1229949

Fluctuations quantiques et thermiques dans les
transducteurs électromécaniques
Francesca Grassia
To cite this version:
Francesca Grassia. Fluctuations quantiques et thermiques dans les transducteurs électromécaniques.
Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 1998. Français.
�tel-00011777�
HAL Id: tel-00011777
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011777
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LABORATOIRE
KASTLER BROSSEL
Thèse de doctorat de l’Université Pierre et Marie Curie
Spécialité : Physique Quantique
présentée par
Francesca GRASSIA
pour obtenir le
grade de Docteur de l’Université Pierre et Marie
Sujet de la Thèse
Curie
:
FLUCTUATIONS QUANTIQUES ET THERMIQUES
DANS LES TRANSDUCTEURS ELECTROMECANIQUES
Soutenue le 26 juin 1998 devant
M Ph TOURRENC
le jury composé de
Président
M. J-M COURTY
M. Ph. GRANGIER
M. S. REYNAUD
M. F. RICCI
M. P. TOUBOUL
Rapporteur
Directeur de thèse
Rapporteur
:
LABORATOIRE
KASTLER BROSSEL
Thèse de doctorat de l’Université Pierre et Marie Curie
Spécialité : Physique Quantique
présentée par
Francesca GRASSIA
pour obtenir le
grade de Docteur de l’Université Pierre et Marie
Sujet de la Thèse
Curie
:
FLUCTUATIONS QUANTIQUES ET THERMIQUES
DANS LES TRANSDUCTEURS ELECTROMECANIQUES
Soutenue le 26 juin 1998 devant
M. Ph. TOURRENC
le jury composé de
Président
M. J-M. COURTY
M. Ph GRANGIER
M. S. REYNAUD
M. F. RICCI
M P. TOUBOUL
Rapporteur
Directeur de thèse
Rapporteur
:
A
mon
père
qu’un travail de thèse ne peut jamais être solitaire,
Je considère
Cela
été
particulièrement
vrai et
m’obligent
à taire le rôle de
quelqu’un
mémoire à
une
me
a
liste. Si
j’ai
important
pour le mien.
les raisons de
ou
été aussi transparente que
permettre de croire que chacun
pourquoi
saura
son
sauf dans des
pathologiques.
Pour que les limites
d’espace
ne
importance, j’ai décidé d’en confier la
je le désirais pendant
son nom
cas
ces
années, je
peux
apparaît ci-dessous.
LaboratoireKastlerBrossel EcoleNormaleSupérieure UniversitéPierreetMarieCurie
UniversitéDenisDiderot MichèleLeduc
cobino
SergeHaroche Equiped’OptiqueQuantique
ElisabethGia-
FrançoisBiraben UniversitédeMilan GouvernementFrançais CommunautéEuropéenne
SergeReynaud
ThierryJaekel
Jean-MichelCourty LaurentHilico Universitéd’Evry Marc-
AgnèsMaître
Cagnac YassineHadjar
NicolasBilly
LUCILEJULIEN
Bernard-
AntoineHeidmann ASTRIDLAMBRECHT
Pierre-
FrançoisCohadon BenoîtGrémaud ThomasCoudreau CatherineSchwob AlbertoBramati FrançoisNez BéatricedeBeauvoir MichelPinard DominiqueDelande
ClaudeFabre PaulIndelicato FerdinandoDeTomasi ArnedeMeijere AephraimSteinberg FrancescoMarin StephaneBoucard PascalEl-Khoury HichemEleuch JeanPierreHermier ThibaultJonckheere GaetanMessin Laurent Vernac FrancisTrehin AlexisPoizat
BernardRodriguez GuyFlory BlandineMoutiers KarineGautier Jean-PierrePlaut
PHILIPPEPACE
Jean-PierreOkpisz Marie-ClaireRigolet
PhilippeTourrenc Philippe-
Grangier FulvioRicci PierreTouboul AriannaFiloramo
doDeTomasi
Ferdinan-
YassineHadjar RandaHadjar ThomasCoudreau SylvieKipfer AGNÈSMAÎTRE
Pierre-FrançoisCohadon ValérieCohadon LucaGuidoni LetiziaGuidoni EftihiaJones-Gorlin
EnricoCeleghini GiuseppeVitiello
AdalbertoGiazotto DimitriBatani
AlbertoZaf-
ARNEDEMEIJERE
GIULIADEMEIJERE Mosé Zippi AlvianaGras-
faroni MichelaPetrini AlessandraGatti LivioCaputo
MarinaCaputo
sia
EmmaGrassia Pier-AndreaGrassia
StefaniaDePasquale
MarinaMelandri
Lau-
reHeidmann AntoineGautier RémiSoucaze ValentineMoutiers AubinGrémaud SixtinedeBeauvoir Alexan-
dreCoudreau MaxenceGautier
...
TABLE DES MATIERES
I
II
Introduction
A
Les motivations
B
Les contextes
C
Le contenu de
Le bruit
A
B
C
III
3
..............................
expérimentaux et théoriques
ce
quantique
travail
............................
dans les réseaux
Les réseaux linéaires
passifs
Le théorème de
2
Les
3
La sensibilité de la
Nyquist
multipôles linéaires
..........................
..........................
mesure
Les réseaux nonlinéaires
transducteur nonlinéaire
Un
2
Fonctionnement
en
polarisation
3
Fonctionnement
en
polarisation oscillante
Une
application
à la détection
1
Couplage
entre
2
Couplage
de
3
Les limites
Le bruit
quadratures
constante
QND
en
................
................
.....................
optique
quantiques
dans
une mesure
..................
L’amplificateur linéaire quantique
B
L’amplificateur opérationnel quantique
QND
..............
L’amplificateur en
2
L’amplificateur branché
sur
......................
deux
....................
lignes
.....
.................
contre-réaction
.....................
de contre-réaction
.....................
L’amplificateur avec
1
Les
2
La matrice de diffusion
.....
1
11
16
16
26
37
39
39
42
45
52
52
55
59
61
boucle ouverte
1
équations
...............
dans les réseaux actifs
A
C
.................
quadratures électromécaniques
quantique
.....
.....
1
8
15
..............................
1
exemple de
..................
3
62
66
66
69
72
73
76
3
IV
Discussion de la
Application
A
B
C
aux
mesure
.........................
accéléromètres
électrostatiques
85
La friction froide ................................
1
L’impédance mécanique après
2
La matrice de diffusion
3
Mesure
avec
Le transducteur
contre-réaction
friction froide
point de fonctionnement
1
Le
2
La transformation des fluctuations
3
La
description
L’accéléromètre
..............
..........................
capacitif différentiel
des pertes
........................
....................
...................
capacitif à friction froide
..................
1
Modélisation de l’accéléromètre
2
Les résultats des calculs
3
Discussion des limites ultimes
V
Conclusion et
VI
Appendices
.....
.....................
électriques
82
......................
.........................
87
89
90
93
96
97
100
107
107
108
111
..... 115
perspectives
117
121
A
Réponse
B
Bruit
C
Equations
D
Fonctionnement du transducteur
E
Influence des pertes
linéaire et
ajouté
et
susceptibilités
rapport signal
du transducteur
sur
...................
bruit
...................
capacitif différentiel
avec une
...............
polarisation désaccordée ....
..............................
Références
121
122
124
125
127
131
2
I. INTRODUCTION
A. Les motivations
Les fluctuations sont
Ceci est vrai
non
dans toute
présentes
qui correspondent
Le rôle fondamental des fluctuations
analyse du
liées d’une part à la
qui aurait
pour
a
été mis
au
en
bruit
évidence par Einstein
bain
avec
lequel il
persistent donc:
soumis non
quantiques
l’objet
[1] et Langevin [2]
sur ce
système sont
friction,
le
est
couplé. Cette
relation est
système se thermalise
connue sous
le
nom
de
fluctuations-dissipation.
caractérisant les fluctuations du vide
Si
quantique.
A tout mécanisme de
d’équilibre thermodynamique où
seulement par le spectre de corps
non
exprimant le nombre de photons thermiques [3], mais aussi
est donc
bruit
au
conséquence le refroidissement du système, sont associées des fluctuations qui
Le spectre des fluctuations est constitué
tions
limitent la sensibilité ultime.
thermique et
température, d’autre part à la dissipation.
température du
théorème
en
mouvement Brownien. Les fluctuations observables
conduisent à l’existence d’un état
à la
et
seulement pour les fluctuations de nature instrumentale mais aussi pour
les fluctuations fondamentales
dans leur
mesure
on se
ce
sont les fluctuations
aux
en
principe être
depuis
terme
supplémentaire
température nulle,
thermiques
des fluctua-
mais aussi à des fluctuations
décrits dans le même formalisme
sur
fait
quantique. Ces études
ont
mesure
quantique
contraintes incontournables à la
inégalités
de
[6,7].
a
la
les débuts de la théorie
mécanique quantique impose des
contraintes sont bien résumées dans les
un
quantiques proprement dites. Tout système réel
fluctuations quantiques, leurs effets
de très nombreuses études
montré que la
A la limite de la
seulement à des fluctuations
et leurs effets doivent
limite
[4,5].
par
noir
Heisenberg [8].
Ces
mesure.
inégalités
Ces
affirment
qu’il est impossible de mesurer simultanément avec une précision arbitraire deux observables
conjuguées,
où
telles que la
est la constante de
position x
et
l’impulsion p
Planck. Cette relation définit
3
d’une
une
particule
limite
libre
quantique
pour toute
mesure
de
position
typiquement quantiques
ayant
une masse
première
vue
du domaine
importante tels
négligeables
dans
libre. Elle
particule
microscopique,
que les antennes
ce
La discussion de la
mais aussi des
gravitationnelles.
expérience de pensée
son
lors de cette
mesure
de la
première
interaction
T,
où M est la
masse
est
que
sa
une
celle dite de
microscope
avec un
de
jouent néanmoins
Copenhague,
un
paraîtie
à
rôle dans les
est 0394x
(t),
est que toute
où la
quan-
position d’un électron
de
mesures
alors la
mesure
cette conclusion que pousse la
perturbation
affecte nécessairement d’éventuelles
t,
vers
Heisenberg
La
photon.
de
l’objet observé.
La limite
une
est
l’impulsion de l’électron
ultérieures. Si la
précision
suggérée
par
précision
de la seconde mesure, à
raisonnement
ce
nouvelle
approche plus générale de la théorie de
la mesure, ici
une
perturbation
de la
puisque l’impulsion est
Si on voulait définir
ici une
historique,
montre
ce
rappel
la mesure,
expérience de pensée où il mesure la vitesse
position. Cette mesure est soumise aux
la vitesse
Elles peuvent
est telle que
développant
propose
objets macroscopiques
limite quantique standard.
appelée
En
du
mesure, à l’instant
l’instantt +
objets
grande.
tique perturbe nécessairement le système observé. C’est
mesurée par
seulement les
signification profonde de ces relations a engendré de nombreux débats.
conception longtemps dominante,
célèbre
concerne non
second cas, mais elles
dès que la sensibilité est suffisamment
mesures
La
d’une
d’impulsion
ou
une
position,
n’a pas d’effet
a
standard,
sur une mesure
une
perturbation
[9]
particule libre plutôt
de
ultérieure de
particule libre
elle serait nulle. Hormis
pas forcément de
4
Neumann
d’Heisenberg mais la rétro-action
constante du mouvement pour
limite quantique
qu’il n’y
relations
de la
von
son
intérêt
inévitable introduite
par la
Lorsque
mesure.
l’on
mesure au cours
mécanique quantique n’impose
pas forcément de
Toutefois, la nature fondamentale,
tournable. Des
inégalités
sont
toujours décrits
nière
précise les
est donc
ailleurs,
par des
grandeurs physiques
ces
quantité physique donnée,
la
des fluctuations quantiques reste incon-
Heisenberg s’appliquent à tous
de s’assurer que
important
une
dégradation
intrinsèque,
limites ultimes de sensibilité
dans le traitement
Par
de
du temps
non
les
systèmes physiques puisqu’ils
commutatives. Pour décrire de
qui peuvent
être atteintes dans
contraintes quantiques sont bien
mesure, il
une
prises
ma-
compte
en
théorique des fluctuations.
si l’on veut décrire le bruit dans des
réelles,
mesures
il faut aussi tenir
compte de caractéristiques importantes qui sont habituellement négligées dans les discussions
historiques
Tout
la
sur
mesure
d’abord,
la
par les fluctuations
les fluctuations
que le bruit
plupart
thermiques. Si
thermique
est
ne
inférieur à celui du bruit
une mesure
Autrement
tenir
De
plus,
le
dans le domaine optique, les
à la
mesures
fréquences
mécaniques ou électriques.
elles
En
la
sur
quantique
à
quantique présupposent
mesure
idéale. Par
expérimentales
mesure
mesure
résulte du
ajoute
système. C’est
le
sont telles
plus
vrai
aux
très souvent, les
fait,
situent à
se
jeu
avec
un
niveau de loin
thermique.
dit, elle correspond
toute
en
cela n’est
température ambiante,
car
de celles-ci
commune
mesure
précise. Mais
réelles. Toute
une
idéale,
cette
mesure
hypothèse
réelle
bande passante limitée et
cas
couplage
du bruit
sur
également de
le
entre le
signal
se
en
non
infinie. Ceci
une
jamais
impose
de
analyse spectrale.
appareil
de
mesuré tout
en
exerçant
une
dissipatif intervenant
mesure
particulier
déroule dans le temps.
un
Ces effets sont raiement décrits par le schéma idéal de
possibilité
rencontre
ne se
et
système
tout élément
5
souvent la
entendons
nous
compte de la dynamique temporelle du système en introduisant
appareil de
sur
considèrent que des systèmes affectés
ne
et semblent oublier la nature
instantanée et infiniment
dans les situations
discussions
peuvent pas être observées
les raisonnements
une mesure
ces
négligeable
dans les
fluctuations quantiques
d’effectuer
de
quantiques,
fréquences intervenant
Ensuite,
quantique.
mesure
et cet
rétro-action
dans la
quantique décrit
mesure.
par
von
Neumann.
Nous pouvons maintenant définir
aux
une
problématique de la mesure quantique qui réponde
questions posées ci-dessus. Nous voulons d’abord prendre
quantiques
et
thermiques
dans
un
traitement des fluctuations soit
théorie
avec une
résultat du
consistent
toujours
baser
se
certaine bande passante.
couplage entre le système et
approprié
type d’approche
fluctuations
Il
a
été
répondre
pour
développé
à
garantir
que le
imposées
par la
de
mesure
être
non-instantanée
plus
et rendre
compte des
dissipation.
questions
précisément l’effet
généralement
de poser le
mesurer
des
Né dans le contexte de
électriques [14,15],
il
a en
réalité
une
particu-
en
l’analyse
portée
bien
[6,7].
dans le
sur
que des éléments
essentiel dans de nombreux
simple
Ce
est celui de la théorie des réseaux.
réciprocité [12,13].
dans les réseaux
Une autre limite des discussions
traite
sources
thermodynamiques dans des systèmes dissipatifs complexes à l’équilibre [10,11]
Nyquist-Johnson
vaste
se
interprétée comme le
permis d’approfondir la compréhension du théorème fluctuations-dissipation
a
du bruit
de
mesure
de manière extensive pour traiter
lier par l’établissement des relations de
ne
ces
les contraintes
idée de
sur une
appareil
un
avec
Enfin, la mesure doit
de bruit associées à tous les mécanismes de
Un cadre
compte les fluctuations
même formalisme. Ce formalisme doit
quantique. Il doit également
déroulant
en
exemples de
problème
de la
le
problème
passifs. Or,
mesures
mesure
préamplification
a
pour but d’amener le
mesure
quantique
les composants actifs
ultra-sensibles. En
quantique
système est directement branchée
de la
jouent
particulier,
est de considérer que la
à l’entrée d’un
signal quantique
à
est
qu’elle
rôle
un
une
façon
quantité
à
préamplificateur. L’étape
un
niveau
classique
en
y
ajoutant le moins de bruit possible. Bien sûr, comme pour la dissipation, il y a nécessairement
des fluctuations
ajoutées qui
sont le
prix
à payer pour le
fluctuations doivent respecter les contraintes
Les
ments
systèmes
modernes de
permettant
de fixer le
point
une
mesure
imposées
phénomène d’amplification et
par la théorie
ces
quantique [16-19].
ultra-sensible utilisent souvent aussi des asservisse-
stabilisation active du
de fonctionnement d’un
système. Ces
stabilisations actives permettent
système et donc d’empêcher celui-ci d’explorer des
6
zones
trop grandes de l’espace des paramètres. Mais elles permettent aussi d’en modifier le
comportement dynamique et, donc, la réponse
ment intéressant pour
friction par
une
est celui d’une stabilisation active
nous
contre-réaction
dissipation
la
de bruit
température
ambiante. Ceci
reste toutefois
peut
en
posé
contraintes
ce
nous
et
ses
composantes?
effet, le bruit de
plus
concerne
thermiques
que soit le niveau de
Une deuxième
de
de réduire
possible
très
en
dessous de la
de friction froide. Un
problème
Le mécanisme de friction froide
Il faut donc
analyser
de
ne
façon plus
thermiques est compatible avec le respect
amènent donc à poser les
quantiques
garantissant
repoussé
quantiques.
inégalités de Heisenberg.
première question, générale,
active de
en
dissipation
usuelles
des
questions
suivantes
qui
seront
l’objet
prin-
travail de thèse.
traiter, quel
tout
vis à vis des fluctuations
mécanisme de
quantiques.
des fluctuations
ou
à cette
technique le nom
la réduction des fluctuations
Ces réflexions
cipal de
correspondant
un
thermodynamiques
sont alors contournées et il est
valu à cette
effet pas contourner les
précise comment
Une
a
exemple particulière-
qui simule
Les relations
électrique [20-22].
entre les fluctuations et la
température équivalente
fluctuations. Un
aux
dans
en
un
du
complexité
la consistence du traitement
nécessitant de très hautes
et
s’appliquer
avec
la
les
technique de
mesures
grâce
expériences
électromécaniques.
aux
fluctuations
quantique,
aux
sous
friction froide.
7
la
thermiques
thermiques, a été
pression
des
expériences
développements technologiques
dans le
quantiques dans la détermination
est ainsi devenu de
En
passive
systèmes électromécaniques. En
Il devient donc nécessaire d’évaluer les effets des fluctuations
la sensibilité des
que soit la nature
mécanique quantique.
domaine cryogénique en particulier. Le rôle des fluctuations
des limites de sensibilité de telles
réel: comment les
mesure
dominé par les fluctuations
du niveau du bruit
sensibilités,
place d’une méthode de traitement
système de
concerne
systèmes, habituellement
plus près
en
système, quelle
Ce traitement doit
question, plus spécifique,
ces
la mise
particulier,
plus
en
quantiques
il faut
et
plus important.
thermiques
sur
analyser précisément
la
B. Les contextes
L’étude des fluctuations
tal
qu’elles jouent
expérimentaux
quantiques
dans la théorie de la
motivée
est
théoriques
et
seulement par le rôle fondamen-
non
quantique,
mesure
par le rôle
mais aussi
jouent dans certaines expériences de très grande sensibilité [23]. En particulier,
ont souvent été stimulées par les
détecteurs utilisent des
veau
du bruit
perspectives
de
techniques
mesure
systèmes
est donc nécessaire d’abord pour
la
et ensuite pour proposer des
mesure
limites de sensibilité
La recherche
J. Weber
nelle
de
a
[24,25].
longitudinal
des antennes
Ces antennes sont
quelques tonnes,
plus petite,
en
le
variation de
plus possible les effets
fois par
de
mesures
von
de repousser les
est née
gravitationnelles
de résonner
au
début des années 60.
au
passage d’une onde
ont
un
gravitation-
poids typique
un
rapport signal
La lecture du
transducteur
se
traduit
un
capacitif.
est assurée par
Le
de
une
de
mécanique,
un
déplacement
signal électrique.
thermique,
en cours
bruit d’une barre de Weber peut
second oscillateur
signal
en un
néfastes du bruit
sur
masse
transducteur élec-
de la
masse
entraîne
Pour essayer de réduire
nouvelle
génération
développement en
Italie
d’antennes
(NAUTILUS
à
Legnaro).
utilisent,
Neumann et
mesure sur
ces
techniques nouvelles qui permettent
l’antenne à
gravitationnelles ultra-cryogéniques est
Ces
le ni-
dans
quantiques
contrôler leur effet
pouvoir
général des barres d’aluminium, qui
en
fréquence.
capacité qui
Rome et AURIGA à
qui approchent
la sensibilité de
capables
couplant
en
tromécanique, typiquement
une
extrêmement sensibles
Les
sur
ondes
est de l’ordre du kHz. Le
accordé
gravitationnelles.
longueur de quelques mètres, et dont la fréquence du premier mode
une
être fortement amélioré
études
dessous de la limite quantique standard.
au
expérimentale des
proposé
ces
de détection des ondes
La maîtrise du traitement des fluctuations
quantique.
qu’elles
sous une
forme
rappelé plus haut,
d’une
mesure sans
l’évolution de l’observable mesurée. Cette idée
début des années 70 par
Braginsky [26], puis
représentée par les projets
introduit pour la
première
contre-réaction de
l’appareil
différente, l’argument,
Thorne
de détection des ondes
8
[27]
et
a
été de
Caves
nouveau
[28] après
gravitationnelles par
discutée
au
la stimulation
des barres de Weber
des interféromètres. Elle
ou
vérifications
expérimentales
par l’interaction
évolution
celui de
mesure
celui de
ou
utilisée pour
L’idée initiale de
est,
comme
autre
stratégie s’est
en
et de
telle mesure, le bruit quantique amené
ont été
(QND
théoriques
quantité
pour décrire cette
forgés
Quantum
pour
(BAE
choisissant donc de
mesurée lors de
Non
propriété,
Demolition) [30]
pour Back Action
nous
son
Evading).
Nous
conformer à la dénomination
optique quantique.
Braginsky
d’une
l’impulsion
d’un oscillateur
noms
à la rétro-action
l’acronyme QND
ces mesures en
une
n’affecte pas la
quantique non-démolissante
échappant
de nombreuses études
l’objet
mesure
du temps. Plusieurs
mesures
utiliserons ici
fait
concluantes. Dans
l’appareil de
avec
au cours
depuis
a
était de
mesurer
particule libre,
l’énergie
d’un oscillateur
quantité
conservée dans l’évolution. Une
une
dessinée ensuite. Elle est basée
harmonique. Un
sur
la
mesure
oscillateur oscillant à la
harmonique qui
des variables de
fréquence
m
03C9
quadrature
peut être décrit
en
termes de variables lentes x
1 et x
2 ainsi définies
Ces variables sont
appelées
les
quadratures et
simple
rotation de
mouvement naturel du
l’espace
ce
phases (x,p) qui
point représentatif du
la forme suivante pour les
A la différence de
des
qui
dispersions
se
sur
passe pour
x
de même dimension. Aucune référence de
on
s’attend
Cette
en
général
inégalité peut
à
ce
que leurs
être considérée
sont aussi des
quantités
conservées dans le
fait, le référentiel des quadratures (x
,x
1
) représente
2
mouvement libre de l’oscillateur. En
une
ce
les
justement
mouvement.
conçue pour
L’inégalité
de
suivre
le
Heisenberg prend
quadratures
et p, les
phase
dispersions
comme
est
quadratures
n’existe
soient
exprimant
9
en
2 sont
1 et x
x
principe
pour les
des
grandeurs
distinguer,
égales
ici
la limite
quantique standard.
et
Mais
peut fort bien définir
on
phénomènes nonlinéaires,
non-symétrique.
