1234086

Modélisation numérique d’écoulements fluide/particules
Aline Lefebvre, Aline Lefebvre-Lepot
To cite this version:
Aline Lefebvre, Aline Lefebvre-Lepot. Modélisation numérique d’écoulements fluide/particules. Mathématiques [math]. Université Paris Sud - Paris XI, 2007. Français. �tel-00257246�
HAL Id: tel-00257246
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Submitted on 18 Feb 2008
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publics ou privés.
N
o
d'ordre : 8852
Université Paris-Sud
Fa ulté des S ien es d'Orsay
THÈSE
présentée pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR EN SCIENCES
DE L'UNIVERSITÉ PARIS XI
Spé ialité : Mathématiques
par
Aline Lefebvre
Sujet :
MODÉLISATION NUMÉRIQUE D'ÉCOULEMENTS
FLUIDE/PARTICULES.
PRISE EN COMPTE DES FORCES DE LUBRIFICATION.
Soutenue le 23 Novembre 2007 devant la Commission d'examen :
M. Allaire Grégoire
(Rapporteur)
M. Alouges François
(Examinateur)
M. Gérard Patri k
(Examinateur)
M. Gerbeau Jean-Frédéri
(Examinateur)
M. Glowinski Roland
(Examinateur)
M. Maday Yvon
(Président du jury)
M. Maury Bertrand
(Dire teur de thèse)
Après avis des rapporteurs :
M. Allaire Grégoire
M. Turek Stefan
ii
Remer iements
Je voudrais tout d'abord exprimer ma re onnaissan e à Bertrand Maury, mon dire teur
de thèse. Je le remer ie pour sa
Ses
onan e et son soutien permanent durant
es trois années.
ompéten es, sa patien e et sa bonne humeur m'ont souvent été d'un grand se ours.
Grâ e à son enthousiasme et à sa
uriosité, j'ai dé ouvert un univers des mathématiques
varié et passionnant. J'ai pris beau oup de plaisir à travailler ave
han e de voir
ette
ollaboration
lui et j'espère avoir la
ontinuer.
J'adresse mes sin ères remer iements à Grégoire Allaire et Stefan Turek pour le temps
qu'ils ont
onsa ré à rapporter
ette thèse ainsi que pour l'intérêt qu'ils ont porté à mon
travail. Je remer ie également François Alouges, Patri k Gérard, Jean-Frédéri
Roland Glowinski et Yvon Maday d'avoir a
Je voudrais également remer ier i i
Gerbeau,
epté de faire partie du jury.
eux sans qui
ette thèse n'aurait pas eu lieu.
Tout d'abord les hommes de l'ombre, messieurs Akonom et Voedts qui m'ont fait déouvrir et appré ier les mathématiques. Je ne remer ierai jamais assez Jean Voedts de
m'avoir suggéré de quitter ma belle région Lilloise pour la vallée de Chevreuse. Je tiens
aussi à exprimer i i ma gratitude à François Alouges qui, suite à un "je veux faire des
maths appliquées à la bio", a eu l'ex ellente idée de m'orienter vers Bertrand. Je veux
également le remer ier pour les nombreuses dis ussions ("matheuses" et autres) que nous
avons eues depuis : son intérêt pour mon travail, son soutien ainsi que ses
onseils m'ont
onsidérablement aidée.
Faire ma thèse dans l'équipe Analyse Numérique et Equations aux Dérivées Partielles
d'Orsay a été une
han e et je tiens i i à remer ier
haleureusement tous les membres de
ette équipe. Je pense plus parti ulièrement à eux ave
qui j'ai eu l'o
asion de
ollaborer.
Ja ques Laminie, sans qui le C++ serait rapidement devenu C- -. Le temps qu'il m'a
onsa ré m'a été très pré ieux (non Ja ques, je n'a herai pas mes beaux dessins dans le
salon et oui, je parlerai de toi à Cannes !). François Alouges et Antonio De Simone (ah !
le soleil italien !) qui m'ont appris à nager (bientt le
rawl ?). Et enn, last but not least,
Sylvain Faure, qui a toujours trouvé le temps de répondre à mes questions (informatiques
et autres...) et grâ e à qui j'ai vain u VTK (le petit
afé des matins di iles sera dur
à rempla er !). Un grand mer i aussi aux Grenoblois, Mourad Ismail et l'équipe du LSP,
pour leur enthousiasme et leur a
Je remer ie enn mes
ueil toujours
haleureux (sympa vos manips !).
o-bureau du 256, bien
a hés au fond du fond du
ouloir du
se ond. Les an iens, qui m'ont appris les subtilités de la vie de thésard, et les nouveaux,
qui m'ont soutenue jusqu'à aujourd'hui (vous nommer tous i i serait trop long, mais je
suis sûre que vous vous re onnaîtrez !). Sans l'ex ellente ambian e et la solidarité qui
règnent dans
e bureau,
es trois années n'auraient pas été si agréables. Un petit
aussi aux do torants du 258 et du bâtiment d'en fa e, et plus parti ulièrement à
nous rejoignaient pour de longues dis ussions autour d'un
de
ou ou
eux qui
afé à midi. Je prote enn
es quelques lignes pour adresser mes remer iements à Juliette, zeni atri e o ielle
de notre bureau. Que de
hemin depuis Lille et la prépa ! Ces deux dernières années, nos
iii
é hanges mathématiques mais aussi, et surtout, nos longues dis ussions (sur le parking,
tard le soir : tant pis... nos hommes attendront !), m'ont été très pré ieuses. Un énorme
mer i également pour ta disponibilité sans faille
passé à la rele ture minutieuse de
Je termine par
es derniers mois, ainsi que pour le temps
e manus rit (à
harge de revan he !).
eux qui ont toujours été là pendant
es longues années d'étude. Un
énorme mer i à toute ma petite famille. A mes parents, qui m'ont en ouragée, épaulée
dans les moments di iles et qui m'ont appris que l'important était de donner le meilleur
de soi-même. A Audrey et Fabri e, pour les heures passées au téléphone et les Week-End
détente qui m'étaient indispensables. Et enn, un énorme mer i à Eri
qui, armé d'une
patien e inébranlable, m'a soutenue au jour le jour et sans qui je n'y serais pas arrivée.
In ore in grind mer i a tertous !
iv
Table des matières
Introdu tion
1
Résumé
7
Abstra t
9
Partie I
Simulation dire te d'é oulements Fluide/Parti ules
par une méthode de Pénalisation
11
Chapitre 1
Présentation de l'algorithme
1.1
1.2
1.3
Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.1
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.2
Méthodes numériques existantes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Algorithme proposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2.1
Formulation variationnelle
ontinue . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2.2
Dis rétisation en temps
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.2.3
Gestion du mouvement rigide par pénalisation . . . . . . . . . .
22
Tests numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.3.1
Implémentation sous
1.3.2
Parti ule en
FreeFem++
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
isaillement, problème stationnaire
v
. . . . . . . . .
24
25
Table des matières
1.3.3
1.3.4
1.4
Sédimentation d'une parti ule, problème stationnaire : tests de
onvergen e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Sédimentation de deux parti ules . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Un peu de théorie : Inégalité de Korn et
onséquen es . . . . . . . . . .
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
as général . . . . . . . . . . . . . . .
33
ontrainte de mouvement rigide . . . .
34
Valve
ardiaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.1.1
Des ription du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.1.2
Formulation variationnelle et implémentation
. . . . . . . . . .
41
2.1.3
Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Nageur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.2.1
Des ription du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.2.2
Présentation d'un
. . . . . . . .
46
2.2.3
Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.2.4
Re her he de brassées optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.4.1
Simpli ations et notations
1.4.2
Méthode de pénalisation,
1.4.3
Appli ation au
as de la
Chapitre 2
Appli ations
2.1
2.2
2.3
Partie II
Vési ules
as simple : la brassée arrée
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.3.1
Contexte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.3.2
Modèle utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.3.3
Résultats obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Intera tions rappro hées
63
Chapitre 3
Préambule : Un algorithme de gestion des
onta ts modélisant des
ollisions inélastiques
3.1
vi
Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.2
Méthode de prise en
onta ts . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1
Un espa e de vitesses admissibles
3.2.2
Cas de la méthode de pénalisation : formulation variationnelle
modiée
3.2.3
3.3
ompte des
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode de splitting
67
67
68
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Chapitre 4
Un modèle de onta t visqueux,
4.1
4.2
4.3
4.4
as parti ule/plan
For e de lubri ation normale et
onta t . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4.1.1
Cas d'objets lisses
4.1.2
Conséquen es numériques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.1.3
Cas d'objets rugueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Modèle de onta t visqueux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4.2.1
Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.2.2
E riture du modèle et résultats de
. . . . . . . . .
89
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Algorithme asso ié
onvergen e
4.3.1
Réé riture du problème
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.3.2
S héma numérique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
4.3.3
Intégration à la simulation uide/parti ules
. . . . . . . . . . . 108
Enri hissement du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4.1
Prise en
ompte de la rugosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4.2
Ajout de la for e de lubri ation tangentielle . . . . . . . . . . . 111
Chapitre 5
Modèle de onta t visqueux et programmation dans le
as multi-
parti ules
5.1
5.2
Modèle multi-parti ules
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.1.1
Cas de deux parti ules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.1.2
E riture du modèle multi-parti ules . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Algorithme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.1
E riture de l'algorithme multi-parti ules . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.2
Proje tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2.3
Re her he des voisins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2.4
Extensions possibles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
vii
Table des matières
5.2.5
5.3
Premiers résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Programmation Orientée Objet
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3.1
Méthodologie et obje tifs
5.3.2
Les
lasses Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.3
Les
lasses Opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3.4
La Classe Problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3.5
Le
5.3.6
Résultats numériques : sédimentation de 1000 parti ules
Partie III
ode et son utilisation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Du mi ros opique vers le ma ros opique
. . . . 144
147
Chapitre 6
Un modèle
6.1
6.2
6.3
Annexes
viii
ontinu de boulier visqueux
Modèle du boulier visqueux
6.1.1
Modèle dis ret
6.1.2
Vers un modèle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
ontinu : appro he formelle
Convergen e du modèle dis ret vers le modèle
. . . . . . . . . . . 155
ontinu . . . . . . . . . . 157
6.2.1
Sens donné au modèle
ontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.2.2
Un opérateur mi ro-ma ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.2.3
Résultat de
onvergen e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Démonstration des lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Annexe A
Minimisation sous
ontrainte ane
A.1
Contrainte d'égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
A.2
Contrainte d'inégalité,
A.3
Algorithme d'Uzawa :
ontrainte d'inégalité,
as
M = RN
M = RN
as
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Annexe B
Optimal strokes for low Reynolds number swimmers : an example
B.1
Introdu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
B.2
Setting of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
B.3
B.2.1
Stokes equations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
B.2.2
The ODEs des ribing swimming . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
B.2.3
Swimming as a
ontrol problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Proof of Theorem 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
B.3.1
Proof of Lemma 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
B.3.2
Proof of Lemma 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
B.4
A numeri al algorithm for
B.5
Examples of optimal strokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
B.6
omputing optimal strokes . . . . . . . . . . 208
B.5.1
Optimal strokes versus square loops . . . . . . . . . . . . . . . . 212
B.5.2
Multipli ity of geodesi
B.5.3
Swimming with many strokes
strokes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Dis ussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Annexe C
Dérivation de fon tions à variations bornées : mesures diérentielles
C.1
Mesure diérentielle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
C.2
Sous-intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Annexe D
Démonstration de l'équivalen e entre
(P)
et
(P ′ )
énon ée page 95
Annexe E
Programmation Orientée Objet et UML
E.1
Programmation Orientée Objet
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
ix
Table des matières
E.2
UML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
E.3
Diagramme des Classes détaillé
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Annexe F
Vers la forme faible de l'équation de transport
Bibliographie
x
249
Introdu tion
Le sujet de
e travail est la simulation numérique d'é oulements uide/parti ules
denses. Nous nous
on entrons sur les intera tions hydrodynamiques à
ourtes portées
dans de tels systèmes et proposons un modèle ainsi qu'un algorithme permettant de les
prendre en
ompte numériquement. Nous proposons également un modèle ma ros opique
ontinu qui les modélise en dimension 1.
E oulements uide/parti ules :
propriétés ma ros opiques et simulation numérique.
Dans la nature, les boues, les é oulements de lave ou en ore les globules rouges dans le
sang sont des systèmes formés de parti ules solides en suspension dans un uide visqueux
(en admettant en première approximation que les globules rouges soient solides). De tels
systèmes se retrouvent également dans le monde industriel,
béton, la pâte à papier ou
ertains uides agroalimentaires.
Ils présentent une variété remarquable de
1
omportements rhéologiques , dont l'étude
a fait l'objet de nombreuses re her hes, protant de
domaines tels que l'ingénierie, la
de base
omme par exemple dans le
ontributions venant de diérents
himie, la physique ou les mathématiques. Le problème
onsiste à prédire les propriétés ma ros opiques de transport de
vis osité, vitesse de sédimentation à partir des mi rostru tures,
es suspensions
'est-à-dire à partir des
intera tions entre les parti ules et de leur distribution spatiale.
La plupart des études théoriques dans
e domaine sont limitées au
diluées à nombre de Reynolds nul. Ces études ont
ommen é ave
as de suspension
les travaux d'Ein-
stein [28, 1906℄ sur la vis osité apparente d'une suspension diluée de sphères rigides dans
un uide de Stokes. Sa formule donne l'inuen e de la présen e de parti ules sur la visosité globale de la suspension pour de faibles fra tions solides volumiques. Dans
e
as,
les intera tions à longue portée entre les parti ules peuvent être négligées et les eets
des parti ules isolées et des paires de parti ules dominent dans le
du système. Cela permet de déterminer le
omportement global
omportement ma ros opique de
es systèmes
grâ e à des développements asymptotiques à faible densité ou à faible fra tion solide volumique. Malheureusement, l'a
ord de tels résultats ave
les données expérimentales n'est
généralement obtenu que jusqu'à des fra tions solides de l'ordre de quelques pour
Etendre l'analyse du
as dilué à des
di ile. En eet, à forte densité,
1 La
haque parti ule agit, de pro he en pro he, sur le
rhéologie est l'ensemble des phénomènes
ent.
on entrations plus importantes est un problème
om-
onditionnant l'é oulement et la déformation de la ma-
tière.
1
Introdu tion
portement de toutes les autres et la méthode employée dans le
valable. Le
omportement ma ros opique de
la fra tion solide volumique mais de la
as dilué n'est don
plus
es sytèmes ne dépend plus uniquement de
onguration mi ros opique de la solution (par
exemple de la présen e ou non d'amas de parti ules) et il est don
sus eptible d'évoluer
dans le temps. Deux problèmes majeurs se posent alors :
La modélisation et la prise en
ompte de manière globale des intera tions multi-
parti ules et plus parti ulièrement des intera tions hydrodynamiques,
la détermination de la
onguration spatiale des parti ules. Dans le
as dense, la
onguration mi ros opique du système est une in onnue du problème qui évolue
au
ours du temps.
La simulation numérique s'avère être un outil puissant pour étudier les
mi ros opique et ma ros opique de
omportements
es suspensions denses. Au niveau mi ros opique,
la résolution de l'é oulement uide ainsi que l'intégration de la loi de Newton sur les
parti ules donnent la
peuvent alors être
onguration spatiale du système. Les propriétés ma ros opiques
al ulées à partir de la mi rostru ture obtenue et de l'état du uide
environnant. Dans les années 80, Bossis et Brady ont développé une méthode numérique,
appelée Stokesian Dynami s, qui permet la simulation dynamique de parti ules sphériques
dans un uide de Stokes dans des
onditions d'é oulement et de géométrie parti ulières
(voir [13, 27, 41℄). Cette méthode est basée sur une hypothèse d'additivité des for es
hydrodynamiques et fait appel à des développements asymptotiques de
et longue portée. Elle a été utilisée dans [14℄ par ses
de suspensions
on entrées de sphères, en
es for es à
ourte
on epteurs an d'étudier la rhéologie
isaillement en milieu inni.
La simulation numérique et l'étude du
omportement ma ros opique des systèmes
multi-parti ules plus généraux font appel à des méthodes dites de simulation dire te. Par
ela, on entend résolution des équations de Stokes ou Navier-Stokes dans le domaine uide
ouplées ave
le Prin ipe Fondamental de la Dynamique sur les parti ules, sans autre
modélisation ou approximation (autre que
simulation a motivé de nombreuses re her hes
elles liées à la dis rétisation). Ce type de
es dix dernières années (voir se tion 1.1.2,
page 15). Dans [56℄, nous utilisons une telle méthode an d'étudier le
omportement
de mélanges dont les parti ules interagissent à travers une for e d'attra tion, dans un
é oulement de
isaillement entre deux plans innis. Nous étudions l'évolution en temps
de la vis osité apparente de tels systèmes. Nous observons que, même dans le
é oulement uide linéaire de type Stokes, on observe un
as d'un
omportement global fortement
non linéaire. Cette étude permet de vérier que la vis osité apparente dans une telle
situation est dépendante de la
onguration spatiale mi ros opique. En eet, elle peut
roître ou diminuer selon la forme et la position des amas de parti ules. Elle dépend
également très sensiblement, pour des populations denses, des distan es interparti ulaires.
Importan e d'une bonne gestion des intera tions rappro hées.
Une parti ule pro he et en mouvement relatif par rapport à un objet rigide (un mur
ou une autre parti ule) est soumise à une for e hydrodynamique qui tend à pénaliser le
mouvement relatif des deux objets. Il s'agit de la for e de lubri ation qui est due à la
persistan e de uide interstitiel entre les deux surfa es pro hes. Cette for e est singulière
et se
2
omporte, dans un uide de Stokes,
omme l'inverse de la distan e interparti ulaire
quand
elle- i tend vers zéro. Elle est susante pour éviter les
et est don
parti ulièrement importante dans le
d'obsta les. Dans de tels
ollisions de parti ules
as de systèmes denses ou en présen e
as, elle joue en eet un rle prépondérant dans le
omportement
ma ros opique du système. Lors de la simulation numérique de solution denses, il apparaît
don
indispensable de la prendre en
Or, lors de simulations telles que
ompte
orre tement.
elles que nous ee tuons dans [56℄, la dis rétisation
du problème en espa e rend di ile la résolution pré ise de l'é oulement uide entre les
parti ules pro hes. Bien entendu, il est possible de raner le maillage dans
fortes
ontraintes mais
ela peut devenir très
erreurs ainsi ommises provoquent des
oûteux dans le
es zones de
as de systèmes denses. Les
onta ts et même des hevau hements de parti ules
qui ne sont évidemment pas physiques et qui peuvent stopper prématurément les
al uls.
Des raisons de modélisation physique et de robustesse numérique imposent don
la mise
en pla e de méthodes permettant de gérer e a ement
utilisent par exemple des for es répulsives à
es
onta ts. De nombreux auteurs
ourte portée ou des modèles de
ollisions
inélastiques (voir se tion 3.1, page 66). Dans [56℄, nous utilisons une méthode globale de
gestion des
onta ts,
orrespondant à un modèle de
ollision inélastique. Ces te hniques
permettent de résoudre numériquement le problème mais ne prennent pas en
ompte la
physique sous-ja ente des for es de lubri ation dont on a déjà noté l'importan e.
Ainsi,
ertains auteurs ont été amenés à ajouter aux simulations numériques dire tes
la prise en
ompte des for es de lubri ation (voir se tion 4.1.2, page 4.1.2). Le problème
des erreurs d'estimation des for es de lubri ation dues à la dis rétisation en espa e est
alors résolu et, en prin ipe, les for es
al ulées sont susantes pour éviter les
ollisions de
parti ules. Cependant, la for e de lubri ation étant singulière aux petites distan es, on est
amené à résoudre numériquement des systèmes très raides. L'existen e de faibles distan es
interparti ulaires né essite alors l'utilisation de pas de temps très petits pour éviter les
onta ts. Ainsi, la physique du problème est mieux respe tée et les petites distan es sont
pénalisées mais, en l'absen e d'un pas de temps susamment petit, des
hevau hements
de parti ules, bien que moins fréquents, peuvent à nouveau apparaître, suite aux erreurs
de dis rétisation en temps. En pratique, an d'éviter une diminution trop
oûteuse du pas
de temps, il est à nouveau né essaire, dans les
as de forte densité parti ulaire, de gérer le
problème des
e problème étant dû à la dis rétisation en
onta ts numériques. Noter que
temps, il apparaît également dans les simulations de type Stokesian Dynami s bien que
les for es de lubri ation y soient prises en
ompte à
ourte portée.
Présentation du travail ee tué.
Dans
e travail, nous nous plaçons dans le
adre de la simulation dire te d'é oulements
uide/parti ules. L'obje tif est d'étudier les for es de lubri ation an de dé rire une
méthode permettant de gérer les
onta ts numériques lors de telles simulations, tout en
respe tant la physique sous-ja ente.
Pour
ela, nous souhaitons d'abord disposer d'un outil de simulation d'é oulement
uide/parti ules, simple d'utilisation, permettant d'ee ter des tests. La première partie
de
e do ument est
onsa rée à
la méthode numérique
et obje tif. Dans un premier
hoisie. La
hapitre, nous présentons
ontrainte de mouvement rigide est imposée dans une
3
Introdu tion
partie du domaine par une méthode de pénalisation. Bien que le domaine o
le uide varie dans le temps,
upé par
e type de méthode permet d'utiliser un unique maillage
artésien du domaine global (uide+solide), indépendant du temps. Ce i, asso ié à une
dis rétisation en temps par la méthode des ara téristiques, permet de se ramener à haque
pas de temps, à la résolution d'une formulation variationnelle de type Stokes généralisé.
L'algorithme ainsi obtenu permet d'ee tuer des simulations ave
prendre en
ou sans inertie et de
ompte des parti ules de forme quel onque. Il peut être programmé grâ e à
tout solveur uide Stokes ou Navier-Stokes. Dans le se ond
exemples d'utilisation de
hapitre, nous donnons des
et algorithme. Nous montrons à travers trois problèmes, que le
ode implanté permet de gérer des situations variées et
omplexes, présentant de nouvelles
ontraintes (solide xé en un point lors de la simulation d'une valve
parti ules et volume onstant dans le
as de simulations de vési ules,
ardiaque,
haîne de
as 3D axisymétrique
pour l'étude d'un nageur).
Dans la se onde partie, nous nous
pro hées. Dans le
globale les
on entrons sur la gestion des intera tions rap-
hapitre 3, nous présentons une manière e a e de gérer de façon
onta ts, en les modélisant par des
basé sur une proje tion, à
ollisions inélastiques. L'algorithme est
haque instant, des vitesses des parti ules
solveur uide/parti ule quel onque (provoquant éventuellement des
sur un espa e dit de vitesses admissibles. Cet espa e est
à l'instant suivant, il n'y a pas
nous nous
onta ts numériques)
elui des vitesses pour lesquelles,
hevau hement des parti ules. Dans le
on entrons sur l'étude de la for e de lubri ation dans le
sphérique située près d'un plan. Après avoir présenté un état des
situation, nous dé rivons un modèle de onta t visqueux. Dans
au
al ulées par un
hapitre suivant,
as d'une parti ule
onnaissan es sur
e modèle,
ette
ontrairement
as inélastique, la parti ule garde en mémoire les eets des for es qui s'exer ent sur elle
durant le
onta t. Cet eet mémoire est dû à la persistan e d'une
ou he de uide dans
l'intersti e entre la parti ule et le plan. Nous proposons ensuite un algorithme permettant
de simuler de tels systèmes et montrons sa
en
onvergen e. Il présente l'avantage de prendre
ompte les for es de lubri ation tout en empê hant, par
ments. Dans un dernier
hapitre, nous montrons
onstru tion, les
hevau he-
omment il peut être généralisé au
multi-parti ules en se basant sur la méthode de gestion des
as
onta ts dé rite en début de
partie. L'algorithme nal, programmé selon une méthode orientée objet, permet de simuler numériquement, de manière e a e, des
obtenu est évolutif et sera
an d'intégrer à
olle tions de parti ules visqueuses. Le
ouplé par la suite à des
ode
odes de simulation uide/parti ules,
es derniers une méthode de gestion des
onta ts prenant en
ompte les
for es de lubri ation.
Dans une dernière partie, nous nous sommes intéressés à une autre manière d'obtenir
de l'information sur le
omportement ma ros opique de systèmes denses. Cette méthode
onsiste à représenter le système par un milieu
hapitre 6, on
onsidère
un boulier de parti ules plongé dans un uide visqueux. Il est modélisé par une
haîne de
parti ules, deux parti ules su
ontinu. Dans le
essives agissant l'une sur l'autre au travers de la for e de
lubri ation. En faisant tendre le nombre de parti ules vers l'inni, on obtient un modèle
ontinu formé d'un système de deux équations aux dérivées partielles. La première est
une équation de transport. La se onde est une équation
dont la vis osité est innie dans les zones solides.
4
onstitutive de type Newtonien
L'ensemble de la thèse a été rédigé en dimension deux. La théorie de la méthode
de pénalisation, présentée dans le
hapitre 1, se généralise immédiatement au
as de
la dimension trois, et de premiers tests numériques satisfaisants ont été ee tués ave
FreeFem 3D
[34℄. Le modèle de onta t visqueux normal est quant à lui un modèle 3D
que l'on utilise en dimension deux pour des raisons de visualisation. Il reste à adapter la
partie tangentielle de
e modèle à la dimension supérieure.
Le travail que nous avons ee tué sur la simulation d'é oulements uide/parti ules
par la méthode de pénalisation, a donné lieu aux deux Pro eedings [48℄ et [55℄. Ils
respondent au
or-
hapitre 1 et à l'appli ation à la simulation d'une valve aortique dans le
hapitre 2. La méthode de gestion des
onta ts du
hapitre 3 est dé rite dans [55℄. Leur
ontenu ayant été intégralement repris, développé et réorganisé,
es arti les ne sont pas
joints au présent do ument.
5
Introdu tion
6
Résumé
I. Simulation d'é oulements uide/parti ules, méthode de pénalisation
Chapitre 1 :
vement d'un
Dans
e
hapitre, nous présentons une méthode pour simuler le mou-
orps rigide dans un uide Newtonien. Nous ee tuons la dis rétisation
en temps en utilisant la méthode des
ara téristiques et la
ontrainte de mouvement
rigide est relaxée en introduisant un terme de pénalisation. Cela
onduit à une for-
mulation variationnelle de type Stokes généralisé. Nous montrons que, quand le paramètre de pénalisation tend vers zéro, on retrouve le système d'équations
uide/solide. Des tests numériques sont ee tués ave
taux de
FreeFem++
ouplées
an d'étudier les
onvergen e.
Chapitre 2 :
Dans
e
hapitre, nous présentons trois exemples de simulations uti-
lisant la méthode de pénalisation proposée dans le
hapitre pré édent : simulation
du mouvement d'une valve aortique 2D (très) idéalisée, étude d'un nageur à trois
sphères et simulations numériques de vési ules en
isaillement.
II. Intera tions rappro hées
Chapitre 3 :
Dans
e a ement des
e
hapitre nous présentons une méthode permettant de simuler
onta ts inélastiques dans le
as multi-parti ules. Nous montrons
omment l'intégrer à des simulations d'é oulements uide/parti ules pour gérer le
problème des
Chapitre 4 :
onta ts. Nous présentons enn quelques résultats numériques.
Après avoir fait une revue des propriétés
ation, nous présentons dans
e
onnues de la for e de lubri-
hapitre un modèle de onta t visqueux obtenu
omme limite à vis osité nulle du modèle de lubri ation. Nous proposons ensuite
un algorithme permettant de simuler le
montrons sa
onvergen e et expliquons
omportement d'un tel système. Nous déomment il peut être intégré à des simula-
tions uide/parti ules. Nous généralisons enn le modèle proposé an de prendre
en
ompte la rugosité et la for e de lubri ation tangentielle.
Chapitre 5 :
pré édent au
Dans
e hapitre, nous généralisons le modèle présenté dans le hapitre
as multi-parti ules. Nous proposons ensuite un algorithme permettant
la simulation de tels systèmes. Il s'agit d'une extension de la méthode de gestion
des
onta ts dé rite dans le
hapitre 3. Enn, nous présentons un exemple de pro-
grammation orientée objet de l'algorithme obtenu.
III. Du mi ros opique vers le ma ros opique
Chapitre 6 :
On
onsidère un système dis ret de sphères (un boulier en 1D) qui
interagissent à travers une for e de lubri ation. On propose une équation
tutive ma ros opique, qui est
onstruite
omme le pendant
modèle de lubri ation mi ros opique. Le modèle
onsti-
ontinu naturel de
e
ontinu, de type Newtonien, re-
pose sur une vis osité linéique proportionnelle à l'inverse de la fra tion lo ale de
uide. On établit ensuite la
onvergen e dans un sens faible des solutions du modèle
dis ret vers les solutions du système d'équations aux dérivées partielles
l'équation ma ros opique
omprenant
onsititutive proposée et l'équation de transport.
7
Résumé
8
Abstra t
I. Simulation of uid/parti le ows, penalty method
Chapter 1 :
We present in this
hapter a method to simulate the motion of a rigid
body in a Newtonian uid. The time dis retization is performed using the method of
hara teristi s and the rigid onstraint is relaxed by introdu ing a penalty term. This
leads to a generalized Stokes variational formulation. It is shown that, as the penalty
parameter goes to zero, we re over the
are implemented with
Chapter 2 :
FreeFem++
We present in this
oupled uid/solid equations. Numeri al tests
to study the
hapter three examples of simulations using the
penalty method proposed in the previous
2D model of the aorti
onvergen e rates.
hapter : simulation of a (very) simplied
valve, study of a three spheres swimmer and numeri al
simulations of vesi les under shear ow.
II. Near eld intera tions
Chapter 3 :
We present in this
ollisions in the multi-parti le
hapter a method to simulate e iently inelasti
ase. We explain how it
an be ome integrated into
numeri al simulations of uid/parti le ows and present numeri al results.
Chapter 4 :
this
After a review of the properties of the lubri ation for e, we present in
hapter a gluey parti le model obtained as the vanishing vis osity limit of
the lubri ation model. Then, we propose an algorithm to
of su h systems. We prove its
ompute the behaviour
onvergen e and show how it
an be ome integrated
in uid/parti le simulations. Finally, we extend the proposed model to take into
a
ount roughness and the tangential lubri ation for e.
Chapter 5 :
In this
hapter, we generalize the model presented in the previous one
to the multi-parti le
ase. Then, we propose an algorithm for su h systems whi h
onsists in an extension of the
onta t algorithm des ribed in
hapter 3. At last, we
present an exemple of obje t oriented programming of the algorithm.
III. From mi ros opi
Chapter 6 :
We
to ma ros opi
onsider here a dis rete system of spheres (a
ting through a lubri ation for e. We propose a ma ros opi
whi h is built as the natural
ontinuous
hain in 1D) intera onstitutive equation
ounterpart of this mi ros opi
lubri ation
model. This model, whi h is of the Newtonian type, relies on an elongational vis osity, whi h is proportional to the re ipro al of the lo al uid fra tion. We establish
the
onvergen e in a weak sense of the solutions to the dis rete problem towards
the solution to the system of partial dierential equations whi h is
the equation identied as the ma ros opi
equation.
9
omposed of
onstitutive equation and the transport
Abstra t
10
Première partie
Simulation dire te d'é oulements
Fluide/Parti ules
par une méthode de Pénalisation
11
Chapitre 1
Présentation de l'algorithme
Sommaire
1.1
1.2
1.3
Contexte
14
1.1.1
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.2
Méthodes numériques existantes
15
. . . . . . . . . . . . . . .
Algorithme proposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1
Formulation variationnelle
. . . . . . . . . . . . .
18
Dis rétisation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.2.3
Gestion du mouvement rigide par pénalisation
22
Tests numériques
ontinue
18
1.2.2
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
FreeFem++
1.3.1
Implémentation sous
1.3.2
Parti ule en
1.3.3
Sédimentation d'une parti ule, problème stationnaire : tests
de
1.3.4
1.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
. . . . . . . . . . . . . . .
24
isaillement, problème stationnaire . . . . . . .
25
onvergen e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Sédimentation de deux parti ules . . . . . . . . . . . . . . .
31
Un peu de théorie : Inégalité de Korn et
onséquen es . .
32
1.4.1
Simpli ations et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.4.2
Méthode de pénalisation,
33
1.4.3
Appli ation au
as de la
13
as général
. . . . . . . . . . . .
ontrainte de mouvement rigide
.
34
Chapitre 1. Présentation de l'algorithme
Résumé : Dans e hapitre, nous présentons une méthode pour simuler le mouvement d'un
orps rigide dans un uide Newtonien. Cette méthode est basée
sur une formulation variationnelle sur tout le domaine uide/solide, ave
des
ontraintes sur l'in onnue et les fon tions test. Nous ee tuons la dis rétisation
en temps en utilisant la méthode des
ara téristiques et les
laxées en introduisant un terme de pénalisation. Cela
minimisation sur des espa es fon tionnels non
ontraintes sont re-
onduit à un problème de
ontraints et ainsi, tout solveur
éléments nis pour Stokes/Navier-Stokes permet de programmer aisément
ette
méthode. Nous montrons que, quand le paramètre de pénalisation tend vers zéro,
on retrouve le système d'équations
sont ee tués ave
FreeFem++
ouplées uide/solide. Des test numériques
an d'étudier les taux de
onvergen e.
Abstra t : We present in this hapter a method to simulate the motion of a rigid
body in a Newtonian uid. The method is based on a variational formulation
on the whole uid/solid domain with some
onstraints on the unknown and
the test fun tions. The time dis retization is performed unsing the method of
hara teristi s and the
onstraints are relaxed by introdu ing a penalty term.
This leads to a minimization problem over un onstrained fun tional spa es and
makes the method straightforward to implement from any Stokes/Navier-Stokes
solver. It is shown that, as the penalty parameter goes to zero, we re over the
oupled uid/solid equations. Numeri al tests are implemented with
to study the
1.1
FreeFem++
onvergen e rates.
Contexte
1.1.1
Equations
N in lusions rigides dans un uide Newtonien.
2
Pour ela, on onsidère un domaine Ω ⊂ R (voir Fig. 1.1) borné, régulier et on note
(Bi )i=1...N les N in lusions rigides dans Ω. Les Bi sont des sous-ensembles onnexes de Ω,
N
disjoints et fortement in lus dans Ω. On note B l'ensemble du domaine rigide : B = ∪i=1 Bi .
On supposera que le uide, situé dans Ω \ B̄ , est Newtonien et suit les équations de NavierOn souhaite modéliser l'é oulement de
Stokes. An de simplier les
des
al uls, les parti ules sont supposées
onditions de Diri hlet homogènes sur
∂Ω.
ir ulaires et on impose
Ces hypothèses ne sont pas restri tives et
peuvent fa ilement être levées.
On désigne par fΩ\B̄ et fi les for es extérieures exer ées respe tivement sur le uide et
µ la vis osité du uide, ρf sa densité. La masse de la i-ème
parti ule est notée mi , sa densité ρi . La position de son entre de masse et son orientation
angulaire sont notées respe tivement xi et θi . Enn, Vi = ẋi et ωi = θ̇i désignent ses
sur la i-ème parti ule. On note
vitesses de translation et de rotation. Jxi est le moment d'inertie autour de son entre de
R
= Bi ρi |x−xi |2 . Nous utiliserons également les notations lassiques suivantes :
masse : Jxi
∇u + (∇u)T
Du
∂u
et
=
+ (u · ∇)u.
2
Dt
∂t
où σ est le tenseur des ontraintes de Cau hy et Du/Dt est la dérivée totale de u.
x⊥ est le ve teur (−x2 , x1 ) et n est la normale extérieure à Ω \ B̄ .
σ = 2µD(u) − pId, D(u) =
14
Enn,
1.1. Contexte
xi
Bi
θi
PSfrag repla ements
Ω
Fig. 1.1 Notations
u = (u1, u2 ) et de pression
2N
N
p dénis dans Ω \ B̄ , ainsi que les vitesses des parti ules V ∈ R
et ω ∈ R . A haque
instant t, le uide vérie les équations de Navier-Stokes dans Ω \ B̄ = Ω \ B̄(t) ave des
Les in onnues de notre problème sont les
hamps de vitesse
onditions de Diri hlet homogènes au bord.

Du



 ρf Dt − µ△u + ∇p = fΩ\B̄




La vis osité impose une
∂B ,
∇·u = 0
u = 0
dans
Ω \ B̄,
dans
Ω \ B̄,
sur
ondition de non glissement sur
(1.1)
∂Ω.
∂B .
Cette
ondition dit que, sur
la vitesse du uide doit être égale à la vitesse des parti ules.
u(t, x) = Vi (t) + ωi (t)(x − xi (t))⊥
sur
∂Bi (t), ∀i.
(1.2)
Le uide exer e une for e hydrodynamique sur les parti ules. Sur une partie innitésimale
ds
de
∂B ,
ette for e vaut
σnds.
Le prin ipe fondamental de la dynamique s'é rit don
sur les parti ules de la façon suivante,
1.1.2

R
R
dVi

= Bi fi − ∂Bi σn
 mi
dt
R
R

dω
i
 J
= Bi (x − xi )⊥ · fi − ∂Bi (x − xi )⊥ · σn
xi
dt
∀i,
(1.3)
∀i.
Méthodes numériques existantes
On s'intéresse i i aux méthodes numériques de simulation dire te d'é oulements uideparti ules. Par simulation dire te, on entend méthode résolvant (1.1,1.2,1.3) sans modélisation ou approximation supplémentaire. Ces méthodes numériques se divisent en deux
grandes
lasses. La première repose sur un maillage non stru turé mobile suivant le do-
maine uide, alors que la se onde utilise un maillage stru turé de tout le domaine (uide
et rigide).
15
Chapitre 1. Présentation de l'algorithme
Méthodes utilisant des maillages non stru turés
Dans
es méthodes, on résout le problème de Navier-Stokes sur un maillage du domaine
uide.
La première di ulté est d'imposer les bonnes
nir le
onditions au bord, permettant d'obte-
ouplage uide/solide imposé par l'équation (1.3). Une première façon de
le problème est de dé oupler le uide et les parti ules. Pour
variationnelle sur les in onnues
bord. A
haque instant,
u
onsidérer
ela, on é rit la formulation
et p asso iée à (1.1) ave
onditions de Diri hlet au
ette formulation est résolue en imposant au bord du domaine
rigide, les vitesses des parti ules
al ulées au pas pré édent. Les for es hydrodynamiques
s'exerçant sur les parti ules se déduisent alors des
hamps
(u, p)
obtenus. Elles sont in-
je tées dans (1.3), an d'obtenir la nouvelle vitesse des parti ules. Cette méthode a été
utilisée dans [49℄. Dans [47℄, la même te hnique est employée, mais on itère le pro édé
an de
poser
onverger vers la solution du problème
e
ouplage,
in onnues du problème, soient
u,
p,
V
et
uide/parti ules est dire tement prise en
Le se ond problème à gérer dans
maine de
ouplé. Une se onde possibilité pour im-
onsiste à é rire une formulation variationnelle
ω
ontenant toutes les
(voir [46℄ et [62℄). Dans
e
as, l'intera tion
ompte dans la formulation variationnelle.
e type de simulations, est le dépla ement du do-
al ul. En eet, les parti ules se déplaçant, le domaine uide à
onsidérer dépend
du temps. Une première idée, utilisée par exemple dans [47℄, est de remailler le nouveau
domaine uide à
haque pas de temps. Ensuite, an d'ee tuer la nouvelle itération de
Navier-Stokes, il faut pouvoir représenter sur
e nouveau maillage la solution du pas de
temps pré édent (qui a été al ulée sur l'an ien maillage). On utilise pour ela une méthode
de proje tion,
e qui introduit des erreurs supplémentaires dans le s héma. Pour limiter
es remaillages et proje tions, on peut
hoisir de dépla er, à
haque pas de temps, les
points de l'an ien maillage an d'obtenir un maillage du nouveau domaine. Cela peut être
fait
omme dans [49℄, en résolvant les équations de l'élasti ité ave
un dépla ement imposé
sur les parti ules. On peut également utiliser une méthode dite ALE (Arbitraire-EulerLagrange)
omme dans [46℄ ou [62℄. Elle
onsiste à
al uler une vitesse de dépla ement du
maillage à
haque instant et à adapter la formulation variationnelle en
onséquen e. Les
points situés au bord du domaine rigide ont la même vitesse que la parti ule à laquelle
ils sont asso iés. La vitesse de dépla ement des noeuds internes s'obtient en résolvant un
problème de Poisson par exemple. Ce i garantit une variation dou e de la distribution
des points du maillage. En utilisant
es te hniques, il n'est plus né essaire de projeter la
solution d'un pas de temps à l'autre. Cependant, les déformations su
essives du maillage
provoquées par son dépla ement peuvent le rendre inutilisable numériquement après plusieurs itérations. Dans
nouveau. Ainsi,
e
as, un remaillage, et don
une proje tion, peuvent s'imposer à
es méthodes permettent de limiter le nombre de remaillages mais pas de
les éviter totalement.
Méthodes de domaine tif
Les méthodes de domaine tif
mobile et
omplexe (le domaine uide) à un domaine plus grand mais xe. L'avantage de
es méthodes est de
16
onsistent à étendre un problème déni sur un domaine
her her les
hamps
u
et p sur un maillage indépendant du temps,
1.1. Contexte
et d'éviter ainsi les étapes de remaillage et de proje tion. De plus, si le domaine xe
est susamment simple, il est possible d'obtenir des maillages
artésiens,
e qui permet
l'utilisation de solveurs rapides.
Une méthode heuristique de
e type a été proposé dès 1987 dans [31℄. Les parti ules
sont représentés par une série de points entre lesquels s'exer e une for e interne de ohésion
(ressort de grande raideur pour des parti ules rigides par exemple). Cela permet d'avoir
une formulation du problème de type uide dans tout le domaine (y
à
ondition d'ajouter
ompris les parti ules)
es for es internes aux for es extérieures déjà présentes. De manière
générale, les méthodes de domaines tifs peuvent être dé oupées en deux
lasses.
La première est basée sur un maillage artésien du domaine global (uide et parti ules)
sur lequel se dépla ent des maillages lo aux (suivant les parti ules). Le mouvement rigide
est imposé grâ e à un multipli ateur de Lagrange vivant sur les maillages mobiles. Les
multipli ateurs
n'y a don
al ulés à un instant ne sont plus né essaires aux temps suivants et il
pas besoin de les projeter après le dépla ement des maillages lo aux. Ce type
de méthode a été initié dans le
as de uide s'é oulant autour d'obsta les (voir [37, 38℄)
ou de parti ules ayant une vitesse imposée (voir [39℄). Il a ensuite été généralisé au
de parti ules libres dans un uide. Tout d'abord,
omme dans [36℄, dans le
as
adre de
ontenant l'intégralité des in onnues (u, p, V et ω ), on é rit
⊥
ontrainte sous la forme u = Vi + ωi (x − xi )
sur Bi . Ou, omme dans [71℄, en
formulations variationnelles
la
é rivant une formulation variationnelle sur u et p uniquement, on impose au tenseur des
T
déformations D(u) = (∇u + (∇u) )/2 d'être nul sur B .
La se onde
lasse de méthode de domaines tifs regroupe des te hniques n'utilisant
qu'un unique maillage global. Les méthodes de pénalisation en font partie. Elles sont
utilisées par exemple dans [6, 50℄ pour prendre en
ompte des obsta les en pénalisant
la vitesse. Ce type de méthode permettant de gérer des
onditions de Diri hlet au bord
des parti ules peut être utilisé pour la simulation d'é oulements uide/parti ules dans le
as où la résolution de l'é oulement uide est entièrement dé ouplée du
hydrodynamiques. Ainsi, dans [82℄, il est proposé, à
al ul des for es
haque pas de temps, de résoudre les
équations uide en imposant dans le domaine rigide la vitesse
al ulée au temps pré é-
dent. On en déduit les for es hydrodynamiques exer ées sur les parti ules au pas de temps
ourant ainsi que leurs nouvelles vitesses. Lors de la résolution uide, les
onditions de Di-
ri hlet au bord sont obtenues grâ e à une méthode dite de frontière tive. Elle
onsiste
à travailler au niveau matri iel pour imposer la vitesse souhaitée aux noeuds du maillage
ontenus dans le domaine rigide. Cette
ontrainte peut également être imposée par péna-
lisation. Ces méthodes travaillant sur un unique maillage peuvent être
te hniques de ranement ou dépla ement de maillage an de
apturer
ouplées ave
des
orre tement la
géométrie des parti ules (voir par exemple [83℄ ou [50℄).
Une méthode de type Lagrangien Augmenté, est quant à elle utilisée dans [73℄ pour
ee tuer des simulations d'é oulements uide-parti ules. Elle permet de tirer avantage de
la méthode de pénalisation sans avoir l'in onvénient ( lassique pour de telles méthodes)
de dégrader le
onditionnement des matri es
onsidérées. Cependant, elle utilise des mul-
tipli ateurs de Lagrange vivant sur des maillages lo aux.
Dans
e travail, nous proposons d'utiliser un unique maillage global et d'imposer la
ontrainte de mouvement rigide en pénalisant le tenseur des déformations. Ce i, asso ié à
une dis rétisation en temps par la méthode des
ara téristiques, amène à une formulation
17
Chapitre 1. Présentation de l'algorithme
variationnelle de type Stokes généralisé sur le domaine global. Puisque la résolution uide
est
ouplée au
al ul des for es hydrodynamiques,
simuler des é oulements totalement non inertiels,
ette méthode peut être utilisée pour
e qui est le
as par exemple des é ou-
lements sanguins. Un autre avantage de la méthode de pénalisation présentée, en dehors
du fait qu'elle utilise un maillage xe, est de pouvoir être implémentée sur des solveurs
Stokes ou Navier-Stokes
1.2
lassiques.
Algorithme proposé
1.2.1
Formulation variationnelle
Pour ne pas remailler le domaine à
des fon tions dénies sur
Ω
ontinue
haque pas de temps, on souhaite travailler sur
tout entier. Pour
ela, on étend la solution de (1.1,1.2,1.3) en
posant,
u(t, x) = Vi (t) + ωi (t)(x − xi (t))⊥
L'espa e naturel dans lequel on
KB =
(
Bi (t), ∀i.
dans
her he la solution est don ,
v ∈ H01 (Ω), ∀i, ∃(Vi , ωi) ∈ R2 × R,
v = Vi + ωi (x − xi )⊥
Remarque 1.1 Comme le sous-domaine
B
p.p. dans
Bi
dépend du temps,
KB
)
.
aussi.
Une propriété fondamentale pour la suite est la suivante :
Propriété 1.2
KB = {v ∈ H01 (Ω), D(v) = 0
Démonstration : Il s'agit d'un résultat
p.p. dans
B}.
lassique dont on trouve la démonstration
dans [80℄ par exemple. Nous l'é rivons i i pour la dimension deux. Le fait qu'un élément
de KB vérie D(v) = 0 dans B
D(v) = 0 dans B , on é rit que
où
1
ω̄ = (∇v − (∇v)T ) =
2
Alors, pour
Ainsi,
ω
est
j = 1, 2
onstant
résulte d'un simple
∇v = D(v) + ω̄,
1
0 ω
ave ω = (∂2 v1 − ∂1 v2 ).
−ω 0
2
∂j ω = ∂2 D(v)1j − ∂1 D(v)2j = 0,
presque partout sur les Bi , omposantes
on a
∀i, ∃ωi ∈ R, ω = ωi
Or,
D(v) = 0
al ul. Pour l'in lusion inverse, si
implique
∇v = ω̄
p.p. dans
18
v
onnexes de
Bi .
et, en intégrant, on obtient,
∀i, ∃ωi ∈ R, Vi ∈ R2 , v = Vi + ωi x⊥
et on a ainsi montré que
au sens des distributions.
est à mouvement rigide sur
p.p. dans
B. Bi ,
B
:
1.2. Algorithme proposé
Notons que l'on a aussi,
u ∈ KB =⇒ ∇ · u = 0
u
Ainsi, l'extension de
On
dans
B.
onstruite est à divergen e nulle sur
(1.4)
Ω
tout entier.
her he maintenant une formulation variationnelle dans
et espa e fon tionnel
KB . On prend une fon tion test ũ ∈ KB , on multiplie l'équation de
Stokes par ũ et on intègre lassiquement par parties sur Ω \ B̄ . On obtient
Z
Z
Z
Z
Z
Du
p∇ · ũ −
σn · ũ =
fΩ\B̄ · ũ,
ρf
· ũ + 2µ D(u) : D(ũ) −
Dt
∂B
Ω\B̄
Ω\B̄
Ω
Ω
ontraint
où les deuxième et troisième intégrales sont des intégrales sur
sur
Ω grâ
Ω \ B̄
An de
∂B
ũ
puisque
est nulle sur
∂Ω.
al uler le terme de bord, on se rappelle que
∀i, ∃Ṽi , ω̃i
ũ ∈ KB
ũ(x) = Ṽi + ω̃i (x − xi )⊥
tels que
et, par
dans
(1.5)
qui ont été étendues
e à la propriété 1.2 et à (1.4). De plus, l'intégrale de bord, a priori sur
a été restreinte à
Navier-
∂(Ω \ B̄),
onséquent,
Bi .
Ainsi, pour tout i,
Z
∂Bi
σn · ũ = Ṽi ·
Z
σn + ω̃i
∂Bi
Z
∂Bi
σn · (x − xi )⊥ ,
et les équations asso iées au prin ipe fondamental de la dynamique (1.3) donnent alors
Z
Z
Z
dωi
dVi
σn · ũ = Ṽi ·
fi + ω̃i
fi · (x − xi )⊥ − Jxi
ω̃i − mi
· Ṽi
dt
dt
∂Bi
Bi
Bi
Z
dωi
dVi
=
fi · ũ − Jxi
ω̃i − mi
· Ṽi .
dt
dt
Bi
Or, on montre que
Lemme 1.3 Si
u = Vi + ωi (x − xi )⊥
ũ = Ṽi + ω̃i (x − xi )⊥ sur Bi ,
Z
dVi
dωi
Du
Jxi
ω̃i + mi
· Ṽi = ρi
· ũ.
dt
dt
Bi Dt
et
alors
Démonstration : Par dénition,
Du
∂u
(t, x) =
+ (u · ∇)u.
Dt
∂t
Comme dans
Bi , u(t, x) = Vi (t) + ωi (t)(x − xi (t))⊥ ,
on obtient
∂Vi ∂ωi
∂u
=
+
(x − xi (t))⊥ − ωi Vi⊥ ,
∂t
∂t
∂t
19
Chapitre 1. Présentation de l'algorithme
et
u · ∇u1
(u · ∇)u =
u · ∇u2
!
−ωi Vi,2 − ωi2 (x1 − xi,1 )
=
ωi Vi,1 + ωi2(−x2 + xi,2 )
!
= ωi Vi⊥ − ωi2(x − xi ).
Par
En
En
onséquent, dans
Bi ,
dVi
dωi
Du
(t, x) =
(t) +
(t)(x − xi (t))⊥ − ωi2 (x − xi (t)).
Dt
dt
dt
multipliant par ũ on a,
h
i
Du
Du
(t, x) · ũ =
(t, x) · Ṽi + ω̃i (x − xi )⊥
Dt
Dt
dωi
dVi
Ṽi · (x − xi )⊥ − ωi2Ṽi · (x − xi )
· Ṽi +
=
dt
dt
dVi
dωi
+ω̃i
· (x − xi )⊥ + ω̃i
|x − xi |2 .
dt
dt
intégrant sur Bi et en utilisant la symétrie de Bi , on obtient nalement
Z
Z
Z
dVi
dωi
Du
ρi |x − xi |2
· ũ =
· Ṽi
ρi + ω̃i
ρi
Dt
dt
dt
Bi
Bi
Bi
dVi
dωi
=
· Ṽi mi + ω̃i
Jx . dt
dt i
Remarque 1.4 Ce résultat reste valide valide si les parti ules sont non
Le terme de bord de (1.5) peut don
Z
∂Bi
σn · ũ =
ir ulaires.
se réé rire,
Z
Bi
fi · ũ − ρi
Z
Du
Bi Dt
· ũ.
On obtient la formulation variationnelle suivante,
Z
Z
Z
 Z
Du


p∇ · ũ =
f · ũ, ∀ũ ∈ KB ,
ρ
· ũ + 2µ D(u) : D(ũ) −

Ω Dt
Ω
Ω
Ω
Z

2


q∇ · u = 0, ∀q ∈ L (Ω),
(1.6)
Ω
où
f = fΩ\B̄ 1Ω\B̄ +
N
X
fi 1Bi
et
ρ = ρf 1Ω\B̄ +
N
X
ρi 1Bi .
i=1
i=1
Comme souhaité initialement, ette formulation variationnelle est posée sur des espa es
de fon tions dénies sur
Ω
tout entier. La
ontrainte de mouvement rigide apparaît alors
dans l'espa e asso ié à la vitesse. Dans [25℄, une telle formulation variationnelle faisant
intervenir la
ontrainte dans l'espa e de fon tions (formulation en espa e-temps dans
as) est utilisée pour montrer l'existen e de solutions faibles au problème (1.1,1.2,1.3).
20
e
1.2. Algorithme proposé
1.2.2
Dis rétisation en temps
On note
∆t > 0 le pas de temps, tn = n∆t et, pour toute fon
tion
f , f n (x) = f (x, tn ) .
An d'obtenir une formulation variationnelle de type Stokes généralisé, (1.6) est dis rétisée
en temps en utilisant la méthode des
v : (t, x) → v(t, x)
ara téristiques. Si
est un
hamp de ve teur, il s'agit d'une méthode permettant de dis rétiser la dérivée totale
Dv
∂v
=
+ (v · ∇)v de façon Lagrangienne.
Dt
∂t
Plus pré isément, on appelle ara téristique asso iée au hamp de vitesses v, la traje toire
X
suivie par une parti ule uide dans un é oulement à
parti ule située en
x
au temps
ordinaire suivante :
ette vitesse. Pour une
ette traje toire est solution de l'équation diérentielle

 ∂X (x, t, τ ) = v(X(x, t, τ ), τ ),
∂τ

X(x, t, t) = x.
τ → X(x, t, τ ) est la ara téristique issue de x
v. On a alors , pour toute fon tion Φ(t, x),
On dit que
de vitesse
t,
DΦ
(x, t) =
Dt
(1.7)
au temps
t
asso iée au
hamp
∂Φ
∂
+ v · ∇Φ (x, t) =
(Φ(X(x, t, τ ), τ )) |τ =t .
∂t
∂τ
Cette égalité suggère la dis rétisation suivante de la dérivée totale :
Φn+1 (X(x, tn+1, tn+1 )) − Φn (X(x, tn+1 , tn ))
DΦ
(x, tn+1 ) ≈
.
Dt
∆t
En utilisant le fait que
X(x, tn+1 , tn+1 ) = x,
où
Xn (x)
située en
au temps
plus de détails sur
ρ
est
par
n+1
X(x, tn+1 , tn ),
position au temps
(on dit que l'on remonte les
n
de la parti ule
ara téristiques). On trouvera
ette méthode de dis rétisation dans [72℄.
An d'appliquer
puisque
Φ
DΦ
Φn+1 (x) − Φn (Xn (x))
(x, tn+1 ) ≈
,
Dt
∆t
est une approximation de
x
on appro he la dérivée totale de
ette méthode à la dis rétisation de (1.6), on note d'abord que,
onstant le long des
ara téristiques on a (formellement),
On obtient nalement le s héma numérique suivant, pour tout
n+1
n
n
(i) al uler ρ
grâ e à u et (Bi )i :
∀i,
Vin
n+1
ρ
1
= 2
πri
Z
Bin
n > 0,
ρ
Du
Dt
=
D(ρu)
Dt
.
un , xn+1
= xni + ∆tVin ,
i
= ρf 1Ω\B̄ n+1 +
N
X
(1.8)
ρi 1Bn+1 .
i
i=1
21
Chapitre 1. Présentation de l'algorithme
(ii) résoudre la formulation variationnelle dis rétisée asso iée à (1.6) :

n+1

Trouver u
∈ KBn+1 et pn+1 ∈ L2 (Ω) tels que,


Z
Z
Z



1

n+1
n+1
n+1

ρ u
· ũ + 2µ D(u ) : D(ũ) − pn+1 ∇ · ũ


∆t

Ω
Ω
Ω
Z
Z
n
(Pvar
)
1

(ρn un ) ◦ Xn · ũ + f n · ũ, ∀ũ ∈ KBn+1 ,
=


∆t Ω

Ω


Z



n+1

q∇ · u
= 0, ∀q ∈ L2 (Ω),

(1.9)
Ω
où
X
n
à l'étape (ii) est obtenue en
al ulant les
ara téristiques asso iées à
an de ne pas déformer le domaine rigide dans l'étape (i), on transporte
un . Noter que,
ρ en
utilisant les
degrés de liberté réels des parti ules.
Nous avons ainsi obtenu une formulation variationnelle de type Stokes généralisé. La
diéren e fondamentale ave
fon tionnel asso ié
lassiques est que l'espa e
ontient la ontrainte de mouvement rigide. Les éléments nis usuels
n
pas d'ee tuer dire tement la dis rétisation en espa e de (Pvar ,1.9).
ne permettent don
1.2.3
les formulations variationnelles
Gestion du mouvement rigide par pénalisation
L'obje tif est don
maintenant d'obtenir une formulation variationnelle adaptée à la
dis rétisation par éléments nis. Pour
ela, on
her he une formulation pour laquelle l'in1
onnue ainsi que les fon tions tests sont dans H0 (Ω), e qui revient à enlever la ontrainte
de mouvement rigide de KB n+1 . Pour e faire, on va utiliser une méthode dite de pénalisation. Cette méthode permet d'appro her la solution d'un problème de minimisation
sous
ontrainte par une suite de solutions de problèmes de minimisation non ontraints.
n
Réé rivons don (Pvar ,1.9) sous forme d'un problème de minimisation. On note l'espa e
des fon tions à divergen e nulle K∇ ,
K∇ = v ∈ H01 (Ω), ∇ · v = 0 ,
et on réé rit le problème sous la forme
n
(Pmin
)
où
J
n
1
(v) =
2∆t
Z
Ω
n+1
ρ

 un+1 ∈ K∇ ∩ KBn+1 ,
n

J
(un+1 ) =
Z
1
|v| + µ D(v) : D(v) −
∆t
Ω
2
n
min
v∈K∇ ∩KBn+1
Z
J
n n
Ω
(1.10)
(v),
n
(ρ u ) ◦ X · v −
Z
Ω
f n · v.
n+1
Puis, en se rappelant que la ontrainte v ∈ KB n+1 s'é rit D(v) = 0 dans B
, on appro he
n
les solutions de (Pmin ,1.10) par elles du problème de minimisation non ontraint suivant,
n,ε
(Pmin
)
22

 un+1
∈ K∇ ,
ε

n
n+1
Jε (uε
)
= min
v∈K∇
n
Jε (v),
(1.11)
1.2. Algorithme proposé
où
n
Jε (v)
=J
n
1
(v) +
ε
Z
D(v) : D(v).
B n+1
n+1
On dit que l'on pénalise la ontrainte D(v) = 0 sur B
. L'idée est la suivante : quand ε
n
n+1
n+1
est petit, pour que uε
minimise Jε , il faut que D(uε
) soit petit sur B n+1 . La ontrainte
D(v) = 0 a ainsi été relaxée. On n'a plus D(un+1
) = 0 sur B n+1 mais D(un+1
) petit
ε
ε
et, à la limite (ε
= 0),
on retrouve la
hypothèses né essaires à la
1.4 et on montrera que
ondition de mouvement rigide. On détaillera les
onvergen e de la méthode de pénalisation dans la se tion
es hypothèses sont vériées dans le
as de la pénalisation d'un
mouvement rigide.
n
Dans l'algorithme (1.8,1.9), on rempla e don (Pvar ,1.9) par la formulation variationn,ε
nelle asso iée à (Pmin ,1.11) et on obtient un nouveau s héma numérique :
Pour tout
n ≥ 0,
1. Cal uler
on dispose de
ρn+1
grâ e à
un
∀i,
et
Vin
n+1
ρ
xn
un .
et de
(Bin )i
:
1
= 2
πri
Z
Bin
un , xn+1
= xni + ∆tVin ,
i
= ρf 1Ω\B̄ n+1 +
N
X
(1.12)
ρi 1Bn+1 .
i
i=1
2. Résoudre la formulation variationnelle

n+1
Trouver u
∈ H01 (Ω) et pn+1 ∈ L2 (Ω) tels que,



Z
Z


1

n+1 n+1

ρ u
· ũ + 2µ D(un+1 ) : D(ũ)



∆t
Ω
Ω


Z
Z


2

n+1
n+1
+
D(u ) : D(ũ) −
∇ · ũ
p
n,ε
(Pvar
)
ε Bn+1
Ω

Z
Z


1

n n
n


(ρ u ) ◦ X · ũ + f n · ũ, ∀ũ ∈ H01 (Ω),
=


∆t Ω

Ω

Z




n+1

q∇ · u
= 0, ∀q ∈ L2 (Ω).
(1.13)
Ω
Algorithme 1.1: S héma numérique obtenu après dis rétisation en temps par la méthode
des
ara téristiques et pénalisation de la
ontrainte de mouvement rigide
n,ε
(Pvar ,1.13) est maintenant une formulation variationnelle
lassique de type Stokes
généralisé qui est adaptée à la dis rétisation par éléments nis. Ce nouvel algorithme
est implémentable ave
permette de prendre en
tout solveur élément ni de Stokes, à
ondition que
e solveur
ompte dans l'assemblage des matri es des fon tions indi atri es
n+1
al uler la matri e asso iée à l'intégrale sur B
ainsi
de sous-domaines (né essaire pour
que le se ond membre faisant intervenir
al ul des
ara téristiques asso iées à un
ρ
et
f ).
Ce solveur doit également permettre le
n
hamp de ve teur (né essaire pour al uler X ).
23
Chapitre 1. Présentation de l'algorithme
Remarque 1.5 Physiquement, (1.13) montre que la méthode de pénalisation utilisée
onsidère le domaine rigide
le domaine rigide est vu
à
omme un domaine de grande vis osité. A la limite (ε
= 0),
omme un domaine de vis osité innie. Cette idée est similaire
elle utilisée dans [73℄ où le mouvement rigide est pris en
ompte par une méthode de
type Lagrangien Augmenté.
1.3
Tests numériques
1.3.1
Implémentation sous
FreeFem++
le solveur éléments nis FreeFem++
1
1
(voir [43℄). On ee tue la dis rétisation en espa e grâ e à l'élément P -bulle/P , en ore
On
hoisit d'implémenter l'algorithme 1.1 ave
appelé mini-element (voir [8℄).
An de
α est un
al uler le terme
(ρn un ) ◦ Xn ,
on utilise la fon tion
onve t
de
FreeFem++.
Si
hamp de vitesses éléments nis, la valeur appro hée au temps n de la ara térisx au temps n + 1 al ulée par FreeFem++ est Xn (x) = x − ∆tαn (x) (Xn
tique passant par
remonte les
ara téristiques au temps n d'un temps ∆t). La fon tion onve t est quant
convect(αn , −∆t, vn )(x) = vn ◦ Xn (x) où v est une fon tion éléments
à elle dénie par
nis à valeurs ve torielles. Ainsi, dans notre
as, on peut programmer,
(ρn un ) ◦ Xn = convect(un , −∆t, ρn un ).
Comme le terme de pénalisation du mouvement rigide dégrade le
onditionnement des
matri es, il est préférable d'utiliser une méthode de résolution de systèmes dire te plutt
qu'itérative. On souhaite don
obtenir un système inversible. Pour
ela, on utilise une
méthode dite de régularisation ou de pénalisation dé rite par exemple dans [35℄ qui
n,ε
onsiste à modier l'équation sur la divergen e de (Pvar ,1.13) en
−ε0
ave
Z
pq
Ω
+
Z
Ω
q∇
ε0 << 1.
Remarque 1.6 Cette dernière équation
faible. En remplaçant ensuite p par
u,
· un+1 = 0, ∀q ∈ L2 (Ω),
on voit que
ette méthode,
onsiste à é rire que p
=
1
∇ · un+1
ε0
ette valeur, dans la formulation variationnelle sur
omme son nom le laissait suggérer,
onsiste pré isément
à pénaliser (au sens déjà vu dans la se tion 1.2.3) la divergen e sur
n,ε
soudre (Pmin ,1.11), on résout un problèmeZ de minimisation sans
en ajoutant à la fon tionnelle le terme
24
de façon
1
ε0
Ω
|∇ · un+1 |2 .
Ω.
Au lieu de ré-
ontrainte (sur
H01 (Ω))
1.3. Tests numériques
Le système linéaire sera résolu par le solveur Crout (une méthode de dé omposition
LU). Finalement, la formulation variationnelle
odée dans
FreeFem++
est :
problem NStokes([u1,u2,p℄,[v1,v2,q℄,solver=Crout)=
//Formulation de Navier-Stokes
int2d(Th)(rho*u1*v1- onve t([uold1,uold2℄,-dt,rhoold*uold1)*v1
+rho*u2*v2- onve t([uold1,uold2℄,-dt,rhoold*uold2)*v2)
+int2d(Th)(mu*dt*(2*dx(u1)*dx(v1)+dy(u1)*dy(v1)+dx(u2)*dx(v2)
+2*dy(u2)*dy(v2)+dy(u1)*dx(v2)+dx(u2)*dy(v1)))
+int2d(Th)(eps0*p*q - dt*p*dx(v1) - dt*p*dy(v2)
+ q*dx(u1) + q*dy(u2))
-int2d(Th)(dt*f1*v1 + dt*f2*v2)
//terme de Penalisation du mouvement rigide
+int2d(Th)(mu*(2*dx(u1)*dx(v1)+dy(u1)*dy(v1)+dx(u2)*dx(v2)
+2*dy(u2)*dy(v2)+dy(u1)*dx(v2)+dx(u2)*dy(v1))* hi/eps)
//Conditions au bord
+on(1,2,3,4,u1=g1,u2=g2) ;
Th
Ω, (u1,u2,p) sont les in onnues, (v1,v2,q) sont les fon tions
(uold1,uold2) est le hamps de vitesse al ulé au pas de temps pré édent,
rho et rhoold sont respe tivement les densitées al ulées aux pas de temps ourant et
0
pré édent, hi est la fon tion P appro hant l'indi atri e de B , (f1,f2) est le terme
sour e et (g1,g2) la ondition au bord.
où
est le maillage de
test asso iées,
Ce qui pré ède nous permet d'implémenter l'étape 2 de l'algorithme 1.1. Bien que
l'étape 1 de
et algorithme ne semble pas poser de problème a priori, il faut tout de même
n
faire attention à la manière de al uler les Vi . En eet, suite à la dis rétisation en espa e,
n
n
Bi n'est plus un disque mais une polygone Bi,h
appro hant e disque et don , son aire
2
n
n
n
n
n
n'est plus πri . Ainsi, si par exemple u est une translation sur Bi,h , u = Vi sur Bi,h , on
a
Z
n
Vol(Bi,h )
1
n
u
=
Vin 6= Vin .
n
πri2 Bi,h
πri2
On prendra don
garde à rempla er, dans (1.8), le
Vin
1.3.2
Parti ule en
Z
Vin
par,
un .
n
Bi,h
isaillement, problème stationnaire
An de valider la prise en
on
1
=
n
Vol(Bi,h )
al ul de
ompte du mouvement rigide par la méthode de pénalisation,
onsidère le problème instantané d'une parti ule plongée dans un uide de Stokes. Le
domaine de
en son
al ul est un
arré de
té 1 m et une parti ule de rayon 0.1 m est située
entre. Les parois à droite et à gau he du domaine imposent un mouvement de
isaillement au système (voir Fig. 1.2), la vis osité du uide est égale à 1 et il n'y a pas
de for e extérieure.
25
Chapitre 1. Présentation de l'algorithme
y
0.5
Ul = −0.5
Ur = 0.5
x
r = 0.1
PSfrag repla ements
−0.5
0.5
L=1
−0.5
Fig. 1.2 Parti ule en
isaillement : des ription du problème.
On ee tue les simulations pour deux types de maillages, des maillages adaptés à la
parti ule et des maillages
artésiens (voir Fig. 1.3). On note
maillage par unité de longueur sur le bord de
Ω.
artésiens an de ne pas avoir
haque pas de temps.
Fig. 1.3 Parti ule en
pour
le nombre d'éléments du
Rappelons que, lors de simulations de
parti ules en mouvement, on souhaite utiliser des maillages
à remailler à
Nm
isaillement : maillage adapté (à gau he) et
artésien (à droite)
Nm = 30.
An d'étudier la prise en ompte de la ontrainte par la méthode de pénalisation, on
2
tra e la norme L (B) de D(uε ) en fon tion de ε pour diérents maillages (voir Fig. 1.4).
−5
On observe que ette norme dé roit très vite ave ε : elle est d'ordre 10
quand ε est
−2
d'ordre 10 , e qui suggère que l'on pourra hoisir des ε pas trop petits an de ne pas
trop dégrader le
onditionnement du système. On remarque également que la
de mouvement rigide est bien prise en
petites et que les maillages
26
ompte même pour des valeurs de
Nm
ontrainte
relativement
artésiens donnent de bons résultats même si les maillages
1.3. Tests numériques
adaptés sont légèrement meilleurs.
Maillage adapté
−10
−10
|D(uε)|2
−15
−15
Nm = 20
Nm = 80
Nm = 150
−25
Maillage artésien
−30
−6
−5.5
−5
−4.5
−4
−3.5
−3
log(ε)
Fig. 1.4 Parti ule en
−2.5
−2
B
−20
log
R
PSfrag repla ements
R
B
−20
log
PSfrag repla ements
Maillage artésien
−5
|D(uε)|2
−5
Maillage adapté
−1.5
Nm = 20
Nm = 80
Nm = 150
−25
−1
−30
−6
−5.5
−5
−4.5
isaillement : Mouvement rigide dans
−4
B,
−3.5
−3
log(ε)
−2.5
−2
inuen e de
−1.5
Nm
−1
et de
ε.
Notons nalement que, dans nos tests, on retrouve la valeur théorique de la vitesse
angulaire qui
onverge vers
zéro. Les lignes de
Nm = 150
et
ε=
ourant de
−8
10 .
Fig. 1.5 Parti ule en
Nm = 150
1.3.3
et
ε = 10
−8
quand le rayon de la parti ule tend vers
e mouvement de rotation sont représentées Fig. 1.5 pour
isaillement : Lignes de
ourant pour un maillage
artésien pour
.
Sédimentation d'une parti ule, problème stationnaire : tests
de
On
γ̇
Ur − Ul
=
= 0.5
2
2L
onvergen e
her he maintenant à étudier numériquement la
pénalisation quand
h = 1/Nm
et
ε
tendent vers zéro. Pour
onvergen e de la méthode de
e faire, on étudie le problème
27
Chapitre 1. Présentation de l'algorithme
instantané de la sédimentation d'une parti ule dans un uide de Stokes. Pour
on peut
al uler numériquement une solution de référen e très pré ise et on
solution à
e problème,
ompare
ette
elle obtenue par la méthode de pénalisation. Comme pré édemment (voir
Fig. 1.6), le domaine de
est située en son
al ul est le
arré de 1 m de
té, la parti ule de rayon 0.1 m,
entre et la vis osité est égale à 1. On impose des
onditions de Diri hlet
homogènes sur le bord de la boîte. La for e s'exerçant sur la parti ule est fB
= (0, −500).
y
0.5
r = 0.1
x
−0.5
0.5
fB
PSfrag repla ements
PSfrag repla ements
−0.5
Fig. 1.6 Sédimentation d'une parti ule : des ription du problème (à gau he) et lignes
de
ourant pour un maillage
An d'étudier la
pour
ave
artésien ave
Nm = 150
onvergen e de la méthode, il faut
u). Notons d'abord
∂B ,


