Etude des champs de température et de déformation dans les matériaux métalliques sollicités à grande vitesse de déformation Nicolas Ranc To cite this version: Nicolas Ranc. Etude des champs de température et de déformation dans les matériaux métalliques sollicités à grande vitesse de déformation. Energie électrique. Université de Nanterre - Paris X, 2004. Français. �tel-00010301� HAL Id: tel-00010301 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00010301 Submitted on 27 Sep 2005 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Thèse de do torat Université Paris X - Nanterre Spé ialité : Energétique Présentée par Ni olas RANC Etude des hamps de température et de déformation dans les matériaux métalliques solli ités à grande vitesse de déformation Soutenue le 20 Dé embre 2004 devant le jury omposé de : A. Molinari A. Chryso hoos C. Ron hi P. Hervé M. Reynier H. Couque T. Thomas V. Pina Président du jury Rapporteur Rapporteur Dire teur s ientique Examinateur Examinateur Invité Invité Université de Metz Université Montpellier II ITU Karlsruhe Université Paris X Université Paris X - Dire tion ENSAM GIAT Industries SNECMA Université Paris X A Isabelle, Clotilde et Guillaume "pluralitas non ponenda sine ne esitate" "les hoses essentielles ne doivent pas être multipliées sans né essité" Prin ipe de par imonie, Guillaume d'O am, moine fran is ain et philosophe du XIVème siè le. Selon e prin ipe, en s ien es physiques quand deux théories en ompétition permettent de prédire exa tement les mêmes hoses, la plus simple est la meilleure. Remer iements Ce travail de thèse a été réalisé au sein du Laboratoire d'Energétique et d'E onomie d'Energie (LEEE) de l'Université Paris X Nanterre en ollaboration ave le Centre Te hnique d'Ar ueil de la Délégation Générale pour l'Armement (Ministère de la Défense). En premier lieu, je tiens à remer ier Monsieur Philippe Hervé, mon dire teur de thèse et également dire teur du LEEE de m'avoir a ueilli au sein de son laboratoire et d'avoir a epté d'en adrer es travaux de re her he. Je souhaite également exprimer toute ma re onnaissan e à Monsieur Alain Molinari qui m'a fait l'honneur de présider mon jury de thèse ainsi qu'à Messieurs André Chryso hoos et Claudio Ron hi qui ont a eptés la lourde tâ he de rapporteur de e mémoire. Je les remer ie également pour les nombreuses et fru tueuses dis ussions que nous avons eues. Je remer ie également Madame Marie Reynier et Monsieur Hervé Couque d'avoir a epté de juger e travail. Mes remer iements vont également à Monsieur Thierry Thomas pour sa parti ipation au jury de thèse et pour son a ueil au sein du département Matériaux Surfa es Prote tion du CTA dont il était responsable. Plus parti ulièrement, je tiens à remer ier Vin ent Pina de son aide sur la partie expérimentale de e travail et Lauren e Beylat, Ja ques Clisson, Pierre François Louvigné et Laurent Taravella d'avoir grandement fa ilité toutes mes démar hes s ientiques et administratives au Centre Te hnique d'Ar ueil. Enn, les personnes ayant ontribuées à e travail sont nombreuses, je tiens à les remer ier toutes très vivement. Table des matières Glossaire Nomen lature Introdu tion v vii 1 I Etude bibliographique du isaillement adiabatique 1 Historique du isaillement adiabatique 1.1 1.2 1.3 1.4 Dé ouverte des bandes de isaillement adiabatique . Expérien e de Mar hand et Duy . . . . . . . . . . Mesures de température . . . . . . . . . . . . . . . Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Amorçage et formation d'une BCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . . 2.1 Mise en équation du problème de isaillement adiabatique . . . . . 2.2 Critères de lo alisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Maximum de ontrainte de isaillement . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Critère de stabilité : méthode des perturbations linéarisées . 2.2.3 Critère de lo alisation : méthode des perturbations relatives 2.2.4 Méthodes non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Propagation des BCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Mise en éviden e de la propagation des BCA . . . . . . . . . 2.3.2 Vitesse de propagation des BCA . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Stru tures bidimensionnelles dans les BCA . . . . . . . . . . . . . . 3 Comportement olle tif des BCA . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 11 13 16 17 17 18 19 20 22 22 25 26 26 27 29 31 3.1 Etudes expérimentales : auto-organisation des BCA . . . . . . . . . . 31 3.2 Prédi tion de l'espa ement entre BCA . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 i TABLE DES MATIÈRES II Mesure de la température par pyrométrie 35 4 Rayonnement des solides 4.1 Origine physique du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Phénomène d'émission d'un photon . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Cara tère aléatoire de l'émission . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Rayonnement d'un orps idéal : le " orps noir" . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Dénition du " orps noir" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Energie rayonnée par un orps noir . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Maximum d'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Les u tuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Maximum de sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Rayonnement des orps réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Dénition du fa teur d'émission . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Relation entre le fa teur d'émission et le fa teur de réexion 4.3.3 Relations de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Propriétés optiques des matériaux ondu teurs . . . . . . . . 4.3.5 Paramètres inuençant le fa teur d'émission d'une surfa e . 5 Prin ipe de la pyrométrie 5.1 Généralités sur la pyrométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Dispositif optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Les déte teurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Ampli ation et a quisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Expression du signal délivré par un déte teur . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Puissan e rayonnée sur un déte teur . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Signal en sortie de déte teur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Etalonnage du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Con eption et optimisation de la haîne pyrométrique . . . . . . . . 5.3.1 Optimisation de la taille du déte teur et du système optique 5.3.2 Comparaison des déte teurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 39 39 40 41 41 42 43 44 47 48 48 49 49 50 55 59 59 60 60 65 66 66 69 70 72 74 75 77 6 Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques 79 6.1 Présentation du montage mé anique . . . . . . 6.1.1 Barres d'Hopkinson en torsion . . . . . 6.1.2 Eprouvette . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Méthode de dépouillement . . . . . . . 6.2 Présentation du montage expérimental . . . . 6.2.1 Mesure du fa teur d'émission du TA6V ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 79 79 82 85 85 TABLE DES MATIÈRES 6.2.2 Le pyromètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.3 Test de la haîne de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 III Analyse des résultats - Dis ussion 97 7 Modélisation numérique du isaillement adiabatique 101 7.1 Présentation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Mise en équation du problème . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Géométrie du problème et onditions limites . . . . . . 7.1.3 Modélisation des défauts . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Loi de omportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Loi de Johnson-Cook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Identi ation des paramètres - Essais de omportement 7.3 Le al ul par éléments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Cara téristiques du al ul . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Résultats du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Historique de la formation de la bande . . . . . . . . . 7.4.2 Champs de vitesse et de ontrainte . . . . . . . . . . . 7.4.3 Inuen e du défaut sur la BCA . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Analyse et dis ussion des résultats 8.1 Amorçage de bandes de isaillement adiabatique . . . 8.1.1 Prédi tion de la déformation à la lo alisation . 8.1.2 Mé anismes de nu léation des BCA . . . . . . 8.2 Températures maximales dans les BCA . . . . . . . . Con lusions et Perspe tives Bibliographie Liste des gures Liste des tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 . 101 . 103 . 104 . 105 . 105 . 108 . 114 . 114 . 115 . 115 . 115 . 117 . 119 . 125 . . . . . . . . . . . . . 127 . 127 . 132 . 137 127 141 145 151 157 iii TABLE DES MATIÈRES iv Glossaire BCA CTA LEEE LOT MSP Bande de isaillement adiabatique Centre Te hnique d'Ar ueil Laboratoire d'Energétique et d'E onomie d'Energie Laser Optique et Thermo-optique Matériaux, Stru tures, Prote tion v Glossaire vi Nomen lature A c C C Cb Ct D D∗ e f E h J k K le ls ℓ0λ L Lλ L0λ m n ñ p P Q R Rb Re Ra Rm s Si onstante d'appareillage élérité de la lumière dans le vide, 2, 998.108 ms−1 apa ité alorique raideur vitesse de propagation d'une bande de isaillement adiabatique vitesse des ondes de isaillement déte tivité déte tivité spé ique épaisseur de la toile de l'éprouvette ou harge de l'éle tron, 1, 602177.10−16 C fon tion seuil module d'Young onstante de Plan k, 6, 626176.10−34 Js moment d'inertie quadratique onstante de Bolzmann, 1, 380662.10−23 JK −1 oe ient d'appareillage longueur de la barre entrante longueur de la barre sortante luminan e instantanée du orps noir luminan e luminan e mono hromatique luminan e mono hromatique du orps noir masse de l'éle tron, 9, 10939.10−31 kg indi e réel indi e de réfra tion omplexe variable d'é rouisssage puissan e déte tée par un apteur rendement quantique é rouissage rayon de la barre rayon intérieur de l'éprouvette rugosité moyenne arithmétique rugosité maximale partie déviatorique du tenseur des ontraintes signal en sortie de déte teur vii Nomen lature Si0 Se Sλ T T0 V vφ αλ β γ δ ε0 εeq εInSb εr εtot ελ ε εe εp η θ λ λc µ ν ξ ρ ρλ σ σe σeq τ τλ χ ω ω0 ωp ωτ Ω : tension d'oset se tion de la partie utile de l'éprouvette sensibilité spe trale température température ambiante vitesse de solli itation vitesse de phase fa teur d'absorption oe ient de Taylor-Quinney déformation de isaillement profondeur de pénétration permittivité du vide, 8, 854188.10−12 F m−1 déformation plastique équivalente umulée fa teur d'émission intégré sur le spe tre du déte teur InSb permittivité relative omplexe fa teur d'émission total fa teur d'émission mono hromatique tenseur des déformations totales tenseur des déformations élastiques tenseur des déformations plastiques taux de roissan e ou rendement diéren e de température longueur d'onde ou ondu tivité thermique longueur d'onde de oupure module de isaillement oe ient de Poisson nombre d'onde masse volumique fa teur de réexion tenseur des ontraintes limite d'élasti ité ontrainte équivalente de Von Mises ontrainte de isaillement ou temps de vol fa teur de transmission fa teur d'extin tion pulsation pulsation d'os illation pulsation plasma pulsation de relaxation angle solide produit tensoriel doublement ontra té viii Introdu tion Les mé anismes d'endommagement et de rupture liés aux solli itations à grande vitesse de déformation (supérieure à 100 s−1) sont bien moins onnus que eux mis en jeu en statique. Pourtant les domaines d'appli ation sont nombreux et en développement ( rash, mise en forme des matériaux, impa t balistique). Une des onséquen es ultimes d'une solli itation dynamique est le isaillement adiabatique que nous allons étudier plus parti ulièrement dans e mémoire. Présentation et appli ations du isaillement adiabatique Le isaillement adiabatique est un mé anisme de ruine intervenant le plus souvent dans les matériaux du tiles (par exemple les métaux) lors de solli itations dynamiques mettant en jeu de grandes vitesses de déformation. Ce phénomène est ara térisé par une lo alisation de la déformation plastique de isaillement sous forme de bandes de faibles épaisseurs (quelques dizaines à quelques entaines de mi romètres). Cette lo alisation s'a ompagne d'une dissipation de l'énergie de déformation plastique sous forme de haleur. Lors d'une solli itation dynamique, le temps de déformation est si ourt que la haleur ne peut s'éva uer par ondu tion. C'est pour ette raison que e phénomène est qualié d'adiabatique. Il en résulte une augmentation importante de la température lo alement dans es bandes (plusieurs entaines de degrés). Cependant à l'é helle de dimension des bandes, la ondu tion n'est pas négligeable. Ce sont les propriétés thermiques et plus pré isément la diusivité thermique qui déterminent l'épaisseur de la bande. Le isaillement adiabatique onduit à des déformations intenses très lo alisées qui sont les pré urseurs de la réation de mi ro avités et don de ssures. En phase terminale, le isaillement adiabatique est don le siège de la propagation d'une ssure. De nombreux pro essus de mise en forme rapide des matériaux métalliques génèrent des bandes de isaillement adiabatique (BCA). En 1966, Pomey [53℄ soulignait déjà l'intérêt de e phénomène, qu'il appelait "plasti ité adiabatique", dans les appli ations industrielles de formage et de dé oupe des matériaux métalliques. Aujourd'hui, l'exemple le plus ara téristique est l'usinage grande vitesse. Ses avantages par rapport aux te hniques d'usinage onventionnelles sont multiples. Il permet entre autres d'augmenter la produ tivité et d'améliorer la qualité de surfa e des 1 Introdu tion Fig. 1 - Observation mi ros opique de bandes de isaillement dans un opeau segmenté d'après Lesourd [31℄. piè es usinées. Ce pro édé autorise également l'usinage des matériaux possédant des performan es mé aniques de plus en plus élevées omme par exemple les alliages de titane très utilisés dans l'industrie aéronautique. Les grandes vitesses de oupes donnent une morphologie de opeau segmenté (en dent de s ie) ave présen e de BCA (gure 1) et s'a ompagnent d'une rédu tion des eorts de oupe. Une optimisation du pro édé d'usinage grande vitesse passe don obligatoirement par un approfondissement des onnaissan es sur le isaillement adiabatique. Une entreprise suédoise Hydropulsor AB1 a utilisé e phénomène pour on evoir une ma hine hydraulique permettant de dé ouper des barreaux ou des tubes ave des aden es très grandes. Le deuxième intérêt de e prin ipe est d'obtenir une très bonne qualité de oupe et de faibles amplitudes de poinçon. La ma hine hydraulique permet de isailler des barreaux dont le diamètre peut atteindre 40 ou 60 millimètres. Les aden es de produ tion varient entre 200 et 700 piè es par minute suivant le diamètre à dé ouper. Le mé anisme de rupture peut sans doute être attribué aux bandes de isaillement. Dans le domaine militaire, l'étude de la résistan e d'un blindage de har vis-àvis d'une solli itation d'impa t met en jeu des vitesses de solli itation élevées. Les BCA apparaissent omme un mé anisme d'endommagement important au niveau du omportement dynamique des matériaux pour blindages et perforants, en parti ulier au niveau de l'intera tion proje tile- ible. La gure 2 montre une mi rographie d'un blindage en a ier après perforation par un obus è he. On onstate une multitude de bandes de isaillement ara térisées par de nes lignes blan hes. Ce mé anisme de ruine a également été évoqué pour expliquer le pouvoir perforant a ru des proje tiles inétiques de matériaux parti ulièrement sensibles au isaillement adiabatique. Il 1 Hydropulsor AB box 2023 69102 KARLSKOGA SWEDEN ; Internet : www.hydropulsor. om 2 Introdu tion Fig. 2 - Bandes de isaillement dans un a ier de blindage après perforation par un obus è he (métallographies réalisées au CTA). pourrait en eet jouer un rle en balistique terminale en modiant la forme de la tête du proje tile [35℄. L'étude des BCA vise à améliorer la onnaissan e des phénomènes mis en jeu an de développer par exemple des ritères de ruine intégrables dans un ode de al ul, en vue de limiter le oût inhérent aux essais balistiques. Une meilleure ompréhension des mé anismes physiques peut également permettre d'optimiser ou de développer de nouveaux matériaux [60℄. Problématique Depuis sa dé ouverte par Tres a en 1878 [64℄, le isaillement adiabatique sus ite toujours un grand intérêt au sein de la ommunauté s ientique. Cependant, malgré de nombreux travaux sur le sujet, tous les mé anismes d'initiation et d'évolution des bandes de isaillement ne sont pas aujourd'hui omplètement onnus et leur modélisation présente toujours des di ultés. D'abord sur le plan expérimental, la mise en pla e d'un système de mesure en dire t adapté à l'é helle de temps du isaillement adiabatique et plus généralement aux solli itations dynamiques reste un travail déli at. La durée de formation d'une bande de isaillement est en eet de l'ordre de la dizaine de mi rose ondes. La di ulté supplémentaire liée aux BCA provient aussi de la faible largeur de es bandes (quelques dizaines de mi romètres) qui né essite d'utiliser des moyens de mesure ayant une très bonne résolution spatiale. La modélisation de e phénomène est également un problème omplexe ar elle doit prendre en ompte des phénomènes à des é helles diérentes (l'é helle mi ros opique pour la BCA et ma ros opique pour la piè e solli itée dynamiquement) et oupler des domaines de la physique diérents (mé anique des solides déformables, thermique et 3 Introdu tion métallurgie). De plus, le isaillement adiabatique est très sensible aux paramètres du matériau et surtout aux onditions initiales. Les modèles qui essayent de simuler les BCA sont très fortement non linéaires. Il est don né essaire de prendre en ompte dans les modèles, des grandeurs ara térisant l'hétérogénéité de omportement du matériau ou les défauts de surfa e des piè es solli itées. De plus, pour être robuste, un modèle né essitera que la loi de omportement du matériau soit valable dans des onditions très diérentes : de l'ambiante à des températures pro hes de la température de fusion du matériau, à basse et grande vitesse de déformation (supérieure à 1000 s−1 ) et pour des grandes déformations plastiques (jusqu'à plus de 1000% dans les bandes). On omprend alors la di ulté d'identier ette loi de omportement à partir d'essais simples. L'é helle des bandes est parfois plus petite que la taille des grains du matériau e qui entraîne des problèmes d'hétérogénéité du matériau et don de représentativité de la loi de omportement. Obje tifs de l'étude L'obje tif général de e travail est de mieux omprendre les mé anismes de déformation et de rupture mis en jeu lors d'une solli itation dynamique en isaillement simple d'un matériau métallique. Nous avons hoisi d'étudier parti ulièrement l'alliage de titane TA6V ar il présente une forte sensibilité au isaillement adiabatique. Cet alliage a aussi un intérêt industriel ar il est de plus en plus utilisé dans les domaines de l'aéronautique et de l'aérospatial. La première partie de e travail orrespond à une analyse expérimentale de la formation des bandes de isaillement adiabatique. Dans une deuxième partie, les résultats obtenus seront interprétés. Comme Zener et Hollomon l'ont mentionné en 1944 [71℄, en pré isant le mé anisme de formation d'une BCA, la température est un paramètre important dans e phénomène. Au moment de la lo alisation de la déformation, la température augmente très rapidement dans la bande. Elle semble don être un paramètre intéressant pour étudier les BCA. Nous avons hoisi de on evoir un système de mesure permettant de quantier pré isément les hamps de température à la surfa e d'une éprouvette au ours d'une solli itation dynamique. Notre système de mesure a été adapté au dispositif des barres d'Hopkinson en torsion lassiquement utilisé pour former des BCA. Dans la littérature, de nombreux travaux ont porté sur la détermination de la température dans les bandes de isaillement. Une originalité de e travail est l'optimisation de la mesure de température par rayonnement (pyrométrie) an de limiter les erreurs à basse et haute température, d'augmenter les résolutions spatiales et de permettre la déte tion de basses températures, de l'ordre de la entaine de degrés Celsius. Nous nous sommes don plus parti ulièrement intéressés à deux plages de températures diérentes : la première, que nous appellerons "basses températures" on erne le domaine des températures omprises entre 50C et 300C. Elle orrespond au début de la lo alisation de la déformation plastique. L'obje tif est de déte ter une hétéro4 Introdu tion généité de température juste avant la lo alisation qui serait sus eptible de générer une bande de isaillement adiabatique. La deuxième plage, appelée i i "hautes températures" (800C à 1600C) permettra de quantier les températures maximales atteintes dans les bandes. Des travaux déjà menés au Laboratoire d'Energétique et d'E onomie d'Energie de Ville d'Avray [51℄ [55℄ onduisent en eet à penser que l'on peut atteindre des températures pro hes de la température de fusion. Très peu de mesures ont jusqu'i i onrmé e fait. Organisation du mémoire Ces obje tifs ont déterminé le travail présenté dans e mémoire. Une première partie sera dédiée à l'étude bibliographique expérimentale et théorique sur le isaillement adiabatique. Nous tenterons de retra er les dé ouvertes marquantes parmi les nombreux travaux sur le sujet et nous présenterons plus parti ulièrement les études ré entes sur l'hétérogénéité de température au sein même d'une bande, sur la propagation des BCA et leur omportement olle tif. Nous détaillerons entre autres, les diérentes te hniques qui ont été utilisées pour mesurer les températures dans les bandes. La deuxième partie de e travail on ernera la on eption du système de mesure des températures par pyrométrie visible et infrarouge. Pour mieux omprendre les hoix que nous avons fait, nous ferons un rappel sur les propriétés radiatives des matériaux et sur le prin ipe de la pyrométrie. Nous terminerons ette partie en présentant en détail le dispositif de mesure et les résultats que nous avons obtenus. Enn, dans une dernière partie, nous analyserons les résultats obtenus pré édemment et nous les interpréterons en utilisant une modélisation thermomé anique du problème. 5 Introdu tion 6 Première partie Etude bibliographique du isaillement adiabatique 7 Introdu tion Dé ouvert en 1878, le isaillement adiabatique a fait l'objet de très nombreux travaux à la fois au niveau expérimental et en modélisation. Depuis quelques années, le développement des te hniques de mesure en dire t de la déformation et surtout de la température a permis de pré iser les mé anismes mis en jeu lors de la formation d'une BCA. D'un autre té, es dé ouvertes ont également permis de développer de nouveaux modèles et don de dé rire de plus en plus pré isément la formation d'une bande de isaillement adiabatique. Après avoir retra é l'historique des dé ouvertes marquantes, nous détaillerons les diérentes expérien es qui ont été réalisées pour mesurer la température dans les BCA. Nous présenterons ensuite les modélisations asso iées qui ont été développées. 9 1 Historique du isaillement adiabatique 1.1 Dé ouverte des bandes de isaillement adiabatique La première observation des bandes de isaillement adiabatique a été menée par Tres a en 1878 [64℄. Il a remarqué que lorsqu'une barre métallique hauée au "rouge" est frappée par le marteau pilon, il apparaît une roix rouge plus intense résultant d'un ré hauement très lo al du matériau. En 1944, Zener et Hollomon [71℄ ont également observé des bandes de isaillement adiabatique lors d'un essai de poinçonnage dynamique. Ils ont mis en éviden e lors d'observations métallographiques post mortem de nes bandes blan hes qui traduisent de grandes déformations de isaillement très lo alisées et de fortes augmentations de température. Pour expliquer e phénomène, ils ont proposé un mé anisme de formation de bandes de isaillement mettant en jeu une dissipation de l'énergie mé anique en haleur entraînant une augmentation de température qui elle-même rée un adou issement thermique du matériau : pendant la déformation plastique, une grande partie de l'énergie mé anique est transformée en haleur. Dans le as où la vitesse de déformation est grande, la haleur ne peut pratiquement pas s'éva uer par diusion et la déformation plastique génère des augmentations de température importantes et don un adou issement thermique du matériau. Si la diminution de ontrainte due à l'adou issement thermique devient plus importante que l'augmentation de ontrainte due à l'é rouissage, l'é oulement plastique devient instable. La déformation homogène laisse pla e à un mode de déformation lo alisée sous forme de bandes. 1.2 Expérien e de Mar hand et Duy Après la dé ouverte du isaillement adiabatique par Tres a et son expli ation par Zener et Hollomon, de nombreuses études expérimentales ont été menées sur 11 1. Historique du isaillement adiabatique e phénomène par observations métallographiques post mortem [41℄. Le prin ipal in onvénient de es te hniques est qu'elles ne donnent que très peu d'information sur les mé anismes de formation et d'évolution des BCA. Une des premières études expérimentales par observation en dire t de la bande de isaillement a été ee tuée en 1988 par Mar hand et Duy [36℄. A ette o asion, ils utilisent le dispositif des barres d'Hopkinson de torsion pour observer la formation des bandes de isaillement adiabatique dans une éprouvette tubulaire en a ier HY100. Des jauges pla ées sur les barres permettent de mesurer leur déformation et d'en déduire la ontrainte de torsion et la déformation nominale de l'éprouvette. Un dispositif de photographie ultra-rapide (temps d'ouverture : 2 µs) disposé autour des barres suivant trois dire tions permet d'observer une grille déposée sur l'éprouvette et d'en déduire la distribution de la déformation pendant la formation de la bande. L'analyse des résultats leur a permis de distinguer trois phases (gures 1.1 et 1.2) : la phase 1 orrespond à une distribution homogène de la déformation plastique. La n de ette étape oïn ide ave le maximum de ontrainte de isaillement. Pendant la phase 2, la déformation devient hétérogène suivant l'axe de torsion mais reste homogène le long de la ir onféren e de l'éprouvette. Plus la déformation augmente, plus la taille de bande diminue et plus la déformation plastique dans la bande augmente. La phase 3 est ara térisée par une hute importante de la ontrainte et une forte lo alisation de la déformation. Des photographies simultanées révèlent une hétérogénéité de la taille de bande et des diéren es de déformation importantes en trois points de la ir onféren e de l'éprouvette. Dans le as de l'a ier HY100, les déformations varient entre 130% et 1900%. Fig. 1.1 - Visualisation des phases de formation de BCA sur la ourbe ontrainte déformation d'après Mar hand et Duy [36℄. 12 1. Historique du Fig. isaillement adiabatique 1.2 - Photographie des grilles déposées sur l'éprouvette torsion pour les inq déformations présentées sur la gure 1.1 (extrait de Mar hand et Duy [36℄). Pendant les phases 2 et 3, Mar hand et Duy ont onstaté qu'à un même instant, les bandes ne se forment pas for ément toutes dans un même plan normal à la dire tion de torsion. Pour expliquer les mé anismes de formation de la bande, ils ont envisagé deux as diérents. Dans le premier, la formation des bandes se dé omposerait en une phase de nu léation de bandes à diérents endroits de la partie utile au même moment puis ensuite une phase de roissan e et de oales en e des nu léi pour former une seule bande tout autour de l'éprouvette (gure 1.3). Le deuxième mé anisme serait ara térisé par la formation d'une bande en un point de la ir onféren e suivie de sa propagation autour de l'éprouvette (gure 1.4). Le fait que lors des phases 2 et 3 les bandes ne soient pas dans le même plan étaye le deuxième mé anisme, alors que la grande disparité des déformations plastiques autour de l'éprouvette onduirait à préférer le premier. Aujourd'hui en ore des questions demeurent on ernant l'existen e ou non de es deux mé anismes. 