики исследуется
зависимость минимального значения максимального смещения объекта относительно основания, вычисленного при ограниченной управляющей силе, действующей на
изолируемый объект, от формы внешнего воздействия для некоторых параметрических семейств возмущений.
1.
Введение
Проблема оптимального управления системой противоударной изоляции объекта, расположенного на подвижном основании, была поставлена в шестидесятые годы
прошлого столетия. Математическую формулировку соответствующей задачи предложил В.В. Гурецкий [1] для системы с одной степенью свободы в случае внешнего
воздействия кинематического типа, которое характеризуется ускорением основания,
заданным как функция времени. Предполагалось, что основание и защищаемый объект движутся вдоль одной прямой. Требовалось минимизировать максимум модуля смещения объекта относительно основания при условии, что управляющая сила,
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2173
создаваемая изолирующим устройством между основанием и объектом, не превышает по абсолютной величине заданного значения. В.В. Гурецким был разработан
графо-аналитический метод решения этой задачи, а также даны аналитические решения для некоторых внешних воздействий специального вида ( [1], [2]). Эта же
задача решалась американскими учеными Е. Севиным (E. Sevin) и У. Пилки (W.
Pilkey), которым принадлежит первая монография по проблеме оптимальной изоляции объектов от ударов и вибраций [3]. По-видимому, Е. Севин и У. Пилки пришли к задаче оптимальной противоударной изоляции независимо от В.В. Гурецкого. К настоящему времени решено достаточно большое количество задач оптимальной противоударной изоляции для заданного внешнего воздействия, а также
задач оптимальной гарантированной защиты от внешних воздействий, принадлежащих известному классу, разработаны численные методы решения задач оптимальной
противоударной изоляции систем со многими степенями свободы. Кроме книги [3],
основы теории оптимальной противоударной изоляции систематически изложены в
книгах [4]– [7]. Монографии [4]– [6] ориентированы на проблемы противоударной изоляции технических объектов, в монографии [7] рассматриваются проблемы травмозащиты людей-операторов, находящихся в условиях повышенной удароопасности (в
частности, спортсменов, водителей и пассажиров автомобилей, пилотов вертолетов).
В книге [6] дается аналитический обзор публикаций, посвященных оптимальной противоударной изоляции, а также приводится обширный библиографический список по
данной проблеме.
Важной и до сих пор до конца не решенной проблемой является анализ чувствительности качества противоударной изоляции к форме ударного возмущения при
некоторых известных характеристиках удара, в частности, изменении скорости основания в результате возмущения. Под формой возмущения здесь понимается конкретная зависимость ускорения основания от времени, характеризующая удар. Поясним
сказанное. Пусть, например, основанием является движущийся автомобиль (точнее,
его салон), защищаемыми объектами – водитель и пассажиры; роль противоударных изоляторов играют ремни и подушки безопасности. Допустим, что автомобиль
наезжает на неподвижное препятствие и в результате удара останавливается. Из параметров удара наиболее легко измеряется скорость наезда на препятствие. Ее можно
с достаточно высокой точностью определить до столкновения. Эта скорость равна
интегралу по ускорения основания, взятого с противоположным знаком. Сама же зависимость ускорения основания от времени зависит от многих причин, и определить
ее заранее практически невозможно. При теоретическом анализе и расчетах, ударное
возмущение, как правило, моделируется функциями, графики которых имеют простой вид, например, прямоугольника, треугольника или полуволны синуса. Для этих
воздействий и рассчитываются оптимальные законы управления противоударными
изоляторами. Представляет практический интерес ответ на вопрос, насколько велик
разброс значений максимального смещения защищаемого объекта при варьировании
формы возмущений, приводящих к одному и тому же изменению скорости основания, при управлении, рассчитанном для возмущения конкретной формы. Интересной
задачей представляется также выделение класса возмущений, внутри которого оптимальное управление и оптимальное значение критерия качества противоударной
изоляции не зависят от формы возмущения. Решению этих проблем посвящена настоящая статья.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2174