−△u1 + ∇p1 =




∇ · u1 =


u1 =



u =
e problème (notée
(u1 , p1 )
(à droite).
al uler une solution de référen e
la solution du problème de Stokes
0
dans
0
dans
0
−1
sur
sur
Par raison de symétrie, on sait que la solution
= α p1 .
On peut déterminer
α
et, par
onséquent,
α
Ω \ B̄,
Ω \ B̄,
∂Ω,
∂B.
her hée est de la forme
u = αu1
en é rivant l'équilibre des for es sur la parti ule,
Z
∂B
σ(u) · n =
Z
fB
B
est donné par
α= Z
28
ε = 10−8
vitesse imposée sur
1
p
et
R
f
B B
∂B
σ(u1 ) · n
.
et
1.3. Tests numériques
Une intégration par parties donne nalement,
α= Z
Ω\B̄
La fon tion
uref
u
f
B ZB
· u1 − 2µ
.
D(u1 ) : D(u1 )
Ω\B̄
ainsi obtenue peut être étendue sur
la solution
n (h
p1 ∇
R
al ulée en implémentant
= 1/150)
suivantes quand
Ω
u = −α dans B . On note
FreeFem++ sur un maillage
en posant
ette méthode sous
adapté à la parti ule. On s'intéresse à l'évolution des trois quantités
ε
et
h
tendent vers zéro :
eK = kD(uε,h )kL2 (B) ,
eL2 = kuε,h − uref kL2 (Ω) ,
eH 1 = kuε,h − uref kH 1 (Ω) ,
où
uε,h
est la solution du problème de sédimentation pénalisé,
al ulée ave
(méthode dé rite dans la se tion 1.3.1), pour le paramètre de pénalisation
d'espa e égal à
FreeFem++
ε et un pas
h.
−1
−2
eL2
−3
Maillage adapté
−4
Maillage
−5
−2.2
−2
−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
−1
artésien
−0.8
−0.6
log(h)
−0.5
−1
eH 1
PSfrag repla ements
−1.5
Maillage adapté
Maillage
−2
−2.2
−2
−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
−1
artésien
−0.8
−0.6
log(h)
Fig. 1.7 Sédimentation d'une parti ule :
onvergen e en
h de la méthode de pénalisation.
29
Chapitre 1. Présentation de l'algorithme
Les deux
ourbes de la gure 1.7 permettent d'observer la
en fon tion de
log(eH 1 )
h.
Dans
en fon tion de
es
al uls,
log(h)
Maillage Cartésien
2.1577
0.8798
1.0658
0.5007
onvergen e pour
h
e taux de
On tra e
log(eL2 )
et
onvergen e suivants :
tendant vers zéro
as de maillages adaptés à la parti ule, les taux de
eux donnés par la théorie
onvergen e de la méthode
10−8 .
Maillage adapté
Tab. 1.1 Taux de
que
a été xé à la valeur
et on obtient les taux de
eL2
eH 1
Dans le
ε
onvergen es observés sont
P 1-bulle/P 1. Bien
lassique des éléments nis pour l'élément
onvergen e soit divisé par deux dans le
as de maillages
artésiens, il faut
rappeler que la possibilité d'utiliser de tels maillages est un des prin ipaux avantages de
la méthode. En eet,
ela permet de ne pas avoir à remailler à
haque instant, dans le
as
de problèmes non stationnaires.
0
eK
−10
−20
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
−4
−3
−2
−1
0
−4
−3
−2
−1
0
log(ε)
−2
eL2
−4
−6
−10
−9
−8
−7
−6
−5
log(ε)
0
eH 1
PSfrag repla ements
−2
−4
−10
−9
−8
−7
−6
Maillage
−5
log(ε)
Maillage adapté
artésien
Fig. 1.8 Sédimentation d'une parti ule :
onvergen e en
ε de la méthode de pénalisation.
ourbes de la gure 1.8 présentent la onvergen e de la méthode en fon tion de ε.
uεh est al ulée sur un maillage adapté à la parti ule et h est xé à la valeur
1/150. On tra e (de haut en bas) log(eK ), log(eL2 ) et log(eH 1 ) en fon tion de log(ε).
Les
La solution
Comme on pouvait s'y attendre, on observe une saturation quand
est due à l'erreur
sont observés :
30
ausée par la dis rétisation en espa e. Les taux de
ε
est très petit : elle
onvergen e suivants
1.3. Tests numériques
Maillage adapté
eK
eL2
eH 1
Tab. 1.2 Taux de
La
onvergen e en
inutile de
hoisir des
ε
ε
0.9806
0.8909
0.7177
onvergen e pour
haque
té du
trop détériorer le
taux de
tendant vers zéro
est très rapide et le phénomène de saturation montre qu'il est
trop petits puisque l'erreur en espa e devient rapidement prédo-
Nm = 150, soit 150 points de maillage
ε pas trop petits an de ne pas
minante, même pour des maillages ns (on a i i
sur
ε
arré) . On pourra don
hoisir des
onditionnement des matri es utilisées. Il faut noter
onvergen e de l'erreur
eH 1
observé avant
surprenant. On aurait pensé, pour un maillage n, retrouver le taux de
problème
onvergen e du
ontinu qui est de 1 (voir se tion 1.4). Cela peut être dû au fait que l'erreur de
dis rétistion en espa e se voit même pour des
ε
assez grands. Cependant,
peut pas faire de tests sur des maillages plus ns,
1.3.4
ependant que le
et eet de saturation est quelque peu
omme on ne
ette hypothèse ne peut être vériée.
Sédimentation de deux parti ules
An de montrer que le s héma reproduit bien le
omportement de systèmes physiques
non stationnaires, on présente i i une simulation de sédimentation de deux parti ules dans
un
Il
anal. On
onsidère un
anal de largeur 2 m et de hauteur 5 m :
ontient un uide de Navier-Stokes et on
deux parti ules de diamètre
d = 0.25
ommen e la simulation en laissant tomber
m à partir des points
est le rayon des parti ules. La vis osité du uide est égale à
parti ules sont respe tivement
ρf = 1
et
Ω = [0, 2] × [0, 5].
ρB = 2.
Les
(1, 4.5) et (1 + 0.2 r, 4) où r
0.01, sa densité et elle des
ongurations obtenues à diérents
pas de temps sont présentées sur la gure 1.9. Elles reproduisent le phénomène bien
onnu
de drafting, kissing and tumbling observé dans [32℄.
t =0
t =1.25
t =1.575
Fig. 1.9 Sédimentation de deux parti ules :
pour
Nm = 50
et
t =2.05
t =2.25
t =2.5
ongurations à diérents pas de temps
dt = 0.005.
31
Chapitre 1. Présentation de l'algorithme
1.4
Un peu de théorie : Inégalité de Korn et
onsé-
quen es
L'obje tif de
ette se tion est de montrer :
n
n
l'équivalen e de (Pvar ,1.9) et de (Pmin ,1.10)
n,ε
la onvergen e des solutions de (Pmin ,1.11) vers
vers zéro.
n
elle de (Pmin ,1.10) quand
n,ε
n,ε
L'équivalen e de (Pvar ,1.13) et de (Pmin ,1.11) s'ins rit dans la théorie
gestion de la
1.4.1
ε
tend
lassique de
ontrainte de divergen e nulle pour les équations de Stokes.
Simpli ations et notations
Les problèmes
onsidérés étant des problèmes de type Stokes généralisé, il sut de
traiter le as où le uide vérie les équations de Stokes et où les parti ules sont sans inertie.
Le
as général est une extension évidente des résultats obtenus dans
Toujours pour des raisons de
sphérique notée
B,
de
exer ée sur la parti ule. Le
l'on
larté, nous traitons le
entre
x0
et de vitesses
e
as parti ulier.
as où il n'y a qu'une in lusion rigide
(V, ω).
On note
fB ,
la for e extérieure
as multi-parti ules s'en déduit fa ilement. Les équations que
onsidère sont don ,

−µ△u + ∇p = fΩ\B̄






∇·u = 0





u = 0











u = V + ω(x − x0 )⊥
R
R
0 = B fB − ∂B σn ,
R
R
0 = B (x − x0 )⊥ · fB − ∂B (x − x0 )⊥ · σn .
dans
Ω \ B̄,
dans
Ω \ B̄,
sur
∂Ω,
sur
∂B,
Les problèmes à étudier sont les suivants,
Le problème variationnel :
Z
Z
Z



p∇ · ũ =
f · ũ, ∀ũ ∈ KB ,
 2µ D(u) : D(ũ) −
Ω
Ω
Ω
(Pvar ) Z

2


q∇ · u = 0, ∀q ∈ L (Ω).
(1.14)
Ω
Le problème de minimisation asso ié :

J(v),

 u ∈ K∇ ∩ KB , J(u) = v∈Kmin
∇ ∩KB
Z
Z
(Pmin )

 où J(v) = µ D(v) : D(v) − f · v.
Ω
32
Ω
(1.15)
1.4. Un peu de théorie : Inégalité de Korn et
onséquen es
Le problème pénalisé :

ε
min J ε (v),

 u ∈ K∇ , J (u) = v∈K
∇
ε
Z
(Pmin
)
1

 où J ε (v) = J(v) +
D(u) : D(u).
ε B
(1.16)
On veut montrer l'équivalen e de (Pvar ,1.14) et de (Pmin ,1.15) ainsi que la onvergen e
ε
des solutions de (Pmin ,1.16) vers elle de (Pmin ,1.15) quand ε tend vers zéro.
1.4.2
Méthode de pénalisation,
as général
Il s'agit d'une méthode qui permet d'é rire la solution d'un problème de minimisation
sous
ontrainte,
omme limite de solutions de problèmes de minimisation sans
L'obje tif sera d'utiliser
ette méthode pour supprimer la
dans (Pmin ,1.15). Nous dé rivons i i la méthode de pénalisation dans un
énonçons les résultats de
ontrainte.
ontrainte de mouvement rigide
adre général et
onvergen e dont on dispose. On pourra retrouver
es résultats
dans [60℄.
Les hypothèses sont les suivantes :
V
est un espa e de Hilbert
a(·, ·)
b(·, ·)
, φ ∈ V ′,
est bilinéaire, symétrique,
ontinue,
oer ive sur
est bilinéaire, symétrique,
ontinue, positive sur
V (a(v, v) ≥ α|v|2 ),
(1.17)
V,
K = {v ∈ V, b(v, v) = 0} = kerb.
On
her he à appro her la solution du problème de minimisation sous
vant,
Pour
ontrainte sui-

J(v),

 u ∈ K, J(u) = min
v∈K
e faire, on
indi és par
L'idée est
petit et, à
résultat de


où
(1.18)
1
J(v) = a(v, v)− < φ, v > .
2
onsidère la suite de problèmes de minimisation non
ε,
ontraints,
 ε
ε ε
J ε (v),

 u ∈ V, J (u ) = min
v∈V
(1.19)
1
J ε (v) = J(v) + b(v, v).
ε
ε
ε
ε
ε
elle- i, pour que u minimise J quand ε est petit, il faut que b(u , u ) soit
ε
la limite on espère obtenir que u tende vers u élément de K . On a en fait le


où
onvergen e suivant :
Propriété 1.7 Sous les hypothèses (1.17), la solution
lution de (1.18), quand
ε
uε
de (1.19)
onverge vers
u,
so-
tend vers zéro.
Sous une hypothèse supplémentaire sur
b,
on dispose d'un ordre de
onvergen e.
b(·, ·) peut se
b(u, v) = (Bu, Bv)Λ où B est un opérateur linéaire, ontinu, à valeurs
ε
Hilbert Λ et à image fermée, alors on a |u − u| = O(ε).
Propriété 1.8 Sous les hypothèses (1.17), et si l'on suppose de plus que
mettre sous la forme
dans un espa e de
33
Chapitre 1. Présentation de l'algorithme
1.4.3
Appli ation au
as de la
Le problème (Pmin ,1.15) entre dans le
ontrainte de mouvement rigide
adre de la se tion 1.4.2 en posant
Z
V = K∇ , < φ, v >=
f · v,
Ω
Z
aS (u, v) = 2µ D(u) : D(v),
Ω
Z
b(u, v) =
D(u) : D(v),
(1.20)
B
BB : K∇ 7→ (L2 (B))4 .
v −→ D(v)|B
An d'appliquer la théorie dé rite dans la se tion pré édente, nous avons besoin de
vérier des hypothèses telles que la
BB
par exemple. Pour
qui sont rappelées
oer ivité de
aS
ou le
ara tère à image fermée de
ela, nous serons amenés à utiliser deux inégalités dites de Korn
i-dessous. Ces inégalités sont pour les mouvements rigides,
inégalités de Poin aré-Wirtinger sont pour les fon tions
e que les
onstantes. On en trouvera les
démonstrations dans [70℄ par exemple.
Propriété 1.9 Première Inégalité de Korn :
Soit
O
un domaine borné de
Rn .
Alors, pour tout
v ∈ H01 (O)
on a
k∇vk2L2 (O) ≤ 2kD(v)k2L2 (O) .
Propriété 1.10 Se onde Inégalité de Korn dans des espa es fon tionnels ne ontenant pas de mouvements rigides :
O un
W ∩ K = {0}
W , on a
Soit
domaine borné Lips hitz et
où
K
W
un sous-espa e fermé de
est l'espa e des mouvements rigides sur
O.
H 1(O)
Alors, pour tout
tel que
v
dans
kvkH 1 (O) ≤ CkD(v)kL2 (O) .
Remarque 1.11 Dans la propriété 1.10, on peut prendre par exemple
gonal des mouvements rigides dans
W = K ⊥,
l'ortho-
H 1 (O).
La propriété 1.9 donne immédiatement la
aS sur K∇ ∩ KB et
H01 (Ω)). Le théorème
oer ivité de
(espa es de Hilbert en tant que sous-espa es fermés de
sur
K∇
de Lax
Milgram et la propriété A.3 en annexe A permettent alors d'obtenir les deux propriétés
suivantes.
Propriété 1.12 Il existe un unique
Propriété 1.13
34
(u, p)
u
solution de (Pmin ,1.15).
solution de (Pvar ,1.14)
=⇒ u
solution de (Pmin ,1.15).
1.4. Un peu de théorie : Inégalité de Korn et
onséquen es
D'après le théorème A.5 en annexe, an d'obtenir l'impli ation ré iproque et don
l'équivalen e des problèmes (Pvar ,1.14) et (Pmin ,1.15), il faut vérier que
B∇ : KB 7→ L2 (Ω \ B̄)
v −→ ∇ · v|Ω\B̄
est à image fermée. D'après la se tion pré édente, pour obtenir la onvergen e des solutions
des problèmes pénalisés, il faut également vérier que
fermée. Ces deux hypothèses sont
BB
(déni en 1.20) est à image
onséquen es de la propriété suivante,
Propriété 1.14
B : X = H01 (Ω) 7→ Λ = (L2 (B))4 × L2 (Ω \ B̄)
v
→
(D(v)1B , ∇ · v1Ω\B̄ )
est à image fermée.
Démonstration :
Il sut de montrer que
∃C, ∀γ ∈ Im(B), ∃w ∈ X, γ = Bw
γ ∈ Im(B), γ = (λ, p).
λ = D(w0 )1B , p = ∇ · w0 1Ω\B̄ .
Soit don
•
Constru tion de
On dénit wB
⊥
sur K , ave
w
sur
∈ H 1 (B)
B
par
Comme
et
kwkX ≤ CkγkΛ .
γ ∈ Im(B),
il existe
w0
dans
X
tel que
:
wB = PK ⊥ (w0 1B ),
où PK ⊥ est la proje tion de
H 1 (B)
K = {v ∈ H 1 (B), D(v) = 0}.
K ⊥ (voir propriété 1.10) donne alors kwB kH 1 (B) ≤
dénition de wB , w0 1B − wB ∈ K et don D(wB ) =
La se onde inégalité de Korn dans
CkD(wB )k(L2 (B))4 . Or,
D(w0 )1B et ainsi on a
par
D(wB ) = λ,
kwB kH 1 (B) ≤ CkD(w0 )k(L2 (B))4 = Ckλk(L2 (B))4 .
•
Prolongement sur
On
her he
Ω \ B̄
:
wΩ\B̄ ∈ H 1 (Ω \ B̄)
tel que
∇ · wΩ\B̄ = p dans Ω \ B̄,
wΩ\B̄ = wB sur ∂B,
wΩ\B̄ = 0 sur ∂Ω.
relèvement de la
On note
g
ondition au bord :
l'élément de
H 1/2 (∂(Ω \ B̄))
déni par
g = wB sur ∂B,
g = 0 sur ∂Ω.
35
Chapitre 1. Présentation de l'algorithme
wg dans H 1 (Ω \ B̄) ave kwg kH 1 (Ω\B̄) ≤ CkgkH 1/2 (∂(Ω\B̄)) .
Or, kgkH 1/2 (∂(Ω\B̄)) = kwB kH 1/2 (∂B) ≤ CkwB kH 1 (B) par ontinuité de la tra e.
1
Ainsi, en utilisant la majoration de la norme de wB , on a onstruit wg ∈ H (Ω \ B̄)
On peut relever
g
par
tel que
wg = g sur ∂(Ω \ B̄),
kwg kH 1 (Ω\B̄) ≤ Ckλk(L2 (B))4 .
résolution d'un nouveau problème homogène :
On
her he maintenant
wΩ\B̄
sous la forme
wΩ\B̄ = wg + w̄
où
w̄
doit vérier
w̄ ∈ H01 (Ω \ B̄),
∇ · w̄ = p − ∇ · wg .
La divergen e étant surje tive et bi ontinue de
de vérier que p
− ∇ · wg
est d'intégrale nulle pour avoir une solution de
problème, dont la norme est
Or, en notant
Z
Ω\B̄
p
n
− ∇ · wg =
=
Z
∂(Ω\B̄)
−
p
Ω\B̄
w0 · n −
Z
Ω\B̄
Z
∂(Ω\B̄)
Ω \ B̄ ,
on a,
∇ · wg =
Z
∇ · w0 −
Z
Z
Ω\B̄
wg · n = −
B
∇ · w0 −
Z
Ω\B̄
w0 1B − wB ∈ K ⊂ {v ∈ H 1 (B), ∇ · v = 0}
∇ · w0 = ∇ · wB sur B et ainsi,
Z
Z
Z
p − ∇ · wg = −
∇ · wB −
g · n.
Ω\B̄
B
∇ · wg
∂(Ω\B̄)
On utilise alors que
g · n.
pour obtenir
∂(Ω\B̄)
Une dernière intégration par parties donne
Z
p
Ω\B̄
et, par dénition de
g,
− ∇ · wg =
Z
∂B
wB · n −
Z
∂(Ω\B̄)
g·n
on a bien,
Z
Ω\B̄
Par
onséquent, il existe
p
− ∇ · wg = 0.
w̄ ∈ H01 (Ω \ B̄)
tel que
∇ · w̄ = p − ∇ · wg
et
kw̄kH 1 (Ω\B̄) ≤ Ckp − ∇ · wg kL2 (Ω\B̄) .
On a ainsi,
kw̄kH 1 (Ω\B̄) ≤ C(kpkL2 (Ω\B̄) + kwg kH 1 (Ω\B̄) ) ≤ C(kpkL2 (Ω\B̄) + kλk(L2 (B))4 ).
36
e
ontrolée.
la normale extérieure à
Z
H01 (Ω \ B̄) dans L20 (Ω \ B̄), il sut
1.4. Un peu de théorie : Inégalité de Korn et
En posant
wΩ\B̄ = wg + w̄
onséquen es
on a bien,
∇ · wΩ\B̄ = p,
wΩ\B̄ = wB sur ∂B,
wΩ\B̄ = 0 sur ∂Ω,
kwΩ\B̄ kH 1 (Ω\B̄) ≤ C(kpkL2 (Ω\B̄) + kλk(L2 (B))4 ).
•
Bilan : on dénit
w = wB 1B + wΩ\B̄ 1Ω\B̄
et
w
vérie :
w ∈ H01(Ω),
Bw = (λ, p) = γ,
kwkH 1 (Ω) ≤ C(kpkL2 (Ω\B̄) + kλk(L2 (B))4 ) = CkγkΛ .
Ce i étant vrai pour tout
on a don
onstruire
B,
dans
B
onstante ne dépendant pas du
D(v) = 0
implique
wB
sur
On obtient alors immédiatement le
B∇
∇ · v = 0.
Ce i permet en eet de
pour gérer le mouvement rigide sans modier la divergen e dans
divergen e et qui se re olle ave
B∇
onsidéré,
e qui est indispensable pour pouvoir ensuite
Corollaire 1.16
γ
lé de la démonstration pré édente, est la ompatibilité
ontraintes, au sens où
wB
et la
ni la démonstration.
Remarque 1.15 L'argument
entre les
γ∈Λ
et
BB
wΩ\B̄
onstruire
sur
∂B ).
Ω \ B̄
(de bonne
orollaire suivant.
sont à image fermée.
étant à image fermée, la propriété suivante dé oule du théorème A.5.
Propriété 1.17
u
solution de (Pmin ,1.15)
=⇒ ∃p
tel que
(u, p)
solution de (Pvar ,1.14).
Cette propriété, asso iée à la propriété 1.13 montre que (Pvar ,1.14) et (Pmin ,1.15) sont
équivalents. Et enn,
BB
étant à image fermée, la propriété 1.8 implique :
Propriété 1.18 Les solutions
uε
ε
du problème pénalisé (Pmin ,1.16)
solution du problème (Pmin ,1.15) quand
ε
1 : |u − u| = O(ε).
ε
tend vers zéro, et
ette
onvergent vers
u
onvergen e est d'ordre
37
Chapitre 2
Appli ations
Sommaire
2.1
2.2
2.3
Valve
ardiaque
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.1.1
Des ription du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.1.2
Formulation variationnelle et implémentation . . . . . . . .
41
2.1.3
Résultats numériques
43
Nageur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1
Des ription du problème
2.2.2
Présentation d'un
2.2.3
Résultats numériques
2.2.4
Re her he de brassées optimales
Vési ules
45
as simple : la brassée arrée . . . . . .
46
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1
Contexte
2.3.2
Modèle utilisé
2.3.3
Résultats obtenus
45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
49
55
56
56
57
60
Chapitre 2. Appli ations
Résumé : Dans e hapitre, nous présentons trois exemples de simulations utilisant la méthode de pénalisation proposée dans le
Nous utilisons tout d'abord
hapitre pré édent.
ette méthode pour simuler le mouvement d'une
valve aortique 2D (très) idéalisée. La valve devant être xée en un point,
système présente une
trons
omment
e
ontrainte supplémentaire de dimension deux. Nous mon-
ette nouvelle
ontrainte peut fa ilement être prise en
ompte
grâ e à deux multipli ateurs de Lagrange.
Dans la se onde se tion, nous nous intéressons au nageur à trois sphères.
Nous utilisons la méthode de pénalisation étendue au
as 3D-axisymétrique
an de montrer qu'il lui est possible de nager dans un uide de Stokes.
Enn, nous ee tuons des simulations de vési ules en
brane est modélisée par un
isaillement. Leur mem-
ollier de parti ules solides reliées par des ressorts.
La tension de surfa e est modélisée par une for e de rappel angulaire et la
ontrainte de volume
onstant est gérée grâ e à un multipli ateur de Lagrange.
Nous obtenons des résultats qualitativement semblables aux résultats expérimentaux.
Abstra t : We present in this hapter three examples of simulations using the
penalty method proposed in the previous
hapter.
We rst use this method to simulate a (very) simplied 2D model of the aorti
valve. The rigid body has to be atta hed at one of its points and this adds a
new 2-dimensional onstraint to the problem. We show how this new
an easily be taken into a
onstraint
ount by using two Lagrange multipliers.
In the se ond se tion, we are interested in the three spheres swimmer. We
use the extension to the 3D-axisymmetri
ase of the penalty method in order
to show that this swimmer is able to swim through a Stokes uid.
Finally, we present simulations of vesi les under shear ow. Their membranes
are modeled using a
hain of rigid parti les linked by springs. The surfa e
tension is modeled by an angular ba k-pulling for e and the volume is set
onstant using a Lagrange multiplier. Our results are in qualitative agreement
with experimental results.
2.1
Valve
On dé rit dans
ardiaque
ette se tion
omment utiliser la méthode présentée dans le
hapitre
pré édent dans le but de simuler le mouvement d'une valve aortique idéalisée. Ce travail
a fait l'objet d'un pro eeding (voir [48℄).
2.1.1
Dans
Des ription du modèle
e modèle (très) idéalisé, la valve est assimilée à un
mités. Ses extrémités sont des disques
D1
et
D2
dont les
orps rigide
B.
Ses extré-
entres sont à distan e
Fig 2.1). On suppose de plus qu'elle est en rotation autour du point
x0 ,
entre de
l (voir
D1 . La
géométrie utilisée est inspirée de la géométrie réelle de la valve aortique dé rite dans [84℄.
Le
40
omportement
omplexe de la valve, dû à son élasti ité, est modélisé par l'ajout d'un
2.1. Valve
y
(0, 0)
D1
PSfrag repla ements
e
ardiaque
r
x
l
α
u
h
D2
6h
Fig. 2.1 Valve : Géométrie du problème modèle
moment de rappel qui tend à la ramener vers une position d'équilibre. Plus pré isément,
on ajoute une for e extérieure, agissant sur
où
αeq
est l'angle d'équilibre. Par
D2 , dont le moment est proportionnel à α−αeq
onséquent, la for e extérieure totale s'exerçant sur la
valve et in luant la gravité est,
fB,1 =
où
C
est une
C
C
(α − αeq ) sin α 1D2 , fB,2 = (ρf − ρB )1B − (α − αeq ) cos α 1D2 ,
ℓ
ℓ
onstante. ρf et ρB sont les densités respe tives du uide et de la valve.
La
ondition au bord sur la partie gau he de la frontière est un prol pulsatoire (de pulsation
ωp )
de type Poiseuille,
2vmax y(y + 2h)
u(−3h, y, t) = −
3
h2
où
cos(ωp t)
1+
2
,
vmax est la vitesse maximale en entrée. On impose sur la partie supérieure de la frontière
ondition de non glissement (u = 0), sur la partie droite une ondition de sortie libre,
sur la partie basse une ondition de symétrie (u2 = 0).
une
et
2.1.2
Deux
Formulation variationnelle et implémentation
ontraintes apparaissent dans
sera prise en
ompte
omme dans le
e modèle, la
ontrainte de mouvement rigide qui
doit être un point xe du solide. Les in onnues sont les
et p, ainsi que la vitesse angulaire
ω
x0
hamps de vitesse et de pression u
de x0 (la vitesse de translation V
hapitre pré édent, et une nouvelle
de rotation autour
ontrainte :
est nulle). Le prin ipe fondamental de la dynamique é rit dans (1.3) par rapport au
entre
de gravité, peut également s'é rire par rapport à un point xe. Le problème à résoudre
est don ,

Du

− µ△u + ∇p
ρf



Dt




∇·u



u




u(x)







Jx0 ω̇
= fΩ\B̄
dans
= 0
dans
= 0
sur
Ω \ B̄,
Ω \ B̄,
∂Ω,
(2.1)
sur ∂B,
= ω(x − x0 )⊥
Z
Z
⊥
=
(x − x0 ) · fB −
(x − x0 )⊥ · σnds.
B
∂B
41
Chapitre 2. Appli ations
Comme
s'é rire
note,
Ru
B,
est à mouvement rigide sur
u(x, t)dx = 0
D1
Kx 0
pour tout
t.
la
Z
1
= v ∈ H0 (Ω),
D1
ette
ontrainte à l'espa e
v = 0 , Kx0 ,∇ = K∇ ∩ Kx0
La formulation variationnelle asso ié à (2.1) s'obtient alors
dent en prenant
u(x0 , ·) = 0 peut
K∇ et on
ontrainte de point xe
On intègre
ette fois les fon tions test dans
omme dans le
Kx0 ∩ KB . Après
hapitre pré é-
dis rétisation en temps
et gestion du mouvement rigide par pénalisation, on se ramène à résoudre, pour
haque
pas de temps, le problème suivant,
 n+1
u
∈ Kx0 et pn+1 ∈ L2 (Ω)



Z
Z



n+1
n+1

α ρ u
· ũ + 2µ D(un+1 ) : D(ũ)



Ω
Ω


Z
Z


2

n+1
+
D(u ) : D(ũ) − pn+1 ∇ · ũ
ε Bn+1
Ω

Z
Z



n
n n


= α (ρ u ) ◦ X · ũ + f n · ũ



Ω
Ω

Z




n+1

q∇ · u
= 0 ∀q ∈ L2 (Ω),
(2.2)
∀ũ ∈ Kx0 ,
Ω
An de pouvoir résoudre
la
e problème par la méthode des éléments nis, il reste à gérer
ontrainte de point xe présente dans l'espa e fon tionnel. Cela pourrait être traité par
Z
2
pénalisation en ajoutant le terme
1
ε′
v
à la fon tionnelle à minimiser mais on aurait
D1
alors dans la formulation variationnelle le terme
1
ε′
Z
Z
u ·
ũ qui ne peut être géré
D1
D1
fa ilement par les solveurs standards. D'après la remarque A.6 de l'annexe A, puisqu'il
s'agit de deux
ontraintes linéaires à valeur réelle, on peut les imposer par dualité. Cela
2
onsiste à ajouter une in onnue λ ∈ R , multipli ateur de Lagrange asso ié à la ontrainte
λ·
R
u. En
D1
uλ est une appli ation ane, on observe qu'il sut de résoudre
de point xe, qui intervient dans la formulation variationnelle sous la forme
λ 7→
le problème pour trois λ bien hoisis (par exemple λ1 = (0, 0), λ2 = (1, 0) et λ3 = (0, 1)).
En eet, si on note u1 , u2 et u3 les solutions orrespondantes, on sait alors que la solution
her hée u est ombinaison bary entrique des trois pré édentes. Il existe β et γ tels que,
utilisant le fait que
u = βu1 + γu2 + (1 − β − γ)u3 .
Pour obtenir les valeurs de
β
et
γ,
il sut alors d'é rire que la
doit être vériée et de résoudre le système linéaire
Z
D1
suivant :
Z
[βu1 + γu2 + (1 − β − γ)u3 ] = 0
Z
Z
Z
u2 − u3 γ = −
u1 − u3 β +
⇔
u=0 ⇔
D1
D1
42
2×2
ontrainte de point xe
D1
D1
u3 .
2.1. Valve
On a ainsi montré
omment adapter l'étape (ii) de l'algorithme 1.1 à
ardiaque
e nouveau problème.
L'étape (i) onsiste maintenant à mettre à jour α, unique degré de liberté du solide, en
n+1
é rivant α
= αn + ∆tω n où ω n est al ulé à partir de la vitesse du entre du disque
D2 .
1
V =
n
Vol(D2,h )
n
où,
n
Z
un , ω n =
n
D2,h
omme indiqué dans la se tion 1.3.1,
n
D2,h
cos(αn )V2n − sin(αn )V1n
,
ℓ
est le polygone représentant
D2
au temps
après dis rétisation en espa e.
2.1.3
Résultats numériques
Les paramètres géométriques utilisés lors de la simulation sont
h = 20, r = 20, ℓ = 14,
µ = 1 et e = 5. Les densités du uide et de la valve sont prises respe tivement égales à
ρf = 1 et ρB = 5. La vis osité µ du uide est égale à 1. La pulsation en entrée est de
période T = 7.5s. Les équations de Navier-Stokes sont é rites de manière adimensionnée,
en utilisant h omme longueur ara téristique et en hoisissant vmax tel que le nombre de
Reynolds, déni par Re = vmax ρf h/µ, soit égal à 400. Le hamp de vitesses est initialisé en
résolvant le problème de Stokes
orrespondant. Le
ode sour e asso ié peut être télé hargé
sur [44℄.
Les
hamps de ve teurs à gau he de la gure 2.2
orrespondent au
hamp des vitesses
obtenus à diérents pas de temps. A droite de la gure, on peut trouver les lignes de
ourant asso iées. Par dénition, es lignes de
tangentes au
lignes de
hamp des vitesses. Pour un
ourant
τ → Y(τ )
à un instant
ourant sont, à un instant donné, les ourbes
hamp de ve teur
s
(x, t) → v(x, t)
donné, les
donné sont, par dénition, les solutions de
l'équation diérentielle ordinaire,
dY
(τ ) = v(Y(τ ), s),
dτ
Noter que, le temps
s
étant xé dans (2.3),
es lignes de
ara téristiques dénies en (1.7) et ne représentent don
de uide. Les lignes de
(2.3)
ourant sont diérentes des
pas les traje toires des parti ules
ourant sont une façon de représenter le
hamp des vistesses à un
instant donné.
43
Chapitre 2. Appli ations
Fig. 2.2 Champs des vitesses et lignes de
149170
44
ourant aux pas de temps 19417090120
2.2. Nageur
2.2
2.2.1
Nageur
Des ription du problème
Le mé anisme utilisé par l'homme pour nager
onsiste à ee tuer des brassées pé-
riodiques et à utiliser les for es hydrodynamiques exer ées par le uide environnant sur
lui-même lors de
es brassées. Grâ e aux eets inertiels, le dépla ement ee tué lors de la
première moitié de la brassée
y lique n'est pas annulé lors de sa se onde moitié. Dans le
as de systèmes biologiques ou de mi ro- ou nano-robots, à
ause des é helles de longueur
et de temps asso iées, le mouvement est dominé par les eets de vis osité et l'inertie est
négligeable. Ce i implique que de tels organismes doivent adopter des stratégies diérentes
de
elles d'organismes plus grands pour nager. En eet, la réversibilité des équations de
Stokes impliquent que tout dépla ement obtenu grâ e à une déformation de l'organisme
sera annulé lors d'une déformation ré iproque. Le problème qui se pose est de trouver les
mé anismes les plus simples
apables d'autopropulsion dans un uide de Stokes ou en ore,
de savoir si un système est
apable d'avan er dans un uide de Stokes, en ee tuant un
hangement de forme
y lique (une brassée), en l'absen e de for es extérieures.
Ce travail est issu d'une
ollaboration ave
François Alouges
2
et Antonio de Simone
3
et a été à l'origine d'une publi ation (voir [4℄) qui se trouve en annexe B. Nous nous
sommes intéressés au
as du nageur à trois sphères dé rit dans [68℄. Il est
trois sphères égales de rayon
a, se déplaçant le long d'un axe ez
onstitué de
(Voir Fig. 2.3). On note
x
B3
a
x3
c
y
ez
B2
c
x2
PSfrag repla ements
x
B1
x1
Fig. 2.3 Nageur : géométrie et notations.
et
y , la distan
e entre les
système est dé rit par
entres des sphères et
c le
entre de gravité du nageur. L'état du
(x, y, c), (x, y) donnant sa forme et c sa position. On note Fi = fi ez
i et Vi = Vi ez sa vitesse. Les équations de Stokes étant
la for e exer ée sur la sphère
2 Laboratoire de Mathématiques, Université Paris-Sud, Orsay, Fran
3 SISSA-International S hool for Advan ed Studies, Trieste, Italy
e
45
Chapitre 2. Appli ations
S

linéaires, il existe une matri e, notée

La matri e
S


V1
f1
 V2  = S(x, y)  f2  .
V3
f3
S
est symétrique dénie positive
Démonstration : Soient
v
les
U
et
V
(2.4)
ne dépend que de la forme du nageur puisque l'on est en milieu inni.
Propriété 2.1
et
et appelée matri e d'Oseen, telle que
f = (f1 , f2 , f3 )t
et
g = (g1 , g2 , g3 )t
deux ve teurs, on dénit
hamps de vitesse solution du problème du nageur asso ié à
U = Sf
les vitesses des parti ules asso iées :
(f, Sg) =
X
i
V = Sg.
Alors,
fi Vi
Z
= 2µ
et
u
es for es. On note
D(u) : D(v)
Ω\B̄
=
X
gi Ui = (Sf, g).
i
De plus,
(f, Sf) =
X
fi Ui = 2µ
Ω\B̄
i
On a don
montré que
S
Z
D(u) : D(u) ≥ 0.
est symétrique dénie positive.
L'hypothèse d'autopropulsion du nageur se traduit par la nullité de la somme des
for es s'exerçant sur les diérentes sphères,
f1 + f2 + f3 = 0.
(2.5)
On appelle brassée un mouvement périodique de période
b : [0, T ] →
7
]2a, +∞[×]2a, +∞[
t
→
(x(t), y(t))
Cette brassée permet de passer de l'état
ave
dans l'espa e des formes,
(x(T ), y(T )) = (x(0), y(0)).
(x(0), y(0), c(0))
her he à savoir s'il en existe, produites par des for
de
T
(x(T ), y(T ), c(T )). On
es internes, telles que c(T ) soit diérent
à l'état
c(0).
2.2.2
On
Présentation d'un
as simple : la brassée arrée
onsidère la brassée étudiée dans [68℄. Elle est donnée dans l'espa e des formes
par
où
δ
(x, y) : (δ, δ) → (δ + h, δ) → (δ + h, δ + h) → (δ, δ + h) → (δ, δ),
est stri tement supérieur à
2a
et
h
est stri tement positif (voir Fig. 2.4). On la
suppose ee tuée grâ e à des for es internes. On souhaite savoir si une telle brassée permet
46
2.2. Nageur
y
γ3
δ+h
γ2
γ4
PSfrag repla ements
δ
γ1
δ
x
δ+h
Fig. 2.4 Nageur : exemple de brassée.
au nageur d'avan er. Dans les variables
(x, y, c),
elle se réé rit,
(δ, δ, c0 ) → (δ + h, δ, c1 ) → (δ + h, δ + h, c2 ) → (δ, δ + h, c3 ) → (δ, δ, c4 ).
Elle permettra de nager si
c4
est diérent de
système (2.4) des informations sur le
sous la forme,
Pour le savoir, on
entre de gravité
c.
On
ommen e par réé rire (2.4)



x1
f1
d 
x2  = S(x, y)  f2  .
dt
x3
f3
x = x2 − x1 , y = x3 − x2
et

dx


= e1 · Sf = Se1 · f,



dt


 dy
= e2 · Sf = Se2 · f,
dt




dc



 dt = e3 · Sf = Se3 · f.
c = (x1 + x2 + x3 )/3,
(2.7)
e1 = (−1, 1, 0)t, e2 = (0, −1, 1)t et e3 = (1/3, 1/3, 1/3)t. On
puisque f vérie (2.5), elle s'é rit de manière unique sous la forme,
où
her he à déduire du

En utilisant la propriété 2.1 ainsi que
on a
c0 .
(2.6)
remarque alors que,
f = αSe2 × e3 + βSe1 × e3 .
Pour le montrer, on note d'abord que, d'après (2.5),
Se2 × e3
et
Se1 × e3
f
(2.8)
est orthogonale à
sont évidemment dans l'orthogonal de
e3
teurs
et en forment une base
puisqu'ils sont libres. En eet, s'ils ne l'étaient pas, il existerait des
S(λe1 + µe2 ) × e3 = 0. Or, omme e3 est orthogonal
S(λe1 + µe2 ) · (λe1 + µe2 ) = 0, e qui est en ontradi tion
e3 . Or, les ve
e1
telles que
à
alors
ave
onstantes
et à
le
e2 ,
λ
et
µ
on aurait
ara tère déni
47
Chapitre 2. Appli ations
positif de
S.
f sous ette forme, le système diérentiel (2.7)

dx


= αSe1 · (Se2 × e3 ),


dt



dy
= βSe2 · (Se1 × e3 ),

dt





 dc = αSe3 · (Se2 × e3 ) + βSe3 · (Se1 × e3 ).
dt
En é rivant
Remarque 2.2 Grâ e à
d'une brassée
e système d'équations et à (2.8), on peut toujours, à partir
t → (x(t), y(t))
f=
devient,
donnée, retrouver les for es internes asso iées :
dx
Se2 × e3
dy
Se1 × e3
+
.
dt Se1 · (Se2 × e3 ) dt Se2 · (Se1 × e3 )
Se1 · (Se2 × e3 ) n'est pas nul. En eet, s'il l'était, alors
Se1 × e3 seraient tous deux orthogonaux à Se1 et à Se2 . Comme S est dénie
positive, Se1 et Se2 ne sont pas olinéaires. On a don Se2 ×e3 et Se1 ×e3 olinéaires.Or,
Ce
al ul est possible par e que
Se2 × e3
et
on a montré pré édemment qu'ils étaient libres.
Finalement, en notant
A
AU = U × e3 ,

0
1 −1
1
1 .
A =  −1 0
3
1 −1 0
la matri e telle que
on a

En posant
T = SAS ,
on obtient le système

dx


= αe1 · T e2 ,


dt



dy
= βe2 · T e1 ,

dt



 dc


= αe3 · T e2 + βe3 · T e1 .
dt
Comme montré pré édemment,
temps de
c
e1 · T e2
et
le long de la brassée s'é rit,
e2 · T e1
sont non nuls et ainsi, l'évolution en
e3 · T e2 dx e3 · T e1 dy
dc
=
+
.
dt
e1 · T e2 dt
e2 · T e1 dt
Remarque 2.3 On note
variation de
c
V = (V1 , V2 ),
où
∆c =
Par
onséquent,
∆c
Z
48
(2.10)
est la
V dl.
γ
est indépendant du paramétrage de
d'une brassée ne dépend que de la forme de
elle est ee tuée.
e3 · T e2
e3 · T e1
et V2 =
. Si ∆c
e1 · T e2
e2 · T e2
est noté γ , on a d'après (2.10)
V1 =
lors d'une brassée dont le graphe
(2.9)
γ.
Le dépla ement du nageur lors
ette brassée et non de la vitesse à laquelle
2.2. Nageur
Dans le
as de la brassée arrée dé rite gure 2.4, on peut dé rire l'évolution de
par étape, en intégrant (2.10). Après
γ1
(δ, δ, c0 ) −
→ (δ + h, δ, c1 )
: cγ1 (x) = c0 +
Z
Z
x
δ
y
e3 · T (s, δ)e2
ds,
e1 · T (s, δ)e2
e3 · T (δ + h, s)e1
ds,
δ e2 · T (δ + h, s)e1
Z x
e3 · T (s, δ + h)e2
γ3
(δ + h, δ + h, c2 ) −
→ (δ, δ + h, c3 ) : cγ3 (x) = c2 +
ds,
δ+h e1 · T (s, δ + h)e2
Z y
e3 · T (δ, s)e1
γ4
ds.
(δ, δ + h, c3 ) −
→ (δ, δ, c4 )
: cγ4 (y) = c3 +
δ+h e2 · T (δ, s)e1
γ2
(δ + h, δ, c1 ) −
→ (δ + h, δ + h, c2 ) : cγ2 (y) = c1 +
On peut don
simuler numériquement l'évolution de
nageur. Il sut pour
T = SAS ,
ela de savoir
c, étape
hangement de variable on obtient
al uler
T (x, y) sur le
c
(2.11)
en fon tion de la forme du
hemin de la brassée. Or, puisque
ela revient à résoudre deux problèmes de Stokes
S
ave
for es imposées sur
les parti ules. Ce i peut être fait en utilisant la méthode de pénalisation.
2.2.3
Un
Résultats numériques
as test :
On se ramène d'abord à un problème
2D
en utilisant une formulation variationnelle
+
axisymétrique de Stokes. Les nouvelles variables sont (r, z) ∈ Ω2D = R ×R. On appro he
ensuite le domaine inni
3D
des
à un
Ω2D
ylindre de hauteur
par une grande boîte
2H
et de rayon
R. Au
onditions de Diri hlet homogènes. Avant de
intéresse, on souhaite d'abord valider
[0, R] × [−H, H]
bord de
e qui
orrespond en
e domaine borné, on impose
her her à résoudre le problème qui nous
ette appro he. Pour
ela, on
onsidère une unique
a, plongée dans un uide de Stokes de vis osité µ. On applique une
fB = −gez par unité de volume sur la sphère. An de limiter les temps
ul et de pouvoir hoisir R et H sans augmenter déraisonnablement le nombre de
du maillage, on hoisit une se onde boîte, [0, Rf ] × [−Hf , Hf ] ⊂ [0, R] × [−H, H],
parti ule de rayon
for e verti ale
de
al
points
ontenant les parti ules et qui sera maillée plus nement que le reste du domaine. On
hoisit i i d'utiliser des maillages adaptés aux parti ules. Le maillage de la gure 2.5 est
elui obtenu ave
les paramètres
Rf = Hf = 4a
et
R = H = 34a.
Il
omporte
Nf = 4/a
mailles par unité de longueur pour le maillage n et dix fois moins pour le maillage
grossier. On représente sur la gure 2.6 la pression obtenue pour les paramètres physiques
suivants :
a = 0.05, g = −10, µ = 3.
49
Chapitre 2. Appli ations
maillage grossier
maillage n
(0, 0)
2Hf
2H
PSfrag repla ements
Rf
PSfrag repla ements
maillage grossier
R
maillage n
Fig. 2.5 Problème test et zoom du maillage utilisé.
IsoValue
-0.208747
-0.178962
-0.159106
-0.13925
-0.119394
-0.0995382
-0.0796821
-0.059826
-0.0399699
-0.0201139
-0.0002578
0.0195983
0.0394543
0.0593104
0.0791665
0.0990226
0.118879
0.138735
0.158591
0.208231
IsoValue
-0.208747
-0.178962
-0.159106
-0.13925
-0.119394
-0.0995382
-0.0796821
-0.059826
-0.0399699
-0.0201139
-0.0002578
0.0195983
0.0394543
0.0593104
0.0791665
0.0990226
0.118879
0.138735
0.158591
0.208231
Fig. 2.6 Problème test : pression obtenue (à gau he) et zoom (à droite).
50
2.2. Nageur
U = Uez de la parti
Z
fStokes + fB 1B = 0,
La valeur théorique de la vitesse
l'équilibre des for es,
ule peut être obtenue en é rivant
Ω
où
fStokes = −6πµaU
est la for e exer ée par un uide de Stokes sur une parti ule se
déplaçant en milieu inni (voir [78℄, arti le original de Stokes en 1851). Ainsi, la vitesse
théorique vaut
Utheo = −
où
et
2π
R
Ω2D
fB 1B rdrdz
6πµa
=
R
B2D
grdrdz
3µa
.
B2D = {(r, z) ∈ Ω2D , r 2 + z 2 ≤ a2 }. Les tests sont ee tuées pour a = 0.05, Hf = 4a
H = 96a. Les erreurs relatives obtenues pour diérents pas de maillages sont
Nf
err = (Unum − Utheo )/Utheo
Remarque 2.4 Noter que, dans le
4/a
6/a
0.26
0.10
0.06
as du nageur, la somme des for es exer ées sur le
système est nulle. La solution dé roît don
suite au
2/a
plus rapidement à l'inni et l'erreur
al ul dans une boîte nie sera don
ommise
plus petite.
Simpli ations :
On souhaite utiliser
ette formulation 3D-axisymétrique ainsi que
pour simuler numériquement l'évolution de
c
en fon tion de la brassée. Pour
dis rétise la brassée en utilisant un dé oupage de
D'après (2.11), on est ramené à
[zk , zk+1 ].
On
hoisit pour
ela, on
[δ, δ+h] : (z0 = δ, . . . , zk , . . . , zNz = δ+h).
al uler des intégrales sur des intervalles de la forme
ela la méthode d'intégration de Gauss à deux points. Pour
haque intégrale, il faut don ee tuer deux
du problème de Stokes
e type de maillage
al uls de
T,
e qui né essite quatre résolutions
S.
La symétrie du problème va nous permettre de diviser par deux
e nombre de
al uls.
En eet, on remarque que








f1
u1
u3
f3
∀f =  f2  , u =  u2  = S(x, y)f =⇒  u2  = S(y, x)  f2  .
f3
u3
u1
f1
On note
S
la matri e anti-transposée de
(2.12)
S,
∀i, j, S i,j = S4−i,4−j ,
f = (f3 , f2 , f1 )t . Pour toute matri e S1 , S2
Sf = S f . Par onséquent, (2.12) donne
et
et tout ve teur
f
on a
S 1 S2 = S 1 S 2
et
S(y, x) = S(x, y).
Ce i, asso ié à
A = A,
permet d'é rire
T (y, x) = S(y, x)AS(y, x) = S(x, y) A S(x, y)
= S(x, y)AS(x, y) = T (x, y).
51
Chapitre 2. Appli ations
Ainsi, en utilisant
e1 = −e2 , e3 = e3
et
f ·g=f ·g
on obtient
e3 · T (x, δ + h)e2
e3 · T (x, δ + h)e2
e3 · T (x, δ + h) e2
=
=
e1 · T (x, δ + h)e2
e1 · T (x, δ + h)e2
e1 · T (x, δ + h) e2
.
e3 · T (δ + h, x)e1
= −
e2 · T (δ + h, x)e1
Les intégrales de (2.11)
ramènent don
pour
à
à
orrespondant au
elles obtenues sur le
al uler les intégrales issues du
elles du
hemin
(δ + h, δ + h, c2 ) → (δ, δ + h, c3 ) se
(δ + h, δ, c1 ) → (δ + h, δ + h, c2 ). De même,
(δ, δ + h, c3 ) → (δ, δ, c4 ), on peut se ramener
hemin
hemin
hemin
(δ, δ, c0 ) → (δ + h, δ, c1 ).
Résultats obtenus :
On représente sur la gure 2.7, le maillage utilisé dans le
parti ules sont de rayon
le
a = 0.05
et de forme
hamp des pressions obtenu lors du al ul
t
les for es e1 = (−1, 1, 0) aux trois parti ules.
(x, y) = (4a, 7a).
de S(x, y)e1 'est
as d'un nageur dont les
On y trouvera également
à dire lorsqu'on applique
IsoValue
-112.177
-100.212
-92.2346
-84.2575
-76.2805
-68.3034
-60.3263
-52.3492
-44.3721
-36.395
-28.4179
-20.4408
-12.4637
-4.48662
3.49047
11.4676
19.4447
27.4217
35.3988
55.3416
Fig. 2.7 Nageur : maillage utilisé (à gau he) et pressions obtenues lors du
S(x, y)e1
52
(à droite)
al ul de
2.2. Nageur
Les
hamps de pression asso iés aux for es
sont représentés gure 2.8.
e2 = (0, −1, 1)t,
IsoValue
-79.6156
-69.5899
-62.9061
-56.2223
-49.5385
-42.8547
-36.1709
-29.4871
-22.8033
-16.1195
-9.43571
-2.75191
3.93188
10.6157
17.2995
23.9833
30.6671
37.3509
44.0347
60.7442
et
e3 = (1/3, 1/3, 1/3)t
IsoValue
-18.9252
-15.8691
-13.8317
-11.7943
-9.75693
-7.71953
-5.68214
-3.64475
-1.60736
0.430033
2.46743
4.50482
6.54221
8.5796
10.617
12.6544
14.6918
16.7292
18.7666
23.86
Fig. 2.8 Nageur : pressions obtenues lors du
al ul de
S(x, y)e2
(à gau he) et
S(x, y)e3
(à droite).
Rappelons que le dépla ement global du
pendant de la façon dont est ee tuée
entre de gravité durant une brassée est indé-
ette brassée (voir remarque 2.3). An d'observer
l'évolution en temps du nageur, on se donne un paramétrage de la brassée dé rite -
T = 1. On
obtient grâ e aux al uls dé rits pré édemment la position du entre de gravité c au ours
du temps. Elle est représentée sur la gure 2.9. Les paramètres utilisés sont a = 0.05,
δ = 3a et h = 5a. Les ongurations asso iées ont été tra ées gure 2.10
gure 2.4. On suppose qu'elle est ee tuée à vitesse
onstante durant un temps
53
Chapitre 2. Appli ations
0.5
x
0.45
c
0.25
y
0.4
0.2
0.35
0.3
0.15
0.25
0.1
0.2
0.15
0.05
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t
0.6
0.7
0.8
0.9
0
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fig. 2.9 Nageur : brassée (à gau he) et dépla ement asso ié (à droite).
Sens de
l’evolution
centre de gravite
Fig. 2.10 Nageur :
ongurations durant la brassée.
log(c4−c0)
−2
−2.5
−3
−3.5
deplacement obtenu
droite de pente1.9007
−2.5
−2
−1.5
Fig. 2.11 Nageur : le dépla ement
54
∆c
−1
log(h)
−0.5
0
est d'ordre 2 en
0.5
h
quand
h
tend vers zéro.
2.2. Nageur
Une étude du dépla ement
c4 − c0 en fon tion de h (voir gure 2.11) montre, omme
h2 quand h est petit. Ces al uls ont été faits pour
indiqué dans [68℄, qu'il est d'ordre
a = 0.05
et
δ = 4a.
On retrouve en fait i i un résultat bien
lassique de la théorie du
ontrle (voir par exemple [19℄) rappelé dans la propriété suivante.
z ∈ O ⊂ Rn solution de ż = f (z, u(t)) où u = (u1 , u2 ) ∈ R2
f (x, u) = u1f1 (x) + u2 f2 (x) ave f1 , f2 ∈ C ∞ (O). On note a = z(0) et on suppose
Propriété 2.5 Soit
Alors, quand
ε
(u1(t), u2 (t)) = (η1 , 0),
pour
(u1(t), u2 (t)) = (0, η2 ),
pour
et
t ∈ [0, ε],
t ∈ [ε, 2ε],
(u1(t), u2 (t)) = (−η1 , 0),
pour
(u1(t), u2 (t)) = (0, −η2 ),
pour
t ∈ [2ε, 3ε],
t ∈ [3ε, 4ε].
tend vers zéro,
z(4ε) = a + η1 η2 ε2 [f1 , f2 ](a) + o(ε2 )
où
[f1 , f2 ]
2.2.4
est le
ro het de Lie de
f1
et
f2
déni par
[f1 , f2 ] = f2′ f1 − f1′ f2 .
Re her he de brassées optimales
Nous avons ainsi retrouvé, grâ e à un algorithme basé sur la méthode de pénalisation,
les résultats de [68℄ disant que la système des trois sphères peut nager et que le dépla ement
2
nal obtenu est d'ordre h quand l'amplitude h du mouvement est petite. Ne se basant pas
sur un développement des for es hydrodynamiques pour
h petit,
ette méthode numérique
nous permet de simuler des brassées d'amplitude quel onques et d'obtenir l'évolution du
entre de gravité en fon tion du temps.
Nous avons étudié numériquement une
ulière pour laquelle la position du
initiale
c(0).
lasse de brassées
entre de gravité
c(T )
t → (xδ,h (t), yδ,h(t))
parti-
est diérente de sa position
On peut maintenant se demander si le nageur à trois sphères est
apable de
se dépla er de n'importe quel état à n'importe quel autre : on est ramené à un problème
de
ontrle. On note
X
l'état du système,
X = (x, y, c) ∈]2a, +∞[×]2a, +∞[×R.
Il est
régi par l'équation diérentielle ordinaire (2.9) que l'on réé rit sous la forme
dX
= αF1 (X) + βF2 (X)
dt
où
(2.13)
F1 (X) = (e1 ·T e2 , 0, e3 ·T e2 )t et F2 (X) = (0, e2 ·T e1 , e3 ·T e1 )t . Dans [4℄ (voir annexe B),
il est démontré que
e système est globalement
X1 = (x1 , y1 , c1 ) par une
t → (α(t), β(t)) bien hoisi. On y dé rit également un
algorithme permettant de al uler des brassées b : t → (x(t), y(t)) optimales dans le sens
où elle maximisent une ertaine e a ité. Cet algorithme né essite la onnaissan e de F1
et F2 qui sont al ulés sur une grille dis rétisant ]2a, +∞[×]2a, +∞[ grâ e à la méthode
départ
X0 = (x0 , y0, c0 )
ontrlable. C'est-à-dire que, tout état de
solution de (2.13) ave
peut être relié à tout état d'arrivée
un
ontrle
dé rite pré édemment.
55
Chapitre 2. Appli ations
2.3
Vési ules
2.3.1
Contexte
Ce travail est issu d'une
ollaboration ave
Mourad Ismail et l'équipe DyFCoM (Dy-
namique des Fluides Complexes et Morphogénèse) du Laboratoire de Spe trométrie Physique (LSP) de Grenoble. Un des thèmes abordés dans
et expérimentale du
ette équipe est l'étude théorique
omportement mé anique d'objets individuels et en intera tion ave
leur environnement. Plus parti ulièrement, ils her hent à
portement de
ellules soumises à un é oulement,
sanguin par exemple. La dynamique de
biologiques que
es
omprendre et à prévoir le
om-
omme les globules rouges dans le ot
ellules vivantes est liée à des a tivités tant
himiques ou mé aniques. On s'intéresse i i aux aspe ts mé aniques de
e
omportement.
Pour
ela, on étudie des vési ules géantes. Il s'agit de membranes fermées empri-
sonnant un liquide, de taille
omprise entre 1 et 100 mi rons. Elles sont formées d'une
bi ou he in ompressible de phospholipides. Les phospholipides sont
onstitués d'une tête
hydrophile et d'une queue hydrophobe (voir gure 2.12). Ce type de vési ules est un
Fig. 2.12 Représentation s hématique d'une vési ule.
modèle e a e et exible. Il permet de
portement mé anique de
omprendre qualitativement et de prévoir le
om-
ellules vivantes soumises à un é oulement. Ces vési ules ont
l'avantage de pouvoir être fa ilement fabriquées en laboratoire où l'on peut également
modier leur liquide interne ainsi que leur ratio surfa e/volume (i.e. leur déformabilité).
L'obje tif de
e travail est de modéliser de telles vési ules et d'implémenter un
fa ile d'utilisation, reproduisant numériquement leur
Un tel
ode,
omportement dans un é oulement.
ode, après validation, permettrait de rendre a
essibles des paramètres non me-
surables expérimentalement. On pourrait ainsi avan er des hypothèses expli atives de
ertains phénomènes an d'orienter les re her hes expérimentales. On dé rit le modèle
utilisé dans la se tion suivante. On présentera ensuite les résultats numériques que l'on
omparera ave
56
les résutats expérimentaux obtenus par l'équipe du LSP.
2.3. Vési ules
2.3.2
Modèle utilisé
La membrane
On travaille en deux dimensions. La membrane est modélisée par un
parti ules rigides (voir gure 2.13). On note
r leur
µout et
entres et
vis osité
rayon
(Bi )i=1...N
les parti ules,
ollier de
x = (xi )i
N
leurs
ommun. On suppose que la vési ule est plongée dans un uide de
on note
µin
la vis osité du liquide qu'elle
ontient. An de visualiser le
mouvement de la membrane, sur toutes les représentations de la vési ule, la parti ule
B1
sera noi ie.
µout
µin
PSfrag repla ements
B1
Bi+1
B2
Bi
Fig. 2.13 La membrane vue
omme
ollier de parti ules rigides.
Les for es interparti ulaires sont de deux types. On suppose qu'il existe des ressorts
reliant
haque
ouple de parti ules voisines et, an de modéliser la tension surfa ique, on
ajoute une for e angulaire pour
haque triplet de parti ules su
essives. On note
kr
la
onstante de raideur des ressorts reliant les parti ules voisines et l0 leur longueur à vide
(voir gure 2.14). On suppose
l0 < 2r .
On note
ei
ei
PSfrag repla ements
kr , l0
xi−1
xi
à
ei+1
PSfrag repla ements
ei
xi
le ve teur unitaire reliant
Bi
Bi+1
xi+1
Bi−1
Fig. 2.14 For es interparti ulaires : ressort (à gau he) et for e angulaire (à droite)
pour
i = 2...N
et
e1
elui reliant
xN
à
x1 .
La for e
Fir
asso iée aux ressorts exer ée sur
la ième parti ule est
F1r = kr (|x2 − x1 | − l0 )e2 − kr (|x1 − xN | − l0 )e1
Fir = kr (|xi+1 − xi | − l0 )ei+1 − kr (|xi − xi−1 | − l0 )ei
FNr = kr (|x1 − xN | − l0 )e1 − kr (|xN − xN −1 | − l0 )eN
La for e angulaire
pour
i = 2...N − 1
onsidérée (voir gure 2.14), est issue du potentiel
Πa =
N
X
Πai
i=1
57
Chapitre 2. Appli ations
ave
Πai = −ka ei · ei+1
ΠaN = −ka eN · e1
−ei
Ce potentiel tend à ramener l'angle entre
Ce problème s'é rit don
pour
et
i = 1...N − 1
ei+1
à la valeur
π.
omme une problème uide/parti ules ave
et peut être résolu par la méthode de pénalisation dé rite dans le
de s'assurer qu'à
haque instant, au une parti ule ne se
voisines dans la membrane restent en
à
elle qui sera détaillée dans le
for es imposées
hapitre pré édent. An
hevau he et que les parti ules
onta t, on ajoute une étape de proje tion similaire
hapitre 3. A
des parti ules soient telles que à l'instant
haque instant, on souhaite que les vitesses
n + 1,
toutes les distan es restent positives et
les distan es entre parti ules voisines restent nulles. Pour
ela, on projette les vitesses
obtenues par la résolution du problème pénalisé sur un espa e de vitesses dit admissible.
n
Cet espa e, noté K au temps n, est elui des vitesses pour lesquelles, à l'instant n + 1,
la
onguration vérie les
Kn =
ontraintes au premier ordre,


V ∈ R2N ,


Dij (xn ) + ∆tGij (xn ) · V ≥ 0 ∀i < j
Di,i+1 (xn ) + ∆tGi,i+1 (xn ) · V = 0 ∀i ∈ [2 . . . N]



DN,1 (xn ) + ∆tGN,1 (xn ) · V = 0
xn = (xni )i est la onguration à l'instant n, Dij (xn ) est la distan
i et j pour ette onguration et Gij (xn ) est son gradient.
où
Contrainte de volume




