Etude des champs de température et de déformation
dans les matériaux métalliques sollicités à grande vitesse
de déformation
Nicolas Ranc
To cite this version:
Nicolas Ranc. Etude des champs de température et de déformation dans les matériaux métalliques
sollicités à grande vitesse de déformation. Energie électrique. Université de Nanterre - Paris X, 2004.
Français. �tel-00010301�
HAL Id: tel-00010301
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00010301
Submitted on 27 Sep 2005
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Thèse de do torat
Université Paris X - Nanterre
Spé ialité : Energétique
Présentée par
Ni olas RANC
Etude des hamps de température
et de déformation dans les matériaux
métalliques solli ités à grande
vitesse de déformation
Soutenue le 20 Dé embre 2004 devant le jury omposé de :
A. Molinari
A. Chryso hoos
C. Ron hi
P. Hervé
M. Reynier
H. Couque
T. Thomas
V. Pina
Président du jury
Rapporteur
Rapporteur
Dire teur s ientique
Examinateur
Examinateur
Invité
Invité
Université de Metz
Université Montpellier II
ITU Karlsruhe
Université Paris X
Université Paris X - Dire tion ENSAM
GIAT Industries
SNECMA
Université Paris X
A Isabelle, Clotilde et Guillaume
"pluralitas non ponenda sine ne esitate"
"les hoses essentielles ne doivent pas être multipliées sans né essité"
Prin ipe de par imonie, Guillaume d'O am, moine fran is ain et philosophe du XIVème siè le.
Selon e prin ipe, en s ien es physiques quand deux théories en ompétition permettent de prédire exa tement les mêmes hoses, la plus simple
est la meilleure.
Remer iements
Ce travail de thèse a été réalisé au sein du Laboratoire d'Energétique et d'E onomie d'Energie (LEEE) de l'Université Paris X Nanterre en ollaboration ave le
Centre Te hnique d'Ar ueil de la Délégation Générale pour l'Armement (Ministère
de la Défense).
En premier lieu, je tiens à remer ier Monsieur Philippe Hervé, mon dire teur de
thèse et également dire teur du LEEE de m'avoir a ueilli au sein de son laboratoire
et d'avoir a epté d'en adrer es travaux de re her he.
Je souhaite également exprimer toute ma re onnaissan e à Monsieur Alain Molinari qui m'a fait l'honneur de présider mon jury de thèse ainsi qu'à Messieurs André
Chryso hoos et Claudio Ron hi qui ont a eptés la lourde tâ he de rapporteur de e
mémoire. Je les remer ie également pour les nombreuses et fru tueuses dis ussions
que nous avons eues.
Je remer ie également Madame Marie Reynier et Monsieur Hervé Couque d'avoir
a epté de juger e travail. Mes remer iements vont également à Monsieur Thierry
Thomas pour sa parti ipation au jury de thèse et pour son a ueil au sein du département Matériaux Surfa es Prote tion du CTA dont il était responsable.
Plus parti ulièrement, je tiens à remer ier Vin ent Pina de son aide sur la partie
expérimentale de e travail et Lauren e Beylat, Ja ques Clisson, Pierre François
Louvigné et Laurent Taravella d'avoir grandement fa ilité toutes mes démar hes
s ientiques et administratives au Centre Te hnique d'Ar ueil.
Enn, les personnes ayant ontribuées à e travail sont nombreuses, je tiens à
les remer ier toutes très vivement.
Table des matières
Glossaire
Nomen lature
Introdu tion
v
vii
1
I Etude bibliographique du isaillement adiabatique
1 Historique du isaillement adiabatique
1.1
1.2
1.3
1.4
Dé ouverte des bandes de isaillement adiabatique .
Expérien e de Mar hand et Duy . . . . . . . . . .
Mesures de température . . . . . . . . . . . . . . .
Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Amorçage et formation d'une BCA
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7
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2.1 Mise en équation du problème de isaillement adiabatique . . . . .
2.2 Critères de lo alisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Maximum de ontrainte de isaillement . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Critère de stabilité : méthode des perturbations linéarisées .
2.2.3 Critère de lo alisation : méthode des perturbations relatives
2.2.4 Méthodes non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Propagation des BCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Mise en éviden e de la propagation des BCA . . . . . . . . .
2.3.2 Vitesse de propagation des BCA . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Stru tures bidimensionnelles dans les BCA . . . . . . . . . . . . . .
3 Comportement olle tif des BCA
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22
22
25
26
26
27
29
31
3.1 Etudes expérimentales : auto-organisation des BCA . . . . . . . . . . 31
3.2 Prédi tion de l'espa ement entre BCA . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
i
TABLE DES MATIÈRES
II Mesure de la température par pyrométrie
35
4 Rayonnement des solides
4.1 Origine physique du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Phénomène d'émission d'un photon . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Cara tère aléatoire de l'émission . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Rayonnement d'un orps idéal : le " orps noir" . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Dénition du " orps noir" . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Energie rayonnée par un orps noir . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Maximum d'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Les u tuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Maximum de sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Rayonnement des orps réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Dénition du fa teur d'émission . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Relation entre le fa teur d'émission et le fa teur de réexion
4.3.3 Relations de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Propriétés optiques des matériaux ondu teurs . . . . . . . .
4.3.5 Paramètres inuençant le fa teur d'émission d'une surfa e .
5 Prin ipe de la pyrométrie
5.1 Généralités sur la pyrométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Dispositif optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Les déte teurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Ampli ation et a quisition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Expression du signal délivré par un déte teur . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Puissan e rayonnée sur un déte teur . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Signal en sortie de déte teur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Etalonnage du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Con eption et optimisation de la haîne pyrométrique . . . . . . . .
5.3.1 Optimisation de la taille du déte teur et du système optique
5.3.2 Comparaison des déte teurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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70
72
74
75
77
6 Dispositif expérimental asso ié aux bandes de isaillement adiabatiques
79
6.1 Présentation du montage mé anique . . . . . .
6.1.1 Barres d'Hopkinson en torsion . . . . .
6.1.2 Eprouvette . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Méthode de dépouillement . . . . . . .
6.2 Présentation du montage expérimental . . . .
6.2.1 Mesure du fa teur d'émission du TA6V
ii
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79
79
82
85
85
TABLE DES MATIÈRES
6.2.2 Le pyromètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3 Test de la haîne de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
III Analyse des résultats - Dis ussion
97
7 Modélisation numérique du isaillement adiabatique
101
7.1 Présentation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Mise en équation du problème . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Géométrie du problème et onditions limites . . . . . .
7.1.3 Modélisation des défauts . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Loi de omportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Loi de Johnson-Cook . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Identi ation des paramètres - Essais de omportement
7.3 Le al ul par éléments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Cara téristiques du al ul . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Résultats du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Historique de la formation de la bande . . . . . . . . .
7.4.2 Champs de vitesse et de ontrainte . . . . . . . . . . .
7.4.3 Inuen e du défaut sur la BCA . . . . . . . . . . . . .
7.4.4 Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Analyse et dis ussion des résultats
8.1 Amorçage de bandes de isaillement adiabatique . . .
8.1.1 Prédi tion de la déformation à la lo alisation .
8.1.2 Mé anismes de nu léation des BCA . . . . . .
8.2 Températures maximales dans les BCA . . . . . . . .
Con lusions et Perspe tives
Bibliographie
Liste des gures
Liste des tableaux
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. 101
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. 105
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. 127
. 127
. 132
. 137
127
141
145
151
157
iii
TABLE DES MATIÈRES
iv
Glossaire
BCA
CTA
LEEE
LOT
MSP
Bande de isaillement adiabatique
Centre Te hnique d'Ar ueil
Laboratoire d'Energétique et d'E onomie d'Energie
Laser Optique et Thermo-optique
Matériaux, Stru tures, Prote tion
v
Glossaire
vi
Nomen lature
A
c
C
C
Cb
Ct
D
D∗
e
f
E
h
J
k
K
le
ls
ℓ0λ
L
Lλ
L0λ
m
n
ñ
p
P
Q
R
Rb
Re
Ra
Rm
s
Si
onstante d'appareillage
élérité de la lumière dans le vide, 2, 998.108 ms−1
apa ité alorique
raideur
vitesse de propagation d'une bande de isaillement adiabatique
vitesse des ondes de isaillement
déte tivité
déte tivité spé ique
épaisseur de la toile de l'éprouvette ou harge de l'éle tron, 1, 602177.10−16 C
fon tion seuil
module d'Young
onstante de Plan k, 6, 626176.10−34 Js
moment d'inertie quadratique
onstante de Bolzmann, 1, 380662.10−23 JK −1
oe ient d'appareillage
longueur de la barre entrante
longueur de la barre sortante
luminan e instantanée du orps noir
luminan e
luminan e mono hromatique
luminan e mono hromatique du orps noir
masse de l'éle tron, 9, 10939.10−31 kg
indi e réel
indi e de réfra tion omplexe
variable d'é rouisssage
puissan e déte tée par un apteur
rendement quantique
é rouissage
rayon de la barre
rayon intérieur de l'éprouvette
rugosité moyenne arithmétique
rugosité maximale
partie déviatorique du tenseur des ontraintes
signal en sortie de déte teur
vii
Nomen lature
Si0
Se
Sλ
T
T0
V
vφ
αλ
β
γ
δ
ε0
εeq
εInSb
εr
εtot
ελ
ε
εe
εp
η
θ
λ
λc
µ
ν
ξ
ρ
ρλ
σ
σe
σeq
τ
τλ
χ
ω
ω0
ωp
ωτ
Ω
:
tension d'oset
se tion de la partie utile de l'éprouvette
sensibilité spe trale
température
température ambiante
vitesse de solli itation
vitesse de phase
fa teur d'absorption
oe ient de Taylor-Quinney
déformation de isaillement
profondeur de pénétration
permittivité du vide, 8, 854188.10−12 F m−1
déformation plastique équivalente umulée
fa teur d'émission intégré sur le spe tre du déte teur InSb
permittivité relative omplexe
fa teur d'émission total
fa teur d'émission mono hromatique
tenseur des déformations totales
tenseur des déformations élastiques
tenseur des déformations plastiques
taux de roissan e ou rendement
diéren e de température
longueur d'onde ou ondu tivité thermique
longueur d'onde de oupure
module de isaillement
oe ient de Poisson
nombre d'onde
masse volumique
fa teur de réexion
tenseur des ontraintes
limite d'élasti ité
ontrainte équivalente de Von Mises
ontrainte de isaillement ou temps de vol
fa teur de transmission
fa teur d'extin tion
pulsation
pulsation d'os illation
pulsation plasma
pulsation de relaxation
angle solide
produit tensoriel doublement ontra té
viii
Introdu tion
Les mé anismes d'endommagement et de rupture liés aux solli itations à grande
vitesse de déformation (supérieure à 100 s−1) sont bien moins onnus que eux mis en
jeu en statique. Pourtant les domaines d'appli ation sont nombreux et en développement ( rash, mise en forme des matériaux, impa t balistique). Une des onséquen es
ultimes d'une solli itation dynamique est le isaillement adiabatique que nous allons
étudier plus parti ulièrement dans e mémoire.
Présentation et appli ations du isaillement adiabatique
Le isaillement adiabatique est un mé anisme de ruine intervenant le plus souvent dans les matériaux du tiles (par exemple les métaux) lors de solli itations
dynamiques mettant en jeu de grandes vitesses de déformation. Ce phénomène est
ara térisé par une lo alisation de la déformation plastique de isaillement sous
forme de bandes de faibles épaisseurs (quelques dizaines à quelques entaines de
mi romètres). Cette lo alisation s'a ompagne d'une dissipation de l'énergie de déformation plastique sous forme de haleur. Lors d'une solli itation dynamique, le
temps de déformation est si ourt que la haleur ne peut s'éva uer par ondu tion.
C'est pour ette raison que e phénomène est qualié d'adiabatique. Il en résulte une
augmentation importante de la température lo alement dans es bandes (plusieurs
entaines de degrés). Cependant à l'é helle de dimension des bandes, la ondu tion n'est pas négligeable. Ce sont les propriétés thermiques et plus pré isément la
diusivité thermique qui déterminent l'épaisseur de la bande. Le isaillement adiabatique onduit à des déformations intenses très lo alisées qui sont les pré urseurs
de la réation de mi ro avités et don de ssures. En phase terminale, le isaillement
adiabatique est don le siège de la propagation d'une ssure.
De nombreux pro essus de mise en forme rapide des matériaux métalliques génèrent des bandes de isaillement adiabatique (BCA). En 1966, Pomey [53℄ soulignait déjà l'intérêt de e phénomène, qu'il appelait "plasti ité adiabatique", dans
les appli ations industrielles de formage et de dé oupe des matériaux métalliques.
Aujourd'hui, l'exemple le plus ara téristique est l'usinage grande vitesse. Ses avantages par rapport aux te hniques d'usinage onventionnelles sont multiples. Il permet entre autres d'augmenter la produ tivité et d'améliorer la qualité de surfa e des
1
Introdu tion
Fig.
1 - Observation mi ros opique de bandes de isaillement dans un opeau segmenté
d'après Lesourd [31℄.
piè es usinées. Ce pro édé autorise également l'usinage des matériaux possédant des
performan es mé aniques de plus en plus élevées omme par exemple les alliages
de titane très utilisés dans l'industrie aéronautique. Les grandes vitesses de oupes
donnent une morphologie de opeau segmenté (en dent de s ie) ave présen e de
BCA (gure 1) et s'a ompagnent d'une rédu tion des eorts de oupe. Une optimisation du pro édé d'usinage grande vitesse passe don obligatoirement par un
approfondissement des onnaissan es sur le isaillement adiabatique.
Une entreprise suédoise Hydropulsor AB1 a utilisé e phénomène pour on evoir
une ma hine hydraulique permettant de dé ouper des barreaux ou des tubes ave
des aden es très grandes. Le deuxième intérêt de e prin ipe est d'obtenir une très
bonne qualité de oupe et de faibles amplitudes de poinçon. La ma hine hydraulique
permet de isailler des barreaux dont le diamètre peut atteindre 40 ou 60 millimètres.
Les aden es de produ tion varient entre 200 et 700 piè es par minute suivant le
diamètre à dé ouper. Le mé anisme de rupture peut sans doute être attribué aux
bandes de isaillement.
Dans le domaine militaire, l'étude de la résistan e d'un blindage de har vis-àvis d'une solli itation d'impa t met en jeu des vitesses de solli itation élevées. Les
BCA apparaissent omme un mé anisme d'endommagement important au niveau du
omportement dynamique des matériaux pour blindages et perforants, en parti ulier
au niveau de l'intera tion proje tile- ible. La gure 2 montre une mi rographie d'un
blindage en a ier après perforation par un obus è he. On onstate une multitude de
bandes de isaillement ara térisées par de nes lignes blan hes. Ce mé anisme de
ruine a également été évoqué pour expliquer le pouvoir perforant a ru des proje tiles
inétiques de matériaux parti ulièrement sensibles au isaillement adiabatique. Il
1
Hydropulsor AB box 2023 69102 KARLSKOGA SWEDEN ; Internet : www.hydropulsor. om
2
Introdu tion
Fig.
2 - Bandes de isaillement dans un a ier de blindage après perforation par un obus
è he (métallographies réalisées au CTA).
pourrait en eet jouer un rle en balistique terminale en modiant la forme de la tête
du proje tile [35℄. L'étude des BCA vise à améliorer la onnaissan e des phénomènes
mis en jeu an de développer par exemple des ritères de ruine intégrables dans un
ode de al ul, en vue de limiter le oût inhérent aux essais balistiques. Une meilleure
ompréhension des mé anismes physiques peut également permettre d'optimiser ou
de développer de nouveaux matériaux [60℄.
Problématique
Depuis sa dé ouverte par Tres a en 1878 [64℄, le isaillement adiabatique sus ite
toujours un grand intérêt au sein de la ommunauté s ientique. Cependant, malgré
de nombreux travaux sur le sujet, tous les mé anismes d'initiation et d'évolution des
bandes de isaillement ne sont pas aujourd'hui omplètement onnus et leur modélisation présente toujours des di ultés. D'abord sur le plan expérimental, la mise en
pla e d'un système de mesure en dire t adapté à l'é helle de temps du isaillement
adiabatique et plus généralement aux solli itations dynamiques reste un travail déli at. La durée de formation d'une bande de isaillement est en eet de l'ordre de la
dizaine de mi rose ondes. La di ulté supplémentaire liée aux BCA provient aussi
de la faible largeur de es bandes (quelques dizaines de mi romètres) qui né essite
d'utiliser des moyens de mesure ayant une très bonne résolution spatiale. La modélisation de e phénomène est également un problème omplexe ar elle doit prendre
en ompte des phénomènes à des é helles diérentes (l'é helle mi ros opique pour la
BCA et ma ros opique pour la piè e solli itée dynamiquement) et oupler des domaines de la physique diérents (mé anique des solides déformables, thermique et
3
Introdu tion
métallurgie). De plus, le isaillement adiabatique est très sensible aux paramètres du
matériau et surtout aux onditions initiales. Les modèles qui essayent de simuler les
BCA sont très fortement non linéaires. Il est don né essaire de prendre en ompte
dans les modèles, des grandeurs ara térisant l'hétérogénéité de omportement du
matériau ou les défauts de surfa e des piè es solli itées. De plus, pour être robuste,
un modèle né essitera que la loi de omportement du matériau soit valable dans des
onditions très diérentes : de l'ambiante à des températures pro hes de la température de fusion du matériau, à basse et grande vitesse de déformation (supérieure à
1000 s−1 ) et pour des grandes déformations plastiques (jusqu'à plus de 1000% dans
les bandes). On omprend alors la di ulté d'identier ette loi de omportement à
partir d'essais simples. L'é helle des bandes est parfois plus petite que la taille des
grains du matériau e qui entraîne des problèmes d'hétérogénéité du matériau et
don de représentativité de la loi de omportement.
Obje tifs de l'étude
L'obje tif général de e travail est de mieux omprendre les mé anismes de déformation et de rupture mis en jeu lors d'une solli itation dynamique en isaillement
simple d'un matériau métallique. Nous avons hoisi d'étudier parti ulièrement l'alliage de titane TA6V ar il présente une forte sensibilité au isaillement adiabatique.
Cet alliage a aussi un intérêt industriel ar il est de plus en plus utilisé dans les domaines de l'aéronautique et de l'aérospatial. La première partie de e travail orrespond à une analyse expérimentale de la formation des bandes de isaillement adiabatique. Dans une deuxième partie, les résultats obtenus seront interprétés. Comme
Zener et Hollomon l'ont mentionné en 1944 [71℄, en pré isant le mé anisme de formation d'une BCA, la température est un paramètre important dans e phénomène.
Au moment de la lo alisation de la déformation, la température augmente très rapidement dans la bande. Elle semble don être un paramètre intéressant pour étudier
les BCA. Nous avons hoisi de on evoir un système de mesure permettant de quantier pré isément les hamps de température à la surfa e d'une éprouvette au ours
d'une solli itation dynamique. Notre système de mesure a été adapté au dispositif
des barres d'Hopkinson en torsion lassiquement utilisé pour former des BCA. Dans
la littérature, de nombreux travaux ont porté sur la détermination de la température
dans les bandes de isaillement. Une originalité de e travail est l'optimisation de la
mesure de température par rayonnement (pyrométrie) an de limiter les erreurs à
basse et haute température, d'augmenter les résolutions spatiales et de permettre la
déte tion de basses températures, de l'ordre de la entaine de degrés Celsius. Nous
nous sommes don plus parti ulièrement intéressés à deux plages de températures
diérentes : la première, que nous appellerons "basses températures" on erne le
domaine des températures omprises entre 50C et 300C. Elle orrespond au début
de la lo alisation de la déformation plastique. L'obje tif est de déte ter une hétéro4
Introdu tion
généité de température juste avant la lo alisation qui serait sus eptible de générer
une bande de isaillement adiabatique. La deuxième plage, appelée i i "hautes températures" (800C à 1600C) permettra de quantier les températures maximales
atteintes dans les bandes. Des travaux déjà menés au Laboratoire d'Energétique et
d'E onomie d'Energie de Ville d'Avray [51℄ [55℄ onduisent en eet à penser que l'on
peut atteindre des températures pro hes de la température de fusion. Très peu de
mesures ont jusqu'i i onrmé e fait.
Organisation du mémoire
Ces obje tifs ont déterminé le travail présenté dans e mémoire. Une première
partie sera dédiée à l'étude bibliographique expérimentale et théorique sur le isaillement adiabatique. Nous tenterons de retra er les dé ouvertes marquantes parmi les
nombreux travaux sur le sujet et nous présenterons plus parti ulièrement les études
ré entes sur l'hétérogénéité de température au sein même d'une bande, sur la propagation des BCA et leur omportement olle tif. Nous détaillerons entre autres, les
diérentes te hniques qui ont été utilisées pour mesurer les températures dans les
bandes.
La deuxième partie de e travail on ernera la on eption du système de mesure
des températures par pyrométrie visible et infrarouge. Pour mieux omprendre les
hoix que nous avons fait, nous ferons un rappel sur les propriétés radiatives des
matériaux et sur le prin ipe de la pyrométrie. Nous terminerons ette partie en
présentant en détail le dispositif de mesure et les résultats que nous avons obtenus.
Enn, dans une dernière partie, nous analyserons les résultats obtenus pré édemment et nous les interpréterons en utilisant une modélisation thermomé anique du
problème.
5
Introdu tion
6
Première partie
Etude bibliographique du
isaillement adiabatique
7
Introdu tion
Dé ouvert en 1878, le isaillement adiabatique a fait l'objet de très nombreux travaux à
la fois au niveau expérimental et en modélisation. Depuis quelques années, le développement des te hniques de mesure en dire t de la déformation et surtout de la température
a permis de pré iser les mé anismes mis en jeu lors de la formation d'une BCA. D'un
autre té, es dé ouvertes ont également permis de développer de nouveaux modèles
et don de dé rire de plus en plus pré isément la formation d'une bande de isaillement
adiabatique. Après avoir retra é l'historique des dé ouvertes marquantes, nous détaillerons les diérentes expérien es qui ont été réalisées pour mesurer la température dans
les BCA. Nous présenterons ensuite les modélisations asso iées qui ont été développées.
9
1 Historique du isaillement
adiabatique
1.1 Dé ouverte des bandes de isaillement adiabatique
La première observation des bandes de isaillement adiabatique a été menée
par Tres a en 1878 [64℄. Il a remarqué que lorsqu'une barre métallique hauée au
"rouge" est frappée par le marteau pilon, il apparaît une roix rouge plus intense
résultant d'un ré hauement très lo al du matériau.
En 1944, Zener et Hollomon [71℄ ont également observé des bandes de isaillement adiabatique lors d'un essai de poinçonnage dynamique. Ils ont mis en éviden e
lors d'observations métallographiques post mortem de nes bandes blan hes qui traduisent de grandes déformations de isaillement très lo alisées et de fortes augmentations de température. Pour expliquer e phénomène, ils ont proposé un mé anisme
de formation de bandes de isaillement mettant en jeu une dissipation de l'énergie
mé anique en haleur entraînant une augmentation de température qui elle-même
rée un adou issement thermique du matériau : pendant la déformation plastique,
une grande partie de l'énergie mé anique est transformée en haleur. Dans le as où
la vitesse de déformation est grande, la haleur ne peut pratiquement pas s'éva uer
par diusion et la déformation plastique génère des augmentations de température
importantes et don un adou issement thermique du matériau. Si la diminution de
ontrainte due à l'adou issement thermique devient plus importante que l'augmentation de ontrainte due à l'é rouissage, l'é oulement plastique devient instable. La
déformation homogène laisse pla e à un mode de déformation lo alisée sous forme
de bandes.
1.2 Expérien e de Mar hand et Duy
Après la dé ouverte du isaillement adiabatique par Tres a et son expli ation
par Zener et Hollomon, de nombreuses études expérimentales ont été menées sur
11
1. Historique du
isaillement adiabatique
e phénomène par observations métallographiques post mortem [41℄. Le prin ipal
in onvénient de es te hniques est qu'elles ne donnent que très peu d'information
sur les mé anismes de formation et d'évolution des BCA. Une des premières études
expérimentales par observation en dire t de la bande de isaillement a été ee tuée
en 1988 par Mar hand et Duy [36℄.
A ette o asion, ils utilisent le dispositif des barres d'Hopkinson de torsion pour
observer la formation des bandes de isaillement adiabatique dans une éprouvette
tubulaire en a ier HY100. Des jauges pla ées sur les barres permettent de mesurer
leur déformation et d'en déduire la ontrainte de torsion et la déformation nominale de l'éprouvette. Un dispositif de photographie ultra-rapide (temps d'ouverture :
2 µs) disposé autour des barres suivant trois dire tions permet d'observer une grille
déposée sur l'éprouvette et d'en déduire la distribution de la déformation pendant
la formation de la bande. L'analyse des résultats leur a permis de distinguer trois
phases (gures 1.1 et 1.2) : la phase 1 orrespond à une distribution homogène de la
déformation plastique. La n de ette étape oïn ide ave le maximum de ontrainte
de isaillement. Pendant la phase 2, la déformation devient hétérogène suivant l'axe
de torsion mais reste homogène le long de la ir onféren e de l'éprouvette. Plus
la déformation augmente, plus la taille de bande diminue et plus la déformation
plastique dans la bande augmente. La phase 3 est ara térisée par une hute importante de la ontrainte et une forte lo alisation de la déformation. Des photographies
simultanées révèlent une hétérogénéité de la taille de bande et des diéren es de
déformation importantes en trois points de la ir onféren e de l'éprouvette. Dans le
as de l'a ier HY100, les déformations varient entre 130% et 1900%.
Fig.
1.1 - Visualisation des phases de formation de BCA sur la ourbe ontrainte déformation d'après Mar hand et Duy [36℄.
12
1. Historique du
Fig.
isaillement adiabatique
1.2 - Photographie des grilles déposées sur l'éprouvette torsion pour les inq déformations présentées sur la gure 1.1 (extrait de Mar hand et Duy [36℄).
Pendant les phases 2 et 3, Mar hand et Duy ont onstaté qu'à un même instant, les bandes ne se forment pas for ément toutes dans un même plan normal à
la dire tion de torsion. Pour expliquer les mé anismes de formation de la bande,
ils ont envisagé deux as diérents. Dans le premier, la formation des bandes se
dé omposerait en une phase de nu léation de bandes à diérents endroits de la partie utile au même moment puis ensuite une phase de roissan e et de oales en e
des nu léi pour former une seule bande tout autour de l'éprouvette (gure 1.3). Le
deuxième mé anisme serait ara térisé par la formation d'une bande en un point
de la ir onféren e suivie de sa propagation autour de l'éprouvette (gure 1.4). Le
fait que lors des phases 2 et 3 les bandes ne soient pas dans le même plan étaye
le deuxième mé anisme, alors que la grande disparité des déformations plastiques
autour de l'éprouvette onduirait à préférer le premier. Aujourd'hui en ore des questions demeurent on ernant l'existen e ou non de es deux mé anismes.
1.3 Mesures de température
Comme le soulignent Zener et Hollomon [71℄, la température est un paramètre
important dans le mé anisme de formation des BCA. Compte tenu de la faible
largeur de es bandes et de la rapidité du phénomène, la pyrométrie est une te hnique
13
1. Historique du
Coalescence
Propagation
de la bande
Phase de
croissance
Amorçage
de la bande
Nucléation
de bandes
Fig.
isaillement adiabatique
1.3 - Mé anisme de formation
d'une BCA par nu léation,
roissan e et oales en e.
Fig.
1.4 - Mé anisme de formation
d'une BCA amorçage et
propagation à partir d'un
défaut.
expérimentale parti ulièrement bien adaptée à la détermination de la température
dans les BCA. De plus, l'amélioration onstante des performan es des déte teurs
durant es dernières années, a permis d'augmenter la pré ision des mesures ainsi
que la résolution spatiale et temporelle.
Les premières mesures pyrométriques ont été réalisées par Moss et Pond en 1975
[47℄ ave un semi- ondu teur en germanium dopé au uivre pour évaluer la variation
de température lors de la tra tion d'une éprouvette en uivre. C'est à partir de 1979,
que Costin et al. [13℄ ont mesuré des augmentations de température de 100C dans
une bande de isaillement en utilisant un monodéte teur InSb de 1 mm de diamètre.
En 1987, Hartley et al. [23℄ mesurent le prol de température le long de la
partie utile d'une éprouvette de torsion ave une barrette de 10 déte teurs InSb
photovoltaïques. Pour limiter les aberrations hromatiques, le montage optique est
onstitué d'un miroir sphérique. Il leur permet d'avoir deux résolutions spatiales
diérentes de 20 µm et 250 µm. Les matériaux testés sont les a iers 1018CRS (taille
de bande 250 µm) et 1020HRS (taille de bande 150 µm). Les variations maximales
de température mesurées sont de l'ordre de 450C.
En 1988, Mar hand et Duy [36℄ utilisent une barrette de 12 déte teurs InSb ave
un montage optique de type Cassegrain pour limiter les aberrations hromatiques et
sphériques. Ce dispositif permet de visualiser sur l'éprouvette douze zones de 35 µm
par 35 µm et espa ées de 11 µm. La température maximale atteinte dans un a ier
HY100 est de 590C. Cette même expérien e sera également menée plus tard en 1998
par Liao et Duy [33℄ sur le TA6V ave néanmoins une meilleure résolution spatiale
(17 µm) et révèlera des températures maximales de l'ordre de 440C à 550C.
En 1996, Zhou et al. [74℄ ont mesuré la température dans les bandes de isaillement sur la tran he d'une éprouvette pré-entaillée et impa tée à diérentes vitesses
14
1. Historique du
isaillement adiabatique
(gures 1.5 et 1.6). Les matériaux étudiés sont l'alliage de titane TA6V et l'a ier
C300. Ils utilisent une barrette de 16 déte teurs InSb de 80 µm par 80 µm. Dans le
as de l'a ier C300, ils observent un é hauement intense sur une largeur de 200 µm
à 300 µm dont l'amplitude dépend de la vitesse d'impa t. Pour une vitesse de proje tile de 40 ms−1, le maximum de température atteint plus de 1400C. Dans le as
du TA6V, ils remarquent que l'é hauement est plus dius et moins intense (de
l'ordre 450C pour une vitesse d'impa t de 64 ms−1 : gure 1.7).
Fig.
Fig.
1.5 - Eprouvette pré-entaillée utilisée par Zhou et al. [74℄.
Fig.
1.6 - Position des zones de mesure par rapport à l'entaille
sur l'éprouvette de Zhou et al.
[74℄.
