Opérateurs de multiplication ponctuelle entre espace de
Sobolev
Sadek Gala
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Sadek Gala. Opérateurs de multiplication ponctuelle entre espace de Sobolev. Mathématiques [math].
Université d’Evry-Val d’Essonne, 2005. Français. �tel-00009577�
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Table des Matières
0.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
¢
¡
12
1 Caractérisation des espaces de multiplicateurs singuliers Xs = M H s → L2
¡
¢
1.1 L’espace H s Rd Structure hilbertienne et dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2
1.3
Les espaces de multiplicateurs singuliers Xr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1
Propriétés de la capacité et du potentiel capacitaire . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2
Problème d’équilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.3
Théorème de Maz’ya et Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Continuité des opérateurs d’intégrales singulières dans les espaces Xr . . . . . . . 35
1.3.1
Poids de Muckenhoupt : Quelques notions et résultats préliminaires . . . 35
1.3.2
Poids à croissance lente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.3
Continuité de l’opérateur d’intégrale singulière . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3.4
Continuité de l’opérateur maximal sur l’espace Xr . . . . . . . . . . . . . . 45
48
2 Les multiplicateurs ponctuels de H r → H s
¡
¢¢
¡ r ¡ d¢
2.1 L’espace M H R → H s Rd pour r ≥ s > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2
2.1.1
Normes équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.2
Le procédé de régularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Propriété de l’espace M (H r → H s ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.1
2.2.2
2.3
Propriété d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
¢
¡
Injection de M (H r → H s ) dans M H r−s → L2 . . . . . . . . . . . . . . 56
Théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.1
Condition nécéssaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1
2.3.2
2.4
Condition suffisante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Existence de solutions globale pour l’équation de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . 76
1
1
3 Opérateurs de Schrödinger agissant de H 2 sur H − 2
3.1
84
Critère de Continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.1.1
Les opérateurs pseudo-différentiels opérant sur les espaces de Sobolev
d’exposant non-entier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1.2
3.2
La continuité des opérateurs d’intégrales singulières . . . . . . . . . . . . 99
Les espaces de Morrey-Campanato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4 Décomposition de Littlewood - Paley et espace de Sobolev
4.1
114
Espace de Sobolev adapté à la décomposition de Littelwood-Paley. . . . . . . . . 114
4.1.1
Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2
Décomposition atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3
Inégalité Capacitaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5 L’espace BMO−r et ses applications
145
5.1
L’espace BMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2
L’espace BMO−r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.2.1
5.3
Définition et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Application à des inégalités du type Schechter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6 Généralisation du théorème de Maz’ya - Verbitsky
6.1
Espaces de Besov et paraproduits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.1.1
6.2
6.3
173
Opérateur de paraproduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Espaces de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.2.1
Dualité, loi de multiplication et de convolution . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.2.2
Injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
. r
. s
L’espace M(H (Rd ) → H (Rd )) et son prédual Zr,−s . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.3.1
Produit de deux distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.3.2
Les opérateurs différentiels et intégales fractionnaires . . . . . . . . . . . . 191
2
6.4
Paramultiplicateurs et multiplicateurs ponctuels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
.
6.5
L’espace Qr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3
0.1
Introduction
L’objectif de cette thèse est de donner les outils fondamentaux de la théorie des opérateurs de
multiplication ponctuelle basés principalement sur la théorie de la distribution et l’analyse de
Fourier, et d’en donner des applications aux équations aux dérivées partielles. Notre propos
était étudier quelques aspects de l’analyse harmonique sur certains espaces. En particulier,
nous développons une théorie des opérateurs de multiplication ponctuelle qui permet de montrer que sur ces espaces, certains opérateurs associés à des multiplicateurs sont bornés. Le
lecteur qui désire appronfondir ses connaissances sur ces multiplicateurs consultera avec fruit
le remarquable ouvrage de Maz’ya-Schaposnikova [MS]. A l’origine de cette thèse se trouve le
désire de généraliser le théorème de Maz’ya et Verbitsky qui est exposé dans le dernier chapitre,
ainsi les résultats fondamentaux concernant l’analyse harmonique qui donnent lieu à diverses
applications aux développements de la théorie spéctral, la théorie de diffusion pour l’opérateur
de Schrödinger, EDP... En 1964, Maz’ya débuta son étude sur des inégalités capacitaires du
¡ ¢
type strong (CSI) en s’intéressant à l’opérateur de Schrödinger −∆ + V défini sur L2 Rd , avec
¡ ¢
¡ ¢
V un potentiel positif de L1loc Rd , d ≥ 3. En effet, si u = u(x) ∈ H 1 Rd est une solution de
l’équation
³ ´
Hu = f sur Rd , f ∈ L2 Rd ,
alors u doit satisfaire à l’égalité suivante :
Z
Rd
∇g.∇φdx −
Z
gφV (x)dx =
Rd
Z
Rd
³ ´
h.φdx, φ ∈ L2 Rd
La première question qui se pose sur V (x) est que l’intégrale suivante
Z
gφV (x)dx ait un sens.
Rd
Par ailleurs, V. Maz’ya a établi une condition nécessaire et suffisante sur V (x) afin d’avoir
l’inégalité suivante
Z
Rd
2
g V (x)dx ≤ C
Z
Rd
³ ´
|∇g|2 dx, g ∈ H 1 Rd
4
où C est une constante indépendante de g. L’étude des opérateurs de multiplication ponctuelle
examine à quelles conditions on a des inégalités du type
kfgkE ≤ C kgkF
Elle intervient dans l’étude des opérateurs différentiels à coefficients irréguliers. Un cas intéressant est le cas où E = L2 et F = H r où 0 ≤ r < 1: on cherche à établir l’inégalité
Z
µZ ¯
¶
¯
r
¯
¯2
2
|f(x)| |g(x)| dx ≤ C
¯(1 − ∆) g¯ dx
2
2
Cela permet de donner des critères d’unicité pour des solutions faibles des équations de Navier
- Stokes, grâce à l’inégalité
¯Z
¯
¶ 1 µZ
µZ ¯
³
2
¯ →
¯
r →
→
− ¯¯ 2
→´ −
−
¯
→
−
¯ −
¯
×
¯(1 − ∆) 2 ∇g¯ dx
¯ f (x) g (x). ∇ h (x)dx¯ ≤ C
¶1
¯−
2
→¯¯ 2
¯→ −
¯ ∇ ⊗ h ¯ dx
Des inégalités du type Fefferman - Phong ont été démontrées en 1998 par Lemarié-Rieusset
. 1
à l’aide de la théorie des ondelettes [Lem3]. Un autre cas important est le cas où E = H et
. −1
F =H
: on cherche à établir l’inégalité
¯Z
¯
µZ
¯
¯
¯ f(x)g(x)h(x)dx¯ ≤ C
¯
¯
¶ 1 µZ
¯−
¯
2
¯→ ¯ 2
×
¯ ∇g¯ dx
¶1
¯−
¯
2
¯→ ¯ 2
¯ ∇h¯ dx
Cette inégalité intervient dans l’étude de l’opérateur de Schrödinger
g → ∆g + f g
donc le cas où f est une fonction positive a été étudié des 1964 par Maz’ya [Maz]. A côté
de la caratérisation de Maz’ya ( condition nécessaire et suffisante pour avoir l’inégalité), des
critères plus simples mais seulement suffisants ont été donnés en 1983 par Fefferman et Phong
[Fef] dans l’étude du principe d’incertitude. Le cas où f n’est pas de signe constant vient tout
récemment d’être résolu par Maz’ya et Verbitsky [MV2]. Le but principal de cet thèse est de
. r
. s
généraliser le résultat de Maz’ya-Verbitsky dans le cas où E = H et F = H avec 0 ≤ r <
|s| < r.
5
d
2
et
Nous donnons au chapitre 1 des résultats fondamentaux relatifs à l’analyse harmonique
sur les espaces de multiplicateurs singuliers Xr , résultats qui nous seront indisponsables dans
la suite. Le lecteur pourra trouver d’autres présentations de cette question dans le livre de
Lemarié-Rieusset [Lem3], Maz’ya-Schaposnikova [MS]. On commence par l’étude des espaces de Sobolev hilbertiens sur Rd et on donne une caractérisation par transformation de
Fourier. Ensuite, on applique ces nouveaux concepts à l’étude des espaces de multiplicateurs sin¡ ¡ ¢
¡ ¢¢
guliers Xr = M H r Rd → L2 Rd introduits récemment par P.G.Lemarié-Rieusset dans ses
travaux [Lem3] généralisant le théorème d’unicité de J.Serrin [Ser] en démonstrant le théorème
1.2.1 qui a été établi premièrement par Hansson [Han] après par Maz’ya ([Maz], th.8.2.3) et
Adams ([A1], th 1.6). Dans le dernier paragraphe de ce chapitre, on présentera les propriétés
de continuité des opérateurs d’intégrales singulières et l’opérateur maximal sur les espaces Xr .
Le second chapitre a pour but d’introduire une classe spéciale d’espaces d’opérateurs, les espaces de multiplication ponctuelle et d’étudier leurs propriétés vis-à-vis de certaines inégalités.
¡ ¢¢
¡ ¡ ¢
Plus précisement, on commencera par définir les espaces M H r Rd → H s Rd et on donne
ses propriétés élémentaires. Pour cela, une autre caractérisation des espaces de Sobolev a été
employée sans utiliser la transformation de Fourier sur Rd en introduisons l’opérateur suivant
 ¯
¯2  12
Z ¯¯∆(2) ∇k u (x)¯¯
h


dh
Ds u(x) = 
d+2α
|h|
Rd
qui était connue de Taibleson [Tai]. Elle nous fournit une expression plus élégante pour la démonstration du théorème principal de ce chapitre. Notre démonstration dans le cadre général
suit dans ses points essentiels la démonstration originale de [MS]. Notre traitement dans la question est quelque peu différent car il est limité, en partie à ce qui est succeptible de nous intéresser
pour l’étude de certains opérateurs. Dans la section suivante, on s’attachera à obtenir des con¡ ¢¢
¡ ¡ ¢
ditions nécessaires et suffisantes pour la caractérisation des espaces M H r Rd → H s Rd
pour r ≥ s > 0 vis-à-vis des opérateurs pseudo-différentiels. Enfin, la dernière partie est
réservée à une application de la théorie développée dans ce chapitre. Nous allons pouvoir nous
intéresser au cas d’une équation de Riccati de la forme
−∆u = |∇u|2 + f
6
Notre propos ici est illustrer le théorème des multiplicateurs et le rôle assez subtil pour les
¡ d¢
1
équations de Riccati. On montre que toute solution faible u ∈ Hloc
R de l’équation de
Ricatti
−∆u = |∇u|2 + f , où f ≥ 0 de L1loc
doit satisfaire à la condition suivante:
kukM(H 1 →H 1 ) = sup
(Ã R
e |∇u|
2
dx
cap (e, H 1 )
!
)
¢
¡
: cap e, H 1 > 0
<∞
pour tout ensemble e compact.
Le but du troisième chapitre est d’établir un critère simple de continuité des opérateurs
¢
¡
de multiplication ponctuelle sur des espaces de multiplicateurs singuliers M H s → L2 pour
0 ≤ s < 1. En particulier, nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour la continuité
1
1
des opérateurs de Schrödinger de la forme (−∆) 2 + V qui agissent de l’espace de Sobolev H 2
1
sur son dual H − 2 pour un potentiel arbitraire V qui est analogue à un résultat caractérisé par
Maz’ya et Verbitsky [MV2]. Le résultat que nous allons présenter est le suivant :
Théorème 0.1.1 Soient 0 < s < 1 et r > s. Alors
¢
¡
s
f ∈ M (H r → H s ) si et seulement si Φ = (1 − ∆) 2 f ∈ M H r → L2
Plus précisement, on a
kf kM(H r →H s )
°
°
s
°
°
2
' °(1 − ∆) f °
M(H r →L2 )
Le paragraphe suivant permettra d’étudier une condition suffisante de la continuité des
¡
¢
opérateurs d’intégrales singulières entre M (H r → H −r ) et M H r → L2 .
¡ ¢
¡
¢
Théorème 0.1.2 Soit f ∈ D0 Rd et F ∈ M H r → L2 où 0 < r < 1. Posons f =
r
(1 − ∆) 2 F . Alors f ∈ M (H r → H −r )
Le théorème de multiplicateurs sur Xr du paragraphe précédent est présenté ici comme une
7
illustration du théorème général dans un cas particulier. Plus précisement, pour le cas r =
1
2
,
on en déduit le résultat suivant
Corollaire 0.1.3
³ 1
´
´
³ 1
1
1
F ∈ M H 2 → L2 si et seulement si f = (1 − ∆) 4 F ∈ M H 2 → H − 2
En terminant ce chapitre par une déscription de l’espace de Morrey-Companato et sa liaison
¢
¡
avec les espaces M H r → L2 .
Le chapitre 4 est destiné à être une introduction au vaste domaine de la décomposition
de Littlewood-Paley, il est plus technique que les précédents. Au premier paragraphe, nous
rappelons les résultats classiques concernant la décomposition de Littlewood-Paley qui sera
utilisée dans la prochaine partie. En utilisant les théorèmes 4.1.1 et 4.1.2, on montrera que
toute fonction de H r , r > 0 admet une représentation sous la forme
F =
∞
X
j=0
2−jr ηj ∗ fj
Cela nous permet en particulier de décrire une décomposition atomique de cet espace ([FJ1],
[FJ2], [FJW]). Comme application, nous retrouvons au troisième paragraphe, une approche
¡
¢
entièrement différente de la description de l’espace M H r → L2 basée sur certains idées ex-
posées dans ce chapitre en utilisant les inégalités capacitaires. Nous allons vérifier que la théorie
de Littlewood-Paley fournit le résultat suivant
Théorème 0.1.4 Soit s > 0. Alors il existe une constante C telle que pour tout u ∈ H s , on a
+∞
X
j=−∞
4j cap
ª
¢
¡©
x : |u(x)| > 2j ; H s ≤ C kukH s
(0.1.1)
Dans le chapitre cinq, nous rappelons quelques notions et les propriétés sur l’espace BMO
qui nous servirons par la suite. Nous ne rentrons pas dans les détails de cet espace, mais en
donnons une caractérisation à l’aide des mesures de Carleson obtenue par C. Fefferman et E.
Stein [FS]. On introduit au paragraphe suivant l’espace de distributions qui sont des dérivées des
8
¡ ¢
fonctions de BMO ainsi que ses propriétés. Il se caractérise de la façon suivante : f ∈ S 0 Rd
appartient à BMO−r si
− d2
sup sup t
t>0 xx ∈Rd
Zt
Z
√
0 B(x0 , t)
¯
¯
sr−1 ¯es∆ f(x)¯ 2 dsdx < ∞
Le dernier paragraphe est l’application de ces résultats à l’étude des opérateurs de multiplication
ponctuelle sur l’inégalité du type Schechter ([Sc], [Mor]). Nous allons chercher à établir un
inégalité de la forme :
¯
¯Z
¯
¯
2
¯
|< fu, u >| = ¯ |u| fdx¯¯ ≤ k∇uk2L2 (Rd ) + C.
−β
kuk2L2 (Rd )
(0.1.2)
¡ ¢
∀u ∈ C0∞ Rd . On montre que (0.1.2) est équivalente à l’existence d’une constante C > 0 telle
que
¯
¯
2
¯
¯
|< fu, u >| = ¯< f, |u|2 >¯ ≤ CR 1+β k∇uk2L2 (Rd ) , ∀u ∈ C0∞ (B (x0 , R))
(0.1.3)
En particulier, il est intéressant d’observer que la notion de continuité des opérateurs de multiplication ponctuelle permet d’étendre le lemme ([MV2], lemme 2.3) au cadre des inégalités du
type de Schechter ([Sc]) ([Mor]). Plus précisement, on a le résultat suivant
¡ ¢
Théorème 0.1.5 Soient f ∈ D0 Rd , d ≥ 2 et 0 < β ≤ 1. Alors on a les assertions suivantes
:
¡ ¢d
→
−
(a) Supposons qu’il existe une fonction F ∈ L2loc Rd telle que
→
−
f = div F
(0.1.4)
→
−
où F vérifie l’inégalité suivante:
Z
B(x0 ,R)
¯−
³−
4
→´¯¯2
¯→
d−2+ 1+β
, 0<R<δ
¯ F (x) − mB(x0 ,R) F ¯ dx ≤ C1 R
(0.1.5)
→
−
−
→
où mB(x0 ,R) ( F ) indique la valeur moyenne de F sur la boule B (x0 , R) et C1 est une con9
stante indépendante de x0 et R. Alors il existe une constante C > 0 telle que l’estimation
(0.1.2) soit satisfaite pour tout 0 < R < δ.
(b) Inversement, supposons qu’on a l’inégalité (0.1.2) pour tout 0 < R < δ. Alors f peut
¡ ¢d
→
−
s’écrire sous la forme (5.3.10) où F ∈ L2loc Rd vérifie l’inégalité (5.3.11).
On montre ensuite que grâce à ces résultats, qu’on peut établir une démonstration similaire
→
−
→
du lemme div-curl à ceux de ([CLMS]) où ils supposent que div−
u = 0.
Proposition 0.1.1 Soient 1 < p < +∞ et
1
p
+
1
p0
Alors on a
→
kdiv (−
u v)k
¡ ¢d
¡ ¢
−
= 1. Soient →
u ∈ Hp1 Rd et v ∈ Hp10 Rd .
n
o
→
−
→
−
0
0
≤
C
k
u
k
k∇vk
+
kdiv
u
k
kvk
H1 (Rd )
Lp (Rd )
Lp (Rd )
Lp (Rd )
Lp (Rd )
−
où C est une constante indépendante de →
u et v .
Terminons ce chapitre par un corollaire qu’on peut obtenir à partir des résultats précédents.
Corollaire 0.1.6 Sous les hypothèses du théorème 5.3.1 au cas β = 1, la condition (5.3.11)
¡ ¢
est équivalente à f ∈ BMO−1 Rd .
Au dernier chapitre en collaboration avec P.G. Lemarié-Rieusset [LG], on s’intéresse à la
généralisation du théorème de Maz’ya-Verbitsky [MV2] qui permettra de résoudre un grand
nombre de problème simples; cette démonstration outre le mérite d’éclairer le théorème de
Maz’ya -Verbitsky sous un nouvel angle : elle laissait donc supposer la possibilité d’étudier
de tels opérateurs sur les espaces de multiplicateurs singuliers; en particulier, on abordera une
condition nécessaire et suffisante pour montrer une application nécessitant l’introduction de
tout l’appareillage technique des chapitres précedents. Le paragraphe suivant présentera un
outil fondamental pour l’analyse harmonique, il permettra d’étudier les paramultiplicateurs et
multiplicateurs ponctuels qui donnent une condition nécessaire et suffisante pour qu’un SIO
soit continu sur L2 . Une fois cette continuité acquise, il est naturel de se demander comment
agit un SIO sur d’autres espaces comme les espaces de Besov homogènes. Le premier résultat
important dans cette direction est le théorème suivant de P.G.Lemarié-Rieusset [Lem1]:
10
Théorème 0.1.7 Soient
∈ ]0, 1], T ∈ SIO vérifiant (P 2) et la propriété d’action bornée. Si
. s,q
T (1) = 0 alors T s’étend en un operateur continu de Bp
. s,q
dans Bp
, pour tout s ∈ ]0, [ et p,
q ∈ [1, ∞] .
En nous inspirant d’un résultat de P.G.Lemarié [Lem1], nous avons travaillé dans les espaces
BMOps,q . La structure particulière de ces espaces nous a permet de ramener a établir un critère
simple de continuité sur les espaces de Besov. Plus précisement,
. s,q
Théorème 0.1.8 Pour que T se prolonge en un operateur continu de Bp
. s,q
dans Bp
s ∈ ]0, [, il faut et il suffit que T admet la propriété d’action bornée et que T (1) ∈
pour
BMOps,q
.
.
Terminons ce travail par un énoncé qu’on peut identifier l’espace X r , 0 ≤ r < 1 avec l’espace
Qr .
Remarque 1 Un problème important reste ouvert : le cas limité r = −s n’est pas encore
finalement résolu; il serait important de savoir étudier le cas limite pour r = −s.
11
Chapitre 1
Caractérisation des espaces de
multiplicateurs singuliers
¡ s
¢
2
Xs = M H → L
1.1
¡ ¢
L’espace H s Rd Structure hilbertienne et dualité
Nous présentons ici une première version des espaces de Sobolev sur Rd . Une théorie plus
élaborée sera développée au chapitre 4.
Définition 1.1.1 (Espaces de Sobolev) Soit s ∈ R. On dit qu’une distribution u dans Rd
¡ ¢
b est une fonction localement sommable, et
appartient à l’espace H s Rd si u est tempérée, si u
si on a
Z ³
´s
2
1 + |ς|
|b
u (ς)|2 dς < +∞
(1.1.1)
Cette définition comporte deux aspects. D’une part, elle exige une certaine régularité de u
b
être localement sommable ( et même localement de carré sommable), ce qui interdit à u d’être
trop grande à l’infini. D’autre part, elle exige une décroissance de u
b à l’infini, d’autant plus
rigoureuse que s est grand, qui correspond à une régularité de u. Il est évident, au vu de la
définition, que les espaces H s décroissent avec s, et que pour u ∈ H s , les dérivées d’ordre m de
u appartiennent à H s−m .
12
Lemme 1.1.1 Les espaces H s sont hilbertisables: munis du produit scalaire
< u, v >s =
Z ³
1 + |ς|2
´s
u
b (ς) vb (ς)dς
(1.1.2)
ou de tout autre produit scalaire donnant une norme équivalente à la norme
kuk2H s
Ce sont des espaces de Hilbert.
°³
´s
°
2 2
=°
1
+
|ς|
°
°2
°
u
b°
°
(1.1.3)
L2
³
´s
2 2
u
b
Il est clair que < ., . >s est un produit scalaire. D’autre part, l’application u → 1 + |ς|
¡
¢
est par définition une bijection isométrique de H s sur L2 Rd . Ce dernier espace étant complet,
il en est de même de H s , pour la norme ci-dessus ou pour toute norme équivalente. Considérons
l’isomorphisme vectoriel topologique Λs : S 0 → S 0 défini par
s
Λ u=F
On a
< u, v >s =
Z
−1
µ³
´s ¶
2
1 + |ς|
u
b
2
Λs uΛs vdx =< Λs u, Λs v >L2
On va définir maintenant la version homogène des espaces de Sobolev.
. s¡
Définition 1.1.2 Soit |s| < d2 . On définit l’espace de Sobolev homogène H
¡ ¢
la fermeture de S Rd muni de la norme
kuk2. s =
H
Z
¢
Rd comme étant
|ς|2s |b
u (ς)|2 dς < +∞
Nous avons le résultat important de densité suivant :
Lemme 1.1.2 L’injection S → H s est continue, D est dense dans H s ; L’injection de H s dans
S 0 est continue.
Preuve. Il est facile de voir que l’injection de S dans H s est continue; En effet, puisque
Λs est un isomorphisme vectoriel topologique de S sur lui-même et de H s sur L2 , il suffit de
13
considérer le cas s = 0. Pour ϕ ∈ S, on a par-exemple
kϕk2L2 =
Z ³
´−d ³
´d
1 + |ς|2 |ϕ(x)|2 dx
1 + |ς|2
d’où
kϕkL2 ≤ C sup
x∈Rd
avec
C2
=
Z ³
1 + |x|2
´d
µ³
2
1 + |x|
´d
2
¶
|ϕ(x)|
dx. Ceci pouve la continuité cherchée. L’injection de H s dans S 0 est
continue; En effet, on se ramène comme précedemment au cas s = 0 et on remarque que pour
u ∈ L2 et ϕ ∈ S , on a
|< u, ϕ >| ≤ kukL2 kϕkL2
Montrons maintenant que D est dense dans H s . Puisque S est dense dans L2 , on voit que
¡ ¢
Λ−s (S) = S est dense dans Λs L2 = H s ; La densité de D dans S et la continuité de l’injection
S → H s entraînent alors la densité de D dans S et la continuité de l’injection D dans H s , ce
qui achève la démonstration.
De même, on a les injections continues
´
³ ´
³ ´
. s³
S Rd ⊂ H Rd ⊂ S 0 Rd
. −s ¡
De plus, le produit scalaire dans l’espace L2 découle de l’identification de H
. s¡
¢
H Rd : En utilisant la formule de Plancherel
Z
f(x)g(x)dx =
1
(2π)d
on trouve que
´
. −s ³
d
H
R
Z
¢
Rd au dual de
g (ξ)dξ,
fb(ξ)b
n
³ ´
³ ´
o
= f ∈ S 0 Rd : ∃C ≥ 0, ∀ϕ ∈ S Rd |hf, ϕi| ≤ C kϕkH. s
et
|hf, ϕi|
. s
ϕ∈S kϕkH
kfk . −s = sup
H
14
Finallement, on a le théorème d’injection (de Sobolev) suivant:
. s
H ⊂ Lq pour 0 ≤ s <
d
1
1 s
et = −
2
q
2 d
et cette injection est continue.
¡ ¢
¡ ¢
Lemme 1.1.3 (HM) H s Rd , s > 0 est l’espace des fonctions u ∈ L2 Rd qui peuvent être
représenter sous la forme
³ ´
s
u = Js g = (1 − ∆)− 2 g, où g ∈ L2 Rd
(1.1.4)
s
(1 − ∆)− 2 g = Gs ∗ g est une convolution de g avec le noyau de Bessel Gs d’ordre s et kukH s =
kgkL2 .
Cette propriété est classique.
Proposition 1.1.1 (i) H 0 = L2 ;
¡ ¢
s
(ii) Pour chaque s ≥ 0, H s ⊂ L2 ; et même si u = (1 − ∆)− 2 g avec g ∈ L2 Rd , alors kukL2
≤ kukH s d’après
kGs ∗ gkL2 ≤ kGs kL1 kgkL2 et kGs kL1 = 1.
(iii) Pour 0 ≤ α ≤ β, H β ⊂ H α et kukH α ≤ kukH β ;
(iv) L’application Jβ : H α → H β+α est linéaire, bijective, isométrique.
¡ ¢
¡ ¡ ¢¢∗
L’espace dual de H −s Rd = H s Rd
s’identifie avec l’espace des distributions u sous
¡
¢
s
la forme u = (1 − ∆) 2 g, où g ∈ L2 Rd .
1.2
Les espaces de multiplicateurs singuliers Xr
Nous allons présenter maintenant des espaces de multiplicateurs singuliers sur les espaces de
Sobolev, introduits récemment par P.G.Lemarié-Rieusset dans ses travaux [Lem3] généralisant
le théorème d’unicité de J.Serrin [Ser]. Nous commençons par donner les définitions suivantes
15
Définition 1.2.1 On définit par L2unif (Rd ) la classe des fonctions f ∈ L2loc (Rd ) telle que
kfkL2
unif
°
°
°
°
= sup °χB1 (x) f °
L2
x∈Rd
<∞
où BR (x) est une boule de centre x et de rayon R.
Définition 1.2.2 Pour tout r ≥ 0, on définit
©
ª
X r = f ∈ L2loc : ∀g ∈ H r f g ∈ L2
Il s’agit bien des espaces de Banach normés par :
kfkX r =
sup kf gkL2
kgkH r ≤1
. r
On définit de même l’espace homogène X pour 0 ≤ r <
kfkX. r =
d
2
muni de la norme
sup kf gkL2
kgk . r ≤1
H
On a ∀x0 ∈ Rd
kf (x + x0 )kX r = kfkX r
kf (x + x0 )kX. r = kfkX. r
1
kfkX r , 0 < λ ≤ 1
λr
1
≤ r kfkX. r , λ > 0
λ
kf (λx0 )kX r ≤
kf (λx0 )kX. r
Etant donné que l’opérateur de multiplication par une fonction réelle est auto-adjoint, il s’ensuit
que
kfkX r =
kfkX. r =
sup kf gkH −r
kgkL2 ≤1
sup kf gk . −r
kgkL2 ≤1
16
H
On établit quelques inclusions fonctionnelles. Commençons par les espaces de Lebesgue qui
proviennent tout simplement des injections de Sobolev et des inégalités de Hölder.
d
, 0 ≤ t ≤ r.
2
r
·
d
d
Lr ⊂ X , 0 ≤ r <
2
d
L t ⊂ Xr, 0 ≤ r <
Un raffinement des inclusions ci-dessus est valable pour les espaces de Lorentz:
d
. r
L r ,∞ ⊂ X , 0 < r <
d
2
où on a utilisé les inclusions de Sobolev et les inégalités de Hölder étendues. Il résulte alors que
¢
¡
l’espace M H r → L2 ayant les propriétés suivantes :
Lemme 1.2.1 On a les estimations suivantes :
a.
kfkM(H r →L2 ) ≤ kfkM³H. r →L2 ´
b. Pour tout f ∈ L2loc , on a
kfkM³H. r →L2 ´ ≥ C
sup
d
δ r− 2 kf; Bδ (x)kL2
(1.2.1)
x∈Rd , δ>0
Preuve.
a. On a
kfkM(H r →L2 ) =
kfukL2
sup
u∈C0∞ (Rd ) kukH r
(1.2.2)
et de l’inégalité kukH r ≥ kukH. r , il en découle que
kfkM(H r →L2 ) ≤ kfkM³H. r →L2 ´
b Soit η ∈ C0∞ (B2 (0)) t.q η = 1 sur B1 (0). Donc l’inégalité (1.2.1) se déduit de (1.2.2) en
³
´
choisissant la fonction test u(ζ) = η ζ−x
.
δ
17
1.2.1
Propriétés de la capacité et du potentiel capacitaire
Dans cette section, nous introduisons la théorie du potentiel, plus précisement la notion de la
capacité que nous developpons en termes du potentiel de Riesz et de Bessel. Les recherches
actuelles, de plus en plus actives, puisent leur richesse surtout dans les multiples points de
vue et méthodes de la théorie du potentiel, qu’il apparaît donc encore nécessaire de connaître
en gros avant d’aborder toutes les axiomatiques modernes. Nous commençerons par l’emploi
d’un de nos outils principaux, à savoir les puissances fractionnaires de l’opérateur Laplacien :
s
s
(−∆) 2 . Plus loin, nous verrons qu’il est commode de leur substituer (1 − ∆) 2
Définition 1.2.3 (Noyau de Riesz) Soient d ≥ 2 et x ∈ Rd . Le noyau de Riesz est définit
par
kα (x) = C(d, α) |x|α−d ,
(0 < α < d) .
La constante C(d, α) étant choisis de sorte que
kα ∗ kβ = kα+β
On peut alors se poser la question suivante : quand- est-ce que kα ∗ kβ sera définie? Il existe
un problème à l’infini. Supposons que |x| << R , R = cste et x 6= 0. Alors on a
Z
|y|>R
dy
|y|d−α × |x − y|d−β
≈
Z
|y|>R
dy
|y|2d−α−β
≈
Z∞
d−1−2d+α+β
t
dt =
R
Z∞
tα+β−d−1 dt
R
qui converge si et seulement si α + β < d.
Remarque 2 (noyaux Besseliens) Le comportement local (|x| → 0) des noyaux de Riesz
kα (x) = C(d, α) × |x|α−d est convenable. Par contre, le comportement à l’infini n’est pas assez
bon pour certains usages; en particulier, quand on utilise les noyaux de Riesz pour régulariser,
les potentiels obtenus ne suivent pas le comportement de la fonction.
18
s
s
Pour sortir de ce dilemme, nous remplaçons (−∆) 2 par (1 − ∆) 2 : les potentiels correpondants de (Bessel) auront le même comportement local, mais se comportement beaucoup mieux
à l’infini. Le noyau de Bessel Gα , α > 0 est défini comme une fonction où sa transformée de
Fourier est
³
´− α
2
− d2
2
c
1 + |x|
Gα (x) = (2π)
Il est bien connu que Gα est une fonction positive, intégrable qui est analytique à l’exeption du
point x = 0. De manière analogue au noyau de Riesz, on a
Gα ∗ Gβ = Gα+β , α, β ≥ 0
Proposition 1.2.1 (propriétés immédiates de Gα (0 < α < d)) .
´
³
1. 0 ≤ Gα = ckα + o |x|α−d , |x| → 0
α (x)
2. lim G
kα (x) = 1.
x→0
¡
¢
3. Gα (x) = O e−c|x| quand |x| → ∞ : Gα est à décroissance rapide.
¡ ¢
4. Gα ∈ L1 Rd .
5.
R
Rd
Gα (x) = 1
Tout ceci laisse espérer que l’effet régularisant de la convolution par Gα sera meilleur que
celui par kα . On a besoin des relations asymptotiques (Voir [AMS])
Gα (x) ' |x|α−d , si d ≥ 3,
Gα (x) ' |x|
α−d
2
|x| → 0;
e−|x| , si d ≥ 2,
(1.2.3)
|x| → +∞;
La théorie classique du potentiel (telle qu’elle s’est développée jusque vers 1930) consiste essentiellement en l’étude des fonctions harmoniques et des potentiels newtoniens dans l’espace
euclidien à d dimensions. Très tôt, s’est posé le problème d’étendre les méthodes et certains
résultats de cette théorie à des situations plus générales. L’intérêt de telles préoccupations n’est
plus à démontrer aujourd’hui; il suffit de songer au développement considérable, depuis 1945,
19
des méthodes dites potentialistes dans les domaines les plus divers: équations aux dérivées
partielles, analyse harmonique, géométrie différentielle, analyse fonctionnelle, théorie des probabilités,...
Définition 1.2.4 Soient µ une mesure sur Rd et 0 < α < d. On appelle potentiel de µ la
fonction (non toujours partout définie sur Rd ) :
x → Pµ = P = (Iα µ) (x)
Ceci permet de donner le lemme suivant.
Lemme 1.2.2 Si P µ(x) ≤ M sur le support de µ, alors
P µ(x) ≤ 2d−α M
∀x ∈ Rd .
Preuve. Soit µ une mesure positive dont le support K est compact. Soient x un point
quelconque de Rd et y un point de K à distance minima de x. En effet, pour tout point x0 de
K on a :
et
¯
¯
|y − x| ≤ ¯x − x0 ¯
ainsi
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯y − x0 ¯ ≤ |y − x| + ¯x − x0 ¯ ≤ 2 ¯x − x0 ¯
D’où
¯
¯
¯
¯
¯x − x0 ¯−d+α ≤ 2d−r ¯y − x0 ¯−d+α
P µ(x) ≤ 2d−α M
Proposition 1.2.2 Soit µ une mesure sur Rd . Une condition nécéssaire et suffisante pour que
20
le potentiel P µ(x) soit fini presque partout est que
Z
³ ´
< ∞ presque partout, i.e P µ ∈ L1loc Rd
dµ(y)
|y|d−α
|y|>1
Z
Preuve. Supposons qu’on a
dµ(y)
|y|d−α
|y|>1
Z
P µ(x)dx =
Z
=
Z
dµ(y)
Rd
|x|<R
< ∞. Alors ∀ R > 1
dx
|x − y|d−α

Z
Z 

dµ(y)
+


|x|<R


 Z


|y|<2R
|y|>2R
dx
|x|<R
|x − y|d−α
= I1 + I2
On estime les deux intégrales séparément.
I1 ≤
Z
dµ(y)
|y|<2R
=
Z
dx
|z|<3R
C(d)
(3R)α
α
Z
|z|d−α
= C(d)
Z3R
dµ(y) tα−1 dt
Z
0
|y|<2R
dµ(y)
|y|<2R
Alors, on a puisque |x − y| ≥ |y| − |x| ≥
d−α
I2 ≤ 2
Z
dµ(y)
|y|>2R
Z
|y|
|y|
2
α−d
si |y| > 2R et |x| < R,
dy = C(d)2
d−α
|y|<R
Rd
Z
|y|α−d dµ(y) < ∞
|y|>2R
¡ ¢
On conclut que P µ ∈ L1loc Rd et donc P µ < ∞ p.p. Inversement, on raisonne par l’absurde :
Z
dµ(y)
supposons que
= ∞. Alors
|y|d−α
|y|>1
Z
Rd
dµ(y)
|x − y|d−α
≥
Z
|y|>2|x|
dµ(y)
|x − y|d−α
≥
|y|>2|x|
et le potentiel est infini, ce qui contredit l’hypothèse.
21
Z
(2 |y|)α−d dµ(y) = ∞
³ . r´
Définition 1.2.5 On définit la capacité cap e; H d’un ensemble compact e par
n
³ ´
o
³ . r´
cap e; H = inf kuk2. r : u ∈ C0∞ Rd , u ≥ 1 sur e
H
On définit également la capacité de Bessel de manière analogue où on remplace le noyau kr
¡
¢
par Gr . Comme Gr (x) ≤ kr (x) x ∈ Rd , il en résulte immédiatement de la définition que pour
0 < r < d, il existe une constante C(d, r) telle que
³ . r´
cap e; H ≤ C(d, r)cap (e; H r )
Proposition 1.2.3 Soit 0 < r <
d
2.
Il existe une constante A telle que pour tout ensemble
compact e ⊂ Rd
³
. r´
cap e; H
µ
³ . r´ d ¶
³ . r´
d−2r
≤ cap (e; H ) ≤ A cap e; H + cap e; H
r
³ . r´
¡ ¢
Preuve. On pose cap e; H = κ > 0. Alors il existe une fonction f ∈ L2 Rd telle que
kfk2L2 ≤ 2κ
et
kr ∗ f ≥ κe
Désignons par kr0 la fonction définie par
kr0 (x) =


0 , pour |x| < 1
 k (x) , pour |x| ≥ 1
r
En outre, il existe une constante c > 0 telle que kr ≤ cGr + kr0 . On pose
½
¾
1
E1 = x : cGr ∗ f ≥
2
22
et
½
¾
1
0
E2 = x : kr ∗ f ≥
2
Ceci implique que e ⊂ E1 ∪ E2 . On montre facilement qu’il existe une constante c1 telle que
Gr ∗ kr0 ≥ c1 kr0 .
D’où
¾
½
¡ 0
¢ 1
E2 ⊂ E3 = x : Gr ∗ kr ∗ f ≥ c1
2
En tenant compte que kr0 ∗ f est continue et kGr kL1 < ∞, donc il existe des constantes positives
c2 et c3 telles que
où
ª
©
¡
¢
E3 ⊂ E4 = x : Gr ∗ kr0 ∗ f κE5 ≥ c2
ª
©
E5 = x : kr0 ∗ f ≥ c3 .
Pour finir la démonstration, il reste à estimer la norme
°¡ 0
°
¢
° kr ∗ f κE ° 2 .
5 L
En appliquant l’inégalité de Sobolev avec
1
q
=
1
2
− dr , on trouve
°
°¡ 0
°
°
¢
d
° kr ∗ f κE5 °2 2 ≤ c2−q °kr0 ∗ f °q q ≤ A kfkq 2 ≤ Aκ q2 = Aκ d−2r
3
L
L
L
ce qui achève la démonstration.
Rappelons ( sans démonstration) quelques propriétés élémentaires de la capacité.
Lemme 1.2.3 Pour 0 ≤ r < d, on a les relations suivantes :
1. cap (∅; H r ) = 0;
2. Croissance: si e1 ⊂ e2 ,alors cap (e1 ; H r ) ≤ cap (e2 ; H r ) ; on en déduit que le potentiel est
aussi croissant.
23
3. Si ei ⊂ Rd , i = 1, 2, ..., alors
cap
µ
∞
∪ ei ; H r
i=1
¶
≤
∞
X
cap (ei ; H r )
i=1
Pour la démonstration, nous renvoyons à [MS] et [Z]. On montre l’existence d’une relation
entre la mesure et la capacité.
Lemme 1.2.4 Si 0 < r <
d
2
, alors
cap (e, H r ) ≥ c (mes (e))
d−2r
d
où c est une constante strictement positive indépendante de l’ensemble e.
Preuve. Soit Gr ∗ f ≥ χe . Alors
mes (e) ≤
Posons q =
2d
d−2r .
On a
Z
e
Z
e
(Gr ∗ f) dx
1
(Gr ∗ f) dx ≤ (mes (e)) q0 kGr ∗ f kLq
et d’après l"inégalité de Sobolev :
kGr ∗ f kLq ≤ C kfkL2
Finalement,
1
mes (e) ≤ (mes (e)) q0 kf kL2
1.2.2
Problème d’équilibre.
Nous tâcherons d’expliquer clairement de quoi il s’agit sans entrer profondément dans cette
théorie [Fro]. Etant donné e ⊂ Rd , e compact, trouver une mesure positive υ sur e, de masse
1, et un potentiel Pυ = P constant sur e. Si on imagine que e est un conducteur dans le vide
24
et qu’on a déposé sur e une quantité de charges électriques, ces charges vont à l’équilibre se
répartir selon une distribution υ du potentiel constant sur e. D’où l’idée de chercher υ positive
de masse 1 sur e, minimisant l’énergie
kυk2e
=
Z
Pυ dυ
pour résoudre l’équilibre.
Définition 1.2.6 (Mesure capacitaire et Potentiel d’équilibre) Soit A un ensemble arbitraire tel que 0 < cap (A, H r ) < ∞. On dit que µA est une mesure capacitaire de A si les
propriétés suivantes soient toutes satisfaites.
1. supp(µA ) ⊂ A;
¡ ¢
2. µA A = cap (A) ;
3. Gr ∗ (Gr ∗ µA ) ≥ 1, presque partout sur A,
4. Gr ∗ (Gr ∗ µA ) ≤ 1, sur supp(µA ) ,
5. kP k2H r = cap (A) avec Gr ∗ (Gr ∗ µA ) = PµA .
PµA est appelé le potentiel capacitaire de A.
On donne maintenant les propriétés suivantes connues du potentiel d’équilibre et d’une
mesure capacitaire [MV1], [MS].
Proposition 1.2.4 (MS) Pour tout ensemble compact e ⊂ Rd , il existe une mesure υ = υe
telle que
(i) suppυ ⊂ e;
(ii) υ(e) = cap (e) ;
(iii) kGr υk2L2 = cap (e) ;
(iv) P ≥ 1 presque partout sur e;
25
(v) P ≤ K = K (r, d) sur Rd ;
(vi) cap {P ≥ t} ≤ At−1 cap (e) pour tout t > 0 .
Remarque 3 La mesure υ e associée à e est appelée une mesure capacitaire (équilibre) de e .
On établit alors le lemme suivant :
Lemme 1.2.5 Soient r <
d
2
et µ une mesure sur Rd avec suppµ ⊂ B(0, 1). Alors on a
³
. r´
c ³ ´
cap Et , H ≤ µ Rd
t
avec Et = {x : P (x) > t} et P = I2r (µ).
Preuve. On pose F = {x : P (x) > t} où P son potentiel d’équilibre et υ sa distributuion
capacitaire. Par suite, on a
Z
³
. r´
t × cap F ; H ≤ I2r µdυ
Z ÃZ
=
=
Z ÃZ
dµ(z)
|x − z|d−2r
dυ(x)
!
dυ(x)
!
dµ(z)
|x − z|d−2r
Z
Z
³ ´
= I2r υdµ ≤ K dµ = Kµ Rd
Ceci donne le résultat cherché.
Proposition 1.2.5 Soit r < d2 . Il existe une constante C(d, r) telle que
C −1 (d, r)δ d−2r ≤ cap (B (x, δ) ; H r ) ≤ C(d, r)δ d−2r
pour tout x ∈ Rd et 0 < δ ≤ 12 .
26
Preuve. Sans perdre de généralité, on peut montrer la proposition uniquement pour
¡ ¢
B (0, δ) = Bδ . Soit f ∈ L2 Rd , f ≥ 0, ayant la propriété que
Gr ∗ f ≥ 1 sur B (0, 2)
(1.2.4)
Par un changement de variable, ceci implique
Z
Gr
Rd
µ
x−y
δ
¶ ³ ´
y −d
f
δ dy ≥ 1
δ
(1.2.5)
pour x ∈ B (0, 2δ). D’après (1.2.3), il existe une constante C(d, r) telle que
C(d, r) |x − y|r−d e−2|x−y| ≤ Gr (x − y) ≤ C(d, r) |x − y|r−d e−|x−y|
et ainsi
Gr
µ
x−y
δ
¶
≤ C(d, r) |x − y|r−d δ d−r e−
|x−y|
δ
r−d d−r −2|x−y|
≤ C(d, r) |x − y|
≤ C(d, r)δ
d−r
δ
e
Gr (x − y)
µ
¶
1
δ≤
2
¶
µ
1
δ≤
2
Par conséquent, de (1.2.5)
2
C (d, r)
Z
Rd
De plus,
Gr (x − y) f
³y ´
δ
δ
−r
µ
¶
1
dy ≥ 1 pour x ∈ B (02δ) , δ ≤
2
Z
h
³ y ´i2
C 2 (d, r)δ−r f
dy = C 4 (d, r)δ d−2r kfk2L2
δ
d
R
Par conséquent,
r
4
cap (B (0, 2δ) ; H ) ≤ C (d, r)δ
¡ ¢
pour tout f ∈ L2 Rd satisfaisant (1.2.4). D’où
r
4
cap (B (0, 2δ) ; H ) ≤ C (d, r)δ
d−2r
d−2r
kfk2L2
µ
¶
1
,
δ≤
2
µ
¶
1
× cap (B (0, 2) ; H ) ,
δ≤
2
27
r
¡ ¢
Etant donné f ∈ L2 Rd , f ≥ 0 sachant que Gr ∗ f ≥ 1 sur B (0, δ), alors
|B (0, δ)| ≤
Z
1
B(0,δ)
Gr ∗ f dx ≤ |B (0, δ)| q0 kGr ∗ f kLq où q =
2d
d − 2r
Il en résulte de (1.2.3) que Gr ≤ ckr . En employant l’inégalité de Sobolev pour le potentiel de
Riesz, on obtient
δ d−2r ≤ C kfkLq
1.2.3
Théorème de Maz’ya et Adams
Le but principal de ce paragraphe est la démonstration du théorème 1.2.1. Ce théorème a été
etablit premièrement par Hansson [Han]. Après par Maz’ya ([Maz], th.8.2.3) et Adams ([A1],
th 1.6). Maz’ya et Adams ont utilisés la mesurabilité de Gr ∗ µt sur Rd où µt est une mesure
ª
©
capacitaire de l’ensemble x ∈ Rd : u(x) ≥ t . En fait, cette mesurabilité ne me semble pas très
évidente. Pour cela, nous établirons une démonstration très élémentaire qui supprime cette
difficulté.
Théorème 1.2.1 Il existe une constante C telle que
Z∞
0
où
¡ ¢
cap (At , H r ) d t2 ≤ C kuk2H r
³ ´
n
o
At = x ∈ Rd : u(x) ≥ t et u = Gr ∗ f / f ∈ C0∞ Rd
Comme un corollaire très simple de ce théorème, on obtient la caractérisation suivante des
mesures de type de Carleson.
Corollaire 1.2.2 Pour toute mesure positive µ, les propositions suivantes sont équivalentes:
¡ ¢
1. Pour tout f ∈ L2 Rd , on a
Z
2
(Gr ∗ f) dµ ≤ C1
28
Z
f 2 dx
2. Pour tout ensemble compact e ⊂ Rd , on a
µ (e) ≤ C2 cap (e)
Plus précisement, on a la caractérisation suivante :
Z
u2 dµ ≤ C kuk2H r ⇔ µ (e) ≤ C2 cap (e)
Remarque 4 Soit µ mesure positive. L’inégalité
Z
Rd
³ ´
u2 dµ ≤ C kuk2H r pour u ∈ C0∞ Rd
est appelée inégalité de trace.
Avant de commencer la démonstration du théorème 1.2.1, montrons que le corollaire 1.2.2
(et donc le théorème 1.2.1) décrivent la caractérisation de l’espace des multiplicateurs singuliers.
Preuve. (1)⇒(2). Cette partie peut être démontrer sans recourir à l’inégalité capacitaire.
¡ ¢
Soit e un ensemble compact. Soit f ∈ L2 Rd telle que Gr ∗ f ≥ 1 sur e. Alors on a
µ (e) ≤
Z
2
(Gr ∗ f ) dµ ≤ C1
Z
f 2 dx
Prenons l’inf sur f, on obtient
µ (e) ≤ C1 cap (e)
(2)⇒(1). D’après la théorie de la capacité, on a
µ (e) ≤ C2 cap (e)
pour tout ensemble de Borel e. Ensuite, en appliquant cette dernière inégalité à l’ensemble At :
At = {x : Gr ∗ f (x) ≥ t}
29
et avec le théorème 1.2.1, on obtient
Z
1
f dx ≥
c
2
1
=
c
Z∞
Z0
¡ ¢ 1
cap (At , H ) d t2 ≥
c
r
Z∞
0
¡ ¢
µ (At ) d t2
2
(Gr ∗ f) dµ
La démonstration du théorème 1.2.1 repose essentiellement sur les lemmes suivants et sur
la notion de la capacité introduite et étudiée en détails dans l’article [HM].
Lemme 1.2.6 Soit aj une suite de nombres positifs. Alors on a