,



e entre les parti ules
onstant
L'algorithme dé rit pré édemment dé ouple la résolution uide de la
ontrainte impo-
sant à la membrane de rester fermée. Ainsi, lors de la première étape, la vitesse obtenue
pour les parti ules ne préserve pas le volume (ou plutt l'aire en 2D) de la vési ule. An
de nous assurer
e volume reste
onstant, il nous faut ajouter une
résolution uide. Comme on le verra,
de la vési ule. Pour é rire
la vési ule est
ela va
ette nouvelle
onduire à dénir une pression à l'intérieur
ontrainte, on
elle du polygone de sommets
ontrainte lors de la
onsidère que le volume interne de
(xi )i . On ommen e par al uler la variation
i. Pour alléger les al uls, on onsidère
de volume due au dépla ement de la parti ule
le
as où
i ∈ [1 . . . N − 1],
le
i = N se
parti ule i se
as
traitant de la même façon en adaptant les
dépla e de dxi (voir gure 2.15). On dénit
indi es. Supposons don que la
⊥
ni,+ = e⊥
et
n
=
e
.
Alors,
la
variation
de
volume asso iée au dépla ement dxi s'é rit
i,−
i+1
i
dA = dAi+1 + dAi−1 =
|xi+1 − xi |dxi · ni,+ |xi−1 − xi |dxi · ni,−
+
2
2
1
= (|xi+1 − xi |ni,+ + |xi−1 − xi |ni,− ) · dxi .
2
On note
ni =
58
1
(|xi+1 − xi |ni,+ + |xi−1 − xi |ni,− )
2ρi
2.3. Vési ules
ni,+
ni,−
dAi−1
dAi+1
dxi
xi
PSfrag repla ements
A
xi−1
xi+1
Fig. 2.15 Variation du volume de la vési ule asso iée au dépla ement de la parti ule
la normale à la vési ule au point
de la vési ule reste
xi
où
ρi
i.
|ni | = 1. On a montré que le volume
de la parti ule i à la vitesse Vi si
est tel que
onstant suite au dépla ement
ρi Vi · ni = 0.
Dans le
as où
haque parti ule
i se dépla
e à vitesse
Vi , la
ontrainte de volume
onstant
s'é rit,
N
X
i=1
ρi Vi · ni = 0.
La remarque A.6 de l'annexe A montre que l'on peut traiter
laire) à l'aide d'un multipli ateur de Lagrange
le terme
λ
N
X
i=1
ette nouvelle
Cela a pour
Ṽi
est la vitesse de la parti ule
le bord de la vési ule et
nΓ
la normale à
e bord.
λ
peut don
λũ · nΓ
Z
ũ
Γ
être interprété
est à mouvement rigide dans
Bi ,
on a
1
Ṽi =
Vol(Bi )
ajouter est
λ
N
X
i=1
On note
uλ
ρi Ṽi · ni = λ
la solution de
Z
Ω
e problème à
(se tion 2.1), on remarque que
la forme,
asso iée à
R
pression s'exerçant à l'intérieur de la vési ule.
ũ
i
ũ.
Remarque 2.6 Ce terme peut être vu omme l'équivalent dis ret de
Puisque
ontrainte (s a-
onséquen e d'ajouter
ρi Ṽi · ni
dans la formulation variationnelle utilisée où
la fon tion test
λ ∈ R.
λ → uλ
g · ũ
λ
où
g=
N
X
i=1
où
Γ
est
omme une
et le terme à
Bi
ρi ni
1Bi .
Vol(Bi )
xé. Comme dans le
as de la valve
ardiaque
est ane et que la solution re her hée s'é rit sous
u = αu0 + (1 − α)u1 .
59
Chapitre 2. Appli ations
Pour
al uler
u,
xé et le paramètre α ∈ R
Vi0 et Vi1 les
asso iées respe tivement à u0 et u1 , on a
il sut don
de résoudre deux problèmes à
s'obtient alors en é rivant que la
vitesses de la parti ule
i
N
X
i=1
−
Vi · ni = 0 ⇔ α =
N
X
i=1
dA
Remarque 2.7 Noter que l'on impose i i dt
la
ontrainte de volume
λ
ontrainte doit être vériée. Si on note
N
X
i=1
Vi1 · ni
.
(Vi0 − Vi1) · ni
= 0.
Suite à la dis rétisation en temps,
onstant n'est en réalité imposée qu'à l'ordre un et il y a don
des variations de volume d'ordre deux par rapport au dépla ement des parti ules. Ce i
est vrai que la résolution uide soit dé ouplée de la gestion des
don
possible qu'une a
umulation de
onta ts ou non. Il est
es petites variations fasse apparaître une variation
signi ative du volume de la vési ule en temps long. Une façon de limiter
de
al uler le volume initial de la vési ule
double inégalité. Dans e as, à
instants pré édents. Bien que
A0
et d'imposer
par une
ontrainte de
haque instant, la ontrainte orrige les erreurs issues des
e ne soit pas la stratégie
l'implémenter par la suite si on souhaite ee tuer des
2.3.3
A = A0
et eet serait
hoisie i i, il sera né essaire de
al uls en temps long.
Résultats obtenus
On étudie le
omportement de vési ules soumises à un é oulement de uide en
isaille-
ment. On sait que la dynamique asso iée varie en fon tion des paramètre de l'é oulement
(taux de
isaillement) et de la vési ule elle même (diéren e entre vis osité interne et
externe, rapport surfa e/volume). Par exemple, lorsque la vis osité interne est faible, la
vési ule elliptique présente une orientation xe et sa membrane tourne autour d'elle ; on
parle de mouvement de
henille de
har. Puis, si on augmente peu à peu la vis osité in-
terne, on trouve une valeur limite au dessus de laquelle la vési ule se
solide et présente un mouvement dit de bas ule. On a
es deux
omporte
omme un
her hé à retrouver numériquement
omportements.
N = 20,
µin = 1 et
Les paramètres utilisés lors des simulations numériques sont les suivants :
r = 4, ka = 1, l0 = 3r/2 et µout = 1. On présente les résultats obtenus pour
kr = 100 (voir gure 2.16). On y observe un mouvement de henille de har que
l'on peut
omparer à un mouvement similaire réalisé en laboratoire. Le mouvement dit de bas ule
(gure 2.17) a lui été obtenu pour
Ces résultats reètent le
et sont don
µin = 30
omportement
et
kr = 50.
onnu des vési ules soumises à un
en ourageants. D'autres tests sont à prévoir an de valider le modèle et de
omprendre l'inuen e des diérents paramètres.
60
isaillement
2.3. Vési ules
Fig. 2.16 Mouvement de
henille de
har. Observation expérimentale (en haut) extraite
de [57℄ et résultats numériques (en bas)
Fig. 2.17 Mouvement de bas ule. Observation expérimentale (en haut) extraite de [58℄
et résultats numériques (en bas)
61
Deuxième partie
Intera tions rappro hées
63
Chapitre 3
Préambule : Un algorithme de gestion
des
onta ts modélisant des
ollisions
inélastiques
Sommaire
3.1
Contexte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Méthode de prise en
onta ts . . . . . . . . . .
3.2.1
Un espa e de vitesses admissibles
3.2.2
Cas de la méthode de pénalisation : formulation variationnelle modiée
3.2.3
3.3
ompte des
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode de splitting
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
66
67
67
68
70
71
Chapitre 3. Préambule : Un algorithme de gestion des onta ts modélisant des ollisions inélastiques
Résumé : Dans e hapitre nous présentons une méthode permettant d'empê her
les
onta ts lors de simulations d'é oulements uide/parti ules denses. La mé-
thode utilisée, proposée dans [64℄, est basée sur la proje tion des vitesses sur un
espa e dit de vitesses admissibles et modélise des
Nous montrons
onta ts solides inélastiques.
omment elle peut être intégrée à la méthode de pénalisation
présentée dans la partie pré édente. Puis, par sou i d'e a ité, nous proposons
d'ee tuer un splitting entre la résolution de l'é oulement uide/parti ules et la
gestion des
onta ts. Nous présentons les résultats obtenus dans le
as d'un lit
uidisé et d'une sédimentation de parti ules.
Abstra t : We present in this
hapter a method to avoid
onta ts in numeri-
al simulations of uid/parti le ows. The method, proposed in [64℄, is based
on a proje tion of the velo ities onto a set of admissible velo ities and models
inelasti
onta ts. We show how it
an be ome integrated in the penalty method
presented in the previous part. Then, to improve e ien y, we propose to split
the
omputation of the uid/parti le ow and the proje tion. We present results
of uidization and sedimentation of parti les.
3.1
Contexte
Dans le as d'importantes fra tions solides, les algorithmes de simulation d'é oulements
uide/parti ules utilisés doivent intégrer une méthode de gestion des
onta ts. Noter que
le terme onta t est en fait i i assez mal adapté puisque, omme montré dans [45℄, la for e
de lubri ation empê he des parti ules lisses immergées dans un uide Newtonien d'entrer
en
onta t en temps ni. Cependant, elles peuvent devenir arbitrairement pro hes les unes
des autres et, suite aux dis rétisations en temps et en espa e, des
ollisions numériques
peuvent se produire. Il est indispensable de mettre en pla e des méthodes pour éviter
es
onta ts tant pour des raisons physiques (des parti ules rigides ne peuvent s'interpénétrer)
que numériques (de nombreux
odes s'arrêtent quand deux frontières se ren ontrent).
La première idée pour empê her
de
al uler ave
es
ollisions, est de her her une stratégie permettant
pré ision les for es de lubri ation. Dans [46℄, une méthode basée sur des
ranements lo aux du maillage et du pas de temps a été programmée et donne de bons
résultats. Cependant, le nombre de ranements ainsi que la petitesse du pas de temps
né éssaires pour éviter les
présenter un
Par
oût de
ollisions ne sont pas
onnus a priori et la méthode peut don
al ul très important.
onséquent, des stratégies moins
oûteuses ont été mises en pla e. Certaines
onsistent à ajouter aux for es extérieures déjà existantes une for e répulsive à
ourte
portée (voir [36, 71℄ ou [82℄). Dans [62℄, un algorithme de minimisation est utilisé pour
imposer une distan e minimale entre les parti ules alors que dans [76℄, les parti ules sont
autorisées à se
de tels
hevau her légèrement et une for e élastique répulsive est appliquée quand
hevau hements ont lieu. Ces méthodes assurent bien entendu la stabilité numé-
rique des algorithmes mais elles introduisent de nouveaux paramètres à ajuster et ne
respe tent pas la physique sous-ja ente. Une autre appro he est d'implémenter une stratégie de
ollisions basée sur des
onta ts inélastiques. Cette idée a été utilisée dans [49℄
an d'imposer une distan e minimale entre les parti ules. Cependant, la méthode
66
onsi-
3.2. Méthode de prise en
dère
haque
ompte des
ouple de parti ules voisines séparément et ne permet don
onta ts
pas de traiter le
as de systèmes denses.
Nous proposons dans
ette se tion d'utiliser un modèle de
implémentant le s héma dé rit dans [64℄ dans le
ollisions inélastiques en
as d'é oulements granulaires. Il
onsiste
en un algorithme global de proje tion des vitesses sur un espa e de vitesses admissibles.
Cela nous permet d'imposer une distan e minimale entre les parti ules et, puisque qu'il
prend en
les
ompte globalement tous les
onta ts possibles, il permet de gérer e a ement
as denses. Un modèle permettant de modéliser la for e de lubri ation, et de gérer
les intera tions rappro hées de manière e a e, en respe tant la physique sous-ja ente,
sera présenté dans le
hapitre suivant. Son implémentation numérique sera basée sur
l'algorithme dé rit i i.
3.2
3.2.1
Méthode de prise en
ompte des
onta ts
Un espa e de vitesses admissibles
Dans [64℄, B. Maury propose un s héma numérique pour simuler des é oulements
granulaires ave
le ve teur
V
onta ts inélastiques. La méthode
des vitesses des parti ules :
onsiste à imposer une
e dernier doit, à
ontrainte sur
haque instant, appartenir à
un espa e de vitesses dites admissibles.
n
n
n
On note Dij (x ) = |xi − xj | − ri − rj , la distan e signée entre les parti ules
n
2N
ainsi que Gij (x ) ∈ R
le gradient de ette distan e,
Gij (xn ) = (. . . , 0, −enij , 0, . . . , 0, enij , 0, . . . , 0)
i
j
où
enij =
xnj − xni
|xnj − xni |
i
et
j
(3.1)
(voir Fig. 3.1).
enij
PSfrag repla ements
xnj
xni
Dij (xn )
Fig. 3.1 Gestion des
On note
h
le pas de temps et, à
onta ts, notations au temps
tn , V ∈ R2N est un ve teur
onvexe fermé K(x ) appelé espa e des vitesses
haque instant de
vitesse admissible, s'il appartient à l'espa e
n
al ul
n
admissibles,
K(xn ) = V ∈ R2N , Dij (xn ) + hGij (xn ) · V ≥ 0 ∀i < j .
67
Chapitre 3. Préambule : Un algorithme de gestion des onta ts modélisant des ollisions inélastiques
V ∈ R2N , Dij (xn + hV) ≥ 0 ∀i < j l'espa e des
n
vitesse V telles que des parti ules positionnées à l'instant n en x et soumises à la vitesse
V, ne se hevau hent pas au temps suivant. La ontrainte Dij (xn ) + hGij (xn ) · V ≥ 0
n
est le linéarisé de Dij (x + hV) ≥ 0. Puisque la fon tion distan e entre deux parti ules
n
n
ir ulaires est une fon tion onvexe de x, on a K(x ) ⊂ E(x ). Ainsi, des parti ules
n
ayant une vitesse admissible (i.e. dans K(x )) à l'instant n ne se hevau heront pas au
temps n + 1.
Remarque 3.1 On note
E(xn ) =
Remarque 3.2 Le as d'obsta le (solides de vitesse nulle, penser à des simulations dans
des boîtes fermées par exemple) se traite de la même manière. La position de l'obsta le
k
étant xée, la distan e entre la parti ule
Gik
gradient
velle
de
ette distan e n'a de
i
et
et obsta le dépend que de
omposante non nulle qu'en position
i
xi .
Ainsi, le
et
ette nou-
ontrainte n'ajoute de for e que sur la parti ule i. Ce i nous permettra par exemple
d'ee tuer des simulations dans des boîtes fermées.
3.2.2
Cas de la méthode de pénalisation : formulation variationnelle modiée
On souhaite résoudre le problème uide/parti ules par la méthode de pénalisation
dé rite dans la partie I. L'étape 2 de l'algorithme 1.1 doit don
prendre en
ompte la
V
être modiée an de
ontrainte :
n+1
n+1
∈ K(x
)
ave
∀i,
Vin+1
1
= 2
πri
Z
Bin+1
un+1 .
n+1
omme un problème de point-selle et on note λij
≥ 0 le
n+1
n+1
multipli ateur de Lagrange asso ié à la ontrainte Dij (x
) + hGij (x ) · V ≥ 0. La
n,ε
formulation variationnelle (Pvar ,1.13) est alors rempla ée par le problème suivant : trouver
N (N −1)/2
un+1 ∈ H01 (Ω), pn+1 ∈ L2 (Ω) et λn+1 ∈ R+
tels que,
On é rit
1
h
e nouveau problème
Z
Z
2
ρ u
· ũ + 2µ D(u ) : D(ũ) +
D(un+1 ) : D(ũ)
ε Bn+1
Ω
Ω
Z
Z
Z
1
n
n n
n+1
(ρ u ) ◦ X · ũ + f n · ũ
− p ∇ · ũ =
h
Ω
Ω
Ω
X
n+1
+
λn+1
) · Ṽ, ∀ũ ∈ H01 (Ω),
ij hGij (x
n+1
Z
n+1
n+1
(3.2)
i<j
Z
Ω
q∇
· un+1 = 0 ∀q ∈ L2 (Ω),
Dij (xn+1 ) + hGij (xn+1 ) · Vn+1 ≥ 0, ∀i < j,
λn+1
Dij (xn+1 ) + hGij (xn+1 ) · Vn+1 = 0, ∀i < j,
ij
68
(3.3)
(3.4)
(3.5)
3.2. Méthode de prise en
n+1
où Vi
1
= 2
πri
Z
n+1
u
Bin+1
1
et Ṽi =
πri2
Z
Bin+1
ompte des
onta ts
ũ. L'équation (3.5) est une équation de
λn+1
ne peut être a
ij
ules i et j est saturée. Si on
plémentarité qui dit que le multipli ateur de Lagrange
om-
tivé (i.e. être
non nul) que si la ontrainte asso iée aux parti
ompare (3.2)
n+1
n,ε
n+1
à (Pvar ,1.13), on voit que λij hGij (x
) est la for e supplémentaire qui doit s'exer er
sur les parti ules i et j an d'éviter leur hevau hement. Notons que, d'après (3.1), elle
n'agit que sur les parti ules
i
et
j
et, est dirigée selon
eij .
Propriété 3.3 Le problème (3.2,3.3,3.4,3.5) admet une solution
H01 (Ω)
2
× L (Ω) ×
(un+1 , pn+1 , λn+1 )
dans
N (N −1)/2
R+
.
Démonstration : Considérons le problème suivant :
(
un+1 ∈ K,
n
n+1
Jε (u
)
(3.6)
= min Jnε (v),
v∈K
n
où Jε est la fon tionnelle donnée dans (1.11) qui intervient dans le problème de minimisation asso iée à la pénalisation du mouvement rigide :
n
Jε (v)
L'espa e des
Z
1
=
2h
ontraintes
divergen e nulle ave
Z
1
ρ |v| + µ D(v) : D(v) +
D(v) : D(v)
ε Bn+1
Ω
Ω
Z
Z
1
n n
n
−
(ρ u ) ◦ X · v −
f n · v.
h Ω
Ω
n+1
K
Z
2
K∇
est l'interse tion de l'espa e
elui asso ié aux
asso ié à la
ontrainte de
ontraintes de non- hevau hement :
K = K∇ ∩ Dij (xn+1 ) + hGij (xn+1 ) · V ≥ 0, ∀i < j .
Il s'agit de la minimisation d'une fon tionnelle stri tement
inférieurement et oer ive sur un ensemble
un+1 ∈ K solution de (3.6).
Le nombre de
onvexe, semi- ontinue
onvexe fermé. Il existe don
un unique
ontraintes de non- hevau hement étant ni, on est dans le
V = K∇ , M = RN (N −1)/2 , z ∈ M et B ∈
la se tion A.2 de l'annexe A ave
donnés par
où
zij = Dij (xn+1 )
Bij ∈ L(V, R),
Bij w = −hGij (x
)·W
Le théorème A.12 montre qu'il existe
1
h
Z
7→
RN (N −1)/2 ,
w −→ (Bij w)i<j
est déni par
n+1
Z
B: V
et
adre de
L(V, M)
1
Wi = 2
πri
ave
N (N −1)/2
λn+1 ∈ R+
Z
Z
w.
Bin+1
tel que
2
ρn+1 un+1 · ũ + 2µ D(un+1 ) : D(ũ) +
D(un+1 ) : D(ũ)
ε
n+1
Ω
Ω
B
Z
Z
X
1
=
λn+1
(ρn un ) ◦ Xn · ũ + f n · ũ +
ij Bij ũ, ∀ũ ∈ K∇ ,
h Ω
Ω
i<j
(3.7)
69
Chapitre 3. Préambule : Un algorithme de gestion des onta ts modélisant des ollisions inélastiques
Dij (xn+1 ) + hGij (xn+1 ) · Vn+1 ≥ 0, ∀i < j,
n+1
n+1
n+1
λn+1
D
(x
)
+
hG
(x
)
·
V
= 0, ∀i < j.
ij
ij
ij
λn+1 étant donné, (3.7) est une formulation variationnelle de type Stokes généralisée
n+1
∈ L2 (Ω) tel que
et il existe don p
Z
Z
Z
1
2
n+1 n+1
n+1
ρ u
· ũ + 2µ D(u ) : D(ũ) +
D(un+1 ) : D(ũ)
h Ω
ε
n+1
Ω
Z
Z
ZB
1
− pn+1 ∇ · ũ =
(ρn un ) ◦ Xn · ũ + f n · ũ
h
Ω
Ω
Ω
X
1
+
λn+1
ij Bij ũ, ∀ũ ∈ H0 (Ω),
i<j
Z
Ω
Finalement, par dénition des
problème de (3.2,3.3,3.4,3.5).
3.2.3
q∇
Bij ,
· un+1 = 0 ∀q ∈ L2 (Ω).
on obtient que
(un+1 , pn+1 , λn+1 )
est une solution du
Méthode de splitting
Dans [64℄, le problème de point-selle
orrespondant à (3.2) est résolu numériquement
par un algorithme d'Uzawa (voir se tion A.3 en annexe). Dans notre
parti ules sont plongées dans un uide,
haque itération de l'algorithme d'Uzawa nous
ammènerait à résoudre la formulation variationnelle (3.2) à
problème de Stokes généralisé à
al ul. An d'éviter
as, puisque les
λ
xé. Une résolution du
haque itération d'Uzawa serait très
her en temps de
e problème, on utilise une méthode de splitting en séparant la ré-
solution uide, de la gestion de la ontrainte. On note S le solveur uide/parti ules qui
n,ε
résout le problème pénalisé (Pvar ,1.13). L'algorithme utilisé est l'algorithme 3.1 dé rit
page suivante.
L'étape de proje tion 3b est maintenant semblable à
elle du
dans [64℄, elle est ee tuée grâ e à un algorithme d'Uzawa. Les
réelles et en nombre ni, la
onvergen e de
as granulaire et,
omme
ontraintes étant anes,
et algorithme est assurée par la propriété A.15
de l'annexe A.
Remarque 3.4 Puisque l'on a séparé la résolution uide de la méthode de gestion des
onta ts, il est possible dans l'algorithme 3.1 de rempla er dans l'étape 2 la méthode de
pénalisation par n'importe quelle solveur
sans gestion des
70
onta ts.
S
de résolution d'é oulement uide/parti ules
3.3. Résultats numériques
Pour tout
1.
n ≥ 0,
al ul de
on dispose des
xn+1
(xn , Vn), (un , pn ).
On note
f n (x) =
1
h
:
R tn+1
f (x, s)ds.
tn
xn+1
= xni + hVin ,
i
2. Cal ul de
(un+1 , pn+1 )
grâ e au solveur uide/parti ules :
(un+1 , pn+1 ) = S(xn+1 , un , f n ).
3.
al ul de
Vn+1
(a) Cal ul de la vitesse
V
n+1/2
asso iée à
n+1
u
:
∀i,
n+1/2
Vi
1
= 2
πri
Z
un+1
Bin+1
(b) Proje tion sur l'espa e des vitesses admissibles :
Vn+1 − Vn+1/2
2
=
min
V∈K(xn+1 )
V − Vn+1/2
2
Algorithme 3.1: S héma numérique ave gestion des onta ts.
3.3
Résultats numériques
An de résoudre
orre tement le uide restant entre deux parti ules voisines, il est
né essaire d'avoir au moins un élément du maillage entre elles. On réduit don
des vitesses admissibles : si
h
est le pas du maillage, on
K(xn ) = V ∈ R2N , Dij (xn ) + hGij (xn ) · V ≥ η
On observe gure 3.3 les
ave
η ≈ h.
ongurations obtenues pour la simulation d'un lit uidisé
pour un uide de Navier-Stokes. Il y a 70 parti ules de rayons variant entre
0.035.
1,
la vis osité du uide est
elle des parti ules sont respe tivement
ρf = 1 et ρB = 2. On ee
La boîte est un
Nm = 100
l'espa e
hoisit
arré de
té
µ = 0.01.
0.025
et
Sa densité et
tue les simulations pour
(nombre d'éléments du maillage par unité de longueur au bord) et
dt = 0.01.
Du uide entre sur la moitié gau he de la paroi du bas selon un prol de Poiseuille. On
impose des
onditions de Diri hlet homogènes sur les parois droite et gau he. La paroi du
haut est une sortie libre pour le uide mais est vue
(imaginer une grille laissant passer le uide). Ces
omme un obsta le pour les parti ules
onditions au bord sont résumées sur la
gure 3.2. Une des parti ules est marquée an de suivre sa traje toire.
71
Chapitre 3. Préambule : Un algorithme de gestion des onta ts modélisant des ollisions inélastiques
σn = 0,
obsta le pour les parti ules
u=0
u=0
PSfrag repla ements
Poiseuille
Fig. 3.2 Lit uidisé :
Sur la gure 3.4, on observe les
u=0
onditions au bord
ongurations obtenues pour la sédimentation de 228
parti ules dans une boîte fermée, emplie d'un uide de Navier-Stokes. La boîte est un
arré de
té
Sa densité et
2,
le rayon des parti ules est
simulations pour
72
r = 0.04,
elle des parti ules sont respe tivement
Nm = 100
et
dt = 0.01.
la vis osité du uide est
ρf = 1
et
ρB = 2.
µ = 0.01.
On ee tue les
3.3. Résultats numériques
t =0
t =22
t =160
t =195
t =230
t =300
t =570
t =580
t =605
t =685
t =720
t =790
t =860
t =895
t =930
t =965
Fig. 3.3 Lit uidisé de 70 parti ules :
ongurations à diérents pas de temps.
73
t =0
t =100
t =250
t =500
t =700
t =1000
t =2000
t =8300
Fig. 3.4 Sédimentation de 228 parti ules :
ongurations à diérents pas de temps.
Chapitre 4
Un modèle de onta t visqueux,
as
parti ule/plan
Sommaire
4.1
4.2
4.3
4.4
For e de lubri ation normale et
onta t . . . . . . . . . .
76
4.1.1
Cas d'objets lisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4.1.2
Conséquen es numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.1.3
Cas d'objets rugueux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modèle de onta t visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
84
4.2.1
Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.2.2
E riture du modèle et résultats de
89
Algorithme asso ié
onvergen e . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
4.3.1
Réé riture du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.3.2
S héma numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
4.3.3
Intégration à la simulation uide/parti ules . . . . . . . . .
108
Enri hissement du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4.1
Prise en
ompte de la rugosité
. . . . . . . . . . . . . . . .
109
4.4.2
Ajout de la for e de lubri ation tangentielle . . . . . . . .
111
75
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
Résumé : Nous présentons dans
en
e
as parti ule/plan
hapitre un modèle permettant de prendre
ompte la for e de lubri ation s'exerçant sur une parti ule à l'appro he d'un
plan. La première se tion est
for e de lubri ation dans le
onsa rée à une revue des propriétés
onnues de la
as de solides lisses puis rugueux. Dans une se onde
se tion, nous présentons un modèle de onta t visqueux initialement proposé
dans [65℄, qui est obtenu
ation. Dans
omme limite à vis osité nulle du modèle de lubri-
e modèle limite, lorsque la parti ule est
ollée au plan ( onta t
ma ros opique), une variable auxiliaire enregistre les eets des for es extérieures
qui s'exer ent sur elle et mesure, en un
ertain sens, la petitesse de la distan e
entre la parti ule et le plan. Nous proposons dans la se tion suivante un algorithme permettant de simuler le
trons sa
omportement d'un tel système. Nous démon-
onvergen e et expliquons
omment il peut être intégré à des simulations
uide/parti ules. Finalement, nous généralisons dans la dernière se tion le modèle proposé an de prendre en
ompte la rugosité et la for e de lubri ation
tangentielle.
Abstra t : In this hapter we present a model to take into a
ount the lubri ation
for e a ting on a parti le approa hing a plane. The rst se tion is dedi ated to a
look over the properties of the lubri ation for e in the
ase of smooth and rough
parti les. We present in the se ond se tion a gluey parti le model initially
proposed in [65℄, obtained as the vanishing vis osity limit of the lubri ation
model. In that limit model, when the parti le is stu k to the plane (ma ros opi
onta t), an auxiliary variable stores the ee ts of external for es a ting on it
and measures in a way the smallness of the distan e between the parti le and the
plane. We propose in the next se tion an algorithm to
su h systems. We prove its
ompute the behaviour of
onvergen e and show how it
an be ome integrated
in uid/parti le simulations. Finally, we extend in the last se tion the proposed
model to take into a
4.1
4.1.1
On
ount roughness and the tangential lubri ation for e.
For e de lubri ation normale et
onta t
Cas d'objets lisses
onsidère une parti ule lisse et sphérique située au dessus d'un plan. On suppose
qu'elle est assujettie à se dépla er dans la dire tion normale au plan. On note
de la parti ule,
x
son
entre,
V = V e2
sa vitesse et
q
r
le rayon
sa distan e par rapport au plan
(voir Fig.4.1).
M. Hillairet a démontré dans [45℄ que, si la parti ule et le plan sont lisses et si le uide
est de Navier-Stokes alors
a pas
q
ne peut tendre vers zéro en temps ni. Cela signie qu'il n'y
onta t entre la parti ule et le plan en temps ni. Physiquement,
ela s'explique par
le fait que, quand la parti ule se rappro he du plan, le uide situé dans l'intersti e doit
s'éva uer et la résistan e du uide
rée alors une for e qui pénalise le mouvement de la
parti ule. Il s'agit de la for e de lubri ation que l'on note
Flub .
L'eet de la présen e d'une paroi sur le mouvement d'une sphère dans un uide visqueux a fait l'objet de nombreuses re her hes. Dès 1961, Brenner dans [15℄ et Maude
76
4.1. For e de lubri ation normale et
onta t
e2
1111
0000
0000
1111
0000
1111
r
0000
1111
0000
1111
V = V e2
PSfrag repla ements
1111111111
0000000000
0000000000
1111111111
q
e1
Fig. 4.1 For e de lubri ation normale : notations
dans [59℄ donnent une solution analytique pour
(u, p)
dans le
as d'un uide de Stokes.
Ils en déduisent une expression exa te de la for e de lubri ation sous forme d'une série
et en donnent un développement à grande distan e. En 1974, Cox s'intéresse dans [20℄
au
as de deux solides lisses de forme quel onque évoluant dans un uide de Stokes. Un
développement asymptotique de la solution en puissan es de
valent de la for e quand la distan e tend vers zéro. Dans le
immobile et d'une autre sphère de rayon
r2
q
lui permet d'obtenir l'équi-
as d'une sphère de rayon
se déplaçant à vitesse
V
r1
le long de l'axe des
entres, le premier terme de la for e exer ée sur la sphère mobile est
F = −6πµ
où
µ
est la vis osité du uide et
rayon de la sphère xe vers
+∞,
q
r12 r22 V
+ O(ln(q)),
(r1 + r2 )2 q
la distan e entre les deux sphères. En faisant tendre le
on obtient le
ulaire à un plan. La for e du lubri ation
Flub = −6πµr 2
où
r
est le rayon de la sphère. Noter que
as du mouvement d'une sphère perpendi-
orrespondante est de la forme
V
+ O(ln(q))
q
FStokes = −6πµrV
est le premier terme de la
for e qui s'exer e sur une sphère en milieu inni (donné par Stokes en 1851 dans [78℄).
Le
oe ient
r/q
peut don
être vu
omme un fa teur
orre tif dû à la présen e d'un
mur. La for e de lubri ation s'oppose au mouvement (elle est orientée dans le sens de
−V).
Elle est proportionnelle à la vis osité et à l'inverse de la distan e. En eet, plus la
distan e est petite et la vis osité grande, plus le uide tend à s'opposer au mouvement de
la parti ule. On remarque enn que la for e augmente quand le rayon augmente : dans
e
as, le uide a plus de di ulté à s'é happer de l'intersti e parti ule/plan et il oppose don
plus de résistan e au mouvement. Ces résultats ont été observés expérimentalement (voir
par exemple [86℄, [2℄ ou [5℄). L'utilisation de la solution exa te de [15℄ permet, dans [21℄,
d'obtenir le se ond terme du développement à
ourte distan e. Ce développement à l'ordre
2 a été retrouvé dans [18℄ grâ e à un développement en puissan es de
q
de la fon tion
77
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
ourant.
Flub = −6πµrV
On note
f = f e2
as parti ule/plan
r 1 r
− ln + k + O(1) .
q 5 q
la for e massique extérieure exer ée sur la parti ule. Grâ e à
es
développements, on peut é rire le Prin ipe Fondamental de la Dynamique au premier
ordre,
mq̈(t) = −6πµr 2
Si on se restreint à
q̇(t)
+ mf (t).
q(t)
(4.1)
ette équation au premier ordre, on peut montrer que, pour des for es
raisonnables, il n'y a pas
onta t en temps ni. Cette propriété peut être formalisée de
la façon suivante :
Propriété 4.1 Si
f ∈ L1loc (R+ ),
l'équation diérentielle
mq̈(t) = −κ
q̇(t)
+ mf (t),
q(t)
q(0) = q0 > 0, q̇(0) = u0 ∈ R,
où
κ
est stri tement positif, possède une unique solution maximale qui est globale.
Démonstration :
X = (q, q̇), on réé rit (4.1) sous la forme d'un système d'équations dié1
d'ordre 1 : Ẋ = F (t, X). F est de lasse C en X sur ΩX = {(q, u), q > 0}.
En posant
rentielles
Le théorème de Cau hy Lips hitz donne alors l'existen e d'une unique solution maximale dans
(T
ΩX .
On note
T
le temps d'existen e de
< +∞), le théorème d'é
ette solution. Si elle n'est pas globale
happement arme qu'elle doit sortir de tout
Or, en multipliant (4.1) par
q̇
et en intégrant entre
0
et
t < T,
ompa t de
ΩX .
on obtient
Z t
m 2
m 2
q̇ (t) ≤
q̇ (0) + m
f q̇
2
2
0
m 2
≤
q̇ (0) + mkf kL2 ([0,t]) kq̇kL2 ([0,t])
2
m
m
m 2
q̇ (0) + kf k2L2([0,t]) + kq̇k2L2 ([0,t])
≤
2
2
2
m 2
m
m
2
≤
q̇ (0) + kf kL2([0,T ]) + kq̇k2L2 ([0,t]) .
2
2
2
Le lemme de Gronwall nous permet d'en déduire que
et don
ΩX
que
est don
X
q̇
[0, T ] pour T < +∞
l'est aussi. La seule façon pour une solution de sortir de tout
de s'appro her de sa frontière
obtient
{q = 0}.
mq̇(t) = C1 − C2 ln(q(t)) + m
Ainsi, si
q
d'après
e qui pré ède. Par
tend vers
0
en
T < +∞,
temps ni et elle est globale.
78
est borné sur
né essairement,
q̇
Z
t
f (s)ds.
0
explose en
T,
e qui est impossible
onséquent, la solution ne peut sortir de tout
ompa t de
Or, en intégrant une fois (4.1), on
ompa t en
4.1. For e de lubri ation normale et
onta t
On démontre de la même manière qu'une solution de (4.1) ne peut s'annuler en temps
ni. Ainsi, le premier ordre du développement de la for e de lubri ation quand la distan e
tend vers zéro
ontient déjà l'information de non
onta t en temps ni. Le modèle que
nous allons présenter dans la se tion suivante se basera sur
et équivalent et sur le Prin ipe
Fondamental de la Dynamique (4.1).
Remarque 4.2 En dimension 2, le premier terme du développement de la for e de lubri ation est en
q̇/q 3/2
(voir [51℄). On montre de la même façon qu'il ne peut y avoir
onta t en temps ni en dimension 2.
Remarque 4.3 Dans le
hapitre 6, on
montre également qu'il ne peut y avoir de
onsidère le
as d'un boulier de parti ules et on
onta t en temps ni entre les parti ules.
Nous venons de montrer qu'une parti ule lisse ne peut tou her le plan en temps ni.
Cependant,
e système se trouve à la limite du onta t. Si le premier ordre de la for e
1+η
ave η > 0, il n'y aurait a fortiori, pas onta t en temps ni. Par ontre,
était en en q̇/q
1−η
s'il était en q̇/q
, il y aurait onta t en temps ni. La onséquen e du fait que le as 3D
orresponde à l'exposant
ritique est que, bien que les distan es ne s'annulent pas, elles
deviennent très petites. Par exemple, sans for e extérieure (f = 0) et pour une vis osité
µ = 10−3 , ave une ondition initiale q(0) = 1, q̇(0) = −1, la parti ule atteint une position
−103
limite pour laquelle la distan e vaut q∞ ≈ e
.
4.1.2
Conséquen es numériques
La for e de lubri ation empê he don
le
onta t entre les parti ules lisses. Cependant,
on a vu que les distan es interparti ulaires peuvent devenir très petites. Or, lors de simulations numériques, l'é oulement uide est en général mal résolu entre deux parti ules
pro hes et don , la for e de lubri ation est mal estimée. A
tisation en espa e, s'ajoutent
numériquement, des
es erreurs dues à la dis ré-
elles issues de la dis rétisation en temps. Par
onséquent,
onta ts peuvent être observés. Des raisons de robustesse numérique
rendent alors indispensable le développement de te hniques parti ulières dédiées à la prise
en
ompte de
es
onta ts numériques. Nous en avons dé rit
ertaines dans le
hapitre 3
onsa ré à la simulation d'é oulements denses. Une méthode basée sur la proje tion des
vitesses sur un espa e de vitesses admissibles y a été détaillée. Elle revient à modéliser les
onta ts par des
les
ollisions inélastiques. Ces méthodes permettent de gérer e a ement
onta ts et d'obtenir des algorithmes robustes.
Cependant, des raisons de modélisation rendent né essaire le développement d'autres
méthodes, plus respe tueuses de la physique sous-ja ente et prennant en
ompte les phé-
nomènes de lubri ation qui ont lieu dans la zone intersti ielle. En eet,
déjà souligné, lors de simulations à forte densité de parti ules,
prépondérant dans le
qu'ils empê haient les
omme on l'a
es phénomènes ont un rle
omportement global du système. Nous avons montré, par exemple,
onta ts entre les parti ules. On observe également que, pour des
solutions semi-diluées, la vitesse moyenne de sédimentation des parti ules (obtenue par
simulation numérique non dire te) est légèrement diérente selon la manière dont sont
gérés les
onta ts (voir [22℄). Cela s'explique par les diéren es de
s opiques obtenues : selon la méthode de gestion des
onta ts
ongurations mi ro-
hoisie, il y a formation
79
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
as parti ule/plan
ou non de
indispensable, lors de la simulation d'é oule-
haînes de parti ules. Il est don
ments denses, de bien prendre en
ompte les intera tions à
ourte portée en restant au
plus pro he de la physique sous-ja ente.
Ainsi,
ertains auteurs ont été amenés à ajouter aux méthodes de simulation déjà
existantes, la prise en
ompte des intera tions hydrodynamiques à
ourtes portées. Tous
utilisent le développement asymptotique au premier ordre de la for e de de lubri ation,
Flub ∼ −6πµr 2
Dans
V
.
q
ette expression, à position xée, le vitesse
V
de la parti ule est une in onnue.
Dans [69, 23℄, les auteurs montrent que l'ensemble des for es de lubri ation est solution
d'un système linéaire (dont les
oe ients dépendent des distan es entre les parti ules). A
haque instant, ils al ulent don
les distan es interparti ulaires, en déduisent les for es de
lubri ation en résolvant le système asso ié et les intègrent dans leur simulation. An de
diminuer le temps de
d'un seuil
al ul, seuls les
ritique sont
ouples de parti ules dont la distan e est en dessous
onsidérés. Les erreurs d'estimation des for es de lubri ation
dues à la dis rétisation en espa e sont alors supprimées et, en théorie, les for es ainsi
al ulées doivent permettre d'éviter les
de lubri ation étant singulière à
onta ts entre les parti ules. Cependant, la for e
ourte distan e, on est amené à résoudre des systèmes
très raides. Ainsi, même si la physique du problème est mieux respe tée, le problème des
onta ts persiste à
diminution trop
ause de la dis rétisation en temps. En pratique, an d'éviter une
oûteuse du pas de temps, les auteurs de [23℄ ajoutent à nouveau une
for e répulsive à
outre portée. Noter que
e problème n'étant pas dû à une mauvaise
estimation de la for e de lubri ation mais à la dis rétisation en temps d'un système
raide, il apparaît également dans les simulations de type Stokesian Dynami s (voir [26℄).
Dans [65℄, l'auteur propose une méthode permettant de stabiliser le problème. Il s'agit de
al uler de façon pré ise les quantités sensibles que sont les distan es interparti ulaires
et de traiter la vitesse présente dans l'expression de la for e de lubri ation de manière
impli ite. Dans
e travail, le
al ul des distan es se fait en remarquant qu'elles sont so-
lution d'une équation diérentielle ordinaire. Le
al ul des positions des parti ules et des
distan es est alors dé ouplé. Ainsi, même si, pour de grands pas de temps, des
hements apparaissent, les distan es interparti ulaires restent
de
onserver des
la
onguration obtenue sur un espa e de
hevau-
orre tement estimées. An
ongurations réalistes, l'auteur propose de projeter, à
haque instant,
ongurations admissibles pour lesquelles la
distan e reste stri tement supérieure à un seuil xé à l'avan e.
Noter que le même type de problème apparaît lors de simulations numériques de suspensions de bres. Les simulations numériques de systèmes denses en bres né essitent
également la bonne prise en
ompte des for es hydrodynamiques à
ourte portée. Par
exemple, pour des systèmes semi-dilués, dans [85℄ seules les for es de lubri ation sont
modélisées. La méthode dé rite dans [17℄ utilise quant à elle des développements asymptotiques des for es à
ourte et longue portée
omme dans les simulations de type Stokesian
dynami s. Dans [30℄, les auteurs intègrent les for es de lubri ation à une méthode de
simulation basée sur des équations intégrales.
Dans
e
hapitre, nous généralisons un modèle de onta t visqueux initialement
proposé dans [65℄. Nous proposons un algorithme permettant de
80
al uler les solutions
4.1. For e de lubri ation normale et
de
e modèle. Il a l'avantage de prendre en
empê hant, par
dans le
onstru tion, les
ompte les for es de lubri ation tout en
hevau hements de parti ules. Cela nous permettra,
hapitre suivant, d'obtenir un algorithme de gestion des
multi-parti ules, intégrant la prise en
4.1.3
onta t
onta ts dans le
as
ompte de la for e de lubri ation.
Cas d'objets rugueux
Nous venons de dé rire l'eet de la for e de lubri ation dans le
ules lisses. Avant d'é rire un modèle la prenant en
ompte, nous allons
plus réaliste de parti ules rugueuses et montrer que, dans
riques peuvent se ramener au
Contrairement à
as idéalisé de parti-
e
onsidérer le
as
as, les simulations numé-
as lisse.
e que nous avons établi dans le
adre du modèle (4.1) de sphères
idéalisées, il semble évident qu'en réalité, deux parti ules dans un uide visqueux peuvent
entrer en
onta t. Cette apparente in ompatibilité ave
les résultats pré édents est due en
partie à la rugosité des parti ules. L'étude de l'inuen e de la rugosité des solides sur le
omportement d'un uide visqueux environnant a fait l'objet de nombreuses re her hes.
Une première étape a été de
inni et de
onsidérer un uide s'é oulant dans un domaine semi-
omprendre l'inuen e des rugosités de la paroi sur l'é oulement. Dans [79,
74℄, un é oulement 3d, régi par les équations de Stokes au dessus d'un plan rugueux
idéalisé, est étudié théoriquement et expérimentalement. Les rugosités sont périodiques
dans une dire tion horizontale (e1 ) et innies dans l'autre (e2 ). On impose des
de non-glissement au bord et on suppose que l'é oulement est un
onditions
isaillement parallèle
aux rugosités à l'inni
u ∼ κx3 e2
où
x3
quand
x3 → +∞,
est la distan e à l'extrémité des rugosités (voir gure 4.2).
u∞
e2
e3
e1
PSfrag repla ements
Fig. 4.2 Plan rugueux idéalisé.
Il est montré qu'alors, quand
x3
tend vers l'inni, l'é oulement est de la forme
u = (κx3 + Ug )e2 + o(1).
81
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
as parti ule/plan
Ainsi, loin des rugosités, l'é oulement obtenu est
{x3 > 0},
de taux de
isaillement
κ,
ave
u = Ug e2
Ug
elui d'un
isaillement dans le domaine
ondition de glissement au bord.
en
x3 = 0.
est appelée vitesse de glissement. Si on note
b = Ug /κ,
l'é oulement obtenu à l'inni
se rée rit
u = κ(x3 + b)e2 + o(1).
Un tel é oulement est un é oulement de
tion de non glissement en
lisse équivalent et
b
x3 = −b
isaillement de taux de
(voir gure 4.3). Le plan
longueur de glissement.
isaillement
{x3 = −b}
κ ave
ondi-
est appelé plan
e3
PSfrag repla ements
1111111111
0000000000
x3 = 0
e1
x3 = −b
Fig. 4.3 Plan lisse équivalent et longueur de glissement.
Ce type de
pas un
onditions
u = bκ au bord {x3 = 0} se généralise quand
isaillement sous la forme de
l'é oulement n'est
onditions au bord dites de Navier,
u=b
∂u2
e2
∂x3
en
x3 = 0.
Elles sont retrouvées en deux dimensions dans [1℄ et [16℄ par des méthodes d'homogénéisation pour des plans rugueux, de rugosités périodiques.
Le
omportement de la for e de lubri ation dans le
as de parti ules ou de plans
rugueux est quant à lui plus di ile à appréhender de manière théorique. On dispose essentiellement d'un développement asymptotique à longue distan e (voir [54℄) dans le
as
d'une sphère lisse et d'un plan rugueux dont les rugosités sont périodiques. Ce développement est obtenu en supposant un é oulement sous forme de
résultat est semblable à
distan e est
alé. Aux
isaillement à l'inni. Le
e qui pré ède. En eet, la for e s'exerçant sur la sphère à longue
elle qui s'exer erait si le plan rugueux était rempla é par un plan lisse dé-
ourtes distan es, un modèle heuristique est proposé dans [77℄. On y
onsidère
une sphère rugueuse au dessus d'un plan lisse. La for e de lubri ation qui s'exer e est,
au premier ordre en la distan e,
elle qui s'exer erait sur la même sphère privée de ses
rugosité. En eet, on aurait
Flub,rugueux ∼ −6πµr 2 U
82
1
.
q + qs
(4.2)
4.1. For e de lubri ation normale et
onta t
r
h
q
Plan lisse, Sphère lisse
r
r
rs
PSfrag repla ements
q
q
rs
Plan lisse, Sphère rugueuse
Plan rugueux, Sphère lisse
Fig. 4.4 Notations.
où
qs
est égal à
rs ,
la taille des rugosités. (les notations utilisées sont données gure 4.4).
Grâ e à des te hniques permettant de mesurer des distan es de l'ordre de grandeur
de la taille des rugosités, des études expérimentales du
omportement de la for e de
lubri ation à très petites distan es ont été menées. Ainsi dans [53℄, on retrouve l'existen e
d'un
qs
pour lequel la for e de lubri ation s'exerçant sur une sphère rugueuse est de la
forme (4.2). En 2006, de nouvelles expérien es (voir [81℄) ont montré que
inférieur à
est
rs . Cela signie que la for
qs est stri
tement
e de lubri ation s'exerçant sur une sphère rugueuse
elle qui s'exer erait sur une sphère lisse de même rayon mais plus pro he du plan. On
résume
es résultats sur la gure 4.5.
rs − qs
r
r
r
PSfrag repla ements
PSfrag repla ements
q
111111111111111111
000000000000000000
000000000000000000
111111111111111111
qs < rs
qs < rs
rs
q
Fig. 4.5 Plan lisse équivalent (à gau he) et sphère lisse équivalente (à droite).
Ainsi, pour traiter le
as de parti ules rugueuses, il sut de disposer d'un modèle de
for e de lubri ation dans le
lisse proposé s'adapte au
as lisse. Dans la suite, nous montrerons
omment le modèle
as rugueux.
83
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
D'après
e que l'on a dit dans le
en temps ni,
Par
ontre,
Tant que
q
q
as parti ule/plan
as lisse, on sait que
q + qs
ne tend pas vers zéro
'est à dire que les solides lisses équivalents ne peuvent entrer en
peut tendre vers zéro et les solides réels rugueux peuvent don
onta t.
se tou her.
est stri tement positif, le modèle de lubri ation asso ié aux solides lisses
équivalents est valable. A l'instant où
q
s'annule, il y a un vrai
onta t solide/solide et
il faut mettre en pla e un nouveau modèle. On se trouve alors dans la situation dé rite
gure 4.6. La modélisation de
PSfrag repla ements
e type de
onta t à été abordée dans [24℄. On y propose
00
11
00
11
1111111111111
0000000000000
000000
111111
00000000
0000
1111
00
11
00
11
00
11
111d
000
00 11111111
11
000000
111111
111111111111111111111
000000000000000000000
00000000
11111111
0000
1111
00
11
00
11
00
11
000000
111111
000000000000000000000
111111111111111111111
00000000
11111111
0000
1111
00
11
00
11
000000
111111
00000000
11111111
0000 11
1111
00
00
11
000000
111111
00000000
11111111
0000
1111
00
11
00
11
000000
111111
00000000
11111111
0000
1111
00
00
11
000000
111111
00000000
11111111
0000 11
1111
00
11
00
11
000000
111111
min
lubri ation
onta t
Fig. 4.6 Conta t.
deux modèles. Le premier est un modèle appelé sti k/rotate dans lequel les rugosités
s'imbriquent les unes dans les autres et les deux parti ules après
onta t se
omme un unique solide. Le se ond modèle est dit de type roll/slip. Il
for e de fri tion solide ave
glissement possible. Les résultats expérimentaux (voir [87℄
ou [29℄), semblent valider le se ond modèle. Dans
ompte
lisses
e type de
omportent
ontient une
e travail, nous ne prendrons pas en
onta ts. Le modèle que nous proposons pour gérer les parti ules non
orrespond, lors du
onta t solide/solide dû aux rugosités, à un modèle de
ollision
inélastique sans fri tion entre solides lisses (voir se tion 4.4.1 page 109). Nous montrerons
ependant se tion 4.4.2 page 111 qu'il peut être généralisé, an de prendre en
for e de lubri ation tangentielle pendant le
4.2
ompte la
onta t.
Modèle de onta t visqueux
On présente dans
ette se tion le modèle proposé dans [65℄ que l'on appelera modèle de
onta t visqueux. On
onsidère une parti ule située au voisinage d'un plan et on
à é rire un modèle prenant en
ompte la for e de lubri ation dans le
her he
as de dépla ements
dans la dire tion normale au plan. Comme indiqué dans la se tion pré édente,
e modèle
se base sur le premier ordre du développement asymptotique de la for e de lubri ation
normale
Flub = −6πµr 2
V
+ O(ln(q))
q
et sur le Prin ipe Fondamental de la Dynamique asso ié (4.1),
mq̈(t) = −6πµr 2
q̇(t)
+ mf (t).
q(t)
Le modèle de onta t visqueux est obtenu en faisant tendre la vis osité vers zéro.
Contrairement à
84
e que l'on pourrait
roire a priori, e modèle limite ontient bien l'aspe t
4.2. Modèle de onta t visqueux
visqueux du
onta t. En eet, à
haque quasi- onta t (lorque la parti ule est
onsidérée
omme adhérant au plan), il asso ie une nouvelle variable, qui représente, dans une
er-
taine é helle, la petitesse de la distan e réelle entre la parti ule et le plan. Cette variable
évolue en fon tion des for es appliquées. Ainsi, lors de l'adhésion, et
modèles "se s",
e modèle garde en mémoire les for es qui
parti ule. Cet eet mémoire est dû à la persisten e d'une
ontrairement à des
ontinuent à s'exer er sur la
ou he de uide visqueux dans
l'intersti e.
An de
simple qui
omprendre l'origine de
e modèle, nous présentons d'abord une expérien e
onsiste à pousser la parti ule vers le plan puis à la tirer. Dans
e
as, il est
fa ile de dé rire formellement la traje toire limite à vis osité nulle. Cela nous permettra de
omprendre le modèle limite et d'expliquer pourquoi
ette appro he permet de modéliser
des systèmes très visqueux. Nous donnerons ensuite le modèle limite dans le
et présenterons les résultats de
4.2.1
onvergen e asso iés.
Un exemple
On souhaite
omprendre le
omportement dynamique du système lorsqu'une parti ule
pro he d'un plan se dépla e dans la dire tion normale à
nir, au
as général
ours du temps, des
elui- i. Une des manières d'obte-
ongurations ayant des distan es parti ule/plan très petites
est de diminuer la vis osité du uide. Dans
ette se tion, nous allons étudier un exemple
simple : on pousse la parti ule vers la paroi pendant
2
se ondes, puis on exer e une for e
opposée qui tend à l'en é arter. On prendra
f (t) = −1[0,2] (t) + 1]2,+∞[(t).
Une étude graphique des traje toires obtenues permettra de dé rire formellement le
om-
portement du système quand la vis osité du uide tend vers zéro. Nous montrerons que,
bien qu'elle ait été obtenue en faisant tendre la vis osité vers zéro,
ette traje toire limite
permet de modéliser des systèmes très visqueux.
On
onsidère l'équation diérentielle
q̈µ = −µ
q̇µ
+f
qµ
où
f = −1[0,2] + 1]2,+∞[ .
Il s'agit du Prin ipe Fondamental de la Dynamique prenant en
de la for e de lubri ation. Toutes les
onstantes sont
(4.3)
ompte le premier ordre
hoisies égales à
1
sauf la vis osité
que l'on va faire tendre vers zéro. On appuie sur la parti ule jusqu'au temps
t=2
puis
on la tire.
Traje toire limite :
On tra e sur la gure 4.7 les solutions de (4.3) obtenues pour
On les
ompare ave
le
as d'un
modèle visqueux semble
onta t se
µ
tendant vers zéro.
inélastique. On observe que la solution de
e
onverger vers un modèle limite de onta t visqueux lorsque
la vis osité tend vers zéro. Dans le
as non visqueux, il y a
la parti ule dé olle du plan à l'instant
t = 2,
onta t au temps
t=1
et
'est à dire, dès que l'on tire dessus. Au
85
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
as parti ule/plan
9
qµ(t)
8
7
solution non visqueuse
6
5
4
3
0.006≤µ≤ 0.2
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
µ
Fig. 4.7 Comportement pour
ontraire, dans le
3
3.5
4
4.5
tendant vers zero :
5
t → qµ (t).
as visqueux, on sait d'après la se tion pré édente qu'il n'y a jamais
onta t entre la parti ule et le plan. Ma ros opiquement, on observe
t = 1 et, ontrairement au
l'instant t = 4.
onta t au temps
au plan jusqu'à
ependant un quasi-
as non visqueux, la parti ule semble adhérer
An d'observer la zone de quasi- onta t (t
∈ [1, 4]),
on souhaite ee tuer un zoom
des distan es petites en passant à une é helle logarithmique. Le terme en
l'équation diérentielle suggère que la variable
γµ (t) = µln(qµ (t))
µq̇µ /qµ
dans
joue un rle important
dans le modèle. On la tra e en fon tion du temps sur la gure 4.8. La variable
γµ
semble
0.5
µ ln(qµ(t))
0
−0.5
−1
−1.5
−2
µ=0.2
−2.5
µ=0.05
µ=0.006
µ=0.1
−3
µ=0.02
−3.5
−4
−4.5
0
0.5
1
1.5
2
Fig. 4.8 Comportement pour
onverger quand
2.5
µ
3
3.5
4
4.5
tendant vers zero :
5
t → µln(qµ (t)).
µ tend vers zéro vers une variable limite que l'on notera γ . Elle représente,
pendant le quasi- onta t, la distan e réelle entre la parti ule et le plan aux petites é helles.
Avant le quasi- onta t,
γ
est nul (t
∈ [0, 1]).
A l'instant du quasi- onta t (t
initialisée à une valeur stri tement négative liée à la vitesse d'impa t du
Comme indiqué pré édemment, le uide visqueux empê he le
86
t = 2, la parti
est
as non visqueux.
onta t et ainsi, la parti ule
ontinue à s'appro her peu à peu du plan tant que l'on appuie dessus (t
diminue). A partir de l'instant
= 1), γ
∈ [1, 2], γ
ule s'éloigne peu à peu du plan puisque l'on
4.2. Modèle de onta t visqueux
tire dessus (γ augmente). L'instant de dé ollement (t
= 4) est
elui pour lequel
γ
s'annule
à nouveau.
On peut par exemple s'imaginer une bille tombant sur un plan enduit de miel. A l'instant
t = 1,
dans la
tion de
il devrait y avoir
onta t ave
le plan et la parti ule s'enfon e instantanément
ou he de miel. La profondeur atteinte dépend de la vitesse d'impa t (initialisa-
γ ).
Tant que l'on appuie sur la bille, elle
ontinue de s'enfon er dans le miel (γ
ou he de miel (γ augmente)
ontinue de diminuer). Quand on tire, elle remonte dans la
mais y reste engluée. Elle ne pourra se libérer du miel que lorsqu'on aura tiré susamment
(quand
γ
s'annule).
Le modèle limite est don
le suivant :
q
représente la distan e ma ros opique et
distan e mi ros opique. A l'instant du quasi- onta t,
vitesse d'impa t. Ensuite,
et
γ
intègre les for es qui
elle- i ne pourra redé oller (i.e.
q
q
devient nul et
γ
γ
la
s'initialise à la
ontinuent de s'exer er sur la parti ule
γ
devenir stri tement positif ) que lorsque
nouveau nul. On est i i en présen e d'un eet de mémoire : la variable
γ
sera à
enregistre
les eets des for es qui s'exer ent sur la parti ule durant le quasi- onta t (q
= 0)
et
ette dernière ne pourra redé oller que lorsque la somme totale des for es exer ées sur
la parti ule
ompense la vitesse d'impa t. Le modèle visqueux et le modèle de
onta t
visqueux limite sont représentés sur la gure 4.9.
3
3
qµ (t)
γµ (t)
2
q(t)
γ(t)
2
q̈ = f
1
0
0
−1
−1
−2
−2
q̈ = f
q=0
1
timpact
γ(timpact) = mq̇(timpact )
−3
−3
PSfrag repla ements
−4
−5
−5
f = −2
PSfrag repla ements
−6
γ̇ = mf
−4
0
0.5
1
f =2
1.5
2
2.5
3
3.5
f =2
4
Fig. 4.9 Modèle visqueux pour
4.5
5
µ = 0.3
−6
0
0.5
1
f = −2
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
(gau he) et modèle de onta t visqueux
(droite).
Visqueux ou non visqueux ?
An d'obtenir des traje toires pro hes du
onta t et d'étudier le
for e de lubri ation dans de telles situations, nous avons
vis osité. Le modèle de
omportement de la
onsidéré des systèmes à faible
onta t visqueux est quant à lui la limite à vis osité nulle du
modèle de lubri ation (4.1).
Nous venons de voir que le modèle limite ainsi obtenu n'est pas le modèle de
onta t
inélastique mais un modèle gardant en mémoire les eets des for es exer ées tout au
long du
onta t. Il ne peut don
se demander si,
modéliser des systèmes non visqueux. On peut alors
omme on l'espérait, le système limite a gardé le
ara tère visqueux du
87
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
as parti ule/plan
modèle d'origine et, si oui, s'il modélise des systèmes fortement visqueux ou peu visqueux.
Pour répondre à
ette question, on
onsidère toujours le
as
f (t) = −1[0,2] (t) + 1]2,+∞[ (t).
On suppose que la parti ule est lan ée sur un plan enduit d'un
et que, dans
e uide, le
ou he de uide visqueux
omportement de la parti ule est régie par (4.1). Les traje toires
obtenues pour diérentes vis osités sont tra ées sur la gure 4.10. On représente sur
même gure la traje toire du modèle de
ette
onta t visqueux limite.
0.025
modele de contact visqueux
0.02
0.015
melasse
µ=100
0.01
miel
µ=10
huile d’olive
µ=0.1
huile de ricin
µ=1
0.005
0
0
0.5
1
1.5
Fig. 4.10 Comparaison modèle de
On observe que le
2
2.5
3
3.5
4
onta t visqueux limite /
4.5
5
ou he de uide visqueux.
omportement ma ros opique des solutions de l'EDO (4.1), est
orre tement représenté par le modèle de onta t visqueux limite quelle que soit la vis osité
du uide. En eet, ma ros opiquement, on s'intéresse au quasi- onta t
'est-à-dire aux
instants pour lesquels la parti ule adhère au plan. Pour toutes les vis osités
solution de (4.1) se situe dans la
ou he visqueuse entre les temps
1 et 4,
onsidérées, la
e qui est retrouvé
dans le modèle limite. On remarque i i que, du point de vue ma ros opique, l'important
n'est pas de savoir si on se trouve dans un environnement peu ou fort visqueux mais
plutt de savoir si
et environnement est visqueux ou non. Ainsi, dès qu'il y a présen e de
uide visqueux, la parti ule ne peut dé oller que lorsque l'ensemble des for es exer ées sur
elle
ompense l'impa t initial. Si le uide
plus loin entre
les temps
2
et
onsidéré est moins visqueux, elle s'enfon era
t = 1 et t = 2 mais ave une vitesse plus grande. Ré iproquement, entre
4, elle sortira du uide ave une vitesse plus importante que dans un as
plus visqueux. Globalement, quelle que soit la vis osité du uide
onsidéré, l'instant de
dé ollement est le même, la diéren e étant la pronfondeur à laquelle s'est enfon ée la
parti ule.
Ainsi, ma ros opiquement, le modèle de
onta t visqueux représente
solutions de (4.1), quelle que soit la vis osité du uide
orre tement les
onsidéré. Cependant,
ela ne
signie pas qu'il est adapté pour simuler la traje toire d'une parti ule dans tous es uides.
En eet,
omme nous l'avons dit, dans le
as de uide peu visqueux, la solution de (4.1)
fait apparaître des distan es parti ule/plan très petites. Or, dans de tels
as, diérentes
raisons telles que la non validité du modèle de Stokes ou l'inuen e des rugosités font
88
4.2. Modèle de onta t visqueux
que le développement asymptotique de la for e de lubri ation n'est plus valable. Ainsi,
les traje toires des parti ules ne sont plus données par (4.1). Pour bien modéliser de tels
systèmes, il faudrait prendre en
ompte une se onde zone dans la
ou he visqueuse : à
distan e très petite du plan, la parti ule doit suivre un autre modèle. Par
dans le
as peu visqueux, l'équation (4.1) ne modélise pas
de la parti ule et le modèle limite non plus. Au
orre tement le
ontraire, dans le
onséquent,
omportement
as fortement visqueux,
la for e de lubri ation est plus importante. On a vu qu'alors les parti ules s'enfon ent
moins profondément dans le uide. On peut don modéliser leur omportement par (4.1) et
ainsi, d'après
du
e qui pré ède, le modèle de
4.2.2
as.
E riture du modèle et résultats de
Nous avons dé rit un modèle de
du
onta t visqueux est adapté à la représentation
omportement ma ros opique dans de tels
onvergen e
onta t visqueux qui semble adapté à la simulation
omportement d'une parti ule plongée dans un uide très visqueux au voisinage d'un
plan. Ce modèle a été pressenti en faisant tendre la vis osité du uide vers zéro pour un
s énario de for e donné. Dans [65℄ le
équations dé rivant
as d'une for e intégrable quel onque est traité et les
e modèle limite sont obtenues en faisant tendre la vis osité vers zéro
dans (4.1). Nous allons i i donner les équations obtenues pour le modèle limite et faire
le lien ave
l'exemple pré édent. Nous
iterons ensuite le résultat de
onvergen e montré
dans [65℄ et nous en donnerons une généralisation immédiate.
Equations asso iées au modèle de onta t visqueux limite
ũ
On note
la vitesse qu'aurait la parti ule s'il n'y avait pas de plan,
ũ(t) = q̇(0) +
Z
t
f (s)ds.
0
On intègre une fois l'équation diérentielle ordinaire (4.1). Le modèle visqueux se réé rit
alors sous la forme (Pµ ,4.4) donnée
q et γ du
(P ,4.4).
i dessous. Il est montré dans [65℄ que les in onnues
modèle limite de onta t visqueux, sont quant à elles solution du problème
Modèle visqueux :
Modèle de onta t visqueux :


mq̇µ (t) + γµ (t) = γµ (0) + mũ(t)