1.7 - Prol de température autour d'une bande de isaillement adiabatique dans l'alliage TA6V ; vitesse d'impa t 47, 3 ms−1 [74℄.
15
1. Historique du
isaillement adiabatique
En 1997, Pina [51℄ a développé un nouveau système de mesure basé sur la pyrométrie mono hromatique visible (λ = 0, 634 µm). Le hoix de ette ourte longueur
d'onde permet de s'aran hir des variations du fa teur d'émission lors de la formation de la bande. Les températures mesurées dans l'alliage de titane TA6V atteignent
1300C lors d'un essai de poinçonnement. La durée de la mesure est de 5 µs et la résolution spatiale est d'environ 4 µm. Une mesure dans l'infrarouge, plus sensible aux
variations du fa teur d'émission, lui a permis de déte ter le hangement de phase
α − β pour une température de transition de 996C.
En 2001, Guduru et al. [22, 21, 72℄ ont mis en éviden e le ara tère bidimensionnel des bandes de isaillement en visualisant le hamp de température à 5, 5 mm
d'une pointe de ssure lors de la formation d'une BCA. Pour ela, ils utilisent une
matri e de 8 par 8 déte teurs HgCdTe ouplée à un système optique de grandissement 0,9 omposé de deux obje tifs de S hwarz hild. La zone visée sur l'éprouvette
par un déte teur fait 110 µm par 110 µm. Ils ont mis en éviden e des points hauds
espa és régulièrement. Les distan es entre deux points hauds varient suivant les
essais entre 250 µm et 1 mm. Ces résultats seront détaillés dans le paragraphe 2.4.
1.4 Con lusion
Les te hniques expérimentales d'observation en dire t de la bande de isaillement
adiabatique ont permis de mieux omprendre le phénomène. Depuis l'expérien e de
Mar hand et Duy, les te hniques de mesure de déformation ont peu progressé. Par
ontre les mesures de la température dans les BCA se sont rapidement développées
grâ e à l'amélioration de performan es des systèmes de déte tion.
L'obje tif de es diérentes mesures de température a été essentiellement d'évaluer la température maximale atteinte dans une BCA pendant la phase de hute de
la ontrainte et de lo alisation de la déformation (phase 3). Nous pouvons remarquer
que plus les résolutions spatiales se sont améliorées, plus les estimations de la température dans les BCA ont régulièrement augmenté. On peut également onstater
la di ulté de quantier la température de bande dans l'alliage de titane TA6V, e
qui peut être expliqué par le fait que les largeurs de BCA sont quasiment dix fois
plus faibles que elles ren ontrées dans les a iers.
Les dispositifs expérimentaux utilisés dans la littérature en dehors de elui de
Guduru et al. ne permettent pas de quantier les basses températures orrespondant
au début de la lo alisation de la déformation. La di ulté prin ipale des mesures
basses températures est le faible niveau du signal émis. Pour ontourner e problème,
Guduru et al. ont hoisi une plage de longueur d'onde asso iée au déte teur HgCdTe
située dans le domaine infrarouge moyen (λ ≈ 12 µm). Nous ommenterons e hoix
dans la deuxième partie de e travail.
16
2 Amorçage et formation d'une
BCA
Un des premiers obje tifs de la ompréhension du isaillement adiabatique a été
de prédire les onditions né essaires à la formation d'une BCA, onditions portant
sur la solli itation et le omportement du matériau. Diérentes appro hes unidimensionnelles de e problème ont été utilisées. Nous les détaillerons dans les paragraphes
2.1 et 2.2. Nous verrons également que des simulations numériques bidimensionnelles
et tridimensionnelles ont permis de modéliser des phénomènes tels que la propagation
des BCA et l'apparition de stru tures bidimensionnelles au sein même des bandes.
2.1 Mise en équation du problème de isaillement
adiabatique
La plupart des travaux théoriques sur le isaillement adiabatique se sont atta hés
à modéliser l'essai de torsion aux barres d'Hopkinson de Mar hand et Duy. De nombreux auteurs ont supposé que l'é oulement plastique à l'intérieur et à l'extérieur de
la bande est laminaire et ont don fait l'hypothèse d'un problème unidimensionnel.
Ils ont alors onsidéré un massif inni d'épaisseur 2h (gure 2.1) solli ité en isaillement simple où seuls les dépla ements suivant la dire tion x sont onsidérés omme
non nuls. L'unique omposante du tenseur des déformations est la omposante de
isaillement εxy notée γ = ∂u
ave u le dépla ement suivant x.
∂y
En tenant ompte des eorts d'inertie et des eorts internes, l'équilibre mé anique s'é rit :
∂τ
∂ 2γ
=
2
∂t
∂x
(2.1)
ave ρ la masse volumique, τ la ontrainte de isaillement et γ la déformation de
isaillement.
A ette équation d'équilibre s'ajoute une loi de omportement thermomé anique
du matériau. Elle doit représenter à la fois l'é rouissage, le dur issement dynamique
ρ
17
2. Amorçage et formation d'une BCA
y
V
+h
x
-h
V
Fig.
2.1 - Modélisation unidimensionnelle du problème de isaillement adiabatique.
et l'adou issement thermique et peut s'é rire de manière générale :
τ = f (γ, γ̇, θ)
(2.2)
la variation de
ave γ̇ la vitesse de déformation de isaillement et θ = T − T0
température par rapport à la température initiale T0.
L'équilibre thermique prend en ompte un terme de ondu tion et un terme lié
à la dissipation d'une fra tion du travail plastique en haleur. Cette fra tion, notée
β , est appelée oe ient de Taylor-Quinney. Ave ette notation, l'équation de la
haleur s'é rit :
ρC
∂θ
∂γ
∂2θ
= βτ
+λ 2
∂t
∂t
∂y
(2.3)
où C est la apa ité alorique et λ la ondu tivité thermique du matériau.
On onsidère que le massif est initialement à une température homogène T0
et qu'à partir de l'instant t = 0, on applique sur les deux surfa es une vitesse
±V suivant la dire tion x. Compte tenu des grandes vitesses de solli itation, des
onditions limites adiabatiques seront appliquées sur les deux surfa es :
∂θ
(y = ±h) = 0
∂y
(2.4)
Toutes es équations peuvent se généraliser aux as bidimensionnel et tridimensionnel.
2.2 Critères de lo alisation
L'obje tif d'un ritère de lo alisation est de déterminer les onditions de formation d'une bande de isaillement adiabatique. Diérentes méthodes ont été déve18
2. Amorçage et formation d'une BCA
loppées pour établir e ritère de formation : méthode basée sur le maximum de
ontrainte de isaillement, les études de stabilité et les méthodes non linéaires. Nous
allons maintenant détailler es te hniques.
2.2.1 Maximum de ontrainte de isaillement
Par une démar he analogue à elle utilisée par Considère [12℄ dans le as de
la stri tion lors d'un essai de tra tion, plusieurs auteurs omme Re ht ou Culver
[57, 14℄ ont proposé un ritère basé sur le maximum de ontrainte de isaillement.
t
tma x
dt<0
dt>0
gc
Fig.
g
2.2 - Maximum de ontrainte de isaillement.
Une variation de la ontrainte dτ peut être la onséquen e d'une variation de
la déformation dγ (é rouissage), d'une variation de la vitesse de déformation dγ̇
(dur issement dynamique) ou d'une variation de température dθ (adou issement
thermique) :
dτ =
∂τ
∂γ
γ̇,θ
dγ +
∂τ
∂ γ̇
γ,θ
dγ̇ +
∂τ
∂θ
γ,γ̇
dθ
(2.5)
Le maximum de ontrainte orrespond don à une ompétition entre l'é rouissage
qui tend à augmenter la ontrainte d'é oulement et l'adou issement thermique qui
au ontraire tend à la diminuer. Les auteurs supposent la vitesse de déformation
onstante et négligent le dur issement dynamique et la ondu tion thermique ; la
ondition dτ = 0 permet alors d'obtenir en utilisant l'équation de la haleur 2.3, le
ritère suivant (Culver [14℄) :
1
τ
∂τ
∂γ
θ,γ̇
β
=−
ρC
∂τ
∂θ
γ,γ̇
(2.6)
Ce ritère permet de déterminer la déformation ritique de isaillement orrespondant au maximum de ontrainte pour une loi de omportement de type puissan e
(τ = Kγ nγ̇ mθ−v ) :
19
2. Amorçage et formation d'une BCA
γi =
nρC θ1+v
βKv γ̇ m
1
n+1
(2.7)
où n est l'exposant d'é rouissage, m est l'exposant d'adou issement thermique, v
l'exposant d'adou issement thermique et K la ontrainte d'é oulement à déformation
nulle.
Ces résultats permettent de montrer qu'une augmentation de l'adou issement
thermique a tendan e à diminuer la ontrainte ritique et don à favoriser le isaillement adiabatique. Au ontraire, un matériau fortement é rouissable et de apa ité
alorique importante sera moins sensible aux BCA.
Le ritère du maximum de ontrainte ne dépend pas de la ondu tivité thermique
e qui s'avère inexa t dans la réalité. Pour résoudre e problème, Re ht [57℄ ajouta
également à e ritère l'eet de la ondu tion thermique sur la formation des BCA
en étudiant un pro essus d'usinage grande vitesse. Il suppose alors que la bande
se omporte omme une sour e de haleur plane qui dissipe vers l'extérieur par
ondu tion. Ce modèle lui permet de déterminer la vitesse de déformation minimale
pour avoir isaillement adiabatique. Il obtient un ritère permettant de omparer
les vitesses de déformation ritique de deux matériaux :
γ̇c1
γ̇c2

2 2
λ1 ρ1 C1 
τy2
1

=
∂τ ∂τ
λ2 ρ2 C2
τy1
∂τ
∂γ
∂θ 1
∂τ
∂θ 2
∂γ
(2.8)
2
ave λ la ondu tivité thermique, ρ la masse volumique, C la apa ité alorique, τ
la ontrainte de isaillement, γ la déformation plastique de isaillement, θ la température et τy la ontrainte d'é oulement. Les indi es 1 et 2 sont relatifs respe tivement
aux deux matériaux.
Le ritère de maximum de ontrainte ne permet pas de déterminer la déformation
lors de la hute rapide de ontrainte orrespondant réellement à la formation de la
BCA. Il s'agit don d'un ritère né essaire pour avoir formation d'une BCA mais
pas susant.
2.2.2 Critère de stabilité : méthode des perturbations linéarisées
D'autres auteurs, Clifton et al. en 1978 et 1984 [11℄, Bai en 1982 [2℄ et Molinari en
1985 [43℄, proposent plutt un ritère d'instabilité déterminé à partir d'une analyse
de stabilité d'un é oulement plastique homogène en isaillement simple. Pour établir
la stabilité ou l'instabilité du système, ils ont utilisé la méthode des perturbations
20
2. Amorçage et formation d'une BCA
qui onsiste à savoir si une petite perturbation initiale est sus eptible de grossir ou
non.
Cette méthode des perturbations linéaires se dé ompose en deux étapes. La première onsiste à déterminer une solution homogène Sh où par exemple la déformation ne dépend pas de l'ordonnée y (gure 2.3). Ce problème se résout simplement de manière analytique (on trouvera plus de détails dans [3℄ pages 134 à
140). Dans la deuxième étape, on onsidère une perturbation très petite devant la
solution homogène et se présentant généralement sous la forme d'une onde plane
(δS = δS0 exp(ηt − iξx) ave δS0 l'amplitude initiale de la perturbation, η son taux
de roissan e et ξ son nombre d'onde) et l'on étudie son évolution au ours du
temps. Comme ette perturbation est inniment petite, on peut alors linéariser les
équations d'équilibre et exprimer le taux de roissan e η. Si la partie réelle de η est
négative, l'amplitude de la perturbation dé roît rapidement et le système est stable.
Au ontraire si la partie réelle de η est positive, la perturbation roît de manière
exponentielle et le système devient instable.
y
y
y
V
g
x
g
+
V
Perturbation
dS
{
Solution homogène
S0
y
g
Solution perturbée
S=S0+dS
Fig.
2.3 - Analyse de stabilité ; méthode des perturbations.
Le défaut de la te hnique des perturbations linéarisées est qu'elle ne permet
pas de dé rire l'évolution nale de la perturbation et don de la BCA. En eet,
elle suppose que ette perturbation est inniment petite. Le ritère de stabilité
traduit seulement la possibilité pour un défaut de grossir mais pas de onduire à une
déformation lo ale intense. Il ne tient don pas ompte par exemple de l'évolution
de la solution homogène qui peut être importante. Ce n'est don pas une ondition
susante de formation d'une bande de isaillement. Il est alors né essaire de dénir
un ritère de lo alisation plus restri tif que le ritère d'instabilité.
21
2. Amorçage et formation d'une BCA
2.2.3 Critère de lo alisation : méthode des perturbations relatives
Pour résoudre les problèmes liés à la méthode des perturbations linéarisées, Molinari [43℄ et Molinari et Fressengeas [17℄ ont proposé en 1985 et 1987 une nouvelle
te hnique appelée méthode des perturbations relatives, qui tient justement ompte
de la non stationnarité de la solution homogène. An de s'aran hir de la solution
homogène, les grandeurs perturbées sont normalisées par les grandeurs homogènes.
Trois as peuvent être envisagés :
La perturbation dé roît (δS ց), la solution homogène est stable.
La perturbation roît (δS ր), et la perturbation relative dé roît ( δSS ց), la
solution homogène est instable mais il n'y a pas de lo alisation.
La perturbation relative et don la perturbation roissent (δS ր et δSS ր), on
a instabilité et lo alisation.
q
q
q
q
dq
dq
dq
q0
q0
dq
q0
a) Instabilité de la température.
Le défaut absolu δθ roît.
Le défaut relatif δθ/θ0 dé roît.
Fig.
q0
b) Lo alisation de la température.
Le défaut relatif δθ/θ0 roît.
2.4 - Représentation d'une instabilité relative (extrait de [16℄).
Dans le as quasi-statique (eorts d'inertie négligés) et adiabatique (pas de
ondu tion de la haleur) en supposant une loi de omportement de type puissan e
(τ = Kγ nγ̇ mθ−v ), la stabilité de la solution homogène s'exprime par l'inégalité
n + v > 0 et la stabilité relative est assurée pour le ritère n + m + v > 0. On peut
remarquer que es deux ritères ne dépendent pas de l'amplitude de la perturbation.
2.2.4 Méthodes non linéaires
Modélisations unidimensionnelles
La méthode des perturbations linéaires ne permet pas de déterminer l'inuen e
de l'amplitude initiale bien que e soit un paramètre important. Une solution analytique du problème de isaillement adiabatique semble très di ile à obtenir ompte
22
2. Amorçage et formation d'une BCA
tenu de la omplexité du problème : forte non linéarité induite par le ouplage thermomé anique et la loi de omportement. Le re ours aux méthodes numériques est
don indispensable pour simuler la formation d'une BCA. Les études numériques
sur e phénomène ont d'ailleurs débuté avant les travaux sur l'instabilité et ont été
menées en parallèle.
Dès 1977, Litonski [34℄ étudia numériquement le isaillement adiabatique dans
un tube min e en torsion ave un défaut géométrique. Sa modélisation est unidimensionnelle et le omportement du matériau est thermovis oplastique. La ondu tion
est négligée. Les résultats mettent en éviden e un maximum du ouple de torsion
pour une déformation plastique nominale de l'ordre de 20% (gure 2.5). Après e
maximum, la déformation, la vitesse de déformation et la température deviennent
hétérogènes. La gure 2.5 montre l'évolution de es diérentes grandeurs entre l'intérieur (indi e A) et l'extérieur du défaut (indi e B). Litonski montre également
l'existen e d'une hute importante de la ontrainte pour une déformation plastique
nominale de l'ordre de 40%. Cette hute de ontrainte s'a ompagne d'une forte augmentation de la déformation, de la vitesse de déformation et de la température dans
le défaut. En dehors, la vitesse de déformation hute rapidement, la déformation et
la température deviennent alors stationnaires.
Fig.
2.5 - Résultats numériques obtenus par Litonski [34℄ : déformation, vitesse de déformation, température et ontrainte de isaillement à l'intérieur (A) ou à l'extérieur (B) du défaut.
23
2. Amorçage et formation d'une BCA
Merzer [40℄ propose en 1982 un modèle numérique analogue à elui utilisé par
Litonski mais intégrant la ondu tion thermique. Il onsidère ependant le problème
omme quasi statique et néglige don les eorts d'inertie. Il montre alors que la
largeur de bande en n de solli itation n'est pas inuen ée par la taille du défaut
initial et qu'elle est par ontre dire tement dépendante de la diusivité thermique
et de la vitesse de déformation. Il établit également un lien entre la hute rapide
de ontrainte et une diminution de la largeur de bande qui sera mis en éviden e
expérimentalement par Mar hand et Duy en 1988 [36℄.
En 1985, Wright et Batra [66, 65℄ proposent une résolution par la méthode des
éléments nis du problème de isaillement simple. Leur modèle tient ompte, entre
autres, des eorts d'inertie et de la ondu tion. Ils utilisent une loi de omportement
du matériau élasto-thermovis oplastique ave prise en ompte de l'é rouissage et de
l'adou issement thermique. Un défaut en température est introduit juste avant le
maximum de ontrainte an d'initier la bande de isaillement. Leurs résultats sont
en a ord ave eux trouvés par Litonski : ils observent d'abord une augmentation
très lente de la déformation dans la bande juste après le maximum de ontrainte suivi
d'une augmentation beau oup plus rapide orrespondant à la hute de la ontrainte.
Wright et Batra ont également étudié l'inuen e de l'amplitude du défaut sur la hute
de ontrainte. Deux défauts ayant la même forme mais des amplitudes diérentes ont
don été onsidérés (l'amplitude du petit est inq fois plus faible que elle du grand).
Les résultats mettent en éviden e une diminution de la durée entre le maximum et
la hute rapide de la ontrainte ave une augmentation de l'amplitude du défaut.
Ce même modèle permet à Batra en 1987 [4℄ de déterminer l'inuen e des ara téristiques du matériau sur la lo alisation de la déformation. Ces travaux indiquent
qu'elle sera retardée lorsque la sensibilité à la vitesse de déformation ou le oeient d'é rouissage augmente. Inversement si l'adou issement thermique augmente,
la hute de ontrainte aura lieu plus tt. La prise en ompte de la ondu tion thermique montre une faible inuen e sur la hute de ontrainte et sur la taille de bande
e qui est en ontradi tion ave les travaux de Merzer. Une étude plus pré ise sur
ette inuen e de la ondu tivité thermique sera réalisée un peu plus tard par Batra
et Kim [5℄. Leurs résultats mettent en éviden e un retard de la hute de ontrainte
et une augmentation de la largeur de bande ave une augmentation de la ondu tion
thermique.
En 1987, Wright et Walter [68℄ ont également étudié l'inuen e du défaut initial,
et notamment sa forme, sur la hute de ontrainte a ompagnant la formation d'une
BCA. Leur modèle numérique est identique à elui utilisé par Wright et Batra [66℄
mis à part qu'il ne tient pas ompte de l'é rouissage du matériau. Le maillage est
fortement rané dans la zone de lo alisation. Un défaut initial en température de
forme triangulaire est pla é au entre de la partie utile. Les résultats de la simulation
numérique montrent que pour de faibles amplitudes de défaut, il n'y a pas d'inuen e
de sa forme. Par ontre pour les plus grandes amplitudes, la déformation nominale
24
2. Amorçage et formation d'une BCA
au moment de la hute de ontrainte diminue et dépend fortement de sa géométrie.
Modélisations bidimensionnelle et tridimensionnelle
Le passage aux modélisations numériques bidimensionnelle et tridimensionnelle
est di ile. Elles né essitent ee tivement d'avoir des maillages ranés ave un
nombre important de noeuds et de degrés de liberté. De plus, la déformation dans les
bandes pouvant être très importante, les éléments deviennent rapidement distordus
e qui produit une augmentation du temps de al ul.
Pour résoudre es problèmes, plusieurs te hniques ont été utilisées. La première
est la te hnique du maillage adaptatif [46℄ qui permet de remailler dans les zones
de lo alisation de la déformation. La deuxième est la méthode sans maillage [32℄
qui est parti ulièrement adaptée aux déformations intenses (éléments distordus). En
général, es études ont montré que les bandes de isaillement adiabatique pouvaient
se propager et donner naissan e à des stru tures bidimensionnelles au sein même de
la bande. Nous détaillerons es deux points dans les paragraphes 2.3 et 2.4.
2.2.5 Con lusion
La méthode du maximum de ontrainte, les études de stabilité et les méthodes numériques non linéaires sont des te hniques qui permettent d'estimer la déformation
nominale lors de la formation d'une BCA (déformation à la lo alisation). Diérentes
études ont montré l'inuen e des paramètres du matériau et des ara téristiques du
défaut initial sur ette déformation à la lo alisation. Le tableau 2.1 fait le bilan de
l'inuen e des diérents paramètres du matériau sur la déformation à la lo alisation
orrespondant à la hute rapide de ontrainte.
Tab.
2.1 - Inuen e des paramètres du matériau sur la déformation à la lo alisation.
Variation des paramètres du matériau
de l'é rouissage
de la sensibilité à la
vitesse de déformation
L'augmentation
de l'adou issement thermique
de la ondu tivité thermique
de la apa ité alorique
du oe ient de Taylor-Quinney
de la ontrainte d'é oulement
25
Inuen e sur la lo alisation
augmente
augmente
diminue
augmente
augmente
diminue
diminue
la déformation
à la lo alisation
2. Amorçage et formation d'une BCA
2.3 Propagation des BCA
2.3.1 Mise en éviden e de la propagation des BCA
L'idée qu'une bande de isaillement adiabatique s'amor e et se propage a été
émise par Ba kman et Finnegan en 1973, lors d'observations métallographiques de
ibles en a ier impa tées.
Cette propagation des bandes de isaillement a été mise en éviden e lors de
l'expérien e de Mar hand et Duy en 1988. Ils ont onstaté que pendant la phase 3
de la formation de la bande et à un même instant, la déformation lo ale dans la bande
est hétérogène le long de la ir onféren e de l'éprouvette de torsion. Pour expliquer
ela, ils ont fait l'hypothèse que la bande s'amor e en un point de l'éprouvette et se
propage le long de elle- i. A partir de leurs données expérimentales, ils ont évalué
une vitesse de propagation de 255 ms−1 pour un a ier HY100 en supposant que la
bande se propage dans les deux sens de la ir onféren e.
Zhou et al. [74℄ ont observé en 1996, l'évolution de la longueur de bandes de
isaillement sur la tran he d'une éprouvette pré-entaillée impa tée. Un laser é laire
une grille de lignes parallèles à la dire tion de propagation de la bande et l'observation de la bande se fait à l'aide d'une améra ultra-rapide (2 millions d'images
par se onde). A partir de la mesure des longueurs de bande à diérents instants,
ils déterminent la vitesse instantanée de propagation. Les résultats montrent que
les bandes de isaillement adiabatique ne se propagent pas à une vitesse onstante
pendant la durée d'un essai. Initialement ette vitesse est très faible puis elle augmente jusqu'à un maximum pour ensuite dé roître rapidement. Les auteurs mettent
également en éviden e une forte sensibilité de la vitesse de propagation vis-à-vis de
la vitesse d'impa t. Le tableau 2.2 donne la vitesse de propagation moyenne et maximale de la bande dans le as d'un a ier maraging C300. La vitesse maximale atteinte
orrespond à environ 40% de la vitesse de propagation des ondes de isaillement.
Une simulation du problème par éléments nis donne une ex ellente orrélation entre
expérien e et al ul [73℄.
Tab.
2.2 - Valeur de la vitesse de propagation d'une BCA d'après Zhou et al. [74℄.
Vitesse d'impa t Vitesse de propagation Vitesse de propagation
en ms−1
maximale en ms−1
moyenne en ms−1
21,6
≈ 100
80
25
≈ 900
585
30
1200
1004
26
2. Amorçage et formation d'une BCA
2.3.2 Vitesse de propagation des BCA
Cas du régime stationnaire
Après l'amorçage d'une BCA, on peut supposer que elle- i se propage ave une
vitesse qui va augmenter ave le temps. Au bout d'un temps susamment long, on
peut penser qu'un régime stationnaire va s'établir et que ette vitesse va tendre vers
une ertaine vitesse limite.
De nombreux travaux ont été onsa rés à la propagation de bandes de isaillement adiabatique en régime stationnaire, an de déterminer les vitesses limites et les
hamps de ontrainte, déformation et température en tête de bande et de quantier
l'inuen e de divers paramètres du matériau sur la vitesse de propagation.
Grady [19℄ propose en 1992 un modèle de propagation de bande à partir des résultats obtenus à l'aide d'une analyse unidimensionnelle. En 1996, Wright et Walter
[69℄ déterminent les hamps de température, ontrainte et vitesse en tête de bande de
isaillement adiabatique. Gioia et Ortiz [18℄ utilisent une théorie des ou hes limites
appliquée aux solides thermovis oplastiques pour étudier la stru ture bidimensionnelle d'une bande de isaillement en propagation. Mer ier en 1998 [39℄ a développé
un modèle analytique pour déterminer la vitesse de propagation d'une BCA dans
une ou he de longueur innie soumise à une solli itation de isaillement. Ce modèle, qui néglige la ondu tion thermique, lui a permis de ara tériser l'inuen e des
diérents paramètres du matériau sur la vitesse de déformation. Dans les mêmes
onditions que l'expérien e de Mar hand et Duy, le modèle analytique donne une
vitesse de propagation de 905 ms−1 alors que la vitesse mesurée est de 260 ms−1.
Plus ré emment, en 2002, Bonnet-Lebouvier et Molinari [7℄ ont étudié la propagation des bandes de isaillement par une appro he numérique. Ils ont modélisé une
plaque min e de longueur 200 mm et de largeur 2, 5 mm solli itée en déformation
plane. Ils appliquent des onditions limites en vitesse imposée sur les longueurs et
une égalité des vitesses sur les largeurs. Pour le problème thermique, des onditions
adiabatiques sont appliquées sur toutes les extrémités de la plaque. Pour initier la
bande de isaillement, un défaut géométrique est introduit au entre de la plaque.
Il s'agit d'une rédu tion d'épaisseur de 20% appliquée dans une zone re tangulaire de 200 µm par 60 µm. Une loi élasto-thermovis oplastique ave adou issement
thermique de type Johnson-Cook a été hoisie pour dé rire le omportement du
matériau. Le al ul tient ompte du ouplage thermomé anique et est mené ave
et sans prise en ompte de la ondu tion thermique. Les auteurs font varier les vitesses de solli itation notée V entre 0, 5 ms−1 et 300 ms−1 e qui orrespond à des
vitesses de déformation nominale omprises entre 400 s−1 et 2, 4.105 s−1. Pour des
vitesses inférieures à une vitesse ritique Vc égale à 0, 5 ms−1 (soit γ̇ = 400 s−1),
au une propagation de bande n'est observée. Pour des vitesses supérieures à ette
vitesse ritique, ils onstatent qu'après un régime transitoire, il apparaît un régime
27
2. Amorçage et formation d'une BCA
stationnaire où la bande de isaillement se propage à une vitesse onstante notée
Cb . Ils distinguent trois domaines de vitesse : dans le premier domaine, l'évolution
de Cb ave V est linéaire et dans le troisième domaine la vitesse Cb varie très peu
ave V . Le deuxième domaine est une transition entre le premier et le troisième
domaine. La n du premier domaine et le début du troisième orrespondent respe tivement à des vitesses de solli itation de 25 ms−1 (soit γ̇ = 2.104 s−1) et 150 ms−1
(soit γ̇ = 1, 2.105 s−1). Les vitesses de bande asso iées sont d'environ 600 ms−1 et
800 ms−1 . Une analyse dimensionnelle leur a permis d'établir les relations suivantes :
Kβ
Cb
=α
(−An + B)
V
ρCT0 m
(2.9)
pour le premier domaine, ave A et B deux onstantes, α un oe ient dépendant de
l'exposant d'adou issement thermique v, K la limite d'élasti ité et T0 la température
initiale.
Et :
s
βK 2
Cb = ηCt
(2.10)
(−A′ n + B ′ )
µρCT m
0
pour le troisième domaine, ave A′ et B ′ deux onstantes, η un oe ient dépendant
q
de l'exposant d'adou issement thermique v, µ le module de isaillement et Ct = µρ
la vitesse de propagation des ondes élastiques de isaillement.
Le tableau 2.3 résume l'inuen e des propriétés du matériau sur la vitesse de
propagation de la BCA.
Cas du régime transitoire
Lors de l'essai de torsion de Mar hand et Duy, les vitesses de propagation
des bandes semblent être bien inférieures aux vitesses déterminées analytiquement
en stationnaire. Ce i peut être expliqué par le fait que pendant l'essai de torsion,
le régime de propagation de bande est transitoire. De même, Zhou et al. [74℄ ont
observé que les BCA ne se propagent pas à une vitesse onstante lors d'un essai
d'impa t sur la tran he d'une éprouvette pré-entaillée.
Très peu d'études ont porté sur la propagation des BCA en régime transitoire.
Cependant, on peut iter les travaux de Batra et Zhang en 1994 [6℄ qui ont proposé un
modèle numérique tridimensionnel du problème de torsion dynamique du tube min e
utilisé par Mar hand et Duy. Leur modèle ne tient pas ompte de la ondu tion
et un défaut matériau est introduit dans une petite région du entre de la partie
utile de l'éprouvette. Les résultats montrent que la bande se propage bien suivant
les deux dire tions autour de l'éprouvette et que sa vitesse varie entre 40 ms−1 et
260 ms−1 et e pour une vitesse de déformation de 1000 s−1 .
28
2. Amorçage et formation d'une BCA
Tab.
2.3 - Inuen e des propriétés du matériau sur la vitesse de propagation d'une BCA.
Variation des propriétés du matériau
de la ontrainte
d'é oulement
du oe ient de
Taylor-Quinney
de la apa ité
alorique
L'augmentation
de la sensibilité à la
vitesse de déformation
du oe ient
d'é rouissage
de l'adou issement
thermique
de la ondu tivité
thermique
Inuen e sur la vitesse de propagation
augmente
augmente
diminue
diminue
diminue
la vitesse
de propagation
augmente
n'a pas
d'inuen e sur
Dans es onditions, lors de l'essai de torsion, la bande n'aurait ee tivement
pas le temps d'atteindre sa vitesse maximale et don le régime stationnaire n'aurait
pas le temps de s'établir.