1.3 Mesures de température Comme le soulignent Zener et Hollomon [71℄, la température est un paramètre important dans le mé anisme de formation des BCA. Compte tenu de la faible largeur de es bandes et de la rapidité du phénomène, la pyrométrie est une te hnique 13 1. Historique du Coalescence Propagation de la bande Phase de croissance Amorçage de la bande Nucléation de bandes Fig. isaillement adiabatique 1.3 - Mé anisme de formation d'une BCA par nu léation, roissan e et oales en e. Fig. 1.4 - Mé anisme de formation d'une BCA amorçage et propagation à partir d'un défaut. expérimentale parti ulièrement bien adaptée à la détermination de la température dans les BCA. De plus, l'amélioration onstante des performan es des déte teurs durant es dernières années, a permis d'augmenter la pré ision des mesures ainsi que la résolution spatiale et temporelle. Les premières mesures pyrométriques ont été réalisées par Moss et Pond en 1975 [47℄ ave un semi- ondu teur en germanium dopé au uivre pour évaluer la variation de température lors de la tra tion d'une éprouvette en uivre. C'est à partir de 1979, que Costin et al. [13℄ ont mesuré des augmentations de température de 100C dans une bande de isaillement en utilisant un monodéte teur InSb de 1 mm de diamètre. En 1987, Hartley et al. [23℄ mesurent le prol de température le long de la partie utile d'une éprouvette de torsion ave une barrette de 10 déte teurs InSb photovoltaïques. Pour limiter les aberrations hromatiques, le montage optique est onstitué d'un miroir sphérique. Il leur permet d'avoir deux résolutions spatiales diérentes de 20 µm et 250 µm. Les matériaux testés sont les a iers 1018CRS (taille de bande 250 µm) et 1020HRS (taille de bande 150 µm). Les variations maximales de température mesurées sont de l'ordre de 450C. En 1988, Mar hand et Duy [36℄ utilisent une barrette de 12 déte teurs InSb ave un montage optique de type Cassegrain pour limiter les aberrations hromatiques et sphériques. Ce dispositif permet de visualiser sur l'éprouvette douze zones de 35 µm par 35 µm et espa ées de 11 µm. La température maximale atteinte dans un a ier HY100 est de 590C. Cette même expérien e sera également menée plus tard en 1998 par Liao et Duy [33℄ sur le TA6V ave néanmoins une meilleure résolution spatiale (17 µm) et révèlera des températures maximales de l'ordre de 440C à 550C. En 1996, Zhou et al. [74℄ ont mesuré la température dans les bandes de isaillement sur la tran he d'une éprouvette pré-entaillée et impa tée à diérentes vitesses 14 1. Historique du isaillement adiabatique (gures 1.5 et 1.6). Les matériaux étudiés sont l'alliage de titane TA6V et l'a ier C300. Ils utilisent une barrette de 16 déte teurs InSb de 80 µm par 80 µm. Dans le as de l'a ier C300, ils observent un é hauement intense sur une largeur de 200 µm à 300 µm dont l'amplitude dépend de la vitesse d'impa t. Pour une vitesse de proje tile de 40 ms−1, le maximum de température atteint plus de 1400C. Dans le as du TA6V, ils remarquent que l'é hauement est plus dius et moins intense (de l'ordre 450C pour une vitesse d'impa t de 64 ms−1 : gure 1.7). Fig. Fig. 1.5 - Eprouvette pré-entaillée utilisée par Zhou et al. [74℄. Fig. 1.6 - Position des zones de mesure par rapport à l'entaille sur l'éprouvette de Zhou et al. [74℄. 1.7 - Prol de température autour d'une bande de isaillement adiabatique dans l'alliage TA6V ; vitesse d'impa t 47, 3 ms−1 [74℄. 15 1. Historique du isaillement adiabatique En 1997, Pina [51℄ a développé un nouveau système de mesure basé sur la pyrométrie mono hromatique visible (λ = 0, 634 µm). Le hoix de ette ourte longueur d'onde permet de s'aran hir des variations du fa teur d'émission lors de la formation de la bande. Les températures mesurées dans l'alliage de titane TA6V atteignent 1300C lors d'un essai de poinçonnement. La durée de la mesure est de 5 µs et la résolution spatiale est d'environ 4 µm. Une mesure dans l'infrarouge, plus sensible aux variations du fa teur d'émission, lui a permis de déte ter le hangement de phase α − β pour une température de transition de 996C. En 2001, Guduru et al. [22, 21, 72℄ ont mis en éviden e le ara tère bidimensionnel des bandes de isaillement en visualisant le hamp de température à 5, 5 mm d'une pointe de ssure lors de la formation d'une BCA. Pour ela, ils utilisent une matri e de 8 par 8 déte teurs HgCdTe ouplée à un système optique de grandissement 0,9 omposé de deux obje tifs de S hwarz hild. La zone visée sur l'éprouvette par un déte teur fait 110 µm par 110 µm. Ils ont mis en éviden e des points hauds espa és régulièrement. Les distan es entre deux points hauds varient suivant les essais entre 250 µm et 1 mm. Ces résultats seront détaillés dans le paragraphe 2.4. 1.4 Con lusion Les te hniques expérimentales d'observation en dire t de la bande de isaillement adiabatique ont permis de mieux omprendre le phénomène. Depuis l'expérien e de Mar hand et Duy, les te hniques de mesure de déformation ont peu progressé. Par ontre les mesures de la température dans les BCA se sont rapidement développées grâ e à l'amélioration de performan es des systèmes de déte tion. L'obje tif de es diérentes mesures de température a été essentiellement d'évaluer la température maximale atteinte dans une BCA pendant la phase de hute de la ontrainte et de lo alisation de la déformation (phase 3). Nous pouvons remarquer que plus les résolutions spatiales se sont améliorées, plus les estimations de la température dans les BCA ont régulièrement augmenté. On peut également onstater la di ulté de quantier la température de bande dans l'alliage de titane TA6V, e qui peut être expliqué par le fait que les largeurs de BCA sont quasiment dix fois plus faibles que elles ren ontrées dans les a iers. Les dispositifs expérimentaux utilisés dans la littérature en dehors de elui de Guduru et al. ne permettent pas de quantier les basses températures orrespondant au début de la lo alisation de la déformation. La di ulté prin ipale des mesures basses températures est le faible niveau du signal émis. Pour ontourner e problème, Guduru et al. ont hoisi une plage de longueur d'onde asso iée au déte teur HgCdTe située dans le domaine infrarouge moyen (λ ≈ 12 µm). Nous ommenterons e hoix dans la deuxième partie de e travail. 16 2 Amorçage et formation d'une BCA Un des premiers obje tifs de la ompréhension du isaillement adiabatique a été de prédire les onditions né essaires à la formation d'une BCA, onditions portant sur la solli itation et le omportement du matériau. Diérentes appro hes unidimensionnelles de e problème ont été utilisées. Nous les détaillerons dans les paragraphes 2.1 et 2.2. Nous verrons également que des simulations numériques bidimensionnelles et tridimensionnelles ont permis de modéliser des phénomènes tels que la propagation des BCA et l'apparition de stru tures bidimensionnelles au sein même des bandes. 2.1 Mise en équation du problème de isaillement adiabatique La plupart des travaux théoriques sur le isaillement adiabatique se sont atta hés à modéliser l'essai de torsion aux barres d'Hopkinson de Mar hand et Duy. De nombreux auteurs ont supposé que l'é oulement plastique à l'intérieur et à l'extérieur de la bande est laminaire et ont don fait l'hypothèse d'un problème unidimensionnel. Ils ont alors onsidéré un massif inni d'épaisseur 2h (gure 2.1) solli ité en isaillement simple où seuls les dépla ements suivant la dire tion x sont onsidérés omme non nuls. L'unique omposante du tenseur des déformations est la omposante de isaillement εxy notée γ = ∂u ave u le dépla ement suivant x. ∂y En tenant ompte des eorts d'inertie et des eorts internes, l'équilibre mé anique s'é rit : ∂τ ∂ 2γ = 2 ∂t ∂x (2.1) ave ρ la masse volumique, τ la ontrainte de isaillement et γ la déformation de isaillement. A ette équation d'équilibre s'ajoute une loi de omportement thermomé anique du matériau. Elle doit représenter à la fois l'é rouissage, le dur issement dynamique ρ 17 2. Amorçage et formation d'une BCA y V +h x -h V Fig. 2.1 - Modélisation unidimensionnelle du problème de isaillement adiabatique. et l'adou issement thermique et peut s'é rire de manière générale : τ = f (γ, γ̇, θ) (2.2) la variation de ave γ̇ la vitesse de déformation de isaillement et θ = T − T0 température par rapport à la température initiale T0. L'équilibre thermique prend en ompte un terme de ondu tion et un terme lié à la dissipation d'une fra tion du travail plastique en haleur. Cette fra tion, notée β , est appelée oe ient de Taylor-Quinney. Ave ette notation, l'équation de la haleur s'é rit : ρC ∂θ ∂γ ∂2θ = βτ +λ 2 ∂t ∂t ∂y (2.3) où C est la apa ité alorique et λ la ondu tivité thermique du matériau. On onsidère que le massif est initialement à une température homogène T0 et qu'à partir de l'instant t = 0, on applique sur les deux surfa es une vitesse ±V suivant la dire tion x. Compte tenu des grandes vitesses de solli itation, des onditions limites adiabatiques seront appliquées sur les deux surfa es : ∂θ (y = ±h) = 0 ∂y (2.4) Toutes es équations peuvent se généraliser aux as bidimensionnel et tridimensionnel. 2.2 Critères de lo alisation L'obje tif d'un ritère de lo alisation est de déterminer les onditions de formation d'une bande de isaillement adiabatique. Diérentes méthodes ont été déve18 2. Amorçage et formation d'une BCA loppées pour établir e ritère de formation : méthode basée sur le maximum de ontrainte de isaillement, les études de stabilité et les méthodes non linéaires. Nous allons maintenant détailler es te hniques. 2.2.1 Maximum de ontrainte de isaillement Par une démar he analogue à elle utilisée par Considère [12℄ dans le as de la stri tion lors d'un essai de tra tion, plusieurs auteurs omme Re ht ou Culver [57, 14℄ ont proposé un ritère basé sur le maximum de ontrainte de isaillement. t tma x dt<0 dt>0 gc Fig. g 2.2 - Maximum de ontrainte de isaillement. Une variation de la ontrainte dτ peut être la onséquen e d'une variation de la déformation dγ (é rouissage), d'une variation de la vitesse de déformation dγ̇ (dur issement dynamique) ou d'une variation de température dθ (adou issement thermique) : dτ = ∂τ ∂γ γ̇,θ dγ + ∂τ ∂ γ̇ γ,θ dγ̇ + ∂τ ∂θ γ,γ̇ dθ (2.5) Le maximum de ontrainte orrespond don à une ompétition entre l'é rouissage qui tend à augmenter la ontrainte d'é oulement et l'adou issement thermique qui au ontraire tend à la diminuer. Les auteurs supposent la vitesse de déformation onstante et négligent le dur issement dynamique et la ondu tion thermique ; la ondition dτ = 0 permet alors d'obtenir en utilisant l'équation de la haleur 2.3, le ritère suivant (Culver [14℄) : 1 τ ∂τ ∂γ θ,γ̇ β =− ρC ∂τ ∂θ γ,γ̇ (2.6) Ce ritère permet de déterminer la déformation ritique de isaillement orrespondant au maximum de ontrainte pour une loi de omportement de type puissan e (τ = Kγ nγ̇ mθ−v ) : 19 2. Amorçage et formation d'une BCA γi = nρC θ1+v βKv γ̇ m 1 n+1 (2.7) où n est l'exposant d'é rouissage, m est l'exposant d'adou issement thermique, v l'exposant d'adou issement thermique et K la ontrainte d'é oulement à déformation nulle. Ces résultats permettent de montrer qu'une augmentation de l'adou issement thermique a tendan e à diminuer la ontrainte ritique et don à favoriser le isaillement adiabatique. Au ontraire, un matériau fortement é rouissable et de apa ité alorique importante sera moins sensible aux BCA. Le ritère du maximum de ontrainte ne dépend pas de la ondu tivité thermique e qui s'avère inexa t dans la réalité. Pour résoudre e problème, Re ht [57℄ ajouta également à e ritère l'eet de la ondu tion thermique sur la formation des BCA en étudiant un pro essus d'usinage grande vitesse. Il suppose alors que la bande se omporte omme une sour e de haleur plane qui dissipe vers l'extérieur par ondu tion. Ce modèle lui permet de déterminer la vitesse de déformation minimale pour avoir isaillement adiabatique. Il obtient un ritère permettant de omparer les vitesses de déformation ritique de deux matériaux : γ̇c1 γ̇c2 2 2 λ1 ρ1 C1 τy2 1 = ∂τ ∂τ λ2 ρ2 C2 τy1 ∂τ ∂γ ∂θ 1 ∂τ ∂θ 2 ∂γ (2.8) 2 ave λ la ondu tivité thermique, ρ la masse volumique, C la apa ité alorique, τ la ontrainte de isaillement, γ la déformation plastique de isaillement, θ la température et τy la ontrainte d'é oulement. Les indi es 1 et 2 sont relatifs respe tivement aux deux matériaux. Le ritère de maximum de ontrainte ne permet pas de déterminer la déformation lors de la hute rapide de ontrainte orrespondant réellement à la formation de la BCA. Il s'agit don d'un ritère né essaire pour avoir formation d'une BCA mais pas susant. 2.2.2 Critère de stabilité : méthode des perturbations linéarisées D'autres auteurs, Clifton et al. en 1978 et 1984 [11℄, Bai en 1982 [2℄ et Molinari en 1985 [43℄, proposent plutt un ritère d'instabilité déterminé à partir d'une analyse de stabilité d'un é oulement plastique homogène en isaillement simple. Pour établir la stabilité ou l'instabilité du système, ils ont utilisé la méthode des perturbations 20 2. Amorçage et formation d'une BCA qui onsiste à savoir si une petite perturbation initiale est sus eptible de grossir ou non. Cette méthode des perturbations linéaires se dé ompose en deux étapes. La première onsiste à déterminer une solution homogène Sh où par exemple la déformation ne dépend pas de l'ordonnée y (gure 2.3). Ce problème se résout simplement de manière analytique (on trouvera plus de détails dans [3℄ pages 134 à 140). Dans la deuxième étape, on onsidère une perturbation très petite devant la solution homogène et se présentant généralement sous la forme d'une onde plane (δS = δS0 exp(ηt − iξx) ave δS0 l'amplitude initiale de la perturbation, η son taux de roissan e et ξ son nombre d'onde) et l'on étudie son évolution au ours du temps. Comme ette perturbation est inniment petite, on peut alors linéariser les équations d'équilibre et exprimer le taux de roissan e η. Si la partie réelle de η est négative, l'amplitude de la perturbation dé roît rapidement et le système est stable. Au ontraire si la partie réelle de η est positive, la perturbation roît de manière exponentielle et le système devient instable. y y y V g x g + V Perturbation dS { Solution homogène S0 y g Solution perturbée S=S0+dS Fig. 2.3 - Analyse de stabilité ; méthode des perturbations. Le défaut de la te hnique des perturbations linéarisées est qu'elle ne permet pas de dé rire l'évolution nale de la perturbation et don de la BCA. En eet, elle suppose que ette perturbation est inniment petite. Le ritère de stabilité traduit seulement la possibilité pour un défaut de grossir mais pas de onduire à une déformation lo ale intense. Il ne tient don pas ompte par exemple de l'évolution de la solution homogène qui peut être importante. Ce n'est don pas une ondition susante de formation d'une bande de isaillement. Il est alors né essaire de dénir un ritère de lo alisation plus restri tif que le ritère d'instabilité. 21 2. Amorçage et formation d'une BCA 2.2.3 Critère de lo alisation : méthode des perturbations relatives Pour résoudre les problèmes liés à la méthode des perturbations linéarisées, Molinari [43℄ et Molinari et Fressengeas [17℄ ont proposé en 1985 et 1987 une nouvelle te hnique appelée méthode des perturbations relatives, qui tient justement ompte de la non stationnarité de la solution homogène. An de s'aran hir de la solution homogène, les grandeurs perturbées sont normalisées par les grandeurs homogènes. Trois as peuvent être envisagés : La perturbation dé roît (δS ց), la solution homogène est stable. La perturbation roît (δS ր), et la perturbation relative dé roît ( δSS ց), la solution homogène est instable mais il n'y a pas de lo alisation. La perturbation relative et don la perturbation roissent (δS ր et δSS ր), on a instabilité et lo alisation. q q q q dq dq dq q0 q0 dq q0 a) Instabilité de la température. Le défaut absolu δθ roît. Le défaut relatif δθ/θ0 dé roît. Fig. q0 b) Lo alisation de la température. Le défaut relatif δθ/θ0 roît. 2.4 - Représentation d'une instabilité relative (extrait de [16℄). Dans le as quasi-statique (eorts d'inertie négligés) et adiabatique (pas de ondu tion de la haleur) en supposant une loi de omportement de type puissan e (τ = Kγ nγ̇ mθ−v ), la stabilité de la solution homogène s'exprime par l'inégalité n + v > 0 et la stabilité relative est assurée pour le ritère n + m + v > 0. On peut remarquer que es deux ritères ne dépendent pas de l'amplitude de la perturbation. 2.2.4 Méthodes non linéaires Modélisations unidimensionnelles La méthode des perturbations linéaires ne permet pas de déterminer l'inuen e de l'amplitude initiale bien que e soit un paramètre important. Une solution analytique du problème de isaillement adiabatique semble très di ile à obtenir ompte 22 2. Amorçage et formation d'une BCA tenu de la omplexité du problème : forte non linéarité induite par le ouplage thermomé anique et la loi de omportement. Le re ours aux méthodes numériques est don indispensable pour simuler la formation d'une BCA. Les études numériques sur e phénomène ont d'ailleurs débuté avant les travaux sur l'instabilité et ont été menées en parallèle. Dès 1977, Litonski [34℄ étudia numériquement le isaillement adiabatique dans un tube min e en torsion ave un défaut géométrique. Sa modélisation est unidimensionnelle et le omportement du matériau est thermovis oplastique. La ondu tion est négligée. Les résultats mettent en éviden e un maximum du ouple de torsion pour une déformation plastique nominale de l'ordre de 20% (gure 2.5). Après e maximum, la déformation, la vitesse de déformation et la température deviennent hétérogènes. La gure 2.5 montre l'évolution de es diérentes grandeurs entre l'intérieur (indi e A) et l'extérieur du défaut (indi e B). Litonski montre également l'existen e d'une hute importante de la ontrainte pour une déformation plastique nominale de l'ordre de 40%. Cette hute de ontrainte s'a ompagne d'une forte augmentation de la déformation, de la vitesse de déformation et de la température dans le défaut. En dehors, la vitesse de déformation hute rapidement, la déformation et la température deviennent alors stationnaires. Fig. 2.5 - Résultats numériques obtenus par Litonski [34℄ : déformation, vitesse de déformation, température et ontrainte de isaillement à l'intérieur (A) ou à l'extérieur (B) du défaut. 23 2. Amorçage et formation d'une BCA Merzer [40℄ propose en 1982 un modèle numérique analogue à elui utilisé par Litonski mais intégrant la ondu tion thermique. Il onsidère ependant le problème omme quasi statique et néglige don les eorts d'inertie. Il montre alors que la largeur de bande en n de solli itation n'est pas inuen ée par la taille du défaut initial et qu'elle est par ontre dire tement dépendante de la diusivité thermique et de la vitesse de déformation. Il établit également un lien entre la hute rapide de ontrainte et une diminution de la largeur de bande qui sera mis en éviden e expérimentalement par Mar hand et Duy en 1988 [36℄. En 1985, Wright et Batra [66, 65℄ proposent une résolution par la méthode des éléments nis du problème de isaillement simple. Leur modèle tient ompte, entre autres, des eorts d'inertie et de la ondu tion. Ils utilisent une loi de omportement du matériau élasto-thermovis oplastique ave prise en ompte de l'é rouissage et de l'adou issement thermique. Un défaut en température est introduit juste avant le maximum de ontrainte an d'initier la bande de isaillement. Leurs résultats sont en a ord ave eux trouvés par Litonski : ils observent d'abord une augmentation très lente de la déformation dans la bande juste après le maximum de ontrainte suivi d'une augmentation beau oup plus rapide orrespondant à la hute de la ontrainte. Wright et Batra ont également étudié l'inuen e de l'amplitude du défaut sur la hute de ontrainte. Deux défauts ayant la même forme mais des amplitudes diérentes ont don été onsidérés (l'amplitude du petit est inq fois plus faible que elle du grand). Les résultats mettent en éviden e une diminution de la durée entre le maximum et la hute rapide de la ontrainte ave une augmentation de l'amplitude du défaut. Ce même modèle permet à Batra en 1987 [4℄ de déterminer l'inuen e des ara téristiques du matériau sur la lo alisation de la déformation. Ces travaux indiquent qu'elle sera retardée lorsque la sensibilité à la vitesse de déformation ou le oeient d'é rouissage augmente. Inversement si l'adou issement thermique augmente, la hute de ontrainte aura lieu plus tt. La prise en ompte de la ondu tion thermique montre une faible inuen e sur la hute de ontrainte et sur la taille de bande e qui est en ontradi tion ave les travaux de Merzer. Une étude plus pré ise sur ette inuen e de la ondu tivité thermique sera réalisée un peu plus tard par Batra et Kim [5℄. Leurs résultats mettent en éviden e un retard de la hute de ontrainte et une augmentation de la largeur de bande ave une augmentation de la ondu tion thermique. En 1987, Wright et Walter [68℄ ont également étudié l'inuen e du défaut initial, et notamment sa forme, sur la hute de ontrainte a ompagnant la formation d'une BCA. Leur modèle numérique est identique à elui utilisé par Wright et Batra [66℄ mis à part qu'il ne tient pas ompte de l'é rouissage du matériau. Le maillage est fortement rané dans la zone de lo alisation. Un défaut initial en température de forme triangulaire est pla é au entre de la partie utile. Les résultats de la simulation numérique montrent que pour de faibles amplitudes de défaut, il n'y a pas d'inuen e de sa forme. Par ontre pour les plus grandes amplitudes, la déformation nominale 24 2. Amorçage et formation d'une BCA au moment de la hute de ontrainte diminue et dépend fortement de sa géométrie. Modélisations bidimensionnelle et tridimensionnelle Le passage aux modélisations numériques bidimensionnelle et tridimensionnelle est di ile. Elles né essitent ee tivement d'avoir des maillages ranés ave un nombre important de noeuds et de degrés de liberté. De plus, la déformation dans les bandes pouvant être très importante, les éléments deviennent rapidement distordus e qui produit une augmentation du temps de al ul. Pour résoudre es problèmes, plusieurs te hniques ont été utilisées. La première est la te hnique du maillage adaptatif [46℄ qui permet de remailler dans les zones de lo alisation de la déformation. La deuxième est la méthode sans maillage [32℄ qui est parti ulièrement adaptée aux déformations intenses (éléments distordus). En général, es études ont montré que les bandes de isaillement adiabatique pouvaient se propager et donner naissan e à des stru tures bidimensionnelles au sein même de la bande. Nous détaillerons es deux points dans les paragraphes 2.3 et 2.4. 2.2.5 Con lusion La méthode du maximum de ontrainte, les études de stabilité et les méthodes numériques non linéaires sont des te hniques qui permettent d'estimer la déformation nominale lors de la formation d'une BCA (déformation à la lo alisation). Diérentes études ont montré l'inuen e des paramètres du matériau et des ara téristiques du défaut initial sur ette déformation à la lo alisation. Le tableau 2.1 fait le bilan de l'inuen e des diérents paramètres du matériau sur la déformation à la lo alisation orrespondant à la hute rapide de ontrainte. Tab. 2.1 - Inuen e des paramètres du matériau sur la déformation à la lo alisation. Variation des paramètres du matériau de l'é rouissage de la sensibilité à la vitesse de déformation L'augmentation de l'adou issement thermique de la ondu tivité thermique de la apa ité alorique du oe ient de Taylor-Quinney de la ontrainte d'é oulement 25 Inuen e sur la lo alisation augmente augmente diminue augmente augmente diminue diminue la déformation à la lo alisation 2. Amorçage et formation d'une BCA 2.3 Propagation des BCA 2.3.1 Mise en éviden e de la propagation des BCA L'idée qu'une bande de isaillement adiabatique s'amor e et se propage a été émise par Ba kman et Finnegan en 1973, lors d'observations métallographiques de ibles en a ier impa tées. Cette propagation des bandes de isaillement a été mise en éviden e lors de l'expérien e de Mar hand et Duy en 1988. Ils ont onstaté que pendant la phase 3 de la formation de la bande et à un même instant, la déformation lo ale dans la bande est hétérogène le long de la ir onféren e de l'éprouvette de torsion. Pour expliquer ela, ils ont fait l'hypothèse que la bande s'amor e en un point de l'éprouvette et se propage le long de elle- i. A partir de leurs données expérimentales, ils ont évalué une vitesse de propagation de 255 ms−1 pour un a ier HY100 en supposant que la bande se propage dans les deux sens de la ir onféren e. Zhou et al. [74℄ ont observé en 1996, l'évolution de la longueur de bandes de isaillement sur la tran he d'une éprouvette pré-entaillée impa tée. Un laser é laire une grille de lignes parallèles à la dire tion de propagation de la bande et l'observation de la bande se fait à l'aide d'une améra ultra-rapide (2 millions d'images par se onde). A partir de la mesure des longueurs de bande à diérents instants, ils déterminent la vitesse instantanée de propagation. Les résultats montrent que les bandes de isaillement adiabatique ne se propagent pas à une vitesse onstante pendant la durée d'un essai. Initialement ette vitesse est très faible puis elle augmente jusqu'à un maximum pour ensuite dé roître rapidement. Les auteurs mettent également en éviden e une forte sensibilité de la vitesse de propagation vis-à-vis de la vitesse d'impa t. Le tableau 2.2 donne la vitesse de propagation moyenne et maximale de la bande dans le as d'un a ier maraging C300. La vitesse maximale atteinte orrespond à environ 40% de la vitesse de propagation des ondes de isaillement. Une simulation du problème par éléments nis donne une ex ellente orrélation entre expérien e et al ul [73℄. Tab. 2.2 - Valeur de la vitesse de propagation d'une BCA d'après Zhou et al. [74℄. Vitesse d'impa t Vitesse de propagation Vitesse de propagation en ms−1 maximale en ms−1 moyenne en ms−1 21,6 ≈ 100 80 25 ≈ 900 585 30 1200 1004 26 2. Amorçage et formation d'une BCA 2.3.2 Vitesse de propagation des BCA Cas du régime stationnaire Après l'amorçage d'une BCA, on peut supposer que elle- i se propage ave une vitesse qui va augmenter ave le temps. Au bout d'un temps susamment long, on peut penser qu'un régime stationnaire va s'établir et que ette vitesse va tendre vers une ertaine vitesse limite. De nombreux travaux ont été onsa rés à la propagation de bandes de isaillement adiabatique en régime stationnaire, an de déterminer les vitesses limites et les hamps de ontrainte, déformation et température en tête de bande et de quantier l'inuen e de divers paramètres du matériau sur la vitesse de propagation. Grady [19℄ propose en 1992 un modèle de propagation de bande à partir des résultats obtenus à l'aide d'une analyse unidimensionnelle. En 1996, Wright et Walter [69℄ déterminent les hamps de température, ontrainte et vitesse en tête de bande de isaillement adiabatique. Gioia et Ortiz [18℄ utilisent une théorie des ou hes limites appliquée aux solides thermovis oplastiques pour étudier la stru ture bidimensionnelle d'une bande de isaillement en propagation. Mer ier en 1998 [39℄ a développé un modèle analytique pour déterminer la vitesse de propagation d'une BCA dans une ou he de longueur innie soumise à une solli itation de isaillement. Ce modèle, qui néglige la ondu tion thermique, lui a permis de ara tériser l'inuen e des diérents paramètres du matériau sur la vitesse de déformation. Dans les mêmes onditions que l'expérien e de Mar hand et Duy, le modèle analytique donne une vitesse de propagation de 905 ms−1 alors que la vitesse mesurée est de 260 ms−1. Plus ré emment, en 2002, Bonnet-Lebouvier et Molinari [7℄ ont étudié la propagation des bandes de isaillement par une appro he numérique. Ils ont modélisé une plaque min e de longueur 200 mm et de largeur 2, 5 mm solli itée en déformation plane. Ils appliquent des onditions limites en vitesse imposée sur les longueurs et une égalité des vitesses sur les largeurs. Pour le problème thermique, des onditions adiabatiques sont appliquées sur toutes les extrémités de la plaque. Pour initier la bande de isaillement, un défaut géométrique est introduit au entre de la plaque. Il s'agit d'une rédu tion d'épaisseur de 20% appliquée dans une zone re tangulaire de 200 µm par 60 µm. Une loi élasto-thermovis oplastique ave adou issement thermique de type Johnson-Cook a été hoisie pour dé rire le omportement du matériau. Le al ul tient ompte du ouplage thermomé anique et est mené ave et sans prise en ompte de la ondu tion thermique. Les auteurs font varier les vitesses de solli itation notée V entre 0, 5 ms−1 et 300 ms−1 e qui orrespond à des vitesses de déformation nominale omprises entre 400 s−1 et 2, 4.105 s−1. Pour des vitesses inférieures à une vitesse ritique Vc égale à 0, 5 ms−1 (soit γ̇ = 400 s−1), au une propagation de bande n'est observée. Pour des vitesses supérieures à ette vitesse ritique, ils onstatent qu'après un régime transitoire, il apparaît un régime 27 2. Amorçage et formation d'une BCA stationnaire où la bande de isaillement se propage à une vitesse onstante notée Cb . Ils distinguent trois domaines de vitesse : dans le premier domaine, l'évolution de Cb ave V est linéaire et dans le troisième domaine la vitesse Cb varie très peu ave V . Le deuxième domaine est une transition entre le premier et le troisième domaine. La n du premier domaine et le début du troisième orrespondent respe tivement à des vitesses de solli itation de 25 ms−1 (soit γ̇ = 2.104 s−1) et 150 ms−1 (soit γ̇ = 1, 2.105 s−1). Les vitesses de bande asso iées sont d'environ 600 ms−1 et 800 ms−1 . Une analyse dimensionnelle leur a permis d'établir les relations suivantes : Kβ Cb =α (−An + B) V ρCT0 m (2.9) pour le premier domaine, ave A et B deux onstantes, α un oe ient dépendant de l'exposant d'adou issement thermique v, K la limite d'élasti ité et T0 la température initiale. Et : s βK 2 Cb = ηCt (2.10) (−A′ n + B ′ ) µρCT m 0 pour le troisième domaine, ave A′ et B ′ deux onstantes, η un oe ient dépendant q de l'exposant d'adou issement thermique v, µ le module de isaillement et Ct = µρ la vitesse de propagation des ondes élastiques de isaillement. Le tableau 2.3 résume l'inuen e des propriétés du matériau sur la vitesse de propagation de la BCA. Cas du régime transitoire Lors de l'essai de torsion de Mar hand et Duy, les vitesses de propagation des bandes semblent être bien inférieures aux vitesses déterminées analytiquement en stationnaire. Ce i peut être expliqué par le fait que pendant l'essai de torsion, le régime de propagation de bande est transitoire. De même, Zhou et al. [74℄ ont observé que les BCA ne se propagent pas à une vitesse onstante lors d'un essai d'impa t sur la tran he d'une éprouvette pré-entaillée. Très peu d'études ont porté sur la propagation des BCA en régime transitoire. Cependant, on peut iter les travaux de Batra et Zhang en 1994 [6℄ qui ont proposé un modèle numérique tridimensionnel du problème de torsion dynamique du tube min e utilisé par Mar hand et Duy. Leur modèle ne tient pas ompte de la ondu tion et un défaut matériau est introduit dans une petite région du entre de la partie utile de l'éprouvette. Les résultats montrent que la bande se propage bien suivant les deux dire tions autour de l'éprouvette et que sa vitesse varie entre 40 ms−1 et 260 ms−1 et e pour une vitesse de déformation de 1000 s−1 . 