X
j∈Z
2
aj  ≤ 2
X
i∈Z

ai 
∞
X
j=i

aj 
La démonstration est immédiate. Il nous reste deux lemmes à établir.
Lemme 1.2.7 Supposons que µj soient des mesures telle ques
¢
¡ ¢
¡
Gr ∗ Gr ∗ µj ≤ 1 sur sup p µj pour tout j ∈ Z
Alors, on a
Z X
X
° °
¡ j
¢2
22j °µj °
2 Gr ∗ µj dx ≤ c
Rd
j∈Z
j∈Z
Preuve. En appliquant le principe du potentiel d’équilibre, on a
¢
¡
Gr ∗ Gr ∗ µj ≤ K sur Rd
30
D’où
Z X
Z X
+∞
¡ j
¢2
¡ i
¢X
¡ j
¢
2 Gr ∗ µj dx ≤ 2
2 Gr ∗ µi
2 Gr ∗ µj dx
Rd
j∈Z
Rd
=2
X
2j
=c
X
2i
j
2
j
X
Z
(Gr ∗ Gr ∗ µi ) dµj
Rd
i
2M
j∈Z
i=−∞
X
° °
22j °µj °
j∈Z
Par conséquent,
j
X
i=−∞
j∈Z
≤2
j=i
i∈Z
Z
R
dµj
d
Z X
X
° °
¡ j
¢2
2 Gr ∗ µj dx ≤ c
22j °µj °
Rd
j∈Z
j∈Z
qui achève la démonstration du lemme.
¡ ¢
Lemme 1.2.8 Soient f ∈ C0∞ Rd , e un ensemble de Borel et u = Gr ∗ f. On pose
©
ª
Aj = x ∈ e : u(x) ≥ 2j
et considérons une mesure capacitaire µj de Aj vérifiant les propriétés suivantes :
¡ ¢
1. supp µj ⊂ Aj ,
2. Gr ∗ (Gr ∗ µi ) ≥ 1, p.p. sur Aj
¡ ¢
3. Gr ∗ (Gr ∗ µi ) ≤ 1, sur supp µj
° °
4. °µj ° = cap (Aj ).
Alors, on a
°
°
°
°X
Z∞
X
° °
°
¡
¢°
¡ 2¢
3
2j ° °
r
j
°
2 µj ≤ cap ({x : u(x) ≥ t} ; H ) d t ≤ 3 kfkL2 °
2 Gr ∗ µj °
°
4
°
°
j∈Z
j∈Z
0
31
L2
Preuve. On a par définition
Z∞
0
2j+1
X Z
¡
¢
cap ({x : u(x) ≥ t} ; H r ) d t2 =
cap ({x : u(x) ≥ t} ; H r ) d(t2 )
j∈Z
2j
Or
³
´
22(j+1) − 22j cap (Aj+1 ) ≤
2Zj+1
2j
´
³
cap ({x : u(x) ≥ t} ; H r ) d(t2 ) ≤ 22(j+1) − 22j cap (Aj )
On estime premièrement le membre de gauche. On a
³
´
°
°
3
3
22(j+1) − 22j cap (Aj+1 ) = 22(j+1) cap (Aj+1 ) = 22(j+1) °µj+1 °
4
4
Ce qui implique
2Zj+1
° X
3 X 2j+2 °
°µj+1 ° ≤
2
cap ({x : u(x) ≥ t} ; H r ) d(t2 )
4
j∈Z
C’est-à-dire
j∈Z
2j
2Zj+1
° X
3 X 2j °
2 °µj ° ≤
cap ({x : u(x) ≥ t} ; H r ) d(t2 )
4
j∈Z
j∈Z
2j
D’autre part, le membre de droite est estimé par
Z
´
³
° °
Gr ∗ f
2(j+1)
2j
2j ° °
2j
cap (Aj ) = 3 × 2 µj ≤ 3 × 2
−2
dµj
2
2j
Rd
Z
¢
¡
= 3 × 2j
f Gr ∗ µj dx
Rd
32
En additionnant les deux membres sur j ∈ Z, on obtient
Z∞
0
X
¡ ¢
cap ({x : u(x) ≥ t} ; H ) d t2 ≤ 3
2j
r
j∈Z
=3
Z
Rd
Z

f
¢
¡
f Gr ∗ µj dx
Rd
X
j∈Z

¡
¢
2j Gr ∗ µj  dx
En appliquant l’inégalité de Hölder, on trouve
Z∞
0
°
°
°
°X
°
°
¡
¢
¡
¢
r
2
j
cap ({x : u(x) ≥ t} ; H ) d t ≤ 3 kf kL2 °
2 Gr ∗ µj °
°
°
°
° j∈Z
L2
Passons à la démonstration du théorème 1.2.1. Du corollaire précedent, nous allons facilement déduire le résultat principale de ce paragraphe.
Preuve. En utilisant le théorème de la convergence monotone, il suffit de montrer que
I=
Z∞
0
¡ ¢
cap ({x ∈ B (0, R) : u(x) ≥ t}) d t2 ≤ C kf k2L2
¡ ¢
pour tout R > 0, f ∈ C0∞ Rd et C une constante indépendante de R et f . Puisque Gr ∗ f = u
est borné, il vient que l’ensemble {x : u(x) ≥ t} = ∅ pour t assez grand, disons t > T sachant
que
I ≤ cap (B (0, R)) × T 2 < ∞
Soit µj une mesure capacitaire de l’ensemble Aj
©
ª
Aj = x ∈ B (0, R) : u(x) ≥ 2j
D’après le lemme 1.2.7 avec A = B (0, R), on a
°
°
°
°X
°
¡
¢°
j
°
I ≤ 3 kfkL2 °
2 Gr ∗ µj °
°
°
° j∈Z
L2
33
(1.2.6)
Or, d’après le lemme 1.2.7, on a
°
°
°
°X
°
°
¡
¢
j
°
°
2
∗
µ
G
r
j
°
°
°
° j∈Z

L2
et
≤ c
X
j∈Z
1
2
°
°
2j ° °
2 µj
(lemme 1.2.7)
°
3 X 2j °
2 °µj °L1 ≤ I.
4
j∈Z
Ceci implique
°
°
°
°X
°
°
¡
¢
j
°
2 Gr ∗ µj °
°
°
°
° j∈Z
1
≤ cI 2
L2
Puisque I < ∞, il résulte de (1.2.6) que
1
I ≤ c kfkL2 × I 2
i.e
I ≤ c kfk2L2
Enfin,
Z∞
0
¡ ¢
cap ({x ∈ B (0, R) : u(x) ≥ t}) d t2 ≤ C kf k2L2
Ceci étant démontré, la remarque très simple suivante nous sera souvent utile.
Remarque 5 Dans ces conditions et d’après les résultats ci-dessus, on pose µ = f 2 , il vient
que
Z
u2 f 2 dx ≤ C kuk2H r
Z
f 2 dx ≤ C2 cap (e, H r )
Rd
et donc
e
34
Alors, on convient de définir la norme kfkM(H r →L2 ) par [MS]
kf kM(H r →L2 ) ∼ sup
e
1

2
Z
2
 f dx
e
(1.2.7)
1
[cap (e,H r )] 2
Nous donnons dans la section 4.3, une autre démonstration des mêmes résultats en utilisant
la décomposition atomique de l’espace de Sobolev.
1.3
Continuité des opérateurs d’intégrales singulières dans les
espaces Xr .
Dans cette section, on rappelle certaines propriétés du poids et en particuliers la classe Ap .
Un exposé complet peut être trouvé dans les monographes de J.Garcia-Cuerva et J.L. rubio de
Francia [GR] et A. Torchinsky [Tor].
1.3.1
Poids de Muckenhoupt : Quelques notions et résultats préliminaires
Définition 1.3.1 Un poids w(x) : Rd → R ( une fonction positive, localement intégrable)
appartient à la classe de Muchenhoupt Ap (1 ≤ p < ∞) s’il existe une constante Cp ≥ 1 telle
que pour toute boule (de volume |B| ), on ait:

 1
|B|
Z
B

1
w(x)dx 
|B|
1
|B|
Z
Z
w(x)
1
− p−1
B
p−1
dx
≤ Cp ,
w(x)dx ≤ Kess (inf x∈B w(x)) ,
p = 1.
p>1
(1.3.1)
(1.3.2)
B
1
Soient 1 ≤ p < ∞ et w un poids tel que w(x)− p−1 est localement intégrable quand p > 1 et
tel que w est borné quand p = 1, c’est-à-dire :
1
<∞
x∈B w(x)
ess sup
35
pour toute boule B .
Commençons par une propriété de continuité de l’opérateur maximal. On a en effet le
théorème suivant:
Théorème 1.3.1 (Muchenhoupt) Supposons que w ∈ Ap , où 1 < p < ∞. Alors l’opérateur
maximal de Hardy-Littlewood M est borné sur Lp (w(x)dx), c-à-d : il existe une constante C > 0
telle que pour tout f ∈ Lp (w(x)dx), on a
Z
(Mf(x))p w(x)dx ≤ C
Rd
Z
|f (x)|p w(x)dx
Rd
où C ne dépend que de la constante Ap de w.
On cite certaines propriétés du poids Ap
1
1. Si w ∈ Ap pour 1 < p < ∞ , alors puisque w(x)− p−1 est localement
¡ ¢
intégrable quand p > 1 et w1 est localement borné si p = 1, on a Lp (w(x)dx) ⊂ L1loc Rd .
Proposition 1.3.1
1
1
2. Notons que si w est un poids, alors en écrivant 1 = w p w− p , puis en utilisant l’inégalité
de Hölder, on obtient que pour toute boule B

1
1≤
|B|
Z
B

1
w(x)dx 
|B|
Z
w(x)
−1
p−1
B
p−1
dx
si p > 1,
De la même manière pour l’expression qui donne la condition sur A1 . Il vient que si
w ∈ Ap , la constante de Ap est ≥ 1.
3. Si w ∈ Ap , où 1 < p < ∞, alors w
1
− p−1
∈ Ap0 et inversement.
4. Il n’est pas difficile de voir que le poids w ∈ A1 si et seulement si Mw(x) ≤ A1 w(x) p.p.
5. Il vient que si w ∈ A1 , alors il existe une constante C telle que w(x) ≥
pour tout x ∈ Rd . En effet, si x ∈ Rd et R = 2 max (1, |x|), alors
1
Rd
Z
w(y)dy ≥
B(R,x)
36
2−d
(1 + |x|)d
Z
B(1,0)
w(y)dy
C
(1+|x|)d
presque
ceci implique M w(x) ≥ C (1 + |x|)−d p.p.
6. Si w est un poids et qu’il existe deux constantes positives C et D telles que C ≤ w(x) ≤ D,
presque pour tout x ∈ Rd , alors il est évident que w ∈ Ap pour 1 ≤ p < ∞ .
Remarque 6 La classe Ap de Muckenhoupt peut être caractérisé également par la continuité
des opérateurs de Caldéron-Zygmund. On a en effet le théorème suivant [St2]
Théorème 1.3.2 (Muckenhoupt) Soit T un opérateur de Caldéron-Zygmund et w un poids
de la classe Ap , où 1 < p < ∞ . Il existe alors une constante C > 0 telle que, pour tout
f ∈ Lp (w(x)dx), on a
Z
p
|T f (x)| w(x)dx ≤ C
Rd
Z
|f(x)|p w(x)dx
Rd
Inversement, soit dµ une mesure de Borel positive. Alors, si
Z
|T f(x)|p dµ ≤ C
Rd
Z
|f(x)|p dµ
Rd
pour tout f ∈ Lp (dµ), alors dµ est absolument continue et dµ = w(x)dx avec w ∈ Ap .
1.3.2
Poids à croissance lente.
Nous utiliserons parfois que les poids Ap sont à croissance lente.
Définition 1.3.2 Un poids w est dite à croissance lente s’il existe une constante positive C
telle que
w(2B) ≤ Cw(B)
(1.3.3)
pour toute boule B ⊂ Rd . L’infinimum sur toutes les constantes C pour la quelle l’inégalité
(1.3.3) soit satisfaite est appelé la constante de croissance de w.
Il vient directement de la condition Ap et de l’inégalité de Hölder qu’un poids w ∈ Ap admet
la propriété de croissance lente. En particulier, tout poids de Ap vérifie la condition (1.3.3).
37
Proposition 1.3.2 Soit w ∈ Ap où 1 ≤ p < ∞ et soit E un sous-ensemble mesurable d’une
boule B. Alors
w(B) ≤ A
µ
|B|
|E|
¶p
w(E)
où A est une Ap constante de w .
Preuve. On a
|E| =
Z
1
1
w p (x)w− p (x)dx
E

1 
 p−1
p
p
Z
Z
−1
≤  w(x)dx  w(x) p−1 dx
E
1
p
≤ w(E) |B|
1
p
≤ A w(E) |B|
1
= Ap
µ
 1
|B|
p−1
p
1
p
w(E)
w(B)
E

p−1
p
¶1
p

Z
w(x)
−1
p−1
B
 1
|B|
Z
B
 p−1
dx
p
 −1
p
w(x)dx
|B|
Théorème 1.3.3 (L’inégalité de Hölder inverse) Si w ∈ Ap , alors il existe des nombres
η > 1 et Cη ≥ 1 tels que

 1
|B|
Z
B
1
η
1
w(x) dx ≤ Cη
|B|
η
Z
w(x)dx
B
pour toute boule B.
Corollaire 1.3.4 Supposons que w ∈ Ap pour 1 < p < ∞. Alors, il existe un nombre q,
1 < q < p tel que w ∈ Aq .
38
1
Preuve. D’après la proposition 1.3.1, le poids w− p−1 ∈ Ap0 . Donc, il vient de la condition
Ap
1
|B|
1
où u = w− p−1 et p0 =
p
p−1 .
η > 1 tel que
Z
u(x)dx ≤ C
B
 1
|B|
Z
 1
|B|
 1
|B|
Z
u(x)
1
1−p0
B
B
w(x)
B
1
1−q
1
η
C
u(x) dx ≤
|B|
η
pour toute boule B. Puisque η > 1, on a
Z

1−p0
dx
En appliquant l’inégalité de Hölder inverse à u, il existe un nombre


1
p−1
η
p−1
q−1
dx
1
q−1
=
1
=
|B|

Z
B
1
|B|
 p−1
η
w(x)
η
1−p
B
1
≤C
|B|
≤C
u(x)dx
pour certain 1 < q < p. D’où


Z
Z
B
Z
B
w(x)
dx
1
1−p
p−1
dx
−1
w(x)dx
ceci pouve que w ∈ Aq .
Maintenant, on est dans la position de démontrer le théorème de Muchenhoupt.
Preuve. Introduisons une fonction maximal à poids
1
Mw f(x) = sup
R>0 w(B(R, x))
Z
|f(y)| w(y)dy , x ∈ Rd
B(R,x)
La preuve standard du théorème maximal de Hardy-Littlewood ([St1] p.p6-7) montre que si
g ∈ Ls ((w)dx), 1 < s < ∞, alors
Z
(Mw g(x))s w(x)dx ≤ C
Rd
Z
Rd
39
|g(x)|s w(x)dx
(1.3.4)
Soit B une boule arbitraire et supposons que w ∈ Aq pour 1 < q < p. Il vient de l’inégalité de
Hölder
1
w(B)
Z
B

1
|f(y)| dy ≤ 
w(B)

Z

1
=C 
|B|
1
q
q
1
|f(y)| w(y)dy  
w(B)
q
B
1
≤C 
|B|
1
q
1 
Z
B
Z
B
1
q
|f(y)| w(y)dy 
q
µ
1
Z
w(y)
B
w(B)
|B|
 q−1
q
1
− q−1
¶− 1
dy 
q
q
|f(y)| w(y)dy 
q
et par conséquent
1
Mf(x) ≤ C (Mw |f|q (x)) q
pour tout x ∈ Rd . En utilisant l’inégalité (1.3.4) avec g = |f|q et s =
Z
p
(M f(x)) w(x)dx ≤ C
Rd
Z
p
q
> 1, on arrive à
p
(Mw |f|q (x)) q w(x)dx
Rd
≤C
Z
|f(x)|p w(x)dx
Rd
1.3.3
Continuité de l’opérateur d’intégrale singulière
Soit k(t) 6= 0 une fonction positive décroissante pour t > 0. Supposons de plus que k est
localement intégrable :
Z
k(t)td−1 dt < ∞
O
et posons
1
k(R) = d
R
ZR
k(t)td−1 dt
0
Le noyau k joue un rôle très important dont il vérifie toujours la condition (1.3.3) par contre
son noyau original k ne le joue pas.
40
Lemme 1.3.1 k est un noyau positif continu tel que
(i) d−1 k(s) ≤ k(s);
(ii) k est décroissant et vérifie la condition (1.3.3). Plus précisement, on a
k(2s) ≤ k(s) ≤ 2d k(2s)
Preuve. Par définition, on peut facilement montrer la positivité et la continuité de k.
(i) On remarque que
1
k(R) ≥ d
R
ZR
k(R)td−1 dt =
k(R)
d
0
(ii) On prend α ≥ 1. Alors
 R
Z

ZαR

1
1
d−1
d−1
k(αR) =
k(t)t
dt
+
k(t)t
dt

(αR)d
(αR)d 
0
0
R
)
(
(αR)d − (R)d
1
d
R × k(R) + k(R)
=
d
(αR)d
n
´o
³
1
d
d
d
R
= k(R)
k(R)
+
k(R)
(αR)
−
(R)
≤
(αR)d
ZαR
k(t)td−1 dt ≤
Donc k est décroissant. On remarque que
Z2R
ZR
d−1
−d 1
k(2R) =
k(t)t dt ≥ 2
k(t)td−1 dt = 2−d k(R)
Rd
(αR)d
1
0
0
Parfois, il sera plus utile d’utiliser le noyau de Bessel modifié :
∼
Gr (x) = max (Gr (x), 1)
∼
qui n’a pas une décroissance exponentielle à ∞ . Il est evident que les deux noyaux Gr et Gr
∼
sont des noyaux radiaux, positifs, décroissants. De plus, Gr admet une propriété de croissance
41
lente :
∼
∼
∼
Gr (2s) ≤ Gr (s) ≤ c(d)Gr (2s)
Le potentiel correspondant modifié est défini par
∼
∼
P (x) = Gr ∗ µ(x)
Nous commençons par établir une importante proposition dont la démonstration fera appel à
la théorie du potentiel d’équilibre.
Proposition 1.3.3 Soient d ≥ 2 et 0 < δ <
∼
d
d−2r .
Soit µ une mesure capacitaire associée au
potentiel P . Alors
∼δ
P ∈ A1 sur Rd
Ceci est équivalent à
µ δ ¶
∼
∼δ
M P (x) ≤ C(δ, d)P (x), dx p.p
où M est l’opérateur maximal de Hardy-Littlewood.
Preuve. Soit k : R+ → R+ une fonction décroissante vérifiant la condition :
k(2s) ≤ ck(s), s > 0
Il est aisé de voir que le poids radial k(|x|) ∈ A1 si et seulement si
ZR
0
kδ (t)td−1 dt ≤ c.Rd k(R), R > 0
Il vient de (1.2.3) que
∼
Gr (s) ' |s|r−d si d ≥ 3 pour 0 < s < 1
et
∼
Gr (s) ' 1 pour s ≥ 1
42
(1.3.5)
∼δ
Par conséquent, k (|s|) = Gr (s) est un noyau radial, décroissant et vérifie la propriété de croissance lente. D’après l’inégalité de Jensen, on a
∼ δ1
∼ δ2
Gr ∈ A1 implique que Gr ∈ A1 si δ 1 ≥ δ 2
Il est clair que (1.3.5) est vraie si et seulement si 0 < δ <
généralité, on peut supposé que 1 ≤ δ <
d
d−2r .
d
d−2r .
Par conséquent, sans perdre de
Alors par l’inégalité d’intégrale de Minkowski et
∼δ
de l’estimation de Gr établie au dessus, il en résulte que
õ ¶ 1
!δ
µ δ ¶
∼
∼δ δ
Gr
∗ µ(x)
M P (x) ≤ M
µ
¶δ
∼
≤ C(δ, d) Gr ∗ µ (x)
∼δ
= C(δ, d)P (x)
Théorème 1.3.5 (MV1) Soit 0 ≤ r <
L2loc telles que
Z
e
d
2.
Soient
h et g deux fonctions appartenant à
|h(x)|2 dx ≤ Ccap(e)
(1.3.6)
³ . r´
pour tout ensemble compact e où cap (e) = cap e; H . Supposons de plus que pour tout poids
ρ ∈ A1 , on a
Z
2
|g(x)| ρdx ≤ K
Rd
Z
|h(x)|2 ρdx
(1.3.7)
Rd
où K est une constante dépend uniquement de d et de la constante A dans la condition du
Muckenhoupt. Alors
Z
e
|g(x)|2 dx ≤ Ccap(e)
pour tout ensemble compact e avec C = C (d, r, K) .
Preuve. Supposons que υ e est une mesure capacitaire de e ⊂ Rd et soit ϕ = P son potentiel
d’équilibre. Alors par la proposition 1.2.4, on ait
43
(i) ϕ(x) ≥ 1 presque partout sur e ;
(ii) ϕ(x) ≤ B = B (d, r) pour tout x ∈ Rd ;
(iii) cap {ϕ ≥ t} ≤ Ct−1 cap (e) pour tout t > 0 et la constante est indépendante de e.
Maintenant, il vient de la proposition 1.3.3 que ϕδ ∈ A1 . Par conséquent, d’après (1.3.7), on a
Z
Z
|g(x)|2 ϕδ dx ≤ K
Rd
|h(x)|2 ϕδ dx
Rd
En appliquant cette inégalité au même temps que (i) et (ii), on trouve
Z
e
2
|g(x)| dx ≤
Z
2
δ
|g(x)| ϕ dx ≤ C
Rd
Z
2
δ
|h(x)| ϕ dx = C
Rd
ZB Z
0 ϕ≥t
|h(x)|2 dxtδ−1 dt
D’après (1.3.6) et (iii), il vient que
Z
|h(x)|2 dx ≤ Ccap {ϕ ≥ t} ≤
C
cap (e)
t
ϕ≥t
Par conséquent,
Z
e
2
|g(x)| dx ≤ C
ZB
−1
t
δ−1
cap (e) t
dt = Ccap (e)
0
ZB
tδ−2 dt
0
Il est clair que pour tout 0 ≤ r < d2 , on peut choisir δ > 1 sachant que 0 < δ <
ZB
B δ−1
Alors tδ−2 dt =
< ∞, d’où
δ−1
0
Z
e
|g(x)|2 dx ≤ Ccap (e)
Le théorème précédent permet d’établir le résultat suivant :
44
d
d−2r .
Corollaire 1.3.6 Si T est un opérateur de Caldéron-Zygmund, alors
. r
. r
T : X → X et T : X r → X r
1.3.4
Continuité de l’opérateur maximal sur l’espace Xr .
Pour finir, nous allons établir une version du théorème de I.E. Verbitsky [MS] sur la continuité
¡
¢
de l’opérateur maximal sur l’espace Xr 0 ≤ r < d2 .
Théorème 1.3.7 Si f ∈ Xr , alors Mf ∈ Xr et on a
kM fkXr ≤ C(d, r) × kf kXr
Un résultat analogue sera établi pour l’espace homogène.
Preuve. On écrit
Mf(x) = M1 f(x) + M2 f (x)
où
1
0≤R≤1 |B(x, R)|
M1 f (x) = sup
et
1
M2 f (x) = sup
R≥1 |B(x, R)|
Z
|f(y)| dy
B(x,R)
Z
|f(y)| dy
B(x,R)
En effet, puisque cap (BR , H r ) ≤ cmes (BR ) pour R ≥ 1, alors
1
M2 f(x) = sup
R≥1 |B(x, R)|
Z
B(x,R)

1

≤ sup 
R≥1 |B(x, R)|
Par conséquent,
Z
e
|f(y)| dy
Z
B(x,R)
1
2

|f (y)|2 dy  ≤ C kfkXr
|M2 f(x)|2 dx ≤ C kfk2Xr mesd (e)
45
Donc
Z
e
. r
|M2 f(x)|2 dx ≤ C kfk2Xr cap(e, H )
d’où M2 f ∈ Xr .
D’autre part, pour démontrer que l’opérateur M1 f ∈ Xr , il suffit de considérer que l’ensemble
compact e ⊂ B1 . On désigne par µ la mesure capacitaire de l’ensemble compact e. Alors
³ ´
. r
µ Rd = cap(e, H )
et
Peµ (x) ≤ K, ∀x
Puisque Peµ (x) ≥ 1 sur e, alors pour tout δ > 0, on a
Z
e
|M1 f(x)|2 dx ≤
Z
B1
´δ
³
|M1 f (x)|2 Peµ (x) dx
Soit ϕ la restriction de f sur B2 telle que B2 est une boule de rayon 2 concentrique à la boule
B1 . D’où
M1 f (x) ≤ M ϕ(x), ∀x ∈ B1
Donc
Z
B1
Z
³
³
´δ
´δ
|M1 f(x)|2 Peµ (x) dx ≤ |Mϕ(x)|2 Peµ (x) dx
B
≤C
Z2
B2
=C
³
´δ
|ϕ(x)|2 Peµ (x) dx
Z
B2
³
´δ
|f(x)|2 Peµ (x) dx
D’autre part, on peut écrire
Z
B2


ZK Z

³
´δ
|f (x)|2 Peµ (x) dx =
|f(x)|2 dx tδ−1 dt


0
46
Et
n
o
. r
avec Et = x ∈ B2 : Peµ (x) > t . Puisque les capacités cap(Et , H ) et cap(Et , H r ) sont équivalentes pour des ensembles inclus dans B2 , on a
Z
. r
|f (x)|2 dx ≤ c kf k2Xr cap(Et , H )
Et
Par conséquent,
Z
B2
ZK
³
´δ
. r
. r
2
|f(x)| Peµ (x) dx ≤ c kf kXr cap(e, H ) tδ−2 dt ≤ C kf k2Xr cap(e, H )
2
0
d’où
Z
e
. r
|M1 f(x)|2 ≤ Ccap(e, H )
et donc M1 f ∈ Xr . Finalement, on a
kMfkXr ≤ kM1 fkXr + kM2 f kXr ≤ c kfkXr
ce qui prouve le théorème.
47
Chapitre 2
Les multiplicateurs ponctuels de
Hr → Hs
Ce chapitre a pour but d’introduire une classe spéciale d’espaces d’opérateurs, les espaces
de multiplication ponctuels et d’étudier leurs caractérisations vis-à-vis de certaines inégal¡ ¡ ¢
¡ ¢¢
ités. Plus précisement, on commencera par définir les espaces M H r Rd → H s Rd et
on donne les propriétés élémentaires. Dans la section suivante, on caractérisera les espaces
¡ ¢¢
¡ ¡ ¢
M H r Rd → H s Rd pour r ≥ s > 0 à l’aide des opérateurs pseudo-différentiels. Enfin,
la dernière partie est réservée à une application de la théorie développée dans ce chapitre.
L’exemple le plus simple -fondamental- est l’existence d’une solution globale de l’équation de
Ricatti.
2.1
¡ ¢¢
¡ ¡ ¢
L’espace M H r Rd → H s Rd pour r ≥ s > 0
La teminologie utilisée est en grande partie empruntée à V.G. Maz’ya et T. Schaposnikova
([MS]). Toute distribution f sur Rd définit un opérateur de multiplication, encore noté f qui
¡ ¢
¡ ¢
envoie D Rd → D0 Rd défini par
³ ´
< fu, v >=< f, uv >, u, v ∈ D Rd
48
Dans la suite, nous appellerons M (H r → H s ) (r, s ∈ R) la classe des opérateurs de multipli¡ ¢
cation continus de H r dans H s engendré par f ∈ D0 Rd telle que la forme sesqui-linéaire
correspondante < f., . > est bornée :
|< f u, v >| = |< f, uv >| ≤ C kukH r kvkH −s0
(2.1.1)
où C est une constante indépendante de u et v. Convenons d’appeler "norme du multiplicateur"
la plus petite des constantes C possible;
kfkM(H r →H s ) = sup {kfukH s : kukH r ≤ 1}
(2.1.2)
Remarquons une conséquence immédiate : dans le cas r = −s , (2.1.1) est équivalente à
l’inégalité de la forme quadratique :
¯
¯
³ ´
¯
2 ¯
2
0
|< fu, u >| = ¯< f, |u| >¯ ≤ C kukH r , u ∈ D Rd
(2.1.3)
Pour vérifier ceci, nous procèderons de la façon suivante : on suppose que kukH r ≤ 1, kvkH r ≤ 1
¡ ¢
où u, v ∈ D Rd . En appliquant (2.1.3), ainsi que l’identité de polarisation
uv =
´
1³
|u + v|2 − |u − v|2 − i |u − iv|2 + i |u + iv|2
4
et l’identité du parallélogramme, on trouve
|< f, uv >| ≤
´
C0 ³
ku + vk2H r + ku − vk2H r + ku + ivk2H r + ku − ivk2H r ≤ 2C 0
4
Par conséquent, (2.1.1) est satisfaite pour s = −r avec C = 2C’ . De plus, la meilleure constante
C 0 dans (2.1.3) vérifie l’inégalité
C 0 ≤ kf kM(H r →H s ) ≤ 2C 0
49
¡ ¢
Soit V Rd un espace de Banach de fonctions définie sur Rd . On utilisera les espaces :
³ ´ n
³ ´
³ ´o
Vloc Rd = u : ηu ∈ V Rd pour tout η ∈ C0∞ Rd
¡ ¢
Soien η ς = η (x − ς) t.q η ∈ C0∞ Rd et η = 1 sur B(0, 1).
³ ´
Vunif Rd =
¡ ¢
La norme sur Vunif Rd est définie par
(
)
° °
u : sup °ης u°V < ∞
ς∈Rd
° °
kukVunif = sup °η ς u°V .
ς∈Rd
Une conséquence immédiate de la définition d’un espace de multiplicateur M (H r → H s )
est l’injection
s
M (H r → H s ) ⊂ Hunif
Remarque 7 Si r < s, alors l’espace M (H r → H s ) est vide.
Etablissons d’abord la propriété suivante :
¢
¡
Lemme 2.1.1 On a M (H r → H s ) ⊂ M H r → L2 = Xr , c’est-à-dire
kfkM(H r →L2 ) ≤ C kf kM(H r →H s )
(2.1.4)
¡ ¢
Preuve. La preuve du lemme est immédiate. Soient f ∈ M (H r → H s ) et u ∈ C0∞ Rd .
Alors
kf ukL2 ≤ C kfukH s ≤ C kfkM(H r →H s ) kukH r
D’où
sup
kukH r ≤1
kfukL2 = kf kXr ≤ C kfkM(H r →H s )
Un corollaire évident :
Corollaire 2.1.1 Si f ∈ M (H r → H s ), alors f ∈ L2unif .
50
¡
¢
Preuve. Soit f ∈ M (H r → H s ) et d’après le lemme 2.1.1 : f ∈ M H r → L2 . Par
conséquent,
Z
e
|f(x)|2 dx ≤ kfkXr cap (e, H r )
pour tout ensemble compact e ⊂ Rd . Donc, pour toute boule BR (a), on a
Z
|f(x)|2 dx ≤ CRd−2r kfkXr , 0 < R ≤ 1
BR (a)
et en particulier
kf kL2
unif
à fortiori kfkL2
unif
≤ C kfkXr
≤ C kf kM(H r →H s ) .
Notons aussi le lemme élémentaire suivant qui est très utile car il permet de traiter l’équivalence
1
des normes. Notons par Λ = (1 − ∆) 2 .
Lemme 2.1.2 Pour tout 0 < t < β, on a
°
°
kukH β ≈ °Λt u°H β−t
(2.1.5)
Cet énoncé est classique (voir [St1]).
Remarque 8 Si r ≥ 0, alors H r 2→ L1 + L∞ . Par conséquent, nous sommes intéressés par
les espaces de distributions réguliers au moins L1loc . De plus, si r ≤ d2 , alors H r contient des
fonctions non-bornées.
2.1.1
Normes équivalentes
Pour les applications, il est très important de trouver diverses normes équivalentes à kukH r .
Pour cela, une autre caractérisation des espaces de Sobolev a été employée sans utiliser la
transformation de Fourier sur Rd . On écrit s = k + α, où α ∈ (0, 1] et k ∈ N∗ . Ensuite nous
utilisons la différence finie :
(2)
∆h u (x) = u(x + 2h) − 2u(x + h) + u(x)
51
et
∆h u (x) = u(x + h) − u(x)
Introduisons alors l’opérateur suivant :
 ¯
¯2  12
Z ¯¯∆(2) ∇k u (x)¯¯
h


dh
Ds u(x) = 
d+2α
|h|
(2.1.6)
Rd
On pourra se rapporter à l’étude détaillée et plus vaste par Taibleson [Tai]. La méthode utilisée
ci-dessus permet d’établir la propriété suivante :
¡ ¢
¡ ¢
Lemme 2.1.3 L’espace de Sobolev H s Rd est défini comme étant le complété de C0∞ Rd
muni de la norme
kukH s ≈ kDs ukL2 + kukL2
(2.1.7)
Ce lemme est classique. Pour sa démonstration, nous renvoyons à [T1].
2.1.2
Le procédé de régularisation
On utilisera fréquement dans la suite, la technique de régularisation par convolution; il sera
commode d’appeler fonction h-régularisante une fonction Kh (définie en bas par (2.1.8)) indéfiniment différentiable sur Rd , positive, ne dépend que de la distance de laZ variable à l’origine
(i.e; invariante par rotation) à support dans la boule B(0, h), et telle que
Kh (x)dx = 1 (dx
est la mesure de Lebesgue de Rd ).
Proposition 2.1.1 Soit fh une régularisée de la fonction f définie par
fh = f ∗ Kh
où
Kh (x) = h
−d
K
µ
x−ξ
h
¶
0 (B ), K ≥ 0 et kKk
avec K ∈ C∞
1
L1 = 1. Alors, on a les inégalités suivantes
52
(2.1.8)
(i)
kfh kM(H r →H s ) ≤ kfkM(H r →H s ) = lim kfh kM(H r →H s )
(2.1.9)
kfh kM(H r →L2 ) ≤ kfkM(H r →L2 ) = lim kfh kM(H r →L2 )
(2.1.10)
h→0
(ii)
h→0
(iii)
sup
e
kDs fh ; ekL2
[cap (e,H r )]
≤ sup
1
2
e
kDs f ; ekL2
1
[cap (e,H r )] 2
(2.1.11)
Preuve. On trouvera la démonstration de (i) et (ii) dans ([MS], Lemme 2.2.1/1). Pour
(iii), en appliquant l’inégalité de Minkowski, il vient alors
kDs fh ; ekL2
1
[cap (e,H r )] 2
≤
1

2
Z
R
2


(Ds f (x − ht)) dx
dt
K(t)
≤

1
2
Z
R
2


(Ds f (ξ)) dξ
dt
B1 K(t)
e
1
[cap (e,H r )] 2
E
1
[cap (e,H r )] 2
kDs f; ekL2
≤ kKkL1 sup
1
e [cap (e,H r )] 2
où E = {x − ht : x ∈ e, t ∈ B1 } .
2.2
2.2.1
Propriété de l’espace M (H r → H s )
Propriété d’interpolation
En utilisant la propriété d’interpolation suivante
¤
£
H r−λ = H r , H r−s λ ,2
s
53
(2.2.1)
où s < λ < r ([T1], th.2.4.2), on en déduit de (1.2.7) et (2.2.1) que
¢
¡
f ∈ M (H r → H s ) ∩ M H r−s → L2
implique
(2.2.2)
´
³
f ∈ M H r−λ → H s−λ
Plus précisement, pour 0 < λ < s < r, on a
1− λ
λ
s
s
kfkM(H r−λ →H s−λ ) ≤ C kfkM(H
r →H s ) × kfkM(H r−s →L2 )
(2.2.3)
et pour 0 < λ < s, on a
1− λ
λ
s
s
kfkM(H s−λ →H s−λ ) ≤ C kf kM(H
s →H s ) × kfkL∞
(2.2.4)
Nous aurons besoin du résultat suivant dans la suite de la thèse.
Proposition 2.2.1 Soient 0 < α < β et ϕ ∈ L2β
loc , ϕ ≥ 0. Il existe une constante C > 0 telle
que
sup
e
 Z


ϕ2α dx



e
1
α






cap (e,H α ) 








≤ Csup
e
pour tout ensemble compact de mesure positive.
 Z


ϕ2β dx



e
1
β






cap (e,H β ) 








(2.2.5)
¡ ¢
Preuve. En effet, soit u = Jα g t.q u ∈ C0∞ Rd . Par l’inégalité de Hedberg [He] :
α
β
|u| ≤ C (Jα |g|) (Mg)
54
³
´
1− α
β
(2.2.6)
par conséquent,
Z
ϕ2α |u|2 dx ≤ C
Rd
Z
2α
ϕ2α (Jα |g|) β (Mg)
³
´
2 1− α
β
dx
Rd
³
´
1− α
β
α 


β
Z
Z
≤ C  ϕ2β (Jβ |g|)2 dx  (Mg)2 dx
Rd
Rd
où M est l’opérateur maximal de Hardy- Littlewood. En vertu de la continuité de l’opérateur
¡ ¢
maximal M et de l’opérateur du Potentiel de Bessel sur L2 Rd , on en déduit
Z
2α
ϕ
2
2
³
−α+β
β
³
−α+β
β
|u| dx ≤ C kgkL2
´
sup
e
Rd
2
≤ C kgkL2
≤ C kgk2L2 sup
´
sup
e
 Z


ϕ2β dx



e
α
β






cap (e,H β ) 








 Z
α
β
2β



ϕ dx 






e

cap (e,H β ) 








 Z


ϕ2β dx



e
2
sup
e
 Z


ϕ2α dx



e
 α1






cap (e,H α ) 








≤ Csup
e
55
e
2
³ ´
kgkL2
 αβ





 Z


ϕ2β dx



α
β
kJβ |g|kH β
cap (e,H β ) 
e 








 Z
α
β
2β




ϕ
dx






e
2
= C kukH α sup
cap (e,H β ) 
e 








D’où, il vient
³ ´
 β1






cap (e,H β ) 








α
β
2.2.2
Injection de M (H r → H s ) dans M (H r−s → L2 )
La formule décrite par la proposition ci-dessous est due esentiellement à V. Maz’ya et T. Schaposnikova [MS], ainsi que la démonstration que nous ne faisons qu’esquisser :
Proposition 2.2.2 Soit 0 < s ≤ r < ∞. Alors on a les inégalités suivantes
1. si r = s, on a M (H r → H s ) ⊂ L∞ et
kfkL∞ ≤ kfkM(H r →H s )
(2.2.7)
¢
¡
2. si r > s, on a M (H r → H s ) ⊂ M H r−s → L2 et
kfkM(H r−s →L2 ) ≤ C kfkM(H r →H s )
(2.2.8)
Preuve. Elle se fait sans dfficulté, en reprenant pas à pas la démonstration de V. Maz’ya
et T. Schaposnikova.
1. Soit u ∈ H s et k un entier positif. Il est clair que
°1
°
°1
°
1
° k °k
° k °k
k
°f u° 2 ≤ °f u° s ≤ kfkM(H s →H s ) kukH
s .
L
H
Finalement, un simple passage à la limite donne
kfkL∞ ≤ kfkM(H r →H s )
si k → ∞.
2. Soit f ∈ M (H r → H s ) et fh sa fonction régularisante de rayon h. D’après le lemme
2.1.1, on a M (H r → H s ) ⊂ Xr , alors f ∈ L2unif . De plus fh ∈ L∞ et par conséquent,
¡
¢
fh ∈ M H r−s → L2 . On a deux cas à étudier :
1◦ cas Plaçons nous tout d’abord dans le cas où r > 2s. Posons u = Jr−s g tel que g ∈ L2 .
56
On a d’après l’inégalité de Hedberg [He] :
s
s
|u| ≤ C (Jr |g|)1− r (Mg) r
Par conséquent
kufh kL2
° s
°1− rs
° s−r
°
≤ C kgkL2 °fh Jr |g|° 2
s
r
L
s
1− s
≤ C kgkLr 2 kfh × Jr |g|kH s r sup
e
Z
 r−s
2s
2s

r−s dx 


|f
|
h






e

cap (e , H s ) 