2.4 Stru tures bidimensionnelles dans les BCA
Guduru et al. [22, 21℄ ont mis en éviden e lors de leur étude expérimentale du
hamp de température dans une BCA, l'existen e d'une stru ture bidimensionnelle
le long d'une bande omposée de points hauds régulièrement espa és (gure 2.6).
La distan e entre es points hauds varie, selon les essais entre 250 µm et 1 mm et
la température des points hauds se situe à 600C et elle des zones froides est de
400C. Ils ont également onstaté que es points hauds se translatent le long de la
bande.
Ces observations remettraient en ause l'hypothèse d'un é oulement plastique
laminaire dans la bande et justieraient l'existen e d'une instabilité à l'é helle de
la bande similaire à elles observées dans les uides. Pour étayer ette hypothèse,
Li et al. [32℄ ont modélisé l'é oulement plastique dans une bande de isaillement
adiabatique par un é oulement plan de Couette d'un liquide dont la vis osité et
la masse volumique dépendent de la température (gure 2.7). Ils mettent bien en
éviden e la formation d'une stru ture bidimensionnelle dans la bande.
Molinari et Leroy [45℄ ont étudié la possibilité de formation d'une stru ture
bidimensionnelle dans un matériau thermovis oplastique lors d'un é oulement plan
29
2. Amorçage et formation d'une BCA
Fig.
2.6 - Observation d'une su ession
de points hauds dans une
BCA d'après [22℄ (taille de
l'image 1, 1 mm par 1, 1 mm).
Fig.
2.7 - Modélisation de l'é oulement
plastique dans une BCA
d'après Li et al. [32℄ ( hamp
de température en K).
de Couette. En utilisant une analyse de stabilité bidimensionnelle, ils ont montré
que e problème pouvait présenter une instabilité thermomé anique selon des modes
multidimensionnels, notamment dans le as des matériaux faiblement adou issant
et fortement sensibles à la vitesse de déformation.
Dans leur modèle numérique sans maillage, Li et al. [32℄ ont également mis en
éviden e une répartition périodique de points hauds se déplaçant le long de la bande
de isaillement adiabatique.
30
3 Comportement olle tif des BCA
L'expérien e de Mar hand et Duy a permis d'étudier l'initiation et la formation
d'une bande de isaillement adiabatique. Dans les problèmes d'impa t balistique,
on onstate souvent sur des observations métallurgiques post mortem la formation
non pas d'une seule mais d'une multitude de bandes de isaillement adiabatique.
Pour omprendre les mé anismes de formation et d'évolution des BCA lors d'un
impa t proje tile ible, il est don né essaire de prendre en ompte les intera tions
éventuelles entre les bandes.
3.1 Etudes expérimentales : auto-organisation des
BCA
Depuis 1995, Nesterenko et al. [48, 49℄ ont étudié le omportement olle tif des
BCA lors de leur amorçage et de leur propagation. Pour ela, ils ont développé un
nouveau dispositif de solli itation basé sur l'eondrement radial d'un tube à grande
vitesse de déformation (104 s−1). Cette solli itation dynamique est générée par la
détonation d'un explosif (gure 3.1). La surpression est transmise à l'éprouvette
par l'intermédiaire d'un tube en uivre. Un ylindre intérieur en uivre de diamètre
variable suivant les essais permet d'interrompre l'eondrement et de ontrler la
déformation plastique dans l'éprouvette. Les résultats des essais mettent en éviden e
des bandes de isaillement en forme de spirale s'initiant au niveau de l'intérieur du
ylindre (gure 3.2). L'espa ement entre es bandes est régulier. Par exemple, dans
le as d'un a ier inoxydable 304L, la distan e entre bandes lors de l'initiation est en
moyenne de 0, 12 mm. Pour des bandes dans la phase de propagation, ette distan e
augmente et vaut 3, 1 mm.
3.2 Prédi tion de l'espa ement entre BCA
Les essais d'eondrement de ylindre de Nesterenko et al. [48, 49℄ ont sus ité
diérentes études théoriques dans le but de prédire les distan es entre bandes de
isaillement adiabatique. Deux appro hes diérentes ont été proposées pour prédire
31
3. Comportement
Fig.
3.1 - Expérien e d'eondrement de
ylindre : dispositif de solli itation (extrait de [48℄).
Fig.
olle tif des BCA
3.2 - Observation des éprouvettes
après eondrement (extrait de
[49℄).
et espa ement entre bandes. Le premier modèle, développé en 1987 par Grady et
Kipp [20℄ est basé sur l'étude de la propagation d'un front de relaxation au voisinage
d'une BCA (gure 3.3).
Fig.
Fig.
3.3 - Modèle de Grady et Kipp [20℄.
3.4 - Modèle de Wright et O kendon
(extrait de [70℄).
Lors de la formation de la bande, l'augmentation de température au niveau
de la bande provoque par adou issement thermique une diminution de la ontrainte
d'é oulement. Cette dé harge se propage à l'extérieur de la bande par un mé anisme
de diusion et provoque une zone dé hargée autour de la bande (gure 3.3). Tous
les sites d'amorçage de BCA situés dans ette zone dé hargée seront don o ultés
32
3. Comportement
olle tif des BCA
et ne onduiront pas à la formation d'une BCA. La distan e minimale séparant
deux amorçages de bande est égale à la distan e par ourue par e front de dé harge
pendant le temps né essaire au dé hargement omplet. Ave e modèle, la distan e
entre bandes est donnée par la relation suivante :
LGK = 2
9λC
γ̇03 a2 τ0
41
(3.1)
ave γ̇0 la vitesse de déformation imposée, a le paramètre d'adou issement thermique
et τ0 la ontrainte d'é oulement à température ambiante.
Ce modèle utilise une loi d'é oulement où le terme d'adou issement thermique
varie linéairement ave la température :
(3.2)
où τ0 est la ontrainte d'é oulement à la température ambiante T0 et a le paramètre
d'adou issement thermique.
Le deuxième modèle développé par Wright et O kendon [67℄ puis omplété par
Molinari [44℄ s'appuie sur l'hypothèse que les BCA se forment à partir de la roissan e de petites perturbations. La gure 3.4 représente l'évolution au ours du temps
de deux types de perturbations ayant des longueurs d'onde diérentes. La perturbation de grande longueur d'onde a un taux de roissan e supérieur à elle de petite
longueur d'onde. La distan e entre bandes orrespond don à la perturbation ayant
un taux de roissan e maximum. Wright et O kendon utilise une loi de omportement dépendant de la température et de la vitesse de déformation :
τ = τ0 (1 − a(T − T0 ))
τ = τ0 (1 − a(T − T0 ))
γ̇
γ̇0
m
(3.3)
où m est le paramètre de dur issement dynamique, γ̇0 une vitesse de déformation de
référen e, a le paramètre d'adou issement thermique et τ0 la ontrainte d'é oulement
à température ambiante et à la vitesse de déformation de référen e.
Ils trouvent alors l'expression suivante de la distan e entre bandes :
LW O = 2π
m3 λC
γ̇03 a2 τ0
41
(3.4)
En 1997, Molinari utilise ette même appro he mais généralise l'étude au as
d'un matériau é rouissable ayant une loi de omportement formulée de la manière
suivante :
γ̇ = ψ(τ, γ, θ)
33
(3.5)
3. Comportement
olle tif des BCA
ave θ = T − T0 la diéren e entre la température du matériau et la température
ambiante.
Il exprime alors la distan e entre bandes de isaillement :
LM = L0
∂ψ
3 ρC ∂γ
1+
4 βτ 0 ∂ψ
∂θ
!−1
(3.6)
où τ 0 est la ontrainte de la solution homogène et L0 la distan e entre bandes dans
le as d'un matériau non é rouissable.
Une onfrontation de es diérentes théories ave l'expérien e a été proposée par
Xue et al. [70℄, Nesterenko et al. [48℄ et Molinari [44℄. Le tableau 3.1 fait le bilan
des distan es entre bandes trouvées expérimentalement et elles al ulées pour les
diérents modèles présentés dans le paragraphe pré édent pour le titane pur et le
TA6V. Les distan es entre bandes mesurées et al ulées sont du même ordre de
grandeur. On peut ependant remarquer une surestimation de ette distan e ave le
modèle de Grady et Kipp.
Tab.
3.1 - Distan es entre BCA ; onfrontation entre les résultats expérimentaux et les
prédi tions théoriques d'après [70, 48, 44, 49℄.
Distan e
en mm
Titane pur
TA6V
Expérien e
0,18 [70℄ et 1 [48℄
0,53 [70℄
Modèle de
Grady - Kipp
1,8 à 3,3
1,15
34
Modèle de
Wright - O kendon
0,29 à 0,52
0,10
Modèle de
Molinari
0,64 à 0,75
0,10
Deuxième partie
Mesure de la température par
pyrométrie
35
Introdu tion
La mesure des hamps de température dans les bandes de isaillement adiabatique (BCA)
est di ile ar elle né essite à la fois une résolution spatiale de l'ordre du mi romètre et
une résolution temporelle de quelques mi rose ondes. De plus, ette température peut
varier de l'ambiante à la température de fusion du matériau (1670C dans le as de
l'alliage de titane TA6V). La mesure des "basses températures" (variant entre 50C et
300C) permettra d'étudier les hétérogénéités du hamp de température au moment de
la lo alisation de la déformation plastique. Le dispositif "hautes températures" (800C
à 1700C) permettra de quantier les températures maximales atteintes dans les BCA.
Notre obje tif est don de on evoir deux pyromètres asso iés à es deux plages de température. Pour ela, il est né essaire de onnaître les propriétés radiatives des matériaux
solides étudiés et les prin ipes fondamentaux de la pyrométrie. Nous détaillerons es deux
points dans les deux premiers hapitres de ette partie. Cette étude nous guidera dans
la on eption de nos deux pyromètres. Dans un dernier hapitre, nous présenterons le
montage expérimental que nous avons onçu pour l'étude des BCA et nous testerons e
système dans le as de la torsion dynamique sur barres d'Hopkinson d'un tube min e en
alliage de titane, le TA6V.
37
4 Rayonnement des solides
4.1 Origine physique du rayonnement
4.1.1 Phénomène d'émission d'un photon
Tout milieu, uide ou solide émet et absorbe de l'énergie sous forme de rayonnement. Pour les milieux solides, es phénomènes sont liés à l'agitation thermique
des atomes et des éle trons. Cette agitation thermique se traduit par la vibration
du réseau ristallin et le mouvement des éle trons.
Dans le adre de la mé anique quantique, l'énergie de vibration du réseau est
quantiée. Le hamp de vibration du réseau est assimilé à un ensemble de quasiparti ules appelées phonons d'énergie E = hν où ν est la fréquen e du phonon
et h la onstante de Plan k. C'est l'analogue du photon, autre aspe t du hamp
éle tromagnétique. Les ondes élastiques dans un ristal peuvent être dé rites par la
propagation de phonons dans le réseau et les vibrations thermiques orrespondent
à des phonons ex ités thermiquement. On peut distinguer des phonons optiques qui
orrespondent à des vibrations des plans atomiques en opposition de phase et des
phonons a oustiques qui orrespondent à des vibrations en phase. Les fréquen es
et don les énergies asso iées aux phonons optiques sont supérieures à elles des
phonons a oustiques. A tout moment un phonon peut se désex iter (notamment
un photon ex ité thermiquement) et engendrer l'émission d'un photon d'énergie
équivalente. Dans les milieux "opaques", omme la profondeur de pénétration est très
faible1, seuls les photons émis à la surfa e parti ipent au rayonnement du solide (4.1).
Du fait de l'agitation thermique, un éle tron ex ité thermiquement peut ee tuer
une transition vers une ou he éle tronique supérieure et don a éder à un niveau
d'énergie plus élevé. A tout moment, et éle tron peut se désex iter et engendrer la
formation d'un photon. Ce phénomène est appelé l'émission spontanée (4.2).
λ
Dans un milieu absorbant, la profondeur de pénétration δ vaut : δ = 4πχ
(voir paragraphe
4.3.3) ; dans le as de l'aluminium à température ambiante, pour une longueur d'onde λ = 4 µm le
fa teur d'extin tion χ vaut 40 et la profondeur de pénétration δ est égale à 8, 0 µm.
1
39
4. Rayonnement des solides
e-
Photon
émis
Photons
émis
Phonons
Noyau
atomique
Photon émis
et absorbé
Fig.
Profondeur de
pénétration
4.1 - Désex itation de phonons et
émission de photons à la surfa e d'un matériau.
Fig.
4.2 - Emission spontanée lors d'une
transition éle tronique entre
deux niveaux d'énergie.
4.1.2 Cara tère aléatoire de l'émission
Le phénomène mé anique que nous allons étudier évolue ave des temps ara téristiques de l'ordre de la mi rose onde et sur des distan es de quelques mi romètres.
Dans es onditions, le nombre de photons émis est faible et il est né essaire de
onsidérer leur émission omme un phénomène aléatoire.
Le nombre de photons émis par une sour e lumineuse pendant une durée τ suit
une loi de probabilité. Si l'on suppose que pendant un intervalle de temps T , N
photons sont émis de manière indépendante les uns des autres, la probabilité pour
qu'un de es N photons soit émis dans l'intervalle τ ompris dans T est égale à
p = Tτ . La probabilité pour que n photons soient émis dans l'intervalle τ est donnée
par une distribution binmiale :
ave
p(n) = CNn pn (1 − p)N −n
CNn =
N!
n!(N − n)!
(4.1)
Le nombre moyen de photons reçus est m = N p et l'é art quadratique σ vaut
σ = N p(1 − p).
Si la durée T est grande devant τ , on peut supposer que l'émission des photons vérie une distribution de Poisson. La probabilité de re evoir n photons dans
l'intervalle τ est alors :
2
p(n) =
mn e−m
n!
(4.2)
Le nombre moyen de photons émis est m = N p et l'é art quadratique vaut alors
σ 2 = m.
L'é art type relatif est déni par la relation :
40
4. Rayonnement des solides
σ
m
(4.3)
Dans le as d'une loi de Poisson, il prend don la valeur σrel = √1m . Plus le
nombre de photons reçus est grand, plus l'é art type relatif diminue. Ce point sera
détaillé dans le paragraphe 4.2.4 dans le as parti ulier d'un émetteur parfait, le
orps noir.
σrel =
4.2 Rayonnement d'un orps idéal : le " orps noir"
Pour étudier les propriétés radiatives d'une surfa e réelle, il est ommode et
d'usage de la omparer à un orps idéal appelé orps noir. Dans ette partie, nous
allons donner la dénition d'un orps noir et nous rappellerons ses propriétés radiatives.
4.2.1 Dénition du " orps noir"
Un orps noir est déni omme le orps idéal apable d'absorber en totalité tout
rayonnement in ident ; 'est un absorbeur parfait. La onservation de l'énergie implique, du moins à l'équilibre thermique, que le orps noir est également un émetteur
parfait sur tout le domaine spe tral 'est-à-dire qu'il émet plus que toute surfa e à
même température. La puissan e qu'il émet est indépendante de la dire tion d'émission et elle ne dépend que de la température.
En pratique, un orps noir n'existe pas. Cependant une avité dont les parois sont
maintenues à température onstante et dans laquelle est per ée une petite ouverture
onstitue un orps noir appro hé de bonne qualité (gure 4.3). Des traitements de
surfa e tels que des peintures fortement émissives permettent également d'appro her
le rayonnement du orps noir mais dans des domaines spe traux limités.
Fig.
4.3 - Corps noir : avité thermostatée.
41
4. Rayonnement des solides
4.2.2 Energie rayonnée par un orps noir
Dénition de la luminan e
Fig.
4.4 - Puissan e émise par une surfa e dS.
Soit L la luminan e dénie par la puissan e rayonnée par une surfa e unitaire
suivant une dire tion ~δ dans un angle solide de 1 stéradian. On peut exprimer la
puissan e dP rayonnée par une surfa e élémentaire dS de normale ~n dans un angle
solide élémentaire dΩ de dire tion ~δ (voir gure 4.4) par :
(4.4)
dP = L(~δ)~δ.~ndΩdS
La puissan e émise par un solide dépendant de la longueur d'onde, on dénit
don la luminan e mono hromatique notée Lλ par la relation suivante :
Lλ =
∂L
∂λ
(4.5)
Luminan e du orps noir
En 1873, Plan k réussit à déterminer l'expression de la luminan e mono hromatique d'un orps noir en fon tion de sa température et de la longueur d'onde de la
radiation. Il suppose que les photons ontenus dans une en einte ( avité thermostatée) sont en équilibre thermodynamique ave les parois et don que leur répartition
énergétique suit la distribution de Bose Einstein2. Il exprime alors leur répartition
énergétique moyenne et quantie la luminan e mono hromatique orrespondante.
Les photons (parti ules de spin entier) obéissent à la loi de distribution statistique de Bose
Einstein : le nombre moyen de photons n dans un état énergétique E est donné par la relation :
1
n=
où µ est le potentiel himique.
2
e
E−µ
kT
+1
42
4. Rayonnement des solides
T
Il montre que la luminan e mono hromatique L0λ d'un orps noir à la température
est donnée par la relation suivante appelée "loi de Plan k" :
L0λ (λ, T )
2hc2 λ−5
=
hc
exp kλT
−1
(4.6)
ave k = 1, 380662.10−23 JK −1 onstante de Bolzmann, h = 6, 626176.10−34 Js
onstante de Plan k et c = 2, 998.108 ms−1 la élérité de la lumière dans le vide.
Dans notre étude, pour les ourtes longueurs d'onde λT ≪ hc/k = 14388 µmK ,
on a :
exp
hc
kλT
(4.7)
≫1
Ce qui onduit à l'expression appro hée de la luminan e, dite approximation de
Wien :
L0λ (λ, T ) =
2hc2 λ−5
hc
exp kλT
(4.8)
Luminance en Wm -3 sr -1
4.2.3 Maximum d'énergie
La gure 4.5 montre l'évolution de la luminan e mono hromatique d'un orps
noir à diérentes températures en fon tion de la longueur d'onde.
3,0x10
10
2,5x10
10
2,0x10
10
1,5x10
10
1,0x10
10
5,0x10
400˚C
800˚C
1200˚C
Maximum
9
0,0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Température en ˚C
Fig.
4.5 - Luminan e du orps noir - maximum d'énergie.
43
4. Rayonnement des solides
Ce graphique met en éviden e l'existen e d'un maximum de la luminan e monohromatique pour une longueur d'onde notée λmax dépendant de la température du
orps noir.
La dérivation de la loi de Plan k dans le adre de l'approximation de Wien
permet d'exprimer ette longueur d'onde (loi de dépla ement de Wien) :
hc
≈ 2900 µmK
5k
(4.9)
Par exemple pour des températures de 200C et 900C, e maximum se situe
respe tivement dans les domaines pro he infrarouge et infrarouge moyen (λ200C
max =
6, 08 µm et λ900C
).
=
2,
45
µm
max
Quand la température diminue, e maximum est dé alé vers les grandes longueurs
d'onde (vers le domaine infrarouge).
La bande spe trale asso iée à l'émission des sour es thermiques usuelles est omprise entre les longueurs d'onde de 0, 1 µm et de 100 µm. Dans e domaine spe tral,
les propriétés des ondes éle tromagnétiques dépendent fortement de la longueur
d'onde (l'énergie du photon asso ié à la radiation est proportionnelle à la fréquen e
de la radiation). Ce domaine spe tral est don divisé en plusieurs sous domaines :
ultraviolet, visible, pro he infrarouge, infrarouge moyen, infrarouge lointain (gure
4.6). L'absorption de l'atmosphère onduit également à dé ouper les domaines visible et infrarouge en trois bandes spe trales d'observation (bande I : 0,3 à 2 µm ;
bande II : 3 à 5 µm ; bande III : 8 à 12 µm). An d'éviter de faire des mesures pyrométriques sous atmosphère ontrolée ou sous vide, nous veillerons à travailler dans
l'une de es trois bandes spe trales.
λmax T =
4.2.4 Les u tuations
Du fait de la quanti ation de l'énergie lumineuse (les photons), la puissan e
rayonnée par la surfa e d'un solide u tue au ours du temps. Compte tenu des
temps de mesure très ourts et des dimensions très faibles de notre phénomène,
le nombre de photons émis est par onséquent très faible. Les u tuations de la
puissan e rayonnée sont don à prendre en ompte dans la on eption de notre
dispositif de mesure.
La luminan e dénie dans le paragraphe pré édent orrespond en fait à une
valeur moyenne de la luminan e instantanée notée ℓ0λ(t). On a don :
L0λ
1
=
∆t
Z
t+∆t
t
ℓ0λ (t)dt
(4.10)
La démar he de Plan k pour établir la luminan e moyenne du orps noir permet également de déterminer la moyenne quadratique de ℓ0λ dénie par la relation
suivante :
44
4. Rayonnement des solides
Rouge
Jaune
Vert
Bleu
Violet
VISIBLE
INFRAROUGE
ULTRAVIOLET
PROCHE
INFRAROUGE
10-1
10-2
0,4
0,7
INFRAROUGE INFRAROUGE
MOYEN
LOINTAIN
102
10
1
Longueur d’onde en µm
Bande I
0,3µm-2µm
Fig.
Bande II Bande III
3µm-5µm 8µm-12µm
4.6 - Domaine spe tral du rayonnement thermique.
(δℓ0λ )2
1
=
∆t
Z
t+∆t
ℓ0λ (t) − L0λ
t
2
dt
(4.11)
Il s'agit d'une densité spe trale de bruit. Dans le as des u tuations de la luminan e, nous avons à faire à un bruit blan ( 'est-à-dire ne dépendant pas de la
fréquen e). La physique statistique permet d'exprimer ette moyenne quadratique
de la luminan e, donnée par l'équation d'Einstein :
∂L0λ
∂T
(4.12)
Cette équation revient également à onsidérer que l'émission des photons par un
orps noir vérie une statistique de Poisson.
Les u tuations du signal peuvent introduire des erreurs sur l'estimation de
la température notamment dans le as des te hniques de mesure par pyrométrie.
En eet, plus les temps de mesure et les surfa es observées seront petits, plus les
énergies déte tées seront faibles et plus le système de mesure sera sensible à es
u tuations. Il faut ependant garder à l'esprit que la température n'est elle même
que la représentation d'un phénomène statistique.
Pour illustrer e problème, nous avons al ulé le nombre de photons reçus pendant une durée ∆t de 10 µs par une surfa e orps noir S de 2 µm par 2 µm, dans
(δℓ0λ )2 = kT 2
45
4. Rayonnement des solides
400
100%
350
80%
4µm
0,8µm
4µm
0,8µm
250
Fluctuation relative
Nombre de photons
300
200
150
100
60%
40%
20%
50
0
0
100
200
700
800
900
1000
0%
0
Température en ˚C
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Température en ˚C
4.7 - Nombre de photons émis par
un orps noir à 900C en 10 µs
et ses u tuations statistiques
(surfa e de 2 µm par 2 µm).
Fig.
4.8 - Rapport du nombre de photons
de bruit sur le nombre de photons émis.
100
80
Erreur sur la température en ˚C
Fig.
0,8µm
4µm
60
40
20
0
0
200
400
600
800
1000
Température en ˚C
Fig.
4.9 - Erreur sur la température liée aux u tuations statistiques.
46
4. Rayonnement des solides
des gammes de longueur d'onde entrées sur λ0 = 0, 8 µm et λ0 = 4 µm et sur une
largeur spe trale ∆λ = 10 nm. L'ouverture du système optique est égale à 60soit
un angle solide d'émission Ω de 0,79 stéradian. Le nombre moyen de photons est
al ulé en divisant l'énergie émise, établie à partir de la loi de Plan k, par l'énergie
d'un seul photon :
nphoton =
L0λ (λ0 , T )SΩ∆λ∆t
hc
λ0
(4.13)
Cette évolution est tra ée en fon tion de la température sur la gure 4.7. Sur e
même graphique, nous avons représenté les u tuations de e nombre de photons
(bruit photonique) par des barres d'erreur. Il s'agit de la ra ine arrée de l'é art
type du nombre de photons reçus.
Par exemple à 900C pour une longueur d'onde de 0, 8 µm, le nombre moyen
de photons reçus est égal à 100 et le bruit photonique est supérieur à 10 photons.
Plus la température augmente, plus le nombre moyen de photons reçus par le système de mesure augmente. De même, une élévation de la température provoque une
augmentation des u tuations. La gure 4.8 représente l'évolution en fon tion de la
température du rapport du bruit photonique au nombre moyen de photons reçus. On
onstate que e rapport diminue ave l'élévation de la température. Pour évaluer la
qualité du système de mesure, on représente les erreurs sur la température liées aux
u tuations statistiques (gure 4.9). Dans la onguration expérimentale hoisie, le
bruit devient négligeable à partir de 900C (moins de 10% du nombre de photons
reçus soit une erreur sur la température inférieure à 8C).
4.2.5 Maximum de sensibilité
Une autre quantité importante est la sensibilité relative de la luminan e aux variations de température. C'est le rapport L1 ∂L∂T . Pour le orps noir dont la luminan e
est dé rite par la loi de Plan k, la sensibilité relative est :
λ
λ
hc
exp kλT
hc
1 ∂L0λ
=
hc
L0λ ∂T
kλT 2 exp kλT
−1
(4.14)
Cette sensibilité relative est représentée sur la gure 4.10 pour des températures
de 400C, 800C et 1200C en fon tion de la longueur d'onde.
On onstate qu'elle devient très grande pour les ourtes longueurs d'onde (domaine ultraviolet). Dans e domaine, de faibles variations de températures provoquent de fortes variations relatives de luminan e. Cette propriété du orps noir
aura un intérêt apital en pyrométrie [25℄ (voir paragraphe 5.3).
47
4. Rayonnement des solides
Sensibilité relative à la température en K
-1
0,35
400˚C
800˚C
1200˚C
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0,1
1
10
Longueur d'onde en µm
Fig.
4.10 - Sensibilité relative de la luminan e à la température en fon tion de la longueur
d'onde.
4.3 Rayonnement des orps réels
4.3.1 Dénition du fa teur d'émission
Les surfa es réelles ne sont pas des orps noirs. Il est d'usage de omparer la
luminan e mono hromatique d'un orps réel ave elle du orps noir à la même
température et d'introduire un nombre sans dimension. Pour ela, on dénit le
fa teur d'émission mono hromatique, également appelé emissivité, noté ελ par le
rapport de la luminan e mono hromatique de la surfa e réelle à elle du orps noir :
Lλ (λ, T, ~δ)
ελ (λ, T, ~δ) = 0
Lλ (λ, T )
(4.15)
Le fa teur d'émission dépend de la longueur d'onde, de la température, de la
dire tion d'émission, du matériau et de l'aspe t géométrique de la surfa e [26℄. Sa
valeur est omprise entre 0 et 1. Dans la suite de e travail, on s'intéressera uniquement au fa teur d'émission mono hromatique normal orrespondant à une dire tion
d'émission normale à la surfa e.
Le fa teur d'émission est une propriété thermo-optique de la surfa e. Il existe
don des relations ave d'autres grandeurs ara térisant les propriétés optiques des
surfa es omme par exemple les fa teurs de réexion, de transmission et d'absorption.
48
4. Rayonnement des solides
4.3.2 Relation entre le fa teur d'émission et le fa teur de réexion
Si l'on onsidère une surfa e é lairée par un ux mono hromatique Φλ, une partie ρλΦλ de e ux est réé hie, une autre αλΦλ est absorbée par la surfa e et
transformée en haleur et la dernière τλΦλ est transmise (gure 4.11).
Flux
incident
tl
1
Flux
transmis
rl
Flux
réfléchi
Fig.
Matériau
absorbant
4.11 - Flux in ident, réé hi, transmis et absorbé.
La onservation du ux in ident donne :
ρλ , αλ
(4.16)
sont appelés respe tivement fa teurs de réexion, d'absorption et de
ρλ + αλ + τλ = 1
et τλ
transmission.
Dans le as d'un matériau opaque (absen e de transmission), on obtient :
(4.17)
La loi de Kir hho, qui traduit l'équilibre thermodynamique lo al de la surfa e
dS onsidérée omme isotherme, entraîne que l'énergie absorbée doit être réémise :
ρλ + αλ = 1
αλ = ελ
(4.18)
ε λ = 1 − ρλ
(4.19)
La relation entre le fa teur d'émission et le fa teur de réexion est :
4.3.3 Relations de Fresnel
La propagation des ondes éle tromagnétiques dans diérents milieux peut être
dé rite par les équations de Maxwell [8℄. L'étude de la réexion des ondes éle tromagnétiques sur une surfa e lisse permet de relier le oe ient de réexion (et don le
49
4. Rayonnement des solides
fa teur d'émission) aux propriétés optiques du matériau onstituant la surfa e. Ces
propriétés optiques sont dé rites par l'indi e de réfra tion omplexe noté ñ = n − iχ.
n est appelé indi e réel. C'est le rapport entre la élérité de la lumière dans
le vide et la vitesse de phase de l'onde (n = vc ). Dans le as des milieux
diéle triques, il orrespond à l'indi e de réfra tion. Pour les ondu teurs, n
peut être inférieur à 1.
χ est appelé indi e d'extin tion : l'énergie moyenne d'une onde plane est atténuée de manière exponentielle ave la distan e d'absorption. Le fa teur d'at. La profondeur de
ténuation II s'é rit : II = exp(−Kaλx) ave Kaλ = 4πχ
λ
1
pénétration δ est donnée par la relation δ = K .
En in iden e normale, on a la relation suivante :
φ
λ
0
λ
λ
0
λ
aλ
ε λ = 1 − ρλ =
4n
(n + 1)2 + χ2
(4.20)
4.3.4 Propriétés optiques des matériaux ondu teurs
Modèle de Drude
En 1901, Drude a réussi à interpréter les propriétés physiques omme la ondu tivité éle trique et la apa ité alorique des matériaux ondu teurs du ourant.
Pour ela, il a proposé de modéliser un ondu teur par un gaz d'éle trons libres
dans un potentiel attra tif réé par les atomes du réseau (ions positifs). An de
déterminer le mouvement des éle trons, Drude fait plusieurs hypothèses simpli atri es : il onsidère les éle trons omme des parti ules dis ernables et néglige l'a tion
des ions positifs sur les éle trons. Malgré toutes es hypothèses qui peuvent sembler
grossières, le modèle de Drude donne des résultats très intéressants.
Dans es onditions, le bilan des eorts exer és sur l'éle tron onduit à l'équation
du mouvement suivante :
d2 x
m dx
m 2 =−
(4.21)
− eE
dt
τ dt
où m et e sont respe tivement la masse et la harge de l'éle tron et x sa position.
