close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

10. Касательная и нормаль

код для вставкиСкачать
Функции нескольких переменных
Д. В. Лыткина
АЭС, I семестр
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
1 / 18
Содержание
1
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
2
Экстремумы функции двух переменных
3
Наибольшее и наименьшее значения функции
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
2 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
3 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
• Пусть задана
поверхность S,
описываемая ф-ей
z = f (x, y).
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
3 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
• Пусть задана
поверхность S,
описываемая ф-ей
z = f (x, y).
• Рассмотрим произвольную т. M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ S и проходящую
через эту т. плоскость α.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
3 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
• Пусть задана
поверхность S,
описываемая ф-ей
z = f (x, y).
• Рассмотрим произвольную т. M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ S и проходящую
через эту т. плоскость α.
• Расстояние от произвольной т. M (x, y, z) ∈ S до α обозначим
через d,
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
3 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
• Пусть задана
поверхность S,
описываемая ф-ей
z = f (x, y).
• Рассмотрим произвольную т. M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ S и проходящую
через эту т. плоскость α.
• Расстояние от произвольной т. M (x, y, z) ∈ S до α обозначим
через d, а до т. M0 (x0 , y0 , z0 ) — через r.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
3 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
• Пусть задана
поверхность S,
описываемая ф-ей
z = f (x, y).
• Рассмотрим произвольную т. M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ S и проходящую
через эту т. плоскость α.
• Расстояние от произвольной т. M (x, y, z) ∈ S до α обозначим
через d, а до т. M0 (x0 , y0 , z0 ) — через r.
Касательная плоскость
Пл-сть α называется касательной к пов-сти S в т. M0 (x0 , y0 , z0 ),
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
3 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
• Пусть задана
поверхность S,
описываемая ф-ей
z = f (x, y).
• Рассмотрим произвольную т. M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ S и проходящую
через эту т. плоскость α.
• Расстояние от произвольной т. M (x, y, z) ∈ S до α обозначим
через d, а до т. M0 (x0 , y0 , z0 ) — через r.
Касательная плоскость
Пл-сть α называется касательной к пов-сти S в т. M0 (x0 , y0 , z0 ),
если dr → 0 при M → M0 по пов-сти S.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
3 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
Теорема (о касательной пл-сти)
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
4 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
Теорема (о касательной пл-сти)
Если ф-я z = f (x, y) диф-ма в т. M0 (x0 , y0 ),
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
4 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
Теорема (о касательной пл-сти)
Если ф-я z = f (x, y) диф-ма в т. M0 (x0 , y0 ), то пов-сть S,
описываемая этой ф-ей, имеет единственную касат. плоскость в т.
M0 (x0 , y0 , z0 ),
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
4 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
Теорема (о касательной пл-сти)
Если ф-я z = f (x, y) диф-ма в т. M0 (x0 , y0 ), то пов-сть S,
описываемая этой ф-ей, имеет единственную касат. плоскость в т.
M0 (x0 , y0 , z0 ), где z0 = f (x0 , y0 ),
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
4 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
Теорема (о касательной пл-сти)
Если ф-я z = f (x, y) диф-ма в т. M0 (x0 , y0 ), то пов-сть S,
описываемая этой ф-ей, имеет единственную касат. плоскость в т.
M0 (x0 , y0 , z0 ), где z0 = f (x0 , y0 ), которая определяется ур-ем
!
!
∂f ∂f (x − x0 ) +
(y − y0 ).
z − z0 =
∂x ∂y M0
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
M0
АЭС, I семестр
4 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
Теорема (о касательной пл-сти)
Если ф-я z = f (x, y) диф-ма в т. M0 (x0 , y0 ), то пов-сть S,
описываемая этой ф-ей, имеет единственную касат. плоскость в т.
M0 (x0 , y0 , z0 ), где z0 = f (x0 , y0 ), которая определяется ур-ем
!
!
∂f ∂f (x − x0 ) +
(y − y0 ).
z − z0 =
∂x ∂y M0
M0
Если пов-сть S задана неявным образом ф-ей F (x, y, z) = 0,
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
4 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
Теорема (о касательной пл-сти)
Если ф-я z = f (x, y) диф-ма в т. M0 (x0 , y0 ), то пов-сть S,
описываемая этой ф-ей, имеет единственную касат. плоскость в т.