2.
Постановка задачи
Рассматривается механическая система (рис. 1), состоящая из жесткого основания и объекта, связанного с основанием посредством противоударного изолятора –
устройства, которое создает управляющую силу f между основанием и объектом и
служит для снижения нагрузки на объект в случае ударного воздействия на основание. Предполагается, что основание и объект движутся поступательно вдоль одной
и той же прямой. Обозначим: z – смещение основания относительно неподвижной
(инерциальной) системы отсчета, x – смещение объекта относительно основания, m
– масса объекта. Ударное воздействие на основание моделируется его ускорением z¨,
заданным как функция времени.
Основание
Объект
Управл.
сила
f
m
x
z
Рис. 1. Модель противоударной изоляции объекта на подвижном основании.
Движение объекта относительно основания описывается уравнением
(1)
x¨ + u = v(t),
u = f /m,
v = −¨
z.
Полагаем, что в начальный момент времени объект покоится относительно основания в положении, отвечающем нулевому значению координаты x:
(2)
x(0) = 0,
x(0)
˙
=0
и что возмущение v(t) имеет вид
(3)
v(t) = V (t − t0 ),
t0 > 0,
где функция V (ξ) определена для всех вещественных ξ, причем V (ξ) ≡ 0 для ξ 6 0,
а t0 – некоторый момент времени t0 > 0, который может быть задан или подлежать определению. Такое определение соответствует ситуации, когда возмущение V
начинает действовать на основание спустя время t0 после включения системы противоударной изоляции, то есть допускается возможность упреждающего управления.
Обозначим через xu (t; t0 ) решение уравнения (1) с начальными условиями (1)
при v(t) вида (3) и поставим для рассматриваемой системы задачу оптимальной
противоударной изоляции.
Задача 1. Для системы (1) с начальными условиями (2) и возмущением вида
(3) найти управление u(t), удовлетворяющее ограничению
(4)
|u(t)| 6 u0 ,
t ∈ [0, ∞),
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2175
и время упреждение t0 , при которых максимум модуля смещения объекта относительно основания
(5)
J(u, t0 ) = max |xu (t; t0 )|
t∈[0, ∞)
принимает минимальное значение.
Величина J(u, t0 ) характеризует размер рабочей зоны, которая должна быть отведена изолятору на основании для того, чтобы абсолютное ускорение объекта не
превышало величины u0 , при которой гарантируется физическая и функциональная
целостность объекта. Таким образом, Задача 1 отвечает минимизации размера рабочей зоны противоударного изолятора при условии, что сила, с которой изолятор
действует на объект, не превышает заданной предельно допустимой величины.
В дальнейшем рассматривается частный случай этой задачи, когда упреждения
нет и t0 = 0.
3.
Внешние возмущения
Ограничимся классом возмущений V (t), обладающих следующими свойствами:
1. V (t) > 0.
2. Возмущение имеет конечную длительность T : V (t) ≡ 0, если t < 0 или t > T .
3. V (t) < u0 при 0 6 t < t1 и t2 < t 6 T ; V (t) > u0 при t1 < t < t2 .
Перечисленные свойства означают, что возмущение действует только в одну сторону, не изменяясь в знаке, и что на одном и только одном интервале t1 < t < t2
абсолютное ускорение основания V (t) превышает величину u0 , максимально допустимую для абсолютного ускорения защищаемого объекта. Отметим, что один или
оба из интервалов 0 6 t < t1 и t2 < t 6 T могут быть пустыми, если V (0) > u0 или
V (T ) > u0 .
Случай, когда V (t) 6 u0 при 0 6 t 6 T , не рассматривается. В этом случае оптимальным управлением является управление u(t) ≡ V (t), обеспечивающее нулевое
смещение объекта относительно основания. Известно, что такое управление можно
реализовать с помощью устройства, обладающего характеристикой сухого трения:
u = u0 sign x,
˙ если x˙ 6= 0; u = V , если x˙ = 0 и V 6 u0 ; u = u0 sign V˙ , если x˙ = 0 и
V > u0 . Управление с характеристикой сухого трения обеспечивает нулевое смещение объекта относительно основания при любом возмущении V (t), удовлетворяющем
неравенству V (t) 6 u0 при 0 6 t 6 T .
Основными характеристиками ударного воздействия являются его длительность
T и интеграл
ZT
(6)
v0 =
V (t)dt,
0
характеризующий величину скорости, приобретенной (или потерянной) основанием в
результате удара. В дальнейшем параметры T и v0 считаются известными. Ниже задача оптимальной противоударной изоляции анализируется для некоторых частных
классов внешних воздействий.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2176
4.
Возмущения «симметричной» формы