Le terme de frottement uide − mτ ddxt permet de modéliser les ollisions des éle trons. τ représente le temps de vol des éle trons et E le hamp éle trique appliqué au
milieu. Pour déterminer les propriétés optiques d'un milieu ondu teur, on suppose
qu'un hamp E = Eω eiωt est imposé par le passage d'une onde mono hromatique. La
résolution de l'équation diérentielle 4.21 permet alors de déterminer le dépla ement
des éle trons :
x=
1
e
iωt
ω Eω e
2
m ω − iτ
50
(4.22)
4. Rayonnement des solides
Le dépla ement des éle trons provoque lo alement une polarisation du milieu
où N est le nombre d'éle trons par unité de volume, εr
la permittivité relative omplexe du milieu et ε0 la permittivité du vide. On peut
don en déduire sa permittivité relative omplexe :
P = −N ex = (εr − 1)ε0 E
εr = ε′ − iε′′ = 1 −
D'où
ωp2
ε =1− 2
ω + ωτ2
′
ave
et
N e2
1
2
mε0 ω − i ωτ
(4.23)
ωp2 ωτ
ε =
ω (ω 2 + ωτ2 )
(4.24)
′′
et ωτ = τ1 .
La permitivité relative omplexe étant le arré de l'indi e optique omplexe du
milieu ñ2 = εr , on obtient :
ωp2 =
N e2
mε0
Ou inversement :
ε′ +
ε ′ = n2 − χ 2
√
et
ε′2 + ε′′2
2
(4.25)
ε′′ = 2nχ
−ε′ +
√
′2
′′2
ε +ε
et χ =
(4.26)
2
ωp est appelé pulsation plasma, 'est la pulsation libre du nuage éle tronique
en l'absen e de hamp éle trique extérieur. Cette pulsation est indépendante de la
température. Si la pulsation ω est très grande devant la pulsation plasma ωp, ε′
est positif et n est très grand devant χ. L'onde se propage dans le métal (semitransparen e). Au ontraire si la pulsation ω est petite devant ωp alors l'indi e n
est petit devant l'indi e χ. L'onde est amortie rapidement. Le fa teur d'émission
diminue et tend vers 0 (relation 4.20).
ωτ est la fréquen e de relaxation. Contrairement à la fréquen e plasma, la pulsation de relaxation dépend de la température et de la pulsation de l'onde. Elle
provient essentiellement de l'agitation thermique et peut se dé omposer en trois
termes :
ωτ = ω0 + ωph + ωe
(4.27)
Le premier terme provient uniquement de la stru ture du réseau. Il est a priori
indépendant de la température mais peut par exemple dépendre de la stru ture
du réseau ristallin.
Le deuxième terme provient de l'intera tion entre les phonons et les éle trons.
Cette pulsation dépend de la température. Pour des températures supérieures
à la température de Debye (TDebye vaut environ 300K pour les métaux) on
peut onsidérer que ette pulsation est proportionnelle à la température.
2
n =
2
51
4. Rayonnement des solides
Le troisième terme provient de l'intera tion des éle trons entre eux due à l'agitation thermique. Cette pulsation dépend très faiblement de la température
( omparé au deuxième terme) [37℄ ; en revan he, elle dépend de la pulsation
de l'onde ω.
Ces onsidérations onduisent à exprimer la pulsation de relaxation pour des
températures supérieures à TDebye sous la forme :
ωτ0 = ω0 + aT + βω 2
(4.28)
et β étant des paramètres dépendant du matériau.
Le tableau 4.1 donne les valeurs numériques de es diérents paramètres dans le
as de l'aluminium pur. Ces données ont été identiées par Mattei [38℄.
a
Tab.
4.1 - Valeurs numériques des paramètres du modèle de Drude dans le as de l'aluminium (d'après Mattei [38℄).
Paramètre
Valeur
16
ωp
1, 90.10 rad.s−1 soit λp = 0, 1 µm
ωτ0
a
β
TDebye
−1, 39.1014 rad.s−1
5, 46.1011 rad.s−1 K −1
7, 53.106 s
428K
Ces paramètres permettent de tra er l'évolution des parties réelle et imaginaire de
l'indi e optique en fon tion de la longueur d'onde dans le as de l'aluminium (gure
4.12). Les résultats sont donnés pour une température de 473K . Par omparaison,
nous avons représenté sur la gure 4.13 les données expérimentales obtenues par
analyse du oe ient de réexion pour l'aluminium à température ambiante [50℄.
Nous pouvons onstater que le modèle de Drude s'applique remarquablement bien
au as de l'aluminium. On remarque l'existen e d'un pi sur l'indi e n aux alentours
de 1 µm orrespondant à une transition interbandes des éle trons qui n'est pas prise
en ompte par le modèle de Drude. Nous détaillerons e point dans le paragraphe
suivant.
L'obtention des indi es n(λ) et χ(λ) permet d'obtenir la valeur du fa teur d'émission mono hromatique. Ces évolutions sont données sur les gures 4.14 et 4.15. On
onstate en ore la qualité du modèle de Drude dans le as de l'aluminium.
Os illateurs de Lorentz
La théorie de Drude permet d'expliquer la transparen e des métaux à ourte
longueur d'onde et la dé roissan e du fa teur d'émission en fon tion de la longueur
52
10
2
10
1
10
10
10
10
n
χ
10
2
10
1
10
0
n
χ
0
Indice complexe
Indice complexe
4. Rayonnement des solides
-1
10
-1
10
-2
10
-3
Transition
interbande
-2
-3
0,01
0,1
1
10
0,01
Longueur d'onde en µm
0,1
1
10
Longueur d'onde en µm
Fig.
4.12 - Indi e omplexe de l'aluminium en fon tion de la longueur d'onde à 473K, modèle
de Drude.
Fig.
4.13 - Indi e omplexe en fon tion
de la longueur d'onde. Expérien e [50℄.
1,0
1,0
0,8
Facteur d'émission
Facteur d'émission
0,8
0,6
0,4
0,2
0,6
Transition
interbande
0,4
0,2
0,0
0,0
0,01
0,1
1
10
0,01
Longueur d'onde en µm
0,1
1
10
Longueur d'onde en µm
Fig.
4.14 - Fa teur d'émission de l'aluminium en fon tion de la
longueur d'onde à 473K, modèle de Drude.
Fig.
53
4.15 - Fa teur d'émission en fon tion de la longueur d'onde.
Expérien e [50℄.
4. Rayonnement des solides
d'onde. Cependant elle devient fausse dans le as des métaux mauvais ondu teurs et
ne permet pas de dé rire les transitions interbandes asso iées aux éle trons liés. Une
généralisation de la théorie de Drude a été développée par Lorentz. Chaque éle tron
est onsidéré omme un os illateur harmonique solli ité par une for e due au hamp
éle trique (eE0eiωt) et une for e de rappel due au noyau atomique (−ksx ave ks la
raideur et x la position de l'éle trons) et soumis à un amortissement linéaire (−bẋ
ave b le paramètre d'amortissement) (gure 4.16).
b
-eE0eiwt
m
kS
x
Fig.
4.16 - Modèle de Lorentz : l'os illateur amorti.
L'équilibre du système s'é rit :
d2x m dx + mω2x = eE eiωt
m 2 +
(4.29)
0
0
dt τ dt
ave ω02 = km la pulsation d'os illation et τ = mb le temps de relaxation.
On peut onstater que e système peut entrer en résonan e pour ω = ω0.
Si l'on onsidère un os illateur unique, l'indi e omplexe est donné par la relation
suivante :
s
ωp2
ñ = 1 + 2
ω0 − ω 2 + i ωτ
2
ave
la fréquen e plasma dénie dans la théorie de Drude.
Une généralisation de la relation pré édente à un ensemble d'os illateurs donne :
ωp
2
ñ = 1 +
X
j
ave
(4.30)
ωp2j
ω02j − ω 2 + i τωj
(4.31)
sortes d'éle trons.
Dans le as de la théorie de Drude, seule la ontribution d'un type d'éle tron libre
est onsidérée. En onsidérant qu'un seul os illateur sans for e de rappel (ω0 = 0), la
théorie de Lorentz est équivalente au modèle de Drude présenté dans le paragraphe
pré édent.
j
54
4. Rayonnement des solides
En réalité, dans un ondu teur, les éle trons liés peuvent être l'objet de transitions interbandes et avoir une faible ontribution sur l'indi e omplexe notamment
dans les domaines ultraviolet, visible et pro he infrarouge. La théorie de Lorentz
pour les matériaux ondu teurs tient ompte de la ontribution des éle trons libres
et des éle trons liés. L'indi e omplexe peut alors s'é rire sous la forme :
2
ñ = 1 +
X
j liés
ωp2j
ω02j − ω 2 + i τωj
ωp2k
+
i ω − ω2
k libres τk
X
(4.32)
sortes d'éle trons liés et k sortes d'éle trons libres.
La théorie de Lorentz permet de dé rire les transitions des éle trons liés mais
l'identi ation des diérents paramètres reste un problème important. Elle est en
partie phénoménologique et il faudrait pour une analyse plus exa te faire intervenir
la surfa e de Fermi du métal.
ave
j
4.3.5 Paramètres inuençant le fa teur d'émission d'une surfa e
La longueur d'onde
Le modèle de Drude montre que le fa teur d'émission dépend de la longueur
d'onde de la radiation. La gure 4.17 montre l'évolution du fa teur d'émission pour
diérents métaux en fon tion de la longueur d'onde à la température ambiante.
1,0
Aluminium
Tungstène
Platine
Nickel
Or
Argent
Facteur d'émission
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
Longueur d'onde en µm
Fig.
4.17 - Evolution du fa teur d'émission en fon tion de la longueur d'onde à température ambiante.
55
4. Rayonnement des solides
La ourbe en noir (gure 4.17) représente l'évolution du fa teur d'émission de
l'aluminium à la température de 473K . On peut remarquer que le fa teur d'émission dé roit lentement ave la longueur d'onde dans le domaine infrarouge et qu'il
augmente nettement dans le domaine visible (pulsation supérieure à la pulsation
plasma). Nous utiliserons ette propriété pour justier en partie le hoix de la pyrométrie visible lors de la on eption de notre dispositif expérimental.
La température
La pulsation de relaxation ωτ et don le fa teur d'émission dépendent de la température. La gure 4.18 montre l'évolution du fa teur d'émission ave la température
dans le as de l'aluminium pour une longueur d'onde de 1 µm. Les résultats sont
obtenus ave le modèle de Drude et les données numériques du tableau 4.1. On
onstate une augmentation du fa teur d'émission ave la température.
0,08
0,07
Facteur d'émission
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Température en K
Fig.
4.18 - Evolution du fa teur d'émission en fon tion de la température (Aluminium, λ =
1 µm) pour le modèle de
Drude.
Fig.
4.19 - Fa teur d'émission du tungstène en fon tion de λ pour
diérentes températures [52℄.
En général le fa teur d'émission spe tral diminue ave la longueur d'onde et
augmente ave la température. Ce omportement est bien dé rit par la théorie de
Drude.
Dans le domaine infrarouge, on peut montrer
à partir du modèle de Drude que
R
ε (λ,T )L (λ,T )dλ
le fa teur d'émission total déni par εtot = R L (λ,T )dλ est proportionnelle à la
température (loi de Hagen-Rubens) [29, 42℄.
Pour ertains métaux réfra taires (hautes températures de fusion), l'expérien e
met en éviden e un point spe tral appelé "point X" ara térisé par une longueur
∞
λ
0
∞
0
56
0
0
4. Rayonnement des solides
d'onde λX où l'on observe un hangement de signe de dελ/dT [52, 58℄. Dé ouvert par
Weniger et al. en 1919, le point X n'a toujours pas reçu d'interprétation physique
satisfaisante on ernant les mé anismes mi ros opiques mis en jeu. La gure 4.19
montre l'évolution du fa teur d'émission du tungstène ave la longueur d'onde pour
diérentes températures. Le point X est situé à la longueur d'onde λX = 1, 2 µm.
Dans le as de la mesure de la température des BCA par pyrométrie, le point X
permettrait d'être insensible aux variations du fa teur d'émission. Cependant, la
valeur de la longueur d'onde de e point X est a tuellement in onnue pour notre
matériau.
Changements de phase
Un hangement de la stru ture du réseau ristallin ae te dire tement les pulsations plasma et de relaxation. Hervé et Mas let [27, 37℄ ont ee tivement observé la dis ontinuité du fa teur d'émission de l'aluminium au passage solide liquide
(Tf = 660C) pour des longueurs d'onde situées dans l'infrarouge (gure 4.20).
0.06
Facteur d'émission normal
0.05
Liquide
0.04
0.03
Solide
0.02
0.01
0
2
4
6
8
10
12
14
Longueur d'onde en µm
Fig.
4.20 - Variation du fa teur d'émission spe tral de l'aluminium au point de fusion
(Tf = 660C) [27, 37℄.
Plus ré emment, ette propriété a été utilisée par Antoni-Zdziobek et al. [1℄ pour
développer une te hnique de déte tion des hangements de phase dans des alliages
réfra taires à l'aide de deux mesures radiatives aux longueurs d'onde 0, 36 µm et
5, 15 µm. Dans le as du isaillement adiabatique, ette propriété du fa teur d'émis57
4. Rayonnement des solides
sion a permis à Pina [51, 55℄ de repérer le hangement de phase α − β du TA6V lors
de la formation de la bande de isaillement adiabatique.
Les eets de surfa e : la rugosité, l'oxydation
Le fa teur d'émission étant une ara téristique de la surfa e, il dépend don de
l'état d'oxydation de elle- i. De même la rugosité peut modier fortement le fa teur
d'émission. Les aspérités de la surfa e grandes par rapport à la longueur d'onde
onstituent une multitude de avités agissant omme des orps noirs (gure 4.21).
Une augmentation de la rugosité de la surfa e provoque don une augmentation du
fa teur d'émission et une dépolarisation du rayonnement émis [24℄. Nous n'avons
pas hoisi d'utiliser la polarisation du rayonnement émis pour lever l'in ertitude sur
le fa teur d'émission à ause de la dépolarisation due à l'apparition de rugosité lors
de l'essai.
Rayon émis
Fig.
4.21 - Eet de la rugosité sur le fa teur d'émission.
58
5 Prin ipe de la pyrométrie
5.1 Généralités sur la pyrométrie
Nous avons vu dans le hapitre pré édent que le rayonnement émis par la surfa e
d'un matériau dépend de sa température et de la longueur d'onde (Equation 4.6, loi
de Plan k) et il est proportionnel au fa teur d'émission ara téristique de la surfa e
émettri e. La dépendan e du rayonnement vis-à-vis de la température a permis le
développement de la pyrométrie. En eet, l'utilisation d'un apteur ouplé à un système optique, mesurant le rayonnement émis par la surfa e permet de déterminer
la température de elle- i. Contrairement aux apteurs intrusifs tels que les thermo ouples, ette te hnique a l'avantage d'être non intrusive et d'avoir des temps de
réponse très ourts. Grâ e au développement des améras thermiques, la pyrométrie
permet a tuellement d'obtenir des artographies de température. Toutefois, le prinipal in onvénient de ette te hnique est lié à l'in ertitude sur la onnaissan e du
fa teur d'émission. Il faut soit disposer d'une autre mesure indépendante ou trouver
un moyen pour minimiser l'eet du fa teur d'émission.
Un pyromètre est onstitué d'un système optique, d'un déte teur et d'un système d'ampli ation et d'a quisition permettant d'enregistrer le signal délivré par
le déte teur (gure 5.1).
Surface à
observer
Fig.
Détecteur
Système
optique
Amplification
+
Système
d’acquisition
5.1 - S héma d'un dispositif de mesure par pyrométrie.
La on eption d'un pyromètre onsiste à hoisir une plage de longueur d'onde qui
dépend à la fois du domaine de température à mesurer et des domaines spe traux de
sensibilité des déte teurs. La gamme de longueur d'onde doit aussi orrespondre à
une fenêtre de transmission atmosphérique. Pour améliorer les ara téristiques d'un
59
5. Prin ipe de la pyrométrie
pyromètre, la largeur de la bande spe trale peut être réduite à quelques dizaines de
nanomètres (pyrométrie mono hromatique).
5.1.1 Dispositif optique
Le dispositif optique a pour but de fo aliser l'énergie rayonnée sur le déte teur.
Il peut être onstitué d'une ou d'un ensemble de lentilles (obje tif) ou de miroirs.
Les ara téristiques du système optique sont sa distan e fo ale et son ouverture. Le
nombre d'ouverture est déni omme le rapport de la distan e fo ale de l'obje tif à
son diamètre. Pour olle ter le maximum de ux, un dispositif optique doit posséder
un petit nombre d'ouverture. Dans le as de l'imagerie, le dispositif optique doit
limiter les aberrations géométriques et hromatiques. Il permet également d'obtenir
un grandissement noté G de la surfa e observée.
5.1.2 Les déte teurs
Le rle du déte teur est de onvertir le ux olle té par le système optique et reçu
par le déte teur en un signal éle trique. Nous allons maintenant détailler les diérents
types de déte teurs et dénir les grandeurs qui permettront de les ara tériser et de
les omparer entre eux.
Les diérentes familles de déte teurs
On peut distinguer deux grandes familles de apteurs : les déte teurs thermiques
et les déte teurs quantiques. Dans le as des déte teurs thermiques, la radiation
in idente provoque une augmentation de la température de leur surfa e sensible. La
mesure de ette variation de température permet de déterminer l'énergie reçue par
le apteur. Ce type de déte teur possède une sensibilité spe trale onstante dans
une bande spe trale délimitée par la fenêtre du déte teur, mais son prin ipal défaut est sa lenteur ar son temps de réponse est de l'ordre de 10−3 s. Les déte teurs
quantiques sont onstitués de matériaux qui absorbent les radiations in identes en
produisant des porteurs de harge libres ou semi libres (déte teur photovoltaïque ou
photo ondu teur) ou en éje tant un éle tron par photo émission (déte teur photoémissif).
Dans un photo ondu teur, l'absorption d'un photon provoque la réation d'un
éle tron semi-libre qui augmente la ondu tivité du semi- ondu teur. Dans le as
d'un déte teur photovoltaïque, les photons in idents réent une modi ation de la
barrière de potentiel d'une jon tion PN d'un semi- ondu teur. Les prin ipaux semiondu teurs utilisés dans les déte teurs photovoltaïques et photo ondu teurs sont
le sili ium (Si), le germanium (Ge), l'antimoniure d'indium (InSb) et le tellurure de
60
5. Prin ipe de la pyrométrie
admium-mer ure (HgCdTe ou MCT). Les déte teurs photovoltaïques sont généralement plus sensibles et plus rapides que les photo ondu teurs.
Les déte teurs photoémissifs, sont onstitués d'une photo athode pla ée dans le
vide. Lorsqu'elle est frappée par un photon in ident un éle tron est expulsé en dehors
de la photo athode par émission se ondaire. Le photon libéré est alors a éléré
vers l'anode et ontribue à la réation d'un ourant. Dans un photomultipli ateur,
le signal peut être également amplié par une su ession d'éle trodes polarisées
appelées dynodes permettant à partir d'un éle tron émis, d'en libérer plusieurs.
Ce type de déte teur est parti ulièrement sensible aux ourtes longueurs d'onde
(ultraviolet, visible et pro he infrarouge), ar l'énergie du photon in ident doit être
susante pour extraire l'éle tron ave plus d'énergie que les éle trons de bruit.
Sur le même prin ipe, une améra CCD Intensiée (ICCD) est onstituée d'un
intensi ateur d'image et d'une améra CCD lassique. L'intensi ateur omprend
une photo athode, une plaquette onstituée d'une multitude d'ampli ateurs d'éle trons tubulaires d'un diamètre de quelques dizaines de mi romètres soumis à une
haute tension (galette de mi ro anaux) et d'un é ran phosphore qui onvertit le ux
d'éle trons en photons. On distingue trois générations d'intensi ateurs. Dans la première génération (GEN I), les éle trons éje tés sont uniquement a élérés entre la
photo athode et l'anode sans être multipliés. Ces intensi ateurs ne sont plus utilisés
a tuellement. Au ontraire, les intensi ateurs de deuxième et troisième génération
(GEN II et GEN III)1 sont onstitués d'une galette de mi ro anaux qui permet
d'obtenir des gains élevés (plus de 20 000).
Dans la suite, nous ne parlerons que des déte teurs quantiques qui ont un temps
de réponse très ourt. Les déte teurs thermiques dont la onstante de temps est
longue ne onviennent pas à l'étude des phénomènes très brefs.
Cara téristiques des déte teurs quantiques
Dans un déte teur idéal, haque photon reçu par le apteur est onverti en un
photoéle tron. Cependant, dans un déte teur réel, ertains photons ne sont pas
absorbés par le apteur. Les déte teurs sont don ara térisés par leur e a ité
quantique que l'on note Q. Il s'agit du nombre d'éle trons réés sur le nombre de
photons in idents. Cette e a ité quantique est donnée pour une plage de longueur
d'onde très petite (dλ) entourant une longueur d'onde λ :
Q(λ) =
néle tron
nphoton
(5.1)
La diéren e entre es deux générations provient essentiellement du domaine de sensibilité de la
photo athode. Les photo athodes de deuxième génération sont onstituées de multi-al alins plutt
sensibles dans le domaine ultraviolet et visible alors que les photo athodes de troisième génération
sont réalisé en AsGa qui permet d'étendre le domaine de sensibilité au pro he infrarouge (jusqu'à
900 nm) et d'augmenter le rendement.
1
61
5. Prin ipe de la pyrométrie
L'e a ité quantique est inférieure à 1. Dans le as où le ux in ident est amplié
( as des photomultipli ateurs et des améras intensiées) on peut par ontre avoir
plus de 106 éle trons par photoéle tron. Ce hire étant à multiplier par Q(λ).
La sensibilité spe trale d'un déte teur est dénie omme le rapport entre dSi la
variation de signal en sortie de déte teur et dP la variation de la puissan e lumineuse
orrespondante rayonnée sur le déte teur :
dSi
Sλ =
(5.2)
dP
Le lien entre la sensibilité spe trale et l'e a ité quantique est donné par la
formule suivante :
hc
λe
(5.3)
Pour qu'un photon soit absorbé par le semi- ondu teur ou la photo athode d'un
déte teur, il faut qu'il possède une énergie susante. Elle est appelée énergie de
GAP du semi- ondu teur et est notée EGAP . L'e a ité quantique est don nulle à
partir d'une longueur d'onde de oupure λc = E hc et quasiment onstante onstante
en dessous. Cette longueur d'onde est donnée pour diérents matériaux photosensibles dans le tableau 5.1. La sensibilité augmente don proportionnellement à la
longueur d'onde ar l'énergie des photons in idents est inversement proportionnelle
à la longueur d'onde du photon (gure 5.2).
Q(λ) = Sλ
GAP
Sl
lc
Fig.
l
5.2 - L'évolution de la sensibilité ave la longueur d'onde d'un déte teur quantique.
La gure 5.3 montre l'évolution de l'e a ité quantique en fon tion de la longueur d'onde d'une photo athode AsGa de améra intensiée de troisième génération2.
2
Il s'agit d'une améra de marque Prin eton Instruments modèle PI.MAX :1k (HQ)
62
5. Prin ipe de la pyrométrie
5.1 - Domaine de sensibilité des diérents déte teurs.
Matériau
Longueur d'onde Type de apteur
photosensible
de oupure λc
Si
1, 1 µm
Photovoltaïque
InSb
5, 5 µm
Photvoltaïque
HgCdTe
14 µm
Photovoltaïque ou
photo ondu teur
PbS
3µ m
Photo ondu teur
Dépot bi-al alin
0, 65 µm
Photoémissif
(Sb-Rb-Cs ;Sb-K-Cs)
Dépot multi-al alin
0, 85 µm
Photoémissif
S20 (Na-K-Sb-Cs)
AsGa (GEN III)
0, 9 µm
Photoémissif
Tab.
Pour des raisons pratiques, on utilise don souvent le rendement noté η(λ) et
déni par :
η(λ) = Q(λ)
Détermination du bruit d'un déte teur
λ
λc
(5.4)
Le signal de sortie d'un déte teur s'a ompagne toujours d'une u tuation. Cette
u tuation aléatoire, appelée bruit du déte teur limite sa performan e. Pour les
basses fréquen es, l'origine du bruit provient essentiellement de l'imperfe tion des
surfa es des matériaux onstitutifs du déte teur. Aux fréquen es élevées, la diminution du bruit orrespond à la perte de sensibilité du déte teur, limitée par les temps
de transit et les impédan es parasites. Cependant es deux omposantes de bruit ne
gênent pas les mesures ompte tenu des fréquen es d'utilisation du déte teur. Les
bruits les plus limitants ont pour origine l'agitation thermique (bruit de Johnson)
et la granularité de la lumière (bruit photonique). Ces deux types de bruit ont une
distribution spe trale qui ne dépend pas de la fréquen e (bruit blan ).
Comme l'émission des photons est un phénomène aléatoire, le ux in ident sur
la surfa e sensible du déte teur u tue autour d'une valeur moyenne (Cf paragraphe
4.2.4). Cette u tuation se réper ute don sur le signal de sortie du déte teur. Sa
performan e est don souvent limitée non par les u tuations du signal émis par la
surfa e observée mais surtout par le bruit de l'arrière plan de la s ène observée qui
est généralement à température ambiante. Ce bruit de fond est don proportionnel
à l'angle solide d'ouverture du déte teur.
63
5. Prin ipe de la pyrométrie
50%
Efficacité quantique
40%
30%
20%
10%
0%
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Longueur d'onde en µm
Fig.
5.3 - E a ité quantique de la améra intensiée GEN III utilisée dans e travail :
améra de marque Prin eton Instruments, modèle PI.MAX :1k (HQ).
L'origine du bruit en sortie de déte teur peut également provenir du ir uit éle tronique de pré-ampli ation ou de l'agitation thermique (Bruit de Johnson) au
niveau du apteur. Comme le bruit de Johnson dé roît selon la ra ine arrée de la
température, le refroidissement du apteur permet de limiter e bruit éle tronique
et même, si la température est susamment basse (inférieure à une température
limite notée TBLIP ), de le rendre négligeable devant le bruit photonique. Dans es
onditions, 'est le bruit lié aux u tuations du fond de la s ène qui xe les ara téristiques limites du déte teur.
Pour évaluer la qualité d'un dispositif de mesure par pyrométrie, on utilise souvent le rapport de la puissan e du signal en sortie de déte teur sur la puissan e de
bruit. Une bonne déte tion doit don se faire à rapport signal sur bruit élevé.
Pour quantier le bruit d'un déte teur, on dénit souvent la "puissan e équivalente au bruit" omme étant le ux φ ave lequel il faut é lairer le déte teur pour
que la puissan e du signal de sortie soit égale au bruit. Ce ux équivalent au bruit
noté N.E.P. [Noise Equivalent Power℄ est exprimé en Watt.
La déte tivité, notée D, est l'inverse du ux équivalent au bruit et elle s'exprime
en W −1 :
D=
1
φ
(5.5)
Pour obtenir un rapport signal sur bruit élevé, la déte tivité doit être grande.
Pour la plupart des apteurs, elle est inversement proportionnelle à la surfa e du
déte teur. De plus, le bruit du déte teur a généralement une répartition spe trale
onstante (bruit blan ) et il est don proportionnel à la ra ine arrée de la bande
64
5. Prin ipe de la pyrométrie
passante du système éle tronique en sortie de déte teur ∆ν . Pour omparer les
déte teurs entre eux, on dénit souvent la déte tivité spé ique notée D∗ :
D
D∗ = √ √
A ∆ν
(5.6)
La déte tivité spé ique D∗ est donnée dans le tableau 5.2 pour une ouverture
du déte teur de 180, une surfa e de 1 cm2 et une bande passante de 1 Hz et une
température du fond de s ène de 293K .
Tab.
5.2 - Déte tivité de diérents déte teurs (ouverture : 180; surfa e sensible de 1 cm2 ;
bande passante de 1 Hz ; température du fond de s ène : 293K ).
Capteur
Longueur d'onde Déte tivité
√
de oupure
en W −1cm Hz
InSb
5, 5 µm
8, 97.1010
HgCdTe
14 µm
2, 89.1010
Camera ICCD GEN III
0, 9 µm
2, 26.1019
On représente souvent le produit η(λ)D∗ pour un déte teur en fon tion de la
longueur d'onde (gure 5.4). La ourbe en noir est la déte tivité spé ique d'un
déte teur parfait ayant une longueur d'onde de oupure λc. Elle orrespond au bruit
ambiant du fond de s ène.
La déte tivité augmente quand la longueur de oupure diminue puisque les photons sont de plus en plus énergétiques. Dans une améra intensiée, l'intensi ateur
génère un bruit supplémentaire. Des éle trons sont émis spontanément au niveau des
mi ro anaux. Une améra intensiée a don un bruit supérieur à une améra lassique à temps d'exposition égal. Par ontre, dans le as du isaillement adiabatique,
les temps d'exposition très faibles de l'ordre de la dizaine de mi rose ondes génèrent
un bruit négligeable. Ces améras sont don bien adaptées à l'étude de phénomènes
brefs où il faut déte ter et don amplier les quelques photoéle trons produits.
5.1.3 Ampli ation et a quisition
Les variations de signal en sortie de déte teur sont souvent très faibles de l'ordre
du mi rovolt. Il est don amplié et onverti numériquement par le système d'a quisition. Pour limiter le bruit généré par l'ampli ateur, on peut utiliser un préampli ateur refroidi.
65
5. Prin ipe de la pyrométrie
20
10
19
10
18
10
17
10
16
10
15
10
14
10
13
10
12
10
11
10
10
Détectivité spécifique en cm Hz
1/2
W
-1
10
10
InSb
HgCdTe
ICCD
Détecteur parfait
9
0
2
4
6
8
10
12
14
Longueur d'onde en µm
Fig.
5.4 - Déte tivité spé ique de diérents déte teurs (ouverture : 180; surfa e sensible
de 1 cm2 ; bande passante de 1 Hz ; température du fond de s ène : 293K ).
5.2 Expression du signal délivré par un déte teur
Ayant déni les propriétés radiatives des matériaux et les ara téristiques du
système optique et des déte teurs, nous allons maintenant exprimer la puissan e
reçue par un déte teur pla é devant une surfa e à observer à la température T .
Cette puissan e nous permettra de déterminer le signal délivré par le déte teur
et d'évaluer le bruit dû à la u tuation statistique de la température. On pourra
alors faire un bilan des in ertitudes en tenant ompte aussi de elle due au fa teur
d'émission.