28 2. Amorçage et formation d'une BCA Tab. 2.3 - Inuen e des propriétés du matériau sur la vitesse de propagation d'une BCA. Variation des propriétés du matériau de la ontrainte d'é oulement du oe ient de Taylor-Quinney de la apa ité alorique L'augmentation de la sensibilité à la vitesse de déformation du oe ient d'é rouissage de l'adou issement thermique de la ondu tivité thermique Inuen e sur la vitesse de propagation augmente augmente diminue diminue diminue la vitesse de propagation augmente n'a pas d'inuen e sur Dans es onditions, lors de l'essai de torsion, la bande n'aurait ee tivement pas le temps d'atteindre sa vitesse maximale et don le régime stationnaire n'aurait pas le temps de s'établir. 2.4 Stru tures bidimensionnelles dans les BCA Guduru et al. [22, 21℄ ont mis en éviden e lors de leur étude expérimentale du hamp de température dans une BCA, l'existen e d'une stru ture bidimensionnelle le long d'une bande omposée de points hauds régulièrement espa és (gure 2.6). La distan e entre es points hauds varie, selon les essais entre 250 µm et 1 mm et la température des points hauds se situe à 600C et elle des zones froides est de 400C. Ils ont également onstaté que es points hauds se translatent le long de la bande. Ces observations remettraient en ause l'hypothèse d'un é oulement plastique laminaire dans la bande et justieraient l'existen e d'une instabilité à l'é helle de la bande similaire à elles observées dans les uides. Pour étayer ette hypothèse, Li et al. [32℄ ont modélisé l'é oulement plastique dans une bande de isaillement adiabatique par un é oulement plan de Couette d'un liquide dont la vis osité et la masse volumique dépendent de la température (gure 2.7). Ils mettent bien en éviden e la formation d'une stru ture bidimensionnelle dans la bande. Molinari et Leroy [45℄ ont étudié la possibilité de formation d'une stru ture bidimensionnelle dans un matériau thermovis oplastique lors d'un é oulement plan 29 2. Amorçage et formation d'une BCA Fig. 2.6 - Observation d'une su ession de points hauds dans une BCA d'après [22℄ (taille de l'image 1, 1 mm par 1, 1 mm). Fig. 2.7 - Modélisation de l'é oulement plastique dans une BCA d'après Li et al. [32℄ ( hamp de température en K). de Couette. En utilisant une analyse de stabilité bidimensionnelle, ils ont montré que e problème pouvait présenter une instabilité thermomé anique selon des modes multidimensionnels, notamment dans le as des matériaux faiblement adou issant et fortement sensibles à la vitesse de déformation. Dans leur modèle numérique sans maillage, Li et al. [32℄ ont également mis en éviden e une répartition périodique de points hauds se déplaçant le long de la bande de isaillement adiabatique. 30 3 Comportement olle tif des BCA L'expérien e de Mar hand et Duy a permis d'étudier l'initiation et la formation d'une bande de isaillement adiabatique. Dans les problèmes d'impa t balistique, on onstate souvent sur des observations métallurgiques post mortem la formation non pas d'une seule mais d'une multitude de bandes de isaillement adiabatique. Pour omprendre les mé anismes de formation et d'évolution des BCA lors d'un impa t proje tile ible, il est don né essaire de prendre en ompte les intera tions éventuelles entre les bandes. 3.1 Etudes expérimentales : auto-organisation des BCA Depuis 1995, Nesterenko et al. [48, 49℄ ont étudié le omportement olle tif des BCA lors de leur amorçage et de leur propagation. Pour ela, ils ont développé un nouveau dispositif de solli itation basé sur l'eondrement radial d'un tube à grande vitesse de déformation (104 s−1). Cette solli itation dynamique est générée par la détonation d'un explosif (gure 3.1). La surpression est transmise à l'éprouvette par l'intermédiaire d'un tube en uivre. Un ylindre intérieur en uivre de diamètre variable suivant les essais permet d'interrompre l'eondrement et de ontrler la déformation plastique dans l'éprouvette. Les résultats des essais mettent en éviden e des bandes de isaillement en forme de spirale s'initiant au niveau de l'intérieur du ylindre (gure 3.2). L'espa ement entre es bandes est régulier. Par exemple, dans le as d'un a ier inoxydable 304L, la distan e entre bandes lors de l'initiation est en moyenne de 0, 12 mm. Pour des bandes dans la phase de propagation, ette distan e augmente et vaut 3, 1 mm. 3.2 Prédi tion de l'espa ement entre BCA Les essais d'eondrement de ylindre de Nesterenko et al. [48, 49℄ ont sus ité diérentes études théoriques dans le but de prédire les distan es entre bandes de isaillement adiabatique. Deux appro hes diérentes ont été proposées pour prédire 31 3. Comportement Fig. 3.1 - Expérien e d'eondrement de ylindre : dispositif de solli itation (extrait de [48℄). Fig. olle tif des BCA 3.2 - Observation des éprouvettes après eondrement (extrait de [49℄). et espa ement entre bandes. Le premier modèle, développé en 1987 par Grady et Kipp [20℄ est basé sur l'étude de la propagation d'un front de relaxation au voisinage d'une BCA (gure 3.3). Fig. Fig. 3.3 - Modèle de Grady et Kipp [20℄. 3.4 - Modèle de Wright et O kendon (extrait de [70℄). Lors de la formation de la bande, l'augmentation de température au niveau de la bande provoque par adou issement thermique une diminution de la ontrainte d'é oulement. Cette dé harge se propage à l'extérieur de la bande par un mé anisme de diusion et provoque une zone dé hargée autour de la bande (gure 3.3). Tous les sites d'amorçage de BCA situés dans ette zone dé hargée seront don o ultés 32 3. Comportement olle tif des BCA et ne onduiront pas à la formation d'une BCA. La distan e minimale séparant deux amorçages de bande est égale à la distan e par ourue par e front de dé harge pendant le temps né essaire au dé hargement omplet. Ave e modèle, la distan e entre bandes est donnée par la relation suivante : LGK = 2 9λC γ̇03 a2 τ0 41 (3.1) ave γ̇0 la vitesse de déformation imposée, a le paramètre d'adou issement thermique et τ0 la ontrainte d'é oulement à température ambiante. Ce modèle utilise une loi d'é oulement où le terme d'adou issement thermique varie linéairement ave la température : (3.2) où τ0 est la ontrainte d'é oulement à la température ambiante T0 et a le paramètre d'adou issement thermique. Le deuxième modèle développé par Wright et O kendon [67℄ puis omplété par Molinari [44℄ s'appuie sur l'hypothèse que les BCA se forment à partir de la roissan e de petites perturbations. La gure 3.4 représente l'évolution au ours du temps de deux types de perturbations ayant des longueurs d'onde diérentes. La perturbation de grande longueur d'onde a un taux de roissan e supérieur à elle de petite longueur d'onde. La distan e entre bandes orrespond don à la perturbation ayant un taux de roissan e maximum. Wright et O kendon utilise une loi de omportement dépendant de la température et de la vitesse de déformation : τ = τ0 (1 − a(T − T0 )) τ = τ0 (1 − a(T − T0 )) γ̇ γ̇0 m (3.3) où m est le paramètre de dur issement dynamique, γ̇0 une vitesse de déformation de référen e, a le paramètre d'adou issement thermique et τ0 la ontrainte d'é oulement à température ambiante et à la vitesse de déformation de référen e. Ils trouvent alors l'expression suivante de la distan e entre bandes : LW O = 2π m3 λC γ̇03 a2 τ0 41 (3.4) En 1997, Molinari utilise ette même appro he mais généralise l'étude au as d'un matériau é rouissable ayant une loi de omportement formulée de la manière suivante : γ̇ = ψ(τ, γ, θ) 33 (3.5) 3. Comportement olle tif des BCA ave θ = T − T0 la diéren e entre la température du matériau et la température ambiante. Il exprime alors la distan e entre bandes de isaillement : LM = L0 ∂ψ 3 ρC ∂γ 1+ 4 βτ 0 ∂ψ ∂θ !−1 (3.6) où τ 0 est la ontrainte de la solution homogène et L0 la distan e entre bandes dans le as d'un matériau non é rouissable. Une onfrontation de es diérentes théories ave l'expérien e a été proposée par Xue et al. [70℄, Nesterenko et al. [48℄ et Molinari [44℄. Le tableau 3.1 fait le bilan des distan es entre bandes trouvées expérimentalement et elles al ulées pour les diérents modèles présentés dans le paragraphe pré édent pour le titane pur et le TA6V. Les distan es entre bandes mesurées et al ulées sont du même ordre de grandeur. On peut ependant remarquer une surestimation de ette distan e ave le modèle de Grady et Kipp. Tab. 3.1 - Distan es entre BCA ; onfrontation entre les résultats expérimentaux et les prédi tions théoriques d'après [70, 48, 44, 49℄. Distan e en mm Titane pur TA6V Expérien e 0,18 [70℄ et 1 [48℄ 0,53 [70℄ Modèle de Grady - Kipp 1,8 à 3,3 1,15 34 Modèle de Wright - O kendon 0,29 à 0,52 0,10 Modèle de Molinari 0,64 à 0,75 0,10 Deuxième partie Mesure de la température par pyrométrie 35 Introdu tion La mesure des hamps de température dans les bandes de isaillement adiabatique (BCA) est di ile ar elle né essite à la fois une résolution spatiale de l'ordre du mi romètre et une résolution temporelle de quelques mi rose ondes. De plus, ette température peut varier de l'ambiante à la température de fusion du matériau (1670C dans le as de l'alliage de titane TA6V). La mesure des "basses températures" (variant entre 50C et 300C) permettra d'étudier les hétérogénéités du hamp de température au moment de la lo alisation de la déformation plastique. Le dispositif "hautes températures" (800C à 1700C) permettra de quantier les températures maximales atteintes dans les BCA. Notre obje tif est don de on evoir deux pyromètres asso iés à es deux plages de température. Pour ela, il est né essaire de onnaître les propriétés radiatives des matériaux solides étudiés et les prin ipes fondamentaux de la pyrométrie. Nous détaillerons es deux points dans les deux premiers hapitres de ette partie. Cette étude nous guidera dans la on eption de nos deux pyromètres. Dans un dernier hapitre, nous présenterons le montage expérimental que nous avons onçu pour l'étude des BCA et nous testerons e système dans le as de la torsion dynamique sur barres d'Hopkinson d'un tube min e en alliage de titane, le TA6V. 37 4 Rayonnement des solides 4.1 Origine physique du rayonnement 4.1.1 Phénomène d'émission d'un photon Tout milieu, uide ou solide émet et absorbe de l'énergie sous forme de rayonnement. Pour les milieux solides, es phénomènes sont liés à l'agitation thermique des atomes et des éle trons. Cette agitation thermique se traduit par la vibration du réseau ristallin et le mouvement des éle trons. Dans le adre de la mé anique quantique, l'énergie de vibration du réseau est quantiée. Le hamp de vibration du réseau est assimilé à un ensemble de quasiparti ules appelées phonons d'énergie E = hν où ν est la fréquen e du phonon et h la onstante de Plan k. C'est l'analogue du photon, autre aspe t du hamp éle tromagnétique. Les ondes élastiques dans un ristal peuvent être dé rites par la propagation de phonons dans le réseau et les vibrations thermiques orrespondent à des phonons ex ités thermiquement. On peut distinguer des phonons optiques qui orrespondent à des vibrations des plans atomiques en opposition de phase et des phonons a oustiques qui orrespondent à des vibrations en phase. Les fréquen es et don les énergies asso iées aux phonons optiques sont supérieures à elles des phonons a oustiques. A tout moment un phonon peut se désex iter (notamment un photon ex ité thermiquement) et engendrer l'émission d'un photon d'énergie équivalente. Dans les milieux "opaques", omme la profondeur de pénétration est très faible1, seuls les photons émis à la surfa e parti ipent au rayonnement du solide (4.1). Du fait de l'agitation thermique, un éle tron ex ité thermiquement peut ee tuer une transition vers une ou he éle tronique supérieure et don a éder à un niveau d'énergie plus élevé. A tout moment, et éle tron peut se désex iter et engendrer la formation d'un photon. Ce phénomène est appelé l'émission spontanée (4.2). λ Dans un milieu absorbant, la profondeur de pénétration δ vaut : δ = 4πχ (voir paragraphe 4.3.3) ; dans le as de l'aluminium à température ambiante, pour une longueur d'onde λ = 4 µm le fa teur d'extin tion χ vaut 40 et la profondeur de pénétration δ est égale à 8, 0 µm. 1 39 4. Rayonnement des solides e- Photon émis Photons émis Phonons Noyau atomique Photon émis et absorbé Fig. Profondeur de pénétration 4.1 - Désex itation de phonons et émission de photons à la surfa e d'un matériau. Fig. 4.2 - Emission spontanée lors d'une transition éle tronique entre deux niveaux d'énergie. 4.1.2 Cara tère aléatoire de l'émission Le phénomène mé anique que nous allons étudier évolue ave des temps ara téristiques de l'ordre de la mi rose onde et sur des distan es de quelques mi romètres. Dans es onditions, le nombre de photons émis est faible et il est né essaire de onsidérer leur émission omme un phénomène aléatoire. Le nombre de photons émis par une sour e lumineuse pendant une durée τ suit une loi de probabilité. Si l'on suppose que pendant un intervalle de temps T , N photons sont émis de manière indépendante les uns des autres, la probabilité pour qu'un de es N photons soit émis dans l'intervalle τ ompris dans T est égale à p = Tτ . La probabilité pour que n photons soient émis dans l'intervalle τ est donnée par une distribution binmiale : ave p(n) = CNn pn (1 − p)N −n CNn = N! n!(N − n)! (4.1) Le nombre moyen de photons reçus est m = N p et l'é art quadratique σ vaut σ = N p(1 − p). Si la durée T est grande devant τ , on peut supposer que l'émission des photons vérie une distribution de Poisson. La probabilité de re evoir n photons dans l'intervalle τ est alors : 2 p(n) = mn e−m n! (4.2) Le nombre moyen de photons émis est m = N p et l'é art quadratique vaut alors σ 2 = m. L'é art type relatif est déni par la relation : 40 4. Rayonnement des solides σ m (4.3) Dans le as d'une loi de Poisson, il prend don la valeur σrel = √1m . Plus le nombre de photons reçus est grand, plus l'é art type relatif diminue. Ce point sera détaillé dans le paragraphe 4.2.4 dans le as parti ulier d'un émetteur parfait, le orps noir. σrel = 4.2 Rayonnement d'un orps idéal : le " orps noir" Pour étudier les propriétés radiatives d'une surfa e réelle, il est ommode et d'usage de la omparer à un orps idéal appelé orps noir. Dans ette partie, nous allons donner la dénition d'un orps noir et nous rappellerons ses propriétés radiatives. 4.2.1 Dénition du " orps noir" Un orps noir est déni omme le orps idéal apable d'absorber en totalité tout rayonnement in ident ; 'est un absorbeur parfait. La onservation de l'énergie implique, du moins à l'équilibre thermique, que le orps noir est également un émetteur parfait sur tout le domaine spe tral 'est-à-dire qu'il émet plus que toute surfa e à même température. La puissan e qu'il émet est indépendante de la dire tion d'émission et elle ne dépend que de la température. En pratique, un orps noir n'existe pas. Cependant une avité dont les parois sont maintenues à température onstante et dans laquelle est per ée une petite ouverture onstitue un orps noir appro hé de bonne qualité (gure 4.3). Des traitements de surfa e tels que des peintures fortement émissives permettent également d'appro her le rayonnement du orps noir mais dans des domaines spe traux limités. Fig. 4.3 - Corps noir : avité thermostatée. 41 4. Rayonnement des solides 4.2.2 Energie rayonnée par un orps noir Dénition de la luminan e Fig. 4.4 - Puissan e émise par une surfa e dS. Soit L la luminan e dénie par la puissan e rayonnée par une surfa e unitaire suivant une dire tion ~δ dans un angle solide de 1 stéradian. On peut exprimer la puissan e dP rayonnée par une surfa e élémentaire dS de normale ~n dans un angle solide élémentaire dΩ de dire tion ~δ (voir gure 4.4) par : (4.4) dP = L(~δ)~δ.~ndΩdS La puissan e émise par un solide dépendant de la longueur d'onde, on dénit don la luminan e mono hromatique notée Lλ par la relation suivante : Lλ = ∂L ∂λ (4.5) Luminan e du orps noir En 1873, Plan k réussit à déterminer l'expression de la luminan e mono hromatique d'un orps noir en fon tion de sa température et de la longueur d'onde de la radiation. Il suppose que les photons ontenus dans une en einte ( avité thermostatée) sont en équilibre thermodynamique ave les parois et don que leur répartition énergétique suit la distribution de Bose Einstein2. Il exprime alors leur répartition énergétique moyenne et quantie la luminan e mono hromatique orrespondante. Les photons (parti ules de spin entier) obéissent à la loi de distribution statistique de Bose Einstein : le nombre moyen de photons n dans un état énergétique E est donné par la relation : 1 n= où µ est le potentiel himique. 2 e E−µ kT +1 42 4. Rayonnement des solides T Il montre que la luminan e mono hromatique L0λ d'un orps noir à la température est donnée par la relation suivante appelée "loi de Plan k" : L0λ (λ, T ) 2hc2 λ−5 = hc exp kλT −1 (4.6) ave k = 1, 380662.10−23 JK −1 onstante de Bolzmann, h = 6, 626176.10−34 Js onstante de Plan k et c = 2, 998.108 ms−1 la élérité de la lumière dans le vide. Dans notre étude, pour les ourtes longueurs d'onde λT ≪ hc/k = 14388 µmK , on a : exp hc kλT (4.7) ≫1 Ce qui onduit à l'expression appro hée de la luminan e, dite approximation de Wien : L0λ (λ, T ) = 2hc2 λ−5 hc exp kλT (4.8) Luminance en Wm -3 sr -1 4.2.3 Maximum d'énergie La gure 4.5 montre l'évolution de la luminan e mono hromatique d'un orps noir à diérentes températures en fon tion de la longueur d'onde. 3,0x10 10 2,5x10 10 2,0x10 10 1,5x10 10 1,0x10 10 5,0x10 400˚C 800˚C 1200˚C Maximum 9 0,0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Température en ˚C Fig. 4.5 - Luminan e du orps noir - maximum d'énergie. 43 4. Rayonnement des solides Ce graphique met en éviden e l'existen e d'un maximum de la luminan e monohromatique pour une longueur d'onde notée λmax dépendant de la température du orps noir. La dérivation de la loi de Plan k dans le adre de l'approximation de Wien permet d'exprimer ette longueur d'onde (loi de dépla ement de Wien) : hc ≈ 2900 µmK 5k (4.9) Par exemple pour des températures de 200C et 900C, e maximum se situe respe tivement dans les domaines pro he infrarouge et infrarouge moyen (λ200C max = 6, 08 µm et λ900C ). = 2, 45 µm max Quand la température diminue, e maximum est dé alé vers les grandes longueurs d'onde (vers le domaine infrarouge). La bande spe trale asso iée à l'émission des sour es thermiques usuelles est omprise entre les longueurs d'onde de 0, 1 µm et de 100 µm. Dans e domaine spe tral, les propriétés des ondes éle tromagnétiques dépendent fortement de la longueur d'onde (l'énergie du photon asso ié à la radiation est proportionnelle à la fréquen e de la radiation). Ce domaine spe tral est don divisé en plusieurs sous domaines : ultraviolet, visible, pro he infrarouge, infrarouge moyen, infrarouge lointain (gure 4.6). L'absorption de l'atmosphère onduit également à dé ouper les domaines visible et infrarouge en trois bandes spe trales d'observation (bande I : 0,3 à 2 µm ; bande II : 3 à 5 µm ; bande III : 8 à 12 µm). An d'éviter de faire des mesures pyrométriques sous atmosphère ontrolée ou sous vide, nous veillerons à travailler dans l'une de es trois bandes spe trales. λmax T = 4.2.4 Les u tuations Du fait de la quanti ation de l'énergie lumineuse (les photons), la puissan e rayonnée par la surfa e d'un solide u tue au ours du temps. Compte tenu des temps de mesure très ourts et des dimensions très faibles de notre phénomène, le nombre de photons émis est par onséquent très faible. Les u tuations de la puissan e rayonnée sont don à prendre en ompte dans la on eption de notre dispositif de mesure. La luminan e dénie dans le paragraphe pré édent orrespond en fait à une valeur moyenne de la luminan e instantanée notée ℓ0λ(t). On a don : L0λ 1 = ∆t Z t+∆t t ℓ0λ (t)dt (4.10) La démar he de Plan k pour établir la luminan e moyenne du orps noir permet également de déterminer la moyenne quadratique de ℓ0λ dénie par la relation suivante : 44 4. Rayonnement des solides Rouge Jaune Vert Bleu Violet VISIBLE INFRAROUGE ULTRAVIOLET PROCHE INFRAROUGE 10-1 10-2 0,4 0,7 INFRAROUGE INFRAROUGE MOYEN LOINTAIN 102 10 1 Longueur d’onde en µm Bande I 0,3µm-2µm Fig. Bande II Bande III 3µm-5µm 8µm-12µm 4.6 - Domaine spe tral du rayonnement thermique. (δℓ0λ )2 1 = ∆t Z t+∆t ℓ0λ (t) − L0λ t 2 dt (4.11) Il s'agit d'une densité spe trale de bruit. Dans le as des u tuations de la luminan e, nous avons à faire à un bruit blan ( 'est-à-dire ne dépendant pas de la fréquen e). La physique statistique permet d'exprimer ette moyenne quadratique de la luminan e, donnée par l'équation d'Einstein : ∂L0λ ∂T (4.12) Cette équation revient également à onsidérer que l'émission des photons par un orps noir vérie une statistique de Poisson. Les u tuations du signal peuvent introduire des erreurs sur l'estimation de la température notamment dans le as des te hniques de mesure par pyrométrie. En eet, plus les temps de mesure et les surfa es observées seront petits, plus les énergies déte tées seront faibles et plus le système de mesure sera sensible à es u tuations. Il faut ependant garder à l'esprit que la température n'est elle même que la représentation d'un phénomène statistique. Pour illustrer e problème, nous avons al ulé le nombre de photons reçus pendant une durée ∆t de 10 µs par une surfa e orps noir S de 2 µm par 2 µm, dans (δℓ0λ )2 = kT 2 45 4. Rayonnement des solides 400 100% 350 80% 4µm 0,8µm 4µm 0,8µm 250 Fluctuation relative Nombre de photons 300 200 150 100 60% 40% 20% 50 0 0 100 200 700 800 900 1000 0% 0 Température en ˚C 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Température en ˚C 4.7 - Nombre de photons émis par un orps noir à 900C en 10 µs et ses u tuations statistiques (surfa e de 2 µm par 2 µm). Fig. 4.8 - Rapport du nombre de photons de bruit sur le nombre de photons émis. 100 80 Erreur sur la température en ˚C Fig. 0,8µm 4µm 60 40 20 0 0 200 400 600 800 1000 Température en ˚C Fig. 4.9 - Erreur sur la température liée aux u tuations statistiques. 46 4. Rayonnement des solides des gammes de longueur d'onde entrées sur λ0 = 0, 8 µm et λ0 = 4 µm et sur une largeur spe trale ∆λ = 10 nm. L'ouverture du système optique est égale à 60soit un angle solide d'émission Ω de 0,79 stéradian. Le nombre moyen de photons est al ulé en divisant l'énergie émise, établie à partir de la loi de Plan k, par l'énergie d'un seul photon : nphoton = L0λ (λ0 , T )SΩ∆λ∆t hc λ0 (4.13) Cette évolution est tra ée en fon tion de la température sur la gure 4.7. Sur e même graphique, nous avons représenté les u tuations de e nombre de photons (bruit photonique) par des barres d'erreur. Il s'agit de la ra ine arrée de l'é art type du nombre de photons reçus. Par exemple à 900C pour une longueur d'onde de 0, 8 µm, le nombre moyen de photons reçus est égal à 100 et le bruit photonique est supérieur à 10 photons. Plus la température augmente, plus le nombre moyen de photons reçus par le système de mesure augmente. De même, une élévation de la température provoque une augmentation des u tuations. La gure 4.8 représente l'évolution en fon tion de la température du rapport du bruit photonique au nombre moyen de photons reçus. On onstate que e rapport diminue ave l'élévation de la température. Pour évaluer la qualité du système de mesure, on représente les erreurs sur la température liées aux u tuations statistiques (gure 4.9). Dans la onguration expérimentale hoisie, le bruit devient négligeable à partir de 900C (moins de 10% du nombre de photons reçus soit une erreur sur la température inférieure à 8C). 4.2.5 Maximum de sensibilité Une autre quantité importante est la sensibilité relative de la luminan e aux variations de température. C'est le rapport L1 ∂L∂T . Pour le orps noir dont la luminan e est dé rite par la loi de Plan k, la sensibilité relative est : λ λ hc exp kλT hc 1 ∂L0λ = hc L0λ ∂T kλT 2 exp kλT −1 (4.14) Cette sensibilité relative est représentée sur la gure 4.10 pour des températures de 400C, 800C et 1200C en fon tion de la longueur d'onde. On onstate qu'elle devient très grande pour les ourtes longueurs d'onde (domaine ultraviolet). Dans e domaine, de faibles variations de températures provoquent de fortes variations relatives de luminan e. Cette propriété du orps noir aura un intérêt apital en pyrométrie [25℄ (voir paragraphe 5.3). 47 4. Rayonnement des solides Sensibilité relative à la température en K -1 0,35 400˚C 800˚C 1200˚C 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0,1 1 10 Longueur d'onde en µm Fig. 4.10 - Sensibilité relative de la luminan e à la température en fon tion de la longueur d'onde. 4.3 Rayonnement des orps réels 4.3.1 Dénition du fa teur d'émission Les surfa es réelles ne sont pas des orps noirs. Il est d'usage de omparer la luminan e mono hromatique d'un orps réel ave elle du orps noir à la même température et d'introduire un nombre sans dimension. Pour ela, on dénit le fa teur d'émission mono hromatique, également appelé emissivité, noté ελ par le rapport de la luminan e mono hromatique de la surfa e réelle à elle du orps noir : Lλ (λ, T, ~δ) ελ (λ, T, ~δ) = 0 Lλ (λ, T ) (4.15) Le fa teur d'émission dépend de la longueur d'onde, de la température, de la dire tion d'émission, du matériau et de l'aspe t géométrique de la surfa e [26℄. Sa valeur est omprise entre 0 et 1. Dans la suite de e travail, on s'intéressera uniquement au fa teur d'émission mono hromatique normal orrespondant à une dire tion d'émission normale à la surfa e. Le fa teur d'émission est une propriété thermo-optique de la surfa e. Il existe don des relations ave d'autres grandeurs ara térisant les propriétés optiques des surfa es omme par exemple les fa teurs de réexion, de transmission et d'absorption. 