Recherche d’ARN non-codants par réseaux de contraintes pondérées Matthias Zytnicki To cite this version: Matthias Zytnicki. Recherche d’ARN non-codants par réseaux de contraintes pondérées. Modélisation et simulation. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2007. Français. �tel-00258877� HAL Id: tel-00258877 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00258877 Submitted on 25 Feb 2008 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. ! 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( B< 3 * ( 4 B10 1 *+ xj ∈ V (xi ) ∆(xi , xj , bii ) ← 0 B< 3 drapeau ← + *+ drapeau B0 2 2 34 1 ∆(xi , bii ) ← 0 # B30 A B0 : 5 xi ∈ X 6 drapeau ← * + + (ci (bii ) ⊕ c∅ = >) bii ← succ(bii ) (bi bs ) +i7 + 31i 4 B0 1 0 - @A B< 3 xi ∈ X , xj ∈ V (xi ) 6 ∆(xi , xj , bii ) ← ∆(xi , xj , bii ) ⊕ min ∆(xi , bii ) ← ∆(xi , bii ) ⊕ min B30 A B0 5 + *+ + ∀xi ∈ X , ∀xj ∈ V (xi ), ∆(xi , xj , bii ) ≤ cij (bii , bij ) ∧ ∆(xi , xj , bii ) ≤ cij (bii , bsj ) cij (bii , bij ) ∆(xj , xi , bij ), minvj ∈˚ ∀xi ∈ X , ∀xj ∈ V (xi ), ∆(xi , xj , bii ) ≤ min Ij {cij (bii , vj )}, cij (bi , bs ) ∆(xj , xi , bsj ) i# j ∀xi ∈ X , ∆(xi ) ≤ min{ci (bii ) ⊕ ∆(xi , bii ), minvi ∈˚ {ci (vj )}, ci (bsi ) ⊕ ∆(xi , bsi )} & Ii ∆ 0 + $ # # # # & & ∀xi ∈ X , ∆(xi , bii ) = L ∆(x , xj , bii ) ∈V (xi ) i x j L c∅ = xi ∈X ∆(xi ) ) # & % , # # # '. & # & x Q xj x i $ & #i Q x 0 $ & #i xj xj 0 + & xi $ # ! " ( ) * + * ( " - " *+ x i∈X + ∆(xi ) ← 0 ∆(xi , bii ) ← 0 ∆(xi , bsi ) ← 0 * ( * + + xj ∈ V (xi ) ∆(xi , xj , bii ) ← 0 ∆(xi , xj , bsi ) ← 0 Q←X %! *+ + (Q 6= ∅) xj ← (Q) < A. drapeau ← * ( * + + xi ∈ V (xj ) B4 0 / 34 1 4 B10 1 B30 A B0 ( (xi , xj )) @ A B0 2 2 34 1 4 B 10 1 B30 A B0 : ( (xi )) Q ← Q ∪ {xi } . / B< 3B0 # B4 0 / 34 1 B4 0 / 34 1 4 B 10 2 drapeau ← drapeau ∨ (xi ) B4 0 / 34 1 4 B10 1 B30 A B0 ( (xj , xi )) @ A B0 2 2 34 1 4 B 10 1 B30 A B0 : ( (xj )) Q ← Q ∪ {xj } # 1< 3B0 1 < 3 B0 4 B 10 2 drapeau ← drapeau ∨ (xj ) (drapeau) * ( * + + xi ∈ X @ A B0 2 2 34 1 4 B 10 1 B30 A B0 : ( (xi )) Q ← Q ∪ {xi } # xi ' xj ' xi ' % %! & $ , 8 B4 0 / 34 1 4 B 10 1 B30 A B0 B< 3 & $ & $ $ , @ A B0 2 2 34 1 4 B10 1 B30 A B0 : 0 $ & B< 3 # # # $ # $ , B4 0 / 34 1 1 < 3 B0 4 B 10 2 B< 3 # $ c∅ + $ & ' . " # $ # # + &0 & # & # # + 0 & c ∅ $ $ B4 0 / 34 1 4 B 10 1 B30 A B0 B< 3 B4 0 / 34 1 4 B 10 @ A B30 A B0 @ A B0 2 2 34 1 4 B10 1 B30 A B0 @ A B0 2 2 34 1 4 B 10 @ A B 30 A B0 0 0 c∅ B4 0 / 34 1 1< 3B0 4 B 10 2 B< 3 0 B< 3 drapeau + * Q + x i x i xi + . 0 0 ∆ + , & " & % & O(e) & & & % O(ed2 + min{>, nd} × n) n(d + 1) 2e(d + 1) 2 O(ed ) @ A B0 2 2 34 1 4 B 10 1 B30 A B0 : * + nd O(ed) @ A B0 2 2 34 1 4 B10 1 B30 A B0 : 0 * + O(ed) +*7+ , nd min{>, nd} × n O(ed2 +min{>, nd}×n) ∆ O(ed+min{>, nd}×n) O(e) d d 0 0 , ( + (+ ∅ 7 + + ∅ c12 : . I1 × I2 → E (v1 , v2 ) 7→ v1 + v2 c∅ 0 0 0 I1 = I2 = [1..10] c c ∅ . 12 x1 c∅ 0 c∅ x1 x2 c∅ " d ∅ c∅ , ! a & % c ∅ " !* ∃a ∈ `(var(c)), c(a) = 0 & r " " % % & c r & % ∅ c $ ∅ $ * ∅ + ! + * % & & ! $ * & ! $ & & bi1 bs1 bi2 bs2 c∅ & & % & % x x % % & % & % 1 2 1 c∅ ! $ % % " ∅ . ∅ v ∈ Ij bi ∈ I 0 j i i c (bi , v ) c . ij i j ij ∅ ∅ c∅ = 0, > = 4 x1 x2 bi1 a b bs1 bi2 bi1 b c 2 c 2 5 4 23 bs1 a 0 b 1 c 1 d 2 2 2 2 5 5 3773 a b b c bs2 bs1 6 0 a 0 b 0 c a bi2 bi1 32 5 bi1 a bi2 b c c 2 3 2 c∅ = 0, > = 4 x2 b c 2 d 1 543 8 3 bi2 b a bs2 c∅ a c bs2 bi2 c∅ = 0, > = 4 x2 b x1 bs1 32 5 6 5 5 3 48 1 5 4 23 bi1 c 2 x1 bs1 8 3773 a c∅ = 0, > = 4 x2 x1 bi1 c∅ = 1, > = 4 x1 x2 2 a bs2 bs1 ∅ bs2 # ' . ∅ * % & * % & !