5.2.1 Puissan e rayonnée sur un déte teur
On onsidère une petite surfa e dS à la température T pla ée en S1 qui rayonne
dans un demi-espa e. En fa e de la surfa e dS , on pla e un système olle teur, une
lentille ou un miroir, suivie d'un déte teur (gure 5.5). On her he à exprimer la
puissan e reçue par le déte teur.
Lorsque la mise au point est ee tuée, la surfa e dA est l'image de dS . Les
relations de onjugaison de la lentille donnent :
d′
G=
d
et
d=f
66
1
1+
G
(5.7)
5. Prin ipe de la pyrométrie
®
d
M
®
n‘
dS
dW
®
dS n
dA
S1
f
f
d
d’
lentille
a) Montage ave une lentille.
dA
dS
b) Montage ave deux miroirs.
Fig.
5.5 - Puissan e reçue par le déte teur.
où G est le grandissement transversal et f la fo ale de la lentille.
On en déduit don une relation entre dA et dS :
d A = G2 d S
(5.8)
Toute l'énergie rayonnée par dS sur la lentille est transmise à la surfa e dA. On
peut don al uler la puissan e dP reçue par la surfa e dA du déte teur. Pour ela,
on al ule dans un premier temps la puissan e reçue par une surfa e élémentaire dΣ
de la lentille :
dP(~δ) = Lλ(~δ)~δ.~ndΩdS dλ
ave
dΩ = δ.SnMdΣ2
~ ~′
1
(5.9)
En intégrant sur la surfa e de la lentille on obtient la puissan e reçue par la
surfa e dA dans une bande spe trale omprise entre λ et λ + dλ :
67
5. Prin ipe de la pyrométrie
dP =
ZZ
Lentille
~δ.n~′
~δ.~ndS dλdΣ
Lλ (~δ)
S1 M 2
(5.10)
Comme la lentille est parallèle à dS , on a dans notre as :
(5.11)
On peut également onsidérer que les surfa es visées sont toujours de petites
dimensions vis-à-vis du diamètre de la lentille et de la distan e d e qui se traduit
par dS ≈ S . On obtient alors :
~δ.n~′ = ~δ.~n
ZZ
(~δ.~n)2
dΣ
S1 M 2
Lentille
|
{z
}
A
dP = Lλ(λ, T )S dλ
(5.12)
A représente la onstante d'appareillage tenant ompte de la haîne optique entre
la surfa e et le déte teur. Dans le as simple d'une petite surfa e dS visée à l'aide
d'une lentille de diamètre D, de fo ale f nous pouvons exprimer ette onstante
d'appareillage. Cette onguration est représentée sur la gure 5.6.
M
®
d
dr
r
®
S1 n
lentille
Fig.
5.6 - Constante d'appareillage ; onguration du système optique
L'expression de la onstante d'appareillage devient :
A=
ave
ZZ
Lentille
dΣ = 2πrdr,
(~δ.~n)2
dΣ
S1 M 2
S1 M 2 = r2 + d2
68
et
(5.13)
~δ.~n = √ d
r2 + d2
(5.14)
5. Prin ipe de la pyrométrie
On obtient alors :
D'où
ave
Z
A=
0
D
2
D2
2πrd2
1
2
dr = πd − r2 + d2
(r2 + d2 )2
0
d2
A = π 1 − D2
+ d2
4
!
= π(1 − cos2 α) = π sin2 α
(5.15)
(5.16)
le demi-angle d'ouverture de la lentille.
D'où la puissan e reçue par la surfa e dA :
α
dP = Lλ(λ, T )Adλ ave
A = π sin2 α
(5.17)
Pour augmenter l'énergie olle tée, il faut don augmenter le demi-angle d'ouverture α.
5.2.2 Signal en sortie de déte teur
La variation de signal délivrée par le déte teur peut être exprimée en fon tion de
la puissan e rayonnée sur le déte teur dans la gamme de longueurs d'onde omprise
entre λ et λ + dλ à l'aide de la sensibilité spe trale :
dSi = SλdP
(5.18)
En exprimant dP en fon tion des ara téristiques du dispositif optique et du
rayonnement de la surfa e tel qu'on l'a al ulé dans le paragraphe pré édent, on a :
dSi = SλASLλ(λ, T )dλ
Le signal total délivré par le déte teur s'exprime alors :
Si = AS
Z
∞
0
Sλ Lλ (λ, T )dλ
(5.19)
(5.20)
En posant K = AS λhce et en utilisant les relations 5.3 et 5.4, on a :
c
0
Si = Si + K
ave
Z
∞
0
Si0 la
K un
η(λ)Lλ (T, λ)dλ
(5.21)
tension d'oset,
oe ient d'appareillage dépendant du montage optique, du déte teur
et du ir uit d'ampli ation,
69
5. Prin ipe de la pyrométrie
Lλ (T,Rλ) la luminan e mono hromatique de la surfa e visée,
∞
P = 0 η(λ)Lλ (T, λ)dλ représente la puissan e déte tée par
tout le spe tre.
le apteur sur
5.2.3 Etalonnage du système
Pour réussir à quantier la température d'une surfa e ave un pyromètre, il
est né essaire d'identier les diérentes onstantes d'appareillage (Si0 et K ). C'est
l'obje tif de l'étalonnage du système sur une sour e de référen e.
Etalonnage sur un orps noir
Le pyromètre est alibré sur une sour e étalon, un orps noir. Cet étalonnage
permet d'établir la relation entre le signal délivré par le déte teur et la température. Dans le as parti ulier de la pyrométrie mono hromatique, l'énergie P(T ) peut
s'exprimer de la manière suivante :
P(T ) =
=
=
∆λ et λ0 étant respe
Z
λ0 +∆λ/2
η(λ)L0λ (T, λ)dλ
λ0 −∆λ/2
η(λ0 )L0λ (T, λc )∆λ
2hc2 λ−5
0
η(λ0 )
hc
exp kλ0 T −
∆λ
1
(5.22)
(5.23)
(5.24)
tivement la largeur de bande spe trale et la longueur d'onde
entrale du ltre interférentiel.
Dans le as où les bandes spe trales d'observation sont étendues, nous aurons
re ours à une intégration numérique pour obtenir P(T ). L'étalonnage puis le al ul
de P(T ) permettront d'identier les onstantes Si0 et K dans ha un des as. Les
ourbes d'étalonnage des pyromètres asso iés aux bandes de isaillement adiabatique seront présentées dans le paragraphe 6.2.2. Nous vérierons également que la
nonlinéarité de nos déte teurs est négligeable devant les autres sour es d'erreur.
Corre tion due au fa teur d'émission : température de luminan e
La surfa e réelle à observer n'est pas un orps noir. Il est don né essaire de
prendre en ompte son fa teur d'émission. On peut ependant dénir la température de luminan e notée Tλ omme la température d'un orps noir qui rayonnerait
la même puissan e que la surfa e réelle. Dans le as d'une surfa e réelle, la température de luminan e est diérente de la température vraie de la surfa e ar son fa teur
70
5. Prin ipe de la pyrométrie
d'émission mono hromatique noté ελ(T, λ) est inférieur à 1. Dans le as de la pyrométrie mono hromatique, la température de luminan e s'exprime par la relation
suivante :
(5.25)
Dans le as de la pyrométrie large bande (longueurs d'ondes omprises entre λ1
et λ2), la formulation de ette température de luminan e est un peu plus omplexe.
Elle onduit à l'expression suivante :
Lλ (T ) = ελ L0λ (T ) = L0λ (Tλ )
Z
λ2
λ1
dλ =
ελ η(λ)L0λ (T, λ)
Z
λ2
λ1
η(λ)L0λ (Tλ , λ)dλ
(5.26)
La température de luminan e est déterminée dire tement à partir de la ourbe
d'étalonnage.
Connaissant le fa teur d'émission, on peut exprimer le lien entre la température
de la surfa e réelle et le signal délivré par le déte teur et retrouver une ourbe
d'étalonnage en fon tion de la température de la surfa e réelle.
Diéren e entre la température réelle et la température de luminan e
Dans de nombreux as, il est di ile de onnaître pré isément le fa teur d'émission. Lorsqu'il est in onnu, on peut se demander quel est l'é art entre la température
réelle par la température de luminan e.
Dans le as mono hromatique, la dénition de la température de luminan e
(équation 5.25) donne en utilisant l'approximation de Wien :
ελ (λ0 , T ) exp
hc
kλ0 Tλ
= exp
hc
kλ0 T
(5.27)
où λ0 orrespond à la longueur d'onde entrale du ltre interférentiel.
D'où :
1
1
kλc
−
ln ελ
=
T
Tλ
hc
(5.28)
L'é art entre la température réelle et la température de luminan e vaut don :
kλc
ln ελ
hc
(5.29)
Dans le as de la pyrométrie large bande, la température de luminan e est donnée
par la relation 5.26. Si l'on onsidère que le fa teur d'émission varie très peu vis-à-vis
de la température et de la longueur d'onde, on obtient :
∆T = T − Tλ = −Tλ T
71
5. Prin ipe de la pyrométrie
ελ P(T ) = P(Tλ )
(5.30)
Tλ = P −1 (ελ P(T ))
(5.31)
∆T = T − Tλ = T − P −1 (ελ P(T ))
(5.32)
On peut alors déterminer simplement la température de luminan e :
On peut également quantier l'é art entre la température réelle et la température
de luminan e :
Cet é art est représenté sur la gure 5.7 en fon tion du fa teur d'émission pour
le domaine visible et le domaine infrarouge pour une température réelle de 700C.
La gure 5.8 représente et é art en fon tion de la température pour un fa teur
d'émission xé à 0,25 dans l'infrarouge et 0,4 dans le visible. On onstate que les
erreurs sont nettement plus faibles dans le domaine visible. Par exemple, pour une
température réelle de 700C, en utilisant un déte teur InSb et une améra intensiée
GEN III sans ltre, on obtient respe tivement des é arts de 247C et 60C soit 25%
et 6%.
L'approximation de la température réelle par la température de luminan e est
orre te dans le domaine visible. Comme nous l'avons mis en éviden e dans le paragraphe 4.2.5 (gure 4.10), plus la longueur d'onde est ourte plus une variation
de température rée une grande variation de puissan e émise par la surfa e. Les variations de signal liées aux variations du fa teur d'émission sont alors négligeables.
Pour améliorer l'estimation de la température réelle, on peut également faire une
approximation relativement grossière du fa teur d'émission.
5.3 Con eption et optimisation de la haîne pyrométrique
Dans les paragraphes pré édents, nous avons vu que l'in ertitude sur le fa teur
d'émission de la surfa e réelle né essite de hoisir des longueurs d'onde les plus
ourtes possible pour limiter les erreurs sur la mesure de température. Cependant
plus la longueur d'onde est pro he de l'ultraviolet, plus l'énergie émise par la surfa e
est faible et don di ile à déte ter. On se propose don dans ette partie de ara tériser les limites de déte tion de diérents apteurs et de déterminer les meilleurs
onditions expérimentales de déte tion.
72
5. Prin ipe de la pyrométrie
700
600
InSb ( λ max =4,5µm)
HgCdTe ( λ max =12µm)
Caméra Princeton+filtre 0,634µm
Caméra Princeton sans filtre
Ecart en ˚C
500
400
300
200
100
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Facteur d'émission
Fig.
5.7 - E art entre la température et la température de luminan e en fon tion du fa teur
d'émission et du apteur hoisi pour une température de 700C.
700
InSb ( λ max = 4,5µm; ε = 0,25)
HgCdTe ( λ max = 12µm; ε = 0,25)
Caméra Princeton+filtre 0,634µm ( ε = 0,4)
Caméra Princeton sans filtre ( ε = 0,4)
600
Erreur en ˚C
500
400
300
200
100
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Température en ˚C
Fig.
5.8 - E art entre la température et la température de luminan e en fon tion de la
température et du apteur hoisi pour un fa teur d'émission de 0,25 dans l'infrarouge et de 0,4 dans le visible.
73
5. Prin ipe de la pyrométrie
5.3.1 Optimisation de la taille du déte teur et du système
optique
Dans un premier temps, nous allons nous intéresser au hoix de la taille du
déte teur et du dispositif optique. Si nous supposons que la taille de l'objet à observer
est xée, nous pouvons essayer de déterminer la taille optimale du déte teur à hoisir
pour obtenir un rapport signal sur bruit maximal.
On peut d'abord quantier la puissan e déte tée par le apteur observant une
surfa e S à la température T à l'aide de la formule 5.21 :
Ps = SA
Z
|
λc
λ1
η(λ)L0λ (λ, T )dλ
{z
}
(5.33)
P(T )
ave A = dΣ et Σ la surfa e de la lentille et λ1 la oupure basse du matériau ou de
la fenêtre du déte teur.
On a don :
SΣP
Ps =
(5.34)
d2
On a vu pré édemment que le bruit du déte teur est proportionnel à la ra ine
arrée de la surfa e du déte teur d'où la puissan e de bruit Pb :
2
√
Ω ∆ν √
Pb =
A
∗
| D
{z }
(5.35)
K1
ave
∆ν la longueur de la bande passante du ir uit éle tronique
A la surfa e du déte teur
Ω l'angle solide d'ouverture du déte teur
D∗ la déte tivité spé ique
On peut alors exprimer le rapport signal sur bruit :
P(T )ΣS
√
ave
A = G2 S
2
K1 d A
P(T )ΣS
√
=
K1 d2 G S
√
1
ΣP(T ) S
=
2
1 2
K1 f
} 1+ G G
| {z
S/B =
K2
74
(5.36)
(5.37)
(5.38)
5. Prin ipe de la pyrométrie
0,30
Signal sur bruit divisé par K 2
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0
1
2
3
4
5
6
7
Grandissement G
Fig.
5.9 - Rapport signal sur bruit en fon tion du grandissement.
Les paramètres P(T ), S et K1 dépendent de l'objet observé et des ara téristiques du déte teur et ne peuvent pas être modiés. Pour augmenter le rapport
signal sur bruit, il faut un oe ient de proportionalité K2 le plus grand possible.
La gure 5.9 montre également que le rapport signal sur bruit est optimal
pour un grandissement de 1. Pour la mesure des basses températures (entre
50C et 300C) où le problème du rapport signal sur bruit est ru ial, nous hoisirons don un système optique donnant la plus grande ouverture possible en évitant
les aberrations géométriques ou hromatiques. Ce i nous a onduit à utiliser deux
miroirs paraboliques ave un grandissement de 1.
5.3.2 Comparaison des déte teurs
La question est i i de savoir quel déte teur est le plus approprié à l'observation
d'un objet à une température T donnée. En fait il existe deux ritères de hoix : le
rapport signal sur bruit et le rapport variation de signal sur bruit. Dans les deux
paragraphes suivants, nous allons détailler es ritères dans le as des déte teurs
InSb et HgCdTe ainsi que pour la améra intensiée Prin eton Instruments sans
ltre.
75
5. Prin ipe de la pyrométrie
Rapport signal sur bruit
Nous avons vu que plus un déte teur a une longueur d'onde de oupure pro he
des ourtes longueurs d'onde, plus son bruit est réduit (voir gure 5.4). Cependant
plus la température à mesurer est basse, plus le rayonnement émis est faible d'où un
signal en sortie de déte teur également faible. Il existe don un ompromis à trouver
entre un signal élevé et un bruit susamment faible.
Pour déterminer les plages de températures asso iées à l'utilisation optimale des
diérents déte teurs, il est né essaire de quantier pré isément le rapport signal sur
bruit.
Les formules 5.33 et 5.35 nous donnent les expressions de la puissan e du bruit
et de la puissan e reçue par le déte teur :
√ √
Ω ∆ν A
Pb =
D∗
et
Ps = SA
Z
On en déduit don le rapport signal sur bruit :
SA
S/B = √ √
Ω ∆ν A
Z
λc
0
λc
0
η(λ)L0λ (λ, T )dλ
D∗ η(λ)L0λ (λ, T )dλ
(5.39)
(5.40)
La grandeur η(λ)D∗ est une donnée intrinsèque au déte teur (gure 5.4).
Ce rapport signal sur bruit est représenté pour les déte teurs InSb, HgCdTe et
la améra intensiée Prin eton Instruments sans ltre sur la gure 5.10 pour les
ara téristiques du montage optique données dans le tableau 5.3.
5.3 - Cara téristiques du système de mesure.
Surfa e visée
43 µm x 43 µm
Surfa e déte teur
43 µm x 43 µm
Grandissement G
1
Ouverture du déte teur
0, 785 sr soit 60
Ouverture du système optique
0, 121 sr
Bande passante
1 M Hz
Tab.
Après analyse de la gure 5.10, nous onstatons que :
en dessous de 100C le déte teur HgCdTe ore le meilleur rapport signal sur
bruit.
pour des températures omprises entre 100C et 370C, le déte teur InSb est
le plus approprié.
au delà de 370C, on utilisera plutt une améra intensiée.
76
5. Prin ipe de la pyrométrie
120
3500
100
3000
InSb
HgCdTe
InSb
HgCdTe
ICCD Gen III
Rapport signal sur bruit
Rapport signal sur bruit
2500
80
60
40
20
2000
1500
1000
500
0
0
0
20
40
60
80
100
120
0
140
Fig.
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Température en ˚C
Température en ˚C
5.10 - Comparaison des déte teurs vis à vis du rapport signal sur bruit pour la onguration donnée dans le tableau 5.3.
Variation de signal par rapport au bruit
On demande souvent à un pyromètre d'être apable de déte ter de faibles variations de température. Pour satisfaire à ette exigen e, il sut que la variation de
signal asso iée soit supérieure au bruit du déte teur. Ce i fournit don un ritère de
hoix supplémentaire d'un déte teur en fon tion de la température à mesurer. La
variation de puissan e du signal liée à une variation de température de 1K vaut :
dPs = SA Z λ η(λ) ∂L0λ (λ, T )dλ
(5.41)
dT
∂T
0
On en déduit don le rapport de la variation de signal sur le bruit :
c
SA
∆S/B = √ √
∆ν AΩ
Z
λc
∂L0λ
(λ, T )dλ
∂T
(5.42)
Le rapport variation de signal sur bruit est représenté pour les déte teurs InSb,
HgCdTe et la améra intensiée Prin eton Instruments sans ltre sur la gure 5.11.
0
D∗ η(λ)
Pour avoir un meilleur rapport variation de signal sur bruit, il faut utiliser un
déte teur HgCdTe en dessous de 50C. Pour des températures omprises entre 50C
et 310C le déte teur InSb semble le plus approprié. Pour des températures au delà
de 310C, on utilisera la améra intensiée.
5.3.3 Con lusion
En tenant ompte des résultats obtenus pré édemment, nous avons hoisi pour
notre dispositif expérimental de mesure de la température dans les BCA, un déte 77
5. Prin ipe de la pyrométrie
20
2,0
18
Variation de signal sur bruit
Variation de signal sur bruit
InSb
HgCdTe
ICCD Gen III
16
InSb
HgCdTe
1,5
1,0
0,5
14
12
10
8
6
4
2
0
0,0
0
20
40
60
80
100
120
140
0
Température en ˚C
Fig.
50
100
150
200
250
300
350
400
Température en ˚C
5.11 - Comparaison des déte teurs vis à vis de la variation de signal par rapport au
bruit.
teur InSb ave pour les basses températures (50C à 300C) et la améra
intensiée Prin eton Instruments sans ltre pour les hautes températures
(800C à 1600C).
78
6 Dispositif expérimental asso ié
aux bandes de isaillement
adiabatiques
6.1 Présentation du montage mé anique
6.1.1 Barres d'Hopkinson en torsion
Le dispositif des barres d'Hopkinson permet de solli iter les matériaux à grande
vitesse de déformation et de mesurer la déformation et la ontrainte dans l'é hatillon
testé. Plusieurs types de solli itations sont possibles à l'aide de e dispositif : la
ompression, la tra tion et la torsion. La solli itation de torsion est parti ulièrement
bien adaptée au isaillement adiabatique ar elle permet de visualiser la formation
de la bande dire tement sur l'éprouvette.
Le prin ipe repose sur la propagation des ondes élastiques le long de barres. Une
éprouvette tubulaire est pla ée entre les barres entrantes et sortantes (gure 6.1).
Elle est xée à elles- i par l'intermédiaire de deux six pans. Une partie de la barre
entrante omprise entre le moteur M et le frein F est soumise à une torsion. Le frein
est alors rela hé et une onde de torsion se propage le long de la barre entrante et
vient solli iter l'éprouvette. Une partie de ette onde in idente est réé hie alors
que l'autre est transmise à la barre sortante. Des jauges pla ées au milieu des barres
permettent de mesurer les déformations des barres dues au passage des ondes.
6.1.2 Eprouvette
Les éprouvettes solli itées dynamiquement ont une géométrie tubulaire semblable
à elles utilisées par Mar hand et Duy [36℄ et Deltort [15℄. Pour maîtriser la position
où va se former la bande de isaillement adiabatique, la partie tubulaire possède une
rédu tion de se tion en son entre. Les gures 6.2 et 6.3 montrent respe tivement
une photographie et un plan de la partie utile de l'éprouvette.
An d'avoir une bonne reprodu tibilité des essais, nous avons fait parti ulière79
6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de
isaillement adiabatiques
Temps
Onde réfléchie
Mesures des
déformations
des barres dues
aux ondes réfléchie
et transmise
Onde transmise
„ L’onde incidente
se divise en une
onde réfléchie et
une onde transmise
ƒ Début de
sollicitation
de l’éprouvette
Onde incidente
‚ Relâchement
du frein;
propagation
de l’onde incidente
Couple
de torsion
Frein F
Moteur M
Barre entrante
 Mise en torsion
Jauge J2
Jauge J1
Eprouvette
de l’extrémité
de la barre
Barre sortante
Abcisse
6.1 - prin ipe de fon tionnement des barres d'Hopkinson en torsion.
R40
Fig.
0,4mm
2mm
Fig.
6.2 - Photographie de l'éprouvette
de torsion.
Fig.
80
6.3 - Plan de la partie utile de
l'éprouvette.
6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de
isaillement adiabatiques
ment attention à la oaxialité des surfa es ylindriques intérieure et extérieure qui
ontrle dire tement l'épaisseur de toile et à la rugosité des diérentes surfa es de
la partie utile.
Le matériau utilisé pour la réalisation de es éprouvettes est l'alliage de titane
TA6V hoisi pour sa sensibilité au isaillement adiabatique. Le titane présente deux
formes allotropiques, la phase α qui est de stru ture hexagonale et stable à basse
température et la phase β qui est ubique entrée et stable au-dessus de la température de transus β (882C pour le titane pur et 996C pour le TA6V). L'ajout
d'aluminium stabilise la phase α alors que l'ajout de vanadium stabilise la phase β .
A température ambiante, le TA6V dont la omposition himique est donnée dans
le tableau 6.1, présente une stru ture biphasée αβ . Le traitement thermomé anique
omprend un forgeage dans le domaine β (température supérieure à 996C), un
laminage dans le domaine αβ (entre 930C et 960C) et un re uit à 788C pendant 1
heure, suivi d'un refroidissement au four. La gure 6.4 montre la mi rostru ture de
et alliage dans le plan normal au sens travers ourt. Elle est onstituée de grains
α équiaxes (taille de grain entre 5 et 10 mi rons) et de grains β minoritaires pla és
autour des grains α. On onstate également la présen e de bandes de laminage dans
lesquelles les grains α ont une morphologie très allongée (largeur des grains 3 à 4
mi romètres).
Tab.
6.1 - Composition himique de l'alliage de titane TA6V.
Elément
Pour entage massique
Fig.
Al
6,26
V
3,88
O
0,17
C
0,01
N
0,006
Fe
0,0017
6.4 - Mi rostru ture de l'alliage TA6V.
81
Ti
89,67
6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de
isaillement adiabatiques
Déformation de la barre
6.1.3 Méthode de dépouillement
Les signaux enregistrés par les deux jauges permettent de déduire l'évolution au
ours du temps de la déformation de la barre entrante et de la barre sortante (εt(t)).
Pour une longueur susante de la barre entrante, on peut dé oupler l'onde in idente
(εi(t)) de l'onde réé hie (εr (t)). Un exemple des signaux obtenus pendant un essai
est donné sur la gure 6.5.
1,0x10
-3
8,0x10
-4
6,0x10
-4
4,0x10
-4
2,0x10
-4
Onde incidente
Onde réfléchie
Onde transmise
0,0
-2,0x10
-4
-4,0x10
-4
-6,0x10
-4
-8,0x10
-4
-1,0x10
-3
-0,0005
0,0000
0,0005
0,0010
0,0015
0,0020
Temps en s
Fig.
6.5 - Signaux de jauges.
A partir de la déformation de la barre, on détermine la vitesse de rotation θ̇ et
le moment de torsion M. La onnaissan e des ara téristiques élastiques des barres
permet de remonter à l'angle et au moment de torsion en bout des barres entrante
et sortante.
On obtient alors pour la barre entrante l'angle de rotation θe et le moment de
torsion Me :
θe =
ave
2c
Rb
−εi t −
2Jµ
Me =
Rb
le
Ct
+ εr t +
le
Ct
le
le
εi t −
+ εr t +
Ct
Ct
Ct la élérité des ondes de torsion,
J le moment d'inertie quadratique par rapport à l'axe de la barre,
le la distan e entre la jauge et le bout de la barre entrante,
µ le module de isaillement,
Rb le rayon de la barre.
82
6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de
isaillement adiabatiques
Et pour la barre sortante l'angle de rotation θs et le moment de torsion Ms :
2Ct
ls
θs =
.εt t +
Rb
Ct
2Jµ
ls
Ms =
.εt t +
Rb
Ct
(6.1)
(6.2)
où ls est la distan e entre la jauge et le bout de la barre sortante.
Les diérentes valeurs orrespondantes aux barres en aluminium sont données
dans le tableau 6.2
Tab.
6.2 - Propriétés mé aniques des barres d'Hopkinson en aluminium.
Grandeur
Notation
Module de isaillement
µ
Rayon de la barre
Rb
πR
Moment d'inertie quadratique
J= 2
Masse volumique
ρq
Célérité des ondes de isaillement
Ct = µρ
Distan e entre la jauge et le bout de la barre entrante
le
Distan e entre la jauge et le bout de la barre sortante
ls
4
b
Valeur
26, 2 GP a
15 mm
7, 95.10−8 m4
2890 kgm−3
3011 ms−1
1, 295 m
1, 3 m
On peut alors al uler la déformation γ et la ontrainte τ dans l'éprouvette :
γ=
θs − θe
Re
l
et
τ=
M
Re .Se
(6.3)
ave l et Se la longueur et la se tion de la partie utile de l'éprouvette.
On supposera l'équilibre de l'éprouvette réalisé, e qui se traduit par l'égalité du
moment sur la barre entrante et sortante (M = Me = Ms). Cette hypothèse est généralement vériée pendant tout l'essai sauf au début de la solli itation. On obtient
sur les gures 6.6 et 6.7 respe tivement l'évolution de la vitesse de déformation au
ours du temps et la ourbe ontrainte déformation. La rupture de l'éprouvette est
ara térisée par une hute rapide de la ontrainte. Avant la rupture, la vitesse de déformation peut onsidérée omme onstante. Ces résultats sont très reprodu tibles,
mais il est di ile pendant les diérents essais de torsion de ontrler pré isément
la vitesse de déformation. Celle- i dépend de l'angle de torsion que l'on impose à la
barre avant l'essai.
83
6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de
isaillement adiabatiques
2000
Vitesse de déformationen s
-1
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Déformation de cisaillement
Fig.
6.6 - Vitesse de déformation de l'éprouvette.
800
Contrainte de cisaillement en MPa
700
600
500
400
300
200
100
0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Déformation de cisaillement
Fig.
6.7 - Contrainte de isaillement dans l'éprouvette de torsion.
84
6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de
isaillement adiabatiques
6.2 Présentation du montage expérimental
6.2.1 Mesure du fa teur d'émission du TA6V
Pour limiter les erreurs dues au fa teur d'émission notamment dans le domaine
infrarouge, elui- i a été mesuré dans un domaine de température ompris entre 75C
et 350C en fon tion de la rugosité de la surfa e1 . Ces mesures ont été ee tuées
sur des éprouvettes arrées de 5 cm par 5 cm. La moitié de la surfa e a été peinte
ave une peinture fortement émissive2. Cette zone servira de référen e orps noir.
L'autre moitié est onstituée du métal ave trois rugosités diérentes : la première
orrespond à un poli miroir (Ra = 0, 021 µm)3 , la deuxième à un usinage brut
(Ra = 0, 297 µm) et la troisième à un dépoli (Ra = 0, 869 µm). L'éprouvette est xée
sur un élément hauant et sa température est mesurée par un thermo ouple. La
omparaison du signal en sortie d'un déte teur InSb photovoltaïque orrespondant à
la partie peinte et à la partie non peinte permet de déterminer l'emissivité asso iée
au spe tre du déte teur (εInSb ). On peut relier e fa teur d'émission au fa teur
d'émission mono hromatique par la relation suivante :
εInSb =
R λc
0
ελ (λ, T )η(λ)L0λ (λ, T )dλ
R λc
η(λ)L0λ (λ, T )dλ
0
(6.4)
Le fa teur émission mesuré par ette te hnique expérimentale tient ompte de
la réexion sur l'é hantillon du rayonnement thermique des parois à température
ambiante (gure 6.8). Il s'agit don d'un fa teur d'émission apparent.
Enceinte
à Tamb
Echantillon à la
température T
Détecteur
Lentille
Fig.
6.8 - Fa teur d'émission du TA6V dans le domaine infrarouge.
Ces essais ont été réalisés au département LOT du CTA ave l'aide de messieurs, Sauques,
Sigaud et Garrioux.
2 Peinture Velvet 811.21 (Distribuée par la so iété Mankiewi z). Fa teur d'émission mesuré à
0,93 à 3 µm pour des températures omprises entre 200C et 500C
3 Ra : Rugosité moyenne arithmétique ; moyenne arithmétique de l'é art entre l'altitude de la
surfa e et la ligne moyenne.
1
85
6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de
isaillement adiabatiques
Dans la onguration expérimentale asso iée au isaillement adiabatique, ette
reexion de l'environnement à température ambiante sur l'éprouvette est également
présente. Le dépouillement des essais de isaillement adiabatique doit don utiliser
e fa teur d'émission apparent. Ce fa teur d'émission apparent est donné sur la
gure 6.9 en fon tion de la température pour diérentes qualités de surfa e. A titre
indi atif, la gure 6.10 donne l'évolution du fa teur d'émission réel en fon tion de
la température. Il est al ulé à l'aide de l'équation suivante :
εapp = ε + (1 − ε)
L0λ (Tamb , λmax )
L0λ (T, λmax )
(6.5)
0,30
0,30
0,25
0,25
0,20
0,20
Facteur d'émission
Facteur d'émission apparent
ave Tamb la température de l'en einte prise égale à 20C, T la température de
l'é hantillon et λmax = 4, 5 µm la longueur d'onde orrespondant au maximum de
sensibilité du déte teur InSb.