(Pµ ) γµ (t) = µln(qµ (t))


 q (0) = q 0 > 0, q̇ (0) = u0


mq̇ + γ = mũ


(P) q ≥ 0, γ ≤ 0, qγ = 0


 q(0) = q 0 > 0, q̇(0) = u0
µ
Lien ave
µ
l'exemple pré édent
Il est évident que dans le as
f = −1[0,2] +1]2,4] , la traje
(4.4)
toire du onta t visqueux limite
représentée sur la gure 4.9 est solution de (P ,4.4). Ré iproquement, on peut montrer que
si
(q, γ) est solution de (P ,4.4) ave f = −1[0,2] +1]2,4] alors (q, γ) est
limite. Pour
ette
ette traje toire
ela, pro édons étape par étape :
89
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
as parti ule/plan
q(0) est stri tement positif et q ontinue, on peut noter t1 le premier instant
q s'annule. Pour t < t1 , la ondition qγ = 0 impose γ = 0 et alors on a
q̇ = ũ. Par onséquent t1 = 1.
Sur ]1, 4[, ũ est stri tement négative. Montrons que q est nulle sur et intervalle. Si
elle ne l'était pas, elle serait stri tement positive en un point t2 ∈]1, 4[. On dénit
t̄ = sup{t ∈ [1, t2 ], q(t) = 0}. Comme q est ontinue, on a t̄ = t2 − ε ave ε > 0.
La ontinuité de q donne en ore q(t2 − ε) = 0 et q > 0 sur ]t2 − ε, t2 ]. Ce i implique
γ = 0 sur ]t2 − ε, t2 ] et don q̇ = ũ < 0 sur ]t2 − ε, t2 ] e qui est impossible
puisqu'alors on aurait q < 0 sur ]t2 − ε, t2 ]. Par onséquent, q = 0 sur ]1, 4[ et don
γ = mũ sur et intervalle. Ainsi, elle s'initialise à la valeur stri tement négative
γ(1+ ) = mũ(1) = mq̇(1) puis intègre la for e. En t = 4 on a don q et γ nulles.
Pour t > 4, ũ redevient positive. Montrons qu'alors né essairement, q est stri tement
positive. Si elle ne l'était pas, il existerait t3 ∈]4, +∞[ tel que q(t3 ) = 0. Or, q ne
peut être identiquement nulle sur ]4, t3 ] puisque sinon, on aurait γ = mũ > 0
sur et intervalle. Par onséquent, il existe t4 ∈]4, t3 [ tel que q(t4 ) > 0. On note
t̄ = inf{t ∈ [t4 , +∞[, q(t) = 0}. Comme pré édemment on a t̄ = t4 + ε, q(t4 + ε) = 0
et q > 0 sur [t4 , t4 + ε[. Ce i implique γ = 0 sur [t4 , t4 + ε[ et don q̇ = ũ > 0 sur
R t +ε
[t4 , t4 + ε[ e qui est impossible puisqu'alors on aurait q(t4 + ε) = q(t4 ) + t44 ũ > 0.
Par onséquent q est stri tement positive pour t > 4 et ainsi, γ est nulle et q̇ = ũ.
Notons que e type de onstru tion est possible pour toute fon tion f telle que les instants
de dé ollement de q soient en nombre ni.
Comme
pour lequel
Résultats de
La
onvergen e
onvergen e des solutions de (Pµ ,4.4) vers
Le théorème établi est le suivant,
elles de (P ,4.4) a été obtenue dans [65℄.
q 0 > 0, u0 ∈ R, un intervalle de temps I =]0, T [ et f ∈ L1 (I)
1,∞
donnés. On note qµ ∈ W
(I) l'unique solution de (Pµ ,4.4) dans I¯ et γµ = µlnqµ .
1,∞
(I) et
Quand µ tend vers zéro, il existe une suite extraite, toujours notée (qµ ), q ∈ W
∞
γ ∈ L (I), tels que
qµ −→ q uniformément,
Théorème 4.4 Soient
⋆
et le
ouple
(q, γ)
γµ −⇀ γ
dans
L∞ (I),
est solution du problème (P ,4.4).
Une première généralisation du théorème 4.4 donnée dans [65℄ est la suivante :
Théorème 4.5
q 0 > 0, u0 ∈ R, I =]0, T [
positive, lips hitzienne et lo alement
R1
q
ϕ → +∞
quand
On note
q̈µ = −µq̇µ ϕ(qµ ) + f (t).
γµ = −µΦ(qµ ),
γ ∈ L (I), tels que
Alors, si on pose
W
q → 0+ .
f ∈ L1 (I) sont donnés. Soit ϕ stri tement
∗
intégrable sur R+ . On suppose de plus que Φ(q) =
qµ la solution de l'équation diérentielle ordinaire
1,∞
(I)
et
il existe une suite extraite, toujours notée
∞
qµ −→ q
uniformément,
γµ −⇀ γ
dans
⋆
90
et
L∞ (I),
(4.5)
(qµ ), q ∈
4.2. Modèle de onta t visqueux
quand
µ
tend vers zero. Et le
ouple
rappelle i i :
(P)
(q, γ)
est solution du problème (P ,4.4) que l'on

 mq̇ + γ = mũ,
 q ≥ 0, γ ≤ 0, qγ = 0.
Démonstration : Cette démonstration est une simple adaptation de
elle du théo-
rème 4.4 donnée dans [65℄.
Le théorème de Cau hy-Lips hitz assure l'existen e d'une unique solution maximale
de (4.5) dénie sur
[0, T [.
Pour montrer que
l'absurde. Si elle ne l'était pas,
Or, on montre que
q̇µ
(qµ , q̇µ )
ette solution est globale, on raisonne par
sortirait de tout
ompa t de
Ω = {(x, u), x > 0}.
est borné par une estimation standard d'énergie
Z t
Z t
1
1 02
2
2
|q̇µ | =
|u | − µ
|q̇µ | ϕ(qµ ) +
f q̇µ
2
2
0
0
Z t
1 02
|u | +
f q̇µ
≤
2
0
qui, asso iée au lemme de Gronwall donne
q̇µ (t) ≤
p
|u0|
Z
+
t
0
|f |
2
.
Ainsi, la vitesse ne peut exploser en temps ni et, puisque
ment on a
qµ → 0
en
T.
T
Or, en intégrant une fois (4.5) on obtient
0
0
q̇µ (t) = u + µ Φ(qµ (t)) − Φ(q ) +
Ainsi,
qµ → 0
implique
est supposé ni, né éssaire-
q̇ → +∞
Z
t
f.
0
e qui est impossible d'après
e qui pré ède. On a don
montré l'existen e d'une unique solution globale de (4.5).
omportement des solutions quand µ tend vers zéro.
1,∞
Nous venons de montrer que (qµ )µ était borné dans W
(I). Par onséquent, on peut
Nous étudions maintenant le
en extraire une sous-suite (toujours notée (qµ )µ ) telle que qµ
1,∞
un q ∈ W
(I), et q̇µ onverge faible étoile vers u = q̇ dans
Si on note
γµ = −µΦ(qµ ),
onverge uniformément vers
L∞ (I).
l'intégration de (4.5) donne
0
q̇µ + γµ = u +
γµ0
γµ0 = −µΦ(q 0 ) tend vers zéro quand µ tend
∞
∞
faible étoile dans L (I) vers γ ∈ L (I) tel que
où
0
q̇ + γ = u +
Z
+
Z
t
f,
0
vers zéro. Par
onséquent,
γµ
onverge
t
f = ũ(t).
0
91
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
as parti ule/plan
q vérie q̇ = ũ dans I0 (q) = {t, q(t) >
η > 0 l'ensemble Iη (q) = {t ∈]0, t[, q(t) > η}.
Comme qµ onverge uniformément vers q , on a Iη (q) ⊂ Iη/2 (qµ ) pour µ assez petit. Par
onséquent, γµ = −µΦ(qµ ) onverge uniformément vers zéro sur Iη (q) et don , q̇µ onverge
1
uniformément vers ũ sur Iη (q) pour tout η > 0. Finalement, q est C sur I0 , ave q̇ = ũ et
γ = 0 sur I0 .
c
Sur I0 (q) = {t, q(t) = 0}, q est onstant et don , q̇ = 0 et γ = ũ presque partout. De
plus, omme Φ tend vers +∞ en zéro, il existe ε > 0 tel que qµ < ε implique γµ < 0. Par
c
onséquent, γ ≤ 0 sur I0 . L'étape suivante
0}.
Pour
onsiste à montrer que
ela, on introduit pour tout
Le théorème 4.4 entre dans le
adre de
ϕ(q) = 1/q .
e théorème ave
Cette première
extension permet maintenant de gérer l'équation diérentielle issue du Prin ipe Fondamental de la Dynamique ave
ϕ
la for e de lubri ation
la for e de lubri ation, on a
même, dans le
ϕ ∼ 1/q
ϕ
as de la dimension 2, si
omplète. En eet, en prenant pour
et on est dans le
adre du théorème 4.5. De
−3/2
est la for e de lubri ation on a
et le théorème 4.5 s'applique. Nous savons don
que le modèle de
ϕ ∼ 1/q
onta t visqueux est
la limite à vis osité nulle du Prin ipe Fondamental de la Dynamique mais on ne peut
al uler expli itement le
γµ
asso ié. Or, l'expression de
γµ
sera utile par exemple pour
é rire le modèle rugueux (voir se tion 4.4.1).
Le théorème suivant va nous permettre de résoudre
ette di ulté. En eet, nous y
généralisons le théorème pré édent en montrant que l'on peut
de n'importe quel équivalent de la for e de lubri ation
hoisir pour
γµ
la primitive
ontenant toutes les singularités
non intégrables.
Théorème 4.6
q 0 > 0, u0 ∈ R, I =]0, T [
et
f ∈ L1 (I)
sont donnés.
ϕ et ψ lips hitziennes et lo alement intégrables sur ]0, +∞[ telles que ϕ + ψ > 0
+
et ψ(q) = o(ϕ(q)) quand q → 0 .
R1
R1
On note Φ(q) =
ϕ et Ψ(q) = q ψ . On suppose que Φ(q) → +∞ et Ψ(q) = O(1)
q
+
quand q → 0 .
On note qµ la solution de l'équation diérentielle ordinaire
Soient
q̈µ = −µq̇µ (ϕ(qµ ) + ψ(qµ )) + f (t).
γµ = −µΦ(qµ ),
γ ∈ L∞ (I), tels que
Alors, si on pose
W 1,∞ (I)
et
il existe une suite extraite, toujours notée
qµ −→ q
uniformément,
γµ −⇀ γ
dans
⋆
quand
µ
tend vers zéro. Et le
ouple
(q, γ)
tration du théorème
est solution du problème (P ,4.4).
(qµ ) est borné dans W 1,∞ (I), indépendamment de µ (voir démons1,∞
(I) et une sous-suite de (qµ )
4.5). Par onséquent, il existe q ∈ W
qµ → q
⋆
uniformément
q̇µ −⇀ u = q̇
92
(qµ ), q ∈
L∞ (I),
Démonstration :
tels que :
(4.6)
dans
L∞ (I).
4.3. Algorithme asso ié
En intégrant (4.6) on obtient,
0
0
0
mq̇µ (t) − mu = µ(Φ(qµ (t)) − Φ(q )) + µ(Ψ(qµ (t)) − Ψ(q )) + m
Et, utilisant la dénition de
t
f (s)ds.
0
γµ ,
0
0
0
mq̇µ (t) + γµ (t) = mu − µΦ(q ) + µ(Ψ(qµ (t)) − Ψ(q )) + m
Z
t
f (s)ds.
0
]0, +∞[ ( omme primitive d'une fon tion lo alement intégrable),
bornée au voisinage de 0 par hypothèse et (qµ ) est stri tement positive et bornée. Par
onséquent Ψ(qµ (t)) est bornée et µ(Ψ(qµ (t)) onverge uniformément vers 0 sur I . En
∞
passant à la limite dans l'équation pré édente, on obtient don qu'il existe γ ∈ L (I) tel
Or,
Ψ(q) est
Z
ontinue sur
que :
⋆
γµ −⇀ γ
dans
L∞ (I),
0
mq̇(t) + γ(t) = mu + m
Z
t
f (s)ds.
0
On montre enn (q
démonstration.
≥ 0, γ ≤ 0, qγ = 0)
Ce théorème nous permet de
omme dans le théorème 4.5 et
ela termine la
hoisir un équivalent de la for e de lubri ation dont on
onnaît la primitive an d'avoir une formule expli ite pour γµ . Dans le as de la for e
ϕ(q) = q −1 , on a ψ(q) ∼ ln(q). On est dans
de lubri ation en dimension 3, si on prend
le
adre du théorème 4.6. Ainsi, le modèle de
onta t visqueux est également limite, à
vis osité nulle, du Prin ipe Fondamental de la Dynamique prenant en
lubri ation
4.3
omplète ave
ompte la for e de
γµ = µln(qµ ).
Algorithme asso ié
Dans
ette se tion, on présente un algorithme permettant de résoudre numériquement
le modèle de
onta t visqueux (P ,4.4). Dans le
gorithme de gestion des
onta ts dans le
sur la proje tion de la vitesse, à
hapitre 3, on a dé rit l'utilisation de l'al-
as multi-parti ules proposé dans [64℄. Il est basé
haque instant, sur un espa e dit de vitesses admissibles.
An d'utiliser le même type de méthode et ainsi, obtenir un algorithme fa ilement généralisable au
as multi-parti ules, nous
utilise une loi de
ommençons i i par réé rire (P ,4.4). Pour
ollision faisant apparaître une
ontrainte sur la vitesse et don , à
ela, on
haque
instant, un espa e de vitesses admissibles. Nous dé rivons ensuite l'algorithme asso ié puis
nous montrons sa
onvergen e.
93
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
4.3.1
as parti ule/plan
Réé riture du problème
On réé rit (P ,4.4) en introduisant une loi de
ollision. On
her he
(q, γ)
tels que
q ∈ W 1,∞ (I), q̇ ∈ BV (I), γ ∈ BV (I)
A
haque instant
Cq,γ (t),
t,
la vitesse
q̇(t+ )
(limite à droite en
t)
doit appartenir à l'ensemble
où
{0}
R+
R
Cq,γ (t) =
γ(t− ) < 0,
−
si γ(t ) = 0, q(t) = 0,
sinon .
si
γ(t− ) < 0, la parti ule est en train d'adhérer au plan et doit avoir une vitesse
γ(t− ) = 0 et q(t) = 0, on se situe au début ou à la n d'une période de quasi-
En eet, si
nulle. Si
onta t et la
ontrainte à imposer est la non-pénétration de la parti ule dans le plan.
Enn, dans tous les autres
de
as, on a
q>0
et il n'y a pas de
ontrainte à imposer. La loi
ollision s'é rit
q̇(t+ ) = ΠCq,γ (t) q̇(t− ),
où
ΠK
est l'opérateur de proje tion sur
K.
Cette
(4.7)
ontrainte sur la vitesse fait apparaître
un multipli ateur de Lagrange dans l'équation du Prin ipe Fondamental de la Dynamique.
On
dans
her he
I)
λ ∈ M(I)
(où
tel que
M(I)
est le dual des fon tions
mq̈ = mf + λ
Remarque 4.7 Les fon tions
q̇
et
γ
dans
ontinues à support
M(I).
(4.8)
étant supposées à variation bornées, elles ne peuvent
être dérivées au sens usuel. Pour des raisons de lisibilité, on a
ser les notations
lassiques de dérivation dans
détaillons dans l'annexe C
λ
peut don
ependant
hoisi d'utili-
(4.8) et par la suite dans (4.10). Nous
e que l'on entend pré isément par
Le multipli ateur de Lagrange
ompa t
être vu
exer ée par le plan sur la parti ule an de satisfaire la
es notations et équations.
omme une for e supplémentaire
ontrainte (4.7). Le plan ne pouvant
agir de loin sur la parti ule, on impose également
supp(λ)
Ainsi, lorsque
réduit à
q̈ = f .
q
est stri tement positif,
⊂ {t, q(t) = 0}.
λ
(4.9)
est nul et l'équation du mouvement (4.8) se
Il reste alors à pré iser l'évolution de
γ.
En
observe qu'il faut
omparant (4.8) à (P ,4.4), on
γ̇ = −λ.
Pendant l'adhésion,
q̇
est nul et (4.8) donne
intégrer la for e. Nous ajoutons nalement les
γ̇ = mf .
On retrouve le fait que
γ
doit
ontraintes
q ≥ 0, γ ≤ 0,
94
(4.10)
(4.11)
4.3. Algorithme asso ié
et nous réé rivons (P ,4.4) de la façon suivante,

q ∈ W 1,∞ (I), q̇ ∈ BV (I), γ ∈ BV (I),






q(0) = q 0 > 0, q̇(0) = u0 , γ(0) = 0






q̇(t+ ) = ΠCq,γ (t) q̇(t− )
(4.7)



mq̈ = mf + λ dans M(I) (4.8)
(P ′ )



(4.9)
supp(λ) ⊂ {t, q(t) = 0}






γ̇ = −λ
(4.10)





 q ≥ 0, γ ≤ 0
(4.11)
(P ′ ), λ
Remarque 4.8 Dans la formulation de
(4.12)
est une variable auxiliaire permettant de
simplier l'é riture du problème et non une nouvelle in onnue.
′
ertaines hypothèses, (P ,4.12) et (P ,4.4) sont
Le théorème suivant montre que, sous
équivalents. N'étant pas indispensable à la
ompréhension de la démar he générale, sa
démonstration est reportée en annexe D.
Théorème 4.9 Soit
I = [0, T ]
un intervalle,
BV (I).
On suppose qu'il existe
[0, T ]
N1
N2 ,
et
q ∈ W 1,∞ (I)
entiers naturels, et
ave
q̇ ∈ BV (I),
et
(ai , bi )i=1...N1 , (ci )i=1...N2
γ ∈
dans
tels que
{t ∈ [0, T ], q(t) = 0} =
Alors,
(q, γ)
′
solution de (P ,4.12)
N1
[
[ai , bi ]
i=1
N2
[
{ci }.
i=1
⇐⇒ (q, γ)
solution de (P ,4.4).
Remarque 4.10 L'hypothèse du théorème 4.9 ne peut être vériée a priori dans le as général. Une ondition susante est par exemple que
de fois. Noter que dans
omme page 89. Sous
de (P ,4.4).
Dans le
e
as, on peut
f
ette hypothèse, il y a don
as général, la
ne
hange de signe qu'un nombre ni
onstruire étape par étape la solution de (P ,4.4),
existen e et uni ité de la solution
onvergen e de l'algorithme que nous montrons dans la se tion
suivante assure l'existen e d'une solution. Par
ontre, et en parti ulier quand on ne peut
pas isoler les instants de onta ts, il n'y a pas uni ité de la solution (voir par exemple [65℄).
Dans [75℄, l'auteur donne, pour un problème similaire de loi d'impa t en dimension une,
un
ontre-exemple à l'uni ité ave
un se ond membre inniment dérivable. Si on veut
obtenir l'uni ité grâ e à une hypothèse sur la régularité du se ond membre, il faut le
supposer analytique.
Remarque 4.11 Les ontraintes
q ≥ 0 et γ ≤ 0 sont né
′
essaires dans le modèle (P ,4.12).
En eet, supposons que l'on se trouve à un instant de dé ollement. Si la for e est négative
après
et instant et que l'on n'a pas imposé
q ≥ 0,
alors
γ≡0
et
q̇ = ũ
est solution du
problème la parti ule peut entrer dans le plan. De même, si la for e est positive après le
dé ollement et que l'on n'a pas imposé
devenir stri tement positif.
γ ≤ 0,
alors
q≡0
et
γ = ũ
est solution et
γ
peut
95
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
4.3.2
as parti ule/plan
S héma numérique
Des ription du s héma
n
0
n
N
une subdivision régulière (t )n = (t = 0, . . . , t , . . . , t =
0
0
0
0
T ) de pas h. On initialise le problème à q > 0, u ∈ R et γ = λ = 0. A un instant tn
n
n
n
n
donné, on suppose que l'on dispose de q , u , γ et λ valeurs al ulées de q , u, γ et λ au
R
n+1
t
1
n
temps n. On note f =
f (s)ds. On her he à al uler q n+1 , un+1 , γ n+1 et λn+1 .
h tn
n+1
On al ule γ
par un s héma d'Euler expli ite,
On se donne sur
I = [0, T ]
γ n+1 = γ n − hλn .
n
n+1
Cette équation d'évolution dis rète pour γ est valable tant que γ
reste négatif
n+1
ou nul. Si on obtient γ
> 0, 'est que la parti ule dé olle à un instant t∗ ∈]tn , tn+1 [.
n+1
∗
n
Dans e as, γ
a intégré la for e sur ]t , tn+1 [ à la pla e de u que l'on avait xé à zéro
n
n+1
pendant le onta t. On modie don u et γ
de la façon suivante :
Si
De même, on
γ n+1 > 0, un = γ n+1 /m
et
γ n+1 = 0.
hoisit d'é rire
q n+1 = q n + hun .
Pour
al uler
un+1
et
λn+1 ,
On dénit l'espa e des
′
on s'inspire de l'é riture du modèle sous la forme (P ,4.12).
ontraintes en
(q, γ)
par
K(q, γ) = {v, q + hv ≥ 0}
K(q, γ) = {v, q + hv = 0}
si
γ = 0,
si
γ < 0.
K(q n , γ n ) est l'espa e des vitesses admissibles au temps n. Il s'agit du pendant
Cq,γ (tn ). La loi de ollision (4.7) et le Prin ipe Fondamental de la Dynamique
dis ret de
(4.8) sont
alors traduits au niveau dis ret de la façon suivante,

n+1/2

= un + hf n
 u
n+1

∈ K(q n+1 , γ n+1 ),
 u
1 n+1
u
− un+1/2
2
2
m
=
1
v − un+1/2
,γ n+1 ) 2
min
n+1
v∈K(q
2
(4.13)
m
n+1/2
Noter que u
est la vitesse qu'aurait la parti ule au temps
n+1
n + 1 sans la présen e du plan. u
est la proje tion de ette vitesse a priori sur l'espa e
n+1
des vitesses admissibles K(q
, γ n+1) pour un produit s alaire adapté. Le problème de
n+1
proje tion ainsi résolu donne l'existen e d'un multipli ateur de Lagrange λ
(positif si
n+1
γ
≥ 0}) tel que
n+1
n+1/2
n+1
ave
(v, w)m = (mv, w).
m(u
−u
) = hλ
.
Cette équation peut être réé rite sous la forme
m
un+1 − un
= mf n + λn+1 ,
h
et on re onnaît alors une dis rétisation de (4.8).
96
(4.14)
4.3. Algorithme asso ié
′
La dis rétisation du problème (P ) est ainsi
Pour tout
n ≥ 0,
on dispose de
1. Evolution de
q
n
,
u
n
,
γ
n
et
λ
n
. On note
1
f =
h
n
γ,
Z
tn+1
f (s)ds.
tn
γ n+1 = γ n − hλn
2. Modi ations dans le
as d'un dé ollement,
γ n+1 > 0, un = γ n+1 /m
γ n+1 = 0
Si
3. Evolution de
q,
q n+1 = q n + hun .
4. Cal ul de la vitesse a priori, sans gestion de la for e de lubri ation,
un+1/2 = un + hf n .
5. Proje tion de la vitesse sur l'espa e des vitesses admissibles,
un+1 ∈ K(q n+1 , γ n+1 ),
où
1 n+1
u
− un+1/2
2
K(q, γ) = {v, q + hv ≥ 0}
K(q, γ) = {v, q + hv = 0}
si
γ=0
si
γ<0
2
m
=
On dispose alors du multipli ateur de Lagrange
1
v − un+1/2
,γ n+1 ) 2
min
n+1
v∈K(q
2
m
.
λn+1 .
Algorithme 4.1: Modèle de onta t visqueux.
q 0 + hu0 < 0, il faut ommen er par projeter la vitesse.
ΠK(q0 ,γ 0 ) (u0 + hf 0 ) et λ0 au multipli ateur de Lagrange asso ié.
Remarque 4.12 Dans le as où
On initialise alors
Dans la suite de
h
u
0
à
ette se tion, on s'interresse à la
tend vers zéro. On suppose don
an de ne pas avoir à modier les
h
onvergen e de l'algorithme 4.1 quand
assez petit pour que
q 0 + hu0
soit stri tement positif,
onditions initiales.
97
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
Résultat de
as parti ule/plan
onvergen e :
((q n )n , (un )n , (γ n )n ) obtenues grâ e à et algorithme
onvergent en un ertain sens vers les solutions de (P ,4.4) quand le pas de temps h tend
vers zéro. Pour ela, à h xé, on dénit les fon tions qh et γh anes sur les intervalles de
n n+1
la forme [t , t
] et valant respe tivement q n et γ n en tn (voir gure 4.11).
On va montrer que les solutions
PSfrag repla ements
PSfragn+1
repla ements
q
tn
tn+1
γ n+1
qn
tn
γn
tn+1
Fig. 4.11 Constru tion de
de γh . Elles sont don
q n+1 − q n
= un et λh =
h
un
PSfrag repla ements
tn
et
eet, dans
e
γh
(à droite).
λh
h
λ̃n
PSfrag repla ements
tn
tn+1
Fig. 4.12 Constru tion de
Noter que
(à gau he) et
respe tivement dérivée de qh et opposée de la dérivée
n n+1
onstantes sur les intervalles ]t , t
[. Sur et intervalle, uh =
n+1
n
γ
−γ
= λ̃n (voir gure 4.12).
−
On dénit également
uh
qh
uh
(à gau he) et
tn+1
λh
(à droite).
λ̃n = λn
sauf dans le as où il y a dé ollement dans l'intervalle
n+1
à l'étape 1 de l'algorithme.
as, on a modié γ
Le théorème suivant montre la
onvergen e de
]tn , tn+1 [. En
es suites de fon tions vers les solutions
de (P ,4.4).
Remarque 4.13 Comme on l'a vu lors de la remarque 4.10, même sous des hypothèses de
forte régularité de
f , il
n'y a pas uni ité de la solution de (P ,4.4) en général. Cela interdit
l'utilisation des méthodes
n'a par exemple pas
98
lassiques de démonstration du type
onsistan e/stabilité (on
ontinuité par rapport aux données initiales).
4.3. Algorithme asso ié
Théorème 4.14 Si
f
est lo alement intégrable sur
dans
L1 (I),
qh −→ q
dans
W 1,1 (I)
λh −⇀ λ
dans
M(I),
uh −→ u
⋆
γh −→ γ
où
(q, γ)
dans
L1 (I)
et
ave
I,
il existe une sous-suite telle que
L∞ (I)
ave
q̇ = u,
γ̇ = −λ,
est une solution de (P ,4.4).
Démonstration :
Pour des raisons de lisibilité, nous reporterons la preuve de quelques lemmes te hniques
n
à la n de la démonstration. An de rendre la démonstration plus laire, on notera ū
n+1
et γ̄
les valeurs provisoires al ulées respe tivement aux étapes 5 et 1 de l'algorithme.
Après l'étape 2 et une éventuelle modi ation due à un dé ollement, elles ont leur valeur
n
n+1
nale et sont notées u et γ
. Ainsi, l'étape 2 se réé rit
Si
et on a
λn = −
Remarquons pour
γ̄ n+1 > 0, un = γ̄ n+1 /m,
γ n+1 = 0.
γ̄ n+1 − γ n
h
et
λ̃n = −
(4.15)
γ n+1 − γ n
.
h
(4.16)
ommen er que
∀n, mun+1 = mun + hmf n + hλ̃n+1 .
En eet, l'étape de proje tion 5 de l'algorithme donne un
ouple
(4.17)
(ūn+1 , λn+1)
vériant
mūn+1 = mun + hmf n − hλn+1 .
n+1 n+2
S'il n'y a pas dé ollement dans ]t
, t [, on a un+1 = ūn+1 et, omme γ n+2 = γ̄ n+2 , (4.16)
n+1
implique λ̄
= λn+1 . Par onséquent, dans e as, (4.17) est vériée. Dans le as d'un
dé ollement, (4.16) et (4.15) permettent de montrer su
essivement
γ̄ n+2 − γ n+1
h
n+2
n+1
γ̄
−γ
0 = mun + hmf n − h
h
0 − γ n+1
γ̄ n+2 = mun + hmf n − h
h
n+2
γ
− γ n+1
mun+1 = mun + hmf n − h
h
n+1
n
n
n+1
mu
= mu + hmf − hλ̃
mūn+1 = mun + hmf n − h
et on a bien retrouvé (4.17).
99
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
qh
1. Convergen e de
et
as parti ule/plan
uh
Lemme 4.15
(uh )h
est bornée dans
L∞ (I)
(Démonstration page 104)
Lemme 4.16
(uh )h
est bornée dans
BV (I)
(Démonstration page 105)
Le lemme 4.16 asso ié à l'inje tion
existe une sous-suite toujours notée
uh −→ u
Comme
BV (I) dans L1 (I)
u ∈ BV (I) telles que
ompa te de
dans
(uh )h
et
L1 (I)
et presque partout.
montre qu'il
q̇h = uhZpresque partout, on a q̇h −→ u dans L1 (I) et, si on dénit q ∈ L1 (I)
t
par
q(t) = q 0 +
u,
on a
0
Z
Par
T
|qh − q| ≤
0
Z
T
0
Z
t
0
|uh (s) − u(s)|dsdt ≤ T kuh − ukL1 (I) .
onséquent,
qh −→ q
et l'inje tion
ontinue de
W 1,1 (I)
dans
W 1,1 (I)
dans
L∞ (I)
qh −→ q
Or, pour tous
q
est
t
ontinue
et
h,
on a
qh (t) ≥ 0
dans
et don
q
q̇ = u
ave
donne également
L∞ (I).
est positive presque partout. Puisque
omme limite uniforme de fon tions
ontinues, on obtient nalement
∀t, q(t) ≥ 0.
2. Convergen e de
γh
Lemme 4.17
(λh )h
Par
(λh )h est bornée
λ ∈ M(I) tels que
est bornée dans
onséquent,
notée
(λh )h
et
L1 (I)
dans
⋆
λh −⇀ λ
(Démonstration page 108)
M(I)
dans
et il existe une sous-suite, toujours
M(I).
Rt
γh (0) = 0, on obtient γh (t) = − 0 λh et ainsi,
∞
1
le lemme 4.17 implique (γh )h bornée dans L (I). De plus pour tout ϕ ∈ C0 (I), une
On a
γ̇h = −λh
et don , en utilisant
intégration par parties donne
Z
0
Par
onséquent,
Z
0
100
T
′
γh ϕ =
Z
T
λh ϕ.
0
T
γh ϕ′ ≤ kϕkL∞ (I) kλh kL1 (I)
4.3. Algorithme asso ié
et le lemme 4.17 dit que la variation de γh est bornée indépendamment de h. (γh )h
∞
étant déjà bornée dans L (I) d'après e qui pré ède, on a nalement (γh )h bornée
dans
BV (I). Il existe don
une sous-suite de
tels que
γh −→ γ
L1 (I)
dans
(γh )h toujours notée (γh )h et γ ∈ BV (I)
et presque partout.
De plus,
γ̇ = −λ
au sens des mesures. En eet, pour le montrer il sut d'é rire que
R
− γ̇h ϕ =
R
λh ϕ
et de passer à la limite.
Il nous reste à montrer que
l'est et d'utiliser la
γ
est négatif ou nul. Pour
onvergen e presque partout de
γ≤0
γh
R
γ h ϕ′ =
ela, il sut de voir que
vers
γ
γh
pour obtenir
presque partout.
3. PFD à la limite
Montrons qu'à la limite, le Prin ipe Fondamental de la Dynamique
est vérié au sens des distributions. Pour
dis ret. Comme
uh
est
ela, on
onstant par mor eaux, si
N
−1
X
hmu̇h , ϕi =
n=1
ontraint (4.8)
ommen e par l'é rire au niveau
ϕ ∈ D(I),
on a
m(un − un−1 )ϕ(tn )
et, d'après (4.17),
hmu̇h , ϕi =
N
−1
X
mhf
n−1
n
ϕ(t ) +
n=1
N
−1
X
hλ̃n ϕ(tn ).
(4.18)
n=1
h tendant vers zéro. Par dénition de
RT
la dérivée au sens des distributions, on a hmu̇h , ϕi = −m
uh ϕ′ . Ainsi, en utilisant
0
1
la onvergen e en norme L (I) de uh on obtient
Z T
hmu̇h , ϕi −→ −m
uϕ′ = hmu̇, ϕi quand h → 0.
Nous allons passer à la limite dans (4.18) pour
0
Pour le premier terme à droite de l'égalité (4.18), on é rit
h
N
−1
X
f
n−1
n
ϕ(t ) =
N
−1 Z tn
X
n=1
n=1
=
Z
f (s)ϕ(tn )ds
tn−1
T
f (s)ϕ(s)ds +
0
N
−1 Z tn
X
n=1
−
Z
tN
tn−1
f (s) [ϕ(tn ) − ϕ(s)] ds
f (s)ϕ(s)ds.
tN−1
101
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
Comme
quand
h
ϕ
est uniformément
as parti ule/plan
ontinue sur
I,
la somme de
1
à
tend vers zéro. En eet,
e(δ) = inf |ϕ(x) − ϕ(y)| −→ 0
|x−y|<δ
et on a
N
−1 Z tn
X
h → 0,
N −1 N
L'intégrale sur [t
, t ] onverge également vers zéro puisque
N −1
t
| = h → 0. Finalement, on a obtenu
N
−1
X
mhf
n−1
n=1
n
ϕ(t ) −→ m
Z
n
N
−1 Z tn+1
X
n
hλ̃ ϕ(t ) =
n=1
=
f (s)ϕ(s)ds
quand
0
|tN −
h → 0.
omme
λh ϕ(tn )
T
λh (s)ϕ(s)ds +
0
N
−1 Z tn+1
X
n=1
−
Le premier terme tend vers
et
tn
n=1
Z
f ϕ ∈ L1 (I)
T
Pour le se ond terme à droite de l'égalité (4.18), on é rit
N
−1
X
tend vers zéro
f (s) [ϕ(tn ) − ϕ(s)] ds ≤ e(h)kf kL1 (I)
tn−1
n=1
quand
N −1
Z
hλ, ϕi
On peut majorer le se ond terme
t1
tn
λh (s) [ϕ(tn ) − ϕ(s)] ds
λh (s)ϕ(s)ds.
t0
puisque
λh
onverge vers
λ
au sens des mesures.
omme pré édemment et on montre qu'il
onverge
vers zéro en utilisant le lemme 4.17. Enn, le dernier terme est nul. En eet, sur
]t0 , t1 [, λh vaut λ̃0 = −(γ 1 − γ 0 )/h. Puisque γ 0 = 0 et γ 1 = γ 0 + hλ0 = 0, on a bien
λh
nulle sur
]t0 , t1 [.
On a don
N
−1
X
n=1
montré que
hλ̃n ϕ(tn ) −→ hλ, ϕi
quand
h → 0.
Finalement, en passant à la limite dans (4.18), on obtient
hmu̇, ϕi = m
Z
0
T
f (s)ϕ(s)ds + hλ, ϕi,
et l'équation (4.8) est bien vérifée par les fon tions limites au sens des distributions :
hmq̈ − γ̇, φi = hmf, φi, ∀φ ∈ D(I).
Montrons que
ette égalité est également vraie au sens des mesures. Soit
il existe une suite
montrer que
(φn )n
de
D(I)
onvergeant uniformément vers
hmq̈ − γ̇, φn i = hmf, φn i, ∀n
102
φ.
φ ∈ C00 (I),
On vient de
4.3. Algorithme asso ié
Comme
mq̇ − γ
est dans
BV (I),
il existe une
onstante
C
stri tement positive telle
que (voir annexe C)
hmq̈ − γ̇, ψi ≤ Ckψk∞ , ∀ψ ∈ C00 (I).
Cette inégalité nous permet de passer à la limite dans l'équation pré édente et on
obtient
hmq̈ − γ̇, φi = hmf, φi,
e qui montre que
mq̈ − γ̇ = mf
En intégrant
ette égalité sur
]0, t[
dans
M(I).
on obtient (voir annexe C),
+
+
(mq̇ − γ)(t ) − (mq̇ − γ)(0 ) =
En utilisant
γ(0+ ) = 0
et la
Z
t
mf.
0
ontinuité presque partout de
la première équation de (P ,4.4) :
mq̇ − γ = mũ,
mq̇ − γ ,
on a nalement
presque partout.
(q, γ, λ) est solution de (P ,4.4), il nous reste à montrer que qγ = 0.
Au niveau dis ret, qh γh n'est pas nul. On onstruit don des fon tions γ̃h et q̃h
appro hant respe tivement γh et qh , telles que γ̃h q̃h = 0 et on fait ensuite tendre h
4. Pour montrer que
vers zéro dans
ette égalité.
On dénit γ̃h et q̃h onstantes par mor eaux valant respe tivement
]tn , tn+1 [ (voir gure 4.13).
qn
PSfrag repla ements
tn
tn
Fig. 4.13 Constru tion de
q̃h
et
qn
sur
γn
PSfrag repla ements
tn+1
γn
tn+1
(à gau he) et
γ̃h
(à droite).
n−1
est stri tement positif, 'est que, soit γ
était nul et que la ontrainte n'a
n−1
pas été a tivée, soit que γ
était stri tement négatif et qu'il y a eu dé ollement.
n
n n
Dans les deux as, on a γ = 0. Par onséquent, q γ est nul pour tout n et on a
Si
qn
q̃h γ̃h = 0.
d'abord la
On souhaite passer à la limite dans
onvergen e de
q̃h
vers
q.
ette égalité. Pour
ela, on montre
On a
kq̃h − qkL∞ (I) ≤ kq̃h − qh kL∞ (I) + kqh − qkL∞ (I) .
103
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
as parti ule/plan
qh
Le se ond terme tend vers zéro puisque
onverge uniformément vers
q.
Pour
t ∈]tn , tn+1 [,
n+1
− qn
n+1
n
n q
q̃h (t) − qh (t) = q
− q + (t − t )
= (t − tn )un ,
h
étudier le premier terme, on remarque que, si
e qui implique
kq̃h − qh kL∞ (I) ≤ hkuh kL∞ (I) .
D'après le lemme 4.15,
uh
L∞ (I) indépendamment de h et on obtient
est borné dans
don
q̃h −→ q
Montrons de même la
dans
onvergen e de
L∞ (I)
γ̃h
quand
vers
γ.
h → 0.
On é rit
γ̃h − γ = (γ̃h − γh ) + (γh − γ).
D'après
e qui pré ède (voir le point 2), le se ond terme
partout quand
h
onverge vers zéro presque
n n+1
tend vers zéro. Pour le premier terme on a, si t ∈]t , t
[,
|γ̃h (t) − γh (t)| = (t − tn )|λ̃n |.
Ainsi,
et, en sommant de
λh
Z
tn+1
tn
n=0
étant bornée dans
quent, en utilisant la
à
h
h2 n
|γ̃h − γh | = |λ̃ | =
2
2
tn+1
|λh |
tn
N − 1, on obtient
Z T
h
|γ̃h − γh | = kλh kL1 (I) .
2
0
L1 (I), on a
onvergen e de
onvergen e de
γ̃h −→ γ
On peut don
Z
γh
vers
γ,
kγ̃h − γh kL1 (I)
presque partout quand
passer à la limite dans
qγ = 0
q̃h γ̃h = 0
vers zéro. Par
onsé-
on montre que
h → 0.
pour obtenir
presque partout.
Ce i nit la démonstration du théorème 4.14 sous réserve de démontrer les trois lemmes
utilisés.
Démonstration du lemme 4.15 :
(uh )h
Commençons par montrer que, pour tout
est bornée dans
n,
un+1 λ̃n+1 ≤ 0.
104
(4.19)
γ n+1 = 0, la ontrainte est une ontrainte d'inégalité et on a λn+1 ≥ 0.
n+2
= γ n+1 −hλn+1 ≤ 0 et il n'y a pas de modi ations à l'étape 2.
onséquent, γ̄
Dans le
Par
L∞ (I).
as où
4.3. Algorithme asso ié
λ̃n+1 = λn+1 ≥ 0.
Ainsi,
et la
n+1
Si
λn+1 = 0,
n+1
l'inégalité (4.19) est vériée. Sinon, λ
>0
n+1
n+1
n+1
'est-à-dire q
+ hū
= 0. Or, q
est positif don ,
ontrainte est saturée,
u
= ūn+1 ≤ 0 et l'inégalité (4.19) est également vériée.
n+1
Dans le as où γ
< 0, la ontrainte est une ontrainte d'égalité et don q n+1 +
hūn+1 = 0. Comme dans e as q n+1 = 0, on a don né essairement ūn+1 = 0. Si
γ̄ n+2 ≤ 0, alors un+1 = ūn+1 = 0 et (4.19) est vériée. Si γ̄ n+2 > 0 alors un+1 =
γ n+2 /m > 0 et γ n+2 = 0. Dans e as, λ̃n+1 = −(γ n+2 − γ n+1 )/h ≤ 0 et (4.19) est
n+1 n+1
également vériée. Ainsi on a montré que u
λ̃
≤ 0 pour tout n.
En multipliant (4.17) par
un+1
on obtient alors
m|un+1 |2 = mun un+1 + hmf n un+1 + hλ̃n+1 un+1
≤ mun un+1 + hmf n un+1
≤ m|un ||un+1| + hm|f n ||un+1|.
Ainsi, si
un+1
est non nul on obtient
|un+1 | ≤ |un | + h|f n |.
Cette inégalité est évidemment en ore exa te quand
nalement
|u
Ainsi, pour tout
n+1
0
| ≤ |u | + h
t ∈ [0, T ]
n
X
k
|f | ≤ |u | +
k=0
0
|uh (t)| ≤ |u | +
et
(uh )h
est borné dans
L∞ (I),
0
Z
0
un+1 = 0.
Z
En itérant on a
T
0
|f |.
T
|f |,
e qui nit la démonstration du lemme 4.15.
Démonstration du lemme 4.16 :
(uh )h
est bornée dans
BV (I).
(uh )h est bornée dans L∞ (I). Pour montrer qu'elle
sut don majorer la variation de uh indépendam-
D'après le lemme 4.15, on sait que
est bornée dans
ment de
h,
BV (I),
il nous
où
Var(uh )
=
N
−1
X
n=1
Pour
ela, on va dé omposer la somme et
|un − un−1 |.
onsidérer les sommes extraites d'indi es
{p1 . . . n1 } où tp1 et tn1 sont deux instants de dé ollements su
tion totale de uh est la somme de variations sur des intervalles de
dans
essifs. La variae type à laquelle
il faut ajouter deux termes de bord. On se ontentera i i d'étudier la variation de uh
[tp1 , tn1 [, les termes de bord se traitant de la même façon.
sur les intervalles de type
L'idée
en
p1
lé de la démonstration est que, puisqu'il y a dé ollement en p1 , la vitesse
[tp1 , tn1 [ ne dépend que de l'intégrale de f sur e
est petite et sa variation sur
même intervalle. Ainsi, en sommant toutes les
variation totale par l'intégrale de
f
sur
ontributions, on pourra majorer la
[0, T ].
105
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
as parti ule/plan
PSfrag repla ements
tp0
tn1
tn0
tp1
Fig. 4.14 Démonstration du lemme 4.16 : notations.
Les notations
hoisies sont données sur la gure 4.14. On note
p
n
d'impa t asso iés à t 1 et t 1 .
On
tp0
et
tn0
les instants
her he à majorer la somme
Var[tp1 ,tn1 [ (uh )
=
nX
1 −1
n=p1
Deux
|un − un−1 |.
as se présentent : la parti ule peut rester
n0 +1) ou redé
oller immédiatement (n1
ollée plus de deux instants (n1
= n0 +1). Dans le premier
as (n1
>
> n0 +1)
on é rit
Var[tp1 ,tn1 [ (uh )
nX
0 −2
=
|un − un−1 | + |un0−1 − un0 −2 | + |un0 − un0 −1 |
n=p1
+
nX
1 −2
n=n0 +1
On remarque alors que,
Var[p1 ,n1 [ (uh )
Dans le se ond
un = 0
≤
nX
0 −2
n=p1
pour
|un − un−1 | + |un1−1 − un1 −2 |.
n ∈ [n0 , n1 − 2]
et don ,
|un − un−1| + 2|un0 −1 | + |un0−2 | + |un1 −1 |.
as, où elle n'adhère au plan qu'un seul instant (n1
= n0 + 1),
on
é rit
Var[tp1 ,tn1 [ (uh )
=
nX
0 −2
n=p1
|un − un−1 | + |un0−1 − un0−2 | + |un0 − un0 −1 |,
et on retrouve la même majoration,
Var[tp1 ,tn1 [ (uh )
Nous allons majorer
si n
n
≤
nX
0 −2
n=p1
|un − un−1 | + 2|un0−1 | + |un0 −2 | + |un1 −1 |.
ha un des termes de droite de
∈ [p1 , n0 − 2], on se trouve à un instant où la
λ̃ = λn = 0. Par onséquent, (4.17) donne
ette inégalité. Tout d'abord,
ontrainte n'est pas a tive et don
p1 ≤ n ≤ n0 − 2 =⇒ |un − un−1 | = h|f n−1 |.
106
4.3. Algorithme asso ié
n1 − 1
Etudions maintenant l'instant
pré édent le dé ollement. D'après la démonsn+1 2
| ≤ mun un+1 + hmf n un+1.
tration du lemme 4.15, on sait que, pour tout n, m|u
n −1
Comme u 1
est stri tement positif, on en déduit
un1 −1 ≤ un1 −2 + hf n1 −2 .
est négatif. Soit elle est restée
nulle. Dans les deux
= n0 + 1), un1 −2
n −2
temps et u 1
est
ollée au plan qu'un unique instant (n1
Si la parti ule n'est restée
ollée pendant au moins de pas de
as on obtient
0 < un1 −1 ≤ hf n1 −2 .
Pour majorer
et don ,
un0 −1
un0 −2 , on
n1 on a
et
omme pour
note d'abord que
tp1
est un instant de dé ollement
0 < up1 −1 ≤ hf p1 −2 .
Puis, en utilisant l'inégalité
|un+1| ≤ |un | + h|f n |
montrée pour tout
n
dans la
démonstration du lemme 4.15, on obtient
|u
n0 −1
| ≤ |u
p1 −1
|+
et
|un0−2 | ≤ |up1−1 | +
nX
0 −2
h|f | ≤
nX
0 −3
h|f n | ≤
n
n=p1 −1
n=p1 −1
nX
0 −2
h|f n |
nX
0 −3
h|f n |.
n=p1 −2
n=p1 −2
Finalement on obtient
Var[tp1 ,tn1 [ (uh )
≤
nX
0 −2
h|f
n−1
n=p1
|+2
nX
0 −2
n
n=p1 −2
h|f | +
nX
0 −3
n=p1 −2
h|f n | + h|f n1 −2 |,
que l'on peut en ore majorer par
Var[tp1 ,tn1 [ (uh )
Les intervalles
[tp1 −2 , tn1 −1 ]
sommant toutes les
se
≤4
nX
1 −2
n=p1 −2
n
h|f | ≤ 4
Z
tn1 −1
tp1 −2
|f (s)|ds.
hevau hant deux à deux, on obtient nalement en
ontributions , y
Var(uh )
ompris
0
≤u +8
e qui termine la démonstration de
elles des bords,
Z
0
T
|f (s)|ds,
e lemme.
107
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
Démonstration du lemme 4.17 :
as parti ule/plan
(λh )h
est bornée dans
L1 (I).
L'égalité (4.17) donne
∀n ≥ 1, hλ̃n = m(un − un−1 ) − hmf n−1 .
Ainsi,
∀n ≥ 1,
Z
tn+1
|λh | = h|λ̃n | ≤ m|un − un−1 | + hm|f n−1 |.
tn
En sommant de n = 1 à N −1 et en utilisant,
0
générale, λ̃ = 0, on a don
Z
omme au point 3 de la démonstration
T
0
|λh | ≤ mVar(uh ) + kf kL1 (I) .
Le lemme 4.16 permet alors de
on lure que
(λh )h
est bornée dans
L1 (I),
e qui nit
la démonstration du lemme 4.17.
Les trois lemmes utilisés ayant été démontrés, on a terminé la démonstration du théorème 4.14.
4.3.3
Intégration à la simulation uide/parti ules
Comme dans le
hapitre 3, an de minimiser les
une méthode de splitting pour intégrer
oûts de
al uls, on
hoisit d'utiliser
e modèle à des simulations d'é oulements uide-
parti ules.
On suppose la parti ule plongée dans un uide visqueux. La for e extérieure est verti ale et s'exer e uniquement sur la parti ule. On note f (t) son intensité massique au
n
n
temps t. On note u et p la vitesse et la pression du uide au temps n. On suppose que
l'on dispose d'un solveur uide/parti ules S qui, onnaissant la position de la parti ule
q n+1 , la vitesse un et la for e extérieure f n al ule (un+1 , pn+1 ) la vitesse du uide et sa
pression au temps
n+1
sans prendre en
ompte a priori la gestion du
onta t. On peut
par exemple hoisir d'utiliser la méthode présentée dans la partie I mais tout autre solveur
uide/parti ule peut également
108
onvenir.
4.4. Enri hissement du modèle
Pour intégrer la résolution uide dans l'algorithme 4.1 il sut de modier l'étape 4
de
al ul de la vitesse a priori en utilisant le solveur uide/parti ule dont on dispose. On
obtient alors l'algorithme suivant.
Pour tout
n ≥ 0,
1. Cal ul de
on dispose de
n
n
n
n
(q , u , γ , λ )
et
n
(u
, pn ). On note
1
f =
h
n
γ n+1 : γ n+1 = γ n − hλn ,
2. Cas d'un dé ollement : Si
γ n+1 > 0, un = γ n+1 /m
3. Cal ul de
q n+1 : q n+1 = q n + hun ,
4. Cal ul de
(un+1 , pn+1 )
et
Z
tn+1
f (s)ds.
tn
γ n+1 = 0,
grâ e au solveur uide/parti ules,
(un+1 , pn+1 ) = S(q n+1, un , f n )
5.
(a) Cal ul de
u
n+1/2
asso ié à
n+1
u
:
u
n+1/2
1
= 2
πr
Z
un+1
B n+1
(b) Proje tion de la vitesse sur l'espa e des vitesses admissibles,
un+1 ∈ K(q n+1 , γ n+1),
où
1 n+1
u
− un+1/2
2
K(q, γ) = {v, q + hv ≥ 0}
K(q, γ) = {v, q + hv = 0}
si
γ=0
si
γ<0
2
m
=
On dispose alors du multipli ateur de lagrange
Algorithme
4.2:
Intégration
du
modèle
de
min
n+1
v∈K(q
,γ n+1 )
1
v − un+1/2
2
2
m
.
λn+1 .
onta t
visqueux
à
la
simulation
uide/parti ules.
4.4
4.4.1
Enri hissement du modèle
Prise en
ompte de la rugosité
Comme on l'a vu dans la se tion 4.1.3, si la parti ule ou le plan sont rugueux, le
développement de la for e de lubri ation n'est plus valable et il peut y avoir
onta t
solide/solide entre la parti ule et le plan.
Considérons une parti ule rugueuse de rayon
a
et possédant des rugosités de taille
(de telle sorte que la surfa e de la parti ule se situe entre
y = 0 possédant des rugosités de taille r2
entre y = 0 et y = r2 )(voir Fig. 4.15).
r=a
et
r = a + r1 )
r1
et un plan
(de telle sorte que la surfa e de plan se situe
109
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
as parti ule/plan
r1
PSfrag repla ements
000000
111111
00000
11111
111
000
00000000000000
11111111111111
000000
111111
00000
11111
111
000
000
111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
q
Fig. 4.15 Notations :
r2
as rugueux
On a vu que la for e de lubri ation s'exerçant entre la parti ule et le plan est
s'exer erait entre d'une part, une parti ule lisse de même rayon dont le
à une distan e
r1,s < r1 en dessous de
y = r2,s < r2 . Il
plan lisse de frontière
elle qui
entre est situé
elui de la parti ule rugueuse et d'autre part, un
peut alors y avoir
onta t solide/solide entre les
rugosités. Notre modèle sera le suivant.
On
onsidère que la for e de lubri ation qui s'exer e sur la parti ule est
s'exer erait si le plan et la parti ule étaient lisses, ave
plan situé en
Il y a un
y = 0.
Cela revient à prendre
r1,s = 0
et
onta t inélastique. Il n'y a don
s'exer ent sur la parti ule durant
e
a
et le
r2,s = 0
onta t solide/solide entre le plan et la parti ule si
modélisé par un
elle qui
la parti ule de rayon
q = r 1 + r2 .
Il est
pas de mémoire des for es qui
onta t.
γµ = µln(qµ ), il sut pour é rire e modèle de borner
inférieurement γ dans le modèle pré édent : γ ≥ γmin = µln(r1 +r2 ). Le type de traje toire
obtenue pour un tel modèle est tra é sur la gure 4.16. Quand γ atteint le seuil, la distan e
En se rappelant qu'on a posé
3
2
1
0
−1
−2
q, modele non rugueux
q, modele rugueux
−3
γ, modele non rugueux
γ, modele rugueux
−4
fy = −2
−5
−6
PSfrag repla ements
0
0.5
1
fy = 2
1.5
2
2.5
3
Fig. 4.16 Comparaison des traje toires :
3.5
4
4.5
as rugueux/ as non rugueux
r1 + r2 . A partir de et instant, il y a
élastique entre les rugosités et γ n'intègre plus les for es exer ées.
réelle mi ros opique atteint
110
5
onta t solide/solide inLe
onta t solide/solide
4.4. Enri hissement du modèle
est rompu dès que l'on tire sur la parti ule et alors,
γ
re ommen e à intégrer les for es
exer ées. Le redé ollement a alors lieu plus tt que dans le
4.4.2
as non rugueux.
Ajout de la for e de lubri ation tangentielle
For e de lubri ation tangentielle : développement au premier ordre
Dans le
as d'un dépla ement de la parti ule parallèle au plan, ave
rotation, une for e
de lubri ation tangentielle ainsi qu'un moment sont exer és par le uide sur la parti ule.
y
1111
0000
0000
1111
0000
1111
0000
1111
r
0000
1111
0000
1111
PSfrag repla ements
q
Uex
ω = θ̇
111111111
000000000
x
Fig. 4.17 For e de lubri ation tangentielle : notations.
Dans [40℄, on en donne un développement au premier ordre quand la distan e tend
vers zéro,
2
8
U − rω ex ,
Flub,tang ∼ 6πµrln(q)
15
15
1
2
2
T ∼ 8πµr ln(q) − U + rω ez ,
10
5
U est la vitesse horizontale appliquée et ω la vitesse de rotation. Comme pré
µ, r et q sont respe tivement la vis osité du uide, le rayon de la parti ule et
où
édemment,
sa distan e
au plan (voir gure 4.17). Il s'agit bien d'une for e de résistan e au mouvement puisque
si
q < 1, ln(q) < 0.
Modèle limite à partir du premier ordre de la for e
On suppose maintenant la parti ule libre de se dépla er dans un plan verti al. On
(x, y) la position de son entre dans e plan, θ son orientation, ω = θ̇ sa vitesse
m sa masse, J son moment d'inertie et q la distan e entre le plan et la parti ule
(y = r + q ). Les in onnues sont (x, q, θ). Pour un uide de vis osité µ, elles sont indi ées
omme pré édemment par µ. La for e extérieure exer ée sur la parti ule est f = (fx , fy ).
note
angulaire,
111
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
D'après
as parti ule/plan
e qui pré ède, le Prin ipe Fondamental de la Dynamique prenant en
ompte les
for es de lubri ation normale et tangentielle au premier ordre s'é rit sous la forme

q̇µ


mq̈µ = −µ + mfy ,


qµ

mẍµ = µln(qµ )(a11 ẋµ + a12 r θ̇µ ) + mfx ,




 J θ̈ = µln(q )(a ẋ + a r θ̇ ),
µ
µ
21 µ
22 µ
où
(4.20)
16
16
4
4
(4.21)
πr, a12 = − πr, a21 = − πr 2 et a22 = πr 2 .
5
5
5
5
0
0
0
0
0
problème à x(0) = x , q(0) = q > 0, θ(0) = θ , ẋ(0) = v , q̇(0) = u et
a11 =
On initialise le
ω(0) = ω 0.
Le théorème suivant est une généralisation du théorème 4.5. Il montre l'existen e d'une
solution à (4.20) ainsi que sa onvergen e, quand la vis osité tend vers zéro, vers un modèle
de
onta t visqueux prenant en
ompte les eets de la for e de lubri ation tangentielle.
q 0 ∈ R∗+ , X 0 ∈ R2 , u0 ∈ R et
U 0 ∈ R2 . I =]0, T [ et (f1 , f) ∈ L1 (I) × L1 (I)2 sont donnés. Soit ϕ stri tement positive,
R1
∗
lips hitzienne et lo alement intégrable sur R+ . On suppose de plus que Φ(q) =
ϕ →
q
+
+∞ quand q → 0 . On note (qµ , Xµ ) la solution du système d'équations diérentielles
Théorème 4.18 On
onsidère des
ordinaires
où
A
onditions initiales
q̈µ = −µq̇µ ϕ(qµ ) + f1 ,
est une matri e
onstante de taille
2 × 2.
Alors, si on pose γµ = −µΦ(qµ ), il existe une
q ∈ W 1,∞ (I), X ∈ W 2,∞ et γ ∈ L∞ (I), tels que
uniformément,
γµ −⇀ γ
dans
Xµ −→ X
µ
tend vers zero. Et
suite extraite, toujours notée
qµ −→ q
⋆
quand
(4.22)
Ẍµ = −µΦ(qµ )AẊµ + f,
(q, X, γ)
(qµ , Xµ ),
L∞ (I),
simplement sur
I
est solution du problème
mq̇ + γ = mũ1 ,
q ≥ 0, γ ≤ 0, qγ = 0.
Ẍ = γAẊ + f.
où
ũ1 = u0 +
Rt
0
f1 .
Démonstration : Cette démonstration est une généralisation de elle du théorème 4.5.
En eet, la première équation, qui porte sur l'in onnue
dépendante des deux autres. Elle peut don
démonstration du théorème 4.5.
112
qµ ,
est identique à (4.1) et est in-
être traitée de la même manière que dans la
4.4. Enri hissement du modèle
(qµ , Xµ ) est globale. Le système
Montrons d'abord que la solution
se réé rit en un sys-
tème d'ordre 1 sur les in onnues Y = (qµ , Xµ , q̇µ , Ẋµ ) sur le domaine ΩY = {(q, X, u, U) ∈
R6 , q > 0}. Le théorème de Cau hy-Lips hitz donne l'existen e d'une unique solution
ΩY dénie sur [0, T [ et on montre qu'elle est globale par l'absurde. En
T < +∞, le théorème d'é happement dit que la solution doit sortir de tout ompa t de ΩY . Or, omme dans la démonstration du théorème 4.5, q̇µ est bornée et qµ ne
peut tendre vers zéro en T . Par onséquent, il sut de montrer que Ẋµ est bornée sur
[0, T [ pour obtenir que la solution ne peut s'é happer de ΩY sur [0, T [. Or, Uµ = Ẋµ est
maximale dans
eet, si
solution de l'équation diérentielle linéaire d'ordre 1
U̇µ = γµ AUµ + f
et s'é rit don
Uµ (t) = exp
γµ
Or,
Z
t
0
Z t
Z t
γµ (s)ds A X0 +
exp
γµ (s)ds A fdz.
0
q̇µ = −γµ +
est bornée puisque
solution est globale.
Etudions maintenant le
Rt
0
f1 + C
z
et
q̇µ
l'est. Ainsi,
omportement des solutions quand
µ
Uµ
est bornée et la
tend vers zéro. Puisque
la première équation est indépendante des autres, la démonstration du théorème 4.5 s'applique à nouveau. On a don la onvergen e uniforme de qµ vers q et la onvergen e dans
L∞ (I) faible étoile de γµ vers γ , ave mq̇ + γ = mũ1 , q ≥ 0, γ ≤ 0 et qγ = 0. Il reste
don
à étudier la
onvergen e de
l'expression expli ite de
Uµ .
Z
Cette
de
La
Xµ .
t
z
γµ (s)ds −→
onvergen e asso iée au
ela, on
ommen e par passer à la limite dans
Z
γµ
donne, pour tous
z
et
t,
t
γ(s)ds
quand
z
ara tère borné de
γµ
µ → 0.
nous permet d'appliquer le théorème
onvergen e dominée pour obtenir
Uµ −→ U
où
U(t) = exp
U
Pour
onvergen e faible étoile de
est don
Z
t
0
simplement quand
µ → 0,
Z t
Z t
γ(s)ds A X0 +
exp
γ(s)ds A fdz.
0
z
solution de
U̇ = γAU + f.
U , et en remarquant que Uµ est borné indépendamment
0 µ
puisque γµ l'est, on peut à nouveau appliquer le théorème de onvergen e dominée
Enn, é rivant que
de
µ
Xµ = X 0 +
Rt
et on obtient
Xµ −→ X
où
Ẋ = U
simplement quand
µ → 0,
est la solution de
Ẍ = γAẊ + f.
113
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
as parti ule/plan
On a ainsi terminé la démonstration du théorème.
Le système d'équations (4.20) entre dans le adre de
f1 = fx , f = (fy , 0)
et
Xµ = (xµ , θµ ).
Le modèle de
e théorème en posant
ϕ(q) = 1/q ,
onta t visqueux ainsi obtenu est
mq̇ + γ = mũ,
q ≥ 0, γ ≤ 0, qγ = 0,
(P global )
mẍ = γ(a11 ẋ + a12 r θ̇) + mfx ,
J θ̈ = γ(a21 ẋ + a22 r θ̇),
où
0
ũ = u +
Z
t
fy (s)ds.
0
Bilan d'énergie :
Pour nir
e
hapitre, é rivons un bilan d'énergie pour
e modèle global de
onta t
visqueux.
(q, γ, x, θ) solution de (P global ). On suppose que les points de onta t
dé ollement (t̃i )i de la parti ule sont en nombre ni (voir Fig 4.18).
Propriété 4.19 Soit
(ti )i
et les points de
On peut alors é rire le bilan d'énergie suivant (au sens des distributions) :
d
dt
1 2 1
1
mq̇ + mẋ2 + Jω 2
2
2
2
=
mfx ẋ +
|
X
mfy q̇1[t̃i ,ti+1 ]
{z
}
puissan e des
for es extérieures
+
(a ẋ2 + a12 r ẋω + a21 ẋω + a22 rω 2 )γ
| 11
{z
}
X1
−
dissipation due à la for e
|
mq̇ 2 (ti )δti
2 {z
}
perte d'énergie
de lubri ation tangentielle
lors des
inétique
onta ts
PSfrag repla ements
q(t)
ti
ti+1
t̃i
t̃i+1
Fig. 4.18 Bilan d'énergie : notations
Démonstration : Sur
et
γ = 0.
114
]ti , t̃i [,
on a
q̇ = 0
et
γ = mũ.
Sur
]t̃i , ti+1 [,
on a
q̇ = ũ, q̈ = fy
4.4. Enri hissement du modèle
Par
onséquent, en utilisant
d
dt
1 2
mq̇
2
=
X
on obtient au sens des distributions
mfy (t)q̇(t)1]t̃i ,ti+1 [ (t) +
i
=
X
i
On a également
d
dt
et
ũ(t̃i ) = γ(t̃i ) = 0,
X1
i
mfy (t)q̇(t)1]t̃i ,ti+1 [ (t) −
1 2
mẋ
2
d
dt
2
X1
i
2
ũ2 (t̃i )δt̃i −
X1
i
2
ũ2 (ti )δti
ũ2 (ti )δti
= γ(a11 ẋ + a12 rω)ẋ + mfx ẋ
1 2
Jω
2
= γ(a21 ẋ + a22 rω)ω.
On obtient l'égalité re her hée en sommant
es trois
ontributions.
Remarque 4.20 Noter que la puissan e de la for e extérieure verti ale est nulle dès que
la parti ule est en onta t ave le plan. Au ontraire,
γ
étant nul en dehors de es onta ts,
le terme dû à la for e de lubri ation tangentielle n'agit que lors des
valeurs des
aij
données en (4.21),
onta ts. D'après les
e terme s'é rit
4
πr 4ẋ2 − 2r ẋω + 4r 2 ω 2 γ
5
4 =
πr (ẋ − rω)2 + 3(ẋ2 + r 2 ω 2 ) γ.
5
(a11 ẋ2 + a12 r ẋω + a21 ẋω + a22 rω 2)γ =
Comme
γ
est négatif, il s'agit bien d'une for e de dissipation.
115
Chapitre 4. Un modèle de onta t visqueux,
116
as parti ule/plan
Chapitre 5
Modèle de onta t visqueux et
programmation dans le
as
multi-parti ules
Sommaire
5.1
5.2
5.3
Modèle multi-parti ules
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.1.1
Cas de deux parti ules
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2
E riture du modèle multi-parti ules
. . . . . . . . . . . . .
118
122
Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.1
E riture de l'algorithme multi-parti ules . . . . . . . . . . .
123
5.2.2
Proje tion
124
5.2.3
Re her he des voisins
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
5.2.4
Extensions possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
5.2.5
Premiers résultats numériques
129
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
Programmation Orientée Objet . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3.1
Méthodologie et obje tifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
5.3.2
Les
lasses Variable
5.3.3
Les
lasses Opérateur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
5.3.4
La Classe Problème
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
5.3.5
Le
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
5.3.6
Résultats numériques : sédimentation de 1000 parti ules . .
144
ode et son utilisation
117
Chapitre 5. Modèle de onta t visqueux et programmation dans le
as multi-parti ules
Résumé : L'obje tif de e hapitre est de proposer un algorithme permettant de
prendre en
ompte de manière e a e la for e de lubri ation lors de simulations
numériques d'é oulements uide/parti ules. Pour
présenté dans le
ela, on généralise le modèle
hapitre pré édent. La version multi-parti ules du modèle de
onta t visqueux est basée sur une proje tion des vitesses, à
haque instant,
sur un espa e de vitesses admissibles. Nous proposons ensuite un algorithme permettant la simulation de tels systèmes. Il s'agit d'une extension de l'algorithme de
gestion des
onta ts dé rit dans le
hapitre 3. Enn, nous présentons un exemple
de programmation orientée objet de l'algorithme obtenu.
Abstra t : The aim of this
take into a
hapter is to propose an algorithm allowing to
ount e iently the lubri ation for e in numeri al simulations of
uid/parti le ows. To do so, we generalize the model presented in the previous
hapter. The multi-parti le version of the model is based on the proje tion of the
velo ities onto a set of admissible velo ities. Then, we propose an algorithm for
su h systems whi h
in
onsists in an extension of the
onta t algorithm des ribed
hapter 3. At last, we present an exemple of obje t oriented programming of
the algorithm.
5.1
5.1.1
Modèle multi-parti ules
Cas de deux parti ules
Dépla ements en une dimension
On se pla e dans le
as où deux parti ules sphériques sont plongées dans un uide
visqueux. On suppose pour
l'axe reliant leurs
ommen er qu'elles sont assujetties à se dépla er le long de
entres. On note
des sphères
sur et axe et r1 ,
PSfrag repla ements
r2
et axe
ex .
On note
leurs rayons respe tifs.
x1 et x2 la position des entres
D12 = |x2 − x1 | − r2 − r1 est la
distan e signée (qui sera imposée positive) entre les parti ules (voir gure 5.1).
U2
U1
ex
x1
D12
x2
Fig. 5.1 2 parti ules en dimension 1 : notations.
Les for es extérieures exer ées sur les parti ules sont
dans le
fi = fi ex
pour
i = 1, 2.
Comme
hapitre pré édent, l'a tion du uide sur les parti ules est modélisée par le dé-
veloppement au premier ordre de la for e de lubri ation normale. Ce développement
est donné dans [20℄ : si
U1 = U1 ex
et
U2 = U2 ex
sont les vitesses des parti ules
1
et
2
respe tivement, on a
Flub,2→1 ∼ 6πµ
118
r12 r22 (U2 − U1 )
ex .
(r1 + r2 )2
D12
(5.1)
5.1. Modèle multi-parti ules
Comme dans la partie pré édente, à vis osité
de la Dynamique au premier ordre sur
En posant
µ xée, on é
rit le Prin ipe Fondamental
ha une des deux parti ules. On obtient

r12 r22 ẋ2,µ − ẋ1,µ



+ m1 f1
 m1 ẍ1,µ = +6πµ (r + r )2
D12
1
2

r12 r22 ẋ2,µ − ẋ1,µ


+ m2 f2
m
ẍ
=
−6πµ
 2 2,µ
(r1 + r2 )2
D12
γ12,µ = 6πµln(x2,µ − x1,µ )
et en faisant tendre
µ
(5.2)
vers zéro on obtient alors le
système limite suivant

x1 , x2 ∈ W 1,∞ (I), γ12 ∈ L∞ (I),



Z t



r12 r22
0


γ12 (t) = m1 ũ1 =m1 u1 + m1
f1 (s)ds,
m1 ẋ1 (t) −


(r1 + r2 )2

0


Z t


r12 r22
0
m2 ẋ2 (t) +
γ (t) = m2 ũ2 =m2 u2 + m2
f2 (s)ds,
2 12
(r
+
r
)
1
2

0




D12 ≥ 0, γ12 ≤ 0, D12 γ12 = 0,






x1 (0) = x01 , x2 (0) = x02 tq D12 (0) > 0,




ẋ1 (0) = u01 , ẋ2 (0) = u02 .
Ce système est l'équivalent pour deux parti ules de (P ,4.4). Comme pré édemment pour
′
(P ,4.12), on le réé rit à l'aide d'une loi de ho et d'un multipli ateur de Lagrange sous
la forme























où
ΠK






















x1 , x2 ∈ W 1,∞ (I), ẋ1 , ẋ2 ∈ BV (I), γ12 ∈ BV (I), λ12 ∈ M(I),
(ẋ1 (t+ ), ẋ2 (t+ )) = ΠCD12 ,γ12 (t) (ẋ1 (t− ), ẋ2 (t− )),
m1 ẍ1 = m1 f1 − λ12 ,
m2 ẍ2 = m2 f2 + λ12 ,
supp(λ12 )
γ̇12
⊂ {t, D12 (t) = 0},
(r1 + r2 )2
=−
λ12 ,
r12 r22
D12 ≥ 0, γ12 ≤ 0,
x1 (0) = x01 , x2 (0) = x02
tq
D12 (0) > 0,
ẋ1 (0) = u01 , ẋ2 (0) = u02 , γ12 (0) = 0.
est la proje tion sur
K
et
{(v1 , v2 ), v1 − v2 = 0}
CD12 ,γ12 (t) =
{(v1 , v2 ), v2 − v1 ≥ 0}
R2
si
γ12 (t− ) < 0,
si
γ12 (t− ) = 0, D12 (t) = 0,
sinon
.
119
Chapitre 5. Modèle de onta t visqueux et programmation dans le
CD12 ,γ12 (t) est l'espa
e des vitesses admissibles. En eet, si
'est que les deux parti ules sont ollées au temps
dD12
dD12
= 0 or,
= ẋ2 − ẋ1
dt
dt
et la
don
(ẋ1 (t ), ẋ2 (t )) ∈ CD12 ,γ12 (t)
de Lagrange asso ié à
(i.e.
D12 = 0).
pour vérier
alors
λ12
es
es
tement négatif,
imposer
(ẋ1 (t+ ), ẋ2 (t+ )) ∈ CD12 ,γ12 (t). De
−
onta t ou de dé ollement (γ12 (t )
il faut empê her les parti ules de se
+
γ12 (t− ) est stri
t et doivent le rester. Il faut don
ontrainte s'é rit bien
même, si on se situe à un instant de
+
as multi-parti ules
hevau her,
e qui revient à
traduit bien la
ontrainte.
λ12
= 0 et D12 (t) = 0),
dD12
≥ 0 et
imposer
dt
est le multipli ateur
ontraintes et n'est a tif que quand les parti ules sont
La for e supplémentaire qu'il faut imposer sur la parti ule
ontraintes est
−λ12 ex
(resp.
λ12 ex ).
1
ollées
(resp.
Si les parti ules ne sont pas
2)
ollées
est nul et on retrouve le Prin ipe Fondamental de la Dynamique ne prenant en
ompte que les for es extérieures (ẍi
a
D̈12 = ẍ2 − ẍ1 = 0 et don γ̇12
= fi pour i = 1, 2). Si les parti ules sont ollées, on
m1 m2
r12 r22
(f1 − f2 ). γ12 intègre don le bilan
=−
2
(r1 + r2 ) m1 + m2
des for es s'exerçant sur les deux parti ules.
Dépla ements en deux dimensions
2
On suppose maintenant que les deux parti ules sont libres de se dépla er dans R . x1
2
et x2 désignent les ve teurs position des parti ules dans R , f1 et f2 les for es exer ées sur
elles- i et
e12 = (x2 − x1 )/kx2 − x1 k
le ve teur unitaire dirigé selon la ligne des
(voir Fig. 5.2).
e12
PSfrag repla ements
x2
x1
D12
Fig. 5.2 2 parti ules en dimension 2 : notations.
La for e de lubri ation est alors dirigée selon
Flub,2→1 ∼ 6πµ
120
e12
et vaut
r12 r22 (ẋ2 − ẋ1 ) · e12
e12 .
(r1 + r2 )2
D12
entres
5.1. Modèle multi-parti ules
On obtient alors le modèle suivant,













































où
x1 , x2 ∈ (W 1,∞ (I))2 , ẋ1 , ẋ2 ∈ (BV (I))2 , γ12 ∈ BV (I), λ12 ∈ M(I),
(ẋ1 (t+ ), ẋ2 (t+ )) = PCx1 ,x2 ,γ12 (t) (ẋ1 (t− ), ẋ2 (t− )),
m1 ẍ1 = m1 f1 − λ12 e12 ,
m2 ẍ2 = m2 f2 + λ12 e12 ,
supp(λ12 )
γ̇12 = −
⊂ {t, D12 (t) = 0},
(r1 + r2 )2
λ12 ,
r12 r22
D12 ≥ 0, γ12 ≤ 0,
x1 (0) = x01 , x2 (0) = x02
tq
D12 (0) > 0,
ẋ1 (0) = u01 , ẋ2 (0) = u02 , γ12 (0) = 0,
Cx1 ,x2 ,γ12 (t) =
{(v1 , v2 ), −(v1 − v2 ) · e12 = 0}
si
γ12 (t− ) < 0,
{(v1 , v2 ), −(v1 − v2 ) · e12 ≥ 0}
si
γ12 (t− ) = 0, D12 (t) = 0,
R2
Puisque
sinon
dD12
= (ẋ2 − ẋ1 ) · e12 ,
dt
on observe
bien l'espa e des vitesses admissibles au temps
imposer les
vaut
λ12 e12
.
omme pré édemment que
t.
est
La for e supplémentaire exer ée pour
ontraintes est dirigée selon la dire tion joignant les
sur la parti ule
CD12 ,γ12 (t)
entres des parti ules et
2.
Ce dernier système peut enn être é rit de façon plus synthétique. On pose x =
(x1 , x2 ) ∈ R4 , f = (f1 , f2 ) ∈ R4 , M = diag(m1 , m1 , m2 , m2 ) la matri e de masse et
G12 = (−e12 , e12 ) ∈ R4 . Noter que G12 (x) est le gradient de D12 (x). On peut alors
é rire :
où

x ∈ (W 1,∞ (I))4 , ẋ ∈ (BV (I))4 , γ12 ∈ BV (I), λ12 ∈ M(I),






ẋ(t+ ) = PCD12 ,γ12 (t) (ẋ(t− ))






M ẍ = Mf + λ12 G12




supp(λ12 ) ⊂ {t, D12 (t) = 0}
(P2′ )


(r1 + r2 )2


γ̇12 = −
λ12


r12 r22






D12 ≥ 0, γ12 ≤ 0




x(0) = x0 tq D12 (0) > 0, ẋ(0) = u0 , γ12 (0) = 0
{V ∈ R4 , G12 (x) · V = 0}
Cx,γ12 (t) =
{V ∈ R4 , G12 (x) · V ≥ 0}
R4
si
γ12 (t− ) < 0
si
γ12 (t− ) = 0, D12 (t) = 0
sinon
121
Chapitre 5. Modèle de onta t visqueux et programmation dans le
5.1.2
as multi-parti ules
E riture du modèle multi-parti ules
′
On généralise le modèle (P2 ) au as de N parti ules. xi désigne le ve teur position de
2
la parti ule i dans R , fi la for e exer ée sur elle- i, Dij est la distan e signée entre les
parti ules
i
et
j
et
eij = (xj − xi )/kxj − xi k
(voir Fig. 5.3).
eij
PSfrag repla ements
xj
xi
Dij
Fig. 5.3 Parti ules i et j en dimension 2 : notations.
x = (. . . , xi , . . .) ∈ R2N , f = (. . . , fi , . . .) ∈ R2N ,
2N
e de masse de taille 2N × 2N et Gij = ∇x Dij ∈ R
.
Comme pré édemment, on pose
M = diag(. . . , mi , mi , . . .)
On a :
Comme
la matri
Gij (x) = (. . . , 0, −eij , 0, . . . , 0, eij , 0, . . . , 0)t .
i
j
dDij (x)
= Gij (x) · ẋ, l'espa e des vitesses admissibles s'é rit
dt


V ∈ R2N tq.