48 4. Rayonnement des solides 4.3.2 Relation entre le fa teur d'émission et le fa teur de réexion Si l'on onsidère une surfa e é lairée par un ux mono hromatique Φλ, une partie ρλΦλ de e ux est réé hie, une autre αλΦλ est absorbée par la surfa e et transformée en haleur et la dernière τλΦλ est transmise (gure 4.11). Flux incident tl 1 Flux transmis rl Flux réfléchi Fig. Matériau absorbant 4.11 - Flux in ident, réé hi, transmis et absorbé. La onservation du ux in ident donne : ρλ , αλ (4.16) sont appelés respe tivement fa teurs de réexion, d'absorption et de ρλ + αλ + τλ = 1 et τλ transmission. Dans le as d'un matériau opaque (absen e de transmission), on obtient : (4.17) La loi de Kir hho, qui traduit l'équilibre thermodynamique lo al de la surfa e dS onsidérée omme isotherme, entraîne que l'énergie absorbée doit être réémise : ρλ + αλ = 1 αλ = ελ (4.18) ε λ = 1 − ρλ (4.19) La relation entre le fa teur d'émission et le fa teur de réexion est : 4.3.3 Relations de Fresnel La propagation des ondes éle tromagnétiques dans diérents milieux peut être dé rite par les équations de Maxwell [8℄. L'étude de la réexion des ondes éle tromagnétiques sur une surfa e lisse permet de relier le oe ient de réexion (et don le 49 4. Rayonnement des solides fa teur d'émission) aux propriétés optiques du matériau onstituant la surfa e. Ces propriétés optiques sont dé rites par l'indi e de réfra tion omplexe noté ñ = n − iχ. n est appelé indi e réel. C'est le rapport entre la élérité de la lumière dans le vide et la vitesse de phase de l'onde (n = vc ). Dans le as des milieux diéle triques, il orrespond à l'indi e de réfra tion. Pour les ondu teurs, n peut être inférieur à 1. χ est appelé indi e d'extin tion : l'énergie moyenne d'une onde plane est atténuée de manière exponentielle ave la distan e d'absorption. Le fa teur d'at. La profondeur de ténuation II s'é rit : II = exp(−Kaλx) ave Kaλ = 4πχ λ 1 pénétration δ est donnée par la relation δ = K . En in iden e normale, on a la relation suivante : φ λ 0 λ λ 0 λ aλ ε λ = 1 − ρλ = 4n (n + 1)2 + χ2 (4.20) 4.3.4 Propriétés optiques des matériaux ondu teurs Modèle de Drude En 1901, Drude a réussi à interpréter les propriétés physiques omme la ondu tivité éle trique et la apa ité alorique des matériaux ondu teurs du ourant. Pour ela, il a proposé de modéliser un ondu teur par un gaz d'éle trons libres dans un potentiel attra tif réé par les atomes du réseau (ions positifs). An de déterminer le mouvement des éle trons, Drude fait plusieurs hypothèses simpli atri es : il onsidère les éle trons omme des parti ules dis ernables et néglige l'a tion des ions positifs sur les éle trons. Malgré toutes es hypothèses qui peuvent sembler grossières, le modèle de Drude donne des résultats très intéressants. Dans es onditions, le bilan des eorts exer és sur l'éle tron onduit à l'équation du mouvement suivante : d2 x m dx m 2 =− (4.21) − eE dt τ dt où m et e sont respe tivement la masse et la harge de l'éle tron et x sa position. Le terme de frottement uide − mτ ddxt permet de modéliser les ollisions des éle trons. τ représente le temps de vol des éle trons et E le hamp éle trique appliqué au milieu. Pour déterminer les propriétés optiques d'un milieu ondu teur, on suppose qu'un hamp E = Eω eiωt est imposé par le passage d'une onde mono hromatique. La résolution de l'équation diérentielle 4.21 permet alors de déterminer le dépla ement des éle trons : x= 1 e iωt ω Eω e 2 m ω − iτ 50 (4.22) 4. Rayonnement des solides Le dépla ement des éle trons provoque lo alement une polarisation du milieu où N est le nombre d'éle trons par unité de volume, εr la permittivité relative omplexe du milieu et ε0 la permittivité du vide. On peut don en déduire sa permittivité relative omplexe : P = −N ex = (εr − 1)ε0 E εr = ε′ − iε′′ = 1 − D'où ωp2 ε =1− 2 ω + ωτ2 ′ ave et N e2 1 2 mε0 ω − i ωτ (4.23) ωp2 ωτ ε = ω (ω 2 + ωτ2 ) (4.24) ′′ et ωτ = τ1 . La permitivité relative omplexe étant le arré de l'indi e optique omplexe du milieu ñ2 = εr , on obtient : ωp2 = N e2 mε0 Ou inversement : ε′ + ε ′ = n2 − χ 2 √ et ε′2 + ε′′2 2 (4.25) ε′′ = 2nχ −ε′ + √ ′2 ′′2 ε +ε et χ = (4.26) 2 ωp est appelé pulsation plasma, 'est la pulsation libre du nuage éle tronique en l'absen e de hamp éle trique extérieur. Cette pulsation est indépendante de la température. Si la pulsation ω est très grande devant la pulsation plasma ωp, ε′ est positif et n est très grand devant χ. L'onde se propage dans le métal (semitransparen e). Au ontraire si la pulsation ω est petite devant ωp alors l'indi e n est petit devant l'indi e χ. L'onde est amortie rapidement. Le fa teur d'émission diminue et tend vers 0 (relation 4.20). ωτ est la fréquen e de relaxation. Contrairement à la fréquen e plasma, la pulsation de relaxation dépend de la température et de la pulsation de l'onde. Elle provient essentiellement de l'agitation thermique et peut se dé omposer en trois termes : ωτ = ω0 + ωph + ωe (4.27) Le premier terme provient uniquement de la stru ture du réseau. Il est a priori indépendant de la température mais peut par exemple dépendre de la stru ture du réseau ristallin. Le deuxième terme provient de l'intera tion entre les phonons et les éle trons. Cette pulsation dépend de la température. Pour des températures supérieures à la température de Debye (TDebye vaut environ 300K pour les métaux) on peut onsidérer que ette pulsation est proportionnelle à la température. 2 n = 2 51 4. Rayonnement des solides Le troisième terme provient de l'intera tion des éle trons entre eux due à l'agitation thermique. Cette pulsation dépend très faiblement de la température ( omparé au deuxième terme) [37℄ ; en revan he, elle dépend de la pulsation de l'onde ω. Ces onsidérations onduisent à exprimer la pulsation de relaxation pour des températures supérieures à TDebye sous la forme : ωτ0 = ω0 + aT + βω 2 (4.28) et β étant des paramètres dépendant du matériau. Le tableau 4.1 donne les valeurs numériques de es diérents paramètres dans le as de l'aluminium pur. Ces données ont été identiées par Mattei [38℄. a Tab. 4.1 - Valeurs numériques des paramètres du modèle de Drude dans le as de l'aluminium (d'après Mattei [38℄). Paramètre Valeur 16 ωp 1, 90.10 rad.s−1 soit λp = 0, 1 µm ωτ0 a β TDebye −1, 39.1014 rad.s−1 5, 46.1011 rad.s−1 K −1 7, 53.106 s 428K Ces paramètres permettent de tra er l'évolution des parties réelle et imaginaire de l'indi e optique en fon tion de la longueur d'onde dans le as de l'aluminium (gure 4.12). Les résultats sont donnés pour une température de 473K . Par omparaison, nous avons représenté sur la gure 4.13 les données expérimentales obtenues par analyse du oe ient de réexion pour l'aluminium à température ambiante [50℄. Nous pouvons onstater que le modèle de Drude s'applique remarquablement bien au as de l'aluminium. On remarque l'existen e d'un pi sur l'indi e n aux alentours de 1 µm orrespondant à une transition interbandes des éle trons qui n'est pas prise en ompte par le modèle de Drude. Nous détaillerons e point dans le paragraphe suivant. L'obtention des indi es n(λ) et χ(λ) permet d'obtenir la valeur du fa teur d'émission mono hromatique. Ces évolutions sont données sur les gures 4.14 et 4.15. On onstate en ore la qualité du modèle de Drude dans le as de l'aluminium. Os illateurs de Lorentz La théorie de Drude permet d'expliquer la transparen e des métaux à ourte longueur d'onde et la dé roissan e du fa teur d'émission en fon tion de la longueur 52 10 2 10 1 10 10 10 10 n χ 10 2 10 1 10 0 n χ 0 Indice complexe Indice complexe 4. Rayonnement des solides -1 10 -1 10 -2 10 -3 Transition interbande -2 -3 0,01 0,1 1 10 0,01 Longueur d'onde en µm 0,1 1 10 Longueur d'onde en µm Fig. 4.12 - Indi e omplexe de l'aluminium en fon tion de la longueur d'onde à 473K, modèle de Drude. Fig. 4.13 - Indi e omplexe en fon tion de la longueur d'onde. Expérien e [50℄. 1,0 1,0 0,8 Facteur d'émission Facteur d'émission 0,8 0,6 0,4 0,2 0,6 Transition interbande 0,4 0,2 0,0 0,0 0,01 0,1 1 10 0,01 Longueur d'onde en µm 0,1 1 10 Longueur d'onde en µm Fig. 4.14 - Fa teur d'émission de l'aluminium en fon tion de la longueur d'onde à 473K, modèle de Drude. Fig. 53 4.15 - Fa teur d'émission en fon tion de la longueur d'onde. Expérien e [50℄. 4. Rayonnement des solides d'onde. Cependant elle devient fausse dans le as des métaux mauvais ondu teurs et ne permet pas de dé rire les transitions interbandes asso iées aux éle trons liés. Une généralisation de la théorie de Drude a été développée par Lorentz. Chaque éle tron est onsidéré omme un os illateur harmonique solli ité par une for e due au hamp éle trique (eE0eiωt) et une for e de rappel due au noyau atomique (−ksx ave ks la raideur et x la position de l'éle trons) et soumis à un amortissement linéaire (−bẋ ave b le paramètre d'amortissement) (gure 4.16). b -eE0eiwt m kS x Fig. 4.16 - Modèle de Lorentz : l'os illateur amorti. L'équilibre du système s'é rit : d2x m dx + mω2x = eE eiωt m 2 + (4.29) 0 0 dt τ dt ave ω02 = km la pulsation d'os illation et τ = mb le temps de relaxation. On peut onstater que e système peut entrer en résonan e pour ω = ω0. Si l'on onsidère un os illateur unique, l'indi e omplexe est donné par la relation suivante : s ωp2 ñ = 1 + 2 ω0 − ω 2 + i ωτ 2 ave la fréquen e plasma dénie dans la théorie de Drude. Une généralisation de la relation pré édente à un ensemble d'os illateurs donne : ωp 2 ñ = 1 + X j ave (4.30) ωp2j ω02j − ω 2 + i τωj (4.31) sortes d'éle trons. Dans le as de la théorie de Drude, seule la ontribution d'un type d'éle tron libre est onsidérée. En onsidérant qu'un seul os illateur sans for e de rappel (ω0 = 0), la théorie de Lorentz est équivalente au modèle de Drude présenté dans le paragraphe pré édent. j 54 4. Rayonnement des solides En réalité, dans un ondu teur, les éle trons liés peuvent être l'objet de transitions interbandes et avoir une faible ontribution sur l'indi e omplexe notamment dans les domaines ultraviolet, visible et pro he infrarouge. La théorie de Lorentz pour les matériaux ondu teurs tient ompte de la ontribution des éle trons libres et des éle trons liés. L'indi e omplexe peut alors s'é rire sous la forme : 2 ñ = 1 + X j liés ωp2j ω02j − ω 2 + i τωj ωp2k + i ω − ω2 k libres τk X (4.32) sortes d'éle trons liés et k sortes d'éle trons libres. La théorie de Lorentz permet de dé rire les transitions des éle trons liés mais l'identi ation des diérents paramètres reste un problème important. Elle est en partie phénoménologique et il faudrait pour une analyse plus exa te faire intervenir la surfa e de Fermi du métal. ave j 4.3.5 Paramètres inuençant le fa teur d'émission d'une surfa e La longueur d'onde Le modèle de Drude montre que le fa teur d'émission dépend de la longueur d'onde de la radiation. La gure 4.17 montre l'évolution du fa teur d'émission pour diérents métaux en fon tion de la longueur d'onde à la température ambiante. 1,0 Aluminium Tungstène Platine Nickel Or Argent Facteur d'émission 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0 1 2 3 4 Longueur d'onde en µm Fig. 4.17 - Evolution du fa teur d'émission en fon tion de la longueur d'onde à température ambiante. 55 4. Rayonnement des solides La ourbe en noir (gure 4.17) représente l'évolution du fa teur d'émission de l'aluminium à la température de 473K . On peut remarquer que le fa teur d'émission dé roit lentement ave la longueur d'onde dans le domaine infrarouge et qu'il augmente nettement dans le domaine visible (pulsation supérieure à la pulsation plasma). Nous utiliserons ette propriété pour justier en partie le hoix de la pyrométrie visible lors de la on eption de notre dispositif expérimental. La température La pulsation de relaxation ωτ et don le fa teur d'émission dépendent de la température. La gure 4.18 montre l'évolution du fa teur d'émission ave la température dans le as de l'aluminium pour une longueur d'onde de 1 µm. Les résultats sont obtenus ave le modèle de Drude et les données numériques du tableau 4.1. On onstate une augmentation du fa teur d'émission ave la température. 0,08 0,07 Facteur d'émission 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 400 600 800 1000 1200 1400 1600 Température en K Fig. 4.18 - Evolution du fa teur d'émission en fon tion de la température (Aluminium, λ = 1 µm) pour le modèle de Drude. Fig. 4.19 - Fa teur d'émission du tungstène en fon tion de λ pour diérentes températures [52℄. En général le fa teur d'émission spe tral diminue ave la longueur d'onde et augmente ave la température. Ce omportement est bien dé rit par la théorie de Drude. Dans le domaine infrarouge, on peut montrer à partir du modèle de Drude que R ε (λ,T )L (λ,T )dλ le fa teur d'émission total déni par εtot = R L (λ,T )dλ est proportionnelle à la température (loi de Hagen-Rubens) [29, 42℄. Pour ertains métaux réfra taires (hautes températures de fusion), l'expérien e met en éviden e un point spe tral appelé "point X" ara térisé par une longueur ∞ λ 0 ∞ 0 56 0 0 4. Rayonnement des solides d'onde λX où l'on observe un hangement de signe de dελ/dT [52, 58℄. Dé ouvert par Weniger et al. en 1919, le point X n'a toujours pas reçu d'interprétation physique satisfaisante on ernant les mé anismes mi ros opiques mis en jeu. La gure 4.19 montre l'évolution du fa teur d'émission du tungstène ave la longueur d'onde pour diérentes températures. Le point X est situé à la longueur d'onde λX = 1, 2 µm. Dans le as de la mesure de la température des BCA par pyrométrie, le point X permettrait d'être insensible aux variations du fa teur d'émission. Cependant, la valeur de la longueur d'onde de e point X est a tuellement in onnue pour notre matériau. Changements de phase Un hangement de la stru ture du réseau ristallin ae te dire tement les pulsations plasma et de relaxation. Hervé et Mas let [27, 37℄ ont ee tivement observé la dis ontinuité du fa teur d'émission de l'aluminium au passage solide liquide (Tf = 660C) pour des longueurs d'onde situées dans l'infrarouge (gure 4.20). 0.06 Facteur d'émission normal 0.05 Liquide 0.04 0.03 Solide 0.02 0.01 0 2 4 6 8 10 12 14 Longueur d'onde en µm Fig. 4.20 - Variation du fa teur d'émission spe tral de l'aluminium au point de fusion (Tf = 660C) [27, 37℄. Plus ré emment, ette propriété a été utilisée par Antoni-Zdziobek et al. [1℄ pour développer une te hnique de déte tion des hangements de phase dans des alliages réfra taires à l'aide de deux mesures radiatives aux longueurs d'onde 0, 36 µm et 5, 15 µm. Dans le as du isaillement adiabatique, ette propriété du fa teur d'émis57 4. Rayonnement des solides sion a permis à Pina [51, 55℄ de repérer le hangement de phase α − β du TA6V lors de la formation de la bande de isaillement adiabatique. Les eets de surfa e : la rugosité, l'oxydation Le fa teur d'émission étant une ara téristique de la surfa e, il dépend don de l'état d'oxydation de elle- i. De même la rugosité peut modier fortement le fa teur d'émission. Les aspérités de la surfa e grandes par rapport à la longueur d'onde onstituent une multitude de avités agissant omme des orps noirs (gure 4.21). Une augmentation de la rugosité de la surfa e provoque don une augmentation du fa teur d'émission et une dépolarisation du rayonnement émis [24℄. Nous n'avons pas hoisi d'utiliser la polarisation du rayonnement émis pour lever l'in ertitude sur le fa teur d'émission à ause de la dépolarisation due à l'apparition de rugosité lors de l'essai. Rayon émis Fig. 4.21 - Eet de la rugosité sur le fa teur d'émission. 58 5 Prin ipe de la pyrométrie 5.1 Généralités sur la pyrométrie Nous avons vu dans le hapitre pré édent que le rayonnement émis par la surfa e d'un matériau dépend de sa température et de la longueur d'onde (Equation 4.6, loi de Plan k) et il est proportionnel au fa teur d'émission ara téristique de la surfa e émettri e. La dépendan e du rayonnement vis-à-vis de la température a permis le développement de la pyrométrie. En eet, l'utilisation d'un apteur ouplé à un système optique, mesurant le rayonnement émis par la surfa e permet de déterminer la température de elle- i. Contrairement aux apteurs intrusifs tels que les thermo ouples, ette te hnique a l'avantage d'être non intrusive et d'avoir des temps de réponse très ourts. Grâ e au développement des améras thermiques, la pyrométrie permet a tuellement d'obtenir des artographies de température. Toutefois, le prinipal in onvénient de ette te hnique est lié à l'in ertitude sur la onnaissan e du fa teur d'émission. Il faut soit disposer d'une autre mesure indépendante ou trouver un moyen pour minimiser l'eet du fa teur d'émission. Un pyromètre est onstitué d'un système optique, d'un déte teur et d'un système d'ampli ation et d'a quisition permettant d'enregistrer le signal délivré par le déte teur (gure 5.1). Surface à observer Fig. Détecteur Système optique Amplification + Système d’acquisition 5.1 - S héma d'un dispositif de mesure par pyrométrie. La on eption d'un pyromètre onsiste à hoisir une plage de longueur d'onde qui dépend à la fois du domaine de température à mesurer et des domaines spe traux de sensibilité des déte teurs. La gamme de longueur d'onde doit aussi orrespondre à une fenêtre de transmission atmosphérique. Pour améliorer les ara téristiques d'un 59 5. Prin ipe de la pyrométrie pyromètre, la largeur de la bande spe trale peut être réduite à quelques dizaines de nanomètres (pyrométrie mono hromatique). 5.1.1 Dispositif optique Le dispositif optique a pour but de fo aliser l'énergie rayonnée sur le déte teur. Il peut être onstitué d'une ou d'un ensemble de lentilles (obje tif) ou de miroirs. Les ara téristiques du système optique sont sa distan e fo ale et son ouverture. Le nombre d'ouverture est déni omme le rapport de la distan e fo ale de l'obje tif à son diamètre. Pour olle ter le maximum de ux, un dispositif optique doit posséder un petit nombre d'ouverture. Dans le as de l'imagerie, le dispositif optique doit limiter les aberrations géométriques et hromatiques. Il permet également d'obtenir un grandissement noté G de la surfa e observée. 5.1.2 Les déte teurs Le rle du déte teur est de onvertir le ux olle té par le système optique et reçu par le déte teur en un signal éle trique. Nous allons maintenant détailler les diérents types de déte teurs et dénir les grandeurs qui permettront de les ara tériser et de les omparer entre eux. Les diérentes familles de déte teurs On peut distinguer deux grandes familles de apteurs : les déte teurs thermiques et les déte teurs quantiques. Dans le as des déte teurs thermiques, la radiation in idente provoque une augmentation de la température de leur surfa e sensible. La mesure de ette variation de température permet de déterminer l'énergie reçue par le apteur. Ce type de déte teur possède une sensibilité spe trale onstante dans une bande spe trale délimitée par la fenêtre du déte teur, mais son prin ipal défaut est sa lenteur ar son temps de réponse est de l'ordre de 10−3 s. Les déte teurs quantiques sont onstitués de matériaux qui absorbent les radiations in identes en produisant des porteurs de harge libres ou semi libres (déte teur photovoltaïque ou photo ondu teur) ou en éje tant un éle tron par photo émission (déte teur photoémissif). Dans un photo ondu teur, l'absorption d'un photon provoque la réation d'un éle tron semi-libre qui augmente la ondu tivité du semi- ondu teur. Dans le as d'un déte teur photovoltaïque, les photons in idents réent une modi ation de la barrière de potentiel d'une jon tion PN d'un semi- ondu teur. Les prin ipaux semiondu teurs utilisés dans les déte teurs photovoltaïques et photo ondu teurs sont le sili ium (Si), le germanium (Ge), l'antimoniure d'indium (InSb) et le tellurure de 60 5. Prin ipe de la pyrométrie admium-mer ure (HgCdTe ou MCT). Les déte teurs photovoltaïques sont généralement plus sensibles et plus rapides que les photo ondu teurs. Les déte teurs photoémissifs, sont onstitués d'une photo athode pla ée dans le vide. Lorsqu'elle est frappée par un photon in ident un éle tron est expulsé en dehors de la photo athode par émission se ondaire. Le photon libéré est alors a éléré vers l'anode et ontribue à la réation d'un ourant. Dans un photomultipli ateur, le signal peut être également amplié par une su ession d'éle trodes polarisées appelées dynodes permettant à partir d'un éle tron émis, d'en libérer plusieurs. Ce type de déte teur est parti ulièrement sensible aux ourtes longueurs d'onde (ultraviolet, visible et pro he infrarouge), ar l'énergie du photon in ident doit être susante pour extraire l'éle tron ave plus d'énergie que les éle trons de bruit. Sur le même prin ipe, une améra CCD Intensiée (ICCD) est onstituée d'un intensi ateur d'image et d'une améra CCD lassique. L'intensi ateur omprend une photo athode, une plaquette onstituée d'une multitude d'ampli ateurs d'éle trons tubulaires d'un diamètre de quelques dizaines de mi romètres soumis à une haute tension (galette de mi ro anaux) et d'un é ran phosphore qui onvertit le ux d'éle trons en photons. On distingue trois générations d'intensi ateurs. Dans la première génération (GEN I), les éle trons éje tés sont uniquement a élérés entre la photo athode et l'anode sans être multipliés. Ces intensi ateurs ne sont plus utilisés a tuellement. Au ontraire, les intensi ateurs de deuxième et troisième génération (GEN II et GEN III)1 sont onstitués d'une galette de mi ro anaux qui permet d'obtenir des gains élevés (plus de 20 000). Dans la suite, nous ne parlerons que des déte teurs quantiques qui ont un temps de réponse très ourt. Les déte teurs thermiques dont la onstante de temps est longue ne onviennent pas à l'étude des phénomènes très brefs. Cara téristiques des déte teurs quantiques Dans un déte teur idéal, haque photon reçu par le apteur est onverti en un photoéle tron. Cependant, dans un déte teur réel, ertains photons ne sont pas absorbés par le apteur. Les déte teurs sont don ara térisés par leur e a ité quantique que l'on note Q. Il s'agit du nombre d'éle trons réés sur le nombre de photons in idents. Cette e a ité quantique est donnée pour une plage de longueur d'onde très petite (dλ) entourant une longueur d'onde λ : Q(λ) = néle tron nphoton (5.1) La diéren e entre es deux générations provient essentiellement du domaine de sensibilité de la photo athode. Les photo athodes de deuxième génération sont onstituées de multi-al alins plutt sensibles dans le domaine ultraviolet et visible alors que les photo athodes de troisième génération sont réalisé en AsGa qui permet d'étendre le domaine de sensibilité au pro he infrarouge (jusqu'à 900 nm) et d'augmenter le rendement. 1 61 5. Prin ipe de la pyrométrie L'e a ité quantique est inférieure à 1. Dans le as où le ux in ident est amplié ( as des photomultipli ateurs et des améras intensiées) on peut par ontre avoir plus de 106 éle trons par photoéle tron. Ce hire étant à multiplier par Q(λ). La sensibilité spe trale d'un déte teur est dénie omme le rapport entre dSi la variation de signal en sortie de déte teur et dP la variation de la puissan e lumineuse orrespondante rayonnée sur le déte teur : dSi Sλ = (5.2) dP Le lien entre la sensibilité spe trale et l'e a ité quantique est donné par la formule suivante : hc λe (5.3) Pour qu'un photon soit absorbé par le semi- ondu teur ou la photo athode d'un déte teur, il faut qu'il possède une énergie susante. Elle est appelée énergie de GAP du semi- ondu teur et est notée EGAP . L'e a ité quantique est don nulle à partir d'une longueur d'onde de oupure λc = E hc et quasiment onstante onstante en dessous. Cette longueur d'onde est donnée pour diérents matériaux photosensibles dans le tableau 5.1. La sensibilité augmente don proportionnellement à la longueur d'onde ar l'énergie des photons in idents est inversement proportionnelle à la longueur d'onde du photon (gure 5.2). Q(λ) = Sλ GAP Sl lc Fig. l 5.2 - L'évolution de la sensibilité ave la longueur d'onde d'un déte teur quantique. La gure 5.3 montre l'évolution de l'e a ité quantique en fon tion de la longueur d'onde d'une photo athode AsGa de améra intensiée de troisième génération2. 2 Il s'agit d'une améra de marque Prin eton Instruments modèle PI.MAX :1k (HQ) 62 5. Prin ipe de la pyrométrie 5.1 - Domaine de sensibilité des diérents déte teurs. Matériau Longueur d'onde Type de apteur photosensible de oupure λc Si 1, 1 µm Photovoltaïque InSb 5, 5 µm Photvoltaïque HgCdTe 14 µm Photovoltaïque ou photo ondu teur PbS 3µ m Photo ondu teur Dépot bi-al alin 0, 65 µm Photoémissif (Sb-Rb-Cs ;Sb-K-Cs) Dépot multi-al alin 0, 85 µm Photoémissif S20 (Na-K-Sb-Cs) AsGa (GEN III) 0, 9 µm Photoémissif Tab. Pour des raisons pratiques, on utilise don souvent le rendement noté η(λ) et déni par : η(λ) = Q(λ) Détermination du bruit d'un déte teur λ λc (5.4) Le signal de sortie d'un déte teur s'a ompagne toujours d'une u tuation. Cette u tuation aléatoire, appelée bruit du déte teur limite sa performan e. Pour les basses fréquen es, l'origine du bruit provient essentiellement de l'imperfe tion des surfa es des matériaux onstitutifs du déte teur. Aux fréquen es élevées, la diminution du bruit orrespond à la perte de sensibilité du déte teur, limitée par les temps de transit et les impédan es parasites. Cependant es deux omposantes de bruit ne gênent pas les mesures ompte tenu des fréquen es d'utilisation du déte teur. Les bruits les plus limitants ont pour origine l'agitation thermique (bruit de Johnson) et la granularité de la lumière (bruit photonique). Ces deux types de bruit ont une distribution spe trale qui ne dépend pas de la fréquen e (bruit blan ). Comme l'émission des photons est un phénomène aléatoire, le ux in ident sur la surfa e sensible du déte teur u tue autour d'une valeur moyenne (Cf paragraphe 4.2.4). Cette u tuation se réper ute don sur le signal de sortie du déte teur. Sa performan e est don souvent limitée non par les u tuations du signal émis par la surfa e observée mais surtout par le bruit de l'arrière plan de la s ène observée qui est généralement à température ambiante. Ce bruit de fond est don proportionnel à l'angle solide d'ouverture du déte teur. 63 5. Prin ipe de la pyrométrie 50% Efficacité quantique 40% 30% 20% 10% 0% 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Longueur d'onde en µm Fig. 5.3 - E a ité quantique de la améra intensiée GEN III utilisée dans e travail : améra de marque Prin eton Instruments, modèle PI.MAX :1k (HQ). L'origine du bruit en sortie de déte teur peut également provenir du ir uit éle tronique de pré-ampli ation ou de l'agitation thermique (Bruit de Johnson) au niveau du apteur. Comme le bruit de Johnson dé roît selon la ra ine arrée de la température, le refroidissement du apteur permet de limiter e bruit éle tronique et même, si la température est susamment basse (inférieure à une température limite notée TBLIP ), de le rendre négligeable devant le bruit photonique. Dans es onditions, 'est le bruit lié aux u tuations du fond de la s ène qui xe les ara téristiques limites du déte teur. Pour évaluer la qualité d'un dispositif de mesure par pyrométrie, on utilise souvent le rapport de la puissan e du signal en sortie de déte teur sur la puissan e de bruit. Une bonne déte tion doit don se faire à rapport signal sur bruit élevé. Pour quantier le bruit d'un déte teur, on dénit souvent la "puissan e équivalente au bruit" omme étant le ux φ ave lequel il faut é lairer le déte teur pour que la puissan e du signal de sortie soit égale au bruit. Ce ux équivalent au bruit noté N.E.P. [Noise Equivalent Power℄ est exprimé en Watt. La déte tivité, notée D, est l'inverse du ux équivalent au bruit et elle s'exprime en W −1 : D= 1 φ (5.5) Pour obtenir un rapport signal sur bruit élevé, la déte tivité doit être grande. Pour la plupart des apteurs, elle est inversement proportionnelle à la surfa e du déte teur. De plus, le bruit du déte teur a généralement une répartition spe trale onstante (bruit blan ) et il est don proportionnel à la ra ine arrée de la bande 64 5. Prin ipe de la pyrométrie passante du système éle tronique en sortie de déte teur ∆ν . Pour omparer les déte teurs entre eux, on dénit souvent la déte tivité spé ique notée D∗ : D D∗ = √ √ A ∆ν (5.6) La déte tivité spé ique D∗ est donnée dans le tableau 5.2 pour une ouverture du déte teur de 180, une surfa e de 1 cm2 et une bande passante de 1 Hz et une température du fond de s ène de 293K . Tab. 5.2 - Déte tivité de diérents déte teurs (ouverture : 180; surfa e sensible de 1 cm2 ; bande passante de 1 Hz ; température du fond de s ène : 293K ). Capteur Longueur d'onde Déte tivité √ de oupure en W −1cm Hz InSb 5, 5 µm 8, 97.1010 HgCdTe 14 µm 2, 89.1010 Camera ICCD GEN III 0, 9 µm 2, 26.1019 On représente souvent le produit η(λ)D∗ pour un déte teur en fon tion de la longueur d'onde (gure 5.4). La ourbe en noir est la déte tivité spé ique d'un déte teur parfait ayant une longueur d'onde de oupure λc. Elle orrespond au bruit ambiant du fond de s ène. La déte tivité augmente quand la longueur de oupure diminue puisque les photons sont de plus en plus énergétiques. Dans une améra intensiée, l'intensi ateur génère un bruit supplémentaire. Des éle trons sont émis spontanément au niveau des mi ro anaux. Une améra intensiée a don un bruit supérieur à une améra lassique à temps d'exposition égal. Par ontre, dans le as du isaillement adiabatique, les temps d'exposition très faibles de l'ordre de la dizaine de mi rose ondes génèrent un bruit négligeable. Ces améras sont don bien adaptées à l'étude de phénomènes brefs où il faut déte ter et don amplier les quelques photoéle trons produits. 5.1.3 Ampli ation et a quisition Les variations de signal en sortie de déte teur sont souvent très faibles de l'ordre du mi rovolt. Il est don amplié et onverti numériquement par le système d'a quisition. Pour limiter le bruit généré par l'ampli ateur, on peut utiliser un préampli ateur refroidi. 65 5. Prin ipe de la pyrométrie 20 10 19 10 18 10 17 10 16 10 15 10 14 10 13 10 12 10 11 10 10 Détectivité spécifique en cm Hz 1/2 W -1 10 10 InSb HgCdTe ICCD Détecteur parfait 9 0 2 4 6 8 10 12 14 Longueur d'onde en µm Fig. 5.4 - Déte tivité spé ique de diérents déte teurs (ouverture : 180; surfa e sensible de 1 cm2 ; bande passante de 1 Hz ; température du fond de s ène : 293K ). 5.2 Expression du signal délivré par un déte teur Ayant déni les propriétés radiatives des matériaux et les ara téristiques du système optique et des déte teurs, nous allons maintenant exprimer la puissan e reçue par un déte teur pla é devant une surfa e à observer à la température T . Cette puissan e nous permettra de déterminer le signal délivré par le déte teur et d'évaluer le bruit dû à la u tuation statistique de la température. On pourra alors faire un bilan des in ertitudes en tenant ompte aussi de elle due au fa teur d'émission. 