L’une des
moins de bruit. Ce
en
des deux
on
alors être
quadratures peut
phénomène peut
quadratures,
phase
sorte que les deux
être considérée
En créant
quadratures (squeezing) [31].
des
une
et faire
référence de
une
peut aussi réaliser
par
exemple
quadratures
comportent de façon
privilégiée par rapport
entre les
dissymétrie
une mesure
QND
à
l’autre,
avec
compression du bruit
comme une
une
se
des
exploitant
en
sur
comportements
dans le domaine
optique
en
exploitant le couplage par effet Kerr croisé, c’est-à-dire l’interaction paramétrique entre deux
champs
dans
un
milieu nonlinéaire purement
Les nécessités
mesures
QND non-idéales [34]. Ces critères adaptent
seulement la
définis
originaux
fidélité de
la
tromécaniques utilisés
mesures
BAE
sur
uniquement
mesure
Le même type d’interaction
des
à définir des critères de
expérimentales ont poussé
riences les critères
non
dispersif [32,33].
mais aussi
à
pour des
son
description réaliste
idéales
mesures
[27].
caractère effectivement
être réalisé
paramétrique peut
pour lire le mouvement des barres
les transducteurs
une
sur
des
expé-
Ils décrivent
QND.
des transducteurs élecLe
gravitationnelles [35].
électromécaniques et
pour des
performance
principe
leur réalisation sont décrits de
façon très complète dans la référence [36].
Les ondes
gravitationnelles peuvent
trique, l’interféromètre étant
gravitation.
se
sur une
trouve le
formé de miroirs
Pour que la sensibilité de cette
l’interféromètre soient
signal
bande
projet italo-français VIRGO
une
longueurs interférométriques.
avec une
une mesure
interféromé-
chute libre vis à vis de la théoiie de la
soit
suffisante,
de détecteur
spectrale relativement large.
Ces projets ont motivé
il faut que les bras de
présente l’avantage d’analyser
Parmi les antennes
le
interférométriques,
antenne, ayant deux bras de 3 Km,
en
[37].
évaluation
Les limites
précise
imposées
des limites ultimes dans les
par la
mécanique quantique
mesures
en
de
optique
analysées de manière très détaillée. Une revue complète sur les méthodes de réduction
du bruit
états
en
mesure
kilométriques. Ce type
construction dans les environs de Pise
ont été
aussi être détectées par
en
optique quantique se
comprimés,
trouve dans les références
la limite standard peut être
dépassée
10
[31,38].
dans les
Grâce à l’utilisation des
mesures
interférométriques
La véritable limite quantique ultime est
en
de
générale évoquée plus
dissipation,
accord
en
avec
la relation
fait fixée par les mécanismes fondamentaux
haut entre fluctuations et
dissipation [39,40]
D’autres types de détecteurs ultra-sensibles utilisent des
cas en
particulier pour
les accéléromètres utilisés pour
trajectoire d’un satellite due aux forces de traînée.
accéléromètres
qui
sont basés
fonctionnent
test du
sa
détaillée
sur
des transducteurs
fait
en
en
capacitifs de
très
mode BAE. Ils utilisent aussi
systèmes
nous
intéresserons
très intéressants pour notre schéma
en a
en
grande
particulier aux
sensibilité. Ces transducteurs
pleinement
les
potentialités
actifs à la fois pour lire le mouvement de la
position. Ces accéléromètres qui jouent
déjà été faite
un
rôle
important
au
niveau
général
masse
dans les
ouvertes
et pour
projets
de
sont donc aussi des
d’étude des fluctuations. Une étude
classique [41,42]
ce
qui facilitera grandement
notre
quantique.
Par contre,
nous
ducteurs inductifs
Enfin,
il faut
sur
Nous
et compenser la variation de
principe d’équivalence dans l’espace (famille des projets STEP)
systèmes
étude
mesurer
le
développés à l’Office National d’Etudes et de Recherches Aérospatiales [41,42]
par l’utilisation de
asservir
techniques analogues. C’est
les
n’étudierons pas dans cette thèse les accéléromètres basés
ce
tour d’horizon des méthodes existant
les méthodes
comportant des élements dissipatifs
dans
un
l’étude des fluctuations dans les circuits
électriques
[44,45]
ainsi que la théorie d’entrée-sortie
système dissipatif quantique [46]. Ces études
quantiques
C. Le contenu de
méthode
nous
générale
domaine,
dissipation
les bases de notre traitement des fluctuations
Comme
ce
l’avons
déjà dans
pour traiter l’effet de la
quantiques développées
systèmes macroscopiques [43],
réponse linéaire
des trans-
[60].
pour terminer
signaler
sur
déjà dit,
le but
premier
travail
de
ce
11
ont aidé à poser
travail est de mettre
un
décrit la
dans les réseaux.
ce
de traitement des fluctuations dans
nous
qui
système
de
mesure
en
place
une
réel. Ce trai-
tement doit
consistence
s’appliquer
avec
sera
puyant fortement
mesures
fluctuations
sur
appliqué
les
en
priorité
et
et
quantiques
tout
en
la
garantissant
quantique.
systèmes électromécaniques
aux
profondes analogies qui
optiques de position
le domaine de
thermiques
les contraintes de la théorie
Ce traitement
et
aux
existent entre
mesures
tout
en
s’ap-
électromécaniques
réutilisant les méthodes d’étude bien maîtrisées dans
en
l’optique [31].
à des
Evidemment, les systèmes électromécaniques travaillent souvent
températures aux-
quelles le bruit thermique est dominant. Ils profiteront cependant des outils généraux puisque
les
propriétés
exemple
de consistence seront valables aussi à cette limite. Ceci
de démontrer que la
contraintes
de friction froide est bien
technique
nous
permettra par
compatible
avec
quantiques.
Les fluctuations
quantiques
seront décrites dans le cadre d’une théorie
d’entrée-sortie linéaire. Autrement
dit,
les fluctuations
semi-classique
seront linéarisées autour
quantiques
d’une valeur moyenne et ensuite traitées linéairement. Les fluctuations sortantes seront
suite calculées
avec
les
en
fonction des fluctuations entrantes,
l’ensemble constitué par
l’appareil
sortantes décrivent à la fois le bruit
rétro-action
de
mesure
ajouté
sur
perturbant l’évolution du système.
le
comme
et le
signal
en-
le résultat d’une interaction
système
mesuré. Ces fluctuations
lors de la
mesure
et le bruit de
La transformation linéaire des fluctuations
lors de l’interaction est décrite par le formalisme de la matrice S. Cette matrice S contient
en
fait toutes les informations
nir les
règles
équivalentes
susceptibles
de consistence du traitement
de
nous
intéresser. De
quantique d’une
plus, elle permet
manière
simple. Ces règles
à la conservation des commutateurs dans la transformation c’est à dire
l’unitarité de la matrice S. Tous
ces
arguments
seront bien sûr
de défi-
développés
sont
aussi
de manière
à
plus
détaillée dans la suite.
On peut insister
linéaire
sur
le fait que cette
approche, qui généralise la théorie de la réponse
[6,7] s’applique en fait avec une très grande généralité. En particulier, elle décrit
bien les mécanismes d’interaction nonlinéaire et n’est pas limitée
semi-classique [47].
12
au
très
régime d’approximation
Dans le
chapitre
considérant le
établir
posons les bases du traitement des fluctuations
nous
simple des
cas
relation
sa
II
avec
la
réseaux
impédance réactive,
une
et les
dérivons alors la matrice de
impédance. Ceci
matrice
linéarisés
ducteurs
au
voisinage
vilégiant
en
fait
la matrice de
un
par des
répartition
résultat bien
connu en
en
adaptons
pour
ensuite
système, décrit
lignes dissipatives
par
Nous
théorie des réseaux, de la
théorie des réseaux linéaires.
à des
systèmes nonlinéaires,
pourvu que ceux-ci soient
du point de fonctionnement. Nous effectuons
divers
distinguant
en
régimes
à deux
et faisant ainsi
fréquences,
apparaître
de
un
nous
ce
travail pour les trans-
polarisation
pour des
fréquences apparaissent
polarisations
quadrature
une
réactive du
partie
parties dissipatives, décrites
généralisable
mécanismes de transfert de
pour des
la
séparant
en
Nous
en
systèmes mécaniques puis les systèmes électromécaniques.
capacitifs passifs
particulier,
[11]
diffusion,
est
Nous étudions ensuite les
Cette approche est
passifs. Nous réécrivons le théorème de Nyquist
description des fluctuations quantiques.
la théorie des réseaux linéaires
quantiques
de la
capacité.
Des
polarisations oscillantes. En
discutons des mécanismes pri-
schéma de détection
QND. C’est
le
schéma utilisé dans la lecture des barres de Weber.
Dans le
chapitre III, nous
élémentaires
abordons l’étude des réseaux actifs
d’amplificateurs.
ficateurs linéaires
en
Nous commençons par
traitant les fluctuations
provenant de la dissipation. Nous
considéré
étudions
comme
problèmes posés
dans
les
nous
gain infini.
par la limite de
Ce
mètre
de friction
quatrième
froide,
et dernier
électrostatique asservi
cas
bien
de la même
sur
connu
des
ampli-
que pour celles
façon
l’amplificateur opérationnel
systèmes électroniques actifs
en
Nous montrons que
Nous
ces
problèmes
se
résolvent
boucle fermée.
permet d’étudier des réseaux actifs,
techniques
des
plupart
le
considérant des schémas
d’unitarité de la matrice S pour cet élément ainsi que les
propriétés
l’amplificateur opérationnel
Ceci
quantiques
concentrons ensuite
l’élément de base de la
soin les
avec
nous
rappeler
en
dans le
chapitre
est
en
chapitre
[41,42].
impliqués dans
autour d’une modélisation de l’accéléro-
Cette application représente
de montrer que notre méthode est suffisamment
13
sont
IV.
organisé
de l’ONERA
particulier ceux qui
souple
pour
permettre
une occasion
une
description
formelle, rigoureuse
complexe.
de la
En
et consistente
avec
à la
particulier, grâce
la
mécanique quantique
description
par la théorie des
possibilité de traiter le système par modules, chacun étant
quantique,
et de les rassembler ensuite
sans
d’un
système relativement
réseaux,
consistent
avoir à considérer à
nouveau
nous
avec
la
la
bénéficions
mécanique
question
de leur
consistence.
Nous étudions d’abord
transfert de
un
un
modèle d’accéléromètre à friction froide fonctionnant
fréquence. Nous considérons
ensuite
transducteur différentiel à transfert de
calculs
sources
nous
Dans les deux
fréquence.
de bruit et discutons les
ses
oscillateur
dans
mécanique
sans
dissipation passive. Ce
un
passif
mais fonctionnant
un
cas,
modèle
nous
performances optimales
amenant
au
complet,
en
prenons
lors de
avec
deux
friction froide
compte
de l’instrument de
ces
avec
toutes les
mesure.
calcul de l’accéléromètre
Ceci
complet
et
limites ultimes de sensibilité.
Nous montrons ainsi que la
une
premiers
permet de définir les approximations
de discuter
modèle
fréquence. L’expérience acquise
de traiter
préliminaires nous permet ensuite
et transfert de
un
sans
friction froide permet
ajouter les fluctuations qui
résultat
formalisme entièrement
permet aussi de définir
paramètres peuvent
une
être
de créer
déjà
connu
compatible
correspondant
maîtrisés par
14
est donc tout à fait confirmé
les contraintes de la théorie
limite ultime de bruit
parfaitement
amortissement actif d’un
seraient nécessairement associées à
classiquement
avec
un
au
quantique.
Il
cas, idéal. où tous les
l’expérimentateur.
QUANTIQUE DANS LES RÉSEAUX PASSIFS
II. LE BRUIT
Dans cette
partie nous
posons les bases du traitement des fluctuations
systèmes électriques et/ou mécaniques Notre point
dissipation qui
à
système
établit
relation tout à fait
une
l’équilibre thermodynamique et
Cette idée est apparue pour la
Langevin [2] qui
ont mis
cules Browniennes dans
conditions. Ces deux
Brownienne
dans
liquide,
un
aléatoire
grand
ou
pour
un
miroir
est dû à l’interaction du
qui
nombre de
colloïdale,
sont des
ou
degrés
fois
l’une provoque le mouvement
amortit le mouvement du
décrites par
un
siècle,
avec
suspendu
Einstein
irrégulier
d’un seul et même
dans
un
une
gaz,
irrégulier
couplage
système (dissipation). L’effet
formelle, les fluctuations
de la
particule colloïdale immergée
on
observe
la surface du miroir sont à
et incessant du
[1] puis
des parti-
comportement
un
système avec un environnement caractérisé par
avec
un
dans les mêmes
visqueux apparaissant
conséquences
donc liés par des ielations entre fluctuations et
De manière plus
début du
au
de liberté. Les collisions des molécules du fluide
des molécules du gaz
fluctuations-
dissipation.
les molécules du fluide Pour
avec
est le théorème
entre le bruit observable dans
générale
fluide et le frottement
phénomènes
particule
première
départ
évidence la relation entre le mouvement
en
un
la
de
quantiques dans les
avec
l’origine
très
la molécule
de deux forces:
système (fluctuations)
aléatoire et l’effet
un
et l’autre
systématique sont
dissipation.
de la force aléatoire exercée
spectre de bruit alors que la force de friction visqueuse
sur
le
système sont
est décrite par
une
susceptibilité ou une impédance dans le cadre de la théorie de la réponse linéaire. Le théorème
fluctuation-dissipation est
en
fait l’ensemble des relations entre
relations. d’abord établies dans le domaine
compte des fluctuations quantiques
Dans
ce
caniques
chapitre,
Nous
nous
rappelons
nous
[6,7,48].
classique,
Nous les
concentrons
sur
d’abord le théorème de
ont été
ces
quantités. Ces
depuis généralisées
rappelons
les
différentes
dans
l’appendice
systèmes électriques
Nyquist [14],
ou
pour tenir
VIA.
électromé-
c’est-à-dire le théorème
fluctuations-dissipation pour les systèmes dissipatifs particuliers que sont les résistances électriques.
Nous étendons ensuite
ce
théorème à des systèmes
15
électriques ou électromécaniques
plus complexes
en
Nous montrerons
le
avec
modélisé
comme un
dissipation,
qu’il
d’une
système
réseaux, bien
utilisant la théorie des
façon rigoureuse
multipôle couplé
la matrice
s
fournit
un
[10,44,11].
de décrire l’interaction des fluctuations quantiques
possible
est
électricité
connue en
matrice de diffusion
une
par
à travers
un
s.
Le
certain nombre d’accès
outil de calcul commode et
permet d’évaluer les limites imposées à la sensibilité d’une
rapide.
mesure
système étant
de
aux sources
Par
exemple,
par toutes les
elle
sources
de
bruit.
Ce traitement
s’applique
aussi bien
pourvu que celui-ci soit linéarisé
au
cas
voisinage de
au
plus complexe
système nonlinéaire,
point de fonctionnement. Dans
son
aussi, la matrice de diffusion permet d’étudier la sensibilité des
les
d’un
mesures
ce cas
et de caractériser
systèmes quantiques non-démolissants (QND).
A. Les réseaux linéaires
1. Le théorème de
L’idée que la
déjà
connue en
dissipation
soit liée
électricité avant
au
rayonnement, et par conséquent
Nyquist, depuis
des résultats fondamentaux de la théorie de
teur/résonateur
et d’absorber du
l’absorption
de Hertz est constitué par
rayonnement. C’est
de rayonnement
Par conservation de
la
puissance dissipée
au
un
élément
dissipatif.
l’électromagnétisme
circuit
bruit était
expérimentalement
de Maxwell. L’oscilla-
électrique résonant capable
exemple simple
d’antenne
qui couple
d’émettre
l’émission
ou
passage d’un courant.
par l’antenne. La
vue
un
que Hertz avait étudié
au
l’énergie, la source qui maintient le courant oscillant doit aussi fournir
le circuit permettent de définir
L’antenne est donc
un
Nyquist
une
puissance
du rayonnement et le courant parcourant
résistance de rayonnement
par le circuit résonnant
comme une
qui
caractérise l’antenne
résistance
R,
c’est-à-dire
comme
Dans le même temps, l’antenne introduit des fluctuations de courant
16
dans le circuit
électrique parce qu’elle détecte
présentes
l’espace libre,
dans
les fluctuations du
c’est-à-dire le rayonnement du corps
naturellement ici la relation entre fluctuations et
De manière
à
observé pour la
l’on
plus générale, lorsque
l’équilibre thermique,
on
détecte
première fois
champ électromagnétique
un
par Johnson
On retrouve donc
dissipation.
mesure
bruit qui
noir.
la tension U
dépend
[15] qui
de
sa
aux
bornes d’une résistance
température. Ce
l’a attribué à
bruit a été
l’agitation thermique
des
porteurs de charge dans le conducteur. Nyquist l’a ensuite évalué théoriquement en se servant
d’arguments provenant
de la
thermodynamique
ainsi montré que le bruit dans
un
température.
Par
dans
responsables
de la
La
conséquent,
en
générateur
réseau
source
dépend uniquement
électrique
mais aussi des
de bruit
sans
Le bruit U
N est
en
une
de
série
sa
sources
Il
résistance et de
les résistances sont
bruit et d’un
non
a
sa
seulement
de bruit.
générateur
une
résistance R par
de tension U
N
jouant
(voir figure 1)
Une résistance R est souvent modélisée par
de tension
mécanique statistique [14].
de rendre compte de cet effet est de modéliser
série d’une résistance idéale
le rôle d’une
FIG. 1 -
un
dissipation d’énergie,
façon habituelle
la mise
conducteur
et de la
représentant
la
source
une
de bruit
résistance idéale
sans
bruit et
un
Nyquist.
variable aléatoire stationnaire de valeur moyenne nulle et caractérisée
par la fonction d’autocorrélation
17
Pour caractériser
ce
bruit
on
utilise aussi la transformée de Fourier
UNUN [03C9]
C
de
UNUN (t),
C
c’est-à-dire le spectre de bruit de la variable aléatoire U
. Nous utilisons dans toute la thèse
N
la définition suivante pour la transformée de Fourier
Il faut noter que cette convention utilisée
des électroniciens. En
particulier,
les
d’une fonction
physique quantique
impédances électriques
expression différente de celle habituelle
notation j =
en
f[03C9]
en
électricité. Elle
que
f(t)
n’est pas tout à fait celle
obtiendrons ont
nous
à
correspond
un
une
changement
de
-i.
Le théorème de
Nyquist fixe
la relation suivante entre le spectre de bruit et la résistance
R du conducteur
T est la
température
et
B la
k
constante de Boltzmann. Les électroniciens utilisent
convention différente où le spectre de bruit
a
où
pour valeur
les
fréquences positives
nécessaire pour étudier le bruit
de
présenter
représenter
et
la résistance
comme une
plutôt modéliser
caractéristique R. Nous
et
retrouvons ainsi
fluctuations,
résistance
une
définition
capacité linéique
03B3
nous ne
sans
bruit
résistance par
l’image
émettre ou absorber du rayonnement. Une
une
négatives. Cette
sera
de toute
façon
quantique.
notre traitement des
de bruit. Nous devons
linéique 03BBet
correspond qu’aux fréquences positives
ne
T. Nous préférons utiliser la définition générale du spectre de bruit
B
4Rk
apparaissent
Pour
une
est décrite par
18
en
une
série
ligne
nous
avec un
coaxiale
contenter
générateur
d’impédance
du résonateur de Hertz qui peut à la fois
ligne coaxiale est
(figure 2).
pouvons pas
caractérisée par
une
inductance
L’évolution de la tension U et du courant I
Ces deux équations
où
c
nous
est la célérité de
Les solutions de cette
En reportant dans
où R est
permettent de déduire
propagation
équation
dissipation.
équation
de propagation dans la
sont de la forme
l’équation (13),
on
obtient
de la
ligne
Schéma équivalent d’un élement de
03BB et 03B3désignent l’inductance et la
longueur
capacité
dx d’une
par unité de
ligne
coaxiale idéale
et
out qui
I
qui lient le courant I et la tension U
se
à
un
bout de la
sans
longueur.
Considérons la ligne semi-infinie représentée sur la figure 3. Les solutions
les relations
ligne
des ondes
l’impédance caractéristique
FIG. 2 -
une
ligne (x
=
(16-17)
0)
aux
donnent
ondes I
in
propagent respectivement vers le circuit électrique et dans la direction opposée
19
FIG. 3 -
Modélisation d’une résistance par
courant sont liés
le
aux
signaux
se
une
ligne
semi-infinie
propageant dans la ligne. La ligne
d’impédance
est
un
R. Tension et
réservoir,
avec
système échange de l’énergie. Elle peut dissiper de l’énergie, qui quitte le système à
l’onde sortante
out
I
,
mais
en
retour elle introduit aussi des fluctuations
lequel
travers
qui correspondent à l’onde
entrante .
in
I
La
Il
puissance
s’agit
arrive
ligne
en
nous avons
fluctuations qui
d’entrée-sortie
en
l’énergie qui part
introduit ici est donc
le
système
correspondent
(19)
qui correspond
bruit
est
un
)
ligne (RI
out 2
dans la
A la différence de la modélisation habituelle des
l’énergie qui quitte
ce
ligne
fait de la différence entre
in 2
(RI
).
que
absorbée par la
et celle qui
résistances, le modèle de
système conservatif.
La
ligne peut dissiper
la
de
à travers l’onde sortante I
out mais elle fait aussi entrer des
à l’onde entrante I
in arrivant
sur
le
système.
Les
équations
conduisent à la relation suivante entre tension et courant
à la mise
en
série d’une résistance idéale
tension
20
sans
bruit et d’une
source
de
l’image habituelle
On retrouve donc
prété
ces
Dans
in que
I
et
un
avoir
fluctuations à
une
nous venons
champ
interagi
Dans le
des ondes I
in arrivant par la
partir
ligne coaxiale,
des fluctuations de tension mais
nous sommes en
d’interpréter
comme
out Ce dernier
I
sortant .
avec
cas
le
correspond
le
cependant
système
et n’est valable
formule
dans la suite
(12),
au
haute
cas
niveau
Nyquist correspond
qu’à
des fluctuations arrivant
champ
un
qui
d’une
ligne
coaxiale
à
ou
une
approche classique
des
ne
température nulle.
s’annulent pas à
tout
En
particulier, nous
l’aide
champs
libres scalaires que
libre entrant dans la
où 03B8
ce
qu’indique
la
fluctuations
nous
utiliserons les
traiterons les
nous
champs
décomposerons
à
03C9 qui satisfont les relations de commutation
03C9 et a
~
d’opérateurs création et annihilation a
où 03B4 est la distribution de Dirac. Nous introduisons
lution
traiter
système quantique.
techniques bien connues en optique quantique [31].
des
à
Il reste les
niveau quantique,
comme
pouvoir
systèmes électriques
au
propageant dans la ligne
système
quantique.
théorie des fluctuations valable
se
le
sur
d’une antenne. Nous
température (k
T ~ 03C9). Contrairement
B
les fluctuations
une
entrant
système
considérer pour
quantiques, fluctuations présentes dans l’état fondamental de
Pour faire
champ
repart dans la ligne après
une mesure sur ce
qu’il est indispensable de les
de manière cohérente
Le résultat de
à
Le
champs.
résistance, la signification physique de ces fluctuations sortantes
peut paraître moins claire que dans le
verrons
source
Il peut ainsi servir à faire
système.
d’une "vraie"
la
ligne
de deux
présence
maintenant inter-
on a
aux
(03C9)
la même
ligne
et
qui correspond
fréquences positives
et à
manière,
sortants sont liés
en
aux
fonction
champs
ainsi à
l’opérateur
est la fonction de Heaviside. Le
un
21
03C9 pour l’évoa
,
-03C9 pour les fréquences négatives
~
a
w
libre sortant o
a
ut peut être
d’opérateurs création
une
l’opérateur annihilation
création
champ
entrants par
in qui décrit le champ
champ réduit a
décomposé
et annihilation différents. Les
matrice de diffusion
[47].
de
champs
Ces champs réduits correspondent à
une
fonction de corrélation ayant
une
forme univer-
selle
La
champs. Elle
w.
est la
fonction 03BE
est
La fonction
champs. C’est
comme
la
Le terme
Planck
limite
en
03C3
indépendante
est la
en
somme
03C9
n
de l’état du
fait cette fonction
03C3
qui
représente donc
champ puisque ~(03C9)
partie paire de la fonction C
et elle
est le
le commutateur des
signe
de la
fréquence
représente l’anticommutateur des
caractérise les fluctuations. On peut l’écrire aussi
de deux termes
le nombre de
représente
1900
de la fonction C et
partie impaire
[3].