1
Par suite, en appliquant la proposition 2.2.1 avec ϕ = |fh | r−s , α = s et β = r − s,
il vient alors
sup
e
et on déduit que
sup
e
Z

2s

r−s


|fh |
dx 






e

cap (e,H s )









= sup

2s 
Z




1





r−s 


|f
|
dx
h






e
















cap (e,H s )
e
 Z


ϕ2s dx



e

cap (e,H s ) 








≤ Csup
e
≤ Csup
e
57
 r−s
2s





Z
 s
r−s
2(r−s)



dx 
 ϕ





e

cap (e,H r−s ) 








 Z


|fh |2 dx



e
s
 r−s






cap (e,H r−s ) 








Donc
sup
e

 r−s 
2r
Z




2s





r−s 


|f
|
dx
h






e








cap (e,H s )
Z
 s × r−s

r−s
2r
2




|f
|
dx
h






e
≤ C sup
r−s ) 


e cap (e,H















≤C
(
sup
e
kfh ; ekL2
)s
r
1
[cap (e,H r−s )] 2
Ce qui implique
s
1− s
s
r
kufh kL2 ≤ C kgkLr 2 kfh Jr |g|kH s r kfh kM(H
r−s →L2 )
s
1− s
1− s
s
r
r
r
≤ C kgkLr 2 kfh kM(H
r →H s ) kJr |g|kH r kfh kM(H r−s →L2 )
1− s
s
r
r
≤ C kgkL2 kfh kM(H
r →H s ) kfh kM(H r−s →L2 )
1− s
s
r
r
≤ C kukH r−s kfh kM(H
r →H s ) × kfh kM(H r−s →L2 )
Par conséquent
kfh kM(H r−s →L2 ) =
sup
kukH r−s ≤1
1− s
s
r
r
kufh kL2 ≤ C kfh kM(H
r →H s ) kfh kM(H r−s →L2 )
C’est-à-dire
kfh kM(H r−s →L2 ) ≤ C kfh kM(H r →H s )
Proposition 2.2.3 Preuve.
2◦ cas Soit r ∈ ]s , 2s[. Choisissons un nombre ε positif tel que r − s > ε. Comme r − s + ε >
2ε, on déduit du 1◦ Cas, kfh kM(H r−s →L2 ) ≤ C kfh kM(H r−s+ε →H ε ) . En utilisant
l’inégalité d’interpolation, ceci implique que
1− ε
ε
s
s
kfh kM(H r−s+ε →H ε ) ≤ C kfh kM(H
r−s →L2 ) kfh kM(H r →H s )
58
D’où
1− ε
ε
s
s
kfh kM(H r−s →L2 ) ≤ C kfh kM(H
r−s →L2 ) kfh kM(H r →H s )
c’est-à-dire
kfh kM(H r−s →L2 ) ≤ C kfh kM(H r →H s )
et la proposition est complètement démontrée.
En utilisant la proposition 2.2.2 et l’estimation (1.2.7), on obtient l’assertion suivante
Corollaire 2.2.1 Soit f ∈ M (H r → H s ), 0 < s < r. Alors on a
sup
e
kf; ekL2
1
[cap (e,H r−s )] 2
≤ C kfkM(H r →H s )
(2.2.9)
Grâce aux inégalités (2.2.3), (2.2.4) et la proposition 2.2.2, on aura
Corollaire 2.2.2 Soit f ∈ M (H r → H s ) où 0 < s < r. Alors pour tout 0 < λ < s ,
¢
¡
f ∈ M H r−λ → H s−λ et
kfkM(H r−λ →H s−λ ) ≤ C kfkM(H r →H s )
(2.2.10)
La proposition suivante, également due à V. Maz’ya et T. Schaposnikova [MS], permet
d’établir une estimation des opérateurs pseudo-différentiels.
¢
¡
Proposition 2.2.4 Soit f ∈ M (H r → H s ) où 0 < s < r. Alors Dγ f ∈ M H r → H s−|γ|
pour tout multi-indice γ d’ordre |γ| ≤ s et
kDγ fkM(H r →H s−|γ| ) ≤ C kfkM(H r →H s )
59
(2.2.11)
Preuve. Pour établir (2.2.11), il nous suffit de considérer le cas |γ| = 1 pour s ≥ 1. Il est
clair que
ku∇fkH s−1 ≤ kufkH s + kf∇ukH s−1
´
³
≤ kfkM(H r →H s ) + kfkM(H r−1 →H s−1 ) kukH r
En utilisant le corollaire 2.2.2, on trouve
ku∇fkH s−1 ≤ C kfkM(H r →H s ) kukH r
ce qui achève la démonstration de la proposition.
En appliquant la proposition (2.2.2) et la proposition (2.2.4) que l’on vient de prouver, on
obtient
Corollaire 2.2.3 Soit f ∈ M (H r → H s ) où 0 < s < r. Alors pour tout multi-indice γ d’ordre
¢
¡
|γ| ≤ s, Dγ f ∈ M H r−|γ| → L2 et on a
kDγ fkM(H r−s+|γ| →L2 ) ≤ C kfkM(H r →H s )
(2.2.12)
En adaptant la démonstration du lemme3.1.1/1 [MS], on peut énoncé
Proposition 2.2.5 (MS) Soient α et β deux nombres réels positifs. Alors, on a pour tout
¡ ¢
u ∈ C0∞ Rd
1
Dα u ≤ Jβ Dα (1 − ∆) 2 β u
(2.2.13)
Nous examinons plus loin, l’analogue de la proposition 2.2.5 dans le cadre de l’espace des
multiplicateurs singuliers pour 0 ≤ r < 1.
Proposition 2.2.6 (MS) Pour δ ∈ ]0, 1[ et tout λ ≥ 1, on a l’inégalité suivante
ÃZZ
|∆h f (x) ∆h u (x)|2
|h|
d+2
!1
2
dhdx
≤ Csup
e
60
kDδ f ; ekL2
1
[cap (e, H λ−1+δ )] 2
kukH λ
(2.2.14)
2.3
Théorème principal
Le théorème suivant donne des conditions nécéssaires et suffisantes pour qu’une fonction appartienne à l’espace M (H r → H s ).
Théorème 2.3.1 Supposons que r <
d
2
et r > s. Alors
¡ s
¢
∩ L1unif
f ∈ M (H r → H s ) si et seulement si f ∈ Hloc
et
¢
¡
Ds f ∈ M H r → L2
Plus précisement, on a la relation d’équivalence suivante
kfkM(H r →H s ) ∼ kDs fkM(H r →L2 ) + kfkL1
unif
Si r = s , on remplace kfkL1
unif
2.3.1
(2.3.1)
par kfkL∞ .
Condition nécéssaire.
Le corps de la démonstration du théorème 2.3.1 est le théorème suivant
Théorème 2.3.2 Soit f ∈ M (H r → H s ) où 0 < s < r. Alors
kDs f ; ekL2
1
[cap (e, H r )] 2
≤ C kfkM(H r →H s )
(2.3.2)
Preuve. La preuve du théorème se décompose alors en quatre partie de difficultés bien
différentes.
(i) Montrons d’abord le théorème en supposant le cas s ∈ ]0, 1[ . On part de l’inégalité triangulaire
kuDs fkL2 ≤ c (kfukH s + kfDs ukL2 )
´
³
≤ c kfkM(H r →H s ) kukH r + kfDs ukL2
61
(2.3.3)
Considérons le cas r = s. Il vient immédiatement que
kfDs ukL2 ≤ kfkL∞ kukH r
(2.3.4)
En combinant l’inégalité (2.3.4) avec (2.2.7) et (2.3.3), on trouve
¡
¢
kuDs fkL2 ≤ c kfukH s + kfkL∞ kukH r ≤ c kfkM(H s →H s ) kukH s
(2.3.5)
Ainsi,
kDs fkM(H s →L2 ) ≤ c kfkM(H s →H s )
(2.3.6)
et en vue de (1.2.7), on obtient (2.3.2).
Maintenant, on suppose que s < r. L’estimation (2.2.13) entraîne que
°
°
r−s
°
°
kf Ds ukL2 ≤ kfkM(H r−s →L2 ) °Jr−s Ds (1 − ∆) 2 u°
H r−s
(2.3.7)
En utilisant le lemme 2.1.2, la seconde norme est majorée par
°
°
r−s
°
°
2
u°
°Jr−s Ds (1 − ∆)
H r−s
°
°
r−s
°
°
2
≤ c °Ds (1 − ∆)
u° 2
L
°
°
r−s
°
°
≤ c °(1 − ∆) 2 u° s
H
≤ c kukH r
En combinant cette estimation avec (2.3.7), ceci entraîne
kfDs ukL2 ≤ c kfkM(H r−s →L2 ) kukH r
Grâce aux estimations (2.3.3), (2.3.8) et la proposition 2.2.2, on obtient
kuDs f kL2 ≤ c kfkM(H r →H s ) kukH r
D’où
kDs fkM(H r →L2 ) ≤ c kfkM(H r →H s )
62
(2.3.8)
avec la relation (1.2.7), ceci donne l’inégalité (2.3.2).
(ii) Maintenant, on doit examiner le cas s = 1. En utilisant l’identité
(2)
(2)
(2)
∆h (f u) = f ∆h (u) + u∆h (f ) + ∆2h (f ) ∆2h (u) − 2∆h (f) ∆h (u)
(2.3.9)
on obtient donc
kuD1 fkL2 ≤ kf ukH 1 + kf D1 ukL2 + 4
ÃZ Z
|∆h f (x) ∆h u (x)|2
|h|d+2
!1
2
dhdx
(2.3.10)
¡ ¢
pour tout u ∈ C0∞ Rd . On procède séparement le cas r = 1 et r > 1.
Traitons le cas où r = 1. La preuve en ait aisée. Nous remarquons que les inégalités (2.2.14)
pour λ = 1, δ ∈ ]0, 1[ et (2.3.10) entraînent
kuD1 fkL2 ≤ C
Ã
kf kM(H 1 →H 1 ) + sup
e
kDδ f; ekL2
1
[cap (e, H δ )] 2
!
kukH 1
(2.3.11)
En utilisant la démonstration de la partie (1) de la preuve, le second membre de droite
de (2.3.11) est donc majoré par C kfkM(H δ →H δ ) . Par conséquent, (2.3.11) tend vers
l’inégalité
sup
e
kD1 f; ekL2
[cap (e, H 1 )]
1
2
´
³
≤ C kfkM(H 1 →H 1 ) + kfkM(H δ →H δ )
(2.3.12)
Le corollaire 2.1.1 implique que
kfkM(H δ →H δ ) ≤ C kf kM(H 1 →H 1 )
Finalement, on en déduit la validité du théorème pour r = s = 1.
Maintenant, on estime le second membre de (2.3.10) pour r > 1. D’après la formule (2.2.13),
63
il vient que le second terme de l’inégalité (2.3.10) est majoré par
°
°
r−1
°
°
kfD1 ukL2 ≤ °fJr−1 D1 (1 − ∆) 2 u° 2
L
°
°
r−1
°
°
≤ C kfkM(H r−1 →L2 ) °Jr−1 D1 (1 − ∆) 2 u° r−1
H
°
°
r−1
°
°
≤ C kfkM(H r−1 →L2 ) °D1 (1 − ∆) 2 u° 2
L
°
°
r−1
°
°
≤ C kfkM(H r−1 →L2 ) °(1 − ∆) 2 u° 1
H
≤ C kfkM(H r →H 1 ) kukH r
(2.3.13)
et donc la dernière inégalité dans cette chaîne résulte de (2.1.5) et (2.2.8). Passons au
troisième terme de (2.3.10) en utilisant (2.2.14) avec λ = r > 1 et (2.3.2) avec s = δ < 1.
Donc,
4
ÃZ Z
|∆h f (x) ∆h u (x)|2
d+2
|h|
!1
2
dhdx
≤ Csup
e
kDδ f; ekL2
1
[cap (e,H r−1+δ )] 2
kukH r
≤ C kfkM(H r−1+δ →H δ ) kukH r
(2.3.14)
En outre, en utilisant le corollaire 2.1.1, il vient alors kf kM(H r−1+δ →H δ ) ≤ C kfkM(H r →H s ) .
Ainsi, le troisième terme à droite de (2.3.10) est dominé par C kfkM(H r →H 1 ) kukH r . En
combinant les relations (2.3.13) et (2.3.10), on trouve
kuD1 fkL2 ≤ C kfkM(H r →H 1 ) kukH r
et en déduit de cette inégalité que (2.3.2) est vraie pour s = 1.
(iii) Nous suivons l’enchaînement de notre démonstration, supposons maintenant que s est un
¢
¡
entier positif et que le théorème est démontré pour tout f ∈ M H r → H λ où λ est un
64
entier positif tel que λ ≤ s − 1. En appliquant l’inégalité (2.3.9), on obtient
kuDs fkL2 ≤ kfukH s + c
+c
s−1
X
k=0
ÃZ Z
s−1
X
k=0
s−1
X
k|∇k f | Ds−k ukL2 + c
k=1
k|∇k u| Ds−k fkL2 +
|∆h ∇k f (x)|2 |∆h ∇s−1−k u (x)|2
|h|d+2
!1
2
dhdx
(2.3.15)
En appliquant l’inégalité (2.2.13) avec α = s − k, β = r − s + k, on a
³
´
r−s+k
Ds−k u(x) ≤ Jr−s+k Ds−k (1 − ∆) 2 u (x)
ainsi, pour k = 1, ..., s − 1 et r ≥ s,
°
°
r−s+k
°
°
k|∇k f| Ds−k ukL2 ≤ c k∇k f kM(H r−s+k →L2 ) °Jr−s+k Ds−k (1 − ∆) 2 u ° r−s+k
H
°
°
r−s+k
°
°
≤ c k∇k f kM(H r−s+k →L2 ) °Ds−k (1 − ∆) 2 u ° 2
(2.3.16)
L
En combinant l’inégalité (2.3.16) avec (2.1.5), on trouve
°
°
r−s+k
°
°
°Ds−k (1 − ∆) 2 u °
L2
°
°
r−s+k
°
°
≤ °(1 − ∆) 2 u °
H s−k
≤ c kukH r
(2.3.17)
En appliquant le corollaire 2.2.3, on a donc
k∇k fkM(H r−s+k →L2 ) ≤ C kfkM(H r →H 1 ) , k = 1, ..., s − 1, r ≥ s
(2.3.18)
Pour k = 0, en utilisant la proposition 2.2.2, on obtient
kfDs ukL2 ≤ kfkM(H r →H s ) kukH r
(2.3.19)
En unifiant les estimations (2.3.16)-(2.3.19), on trouve pour tout k = 0, ..., s−1, 1 ≤ s ≤ r
k|∇k f| Ds−k ukL2 ≤ c kfkM(H r →H s ) kukH r
65
(2.3.20)
et pour tout k = 1, ..., s − 1, on a
k|∇k u| Ds−k fkL2 ≤ csup
e
kDs−k f; ekL2
1
[cap (e,H r−k )] 2
kukH r
(2.3.21)
En utilisant l’hypothèse de récurrence et le corollaire 2.1.1, il résulte que pour r ≥ s, on a
sup
e
kDs−k f; ekL2
1
[cap (e,H r−k )] 2
≤ c kfkM(H r−k →H s−k ) ≤ c kfkM(H r →H s )
(2.3.22)
En regroupant l’inégalité (2.3.22) avec la relation (2.3.21), implique que
k|∇k u| Ds−k f kL2 ≤ c kfkM(H r →H s ) kukH r , j = 1, ..., s − 1
(2.3.23)
Maintenant, on estime la dernière somme dans (2.3.15). Soit δ ∈ ]0, 1[ sachant que r + δ
n’est pas un entier. En utilisant l’inégalité (2.2.14) tout en remplaçant f par ∇k f , u par
∇s−1−k u , et posons λ = r −s+k +1. Chaque terme de la dernière somme dans l’inégalité
(2.3.15) est majoré par
csup
e
kDk+δ f ; ekL2
1
[cap (e,H r−s+k+δ )] 2
k∇s−1−k ukH r−s+k+1
(2.3.24)
En utilisant l’hypothèse de déduction et le corollaire 2.1.1, on obtient
ÃZ Z
|∆h ∇k f (x)|2 |∆h ∇s−1−k u (x)|2
|h|d+2
!1
2
dhdx
≤
≤ c kfkM(H r−s+k+δ →H k+δ ) kukH r ≤ c kfkM(H r →H s ) kukH r
(2.3.25)
En combinant l’estimation (2.3.25) avec (2.3.23) et (2.3.21), on obtient de l’inégalité
(2.3.15)
kuDs f kL2 ≤ c kfkM(H r →H s ) kukH r
(2.3.26)
et donc (2.3.2) est vraie pour tout entier s.
Nous sommes en mesure de terminer la preuve du théorème 2.3.2. Supposons que s est réel et
66
que
sup
e
kDs f ; ekL2
1
[cap (e,H r )] 2
≤ c kfkM(H r →H s )
pour tout réel s ∈ ]0, N[, où N est un entier. Soit N < s < N + 1. En effet, on a
kuDs f kL2 ≤ kfukH s + c
N
X
k=0
k|∇k f| Ds−k ukL2 + c
N
X
k=1
k|∇k u| Ds−k f kL2
(2.3.27)
Soit t ∈ ]0, r − s + k[ si r > s ou r = s si k > 0 et posons t = 0 si r = s et k = 0. D’après
l’inégalité (2.2.13) avec α = r − k et β = t, on a
³
´
t
Ds−k u(x) ≤ Jt Ds−k (1 − ∆) 2 u (x)
Par conséquent,
°
t
°
k|∇k f | Ds−k ukL2 ≤ k∇k fkM (H r−s+k →L2 ) °Jt Ds−k (1 − ∆) 2 u
°
t
°
≤ c k∇k fkM (H r−s+k →L2 ) °Ds−k (1 − ∆) 2 u
Par définition de l’opérateur Ds et de l’espace H s , on a
°
°
° r−s+k
H
°
°
° r−s+k−t
H
kDs−k vkH r−s+k−t ≤ c kvkH r−t
(2.3.28)
(2.3.29)
t
Alors, on peut donc combiner les estimations (2.3.28)-(2.3.29) avec v =(1 − ∆) 2 u et le
corollaire 2.2.3, on obtient
°
°
t
°
°
k|∇k f| Ds−k ukL2 ≤ c k∇k fkM(H r−s+k →L2 ) °(1 − ∆) 2 u °
H r−t
≤ C kf kM(H r →H s ) kukH r
(2.3.30)
Par hypthèse de déduction, on a pour tout k = 1, ..., N
k|∇k u| Ds−k fkL2 ≤ csup
e
kDs−k f ; ekL2
1
[cap (e,H r−k )] 2
k∇k ukH r−k
≤ C kfkM(H r−k →H s−k ) kukH r
67
(2.3.31)
En utilisant le corollaire 2.1.1, ceci implique
k|∇k u| Ds−k f kL2 ≤ c kf kM(H r →H s ) kukH r
D’où, d’après l’inégalité (2.3.30), il résulte de (2.3.27) que
kuDs fkL2 ≤ c kfkM(H r →H s ) ku kH r
ce qui achève la démonstration.
Le corollaire suivant contient une estimation de la borne inférieure de la norme de l’espace
M (H r → H s ) et il complète ainsi la démonstration de la condition nécessaire du théoreme
fondamental.
Corollaire 2.3.3 Soit f ∈ M (H r → H s ) où 0 < s ≤ r. Alors, on a
Ã
c sup
e
kDs f; ekL2
1
[cap (e,H r )] 2
+ sup kf ; B1 (x)kL2
x∈Rd
!
≤ kfkM(H r →H s )
(2.3.32)
Preuve. La preuve de (2.3.32) est immédiate. Puisque f ∈ M (H r → H s ), il résulte que
kηf kL2 ≤ kfkM(H r →H s ) kηkH r
pour tout η ∈ C0∞ (B2 (x)) t.q η = 1 sur B1 (x) et x est un point arbitraire de Rd . De plus, on a
sup kf ; B1 (x)kL2 ≤ c kfkM(H r →H s )
x∈Rd
Le corollaire est donc démontré.
La condition nécessaire est une conséquence immédiate de ce qui précède. On obtient
facilement la généralisation suivante du théorème 2.3.2.
Corollaire 2.3.4 Soit f ∈ M (H r → H s ) où 0 < s ≤ r. Alors pour tout λ = 0, ..., [s], on a
68
¡
¢
Ds−λ f ∈ M H r−λ → L2 et
kDs−λ fkM(H r−λ →L2 ) ≤ c kfkM(H r →H s )
Preuve. En appliquant le corollaire 2.1.1 et le corollaire 2.3.3, on obtient
sup
e
kDs−λ f; ekL2
1
[cap (e,H r−λ )] 2
≤ c kfkM(H r−λ →H s−λ ) ≤ c kf kM(H r →H s )
(2.3.33)
Il reste à utiliser la relation fondamentale suivante
kf kM(H r →L2 ) ∼ sup
e
kf ; ekL2
1
[cap (e,H r )] 2
La condition nécessaire est maintenant complètement démontrée.
2.3.2
Condition suffisante
Nous nous proposons d’établir le résultat suivant
s . Alors pour r > s, on a
Théorème 2.3.5 Soit f ∈ Hloc
kfkM(H r →H s ) ≤ csup
e
Ã
kDs f; ekL2
1
[cap (e,H r )] 2
+
kf ; ekL2
1
[cap (e,H r−s )] 2
!
(2.3.34)
Pour r = s, le second terme doit être remplacé par kf kL∞ .
Preuve. Il résulte de la finitude du membre de droite de (2.3.34) que f ∈ L1unif . Soit fh
une fonction régularisante de f de rayon h. Comme f ∈ L1unif , il en résulte que toutes les
dérivées de fh sont bornées. Par conséquent, fh ∈ M (H r → H s ). Pour s entier, on trouve par
la relation (2.3.9) qu’on a l’estimation suivante
kfh ukH s ≤ c
+c
s−1
X
k=0
k|∇k fh | Ds−k ukL2 + c
s−1
X
k=0
k|∇k u| Ds−k fh kL2 +
Ã
s−1 Z Z
X
|∆h ∇k fh (x)|2 |∆h ∇s−1−k u (x)|2
k=0
|h|d+2
69
!1
2
dhdx
(2.3.35)
En utilisant le corollaire 2.2.3, on a pour tout γ ∈ ]0, 1[
k∇k fh kM(H r−s+k →L2 ) ≤ c kfh kM(H r−s+k+γ →H k+γ )
(2.3.36)
Grâce à l’inégalité (2.2.3) pour r > s, le membre de droite de (2.3.36) est majoré par
1− k+γ
k+γ
s
kfh kM(H r−s+k+γ →H k+γ ) ≤ c kfh kM(Hsr−s →L2 ) kfh kM(H
r →H s )
En combinant cette dernière estimation avec (2.3.16) et (2.3.17), on obtient
k|∇k fh | Ds−k ukL2 ≤
où k = 0, ..., s − 1 et
³
´
kfh kM(H r →H s ) + C( ) kfh kM(H r−s →L2 ) kukH r
(2.3.37)
est un nombre positif arbitraire.
Dans le cas où r = s, les inégalités (2.3.36) et (2.2.4) entraînent
k
1− k
s
s
k∇k fh kM(H k →L2 ) ≤ C kfh kM(H
s →H s ) × kfh kL∞
En unifiant cette dernière majoration avec les estimations (2.3.16) et (2.3.17) pour r = s, on
obtient
k|∇k fh | Ds−k ukL2 ≤
³
´
kfh kM(H r →H s ) + C( ) kfh kL∞ kukH r
(2.3.38)
Il résulte des inégalités (2.3.21), (2.3.22) et (2.2.3), (2.2.4) que pour k > 0 et r > s, on a
k|∇k u| Ds−k fh kL2 ≤
³
´
kfh kM(H r →H s ) + C( ) kfh kM(H r−s →L2 ) kukH r
(2.3.39)
´
kfh kM(H r →H s ) + C( ) kfh kL∞ kukH r
(2.3.40)
et si r = s,
k|∇k u| Ds−k fh kL2 ≤
³
La troisième somme dans le membre de droite de (2.3.35) est estimée en utilisant (2.3.25) et
(2.2.3), (2.2.4) et on a la même estimation comme le membre de droite de (2.3.39) pour r > s
70
ou (2.3.40) pour r = s. Donc, pour r > s, on trouve
kfh ukH s ≤
´
kfh kM(H r →H s ) + C( ) kfh kM(H r−s →L2 ) kukH r +
³
+ csup
e
kDs fh ; ekL2
1
[cap (e,H r )] 2
kukH r
(2.3.41)
De manière analogue pour r = s,
kfh ukH s ≤
´
kfh kM(H s →H s ) + C( ) kfh kL∞ kukH r +
³
+ csup
e
kDs fh ; ekL2
1
[cap (e,H s )] 2
kukH s
(2.3.42)
Pour s non-entier, l’estimation suivante est plus simple que (2.3.35) et on a

[s]−1
kfh ukH s ≤ c 
X
k=0

[s]−1
k|∇k fh | Ds−k ukL2 + c
X
k=0
k|∇k u| Ds−k fh kL2 
En combinant l’inégalité (2.3.30) avec le corollaire 2.2.3 et les relations (2.2.3), (2.2.4), on arrive
à (2.3.37) et (2.3.38) de la mêmefaçon que pour s entier.
On note aussi que les inégalités (2.3.31) et (2.2.3) pour r > s et l’inégalité (2.2.4) pour r = s
impliquent les estimations (2.3.39) et (2.3.40) pour s réel. En utilisant la relation (1.2.7) et la
proposition 2.1.1, ceci achève la démonstration.
Maintenant, nous allons montrer que pour r > s, le second terme du membre de droite
dans l’estimation (2.3.34) peut être remplacé par kf kL1
unif
. Pour cela, nous allons recourir à
une série de lemmes intermédiares. Désignons par f(x, y) l’integrale de Poisson d’une fonction
f ∈ L1unif .
[s]
Lemme 2.3.1 (Sect. 2.6,[MS]) Soit s un réel et soit f ∈ W1,loc . Alors
 ∞¯
1
¯2
2
Z ¯ [s]+1
¯
f(x, y) ¯ 1−2{s} 
 ¯¯ ∂
dy
≤ c (Ds f) (x)
¯ y
¯ ∂y[s]+1 ¯
0
71
Lemme 2.3.2 (Sect.2.6, [MS]) Pour tout k = 0, 1, ... , on a l’inégalité

|f(x)| ≤ c kfkL1
unif

¯
Z1 ¯ k+1
¯ ∂ f(x, y) ¯ k
¯ y dy 
+ ¯¯
∂y k+1 ¯
(2.3.43)
0
Les deux lemmes suivants sont analogues à ceux dus à I. Verbitsky et présentés dans ([MS],
sect 2.6).
[s]
Lemme 2.3.3 Soit f ∈ W1,loc et y ∈ (0, 1]. Alors
¯
¯
¯ ∂ [s]+1 f (x, y) ¯
¯
¯
{s}−r−1
r− d2
sup
δ
kDs f; Bδ (x)kL2
≤
cy
¯
¯
¯ ∂y [s]+1 ¯
x∈Rd ,δ∈(0,1)
Preuve. Le lemme est immédiat et cela provient directement du théorème de la valeur
moyenne pour les fonctions harmoniques et du lemme 2.3.1. Posons
K=
d
sup
x∈Rd ,δ∈(0,1)
δr− 2 kDs f; Bδ (x)kL2
(2.3.44)
Soit δ ∈ (0, 1]. En utilisant le lemme 2.3.1, on a
Z
¯2
Z∞ ¯¯ [s]+1
f (x, y) ¯¯ 1−2{s}
¯∂
dydt ≤ cK 2 δ d−2r
¯
¯ y
¯ ∂y [s]+1 ¯
(2.3.45)
Bδ (x) 0
En appliquant le théorème de la valeur moyenne pour les fonctions harmoniques, on trouve
pour
δ
2
<y<
2δ
3
¯
¯
Z
¯ ∂ [s]+1 f (x, y) ¯
¯
¯
−d−1
¯
¯ ≤ cδ
¯ ∂y [s]+1 ¯
Bδ (x)
¯
Zδ ¯¯ [s]+1
¯
f(t,
η)
∂
¯
¯
¯
¯ dηdt
¯ ∂η[s]+1 ¯
δ
4
En utilisant l’inégalité de Hölder, le membre de droite est majoré par


d
cδ {s}− 2 −1 

Z
Bδ (x)
Zδ
δ
4
1
2
¯
¯
¯ ∂ [s]+1 f(t, η) ¯

¯
¯ 1−2{s}
dηdt
¯
¯η

¯ ∂η[s]+1 ¯
72
En vertu de (2.3.45) cette intégrale est majorée par cδ {s}−r−1 K, ce qui achève la démonstration.
On a besoin du fait élémentaire suivant pour la preuve du théorème:
[s]
Lemme 2.3.4 Soit f ∈ W1,loc . Alors pour tout x ∈ Rd , on a l’inégalité suivante
Ã
|f(x)| ≤ c 
x∈Rd ,δ∈(0,1)
Preuve. On pose
r
d
sup
!s
δr− 2 kDs f; Bδ (x)kL2
(Ds f(x))
(r−s)
r
+ kfkL1
unif
 ¯ [s]+1
¯
f (x,y) ¯
 ¯¯ ∂
¯ , 0<y≤1
∂y [s]+1
g(y) =

0 , y>1
Alors, pour tout δ > 0
¯
Z1 ¯¯ [s]+1
Z∞
Zδ
Z∞
f(x, y) ¯¯ [s]
¯∂
¯
¯ y dy = g(y)y [s] dy = g(y)y [s] dy + g(y)y [s] dy
¯ ∂y[s]+1 ¯
0
0
0
δ
En appliquant l’inégalité de Hölder, on trouve
Zδ
0
 12
 δ
Z
g(y)y [s] dy ≤ cδs  (g(y))2 y 1−2{s} dy 
0
D’après le lemme 2.3.3, il vient que
¯
¯
¯ ∂ [s]+1 f(x, y) ¯
¯
¯
¯
¯ ≤ cKy {s}−r−1
¯ ∂y[s]+1 ¯
où K est définie par (2.3.44). D’où
Z∞
0


∞
1
2
Z


g(y)y [s] dy ≤ c δ s  (g(y))2 y 1−2{s} dy  + δ s−r K 
0
73


− 1
∞
2r
Z
1
2
1−2{s}


Ensuite, on pose δ = K r
(g(y)) y
dy
, ceci implique que
0
Z∞
0
∞
 (r−s)
2r
Z
s
2 1−2{s} 
[s]

r
g(y)y dy ≤ cK
(g(y)) y
dy
0
En combinant cette estimation avec (2.3.43) pour k = [s], on arrive à

∞
 (r−s)
2r
Z

 s
+ kf kL1 
|f (x)| ≤ K r  (g(y))2 y 1−2{s} dy 
unif

0
Enfin en appliquant le lemme 2.3.1 qui établit la preuve.
Nous pouvons maintenant démontrer le résultat principal de cette section.
Proposition 2.3.1 Soit 0 < s < r. Il existe une constante c > 0 telle que
Ã
kf kM(H r →H s ) ≤ c sup
e
kDs f; ekL2
1
[cap (e,H r )] 2
+ kfkL1
unif
!
1
Preuve. D’après l’inégalité (2.2.5) avec ϕ = |fh | r−s , α = r − s, β = r −
(2.3.46)
où
est un
nombre positif inférieur à s sachant que r − et s − sont des réels, on trouve
sup
e
 Z


|fh |2 dx



e







cap (e,H r−s ) 








≤ Csup
e
Z
 r−s
r−
r−
2( r−s
)



dx 
 |fh |





e

cap (e,H r−- )









(2.3.47)
Ensuite, on utilise le lemme 2.3.4 en remplaçant s par s − et r par r − , il vient alors
 Ã
!2( s− ) Z
r−s
d

r−-− 2
Z
sup
δ
kD
f
;
B
(x)k
|Ds−- fh |2 dx+
2
s−h
δ

r−
L
2( r−s
)
d

dx ≤ c  x∈R ,δ∈(0,1)
|fh |
e
s−

2( r−s
)
e
+ kfh kL1
mesd (e)
unif
74






Par conséquent,
Z
r−s
 2(r−)
r−
2( r−s
)
dx 
 |fh |
e



 cap (e,H r−- ) 


≤ c
Ã
sup
δ
r−-− d2
x∈Rd ,δ∈(0,1)
Ã
× sup
e
kDs−- fh ; Bδ (x)kL2
kDs−- fh ; ekL2
1
[cap (e,H r−- )] 2
! r−s
!( s− )
r−s
× (2.3.48)
r−
+ c kfh kL1
unif
Le corollaire 2.1.1 entraîne alors que
sup
e
kDs−- fh ; ekL2
1
[cap (e,H r−- )] 2
≤ c kfh kM(H r− →H s− ) ≤ c kfh kM(H r →H s )
Donc, le membre de gauche de (2.3.48) est majoré par
Ã
c
sup
δ
r−-− d2
x∈Rd ,δ∈(0,1)
kDs−- fh ; Bδ (x)kL2
!( s− )
r−s
r−s
r−
kfh kM(H r →H s ) + kfh kL1
unif


En combinant ce dernier avec (2.3.47), il vient que
sup
e
 Z


|fh |2 dx



e







cap (e,H r−s ) 








≤ c (σ)
d
sup
x∈Rd ,δ∈(0,1)
δ r−-− 2 kDs−- fh ; Bδ (x)kL2 +
+ σ kfh kM(H r →H s ) + c kfh kL1
(2.3.49)
unif
où σ est un nombre arbitraire positif. En utilisant la relation (1.2.1), on arrive à
sup
d
δ r−-− 2 kDs−- fh ; Bδ (x)kL2 ≤ c (σ) sup
e
x∈Rd ,δ∈(0,1)
kDs fh ; ekL2
1
[cap (e,H r )] 2
+ σ kfh kM(H r →H s )
cEn regroupant cette dernière estimation avec l’inégalité (2.3.49) et le théorème 2.3.5, on déduit
que
Ã
kfh kM(H r →H s ) ≤ c sup
e
kDs fh ; ekL2
1
[cap (e,H r )] 2
75
+ kfh kL1
unif
!
(2.3.50)
En estimant enfin le membre de droite de l’inégalité (2.3.50) par la proposition 2.1.1 , i.e :
sup
kDs fh ; ekL2
1
e [cap (e,H r )] 2
≤ sup
e
kDs f ; ekL2
1
[cap (e,H r )] 2
on achève la démonstration.
L’utilité de ces espaces apparaîtra au paragraphe suivant.Il serait impossible de clore ce
chapitre sans citer une conséquence immédiate du théorème principal sur l’existence de solutions
globales pour l’équation de Ricatti.
2.4
Existence de solutions globale pour l’équation de Ricatti
Après des préliminaires techniques un peu fastidieux, nous allons pouvoir nous intéresser au
cas d’une équation de Riccati ([AP], [MV1])de la forme
−∆u = |∇u|2 + f
La méthode de preuve est basée une fois de plus sur les inégalités d’énergie, et en vertu de ce que
nous avons vu aux paragraphes précédents, il suffit de prouver une estimation à priori judicieuse
¡ d¢
1
R
pour obtenir le résultat d’existence globale.On montre que toute solution faible u ∈ Hloc
de l’équation de Ricatti
−∆u = |∇u|2 + f
(2.4.1)
où f est une fonction positive localement intégrable doit satisfaire à la condition suivante :
kukM(H 1 →H 1 ) = sup
(Ã R
2
e |∇u| dx
cap (e, H 1 )
!
)
¢
¡
: cap e, H 1 > 0
<∞
(2.4.2)
pour tout ensemble e compact.
Remarque 9 Les solutions d’équations aux dérivées partielles que nous considérons seront
toujours en premier lieu des solutions faibles, c’est-à dire des solutions au sens des distributions.
De manières générale, trouver un concept de solution faible adéquat est toujours une étape
76
importante dans la résolution de problèmes d’équations aux dérivées partielles, qu’elles soient
linéaires ou non linéaires.
Toute solutions sont sous-entendu au sens faible, c’est-à-dire u est une solution de (2.4.1) si
¡ d¢
1
R et
u ∈ Hloc
Z
Z
Z
2
∇u.∇ϕdx =
|∇u| ϕdx +
fϕdx
(2.4.3)
Rd
Rd
¡ ¢
pour toute fonction test ϕ ∈ C0∞ Rd .
Rd
¡ ¢
¡ d¢
1
Proposition 2.4.1 Soit f ∈ L1loc Rd . Si l’équation (2.4.1) admet une solution u ∈ Hloc
R ,
alors on a
Z
Rd
et
¡ ¢
pour tout h ∈ C0∞ Rd , h ≥ 0.
|∇u|2 h2 dx ≤ 4
Z
Rd
Z
2
f h dx ≤
Z
Rd
Rd
|∇h|2 dx
(2.4.4)
|∇h|2 dx
(2.4.5)
Preuve. Soit u une solution de (2.4.1) au sens faible, c’est-à-dire l’équation (2.4.3) est vraie
¡ ¢
¡ ¢
pour tout ϕ ∈ C0∞ Rd . Posons ϕ = h2 dans (2.4.3) avec h ∈ C0∞ Rd , h ≥ 0. On obtient
Z
Rd
¡ ¢
∇u.∇ h2 dx =
¡ ¢
Puisque ∇ h2 = 2h∇h, on a
2
Z
Rd
(∇u.∇h) hdx =
Z
2
|∇u| h dx +
Rd
Z
2
2
Rd
2
Z
|∇u| h dx +
fh2 dx
(2.4.6)
fh2 dx
(2.4.7)
Rd
Z
Rd
En utilisant l’inégalité de Hölder avec l’inégalité fondamentale
pab − aq ≤ (p − 1)p−1 bp pour a, b > 0 et
77
1 1
+ =1
p q
Il en résulte que
Z
f h2 dx = 2
Rd
Z
Rd
≤2
µZ
(∇u.∇h) hdx −
Rd
³
2
2
|∇u| h
≤ k∇hk2L2
´
Z
Rd
|∇u|2 h2 dx
¶1
Z
2
dx k∇hkL2 −
Rd
|∇u|2 h2 dx
D’autre part, on a
2
Z
(∇u.∇h) hdx =
Rd
Z
Rd
|∇u|2 h2 dx +
Z
fh2 dx
Rd
D’où
Z
Rd
2
2
|∇u| h dx ≤ 2
Z
(∇u.∇h) hdx
Rd
≤ 2 k∇hkL2
µZ
Rd
³
´ ¶ 12
2 2
|∇u| h dx
Puisque le membre de droite de l’inégalité précèdente est finie, on déduit
Z
Rd
|∇u|2 h2 dx ≤ 4 k∇hk2L2
ce qui achève la démonstration.
¡ ¢
En minimisant les deux membres des estimations (2.4.4) et (2.4.5) sur tout h ∈ C0∞ Rd
sachant que h ≥ κe , où e est un sous-ensemble compact de Rd , on obtient le corollaire suivant:
Corollaire 2.4.1 Sous les hypothèses de la proposition 2.4.1, toute solution u de l’équation
¡ d¢
1
R doit satisfaire à la formule (2.4.2). Inversement, s’il existe une
(2.4.1) appartienne à Hloc
solution u de (2.4.1), alors (2.4.2) est satisfaite.pour tout ensemble compact e.
Nous nous proposons d’établir le théorème suivant :
Théorème 2.4.2 (existence d’une solution (globale) de l’équation (2.4.1) sur Rd .) Soit
¡ ¢
f ∈ L1loc Rd . Il existe une constante C > 0 telle que les propriétés suivantes aient lieu.
78
¡ d¢
1
1. Si l’équation (2.4.1) admet une solution u ∈ Hloc
R , alors le potentiel de Riesz I1 f =
1
(−∆)− 2 f < ∞ p.p et
I1 (I1 f)2 (x) ≤ C1 I1 f(x) p.p
(2.4.8)
2. Inversement, si l’inégalité (2.4.8) ait lieu, alors l’équation (2.4.1) admet une solution
¡ d¢
1
u ∈ Hloc
R de sorte que
|∇u(x)| ≤ C2 I1 f(x) p.p
(2.4.9)
La démontration du théoème repose essentiellement sur le lemme suivant [MV1] :
¡ ¢
Lemme 2.4.1 Soit f ∈ L1loc Rd . Alors les assertions suivantes sont équivalentes.
(i) Pour tout ensemble compact e ⊂ Rd , on a l’inégalité suivante
Z
e
¡
¢
(I1 f)2 dx ≤ C1 cap e, H 1
1
(ii) Le potentiel I1 f = (−∆)− 2 f < ∞ p.p et
I1 (I1 f)2 (x) ≤ C2 I1 f(x) p.p
Passons à la démonstration du théorème.
Preuve. Commençons par vérifier la première assertion. En fait, elle résulte facilement
de la proposition 2.4.1, du lemme 2.4.1 et de la propriété standard des transformations de
1
Riesz ([St1]), l’inégalité (2.4.5) est équivalente au théorème d’injection suivant (−∆)− 2 : L2 →
L2 (dµ), i.e
°
°
°
−1 °
°(−∆) 2 h°
L2 (dµ)
≤ C khkL2 , h ∈ L2
Ce qui achève la démonstration de la première assertion.
Remarque 10 Pour certaine complication à l’infini, on démontre le théorème d’existence
uniquement sous l’hypothèse que le potentiel Newtonien I2 f = (−∆)−1 f < ∞ p.p. Alors, il
vient que l’équation (2.4.1) admet une solution s’il existe une solution positive pour l’équation
79
suivante :
³
´
u = I2 |∇u|2 + I2 f
(2.4.10)
On construit maintenant une solution de l’équation (2.4.10) sous l’hypothèse (2.4.8). On
pose
u0 = I2 f
et
³
´
uj+1 = I2 |∇uj |2 + I2 f, j = 0, 1, 2, ...
(2.4.11)
Ceci implique que
−∆uj+1 = |∇uj |2 + f.
Pour démonstrer la seconde assertion, on emploie un lemme dû à I. Verbitsky.
Lemme 2.4.2 On suppose que uj sont définies par (2.4.11). Il existe une constante 0 < C < 1
qui dépend uniquement de d telle que si
I1 (I1 f)2 (x) ≤ CI1 f(x) p.p
alors, les propriétés suivantes aient lieu :
|∇uj (x)| ≤ aI1 f(x)
et
|∇uj+1 (x) − ∇uj (x)| ≤ bcj I1 f(x)
où les constantes a, b et c dépends seulement de d.
On a alors
Lemme 2.4.3 On suppose que uj sont définies par (2.4.11). Alors
|uj+1 (x) − uj (x)| ≤ cC j I2 f(x)
où les constantes c > 0 et 0 < C < 1 dépends uniquement de d.
80
Preuve. La démonstration du lemme est élémentaire. On a grâce au lemme 2.4.2,
¯ h
i¯
¯
¯
|uj+1 (x) − uj (x)| = ¯I2 |∇uj (x)|2 − |∇uj−1 (x)|2 ¯
¯
¯
¯
¯
≤ C(d)I1 ¯|∇uj (x)|2 − |∇uj−1 (x)|2 ¯
Ensuite, on utilise l’inégalité fondamentale suivante avec s = 2 :
|ts − z s | ≤ s |t − z| max (t, z)s−1
où t = |∇uj (x)| et z = |∇uj−1 (x)| , il vient
Donc
¯
¯
¯
2
2¯
¯|∇uj (x)| − |∇uj−1 (x)| ¯ ≤ 2a |∇uj (x) − ∇uj−1 (x)| (I1 f ) (x).
|uj+1 (x) − uj (x)| ≤ C(d)I1 [|∇uj (x) − ∇uj−1 (x)| (I1 f) (x)]
≤ cC j I2 f(x).
et le lemme est démontré.
Maintenant, on complète la preuve du théorème.
Preuve. Posons
u(x) = u0 (x) +
+∞
X
j=0
[uj+1 (x) − uj (x)]
où u0 = I2 f et uj sont définies par (2.4.11). En utilisant le lemme 2.4.3, on a
|uj+1 (x) − uj (x)| ≤ cC j I2 f(x)
où 0 < C < 1. Par conséquent,
u(x) = lim uj (x)
j→∞
et
|u(x)| ≤ CI2 f(x) p.p
81
Ensuite, d’après le lemme 2.4.2, on a
|∇uj+1 (x) − ∇uj (x)| ≤ bcj I1 f(x)
et par conséquent
(2.4.12)
|∇u(x)| ≤ CI1 f(x)
En utilisant le lemme 2.4.1, il vient que pour tout ensemble compact e ⊂ Rd , on a l’inégalité
suivante
Z
e
¡
¢
(I1 f)2 dx ≤ Ccap e, H 1
1 et
En particulier, il résulte de l’inégalité (2.4.12) que u ∈ Hloc
kukM(H 1 →H 1 ) = sup
(Ã R
e |∇u|
2
dx
cap (e, H 1 )
¡ ¢
Soit ϕ ∈ C0∞ Rd une fonction test. Puisque
∇u(x) = lim ∇uj (x) = ∇u0 (x) +
j→∞
!
+∞
X
j=0
)
¡
¢
: cap e, H 1 > 0
<∞
[∇uj+1 (x) − ∇uj (x)] p.p,
on obtient par le théorème de convergence dominée de Lebesgue,
Z
∇ϕ.∇udx = lim
j→∞
Z
Z
∇ϕ.∇uj dx ,
ϕ |∇u|2 dx = lim
j→∞
En utilisant l’équation (2.4.11), on a
Z
∇ϕ.∇uj+1 dx =
Z
2
ϕ |∇uj | dx +
Z
ϕfdx
Par passage à la limite quand j → ∞, on obtient
Z
∇ϕ.∇udx =
Z
2
ϕ |∇u| dx +
82
Z
ϕf dx
Z
ϕ |∇uj |2 dx
¡ d¢
1
et donc u ∈ Hloc
R est une solution (faible) de l’équation (2.4.1) et l’estimation (2.4.9) est
vraie. Ce qui echève la démonstration du théorème.
83
Chapitre 3
Opérateurs de Schrödinger agissant
de
1
H2
sur
1
−
H 2
Le but de ce chapitre est d’établir des conditions nécessaires et suffisantes pour la continuité de
1
opérateurs de Schrödinger. Un tel opérateur est de la forme (−∆) 2 + V qui agissent de l’espace
1
1
de Sobolev H 2 sur son dual H − 2 pour un potentiel arbitraire V . En d’autres termes, on
donne une solution complète au problème de domination de l’énergie du potentiel par l’énergie
cinétique. Cette domination est caractérisatisé par l’inégalité :
¯
¯
¯Z
¯
³ ´
¯
¯
2
¯ |u| V dx¯ ≤ C kuk2 1 , u ∈ C0∞ Rd
¯
¯
H2
¯d
¯
(3.0.1)
R
où le poids V est une fonction localement intégrable ou en général une distribution sur Rd . Une
grande partie des motivations de l’étude des opérateurs de Schrödinger provient de la théorie
quantique. Dans ce dernier, le membre de gauche de (3.0.1) se comporte comme |hV u, ui| où
hV., .i est une forme quadratique associée à l’opérateur de multiplication correspondant. Un
résultat analogue caractérisé par Maz’ya et Verbitsky [MV2]:
¯
¯
¯
¯Z
³ ´
¯
¯
¯ |u|2 V dx¯ ≤ C kuk2 1 , u ∈ C0∞ Rd
H
¯
¯
¯
¯d
R
84
(3.0.2)
est utilisé en théorie spectrale pour l’opérateur de Schrödinger H = (−∆) + V . En particulier,
(3.0.2) est équivalente à la continuité de l’opérateur d’énergie du potentiel V par l’opérateur
d’énergie cinétique H0 = (−∆) .
3.1
Critère de Continuité.
On établit un critère simple de continuité des opérateurs de multiplication ponctuels sur des
¢
¡
espaces de multiplicateurs singuliers M H s → L2 : 0 ≤ s < 1 et ensuite on illustrera l’emploi
de ce critère par un exemple. Si u
b est la transformée de Fourier de u telle que
1
u
b (ς) =
(2π)
d
2
Z
e−ixς u(x)dx,
Rd
∧
alors, on introduit la norme Cα (u) qui est exprimé en terme de u par la formule:
Cα (u) =
Z
|ς|2α |b
u(ς)|2 dς, ∀ α ≥ 0
Rd
On a bien l’impression que les fonctions de H s , s > 0 sont régulières; il est important de savoir
que la situation est moins simple : si d ≥ 2, les fonctions de H 1 ne sont pas continues en général.
En fait, les espaces de Sobolev sont formés de fonctions qui possèdent une certaine régularité
"en moyenne" : c’est ce que traduit le théorème :
¡ ¢
Théorème 3.1.1 Si 0 < s < 1, H s Rd est caractérisé par
³ ´
u ∈ H s si et seulement si u ∈ L2 Rd
et si
Au =
ZZ
|u(x) − u(y)|2
dxdy < ∞.
|x − y|d+2s
¡ ¢
Cette étude montre que pour tout u ∈ L2 Rd , les assertions suivantes sont équivalentes
{Au < ∞} et {Cα (u) < ∞}
85
En fait, il existe une constante As telle que
(2π)−d
Z
|ς|2s |b
u (ς)|2 dς = As
ZZ
|u(x) − u(y)|2
|x − y|d+2s
dxdy
Preuve. Il s’agit essentiellement d’utiliser la formule de Parseval-Plancherel. La transfor¢
¡
b (ς) . Grâce à la
mée de Fourier de u(x + y) − u(y) est une fonction de y est égale à eixς − 1 u
formule de Parseval-Plancherel, on peut écrire :
Z
2
−d
|u(x + y) − u(y)| dy = (2π)
et d’après le théorème de Fubini-Tonelli :
ZZ
|u(x) − u(y)|2
d+2s
|x − y|
dxdy =
ZZ
¯¡ ixς
¢¯
¯ e − 1 ¯2 |b
u (ς)|2 dς
|u(x + y) − u(y)|2 |x|−d−2s dxdy
= (2π)−d
avec
Z
Z
¯
¯
¯ ˆ ¯2
G (ς) ¯u (ς)¯ dς
Z
Z ¯
¯
¯¡ ixς
¢¯2 −d−2s
¯ xς ¯2 −d−2s
¯
¯
G (ς) =
e − 1 |x|
dx = 4 ¯sin ¯ |x|
dx
2
¢2 −d−2s
¡
|x|
est bornée par |ς|2 |x|2−d−2s pour
Si t > 0 alors G (tς) = t2s G (ς). Puisque 4 sin xς
2
|x| ≤ 1 et par 4 |x|2−d−2s pour |x| ≥ 1 et comme 2 − d − 2s > −d et −d − 2s < −d, on observe
que |G (ς)| < ∞ pour tout ς. Donc, on peut écrire G (ς) =
Posons
|ς|2s
As
pour une certaine constante As .