5.2.1 Puissan e rayonnée sur un déte teur On onsidère une petite surfa e dS à la température T pla ée en S1 qui rayonne dans un demi-espa e. En fa e de la surfa e dS , on pla e un système olle teur, une lentille ou un miroir, suivie d'un déte teur (gure 5.5). On her he à exprimer la puissan e reçue par le déte teur. Lorsque la mise au point est ee tuée, la surfa e dA est l'image de dS . Les relations de onjugaison de la lentille donnent : d′ G= d et d=f 66 1 1+ G (5.7) 5. Prin ipe de la pyrométrie ® d M ® n‘ dS dW ® dS n dA S1 f f d d’ lentille a) Montage ave une lentille. dA dS b) Montage ave deux miroirs. Fig. 5.5 - Puissan e reçue par le déte teur. où G est le grandissement transversal et f la fo ale de la lentille. On en déduit don une relation entre dA et dS : d A = G2 d S (5.8) Toute l'énergie rayonnée par dS sur la lentille est transmise à la surfa e dA. On peut don al uler la puissan e dP reçue par la surfa e dA du déte teur. Pour ela, on al ule dans un premier temps la puissan e reçue par une surfa e élémentaire dΣ de la lentille : dP(~δ) = Lλ(~δ)~δ.~ndΩdS dλ ave dΩ = δ.SnMdΣ2 ~ ~′ 1 (5.9) En intégrant sur la surfa e de la lentille on obtient la puissan e reçue par la surfa e dA dans une bande spe trale omprise entre λ et λ + dλ : 67 5. Prin ipe de la pyrométrie dP = ZZ Lentille ~δ.n~′ ~δ.~ndS dλdΣ Lλ (~δ) S1 M 2 (5.10) Comme la lentille est parallèle à dS , on a dans notre as : (5.11) On peut également onsidérer que les surfa es visées sont toujours de petites dimensions vis-à-vis du diamètre de la lentille et de la distan e d e qui se traduit par dS ≈ S . On obtient alors : ~δ.n~′ = ~δ.~n ZZ (~δ.~n)2 dΣ S1 M 2 Lentille | {z } A dP = Lλ(λ, T )S dλ (5.12) A représente la onstante d'appareillage tenant ompte de la haîne optique entre la surfa e et le déte teur. Dans le as simple d'une petite surfa e dS visée à l'aide d'une lentille de diamètre D, de fo ale f nous pouvons exprimer ette onstante d'appareillage. Cette onguration est représentée sur la gure 5.6. M ® d dr r ® S1 n lentille Fig. 5.6 - Constante d'appareillage ; onguration du système optique L'expression de la onstante d'appareillage devient : A= ave ZZ Lentille dΣ = 2πrdr, (~δ.~n)2 dΣ S1 M 2 S1 M 2 = r2 + d2 68 et (5.13) ~δ.~n = √ d r2 + d2 (5.14) 5. Prin ipe de la pyrométrie On obtient alors : D'où ave Z A= 0 D 2 D2 2πrd2 1 2 dr = πd − r2 + d2 (r2 + d2 )2 0 d2 A = π 1 − D2 + d2 4 ! = π(1 − cos2 α) = π sin2 α (5.15) (5.16) le demi-angle d'ouverture de la lentille. D'où la puissan e reçue par la surfa e dA : α dP = Lλ(λ, T )Adλ ave A = π sin2 α (5.17) Pour augmenter l'énergie olle tée, il faut don augmenter le demi-angle d'ouverture α. 5.2.2 Signal en sortie de déte teur La variation de signal délivrée par le déte teur peut être exprimée en fon tion de la puissan e rayonnée sur le déte teur dans la gamme de longueurs d'onde omprise entre λ et λ + dλ à l'aide de la sensibilité spe trale : dSi = SλdP (5.18) En exprimant dP en fon tion des ara téristiques du dispositif optique et du rayonnement de la surfa e tel qu'on l'a al ulé dans le paragraphe pré édent, on a : dSi = SλASLλ(λ, T )dλ Le signal total délivré par le déte teur s'exprime alors : Si = AS Z ∞ 0 Sλ Lλ (λ, T )dλ (5.19) (5.20) En posant K = AS λhce et en utilisant les relations 5.3 et 5.4, on a : c 0 Si = Si + K ave Z ∞ 0 Si0 la K un η(λ)Lλ (T, λ)dλ (5.21) tension d'oset, oe ient d'appareillage dépendant du montage optique, du déte teur et du ir uit d'ampli ation, 69 5. Prin ipe de la pyrométrie Lλ (T,Rλ) la luminan e mono hromatique de la surfa e visée, ∞ P = 0 η(λ)Lλ (T, λ)dλ représente la puissan e déte tée par tout le spe tre. le apteur sur 5.2.3 Etalonnage du système Pour réussir à quantier la température d'une surfa e ave un pyromètre, il est né essaire d'identier les diérentes onstantes d'appareillage (Si0 et K ). C'est l'obje tif de l'étalonnage du système sur une sour e de référen e. Etalonnage sur un orps noir Le pyromètre est alibré sur une sour e étalon, un orps noir. Cet étalonnage permet d'établir la relation entre le signal délivré par le déte teur et la température. Dans le as parti ulier de la pyrométrie mono hromatique, l'énergie P(T ) peut s'exprimer de la manière suivante : P(T ) = = = ∆λ et λ0 étant respe Z λ0 +∆λ/2 η(λ)L0λ (T, λ)dλ λ0 −∆λ/2 η(λ0 )L0λ (T, λc )∆λ 2hc2 λ−5 0 η(λ0 ) hc exp kλ0 T − ∆λ 1 (5.22) (5.23) (5.24) tivement la largeur de bande spe trale et la longueur d'onde entrale du ltre interférentiel. Dans le as où les bandes spe trales d'observation sont étendues, nous aurons re ours à une intégration numérique pour obtenir P(T ). L'étalonnage puis le al ul de P(T ) permettront d'identier les onstantes Si0 et K dans ha un des as. Les ourbes d'étalonnage des pyromètres asso iés aux bandes de isaillement adiabatique seront présentées dans le paragraphe 6.2.2. Nous vérierons également que la nonlinéarité de nos déte teurs est négligeable devant les autres sour es d'erreur. Corre tion due au fa teur d'émission : température de luminan e La surfa e réelle à observer n'est pas un orps noir. Il est don né essaire de prendre en ompte son fa teur d'émission. On peut ependant dénir la température de luminan e notée Tλ omme la température d'un orps noir qui rayonnerait la même puissan e que la surfa e réelle. Dans le as d'une surfa e réelle, la température de luminan e est diérente de la température vraie de la surfa e ar son fa teur 70 5. Prin ipe de la pyrométrie d'émission mono hromatique noté ελ(T, λ) est inférieur à 1. Dans le as de la pyrométrie mono hromatique, la température de luminan e s'exprime par la relation suivante : (5.25) Dans le as de la pyrométrie large bande (longueurs d'ondes omprises entre λ1 et λ2), la formulation de ette température de luminan e est un peu plus omplexe. Elle onduit à l'expression suivante : Lλ (T ) = ελ L0λ (T ) = L0λ (Tλ ) Z λ2 λ1 dλ = ελ η(λ)L0λ (T, λ) Z λ2 λ1 η(λ)L0λ (Tλ , λ)dλ (5.26) La température de luminan e est déterminée dire tement à partir de la ourbe d'étalonnage. Connaissant le fa teur d'émission, on peut exprimer le lien entre la température de la surfa e réelle et le signal délivré par le déte teur et retrouver une ourbe d'étalonnage en fon tion de la température de la surfa e réelle. Diéren e entre la température réelle et la température de luminan e Dans de nombreux as, il est di ile de onnaître pré isément le fa teur d'émission. Lorsqu'il est in onnu, on peut se demander quel est l'é art entre la température réelle par la température de luminan e. Dans le as mono hromatique, la dénition de la température de luminan e (équation 5.25) donne en utilisant l'approximation de Wien : ελ (λ0 , T ) exp hc kλ0 Tλ = exp hc kλ0 T (5.27) où λ0 orrespond à la longueur d'onde entrale du ltre interférentiel. D'où : 1 1 kλc − ln ελ = T Tλ hc (5.28) L'é art entre la température réelle et la température de luminan e vaut don : kλc ln ελ hc (5.29) Dans le as de la pyrométrie large bande, la température de luminan e est donnée par la relation 5.26. Si l'on onsidère que le fa teur d'émission varie très peu vis-à-vis de la température et de la longueur d'onde, on obtient : ∆T = T − Tλ = −Tλ T 71 5. Prin ipe de la pyrométrie ελ P(T ) = P(Tλ ) (5.30) Tλ = P −1 (ελ P(T )) (5.31) ∆T = T − Tλ = T − P −1 (ελ P(T )) (5.32) On peut alors déterminer simplement la température de luminan e : On peut également quantier l'é art entre la température réelle et la température de luminan e : Cet é art est représenté sur la gure 5.7 en fon tion du fa teur d'émission pour le domaine visible et le domaine infrarouge pour une température réelle de 700C. La gure 5.8 représente et é art en fon tion de la température pour un fa teur d'émission xé à 0,25 dans l'infrarouge et 0,4 dans le visible. On onstate que les erreurs sont nettement plus faibles dans le domaine visible. Par exemple, pour une température réelle de 700C, en utilisant un déte teur InSb et une améra intensiée GEN III sans ltre, on obtient respe tivement des é arts de 247C et 60C soit 25% et 6%. L'approximation de la température réelle par la température de luminan e est orre te dans le domaine visible. Comme nous l'avons mis en éviden e dans le paragraphe 4.2.5 (gure 4.10), plus la longueur d'onde est ourte plus une variation de température rée une grande variation de puissan e émise par la surfa e. Les variations de signal liées aux variations du fa teur d'émission sont alors négligeables. Pour améliorer l'estimation de la température réelle, on peut également faire une approximation relativement grossière du fa teur d'émission. 5.3 Con eption et optimisation de la haîne pyrométrique Dans les paragraphes pré édents, nous avons vu que l'in ertitude sur le fa teur d'émission de la surfa e réelle né essite de hoisir des longueurs d'onde les plus ourtes possible pour limiter les erreurs sur la mesure de température. Cependant plus la longueur d'onde est pro he de l'ultraviolet, plus l'énergie émise par la surfa e est faible et don di ile à déte ter. On se propose don dans ette partie de ara tériser les limites de déte tion de diérents apteurs et de déterminer les meilleurs onditions expérimentales de déte tion. 72 5. Prin ipe de la pyrométrie 700 600 InSb ( λ max =4,5µm) HgCdTe ( λ max =12µm) Caméra Princeton+filtre 0,634µm Caméra Princeton sans filtre Ecart en ˚C 500 400 300 200 100 0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Facteur d'émission Fig. 5.7 - E art entre la température et la température de luminan e en fon tion du fa teur d'émission et du apteur hoisi pour une température de 700C. 700 InSb ( λ max = 4,5µm; ε = 0,25) HgCdTe ( λ max = 12µm; ε = 0,25) Caméra Princeton+filtre 0,634µm ( ε = 0,4) Caméra Princeton sans filtre ( ε = 0,4) 600 Erreur en ˚C 500 400 300 200 100 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Température en ˚C Fig. 5.8 - E art entre la température et la température de luminan e en fon tion de la température et du apteur hoisi pour un fa teur d'émission de 0,25 dans l'infrarouge et de 0,4 dans le visible. 73 5. Prin ipe de la pyrométrie 5.3.1 Optimisation de la taille du déte teur et du système optique Dans un premier temps, nous allons nous intéresser au hoix de la taille du déte teur et du dispositif optique. Si nous supposons que la taille de l'objet à observer est xée, nous pouvons essayer de déterminer la taille optimale du déte teur à hoisir pour obtenir un rapport signal sur bruit maximal. On peut d'abord quantier la puissan e déte tée par le apteur observant une surfa e S à la température T à l'aide de la formule 5.21 : Ps = SA Z | λc λ1 η(λ)L0λ (λ, T )dλ {z } (5.33) P(T ) ave A = dΣ et Σ la surfa e de la lentille et λ1 la oupure basse du matériau ou de la fenêtre du déte teur. On a don : SΣP Ps = (5.34) d2 On a vu pré édemment que le bruit du déte teur est proportionnel à la ra ine arrée de la surfa e du déte teur d'où la puissan e de bruit Pb : 2 √ Ω ∆ν √ Pb = A ∗ | D {z } (5.35) K1 ave ∆ν la longueur de la bande passante du ir uit éle tronique A la surfa e du déte teur Ω l'angle solide d'ouverture du déte teur D∗ la déte tivité spé ique On peut alors exprimer le rapport signal sur bruit : P(T )ΣS √ ave A = G2 S 2 K1 d A P(T )ΣS √ = K1 d2 G S √ 1 ΣP(T ) S = 2 1 2 K1 f } 1+ G G | {z S/B = K2 74 (5.36) (5.37) (5.38) 5. Prin ipe de la pyrométrie 0,30 Signal sur bruit divisé par K 2 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0 1 2 3 4 5 6 7 Grandissement G Fig. 5.9 - Rapport signal sur bruit en fon tion du grandissement. Les paramètres P(T ), S et K1 dépendent de l'objet observé et des ara téristiques du déte teur et ne peuvent pas être modiés. Pour augmenter le rapport signal sur bruit, il faut un oe ient de proportionalité K2 le plus grand possible. La gure 5.9 montre également que le rapport signal sur bruit est optimal pour un grandissement de 1. Pour la mesure des basses températures (entre 50C et 300C) où le problème du rapport signal sur bruit est ru ial, nous hoisirons don un système optique donnant la plus grande ouverture possible en évitant les aberrations géométriques ou hromatiques. Ce i nous a onduit à utiliser deux miroirs paraboliques ave un grandissement de 1. 5.3.2 Comparaison des déte teurs La question est i i de savoir quel déte teur est le plus approprié à l'observation d'un objet à une température T donnée. En fait il existe deux ritères de hoix : le rapport signal sur bruit et le rapport variation de signal sur bruit. Dans les deux paragraphes suivants, nous allons détailler es ritères dans le as des déte teurs InSb et HgCdTe ainsi que pour la améra intensiée Prin eton Instruments sans ltre. 75 5. Prin ipe de la pyrométrie Rapport signal sur bruit Nous avons vu que plus un déte teur a une longueur d'onde de oupure pro he des ourtes longueurs d'onde, plus son bruit est réduit (voir gure 5.4). Cependant plus la température à mesurer est basse, plus le rayonnement émis est faible d'où un signal en sortie de déte teur également faible. Il existe don un ompromis à trouver entre un signal élevé et un bruit susamment faible. Pour déterminer les plages de températures asso iées à l'utilisation optimale des diérents déte teurs, il est né essaire de quantier pré isément le rapport signal sur bruit. Les formules 5.33 et 5.35 nous donnent les expressions de la puissan e du bruit et de la puissan e reçue par le déte teur : √ √ Ω ∆ν A Pb = D∗ et Ps = SA Z On en déduit don le rapport signal sur bruit : SA S/B = √ √ Ω ∆ν A Z λc 0 λc 0 η(λ)L0λ (λ, T )dλ D∗ η(λ)L0λ (λ, T )dλ (5.39) (5.40) La grandeur η(λ)D∗ est une donnée intrinsèque au déte teur (gure 5.4). Ce rapport signal sur bruit est représenté pour les déte teurs InSb, HgCdTe et la améra intensiée Prin eton Instruments sans ltre sur la gure 5.10 pour les ara téristiques du montage optique données dans le tableau 5.3. 5.3 - Cara téristiques du système de mesure. Surfa e visée 43 µm x 43 µm Surfa e déte teur 43 µm x 43 µm Grandissement G 1 Ouverture du déte teur 0, 785 sr soit 60 Ouverture du système optique 0, 121 sr Bande passante 1 M Hz Tab. Après analyse de la gure 5.10, nous onstatons que : en dessous de 100C le déte teur HgCdTe ore le meilleur rapport signal sur bruit. pour des températures omprises entre 100C et 370C, le déte teur InSb est le plus approprié. au delà de 370C, on utilisera plutt une améra intensiée. 76 5. Prin ipe de la pyrométrie 120 3500 100 3000 InSb HgCdTe InSb HgCdTe ICCD Gen III Rapport signal sur bruit Rapport signal sur bruit 2500 80 60 40 20 2000 1500 1000 500 0 0 0 20 40 60 80 100 120 0 140 Fig. 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Température en ˚C Température en ˚C 5.10 - Comparaison des déte teurs vis à vis du rapport signal sur bruit pour la onguration donnée dans le tableau 5.3. Variation de signal par rapport au bruit On demande souvent à un pyromètre d'être apable de déte ter de faibles variations de température. Pour satisfaire à ette exigen e, il sut que la variation de signal asso iée soit supérieure au bruit du déte teur. Ce i fournit don un ritère de hoix supplémentaire d'un déte teur en fon tion de la température à mesurer. La variation de puissan e du signal liée à une variation de température de 1K vaut : dPs = SA Z λ η(λ) ∂L0λ (λ, T )dλ (5.41) dT ∂T 0 On en déduit don le rapport de la variation de signal sur le bruit : c SA ∆S/B = √ √ ∆ν AΩ Z λc ∂L0λ (λ, T )dλ ∂T (5.42) Le rapport variation de signal sur bruit est représenté pour les déte teurs InSb, HgCdTe et la améra intensiée Prin eton Instruments sans ltre sur la gure 5.11. 0 D∗ η(λ) Pour avoir un meilleur rapport variation de signal sur bruit, il faut utiliser un déte teur HgCdTe en dessous de 50C. Pour des températures omprises entre 50C et 310C le déte teur InSb semble le plus approprié. Pour des températures au delà de 310C, on utilisera la améra intensiée. 5.3.3 Con lusion En tenant ompte des résultats obtenus pré édemment, nous avons hoisi pour notre dispositif expérimental de mesure de la température dans les BCA, un déte 77 5. Prin ipe de la pyrométrie 20 2,0 18 Variation de signal sur bruit Variation de signal sur bruit InSb HgCdTe ICCD Gen III 16 InSb HgCdTe 1,5 1,0 0,5 14 12 10 8 6 4 2 0 0,0 0 20 40 60 80 100 120 140 0 Température en ˚C Fig. 50 100 150 200 250 300 350 400 Température en ˚C 5.11 - Comparaison des déte teurs vis à vis de la variation de signal par rapport au bruit. teur InSb ave pour les basses températures (50C à 300C) et la améra intensiée Prin eton Instruments sans ltre pour les hautes températures (800C à 1600C). 78 6 Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques 6.1 Présentation du montage mé anique 6.1.1 Barres d'Hopkinson en torsion Le dispositif des barres d'Hopkinson permet de solli iter les matériaux à grande vitesse de déformation et de mesurer la déformation et la ontrainte dans l'é hatillon testé. Plusieurs types de solli itations sont possibles à l'aide de e dispositif : la ompression, la tra tion et la torsion. La solli itation de torsion est parti ulièrement bien adaptée au isaillement adiabatique ar elle permet de visualiser la formation de la bande dire tement sur l'éprouvette. Le prin ipe repose sur la propagation des ondes élastiques le long de barres. Une éprouvette tubulaire est pla ée entre les barres entrantes et sortantes (gure 6.1). Elle est xée à elles- i par l'intermédiaire de deux six pans. Une partie de la barre entrante omprise entre le moteur M et le frein F est soumise à une torsion. Le frein est alors rela hé et une onde de torsion se propage le long de la barre entrante et vient solli iter l'éprouvette. Une partie de ette onde in idente est réé hie alors que l'autre est transmise à la barre sortante. Des jauges pla ées au milieu des barres permettent de mesurer les déformations des barres dues au passage des ondes. 6.1.2 Eprouvette Les éprouvettes solli itées dynamiquement ont une géométrie tubulaire semblable à elles utilisées par Mar hand et Duy [36℄ et Deltort [15℄. Pour maîtriser la position où va se former la bande de isaillement adiabatique, la partie tubulaire possède une rédu tion de se tion en son entre. Les gures 6.2 et 6.3 montrent respe tivement une photographie et un plan de la partie utile de l'éprouvette. An d'avoir une bonne reprodu tibilité des essais, nous avons fait parti ulière79 6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques Temps Onde réfléchie Mesures des déformations des barres dues aux ondes réfléchie et transmise Onde transmise L’onde incidente se divise en une onde réfléchie et une onde transmise Début de sollicitation de l’éprouvette Onde incidente Relâchement du frein; propagation de l’onde incidente Couple de torsion Frein F Moteur M Barre entrante Mise en torsion Jauge J2 Jauge J1 Eprouvette de l’extrémité de la barre Barre sortante Abcisse 6.1 - prin ipe de fon tionnement des barres d'Hopkinson en torsion. R40 Fig. 0,4mm 2mm Fig. 6.2 - Photographie de l'éprouvette de torsion. Fig. 80 6.3 - Plan de la partie utile de l'éprouvette. 6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques ment attention à la oaxialité des surfa es ylindriques intérieure et extérieure qui ontrle dire tement l'épaisseur de toile et à la rugosité des diérentes surfa es de la partie utile. Le matériau utilisé pour la réalisation de es éprouvettes est l'alliage de titane TA6V hoisi pour sa sensibilité au isaillement adiabatique. Le titane présente deux formes allotropiques, la phase α qui est de stru ture hexagonale et stable à basse température et la phase β qui est ubique entrée et stable au-dessus de la température de transus β (882C pour le titane pur et 996C pour le TA6V). L'ajout d'aluminium stabilise la phase α alors que l'ajout de vanadium stabilise la phase β . A température ambiante, le TA6V dont la omposition himique est donnée dans le tableau 6.1, présente une stru ture biphasée αβ . Le traitement thermomé anique omprend un forgeage dans le domaine β (température supérieure à 996C), un laminage dans le domaine αβ (entre 930C et 960C) et un re uit à 788C pendant 1 heure, suivi d'un refroidissement au four. La gure 6.4 montre la mi rostru ture de et alliage dans le plan normal au sens travers ourt. Elle est onstituée de grains α équiaxes (taille de grain entre 5 et 10 mi rons) et de grains β minoritaires pla és autour des grains α. On onstate également la présen e de bandes de laminage dans lesquelles les grains α ont une morphologie très allongée (largeur des grains 3 à 4 mi romètres). Tab. 6.1 - Composition himique de l'alliage de titane TA6V. Elément Pour entage massique Fig. Al 6,26 V 3,88 O 0,17 C 0,01 N 0,006 Fe 0,0017 6.4 - Mi rostru ture de l'alliage TA6V. 81 Ti 89,67 6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques Déformation de la barre 6.1.3 Méthode de dépouillement Les signaux enregistrés par les deux jauges permettent de déduire l'évolution au ours du temps de la déformation de la barre entrante et de la barre sortante (εt(t)). Pour une longueur susante de la barre entrante, on peut dé oupler l'onde in idente (εi(t)) de l'onde réé hie (εr (t)). Un exemple des signaux obtenus pendant un essai est donné sur la gure 6.5. 1,0x10 -3 8,0x10 -4 6,0x10 -4 4,0x10 -4 2,0x10 -4 Onde incidente Onde réfléchie Onde transmise 0,0 -2,0x10 -4 -4,0x10 -4 -6,0x10 -4 -8,0x10 -4 -1,0x10 -3 -0,0005 0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 Temps en s Fig. 6.5 - Signaux de jauges. A partir de la déformation de la barre, on détermine la vitesse de rotation θ̇ et le moment de torsion M. La onnaissan e des ara téristiques élastiques des barres permet de remonter à l'angle et au moment de torsion en bout des barres entrante et sortante. On obtient alors pour la barre entrante l'angle de rotation θe et le moment de torsion Me : θe = ave 2c Rb −εi t − 2Jµ Me = Rb le Ct + εr t + le Ct le le εi t − + εr t + Ct Ct Ct la élérité des ondes de torsion, J le moment d'inertie quadratique par rapport à l'axe de la barre, le la distan e entre la jauge et le bout de la barre entrante, µ le module de isaillement, Rb le rayon de la barre. 82 6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques Et pour la barre sortante l'angle de rotation θs et le moment de torsion Ms : 2Ct ls θs = .εt t + Rb Ct 2Jµ ls Ms = .εt t + Rb Ct (6.1) (6.2) où ls est la distan e entre la jauge et le bout de la barre sortante. Les diérentes valeurs orrespondantes aux barres en aluminium sont données dans le tableau 6.2 Tab. 6.2 - Propriétés mé aniques des barres d'Hopkinson en aluminium. Grandeur Notation Module de isaillement µ Rayon de la barre Rb πR Moment d'inertie quadratique J= 2 Masse volumique ρq Célérité des ondes de isaillement Ct = µρ Distan e entre la jauge et le bout de la barre entrante le Distan e entre la jauge et le bout de la barre sortante ls 4 b Valeur 26, 2 GP a 15 mm 7, 95.10−8 m4 2890 kgm−3 3011 ms−1 1, 295 m 1, 3 m On peut alors al uler la déformation γ et la ontrainte τ dans l'éprouvette : γ= θs − θe Re l et τ= M Re .Se (6.3) ave l et Se la longueur et la se tion de la partie utile de l'éprouvette. On supposera l'équilibre de l'éprouvette réalisé, e qui se traduit par l'égalité du moment sur la barre entrante et sortante (M = Me = Ms). Cette hypothèse est généralement vériée pendant tout l'essai sauf au début de la solli itation. On obtient sur les gures 6.6 et 6.7 respe tivement l'évolution de la vitesse de déformation au ours du temps et la ourbe ontrainte déformation. La rupture de l'éprouvette est ara térisée par une hute rapide de la ontrainte. Avant la rupture, la vitesse de déformation peut onsidérée omme onstante. Ces résultats sont très reprodu tibles, mais il est di ile pendant les diérents essais de torsion de ontrler pré isément la vitesse de déformation. Celle- i dépend de l'angle de torsion que l'on impose à la barre avant l'essai. 83 6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques 2000 Vitesse de déformationen s -1 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 Déformation de cisaillement Fig. 6.6 - Vitesse de déformation de l'éprouvette. 800 Contrainte de cisaillement en MPa 700 600 500 400 300 200 100 0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Déformation de cisaillement Fig. 6.7 - Contrainte de isaillement dans l'éprouvette de torsion. 84 6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques 6.2 Présentation du montage expérimental 6.2.1 Mesure du fa teur d'émission du TA6V Pour limiter les erreurs dues au fa teur d'émission notamment dans le domaine infrarouge, elui- i a été mesuré dans un domaine de température ompris entre 75C et 350C en fon tion de la rugosité de la surfa e1 . Ces mesures ont été ee tuées sur des éprouvettes arrées de 5 cm par 5 cm. La moitié de la surfa e a été peinte ave une peinture fortement émissive2. Cette zone servira de référen e orps noir. L'autre moitié est onstituée du métal ave trois rugosités diérentes : la première orrespond à un poli miroir (Ra = 0, 021 µm)3 , la deuxième à un usinage brut (Ra = 0, 297 µm) et la troisième à un dépoli (Ra = 0, 869 µm). L'éprouvette est xée sur un élément hauant et sa température est mesurée par un thermo ouple. La omparaison du signal en sortie d'un déte teur InSb photovoltaïque orrespondant à la partie peinte et à la partie non peinte permet de déterminer l'emissivité asso iée au spe tre du déte teur (εInSb ). On peut relier e fa teur d'émission au fa teur d'émission mono hromatique par la relation suivante : εInSb = R λc 0 ελ (λ, T )η(λ)L0λ (λ, T )dλ R λc η(λ)L0λ (λ, T )dλ 0 (6.4) Le fa teur émission mesuré par ette te hnique expérimentale tient ompte de la réexion sur l'é hantillon du rayonnement thermique des parois à température ambiante (gure 6.8). Il s'agit don d'un fa teur d'émission apparent. Enceinte à Tamb Echantillon à la température T Détecteur Lentille Fig. 6.8 - Fa teur d'émission du TA6V dans le domaine infrarouge. Ces essais ont été réalisés au département LOT du CTA ave l'aide de messieurs, Sauques, Sigaud et Garrioux. 2 Peinture Velvet 811.21 (Distribuée par la so iété Mankiewi z). Fa teur d'émission mesuré à 0,93 à 3 µm pour des températures omprises entre 200C et 500C 3 Ra : Rugosité moyenne arithmétique ; moyenne arithmétique de l'é art entre l'altitude de la surfa e et la ligne moyenne. 1 85 6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques Dans la onguration expérimentale asso iée au isaillement adiabatique, ette reexion de l'environnement à température ambiante sur l'éprouvette est également présente. Le dépouillement des essais de isaillement adiabatique doit don utiliser e fa teur d'émission apparent. Ce fa teur d'émission apparent est donné sur la gure 6.9 en fon tion de la température pour diérentes qualités de surfa e. A titre indi atif, la gure 6.10 donne l'évolution du fa teur d'émission réel en fon tion de la température. Il est al ulé à l'aide de l'équation suivante : εapp = ε + (1 − ε) L0λ (Tamb , λmax ) L0λ (T, λmax ) (6.5) 0,30 0,30 0,25 0,25 0,20 0,20 Facteur d'émission Facteur d'émission apparent ave Tamb la température de l'en einte prise égale à 20C, T la température de l'é hantillon et λmax = 4, 5 µm la longueur d'onde orrespondant au maximum de sensibilité du déte teur InSb. 0,15 0,10 TA6V Rugeux TA6V Lisse TA6V Usiné 0,05 0,15 0,10 0,05 0,00 0,00 100 150 200 250 300 100 Température en ˚C Fig. TA6V Rugeux TA6V Lisse TA6V Usiné 150 200 250 300 Température en ˚C 6.9 - Fa teur d'émission apparent du TA6V dans le domaine infrarouge pour la bande spe trale du déte teur InSb. Fig. 6.10 - Fa teur d'émission du TA6V dans le domaine infrarouge pour la bande spe trale du déte teur InSb. Pour vérier que la surfa e de l'é hantillon ne s'oxyde pas, nous avons ee tué un y le de montée en température suivi d'un y le de des ente de la température. Les fa teurs d'émission mesurés pendant la des ente et la montée sont sensiblement égaux. L'oxydation n'intervient don pas dans notre gamme de température et pour notre durée d'essai. La gure 6.9 montre que le fa teur d'émission apparent dépend peu de la température dans la plage de température étudiée. Lors de la déformation plastique, la rugosité de la surfa e augmente (passage de l'état usiné à l'état dépoli). Les mesures du fa teur d'émission apparent montrent également qu'il varie peu ave l'état de surfa e. Pour le dépouillement des essais de torsion dynamique, on le prendra égal à 86 6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques 0, 25 ± 0, 025. L'in ertitude sur le fa teur d'émission orrespond à une erreur sur la mesure de température de 4C pour une température de surfa e de 50C et de 10C pour une température de surfa e de 280C. La gure 6.11 montre que nos résultats expérimentaux on ernant le fa teur d'émission suivent à peu près une loi linéaire ave la température (loi de HagenRubens [42℄). 0,30 Facteur d'émission 0,25 Points expérimentaux Loi de Hagen Rubens 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0 100 200 300 400 500 600 Température en K Fig. 6.11 - Comparaison ave la loi de Hagen-Rubens : as du TA6V usiné. 