M0 (x0 , y0 , z0 ), где z0 = f (x0 , y0 ), которая определяется ур-ем
!
!
∂f ∂f (x − x0 ) +
(y − y0 ).
z − z0 =
∂x ∂y M0
M0
Если пов-сть S задана неявным образом ф-ей F (x, y, z) = 0, то ур-е
каса. пл-сти к пов-сти S:
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
4 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
Теорема (о касательной пл-сти)
Если ф-я z = f (x, y) диф-ма в т. M0 (x0 , y0 ), то пов-сть S,
описываемая этой ф-ей, имеет единственную касат. плоскость в т.
M0 (x0 , y0 , z0 ), где z0 = f (x0 , y0 ), которая определяется ур-ем
!
!
∂f ∂f (x − x0 ) +
(y − y0 ).
z − z0 =
∂x ∂y M0
M0
Если пов-сть S задана неявным образом ф-ей F (x, y, z) = 0, то ур-е
каса. пл-сти к пов-сти S:
Fx0 (x − x0 ) + Fy0 (y − y0 ) + Fz0 (z − z0 ) = 0.
M0
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
M0
математический анализ
M0
АЭС, I семестр
4 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
Нормаль
Прямая, которая проходит через т. M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ S и
перпендикулярна касательной к пов-сти S плоскости,
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
5 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
Нормаль
Прямая, которая проходит через т. M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ S и
перпендикулярна касательной к пов-сти S плоскости, называется
нормалью пов-сти S в т. M0 (x0 , y0 , z0 ).
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
5 / 18
Касательная плоскость. Нормаль к поверхности
Нормаль
Прямая, которая проходит через т. M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ S и
перпендикулярна касательной к пов-сти S плоскости, называется
нормалью пов-сти S в т. M0 (x0 , y0 , z0 ).
Ур-е нормали к S в т. M0 (x0 , y0 , z0 ) имеет вид
x − x0
y − y0
z − z0
= 0 = 0 .
0
Fx M0
Fy M0
Fz M0
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
5 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
6 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Точки экстремума
Пусть ф-я z = f (x, y) задана в области D ⊆ R2 .
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
6 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Точки экстремума
Пусть ф-я z = f (x, y) задана в области D ⊆ R2 . Т. M0 (x0 , y0 ) ∈ D
называется точкой (локального) максимума (минимума) ф-ии
z = f (x, y),
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
6 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Точки экстремума
Пусть ф-я z = f (x, y) задана в области D ⊆ R2 . Т. M0 (x0 , y0 ) ∈ D
называется точкой (локального) максимума (минимума) ф-ии
z = f (x, y), если существует такая окрестность D этой т.,
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
6 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Точки экстремума
Пусть ф-я z = f (x, y) задана в области D ⊆ R2 . Т. M0 (x0 , y0 ) ∈ D
называется точкой (локального) максимума (минимума) ф-ии
z = f (x, y), если существует такая окрестность D этой т., что
∀M (x, y) ∈ D
f (x, y) 6 f (x0 , y0 ) (f (x, y) > f (x0 , y0 )).
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
6 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
7 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
7 / 18
Экстремумы функции двух переменных
• Другими словами, z = f (x, y) имеет максимум в т. M0 (x0 , y0 ),
если
∆z 6 0,
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
8 / 18
Экстремумы функции двух переменных
• Другими словами, z = f (x, y) имеет максимум в т. M0 (x0 , y0 ),
если
∆z 6 0,
и минимум, если
∆z > 0
в достаточно малой окр-сти т. M0 (x0 , y0 ).
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
8 / 18
Экстремумы функции двух переменных
• Другими словами, z = f (x, y) имеет максимум в т. M0 (x0 , y0 ),
если
∆z 6 0,
и минимум, если
∆z > 0
в достаточно малой окр-сти т. M0 (x0 , y0 ).
• Точки макс. и мин. — точки экстремума данной ф-ии.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
8 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Теорема (необходимое условие экстремума ф-ии двух
переменных)
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
9 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Теорема (необходимое условие экстремума ф-ии двух
переменных)
Пусть z = f (x, y) имеет экстремум в т. M0 (x0 , y0 ).