Le
photons thermiques
terme 1 2a été ajouté par Planck en
par mode selon la loi écrite par
1911
[4]
pour
pouvoir obtenir la
thermodynamique
Le caractère
quantique des fluctuations n’apparaît
fréquences positives
différentes
aux
et
négatives.
En
fréquences positives
et
et c’est exactement la différence de
effet,
aux
ces
que
lorsque l’on traite séparément les
la fonction de corrélation C
a
des expressions
fréquences négatives
deux valeurs
champs
22
qui correspond
au
commutateur des
Le nombre de
photons
tend
03C9
n
vers
zéro à
température
nulle et les fluctuations
(26)
se
iéduisent alors à la fonction de corrélation du vide
Dans toute
mesure
corrélation évaluées
aux
physique
(26)
on
de 03C3 qui
fera
et
apparaître la
somme
des fonctions de
-03C9
à
correspond
l’expression (4 9)
de Callen et
[6]
Le courant I
in circulant dans la
En utilisant
Le bruit
bruit,
fréquences opposées 03C9
On utilisera donc l’expression
Welton
du
l’expression (22),
Nyquist
qui représente
ne
on
ligne
l’expression
suivante
peut écrire l’expression générale du bruit Nyquist
s’annule donc pas à
le bruit
est ensuite donné par
température
nulle. Il tend
vers une
limite finie
Nyquist quantique.
Le courant I
out décrivant le bruit
circuit, peut être exprimé
aussi
en
qui repart dans
termes de
champ
23
la
sans
ligne après l’interaction
dimension
avec
le
De même que a
in
[03C9],
ut [03C9]
champ oa
le
est
un
champ libre.
Il doit donc vérifier les mêmes
relations de commutation
Cette relation de consistence est très importante. Elle
des
propriétés générales
équivalente
Les
à la
propriété
champs
d’unitarité de la matrices
grandeurs électriques
sont des observables
en
la transformation des
sur
I et
nous
servira dans la suite pour établir
qui décrit
U, combinaisons linéaires
conjuguées, qui
ne
un
par
système. Elle
cette
de
est
effet
en
transformation.
champs
libres
quantiques,
commutent pas. Nous pouvons aussi les
réexprimer
termes de nouvelles variables réduites
Les relations réduites d’entrée-sortie de la
ligne (19)
Nous décrirons dans la suite des systèmes
nous
présentons
venons
de
d’abord
rappeler
une
pour les
description
des
avec
est due
seconde, fluctuante,
considérations,
électromécaniques. Pour préparer
systèmes mécaniques analogue à
particule dans
la force F
où V est la vitesse de la
cette
étude,
celle que
nous
agissant
particule
au
est
fluide est le résultat de
un
les molécules du fluide. Ces collisions sont à
première force d’amortissement visqueux
une
alors, simplement
systèmes électriques.
Le mouvement Brownien d’une grosse
collisions
s’écrivent
proportionnelle
l’origine
de deux forces. Une
à la vitesse de la
particule
caractère aléatoire des collisions. Sur la base de
sur une
ses
et
ces
particule peut s’écrire
et H le coefficient d’amortissement
terme représente la force de friction et le deuxième décrit la force
24
visqueux. Le premier
stochastique habituellement
appelée
Langevin [2].
force de
aléatoire extérieure
indépendante
le resultat de l’interaction du
degrés
de
liberté,
Langevin
est de manière
des variables internes du
système
ici le fluide,
collection d’oscillateurs
une
Une force de
avec un
système,
sous-système ayant
générale
ici la
un
particule.
très
harmoniques capables d’échanger
de
l’énergie
force
Elle est
nombre de
grand
réservoir. Ce dernier peut être décrit par
appelé
une
exemple
avec
le
par
système.
Le terme 2HV
in décrit ainsi les fluctuations provenant du réservoir.
est
Le modèle de
Langevin,
généralisable
au
prenant
un
bruit
en
né dans le contexte purement
[49,43,50].
domaine quantique
compte la
nature
quantique. Ce
seulement d’évaluer le bruit
quantique
applicable
(39)
à
décrivant la force
l’équation (21)
bruits
agissant
en
fait
sur une
pour la tension
aux
sur
nous
l’avons fait pour
relient les variables du
système
système
l’équivalent mécanique
particule en présence
sa
lequel l’énergie est dissipée
qui
équivalentes
sont
bien à
l’équation (39)
Poursuivant
aux
en
relations
par le
(19)
permet
non
l’environnement,
Nyquist: l’équation
dissipation,
est
équivalente
in décrit les
Ainsi, le bruit V
nous
pouvons écrire des
in provenant du réservoir et
V
système. Nous
pour
décrit alors
système [47,46].
partant du système vers le réservoir. Ce champ sortant représente
à travers
avec
et
en
fonction de corrélation vaut
résistance,
champ
effet être décrit
Langevin
du bruit
de
bornes d’une résistance.
une
au
en
systèmes nonlinéaires
le comportement du
mécanique, quantique et thermique et
Comme
aux
dû à l’interaction du
mais aussi les effets de cette interaction
Le mouvement Brownien est
Le réservoir peut
des oscillateurs et la force de
quantique
traitement est
classique du mouvement Brownien,
une
avons
en
équations qui
au
out
champ V
quelque sorte le moyen
les relations
ligne électrique. Ces
suivantes,
relations amènent
fonction du bruit entrant.
l’analogie
avec
le
système électrique,
réduites
25
nous
pouvons passer à des variables
avec
Les
champs quantiques
out ont les mêmes
libres b
inet b
2. Les
La théorie linéaire des réseaux est
décrire le comportement d’un
santes de
soit
son
ce
système. Elle
niveau de
Nous
nous
laquelle est
valent de
champ
en
champs
inet .
a
out
a
simples
de
Elle permet de
électronique [11].
fonction des lois
fournit des outils
auxquelles
description
obéissent les compo-
d’un
système, quelque
complexité.
formation des fluctuations par
sur
en
utilisée
servirons de la théorie des réseaux pour obtenir
schéma suivant
que les
multipôles linéaires
largement
système
propriétés
(cf. figure 4):
un
une
système. Pour
ce
faire,
une
nous
partie purement réactive,
description
réduisons tout
constituant le
branché par l’intermédiaire d’un certain nombre de portes,
lignes. Chaque ligne
sortant. Les
champs
est
une source
de
dissipation
avec un
sortants sont des fonctions linéaires des
26
de la trans-
système
coeur
un
champ
champs
du
au
réseau,
nombre
équi-
entrant et
entrants.
un
FIG. 4 -
Réduction d’un réseau
sont décrites par
un
la connexion entre le
Dans
un
à
dissipatif
multipôle
et les sources
multipôle
et les
lignes
de
un
schéma de
de bruit
électrique
la relation entre les
approche
se
champs sortants
généralise
de transducteur
Comme
mesure
à des
sur un
résonateur
résonateur R
r est modélisée par
seconde
réactives
Les portes permettent
mécanique.
exemple simple de réseau
traitement, tels
que la matrice
qui contient les coefficients décrivant
champs entrants.
systèmes mixtes,
parties
en
Par la
prenant
suite,
pour
nous
montrons que
exemple
un
modèle
électromécanique.
premier exemple, nous
effectuée
et les
lignes.
sur un
les outils de notre
admittance ou bien impédance et la matrice de diffusion
simple
ou
premier temps, nous présentons notre approche
électrique. Cela nous permettra de dégager
cette
par des
dissipation
où les
principe
.
d
ligne d’impédance R
considérons le
électrique RLC.
une
Le
système
ligne
couplage
de
27
figure 5, qui représente une
Dans notre
approche,
de
est
l’appareil
et
de la
l’appareil
mesure
de
la résistance du
représenté
par
une
système
est
une
mesure au
source
de
out qui
I
,
d
dissipation
contient les informations recherchées
FIG. 5 -
Schéma de principe d’une
représenté
mesure
est
sortant
out qui
d
,
rôle
fluctuations. D’autre part, la
et de
symétrique,
par
une
mais il décrit ici l’effet de la
charge
sur un
on
au
champ sortant
obtient
résonateur RLC.
La
mesure se
fait
le système mesuré. Le
sur
mesure sur
du condensateur
accès
système mesuré.
.
d
ligne d’impédance R
contient les informations recherchées
En notant q la
le
électrique
mesure
seconde
sur
ligne donne
le
L’appareil
sur
le
de
champ
out
champ r
a un
système.
une
équation
de
Langevin
pour cette
variable
où
et
in
I
d
sont les fluctuations de courant associées à la résistance du résonateur et
ligne
de
mesure.
in
I
r
à la
Ces bruits entrants
sont
décorrélés. Notre but est de
l’intermédiaire d’une matrice de diffusion, la transformation de
dans le
bruits due
au
par
couplage
système réactif.
Dans notre
approche,
la
partie réactive du système
est décrite par
nombre de portes est déterminé par le nombre d’éléments
nous
ces
décrire,
étudions,
courants
r
I
et
il y
d
I
a
deux
lignes
et deux tensions
et
r
U
nous
et
dissipatifs.
un
multipôle
Pour
allons donc écrire des relations
dont le
l’exemple
impliquant
. Ces relations caractéristiques s’écrivent ici
d
U
où Y est l’admittance du circuit LC
28
que
deux
Toutes les
équations
En passant
obtient les
que
[i]
[u]
variables
équations
réduites,
que
nous avons
fréquences.
définies dans la section
précédente, on
suivantes
pouvons enfin écrire matriciellement
nous
et
aux
sont maintenant écrites dans le domaine des
sont des matrices colonnes
y est la matrice admittance réduite
Le fait que le
quadrupôle
est
purement réactif
se
traduit par la
propriété
suivante pour
la matrice admittance
Nous remarquons ensuite que la matrice admittance est
où
T désigne
y
relations de
de
définir,
la matrice
transposée
de y. C’est
symétrique
l’expression
réciprocité d’Onsager-Casimir [12,13,10]. Quand
pour le même
système,
une
matrice
29
impédance
dans
y est
ce cas
particulier
inversible,
il est
des
possible
qui
est elle aussi
Nous
symétrique.
sommes
maintenant
fluctuations provenant de la
respondant
et d’autre
aux
deux
champs
est la matrice de
que
sur
disposons
équations (3S)
souvent
la
nous avons
partie réactive. On
en
déduit alors
de
comme
ces
exemple,
la matrice de diffusion s’écrit
équations dans le
contexte du
présent
est dans
La
libres
ce cas
rôle tout à fait
présent beaucoup
arrivant par
symétrique du point de
moins intéressante du
mécanique quantique impose
quantiques
travail. Le
ligne de détection est en fait la quantité mesurée et son expression
décrit comment la mesure va être affectée par les bruits entrants dans le système.
un
une
appelée également matrice de répartition dans la théorie
choisi
signification
sortant dans la
ut joue
donnant or
coi-
pouvons écrire de manière matricielle
caractérisant la
(48)
d’une part des
[11]
Pour le circuit que
On peut insister
nous
Nous
système transforme les
entrants et sortants
diffusion,
des réseaux linéaires
out
champ d
dissipation.
part des relations
relation entre les
s
lignes
de déterminer comment le
en mesure
vue
point de
de la
vue
théorie,
de la
L’équation
même si elle
mesure.
que les relations de commutations décrivant les
chaque ligne
sont
30
préservés
pour les
champs
champs qui repartent
On peut montrer aisément
que
nous venons
qu’il
équivalence
a
y
entre la
d’écrire et l’unitarité de la matrice
préservation
des commutateuis
réduite qui décrit la transformation
s
d’entrée-sortie
La manièie dont
nous avons
déterminé cette matrice
sortie dès que la matrice admittance
réactive. En
et
on en
La
fait l’unitarité de l’entrée-
impédance décrivant le coeur du
ou
la matrice admittance d’un
système
réactif obéit à
réseau est purement
(cf (51))
déduit immédiatement que la matrices est unitaire
façon dont
est donc la
vue
effet,
assure en
nous avons
décrit le
système en séparant
garantie que le traitement est
pratique,
il suffit de s’assurer que la matrice
Les considérations
matrice s, qui
cohérent
a
alors
Le coefficient r donne
termes 03C1
r et 03C1
, par
d
déjà
une
faites
forme
sur
symétrie
la
mécanique quantique.
dissipatifs
Du point de
est unitaire pour vérifier cette cohérence.
de la
matrice y s’expriment
aussi pour la
particulière
l’amplitude de
transmission du
champ d’une ligne
vers une
autre. Les
contre, donnent les amplitudes de réflexion du champ d’une ligne
elle-même. L’unitarité de la matrice
physique quantique
la
s
avec
les élements réactifs et
comme
s
implique
les relations suivantes, que l’on connaît
les relations de conservation des
31
probabilités
sur
en
En
particulier,
grâce
au
la matrice de diffusion
fait que Y est purement réactive
Pour montrer comment notre
nique,
intéressons ici à la
d’un oscillateur
mesure
conditions
ces
(Y* = -Y).
approche
choisi d’étudier
nous avons
obéit à
(57)
généralise
se
l’exemple
à
oscillateur
un
système
un
d’un transducteur
ext à l’aide d’un
d’une force F
mécanique couplé
à
mixte électroméca-
piézoélectrique.
Nous
nous
système électro-mécanique composé
électrique à
l’aide d’un cristal
piézoélec-
trique.
L’oscillateur mécanique est
et est amorti par
est
composée
extraire le
un
frottement
signal de mesure.
a
est soumis à
la
Le
couplage
propriété
une
6
en
fixant
une masse
seulement le rôle de
capacité. L’effet
de deux
de
un
de
entre
ces
et
élastique de raideur K
partie électrique du système
coaxiale
ligne
servant à
d’impédance R
deux oscillateurs est assuré par
apparaître
une
système peut
M
sur un
à
piézoélectricité correspond
opposées
proportionnalité
signe
tel
d’épreuve
ne
La direction de la force détermine le
charges
de coefficient H. La
couplage électromécanique,
charges égales
constante de
de faire
d’une liaison
différence de
potentiel
à
cristal
un
ses
bornes
contrainte.
Remarquons qu’en pratique,
figure
visqueux
d’un circuit oscillant LC et d’une
piézoélectrique qui
lorsqu’il
composé d’une masse M,
±1 F,
sur
dépend
signe
cristal
représenté
sur
piézoélectrique qui joue alors
mais aussi celui de liaison
l’apparition,
que des
sous
élastique
la
non
et de
l’action d’une force
caractéristiques intrinsèques
charge:
provoquées
32
comme
F,
les faces du cristal. L’effet est linéaire et la
de la
inverse par rapport à celles
être réalisé
une
par
du cristal.
compression fait apparaître des
une
élongation.
FIG. 6 comme un
à la
Schéma
l’information du
ses
à
un
oscillateur
piézoélectrique.
La lame de quartz fonctionne
faces, celle solidaire à la
électriques. On
masse
obtient ainsi
électrique. Un appareil de
mesure
un
M et celle solidaire
oscillateur
mécanique
est utilisé pour extraire
système.
Les conditions de
réciprocité
piézoélectricité inverse,
contraction de la
dont
nous avons
déjà parlé impliquent qu’il existe
où l’action d’une tension U
produit
une
aussi
élongation
un
ou une
lame ±1 U. La constante de proportionnalité est la même que pour l’effet
piézoélectricité.
Les
équations
d’un cristal
du mouvement du
Le transducteur
deux
sources
de
la
aux
de
dissipation:
une
un
signal
externe s’écrivent finalement
dissipations mécanique et électrique respectivement.
piézoélectrique est ainsi
décrivons le transducteur par
(comme sur
système des deux oscillateurs couplés par l’intermédiaire
piézoélectrique en l’absence
où V
in et I
in décrivent les bruits dus
a
deux
servent aussi d’armatures
couplé linéairement
de
d’un transducteur
ressort de raideur K et
paroi rigide,
effet de
physique
un
mécanique
réseau linéaire
et
une
quadrupôle branché
figure 7).
33
qui, dans
électrique.
sur
deux
Dans
le modèle
ces
considéré,
conditions,
lignes d’impédance
nous
R et H
FIG. 7 -
Schéma de principe d’un transducteur
dans le modèle considéré: la
piézoélectrique. Il y a deux sources de dissipation,
première (m), mécanique, est
associée
au
système mesuré et
la seconde
(e), électrique, décrit l’appareil de mesure. Le signal classique, ici l’effet d’une force extérieure, entre
par la
ligne mécanique.
Nous introduisons maintenant
dont
un nouveau
jeu de paramètres caractérisant les oscillateurs
toujours dans la
mécanique
et
résonance,
le facteur d’amortissement et le facteur de
et
un
électrique,
oscillateur
Nous
électrique (en série),
avons vu
rellement à
une
nous nous
ces
servirons
paramètres
qualité. Pour
s’écrivent
que la modélisation du bruit par des
description
du
système
un
suite: la
oscillateur
de
mécanique
respectivement
champs quantiques
par l’intermédiaire de
fréquence
amène natu-
quantités réduites. Ce
choix
permet aussi d’écrire, même pour un système mixte, une matrice impédance généralisée dont
tous les coefficients sont
sans
dimension.
Nous réécrivons finalement les
pour les variables de
v
et
i
équations d’évolution (64)
dans le domaine des
fréquences,
quadrupôle réduites
sont les variables réduites pour la vitesse et le courant
34
in
(voir équations (37) et (43)); m
et e
in sont les fluctuations entrantes dans les
correspondent
avec une
matrice
m et z
z
e sont
me est
z
à
les
une
partie réactive
impédance généralisée
impédances
le coefficient de
se
Les
calcule
comme
amplitudes
réduites des oscillateurs
mécanique et électrique découplés
couplage réduit électromécanique
La matrice de diffusion
et
lignes mécanique et électrique. Ces équations
s
donne la
précédemment
à
répartition
partir de
des bruits du
la matrice
de réflexion et de transmission valent
35
système
impédance
On retrouve
Encore
comme
une
précédemment
fois,
nous
pouvons détailler la
signification physique
de
ces
équations
en
développant (72)
out décrit le bruit ressenti par le système mécanique. Le premier terme est lié au bruit propre
m
tandis que le second terme décrit le bruit provenant de
in dû à la
m
dissipation mécanique,
la
dissipation électrique et représente
source
sur
le
de
donc la rétroaction de
out décrit le bruit dans la ligne de
système mesuré. e
l’appareil
En supposant
du mouvement pour l’oscillateur
On voit
qu’il
mécanique.
est
La
possible
mesure
superposés le signal
On
a
introduit
va nous
une
à
mesurer
reste dans
un
agissant
sur
la
régime linéaire, l’équation
mécanique s’écrit
de traiter le
électrique
qu’on
mesure
mesure.
On peut faire entrer dans le même calcul l’effet d’une force externe F
ext
partie mécanique du système.
de
signal
externe
comme
le bruit entrant par la
de cette force est donc décrite par
et les bruits
provenant des diverses
variable réduite f
ext pour
mesurer
une
équation
sources
où sont
dissipation
la force extérieure .
ext Cette
F
permettre de discuter précisément les performances du système de
36
de
ligne
équation
mesure.
3. La sensibilité de la
Pour
analyser
d’un estimateur
Dans
ces
la sensibilité de la mesure, il est intéressant de réécrire
ext
de la force extérieure, tel
conditions, l’estimateur ext
correspondant
aux
termes
est la
qu’on peut
somme
e
températures T
sous
la forme
le déduire de e
out
ajouté
supplémentaires.
spectres qu’on
et
(77)
de la force recherchée et d’un bruit
On suppose que les bruits entrants dans les voies
et décrits par des
mesure
notera
électrique et mécanique sont
respectivement
. On peut alors définir
m
T
une
e et 03C3
03C3
m et qui
puissance
de bruit
décorrélés
correspondent
ajouté
à la
à des
mesure
de
ext
f
Toutes choses
nimales
égales
par
ailleurs,
on a
|= 0)
m
(c’est-à-dire |03C1
|= |03C1
e
(c’est-à-dire ||
=
1).
intérêt à
ce
et donc que
Cette condition est
La
amplitudes
l’amplitude de
connue sous
la théorie des réseaux linéaires. En utilisant les
est réalisée
que les
le
nom
de réflexion soient mi-
transmission soit maximale
d’adaptation d’impédance dans
équations (73),
on
voit que cette condition
lorsque
première équation fixe en fait la valeur de la fréquence 03C9. La deuxième condition détermine
la valeur du coefficient de
L’adaptation
couplage électromécanique adapté.
est réalisée par
exemple quand
37
les deux circuits
opèrent
à résonance
avec
le coefficient de
On obtient
On
a
ainsi
en
couplage
effet dans
optimisé le rapport signal
à l’entrée est alors celui
On peut traduire
ou en
termes de
ce
qui
bruit
mesure
et
Dans
bruit pour la
mesure
général
en
la bande B
où
en
imposé
termes de
bruit pour
par la
de la force
puissances de spectre
ext
f
.
Le bruit
de l’oscillateur
m
température T
mesure
de
une mesure
0 est
l’appendice
d’un
de la
d’analyse,
la
VI B
nous
ext
réduite F
non
masse
de bruit
sur
la force et
montrons comment obtenir le
signal à partir de la densité spectrale de bruit.
fréquence. Quand elle peut
la variance pour la
fréquence centrale
mesure
de la bande. B
38
équivalent
mécanique
sur
l’accélération
A correspondent à des densités spectrales exprimés respectivement
03A3
/Hz.
)
2
(m/s
dépend
est
sur
de l’accélération A de la
Nous remarquons que les
F
03A3
conditions
ces
être considérée
de force s’écrit
s’exprime en Hz
La densité
comme
2
0394F
/Hz
2
N
rapport signal
en
et
sur
spectrale
constante dans
simplement
et
en
.
2
N
Le fait que la sensibilité de la
mécanique
très basse
peiturbé
plus
est évidemment très
fréquence.
De
plus,
soit limitée par la
mesure
pénalisant
il est évident
une mesure
pour
d’après (75)
que le
température
électromécanique
transmission ||
2
voie
est
de mesure, d’autant
est maximale.
Nous allons voir dans la suite que
més par des
effectuée à
système mesuré, la masse,
de manière importante par les fluctuations entrant par la
que la
de l’oscillateur
ces
deux inconvénients peuvent être
largement suppri-
techniques appropriées.
B. Les réseaux nonlinéaires
Nous allons maintenant
présenter
notre
approche
du traitement des fluctuations quan-
tiques dans les systèmes nonlinéaires. Le principe général de
premier temps,
de déterminer le point de fonctionnement du
temps, d’étudier les fluctuations linéarisées
néarités du
conduisent à des effets de
système
dans cette section que,
système
en
malgré
ces
d’impédance et
terme
autour du
Nous illustrons notre
effets,
mélange
il est
point
de
possible
cette méthode
système et,
dans
un
un
second
de fonctionnement. Les nonh-
fréquences.
de
est, dans
Nous allons montrer
conserver une
description
du
de matrice de diffusion.
approche en étudiant un modèle simple de détecteur des oscillations
d’une barre de Weber.
1. Un
Le
système
que
nous
exemple de transducteur nonlinéaire
étudions est
analogue
au
système électromécanique
partie précédente.
La différence
tie
est maintenant réalisé à l’aide d’un condensateur à armatures mobiles
mécanique qui
remplaçant
le cristal
provient du couplage
piézoélectrique. C’est
donc
un
entre la
linéaire de la
partie électrique
schéma utilisant
un
et la par-
transducteur élec-
tromécanique capacitif.