Cx,γ (t) =
Gij (x) · V = 0 si γij (t− ) < 0


 G (x) · V ≥ 0 si γ (t− ) = 0, D (t) = 0
ij
es
ij



λ = (. . . , λij , . . .) ∈ RN (N −1)/2 le ve teur des multipli ateurs de Lagrange asso iés
N(N − 1)/2 ontraintes et γ = (. . . , γij , . . .) ∈ RN (N −1)/2 les variables indiquant la
On note
à
ij




distan e mi ros opique pour
haque
ouple de parti ules pendant les quasi- onta ts. On
note enn R la matri e diagonale de taille N(N − 1)/2, de
rj )2 /(ri2 rj2 ) apparaisant dans la for e de lubri ation.
oe ients
Rij,ij = (ri +
Le modèle multi-parti ules s'é rit alors :
(PN′ )
122

x ∈ (W 1,∞ (I))2N , ẋ ∈ (BV (I))2N , γ ∈ (BV (I))N (N −1)/2 , λ ∈ (M(I))N (N −1)/2 ,






ẋ(t+ ) = PCx,γ (t) ẋ(t− )



X



M
ẍ
=
Mf
+
λij Gij (x)



i<j
supp(λij ) ⊂ {t, Dij (t) = 0} pour tout i, j





γ̇ = −Rλ






Dij ≥ 0, γij ≤ 0 pour tout i, j




x(0) = x0 tq Dij (0) > 0 pour tout i, j, ẋ(0) = u0 , γ(0) = 0RN(N−1)/2
5.2. Algorithme
Le multipli ateur de Lagrange
(i, j), n'est a
à
es
ontraintes est
dans le
λij ,
asso ié aux
λij Gij
et ne s'exer e don
−λij eij
onta t. Cette for e vaut selon
j.
5.2
ontraintes pour le
tif que si les deux parti ules sont en
ouple de parti ules
onta t. La for e supplémentaire asso iée
i et j
λij eij sur
que sur les parti ules
sur la parti ule
i
et
intervenant
la parti ule
Algorithme
5.2.1
E riture de l'algorithme multi-parti ules
′
La dis rétisation de (PN ) en temps hoisie est une extension dire te de l'algorithme 4.1
n
n
au as multi-parti ules. On se donne un pas de temps h et on note V = (. . . , Vi , . . .) ∈
R2N les vitesses des parti ules au temps n. Si K(xn , γ n ) est une approximation de Cx,γ (tn ),
l'algorithme ainsi obtenu s'é rit
Pour tout
n ≥ 0,
on dispose de
1. Evolution de
n
x
,
V
n
,
γ
n
et
λ
n
. On note
1
f =
h
n
x,
Z
tn+1
f(s)ds.
tn
xn+1 = xn + hun .
2. Evolution de
γ,
γ n+1 = γ n − hRλn ,
Si
γijn+1 > 0, γijn+1 = 0.
3. Cal ul de la vitesse a priori, sans gestion de la for e de lubri ation,
Vn+1/2 = Vn + hf n .
4. Proje tion de la vitesse sur l'espa e des vitesses admissibles,
Vn+1 ∈ K(xn+1 , γ n+1 ),
1 n+1
V
− Vn+1/2
2
2
M
On dispose alors du multipli ateur de lagrange
=
min
n+1
,γn+1 )
V∈K(x
1
V − Vn+1/2
2
2
M
.
λn+1 .
Algorithme 5.1: Modèle de onta t visqueux dans le as multi-parti ules.
Pour nir la des ription de et algorithme, il nous faut dénir, lors de l'étape de
n
n
proje tion 5, l'espa e K(x , γ ) de vitesses admissibles dis ret appro hant Cx,γ (tn ). Pour
ela, on s'inspire de l'algorithme de gestion des
é rit que les
onta ts présenté dans le
hapitre 3 et on
ontraintes doivent être vériées au premier ordre,
K(xn , γ n ) =
(
V
Dij (xn ) + hGij (xn ) · V ≥ 0
Dij (xn ) + hGij (xn ) · V = 0
si
γijn = 0
si
γijn < 0
)
.
123
Chapitre 5. Modèle de onta t visqueux et programmation dans le
5.2.2
as multi-parti ules
Proje tion
An de résoudre numériquement l'étape 4 de l'algorithme 5.1, on souhaite utiliser
l'algorithme d'Uzawa (voir se tion A.3 en annexe). Pour ela, on réé rit la
K(xn , γ n ) sous la forme d'une double ontrainte d'inégalité :
ontrainte
d'égalité
n
n
K(x , γ ) =
On note
Bn+
(
Dij (xn ) + hGij (xn ) · V ≥ 0, ∀i < j
V
Dij (xn ) + hGij (xn ) · V ≤ 0
la matri e de taille
N(N − 1)/2 × 2N


..
.


Bn+ =  −Gij (xn )

.
..
si
γijn < 0
)
.
dénie par

N(N−1)

 ∈ R 2 ×2N .

n
La ligne d'indi e ij de B+ orrespond au ouple de parti ules (i, j). Pour tout ve teur
2N
n
V ∈ R , on a (B+ V)ij = −Gij (xn ) · V. On note Bn− la matri e extraite de Bn+ ne
n
ontenant que les lignes d'indi e ij pour lesquelles γij < 0. Elle est de taille N− × 2N
n
où N− est le nombre d'adhésions au temps n. De même, on note D+ le ve teur de taille
N(N − 1)/2
des distan es à l'instant
n,

.
..


Dn+ =  Dij (xn )

.
.
.

N(N−1)

∈R 2

n
le ve teur extrait ne ontenant que les lignes pour lesquelles γij < 0. On dénit
n
n
nalement la matri e B et le ve teur D prenant en ompte toutes les ontraintes par
et
Dn−

Bn =
−Bn−
!
∈ R(
N(N−1)
+N−
2
)×2N , Dn =
Dn+
−Dn−
!
∈R
N(N−1)
+N−
2
.
N (N −1)
+
2
ontraintes anes, réelles d'inégalité et le théorème A.12 de l'annexe A donne l'exis-
Alors,
N−
Bn+
K(xn , γ n ) se réé
rit
K(xn , γ n ) = {V, hBn V − Dn ≤ 0}. On a maintenant
ten e d'autant de multipli ateurs de Lagrange asso iés. De plus, les propriétés A.15 et A.17
n
n
montrent que l'on peut al uler le projeté sur K(x , γ ) ainsi que les multipli ateurs de
Lagrange asso iés grâ e à l'algorithme d'Uzawa. On note
ξ
tipli ateurs et on le dé ompose sous la forme
ξ=
124
ξ+
ξ−
!
∈R
N(N−1)
+N−
2
.
le ve teur
ontenant
es mul-
5.2. Algorithme
L'algorithme d'Uzawa de paramètre
n,
ρ (xé) permettant d'ee
tuer l'étape 4, à l'instant
est alors le suivant :
Vn+1/2 , Dn+1
1.
et
Bn+1
N(N−1)
+N−
2
ξ 0 ∈ R+
donnés,
,
W0 = Vn+1/2
Dn+1 − hBn+1 Wk < −ε
2. Tant que
(a)
Wk+1 = Vn+1/2 − hM −1 (Bn+1 )t ξ k
(b)
ξk+1 = ΠRN(N−1)/2+N− ξk − ρ(Dn+1 − hBn+1 Wk+1)
+
3.
Vn+1 = Wk+1
4.
k+1
λn+1
= ξ+,ij
ij
si
γij = 0
k+1
k+1
λn+1
= ξ+,ij
− ξ−,ij
ij
si
γij < 0
Algorithme 5.2: Etape 4 de l'algorithme 5.1 : Algorithme d'Uzawa
n+1 t
)ξ
intervenir deux produits matri e/ve teur, le produit (B
n+1
dans l'étape 2a et le produit B
W dans l'étape 2b. Il est bien entendu que l'on ne ston
kera pas la matri e B intégralement mais seulement les eij . Les produits matri e/ve teur
Cet algorithme fait don
onsidérés s'é rivent en eet
((Bn+1 )t ξ)i =
X
j>i
−
ξ+,ij eij (xn+1 ) −
X
X
ξ+,ij eij (xn+1 )
j<i
ξ−,ij eij (xn+1 ) +
j>i
γij < 0
X
ξ−,ij eij (xn+1 )
j<i
γij < 0
et
(Bn+1 W)+,ij = eij (xn+1 )(Wi − Wj ),
∀i < j
(Bn+1 W)−,ij = −eij (xn+1 )(Wi − Wj ), ∀i < j, γij < 0
5.2.3
Re her he des voisins
L'étape la plus
oûteuse de l'algorithme 5.1 est l'étape de proje tion 4. En eet,
omme
nous venons de le voir, les produits matri e/ve teur impliqués font intervenir des bou les
2
onta ts dont le nombre est a priori en O(N ). An d'obtenir un algorithme e a e
sur les
utilisable pour un grand nombre de parti ules, il est don
né essaire d'implémenter
ette
étape de façon e a e.
Pour
e faire, on remarque qu'il n'est pas né essaire de prendre en
ompte toutes les
ontraintes. En eet, deux parti ules susamment éloignées à l'instant
adhérer à l'instant
n+1
et la
ontrainte asso iée ne sera don
n
ne pourront
pas a tivée. On note
Dvois
125
Chapitre 5. Modèle de onta t visqueux et programmation dans le
la distan e au delà de laquelle on
onsidère que deux parti ules ne sont pas sus eptibles
d'entrer en adhésion à l'instant suivant. Les
n
as multi-parti ules
ouples de parti ules à
onsidérer à l'instant
sont alors
Cvois (xn ) = (i, j) ∈ [1, N]2 , i < j
Cvois (xn ),
et
Dij (xn ) ≤ Dvois .
Si
(i, j)
n.
Elles sont alors sus eptibles d'adhérer à l'instant suivant et, dans e as, la ontrainte
n
ontraire, si (i, j) n'est pas dans Cvois (x ), on sait qu'il n'y aura
appartient à
on dira que les parti ules
i
j
et
sont voisines à l'instant
asso ié sera a tivée. Au
pas adhésion au temps suivant et que la
ontrainte asso iée à
e
onsidéré à l'instant n sera don

V, ∀(i, j) ∈ Cvois (xn ),



Dij (xn ) + hGij (xn ) · V ≥ 0
Kvois (xn , γ n ) =



D (xn ) + hG (xn ) · V = 0
L'espa e des
ouple ne sera pas a tivée.
ontraintes
ij
ij
si
si
γijn ≥ 0




.


γijn < 0 
Remarque 5.1 L'idée de ne pas prendre en ompte les parti ules trop éloignées est souvent utilisée quand on onsidère des intera tions interparti ulaires ave des for es à ourte
portée (dont l'intensité tend rapidement vers zéro quand la distan e augmente). Cette méthode équivaut à tronquer la for e et il s'agit don
d'une approximation. Dans notre
Dvois
il ne s'agit pas d'une approximation. En eet, si
ontraintes asso iées aux
pas a tives à l'instant
a été bien
ouples de parti ules qui ne sont pas dans
n + 1.
Nous
Cvois (xn )
al ul à l'autre. La distan e
est alors xée à quelques rayons.
Il reste à dé rire un algorithme permettant de
Cvois (xn ). Le
2
iées (en O(N ))
onstruire e a ement
par ours de tous les ouples de parti ules an de al uler les distan es asso
serait une méthode trop
oûteuse pour l'utiliser ave
un grand nombre de parti ules. On
hoisit d'utiliser un algorithme de type bu ket sorting. Son prin ipe
le domaine d'étude
Ω
est une parti ule de
onsiste à dé ouper
η > Dvois et à ne al uler que les distan
note Bkl la boîte [kη, (k + 1)η] × [lη, (l + 1)η].
en boîtes de taille
entre parti ules de boîtes voisines. On
i
ne seront
hoisissons un pas de temps tel que les parti ules ne se
dépla ent pas de plus de deux fois leur rayon d'un instant de
Dvois
as,
hoisi, on sait que les
ette boîte
(k, l),
on ne
al ulera sa distan e qu'ave
es
Si
des parti ules
appartenant à la même boîte et aux boîtes voisines. (voir gure 5.4).
L'algorithme de re her he des voisins utilisé est l'algorithme 5.3. On prend garde à
ne sto ker en mémoire que les boîtes non vides lors de l'étape 1. Cela a son importan e
lorsque toutes les parti ules sont regroupées dans un sous-domaine de
Ω
(penser à un
as de sédimentation des parti ules par exemple). En eet, ainsi, lors de l'étape 2, on ne
par ourt que les boîtes non vides, qui sont beau oup moins nombreuses que la totalité
des boîtes re ouvrant
parti ules à
Ω.
Noter également que
ha une des étapes 1 et 2 et, dans l'étape 2, pour
ren ontrées, il ne
al ule sa distan e qu'ave
voisines de la sienne dont le nombre est en
O(N 2 ).
parti ules en
126
et algorithme ee tue un par ours des
ha une des parti ules
les parti ules se trouvant dans les boîtes
O(1).
On évite ainsi le par ours emboîté des
5.2. Algorithme
parti ule i
(l + 1)η
lη
PSfrag repla ements
kη
(k + 1)η
Fig. 5.4 Algorithme de re her he des voisins : boîtes voisines et
al ul de distan es
1. Création des boîtes non vides :
Pour toute parti ule i,
(a) Cal ul de la boîte
(b) Si
Bkl
Sinon,
Bkl
dans laquelle elle se trouve
existe déjà, y ajouter la parti ule
réer
Bkl
et y mettre la parti ule
i
i
2. Re her he des voisins :
Pour toute boîte
Bkl
i de Bkl
Pour toute boîte Bk ′ l′ égale à Bkl
Pour toute parti ule j de Bk ′ l′
Pour toute parti ule
(a) Cal ul de
(b) Si
ou voisine (mais pas en ore visitée)
Dij (xn )
Dij (xn ) ≤ Dvois ,
ajouter
(i, j)
à
Cvois (xn ).
Algorithme 5.3: Algorithme de re her he des voisins
127
Chapitre 5. Modèle de onta t visqueux et programmation dans le
5.2.4
as multi-parti ules
Extensions possibles
Prise en
ompte de la rugosité
La loi gérant le
onta t visqueux apparaît dans l'étape 2. Si on souhaite modéliser
des parti ules rugueuses il faut xer un seuil pour
γ
(voir se tion 4.4.1). Si
vis osité du uide environnant, le seuil orrespondant au
γijmin = 6πµln(ri + rj ). L'étape 2 de l'algorithme devient
ouple de parti ules
µ est la
(i, j) est
γ n+1 = γ n − hRλn ,
Noter que, tant que l'on
R
Si
γijn+1 > 0, γijn+1 = 0,
Si
γijn+1 < γijmin , γijn+1 = γijmin .
onsidère des parti ules lisses, on peut rempla er la matri e
par l'identité dans l'algorithme 5.1. En eet, dans
au signe de
γ
important de
la matri e
R
et pas à sa valeur. Par
onnaître la valeur de
γ
ontre, dans le
e
as, on s'intéresse uniquement
as de parti ules rugueuses, il est
an de pouvoir xer son seuil
est indispensable. De même, dans
e
orre tement et alors
as, la vis osité du uide intervient.
Intégration à un solveur uide/parti ules
Comme dans le
as parti ule/plan (voir se tion 4.3.3), on utilise une méthode de split-
ting pour intégrer le modèle de lubri ation à la simulation d'é oulements uide/parti ules.
n
n
On note S un tel solveur uide/parti ules, (u , p ) les vitesses et pressions du uide au
temps
n.
On modie l'étape 3 de
Cal ul de
Cal ul de
al ul de la vitesse a priori et on la réé rit
(un+1 , pn+1 ) : (un+1 , pn+1 ) = S(xn+1 , un , f n )
Z
1
n+1/2
n+1/2
n+1
un+1
V
asso ié à u
: Vi
= 2
n+1
πri Bi
Gestion des obsta les
No obsta les (penser aux parois d'une boîte ontenant
les parti ules par exemple). Dans e as, aux N(N −1)/2 ouples parti ule/parti ule il faut
ajouter les NNo ouples parti ule/obsta le. Il y a don Nc = N(N −1)/2+NNo adhésions
n
n
potentielles. γ et λ sont alors de taille Nc et il y a Nc ontraintes dans K(x , γ ). On
numérote les parti ules de 1 à N et les obsta les de N + 1 à N + 1 + No . L'espa e des
Supposons maintenant qu'il y ait
vitesses admissibles s'é rit dans
e
as

V, ∀(i, j) ∈ [1, N]2 ∪ [1, N] × [N + 1, N + 1 + No ], i < j,



Dij (xn ) + hGij (xn ) · V ≥ 0 si γijn = 0
K(xn , γ n ) =



D (xn ) + hG (xn ) · V = 0 si γ n < 0
ij
ij
ij




.



Supposons que les obsta les soient des solides dont la vitesse est imposée dans le
temps (penser à une boîte qui tourne par exemple). Dans
128
e
as, à l'itération
n−1
de
5.2. Algorithme
les
Vn
telle que, à l'instant n + 1,
K(xn , γ n ). On
n+1
ontraintes d'adhésion parti ule/obsta le. On note y
l'algorithme, l'étape 4 a pour obje tif d'obtenir une vitesse
ouples de parti ules vérient les
souhaite maintenant ajouter les
ontraintes d'adhésion données dans
la position ( onnue) de es obsta les au temps n + 1 et on ajoute les NNo ontraintes
n
n
asso iées dans K(x , γ ). On obtient l'espa e de vitesses admissibles suivant,
K(xn , yn+1 , γ n ) =












Couples
(i, j)
Dij (xn ) + hGij (xn ) · V ≥ 0
Dij (xn ) + hGij (xn ) · V = 0
V
(i, k)











Couples
Dik
ne dépend que de












parti ule/parti ule :
si
γijn = 0
si
γijn < 0
parti ule/obsta le :
Dik (xn , yn+1) + hGik (xn , yn+1 ) · V ≥ 0
Dik (xn , yn+1) + hGik (xn , yn+1 ) · V = 0
si
si
.





n

γik = 0 




n
γik < 0
Remarque 5.2 Dans es deux as, la position des obsta les étant onnue et xée au temps
xi , si i est une parti ule et k un obsta
son gradient n'a de omposante non nulle qu'en position i. Par onséquent, la
asso iée au ouple (i, k) n'ajoute de for e que sur la parti ule i.
onsidéré, la distan e
5.2.5
le. Ainsi,
ontrainte
Premiers résultats numériques
Nous présentons dans
ette se tion de premiers résultats qui permettent d'observer le
omportement du modèle multi-parti ules. Bien que
es simulations n'intègrent au une
prise en ompte du uide autrement que par la for e de lubri ation, elles ont été ee tuées
ave
FreeFem++,
en vue d'un
ouplage futur ave
dé rite dans la première partie. Les
la résolution dire te uide/parti ule
ouples de parti ules sont tous pris en
ompte sans
re her he des voisins.
Billard visqueux
0n
onsidère deux parti ules sphériques lisses de rayon
située initialement en
(0, 0) et la se
onde en
r = 0.02.
(−0.25, −0.25). La parti
est supposée immobile à l'instant initial. On lan e la se onde ave
0.2 ∗ (0.25, (0.25 − r)).
par l'algorithme de
Le pas de temps utilisé est
Les
ule située à l'origine
pour vitesse initiale
ongurations obtenues
onta t visqueux 5.1 sont représentées sur la gure 5.5 page 130. Au
moment de l'impa t, les parti ules se
tant que la for e
h = 0.5r .
La première est
entrifuge n'a pas
ollent l'une à l'autre. Elles
ontinuent à adhérer
ompensé l'impa t initial.
Loto visqueux : inuen e de la rugosité
L'obje tif de
ette simulation est d'observer l'inuen e de la rugosité sur le
tement des systèmes régis par le modèle de
onta t visqueux. Pour
loto visqueux formé de 160 parti ules dans un mélangeur
de
té
0.5 et les rayons des parti
initialement situées dans le
ules sont
ompris entre
ompartiment de droite sont
ela, on
ompor-
onsidère un
arré en rotation. La boîte est
0.007 et 0.015. Les 80 parti ules
olorées en noir et les 80 autres
129
Chapitre 5. Modèle de onta t visqueux et programmation dans le
sont blan hes. On représente
te à
nues à diérents pas de temps pour
au
entre (parti ules rugueuses) et
que la prise en
as multi-parti ules
te sur la gure 5.6 page 131 les
γmin = 0 à gau
γmin = −∞ à
ongurations obte-
he ( onta ts inélastiques),
γmin = −1
droite (parti ules lisses). On observe
ompte de la vis osité provoque l'adhésion des parti ules (au
droite de la gure). Dans le
entre et à
as de parti ules lisses (à droite de la gure), les amas ne se
dé ollent de la paroi que lorsqu'ils sont en haut de la boîte :
omme le suggère le modèle
parti ule/plan, il ne peut y avoir dé ollement que lorque la gravité a
ompensé les eorts
qu'elle a elle-même exer és, quand elle tendait à pousser les parti ules vers la paroi du
fond. Dans le
as rugueux (au
entre), le dé ollement est plus rapide.
t =0
t =288
t =432
t =504
t =552
t =600
t =672
t =768
t =840
t =888
t =1008
t =1056
t =1104
t =1152
t =1344
t =1494
Fig. 5.5 Billard visqueux :
130
ongurations à diérents pas de temps
5.2. Algorithme
t =0
t =0
t =0
0.4
0.4
0.4
0.3
0.3
0.3
0.2
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
0
0
0
−0.1
−0.1
−0.1
−0.2
−0.2
−0.2
−0.3
−0.3
−0.4
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
−0.4
−0.4
−0.3
−0.3
−0.2
−0.1
t =980
0
0.1
0.2
0.3
0.4
−0.4
−0.4
0.4
0.3
0.3
0.3
0.2
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
0
0
0
−0.1
−0.1
−0.1
−0.2
−0.2
−0.2
−0.3
−0.3
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
−0.4
−0.4
−0.2
−0.1
t =1980
0
0.1
0.2
0.3
0.4
−0.4
−0.4
0.3
0.3
0.3
0.2
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
0
0
0
−0.1
−0.1
−0.1
−0.2
−0.2
−0.2
−0.3
−0.3
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
−0.4
−0.4
−0.2
−0.1
t =2980
0
0.1
0.2
0.3
0.4
−0.4
−0.4
0.3
0.3
0.3
0.2
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
0
0
0
−0.1
−0.1
−0.1
−0.2
−0.2
−0.2
−0.3
−0.3
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
−0.4
−0.4
−0.2
−0.1
t =3980
0
0.1
0.2
0.3
0.4
−0.4
−0.4
0.3
0.3
0.3
0.2
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
0
0
0
−0.1
−0.1
−0.1
−0.2
−0.2
−0.2
−0.3
−0.3
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
−0.4
−0.4
−0.2
−0.1
t =4980
0
0.1
0.2
0.3
0.4
−0.4
−0.4
0.3
0.3
0.3
0.2
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
0
0
0
−0.1
−0.1
−0.1
−0.2
−0.2
−0.2
−0.3
−0.3
−0.1
0
0.1
0.2
Fig. 5.6 Loto visqueux :
( onta t inélastique),
(parti ules lisses)
0.3
0.4
−0.4
−0.4
0.1
0.2
0.3
0.4
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.1
0.2
0.3
0.4
t =4980
0.4
−0.2
−0.3
t =4980
0.4
−0.3
0
−0.3
−0.3
0.4
−0.4
−0.4
0.4
t =3980
0.4
−0.2
−0.1
t =3980
0.4
−0.3
0.3
−0.3
−0.3
0.4
−0.4
−0.4
0.2
t =2980
0.4
−0.2
−0.2
t =2980
0.4
−0.3
0.1
−0.3
−0.3
0.4
−0.4
−0.4
0
t =1980
0.4
−0.2
−0.3
t =1980
0.4
−0.3
−0.1
−0.3
−0.3
0.4
−0.4
−0.4
−0.2
t =980
0.4
−0.4
−0.4
−0.3
t =980
0.4
−0.3
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
−0.4
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
γmin = 0 à gau he
γmin = −∞ à droite
ongurations à diérents pas de temps pour
γmin = −1
au
entre (parti ule rugueuse) et
131
Chapitre 5. Modèle de onta t visqueux et programmation dans le
5.3
as multi-parti ules
Programmation Orientée Objet
5.3.1
Méthodologie et obje tifs
Méthodologie
La méthode de programmation utilisée s'inspire de
elle proposée dans le projet CSi-
Moon (Cal ul S Ientique, Méthodologie Orientée Objets et eNvironnement). Cette méthode est dé rite dans [52℄. Ses obje tifs sont par exemple la pérennisation des
odes
de re her he, l'e a ité, la vitesse de développement, la modularité. Un utilisateur nal
doit pouvoir travailler sans avoir à re ompiler. Les auteurs souhaitent également fa iliter
le travail
reste du
olle tif et donner la possibilité d'agir sur les méthodes indépendamment du
ode. Pour
ela, ils proposent un dé oupage pré is des
lasses en fon tion des
ompéten es. Un premier dé oupage verti al hiérar hique à trois niveaux est proposé : le
premier niveau
omprend le dénition du problème
ontinu, le se ond la des ription de la
méthode de dis rétisation et le dernier la résolution du problème algébrique. Cha un de
es niveaux est dé oupé horizontalement en quatre blo s : le problème, les opérateurs, les
variables et le domaine de
al ul.
Nous souhaitons développer un
mettre à d'autres
algorithmes. Par
ode de re her he dont l'un des obje tifs est de per-
her heurs/do torants de l'utiliser an de tester d'autres modèles ou
onséquent, dans
e travail, nous nous sommes
on entrés sur la réso-
lution d'une étape en temps an de la rendre la plus modulable possible, tant au niveau
algorithmique qu'au niveau du modèle de
programmer que le niveau dis ret, le
ment, si né essaire, un niveau
problème
onta t utilisé. Nous avons don
ode étant
hoisi de ne
onstruit an de pouvoir y ajouter fa ile-
ontinu qui permettrait à un utilisateur nal de dénir son
ontinu et de le résoudre sans se sou ier de la méthode de dis rétisation
hoisie.
An de répondre à l'obje tif de modularité, nous nous sommes atta hés à dé ouper
notre problème en variables et opérateurs. Ce travail a été ee tué en
4
ollaboration ave
5
deux des développeurs de CsiMoon, Ja ques Laminie et Stéphane Labbé . Notre réexion
s'est appuyée sur l'utilisation d'UML, support méthodologique permettant de modéliser
graphiquement les diérentes
les
lasses et leurs intera tions (Voir l'annexe E où l'on donne
onventions graphiques utilisées). Ce travail préliminaire nous a ensuite permis une
programmation rapide et e a e de l'algorithme en C++. Les diérents diagrammes de
lasse ont été tra és ave
le logi iel
ArgoUML
(voir [7℄). Ce dernier permet également, à
partir de e diagramme de générer les lasses C++ asso iées ave
et des méthodes.
4 Laboratoire
5 Laboratoire
132
de Mathématiques, Université Paris-Sud, Orsay, Fran e
LJK, Université Joseph Fourier, Grenoble, Fran e
dé larations des attributs
5.3. Programmation Orientée Objet
Obje tifs
Après avoir xé les obje tifs généraux, nous pré isons
notre
e que nous en attendons pour
ode :
1. Obje tifs utilisateur
(a) Modi ation possible des données sans re ompiler
(b) Diérents types de sorties possibles : observation graphique en temps réel,
réation d'un lm, enregistrement des résultats
2. Obje tifs de modularité du modèle
(a) Possibilité de gérer diérentes formes d'obsta les
(b) Possibilité de gérer des obsta les immobiles ou à vitesse imposée
( ) Possibilité d'implémenter diérentes lois de onta t (étape 2 de l'algorithme 5.1).
Par exemple :
onta t inélastique (γ toujours nul),
onta t rugueux (seuil de
γ)
(d) Possibilité d'intégration à un
ode d'é oulements uide/parti ules
(e) Possibilité d'utilisation pour simuler des mouvements de foule ( ela
essentiellement à modier le
onsiste
al ul de la vitesse a priori, voir [66℄)
3. Obje tifs de modularité algorithmique
(a) Méthode de
al ul des voisins modiable
(b) Méthode de proje tion modiable
Comme nous l'avons dit pré édemment, il s'agit également d'un
ode qui doit pouvoir
être modié, adapté, testé par des a teurs diérents. An de leur permettre e travail, nous
do umentons
i-dessous les
lasses programmées et expliquons les
hoix ee tués. Pour
ela, nous nous appuierons sur les Diagrammes UML simpliés asso iés. Les diagrammes
détaillés se trouvent en annexe E.
133
Chapitre 5. Modèle de onta t visqueux et programmation dans le
5.3.2
Les
as multi-parti ules
lasses Variable
Les variables sont les
lasses sur lesquelles on agit,
e sont les in onnues du problème.
Nous dé rivons i i leurs attributs et méthodes prin ipaux.
Classe
La
Obje t
lasse
Obje t
représente les objets physiques du problème. Il peut s'agir de parti-
ules (toujours sphériques) ou d'obsta les.
Fig. 5.7 Diagramme des
•
lasses simplié : Classe
Obje t
Attributs :
un numéro de
0
à
N −1
pour les parti ules et de
−(N0 − 1 + N)
à
−N
pour les
obsta les. Cela nous permettra de repérer les obsta les au signe de leur numéro
et de trier les objets par type.
Un attribut de la
saires à la loi de
lasse
Param_loi_Obje t
onta t utilisée. Dans le
qui
ontient les paramètres né es-
as de l'algorithme 5.1, la loi de
onta t (étape 2) ne fait intervenir au un paramètre lié aux objets et la
Param_loi_Obje t est don
vide. On a
ependant pris la pré aution de la
façon à pouvoir par exemple par la suite généraliser l'algorithme au
En eet, dans
et
•
e
as, le seuil de
γij
dépend de la rugosité de
lasse
réer de
as rugueux.
ha un des objets
i
j.
Méthodes :
Méthode permettant de le faire évoluer d'un pas de temps à l'autre en fon tion
de sa vitesse.
Deux méthodes permettant de
asso ié. Dans le as de
al uler sa distan e à une parti ule et le gradient
onta ts parti ule/obsta le, il faudra don
garde à appeler les fon tions distan e et gradient de l'obsta le.
134
toujours prendre
5.3. Programmation Orientée Objet
•
La
lasse lle
Parti le
possède
omme attributs supplémentaires son rayon, sa
masse, sa position, sa vitesse et sa vitesse a priori. L'évolution d'un pas de temps à
l'autre se fait en utilisant sa vitesse.
•
La
lasse lle
Obsta le possède un attribut de
lasse
Movement qui sera utilisé pour
le faire évoluer d'un instant à l'autre. Il s'agit du type de mouvement imposé à
l'obsta le. Cette
lasse possède des méthodes permettant de renvoyer le
entre de
rotation ainsi que les vitesses de rotation et de translation à un instant donné. La
lasse lle a tuellement programmée a un mouvement indépendant du temps mais
on a utilisé un héritage an de pouvoir par la suite programmer des mouvements plus
omplexes. Les obsta les a tuellement disponibles sont des disques ou des segments.
Il est possible d'y ajouter tout type d'obsta le pour lequel on sait implémenter les
fon tions distan e et gradient par rapport à une sphère.
Classe
La
Conta ts
lasse
Conta t
représente les
onta ts entre deux éléments de
Fig. 5.8 Diagramme des
•
Attributs :
A
ès aux deux objets
obj_i
et
lasses simplié : Classe
obj_j
lasse
Conta t
impliqués via deux pointeurs.
deux attributs booléens disant s'il s'agit d'un
onta t parti ule/parti ule ou par-
ti ule/obsta le et s'il y a adhésion entre les deux objets au temps
distan e entre les deux objets, gradient asso ié, valeur de
ourant.
Comme les objets, il possède un paramètre
prendre en
aux rugosités des objets
type
Param_proj.
ontenir, dans le
obj_i
et
obj_j.
γij
ourant.
et
Param_loi_Conta t
ompte diérents types de loi de
mais pourra par exemple
Obje t.
λij
au temps
permettant de
onta t. Il est a tuellement vide
as rugueux, le seuil de
γij
asso ié
Il possède également un attribut de
Il s'agit des paramètres qui seront né essaires à l'étape de
proje tion 4. Ces paramètres peuvent être diérents selon le type de proje tion
hoisie. Pour l'instant, on ee tue l'étape de proje tion grâ e à un algorithme
135
Chapitre 5. Modèle de onta t visqueux et programmation dans le
as multi-parti ules
d'Uzawa (voir algorithme 5.2) et les paramètres asso iés à un
sont
•
ξ+,ij
et
onta t dans
e
as
ξ−,ij .
Méthodes :
Méthodes permettant de
al uler la distan e et le gradient asso ié des objets mis
en jeu. Il faut s'assurer que, dans le
bien les fon tions
onta t parti ule/obsta le, on appelle
orrespondantes de l'obsta le. Pour
obj_i et l'obsta
appelées sur obj_j.
asso ier la parti ule à
seront toujours
as d'un
Pour ee tuer la mise à jour des
le
onta ts à
ouple
un opérateur '<' qui les
(num_i,num_j),
hoisi de toujours
tions distan e et gradient
haque instant et ne garder que les
onta ts a tifs, il sera né essaire d'avoir une liste de
possèdent don
ela, on a
obj_j. Les fon
onta ts triée. Les
onta ts
lasse selon l'ordre lexi ographique des
numéros des objets
orrespondants.
Gestion de la mémoire
Il s'agit i i de sto ker en mémoire les variables. On a deux types d'ensembles : les
ensembles d'objets et les ensembles de
Fig. 5.9 Diagramme des
Les
lasses
jets et de
onta ts.
lasses simplié : Classes
Nuage_h et Intera tions_h ont a
onta ts à l'instant
Ens_Obje ts
et
ès respe tivement aux ensembles d'ob-
ourant. Elles ont été
réées an de pouvoir, par la suite,
utiliser des s hémas de dis rétisation à plus d'un pas de temps. Dans
auront a
e
as,
es
lasses
ès à autant d'ensembles que de pas de temps né essaires au s héma.
Commençons par dé rire la
•
Ens_Conta ts
lasse
Ens_Obje ts
:
Attributs :
Nombre d'objets, de parti ules et d'obsta les.
Ensemble d'objets. Le nombre d'objets étant i i hoisi onstant, on utilise la
ve tor de la STL (Standard Template Library). Les objets sont pla
lasse
és en fon tion
de leur numéro, les parti ules venant en premier et les obsta les ensuite. An de
pouvoir modier
e sto kage si né essaire par la suite,
e ve teur est bien entendu
privé et on implémente les itérateurs né essaires dans les méthodes de la
•
lasse.
Méthodes :
Méthodes renvoyant des itérateurs sur le début et la n des objets, des parti ules et
des obsta les. Cela permet de par ourir fa ilement tous les objets ou uniquement
136
5.3. Programmation Orientée Objet
les parti ules ou les obsta les.
Méthode qui fait évoluer tous les objets d'un pas de temps à l'autre
La parti ularité de l'ensemble des
varie d'un instant à l'autre. La
•
onta ts est que le nombre d'éléments qu'il
Ens_Conta ts
lasse
a été
onstruite
ontient
omme suit :
Attributs :
Ensemble de
onta ts. On a
hoisi d'utiliser la
lasse
list de la STL. La liste des
onta ts est triée lors de son initialisation au premier pas de temps. Ensuite, à
haque pas de temps, pour la mettre à jour, on la par ourt dans l'ordre et, suivant
les as, on met à jour le onta t ourant, on le supprime ou on en insère un nouveau
en prenant garde à
dans le
onserver une liste triée (voir
Comme
as de l'ensemble d'objets, on implémente les itérateurs né essaires.
Distan e minimale parmi les
•
Conta t_law_h).
lasse
onta ts de la liste
Méthodes :
Méthode triant la liste (appelée une unique fois)
Méthodes renvoyant des itérateurs sur le premier et le dernier élément de la liste.
Suppression ou insertion d'un
5.3.3
Les
Les
onta t
lasses Opérateur
lasses opérateur agissent sur les variables et ont
liée en général à une étape de l'algorithme. Pour
ha une une fon tion bien dénie
ha une de
es
lasses, la te hnique
utilisée pour réaliser son obje tif doit pouvoir être modiée sans impa t sur le reste du
ode. C'est pourquoi on les
onstruit
général une unique méthode appelée
omme des
run
a tion. On peut ensuite implémenter diérentes
algorithme ou un modèle diérent. Pour
fon tion (ie sa méthode
Classe
run)
lasses mères virtuelles possédant en
ara térisée par ses arguments, ses sorties et son
lasses lles
orrepondant
haque opérateur, nous dé rivons
et pré isons la
ha une à un
i-dessous sa
lasse lle que nous avons implémentée.
Conta t_law_h
Cet opérateur est
elui qui réalise l'étape 2 de l'algorithme.
Fig. 5.10 Diagramme des
lasses simplié : Classe
Conta t_law_h
137
Chapitre 5. Modèle de onta t visqueux et programmation dans le
•
Fon tion de
Conta t_law_h
:
Cet opérateur prend en argument les
n+1
as multi-parti ules
onta ts à l'instant
n,
les objets à l'instant
ainsi que le pas de temps.
Il met à jour la liste des
onta ts à l'instant
il supprime de la liste les
il y ajoute les
n+1
:
onta ts asso ié à des objets trop éloignés,
onta ts asso ié à des objets susamment pro hes et risquant de
se ren ontrer à l'instant suivant,
n+1
il al ule γij
pour les onta ts qui se maintiennent d'un instant à l'autre.
Pour ela, on pro ède en deux étapes :
Cal ul des voisins :
onsidérées
réation d'une liste triée des
omme voisines à l'instant
n+1
ouples de parti ules étant
n+1
(ie appartenant à Cvois (x
),
déni à la se tion 5.2.3). Cette étape est ee tuée par l'opérateur de
Meth_Neighbourgs
par ours simultané des listes de voisins et de
jour de
•
Fon tion de
onta ts pour ee tuer la mise à
es derniers.
Meth_Neighbourgs
:
Cet opérateur prend en argument l'ensemble des objets à un instant
Il renvoit une liste triée par ordre lexi ographique des
n+1
appartenant à Cvois (x
).
•
lasse
ouples d'entiers
(i, j)
Classes lles implémentées :
No_bound_Conta t_law orrespond au modèle de onta t visqueux lisse
(sans seuil pour γ ). Il est possible d'implémenter une lasse xant un seuil pour
γ grâ e à l'attribut de type Param_loi_Conta t de la lasse Conta t. Cela per-
La
lasse
met alors d'utiliser le modèle de
implémenter une
onta t visqueux rugueux. On peut également
lasse lle asso iée au modèle de
γ nul.
Meth_Neighbourgs_Boxes
onta t inélastique en laissant
onstamment
La
lasse
ee tue la re her he des voisins selon l'algo-
rithme 5.3.
Classe
Vitesse_a_priori_h
Cet opérateur est
•
Fon tion de
elui qui réalise l'étape 3 de l'algorithme.
Vitesse_a_priori_h
:
Elle prend en argument des éléments de
lasse
Nuage_h et Intera tions_h,
ainsi
que le pas de temps
Elle renvoie la vitesse a priori
Pour
don
ela, elle a besoin de
un attribut de type
al ulée avant gestion des
onta ts
onnaître la for e exer ée sur les parti ules. Elle possède
F_ext
qui renvoie, à un instant donné la for e exer ée
sur la parti ule qui lui est donnée en argument.
•
Classe lle implémentée :
La
lasse
Vap_EDO_u_h
est l'implémentation du s héma d'Euler expli ite donné
à l'étape 3 de l'algorithme 5.1. Grâ e aux deux arguments de type
Intera tions_h,
on pourrait par la suite lui donner a
Nuage_h
et
ès à plusieurs pas de temps
sauvegardés et ainsi implémenter des s hémas à plusieurs pas de temps. On peut intégrer à
138
e niveau un solveur uide/parti ules an de prendre en
ompte la for e de
5.3. Programmation Orientée Objet
Fig. 5.11 Diagramme des
lasses simplié : Classe
Vitesse_a_priori_h
lubri ation dans des simulations numériques de tels é oulements. C'est également
i i qu'on peut implémenter une vitesse souhaitée an de simuler numériquement des
mouvements de foule (voir [66℄).
Classe
Meth_Proje tion
Cet opérateur est
elui qui réalise l'étape 4 de l'algorithme.
Fig. 5.12 Diagramme des
•
Fon tion de
Meth_Proje tion
lasses simplié : Classe
Meth_Proje tion
:
Elle prend en argument l'ensemble des objets, l'ensemble des
onta ts et le pas
de temps
Elle possède en attribut un ve teur
M
de taille égale au nombre de parti ules.
Elle ee tue la proje tion de la vitesse a priori des objets sur l'espa e des vitesses
admissibles donné par les
donnés dans
•
M
onta ts, pour le produit s alaire asso ié aux poids
Classe lle implémentée :
La
Meth_Proje tion_Uzawa est l'implémentation de
modèle, le ve teur M orrespond aux masses des parti
lasse
notre
mettre en attribut an de permettre l'utilisation de
ette
l'algorithme 5.2. Dans
ules. On a
hoisi de le
lasse opérateur pour des
139
Chapitre 5. Modèle de onta t visqueux et programmation dans le
as multi-parti ules
proje tions ave d'autres produits s alaires telles que la proje tion orthogonale dans
l2 par exemple. Cela sera utile par exemple pour le modèle de mouvement de foule.
5.3.4
La Classe Problème
Il s'agit d'une
lasse parti ulière d'opérateur regroupant les pré édents et permettant
de faire évoluer le système.
Fig. 5.13 Diagramme des
•
Attributs de
Elle a a
Problem_h
ès aux ensembles d'objets et de
Intera tions_h
Elle
_nuage_h
onnait le pas de temps
et
_dt
Elle possède également un attribut
système selon le modèle
•
Fon tion de
Problem_h
Probleme_h
:
teurs vers des éléments
et
lasses simplié : Classe
onta ts mémorisés à travers des poin-
_inter_h
_Sh
respe tivement de
de type
Solution_h
lasse
Nuage_h
qui fait évoluer le
hoisi pendant une durée qui lui est donnée en argument.
:
t1 et t2
t1 et t2 en
prend en entrée deux instants
fait évoluer le système entre
intervalles de taille
_dt
et en appliquant
dé oupant l'intervalle [t1,t2℄ en sous-
_Sh
sur
ha un de
es sous-intervalles.
Cela permet à l'utilisateur de diéren ier le pas de temps (petit) utilisé pour le
al ul et
140
elui utilisé pour les sauvegardes
5.3. Programmation Orientée Objet
•
Code de la méthode
run
de
Problem_h
:
void Problem_h : :run(int DIM, double t1, double t2)
{
for(double t=t1 ; t<t2 ; t=t+_dt)
{
_Sh->run(DIM,_nuage_h,_inter_h,_dt) ;
}
}
Solution_h :
_ ont_law_h, pointeur sur un élément de lasse Conta t_law_h
_vap_h, pointeur sur un élément de lasse Vitesse_a_priori_h
_meth_proj, pointeur sur un élément de lasse Meth_Proje tion
• Fon tion de Solution_h :
prend en entrée des arguments _nuage_h et _inter_h respe tivement pointeurs
vers des éléments de lasse Nuage_h et Intera tions_h
prend en entrée une durée _dt
fait évoluer _nuage_h et _inter_h pendant la durée _dt en leur appliquant une
•
Attributs de
•
Code de la méthode
étape de l'algorithme 5.1.
5.3.5
run
de
Solution_h
:
void Solution_h : :run(int DIM, Nuage_h* nuage_h, Intera tions_h*
inter_h, double dt)
{
_vap_h->run(DIM,nuage_h,inter_h,dt) ;
_meth_proj->run(nuage_h->tn(),inter_h->tn(),dt,DIM) ;
(nuage_h->tn())->evol(dt) ;
ont_law_h->run(inter_h->tn(),nuage_h->tn(),dt,DIM) ;
}
Le
ode et son utilisation
Fi hiers d'entrée
An de permettre l'utilisation du
ode sans avoir à le re ompiler à
de paramètre, il lit en entrée deux hiers. Le premier,
modèle (problème
data,
haque
hangement
ontient les données liées au
ontinu), aux sorties souhaitées par l'utilisateur et à la dis rétisation
(problème dis ret). Le se ond hier,
onfig
ontient la des ription de la
onguration
(les objets) à l'instant initial.
141
Chapitre 5. Modèle de onta t visqueux et programmation dans le
Exemple de hier
data
as multi-parti ules
:
================================
CONTINUOUS PROBLEM
================================
2
DIM
1
TYPE OF CONTACT LAW
(1 = no bound on gamma)
1
TYPE OF VAP
(1 = EDO_u)
1 TYPE OF EXTERNAL FORCE (1 = gravity)
10 g
gravity
5
0
1
3
final time
reating a movie ?
plotting while omputing ?
nb of time steps between two images
of the movie or/and between two
plotting times
================================
DISCRETE PROBLEM
================================
0.5
dt*umax/rmin
(maximal distan e overed during one
time step)/radius
142
T
save
plot
dn_save
1
0.15
0.02
10000
PROJECTION METHOD
rho*dt*dt
eps/rmin
maxiter
(1=Uzawa)
uzawa parameter
uzawa stopping riterion
maximal number of iterations of uzawa
1
NEIGHBOURGS METHOD (1=Boxes)
5.3. Programmation Orientée Objet
Nous présentons
l'instant
i-dessous un exemple de hier
réées aléatoirement. D'autres modes de
suite. La n du hier
onfig.
Les parti ules sont pour
réation peuvent être prévus par la
orrespond à la des ription des obsta les à l'instant initial. Elle se
fait sous la forme suivante :
pour un disque de
entre
(x0, y0) et de rayon r : 1 x0 y0 r,
(x1, y1) et (x2, y2) : 2 x1 y1 x2 y2.
pour un segment d'extrémités
100 NbP Number of Parti les
32 NbO Number of Obsta les
================================
PARTICLES
================================
1 METHOD TO
0.04 rmin
0.05 rmax
-2
xmin
2
xmax
-3
ymin
2
ymax
1
m
CREATE PARTICLES (1 = random, uinit=0)
minimal radius for the parti les
maximal radius for the parti les
minimal x for the initial enter of the
maximal x for the initial enter of the
minimal y for the initial enter of the
maximal y for the initial enter of the
mass of the parti les
parti
parti
parti
parti
les
les
les
les
================================
OBSTACLES
================================
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
2
2
2
2
SAME MOVEMENT FOR EVERYONE ?
type of this movement (1 = onstant)
u[0℄
translational velo ity
u[1℄
xo[0℄
rotational enter
xo[1℄
w
rotational velo ity
-1.1
1.1
-0.9
-2
-2
2
2
1
1
0
-12
2
2
-12
0.06
0.06
0.06
-2
2
2
-2
2
2
-12
-12
143
Chapitre 5. Modèle de onta t visqueux et programmation dans le
as multi-parti ules
Sorties
Une
lasse
Out
de type opérateur est également
réée an de gérer les sorties. Sa
fon tion peut être de sauvegarder les données, de faire une sortie graphique sur l'é ran ou
de l'intégrer à un lm. Cette
lasse utilise des
lasses VTK (Visual ToolKit). Nous ne la
détaillerons pas i i.
la fon tion
main
La fon tion
main
se dé oupe alors
int main(int arg ,
{
omme suit :
har* argv[℄)
//Le ture du fi hier data
...
//Le ture du fi hier onfig
...
//Creation des variables et operateurs
...
orrespondants
//BOUCLE
for(double t=0 ;t<T ;t=t+dt_save)
{
out"t="t" : " ;
pb_h->run(2,t,t+dt_save) ;
out->run() ;
}
}
5.3.6
Ce
Résultats numériques : sédimentation de 1000 parti ules
ode nous permet d'ee tuer des simulations d'un grand nombre de parti ules
visqueuses. Nous représentons sur la gure 5.14 les
ongurations obtenues à diérents
pas de temps pour la sédimentation de 1000 parti ules dans une boîte fermée
24 obsta les sphériques. Les parti ules sont de rayons
des obsta les est
144
ompris entre
0.015
et
0.025,
elui
hoisit le pas de temps de sorte que les parti ules ne par ourent
0.5 fois leur rayon entre deux instants de al ul. La boîte est de largeur 2 et
6. A l'instant initial, toutes les parti ules se situent à une distan e du haut de
inférieure à 2.
pas plus de
de hauteur
la boîte
0.05. On
ontenant
5.3. Programmation Orientée Objet
Fig. 5.14 Sédimentation de 1000 parti ules :
ongurations à diérents pas de temps
145
Chapitre 5. Modèle de onta t visqueux et programmation dans le
146
as multi-parti ules
Troisième partie
Du mi ros opique vers le
ma ros opique
147
Chapitre 6
Un modèle
ontinu de boulier visqueux
Sommaire
6.1
6.2
6.3
Modèle du boulier visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.1.1
Modèle dis ret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
6.1.2
Vers un modèle
155
ontinu : appro he formelle . . . . . . . . .
Convergen e du modèle dis ret vers le modèle
6.2.1
Sens donné au modèle
6.2.2
Un opérateur mi ro-ma ro
ontinu
6.2.3
Résultat de
ontinu . . 157
. . . . . . . . . . . . . . . .
157
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
onvergen e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
Démonstration des lemmes
149
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Chapitre 6. Un modèle
Résumé : On
ontinu de boulier visqueux
onsidère un système dis ret de sphères (un boulier en 1D) qui
interagissent à travers une for e de lubri ation. Cette for e est dissipative et
singulière au voisinage du
onta t : elle se
omporte
tan e interparti ulaire. On propose une équation
est
onstruite
omme le pendant
mi ros opique. Le modèle
omme l'inverse de la dis-
onstitutive ma ros opique qui
ontinu naturel de
e modèle de lubri ation
ontinu, de type Newtonien, repose sur une vis osité
linéique proportionnelle à l'inverse de la fra tion lo ale de uide. On établit ensuite la
onvergen e dans un sens faible des solutions du modèle dis ret vers les
solutions du système d'équations aux dérivées partielles
ma ros opique
omprenant l'équation
onsititutive proposée et l'équation de transport.
Abstra t : We
onsider here a dis rete system of spheres (a
hain in 1D) in-
tera ting through a lubri ation for e. This for e is dissipative, and singular near
onta t : it behaves like the re ipro al of interparti le distan e. We propose a maros opi
onstitutive equation whi h is built as the natural
part of this mi ros opi
ontinuous
ounter-
lubri ation model. This model, whi h is of the newtonian
type, relies on an elongational vis osity, whi h is proportional to the re ipro al
of the lo al uid fra tion. We then establish the
onvergen e in a weak sense
of the solutions to the dis rete problem towards the solution to the system of
partial dierential equations whi h is
ma ros opi
omposed of the equation identied as the
onstitutive equation and the transport equation.
Introdu tion
Une manière d'obtenir de l'information sur le
omportement global de suspensions
très denses est d'ee tuer une étude asymptotique de quantités ma ros opiques lorsque
l'on s'appro he de la densité maximale. Par exemple, dans [33℄, les auteurs étudient la
vis osité apparente de solutions formées d'un réseau périodique de parti ules solides immergées dans un uide Newtonien. En s'appuyant sur le développement au premier ordre
de la for e de lubri ation, ils en proposent un modèle asymptotique, quand les distan es
interparti ulaires tendent vers zéro et que la fra tion solide s'appro he de la fra tion solide
maximale. Dans [10℄, les auteurs montrent que la vis osité apparente de
isaillement d'un
ensemble non stru turé de parti ules, dont les distan es interparti ulaires sont de l'ordre
3/2
de ε, se omporte en 1/ε
quand ε tend vers zéro.
Pour étudier le
les
onsidérer
omportement ma ros opique de systèmes denses, on peut également
omme des systèmes
les auteurs utilisent pour
ontinus et en her her des lois onstitutives. Dans [11℄,
ela une te hnique d'homogénéisation : ils étudient le
omporte-
ε tend vers zéro de systèmes pour lesquels la taille des parti ules
es interparti ulaires sont d'ordre ε. Ils obtiennent à la limite une équa-
ment asymptotique quand
ainsi que les distan
tion
onstitutive dont les
oe ients peuvent être
al ulés expli itement dans le
as de
réseaux périodiques de parti ules.
L'appro he que nous présentons i i est basée sur un modèle plus simple du point
de vue géométrique puisque les sphères sont supposées alignées. D'un autre
té, seuls
les rayons des parti ules tendent vers zéro et nous ne faisons au une hypothèse sur les
distan es interparti ulaires : nous dé rivons une loi
150
onstitutive dépendant uniquement
6.1. Modèle du boulier visqueux
de la fra tion solide lo ale. Les
onta ts entre les parti ules peuvent même être autorisés,
et une attention spé iale a été portée sur la manière de dénir le modèle
pouvoir prendre en
ompte des amas ma ros opiques (dans
ontinu an de
es amas, la vis osité lo ale est
innie). Nous montrons que la vis osité linéique lo ale limite se
omporte singulièrement
quand la fra tion lo ale de uide tendvers zéro. Cette appro he mène à une équation
1
∂x u = ρf, où u est le hamp de vitesse, ρ
1−ρ
tion solide (pouvant prendre la valeur 1) et f une for e extérieure. Le modèle ontinu
elliptique instantannée de la forme
la fra
d'évolution en temps
omprend
−∂x
ette équation,
−∂x
ouplée ave
1
∂x u
1−ρ
l'équation de transport :
= ρf,
∂t ρ + ∂x (ρu) = 0.
6.1
Modèle du boulier visqueux
6.1.1
Modèle dis ret
Considérons deux sphères, baignant dans un uide visqueux, et assujetties à se dépla er
dans une unique dire tion. On note
q1
est la distan e entre les deux sphères,
et
r
q2
leurs
entres respe tifs (voir gure 6.1).
leur rayon
ommun et
µ
D
la vis osité du uide.
On a vu dans la partie pré édente (voir 5.1) que la for e de lubri ation exer ée sur la
PSfrag repla ements
q1
q2
D
Fig. 6.1 Modèle de lubri ation
sphère 1 par le uide environnant suite au mouvement relatif des deux parti ules s'é rit
au premier ordre sous la forme
q̇2 − q̇1
6
Flub,2→1 = πµr 2
4
D
PSfrag repla ements
Pour simplier les notations, nous prendrons toutes les
Considérons un boulier à
en
a
et
b
N + 1 parti
(6.1)
1 par la suite.
ε dont les extrémités sont xées
onstantes égales à
ules de même rayon
(voir gure 6.2).
q0 = a
d1
q1
qi−1
qi
di
qN −1
qN = b
dN
Fig. 6.2 Boulier
151
Chapitre 6. Un modèle
La
ontinu de boulier visqueux
ondition de non- hevau hement des parti ules mène à la dénition suivante :
Dénition 6.1 Soit
position
ε-admissible
q = (qi )1≤i≤N −1
un élément de
(les sphères ne se
sera dit stri tement
ε-admissible
on dit que
q
est un ve teur
hevau hent pas) si
qi − qi−1 − 2ε ≥ 0, ∀i = 1 . . . N,
q
RN −1 ,
q0 = a
ave
et
qN = b.
si toutes les inégalités sont stri tes (les sphères ne se
tou hent pas).
di = qi − qi−1 − 2ε la distan e entre les sphères i et i − 1, ui = q̇i la vitesse de la
sphère i et u = (ui )1≤i≤N −1 le ve teur vitesse. Les extrémités du boulier étant xées, on
a u0 = uN = 0. D'après (6.1), la for e de lubri ation exer ée sur la ième parti ule par
On note
ses voisines s'é rit
filub =
On
ui+1 − ui ui − ui−1
−
di+1
di
pour
onsidère un système sans inertie. Si on note
1 ≤ i ≤ N − 1.
fi (t, q)
sur la ième parti ule, l'équation d'équilibre des for es sur
la for e extérieure s'exerçant
ette parti ule s'é rit à
haque
instant
0 = filub + fi =
ui+1 − ui ui − ui−1
−
+ fi (t, q)
di+1
di
pour
1 ≤ i ≤ N − 1.
(6.2)
q ve teur position ε-admissible, on note A(q) la matri e tridiagonale de taille (N −
1) × (N − 1) donnés par :
 1

+ d12
− d12
d1
1
 −1

+ d13 − d13
d2
d2




..
..
..
.
.
.




1
1
1
1

− di di + di+1 − di+1
A(q) = 




..
..
..
.
.
.