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
9 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Теорема (необходимое условие экстремума ф-ии двух
переменных)
Пусть z = f (x, y) имеет экстремум в т. M0 (x0 , y0 ). Тогда, если
существуют ч. п. I порядка этой ф-ии в т. M0 (x0 , y0 ), то
∂f (x0 , y0 )
= 0,
∂x
∂f (x0 , y0 )
= 0.
∂y
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
9 / 18
Экстремумы функции двух переменных
• Пусть z = f (x, y) имеет экстремум в т. M0 (x0 , y0 ).
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
10 / 18
Экстремумы функции двух переменных
• Пусть z = f (x, y) имеет экстремум в т. M0 (x0 , y0 ).
• Зафиксируем y: y = y0 .
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
10 / 18
Экстремумы функции двух переменных
• Пусть z = f (x, y) имеет экстремум в т. M0 (x0 , y0 ).
• Зафиксируем y: y = y0 .
• Тогда z = f (x, y0 ) — ф-я одной переменной x.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
10 / 18
Экстремумы функции двух переменных
• Пусть z = f (x, y) имеет экстремум в т. M0 (x0 , y0 ).
• Зафиксируем y: y = y0 .
• Тогда z = f (x, y0 ) — ф-я одной переменной x.
• Эта функция имеет экстремум в т. x = x0 .
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
10 / 18
Экстремумы функции двух переменных
• Пусть z = f (x, y) имеет экстремум в т. M0 (x0 , y0 ).
• Зафиксируем y: y = y0 .
• Тогда z = f (x, y0 ) — ф-я одной переменной x.
• Эта функция имеет экстремум в т. x = x0 .
• Значит, в этой т. производная ф-ии z = f (x, y0 ) равна нулю:
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
10 / 18
Экстремумы функции двух переменных
• Пусть z = f (x, y) имеет экстремум в т. M0 (x0 , y0 ).
• Зафиксируем y: y = y0 .
• Тогда z = f (x, y0 ) — ф-я одной переменной x.
• Эта функция имеет экстремум в т. x = x0 .
• Значит,
в этой т. производная ф-ии z = f (x, y0 ) равна нулю:
∂f ∂x = 0.
M0
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
10 / 18
Экстремумы функции двух переменных
• Пусть z = f (x, y) имеет экстремум в т. M0 (x0 , y0 ).
• Зафиксируем y: y = y0 .
• Тогда z = f (x, y0 ) — ф-я одной переменной x.
• Эта функция имеет экстремум в т. x = x0 .
• Значит,
в этой т. производная ф-ии z = f (x, y0 ) равна нулю:
∂f ∂x = 0.
M0
∂f • Аналогично
∂y = 0.
M0
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
10 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Замечание
Это усл-е не является достаточным для существования экстремума
в т. M0 (x0 , y0 ).
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
11 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Замечание
Это усл-е не является достаточным для существования экстремума
в т. M0 (x0 , y0 ). Например, ф-я z = x2 y имеет ч. п. в точке (0, 0).
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
11 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Замечание
Это усл-е не является достаточным для существования экстремума
в т. M0 (x0 , y0 ). Например, ф-я z = x2 y имеет ч. п. в точке (0, 0). Но
эта т. — не т. экстремума, поскольку в любой окр-сти этой т.
∆z = x2 y − 0 = x2 y принимает как положительные, так и
отрицательные значения.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
11 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Замечание
Это усл-е не является достаточным для существования экстремума
в т. M0 (x0 , y0 ). Например, ф-я z = x2 y имеет ч. п. в точке (0, 0). Но
эта т. — не т. экстремума, поскольку в любой окр-сти этой т.
∆z = x2 y − 0 = x2 y принимает как положительные, так и
отрицательные значения.
Стационарные точки
Точки, в которых существуют, непрерывны и равны нулю ч. п. ф-ии
f (x, y),
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
11 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Замечание
Это усл-е не является достаточным для существования экстремума
в т. M0 (x0 , y0 ). Например, ф-я z = x2 y имеет ч. п. в точке (0, 0). Но
эта т. — не т. экстремума, поскольку в любой окр-сти этой т.