0,15
0,10
TA6V Rugeux
TA6V Lisse
TA6V Usiné
0,05
0,15
0,10
0,05
0,00
0,00
100
150
200
250
300
100
Température en ˚C
Fig.
TA6V Rugeux
TA6V Lisse
TA6V Usiné
150
200
250
300
Température en ˚C
6.9 - Fa teur d'émission apparent
du TA6V dans le domaine infrarouge pour la bande spe trale du déte teur InSb.
Fig.
6.10 - Fa teur d'émission du TA6V
dans le domaine infrarouge
pour la bande spe trale du déte teur InSb.
Pour vérier que la surfa e de l'é hantillon ne s'oxyde pas, nous avons ee tué
un y le de montée en température suivi d'un y le de des ente de la température.
Les fa teurs d'émission mesurés pendant la des ente et la montée sont sensiblement
égaux. L'oxydation n'intervient don pas dans notre gamme de température et pour
notre durée d'essai.
La gure 6.9 montre que le fa teur d'émission apparent dépend peu de la température dans la plage de température étudiée. Lors de la déformation plastique, la
rugosité de la surfa e augmente (passage de l'état usiné à l'état dépoli). Les mesures
du fa teur d'émission apparent montrent également qu'il varie peu ave l'état de
surfa e. Pour le dépouillement des essais de torsion dynamique, on le prendra égal à
86
6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de
isaillement adiabatiques
0, 25 ± 0, 025. L'in ertitude sur le fa teur d'émission orrespond à une erreur sur la
mesure de température de 4C pour une température de surfa e de 50C et de 10C
pour une température de surfa e de 280C.
La gure 6.11 montre que nos résultats expérimentaux on ernant le fa teur
d'émission suivent à peu près une loi linéaire ave la température (loi de HagenRubens [42℄).
0,30
Facteur d'émission
0,25
Points expérimentaux
Loi de Hagen Rubens
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0
100
200
300
400
500
600
Température en K
Fig.
6.11 - Comparaison ave la loi de Hagen-Rubens : as du TA6V usiné.
6.2.2 Le pyromètre
La plage de mesure de la température se divise en deux domaines : les "basses
températures" (50C à 300C) et les "hautes températures" (800C à 1600C).
Les "basses températures" (50C à 300C) : On utilise une barrette de 32
déte teurs InSb photovoltaïques refroidies à l'azote liquide de marque Cin inatti
ave un système optique de grandissement 1 onstitué de deux miroirs paraboliques
de fo ale 152 mm, an de limiter les aberrations hromatiques et géométriques.
Les longueurs d'onde déte tées sont dans le domaine pro he infrarouge (1 µm à
5, 5 µm). La taille des déte teurs est de 43 µm par 43 µm et leur temps de réponse
est de l'ordre de 500 ns. L'espa ement entre deux déte teurs est de 18 µm soit une
longueur visée sur l'éprouvette de 1, 934 mm. La zone d'observation sur la partie utile
est réprésentée sur les gures 6.12 et 6.13. Le signal en sortie de haque déte teur
87
6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de
isaillement adiabatiques
est enregistré par un système d'a quisition (NICOLET Multipro) ave une fréquen e
d'é hantillonnage de 1 M Hz . On utilise la même référen e temporelle que elle des
jauges de déformation pla ées sur les barres e qui pemet de orréler les déformations
et les ontraintes ave l'évolution de la température.
Les "hautes températures" (800C à 1600C) : On utilise une améra in-
tensiée numérique 16 bits de marque Prin eton Instruments modèle PI.MAX :1k
(HQ) ave une photo athode InGaAs de troisième génération (GEN III) dont la
plage spe trale de sensibilité s'étend de 0, 4 µm à 0, 9 µm. Son rendement quantique
est donné sur la gure 5.3. L'énergie rayonnée par l'éprouvette est fo alisée à l'aide
d'une lentille en verre de fo ale 10 cm. Le grandissement du système optique est
égal à 5. Le hamp d'observation de la améra est donné sur les gures 6.12 et 6.13.
Un pixel orrespond à une zone visée sur l'éprouvette de 2 µm par 2 µm. Les temps
d'ouverture varient entre 10 µs et 20 µs. Compte tenu de la fréquen e de rafraî hissement de la matri e CCD (100Hz), la améra ne prendra qu'une image pendant
l'essai de torsion.
Zone visée par
la caméra et le
monodétecteur
Ligne
visée par
la barrette
2mm
Partie utile de
l’éprouvette
Fig.
6.12 - Eprouvette de torsion après
rupture.
Fig.
6.13 - Visualisation des zones d'observations sur la partie utile
de l'éprouvette.
Dé len hement de la améra La durée formation d'une BCA étant très ourte
(quelques dizaines de mi rose ondes), il est di ile d'avoir un système de dé len hement susament pré is. Pour résoudre e problème, nous avons hoisi de dé len her
la améra à partir d'un monodéte teur InSb photovoltaïque qui visualise la totalité
de la partie utile de l'éprouvette (zone d'observation de 2 mm par 2 mm). Ce apteur
permet de déte ter une augmentation de température importante au niveau de la
partie utile de l'éprouvette et de donner une référen e temporelle an de dé len her
la améra. Le temps de réponse du déte teur InSb étant de l'ordre de 500 ns, le
dé len hement peut se faire de manière susamment pré ise.
88
6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de
ˆ
‰
†
ƒ
Š

‡
‡
isaillement adiabatiques
„
Š
ˆ
†
‚
‰
(1) barrette de 32 déte teurs InSb, (2) amera intensiée, (3) monodéte teur InSb, (4) laser d'alignement,
(5) éprouvette de torsion, (6) barres entrantes et sortantes, (7) lame séparatri e et lame di hroïque,
(8) lentille, (9) miroirs plans, (10) miroirs paraboliques, (11) ube séparateur.
Fig.
6.14 - Dispositif de mesure de la température
89
6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de
isaillement adiabatiques
Alignement Les tailles des BCA étant très petites (quelques dizaines de mi romètres), il est né essaire d'aligner les diérents déte teurs sur la partie utile de
l'éprouvette à haque essai. Ce i est réalisé grâ e à un laser d'alignement.
Dispositif optique Une vue générale du dispositif optique ave la position des
diérents éléments est donnée sur la gure 6.14.
Etalonnage Le pyromètre est étalonné sur deux orps noirs, l'un pour les basses
températures et l'autre pour les hautes températures (Marque Pyrox ; pré ision :
2C à 3C ; fa teur d'émission : 0, 98 ± 1%). Les ourbes d'étalonnages sont données
sur les gures 6.15 et 6.16. Les signaux en sortie des déte teurs sont également
représentés en fon tion de l'énergie reçue sur les gures 6.17 et 6.18. On peut alors
onstater expérimentalement la linéarité de la réponse des deux déte teurs.
90
6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de
9,5
isaillement adiabatiques
50000
9,0
40000
Niveau numérique
Signal en V
8,5
8,0
7,5
7,0
30000
20000
10000
6,5
0
6,0
20
40
60
80
100
120
140
800
160
900
Fig.
1000
1100
1200
1300
Température en˚C
Température en ˚C
6.15 - Courbe d'étalonnage du déte teur InSb de la barrette en
fon tion de la température de
la sour e orps noir.
Fig.
9,5
6.16 - Courbe d'étalonnage de la améra ICCD en fon tion de
la température de la sour e
orps noir.
50000
9,0
40000
Niveau numérique
8,5
Signal en V
8,0
7,5
7,0
30000
20000
10000
6,5
6,0
0
0
10
20
30
40
50
60
0
70
Fig.
100
200
300
400
500
600
700
800
Puissance rayonnée sur le capteur en W
Puissance rayonnée sur le détecteur en W
6.17 - Courbe d'étalonnage du déte teur InSb de la barrette
en fon tion de la puissan e
rayonnée sur le apteur.
Fig.
91
6.18 - Courbe d'étalonnage de la améra ICCD en fon tion de
la puissan e rayonnée sur le
apteur.
6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de
isaillement adiabatiques
6.3 Test de la haîne de mesure
An de tester notre haîne de mesure, nous avons réalisé une série de 21 essais
de torsion dynamique sur les barres d'Hopkinson. Le tableau 6.3 fait un bilan de es
essais et donne les vitesses de déformation mesurées.
Tab.
6.3 - Essais de torsion dynamique.
Référen e Vitesse de déformation
d'essai de isaillement en s−1
E11
1480
E12
1100
E13
1930
E14
1390
E15
1410
E16
1850
E17
1730
E18
1940
E19
1920
E20
2040
E21
2020
Référen e Vitesse de déformation
d'essai de isaillement en s−1
E1
1020
E2
1330
E3
1180
E4
1060
E5
1300
E6
1320
E7
1310
E8
1510
E9
1810
E10
1500
Les gures 6.19 à 6.22 montrent les résultats obtenus lors de l'essai de torsion
dynamique E19 à une vitesse de déformation de 1920 s−1.
La gure 6.19 représente l'évolution simultanée de la température mesurée au
entre de la bande de isaillement naissante et de la ontrainte de isaillement en
fon tion de la déformation nominale de l'éprouvette. Dans la première partie de
l'essai (Phase 1), on onstate une augmentation quasi linéaire de la température
ave la déformation de isaillement (environ 2 K.µs−1). La ontrainte d'é oulement
reste alors onstante égale à environ 700 M P a. A partir d'une déformation nominale
ritique estimée à un peu plus de 50%, apparaît une hute brutale de la ontrainte
et une augmentation très rapide de la température de 10 K.µs−1 à 15 K.µs−1 (Phase
2). C'est la formation de la bande de isaillement adiabatique. La température au
début de ette phase 2 est d'environ 150C.
La gure 6.20 représente l'évolution de la température mesurée par la barrette
de déte teurs InSb (domaine infrarouge) en fon tion du temps et don de la position
axiale. Ce dispositif de mesure étant dimensionné pour déte ter les basses températures, le déte teur sature à partir de 280C. On peut remarquer que la phase 1
orrespond une phase de température homogène et don de déformation homogène
alors que la phase 2 met en éviden e une forte hétérogénéité de la température.
92
6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de
isaillement adiabatiques
Temps en µs
0
50
100
150
200
250
300
800
PHASE 2
PHASE 1
300
700
250
200
500
Température
Contrainte
400
150
300
100
200
Température en ˚C
Contrainte en MPa
600
50
100
0
0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
Déformation
Fig.
6.19 - Evolution de la ontrainte et de la température lors de l'essai E19.
Fig.
6.20 - Distribution de la température jusqu'à 280C ; λmax = 4, 5 µm.
93
6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de
isaillement adiabatiques
Temps en µs
0
50
100
150
200
250
300
350
400
500
500
Monodétecteur
Barrette
Déclenchement caméra
400
300
300
Seuil de
déclenchement
200
40µs
200
100
Température en ˚C
Température en ˚C
400
100
Durée 10µs
0
0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Déformation
Fig.
Fig.
6.21 - Dé len hement de la améra.
6.22 - Champ de température de luminan e en phase nale de BCA ; λmax = 0, 8 µm,
zone visée : 2 mm par 2 mm ; temps d'ouverture 10 µs.
94
6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de
isaillement adiabatiques
La améra intensiée est dé len hée ave un délai de 40 µs à partir d'un seuil sur
le signal du monodéte teur. Le temps d'ouverture de la améra est de 10 µs. Le signal
du monodéte teur et l'ouverture de la améra sont représentés sur la gure 6.21 en
fon tion du temps et de la déformation nominale. La thermographie obtenue par la
améra (domaine visible) est donnée en gure 6.22. Le trait pointillés orrespond à
la ligne d'observation de la barette de déte teurs InSb. La température maximale
est de l'ordre de 1000C. Il s'agit d'une température de luminan e. Si l'on suppose
que la valeur du fa teur d'émission dans le domaine visible est 0,4, l'é art sur la
mesure de température est de 80C soit un é art relative de 6%. La température
réelle serait alors de 1080C.
Le dispositif expérimental que nous avons onçu et réalisé nous permet don de
mesurer des hamps de température au moment de l'amorçage de la BCA et d'obtenir une thermographie de la BCA lors de sa propagation. Ces diérents résultats
seront analysés dans la partie suivante de e mémoire.
95
6. Dispositif expérimental asso ié aux bandes de
96
isaillement adiabatiques
Troisième partie
Analyse des résultats - Dis ussion
97
Introdu tion
An de mieux omprendre les mé anismes de formation des BCA, nous avons réalisé
plusieurs essais ave le dispositif expérimental présenté dans la partie pré édente. Pour
interpréter les résultats obtenus, nous les avons onfrontés à une modélisation numérique
de notre éprouvette de torsion solli itée dynamiquement. Ce modèle prend en ompte un
ouplage thermomé anique fort et une loi d'é oulement plastique intégrant les phénomènes d'é rouissage, de dur issement dynamique et d'adou issement thermique. Il nous
permet de simuler la formation d'une bande de isaillement adiabatique à partir d'un
défaut géométrique ara térisé par deux paramètres : une amplitude et une taille. Après
avoir détaillé les hypothèses du modèle et la méthode d'identi ation de la loi d'é oulement, nous présenterons les résultats obtenus. Nous tenterons ensuite d'expliquer les
observations expérimentales que nous avons réalisées à partir du dispositif de mesure de
température lors de l'essai de torsion aux barres d'Hopkinson.
99
7 Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
7.1 Présentation du modèle
La modélisation de l'éprouvette de torsion solli itée dynamiquement né essite de
faire diérentes hypothèses sur la géométrie et sur le omportement du matériau
an de pouvoir simuler l'amorçage de la BCA et de rendre raisonnables les temps
de al ul.
7.1.1 Mise en équation du problème
Les équations d'équilibre
An de prendre en ompte les eets de la température et de la rapidité de la solli itation sur l'amorçage de la bande, nous avons hoisi un modèle thermomé anique
ouplé fort ave prise en ompte des eorts d'inertie [30, 54℄.
L'équilibre thermique du milieu s'é rit don :
dT = σ : ε̇p − Rṗ +T ∂σ : ε̇e + T ∂R ṗ + λ∆T
ρC
(7.1)
dt | {z } ∂T
∂T
βσ:ε̇p
ave ddt la dérivée parti ulaire, R l'é rouissage, p la variable d'é rouissage et ε̇e et ε̇p
les déformations élastique et plastique.
Le terme σ : ε̇p − Rṗ représente l'énergie mé anique dissipée sous forme de
haleur. Il est souvent exprimé à l'aide du oe ient de Taylor Quinney noté
β qui représente la fra tion de puissan e mé anique onvertie en haleur. En
général, e oe ient est onsidéré omme onstant et égal à 0,9 [61℄. En toute
rigueur, il peut dépendre de la déformation plastique [9, 10, 59℄ et de la vitesse
de déformation [59℄.
∂σ
Le terme T ∂T
: ε̇e est un terme sour e lié au ouplage thermoélastique [62, 63℄.
Il sera négligé devant le terme dû à la dissipation de l'énergie mé anique en
haleur.
101
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
ṗ est un terme sour e lié au ouplage thermoplastique.
Le terme T ∂R
∂T
Le terme λ∆T représente la dissipation liée à la ondu tion thermique dans
le matériau. Le symbole ∆ représente l'opérateur Lapla ien. Compte tenu de
la durée de formation et de la largeur des bandes, e terme ne peut pas être
négligé1.
Le omportement du matériau
Nous avons hoisi pour le matériau un modèle de omportement élasto thermovis oplastique. On suppose que le taux de déformation totale se dé ompose en une
partie élastique ε̇e et une partie plastique ε̇p.
ε̇ = ε̇e + ε̇p
La loi d'élasti ité linéaire s'é rit :
(7.2)
(7.3)
ave σ∗ la dérivée de Jaumann2 du tenseur des ontraintes et C la raideur du
matériau. Le symbole : représente le produit doublement ontra té de deux tenseurs.
Le omportement élastique sera onsidéré omme isotrope et indépendant de la
température. On notera E et ν respe tivement le module de Young et le oe ient
de Poisson. Dans le as de l'alliage de titane TA6V, on prendra E = 105 GP a et
ν = 0, 34.
Le omportement plastique du matériau étant également supposé isotrope, on
hoisit une fon tion seuil3 f de la forme :
σ ∗ = C : ε̇e
f (σ) = σeq − σe − R
(7.4)
f (σ) = σeq − σ(εeq , ε̇eq , T )
(7.5)
Soit en posant σe + R = σ(εeq , ε̇eq , T ) :
ave
σe
la limite d'élasti ité.
Cette hypothèse peut être justiée en al ulant le nombre de Fourier asso ié à notre phénomène : F o = 4a∆t
ave ∆t = 10 µs la durée du phénomène, a = 3, 1.10−6 m2 s−1 la diusivité
d
thermique du TA6V et d = 10 µm la largeur de bande. On trouve F o = 1, 2 ; le phénomène n'est
don pas adiabatique.
2 Dérivée de Jaumann : σ ∗ = σ̇ −ω σ −ω σ ave ω la partie anti symétrique du gradient
ij
jk ki
ik kj
jk
ij
du ve teur vitesse
3 Le ritère de plasti ité est déni à partir de la fon tion seuil f vériant : f (σ) < 0 dans le
domaine élastique et f (σ) = 0 lors de l'é oulement plastique
1
2
102
7. Modélisation numérique du
σeq
isaillement adiabatique
la ontrainte équivalente de Von Mises :
r
1
ave
s = σ − tr (σ)1
3
s représente la partie déviatorique du tenseur des ontraintes.
εeq la déformation plastique équivalente umulée :
σeq =
3
s:s
2
εeq = p =
Z tr
0
2 p
ε̇ (τ ) : ε̇p (τ )dτ
3
(7.6)
(7.7)
L'hypothèse de normalité asso iée aux phénomènes dissipatifs instantanés permet d'é rire :
∂f
ε̇p = λ
(7.8)
∂σ
ave λ le multipli ateur plastique.
L'expression et l'identi ation de la loi d'é oulement plastique (σ(εeq , ε̇eq , T ))
sera détaillée dans le paragraphe 7.2.
7.1.2 Géométrie du problème et onditions limites
L'éprouvette à modéliser a une géométrie tubulaire ave une rédu tion de se tion en son entre. Il s'agit don d'une géométrie tridimensionnelle (gures 6.3 et
6.2 de la deuxième partie). L'épaisseur de toile (e = 0, 4 mm) est très faible devant
le rayon intérieur du tube (Re = 4, 5 mm) et on supposera don que les ontraintes,
les déformations et la température sont homogènes dans l'épaisseur de toile. Cette
hypothèse permet de passer à un modèle bidimensionnel de l'éprouvette e qui réduira les temps de al ul. La partie utile de l'éprouvette est don modélisée par
un parallèlépipède de longueur L = 2πRe = 28, 3 mm ave Re le rayon intérieur
de l'éprouvette, de largeur l = 2 mm et d'épaisseur e = 0, 4 mm (gure 7.1). La
rédu tion de se tion au entre de l'éprouvette n'est pas prise en ompte dans e
modèle.
Les omposantes radiales du tenseur des ontraintes (σrr , σrθ et σrz ) étant onsidérées nulles dans le as de l'éprouvette tubulaire, on fera l'hypothèse des ontraintes
planes dans le modèle bidimensionnel.
An d'avoir équivalen e entre le modèle bidimensionnel et tridimensionel, nous
imposons sur les bords droit et gau he les onditions inématiques suivantes (gure
7.1) :
L
L
ux (x = − , y) = ux (x = + , y)
2
2
L
L
uy (x = − , y) = uy (x = + , y)
2
2
103
(7.9)
(7.10)
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
y
vx(-L/2,y)=vx(L/2,y)
vy(-L/2,y)=vy(L/2,y)
vx=V
l/2
-L/2
défaut
L/2
x
-l/2
vx=0
vy=0
Fig.
vx(L/2,y)=vx(-L/2,y)
vy(L/2,y)=vy(-L/2,y)
7.1 - Géométrie et onditions limites du modèle.
Sur la partie supérieure y = l/2 de l'éprouvette, on applique une vitesse onstante
suivant l'axe x (vx = V ). La partie supérieure de l'éprouvette reste libre de se déplaer suivant y, mais les dépla ements suivant y de tous les noeuds du bord supérieur
sont égaux. Sur la partie inférieure y = −l/2 les vitesses vx et vy sont nulles. Pour le
problème thermique, toutes les onditions limites sont onsidérées adiabatiques4. Les
onditions limites mé aniques appliquées au modèle sont représentées sur la gure
7.1.
Initialement, la température est onstante dans l'éprouvette et égale à T0 =
293K .
7.1.3 Modélisation des défauts
Nous supposons dans notre modèle que la bande de isaillement adiabatique est
amor ée par un seul défaut ritique et va se propager à partir de e site d'amorçage.
Le défaut ritique peut être de deux natures diérentes : un défaut de rugosité ou un
défaut métallurgique omme par exemple un empilement de dislo ations sur un joint
de grain. Qu'il soit dû à la rugosité ou d'origine métallurgique, le défaut génère une
on entration de la ontrainte et de la déformation plastique. Il sera pris en ompte
dans notre modèle ma ros opique par l'intermédiaire d'une zone ir ulaire sur la
partie utile de l'éprouvette dont l'épaisseur sera réduite. Ses ara téristiques seront
modélisées par deux paramètres : son amplitude qui sera dénie par la rédu tion
√
La dimension ara téristique de la ondu tion dc est donnée par la relation : dc = 2 a∆t
ave a = 3, 1.10−6 m2 s−1 la diusivité thermique et ∆t = 10−3 s la durée d'un essai. On trouve
dc = 111 µm. L'inuen e thermique de la partie massive de l'éprouvette ae tera don une distan e
d'environ 110 mi romètres de la partie utile. Comparée à la largeur de toile (2 mm) ette distan e
est très faible. On peut supposer des onditions limites adiabatiques.
4
104
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
relative de l'épaisseur ∆e/e et sa taille par le diamètre D de la zone ir ulaire. Le
défaut sera pla é au entre de la partie utile de l'éprouvette (xdéfaut = ydéfaut = 0
sur la gure 7.1). Dans notre al ul, nous ferons varier son amplitude entre 1% et
5% et son diamètre de 20 µm à 100 µm.
7.2 Loi de omportement
Nous allons maintenant nous intéresser à la loi d'é oulement plastique de notre
alliage de titane et à l'identi ation des diérents paramètres à partir d'essais expérimentaux.
Le hoix d'une loi d'é oulement plastique est un point très important dans la modélisation du isaillement adiabatique. Elle doit prendre en ompte les phénomènes
d'é rouissage, de dur issement dynamique et d'adou issement thermique et doit être
valable pour des gammes de déformation, de vitesse de déformation et de température étendues. L'identi ation de es paramètres né essite de mettre en oeuvre des
essais mettant en jeu des grandes déformations, des vitesses de déformation élevées
et une large gamme de température.
Après avoir présenté la loi de omportement que nous avons hoisie, nous détaillerons les essais de omportement que nous avons réalisés an d'identier les
paramètres de la loi.
7.2.1 Loi de Johnson-Cook
Expression de la ontrainte d'é oulement
Pour dé rire la ontrainte d'é oulement plastique de l'alliage de titane TA6V,
nous avons hoisi une loi empirique multipli ative de type Johnson-Cook [28℄. Elle
exprime la ontrainte d'é oulement en fon tion de la déformation équivalente, de
la vitesse de déformation équivalente et de la température. Johnson et Cook introduisent une température de transition Tt au dessus de laquelle l'eet de la température sur la ontrainte d'é oulement n'est pas négligeable. La loi d'é oulement
s'é rit :
Pour T 6 Tt :
ε̇eq
σ(εeq , ε̇eq , T ) = (A + B (εeq ) ) 1 + C ln
ε̇0
(7.11)
n
et Tf > T > Tt :
n
σ(εeq , ε̇eq , T ) = (A + B (εeq ) ) 1 + C ln
{z
}
|
{z
Terme d'é rouissage |
ε̇eq
ε̇0
}|
1−
T − Tt
Tf − Tt
{z
m }
Terme dynamique :fd Terme d'adou issement :fa
105
(7.12)
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
Cette loi d'é oulement se dé ompose en trois termes, un terme d'é rouissage, un
terme dynamique et un terme d'adou issement :
Le terme relatif à l'é rouissage orrespond à la ontrainte d'é oulement à vitesse de déformation onstante (ε̇eq = ε̇0 et à température onstante T = Tt).
A est la ontrainte d'é oulement à déformation plastique nulle et B et n sont
respe tivement les paramètres linéaire et non linéaire d'é rouissage.
Le deuxième terme est un fa teur multipli atif noté fd ara térisant le durissement dynamique du matériau. Ce terme dépend don de la vitesse de
déformation plastique équivalente. C est le oe ient de sensibilité à la vitesse de déformation et ε˙0 est une vitesse de déformation de référen e.
Le troisième terme de la loi est un fa teur noté fa orrespondant au phénomène
d'adou issement thermique. En dessous de la température de transition Tt, l'effet de la température sur la loi d'é oulement est négligé. Pour des températures
omprises entre Tt et la température de fusion Tf , la ontrainte d'é oulement
diminue ave la température pour devenir nulle pour T = Tf . Au-delà de la
température de fusion, la ontrainte d'é oulement est pratiquement nulle. Tt
est don la température de transition à partir de laquelle on a un mé anisme
d'adou issement thermique et m l'exposant d'adou issement thermique.
La gure 7.2 montre l'allure de l'évolution de es trois termes en fon tion des
diérentes variables.
Cette loi peut également s'é rire dans le as d'une solli itation de torsion et
permet de relier la ontrainte de isaillement τ et la déformation de isaillement γ :
En utilisant les relations suivantes :
σeq =
√
γp
εeq = √
3
et
3τ
(7.13)
et la loi de Johnson-Cook, on obtient l'expression de la ontrainte de isaillement :
p
p
′
′
p n
′
τ (γ , γ̇ , T ) = (A + B (γ ) ) 1 + C ln
ave
γ̇ p
γ̇0
A
A′ = √
3
′
n = n
1−
T − Tt
Tf − Tt
m (7.14)
B′ =
(7.15)
(7.16)
(7.17)
C′
γ̇0
(7.18)
(7.19)
B
√ n+1
3
= C
√
=
3ε̇0
106
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
fd
s
A
C
1
1
eeq
a) Terme d'é rouissage en fon tion de εeq .
eeq
e0
b) Fa teur dynamique en fon tion de ε̇eq .
fa
1
Tf
Tt
T
) Fa teur d'adou issement en fon tion de T .
Fig.
7.2 - Allure de l'évolution des diérents termes de la loi de Johnson-Cook.
Terme de ouplage thermoplastique
L'expression de la loi de omportement de Johnson-Cook permet de déterminer
le terme de ouplage thermoplastique T ∂R
ṗ dans l'équation de la haleur (équation
∂T
7.1).
Dans le domaine plastique, omme R = σ(εeq , ε̇eq , T ) − σe, on a en onsidérant
la limite d'élasti ité indépendante de la température :
∂R
∂σ(εeq , ε̇eq , T )
=
∂T
∂T
En utilisant l'expression de la loi d'é oulement, il vient :
107
(7.20)
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
∂R
dfa
= (A + B (εeq )n ) fd (ε̇eq )
∂T
dT
m−1
−1
T − Ta
n
= (A + B (εeq ) ) fd (ε̇eq )
m
Tf − Ta
Tf − Ta
(7.21)
(7.22)
Si l'on suppose le oe ient m pro he de 1, on obtient :
∂R
−1
= (A + B (εeq )n ) fd (ε̇eq )
∂T
Tf − Ta
(7.23)
−T
σ(εeq , ε̇eq , Ta )ε̇eq
Tf − Ta
(7.24)
Le terme de ouplage thermoplastique s'é rit don :
P ouplage =
Ce terme de ouplage est négatif, il se soustrait don du terme de dissipation.
De plus, il devient important quand la température augmente et s'appro he de la
température de fusion. Cependant dans la suite de e travail, nous le négligerons.
7.2.2 Identi ation des paramètres - Essais de omportement
Essais de omportement
An d'identier les diérents paramètres de la loi de Johnson-Cook présentée
pré édemment, nous avons ee tué des essais de omportement en torsion statique et
dynamique à diérentes températures omprises entre l'ambiante et 300C (tableau
7.1).
Tous les essais sont réalisés sur les barres d'Hopkinson en torsion. L'éprouvette de
omportement est similaire à elle utilisée pour étudier le isaillement adiabatique,
mais elle ne omporte pas de rédu tion de se tion en son entre et elle possède une
partie utile plus longue (5 mm au lieu de 2 mm) an de limiter les eets de bord. Dans
le as des essais statiques, le frein n'est pas utilisé et la solli itation est dire tement
appliquée par le vérin. Les jauges pla ées sur les barres permettent de déterminer
la ontrainte appliquée et la déformation de l'éprouvette est mesurée dire tement
ave un extensomètre optique. Pendant les essais en température, l'éprouvette est
hauée ave un four à image. Les résultats des essais statiques et dynamiques sont
dépouillés pour des déformations de isaillement respe tivement inférieures à 35%
et 10%. Au-delà de es valeurs de déformation, nous pouvons onstater l'apparition
de mé anismes d'endommagement du matériau non modélisés par la loi de JohnsonCook.
Les gures 7.3 et 7.4 mettent en éviden e le dur issement dynamique et l'adouissement thermique lors des essais de omportement.
108
7. Modélisation numérique du
Tab.
isaillement adiabatique
7.1 - Essais de omportement ee tués.
Référen e Vitesse de déformation Température
d'essai de isaillement en s−1
enC
S1
0,097
20
S2
0,104
20
S3
0,101
20
D1
776
20
D2
571
20
D3
565
20
D4
406
20
T1
365
300
T2
222
300
T3
301
230
700
700
600
600
500
Essai S1 à 0,1 s
Essai D3 à 550 s
400
Contrainte en MPa
Contrainte en MPa
500
-1
-1
300
200
100
0
0,00
300
200
100
0,02
0,04
0,06
0,08
0
0,00
0,10
Déformation plastique de cisaillement
Fig.
Essai T1 : dynamique à 300 ˚C
Essai D3 : dynamique à 20 ˚C
400
0,02
0,04
0,06
0,08
Déformation plastique de cisaillement
7.3 - Mise en éviden e expérimentale du dur issement dynamique.