$ & % * & ∅ & & * % x1 d x2 c ! !%$ $ ) & & & & bi1 & & % ! !$ $ * * d x1 ∅ % bs 1 & & & & * ' & ! $ + ! + bi1 c∅ ∅ c∅ c ∅ ∅ 0 0 . + ! + * % & ! $ * * ∅ % % ! ! $ $ * bi1 & ! ! $ $ & % c∅ d x1 & & ! !%$ $ * % & & ! !$ $ ∅ c∅ & & ! ! $ $ & bi1 c∅ ! $ & % % & & & c % & % & ∅ ∅ B4 0 / 34 1 31< 3B0 ∆(xi , xj ) ∅ cij (x , x ) i j ( ∆(xi , xj , vi ) 0 cij (vi , vj ) = cij (vi , vj ) ( ∆(xj , xi , vj ) ⊕ 0 cij c∅ vi ∈ {bii , bsi } vj ∈ {bij , bsj } ⊕ ∆(xi , xj ) min vi ∈Ii {cij (vi , wj )} wj ∈Ij ! ∆(xi , xj ) c ∅ 8 c∅ " : ∀cij ∈ C, ∀(vi , vj ) ∈ Ii × Ij , bs1 a 0 b 1 c 1 d 2 2 2 0 a 0 b 0 c bi2 bi1 bs2 bs1 5 4 23 a b 1 0 b c 1 0 c bs2 d 2 bi2 bs1 a b 0 b 0 c d 2 2 32 5 48 bi2 bi1 c∅ = 1, > = 4 x2 x1 0 2 0 6 a c 1 c∅ = 1, > = 4 x2 x1 bi1 a 5 5 3773 c∅ = 0, > = 4 x1 x2 c∅ = 0, > = 4 x1 x2 bi1 bi2 bi1 a 0 a b 0 b 0 c c bs2 bs1 2 bs2 1 32 5 8 5 3 3 x1 48 3445 3 7 738 d 3 x1 c∅ = 0, > = 4 x1 x2 c∅ = 0, > = 4 x1 x2 bi1 bs1 a 1 0 a b 1 0 b c 1 0 c 2 3 8 7 5 8 5 3 3 7 bi2 bi1 bs2 bs1 32 5 a 0 b 1 c 1 2 2 87 5 3 7 c∅ = 1, > = 4 x1 x2 bi1 bs1 a 0 0 a b 1 0 b c 1 0 c 32 5 3 c12 48 bi2 bs2 c∅ ∅ 0 a 0 b 0 c 32 5 bi2 bs2 ( B4 0 / 34 1 , - 31 < 3 B0 5 min ← min vi ∈Ii {cij (vi , vj )} xi ∈ X , xj ∈ V (xi ) 6 ∆(xi , xj ) vj ∈Ij (min = 0) + * + < A. c0∅ ← c∅ ∆(xi , bii ) ← ∆(xi , bii ) ∆(xi , xj , bii ) ∆(xi , bsi ) ← ∆(xi , bsi ) ∆(xi , xj , bsi ) ∆(xi , bij ) ← ∆(xi , bij ) ∆(xj , xi , bij ) ∆(xi , bsj ) ← ∆(xi , bsj ) ∆(xj , xi , bsj ) ∆(xi , xj , bii ) ← 0 ∆(xi , xj , bsi ) ← 0 ∆(xj , xi , bij ) ← 0 ∆(xj , xi , bsj ) ← 0 ∆(xi ) ← 0 ∆(xj ) ← 0 ∆(xi , xj ) ← ∆(xi , xj ) ⊕ min c∅ ← c∅ ⊕ min (c +∅7= >) + 31 4 B0 1 0 B4 0 / 34 1 4 B10 1 B4 0 / 34 1 4 B10 @ A B30 A B0 (xi , xj ) (xi , xj ) B4 0 / 34 1 4 B10 1 B30 A B0 (xj , xi ) B4 0 / 34 1 4 B10 @ A B30 A B0 (xj , xi ) B4 0 / 34 1 1< 3B0 4 B10 2 (xi ) B4 0 / 34 1 1< 3B0 4 B10 2 (xj ) + * + (c∅ > c0∅) B30 A B0 ; ( ) * + * ( *+ - " " Q←X *+ xj ∈ V (xi ) ∆(xi , xj , bii ) ← 0 ∆(xi , xj , bsi ) ← 0 ∆(xi , xj ) ← 0 + + (Q 6= ∅) xj ← (Q) < A. drapeau ← * ( * + + xi ∈ V (xj ) B4 0 / 34 1 31 < 3 B0 drapeau ← drapeau ∨ (x , x ) i j @ A B0 2 2 34 1 4 B10 1 B30 A B0 : ( (x )) i Q ← Q ∪ {xi } . / B< 3B0 # B4 0 / 34 1 1 < 3 B0 # B4 0 / 34 1 1< 3 B0 4 B 10 2 (xi ) 4 B 10 2 drapeau ← drapeau ∨ (xj ) (drapeau) * ( * + + xi ∈ X @ A B0 2 2 34 1 4 B10 1 B30 A B0 : ( (xi )) Q ← Q ∪ {xi } # drapeau ← drapeau ∨ @ A B0 2 2 34 1 4 B10 1 B30 A B0 : ( (xj )) Q ← Q ∪ {xj } + *+ : x i∈X ∆(xi ) ← 0 ∆(xi , bii ) ← 0 ∆(xi , bsi ) ← 0 * ( xi ' xj ' xi ' , & & & & % " & * O(ed3 + min{>, nd} × n) * & & ∅ O(e) " : " B4 0 / 34 1 31< 3B0 ∆ B4 0 / 34 1 31< 3B0 B< 3 c ∅ + * 7 + , ∀xi ∈ X , ∀xj ∈ V (xi ), ∀vi ∈ Ii , ∀vj ∈ Ij , ∆(xi , xj ) ≤ cij (vi , vj ) ∀xi ∈ X , ∀xj ∈ V (xi ), ∆(xi , xj , bii ) ≤ cij (bii , bij ) ∆(xi , xj ) ∧ ∆(xi , xj , bii ) ≤ cij (bii , bsj ) ∆(xi , xj ) ∀xi ∈ X , ∀xj ∈ V (xi ), cij (bii , bij ) (∆(xi , xj ) ⊕ ∆(xj , xi , bij )), minvj ∈˚ ∆(xi , xj ), ∆(xi , xj , bii ) ≤ min Ij {cij (bii , vj )} c (bi , bsj ) (∆(x , x ) ⊕ ∆(x , x , bs )) ij i i j j i j 0 . . xi Q xj xi Q x i 0 xj xj 0 xi xi xj Q cij B4 0 / 34 1 31< 3B0 ∅ c ∅ c∅ . B4 0 / 34 1 31 < 3 B0 c∅ Q cij 8 xi x j xi xi Q B4 0 / 34 1 3 1< 3B0 O(d2 ) O(ed2 + min{>, nd} × 3 3 n + ed ) = O(ed + min{>, nd} × n) 0 O(e) d 2 d 0 0 % & % & % & & & & & & & % * % % & & & O(ed + min{>, nd} × n) " , Ii n) O(ed) & cij v i minvj ∈Ij {cij (vi , vj )} . + * 7+ , 0 , O(d) min{>, nd} × n) O(ed+min{>, nd}× % & % & & & & % * * % ∅ O(ed2 + & & & " % O(d) 0 2 + * 7 + , B4 0 / 34 1 4 B10 @ A B4 0 / 34 1 B30 A B0 4 B 10 @ A B30 A B0 : 10 1 B30 A B0 : 0 0 O(ed) & % " % & & & & & % * * % % & & & " ∅ d , +*7+ , B30 A B0 0 O(ed + min{>, nd} × n) O(ed + min{>, nd} × n) & & 1 < 3 B0 4 B 10 2 B4 0 / 34 1 31 < 3 B0 B4 0 / 34 1 4 B 10 1 * ( * + @A B0 2 2 34 1 @ A B0 2 2 34 1 4 B 10 1 B 30 A B0 : @ A B0 2 2 34 1 4 B O(ed) O(ed) 0 O(ed + min{>, nd} × n) #$ ' . ∅ , % cij ∀(vi , vj ) ∈ Di × Dj , cij (vi , vj ) ∈ {e1 , e2 }, e1 < e2 ∀v ∈ D , |{v ∈ D , c (v , v ) = e }| ≤ 1 i i j j ij i j 1 % cij ∀(v , v ) ∈ D × D , c (v , v ) ∈ {e , e }, e < e i j i j ij i j 1 2 1 2 ∀v ∈ D , |{v ∈ D , c (v , v ) = e }| ≤ 1 i i j j ij i j 2 + ! + % & % & % ! ( 0 c6= (x, y) = 1 % ! ( 0 c= (x, y) = 1 & & xi x=y & & xi & & ! $$ x 6= y & & ! $ $ 0 x, y 7→ x2 − y 2 , & f f : N×N → N & & & 0 y 0 & x ∀(y, a) ∈ N2 , {x ∈ R : f (x, y) > a} & & 0 e2 e2 e1 e1 2 5 3773 6 5 2 2 5 3773 43 5 2 3 3 3 3 43 5 2 3 3 . O(d) ∅ 0 2 d x, y 7→ x + y . ∅ 0 d . ∅ O(ed + min{>, nd} × n) . O(ed + . min{>, nd} × n) ∅ O(ed2 + min{>, nd} × n) c1,2 = |x2 − x1 − d| d x x2 0 1 0 x2 d x 0 1 0 d bi1 + d − bs2 min = bi2 − bs1 − d 0 . ∅ bs2 < bi1 + d, bi2 > bs1 + d, , 0 , + 7 + ( ( + (+ . # ' 0 . > . . . # . ' . . 0 # . ' % + ! + & c1 x1 c2 % & * % & & * % & ! $ & & % % % x2 c12 & & % & % & % , & R & % & & & " % & & & % & % % & % & % ' & % & & % % 0 >*" % C % & % & % % % & & & % & % & % & % % & % & % % & & & & c1 c1R & & & & & & % C x1 R c1R & x1 & & ' (v1 , a) v1 ∈ I1 c1 (v1 ) = a & % & % c & % x2 C 2 & % R & & & & c2R x12 C R ) & % % & c12 c12 c12R % & & % & % & & C C > x1 C R + x2 R + x12 R < > % % ! $ % & % % , * & % P = hS, X , I, Ci PR = hXR , IR , CR i & & & & % & & % XR & & % & % & % X & & % & % % % C C xi C 1R R & & % & % % % C C xij C 2R R & & & IR & & & & x I ≡ I i iR iR & & % [bi C ..bs C ] ≡ [0, >] xi C iR iR & & % R C C C [biij R ..bsij R ] ≡ [0, >] xij R x1R x2R 0 0 a a b b 1 1 2 2 >=3 x2 a 0 1 a b 1 0 b 43 8 3 2 34 & 2 cC R 5 6 8 % 1 8 5 73 % CR ∀xi ∈ X , ciR ≡ {(vi , ci (vi ))|vi ∈ Ii } ∀cij ∈P C1 , cij R ≡ {(vP i , vj , cij (vi , vj ))|vi ∈ Ii , vj ∈ Ij } & C C <> cR ≡ xi ∈X xi R + cij ∈C1 xij C & % & % R % > & 0 x12 C R x1 x2 C R x1 C R 34 % P P R 0 , & & " & & ' & & & & & & & % % & % % % * * ∅ & * ) & & % & % % % & ' % % & & & % & & " % & % % " & % (x1 ) a b c d a (x2 ) b c " & % % % (x1 ) a b c d a (x3 ) b c & % c∅ = > & & T T0 & & % % P T0 & " & % P & % & & " T P 0 & 0 & T & & & % T T & % T & P T P & & % & % & " & % 0 % " & % T " & & P 0 0 . . + ! + , , * % & * % & ! $ % x 1 x2 x3 % ! $ % c12 c13 I1 = {a, b, c, d} I2 = I3 = {a, b, c} ! $ & % % & % % & a≺b≺c≺d % & >=2 & " & % & % % % a x1R c12R (a, a, 1) % % d (d, a, 1) % % % x C (b, a, 0) (c, a, 1) % & 12R ) " & % & % * & " % & & " % & x & & % 1 & & & & & % % * . . ∅ . ∅ . P PR P 0 PR P . R . ∅ P0 0 . P ∅ 0 . P0 PR . P0 ∅ . . ∅ , & * % P % * P ∅ * & ∀x0i ∈ X 0 , ∆0 (x0i ) ≥ bi0i C R & ∀c0ij ∈ C 0 , ∆0 (x0i , x0j ) ≥ bi0ij C R * % , P * ∅ P & 0 PR PR * & & 0 PR P = hS 0 , X 0 , I 0 , C 0 i & & % % & P 0 = hX 0 , I 0 , C 0 i R R R % R " 0 PR PR & & % PR & 0 0, X 0, I 0, C 0i & PR% % P = hS & & & 0 0 0 0 = hX , I , C i PR R R R % " P0 ∀x0i ∈ X 0 , Ii0 ⊆ Ii 0R & & P R 0 PR " 0 PR 0 Ii 0R 0 x0i P 0 C 0 0 C +*7+ , Ii R x ci C 0 Ii R i R C X C bi0j R + ⇒ ⇒ P X C bi0j R + xj ∈X X X cjl ∈C ∆0 (x0j ) + xj ∈X ⇒c0∅ ≥ > cR X cjl ∈C xj ∈X −{i} c0 c0 C x0i C R iR R 0 0 0 c Ii 0R iR 0 0 C bi0i R + C C bi0jl R ≥ > bi0jl R ≥ > X cjl ∈C ∆0 (x0j , x0l ) ≥ > 0 C Iij R 0 PR 0 0 P 0 P PR P0 0 PR ∅ P 00 P PR P0 P . ∅ . P 00 P0 ∅ . 0 PR PR 0 0 00 P PR & & & P 0 & & P % % & % * * ∅ 00 & & 0 % * * P P ∅ & & % % " 0 P P +! ! + , R P0 P * R P PR 0 PR & P 00 & . ∅ P 0 P 00 P 00 P0 R 00 0 x0i Ii ( Ii0 ⊆ IiR 00 00 x0 ∆ (xi ) > ∆0 (x0i ) ≥ bi0i C R i 0 c ij +*7+ , ; P100 P PR P0 0 PR P200 P300 P400 ∅ 00 PR 0 PR P . 0 ∅ P . R 0 P P 0R . P 00 R P 00 P 00 P 00 P 00 1. 2 3 4 ∅ . 00 00 00 ∅ P1 P2 P3 P400 00 P PR & P 0 & & P % & % * * ∅ % % " 0 & & P PR & & % " R P 00 P0 & % * R 0 R 0 P PR * 0 & 00 00 ∅ P P PR % % % +! ! + & & * P% PR P0 P 00 R R ∅ P 00 R C bi0i R 0 0 0C +*7+ bi iR P0 P 00 c0 i R = ∆ (xi ) 0 0 @viR ∈ Ii0 R , (viR , bi0iR ) ∈ ci 0R ⇒@vi0 ∈ Ii0 , (vi0 , bi0i R ) ∈ ci 0R ( ⇒∀vi0 ∈ Ii0 , ci 0 (vi0 ) > bi0iR ⇒∀vi0 ∈ Ii0 , ci 0 (vi0 ) > ∆0 (x0i ) ⇒∀vi0 ∈ Ii0 , c0i (vi0 ) > 0 ( c0i (vi0 ) ≥ ci 0 (vi0 ) ∆0 (x0 ) i Ii0 ⊆ Ii0 R ) ∆0 (x0i )) 0 ci bi00i R bs0i C c0iR R bi0iR c0iR bi0i R = bi0i 0 d x0i C R (ci (bi0iR ) = d) ∧ (d + ⇒(ci (bi0i ) = d) ∧ (d + X C cjl ∈C ∆0 (x0j ) + X X ∆0 (x0j , x0l ) ≥ >) ∆0 (x0j ) + X ∆0 (x0j , x0l ) ≥ >) cjl ∈C ≥ >) bii R C xj ∈X ⇒(ci (bi0i ) = d) ∧ (d − ∆0 (x0i ) + c∅ ⇒ci (bi0i ) ≥ > − c∅ + ∆0 (x0i ) ⇒c0i (bi0i ) ≥ > − c∅ c0 C R bi0jl R ≥ >) cjl ∈C xj ∈X −{i} ⇒(c0i (bi0i ) = d) ∧ (d − ∆0 (x0i ) + X bi0j R + xj ∈X −{i} X bi0i R 0 0 cij R biiR = bi0i cij R {(vi , vj , cij (vi , vj ))|vi ∈ Ii , vj ∈ Ij } 0 0 0 I Ij ⊆ Ij0 R Ij j R !+ , , * * ∅ & " P PR P P 0R R ∅ P P0 P 0R P P R PR ∅ P ∅ +*7+ 8 P PR ∅ # & ' % % Q (x, v, c) v x c % v c : 4 B0 1 0 (x ← v) Q c x 32 34 1 32 34 1 32 34 19 32 34 1 32 34 1 32 34 1 32 34 1: 32 34 1 32 34 1 32 34 1 32 34 1 cC R 32 34 1: 32 34 19 32 34 1 32 34 1: supportBi(xiR , cij R ) x e j R (biiR , supportBi(xiR , cij R ), e) cij R supportBi(xiR , cij R ) bi I 32 34 1 iR 32 34 1 j R c ij R C C supportBi(x ) iR bii R 32 34 1 32 34 1 ciR 32 34 1 32 34 1 supportBi(xij C ,x ) x C R iR 32 34 1 ij R xiR cij R 4 B0 1 0 + xiR ∈ X supportBi(xi C R ) ← biiR C ( ) * + * ( - : *+ supportBs(xi R ) ← bsiR * ( * + + xj R ∈ V (xiR ) supportBi(xiR , xj R ) ← bij R supportBi(xij C R , xiR ) ← biiR supportBs(xiR , xj R ) ← bsj R supportBs(xij C R , xiR ) ← bsiR * ( *+ (x , bs, c) +*7+ + : 4 B0 1 0 & O((e + ed2 ) × min{>, end}) , & " & & % 2 & x0 ∈ var(c) \ {x} 32 0 0 (x , bi, c) 32 0 0 Q ← {(x, v, c) ∈ X × {bi, bs} × C|x ∈ var(c)} * + + (Q 6= ∅) . / B< 3B0 (x, v, c) ← (Q) * ( * + + c0 ∈ {c0 ∈ C \ {c}|x ∈ var(c0 )} 32 0 (x, v, c0 ) & & n e d % Q & % O(e) nd (n + e)> O(nd + e>) 32 