6.2.2 Le pyromètre La plage de mesure de la température se divise en deux domaines : les "basses températures" (50C à 300C) et les "hautes températures" (800C à 1600C). Les "basses températures" (50C à 300C) : On utilise une barrette de 32 déte teurs InSb photovoltaïques refroidies à l'azote liquide de marque Cin inatti ave un système optique de grandissement 1 onstitué de deux miroirs paraboliques de fo ale 152 mm, an de limiter les aberrations hromatiques et géométriques. Les longueurs d'onde déte tées sont dans le domaine pro he infrarouge (1 µm à 5, 5 µm). La taille des déte teurs est de 43 µm par 43 µm et leur temps de réponse est de l'ordre de 500 ns. L'espa ement entre deux déte teurs est de 18 µm soit une longueur visée sur l'éprouvette de 1, 934 mm. La zone d'observation sur la partie utile est réprésentée sur les gures 6.12 et 6.13. Le signal en sortie de haque déte teur 87 6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques est enregistré par un système d'a quisition (NICOLET Multipro) ave une fréquen e d'é hantillonnage de 1 M Hz . On utilise la même référen e temporelle que elle des jauges de déformation pla ées sur les barres e qui pemet de orréler les déformations et les ontraintes ave l'évolution de la température. Les "hautes températures" (800C à 1600C) : On utilise une améra in- tensiée numérique 16 bits de marque Prin eton Instruments modèle PI.MAX :1k (HQ) ave une photo athode InGaAs de troisième génération (GEN III) dont la plage spe trale de sensibilité s'étend de 0, 4 µm à 0, 9 µm. Son rendement quantique est donné sur la gure 5.3. L'énergie rayonnée par l'éprouvette est fo alisée à l'aide d'une lentille en verre de fo ale 10 cm. Le grandissement du système optique est égal à 5. Le hamp d'observation de la améra est donné sur les gures 6.12 et 6.13. Un pixel orrespond à une zone visée sur l'éprouvette de 2 µm par 2 µm. Les temps d'ouverture varient entre 10 µs et 20 µs. Compte tenu de la fréquen e de rafraî hissement de la matri e CCD (100Hz), la améra ne prendra qu'une image pendant l'essai de torsion. Zone visée par la caméra et le monodétecteur Ligne visée par la barrette 2mm Partie utile de l’éprouvette Fig. 6.12 - Eprouvette de torsion après rupture. Fig. 6.13 - Visualisation des zones d'observations sur la partie utile de l'éprouvette. Dé len hement de la améra La durée formation d'une BCA étant très ourte (quelques dizaines de mi rose ondes), il est di ile d'avoir un système de dé len hement susament pré is. Pour résoudre e problème, nous avons hoisi de dé len her la améra à partir d'un monodéte teur InSb photovoltaïque qui visualise la totalité de la partie utile de l'éprouvette (zone d'observation de 2 mm par 2 mm). Ce apteur permet de déte ter une augmentation de température importante au niveau de la partie utile de l'éprouvette et de donner une référen e temporelle an de dé len her la améra. Le temps de réponse du déte teur InSb étant de l'ordre de 500 ns, le dé len hement peut se faire de manière susamment pré ise. 88 6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques (1) barrette de 32 déte teurs InSb, (2) amera intensiée, (3) monodéte teur InSb, (4) laser d'alignement, (5) éprouvette de torsion, (6) barres entrantes et sortantes, (7) lame séparatri e et lame di hroïque, (8) lentille, (9) miroirs plans, (10) miroirs paraboliques, (11) ube séparateur. Fig. 6.14 - Dispositif de mesure de la température 89 6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques Alignement Les tailles des BCA étant très petites (quelques dizaines de mi romètres), il est né essaire d'aligner les diérents déte teurs sur la partie utile de l'éprouvette à haque essai. Ce i est réalisé grâ e à un laser d'alignement. Dispositif optique Une vue générale du dispositif optique ave la position des diérents éléments est donnée sur la gure 6.14. Etalonnage Le pyromètre est étalonné sur deux orps noirs, l'un pour les basses températures et l'autre pour les hautes températures (Marque Pyrox ; pré ision : 2C à 3C ; fa teur d'émission : 0, 98 ± 1%). Les ourbes d'étalonnages sont données sur les gures 6.15 et 6.16. Les signaux en sortie des déte teurs sont également représentés en fon tion de l'énergie reçue sur les gures 6.17 et 6.18. On peut alors onstater expérimentalement la linéarité de la réponse des deux déte teurs. 90 6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de 9,5 isaillement adiabatiques 50000 9,0 40000 Niveau numérique Signal en V 8,5 8,0 7,5 7,0 30000 20000 10000 6,5 0 6,0 20 40 60 80 100 120 140 800 160 900 Fig. 1000 1100 1200 1300 Température en˚C Température en ˚C 6.15 - Courbe d'étalonnage du déte teur InSb de la barrette en fon tion de la température de la sour e orps noir. Fig. 9,5 6.16 - Courbe d'étalonnage de la améra ICCD en fon tion de la température de la sour e orps noir. 50000 9,0 40000 Niveau numérique 8,5 Signal en V 8,0 7,5 7,0 30000 20000 10000 6,5 6,0 0 0 10 20 30 40 50 60 0 70 Fig. 100 200 300 400 500 600 700 800 Puissance rayonnée sur le capteur en W Puissance rayonnée sur le détecteur en W 6.17 - Courbe d'étalonnage du déte teur InSb de la barrette en fon tion de la puissan e rayonnée sur le apteur. Fig. 91 6.18 - Courbe d'étalonnage de la améra ICCD en fon tion de la puissan e rayonnée sur le apteur. 6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques 6.3 Test de la haîne de mesure An de tester notre haîne de mesure, nous avons réalisé une série de 21 essais de torsion dynamique sur les barres d'Hopkinson. Le tableau 6.3 fait un bilan de es essais et donne les vitesses de déformation mesurées. Tab. 6.3 - Essais de torsion dynamique. Référen e Vitesse de déformation d'essai de isaillement en s−1 E11 1480 E12 1100 E13 1930 E14 1390 E15 1410 E16 1850 E17 1730 E18 1940 E19 1920 E20 2040 E21 2020 Référen e Vitesse de déformation d'essai de isaillement en s−1 E1 1020 E2 1330 E3 1180 E4 1060 E5 1300 E6 1320 E7 1310 E8 1510 E9 1810 E10 1500 Les gures 6.19 à 6.22 montrent les résultats obtenus lors de l'essai de torsion dynamique E19 à une vitesse de déformation de 1920 s−1. La gure 6.19 représente l'évolution simultanée de la température mesurée au entre de la bande de isaillement naissante et de la ontrainte de isaillement en fon tion de la déformation nominale de l'éprouvette. Dans la première partie de l'essai (Phase 1), on onstate une augmentation quasi linéaire de la température ave la déformation de isaillement (environ 2 K.µs−1). La ontrainte d'é oulement reste alors onstante égale à environ 700 M P a. A partir d'une déformation nominale ritique estimée à un peu plus de 50%, apparaît une hute brutale de la ontrainte et une augmentation très rapide de la température de 10 K.µs−1 à 15 K.µs−1 (Phase 2). C'est la formation de la bande de isaillement adiabatique. La température au début de ette phase 2 est d'environ 150C. La gure 6.20 représente l'évolution de la température mesurée par la barrette de déte teurs InSb (domaine infrarouge) en fon tion du temps et don de la position axiale. Ce dispositif de mesure étant dimensionné pour déte ter les basses températures, le déte teur sature à partir de 280C. On peut remarquer que la phase 1 orrespond une phase de température homogène et don de déformation homogène alors que la phase 2 met en éviden e une forte hétérogénéité de la température. 92 6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques Temps en µs 0 50 100 150 200 250 300 800 PHASE 2 PHASE 1 300 700 250 200 500 Température Contrainte 400 150 300 100 200 Température en ˚C Contrainte en MPa 600 50 100 0 0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Déformation Fig. 6.19 - Evolution de la ontrainte et de la température lors de l'essai E19. Fig. 6.20 - Distribution de la température jusqu'à 280C ; λmax = 4, 5 µm. 93 6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques Temps en µs 0 50 100 150 200 250 300 350 400 500 500 Monodétecteur Barrette Déclenchement caméra 400 300 300 Seuil de déclenchement 200 40µs 200 100 Température en ˚C Température en ˚C 400 100 Durée 10µs 0 0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Déformation Fig. Fig. 6.21 - Dé len hement de la améra. 6.22 - Champ de température de luminan e en phase nale de BCA ; λmax = 0, 8 µm, zone visée : 2 mm par 2 mm ; temps d'ouverture 10 µs. 94 6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques La améra intensiée est dé len hée ave un délai de 40 µs à partir d'un seuil sur le signal du monodéte teur. Le temps d'ouverture de la améra est de 10 µs. Le signal du monodéte teur et l'ouverture de la améra sont représentés sur la gure 6.21 en fon tion du temps et de la déformation nominale. La thermographie obtenue par la améra (domaine visible) est donnée en gure 6.22. Le trait pointillés orrespond à la ligne d'observation de la barette de déte teurs InSb. La température maximale est de l'ordre de 1000C. Il s'agit d'une température de luminan e. Si l'on suppose que la valeur du fa teur d'émission dans le domaine visible est 0,4, l'é art sur la mesure de température est de 80C soit un é art relative de 6%. La température réelle serait alors de 1080C. Le dispositif expérimental que nous avons onçu et réalisé nous permet don de mesurer des hamps de température au moment de l'amorçage de la BCA et d'obtenir une thermographie de la BCA lors de sa propagation. Ces diérents résultats seront analysés dans la partie suivante de e mémoire. 95 6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de 96 isaillement adiabatiques Troisième partie Analyse des résultats - Dis ussion 97 Introdu tion An de mieux omprendre les mé anismes de formation des BCA, nous avons réalisé plusieurs essais ave le dispositif expérimental présenté dans la partie pré édente. Pour interpréter les résultats obtenus, nous les avons onfrontés à une modélisation numérique de notre éprouvette de torsion solli itée dynamiquement. Ce modèle prend en ompte un ouplage thermomé anique fort et une loi d'é oulement plastique intégrant les phénomènes d'é rouissage, de dur issement dynamique et d'adou issement thermique. Il nous permet de simuler la formation d'une bande de isaillement adiabatique à partir d'un défaut géométrique ara térisé par deux paramètres : une amplitude et une taille. Après avoir détaillé les hypothèses du modèle et la méthode d'identi ation de la loi d'é oulement, nous présenterons les résultats obtenus. Nous tenterons ensuite d'expliquer les observations expérimentales que nous avons réalisées à partir du dispositif de mesure de température lors de l'essai de torsion aux barres d'Hopkinson. 99 7 Modélisation numérique du isaillement adiabatique 7.1 Présentation du modèle La modélisation de l'éprouvette de torsion solli itée dynamiquement né essite de faire diérentes hypothèses sur la géométrie et sur le omportement du matériau an de pouvoir simuler l'amorçage de la BCA et de rendre raisonnables les temps de al ul. 7.1.1 Mise en équation du problème Les équations d'équilibre An de prendre en ompte les eets de la température et de la rapidité de la solli itation sur l'amorçage de la bande, nous avons hoisi un modèle thermomé anique ouplé fort ave prise en ompte des eorts d'inertie [30, 54℄. L'équilibre thermique du milieu s'é rit don : dT = σ : ε̇p − Rṗ +T ∂σ : ε̇e + T ∂R ṗ + λ∆T ρC (7.1) dt | {z } ∂T ∂T βσ:ε̇p ave ddt la dérivée parti ulaire, R l'é rouissage, p la variable d'é rouissage et ε̇e et ε̇p les déformations élastique et plastique. Le terme σ : ε̇p − Rṗ représente l'énergie mé anique dissipée sous forme de haleur. Il est souvent exprimé à l'aide du oe ient de Taylor Quinney noté β qui représente la fra tion de puissan e mé anique onvertie en haleur. En général, e oe ient est onsidéré omme onstant et égal à 0,9 [61℄. En toute rigueur, il peut dépendre de la déformation plastique [9, 10, 59℄ et de la vitesse de déformation [59℄. ∂σ Le terme T ∂T : ε̇e est un terme sour e lié au ouplage thermoélastique [62, 63℄. Il sera négligé devant le terme dû à la dissipation de l'énergie mé anique en haleur. 101 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique ṗ est un terme sour e lié au ouplage thermoplastique. Le terme T ∂R ∂T Le terme λ∆T représente la dissipation liée à la ondu tion thermique dans le matériau. Le symbole ∆ représente l'opérateur Lapla ien. Compte tenu de la durée de formation et de la largeur des bandes, e terme ne peut pas être négligé1. Le omportement du matériau Nous avons hoisi pour le matériau un modèle de omportement élasto thermovis oplastique. On suppose que le taux de déformation totale se dé ompose en une partie élastique ε̇e et une partie plastique ε̇p. ε̇ = ε̇e + ε̇p La loi d'élasti ité linéaire s'é rit : (7.2) (7.3) ave σ∗ la dérivée de Jaumann2 du tenseur des ontraintes et C la raideur du matériau. Le symbole : représente le produit doublement ontra té de deux tenseurs. Le omportement élastique sera onsidéré omme isotrope et indépendant de la température. On notera E et ν respe tivement le module de Young et le oe ient de Poisson. Dans le as de l'alliage de titane TA6V, on prendra E = 105 GP a et ν = 0, 34. Le omportement plastique du matériau étant également supposé isotrope, on hoisit une fon tion seuil3 f de la forme : σ ∗ = C : ε̇e f (σ) = σeq − σe − R (7.4) f (σ) = σeq − σ(εeq , ε̇eq , T ) (7.5) Soit en posant σe + R = σ(εeq , ε̇eq , T ) : ave σe la limite d'élasti ité. Cette hypothèse peut être justiée en al ulant le nombre de Fourier asso ié à notre phénomène : F o = 4a∆t ave ∆t = 10 µs la durée du phénomène, a = 3, 1.10−6 m2 s−1 la diusivité d thermique du TA6V et d = 10 µm la largeur de bande. On trouve F o = 1, 2 ; le phénomène n'est don pas adiabatique. 2 Dérivée de Jaumann : σ ∗ = σ̇ −ω σ −ω σ ave ω la partie anti symétrique du gradient ij jk ki ik kj jk ij du ve teur vitesse 3 Le ritère de plasti ité est déni à partir de la fon tion seuil f vériant : f (σ) < 0 dans le domaine élastique et f (σ) = 0 lors de l'é oulement plastique 1 2 102 7. Modélisation numérique du σeq isaillement adiabatique la ontrainte équivalente de Von Mises : r 1 ave s = σ − tr (σ)1 3 s représente la partie déviatorique du tenseur des ontraintes. εeq la déformation plastique équivalente umulée : σeq = 3 s:s 2 εeq = p = Z tr 0 2 p ε̇ (τ ) : ε̇p (τ )dτ 3 (7.6) (7.7) L'hypothèse de normalité asso iée aux phénomènes dissipatifs instantanés permet d'é rire : ∂f ε̇p = λ (7.8) ∂σ ave λ le multipli ateur plastique. L'expression et l'identi ation de la loi d'é oulement plastique (σ(εeq , ε̇eq , T )) sera détaillée dans le paragraphe 7.2. 7.1.2 Géométrie du problème et onditions limites L'éprouvette à modéliser a une géométrie tubulaire ave une rédu tion de se tion en son entre. Il s'agit don d'une géométrie tridimensionnelle (gures 6.3 et 6.2 de la deuxième partie). L'épaisseur de toile (e = 0, 4 mm) est très faible devant le rayon intérieur du tube (Re = 4, 5 mm) et on supposera don que les ontraintes, les déformations et la température sont homogènes dans l'épaisseur de toile. Cette hypothèse permet de passer à un modèle bidimensionnel de l'éprouvette e qui réduira les temps de al ul. La partie utile de l'éprouvette est don modélisée par un parallèlépipède de longueur L = 2πRe = 28, 3 mm ave Re le rayon intérieur de l'éprouvette, de largeur l = 2 mm et d'épaisseur e = 0, 4 mm (gure 7.1). La rédu tion de se tion au entre de l'éprouvette n'est pas prise en ompte dans e modèle. Les omposantes radiales du tenseur des ontraintes (σrr , σrθ et σrz ) étant onsidérées nulles dans le as de l'éprouvette tubulaire, on fera l'hypothèse des ontraintes planes dans le modèle bidimensionnel. An d'avoir équivalen e entre le modèle bidimensionnel et tridimensionel, nous imposons sur les bords droit et gau he les onditions inématiques suivantes (gure 7.1) : L L ux (x = − , y) = ux (x = + , y) 2 2 L L uy (x = − , y) = uy (x = + , y) 2 2 103 (7.9) (7.10) 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique y vx(-L/2,y)=vx(L/2,y) vy(-L/2,y)=vy(L/2,y) vx=V l/2 -L/2 défaut L/2 x -l/2 vx=0 vy=0 Fig. vx(L/2,y)=vx(-L/2,y) vy(L/2,y)=vy(-L/2,y) 7.1 - Géométrie et onditions limites du modèle. Sur la partie supérieure y = l/2 de l'éprouvette, on applique une vitesse onstante suivant l'axe x (vx = V ). La partie supérieure de l'éprouvette reste libre de se déplaer suivant y, mais les dépla ements suivant y de tous les noeuds du bord supérieur sont égaux. Sur la partie inférieure y = −l/2 les vitesses vx et vy sont nulles. Pour le problème thermique, toutes les onditions limites sont onsidérées adiabatiques4. Les onditions limites mé aniques appliquées au modèle sont représentées sur la gure 7.1. Initialement, la température est onstante dans l'éprouvette et égale à T0 = 293K . 7.1.3 Modélisation des défauts Nous supposons dans notre modèle que la bande de isaillement adiabatique est amor ée par un seul défaut ritique et va se propager à partir de e site d'amorçage. Le défaut ritique peut être de deux natures diérentes : un défaut de rugosité ou un défaut métallurgique omme par exemple un empilement de dislo ations sur un joint de grain. Qu'il soit dû à la rugosité ou d'origine métallurgique, le défaut génère une on entration de la ontrainte et de la déformation plastique. Il sera pris en ompte dans notre modèle ma ros opique par l'intermédiaire d'une zone ir ulaire sur la partie utile de l'éprouvette dont l'épaisseur sera réduite. Ses ara téristiques seront modélisées par deux paramètres : son amplitude qui sera dénie par la rédu tion √ La dimension ara téristique de la ondu tion dc est donnée par la relation : dc = 2 a∆t ave a = 3, 1.10−6 m2 s−1 la diusivité thermique et ∆t = 10−3 s la durée d'un essai. On trouve dc = 111 µm. L'inuen e thermique de la partie massive de l'éprouvette ae tera don une distan e d'environ 110 mi romètres de la partie utile. Comparée à la largeur de toile (2 mm) ette distan e est très faible. On peut supposer des onditions limites adiabatiques. 4 104 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique relative de l'épaisseur ∆e/e et sa taille par le diamètre D de la zone ir ulaire. Le défaut sera pla é au entre de la partie utile de l'éprouvette (xdéfaut = ydéfaut = 0 sur la gure 7.1). Dans notre al ul, nous ferons varier son amplitude entre 1% et 5% et son diamètre de 20 µm à 100 µm. 7.2 Loi de omportement Nous allons maintenant nous intéresser à la loi d'é oulement plastique de notre alliage de titane et à l'identi ation des diérents paramètres à partir d'essais expérimentaux. Le hoix d'une loi d'é oulement plastique est un point très important dans la modélisation du isaillement adiabatique. Elle doit prendre en ompte les phénomènes d'é rouissage, de dur issement dynamique et d'adou issement thermique et doit être valable pour des gammes de déformation, de vitesse de déformation et de température étendues. L'identi ation de es paramètres né essite de mettre en oeuvre des essais mettant en jeu des grandes déformations, des vitesses de déformation élevées et une large gamme de température. Après avoir présenté la loi de omportement que nous avons hoisie, nous détaillerons les essais de omportement que nous avons réalisés an d'identier les paramètres de la loi. 7.2.1 Loi de Johnson-Cook Expression de la ontrainte d'é oulement Pour dé rire la ontrainte d'é oulement plastique de l'alliage de titane TA6V, nous avons hoisi une loi empirique multipli ative de type Johnson-Cook [28℄. Elle exprime la ontrainte d'é oulement en fon tion de la déformation équivalente, de la vitesse de déformation équivalente et de la température. Johnson et Cook introduisent une température de transition Tt au dessus de laquelle l'eet de la température sur la ontrainte d'é oulement n'est pas négligeable. La loi d'é oulement s'é rit : Pour T 6 Tt : ε̇eq σ(εeq , ε̇eq , T ) = (A + B (εeq ) ) 1 + C ln ε̇0 (7.11) n et Tf > T > Tt : n σ(εeq , ε̇eq , T ) = (A + B (εeq ) ) 1 + C ln {z } | {z Terme d'é rouissage | ε̇eq ε̇0 }| 1− T − Tt Tf − Tt {z m } Terme dynamique :fd Terme d'adou issement :fa 105 (7.12) 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique Cette loi d'é oulement se dé ompose en trois termes, un terme d'é rouissage, un terme dynamique et un terme d'adou issement : Le terme relatif à l'é rouissage orrespond à la ontrainte d'é oulement à vitesse de déformation onstante (ε̇eq = ε̇0 et à température onstante T = Tt). A est la ontrainte d'é oulement à déformation plastique nulle et B et n sont respe tivement les paramètres linéaire et non linéaire d'é rouissage. Le deuxième terme est un fa teur multipli atif noté fd ara térisant le durissement dynamique du matériau. Ce terme dépend don de la vitesse de déformation plastique équivalente. C est le oe ient de sensibilité à la vitesse de déformation et ε˙0 est une vitesse de déformation de référen e. Le troisième terme de la loi est un fa teur noté fa orrespondant au phénomène d'adou issement thermique. En dessous de la température de transition Tt, l'effet de la température sur la loi d'é oulement est négligé. Pour des températures omprises entre Tt et la température de fusion Tf , la ontrainte d'é oulement diminue ave la température pour devenir nulle pour T = Tf . Au-delà de la température de fusion, la ontrainte d'é oulement est pratiquement nulle. Tt est don la température de transition à partir de laquelle on a un mé anisme d'adou issement thermique et m l'exposant d'adou issement thermique. La gure 7.2 montre l'allure de l'évolution de es trois termes en fon tion des diérentes variables. Cette loi peut également s'é rire dans le as d'une solli itation de torsion et permet de relier la ontrainte de isaillement τ et la déformation de isaillement γ : En utilisant les relations suivantes : σeq = √ γp εeq = √ 3 et 3τ (7.13) et la loi de Johnson-Cook, on obtient l'expression de la ontrainte de isaillement : p p ′ ′ p n ′ τ (γ , γ̇ , T ) = (A + B (γ ) ) 1 + C ln ave γ̇ p γ̇0 A A′ = √ 3 ′ n = n 1− T − Tt Tf − Tt m (7.14) B′ = (7.15) (7.16) (7.17) C′ γ̇0 (7.18) (7.19) B √ n+1 3 = C √ = 3ε̇0 106 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique fd s A C 1 1 eeq a) Terme d'é rouissage en fon tion de εeq . eeq e0 b) Fa teur dynamique en fon tion de ε̇eq . fa 1 Tf Tt T ) Fa teur d'adou issement en fon tion de T . Fig. 7.2 - Allure de l'évolution des diérents termes de la loi de Johnson-Cook. Terme de ouplage thermoplastique L'expression de la loi de omportement de Johnson-Cook permet de déterminer le terme de ouplage thermoplastique T ∂R ṗ dans l'équation de la haleur (équation ∂T 7.1). Dans le domaine plastique, omme R = σ(εeq , ε̇eq , T ) − σe, on a en onsidérant la limite d'élasti ité indépendante de la température : ∂R ∂σ(εeq , ε̇eq , T ) = ∂T ∂T En utilisant l'expression de la loi d'é oulement, il vient : 107 (7.20) 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique ∂R dfa = (A + B (εeq )n ) fd (ε̇eq ) ∂T dT m−1 −1 T − Ta n = (A + B (εeq ) ) fd (ε̇eq ) m Tf − Ta Tf − Ta (7.21) (7.22) Si l'on suppose le oe ient m pro he de 1, on obtient : ∂R −1 = (A + B (εeq )n ) fd (ε̇eq ) ∂T Tf − Ta (7.23) −T σ(εeq , ε̇eq , Ta )ε̇eq Tf − Ta (7.24) Le terme de ouplage thermoplastique s'é rit don : P ouplage = Ce terme de ouplage est négatif, il se soustrait don du terme de dissipation. De plus, il devient important quand la température augmente et s'appro he de la température de fusion. Cependant dans la suite de e travail, nous le négligerons. 7.2.2 Identi ation des paramètres - Essais de omportement Essais de omportement An d'identier les diérents paramètres de la loi de Johnson-Cook présentée pré édemment, nous avons ee tué des essais de omportement en torsion statique et dynamique à diérentes températures omprises entre l'ambiante et 300C (tableau 7.1). Tous les essais sont réalisés sur les barres d'Hopkinson en torsion. L'éprouvette de omportement est similaire à elle utilisée pour étudier le isaillement adiabatique, mais elle ne omporte pas de rédu tion de se tion en son entre et elle possède une partie utile plus longue (5 mm au lieu de 2 mm) an de limiter les eets de bord. Dans le as des essais statiques, le frein n'est pas utilisé et la solli itation est dire tement appliquée par le vérin. Les jauges pla ées sur les barres permettent de déterminer la ontrainte appliquée et la déformation de l'éprouvette est mesurée dire tement ave un extensomètre optique. Pendant les essais en température, l'éprouvette est hauée ave un four à image. Les résultats des essais statiques et dynamiques sont dépouillés pour des déformations de isaillement respe tivement inférieures à 35% et 10%. Au-delà de es valeurs de déformation, nous pouvons onstater l'apparition de mé anismes d'endommagement du matériau non modélisés par la loi de JohnsonCook. Les gures 7.3 et 7.4 mettent en éviden e le dur issement dynamique et l'adouissement thermique lors des essais de omportement. 108 7. Modélisation numérique du Tab. isaillement adiabatique 7.1 - Essais de omportement ee tués. Référen e Vitesse de déformation Température d'essai de isaillement en s−1 enC S1 0,097 20 S2 0,104 20 S3 0,101 20 D1 776 20 D2 571 20 D3 565 20 D4 406 20 T1 365 300 T2 222 300 T3 301 230 700 700 600 600 500 Essai S1 à 0,1 s Essai D3 à 550 s 400 Contrainte en MPa Contrainte en MPa 500 -1 -1 300 200 100 0 0,00 300 200 100 0,02 0,04 0,06 0,08 0 0,00 0,10 Déformation plastique de cisaillement Fig. Essai T1 : dynamique à 300 ˚C Essai D3 : dynamique à 20 ˚C 400 0,02 0,04 0,06 0,08 Déformation plastique de cisaillement 7.3 - Mise en éviden e expérimentale du dur issement dynamique. Fig. 109 7.4 - Mise en éviden e expérimentale de l'adou issement thermique. 0,10 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique Identi ation des paramètres d'é rouissage Les paramètres A′, B ′, et n du terme d'é rouissage de la loi de Johnson-Cook sont identiés à partir des essais statiques à température ambiante (essais S1, S2 et S3). On hoisit alors la vitesse de déformation γ̇0 de référen e égale à la vitesse de déformation des essais statiques soit 0, 1 s−1 et la température de transition Tt égale à la température ambiante (20C) e qui permet de prendre toujours en ompte l'adou issement thermique lors de nos essais. On suppose également que la température augmente susamment peu pendant l'essai statique pour que les eets de l'adou issement thermique puissent être négligés : l'élévation de la température lors d'un essai statique est majorée par la température d'un essai identique mais βτ ∆γ onsidéré omme adiabatique que l'on peut quantier ave la relation ∆T = ρC ave β , τ = 600 M P a et γ = 0, 35 soit ∆T = 65C. La gure 7.4 montre qu'une augmentation de 280C de la température provoque une diminution de la ontrainte d'é oulement de moins de 100 M P a. En supposant que l'évolution de la diminution de ontrainte varie linéairement ave la température, une variation de ∆T = 65C provoquera une diminution de ontrainte de 23 M P a soit une erreur de moins de 4%. Nous onsidèrerons ette diminution omme négligeable devant les évolutions de ontrainte dues à l'é rouissage. Une méthode de minimisation sur l'ensemble des essais statiques (S1, S2 et S3) permet de déterminer les paramètres A′, B ′, et n. On obtient : et n = 0, 25 (7.25) La gure 7.5 représente l'évolution expérimentale de la ontrainte ave la déformation plastique lors de l'essai S1 et sa modélisation ave la loi de Johnson-Cook. Ce type de loi est don bien adapté au omportement statique de l'alliage de titane TA6V et sera don utilisé dans notre simulation numérique. A′ = 500 M P a, B ′ = 160 M P a Identi ation des paramètres dynamiques Les paramètres A′, B ′, et n étant identiés à partir d'un essai statique à une vitesse déformation de 0, 1s−1, on pose don la vitesse de déformation de référen e γ̇0 égale à 0, 1 s−1 . Pour déterminer le oe ient de sensibilité à la vitesse de déformation C ′, on utilise les essais dynamiques à température ambiante (essais D1, D2, D3 et D4). La ontrainte d'é oulement τ lors d'un essai dynamique pour une déformation plastique γ p = 10% à la température ambiante peut s'é rire à partir de l'équation 7.12 sous la forme : ′ ′ p n ′ τ = (A + B (γ ) ) 1 + C ln γ̇ p γ̇0 110 ave γ p = 10% (7.26) 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique 700 600 Johnson-Cook statique et isotherme à T=20 ˚C Essai S1 : statique à 20˚C Contrainte en MPa 500 400 300 200 100 0 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 Déformation plastique de cisaillement Fig. 7.5 - Identi ation des paramètres d'é rouissage ; omparaison ave l'essai statique S1 (γ̇ p = 0, 1 s−1 et T = 20C). En posant τ10% = A′ + B ′ (γ p)n ave γ p = 10% τ − τ10% = C ′ ln τ10% on obtient : γ̇ p γ̇0 (7.27) Lagure 7.6 représente la variation relative de la ontrainte τ −τ en fon tion τ de ln γ̇γ̇ pour les quatre essais dynamiques de omportement D1, D2, D3 et D4. Comme pour γ̇ p = γ̇0 , on a τ10% = τ , la variation relative de la ontrainte τ −τ et τ le terme ln γ̇γ̇ valent don zéro. Ce i permet de rajouter un point supplémentaire sur la gure 7.6. La gure 7.6 met bien en éviden e un dur issement dynamique du TA6V. Bien que l'on n'ait pas de valeurs expérimentales pour des vitesses intermédiaires, nous τ −τ γ̇ supposons une relation linéaire entre τ et ln γ̇ et nous ee tuons une régression linéaire pour obtenir la valeur de C ′. On trouve : 10% 10% p 0 10% 10% p 0 10% 10% C ′ = 0, 008 111 p 0 (7.28) 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique 0,08 Variation relative de la contrainte 0,07 Points expérimentaux Point supplémentaire Johnson-Cook 0,06 Essais dynamiques 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 Essais statiques 0,00 -0,01 0 2 4 6 8 10 .p . ln (γ /γ0) Fig. 7.6 - Identi ation du oe ient de sensibilité à la vitesse de déformation à partir des essais D1, D2, D3 et D4. Identi ation des paramètres d'adou issement thermique Pour déterminer le paramètre m lié à l'adou issement themique, nous utilisons les essais dynamiques à 230C (essai T1) et 300C (essais T2 et T3). La loi de Johnson-Cook permet d'exprimer la ontrainte d'é oulement pour une déformation plastique de 10% en fon tion de la température et de la vitesse de déformation. τ = τ10% fd 1 − p ave fd = 1 + C ′ ln dynamique. On obtient don : γ̇ γ̇0 T − Tt Tf − Tt m (7.29) le fa teur multipli atif tenant ompte du dur issement τ10% fd − τ = (θ∗ )m τ10% fd ave θ∗ = T − Tt Tf − Tt (7.30) La température de fusion Tf du TA6V est égale à 1670C et lors de l'identiation du terme statique de la loi de Johnson-Cook, nous avons également hoisi une température de transition égale à 20C. La gure 7.7 représente le logarithme de la variation relative de ontrainte en fon tion du logarithme de θ∗ pour les essais 112 Logarithme de la variation relative de contrainte 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique -2,5 Points expérimentaux Point supplémentaire Johnson-Cook -2,0 230˚C 300˚C -1,5 -1,0 -0,5 1670˚C -0,0 -0,0 -0,5 -1,0 -1,5 -2,0 * ln(θ ) Fig. 7.7 - Identi ation de l'exposant d'adou issement thermique. dynamiques en température (essais T1, T2 et T3). Pour T = Tf , la loi de JohnsonCook impose que la ontrainte d'é oulement soit nulle. Pour ln θ∗ = 0, le logarithme τ f −τ de la variation relative de ontrainte ln τ f est également nul. Ce i permet de rajouter un point supplémentaire sur la gure 7.7. La gure 7.7 met bien en éviden e un adou issement thermique du TA6V. Bien que l'on n'ait pas de valeurs expérimentales pour des températures omprises entre 300C et 1670C, nous supposons une relation linéaire entre ln τ τ f f−τ et ln θ∗, et nous ee tuons une régression linéaire pour déterminer le oe ient m. On trouve : 10% d 10% d 10% d 10% d m = 1, 055 (7.31) Con lusion Nous avons identié dans les paragraphes pré édents une loi de omportement de type Johnson-Cook à partir d'essais de torsion statiques et dynamiques à diérentes températures. Les paramètres identiés sont donnés dans le tableau 7.2 dans le as général (σ(εeq , ε̇eq , T )) et dans le as parti ulier d'une solli itation de isaillement (τ (γ p, γ̇ p, T )). 