1
2
Z
2
|u(x)
−
u(y)|
dy 
dα u(x) = 
|x − y|d+2α
Rd
Alors, on a le résultat suivant
Proposition 3.1.1 Soient α , β deux nombres réels positifs. Alors on a l’inégalité suivante
³ ´
1
dα u ≤ Jβ dα (1 − ∆) 2 β u, ∀u ∈ C0∞ Rd
86
(3.1.1)
Preuve. Posons
1
u = (1 − ∆)− 2 β f = Jβ f
Alors


Z
2
|u(x) − u(y)|
dy 
(dα u(x))2 = c(d, α) 
|x − y|d+2α
Rd
Z
|u(x + h) − u(x)|2
= c(d, α)
dh
|h|d+2α
Rd
Z ¯
¯2
1
1
¯
¯
= c(d, α) ¯(1 − ∆) 2 β f (x + h) − (1 − ∆) 2 β f (x)¯
Rd
dh
|h|d+2α
Or, on peut écrire
1
1
B = (1 − ∆) 2 β f (x + h) − (1 − ∆) 2 β f(x)
= (Gβ ∗ f ) (x + h) − (Gβ ∗ f ) (x)
Z
Z
= Gβ (x + h − ζ) f (ζ)dζ − Gβ (x − ζ) f(ζ)dζ
Rd
Rd
Posons ζ = ζ 0 + h, il vient que
B=
Z
Rd
=
Z
¡
¢
Gβ x − ζ 0 f(ζ 0 + h)dζ 0 −
Z
IRd
¡
¢
Gβ x − ζ 0 f(ζ 0 )dζ 0
Gβ (x − ζ) [f (ζ + h) − f (ζ)] dζ.
Rd
On obtient donc
(dα u(x))2 = c(d, α)
Z
Rd
= c(d, α)
Z
Rd
|B|2
|h|d+2α
1
|h|d+2α
dh
¯
¯2
¯Z
¯
¯
¯
¯
Gβ (x − ζ) [f(ζ + h) − f(ζ)] dζ ¯¯ dh.
¯
¯ d
¯
IR
87
En utilisant l’inégalité de Minkowski, il vient


 1 2
2
Z
Z
2
|f(ζ
+
h)
−
f(ζ)|


2
dh 
(dα u(x)) ≤ c(d, α)  Gβ (x − ζ) dζ 
d+2α
|h|
Rd
Rd

2
Z
= c(d, α)  Gβ (x − ζ) dα f(ζ)dζ 
Rd
³
´2
β
= c(d, α) Jβ dα (1 − ∆) 2 u(x)
D’où
β
dα u(x) ≤ c(d, α)Jβ dα (1 − ∆) 2 u(x)
On se propose de prouver l’estimation suivante
Proposition 3.1.2 Pour tout α, β > 0, α + β < 1, on a
kdα dβ ukL2 ≤ C kdα+β ukL2
(3.1.2)
Preuve. Soient δ ∈ Rd et uδ (x) = u(x + δ). On vérifie immédiatement que
|dβ u(x) − dβ uδ (x)| ≤
De sorte que
kdα dβ uk2L2
≤
ZZ Z
ÃZ
|∆h [u(x) − uδ (x)]|2
|h|d+2β
|∆h (u(x) − uδ (x))|2
R3d
88
!1
2
dh
.
dhdδdx
|h|
d+2β
× |δ|d+2α
©
ª
où ∆h v(x) = v(x+h)− v(x). Découpons l’intégrale sur R3d en intégrale sur h ∈ Rd : |h| ≤ |δ|
©
ª
et sur son complémenaire h ∈ Rd : |h| > |δ| . D’où
kdα dβ uk2L2
Z
Rd
Z
Rd
≤
Z
dx
Rd
Z
dh
d+2β
|h|
dh
|h|≤|δ|
d+2β
|h|
Z
|h|>|δ|
Z
|∆h u(x)|2
d+2β
|h|
Rd
Z
dδ
d+2α
|δ|
dh
Z
dδ
|h|≤|δ|
|∆h uδ (x)|2 dx +
Rd
dδ
d+2α
|δ|
|δ|d+2α
Z
+
dx
Rd
Z
Rd
|∆h u(x)|2
d+2β
|h|
dh
Z
|h|>|δ|
Z
|∆h uδ (x)|2 dx
Z
|∆h u(x)|2 |h|−d−2(α+β) dh = C kdα+β uk2L2
dδ
|δ|d+2α
Rd
= I1 + I2 + I3 + I4
Et par conséquent,
I1 ≤ C
Z
Rd
dx
Rd
Les autres estimations s’obtiendront de façon analogue.
Nous aurons encore besoin de la proposition suivante
Proposition 3.1.3 Soient 0 < α < β, α < 1. Alors, on a
kdα fkM(H β →L2 ) ≤ C kf kM(H β →H α )
1
Preuve. Soit 0 < t < β − α, Λ = (1 − ∆) 2 . On a d’après la proposition 3.1.1
t
dα u(x) ≤ CJt dα (1 − ∆) 2 u(x)
89
+
De plus,
°
t
°
kfdα ukL2 ≤ C °fJt dα (1 − ∆) 2
°
°
u° 2
L
°
°
≤ C kfkM(H β−α →L2 ) °Jt dα Λt u°H β−α
°
°
≤ C kfkM(H β−α →L2 ) °dα Λt u°H β−α+t
°
°
° ª
©°
≤ C kfkM(H β−α →L2 ) °dβ−α+t dα Λt u°L2 + °dα Λt u°L2
En utilisant la proposition 3.1.2, on trouve
°
°
° ª
©°
kf dα ukL2 ≤ C kfkM(H β−α →L2 ) °Λt u°H β−t + °dα Λt u°L2
°
°
° ª
©°
≤ C kfkM(H β−α →L2 ) °Λt u°H β−t + °Λt u°H α
Ce qui implique d’après le lemme 2.1.2
|kdα (f u)kL2 − kudα fkL2 | ≤ kfdα ukL2
≤ C kfkM(H β−α →L2 ) kukH β
ceci donne l’inégalité suivante
o
n
kdα (fu)kL2 ≤ C kudα f kL2 + kf kM(H β−α →L2 ) kukH β
n
o
≤ C kdα f kM(H β →L2 ) + kf kM(H β−α →L2 ) kukH β
on obtient donc
kudα f kL2 ≤ kf dα ukL2 + kdα (fu)kL2 ≤ C kfkM(H β−α →L2 ) kukH β +
n
n
o
+ C kdα f kM(H β →L2 ) + kf kM(H β−α →L2 ) kukH β ≤ C kukH β kdα fkM(H β →L2 ) + kf kM(H β−α →
En utilisant le lemme 3.2.5 [MS] avec p = 2, on trouve
kdα f kM(H β →L2 ) + kf kM(H β−α →L2 ) ≤ C kfkM(H β →H α )
90
et en prenant la borne supérieure du membre de gauche par rapport à kukH β , on obtient
kdα fkM(H β →L2 ) ≤ C kf kM(H β →H α )
3.1.1
Les opérateurs pseudo-différentiels opérant sur les espaces de Sobolev
d’exposant non-entier.
Théorème 3.1.2 On suppose que 0 ≤ s < 1 et r > s. Soit f ∈ M (H r → H s ). Alors on a
¡
¢
s
(−∆) 2 f ∈ M H r → L2
Plus précisement, il existe une constante C > 0 telle que
°
°
s
°
°
°(−∆) 2 f °
M(H r →L2 )
≤ C kfkM(H r →H s )
(3.1.3)
¡ ¢
¡ ¢
Preuve. Il suffit de démontrer le théorème pour u ∈ C0∞ Rd puisque D Rd est dense
dans H r . On définit l’opérateur de dérivation fractionnaire par la formule
s
2
(−∆) u = c(d, s)
Z
Rd
u(x) − u(y)
|x − y|d+s
(3.1.4)
dy.
On obtient
s
s
s
A = (−∆) 2 (f u) (x) − f(x) (−∆) 2 u(x) − u(x) (−∆) 2 f (x)
Z
(u(x) − u(y)) (f(x) − f(y))
dy
= −c(d, s)
|x − y|d+s
Rd
donc
´³
´
³
|A| ≤ C d 2s u(x) d 2s f(x)
91
où

1
2
Z
2
|u(x) − u(y)|


dy
, 0 < α < 1.
dα u(x) =
|x − y|d+2α
Rd
D’où
°
°
s
°
°
2
°u (−∆) f °
L2
°
°
s
°
°
2
≤ °(−∆) (fu)°
L2
d’aprés la proposition 2.2.2, on a
°
°
s
°
°
°u (−∆) 2 f °
L2
°
°
s
°
°
2
+ °f (−∆) u°
L2
°
°
° s
°
s
+ C °d 2 u × d 2 f °
(3.1.5)
L2
°
°
s
°
°
≤ kfukH s + kfkM (H r−s →L2 ) °(−∆) 2 u°
H r−s
°
°
°
°
+ C °d s2 u × d s2 f °
L2
≤ C kf kM(H r →H s ) kukH r + C kfkM(H r →H s ) kukH r
°
°
°
°
°
°
°
°
+ C °d s2 u × d s2 f ° 2 ≤ C kfkM(H r →H s ) kukH r + C °d 2s u × d 2s f °
L2
L
°
°
°
°
Il reste à estimer la norme : °d s2 u × d s2 f °
. Il suffit d’appliquer la proposition 3.1.1 pour
L2
β =r−
s
2
et α = 2s . On a
°
°
°
° s
s
°d 2 u × d 2 f °
L2
Donc
°h
°
i
1
°
°
r− s2 )
(
2
s
s
s
u d2 f° 2
≤ C ° Jr− 2 d 2 (1 − ∆)
L
°
°
°
°
1
s
°
°
° s ° ³
´ °Jr− s d s (1 − ∆) 2 (r− 2 ) u°
≤ C °d 2 f °
s
r−
2 2
2
M H
°
°
°
°
≤ C °d 2s f °
2 →L
°
°
´ °d s
³
s
2
M H r− 2 →L2
°
°
°
° s
°d 2 u × d 2s f °
L2
°
°
°
°
≤ C °d 2s f °
°
1
s
°
(1 − ∆) 2 (r− 2 ) u°
L2
°
°
³
´ kuk r
s
H
M H r− 2 →L2
Or d’après la proposition 3.1.3, on a
°
°
° s °
°d 2 f °
³
´
s
M H r− 2 →L2
r
³
´ °(1 − ∆) 2
s
M H r− 2 →L2
°
°
°
°
≤ C °d 2s f °
≤ C kfkM³H r− 2s →H 2s ´
92
s
H r− 2
°
°
u°
L2
En appliquant l’inégalité d’interpolation, on obtient
1
1
2
2
kfkM³H r− 2s →H 2s ´ ≤ kfkM(H
r−s →L2 ) kf kM(H r →H s )
(3.1.6)
kfkM(H r−s →L2 ) ≤ C kfkM(H r →H s )
(3.1.7)
Puisque
il vient que
kfkM³H r− s2 →H s2 ´ ≤ C kfkM(H r →H s )
Par conséquent,
°
°
° s °
°d 2 f °
³
´
s
M H r− 2 →L2
D’où
par suite
°
°
°
° s
°d 2 u × d 2s f °
≤ C kf kM(H r →H s )
L2
≤ C kf kM(H r →H s ) kukH r
L2
≤ C kfkM(H r →H s ) kukH r
°
°
s
°
°
°u (−∆) 2 f °
ceci est équivalent à l’inégalité
°
°
s
°
°
°(−∆) 2 f °
M(H r →L2 )
≤ C kfkM(H r →H s )
Un autre carctérisation des espaces M (H r → H s ) est donnée par l’énoncé suivant.
Proposition 3.1.4 Soient 0 < s < 1 et r > s . Alors, on a
kfkM(H r →H s )
·°
°
s
°
°
2
≤ C °(−∆) f °
Xr
+ kfkM(H r−s →L2 )
¸
(3.1.8)
Preuve. Cela fait, pour démontrer (3.1.8) , revenons à la relation
¯
¯
s
s
s
¯
¯
¯(−∆) 2 (fu) − f (−∆) 2 u − u (−∆) 2 f ¯ ≤ Cd s2 u × d s2 f
93
(3.1.9)
Donc
°
°
s
°
°
2
(fu)
°
°(−∆)
L2
°
s
°
≤ °f (−∆) 2
En utilisant l’inégalité élémentaire
°
°
u°
L2
°
s
°
+ °u (−∆) 2
°
°
f°
L
°
°
° s
°
s
+
C
u
×
d
f
°d 2
°
2
2
L2
(3.1.10)
kukH r−s ≤ C kukH r
on a
kf ukL2 ≤ kf kM(H r−s →L2 ) kukH r−s ≤ C kfkM(H r−s →L2 ) kukH r
D’autre part,
°
°
° s
°
°d 2 u × d 2s f °
L2
D’où
≤ C kfkM³H r− 2s →H 2s ´ kukH r
°
°
s
°
°
kfukH s = °(−∆) 2 (fu)° 2
L
½
°
°
s
°
°
≤ C kfkM³H r− 2s →H 2s ´ + °(−∆) 2 f °
M(H r →L2 )
¾
kukH r
+ C kf kM³H r− 2s →H 2s ´ kukH r
Or, par l’inégalité d’interpolation, on a
1
1
2
2
kfkM³H r− 2s →H 2s ´ ≤ kfkM(H
r−s →L2 ) kf kM(H r →H s )
(3.1.11)
D’où
kfkM(H r →H s ) =
sup
kukH r ≤1
kf ukH s
°
°
s
°
°
≤ C kfkM(H r−s →L2 ) + C °(−∆) 2 f °
1
M(H r →L2 )
1
2
2
+ C kfkM(H
r−s →L2 ) kfkM(H r →H s )
½
°
°
s
°
°
2
≤ C kfkM(H r−s →L2 ) + °(−∆) f °
M(H r →L2 )
94
+
¾
La proposition est démontrée.
Nous en tirons un corollaire immédiat
Corollaire 3.1.3 Soient 0 < s < 1 et r > s. Alors
°
°
s
°
°
°(−∆) 2 f °
M(H r →L2 )
+ kfkM(H r−s →L2 ) ≤ C kfkM(H r →H s )
Preuve. On a d’après le théorème 3.1.2,
°
°
s
°
°
°(−∆) 2 f °
M(H r →L2 )
≤ C kfkM(H r →H s )
d’autre part, on a d’après la proposition 2.2.2,
kfkM(H r−s →L2 ) ≤ C kfkM(H r →H s )
En combinant ces deux inégalités, on obtient
°
s
°
°(−∆) 2
°
°
f°
M(H r →L2 )
+ kfkM(H r−s →L2 ) ≤ C kfkM(H r →H s )
Le lemme suivant est un résultat d’un théorème de Kurtz et Wheeden [KW] :
¢
¡
Lemme 3.1.1 (KW) Supposons que 1 < p < ∞ , ω ∈ A1 et m ∈ C ∞ Rd − {0} vérifiant la
condition du multiplicateur de Mikhlin:
|Dα m(x)| ≤ Cα |x|−α , ∀x ∈ Rd − {0}
pour tout multi-indice α : 0 ≤ |α| ≤ d. Alors on a l’inégalité:
kTmr gkLp (ω) ≤ C kgkLp (ω) , ∀g ∈ Lp (ω) ∩ L2
Le résultat que nous allons présenter concerne les o.p.d classiques. On a alors :
95
(3.1.12)
Théorème 3.1.4 Soient 0 < s < 1 et r > s. Alors
¢
¡
s
f ∈ M (H r → H s ) si et seulement si Φ = (1 − ∆) 2 f ∈ M H r → L2
et
°
°
s
°
°
kf kM(H r →H s ) ' °(1 − ∆) 2 f °
M(H r →L2 )
Preuve. On suppose que f ∈ M (H r → H s ) où r > 1 et 0 < s < 1. Alors d’après le lemme
([KW]), l’opérateur
i
h
s
s
Tms = (1 − ∆) 2 − (−∆) 2
est borné sur L2 (ρ) pour tout ρ ∈ A1 et la norme est bornée par une constante qui dépend
uniquement de s, d et le poids ρ ∈ A1 . Par conséquent, d’après le théorème [MV1], il vient
que l’opérateur
i
h
s
s
Tms f = (1 − ∆) 2 − (−∆) 2 f
¡
¢
est borné sur M H r → L2 = Xr . D’où
kTms fkXr ≤ C kfkXr
où C = C(s, r, d). On a déjà montré que kfkXr ≤ kfkM(H r →H s ) . En utilisant cette dernière
inégalité et le théorème 3.1.2, on obtient :
°
°
s
°
°
°(1 − ∆) 2 f °
Xr
·°
°
s
°
°
≤ C °(−∆) 2 f °
Xr
+ kfkXr
¸
≤ C kfkM(H r →H s )
¢
¡
s
Inversement, supposons que (1 − ∆) 2 f ∈ M H r → L2 . Il vient alors
°
s
°
°(−∆) 2
°
°
f°
Xr
·°
s
°
≤ C °(1 − ∆) 2
96
°
°
f°
Xr
+ kfkXr
¸
Il est évident que kfkXr ≤ C kf kM(H r−s →L2 ) . En vertu de la proposition 3.1.4 avec l’inégalité
précédente, on trouve
kfkM(H r →H s )
¸
·°
°
s
°
°
2
≤ C °(−∆) f ° + kfkM(H r−s →L2 )
Xr
¸
·°
°
s
°
°
≤ C °(1 − ∆) 2 f ° + kfkM(H r−s →L2 )
Xr
Il reste à démontrer que
°
°
s
°
°
kfkM(H r−s →L2 ) ≤ C °(1 − ∆) 2 f °
Xr
¡
¢
s
Puisque (1 − ∆) 2 f ∈ M H r → L2 , il vient que
Z ¯
¯
°
°2
s
s
¯
¯
°
°
¯(1 − ∆) 2 f ¯ 2 dx ≤ °(1 − ∆) 2 f ° cap (e,H r )
Xr
e
pour tout ensemble compact e ⊂ Rd . Par conséquent, pour toute boule B (a, R), on a
Z
B(a, R)
¯
¯
°
°2
s
s
¯
¯
°
°
¯(1 − ∆) 2 f ¯ 2 dx ≤ C °(1 − ∆) 2 f ° × Rd−2r ,
et en particulier ,
Xr
°
°
s
°
°
2
°(1 − ∆) f °
L2unif
s
°
°
s
°
°
2
≤ C °(1 − ∆) f °
0<R≤1
Xr
s
On part de l’écriture f = Js (1 − ∆) 2 f , où le potentiel de Bessel Js = (1 − ∆)− 2 peut s’écrire
comme un opérateur de convolution Js g = Gs ∗ g, où Gs est une fonction positive radiale
décroissante telle que
Gs (x) ∼ |x|s−d , |x| → 0, 0 < s < d
Gs (x) ∼ |x|(s−d)Á2 × e−|x| ,
97
|x| → +∞
D’où
|f(x)| ≤
Z
Rd
¯
¯
s
¯
¯
Gs (x − t) × ¯(1 − ∆) 2 f(t)¯ dt

≤C
¯
¯
Z ¯¯(1 − ∆) s2 f(x + z)¯¯
|z|d−s
IRd
°
°
s
°
°
dz + °(1 − ∆) 2 f °
L2unif


En utilisant l’inégalité de Hedberg [He] avec l’estimation précédente, on obtient
³
s
2
|f (x)| ≤ C M (1 − ∆) f(x)
´1− s
r
°
°
s
°
°
2
+ C °(1 − ∆) f °
 Z

B(a, R)

sup

a∈Rd , 0<R≤1 

 2rs
¯
¯
s
¯
¯2
2
¯(1 − ∆) f (y)¯ dy 



d−2r

R

L2unif
s
Posons (1 − ∆) 2 f = g, on a
s
s
r
+ C kgkXr
|f (x)| ≤ C (Mg(x))1− r kgkX
r
Donc
s
r
r−s
|f(x)| r−s ≤ C (Mg(x)) kgkX
r
et par conséquent,
°
°
r °
° r−s
°|f| °
Xr
Finalement,
s
1+
s
r−s
≤ C kMgkXr kgkX
≤ C kgkXr r−s
r
°
° r−s
r ° r
° r−s
≤ C kgkXr
°|f| °
Xr
1
En appliquant la proposition 2.2.1 avec ϕ = |f | r−s , il en résulte
sup
e
Z
 1
r−s
2(r−s)



ϕ
dx 






e

cap (e,H r−s ) 








≤ Csup
98
e
 Z


ϕ2r dx



e
1
r






cap (e,H r ) 








D’où
sup
e
Donc
 Z


|f|2 dx



e

cap (e,H r−s ) 








kfkM(H r−s →L2 )
Ce qui achève la démonstration.
3.1.2
 1
r−s





≤ Csup
e
Z
1
r
r
2



|f | r−s dx 






e

cap (e,H r )









° r−s
°
°
°
r ° r
s
° r−s
°
°
2
≤ C °|f| °
≤ C °(1 − ∆) f °
Xr
Xr
La continuité des opérateurs d’intégrales singulières
¡
¡ ¢
¢
r
Théorème 3.1.5 Soit f ∈ D0 Rd , 0 < r < 1 et soit f = (1 − ∆) 2 F tel que F ∈ M H r → L2 .
Alors
¡
¢
f ∈ M H r → H −r
.
¡ ¢
¡
¢
−r
Preuve. Il suffit de montrer que pour tout u ∈ D Rd et F = (1 − ∆) 2 f ∈ M H r → L2 ,
on a l’inégalité
¯
¯
¯Z
¯
¯ ¯ 2 ¯
¯
¯
¯ ¯u (x) f(x)dx¯ ≤ C kF k kuk2 r
Xr
H
¯
¯
¯d
¯
R
Or
¯
¯
¯
¯Z
¯
¯ ¯ 2 ¯
¯ ¯u (x)¯ f (x)dx¯ = |hfu, ui|
¯
¯
¯
¯d
R
99
où le produit scalaire est une forme quadratique associée à l’opérateur de multiplication f .
r
Comme f = (1 − ∆) 2 F , on a
¯
¯ ¯
¯Z
¯ ¯Z
¯ ¯ 2 ¯
¯ ¯
¯ ¯u (x)¯ f(x)dx¯ = ¯
¯
¯ ¯
¯d
¯ ¯d
R
¯R
¯Z
¯
= ¯¯
¯d
¯R
¯Z
¯
≤ ¯¯
¯d
R
Posons
¯
¯
¯ 2 ¯
¯
r
¯u (x)¯ (1 − ∆) 2 F (x)dx¯
¯
¯
¯
¯
i
¯
¯ 2 ¯h
r
r
r
¯u (x)¯ (1 − ∆) 2 − (−∆) 2 + (−∆) 2 F (x)dx¯
¯
¯
¯ ¯
¯
¯ ¯Z
¯
i
¯ 2 ¯h
¯ ¯ ¯ 2 ¯
¯
r
r
r
¯u (x)¯ (1 − ∆) 2 − (−∆) 2 F (x)dx¯ + ¯ ¯u (x)¯ (−∆) 2 F (x)dx¯
¯ ¯
¯
¯ ¯d
¯
R
¯
¯Z
¯
A = ¯¯
¯d
¯R
¯Z
¯
B = ¯¯
¯d
R
et
¯
¯
i
¯ 2 ¯h
¯
r
r
¯u (x)¯ (1 − ∆) 2 − (−∆) 2 F (x)dx¯
¯
¯
¯
¯
¯ 2 ¯
¯
r
¯u (x)¯ (−∆) 2 F (x)dx¯ ,
¯
¯
r
r
Tmr = (1 − ∆) 2 − (−∆) 2
On va montrer que Tmr est un opérateur de multiplication de Fourier où
³
´r
2
mr (x) = 1 + |x|2 − |x|r
Nous passerons par quelques lemmes. On a la proposition suivante:
Proposition 3.1.5 Supposons que 1 < p < ∞ , ω ∈ A1 et 0 < r ≤ 2. On définit mr par
³
mr (x) = 1 + |x|
2
´r
2
− |x|r
Alors
kTmr gkLp (ω) ≤ C kgkLp (ω) , ∀g ∈ Lp (ω) ∩ L2
100
Preuve. On utilise l’inégalité fondamentale
xα − y α ≤ αxα−1 (x − y) pour α ≥ 1 et x > y ≥ 0
on vérifie facilement qu’on a ∀x ∈ Rd
´r−2
³
0 ≤ mr (x) ≤ C 1 + |x|2
De plus, on déduit que pour tout multi-indice α : |α| ≥ 1, on a l’estimation
|Dα mr (x)| ≤ C (α, r) |x|r−2−|α| , |x| → ∞
|Dα mr (x)| ≤ C (α, r) |x|r−2 , |x| → 0
Comme 0 < r ≤ 2, il vient que mr vérifie la condition (3.1.12) et par conséquent d’après le
lemme 3.1.1, on a l’inégalité
kTmr gkLp (ω) ≤ C kgkLp (ω) , ∀g ∈ Lp (ω) ∩ L2
Finalement, l’opérateur Tmr est un opérateur borné sur L2 (ω) pour tout poids ω ∈ A1 et sa
norme dépend uniquement de ce poids.
On ait dans la position de terminer la démonstration du théorème.
Preuve. On a d’après le théorème (1.3.5) que l’opérateur
i
h
¡
¢
r
r
Tmr F = (1 − ∆) 2 − (−∆) 2 F ∈ M H r → L2
et
°h
i °
r
r
°
°
° (1 − ∆) 2 − (−∆) 2 F °
M(H r →L2 )
101
≤ C kF kM(H r →L2 )
D’après l’inégalité de Cauchy-Scwartz, on trouve
¯
¯
¯
¯Z
¯
¯ ¯ 2 ¯
¯
¯
¯
A = ¯ u (x) Tmr F (x)dx¯¯
¯
¯d
¯
¯R
¯
¯Z
h
i
¯
¯ ¯ 2 ¯
r
r
¯
¯
¯
2
2
= ¯ u (x) (1 − ∆) − (−∆) F (x)dx¯¯
¯
¯d
¯
¯R
¯
¯Z h³
´
i
¯
¯
r
r
(1 − ∆) 2 − (−∆) 2 F u udx¯¯
= ¯¯
¯
¯d
R
°
°h
i
r
r
°
°
≤ C ° (1 − ∆) 2 − (−∆) 2 F ° 2 kukL2
L
≤ C kF kM(H r →L2 ) kuk2H r
Il reste à établir l’inégalité
¯
¯
¯
¯Z
¯
¯ ¯ 2 ¯
r
¯
¯
¯
2
B = ¯ u (x) (−∆) F (x)dx¯¯
¯
¯d
R
≤ C kF kM(H r →L2 ) kuk2H r
On a par dualité
¯
¯ ¯
¯
¯Z
¯ ¯Z ³
¯
´
¯ ¯ 2 ¯
¯ ¯
¯
¯
r
r ¯
2
¯ ¯u (x)¯ (−∆) 2 F (x)dx¯ = ¯
¯
¯
2
(−∆) u (x) F (x)dx¯¯
¯
¯ ¯
¯d
¯ ¯d
¯
R
R
¡ ¢
où F ∈ L2loc . Notons que pour tout u ∈ D Rd , on a par définition de l’opérateur de dérivation
fractionnaire:
r
2
2
(−∆) |u(x)| = C (d, r)
Z
Rd
|u(x)|2 − |u(y)|2
|x − y|d+r
En utilisant ensuite l’identité
£
¤
|a|2 − |b|2 = |a − b|2 − 2 Re b (b − a)
102
dy
avec b = u(x) et a = u(y), d’où on trouve
Z
Rd
2
2
|u(x)| − |u(y)|
d+r
|x − y|
dy =
Z
2
|u(x) − u(y)|
d+r
|x − y|
Rd

dy − 2 Re u(x)
Z
Rd
u(x) − u(y)
|x − y|d+r

dy 
Par conséquent,
avec

¯
¯
¯Z
¯
¯
¯
Z |u(x) − u(y)|2
¯
¯
r
u(x)
−
u(y)
¯
¯
2
dy + 2 |u(x)| ¯¯
dy ¯¯
¯(−∆) 2 |u(x)| ¯ ≤ C
d+r
d+r

|x − y|
¯ d |x − y|
¯
Rd
R
¯
¯2
¯
¯
r
¯
¯
¯
¯ r
2
= 2C |u(x)| ¯(−∆) u(x)¯ + C ¯d 2 u(x)¯
dα u(x) =

