;docx

Хаусдорфова размерность сечений Пуанкаре ЭЭГ
при изучении системных процессов в головном мозге
А. А. Меклер 1,2, С. В. Борисёнок 2
[email protected]
1
СПбГУТ им. проф. М.А. Бонч-Бруевича (С.-Петербург, Россия)
1,2
Отдел математического моделирования,
ООО “Современные информационные технологии” (С.-Петербург, Россия)
Традиционные методы количественной электроэнцефалографии используются для исследования математических характеристик как отдельных каналов ЭЭГ, так и пространственной организации электрической активности головного мозга; к ним относятся фурье-анализ и его модификации – оконный фурье- и вейвлет-анализ (Кропотов
2010), а также анализ когерентности сигналов. Упоминая такие подходы как фрактальный и мультифрактальный анализ (Lope, Betrouni 2009, Uthayakumar, Easwaramoorthy
2013), которые хорошо вписываются в контекст изучения системных процессов в головном мозге, необходимо отметить, что фазовое представление данных ЭЭГ крайне
затруднено высокой размерностью соответствующей динамической системы, хотя и
совершались попытки анализа корреляционной размерности аттрактора ЭЭГ, реконструированного в подобном пространстве (Сулимов, Марагей 2003).
Мы предлагаем альтернативный подход к численному анализу ЭЭГ как процесса, порождаемого распределенной системой. Этот подход основан на вычислении хаусдорфовой (фрактальной) размерности сечения Пуанкаре, соответствующего выборке разных каналов в совокупном фазовом пространстве, в том числе записанных в отведениях, далеко разнесенных друг от друга. Такое сечение характеризует пространственную
геометрию и топологию системы, а не ее свойства, восстановленные из временного ряда; разница методов подробней обсуждается в (Gneiting et al. 2012). Ранее сечения Пуанкаре применялись только в рамках локальной структуры, т.е. для одного канала ЭЭГ
как, например, в (Doble, Narayan 2007) для диагностики энцефалита.
Метод. В совокупном фазовом пространстве строится сечение Пуанкаре динамической системы, а в качестве формирующих его переменных выбираются измерения пространственно разнесенной пары каналов в один и тот же момент времени. Для данного
сечения (212 точек) вычисляется Хаусдорфова размерность множества, определяемая
как предел
d H   lim
r 0
lg n(r )
lg r
где n(r) – минимальное число шаров радиуса r, необходимое для покрытия данного
множества. Вычисления реализуются в стандартной процедуре “box counting” (Iannaccone, Khokha 1996).
Применение. Связь хаусдорфовой размерности сечения Пуанкаре плоскостью
[O1 , Fp1 ] с функциональными состояниями выявлена на примере сравнения этой величины, вычисленной для ЭЭГ, зарегистрированной у испытуемых с открытыми или закрытыми глазами. График на Рис. 1 отображает в логарифмическом масштабе зависимость числа покрывающих множество шаров n от их радиуса r для состояния открытых
(сплошная линия) и закрытых (жирный пунктир) глаз. Хаусдорфовой размерности соответствует угол наклона графика. При превышении r определенного значения размерность становится равна единице, т.е. множество точек ложится на одномерную кривую
– проекцию фазовой траектории на соответствующе сечение Пуанкаре.
Рис. 1. Зависимость n(r) для сечения Пуанкаре плоскостью [O1 , Fp1 ] .
Интерпретация. На представленном рисунке мы наблюдаем увеличение фрактальной
размерности сечения Пуанкаре при закрытых глазах, что отражает возрастание сложности дистантных взаимодействий между различными областями головного мозга. Подобный эффект наблюдается для пространственно разнесенных пар, таких как [O1 , Fp1 ] ,
[O2 , Fp 2 ] , [T3 , T4 ] и не имеет место для близкодистантных сечений типа [ Fp1 , Fp 2 ] . Вместе с тем, многочисленные экспериментальные данные на основе анализа отдельных
каналов электроэнцефалограммы свидетельствуют о локальном усложнении структуры
и десинхронизация ритмов ЭЭГ при открывании глаз (Цыган, Богословский, Миролюбов 2012). Таким образом, при закрытых глазах именно глобальные эффекты оказываются доминирующими, что, вероятно, соответствует уменьшению жестких связей в
распределенной структуре. Можно предположить, что при закрытых глазах различные
отделы головного мозга становятся менее зависимы друг от друга вследствие уменьшения потока приходящей извне информации.
Выводы. Предлагаемый метод имеет ряд преимуществ, хорошо согласующихся с
традиционным подходом. Во-первых, он не содержит задающихся произвольно свободных параметров модели. Во-вторых, исследуется распределенная динамическая
структура, что служит хорошим дополнением к изучению локальных системных характеристик в рамках отдельного канала ЭЭГ. Наконец, наблюдаются устойчивые систематические изменения при изменении функционального состояния испытуемого.
Doble M., Narayan S. K. 2007. Mathematical Analysis of EEG of Patients with Non-fatal Nonspecific Diffuse
Encephalitis. International Journal of Biological and Life Sciences 3(4), 253-259.
Gneiting T., Sevcikova H., Percival D. B. 2012. Estimators of Fractal Dimension: Assessing the Roughness of
Time Series and Spatial Data. Statistical Science 27(2), 247-277.
Iannaccone P. M., Khokha M. 1996. Fractal Geometry in Biological Systems: An Analytical Approach. Boca
Raton: CRC Press.
Lope R., Betrouni N. 2009. Fractal and Multifractal Analysis: A Review. Medical Image Analysis 13, 634-649.
Uthayakumar R., Easwaramoorthy D. 2013. Epileptic Seizure Detection in EEG Signals Using Multifractal
Analysis and Wavelet Transform. Fractals 21, 1350011.
Кропотов Ю. Д. 2010. Количественная ЭЭГ, когнитивные вызванные потенциалы мозга человека и
нейротерапия. Донецк: Изд-ль Заславский А. Ю.
Сулимов А. В., Марагей Р. А. 2003. Изучение ЭЭГ сна как нелинейного динамического процесса сравнения глобальной корреляционной размерности ЭЭГ человека и мер линейной зависимости между каналами. Журн. высш. нерв. деят. 53(2), 151-155.
Цыган В. Н., Богословский М. М., Миролюбов А. В. 2012. Клиническая электроэнцефалография. СПб:
Наука.