113 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique 7.2 - Paramètres de la loi de Johnson-Cook. b) Cas du isaillement a) Cas général Paramètre Valeur Paramètre Valeur Tab. A B n C ε̇0 Tt Tf m A′ B′ n C′ γ̇0 Tt Tf m 866 M P a 318 M P a 0,25 0,008 5, 77.10−2 s−1 20C 1670C 1,055 500 M P a 160 M P a 0,25 0,008 0, 1 s−1 20C 1670C 1,055 7.3 Le al ul par éléments nis Après avoir mis en équation le problème de isaillement adiabatique puis hoisi et identié une loi d'é oulement plastique, nous allons à présent résoudre le problème ave un ode de al ul éléments nis. Dans les paragraphes suivants, nous allons détailler le maillage ainsi que l'algorithme de al ul hoisis. 7.3.1 Maillage Dans le as des phénomènes de lo alisation de la déformation, d'importants gradients de déformation, de température et de vitesse de déformation apparaissent dans la stru ture. Il est don né essaire d'avoir un maillage susamment rané dans les zones où va se développer la bande de isaillement adiabatique. Une vue générale du maillage que nous avons hoisi est présentée sur la gure 7.8. Fig. 7.8 - Vue générale du maillage de l'éprouvette de torsion. Dans notre as, la taille des éléments situés au entre de la partie utile est égale à 10 µm et est don inférieure à la taille d'une bande mesurée expérimentalement (10 µm à 20 µm dans le TA6V). Plus l'on s'éloigne du défaut plus la dimension des mailles augmente. Un maillage globalement plus rané ave une taille de maille de 5 µm a montré les résultats du al ul restaient in hangés [56℄. Dans la suite de 114 7. Modélisation numérique du Fig. isaillement adiabatique 7.9 - Maillage au voisinage du défaut. l'étude nous utiliserons le premier maillage éléments nis qui ompte environ 4000 éléments. Au voisinage du défaut, le maillage intègre la topologie des diérentes tailles de défauts que nous avons hoisies (gure 7.9). L'intérêt prin ipal de e type de dis rétisation réside dans le fait que le maillage reste identique lorsqu'on hange la taille du défaut et e qui permet don de supprimer d'éventuelles inuen es du maillage lors de la omparaison des résultats. 7.3.2 Cara téristiques du al ul Des al uls thermomé aniques fortement ouplés ave prise en ompte de la ondu tion ont été ee tués ave le ode de al ul éléments nis Abaqus Expli it version 6.3. Les éléments hoisis sont de type CPS3RT et CPS4RT (éléments plaque à 3 ou 4 noeuds en ontrainte plane ave prise en ompte de la température). Le omportement du matériau est élasto thermovis oplastique ave une loi d'é oulement plastique de type Johnson-Cook. Les diérentes valeurs numériques des propriétés thermomé aniques du TA6V utilisées sont présentées dans le tableau 7.3. 7.4 Résultats du modèle 7.4.1 Historique de la formation de la bande La gure 7.10 montre l'évolution de la ontrainte de isaillement en fon tion de la déformation plastique de isaillement nominale. La taille et l'amplitude du défaut introduit valent respe tivement 40 µm et 5%. On onstate sur la ourbe ontrainte 115 7. Modélisation numérique du 700 (1) isaillement adiabatique (2) (3) Contrainte de cisaillement en MPa 600 (4) 500 400 300 200 100 0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 Déformation plastique de cisaillement nominale Fig. 7.10 - Courbe ontrainte déformation nominale pour un défaut de 40 µm de diamètre et de 5% d'amplitude (V = 3 ms−1 soit γ̇ = 1500 s−1). y V l/2 Défaut -L/2 -l/2 S héma de la demi éprouvette Température en Kelvin (1) γ = 1, 08, t = 746 µs (2) γ = 1, 16, t = 804 µs (3) γ = 1, 17, t = 816 µs (4) γ = 1, 18, t = 840 µs Fig. 7.11 - Historique de la formation de la bande de isaillement pour un défaut de 40 µm de diamètre et de 5% d'amplitude (V = 3 ms−1 soit γ̇ = 1500 s−1). 116 x 7. Modélisation numérique du Tab. isaillement adiabatique 7.3 - Propriététés thermomé aniques du TA6V. Propriété Notation Coe ient de Taylor-Quinney β Capa ité alorique massique C Condu tivité thermique λ Masse volumique ρ Module de Young E Coe ient de Poisson ν Vitesse de solli itation V Température initiale T0 Valeur 0,9 656 JK −1 kg −1 9 W m−1 K −1 4400 kgm−3 105000 M P a 0,34 3 ms−1 20C déformation la présen e d'un maximum pour une déformation de 40% orrespondant au début de l'instabilité plastique. Il apparaît une hute brutale de la ontrainte de isaillement pour une déformation plastique de 120%. La gure 7.11 présente les hamps de température à diérents instants repérés sur la ourbe ontrainte déformation de la gure 7.10 (points (1), (2), (3) et (4)). Le hamp de température étant symétrique par rapport au entre du défaut O, seule une demi éprouvette est représentée. On peut remarquer sur le premier hamp (1), une faible hétérogénéité du hamp de température au voisinage du défaut. Le deuxième hamp (2) montre l'amorçage à partir du défaut d'une bande de isaillement adiabatique ara térisée par une forte hétérogénéité de la température sous forme d'une ne bande. Les deux derniers hamps (3 et 4) montrent l'évolution de ette bande et mettent en éviden e sa propagation le long de la demi éprouvette de droite à gau he. 7.4.2 Champs de vitesse et de ontrainte La gure 7.12 permet de omparer les hamps de vitesse suivant x (vx), de température et de ontrainte de isaillement τ en onguration déformée à l'instant t4 = 840 µs (point (4) sur la gure 7.10). Le diamètre du défaut est de 40 µm et son amplitude vaut 5%. En amont de la bande de isaillement adiabatique ( té gau he), le prol de vitesse vx possède une répartition ane suivant la dire tion y (prol de Couette). Au ontraire en aval du front de propagation de la bande ( té droit), la vitesse est onstante de part et d'autre de la bande et présente un fort gradient à travers elle- i (mouvement de orps rigide). Le hamp de température en onguration déformée montre une forte hétérogénéité de la température au niveau de la bande. Des températures maximales de l'ordre de 1000C sont atteintes dans la partie de 117 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique Vitesse vx en mms−1 Champ de vitesse suivant x pour γ = 1, 18, t = 840 µs V V V Sens de propagation de la BCA Défaut BCA V=0 V=0 V=0 Vue s hématique du prol de vitesse Contrainte de isaillement en MPa Champ de ontrainte pour γ = 1, 18, t = 840 µs V Défaut BCA Zone déchargée Propagation d’un front de décharge Vue s hématique de la zone de dé harge Température en K Champ de température pour γ = 1, 18, t = 840 µs Fig. 7.12 - Champ de vitesse, de ontrainte et de température dans une demi éprouvette à l'instant t4 = 840 µs (défaut de diamètre 40 µm et d'amplitude 5% ; vitesse de V = 3 s−1 soit γ̇ = 1500 ms−1). 118 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique la bande située au voisinage du défaut. Le hamp de ontrainte présenté sur la gure 7.12 montre que la propagation de la bande s'a ompagne d'un front de dé harge se déplaçant à la même vitesse que la bande. Dans la zone dé hargée, les ontraintes sont de l'ordre de 380 M P a alors que dans la zone non dé hargée, elles sont de l'ordre de 650 M P a. 7.4.3 Inuen e du défaut sur la BCA Pour déterminer l'infuen e du défaut, des a luls ont été menés pour diérents diamètres de défaut (de 20 µm à 100 µm ave un pas de 20 µm) et diérentes amplitudes (1 à 5% ave un pas de 1%). Dans les paragraphes suivants, nous allons étudier plus parti ulièrement l'eet de es deux paramètres d'une part sur la déformation à la lo alisation et d'autre part sur la vitesse de propagation de la bande. Eet sur la déformation à la lo alisation 700 200 600 150 Contrainte Taux de contrainte Contrainte en MPa 500 100 50 400 0 300 -50 200 -100 100 Taux de contrainte en GPa/s L'amorçage d'une bande de isaillement est ara térisée par une hute brutale de la ontrainte. Pour omparer l'inuen e de diérents défauts, on dénit alors la déformation plastique à la lo alisation omme la déformation plastique obtenue lorsque le taux de ontrainte est égal à −100 GP a.s−1. La gure 7.13 représente l'évolution de la ontrainte et du taux de ontrainte en fon tion de la déformation. -150 0 -200 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 Déformation nominale Fig. 7.13 - Evolution du taux de ontrainte : dénition de la déformation à la lo alisation (défaut de diamètre 40 µm et d'amplitude 5%). 119 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique Comme nous pouvons le onstater sur la gure 7.14, la hute de ontrainte dépend de l'amplitude du défaut. L'évolution de la déformation à la lo alisation en fon tion de l'amplitude du défaut pour un diamètre xé à 100 µm est donnée sur la gure 7.15. Elle montre que plus l'amplitude du défaut est faible plus la lo alisation survient pour une déformation plastique grande. Pour des amplitudes de défauts omprises entre 1% et 5%, la déformation à la lo alisation varie entre environ 90% et 120%. La gure 7.16 montre l'évolution de la déformation à la lo alisation pour diérents diamètres de défaut ave une même amplitude xée à 5%. On peut onstater que plus le défaut est petit plus la déformation à la lo alisation est retardée. Pour des défauts ompris entre 20 µm et 100 µm la déformation à la lo alisation varie entre 90% et 133%. 700 Contrainte ne MPa 650 1% 2% 3% 4% 5% 600 550 500 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 Déformation plastique de cisaillement Fig. 7.14 - Courbe ontrainte déformation pour diérentes amplitudes de défaut. 120 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique 1,15 Déformation à la localisation 1,10 1,05 1,00 0,95 0,90 1 2 3 4 5 Amplitude du défaut en % Fig. 7.15 - Eet de l'amplitude du défaut sur la déformation à la lo alisation (Taille de défaut xée à 100 µm). 1,4 Déformation à la localisation 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 20 40 60 80 100 Taille du défaut en µm Fig. 7.16 - Eet du diamètre du défaut sur la déformation à la lo alisation (Amplitude de défaut xée à 5%). 121 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique Eet sur la vitesse de propagation Dans le paragraphe 7.4.1, nous avons souligné le phénomène de propagation de la bande de isaillement. La gure 7.17 montre l'évolution de la température aux points O, A, B, C, D et E pla és le long de la partie utile de l'éprouvette pour un diamètre de défaut de 100 µm et une amplitude de 5%. Le dé alage entre les évolutions de température permet de quantier des durées de propagation entre les diérents points. 700 Point O Point A Point B Point C Point D Point E Contrainte 400 600 60µs 500 400 300 200 200 100 0 Contrainte de cisaillement en MPa Température en ˚C 600 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Temps en µs a) Evolution de la température au points O, A, B, C, D et E. y V l/2 -L/2 C D E 2,7mm 2,7mm A B 2,7mm 2,7mm O 2,7mm x Défaut -l/2 b) Vue s hématique de l'éprouvette : dénition des points O, A, B, C, D et E. Fig. 7.17 - Evolution de la température en diérents points régulièrement espa és le long de la partie utile de l'éprouvette (défaut de 100 µm de diamètre et de 5% d'amplitude). 122 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique On peut d'abord remarquer que la vitesse de propagation de la bande n'est pas onstante au ours du temps : juste après l'amorçage de la bande, la vitesse de propagation entre les points A et B est de l'ordre de 114 ms−1 alors que quand la bande atteint l'extrémité gau he de la demi éprouvette, elle vaut 196 ms−1 entre les points D et E. La bande n'a don pas le temps d'atteindre une vitesse de propagation stationnaire. Dans le as de petits défauts (faible amplitude ou faible diamètre), une vitesse de bande onstante semble être atteinte plus rapidement. Comme nous l'avons dans le hapitre 2.3 de la première partie, la vitesse de la bande en régime stationnaire ne dépend pas a priori des ara téristiques du défaut. Le régime stationnaire de propagation d'une BCA est atteint beau oup plus rapidement dans le as d'un petit défaut que dans le as d'un amorçage par un gros défaut. Dans la suite, nous déterminerons une vitesse moyenne orrespondant à la durée entre le moment où il y amorçage de la bande au niveau du défaut et le moment où elle atteint la moitié de la demi éprouvette (point C). Dans le as d'un défaut de 100 µm de diamètre et de 5% de déformation, la durée entre l'amorçage en O et le passage au point C vaut 60 µs (gure 7.17a). La vitesse moyenne orrespondante est égale à 130 ms−1. Pour dénir ette durée et ette vitesse, on onsidère que la bande passe en un point de la surfa e de l'éprouvette, si la température atteint 400C en e point. Les gures 7.18 et 7.19 montrent l'évolution de ette vitesse de propagation moyenne en fon tion du diamètre du défaut et de son amplitude. Ces valeurs de vitesses sont du même ordre de grandeur que elles trouvées par Batra et Zhang [6℄. On peut remarquer que plus les défauts ont une faible amplitude ou une petite dimension plus la vitesse moyenne de propagation de bande augmente. 123 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique Vitesse moyenne de bande en m.s -1 180 170 160 150 140 130 120 1 2 3 4 5 Amplitude du défaut en % Fig. 7.18 - Eet de l'amplitude du défaut sur la vitesse de propagation moyenne de la BCA (Taille de défaut xée à 100 µm). Vitesse moyenne de bande en m.s -1 240 220 200 180 160 140 120 20 40 60 80 100 Taille du défaut en µm Fig. 7.19 - Eet du diamètre du défaut sur la vitesse de propagation moyenne de la BCA (Amplitude du défaut xée à 5%). 124 7. Modélisation numérique du isaillement adiabatique 7.4.4 Con lusion L'étude numérique du isaillement adiabatique dans les mêmes onditions que notre expérien e de torsion montre que les petits défauts (en taille et en amplitude) ont tendan e d'une part à retarder la déformation à lo alisation et d'autre part à augmenter la vitesse de propagation de la bande amor ée. Il existe don une ompétition entre gros et petits défauts : un gros défaut va amor er une BCA pour une déformation plus faible mais ette bande se propagera lentement et au ontraire un petit défaut va amor er une BCA pour une déformation plus grande mais ette bande se propagera rapidement. Le tableau 7.4 quantie les durées né essaires à l'amorçage et à la propagation jusqu'à la moitié de l'éprouvette de la bande pour trois défauts parti uliers. Dans le as des trois défauts étudiés, 'est elui de diamètre 100 µm et d'amplitude 5% qui présente une durée de développement de la BCA (somme des durées d'amorçage et de propagation) la plus ourte. C'est le défaut le plus ritique. Tab. 7.4 - Re her he du défaut ritique. Taille Amplitude Déformation à lo alisation Durée jusqu'à l'amorçage Vitesse de propagation Durée de propagation Durée totale Diérents défauts onsidérés 20 µm 100 µm 100 µm 867 µs 240 ms−1 33 µs 900 µs 600 µs 130 ms−1 62 µs 662 µs 753 µs 175 ms−1 46 µs 799 µs 5% 1,3 125 5% 0,9 1% 1,13 7. Modélisation numérique du 126 isaillement adiabatique 8 Analyse et dis ussion des résultats 8.1 Amorçage de bandes de isaillement adiabatique 8.1.1 Prédi tion de la déformation à la lo alisation Au ours des diérents essais de torsion dynamique que nous avons ee tués, nous pouvons remarquer que la déformation à la lo alisation est assez reprodu tible (gure 8.1). Sa valeur moyenne vaut 0,56 ave un é art type de 0,044. On peut tenter, à partir de notre modèle numérique, de prédire ette déformation à la lo alisation. Ce modèle étant basé sur l'existen e d'un défaut ritique amorçant la bande de isaillement adiabatique, il né essite l'identi ation des deux paramètres on ernant e défaut : la taille et l'amplitude. Déformation de cisaillement à la localisation 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 T2 T4 T6 T8 T10 T12 T14 T16 T18 T20 T22 Référence d'essai Fig. 8.1 - Déformation à la lo alisation ; dispersion des valeurs expérimentales. 127 8. Analyse et dis ussion des résultats Comme le rapport de la surfa e de l'éprouvette sur son volume est très grand, on peut a priori supposer que statistiquement les défauts de rugosité sont prédominants devant les défauts métallurgiques. Cette hypothèse peut également être justiée par le fait qu'expérimentalement, on onstate une diminution de la déformation à la lo alisation ave une augmentation de la rugosité de surfa e (gure 8.2). La déformation à la lo alisation est don bien sensible à la rugosité. Entre un défaut métallurgique et un défaut de surfa e, nous avons don hoisi pour e type d'éprouvette de privilégier l'étude des défauts de surfa e. 800 700 Contrainte en MPa 600 500 Peu rugueux (Ra=0,3µm) Très rugueux 400 300 200 100 0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 Déformation de cisaillement Fig. 8.2 - Eet de la rugosité sur la déformation à la lo alisation. Pour ara tériser les défauts de surfa e, nous avons réalisé des mesures de rugosité sur la partie utile de notre éprouvette avant solli itation. Les gures 8.3 et 8.4 montrent respe tivement le prol de la surfa e et sa transformée de Fourier. Le prol permet de quantier la rugosité moyenne arithmétique notée Ra et une rugosité maximale notée Rm dénie omme l'amplitude maximale des rugosités. Sur notre éprouvette, on mesure un Ra de 0, 3 µm et une amplitude maximale d'environ 2, 4 µm. On en déduit alors une amplitude relative moyenne de 0,075% et une amplitude maximale de 0,6%. L'amplitude relative de l'ensemble des défauts de notre surfa e est don majorée par la valeur maximale de 0,6%. La transformée de Fourier permet de déterminer la taille ara téristique des défauts et leur densité. Elle permet de mettre en éviden e une diversité de taille de défauts. On peut onstater la présen e à la fois de très gros défauts (de taille supérieure à 100 µm) et de très petits défauts (de taille inférieure à 10 µm). 128 8. Analyse et dis ussion des résultats 1,0 Profil en µm 0,5 0,0 -0,5 -1,0 -1,5 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 Distance en mm 8.3 - Prol de la surfa e le long de la partie utile de l'éprouvette. 0,06 0,05 Densité spectrale en µm/mm Fig. 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 Longueur caractéristique en mm Fig. 8.4 - Transformée de Fourier du prol de surfa e. 129 8. Analyse et dis ussion des résultats Dans le as d'un défaut de 100 µm de diamètre et une amplitude de 0,6%, le al ul numérique donne une valeur de la déformation à la lo alisation supérieure à 1,13. Cette déformation est bien supérieure à elle observée expérimentalement (en moyenne 0,56 : gure 8.1). Plusieurs expli ations peuvent être avan ées : 1. On ne peut pas négliger la rédu tion de se tion de l'éprouvette dans notre simulation numérique. Celle- i peut ertainement faire o e de défaut de grande taille et avan er la déformation à la lo alisation. Pour tenir ompte de ette rédu tion de se tion dans notre modélisation, il surait par exemple de hoisir une épaisseur d'élément variable. 2. Le modèle du défaut ritique à deux paramètres n'est pas assez pré is pour rendre ompte des on entrations lo ales de déformation plastique à l'é helle des rugosités (gure 8.6). Pour bien modéliser es on entrations de déformation plastiques, il faudrait introduire dans notre modèle un défaut de rugosité réel de notre surfa e. Un tel modèle né essite de prendre en ompte des hétérogénéités de déformation dans l'épaisseur de toile de l'éprouvette et don de faire un al ul tridimensionnel. On peut ependant imaginer résoudre e problème en deux étapes : on ee tuerait d'abord un premier al ul tridimmensionnel ave modélisation d'un défaut réel que l'on interromprait juste avant l'amorçage de la BCA, pour évaluer les on entrations de déformation plastique et le volume ara téristique ae té. Ensuite, on ee tuerait un deuxième al ul bidimensionnel analogue à elui que nous avons présenté dans le hapitre 7 ave des paramètres de défaut identiés ave le al ul pré édent. La taille du défaut serait prise égale à la dimension ara téristique du volume ae té et l'amplitude serait hoisie de manière à avoir la même on entration de ontrainte que dans le al ul tridimensionnel. 3. Il existe plusieurs défauts qui vont générer des on entrations de déformation plastique et vont interagir entre eux pendant la phase de déformation homogène avant l'amorçage de la bande. Le hamp de température au voisinage d'un défaut ( hamp (1) de la gure 7.11) juste avant l'amorçage de la BCA montre ee tivement une zone allongée autour du défaut où la température est légèrement supérieure au reste de l'éprouvette. Cette augmentation de température lo ale s'a ompagne d'une augmentation de la déformation plastique autour du défaut qui pourrait a tiver d'autres défauts et les faire amor er une BCA pour une déformation plastique plus faible (s héma de la gure 8.6). 130 8. Analyse et dis ussion des résultats Rugosité de la surface Zones de concentration de la déformation plastique Fig. 8.5 - Zones de on entrations de ontraintes à la surfa e de l'éprouvette. V Défaut activé Défaut Défaut non activé Zone d’affectation : concentration de la déformation plastique et augmentation de la température V=0 Fig. 8.6 - Intera tions entre défauts avant amorçage d'une BCA. 131 8. Analyse et dis ussion des résultats 8.1.2 Mé anismes de nu léation des BCA Observation de l'amorçage des BCA Une observation métallographique après solli itation de l'éprouvette révèle toujours la présen e d'une seule bande de isaillement adiabatique qui s'étend sur seulement 80% à 90% de la ir onféren e de l'éprouvette. Comme notre dispositif de mesure ne visualise qu'un té de la partie utile de l'éprouvette, on peut parfois observer un hamp homogène de température. Ce i a été ee tivement onstaté lors de nos essais dynamiques. Dans les autres as, on peut observer au moment de l'amorçage la présen e d'une ou deux bandes au niveau de la zone de mesure de la barrette InSb. Les gures 8.7 et 8.8 montrent l'observation d'une BCA unique dans la zone observée lors de l'essai E4. Au ontraire, la gure 8.9 permet de onstater la présen e d'une première bande au entre de la partie utile de l'éprouvette suivi d'une deuxième sur le té de l'éprouvette quelques dizaines de mir ose ondes plus tard (essai E17). Il semble don fortement probable que plusieurs BCA s'amor ent simultanément. Fig. 8.7 - Observation de l'amorçage d'une bande : essai E4 (vue 3D). 132 8. Analyse et dis ussion des résultats Fig. Fig. 8.8 - Observation de l'amorçage d'une bande : essai E4 ( artographie). 8.9 - Observation de l'amorçage de deux bandes : essai E17 ( artographie). 133 8. Analyse et dis ussion des résultats Dé alage temporel entre la hute de ontrainte et l'augmentation rapide de la température On peut onstater lors des essais de torsion dynamique la présen e d'un dé alage temporel entre la hute de ontrainte au moment de la lo alisation de la déformation et l'augmentation rapide de la température dans la BCA. Les essais E14 et E17 mettent en éviden e respe tivement un dé alage inférieur à une mi rose onde (gure 8.10) et un dé alage de 44 µs (gure 8.11). Le graphique de la gure 8.12 montre le dé alage mesuré sur l'ensemble des essais réalisés quand il a pu être déterminé. Le dé alage ne peut étre ee tivement par mesuré quand la bande se produit à l'opposé de la zone d'observation. La valeur de 44 µs représente don le dé alage maximal mesuré expérimentalement. 300 800 250 Contrainte en MPa Contrainte 200 Température 150 400 100 200 Température en ˚C 600 50 0 0 400 500 600 700 800 900 Temps en µs Fig. 8.10 - Dé alage entre la hute de ontrainte et l'augmentation de température : essai E14. Par omparaison, le modèle numérique supposant l'existen e d'un seul défaut de diamètre 100 µm et d'amplitude 5% nous donne un dé alage maximum de 98 µs qui orrespond à environ deux fois plus que la valeur expérimentale. Compte tenu du nombre réduit d'essais, il semble normal de ne pas mesurer expérimentalement la valeur de 98 µs (gure 8.13). L'impossibilité de propagation de la bande suivant tout la ir onféren e de l'éprouvette ne permet pas d'a éder expérimentalement aux valeurs maximales du dé alage. De plus, si le défaut ritique a une taille inférieure à 100 µm et une amplitude inférieure à 5%, la vitesse de propagation moyenne de la BCA augmente et don le dé alage temporel maximum théorique devient inférieur à 96 µs. Ces résultats semble montrer que, bien que l'on mette en éviden e l'amorçage de plusieurs bandes, il y en a réellement une seule qui va se propager le long de la quasi totalité de la ir onféren e de l'éprouvette. 134 8. Analyse et dis ussion des résultats 800 300 700 250 44µs 600 400 150 300 100 200 Température en ˚C Contrainte en MPa 200 500 50 100 0 0 400 500 600 700 800 900 Temps en µs 8.11 - Dé alage entre la hute de ontrainte et l'augmentation de température : essai E17. 50 40 Décalage en µs Fig. 30 20 10 0 T2 T4 T6 T8 T10 T12 T14 T16 T18 T20 T22 Référence d'essai Fig. 8.12 - Dé alages mesurés lors des essais. 135 8. Analyse et dis ussion des résultats 600 500 Température en ˚C 98µs 400 au centre du défaut à 13,6 mm du défaut 300 200 100 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Temps en µs Fig. 8.13 - Dé alage entre la hute de ontrainte et l'augmentation de température : modélisation (défaut de diamètre 40 µm et d'amplitude 5% ; vitesse de V = 3 s−1 soit γ̇ = 1500 ms−1). Con lusion Les observations expérimentales montrent que plusieurs bandes peuvent s'amorer au niveau de la partie utile de l'éprouvette et qu'il existe un dé alage entre la hute de ontrainte et l'augmentation rapide de température au niveau de la BCA. Pour expliquer es résultats, on peut proposer un mé anisme de formation et d'évolution des BCA se dé omposant en deux phases. La première phase ou plusieurs BCA vont s'amor er simultanément et ommen er à se propager le long de l'éprouvette de manière independante. La deuxième phase va orrespondre à l'intera tion entre es BCA pendant leur phases d'amorçage et de propagation (gure 8.14). Chaque BCA, lors de sa propagation va réer une zone de dé harge ( hamp de ontrainte de la gure 7.12) qui va desa tiver ertaines bandes amor ées. Au nal, une seule bande va desa tiver toutes les autres bandes naissantes et parvenir à se propager le long de toute la ir onféren e de l'éprouvette. 