∆z = x2 y − 0 = x2 y принимает как положительные, так и
отрицательные значения.
Стационарные точки
Точки, в которых существуют, непрерывны и равны нулю ч. п. ф-ии
f (x, y), — стационарные точками данной ф-ии.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
11 / 18
Теорема (достаточное условие экстремума)
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
12 / 18
Теорема (достаточное условие экстремума)
Пусть z = f (x, y) в некоторой окр-сти т. M0 (x0 , y0 ) имеет
непрерывные ч. п. до второго порядка включительно
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
12 / 18
Теорема (достаточное условие экстремума)
Пусть z = f (x, y) в некоторой окр-сти т. M0 (x0 , y0 ) имеет
непрерывные ч. п. до второго порядка включительно и M0 (x0 , y0 ) —
стационарная точка, т. е. df M0 = 0.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
12 / 18
Теорема (достаточное условие экстремума)
Пусть z = f (x, y) в некоторой окр-сти т. M0 (x0 , y0 ) имеет
непрерывные ч. п. до второго порядка включительно и M0 (x0 , y0 ) —
∂ 2 f (x0 , y0 )
стационарная точка, т. е. df M0 = 0. Обозначим A =
,
∂x2
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
12 / 18
Теорема (достаточное условие экстремума)
Пусть z = f (x, y) в некоторой окр-сти т. M0 (x0 , y0 ) имеет
непрерывные ч. п. до второго порядка включительно и M0 (x0 , y0 ) —
∂ 2 f (x0 , y0 )
стационарная точка, т. е. df M0 = 0. Обозначим A =
,
∂x2
∂ 2 f (x0 , y0 )
,
B=
∂x∂y
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
12 / 18
Теорема (достаточное условие экстремума)
Пусть z = f (x, y) в некоторой окр-сти т. M0 (x0 , y0 ) имеет
непрерывные ч. п. до второго порядка включительно и M0 (x0 , y0 ) —
∂ 2 f (x0 , y0 )
стационарная точка, т. е. df M0 = 0. Обозначим A =
,
∂x2
∂ 2 f (x0 , y0 )
∂ 2 f (x0 , y0 )
.
,C=
B=
∂y 2
∂x∂y
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
12 / 18
Теорема (достаточное условие экстремума)
Пусть z = f (x, y) в некоторой окр-сти т. M0 (x0 , y0 ) имеет
непрерывные ч. п. до второго порядка включительно и M0 (x0 , y0 ) —
∂ 2 f (x0 , y0 )
стационарная точка, т. е. df M0 = 0. Обозначим A =
,
∂x2
∂ 2 f (x0 , y0 )
∂ 2 f (x0 , y0 )
. Тогда:
,C=
B=
∂y 2
∂x∂y
1 если AC − B 2 > 0,
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
12 / 18
Теорема (достаточное условие экстремума)
Пусть z = f (x, y) в некоторой окр-сти т. M0 (x0 , y0 ) имеет
непрерывные ч. п. до второго порядка включительно и M0 (x0 , y0 ) —
∂ 2 f (x0 , y0 )
стационарная точка, т. е. df M0 = 0. Обозначим A =
,
∂x2
∂ 2 f (x0 , y0 )
∂ 2 f (x0 , y0 )
. Тогда:
,C=
B=
∂y 2
∂x∂y
1 если AC − B 2 > 0, то т. M0 (x0 , y0 ) — т. экстремума, причём
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
12 / 18
Теорема (достаточное условие экстремума)
Пусть z = f (x, y) в некоторой окр-сти т. M0 (x0 , y0 ) имеет
непрерывные ч. п. до второго порядка включительно и M0 (x0 , y0 ) —
∂ 2 f (x0 , y0 )
стационарная точка, т. е. df M0 = 0. Обозначим A =
,
∂x2
∂ 2 f (x0 , y0 )
∂ 2 f (x0 , y0 )
. Тогда:
,C=
B=
∂y 2
∂x∂y
1 если AC − B 2 > 0, то т. M0 (x0 , y0 ) — т. экстремума, причём
1
макс. при A < 0,
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
12 / 18