Z

2
|u(x) − u(y)|
|x − y|d+2α
Rd
D’où
dy
1
2
,α>0

¯
¯
¯
¯Z ³
Z
°
°
¯
¯2
´
¯
¯
r
r
°
°
¯ r
¯
2
¯
¯
2
2
(−∆)
F
(x)dx
|u(x)|
u
+
C
|F
(x)|
u(x)
(−∆)
≤
C
kF
uk
K
°
°
¯
¯ dx
2
L
¯
¯
2
2
L
¯
¯d
R
Rd
°
°
r
°
°
≤ C kF kXr kukH r °(−∆) 2 u° 2 +
L
Z
¯
¯2
¯ r
¯
+ C |F (x)| ¯K 2 u(x)¯ dx
Rd
≤C
kF kXr kuk2H r
+C
Z
Rd
r
¯
¯2
¯
¯
|F (x)| ¯K r2 u(x)¯ dx
r
On pose g = (1 − ∆) 2 u, c’est-à-dire u = (1 − ∆)− 2 g = Gr g.
Z
Rd
Z
¯
¯2
¯
¯2
¯ r
¯
¯
¯
|F (x)| ¯K 2 u(x)¯ dx = |F (x)| ¯K r2 Gr g(x)¯ dx
Rd
≤
Z
Rd
¯
¯2
¯
¯
|F (x)| ¯G r2 K r2 G r2 g(x)¯ dx
103
1
1
En utilisant l’identité de Hedberg [He] : G r2 v ≤ C (Mv) 2 (Gr v) 2 , on obtient
Z
Rd
Z
¯
¯2
¯
¯
³
´
¯ r r r
¯
¯
¯
|F (x)| ¯G 2 K 2 G 2 g(x)¯ dx ≤ C |F (x)| M K r2 G r2 g (x) ¯Gr K r2 G r2 g(x)¯ dx
Rd
° ³
´°
°
°
≤ C °M K r2 G r2 g °
L
°
´°
³
°
°
r Gr g °
K
F
×
G
°
r
2
2
2
L2
En utilisant la continuité de l’opérateur maximal sur L2 , il en résulte
Z
Rd
¯
¯2
°
°
¯
¯
°
°
|F (x)| ¯G r2 K r2 G r2 g(x)¯ dx ≤ C °K r2 G r2 g°
L
°
°
°
°
r
r
G
kF
k
K
G
g
°
r 2 2 °
Xr
2
Hr
≤ C kgk2L2 kF kXr
= c kF kXr kuk2H r
ce qui ahève la démonstration.
En particulier, pour le cas r = 12 , on en déduit le résultat suivant
´
³ 1
¡ ¢
−1
Corollaire 3.1.6 Soit f ∈ D0 Rd telle que F = (1 − ∆) 4 f ∈ M H 2 → L2 . Alors
´
³ 1
1
f ∈ M H 2 → H− 2
¶
µ 1
.
. −1
2
2
.
Un résultat analogue sera établi pour les espaces M H → H
Nous allons étudier le cas inverse.
³ 1
´
¡ ¢
1
Théorème 3.1.7 Soit f ∈ D0 Rd telle que f ∈ M H 2 → H − 2 . Alors
F = (1 − ∆)
−1
4
´
³ 1
f ∈ M H 2 → L2
Plus précisement, on a
°
°
−1
°
°
°(1 − ∆) 4 f °
³ 1
´
M H 2 →L2
104
³ 1
1´
M H 2 →H − 2
≤ C kf k
¡ ¡ ¢
¡ ¢¢
La preuve est basée sur l’extention de la distribution f ∈ M H r Rd → H −r Rd à
l’espace euclidien de dimension (d + 1) et on applique la caractérisation de la classe des multi¡ ¡
¢
¡
¢¢
plicateurs f ∈ M H r Rd+1 → H −r Rd+1 . On désigne par f ⊗ δ la distribution sur Rd+1
définie par
hf ⊗ δ, u (xd+1 )i = hf, u (x, 0)i
où x = (x1 , x2 , ..., xd ) ∈ Rd et δ = δ (xd+1 ) est une fonction delta portée par l’équation xd+1 = 0.
La démonstration du théorème mettra en jeu la proposition suivante.
³
¢
¢´
¡ ¡
¢
¡
¢¢
1 ¡
1 ¡
Proposition 3.1.6 Si f ∈ M H r− 2 Rd → H −r+ 2 Rd , alors f ⊗δ ∈ M H r Rd+1 → H −r Rd+1
et
³
´
1
1
M H r− 2 (Rd )→H −r+ 2 (Rd )
kf ⊗ δkM(H r (Rd+1 )→H −r (Rd+1 )) ≤ C kf k
Remarque 11 La raison de la limitation à r =
1
2
est qu’à partir de cet indice de régularité
¡ ¢
, on peut définir la notion de restriction des fonctions H r Rd sur le bord Rd+1 : c’est ce
qu’on appelle une trace. La caractérisation principale de cet opérateur de trace est qu’il envoie
¡
¢
¢
1 ¡
continuement H r Rd+1 sur H r− 2 Rd .
¡
¢
Preuve. En fait, l’espace de trace des fonctions sur Rd appartiennent à H r Rd+1 coïn¡
¢
¢
1 ¡
cide avec des normes équivalentes. En particulier, H 1 Rd+1 avec H 2 Rd . Soient U, V ∈
¡
¢
C0∞ Rd+1 tels que
u(x) = U (x, 0) et v(x) = V (x, 0)
Alors par l’inégalité de trace, on a
kuk
1
H r− 2 (Rd )
≤ C kUkH r (Rd+1 ) et kvk
1
H r− 2 (Rd )
≤ C kV kH r (Rd+1 )
et par conséquent,
¯­
®¯
¯ f ⊗ δ, UV ¯ = |hf, uvi|
³
´ kuk
kvk r− 12 d
1
1
1
M H r− 2 (Rd )→H −r+ 2 (Rd )
H r− 2 (Rd )
H
(R )
≤ kfk
³
´ kUk
1
1
H r (Rd+1 ) kV kH r (Rd+1 ) .
M H r− 2 (Rd )→H −r+ 2 (Rd )
≤ C kfk
105
Ceci implique
³
´
1
1
M H r− 2 (Rd )→H −r+ 2 (Rd )
kf ⊗ δkM(H r (Rd+1 )→H −r (Rd+1 )) ≤ C kf k
ce qui achève la démonstration.
En particulier,
Corollaire 3.1.8 Pour r = 1, on a
´
³ 1
1
M H 2 (Rd )→H − 2 (Rd )
kf ⊗ δkM(H 1 (Rd+1 )→H −1 (Rd+1 )) ≤ C kfk
Nous passerons à la démonstration du théorème.
(d+1)
Preuve. On introduit la notion suivante: Gr
r
= (1 − ∆)− 2 , r > 0 le potentiel de Bessel
d’ordre r sur Rd+1 où ∆ désigne le Laplacien sur Rd+1 . Le théorème de Maz’ya-Verbitsky
([MV2]) est au coeur de la démonstration du théorème. On sait que
´
³
´´
³ ³
f ⊗ δ ∈ M H 1 Rd+1 → H −1 Rd+1
ceci est équivalent à
(d+1)
G1
´
³
´´
³ ³
(f ⊗ δ) ∈ M H 1 Rd+1 → L2 Rd+1
de plus, on a
°
°
°
° (d+1)
(f ⊗ δ)°
°G1
M(H 1 (Rd+1 )→L2 (Rd+1 ))
≤ C kf ⊗ δkM(H 1 (Rd+1 )→H −1 (Rd+1 ))
´
³ 1
1
M H 2 (Rd )→H − 2 (Rd )
≤ C kf k
¤
£ (d+1)
On remarque que pour ∈ 0, 12 , G1
s’écrit sous la forme
(d+1)
G1
1
(d+1)
= (1 − ∆) 4 + 2 G 3 +2
106
En utilisant le théorème (3.1.4) pour s =
1
2
(d+1)
+ et r = 1, ensuite on remplace G 3 +- à la place
2
de f, on obtient
°
°
° (d+1)
°
(f ⊗ δ)°
°G1
M(H 1 (Rd+1 )→L2 (Rd+1 ))
°
°
° (d+1)
°
°
≈ °G 3 +- (f ⊗ δ)°
°
³
´
1
M H 1 (Rd+1 )→H 2 + (Rd+1 )
2
³ 1
´
1
M H 2 (Rd )→H − 2 (Rd )
≤ C kfk
En passant à la trace sur Rd = {xd+1 = 0}, on trouve
° µ
¶°
°
°
°tr G(d+1)
(f ⊗ δ) °
3
°
°
+-
´
³ 1
M H 2 (Rd )→H (Rd )
2
On observe que
´
³ 1
1
M H 2 (Rd )→H − 2 (Rd )
≤ C kfk
¶
µ
(d+1)
tr G 3 +- (f ⊗ δ) = constGd1 +- f
2
2
ceci implique
°
°
°
° d
°G 1 +- f °
³ 1
´
M H 2 (Rd )→H (Rd+1 )
2
³ 1
´
1
M H 2 (Rd )→H − 2 (Rd )
≤ C kfk
En réutilisant le (3.1.4), pour s = et r = 12 , et en remplaçant f par Gd1 +- f, on a
2
°
°
° d
°
°G 1 +- f °
2
³ 1
´
M H 2 (Rd )→L2 (Rd )
°
°
°
°
= °(1 − ∆) 2 Gd1 +- f °
2
°
°
°
°
≤ C °Gd1 +- f °
³ 1
´
M H 2 (Rd )→L2 (Rd )
´
³ 1
M H 2 (Rd )→H (Rd+1 )
2
³ 1
´
1
M H 2 (Rd )→H − 2 (Rd )
≤ C kf k
³ 1¡ ¢
¡ ¢´
D’où F = Gd1 f ∈ M H 2 Rd → L2 Rd et
2
³ 1
´
M H 2 (Rd )→L2 (Rd )
kF k
³ 1
´
1
M H 2 (Rd )→H − 2 (Rd )
≤ C kf k
107
¡ ¢
1
En particulier, il vient que si f ∈ D0 Rd et F = (1 − ∆)− 4 f, alors l’opérateur de multi-
plication est défini par f et par conséquent :
1
H = (−∆) 2 + f
¢
¢
1 ¡
1 ¡
est un opérateur borné de H 2 Rd sur H − 2 Rd si et seulement si pour tout compact e ⊂ Rd ,
on a
Z
e
´
³
1
|F (x)|2 dx ≤ Ccap e, H 2
(3.1.13)
sachant que diam(e) ≤ 1. Il vient immédiatement une condition nécessaire de (3.1.13) et de
l’estimation de la capacité d’une boule sur Rd :
¡ ¢
Corollaire 3.1.9 Soient f ∈ D0 Rd et d ≥ 2. On suppose que
³ ´
³ ´
1
1
1
H = (−∆) 2 + f : H 2 Rd → H − 2 Rd
est un opérateur borné. Alors pour toute boule B (a, R) ⊂ Rd , on a
Z
|F (x)|2 dx ≤ CRd−1
(3.1.14)
B(a,R)
où la constante C est indépendante de a ∈ Rd et de R.
3.2
Les espaces de Morrey-Campanato
Nous rappelons d’abord les définitions ([Tay], [Ka])
Définition 3.2.1 Pour tous p, q tels que 1 < p ≤ q ≤ +∞, on définit l’espace de MorreyCampanato Mp,q de la façon suivante :
Mp,q =
(
f ∈ Lploc : kfkMp,q = sup
°
°
sup Rd/q−d/p °f(y)1B(x,R) (y)°Lp (dy)
x∈IRd 0<R≤1
·
)
(3.2.1)
On définit également l’espace de Morrey-Campanato homogène M p,q de la façon suivante :
108
·
M p,q =
½
f∈
Lploc
d/q
: kf k ·
= sup R
M p,q
R>0
kf (Ry)kLp (dy)
¾
< +∞
(3.2.2)
pour tout p, q tels que 1 < p ≤ q ≤ +∞ où
kf k ·
M p,q
Ã
d/q−d/p
= sup sup R
x∈Rd R>0
Z
p
B(x,R)
|f(y)| dy
!1/p
(3.2.3)
On vérifie facilement les propriétés suivantes:
kf (λx)kMp,q =
kf (λx)k
1
λ
d
− dp
q
λ
d
− dp
q
1
=
·
M p,q
kfkMp,q , 0 < λ ≤ 1.
kfk .·
M p,q
, λ>0
On a les inclusions suivantes : pour p, p0 , q t.q. 1 ≤ p ≤ p0 , p ≤ q ≤ +∞ et pour toute fonction
·
f telle que f ∈ M p,q ∩ L∞ :
kfk .·
M
Pour p, q, p0 , q 0 tels que
1
p
+
1
p0
≤ 1,
1
q
1−
p0
p0 ,q p
+
≤
p
0
p
0
kfkL∞p . kf k p·
M p,q
·
1
q0
·
≤ 1, f ∈ M p,q , g ∈ M p0 ,q0 . Alors
·
fg ∈ M p”,q” avec
1
1 1
1
1
1
+ 0 = , + 0 = .
p p
p” q q
q”
Pour tout p tel que 1 ≤ p ≤ d , on a
∀λ > 0, kλf(λx)kM.
p,d
= kfkM.
Nous soulignons les inclusions suivantes : si p0 < p , on a
Mp,q ⊂ Mp0 ,q ,
·
M p,q ⊂ Mp,q ,
·
M p,q ⊂ Mp0 ,q ,
109
p,d
Si q2 < q1 , on a
Mp,q1 ⊂ Mp,q2 ,
·
·
Lq = M q,q ⊂ M p,q , p ≤ q
Il est facile de démontrer les inégalités de Hölder suivantes valables aussi pour les espaces
homogènes: si
1
p
+
1
q
= 1s ,
1
q
+
1
t
=
1
w,
alors
Mp,q .Mr,t ⊆ Ms,w .
On commençons par établir la caractérisation suivante :
Proposition 3.2.1 Pour 0 ≤ r <
d
2
, on a
X r ⊆ M2, d
r
. r
.
X ⊆ M 2, d
r
Le cas homogène étant tout à fait analogue à celui du cas non homogène.
Preuve. Soient f ∈ X r , 0 < R ≤ 1 , x0 ∈ Rd et φ ∈ D, φ ≡ 1 sur B( xR0 , 1). On a
r− d2
R
ÃZ
|x−x0 |≤R
2
!1/2
|f(x)| dx
= Rr
r
≤R
ÃZ
µZ
2
|y− xR0 |≤1
y∈Rd
|f(Ry)| dy
|f (Ry)φ(y)| dy
≤ Rr kf (Ry)kX r kφkH r
≤ kf(y)kX r kφkH r
≤ C kf(y)kX r
d’où l’inclusion souhaité.
D’autre part, on a
110
2
!1/2
¶1/2
Proposition 3.2.2 Pour r < d2 , on a
M d , d ⊂ Xr
r r
d
r
Preuve. Pour cette inclusion, l’espace M d , d coincide avec l’espace Luloc
. En effet, soit
r r
d
r
donc f ∈ Lloc et g ∈
Z
Hr
∩ D. En notant Qk le cube [0, 1]d + k, k ∈ Zd , on a:
2
Rd
|f(x)g(x)| dx =
≤
avec
XZ
k∈Zd
Qk
X µZ
|f(x)g(x)|2 dx
Qk
k∈Zd
1
r
1
= +
2
d σ
≤ kfk2 d
r
Lloc
≤ kfk2 d
r
Lloc
¶ 2 r µZ
d
|f(x)| dx
d
r
Qk
X
k∈Z d
X
k∈Zd
¶2
σ
|g(x)| dx
σ
kgk2Lσ (Qk )
kgφ(. − k)k2Lσ
où φ ≡ 1 sur Q0 , φ ∈ D
X
kgφ(. − k)k2H r .
≤ kfk2 d
r
Lloc
k∈Z d
Or
kgφ(. − k)k2H r =
=
X
k∈Z d
kDα (gφ(. − k))kL2
X
°
X °
° β °
°D g °
|α|≤r γ+β=α
L2
kDγ φ(. − k)kL∞
D’où
X
k∈Z d
kgφ(. − k)k2H r ≤
X
°
X °
° β °2
2
°D g° 2 kDγ φ(. − k)kL∞
|α|≤r γ+β=α
≤ C kgk2H r
111
L
Et donc
kfgkL2 ≤ C kgk2H r kfk2 d .
r
Lloc
Pour finir, nous citerons, sans démonstration, un résultat difficile qui interviendra dans
l’étude des espaces dee multiplicateurs singuliers.
Théorème 3.2.1 ([Lem3], [Fef])Pour 2 < p ≤
d
r
et r > 0, on a les inclusions suivantes
Mp, d ⊂ X r
r
. r
.
M p, d ⊂ X
r
Ces inclusions sont téchniques et nous renvoyons à ([Lem3]) pour tous les détails.
Comme application direct, on déduit que la classe des distributions f telle que
1
F = (1 − ∆)− 4 f
¡ ¢
vérifie (3.1.14) peut être vue comme un espace de Morrey-Companato d’ordre − 12 . En combi-
nant le théorème principale avec la condition de Fefferman-Phong [Fef] appliquée à |F (x)|2 , on
arrive à une condition suffisante en terme de l’espace de Morrey-Campanato d’ordre négatif.
¡ ¢
1
Corollaire 3.2.2 Soient f ∈ D0 Rd , d ≥ 2. On suppose que F = (1 − ∆)− 4 f et α > 1.
Alors
³ ´
³ ´
1
1
1
H = (−∆) 2 + f : H 2 Rd → H − 2 Rd
est un opérateur borné si
Z
|F (x)|2α dx ≤ CRd−1 ,
0<R≤1
(3.2.4)
B(a,R)
où la constante C est indépendante de a ∈ Rd et de R .
´
³
1
En remplaçant la capacité cap e, H 2 dans (3.1.13) par une estimation en terme de mesure
de Lebesgue de e ⊂ Rd , on obtient
112
¡ ¢
1
Corollaire 3.2.3 Soient f ∈ D0 Rd et d ≥ 2. On suppose que F = (1 − ∆)− 4 f. Alors
³ ´
³ ´
1
1
1
H = (−∆) 2 + f : H 2 Rd → H − 2 Rd
est un opérateur borné si pour tout ensemble mesurable e ⊂ Rd ,
Z
e
|F (x)|2 dx ≤ C |e|
d−1
d
, diam(e) ≤ 1
(3.2.5)
où la constante C est indépendante de e ⊂ Rd .
On observe que la condition (3.2.5) sous l’hypothèse diam(e) ≤ 1 est équivalente à F ∈
¡ ¢
¡ ¢
L2d,∞ Rd où Lp,∞ Rd est un espace de Lorentz (Lp faible) de fonctions g tel que
¯n
o¯
¯
¯
d
x
∈
R
:
|g(x)|
>
t
¯
¯ ≤ Ct−p , t > 0
Remarque 12 Le cas r =
1
2,
a été retrouver tout récemment par [MV3] par une méthode
analogue.
113
Chapitre 4
Décomposition de Littlewood Paley et espace de Sobolev
Ce chapitre est destiné à être une introduction au vaste domaine de la décomposition de
Littlewood-Paley, il est plus technique que les précédents.
Au premier paragraphe, nous
établirons une relation entre la décomposition de Littlewood-Paley et l’espace de Sobolev. On
en déduit facilement le théorème au second. Ceci nous permet en particulier de décrire une
décomposition atomique de cette espace. Comme application nous retrouvons au troisième
paragraphe la description de l’espace Xr .
4.1
Espace de Sobolev adapté à la décomposition de LittelwoodPaley.
Nous rappelons les résultats classiques concernant la décomposition de Littlewood-Paley qui
sera utilisée dans la prochaine partie. On désigne pour cela par Φ (x) une fonction à valeur
¡ ¢
réelle, appartenant à la classe S Rd de Schwartz et dont la transformée de Fourier vérifie les
propriétés suivantes :
On pose
b ⊂ B(0, 2) et Φ
b (ξ) = 1 sur B(0, 1)
sup pΦ
¡ ¢
Φj (x) = 2jd Φ 2j x , j ∈ Z
114
(4.1.1)
(4.1.2)
sachant que
© ª
et on définit une suite ϕj j∈Z par
¡
¢
b j (ξ) = Φ
b 2−j ξ
Φ
ϕj (x) = Φj (x) − Φj−1 (x)
(4.1.3)
sup pb
ϕj ⊂ B(0, 2j+1 )\B(0, 2j−1 )
(4.1.4)
Il vient que
qui vérifie l’identité
b
Φ(ξ)
+
En remarquant que
∞
X
j=1
ϕ
b j (ξ) = 1
(4.1.5)
sup pϕj ∩ sup pϕj+2 = ∅
On a donc
ϕj−1 + ϕj + ϕj+1 = 1, pour chaque x ∈ sup pϕj , j ∈ N0
et ∀γ ∈ Nd0 , on trouve
4.1.1
¯
¯
¯ γ
¯
¯D ϕj (ξ)¯ ≤ Cγ 2−j|γ| , j ∈ N0
Définitions et propriétés
Définition 4.1.1 Soit r > 0. L’espace de Sobolev (sous-entendu: adapté à la décomposition
de Littlewood-Paley) est défini par


∞


X
°
°
2
4jr °ϕj ∗ u°L2 < ∞
H r = u ∈ S 0 : kΦ ∗ ukL2 +


j=1
muni de la norme
kukH r = kΦ ∗ ukL2
= kΦ ∗ ukL2
°n
°
° jr °
° o∞ °
°
°
°
°
+ ° 2 ϕj ∗ u L2
j=1 °l2
°©
ª∞ °
°
°
+ ° 2jr ϕj ∗ u j=1 ° 2 2
l (L )
115
On peut aussi définir l’espace de Sobolev homogène correspondant. On observe que
∞
X
j=−∞
et
ϕ
b j (ξ) = 1, ξ 6= 0
ϕ
b j (0) = 0, j ∈ Z
∧
car on a ϕj Dr δ = 0 pour toute dérivée Dr d’une mesure de Dirac δ à l’origine et par conséquent
ϕj ∗ π = 0 pour tout polynôme π. On désigne cet espace de tous ces polynômes par Π et on
définit l’espace de Sobolev homogène comme un sous-espace de S 0 /Π .
Définition 4.1.2 Soit 0 ≤ r < d2 . L’espace de Sobolev homogène est défini par


∞


X
°
°
2
H = u ∈ S 0 /Π :
4jr °ϕj ∗ u°L2 < ∞


. r
j=−∞
muni de la norme
°©
ª+∞ °
°
°
kukH. r = ° 2jr ϕj ∗ u j=−∞ ° 2
l (L2 )
1. Notons que ϕj ∗ u est une fonction régulière dès que ϕ ∈ S et u ∈ S 0 .
¢
¡
ϕj ⊂ B(0, 2j+1 )\B(0, 2j−1 ) et ϕj ∗ u ∈ S 0 .
2. supp ϕ
\
j ∗ u ⊂ suppb
On commence par montrer que cette définition est indépendante du choix de la fonction
¡ ¢
ϕ ∈ S Rd vérifiant :
½
¾
1
(4.1.6)
sup pb
ϕ ⊂ ξ : ≤ |ξ| ≤ 2 = C1
2
et
|b
ϕ (ξ)| ≥ c > 0 si
3
5
≤ |ξ| ≤ = C2
5
3
(4.1.7)
Cela provient de la proposition suivante
Proposition 4.1.1 Il existe une constante C > 0 telle que si η est une fonction vérifiant les
116
conditions (4.1.6)- (4.1.7), alors on a :
∞
∞
X
X
°¢2
°¢2
¡ jr °
¡ jr °
°
°
2 η j ∗ u L2 ≤ C
2 °ϕj ∗ u° L2
j=−∞
j=−∞
Preuve. Cette indépendance découle de la formule de Caldéron [FJ2]. C’est-à-dire, qu’on
peut trouver deux fonctions ϕ et ϕ
e de S telles que
u=
∞
X
j=−∞
où
ψj ∗ ϕ
ej ∗ u
(4.1.8)
¡ ¢
¡ ¢
ϕj (x) = 2jd ϕ 2j x , ψj (x) = 2jd ψ 2j x
et
ϕ
e (x) = ϕ(−x)
En changeant les rôles de ϕ et ϕ
e dans (4.1.8), on peut trouver ψ vérifiant (4.1.6) et (4.1.7) telle
que
ηj ∗ u = η j ∗
∞
X
k=−∞
ψk ∗ ϕk ∗ u
Donc, on obtient
∞
∞
X
X
°
°
°
°
°
°
°ηj ∗ u° 2 ≤
°ηj ∗ ψk ∗ ϕk ∗ u° 2 ≤
°ηj ∗ ψ k ° 1 kϕk ∗ uk 2
L
L
L
L
k=−∞
k=−∞
Par un simple calcule, on montre que
¡
¢
−|j−k| max 2−j , 2−k
¯
¯
2
¯η j ∗ ψ k (x)¯ ≤ C
d+1
(max (2−j , 2−k ) + |x|)
Cette estimation implique clairement
°
°
°ηj ∗ ψ k ° 1 ≤ C2−|j−k|
L
117
Posons
S=
∞
X
°¢2
¡ jr °
2 °ηj ∗ u° L2
j=−∞
Il vient
S≤C

∞
 X

2jr
j=−∞
Ã
∞
X
k=−∞
2−|j−k| kϕk ∗ ukL2
!2  12



! 1
à ∞ ½
∞
 X
h
i 1 ¾ ½h
i 1 ¾ 2 2
X
2
2
2kr kϕk ∗ ukL2 2(j−k)r−|j−k|
2(j−k)r−|j−k|
=C


j=−∞
k=−∞
Ensuite, en appliquant l’inégalité de Hölder
S≤C
≤C

à ∞
∞
 X
X

j=−∞

∞
 X

k=−∞
k=−∞
kr
4
4kr kϕk ∗ uk2L2 × 2(j−k)r−|j−k|
kϕk ∗ uk2L2
∞
X
(j−k)r−|j−k|
2
1
2

j=−∞
ce qui achève la démonstration.
!Ã
∞
X
2(j−k)r−|j−k|
k=−∞
=C
(
∞
X
k=−∞
kr
4
! 12


ke
ϕk ∗ uk2L2
)1
2
© ª
Il y’a un résultat fondamental dû à J.Peetre ([Pe], chapitre 8), que les fonctions Φ et ϕj j≥1
dans la définition peuvent être remplacées par des fonctions plus générales. Nous allons à cet
effet, décomposer le problème en deux étapes :
¡ ¢
¡ ¢
Théorème 4.1.1 Soit η ∈ B1r,1 Rd pour r > 0 et posons η j (x) = 2jd η 2j x pour j ≥ 0.
Alors il existe une constante C telle que pour tout u ∈ H −r , on a
°©
ª+∞ °
°
° −jr
ϕ
∗
u
2
°
°
j
j=0
L2 (l2 )
≤ C kηkB r,1 kukH−r
1
Preuve. On utilise la décomposition dyadique de l’unité :
b j (ξ) +
Φ
∞
X
k=1
ϕ
b k+j (ξ) = 1, ∀ξ ∈ Rd
118
On en déduit que pour tout j ∈ N,
ηj ∗ u = Φj ∗ ηj ∗ u +
∞
X
k=1
ϕk+j ∗ η j ∗ u
Puisque que
sup pb
ϕj−2 ∩ sup pb
ϕj = sup pb
ϕj ∩ sup pb
ϕj+2 = ∅
il vient alors
Posons δ j =
+1
X
ϕ
b j−1 (ξ) + ϕ
b j (ξ) + ϕ
b j+1 (ξ) = 1, pour ξ ∈ sup pb
ϕj
ϕj+l . Alors, on écrit
l=−1
ηj ∗ u = Φj ∗ ηj ∗ u +
∞
X
k=1
ϕk+j ∗ ηj ∗ δ k+j ∗ u
Cette décomposition permet d’écrire
∞
X
°
°
°
°
°
°
°ηj ∗ u° 2 ≤ °Φj ∗ ηj ∗ u° 2 +
°ϕk+j ∗ ηj ∗ δ k+j ∗ u° 2
L
L
L
k=1
En multipliant les deux inégalités par 2−jr , on trouve
2
−jr
∞
X
°
°
°
°
°
°
°ηj ∗ u° 2 ≤ 2−jr °Φj ∗ η j ∗ u° 2 + 2−jr
°ϕk+j ∗ ηj ° 1 kδ k+j ∗ uk 2
L
L
L
L
k=1
°
°
= 2−jr °Φj ∗ η j ∗ u°L2 +
= Aj +
∞
X
∞
X
k=1
ak bk+j
°
°
2kr °ϕk+j ∗ ηj °L1 2−(j+k)r kδ k+j ∗ ukL2
k=1
où les coéfficients Aj , ak et bk+j sont tels que
°
°
Aj = 2−jr °Φj ∗ ηj ∗ u°L2
°
°
ak = 2kr °ϕk+j ∗ η j °L1
bk+j = 2−(j+k)r kδ k+j ∗ ukL2
119
Leur série génératrice se calcule aisement :
S1 =
∞
X
A2j
et S2 =
j=0
̰
∞
X
X
j=0
ak bk+j
k=1
!2
Pour évaluer S2 , on emploie l’inégalité de Minkowski


1
̰
!2  12
2
∞
∞
∞
X
X
X
X
2 



ak bk+j
≤
ak
bk+j
j=0
k=1
j=0
k=1
=
∞
X
ak
Ã
ak
Ã
k=1
≤
∞
X
∞
X
b2m
!1
b2m
!1
2
m=k
k=1
∞
X
2
m=1
Ceci montre que
S2 ≤
∞
X
k=1
°
°
2kr °ϕk+j ∗ ηj °L1
Ã
∞
X
m=1
2
2−2mr kδ m ∗ uk2L2

1
2
∞
∞
X
X
2 
kr
−2jr

=
2 kϕk ∗ ηkL1
2
kδj ∗ ukL2
j=1
k=1
≤ 3 kηkB r,1 kukH−r
1
Il reste à évaluer S1 =
∞
X
A2j . Puisqu’on a
j=0
b
Φ(ξ)
+
il vient alors que
j+1
X
k=1
bj
ϕ
b k (ξ) = 1 sur le sup pΦ
Φj ∗ ηj ∗ u = Φj ∗ ηj ∗
120
Ã
!1
Φ+
j+1
X
k=1
ϕk
!
∗u
et
°
°
°
°
°Φj ∗ ηj ∗ u° 2 ≤ °Φj ∗ η j ° 1
L
L
= kΦ ∗ ηkL1
Ã
kΦ ∗ ukL2 +
j+1
X
j+1
X
k=1
kϕk ∗ ukL2
!
ck
k=0
où les coefficients ck sont tels que
ck = kϕk ∗ ukL2 , k ≥ 1 et c0 = kΦ ∗ ukL2
Il reste à montrer que
∞
X
j=0
Ã
2−jr
j+1
X
ck
!2
ck
!2
k=0
°n
o∞ °2
°
°
≤ C ° 2−kr ck
°2
k=0 l
On utilise alors le lemme suivant :
Lemme 4.1.1 On a
∞
X
j=0
Ã
2−jr
j+1
X
k=0
°n
o∞ °2
°
°
≤ C ° 2−kr ck
°2
(4.1.9)
k=0 l
Preuve. On est ainsi ramené pour prouver (4.1.9), à estimer la quantité
∞
X
j=0
lorsque
Ã
2−jr
j+1
X
ck
k=0
!2
∞
X
¡ −jr ¢2
2 ck < ∞
k=0
Pour le voir, en choisissant bien : 0 < < r, on aurait par application de l’inégalité de Hölder
et la sommation d’une série géométrique,
à j+1
X
k=0
ck
!2
à j+1
X
2−k- × 2k- ck
≤ C22j-
2−2k- c2k .
=
k=0
j+1
X
!2
k=0
121
≤
à j+1
X
k=0
22k-
!
×
j+1
X
k=0
2−2k- c2k
Il vient que
Ã
j+1
X
−jr
2
ck
k=0
!2
−2jr
=2
à j+1
X
ck
k=0
!2
≤ C2
2j(-−r)
j+1
X
2−2k- c2k
k=0
D’où
∞
X
j=0
Ã
2
−jr
j+1
X
k=0
ck
!2
∞
X
≤C
2j(-−r)
2
j=0
∞
X
≤C
j+1
X
2−2k- c2k
=C
k=0
∞
X
2−2k- c2k
k=0
2−2k- c2k 22k(-−r) = C
k=0
j+1
X
j=(k−1)+
∞ ³
°n
´2
o∞ °2
X
°
°
2−kr ck = C ° 2−kr ck
°2
k=0 l
k=0
Revenons alors à la démonstration du théorème 4.1.1 .
°
°
Aj = 2−jr °Φj ∗ ηj ∗ u°L2
≤ kΦ ∗ ηkL1 2
−jr
j+1
X
ck
k=0
D’après le Lemme 4.1.1, on a
∞
X
j=0

Ã
!2 
j+1
∞
X
X
A2j ≤ kΦ ∗ ηk2L1 
ck 
2−jr
j=0
k=0
°n
o∞ °2
°
°
≤ C kΦ ∗ ηk2L1 ° 2−kr kϕk ∗ ukL2
°
k=0 l2
°n
o∞ °2
°
°
≤ C kΦ ∗ ηk2L1 ° 2−kr ϕk ∗ u
°
k=0 l2 (L2 )
¢
¡
En appliquant l’inégalité fondamentale: (a + b)2 ≤ 2 a2 + b2 , il vient que
³

̰
!2 
´2
X
°
°
2−jr °ηj ∗ u°L2 ≤ 2 A2j +
ak bk+j 
k=1
d’où, en sommant sur j ∈ N0 , on trouve
∞ ³
X
° ´2
°
2−jr °ηj ∗ u°L2 ≤ 2 (S1 + S2 )
j=0
122
22j(-−r)
c’est-à-dire
°©
ª+∞ °
° −jr
°
° 2 η j ∗ u j=0 ° 2
l (L2 )
≤ C kηkBr,1 kukH−r
1
et la démonstration du théorème est achevée.
Pour démontrer le résultat inverse, on aura besoin de la notion suivante. On suppose que
η vérifie la condition Tauberian (Voir Y. Katznelson [Kat], chap.VIII.6), qui implique que b
η
vérifie une simple condition d’être non nul. Pour plus de renseignement, voir par-exemple le
livre de L. Hörmonder.
¡ ¢
η (ξ)| ≥ c > 0 sur B(0, 1). Posons
Théorème 4.1.2 On suppose que η ∈ L1 Rd et que |b
¡ ¢
η j (x) = 2jd η 2j x , pour j ≥ 0
Alors il existe une constante C telle que pour tout u ∈ S 0 , on a
°©
ª+∞ °
°
°
kukH−r ≤ C ° 2−jr ϕj ∗ u j=0 °
L2 (l2 )
Avant de nous attaquer à la démonstration, rappelons que le théorème Taubérien de Weiner
est consacré aux fonctions mesurables bornées ([Ru]). C’est un théorème dans lequel le comportement asymptotique d’une suite ou d’une fonction est déduit du comportement de certaines
de leur moyennes. Les convolutions K ∗ φ peuvent etre considérées comme les moyennes de φ
Z
au moins lorsque
Kdx = 1 . La réciproque de Wiener dit que si (K ∗ φ) (x) → 0 pour
¡
¢
b ne s’annule pas en aucun point de Rd , alors (K ∗ φ) (x) → 0 pour
un K ∈ L1 Rd et si K
¡ ¢
tout f ∈ L1 Rd . Comme dernière préparation à la démonstration du théorème 4.1.2, nous
commençerons par prouver le lemme suivant
Lemme 4.1.2 Si η 6= 0, positive semi-continue inférieurement, bornée ayant un support contenu dans une boule unité, alors |b
η (ξ)| ≥ c > 0 sur B(0, 1).
123
Preuve. La preuve du lemme est immédiate. En effet, on a
¯
¯ ¯
¯
¯ Z
¯ ¯ Z
¯
¯
¯ ¯
¯
¯
¯ ¯
¯
−ixξ
|b
η (ξ)| = ¯
η(x)e
dx¯ ≥ ¯
η(x) cos xξdx¯
¯
¯ ¯
¯
¯|x|≤1
¯ ¯|x|≤1
¯
Z
≥ cos 1
η(x)dx , pour tout |ξ| ≤ 1
|x|≤1
Nous sommes en mesure de démontrer le théorème 4.1.2. L’idée là est d’utiliser la condition
Tauberian (Voir Y. Katznelson [Kat], chap.VIII., Lemme.6.3, p.228).
Preuve. Par hypothèse,
|b
η (ξ)| ≥ c > 0 sur sup p (Φ)
¡ ¢
alors d’après le théorème de Weiner, η divise Φ au sens qu’il existe une fonction Ψ ∈ L1 Rd
tel que
b (ξ) b
b (ξ) , ξ ∈ sup pΦ
b
Ψ
η (ξ) = Φ
¡ ¢
¡ ¢
De façon analogue, il existe une fonction ψ ∈ L1 Rd et ψ j (x) = 2jd ψ 2j x pour j ∈ N sachant
que
et
D’où
b (ξ) b
ηj (ξ) = ϕ
b j (ξ) , ξ ∈ sup pb
ϕj
ψ
j
° °
°ψ j ° 1 = kψk 1 < ∞
L
L
Φ = η ∗ Ψ et kΦ ∗ ukL2 ≤ kΨkL1 kη ∗ ukL2
De façon semblable, on a
donc
°
°
°
°
°ϕj ∗ u° 2 ≤ kΨk 1 °η j ∗ u° 2
L
L
L
°
°
°
°
2−jr °ϕj ∗ u°L2 ≤ C.2−jr °η j ∗ u°L2
124
et par conséquent,
∞ ³
∞ ³
X
X
°
°
° ´2
° ´2
2−jr °ϕj ∗ u°L2 ≤ C.
2−jr °ηj ∗ u°L2
j=0
j=0
Finalement , il vient
°©
ª+∞ °
°
°
kukH−r ≤ C ° 2−jr ηj ∗ u j=0 ° 2
l (L2 )
Ce théoréme est démontré.
En utilisant les théorèmes (4.1.1) et (4.1.2), on peut montrer que toute fonction de H r ,
r > 0 admet une représentation sous la forme
F =
∞
X
j=0
Théorème 4.1.3 Soit 0 ≤ r <
d
2
2−jr ηj ∗ fj
© ª
et soit ηj j∈Z vérifie les conditions des théorèmes 1.4 et
+
1.5. Alors une fonction ou une distribution tempérée F ∈ H r si et seulement si il existe une
¡ ¢
suite de fonctions f = {fj }j∈Z+ ∈ l2 L2 sachant que F peut se représenter sous la forme
F =
∞
X
j=0
2−jr ηj ∗ fj
Plus précisement, il existe une constante C telle que
°
°
1
°
°
kF kH r ≤ °{fj }+∞
j=0 °l2 (L2 ) ≤ C kF kH r
C
Preuve. D’abord, on suppose qu’on peut représenter F sous la forme
F =
∞
X
j=0
¡ ¢
2−jr ηj ∗ fj où {fj }j∈Z+ ∈ l2 L2
125
Soit u ∈ H −r une fonction arbitraire. On a
¯ ¯
¯
¯
¯ ¯X
¯
¯
∞
∞
X
¯
¯
¯
¯
−jr
−jr
2 η j ∗ fj >¯¯ = ¯¯
2
< u, ηj ∗ fj >¯¯
|< u, F >| = ¯¯< u,
¯ ¯ j=0
¯
¯
j=0
¯
¯
¯ X
¯X
∞
¯
¯
¯
¯ ∞ −jr
¯< 2−jr η j ∗ u, fj >¯
¯
2
< ηj ∗ u, fj >¯¯ ≤
=¯
¯ j=0
¯ j=0
En utilisant l’inégalité de Hölder, nous obtenons
1 
1

2
2
∞
∞
X
X
° −jr
°2
2 
°
°



2 η j ∗ u L2
|< u, F >| ≤
kfj kL2
j=0
°©
ª∞ °
°
°
≤ ° 2−jr η j ∗ u 0 ° 2
l
Alors d’après le théorème 4.1.1, il vient
j=0
(L2 )
°
°
°{fj }∞ ° 2 2
0 l (L )
|< u, F >| ≤ C kηkB r,1 kukH−r kfkl2 (L2 )
1
d’où
kF kH r =
sup
kukH−r ≤1
|< u, F >| ≤ C kfkl2 (L2 )
∗
Donc, on vient de démontrer que F ∈ (H −r ) = H r .
Inversement, il s’agit de démontrer que par définition F ∈ H r signifie que
F = Φ∗F +
∞
X
j=1
ϕj ∗ F
dans S 0 pour tout j. D’après le théorème de Weiner, il existe des fonctions Ψ et ψj , j ≥ 0 dans
¡ ¢
L1 Rd tel que
et
b η ≡ 1, ξ ∈ sup pΦ
b
Ψb
° °
bj b
ηj = 1, ξ ∈ sup pb
ϕj et °ψ j °L1 = kψkL1 < ∞
ψ
126
On définit une suite {fj }j∈Z+ par
bΦ
b Fb et fbj = 2jr Ψ
b jϕ
b j Fb, j ≥ 1
fb0 = Ψ
Alors
F = Φ∗F +
∞
X
j=1
ϕj ∗ F
C’est-à-dire
b Fb +
Fb = Φ
=b
ηfb0 +
∞
X
j=1
∞
X
j=1
b ηΦ
b Fb +
Fbϕ
b j = Ψb
2−jr b
η j fbj =
et donc
F =
∞
X
j=0
∞
X
j=0
∞
X
j=1
bj b
bj
ηj Fb ϕ
ψ
2−jr b
ηj fbj
2−jr ηj ∗ fj
Plus précisement,
kf0 kL2 = kΨ ∗ Φ ∗ F kL2 ≤ kΨkL1 kΦ ∗ F kL2
De plus,
ce qui implique
kf0 k2L2 +
°
°
°
° ° °
kfj kL2 = °2jr ψ j ∗ ϕj ∗ F °L2 ≤ 2jr °ψj °L1 °ϕj ∗ F °L2
°
°
≤ C2jr °ϕj ∗ F °L2
∞
X
j=1
kfj k2L2 =
∞
X
j=0

kfj k2L2 ≤ C kΦ ∗ F k2L2
¡ ¢
qui montre que f = {fj }j∈Z+ ∈ l2 L2 et
°
°
°
+∞ °
°{fj }j=0 ° 2
l (L2 )
127

∞ ³
´
X
2
°
°
2jr °ϕj ∗ F °L2 
+
≤ C kF kH r
j=1
4.2
Décomposition atomique
Dans ce numéro, nous donnons deux résultats sur la décomposition atomique ([FJ1, FJ2, FJW]).
Comme on a vu dans la définition (4.1.1), les éléments de l’espace de Sobolev H r peuvent s’écrire
sous la forme
F = Φ∗F +
∞
X
j=1
ϕj ∗ F
où les fonctions Φ , Φj et ϕj vérifient les conditions (4.1.1)-(4.1.5). On pose
xjk = 2−j k , pour j ∈ N et k ∈ Zd
(4.2.1)
et on définit les cubes dyadiques en posant que
x ∈ Qjk si x = xjk + 2−j y , où 0 ≤ yi < 1 pour 1 ≤ i ≤ d
(4.2.2)
χjk est la fonction caratéristique du cube Qjk . Pour tout cube Q, on désigne son côté par l(Q)
∼
et pour λ ≥ 0, on désigne par λQ le cube concentrique à Q de côté λl(Q). On écrit aussi Qjk au
∼
∼
lieu de 3Qjk et on désigne la fonction caractéristique de Qjk par χjk .
¡ ¢
Définition 4.2.1 Soit S un entier positif. Une fonction ajk dans C S Rd est dite un C S -
atome pour un cube Qjk si elle vérifie les conditions suivantes:
∼
sup pajk ⊂ Qjk
(4.2.3)
sup2−j|γ| |Dγ ajk (x)| ≤ 1 pour tout |γ| ≤ S
(4.2.4)
x
On aura besoin du résultat suivant
¡ ¢
Lemme 4.2.1 Soit η ∈ L1 Rd où
|η(x)| ≤ (1 + |x|)−(d+1) presque pour tout x
128
Alors pour toute fonction u intégrable et tout x, on a
|η ∗ u| ≤ CMu(x)
Preuve. On suppose sans perdre de généralité que u et η sont tous deux positives et que
x = 0. Alors, on part du découpage
η ∗ u(0) =
Z
Z
η(−y)u(y)dy =
Rd
Pour |y| ≤ 1, on a
η(−y)u(y)dy +
|y|≤1
Z
η(−y)u(y)dy
|y|≥1
|η(−y)| = |η(y)| ≤ (1 + |y|)−(d+1) ≤ 1
D’où
Z
η(−y)u(y)dy ≤
|y|≤1
Z
u(y)dy ≤ M u(0)
|y|≤1
D’autre part, pour |y| ≥ 1, on a
Z
η(−y)u(y)dy =
|y|≥1
≤
Z
∞
X
j=0 j
2 ≤|y|≤2j+1
∞
X
−j(d+1)
η(−y)u(y)dy ≤
2
j=0
Z
∞
X
Z
(1 + |y|)(d+1)
j=0 j
2 ≤|y|≤2j+1
∞
X
u(y)dy ≤ C.M u(0)
2j ≤|y|≤2j+1
u(y)
dy
2−j = C.Mu(0)
j=0
et achève la démonstration du lemme.
Voici le premier de ces deux résultats.
Théorème 4.2.1 Soient F ∈ H r et S un entier positif. Alors il existe des C S -atomes {ajk }
pour les cubes {Qjk } et des constantes {djk } tels que
F =
∞
X
2−jr uj avec uj (x) =
j=1
X
k∈Zd
et notons par
dj (x) =
X
djk χjk (x)
k∈Zd
129
djk ajk (x)
(4.2.5)
Alors il existe une constante C indépendante de F telle que si F ∈ H r , on a
°
°
°{dj }∞ ° 2 2
0 l (L )

 1 °
1 °

°
°
2
2
∞
° X
°
X X
°
°
2
2

=
2−jd |djk |  = °
|djk |  °
°
°
j=0 k∈Zd
° x∈Qjk
°
≤ C kF kH r
(4.2.6)
L2
Preuve. Le point de départ est d’écrire l’égalité (4.2.5) sous la forme
F =
∞
X
2−jr uj
j=0
On prend une fonction η ∈
Z
¡ ¢
ηdx = 1, η j (x) = 2jd η 2j x et on définit la fonction
X
∼
⊂ Qjk et
ηjk = 1. On pose
C0∞ (Q00 ),
ηjk = ηj ∗ χjk sachant que suppηjk
k∈Zd
bjk = ηjk uj , djk =
max
∼
x∈Qjk ,|γ|≤S
2−j|γ| |Dγ bjk (x)|
et
bjk (x)
djk
ajk (x) =
Il est évident que {ajk } sont des C S -atomes et
X
X
bjk =
k∈Zd
η jk uj = uj
k∈Zd
D’où
2−jr
X
η jk = uj
k∈Zd
X
bjk = 2−jr uj
k∈Zd
et
∞
X
2−jr
j=0
X
∞
X
j=0
∞
X
2−jr uj = u
j=0
k∈Zd
Par conséquent,
F =
bjk =

2−jr 
X
k∈Zd
130

djk ajk 
On remarque que
b j+1 (ξ ) = 1 sur le sup pb
Φ
uj
tel que
uj = Φj+1 ∗ uj
∼
Alors pour x ∈ Qjk et |γ| ≤ S, on a
Dγ uj (x) = Dγ (Φj+1 ∗ uj ) (x) = (Dγ Φj+1 ∗ uj ) (x)
Donc,
γ
|D uj (x)| ≤
Z
Rd
=
Z
Rd
|Dγ Φj+1 (x − y)| × |uj (y)| dy
¯
³
´¯
¯
¯
2(j+1)d ¯Dγ Φ 2(j+1) (x − y) ¯ × |uj (y)| dy
(j+1)d
=2
(j+1)|γ|
×2
Z ¯
³
´¯
¯ γ
¯
¯D Φ 2(j+1) (x − y) ¯ × |uj (y)| dy
Rd
(j+1)(d+|γ|)
=2
Z
Rd
×
|uj (y)|
´¯
¡
¢d+1 ¯¯ γ ³ (j+1)
¯
j+1
1+2
|x − y|
(x − y) ¯
¯D Φ 2
(j+1)(d+|γ|)
(1 + 2j+1 |x − y|)
d+1
dy ≤ C2
Z
Rd
|uj (y)|
(1 + 2j+1 |x − y|)d+1
Or,
¢
¡
1 + 2j+1 |x − y| ≥ 2j+1 |x − y|
D’où
Z
Rd
|uj (y)|
(1 + 2j
|y − x|)
d+1
−(j+1)(d+1)
dy ≤ 2
Z
|uj (y)|
dy
|y − x|d+1
Rd
Z
|uj (y)|
dy
= 2−j(d+1) × 2−(d+1)
|y − x|d+1
Rd
131
dy
D’après le lemme 4.2.1, on a
Z
Rd
|uj (y)|
(1 + 2j
d+1
|y − x|)
dy ≤ C2−j(d+1) |(uj ∗ η) (x)| ≤ C2−j(d+1) Muj (x)
d’où
|Dγ uj (x)| ≤ C2j|γ| inf Muj (x)
y∈Qjk
En appliquant le formule de Leibniz sur η jk uj , on trouve
djk =
max
∼
x∈Qjk ,|γ|≤S
2−j|γ| |Dγ bjk (x)| ≤ C
max
∼
x∈Qjk ,|γ|≤S
2−j|γ| |Dγ uj (x)|
≤ CM uj (x), pour tout x ∈ Qjk
et par conséquent
dj (x) =
X
k∈Zd
djk χjk (x) ≤ CMuj (x)
Enfin, en appliquant le théorème maximal de Hardy-Littlewood, on obtient
¯
¯2
¯
∞ Z ¯X
X
¯
¯
2
¯
¯ dx
|dj (x)| dx ≈
d
χ
(x)
jk
jk
¯
¯
¯
¯
j=0 d
j=0 d k∈Zd
R
R
¯
¯2
¯
∞ Z ¯X
X
¯
¯
¡
¢
¯
djk (x)¯¯ dx, l (Qjk ) = 2−j
≈
¯
¯k∈Zd
¯
j=0Q
jk
¯
¯2
¯
∞ Z ¯X
∞ X
X
X
¯
¯
¯
¯
≈
djk ¯ dx ≈
2−jd |djk |2
¯
¯k∈Zd
¯
j=0
j=0 k∈Zd
∞
X
°
°
°{dj }∞ ° 2 2 =
0 l (L )
Z
Qjk
Or
F =
∞
X
−jr
2
uj =
j=0
∞
X
j=0
donc
uj = 2jr ϕj ∗ F
132
ϕj ∗ F
d’où
∞
∞
∞
X
X
X
°
°
2
2
°{dj }∞ ° 2 2 =
kd
k
≤
C
kMu
k
≤
C
kuj k2L2
j L2
j L2
0 l (L )
j=0
∞
X
=C
j=0
j=0
j=0
°
° jr
°2 ϕj ∗ F °2 2
L
°©
ª∞ °
°
°
= C ° 2jr ϕj ∗ F 0 ° 2
l (L2 )
Le théorème inverse est de démonstration plus délicate. La démonstration repose sur deux
Lemmes techniques.
© ª
Lemme 4.2.2 Soient Φ et ϕj j≥0 vérifiant les conditions (4.1.1)-(4.1.3). Soit amk un C S -
atome pour le cube Qmk . Alors les propriétés suivantes sont vérifiées.
|Φ ∗ amk (x)| ≤
¯
¯
¯ϕj ∗ amk (x)¯ ≤
¯
¯
¯ϕj ∗ amk (x)¯ ≤
C2−md
(1 + |x − xmk |)d+1
C2−(m−j)d
(1 + 2j |x − xmk |)d+1
C2−(j−m)S
(1 + 2m |x − xmk |)d+1
, pour m ≥ 0
(4.2.7)
, pour 0 ≤ j ≤ m
(4.2.8)
, pour 0 ≤ m ≤ j
(4.2.9)
Preuve. Premièrement, on montre (4.2.7). On peut supposer que k = 0. Alors, on en
déduit
Z
|Φ ∗ am0 (x)| ≤
|Φ (x − y)| am0 (y)dy +
|y|≤ |x|
2
≤ max |Φ (y)|
|y|≥ |x|
2
≤C
Z
|Φ (x − y)| am0 (y)dy
|y|> |x|
2
|am0 (y)| dy + max |Φ (y)|
y
Rd
2−md
Z
Z
|y|>
|am0 (y)| dy
|x|
2
∼
d+1
(1 + |x|)
puisque Φ ∈ S et am0 = 0 à l’extérieur deQm0 .
133
Pour montrer (4.2.8), on remarque que
Z
¯
¯
¯ϕj ∗ amk (x)¯ = 2jd ϕ0 (2m (x − y)) amk (y)dy
=
Z
Rd
ϕ0 (2m x − z) amk (2−j z)dz
Rd
Il est facile à estimer ϕ0 ∗ am−j,0 (2j x). D’après la première démonstration,
¯
¯
¯ϕ0 ∗ am−j,0 (2j x)¯ ≤ C
2−(m−j)d
(1 + 2j |x|)d+1
Pour montrer (4.2.9), on remarque d’abord que
Z
¯
¯
¯ϕj ∗ amk (x)¯ = ϕj−m (2m x − y) amk (2−m y)dy
Rd
¯
¯
et il reste à estimer ¯ϕj−m ∗ a00 (2m x)¯. En utilisant le fait que le nombre de moments de ϕj de
tout ordres sont nuls, on trouve
ϕj ∗ a00 (x) =
Z
ϕj (y) a00 (x − y)dy =
Rd
Z
ϕj (y) R(x, y)dy
Rd
où
R(x, y) = a00 (x − y) −
X
|β|≤S−1
(−y)β β
D a00 (x)
β!
e 00 ni (x − y) ∈
e00
R(x, y) = 0 si ni x ∈
/Q
/Q
et
|R(x, y)| ≤ A |y|S max
z
¯
X ¯¯
¯
S
¯Dβ a00 (z)¯ ≤ A |y|
|β|=S
pour tout x et y. D’après l’hypothèse sur ϕ0 ∈ S, il vient que
Z
|y|≤ x2
¯
¯
¯ϕj (y) R(x, y)¯ dy ≤ A
Z
Rd
Z
¯
¯
¯ϕj (y)¯ |y|S dy = A2−jS |ϕ0 (y)| |y|S dy < ∞
Rd
134
De plus,
Z
|y|≥ x2
¯
¯
¯ϕj (y) R(x, y)¯ dy ≤ A2−jS
Z
|ϕ0 (y)| |y|S dy ≤
|y|≥2d−1 |x|
A2−jS
(1 + 2j |x|)d+1
pour tout ϕ0 ∈ S. En regroupant les estimations, on trouve
ce qui achève la démonstration.
Lemme 4.2.3 Soient dj (x) =
¯
¯
¯ϕj ∗ a00 (x)¯ ≤
X
k∈Zd
Alors
X
A2−jS
(1 + 2j |x|)d+1
djk χjk (x) où j ≥ 0 et djk ≥ 0. Soit α un entier positif.
djk
(1 + 2j−α |x − xjk |)d+1
k∈Zd
≤ C2αd Mdj (x)
Preuve. On peut supposer que x ∈ Qj0 . Posons
n
o
B0 = k ∈ Zd : |k| ≤ 2α
et
o
n
Bm = k ∈ Zd : 2α+m−1 ≤ |k| ≤ 2α+m , pour m ≥ 1
Alors
X
k∈Bm
djk
(1 + 2j−α |x − xjk |)d+1
≤ C2−m(d+1)
X
djk
k∈Bm
= C2−m(d+1) 2jd
Z X
Rd
k∈Bm
djk χjk (y)dy ≤ C2−m 2αd Mdj (x)
D’où
X
k∈Zd
djk
(1 + 2j−α |x − xjk |)d+1
=
∞
X
m=0
≤
∞
X
m=0