34 1 O(n + e) O(e2 >) 32 34 1 : O(nd) ( ) * + - sommeM in ← * ( *+ 32 34 1 5 C C xC R ∈ CR , v ∈ {bi}, c ∈ {ci R } 6 C C biR xC R ∈CR C + xi C R ∈ C1 R P C (bsi C R ≥ > − (sommeM in − bii R )) C bsi C R ← > − (sommeM in − bii R ) − 1 supportBs(xiC R ) ← biiR C Q ← Q ∪ {(xi C R , bs, cR )} * ( *+ + C xij C R ∈ C2 R C (bsij R ≥ > − (sommeM in − biij C R )) C bsij C ij R ) − 1 R ← > − (sommeM in − bi supportBs(xij C R , xiR ) ← biiR supportBs(xij C jR R , xj R ) ← bi C )} Q ← Q ∪ {(xij C , bs, c R R ( ) * + *+ - 32 34 1: 5 xiR ∈ XR , v ∈ {bi}, c ∈ {ciR } 6 + (biiR bsiR ) C c (bi ) ≤ bsi C (bi i R )) R ≤ + * i+ iR biiR ← succ(biiR ) * ( * + + xkR ∈ V (xiR ) supportBi(xiR , xkR ) ← bikR Q ← Q ∪ {(xiR , bi, ciR )} + 7 + ( ) * + 31 4 B0 1 0 - 32 34 1 5 xiR ∈ XR , v ∈ {bi}, cij R ∈ {c0 ∈ C2R |x ∈ var(c0 )} 6 *+ + iR bsiR ) (bi *+ + (supportBi(xiR , xj R ) bsj R ) C ≤ cij(bi iR , supportBi(xiR , xj R )) ≤ bsij C (bi +ij R *+ R) supportBi(xiR , xj R ) ← succ(supportBi(xiR , xj R )) biiR ← succ(biiR ) * ( * + + xkR ∈ V (xiR ) supportBi(xiR , xkR ) ← bikR Q ← Q ∪ {(xiR , bi, cij R )} + 7 + 31 4 B0 1 0 ( ) * + - 32 34 1 5 C xi C R ∈ C1 R , v ∈ {bi}, c ∈ {ciR } 6 *+ + (bii C ≤ bsi C ) R R * + C + (supportBi(xi R ) bsiR ) C C (c i+(supportBi(x i R )) = bii R ) *+ C supportBi(xi C R ) ← succ(supportBi(xi R )) C bii C R ← bii R + 1 supportBi(xi C R ) ← biiR Q ← Q ∪ {(xi C R , bi, ciR )} + 7 + ( 31 4 ) * + B0 1 0 - 32 34 1 5 C 0 0 xij C R ∈ C2 R , v ∈ {bi}, cij R ∈ {c ∈ C2R |x ∈ var(c )} 6 *+ + C C ij ≤ bsij R ) (bi *+ R + (supportBi(xij C , xiR ) bsiR ) R * + + (supportBi(xij C R , xj R ) bsj R ) C C C (c ij+ (supportBi(x ij R , xiR ), supportBi(xij R , xj R )) = biij R ) *+ C supportBi(xij C R , xj R ) ← succ(supportBi(xij R , xj R )) supportBi(xij C R , xj R ) ← bij R C supportBi(xij C R , xiR ) ← succ(supportBi(xij R , xiR )) C biij C R ← biij R + 1 supportBi(xij C R , xiR ) ← biiR Q ← Q ∪ {(xij C R , bi, cij R )} + 7 + 31 4 B0 1 0 O(ed) 32 34 1 O(ed + n> + nd) = O(ed + n>) c ij R (viR , vj R ) ∈ IiR × Ij R O(nd + e> + ed2 + ed) = O(ed2 + e>) O(nd) O(e>) 32 34 1 : 32 34 1 O(nd + n>) O(nd>) O(nd>) 32 34 1 O(nd + e> + ed2 >) = O(ed2 >) O(e2 > + ed2 >) 32 34 1 32 34 1 O(nd) 32 34 1 32 34 1 32 34 1 O(nd + (n + e)nd) = O(end) O(end) O(>) O(min{>, end}) O((e2 + ed2 ) × min{>, end}) 2n 2n + 2e 4n + 4e O(e) O((e2 +ed2 )×>) O((e2 +ed2 )×end) > # ' d d ∅ O(ed3 + min{>, nd} × n) C # % ' ∅ % " " ; ∅ ∅ ∅ B4 0 / 34 1 4 B 10 1 B30 A B0 B4 0 / 34 1 4 B10 @ A B30 A B0 B4 0 / 34 1 31< 3B0 ∅ B4 0 / 34 1 4 B 10 1 B 30 A B0 " & % % % & x i x j ∅ A B C > bii [ ?4/ , >loc , / B< 12 4 B? < / 0 A B ](x , x ) i j ?4/ xi xj > loc xi bii xj [bi ..bs ] j j ? 4 / bi i xj ?4/ bij = max{bij , bii + (| | − 1 − >loc )} ?4/ bsj = min{bsj , bii + (| | − 1 + >loc )} bii bsj xi xj S S[i] i S S[i..j] S[i], . . . , S[j] S[1] S[0] c i mat bi −1 bsj ?4/ i | | ∀a ∈ [bii ..bsj ], ∀b ∈ [2..| ?4/ ?4/ [b]) mat[a − 1, b − 1] + ci (S[a], |−1], mat[a, b] = min mat[a − 1, b] + 1 mat[a, b − 1] + 1 ? 4 / S ?4/ S ∀a ∈ [bii ..bsj ], mat[a, 1] = ci (S[a], ∀b ∈ [2..| ?4/ |], mat[bii − 1, b] = >loc . ?4/ [1]); 8 ? 4 / S ? 4 / S >loc ? 4 / ∀a ∈ [bii ..bsj ], mat[a, | ?4/ |] = mat[a − 1, ?4/ [| ?4/ | − 1]] + ci (S[a], ?4/ bii [| ?4/ |]). ∀a ∈ [bii + 1..bsj ], mat[a, 1] = >loc . ? 