Теорема (достаточное условие экстремума)
Пусть z = f (x, y) в некоторой окр-сти т. M0 (x0 , y0 ) имеет
непрерывные ч. п. до второго порядка включительно и M0 (x0 , y0 ) —
∂ 2 f (x0 , y0 )
стационарная точка, т. е. df M0 = 0. Обозначим A =
,
∂x2
∂ 2 f (x0 , y0 )
∂ 2 f (x0 , y0 )
. Тогда:
,C=
B=
∂y 2
∂x∂y
1 если AC − B 2 > 0, то т. M0 (x0 , y0 ) — т. экстремума, причём
1
2
макс. при A < 0,
мин. при A > 0;
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
12 / 18
Теорема (достаточное условие экстремума)
Пусть z = f (x, y) в некоторой окр-сти т. M0 (x0 , y0 ) имеет
непрерывные ч. п. до второго порядка включительно и M0 (x0 , y0 ) —
∂ 2 f (x0 , y0 )
стационарная точка, т. е. df M0 = 0. Обозначим A =
,
∂x2
∂ 2 f (x0 , y0 )
∂ 2 f (x0 , y0 )
. Тогда:
,C=
B=
∂y 2
∂x∂y
1 если AC − B 2 > 0, то т. M0 (x0 , y0 ) — т. экстремума, причём
1
2
2
макс. при A < 0,
мин. при A > 0;
если AC − B 2 < 0, то в т. M0 (x0 , y0 ) нет экстремума;
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
12 / 18
Теорема (достаточное условие экстремума)
Пусть z = f (x, y) в некоторой окр-сти т. M0 (x0 , y0 ) имеет
непрерывные ч. п. до второго порядка включительно и M0 (x0 , y0 ) —
∂ 2 f (x0 , y0 )
стационарная точка, т. е. df M0 = 0. Обозначим A =
,
∂x2
∂ 2 f (x0 , y0 )
∂ 2 f (x0 , y0 )
. Тогда:
,C=
B=
∂y 2
∂x∂y
1 если AC − B 2 > 0, то т. M0 (x0 , y0 ) — т. экстремума, причём
1
2
макс. при A < 0,
мин. при A > 0;
2
если AC − B 2 < 0, то в т. M0 (x0 , y0 ) нет экстремума;
3
если AC − B 2 = 0, то вопрос наличия экстремума в т.
M0 (x0 , y0 ) остаётся открытым.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
12 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Пример
Исследовать на экстремум ф-ю
z = x2 + xy + y 2 − 3x − 6y.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
13 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Пример
Исследовать на экстремум ф-ю
z = x2 + xy + y 2 − 3x − 6y.
• Найдём ч. п. и составим систему:
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
∂z
∂x
∂x
∂y
= 2x + y − 3 = 0,
= x + 2y − 6 = 0.
математический анализ
АЭС, I семестр
13 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Пример
Исследовать на экстремум ф-ю
z = x2 + xy + y 2 − 3x − 6y.
• Найдём ч. п. и составим систему:
∂z
∂x
∂x
∂y
= 2x + y − 3 = 0,
= x + 2y − 6 = 0.
• x0 = 0, y0 = 3.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
13 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Пример
Исследовать на экстремум ф-ю
z = x2 + xy + y 2 − 3x − 6y.
• Найдём ч. п. и составим систему:
∂z
∂x
∂x
∂y
= 2x + y − 3 = 0,
= x + 2y − 6 = 0.
• x0 = 0, y0 = 3.
2
∂ z
• A = ∂x
2 = 2,
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
13 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Пример
Исследовать на экстремум ф-ю
z = x2 + xy + y 2 − 3x − 6y.
• Найдём ч. п. и составим систему:
∂z
∂x
∂x
∂y
= 2x + y − 3 = 0,
= x + 2y − 6 = 0.
• x0 = 0, y0 = 3.
2
2
∂ z
∂ z
• A = ∂x
2 = 2, B = ∂x∂y = 1,
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
13 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Пример
Исследовать на экстремум ф-ю
z = x2 + xy + y 2 − 3x − 6y.
• Найдём ч. п. и составим систему:
∂z
∂x
∂x
∂y
= 2x + y − 3 = 0,
= x + 2y − 6 = 0.