La
capacité C
condensateur est
du condensateur
chargé,
dépend
l’attraction
de la position
x
de l’armature mobile.
électrostatique entre les deux
39
Lorsque le
armatures est à
l’origine
d’une force F
el dont
Si
Le
nous
notons
couplage
l’expression peut être déterminée à l’aide de considérations énergétiques.
el l’énergie stockée dans le condensateur
E
est nonlinéaire
puisque
la force est
à
proportionnelle
qet
2
couplage est en principe une fonction dépendant de la position de la masse x.
on
supposera ici que le coefficient
la limite de
quantiques
tension
où
aux
petits déplacements
déplacement
ou
dépend linéairement de
autour de la
induit par
une
position
faible force
maintenant à
un
système précis,
mécanique capacitif passif représenté sur la figure 8.
le
long
est
une
qui
est
stationnaire x
0
externe).
simplifier,
toujours
vrai dans
0
=
La force de
(fluctuations
couplage
et la
posé
Reportons-nous
série
ce
Pour
bornes du condensateur s’écrivent alors
nous avons
en
x,
le coefficient de
couplé à un oscillateur harmonique amorti
de l’axe
x.
La
fonction de la
masse
Il
par
exemple
s’agit
dont la
d’un oscillateur
masse
M étant solidaire d’une armature du
position de
la
masse.
40
le transducteur électro-
accomplit
électrique RLC
son
condensateur,
mouvement
la
capacité
Schéma physique d’un transducteur capacitif. Le
FIG. 8 -
mécanique
et l’oscillateur
générateur
de tension
est réalisé par
un
condensateur à armatures mobiles
qui les polarise. Un déplacement de la
masse
provoque
une
et
un
variation de la
et donc le passage d’un courant dans le circuit.
capacité
Les
électrique
couplage nonlinéaire entre l’oscillateur
équations d’évolution
sont alors
K et H sont la raideur et le coefficient de frottement
mécanique.
coefficient
le circuit
Comme
Les
H,
utilisant
un
qui prend
en
compte
mécanique, décrit
toute contribution
par le
dissipative
dans
in et I
V
in sont les bruits entrant dans chacun des deux oscillateurs.
précédemment,
la force externe que
mécanique. Enfin,
nécessaire que la
sont ici l’amortissement
dissipation
et la résistance R
électrique.
que le bruit
de
sources
visqueux correspondant à l’oscillateur
charge
générateur
pour
nous
coupler
les
voulons
Nous écrivons d’abord les
Up(t)
équations
en
sert à
ne
et
mécanique,
il est
soit pas nulle. Ceci est obtenu
polariser
l’absence de
41
entre par la même voie
systèmes électrique
moyenne du condensateur
dont la tension
mesurer
le
signal
en
système.
externe. Nous
séparons
de
manière
réponse forcée
linéaire du
Les
à la tension de
système
équations
Les
les variables
systématique
aux
pour le
équations
avons
régime forcé
et
régime
des fluctuations décrivant la
pour les fluctuations sont ensuite linéarisées
premier terme a
décrivant le
de
réponse
s’écrivent
régime forcé
couplages paramétriques
et vont donc faire
des
polarisation U
(t)
p
calculé
en
la dimension d’un
apparaître
des
liés à la variation
champ électrique.
produits
au
voisinage
du
point
de
(94)
introduit deux nouvelles notations, E
C et C
F qui
,
fluctuations des
Le
partie classique
en une
fluctuations entrantes
fonctionnement constitué par le
Nous
et q
x
représentent l’effet
temporelle
de q
0
0 et x
Tous les deux
dépendent
de convolution
lorsqu’on
sur
les
du temps
passera dans le domaine
fréquences.
Afin de passer à cette
tension de
étape,
nous
spécifions
dépendance temporelle
de la
polarisation.
2. Fonctionnement
Dans
d’abord la
un
en
polarisation
constante
premier temps, nous considérons le cas le plus simple d’une polarisation continue
(Up indépendant
du
temps).
42
Les
équations
Ce qui conduit à
pour les valeur moyennes s’écrivent alors
équation
une
Sans entrer dans les détails,
solution stable de cette
où les
C
paramètres E
Ce sont
ces
et
équations
du troisième
nous
équation.
nous
une
fois
supposerons ici que le
point de fonctionnement
Nous pouvons alors écrire les
équations
est
une
linéarisées
utilisons dans la suite.
On retrouve alors les mêmes
maintenant,
pour q
0
0 s’écrivent
C
que
C jouant le rôle de la
E
degré
équations
constante
opérée
la
que pour le
système piézoélectrique, le paramètre
piézoélectrique. Cela n’est
linéarisation,
avec un
pas
système
étonnant,
car on se
de deux oscillateurs
retrouve
couplés
linéairement. Nous obtenons donc immédiatement les équations caractérisant les fluctuations
dans
ce
système
43
avec
La matrice de diffusion
est alors déduite
comme
s
décrivant l’entrée-sortie des bruits
précédemment
avec
Ce résultat est évidemment le même que pour le transducteur
qui
a
été faite pour
étudié obéit
lecture du
encore
signal
de
mesure sur
de
ce
dilemme
la
en
ce
piézoélectrique. La discussion
système s’applique donc sans modification.
à des conditions de
est bonne
quantité
réciprocité (la
(transmission importante),
mesurée est aussi
utilisant des transferts de
44
particulier,
le
système
(101)
est
symétrique). Si
alors l’action
en
retour du
matrice
importante.
fréquence.
En
Nous allons
voir
la
système
qu’on peut
sortir
3. Fonctionnement
Nous considérons maintenant
Nous
nous
une
en
polarisation oscillante
tension de
polarisation
limitons à la situation où la fréquence 03C9
p est
oscillante
proche de la différence des fréquences
propres des deux oscillateurs
Dans
ce
lue de
cas,
on
s’attend
façon efficace dans
l’étude de la
dans le
cas
réponse
effet
la
se
une
place
de manière
classiquement à ce que l’information mécanique puisse être
ligne électrique.
forcée à
général. On
régime forcé (94)
Au
en
A
cause
oscillante est
polarisation
donc dans
un
de la nonlinéarité des
un
problème
régime de couplage
faible et
équations (94),
très
on
compliqué
détermine le
perturbative.
premier ordre, on obtient une charge oscillant à la même fréquence que la polarisation,
On suppose qu’on
se
loin de la résonance
place dans une situation où la fréquence d’excitation 03C9
p est suffisamment
électrique.
On peut alors écrire
On étudie ensuite l’effet de la
perturbation
fet revient à exciter le mouvement de la
d’équilibre)
et à la
fréquence
double de la
au
second ordre dans
masse
à
fréquence
45
fréquence
de
nulle
polarisation
l’équation (94). Cet
(déplacement
du
ef-
point
A l’ordre
suivant, le régime forcé de
apparaître les fréquences
que
nous avons
d’ordre
plaçons
Par souci de
par
sont
plus petits dans
a
se
hypothèse est
cohérente
expérimental. On demandera
avec
Nous
rappelons
que
m
0393
et
e
0393
ne
sont pas résonnants.
au cas
où le désaccord de la
que les facteurs de
sont les
fait de la solution
D’autre part,
fréquence de la pompe
est nul
un
interêt
deux oscillateurs soient
grands
notre motivation d’étudier des
et que la condition suivante soit aussi
en
et faire
développement de perturbations.
rapport à la différence des fréquences de résonance
Cette
contentera
0
charge q
déplacements
un
limitera
on se
la
deux raisons à cela. D’une part, les
dans des conditions où ils
simplicité, on
perturber l’équation de
Dans la suite,
.
p
303C9
p et
03C9
viendrait
obtenue à l’ordre 1. Il y
supérieur
nous nous
0
x
qualité des
systèmes ayant
remplie
coefficients d’amortissement des deux oscillateurs
non-
couplés. La condition (114), qui coïncide maintenant avec (109), correspond à une largeur du
pic de résonance électrique petite devant
d’une
mesure
masse aux
la
fréquence mécanique.
résonnante. Elle interdit bien sûr de suivre
fréquences
Avec toutes
ces
se
trouvant
hypothèses,
le
en
dehors de la bande
régime forcé s’écrit
46
Elle
précisément
d’analyse.
correspond
à
l’esprit
le mouvement de la
Les
équations (95)
des fluctuations s’écrivent donc
On les réécrit maintenant
dans le domaine des
où le
symbole
~
en
termes de vitesse et de courant et
fréquences
représente
Dans les termes de
un
produit
couplage
en
de convolution.
(117),
on
observe
quences Les oscillations des deux oscillateurs sont
fréquence
produits
lié à la
fréquence
de convolution
Cela permet de créer
résonnante l’un
quantique [53].
avec
les
exprimant les fonctions
en
avec
en
une
de la pompe
ce
qu’on appelle
couplées
(comme sur
la
à travers
figure 9).
un
mélange
un
On peut
de
fré-
changement
de
développer
les
(117)
situation où les deux oscillateurs
l’autre. Cette situation est très bien
Nous utilisons dans la suite les
adaptations nécessaires
47
techniques
se
retrouvent
connue
en
et étudiée
dérivées de
interaction
en
optique
l’optique quantique
FIG. 9 -
On
Représentation
sur une
représente les composantes
mécaniques
polarisation.
peut par
autour de
m
±
de
échelle de
négliger
sont transférées
nance, seules les
fréquences 03C9
p
aux
intéragit
de
± ,
m p
03C9 étant la
façon résonnante
amplitudes complexes
avec
associées
exemple l’oscillateur mécanique. Par
m ont
-
d’écrire l’évolution de la vitesse
amplitudes
varient lentement
Les termes
~i
e
t
± (t) m
03B4V
nous
une
amplitude significative.
comme somme
sont les
parties
considérons la
le
au
fréquence.
fréquence de
système électrique. On
mouvement des oscilla-
suite du
phénomène
du
Autrement
de termes évoluant à
signal
de
du
opérateurs d’annihilation
amplitudes complexes +
03B4V (t)
48
et
03B4V
(t)
dit, il
de réso-
possible
m et m
dont les
et
signal global,
03C9 et
a
de
est
fréquence positive
décomposition spectrale
des modes d’oscillation décrits par les
obtient alors les
de transfert de
parties du spectre des grandeurs mécaniques proches de la pulsation
résonance m et de
pectivement. Si
phénomène
la composante à 03C9
.
p
- m
Nous définissons d’abord les
teurs. Considérons par
du
fréquence importantes pour l’analyse du système. Les oscillations
La composante 03C9
p+m
contre
fréquence
négative
on
de création
res-
introduit
03C9
~
a
,
et
on
Autrement dit, les composantes
création
ou
spectrales
des
amplitudes complexes
sont des
opérateurs
de
d’annihilation
On remarque que
Comme nous
intéressent sont
Si la condition
pompe par
électrique,
nous
limitons à
proches
(114)
est
de la
autrement
rapport à la résonance électrique
certains termes peuvent être
fréquences proches
Compte
analyse résonnante,
les
fréquences mécaniques qui nous
pulsation mécanique
remplie ou,
De même, les oscillations
à des
une
dit,
est
négligés,
si le désaccord
plus grand
que la
)
m
(
de la
largeur
fréquence
de
de la résonance
de sorte que
qui nous intéressent pour les variables électriques correspondent
de la
pulsation électrique
tenu du fait que les oscillations
mécaniques
aux
fréquences proches
électrique sont négligeables, l’équation électrique se simplifie aussi
49
de la
pulsation
De
plus, les impédances
Nous
introduisons,
complexes mécaniques
des oscillateurs
découplés
analogie
(121),
par
et
et
on
ce
faire,
on
rassemble les relations linéaires
où z est
une
matrice
au
voisinage
des résonances
la notation suivante pour les
amplitudes
électriques
Nous pouvons maintenant écrire
d’un réseau linéaire. Pour
avec
valent
diagonale
ces
résultats pour écrire les équations
introduit des variables réduites
sous
forme d’une matrice
par blocs
avec
50
caractéristiques
comme
impédancez
précédemment
On remarque que les blocs sont liés par la relation suivante
qui
vient de la
propriété (122)
des
amplitudes complexes.
Nous écrivons finalement la matrice de diffusion
s
pour les
amplitudes complexes
du
bruit
avec
La matrice de diffusions ici obtenue
une
si
polarisation
on se
place
quand
constante
autour de la
les
a
la même forme que la matrice
fréquences
obtient à partir de
fréquence de résonance mécanique supposée égale
(104)
la matrices
approchée
51
obtenue pour
des deux oscillateurs coïncident. En
électrique
on
(104)
à la
effet,
fréquence
La raison de cette ressemblance est
est celui d’un
système
Le transducteur
est insensible à la
encore une
de deux oscillateurs
Les relations entre les
régime oscillant
le
que l’on vient
d’analyser
des bruits
mécanique
amplitudes complexes
ou
électrique sortant ne présentent aucune dissymétrie de phase significative. Un
se
comporte de la façon qui
à
un
a
déjà été discutée. Dans
application
prochaine section,
à la détection
Nous allons maintenant montrer comment notre
de détection
QND (quantum nondemolition)
proposées
utilisées dans les barres de Weber.
ou
Avant d’étudier le
principe
on va
s’intéresser
d’une
mesure
Pour cet
présentant
dépend
exemple,
un
QND
nous
en
Couplage
lors de la traversée du milieu
sont
où
sont des
et
m
0394~
(back
entre
quadratures
en
evading) [26,28,51,52]
action
nous
allons
rappeler
le
optique
un
tel milieu, l’indice optique
conséquent
dépend
le
déphasage
un
vu
déphasages proportionnels
[32]
52
milieu nonlinéaire
par l’un des faisceaux
subi par chacun des fais-
de l’intensité de l’autre. Si
faisceaux, les relations d’entrée-sortie
correspondantes
s
0394~
BAE
envoyons deux faisceaux lumineux dans
effet Kerr croisé. Dans
les deux
approche permet d’obtenir les techniques
optique [53].
de l’intensité du second et par
mesure
ou
QND
système électromécanique proprement dit,
1.
et
la
tel dispositif
système sensible à la phase.
C. Une
ceaux
systèmes
identiques couplés.
paramétrique opérant dans
phase.
fois que le comportement des deux
pour les
nous
appelons signal
amplitudes électriques
chacun à l’intensité de l’autre
champ
Le
champ électrique
du temps
dépendant
d’un faisceau lumineux est décrit quantiquement par
E(t), qui
est
un
champ électrique
opérateurs de
création et d’annihilation
Les composantes de
complexes
dimension
sans
opérateur
superposition linéaire d’opérateurs de création
une
annihilation. Comme dans la situation que
définir
un
déjà discutée (voir (121)),
nous avons
e(t)
on
et
peut
dont les composantes de Fourier sont des
[31]
1
quadrature du champ e
et e
2 sont ensuite définies à
partir des amplitudes
comme
Elles permettent
aussi
de décrire le
sont des variables lentes
comme
Notons toutefois que du
tandis que les
système autour
les
point
de
sa
Les
quadratures
sont des
observables,
fréquence propre.
amplitudes complexes.
de
amplitudes complexes
vue
ne
quantique,
les
le sont pas. De
quadratures
plus,
ce
sont des observables
conju-
guées et quelque soit l’état du système, leurs dispersions satisfont une inégalité d’Heisenberg.
Une
inégalité d’Heisenberg analogue est
du
champ.
03B4~
sont liées
Dans
moyenne du
une
aux
approximation linéaire,
deux
champ
vérifiée par les fluctuations
est
quadratures
réelle,
on
du
intensité et
phase
les fluctuations de l’intensité 03B4I et de la
phase
champ
obtient
53
en
supposant
par
en
exemple
que
l’amplitude
où I est l’intensité moyenne du
est donc
équivalente à
Dans notre cas,
du
signal
pour les
où
à
partir
phases.
champ. Une
une mesure
grâce
de la
Pour le
à la
de
du
signal,
champ
les
Comme
phases de
nous nous
la
sont liées
aux
de
intéressons
des fluctuations
pression
ligne
s
03B4~
un
et
coefficient de
Ces relations montrent
signal 03B4I
s
in
n’est
sur
la
en
sans
au
m
03B4~
Dans
mesure.
et
celle du
in
~
s
ce
but,
ligne de mesure est par
une mesure
on
champ entrant.
bruit dans cette mesure,
des
déphasages
couplage
aucun
effet bruitée que par le bruit
du terme
choisit d’effectuer
phase
nous
des deux
de l’intensité
réécrit la relation
(135)
Des relations
identiques
bruit
s
in
03B4I
désirons connaîtie l’ex-
champs. On
trouve
par effet Kerr. Ce résultat amène
et d’intensité des
sur
contre transcrit
sur
.
m
in
03B4I
54
aux
sur
la
relations
champs
informations
sur
cette observable. L’intensité du
entrant
qu’elles
champ [32]
qu’une mesure de phase 03B4~
mapporte des
out
introduire
phase du champ
mesure.
entrée-sortie pour les fluctuations de
du
on
fluctuations des intensités de l’autre
où 03BC représente
de la
on a
os
~
ut est la phase du champ sortant
régissent
ou
quadrature.
propriété (136),
phase
de l’intensité
mesure
l’intensité
signal 03B4I
s
out
la même observable. Le bruit entrant
phase du signal 03B4~
s
out
par l’intermédiaire
La
configuration
démolissante
signal 03B4I
s
in
obtenue rend
Elle
(QND).
sans
le
possible
perturber. 03B4I
s
in
de la
mesure
appelé
est
l’une des deux
notre cas,
cette
observables,
on renonce
mesure
à la
on
phase
façon efficace.
de
cette même
De
signal
mesure un
condition nécessaire pour
si le
plus,
L’existence d’une référence de
une
du
mesurer
au
arbitrairement
de
est
Heisenberg, qui
conjuguée Si on
de
avec une
du
plus
03BC:
lient la
précision
renonce
il est
à connaître
arbitraire. Dans
.
s
in
03B4I
La
précision
de
grand, plus
le
capable
principe
pas,
on
nombre de fois,
avec
la même
en
précise
précision
précision
intensité
son
couplage
introduite
non-
la
négligeable,
système n’évolue
grand
phase -
mesure
l’autre
profit
est liée à la valeur du coefficient de
est mesuré de
reproduire
peut donc
variable
quantique
mesure
QND
de
inégalités
sa
une
une mesure
observable
l’appareil
n’est limitée que par les
d’une observable à celle de
mesure
qu’on appelle
permet d’effectuer
nous
Si l’on suppose que le bruit interne de
d’une telle
ce
est
optique par l’effet
en
signal
précision.
Kerr - est bien sûr
qu’une mesure quantique non-démolissante idéale soit possible
[32].
On
va
maintenant étudier le même processus
2.
Couplage
de
sur un
système électromécanique.
quadratures électromécaniques
On considère le même système physique que dans la partie II B, toujours dans la situation
où les
fréquences
rappelons
les
Pour faire
des
le
propres d’oscillation
équations
du mouvement du
une mesure
quadratures,
ce
mécanique
quantique non-démolissante sur
qui requiert
de résonance
électrique
une
phase de référence.
électrique e
sont très différentes. Nous
système
système par l’intermédiaire d’une tension
fréquence
et
et à la
dans
système,
Dans
ce
but,
il faut
on
de résonance
pouvoir définir
choisit de
laquelle apparaissent deux
fréquence
55
ce
polariser
oscillations à la
mécanique
m
L’oscillation à la
électriques
Dans
et celle à la
un
tel
régime,
bandes latérales
Grâce
on
aux
s’attend à
de résonance
fréquence
fréquence mécanique
la
e ± m
polarisation
de la
est
fréquence
similitudes avec le
les
m
une
e
permet de définir les quadratures
quadratures mécaniques.
superposition
de résonance
de deux
signaux
oscillant
aux
électrique
régime de conversion de fréquence que l’on a déjà considéré,
que les oscillations
ce
électrique
mécaniques
soient aussi transférées à la
fréquence
élec-
trique. Cette fois il s’agit du résultat de l’action conjointe de deux signaux de polarisation,
et
non
plus d’un seul.
Le calcul du
ment par
un
régime forcé
Nous
à la
point
de fonctionnement dans
traitement
perturbatif.
contient maintenant deux
nous
plaçons
encore
fréquence mécanique (cf.
de résonance peuvent être
l’amplitude de
la
polarisation
a
différence,
par
régime se
rapport
relation
(114)).
Par
au cas
comme
précédem-
précédent,
si l’intensité du
obtenu,
comme
considérant que
56
électrique étroite
conséquent, les
est que le
par
termes oscillant
rapport
trop loin
couplage, déterminée par l’intensité
n’est pas trop forte. Le
été
fait
fréquences.
dans la condition de résonance
négligés,
Ce point de fonctionnement
en
La
ce nouveau
point
pour le
cas
de
de fonctionnement vaut alors
précédent (cf. équation (110)),
Les
du mouvement pour les fluctuations linéarisées autour du
équations
point de fonction-
nement s’écrivent donc
Ces
équations
fréquences
de
référence de
FIG. 10 -
contiennent
encore
phénomènes
polarisation à ± e
). C’est
(
±m
phase (voir figure 10)
Représentation
électromécanique fonctionnant
quadrature mécanique
Pour
des
sur
la
avec
mélange
cette situation
permettre d’effectuer
et
sur une
de
échelle de
deux
fréquence
de
fréquence
qui
va
une mesure
mais
avec
faire apparaître
des
une
QND
du fonctionnement d’un transducteur
fréquences de polarisation. Ce système permet de lire
une
ligne électrique.
pouvoir faire des considérations plus précises sur le caractère QND d’un tel système,
ou sa
sensibilité, il faut passer à la description en termes de matrice de diffusion. Dans
nous
allons d’abord évaluer la matrice
Comme
précédemment, nous
le domaine des
quadrature
Pour la
impédance de
écrivons les
fréquences. Toutefois,
nous
équations
nous
système
pour les
but,
quadratures.
linéarisées pour les fluctuations dans
les écrivons maintenant pour les composantes de
de la vitesse et du courant, définies
partie réactive,
notre
ce
obtenons ainsi
57
comme
une
dans
matrice
(138).
impédance
qui
a encore une
structure
diagonale
par blocs
Par contre, les sous-matrices mettent clairement en évidence
de
mesure
QND
Leur structure n’étant
perturbée
qu’on a maintenant un système
par le bruit
plus symétrique, on
voit que la
électrique alors qu’elle peut
1 n’est plus
quadrature mécanique 03B4v
être lue par la
ligne
de
Nous pouvons calculer maintenant la matrice de diffusion reliant les
mesure.
quadratures
en-
pic électrique est grande
par
trantes et sortantes
Nous évaluons cette matrice
en
supposant
que la
rapport à celle du pic mécanique
58
largeur
du
Dans
Nous
ces
conditions,
nous
réintroduit à
avons
obtenons le
ce
niveau les
système d’équations
suivant
c’est à dire les composantes de
signaux,
quadrature
ext mesurée comme une variable réduite (cf. équation (77)).
e1
f
xt et 2
ext de la force extérieure f
f
Ces composantes
de l’oscillateur
de la
mesure
laquelle
sur un
représentent
électrique
d’une telle force
mesure.
signal mécanique,
puisque elle
ne
exemple l’action d’une
en
En
effet, seule
l’occurrence
ext
f
.
1
la
La
quadrature 1
in
m
mesure
dépend
mesure
quadrature électrique
est ici l’observable
une mesure
QND
qui
est fonction des facteurs de
coefficient mais il peut être
de trop exciter des modes que
cas
qui pourraient
être considérée
alors
risque
car on
perturber
QND. Nous n’étudions
La sensibilité de la mesure se discute
(153) permettent en
effet d’introduire
le
système.
pas
comme
un
QND,
électrique.
couplage
et
sur
donne des informations
des oscillateurs et de l’intensité de la pompe. Un
négligés
masse
performances de cet appareil de mesure. L’efficacité
de l’intensité du coefficient 03BC,
nocif,
la
barre de Weber. La sensibilité
quadrature 2
out
e
,
ressent pas de bruit introduit par la
Nous pouvons maintenant discuter les
gravitationnelle sur
fortement de la
dépend
3. Les limites quantiques dans
de la
onde
mécanique utilisé pour extraire le signal d’une
effectue la
on
par
ce
intense augmente la valeur de
mesure ne
problème plus
en
ce
nous avons
pourrait plus dans
ce
détail ici.
précédemment (section II A 3). Les équations
estimateur
59
La
qualité
1 de la
ext
mesure
de la
quadrature 1
ext
f
puis
une
puissance
de bruit
équivalent
m1 et 03C3
03C3
e2 décrivent les bruits
m
pératures T
sur
sur
les
la
mesure
[34]
quadratures 1
in
m
et
in
e
2
et
correspondent
. En utilisant la définition (138) des quadratures,
e
T
et
on
à des
tem-
voit que 03C3
m1 et 03C3
e2
s’écrivent
A noter le facteur 2 de différence
une
amplitude m
1 |03BC|
2
a
Par
remplacé le rapport
La situation
en
ou e.
les
avec
comparaison
équations (79) qui décrivent
avec
l’équation (79),
2||des coefficients de réflexion
|
e
|03C1
voit aussi que le coefficient
et transmission.
optimale correspond donc désormais à un coefficient 03BC le plus grand possible,
respectant bien sûr la contrainte de linéarité évoquée plus haut. Dans
optimale, le bruit équivalent
(équations (84)-(86)).
Par contre,
est
par la
le bruit
par les fluctuations entrant par la voie
mesme
cette situation
m de l’oscillateur mécanique
température T
Cette conclusion est exactement la même que dans la section II A 3
supprimé
on a
imposé
en
retour de la
ligne
quadrature mécanique mesurée: dans les équations (153), 1
out
m
électrique. On se
de
mesure
électrique
n’est absolument pas
sur
la
polluée
trouve bien dans la situation d’une
QND [26,28,35,51,52,54,55].
Dans la suite,
le
on
le même bruit pour
problème
nous
du bruit
allons considérer des
systèmes actifs qui permettront aussi de résoudre
thermique dans l’oscillateur mécanique.
60
III. LE BRUIT
Les
amplificateurs jouent
défini
signal
QUANTIQUE DANS LES RÉSEAUX ACTIFS
le
au sens
photodiode
avec une
plus large, après
ou un
ment dit l’intensité d’un
interférométrique
tous les cas, le
Mais
on mesure en
peut aussi
avec un
système quantique
un
par
de détection. Par
général
une
phase
mesurer une
composante de quadrature
produit
est
on
quantique. Considérons
mesure
spécifié le processus
avoir
photomultiplicateur,
champ.
ou une
signal
rôle essentiel pour la
un
détecteur
et il
autre-
dispositif
hétérodyne. Dans
trouve
se
exemple,
énergie,
avec un
un
à des
superposé
fluctuations quantiques.
Nous
des
concentrons
nous
signaux dépendant
quantique au
par
niveau
processus
se
du temps, à
classique est
pose alors:
signal
ajoute
a
ficateurs
un
bruit
ensuite réalisé
où la
assurée par
un
amplificateur. Le signal quantique est porté
classique
est la
au
tels que les
signal
première étape
ainsi que le bruit
dégradation
masers
moins
au
qu’il était possible
paramétriques sensibles
pour rendre de
plus
en
à la
quantique. Une question
minimale du
[16,24,56],
égal
au
signal apportée
ont montré
bruit dans la
De
de contourner
phase
du
nouveaux
plus performants
gravitationnelles. Ceci a conduit
par le
qu’un amplificateur
ligne correspondant
au
signal,
progrès
ce
problème en utilisant des ampli-
autrement dit
en
ont été réalisés
les résonateurs
mécaniques
à étudier de manière
mesurant
grâce
aux
une
seule
efforts faits
pour la détection des
plus poussée le bruit quantique
particulier dans les amplificateurs [57,58].
Dans cette partie,
les
niveau
cas
quelle
quadrature d’un signal [17-19].
en
du passage du
le
entrant.
On
ondes
mesure
d’amplification? Les premiers études sur cette question, stimulées par la réalisation
d’amplificateurs "silencieux"
linéaire
pour la
particulier particulièrement important
savoir
dans le domaine
l’amplificateur
déterminante
sur un cas
nous
rappelons
d’abord les résultats de base
sur
le bruit
quantique dans
amplificateurs linéaires. Nous définissons ensuite un amplificateur opérationnel quantique
que
nous
utilisons
comme
composant de base dans la réalisation de réseaux actifs.
61
A.
L’amplificateur linéaire quantique
Nous commençons par étudier le
est
indépendant de
la
phase
du
cas
opérateurs
vement. Le coefficient
d’amplification G
sûr,
ce
associés
aux
est
commutateurs entre les
champs entrants
Notons que cette
champs sortants
approche
l’amplificateur et
plification.
Pour avoir
prendre
est
Notons
B est
existe
un
respecti-
que 1
ne
est donc
en
compte
générale.
une
l’équation (157)
pour
Les
effet les mêmes que les commutateurs entre
pour
sur
le bruit d’un
bruit intrinsèquement associé
précise
nous venons
au
processus
bruit associé à tout processus de
62
ajouté
ajouté.
égal
au
Nous
il serait
savons
déjà
suite,
On
que
nous
bruit minimal
fluctuations-dissipation.
d’amplification,
dissipation.
par l’am-
d’amplification.
de déterminer. Dans la
le bruit est
du théorème
du fonction-
amplificateur donné,
du processus
le spectre du bruit
lesquels
particulière
Elle décrit le bruit minimal
modélisation
à la valeur que
amplificateurs
un
en
fait pas intervenir de modélisation
l’analogie avec les résultats
toujours
B dans
préservées dans l’opération d’amplification.
plus d’information
supérieur
considérons des
supplémentaire
sont
pourrait alors déterminer complètement
spectre
entrant et sortant
pourvu que
nement de
ce
champ
supposé plus grand
terme
un
que les relations de commutation soient
nécessaire de
modes de
gain peut dépendre de la fréquence w.
Il est nécessaire d’introduire
les
dont le gain
signal
in et a
où a
out sont les
Bien
plus simple d’un amplificateur linéaire
Le bruit
ajouté
de la même façon
qu’il
La méthode pour décrire
ce
bruit est d’ailleurs la même dans les deux
des
cas:
il faut
assurer
l’unitarité de la transformation
champs quantiques impliqués.
Remarquons enfin qu’on
commutateur des
obtenu ainsi la densité
façon
est caractérisé par
dans la section II A
que
un
linéaire
forme
sous une
où a
, a
1
,
2
,
1
B
dépendant
et
2
B
sont les
gains
sont inverses l’un de l’autre
amplificateur particulier peut
cas.
Dans le
introduire
un
anti-
rajouté
par
amplificateur paramétrique, précisément
Nous écrivons les relations
phase.
un
caractéristiques
est
l’amplificateur paramétrique dégénéré
sur
les deux
fonctionner
commutateurs entre les deux
cas
suppose que le bruit
aux
quadratures
les
effet, les
on
correspondant
au
simple
exemple particulièrement simple
En
si
coirespondant
d’équilibre thermodynamique (voir équation (25)
d’un
cas
de la
Un
Cet
de bruit
1).
Nous considérons maintenant le
amplificateur
précédemment
état
spectrale
le spectre de bruit
champs. On peut calculer
commutateurs de la même
l’amplification
a
pour
lequel
quadratures
sans
bruit
ajouté
composantes de quadrature
sont
préservés
dans
ce
général, où les gains ne sont pas l’inverse l’un de l’autre, il faut nécessairement
bruit
ajouté.
63
Après
trons
ce
rappel
des
propriétés générales
l’amplificateur linéaire qui préserve
sur
Nous réécrivons alors le bruit
où i
b
n et
des
~ représentent
)
in
(b
un
la
amplificateurs lméaires,
phase, qui
champ supplémentaire obéissant
Le bruit du
signal de l’amplificateur est
Nous
supposé G
réel pour
L’amplificateur linéaire est
FIG. 11 in est
a
un
mode (c
à la sortie de
ajouté c qui peut
=
par la
règles
donc décrit par les
simplifier. Le bruit
représenté
aux
est
figure
indépendant
de commutation
équations linéaires
du
signal
entrant.
11.
Schéma de principe d’un amplificateur linéaire qui préserve la phase. Le bruit
amplifié
bruit
alors
utilisé dans la suite.
ajouté
canoniques.
avons
sera
nous nous concen-
l’amplificateur
être
d’un facteur G. Le processus
interprété comme conjugué en phase du bruit
bt ).
La valeur moyenne
>
out
<a
d’amplification
du
signal
sortant s’écrit
64
entrant dans
entrant
introduit
un
autre
C’est
non
tel
une
équation classique de gain. L’équation
classique.
qu’on peut
On peut
comme on
le déduire de la
l’a
in
déjà fait introduire un estimateur â
les
lignes
a
grand gain (G
du
mesure
On voit alors que le bruit rajouté par
A la limite de
1),
»
et b sont à la même
bruit est
signal
le bruit
ajouté
température,
du
signal d’entrée
out
de sortie a
l’amplificateur dans
Autrement dit, la perte est de 3 dB. De
sur
d’entrée-sortie pour les bruits est par contre
la
minimal est
le bruit
ajouté
du
mesure
signal
est
simplement donné
est donc
au
bruit entrant.
que le
rapport signal
égal
façon équivalente, on peut dire
~. Si
b
par 03C3
dégradé lors d’une amplification d’un signal et au moins divisé par deux puisque
la discussion ci-dessus
correspondait
au
bruit minimal . Cette limitation avait été observée
dès le début des communications par ondes Hertziennes . Elle fixe aussi le nombre maximal
de
répéteurs
Pour
notation
Les
utilisables dans la communication par fibre
simplifier
en
les discussions
introduisant le
équations (165)
où les coefficients
de
qui
vont
champ conjugué
suivre,
au
nous
champ
faisons
encore un
changement
de
b
l’amplificateur linéaire s’écrivent alors
apparaissent
comme
des
amplitudes
Ces relations préservent les commutateurs des
de diffusion.
champs et correspondent
trice de diffusion unitaire. Il faut toutefois faire attention
pour écrire
optique .
explicitement les relations
d’unitarité. Si
obtient la condition
65
on
au
fait que
écrit
(170)
c
est
sous
un
donc à
une ma-
champ conjugué
forme matricielle on
avec
Les coefficients
continuerons à
prit
~
correspondent
en
au
signe
de la
appeler les relations correspondantes
fréquence
relations
du mode considéré. Nous
d’unitarité,
en
gardant
à l’es-
la remarque ci-dessus.
B.
L’amplificateur opérationnel quantique
L’amplificateur opérationnel est
amplifier
ment
une
accompagnée
éléments que
un
tension. Comme dans la
Pour obtenir
tions
fait
un
d’un bruit
modèle
nous avons
caractéristiques
composant utilisé dans les systèmes électriques
partie précédente,
cette
amplification
pour
est nécessaire-
ajouté.
quantique d’amplificateur opérationnel,
discutés
précédemment. Grâce
à cela,
nous
nous
allons utiliser des
obtiendrons des
équa-
assurant l’unitarité des relations d’entrée-sortie.
1.
L’amplificateur
L’amplificateur opérationnel
est
en
boucle ouverte
habituellement décrit par les
les courants et tensions à l’entrée et à la sortie
66
(figure 12)
équations
suivantes pour
où R
a et
asont
R’
sortie, G le gain
Nous
les
en
impédances caractéristiques de l’amplificateur
tension de
l’amplificateur fonctionnant
impédances d’entrée et
nous
de sortie de
l’avons
Plus
n
l’amplificateur. I
déjà fait
opérationnel quantique apparaît
ces
deux autres
à
lignes
Un
plusieurs reprises,
ainsi
portes correspondent
et
système
lignes
nous
par des
comme un
aux
sont les deux
entrée et
sources
interprétons
en
sortie de
et
’
a
R
sont les
de bruit associées.
ces sources
de bruit
lignes dissipatives. L’amplificateur
composant de réseau
d’entrée et de sortie de
sont nécessaires pour décrire les bruits
avec
quatre portes.
l’amplificateur.
Les
ajoutés.
figure 13,
construit à
partir de lignes coaxiales couplées
amplificateur linéaire tel qu’il a été décrit dans la partie III A.
ce
en
précisément, nous représentons un amplificateur opérationnel par le schéma de prin-
cipe de la
de
de courant et de tension.
sources
boucle ouverte.
en
des fluctuations entrant dans le
Deux de
Un des
Circuit équivalent d’un amplificateur opérationnel de gain G. R
a
FIG. 12 -
comme
et
noté ,
so et U
so les courants et les tensions
eo ,
I
eo I
U
avons
Comme
n
l’amplificateur, I
de l’entrée et de la
vu
système s’écrivent
67
Les
par
un
circulateur et d’un
équations caractéristiques
où
on a
noté G le gain de l’amplificateur linéaire, supposé réel,
et de sortie dans
l’amplificateur
en
boucle ouverte,
a
et
c
o et s
e
o
les deux
les
lignes
d’entrée
lignes supplémentaires
décrivant le bruit ajouté.
FIG. 13 eo
et
so
Schéma de principe d’un amplificateur opérationnel. C’est
représentent
l’entrée et la sortie de
nécessaires pour décrire le bruit
en
a
et
c
réseau à quatre portes:
représentent
les
lignes
internes
d’amplificateur.
Nous pouvons maintenant réécrire
la tension de sortie
l’amplifiacteur;
un
ces
équations
fonction de la tension
entrants:
68
en
exprimant
d’entrée, du
le courant d’entrée et
courant de sortie et des bruits
On retrouve les
équations (173)
habituelles de
l’amplificateur opérationnel grâce
aux
iden-
tifications suivantes
On
a
donc obtenu
l’expression quantique des
nel. Celui-ci est décrit
générales
tions
ce
réseau
ajoutés
stade,
champs
il est
(173) suggèrent
L’approche
sortants sont les mêmes que
important
un
une
remarque
amplificateur opération-
et il obéit
équations ci-dessus
ceux
sur
des
champs
aux
conditions
assurent que les
entrants.
l’approche habituelle.
Les
équa-
naturellement de considérer que les bruits I
n sont décorrélés.
n et U
de type réseau que
fait. il est même
de faire
par
couplant quatre lignes
d’unitarité de la matrice s. Autrement dit, les
commutateurs des
A
comme un
bruits
utilisons montre que
nous
impossible de faire
cette
hypothèse.
n’est pas le cas,
ce
Il suffit pour s’en
en
général.
convaincre
En
de calcu-
ler le commutateur entre I
n et Un à
partir des formules quantiques (176). C’est seulement
dans la limite de haute
et si
fluctuations
température
classiques qu’on
2.
une
ligne
néglige
les fluctuations
quantiques
devant les
retrouve des fluctuations décorrélés.
L’amplificateur
On considère maintenant le même
dance R
e et
on
de sortie
branché
sur
deux
lignes
amplificateur branché
d (figure 14).
d’impédance R
69
sur une
ligne
d’entrée
d’impé-
FIG. 14 -
Schéma de
principe
L’amplificateur de la figure
à la détection.
Les
a
et
c
d’une
13 est branché
représentent les lignes
équations caractéristiques
La solution des
ces
mesure
équations
par
sur une
un
amplificateur opérationnel en
ligne
d’entrée
e
et
une
ligne
boucle ouverte.
de sortie d servant
de bruit interne.
sont celles de la section
est donnée par la matrice
70
s
précédente et
suivante
les suivantes
Nous pouvons discuter alors la limite de
l’amplificateur opérationnel idéal qui correspond
classiquement à la limite de gain infini, d’impédance d’entrée infinie et d’impédance de sortie
nulle
Nous examinons maintenant les divers éléments de la matrice
plutôt que G
et
en
étudiant la limite de
s en
utilisant le
l’amplificateur opérationnel idéal
71
gain G
Ces coefficients
teur. Par
correspondent parfaitement
termes de bruit
contre, les
Ces termes deviennent infinis
.
a
R
Par
discussion
conséquent,
problèmes
se
lignes
a
sur
deux
de diffusion pour
des divers bruits:
et le
limite de
de
s
et
et d
posent
de mais ils
s
,
un
de
l’amplifica-
problème
augmentent aussi
comme
ils sont ramenés à l’entrée. Une
lignes en entrée et sortie.
un
en
infini
du
c.
avec
avec
le
système
gain fini. Nous
en
Nous
de contre-réaction.
contre-réaction
l’amplificateur opérationnel bouclé
en
contre-réaction et
présentons les calculs concernant
discutons les termes,
en
dégageant
la
la matrice
signification
particulier, nous repérons les termes principaux qui peuvent décrire une
système mesuré mais
gain
la matrice
comme
e
ajoutés divergent même si
L’amplificateur
Nous discutons maintenant
mesure
les voies
trouveront résolus naturellement
C.
branché
gain
sur
description classique (173)
cet
as
cc qui décrivent
ae ,
s
aa ,
s
ac ,
s
ce s
s
analogue peut être menée sur les coefficients ,
le bruit sortant dans les
Ces
le
avec
les bruits
ajouté
à la
ne
pose
plus
aussi les sorties des bruits internes. Nous montrons que la
de
problème. Pour finir,
nous
discutons la
signification
de
point de vue des performances du système actif considéré comme un appareil
mesure.
72
1. Les
équations
L’amplificateur opérationnel bouclé
partie
réactive Z
r et
Les
une
en
en
sont
impédance de contre-réaction ayant
d’une part celles
boucle ouverte, d’autre part les
Nous pouvons résoudre
sortants
une
par
une
.
r
partie dissipative R
équations caractéristiques
plificateur
de contre-réaction
ces
équations
en
fonction des courants et des
équations
exprimant
champs
73
par
qui
ont
déjà
été écrites pour l’am-
suivantes
exemple les
entrants
tensions et les
champs
où
nous avons
Ces
En
se
notation pour
simplifient beaucoup
nous avons
ce
qui
Ces
ne
une
représenter l’impédance totale de contre-réaction
équations décrivent le système avec contre-réaction pour une valeur quelconque du gain.
Elles
où
introduit
gain
infini
introduit les notations condensées
concerne
les valeurs moyennes,
équations correspondent
dépendent
à la limite du
pas des
au cas
obtenons
nous
d’un
amplificateur opérationnel
a
impédances caractéristiques R
74
et
idéal
(179).
Elles
ade l’amplificateur fonctionnant
R’
boucle ouverte. Notons que
en
l’impédance R’
aintervient uniquement dans les expressions
concernant les fluctuations sortant dans les voies
paramètre
aura
donc peu
d’importance et
Pour discuter le rôle du
,
a
paramètre R
a
et
c
correspondant
pourra être oublié dans la
nous
avons
d’un
contre-réaction
modèle
au
amplificateur opérationnel
Pour
un
idéal.
amplifi-
Z les équations caractéristiques s’écrivent à la limite
,
r
gain infini
où U
n et I
n
que
sur une
ajouté. Ce
pratique.
déjà présenté ce modèle pour l’amplificateur en boucle ouverte.
cateur bouclé
bruit
pouvons compaier notre résultat
habituellement utilisé pour traiter le bruit classique d’un
Nous
au
représentent
est le bruit
r
U
En comparant
quantique
des
en
avec
sources
des
générateurs
tension
les
ajouté
en
tension et
en
équivalent
en
tension et
en
courant
tandis
par la contre-réaction.
équations (185)
que
nous venons
d’obtenir, on obtient l’expression
de bruit
On remarque tout d’abord que
bruits
de bruit
ces
deux
grandeurs
courant sont liés par
une
ne
commutent pas. Ceci
inégalité de Heisenberg
et
implique que
ne
les
peuvent donc
pas s’annuler simultanément.
Il est intéressant
dans les
lignes
a
et
d’exprimer
les spectres de bruit
c
75
correspondants
en
fonction des bruits
La troisième
ligne représente
corrélation s’annule
simplicité,
relations
ce
nous
en
Notons que les
alors
mesurer
hypothèse
a
en
a
paramètres R
courant de
deux
les
courant. Cette
Par souci de
simplification,
les
de traiter le
aussi la corrélation entre les bruits
partie réactive)
et
général
cas
quand
en
général
cas
équations d’entrée-sortie
et
connaît les
tension et
en
si nécessaire. Il faut
courant pour
en
déduire
diffusion
un
de contre-réaction mixte
amplificateur opérationnel
(ayant
une
gain fini (voir figure 15). Nous branchons l’entrée
e
lignes d’impédance R
on
l’amplificateur.
équations (190) permettent
contre-réaction dans le
une
en
égales.
sont
c
et 03C3
a de notre modèle
Nous évaluons maintenant la matrice de diffusion pour
et
et
dans la suite. Avec cette
2. La matrice de
avec
tension et
en
deviennent
de déduire les
tension et
bruit de
températures de
les
ferons souvent cette
précédentes
qui permet
bruits
quand
la corrélation entre les bruits
partie résistive
et la sortie
sur
. Aux équations d’entrée-sortie (183) il faut donc ajouter
d
R
des
lignes
et celles de raccord
76
FIG. 15 tre-réaction.
la
Schéma de principe d’une
L’amplificateur de la figure
mesure
par
13 est branché
amplificateur opérationnel bouclé
sur
deux
qui
est
en con-
d. La
ligne r représente
matrice 5
5 décrivant la
lignes
e
et
partie résistive de l’impédance de contre-réaction.
Nous calculons alors la matrice de diffusion
diffusion de cinq
champs
e,
d,
a, c et
r
77
s
une
Nous écrivons ci-dessous les
vingt-cinq coefficients que nous avons obtenus
de calcul formel Mathematica
78
par le programme
Avec le même programme,
tarité telles
nous avons
vérifié que cette matrices obéit
aux
conditions d’uni-
qu’elles sont exprimées à la fin de la partie III A (équation (172)). Cette vérifica-
tion est d’ailleurs très utile pour éliminer d’éventuelles
erreurs
dans l’écriture des
équations
caractéristiques.
Nous
nous
infini. Nous
intéressons surtout dans la suite à la limite où le gain
avons vu
boucle ouverte. Elle
que cette limite est mal définie pour
ne
présente
par contre
plus
aucune
en
boucle ouverte devient
l’amplificateur fonctionnant
pathologie
en
dans les calculs de la
présente partie.
Pour
nous en
convaincre,
nous
étudions la matrice
79
s
à cette limite de deux
façons
diffé-
lentes. Tout
d’abord,
nous
prenons la
limite G ~
80
~
dans les
équations (195)
ci dessus
Cette matrice
s
est unitaire
nous
ficateur
opérationnel
évalué pour
obtenue
avec ces
s
à
à
pouvons calculer la matrice
déduite. Par ailleurs,
équations
celle, évaluée
comme
un
gain
identique
est
infini
(185).
gain quelconque,
s
à
partir
Nous
à celle calculée
en
des
avons
dont
nous
équations
de
l’avons
l’ampli-
vérifié que la matrice
prenant la limite de la
s
matrice
gain fini.
Cette vérification montre que la limite de
approche. Cela
méthode
nous sera
(partir
des
La matrice
bruits
s
utile par la suite puisque
équations (185))
(en particuliei, vérifiant
les conditions
peut être écrite
d’amplification par
leur
sortants dans les
lignes
champs
gain infini
nous
pose pas de
problème dans
notre
pourrons donc utiliser la seconde
étant assuré de parvenir à des résultats cohérents
d’unitarité).
sous une
somme
e
en
ne
forme
et différence
et d s’écrivent
81
encore
plus compacte
(voir équation (186)).
en
remplaçant
les
En
particulier,
les
Nous allons maintenant discuter les
plaçons dans
lignes
e
dans les
important
de
nous
pouvons le déduire de la
on se
en
déduire
donne des
rajouté présente
dépend
plus
du
nous
en
concentrons
Nous
nous
les deux
sur
paramètre R’
a qui n’intervient
Par contre, le
l’amplificateur fonctionnant
précédemment,
Nous pouvons
bruit
donc
Nous
mesure.
que
a qui représente
paramètre R
boucle ouverte
va
jouer
un
rôle très
dans la discussion.
Comme
Si
dépendra
lignes internes de l’amplificateur bouclé.
l’impédance d’entrée
nous
ne
appareil de
de cet
d’amplification G infini.
la limite de facteur
et d. La discussion
performances
pas de
ces
introduisons
mesure
un
estimateur indu
signal d’entrée
tel que
de d
out
l’expression du
températures
un
bruit
de bruit
minimum pour
une
ajouté
sur
a
, T
d
T
,T
r
la
et
mesure
c quelconques,
T
certaine valeur
températures
soit aussi
82
in
de e
on
voit que le
a qui
a
m
R
indu paramètre R
ne
La valeur atteinte par le bruit minimum est alors
Cette expression
ou
se
simplifie encore
contre-réaction est purement résistive
l’impédance de
si elle est purement réactive
Dans tous les cas, il est
de fixer R
a
on
si
=
s’éloigne
important
a
m
R
inde façon
de cet
à
optimum,
de contrôler la valeur du
pouvoir
c’est
minimiser le bruit
l’équation (199) qui
.
a
paramètre R
ajouté (équation (202)). Quand
détermine le bruit
discussion peut être facilement traduite dans les termes du modèle
de la section III C1. Le
et
en
courant de
deux bruits
comme une
sur
R s’interprète
paramètre a
a
l’amplificateur. Optimiser R
le
sorte
signal
en
sortie de
branchement de
est
bruits
l’impédance de contre-réaction
la
bruit est minimal
tension
effets de
se
ces
comprendre
a
lorsque l’impédance R
l’impédance R
a
m
inqui dépend
d’adaptation dépend
d’amplification est limitée (T
a
Afin de
à
il est évidemment d’autant moins
nature réactive
égaux les
en
des
paramètres de
l’amplificateur.
Le caractère néfaste du défaut
particulier,
le rapport des bruits
l’amplificateur. Cette optimisation peut
égale
ajouté. Cette
discuté à la fin
classique
consiste donc à rendre
d’adaptation d’impédance. le
qui caractérise les fluctuations
comme
L’idéal est
et
bien sûr des autres
important
que la
paramètres.
En
température effective
des
c petits). Le bruit ajouté
T
est élevée
(| r
| grand)
et que cette
est aussi diminué
quand
impédance est plutôt
de
r petit).
(R
préparer
les discussions qui vont suivre dans la
perspective d’une limite ultime de sensibilité. Dans
83
les
peut
se
placer dans
équations (201-202),
on
voit
partie IV,
on
qu’une
situation
optimale
est atteinte
alors des résultats très
qui signifient
lorsque
e
| est choisi plus grand que R
r
et
. On obtient
d
R
simples
que le bruit est limité de
façon ultime par
ficateur T
.
a
84
la
température de bruit
de
l’ampli-
ACCÉLÉROMÈTRES ÉLECTROSTATIQUES
IV. APPLICATION AUX
Nous
présentons
maintenant
l’application
du traitement des fluctuations quantiques dé-
parties précédentes à un système réel. Il s’agit d’un accéléromètre électrosta-
veloppé dans
les
tique asservi
conçu par l’Office National d’Etudes et de Recherches
pour des missions
Sur la
figure
deux électrodes
de celles
qui
16 est
qui
servent à
électrostatique
de la
masse
mesure
passive, il
position
mouvement par
partie
une
La
masse se
a
accélérométrique
mesure
masse
grâce
au senseur
masse
grâce
à
pour
un
position
de la
une
élec-
suspension
asservissement. La
sert ainsi
capacitif
mais aussi à maintenir la
asservi.
est assurée par des forces
possible de réaliser un équilibre stable
été choisi de maintenir la
de la
du type
II.
entre les électrodes de
pas
trouve entre
technique capacitive
Schéma de base d’un accéléromètre électrostatique
trostatiques. Comme il n’est
la
mesurer son
ont été discutées dans la
suspension de la
mesure
physique fondamentale [41,42].
représenté le schéma simplifié de l’appareil.
FIG. 16 -
La
de
spatiales
Aérospatiales (ONERA)
non
seulement à
masse au
centre du
dispositif.
Pour éviter des oscillations trop
assurer une
de la
masse
importantes
bande passante suffisante
d’épreuve. Cet
force de contre-réaction
un
au
autour de la
dispositif, il est
proportionnel
85
et pour
nécessaire d’amortir le mouvement
amortissement est aussi réalisé
terme
position d’équilibre
électriquement
à la vitesse de la
masse.
en
ajoutant à la
Cette technique de friction active permet d’obtenir
nuant considérablement les fluctuations
sement
amortissement efficace
un
qui accompagneraient nécessairement
mécanique. Cette technique appelée friction froide (cold damping)
d’une étude détaillée dans
ce
un
amortis-
faire
va
dimi-
en
l’objet
chapitre.
Notre but est d’évaluer les limites de sensibilité de cet accéléromètre causées par les
fluctuations thermiques et
prendre
-
-
-
en
système
ce
nécessite de
compte les spécificités suivantes:
la détection du mouvement de la
masse se
la
suspension électrostatique active;
suspension
de la
masse
les oscillations de la
qui simule
-
complet de
traitement
quantiques. Un
le circuit
est
masse
une
fait à l’aide d’un
sont amorties par
une
système actif;
boucle de contre-réaction
électrique
force de friction;
une
électrique
travaille à des
fréquences différentes des fréquences mécaniques
mesurées.
Ces spécificités font de l’accéléromètre
tion de la méthode
effet
présentée
système particulièrement adapté
un
chapitres précédents. Cette
dans les
traitement linéaire des fluctuations est
qu’un
systèmes électromécaniques présentent souvent
sement, les fluctuations de la position de la
que leur
de
comportement soit linéaire
de travailler
fréquence permet
important
aux
L’étude
basses
générale
fréquences,
de
ce
hautes
est aussi
système
masse
linéarisable
ou
aux
un
possible, alors
caractère
non
d’épreuve sont suffisamment faibles
[59].
De
fréquences,
plus,
de sorte que le bruit
est extrêmement
de friction froide
traitant
pour
en
1/f,
très
négligeable.
complexe,
c’est
technique
en
en
le schéma de transposition
allons étudier la
capacitive, mais
présuppose
linéaire. Grâce à l’asservis-
séparément différents aspects du problème. Dans
mesure
l’applica-
que les bruits affectant les
d’abord étudier
la
méthode
à
en
faisant des
complètement
86
le
pourquoi
nous
allons
premier temps,
nous
hypothèses simplificatrices
pour
système
un
actif
grâce
aux
résultats
du
chapitre
dèle
III.
Puis,
nous
simplifié contenant
l’accéléromètre. Enfin,
étudierons
en
détail la
mesure
capacitive
néanmoins les élements essentiels nécessaires
nous
rassemblerons
ces
résultats pour
pour
au
analyser
dégager
un mo-
fonctionnement de
la
performance
de
l’appareil global.
A. La friction froide
Dans
sion
un
un
premier temps,
électrostatique
nous
discutons l’intérêt de l’utilisation d’un
active simulant
premier modèle d’accéléromètre
que le rôle des éléments actifs est
une
dissipation mécanique.
dans
lequel
la
mesure
parfaitement pris
de discuter dans le détail les fluctuations minimales
froide
(cold damping).
Cela
l’accéléromètre actif qui
sera
nous
en
Pour
capacitive
compte. Cela
rajoutées
dans
système
cela,
est
nous
présentons
simplifiée
nous
un
de suspen-
permet
dispositif
tandis
surtout
à friction
permet également de préparer le traitement complet de
présenté plus
loin.
87
Schéma de principe d’un modèle d’accéléromètre actif. La
FIG. 17 à la
ligne mécanique
premier, caractérisé
Elle est
m.
lecture du mouvement de la
en
celui de la
sortie de
et
,
s
couplage 03BB
l’amplificateur.
15. La détection
figure
Précisément,
un
Le dessin de
fait à
se
et
Par
ailleurs,
couplée au
masse
e
03BB
partie
polarisation
l’entrée d’un
II. Le
est utilisé pour
L’expression
réagir
la
sur
la
figure
17. La
où V est la vitesse de la
masse
à l’entrée et à la sortie de
et est
contre-réaction correspond à
masse
Nous définissons
électrique de détection
circuit
par
une
d’épreuve
M est liée
couplée à un réservoir
comme
précédemment
par l’intermédiaire de
tension continue du type de
masse
ceux
et de
d’épreuve
agissant
sur
la
nous
couplage
et il fonctionne conformément
et il est
masse
s
d’impédance Z
branché
en
au
s
couplage 03BB
l’amplificateur.
est
Les termes
88
et de
sortie de
ext la force extérieure. U
e
d’épreuve et F
l’amplificateur.
que
II A. Ce transducteur est lui-même branché
partie
Le second transducteur
masse
de la force totale
Le deuxième
d’épreuve
masse
e
premier transducteur d’impédance Z
constante de la
l’amplificateur.
utilisé pour la
.
d
partir de la ligne d’impédance R
est utilisé pour la détection du mouvement de la
schéma de
sur
est
son
capacitifs polarisés
dans la
présentés
sur
continu. Le
impédance totale m
m
impédance réactive Z
avons
avec
est
en
amplificateur.
ressort de raideur K à la cage l’accéléromètre et
son
deux transducteurs
réagir
l’amplificateur
.
m
mécanique responsable d’une friction visqueuse H
cette
capacitifs polarisés
l’entrée d’un
sur
utilisé pour
est
d’épreuve correspond
coefficient de couplage 03BB
,
e
un
étudions le schéma de la
nous
élastiquement par
et
et est branché
masse
s
transducteur, d’impédance Z
branché
à deux transducteurs
e
impédance Z
une
par
couplée
masse
U
e
03BB
et
et
s
U
sont les tensions
U décrivent
s
03BB
les actions du
transducteur
capacitif et
de la contre-réaction. Des
pour les courants à l’entrée et à la sortie de
où I
d est le courant à l’entrée de la
L’amplificateur
vissement
est décrit
avec une
ligne
comme
partie
Les résultats que nous
être écrites
l’amplificateur
de détection.
dans la
partie
boucle de contre-réaction dont
réactive Z
r et d’une
équations analogues peuvent
III. Il fonctionne
l’impédance r
se
en
système
d’asser-
compose d’une
partie
résistive R
r
présentons dans la suite ont été obtenus en partie par le programme
de calcul formel Mathematica.
1.
L’impédance mécanique après
Pour discuter la modification de
nous avons
Cette
au
calculé la
équation
réponse
montre que
contre-réaction
l’impédance mécanique en présence de contre-réaction,
de la vitesse à
une
force extérieure
l’impédance mécanique en présence
de contre-réaction est
dénominateur D. Autrement dit, le système actif rajoute à l’impédance
supplémentaire
due à la contre-réaction
03BB
e
03BB
électrique s
89
que
nous
égale
m une impédance
noterons
me
me
H
la
est la
partie dissipative de cette impédance. Cette dissipation supplémentaire est
dissipation mécanique ordinaire
correspondantes pourront
naires
puisqu’elles
Par
ailleurs,
Langevin
La
la
due
l’origine
fluctuations
apparaissant dans (211)
mécaniques
vérifie le théorème
est ainsi à
l’origine
que les fluctuations
mécaniques
ordi-
système actif.
tous les termes de bruit
aux
d’une force fluctuante. Mais les fluctuations
beaucoup plus petites
sont issues d’un
partie mécanique
dissipation
être
à
comme
et
électriques dans
qui
une
force de
les diverses voies d’entrée.
fluctuations-dissipation.
d’une force fluctuante
constituent
La
partie électrique
de
doit être étudiée de manière
beaucoup plus précise puisqu’elle provient d’un système actif.
2. La matrice de
Le réseau
gure
18):
dant à la
a
et
une
correspondant
voie de
à
ce
diffusion
système comprend
ainsi 5 voies d’entrée-sortie
dissipation mécanique m, une voie de détection d,
une
partie dissipative de la contre-réaction r et les deux voies de bruit
c.
90
de
(voir
fi-
voie correspon-
l’amplificateur
FIG. 18 -
plificateur
et
Schéma de principe d’un accéléromètre dans lequel le rôle des éléments actifs
asservissement)
La matrice de diffusion
est
pris
en
(am-
compte.
correspondant
à
ce
système est
91
décrite par les
équations suivantes
Le dénominateur D est
Comme
d’habitude,
dans la voie
l’impédance mécanique totale
nous avons
introduit la force réduite
ext
f
présence
avec
de l’asservissement.
les fluctuations entrant
mécanique.
Pour discuter les performances de cet
ext
en
de la force F
ext telle
qu’on peut
appareil de mesure, nous introduisons un estimateur
la déduire d’une
mesure
du
out
signal d
voie de détection
On détermine ensuite le bruit F
03A3 ajouté par
ce
92
système
de
mesure
de force
sortant par la
Incidemment,
lisé
uniquement
nous
pour
rajouté
classique. Ce
par
cas
l’amplificateur
est décrit
en
précédemment,
signal électrique. Ce
faisant 03BB
s
nous
=
en venons
bruit
cette valeur
réduire la
au
(215)
0 et R
r
rajouté
optimale
avec
ne
=
système actif
correspond
II B 2 en tenant
signal
0 dans
du niveau
par
exactement
est utiau cas
plus compte
en
quantique
au
du
niveau
l’équation précédente
optimiser
la valeur
l’amplification
dépend
pas des diverses
températures.
friction froide
montre que la
bruit introduit par la
mesure
rajouté
de force
dissipation mécanique.
en
se
présence
de la boucle de
trouve bien sûr
Une solution
pourrait
toujours
être de
dissipation mécanique. Cette solution ne peut cependant pas toujours être utilisée.
Dans la
problématique
avec un
électromètre amorti
conduit à
partie
maintenant à la discussion du bruit
contre-réaction. La formule
confrontée
la
cas
où le
pouvons utiliser cette formule pour
3. Mesure
Nous
simple
au cas
pour faire passer le
a qui détermine le
paramètre R
Comme
intéresser
précédemment dans
Comme dans la partie III C 3,
du
le
amplifier
du transducteur étudié
bruit
nous
pouvons
une
initiale de la friction froide
en
régime critique;
[20-22],
les
étaient effectuées
toute réduction de la friction aurait donc
augmentation du temps de réponse du système et à
93
mesures
une
réduction de la bande
passante. En
ce
qui
concerne
l’accéléromètre
faut toutefois amortir le mouvement de la
oscillations
lorsque
la
masse
La
masse
est soumise à des
est contourné ici par le fait que la
simulée
[41,42],
la
mesure
d’épreuve
n’est pas résonnante,
pour limiter
l’amplitude
façon dont
nous avons
dissipation mécanique
mené le calcul
friction froide obéit
quantique. Par conséquent,
assure
aux
est assistée par
dissipation
une
que la matrices est unitaire et donc que
on ne
contraintes de consistence
peut
imposées
explicitement
que soient les valeurs des différents
paramètres,
sur
système de
par la
pas réduire le bruit au-delà du niveau
fluctuations du vide. Ceci peut être vérifié
(215). Quels
mécanique
correspondant
le spectre du bruit
il reste
toujours
au
ajouté
dessus de
niveau.
Pour
analyser
les
propriétés de
spectre du bruit ajouté
(voir (212))
et
en
(215)
définissant
sur
un
Le bruit effectif 03C3
me associé à la
En
ses
électriquement.
mesure avec
ce
de
il
perturbations trop importantes. Ce problème
les commutateurs sont bien les mêmes à l’entrée et à la sortie. Autrement dit, le
aux
mais
la
la force fluctuante
mesure
de la force
bruit effectif
supplémentaire,
en
utilisant
correspondant
nous
réécrivons le
l’impédance effective me
à cette
impédance
dissipation supplémentaire s’écrit
particulier, à la limite des hautes températures, on peut définir une température effective
94
qui peut
être
Il est donc
beaucoup plus petite
possible
La deuxième
vant dans la
ligne
mécanique est
Enfin,
ligne
de
dans
sur
(218)
mesure.
Il
r
température physique T
température effective
de réduire la
à l’entrée et à la sortie ainsi que
que la
les
prend
une
rajouté
forme
les troisième et
comme nous
les
couplages
dans le
cas
électriques
limite où
arri-
l’impédance
quatrième lignes dans (218) représentent les bruits ajoutés
l’avons
déjà fait plusieurs
simplifier
c, le bruit
l’amplification
a
sur
dominée par la contre-réaction.
En considérant pour
et
jouant
par les fluctuations
simple
l’amplification. On peut définir pour ces contributions
a
R
en
de contre-réaction.
paramètres
est le bruit
de bruit
pourvu que
ajouté
par
que les
une
valeur
par
optimale pour le paramètre
fois
températures
s’écrit
en
de bruit sont
égales
sur
les
lignes
a
et
général
pour valeur minimale
Pour des calculs
plaçant dans
pratiques,
la limite où
nous
pouvons
simplifier l’expression générale (218)
l’impédance mécanique
est dominée par le
système de
réaction
On peut aussi choisir Z
e de telle
façon
à
ce
qu’il ne
95
contribue pas. On obtient
en nous
contre-
La résistance
optimale a
mins’écrit
R
alors
et le bruit minimum
A la limite de haute
Dans
soit
un
régime de friction froide,
négligeable (voir (212)
détection suffisamment
déterminé par
où
température,
et
on
obtient
peut choisir les paramètres
on
(220)).
On peut aussi choisir
pour que le terme
de la
d
l’impédance R
petite pour qu’elle ne contribue pas. On obtient ainsi
un
H
m
T
e
ligne
de
bruit ultime
l’expression simple
mest l’impédance mécanique réduite
|
An mieux.
m
|
=
1 et le bruit ultime
ligne mécanique. Il
(230) correspond
ce
qui correspond
B. Le transducteur
Nous allons maintenant
nous
approcher
capacitive présenté sur la figure
d’une part
une
d’autre part
mécanique,
un
une
faut noter que l’amortissement peut être
beaucoup plus importante,
sure
à
augmenté
la conversion de
dans
une
proportion
capacitif différentiel
en
considérant le système de
caractéristiques importantes
détection à l’aide de deux transducteurs fonctionnant
fonctionnement du circuit
a dans la
T
bien à l’idée de la friction froide.
du modèle final
19 . Les
+
m
température T
électrique
fréquence étant assurée
96
à
une
en
de
ce
mode
modèle sont
différentiel,
fréquence différente
par le transducteur
me-
du circuit
paramétrique.
Pour
simplifier, nous
simple ligne
et que la
capacitive et
suspension
la
la
prochaine partie
technique
la
due à
M dont
une
on
veut
mesurer
force de frottement
que
nous
masse
masse.
fait à l’aide d’une
se
sont réalisées de manière
traiterons de manière
globale
la
de friction froide.
partie mécanique du système
masse
que la détection
partie
et l’amortissement de la
1. Le
La
détection passive du mouvement de la
considérons dans cette
passive. C’est seulement dans
mesure
électrique de
Schéma du circuit
FIG. 19 -
point de fonctionnement
est décrite par
un
oscillateur
harmonique
l’accélération et d’un ressort de raideur K. La
visqueux,
est caractérisée par le coefficient
constitué de
dissipation,
. La fréquence
m
H
de résonance de cet oscillateur vaut
Le circuit
d’oscillation,
électrique représenté sur
ce
antisymétrique
couplant
et
mode
sur
symétrique
lequel
se
sur
fait la
la bobine L d’un oscillateur
L’C". M
=
la
figure
19 est
lequel agit
mesure.
2
LC
aux
un
résonateur
la tension de
La détection
se
présentant
polarisation U
p
fait
en
deux modes
et
un
mode
mode différentiel
en
inductances des deux autres oscillateurs L’C’
L’L 2 est l’inductance mutuelle lorsque l’on considère
ce
couplage
comme
parfait.
Ce circuit de détection peut être
trique ramené au secondaire, dessiné
représenté
sur
la
de manière
figure 20,
97
dans
équivalente
lequel figurent
par le schéma élec-
les variables trans-
formées
Schéma du circuit
FIG. 20 -
paramètres
affectant le mode
pour
aussi de la
de
symétries
du
système,
la résistance
symétrique des résonateurs L’C’
l’instant, prend
l’appareil
de détection ramené
au
secondaire, où figurent les
transformés.
En considérant les
ponsable
électrique
mesure.
La tension de
dissipation
en
Les
dans le
générateur
R2 est
g
associée à la
et L’C". Cette même résistance est
de tension
.
p
U
de
ce
res-
Une seule résistance R
,
e
compte à la fois la dissipation du mode antisymétrique
conséquences
dissipation
et celle de
choix seront discutées à la fin de la section.
polarisation joue plusieurs rôles
très
importants. D’une part,
elle sert à
polariser le système électrique pour qu’il puisse détecter le déplacement de la masse. D’autre
part, elle couple les systèmes mécanique et électrique qui évoluent à des fréquences très
différentes. Le système mécanique est étudié autour de la fréquence nulle à des
inférieures à la
à des
fréquence d’oscillation de la masse alors
fréquences élévées afin de
Le choix de la
réduire les bruits
fréquence de polarisation
a
98
que le
système électrique fonctionne
supplémentaires
des
fréquences très
de type bruit
en
1/f.
conséquences importantes. C’est
pour
une
polarisation
meilleur rapport
les
laquelle
de la
signal
quadratures
sur
avec
le mode
antisymétrique
bruit: elle permet d’obtenir
du mode
électrique jouent des
secondaire que l’on obtient le
au
intéressante dans
configuration
une
rôles totalement
séparés
niveau
au
mesure.
Une
mesure
le
résonnante
décrit la
m
ligne d’impédance H
est modélisé par la
signal
sur
lequel on
.
e
ligne d’impédance R
effectue la
mesure:
du bruit ainsi que de la force extérieure
de rendre compte des fluctuations
L’oscillateur
mécanique
dissipation mécanique
est
section II B 1 du
la
position de
champ
agissant
ajoutées
au
sur
la
couplé paramétriquement
masse
et de
son
LC",
la
au
out
I
ligne, ,
champs entrants, et
Cette
masse.
système par
système. L’appareil de
sortant de cette
il est fonction de tous les
par l’intermédiaire des deux résonateurs LC’ et
tivement de la
Le
du
ligne nous permet
est
donc
aussi
mesure.
circuit
dont les
électrique
de détection
capacités dépendent
opposé (comme
dans les
respec-
équations
de la
chapitre II)
avec
La force
électrostatique
exercée
où U’ et U" sont les tensions
symétrique et antisymétrique de
Dans
l’appendice VI C
sont
sur
aux
ces
la
masse
bornes des
de l’oscillateur
capacités,
mécanique vaut alors
s et U sont les composantes
U
tensions
reportés les
détails des calculs.
résultats.
99
Ici,
nous
donnons
simplement les
La
symétrie du problème montre
que la
réponse
forcée
correspond
à
un
mode
électrique
symétrique
Le
système électrique étant polarisé
la résonance
électrique,
nous
par
une
pouvons écrire
tension oscillant à la
comme
dans la
fréquence 03C9
,
p
partie II
un
voisine de
champ électrique
de couplage
2. La
Nous linéarisons les
(voir l’appendice VI C).
fluctuations dans le
équations
transformation des fluctuations
du
système au voisinage du point
Nous obtenons ainsi des
système
aux
Nous
avons
défini aussi
pour le mode
une
équations décrivant
la
réponse
(238)
linéaire des
fluctuations entrantes
Comme dans la partie II, le symbole ~
dance réactive de l’oscillateur
de fonctionnement
indique
un
produit
de convolution et Z
m est
l’impé-
mécanique
impédance électrique Z
, qui représente l’impédance équivalente
e
antisymétrique au
secondaire
100
Le résonateur
correspondant présente
une
résonance
Nous remarquons que, dans le cadre du traitement
trique
sont
La nonlinéarité du
de
les
fréquences:
tion de
quence,
réécrivons
risation 03C9
,
p
qui
nous avons
valente par
de définir les
montré que la
une
La matrice
l’oscillateur
où
ou
phénomène de mélange
moins la
description
est
sans
mécanique et
pour les variables
des fluctuations
en
électriques.
quantiques
toute variable
habituellement
fréquence nulle.
fréquence
de
pola-
électrique. L’existence d’une référence
se
Dans le
chapitre II,
fait très naturellement
peut être écrite de manière équi-
théorie des réseaux variable réduite et
dimension.
la
réponse
du
système autour de la fréquence nulle pour
autour de 03C9
p pour l’oscillateur
et 03B4i
- sont les
fréquence d’oscilla-
de la
par contre écrite autour de la
champs libres. Ainsi,
s
plus
un
champ de polarisation (239)
de la résonance
quadratures
impédance décrivant
+
, 03B4u
+
03B4u
, 03B4i
-
le
symé-
comportement de l’oscillateur mécanique à basse fré-
au
proche
grandeur appelée
la matrice de diffusion
avec
du mode
système.
transférées de
électrique est
est elle même
par l’intermédiaire des
de liberté du
l’équation pour l’oscillateur mécanique autour
pour l’oscillateur
phase permet
linéaire, les fluctuations
les deux oscillateurs induit
trouvent
intéressons
L’équation
de
se
par convolution
nous nous
nous
degrés
couplage entre
fréquences
polarisation
Comme
des autres
découplées
en
amplitudes complexes
101
électrique s’écrit
des variables
électriques
réduites
03B4f
et 03B4v sont les variables
Le comportement du
en
particulier de
son
mécaniques
réduites et z est la matrice
du choix de la
système dépend
désaccord 0394 par rapport à la
fréquence
fréquence de
impédance réduite
de la
polarisation
résonance
(243)
du
, et
p
03C9
système
électrique
Nous discutons dans
cord et
dans
nous
ce cas
plifier
les
l’appendice VI D
montrons que
particulier
équations
la
l’optimum se
façon
trouve à 0394
dans la suite de la
avec
dont la lecture du
=
0. C’est
signal dépend
pourquoi
présente discussion. Nous
l’objectif de parvenir
à
une
de
ce
nous nous
désac-
plaçons
allons continuer à sim-
matrices facilement utilisable par la
suite.
Tout
devant la
d’abord,
nous
fréquence 03C9
p
considérons que la
de la tension de
Il est alors intéressant de
profiter
fréquence d’analyse 03A9
polarisation.
de cette
Dans
ces
est
conditions,
symétrie pour réécrire la
102
beaucoup plus petite
nous
matrice
obtenons
impédance
où
et
1
, 03B4i
2
, 03B4u
1
03B4u
z
la matrice
Nous
et
sont les
quadratures
des variables
par
m
réduites
quadratures
les bruits associés à l’amortissement dans l’oscillateur
du bruit associé à
l’appareil
provenant du système mécanique et de l’appareil de
de
électriques
impédance
indiquons
1 et e
e
2 les
2
03B4i
répartitions unitaire liée à
la matrice
de
mesure
mesure.
mécanique,
La diffusion des bruits
est alors décrite par
une
matrice
impédance
soit
Cette matrice est manifestement unitaire,
ce
qui garantit
vés.
103
que les commutateurs sont
préser-
On peut remarquer que cette matrice
QND
partie II C.
étudiés dans la
couplés
de manière
différents. Nous
en
Nous pouvons
fonctionne
est
non-réciproque,
Non seulement les oscillateurs
non-réciproque,
montrerons les
encore
s
mais les deux
comme
pour les
électrique et mécanique sont
quadratures électriques jouent
conséquences dans
systèmes
des rôles
la suite.
simplifier cette expression en considérant que l’oscillateur électrique
avec
La matrices s’écrit alors
où m est
l’impédance mécanique
On note que cette
hypothèses
Enfin,
que
impédance
nous avons
on va encore
proche
de la
n’est pas modifiée par le
faire
une
a
introduit
un
sous
forme réduite
couplage électromécanique avec
fréquence
On supposera que la
nulle pour que
couplage
les
aux
choix de dé-
fréquence d’analyse
03A9 est suffi-
l’impédance mécanique se simplifie
03BB
m dimensionné
paramètre R
coefficient de friction
écrite
hypothèse simplificatrice qui correspond
[41,42].
On réécrit le carré du facteur de
On
(réactive et dissipative)
faites.
finition de l’accéléromètre réel
samment
totale
mécanique
104
comme une
résistance et
proportionnel
au
Ce
paramètre
mesure en
par l’intermédiaire du
On voit alors que
une
quelque
sorte la friction
au
système électrique
couplage électromécanique.
m
1
tend
vers
zéro
avec
la
fréquence d’analyse 03A9
alors
que 03BB
m
2
tend
vers
constante
Pour leur part, les deux termes
ils doivent être traités de
mécanique correspondent
m
tendent vers zéro comme
proportionnels à 03BB
façon différente.
à
une
En
premières sont
donc
fréquence physique de l’ordre
plus grandes
|03A9|. Toutefois,
effet, les fluctuations provenant de
provenant des lignes électriques correspondent à
Les
mécanique ramenée
une
ligne
de 03A9 alors que les fluctuations
fréquence physique
que les secondes dans
la
un
de l’ordre de 03C9
.
e
rapport proportionnel à
1
03C9
|03A9|
(en supposant
En tenant compte de
Comme précédemment,
On
a
négligé
Ces résultats
l’oscillateur
La
le bruit
signifient
on a
in
e
1
on
obtient finalement les
ext
pris en compte la force extérieure F
se
système peut
lire la force extérieure
trouve donc dans
une
de la force est maintenant décrite par
un
bruit
ajouté
105
équations
en
dans o
m
ut par suite du raisonnement du
que le
mécanique. On
mesure
et donc par
en
comportement,
ce
sans
estimateur
la superposant à .
in
m
paragraphe précédent.
situation de type
un
suivantes
rajouter
QND.
de bruit
sur
A la limite de haute
Le
on
obtient
terme est la contribution habituelle du bruit
premier
représente l’effet
discuter leur
des bruits
effet,
électriques ajoutés
mécanique alors
par le transducteur
il est intéressant de réécrire la formule
que le second
électromécanique.
précédente en fonction
Pour
de facteurs
dimension
sans
On
température,
a
introduit la finesse
mécanique
Cette expression montre que le rapport
minimiser le bruit
ajouté
par la lecture
1R
R
m
peut être choisi de manière optimale
électromécanique.
pour
Pour cette valeur
le bruit est
On
a
exprimé
le bruit
température T
.
e
à la
technique
mécanique
comme une
e
0
Q
03C9
3C9 devant
Mais le facteur m
du transfert de
température
de bruit
proportionnelle à la
e peut être beaucoup plus petit
T
fréquence.
106
que 1
grâce
3. La
Nous rajoutons maintenant
cessaires
liées à la
de
une
pour
un
dernier élément dans notre
dissipation électrique présente
Il
description des ingrédients nédes pertes de
s’agit
entre le transducteur
performance
électromécanique
l’entrée
et
l’amplificateur.
L’une est
une
L’autre est
système
On
dans
alors
se
une
signal
ligne
de détection
retrouve dans
une
cavité
où
optique
un
considérant
au
ne
distingue
analogue
lignes
l’entrée de
Il est
en
différentes.
l’amplificateur.
sur
le
système.
à celle de l’étude d’un
les "bonnes" pertes
d’augmenter le
électriques.
permet pas d’acquérir de l’information
situation tout à fait
on
extrait
laquelle est
moins deux
qui permettent
miroir de sortie des "mauvaises" pertes dues à
une
système
d’extraire
absorption
un
dans la
bruit.
électriques sont équivalentes à un répartiteur qui fait perdre
répartition dépendent
des
impédances
des
résistance
p
R
lignes couplées (voir l’appendice VI E).
sera
décrit dans la
entre le transducteur et
prochaine
Nous
en
arrivons maintenant à
complète, nous
section
en
entendons
une
capacitif
modélisation
avec
une
transfert de
à friction froide
complète de l’accéléromètre.
qu’elle intègre l’ensemble des
de discuter. Nous décrivons la détection de la
férentielle
plaçant simplement
l’amplificateur.
C. L’accéléromètre
venons
entrent des fluctuations
et rentrer du bruit. Les coefficients de
Cet effet
lisation
de détection dans
qui sera branchée par la suite sur
En d’autres termes, les pertes
signal
ligne
néanmoins des fluctuations dans le
cavité et dont le seul effet est
diverses
laquelle
ligne supplémentaire qui
qu’elle ajoute
à travers
par
généraliser cette approche en
ligne
une
considéré que la
nous avons
est aussi la seule
signal
fait nécessaire de
du
électriques
description réaliste de l’accéléromètre.
Jusqu’à présent,
le
des pertes
description
fréquence (comme dans
107
masse
Par modé-
différents éléments que
nous
d’épreuve par une technique dif-
IV B) et
nous
l’associons à
une
lecture
active et à
un
L’étude
asservissement
complète de
conduirait à
une
avec
tous les éléments et la
complication excessive.
pour les différents éléments pour
Dans
un
premier temps,
différents éléments et
les résultats
les
en nous
performances
friction froide
en
simplifier
nous
le
sur
préférons
plus possible
les
notre
équations
approximations
les données les
la
figure
21.
108
toutes les
sources
que
nous
de bruit
déjà effectuées
approche.
du modèle
en
considérant les
faisons. Puis
plus importantes. Enfin,
de l’accéléromètre ainsi constitué.
système est schématisé sur
A).
tirer parti des études
1. Modélisation de l’accéléromètre
Le
IV
prise en compte de
présentons
décrivant les
concentrant
Nous
(comme dans
nous
nous
écrivons
discutons
Schéma de principe d’un modèle d’accéléromètre actif à couplage capacitif différentiel.
FIG. 21 -
La lecture
correspond
au
schéma de la
d’un
amplificateur opérationnel
à
niveau. La sortie de
ce
ligne
contre-réaction
pour
capacitive. Une ligne de perte
est utilisée d’une
l’amplificateur
d, d’autre part
de détection
d’un deuxième
avec
20. La sortie du transducteur est branchée à l’entrée
figure
réagir
sur
pompe 03C9
p
dans le
égale à
la
impédance réactive
Les
masse.
d’épreuve
cas
d’une
fréquence
de
polarisation
et à
et
capacitif
électrique 03C9
)
e
sa
électrique
non
1
, U
1
U
, I
2
m
impédances Z
couplés. Ici,
froide. Pour
réactive,
en
nous
IV B. Nous
(fréquence de
utilisons donc la matrice
amène le
signal
et
et
2
I
à la force exercée
sont les
quadratures
e correspondent
Z
aux
sur
la
de la
systèmes
toutes les variables sont dimensionnées. C est la
nous
opérationnel qui remplace la ligne utilisée
d’un second
et
mécaniques correspondant
vitesse. Les variables
Pour lire le mouvement de la masse,
amplificateur
partie
l’équation (251)
B. E
capacité du condensateur variable discuté en IV 0
Cet
de détection utilisé pour lire
résonnante du circuit de détection
de résonance
tension et du courant de détection. Les
mécanique
de la force par la
par l’intermédiaire
masse
sont les mêmes que dans la
équations
Les variables F et V sont les variables
masse
mesure
amplificateur.
le mouvement de la
plaçons
pour la
le mouvement de la
Nous commençons par décrire le transducteur
nous
part
est intercalée
a
branchons
aussi la même définition
sur ce
dans la section
mesuré à
un
niveau
transducteur
précédente pour
classique.
un
qu’en IV B.
amplificateur
le modèle
Nous devons le
passif.
distinguer
amplificateur utilisé dans la suite pour réagir sur la masse et produire une friction
ce
premier amplificateur,
l’occurrence
une
nous
prenons
capacité
109
une
r
impédance de contre-réaction Z
Dans
conditions, les quadratures des
ces
s’écrivent
Ces
du
en
sont déduites de
déphasage de 03C0 2
(185)
introduit par la
en
parallèle
pour les
e2
U
et de sortie
composantes de quadrature
lignes
en
s1
U
et
s2
U
de bruit
tenant
compte
capacité de contre-réaction. Comme précédemment, nous
électriques entre le transducteur
de l’entrée de
impédance R
p (voir
section IV B
l’amplificateur
3).
relient les intensités et tensions liées
et les
et
introduit les notations
Pour modéliser les pertes
chons
e1
U
fonction des courants et des fluctuations entrant par les deux
équations
avons
tensions d’entrée
fluctuations entrant par la
Nous
au
une
ligne
et
l’amplificateur, nous bran-
de perte p caractérisée par
une
ajoutons donc les équations correspondantes qui
transducteur, celles liées à l’entrée de l’amplificateur
ligne p
Pour décrire enfin la contre-réaction
sur
le mouvement de la masse,
celle-ci une force proportionnelle à la quadrature
110
s1
U
nous
de la tension de sortie de
faisons
agir
sur
l’amplificateur.
Pour obtenir
l’expression complète de
force due
couplage
Le
au
paramètre
En toute
~ est
rigueur,
avec
la
devrions
est suffisante pour
le bruit
ajouté
lors des
permet de considérer
étapes
Nous
disposons
gain
de
partir
de
sera
lue
ligne de
sur
la
détection
maintenant de l’ensemble des
ces
que,
ultérieures peut être
modèle d’accéléromètre. Nous donnons dans les
effectués à
la masse, il faut
l’amplificateur utilisé
les fluctuations du
que la force
une
au
déjà démontrés
amener
l’amplificateur, en utilisant
sur
ajouter le bruit introduit
déduisons toutefois des résultats
étage
agissant
ajouter
à cela la
ligne mécanique m
proportionnel
nous
la force
par
ce
dans la contre-réaction.
second
amplificateur.
lorsque l’amplification
du
Nous
premier
système
à
niveau
classique,
alors
négligé.
Cette même
hypothèse
nous
quadrature U
s1
avec une
un
de la tension de sortie de
impédance suffisamment petite.
équations nécessaires
prochaines
pour décrire notre
sections les résultats des calculs
équations.
2. Les résultats des calculs
Nous discutons d’abord le résultat obtenu pour la vitesse de la
Le dénominateur D peut
mécanique m
et d’une
comme
précédemment
s’écrire
impédance supplémentaire créée
111
comme
par le
masse
la
somme
de
l’impédance
dispositif de contre-réaction
A
ext
F
part la force extérieure ,
vitesse décrivent les forces de
mécaniques obéissent au
électrique
similaire
doivent être
en
IV A
tous les termes
supplémentaires
Langevin agissant sur la masse.
analysées de
manière
gain
encore
On
du second: ~
simplifier
cette
n’apparaît
expression
discussion
agissant
sur
la
telle que
masse
mesure
de la
nous
quadrature U
s1
le
de
pas dans
en
son
expression.
considérant que
est très
l’impédance
grande (on
a
de
couplage
discuté la même
dans IV B)
r
remplace l’impédance de contre-réaction Z
travaille à
une
d’origine
correspondant à un signal pris entre les deux amplificateurs,
e intervenant dans les équations du transducteur
Z
approximation
fois, les fluctuations
l’amplificateur
On remarque que cet estimateur,
On peut
donnant la
3).
la tension de sortie de
pas du
une
beaucoup plus précise (voir
déduisons de la lecture de l’accéléromètre, c’est à dire de la
dépend
Encore
l’équation
théorème fluctuations-dissipation alors que les fluctuations
Nous écrivons ensuite l’estimateur de la force
ne
dans
fréquence
où K est la raideur
basse
(voir
IV B 2),
on
par
son
expression (270). En supposant qu’on
remplace l’impédance mécanique par
mécanique et m l’impédance réduite. On obtient
112
ainsi
Nous n’avons discuté ici que l’estimateur de la force et l’effet du
On peut néanmoins insister,
comme nous
l’avons
déjà
fait dans les
le fait que la transformation des fluctuations est unitaire. En
sont
bruit
préservés
entre l’entrée et la sortie de
quantique
ne
ajouté dans
On
supposé
a
troduit le
la
mesure
que les
lignes
m
paramètre R
l’intermédiaire du
performances
qui
la vitesse.
parties précédentes,
conséquence, les
de l’instrument
assure en
sur
commutateurs
particulier
que le
a
et
c
correspondaient
mesurant la friction
généralise
maintenant des deux
A la limite de haute
en nous
concentrant
sur
le
de la force
de
à la même
. On
a
température T
mécanique ramenée
couplage électromécanique (voir
Le résultat ainsi trouvé
dépend
ce
sur
peut être supprimé par la stabilisation active.
Nous discutons maintenant les
bruit
l’instrument,
couplage
et
température
113
.
m
R
in-
système électrique par
la discussion dans IV B 2)
façon manifeste ceux obtenus
a
paramètres R
au
a
en
IV A et IV B
puisqu’il
ce
résultat
se
réécrit
Comme précédemment,
un
minimum
lorsque
le
températures de
Le bruit
correspondant
de bruit de
cas
des termes
a
paramètre R
diverses
Comme dans les
on a
a
R
et
1R
a
varie. La valeur
ce
qui signifie
que le bruit
a
optimale pour R
ne
dépend
présente
pas des
bruit
à cet
optimum s’écrit
déjà discutés,
le bruit
l’amplificateur. Par contre,
de fréquence
en
on
ajouté dépend essentiellement
bénéficie
pleinement ici
de la
de l’effet de
température
transposition
puisque cette température est multipliée par le rapport des carrés des fréquences
2
03A9
.
c
03C9 De plus, la résistance de pertes intervient exactement de la même façon que le bruit
a
d’amplification lorsque R
est
optimisé.
114
3. Discussion des limites ultimes
Si
on se
place maintenant dans l’optique d’une discussion des
de cet instrument,
Rp
sont
On
soit
supérieures
va en
Le bruit
à
voit que le bruit minimum est obtenu
une
la
cas
décrit l’effet
sur
Le bruit minimal est atteint
La limite ultime de bruit
bruit de
où les bruits
mesure
à la limite de haute
équation
lorsque
les
impédances |Z
|
r
et
certaine valeur
fait discuter ici le
(281) ajouté sur
encore
Cette
on
limites ultimes de sensibilité
de force
dépendant
se
de
|et R
r
|Z
p peuvent être oubliés.
réécrit alors
température
le bruit de la variation du rapport
lorsque
ajouté
l’amplificateur multipliée
ce
rapport
est
un
aR
R
.
m
optimisé
est donc déterminée
par
d’impédance
simplement
par la
température
de
facteur essentiellement donné par le rapport des
fréquences mécanique et électrique.
Ceci montre
pour obtenir
encore une
une mesure
fois
l’importance
de la
technique
ultra-sensible. En supposant que la
teur est du même ordre que la
m associée
température T
115
de transposition de
fréquence
a de l’amplificatempérature T
à la friction
mécanique, on
voit que
son
effet peut être rendue
négligeable
par le
rapport des fréquences. Grâce
fréquence, on peut
donc lire le mouvement de la
rapport à celui qui
est associé à la friction ordinaire. Dans le même
tive de la masse, déterminée par
ordinaire. On
a
donc bien
un
masse en
l’équation (276),
système
est
un
bruit
transfert de
négligeable par
temps, la friction effec-
beaucoup plus efficace
de friction froide.
116
rajoutant
au
que la friction
V. CONCLUSION ET PERSPECTIVES
Notie
premier objectif dans
cette thèse
a
été de
développer
méthode
une
générale qui
permette d’évaluer l’effet des fluctuations quantiques et thermiques dans les réseaux passifs et
actifs. Nous
en
prenant
comme
missions de
Le
aux
à
ensuite
avons
appliqué
cette méthode
fondamentale dans
systèmes passifs
et
actifs.
méthode tout à fait
systèmes
aux
générale
diffusion. Tous
de
les résultats
la matrice S associée à cette diffusion. La consistence
quantique est
ainsi ramenée à
un
unitarité est d’ailleurs assurée
Cette méthode était
un
après
linéarisation
sont contenus dans
les contraintes de la théorie
thermiques, n’existait
ou
un
de
ce
partir
certain nombre de
travail de thèse
d’une
impédance
lignes dissipatives.
car une
description gé-
actifs, linéaires ou linéarisables, incluant les fluctuations
quantiques
pas
les critères de consistence
pratique manifeste.
entre
objectif essentiel
systèmes passifs
vers
et
y est mené selon la
importants
la matrice S est construite à
lorsque
nérale pour les
et
dissipation
la théorie des réseaux
sur
nonlinéaires
avec
à la
critère simple, à savoir l’unitarité de cette matrice S. Cette
purement réactive décrivant les couplages
intérêt
respectivement
point de fonctionnement. Le traitement des fluctuations
autour du
orienté
correspondant respectivement
formalisme, bâti
même
un
tout aussi bien
s’appliquant
conçu par l’ONERA pour des
II et III
chapitres
Les fluctuations associées
ont été décrites dans
systèmes électromécaniques
l’espace.
deux
premier objectif a été traité sur
linéaires mais
aux
exemple l’accéléromètre capacitif asservi
physique
l’amplification
générale
encore
théorique,
La matrice S
à notre connaissance. Hormis cet intérêt
ce
travail
présente
aussi à notre avis
prend en compte en même temps toutes les
un
sources
indépendantes de bruit affectant le système. Ceci est en particulier intéressant pour les bruits
d’amplification qui rejoignent
ments
importants
le caractère
trice. Ces
bilan de
QND
général
pour le fonctionnement du
ou
BAE, apparaissent
caractéristiques
ces
ainsi le cadre
de
des bruits liés à la
dissipation.
système, par exemple le transfert
façon manifeste dans la
facilitent considérablement
performances
117
l’analyse
du
de
Les élé-
fréquence,
structure de cette
système
de
mesure
ma-
et le
Ceci
a
été illustré dans cette thèse par
l’application de la méthode générale à un système
réel,
à savoir l’accéléromètre de l’ONERA. Cet accéléromètre est constitué d’un transduc-
teur
capacitif nonlinéaire travaillant
non
seulement à
la
préamplifier
la
position de
masse
force de friction.
friction active
la
le
régime QND,
en
avait
permettait
plusieurs
pour le lire le mieux
signal
d’épreuve. Cette
L’analyse qui
et de
possible,
mais aussi à
méthode de stabilisation active simule
déjà été
de réduire la
éléments actifs servant
faite
au
niveau
classique
aussi une
avait montré que la
bruit tiès
température équivalente de
asservir
au
dessous de
température ambiante.
Le traitement
quantique
que
nous avons
développé
en nous
de cette
inspirant
analyse
classique confirme totalement les résultats classiques. Le bruit ajouté par la friction active est
négligeable
rapport
par
de même efficacité. Si les
être très
réserve de
de bruit de la
de
qui
serait nécessairement associé à
Il est d’ailleurs
identique
au
résultat
remplacement de la température de
ligne électrique
sensibilité, qui
de transfert des
ne
une
dissipation passive
paramètres déterminant le bruit sont optimisés, ce
dépend
de détection. Ce résultat
que du
cette
un
est elle-
est donné par
analyse
obtenu pour
(268)
bruit
bruit peut même
mécanique résiduelle, qui
petite devant la friction active. Le résultat final de
l’équation (290).
sous
bruit
devant les fluctuations associées à la friction
petit
même très
au
système passif
d’amplification par la température
représente
ainsi
limite ultime
une
rapport des fréquences impliquées dans le mécanisme
fréquences, de l’impédance mécanique
de la
nue
masse
d’épreuve
et des
températures.
Naturellement, le
pratique des
terme de
dissipation mécanique
valeurs très différentes dans les modèles
l’amortissement doit être important pour
un
bruit
important. Par contre,
ment et la
l’efficacité du
passif
le bruit
prend
et actif. Dans le
la stabilité de la
masse
et
dans la
premier
cas,
il induit donc
être réduit de
façon arbitraire
en
principe
et à
une
beaucoup plus petite en pratique. Ces résultats confirment donc pleinement
principe
L’application
dépend
dans le second cas, la stabilité est assurée par l’asservisse-
dissipation mécanique peut
valeur résiduelle
assurer
dont
aux
de friction froide.
accéléromètres
capacitifs
nous a
118
permis
de montrer que la
description
par des réseaux
se
l’accéléromètre
a
prête
bien à la
description
pu être modélisé
d’un
rassemblant les résultats obtenus
en
éléments. Cette méthode modulaire peut être
sûr à l’étude des transducteurs
de Weber. Une autre
système relativement complexe.
capacitifs
application possible
à d’autres
appliquée
sur ces
principaux
systèmes. On
pense bien
utilisés pour la lecture du
est celle
aux
En effet,
dans les barres
signal
transducteurs inductifs basés
sur
les
SQUID’s.
Nous
avons
capacitifs
de la
dépend
ne
masse
remarqué que
que de
la limite ultime de sensibilité obtenue pour les accéléromètres
paramètres très généraux,
d’épreuve et le rapport
teur. On s’attend dans
ces
des
à savoir
qui
eux
aussi
conditions à
optimisés.
favorise naturellement les
Comme
nous
l’avons
ce
que la limite ultime de
Bien sur, cette limite
systèmes cryogéniques
déjà souligné,
notre
delà des seuls
systèmes électromécaniques.
les
et
avec
tèmes
systèmes optiques
optomécaniques
pouvons citer
une
ou,
approche
Par
optomécaniques.
sa
dépend
a
la même
si les transducteurs
aussi de la
température,
ce
fortiori, ultra-cryogéniques.
a une
conception,
Elle
performance soit
capacitifs
pourrait
portée
très
elle est
parfaitement adaptée
se
contenant des éléments actifs. Parmi les
expérience du
nue
fréquences lié au caractère paramétrique du transduc-
dans les transducteurs inductifs que dans les transducteurs
inductifs sont
l’impédance mécanique
générale,
bien
au
révéler utile traiter les sys-
expériences concernés,
laboratoire dont le but est de mettre
en
nous
évidence les effets
quantiques du couplage optomécanique [61,62], des propositions de transducteurs optomécaniques pour lire le
qui
se
signal
à la sortie des barres
trouvent dans la stabilisation de
position
gravitationnelles [60]
des miroirs dans les
et les éléments actifs
grands
interféromètres
quantiques utilisant
la richesse et la
gravitationnels [37].
Enfin,
on
peut
penser à de nouvelles études d’effets
spécificité des systèmes électriques et électromécaniques. Dans les systèmes optiques, l’échelle
de la
dissipation
dance du vide et
Dans les
et des fluctuations
ne
quantiques associées
peut être changée
systèmes électriques
ou
que par des
mécaniques
associées peuvent être modifiées à volonté
au
est
techniques
fait déterminée par
relativement
contraire, la dissipation
simplement par
119
en
le choix des
l’impé-
sophistiquées.
et les fluctuations
impédances [45]. On
a en
fait
déjà
utilisé cette
possibilité
dans cette
thèse,
par
exemple
optimisé des impédances de bruit. Ceci peut également permettre de
rations
optimales
pourrait aussi
est
au
concevoir des
contraire
pourrait
où le bruit
quantique
ou
configurations
thermique soit
dans
augmenté
afin de rendre
son
ensuite faciliter la
compréhension
et la maîtrise de
120
chaque
fois
concevoir des
aussi faible que
lesquelles l’effet
étude
à
qu’on
configu-
possible [30]. On
des fluctuations
quantiques
expérimentale plus accessible,
ces
a
fluctuations.
ce
qui
VI. APPENDICES
Réponse linéaire
A.
Nous
rappelons
linéaire
réponse
système
et
susceptibilités
susceptibilité généralisée,
dans le cadre de la théorie de la
[6,7,48].
Soit -03B2 (t) B (t)
du
le concept de
et
03B2 (t)
la
perturbation à laquelle est
une
fonction
soumis le
système, où
classique s’annulant pourt
~
-~.
B est
Si
une
une
observable
telle action est
faible, la théorie de la réponse linéaire donne la variation des valeurs moyennes de l’observable
A du
La
système
par
rapport à l’équilibre
susceptibilité généralisée
action extérieure
spectral,
La
partir
la
dépendant
réponse
AB
~
(t)
superposition d’effets retardés, soit
décrit donc la
du temps
linéaire s’écrit
comme
réponse
proportionnelle
linéaire de la
à la
grandeur
grandeur
A à
une
B. Dans le domaine
simplement
03BE [03C9], définie à
partie dissipative de la susceptibilité est reliée à la densité spectrale AB
du commutateur des
Ces relations très
opérateurs
générales dépendent
A et B
seulement
d’hypothèses de linéarité
et de stationna-
rité.
Si
ture
on
T,
suppose que le
on
système est dans l’état d’équilibre thermodynamique à la tempéra-
peut écrire de plus
Dans l’état de
vide,
c’est à dire à la limite T ~
121
0,
on
obtient
Nous retrouvons alors le théorème de
fluctuations-dissipation. Considérons
partie
réactive et R celle
à
perturbation q (t) U (t), où
une
dissipative.
q
Nyquist
comme cas
un
conducteur
d’impédance
La
réponse de
la tension U
représente la charge,
de
particulier
Z
[03C9]
aux
+
ces
théoièmes
R, où Z [03C9]
est
sa
bornes du conducteur
est décrite par la
susceptibilité
suivante
est immédiatement obtenu
Le bruit
Nyquist (34)
bruit
tension vaut dans
en
bruit
ajouté
sur
rapport signal
il faut
thèse,
le
sur
prendre
en
ajouté
nous avons
signal.
observant que la densité
spectrale
du
ce cas
B. Bruit
Dans toute la
en
Dans cet
et
rapport signal
sur
bruit
caractérisé la sensibilité d’une
appendice,
nous
mesure
par le
montrons comment relier
ce
spectre de
spectre
bruit SNR souvent utilisé pour caractériser la sensibilité. Dans
ce
au
but,
compte deux élements supplémentaires qui n’interviennent pas dans le
spectre de bruit, d’une part la forme du signal à
mesurer
et d’autre
paitla bande passante
de détection.
Par souci de
simplicité,
nous
supposons ici que le
.
0
monochromatique de fréquence 03C9
un
filtre
Le
signal
Nous considérons que
à détecter est
une
nous mesurons une
s’écrit donc dans
par le
système
de
modulation
force à travers
représenté par une fonction certaine g [03C9] qui définit la bande passante
de détection.
l’espace des fréquences après filtrage
où F
ext est l’estimateur de la
ajouté
signal
force, c’est
mesure.
Dans
à dire la
ces
somme
conditions,
bruit de la manière suivante
122
de la force extérieure et du bruit
nous
définissons le rapport
signal
sur
où
(S) représente
2 la
0394S
et
la valeur moyenne du
variance
du bruit
signal
ajouté qui peut
Nous pouvons aussi écrire le rapport
être obtenue à partir de la
signal
sur
ajouté
sur
la
La fonction
mesuie
g[03C9] g[03C9
]
0
nous
2 la variance du bruit
0394F
de force
définit
un
filtre normalisé à la
considérons des filtres tels que cette
Si
de bruit
bruit
> représente la valeur moyenne du de la force extérieure et
ext
<F
où
puissance
supposons de
le spectre de bruit 03A3
F
2
intégrale 0394F
fréquence
ou
0 du
moyenne 03C9
2
l’intégrale 0394S
signal.
Nous
soient convergentes.
plus la largeur de la bande d’analyse suffisamment étroite pour
puisse être
considéré
comme
constant
sur
cette
bande,
nous
que
obtenons
finalement
où B définit la bande passante de la
si
on mesure une
nombre
sans
force et
>
ext
<F
en
mesure.
N, de
Notons que B
sorte que le
dimension
123
se mesure en
rapport signal
F
Hz, 03A3
sur
en
/Hz
2
N
bruit est bien
un
Pour
un
signal monochromatique, ce rapport
c’est à dire aussi
un
monochromatique ou
bruit maximal
sur
filtre
temps de
que le
mesure
temps de
correspondant
à
est
infiniment
mesure
une
optimisé pour
long. Quand
limité,
est
fonction de
une
le
bande passante nulle,
attendu n’est pas
signal
peut calculer
on
filtrage optimal.
rapport signal
un
C’est
l’argument
du
optimal [63].
C.
L’équation
Equations
du transducteur
du mouvement de la
La force F est la
somme
masse
dans
capacitif
différentiel
l’espace des fréquences
s’écrit
de la force d’amortissement et des fluctuations
quantiques qui
en
dérivent
Ecrivons maintenant,
et U". Comme
problème et
nous
en nous
l’avons dit
servant des lois des
au
début de la
le caractère différentiel de la
mailles, les expressions des tensions U’
partie
mesure
IV B,
nous
pour écrire les
utilisons les
du
aux
bornes des
capacités
de
du
équations caractéristiques
où I est le courant à la sortie de la résistance R
e et U est la tension à
à la différence entre le tensions
symétries
ses
couplage.
bornes, qui
g2
R
est
égale
est la résistance
générateur.
Comme la symétrie du système le
force
électrostatique (236)
somme se
séparent.
nous
suggère,
ces
expressions,
ainsi que
l’expression de
la
montrent que les rôles de cette tension et de la tension
Nous remarquons d’abord que
124
Donc, d’une part
la
somme
D’autre part, de leur
des
différence,
(308)
on
nous
obtient
donne
appendice,
la section IV B dans le
Nous montrons que
Il est
Dans
ce
cas
avec une
calculons la matrice de
nous
où la
polarisation
pour le mode
pour le mode
l’équation
D. Fonctionnement du transducteur
Dans cet
l’équation
antisymétrique
polarisation
désaccordée
répartition de l’accéléromètre passif de
n’est pas résonante
l’optimum de sensibilité est
symétrique
obtenu pour
avec
une
le circuit de détection.
polarisation
résonante.
possible de faire ce calcul simplement lorsque le couplage capacitif est faible (03BB
cas,
on
peut écrire la matrice impédance (246)
pour les
«
1).
quadratures
où
Notons que dans cette
et les résonances
par le
couplage.
ou
approximation
plus
en
général
la matrice 03BBz
1
la
dynamique
ne
du
décrit que des termes de
système
Dans les conditions de validité du traitement
impédances électriques
valent
125
ne
couplage,
sont donc pas modifiées
perturbatif (0394 ~ 03C9
),
e
les
et le coefficient de
couplage
De la même manière que pour la matrice
tition
écrire la matrice de
répar-
comme
La matrice s
0
des
impédance, on peut
correspondant
champs. Pour
Nous
aux
systèmes non couplés n’est responsable que d’un déphasage
1
évaluer la sensibilité de la mesure, il suffit alors d’étudier la matrice s
nous sommes
placés
autour de la
fréquence nulle 03A9 ~
0. Dans cette
limite,
nous
obtenons
Nous pouvons maintenant évaluer
extérieure agissant
de bruit
sur
mécanique.
l’expression
l’oscillateur mécanique et
de la sensibilité de la
combinaison linéaire convenable des
en
puissance
signal
vers
l’appaieil
de la matrice 1 +
quadratures électriques,
126
d’une force
intervenant, comme d’habitude, par la ligne
La condition de transfert maximal du
peut être décrite par le taux de transfert
mesure
de
mesure
. Pour
1
203BBs
le taux de transfert s’écrit
une
où T (0)
le taux de transfert à résonance
représente
La fonction T
(0394) présente un
maximum à résonance
Ce résultat reste valable pour
la
sur
ligne
la matrice 1 +203BBs
.A
1
de détection
qui présente
aussi
un
=
0).
qui prenne en compte les pertes électriques (cf.
Le taux de transfert dans
l’appendice (VIE)).
(328)
une mesure
(0394
ce cas
est obtenu
en
opérant la transformation
partir de la matrice S transformée, le taux
d
d’impédance R
de transfert pour
simplement
vaut
maximum à résonance.
E. Influence des pertes
Pour étudier l’influence des pertes
considérons le schéma
correspondant
branchée à deux
la
une
ligne
lignes:
de pertes
.
p
R
électriques
à la
figure
première correspond
Vues du
transducteur,
à
ces
dans le modèle de détection
22. La
une
ligne électrique
ligne
deux
passive,
nous
de détection est
de détection R
d et la seconde à
lignes
sont
équivalentes
à
une
ligne
e
d’impédance R
C’est seulement cette
ligne équivalente qui apparaissait
dans la section IV B 2. Si par contre,
la détection est faite dans la voie d il faut tenir compte de l’effet de
branchement des 3
cet
appendice,
conséquences
nous
, R
d
lignes R
p
et
traitons d’abord
pour le bruit de
répartition
lié
au
e (voir la discussion dans la section IV B 3). Dans
R
ce
problème
mesure.
127
de
répartition
avant d’en discuter les
Schéma décrivant l’effet de pertes électriques
FIG. 22 -
la détection. La
branchée à la sortie d’un transducteur. Elle est aussi branchée
est
parallèle
à
répartiteur
et
en
sur
une
en
ligne
de pertes p. Au niveau du
partant
sont
notés
in
f
et
out
f
.
sur une
répartiteur, les champs
Ils
ligne
ligne
de la
de détectione
de détection d mise
ligne
correspondent respectivement
aux
arrivant
e
au
out
champs ~
et .
in
e
Nous étudions le
(321).
Nous notons
électriques
soit
aussi,
Nous
en
de
en
ce
f
le
arrivant dans la
champ
amplitudes
déduisons la matrice de
C’est
un
trois résistances obéissant à
e
ligne R
sur
le
répartiteur.
Les
l’équation
équations
système s’écrivent
fonction des
Le coefficient nul
lignes.
répartiteur adapté constitué des
signifie
que le
entrantes et
répartition
champ f
in
effet direct de la condition
sortantes,
suivante
est
intégralement
transmis dans les deux
d’adaptation d’impédance (321)
128
auties
Lorsque
ce
répartiteur est branché à la sortie du transducteur électromécanique, on peut
out intervenant dans l’interaction
in et e
identifier les champs e
et les
in
champs f
déphasage
et
out
f
intervenant dans le
correspond
i~ qui
e
à
une
propagation
Nous déterminons ainsi immédiatement le
Supposons
in arrivant
e
cette
pour
sur
simplifier que
répartiteur
les deux
dans la
champ
lignes
le
système mécanique
par l’intermédiaire d’un
simple
ligne
arrivant
sur
le transducteur
d et p sont à la même
température.
Le bruit
le transducteur est alors exactement le même que celui d’une seule
ligne
à
température.
Etudions maintenant les relations d’entrée-sortie du
e
avec
couplée
à
une
ligne mécanique m
système complet. Supposons
par le transducteur. La matrice
On déduit alors les équations d’entrée-sortie du
s
la
correspondante
ligne
est
système transducteur-répartiteur qui peuvent
s’écrire matriciellement
où les matrices r,
dans la
ligne
u
et
s
représentent respectivement
et de diffusion
sur
le transducteur
129
les effets de
répartition, de déphasage
Considérons maintenant que le
posée
à.
in On déduit des relations
m
Si les deux réservoirs
bruit
out
signal d
ajouté
sur
la
On voit nettement
nomène de
électriques
mesure
sur
est utilisé pour
précédentes
sont à la même
un
mesurer une
force
ext
f
super-
estimateur de la force
température T
,
e
on en
déduit le spectre du
de force
cette formule
apparaître la dégradation de performance liée
répartition.
130
au
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LISTE DES NOTATIONS
0393, coefficient d’amortissement,
34
,
03B403C9. fluctuations de la variable w, 42
039403C9, dispeision
sur
03C9,
fonction
03B4
(03C9),
distribution de Dirac, 21
03B8
(w),
fonction de
x, constante
signe
de w, 22
Heaviside,
22
piézoélectrique,
32
, coefficient
e
03BB
de
AB
~
,
w, 3
e (w),
couplage
du
amplitude
de transmission, 31
susceptibilité généralisée,
pulsation (fréquence angulaire),
,
p
03C9
pulsation
,
e
03C9
fréquence (pulsation)
de la
trique,
,
m
03C9
fréquence
polarisation,
45
de résonance élec-
propre de l’oscillateur mé-
34
03A9, fréquence (pulsation) d’analyse,
, coefficient de couplage
s
03BB
du transducteur
de rétro-action de
l’accéleéromètre,
18
34
canique, 9,
senseur ca-
pacitif de l’accéléromètre, 88
121
49
03C9 opérateurs création et annihilation,
a
03C9 ,
~
a
,
21
88
~, gain de contre-réaction.
B, bande passante, 38, 123
111
121
03BE, densité spectrale (commutateur), 22,
p,
amplitude de réflexion,
31
m1 2,e1,2 spectres des bruits
03C3
,
électrique sur
03C3,
spectre de bruit
les
C, capacité,
28
0,
C
3C903C9 fonction d’autocorrélation, 18, 22,
mécanique
quadratures,
et
D, dénominateur,
44
60
D, dénominateur, 73
(anticommutateur),
22
, 03C3
a
03C3
,
c
spectres de bruit d’un ampli-op, 76
E, champ électrique,
, 03C3
m
03C3
,
e
spectres de bruit mécanique et élec-
el énergie électrostatique,
E
,
trique,
37
F, force,
, 03A3 bruits rajoutés
F
03A3
,
A
mesure
lération,
ou
d’une accé-
à l’entrée
d’une force
sur
réduite ,
la
42
26
ext
F
,
force
ext
f
,
force extérieure
extérieure,
36
réduite,
, estimateur réduit de la
ext
me-
37
force extérieure, 37
137
40
25
f, force réduite,
38
, puissance de bruit
f
03A3
suie
à l’entrée dans la
d’une force
121
36
mesure
d’une
el force électrostatique,
F
,
, impédance caractéristique d’un amplia
R
40
ficateur
G, gain
en
tension d’un
ampli-op,
66
s, matrice de
62
constante de
105
diffusion, 30
SNR, rapport signal
H, coefficient d’amortissement visqueux, 25
,
66
, résistance équivalente mécanique,
m
R
G, coefficient d’amplification du bruit quantique,
opérationnel,
sur
123
bruit,
T, température, 18
Planck, 3
t, temps, 4
I, courant, 16
i, unité
, T
m
T
, températures de bruit mécanique
e
imaginaire,
z, courant
se
U, tension,
propageant dans la ligne
coaxiale - bruit
et
électrique
u, tension
entrant
sortant, 20
, bruit d’ampli-op
n
I
en
24
, bruit Nyquist
N
U
en
, bruit d’ampli-op
n
U
courant, 66
plitude,
Boltzmann,
L, inductance, 28
masse, 4
03C9
n
,
nombre de
v, vitesse
photons thermiques ,
w
22
[03C9],
in
03C9
3
réduite,
26
out
w
34
,
0
03C9
28
[03C9], champ réduit
quadratures, 9,
23
x,
138
position,
3
(t),
18
21
de 03C9, 48
point de fonctionnement, 42
, 03C9
1
03C9
,
2
w
sortant, 24
amplitudes complexes
, variable de
C
w
R, résistance, 16, 17, 19,
25
[03C9], champ réduit entrant,
,
, 03C9
+
03C9
q, charge,
25
transformée de Fourier de
P, puissance, 20
Q, facteur de qualité,
tension, 66
41
in bruit mécanique,
V
,
M,
impulsion,
en
18
V, vitesse,
p,
tension, 17
U tension de polarisation et son am,
p
0
K, raideur, 32
,
B
k
17
réduite,
Up,
constante de
37
électrique,
et
24
réduit,
in ,
I
,
out ondes
I
18
53
couplage,
42
Y, admittance,
28
y, matrice admittance
z, matrice
réduite,
impédance réduite,
29
29
me ,
Z
,
me impédance et coefficient d’amorH
tissement
réaction
me
z
,
impédance
mécaniques dus à la contre-
électrique,
de
90
couplage réduite,
35
,Z impédances mécanique et électrique,
m
Z
,
e
47
,
e
, z
m
z
impédances réduites mécanique
électrique,
35
, impédance mixte, réactive
tive,
et
et
dissipa-
74
139
Résumé
Les fluctuations sont présentes dans toute mesure et elles en limitent la sensibilité ultime.
Ceci est vrai en particulier pour les fluctuations de nature fondamentale qui correspondent au
bruit thermique et au bruit quantique.
Un premier objectif de cette thèse a été le développement d’une méthode générale qui
permette le traitement de ces fluctuations dans des systèmes de mesure comportant des
éléments passifs et des éléments actifs remplissant des fonctions d’amplification ou de contreréaction. Cette méthode, basée d’une part sur la théorie des réseaux, d’autre part sur le
formalisme quantique de la matrice S, s’applique aux systèmes linéaires et, plus généralement,
aux systèmes linéarisables autour du point de fonctionnement. Elle peut prendre en compte
toutes les sources de bruit et décrit donc la non-idéalité de la mesure. Son caractère modulaire
se prête bien au traitement des systèmes complexes.
Un deuxième objectif a été l’étude des effets des fluctuations quantiques et thermiques sur la
sensibilité des mesures électromécaniques. Le bruit dans ces systèmes, habituellement dominé
par les fluctuations thermiques, s’est rapproché du niveau quantique, sous la pression des
expériences nécessitant de très hautes sensibilités (détection des ondes gravitationnelles, test
du principe d’équivalence dans l’espace) et grâce aux développements technologiques dans le
domaine cryogénique. La méthode développée dans cette thèse fournit un cadre théorique
consistent pour traiter fluctuations quantiques et thermiques dans ces systèmes. Des résultats
précis ont été obtenus pour un accéléromètre conçu par l’ONERA pour des expériences de
physique fondamentale dans l’espace et qui présente la particularité d’utiliser un mécanisme de
friction froide. Ces résultats permettent d’estimer les limites ultimes de sensibilité d’un tel
instrument.
Mots-clés :
Fluctuations
quantiques
électromécaniques, Accéléromètres,
et
thermiques, Systèmes actifs, Transducteurs
Rétro-action, Théorie des réseaux, Mesure
Friction froide,
QND et BAE.
Abstract
Fluctuations
particularly
are
present in any
true for the fundamental
measurement and determine the ultimate
fluctuations, namely
sensitivity.
This is
thermal and quantum noise.
objective of this thesis has been to develop a general method allowing us to treat
measurement systems consisting of passive elements and active ones, the latter being used for
amplification and feedback. This method, based on network theory and on the quantum
scattering matrix formalism, is applicable to linear systems and, in a more general case, to
systems linearisable around the working point. It can take into account all noise sources and
can, therefore, describe accurately a non ideal, real, measurement. Its modular character is
well-adapted for the treatment of complex systems.
The first
The second objective has been to study the influence of quantum and thermal fluctuations on
electromecanical measurements. The noise in such systems is usually dominated by thermal
fluctuations, but has been pushed towards the quantum limits by ambitious experimental studies
requiring very high sensitivity (detection of gravitational waves, test of the equivalence principle
in outer space) and due to the technological development in the field of cryogenics. The method
developed in this thesis provides a consistent theoretical framework for the treatment of
quantum and thermal fluctuations in these systems. In particular, results have been obtained for
an accelerometer developed at ONERA for fundamental physical experiments in space, which
has the specific feature of employing the mechanism of cold damping. The results allow for an
estimate of the ultimate sensitivity limits of such an instrument.
words : Quantum and thermal fluctuations, Active systems, Electromechanical
transducers, Accelerometer, Cold Damping, Feedback, Network theory, QND and BAE
Key
measurement.