4 / bij bsj score = min a∈[bij ..bsj ] mat[a, | ?4/ |]. mat ?4/ O(| |) ?4/ O(D| |) D ? 4 / | | + >loc ?4/ ?4/ O((| | + >loc ) × | |) bii xj v 7→ (bi , v ) j i j ?4/ arg mina∈[bij ..bsj ] mat[a, | |] , ( + / < 3>>0 ? 31 / < 3>>0 [ , ](xi , xj , xk , xl ) ? </0 AB , = 4 A >0 ? 3 1 = 4 A >0 , ? <. , 31 0 >2 , 4 = = >0 , >loc , / B< 12 4 B x / < 3 >>0 ? 31i xj x k xl / < 3>>0 ? <. = 4 A >0 ? <. = 4 A >0 ? 3 1 bi x i i ? <. bij bsj bik bsk bil bsl bij / < 3>>0 ? 3 1 bii + ( − 1) = 4 A >0 ? <. = max bi − ( + 1) / < 3 >>0 ? <. = 4 A >0 ? <. k bil − ( − 1) − ( + 1) bs j / < 3 >>0 ? <. bii + ( − 1) = 4 A >0 ? 31 = min bs − ( + 1) / < 3>>0 ? 31 = 4 A >0 ? 31 k bsl − ( − 1) − ( + 1) bik / < 3>>0 ? 31 = 4 A >0 ? 31 bii + ( − 1) + ( + 1) = 4 A >0 ? 31 = max bi + ( + 1) / < 3 >>0 ? <. j bil − ( − 1) bs k / < 3 >>0 ? <. = 4 A >0 ? <. − 1) + ( + 1) bii + ( = 4 A >0 ? <. = min + 1) bs + ( / < 3>>0 ? 31 j bsl − ( − 1) bil / < 3>>0 ? 31 = 4 A >0 ? 31 bii + 2( − 1) + ( + 1) / < 3 >>0 ? 31 = 4 A >0 ? 31 = max bi + ( − 1) + ( + 1) / < 3>>0 ? 31 j bik + ( − 1) bsl / < 3 >>0 ? <. = 4 A >0 ? <. bii + 2( − 1) + ( + 1) / < 3>>0 ? <. = 4 A >0 ? <. = min bs + ( − 1) + ( + 1) / < 3 >>0 ? <. j bsk + ( − 1) xi bij bsj xl bsk bik x bs bik xl i j xj xk x l x x j k bi bs xl bik i j x x xl i j xk $ xi bii xl >4 1 ? <. = 4 A >0 ? <. O( + ) = O(1) >4 1 ? <. $ O( ) = O(1) >4 1 ? <. $ O( ) bii x x j k x l ( + + 7 + [ / < 3>>0 ? <. 4 = = >0 / B< 12 4 B ? < / 0 A B ](x , x , x , x ) i j k l x x x xl i j k i i bsj − bii bsl − bik / < 3 >>0 >3 0 ? <. / < 3 >>0 >3 0 ? <. × / < 3>>0 >3 0 ? <. >4 1 ? <. × (i, l, n) bi + i bsl − l i n , , >loc , ca matrice[i, l + 1, n], matrice[i + 1, l, n], matrice[i + 1, l + 1, n + 1] = min matrice[i, l, n] + ca (S[bii + i], S[bsl − l]) matrice[i, l, 0] = ( 0 >loc (i = 0) ∧ (l ≤ bsl − bil ), . C ∀i > 0, l > 0, n > 0, matrice[0, l, n] = matrice[i, 0, n] = >loc min {matrice[i, l, n] + ( i≥bil −bii l≥bsl −bsk n >4 1 ? <. − n)} / < 3>>0 >3 0 ? <. 2 >4 1 ? <. O( × ) / < 3>>0 >3 0 ? <. 2 >4 1 ? <. O( × ) i+1 i j−1 j i j i+1 i j−1 j i j k k+1 bii xl x l xk + + x j + ! + / < 3>>0 ? 31 / < 3>>0 ? <. 4 = = >0 / B< 12 4 B ? < / 0 A B [ , , ,> , ](xi , xj ) loc # 8 ' 8 S[i] S[j] S[i + 1..j] − 1] S[i..j S[i + 1..j − 1] S[i] · · · S[j] S[i..k] S[k + 1..j] S[i] S[j] k ∈]i..j[ (i, j) ( A2 2 314 - 5 S6 matrice[0, 0] ← 0 * ( * + i ∈ [1..|S| − 1] mat[i, i − 1] ← 0 mat[i, i] ← 0 * ( + *+ d ∈ [1..|S| − 1] *+ * ( j ←i+d S[i..j] + i ∈ [0..|S| − 1 − i] + mat[i + 1, j], mat[i, j − 1], mat[i, j] ← min mat[i + 1, j − 1] + (1 − ca (S[i], S[j])), mink∈]i..j[{mat[i, k] + mat[k + 1, j]} + *+ mat[0, |S − 1|] C mat[i, i] mat[i, i + 1] mat[i, i + 2] mat[i, i + 3] / < 3>>0 >3 0 ? <. bsj − bii / < 3>>0 >3 0 ? <. 