• x0 = 0, y0 = 3.
2
2
2
∂ z
∂ z
∂ z
• A = ∂x
2 = 2, B = ∂x∂y = 1, C = ∂y 2 = 2,
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
13 / 18
Экстремумы функции двух переменных
Пример
Исследовать на экстремум ф-ю
z = x2 + xy + y 2 − 3x − 6y.
• Найдём ч. п. и составим систему:
∂z
∂x
∂x
∂y
= 2x + y − 3 = 0,
= x + 2y − 6 = 0.
• x0 = 0, y0 = 3.
2
2
2
∂ z
∂ z
∂ z
• A = ∂x
2 = 2, B = ∂x∂y = 1, C = ∂y 2 = 2,
• Т. M0 (0, 3) — т. минимума, z0 = −9.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
13 / 18
Наибольшее и наименьшее значения функции
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
14 / 18
Наибольшее и наименьшее значения функции
¯
• Пусть z = f (x, y) дифференцируема в замкнутой области D,
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
14 / 18
Наибольшее и наименьшее значения функции
¯
• Пусть z = f (x, y) дифференцируема в замкнутой области D,
которая ограничена кривой, заданной уравнением F (x, y) = 0.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
14 / 18
Наибольшее и наименьшее значения функции
¯
• Пусть z = f (x, y) дифференцируема в замкнутой области D,
которая ограничена кривой, заданной уравнением F (x, y) = 0.
• По теореме Вейерштрасса z = f (x, y) имеет наиб. и наим.
¯
значения в D.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
14 / 18
Наибольшее и наименьшее значения функции
¯
• Пусть z = f (x, y) дифференцируема в замкнутой области D,
которая ограничена кривой, заданной уравнением F (x, y) = 0.
• По теореме Вейерштрасса z = f (x, y) имеет наиб. и наим.
¯
значения в D.
• Эти значения ф-я может принимать в точках экстремума
¯
(внутренних области D)
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
14 / 18
Наибольшее и наименьшее значения функции
¯
• Пусть z = f (x, y) дифференцируема в замкнутой области D,
которая ограничена кривой, заданной уравнением F (x, y) = 0.
• По теореме Вейерштрасса z = f (x, y) имеет наиб. и наим.
¯
значения в D.
• Эти значения ф-я может принимать в точках экстремума
¯ и в точках экстремума при F (x, y) = 0
(внутренних области D)
(на границе области D).
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
14 / 18
Наибольшее и наименьшее значения функции
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений
¯
функции z = f (x, y) в D.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
15 / 18
Наибольшее и наименьшее значения функции
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений
¯
функции z = f (x, y) в D.
1
Найти все стац. т. ф-ии z = f (x, y) внутри D и вычислить
значения ф-ии в этих точках.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
15 / 18
Наибольшее и наименьшее значения функции
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений
¯
функции z = f (x, y) в D.
1
Найти все стац. т. ф-ии z = f (x, y) внутри D и вычислить
значения ф-ии в этих точках.
2
Найти все стац. т. ф-ии z = f (x, y) при F (x, y) = 0 и вычислить
значения ф-ии в этих точках.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
15 / 18
Наибольшее и наименьшее значения функции
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений
¯
функции z = f (x, y) в D.
1
Найти все стац. т. ф-ии z = f (x, y) внутри D и вычислить
значения ф-ии в этих точках.
2
Найти все стац. т. ф-ии z = f (x, y) при F (x, y) = 0 и вычислить
значения ф-ии в этих точках.
3
Из всех вычисленных значений ф-ии z = f (x, y) выбрать наиб.
и наим. значения.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
15 / 18
Пример
B
Найти наиб. и наим.
значения ф-ии
z = x2 + y 2 − xy − x − y в
замкнутой области x > 0,
y > 0, x + y 6 3.
2
1
O
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
1
2
A
АЭС, I семестр
16 / 18
Пример
B
Найти наиб. и наим.
значения ф-ии
z = x2 + y 2 − xy − x − y в
замкнутой области x > 0,
y > 0, x + y 6 3.
2
1
O
1
2
A
• Находим стац. т.:
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
16 / 18
Пример
B
Найти наиб. и наим.