Fig.
109
7.4 - Mise en éviden e expérimentale de l'adou issement thermique.
0,10
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
Identi ation des paramètres d'é rouissage
Les paramètres A′, B ′, et n du terme d'é rouissage de la loi de Johnson-Cook
sont identiés à partir des essais statiques à température ambiante (essais S1, S2 et
S3). On hoisit alors la vitesse de déformation γ̇0 de référen e égale à la vitesse de
déformation des essais statiques soit 0, 1 s−1 et la température de transition Tt égale
à la température ambiante (20C) e qui permet de prendre toujours en ompte
l'adou issement thermique lors de nos essais. On suppose également que la température augmente susamment peu pendant l'essai statique pour que les eets
de l'adou issement thermique puissent être négligés : l'élévation de la température
lors d'un essai statique est majorée par la température d'un essai identique mais
βτ
∆γ
onsidéré omme adiabatique que l'on peut quantier ave la relation ∆T = ρC
ave β , τ = 600 M P a et γ = 0, 35 soit ∆T = 65C. La gure 7.4 montre qu'une
augmentation de 280C de la température provoque une diminution de la ontrainte
d'é oulement de moins de 100 M P a. En supposant que l'évolution de la diminution
de ontrainte varie linéairement ave la température, une variation de ∆T = 65C
provoquera une diminution de ontrainte de 23 M P a soit une erreur de moins de
4%. Nous onsidèrerons ette diminution omme négligeable devant les évolutions
de ontrainte dues à l'é rouissage.
Une méthode de minimisation sur l'ensemble des essais statiques (S1, S2 et S3)
permet de déterminer les paramètres A′, B ′, et n. On obtient :
et n = 0, 25
(7.25)
La gure 7.5 représente l'évolution expérimentale de la ontrainte ave la déformation plastique lors de l'essai S1 et sa modélisation ave la loi de Johnson-Cook.
Ce type de loi est don bien adapté au omportement statique de l'alliage de titane
TA6V et sera don utilisé dans notre simulation numérique.
A′ = 500 M P a,
B ′ = 160 M P a
Identi ation des paramètres dynamiques
Les paramètres A′, B ′, et n étant identiés à partir d'un essai statique à une
vitesse déformation de 0, 1s−1, on pose don la vitesse de déformation de référen e
γ̇0 égale à 0, 1 s−1 . Pour déterminer le oe ient de sensibilité à la vitesse de déformation C ′, on utilise les essais dynamiques à température ambiante (essais D1, D2,
D3 et D4).
La ontrainte d'é oulement τ lors d'un essai dynamique pour une déformation
plastique γ p = 10% à la température ambiante peut s'é rire à partir de l'équation
7.12 sous la forme :
′
′
p n
′
τ = (A + B (γ ) ) 1 + C ln
γ̇ p
γ̇0
110
ave
γ p = 10%
(7.26)
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
700
600
Johnson-Cook statique
et isotherme à T=20 ˚C
Essai S1 : statique à 20˚C
Contrainte en MPa
500
400
300
200
100
0
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
Déformation plastique de cisaillement
Fig.
7.5 - Identi ation des paramètres d'é rouissage ; omparaison ave l'essai statique
S1 (γ̇ p = 0, 1 s−1 et T = 20C).
En posant τ10% = A′ + B ′ (γ p)n ave
γ p = 10%
τ − τ10%
= C ′ ln
τ10%
on obtient :
γ̇ p
γ̇0
(7.27)
Lagure
7.6 représente la variation relative de la ontrainte τ −τ
en fon tion
τ
de ln γ̇γ̇ pour les quatre essais dynamiques de omportement D1, D2, D3 et D4.
Comme pour
γ̇ p = γ̇0 , on a τ10% = τ , la variation relative de la ontrainte τ −τ
et
τ
le terme ln γ̇γ̇ valent don zéro. Ce i permet de rajouter un point supplémentaire
sur la gure 7.6.
La gure 7.6 met bien en éviden e un dur issement dynamique du TA6V. Bien
que l'on n'ait pas de valeurs expérimentales pour des
vitesses intermédiaires, nous
τ −τ
γ̇
supposons une relation linéaire entre τ et ln γ̇ et nous ee tuons une régression linéaire pour obtenir la valeur de C ′. On trouve :
10%
10%
p
0
10%
10%
p
0
10%
10%
C ′ = 0, 008
111
p
0
(7.28)
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
0,08
Variation relative de la contrainte
0,07
Points expérimentaux
Point supplémentaire
Johnson-Cook
0,06
Essais
dynamiques
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
Essais
statiques
0,00
-0,01
0
2
4
6
8
10
.p .
ln (γ /γ0)
Fig.
7.6 - Identi ation du oe ient de sensibilité à la vitesse de déformation à partir
des essais D1, D2, D3 et D4.
Identi ation des paramètres d'adou issement thermique
Pour déterminer le paramètre m lié à l'adou issement themique, nous utilisons
les essais dynamiques à 230C (essai T1) et 300C (essais T2 et T3). La loi de
Johnson-Cook permet d'exprimer la ontrainte d'é oulement pour une déformation
plastique de 10% en fon tion de la température et de la vitesse de déformation.
τ = τ10% fd 1 −
p ave fd = 1 + C ′ ln
dynamique.
On obtient don :
γ̇
γ̇0
T − Tt
Tf − Tt
m (7.29)
le fa teur multipli atif tenant ompte du dur issement
τ10% fd − τ
= (θ∗ )m
τ10% fd
ave
θ∗ =
T − Tt
Tf − Tt
(7.30)
La température de fusion Tf du TA6V est égale à 1670C et lors de l'identiation du terme statique de la loi de Johnson-Cook, nous avons également hoisi
une température de transition égale à 20C. La gure 7.7 représente le logarithme
de la variation relative de ontrainte en fon tion du logarithme de θ∗ pour les essais
112
Logarithme de la variation relative de contrainte
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
-2,5
Points expérimentaux
Point supplémentaire
Johnson-Cook
-2,0
230˚C
300˚C
-1,5
-1,0
-0,5
1670˚C
-0,0
-0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
*
ln(θ )
Fig.
7.7 - Identi ation de l'exposant d'adou issement thermique.
dynamiques en température (essais T1, T2 et T3). Pour T = Tf , la loi de JohnsonCook impose que la ontrainte d'é oulement
soit nulle. Pour ln θ∗ = 0, le logarithme
τ
f −τ
de la variation relative de ontrainte ln τ f est également nul. Ce i permet de
rajouter un point supplémentaire sur la gure 7.7.
La gure 7.7 met bien en éviden e un adou issement thermique du TA6V. Bien
que l'on n'ait pas de valeurs expérimentales pour des températures omprises entre
300C et 1670C, nous supposons une relation linéaire entre ln τ τ f f−τ et ln θ∗, et
nous ee tuons une régression linéaire pour déterminer le oe ient m. On trouve :
10% d
10% d
10% d
10% d
m = 1, 055
(7.31)
Con lusion
Nous avons identié dans les paragraphes pré édents une loi de omportement de
type Johnson-Cook à partir d'essais de torsion statiques et dynamiques à diérentes
températures. Les paramètres identiés sont donnés dans le tableau 7.2 dans le as
général (σ(εeq , ε̇eq , T )) et dans le as parti ulier d'une solli itation de isaillement
(τ (γ p, γ̇ p, T )).
113
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
7.2 - Paramètres de la loi de Johnson-Cook.
b) Cas du isaillement
a) Cas général
Paramètre
Valeur
Paramètre Valeur
Tab.
A
B
n
C
ε̇0
Tt
Tf
m
A′
B′
n
C′
γ̇0
Tt
Tf
m
866 M P a
318 M P a
0,25
0,008
5, 77.10−2 s−1
20C
1670C
1,055
500 M P a
160 M P a
0,25
0,008
0, 1 s−1
20C
1670C
1,055
7.3 Le al ul par éléments nis
Après avoir mis en équation le problème de isaillement adiabatique puis hoisi et
identié une loi d'é oulement plastique, nous allons à présent résoudre le problème
ave un ode de al ul éléments nis. Dans les paragraphes suivants, nous allons
détailler le maillage ainsi que l'algorithme de al ul hoisis.
7.3.1 Maillage
Dans le as des phénomènes de lo alisation de la déformation, d'importants gradients de déformation, de température et de vitesse de déformation apparaissent
dans la stru ture. Il est don né essaire d'avoir un maillage susamment rané
dans les zones où va se développer la bande de isaillement adiabatique. Une vue
générale du maillage que nous avons hoisi est présentée sur la gure 7.8.
Fig.
7.8 - Vue générale du maillage de l'éprouvette de torsion.
Dans notre as, la taille des éléments situés au entre de la partie utile est égale
à 10 µm et est don inférieure à la taille d'une bande mesurée expérimentalement
(10 µm à 20 µm dans le TA6V). Plus l'on s'éloigne du défaut plus la dimension des
mailles augmente. Un maillage globalement plus rané ave une taille de maille
de 5 µm a montré les résultats du al ul restaient in hangés [56℄. Dans la suite de
114
7. Modélisation numérique du
Fig.
isaillement adiabatique
7.9 - Maillage au voisinage du défaut.
l'étude nous utiliserons le premier maillage éléments nis qui ompte environ 4000
éléments.
Au voisinage du défaut, le maillage intègre la topologie des diérentes tailles
de défauts que nous avons hoisies (gure 7.9). L'intérêt prin ipal de e type de
dis rétisation réside dans le fait que le maillage reste identique lorsqu'on hange
la taille du défaut et e qui permet don de supprimer d'éventuelles inuen es du
maillage lors de la omparaison des résultats.
7.3.2 Cara téristiques du al ul
Des al uls thermomé aniques fortement ouplés ave prise en ompte de la
ondu tion ont été ee tués ave le ode de al ul éléments nis Abaqus Expli it
version 6.3. Les éléments hoisis sont de type CPS3RT et CPS4RT (éléments plaque
à 3 ou 4 noeuds en ontrainte plane ave prise en ompte de la température). Le
omportement du matériau est élasto thermovis oplastique ave une loi d'é oulement
plastique de type Johnson-Cook.
Les diérentes valeurs numériques des propriétés thermomé aniques du TA6V
utilisées sont présentées dans le tableau 7.3.
7.4 Résultats du modèle
7.4.1 Historique de la formation de la bande
La gure 7.10 montre l'évolution de la ontrainte de isaillement en fon tion de
la déformation plastique de isaillement nominale. La taille et l'amplitude du défaut
introduit valent respe tivement 40 µm et 5%. On onstate sur la ourbe ontrainte
115
7. Modélisation numérique du
700
(1)
isaillement adiabatique
(2)
(3)
Contrainte de cisaillement en MPa
600
(4)
500
400
300
200
100
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Déformation plastique de cisaillement nominale
Fig.
7.10 - Courbe ontrainte déformation nominale pour un défaut de 40 µm de diamètre
et de 5% d'amplitude (V = 3 ms−1 soit γ̇ = 1500 s−1).
y
V
l/2
Défaut
-L/2
-l/2
S héma de la demi éprouvette
Température en
Kelvin
(1) γ = 1, 08, t = 746 µs
(2) γ = 1, 16, t = 804 µs
(3) γ = 1, 17, t = 816 µs
(4) γ = 1, 18, t = 840 µs
Fig.
7.11 - Historique de la formation de la bande de isaillement pour un défaut de 40 µm
de diamètre et de 5% d'amplitude (V = 3 ms−1 soit γ̇ = 1500 s−1).
116
x
7. Modélisation numérique du
Tab.
isaillement adiabatique
7.3 - Propriététés thermomé aniques du TA6V.
Propriété
Notation
Coe ient de Taylor-Quinney
β
Capa ité alorique massique
C
Condu tivité thermique
λ
Masse volumique
ρ
Module de Young
E
Coe ient de Poisson
ν
Vitesse de solli itation
V
Température initiale
T0
Valeur
0,9
656 JK −1 kg −1
9 W m−1 K −1
4400 kgm−3
105000 M P a
0,34
3 ms−1
20C
déformation la présen e d'un maximum pour une déformation de 40% orrespondant
au début de l'instabilité plastique. Il apparaît une hute brutale de la ontrainte de
isaillement pour une déformation plastique de 120%.
La gure 7.11 présente les hamps de température à diérents instants repérés
sur la ourbe ontrainte déformation de la gure 7.10 (points (1), (2), (3) et (4)).
Le hamp de température étant symétrique par rapport au entre du défaut O,
seule une demi éprouvette est représentée. On peut remarquer sur le premier hamp
(1), une faible hétérogénéité du hamp de température au voisinage du défaut. Le
deuxième hamp (2) montre l'amorçage à partir du défaut d'une bande de isaillement adiabatique ara térisée par une forte hétérogénéité de la température sous
forme d'une ne bande. Les deux derniers hamps (3 et 4) montrent l'évolution de
ette bande et mettent en éviden e sa propagation le long de la demi éprouvette de
droite à gau he.
7.4.2 Champs de vitesse et de ontrainte
La gure 7.12 permet de omparer les hamps de vitesse suivant x (vx), de
température et de ontrainte de isaillement τ en onguration déformée à l'instant
t4 = 840 µs (point (4) sur la gure 7.10). Le diamètre du défaut est de 40 µm et son
amplitude vaut 5%.
En amont de la bande de isaillement adiabatique ( té gau he), le prol de
vitesse vx possède une répartition ane suivant la dire tion y (prol de Couette).
Au ontraire en aval du front de propagation de la bande ( té droit), la vitesse
est onstante de part et d'autre de la bande et présente un fort gradient à travers
elle- i (mouvement de orps rigide). Le hamp de température en onguration
déformée montre une forte hétérogénéité de la température au niveau de la bande.
Des températures maximales de l'ordre de 1000C sont atteintes dans la partie de
117
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
Vitesse vx en
mms−1
Champ de vitesse suivant x pour γ = 1, 18, t = 840 µs
V
V
V
Sens de propagation
de la BCA
Défaut
BCA
V=0
V=0
V=0
Vue s hématique du prol de vitesse
Contrainte de
isaillement en
MPa
Champ de ontrainte pour γ = 1, 18, t = 840 µs
V
Défaut
BCA
Zone déchargée
Propagation d’un
front de décharge
Vue s hématique de la zone de dé harge
Température
en K
Champ de température pour γ = 1, 18, t = 840 µs
Fig.
7.12 - Champ de vitesse, de ontrainte et de température dans une demi éprouvette
à l'instant t4 = 840 µs (défaut de diamètre 40 µm et d'amplitude 5% ; vitesse
de V = 3 s−1 soit γ̇ = 1500 ms−1).
118
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
la bande située au voisinage du défaut.
Le hamp de ontrainte présenté sur la gure 7.12 montre que la propagation de
la bande s'a ompagne d'un front de dé harge se déplaçant à la même vitesse que
la bande. Dans la zone dé hargée, les ontraintes sont de l'ordre de 380 M P a alors
que dans la zone non dé hargée, elles sont de l'ordre de 650 M P a.
7.4.3 Inuen e du défaut sur la BCA
Pour déterminer l'infuen e du défaut, des a luls ont été menés pour diérents
diamètres de défaut (de 20 µm à 100 µm ave un pas de 20 µm) et diérentes amplitudes (1 à 5% ave un pas de 1%). Dans les paragraphes suivants, nous allons étudier
plus parti ulièrement l'eet de es deux paramètres d'une part sur la déformation à
la lo alisation et d'autre part sur la vitesse de propagation de la bande.
Eet sur la déformation à la lo alisation
700
200
600
150
Contrainte
Taux de contrainte
Contrainte en MPa
500
100
50
400
0
300
-50
200
-100
100
Taux de contrainte en GPa/s
L'amorçage d'une bande de isaillement est ara térisée par une hute brutale
de la ontrainte. Pour omparer l'inuen e de diérents défauts, on dénit alors
la déformation plastique à la lo alisation omme la déformation plastique obtenue
lorsque le taux de ontrainte est égal à −100 GP a.s−1. La gure 7.13 représente
l'évolution de la ontrainte et du taux de ontrainte en fon tion de la déformation.
-150
0
-200
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Déformation nominale
Fig.
7.13 - Evolution du taux de ontrainte : dénition de la déformation à la lo alisation
(défaut de diamètre 40 µm et d'amplitude 5%).
119
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
Comme nous pouvons le onstater sur la gure 7.14, la hute de ontrainte dépend
de l'amplitude du défaut. L'évolution de la déformation à la lo alisation en fon tion
de l'amplitude du défaut pour un diamètre xé à 100 µm est donnée sur la gure 7.15.
Elle montre que plus l'amplitude du défaut est faible plus la lo alisation survient
pour une déformation plastique grande. Pour des amplitudes de défauts omprises
entre 1% et 5%, la déformation à la lo alisation varie entre environ 90% et 120%.
La gure 7.16 montre l'évolution de la déformation à la lo alisation pour diérents diamètres de défaut ave une même amplitude xée à 5%. On peut onstater
que plus le défaut est petit plus la déformation à la lo alisation est retardée. Pour
des défauts ompris entre 20 µm et 100 µm la déformation à la lo alisation varie
entre 90% et 133%.
700
Contrainte ne MPa
650
1%
2%
3%
4%
5%
600
550
500
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Déformation plastique de cisaillement
Fig.
7.14 - Courbe ontrainte déformation pour diérentes amplitudes de défaut.
120
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
1,15
Déformation à la localisation
1,10
1,05
1,00
0,95
0,90
1
2
3
4
5
Amplitude du défaut en %
Fig.
7.15 - Eet de l'amplitude du défaut sur la déformation à la lo alisation (Taille de
défaut xée à 100 µm).
1,4
Déformation à la localisation
1,3
1,2
1,1
1,0
0,9
20
40
60
80
100
Taille du défaut en µm
Fig.
7.16 - Eet du diamètre du défaut sur la déformation à la lo alisation (Amplitude de
défaut xée à 5%).
121
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
Eet sur la vitesse de propagation
Dans le paragraphe 7.4.1, nous avons souligné le phénomène de propagation de
la bande de isaillement. La gure 7.17 montre l'évolution de la température aux
points O, A, B, C, D et E pla és le long de la partie utile de l'éprouvette pour
un diamètre de défaut de 100 µm et une amplitude de 5%. Le dé alage entre les
évolutions de température permet de quantier des durées de propagation entre les
diérents points.
700
Point O
Point A
Point B
Point C
Point D
Point E
Contrainte
400
600
60µs
500
400
300
200
200
100
0
Contrainte de cisaillement en MPa
Température en ˚C
600
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Temps en µs
a) Evolution de la température au points O, A, B, C, D et E.
y
V
l/2
-L/2
C
D
E
2,7mm
2,7mm
A
B
2,7mm
2,7mm
O
2,7mm
x
Défaut
-l/2
b) Vue s hématique de l'éprouvette : dénition des points O, A, B, C, D et E.
Fig.
7.17 - Evolution de la température en diérents points régulièrement espa és le long
de la partie utile de l'éprouvette (défaut de 100 µm de diamètre et de 5%
d'amplitude).
122
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
On peut d'abord remarquer que la vitesse de propagation de la bande n'est pas
onstante au ours du temps : juste après l'amorçage de la bande, la vitesse de
propagation entre les points A et B est de l'ordre de 114 ms−1 alors que quand la
bande atteint l'extrémité gau he de la demi éprouvette, elle vaut 196 ms−1 entre les
points D et E. La bande n'a don pas le temps d'atteindre une vitesse de propagation stationnaire. Dans le as de petits défauts (faible amplitude ou faible diamètre),
une vitesse de bande onstante semble être atteinte plus rapidement. Comme nous
l'avons dans le hapitre 2.3 de la première partie, la vitesse de la bande en régime
stationnaire ne dépend pas a priori des ara téristiques du défaut. Le régime stationnaire de propagation d'une BCA est atteint beau oup plus rapidement dans le
as d'un petit défaut que dans le as d'un amorçage par un gros défaut.
Dans la suite, nous déterminerons une vitesse moyenne orrespondant à la durée
entre le moment où il y amorçage de la bande au niveau du défaut et le moment où
elle atteint la moitié de la demi éprouvette (point C). Dans le as d'un défaut de
100 µm de diamètre et de 5% de déformation, la durée entre l'amorçage en O et le
passage au point C vaut 60 µs (gure 7.17a). La vitesse moyenne orrespondante est
égale à 130 ms−1. Pour dénir ette durée et ette vitesse, on onsidère que la bande
passe en un point de la surfa e de l'éprouvette, si la température atteint 400C en
e point.
Les gures 7.18 et 7.19 montrent l'évolution de ette vitesse de propagation
moyenne en fon tion du diamètre du défaut et de son amplitude.
Ces valeurs de vitesses sont du même ordre de grandeur que elles trouvées par
Batra et Zhang [6℄. On peut remarquer que plus les défauts ont une faible
amplitude ou une petite dimension plus la vitesse moyenne de propagation de bande augmente.
123
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
Vitesse moyenne de bande en m.s
-1
180
170
160
150
140
130
120
1
2
3
4
5
Amplitude du défaut en %
Fig.
7.18 - Eet de l'amplitude du défaut sur la vitesse de propagation moyenne de la
BCA (Taille de défaut xée à 100 µm).
Vitesse moyenne de bande en m.s
-1
240
220
200
180
160
140
120
20
40
60
80
100
Taille du défaut en µm
Fig.
7.19 - Eet du diamètre du défaut sur la vitesse de propagation moyenne de la BCA
(Amplitude du défaut xée à 5%).
124
7. Modélisation numérique du
isaillement adiabatique
7.4.4 Con lusion
L'étude numérique du isaillement adiabatique dans les mêmes onditions que
notre expérien e de torsion montre que les petits défauts (en taille et en amplitude)
ont tendan e d'une part à retarder la déformation à lo alisation et d'autre part
à augmenter la vitesse de propagation de la bande amor ée. Il existe don une
ompétition entre gros et petits défauts : un gros défaut va amor er une BCA pour
une déformation plus faible mais ette bande se propagera lentement et au ontraire
un petit défaut va amor er une BCA pour une déformation plus grande mais ette
bande se propagera rapidement. Le tableau 7.4 quantie les durées né essaires à
l'amorçage et à la propagation jusqu'à la moitié de l'éprouvette de la bande pour
trois défauts parti uliers. Dans le as des trois défauts étudiés, 'est elui de diamètre
100 µm et d'amplitude 5% qui présente une durée de développement de la BCA
(somme des durées d'amorçage et de propagation) la plus ourte. C'est le défaut le
plus ritique.
Tab.
7.4 - Re her he du défaut ritique.
Taille
Amplitude
Déformation à lo alisation
Durée jusqu'à l'amorçage
Vitesse de propagation
Durée de propagation
Durée totale
Diérents défauts onsidérés
20 µm
100 µm
100 µm
867 µs
240 ms−1
33 µs
900 µs
600 µs
130 ms−1
62 µs
662 µs
753 µs
175 ms−1
46 µs
799 µs
5%
1,3
125
5%
0,9
1%
1,13
7. Modélisation numérique du
126
isaillement adiabatique
8 Analyse et dis ussion des
résultats
8.1 Amorçage de bandes de isaillement adiabatique
8.1.1 Prédi tion de la déformation à la lo alisation
Au ours des diérents essais de torsion dynamique que nous avons ee tués,
nous pouvons remarquer que la déformation à la lo alisation est assez reprodu tible
(gure 8.1). Sa valeur moyenne vaut 0,56 ave un é art type de 0,044. On peut tenter,
à partir de notre modèle numérique, de prédire ette déformation à la lo alisation.
Ce modèle étant basé sur l'existen e d'un défaut ritique amorçant la bande de
isaillement adiabatique, il né essite l'identi ation des deux paramètres on ernant
e défaut : la taille et l'amplitude.
Déformation de cisaillement à la localisation
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
T2
T4
T6
T8
T10
T12
T14
T16
T18
T20
T22
Référence d'essai
Fig.
8.1 - Déformation à la lo alisation ; dispersion des valeurs expérimentales.
127
8. Analyse et dis ussion des résultats
Comme le rapport de la surfa e de l'éprouvette sur son volume est très grand, on
peut a priori supposer que statistiquement les défauts de rugosité sont prédominants
devant les défauts métallurgiques. Cette hypothèse peut également être justiée par
le fait qu'expérimentalement, on onstate une diminution de la déformation à la lo alisation ave une augmentation de la rugosité de surfa e (gure 8.2). La déformation
à la lo alisation est don bien sensible à la rugosité. Entre un défaut métallurgique et
un défaut de surfa e, nous avons don hoisi pour e type d'éprouvette de privilégier
l'étude des défauts de surfa e.
800
700
Contrainte en MPa
600
500
Peu rugueux
(Ra=0,3µm)
Très rugueux
400
300
200
100
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
Déformation de cisaillement
Fig.
8.2 - Eet de la rugosité sur la déformation à la lo alisation.
Pour ara tériser les défauts de surfa e, nous avons réalisé des mesures de rugosité sur la partie utile de notre éprouvette avant solli itation. Les gures 8.3 et
8.4 montrent respe tivement le prol de la surfa e et sa transformée de Fourier. Le
prol permet de quantier la rugosité moyenne arithmétique notée Ra et une rugosité maximale notée Rm dénie omme l'amplitude maximale des rugosités. Sur
notre éprouvette, on mesure un Ra de 0, 3 µm et une amplitude maximale d'environ
2, 4 µm. On en déduit alors une amplitude relative moyenne de 0,075% et une amplitude maximale de 0,6%. L'amplitude relative de l'ensemble des défauts de notre
surfa e est don majorée par la valeur maximale de 0,6%.
La transformée de Fourier permet de déterminer la taille ara téristique des
défauts et leur densité. Elle permet de mettre en éviden e une diversité de taille
de défauts. On peut onstater la présen e à la fois de très gros défauts (de taille
supérieure à 100 µm) et de très petits défauts (de taille inférieure à 10 µm).
128
8. Analyse et dis ussion des résultats
1,0
Profil en µm
0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Distance en mm
8.3 - Prol de la surfa e le long de la partie utile de l'éprouvette.
0,06
0,05
Densité spectrale en µm/mm
Fig.
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
Longueur caractéristique en mm
Fig.
8.4 - Transformée de Fourier du prol de surfa e.
129
8. Analyse et dis ussion des résultats
Dans le as d'un défaut de 100 µm de diamètre et une amplitude de 0,6%, le
al ul numérique donne une valeur de la déformation à la lo alisation supérieure à
1,13. Cette déformation est bien supérieure à elle observée expérimentalement (en
moyenne 0,56 : gure 8.1).
Plusieurs expli ations peuvent être avan ées :
1. On ne peut pas négliger la rédu tion de se tion de l'éprouvette dans notre simulation numérique. Celle- i peut ertainement faire o e de défaut de grande
taille et avan er la déformation à la lo alisation. Pour tenir ompte de ette
rédu tion de se tion dans notre modélisation, il surait par exemple de hoisir
une épaisseur d'élément variable.
2. Le modèle du défaut ritique à deux paramètres n'est pas assez pré is pour
rendre ompte des on entrations lo ales de déformation plastique à l'é helle
des rugosités (gure 8.6). Pour bien modéliser es on entrations de déformation plastiques, il faudrait introduire dans notre modèle un défaut de rugosité
réel de notre surfa e. Un tel modèle né essite de prendre en ompte des hétérogénéités de déformation dans l'épaisseur de toile de l'éprouvette et don de faire
un al ul tridimensionnel. On peut ependant imaginer résoudre e problème
en deux étapes : on ee tuerait d'abord un premier al ul tridimmensionnel
ave modélisation d'un défaut réel que l'on interromprait juste avant l'amorçage de la BCA, pour évaluer les on entrations de déformation plastique et le
volume ara téristique ae té. Ensuite, on ee tuerait un deuxième al ul bidimensionnel analogue à elui que nous avons présenté dans le hapitre 7 ave
des paramètres de défaut identiés ave le al ul pré édent. La taille du défaut
serait prise égale à la dimension ara téristique du volume ae té et l'amplitude serait hoisie de manière à avoir la même on entration de ontrainte que
dans le al ul tridimensionnel.
3. Il existe plusieurs défauts qui vont générer des on entrations de déformation
plastique et vont interagir entre eux pendant la phase de déformation homogène avant l'amorçage de la bande. Le hamp de température au voisinage
d'un défaut ( hamp (1) de la gure 7.11) juste avant l'amorçage de la BCA
montre ee tivement une zone allongée autour du défaut où la température est
légèrement supérieure au reste de l'éprouvette. Cette augmentation de température lo ale s'a ompagne d'une augmentation de la déformation plastique
autour du défaut qui pourrait a tiver d'autres défauts et les faire amor er une
BCA pour une déformation plastique plus faible (s héma de la gure 8.6).
130
8. Analyse et dis ussion des résultats
Rugosité de la surface
Zones de concentration
de la déformation plastique
Fig.
8.5 - Zones de on entrations de ontraintes à la surfa e de l'éprouvette.
V
Défaut
activé
Défaut
Défaut non
activé
Zone d’affectation :
concentration de la déformation
plastique et augmentation
de la température
V=0
Fig.
8.6 - Intera tions entre défauts avant amorçage d'une BCA.
131
8. Analyse et dis ussion des résultats
8.1.2 Mé anismes de nu léation des BCA
Observation de l'amorçage des BCA
Une observation métallographique après solli itation de l'éprouvette révèle toujours la présen e d'une seule bande de isaillement adiabatique qui s'étend sur seulement 80% à 90% de la ir onféren e de l'éprouvette. Comme notre dispositif de
mesure ne visualise qu'un té de la partie utile de l'éprouvette, on peut parfois
observer un hamp homogène de température. Ce i a été ee tivement onstaté lors
de nos essais dynamiques. Dans les autres as, on peut observer au moment de
l'amorçage la présen e d'une ou deux bandes au niveau de la zone de mesure de la
barrette InSb. Les gures 8.7 et 8.8 montrent l'observation d'une BCA unique dans
la zone observée lors de l'essai E4. Au ontraire, la gure 8.9 permet de onstater la présen e d'une première bande au entre de la partie utile de l'éprouvette
suivi d'une deuxième sur le té de l'éprouvette quelques dizaines de mir ose ondes
plus tard (essai E17). Il semble don fortement probable que plusieurs BCA
s'amor ent simultanément.
Fig.
8.7 - Observation de l'amorçage d'une bande : essai E4 (vue 3D).
132
8. Analyse et dis ussion des résultats
Fig.
Fig.
8.8 - Observation de l'amorçage d'une bande : essai E4 ( artographie).
8.9 - Observation de l'amorçage de deux bandes : essai E17 ( artographie).
133
8. Analyse et dis ussion des résultats
Dé alage temporel entre la hute de ontrainte et l'augmentation rapide
de la température
On peut onstater lors des essais de torsion dynamique la présen e d'un dé alage
temporel entre la hute de ontrainte au moment de la lo alisation de la déformation
et l'augmentation rapide de la température dans la BCA. Les essais E14 et E17
mettent en éviden e respe tivement un dé alage inférieur à une mi rose onde (gure
8.10) et un dé alage de 44 µs (gure 8.11). Le graphique de la gure 8.12 montre le
dé alage mesuré sur l'ensemble des essais réalisés quand il a pu être déterminé. Le
dé alage ne peut étre ee tivement par mesuré quand la bande se produit à l'opposé
de la zone d'observation. La valeur de 44 µs représente don le dé alage maximal
mesuré expérimentalement.
300
800
250
Contrainte en MPa
Contrainte
200
Température
150
400
100
200
Température en ˚C
600
50
0
0
400
500
600
700
800
900
Temps en µs
Fig.
8.10 - Dé alage entre la hute de ontrainte et l'augmentation de température : essai
E14.
Par omparaison, le modèle numérique supposant l'existen e d'un seul défaut
de diamètre 100 µm et d'amplitude 5% nous donne un dé alage maximum de 98 µs
qui orrespond à environ deux fois plus que la valeur expérimentale. Compte tenu
du nombre réduit d'essais, il semble normal de ne pas mesurer expérimentalement
la valeur de 98 µs (gure 8.13). L'impossibilité de propagation de la bande suivant
tout la ir onféren e de l'éprouvette ne permet pas d'a éder expérimentalement aux
valeurs maximales du dé alage. De plus, si le défaut ritique a une taille inférieure
à 100 µm et une amplitude inférieure à 5%, la vitesse de propagation moyenne de la
BCA augmente et don le dé alage temporel maximum théorique devient inférieur à
96 µs. Ces résultats semble montrer que, bien que l'on mette en éviden e l'amorçage
de plusieurs bandes, il y en a réellement une seule qui va se propager le long de la
quasi totalité de la ir onféren e de l'éprouvette.
134
8. Analyse et dis ussion des résultats
800
300
700
250
44µs
600
400
150
300
100
200
Température en ˚C
Contrainte en MPa
200
500
50
100
0
0
400
500
600
700
800
900
Temps en µs
8.11 - Dé alage entre la hute de ontrainte et l'augmentation de température : essai
E17.
50
40
Décalage en µs
Fig.
30
20
10
0
T2
T4
T6
T8
T10
T12
T14
T16
T18
T20
T22
Référence d'essai
Fig.
8.12 - Dé alages mesurés lors des essais.
135
8. Analyse et dis ussion des résultats
600
500
Température en ˚C
98µs
400
au centre du défaut
à 13,6 mm du défaut
300
200
100
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Temps en µs
Fig.
8.13 - Dé alage entre la hute de ontrainte et l'augmentation de température : modélisation (défaut de diamètre 40 µm et d'amplitude 5% ; vitesse de V = 3 s−1
soit γ̇ = 1500 ms−1).
Con lusion
Les observations expérimentales montrent que plusieurs bandes peuvent s'amorer au niveau de la partie utile de l'éprouvette et qu'il existe un dé alage entre la
hute de ontrainte et l'augmentation rapide de température au niveau de la BCA.
Pour expliquer es résultats, on peut proposer un mé anisme de formation et d'évolution des BCA se dé omposant en deux phases.
La première phase ou plusieurs BCA vont s'amor er simultanément et
ommen er à se propager le long de l'éprouvette de manière independante.
La deuxième phase va orrespondre à l'intera tion entre es BCA pendant leur
phases d'amorçage et de propagation (gure 8.14). Chaque BCA, lors de sa
propagation va réer une zone de dé harge ( hamp de ontrainte de la gure
7.12) qui va desa tiver ertaines bandes amor ées. Au nal, une seule bande
va desa tiver toutes les autres bandes naissantes et parvenir à se
propager le long de toute la ir onféren e de l'éprouvette.
136
8. Analyse et dis ussion des résultats
Défauts
occultés
Zone
d’occultation
Défaut
critique
Fig.
Amorçage de BCA
8.14 - Intera tion entres BCA pendant la phase de propagation.
8.2 Températures maximales dans les BCA
La gure 8.15 montre deux thermographies de BCA en phase de propagation.
Pour haque essai, l'évolution de la ontrainte, la température mesurée par le déte teur InSb de la barrette situé au entre de la BCA ainsi que l'ouverture de la
améra sont données sur la gure 8.15.
Les températures maximales mesurées sont de l'ordre de 1000C à 1100C respe tivement pour les essais E1 et E19. Elles sont supérieures à elle mesurées par
Zhou et al. [74℄ et Liao et Duy et al. [33℄ dans le TA6V mais restent inférieures
à elle mesurées par Pina [51℄ et lors de nos premiers travaux sur un dispositif de
poinçonnage dynamique [55℄. Compte tenu des di ultés sur la pré ision du dé lenhement de la améra à partir du déte teur, il a été di ile de ontrler la durée
entre la hute de ontrainte et l'ouverture de la améra. Ce i peut expliquer que l'on
ne mesure ertainement pas les températures maximales atteintes dans les BCA.
On peut également se demander si la température est stationnaire pendant le temps
d'ouverture de 10 µs ou 20 µs. Si e n'est pas le as, la température maximale réelle
serait évidemment plus importante et pour la mesurer plus pré isément, il faudrait
développer le pyromètre an de réduire e temps d'ouverture. Il est don très di ile
de ommenter es résultats.
Cependant, pour des temps d'ouvertures de 10 µs, la bande n'apparaît pas omme
une ligne ontinue mais plutt omme un point haud ou un ensemble de points
hauds (voir également gure 6.22 page 94). Lors de l'essai E19, la distan e entre
deux points hauds peut être estimée entre 250 µm et 300 µm. Ces résultats étaye137
8. Analyse et dis ussion des résultats
raient les observations faites par Guduru et al. [22, 21, 72℄ on ernant la présen e
de stru tures tridimensionnelles dans les bandes.
Essai dynamique E19 à γ̇ = 1900 s−1
Essai dynamique E1 à γ̇ = 1020 s−1
Thermographie de la BCA (Ouverture 20 µs)
Thermographie de la BCA (Ouverture 10 µs)
Visualisation de l'éprouvette après solli itation
Fig.
8.15 - Thermographies d'une bande de isaillement lors des essais de torsion dynamique E1 et E19 (γ̇ = 1020 s−1 et γ̇ = 1900 s−1).
138
8. Analyse et dis ussion des résultats
1000
800
920˚C
700
800
Contrainte
Température barrette
Température caméra
(ouverture 20µs)
500
400
600
400
300
200
Température en ˚C
Contrainte en MPa
600
200
100
0
0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Déformation de cisaillement
Fig.
8.16 - Dé len hement de la améra et mesure de la température lors de l'essai E1
(γ̇ = 1020 s−1).
800
1200
1100˚C
700
1000
600
Contrainte
Température barrette
Température caméra
(ouverture 10µs)
400
300
600
400
200
Température en ˚C
Contrainte en MPa
800
500
200
100
0
0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Déformation de cisaillement
Fig.
8.17 - Dé len hement de la améra et mesure de la température lors de l'essai E19
(γ̇ = 1900 s−1).
139
8. Analyse et dis ussion des résultats
140
Con lusion et perspe tives
L'obje tif de e travail de thèse est de mieux omprendre les mé anismes d'amorçage et de propagation des bandes de isaillement adiabatique dans l'alliage de titane TA6V lors d'une solli itation dynamique. Une des premières expli ations de e
phénomène proposée par Zener et Hollomon [71℄ souligne déjà l'importan e de la
température dans les mé anismes de formation de es bandes de isaillement.
Pour étudier les mé anismes d'amorçage et de propagation des BCA, nous avons
don hoisi de développer un dispositif expérimental de mesure de la température
par pyrométrie adapté à e phénomène. Nous nous sommes plus parti ulièrement
intéressés à deux gammes de température : une des originalités de e travail a été
de on evoir un dispositif permettant de déte ter des températures omprises entre
50C et 300C (appelée gamme des basses températures) an d'étudier l'amorçage
des BCA et notamment les hétérogénéités de température juste avant l'amorçage.
D'autre part, pour étudier la phase de propagation de la BCA et quantier les
températures maximales atteintes au entre de la bande, nous avons développé un
pyromètre apable de mesurer des températures omprises entre 800C et 1600C
(gamme des hautes températures) ave une résolution spatiale inférieure à la taille
de la BCA (quelques dizaines de mi romètres dans le as de l'alliage TA6V).
Les prin ipales di ultés de la on eption de notre système de mesure sont essentiellement liées à la taille des bandes (quelques entaines de mi romètres en phase
d'amorçage et quelques dizaines de mi romètres en phase de propagation) et à la
durée de formation d'une BCA qui est de l'ordre de 50 µs. Pour les basses températures, la résolution spatiale que nous avons hoisie est de 43 µm et la fréquen e
d'a quisition est de 1M Hz . Compte tenu des faibles niveaux d'énergie à déte ter,
le dispositif optique a été optimisé pour olle ter le maximum de ux rayonné. La
mesure est ee tuée dans le domaine pro he infrarouge pour des longueurs d'onde
omprises entre 1 µm et 5, 5 µm ave une barrette de 32 déte teurs InSb.
Pour les hautes températures, la résolution spatiale est de 2 µm. La puissan e
rayonnée étant plus importante, nous avons hoisi une améra intensiée sensible
dans le domaine visible pour des longueurs d'onde omprises entre 0, 4 µm et 0, 8 µm.
Les temps d'ouverture de la améra valent 10 µs ou 20 µs et son dé len hement est
réalisé à partir du signal délivré par un monodéte teur InSb déte tant une augmen141
Con lusions et perspe tives
tation de la température sur la totalité de la s ène visualisée par la améra.
Une autre di ulté de la te hnique de mesure par pyrométrie est liée à la mé onnaissan e du fa teur d'émission qui peut dépendre de la température, de la rugosité
de la surfa e, et des hangements de phase éventuels. Pour les basses températures,
le fa teur d'émission a été mesuré dans le as de l'alliage TA6V pour des températures omprises entre 75C et 300C et diérentes rugosités de surfa e. Nous avons
montré à ette o asion une faible variation du fa teur d'émission dans nos gammes
de température et de rugosité. Nous l'avons don onsidéré omme onstant pendant
la solli itation dynamique. Pour les hautes températures, une des originalités de e
travail est de hoisir des longueurs d'onde les plus ourtes possible an de limiter
l'erreur due à l'in ertitude sur le fa teur d'émission.
Le dispositif de mesure de la température a été ensuite testé sur un essai de
torsion dynamique aux barres d'Hopkinson sur une éprouvette tubulaire possédant
une légère rédu tion de se tion au entre de la partie utile. Les vitesses de déformation des essais sont omprises entre 1000 s−1 et 2000 s−1. D'une part, la mesure
des basses températures permet de distinguer une première phase où la température
reste homogène et une deuxième phase où très lo alement dans la BCA, la température augmente très rapidement. En parallèle, la améra intensiée nous a permis
de quantier des températures maximales atteignant 1100C. Les thermographies
montrent des hétérogénéités de température au sein même de la bande similaires à
elle observées par Guduru et al. [22, 21, 72℄.
Pour interpréter es résultats expérimentaux, nous avons réalisé un modèle thermomé anique bidimensionnel de notre éprouvette de torsion. Ce modèle est basé
sur l'hypothèse lassiquement utilisée dans la littérature qui suppose que la bande
de isaillement adiabatique s'amor e sur un défaut géométrique ou métallurgique
unique. Dans notre étude numérique, e défaut est modélisé par une rédu tion loale de la se tion de l'éprouvette sur une zone ir ulaire et il permet de générer une
on entration de déformation plastique lo ale.
Le omportement thermomé anique du matériau est onsidéré omme élasto
thermovis oplastique. La loi d'é oulement plastique qui tient ompte des phénomènes d'é rouissage, de dur issement dynamique et de d'adou issement thermique
a été identiée à partir d'essais de torsion statiques et dynamiques pour des températures variant entre l'ambiante et 300C.
La solution du problème a été obtenue numériquement à l'aide du ode de al ul
éléments nis expli ite Abaqus. Les résultats montrent que e modèle permet de
reproduire l'amorçage et la propagation des bandes de isaillement adiabatique.
Il met également en éviden e une hute brutale de la ontrainte asso iée à une
augmentation rapide de la température dans la bande e qui a été observé lors des
essais expérimentaux. Le modèle montre également que la vitesse de propagation
n'est pas onstante le long de la ir onféren e de l'éprouvette. Cette onstatation
nous amène plutt à onsidérer par la suite une vitesse moyenne entre l'amorçage
142
Con lusions et perspe tives
et le moment ou la bande s'est propagée le long de la moitié de l'éprouvette.
Pour étudier l'inuen e du défaut initial sur l'amorçage et la propagation de
la bande, diérentes amplitudes et tailles de défaut ont été simulées. Les al uls
montrent d'une part que plus la taille et l'amplitude du défaut diminuent, plus
l'amorçage de la bande sera retardé. D'autre part, les défauts de petite amplitude
et de petite taille engendrent des vitesses moyennes de propagation de la bande plus
rapides.
Lors des essais expérimentaux, la hute de ontrainte se produit pour une déformation plastique appelée déformation à la lo alisation très voisine de 0,56. Pour
évaluer ette déformation à la lo alisation, on suppose que le défaut ritique est
un défaut de rugosité dont on ara térise la taille et l'amplitude à partir de la mesure de la rugosité de la surfa e de l'éprouvette non solli itée. Ave es données, le
modèle numérique onduit à surestimer la déformation à la lo alisation. Plusieurs
expli ations ont pu être avan ées :
1. Cette surestimation de la déformation à la lo alisation pourrait provenir de la
non prise en ompte de la légère rédu tion de se tion au entre de la partie
utile de l'éprouvette.
2. La ara térisation d'un défaut de rugosité à l'aide de deux paramètres est un
modèle trop simpliste qui ne permet pas de quantier pré isément les on entrations de déformation plastique réelles à l'é helle des rugosités.
3. Un défaut génère une augmentation lo ale de la déformation plastique et pourrait don a tiver d'autres défauts et amor er une BCA pour une déformation
plastique nominale plus faible.
Les mesures des basses températures ont montré que suivant les essais il est
possible d'observer l'amorçage d'une ou deux bandes de isaillement adiabatique.
Il semble don fortement probable que plusieurs bandes s'amor ent simultanément.
Cependant des observations métallographiques après solli itation montrent toujours
la présen e d'une seule bande de isaillement omplètement formée.
Pour interpréter es résultats, nous avons proposé le mé anisme de formation des
BCA suivant : plusieurs défauts sont le siège d'un amorçage et d'une propagation de
BCA. Ces bandes naissantes vont ensuite interagir entre elles et nir par s'annuler.
Au nal une seule bande réussira à se propager suivant toute la ir onféren e de la
partie utile de l'éprouvette.
De plus, les mesures de température dans la BCA révèlent un dé alage temporel
entre la hute de la ontrainte et l'augmentation rapide de la température dans la
BCA. Ce dé alage peut atteindre 44 µs. Il prouve l'existen e d'une phase de propagation d'une BCA à partir d'un site d'amorçage et étaye le mé anisme d'amorçage
multiple.
143
Con lusions et perspe tives
Les mesures de température par pyrométrie au moment de l'amorçage des BCA
ont apporté de nombreuse informations pour ara tériser les mé anismes de formation des BCA. An de ompléter e travail, il serait intéressant de développer le
dispositif basses températures. Un dispositif de mesure bidimensionnel à l'aide d'une
améra infrarouge par exemple peut permettre de visualiser plus pré isément l'intera tion entre les diérentes BCA amor ées et de onrmer le mé anisme d'amorçage
multiple présenté dans e travail. Il serait également intéressant de tester ave notre
dispositif un autre matériau pour vérier que e mé anisme n'est pas propre à notre
alliage de titane TA6V.
Un autre développement envisageable serait de on evoir un pyromètre apable
de déte ter une plus grande gamme de température et don de relier les informations que nous avons obtenues à l'aide des dispositifs hautes températures et basses
températures. Pour quantier pré isément les températures ave un tel pyromètre,
il serait né essaire de ara tériser le fa teur d'émission pour des températures variant entre l'ambiante et la température de fusion du matériau (1670C) et pour
diérentes rugosités de surfa e.
Notre modèle thermomé anique reproduit les phases d'amorçage et de propagation des bandes, ependant il ne permet pas de déterminer orre tement la déformation à la lo alisation. Pour parvenir à évaluer ette déformation à l'aide du modèle,
un premier développement onsisterait d'une part à intégrer la rédu tion de se tion
de l'éprouvette dans notre al ul bidimensionnel et d'autre part à ara tériser plus
pré isément les paramètres de défaut à introduire dans le al ul.
Un autre développement possible de e modèle serait d'intégrer plusieurs défauts
an d'évaluer les intera tions mutuelles entre les BCA naissantes avant la formation
omplète d'une seule BCA.
Les mé anismes de formation des BCA présentés dans e travail pourraient être
le point de départ de l'établissement d'un nouveau ritère d'amorçage de bande
permettant par exemple de mieux modéliser et ontrler le isaillement adiabatique
dans les pro édés d'usinage ou de formage à grandes vitesses.
144
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BIBLIOGRAPHIE
150
Table des gures
1
2
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Observation mi ros opique de bandes de isaillement dans un opeau
segmenté d'après Lesourd [31℄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bandes de isaillement dans un a ier de blindage après perforation
par un obus è he (métallographies réalisées au CTA). . . . . . . . .
Visualisation des phases de formation de BCA sur la ourbe ontrainte
déformation d'après Mar hand et Duy [36℄. . . . . . . . . . . . . . .
Photographie des grilles déposées sur l'éprouvette torsion pour les
inq déformations présentées sur la gure 1.1 (extrait de Mar hand
et Duy [36℄). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mé anisme de formation d'une BCA par nu léation, roissan e et
oales en e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mé anisme de formation d'une BCA amorçage et propagation à partir
d'un défaut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eprouvette pré-entaillée utilisée par Zhou et al. [74℄. . . . . . . . . . .
Position des zones de mesure par rapport à l'entaille sur l'éprouvette
de Zhou et al. [74℄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prol de température autour d'une bande de isaillement adiabatique
dans l'alliage TA6V ; vitesse d'impa t 47, 3 ms−1 [74℄. . . . . . . . . .
Modélisation unidimensionnelle du problème de isaillement adiabatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Maximum de ontrainte de isaillement. . . . . . . . . . . . . . . . .
Analyse de stabilité ; méthode des perturbations. . . . . . . . . . . . .
Représentation d'une instabilité relative (extrait de [16℄). . . . . . . .
Résultats numériques obtenus par Litonski [34℄ : déformation, vitesse
de déformation, température et ontrainte de isaillement à l'intérieur
(A) ou à l'extérieur (B) du défaut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observation d'une su ession de points hauds dans une BCA d'après
[22℄ (taille de l'image 1, 1 mm par 1, 1 mm). . . . . . . . . . . . . . .
Modélisation de l'é oulement plastique dans une BCA d'après Li et
al. [32℄ ( hamp de température en K). . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
2
3
12
13
14
14
15
15
15
18
19
21
22
23
30
30
TABLE DES FIGURES
3.1 Expérien e d'eondrement de ylindre : dispositif de solli itation (extrait de [48℄). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Observation des éprouvettes après eondrement (extrait de [49℄). . . .
3.3 Modèle de Grady et Kipp [20℄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Modèle de Wright et O kendon (extrait de [70℄). . . . . . . . . . . . .
4.1 Désex itation de phonons et émission de photons à la surfa e d'un
matériau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Emission spontanée lors d'une transition éle tronique entre deux niveaux d'énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Corps noir : avité thermostatée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Puissan e émise par une surfa e dS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Luminan e du orps noir - maximum d'énergie. . . . . . . . . . . . .
4.6 Domaine spe tral du rayonnement thermique. . . . . . . . . . . . . .
4.7 Nombre de photons émis par un orps noir à 900C en 10 µs et ses
u tuations statistiques (surfa e de 2 µm par 2 µm). . . . . . . . . . .
4.8 Rapport du nombre de photons de bruit sur le nombre de photons émis.
4.9 Erreur sur la température liée aux u tuations statistiques. . . . . . .
4.10 Sensibilité relative de la luminan e à la température en fon tion de
la longueur d'onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Flux in ident, réé hi, transmis et absorbé. . . . . . . . . . . . . . . .
4.12 Indi e omplexe de l'aluminium en fon tion de la longueur d'onde à
473K, modèle de Drude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13 Indi e omplexe en fon tion de la longueur d'onde. Expérien e [50℄. .
4.14 Fa teur d'émission de l'aluminium en fon tion de la longueur d'onde
à 473K, modèle de Drude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15 Fa teur d'émission en fon tion de la longueur d'onde. Expérien e [50℄.
4.16 Modèle de Lorentz : l'os illateur amorti. . . . . . . . . . . . . . . . .
4.17 Evolution du fa teur d'émission en fon tion de la longueur d'onde à
température ambiante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.18 Evolution du fa teur d'émission en fon tion de la température (Aluminium, λ = 1 µm) pour le modèle de Drude. . . . . . . . . . . . . .
4.19 Fa teur d'émission du tungstène en fon tion de λ pour diérentes
températures [52℄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.20 Variation du fa teur d'émission spe tral de l'aluminium au point de
fusion (Tf = 660C) [27, 37℄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.21 Eet de la rugosité sur le fa teur d'émission. . . . . . . . . . . . . . .
5.1 S héma d'un dispositif de mesure par pyrométrie. . . . . . . . . . . .
5.2 L'évolution de la sensibilité ave la longueur d'onde d'un déte teur
quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
32
32
32
32
40
40
41
42
43
45
46
46
46
48
49
53
53
53
53
54
55
56
56
57
58
59
62
TABLE DES FIGURES
5.3 E a ité quantique de la améra intensiée GEN III utilisée dans e
travail : améra de marque Prin eton Instruments, modèle PI.MAX :1k
(HQ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Déte tivité spé ique de diérents déte teurs (ouverture : 180; surfa e sensible de 1 cm2 ; bande passante de 1 Hz ; température du fond
de s ène : 293K ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Puissan e reçue par le déte teur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Constante d'appareillage ; onguration du système optique . . . . . .
5.7 E art entre la température et la température de luminan e en fon tion
du fa teur d'émission et du apteur hoisi pour une température de
700C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 E art entre la température et la température de luminan e en fon tion
de la température et du apteur hoisi pour un fa teur d'émission de
0,25 dans l'infrarouge et de 0,4 dans le visible. . . . . . . . . . . . . .
5.9 Rapport signal sur bruit en fon tion du grandissement. . . . . . . . .
5.10 Comparaison des déte teurs vis à vis du rapport signal sur bruit pour
la onguration donnée dans le tableau 5.3. . . . . . . . . . . . . . . .
5.11 Comparaison des déte teurs vis à vis de la variation de signal par
rapport au bruit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 prin ipe de fon tionnement des barres d'Hopkinson en torsion. . . . .
6.2 Photographie de l'éprouvette de torsion. . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Plan de la partie utile de l'éprouvette. . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Mi rostru ture de l'alliage TA6V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Signaux de jauges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Vitesse de déformation de l'éprouvette. . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Contrainte de isaillement dans l'éprouvette de torsion. . . . . . . . .
6.8 Fa teur d'émission du TA6V dans le domaine infrarouge. . . . . . . .
6.9 Fa teur d'émission apparent du TA6V dans le domaine infrarouge
pour la bande spe trale du déte teur InSb. . . . . . . . . . . . . . . .
6.10 Fa teur d'émission du TA6V dans le domaine infrarouge pour la
bande spe trale du déte teur InSb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11 Comparaison ave la loi de Hagen-Rubens : as du TA6V usiné. . . .
6.12 Eprouvette de torsion après rupture. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.13 Visualisation des zones d'observations sur la partie utile de l'éprouvette.
6.14 Dispositif de mesure de la température . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.15 Courbe d'étalonnage du déte teur InSb de la barrette en fon tion de
la température de la sour e orps noir. . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.16 Courbe d'étalonnage de la améra ICCD en fon tion de la température de la sour e orps noir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
64
66
67
68
73
73
75
77
78
80
80
80
81
82
84
84
85
86
86
87
88
88
89
91
91
TABLE DES FIGURES
6.17 Courbe d'étalonnage du déte teur InSb de la barrette en fon tion de
la puissan e rayonnée sur le apteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.18 Courbe d'étalonnage de la améra ICCD en fon tion de la puissan e
rayonnée sur le apteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.19 Evolution de la ontrainte et de la température lors de l'essai E19. . . 93
6.20 Distribution de la température jusqu'à 280C ; λmax = 4, 5 µm. . . . . 93
6.21 Dé len hement de la améra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.22 Champ de température de luminan e en phase nale de BCA ; λmax =
0, 8 µm, zone visée : 2 mm par 2 mm ; temps d'ouverture 10 µs. . . . . 94
7.1 Géométrie et onditions limites du modèle. . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.2 Allure de l'évolution des diérents termes de la loi de Johnson-Cook. 107
7.3 Mise en éviden e expérimentale du dur issement dynamique. . . . . . 109
7.4 Mise en éviden e expérimentale de l'adou issement thermique. . . . . 109
7.5 Identi ation des paramètres d'é rouissage ; omparaison ave l'essai
statique S1 (γ̇ p = 0, 1 s−1 et T = 20C). . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.6 Identi ation du oe ient de sensibilité à la vitesse de déformation
à partir des essais D1, D2, D3 et D4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.7 Identi ation de l'exposant d'adou issement thermique. . . . . . . . . 113
7.8 Vue générale du maillage de l'éprouvette de torsion. . . . . . . . . . . 114
7.9 Maillage au voisinage du défaut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.10 Courbe ontrainte déformation nominale pour un défaut de 40 µm de
diamètre et de 5% d'amplitude (V = 3 ms−1 soit γ̇ = 1500 s−1). . . . 116
7.11 Historique de la formation de la bande de isaillement pour un défaut
de 40 µm de diamètre et de 5% d'amplitude (V = 3 ms−1 soit γ̇ =
1500 s−1 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.12 Champ de vitesse, de ontrainte et de température dans une demi
éprouvette à l'instant t4 = 840 µs (défaut de diamètre 40 µm et d'amplitude 5% ; vitesse de V = 3 s−1 soit γ̇ = 1500 ms−1). . . . . . . . . . 118
7.13 Evolution du taux de ontrainte : dénition de la déformation à la
lo alisation (défaut de diamètre 40 µm et d'amplitude 5%). . . . . . . 119
7.14 Courbe ontrainte déformation pour diérentes amplitudes de défaut. 120
7.15 Eet de l'amplitude du défaut sur la déformation à la lo alisation
(Taille de défaut xée à 100 µm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.16 Eet du diamètre du défaut sur la déformation à la lo alisation (Amplitude de défaut xée à 5%). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.17 Evolution de la température en diérents points régulièrement espa és
le long de la partie utile de l'éprouvette (défaut de 100 µm de diamètre
et de 5% d'amplitude). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.18 Eet de l'amplitude du défaut sur la vitesse de propagation moyenne
de la BCA (Taille de défaut xée à 100 µm). . . . . . . . . . . . . . . 124
154
TABLE DES FIGURES
7.19 Eet du diamètre du défaut sur la vitesse de propagation moyenne
de la BCA (Amplitude du défaut xée à 5%). . . . . . . . . . . . . . 124
8.1 Déformation à la lo alisation ; dispersion des valeurs expérimentales. . 127
8.2 Eet de la rugosité sur la déformation à la lo alisation. . . . . . . . . 128
8.3 Prol de la surfa e le long de la partie utile de l'éprouvette. . . . . . . 129
8.4 Transformée de Fourier du prol de surfa e. . . . . . . . . . . . . . . 129
8.5 Zones de on entrations de ontraintes à la surfa e de l'éprouvette. . 131
8.6 Intera tions entre défauts avant amorçage d'une BCA. . . . . . . . . 131
8.7 Observation de l'amorçage d'une bande : essai E4 (vue 3D). . . . . . 132
8.8 Observation de l'amorçage d'une bande : essai E4 ( artographie). . . 133
8.9 Observation de l'amorçage de deux bandes : essai E17 ( artographie). 133
8.10 Dé alage entre la hute de ontrainte et l'augmentation de température : essai E14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.11 Dé alage entre la hute de ontrainte et l'augmentation de température : essai E17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.12 Dé alages mesurés lors des essais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.13 Dé alage entre la hute de ontrainte et l'augmentation de température : modélisation (défaut de diamètre 40 µm et d'amplitude 5% ;
vitesse de V = 3 s−1 soit γ̇ = 1500 ms−1). . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.14 Intera tion entres BCA pendant la phase de propagation. . . . . . . . 137
8.15 Thermographies d'une bande de isaillement lors des essais de torsion
dynamique E1 et E19 (γ̇ = 1020 s−1 et γ̇ = 1900 s−1). . . . . . . . . . 138
8.16 Dé len hement de la améra et mesure de la température lors de
l'essai E1 (γ̇ = 1020 s−1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.17 Dé len hement de la améra et mesure de la température lors de
l'essai E19 (γ̇ = 1900 s−1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
155
TABLE DES FIGURES
156
Liste des tableaux
2.1 Inuen e des paramètres du matériau sur la déformation à la lo alisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Valeur de la vitesse de propagation d'une BCA d'après Zhou et al. [74℄. 26
2.3 Inuen e des propriétés du matériau sur la vitesse de propagation
d'une BCA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Distan es entre BCA ; onfrontation entre les résultats expérimentaux
et les prédi tions théoriques d'après [70, 48, 44, 49℄. . . . . . . . . . . 34
4.1 Valeurs numériques des paramètres du modèle de Drude dans le as
de l'aluminium (d'après Mattei [38℄). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1 Domaine de sensibilité des diérents déte teurs. . . . . . . . . . . . . 63
5.2 Déte tivité de diérents déte teurs (ouverture : 180; surfa e sensible
de 1 cm2 ; bande passante de 1 Hz ; température du fond de s ène :
293K ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3 Cara téristiques du système de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.1 Composition himique de l'alliage de titane TA6V. . . . . . . . . . . 81
6.2 Propriétés mé aniques des barres d'Hopkinson en aluminium. . . . . . 83
6.3 Essais de torsion dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.1 Essais de omportement ee tués. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2 Paramètres de la loi de Johnson-Cook. . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.3 Propriététés thermomé aniques du TA6V. . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.4 Re her he du défaut ritique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
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