136 8. Analyse et dis ussion des résultats Défauts occultés Zone d’occultation Défaut critique Fig. Amorçage de BCA 8.14 - Intera tion entres BCA pendant la phase de propagation. 8.2 Températures maximales dans les BCA La gure 8.15 montre deux thermographies de BCA en phase de propagation. Pour haque essai, l'évolution de la ontrainte, la température mesurée par le déte teur InSb de la barrette situé au entre de la BCA ainsi que l'ouverture de la améra sont données sur la gure 8.15. Les températures maximales mesurées sont de l'ordre de 1000C à 1100C respe tivement pour les essais E1 et E19. Elles sont supérieures à elle mesurées par Zhou et al. [74℄ et Liao et Duy et al. [33℄ dans le TA6V mais restent inférieures à elle mesurées par Pina [51℄ et lors de nos premiers travaux sur un dispositif de poinçonnage dynamique [55℄. Compte tenu des di ultés sur la pré ision du dé lenhement de la améra à partir du déte teur, il a été di ile de ontrler la durée entre la hute de ontrainte et l'ouverture de la améra. Ce i peut expliquer que l'on ne mesure ertainement pas les températures maximales atteintes dans les BCA. On peut également se demander si la température est stationnaire pendant le temps d'ouverture de 10 µs ou 20 µs. Si e n'est pas le as, la température maximale réelle serait évidemment plus importante et pour la mesurer plus pré isément, il faudrait développer le pyromètre an de réduire e temps d'ouverture. Il est don très di ile de ommenter es résultats. Cependant, pour des temps d'ouvertures de 10 µs, la bande n'apparaît pas omme une ligne ontinue mais plutt omme un point haud ou un ensemble de points hauds (voir également gure 6.22 page 94). Lors de l'essai E19, la distan e entre deux points hauds peut être estimée entre 250 µm et 300 µm. Ces résultats étaye137 8. Analyse et dis ussion des résultats raient les observations faites par Guduru et al. [22, 21, 72℄ on ernant la présen e de stru tures tridimensionnelles dans les bandes. Essai dynamique E19 à γ̇ = 1900 s−1 Essai dynamique E1 à γ̇ = 1020 s−1 Thermographie de la BCA (Ouverture 20 µs) Thermographie de la BCA (Ouverture 10 µs) Visualisation de l'éprouvette après solli itation Fig. 8.15 - Thermographies d'une bande de isaillement lors des essais de torsion dynamique E1 et E19 (γ̇ = 1020 s−1 et γ̇ = 1900 s−1). 138 8. Analyse et dis ussion des résultats 1000 800 920˚C 700 800 Contrainte Température barrette Température caméra (ouverture 20µs) 500 400 600 400 300 200 Température en ˚C Contrainte en MPa 600 200 100 0 0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Déformation de cisaillement Fig. 8.16 - Dé len hement de la améra et mesure de la température lors de l'essai E1 (γ̇ = 1020 s−1). 800 1200 1100˚C 700 1000 600 Contrainte Température barrette Température caméra (ouverture 10µs) 400 300 600 400 200 Température en ˚C Contrainte en MPa 800 500 200 100 0 0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Déformation de cisaillement Fig. 8.17 - Dé len hement de la améra et mesure de la température lors de l'essai E19 (γ̇ = 1900 s−1). 139 8. Analyse et dis ussion des résultats 140 Con lusion et perspe tives L'obje tif de e travail de thèse est de mieux omprendre les mé anismes d'amorçage et de propagation des bandes de isaillement adiabatique dans l'alliage de titane TA6V lors d'une solli itation dynamique. Une des premières expli ations de e phénomène proposée par Zener et Hollomon [71℄ souligne déjà l'importan e de la température dans les mé anismes de formation de es bandes de isaillement. Pour étudier les mé anismes d'amorçage et de propagation des BCA, nous avons don hoisi de développer un dispositif expérimental de mesure de la température par pyrométrie adapté à e phénomène. Nous nous sommes plus parti ulièrement intéressés à deux gammes de température : une des originalités de e travail a été de on evoir un dispositif permettant de déte ter des températures omprises entre 50C et 300C (appelée gamme des basses températures) an d'étudier l'amorçage des BCA et notamment les hétérogénéités de température juste avant l'amorçage. D'autre part, pour étudier la phase de propagation de la BCA et quantier les températures maximales atteintes au entre de la bande, nous avons développé un pyromètre apable de mesurer des températures omprises entre 800C et 1600C (gamme des hautes températures) ave une résolution spatiale inférieure à la taille de la BCA (quelques dizaines de mi romètres dans le as de l'alliage TA6V). Les prin ipales di ultés de la on eption de notre système de mesure sont essentiellement liées à la taille des bandes (quelques entaines de mi romètres en phase d'amorçage et quelques dizaines de mi romètres en phase de propagation) et à la durée de formation d'une BCA qui est de l'ordre de 50 µs. Pour les basses températures, la résolution spatiale que nous avons hoisie est de 43 µm et la fréquen e d'a quisition est de 1M Hz . Compte tenu des faibles niveaux d'énergie à déte ter, le dispositif optique a été optimisé pour olle ter le maximum de ux rayonné. La mesure est ee tuée dans le domaine pro he infrarouge pour des longueurs d'onde omprises entre 1 µm et 5, 5 µm ave une barrette de 32 déte teurs InSb. Pour les hautes températures, la résolution spatiale est de 2 µm. La puissan e rayonnée étant plus importante, nous avons hoisi une améra intensiée sensible dans le domaine visible pour des longueurs d'onde omprises entre 0, 4 µm et 0, 8 µm. Les temps d'ouverture de la améra valent 10 µs ou 20 µs et son dé len hement est réalisé à partir du signal délivré par un monodéte teur InSb déte tant une augmen141 Con lusions et perspe tives tation de la température sur la totalité de la s ène visualisée par la améra. Une autre di ulté de la te hnique de mesure par pyrométrie est liée à la mé onnaissan e du fa teur d'émission qui peut dépendre de la température, de la rugosité de la surfa e, et des hangements de phase éventuels. Pour les basses températures, le fa teur d'émission a été mesuré dans le as de l'alliage TA6V pour des températures omprises entre 75C et 300C et diérentes rugosités de surfa e. Nous avons montré à ette o asion une faible variation du fa teur d'émission dans nos gammes de température et de rugosité. Nous l'avons don onsidéré omme onstant pendant la solli itation dynamique. Pour les hautes températures, une des originalités de e travail est de hoisir des longueurs d'onde les plus ourtes possible an de limiter l'erreur due à l'in ertitude sur le fa teur d'émission. Le dispositif de mesure de la température a été ensuite testé sur un essai de torsion dynamique aux barres d'Hopkinson sur une éprouvette tubulaire possédant une légère rédu tion de se tion au entre de la partie utile. Les vitesses de déformation des essais sont omprises entre 1000 s−1 et 2000 s−1. D'une part, la mesure des basses températures permet de distinguer une première phase où la température reste homogène et une deuxième phase où très lo alement dans la BCA, la température augmente très rapidement. En parallèle, la améra intensiée nous a permis de quantier des températures maximales atteignant 1100C. Les thermographies montrent des hétérogénéités de température au sein même de la bande similaires à elle observées par Guduru et al. [22, 21, 72℄. Pour interpréter es résultats expérimentaux, nous avons réalisé un modèle thermomé anique bidimensionnel de notre éprouvette de torsion. Ce modèle est basé sur l'hypothèse lassiquement utilisée dans la littérature qui suppose que la bande de isaillement adiabatique s'amor e sur un défaut géométrique ou métallurgique unique. Dans notre étude numérique, e défaut est modélisé par une rédu tion loale de la se tion de l'éprouvette sur une zone ir ulaire et il permet de générer une on entration de déformation plastique lo ale. Le omportement thermomé anique du matériau est onsidéré omme élasto thermovis oplastique. La loi d'é oulement plastique qui tient ompte des phénomènes d'é rouissage, de dur issement dynamique et de d'adou issement thermique a été identiée à partir d'essais de torsion statiques et dynamiques pour des températures variant entre l'ambiante et 300C. La solution du problème a été obtenue numériquement à l'aide du ode de al ul éléments nis expli ite Abaqus. Les résultats montrent que e modèle permet de reproduire l'amorçage et la propagation des bandes de isaillement adiabatique. Il met également en éviden e une hute brutale de la ontrainte asso iée à une augmentation rapide de la température dans la bande e qui a été observé lors des essais expérimentaux. Le modèle montre également que la vitesse de propagation n'est pas onstante le long de la ir onféren e de l'éprouvette. Cette onstatation nous amène plutt à onsidérer par la suite une vitesse moyenne entre l'amorçage 142 Con lusions et perspe tives et le moment ou la bande s'est propagée le long de la moitié de l'éprouvette. Pour étudier l'inuen e du défaut initial sur l'amorçage et la propagation de la bande, diérentes amplitudes et tailles de défaut ont été simulées. Les al uls montrent d'une part que plus la taille et l'amplitude du défaut diminuent, plus l'amorçage de la bande sera retardé. D'autre part, les défauts de petite amplitude et de petite taille engendrent des vitesses moyennes de propagation de la bande plus rapides. Lors des essais expérimentaux, la hute de ontrainte se produit pour une déformation plastique appelée déformation à la lo alisation très voisine de 0,56. Pour évaluer ette déformation à la lo alisation, on suppose que le défaut ritique est un défaut de rugosité dont on ara térise la taille et l'amplitude à partir de la mesure de la rugosité de la surfa e de l'éprouvette non solli itée. Ave es données, le modèle numérique onduit à surestimer la déformation à la lo alisation. Plusieurs expli ations ont pu être avan ées : 1. Cette surestimation de la déformation à la lo alisation pourrait provenir de la non prise en ompte de la légère rédu tion de se tion au entre de la partie utile de l'éprouvette. 2. La ara térisation d'un défaut de rugosité à l'aide de deux paramètres est un modèle trop simpliste qui ne permet pas de quantier pré isément les on entrations de déformation plastique réelles à l'é helle des rugosités. 3. Un défaut génère une augmentation lo ale de la déformation plastique et pourrait don a tiver d'autres défauts et amor er une BCA pour une déformation plastique nominale plus faible. Les mesures des basses températures ont montré que suivant les essais il est possible d'observer l'amorçage d'une ou deux bandes de isaillement adiabatique. Il semble don fortement probable que plusieurs bandes s'amor ent simultanément. Cependant des observations métallographiques après solli itation montrent toujours la présen e d'une seule bande de isaillement omplètement formée. Pour interpréter es résultats, nous avons proposé le mé anisme de formation des BCA suivant : plusieurs défauts sont le siège d'un amorçage et d'une propagation de BCA. Ces bandes naissantes vont ensuite interagir entre elles et nir par s'annuler. Au nal une seule bande réussira à se propager suivant toute la ir onféren e de la partie utile de l'éprouvette. De plus, les mesures de température dans la BCA révèlent un dé alage temporel entre la hute de la ontrainte et l'augmentation rapide de la température dans la BCA. Ce dé alage peut atteindre 44 µs. Il prouve l'existen e d'une phase de propagation d'une BCA à partir d'un site d'amorçage et étaye le mé anisme d'amorçage multiple. 143 Con lusions et perspe tives Les mesures de température par pyrométrie au moment de l'amorçage des BCA ont apporté de nombreuse informations pour ara tériser les mé anismes de formation des BCA. An de ompléter e travail, il serait intéressant de développer le dispositif basses températures. Un dispositif de mesure bidimensionnel à l'aide d'une améra infrarouge par exemple peut permettre de visualiser plus pré isément l'intera tion entre les diérentes BCA amor ées et de onrmer le mé anisme d'amorçage multiple présenté dans e travail. Il serait également intéressant de tester ave notre dispositif un autre matériau pour vérier que e mé anisme n'est pas propre à notre alliage de titane TA6V. Un autre développement envisageable serait de on evoir un pyromètre apable de déte ter une plus grande gamme de température et don de relier les informations que nous avons obtenues à l'aide des dispositifs hautes températures et basses températures. Pour quantier pré isément les températures ave un tel pyromètre, il serait né essaire de ara tériser le fa teur d'émission pour des températures variant entre l'ambiante et la température de fusion du matériau (1670C) et pour diérentes rugosités de surfa e. Notre modèle thermomé anique reproduit les phases d'amorçage et de propagation des bandes, ependant il ne permet pas de déterminer orre tement la déformation à la lo alisation. Pour parvenir à évaluer ette déformation à l'aide du modèle, un premier développement onsisterait d'une part à intégrer la rédu tion de se tion de l'éprouvette dans notre al ul bidimensionnel et d'autre part à ara tériser plus pré isément les paramètres de défaut à introduire dans le al ul. Un autre développement possible de e modèle serait d'intégrer plusieurs défauts an d'évaluer les intera tions mutuelles entre les BCA naissantes avant la formation omplète d'une seule BCA. Les mé anismes de formation des BCA présentés dans e travail pourraient être le point de départ de l'établissement d'un nouveau ritère d'amorçage de bande permettant par exemple de mieux modéliser et ontrler le isaillement adiabatique dans les pro édés d'usinage ou de formage à grandes vitesses. 144 Bibliographie [1℄ [2℄ [3℄ [4℄ [5℄ [6℄ [7℄ [8℄ [9℄ [10℄ [11℄ [12℄ [13℄ et F. Durand A radiative thermal analysis method for phase hange determination of stri tly ontrolled refra tory alloys , High Temp. and Mat. S i. 37 (1997), p. 97114. Y. L. Bai Thermo-plasti instability in simple shear , J. Me h. Phys. Solids 30 (1982), no. 2, p. 195207. Y. L. Bai et B. Dodd Adiabati shear lo alization - o urren e, theories and appli ations, Pergamon Press, 1992. R. C. 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Thomson 149 BIBLIOGRAPHIE 150 Table des gures 1 2 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Observation mi ros opique de bandes de isaillement dans un opeau segmenté d'après Lesourd [31℄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bandes de isaillement dans un a ier de blindage après perforation par un obus è he (métallographies réalisées au CTA). . . . . . . . . Visualisation des phases de formation de BCA sur la ourbe ontrainte déformation d'après Mar hand et Duy [36℄. . . . . . . . . . . . . . . Photographie des grilles déposées sur l'éprouvette torsion pour les inq déformations présentées sur la gure 1.1 (extrait de Mar hand et Duy [36℄). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mé anisme de formation d'une BCA par nu léation, roissan e et oales en e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mé anisme de formation d'une BCA amorçage et propagation à partir d'un défaut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eprouvette pré-entaillée utilisée par Zhou et al. [74℄. . . . . . . . . . . Position des zones de mesure par rapport à l'entaille sur l'éprouvette de Zhou et al. [74℄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prol de température autour d'une bande de isaillement adiabatique dans l'alliage TA6V ; vitesse d'impa t 47, 3 ms−1 [74℄. . . . . . . . . . Modélisation unidimensionnelle du problème de isaillement adiabatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maximum de ontrainte de isaillement. . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse de stabilité ; méthode des perturbations. . . . . . . . . . . . . Représentation d'une instabilité relative (extrait de [16℄). . . . . . . . Résultats numériques obtenus par Litonski [34℄ : déformation, vitesse de déformation, température et ontrainte de isaillement à l'intérieur (A) ou à l'extérieur (B) du défaut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Observation d'une su ession de points hauds dans une BCA d'après [22℄ (taille de l'image 1, 1 mm par 1, 1 mm). . . . . . . . . . . . . . . Modélisation de l'é oulement plastique dans une BCA d'après Li et al. [32℄ ( hamp de température en K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 2 3 12 13 14 14 15 15 15 18 19 21 22 23 30 30 TABLE DES FIGURES 3.1 Expérien e d'eondrement de ylindre : dispositif de solli itation (extrait de [48℄). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Observation des éprouvettes après eondrement (extrait de [49℄). . . . 3.3 Modèle de Grady et Kipp [20℄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Modèle de Wright et O kendon (extrait de [70℄). . . . . . . . . . . . . 4.1 Désex itation de phonons et émission de photons à la surfa e d'un matériau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Emission spontanée lors d'une transition éle tronique entre deux niveaux d'énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Corps noir : avité thermostatée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Puissan e émise par une surfa e dS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Luminan e du orps noir - maximum d'énergie. . . . . . . . . . . . . 4.6 Domaine spe tral du rayonnement thermique. . . . . . . . . . . . . . 4.7 Nombre de photons émis par un orps noir à 900C en 10 µs et ses u tuations statistiques (surfa e de 2 µm par 2 µm). . . . . . . . . . . 4.8 Rapport du nombre de photons de bruit sur le nombre de photons émis. 4.9 Erreur sur la température liée aux u tuations statistiques. . . . . . . 4.10 Sensibilité relative de la luminan e à la température en fon tion de la longueur d'onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Flux in ident, réé hi, transmis et absorbé. . . . . . . . . . . . . . . . 4.12 Indi e omplexe de l'aluminium en fon tion de la longueur d'onde à 473K, modèle de Drude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13 Indi e omplexe en fon tion de la longueur d'onde. Expérien e [50℄. . 4.14 Fa teur d'émission de l'aluminium en fon tion de la longueur d'onde à 473K, modèle de Drude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15 Fa teur d'émission en fon tion de la longueur d'onde. Expérien e [50℄. 4.16 Modèle de Lorentz : l'os illateur amorti. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.17 Evolution du fa teur d'émission en fon tion de la longueur d'onde à température ambiante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.18 Evolution du fa teur d'émission en fon tion de la température (Aluminium, λ = 1 µm) pour le modèle de Drude. . . . . . . . . . . . . . 4.19 Fa teur d'émission du tungstène en fon tion de λ pour diérentes températures [52℄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.20 Variation du fa teur d'émission spe tral de l'aluminium au point de fusion (Tf = 660C) [27, 37℄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.21 Eet de la rugosité sur le fa teur d'émission. . . . . . . . . . . . . . . 5.1 S héma d'un dispositif de mesure par pyrométrie. . . . . . . . . . . . 5.2 L'évolution de la sensibilité ave la longueur d'onde d'un déte teur quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 32 32 32 32 40 40 41 42 43 45 46 46 46 48 49 53 53 53 53 54 55 56 56 57 58 59 62 TABLE DES FIGURES 5.3 E a ité quantique de la améra intensiée GEN III utilisée dans e travail : améra de marque Prin eton Instruments, modèle PI.MAX :1k (HQ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Déte tivité spé ique de diérents déte teurs (ouverture : 180; surfa e sensible de 1 cm2 ; bande passante de 1 Hz ; température du fond de s ène : 293K ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Puissan e reçue par le déte teur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Constante d'appareillage ; onguration du système optique . . . . . . 5.7 E art entre la température et la température de luminan e en fon tion du fa teur d'émission et du apteur hoisi pour une température de 700C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 E art entre la température et la température de luminan e en fon tion de la température et du apteur hoisi pour un fa teur d'émission de 0,25 dans l'infrarouge et de 0,4 dans le visible. . . . . . . . . . . . . . 5.9 Rapport signal sur bruit en fon tion du grandissement. . . . . . . . . 5.10 Comparaison des déte teurs vis à vis du rapport signal sur bruit pour la onguration donnée dans le tableau 5.3. . . . . . . . . . . . . . . . 5.11 Comparaison des déte teurs vis à vis de la variation de signal par rapport au bruit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 prin ipe de fon tionnement des barres d'Hopkinson en torsion. . . . . 6.2 Photographie de l'éprouvette de torsion. . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Plan de la partie utile de l'éprouvette. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Mi rostru ture de l'alliage TA6V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Signaux de jauges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Vitesse de déformation de l'éprouvette. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Contrainte de isaillement dans l'éprouvette de torsion. . . . . . . . . 6.8 Fa teur d'émission du TA6V dans le domaine infrarouge. . . . . . . . 6.9 Fa teur d'émission apparent du TA6V dans le domaine infrarouge pour la bande spe trale du déte teur InSb. . . . . . . . . . . . . . . . 6.10 Fa teur d'émission du TA6V dans le domaine infrarouge pour la bande spe trale du déte teur InSb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 Comparaison ave la loi de Hagen-Rubens : as du TA6V usiné. . . . 6.12 Eprouvette de torsion après rupture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13 Visualisation des zones d'observations sur la partie utile de l'éprouvette. 6.14 Dispositif de mesure de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.15 Courbe d'étalonnage du déte teur InSb de la barrette en fon tion de la température de la sour e orps noir. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.16 Courbe d'étalonnage de la améra ICCD en fon tion de la température de la sour e orps noir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 64 66 67 68 73 73 75 77 78 80 80 80 81 82 84 84 85 86 86 87 88 88 89 91 91 TABLE DES FIGURES 6.17 Courbe d'étalonnage du déte teur InSb de la barrette en fon tion de la puissan e rayonnée sur le apteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.18 Courbe d'étalonnage de la améra ICCD en fon tion de la puissan e rayonnée sur le apteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.19 Evolution de la ontrainte et de la température lors de l'essai E19. . . 93 6.20 Distribution de la température jusqu'à 280C ; λmax = 4, 5 µm. . . . . 93 6.21 Dé len hement de la améra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.22 Champ de température de luminan e en phase nale de BCA ; λmax = 0, 8 µm, zone visée : 2 mm par 2 mm ; temps d'ouverture 10 µs. . . . . 94 7.1 Géométrie et onditions limites du modèle. . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.2 Allure de l'évolution des diérents termes de la loi de Johnson-Cook. 107 7.3 Mise en éviden e expérimentale du dur issement dynamique. . . . . . 109 7.4 Mise en éviden e expérimentale de l'adou issement thermique. . . . . 109 7.5 Identi ation des paramètres d'é rouissage ; omparaison ave l'essai statique S1 (γ̇ p = 0, 1 s−1 et T = 20C). . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.6 Identi ation du oe ient de sensibilité à la vitesse de déformation à partir des essais D1, D2, D3 et D4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.7 Identi ation de l'exposant d'adou issement thermique. . . . . . . . . 113 7.8 Vue générale du maillage de l'éprouvette de torsion. . . . . . . . . . . 114 7.9 Maillage au voisinage du défaut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.10 Courbe ontrainte déformation nominale pour un défaut de 40 µm de diamètre et de 5% d'amplitude (V = 3 ms−1 soit γ̇ = 1500 s−1). . . . 116 7.11 Historique de la formation de la bande de isaillement pour un défaut de 40 µm de diamètre et de 5% d'amplitude (V = 3 ms−1 soit γ̇ = 1500 s−1 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.12 Champ de vitesse, de ontrainte et de température dans une demi éprouvette à l'instant t4 = 840 µs (défaut de diamètre 40 µm et d'amplitude 5% ; vitesse de V = 3 s−1 soit γ̇ = 1500 ms−1). . . . . . . . . . 118 7.13 Evolution du taux de ontrainte : dénition de la déformation à la lo alisation (défaut de diamètre 40 µm et d'amplitude 5%). . . . . . . 119 7.14 Courbe ontrainte déformation pour diérentes amplitudes de défaut. 120 7.15 Eet de l'amplitude du défaut sur la déformation à la lo alisation (Taille de défaut xée à 100 µm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.16 Eet du diamètre du défaut sur la déformation à la lo alisation (Amplitude de défaut xée à 5%). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.17 Evolution de la température en diérents points régulièrement espa és le long de la partie utile de l'éprouvette (défaut de 100 µm de diamètre et de 5% d'amplitude). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.18 Eet de l'amplitude du défaut sur la vitesse de propagation moyenne de la BCA (Taille de défaut xée à 100 µm). . . . . . . . . . . . . . . 124 154 TABLE DES FIGURES 7.19 Eet du diamètre du défaut sur la vitesse de propagation moyenne de la BCA (Amplitude du défaut xée à 5%). . . . . . . . . . . . . . 124 8.1 Déformation à la lo alisation ; dispersion des valeurs expérimentales. . 127 8.2 Eet de la rugosité sur la déformation à la lo alisation. . . . . . . . . 128 8.3 Prol de la surfa e le long de la partie utile de l'éprouvette. . . . . . . 129 8.4 Transformée de Fourier du prol de surfa e. . . . . . . . . . . . . . . 129 8.5 Zones de on entrations de ontraintes à la surfa e de l'éprouvette. . 131 8.6 Intera tions entre défauts avant amorçage d'une BCA. . . . . . . . . 131 8.7 Observation de l'amorçage d'une bande : essai E4 (vue 3D). . . . . . 132 8.8 Observation de l'amorçage d'une bande : essai E4 ( artographie). . . 133 8.9 Observation de l'amorçage de deux bandes : essai E17 ( artographie). 133 8.10 Dé alage entre la hute de ontrainte et l'augmentation de température : essai E14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8.11 Dé alage entre la hute de ontrainte et l'augmentation de température : essai E17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.12 Dé alages mesurés lors des essais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.13 Dé alage entre la hute de ontrainte et l'augmentation de température : modélisation (défaut de diamètre 40 µm et d'amplitude 5% ; vitesse de V = 3 s−1 soit γ̇ = 1500 ms−1). . . . . . . . . . . . . . . . . 136 8.14 Intera tion entres BCA pendant la phase de propagation. . . . . . . . 137 8.15 Thermographies d'une bande de isaillement lors des essais de torsion dynamique E1 et E19 (γ̇ = 1020 s−1 et γ̇ = 1900 s−1). . . . . . . . . . 138 8.16 Dé len hement de la améra et mesure de la température lors de l'essai E1 (γ̇ = 1020 s−1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 8.17 Dé len hement de la améra et mesure de la température lors de l'essai E19 (γ̇ = 1900 s−1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 155 TABLE DES FIGURES 156 Liste des tableaux 2.1 Inuen e des paramètres du matériau sur la déformation à la lo alisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Valeur de la vitesse de propagation d'une BCA d'après Zhou et al. [74℄. 26 2.3 Inuen e des propriétés du matériau sur la vitesse de propagation d'une BCA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1 Distan es entre BCA ; onfrontation entre les résultats expérimentaux et les prédi tions théoriques d'après [70, 48, 44, 49℄. . . . . . . . . . . 34 4.1 Valeurs numériques des paramètres du modèle de Drude dans le as de l'aluminium (d'après Mattei [38℄). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.1 Domaine de sensibilité des diérents déte teurs. . . . . . . . . . . . . 63 5.2 Déte tivité de diérents déte teurs (ouverture : 180; surfa e sensible de 1 cm2 ; bande passante de 1 Hz ; température du fond de s ène : 293K ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.3 Cara téristiques du système de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.1 Composition himique de l'alliage de titane TA6V. . . . . . . . . . . 81 6.2 Propriétés mé aniques des barres d'Hopkinson en aluminium. . . . . . 83 6.3 Essais de torsion dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.1 Essais de omportement ee tués. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.2 Paramètres de la loi de Johnson-Cook. . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.3 Propriététés thermomé aniques du TA6V. . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.4 Re her he du défaut ritique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 157
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