Под возмущениями симметричной формы будем понимать воздействия, обладающие следующим свойством:
(7)
V (t) = V (T − t).
В этом случае график функции V (t) на координатной плоскости tV симметричен
относительно оси, проходящей через точку (T /2, 0) параллельно координатной оси V .
Для задачи оптимальной противоударной изоляции с симметричным возбуждением справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Если выполнено неравенство
√
(8)
T < 2( 2 − 1)v0 /u0 ,
то в задаче оптимальной противоударной изоляции без упреждения (t0 = 0) оптимальным управлением является управление u∗ (t), определяемое следующим образом:
(9)
u∗ (t) ≡ u0 ,
t ∈ [0, Tc ];
u∗ (t) ≡ 0,
t > Tc ;
Tc = v0 /u0 ,
а минимум максимальной величины смещения объекта относительно основания
рассчитывается по формуле
v0 v0
−T .
(10)
J(u∗ ) =
2 u0
Величина J(u∗ ), рассчитываемая по этой формуле, зависит только от продолжительности возмущения T и его интегральной характеристики v0 и не зависит от
конкретной реализации возмущения V (t) с этими параметрами.
Прежде, чем доказывать теорему, докажем простую лемму.
Лемма 1. Если функция V (t) удовлетворяет равенству (7), то
ZT
τ V (τ )dτ =
(11)
T v0
,
2
0
где величина v0 определяется интегралом (6).
Доказательство леммы 1. Из условия (7) вытекает равенство
ZT
ZT
τ V (T − τ )dτ.
τ V (τ )dτ =
(12)
0
0
Обозначим левую часть равенства (12) через I. Заменой переменной ξ = T − τ в
правой части с учетом соотношения (6) равенство (12) приводится к виду I = T v0 −I.
Разрешив это уравнение относительно I, приходим к соотношению (11).
Доказательство теоремы 1.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2177
Решение уравнения (1) с начальными условиями (2) представляется в виде
Zt
(13)
(t − τ ) (v(τ ) − u(τ )) dτ.
xu (t) =
0
Для u = u∗ (t) имеем
Zt
(14)
(t − τ ) (v(τ ) − u0 ) dτ,
xu∗ (t) =
t ∈ [0, Tc ];
xu∗ (t) ≡ xu∗ (Tc ),
t > Tc .
0
Из определения функции xu∗ (t) и свойств возмущения, перечисленных в разделе 2, вытекает, что x¨u∗ (t) < 0 при 0 6 t < t1 и t2 < t 6 T , в то время, как x¨u∗ (t) > 0
при t1 < t < t2 . Следовательно, функция xu∗ (t) вогнута на множествах 0 6 t < t1 ,
t2 < t 6 T и выпукла на интервале t1 < t < t2 . На каждом интервале выпуклости (вогнутости) функция может иметь только один экстремум, и этот экстремум
– минимум (максимум). На интервале 0 < t < t1 функция xu∗ (t) отрицательна и
монотонно убывает. Отсюда вытекает, что эта функция может иметь единственный
минимум на отрезке 0 6 t 6 t2 и единственный максимум на множестве t2 < t 6 Tc .
Непосредственно проверяется, что если выполнены условия теоремы, то x˙ u∗ (Tc ) =
0. Поскольку Tc > T > t2 , то в момент времени t = Tc функция xu∗ (t) достигает своего
абсолютного максимума. Вычисление этого максимума с учетом леммы 1 и того, что
v(t) = V (t) ≡ 0 при t > T приводит к выражению
v0 v0
(15)
max xu∗ (t) = xu∗ (Tc ) =
− T > 0.
t
2 u0
Минимум функции xu0 (t) достигается на интервале t1 < T /2, и значение функции
в точке минимума отрицательно. Это следует из единственности минимума, неравенства xu∗ (t) < 0 при 0 < t < t1 , положительности максимального значения функции
xu∗ (t) и неравенства x˙ u∗ (T /2) = (v0 − u0 T )/2 > 0.
Если
(16)
min xu∗ (t) > − max xu∗ (t),
t
t
то J(u∗ ) = maxt xu∗ (t) и, с учетом равенства (15), выполнено соотношение (10). При
условии (8) неравенство (16) выполнено. Действительно, так как v(t) > 0 и минимум функции xu∗ (t) достигается на интервале 0 < t < T /2, из (14) следует оценка
mint xu∗ (t) > −u0 T 2 /8. Поэтому неравенство (16) выполнено, если выполнено неравенство
v0 v0
u0 T 2
>−
−T ,
(17)
−
8
2 u0
решение которого относительно T дает неравенство (8).
Из выражений (13), (14) и ограничения (4) вытекает, что xu (t) > xu∗ (t) и, следовательно, |xu (t)| > xu∗ (t) и J(u) > J(u∗ ) для любого допустимого управления u(t).
Последнее означает, что управление u∗ (t), определенное константой u(t) ≡ u0 на
интервале 0 6 t 6 Tc – оптимально. Теорема доказана.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2178
v
t
t0
b
t0 +b
t0 +T
Рис. 2. Возмущение v(t) треугольной формы.
5.
Модельные возмущения специального вида
Рассмотрим и сравним три типа возмущения, которые часто используются для
моделирования внешних воздействий в задачах противоударной изоляции: возмущение в виде полуволны синуса, возмущение прямоугольной формы и возмущение
треугольной формы. Возмущение в виде полуволны синуса задается формулой