X
k∈Bm
djk
(1 + 2j−α |x − xjk |)d+1


C2−m 2αd Mdj (x) ≤ C2αd Mdj (x)
135
Il reste donc à prouver le théorème inverse
Théorème 4.2.2 Soit S > r un entier. Soient {ajk } une suite de C S -atomes pour des cubes
{Qjk } et des constantes {djk } telles que
°
°
°{dj }∞ ° 2 2
0 l (L )


 1 °
1 °
°
2
2°
∞
°
°
X
X X
°
°

=
2−jd |djk |2  = °
|djk |2  °
°
°
j=0 k∈Zd
°
° x∈Qjk
<∞
L2
Alors la fonction F définie par
F (x) =
∞
X
2−jr
j=1
appartienne à H r et avec dj (x) =
X
X
djk ajk (x)
k∈Zd
djk χjk (x)
k∈Zd
°
°
°
kF kH r ≤ C °{djk }∞
0 l2 (L2 )
(4.2.10)
La preuve du théorème maintenant est très simple.
Preuve. Soit
F (x) =
∞
X
j=1
2−jr
X
djk ajk (x)
k∈Zd
Par suite, on a d’après le lemme 4.2.3 et l’inégalité (4.2.7)
|Φ ∗ F (x)| ≤ C
∞
X
m=0
2−mα
X
k∈Zd
2−md dmk
d+1
(1 + |x − xmk |)
136
≤C
∞
X
m=0
2−mα Mdm (x)
De manière analogue, pour j ≥ 1, on a d’après (4.2.9) et le lemme 4.2.3 avec α = 0 pour m ≤ j,
et d’après (4.2.8) et le lemme 4.2.3 avec α = m − j pour m > j,
j
X
X
¯
¯
2jr ¯ϕj ∗ F (x)¯ ≤ C
2(j−m)r
+C
m=0
∞
X
k∈Zd
2(j−m)r
m=j+1
≤C
j
X
2−(j−m)S dmk
(1 + 2m |x − xmk |)d+1
X
k∈Zd
+
2−(m−j)d dmk
(1 + 2j |x − xmk |)d+1
∞
X
2−(j−m)(S−r)r Mdm (x) + C
m=0
2(j−m)r Mdm (x)
m=j+1
On déduit de l’inégalité maximal de Hardy-Littlewood


j
∞
X
X
°
°
2−(j−m)(S−r)r kMdm kL2 + C
2(j−m)r kMdm kL2 
2jr °ϕj ∗ F °L2 ≤ C 
m=0

≤C
j
X
m=0
=C
∞
X
m=0
m=j+1
2−(j−m)(S−r)r kdm kL2 + C
∞
X
m=j+1
2(j−m)r kdm kL2 
c(j−m) kdm kL2
et de manière similaire, on a
kΦ ∗ F kL2 ≤ C
∞
X
m=0
2−mr kdm kL2 = C
∞
X
m=0
c−m kdm kL2
Comme par hypothèse S > r > 0, ceci implique l’inégalité
∞
X
j=−∞
|cj | < ∞
On déduit de l’inégalité de Minkowski (kc ∗ dkl2 ≤ kckl1 kdkl2 ) que
kΦ ∗ F k2L2 +
∞
X
j=1
∞
X
°
°2
4jr °ϕj ∗ F °L2 ≤ C
kdm k2L2
m=0
ce qui achève la démonstration du théorème.
137

4.3
Inégalité Capacitaire.
Il existe une approche entièrement différente de l’inégalité capacitaire basée sur certains idées
exposées dans ce chapitre. Nous allons vérifier que la théorie de Littlewod-Paley donne ici des
résultats beaucoup plus précis et fournit les énoncés les meilleurs possibles. Dans ([Maz], [A1]),
Maz’ya et Adams emploient une approche très différentes. Cette approche fournit un avantage
qu’elle peut prolonger cette étude au espace de Lizorkin-Triebel Fqr,p ou espace de Besov Bqr,p ,
p, q > 0. Le but de ce paragraphe est de démontrer le résultat suivant
Théorème 4.3.1 Soit s > 0. Il existe une constante C telle que pour tout u ∈ H s , on a
+∞
X
4j cap
j=−∞
¡©
ª
¢
x : |u(x)| > 2j ; H s ≤ C kukH s
(4.3.1)
Il vient du théorème 4.2.1 et de la proposition (proposition 4.7.2, [AH]) qu’il suffit de
démontrer l’assertion suivante :
Lemme 4.3.1 Soit g une fonction définie par
g=
+∞
X
gm avec gm (x) =
m=0
X
αmk χmk (x)
k∈Zd
où αmk ≥ 0. Alors il existe des fonctions
ωj =
+∞
X
m=0
avec
ω jm =
X
k∈Zd
ω jm , j ∈ Z
β jmk χmk (x), β jmk ≥ 0
vérifiant les propriétés suivantes :
ª ©
ª
©
x : ω j (x) ≥ 2j ⊃ x : g(x) ≥ 2j+2
138
(4.3.2)
et
°Ã
! 12 °
°
°2
°2
+∞ ° X
+∞
X
°
°
°
°
2
ms
ms
°
°
°
(2 ω jm )
sup (2 gm )°
°
°
° ≤ C °m≥0
° 2
L2
j=−∞ ° m=0
(4.3.3)
L
Preuve. Pour la preuve du lemme, on choisit un nombre assez petit ε < 1 tel que 0 < 2ε < s.
On pose
+∞
X
h=
hm avec hm (x) =
m=0
X
dmk χmk (x)
k∈Zd
où
dmk =
+∞
X
n=m
2(n−m)2ε+md kgn χmk kL1
(4.3.4)
Remarquons que gm ≤ hm et
2ms hm ≤
+∞
X
n=m
2(n−m)2ε+md Mgn ≤ C0 sup (2ns Mgn )
n≥m
Par suite, du théorème de Hardy-Littlewood sur L2 , il vient
°
°
°
°
° sup (2ms hm )°
°
°m≥0
L2
°
°
°
°
ms
°
≤ C1 ° sup (2 gm )°
°
m≥0
(4.3.5)
L2
On désigne par Γ un sous-ensemble de N × Zd constitué de points (n, k) tel que pour tout cube
Qm,k0 sachant que Qm,k0 ⊃ Qn,k , on a l’inégalité
dnk > aε 2(m−n)ε dmk0
(4.3.6)
où
aε =
¢−1 1 ε
1 ¡ −ε
2 + 2−2ε + 2−3ε + ....
= (2 − 1) < 1
2
2
Il est facile de remarquer que pour tout (n, k) ∈
/ Γ, il existe un couple (m, k0 ) ∈ Γ tel que
Qm,k0 ⊃ Qn,k . On définit ainsi
Em =
tmk
∪
{k:(m,k)∈Γ}
Qm,k

 dmk si (m, k) ∈ Γ
=
 0 si (m, k) ∈
/Γ
139
(4.3.7)
et posons
v=
∞
X
vm , vm =
m=0
X
tmk χmk
k∈Zd
Il en résulte de l’inégalité suivante
∞
X
m=0
(hm (x) − vm (x)) =
≤
X
dmk χmk (x)
(m,k)∈Γ
/
∞
X
l=0
∞
¡ −ε
¢ 1X
−2ε
−3ε
aε hl (x) 2 + 2
+2
+ .... =
hl (x)
2
l=0
que
1
v(x) ≥ h(x)
2
(4.3.8)
De plus, la définition de la fonction hm (4.3.4) et de l’hypothèse faite sur hm ≥ vm , entraîne
l’inégalité
khm χmk0 kL1 ≥ 4(n−m)ε khn χmk0 kL1 ≥ 4(n−m)ε kvn χmk0 kL1 , pour n > m
Par conséquent, en appliquant l’estimation (4.3.6), il vient alors
vn χmk0 ≥ aε 2(m−n)ε+md khm χmk0 kL1 χEn χmk0
et
On pose ω j =
+∞
X
m=0
¯
¯
−(m−n)ε−md
¯En ∩ Qm,k0 ¯ ≤ a−1
ε 2
(4.3.9)
ω jm , j ∈ Z où
ω jm (x) =
Ã
(
min 2j+1 ,
m
X
l=0
vl (x)
)
(
− max 2j ,
Pour cela, on remarque que
ω j (x) = 2j si v(x) ≥ 2j+1
140
m−1
X
l=0
)!
vl (x)
+
Alors d’après (4.3.8) ainsi (4.3.2), il vient v(x) ≥ 12 h(x). Ensuite, on fixe m ∈ Z
vm =
+∞
X
ω jm
j=−∞
et donc
kvm k2L2
°
2
°2
°
1 °
° +∞
2°
°
° X
+∞
+∞
°
°
X
X
°
°
2  °
° ≥°

=°
ω
ω
=
kω jm k2L2
°
°
jm
jm
°
°
°
°
° 2 ° j=−∞
°j=−∞
° 2 j=−∞
L
(4.3.10)
L
En utilisant (4.3.8), tel que supp(ω jm ) ⊂ supp(vm ) = Em et du le lemme 4.3.2 donnée au
dessous, on obtient les inégalités
°
°2
+∞
X
°
°
° sup (2ms vm )° ≥ C2
(2ms kvm kL2 )2
°m≥0
°
L2
(4.3.11)
m=0
°Ã
! 12 °
° X
°2
+∞ °
°2
X
° +∞ ms
°
° ms
2
2°
°
°
(2
(2
ω
)
≤
C
ω
)
°
jm
3
jm ° 2
°
°
L
° m=0
° 2
m=0
(4.3.12)
L
Revenons alors à la preuve du théorème 4.3.1. Soit u ∈ H s . En appliquant le théorème
4.2.1, u peut s’écrire sous la forme
u=
+∞
X
m=0
um , où um ∈ C ∞
¡ ¢
2 2
et {2ms um }∞
0 ∈ L l . Plus précisement, il existe des fonctions
g=
+∞
X
gm avec gm (x) =
m=0
tel que |um | ≤ gm et
X
αmk χmk (x)
k∈Zd
k{2ms gm }∞
0 kL2 (l2 ) ≤ C kukH s
141
Donc, il suffit de prouver que
+∞
X
4j cap
j=−∞
¡©
ª
¢
2
x : g(x) ≥ 2j ; H s ≤ C k{2ms gm }∞
0 kL2 (l2 )
(4.3.13)
Avant de démontrer ce résultat, on peut remplacé la condition du théorème par la condition
suivante d’apparence plus faible, qui est plus facile à vérifier. En conservant les notations
précédentes, nous nous proposons de démontrer le résultat suivant :
Proposition 4.3.1 Il existe des fonctions ω j vérifiant (4.3.2) telles que
+∞
X
j=−∞
à +∞
X
ms
k2
m=0
ω jm k2L2
!
≤C
+∞
X
m=0
k2ms gm k2L2
(4.3.14)
Ceci impliquera l’inégalité
+∞
X
4j cap
j=−∞
ª
¢
¡©
x : |u(x)| > 2j ; H s ≤ C kukH s
Preuve. En effet, pour démontrer (4.3.13), on pose ω j =
+∞
X
m=0
ω jm (x) =
Ã
(
j+1
min 2
,
h=0
Il vient facilement que
ωj (x) =
De plus, gm =
+∞
X
j=−∞
ω jm et donc g =
m
X


gh (x)
)
(
j
− max 2 ,
ω jm , j ∈ Z où
m−1
X
gh (x)
h=0
0 si g(x) ≤ 2j
 2j si g(x) ≥ 2j+1
+∞
X
ωj . Ainsi, si
m=0
ω tm (x) 6= 0 , ω zm (x) 6= 0 pour t < j < z,
142
)!
+
alors ω jm(x) = 2j . Il découle qu’il existe une constante C telle que
+∞
X
¡
¢2
ω jm(x) ≤ C (gm (x))2
j=−∞
qui donne (4.3.14).
Nous aurons donc terminé la démonstration du théorème lorsque nous aurons montré le
lemme suivant
Lemme 4.3.2 Soit Γ ⊂ N × Zd et on suppose que l’inégalité (4.3.9) est vraie, où les ensembles
Em sont définis par (4.3.7). Alors pour toute suite de fonctions {bm }∞
m=0 où
bm (x) =
X
{k:(m,k)∈Γ}
/
β mk χmk (x) , β mk ≥ 0
vérifie les inégalités
°Ã
! 12 °
° X
°2
°
°2
+∞
+∞
X
°
°
°
°
2
2
°
°
°
bm ° ≤
kbm kL2 ≤ C2 ° sup (bm )°
C1 °
°
m≥0
° m=0
° 2 m=0
L2
L
¡
¢
Preuve. Soit donc S ∈ N un nombre assez grand pour que aε 2Sε − 1 ≥ 2, ou comme
au dessus 0 < 2ε < s et aε =
prouve l’inégalité
1
2
∞
(2ε − 1). On considère la suite {bSm }∞
m=0 ⊂ {bm }m=0 , et on
°Ã
! 12 °
° X
°
+∞
°
°
2
°
bSm °
°
°
° m=0
°
L2
°
°
°
°
°
≤ C ° sup (bSm )°
°
m≥0
(4.3.15)
L2
On désigne par ESm,k un ensemble de points (Sm, k) ∈ Γ définit par
¡
¢
ESm,k = QSm,k \ ∪∞
n=m+1 ESm
il vient de (4.3.9) et du choix de S que
|ESm,k | ≥ |QSm,k | −
−Smd
=2
+∞
X
n=m+1
−Smd
|QSm,k − ESm | ≥ 2
³
¢−1 ´
¡ Sε
2 −1
1 − a−1
≥ 2−Smd−1
ε
143
Ã
1 − a−1
ε
+∞
X
n=m+1
2
−(n−m)Sε
!
(4.3.16)
On définit des fonctions dSm par
X
dSm =
β Smk χ(ESm,k )
{k:(Sm,k)∈Γ}
/
Alors l’inégalité (4.3.15) est une conséquence du théorème de Stein-Fefferman :
°Ã
! 12 °
° X
°
+∞
°
°
2
°
°
(MdSm )
°
°
° m=0
°
L2
et des relations
à +∞
X
m=0
°Ã
! 12 °
°
° X
+∞
°
°
2
°
°
≤C°
(dSm )
°
°
° m=0
L2
bSm ≤ CMdSm
! 12
(dSm )2
≤ sup (dSm ) ≤ sup (bSm )
m≥0
m≥0
La première découle de (4.3.16) et la seconde du faite que les ensembles ESm,k , (Sm, k) ∈ Γ
sont disjoints. De façon analogue, on montre l’inégalité
°Ã
! 12 °
°
° X
+∞
°
°
2
°
°
(bSm+λ )
°
°
°
° m=0
L2
°
°
°
°
°
≤ C ° sup (bSm+λ )°
°
m≥0
L2
pour λ = 1, 2, ..., S − 1. Les inégalités désirées découlent de ce dernier et de (4.3.15).
144
Chapitre 5
L’espace BMO−r et ses applications
5.1
L’espace BMO
Pour un exposé complet sur l’espace BMO et ses propriétés, nous renvoyons au livre de E.
Stein [St2]. Nous rappelons quand-même les quelques notions qui nous servirons par la suite.
L’espace BMO est le dual de l’espace de Hardy H1 et est défini de la façon suivante:
¡ ¢
Définition 5.1.1 Une fonction g ∈ L1loc Rd appartient à BMO s’il existe A > 0 telle que:
1
sup
|B|
B
Z
|g(y) − a| dy ≤ A < ∞
y∈B(x,R)
où B = B(x, R) est une boule de Rd et
1
a=
|B(x, R)|
Z
g(y)dy
y∈B(x,R)
Si on note kgkBM O = inf A, il s’ensuit que pour toute constante C ∈ R, on a kCkBMO = 0.
Il est évident que L∞ ⊂ BM O et kgkBM O ≤ 2 kgkL∞ , mais les deux espaces ne se coïncident
pas car la fonction g(x) = log |x| qui appartient à BMO en est un exemple. Nous ne rentrons
pas dans les détails de cet espace, mais en donnons une caractérisation à l’aide des mesures de
Carleson obtenu par C. Fefferman et E. Stein [FS]. Pour une définition complète d’une mesure
de Carleson voir [St2].
145
Théorème 5.1.1 (Fefferman-Stein) On a l’égalité suivante


!1
Ã
Z R ¯
Z
2

¯

→ 2∆
1
¯ −
¯2 ds
BMO = f ∈ S 0 : sup sup
dy
<∞
¯s ∇es g(y)¯


s
x∈Rd R>0 |B(x, R)| |x−y|≤R s=0
¾
½
¯ −
¯2 ds
¯ → 2∆
¯
dy est une mesure de Carleson
= f ∈ S 0 : ¯s ∇es g(y)¯
s
On remarque qu’il est équivalent d’effectuer le changement de variable s =
sup sup
x∈Rd R>0
Ã
1
|B(x, R)|
Z
|x−y|≤R
Z
R2
t=0
¯√ −
¯2 dt
¯ → t∆
¯
dy
¯ t ∇e g(y)¯
t
!1
√
t et d’écrire
2
<∞
où on a retrouvé le scaling habituel du noyau de la chaleur et∆ .
5.2
5.2.1
L’espace BMO−r
Définition et Propriétés
Dans toute cette section, r désigne un nombre réel positif, et∆ désigne l’opérateur de convolution
avec le noyau
Wθ (x) = θ
− d2
W
µ
x
√
θ
¶
où
W (x) = (4π)
−d
2
e−
|x|2
4
et ∇α désigne l’opérateur de convolution avec F −1 (|ς|α ). On peut aussi introduire l’espace de
distributions qui sont des dérivées des fonctions de BM O. Il se caractérise de la façon suivante.
¡ ¢
Définition 5.2.1 f ∈ S 0 Rd appartient à BMO−r si
− d2
sup sup t
t>0 xx ∈Rd
Zt
Z
√
0 B(x0 , t)
¯
¯
sr−1 ¯es∆ f(x)¯ 2 dsdx < ∞
146
On définit la norme sur BMO−r par :
kfkBM O−r

d

= sup sup t− 2
t>0 xx ∈Rd
Zt
1
2
Z
s
√
0 B(x0 , t)
¯
r−1 ¯ s∆
e
¯

f(x)¯ 2 dsdx
Il est aussi possible de définir les versions non homogènes des espaces BMO et BMO−r de
la façon suivante:
Définition 5.2.2
Ã
°
°
= °e∆ g°L∞ + sup
1
sup
kgkbmo
x∈Rd 0<R≤10 |B(x, R)|
³ ´
n
o
bmo = f ∈ S 0 Rd : kgkbmo < +∞
kgkbmo−r
°
°
= °e∆ g °L∞ + sup
sup
x∈Rd 0<R≤10
Ã
Z
1
|B(x, R)|
|x−y|≤R
Z
Z
|x−y|≤R
R2
t=0
Z
¯2 dt
¯√ −
¯
¯ → t∆
dy
¯ t ∇e g(y)¯
t
R2
t=0
!1
¯√ −
¯2 dt
¯ → t∆
¯
dy
¯ t ∇e g(y)¯
t
2
!1
2
A la différence de l’espace BMO, pour lequel il faut considérer les classes d’équivalence
modulo les constantes, BMO−r est un espace de Banach de distributions et il est intéressant
de remarquer que:
kλg(λx)kBM O−r = kgkBM O−r , λ > 0
Nous aurons besoin de la proposition suivante qui présente par ailleurs un intérêt intrinsèque.
Proposition 5.2.1 Pour tout r > 0, il existe une constante C > 0 telle que pour tout f ∈
¡ ¢
S 0 Rd , ∀t > 0

° t∆ °
d
°e f ° ≤ Cr 
 sup t− 2
∞
t 2 xx ∈Rd
. −r,∞
En particulier, BMO−r ⊂ B ∞
Zt
Z
√
0 B(x0 , t)
−r,∞
, bmo−r ⊂ B∞
147
1
2
¯
¯

sr−1 ¯es∆ f (x)¯ 2 dsdx
Preuve. Nous remarquons d’abord que
et∆ f = e(t−s)∆ es∆ f.
Donc
t
et∆ f =
4
t
Z2
e(t−s)∆ es∆ fds
t
4
D’après l’inégalité de Cauchy-Schwartz, il vient
¯ µZ
¶1
¯ ¯¯Z
¯
2
¯
¯ ¯
¯ θ∆
2
¯
Wθ (x − x0 ) |f(x)| dx
∀θ > 0 , ¯e f (x0 )¯ = ¯ Wθ (x − x0 )f(x)dx¯ ≤
et en utilisant à nouveau l’inégalité de Cauchy-Schwartz, on obtient :
t
¯
¯ 4 Z2 ¯
¯
¯ θ∆
¯ (t−s)∆ s∆
¯
¯
e f(x0 )¯ ds
¯e f(x0 )¯ ≤
¯e
t
t
4

4
≤
t

C
≤ r
t
Pour
t
4
<s<
t
2
, k ∈ Zd et
x−x
√ 0
t
t
4
Rd
t
2
¯
¯

Wt−s (x − x0 ) ¯es∆ f(x)¯ 2 dxds
Z Z
t
4
Rd
 12
¯
¯

Wt−s (x − x0 )sr−1 ¯es∆ f(x)¯ 2 dxds
∈ k + [0, 1]d , on a :
Wt−s (x − x0 ) ≤
et comme
 12
t
Z2 Z
X
k∈Zd
C
t
d
2
×
1
1 + |k|d+1
1
1 + |k|d+1
<∞
on en déduit le résultat annoncé.
Proposition 5.2.2 (BMO−r comme dérivées fractionnaires de BMO) Une distribution
148
f est dans BMO−r si et seulement si il existe g ∈ BMO telle que f = Λr g .
Preuve. Si f = Λr g avec g ∈ BM O, alors on a pour tout s > 0
¯
¯ s∆ r ¯ 2 ¯¯
¯
√
¯
¯
s e Λ g = ¯K s ∗ g¯ 2
r
avec K√s (x) = s
|K(x)| ≤
− d2 K
C
.
(1+|x|)d+r
³
x
√
s
´
b √ (ς) = K
b (√sς) = s r2 |ς|r e−s|ς|2 . On a donc
et K
s
BMO−r ,
Pour obtenir f ∈
Z
K = 0 et
Rd
il suffit de vérifier le lemme :
Z∞ ¯
Z∞ ¯
Z∞ ³
¯ dt
¯ dt
´
¯b
¯2
¯b
¯2
r −t2 2 dt
t e
sup ¯K (tς)¯
= sup ¯K (tς)¯
= sup
t
t
t
|ς|=1
|ς|=1
ς∈Rd
0
0
=
Z∞
0
0
2
t2r−1 e−2t dt < ∞
. −r,∞
Réciproquement, si f ∈ BMO−r , d’après la proposition, f ∈ B ∞
par
g=
X
j<0
gj − gj (0) +
X
gj
j>0
avec gj = ∆j Λ−r f . On a alors f = ∇r g, en effet,
g (ς) =
b
X
j<0
gbj − gbj (0) +
X
j>0
gj
b
on a donc
|ς|r gb (ς) =
=
X
j<0
X
j∈Z
|ς|r b
gj +
X
j≥0
|ς|r b
gj = |ς|r
b j (f ) (ς) = fb(ς)
∆
. 0,∞
De plus, g ∈ B ∞ ; en effet
∆j g = gj = ∆j Λ−r f
149
. Soit g une fonction défini
donc
¡
¢
b j g = |ς|−r Ψ 2−j ς fb
∆
¯ ¡
¯
¢
= 2−jr ¯2−j ς ¯ Ψ 2−j ς fb
¯
¯ ¡
¢
= 2−jr hj (ς) ¯2−j ς ¯ Ψ 2−j ς fb
avec
hj ∈ C0∞ , hj = 1 sur Cj et sup p (hj ) ⊂ 2Cj
On obtient donc
³ ¯
¯r ´
∆j g = 2−jr ∆j f ∗ F −1 hj ¯2−j ς ¯
¯r ¢
¡ ¯
¢
¢
¡
¡
où F −1 hj ¯2−j ς ¯ ∈ L∞ et comme 2−jr k∆j f kL∞ ∈ l∞ (Z), on a bien alors k∆j gkL∞ ∈
¡√ ¢ ¯√ ¯
b tς = ¯ tς ¯r e−t|ς|2 ,
l∞ (Z) . Il reste à vérifier que g ∈ BMO : soit ψ définie par ψ
et
√ ∗ g (ς) = ψ
b
ψ\
t
∧
g(ς) =
X
j∈Z
donc
et
¯√ ¯r
³√ ´
2
¯
¯
tς gb(ς) = ¯ tς ¯ e−t|ς| gb(ς)
b j (f) (ς) = |ς|−r fb(ς)
|ς|−r ∆
r
2
√ ∗ g (ς) = t 2 e−t|ς| fb(ς)
ψ\
t
r
ψ √t ∗ g (x) = t 2 et∆ f(x)
f étant dans BMO−r et ψ vérifiant les hypothèses du lemme, on a bien g ∈ BMO. Pour
f ∈ bmo−r , on écrit
f = S0 f + (I − S0 ) f
Comme d’après la proposition 5.2.1, on a
−r,∞
, S0 f ∈ L∞ ⊂ bmo
f ∈ B∞
150
De plus, si on a
(I − S0 ) f ∈ BMO−r
on peut alors écrire
(I − S0 ) f = Λr g avec g ∈ BMO
On a
g = (I − S0 ) Λ−r f
ce qui implique
°
¡°
¢
et∆ g ∈ L∞ °(I − S0 ) Λ−r °L1 < ∞
d’où g ∈ bmo. Pour conclure, il suffit de prouver que
(I − S0 ) f ∈ BMO−r
c.à.d
− d2
sup sup t
t>1 xx ∈Rd
Zt
Z
√
0 B(x0 , t)
¯
¯
sr−1 ¯es∆ (I − S0 ) f(x)¯ 2 dsdx < ∞
Pour s > 1, on a
° r t∆ °
°Λ e f ° ∞ ≤ kΛr Ws k r,1 kfk −r,∞ ≤ Cs−r kf k −r,∞
B
B∞
B∞
L
1
Ensuite, comme
°
°
°(I − S0 ) Λ−r ° 1 < ∞,
L
on obtient
Zt
Z
√
1 B(x0 , t)
¯
e
r−1 ¯ s∆
s
¯
d
(I − S0 ) f (x)¯ 2 dsdx ≤ Ct 2
Zt
1
ds
kf k2B −r,∞
∞
s1+r
d
≤ Ct 2 kfk2B −r,∞
∞
151
Pour s < 1, on écrit
Z1
Z
¯
e
r−1 ¯ s∆
s
√
0 B(x0 , t)
¯
d
(I − S0 ) f(x)¯ 2 dsdx ≤ Ct 2 sup
z∈Rd
Z1
Z
0 |x−z|≤1
¯
¯
sr−1 ¯es∆ (I − S0 ) f(x)¯ 2 dsdx
et on vérifie que
Z1
Z
s
0 |x−z|≤1
¯
Z
¯
¯2 Z
¯
S0 f(x)¯ 2 dsdx ≤ C ¯F −1 (φ) (y)¯
1
r−1 ¯ s∆
e
Z
0 |x−z|≤1
Rd
≤ C kfk2bmo−r
. r
¯
¯ s∆
¯e f (x − y)¯ 2 dsdxdy
. r
Proposition 5.2.3 Si f ∈ X , alors et∆ f ∈ X .
. r
Preuve. Soit g ∈ H . Alors
¯2
Z ¯Z
Z Z
¯
¯
¯ f(x − y)g(x)Ws (y)dy ¯ dx ≤
|f (x − y)g(x)|2 Ws (y)dydx
¯
¯
Z
Z
≤ Ws (y) |f (u)g(u + y)|2 dydu ≤ C kgkH. r
° t∆ °2
°e f g° 2 =
L
. r
car H est invariant ar translation.
x→ϕ
d
µ
x − x0
√
t
¶
. r
∈H
r
avec une norme = t 4 − 2 kϕkH. r .
. r
Lemme 5.2.1 On a X ⊂ BM O−r et X r ⊂ bmo−r
. r
Preuve. En effet, soient f ∈ X , x0 ∈ Rd et t > 0
Z
Zt
√
B(x0 , t) 0
¯
r−1 ¯ s∆
s
e
¯
f(x)¯ 2 dsdx ≤
Z Zt
Rd 0
152
s
¯
e
r−1 ¯ s∆
¯
f(x)¯ 2 ϕ2
µ
¶
x−x
√
dsdx
t
¡ ¢
où ϕ ∈ C0∞ Rd , 0 ≤ ϕ ≤ 1 et ϕ = 1 sur B(0, 1). On a donc
Z
Zt
√
B(x0 , t) 0
s
¯
e
r−1 ¯ s∆
°
µ
¶°2
Zt
¯2
° s∆
°
.
−
x
0
r−1
°e fϕ
° dsdx
√
f(x)¯ dsdx ≤ s
°
t °L2
0
³ d r ´2 Zt
d
≤ C t4−2
sr−1 ds = Ct 2
0
Le résultat en découle facilement.
5.3
Application à des inégalités du type Schechter
¡ ¢
Soient f ∈ D0 Rd , d ≥ 2 et β ∈ R∗+ . Nous allons chercher à établir une inégalité de la forme :
¯Z
¯
¯
¯
2
¯
|< fu, u >| = ¯ |u(x)| f(x)dx¯¯ ≤ k∇uk2L2 (Rd ) + C- kuk2L2 (Rd )
(5.3.1)
¡ ¢
∀u ∈ C0∞ Rd , c’est-à-dire, on caractérise f pour laquelle il existe une constante C- > 0 telle que
l’inégalité (5.3.1) soit vraie pour tout > 0. Cette inégalité intervienne dans l’étude du spectre
de l’opérateur de schrödinger ([Sc], théorème 5.1) et les opérateurs elliptiques à coefficients
mesurable bornée ([Mor], chap.5).
Il est aussi intéressant d’observer ainsi que la notion de continuité permet d’étendre le
lemme 2.3 [MV2] au cadre des inégalités du type de Schechter [Sc]. Premièrement, on montre
que l’inégalité (5.3.1) est équivalente à l’existence d’une constante C > 0 telle que
¯
¯
2
¯
¯
|< fu, u >| = ¯< f, |u|2 >¯ ≤ CR 1+β k∇uk2L2 (Rd ) , ∀u ∈ C0∞ (B (x0 , R))
(5.3.2)
pour toute boule B (x0 , R). Pour cela, nous introduisons la définition suivante.
Définition 5.3.1 On dit qu’une distribution f sur Rd satisfait l’inégalité de Schechter de con¡ ¢
stante C si pour tout u ∈ C0∞ Rd et tout > 0, on a
|< fu, u >| ≤ k∇uk2L2 (Rd ) + C- kuk2L2 (Rd )
153
(5.3.3)
Commençons par le lemme suivant
¡ ¢
Lemme 5.3.1 Soit d un entier naturel ≥ 2 et f ∈ D0 Rd . Alors les assertions suivantes
sont équivalentes.
(a) Il existe une constante C- > 0 telle que
|< f u, u >| ≤ k∇uk2L2 (Rd ) + C- kuk2L2 (Rd ) ,
(b)
∀ >0
o
n
lim sup sup |< f u, u >| : u ∈ C0∞ (B (x0 , R)) , k∇ukL2 (Rd ) ≤ 1 = 0
R→0+ x ∈Rd
0
(5.3.4)
(5.3.5)
Preuve. Supposons que la formule (5.3.4) est vraie. Soient R > 0, x0 ∈ Rd et u ∈
C0∞ (B (x0 , R)) . Alors, on a
kukL2 ≤ C(d)R k∇ukL2
(5.3.6)
Par conséquent,
|< f u, u >| ≤
¡
¢
+ C 2 (d)R2 C- k∇uk2L2 , ∀u ∈ C0∞ (B (x0 , R))
ceci implique
sup sup {|< fu, u >| : u ∈ C0∞ (B (x0 , R)) , k∇ukL2 ≤ 1} ≤ + C 2 (d)R2 C-
x0 ∈Rd
Par passage à la limite R → 0+ et alors → 0+ , on obtient (5.3.5). Inversement, supposons que
(5.3.5) est vraie. Alors pour tout > 0, il existe un nombre R = R- tel que pour tout x0 ∈ Rd ,
|< f u, u >| ≤ k∇uk2L2 , ∀u ∈ C0∞ (B (x0 , R))
(5.3.7)
¡ ¢
Maintenant fixons u ∈ C0∞ Rd qui est supporté par la boule B (x0 , R) . Soit η ∈ C0∞ (B (0, 1))
une fonction de troncature telle que
1
0 ≤ η(x) ≤ 1, η(x) = 1, pour |x| ≤ , |∇η(x)| ≤ C(d)
2
154
et posons
η R,x0 (x) = η(
x − x0
)
R
Ensuite, fixons xj ∈ Rd (j = 1, 2, 3...) ainsi que {xj } forme un cube lattice de côté
η j (x) = η(
et
ϕ (x) =
R
√
.
2 d
Posons
x − xj
)
R
X
η 2j (x)
j
où la somme est prise sur un nombre fini d’indice j tel que B (0, 2R) ⊂ ∪B (xj , R) . Remarquons
que
1 ≤ ϕ (x) ≤ κ(d) sur B (0, 2R)
et
|∇ϕ (x)| ≤
κ0 (d)
sur B (0, 2R)
R
On définit
sachant que
X
ηj (x)
ψj (x) = p
ϕ (x)
ψ2j (x) = 1 sur B (0, R)
j
Alors, d’après (5.3.7)
¯
¯
¯X
¯
¯
¯2 ¯ X ¯¯
¯2 ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯
|< fu, u >| = ¯
< f, ψj u >¯¯ ≤
¯< f, ¯ψj u¯ >¯
¯ j
¯
j
Z
XZ ¯
X
¯
2 2
¯∇ψ j ¯2 |u|2 dx
|∇u| ψ j dx +
≤
j
j
≤ k∇uk2L2 + C(d)
155
R2
kuk2L2
où on a utilisé l’estimation suivante
2
X¯
¯
¯∇ψj (x)¯2 ≤ C(d) 1 + |∇ϕ (x)| ≤ C(d)
R2 ϕ(x)
ϕ2 (x)
R2
j
Posons
C- =
C(d)
R2 ( )
on trouve
|< f u, u >| ≤ k∇uk2L2 (Rd ) + C ( ) kuk2L2 (Rd )
ce qui achève l’inégalité (5.3.4).
Dans un cas particulier où on écrit
C- = C
−β
pour β > 0,
on remarque que l’inégalité (5.3.4) implique que
o
n
sup sup |< fu, u >| : u ∈ C0∞ (B (x0 , R)) , k∇ukL2 (Rd ) ≤ 1 ≤ C(d)
x0 ∈Rd
pour R = C
β+1
2
avec C(d) dépend seulement de d. On a alors la caractérisation suivante du
type Schechter
¡ ¢
Lemme 5.3.2 Supposons que f ∈ D0 Rd , d ≥ 2 et β > 0. Alors les assertions suivantes sont
équivalentes.
(a) Il existe une constante C > 0 telle que pour tout
|< fu, u >| ≤ k∇uk2L2 (Rd ) + C.
−β
> 0, on a
³ ´
kuk2L2 (Rd ) , ∀u ∈ C0∞ Rd
(5.3.8)
(b) Il existe une constante C > 0 telle que pour tout R > 0, on a
2
|< fu, u >| ≤ CR 1+β k∇uk2L2 (Rd ) , ∀u ∈ C0∞ (B (x0 , R))
où C est est une constante indépendante de x0 et R.
156
(5.3.9)
Preuve. Posons δ =
d
d+2 .
En appliquant l’inégalité de Nash ([LL], théorème 8.13), on a
³ ´
∞
,
∀u
∈
C
Rd
kukL2 (Rd ) ≤ C(d) k∇ukδL2 (Rd ) kuk1−δ
0
L1 (Rd )
D’après l’inégalité (5.3.8), on obtient
|< fu, u >| ≤ C k∇uk2L2 (Rd ) + C
2(1−δ)
L1 (Rd )
−β
kuk
k∇uk2δ
L2 (Rd )
−µ
kuk2L1 (Rd )
k∇uk2δ
L2 (Rd )
On utilise l’inégalité de Young, il vient
|< f u, u >| ≤ 2 k∇uk2L2 (Rd ) + C 0
avec µ =
d+2
2 β
+ d2 . On suppose maintenant que u ∈ C0∞ (B (x0 , R)) . Alors par l’inégalité de
Schwartz et (5.3.6), on a
|< f u, u >| ≤ kuk2L1 (B(x0 ,R)) + C −µ Rd kuk2L2 (B(x0 ,R))
³
´
≤ + C −µ Rd+2 k∇uk2L2 (B(x0 ,R))
En minimisant sur tout
> 0, on trouve (5.3.9). L’autre sens, c’est une conséquence direct du
lemme 5.3.1.
Nous allons maintenant chercher à établir l’existence d’une constante C telle que l’inégalité
(5.3.2) soit satisfaite pour toute boule BR (x0 ). Pour être plus précis, nous démontrons le
résultat suivant
¡ ¢
Théorème 5.3.1 Soient f ∈ D0 Rd , d ≥ 2 et 0 < β ≤ 1.
¡ ¢d
→
−
1. Supposons qu’il existe une fonction F ∈ L2loc Rd telle que
→
−
f = div F
157
(5.3.10)
→
−
où F vérifie l’inégalité suivante:
Z
B(x0 ,R)
¯−
³−
4
→´¯¯2
¯→
d−2+ 1+β
, 0<R<δ
¯ F (x) − mB(x0 ,R) F ¯ dx ≤ C1 × R
(5.3.11)
³−
→´
−
→
avec mB(x0 ,R) F indique la valeur moyenne de F sur la boule B (x0 , R) et C1 est une
constante indépendante de x0 et R. Alors il existe une constante C > 0 telle que l’inégalité
(5.3.3) soit satisfaite pour tout 0 < R < δ.
2. Inversement, supposons qu’on a l’inégalité (5.3.3) pour tout 0 < R < δ. Alors f peut
¡ ¢d
→
−
s’écrire sous la forme (5.3.10) où F ∈ L2loc Rd vérifiant l’inégalité (5.3.11).
Remarque 13 Si δ = 1, on peut poser dans la formule (5.3.10 )
−
→
F = −∇ (1 − ∆)−1 f
(5.3.12)
Si δ = +∞, on peut poser dans la formule (5.3.10 )
−
→
F = ∇∆−1 f
(5.3.13)
Pour démontrer ce théorème, précisons quelques notions et notations. Désignons par ω ∈
C0∞ (B (0, 1)) une fonction ayant la propriété suivante
|ω(x)| ≤ 1 et |∇ω(x)| ≤ 1 pour x ∈ B (0, 1)
et la fonction ω R,x0 définie par
ω R,x0 (x) = ω
µ
x − x0
R
¶
On débute par la proposition suivante
¡ ¢
Proposition 5.3.1 Supposons que f ∈ D0 Rd , d ≥ 2, 0 < β ≤ 1 et qu’on a l’inégalité (5.3.3)
158
pour tout R ∈ (0, δ). Alors on a les inégalités suivantes:
2
|< fu, v >| ≤ CR 1+β k∇ukL2 (Rd ) × k∇vkL2 (Rd ) , ∀u,v ∈ C0∞ (B (x0 , R))
(5.3.14)
En particulier , on a
|< fω R,x0 , v >| ≤ C × R
d−2
2
+ 1+β
2
k∇vkL2 (Rd ) , v ∈ C0∞ (B (x0 , R))
(5.3.15)
On remarque que dans cette dernière estimation que la constante ne dépend pas du choix
de ω.
Preuve. Il est clair que la formule (5.3.14) vient simplement de (5.3.3) par l’identité de
polarisation. Pour (5.3.15), il suffit d’appliquer l’inégalité (5.3.14) en posant
u = ω R,x0
La condition nécessaire de l’inégalité (5.3.2) admet la version locale suivante :
¡ ¢
Proposition 5.3.2 Soient f ∈ D0 Rd , d ≥ 2 et 0 < β ≤ 1. On suppose que (5.3.3) est vraie
→
−
pour tout R ∈ (0, δ). Soit F définie par la formule (5.3.12) si δ = 1 ou (5.3.13) si δ = +∞.
Alors
(a) Pour d ≥ 3, on a
Z ¯
¯2
4
¯
¯
d−2+ 1+β
−1
, 0<R≤1
¯∇ (1 − ∆) (ω R,x0 f )¯ dx ≤ C × R
Rd
(b) Pour d ≥ 2 , on a
Z
B(x0 ,R)
¯
¯2
4
¯
¯
d−2+ 1+β
−1
, 0<R≤1
¯∇ (1 − ∆) (ω R,x0 f )¯ dx ≤ C × R
Remarque 14 Le cas homogène δ = +∞, sera traité de manière analogue. Il suffit de remplaçer ∇ (1 − ∆)−1 par ∇∆−1 .
159
Preuve. On établit le cas δ = 1. Pour montrer le cas (a), on appelle C une fonction de
troncature :
C ∈ C0∞ (B1 (x0 )) telle que C(x)ω(x) = ω(x)
et posons
CR,x0 (x) = C
¡ ¢d
→
−
Soit ψ ∈ C0∞ Rd . Posons
µ
x − x0
R
¶
→
−
v = CR,x0 div (1 − ∆)−1 ψ
dans la formule (5.3.15). Alors par un calcul facile, on montre que
2
|< fω R,x0 , v >| ≤ CR 1+β +
d−2
2
n°
→°
°
°
−1 −
°(∇CR,x0 ) div (1 − ∆) ψ °
L2
Le théorème de Plancherel fournit
°
→°
°
°
−1 −
ψ°
∇div
(1
−
∆)
°
L2
Il est évident que
|∇CR,x0 (x)| ≤
°
o
→°
−
°
°
+ °∇div (1 − ∆)−1 ψ ° 2
L
(5.3.16)
°−
°
°→°
≤ C °ψ °
L2
C
C
≤
, x ∈ BR (x0 )
R
|x − x0 |
Pour d ≥ 3,on applique l’ inégalité de Hardy [EK], on obtient
Z
BR (x0 )
Z ¯
¯
→ ¯¯2
−
→ ¯¯2
−
¯
¯
|∇CR,x0 (x)|2 ¯div (1 − ∆)−1 ψ (x)¯ dx ≤ C ¯∇div (1 − ∆)−1 ψ (x)¯ dx
Rd
°−
°
°→°2
≤ C °ψ° 2
L
D’où pour d ≥ 3, on ait
°−
°
¯
2
→ ¯¯
°→°
¯
+ d−2
−1 −
1+β
2
ψ
,
div
(1
−
∆)
ψ
>
≤
CR
fω
° °
¯
¯< R,x0
L2
160
(5.3.17)
qui est équivalent à
Z ¯
°−
°
2
→ ¯¯
−
¯
°→°
+ d−2
−1
1+β
2
(1
−
∆)
ψ
(f
ω
)
ψ
(x)
dx
≤
CR
¯∇
° °
¯
R,x0
(5.3.18)
L2
Rd
→
−
En minimisant sur tout ψ , on trouve
°
°2
4
°
°
+d−2
−1
°∇ (1 − ∆) (f ωR,x0 )° 2 ≤ CR 1+β
(5.3.19)
L
On établit (b). Pour d ≥ 2, on choisit toujours
→
−
v = CR,x0 div (1 − ∆)−1 ψ
(5.3.20)
³−
→´
→
−
dans (5.3.15) avec ψ ∈ C0∞ (BR (x0 ))d . Compte tenu du sup p ψ ⊂ BR (x0 ), on déduit de
(5.3.16) que pour tout x ∈ BR (x0 ), on a
¯
→ ¯¯
¯
−1 −
¯div (1 − ∆) ψ (x)¯ ≤ C
Z
BR (x0 )
¯−
¯
¯→ ¯
|∇G2 (x − y)| ¯ ψ (y)¯ dy ≤ C
Z
|x−y|<2R
¯−
¯
¯→ ¯
ψ
(y)
¯
¯
|x − y|d−1
dy
où Gµ est un noyau de Bessel d’ordre µ > 0 dont on a utilisé l’inégalité suivante([AH], sec1.2.5)
|∇G2 (x)| ≤ C.G1 (x) ≤ C |x|1−d , |x| ≤ 1, d ≥ 2
On applique maintenant l’inégalité suivante ([AH], Lemme 3.1.1, p.54):
Z
|x−y|<2R
¯−
¯
¯→ ¯
¯ ψ (y)¯
¯−
¯
¯→ ¯
dy
≤
CRM
ψ
(x)
¯
¯
|x − y|d−1
où M est un opérateur maximal de Hardy-Littlewood. Par conséquent, en appliquant la continuité de l’opérateur maximal sur L2 :
Z
BR (x0 )
¯
° ¯−
°−
¯°
°
→ ¯¯2
−
¯
° ¯→¯°2
°→°2
|∇CR,x0 (x)|2 ¯div (1 − ∆)−1 ψ (x)¯ dx ≤ C °M ¯ ψ ¯° 2 ≤ C ° ψ ° 2
L
161
L
(5.3.21)
ceci donne
Z
BR (x0 )
¯
2
→ ¯¯
−
¯
+ d−2
−1
¯∇ (1 − ∆) (f ωR,x0 ) ψ (x)¯ dx ≤ CR 1+β 2
→
−
En minimisant sur tout ψ , on trouve
°−
°
°→°
°ψ°
(5.3.22)
L2
° ¡
°
¢
4
°∇ 1 − ∆−1 (fω R,x )°2 2 ≤ CR 1+β +d−2
0
L
(5.3.23)
Des inégalités analogues sont obtenus dans le cas homogène où δ = +∞. Si d ≥ 3, on pose dans
la formule (5.3.15)
→
−
v = CR,x0 div∆−1 ψ
(5.3.24)
→
−
où ψ ∈ C0∞ (BR (x0 ))d . En estimant exactement comme au dessus, en utilisant le théorème de
Plancherel et l’inégalité de Hardy, on obtient
Z
Rd
¯
¯
4
¯∇∆−1 (ω R,x0 f )¯2 dx ≤ CRd−2+ 1+β , 0 < R < +∞
(5.3.25)
→
−
Pour d ≥ 2, nous supposons que ψ ∈ C0∞ (BR (x0 ))d , et notons que pour tout x ∈ B (x0 , R)
¯
→ ¯¯
−
¯
¯div∆−1 ψ (x)¯ ≤ c
¯−
¯
¯→ ¯
ψ
(y)
¯
¯
Z
¯−
¯
¯→ ¯
dy
≤
CRM
ψ
(x)
¯
¯
|x − y|d−1
|x−y|<2R
En appliquant l’inégalité de la fonction maximal, on déduit comme dans le cas non-homogène
que
Z
BR (x0 )
Z
¯
→ ¯¯2
−1 −
|∇CR,x0 (x)| ¯div∆ ψ (x)¯ dx +
ceci donne
2¯
Z
BR (x0 )
¯
° ¯−
°−
°
¯°
→ ¯¯2
−
¯
° ¯→¯°2
°→°2
¯div∆−1 ψ (x)¯ dx ≤ C °M ¯ ψ ¯° 2 ≤ C ° ψ ° 2
L
BR (x0 )
L
¯
¯
4
¯∇∆−1 (ω R,x0 f )¯2 dx ≤ CRd−2+ 1+β , 0 < R < +∞
Maintenant, on étudie un lemme fondamental pour la suite qui donne des estimations con-
162
cernant l’antidérivée globale de f.
¡ ¢
Lemme 5.3.3 Soient f ∈ D0 Rd , d ≥ 2 et β > 0. On suppose que l’inégalité (5.3.3) est vraie
pour tout R ∈ (0, δ). Alors on a les assertions suivantes:
(a) Pour δ = 1 et β > 1, on a
Z
B(x0 ,R)
¯
¯2
4
¯
¯
d−2+ 1+β
−1
, 0<R≤1
¯∇ (1 − ∆) f ¯ dx ≤ CR
(b) Pour δ = 1 et 0 < β ≤ 1
Z
B(x0 ,R)
¯
³
´¯2
4
¯
¯
d−2+ 1+β
−1
−1
∇
(1
−
∆)
∇
(1
−
∆)
f
−
m
f
, 0<R≤1
¯
¯ dx ≤ CR
B(x0 ,R)
(5.3.26)
Dans le cas homgène (δ = +∞), remplaçant ∇ (1 − ∆)−1 par ∇∆−1 et en utilisant des
estimations analogues en remplaçant la dérivée du noyau de Bessel par celui de Riesz.
Pour démontrer ce résultat, nous allons tout d’abord construire une décomposition de
© ª+∞
l’identité adaptée à notre problème, on écrit une partition C ∞ de l’unité ψj j=0 associée
à x0 et R > 0. Plus précisèment, on va se servir de la représentation suivante de C0R,x0 définie
par
C0R,x0 (x) = C
µ
2 |x − x0 |
R
¶
où C ∈ C0∞ (R+ ) dans laquelle