2 O( x i ) bij bsj + ) * + 4 = = >0 / B< 12 4 B? < / 0 A B ,> , ](x , x , y , y ) loc i j k l xi x yk yl yk yl j x xj i x x i j T S[xi ..xj ] & % ' & # # ; ' " T ln(|T |) [ & & & % & % [i] & & % [i] [i − 1] && & & & & % (i, j) k [i], [i+1], . . . [j] % & & & & & & & & k k % % & ∀l ∈]i..j], [l] ≥ k ∃l ∈]i..j], [l] = k [i] < k , & [j + 1] < k pgpc % ' # k k S k (i, j) k (i0 , j 0 ) k0 >0 / / B0 2 (i, j) → (i0 , j 0 ) 0 0 (i, j) (i , j ) 0 T npref mot T 0 mot T ; 0 1 2 1 i (0, 4) (0, 3) (2, 3) (4, 4) suf pgpc k k " n pref yk bik bs yl bi bs k l l k T S[x ..x ] i j S[x ..x ] i j n mot n min n = 0 (0, |T |) n = 0 >loc min = >loc ( - 0 0 B 0 . < /0 5 mot ∈ σ + 6 (i, j) ← (0, |T |) npref ← 0 B< 3 * + + ( 4)1 10 3>2 (i0 , j 0 ) ← (i, j) >0 / / B0 2 ( 4 1 10 ((i, j) → (i0 , j0 )[0] 6= mot[n ]) B B0 (i0 , j 0 ) ← (i0 , j 0 ) 0 0 ((i,j ) = (⊥, <⊥)) A. (i0 6= j 0 ) >0 // B0 2 m ← min{| ((i, j) → (i0 , j 0 )|, |mot| − n } >0 / / B0 2 (( (i, j) → (i0 , j 0 )[0..m] 6= mot[n ..m]) < A. (i, j) ← (i0 , j 0 ) npref ← npref + m (m = |mot| − B< n3 ) ( >0 / / B0 2 j) ((i, → (i0 , i0 ))[0..|mot| − n ] = mot[n ..|mot|]) B< 3 < A. 8 4 1 10 < 1 3 < / 2 min − nerr 4 1 10 < 1 3 < / 2 score long tout 4 1 10 < 1 3 < /2 mot , (i0 , j 0 ) ← - 0 0 B 0 31 3? A ? 5 min ← min{min, score, min)} (i, j), npref , nerr , min 6 E (i, j) 0 0 ((i , j ) 6= (⊥, ⊥)) (i0 6= j 0 ) 4 1 10 < 1 3 < /2 >0 / / B0 2 candidats ← ( ((i, j) → 0 0 (i , j )), mot[npref ..|mot|], min − nerr ) (¬candidats.vide()) (long, score, tout) ← candidats.depile() (nerr + score ≤ min) (tout) min ← nerr + score 4 1 10 3>2 4 1 10 < 1 0 0 B 0 31 3? A ? ((i0 , j 0 ), npref + long, nerr + 3 < /2 >0 / / B0 2 candidats ← ( ((i, j) → 0 0 (i , i )), mot[npref ..|mot|], min − nerr ) (¬candidats.vide()) (long, score, tout) ← candidats.depile() ((nerr + score < min) ∧ (tout)) min ← nerr + score 4 1 10 B B0 (i0 , j 0 ) ← min (i0 , j 0 ) ; n b ; n m liste b ∈ σ + , m ∈ σ + , n (i ∈ [0..|b|]) matrice[i, 0] ← i ∈ E (j ∈ [0..|m| − 1]) (matrice[|b|, j] ≤ n ) ! liste.empile(j, matrice[|b|, j], ) liste (i ∈ [0..|b|]) (matrice[i, |m|] ≤ n ) liste.empile(b, matrice[i, |m|], ) (j ∈ [1..|m|]) matrice[0, j] ← j (i ∈ [1..|b|]) (j ∈ [1..|m|]) matrice[i − 1, j] + 1, matrice[i, j] ← min matrice[i, j − 1] + 1, matrice[i − 1, j − 1] + ca (b[i], m[j]) " " " " " y y k l " (i, j) " borneInf borneSup(i, j) k (i, j) " k T " (i, j) borneInf (i, j) borneSup(i, j) " yk [borneInf (i, j)..borneSup (i, j)] ∩ [bik ..bsk ] = ∅ [bik ..bsk ] " " " yl [borneInf (i, j) + | | − 1 − >loc ..borneSup(i, j) + | | − 1 + >loc ] ∩ [bil ..bsl ] = ∅ " " " " m − >loc " b m >loc m + >loc b m+b−1 b " b m + >loc ≤ (2m + >loc )m m+b−1 σ b σb Pm+>loc m i i=m−>loc σ × (2m + >loc ) × (2m + >loc )m " " O(m + >loc ) O(>loc × σ m+>loc × (2m + >loc )m+1 ) " (2 × >loc + 1) × σ m+>loc T x bi xj " j i x borneInf y j k lettres(0, |T |) → (i, j) " T yl [ , , , ](x , x ) , >loc , i j " x xj " i familles " n1 n2 >loc " . f 0 ∈ familles[n1 , n2 , , , ], familles[n1 , n2 , , , ] 6= ∅. " xi xj " " f xj " xi xj " min ← >loc E j ∈ [bij ..bsj ] min ← min{min, f (S[xi ], S[j])} min O(d) " " bii " [ , ! , , ! , (xi , xj , xk , xl ) ] , >loc , " " " " " " " ](x , x ) [ , , , , , > , loc i j " {G, C} xi xj ! " " ≥ ! − − score(p) p × − × − ×p+ p< . , ≤p< , " xi x j xi xi bsj " " " " d " ! bii "# # $ % & [ , , , , , , , >loc , ](xi , xj ) " j " xi x " " ∅ " ! " ' & " min ← >loc nbP os ← 0 j ∈ [x ..bi [ i j (S[j] ∈ ) E nbP os ← nbP os + 1 j ∈ [max{xi , bij }..bsj ] (S[j] ∈ ) nbP os ← nbP os + 1 nbP os )} min ← min{min, score( j−bi j +1 min ! ! − × (bij − bsi )+ − ! − × × − ! − × (bsj − bii )+ & % − & ! % × − × & % − ! ! " bij ← bii + ! bsj ← bsi + ! bii ← bij − " bsi ← bsj − bij − bsi > & " bsj − bii ≥ bsj − bii ≥ % , , , " " xi bsi bi i " bii $ # # # $ , bij − bsi > . " " " " " " " " " " " " " ' " " " " " " ' " " " " " " " $ # # $ ! "# $ % & & & ' % % ( & ( & & ! & & ) ! "# ' * + , & , ( , ( & " % ! , & ! , ! ! - ( , ( ! & " ! . ( " ( / O(e) % & & . 