π
 A sin (t − t0 ), если t0 < t < t0 + T,
T
(18)
v(t) =

0, если t 6 t0 или t > t0 + T,
где A – амплитуда, t0 > 0 – время начала действия возмущения, T – его длительность.
Возмущение прямоугольной формы задается выражениями
(19)
v(t) =

 0,
если 0 6 t < t0
или t > t0 + T
 v0 , если t 6 t < t + T,
0
0
T
а возмущение треугольной формы – выражениями

0, если 0 6 t < t0 или t > t0 + T






 2 v0
(t − t0 ), если t0 6 t < t0 + b,
(20)
v(t) =
Tb




2 v0


(T − t + t0 ), если t0 + b 6 t < t0 + T,

T (T − b)
возмущения. Значение параметра b пояснено на рисунке 2, 0 < b < T.
6.
Безразмерные переменные
Введем безразмерные переменные
u0
u0
1 v0 0 0
0
0 0
x = 2 x, t =
t, v (t ) =
v
t ,
(21)
v0
v0
u0
u0
u0 =
u
,
u0
J0 =
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
u0
J
v02
2179
а также безразмерные амплитуды A1 , A2 , A3 для возмущений (18) - (20) соответственно и безразмерные параметры t00 , T 0 , b0 согласно формулам
A1 =
πv0
,
2T u0
A2 =
v0
,
u0 T
A3 =
2v0
,
T u0
t00 =
u0
t0 ,
v0
T0 =
u0
T,
v0
b0 =
b
.
T
Опуская штрихи Задачу 1 в безразмерных переменных запишем следующим образом:
(22)

x¨ + u = v(t)




 x(0) = 0, x(0)
˙
=0
|u| 6 U, U = 1




 J = max |x(t)| → min
t∈[0,∞)
u
Соотношения (18)-(20) в безразмерных переменных принимают вид

π

 0, если 0 6 t < t0 или t > t0 + 2A
синусоидальное
1
(23)
v(t) =
π
возмущение

 A1 sin 2A1 (t − t0 ), если t0 6 t 6 t0 +
,
2A1
(24)
v(t) =



 0,


 A2 ,
(25)
если 0 6 t < t0
или t > t0 +
если t0 6 t 6 t0 +
1
A2
прямоугольное
возмущение
1
,
A2

2


0, если 0 6 t < t0 или t > t0 +


A3




2b
 A3
t − t0 , если t0 6 t 6 t0 +
,
v(t) = A3
2b
A3






2
2b
2 − A3 (t − t0 )



6 t 6 t0 +
.
, если t0 +
2(1 − b)
A3
A3
треугольное
возмущение
0<b<1
Треугольное возмущение для случаев b = 0, b = 1 зададим соотношениями
 A(t − t0 )
2