1
1
1
1

− dN−2 
− dN−2 dN−2 + dN−1
1
1
− dN−1
+ d1N
dN−1
Pour
'est à dire
A(q)(i, i − 1) = −1/di , A(q)(i, i) = 1/di + 1/di+1 , A(q)(i, i + 1) = −1/di+1
ave
di = qi − qi−1 − 2ε.
Le ve teur
f lub = (filub )1≤i≤N −1
(6.3)
s'é rit alors
f lub = −A(q)u.
On
onsidère un système sans inertie. Si on note
f(t, q) = (fi (t, q))1≤i≤N −1
le ve teur
des for es extérieures, l'équation d'équilibre des for es 6.2 s'é rit ve toriellement à
instant
0 = f lub + f = −A(q)u + f(t, q).
152
haque
6.1. Modèle du boulier visqueux
Le théorème suivant montre l'existen e d'une solutions à
ette équation diérentielle.
Théorème 6.2 Supposons que
fi
appartient à
L1loc (R+ , L∞ (RN ))
et est lips hitzienne en la se onde variable. Si
ε-admissible
q̄ est un ve
(6.4)
teur position initiale stri tement
(les parti ules ne se tou hent pas à l'instant initial, voir denition 6.1), le
système d'équations diérentielles
−A(q)q̇ + f(t, q) = 0
(6.5)
q(0) = q̄
possède une unique solution maximale qui est globale. On notera
ette solution
q =
P(q̄, f, ε).
Démonstration : La matri e
l'opérateur de Lapla e ave
A,
similaire à la matri e obtenue par dis rétisation de
ondition de Diri hlet aux bords par diéren e nies est
symétrique dénie positive. Par
onséquent, on peut réé rire le système sous la forme
q̇ = F (t, q)
(6.6)
q(0) = q̄
où
F (t, q) = A−1 (q)f(t, q).
Considérons (6.6) sur l'ouvert des
ongurations stri tement
ε-admissibles
Ω = {q, di = qi − qi−1 − 2ε > 0 ∀i ∈ {1 . . . N}}
Le théorème de Cau hy-Lips hitz permet de montrer qu'il existe une unique solution
∗
maximale de (6.6), dénie sur [0, T [. Si ette solution n'était pas globale, elle sortirait
de tout
Ω et on
n → +∞.
ompa t de
din (tn ) → 0
quand
(in )n
aurait alors l'existen e d'une suite d'indi es
tels que
i atteint une
innité de fois par la suite (in )n . D'où, quitte à extraire une sous-suite des (tn )n , on obtient
un indi e i tel que
di (tn ) → 0 quand n → +∞ et tn → T ∗ .
(6.7)
Le nombre de parti ules étant ni, on en déduit qu'il existe un indi e
∗
étant supposé ni, toutes les distan es ne
Les points extrémaux étant xés et T
∗
peuvent tendre vers 0 en T . Par onséquent, il existe un indi e k tel que : dk (tn ) 9 0
n → +∞ et, quitte à extraire à nouveau une sous suite des (tn )n , on peut supposer
existe η > 0 tel que
dk (tn ) > η pour tout n
(6.8)
quand
qu'il
q, peut être intégrée
j ∈ {1 . . . N − 1},
Or, l'équation du premier ordre (6.2), vériée par
donnée par
oordonnée. On obtient alors, pour tout
0 = Cj + ln
dj+1(t)
dj (t)
+
Z
une fois,
oor-
t
fj (s, q(s))ds
0
153
Chapitre 6. Un modèle
Cj est une
k − 1, on a
où
à
ontinu de boulier visqueux
onstante d'intégration. Supposons
k−1
X
j=i
i<k
Cj + ln(dk (t)) − ln(di (t)) = −
On obtient alors une
et sommons
k−1 Z
X
es relations de
j=i
t
fj (s, q(s))ds.
(6.9)
0
j=i
ontradi tion en observant que (6.7) et (6.8) impliquent que le
membre de gau he de (6.9) est non borné alors que, d'après (6.4) le membre de droite
l'est. Cela termine la démonstration.
Remarque 6.3 On montre de la même façon qu'au une distan e ne onverge vers zéro
en temps ni.
Si
q
est la solution de (6.5) (q
d'exprimer expli itement
Propriété 6.4 Soit
f ∈R
tion 6.1) et
où
A
= P(q̄, f, ε))
q.
et si
u = q̇,
la propriété suivante permet
en fon tion de
q ∈ RN −1
ε-positif
un ve teur position stri tement
(voir déni-
. Le système
A(q)u = f,
est donnée en (6.3), possède une unique solution. Cette solution sé rit
1
ui =
DN
où
N −1
u
Di =
(
i
X
j=1
(DN − Di )
dj ,
ave
i
X
Dk fk + Di
k=1
N
−1
X
(DN − Dk )fk
k=i+1
dj = qj − qj−1 − 2ε, q0 = a
et
)
pour
i = 1...N − 1
(6.10)
qN = b.
Démonstration : Comme on l'a remarqué dans la démonstration pré édente, la matri e
A
est inversible et on vérie immédiatement que
système.
donné par (6.10) est solution du
On peut géneraliser les résultats pré édents au
parti ulaires à être nulles : les
Nk + 1
u
N
parti ules forment
as où on autorise les distan es inter-
P
paquets, le
k ème
paquet, de taille
ontenant les parti ules ik à ik + Nk (voir gure 6.3). On é rit mainenant l'équilibre
des for es sur les parti ules isolées et sur les paquets. Le système
onsidéré est alors le
suivant :
∀i ∈
/ ∪Pk=1 [ik , ik + Nk ],
∀k ∈ [1, P ],
ui+1 − ui ui − ui−1
−
= −fi
di+1
di

ui = uik+1 = . . . = uik +Nk


 k
ikX
+Nk
uik +Nk +1 − uik +Nk
uik − uik −1

−
fi
=−


dik +Nk +1
dik
i=i
k
154
(6.11)
(6.12)
6.1. Modèle du boulier visqueux
PSfrag repla ements
dik +Nk +1
dik
qik −1
qik +Nk +1
qik +Nk
qik
Fig. 6.3 exemple de
onguration
Remarque 6.5 Dans le as où le premier paquet est ollé à gau he de l'intervalle (i1
0), la
di1 = d0 n'est pas dénie. Dans e
0 = u0 = u1 = . . . = uN1 . De même si
distan e
se réduit à
Les résultats pré édents, obtenus dans le
admissible s'étendent fa ilement à
Propriété 6.6 Soit
q̄
as, omme
u0 = 0 par
le dernier paquet est
as d'une
hypothèse, (6.12)
ollé à droite.
onguration initiale stri tement
un ve teur position initiale
ε-admissible
(les parti ules ne se
he-
i = 1 . . . N − 1,
L1loc (R+ , L∞ (RN )), alors le système d'équations diérentielles asso iée à (6.11,6.12)
admet une unique solution maximale qui est globale. On la notera toujours
Remarque 6.7 De plus, omme pré édemment, on a
tout
ε-
ette nouvelle situation.
vau hent pas à l'instant initial, voir dénition 6.1) et si, pour tout
fi ∈
=
t.
di (0) > 0
C'est à dire : deux parti ules qui ne sont pas en
implique
q = P(q̄, f, ε).
di (t) > 0
pour
onta t au temps initial ne le
seront jamais par la suite.
Propriété 6.8 Soit
R
N −1
q ∈ RN −1
ε-positif (voir dénition 6.1) et f ∈
u possède une unique solution. Cette
un ve teur position
. Le système linéaire (6.11,6.12), d'in onnue
solution est donnée par (6.10).
6.1.2
Vers un modèle
On se pla e dans
ontinu : appro he formelle
ette se tion dans le
as où la distan e entres les parti ules est
stri tement positive. Pour é rire un modèle ontinu, on her he d'abord à é rire un tenseur
des
ontraintes dis ret : for e exer ée en un point par un portion du système qui lui est
voisine, lorsqu'il n'y a pas de for e extérieure.
On
onsidère
q
stri tement
ε-admissible
(les parti ules ne se tou hent pas, voir dé-
nition 6.1). On suppose qu'il n'y a pas de for e extérieure et que
u0
et
uN
sont donnés.
L'équilibre des for es s'é rit alors
A(q)u = b,
A est donné en (6.3) et où b
b = (u0/d1 , 0, . . . , 0, uN /dN )t .
où
ontient les
onditions de Diri hlet non homogènes :
D'après (6.1), la for e de lubri ation exer ée sur la
fNlub =
(6.13)
N ième parti
ule par les autres est
uN −1 − uN
.
dN
155
Chapitre 6. Un modèle
Comme
u
ontinu de boulier visqueux
est solution de (6.13), la propriété 6.4 donne
ui = u0 +
où
Di =
i
X
dk .
Di
(uN − u0 )
DN
(6.14)
On peut ainsi réé rire
k=1
u0 − uN
DN
fNlub =
où
DN =
N
X
dk
est la quantité de vide entre
k=1
Etant donné
un tenseur des
e tenseur des
ontraintes
parti ules et on note
q0
(6.15)
qN .
et
ontraintes dis ret, nous allons en déduire formellement
ontinu. Pour
ela, on suppose qu'il y a un grand nombre de
D(y) le taux de vide au voisinage d'un point y de ]a, b[. Soit x ∈]a, b[,
x par la partie du système située à sa droite est
la for e exer ée au point
F{uide
Par similitude ave
le
as mi ros opique et (6.15), on é rit alors :
F{uide
Pour
η
assez petit, on peut
tenseur des
lim+ F[x,x+η]→{x}.
x}→{x} = η→0
à droite de
ontraintes
F{uide
D(y) ≈ D(x)
onsidér
u(x + η) − u(x)
R x+η
D(y)dy
x
x}→{x} ≈
à droite de
pour
y
dans
[x, x + η],
e qui donne le
ontinu suivant :
à droite de
x}→{x}
≈
u(x + η) − u(x)
∂x u(x)
≈
.
D(x)η
D(x)
En suivant maintenant une appro he très standard, nous établissons l'équation
onti-
ρ la fra tion solide
f s'exer e sur le système. A t xé, on
ω = [a, b] du système (supposé non-inertiel).
nue d'équilibre des for es sur un domaine à une dimension. On note
et on suppose qu'une for e exterieure de densité
exprime l'équilibre des for es sur une partie
La for e extérieure exer ée sur
ω
est
F
ext
=
Z
ρf,
ω
et la for e exer ée par le reste du système sur
ω
est, d'après le tenseur des
ontinu obtenu,
F
L'équilibre des for es à
sys
∂x u(b) ∂x u(a)
=
−
=
D(b)
D(a)
haque instant sur
Z
ω
156
ρf +
Z
ω
Z
∂x
ω
ω
s'é rit don
∂x
∂x u
D
= 0.
∂x u
D
.
ontraintes
6.2. Convergen e du modèle dis ret vers le modèle
Ce i étant vrai pour tout temps
Et, puisque le taux de vide
Le modèle
D
t
ω ⊂]a, b[, on a
∂x u
= ρf, ∀t.
−∂x
D
et tout
1 − ρ, on obtient
∂x u
= ρf
−∂x
1−ρ
est égal à
ontinu ainsi suggéré est formé de
libre des for es à
ontinu
−∂x
∂x u
1−ρ
(6.16)
ette dernière équation dé rivant l'équi-
haque instant et de l'équation de
nalement
onve tion :
= ρf
∂t ρ + ∂x (ρu) = 0
6.2
Convergen e du modèle dis ret vers le modèle ontinu
6.2.1
Sens donné au modèle
On souhaite montrer dans
tion 6.1.1
onverge en un
ontinu
ette se tion que la solution du modèle dis ret dé rit se -
ertain sens vers le modèle
l'on rappelle i i.
−∂x
∂x u
1−ρ
ontinu obtenu formellement et que
= ρf, ∀t,
(6.17)
∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,
(6.18)
ρ(0, ·) = ρ0 .
Pour
ela, on pré ise d'abord le sens donné à l'équation de transport (6.18).
Dénition 6.9 Soit ρ0
∈ L∞ (]a, b[), on dit que (ρ, u) ∈ L∞ (]0, T [×]a, b[)×L1 (]0, T [×]a, b[)
est solution au sens faible de
∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,
ρ(0, ·) = ρ0 ,
si et seulement si, pour tout
Z
0
T
Z
φ ∈ D([0, T [×]a, b[),
b
ρ(t, x)∂t φ(t, x)dxdt +
a
Z
a
on a
b
ρ0 (x)φ(0, x)dx +
Z
0
T
Z
b
ρ(t, x)u(t, x)∂x φ(t, x)dxdt = 0.
a
157
Chapitre 6. Un modèle
ontinu de boulier visqueux
Avant d'é rire le théorème de
onvergen e, il nous reste à pré iser le sens que l'on
donne à (6.17) quand la densité peut valoir
1
:
I intervalle ouvert de R. Soit K : I 7→ R+ ∪ {+∞}, mesurable,
K ≥ α > 0, φ ∈ H −1 (I) et soit J dénie par
Z
1
1
K(x)|∂x v|2 − hφ, vi ∈ R ∪ {+∞}.
v ∈ H0 (I) 7→ J(v) =
2 I
Propriété 6.10
1
R u ∈ H0 (I) qui réalise le minimum de J
hφ, vi = f v , on é rira que u est une solution de
Il existe un unique
tel que
sur
ave
H01 (I). S'il existe f ∈ L1 (I)
−∂x (K(x)∂x u) = f.
Démonstration : Ce problème de minimisation est équivalent au problème de minimisation de la même fon tionnelle
HK =
J
est
v∈
H01 (I), ∂x v
J
=0
sur l'espa e
pp où
K = +∞,
et
Z
K<+∞
onvexe, semi- ontinue inférieurement sur
HK
2
K(x)|∂x v| < ∞
et on obtient don
l'existen e et
l'uni ité du minimum ainsi que la formulation variationnelle asso iée :
u ∈ HK ,
On utilisera par la suite
6.2.2
et pour tout
K(x)∂x u∂x v =
K<+∞
Z
f v.
I
ette formulation variationnelle du problème.
Un opérateur mi ro-ma ro
Plaçons nous sur un intervalle
extrèmes xes (ie
l'outil
v ∈ HK ,
Z
u 0 = u N = 0)
et
I = [a, b] et xons T > 0. On suppose les parti ules
q0 = a, qN = b. On onstruit un opérateur P̃ , qui est
lé permettant de passer du niveau mi ros opique au niveau ma ros opique. Cet
opérateur est déni de la façon suivante :
q̄ ∈ RN −1 un ve teur position initiale ε-admissible. Ils représentent
une distribution de N + 1 parti ules de rayon ε qui ne se hevau hent pas et dont
les entres sont situés en q̄0 = a, q̄i pour i = 1 . . . N et q̄N = b (voir dénition 6.1).
1
On se donne également f ∈ L (]0, T [×]a, b[).
• On dénit un ve teur de for es extérieures f ε (t, q) par
•
Soit
ε>0
et
fiε (t, q)
1
=
2ε
Z
qi (t)+ε
f (t, s)ds.
qi (t)−ε
On dispose alors de la solution du modèle de boulier visqueux
sur
158
[0, T ]
(voir propriété 6.6). On note
u = q̇.
q = P(q̄, f ε , ε) dénie
6.2. Convergen e du modèle dis ret vers le modèle
•
A
q
on asso ie la fon tion
ara téristique de la phase solide
(voir gure 6.4). Elle est dénie à tout instant par
N
−1
X
χ(t, ·) =
ontinu
χ ∈ L∞ (]0, T [×]a, b[)
1]qi(t)−ε,qi (t)+ε[ + 1]a,a+ε[ + 1]b−ε,b[
(6.19)
i=1
χ(t, ·) = 1
PSfrag repla ements
qik −1 (t)
qik (t)
qik +Nk (t)
qik +Nk +1 (t)
Fig. 6.4 Tra é de la fon tion phase solide
•
Au ve teur
χ(t, .)
u = (ui )i=1...N −1 on asso ie une fon tion vitesse (voir gure
t, elle est ane par mor eaux sur [a, b] et est dénie par
u(t, ·) ane sur [qi (t), qi+1 (t)] pour 0 ≤ i ≤ N − 1
u(t, qi (t)) = ui (t)
6.5). A
haque instant
(6.20)
uik +Nk +1 (t)
uik (t)
PSfrag repla ements
uik +Nk (t) = uik (t)
uik −1 (t)
qik −1 (t)
qik +Nk (t)
qik (t)
Fig. 6.5 Tra é de la fon tion vitesse
•
On note
qik +Nk +1 (t)
u(t, .)
(χ, u) = P̃(q̄, f, ε).
N −1
ve teur position admissible,
Dans le même esprit, pour tout ε > 0 et tout q ∈ R
∞
on dénit χ(q, ε) ∈ L (]a, b[) omme étant la fon tion ara téristique de la phase solide
asso iée à la distribution
(q, ε)
:
χ(q, ε) =
N
−1
X
1]qi−ε,qi+ε[ + 1]a,a+ε[ + 1]b−ε,b[
(6.21)
i=1
159
Chapitre 6. Un modèle
6.2.3
ontinu de boulier visqueux
Résultat de
onvergen e
Le théorème suivant montre que, si le rayon des parti ules tend vers zéro et leur
nombre vers l'inni, on
un
onstruit grâ e à l'opérateur
ertain sens vers la solution du problème
Théorème 6.11 Soient
]0, T [×]a, b[
et
]a, b[.
T > 0, f
et
ρ0
P̃
une suite de fon tions tendant en
ontinu.
deux fon tions mesurables respe tivement sur
On suppose que :
f ∈ L∞ (]0, T [×]a, b[),
f
(6.22)
lips hitzienne par rapport à la se onde variable, uniformément en t,
∂t f ∈ L∞ (]0, T [, L1 (]a, b[)),
ρ0 ∈ L∞ (]a, b[)
et
(6.23)
(6.24)
0 ≤ ρ0 ≤ 1.
(6.25)
L∞ (]a, b[)
(6.26)
(q̄ε )ε une suite de ve teurs position initiale ε-admissibles (voir dénition 6.1),
q̄ ∈ R , N ε = 1/ε. On note χ̄ε = χ(q̄ε , ε) la suite de fon tions asso iée à es onditions
Soit
Nε
ε
initiales (voir (6.21)) et on suppose
⋆
χ̄ε −⇀ ρ0
Alors, la solution du problème dis ret
dans
(χε , uε ) = P̃(q̄ε , f, ε) (voir se
tion 6.2.2) onverge
ε tend vers zéro vers la solution du problème ontinu au sens suivant : il existe
∞
ρ ∈ L (]0, T [×]a, b[) et u ∈ L∞ (]0, T [, H01(]a, b[))∩W 1,∞ (]0, T [, L∞ (]a, b[)), tels que, quand
ε tend vers zero et à une suite extraite près,
quand
⋆
χε −⇀ ρ
⋆
uε −⇀ u
⋆
dans
L∞ (]0, T [×]a, b[),
dans
L∞ (]0, T [, H01(]a, b[)),
∂t uε −⇀ ∂t u
De plus,
ρ
et
u
dans
L∞ (]0, T [×]a, b[).
vérient
ppt
ppt
t, 0 ≤ ρ(t, ·) ≤ 1 presque partout sur [a, b]
1
∂x u(t, ·) = ρ(t, ·)f (t, ·)
t, −∂x
1 − ρ(t, ·)
∂t ρ + ∂x (ρu) = 0, ρ(0, ·) = ρ0
(6.27)
(6.28)
(6.29)
où (6.29) est vériée au sens de la dénition 6.9 et (6.28) au sens de la propriété 6.10.
ρ0 ∈ L∞ (I) ave ρ(x) ∈ [0, 1] presque partout sur ]a, b[, on
ε ⋆
ε
∞
une suite (q̄ )ε , ε-admissible, telle que χ̄ −⇀ ρ0 dans L (I),
ε = 1/N . On dénit q̄0ε = a. Ensuite, on note l10 le réel tel que
Remarque 6.12 Pour tout
peut fa ilement
où
Z
ε
ε
χ̄ = χ(q̄ , ε).
l1ε
q̄0ε
160
ρ0
soit égal à
onstruire
Prenons
ε. Comme ρ0 ≤ 1, on a l10 ≥ q̄0ε +ε et on peut dénir q̄1ε = l1ε +ε. De même,
6.2. Convergen e du modèle dis ret vers le modèle
ε
pour dénir q̄2 , on
itérer pour obtenir
dans
L∞ (I)
quand
ε
hoisit d'abord l2 tel que
q̄ε , ε-admissible.
ε
Z
l2ε
q̄1ε
De plus, on
ontinu
ρ0 = ε et on pose q̄2ε = l2ε + ε. On peut
Z li+1
ε
⋆
(χ̄ε − ρ0 ) = 0 et don χ̄ε −⇀ ρ0
a
liε
tend vers zéro (voir la démonstration page 170 du lemme 6.19, où
un résultat similaire est démontré).
Démonstration :
f nous assure de l'existen e d'une solution
ε
tion, χ étant bornée par 1, on a immédiatement
Notons tout d'abord que l'hypothèse sur
globale au problème dis ret. Par
onstru
le lemme suivant :
Lemme 6.13
∃ρ ∈ L∞ (]0, T [×]a, b[)
Alors,
tel que
⋆
χε −⇀ ρ
L∞ (]0, T [×]a, b[)
dans
0 ≤ χε ≤ 1, (6.27) est vériée. En eet, montrons par
t dans ]0, T [ on a ρ(t, ·) ≥ 0 pp. sur [a, b]. Si ela n'était
omme
presque tout
exemple que, pour
pas vrai, on aurait
l'existen e d'un ensemble
A ⊂ [0, T ], mes[0,T ] (A) > 0,
tel que,
∀t ∈ A, ∃Bt ⊂ [a, b], mes[a,b] (Bt ) > 0
Soit alors
dans
A
et
omme
Comme
ρ(t, ·) < 0
sur
Bt .
Φ ∈ L∞ (]0, T [×]a, b[) ⊂ L1 (]0, T [×]a, b[) dénie par Φ(t, x) = 1Bt (x)
Φ(t, x) = 0 sinon. Le lemme 6.13 donne alors
Z
Z
ε
χ Φ −→
ρΦ quand ε → 0.
]0,T [×]a,b[
Or,
et
χε Φ ≥ 0,
si
t
est
]0,T [×]a,b[
on a
∀ε > 0,
∞
1
Z
]0,T [×]a,b[
χε Φ ≥ 0.
ρΦ ∈ L (]0, T [×]a, b[) ⊂ L (]0, T [×]a, b[),
on peut appliquer le théorème de
Φ,
Z Z
Fubini à la se onde intégrale et on obtient, par dénition de
Z
ρΦ =
]0,T [×]a,b[
Par dénition de
A
et
Bt ,
Z
0
T
Z
b
ρ(t, x)Φ(t, x)dxdt =
a
A
ρ(t, x)dxdt.
Bt
on a nalement
Z
ρΦ < 0,
]0,T [×]a,b[
e qui est absurde. On pro ède de même pour la domination par
1.
La suite de la démonstration né essite plusieurs lemmes. Ces lemmes seront énon és
au
ours de la démonstration mais, par sou is de lisibilité, nous reporterons leur démons-
tration à la se tion suivante.
161
Chapitre 6. Un modèle
ontinu de boulier visqueux
ε
dεi (t) = qiε (t) − qi−1
(t) − 2ε la distan e entre les parti ules i et i − 1 au temps
ε
de la onguration initiale q̄ . Comme indiqué lors de la remarque 6.7, deux
Notons
t
issues
parti ules qui ne sont pas en
pour un
ε donné (ie. une
dans un paquet sont
onta t au temps initial ne le seront jamais. Par
onséquent,
onguration initiale donnée), les indi es des parti ules
onstants au
ontenues
ours du temps. Noter que, an d'alléger les notations,
nous n'é rirons pas la dépenden e en ε de es indi es on ernant les paquets. Ainsi, nous
P pour P ε , qiεk pour qiεεk ou en ore qiεk +Nk pour qiεεk +Nkε .
é rirons
Nous dénissons, à
ε
• ρ (t, ·)
haque instant
t,
deux nouvelles fon tions :
est la fon tion densité. Elle est
taux de matière sur
ρεi (t) = 1 −
onstante sur
ε
[qi−1
(t), qiε (t)]
et est égale au
et intervalle (voir Fig. 6.6),
dεi (t)
ε
qiε (t) − qi−1
(t)
sur
ε
[qi−1
(t), qiε (t)]
pour
1 ≤ i ≤ Nε
(6.30)
ρε (t) = 1
PSfrag repla ements
ρεik (t)
qiεk −1 (t)
ρεik +Nk +1 (t)
qiεk +Nk +1 (t)
qiεk +Nk (t)
qiεk (t)
Fig. 6.6 Tra é de la fon tion densité
ρε (t, .)
• w ε (t, ·) est
l'équivalent dis ret de ∂x u/(1 − ρ). C'est une fon tion fon tion ontinue,
[qiε (t) − ε, qiε (t)[
+ ε] pour i = 1 . . . N ε − 1 et onstante sur
[qiε (t) − ε, qiε(t) + ε] (voir Fig. 6.7). Elle
ha un des sous-intervalles de [a, b]\
i=1...N ε −1
est dénie par
ane sur les intervalles

 w ε (t, qiε (t) − ε) = wiε (t)
ave
ε
(t)
 w ε (t, qiε (t) + ε) = wi+1


 wiε (t) =
162
pour
i = 1 . . . Nε − 1
1
ε (t),q ε (t)]
∂x uε (t, ·)|[qi−1
ε
i
1 − ρi (t)

 wiε (t) = βiε (t)
, si
ρεi (t) 6= 1
, si
ρεi (t) = 1
(6.31)
(6.32)
6.2. Convergen e du modèle dis ret vers le modèle
où les
(βiε (t))ik +1≤i≤ik +Nk














orrespondant au
βiεk +1 (t)
−
βiεk +2 (t)
−
paquet sont solution du système
uεik (t) − uεik −1 (t)
=
dεik (t)
βiεk +1 (t)
−2εfiεk (t)
−2εfiεk +1 (t)
=
.
.
.




βiεk +Nk (t)
−





uεik +Nk +1 (t) − uεik +Nk (t)



−

dε
(t)
βiεk +Nk −1 (t)
(6.33)
= −2εfiεk +Nk −1 (t)
βiεk +Nk (t)
ik +Nk +1
PSfrag repla ements
k ième
ontinu
−2εfiεk +Nk (t)
=
wiεk +Nk +1 (t)
w2ε (t)
w1ε (t)
wiεk +Nk +1 (t)
wiεk +1 (t) = βiεk +1 (t)
ε
wN
ε (t)
wiεk (t)
wiεk −1 (t)
q1ε (t)
a = q0ε
ε
wN
ε −1 (t)
wiεk +Nk (t) = βiεk +Nk (t)
qiεk −1 (t)
qiεk (t)
qiεk +Nk (t)
Fig. 6.7 Tra é de
Remarque 6.14 Le système (6.33)
ontient
qiεk +Nk +1 (t)
ε
qN
ε −1 (t)
ε
b = qN
ε
w ε (t, .)
Nk + 1
équations pour
Nk
in onnues. On
remarque qu'en sommant toutes ses équations, on retrouve l'équation d'équilibre des for es
sur le
k ième
paquet, déjà imposée par (6.12). Dans le
as où
i1 = 0,
le premier paquet est atta hé au bord de gau he, on peut don
'est à dire quand
dénir les
ε
dernières équations de (6.33). De même, si iP + NP = N , le dernier paquet
ε
est xé au bord de droite et on peut dénir les (βi (t))iP +1≤i≤iP +NP en utilisant les NP
grâ e aux
N1
(βiε (t))1≤i≤N1
premières équations du système.
βi (t) peut être vu omme
i − 1 et i à l'instant t. Une façon de le voir est
ε,η
ε,η
la limite de u
où u
est la solution du système (6.2)
entre ik + 1 et ik + Nk et di = di (t) sinon. On a alors
Remarque 6.15 L'idée sous-ja ente à ette onstru tion est que
une for e de
ohésion entre les parti ules
de noter que, à
ave
di = η > 0
t
si
xé,
i
uε (t)
est
est
ompris
ε,η
uε,η
ik +j − uik +j−1
.
η→0
η
∀k, ∀j ∈ [1, Nk ], βiεk +j = lim
Une autre manière de dénir
es for es de
ohésion est de
onsidérer le problème de
minimisation suivant : minimiser
J(v) =
X
i∈∪
/ k [ik +1,ik +Nk ]
N −1
1 (vi − vi−1 )2 X ε
+
fi (t)vi
2
dεi (t)
i=1
163
Chapitre 6. Un modèle
ontinu de boulier visqueux
K = {v, ∀i ∈ ∪k [ik + 1, ik + Nk ], vi = vi−1 }. Ce problème est équivalent au proβiε est alors le multipli ateur de Lagrange asso ié à la ontrainte
vi = vi−1 .
sur
blème (6.11,6.12) et
Le lemme suivant montre que l'équation (6.28) est vériée au niveau dis ret.
Lemme 6.16 (démonstration page 167)
Pour tout
t
et tout
ε,
on a
−∂x w ε (t, ·) = f ε (t, ·),
où
ε
f (t, ·) =
(6.34)
ε −1
N
X
fiε (t)1]qiε (t)−ε,qiε (t)+ε[ .
i=1
De même, on vérie que (6.29) est vériée au niveau dis ret.
Lemme 6.17 (démonstration page 168)
Pour tout
ε,
on a
∂t ρε + ∂x (ρε uε ) = 0,
au sens de la dénition 6.9, ave
pour
ondition initiale
(6.35)
ε
ρ (0, ·).
Remarque 6.18 Pour démontrer e lemme, on n'utilisera pas les équations (6.11) et (6.12) :
le résultat provient uniquement de la façon dont on a déni
ρε
et
uε
en fon tion de
On souhaite passer à la limite dans les équations (6.34) et (6.35). Pour
ε
ε
omportement de ρ et de f dans les lemmes suivants.
qε .
ela, on étudie
d'abord le
Lemme 6.19 (démonstration page 170)
⋆
ρε −⇀ ρ
dans
L∞ (]0, T [×]a, b[)
et
⋆
ρε (0, .) −⇀ ρ0
dans
L∞ (]a, b[).
Lemme 6.20 (démonstration page 172)
⋆
f ε −⇀ ρf
dans
L∞ (]0, T [×]a, b[).
L'idée de la suite de la démonstration est alors
une limite en un
laire : on va montrer que
uε
possède
ertain sens puis, grâ e aux lemmes 6.19 et 6.20, on va passer à la limite
dans (6.34) et (6.35).
Lemme 6.21 (démonstration page 174)
(uε )ε
est bornée dans
Il existe don
L∞ (]0, T [, H01(]a, b[)).
une suite extraite, toujours notée
⋆
uε −⇀ u
⋆
dans
∂x uε −⇀ ∂x u
Cette
(uε )ε ,
telle que, quand
L∞ (]0, T [, H01(]a, b[)),
dans
L∞ (]0, T [, L2 (]a, b[)).
ε → 0,
(6.36)
(6.37)
onvergen e étant établie, on souhaite maintenant passer à la limite dans le
ε
ε
ε
terme de gau he de (6.34) et identier la limite de w ≈ 1/(1 − ρ )∂x u à 1/(1 − ρ)∂x u.
ε
Pour ela, on étudie w .
164
6.2. Convergen e du modèle dis ret vers le modèle
ontinu
Lemme 6.22 (démonstration page 176)
(w ε )ε
et
(∂x w ε )ε
L∞ (]0, T [×]a, b[).
sont bornées dans
Lemme 6.23 (démonstration page 177)
(∂t w ε )ε
est bornée dans
L∞ (]0, T [×]a, b[).
(w ε )ε
C(]0, T [×]a, b[).
0
D'après le théorème d'As oli, elle est don relativement ompa te dans C (]0, T [×]a, b[).
ε
0
Par onséquent, il existe une suite extraite, toujours notée (w )ε , et w ∈ C (]0, T [×]a, b[)
Les lemmes 6.22 et 6.23 impliquent que
est équi ontinue dans
tels que
w ε −→ w
Connaissant le
dans
omportement de
wε,
C 0 (]0, T [×]a, b[)
quand
on peut en déduire
ε → 0.
elui de
(6.38)
∂x uε .
Lemme 6.24 (démonstration page 179)
⋆
∂x uε −⇀ (1 − ρ)w
dans
L∞ (]0, T [×]a, b[).
On va maintenant pouvoir faire tendre
tout
t,
−∂x
ε vers zéro dans (6.34) et montrer que, pour presque
1
∂x u(t, ·)
1 − ρ(t, ·)
au sens de la propriété 6.10. Tout d'abord,
omme
le lemme 6.24 implique
⋆
∂x uε −⇀ (1 − ρ)w
dans
= ρf (t, ·)
L1 (]0, T [, L2 (]a, b[)) ⊂ L1 (]0, T [×]a, b[),
L∞ (]0, T [, L2 (]a, b[)).
∂x u = (1 − ρ)w dans L∞ (]0, T [, L2 (]a, b[)) et
t, ∂x u(t, ·) = (1 − ρ(t, ·))w(t, ·) presque partout sur [a, b]. Ainsi,
Ce i, asso ié à (6.37) donne
presque tout
u(t, ·) ∈ H
où
1
1−ρ(t,·)
pour presque tout
don , pour
t ∈]0, T [,
HK
est dénit dans la démonstration de la propriété 6.10. Ensuite on a, d'après (6.34),
1
que pour tout v ∈ H0 (]a, b[) et tout Φ ∈ D(]0, T [),
Z
T
0
La propriété de
Z
b
ε
′
w (t, x)v (x)Φ(t)dxdt =
a
Z
T
0
Z
b
f ε (t, x)v(x)Φ(t)dxdt.
a
onvergen e (6.38) et le lemme 6.20 nous permettent alors de passer à la
v ∈ H01(]a, b[),
limite et d'obtenir, pour tout
Z
T
0
Z
a
b
Z
w(t, x)v (x)dx Φ(t)dt =
T
′
0
Z
a
b
ρf (t, x)v(x)dx Φ(t)dt, ∀Φ ∈ D(]0, T [).
Finalement on a montré
∀v ∈
H01 (]a, b[),
Z
a
b
′
w(t, x)v (x)dx =
Z
a
b
ρf (t, x)v(x)dx
pour presque tout
t ∈]0, T [.
165
Chapitre 6. Un modèle
v∈H
Soit maintenant
Z
ontinu de boulier visqueux
1
.
1−ρ(t,·)
Pour presque tout
b
ρ(t, x)f (t, x)v(x)dx =
a
Z
t
on a,
Z
b
′
w(t, x)v (x)dx =
a
=
Z
ρ6=1
Z
(1 − ρ(t, x))w(t, x) ′
v (x)dx =
1 − ρ(t, x)
ρ6=1
On a ainsi obtenu l'équation variationnelle
w(t, x)v ′ (x)dx
ρ6=1
∂x u(t, x) ′
v (x)dx.
1 − ρ(t, x)
ara térisant les solutions de (6.28) (voir pro-
priété 6.10).
Il nous reste maintenant à montrer que l'équation de transport est vériée à la limite
'est-à-dire, montrer que
(ρ, u)
vérie l'équation de transport au sens de la dénition 6.9.
ε ε
An de pouvoir passer à la limite dans le terme ∂x (ρ u ), nous allons avoir besoin d'une
ε
onvergen e forte de u . Pour l'obtenir, on utilise le lemme suivant.
Lemme 6.25 (démonstration page 180)
(∂t uε )ε
est bornée dans
L∞ (]0, T [×]a, b[).
On a don , à une suite extraite près,
⋆
∂t uε −⇀ ∂t u
dans
L∞ (]0, T [×]a, b[).
(uε )ε est bornée
(uε )ε telle que
De plus, des lemmes 6.21 et 6.25, on déduit que
don , qu'il existe une sous-suite, en ore notée
uε −→ u
dans
L2 (]0, T [×]a, b[)
Ψ ∈ D([0, T [×]a, b[), d'après
a ainsi, pour tout ε > 0,
Soit maintenant
transport et on
Z
Z
T
0
b
ε
ρ ∂t Ψdxdt +
a
Z
(ρε , uε )
le lemme 6.17,
ε
ρ (0, x)Ψ(0, x)dx +
a
Z
T
0
Z
H 1 (]0, T [×]a, b[)
ε → 0.
quand
b
dans
et
(6.39)
vérie l'équation de
b
ρε uε ∂x Ψdxdt = 0.
a
On passe à la limite dans les deux premières intégrales en utilisant le lemme 6.19 asso ié
∂t Ψ est dans L1 (]0, T [×]a, b[) et que Ψ(0, ·) est dans L1 (]a, b[). Pour la dernière
au fait que
intégrale, on é rit
Z
0
T
Z
a
≤
b
ε ε
ρ u ∂x Ψdxdt −
Z
T
0
ε
Z
a
b
ε
ε
Z
0
T
Z
b
ρu∂x Ψdxdt
a
ρ (u − u)∂x Ψdxdt +
Z
0
T
Z
a
b
(ρε − ρ)u∂x Ψdxdt
≤ ku − ukL2 (]0,T [×]a,b[) k∂x ΨkL2 (]0,T [×]a,b[) +
166
Z
0
T
Z
a
b
(ρε − ρ)u∂x Ψdxdt
6.3. Démonstration des lemmes
Le premier terme
u
puisque
et
∂x Ψ
onverge vers zéro grâ e à (6.39) et le se ond grâ e au lemme 6.19
L2 (]0, T [×]a, b[) et don u∂x Ψ est dans L1 (]0, T [×]a, b[) On
sont dans
obtient l'égalité souhaitée en passant à la limite,
Z
Z
T
0
b
ρ∂t Ψdxdt +
a
Z
b
ρ0 (x)Ψ(0, x)dx +
a
Z
T
0
Z
b
ρu∂x Ψdxdt = 0.
a
Ce qui termine la démonstration du théorème, sous réserve de prouver les lemmes
utilisés.
Remarque 6.26 Dans la démonstration du lemme 6.22 on montre en fait que
∞
L (]0, T [×]a, b[). Ce
(]0, T [×]a, b[). L'inje tion
est bornée dans
dans
W
1,∞
donne alors la
(u )ε est bornée
(]0, T [×]a, b[) dans C 0 (]0, T [×]a, b[)
]0, T [×]a, b[.
i, asso ié au lemme 6.25, montre que
u
onvergen e uniforme de
Remarque 6.27 L'énergie dissipée à
ε
vers
1,∞
W
u sur
ompa te de
(∂x uε )ε
ε
haque instant par unité de longeur, s'é rivant
1
(∂x u)2 = (1 − ρ)w 2 ,
1−ρ
]0, T [×]a, b[ d'après le lemme 6.22. La remarque pré édente montre d'autre
∂x u est dans L∞ (]0, T [×]a, b[) et ainsi, le taux de déformation par unité de longeur
aussi borné sur ]0, T [×]a, b[.
est bornée sur
part que
est lui
6.3
•
Démonstration des lemmes
Démonstration du lemme 6.16 :
w ε (t, ·) est
ontinue, ane sur
ailleurs. On a ainsi
ε
∂x w (t, ·) =
−∂x w ε (t, ·) = f ε (t, ·)
[qiε (t) − ε, qiε(t) + ε] pour 1 ≤ i ≤ N ε − 1 et
ε −1
N
X
i=1
onstante
ε
wi+1
(t) − wiε (t)
1]qiε (t)−ε,qiε (t)+ε[ .
2ε
ε
On réé rit ette somme en utilisant la dénition (6.32) des wi . Dans le
ε
ε
ε
ε
ε
di (t) > 0 (ie. ρi (t) < 1), omme u est ane sur [qi−1 (t), qi (t)], on utilise
wiε (t) =
as où
uεi (t) − uεi−1 (t)
uεi (t) − uεi−1(t)
1
1
ε
∂
u
(t,
·)
=
=
.
x
ε
1 − ρε (t, ·)
1 − ρεi (t) qiε (t) − qi−1
(t)
dεi (t)
167
Chapitre 6. Un modèle
ontinu de boulier visqueux
On obtient don ,
X
ε
∂x w (t, ·) =
i ∈ 1..N ε − 1
di (t) > 0, di+1 (t) > 0
1
2ε
uεi+1 (t) − uεi (t) uεi (t) − uεi−1 (t)
−
dεi+1 (t)
dεi (t)
1]qiε (t)−ε,qiε (t)+ε[
P ik +N
k −1
X
X
1
ε
βi+1
(t) − βiε (t) 1]qiε (t)−ε,qiε (t)+ε[
+
2ε
k=1 i=i +1
k
P
X
uεik (t) − uεik−1 (t)
1
ε
+
1]qiε (t)−ε,qiε (t)+ε[
βik +1 (t) −
k
k
2ε
dεik (t)
k=1
P
X
1 uεik +Nk +1 − uεik +Nk
ε
− βik +Nk 1]qiε +N (t)−ε,qiε +N (t)+ε[ .
+
ε
k
k
k
k
2ε
d
i
+N
+1
k
k
k=1
On utilise alors le système diérentiel (6.11) et (6.12), ainsi que la dénition (6.33)
des
βi
et on obtient le résultat souhaité :
ε
∂x (w ) (t, ·) = −
•
ε −1
N
X
fiε (t)1]qiε (t)−ε,qiε (t)+ε[ = f ε (t, ·). i=1
Démonstration du lemme 6.17 :
∂t ρε + ∂x (ρε uε ) = 0
Φ ∈ D([0, T [×]a, b[). Regardons
ε
onstru tion de ρ (voir (6.30)), on a
Soit
Z
T
0
Z
d'abord le terme ave
ε
b
ε
ρ (t, x)∂t φ(t, x)dxdt =
a
N Z
X
T
0
i=1
Z
le dérivée en
t.
Par
b
ε (t),q ε (t)] (x)dxdt.
ρεi (t)∂t φ(t, x)1[qi−1
i
a
En utilisant la propriété F.1 de l'annexe, on obtient
Z
0
T
Z
ε
b
a
ε
ρ (t, x)∂t φ(t, x)dxdt = −
ε
−
N Z
X
i=1
b
−
i=1
On ee tue un
ε
sont nuls ar u0
168
T
0
i=1
0
T
Z
b
a
ε (t),q ε (t)] (x)dxdt
(ρεi )′ (t)φ(t, x)1[qi−1
i
ε (0),q ε (0)] (x)dx
ρεi (0)φ(0, x)1[qi−1
i
a
ε
N Z
X
N Z
X
ε
(t)) dt.
ρεi (t)uεi (t)φ(t, qiε (t)) − ρεi (t)uεi−1 (t)φ(t, qi−1
hangement d'indi e dans la dernière somme (les termes de bord
ε
= uεN ε = 0) et on é rit que (ρεi )′ = −2ε(uεi − uεi−1 )/(qiε − qi−1
)2 pour
6.3. Démonstration des lemmes
obtenir
Z
T
0
Z
b
ρε (t, x)∂t φ(t, x)dxdt =
a
ε
N Z
X
0
i=1
−
Z
T
Z
b
a
2ε(uεi(t) − uεi−1 (t))
ε (t),q ε (t)] (x)dxdt
φ(t, x)1[qi−1
ε
i
(qiε (t) − qi−1
(t))2
ε
b
ε
ρ (0)φ(0, x)dx +
a
N Z
X
T
(ρεi+1 (t) − ρεi (t))uεi (t)φ(t, qiε (t))dt.
0
i=1
On regarde maintenant le terme ave
la dérivée en
Z
N Z
X
T
0
Z
ε
b
ε
ε
ρ (t, x)u (t, x)∂x φ(t, x)dxdt =
a
(6.40)
T
Z
qiε (t)
Z
qiε (t)
ε (t)
qi−1
0
i=1
x,
ε
ε
!
ρ (t, x)u (t, x)∂x φ(t, x)dx dt.
Une intégration par parties donne
Z
T
0
Z
b
ρε (t, x)uε (t, x)∂x φ(t, x)dxdt
a
ε
=
N Z
X
T
0
i=1
Nε
=
q ε (t)
[ρε (t, x)uε (t, x)φ(t, x)]qiε (t)
i−1
XZ
T
0
i=1
−
ε
−
ε (t)
qi−1
!
∂x (ρε (t, x)uε (t, x))φ(t, x)dx dt
ε
ε
ui (t)ρεi (t)φ(t, qiε (t)) − uεi−1 (t)ρεi (t)φ(t, qi−1
(t)) dt
N Z
X
T
0
i=1
Z
qiε (t)
ε (t)
qi−1
ρεi (t)
uεi (t) − uεi−1 (t)
φ(t, x)dxdt.
ε
qiε (t) − qi−1
(t)
On a don
Z
0
T
Z
b
ρε (t, x)uε (t, x)∂x φ(t, x)dxdt
a
ε
=
N Z
X
T
(ρεi (t) − ρεi+1 (t))uεi (t)φ(t, qiε (t))dt
0
i=1
−
ε
N Z
X
i=1
0
T
Z
a
b
(6.41)
2ε(uεi (t) − uεi−1 (t))
ε (t),q ε (t)] (x)dxdt.
φ(t, x)1[qi−1
ε
i
(qiε (t) − qi−1
(t))2
En sommant (6.40) et (6.41) on obtient nalement l'égalité souhaitée,
Z
0
T
Z
b
ε
ρ (t, x)∂t φ(t, x)dxdt +
a
=−
Z
b
Z
T
0
Z
b
ρε (t, x)uε (t, x)∂x φ(t, x)dxdt
a
ρε (0)φ(0, x)dx. a
169
Chapitre 6. Un modèle
•
ontinu de boulier visqueux
Démonstration du lemme 6.19 :
dans
L∞ (]a, b[)
⋆
⋆
ρε −⇀ ρ dans L∞ (]0, T [×]a, b[) et ρε (0, ·) −⇀ ρ0
ε ⋆
e lemme, nous allons utiliser le lemme 6.13 (χ −⇀ ρ dans
(]0, T [×]a, b[)) et le fait que ρε est "pro he" de χε en un ertain sens. On fait
Pour démontrer
∞
L
la démonstration du premier point du lemme (sur
]0, T [×]a, b[),
le se ond point se
traitant exa tement de la même façon en utilisant l'hypothèse (6.26). Rappelons que
χε est déni en (6.19) et ρε en (6.30) par
χ(t, ·) =
et
ρεi (t) = 1 −
ε −1
N
X
1]qi (t)−ε,qi (t)+ε[ + 1]a,a+ε[ + 1]b−ε,b[ ,
i=1
dεi (t)
ε
qiε (t) − qi−1
(t)
ε
[qi−1
(t), qiε (t)]
sur
pour
1 ≤ i ≤ N ε.
Nous allons pro éder en trois étapes :
Montrons d'abord que
∀α, β, a ≤ α ≤ β < b, ∀t,
Soient
α
Z
β
ε
χ (t, x)dx −
α
Z
β
α
ρε (t, x)dx ≤ 6ε
β xés, on note qiε0 (t), qiε0 +1 (t), . . . , qjε0 (t), les parti ules dont
[α, β] au temps t. Comme pour tout i entre 0 et N ε − 1 on a
et
sont dans
Z
ε (t)
qi+1
qiε (t)
les
entres
ε
(χε (t, x) − ρε (t, x))dx = 2ε − (qi+1
(t) − qiε (t) − dεi+1 (t)) = 0,
on obtient :
Z
β
ε
α
χ (t, x)dx −
Z
Z
β
ε
ρ (t, x)dx =
α
qiε (t)
0
α
−
Z
(χε (t, x) − ρε (t, x))dx
β
qjε (t)
0
(χε (t, x) − ρε (t, x))dx.
Il sut alors de
de
α
al uler expli itement es deux dernières intégrales selon la position
ε
ε
par rapport à qi (t) − ε et de β par rapport à qj (t) + ε pour montrer que
0
0
Z
β
α
ε
χ (t, x)dx −
Montrons maintenant que, pour tout
lim
ε→0
170
Z
0
T
Z
a
Z
β
α
ϕ ∈ C00 (]0, T [×]a, b[),
b
ε
ρε (t, x)dx ≤ 6ε.
χ (t, x)ϕ(t, x)dxdt −
Z
T
0
Z
a
b
ρ (t, x)ϕ(t, x)dxdt = 0.
ε
6.3. Démonstration des lemmes
Soient
ϕ ∈ C00 (]0, T [×]a, b[)
et
η>0
e(δ) =
xés, notons
sup
|ϕ(t, x) − ϕ(s, y)|
x, y ∈ [a, b], |x − y| < δ
t, s ∈ [0, T ], |t − s| < δ
n
et pour
t ∈]0, T [,
On a, pour tout
Z
xk , k = 0, . . . , n − 1 par
k
1
.
+
xk = a + (b − a)
2n n
xé, dénissons
b
ε
ε
ϕ(t, x)(χ (t, x) − ρ (t, x))dx =
a
n−1 Z
X
=
k=0
+
a+(b−a) k+1
n
k
a+(b−a) n
n−1 Z
X
On obtient don
Z
Z
T
0
a+(b−a) k+1
n
(ϕ(t, x) − ϕ(t, xk ))(χε (t, x) − ρε (t, x))dx
la majoration suivante,
ϕ
n−1 Z
X
T
0
k=0
Z
est absolument
a+(b−a) k+1
n
k
a+(b−a) n
n−1
X
2
T e
(χ (t, x) − ρ (t, x))dx +
n
k=0
ε
ε
b−a
2n
.
ontinue,
∃n > 0
n
ϕ(t, x)(χε (t, x) − ρε (t, x))dx
ϕ(t, x)(χε (t, x) − ρε (t, x))dxdt
≤ kϕk∞
Ce
k
a+(b−a) n
b
a
Comme
k=0
a+(b−a) k+1
n
ϕ(t, xk )(χε (t, x) − ρε (t, x))dx
k
a+(b−a) n
k=0
n−1 Z
X
tel que
e
b−a
2n
< η.
étant xé, le premier point nous donne,
∀k, ∀ε,
Z
a+(b−a) k+1
n
k
a+(b−a) n
(χε (t, x) − ρε (t, x))dx. < 6ε
Ainsi,
∀ε < η,
Z
0
T
Z
b
a
ϕ(t, x)(χε (t, x) − ρε (t, x))dxdt ≤ (6T nkϕk∞ + 2T ) η,
e qui nit de démontrer
e se ond point.
ϕ ∈ L1 (]0, T [×]a, b[),
Z T Z b
Z TZ b
ε
lim
ρ (t, x)ϕ(t, x)dxdt −
ρ(t, x)ϕ(t, x)dxdt = 0.
Montrons enn que, pour tout
ε→0
0
a
0
a
171
Chapitre 6. Un modèle
ontinu de boulier visqueux
C00 (]0, T [×]a, b[) est dense dans L1 (]0, T [×]a, b[) et que la suite (ρε )ε
∞
0
bornée dans L (]0, T [×]a, b[), il sut de le montrer pour ϕ ∈ C0 (]0, T [×]a, b[).
0
Soit don ϕ ∈ C0 (]0, T [×]a, b[), on a
Z TZ b
Z TZ b
ε
ρ (t, x)ϕ(t, x)dxdt −
ρ(t, x)ϕ(t, x)dxdt
Comme
0
a
0
Z
≤
T
0
+
Z
a
b
ε
ρ (t, x)ϕ(t, x)dxdt −
a
Z
Z
T
0
b
Z
Z
T
0
ε
χ (t, x)ϕ(t, x)dxdt −
a
est
b
χε (t, x)ϕ(t, x)dxdt
a
Z
Z
T
0
b
ρ(t, x)ϕ(t, x)dxdt .
a
Le premier terme tendant vers zéro d'après le point pré édent et le se ond également
ε
d'après la onvergen e de χ , on a ni la démonstration de e lemme. •
Démonstration du lemme 6.20 :
Rappelons que
fε
⋆
f ε −⇀ ρf
dans
L∞ (]0, T [×]a, b[)
est déni dans le lemme 6.16 par
ε
f (t, ·) =
ε −1
N
X
fiε (t)1]qiε (t)−ε,qiε (t)+ε[ .
i=1
Nous allons pro éder en deux étapes.
Montrons d'abord la
montrons que
∆ε
D ′ (]0, T [×]a, b[) : soit Ψ ∈ D(]0, T [×]a, b[),
vers zéro quand ε tend vers zéro où
Z TZ b
Z TZ b
ε
ε
∆ =
f Ψ−
ρf Ψ.
onvergen e dans
tend
0
Pour
a
a
ela, on é rit
ε
∆ =
Comme
Z
T
|0
Z
Z
ε
a
ε
(f − χ f )Ψ +
{z
} |0
∆ε1
T
Z
b
a
à montrer
b
ε
a
ε
(f − χ f )Ψ =
Ψ
est à support
ε −1 Z
N
qiε (t)+ε
X
qiε (t)−ε
i=1
Z
a
∃ε0 , ∀ε < ε0 ,
a
ε
∆ε2
]0, T [×]a, b[,
Z
(f − χ f )Ψ =
vers
b
f (t, x)Ψ(t, x)dx.
b−ε
les deux derniers termes de
assez petit,
b
ε
onvergen e de
[fiε (t) − f (x, t)]Ψ(t, x)dx
f (t, x)Ψ(t, x)dx −
ompa t sur
ε
∆ε2
a+ε
l'égalité pré édente sont nuls pour
Z
(χε − ρ)f Ψ .
{z
}
le lemme 6.13 montre le
ε
elle de ∆1 vers zéro. Or,
−
Comme,
Z
b
f Ψ ∈ L1 (]0, T [×]a, b[),
zéro. Il reste don
172
0
ε −1 Z
N
qiε (t)+ε
X
i=1
qiε (t)−ε
[fiε (t) − f (x, t)]Ψ(t, x)dx.
6.3. Démonstration des lemmes
Or,
|fiε (t) − f (t, x)| =
de
t
et de
ε
x ∈ [qiε (t) − ε, qiε (t) + ε],
qiε (t)+ε
f (y, t)dy
qiε (t)−ε
Z
1
=
2ε
Ainsi, pour
Z
1
2ε
qiε (t)+ε
qiε (t)−ε
− f (x, t)
(f (y, t) − f (x, t))dy .
l'hypothèse (6.23) donne
C >0
indépendant
tel qu'on ait la majoration suivante,
|fiε (t)
C
− f (t, x)| ≤
2ε
C
≤
2ε
Par
!
qiε (t)+ε
Z
|y − x|dy
qiε (t)−ε
qiε (t)+ε
Z
2ε ≤ 2Cε.
qiε (t)−ε
onséquent,
Z
∀ε < ε0 ,
ε −1
N
X
b
ε
a
ε
(f − χ f )Ψ
≤
2Cε
Z
qiε (t)+ε
qiε (t)−ε
i=1
|Ψ(t, x)|dx
≤ 2CεkΨ(t, ·)kL1(]a,b[) .
D'où,
∆ε1
∀ε < ε0 ,
≤ 2Cε
Z
0
T
kΨ(t, ·)kL1(]a,b[) = 2CεkΨkL1 (]0,T [×]a,b[),
e qui termine la démonstration de la
onvergen e dans
D ′ (]0, T [×]a, b[).
∞
Montrons maintenant la onvergen e faible étoile dans L (]0, T [×]a, b[). Soit ϕ ∈
L1 (]0, T [×]a, b[), par densité de D(]0, T [×]a, b[) dans L1 (]0, T [×]a, b[), il existe une
ϕn
suite de fon tions
telle que
ϕn ∈ D(]0, T [×]a, b[), kϕn − ϕkL1 (]0,T [×]a,b[) −→ 0
quand
ε → 0.
On é rit alors
Z
0
T
Z
b
ε
a
+
(f ϕ − ρf ϕ)dxdt =
Z
T
0
Z
b
Z
0
ε
a
T
Z
b
f ε (ϕ − ϕn )dxdt
a
(f − ρf )ϕn dxdt +
Z
0
T
Z
a
b
ρf (ϕ − ϕn )dxdt.
Le se ond terme de la somme tend vers zéro d'après
e qui pré ède. Le dernier
terme tend vers zéro ar ρf est bornée sur ]0, T [×]a, b[ et ϕn tend vers ϕ dans
L1 (]0, T [×]a, b[). Pour la même raison, si on montre que f ε est bornée indépendamment de
ε
sur
]0, T [×]a, b[,
Or,
fiε (t)
1
=
2ε
Z
on aura la
qiε (t)+ε
qiε (t)−ε
onvergen e vers zéro du premier terme.
f (t, x)dx ≤ kf kL∞ (]0,T [×]a,b[) .
173
Chapitre 6. Un modèle
ontinu de boulier visqueux
Ainsi,
kf ε kL∞ (]0,T [×]a,b[) ≤ kf kL∞ (]0,T [×]a,b[),
e qui a hève la démonstration du lemme.
•
Démonstration du lemme 6.21 :
(uε )ε
(6.42)
bornée dans
L∞ (]0, T [, H01(]a, b[))
ε
2
xé et estimons ∂x u (t, ·) dans L (]a, b[).
ε
Commençons par dénir w̃ (t, ·), fon tion onstante par mor eaux, valant
ε
ε
[qi−1 (t), qi (t)]. En parti ulier,
Travaillons d'abord à
t
w̃ ε (t, ·) =
1
∂x uε (t, ·)
ε
1 − ρ (t, ·)
si
ku
(t, ·)k2H 1 (]a,b[)
0
=
≤
e qui donne, en utilisant
ku
ε
(t, ·)k2H 1 (]a,b[)
0
≤
Z
Z
Z
b
ε
a
2
|∂x u (t, ·)| =
[a,b]∩{ρε (t,·)<1}
sur
ρε (t, ·) < 1.
ε
2
On peut estimer ∂x u dans L (]a, b[) en en se rappelant que
ρε (t, ·) vaut 1 et en é rivant
ε
wiε (t)
∂x uε (t, ·) est nulle quand
Z
[a,b]∩{ρε (t,·)<1}
|∂x uε (t, ·)|2
1
|∂x uε (t, ·)|2 ,
1 − ρε (t, ·)
w̃ ε ,
ε
[a,b]∩{ρε (t,·)<1}
ε
w̃ (t, ·)∂x u (t, ·) =
Z
[a,b]
w̃ ε (t, ·)∂x uε (t, ·).
Enn, une intégration par parties donne
ku
ε
(t, ·)k2H 1 (]a,b[)
0
≤−
Z
[a,b]
∂x w̃ ε (t, ·)uε (t, ·).
ε
Cal ulons alors ∂x w̃ au sens des distributions. Pour
ε
ε
ane sur [qi (t), qi+1 (t)]. Par onséquent on a,
∂x uε (t, ·) =
Si
di+1 (t) > 0,
sur
0 ≤ i ≤ N ε − 1, uε (t, ·)
ε
[qiε (t), qi+1
(t)].
on obtient,
ε
wi+1
(t) =
174
uεi+1 (t) − uεi (t)
ε
qi+1
(t) − qiε (t)
(6.43)
uεi+1 (t) − uεi (t)
1
ε
∂
u
(t,
·)
=
.
x
1 − ρε (t, ·)
dεi+1 (t)
est
6.3. Démonstration des lemmes
D'où, au sens des distributions,
X
ε
∂x w̃ (t, ·) =
1..N ε
i∈
−1
di (t) > 0, di+1 (t) > 0
+
P ik +N
k −1
X
X
k=1 i=ik +1
uεi+1 (t) − uεi (t) uεi (t) − uεi−1 (t)
−
dεi+1 (t)
dεi (t)
δqiε (t)
ε
βiε (t) − βi−1
(t) δqiε (t)
P X
uεik (t) − uεik−1 (t)
ε
βik +1 (t) −
+
δqiε (t)
ε
k
d
(t)
i
k
k=1
P ε
X
uik +Nk +1 (t) − uεik +Nk (t)
ε
+
− βik +Nk (t) δqiε +N (t) .
ε
k
k
d
(t)
ik +Nk +1
k=1
On utilise alors l'équation (6.11), ainsi que la dénition (6.33)des
ε
∂x w̃ (t, ·) = −
ε −1
N
X
2εfiε (t, qε (t))δqiε (t)
dans
i=1
βiε
et on obtient
D ′ (]0, T [×]a, b[).
(6.44)
1
La densité de D(]a, b[) dans H0 (]a, b[) ainsi que l'inje tion ontinue en dimension 1
1
0
−1
de H0 (]a, b[) dans C0 (]a, b[) nous permettent d'étendre le résultat dans H
(]a, b[).
ε
Par onséquent, en al ulant le ro het de dualité entre (6.44) et u (t, ·), la majoε
2
ration (6.43) de ku (t, ·)k 1
donne
H0 (]a,b[)
kuε (t, ·)k2H 1 (]a,b[) ≤
0
ε −1
N
X
(2εfiε (t, qε (t)))uε (t, qiε (t)).
i=1
On a don , en utilisant le fait que les parti ules ne se
ku
ε
(t, ·)k2H 1 (]a,b[)
0
ε
≤ ku (t, ·)kL∞ (]a,b[)
ε
ε −1
N
X
hevau hent pas,
2ε|fiε (t, qε (t))|
i=1
≤ ku (t, ·)kL∞ (]a,b[) kf (t, ·)kL1 (]a,b[) .
En utilisant l'inje tion
ontinue de
H01 (]a, b[)
dans
C 0 (]a, b[)
on obtient,
kuε (t, ·)kH01 (]a,b[) ≤ Ckf (t, ·)kL1 (]a,b[) ≤ C(b − a)kf (t, ·)kL∞ (]a,b[)
et
kuε (t, ·)kL∞ (]0,T [,H01 (]a,b[)) ≤ C(b − a)kf kL∞ (]0,T [×]a,b[). 175
Chapitre 6. Un modèle
•
ontinu de boulier visqueux
Démonstration du lemme 6.22 :
(w ε )ε
et
(∂x w ε )ε
bornées dans
L∞ (]0, T [×]a, b[)
ε
∞
Montrons d'abord que (w )ε est bornée dans L (]0, T [×]a, b[). Pour
ε
majorer les wi (t) indépendamment de t et de ε.
Commençons par le
dεi (t)
as où
(voir 6.32),
Or, nous avons déjà vu que,
uεi (t) − uεi−1 (t)
ε
qiε (t) − qi−1
(t)
et, en utilisant l'expression de
simple
e
as, par dénition
1
ε (t),q ε (t)] .
∂x uε (t, ·)|[qi−1
i
1 − ρεi (t)
wiε (t) =
∂x uε (t, ·) =
est stri tement positif. Dans
ela, il sut de
u
sur
en fon tion de
ε
[qi−1
(t), qiε (t)],
q
donné par la propriété 6.8, un
al ul donne,
∂x uε (t, ·) = (1 − ρεi (t))pεi (t)
sur
ε
[qi−1
(t), qiε (t)],
où
pεi (t)
= 2ε
ε −1
N
X
k=i
Par
i−1
ε
ε
X D ε (t)
DN
ε (t) − Dk (t) ε
ε
k
f
(t,
q
(t))
−
2ε
fkε (t, qε (t)).
k
ε
ε
DN ε (t)
DN ε (t)
onséquent,
∀i
Or,
(6.45)
k=1
omme
tel que
ε
ε
DN
ε (t) − Dk (t)
≤1
ε
DN
ε (t)
|pεi (t)|
≤
ε −1
N
X
k=1
dεi (t) > 0, wiε (t) = pεi (t).
et
Dkε (t)
≤ 1,
ε
DN
ε (t)
on a
|2εfkε (t, qε (t))| ≤ kf (t, ·)kL1 (]a,b[) ,
et nalement,
∀i
tel que
dεi (t) > 0, wiε (t) ≤ kf (t, ·)kL1 (]a,b[) .
wiε (t) dans le as où dεi (t) = 0. Dans e as, la parti ule i
appartient à un paquet. Si elle est dans le k ème paquet, pour k ∈ [1, P ] alors i = ik +j
ε
où j ∈ [1, Nk ] (voir les notations du système (6.11,6.12)). Par dénition, wi (t) =
βiε (t) = βiεk +j (t) dans e as (voir (6.32)). Or, en utilisant le système dénissant les
βiε (6.33), on a
ik +j−1
X
ε
ε
ε
βik +j (t) = pik −1 (t) − 2ε
fm
(t)
Il nous reste don
à majorer
m=ik
et don
wiε (t) ≤ 2kf (t, ·)kL1(]a,b[) .
176
6.3. Démonstration des lemmes
Finalemnt, on obtient la majoration suivante
kw ε kL∞ (]0,T [×]a,b[) ≤ 2kf kL∞ (]0,T [,L1 (]a,b[))
(6.46)
∂x w ε est bornée indépendamment de ε. Pour ela, d'après
ε
le lemme 6.16, il sut de majorer f , e qui a été fait dans la démonstration du
ε
∞
lemme 6.20 en (6.42) et on a don ∂x w bornée dans L (]0, T [×]a, b[). Il nous reste à montrer que
•
Démonstration du lemme 6.23 :
(∂t w ε )ε
bornée
L∞ (]0, T [×]a, b[)
Par dénition (voir (6.31)), on a
ε −1
N
X
ε
w (t, x) =
wiε (t, x)1[qiε (t)−ε,qiε (t)+ε] (x)
+
i=1
ε −1
N
X
ε (t)+ε,q ε (t)−ε] (x)
wiε (t)1[qi−1
i
i=2
ε
+w1ε (t)1[a,q1ε (t)−ε] (x) + wN
ε (t)1[q ε ε
(t)+ε,b] (x)
N −1
où
wiε (t, x) = wiε (t) +
ε
wi+1
(t) − wiε (t)
[x − (qiε (t) − ε)]. w ε
2ε
étant
ontinue, la dérivée
en temps ne fait pas apparaître de dira s et on a
ε
∂t w (t, x) =
ε −1
N
X
∂t wiε (t, x)1[qiε (t)−ε,qiε (t)+ε] (x)
i=1
+
ε −1
N
X
ε (t)+ε,q ε (t)−ε] (x)
(wiε )′ (t)1[qi−1
i
i=2
+(w1ε )′ (t)1[a,q1ε (t)−ε] (x)
+
ε
′
(wN
ε ) (t)1[q ε ε
(t)+ε,b] (x),
N −1
où
∂t wiε (t, x) = (wiε )′ (t) +
|
ε
w ε (t) − wiε (t) ε
(wi+1
)′ (t) − (wiε )′ (t)
[x − (qiε (t) − ε)] − i+1
ui (t) .
2ε {z
2ε {z
} |
}
ε
wi,af
f (t,x)
ε
wi,cste
(t)
En séparant les termes anes des termes
onstants dans
∂t wiε ,
on peut é rire
∂t w ε
omme somme de deux fon tions, la première étant ane par mor eaux et la se onde
onstante par mor eaux à
t
xé
ε
ε
∂t w ε = wder,af
f − wder,cste ,
ave
ε
wder,af
f (t, x) =
ε −1
N
X
ε
wi,af
f (t, x)1[qiε (t)−ε,qiε (t)+ε] (x) +
ε (t)+ε,q ε (t)−ε] (x)
(wiε )′ (t)1[qi−1
i
i=2
i=1
+(w1ε )′ (t)1[a,q1ε (t)−ε] (x)
et
ε
wder,cste
(t, x)
ε −1
N
X
=
ε −1
N
X
+
′
ε
(wN
ε ) (t)1[q ε ε
(t)+ε,b] (x)
N −1
ε
wi,cste
(t)1[qiε (t)−ε,qiε (t)+ε] (x).
i=1
177
Chapitre 6. Un modèle
Pour borner
ontinu de boulier visqueux
∂t w ε ,
il sut don
de borner
es deux fon tions.
ε
Commençons par borner wder,cste . En utilisant le lemme 6.21 et l'inje tion ontinue
1
ε
∞
de H0 (]a, b[) dans C0 ([a, b]), on obtient que u est bornée dans L (]0, T [×]a, b[) et
ε
don que ui (t) est borné indépendamment de t, ε et i. Puis, on utilise la dénition
ε
des wi (6.32), ainsi que les systèmes (6.11), (6.12) et (6.33), pour obtenir
ε
wi+1
(t) − wiε (t)
1
= |fiε | ≤
2ε
2ε
qiε (t)+ε
Z
|f (t, x)|dx ≤ kf kL∞ (]0,T [×]a,b[).
qiε (t)−ε
ε
ε
wi,cste
(t) bornée indépendamment de t, ε et i et don wder,cte
bornée
∞
indépendamment de ε dans L (]0, T [×]a, b[).
On a nalement,
ε
Etudions maintenant wder,af f . Il s'agit, à t xé, de la fon tion ane par mor eaux
ε
ε ′
ε
ε
′
ε
( omme w (t, ·)), valant (wi ) (t) en qi (t) − ε et (wi+1 ) (t) en qi (t) + ε. Pour montrer
∞
que ette fon tion est bornée indépendamment de ε dans L (]0, T [×]a, b[), il sut
ε ′
don de montrer que (wi ) (t) est bornée indépendamment de t, ε et i.
ε
En dérivant la formule expli ite (6.45) obtenue pour wi (t), on obtient, en utilisant
ε
ε ′
ε
que DN est onstante et que (Dk ) = uk :
(wiε )′ (t)
= 2ε
ε −1
N
X
k=i
+2ε
i−1
X
−uεk (t) ε
uεk (t) ε
ε
f
(t,
q
(t))
−
2ε
fk (t, qε (t))
k
ε
ε
(t)
(t)
DN
D
ε
ε
k=1 N
ε −1
N
X
k=i
i−1
ε
ε
X D ε (t)
DN
ε (t) − Dk (t)
′
ε
ε
k
(f
(t,
q
(t)))
−
2ε
(fkε (t, qε (t)))′ .
k
ε
ε
DN
DN
ε (t)
ε (t)
k=1
ε
omme pré édemment que ui (t) est borné indépendamment de t, ε et i
ε
ε
ε
ε
ε
(borne notée M ), que Dk /DN ε ≤ 1 et (DN ε −Dk )/DN ε ≤ 1 pour avoir la majoration
suivante,
On utilise
|(wiε)′ (t)| ≤ 2εM
ε −1
N
X
k=1
|fkε (t, qε (t))| + 2ε
N ε −1
≤ Mkf (t, ·)kL1 (]a,b[) +
X
k=1
≤ Mkf kL∞ (]0,T [,L1 (]a,b[)) +
+
ε −1 Z
N
qiε (t)+ε
X
k=1
qiε (t)−ε
ε −1
N
X
k=1
Z
ε −1
N
X
k=1
qiε (t)+ε
178
!′
f (t, x)dx
qiε (t)−ε
|uεi (t)||f (t, qiε (t) + ε) − f (t, qiε (t) − ε)|
|∂t f (t, x)| dx
On utilise les hypothèses (6.23) et (6.24) sur
ε
borne sur les ui (t) pour obtenir
|(wiε)′ (t)|
(fkε (t, qε (t)))′
f
≤ Mkf kL∞ (]0,T [,L1 (]a,b[)) + MC
et sa dérivée en temps ainsi que la
ε −1
N
X
k=1
2ε + k∂t f (t, .)kL1 (]a,b[)
6.3. Démonstration des lemmes
où
C
est la
onstante de Lis hitz de
f.
Finalement on a,
|(wiε)′ (t)| ≤ Mkf kL∞ (]0,T [,L1 (]a,b[)) + MC(b − a) + k∂t f kL∞ (]0,T [,L1(]a,b[)) .
On a don
∞
ni de démontrer que
ε
wder,af
f
est bornée indépendamment de
(6.47)
ε
dans
L (]0, T [×]a, b[).
Ainsi,
•
(∂t w ε )ε
est bornée dans
L∞ (]0, T [×]a, b[),
Démonstration du lemme 6.24 :
e qui termine la démonstration.
⋆
∂x uε −⇀ (1 − ρ)w
dans
L∞ (]0, T [×]a, b[)
On a :
∂x uε − (1 − ρ)w = {∂x uε − (1 − ρε )w ε } + {((1 − ρε ) − (1 − ρ)) w}
+ {(1 − ρε )(w ε − w)} .
Montrons que
ha un de
L∞ (]0, T [×]a, b[),
quand
ε
es trois termes
(6.48)
onverge faible étoile vers zéro dans
tend vers zéro.
Commençons par montrer que le premier terme
L∞ (]0, T [×]a, b[) (et don aussi faible-étoile) :
onverge fortement vers zéro dans
t xé, les dénitions de w ε (6.31), ρε (6.30) et uε (6.20) montrent que ∂x uε (t, ·) −
ε
(1−ρε (t, ·))w ε(t, ·) = 0 sur [qiε (t)+ε, qi+1
(t)−ε], ainsi que sur [a, a+ε] et [b−ε, b]. Par
ε
ε
ε
ε
ε
onséquent, il sut d'étudier ∂x u (t, ·)−(1−ρ (t, ·))w (t, ·) sur les [qi (t)−ε, qi (t)+ε].
ε
ε
ε
ε
La fon tion est ane sur [qi (t) − ε, qi (t)] et sur [qi (t), qi (t) + ε]. Elle est nulle en
ε
ε
ε
ε
qi (t)−ε et en qi (t)+ε. Sa limite à gau he en qi (t) vaut (1−ρεi (t))(wiε (t)−wi+1
(t))/2,
ε
ε
ε
et sa limite à droite vaut (1 − ρi+1 (t))(wi+1 (t) − wi (t))/2. Ainsi, on obtient, à t xé,
A
k∂x uε (t, ·) − (1 − ρε (t, ·))w ε(t, ·)kL∞ (]a,b[) ≤
1
ε
sup |wi+1
(t) − wiε (t)|.
2 i
Or,
ε
|wi+1
(t)
−
wiε (t)|
=
|2εfiε (t, qε (t))|
=
Z
qiε (t)+ε
qiε (t)−ε
f (t, x)dx ≤ 2εkf kL∞ (]0,T [×]a,b[)
Ainsi,
k∂x uε − (1 − ρε )w ε kL∞ (]0,T [×]a,b[) ≤ εkf kL∞ (]0,T [×]a,b[) ,
et on obtient la
onvergen e vers zero souhaitée.
Montrons maintenant la onvergen e faible-étoile vers zéro du se ond terme de (6.48) :
g ∈ L1 (]0, T [×]a, b[), omme w ∈ L∞ (]0, T [×]a, b[), on a wg ∈ L1 (]0, T [×]a, b[)
⋆
ε
∞
en utilisant que 1 − ρ −⇀ 1 − ρ dans L (]0, T [×]a, b[) ( f lemme 6.19), on a
Soit
et,
immédiatement
Z
]0,T [×]a,b[
((1 − ρε (t, x)) − (1 − ρ(t, x))) w(t, x)g(t, x)dxdt → 0
quand
ε → 0.
179
Chapitre 6. Un modèle
Finalement,
ontinu de boulier visqueux
omme
k(1 − ρε )(w ε − w)kL∞ (]0,T [×]a,b[) ≤ kw ε − wkL∞ (]0,T [×]a,b[),
la
w ε vers w (voir (6.38)) permet de montrer la
∞
terme de (6.48) dans L (]0, T [×]a, b[).
onvergen e uniforme de
forte vers zéro du dernier
Ce i termine la démonstration du lemme.
•
Démonstration du lemme 6.25 :
Comme dans le
onvergen e
(∂t uε )ε
bornée dans
L∞ (]0, T [×]a, b[)
as de la démonstration du lemme 6.23, on
al ule
∂t uε
:
∂t uε = uεder,af f,1 − uεder,af f,2 − uεder,cste ,
où
Nε X
(uεi )′ (t) − (uεi−1 )′ (t)
′
ε
ε
ε
ε (t),q ε (t)]
(ui−1 ) (t) +
uder,af f,1 =
[x − qi−1 (t)] 1[qi−1
ε
i
qiε (t) − qi−1
(t)
i=1
)
(
2
Nε
ε
ε
X
u
(t)
−
u
(t)
i
i−1
ε
ε (t),q ε (t)]
[x − qi−1
(t)] 1[qi−1
uεder,af f,2 =
ε
ε
i
q
(t)
−
q
(t)
i
i−1
i=1
Nε ε
X
ui (t) − uεi−1 (t)
ε
ε (t),q ε (t)]
uεi−1 (t)1[qi−1
uder,cste =
ε
ε
i
q
(t)
−
q
(t)
i
i−1
i=1
Or,
omme
uεi+1 (t) − uεi (t)
= (1 − ρεi (t)) |wiε (t)| ≤ |wiε (t)| ≤ kw ε kL∞ (]0,T [×]a,b[),
ε
qi+1
(t) − qiε (t)
la majoration (6.46) donne
uεi+1 (t) − uεi (t)
≤ 2kf kL∞ (]0,T [×]a,b[)
ε
qi+1
(t) − qiε (t)
et
uεder,af f,2
et
uεder,cste
sont bornées indépendamment de
ε
dans
(6.49)
L∞ (]0, T [×]a, b[).
ε
ε
Reste à montrer que uder,af f,1 l'est aussi. uder,af f,1 (t, ·) est la fon tion ane par morε
ε ′
ε
eaux ( omme u (t, ·)), valant (ui ) (t) en qi (t). Elle est nulle en a, par onséquent,
uεder,af f,1 (t, x)
Il sut don
de montrer que
=
Z
a
x
∂x (uεder,af f,1 )(t, y)dy.
∂x (uεder,af f,1 )
est bornée sur [0, T ] × [a, b]. Or, ette
ε
((uεi )′ (t) − (uεi−1 )′ (t))/(qiε (t) − qi−1
(t))
fon tion est onstante par mor eaux valant
ε
ε
sur [qi−1 (t), qi (t)]. On é rit alors que
uεi (t) − uεi−1 (t)
= (1 − ρεi (t))wiε (t)
ε
qiε (t) − qi−1
(t)
180
6.3. Démonstration des lemmes
e qui, en dérivant en temps donne
(uεi )′ (t) − (uεi−1 )′ (t)
= (1 − ρεi )′ (t)wiε (t) + (1 − ρεi (t))(wiε )′ (t) +
ε
qiε (t) − qi−1
(t)
En utilisant que
1 − ρεi (t) =
dεi (t)
,
ε
ε
qi (t)−qi−1
(t)
uεi (t) − uεi−1 (t)
ε
qiε (t) − qi−1
(t)
2
.
on obtient nalement
(uεi )′ (t) − (uεi−1 )′ (t)
2ε
= ε
(1 − ρεi (t))(wiε (t))2
ε
ε
ε
qi (t) − qi−1 (t)
qi (t) − qi−1
(t)
ε
ui (t) − uεi−1 (t) 2
ε ′
ε
+(1 − ρi (t))(wi ) (t) +
.
ε
qiε (t) − qi−1
(t)
Or,
ε
qiε (t) − qi−1
(t) ≥ 2ε
et
1 − ρεi (t) ≤ 1,
don
(uεi )′ (t) − (uεi−1 )′ (t)
≤ |wiε(t)|2 + |(wiε )′ (t)| +
ε
qiε (t) − qi−1
(t)
uεi (t) − uεi−1 (t)
ε
qiε (t) − qi−1
(t)
2
.
Enn, les inégalités (6.46), (6.47) et (6.49) nous permettent de majorer ha un des
ε
termes i-dessus indépendamment de t, ε et i. Ainsi, on obtient ∂x (uder,af f,1 ) bornée
∞
ε
indépendamment de ε dans L (]0, T [×]a, b[) et don , uder,af f,1 également, e qui
termine la démonstration du lemme.
181
Chapitre 6. Un modèle
182
ontinu de boulier visqueux
Annexes
183
Annexe A
Minimisation sous
185
ontrainte ane
Annexe A.
Minimisation sous
ontrainte ane
Cette annexe rassemble un
timisation
ertain nombre de
onsidérations sur les problèmes d'op-
onvexe qui sont ren ontrés au long de
ette thèse. Le point
lé est i i le
omportement de la suite des multipli ateurs de Lagrange pour l'algorithme d'Uzawa, qui
est peu do umenté dans la littérature. Le résultat de
elui sur lequel se base l'algorithme de
onvergen e obtenu se tion A.3 est
onta t visqueux multi-parti ules dé rit dans le
hapitre 5.
Les se tions A.1 et A.2 pré isent le
ins rits et rappellent les résultats
•
adre abstrait dans lequel nous nous sommes
lassiques
on ernant la minimisation sous
ontrainte d'égalité ane en dimension innie pour
la se tion A.1 (voir par exemple [63, Problème 8℄). Ce type de problème apparaît :
dans la se tion 1.4 sur la méthode de pénalisation,
dans le
hapitre 3, lors de l'étude du problème de
ouplage entre la gestion des
onta ts et la résolution uide/parti ules.
•
on ernant la minimisation sous un nombre ni de
ontraintes d'inégalités anes
et réelles pour la se tion A.2 (voir par exemple [3, Chap.10℄). Ce type de problème
apparaît :
dans le
hapitre 2, pour la gestion de
ontraintes supplémentaires lors de l'utili-
sation de la méthode de pénalisation.
dans les problèmes de proje tion asso iés aux
Soient
V
et
M
B ∈ L(V, M), A ∈ L(V )
fon tionnelle suivante,
J: V
A.1
Soit
J
(·, ·) et h·, ·i leurs
f ∈ V . On onsidère la
deux espa es de Hilbert. On note respe tivement
produits s alaires. Soient
et on suppose
onta ts, dans la partie II.
oer ive i.e.
autoadjoint et
−→ R
1
v 7−→ J(v) = (Av, v) − (f, v)
2
∃α > 0, ∀v ∈ V, (Av, v) ≥ αkvk2V .
Contrainte d'égalité
K
l'ensemble des
ontraintes
K = {v ∈ V, Bv = z}
où
z ∈ Im(B), z = Bu0 . K
est alors un espa e ane fermé :
K = u 0 + K0 ,
où
u0 ∈ V
et
K0 = KerB .
On souhaite résoudre le problème de minimisation sous
ontrainte suivant :
(P )
(
u∈K
J(u) = inf J(v)
v∈K
Une extension immédiate du lemme de Lax-Milgram assure l'existen e et l'uni ité d'une
solution de
186
(P )
:
A.1. Contrainte d'égalité
Propriété A.1 Le problème
(P )
admet une unique solution
∀v ∈ K0 , (Au, v) = (f, v).
u ∈ K,
ara térisée par
La fon tionnelle
L : V × M −→ R
(v, µ) 7−→ L(v, µ) = J(v) + hµ, Bv − zi
(P ).
est appelée Lagrangien du problème
(u, λ)
(
Dénition A.2
(P ′)
λ
est un point-selle de
(u, λ) ∈ V × M
L
si
(u, λ)
On note
B∗
(u, λ)
(P ′ )
solution de
B
l'adjoint de
(P ′ ) =⇒ u
où
.
L(u, µ) ≤ L(u, λ) ≤ L(v, λ) , ∀v ∈ V , ∀µ ∈ M
est alors appelé multipli ateur de Lagrange asso ié à
Propriété A.3
est solution de
u.
solution de
(P ).
déni par
∀v ∈ V, ∀µ ∈ M, (B ∗ µ, v) = hµ, Bvi.
Le problème
onsidéré s'é rit en ore sous la forme d'un système d'équations :
Propriété A.4
(u, λ)
(P ′ ) ⇐⇒ (u, λ) solution
(
Au + B ∗ λ = f
′′
(P )
Bu = z
solution de
de problème
(P ′′)
ave
L'existen e et l'uni ité d'un multipli ateur de Lagrange sont assurées par des hypothèses
supplémentaires sur
B
:
Théorème A.5 Si l'image de
u
Si
B
solution de
B
(P ) ⇒ ∃λ
est fermée alors :
(u, λ)
tel que
solution de
(P ′)
(et don
de
(P ′′)).
est surje tive, le mutipli ateur de Lagrange est unique.
Remarque A.6 Si
M
est de dimension nie (par exemple si on a un nombre ni de
ontraintes réelles), alors le théorème pré édent assure l'existen e d'un multipli ateur de
Lagrange. Dans
e
B: V
M = RN
−→ M = R
v
On a alors pour
as,
et
(P )
v∈V
se réé rit
B
peut se mettre sous la forme
ave
7−→ (B1 v, . . . , BN v)
et
N
X
i=1
′′
et
N
µ ∈ M,
!
µibi , v
=