0 ( , % / & ! 1 2# # ( & ! "# $ % 3 , ( & . & ' , & , " 4 & & ! & ! 5 Q ( 6 , & ' " , / & ' / 789:9 !)) & % % , . , & ! , ! , . , . & , ' ( & ' & , & , & ; / , & & ' ! , 5 ( ' ( ( & & ( ( !/ ( & . & " ( ( & ! , ! # # $# # . % , ! " 2# ( ( & # / & & % % / % % / & ( ! & , / ' " . & ! & - & & ! ( ! & . ; ( & / , , & ! , ! 5 ! ( & ! 5 , , ( & & " ) " * & ; , & / & ! , & ! , ; ( ( , ( | | − >loc ! ! − >loc . ! − >loc /2 − >loc ,1 & ! ! ! , '. 1000 5 ( & !/ % , # # # & & % % ( ! ! % ! ! , d * $$ ! , . ! % d & %' & d '% x1 = a x1 = c x1 = b x2 = a x2 = a x2 = b x2 = c x1 6= a x2 6= a x2 = b ... , , x1 = a ⇒ ! x2 6= b ... ! ! ! ; ! ! xi = vi ! , ( . % vi xi 6= ' / ( ; / ( , ! * % ( xi ∈ X (Ii 6= ∅) xi ← bii () xj ← () (xj ) bii ← succ(bii ) () " , . / ! ! , !/ ! $ ( 3 & & 0 & ( & & ! & ' ( . ! x1 x2 x3 . x1 x2 ! ; & ! ; x2 x3 ( & x2 x1 x3 x & / % / 3 & & , ( x1 x1 ( & ! ; & / x3 x2 x1 !/ & , % / x3 x2 x1 x2 . x3 !/ ' " . ! ; & ! 5 ) . 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O(enD+min(>, nnD)×n) ( "# ( & ! ; O (enD + min(>, nnD) × n) × d × (n − 1)! × D n−1 = O(d) & % ( & & ( ( ( . & ! , ; & &( % ' ' & % ( , ( . & ! ! ( ' ( % % ( * * ( ( "# & ( & ! ; . O(ed + min(>, nd) × n) = O(d) . . . . . & O(d) & ! ( ! ; ( ( & ! ( . & ( ( . & ! ( ; & ! ( ! ( ! ( . & ! ( , . ; ( & ! ( ! ; ( & ! ; ( ! & & ( . "# 0 0 ( ! & ! d ( ( ( d( & ! ; * ! "# & O (ed0 + min(>, nd0 ) × n) = O(d0 ) & ( & & ( ; ! d × (n − 1)! × D n−1 ! ! ( , . & & ( , ! "# ! ! ed × (n − 1)! × D n−1 = O(d) ! ! & 0 ' O(dd ( ) . O(dd0 ) . ( #& . . , 0 ( ! d0 d , ( . , & ( √ 1)! n n / & ! & ! ( (n − 2πn e !/ & ! & n! ∼ ! , , & n−1 D D ; . 5 , 4 !/ & & ' ! & & & ! . . & , & & . ( . ( ( " . . & 5 ! & % ' ' ( ' , ( & . % & ! ' , & ( , & . "% ! , , ( & & & ( , ! " ( & & . +% % (( ' ( % ' ! ! ( ( . & # " ( . & . ( 5 . ( & & ( # ( & & ! # ( " & ( & ! & ( '( 5 / ( , ! . / !/ / ( & ( ( . & ( . ( , ! ! ( . . ( ( !/ ( . & ; ( (( & ! 5 . & . ( / 6 # % ( . ! . ( , . ( / & 3 # ( , / ! / ( ! ( ! & . . 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( ! % % ( % % % ! % % % ! % % ! % % % & % [ = 7, = 52..67, >loc = 0, ](x1 , x2 , x17 , x18 ) [ = 0, ](x2 , x3 ) >loc = 0, ](x3 , x3 ) [ = U, [ = 1, ](x3 , x4 ) = 5..9, >loc = 1, ](x4 , x5 , x6 , x7 ) [ =4, 7 , x8) [ = 1, ](x [ = 5, = 7, >loc = 1, ](x 8 ,x9 , x10 , x11 ) = 0..1, ](x11 , x12 ) [ = 4..4..5..13, [ = 4..5, = 6..7, >loc = 1, ](x12 , x13 , x16 , x17 ) ](x , x ) [ = 1, 14 15 [ = UC, > = 0, ](x , x ) % ( % & loc % ! % 15 16 ! % %% !! % % >loc % ( % % / % % % % ! ' % % % ! % / % & $ % * * % ! % . %% % '. ! ! % % % & % !! % % % ( % ! % % % % % % % ! % % % % ! , % % ' % % % %% % % , ! % ! % ! % % % % % & % ( ( % % ! % % ! % % % / % % , ! % % ! % % % % % ! % % % , ! % ! $ ! % % ! % % ( % % % ! % % ! % % ! % . %% % % % % & % ! . % % % % $ ! % % ! ! % & ' % % % % % % ! % , % % % $ % % % % ! % ! % % % % % !$ % !$ % % % % ! % $ % & % % ! 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