треугольное
, если t0 < t < + t0 ,
 A 1−
2
A
возмущение
(26)
v(t) =

2
b=0 
b=0
 0, если t > + t0 или t 6 t0
A
(27)
v(t)
 2

 A (t − t0 ) , если t0 < t < 2 + t0
2
A
=
2

b=1 0,
если t > + t0 или t 6 t0
A
треугольное
возмущение
b=1
Далее работаем в безразмерных переменных. Обозначение U для ограничения на
управление используется здесь и далее только для большей наглядности описания
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2180
управляющего воздействия, когда используем граничные значения управления. Обозначения в задаче (22) соответствуют обозначениям, которые обычно используются
в теории управления и теории игр: u – управляющая переменная, выбор которой
должен обеспечить требуемое качество поведения системы; v – внешнее возмущение.
В рассматриваемой задаче u – это абсолютное ускорение изолируемого объекта, контролируемое системой противоударной изоляции. Поскольку абсолютное ускорение
тела пропорционально действующей на него силе, величина u будет иногда называться управляющей силой. Это оправдано тем, что привод противоударного изолятора
генерирует именно управляющую силу, приложенную к изолируемому объекту.
7.
Принципы сравнения возмущений
Сравнивая возмущения различной формы, используя безразмерные переменные,
необходимо интерпретировать результат этого сравнения в терминах исходных размерных переменных. Поясним сказанное примерами.
Рассмотрим, синусоидальное и прямоугольное возмущения. Положим A1 = A2 ,
т.е.
v0
πv0
v0
πv0
=
, =>
= .
2T1 u0
u0 T2
2T1
T2
πv0
Величина
есть безразмерная амплитуда синусоидального возмущения дли2T1 u0
v0
– безразмерная амплитуда прямоугольного возмущения длительностью T1 , а
u0 T2
тельностью T2 . Длительности этих возмущений соотносятся так:
T1
π
=
T2
2
В исходных размерных переменных при A1 =A2 синусоидальное и прямоугольное
возмущения имеют одинаковые амплитуды, но разные длительности.
Если нужно сравнить возмущения одинаковой длительности T1 = T2 = T , то
для такого сравнения нужно взять неодинаковые A1 и A2 , а именно
A1
π
=
A2
2
Сравним теперь треугольное и прямоугольное возмущения. Положим A3 = A2 :
2v0
v0
=
,
T3 u0
u0 T2
=>
2v0
v0
= .
T3
T2
A3 =
2v0
- амплитуда треугольного возмущения длительностью T3 .
T3 u0
A2 =
v0
- амплитуда прямоугольного возмущения длительностью T2 .
u0 T2
Таким образом, при A3 = A2 сравниваются треугольное и прямоугольное возмущения
одинаковой амплитуды, но разной длительности. Длительности соотносятся так:
T3
= 2.
T2
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2181
Сравнивая возмущения одинаковой длительности T3 = T2 = T получим
A3
= 2.
A2
8.
Результаты сравнения различных возмущений
Далее полагаем t0 = 0. Рассмотрим управляющее воздействие
(
u0 , 0 6 t 6 Tc ,
v0
(28)
u = u∗ (t) =
Tc = .
u0
0, t > τ,
Численные и аналитические исследования показали, что для достаточно больших
значений амплитуд управляющее воздействие из (28) является оптимальным управлением для Задачи 1, а оптимальное значение функционала задается соотношением
(29)
J = x(Tc ) .
u∗
Поэтому представляет интерес получение формул и эффективных алгоритмов для
вычисления (29), а также достаточных условий, при которых формула (29) дает
оптимальное значение минимизируемого функционала.
Задача (22) была сведена к задаче линейного программирования, для ее численного решения при возмущениях (23)-(27) была создана программа на языке Matlab.
Управляющее воздействие (28) для задачи (22) принимает вид
(
(30)
1,
0 6 t 6 1,
0,
t > 1.
u∗ (t) =
Тогда при заданных управляющем u∗ и возмущающем v(t) воздействиях значение
функционала J будет зависеть не более чем от двух параметров A и b.
Введем обозначения
(31)
xmax = max x(t),
t∈[0,+∞]
xmin = min x(t).
t∈[0,+∞]
Исследования показали, что для рассматриваемых возмущений функция
(32)
J∗ (A, b) = J u=u∗ , v=v(t), t0 =0
имеет единственный минимум по переменной A:
(33)
A∗ (b) = arg
min J∗ (A, b)
A∈[0,+∞)