 1 si 0 ≤ x ≤
C(x) =
 0 si x ≥ 1
1
2
Ensuite, on choisit une fonction ς ∈ C0∞ (R+ ) telle que

 0 si 0 ≤ x ≤ 1 ou x ≥ 2
4
ς(x) =

1
1 si 2 ≤ x ≤ 1
163
Cette fonction sert à écrire
CjR,x0 (x) = ς
µ
¶
|x − x0 |
, j = 1, 2, 3, ...
2j−2 R
Désignons par ϕR,x0 la fonction
ϕR,x0 (x) =
∞
X
CjR,x0 (x)
j=0
¡ ¢
Il est clair que ϕR,x0 ∈ C ∞ Rd vérifiant 1 ≤ ϕR,x0 ≤ C 0 car l’un des termes ϕR,x0 (x) vaut 1
et les autres sont positifs. Dés lors, on considère la fonction ψj définit par
ψ j (x) =
CjR,x0 (x)
ϕR,x0 (x)
, j = 0, 1, 2, ...
(5.3.27)
On remarque que
et enfin
¯
¯
C
0 ≤ ψj (x) ≤ 1 , ¯∇ψ j (x)¯ ≤ j , j = 0, 1, 2, ...
2R
∞
X
j=0
¡
¢
ψj (x) = 1 , ψ j ∈ C0∞ B2j R,x0 r B2j−2 R,x0 , j = 1, 2, ...
(5.3.28)
(5.3.29)
¡
¢
e (x), j = 1, 2, ... une fonction de C ∞ B2j R,x r B2j−2 R,x qui a un support
Désignons par ψ
j
0
0
0
légèrement plus grand telle que
¯
¯
C
¯
e (x) ψ (x) = ψ (x) , ¯¯∇ψ
e
(x)
ψ
¯≤ j
j
j
j
j
2R
Nous venons de décrire sommairement les idées qui seront systématiquement utilisées dans la
preuve.
Preuve. Commençons par vérifier le point (a). Soient 0 < R ≤ 1 et β > 1. En utilisant
l’égalité (5.3.29), on obtient
°
°
°X
¯°
° ∞ ¯¯
¢
¡
¯°
−1
≤°
ψ j f ¯°
¯∇ (1 − ∆)
°
°
2
L (BR,x0 )
°
° j=0
°
°
°
−1 °
°∇ (1 − ∆) f °
L2 (BR,x0 )
164
Nous allons décomposer la démonstration de l’inégalité en deux parties. Dans un premier temps,
nous supposons que j = 0, 1, 2. Puisque ψ j ∈ C ∞ (B4R,x0 ) , alors d’après la proposition 5.3.2
°
¢°
°
°
−1 ¡
ψj f °
°∇ (1 − ∆)
L2 (BR,x0 )
2
≤ CR 1+β +
d−2
2
Ensuite, pour j ≥ 3, notons que
¯ ¯D
¯
³
E¯
´
¢ ¯¯ ¯¯
¯
−1 ¡
e ¯¯
e j ψ j f (x)¯¯ = ¯¯ ψj f, ∇G2 (x − .) ψ
ψj f (x)¯ = ¯∇ (1 − ∆)−1 ψ
¯∇ (1 − ∆)
j
On fixe x ∈ BR (x0 ) et en appliquant (5.3.15) respectivement avec ψ j à la place de CR,x0 ,
e au lieu de v et 2j R à la place de R. Nous allons distinguer deux cas pour 2j R.
∇G2 (x − .) ψ
j
Si 2j R ≤ 1, on a
¯
E¯
¢ ¯¯ ¯¯D
¯
¯
−1 ¡
−1
e
f
(x)
f,
∇
(1
−
∆)
G
(x
−
.)
ψ
∇
(1
−
∆)
ψ
ψ
≤
¯
¯ ¯ j
2
j
j ¯
´°
³
¡
¢ 2 + d−2 °
°
e °
≤ C 2j R 1+β 2 × °∇ ∇G2 (x − .) ψ
j °
³
´
L2 B2j R,x
0
Si 2j R > 1, une estimation analogue en résulte de (5.3.15)
¯
´°
³
¢ ¯¯
¡
¢ 2 + d−2 °
°
¯
−1 ¡
e °
ψj f (x)¯ ≤ C 2j R 1+β 2 × °∇ ∇G2 (x − .) ψ
¯∇ (1 − ∆)
j °
³
´
L2 B2j R,x
0
Ce choix est d’ailleurs compatible avec la construction de la décomposition décrite au dessus.
Soit y ∈ B2j R (x0 ) r B2j−2 R (x0 ). Alors
2j−3 R ≤ |y − x| ≤ 2j+1 R , j ≥ 3
En utilisant l’inégalité précédente avec (5.3.28) et les estimations du noyau de Bessel (voir par
exemple [AH], sect.1.2.5)
|∇G2 (x − y)| ≤
C
|y − x|
d−1
, |∇∇G2 (x − y)| ≤
C
|y − x|d
, |y − x| ≤ 1
|∇G2 (x − y)| ≤ Ce−|y−x| , |∇∇G2 (x − y)| ≤ Ce−|y−x| , |y − x| > 1
165
on trouve
¯
¯
¯ ³
´¯
¯
¯ e
¯
¯
e
e (y)
(∇G
)
(x
−
y)
ψ
(y)
≤
|∇G
(x
−
y)|
×
ψ
(y)
¯
¯∇ j ¯ + |∇∇G2 (x − y)| ψ
¯∇y
2
2
j
j
¢−d
¡
pour 2j R ≤ 1
≤ C 2j R
et
¯ ³
´¯
¯
e (y) ¯¯ ≤ Ce−2j R pour 2j R > 1
¯∇y (∇G2 ) (x − y) ψ
j
Par conséquent,
° ³
´°
°
e °
°∇ ∇G2 (x − .) ψ
j °
³
´
L2 B2j R,x
et
° ³
´°
°
ej °
°
°∇ ∇G2 (x − .) ψ
L2
Comme β > 1, il en résulte que
2
1+β
0
³
´
B2j R,x
0
¡
¢− d
≤ C 2j R 2 pour 2j R ≤ 1
¡
¢d
j
≤ C 2j R 2 e−2 R pour 2j R > 1
− 1 < 0. Donc pour x ∈ BR (x0 ), on a une estimation
uniforme
2
|log
∞ ¯
XR | ¡
X
¢ ¯¯
¢ 2 + d−2 ¡
¢− d
¯
−1 ¡
ψ j f (x)¯ ≤ C
2j R 1+β 2 2j R 2 +
¯∇ (1 − ∆)
j=3
+C
j=3
∞
X
j=|log
D’où
2
R
|
¡ j ¢d+1 −2j R
2
2R
e
≤ CR 1+β −1
°
°
°X
¯°
° ∞ ¯¯
¡
¢
¯°
−1
°
ψj f (x)¯°
¯∇ (1 − ∆)
°
°
° j=3
°
2
L2 (BR,x0 )
≤ C.R 1+β
il en résulte de l’inégalité précedente
°
°
°
−1 °
°∇ (1 − ∆) f °
2
L2 (BR,x0 )
166
≤ C.R 1+β +
d−2
2
+ d−2
2
On suppose maintenant que 0 < β ≤ 1 et δ = 1. Pour j = 0, 1, 2, il vient de la proposition 5.3.2
Z
BR (x0 )
¯
¢ ¯¯2
4
¯
−1 ¡
ψ
(1
−
∆)
f
(x)¯ dx ≤ CRd−2+ 1+β , 0 < R ≤ 1
¯∇
j
ceci entraîne une bonne estimation :
Z
BR (x0 )
¯
³
¢
¢´¯¯2
¡
4
¯
−1 ¡
ψ j f − mBR (x0 ) ∇ (1 − ∆)−1 ψ j f ¯ dx ≤ CRd−2+ 1+β
¯∇ (1 − ∆)
où 0 < R ≤ 1. Pour j ≥ 3 et x, x0 ∈ BR (x0 ), on déduit l’estimation uniforme suivante pour
2j R ≤ 1:
¯
¯ ¯D
¢ ¯¯ ¯¯
¢
¡
¢¢ −
¡
¡
→ E¯¯
¯
¯ ¯
−1 ¡
ψj f (x)¯ − ¯∇ (1 − ∆)−1 ψ j f (x0 )¯ ≤ ¯ ψj f, ∇G2 (x − .) − ∇G2 x0 − . ψ j ¯
¯∇ (1 − ∆)
¡
¡
¢ 2 + d−2 °
¢¢ −
→°
° ¡
°
≤ C 2j R 1+β 2 °∇ ∇G2 (x − .) − ∇G2 x0 − . ψ j ° 2
L
Pour 2j R > 1, il existe une estimation analogue avec β = 0 sur le membre de droite.Le reste de
la démonstration est analogue au cas β > 1. Pour x, x0 ∈ BR (x0 ) et y ∈ B2j R (x0 ) r B2j−2 R (x0 )
, on utilise les estimations suivantes dans le cas 2j R ≤ 1
¯
¡
¢¯
¡
¢
¯∇G2 (x − y) − ∇G2 x0 − y ¯ ≤ CR 2j R −d
¯
¡
¢¯
¢
¡
¯∇∇G2 (x − y) − ∇∇G2 x0 − y ¯ ≤ CR 2j R −d−1
et dans le cas 2j R > 1,
¯
¢¯
¡
¯∇G2 (x − y) − ∇G2 x0 − y ¯ ≤ CR.e−2j R
¯
¡
¢¯
¯∇∇G2 (x − y) − ∇∇G2 x0 − y ¯ ≤ CR.e−2j R
Ainsi, on déduit aisement comme dans la première démonstration de (a)
¯
¯
2
¢
¢
¢−2+ 1+β
¡
¡
¯
¯
−1 ¡
, 2j R ≤ 1
ψ j f (x) − ∇ (1 − ∆)−1 ψ j f (x0 )¯ ≤ CR 2j R
¯∇ (1 − ∆)
¯
¯
¢
¢
¡
j
¯
¯
−1 ¡
ψ j f (x) − ∇ (1 − ∆)−1 ψ j f (x0 )¯ ≤ CRe−2 R , 2j R > 1
¯∇ (1 − ∆)
167
D’où pour tout β > 0 et pour tout x, x0 ∈ BR (x0 ) , on a
∞ ¯
¯
X
¡
¢
¢
2
¯
¯
−1 ¡
ψ j f (x) − ∇ (1 − ∆)−1 ψ j f (x0 )¯ ≤ CR−1+ 1+β
¯∇ (1 − ∆)
j=3
Par conséquent,
Z
BR (x0 )
¯
³
´¯2
4
¯
¯
d−2+ 1+β
−1
−1
,0<R≤1
¯∇ (1 − ∆) f − mBR (x0 ) ∇ (1 − ∆) f ¯ dx ≤ CR
ce qui achève la démonstration.
Nous sommes en mesure de démontrer le théorème 5.3.1. On démontre que la partie directe
car la partie inverse découle aisement de la proposition 5.3.2 et du lemme 5.3.3.
Preuve. Supposons que f peut s’écrire sous la forme (5.3.10) et qu’on a l’estimation
(5.3.11) pour tout R > 0. En appliquant l’inégalité de multiplication ponctuelle pour des
¯−
¯
¯→¯2
mesures positives à ¯ F ¯ dx ([Maz], th.1.4.7), on obtient :
Z
B(x0 ,R)
³
´
¯−
¯
4
2 β−1
¯→ ¯2
β+1
2
β+1
¯ F (x)¯ |u(x)| dx ≤ C k∇ukL2 Rd × kukL2 Rd
( )
( )
Par conséquent,
¯ −
¯
¯ →
¯
|< f u, u >| ≤ ¯< F u, ∇u >¯
°
°−
°→ °
≤ ° F u° 2 d × k∇ukL2 (Rd )
L (R )
1+ β−1
1
2
≤ C12 k∇ukL2 β+1
× kukLβ+1
2 (Rd )
(Rd )
En combinant l’inégalité précèdente avec l’inégalité suivante ([Mor], th 3.2.1):
kukL2 (Rd ) ≤ C(d)R k∇ukL2 (Rd ) , u ∈ C0∞ (BR (x0 ))
on trouve
2
|< fu, u >| ≤ CR 1+β k∇uk2L2 (Rd ) , u ∈ C0∞ (BR (x0 ))
168
(5.3.30)
Pour continuer la démonstration, on utilise maintenant les caractérisations de l’espace de
Morrey-Campanato et on a deux cas à envisager. En particulier, pour 0 < β < 1, on a la
proposition suivante
Proposition 5.3.3 Pour 0 < β < 1, la condition (5.3.26) est équivalente à la condition que
¡ ¢
→
−
F appartient à la classe de Lipschitz Λγ Rd avec γ = 1−β
1+β .
¡ ¢
→
−
Preuve. En effet, on a F ∈ Λγ Rd , c-à-d
¯−
→ ¯¯
−
¯→
γ
¯ F (x) − F (y)¯ ≤ C |x − y| , pour |x − y| ≤ R
Alors, pour tout u ∈ C0∞ (BR (x0 )), on a
¯
¯
¯
¯ Z
¯
¯ −
¯ ¯
³−
³−
→
→´´
¯
¯ →
¯ ¯
F − mB(x0 ,R) F
.∇u.udx¯
¯< F u, ∇u >¯ = ¯
¯
¯
¯
¯BR (x0 )
Z
1−β
≤ CR 1+β
|∇u| |u| dx
BR (x0 )
En utilisant l’inégalité de Schwartz et l’estimation suivante pour τ = 2,
Z
τ
|u(x)| dx ≤ CR
BR (x0 )
τ
Z
|∇u(x)|τ dx, u ∈ C0∞ (BR (x0 ))
(5.3.31)
BR (x0 )
on obtient la relation (5.3.2).
¡ ¢
¡ ¢
−
→
→
−
Dans le cas β = 1, on a respectivement F ∈ BMO Rd (δ = +∞) ou F ∈ bmo Rd
(δ = 1). Plus précisement, on a le résultat suivant :
Proposition 5.3.4 Pour β = 1, on a les assertions suivantes :
¡ ¢
→
−
(a) Si δ = +∞ , alors la condition (5.3.26) est équivalente à F ∈ BMO Rd
¡ ¢
→
−
(b) Si δ = 1, alors la condition (5.3.26) est équivalente à F ∈ bmo Rd .
Preuve. Pour démontrer (5.3.30), on applique l’inégalité de Hölder avec des exposants
2τ
τ −2 1 1
d
, 2 et τ tels que
+ + = 1 où 2 < τ <
,d≥2
τ −2
2τ
2 τ
d−2
169
On a
¯
¯
¯ Z
¯
¯ −
¯
¯
¯
³
³
´´
→
−
→
−
¯ →
¯ ¯
¯
F − mB(x0 ,R) F
.∇u.udx¯
¯< F u, ∇u >¯ = ¯
¯
¯
¯BR (x0 )
¯
°−
³−
→´°
°
°→
kukL2 (BR (x0 )) k∇ukLτ (BR (x0 ))
≤ c ° F − mB(x0 ,R) F ° 2τ
L τ −2 (BR (x0 ))
→
−
Il est ainsi connu de l’inégalité de John-Nirenberg ([St2], p.144) que si δ = +∞ , F ∈
¡ ¢
¡ ¢
→
−
BMO Rd ou F ∈ bmo Rd si δ = 1, il vient que
Z
BR (x0 )
¯−
³−
→´¯¯τ
¯→
¯ F − mB(x0 ,R) F ¯ dx ≤ cRd , 0 < R ≤ δ pour tout 1 ≤ τ < ∞
En appliquant cette inégalité avec l’estimation (5.3.31), on obtient (5.3.30). Ce qui achève la
démonstration du théorème 5.3.1.
Il est facile de remarquer que dans le cas β = 1, la partie suffisante du théorème 5.3.1 est
équivalente à l’inégalité :
¯ −
¯
°−
°
¯ →
¯
°→°
<
F
u,
∇u
>
≤
C
F
¯
¯
° °
BM O(Rd )
³ ´
kukL2 (Rd ) k∇ukL2 (Rd ) , ∀u ∈ C0∞ Rd
Par dualité, cette dernière inégalité devient:
ku∇uk
H1
³ ´
∞
≤
C
kuk
k∇uk
,
∀u
∈
C
Rd
2
d
2
d
0
L (R )
L (R )
( )
Rd
Comme une conséquence immédiate, on obtient une inégalité de forme quadratique à valeurs
vectorielles:
→
→
k(−
u .∇) −
uk
→
→
≤ C k−
u kL2 (Rd ) k∇−
u kL2 (Rd )
³ ´d
→ →
−
→
div−
u = 0 , ∀−
u ∈ C0∞ Rd
H1 (Rd )
Remarque 15 Les deux inégalités précédentes sont des corollaires d’une version non-homogène
du lemme de div − curl dans la cas α = 2.
Terminons ce chapitre par un énoncé "positif" qu’on peut obtenir à partir des résultats
170
précédents. On peut établir une démonstration qui est similaire à ceux de [CLMS] où ils
→
−
→
supposent que div−
u = 0.
Proposition 5.3.5 Soient 1 < p < +∞ et
1
p
+
1
p0
Alors on a
→
kdiv (−
u v)k
H1
¡ ¢d
¡ ¢
−
= 1. Soient →
u ∈ Hp1 Rd et v ∈ Hp10 Rd .
n
o
→
−
→
−
0
0
≤
C
k
u
k
k∇vk
+
kdiv
u
k
kvk
p
d
p
d
p
d
p
d
L (R )
L (R )
L (R )
L (R )
( )
(5.3.32)
Rd
−
où C est une constante indépendante de →
u et v .
¡ ¢d
¡ ¢
−
Preuve. Supposons que →
u ∈ C0∞ Rd et v ∈ C0∞ Rd . Fixons ϕ ∈ C0∞ (B (0, 1)) et
posons
ϕR =
1 ³x´
ϕ
,R>0
Rd
R
pour toute boule B = BR (x0 ) et tout x ∈ Rd . Alors on a donc
−
kdiv (→
u v)k
Notons que
°
°
°
°
→
−
°
°
≈
sup
|div
(
u
v)
∗
ϕ
|
1
d
R
H (R )
°
°
R>0
Z
1
−
div (→
u v) ∗ ϕR (x) = − d+1
R
x−y
∇ϕ
R
BR (x0 )
1
+ d mB (v)
R
µ
Z
¶
L1 (Rd )
→
·−
u (y) (v(y) − mB (v)) dy+
→
ϕR (x − y) · div−
u (y)dy
BR (x0 )
Comme dans la preuve du lemme II.1 dans [CLMS], on choisit α et β tels que
1
α
1
d
−
= 1−
et 1 ≤ α < p , 1 < β < p0 . En utilisant l’inégalité de Hölder, on a alors


 1
→
−
|div ( u v) ∗ ϕR (x)| ≤ C
 Rd

Z
→
|−
u (y)|β dy
BR (x0 )
C
+ d |mB (v)|
R
Z
1 
β


 

 Rd+β
 
→
|div−
u (y)| dy
BR (x0 )
171
1
0
Z
BR (x0 )
0
|v(y) − mB (v)|β dy
 10
β




1
β
et en vertu de l’inégalité du Poincaré, on obtient



1
d+β 0

R
Z
0
|v(y) − mB (v)|β dy
BR (x0 )
 10
β






 1
≤C
d

R
Z
|∇v(y)|α dy
BR (x0 )
où M est l’opérateur maximal de Hardy-Littlewood. Ainsi , on a
1
|mB (v)| d
R
Z
1
α




1
≤ C {M |∇v(x)|α } α
→
→
|div−
u (y)| dy ≤ M v(x) × M (div−
u ) (x)
BR (x0 )
En combinant ces estimations, on aura
o1
n
1
β β
−
→
→
−
→
|div ( u v) ∗ ϕR (x)| ≤ C M | u (x)|
{M |∇v(x)| α} α + C × Mv(x)M (div−
u ) (x)
En appliquant l’inégalité de Hölder encore une deuxième fois avec l’inégalité maximal, on obtient
(5.3.32).
Le corollaire suivant est une conséquence immédiate du théorème 5.3.1 et de la caratérisation
des espaces de Morrey-Campanato.
Corollaire 5.3.2 Sous les hypothèses du théorème 5.3.1, au cas β = 1, la condition (5.3.11)
¡ ¢
est équivalente à f ∈ BMO−1 Rd .
2β
· − 1+β ,∞ ¡
Remarque 16 Pour 0 < β < 1, une condition équivalente sur f est donnée par f ∈ B ∞
172
¢
Rd .
Chapitre 6
Généralisation du théorème de
Maz’ya - Verbitsky
6.1
Espaces de Besov et paraproduits
Nous commençons par rappeler la définition de la décomposition de Littlewood-Paley d’une
distribution tempérée. Pour cela, on définit le multiplicateur de Fourier m(D) par
b
(m(D)f)∧ (ξ) = m(ξ)f(ξ)
b
(où fb est la transformée de Fourier de f : f(ξ)
=
R
f(x)e−ixξ dx). C’est évidemment un
opérateur continu sur L2 . Lorsque m ∈ C ∞ et que toutes ses dérivées sont à croissance lente,
m(D) opère continûment sur S et sur S’. Lorsque m est la transformée de Fourier d’une fonction
k ∈ Lp (Rd ), on notera km(D)kp = kkkLp . Pour introduire la décomposition de Littlewood-Paley,
on fixe ω ∈ Cc∞ (Rd ) telle que
½
¾
X µξ¶
1
= 1;
ω
suppω ⊂ ξ : ≤ |ξ| ≤ 2
et pour ξ 6= 0,
2
2j
j∈Z
On lui associe ϕ(ξ) = 1 −
P
j≥0
ω
³ ´
ξ
2j
= 1 et Ω(ξ) = ϕ( ξ4 ) − ϕ(2ξ) (de sorte que ωΩ = ω).
Définition 6.1.1 On note ∆j l’opérateur ω
¡D¢
2j
173
et Sj l’opérateur ϕ
¡D¢
2j
. La décomposition de
Littlewood-Paley de f ∈ S’(Rd ) est alors l’identité
f = Sk f +
X
∆j f
j≥k
valable pour f ∈ S’(Rd ), k ∈ Z ( la convergence de la série ayant lieu dans S’).
La décomposition de Littlewood-Paley homogène est l’identité
f=
X
∆j f.
j∈Z
Aussi, introduisons-nous la définition suivante:
Définition 6.1.2
0
S0 (Rd ) =



f ∈ S 0 (Rd )
t.q
X
f=
∆j f
dans S 0
j∈Z
Rappelons maintenant la définition d’un espace de Besov.



Définition 6.1.3 On définit pour s ∈ ]−∞, +∞[ , p, q ∈ [1, +∞] l’éspace de Besov homogène
· s,q
Bp
de la façon suivante:
· s,q
Bp
©
ª
= f ∈ S 0 /C [X] : 2js k∆j fkLp ∈ lq (Z) .
A priori, c’est un espace défini modulo les polynômes car [∀j ∈ Z, ∆j f =0] ⇔ f ∈ C [X] .
· s,q
Cependant, on peut pour certaines valeurs de s, injecter Bp
0
0
dans S0 en choisissant le seul
représentant de f modulo les polynômes qui appartienne à S0 . Il s’agit d’un espace de Banach
normé par
kfk
· s,q
Bp
1

q
X ¡
¢
q
js
2 k∆j fkLp
=


j∈Z
174
(i) Si s < 0 et si fj vérifie supp fj ⊂
P
n
ξ:
2j
2
≤ |ξ| ≤ 2.2j
o
¡
¢
et 2js kfj kLp j∈Z ∈ l∞ (Z), alors
P
fj converge dans S’ : en effet, on a
kfj kE < +∞ tandis que pour tout g ∈ S
j≤0
j∈Z
P jk
et tout k ∈ N:
2 k∆j gkLp < +∞. Il suffit d’écrire pour un M ∈ N, kgkLp0 ≤
j≥0
°
P P °
° α ∂β °
°ξ . ∂ξ β gb° ∞ .
L
|α|≤M |β|≤M
(ii) De même, si s = 0, supp fj ⊂
converge dans
Lp .
n
ξ:
2j
2
≤ |ξ| ≤ 2.2j
Cela permet d’inclure
. s,q
Bp et
o
¢
¡
P
et kfj kLp j∈Z ∈ l1 (Z), alors
fj
j∈Z
. 0,1
Bp dans
0
S0 pour s < 0. Le cas s ≥ 0,
se traite par le lemme suivant
Lemme 6.1.1 Soit E est un espace de Banach de distributions tempérées dont la norme est
invariante par translation et positivement homogène de degré −α pour α > 0 et soient fj tels
que
¾
½
j
¢
¡
2
j
et 2js kfj kLp j∈Z ∈ lq (Z).
≤ |ξ| ≤ 2.2
suppfbj ⊂ ξ :
2
Alors si 1 ≤ q ≤ +∞ et s < α ou si q = 1 et s = α,
X
fj converge dans S 0 .
j∈Z
. 0,1
On a toujours Bp
. 0,1
⊂ Lp (en prenant les représentants de Bp
. 0,∞
les hypothèses du lemme 6.1.1, Lp ⊂ Bp
0
dans S0 ) et lorsque E vérifie
. L’utilité des espaces de Besov sur Lp provient
· 0,2
des inégalités de Bernstein. En particulier, Bp
· s,2
= Lp pour 1 < p < +∞ et B2
· s
= H où
· s
H est l’espace de Sobolev homogène. Les inégalités de Bernstein donnent immédiatement
· s,q
Bp
·
⊂ Bp0
6.1.1
s0 ,q
pour p ≤ p0 et s0 = s +
d
p0
− dp .
Opérateur de paraproduit
Rappelons le principe du paraproduit de J.M.Bony. Considérons deux espaces E et F de normes
invariantes par translation et homogènes de degré −α pour E et −β pour F avec α, β > 0.
· −α,∞
On a donc E ⊂ B∞
· −β,∞
et F ⊂ B∞
. En général, le produit de deux éléments de E et
175
de F n’est pas défini. En écrivant SN f SN g qui est défini (puisque pour f ∈ E et g ∈ F , on a
SN f ∈ L∞ et SN g ∈ L∞ ) sous la forme
SN f SN g =
X X
∆k f ∆l g
k<N l<N
=
X X
∆k f∆l g +
k<N l<k−3
X X
∆k f ∆l g +
l<N k<l−3
X
X
∆k f∆l g
k<N l<N, |l−k|<2
On voit que les deux pemiers termes convergent dans S 0 quand N → +∞ vers les éléments de
· −α−β,∞
B∞
:
π(f, g) =
X
∆j f Sj−2 g
j∈Z
X
∆j g Sj−2 f
π(g, f) =
j∈Z
³
´
n
car le support de ∆j \
f Sj−2 g est contenu dans ξ :
2j
4
≤ |ξ| ≤ 94 .2j
o
et que l’obstruction à
la définition de f.g provient de la non convergence éventuelle du troisième terme:
R(f, g) =
X X
∆j f∆l g
j∈Z|l−j|≤2
· −s,∞
Définition 6.1.4 Pour f ∈ B∞
, s > 0, on définit l’opérateur de paraproduit π(f, .) et
l’opérateur restant R(f, .) par
3
XX
X
∆j f Sj−2 g =
∆j+l (Sj−2 g∆j f)
π(f, g) =
j∈Z
et
j∈Z l=−3
5
XX
1X
∆j (Sj+3 f∆j g) +
∆j+l (Sj+3 f ∆j g)
R(f, g) =
2
j∈Z l=1
j∈Z
¡ ¢
Lemme 6.1.2 Soient f et g appatiennent à la classe S Rd de Schwartz. Alors pour tout
176
j ∈ Z, on a
∆j (fg) =
3
X
l=−3
+
∞
X
∆j (Sj−2 g∆j+l f) +
l=−3
∆j (∆k g∆k f ) +
k=j−2
+
3
X
∆j (Sj−2 f ∆j+l g) +
∞ X
5
X
∞ X
5
X
∆j (∆k+l g∆k f) +
k=j−2 l=1
∆j (∆k g∆k+l f)
(6.1.1)
k=j−2 l=1
¡ ¢
Preuve. Il est trivial de vérifier que si f et g appartiennent à la classe S Rd , alors ∆j (fg)
s’écrit sous la forme (6.1.1). Il suffit d’écrire

∆j (f g) = ∆j Sj−2 f +
∞
X
k=j−2

∆k f  Sj−2 g +
∞
X
l=j−2

∆l g
et d’examiner le support de la transformée de Fourier.
On peut réecrire le lemme 6.1.2 sous la forme
· −s,∞
¡ ¢
Lemme 6.1.3 Si f et g appartiennent à la classe S Rd de Schwartz et h ∈ B∞
(s > 0),
alors on a
Z
fghdx =
Z
π(h, f )gdx +
Z
π(h, g)fdx +
Z
R(h, f)gdx +
Z
R(h, g)f dx
Cette fois, contrairement à notre habitude, il sera un peu plus commode d’utiliser les espaces
. r
H plutôt que les espaces H r . Le rôle des espaces de Besov et les opérateurs paraproduits sont
expliqués dans la proposition suivante :
Proposition 6.1.1 (LG) Soient 0 ≤ r <
d
2
et |s| < r. Alors les propriétés suivantes sont
équivalentes
³.r
. s´
(a) h ∈ M H → H
· s−r,∞
(b) h ∈ B∞
. r
. s
et π(h, .) envoie continûement H dans H
177
6.2
Espaces de Lorentz
Nous allons rappeler dans ce paragraphe la définition des espaces de Lorentz, ainsi que quelques
propriétés. Le lecteur intéressé pourra trouver un développement exhaustif et appronfondi sur
le sujet dans ([BL], [SW], [Hu]).
Les espaces de Lorentz constituent une généralisation des espaces de Lebesgue. Leur intérêt
réside (entre autres) dans le fait qu’ils permettent de préciser beaucoup d’estimation établies
dans les espaces de Lebesgue. Soit f une fonction de Rd à valeurs réels dans R, mesurable par
rapport à la mesure de Lebesgue |.|, finie presque partout. Nous rappelons la définition de la
fonction de distribution λf (s) et la fonction réarrangement décroissant f ∗ de f .
Définition 6.2.1 (fonction de distribution) La fonction réangeant λf (s) de f est définie
pour tout s > 0 par
¯n
o¯
¯
¯
λf (s) = ¯ x ∈ Rd : |f(x)| > s ¯
Définition 6.2.2 (fonction réarrangement décroissant) La fonction réarrangement décroissant f ∗ (t) de f est définie par
f ∗ (t) = inf {s > 0 : λf (s) ≤ t}
Il est facile de voir que f ∗ est décroissante. Par ailleurs, on parle de réarrangement car la
fonction de distribution de f coïncide avec celle de f ∗ , à savoir λf (s) = λf ∗ (s). En effet, grâce
aux définitions de f ∗ et de λf , on a
f ∗ (λf (s)) ≤ s
et donc λf ∗ (s) ≤ λf (s) car f ∗ est décroissante. De plus, si l’inégalité était stricte λf ∗ (s) < λf (s),
on obtiendrait l’absurde
λf (s) > t0 > λf ∗ (s) = sup {t > 0 : λf (s) > t} ≥ t0 .
¡
¢
Cela nous permet alors de réecrire la norme d’une fonction dans l’espace de Lebesgue Lp Rd , dx
178
comme la norme dans Lp ([0, +∞] , dt) de la fonction f ∗ associée; plus précisement,
Z
p
|f (x)| dx =
Rd
=
Z
|fZ(x)|
p−1
pt
dtdx =
Rd 0
Z∞
ptp−1 λf (t)dt =
0
Z∞ Z
κλf (t) ptp−1 dtdx
0 Rd
∞
Z
ptp−1 λf ∗ (t)dt
0
Z∞ ³
´p dt
1
t p f ∗ (t)
=
t
(6.2.1)
0
Venons à la définition de l’espace de Lorentz.
Définition 6.2.3 (espaces de Lorentz) Soient p, q deux réels tels que p ∈ ]0, +∞[ et q ∈
]0, +∞]. Les espaces de Lorentz Lp,q sont définis de la façon suivante :
³ ´
Lp,q Rd = {f mesurable : kf k∗Lp,q < +∞}
où
kf k∗Lp,q
 µ
iq ¶ 1q
∞h


 q R t p1 f ∗ (t) dt
pour 0 < p < +∞ , 0 < q < +∞
p
t
=
0
h
i

1


supt>0 t p f ∗ (t) pour 0 < p < +∞ , q = +∞
La fonction f → kfk∗Lp,q n’est pas une norme car on n’a pas
(f + g)∗ (t) ≤ f ∗ (t) + g ∗ (t)
il suffit par exemple de considérer f(x) = 1 − x et g(x) = x sur R mais seulement
t
t
(f + g)∗ (t) ≤ f ∗ ( ) + g ∗ ( )
2
2
Elle est cependant une quasi-norme car elle vérfie les propriétés suivantes
(i) kf k∗Lp,q ≥ 0 et kfk∗Lp,q = 0 si et seulement si f = 0;
(ii) kλf (x)k∗Lp,q = λ kfk∗Lp,q pour tout λ ∈ R;
(iii) kf + gk∗Lp,q ≤ C (kfk∗Lp,q + kgk∗Lp,q ), C ≥ 1;
179
et donc Lp,q est un espace vectoriel réel quasi-normé. La quasi-norme permet de définir
les ouverts d’une façon naturelle et une topologie qui est compatible avec la structure d’espace
vectoriel. Les espaces de Lorentz Lp,q sont métrisables, complets et pour q < +∞ séparables.
L’égalité (6.2.1) montre que Lp,p = Lp et on verra plus loin que Lp,q1 ⊂ Lp,q2 lorsque 0 < q1 ≤
q2 ≤ +∞. Par ailleurs, l’espace Lp,∞ coïncide avec l’epace de Marcinkiewicz Lp,∗ défini par
Lp,∗ = {f mesurable : kf kLp,∗ < +∞}
où
¯n
o¯ 1
¯
¯p
kfkLp,∗ = supt ¯ x ∈ Rd : |f(x)| > t ¯
t>0
En effet, ∀t > 0 on a
1
1
t p f ∗ (t) = t p inf {s > 0 : λf (s) ≤ t}
½
¾
p
1
(kfk
p,∗ )
L
≤ t p inf s > 0 :
≤ t = kfkLp,∗
sp
et donc Lp,∗ ⊂ Lp,∞ . Inversement, ∀s > 0
1
1
s (λf (s)) p = s (λf ∗ (s)) p
¯½
¾¯ 1
¯
¯p
kfkLp,∗
¯
≤ s¯ t > 0 :
> s ¯¯ ≤ kfk∗Lp,q
1
tp
Pour 1 < p < +∞, 1 ≤ q ≤ +∞ et p = q = 1, les espaces Lp,q sont de plus des espaces de
Banach.
6.2.1
Dualité, loi de multiplication et de convolution
En utilisant le théorème de dualité des espaces d’interpolation réelle voir [BL], il est facile de
prouver le résultat suivant.
Théorème 6.2.1 (dualité) Soient
1
p
+ p10 = 1,
1
q
+ q10 = 1 et 1 < p < +∞, 1 ≤ q < +∞. Alors
0
(Lp,q )0 = Lp ,q
180
0
Venons-en maintenant à l’étude du produit ponctuel et de la convolution. Les inégalités de
Hölder se généralisent tout naturellement.
Théorème 6.2.2 (inégalités de Hölder généralisées) Soient 0 < q0 , q1 , q2 ≤ +∞, 0 <
1
q0
p0 , p1 , p2 < +∞ tels que
+
1
q1
=
1
1
q2 , p0
+
1
p1
=
1
p2 .
Il existe une constante C =
C (q0 , q1 , p0 , p1 ) > 0 telle que pour toute fonction f ∈ Lp0 ,q0 et g ∈ Lp1 ,q1 , on a
kf gkLp2 ,q2 ≤ C kfkLp0 ,q0 × kgkLp1 ,q1
La preuve du théorème 6.2.2 (ainsi que celle du théorème ??) que nous présentons utilise de
façon essentielle la caractéristique des espaces de Lorentzs à l’aide de la J-méthode d’interpolattion
réelle et elle est due dans le cas p > 1 et q ≥ 1 à P.G. Lemarié-Rieusset [Lem3].
Définition 6.2.4 (J-méthode réele d’interpolation) Soient θ ∈ ]0, 1[ , 0 < q ≤ +∞ et A0
, A1 deux espaces vectoriels quasi-normés. Alors
[A0 , A1 ]θ,q

X


aj avec aj ∈ A0 ∩ A1
 a ∈ A0 + A1 : a =
j
=
´´
³
³


 et 2−jθ max kaj kA , 2j kaj kA
∈ lq
0
1
j∈Z
On peut montrer que l’application
kaj k[A0 ,A1 ]
θ,q







1

´´q q
³
X³

2−jθ max kaj kA0 , 2j kaj kA1
=
j
définit une quasi-norme dans [A0 , A1 ]θ,q . De plus, si A0 , A1 sont deux espaces de Banach
[A0 , A1 ]θ,q l’est aussi. Par ailleurs, il est évident que
[A0 , A1 ]θ,q1 ⊂ [A0 , A1 ]θ,q2 pour 0 < q1 ≤ q2 ≤ +∞
Pour p > p0 > 0 et en choisissant θ = 1 − pp0 , les espaces d’interpolation [Lp0 , L∞ ]θ,q coïncident
avec les espaces de Lorentz Lp,q . Plus généralement, on a le résultat suivant
Théorème 6.2.3 (interpolation réelle) Soient 0 < p0 , p1 , q0 , q1 ≤ +∞ ,
181
1
p
=
1−θ
p0
+
θ
p1
et
0 < q ≤ +∞ avec 0 < θ < 1. Alors si p0 6= p1
[Lp0 ,q0 , Lp1 ,q1 ]θ,q = Lp,q
avec équivalence des quasi-normes.
Revenons-en à la démonstration du théorème 6.2.2
Preuve. Soit 0 < p < min (p0 , p1 , p2 ) de façon à ce que Lpi ,qi = [Lp , L∞ ]1− p ,qi , i = 0, 1, 2
pi
et τ = min (1, q0 , q1 , q2 ) . Nous avons vu les fonctions f ∈
Lp0 ,q0
et g ∈
Lp1 ,q1
admettent les
décompositions atomiques suivantes
f=
X
j
µ ³ p´
¶
¡
¢
−j 1− p
j
0
fj avec 2
max kfj kLp , 2 kfj kL∞
j∈Z
= ( j )j ∈ lq0
et de façon analogue
g=
X
gj avec
µ ³ p´
¶
¡
¢
−j 1− p
1
2
max kgj kLp , 2j kgj kL∞
j∈Z
j
¡ ¢
= η j j ∈ lq1
Dans le but de montrer que fg ∈ Lp2 ,q2 , nous allons écrire