значения ф-ии
z = x2 + y 2 − xy − x − y в
замкнутой области x > 0,
y > 0, x + y 6 3.
2
1
O
1
2
A
• Находим стац. т.:
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
zx0 = 2x − y − 1 = 0,
zy0 = 2y − x − 1 = 0.
математический анализ
АЭС, I семестр
16 / 18
Пример
B
Найти наиб. и наим.
значения ф-ии
z = x2 + y 2 − xy − x − y в
замкнутой области x > 0,
y > 0, x + y 6 3.
2
1
O
1
2
A
• Находим стац. т.:
zx0 = 2x − y − 1 = 0,
zy0 = 2y − x − 1 = 0.
Решение: x0 = 1, y0 = 1, оно принадлежит области.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
16 / 18
Пример
B
Найти наиб. и наим.
значения ф-ии
z = x2 + y 2 − xy − x − y в
замкнутой области x > 0,
y > 0, x + y 6 3.
2
1
O
1
2
A
• Находим стац. т.:
zx0 = 2x − y − 1 = 0,
zy0 = 2y − x − 1 = 0.
Решение: x0 = 1, y0 = 1, оно принадлежит области. Значение ф-ии в
этой т. равно z(1, 1) = −1.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
16 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
• Значения ф-ии z = x2 − x в т. x1 =
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
1
2
математический анализ
и на концах отрезка [0, 3]:
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
• Значения
z = x2 − x в т. x1 =
ф-ии
1
1
z 2, 0 = −4,
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
1
2
математический анализ
и на концах отрезка [0, 3]:
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
• Значения
z = x2 − x в т. x1 =
ф-ии
1
1
z 2 , 0 = − 4 , z(0, 0) = 0,
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
1
2
математический анализ
и на концах отрезка [0, 3]:
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
• Значения
z = x2 − x в т. x1 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 2 , 0 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(3, 0) = 6.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
• Значения
z = x2 − x в т. x1 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 2 , 0 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(3, 0) = 6.
• На OB имеем x = 0.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
• Значения
z = x2 − x в т. x1 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 2 , 0 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(3, 0) = 6.
• На OB имеем x = 0. Следовательно, z = y 2 − y, где y ∈ [0, 3].
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
• Значения
z = x2 − x в т. x1 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 2 , 0 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(3, 0) = 6.
• На OB имеем x = 0. Следовательно, z = y 2 − y, где y ∈ [0, 3].
z 0 = 2y − 1 = 0 ⇒ y2 = 12 .
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
• Значения
z = x2 − x в т. x1 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 2 , 0 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(3, 0) = 6.
• На OB имеем x = 0. Следовательно, z = y 2 − y, где y ∈ [0, 3].
z 0 = 2y − 1 = 0 ⇒ y2 = 12 .
• Значения ф-ии z = y 2 − y в т. y2 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
• Значения
z = x2 − x в т. x1 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 2 , 0 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(3, 0) = 6.
• На OB имеем x = 0. Следовательно, z = y 2 − y, где y ∈ [0, 3].
z 0 = 2y − 1 = 0 ⇒ y2 = 12 .
• Значения
z = y 2 − y в т. y2 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 0, 2 = − 4 ,
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
• Значения
z = x2 − x в т. x1 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 2 , 0 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(3, 0) = 6.
• На OB имеем x = 0. Следовательно, z = y 2 − y, где y ∈ [0, 3].
z 0 = 2y − 1 = 0 ⇒ y2 = 12 .
• Значения
z = y 2 − y в т. y2 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 0, 2 = − 4 , z(0, 0) = 0,
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
• Значения
z = x2 − x в т. x1 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 2 , 0 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(3, 0) = 6.
• На OB имеем x = 0. Следовательно, z = y 2 − y, где y ∈ [0, 3].
z 0 = 2y − 1 = 0 ⇒ y2 = 12 .
• Значения
z = y 2 − y в т. y2 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 0, 2 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(0, 3) = 6.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
•
•
•
•
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
Значения
z = x2 − x в т. x1 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 2 , 0 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(3, 0) = 6.
На OB имеем x = 0. Следовательно, z = y 2 − y, где y ∈ [0, 3].
z 0 = 2y − 1 = 0 ⇒ y2 = 12 .