и при этом значении A∗ выполняется равенство |xmax | − |xmin | = 0. Оптимальные
значения функционала Jopt и управления uopt при A > A∗ даются соотношениями
(34)
uopt = u∗ (t),
Jopt = J∗ (A, b),
A > A∗ (b).
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2182
При этом управление, гарантирующее значение Jopt функционалу, может быть неединственным. Ниже выделены области параметров, для которых решение задачи (22)
получено аналитически и приведены формулы J∗ (A, b) для всех трех возмущений:
π
1
−
, A > A∗ , A∗ =1.659 (для синусоидального возмущения)
2 4A
1 2b + 2
= −
, A> max{2, A∗ (b)}, 06b61, (для треугольного возмущения)
2
3A
1
1
=
1−
, A > A∗ , A∗ =1 (для прямоугольного возмущения)
2
A
Jopt = J∗ (A) =
(35) Jopt
Jopt
Очевидно что Jopt = 0 при 0 6 A 6 1, поскольку управление u ≡ v обеспечивает
4A
3.5
1
3
A*(b)
2.5
2
2
1.5
3
1
0.5
b
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Рис. 3. Три области в плоскости параметров возмущений треугольной формы.
нулевое значение J. Для случая, когда A > 1 и не удовлетворяет неравенствам из
(35), оптимальное управление строится численно и имеет сложный характер. Наиболее трудоемким оказалось построение решения для треугольных возмущений. На
рис. 3 сплошной линией изображен график функции A∗ (b), значения которой вычислялись из условия (33), а пунктирной линией – отрезок прямой A ≡ 2, проведенный
из точки (0,2) до пересечения со сплошной кривой в точке (0.414,2). Эти две линии делят область параметров задачи на три области. В области 1 управление u∗
оптимально, единственно и значение функционала J вычисляется по формуле (35).
В области 2 управление u∗ оптимально, но неединственно. В области 3 оптимальное
управление имеет более сложный характер и неединственно. В областях 2, 3 значение
функционала Jopt определяется численно.
¯ для различных возмущений, одинаковых по
На рис.4 приведены графики J(A)
длительности. По оси абсцисс отложены величины модифицированных амплитуд A¯
для различных возмущений: A¯ = A2 – для прямоугольного, A¯ = A3 /2 – для треугольных, A¯ = 2A1 /π – для синусоидального. Сплошной линией, отмеченной цифрой 1,
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2183
изображена зависимость для прямоугольного воздействия; пунктирными линиями,
отмеченными цифрами 2, 4, изображены зависимости для треугольных воздействий,
соответственно для прямоугольного треугольника с вершиной в t0 = 0 и для равнобедренного треугольника; штриховой линией, отмеченной цифрой 3, – для синусоидального воздействия. На рис. 4 графики 3, 4 отличаются от графика 1 только на
небольших отрезках по оси абсцисс [0.5, 0.7] и [0.5, 1.07] соответственно. Наихудшим
оказалось воздействие в виде прямоугольного треугольника с вершиной в t0 = 0.
0.5 J
2
0.45
0.4
1, 3, 4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
A
140
¯ для различных возмущений одинаковых по длительности.
Рис. 4. Графики J(A)
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (14-01-00356 а, 13-01-00384 а).
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Гурецкий В.В. Об одной задаче оптимального управления // Изв. АН СССР. Механика.
1965. № 1. С. 159-162.
Гурецкий В.В. О задаче минимизации максимального смещения // Труды ЛПИ. Механика
и процессы управления. 1969. №307. С. 11-21.
Sevin E., Pilkey W. Optimum Shock and Vibration Isolation. Washington DC: Shock and
Vibration Information Analysis Center, 1971.
Коловский М.З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М.: Наука, 1976.
Болотник Н.Н. Оптимизация амортизационных систем. М.: Наука, 1983.
Balandin D.V., Bolotnik N.N., and Pilkey W.D. Optimal Protection from Impact, Shock, and
Vibration. Amsterdam: Gordon and Breach Science, 2001.
Pilkey W.D., Balandin D.V., Bolotnik N.N., Crandal J.R., Purtsezov S.V. Injury Biomechanics
and Control: Optimal Protection from Impact. Hoboken, NJ: Wiley and Sons, Inc., 2010.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г