X
XX
XX
X
fj  
gj  =
fj gk +
fk gj
fg = 
j
=
X
j
αj +
j
X
j
βj
j
182
k>j
j
k≥j
° °
° °
et on va estimer kαj kL∞ et kαj kLp (le calcul est similaire pour °β j °L∞ et °β j °Lp ). Pour
kαj kL∞ , on a
kαj kλL∞
λ

X
≤
gk  kfj kλ ∞
L
k>j
≤
X
k>j
kgk kλL∞ kfj kλL∞


µ ³p p´ ¶
X −(k−j) p λ
−j
+
λ λ
λ
p
1 η 
2 p1 p0
≤
2
j
k
k>j


X −(k−j) p λ
−j pp λ
p1 η λ  2
2
=
2
k
λ
j
k>j


X −(k−j) p λ
q1
p1 η λ  ∈ l λ par convolution parce que
Comme 
2
k
k>j
q1
λ
j
, on peut conclure que
jλ pp
2
2
≥ 1 et
³ ´
λ
j
j
q0
∈ l λ car
q0
λ
≥1
q2
kαj kλL∞ ∈ l λ
On a également
kαj kλLp ≤
X
k>j
kgk kλL∞ kfj kλLp


µ ³ p´ ¶
X −k p λ
j 1− p λ λ
0
≤
2 p1 η λk  2
j
k>j


µ ³ p´
¶ X
p
p
j 1− p λ −j p λ λ
−(k−j) p λ λ 
0
1 η
≤ 2
2 1 j 
2
k
k>j


X −(k−j) p λ
q1
p1 η λ  ∈ l λ encore par convolution parce que
En utilisant le fait que 
2
k
³ ´
λ
j
j
k>j
∈l
q0
λ
car
q0
λ
j
≥ 1 , il vient que
³
´
−jλ 1− pp
2
2
q2
kαj kλLp ∈ l λ
183
q1
λ
≥ 1 et
Les inégalités de Young restent aussi vraies dans les espaces Lp,q , 1 < p < +∞ , 1 ≤ q ≤ +∞.
Théorème 6.2.4 (inégalités de Young généralisées) Soient f ∈ Lp0 ,q0 et g ∈ Lp1 ,q1 , avec
1 < pi < +∞, 1 ≤ qi ≤ +∞. Alors si 0 <
1
p2
=
1
p0
+
1
p1
− 1 et
1
q0
+
1
q1
=
1
q2
≤1 :
kf ∗ gkLp2 ,q2 ≤ C kfkLp0 ,q0 kgkLp1 ,q1
Preuve. La démonstration peut se faire de façon tout à fait analogue au cas du produit en
utilisant cette fois-ci que
£ 1 ∞¤
L , L 1− 1 ,qi = Lpi ,qi
pi
et en décomposant

 Ã
!
X
X
XX
XX
fj  ∗
gk =
fj ∗ gk +
fk ∗ gj
f ∗g =
j
j
k
k>j
j
k≥j
Remarque 17 Pour 1 < p < +∞ et 1 ≤ q ≤ +∞, on a aussi L1 ∗ Lp,q 2→ Lp,q grâce au fait
que L1 ∗ L∞ 2→ L∞ , L1 ∗ L1 2→ L1 et au théorème d’interpolation de Marcinkiewicz [BL] et que
0
0
Lp ,q ∗ Lp,q 2→ L∞ pour
6.2.2
1
p
+
1
p0
=
1
q
+
1
q0
=1
Injections de Sobolev
Nous allons rappeler une version préciseé du théorème de Hardy-Littlewood-Sobolev d’intégration
fractionnaire [St1].
Théorème 6.2.5 (Injections de Sobolev) Soient 0 < r < d, 1 < p <
d 1
r, t
=
1
p
−
r
d
et
q ∈ [1, +∞]. Alors il existe une constante C > 0 telle que ∀f ∈ Lp,q
°
°
°
−r °
°(−∆) 2 f °
Lt,q
≤ C kfkLp,q
r
Preuve. Il faut remarquer que l’opérateur d’intégration fractionnaire (−∆)− 2 est défini à
une constante près par la convolution avec |x|r−d et donc d’après la remarque 17, il est continu
184
d
d
de L1 dans L d−r ,∞ et de L r dans L∞ . Enfin, à l’aide du théorème de Marcinkiewicz, nous
pouvons alors conclure.
6.3
. r
. s
L’espace M(H (R ) → H (Rd )) et son prédual Zr,−s .
d
Maintenant, on introduit les espaces de multiplicateurs singuliers entre les espaces de sobolev
. r
. s
homogènes H et H
³ . r¡ ¢
. s¡
¤
£
¢´
Définition 6.3.1 Soient r, s ∈ − d2 , d2 tels que r ≥ s. Alors on définit M H Rd → H Rd
comme un sous-espace de distributions f tel qu’ il existe une constante C sachant que pour tout
. s
ϕ ∈ S, on a ϕf ∈ H et
kϕfkH. s ≤ C kϕkH. r
On définit ainsi la norme k.kM³H. r →H. s ´ par
kfkM³H. r →H. s ´ = sup
ϕ∈S
kϕf kH. s
kϕkH. r
Puisqu’on a
|hfϕ, ψi|
. r kψk . −s
ϕ,ψ∈S kϕkH
kfkM³H. r →H. s ´ = sup
on trouve
6.3.1
H
³.r
³ . −s
. s´
. −r ´
M H →H =M H →H
Produit de deux distributions
. r
Maintenant, on vérifie que le produit entre une distribution dans H et une distribution dans
. s
¡ ¢
H est bien défini comme une distribution dans S 0 Rd dés que r ≥ −s. Le théorème suivant
décrit les propriétés du produit que nous aurons à utiliser par la suite dont la démonstration
nous a été signalée par P.G. Lemarié.
£
¤
Théorème 6.3.1 Soient r, s, θ ∈ − d2 , d2 tels que r ≥ −s.
185
(i) Si r > −s, posons θ = d2 − (r + s). Alors il exsite une constane C (r, s) ≥ 0 telle que pour
¡ ¢
tout ϕ, ψ et ω ∈ S Rd , on a
|hϕψ, ωi| ≤ C (r, s) kϕkH. r kψkH. s kωk . θ
(6.3.1)
H
¡ ¢
(ii) Si r = −s, alors il exsite une constane C (r) ≥ 0 telle que pour tout ϕ, ψ et ω dans S Rd ,
on a
° d ° ´
³
°
°
b° 2
|hϕψ, ωi| ≤ C (r) kϕkH. r kψk . −r kb
ω kL1 + °|ξ| 2 ω
H
(6.3.2)
L
Preuve. (i) Remarquons en premier lieu qu’on a θ + r + s =
d
2
donc
¤
£
avec r, s, θ ∈ − d2 , d2 . On a
θ + r > 0 et θ + s > 0
On peut supposer que r > 0 et s > 0. Il y a deux cas à considérer
1. θ ≥ 0 : On utilise les injections de Sobolev
. r
. s
. θ
H ⊂ Lp1 , H ⊂ Lp2 et H ⊂ Lp3
avec
1
1
1
1 r 1 s 1 θ
+
+
= − + − + − =1
p1 p2 p3
2 d 2 d 2 d
2. θ < 0 : On peut en effet écrire
°
³
´°
°
b °
kϕψk . −θ = °|ξ|−θ ϕ
b∗ψ
° 2
H
L
³°³
´ ¯ ¯°
¯ b ¯°
−θ
−θ °
≤2
ϕ| ∗ ¯ ψ
° |ξ| |b
¯°
L2
¯ ¯´
°³
° ´
¯b¯
°
°
+ ° |ξ|−θ ¯ψ
ϕ|° 2
¯ ∗ |b
L
Pour montrer ce théorème, nous utilisons donc les espaces de Lorentz :
d
pour α ∈ ]0, d[ , |ξ|−α ∈ L α ,∞ ;
186
Pour p1 , p2 ∈ (1, ∞) et q1 , q2 ∈ [1, ∞], le produit ponctuel
(f, g) → fg envoie continûement Lp1 ,q1 × Lp2 ,q2 dans Lp,q
avec
1
1
1 1
1
1
+
= ,
+
= dés que p > 1 et q ≥ 1
p1 p2
p q1 q2
q
et le produit de convolution
(f, g) → f ∗ g envoie continûement Lp1 ,q1 × Lp2 ,q2 dans Lp,q
avec
1
1
1 1
1
1
+
− 1 = 0,
+
= dés que 1/ p0 > 0 et q ≥ 1
p1 p2
p q1 q2
q
Puisque
0
L2,2 = L2 et Lp,q ⊂ Lp,q pour q ≤ q0
en définissant
1
1 (r + θ)
1 s
1
1
1
1
= +
= + dés que
+
=
et
p1
2
d
p2
2 d
p1 p2
2
on obtient
°³
´ ¯ ¯°
¯ b ¯°
°
−θ
ϕ| ∗ ¯ ψ
° |ξ| |b
¯°
L2
° °
°b°
°ψ ° p ,2
Lp1 ,2
L 2
°
°
°
°
b°
≤ C 0 k|ξ|r ϕ
b kL2 °|ξ|s ψ
2
°
°
°
°
≤ C °|ξ|−θ ϕ
b°
L
00
≤ C kϕkH. r kψkH. s
Des estimations analogues sont vraies pour
¯ ¯´
°³
°
°
°
−θ ¯ b ¯
ϕ|°
° |ξ| ¯ψ¯ ∗ |b
L2
. θ
. −θ
D’où, on obtient (6.3.1) par dualité entre H et H
187
. (ii) La démonstration est analogue
au cas (2) : si r = 0, le résultat est immédiat puique
ω kL1
kωkL∞ ≤ C kb
Si r > 0, on écrit
ϕ∗ω
b )kL2
kϕωkH. r = k|ξ|r (b
≤ C2r (k(|ξ|r |b
ϕ|) ∗ |b
ω |kL2 + k(|ξ|r |b
ω|) ∗ |b
ϕ|kL2 )
et on utilise les injections suivantes
L2 ∗ L1 ⊂ L2 et Lp1 ,2 ∗ Lp2 ,2 ⊂ L2
avec
1
1 r
1 (d/2 − r)
1
= + et
= +
p1
2 d
p2
2
d
ce qui achève la démonstration du théorème.
¤
£
Corollaire 6.3.2 Soient r, s ∈ − d2 , d2 tels que r ≥ −s. Alors le produit ponctuel (f, g) → fg
. r
. s
¡ ¢
se prolonge en un opérateur bilinéaire défini sur H × H à valeurs dans S 0 Rd .
Dû au théorème 6.3.1, on peut introduire l’espace de Banach suivant :
¤
£
Définition 6.3.2 Soient r, s ∈ − d2 , d2 tels que r ≥ −s. Alors on définit Zr,−s comme un
¡ ¢
sous-espace de S 0 Rd de distributions f qui peut être ecrite sous la forme d’une series
f=
P
fn gn
n∈N
avec
P
n∈N
kfn kH. r kgn kH. s < ∞
188
muni de la nome
kfkZr,−s = min
f
½
P
n∈N
kfn kH. r kgn kH. s : f =
P
fn gn
n∈N
¾
³ . r¡ ¢
. s¡
¢´
On débute par le lemme suivant sur l’espace M H Rd → H Rd
Lemme 6.3.1 Soit 0 ≤ r < d2 et |s| ≤ r. Alors
³ . r¡ ¢
³ . r¡ ¢
. s¡
. s¡
¢´
¢´
(i) Pour ω ∈ S et f ∈ M H Rd → H Rd , f ∗ ω ∈ M H Rd → H Rd et
kf ∗ ωkM³H. r
. s
´
(Rd )→H (Rd )
≤ kωkL1 kfkM³H. r
. s
´
(6.3.3)
(Rd )→H (Rd )
³ . r¡ ¢
. s¡
¢´
(ii) Il existe une constante C(r) telle que pour tout ω ∈ S et f ∈ M H Rd → H Rd ,
³ . r¡ ¢
. s¡
¢´
on a f ω ∈ M H Rd → H Rd et
kfωkM³H. r
. s
(Rd )→H (Rd )
´
° d
³
°
≤ C(r) kb
ω kL1 + °|ξ| 2
° ´
°
ω
b ° 2 kfkM³H. r
L
. s
´
(Rd )→H (Rd )
(6.3.4)
Preuve. (i) C’est immédiat à vérifier : pour tout ϕ et ψ ∈ S , on peut écrire
hω ∗ f, ϕψi =
. r
Z
ω(y) hf(x), ϕ(x + y)ψ(x + y)i dy
. s
et comme les normes de H et H sont invariants par translation, on peut en déduire le résultat.
(ii) L’inégalité (6.3.4) est une conséquence direct de (6.3.2).
³ . r¡ ¢
. s¡
¢´
Proposition 6.3.1 Soit 0 ≤ r < d2 et |s| ≤ r. Alors M H Rd → H Rd est un espace
de Banach. Plus précisement, il est le dual de l’espace Zr,−s .
Preuve. La démonstration de cette proposition ne présente aucune difficulté. Nous observons d’abord que
³ ´
³ ´
o
n
(Zr,−s )∗ = f ∈ S 0 Rd : ∃C ≥ 0, ∀ϕ ∈ S Rd |hf, ϕi| ≤ C kϕkZr,−s
Puisque
kϕψkZr,−s ≤ kϕkH. r kψk . −s
H
189
on a immédiatement
´´
³ . r³ ´
. s³
(Zr,−s )∗ ⊂ M H Rd → H Rd
Réciproquement, il est facile de remarquer que chaque ϕ ∈ S appartient à Zr,−s et qu’on peut
écrire
ϕ=
P
n∈N
avec ϕn , ψ n ∈ S où
P
n∈N
Nous doit alors démontrer que
ϕn ψn (dans S 0 )
kϕn kH. r kψ n k . −s ≤ 2 kϕkZr,−s
H
hf, ϕi =
P
hf, ϕn ψ n i
n∈N
Pour cela, introduisons une fonction radiale ω ∈ S, avec
ω(0) = 1 et
Z
ωdx = 1
Rd
Pour R > 0, on définit
¡
¢
ω R (x) = ω R−1 x et CR (x) = Rd ω (Rx)
Posons
fR = CR ∗ (ω R f)
Remarquons qu’on a
fR ∈ S , fR → f dans S 0 quand R → ∞
et évidemment
° d ° ´
³
°
°
ω kL1 + °|ξ| 2 ω
b ° 2 kfkM³H. r →H. s ´
kfR kM³H. r →H. s ´ ≤ C (r) kωkL1 + kb
L
enfin, on trouve
hfR , ϕi =
P
n∈N
hfR , ϕn ψ n i ,
lim hfR , ϕi = hf, ϕi
R→∞
lim hfR , ϕn ψn i = hf, ϕn ψ n i
R→∞
190
et
P
sup hfR , ϕn ψn i < ∞
n∈N R>0
Le théorème de convergence dominée de Lebesgue fournira alors la proposition 6.3.1.
6.3.2
Les opérateurs différentiels et intégales fractionnaires
Nous allons maintenant introduire les opérateurs qui font l’objet de notre étude. Distinguons
les deux classes d’opérateurs suivantes
Définition 6.3.3 Soit ω0 ∈ D tel que
/ supp ω 0
ω 0 ψ0 = 1 et 0 ∈
Alors,
. −s,∞
(i) On définit l’opérateur différentiel fractionnaire Dρ (ρ > 0) sur B ∞
Dρ f =
P
j∈Z
. −s,∞
L’opérateur Dρ applique B ∞
, s > 0, par
¢¢
¡
¡
F −1 |ξ|ρ ω 0 2−j ξ ∗ ∆j f
. −(s+ρ),∞
dans B ∞
continûement.
. −s,∞
(ii) On définit l’opérateur d’intégrale fractionnaire I ρ (0 < ρ < s) sur B ∞
I ρf =
P
j∈Z
. −s,∞
L’opérateur I ρ applique B ∞
, s > 0, par
¡
¡
¢¢
F −1 |ξ|−ρ ω 0 2−j ξ ∗ ∆j f
. −(s+ρ),∞
dans B ∞
continûement.
Avec ces notations, il est aisé de vérifier que pour s > 0 et 0 < ρ < s, on a l’dentité
. −s,∞
Dρ I ρ = I ρ Dρ = Id sur B ∞
De plus, on a
Dρ Dσ = Dρ+σ et I ρ I σ = I ρ+σ
191
. −s,∞
En plus, I ρ et Dρ sont auto-adjoints: en effet, si f ∈ B ∞
Z
et
Z
XZ
ρ
(D f ) .gdx =
ρ
(D ∆j f) .gdx =
j∈Z
XZ
ρ
(I f) .gdx =
et g ∈ S, il vient
XZ
f (Dρ ∆j g) dx
XZ
f (I ρ ∆j g) dx
j∈Z
ρ
(I ∆j f ) .gdx =
j∈Z
j∈Z
³ . r¡ ¢
. s¡
¢´
On doit alors démontrer le résultat en considérant le prédual Zr,−s de M H Rd → H Rd .
Proposition 6.3.2 Soit 0 ≤ r <
d
2
et |s| < r. Alors
(i) Si 0 < ρ < r + s, alors
Dρ envoie Zr,s dans Zr,s−ρ continûement
(ii) Si 0 < ρ < r − s, alors
I ρ envoie Zr,s dans Zr,s+ρ continûement
De plus, les opérateurs
Dρ envoie Zr,r dans Zr,r−ρ continûement (0 < ρ < 2r)
Preuve. Avant de prouver ce résultat, remarquons que Dρ et I ρ s’écrivent sous la forme
³ ρ ´N
³ ρ ´N
et I ρ = I N
Dρ = D N
d’où, pour démontrer cette proposition, on revient à la définition de l’opérateur différentiel Dρ
pour 0 < ρ < 1. On a alors la formule de l’opérateur différentiel Dρ pour tout f ∈ S
ρ
D f = C (ρ)
Z
f (x) − f(y)
Rd
192
|x − y|d+ρ
dy
où C (ρ) est une constante positive. Alors on aura
Dρ (fg) (x) = f(x)Dρ g(x) + g(x)Dρ f(x) − C (ρ)
Z
[f (x) − f(y)] [g(x) − g(y)]
|x − y|d+ρ
Rd
dy
En utilisant le paraproduit, on écrit ( si s < ρ)
f g = π (g, f) + R (f, g)
avec
π (g, f) =
P
Sj−2 f ∆j g =
j∈Z
et
R(f, g) =
P
3
P P
Sj+3 g∆j f =
j∈Z
Ceci entraîne
∆j+l (Sj−2 f∆j g)
j∈Z l=−3
P
Sj+4 (Sj−2 f∆j g)
j∈Z
Dρ (f g) = fDρ g + π (g, Dρ f) + R(Dρ f, g) − C (ρ) (A + B)
avec
A(x) =
P
j∈Z
et
B(x) =
P
j∈Z
Z
Z
[Sj−2 f(x) − Sj−2 f(x − y)] [∆j g(x) − ∆j g(x − y)]
|y|d+ρ
dy
[Sj+3 g(x) − Sj+3 g(x − y)] [(∆j f(x) − ∆j f(x − y))]
|y|d+ρ
dy
Examinons chacun des quatres termes. On observe le premier terme résulte trivialement de
kfDρ gkZr,s−ρ ≤ kfkH. r kDρ gk . s−ρ ≤ C kfkH. r kgkH. s
H
On observera que
kπ (g, Dρ f )kZr,s−ρ ≤
P
j∈Z
≤C
kSj−2 Dρ fkH. r k∆j gk . s−ρ
H
Ã
P
!1
2
4
−jρ
j∈Z
193
kSj−2 D
ρ
f k2. r
H
kgkH. s
et
P
j∈Z
4−jρ kSj−2 Dρ fk2H. r ≤ C
P
4−jρ
j∈Z
= C0
P
k∈Z
P
k≤j−3
4k(ρ+r) k∆k f k2L2
4kr k∆k fk2L2
ainsi que
kπ (g, Dρ f )kZr,s−ρ ≤ C kfkH. r kgkH. s
De façon analogue, on écrit
kR(Dρ f, g)kZr,s−ρ ≤
P
j∈Z
≤C
kSj+3 gkH. r k∆j Dρ fk . s−ρ
H
Ã
!1
2
P
j∈Z
4−j(r−s) kSj+3 gk2H. r
kfkH. r
et
P
j∈Z
4−j(r−s) kSj+3 gk2H. r ≤ C 0
P
4−j(r−s)
j∈Z
= C”
P
k∈Z
P
k≤j+2
4kr k∆k gk2L2
4ks k∆k gk2L2
ainsi
kR(Dρ f, g)kZr,s−ρ ≤ C kfkH. r kgkH. s
en ce qui concerne A, on a
kAkZr,s−ρ ≤
P
j∈Z
Z kS f(x) − S f(x − y)k . r k∆ g(x) − ∆ g(x − y)k . s−ρ
j−2
j−2
j
j
H
H
|y|d+ρ
Alors, on écrit pour tout h ∈ S et |θ| <
Z k(h(x) − h(x − y)k . θ
H
|y|d+ρ
d
2
¯
¯
ZZ ¯
¯
iξ.y 2
¯b ¯2 2θ ¯1 − e ¯
dy =
dydξ
¯h (ξ)¯ |ξ|
|y|d+ρ
Z ¯
¯2
¯
¯
= C (θ, ρ) ¯b
h (ξ)¯ |ξ|2θ+ρ dξ
194
dy
cela entraîne
P
kAkZr,s−ρ ≤ C
≤C
j∈Z
0
Ã
kSj−2 f k . r+ ρ2 k∆j gk . s− ρ2
H
P
−j ρ2
4
j∈Z
H
!1
2
2
kSj−2 f k . r+ ρ2
H
kgkH. s
Ceci donne
kAkZr,s−ρ ≤ C kfkH. r kgkH. s
et de façon semblable, on a
kBkZr,s−ρ ≤
P
j∈Z
Z kS g(x) − S g(x − y)k . r k∆ f(x) − ∆ f (x − y)k . s−ρ
j+3
j+3
j
j
H
H
d+ρ
|y|
ainsi
kBkZr,s−ρ ≤
P
j∈Z
≤C
0
kSj+3 gk . r+ ρ2 k∆j fk . s− 2ρ
H
Ã
P
−j
4
(ρ+r−s)
2
H
kSj+3 gk . r+ ρ2
H
j∈Z
!1
2
2
il vient finalement
kBkZr,s−ρ ≤ C kfkH. r kgkH. s
Tout cela mis ensemble donne
kDρ (fg)kZr,s−ρ ≤ C kfkH. r kgkH. s
La même démonstration se fait pour r = s en écrivant
Dr (fg) = fDr g + gDr f − C (ρ) (A + B)
195
kfkH. r
dy
Maintenant, on considère I ρ (f g) .On écrit
fg =
P
2
P P
Sj−2 g∆j f +
j∈Z
∆j f ∆j+l g +
j∈Z l=−2
= I + II + III
P
Sj−2 f∆j g
j∈Z
On contrôle aisement I ρ (I) : On écrit
Ψρ =
2
P
l=−2
et
ρ
I (I) =
P
j∈Z
d’où
Z
³
³
´´
F −1 |ξ|−ρ ψ 0 2−l ξ
¡ ¢
2j(d−ρ) Ψρ 2j y Sj−2 g (x − y) ∆j f (x − y) dy
kI ρ (I)kZr,s−ρ ≤ kΨρ kL1
P
j∈Z
≤ C kfkH. r
Ã
2−jρ kSj−2 gkH. r k∆j f k . s+ρ
H
P
!1
2
j(s−r)
2
j∈Z
≤ C kfkH. r kgkH. s
kSj−2 gk2H. r
, (s < r)
Le contrôle de I ρ (II) est aussi simple. En effet, grâce à l’injection
³.r
. −s−ρ ´
. −s−r−ρ,∞
⊂ B∞
M H →H
. s+r+ρ,1
et à la densité de S dans le prédual B 1
. −s−r−ρ,∞
de B ∞
, montre que
kI ρ (II)kZr,s−ρ ≤ C kI ρ (II)k . s+r+ρ,1
B1
≤C
P
2
P
j∈Z l=−2
kI ρ (∆j f ∆j+l g)k . s+r+ρ,1
B1
On déduit de l’inégalité suivante
∀F ∈ L1 , kI ρ (Sj+5 F )k . s+r+ρ,1 ≤ C2j(s+r) kF kL1
B1
196
que
kI ρ (II)kZr,s−ρ ≤ C
par conséquent
(s+r)
ρ
kI (II)kZr,s−ρ ≤ 5C4
2
P P
j∈Z l=−2
Ã
P
j∈Z
2j(s+r) k∆j f kL2 k∆j+l gkL2
!1
2
jr
4
k∆j fk2L2
×
Ã
P
!1
2
js
4
j∈Z
k∆j gk2L2
Donc, on a
kI ρ (II)kZr,s−ρ ≤ C kf kH. r kgkH. s
Dans l’ordre d’établir I ρ (III), on écrit G = I ρ g (g = Dρ G). On écrit alors
Dρ (Sj−2 f∆j g) (x) = Sj−2 f(x)∆j g(x) + Sj−2 Dρ f(x)∆j G(x)−
Z
[Sj−2 f (x) − Sj−2 f(x − y)] × [∆j G(x) − ∆j G(x − y)]
dy
− C (ρ)
|y|d+ρ
D’où, on trouve
I ρ (III) = IV − V + C (ρ) V I
avec
IV =
P
j∈Z
V =
P
j∈Z
et
Z
VI =
P
Sj+3 G∆j f
j∈Z
¡ ¢
2j(d−ρ) Ψρ 2j y Sj−2 Dρ f (x − y) ∆j G (x − y) dy
P
j∈Z
avec
Sj−2 f∆j G = fG −
Z Z
¡ ¢ Lj (f) × Kj (G)
2j(d−ρ) Ψρ 2j z
dydz
|y|d+ρ
Lj (f) = Sj−2 f(x − z) − Sj−2 f(x − z − y)
Kj (G) = ∆j G(x − z) − ∆j G(x − z − y)
197
On écrit alors
kIV kZr,s−ρ ≤ kfkH. r kGk . s+ρ +
H
d’où

kIV kZr,s−ρ ≤ C kf kH. r kGk . s+ρ +
H
P
j∈Z
Ã
kSj+3 GkH. r k∆j f k . s+ρ
H
!1 
2
P j(s+ρ−r)
2.

r
4
kSj+3 Gk
H
j∈Z
et enfin, puisque s + ρ < r, on déduit
kIV kZr,s−ρ ≤ C kfkH. r kGk . s+ρ ≤ C 0 kf kH. r kgkH. s
H
Ensuite, on a
kV kZr,s−ρ ≤ kΨρ kL1
D’où
kV kZr,s−ρ
et enfin
X
2−jρ kSj−2 Dρ fkH. r k∆j Gk . s+ρ
H
j∈Z

1
2
X
2
−jρ
ρ
≤ C kGk . s+ρ  4
kSj−2 D fk . r 
H
H
j∈Z
kV kZr,s−ρ ≤ C kDρ fk . r−ρ kGk . s+ρ ≤ C 0 kfkH. r kgkH. s
H
H
Dans le but de contrôler V I, on utilise la propriété de l’invariance par translation de la norme
. t
¢
¡
de l’espace de Sobolev pour écrire que pour tout z ∈ Rd , pout tout t ∈ − d2 , d2 et tout F ∈ H :
kF (x − z)k . t = kF k . t
H
ainsi que
kV IkZr,s−ρ ≤ kΨρ kL1
Ensuite, on écrit
P
j∈Z
Z
−jρ
2
H
kLj (f)kH. r kKj (G)k . s+ρ
H
|y|d+ρ
Z kS f(x) − S f(x − y)k2. r
j−2
j−2
H
|y|d+ρ
198
dy ≤ C kSj−2 f k2. r+ ρ2
H
dy
et
Z k∆j G(x) − ∆j G(x − y)k2. s+ρ
H
|y|d+ρ
dy ≤ C k∆j Gk2. r+ 3ρ
H
2
on trouve
kV IkZr,s−ρ ≤ C
sachant que
kV IkZr,s−ρ ≤ C
Ã
P
j∈Z
P
j∈Z
2−jρ kSj−2 fk . r+ ρ2 × k∆j Gk . r+ 3ρ
H
!1
2
−jρ
2
2
kSj−2 fk
. r+ ρ
2
H
×
H
Ã
P
2
!1
2
−jρ
2
j∈Z
2
k∆j Gk . r+ 3ρ
H
2
et enfin
kV IkZr,s−ρ ≤ C kfkH. r kGk . s+ρ ≤ C 0 kf kH. r kgkH. s
H
ce qui achève la démonstration.
Nous sommes en mesure de démontrer le théorème suivant
Théorème 6.3.3 Soient 0 ≤ s < r <
d
2
et 0 < ρ ≤ r + s. Alors
³ . r¡ ¢
³ . r¡ ¢
. s¡
. s−ρ ¡
¢´
¢´
Rd
(i) si f ∈ M H Rd → H Rd alors Dρ f ∈ M H Rd → H
³ . r¡ ¢
³ . r¡ ¢
. s¡
. s+ρ ¡
¢´
¢´
(ii) si f ∈ M H Rd → H Rd alors I ρ f ∈ M H Rd → H
Rd
. r
. ρ−s
Preuve. On établit (i). Soient ϕ ∈ H et ψ ∈ H
(ρ − s ≤ r) . Alors
Dρ (ϕψ) ∈ Zr,−s
d’où
|hf, Dρ (ϕψ)i| ≤ kfkM³H. r →H. s ´ kDρ (ϕψ)kZr,−s
≤ C kf kM³H. r →H. s ´ kϕkH. r kψk . ρ−s
H
³ . r¡ ¢
³.r
. s´
. s−ρ ¡
¢´
donc Dρ applique M H → H sur M H Rd → H
Rd On établit (ii). Soit −r <
³ . r¡ ¢
³ . r¡ ¢
. σ¡
. s¡
¢´
¢´
σ < s < r. Soient f ∈ M H Rd → H Rd et g ∈ M H Rd → H Rd et posons
199
ρ = s − σ. Soient ϕ et ψ ∈ S. Alors, on a
|hI ρ f, ϕψi| = |hf, I ρ (ϕψ)i| ≤ kfkM³H. r →H. σ ´ kI ρ (ϕψ)kZr,−s
≤ C kfkM³H. r →H. σ ´ kϕkH. r kψk . −s
H
³ . r¡ ¢
³.r
. σ´
. s¡
¢´
sur M H Rd → H Rd . ce qui achève la démonstraDonc I ρ applique M H → H
tion.
6.4
Paramultiplicateurs et multiplicateurs ponctuels
¡ ¢
Rappellons pour commencer qu’à tout opérateur linéaire faiblement T continu de D Rd dans
¡ ¢
¡
¢
D0 Rd correspond un noyau-distribution K ∈ D0 Rd × Rd ; On suppose qu’en dehors de la
diagonale, la restriction de ce noyau est une fonction intégrable K (x, y) vérifiant les estimations
suivantes :
|K (x, y)| ≤ C |x − y|−d
¯
¯
¯
¯
¯
¡
¢¯
¯K (x, y) − K x0 , y ¯ ≤ C ¯x − x0 ¯- |x − y|−d−- pour ¯x − x0 ¯ ≤ 1 |x − y|
2
¯
¯
¯
¯
¯
¢¯
¡
¯K (x, y) − K x, y0 ¯ ≤ C ¯y − y 0 ¯- |x − y|−d−- pour ¯y − y 0 ¯ ≤ 1 |x − y|
2
(P1)
(P2)
(P3)
Quand ces trois conditions sont vérifiées, on dit que T est un opérateur d’intégrale singulière
(SIO). Le théorème de David et Journé donne une condition nécessaire et suffisante pour qu’un
SIO soit continu sur L2 . Une fois cette continuité acquise, on a :
T : Lp → Lp , 1 < p < ∞
L∞ → BMO
L1 → L1,∞
H1 → L1
Une propriété incontournable dans les problèmes de continuité des opérateurs d’intégrales singulières est la propriété d’action bornée du groupe affine Q dont nous rappelons la définition
[M].
200
¡
¢
Définition 6.4.1 Un élément λ de Q est un couple (t, u) t ∈ R∗ , u ∈ Rd agissant sur Rd
par
λ.x = u + tx
Si f est une fonction sur Rd , on définit
−d
λ.f = fλ par fλ (x) = t
f
µ
x−u
t
¶ ³
x ∈ Rd
´
On a la définition suivante
¡ ¢
¡ ¢
Définition 6.4.2 Si T : D Rd → D0 Rd est un opérateur, on définit λ.T = Tλ par
hTλ f, gi = td hT fλ , gλ i (f, g ∈ D)
de sorte que le noyau distribution de T a la densité K(x, y) hors de la diagonale, celui de Tλ a
la densité
td K (u + tx, u + ty)
¡ ¢
¡ ¢
On dit que l’opérateur T : D Rd → D0 Rd vérifie la propriété d’action bornée si l’ensemble des
opérateurs Tλ (λ ∈ Q) est bornée (dans l’espace des opérateurs faiblement continus de D → D0 ) .
Rappelons enfin la définition de la distribution ( modulo les constantes) T (1) ∈ D0 /C qui
joue un rôle essentiel comme dans le théorème de David et Journé. Pour toute fonction g ∈ D0
( i.e. g est une fonction de D d’intégrale nulle), la distribution T ∗ (g), où T ∗ est le transposé
de T coïncide hors du support de g avec une fonction intégrable.
Définition 6.4.3 On désigne par T (1) l’élément de (D0 )0 =D0 /C tel que
hT (1), gi = h1, T ∗ (g)i , g ∈ D0
Il est naturel de se demander comment agit un SIO sur d’autres espaces comme les espaces
de Besov homogènes. Le premier résultat important dans cette direction est le théorème suivant
de P.G.Lemarié-Rieusset [Lem1]
201
Théorème 6.4.1 (Lem1) Soient
∈ ]0, 1] et T ∈ SIO vérifiant (P 2) et la propriété d’action
. s,q
. s,q
bornée. Si T (1) = 0 alors T est un operateur continu de B p dans B p , pour tout s ∈ ]0, [ et
tous p, q ∈ [1, ∞]
Soit β une distribution tempéréé que nous appellerons le facteur du paraproduit; On définit
le paraproduit π (β, f) comme la somme de la série de fonctions C ∞
+∞
P
∆j βSj−3 f
j=−∞
lorsque celle-ci converge dans S’où f est une distribution tempéréé. Dans toute la suite, β sera
. 0,∞
un élément fixé de B p
et Πβ désignera l’opérateur de paraproduit de facteur β. Nous donnons
une défintion des espaces BMOps,q inspirée de celle de [Lem2].
. 0,∞
Définition 6.4.4 (BMOps,q ) Soit β ∈ B p
. β appartient à l’espace BMOps,q si
. s,q
. s,q
Πβ : B p → B p
On a alors facilement un critère de continuité de Besov
Théorème 6.4.2 Soit T ∈ SIO vérifiant (P 2). Alors les assertions suivantes sont équivalentes.
. s,q
. s,q
(i) T est un operateur continu de B p dans B p pour tout s ∈ ]0, [;
(ii) T vérifie la propriété d’action bornée et T (1) ∈ BMOps,q .
Preuve. Ce théorème est malgré son nom un corollaire du théorème et de la définition
. s,q
. s,q
précédente. Si T est continu de B p dans B p , T vérifie la propriété d’action bornée et alors
. 0,∞
T (1) = β ∈ B∞
. Πβ étant continu sur L2 , vérifie la propriété d’action bornée et alors
T0 = T − Πβ
aussi ainsi que les propriétés (P 1), (P 2), (P 3) et T (1) = 0. D’après le théorème 6.4.1, T0 est
. s,q
. s,q
continu de B p dans B p pour tout s ∈ ]0, [. Par différence, on a de même la propriété Πβ ,
202
ce qui implique β ∈ BM Ops,q . Réciproquement, si T vérifie la propriété d’action bornée et
T (1) ∈ BMOps,q , alors
. s,q
. s,q
T = T0 + Πβ est continu de B p dans B p
6.5
.
L’espace Qr
.
Définition 6.5.1 Désignons par Qr l’espace définit par
.
Qr =
(
. r
f ∈ BMO /∀g ∈ H :
P
j∈Z
. r
∆j (f)Sj−3 (g) ∈ H
)
.
Remarque 18 Qr = BMO2r,2 ⊂ BMO
. r
.
Le but de cette section est de montrer que les deux espaces X et Qr sont liés par la relation
. r
.
X = ∇r Qr (0 < r < 1)
.
Nous commençons par la caractérisation suivante de Qr .
Théorème 6.5.1 Soit f ∈ BMO. Les propriétés sivantes sont équivalentes
°
°
°P
°
°
°
∀g ∈ H : °
∆j (f )Sj−3 (g)° ≤ C kgkH. r
°j∈Z
°.r
. r
((1))
H
. r
∀g ∈ H :
Z
P
j∈Z
4jr |∆j (f )|2 |Sj−3 (g)|2 dx ≤ C kgk2H. r
°
°
°P
°
°
°
∀ ( j ) ∈ ±1N , ∀g ∈ H : °
≤ C kgkH. r
j ∆j (f)Sj−3 (g)°
°j∈Z
°.r
. r
((2))
((3))
H
Preuve. (2)⇒(3) et (3)⇒(1) sont immédiats. Pour (1)⇒(3) : Soit T l’operateur défini
par
T :f →
P
j∈Z
203
j ∆j (f)
T a pour noyau
K(x, y) =
P
j∈Z
jd ∨
j2 ω
¡ j
¢
2 (x − y) qui est un noyau standard vérifiant
|K (x, y)| ≤ C
2jd
P
j∈Z (1 + 2j
|∇x K (x, y)| + |∇y K (x, y)| ≤ C
De plus, T est faiblement continu et
|x − y|)
P
d+1
≤ C |x − y|−d
2j(d+1)
j∈Z (1 + 2j
|x − y|)
d+2
≤ C |x − y|−d−1
T (1) = T t (1) = 0
Donc, d’après le théorème de David et Journé T est un operateur de Caldéron-Zygmund et
. r
d’après le théorème 6.4.1, T est continu sur H . Pour montrer l’implication, il faut montrer
.
.
que T est continu sur Qr . Soit donc f ∈ Qr . On note
U = T ◦ Πf
Comme f ∈ BMO, Πf est un operateur de Caldéron-Zygmund qui vérifie
Πf (1) = f et Πtf (1) = 0
Donc, d’après un théorème de composition de P.G.Lemarié-Rieusset, U ∈ CZO. Par hypothèse,
. r
Πf est continu sur H donc U aussi, ce qui implique d’après le théorème 6.4.2 : U(1) = T (f ) ∈
.
Qr . Pour montrer (3) ⇒ (2), on utilise l’inégalité de Kintchine
¯2 °
°¯
¯ ° X
°¯X
¯ °
°¯
¯ °
¯
E°
|aj |2
j aj ¯ ° =
°¯
¯ °
°¯ j
j
204
Pour cela, on écrit
kgk2H. r
En prenant l’espérance sur les
kgk2. r
H
°
°2
°P
°
°
°
≥C°
∆
(f)S
(g)
°
j−3
°j∈Z j j
°.r
H
¯2
¯
Z
¯
¯P
¯
¯
\
∆
= C |ξ|2r ¯
(f
)S
(g)
(ξ)
¯ dξ
j−3
¯
¯j∈Z j j
¯
¯
Z ¯
¯2
¯
¯ P jr
\
2 j ∆j (f )Sj−3 (g) (ξ)¯ dξ
≥C ¯
¯
¯j∈Z
j,
on obtient

Z
≥ CE 
¯2 
¯
¯
¯P
¯
¯
\
2jr j ∆j (f)S
(g)
(ξ)
¯ dξ 
¯
j−3
¯
¯j∈Z
¯
¯2 
Z
¯
¯P
¯
¯
\
≥ C E ¯
2jr j ∆j (f)S
j−3 (g) (ξ)¯ dξ 
¯
¯j∈Z
En utilisant l’inégalité de Kintchine, on trouve
kgk2. r
H
≥C
=C
Z
P
j∈Z
Z
P
j∈Z
¯
¯2
¯
¯
\
4jr ¯∆j (f)S
j−3 (g) (ξ)¯ dξ
4jr |∆j (f)|2 |Sj−3 (g)|2 dx
ce qui achève la démonstration.
. r
On a le même type de caractérisation pour X ,
Théorème 6.5.2 Soit f ∈ BMO−r . Les propriétés sivantes sont équivalentes
°
°
°P
°
°
°
∀g ∈ H : ° ∆j (f)Sj−3 (g)°
°j∈Z
°
. r
L2
. r
∀g ∈ H :
Z
P
j∈Z
≤ C kgkH. r
|∆j (f)|2 |Sj−3 (g)|2 dx ≤ C kgk2H. r
°
°
°P
°
°
°
∀ ( j ) ∈ ±1N , ∀g ∈ H : °
j ∆j (f )Sj−3 (g)°
°j∈Z
°
. r
L2
205
≤ C kgkH. r
(6.5.1)
(6.5.2)
(6.5.3)
Preuve. La démonstration est essentiellement la même que celle de la proposition précédente en vertu du corollaire 1.3.6.
Le but de ce paragraphe est démontrer le résultat suivant
Théorème 6.5.3 ∀r ∈ (0, 1), on a
.
. r
X = ∇r Qr
. r
Preuve. Soient f ∈ BMO−r et g ∈ H . On peut écrire
fg =
P
∆j (f) Sj−3 (g) +
j
+
P
j
P
∆j (g) Sj−3 (f) +
j
P
j
¢
¡
Sj−3 ∆j (g) ∆0j (f)
¡
¢
∆0j ∆j (g) ∆0j (f)
avec
∆0j = ∆j+2 + ∆j+1 + ∆j + ∆j−1 +
. −r,∞
Pour le second terme, comme f ∈ B ∞
, on a
kSj−3 (f)kL∞ ≤ C2jr
donc
k∆j (g) Sj−3 (f)k2L2
=
Z
|∆j (g) Sj−3 (f )|2 dx ≤ C4jr k∆j (g)k2L2
d’où
donc
°
°
°k∆j (g) Sj−3 (f )k 2 ° 2 ≤ C kgk . r
L l
H
P
j
∆j (g) Sj−3 (f) ∈ L2
Pour le troisième terme, le même raisonnement donne
P
j
¢
¡
∆0j ∆j (g) ∆0j (f) ∈ L2
car
°
° 0
°∆j (f)° ∞ ≤ C2jr
L
206
Pour le dernier terme, on prend h ∈ L2 et on écrit
¯*
¯
+¯ ¯ Z
¯ P
¯ ¯P
¯
¢
¡
¯
¯
¯
¯
Sj−3 ∆j (g) ∆0j (f) , h ¯ = ¯
2jr ∆j (g) 2−jr ∆0j (f ) Sj−3 (h) dx¯
¯
¯ j
¯ ¯j
¯
° °
°
P°
≤ °2jr ∆j (g)°L2 °2−jr ∆0j (f) Sj−3 (h)°L2
j
≤ kgkH
. r
°°
° °
°° −jr 0
°
° 2 ∆j (f) Sj−3 (h)°L2 ° 2
l
°°
°
°
° °
°
°
≤ C kgkH. r °°2−jr ∆0j (f ) Sj−10 (h)°L2 + °2−jr ∆0j (f ) ∆”j (h)°L2 ° 2
l
≤ C kgkH. r khkL2
On a donc
°
°
°P
°
°
°
f ∈ X ⇔ ° ∆j (f )Sj−3 (g)°
°j
°
. r
L2
. r
Si f ∈ X , alors
≤ C kgkH. r
f = ∇r h avec h ∈ BMO
et
Z
P
j
avec
donc
Z
.
|∆j (∇r h)|2 |Sj−3 (g)|2 dx ≤ C kgk2. r
H
´ ©
³
ª
cj h ⊂ 2j−1 < |ξ| < 2j+1
sup p ∆
P
j∈Z
4jr |∆j (h)|2 |Sj−3 (g)|2 dx ≤ C kgk2. r
H
. r
.
.
ce qui entraîne h ∈ Qr et donc X ⊂ ∇r Qr . Inversement, si h ∈ Qr , on pose
f = ∇r h avec f ∈ BMO−r
Alors, on a
Z
P
j∈Z
¯
¯2
4jr ¯∆j (∇−r f )¯ |Sj−3 (g)|2 dx ≤ C kgk2H. r
207
donc
Z
. r
P
j∈Z
|∆j (∇r h)|2 |Sj−3 (g)|2 dx ≤ C kgk2. r
H
ce qui entraîne h ∈ X . Ce qui achève la démonstration.
208
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213

1231825

1226140

1232457

1228946

1226713

1226227

1226685

1228608

1229081

1230173

1230166

1228392

1226349

1230103

1229409

1233457

1226543

1231041

1227007

1229499

;docx

1230214