N
X
i=1
Bi ∈ L(V, R)
pour
i = 1 . . . N,
Bi v = (bi , v), bi ∈ V
µi (bi , v) = hµ, Bvi = (B ∗ µ, v) ,
Au +
N
X
λi bi = f
i=1
Bu = z
187
Annexe A.
A.2
Minimisation sous
ontrainte ane
Contrainte d'inégalité,
On se pla e dans
ette se tion dans le
as où on impose un nombre ni de
d'inégalités anes réelles. Comme pré édemment,
L'espa e des
ontraintes
M = RN
as
V
onsidéré est
K+ = {v ∈ V, Bv ≤ z} = {v ∈ V, ∀i = 1 . . . N, Bi v ≤ zi }
où
−→ M = RN
B: V
v
On
pour
i = 1 . . . N,
onsidère le problème de minimisation suivant
J
étant stri tement
et
K+
étant

 u + ∈ K+
est le
 J(u+ ) = inf J(v)
v∈K+
onvexe, semi- ontinue inférieurement (et même
ontinue),
oer ive
onvexe fermé, on a la propriété suivante :
Propriété A.7 Le problème
C
Bi ∈ L(V, R)
ave
7−→ (B1 v, . . . , BN v)
(P+ )
Si
ontraintes
est un espa e de Hilbert quel onque.
ne
RN
+,
(P+ )
possède une unique solution
u+ .
le Lagrangien du problème est maintenant déni par
L+ : V × C −→ R
(v, µ) 7−→ L+ (v, µ) = J(v) + hµ, Bv − zi
= J(v) +
N
X
i=1
On note
(P+′ )
µi (Bi v − zi )
le problème de point selle asso ié :
(P+′ )
(
(u+ , λ+ ) ∈ V × C
L+ (u+ , µ) ≤ L+ (u+ , λ+ ) ≤ L+ (v, λ+ ) , ∀v ∈ V , ∀µ ∈ C
et on a les deux résultats suivants :
(P+′ ) =⇒ u+
Propriété A.8
(u+ , λ+ )
solution de
Propriété A.9
(u+ , λ+ )
est solution de
(P+′′ )
188
solution de
(P+′ ) ⇐⇒ (u+ , λ+ )

N

X



Au
+
λ+,ibi = f,
+


i=1

Bi u+ ≤ zi , ∀i




 λ (B u − z ) = 0, ∀i.
+,i
i +
i
(P+ ).
est solution de
(P+′′ )
ave
A.3. Algorithme d'Uzawa :
ontrainte d'inégalité,
as
M = RN
Remarque A.10 Le système asso ié fait maintenant intervenir une équation supplémentaire, appelée relation de
Lagrange
la
λi
asso ié à la
omplémentarité. Cette équation dit que le multipli ateur de
Bi u+ − zi ≤ 0
Bi u+ − zi = 0).
ontrainte
ontrainte est saturée (ie
ne peut être a tivé (ie non nul) que si
Remarque A.11 On a montré lors de la remarque A.6 que, pour
N
X
B∗µ =
µ ∈ M,
µi bi .
i=1
Aussi, on peut réé rire
(P+′′ )
sous la forme


Au+ + B ∗ λ+ = f,


Bu+ ≤ z,


 hλ , Bu − zi = 0.
+
+
Comme le montre le théorème suivant, dans le as d'un nombre ni de ontraintes
(P ′ ) possède toujours une solution ( e qui est faux dans le as
d'inégalités anes réelles,
général, voir remarque A.13).
Théorème A.12
u+
Si
est solution de
B
(P+ ) =⇒ ∃λ+ ∈ C
tel que
(u+ , λ+ )
(P+′ )
(et don
de
(P+′′ )).
est surje tive, le mutipli ateur de Lagrange est unique.
Remarque A.13 Ces résultats se généralisent au
On peut dans
que les
e
as non ane. (voir [3, Chap. 10℄).
as vérier l'existen e de multipli ateurs de Lagrange sous la
ondition
ontraintes soient qualiées.
Ils se généralisent également au as d'un espa e
de
solution de
M
de Hilbert quel onque et d'un espa e
ontraintes sous la forme
K+ = {v ∈ V, ∀µ ∈ C, hµ, Bv − zi ≤ 0},
ave
C
ne
onvexe fermé de
M
de sommet
0
et
z ∈ ImB
(voir [63, Problème 8℄).
L'existen e de multipli ateurs de Lagrange est alors assurée par l'hypothèse
A.3
On dé rit i i l'algorithme d'Uzawa dans le
as
M = RN
adre de la se tion pré édente (nombre ni
ontraintes d'inégalités réelles). Il s'agit d'un algorithme de gradient à pas xe projeté,
sur le problème dual en
(
où
fermé.
Algorithme d'Uzawa :
ontrainte d'inégalité,
de
B ∗ (C)
λ0
et
ρ
λ+ .
Il s'é rit
ρ > 0 , λ0 ∈ C,
λk+1 = ΠC λk + ρ BA−1 (f − B ∗ λk ) − z ,
sont des paramètres à
hoisir et où
ΠC
est la proje tion sur
C.
189
Annexe A.
Minimisation sous
ontrainte ane
Remarque A.14 L'algorithme peut se réé rire en
V ×C
onstruisant une suite
(uk , λk )
dans
de la façon suivante :


ρ > 0 , λ0 ∈ C,


uk+1 = A−1 (f − B ∗ λk ),


 λk+1 = Π λk + ρ Buk+1 − z .
C
On voit alors apparaître
Au
k+1
∗ k
+B λ =
Buk+1 − z
qui est la quantité sous
ontrainte ainsi que l'équation
f , présente dans le problème (P+′′ ) d'après la remarque A.11.
as plus général (M non né essairement de
k
onvergen e de la partie primale (u )k vers u+ est assurée sous la
Il est montré dans [63, Problème 8℄, pour un
dimension nie), que la
ondition d'existen e d'un point-selle. La se tion pré édente nous permet don
d'obtenir
la propriété suivante :
Propriété A.15
Dans le
uk = A−1 (f − B ∗ λk )
u+
dès que
0<ρ<
2α
.
kBk2
as qui nous intéresse (M de dimension nie), on peut également montrer que la
suite de multipli ateurs de Lagrange
dans le
onverge vers
onstruite par l'algorithme d'Uzawa
onverge, même
as de non-uni ité du point-selle. La démonstration est basée sur la proposition
suivante (voir par exemple [42℄) :
Propriété A.16 Lemme d'Opial Soit
mension innie),
Λ̃
Λ
un espa e de Hilbert (éventuellement de di-
un sous-ensemble non vide de
Λ,
et
(λk )
une suite d'éléments de
Λ
telle que
(i) pour tout
µ ∈ Λ̃,
(ii) si une sous-suite
Alors la suite
(λk )
la suite
(λ
ϕ(k)
)
onverge,
onverge faiblement vers un élément
onverge faiblement vers un élément de
Démonstration : D'après
deux sous-suites qui
m
sous-suites (λ k ) et
|λk − µ|
(i),
la suite
(λk )
µ
de
Λ̃.
est bornée. Il sut don
Λ,
alors
µ ∈ Λ̃.
de vérier que
onvergent faiblement ont la même limite. On onsidère don deux
(λnk ) qui onvergent faiblement vers λ1 et λ2 , respe tivement. On
introduit les limites
ℓ1 = lim |λk − λ1 |, ℓ2 = lim |λk − λ2 |,
qui sont bien dénies par hypothèse. On é rit alors
|λk − λ1 |2 − |λk − λ2 |2 = hλ2 − λ1 , 2λk − λ1 − λ2 i.
On passe à la limite dans l'identité pré édente pour la sous-suite
(λmk ),
Il vient
|ℓ1 |2 − |ℓ2 |2 = −|λ2 − λ1 |2
On a don
190
né essairement
|λ2 − λ1 | = 0,
et
|ℓ1 |2 − |ℓ2 |2 = |λ2 − λ1 |2 .
d'où le résultat.
puis pour
(λnk ).
A.3. Algorithme d'Uzawa :
Propriété A.17 Sous l'hypothèse
(u+ , µ+ )
soit solution de
ontrainte d'inégalité,
0<ρ<
(P+′ ).
onverge vers un
M = RN
µ+ ∈ C
tel que
tels que (u+ , µ+ ) soit un point′′
selle pour L+ (ou de façon équivalente solution du problème (P+ )), et l'on se propose de
k
vérier que la suite (λ ) rentre dans le adre du lemme d'Opial.
Démonstration : On note
Montrons que l'hypothèse
Λ̃ ⊂ Λ
2α
k
, λ
kBk2
as
(i)
l'ensemble des
µ+
λ+ ∈ Λ̃,
est vériée. Soit
on a
λ+ = ΠC (λ+ + ρ [Bu+ − z]) .
En eet, en utilisant la
ara térisation de la proje tion sur un
onvexe fermé, il nous sut
de montrer
hλ+ + ρ [Bu+ − z] − λ+ , µ − λ+ i ≤ 0, ∀µ ∈ C,
'est-à-dire,
hBu+ − z, µ − λ+ i ≤ 0, ∀µ ∈ C,
e qui se déduit immédiatement de u+ ∈ K+ et hλ+ , Bu+ − zi = 0. Alors, omme
ΠC λk + ρ Buk+1 − z , on utilise le ara tère 1-lips htzien de ΠC pour é rire
λk+1 − λ+
2
≤
=
=
≤
Ainsi, la suite
vérié.
λk − λ+ + ρB(uk+1 − u+ )
λk+1 =
2
2
2
λk − λ+ + 2ρ uk+1 − u+ , B ∗ (λk − λ+ ) + ρ2 B(uk+1 − u+ )
2
2
λk − λ+ − 2ρ uk+1 − u+ , A(uk+1 − u+ ) + ρ2 B(uk+1 − u+ )
2
2
λk − λ+ − ρ 2α − ρkBk2 uk+1 − u+ .
|λk − λ+ |
est dé roissante positive et don
onverge. Le point
(i)
est don
(ii)
du lemme d'Opial est vériée. Pour ela,
k
onsidérons une sous-suite, que nous notons en ore (λ ) pour alléger l'é riture, qui onverge
Montrons maintenant que l'hypothèse
µ ∈ Λ. Tout d'abord, C
dans C . Ensuite, on a
faiblement vers
faible et
µ
est
étant
onvexe fermé, il est fermé pour la topologie
Auk+1 + B ∗ λk = f
pour tout
k.
onverge vers
Or,
B ∗ λk
Au+ .
onverge faiblement vers
On a don
B ∗µ
et, d'après la propriété A.15,
Auk
par passage à la limite (faible)
Au+ + B ∗ µ = f,
Pour vérier que
µ est un point-selle de L+ , il reste à vérier la relation de
omplémentarité
hµ, Bu − zi = 0.
Pour
é rire
ela,
omme pré édemment, on utilise la
ara térisation de la proje tion sur
hλk + ρ Buk − z − λk+1 , µ̃ − λk+1 i ≤ 0, ∀µ̃ ∈ C.
C
pour
191
Annexe A.
Minimisation sous
ontrainte ane
L'hypothèse de la dimension nie implique que la suite des
(λk )
onverge fortement et on
peut passer à la limite dans l'équation pré édente. En prenant enn
µ̃ = 0,
on obtient
hµ, Bu − zi ≥ 0.
u ∈ K
Or,
et
µ ∈ C
vériée. Finalement on a
Le lemme d'Opial
hµ, Bu − zi ≤ 0 et la relation
montré que (u, µ) est point-selle de L+
implique
i-dessus permet alors de
Remarque A.18 On se pla e dans le
asso ié à une
ontrainte d'égalité
on lure.
de
omplémentarité est
'est-à-dire
µ ∈ Λ̃.
adre de la se tion A.1. L'algorithme d'Uzawa
orrespond à un gradient à pas xe
lassique sur le
M espa e de Hilbert quel onque, la onvergen e de uk ainsi que la
k
onvergen e faible de λ sont alors assurées sous l'hypothèse d'existen e de multipli ateurs
de Lagrange. Dans le as où M est de dimension nie, il y a don
onvergen e forte des
k
λ vers un multipli ateur de Lagrange.
problème dual. Pour
192
Annexe B
Optimal strokes for low Reynolds
number swimmers : an example
François Alouges
1
Antonio DeSimone
2
Aline Lefebvre
3
epté pour publi ation dans Journal of Nonlinear S ien e
Préprint, a
sous réserve de modi ations.
Abstra t
Swimming, i.e., being able to advan e in the absen e of external for es
by performing
y li
shape
hanges, is parti ularly demanding at low
Reynolds numbers. This is the regime of interest for mi ro-organisms
and mi ro- or nano-robots. We fo us in this paper on a simple yet representative example : the three-sphere swimmer of Naja and Golestanian
[16℄. For this system, we show how to
the language of
ast the problem of swimming in
ontrol theory, prove global
plies that the three-sphere swimmer
numeri al algorithm to
ontrollability (whi h im-
an indeed swim), and propose a
ompute optimal strokes (whi h turn out to be
suitably dened subRiemannian geodesi s).
.
1 Laboratoire
de
Mathématiques,
Université
Paris-Sud,
91405
Orsay
edex,
Fran e,
Fran ois.Alougesmath.u-psud.fr
2 SISSA-International
S hool
for
Advan ed
Studies,
via
Beirut
2-4,
34014
Trieste,
Italy,
desi-
monesissa.it
3 Laboratoire
de
Mathématiques,
Université
aline.lefebvremath.u-psud.fr
193
Paris-Sud,
91405
Orsay
edex,
Fran e,
Annexe B.
B.1
Optimal strokes for low Reynolds number swimmers : an example
Introdu tion
The problem of swimming at low Reynolds numbers has attra ted
onsiderable atten-
tion in the re ent literature, starting from the pioneering works of Taylor [18℄, Berg [5℄
and Pur ell [17℄. This problem is both puzzling and relevant e.g., for biologi al systems
and mi ro- or nano-robots. Indeed, due to the length and time s ales involved, the motion
of mi ro-swimmers is dominated by vis osity, while inertia is negligible. This implies that
mi roorganisms, su h as ba teria, must adopt swimming strategies
ompletely dierent
from those employed by larger organisms, su h as sh. In parti ular, the observation that,
in a ow regime obeying Stokes equations, a s allop
al motion of its valves is
annot advan e through the re ipro-
alled the s allop theorem [17℄. The mathemati al explanation
for this is the symmetry of the Stokes equations under time reversal : whatever forward
motion will be produ ed by
losing the valves, it will be exa tly
an eled by a ba kward
motion upon reopening them.
This leads to the question of nding the simplest me hanisms
apable of self propulsion
at this s ales. By this we mean the ability to advan e by performing a
y li
shape
hange
- a stroke - in the absen e of external for es. Several proposals have been put forward
and analyzed, see e.g., [18, 17, 16, 2, 4℄. A parti ularly simple example, due to Naja and
Golestanian [16℄, is the three-sphere swimmer. In its simplest form, it
equal spheres of radius
a
onsists of three
moving along a line (see Fig. B.1).
'$'$
B (1)
B (2)
c
x
x
&%&%
(1)
(2)
-
x
y
'$
B (3)
a
-
-
x(3)
&%
~ı
-
Fig. B.1 Swimmer's geometry and notation.
We
all
Ω := ∪3i=1 B (i)
between the
the union of the three open balls,
enters of the balls and
state of our system is thus
(x, y, c),
c
the
x
and
oordinate of the global
its shape is
(x, y)
y
the two distan es
enter of mass. The
and its position will be
c.
A brief
mathemati al des ription of the system is the following : ea h ball is a ted upon by a for e
f (i) ( oming from the other balls) whi h is transmitted to the surrounding uid, generating
a ow solution to Stokes equations outside Ω. As a onsequen e, ea h ball moves at a
u(i) . The relation between for es and velo ities is linear (Stokes equations are
velo ity
linear) and given by
where
S


 (1) 
u(1)
f
 u(2)  = S(x, y)  f (2) 
u(3)
f (3)
is known as the Oseen matrix [16℄. In this
(B.1)
ontext, self propulsion means that
the total for e a ting on the system vanishes
f (1) + f (2) + f (3) = 0.
194
(B.2)
B.1.
It turns out that the
enter of mass
c
Introdu tion
satises the ODE
dc
dx
dy
= Vx (x, y) + Vy (x, y) ,
dt
dt
dt
(Vx , Vy )
where
is a ve tor eld that
an be
problem is the following question :
(B.2), whi h produ e
T -periodi
average speed of the
enter of mass
(B.3)
f
paths in the spa e of shapes
1
c̄ =
T
S . The swimming
: [0, T ] → R satisfying
(x, y), and su h that the
omputed expli itly from
(i)
an one nd for e laws
Z
T
0
dc
dt
dt
(B.4)
does not vanish ? A positive answer has been given in the physi s literature [16℄ in the
limiting regime of small spheres and small deformations.
We
ast the swimming problem in the language of ontrol theory. The ontrols are
f (i) subje t to the onstraint (B.2), or the shape parameters x and y .
either the for es
The positive answer to the swimming problem is a onsequen e of the global ontrollability
of the system, i.e., the possibility of rea hing an arbitrary point
of states, starting from another arbitrary state
(x0 , y0 , c0 ),
(x1 , y1, c1 )
of the spa e
through self propulsion.
Theorem 1 The three-sphere swimmer is a globally ontrollable system.
Granted the possibility of swimming, the next interesting question is how to swim
optimally, namely, to nd the optimal stroke.
A
lassi al notion of swimming e ien y is due to Lighthill [13℄. It is dened as the
inverse of the ratio between the average power expended by the swimmer during a stroke
(x0 , y0 ) and the power that an external for
at the same average speed c̄ :
starting and ending at the shape
to translate the system rigidly
E
Here,
η
−1
=
1
T
is the vis osity of the uid, and
swimmer, whi h tends to
3a when
e would spend
RT P
0
f (i) u(i)
.
6πηAc̄2
i
A = A(x0 , y0 )
(B.5)
is the ee tive radius of the
the three spheres are innitely far apart (see [16℄). Our
se ond main result is a numeri al algorithm, namely, Algorithm 1 in se tion B.4, to
ompute the for e laws that provide, for given
c̄,
the stroke requiring minimal expended
power, hen e yielding maximal e ien y. We emphasize that,
ontrary to the standard
approa h in the Physi s literature, we do not x a priori the shape of the stroke, and
then optimize over a few s alar parameters. Rather, we let the swimmer free to
hoose an
optimal gait.
The rest of the paper is organized as follows. In se tion 2 we des ribe the setting of
the problem in detail. Se tion 3
ontains the proof of Theorem 1. In se tion 4 we state the
problem of optimal swimming and dis uss the numeri al strategy for its solution. Some
numeri al results are presented in se tion 5. Future dire tions are dis ussed in se tion 6.
195
Annexe B.
B.2
Optimal strokes for low Reynolds number swimmers : an example
Setting of the problem
B.2.1
Stokes equations
Ω = ∪3i=1 B (i)
be the union of the three open balls, and assume that the ow in
f (i) there
(i)
exists a unique pair (u, p), where the velo ity of the uid u is onstant on ea h ∂B , and
Let
3
R \Ω
p
satises the (stati ) Stokes equation. This means that for given ve tors
is the pressure whi h satises

−η∆u + ∇p = 0 in R3 \ Ω,
 divu = 0 in R3 \ Ω,
 Z

 −
σn = f (i) ,

∂B (i)
u → 0 at ∞.
(B.6)
σ = η (∇u + ∇t u) − pId is the Cau hy stress tensor, and n is the outer unit normal
(i)
(i)
to the boundary of Ω. The onstant tra e of u on ∂B
represents the velo ity u
of the
(i)
ball B .
(i)
It is onvenient to reformulate the problem as one in whi h the velo ities u
are the
(i)
given data and the for es f
are to be al ulated, and show that there is a linear one(i)
(i)
2
3
to-one orresponden e between the u
and the f . Let M = L (R \ Ω), and H be the
Here
weighted Hilbert spa e
H=
)
u
∈ L2 (R3 \ Ω) , u|∂B(i) = 0 ,
u ∈ D ′ (R3 \ Ω) : ∇u and p
2
1 + |r|
(
endowed with the
lassi al norm
|| · ||H
(B.7)
dened by
||u||2H
=
Z
R3 \Ω
|∇u|2.
(B.8)
whi h is equivalent (see [7, p. 117℄) to the natural norm
|||u|||2H
=
Z
R3 \Ω
|u(r)|2
2
+ |∇u| (r) dr .
1 + |r|2
(B.9)
3
∞
3
the position ve tor of a point in R \ Ω. Take now ū ∈ C0 (R \ Ω)
(i)
whi h satises the boundary onditions ū|∂B (i) = u . It is well known (see [7, p. 154℄)
that there exists a unique solution (u, p) to the variational problem
Here
r = (x1 , x2 , x3 ),
Find (u, p) ∈ (ū + H) × M su h that ∀(v, q) ∈ H × M,
Z
Z

 2 R3 \Ω η D(u) · D(v) − R3 \Ω p divv = 0,
 Z

q divu = 0,
(B.10)
R3 \Ω
where
D(u) =
on the balls as
1
2
(∇u + ∇t u). From the solution (u, p) one
Z
(i)
f =−
σn .
∂B (i)
196
an
ompute the for es exerted
(B.11)
B.2. Setting of the problem
It is
lear that the
f (i)
u(i)
depend linearly on the
X
f (i) =
Lij u(j) ,
(B.12)
j
and it easy to show that this relation is invertible. Indeed, let
be two sets of boundary
onditions. We solve the
(u(1) , u(2) , u(3) ) and (v (1) , v (2) , v (3) )
orresponding Stokes problems and
all
the solutions (u, p) and (v, q) respe tively. Moreover, we ompute the orresponding for es
(i)
and g
a ording to (B.11). Sin e u and v are divergen e free, integrating by parts
f (i)
we get
X
ij
X
(Lij u(j) ) · v (i) =
i
= 2
Z
f (i) · v (i)
R3 \Ω
X
=
i
X
=
ij
and
X
f
(i)
i
·u
(i)
=
X
ij
(j)
(Lij u ) · u
η D(u) · D(v)
g (i) · u(i)
u(j) · (Lji v (i) ) ,
(i)
=2
Finally, we dene the solution of (B.6) for given data f
(i)
orresponding to Diri hlet data u
satisfying (B.12).
Z
R3 \Ω
(i)
η |D(u)|2.
(B.13)
as the unique solution of (B.10)
In the geometry of Fig. B.1, for es and velo ities are all dire ted along the axis of
(i)
(i)
and u
their s alar omponents
motion so that, from now onward, we will denote by f
along that axis. Thus, from (B.12) and the properties of
and that the Oseen matrix
B.2.2
S
is symmetri
(xi )i
the positions of the

hange variables to
t
Setting ex = (−1, 1, 0) ,
we obtain
we obtain that (B.1) holds
and positive denite.
The ODEs des ribing swimming
Calling
and
Lij ,
enters of the three balls, we rewrite (B.1) as

 (1) 
x(1)
f
d  (2) 

= S(x, y) f (2)  ,
x
dt
(3)
x
f (3)
(B.14)
x = x(2) − x(1) , y = x(3) − x(2) , and c = (x(1) + x(2) + x(3) )/3.
t
ey = (0, −1, 1)t , ec = (1/3, 1/3, 1/3)t and f = f (1) , f (2) , f (3) ,

dx
= ex · Sf = Sex · f,
 dt
 dy

(B.15)
 dt = ey · Sf = Sey · f,
 dc
= Sec · f,
dt
197
Annexe B.
be ause
S
Optimal strokes for low Reynolds number swimmers : an example
is symmetri .
Now, sin e
f
satises (B.2), it is always possible to write it as
f = αx
Sex × ec
Sey × ec
− αy
.
Sex · (Sey × ec )
Sex · (Sey × ec )
(B.16)
This is be ause
1. the two ve tors
Sey × ec
and
Sex × ec
proportional, for if this were the
are obviously orthogonal to
ase, there would exist
λ, µ ∈ R
ec
and never
su h that
S(λex + µey ) × ec = 0.
But, sin e
ec
is orthogonal to both
ex
and
ey ,
we would have
S(λex + µey ) · (λex + µey ) = 0,
whi h is in
2.
ontradi tion with the fa t that
S
is positive denite.
Sex · (Sey × ec ) never vanishes. Indeed, if this were the ase, then both Sex × ec
and Sey × ec would be orthogonal to Sex and Sey . Sin e from the pre eding remark,
Sex and Sey are not ollinear, then Sex × ec and Sey × ec should be ollinear, whi h
again from the pre eding remark is not possible.
Using (B.16), system (B.15) be omes

whi h leads to






dx
= αx ,
dt
dy
= αy ,
dt
dc
Sec · (Sey × ec )
Sec · (Sex × ec )
= αx
− αy
dt
Sex · (Sey × ec )
Sex · (Sey × ec )
dc
dx
dy
= Vx (x, y) + Vy (x, y) ,
dt
dt
dt
(B.17)
(B.18)
with
S −1 ec · (ec × ey )
Sec · (Sey × ec )
= −1
Sex · (Sey × ec )
S ec · (ex × ey )
Sec · (Sex × ec )
S −1 ec · (ec × ex )
Vy (x, y) = −
= − −1
.
Sex · (Sey × ec )
S ec · (ex × ey )
Vx (x, y) =
(B.19)
(B.20)
Therefore, if the system performs a stroke, i.e., it follows a given losed urve γ = (x, y)
2
in the spa e of admissible shapes S = (2a, +∞) dened by γ : [0, T ] → S , then it
experien es a global displa ement of its
∆c =
Z
T
0
= ±
= ±
198
I
Z
enter of mass whi h amounts to
dy
dx
Vx (x(t), y(t)) (t) + Vy (x(t), y(t)) (t) dt,
dt
dt
γ
V · dl
url
ω
V,
(B.21)
B.2. Setting of the problem
where
−
the
V = (Vx , Vy )
sign should be
that the denition of
Thus, we
ω⊂S
and
is the region en losed by
hosen if
S
t 7→ γ(t)
indu es a
∆c
γ . The for e
γ : [0, T ] → S ,
dierent from 0 at the end of one stroke
f=
also
laws that
are easily
dy
Sey × ec
Sex × ec
dx
−
.
dt Sex · (Sey × ec ) dt Sex · (Sey × ec )
Swimming as a
(B.22)
ontrol problem
onvenient to rewrite system (B.17) as
dX
= αx (t)Fx (X) + αy (t)Fy (X),
dt
where
and
ontrolling shape in order to produ e
re overed from (B.16) and (B.17) :
It is
∂Vy ∂Vx
−
∂x
∂y
of γ . Noti e
=
ensures that the balls do not overlap.
are needed to produ e an arbitrary path in the spa e of shapes
B.2.3
urlV
Here,
lo kwise orientation
an think of swimming as the problem of
a net displa ement
γ.
X = (x, y, c) ∈ S × R
and the ve tor-elds
Fx
and
Fy
(B.23)
are given by
Fx (X) = (1, 0, Vx (x, y)) , Fy (X) = (0, 1, Vy (x, y)) .
In what follows, we will denote by
is globally
X = S ×R
(B.24)
the set of admissible states. This system
ontrollable if, starting from any state
X0 = (x0 , y0 , c0 ) ∈ X ,
one
an rea h
X1 = (x1 , y1 , c1 ) ∈ X with a solution of (B.23) and suitable ontrols
t 7→ (αx (t), αy (t)). The system is lo ally ontrollable at X0 if one an rea h any point
in a neighborhood of X0 . Sin e swimming means the ability to onne t (x0 , y0 , c0 ) and
(x0 , y0 , c1 6= c0 ) with a solution of (B.23), we see that lo al ontrollability is a su ient
any other state
ondition for swimming. In fa t, it turns out that the three-sphere swimmer is globally
ontrollable.
In order to pro eed, we need to introdu e basi
notations and results of
ontrol theory
applied to our situation. First, a su ient ondition for lo al ontrollability at X0 is that
3
the Lie algebra Lie(Fx , Fy )(X0 ) = R (see, e.g., [1℄). In parti ular this is true if
det(Fx , Fy , [Fx , Fy ])(X0 )
where
6= 0,
[Fx , Fy ] = (Fx · ∇)Fy − (Fy · ∇)Fx is the Lie bra ket
Fx nor Fy depend on c)
(B.25)
of
Fx
and
Fy .
An easy
omputation shows that (sin e neither
det(Fx , Fy , [Fx , Fy ])(X0 )
and we re over (in view of (B.21)) that
su iently small loop around
(x0 , y0).
url
=
url
V (X0 )
V (X0 ) 6= 0
(B.26)
allows for swimming with any
Introdu ing the Martinet surfa e
M = {X ∈ X : det(Fx , Fy , [Fx , Fy ])(X) = 0} ,
it is
lear that the system is lo ally
lable on ea h
onne ted
ontrollable outside
omponent of
X \ M.
M and therefore globally
(B.27)
ontrol-
199
Annexe B.
B.3
Optimal strokes for low Reynolds number swimmers : an example
Proof of Theorem 1
For the proof of theorem 1, whi h states that the three-sphere swimmer is globally
ontrollable, we need the following two lemmas whose proofs are postponed to the next
subse tions.
Lemma 1 The ve tor elds
Lemma 2 The set
X \M
Fx (X)
and
Fy (X)
are analyti
fun tions of
X ∈ X.
is not empty.
From the pre eding lemmas, it is
lear that the Martinet surfa e
M
is lo ally at
most of dimension 2. Indeed, if det(Fx , Fy , [Fx , Fy ]) vanished in a neighborhood of a state
X0 ∈ X , then by analyti ity, it would vanish everywhere on X , and M would be equal
to X ontradi ting lemma 2. Now, sin e Fx and Fy do not depend on c, the Martinet
surfa e is a ylinder with verti al axis and sin e span(Fx (X), Fy (X)) is never a verti al
plane, we dedu e that (at least) one of the two ve tors Fx (X) or Fy (X) is transverse to
M at X ∈ M. The global ontrollability on the onne ted omponents of X \ M and the
transverse ve tor eld to pass from one
onne ted
omponent to another prove the global
ontrollability of the system and theorem 1.
Remark 1 We noti e that, the global
ontrollability of the system
a weaker statement. However, analyti ity of
instan e, that the set
spa e of shapes
B.3.1
S
M
url
V
ould be proven with
also gives extra informations, for
is at most two-dimensional and hen e its interse tion with the
is at most one-dimensional.
Proof of Lemma 1
In view of formulas (B.19,B.20), the fa t that Fx (X) and Fy (X) are analyti fun tions
−1
(x, y) with respe t to (x, y) that we prove
of X dire tly follows from the analyti ity of S
(1)
(2)
(3) t
now. In fa t, it is su ient to show that for any triplet U = (u , u , u ) , the energy
S
is analyti
in
−1
(x, y)U, U = 2
Z
R3 \Ω
η |D(u)|2
(B.28)
(x, y) where (u, p) solves Stokes equations with boundary values u(i) on ∂B (i)

−η∆u + ∇p = 0 on R3 \ Ω ,
 div(u) = 0 on R3 \ Ω ,

(B.29)
 u|∂B(i) = u(i) for i = 1, 2, 3,
u → 0 at innity.
Ω on (x, y) we will write until the end
3
of the se tion Ω(x,y) instead of Ω. That u is analyti in R \ Ω(x,y) follows from standard
ellipti regularity (see, e.g., [15℄), but we stress that what on erns us here is that u is
analyti with respe t to (x, y), i.e., with respe t to deformations of the domain of the uid
ow. In order to pro eed, we work near a point (x0 , y0 ), set δx = x − x0 , and δy = y − y0 ,
In order to emphasize the dependen e of the domain
200
B.3.
and re all that a fun tion
only if one
X
an write for any
with values in a Bana h spa e
δ = (δx , δy )
B
is analyti
in a suitable neighborhood of
X(δ) =
X
Proof of Theorem 1
at
(0, 0)
if and
(0, 0)
δ α X (α) ,
(B.30)
α∈N2
where
X (α) ∈ B
satisfy the estimate
∃C > 0, ρ > 0,
Here, for a multiindex α
α αy
the quantity δx x δy , and
s.t. ∀α
= (αx , αy ) ∈ N2 ,
|α| = αx + αy .
∈ N2 , ||X (α) ||B ≤
and
C
.
ρ|α|
δ = (δx , δy ) ∈ R2 ,
(B.31)
we have denoted by
δα
R3 \ Ω(x0 ,y0 ) , but with variable
3
on R \ Ω(x0 ,y0 )
We then re ast the Stokes problem on the xed domain
oe ients. Namely, we solve the following two problems

φ
ψ
∆ψ = 0
 ψ|∂B(1) = 0 ,

 ψ|∂B(2) = 0 ,

 ψ|∂B(3) = 1 ,
ψ → 0 at innity.
(B.32)
are harmoni , as a onsequen e of lassi al ellipti regularity theory, they
3
are analyti on R \ Ω(x0 ,y0 ) (see [15℄). Moreover, φ, ψ and all their derivatives are bounded
3
fun tions on R \ Ω(x0 ,y0 ) , and satisfy the following de ay estimate at innity
Sin e
and






∆φ = 0
φ|∂B(1) = 1 ,
φ|∂B(2) = 0 ,
φ|∂B(3) = 0 ,
φ → 0 at innity,
∀α = (α1 , α2 , α3 ) ∈ N3 , ∃Cα > 0,
Now, we set for
s.t. |∂
α
φ(r)| ≤
Cα
.
|r||α|+1
(B.33)
(x̄1 , x̄2 , x̄3 ) ∈ Ω(x0 ,y0 )
θ(x̄1 , x̄2 , x̄3 ) = (x̄1 − δx φ(x̄1 , x̄2 , x̄3 ) + δy ψ(x̄1 , x̄2 , x̄3 ), x̄2 , x̄3 ) ,
and dene
ū(x̄1 , x̄2 , x̄3 ) = u(θ(x̄1 , x̄2 , x̄3 )), ∀(x̄1 , x̄2 , x̄3 ) ∈ R3 \ Ω(x0 ,y0 ) .
(δx , δy ) = (0, 0), θ = Id, and θ is analyti in (δx , δy ), θ admits an inverse ξ
analyti in (δx , δy ) near (0, 0), so that we may rewrite (B.34) as
Sin e for
is
u(x1 , x2 , x3 ) = ū(ξ(x1 , x2 , x3 )), ∀(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 \ Ω(x,y) .
p̄ = p ◦ θ,
that
(u, p)
satisfying

"
X X
whi h
(B.35)
is equivalent to the analyti ity of ū. Calling
3
satisfy Stokes equations on R \ Ω(x,y) is now equivalent to (ū, p̄)
Therefore, the analyti ity of
u
(B.34)
in
(δx , δy )
#
X
∂¯jk ūl ∂i ξk ∂i ξj + ∂¯j ūl ∂ii ξj +
∂¯j p̄∂l ξj = 0
 −η

j
ij
k

3

on
R
\
Ω(x0 ,y0 ) , for l = 1, 2, 3,
 X

3
¯
∂j ūi ∂i ξj = 0 on R \ Ω(x0 ,y0 ) ,

 ij
ū|∂ B̄(i) = u(i) for i = 1, 2, 3,
(B.36)
201
Annexe B.
Optimal strokes for low Reynolds number swimmers : an example
in whi h we have used the notations
formula for the derivatives of
ξ
∂
,
∂xi
∂i =
and
∂
∂¯i =
∂ x̄i
an be obtained by dierentiation of
one has
¯
∇ξ(θ(x̄1 , x̄2 , x̄3 )) = ∇θ(x̄
1 , x̄2 , x̄3 )
whi h
an be
. Noti e that an expli it
omputed expli itly from
−1
ξ ◦ θ = Id.
,
Indeed,
(B.37)


1 − δx ∂¯1 φ + δy ∂¯1 ψ −δx ∂¯2 φ + δy ∂¯2 ψ −δx ∂¯3 φ + δy ∂¯3 ψ
¯ =
.
0
1
0
∇θ
0
0
1
(B.38)
¯ = 1 − δx ∂¯1 φ + δy ∂¯1 ψ does not
We insist on the fa t that the Ja obian determinant det∇θ
3
vanish for (δx , δy ) small enough, uniformly in R \ Ω(x0 ,y0 ) due to the uniform bound on
the derivatives of
φ
and
ψ.
(B.36) are indeed analyti
Therefore, the
in
oe ients in the transformed Stokes equation
(x̄1 , x̄2 , x̄3 , δx , δy ).
Setting

P
ajk = ηP i ∂i ξk ∂i ξj ,
 bj = η i ∂ii ξj ,
cjk = ∂j ξk ,
(B.39)
the system (B.36) rewrites
R(δx ,δy ) (ū, p̄) = 0 ,
ū|∂ B̄(i) = u(i) for i = 1, 2, 3,
where the se ond order dierential operator
R(δx ,δy )
with
D2 = −
P P
j
k
R(δx ,δy )
is given by
P
D2
0
0
c ∂¯
Pj 1j ¯j

0
D2
0
c ∂
Pj 2j ¯j
=

0
0
D
j c3j ∂j
P
P
P 2 ¯
¯
¯
0
j c1j ∂j
j c2j ∂j
j c3j ∂j

ajk ∂¯jk + bj ∂¯j
. Sin e the
ajk =
X
(B.40)
oe ients are analyti


,

in
(B.41)
δ,
we will write
(α)
δ α ajk ,
(B.42)
α∈N2
bj =
X
(α)
δ α bj ,
(B.43)
α∈N2
cjk =
X
(α)
δ α cjk .
(B.44)
α∈N2
Of parti uliar importan e for the sequel is the behavior of the fun tions
(x̄1 , x̄2 , x̄3 )
estimates
202
(α)
(α)
ajk , bj
,
(α)
cjk
, as
tends to innity. We get from (B.33), (B.37), (B.38), and (B.39) the following
B.3.
∃C > 0, ρ > 0,
s.t.
Proof of Theorem 1

p
C
(α)
(α)
(α)
||ajk ||L∞ , ||cjk ||L∞ , || 1 + |r|2bj ||L∞ ≤ |α| ,

ρ
 p
p
C
(α)
(α)
|| 1 + |r|2∂¯l ajk ||L∞ , || 1 + |r|2 ∂¯l cjk ||L∞ ≤ |α| .
ρ
(B.45)
Now, in order to deal with the non homogeneous boundary onditions, we onsider
3
a map Ū analyti in R \ Ω(x0 ,y0 ) whi h obeys the boundary onditions for instan e by
solving
and seek the solution as
−∆Ū = 0, on R3 \ Ω(x0 ,y0 ) ,
Ū|∂ B̄(i) = u(i) for i = 1, 2, 3,
ū = Ū + v̄ . Hen e, v̄ is solution of
R(δx ,δy ) (v̄, p̄) = −R(δx ,δy ) (Ū , 0)
v̄|∂ B̄(i) = 0 for i = 1, 2, 3.
Unfortunately, the operator
R(δx ,δy )
does not map
rewrite our system as
where by
H ×M
−1
−1
R(0,0)
R(δx ,δy ) (v̄, p̄) = −R(0,0)
R(δx ,δy ) (Ū, 0)
v̄|∂ B̄(i) = 0 for i = 1, 2, 3,
−1
R(0,0)
(f, g)
(B.46)
on
(B.47)
into itself and therefore, we
R3 \ Ω(x0 ,y0 ) ,
(B.48)
we mean the solution to the Diri hlet problem
R(0,0) (w̄, q̄) = (f, g), on R3 \ Ω(x0 ,y0 )
w̄|∂ B̄(i) = 0 for i = 1, 2, 3.
−1
R(0,0)
R(δx ,δy ) is invertible on H × M is
δ = (δx , δy ) analyti ally (near (0, 0)). Using the
That
−1
R(0,0)
R(δx ,δy ) =
X
(B.49)
lear. We now show that it depends on
expansions (B.42,B.43,B.44) leads to
−1
δ α R(0,0)
R(α) ,
(B.50)
α∈N2
where the operators
R(α)
(α)

R
with
(α)
D2
= −


=

P hP
j
(B.31). But, we have
are given by
P (α) ¯
(α)
D2
0
0
c1j ∂j
Pj (α)
(α)
0
D2
0
c2j ∂¯j
Pj (α)
(α)
¯
0
0
D
j c3j ∂j
P (α) ¯ P (α) ¯ P 2(α) ¯
0
j c1j ∂j
j c2j ∂j
j c3j ∂j
(α) ¯
(α) ¯
k ajk ∂jk + bj ∂j
i



,

, and it is su ient to show that
(B.51)
R(α)
satises
−1
−1
||R(0,0)
R(α) ||L(H×M ) ≤ ||R(0,0)
||L(H ′×M,H×M ) ||R(α) ||L(H×M,H ′×M )
203
Annexe B.
and we
Optimal strokes for low Reynolds number swimmers : an example
an estimate
||R(α) ||L(H×M,H ′×M ) ≤ C
X
jk
(α)
||ajk ∂¯jk ||L(H,H ′ ) +
X
ij
We
X
(α)
||cij ∂¯j ||L(H,M )
j
+
(α)
||bj ∂¯j ||L(H,H ′ ) +
X
ij
(α)
||cij ∂¯j ||L(M,H ′ )
.
onsider ea h of the four terms separately.
(α)
||ajk ∂¯jk ||L(H,H ′ )
=
sup
u,v∈H
≤
sup
R
(α)
(α)
ajk ∂¯j u∂¯k v + ∂¯k ajk ∂¯j u v
||u||H ||v||H
(α)
||ajk ||L∞ ||∂¯j u||L2 ||∂¯k v||L2
||u||H ||v||H
p
(α)
|| 1 + |r|2∂¯k ajk ||L∞ ||∂¯j u||L2 || √ v 2 ||L2
1+|r|
+
||u||H ||v||H
p
(α)
(α)
≤ C ||ajk ||∞ + || 1 + |r|2∂¯k ajk ||∞ .
Similarly,
u,v∈H
p
(α)
(α)
||bj ∂¯j ||L(H,H ′ ) ≤ || 1 + |r|2bj ||L∞
(α)
(α)
||cij ∂¯j ||L(H,M ) ≤ ||cij ||L∞
p
(α)
(α)
(α)
||c ∂¯j ||L(M,H ′) ≤ ||c ||L∞ + || 1 + |r|2 ∂¯j c ||L∞
ij
ij
Therefore, from the fa t that the
−1
R(0,0)
R(δx ,δy ) is analyti in δ .
−1
(0,0)
Moreover, sin e R(0,0) R
=
oe ients
ij
ajk , bj
and
cjk
satisfy (B.45), we dedu e that
Id, (here, R(0,0) stands for R(α) with α = (0, 0)) the ana
−1
−1
also satises (B.30,B.31)
lyti inverse theorem implies that the inverse R(0,0) R(δx ,δy )
for δ su iently small, whi h means that it is analyti in δ as well.
−1
Sin e (Ū, 0) is smooth, we infer that R(0,0) R(δx ,δy ) (Ū , 0) is analyti in δ (with values in
H × M ), whi h leads to the analyti ity of (v̄, p̄) in δ = (δx , δy ) and hen e to the result.
B.3.2
Proof of Lemma 2
The proof of lemma 2
∃C > 0, x0 > 0,
for the error term

E
onsists of two steps. In the rst, we prove the estimate
s.t.
∀x, y > x0 , ||S(x, y) − S∞ (x, y)|| <
in the asymptoti


C
min(x, y)2
expansion for (B.1)

 (1) 
u(1)
f (1)
f
 u(2)  = S(x, y)  f (2)  = (S∞ (x, y) + E(x, y))  f (2) 
u(3)
f (3)
f (3)
204
(B.52)
(B.53)
B.3.
S∞ (x, y)
where the matrix
Proof of Theorem 1
is given by

1
6a
1
4x
1
4(x + y)

1 

S∞ (x, y) =

πη 

1
4x
1
6a
1
4y
1
4(x + y)
1
4y
1
6a




.


(B.54)
We give an expli it short proof, in the interest of the reader, to keep the paper selfontained. Formulas like (B.52,B.54) are not new, and we rst en ountered them in [9℄.
More rened asymptoti s show that, in fa t, the error de ay rate is
diagonal terms, and quarti
a stroke for whi h we
ubi
an prove, using (B.52), that the displa ement of the
is nonzero, making impossible that
Step 1. We note that for
for the o-
for the diagonal ones, see [3℄. In the se ond step, we
x, y
M = X.
su iently large, the matrix
dominant and therefore there exist

f (1)
S∞ (x, y)  f (2)
f (3)
enter of mass
S∞ (x, y) is uniformly diagonal
α > 0, x0 > 0 su h that
 (1) 

f
 ≥ α  f (2)  , ∀x, y > x0 .
f (3)
Next, we re all that if u satises the homogeneous Stokes equations outside
u|∂B(i) = u(i) a onstant, then u an be written as
u(r) =
3 Z
X
i=1
Here the Stokeslet
∂B (i)
1
G(r) =
8πη
(B.55)
Ω,
with
G(r − r ′ )t(i) (r ′ ) dr ′ .
(B.56)
(B.57)
1
r⊗r
+
|r|
|r|3
is the fundamental solution of Stokes equation and
(i)
area on ∂B .
We now
onstru t
t(i) = σn|∂B(i)
is the for e per unit
onstru t an approximate solution to the threesphere Stokes problem by
using, as a building blo k, the solution to the outer Stokes problem with uniform Diri hlet
data on one sphere (onesphere Stokes solution). Let γ the boundary of a smooth bounded
−1
3
domain and onsider the spa e H(Γ) = H 2 (Γ, R )/R, where R is the equivalen e relation
′
′
t R t i t − t = λn with λ ∈ R and n the unit normal to Γ (this is needed be ause the
interior pressure
p inside Γ is dened to within a
H(∂B (1) ) × H(∂B (2) ) × H(∂B (3) )
the map Φ from
1
H 2 (∂B (3) , R3 ) given by

(1)


(1)
v
g
 v (2)  = Φ  g (2)
v (3)
g (3)
onstant, see [7, p. 157℄). We dene
1
1
(1)
, R3 ) × H 2 (∂B (2) , R3 ) ×
to H 2 (∂B


(11)
(12)
(13)
T0
T−x T−(x+y)
g (1)
(21)
(22)
(23) 
=
T0
T−y   g (2)  ,
 Tx
(31)
(32)
(33)
g (3)
T(x+y) Ty
T0


(B.58)
205
Annexe B.
Optimal strokes for low Reynolds number swimmers : an example
1
(ij)
: H(∂B (j) ) → H 2 (∂B (i) , R3 ) are dened by
Z
(ij) (j)
Tz g (r) =
G(z~ı + r − r ′ )g (j)(r ′ ) dr ′ for r ∈ ∂B (i) .
where the operators
Tz
(B.59)
∂B (j)
where
~ı
is the unit ve tor along the horizontal axis, see Fig. B.1. It is
lear from (B.56)
that
Φ(t(1) , t(2) , t(3) ) = (u|∂B(1) , u|∂B(2) , u|∂B(3) )
= (u(1) , u(2) , u(3) ).
Moreover,
Φ
denes an isomorphism be ause the Stokes problem is well posed and the
integral representation (B.56) is unique. We shall see that
(x, y)
oer ive for
su iently large.
It is well-known (see [7, eq. (5.31)℄ that
there exists
α0 > 0
(ii)
T0
is
oer ive on
su h that
∀g ∈ H(∂B (i) ),
D
(ii)
g, T0 g
E
1
1
H − 2 (∂B (i) ),H 2 (∂B (i) )
while an easy estimate gives (due to the de ay of
G
oer iveness of
H(∂B (i) ),
meaning that
≥ α0 ||g||2H(∂B(i) ) ,
at innity) for
||Tz(ij) ||L“H(∂B(j) ),H 21 (∂B(i) )” ≤
The
Φ is also uniformly
(B.60)
z >> a,
C
.
|z|
(B.61)
T0 (B.60) together with the estimate (B.61) give the following uniform
Φ : ∃X > 0, s.t. ∀x, y > X,
oer iveness estimate for
(g (1) , g (2) , g (3) ), Φ(g (1) , g (2) , g (3) ) ≥ α (g (1) , g (2) , g (3) )
Now, for a given velo ity
outside
B,
V
of the ball
B,
we
all
uV
2
.
(B.62)
the onesphere Stokes solution
namely, the solution of the homogeneous Stokes equations whi h vanishes at
innity and whose tra e on
generated in this
∂B
is equal to
ase as
FV = −
Z
V.
Stokes formula gives the drag for e
σ(uV )n = 6πaηV.
FV
(B.63)
∂B
(1)
(2)
(3) t
For the three values U = (u , u , u ) of the velo ity of the spheres, we ompute the
(1)
drags F = (F
, F (2) , F (3) )t solutions to the system S∞ (x, y)F = U , and the orresponF (i)
(i)
ding velo ities V
=
. We then ompute
6πaη
(w (1) , w (2) , w (3) ) = Φ(t(1) − σ(uV (1) )n, t(2) − σ(uV (2) )n, t(3) − σ(uV (3) )n)
(B.64)
and get
206
 (1)
 w (r) = u(1) − V (1) − uV (2) (−x~ı + r) − uV (3) (−(x + y)~ı + r),
w (2) (r) = u(2) − V (2) − uV (1) (x~ı + r) − uV (3) (−y~ı + r),
 (3)
w (r) = u(3) − V (3) − uV (1) ((x + y)~ı + r) − uV (2) (y~ı + r).
(B.65)
B.3.
Moreover, using (B.56), we infer for
r ∈ ∂B
and
|z| >> a
(sin e
Proof of Theorem 1
uV = V u1 )
Z
G(z~ı + r − r ′ )σ(uV )(r ′ )n(r ′ ) dr ′
∂B
Z
|V |
′
′
′
= G(z~ı)
σ(uV )(r )n(r ) dr + O
z2
∂B
FV
|V |
=
+O
4πη|z|
z2
uV (z~ı + r) =
from the analyti
expression of
G and (B.63). Sin
e
S∞ F = U , plugging these expressions
into (B.65) leads to the uniform estimate
∃C > 0,
Sin e
Φ
s.t.
∀r ∈ ∂B (i) , |w (i) (r)| ≤
satises the uniform
(i)
α||t
−
C||(V (1) , V (2) , V (3) )||
.
min(x, y)2
(B.66)
oer iveness estimate (B.62), one dedu es that
σ(uV (i) )n||2H(∂B(i) )
≤
≤
3
X
j=1
3
X
j=1
t(j) − σ(uV (j) )n, w (j)
1
1
H − 2 (∂B (j) ),H 2 (∂B (j) )
||t(j) − σ(uV (j) )n||H(∂B(j) ) ||w (j)||H 21 (∂B(j) ) ,
from whi h we obtain
|f
(i)
(i)
−F | =
Z
t(i) − σ(uV (i) )n
≤ ||t(i) − σ(uV (i) )n||H(∂B(i) ) ||1||H 21 (∂B(i) )
≤ C
≤
from (B.66) and
Vi =
Fi
.
6πaη
3
X
j=1
||w (j)||H 21 (∂B(j) )
C||(F (1) , F (2) , F (3) )||
,
min(x, y)2
Writing
−1
||S − S∞ || = || − S(S −1 − S∞
)S∞ ||
−1
−1
≤ ||S|| ||S − S∞ || ||S∞|| ,
for the matri ial norm
||.||
establishes (B.52).
207
Annexe B.
Optimal strokes for low Reynolds number swimmers : an example
Step 2. Let
L
and
K
be two numbers whi h are meant to tend to innity with the
onstraint that
1 << K << L.
We
(B.67)
onsider the square loop in the spa e of shapes des ribed by
K, L) → (L + K, L + K) → (L, L + K) → (L, L).
(x, y)
:
The displa ement of the
(L, L) → (L +
enter of mass
generated by su h a stroke is given by (B.21)
∆c =
Z
L+K
Vx (x, L) +
L
Z
L+K
Vy (L + K, y) +
L
implies
L+K
Vx (x, L) =
L
Z
L
Vy (L, y)
Z
(x, y),
Z
Z
L
Vy (L, y).
(B.68)
L+K
Vx (x, y) = −Vy (y, x)
L+K
Vy (L + K, y) =
Z
for all
x, y > r ,
whi h
L
Vx (x, L + K),
(B.69)
L+K
L+K
L
large
Vx (x, L + K) +
L
∆c = 2
Vx (x, y) =
and
L+K
and leads to
But, sin e
L
L+K
From symmetry, it is not di ult to see that
Z
Z
(Vx (x, L) − Vx (x, L + K)) dx.
det(S(x, y)ec , S(x, y)ey , ec )
det(S(x, y)ex , S(x, y)ey , ec )
(B.70)
, and using estimate (B.52) of
S(x, y) for
we get
a
Vx (x, y) =
6
1
1
1
2
− −
+O
+
.
x x+y y
min(x, y)2
Therefore,
6
∆c = 2
a
Taking
K =
√
Z
L+K
1
2
2
1
+
+ −
+O
−
x+L x+L+K L L+K
L
!
2
1+ K
K
4K
L
+O
+
= 2 ln
K 2
L(L + K)
L2
1 + 2L
K
7K 2
+O
.
=
2
2L
L2
L
leads, for
L
1
L2
su iently large, to a non zero displa ement
∆c
proving
lemma 2.
B.4
A numeri al algorithm for omputing optimal strokes
In this se tion, we propose an algorithm for the
e ien y. We re all that
−1
E
208
=
1
T
RT
omputation of a stroke of maximal
(f, u)
,
6πηAc̄2
0
(B.71)
B.4.
where we have set
omputing optimal strokes
P
(i) (i)
i f u , and remark that E is a non-dimensional quantity,
hange of parametrization of time. Thus, we an set T = 1s and
(f, u) =
invariant under an ane
c̄ = ∆c.
A numeri al algorithm for
The problem we intend to solve numeri ally is to nd optimal strokes. By this
we mean to nd, for ea h given initial shape
(x0 , y0 ) ∈ S ,
γ : [0, 1] → S
the stroke
γ(0) = γ(1) = (x0 , y0 ),
with
(B.72)
whi h performs a given displa ement
Z
∆c =
1
V (γ) · dγ
0
(B.73)
with maximal e ien y. In view of (B.71), this means to solve the following
onstrained
minimization problem :
min
γ∈A(x0 ,y0 ,∆c)
Z
1
(f (γ(τ )), u(γ(τ ))) dτ,
(B.74)
0
where
n
A(x0 , y0, ∆c) = γ : [0, 1] → S
γ(0) = γ(1) = (x0 , y0)
Z 1
o
V · dγ = ∆c .
and
s.t.
(B.75)
0
From (B.16), one has
f = αx Ux + αy Uy
Ux =
Sin e
with
Sey × ec
Sex × ec
, Uy = −
.
Sex · (Sey × ec )
Sex · (Sey × ec )
(B.76)
γ̇ = (αx , αy ),
(f, u) = (f, Sf )
= gxx αx2 + 2gxy αx αy + gyy αy2
= (Gγ̇, γ̇)
where the symmetri
and positive denite matrix
G(x, y) =
gxx gxy
gyx gyy
Introdu ing the Lagrange multiplier
λ
=
G
is given by
(SUx , Ux ) (SUx , Uy )
(SUy , Ux ) (SUy , Uy )
asso iated with the
.
(B.77)
onstraint (B.73), the Euler-
Lagrange equation for (B.74) is
1
˙
−(G ˙γ) +
2
where
∂x G
and
∂y G
stand for the
(∂x Gγ̇, γ̇)
(∂y Gγ̇, γ̇)
x
and
y
+λ
url
V (γ)γ̇ ⊥ = 0.
derivatives of the matrix
(B.78)
G.
209
Annexe B.
Optimal strokes for low Reynolds number swimmers : an example
Remark 2 We wish to point out an interesting onne tion with subRiemannian geometry, whi h has guided our analysis, see [11℄. Introdu ing for any path
c(s) = c0 +
Z
0
s
V (γ(τ )) · γ̇(τ ) dτ , ∀s ∈ [0, 1] ,
(B.79)
X whose tangent Ẋ is
onstrained to belong to a two-dimensional plane TX = span(Fx , Fy ). The dissipation rate
(f, u) gives, in the lo al basis (Fx , Fy ) the square of the length of Ẋ .
Therefore, with the metri given by (B.77) dened on TX , our optimal strokes desribe the shortest subRiemannian geodesi s in X joining (x0 , y0 , c0 ) to (x0 , y0 , c0 + ∆c).
then
X = (γ, c)
γ∈S
des ribes a
urve in the three-dimensional spa e
Equation (B.78) is the general equation for sub-Riemannian geodesi s, along whi h the
Hamiltonian
(Gγ̇, γ̇)
is
onstant. The existen e of a minimizing geodesi
joining any two
points in state spa e follows from general theorems. Indeed, the system (B.23) being analyti
and globally
ontrollable, the Lie algebra
Lie(Fx , Fy )
is of dimension 3 everywhere
in state spa e (see [1℄). This in turn implies the existen e of minimizing geodesi s [14,
Theorem 1.19℄.
We now des ribe our algorithm for solving (B.74). It is based on the solution of the
λ, and a suitable shooting method.
(x0 , y0 ), and given trial initial velo ity (ẋ0 , ẏ0 ), we ompute
the unique solution (x(t), y(t)) of the se ond order ODE (B.78) with a lassi al RungeKutta method. The fun tions V (x, y) and G(x, y) whi h appear as oe ients in (B.78)
are omputed at several points of S using a 3D axisymmetri nite element Stokes solver
Cau hy problem for (B.78), with given trial value for
Namely, for given initial shape
and then interpolated (see below for further details). In order to enfor e the
3
(B.72) and (B.73), we introdu e the fun tion Ψ : R → X dened by
Ψ(ẋ0 , ẏ0 , λ) =
x(1), y(1),
Z
1
(Vx (x, y)ẋ + Vy (x, y)ẏ) dτ
0
,
onstraints
(B.80)
and rewrite the original problem (B.74) as
Find a triplet
(ẋ0 , ẏ0 , λ)
su h that
Ψ(ẋ0 , ẏ0 , λ) = (x0 , y0 , ∆c).
(B.81)
This is solved with the following algorithm.
Algorithm 1 (shooting method)
Z̄ = (x0 , y0 , ∆c) and a parameter N
values of V and G at several points of the
0. Provide a target
1. Compute the
spa e of shapes and inter-
polate the values
θ0 = (ẋ0 , ẏ0 , λ)
n = 0···N − 1
Compute Zn = Ψ(θn ) by solving (B.78) with a Runge-Kutta
−1 Z̄−Zn
Compute θn+1 = θn + DΨ(θn )
N −n
4. (Newton's method) Loop for n ≥ N until θn onverges to θ∞
Compute Zn = Ψ(θn ) by solving (B.78) with a Runge-Kutta
2. Start with an initial guess
3. Loop for
210
method
method
B.5. Examples of optimal strokes
θn+1 = θn + DΨ(θn )−1 Z̄ − Zn
the (optimal) stroke γ∞ from θ∞
the for e laws from γ∞ and (B.22)
Compute
5. Compute
6. Compute
After the initializations, step 3. of the algorithm is a Newton type method for whi h the
gap between initial guess and unknown target has been subdivided into
suitably large value has been hosen for
N
in order to obtain
N
in rements. A
onvergen e of the algorithm.
Moreover, steps 3. and 4. require the solution of a linear system at ea h iteration with
oe ients given by the
3×3
matrix
DΨ(θn ).
The matrix
DΨ(θ)
is obtained by nite
dieren es from the approximation
DΨ(θ)δθ ∼ Ψ(θ + δθ) − Ψ(θ),
by setting
δθ = (ǫ, 0, 0), (0, ǫ, 0)
and
Depending on the initial guess
strokes. Among the
θ0
(0, 0, ǫ)
with
ǫ
(B.82)
small.
in step 2., the algorithm produ es dierent geodesi
omputed geodesi
strokes, the one with maximal e ien y is sele ted
as the optimal stroke.
B.5
Examples of optimal strokes
In this se tion we des ribe some numeri al experiments demonstrating the signi an e
of our approa h and the reliability of the algorithm. For our tests, we have taken parameter
N
of Algorithm 1 equal to 30. For what
on erns geometri
and material parameters, our
simulations des ribe, say, spheres of radius a = 0.05 mm swimming in a medium with
η
the kinemati vis osity of water (ν =
= 1 mm2 s−1 ). Setting T = 1 s, this results in a
ρ
2
Reynolds number of the order Re = a ν = 0.0025. The interpolation stage (step 1. of
Algorithm 1) has been done by
omputing the quantities
2
equally spa ed points in the region
an axisymmetri
[0.125 mm, 0.7 mm]
V (x, y)
and
G(x, y)
at
of the spa e of shapes
50 × 50
S with
nite element Stokes solver (based on FREEFEM [8℄). The simulation
domain has been restri ted to a large bounding box of size
5 mm × 5 mm
the boundary of whi h we have taken homogeneous Diri hlet boundary
around
Ω
on
ondition for the
velo ity. In fa t, we only take for es that satisfy (B.2), hen e the velo ity is expe ted to
2
de ay like 1/|r| as r tends to innity. We have then found the polynomial in (1/x, 1/y)
giving the best least square t of these values (a polynomial of degree 4 in ea h variable
proved to be su ient). Eventually,
urlV has been
omputed by exa t dierentiation of
this polynomial. The numeri al results of this se tion have been validated by
omparing
with the results of dire t nite element simulations, with an error in the predi ted power
onsumption not ex eeding one per ent.
211
Annexe B.
B.5.1
Optimal strokes for low Reynolds number swimmers : an example
Optimal strokes versus square loops
For a given initial shape
∆c1 = 0.001 mm
ements
(x0 , y0 ) = (0.3 mm, 0.3 mm),
∆c2 = 0.01 mm we have
and
and two dierent given displaompared the e ien y of our
optimal strokes with the square one proposed by Naja and Golestanian (NG stroke)
[16℄. In addition, we show the performan e of a square loop in whi h the distan es between the balls are in reased, instead of being de reased, in the rst two legs of the loop.
The expended energy in all
ases are given in Table B.1 while the strokes are shown in
Fig. B.2. The optimal strokes are shown superimposed on the graph of
∆c(mm)
Optimal stroke
NG stroke
Naive stroke
0.001
0.0307
0.0405
0.0589
0.010
0.229
0.278
0.914
Tab. B.1 Energy
urlV in Fig. B.3.
onsumption (J).
Initial shape
0.6
Optimal stroke
0.6
Naive stroke
0.5
NG stroke
0.5
0.4
y
y
0.4
0.3
0.3
0.2
Initial shape
0.2
Optimal stroke
0.1
Naive stroke
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
NG stroke
0.6
0.7
0
0
0.8
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
x
x
Fig. B.2 Optimal strokes and square strokes whi h indu e the same displa ement
0.01 mm
(left) and
∆c = 0.001 mm
(right) in
∆c =
T = 1 s.
The optimal stroke gives a noti eable e ien y improvement. It is remarkable that, in
our regime, there is a drasti
loops. By
dieren e, for a given initial shape, between the two square
ontrast, in the limiting regimes of small spheres or small deformations, this
dieren e disappears.
B.5.2
Multipli ity of geodesi
strokes
As already mentioned, depending on the initial parameters
an
onverge to dierent geodesi
two points in
X
θ0
in our algorithm, one
strokes. This is due to the fa t that the geodesi s joining
are not unique. These geodesi s, when proje ted on
S
give more and more
involved strokes, and the shortest one gives best e ien ies. In Fig. B.4 we have shown
three of them for the same parameters as before whi h have been named a
their shape. The
212
orresponding expended energies are given in Table B.2.
ording to
B.5. Examples of optimal strokes
Initial shape
Optimal strokes
0.6
0.5
0.4
y
−0.1
0.3
−0.2
0.2
−0.3
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
x
∆c = 0.01 mm
urlV .
Fig. B.3 Optimal strokes (for
equally spa ed level
urves of
∆c = 0.001 mm
∆c(mm)
Drop
Bean
Pretzel
0.001
0.0307
0.0387
0.0637
0.010
0.229
0.451
0.529
Tab. B.2 Energy
and
G(x, y)
are essentially
B.5.3
T = 1 s)
and
onstant and
it is well known (from subRiemannian
geometry) that geodesi s proje t to ellipses. Therefore, in the small
strokes
in
onsumption (J).
∆c, url V (x, y)
(x0 , y0 ). In this ase,
We remark that, for small
equal to their values at
and
∆c regime, all geodesi
ollapse to ellipses.
Swimming with many strokes
∆c in time T = 1 s by exe uting n identi al strokes, with
ea h of whi h one moves by ∆c/n. We have investigated the dieren e in terms of power
onsumption with respe t to n and again (x0 , y0 , ∆c) = (0.3 mm, 0.3 mm, 0.01 mm). To
this aim, we have omputed the energy onsumption of the n-stroke movement relative to
One
an move of an amount
the one using a single stroke. The results are summarized in Fig. B.5 where it is shown that
this relative energy
onsumption rea hes an asymptoti
value for large
n.
As expe ted,
the fewer the strokes, the bigger the e ien y, and rea hing the target in just one stroke
is the most preferable strategy, whenever possible. The opposite one, namely, performing
213
Annexe B.
Optimal strokes for low Reynolds number swimmers : an example
0.45
Initial shape
0.6
Drop
0.4
Bean
0.5
Bean
Pretzel
0.45
Pretzel
0.35
y
0.4
y
Initial shape
Drop
0.55
0.35
0.3
0.3
0.25
0.25
0.2
0.15
0.1
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.2
0.2
0.6
0.25
0.3
Fig. B.4 Three geodesi
shapes
S)
with
0.4
0.45
strokes (obtained by proje ting geodesi s onto the spa e of
∆c = 0.01 mm
many small shape
0.35
x
x
(left) and
hanges around
If the shape of the system is
∆c = 0.001 mm
(x0 , y0 )
(right) in
T = 1 s.
is most ine ient.
onstrained to lie in a subset
S¯ ⊂ S ,
say, for biologi al or
te hnologi al reasons, then the optimal swimming strategy requires exploring the largest
allowed shape
hydrodynami
hanges in
leaving
(x0 , y0 , ∆c)
intera tions in this regime
as (B.54), and it
B.6
S¯
as adjustable parameters. Resolving the
annot be based on asymptoti
formulas su h
alls for numeri al tools su h as the ones we have used in this se tion.
Dis ussion
We have shown how to formulate and solve numeri ally the problem of nding optimal
strokes for low Reynolds number swimmers by fo ussing on the three-sphere swimmer of
Naja and Golestanian (a simple, yet representative example).
The theoreti al part of our analysis shows how to address quantitatively swimming
as the problem of
of one stroke. By
ontrolling shape in order to produ e a net displa ement at the end
asting the problem in the language of
problem of swimming to the
to an optimal
ontrol theory, we redu e the
ontrollability of the system, and the sear h of optimal strokes
ontrol problem leading to the
omputation of suitable subRiemannian
geodesi s. The numeri al solution we nd for the optimal stroke leads to an in rease of
e ien y ex eeding 300% with respe t to more naive proposals.
Mu h remains to be done. On the one hand, if one is interested in the optimal swimming strategy to rea h a given target from a given initial position, the
hoi e of a shape
around whi h to u tuate and the distan e traveled with ea h stroke are parameters, to be
optimized subje t to suitable
onstraints. On the other hand, the three-sphere swimmer
is just an example. Its simpli ity enables us to
arry out the analysis by using expli it
formulas, while the study of biologi ally relevant swimmers will require more abstra t
mathemati al tools.
We are working on extensions of our work in both of these two dire tions. However,
we believe that our paper provides a signi ant head start. For both the questions of
214
B.6.
Dis ussion
2
1.8
1.6
Relative power consumption
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
1
2
10
3
10
10
Number of strokes
Fig. B.5 Relative expended energy versus number of strokes.
adjusting the stroke to a global optimality
plex swimmers,
riterion, and of optimizing the stroke of
om-
ombining the numeri al approa h we advo ate with the use of tools from
subRiemannian geometry may prove extremely valuable. Useful inspiration
from the sizable literature on the related eld of
see e.g. [10℄ and the many referen es
number swimmers is, by
an
ome
ontrol of swimmers in a perfe t uid,
ited therein, and [6℄. The literature on low Reynolds
omparison, smaller, but growing at a fast pa e, see e.g. [12, 19℄.
A knowledgments : We thank A. Agra hev, R. Golestanian, B. Maury, G. Métivier, V.
’verák, and E. Trélat for very helpful dis ussions. This work was
arried out during visits
of FA to SISSA and of ADS to Paris XI. The nan ial support of these institutions is
gratefully a knowledged. Additional support
ame from the EU through the MULTIMAT
Marie Curie Resear h Training Network MRTN-CT-2004-505226 and the italian INdAM
through the resear h proje t Mathemati al Challenges in Nanome hani s. Finally, we
wish to thank the three anonymous referees for their many valuable
omments, and A.
Garroni and the sta of the library of the Mathemati s Department `G. Castelnuovo' of
the University of Roma `La Sapienza' for their kind assistan e.
215
Annexe B.
216
Optimal strokes for low Reynolds number swimmers : an example
Bibliographie
[1℄ A. Agra hev and Y. Sa hkov, Control Theory from the Geometri
Viewpoint, En-
y lopaedia of Mathemati al S ien es , Vol. 87, Control Theory and Optimization,
Springer (2004)
[2℄ J. E. Avron, O. Kenneth and D. H. Oakmin, Pushmepullyou : an e ient mi ro-
swimmer, New Journal of Physi s 7, 23418 (2005)
[3℄ G. K. Bat helor, Brownian diusion of parti les with hydrodynami
intera tions, J.
Fluid Me h. 74, 129 (1976)
[4℄ L. E. Be ker, S. A. Koehler, and H. A. Stone, On self-propulsion of mi ro-ma hines
at low Reynolds numbers : Pur ell's three-link swimmer, J. Fluid Me hani s 490,
1535 (2003)
[5℄ H. C. Berg and R. Anderson, Ba teria swim by rotating their agellar laments,
Nature 245, 380382 (1973)
[6℄ A. Bressan, Impulsive Control of Lagrangian Systems and Lo omotion in Fluids, preprint (2006)
[7℄ R. Dautray and J.-L. Lions, Mathemati al Analysis and Numeri al Methods for
S ien e and Te hnology, Vol. 4, Springer-Verlag (1990)
[8℄ Freefem,
http ://www.freefem.org/
[9℄ R. Golestanian, personal
ommuni ation to ADS
[10℄ E. Kanso, J. E. Marsden, C. W. Rowley, and J. B. Melli-Huber Lo omotion of Arti-
ulated Bodies in a Perfe t Fluid, J. Nonlinear S i. 15, 255289 (2005)
[11℄ J. Koiller, K. Ehlers, and R. Montgomery, Problems and Progress in Mi roswimming,
J. Nonlinear S i. 6, 507541 (1996)
[12℄ A. M. Leshansky, O. Kenneth, O. Gat, and J. E. Avron, A fri tionless mi roswimmer,
preprint (2007)
[13℄ M. J. Lighthill, On the Squirming Motion of Nearly Spheri al Deformable Bodies
through Liquids at Very Small Reynolds Numbers, Comm. Pure Appl. Math. 5, 109
118 (1952)
[14℄ R. Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesi s and Appli-
ations, AMS Mathemati al Surveys and Monographs 91, 2002
[15℄ C. B. Morrey and L. Niremberg, On the analyti ity of the solutions of linear ellipti
systems of partial dierential equations, Comm. Pure Appl. Math. 10, 271290 (1957)
217
Bibliographie
[16℄ A. Naja and R. Golestanian, Simple swimmer at low Reynolds numbers : Three
linked spheres, Phys. Rev. E 69, 06290114 (2004)
[17℄ E. M. Pur ell, Life at low Reynolds numbers, Am. J. Phys. 45, 311 (1977)
[18℄ G. I. Taylor, Analysis of the swimming of mi ros opi
organisms, Pro . Roy. So .
Lond. A 209, 447461 (1951)
[19℄ J. Wilkening and A. E. Hosoi, Shape optimization of swimming sheets, preprint (2007)
218
Annexe C
Dérivation de fon tions à variations
bornées : mesures diérentielles
219
Annexe C. Dérivation de fon tions à variations bornées : mesures diérentielles
Dans
ette annexe, nous donnons la dénition et quelques propriétés de la mesure dif-
férentielle d'une fon tion à variation bornée, sur lesquelles s'appuie la démonstration de la
onvergen e du s héma numérique vers le modèle de
onta t visqueux parti ule/plan dans
le
hapitre 4. Nous pré isons également i i le sens que nous donnons aux équations (4.8)
′
et (4.10) du problème (P ,4.12) énon é page 95 :
mq̈ = mf + λ
γ̇ = −λ.
et
Les résultats de la se tion 1 sont issus de [67, Ch1Ÿ6℄ et
eux de la se onde se tion de [67,
Ch1Ÿ8℄.
On note
BV (I),
l'ensemble des fon tions à variation bornée sur
on note Var(f ; I) sa variation sur
C.1
I
et, pour
f
dans
I.
Mesure diérentielle
Soit
I.
BV (I)
I
S = {S ⊂ I, |S| < +∞}
appli ation θ telle que
un intervalle réel. On note
On appelle inter alaire toute
θ:
S
−→
S
ave
S = {τ0 , . . . , τn } 7−→ {θS1 , . . . , θSn }
f : I → R, pour
dans I ) on note :
Soit
tout
S ∈ S, θ
inter alaire et
M(S, θ, φ) =
n
X
i=1
Propriété C.1 Soit
f ∈ BV (I).
θ
et de la suite
S.
On note
de plus l'inégalité suivante :
Z
e qui montre que l'appli ation
M(I).
θSi ∈ [τi−1 , τi ]
φ ∈ C00 (I)
pour
i = 1...n
( ontinue à support
ompa t
φ(θSi )(f (τi ) − f (τi−1 )).
φ ∈ C00 (I) et θ inter alaire, M(S, θ, φ)
S tend versZ zéro. La limite obtenue est indéφdf (intégrale de Stieltjes). On a
ette limite
Pour tout
onverge quand le pas de la subdivision
pendante de
les sous-ensembles nis de
φdf ≤ kφk∞ Var(f ; I)
φ 7→
R
φdf
appartient au dual topologique de
C00 (I),
noté
Dénition C.2 La mesure obtenue i-dessus est appelée mesure diérentielle (ou mesure
de Stieltjes) de la fon tion
f ∈ BV (I).
Elle est notée
df
et appartient à
M(I).
Remarque C.3 On vérie fa ilement que la mesure diérentielle de la fon tion identité
est la mesure de Lebesgue (notée
220
dt)
et que si
f ∈ C 1 (I)
on a
df = f ′ (t)dt.
C.2. Sous-intervalles
C.2
Sous-intervalles
On a vu i-dessus que, si
qui appartient à
Soit
J
f
est à variation bornée, on peut dénir sa mesure diérentielle
M(I).
ontinues à support
Z
J
Pour
1 sur J et 0 ailleurs. En l'appro hant
(φn )n , on peut dénir, pour f ∈ BV (I)
la fon tion indi atri e d'un intervalle valant
par des fon tions
f
ompa t
def
df = hdf, 1J i =
à variation bornée sur
I
et
◦
t ∈ I,
lim hdf, φn i.
n→+∞
on note respe tivement
f (t− )
et
f (t+ )
les
limites à droite et à gau he de f en t. Par onvention, si I ontient sa borne de gau he a,
f (a− ) = f (a). De même, si I ontient sa borne de droite, on note f (b+ ) = f (b).
on note
En utilisant la dénition de la mesure diérentielle on peut montrer :
f ∈ BV (I).
Z
Propriété C.4 Soit
Pour tout sous-intervalle
[a,b]
En parti ulier, pour tout
a ∈ I,
On peut étendre
a
Z
a < b,
et
b
sont deux éléments de
+
]a,b]
Z
+
df = f (b ) − f (a )
]a,b[
de
I
on a
{a}
pour
df
vaut
df = f (a+ ) − f (a− ).
es résultats à des intervalles non
Corollaire C.5 Si
De plus, si
{a}
[a, b]
df = f (b+ ) − f (a− ).
la mesure du singleton
Z
ompa t
et
Z
I
[a,b[
ompa ts pour obtenir :
ave
a ≤ b,
on a
df = f (b− ) − f (a− ).
df = f (b− ) − f (a+ ).
Notations
e qui pré ède, puisque q̇ et γ appartiennent à
′
et (4.10) du problème (P ,4.12) devraient s'é rire
D'après
mdq̇ = mf (t)dt + λ
Pour des raisons de lisibilité, nous avons
et
dγ = −λ
dans
BV (I),
les équations (4.8)
M(I).
(C.1)
hoisi de noter (C.1) sous la forme
mq̈ = mf + λ
et
γ̇ = −λ,
221
Annexe C. Dérivation de fon tions à variations bornées : mesures diérentielles
qui est exa te en dehors des instants d'impa t d'après la remarque C.3. Il s'agit bien
entendu d'un abus de notation et on gardera en mémoire qu'il s'agit d'une égalité de
mesures. Ave
es notations, la propriété C.4 se réé rit par exemple pour
Z
+
[a,b]
Z
222
−
γ̇ = γ(b ) − γ(a )
+
[a,b]
−
q̈ = q̇(b ) − q̇(a )
et
Z
{a}
et
Z
{a}
γ̇ = γ(a+ ) − γ(a− ),
q̈ = q̇(a+ ) − q̇(a− ).
γ
et
q̇ ,
Annexe D
Démonstration de l'équivalen e entre
(P)
et
(P ′)
énon ée page 95
223
Annexe D.
Démonstration de l'équivalen e entre
(P)
et
(P ′ )
énon ée page 95
Dans ette annexe, nous montrons l'équivalen e entre le modèle de onta t visqueux (P ,4.4)
′
donné page 89 et le problème (P ,4.12) énon é page 95 que l'on utilise pour é rire l'algorithme 4.1.
On se donne un intervalle
I
et
f ∈ L1 (I). Rappelons les
dénitions de
(P)
et de
(P ′ ) :

q ∈ W 1,∞ (I), γ ∈ L∞ (I),






q(0) = q 0 > 0, q̇(0) = u0


(P) mq̇ + γ = mũ presque partout




qγ = 0 presque partout




q ≥ 0, γ ≤ 0 presque partout
0
ũ(t) = u +
où
Z
t
f.
0

q ∈ W 1,∞ (I), q̇ ∈ BV (I), γ ∈ BV (I),






q(0) = q 0 > 0, q̇(0) = u0 , γ(0) = 0






q̇(t+ ) = ΠCq,γ (t) q̇(t− )
(4.7)



mq̈ = mf + λ dans M(I)
(4.8)
(P ′ )



supp(λ) ⊂ {t, q(t) = 0}
(4.9)






γ̇ = −λ
(4.10)





 q ≥ 0, γ ≤ 0 presque partout (4.11)
où
{0}
R+
R
Cq,γ (t) =
γ(t− ) < 0,
−
si γ(t ) = 0, q(t) = 0,
sinon .
si
Rappelons également (voir annexe C) que, si
]0, T [,
on a
Z
[s,t]
ou en ore
Z
{s}
g ∈ BV (I)
et si
s ≤ t
ave
s, t
dans
ġ = g(t+ ) − g(s− ),
ġ = g(s+ ) − g(s− ).
Les intégrations sur les autres types d'intervalles s'é rivent de la même façon. La première
−
égalité est également valable pour s = 0 ave g(0 ) = g(0) par onvention.
Le théorème que l'on souhaite démontrer (énon é page 95) est le suivant :
Théorème 4.9 Soit
BV (I).
224
I = [0, T ]
un intervalle,
q ∈ W 1,∞ (I)
ave
q̇ ∈ BV (I),
et
γ ∈
On suppose qu'il existe
[0, T ]
N1
et
N2 ,
entiers naturels, et
(ai , bi )i=1...N1 , (ci )i=1...N2
dans
tels que
{t ∈ [0, T ], q(t) = 0} =
N1
[
[ai , bi ]
i=1
N2
[
{ci }.
i=1
Alors,
(q, γ)
′
solution de (P ,4.12)
Les deux propriétés qui suivent
⇐⇒ (q, γ)
orrespondent à
solution de (P ,4.4).
ha une des impli ations à démontrer.
(q, γ) une solution de (P ′ ). On suppose qu'il existe N1
(ai , bi )i=1...N1 , (ci )i=1...N2 dans [0, T ] tels que
Propriété D.1 Soit
naturels, et
{t ∈ [0, T ], q(t) = 0} =
Alors
(q, γ)
N1
[
[ai , bi ]
i=1
N2
[
et
N2 , entiers
{ci }.
i=1
est solution de (P ).
Démonstration : Si
obtient pour tout
(q, γ)
t,
′
est une solution de (P ), en intégrant (4.8) sur
+
mq̇(t ) − mq̇(0) = m
Z
t
0
on
f − γ(t+ ) − γ(0)
et don
+
[0, t]
+
mq̇(t ) + γ(t ) = mq̇(0) + m
Z
t
f = mũ(t).
0
Or,
omme
mq̇ + γ
est dans
BV (I),
elle est
mq̇ + γ = mũ
De plus,
(q, γ)
(q, γ) est
omme
montrer que
ontinue presque partout et on a
presque partout sur
′
est solution de (P ), on a
q ≥0
et
solution de (P ), il reste à montrer
[0, T ].
γ ≤ 0. Par onséquent,
que qγ = 0. Pour ela,
pour
nous
allons pro éder par étapes.
q(0) est stri tement positif et q
temps t̄ = min(a1 , c1 ) > 0.
1. Comme
au
est
ontinu, le premier zéro de
q
est atteint
q
PSfrag repla ements
t̄
225
Annexe D.
(P)
Démonstration de l'équivalen e entre
Alors,
q
[0, t̄[
est stri tement positif sur
et intervalle. Soit
t ⊂]0, t̄[,
et
et
(P ′ )
énon ée page 95
q(t̄) = 0.
d'après (4.10) intégré sur
Montrons que
[0, t]
γ
est nulle sur
on a
γ(t+ ) − γ(0− ) = hλ, 1[0,t] i.
Or,
omme
γ
est dans
BV (I),
elle est
γ = γ(0− ) = γ(0) = 0
On a don
montré que
qγ = 0
ontinue presque partout et on a
presque partout sur
presque partout sur
[0, t̄[.
Si
[0, t̄[.
t̄ = T
on a ni, sinon,
on passe à l'étape 2.
t̄
2. Par dénition,
a1
est égal à
PSfrag repla ements
c1 .
ou
PSfrag repla ements
q
q
t∗ = b1
t̄ = a1
t̄ = c1 = t∗
t̄ = c1 , on pose t∗ = c1 et on passe à l'étape 3. Dans l'autre as, on pose t∗ = b1 .
Comme q est nulle sur [a1 , b1 ], on a alors qγ = 0 sur [a1 , b1 ] = [t̄, t∗ ]. Dans e as, si
t∗ = T on a ni, sinon on passe à également l'étape 3.
Si
q
3. L'hypothèse sur les zéros de
stri tement positif sur
]t∗ , t1 [
donne l'existen e d'un
t1 > t∗
pour lequel
q
est
(il est déjà positif ou nul par hypothèse).
PSfrag repla ements
PSfrag repla ements
q
q
t̄
t̄ = t∗ t1
Montrons que
γ
est presque partout nul sur
qu'à l'étape 1 montre que
γ
y est
γ = γ(t+
∗)
Montrons par l'absurde que
t∗
t1
et intervalle. Le même raisonnement
onstant :
presque partout sur
γ(t+
∗)
]t∗ , t1 [.
est nul. S'il ne l'était pas, il serait stri tement
négatif (il est négatif ou nul par hypothèse) et, par dénition de la limite à droite,
il existerait
ε>0
tel que
γ<0
sur
]t∗ , t∗ + ε[ ⊂ ]t∗ , t1 [.
Cq,γ (t) = {0} sur ]t∗ , t∗ + ε[ et l'équation (4.7) donne q̇(t+ ) = 0 sur et
ontinue presque partout.
intervalle. Or, q̇ est dans BV (I) par hypothèse et est don
Mais alors,
226
q̇(t) = 0 presque partout sur [t∗ , t∗ + ε[. Par onséquent, omme q ∈ W 1,∞ (I),
on a q = q(t∗ ) = 0 sur [t∗ , t∗ + ε[, e qui est en ontradi tion ave t∗ = b1 ou t∗ = c1 .
+
On a don né essairement γ(t∗ ) = 0 et ainsi
Ainsi,
γ=0
et
qγ = 0
4. On a don
presque partout sur
obtenu
t1 > 0
presque partout sur
]t∗ , t1 [.
Si t1
=T
]t∗ , t1 [,
on a ni, sinon on passe à l'étape 4.
tel que
qγ = 0
presque partout sur
[0, t1 ]
q(t1 ) > 0
γ(t−
1) = 0
a1 ∈]0, t1 [
ou
c1 ∈]0, t1 [
On itère alors le pro édé qui s'arrête puisqu'il y a un nombre ni de
obtient
a don
(t0 = 0, . . . , ti , . . . , tN = T )
tel que
qγ = 0
presque partout sur
ai et ci .
]ti , ti+1 [.
On
On
bien le résultat souhaité :
qγ = 0
presque partout sur
[0, T ].
Ce i termine la démonstration.
(q, γ) une solution de (P ) telle que q̇ et γ soient dans BV (I). On
N1 et N2 , entiers naturels, et (ai , bi )i=1...N1 , (ci )i=1...N2 dans [0, T ] tels
Propriété D.2 Soit
suppose qu'il existe
que
{t ∈ [0, T ], q(t) = 0} =
Alors ,
(q, γ)
′
est solution de (P ).
Démonstration : Si
de
(q, γ)
N1
[
[ai , bi ]
i=1
N2
[
{ci }.
i=1
une solution de (P ), en
al ulant la mesure diérentielle
ha un des termes de droite et de gau he de l'égalité (presque partout)
q̇ + γ = ũ,
on
obtient
mq̈ = mf + λ,
où
λ = −γ̇
et don
De plus,
les équations (4.8) et (4.10) sont vériées.
omme
(q, γ)
est solution de (P ), on a
presque partout montre que
nulle. Par
γ
q ≥ 0
et
γ ≤ 0.
L'égalité
qγ = 0
q
est non
est nulle presque partout sur les intervalles où
onséquent,
supp(γ̇)
⊂ {t, q(t) = 0}
et (4.9) est également vériée.
Pour montrer que
sur
]0, T [.
Pour
(q, γ) est solution de (P ′ ), il reste à montrer que q̇(t+ ) = ΠCq,γ (t) q̇(t− )
ela, nous allons pro éder par étapes,
omme lors de la démonstration
pré édente.
227
Annexe D.
Démonstration de l'équivalen e entre
1. Comme
q(0) est stri tement positif et q
t̄ = min(a1 , c1 ) > 0.
(P ′ )
(P)
et
est
ontinu, le premier zéro de
énon ée page 95
q
est atteint
au temps
q
PSfrag repla ements
t̄
q
t ∈]0, t̄[
Alors,
est stri tement positif sur
[0, t̄[
[0, t̄[⊂ supp(λ)c .
et don
Par
onséquent, si
γ(t− ) − γ(0+ ) = −hλ, 1]0,t] i = 0,
et
γ(t+ ) − γ(t− ) = −hλ, 1{t} i = 0.
On obtient don
γ(t+ ) = γ(t− ) = γ(0+ ) = 0.
Alors, pour
t ∈]0, t̄[, γ(t− ) = 0
q(t) > 0
et
implique
Cq,γ (t) = R
et,
omme
mq̈ + γ = mf ,
sur
]0, t̄[,
on a en intégrant sur
{t},
q̇(t+ ) = q̇(t− ) − (γ(t+ ) − γ(t− )) = q̇(t− ).
Finalement on a montré
q̇(t+ ) = ΠCq,γ (t) q̇(t− )
Si
t̄ = T
]0, t̄[.
on a ni, sinon, on passe à l'étape 2.
γ(t̄− ) = 0 et q(t̄) = 0,
(4.7) en t̄, il faut montrer
2. Comme
rier
sur
Cq,γ (t̄) = R+ .
q̇(t̄+ ) = 0. Par
on a
que
q̇(t− ) ≤ 0, pour védénition, t̄ est égal à a1 ou
Comme
c1 .
S'il est égal à
q̇(t̄+ ) = 0.
a1 , q
est
onstant (nul) dans un voisinage à droite de
a1
et on a bien
+
on est à un instant de dé ollement et don q̇(t ) ≥ 0. Raisonnons
+
par l'absurde et supposons q̇(t̄ ) stri tement positif. On a montré au début de la
Si
t̄
est égal à
c1 ,
démonstration que
mq̈ + γ = mf .
En intégrant
ette équation sur
{t̄}
γ(t̄+ ) = γ(t̄− ) − m(q̇(t̄+ ) − q̇(t̄− )) = −m(q̇(t̄+ ) − q̇(t̄− ))
et,
omme
q̇(t̄− ) ≤ 0
par dénition de
c1 ,
on obtient
γ(t̄+ ) < 0.
228
on obtient
γ est stri tement négative sur un voisinage
qγ = 0 presque partout impose q = 0 sur e
+
dénition de c1 . Don , q̇(t̄ ) est né essairement
Alors, par dénition de la limite à droite,
à droite de
t̄
voisinage,
e qui est impossible par
mais alors, la
ontrainte
nul.
Dans les deux
as, on a bien vérié que
q̇(t̄+ ) = 0 = ΠCq,γ (t̄) q̇(t̄− ).
On passe alors à l'étape suivante.
t̄
3. Par dénition,
est égal à
PSfrag repla ements
a1
ou
c1 .
PSfrag repla ements
q
q
t∗ = b1
t̄ = a1
t̄ = c1 ,
t̄ = c1 = t∗
t∗ = c1 et on passe à l'étape 4. Dans l'autre as, on pose t∗ = b1 .
]t̄, t∗ [, on a q̇(t+ ) = q̇(t− ) = 0 et la loi de ho (4.7) est alors
évidemment vériée. Dans e as, si t∗ = T on a ni. Sinon, il faut vérier (4.7) en
t∗ . Or, par dénition, t∗ est un instant de dé ollement et on peut montrer omme
+
−
dans l'étape 2 que q̇(t∗ ) est nul. Comme q̇(t∗ ) = 0, la loi de ho est bien vériée
en t∗ et on passe à également l'étape 4.
Si
on pose
Alors, sur l'intervalle
q
4. L'hypothèse sur les zéros de
stri tement positif sur
]t∗ , t1 [
donne l'existen e d'un
t1 > t∗
pour lequel
q
est
(il est déjà positif ou nul par hypothèse).
PSfrag repla ements
PSfrag repla ements
q
q
t̄
t̄ = t∗ t1
Sur
]t∗ , t1 [, q
est stri tement positive. On pro ède
t∗
t1
omme à l'étape 1 pour montrer
que
q̇(t+ ) = q̇(t− ) = ΠCq,γ (t) q̇(t− )
5. Comme
q
est
ontinue et
positive jusqu'à
on peut montrer
t1 + ε
ave
sur
]t∗ , t1 [.
q(t1 ) est stri tement positive, q est en
ε > 0. Par onséquent, γ est nulle sur
ore stri tement
et intervalle et
omme pré édemment que
q̇(t+ ) = ΠCq,γ (t) q̇(t− )
sur
[t∗ , t1 + ε[.
229
Annexe D.
Démonstration de l'équivalen e entre
On a don
obtenu
t1 > 0
(P)
et
(P ′ )
énon ée page 95
tel que
q̇(t+ ) = ΠCq,γ (t) q̇(t− )
sur
]0, t1 ]
q(t1 ) > 0
γ(t−
1) = 0
a1 ∈]0, t1 [
ou
c1 ∈]0, t1 [
Comme dans la démonstration pré édente, on itère alors le pro édé qui s'arrête
puisqu'il y a un nombre ni de
ai
et
ci .
On obtient alors le résultat souhaité :
q̇(t+ ) = ΠCq,γ (t) q̇(t− )
Ce i termine la démonstration.
230
sur
]0, T [.
Annexe E
Programmation Orientée Objet et UML
231
Annexe E.
Programmation Orientée Objet et UML
Nous avons utilisé la Programmation Orientée Objet pour implémenter l'algorithme
de onta t visqueux multi-parti ules en C++ (voir se tion 5.3). Nous rappelons i i
brièvement les prin ipes de la Programmation Orientée Objet, présentons le langage UML
ave
lequel nous avons modélisé les diérentes
lasses utilisées, puis nous donnons le
Diagramme des Classes détaillé de notre programme.
Cette annexe s'inspire largement du ours Cal ul S ientique et Méthodes objet d'Alain
4
Li hnewsky
E.1
(DEA Analyse Numérique et EDP, Orsay, 2003-2004).
Programmation Orientée Objet
La modélisation objet
onsiste à
réer une représentation informatique des éléments
auxquels on s'intéresse, sans se sou ier de l'implémentation. Autrement dit,
sation est indépendante du langage de programmation utilisé. Il s'agit don
ette modéli-
de déterminer
les objets présents et d'isoler leurs données et les fon tions qui les utilisent. Les prin ipales
ara téristiques de la Programmation Orientée Objets sont les suivantes :
Les objets : Il s'agit d'une stru ture de données qui répond à un ensemble de
méthodes. Les données dénissent l'état de l'objet et les méthodes dé rivent son
omportement.
Les
lasses : C'est une des ription d'objet pré isant son omportement et le type de
ses données. Cela permet de
de la
réer des objets semblables qui seront appelés instan es
lasse.
L'héritage : Prin ipe permettant de
réer une nouvelle
lasse à partir d'une
lasse
existante. Le nom d'héritage provient du fait que la lasse lle (la lasse nouvellement
réée)
ontient les attributs de sa
lasse parente (la
lasse dont elle dérive). L'intérêt
majeur de l'héritage est de pouvoir dénir de nouveaux attributs et de nouvelles
méthodes pour la
lasse parente. On
lasse lle qui viennent s'ajouter à
rée ainsi une hiérar hie de
Le polymorphisme : Alors que l'héritage
eux et
elles héritées de la
lasses sans avoir à repartir de rien.
on erne les
lasses, le polymorphisme
on erne les méthodes des objets. Il y a trois types de polymorphimes :
possibilité d'avoir des fon tions de même nom dans des
print
dans toutes les
lasses diérentes (ex :
lasses, voir se tion E.3)
possibilité de dénir plusieurs fon tions de même nom mais ave
des paramêtres
diérents en nombre ou en type
possibilité de redénir une méthode dans les
'est la spé ialisation (ex :
evol dans la
lasse
lasses héritant d'une
Obje t, voir se
lasse de base,
tion E.3). Il est alors
possible d'appeler la méthode d'un objet sans se sou ier de son type intrinsèque,
'est le polymorphisme d'héritage.
L'en apsulation : rassembler les données et les méthodes au sein d'une stru ture
en
a hant l'implémentation de l'objet. Les données d'un objet ne peuvent être
observées et modiées que par ses propres méthodes,
e qui permet d'assurer la
prote tion des données. Les méthodes sont utilisées par les autres objets
omme
des boîtes noires. On peut ainsi modier la stru ture interne des objets ou des
méthodes sans que
4 Laboratoire
232
ela ait d'impa t sur les utilisateurs.
de Mathématiques, Université Paris-Sud, Orsay, Fran e
E.2. UML
E.2
UML
UML (Unied Modeling Language) est un langage standardisé de modélisation Orientée Objet. Il s'agit d'un support méthodologique qui permet de modéliser le problème à
traiter. Sa représentation graphique permet une visualisation et une
omparaison rapide
des variantes possibles. Il permet de représenter diérents diagrammes. Dans notre travail, nous avons utilisé le Diagramme des Classes qui dé rit les
lasses d'objets et leurs
relations.
Les représentations graphiques d'UML que nous avons utilisé sont les suivantes :
Classe : La donnée est prise dans un ensemble de valeurs
orrespondant à son type.
La méthode a une signature qui est le type des paramètres ainsi que
elui de la
valeur retournée.
Fig. E.1 Représentation UML : Classe
Agrégation : Il s'agit d'un asso iation asymétrique où l'un des objets est
onsidéré
omme dépendant ou faisant partie de l'autre. Le losange est toujours du
l'agrégat : i i, la
a
lasse B fait partie de la
té de
lasse A ou en ore, une instan e de A a
ès à une instan e de B. Cette agrégation peut être propriétaire,
que les instan es asso iées (de type A et B) sont
e qui signie
réées et détruites en même temps.
Fig. E.2 Représentation UML : Agrégation non propriétaire (à gau he) et propriétaire
(à droite)
Cardinalité : Une agrégation peut être un lien entre un objet de
et plusieurs objets de
lasse B. Le
hire 1 sur la gure E.3 pré ise que
de B ne peut appartenir qu'à un objet de A. Le
lasse A
ontiendra N objets de
lasse A (l'agrégat)
hire N dit que
haque objet
haque objet de
lasse B. L'indi ation Nmin..Nmax dirait qu'il peut
ontenir entre Nmin et Nmax objets de
lasse B et * désigne un nombre arbitraire.
233
Annexe E.
Programmation Orientée Objet et UML
Fig. E.3 Représentation UML : Cardinalité
Généralisation/Spé ialisation : C'est le résultat du mé anisme d'héritage. Une
lasse A est une généralisation d'une
données et méthodes
lasse B si tous les objets de B ont parmi leurs
elles des objets de A. Une
lasse B est une spé ialisation d'une
lasse A si A généralise B.
Fig. E.4 Représentation UML : Généralisation/Spé ialisation
E.3
Diagramme des Classes détaillé
Nous donnons
i-dessous la représentation UML détaillée du Diagrammes de Classes
que nous avons utilisé. Celui- i a été présenté et justié dans la se tion 5.3.
234
E.3. Diagramme des Classes détaillé
Classe
Obje t
Fig. E.5 Diagramme des
Fig. E.6 Diagramme des
lasses : Classe
lasses : Classe
Obje t
Parti le
235
Annexe E.
236
Programmation Orientée Objet et UML
Fig. E.7 Diagramme des
lasses : Classe
Obsta le
Fig. E.8 Diagramme des
lasses : Classe
Movement
E.3. Diagramme des Classes détaillé
Classe
Conta ts
Fig. E.9 Diagramme des
Fig. E.10 Diagramme des
lasses : Classe
lasses : Classes
Conta t
Param_loi_Conta t
et
Param_proj
237
Annexe E.
Programmation Orientée Objet et UML
Gestion de la mémoire
Fig. E.11 Diagramme des
238
lasses : Classe
Ens_Obje ts
E.3. Diagramme des Classes détaillé
Fig. E.12 Diagramme des
Classe
lasses : Classe
Ens_Conta ts
Probleme_h
Fig. E.13 Diagramme des
lasses : Classe
Probleme_h
239
Annexe E.
Classe
Programmation Orientée Objet et UML
Conta t_law_h
Fig. E.14 Diagramme des
Fig. E.15 Diagramme des
240
lasses : Classe
lasses : Classe
Conta t_law_h
Meth_Neighbourgs
E.3. Diagramme des Classes détaillé
Classe
Vitesse_a_priori_h
Fig. E.16 Diagramme des
Classe
lasses : Classe
Vitesse_a_priori_h
Meth_Proje tion
Fig. E.17 Diagramme des
lasses : Classe
Meth_Proje tion
241
Annexe E.
242
Programmation Orientée Objet et UML
Annexe F
Vers la forme faible de l'équation de
transport
243
Annexe F. Vers la forme faible de l'équation de transport
Dans
ette annexe, nous montrons un résultat
lassique, sur lequel s'appuie la dé-
monstration du lemme 6.17 dans le hapitre sur le boulier visqueux (page 164). Ce lemme
ε
ε
montre que (ρ , u ) vérie l'équation de transport au sens de la dénition 6.9 page 157,
ε
ρ étant onstante par mor eaux.
φ ∈ C01 ([0, T [×]a, b[), ρ ∈ C 1 ([0, T ])
a(t) < b(t) pour tout t dans [0, T ], alors
Propriété F.1 Soient
[0, 1],
dans
Z
1
0
Z
ave
T
ρ(t)∂t φ(t, x)1[a(t),b(t)] (x)dtdx = −
0
−
Z
1
ρ(0)φ(0, x)1[a(0),b(0)] (x)dx −
0
Z
Z
0
T
0
1
Z
et
(a, b) ∈ C 1 ([0, T ])2
à valeurs
T
ρ′ (t)φ(t, x)1[a(t),b(t)] (x)dtdx
0
[ρ(t)b′ (t)φ(t, b(t)) − ρ(t)a′ (t)φ(t, a(t))]dt.
Démonstration :
Posons
Z
Ih =
1
0
Z
T −h
ρ(t)
0
φ(t + h, x) − φ(t, x)
1[a(t),b(t)] (x)dtdx.
h
On a
hIh =
Z 1Z
0
Un
T −h
ρ(t)φ(t + h, x)1[a(t),b(t)] (x)dtdx −
0
Z
1
0
Z
T −h
ρ(t)φ(t, x)1[a(t),b(t)] (x)dtdx.
0
hangement de variable dans le première intégrale en temps donne
hIh =
Z
0
1
Z
T
h
ρ(t − h)φ(t, x)1[a(t−h),b(t−h)] (x)dtdx −
On dé ompose
Z
0
1
Z
T −h
ρ(t)φ(t, x)1[a(t),b(t)] (x)dtdx.
0
ette intégrale en 5 mor eaux :
Ih = −Ih1 − Ih2 − Ih3 + Ih4 − Ih5 ,
où
Ih1
Ih2
=
Z 1Z
0
=
Z 1Z
0
Z
1
T
h
T
ρ(t)φ(t, x)
h
1
=
0 h
Z 1Z
Ih4 =
Ih3
0
Ih5
=
Z 1Z
0
ρ(t) − ρ(t − h)
φ(t, x)1[a(t),b(t)] (x)dtdx,
h
Z
1[a(t),b(t)] (x) − 1[a(t−h),b(t−h)] (x)
dtdx,
h
h
ρ(t)φ(t, x)1[a(t),b(t)] (x)dtdx,
0
T
ρ(t)φ(t, x)1[a(t),b(t)] (x)dtdx,
T −h
h
T
[ρ(t − h) − ρ(t)]φ(t, x)
1[a(t),b(t)] (x) − 1[a(t−h),b(t−h)] (x)
dtdx.
h
Pour démontrer le résultat souhaité, il sut de montrer que
244
Ih −→
h→0
Ih1
−→
h→0
Ih2 −→
h→0
Ih3 −→
h→0
Z
Z
1
0
Z
Z
Z
T
ρ(t)∂t φ(t, x)1[a(t),b(t)] (x)dtdx,
0
1
0
Z
T
ρ′ (t)φ(t, x)1[a(t),b(t)] (x)dtdx,
0
T
[ρ(t)b′ (t)φ(t, b(t)) − ρ(t)a′ (t)φ(t, a(t))] dt,
0
1
ρ(0)φ(0, x)1[a(0),b(0)] (x)dx,
0
Ih4 −→ 0,
h→0
Ih5
•
Etude de
−→ 0.
h→0
Ih
Notons
φ(t + h, x) − φ(t, x)
1[a(t),b(t)] (x)1[h,T ](t).
h
e simple sur [0, T ] × [a, b] de gh vers ρ(t)∂t φ(t, x)1[a(t),b(t)] (x) et le
roissements nis nous donne la majoration suivante sur [0, T ]×[a, b]
gh (t, x) = ρ(t)
On a
onvergen
théorème des a
|gh (t, x)| ≤ kρkL∞ ([0,1]) k∂t φkL∞ ([0,T ]×[a,b]).
Le théorème de
•
Etude de
onvergen e dominée nous donne don
Ih1
On pro ède de la même façon que pour
•
Etude de
Ih .
Ih2
Fixons d'abord
t
dans
γh (t) =
a
le résultat souhaité.
[h, T ],
Z
et notons
1
ρ(t)φ(t, x)
0
1[a(t),b(t)] (x) − 1[a(t−h),b(t−h)] (x)
dx.
h
b étant ontinues, pour h assez petit, on a a(t − h) < b(t), a(t − h) < b(t − h)
b(t − h) > a(t). Supposons (les autres as se traitent de la même façon) que
a(t − h) < a(t) < b(t − h) < b(t). Alors,
et
et
1]a(t),b(t)[ (x) − 1]a(t−h),b(t−h)[ (x) = 1]b(t−h),b(t)[ − 1]a(t−h),a(t)[
et don ,
1
γh (t) =
h
|
Z
b(t)
1
ρ(t)φ(t, x)dx −
h
b(t−h)
{z
} |
γhb (t)
Z
a(t)
a(t−h)
ρ(t)φ(t, x)dx .
{z
}
γha (t)
245
Annexe F. Vers la forme faible de l'équation de transport
Etudions
γhb .
On note
∆bh (t) = γhb (t) − ρ(t)b′ (t)φ(t, b(t)).
On veut montrer que
∆bh (t)
é rit
ontinuité de
h
tend vers zéro. Pour
ela, on
Z b(t)
1
=
ρ(t)
[φ(t, x) − φ(t, b(t))]dx
h
b(t−h)
b(t) − b(t − h)
′
− b (t) ρ(t)φ(t, b(t)).
+
h
∆bh (t)
La
tend vers zéro quand
x 7→ φ(t, x)
en
b(t)
donne, pour
ε>0
xé,
∃h1 > 0, ∀x, |x − b(t)| < h1 =⇒ |φ(t, x) − φ(t, b(t))| ≤ ε
puis, la
ontinuité de
b
en
t
donne
∃h2 > 0, ∀h̄ < h2 , |b(t) − b(t − h̄)| < h1 .
Ainsi, on a obtenu
∀ε > 0, ∃h2 > 0, ∀h < h2 , x ∈ [b(t − h), b(t)] =⇒ |φ(t, x) − φ(t, b(t))| ≤ ε,
∆bh (t). Pour
pour ε > 0 xé
e qui nous permettra de majorer le premier terme de
on utilise la dérivabilité de
b
en
t
qui nous donne,
le se ond terme,
b(t) − b(t − h̄)
− b′ (t) ≤ ε
h̄
∃h3 , ∀h̄ < h3 ,
et on a
∀ε, , ∃h0 = min(h2 , h3 ), ∀h < h0 ,
|∆bh (t)| ≤ εkρkL∞ ([0,1])
Le théorème des a
b(t) − b(t − h)
+ εkρkL∞ ([0,1]) kφkL∞ ([0,T ]×[a,b]).
h
roissements nis nous permet nalement d'é rire
∀ε, , ∃h0 > 0, ∀h < h0 ,
|∆bh (t)| ≤ ε kρkL∞ ([0,1]) k∂t bkL∞ ([0,1]) + kρkL∞ ([0,1]) kφkL∞ ([0,T ]×[a,b]) .
b
On a don montré que ∆h (t) tend vers zéro quand h tend vers zéro, 'est-à-dire que
b
′
γh (t) tend vers ρ(t)b (t)φ(t, b(t)) quand h tend vers zéro. On peut faire de même
a
pour γh (t) et on obtient nalement, pour tout t de [h, T ],
γh (t) −→ ρ(t)b′ (t)φ(t, b(t)) − ρ(t)a′ (t)φ(t, a(t)).
h→0
On é rit enn que
Ih2
246
=
Z
0
T
γh (t)1[h,T ] (t)dt.
′
Ce qui pré ède montre la onvergen e simple de γh (t)1[h,T ] (t) vers ρ(t)b (t)φ(t, b(t))−
ρ(t)a′ (t)φ(t, a(t)) pour tout t dans [0, T ] et on a la majoration suivante
≤ |γh (t)| ≤ |γhb (t)| + |γha (t)|
γh (t)1[h,T ]
≤ kρkL∞ ([0,1]) kφkL∞ ([0,T ]×[a,b])
≤ kρkL∞ ([0,1]) kφkL∞ ([0,T ]×[a,b])
Le théorème de
onvergen e dominée nous permet don
Ih2
•
Etude de
b(t) − b(t − h)
a(t) − a(t − h)
+
h
h
k∂t bkL∞ ([0,1]) + k∂t akL∞ ([0,1]) .
Z
−→
h→0
de
on lure
T
[ρ(t)b′ (t)φ(t, b(t)) − ρ(t)a′ (t)φ(t, a(t))] dt.
0
Ih3
On note, pour
x
[0, 1]
dans
1
∆h (x) =
h
Z
h
0
On veut montrer que
ρ(t)φ(t, x)1[a(t),b(t)] (x)dt − ρ(0)φ(0, x)1[a(0),b(0)] (x)
∆h (x)
1
∆h (x) =
h
|
+
On utilise la
donné,
Z
tend vers zéro quand
h
tend vers zéro. On a
h
0
[ρ(t)φ(t, x) − ρ(0)φ(0, x)]1[a(t),b(t)] (x)dt
{z
}
Ah (x)
1
h
|
ontinuité de
Z
0
h
ρ(0)φ(0, x) 1[a(t),b(t)] (x) − 1[a(0),b(0)] (x) dt
{z
}
Bh (x)
t 7→ ρ(t)φ(t, x)
en zéro pour obtenir
∀x ∈ [0, 1], ∀ε, ∃h1 > 0, ∀t ≤ h1 , |ρ(t)φ(t, x) − ρ(0)φ(0, x)| ≤ ε,
et don ,
∀x ∈ [0, 1], ∀ε, ∃h1 > 0, ∀h ≤ h1 , |Ah (x)| ≤ ε.
pour tout x dans [0, 1].
h→0
On utilise ensuite la ontinuité de t 7→ a(t) et
Ainsi,
Ah (x) −→ 0
t 7→ b(t)
en zéro pour obtenir
∀x ∈ [0, 1] \ {a(0), b(0)}, ∃h2 > 0, ∀t ≤ h2 , 1[a(t),b(t)] (x) − 1[a(0),b(0)] (x) = 0,
don ,
∀x ∈ [0, 1] \ {a(0), b(0)}, ∃h2 > 0, ∀h ≤ h2 , Bh (x) = 0.
Ainsi,
Bh (x) −→ 0
h→0
pour presque tout
x
dans
[0, 1].
247
Annexe F. Vers la forme faible de l'équation de transport
Finalement, on a montré que
∆h (x)
est majoré sur
[0, 1]
∆h (x) −→ 0
par
gen e dominée nous permet de
Ih3
•
φ
[0, 1].
Comme
le théorème de
onver-
pour presque tout
4kρkL∞ ([0,1]) kφkL∞ ([0,T ]×[a,b]),
x
dans
on lure :
1
ρ(0)φ(0, x)1[a(0),b(0)] (x)dx =
0
Z
1
0
∆h (x)dx −→ 0.
h→0
Ih4
Etude de
Comme
−
Z
h→0
est à support
ompa t dans
[0, T [×]a, b[,
on a
lairement
Ih4 = 0
pour
h
assez petit.
•
Etude de
|Ih5 |
Ih5
≤ kφkL∞ ([0,T ]×[a,b])
Z
T
h
|ρ(t) − ρ(t − h)|
Z
1
0
1[a(t),b(t)] (x) − 1[a(t−h),b(t−h)] (x)
dx
h
Comme pré édemment, on majore
Z
1
0
1[a(t),b(t)] (x) − 1[a(t−h),b(t−h)] (x)
dx ≤ k∂t bkL∞ ([0,1]) + k∂t akL∞ ([0,1])
h
et on a don
|Ih5 |
≤ kφkL∞ ([0,T ]×[a,b]) k∂t bkL∞ ([0,1]) + k∂t akL∞ ([0,1])
On utilise alors la
ontinuité de
ρ
248
Z
T
0
|ρ(t) − ρ(t − h)|1[h,T ](t)dt.
et le théorème de
onvergen e dominée pour
on lure.
On a ainsi terminé la démonstration.
dt.
Bibliographie
[1℄ Y. A hdou, O. Pironneau, and F. Valentin.
for laminar ows over periodi
Ee tive boundary
onditions
rough boundaries. J. Comp. Phys., 147(1) :187218,
1998.
[2℄ Z. Adam zyk, M. Adam zyk, and T.G.M. Van de Ven. Resistan e
of a solid sphere approa hing plane and
urved boundaries.
oe ient
J. Colloid Interfa e
S ien e, 96(1) :204213, 1983.
[3℄ G. Allaire. Analyse numérique et optimisation. Editions de l'É ole Polyte hnique,
2005.
[4℄ F. Alouges, A. DeSimone, and A. Lefebvre. Optimal strokes for low reynolds
number swimers : an example. A
epté pour publi ation dans Journal of Nonlinear
S ien e, 2007.
[5℄ A. Ambari, B. Gauthier-Manuel, and E. Guyon.
translating at
Wall ee ts on a sphere
onstant velo ity. J. Fluid Me h., 149 :235253, 1984.
[6℄ P. Angot, C-H. Bruneau, and P. Fabrie. A penalization method to take into a ount obsta les in in ompressible vis ous ows. Numeris he Mathematik, 81(4) :497
520, 1999.
[7℄ http ://argouml.tigris.org/. Page Web
ArgoUML.
[8℄ D. Arnold, F. Brezzi, and M. Fortin. A stable nite element for the Stokes
equations. Cal olo, 21(4) :337344, 1984.
[9℄ Y. Assou, D. Joyeux, A. Azouni, and F. Feuillebois. Mesure par interférométrie laser du mouvement d'une parti ule pro he d'une paroi. J. Phys. III, 1 :315330,
1991.
[10℄ L. Berlyand, L. Bor ea, and A. Pan henko. Network approximation for effe tive vis osity of
on entrarted suspensions with
omplex geometry. SIAM Journal
of Applied Mathemati s, 36(5) :15801628, 2005.
[11℄ L. Berlyand and E. Khhruslov. Homogeneized non-Newtonian vis oelasti rheology of a suspension of intera tion parti les in a vis ous Newtonian uid.
SIAM
Journal of Applied Mathemati s, 64(3) :10021034, 2004.
[12℄ L. Bo quet and J-L. Barrat. Hydrodynami
fun tions, and kubo relations for
onned uids.
boundary
onditions,
orrelation
Phys. Rev. E, 49(4) :30793092,
1994.
[13℄ G. Bossis and J.F. Brady. Dynami
simulation of sheared suspensions. I. General
method. J. Comp. Phys., 80(10) :51415154, 1984.
249
Bibliographie
[14℄ G. Bossis and J.F. Brady. The rheology of
on entrated suspensions of spheres
insimple shear ow by numeri al simulation. J. Fluid Me h., 155 :105129, 1985.
[15℄ H. Brenner. The slow motion of a sphere through a vis ous uid towards a plane
surfa e. Chem. Engng. S i., 16 :242251, 1961.
[16℄ D. Bres h and V. Milisi . Higher order boundary layer
orre tions and wall law
derivation : a unied approa h. preprint, 2006.
[17℄ J.E. Butler and E.S.G. Shaqfeh. Dynami
simulations of the inhomogeneous
sedimentation of rigid bres. J. Fluid Me h., 468 :205237, 2002.
[18℄ M.D.A. Cooley and M.E. O'Neil. On the slow motion generated in a vis ous
uid by the approa h of a sphere to a plane wall or stationary sphere. Mathematika,
16 :3749, 1969.
[19℄ J.M. Coron.
Control and nonlinearity, volume 136.
Mathemati al Surveys and
Monograph, 2007. se . 3.2.
[20℄ R.G. Cox. The motion of suspended parti les almost in
onta t. Int. J. Multiphase
Flow, 1 :343371, 1974.
[21℄ R.G. Cox and H. Brenner. The slow motion of a sphere through a vis ous uid
towards a plane surfa e - ii - small gap width, in luding inertial ee ts. Chem. Engng.
S i., 22 :17531777, 1967.
[22℄ S.L. Dan e, E. Climent, and M.R. Maxey. Collision barrier ee ts on the bulk
ow in a random suspension. Phyi s. of Fluids, 16(3) :828831, 2004.
[23℄ S.L. Dan e and M.R. Maxey. In orporation of lubri ation ee ts into the for eoupling method for parti ulate two-phase ow. J. Comp. Phys., 189 :212238, 2003.
[24℄ R.H. Davis. Ee t of surfa e roughness on a sphere sedimenting through a dilute
suspension of neutrally buoyant spheres. Phys. Fluids A, 4(12) :26072619, 1992.
[25℄ B. Desjardins and M.J. Esteban. Existen e of weak solutions for the motion of
rigid bodies in a visous uid. Ar h. Rational Me h. Anal., 146 :5971, 1999.
[26℄ D.I. Dratler and W.R. S howalter.
Dynami
simulation of suspensions of
non-Brownian hard spheres. J. Fluid Me h., 325 :5377, 1996.
[27℄ L.J. Durlofsku and J.F. Brady. Dynami
simulation of bounded suspensions
of hydrodynami ally intera ting parti les. J. Fluid Me h., 200 :3967, 1989.
[28℄ A. Einstein. Ann. Phys. Leipsig, 19 :289, 1906. Ibid. 1911, 34, 591.
[29℄ M.L. Ekiel-Je»ewska, F. Feuillebois, K. Masmoudi N. Le oq, R. Anthore, F. Bostel, and E. Wajnryb. Hydrodynami
spheres at
intera tions between two
onta t. Phys. Rev. E, 59(3) :31823191, 1999.
[30℄ X. Fan, N. Phan-Thien, and R. Zheng. A dire t simulation of bre suspensions.
J. Non-Newtonian Fluid Me h., 74 :113135, 1998.
[31℄ A.L. Fogelson and C.S. Peskin. A fast numeri al method for solving the threedimensional Stokes equations in the presen e of suspended parti les. J. Comp. Phys.,
79 :5069, 1988.
[32℄ A.F. Fortes, D.D. Joseph, and T.S. Lundgren. Nonlinear me hani s of uidization of beds of spheri al parti les. J. Fluid Me h., 17 :46748, 1987.
250
[33℄ N.A. Frankel and A. A rivos. On the vis osity of a
on entrated suspension of
solid spheres. Chem. Engng. S i., 22 :847853, 1967.
[34℄ http ://www.freefem.org/3d/. Page Web
[35℄ V. Girault and P.-A. Raviart.
FreeFem3D.
Finite element methods for the Navier-Stokes
equations. Springer, 1986.
[36℄ R. Glowinski, T-W. Pan, and T.I. Heslaand D.D. Joseph.
A distributed
lagrange multiplier/ titious domain method for parti ulate ows. Int. J. Multiphase
Flow, 25 :755794, 1999.
[37℄ R. Glowinski, T-W. Pan, and J. Perriaux.
A titious domain method for
diri hlet problem and appli ations. Comput. Methods Appl. Me h. Engrg., 111 :283
303, 1994.
[38℄ R. Glowinski, T-W. Pan, and J. Perriaux.
A titious domain method for
external in ompressible ow modeled by Navier-Stokes equations. Comput. Methods
Appl. Me h. Engrg., 112 :133148, 1994.
[39℄ R. Glowinski, T-W. Pan, and J. Perriaux.
A lagrange multiplier/ titious
domain method for the numeri al simulation of in ompressible vis ous ow around
mouving rigid bodies : (I)
ase where the rigid body motions are known a priori.
C.R. A ad. S i. Paris, 324 :361369, 1997.
[40℄ A.J. Goldman, R.J. Cox, and H. Brenner. Slow vis ous motion of a sphere
parallel to a plane wall - i - motion through a quies ent uid. Chem. Engng. S i.,
22 :637651, 1967.
[41℄ S. Haber and H. Brenner. Hydrodynami
quadrati
intera tion of spheri al parti les in
Stokes ows. Int. J. Multiphase Flow, 25 :10091032, 1999.
[42℄ A. Haraux. Nonlinear evolution equations - global behaviour of solutions. Springer
Verlag, 1981.
[43℄ F. He ht and O. Pironneau. http ://www.freefem.org. Page Web
[44℄ http ://www.freefem.org/examples/NSpenal.edp.
Sour e du
FreeFem++.
ode de la valve
ar-
diaque.
[45℄ M. Hillairet. Aspe ts intera tifs de la mé anique des uides. Thèse, E ole Normale
Supérieure de Lyon, 2005.
[46℄ H.H. Hu. Dire t simulation of ows of solid-liquid mixtures. Int. J. Multiphase Flow,
22(2) :335352, 1996.
[47℄ H.H. Hu, D.D. Joseph, and M.J. Cro het. Dire t simulation of uid parti le
motion. Theoret. Comput. Fluid Dynami s, 3 :285306, 1992.
[48℄ J. Janela, A. Lefebvre, and B. Maury. A penalty method for the simulation
of uid - rigid body intera tion. ESAIM :Pro , 14 :115123, 2005.
[49℄ A.A. Johnson and T.E. Tezduyar. Simulation of multiple spheres falling in a
liquid-lled tube. Comput. Methods Appl. Me h. Engrg., 134 :351373, 1996.
[50℄ K. Khadra, P. Angot, S. Parneix, and J.P. Caltagirone. Fi titious domain
approa h for numeri al modelling of Navier-Stokes equations. Int. J. Numer. Meth.
Fluids, 34(8) :651684, 2000.
251
Bibliographie
[51℄ S. Kim and S. J. Karrila. Mi rohydrodynami s : Prin iples and Sele ted Appli-
ations. Butterworth-Heinemann, 1991.
[52℄ S. Labbé, J. Laminie, and V. Louvet. Csimoon. Cal ul s ientique, méthodologie orientée objet et environnement : de l'analyse mathématique à la programmation.
Te hni al Report RT 2001-01, Laboratoire de Mathématiques, Université Paris-Sud,
2004.
[53℄ N. Le o q, F. Feuillebois, N. Anthore, R. Anthore, F. Bostel, and
C. Petipas.
Pre ise measurement of parti le-wall hydrodynami
intera tions at
low reynolds number using laser interferometry. Phys. Fluids A, 5(1) :312, 1993.
[54℄ N. Le oq, R. Anthore, B. Ci ho ki, P. Szym zak, and F. Feuillebois.
Drag for e on a sphere moving towards a
orrugated wall. J. Fluid Me h., 513 :247
264, 2004.
[55℄ A. Lefebvre. Fluid-parti le simulations with FreeFem++. ESAIM :Pro , 18 :120
132, 2007.
[56℄ A. Lefebvre and B. Maury. Apparent vis osity of a mixture of a newtonian uid
and intera ting parti les. Comptes Rendus Me anique, 333(12) :923933, 2005.
[57℄ M.A. Mader, C. Misbah, and T. Podgorski. Dynami s and rheology of vesi les
in a shear ow. Mi rogravity s i. te hnol., XVIII-3/4 :199203, 2006.
[58℄ M.A. Mader, V. Vitkova, M. Abkarian, A. Viallat, and T. Podgorski.
Dynami s of vis ous vesi les in shear ow. Eur. Phys. J. E, 19 :389397, 2006.
[59℄ A.D. Maude.
End ee ts in a falling-sphere vis osimeter.
Br. J. Appl. Phys.,
12 :293295, 1961.
[60℄ B. Maury. Numeri al analysis of a nite element / volume penalty method. Soumis
pour publi ation.
[61℄ B. Maury. A many-body lubri ation model. C.R. A ad. S i. Paris, 325(I) :1053
1058, 1997.
[62℄ B. Maury.
Dire t simulation of 2d uid-parti le ows in biperiodi
domains.
J.
Comp. Phys., 156 :325351, 1999.
[63℄ B. Maury. Analyse fon tionnelle. Ellipse, 2004.
[64℄ B. Maury. A time-stepping s heme for inelasti
ollisions. Numeris he Mathematik,
102(4) :649679, 2006.
[65℄ B. Maury. A gluey parti le model. ESAIM :Pro , 18 :133142, 2007.
[66℄ B. Maury and J. Venel.
Un modèle de mouvements de foule.
ESAIM :Pro ,
18 :143152, 2007.
[67℄ J.J. Moreau, P.D. Panagiotopoulos, and G. Stang. Topi s in Nonsmooth
Me hani s. Birkhäuser Verlag, 1988.
[68℄ A. Najafi and R. Golestanian. Simple swimmer at low reynolds number : Three
linked spheres. Phys. Rev. E, 69(062901), 2004.
[69℄ S. Nasseri, N. Phan-Thien, and X.J. Fan. Lubri ation approximation in ompleted double layer boundary element method. Computational Me hani s, 26 :388397,
2000.
252
[70℄ O.A. Oleinik, A.S. Shamaev, and G.A. Yosifian. Mathemati al Problems in
Elasti ity and Homogenization. North-Holland, 1992.
[71℄ N.A. Patankar, P. Singh, D.D. Joseph, R. Glowinski, and T-W. Pan. A
new formulations for the distributed lagrange multiplier/ titious domain method
for parti ulate ows. Int. J. Multiphase Flow, 26 :1509152, 2000.
[72℄ O.
Pironneau,
J.
Liou,
and
T.
Tezduyar.
Chara teristi -galerkin and
galerkin/least-squares spa e-time formulations for the adve tion-diusion equations
with time-dependent domains. Comput. Methods Appl. Me h. Engrg., 100(1) :117
141, 1992.
[73℄ T.N. Randrianarivelo, G. Pianet, S. Vin ent, and J.P. Caltagirone. Numeri al modelling of solid parti le motion using a new penalty method. Int. J. Numer.
Meth. Fluids, 47 :12451251, 2005.
[74℄ S. Ri hardson. A model for the boundary
ondition of a porous material. part 2.
J. Fluid Me h., 49(2) :327336, 1971.
[75℄ M. S hatzmann. Uniqueness and
ontinuous dependen e on data for one dimen-
sional impa t problems. Mathemati al and Computational modelling, 28 :118, 1998.
[76℄ P. Singh, T.I. Hesla, and D.D. Joseph. Distributed lagrange multiplier method
for pati ulate ows with
ollisions. Int. J. Multiphase Flow, 29 :495509, 2003.
[77℄ J.R. Smart and D.T. Leighton. Measurement of the hydrodynami
of non
roughness
olloidal spheres. Phys. Fluids A, 1 :52, 1989.
[78℄ G.G. Stokes.
On the ee t of the internal fri tion of uids on the motion of
pendulums. Transa tions of the Cambridge Philosophi al So iety, 9(II) :8106, 1851.
[79℄ G.I. Taylor. A model for the boundary
ondition of a porous material. part 1. J.
Fluid Me h., 49(2) :319326, 1971.
[80℄ R. Temam and A. Miranville. Mathemati al modeling in
ontinuum me hani s.
Cambridge university press, 2001.
[81℄ O.I. Vinogradova and G.E. Ya ubov.
boundary
Surfa e roughness and hydrodynami
onditions. Phys. Rev. E, 73 :045302(R), 2006.
[82℄ D. Wan and S. Turek. Dire t numeri al simulation of parti ulate ow via multigrid
fem te hniques and the titious boundary method. Int. J. Numer. Meth. Fluids,
51 :531566, 2006.
[83℄ D. Wan and S. Turek. Fi titious boundary and moving mesh methods for the
numeri al simulation of rigid parti ulate ows. J. Comp. Phys., 222(1) :2856, 2007.
[84℄ F.K. Wippermann.
On the uid dynami s of the aorti
valve.
J. Fluid Me h.,
159 :497501, 1985.
[85℄ Y. Yamane, Y. Kaneda, and M. Dio. Numeri al simulation of semi-dilute suspensions of rodlike parti les in shear ow. J. Non-Newtonian Fluid Me h., 54 :405421,
1994.
[86℄ S. Yuu and Y. Fukui.
Measurement of uid resistan e
orre tion fa tor for a
sphere moving through a vis ous uid towards a plane surfa e.
AIChE Journal,
27(1) :168170, 1981.
253
Bibliographie
[87℄ S. Zeng, E.T. Kerns, and R.H. Davis. The nature of parti le
mentation. Phyi s. of Fluids, 8(6) :13891396, 1996.
254
onta ts in sedi-
N
o
d'impression 2821
4ème trimestre 2007
Résumé.
Modélisation numérique d'é oulements uide/parti ules.
Prise en
ompte des for es de lubri ation.
Nous nous intéressons à la simulation dire te d'é oulements uide-parti ules très
denses en parti ules et plus parti ulièrement à la prise en
ompte des for es de
lubri ation qui sont exer ées sur les parti ules par le uide intersti iel. Cette
thèse
omporte trois parties : simulation d'é oulements de parti ules dans un
uide visqueux par une méthode de pénalisation, étude et prise en
ompte des
intera tions rappro hées, modèle ma ros opique pour un système dis ret 1D de
sphères plongées dans un uide visqueux.
• Dans la première partie, nous présentons une méthode permettant la simulation
du mouvement d'un
orps rigide dans un uide Newtonien. Nous montrons que
la pénalisation du tenseur des
par la méthode des
ontraintes, asso iée à une dis rétisation en temps
ara téristiques,
onduit à une formulation variationnelle de
type Stokes généralisée. Des tests numériques sont ee tués sous
d'étudier la
FreeFem++
an
onvergen e. On présente également trois exemples d'utilisation de
la méthode.
•
Dans la se onde partie nous proposons un modèle permettant de prendre en
ompte les for es de lubri ation dans les simulations dire tes d'é oulements
uide/parti ules telles que
elle dé rite dans la première partie. Nous présen-
tons d'abord un modèle de
onta t visqueux, modélisant l'a tion de la for e de
lubri ation dans le
as d'une parti ule et d'un plan. Il est obtenu
omme li-
mite, à vis osité nulle, du modèle de lubri ation. L'algorithme asso ié repose
sur une étape de proje tion des vitesses, à
haque instant, sur un espa e dit de
vitesses admissibles. Nous montrons, dans
e
as parti ule/plan, la
onvergen e
du s héma vers le modèle proposé et nous généralisons ensuite l'algorithme au
as multi-parti ules. Nous présentons également un exemple de programmation
orientée objet de l'algorithme obtenu.
•
Finalement dans la troisième partie, nous
onsidérons un système dis ret de
sphères (boulier en 1D) qui interagissent à travers la for e de lubri ation. Le modèle mi ros opique repose sur le développement de
Nous proposons une équation
ette for e à
ourte distan e.
onstitutive mar os opique, de type Newtonien,
reposant sur une vis osité linéique proportionnelle à l'inverse de la fra tion loale de uide. Nous établissons la
onvergen e du modèle mi ros opique vers le
modèle ma ros opique proposé.
Mots
lés :
é oulements uide/parti ules, uide Newtonien, Navier-Stokes, pénalisa-
tion, simulation numérique, éléments nis, intera tions rappro hées,
onta ts, for e de
lubri ation, programmation orientée objet, modélisation mi ro-ma ro.
Codes AMS (MSC2000) :
76T20.
65M60, 74F10, 74Q10, 74Q15, 76D05, 76M10, 76M50,