Значения
z = y 2 − y в т. y2 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 0, 2 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(0, 3) = 6.
На AB имеем x + y = 3 или y = 3 − x.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
•
•
•
•
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
Значения
z = x2 − x в т. x1 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 2 , 0 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(3, 0) = 6.
На OB имеем x = 0. Следовательно, z = y 2 − y, где y ∈ [0, 3].
z 0 = 2y − 1 = 0 ⇒ y2 = 12 .
Значения
z = y 2 − y в т. y2 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 0, 2 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(0, 3) = 6.
На AB имеем x + y = 3 или y = 3 − x. Тогда z = 3x2 − 9x + 6.
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
•
•
•
•
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
Значения
z = x2 − x в т. x1 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 2 , 0 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(3, 0) = 6.
На OB имеем x = 0. Следовательно, z = y 2 − y, где y ∈ [0, 3].
z 0 = 2y − 1 = 0 ⇒ y2 = 12 .
Значения
z = y 2 − y в т. y2 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 0, 2 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(0, 3) = 6.
На AB имеем x + y = 3 или y = 3 − x. Тогда z = 3x2 − 9x + 6.
Имеем z 0 = 6x − 9 = 0 ⇒ x3 = 32 ,
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
•
•
•
•
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
Значения
z = x2 − x в т. x1 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 2 , 0 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(3, 0) = 6.
На OB имеем x = 0. Следовательно, z = y 2 − y, где y ∈ [0, 3].
z 0 = 2y − 1 = 0 ⇒ y2 = 12 .
Значения
z = y 2 − y в т. y2 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 0, 2 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(0, 3) = 6.
На AB имеем x + y = 3 или y = 3 − x. Тогда z = 3x2 − 9x + 6.
Имеем z 0 = 6x − 9 = 0 ⇒ x3 = 32 , y3 = 3 − 32 = 23 .
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
•
•
•
•
•
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
Значения
z = x2 − x в т. x1 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 2 , 0 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(3, 0) = 6.
На OB имеем x = 0. Следовательно, z = y 2 − y, где y ∈ [0, 3].
z 0 = 2y − 1 = 0 ⇒ y2 = 12 .
Значения
z = y 2 − y в т. y2 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 0, 2 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(0, 3) = 6.
На AB имеем x + y = 3 или y = 3 − x. Тогда z = 3x2 − 9x + 6.
Имеем z 0 = 6x − 9 = 0 ⇒ x3 = 32 , y3 = 3 − 32 = 23 .
Значение ф-ии z = 3x2 − 9x + 6 в т. x3 = 32 (значения ф-ии на
краях отрезка мы уже знаем):
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
• Находим все стац. т. ф-ии на границе, которая состоит из
отрезков OA, OB и AB.
• На OA имеем y = 0. Следовательно, z = x2 − x, где x ∈ [0, 3].
•
•
•
•
•
z 0 = 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = 12 .
Значения
z = x2 − x в т. x1 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 2 , 0 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(3, 0) = 6.
На OB имеем x = 0. Следовательно, z = y 2 − y, где y ∈ [0, 3].
z 0 = 2y − 1 = 0 ⇒ y2 = 12 .
Значения
z = y 2 − y в т. y2 = 12 и на концах отрезка [0, 3]:
ф-ии
1
1
z 0, 2 = − 4 , z(0, 0) = 0, z(0, 3) = 6.
На AB имеем x + y = 3 или y = 3 − x. Тогда z = 3x2 − 9x + 6.
Имеем z 0 = 6x − 9 = 0 ⇒ x3 = 32 , y3 = 3 − 32 = 23 .
Значение ф-ии z = 3x2 − 9x + 6 в т. x3 = 32 (значения ф-ии на
краях отрезка мы уже знаем):
3 3
3
z
,
=− .
2 2
4
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
математический анализ
АЭС, I семестр
17 / 18
Наибольшее и наименьшее значения функции
• Сравниваем полученные значения:
zнаиб. = z(0, 3) = z(3, 0) = 6,
Д. В. Лыткина (СибГУТИ)
zнаим. = z(1, 1) = −1.
математический анализ
АЭС, I семестр
18 / 18
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа