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Homogénéisation et simulation numérique de structures
piézoélectriques perforées et laminées
Houari Mechkour
To cite this version:
Houari Mechkour. Homogénéisation et simulation numérique de structures piézoélectriques perforées
et laminées. Mathématiques [math]. Université de Marne la Vallée, 2004. Français. �tel-00008496�
HAL Id: tel-00008496
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00008496
Submitted on 15 Feb 2005
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recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
Thèse
présentée en vue de l’obtention du
Doctorat de l’Université de Marne-La-Vallée
Spécialité : Mathématiques Appliquées
par
Houari Mechkour
Homogénéisation et simulation
numérique de structures
piézoélectriques perforées et
laminées
Soutenue le 19 Novembre 2004, devant le jury composé de :
Alain Damlamian
Bernadette Miara
Patrizia Donato
Roger Ohayon
Michel Bernadou
Olivier Polit
Michel Bellieud
Professeur, Université de Paris XII
Professeur, ESIEE-Paris
Professeur, Université de Rouen
Professeur, CNAM-Paris
Professeur, Pôle Scientifique Léonard de Vinci
Professeur, Université de Paris X
Maı̂tre de Conférences, Université de Perpignan
Président
Directrice de thèse
Rapporteur
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
Ecole Supérieure d’Ingénieurs en Electronique et Electrotechnique (ESIEE-Paris)
Laboratoire de Modélisation et Simulation Numérique (MOSIM)
Cité Descartes. 2 Bd Blaise Pascal, 93162 Noisy-Le-Grand Cedex, France.
À la mémoire et à l’esprit de mon cher père,
À ma mère,
À mes soeurs,
À mes frères,
À toute ma famille,
Remerciements
♥
♥
♥
Je tiens particulièrement à exprimer ma reconnaissance à Madame Bernadette Miara de
m’avoir beaucoup appris lors de ce travail de thèse, avec patience, générosité et disponibilité. Je
suis particulièrement reconnaissant pour la confiance et le soutien qu’elle m’a toujours accordés.
Je suis très honoré que les Professeurs Patrizia Donato et Roger Ohayon aient accepté d’être
rapporteurs de ma thèse. Je les prie de trouver ici l’expression de ma plus grande grattitude.
Je suis très heureux de la participation au Jury de Messieurs Alain Damlamian, Michel
Bernadou, Olivier Polit et Michel Bellieud. Je leur exprime ma plus grande reconnaissance.
Ce travail doit aussi beaucoup à l’ambiance joyeuse et chaleureuse dans laquelle il a été
effectué. Je pense ici à tous les membres des laboratoires SIGTEL et MOSIM, ainsi qu’au personnel de l’ESIEE.
Par ailleurs, je souhaite exprimer ma sincère gratitude aux membres du Laboratoire de
Mathématiques Appliquées (LMAC) de l’Université Technologique de Compiègne où j’ai exercé
l’année dernière les fonctions d’ATER, pour l’acceuil chaleureux qu’ils m’ont réservé et la
confiance qu’ils m’ont accordés, me permettant ainsi d’achever ma thèse dans les meilleurs
conditions possibles.
Je tiens aussi à remercier pour leurs accueil, les membres du Laboratoire de Modélisation,
Analyse Non Linéaire et Optimisation (MANO) de l’Université de Perpignan, où j’exerce actuellement les fonctions d’ATER.
Tous ceux qui ont consacré du temps pour une relecture attentive de cette thèse et m’ont
apporté leurs remarques et leurs judicieux conseils. A chacun, je vous exprime ma gratitude.
Un grand merci également à Geneviève Baudoin, Josette Durand, Véronique Fèvre, Martine
Elichabe, Michèle Skala et Jean Louis Bazire, pour leur gentillesse et leur aide.
Mes remerciements vont aussi à tous mes amis qui m’ont accompagné et soutenu durant ces
longues années.
Enfin, je remercie toute ma famille, de m’avoir soutenu et encouragé dans la poursuite de
mes études. Cette thèse leur est dédiée.
Houari
Table des matières
Table des matières
i
Table des figures
v
Liste des tableaux
vii
Introduction générale
1
I
9
Homogénéisation de l’équation de la piézoélectricité
1 Rappels sur le problème tridimensionnel
1.1 Description du problème de la piézoélectricité . . . . . . .
1.1.1 Cadre physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Description de la géométrie et des forces envisagées
1.1.3 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Existence et unicité d’une solution . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Rappels des inégalités de Poincaré et de Korn . . .
1.2.2 Deux formulations variationnelles du problème . . .
1.2.3 Théorème d’existence et d’unicité . . . . . . . . . .
1.3 Le problème de point selle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
2.1 Géométrie du domaine perforé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Position du problème traité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Le problème variationnel et l’estimation a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Problème variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Rappel sur les inégalités de Poincaré et de Korn dans un domaine perforé
2.3.3 Estimation a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 La convergence à deux échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Rappel sur la notion de la convergence double échelle . . . . . . . . . . .
2.4.2 Quelques résultats préliminaires de la convergence double échelle . . . . .
2.5 Le résultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Calcul des tenseurs effectifs homogénéisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Les propriétés du problème homogénéisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Les propriétés du tenseur de rigidité homogénéisé . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Les propriétés du tenseur de diélectricité homogénéisé . . . . . . . . . . .
2.7.3 Les propriétés du tenseur de piézoélectricité homogénéisé . . . . . . . . .
2.7.4 Théorème d’existence et d’unicité du problème homogénéisé . . . . . . .
2.8 Comportement asymptotique des énergies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ii
TABLE DES MATIÈRES
2.9 Un résultat de correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.10 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
3.1 Géométrie du domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Géométrie de la surface moyenne . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Définition de la configuration d’une plaque perforée . . . .
3.2 Description du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Problème modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Problème variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Théorème d’existence et d’unicité . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Analyse asymptotique d’une plaque piézoélectrique perforée . . .
3.3.1 Résultats de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Problème local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Conclusions et commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Homogénéisation d’une plaque piézoélectrique perforée . . . . . .
3.4.1 Problèmes modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Problèmes variationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Résultat de convergence pour le problème membranaire . .
3.4.4 Résultat de correcteur pour le problème membranaire . . .
3.4.5 Résultat de convergence pour le problème en flexion . . . .
3.4.6 Résultat de correcteur pour le problème en flexion . . . . .
3.5 Conclusions et commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Géométrie de la coque étudiée . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Définition de la coque . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Géométrie des microstructures . . . . . . . . . . . .
4.3 Rappels sur la méthode d’éclatement périodique . . . . . .
4.4 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Résultat de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Résultat de correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Conclusions et commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
de
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type Koiter
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Simulation numérique des structures piézoélectriques
5 Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Modélisation numérique par la méthode des éléments finis . . . . . . . .
5.2.1 Mise sous forme matricielle du problème variationnel . . . . . . .
5.2.2 Implémentation de la méthode des éléments finis . . . . . . . . . .
5.2.3 Présentation des résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Implémentation d’une méthode analytique . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Présentation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Calcul analytique des tenseurs homogénéisés . . . . . . . . . . . .
5.4 Validation de la méthode des éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Influence de la distribution des perforations sur les propriétés effectives .
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. 117
. 119
Table des matières
5.6
5.7
5.8
iii
Influence de la géométrie des perforations sur les propriétés effectives . . . . . . 121
Influence de la rotation des perforations sur les propriétés effectives . . . . . . . 123
Synthèse et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6 Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Problèmes locaux et tenseurs effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Application hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Remarques et commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Description d’un modèle piézocomposite bilaminé perforé . . . . . . . . .
6.5.1 Application en hydrophonie (imagerie biomédicale) . . . . . . . .
6.5.2 Application en filtrage spatial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Effet d’ordre des convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Conclusions et perspectives
149
Référence
153
Table des figures
2.1
Une structure perforée Ωε et sa cellule de base Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1
La plaque piézoélectrique mince perforée Ωhε = ωε ×] − h, +h[. . . . . . . . . . . 53
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
Comportement macroscopique des tenseurs homogénéisés . . . . . . . . . . . . .
Comparaison entre les deux techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribution géométrique carrée et la cellule de référence . . . . . . . . . . . . .
Distribution géométrique hexagonale et la cellule de référence . . . . . . . . . .
Comparaison entre les deux modèles carré et hexagonal . . . . . . . . . . . . . .
COmportement du facteur de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cellule de base Y dont la perforation est de type circulaire. . . . . . . . . . . . .
Cellule de base Y dont la perforation est de type carrée. . . . . . . . . . . . . .
Cellule de base Y dont la perforation de type hexagonale . . . . . . . . . . . . .
Les propriétés effectives pour trois géométries différentes . . . . . . . . . . . . .
Structure perforée Ωε et sa cellule de base Y avec une rotation d’angle α = 0◦ . .
Structure perforée Ωε et sa cellule de base Y avec une rotation d’angle α = 45◦ .
Structure perforée Ωε et sa cellule de base Y avec une rotation d’angle α = 90◦ .
Comportement des tenseurs homogénéisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison des propriétés hydrostatiques entre les trois rotations . . . . . . .
Comparaison des propriétés acoustiques entre les trois rotations . . . . . . . . .
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6.2
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6.4
6.5
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6.9
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6.15
6.16
La structure du piézocomposite bilaminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le comportement macroscopique d’un matériau bilaminé 3 − 1 . . . . . . . . .
Variation des coefficients hydrostatiques d’un matériau bilaminé 3 − 1 . . . . .
Structure piézocomposite bilaminée Epoxy/PZT-5A de type 1 − 3 perforée Ω ε .
Variation des coefficients hydrostatiques d’un matériau bilaminé perforé 2 − 1
Prototype de A.Preumont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Description du modèle de A.Preumont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison entre les résultats de l’homogénéisation et ceux de A.Preumont .
Comparaison entre les résultats de l’homogénéisation et ceux de A.Preumont .
Comparaison entre les deux distributions dans le modèle de A.Preumont. . . .
Structure piézocomposite bilaminée 2 − 2 Piezoceramic/Epoxy. . . . . . . . . .
Le comportement macroscopique d’un matériau bilaminé 2 − 2 . . . . . . . . .
¯
La comparaison entre les deux coefficients Ĉ11 et C̄ˆ11 . . . . . . . . . . . . . . .
¯
La comparaison entre les deux coefficients Ĉ12 et C̄ˆ12 . . . . . . . . . . . . . . .
¯
La comparaison entre les deux coefficients Ĉ22 et C̄ˆ22 . . . . . . . . . . . . . . .
La comparaison entre les deux chemins des deux passges aux limites. . . . . .
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Liste des tableaux
5.1
5.2
Les valeurs des coefficients des matériaux piézoélectriques : PZT-5A et PZT-7A. 110
Les propriétés effectives d’un matériau PZT perforé . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.1
6.2
Les propriétés des matériaux PZT-5A et Araldite. . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Les propriétés de PVDF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
vii
Introduction générale
Motivations et orientations
Les objectifs de ce travail consistent à fournir des éléments de réponses aux deux principaux
problèmes suivantes :
• Une étude mathématique pour comprendre les propriétés macroscopiques des structures
piézoélectriques, dont les géométries contiennent une repartition périodique de microstructure dans le cas d’un corps, d’une plaque et d’une coque périodique de type Koiter.
• Une modélisation numérique des structures piézoélectriques particulières (laminées, fibrées
et perforées), afin d’atteindre deux buts : D’une part, valider les modélisations qui existent
déjà dans la littérature d’ingénieurs et d’autre part, se servir de cette simulation dans les
applications industrielles des matériaux piézoélectriques notamment dans les domaines
de l’hydrophonique, de l’imagerie biomédicale et de contrôle de vibrations.
Plan de la thèse
Cette thèse comporte deux parties :
⊗ La première partie est consacrée à l’étude de l’homogénéisation et l’analyse asymptotique
de l’équation de la piézoélectricité dans des structures périodiquement perforées, dans le
cas d’un corps, d’une plaque et d’une coque de type Koiter.
⊗ Dans la deuxième partie on évoque la modélisation numérique de quelques structures
piézoélectriques particulières comme les structures laminées, fibrées et perforées, dont le
but est de comprendre les propriétés macroscopiques de ces structures, afin d’améliorer
certaines applications industrielles (capteurs, actionneurs, etc...).
Elle est structurée de la manière suivante :
Première partie : Modélisation mathématique
La première partie est constituée de quatre chapitres. Elle sera consacrée à l’étude de l’homogénéisation et l’analyse asymptotique de l’équation de la piézoélectricité dans des structures
périodiques particulièrement des structures perforées et laminées.
Chapitre I : Rappels sur le problème tridimensionnel
Dans le premier chapitre, on formule le problème dans le cas tridimensionnel, et on présente
deux formulations variationnelles associées à ce problème. Après un rappel sur les inégalités
de Korn et de Poincaré sur les domaines perforés, on présente l’équivalence entre les deux
formulations variationnelles et on donne un résultat d’existence et d’unicité de la solution du
problème étudié. Enfin, on présente des arguments basés sur l’analyse convexe pour montrer
1
2
Introduction générale
que la solution du problème étudié s’ecrit sous forme d’un point selle d’une fonctionnelle, on
justifiera aussi rigoureusement la négligence de quelques phénomènes physiques sur le modèle
de la piézoélectricité dans cette étude. On présente à la fin des conclusions et des commentaires
sur le problème de la piézoélectricité.
Chapitre II : Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
Dans le second chapitre, on s’intéresse à l’homogénéisation de l’équation de la piézoélectricité
dans un corps tridimensionnel périodiquement perforé, dans le but de mieux comprendre le
comportement asymptotique de l’état électromécanique (champs de déplacement et le potentiel
électrique) lorsque le paramètre associé à la taille des perforations tend vers zéro. On donne le
problème homogénéisé et un théorème d’existence et d’unicité de la solution de ce problème.
On détermine explicitement tous les tenseurs de rigidité, de piézoélectricité et de diélectricité
homogénéisés (effectifs), ainsi que toutes leurs propriétés comme la symétrie et l’ellipticité. On
énonce un résultat de correcteur pour le champ des déplacements mécaniques et le potentiel
électrique scalaire limites, ce qui permettra de justifier les premiers termes du développement
asymptotique associé à chacun des déplacements mécaniques ainsi que le potentiel électrique.
On présentera à la fin, un résultat qui décrit le comportement asymptotique de chacune des
énergies : mécanique, électrique et totale, associées à ce type de matériau. On termine ce chapitre par des conclusions d’intérêts mathématiques et physiques. Cette étude fait l’objet de
deux publications [54] et [56].
Chapitre III : Analyse asymptotique et homogénéisation d’une plaque
piézoélectrique perforée
Dans le troisième chapitre, on s’intéresse au comportement d’une plaque de faible épaisseur
(mince) piézoélectrique périodiquement perforée, lorsque l’épaisseur et la taille des trous sont
destinés à tendre vers zéro dans cet ordre. Après le premier passage à la limite, on obtient deux
problèmes distincts : un problème membranaire et un autre en flexion. Le premier problème
est analogue au problème tridimensionnel du chapitre précédent. Pour cela, on reprend les
mêmes travaux afin d’établir le problème homogénéisé et un théorème d’existence et d’unicité
avec la détermination de tous les tenseurs homogénéisés et quelques propriétés liées à ces tenseurs. Pour le problème en flexion, on utilise la technique de la double échelle, afin d’avoir le
problème homogénéisé ainsi que la détermination du coefficient de flexion homogénéisé avec ses
propriétés. On donne aussi pour chacun des deux problèmes des résultats de correcteurs. Enfin, on termine ce chapitre par quelques conclusions. Ce travail est l’objet de la publication [57].
Chapitre IV : Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques
de Koiter
Dans le quatrième chapitre, partant réslutats obtenus par Haenel [42] après un passage à
la limite sur le problème tridimensionnel de coques piézoélectriques lorsque l’épaisseur tend
vers zéro, on applique une nouvelle technique dite de l’éclatement périodique récemment introduite par Cioranescu, Damlamian et Griso [24] sur le problème d’une coque piézoélectrique
périodique de type Koiter, décrit dans un système de coordonées curvilignes, afin de trouver le
modèle homogénéisé.
Introduction générale
3
Enfin on donne un résultat de convergence forte (correcteur) pour le potentiel électrique
et les déplacements mécaniques. Pour cela on utilise l’opérateur de moyennisation introduit
dans [24]. Ce travail est fait en collaboration avec M. Ghergu et G. Griso, et fera l’objet de la
publication [37].
Deuxième partie : Simulation numérique
La seconde partie est subdivisée en deux chapitres. Elle sera consacrée à la modélisation
numérique des structures piézoélectriques perforées et piézocomposites laminées.
Chapitre V : Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforées
Dans ce chapitre, on propose une modélisation numérique des matériaux piézoélectriques
périodiquement perforés, cette modélisation sera basée sur deux approches complémentaires : La
première est la méthode des éléments finis et la seconde est une méthode analytique. On effectue une analyse paramétrique sur l’influence de la géométrie et la distribution des perforations
sur les propriétés effectives de ce type de structure, ainsi on étudiera l’influence de la rotation
des perforations non symétriques par rapport à l’axe d’isotropie du matériau piézoélectrique.
On valide l’implémentation de notre méthode (les éléments finis), par une étude comparative
dans un cas bien précis où on peut déterminer les tenseurs homogénéisés de façon explicite par
une technique analytique.
Chapitre VI : Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminées
Dans ce chapitre, on s’intéresse à l’étude des propriétés macroscopiques des matériaux
piézocomposites laminés. Cette étude va nous donner l’idée de proposer un prototype d’un
matériau piézocomposite bilaminé perforé, où on recupère des résultats intéressants pour des
applications industrielles en hydrophonique, en imagerie biomédicale et en contrôle de vibrations. Par un exemple dans le cas d’un matériau piézocomposite laminé, on évaluera l’effet de
l’ordre de passage à la limite entre l’épaisseur et la taille des perforations. Une partie de ce
chapitre a été l’objet de la publication [55].
4
Introduction générale
Piézoélectricité : généralités
La piézoélectricité peut être considérée comme une interaction entre deux phénomènes
électromécaniques qui couplent les champs élastique et électrique. Une déformation mécanique
du matériau génère un champ électrique, c’est l’effet direct de la piézoélectricité ou effet capteur. Inversement, l’application d’un champ électrique ou d’une différence de potentiel induit
des déformations mécaniques, c’est l’effet inverse de piézoélectricité ou effet actionneur.
Bien qu’ayant été prédit par Coulomb et découvert par Becquerel en 1819, l’effet de la
piézoélectricité n’a été correctement expliqué qu’en 1880 par les frères Jacques et Pierre Curie
(par expérimentation sur le quartz et le sel de Rochelle). La loi de comportement de ce type de
matériaux a été établie par Lippmann [1881] en se basant sur des considérations thermodynamiques.
Les matériaux piézoélectriques permettent de réaliser un contrôle actif ou passif des structures élastiques par des systèmes distribués de capteurs et d’actionneurs collés sur la surface
sous forme de pastilles ou intégrés dans la structure sous forme de fibres. Ils détectent les
déformations par l’effet direct (effet capteur) et peuvent servir pour déformer le matériau par
l’effet inverse (effet actionneur). Les matériaux piézoélectriques ont d’autres avantages, par
exemple leur réponse linéaire à de faibles excitations ou encore leur relative sensiblité aux
variations de température lorsqu’ils sont utilisés en dessous d’une température de transition
appelée température de Curie.
Parmi les matériaux piézoélectriques les plus utilisés, on trouve les piézocéramiques et les
piézopolymères, dont les zirconates titanates (PZT) découverts en 1959 et les polyvinylidènes
fluorides (PVDF, PolyVini-DiFluor) qui ont été commercialisés en 1987. D’autres matériaux ont
été découverts ou synthétisés pour des applications, afin d’améliorer leur rendement mécanique.
Les matériaux piézoélectriques tels que les piézocéramiques et le PVDF sont en général de masse
négligeable par rapport à la structure à contrôler et peuvent être flexibles dans le cas du PVDF.
Il en résulte, un bon rendement de conversion d’énergie électrique en énergie mécanique et donc
un rôle actionneur très efficace.
Ces matériaux ont surtout trouvé des applications dans le contrôle des vibrations dans les
domaines de l’automobile, l’aérospatiale, le contrôle de forme (ailes d’avion, ailes ou objectifs
des télescopes), le contrôle en acoustique des nuisances sonores et dans la biomécanique pour
la conception de certains organes humains tels que le pancréas, le foie ou le rein. Il existe
des matériaux naturels ou synthétiques, pouvant être polarisés pour exhiber ces propriétés
piézoélectriques, comme la peau et les os qui ont des propriétés similaires. D’autres applications
sont données dans la littérature (pour plus de détails, on pourra consulter Banks et al. [8]).
Modèle mathématique de la piézoélectricité
Commençons d’abord par rappeler certaines notions d’électromagnétismes et des hypothèses
préliminaires faites en piézoélectricité linéaire, afin d’écrire le problème tridimensionnel de la
piézoélectricité.
Dans un domaine Ω simplement connexe de IR3 de frontière Γ = ∂Ω régulière, l’interaction
Introduction générale
5
électromagnétique est traduite par les équations de Maxwell
rot H = ∂t D + J dans Ω,
rot E = −∂t B
dans Ω,
(0.0.1)
où E et H sont respectivement le champ électrique et le champ magnétique. D et B désignent
respectivement l’induction électrique et magnétique. J représente le vecteur courant. Ces champs
vectoriels sont reliés par la loi du comportement électromagnétique
D = 0 E + P,
(0.0.2)
B = µ0 (H + M),
où P est le vecteur de polarisation électrique et M est le vecteur de magnétisation ou d’aimantation, 0 est la permittivité absolue qui désigne la permittivité du vide, µ0 est la perméabilité
absolue. Pour compléter la description de cette interaction électromagnétique, on introduit une
autre équation d’équilibre, dite équation de Maxwell-Gauss ou équation de conservation de la
charge
−div D = q,
(0.0.3)
avec q la densité volumique de charge au sein du matériau. Cette équation est valable dans un
milieu non aimanté. Dans ce qui suit, le matériau considéré dans notre étude est un isolant
d’où q = 0. La dernière équation de Maxwell s’ajoute aux équations précédentes et traduit la
loi de conservation du flux magnétique
div B = 0,
(0.0.4)
l’équation de conservation de la charge électrique q est définie par
∂q
+ div J = 0.
∂t
(0.0.5)
Les conditions aux limites sont déterminées à partir des équations de Maxwell écrites sous forme
d’intégrales. Pour une approche mathématique, l’hypothèse de simple connexité du domaine
Ω et la régularité de sa frontière Γ permettent à partir de l’équation (0.0.4) de déduire que
la loi de conservation (0.0.4) implique l’existence d’un vecteur A, appelé potentiel magnétique
vectoriel, tel que
B = rotA.
(0.0.6)
Cette dernière équation combinée avec la deuxième équation de Maxwell-Faraday du système
∂A
(0.0.1) implique que la somme de vecteurs E +
admet un rotationnel nul, donc dérive d’un
∂t
potentiel scalaire φ, d’où
∂A
E = −∇φ −
.
(0.0.7)
∂t
En général, le matériau piézoélectrique est un milieu continu et électriquement neutre, pour cela
il est qualifié d’isolant. Dans beaucoup d’applications, on peut se restreindre à l’approximation
quasi-électrostatique, ce qui revient à supposer que la transformation est thermodynamiquement
adiabatique (pas d’échange de chaleur et donc pas d’effet Joule). Cela nous conduit à
q = 0,
(0.0.8)
J = 0.
On suppose aussi que seul l’effet de l’interaction électro-mécanique est important, on néglige
donc la partie magnétique.
M = 0,
(0.0.9)
A = 0.
6
Introduction générale
Cette dernière hypothèse a été confirmée expérimentalement par H.F. Tiersten [90]. Précisons
maintenant dans quelles conditions on peut travailler avec l’approximation quasi-électrostatique
(0.0.8). Pour simplifier l’analyse, nous supposons, que le corps est une plaque de longueur L.
Considérons, dans une oscillation électromagnétique, un mode propre introduit par le phénomène
de déformation de longueur d’onde λ et de vitesse de phase v. La période d’oscillation T est
λ
donnée par T = . Notons par x la variable d’espace et t la variable temps, faisons le changev
ment de variable

x


 ζ = L,


 τ = 2πt ,
T
la deuxième équation du système (0.0.1) devient
rotζ E = −
2πL ∂B
L ∂B
= −2πv
.
T ∂τ
λ ∂τ
Il se dégage donc un critère pour l’approximation quasi-électrostatique : si la longueur d’onde
de l’oscillation électromagnétique est très grande par rapport à la longueur de la plaque, on
peut faire l’approximation quasi-électrostatique et ignorer A, ceci serait équivalent à effectuer
au départ l’hypothèse de simplification sur ∇φ
|
∂A
|| ∇φ | .
∂t
Cette hypothèse est tirée de l’expérimentation. Alors l’équation (0.0.7) s’écrit sous la forme
E = −∇φ,
les inconnues se réduisent au déplacement u et au potentiel φ. On définit désormais l’enthalpie
électrique H du corps piézoélectrique par
H(, Ei ) = U − E.D,
où est la partie linéaire du tenseur des déformations (2ij (u) = ∂i uj + ∂j ui ), E = (Ei ), avec
U étant son énergie interne. En différenciant par rapport au temps on obtient
∂H
∂U
∂D ∂E
∂ij
∂Ei
=
− E.
−
.D = σij
− Di
,
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
avec D = (Di ) et σ = (σij ) est le tenseur des contraintes. Aussi, puisque on a
H = H(, Ei ).
En différenciant l’équation précédente par rapport au temps on obtient
∂H
∂H ∂ij
∂H ∂Ei
=
+
.
∂t
∂ij ∂t
∂Ei ∂t
Puis en identifiant les termes obtenus avec les termes de l’équation (0.0.10), on déduit
(σij −
∂H ∂ij
∂H ∂Ei
)
− (Di +
)
= 0,
∂ij ∂t
∂Ei ∂t
(0.0.10)
Introduction générale
pour
7
∂σji
∂Ei
∂σij
=
et
. On obtient
∂t
∂t
∂t

∂H
1 ∂H

σij =
(
+
),



2 ∂ij ∂ji



 Di = − ∂H .
∂Ei
(0.0.11)
Comme on s’intéresse dans la suite, aux modèles linéaires de structures piézoélectriques, on ne
considère que la partie quadratique de l’enthalpie qui est définie par
1
1
H(, Ei ) = cijkl ij kl − ekij Ek ij − dij Ei Ej .
2
2
(0.0.12)
On déduit de (0.0.11) et (0.0.12) la deuxième loi de comportement qui exprime le tenseur des
contraintes σ et le vecteur des déplacements électriques D en fonction du tenseur linéaire des
déformations = (εij ), le gradient du potentiel électrique ou le champ électrique E, par un
système d’équations constitutives sous une forme matricielle compacte à l’aide de la notation
de Voigt (Dieulesaint et Royer [30])

 σij = cijkl kl − ekij Ek ,
(0.0.13)

Di = eikl kl + dij Ej .
On déduit de la relation (0.0.12) que

∂2H
∂2H


=
,


 ∂σij ∂σkl
∂σkl ∂σij
ce qui implique que





2
∂ H
∂Ek ∂Ei
(0.0.14)
2
=
∂ H
.
∂Ei ∂Ek

cijkl = cklij = cjikl ,





dij = dji ,





ekij = ekji , ekij = −ejik .
(0.0.15)
cijkl sont les coefficients d’élasticités à champ électrique nul (matériau piézoélectrique de courtcicuité) et les termes ekij sont des coefficients piézoélectriques à champ électrique ou déformation
nuls. Les termes dij sont des coefficients de permittivité à déformation nulle qui constituent
un tenseur symétrique défini positif. Signalons que la matrice piézoélectrique ekij est antisymétrique. Il n’existe donc pas de matériaux piézoélectriques isotropes.
Remarque 0.0.1
Les hypothèses physiques introduites pour la piézoélectricité consistent à négliger les effets
magnétiques et thermiques et à considérer l’interaction électro-mécanique uniquement. Pour
la piézoélectricité linéaire, on se restreint à l’élasticité linéaire, en restant dans le cadre des
petites déformations.
Première partie
Homogénéisation de l’équation de la
piézoélectricité
9
Chapitre 1
Rappels sur le problème
tridimensionnel
Il s’agit de formuler le problème aux limites, considéré sur un domaine tridimensionnel.
Nous allons rappeler la loi de comportement des matériaux piézoélectriques en précisant les
inconnues choisies, ainsi que les différents efforts mécaniques et électriques envisagés.
On utilise deux formulations variationnelles associées au problème étudié : une dont la forme
bilinéaire est elliptique mais non symétrique. La seconde avec une forme bilinéaire symétrique
mais non elliptique. Nous montrerons par la suite que ces deux formulations sont équivalentes
et que les problèmes variationnels ont une solution unique, que l’on démontre en appliquant
le lemme de Lax-Milgram en considérant la première formulation ou en appliquant des arguments d’analyse convexe tout en considérant la seconde. Le travail de cette thèse s’appui sur les
résultats obtenus par Bernadou et Haenel [13] et Haenel [42] dans une coque tridimensionnelle,
et dans une plaque bidimensionnelle par Rahmoune [75] et Sène [80].
Ce chapitre est composé de trois parties organisées de la manière suivante : Après une
description du cadre physique relatif au problème de la piézoélectricité, on présente le cadre
géométrique dans lequel on va travailler, et le problème tridimensionnel de la piézoélectricité,
ainsi que les hypothèses a priori liées à des phénomènes physiques négligés par le modèle traité.
Dans la deuxième partie, on rappelle les inégalités de Poincaré et de Korn ainsi que quelques
lemmes qui seront suivis par la formulation du problème étudié sous forme de deux formulations
variationnelles. On donne également un résultat d’existence et d’unicité. Enfin, à l’aide des
arguments de l’analyse convexe, on présente le problème de point selle associé au problème
de la piézoélectricité, ainsi que certaines remarques sur les deux formulations variationnelles
obtenues, et nous interprétons par la suite, des observations concernant le problème de la
piézoélectricité, d’un point de vue mathématique et physique.
1.1
Description du problème de la piézoélectricité
Pour simplifier la description du problème, on se contente uniquement du cas stationnaire,
l’adaptation au cas quasi-statique ou dynamique est immédiate.
1.1.1
Cadre physique
On suppose que la variation de température et du champ magnétique sont négligeables.
Cette hypothèse est raisonnable pour les matériaux piézoélectriques utilisés habituellement
11
12
Chapitre 1. Rappels sur le problème tridimensionnel
comme les céramiques, les polymères et les piézo-composites, donc cela signifie que l’on dispose
uniquement d’un couplage électro-mécanique.
On se place dans le cadre de la piézoélectricité en petites déformations et on choisit de
formuler le problème en deux inconnues: le déplacement mécanique et le potentiel électrique.
Nous considérons que le potentiel électrique comme étant l’inconnue électrique plutôt que son
gradient (voir Banks et al. [8]), ceci est justifié par les conditions aux limites qui seront imposées
par la suite sur le potentiel électrique.
1.1.2
Description de la géométrie et des forces envisagées
Soit Ω un ouvert borné simplement connexe de R3 de la variable x = (x1 , x2 , x3 ), de frontière
Γ = ∂Ω Lipschitzienne. L’état électromécanique d’un milieu piézoélectrique est déterminé par
le couple (u, ϕ) tel que u est le champ des déplacements élastiques et ϕ est le potentiel électrique.
On considère deux décompositions de la frontière Γ, correspondant respectivement aux
conditions aux limites mécaniques (indiquées par un exposant M ) et aux conditions aux limites
électriques (indiquées par un exposant E ):
M
M
Γ = ΓM
avec ΓM
= ∅,
0 ∪ Γ1
0 ∩ Γ1
E
E
E
E
Γ = Γ0 ∪ Γ1 avec Γ0 ∩ Γ1 = ∅,
et mes(ΓM
0 ) > 0
E
et mes(Γ0 ) > 0.
(1.1.1)
On suppose que le milieu est :
i) soumis à une densité de force volumique f dans Ω,
ii) soumis à une densité surfacique de force q, agissant sur la partie ΓM
1 ,
iii) encastré sur la partie ΓM
0 de la frontière,
iv) libre de charges électriques dans le milieu et sur la partie ΓE
1 de la frontière,
v) soumis à un potentiel fixé ϕ̄ sur la partie ΓE
0 de la frontière.
Remarque 1.1.1 Les matériaux piézoélectriques sont des diélectriques parfaits, c’est pourquoi
on considère qu’il n’y a pas de charges électriques dans le milieu (voir Banks et al. [8]).
1.1.3
Formulation du problème
On adoptera tout au long de ce travail, la convention d’Einstein de sommation des indices
répétés, on utilise l’alphabet latin pour les indices variants de 1 à 3. Les vecteurs de IR 3 sont
représentés en caractères gras. On désignera par n la normale extérieure sur ∂Ω. Les équations
régissant le comportement piézoélectrique sont

 −div σ(u, ϕ) = f dans Ω,
(1.1.2)

−div D(u, ϕ) = 0 dans Ω,
avec les conditions aux limites
 u
= 0 sur ΓM

0 ,


M

σ
(u,
ϕ).n
=
q
sur
Γ

ij
j
i
1 ,





ϕ
= ϕ̄ sur
D(u, ϕ).n = 0 sur
ΓE
0,
ΓE
1,
(1.1.3)
Chapitre 1. Rappels sur le problème tridimensionnel
13
le tenseur des contraintes linéarisées σ = (σij ) et le vecteur des déplacements électriques D =
(Di ), sont reliés par la loi de comportement des matériaux piézoélectriques suivant

 σij (u, ϕ) = cijkl skl (u) + ekij ∂k ϕ dans Ω,
(1.1.4)

Di (u, ϕ) = −eikl skl (u) + dij ∂j ϕ dans Ω,
1 ≤ i, j, k, l ≤ 3,
avec (div σ)i = ∂j σij , div D = ∂i Di , ∂i = ∂x∂ i , x = (xi ) ∈ Ω. Le tenseur des déformations
linéarisé est donné par
1
skl (u) = (∂k ul + ∂l uk )
(1.1.5)
2
Le tenseur de l’élasticité tridimensionnelle (cijkl ) est symétrique et défini positif, il vérifie

cijkl = cjikl = cklij = cijlk ,





cijkl ∈ L∞ (Ω̄),
(1.1.6)





∃αc > 0 : cijkl (x)Xij Xkl ≥ αc Xij Xij , ∀x ∈ Ω̄, ∀Xij = Xji ∈ R.
Le tenseur piézoélectrique (de couplage) (eεikl ) est symétrique et vérifie

 eikl = eilk ,

eikl ∈ L (Ω̄).
Le tenseur diélectrique (dεij ) est symétrique, défini positif et vérifie

dij = dji ,





dij ∈ L∞ (Ω̄),





∃αd > 0 : dij (x)Xi Xj ≥ αd Xi Xi , ∀x ∈ Ω̄, ∀Xi ∈ R.
1.2
(1.1.7)
∞
(1.1.8)
Existence et unicité d’une solution
On présente maintenant, un bref rappel de quelques lemmes notamment celui du mouvement
rigide, ainsi que les inégalités de Korn et de Poincaré (pour plus de détails autour de ce rappel,
on peut se référer à Ciarlet [20] [21]).
1.2.1
Rappels des inégalités de Poincaré et de Korn
Définissons
VM (Ω) =
n
v ∈ (H 1 (Ω))3 , v = 0 sur ΓM
0
o
(i) (Lemme du mouvement rigide)
Si mes(ΓM
0 ) > 0, v ∈ VM (Ω) et sij (v) = 0, alors v = 0.
(ii) (Inégalité de Poincaré)
Soit Ω un ouvert borné, alors pour chaque fonction u ∈ H1Γ0 (Ω), alors il existe une
constante C strictement positive telle que :
k u kH1 (Ω) ≤ C k ∇u kL2 (Ω) .
14
Chapitre 1. Rappels sur le problème tridimensionnel
(iii) (La première inégalité de Korn)
Soit Γ0 une partie de la frontière Γ de Ω telle que mes(Γ0 ) non nulle, on définit l’espace
o
H1Γ0 (Ω) = {v ∈ H1 (Ω), v = 0 sur Γ0
Soit Ω un domaine borné de Rn de frontière Γ = ∂Ω lipschitzienne, alors on a
∀ u ∈ H1Γ0 (Ω), k ∇u k2L2 (Ω) ≤ 2 k u k2L2 (Ω) .
(iv) (La seconde inégalité de Korn)
Soit Ω un domaine borné lipschitzien de Rn , alors on a
Z hX
n
n
i
X
k u kH1Γ (Ω) ≤ C
ui ui +
sij (u)sij (u) dx,
0
Ω
i=1
(1.2.9)
i,j=1
avec u = (ui )1≤i≤n , s(u) = (sij (u)) et sij (u) est le tenseur des déformations linéarisé
défini par (1.1.5).
(v) (Ciarlet [20] [21])
Soit Ω un ouvert borné de IRn à frontière Γ = ∂Ω de classe C 2 et mes(ΓM
0 ) > 0, alors il
existe une constante C strictement positive telle que
k v kVM (Ω) ≤ C
1.2.2
n
X
i,j=1
k sij (v) kL2 (Ω) , ∀v ∈ VM (Ω)
Deux formulations variationnelles du problème
On opère comme dans la thèse de Haenel [42], deux formulations variationnelles équivalentes
associées au problème aux limites seront décrites.
Définissons les deux espaces suivants
n
o
1
3
M
VM (Ω) =
v ∈ (H (Ω)) , v = 0 sur Γ0 ,
n
o
WEϕ̄ (Ω) = ψ ∈ H 1 (Ω), ψ = ϕ̄ sur ΓE
, ∀ϕ̄ ∈ H 1/2 (ΓE
0
0 ),
en particulier avec
(1.2.10)
(1.2.11)
n
o
WE0 (Ω) = ψ ∈ H 1 (Ω), ψ = 0 sur ΓE
.
0
On munit les espaces VM (Ω) et WE0 (Ω) par les normes suivantes
k v kVM (Ω) = k ∇v k(L2 (Ω))9 , ∀v ∈ VM (Ω),
k ψ kWE0 (Ω) = k ψ kH 1 (Ω) ,
∀ψ ∈ WE0 (Ω).
(1.2.12)
Nous supposons que les données du problème (1.1.2)-(1.1.3)-(1.1.4) sont suffisamment régulières,
1/2
par exemple f ∈ (L2 (Ω))3 , qi ∈ L2 (ΓM
(ΓE
1 ) et ϕ̄ ∈ H
0 ), et que (u, ϕ) est une solution
suffisamment régulière de ce problème.
Soit v ∈ VM (Ω), en multipliant la première équation du système (1.1.2) par les composantes
de v = (vi ) et en intégrant sur Ω, on obtient
Z
Z
− ∂j cijkl skl (u) + ekij ∂k ϕ vi dx =
fi vi dx.
(1.2.13)
Ω
Ω
Chapitre 1. Rappels sur le problème tridimensionnel
15
En appliquant la formule de Green sur l’équation (1.2.13) et en tenant compte des conditions
aux limites (1.1.3), on aura
Z h
Z
Z
i
cijkl skl (u) + ekij ∂k ϕ sij (v) dx =
fi vi dx +
qi vi dΓ.
(1.2.14)
Ω
ΓM
1
Ω
De même, soit ψ ∈ WE0 (Ω). En multipliant la deuxième équation du problème (1.1.2) par ψ et
en intégrant sur Ω, on obtient
Z
− ∂i − eikl skl (u) + dij ∂j ϕ ψ dx = 0.
Ω
En appliquant la formule de Green et en tenant compte des conditions aux limites (1.1.3), on
aboutit à
Z h
i
− eikl skl (u) + dij ∂j ϕ ∂i ψ dx = 0.
(1.2.15)
Ω
En additionnant les deux équations (1.2.14) et (1.2.15) on obtient le problème variationnel
suivant

 Trouver (u, ϕ) ∈ VM (Ω) × WE0 (Ω), tel que,
(1.2.16)

a1 ((u, ϕ), (v, ψ)) = L(v, ψ), ∀(v, ψ) ∈ VM (Ω) × WE0 (Ω),
avec

Z nh
i


a
((u,
ϕ),
(v,
ψ))
=
c
s
(u)
+
e
∂
ϕ
sij (v)

1
ijkl kl
kij k


Ω




h
i o

+
− eikl skl (u) + dij ∂j ϕ ∂i ψ dx,




Z
Z





L(v, ψ)
=
fi vi dx +
qi vi dΓ.

Ω
(1.2.17)
ΓM
1
En soustrayant les deux équations (1.2.14) et (1.2.15), on obtient un second problème variationnel

Trouver (u, ϕ) ∈ VM (Ω) × WE0 (Ω), tel que,





a2 ((u, ϕ), (v, ψ)) = L(v, ψ),
(1.2.18)





∀(v, ψ) ∈ VM (Ω) × WE0 (Ω),
avec

Z nh
i


a
((u,
ϕ),
(v,
ψ))
=
c
s
(u)
+
e
∂
ϕ
sij (v)

2
ijkl kl
kij k


Ω




h
i o

−
− eikl skl (u) + dij ∂j ϕ ∂i ψ dx,
(1.2.19)




Z
Z





qi vi dΓ.
L(v, ψ)
=
fi vi dx +

Ω
ΓM
1
Admettons provisoirement, que chacun des deux problèmes (1.2.16)-(1.2.17) et (1.2.18)-(1.2.19)
a une solution unique, ce qui sera démontré dans la Proposition 1.2.3.
16
Chapitre 1. Rappels sur le problème tridimensionnel
Proposition 1.2.1 (Haenel [42])
Les deux problèmes (1.2.16)-(1.2.17) et (1.2.18)-(1.2.19) sont équivalents.
Preuve :
La preuve de cette proposition, a été donnée par Haenel [42]. Soit (u, ϕ) une solution de (1.2.16)(1.2.17). Puisque pour tout ψ ∈ WE0 (Ω), −ψ ∈ WE0 (Ω), on a
a1 ((u, ϕ), (v, −ψ)) = L(v, ψ) ∀(v, ψ) ∈ VM (Ω) × WE0 (Ω),
or pour tout (v, ψ) ∈ VM (Ω) × WE0 (Ω), on a
a1 ((u, ϕ), (v, −ψ)) = a2 ((u, ϕ), (v, ψ)).
Donc (u, ϕ) est aussi une solution de (1.2.18)-(1.2.19). De même, on montre que toute solution
de (1.2.18)-(1.2.19) est aussi solution de (1.2.16)-(1.2.17).
Pour démontrer l’existence et l’unicité de la solution du problème variationnel (1.2.16)(1.2.17), il est intéressant de considérer le problème homogène correspondant au premier problème
variationnel (1.2.16)-(1.2.17).
Lemme 1.2.1
1
Si ϕ̄ est un élément de H 1/2 (ΓE
0 ), il existe un relèvement ϕ̂ de ϕ̄ dans H (Ω), c’est-à-dire une
fonction ϕ̂ ∈ H 1 (Ω) telle que ϕ̂|ΓE0 = ϕ̄.
On pose alors
ϕ̆ = ϕ − ϕ̂,
ce qui conduit à la proposition suivante
Proposition 1.2.2 (Haenel, [42])
La solution (u, ϕ) du problème variationnel (1.2.16)-(1.2.17) est donnée par ϕ = ϕ̄ + ϕ̂ avec
(u, ϕ̄) solution du problème variationnel suivant

 Trouver (u, ϕ) ∈ VM (Ω) × WE0 (Ω), tel que,
(1.2.20)

a1 ((u, ϕ), (v, ψ)) = L̄(v, ψ)
∀(v, ψ) ∈ VM (Ω) × WE0 (Ω),
où a1 ((., .), (., .)) est définie en (1.2.17) et L̄1 (., .) est définie par
Z
Z
Z
L̄1 (v, ψ) =
fi vi dx +
qi vi dΓ + {−ekij ∂k ϕ̂sij (v) + dik ∂k ϕ̂∂i ψ} dx (1.2.21)
Ω
1.2.3
ΓM
1
Ω
Théorème d’existence et d’unicité
Avant d’énoncer le théorème d’existence et d’unicité de la solution du problème aux limites
(1.1.2)-(1.1.3), on énonce quelques propriétés des formes : linéaire L1 (.) et bilinéaire a1 (., .)
définies par le système (1.2.17) (Les démonstrations des résultats suivants, se trouvent dans
Haenel [42]).
Chapitre 1. Rappels sur le problème tridimensionnel
17
Lemme 1.2.2
Si fi ∈ L2 (Ω) et qi ∈ L2 (ΓM
1 ), alors la forme linéaire L̄(., .) est continue sur VM (Ω)×WE0 (Ω).
Lemme 1.2.3
E
Si mes(ΓM
0 ) > 0 et mes(Γ0 ) > 0, alors la forme bilinéaire a1 ((., .), (., .)) est continue et elliptique sur VM (Ω) × WE0 (Ω).
Dans la proposition suivante, on énonce le résultat de l’existence et de l’unicité de la solution du problème homogène (1.2.20).
Proposition 1.2.3
E
2
2
Si mes(ΓM
0 ) > 0 et mes(Γ0 ) > 0, si fi ∈ L (Ω) et qi ∈ L (Ω), alors le problème variationnel
(1.2.20) admet une solution unique.
Corollaire 1.2.1
E
2
2
M
1/2
Si mes(ΓM
(ΓE
0 ) > 0 et mes(Γ0 ) > 0, si fi ∈ L (Ω), qi ∈ L (Γ1 ) et ϕ̄ ∈ H
0 ), alors le
problème variationnel (1.2.16)-(1.2.17) admet solution unique.
Remarque 1.2.1
i) Si mes(ΓE
0 ) = 0, le problème (1.2.20) aurait une solution unique dans l’espace V M (Ω) ×
(WE0 (Ω)/IR), c’est-à-dire que le potentiel est défini à une constante additive près.
ii) Le problème de la piézoélectricité admet donc deux formulations variationnelles. Souvent
on utilise la première, dont la forme bilinéaire est définie positive, mais non-symétrique
puisque la matrice de la piézoélectricité globale est antisymétrique. Dans une autre situation il est envisageable d’utiliser la deuxième formulation variationnelle, dont la forme
bilinéaire est symétrique mais non-elliptique.
iii) Dans l’expression
a1 ((u, ϕ), (u, ϕ)) =
Z n
cijkl sij (u)skl (u) + dij ∂i ϕ∂j ϕ
Ω
o
dx,
les termes liés aux tenseurs piézoélectriques ont disparu. Ceci est dû à la reversibilité du
phénomène de la piézoélectricité.
1.3
Le problème de point selle
Haenel dans sa thèse a montré que les deux problèmes variationnels (1.2.16)-(1.2.17) et
(1.2.18)-(1.2.19) sont équivalents et puisque le problème (1.2.16)-(1.2.17) admet une solution
unique, donc le problème (1.2.18)-(1.2.19) admet également une solution unique. Cependant, on
peut démontrer directement sous les hypothèses du Corollaire 1.2.1, que le problème (1.2.18)(1.2.19) a une solution unique, en utilisant des arguments d’analyse convexe.
18
Chapitre 1. Rappels sur le problème tridimensionnel
Pour cela, soit ϕ̂ un relèvement de ϕ̄ dans H 1 (Ω) (cf. Lemme 1.2.1), alors la solution (u, ϕ)
du problème variationnel (1.2.18)-(1.2.19) est donnée par ϕ = ϕ̆ + ϕ̂ avec (u, ϕ̆) solution du
problème homogène correspondant suivant

 Trouver (u, ϕ̆) ∈ VM (Ω) × WE0 (Ω), tel que,
(1.3.22)

a2 ((u, ϕ̆), (v, ψ)) = L̄2 (v, ψ)
∀(v, ψ) ∈ VM (Ω) × WE0 (Ω),
où a2 ((., .), (., .)) est définie en (1.2.19) et L̄2 (., .) est définie par
Z
Z
L̄2 (v, ψ) =
fi vi dx +
qi vi dΓ
Ω
ΓM
1
Z
−
{−ekij ∂k ϕ̂sij (v) + dik ∂k ϕ̂∂i ψ} dx.
(1.3.23)
Ω
D’après Ekeland-Temam [32] (VI-1-6, pp.157), (u, ϕ) est une solution du problème (1.2.18)(1.2.19), si et seulement si (u, ϕ) est solution du problème de point selle suivant


 Trouver (u, ϕ) ∈ VM (Ω) × WE0 (Ω), tel que,
(1.3.24)

sup S(v, ψ),
 S(u, ϕ) = inf
v∈VM (Ω) ψ∈WE (Ω)
0
où la fonctionnelle S(., .) est définie sur VM (Ω) × WE0 (Ω), par
1
S(v, ψ) = a2 (v, v) − L̄2 (v, ψ), ∀(v, ψ) ∈ VM (Ω) × WE0 (Ω).
2
On démontre ensuite que le problème de point selle (1.3.24) a une solution unique.
On peut vérifier que

 ∀ v ∈ VM (Ω), l’application

(1.3.25)
ψ ∈ WE0 (Ω) −→ S(v, ψ) est strictement concave et semi-continue supérieurement.

 ∀ ψ ∈ WE0 (Ω), l’application

(1.3.26)
v ∈ VM (Ω) −→ S(v, ψ) est strictement convexe et semi-continue inférieurement.
Donc la fonctionnelle S(., .) a au plus, un point selle sur VM (Ω) × WE0 (Ω).
Remarque 1.3.1
i) La théorie de la piézoélectricité linéarisé présentée dans cette étude, ne tient pas compte
des phénomènes : magnétique et thermique. De plus, d’autres phénomènes physiques sont
ignorés par le modèle mathématique de la piézoélectricité linéarisé utilisé ici, notamment la température et la polarisation rémanente. Cela montre que ce modèle même s’il
approche au mieux la réalité physique, reste incomplet pour décrire tous les phénomènes
physiques associés à ce type de matériaux (pour plus de détails, on pourra consulter Banks
et al. [8]).
ii) Dans le cas quasi-statique, le comportement mécanique est régi par les équations de
l’élastodynamique, tandis que le comportement électrique est régi par les équations de
Maxwell statiques, ce qui revient à dire que l’opérateur d’evolution apparait seulement
dans la première équation du système (1.1.2) (Pour l’étude des propriétés de ce problème
d’evolution, on pourra consulter l’article de Miara [59]).
Chapitre 2
Homogénéisation d’un corps
piézoélectrique perforé
Dans ce chapitre on s’intéresse à l’homogénéisation de l’équation de l’interaction électromécanique d’un corps piézoélectrique tridimensionnel périodiquement perforé. Pour se faire, on
utilise la technique de la convergence à deux échelles introduite par Nguetseng [64] et précisée
pour ses applications en homogénéisation périodique par la suite par Allaire [1], [2].
La notion de la convergence à deux échelles [1] [2] ou récemment la méthode de l’éclatement
périodique [24] sont particulièrement bien adaptées à l’homogénéisation périodique des équations
aux dérivées partielles où interviennent deux échelles d’espace (macroscopique et microscopique), puisqu’à l’aide des ces deux méthodes, en une seule et même étape, on récupère le
problème homogénéisé et on répond à la question de la convergence. Une approche classique
de ce type de problèmes consiste à appliquer successivement la méthode des développements
asymptotiques à deux échelles (pour trouver formellement le problème homogénéisé ainsi que
le problème local), puis répondre à la question de la convergence par la méthode de l’énergie
de L.Tartar [86] [85] ou bien les méthodes G-convergence, Γ-convergence, afin de prouver rigoureusement la convergence.
Considérons Ω un domaine borné connexe de IRn (n ∈ IN) de bord ∂Ω Lipschitz et faisons
à l’intérieur des trous, on obtient un ouvert Ωε (ε un paramètre strictement positif). On va
se placer dans le cas où ε → 0, c’est-à-dire on creuse dans Ω des trous de taille de plus en
plus petites, répartis régulièrement mais de plus en plus petits, donc notre milieu est modélisé
par une répétition périodique d’une cellule élémentaire de taille ε. Notre objectif est l’étude du
comportement limite (lorsque ε → 0) du problème de la piézoélectricité.
Plusieurs études ont été faites sur l’homogénéisation des structures piézoélectriques pour
étudier les propriétés des coefficients homogénéisés (effectifs) notamment les travaux de Kalamkarov et Georgiades [44] et de Castillero et al. [19] sur des matériaux laminés, et les travaux
de Ruan et al. [79] et de celui de Feng et Wu [35]) sur des matériaux fibrés. Ces auteurs se
sont servis de la technique des échelles multiples pour examiner les propriétés effectives des
structures étudiées. En utilisant la méthode de G-convergence Telega et al. [87] [88] [89] se
sont intéressés aux matériaux piézocomposites. Les résultats que nous obtenons complètent le
résultat de Telega [87], et nous permettent en particulier d’exploiter les problèmes locaux et les
tenseurs effectifs.
19
20
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
Ce chapitre est composé de neuf sections organisées de la manière suivante : Dans la première
section, on présentera le cadre géométrique dans lequel on va travailler. Dans la section suivante,
on présentera le problème étudié. Dans la troisième section, nous formulerons le problème
variationnel pour aboutir à l’estimation a priori sur le champ des déplacements mécaniques et
le potentiel électrique. Dans la section suivante, on présentera un bref rappel sur la notion de la
convergence à deux échelles avec l’illustration de quelques résultats fondamentaux qui lui sont
liés, et par la suite on établira le premier résultat de convergence du problème étudié. Dans la
cinquième section, on énoncera le théorème principal de convergence, qui décrit le comportement
asymptotique de l’état électromécanique lorsque le paramètre de la taille des perforations tend
vers zéro. Les expressions de tous les tenseurs d’élasticité, de piézoélectricité (de couplage) et
de diélectricité homogénéisés seront données dans la section suivante. Dans la septième section,
on étudiera les propriétés (symétrie, ellipticité,...) des coefficients des tenseurs homogénéisés
(effectifs), ce qui permet d’établir la forme alternative du théorème de convergence, à partir
duquel on déduit un théorème d’existence et d’unicité de la solution du problème homogénéisé.
Dans la section suivante, on donnera un résultat qui décrit le comportement asymptotique des
énergies : mécanique, électrique et totale. Dans la dernière section on prouvera un résultat
de correcteur, qui nous permettra de justifier les deux premiers termes des développements
asymptotiques de la solution du problème traité.
2.1
Géométrie du domaine perforé
Soit Ω un ouvert borné simplement connexe de R3 de la variable x = (x1 , x2 , x3 ), de frontière
Γ = ∂Ω Lipschitzienne. Posons ε comme un paramètre associé à une microstructure contenue
dans Ω, destiné à converger vers zéro.
Soit Y = (0, 1)3 la période de base (la cellule de référence) de variable microscopique y =
(y1 , y2 , y3 ), on prend un ouvert Y ∗ tel que Y ∗ ⊂⊂ Y qui représente la partie de Y occupée par
le matériau de telle sorte que Y − Y ∗ soit le trou (le vide), on suppose que Y ∗ est de frontière
lipschitzienne et que Y − Y ∗ ⊂ Y .
x2
Perforations
Ωε
x1
0
y2
Y∗
Y −Y∗
y1
La cellule de référence
Fig. 2.1 – Une structure perforée Ωε et sa cellule de base Y .
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
21
On définit le domaine perforé Ωε comme un sous-domaine de Ω de l’union de toutes les
translations εY -périodiques de εY ∗ , qui sont strictement inclues dans Ω (c’est-à-dire les trous
ne coupent pas le bord de Ω, voir figure 2.1), c’est-à-dire
[
Ωε =
ε(Y ∗ + k) ∩ Ω.
k∈Z3
Posons χ la fonction caractéristique de S ∗ , telle que S ∗ représente l’intégralité du matériau
par Y -périodique de Y ∗ . On peut donc définir analytiquement Ωε comme suit
n
o
x
Ωε = x ∈ Ω/ χ( ) = 1 .
ε
Autrement dit, Ωε est l’ensemble Ω dont on a retiré les perforations déduites de εY par
toutes les translations de longueur mε avec m ∈ Z dans toutes les directions.
Remarque 2.1.1 Il convient de signaler qu’il existe une fonction θ ∈ L∞ (Ω), telle que
χΩ ε * θ
faiblement ∗ dans L∞ (Ω).
En effet, ce dernier résultat est une conséquence du lemme classique (voir Cioranescu et Donato
[27], Lewiński et Telega [49]) suivant
Lemme 2.1.1
Soit 1 ≤ p ≤ ∞ et f ∈ Lp (Y ), Y -périodique. On définit la fonction f ε par : f ε = f ( xε ) p.p
x ∈ Ω. On a
 ε
dans Lp (Ω) pour 1 ≤ p < ∞,
 f (x) * MY (f ) faiblement

f ε (x) * MY (f ) faiblement ∗ dans L∞ (Ω),
Z
1
où MY (f ) =
f (y) dy.
|Y | Y
2.2
Position du problème traité
On adoptera tout au long de ce travail, la convention d’Einstein sur la sommation des indices
répétés, on utilisera l’alphabet latin pour les indices variant de 1 à 3. Les vecteurs de IR 3 sont
représentés en caractères gras, on désignera par nε la normale extérieure à Ωε . On notera par uε
le champ des déplacements élastiques et par ϕε le potentiel électrique, les équations régissant
le comportement piézoélectrique sont

 −div σ ε (uε , ϕε ) = f dans Ωε ,
(2.2.1)

−div Dε (uε , ϕε ) = 0 dans Ωε ,
avec les conditions aux limites

(uε , ϕε )
= (0, 0) sur ∂Ω,





σ ε (uε , ϕε ).nε = 0
sur les bords des trous ∂Ωε − ∂Ω,




 ε ε ε ε
D (u , ϕ ).n = 0
sur les bords des trous ∂Ωε − ∂Ω,
(2.2.2)
22
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
où f ∈ L2 (Ωε ), le tenseur des contraintes linéarisées σ ε = (σijε ) et le vecteur des déplacements
électriques Dε = (Diε ), sont reliés par la loi de comportement
 ε ε ε
 σij (u , ϕ ) = cεijkl skl (uε ) + eεkij ∂k ϕε dans Ωε ,
(2.2.3)
 ε ε ε
ε
ε
ε
ε
Di (u , ϕ ) = −eikl skl (u ) + dij ∂j ϕ dans Ωε ,
1 ≤ i, j, k, l ≤ 3,
avec (div σ ε )i = ∂j σijε , div Dε = ∂i Diε , ∂i =
∂
,
∂xi
x = (xi ) ∈ Ω et
 ε
cijkl = cijkl (x, xε ),





eεkij = ekij (x, xε ),




 ε
dij = dij (x, xε ).
Le tenseur des déformations linéarisé est donné par skl (u) = 12 (∂k ul + ∂l uk ) et le tenseur de
l’élasticité tridimensionnelle C ε = (cεijkl ) est symétrique et défini positif uniformément en ε, il
vérifie
 ε
cijkl = cεjikl = cεklij = cεijlk ,





cijkl (x, y) ∈ L∞ (Ω; Cper (Y )),
(2.2.4)





∃αc > 0 indépendante de ε : cεijkl Xij Xkl ≥ αc Xij Xij , ∀Xij = Xji ∈ R.
Le tenseur piézoélectrique (de couplage) E ε = (eεikl ) est symétrique, il vérifie
 ε
 eikl = eεilk ,

(2.2.5)
∞
eikl (x, y) ∈ L (Ω; Cper (Y )).
Le tenseur diélectrique D ε = (dεij ) est symétrique et défini positif uniformément en ε, il vérifie
 ε
dij = dεji ,





dij (x, y) ∈ L∞ (Ω; Cper (Y )),
(2.2.6)





∃αd > 0 indépendante de ε : dεij Xi Xj ≥ αd Xi Xi , ∀Xi ∈ R.
où Cper (Y ) est l’espace des fonctions continues et Y -périodiques.
2.3
Le problème variationnel et l’estimation a priori
Le but principal de cette section est d’obtenir une estimation a priori sur le champ des
déplacements mécaniques et le vecteur du potentiel électrique. Pour se faire, on identifie le
problème variationnel correspondant au problème aux limites (2.2.1)-(2.2.2)-(2.2.3).
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
2.3.1
23
Problème variationnel
Introduisons les espaces admissibles suivants
n
o
Vε (Ωε ) =
v ∈ H1 (Ωε ), v = 0 sur ∂Ω ,
Wε (Ωε ) =
n
ψ ∈ H 1 (Ωε ), ψ = 0 sur ∂Ω
o
.
On formule le problème variationnel associé au problème (2.2.1)-(2.2.2)-(2.2.3) sous la première
forme

Trouver (uε , ϕε ) ∈ Vε (Ωε ) × Wε (Ωε ), tel que,



(2.3.7)



aε ((uε , ϕε ), (v, ψ)) = Lε (v, ψ)
∀(v, ψ) ∈ Vε (Ωε ) × Wε (Ωε ),
avec

Z nh
i

ε
ε
ε
ε
ε
ε

a
((u
,
ϕ
),
(v,
ψ))
=
c
s
(u
)
+
e
∂
ϕ
sij (v)

ε
ijkl kl
kij k


Ωε





h
i o
+
− eεikl skl (uε ) + dεij ∂j ϕε ∂i ψ dx,
(2.3.8)





Z




=
fi (x) vi (x) dx.
 Lε (v, ψ)
Ωε
On rappelle que puisque la matrice globale du matériau piézoélectrique est antisymétrique,
alors il n’y a pas d’équivalence entre le problème de minimisation de l’énergie et le problème
d’équilibre. La solution de ce dernier correspond à un point selle de la fonctionnelle
Z Z
1
ε
ε
ε
(v, ψ) −→
c (v, v) + 2e (v, ψ) − d (ψ, ψ) dx −
f v dx,
2 Ωε
Ωε
où on a noté
Remarque 2.3.1
 ε
c (u, v) = cεijkl sij (u) skl (v),





eε (u, ψ) = eεikl skl (u) ∂i ψ,




 ε
d (ϕ, ψ) = dεij ∂i ϕ ∂j ψ.
Cependant, sous des hypothèses réalistes de bornitude des tenseurs de rigidité, de couplage
et de diélectricité, avec l’ellipticité uniforme des tenseurs de rigidité et de diélectricité (voir
(2.2.4)-(2.2.5)-(2.2.6)) et des actions extérieures suffisamment régulières, le problème (2.2.1)(2.2.2)-(2.2.3) admet une unique solution faible. La question est d’envisager, d’étudier, par
la suite, le comportement de l’état électromécanique (déterminé par le couple : le champ de
déplacement et le potentiel électrique) de ce corps piézoélectrique perforé lorsque le paramètre
de la taille des trous ε tend vers zéro.
24
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
2.3.2
Rappel sur les inégalités de Poincaré et de Korn dans un domaine perforé
Dans cette partie, on présentera un rappel sur les inégalités de Korn et de Poincaré dans
des domaines perforés, dont on se servira par la suite, afin d’établir l’estimation a priori sur
le champ des déplacements et le vecteur de potentiel électrique. Pour plus de détails sur ces
inégalités, on peut consulter le travail de Cioranescu et Sain-Jean-Paulin [25] et les ouvrages
de Oleinik et al. [66], de Lewiński et Telega [49] et l’article d’Allaire-Murat [4]. Dans tous les
lemmes suivants, on prend la géométrie décrite dans la section 2.1 comme une géométrie du
domaine perforé.
Lemme 2.3.1 (Inégalité de Poincaré sur un domaine perforé)
Il existe une constante C strictement positive indépendante de ε, telle que pour chaque fonction
v ∈ H 1 (Ωε ) satisfait v = 0 sur ∂Ω, on a
k v kL2 (Ωε ) ≤ C k ∇v kL2 (Ωε ) .
(2.3.9)
Théorème 2.3.1 (Inégalité de Korn sur un domaine perforé)
Soit Ωε un domaine perforé, alors pour chaque fonction u ∈ H1 (Ωε ), il existe une constante C
indépendante de ε, telle qu’on a l’inégalité suivante
k u kH1 (Ωε ) ≤ C k u kL2 (Ωε ) + k s(u) kL2 (Ωε ) .
(2.3.10)
avec k s(u) kL2 (Ωε ) =
2.3.3
3
X
i,j=1
k sij (v) kL2 (Ωε )
1/2
Estimation a priori
Sur les espaces Vε (Ωε ) et Wε (Ωε ), on peut définir les deux normes suivantes
k v kVε (Ωε ) =
3
X
i,j=1
k sij (v) kL2 (Ωε )
k ψ kWε (Ωε ) = k ∇ψ kL2 (Ωε ) .
1/2
, ∀v ∈ Vε (Ωε )
∀ψ ∈ Wε (Ωε )
Les deux espaces Vε (Ωε ) et Wε (Ωε ) munis de ces deux normes sont des espaces de Hilbert.
Proposition 2.3.1 (Estimation a priori)
Pour tout couple (uε , ϕε ) ∈ Vε (Ωε ) × Wε (Ωε ) solution du problème variationnel (2.3.7)-(2.3.8),
on a l’estimation a priori uniformément par rapport à ε suivante
k uε kH1 (Ωε ) + k ϕε kH 1 (Ωε ) ≤ C,
(2.3.11)
où C est une constante strictement positive et indépendante de ε.
Démonstration
En remplaçant dans la formulation variationnelle (2.3.7)-(2.3.8), v par uε et ψ par ϕε , on obtient
Z nh
i
h
i
o
cεijkl skl (uε )(x) + eεkij ∂k ϕε (x) sij (uε )(x) +
− eεikl skl (uε )(x) + dεij ∂j ϕε (x) ∂i ϕε (x) dx
Ωε
Z
=
fi (x) uεi (x) dx.
Ωε
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
Après une simplification, nous obtenons :
Z n
Z
o
ε
ε
ε
ε
ε
ε
cijkl (x)sij (u )(x)skl (u )(x) + dij (x)∂i ϕ (x)∂j ϕ (x) dx =
Ωε
25
Ωε
fi (x) uεi (x) dx.
Puisque les deux tenseurs cε et dε sont uniformément définis positifs en ε, alors à partir de
l’équivalence des normes signalée ci-dessus, on a
 Z


cε (x)sij (uε )(x)skl (uε )(x) dx ≥ αc k uε k2Vε (Ωε ) ,


 Ωε ijkl
Z





Ωε
dεij (x)∂i ϕε (x)∂j ϕε (x) dx
≥ αd k ϕε k2Wε (Ωε ) ,
avec αc et αd sont deux constantes indépendantes de ε, par conséquent, on a
Z n
o
n
o
cεijkl sij (uε )(x)skl (uε )(x) + dεij ∂i ϕε (x)∂j ϕε (x) dx ≥ ᾱ k uε k2Vε (Ωε ) + k ϕε k2Wε (Ωε ) ,
Ωε
avec ᾱ = min(αc , αd ). Donc on obtient l’estimation a priori suivante
k uε kVε (Ωε ) + k ϕε kWε (Ωε ) ≤ C,
avec C est une constante indépendante de ε. Par conséquent, à l’aide des inégalités de Korn et
de Poincaré sur des domaines perforés, on a
k uε kVε (Ωε ) ≥ c1 k uε kH1 (Ωε )
k ϕε kWε (Ωε ) ≥ c2 k ϕε kH 1 (Ωε )
avec c1 , c2 constantes indépendantes de ε, et à partir des deux dernières inégalités, les deux
quantités k uε kH1 (Ωε ) et k ϕε kH 1 (Ωε ) sont uniformément bornées par rapport à ε.
Remarque 2.3.2
L’une des difficultés pour l’application de l’homogénéisation sur des domaines perforés reste
l’impossibilité d’extraire directement une sous-suite convergente à l’aide de la compacité faible
dans l’espace de Sobolev H 1 (Ωε ), du fait que notre suite (uε , ϕε ) est définie sur des espaces
H 1 (Ωε ) variant en fonction de ε. Pour cela on propose de construire une extension de u ε par
0 sur Ω − Ωε et on démontre ensuite la convergence du développement asymptotique de cette
extension via la convergence à deux échelles (voir [1], [2]).
Dans le paragraphe suivant, on rappelle la notion de la convergence à double échelle, ainsi
que quelques résultats fondamentaux liés à cette notion de convergence (Allaire [1], [2]).
2.4
La convergence à deux échelles
Dans l’objectif d’obtenir un résultat de convergence pour le problème (2.2.1)-(2.2.2)-(2.2.3),
on propose une approche basée sur la notion de la convergence à deux échelles. Cette notion a été
introduite dans Nguetseng [64] et précisée pour ses applications en homogénéisation périodique
par Allaire [1], [2], puis généralisée pour le cas multi-échelle par par Allaire et Briane [3], ainsi
que par Ene et Saint Jean-Paulin [34].
26
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
L’idée de cette convergence est basée en premier lieu sur l’obtention d’une estimation a
priori sur le champ des déplacements et le potentiel électrique. Ensuite, on utilise la propriété
de la compacité relative (faible) avec une procédure classique de prolongement et un choix des
fonctions tests dans le problème variationnel. Finalement, nous passons à la limite ε → 0 pour
obtenir simultanément le problème homogénéisé et les problèmes locaux.
2.4.1
Rappel sur la notion de la convergence double échelle
∞
Notons par Cper
(Y ) l’espace des fonctions indéfiniment différentiables dans R3 et périodiques,
1
∞
de période Y , Hper (Y ) (resp. L2per (Y )) le complété de Cper
(Y ) pour la norme de H 1 (Y ) (resp.
L2 (Y )).
On rappelle tout d’abord la définition de la convergence à deux échelles et les propriétés
liées à cette notion.
• Définition de la convergence à deux échelles
Définition 2.4.1
On dit qu’une suite (uε )ε>0 ⊂ L2 (Ω) converge à deux échelles (ou converge au sens deux
échelles) vers une limite u0 (x, y) ∈ L2 (Ω × Y ) si et seulement si, pour toute fonction ϕ(x, y) ∈
∞
C0∞ (Ω; Cper
(Y )), on a
Z
Z Z
x
ε
u
lim
u (x)ϕ(x, ) dx =
u0 (x, y)ϕ(x, y) dx dy.
t
ε→0
ε
Ω
Ω Y
Cette définition peut s’étendre au cas vectoriel comme suit
Définition 2.4.2
On dit qu’une suite (uε )ε>0 ⊂ [L2 (Ω)]N , (N = 3) converge à deux échelles (ou converge au sens
deux échelles) vers une limite u0 (x, y) ∈ [L2 (Ω × Y )]N si et seulement si, pour toute fonction
∞
ϕ(x, y) ∈ [C0∞ (Ω; Cper
(Y ))]N , on a
Z
Z Z
x
ε
lim
u (x)ϕ(x, ) dx =
u0 (x, y)ϕ(x, y) dx dy.
ε→0
ε
Ω
Ω Y
Rappelons ci-dessous, quelques résultats liés à la notion de la convergence double échelle.
• Résultats fondamentaux
1. De toute suite (w ε )ε>0 ⊂ L2 (Ω) uniformément bornée en ε, on peut extraire une sous-suite
et il existe une fonction w0 (x, y) ∈ L2 (Ω × Y ), telle que la sous-suite notée encore (w ε )ε>0
converge à deux échelles vers w0 (x, y).
2. Soit (w ε )ε>0 une suite qui converge à deux échelles
vers w0 (x, y), alors (w ε )ε converge
R
faiblement dans L2 (Ω) vers w, défini par w(x) = Y w0 (x, y) dy et on a
lim k w ε kL2 (Ω) ≥ k w0 kL2 (Ω×Y ) ≥ k w kL2 (Ω) .
ε→0
Pour la démonstration complète voir G.Nguetseng [64] et G.Allaire [1], [2].
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
2.4.2
27
Quelques résultats préliminaires de la convergence double échelle
∼
Pour toute fonction vε définie dans Ωε , on note par vε le prolongement par zéro de v ε à Ω
tout entier, défini par
 ε
 v (x) si x ∈ Ωε ,
∼
ε
v (x) =
(2.4.12)

0
si x ∈ Ω − Ωε .
∼
De même, pour tout opérateur P tel que P = ∇ ou P = sij , on note P son prolongement,
défini par

 Pvε (x) si x ∈ Ωε ,
∼
ε
P v (x) =

0
si x ∈ Ω − Ωε .
A partir de l’estimation a priori (2.3.11) et d’après le résultat fondamental de la convergence à
deux échelles on aboutit au résultat suivant
Proposition 2.4.1
∼
1. Il existe deux fonctions u(x) ∈ H10 (Ω) et ϕ(x) ∈ H01 (Ω), telle que les deux suites (uε )ε>0
∼
et (ϕε )ε>0 convergent à deux échelles vers χ(y)u(x) et χ(y)ϕ(x) respectivement.
1
2. Il existe deux fonctions u1 (x, y) ∈ L2 [Ω; H1per (Y ∗ )/R] et ϕ1 (x, y) ∈ L2 [Ω; Hper
(Y ∗ )/R],
telles que,
h
i
∼
ε
u
(x)
−→
χ(y)
∇
u(x)
+
∇
u
(x,
y)
au sens deux échelles,
∇
x
y 1
h
i
∇ ϕ (x) −→ χ(y) ∇x ϕ(x) + ∇y ϕ1 (x, y) au sens deux échelles.
∼
3. On a aussi
∼
sij
ε
h
i
(u )(x) −→ χ(y) sij,x (u(x)) + sij,y (u1 (x, y)) au sens deux échelles.
ε
Les indices x et y indiquent les variables de la dérivation. χ est la fonction caractéristique de
Y ∗.
Preuve :
La démonstration est basée sur les idées développées dans G.Nguetseng [64] et G.Allaire [1], [2].
∼
1. A partir de l’estimation a priori (2.3.11), on peut conclure que les quatre suites (uε
∼
∼
∼
)ε , (∇ uε )ε , (ϕε )ε et (∇ ϕε )ε restent aussi bornées, alors par l’application du résultat
fondamental sur la convergence à deux échelles, on peut extraire des sous-suites, qui
convergent à deux échelles vers u0 (x, y), η0 (x, y), ϕ0 (x, y) et ξ0 (x, y) respectivement. Par
définition de l’extension posée (2.4.12), on conclus directement que
u0 (x, y) = η0 (x, y) = ϕ0 (x, y) = ξ0 (x, y) = 0 si y ∈ Y − Y ∗ .
28
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
Nous allons préciser la forme de chacune des limites u0 (x, y) et ϕ0 (x, y). Pour cela, soient
∞
∞
∞
∞
∞
φ(x, y) ∈ C∞
0 [Ω; Cper (Y )], ψ(x, y) ∈ C0 [Ω; Cper (Y )], Θ(x, y) ∈ C0 [Ω; Cper (Y )] et
∞
Ψ(x, y) ∈ C0∞ [Ω; Cper
(Y )], qui sont égales à zéro si y ∈ Y − Y ∗ . Par définition on a
Z Z
Z
x
ε
lim
u (x) φ(x, ) dx =
u0 (x, y) φ(x, y) dx dy,
(2.4.13)
ε→0 Ω
ε
Ω Y∗
ε
Z
Z Z
x
ε
lim
∇u (x) Θ(x, ) dx =
η0 (x, y) Θ(x, y) dx dy,
(2.4.14)
ε→0 Ω
ε
Ω Y∗
ε
Z Z
Z
x
ε
lim
ϕ (x) ψ(x, ) dx =
Φ0 (x, y) ψ(x, y) dx dy,
(2.4.15)
ε→0 Ω
ε
Ω Y∗
ε
Z
Z Z
x
ε
lim
∇ϕ (x) Ψ(x, ) dx =
ξ0 (x, y) Ψ(x, y) dx dy.
(2.4.16)
ε→0 Ω
ε
Ω Y∗
ε
Une intégration par parties, donne
Z
Z
h
x
x
x i
ε
ε
∇ϕ (x).Ψ(x, ) dx = −
ϕε (x) εdivx Ψ(x, ) + divy Ψ(x, ) dx,
ε
ε
ε
Ωε
Ωε
Z
x
ε
∇u (x).Θ(x, ) dx = −
ε
Ωε
ε
Z
h
x
x i
uε (x) εdivx Θ(x, ) + divy Θ(x, ) dx.
ε
ε
Ωε
(2.4.17)
(2.4.18)
Par passage à la limite et en utilisant (2.4.13) avec (2.4.14) et (2.4.15) avec (2.4.16), on
obtient
Z Z
0=−
u0 (x, y) divy Θ(x, y) dx dy,
0=−
Ω
Y∗
Ω
Y∗
Z Z
ϕ0 (x, y) divy Ψ(x, y) dx dy.
Ceci implique que u0 (x, y) et Φ0 (x, y) sont indépendantes de y sur Y ∗ , autrement dit, il
existe u(x) ∈ L2 (Ω) et Φ(x) ∈ L2 (Ω), tels que
u0 (x, y) = χ(y)u(x),
ϕ0 (x, y) = χ(y)ϕ(x).
2. Choisissons maintenant des fonctions tests, qui vérifient divy Θ(x, y) = divy Ψ(x, y) = 0,
dans les deux équations (2.4.17) et (2.4.18), on obtient
Z
Z
x
x
ε
∇u (x).Θ(x, ) dx = −
uε (x).divx Θ(x, ) dx,
(2.4.19)
ε
ε
Ωε
Ωε
Z
x
∇ϕ (x).Ψ(x, ) dx = −
ε
Ωε
ε
Z
x
ϕε (x).divx Ψ(x, ) dx.
ε
Ωε
Passons à la limite ε → 0, on aboutit à
Z Z
Z Z
η0 (x, y)Θ(x, y) dx dy = −
Ω
Y∗
Z Z
Ω
Y∗
Ω
ξ0 (x, y)Ψ(x, y) dx dy = −
Z Z
Ω
u(x) divx Θ(x, y) dx dy,
Y∗
ϕ(x) divx Ψ(x, y) dx dy.
Y∗
(2.4.20)
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
29
Par une intégration par parties et pour Θ(x, y) ∈ L2 [Ω; L2per (Y ∗ )] et Ψ(x, y) ∈ L2 [Ω; L2per (Y ∗ )],
avec divy Θ(x, y) = divy Ψ(x, y) = 0 et Θ(x, y).ny = Ψ(x, y).ny = 0 sur ∂Y ∗ − ∂Y , on
obtient
Z Z h
i
η0 (x, y) − ∇u(x) Θ(x, y) dx dy = 0,
(2.4.21)
∗
Ω
Y
Z Z h
i
ξ0 (x, y) − ∇ϕ(x) Ψ(x, y) dx dy = 0.
(2.4.22)
Ω
Y∗
1
D’après [1], il existe u1 (x, y) ∈ L2 [Ω; H1per (Y ∗ )] et Φ1 (x, y) ∈ L2 [Ω; Hper
(Y ∗ )], tels que
h
i
η0 (x, y) = χ(y) ∇u(x) + ∇y u1 (x, y) ,
h
i
ξ0 (x, y) = χ(y) ∇ϕ(x) + ∇y Φ1 (x, y) .
(2.4.23)
(2.4.24)
3. On peut déduire ce résultat directement, car
h
i
∼
ε
u
(x)
−→
χ(y)
∇
u(x)
+
∇
u
(x,
y)
au sens double échelle,
∇
x
y 1
d’où en particulier
h ∂uj
i
∂uεj
∂uj
(x) −→
(x) + 1 (x, y) au sens deux échelles,
∂xi
∂xi
∂yi
et par définition on a : s(uε ) = 21 (∇uε + ∇t uε ), on déduit directement que
h
i
∼
sij (uε )(x)) −→ χ(y) sij,x (u(x))) + sij,y (u1 (x, y)) toujours au sens double échelle.
D’après le résultat fondamental de la convergence à double échelle et le lemme 2.1.1, on établit
le résultat ci-dessous :
Corollaire 2.4.1
∼
∼
La suite (Zuε ) (resp. (ϕε )) converge faiblement dans L2 (Ω) (resp. L2 (Ω)) vers θu (resp. θϕ),
avec θ =
χ(y) dy (on rappelle que θ est la limite faible ∗ de χΩε dans L∞ (Ω)).
Y
2.5
Le résultat principal
Notre problème maintenant est le suivant : u, u1 , ϕ et ϕ1 vérifient-t-ils une équation du
même type que celle de notre problème modèle (2.2.1)-(2.2.2)-(2.2.3).
Pour cela, en suivant l’idée de Nguetseng [64] et G.Allaire [1], on utilise la méthode d’identification des limites double échelle, qui consiste à choisir dans le problème variationnel (2.3.7)(2.3.8), des fonctions tests du type
 ε
 v (x) = v(x, xε ) = v0 (x) + εv1 (x, xε ),

ψ ε (x) = ψ(x, xε ) = ψ 0 (x) + εψ 1 (x, xε ),
30
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
avec
 0
1
∞
∞
 v ∈ C∞
0 (Ω), v ∈ C0 (Ω; Cper (Y )),

∞
ψ 0 ∈ C0∞ (Ω), ψ 1 ∈ C0∞ (Ω; Cper
(Y )).
Pour une fonction quelconque v(x, y), nous avons
∂v
1 ∂v
dv
=
+
,
dxi
∂xi ε ∂yi
qui implique
1
sij (v) = sij,x (v) + sij,y (v),
ε
donc, on peut facilement voir que

x
x

sij (vε )(x) = sij,x (v0 )(x) + sij,y (v1 )(x, ) + εsij,x(v1 )(x, ),



ε
ε
On obtient
Z

dψ ε


(x)

dxi
=
∂ψ 0
∂ψ 1
x
∂ψ 1
x
(x) +
(x, ) + ε
(x, ).
∂xi
∂yi
ε
∂xi
ε
ih
x i
cεijkl skl (uε ) + eεkij ∂k ϕε sij,x (v0 )(x) + {sij,y (v1 ) + εsij,x (v1 )}(x, )
ε
h
io
ih
x
− eεkij skl (uε ) + dεij ∂j ϕε ∂ix ψ 0 (x) + {∂i,y ψ 1 + ε∂i,x ψ 1 }(x, ) dx
ε
Z
h
i
x
fi (x) vi0 (x) + εvi1 (x, ) dx.
(2.5.25)
ε
Ωε
nh
Ωε
−
=
Sous les hypothèses (2.2.4), (2.2.5) et (2.2.6), nous avons

χΩε (x)cεijkl (x) −→ χ(y)cijkl (x, y) au sens deux échelles,





χΩε (x)eεkij (x) −→ χ(y)ekij (x, y) au sens deux échelles,





χΩε (x)dεij (x) −→ χ(y)dij (x, y)
au sens deux échelles.
D’après la proposition précédente et en passant à la limite quand ε → 0, on aboutit à
Z Z
h
ih
i
χ(y) cijkl (x, y) skl,x (u) + skl,y (u1 ) + ekij (x, y) ∂k,x ϕ + ∂k,y ϕ1
skl,x (v) + skl,y (v1 ) dxdy
ZΩ ZY
h
ih
i
1
−
χ(y) − eikl (x, y) skl,x (u) + skl,y (u1 ) + dij (x, y) ∂j,x ϕ + ∂j,y ϕ1
∂i,x ψ + ∂i,y ψ dx dy
ZΩ ZY
=
fi (x)χ(y)vi (x) dx dy,
Ω
Y
alors, on obtient
Z Z
h
ih
i
cijkl (x, y) skl,x (u) + skl,y (u1 ) + ekij (x, y) ∂k,x ϕ + ∂k,y ϕ1
skl,x(v0 ) + skl,y (v1 ) dxdy
∗
ZΩ ZY h
ih
i
+
− eikl (x, y) skl,x (u) + skl,y (u1 ) + dij (x, y) ∂j,x ϕ + ∂j,y ϕ1
∂i,x ψ 0 + ∂i,y ψ 1 dx dy
Ω Y∗
Z
=
θ fi (x) vi (x) dx,
(2.5.26)
Ω
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
31
∞
1
1
Par densité des fonctions de C∞
0 (Ω) (resp. C0 (Ω)) dans H0 (Ω) (resp. H0 (Ω)), l’équation
0
1
0
1
1
(2.5.26) reste vérifiée pour tout v ∈ H0 (Ω) et ψ ∈ H0 (Ω) et pour tout v ∈ L2 [Ω; H1per (Y ∗ )/R]
1
et ψ 1 ∈ L2 [Ω; Hper
(Y ∗ )/R].
Par une intégration par parties et en prenant successivement dans l’équation (2.5.26),
0
v = ψ 0 = 0 et v1 6= 0, ψ 1 6= 0,
v1 = ψ 1 = 0 et v0 6= 0, ψ 0 6= 0,
on conclut que l’équation (2.5.26), est la formulation variationnelle associée au problème suivant
:

nZ h
i o

 −∂j
cijkl (x, y) skl,x (u) + skl,y (u1 ) + ekij (x, y) ∂k,x ϕ + ∂k,y ϕ1 dy
= θfi (x),
?
Z
Y
n
h
i o
(2.5.27)

 −∂i
− eikl (x, y) skl,x(u) + skl,y (u1 ) + dij (x, y) ∂jx Φ + ∂j,y ϕ1 dy
= 0.
Y?
D’après la densité des fonctions tests qu’on a choisies, une intégration par parties montre que
∀(v0 , v1 ) ∈ H10 (Ω) × L2 [Ω; H1per (Y ∗ )/R],
1
∀(ψ 0 , ψ 1 ) ∈ H01 (Ω) × L2 [Ω; Hper
(Y ∗ )/R],
l’équation (2.5.26) est la formulation variationnelle du problème suivant
Z h

h
i
h
ii o
∂ n

 −
cijkl (x, y) skl,x(u) + skl,y (u1 ) + ekij (x, y) ∂k,x ϕ + ∂k,y ϕ1 dy
= θfi (x) dans Ω,


∂xj

Y∗




Z h

h
i
h
ii o

∂ n


−
e
(x,
y)
s
(u)
+
s
(u
)
+
d
(x,
y)
∂
ϕ
+
∂
ϕ
= 0 dans Ω,
−

ikl
kl,x
kl,y
1
ij
j,x
j,y 1 dy

 ∂xi
Y∗
(2.5.28)
n
h
i
h
io


∂


−
cijkl (x, y) skl,x (u) + skl,y (u1 ) + ekij (x, y) ∂k,x ϕ + ∂k,y ϕ1
= 0 dans Ω × Y ∗ ,


∂y

j





h
i
h
io


∂ n

 −
− eikl (x, y) skl,x(u) + skl,y (u1 ) + dij (x, y) ∂j,x ϕ + ∂j,y ϕ1
= 0 dans Ω × Y ∗ ,
∂yi
avec les conditions aux limites suivantes

u(x)




ϕ(x)





= 0 sur ∂Ω,
= 0 sur ∂Ω,
(2.5.29)
n
h
i
h
io


∗

cijkl (x, y) skl,x (u) + skl,y (u1 ) + ekij (x, y) ∂k,x ϕ + ∂k,y ϕ1 .nj = 0 sur ∂Y − ∂Y,



n
h
i
h
io


 − eikl (x, y) skl,x (u) + skl,y (u1 ) + dij (x, y) ∂j,x ϕ + ∂j,y ϕ1 .ni = 0 sur ∂Y ∗ − ∂Y.
et
y → u1 (x, y) est Y ∗ − périodique en y,
y → ϕ1 (x, y) est Y ∗ − périodique en y,
(2.5.30)
32
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
Afin d’établir l’existence et l’unicité de la solution du problème (2.5.28)-(2.5.29)-(2.5.30), il
suffit de vérifier les hypothèses du Théorème de Lax-Milgram. Pour cela il est clair que sous
les hypothèses (2.2.4), (2.2.5) et (2.2.6), la forme bilinéaire définie par le membre gauche de
l’équation (2.5.26) est continue et coercive dans l’espace de Hilbert H10 (Ω)×L2 [Ω; H1per (Y ∗ )/R]×
1
H01 (Ω) × L2 [Ω; Hper
(Y ∗ )/R] (voir Allaire [1]) muni de la norme suivante :
k sx (u)(x) + sy (u)(x, y) kL2 (Ω×Y ∗ ) + k ∇x ϕ(x) + ∇y ϕ1 (x, y) kL2 (Ω×Y ∗ ) .
Ce qui est de la coercivité, on a
Z Z
h
ih
i
cijkl (x, y)(skl,x(u) + skl,y (u1 )) + ekij (x, y)(∂k,x ϕ + ∂k,y ϕ1 ) skl,x (u) + skl,y (u1 ) dx dy
Ω
+
Z Z
Ω
=
Y∗
Y∗
h
Z Z
Z Z
Ω
≥
≥
i
− eikl (x, y)(skl,x(u) + skl,y (u1 )) + dij (x, y)(∂j,xϕ + ∂j,y ϕ1 ) ∂i,x ϕ + ∂i,y ϕ1 dx dy
Ω
+
ih
αc
Y∗
Y∗
Z Z
Ω
h
ih
i
cijkl (x, y) skl,x(u) + skl,y (u1 ) skl,x (u) + skl,y (u1 ) dx dy
h
ih
i
dij (x, y) (∂j,x ϕ + ∂j,y ϕ1 ) ∂i,x Φ + ∂i,y ϕ1 dx dy
Y∗
h
sij,x (u) + sij,y (u1 )
min(αc , αd )
nZ Z
Ω
Y∗
h
i2
dx dy + αd
Z Z
Ω
sij,x (u) + sij,y (u1 )
i2
Y∗
h
dx dy +
∂i,x ϕ + ∂i,y ϕ1
Z Z
Ω
Y∗
h
i2
dx dy
∂i,x ϕ + ∂i,y ϕ1
i2
o
dx dy .
Donc, après cette démonstration, on peut énoncer le théorème principal de convergence suivant
Théorème 2.5.1 (Théorème de convergence)
∼
∼
∼
∼
Les quatres suites (uε )ε , ( s (uε ))ε , (ϕε )ε et (∇ ϕε )ε convergent à deux échelles vers χ(y)u(x),
χ(y)[sx (u)+sy (u1 )], χ(y)ϕ(x) et χ(y)[∇x ϕ+∇y ϕ1 ] respectivement, où (u(x), u1 (x, y), ϕ(x), ϕ1 (x, y))
1
sont l’unique solution dans H10 (Ω)×L2 [Ω; H1per (Y ∗ )/R]×H01 (Ω)×L2 [Ω; Hper
(Y ∗ )/R] du système
homogénéisé à deux échelles sous une forme variationnelle suivante
Z
cY ∗ (u1 + Πrs srs,x(u), v1 + Πrs srs,x (v0 ))
Ω
Z
1
rs
0
k
+eY ∗ (v + Π srs,x (v ), ϕ1 + Π ∂k,x ϕ) dx = θ fi vi0 dx ,
(2.5.31)
Ω
Z
−eY ∗ (u1 + Πrs srs,x (u), ψ 1 + Πk ∂k,x ψ 0 )
Ω
+dY ∗ (ϕ1 + Πk ∂k,x ϕ, ψ 1 + Πk ∂k,x ψ 0 ) dx = 0 ,
(2.5.32)
1
1
pour chaque v0 ∈ H01 (Ω)N , ψ 0 ∈ H01 (Ω) et v1 ∈ L2 (Ω; H#
(Y ∗ )N ) et ψ 1 ∈ L2 (Ω; H#
(Y ∗ )), avec
les formes bilinéaires cY ∗ (., .), eY ∗ (., .) et dY ∗ (., .) sont définies par
Z



cY ∗ (u, v) =
cijkl skl,y (u) sij,y (v) dy ,



Y∗




Z

eY ∗ (u, ψ) =
ekij sij,y (u) ∂k,y ψ dy ,
(2.5.33)

Y∗




Z




 dY ∗ (ϕ, ψ) =
dkl ∂l,y ϕ ∂k,y ψ dy .
Y∗
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
avec θ est la fraction volumique du matériau (i.e. θ = hχi =
désigne la mesure de Y ∗ , et
33
Z
Y∗
χ(y) dy =| Y ∗ |), où | Y ∗ |
 rs
 Πi = ys δir

Πk = y k
Remarque 2.5.1
Le problème homogénéisé à deux échelles (2.5.31)-(2.5.32)-(2.5.33) est un système de quatre
inconnues (u, u1 , ϕ, ϕ1 ), avec deux variables d’espace x et y (i.e. les deux échelles macroscopique et microscopique) mixtes.
Pour cela dans le paragraphe suivant, on va proposer de découpler le système (2.5.31)-(2.5.32)(2.5.33) sous forme de deux problèmes : un problème homogénéisé et des problèmes
locaux, qui nous permet par la suite d’exprimer ce théorème de convergence sous sa forme
alternative.
2.6
Calcul des tenseurs effectifs homogénéisés
La linéaritée du problème étudié, nous permet de poser
u1 (x, y) = smh,x (u(x))wmh (y) +
∂ϕ(x) n
q (y),
∂xn
(2.6.34)
ϕ1 (x, y) = smh,x (u(x))ϕmh (y) +
∂ϕ(x) n
ψ (y),
∂xn
(2.6.35)
où les fonctions wmh , qn , ϕmh et ψ n sont des fonctions Y ∗ -périodiques en y et indépendantes
de x. Elles sont définies comme les solutions des problèmes locaux (cellulaires) suivants :
• Les fonctions locales (auxiliaires) w mh et ϕmh définies sur Y ∗ , sont les solutions de ces
deux équations

h
i
∂ n
∂ϕmh o

kl
mh

−
cijkl (x, y) τmh + skl,y (w ) + ekij (x, y)
= 0 dans Y ∗ ,


∂yj
∂yk





h
i
∂ n
∂ϕmh o
(2.6.36)
kl
mh
= 0 dans Y ∗ ,

 − ∂y − eikl (x, y) τmh + skl,y (w ) + dij (x, y) ∂y

i
j





 mh
w , ϕmh
Y ∗ − périodiques,
avec
i
1h
δkm δlh + δkh δlm 1 ≤ k, l, m, h ≤ 3,
2
est le tenseur unitaire d’ordre quatre et δij représente le symbole de Kronecker.
kl
τmh
=
34
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
• Les fonctions locales (auxiliaires) qn et ψ n définies sur Y ∗ , sont les solutions de ces deux
équations

h
∂ n
∂ψ n io

n

−
c
(x,
y)s
(q
)
+
e
(x,
y)
δ
+
= 0 dans Y ∗ ,

ijkl
kl,y
kij
kn


∂y
∂y
j
k




h
∂ψ n io
∂ n
(2.6.37)
n
−
e
(x,
y)s
(q
)
+
d
(x,
y)
δ
+
= 0 dans Y ∗ ,
−

ikl
kl,y
ij
jn

∂yi
∂yj






 ϕn , ψ n
Y ∗ − périodiques.
Il convient avant de continuer, de noter le lemme suivant :
Lemme 2.6.1 Sous les hypothèses f ∈ H −1 (Ω) et g ∈ H −1 (Ω), et sous les mêmes hypothèses
de bornitudes et d’ellipticités sur les tenseurs, le problème suivant

 −divσ(u, ϕ) = f dans Ω

avec les conditions aux limites
−divD(u, ϕ) = g

 σ(u, ϕ).n = 0

dans Ω
sur ∂Ω
D(u, ϕ).n = 0
sur ∂Ω
admet une solution unique dans l’espace H10 (Ω) × H01 (Ω)
Proposition 2.6.1
1
i) Le problème (2.6.36), admet une solution (w mh , ϕmh ) dans H1per (Y ∗ ) × Hper
(Y ∗ ) à un
couple (vecteur, scalaire) constant additif près.
1
ii) Le problème (2.6.37), admet une solution (qn , ψ n ) dans H1per (Y ∗ ) × Hper
(Y ∗ ) à un couple
(vecteur, scalaire) constant additif près.
Avant de démontrer cette proposition, on va d’abord énoncer le corollaire suivant :
Corollaire 2.6.1
Le problème (2.6.36) (resp. le problème (2.6.37)), admet une unique solution (w mh , ϕmh ) (resp.
∼1
∼1
(qn , ψ n ) dans Hper (Y ∗ ) × H per (Y ∗ ) où naturellement
Z
n
∼1
1
∗
∗
∗
v ∈ H (Y ), v est Y − périodique,
H per (Y ) =
∼1
∗
Hper (Y ) =
n
1
∗
1
∗
v dy = 0
Y∗
3
o
,
∗
v = (vi )1≤i≤3 ∈ H (Y ) = [H (Y )] , v est Y − périodique,
Preuve :
En écrivant le problème (2.6.36), sous la forme

∂ n
∂ϕmh o

mh

−
c
(x,
y)s
(w
)
+
e
(x,
y)

ijkl
kl,y
kij

 ∂yj
∂yk
=
∂ cijmh (x, y) ,
∂yj


∂ n
∂ϕmh o
∂ 

 −
− eikl (x, y)skl,y (wmh ) + dij (x, y)
=
− eimh (x, y) .
∂yi
∂yj
∂yi
Z
v dy = 0
Y∗
(2.6.38)
o
.
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
De même, le problème (2.6.37), s’écrit sous la forme

∂ n
∂ψ n o

n

−
c
(x,
y)s
(q
)
+
e
(x,
y)

ijkl
kl,y
kij

 ∂yj
∂yk
=
35
∂ enij (x, y) ,
∂yj


∂ n
∂ψ n o
∂ 

− eikl (x, y)skl,y (qn ) + dij (x, y)
=
din (x, y) .
 −
∂yi
∂yj
∂yi
(2.6.39)
Donc ces deux derniers problèmes, sont deux problèmes de piézoélectricité non isolants puisqu’il
existe un terme de charges électriques non nulles. On peut écrire les deux formulations variationnelles associées aux problèmes (2.6.36) et (2.6.37) respectivement sous la forme suivante

∼1
∼1
mh
mh
∗
∗

Trouver
(w
,
ϕ
)
∈
(Y
)
×

H
H
per
per (Y ), tels que





∼1
mh
mh
mh
∗
(2.6.40)
∗ (w
∗ (v, ϕ
c
+
Π
,
v)
+
g
)
=
0
,
∀
v
∈
H
Y
Y
per (Y ) ,






∼1

−gY ∗ (wmh + Πmh , η) + dY ∗ (ϕmh , η) = 0 , ∀ η ∈ H per (Y ∗ ) ,

∼1
∼1

Trouver (qn , ψ n ) ∈ Hper (Y ∗ ) × H per (Y ∗ ), tels que






∼1
n
n
n
∗
∗ (q , v) + gY ∗ (v, ψ + Π ) = 0 ,
c
∀
v
∈
H
Y
per (Y ); ,






∼1

−gY ∗ (w n , η) + dY ∗ (ψ n + Πn , η) = 0 , ∀ η ∈ H per (Y ∗ ) .
(2.6.41)
En appliquant le théorème de Lax-Milgram sur les deux problèmes (2.6.40) et (2.6.41), sous
les hypothèses de régularités (2.2.4), (2.2.5) et (2.2.6) sur les tenseurs élastique, piézoélectrique
et diélectrique respectivement, on déduit que chacun des deux problèmes (2.6.36) et (2.6.37)
admet une solution unique.
En remplaçant les expressions (2.6.34) et (2.6.35) dans cette équation
h
i
h
io
∂ n
−
cijkl (x, y) skl,x (u) + skl,y (u1 ) + ekij (x, y) ∂kx ϕ + ∂ky ϕ1 = 0,
∂yj
on obtient
h
i
∂smh,x (u) n
∂ϕmh o
kl
mh
−
cijkl (x, y) τmh + skl,y (w ) + ekij (x, y)
∂yj
∂yk
n
h
n io
∂ϕ
∂ψ
+
cijkl (x, y)skl,y (qn ) + ekij (x, y) δkn +
= 0.
∂xn
∂yk
(2.6.42)
De même, en remplaçant ainsi, les expressions (2.6.34) et (2.6.35) dans l’équation suivante :
h
i
h
io
∂ n
−
− eikl (x, y) skl,x(u) + skl,y (u1 ) + dij (x, y) ∂jx ϕ + ∂jy ϕ1 = 0,
∂yi
on obtient,
h
i
∂smh,x (u) n
∂ϕmh o
kl
− eikl (x, y) τmh
+ skl,y (wmh ) + dij (x, y)
∂yi
∂yj
n
h
n io
∂ϕ
∂ψ
− eikl (x, y)skl,y (qn ) + dij (x, y) δjn +
= 0.
+
∂xn
∂yj
−
(2.6.43)
36
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
Après des calculs élémentaires, on peut définir les nouveaux coefficients des tenseurs homogénéisés
(effectifs) comme suit
cH
ijmh
D
h
i
∂ϕmh E
kl
mh
= cijkl (x, y) τmh + skl,y (w ) + ekij (x, y)
,
∂yk
D
∂ϕmh E
mh
= cijmh (x, y) + cijkl (x, y)skl,y (w ) + ekij (x, y)
,
∂yk
h
∂ψ n iE
cijkl (x, y)skl,y (qn ) + ekij (x, y) δkn +
,
∂yk
D
∂ψ n E
= cijkl (x, y)skl,y (qn ) + enij (x, y) + ekij (x, y)
,
∂yk
eH
nij =
D
D
h
i
∂ϕmh E
kl
eikl (x, y) τmh
+ skl,y (wmh ) − dij (x, y)
,
∂yj
D
∂ϕmh E
mh
,
= eimh (x, y) + eikl (x, y)skl,y (w ) − dij (x, y)
∂yj
(2.6.44)
(2.6.45)
H
fimh
=
h
∂ψ n iE
− eikl (x, y)skl,y (qn ) + dij (x, y) δjn +
,
∂yj
E
D
∂ψ n
− eikl (x, y)skl,y (qn ) ,
= din (x, y) + dij (x, y)
∂yj
dH
in =
où hhi =
Z
(2.6.46)
D
(2.6.47)
h(y) dy la moyenne sur Y ∗ de h.
Y∗
Remarque 2.6.1
Chacune des fonctions w mh et qn (resp. ϕmh et ψ n ) ne sont définies qu’à un vecteur additif
(resp. une constante additive) près, mais ces vecteurs (resp. constantes) n’interviennent pas
dans le calcul des coefficients effectifs homogénéisés.
2.7
Les propriétés du problème homogénéisé
Enonçons maintenant quelques propositions concernant certaines propriétés des coefficients
H
H
H
homogénéisés cH
ijkl , dij , eijk et fnij .
2.7.1
Les propriétés du tenseur de rigidité homogénéisé
Nous allons à présent donner un résultat concernant l’ellipticité et la symétrie du tenseur
de rigidité homogénéisé.
Proposition 2.7.1
H
Les coefficients cH
= (cH
ijkl du tenseur de rigidité homogénéisé C
ijkl ) défini par (2.6.44), vérifient
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
37
H
H
H
(i) cH
ijkl = cklij = cijlk = cjilk ∀1 ≤ i, j, k, l ≤ 3,
(ii) cH
ijkl est elliptique.
La deuxième assertion signifie qu’il existe αcH > 0, tel que pour tout tenseur d’ordre 2 Xij
symétrique (Xij = Xji ), on a
H
cH
ijkl Xij Xkl ≥ αc Xij Xij .
Preuve :
(i) Symétrie
Il est évident qu’une partie de la symétrie est vérifiée, c’est
H
H
cH
ijmh = cjimh = cjihm .
Intéressons-nous à la démonstration de
H
cH
ijmh = cmhij .
L’idée est de transformer l’expression de cH
ijmh de manière à obtenir une formule symétrique.
Si on définit un tenseur Σ d’ordre 2, par Σkl = 12 (yk e~l + yl e~k ), ainsi qu’une matrice H kl
de dimension 3 × 3 par : H kl = sy (Σkl ), il est clair que les coefficients de cette matrice
sont donnés par
i
1h
kl
kl
[H ]mh = τmh = δkm δlh + δkh δlm 1 ≤ k, l, m, h ≤ 3.
2
A partir de ces nouvelles notations on peut réécrire le problème (2.6.36), sous la forme
suivante

∂ n
∂ϕmh o

mh
mh

−
cijkl (x, y)skl,y Σ + w
+ ekij (x, y)
= 0 dans Y ∗ ,


∂yj
∂yk





∂ n
∂ϕmh o
(2.7.48)
mh
mh
−
−
e
(x,
y)s
Σ
+
w
+
d
(x,
y)
= 0 dans Y ∗ ,

ikl
kl,y
ij


∂yi
∂yj





 mh
w , ϕmh
Y ∗ − périodiques.
Soit (wij , ϕij ) solution de

∂ n
∂ϕij o

ij
ij

−
c
(x,
y)s
Σ
+
w
+
e
(x,
y)
= 0 dans Y ∗ ,

kjαβ
αβ,y
αkj


∂y
∂y
j
α




∂ n
∂ϕij o
(2.7.49)
ij
ij
−
− ekαβ (x, y)sαβ,y Σ + w + dkj (x, y)
= 0 dans Y ∗ ,



∂yk
∂yj





 ij
w , ϕij
Y ∗ − périodiques.
Les coefficients du tenseur de rigidité se réécrivent de la manière suivante
Z
Z
∂ϕmh
H
mh
mh
cijmh =
cijkl (x, y)skl,y Σ + w
dy +
ekij (x, y)
dy.
∂yk
Y∗
Y∗
(2.7.50)
38
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
La deuxième intégrale dans le membre de droite de l’expression (2.7.50), est évaluée de
la manière suivante
Z
Z
∂ϕmh
∂ϕmh
ekij (x, y)
dy =
ekαβ (x, y)
δαi δβj dy,
∂yk
∂yk
Y∗
Y∗
Z
∂ϕmh 1
=
ekαβ (x, y)
δαi δβj + δαj δβi dy,
2 Y∗
∂yk
Z
∂ϕmh
= −
ekαβ (x, y)
sαβ,y (wij ) dy
∂y
∗
k
Z Y
mh
∂ϕ
sαβ,y (Σij + wij ) dy.
(2.7.51)
+
ekαβ (x, y)
∂yk
Y∗
En utilisant la formulation variationnelle de la première équation du problème (2.7.48),
avec un choix de fonction test v = w ij , on obtient
Z
Z
∂ϕmh
ij
ekαβ (x, y)
sαβ,y (w ) dy =
cαβkl (x, y)skl,y (Σmh +wmh )sαβ,y (wij ) dy. (2.7.52)
∂yk
Y∗
Y∗
En multipliant la deuxième équation du problème (2.7.49), par ϕmh et en intégrant par
parties, on aboutit à
Z
Z
∂ϕmh ∂ϕij
∂ϕmh
ij
ij
sαβ,y (Σ + w ) dy =
dkα (x, y)
dy.
(2.7.53)
ekαβ (x, y)
∂yk
∂yk ∂yα
Y∗
Y∗
En regroupant ces résultats et en utilisant la définition 2.7.50, on aboutit à
Z
Z
∂ϕmh
H
mh
mh
dy,
cijmh =
cijkl (x, y)skl,y (Σ + w ) dy +
ekij (x, y)
∂yk
Y∗
Y∗
Z
Z
mh
mh
=
cijkl (x, y)skl,y (Σ + w ) dy +
cαβkl (x, y)skl,y (Σmh + wmh )sαβ,y (wij ) dy
∗
∗
Y
ZY
∂ϕmh ∂ϕij
+
dkα (x, y)
dy,
∂yk ∂yα
Y∗
Z
Z
∂ϕmh ∂ϕij
mh
mh
ij
dy
=
cαβkl (x, y)skl,y (Σ + w )sαβ,y (Σ ) dy +
dkα (x, y)
∂yk ∂yα
∗
∗
Y
Y
Z
+
cαβkl (x, y)skl,y (Σmh + wmh )sαβ,y (wij ) dy,
∗
ZY
=
cαβkl (x, y)skl,y (Σmh + wmh )sαβ,y (Σij + wij ) dy
∗
ZY
∂ϕmh ∂ϕij
+
dkα (x, y)
dy.
(2.7.54)
∂yk ∂yα
Y∗
Il est alors immédiat par la formule (2.7.54), que les coefficients du tenseur de rigidité
vérifient
H
cH
ijmh = cmhij .
Ceci achève la démonstration de la première partie de la proposition sur la symétrie.
Dans le paragraphe suivant, on s’intéresse à montrer l’ellipticité du tenseur d’élasticité
homogénéisé.
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
39
(ii) Ellipticité
Nous allons étudier l’ellipticité, pour cela rappelons que C H = (cH
ijkl ) est elliptique, s’il
H
existe αc > 0 pour tout tenseur d’ordre 2 Xij symétrique (Xij = Xji ), tel que
H
∃ αcH > 0, cH
ijkl Xij Xkl ≥ αc Xij Xij .
En considérant l’expression (2.6.44) du tenseur cH
ijmh , il en suit :
Z
Z
H
cijmh Xij Xmh =
cijmh (x, y) Xij Xmh dy +
cijkl (x, y)skl,y (wmh ) Xij Xmh dy
∗
Y∗
ZY
mh
∂ϕ
+
ekij (x, y)
Xij Xmh dy,
∂yk
∗
ZY
Z
=
cijmh (x, y) Xij Xmh dy +
cijkl (x, y)skl,y (wmh Xmh )Xij dy
∗
Y∗
ZY
mh
∂(ϕ Xmh )
Xij dy,
+
ekij (x, y)
∂yk
∗
ZY
Z
∂ζ
=
cijkl (x, y) skl,y (w) + Pkl Pij dy +
ekij (x, y)
Pij dy,
∂yk
Y∗
Y∗
ij
avec w = wmh Xmh , ζ = ϕmh Xmh et Pij = τmh
Xmh = Xij , oò (w, ζ) est un point selle de
la fonctionnelle suivante
(v, Ψ) −→ J(v, Ψ)
Z n
1
∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ o
J(v, Ψ) =
cijkl sij,y (v)+Pij skl,y (v)+Pkl +2ekij
sij,y (v)+Pij −dij
dy,
2 Y∗
∂yk
∂yi ∂yj
et par la linéarité du problème (2.7.48), on peut écrire le problème variationnel associé
sous la forme
 Z n
o

c
s
(w)
+
P
s
(v)
+
e
(x,
y)∂
ζ
dy
= 0,

ijkl
kl,y
kl
ij,y
kij
k

 Y∗
(2.7.55)
Z n
o




− e s (w) + P ∂ Ψ + d (x, y)∂ ζ∂ Ψ dy = 0.
ikl
kl,y
kl
i
ij
i
j
Y∗
En remplaçant maintenant dans le problème (2.7.55), (v, Ψ) par (w, ζ), on peut déduire
que
Z
Z
o
1n
∂ζ
J(w, ζ) =
cijkl (x, y) skl,y (w) + Pkl Pij dy +
ekij (x, y)
Pij dy ,
2 Y∗
∂yk
Y∗
1 H
=
c
Xij Xmh .
2 ijmh
Donc, par définition du point selle on a
J(w, Ψ) ≤ J(w, ζ) ≤ J(v, ζ) ∀(v, Ψ) fonctions périodiques,
or
1
J(w, 0) =
2
Z
Y∗
cijkl (x, y) sij,y (w) + Pij skl,y (w) + Pkl dy.
40
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
Par la coercivité des coefficients du tenseur d’élasticité cijkl , on obtient
cH
ijmh Xij Xmh = 2J(w, ζ),
≥ J(w, 0),
Z
1
=
cijkl (x, y) sij,y (w) + Pij skl,y (w) + Pkl dy,
2 Y∗
> 0,
alors le tenseur d’élasticité homogénéisé C H = (cH
ijkl ), est défini positif.
2.7.2
Les propriétés du tenseur de diélectricité homogénéisé
Nous allons à présent montrer une proposition concernant certaines propriétés d’ellipticité
et de symétrie des coefficients du tenseur de diélectricité homogénéisé D H = (dH
in ).
Proposition 2.7.2
H
Les coefficients dH
= (dH
in du tenseur de diélectricité homogénéisé D
in ), défini par (2.6.47),
vérifient :
H
(i) dH
in = dni , ∀1 ≤ i, n ≤ 3,
(ii) dH
in est elliptique.
La dernière assertion signifie, qu’il existe αdH > 0, tel que, pour tout vecteur Xi , on a
H
dH
in Xi Xn ≥ αd Xi Xi .
Preuve :
(i) Symétrie
Nous allons à présent exprimer ces coefficients sous une autre forme afin d’établir la
propriété de symétrie, autrement dit, montrer que
H
dH
in = dni .
Le problème (2.6.37), s’écrit sous la forme suivante :

∂ n
∂(yn + ψ n ) o

n

−
c
(x,
y)s
(q
)
+
e
(x,
y)
= 0 dans Y ∗ ,

ijkl
kl,y
kij


∂yj
∂yk




∂ n
∂(yn + ψ n ) o
n
−
−
e
(x,
y)s
(q
)
+
d
(x,
y)
= 0 dans Y ∗ ,

ikl
kl,y
ij


∂y
∂y
i
j





 n
q , ψn
Y ∗ − périodiques.
Considérons (qi , ψ i ), solution de

∂ n
∂(yi + ψ i ) o

i

−
c
(x,
y)s
(q
)
+
e
(x,
y)
= 0 dans Y ∗ ,

ijkl
kl,y
kij


∂y
∂y
j
k




∂ n
∂(yi + ψ i ) o
i
−
−
e
(x,
y)s
(q
)
+
d
(x,
y)
= 0 dans Y ∗ ,

ikl
kl,y
ij


∂y
∂y
i
j





 i
q , ψi
Y ∗ − périodiques.
(2.7.56)
(2.7.57)
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
En écrivant les coefficients du tenseur diélectrique, de la façon suivante :
Z
Z
∂(yn + ψ n )
H
n
din =
−eikl (x, y)skl,y (q ) dy +
dij (x, y)
dy.
∂yj
Y∗
Y∗
41
(2.7.58)
La première intégrale dans le membre de droite de l’expression précédente, est évaluée de
la manière suivante
Z
Z
n
−eikl (x, y)skl,y (q ) dy =
−eαkl (x, y)skl,y (qn )δαi dy,
∗
∗
Y
ZY
∂yi
=
−eαkl (x, y)skl,y (qn )
dy,
∂yα
Y∗
Z
∂ψ i
=
−eαkl (x, y)skl,y (qn )
dy
∂yα
Y∗
Z
∂(yi + ψ i )
dy. (2.7.59)
−
−eαkl (x, y)skl,y (qn )
∂yα
Y∗
En utilisant la formulation variationnelle de la deuxième équation du problème (2.7.56),
avec un choix de fonction test Φ = ψ i , on obtient
Z
Z
i
∂(yn + ψ n ) ∂ψ i
n ∂ψ
−eαkl (x, y)skl,y (q )
dy =
dαj (x, y)
dy.
∂yα
∂yj
∂yα
Y∗
Y∗
En regardant d’abord la deuxième intégrale de (2.7.59). En multipliant la première équation
du système (2.7.57) par ψ n et en intégrant par parties, on aboutit à
Z
Z
i
n ∂(yi + ψ )
−eαkl (x, y)skl,y (q )
dy = −
cklαβ (x, y)sαβ,y (qi )skl,y (ϕn ) dy.
∂y
∗
∗
α
Y
Y
Finalement, on regroupe ces derniers résultats et en utilisant la définition 2.7.58, on arrive
à
Z
Z
∂(yn + ψ n )
H
n
din =
−eikl (x, y)skl,y (q ) dy +
dij (x, y)
dy,
∂yj
Y∗
Y∗
Z
Z
∂(yn + ψ n ) ∂ψ i
=
dαj (x, y)
dy −
cklαβ (x, y)sαβ,y (qi )skl,y (qn ) dy
∂yj
∂yα
∗
Y∗
ZY
n
∂(yn + ψ )
dy,
+
dij (x, y)
∂yj
Y∗
Z
Z
∂(yn + ψ n ) ∂ψ i
=
dαj (x, y)
dy −
cklαβ (x, y)sαβ,y (qi )skl,y (qn ) dy
∂y
∂y
∗
∗
j
α
Y
ZY
∂(yn + ψ n ) ∂yi
+
dαj (x, y)
dy,
∂yj
∂yα
Y∗
Z
Z
∂(yn + ψ n ) ∂(yi + ψ i )
=
dαj (x, y)
dy −
cklαβ (x, y)sαβ,y (qi )skl,y (qn ) dy.
∂yj
∂yα
Y∗
Y∗
(2.7.60)
Nous avons par la formule (2.7.60) immédiatement, que les coefficients du tenseur de
diélectricité homogénéisé D H = (dH
in ) sont symétriques.
42
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
(ii) Ellipticité
Nous nous intéressons dans ce paragraphe, à l’ellipticité, pour cela, rappelons que D H =
(dH
in ) est elliptique, si pour tout vecteur Xi , on a
H
∃ αdH > 0, dH
in Xi Xn ≥ αd Xi Xi .
En considérant l’expression (2.6.47) du tenseur D H = (dH
in ), il résulte que
Z
Z
H
din Xi Xn =
din (x, y) Xi Xn dy −
eikl (x, y)skl,y (qn ) Xi Xn dy
∗
∗
Y
ZY
∂ψ n
+
dij (x, y)
Xi Xn dy,
∂yj
Y∗
Z
Z
=
din (x, y) Xi Xn dy −
eikl (x, y)skl,y (qn Xn ) Xi dy
∗
Y∗
ZY
n
∂(ψ Xn )
+
dij (x, y)
Xi dy,
∂yj
∗
Z
ZY
∂ξ =
dij (x, y) Qj +
Qi dy −
eikl (x, y)skl,y (ς)Qi dy,
∂yj
Y∗
Y∗
avec ξ = ψ n Xn , ς = ϕn Xn et Qi = δin Xn = Xi , de même rappelons que (ξ, ς) est un
point selle de la fonctionnelle suivante :
1
G(v, Ψ) =
2
Z
Y∗
n
(v, Ψ) −→ G(v, Ψ)
∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ o
cijkl sij,y (v)skl,y (v)+2ekij sij,y (v) Qk +
−dij Qi +
Qj +
dy.
∂yk
∂yi
∂yj
Donc, par définition du point selle on a
G(ξ, Ψ) ≤ G(ξ, ς) ≤ G(v, ς) ∀(v, Ψ) fonctions périodiques,
or
1
G(0, ς) = −
2
Z
∂ς ∂ς dij (x, y) Qi +
Qj +
dy.
∂yi
∂yj
Y∗
Mais, si on utilise la deuxième équation du système (2.6.39), on obtient
Z
Z
1
∂ς 1
∂ς ∂ς
G(0, ς) = −
dij (x, y) Qj +
Qi dy −
dij (x, y) Qj +
dy,
2 Y∗
∂yj
2 Y∗
∂yj ∂yi
Z
Z
1
∂ς 1
= −
dij (x, y) Qj +
Qi dy +
eikl (x, y)skl,y (ς) Xi dy,
2 Y∗
∂yj
2 Y∗
1
= − dH
Xi Xn ,
2 in
< 0.
Donc le tenseur de diélectricité homogénéisé D H = (dH
in ) est défini positif.
2.7.3
Les propriétés du tenseur de piézoélectricité homogénéisé
H
Nous allons montrer l’identité entre les coefficients des deux tenseurs eH
nij et fnij , ainsi qu’une
propriété de symétrie pour le tenseur de piézoélectricité (de couplage) homogénéisé. Pour cela
on énonce la proposition suivante :
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
43
Proposition 2.7.3
H
Les coefficients eH
= (eH
nij du tenseur de piézoélectricité homogénéisé E
nij ), défini par (2.6.45),
vérifient :
H
eH
nij = enji .
De plus, on a l’identité suivante
H
eH
nij = fnij .
Preuve :
Pour la symétrie, on a par définition des coefficients eH
nij (en utilisant notamment le fait que
cijkl (x, y) = cjikl (x, y) et ekji (x, y) = ekij (x, y))
Z n
∂ψ n o
H
n
enij =
cijkl (x, y)skl,y (q ) + ekij (x, y) δkn +
dy,
∂yk
∗
ZY n
∂ψ n o
=
cjikl (x, y)skl,y (qn ) + ekji (x, y) δkn +
dy,
∂yk
Y∗
= eH
(2.7.61)
nji .
Il est alors immédiat qu’on obtienne la symétrie du tenseur de piézoélectricité homogénéisé
H
E H = (eH
nij ). En écrivant les coefficients enij , sous forme
Z n
∂ψ n o
H
enij =
cijkl (x, y)skl,y (qn ) + ekij (x, y) δkn +
dy,
∂yk
Y∗
Z n
o
∂ψ n
+ cijkl (x, y)skl,y (qn ) dy.
(2.7.62)
=
enij (x, y) + ekij (x, y)
∂yk
Y∗
H
De même, en écrivant les coefficients fnij
, sous la forme
Z n
∂ϕij o
H
kl
ij
fnij =
enkl (x, y) τij + skl,y (w ) − dnt (x, y)
dy,
∂yt
Y∗
Z n
∂ϕij o
ij
=
enij (x, y) + enkl (x, y)skl,y (w ) − dnt (x, y)
dy.
∂yt
Y∗
(2.7.63)
Ainsi, en utilisant la formulation variationnelle associée au problème (2.6.38), avec le choix des
fonctions tests suivant (v, η) = (qn , ψ n ), on obtient
Z
nh
∂ϕmh i
cijkl (x, y)skl,y (wmh ) + ekij (x, y)
sij,y (qn )
∂y
∗
k
Y
h
∂ϕmh i ∂ψ n o
+
− eikl (x, y)skl,y (wmh ) + dij (x, y)
dy
∂yj ∂yi
Z n
o
∂ψ n
=
ekij (x, y)
+ cijkl (x, y)skl,y (qn ) dy.
(2.7.64)
∂yk
Y∗
De même, en prenant la formulation variationnelle associée au problème (2.6.39), avec le choix
des fonctions tests (v, η) = (wmh , ϕmh ), on obtient
Z
nh
∂ψ n i
cijkl (x, y)skl,y (qn ) + ekij (x, y)
sij,y (wmh )
∂y
∗
k
Y
h
ni
∂ψ
∂ϕmh o
+
− eikl (x, y)skl,y (qn ) + dij (x, y)
dy
∂yj ∂yi
Z n
∂ϕmh o
mh
=
enij (x, y)sij,y (w ) − din (x, y)
dy,
(2.7.65)
∂yi
Y∗
44
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
Puisque les deux premiers termes de chacune des deux équations (2.7.64) et (2.7.65) sont égaux,
alors on a
Z n
Z n
∂ϕmh o
∂ψ n o
mh
n
cijmh (x, y)sij,y (q ) + eimh (x, y)
dy =
enij (x, y)sij,y (w ) − din (x, y)
dy.
∂yi
∂yi
Y∗
Y∗
Ce qui revient à dire que
Z n
∂ψ n o
enmh (x, y) + cijmh (x, y)sij,y (qn ) + eimh (x, y)
dy
∂yi
Y∗
Z n
∂ϕmh o
=
enmh (x, y) + enij (x, y)sij,y (wmh ) − din (x, y)
dy.
∂yi
Y∗
Par conséquent, on a l’identité recherchée :
H
eH
nij = fnij .
2.7.4
Théorème d’existence et d’unicité du problème homogénéisé
En utilisant les propriétés des tenseurs homogénéisés C H , E H et D H , nous avons donc les
éléments permettant d’énoncer le théorème de convergence du problème homogénéisé.
Théorème 2.7.1 (le problème homogénéisé)
Le couple (u, ϕ) vérifie le problème homogénéisé suivant :

∂σijH (u, ϕ)



−
= θfi dans Ω,


∂xj



∂D H (u, ϕ)

 − i
∂xi
avec les conditions aux limites
= 0
(2.7.66)
dans Ω,

 u(x) = 0 sur ∂Ω,

(2.7.67)
ϕ(x) = 0 sur ∂Ω,
où σijH et DiH sont donnés par la loi de comportement homogénéisé :

∂ϕ


σijH (u, ϕ) = cH
smh,x (u) + eH
,

ijmh
nij

∂x
n



H ∂ϕ
 DiH (u, ϕ) = −eH
,
imh smh,x (u) + din
∂xn
(2.7.68)
H
H
et les coefficients homogénéisés cH
ijkl , enij et dij sont définient par (2.6.44), (2.6.45) et (2.6.47)
respectivement.
Remarque 2.7.1
Puisque dans le théorème principal de convergence, on a montré l’existence et l’unicité de la
solution du problème homogénéisé à deux échelles (2.5.31)-(2.5.32)-(2.5.33), il est facile d’avoir
l’existence et l’unicité de la solution du problème homogénéisé (2.7.66)-(2.7.67).
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
2.8
45
Comportement asymptotique des énergies
Pour l’aspect énergétique, on s’intéresse au comportement asymptotique des énergies. On
note l’énergie des déformations et l’énergie électrique respectivement, par E 1ε et E2ε , définies par
:
Z
Z
1
1
ε
ε
ε
ε
ε
cijkl (x)sij (u )(x)skl (u )(x) dx, E2 =
dεij (x)∂i ϕε (x)∂j ϕε (x) dx.
E1 =
2 Ωε
2 Ωε
On opère comme dans l’article de G.Allaire [1]. En utilisant la technique de la convergence à
deux échelles, on obtient
Proposition 2.8.1
On a les limites asymptotiques des énergies mécanique et électrique suivantes :
i) Pour l’énergie des déformations,
Z
1
0
ε
E1 = lim E1 =
cY ∗ (u1 + Πrs exrs (u), u1 + Πrs exrs (u)) dx;
ε→0
2 Ω
Z Z
h
ih
i
1
cijkl (x, y) sij,x (u)(x) + sij,y (u1 )(x, y) skl,x (u)(x) + skl,y (u1 )(x, y) dx dy.
=
2 Ω Y∗
ii) Pour l’énergie électrique,
Z
1
0
ε
E2 = lim E2 =
dY ∗ (ϕ1 + Πk ∂kx ϕ, ϕ1 + Πk ∂kx ϕ) dx,
ε→0
2 Ω
Z Z
h
ih
i
1
=
dij (x, y) ∂i,x ϕ(x) + ∂i,y ϕ1 (x, y) ∂j,x ϕ(x) + ∂j,y ϕ1 (x, y) dx dy.
2 Ω Y∗
L’indice x ou y indique la variable de la dérivation.
Remarque 2.8.1
Signalons que si on considère le deuxième problème variationnel (1.2.18)-(1.2.19), alors l’énergie
totale associée au problème étudié, est donnée par
Z
Z
o
1n
ε
ε
ε
ε
E =
cijkl (x)sij (u )(x)skl (u )(x) dx +
dεij (x)∂i ϕε (x)∂j ϕε (x) dx
2 Ωε
Ωε
Z
+ 2
eεijk (x)sij (uε )(x)∂k ϕε (x) dx.
Ωε
On opère toujours comme dans la Proposition 2.8.1 et par l’application de la convergence à
deux échelles, on obtient la convergence asymptotique suivante
E = lim E ε ,
ε→0
Z Z
h
ih
i
1
=
cijkl (x, y) sij,x (u)(x) + sij,y (u1 )(x, y) skl,x (u)(x) + skl,y (u1 )(x, y) dx dy
2 Ω Y∗
Z Z
h
ih
i
1
+
dij (x, y) ∂i,x ϕ(x) + ∂i,y ϕ1 (x, y) ∂j,x ϕ(x) + ∂j,y ϕ1 (x, y) dx dy
2 Ω Y∗
Z Z
h
ih
i
+ 2
eijk (x, y) sij,x (u)(x) + sij,y (u1 )(x, y) ∂k,x ϕ(x) + ∂k,y ϕ1 (x, y) dxdy
∗
ZΩ Y
Z
1
1
rs x
rs x
=
cY ∗ (u1 + Π ers (u), u1 + Π ers (u)) dx +
dY ∗ (ϕ1 + Πk ∂kx ϕ, ϕ1 + Πk ∂kx ϕ) dx
2 Ω
2 Ω
Z
+ 2 gY ∗ (u1 + Πrs exrs (u), ϕ1 + Πk ∂kx ϕ) dx.
Ω
46
2.9
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
Un résultat de correcteur
On peut se demander si la convergence à deux échelles permet d’en dire plus que la convergence faible dans L2 (Ω) et plus précisement sous quelles conditions on peut en déduire un
résultat de correcteur, qui nous permet de remplacer les deux suites (uε (x))ε et (ϕε (x))ε par
leurs limites à deux échelles χ(y)u(x) et χ(y)ϕ(x) respectivement, avec une convergence forte
dans L2 (Ω).
Avant de commencer la démonstration du résultat de correcteur, nous rappelons la définition
suivante
Définition 2.9.1
On appelle Ψ(x, y) une fonction test admissible, si elle est Y -périodique en y et satisfait la
relation
Z
Z Z
x 2
lim Ψ(x, ) dx =
Ψ(x, y)2 dx dy,
(2.9.69)
ε→0 Ω
ε
Ω Y
la formule (2.9.69) signifie que
x
lim k Ψ(x, ) kL2 (Ω) = k Ψ(x, y) kL2 (Ω×Y ) .
ε
ε→0
Rappelons ci-dessous le lemme
Lemme 2.9.1 (Allaire [1])
Soit Ψ(x, y) une fonction de L2 [Ω; Cper (Y )], c’est-à-dire mesurable, de carré sommable en x, à
valeurs dans l’espace des fonctions continues, Y -périodiques en y. On a
Z
Z Z
x 2
lim Ψ(x, ) dx =
Ψ(x, y)2 dx dy.
ε→0 Ω
ε
Ω Y
Remarque 2.9.1
Pour des fonctions Ψ régulières (continues par exemple), le lemme est classique. Par contre on
peut affaiblir l’hypothèse de régularité sur Ψ. Par exemple la convergence (2.9.69) a toujours
lieu si Ψ est de la forme :
Ψ(x, y) = Ψ(x)Ψ2 (y), avec Ψ1 ∈ L∞ (Ω) et Ψ2 ∈ L2 (Y ).
En utilisant le lemme 2.9.1, et puisque dans notre problème on peut séparer les échelles dans
les fonctions sij,y (u1 (x, y)) et ∂i,y ϕ1 (x, y), comme suit
sij,y (u1 (x, y)) = smh,x (u(x))sij,y (wmh (y)) +
∂ϕ(x)
sij,y (ϕn (y)),
∂xn
∂ϕ1
∂ϕ(x)
(x, y) = smh,x (u(x))∂iy qmh (y) +
∂i,y ψ n (y).
∂yi
∂xn
alors, on peut énoncer la proposition suivante
Proposition 2.9.1
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
47
Les deux fonctions sij,y (u1 (x, y)) et ∂iy ϕ1 (x, y), sont deux fonctions admissibles au sens de la
définition 2.9.1.
On peut énoncer la seconde proposition :
Proposition 2.9.2
Pour chaque ε > 0, le problème variationnel (2.3.7)-(2.3.8) admet une unique solution (uε , ϕε ) ∈
Vε (Ωε ) × Wε (Ωε ) et le problème aux limites homogénéisé à deux échelles, admet une solution
unique
(u, u1 ) ∈ H10 (Ω) × L2 [Ω; H1per (Y ∗ )/R],
1
(ϕ, ϕ1 ) ∈ H01 (Ω) × L2 [Ω; Hper
(Y ∗ )/R],
et puisque les fonctions sij,y (u1 (x, y)) et ∂i,y ϕ1 (x, y) sont des fonctions admissibles, on a alors

x h
x i
∼
ε

s
(u
)
−
χ(
)
s
(u(x))
+
s
(u
(x,
)) −→ 0 fortement dans L2 (Ω),

ij
ij,x
ij,y
1

ε
ε

∼
x h
x i

ε

∂i ϕ (x) − χ( ) ∂i,x ϕ(x) + ∂i,y ϕ1 (x, )
−→ 0 fortement dans L2 (Ω).
ε
ε
Démonstration :
On prend la formulation variationnelle sous la forme suivante
Z nh
Z
i
h
i o
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
fi (x)vi (x) dx.
cijkl skl (u ) + ekij ∂k ϕ sij (v) + − eikl skl (u ) + dij ∂j ϕ ∂i ψ dx =
Ωε
Ωε
(2.9.70)
En remplaçant dans la formulation variationnelle (2.9.70) par v = uε et ψ = ϕε , alors on
obtient
Z nh
Z
i
i
o
h
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
cijkl skl (u ) + ekij ∂k ϕ sij (u ) + − eikl skl (u ) + dij ∂j ϕ ∂i ϕ dx =
fi (x)uεi (x) dx.
Ωε
Ωε
Après une simplification, on aboutit à
Z n
Z
o
ε
ε
ε
ε
ε
ε
cijkl (x)sij (u )(x)skl (u )(x) + dij (x)∂i ϕ (x)∂j ϕ (x) dx =
Ωε
Ωε
fi (x)uεi (x) dx.
(2.9.71)
D’après (2.9.71), on peut écrire
Z
ion ∼
io
n∼
x h
x h
s kl (uε ) − χ( ) skl,x (u) + skl,y (u1 ) dx
cεijkl s ij (uε ) − χ( ) sij,x (u) + sij,y (u1 )
ε
ε
Ω
Z
n ∼
ion ∼
io
x h
x h
ε
ε
ε
∂j ϕ (x) − χ( ) ∂j,x ϕ + ∂j,y ϕ1
dx
+
dij (x) ∂i ϕ (x) − χ( ) ∂i,x ϕ + ∂i,y ϕ1
ε
ε
Ω
Z
∼
=
fi (x) uεi (x) dx
+
+
−
−
Z
Ω
x h
x ih
x i
cεijkl (x)χ( ) sij,x (u(x)) + sij,y (u1 (x, )) skl,x (u(x)) + skl,y (u1 (x, )) dx
ε
ε
ε
Ω
Z
x h
x ih
x i
ε
dij (x)χ( ) ∂i,x ϕ(x) + ∂i,y ϕ1 (x, ) ∂j,x ϕ(x) + ∂j,y ϕ1 (x, ) dx
ε
ε
ε
Ω
Z
h
x ∼
x i
2 cεijkl (x)χ( ) sij (uε ) skl,x(u(x)) + skl,y (u1 (x, )) dx
ε
ε
Ω
Z
x ∼ ε h
x i
ε
2 dij (x)χ( ) ∂i ϕ (x) ∂j,x ϕ(x) + ∂j,y ϕ1 (x, ) dx.
ε
ε
Ω
48
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
Puisque les deux tenseurs cε et dε sont définis positifs uniformément en ε, donc on a
αc
+ αd
≤
x
x
x
∼
k s ij (uε ) − χ( )sij,x (u(x)) − χ( )sij,y (u1 (x, )) k2L2 (Ω)
ε
ε
ε
∼
x
x
x
k∂i ϕε (x) − χ( )∂i,x ϕ(x) − χ( )∂i,y ϕ1 (x, ) k2L2 (Ω)
ε
ε
ε
Z
∼
fi (x) uεi (x) dx
Z
Ω
x ih
x i
sij,x (u(x)) + sij,y (u1 (x, )) skl,x (u(x)) + skl,y (u1 (x, )) dx
+
ε
ε
ε
Ω
Z
x h
x ih
x i
+
dεij (x)χ( ) ∂i,x ϕ(x) + ∂i,y ϕ1 (x, ) ∂j,x ϕ(x) + ∂j,y ϕ1 (x, ) dx
ε
ε
ε
Ω
Z
h
x i
x ∼
ε
ε
−2
cijkl (x)χ( ) sij (u ) skl,x (u(x)) + skl,y (u1 (x, )) dx
ε
ε
Ω
Z
h
x ∼
x i
−2
dεij (x)χ( ) ∂i ϕε (x) ∂j,x ϕ(x) + ∂j,y ϕ1 (x, ) dx.
ε
ε
Ω
x
cεijkl (x)χ( )
h
Puisque les fonctions sij,y (u1 (x, y)) et ∂iy ϕ1 (x, y) sont des fonctions admissibles au sens de la
définition posée précédemment et en passant à la limite à deux échelles sur le membre de droite
de l’inégalité précédente, on obtient
x n
x o 2
∼
ε
αc lim ksij (u ) − χ( ) sij,x (u(x)) + sij,y (u1 (x, )) kL2 (Ω)
ε→0
ε
ε
n
o
∼
x
x
+ αd lim k∂i ϕε (x) − χ( ) ∂i,x ϕ(x) + ∂i,y ϕ1 (x, ) k2L2 (Ω)
ε→0
ε
ε
Z Z
fi (x)ui (x) dx dy
≤
Ω
−
−
Z Z
Ω
Z Z
Ω
Y∗
Y∗
Y∗
h
ih
i
cijkl (x, y) sij,x (u(x)) + sij,y (u1 (x, y)) skl,x (u(x)) + skl,y (u1 (x, y)) dx dy
h
ih
i
dij (x, y) ∂i,x ϕ(x) + ∂i,y ϕ1 (x, y) ∂j,x ϕ(x) + ∂j,y ϕ1 (x, y) dx dy.
Mais d’après le problème aux limites homogénéisé à deux échelles (2.5.31)-(2.5.32)-(2.5.33), on
remarque que le second membre de l’inégalité developpé au-dessus est égale à zéro. Donc on a
directement
x o
x n
∼
lim ksij (uε ) − χ( ) sij,x (u(x)) + sij,y (u1 (x, )) kL2 (Ω) = 0,
ε→0
ε
ε
∼
x n
x o
lim k∂i ϕε (x) − χ( ) ∂i,x ϕ(x) + ∂i,y ϕ1 (x, ) kL2 (Ω) = 0.
ε→0
ε
ε
Ce qui amène à énoncer le résultat suivant :
Corollaire 2.9.1
Chapitre 2. Homogénéisation d’un corps piézoélectrique perforé
On a les deux convergences fortes suivantes
 ∼
x i
x h
ε

u
(x)
−
χ(
)
u(x)
+
u
(x,
) −→ 0

1

ε
ε
h
i

∼

 ϕε (x) − χ( x ) ϕ(x) + ϕ (x, x ) −→ 0
1
ε
ε
2.10
49
fortement dans H10 (Ω),
fortement dans H01 (Ω).
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons déterminé le comportement macroscopique (effectif) d’un milieu piézoélectrique périodiquement perforé, et nous avons montré que la déformation mécanique
et le potentiel électrique n’ont pas subi de fortes oscillations puisqu’ils convergent vers une solution indépendante de la variable microscopique, contrairement au tenseur des déformations
s(uε ) et le gradient du potentiel électrique ∇ϕε .
Ainsi nous avons prouvé que le problème limite est altéré par une constante θ qui dépend
de la proportion de matériau dans le domaine perforé et qui est égale à 1 s’il n’y a pas de
trous. Nous rappelons aussi que la technique de la convergence à deux échelles, nous a permis
d’éviter l’utilisation d’opérateurs de prolongement et nous a fourni un résultat de convergence
forte dans H01 (Ω).
Signalons aussi que l’application de cette méthode, à une modification près sur la cellule
de référence, reste valable pour toute structure périodique, par exemple une structure laminée,
mais également à des matériaux fibrés ou composites (voir les chapitres 6, 7 et 8). Le modèle
étudié est statique, mais s’étend au dynamique, tous les résultats restent valables avec quelques
modifications. Enfin nous pourrons reprendre la méthode de l’éclatement périodique introduite
récemment par Cioranescu, Damlamian et Griso [24] pour étudier notre problème. Cette étude
sera bien détaillée dans le quatrième chapitre dans le cas de coques piézoélectriques périodiques
de type Koiter.
Chapitre 3
Analyse asymptotique et
homogénéisation d’une plaque mince
piézoélectrique perforée
Les problèmes des plaques minces (faible épaisseur) sont des thèmes importants et font l’objet de nombreuses études. Par exemple Ciarlet [20] [21] [22] [23] a montré plusieurs résultats
dans les deux cas d’élasticité : linéaire et non-linéaire. Cioranescu et Saint Jean-Paulin [26] ont
travaillé sur des structures de type grillage.
En 1981, Caillerie, dans sa thèse [16], a étudié le comportement d’une plaque élastique mince
à structure périodique. Par la suite le même auteur dans son article [17], en ajoutant l’hypothèse
que les coefficients d’élasticité ont des ordres de grandeur différents (trois cas distincts sont envisagés), a montré que le comportement asymptotique d’une plaque élastique quand l’épaisseur
tend vers zéro, nous mène à trois cas distincts qui aboutissent à des équations membranaires
pour la première, des équations de plaques minces pour la seconde et pour la troisième à des
équations de plaques épaisses.
Kauffmann et Saint Jean-Paulin [46] se sont intéréssés au comportement asymptotique d’une
plaque mince rectangulaire périodiquement perforée, lorsque les trois paramètres : l’épaisseur,
la taille des perforations et la distance entre les grillages, tendent vers zéro dans cet ordre,
avec des conditions de Dirichlet sur le bord latéral extérieur et des conditions aux limites de
Neumann sur le bord des trous tout en prenant en considération la même hypothèse de Caillerie
[17], sur l’ordre de grandeur des tenseurs d’élasticité.
En adaptant les techniques de l’analyse asymptotique, utilisées par plusieurs auteurs pour
déterminer le modèle de type Kirchhoff-Love pour des plaques élastiques, Rahmoune [75] et
Sène [80] ont établi un modèle de même type associé à une plaque piézoélectrique d’épaisseur
h.
Rahmoune a étudié dans sa thèse [75], l’influence des conditions aux limites électriques sur le
comportement asymptotique d’une plaque piézoélectrique mince non nécessairement perforée,
où il apparait deux types de plaques : l’une est isolée et l’autre est de court-circuitée. Sène quant
à lui, dans sa thèse [80], a étudié le comportement asymptotique d’une plaque piézoélectrique
mécaniquement isotrope de faible épaisseur, dont les caractéristiques mécaniques et électriques
sont considérées indépendantes de l’épaisseur. Cette étude a été développée dans les deux cas
: statique et dynamique.
51
52
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
L’idée de ce chapitre, est de reprendre le problème de la plaque piézoélectrique mince
périodiquement perforée, avec des conditions aux limites mécaniques de type Dirichlet et des
conditions aux limites électriques de type Neumann (plaque non excitée, plaque isolée) sur le
bord latéral extérieur et des conditions aux limites mécanique et électrique de type de Neumann
sur le bord des trous, tout en supposant, dans cette étude, que les caractéristiques mécaniques
et électriques des plaques sont indépendantes de l’épaisseur. Notre objectif est d’étudier le comportement de l’état électromécanique, quand les deux paramètres : l’épaisseur et la taille des
perforations, tendent vers zéro, dans deux ordres différentes.
Pour le premier comportement limite lorsque l’épaisseur h tend vers zéro, nous constatons
que les résultats obtenus par Rahmoune [75] et par Sène [80] sont encore valables pour la plaque
perforée à ε fixé. Pour le deuxième comportement limite quand la taille des trous est appelée
à tendre vers zéro, l’intérêt est d’obtenir le problème homogénéisé et un théorème d’existence
et d’unicité de sa solution, ainsi que les expressions des tenseurs homogénéisés (effectifs), avec
leurs propriétés.
Ce chapitre est composé de cinq sections : Dans la première section on précise la géométrie du
domaine où le problème y sera traité. Dans la section suivante, on décrit les problèmes : modèle
et variationnel, par lesquels on établit un théorème d’existence et d’unicité de la solution du
problème. Dans la troisième section, nous adapterons les démonstrations de Rahmoune [75] et
de Sène [80], pour étudier le comportement asymptotique d’une plaque piézoélectrique mince
perforée de façon périodique, lorsque l’élancement de la plaque tend vers l’infini. Ceci nous
permet, dans la section suivante, de positionner correctement le problème bidimensionnel sur
une plaque piézoélectrique périodiquement perforée. Dans la quatrième section, nous partons
du résultat précédent, pour étudier la limite de l’état électromécanique lorsque la taille des
trous tend vers zéro, ceci nous permet d’obtenir les problèmes homogénéisés membranaire et en
flexion et de déterminer aussi les expressions de tous les tenseurs homogénéisés correspondants.
Ce travail fait l’objet de la publication [57].
3.1
Géométrie du domaine
Dans cette section, nous précisons la géométrie de la plaque, dans laquel on va travailler.
3.1.1
Géométrie de la surface moyenne
On considère une surface bornée connexe ω de bord ∂ω Lipschitz, et on creuse à l’intérieur
des trous, on obtient une surface perforée périodiquement ωε ⊂ IR2 (ε un paramètre strictement
positif), de frontière γε = ∂ωε Lipschitzienne, occupée par un matériau piézoélectrique. On se
place comme dans le chapitre précédent, c’est-à-dire quand ε → 0, on fait dans ω de plus en
plus de trous, répartis régulièrement mais de plus en plus petits (voir la figure 3.1).
3.1.2
Définition de la configuration d’une plaque perforée
En précisant la géométrie du domaine. On désigne par Ωhε un domaine cylindrique de
IR3 d’épaisseur 2h et de surface moyenne ωε , occupé par un matériau piézoélectrique. Plus
précisément, on pose :
Ωhε = ωε ×] − h, +h[.
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
53
Les faces supérieure et inférieure sont notées par :
Γ±
hε = ωε × {±h}.
La surface latérale est définie par :
Γlat
hε = γε ×] − h, +h[.
On pose Γhε = ∂Ωhε . L’état électromécanique de la plaque piézoélectrique est déterminé par
hε
hε
le couple (uhε , Φhε ) de champs de déplacement uhε = (uhε
1 , u2 , u3 ) et de potentiel électrique
hε
scalaire φ .
Des conditions de Dirichlet (l’encastrement) sur le déplacement seront imposées sur la partie
m0
m0
ΓmD
est une partie de mesure non nulle de γε = ∂ωε ,
hε = γε ×] − h, +h[ du bord latéral, où γε
et des conditions de Neumann (homogène, libre) seront imposées sur la partie complémentaire
ΓmN
hε par rapport à la surface Γhε
+
−
m1
mD
ΓmN
hε = Γhε ∪ Γhε ∪ (γε ×] − h, +h[) = Γhε − Γhε ,
où γεm0 ∪ γεm1 = ∂ωε .
mN
Le couple (ΓmD
hε , Γhε ) réalise une partition de ∂Ωhε dont la normale unitaire extérieure est
notée par nhε .
xhε
3
Γ+
hε
+h
ωε
γε
0
xhε
2
Γlat
hε
xhε
1
−h
Γ−
hε
ΓmN
hε
ΓmD
hε
Fig. 3.1 – La plaque piézoélectrique mince perforée Ωhε = ωε ×] − h, +h[.
Pour la partie électrique, le potentiel électrique sera considéré inconnu en particulier sur la
frontière Γh , ce type de condition aux limites électriques correspond à une plaque piézoélectrique
isolée. Le piézoélectrique de court-circuité est un autre problème où l’on pose une charge électrique
sur les faces supérieure et inférieure.
3.2
Description du problème
Dans la suite de ce chapitre, sauf mention du contraire, nous adoptons la convention de
sommation des indices répétés. Les indices latins étant dans l’ensemble {1, 2, 3} et les indices
grecs (sauf ε) dans {1, 2}.
54
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
3.2.1
Problème modèle
Le problème consiste à trouver le couple (uhε , φhε ) solution des équations :
(i) L’équation d’équilibre mécanique :
La plaque est soumise à des forces de densité volumique f h et surfacique gh sur ΓmN
h .
L’équilibre mécanique s’écrit

−div σ hε (uhε , φhε ) = f h dans Ωhε ,





(3.2.1)
σ hε (uhε , φhε ).nhε
= gh sur ΓmN
hε ,




 hε
u
= 0 sur ΓmD
hε .
On suppose désormais que
3
f h ∈ (L2 (Ωhε ))3 , gh ∈ (L2 ( ΓmN
hε )) .
(3.2.2)
(ii) L’équation d’équilibre électrique (Maxwell-Gauss) :
On considère un milieu diélectrique parfait, c’est-à-dire à densités de charges surfacique
et volumique nulles. L’équation de Maxwell-Gauss s’écrit

 −div Dhε (uhε , φhε) = 0 dans Ωhε ,
(3.2.3)
 hε hε hε hε
D (u , φ ).n
= 0 sur Γhε .
(iii) Loi de comportement :
Le tenseur des contraintes σ hε = (σijhε ) : Ωhε −→ IR9 et le vecteur des déplacements
électriques Dhε = (Dihε ) : Ωhε −→ IR3 , sont reliés par la loi de comportement :
 hε hε hε
hε
ε
hε hε
dans Ωhε ,
 σij (u , φ ) = cεijkl shε
kl (u ) + ekij ∂k φ
(3.2.4)
 hε hε hε
hε
ε
hε
Di (u , φ ) = −eεikl shε
(u
)
+
d
∂
φ
dans
Ω
,
hε
ij j
kl
avec 1 ≤ i, j, k, l ≤ 3.
1
hε
hε
Le tenseur des déformations linéarisé est donné par shε
kl (u) = 2 (∂k ul + ∂l uk ). On garde
les mêmes hypothèses réalistes de bornitude des cεijkl , eεikl et dεij et d’ellipticité uniforme
de cεijkl et dεij .
Les exposants h et ε rappelent que les fonctions sont définies sur la plaque Ωhε . Dans ce travail,
les caractéristiques mécaniques et électriques des plaques seront supposées indépendantes de
l’épaisseur, ce qui revient à dire que les coefficients du matériau cεijkl , eεikl et dεij sont indépendants
de h.
Remarque 3.2.1
On a considéré dans cette étude, une plaque piézoélectrique de faible épaisseur électriquement
isolée (c’est-à-dire électriquement non excitée), ce qui revient à dire que le potentiel électrique
est complètement inconnu en particulier sur le bord. Mais on peut envisager une plaque où la
charge électrique sur les faces supérieure et inférieure est déterminée, ce qui correspond aux
dispositifs expérimentaux habituels et que l’on appelle plaque de court-circuitée.
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
3.2.2
55
Problème variationnel
Comme dans la section 1.2.2, nous allons établir la première forme du problème variationnel
associé au problème (3.2.1)-(3.2.3)-(3.2.4). On définit ces deux espaces admissibles
n
o
1
Vhε (Ωhε ) = v ∈ H (Ωhε ), v|ΓmD
= 0 , H1 (Ωhε ) = (H 1 (Ωhε ))3 ,
hε
Whε (Ωhε ) =
n
o
Ψ + c, ∀Ψ ∈ H 1 (Ωhε ), ∀c ∈ IR = H 1 (Ωhε )/IR.
Nous munissons Vhε (Ωε ) de la norme k u kVhε (Ωhε ) =k u k(L2 (Ωε ))9 . Cette norme est équivalente
à la norme usuelle de (H 1 (Ωε ))3 , d’après l’inégalité de Poincaré. Et nous munissons Whε (Ωhε )
de la norme k Ψ kWhε (Ωhε ) =k ∇Ψ k(L2 (Ω))3 . Alors le problème variationnel s’écrit sous la forme

 Trouver (uhε , φhε ) ∈ Vhε (Ωhε ) × Whε (Ωhε ) tels que,
(3.2.5)
 h hε hε
hε
hε
hε
hε
hε
hε
hε
a ((u , φ ), (v , ψ )) = l (v , ψ ) ∀(v , ψ ) ∈ Vhε (Ωhε ) × Whε (Ωhε ),
avec
Z h

i

hε
hε
hε
hε
hε
ε
hε
hε
ε
hε hε hε

a
((u
,
φ
),
(v
,
ψ
))
=
c
s
(u
)
+
e
∂
φ
sij (vhε ) dxhε

ijkl kl
kij k


Ωhε




Z h

i

hε
ε hε hε
+
− eεikl shε
(u
)
+
d
∂
φ
∂ihε ψ hε dxhε ,
kl
ij j

Ωhε




Z
Z



hε
hε
hε
h hε
hε


=
f .v dx +
gh .vhε dΓmN
 l (v , ψ )
hε .
Ωhε
(3.2.6)
ΓmN
hε
Remarque 3.2.2
Signalons qu’il y a une autre formulation variationnelle dont la forme bilinéaire n’est pas coercive mais symétrique, contrairement au formulation variationnelle (3.2.5)-(3.2.6) dont la forme
bilinéaire est coercive mais pas symétrique (voir la section 1.2.2).
3.2.3
Théorème d’existence et d’unicité
L’objectif est d’établir un résultat d’existence et d’unicité de la solution du problème (3.2.1)(3.2.3)-(3.2.4).
Théorème 3.2.1
Sous les hypothèses habituelles de symétrie, de bornitude et d’ellipticité uniforme des tenseurs
élastique, piézoélectrique et diélectrique et sous l’hypothèse (3.2.2), le problème (3.2.5)-(3.2.6)
admet une solution unique à une constante additive près dans l’espace V hε (Ωhε ) × Whε (Ωhε ).
Preuve :
Grâce à la propriété d’ellipticité uniforme des tenseurs d’élasticité et de diélectricité, ainsi que
les propriétés de symétrie et de bornitude des précédents tenseurs et sur le tenseur de couplage, nous avons la coercivité de la forme bilinéaire ahε et sa continuité. La continuité de la
forme linéaire lhε est évidente. Sous ces hypothèses on peut appliquer directement le lemme de
Lax-Milgram afin d’affirmer l’existence et l’unicité de la solution du problème (3.2.5)-(3.2.6).
56
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
Remarque 3.2.3
Pour avoir l’unicité du potentiel dans l’espace H 1 (Ωhε ), il suffit d’imposer un potentiel nul sur
l’une des faces Γ±
hε .
3.3
Analyse asymptotique d’une plaque piézoélectrique
perforée
Dans cette section, en partant d’une plaque piézoélectrique périodiquement perforée de
faible épaisseur (mince) et en reprenant les résultats établis par Rahmoune [75] et Sène [80],
on obtient un modèle bidimensionnel.
Le modèle bidimensionnel a l’avantage d’être, du point de vue numérique, facilement manipulable et permet aussi de poser correctement le problème qui décrit le comportement d’une
structure bidimensionnelle piézoélectrique périodiquement perforée.
3.3.1
par
Résultats de convergence
On se ramène classiquement à un ouvert fixe Ωε = ω ε ×] − 1, +1[ par la projection π ε définie
xε = (xε1 , xε2 , xε3 ) ∈ Ω̄ε 7−→ xhε = π h (xε ) = (xε1 , xε2 , hxε3 ) ∈ Ω̄hε
mN
mN
On note d’une part ΓmD
les images par (π h )−1 de ΓmD
et d’autre part, Γ±
ε , Γε
ε =
hε , Γhε
2
∂
Ψ
ωε × {±1}, Γlat
. Avec un tel changement de
ε = ∂ω×] − 1, +1[. Enfin posons ∂αβ Ψ =
∂xα ∂xβ
variable, nous pouvons étudier par la suite la convergence de l’état électromécanique mis à
l’échelle dans un espace fonctionnel indépendant de l’épaisseur.
L’objectif est d’établir la limite du problème variationnel tridimensionnel (3.2.5)-(3.2.6),
lorsque le paramètre d’épaisseur tend vers zéro, ce qui nous donnera le problème variationnel
bidimensionnel. On effectue un choix convenable des ordres de grandeur des données correspondant à chaque plaque (forces appliquées, densités de charge) et en reprenant la démonstration
présentée par Rahmoune [75] et Sène [80], on peut énoncer le résultat ci-dessous qui décrit le
comportement limite des inconnues mécanique et électrique et qui fournit les modèles bidimensionnels cherchés.
• Modèle de Rahmoune [75]
Théorème 3.3.1
hε
hε
A l’état électromécanique (uhε
α , u3 , φ ), solution du problème variationnel tridimensionnel (3.2.5)(3.2.6) et défini sur Ωhε , on associe un état mis à l’échelle (uεα (h), uε3 (h), φε (h)) défini par
 hε hε
2 ε
ε

 uα (x ) = h uα (h)(x ),



hε
hε
ε
ε
uhε
∀x ∈ Ωhε
(3.3.7)
3 (x ) = hu3 (h)(x ),




 hε hε
φ (x ) = h2 φε (h)(xε ),
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
57
ainsi l’ordre de grandeur des actions extérieures (le chargement de la structure) est choisi
comme suit
 h hε
 fα (x ) = h2 fα (xε ), f3h (xhε ) = h3 f3 (xε ),
(3.3.8)
 h hε
gα (x ) = h3 gα (xε ), g3h (xhε ) = h4 g3 (xε ),
où (f, g) est un élément (indépendant de h) de (L2 (Ωε ))3 × (L2 (Ωε ))3 , alors quand le paramètre
d’épaisseur h tend vers zéro, on obtient
 ε
0ε
ε
0ε
uα (h) * u0ε

α (x) = uα (x1 , x2 ) − x3 ∂α u3 (x1 , x2 ),




uε3 (h) * u0ε
(3.3.9)
3 (x1 , x2 ),




 ε
φ (h) * φ0ε (x1 x2 ).
Sachant que la solution du problème variationnel tridimensionnel (3.2.5)-(3.2.6), tend vers la
solution du problème variationnel bidimensionnel suivant

0ε
0ε
1
Trouver (u0ε
tels que,

α , u3 , φ ) ∈ Vε (ωε ) × Wε (ωε ) × H (ωε )/IR,





 Z

n
o



0ε
0ε
0ε
ε
0ε
0ε
ε
0ε
ε


N
(u
,
u
,
φ
)s
(v
)
+
Q
(u
,
φ
)E
(ψ
)
−
M
(u
)∂
v
dxε

αβ
αβ α
α α
α
αβ
αβ 3
α
3
3
 



ωε
Z n
o






ε
ε
ε


=
p
v
+
p
v
+
m
∂
v
dxε ,


α
3
α
α
α
3
3


ωε






∀(vαε , v3ε , ψ ε ) ∈ Vε (ωε ) × Wε (ωε ) × H 1 (ωε )/IR,
(3.3.10)
où
n
o
Vε (ωε ) = vα ∈ H 1 (ωε ), vα = 0 sur γεm0 ,
Wε (ωε ) =
et
mα =
Z
n
2
v3 ∈ H (ωε ), v3 = 0 et ∂ν v3 = 0 sur
+1
(x3 fα +
−1
(gα+
−
gα− ))dx3 ,
g ± = g|Γ±ε ,
pα =
Z
γεm0
o
p3 =
Z
+1
fα dx3
−1
Eα (Ψ) =
∂Ψ
,
∂xα
et
,
+1
f3 dx3 ,
−1

Z +1 n
h
i
o

0ε
0ε
0ε
ε
0ε
0ε
ε
0ε

N
(u
,
u
,
φ
)
=
ĉ
s
(u
)
−
x
∂
u
−
ê
E
(φ
)
dx3 ,

αβ
δτ
3 δτ 3
α
3
αβδτ
α
γαβ γ


−1





Z +1 n

o
0ε
0ε
ˆε Eα (φ0ε ) dx3 ,
(3.3.11)
Qα (uα , φ )
=
êεγαβ sαβ (u0ε
)
+
d
α
γα

−1





Z +1 n

o


0ε
2 ε
0ε
ε
0ε
ε
0ε

 Mαβ (u3 )
=
− (x3 ) ĉαβδτ ∂δτ u3 + x3 ĉαβδτ sδτ (uα ) − x3 êγαβ Eγ (φ ) dx3 ,
−1
58
avec
où
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée

eε3αβ h̃ε3γδ


ε
ε
ε
ε
ε

ĉαβδτ = cαβδτ − c3jαβ b̃3j3k c̃k3αβ +
,


dε33







eε3αβ d˜ε3γ
êεγαβ = eεγαβ − cε3jαβ b̃ε3j3k ẽε3k3 +
,
ε

d

33







dεα3 d˜εγ3


 dˆεγα
= dεγα + eεγj3 b̃ε3j3k ẽεγk3 −
,
dε33

eε3k3 ẽε3αβ
ε
ε


c̃
=
c
+
,

k3αβ
k3αβ
ε

d

33






eε3k3 dεγ3

ε
ε


ẽ
=
e
+
,
 γk3
γk3
dε
33




eε3k3 b̃εk3j3 eε3αβ

ε
ε


h̃
=
e
−
,
3αβ
3αβ

ε

d

33




 ˜ε
d3α
= dε3α + eε3k3 b̃ε3k3j eεαj3 ,
eε3j3 eε3k3 ε
ε
.
où b̃ est l’inverse de la matrice c3j3k +
dε33
3×3
(3.3.12)
(3.3.13)
• Modèle de Sène [80]
En plus, si en supposant que le piézoélectrique est mécaniquement isotrope, c’est-à-dire que les
coefficients d’élasticité s’écrivent sous la forme
cεijkl = λε δij δkl + µε (δik δjl + δil δjk ),
et en adaptant la même démarche proposée par Sène [80], on démontre que dans le cas d’une
plaque isolée, la suite des potentiels électriques φε (h) converge vers un potentiel φ0ε qui est un
polynôme du second degré en xε3
φ
0ε
(xε1 , xε2 , xε3 )
=
2
X
φεi (xε1 , xε2 )(xε3 )i ,
i=0
avec
φε0 = −
ĕε3αβ
∂αβ u0ε
3 ,
2ĕε33
φε1 = 0,
ĕε3αβ
φε2 =
∂αβ u0ε
3 ,
2ĕ33
λε
ε
ĕ3αβ =
eε333 δαβ − eε3αβ ,
ε
ε
λ +µ
1 ε ε
1
ĕε33 =
e3α3 e3α3 + ε
eε eε + dε33 ,
ε
µ
λ + µε 333 333
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
0ε
0ε
et (u0ε
1 , u2 , u3 ) est la solution de ces deux problèmes découplés

Z 1

0ε

∂αβ mαβ (u3 ) =
(x3 ∂α fα + f3 )dx3 + g3+ + g3− + ∂α (gα+ − gα− )



−1






0ε
 u0ε

3 = 0, ∂ν u3 = 0
où


mαβ (u0ε

3 ) ν α νβ = 0





Z



0ε
0ε

 ∂α mαβ (u3 )νβ + ∂τ {mαβ (u3 )νβ τα } =
mαβ (u0ε
3 ) =
et
59
dans ωε ,
sur γεm0 ,
(3.3.14)
sur γεm1 ,
1
−1
x3 fα να dx3 + (gα+ − gα− )ηα sur γεm1 ,
i 2ĕ ĕ
4µε h λε
3αβ 3ι%
0ε
0ε
δ
∆u
+
∂
u
+
∂ι% u0ε
αβ
αβ 3
3
3 ,
3 λε + 2µε
3ĕ33
gα− = gα |Γ−ε , gα+ = gα |Γ+ε ,

Z 1

0ε
0ε

−∂α nαβ (u1 , u2 ) =
fβ dx3 + (gβ+ + gβ− ) dans ωε ,



−1




Z
1
0ε

nαβ (u0ε
1 , u2 )να =







 0ε
u1 = u0ε
2 = 0
où
0ε
nαβ (u0ε
1 , u2 )
sur γεm1 ,
gβ dx3
−1
(3.3.15)
sur γεm0 ,
i
λε
0ε
0ε
0ε
0ε
= 2µ
δαβ s%% (u1 , u2 ) + sαβ (u1 , u2 ) .
λε + 2µε
ε
h
Remarque 3.3.1
i) Nous nous inspirons des travaux de Rahmoune [75] et de Sène [80] pour la démonstration
du théorème 3.3.1, en faisant seulement les modifications nécessaires pour tenir compte de
la présence des trous. Signalons aussi que toutes les convergences qui sont obtenues dans
le théorème précédent, sont des convergences fortes dans H 1 (ωε ) (pour plus de détails, on
pourra consulter les travaux de Rahmoune [75], de Sène [80] et celui de Weller et Licht
[91]).
ii) Comme dans l’élasticité des solides simples, les mαβ correspondant aux limites des moments des forces de contrainte
Z 1
mαβ = lim
x3 σαβ (h) dx3 ,
h→0
−1
et les Mαβ à la moyenne sur l’épaisseur de la plaque des forces de contrainte
Mαβ = lim
h→0
Remarque 3.3.2
Z
1
σαβ (h) dx3 .
−1
60
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
i) Dans le second modèle, on remarque que l’effet de la piézoélectricité et de la différence de
potentiel électrique se situent pour le problème membranaire (3.3.15) uniquement dans le
second membre; il est assimilable à une force extérieure. Par contre, l’opérateur de flexion
est modifié.
ii) Par la suite, on va utiliser le premier modèle (3.3.10)-(3.3.11), au lieu du dernier modèle
(3.3.14)-(3.3.15), sachant qu’il n’y a pas une grande différence entre ces deux modèles
sauf dans le second membre. Or on va voir ultérieurement que cela ne va pas mettre en
cause notre résultat d’homogénéisation quand ε tend vers zéro.
3.3.2
Problème local
En intégrant par parties l’équation variationnelle (3.3.10)-(3.3.11), on établit directement
les équations locales mécaniques (membranaire et en flexion) et électrique suivantes :
(a) Équation d’équilibre mécanique membranaire

0ε
0ε
−∂β Nαβ (u0ε

ι , u3 , φ ) = pα dans ωε ,




u0ε
= 0 sur ∂ω,
ι





0ε
0ε
ε
Nαβ (u0ε
= 0 sur ∂ωε − ∂ω.
ι , u3 , φ ).nα
(b) Équation d’équilibre mécanique en flexion

−∂αβ Mαβ (u0ε
=

3 )





 0ε

u3
=






∂ν u0ε
=
3




ε ε

Mαβ (u0ε
=

3 ).nα nβ







 ∂α Mαβ (u0ε ) .nε + ∂τ Mαβ (u0ε )nε τβ
=
3
3
α
β
(3.3.16)
pε3 + ∂α mεα dans ωε ,
0
sur ∂ω,
0
sur ∂ω,
0
sur ∂ωε − ∂ω,
(3.3.17)
−∂α mα .nεα sur ∂ωε − ∂ω.
(c) Équation d’équilibre électrique

0ε
−∂α Qα (u0ε

ι , φ ) = 0 dans ωε ,




φ0ε
= 0 sur ∂ω,





0ε
ε
Qι (u0ε
= 0 sur ∂ωε − ∂ω,
ι , φ ).nα
(3.3.18)
où Nαβ , Qα et Mαβ sont définis par le système (3.3.11).
3.3.3
Conclusions et commentaires
i) L’importance physique dans le choix des ordres de grandeur (3.3.7) est le rapport des
ordres en h entre le déplacement plan et transverse, qui doit être de l’ordre de h. Ce
qui permet de tenir compte du fait que la rigidité d’extension est d’ordre supérieur à la
rigidité de flexion.
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
61
ii) Le choix des ordres de grandeur pour les déplacements est classique dans le cadre de
l’élasticité linéaire. Par contre le choix de l’ordre du potentiel électrique, est dicté par le
fait qu’on souhaite obtenir simultanément la convergence du déplacement et le potentiel
électrique vers des limites non nulles.
iii) Le choix des ordres pour les charges extérieurs (3.3.8), a été choisi uniquement pour avoir
uι (h) et u3 (h) du même ordre. Ceci, par la suite, a permis d’obtenir uι (h) et u3 (h) à
l’ordre zéro, après le passage à la limite de h vers zéro.
iv) D’après la conclusion (3.3.9), le déplacement mécanique vérifie bien les hypothèses de
Kirchhoff-Love.
v) Nous constatons l’impossibilité de séparer l’étude mécanique de l’étude électrique, et
nous observons la symétrie du problème variationnel (3.3.10)-(3.3.11); contrairement à
ce qu’on a pu distinguer, si en considérant au départ un problème du piézoélectrique de
court-circuité (voir M.Rahmoune [75]).
Remarque 3.3.3
Cette étude basée sur l’analyse asymptotique des plaques minces linéairement piézoélectriques
montre que, selon le type des conditions aux limites électriques considérées, il apparaı̂t lorsque
l’épaisseur tend vers zéro, deux modèles distincts (une plaque isolée ou court-circuitée), dont
les lois de comportements électromécaniques sont en général différentes.
3.4
Homogénéisation d’une plaque piézoélectrique perforée
Une écriture forte du problème variationnel bidimensionnel (3.3.16)-(3.3.17)-(3.3.18), nous
permet de découpler les équations vérifées par les déplacements verticaux et celles vérifiées par
les déplacements horizontaux, en deux problèmes : un problème membranaire et un problème
en flexion. Cette écriture facilitera par la suite l’étude de l’homogénéisation d’une plaque
piézoélectrique périodiquement perforée.
3.4.1
Problèmes modèles
Dans cette section, on considère une plaque piézoélectrique homogène isolée, ce qui revient
à dire que ses coefficients sont indépendants de la coordonnée xε3 . Le problème ici consiste à
0ε
déterminer le couple de déplacement extension-flexion u0ε = (u0ε
ι , u3 ) et le potentiel électrique
φ0ε , solutions de deux problèmes : le problème membranaire et le problème en flexion, définis
comme suit :
(i) Équation d’équilibre électro-mécanique membranaire

0ε
ε
 −∂β Nαβ (u0ε
ι , φ ) = pα dans ωε ,

0ε
−∂α Qεα (u0ε
ι ,φ )
= 0
dans ωε ,
(3.4.19)
62
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
avec les conditions aux limites :
 0ε
uι








 φ0ε
= 0 sur ∂ω,
= 0 sur ∂ω,

ε
0ε
ε

Nαβ
(u0ε

ι , φ ).nα = 0 sur ∂ωε − ∂ω,





 ε 0ε 0ε ε
Qι (uι , φ ).nα = 0 sur ∂ωε − ∂ω.
La loi de comportement est donnée par

h
i
ε
0ε
0ε
ε
0ε
ε
0ε

N
(u
,
φ
)
=
2
ĉ
s
(u
)
−
ê
E
(φ
)
,

ι
αβδγ δγ
γαβ γ
 αβ ι


 Qε (u0ε , φ0ε )
α ι
avec
h
i
ˆε Eδ (φ0ε ) ,
= 2 êεαγθ sγθ (u0ε
)
+
d
ι
αδ
ι = 1, 2. Eδ (φε ) =
(ii) Équation d’équilibre mécanique en flexion

ε
−∂αβ Mαβ
(u0ε
=

3 )







u0ε
=

3





∂ν u0ε
=
3




ε
ε ε

Mαβ
(u0ε
=

3 ).nα nβ







 ∂α M ε (u0ε ) .nε + ∂τ M ε (u0ε )nε τβ
=
αβ
3
β
αβ
3
α
(3.4.20)
(3.4.21)
∂φε
.
∂xδ
pε3 + ∂α mεα dans ωε ,
0
sur ∂ω,
0
sur ∂ω,
0
sur ∂ωε − ∂ω,
(3.4.22)
−∂α mεα .nεα sur ∂ωε − ∂ω,
où la loi de comportement est donnée par
2 ε
∂ 2 u0ε
3
ε
Mαβ
(u0ε
)
=
−
ĉ
.
3
3 αβδτ ∂xδ ∂xτ
3.4.2
Problèmes variationnels
On formule dans cette section les deux problèmes variationnels associés aux problèmes membranaire (3.4.19)-(3.4.20)-(3.4.21) et en flexion (3.4.22), ce qui nous permet par la suite d’établir
l’existence et l’unicité de la solution associée à chaque problème.
Le problème variationnel correspondant au problème membranaire (3.4.19)-(3.4.20)-(3.4.21),
est défini par

0ε
1
2
Trouver (u0ε

ι , φ ) ∈ Vε (ωε ) × Vε (ωε ), tels que :





Z
o
 Z n
ε
0ε
0ε
ε
ε
0ε
0ε
ε
ε
Nαβ (uι , φ )sαβ (vι ) + Qα (uι , φ )Eα (ψ ) dx =
pι vιε dxε ,
(3.4.23)

ωε
ωε






∀(vιε , ψ ε ) ∈ Vε1 (ωε ) × Vε2 (ωε ),
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
63
avec
Vε1 (ωε ) =
Vε2 (ωε ) =
n
n
vιε ∈ H 1 (ωε ), vιε = 0 sur ∂ω
φε ∈ H 1 (ωε ), φε = 0 sur ∂ω
o
,
o
ι = 1, 2,
.
Le problème variationnel associé au problème en flexion (3.4.22), est défini par

Trouver u0ε

3 ∈ Kε (ωε ), tels que :





Z  Z
ε
0ε
ε
ε
ε
ε
Mαβ (u3 )∂αβ v3 dx =
p3 v3 + mα ∂α v3 dxε ,

ωε

 ωε



 ε
∀v3 ∈ Kε (ωε ),
avec
Kε (ωε ) =
n
v3ε ∈ H 2 (ωε ), v3ε = 0 sur ∂ω et ∂ν v3ε = 0 sur ∂ω
∂αβ v3ε =
∂ 2 v3ε
.
∂xα ∂xβ
o
(3.4.24)
,
Remarque 3.4.1
i) Par un procédé classique basé sur le lemme de Lax-Milgram, on peut démontrer l’existence
et l’unicité de la solution des deux problèmes (membranaire et en flexion).
ii) On remarque que la plaque piézoélectrique homogène ne possède pas de couplage flexionextension, ce qui simplifie considérablement la nature du couplage électromécanique. Aussi
il est clair que la charge électrique est induite seulement par l’extension et non pas par la
flexion.
iii) La remarque déja faite dans le cas d’un corps piézoélectrique perforé est encore valable ici.
Il y a une autre formulation variationnelle dont la forme bilinéaire n’est pas coercive mais
symétrique, contrairement au formulation (3.4.23) dont la forme bilinéaire est coercive et
non symétrique.
iv) Dans ce cas, on peut séparer l’étude mécanique de l’étude électrique. On traite initialement le problème mécanique, puis on calcule les paramètres électriques explicitement en
fonction du déplacement.
3.4.3
Résultat de convergence pour le problème membranaire
Dans cette section, on énonce le résultat de la convergence pour le problème membranaire,
qui nous décrit le problème homogénéisé et nous permet par la suite de déterminer les tenseurs
homogénéisés.
En reprenant les mêmes démarches développées dans le chapitre précédent, dans le cas d’un
corps piézoélectrique perforé, on obtient un résultat analogue au résultat principal obtenu, qui
décrit le comportement de la solution du problème membranaire quand la taille des perforations
tend vers zéro (Théorème 2.7.1).
64
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
Théorème 3.4.1 (Théorème principal pour le problème membranaire)
0ε
Les suites (u0ε
ι )ε>0 et (φ )ε>0 avec (ι = 1, 2) convergent au sens double échelle vers u ι et φ
respectivement, telle que (uι , φ) est l’unique solution de ce problème homogénéisé suivant

−div NH (uι , φ) = θpι dans ω,








dans ω,
 −div QH (uι , φ) = 0
(3.4.25)


u
=
0
sur
∂ω,

ι






φ
= 0
sur ∂ω,
où θ représente la fraction volumique sur l’élément de référence. La nouvelle loi de comportement homogénéisé est donnée par


H
¯αβζη sζη,x (uι ) + ê¯ζαβ ∂φ ,

N
(u
,
φ)
=
ĉ

ι
αβ


∂xζ
(3.4.26)


∂φ
¯

H

.
 Qα (uι , φ) = −ê¯αζη sζη,x (uι ) + dˆαζ
∂xζ
¯
Les coefficients des tenseurs homogénéisés ĉ¯αβζη , ê¯ζαβ et dˆαζ sont donnés par
D
h
i
∂ϕλµ E
ζη
ĉαβζη τλµ
+ sζη,y (wιλµ ) + êζαβ
,
(3.4.27)
∂yζ
D
h
∂ψ δ iE
δ
¯
êδαβ = ĉαβζη sζη,y (qι ) + êζαβ δζδ +
,
∂yζ
D
h
i
∂ϕλµ E
ζη
= êδλµ τλµ
+ sζη,y (wιλµ ) − dˆαβ
,
(3.4.28)
∂yβ
D
h
∂ψ δ iE
¯
dˆαδ =
− êαζη sζη,y (qιδ ) + dˆαβ δβδ +
,
(3.4.29)
∂yβ
Z
où pour une fonction h, on note par hhi =
h(y) dy la moyenne sur Y ∗ de h. Sachant que
ĉ¯αβλµ =
Y∗
les fonctions locales (wιλµ , ϕλµ ) et (qιν , ψ ν ) introduites dans les expressions précédentes, sont
définies comme solutions de ces deux problèmes cellulaires (locaux)

h
i
∂ n
∂ϕλµ o

ζη
λµ

−
ĉ
(x,
y)
τ
+
s
(w
)
+
ê
(x,
y)
= 0 dans Y ∗ ,

αβζη
ζη,y
ζαβ
ι
λµ

∂y
∂y

β
ζ




h
i
∂ n
∂ϕλµ o
(3.4.30)
ζη
λµ
ˆ
−
−
ê
(x,
y)
τ
+
s
(w
)
+
d
(x,
y)
= 0 dans Y ∗ ,

αζη
ζη,y
αβ
ι
λµ


∂yα
∂yβ





 λµ
wι , ϕλµ Y ∗ − périodiques,
où
ζη
τλµ
i
1h
= δζλ δηµ + δζµ δηλ
2
1 ≤ λ, ζ, µ, η ≤ 2,
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée

h
∂ψ δ io
∂ n

δ

ĉ
(x,
y)s
(q
)
+
ê
(x,
y)
δ
+
=0
−

αβζη
ζη,y ι
ζαβ
ζδ

∂yβ
∂yζ





h
∂ n
∂ψ δ io
δ
ˆ
−
−
ê
(x,
y)s
(q
)
+
d
(x,
y)
δ
+
=0

αζη
ζη,y ι
αβ
βδ


∂yα
∂yβ





 δ
qι , ψ δ Y ∗ − périodiques.
3.4.4
65
dans Y ∗ ,
dans Y ∗ ,
(3.4.31)
Résultat de correcteur pour le problème membranaire
On reprend la même démonstration du résultat de correcteur, présentée dans la section 2.9,
dans le cas d’un corps piézoélectrique périodiquement perforé. De façon analogue, on obtient le
résultat suivant :
Théorème 3.4.2 (Correcteur)
On a les deux convergences fortes suivantes
 ∼ 0ε
x h
x i

u
(x)
−
χ(
)
u(x)
+
u
(x,
) −→ 0 fortement dans (H 1 (ω))2 ,
1


ε
ε
3.4.5



∼
0ε
Φ
x h
x i
(x) − χ( ) Φ(x) + Φ1 (x, ) −→ 0 fortement dans H 1 (ω).
ε
ε
Résultat de convergence pour le problème en flexion
Dans cette section, nous nous intéressons au comportement asymptotique de la déformation
en flexion lorsque le paramètre des perforations tend vers zéro. Ce qui nous mène à énoncer le
théorème suivant
Théorème 3.4.3 (Théorème principal pour le problème en flexion)
2
La suite (u0ε
3 )ε>0 solution du problème (3.4.22), converge à deux échelles vers u3 ∈ H0 (ω), telle
que u3 est l’unique solution du problème homogénéisé suivant

2 ∂2 H
∂ 2 u3



−
b
(x) = θ p3 + ∂α mα dans ω,


3 ∂xα ∂xβ αβγτ ∂xγ ∂xτ




(3.4.32)
u3
= 0
sur ∂ω,






∂u3



= 0
sur ∂ω.
∂xν
Le coefficient du tenseur en flexion homogénéisé bH
αβγτ est donné par
bH
αβγτ
1
avec Πγτ
3 (y) = 2 yγ yτ .
D
= ĉαβζν (x, y)
E
∂ 2 γτ
γτ
Π3 + χ 3
,
∂yζ ∂yν
(3.4.33)
66
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
Sachant que les fonctions locales χγτ
3 introduites dans l’expression du tenseur homogénéisé,
sont définies comme solutions du problème cellulaire suivant

o
∂2 n
∂ 2 γτ
γτ


−
ĉ
(x,
y)
χ
+
Π
dy = 0 dans Y ∗ ,
αβνζ

3
3

∂yα ∂yβ
∂yν ∂yζ





n
h
io


γη

δτ
2

∂
ĉ
(x,
y)
Σ
+
∂
χ
(y)
nα
= 0 dans ∂Y ∗ − ∂Y,

β,y
αβδτ
γη
δτ,y 3




n
h
io
(3.4.34)
γη
δτ
2
ĉ
(x,
y)
Σ
+
∂
χ
(y)
nβ
= 0 dans ∂Y ∗ − ∂Y,

αβδτ
γη
δτ,y 3








χγτ
Y ∗ − périodiques,

3






1


Πγτ
3 (y) = yγ yτ .
2
Démonstration :
La démonstration se fait en six étapes
(i) Estimation a priori
En remplaçant les fonctions tests dans le problème variationnel (3.4.24), par
v3ε = uε3 ,
On obtient
Z
ωε
ε
Mαβ
(u0ε
3 )
∂ 2 u0ε
3
dx =
∂xα ∂xβ
Z ωε
0ε
p3 u0ε
+
m
∂
u
dx.
α α 3
3
En utilisant la coercivité des c̄αβνζ et l’inégalité de Poincaré dans les domaines perforés,
on obtient
Z
0ε 2
0ε
C k u3 kH 2 (ωε ) ≤
ĉαβνζ ∂αβ,x (u0ε
avec C > 0.
(3.4.35)
3 )∂νζ,x (u3 ) dx,
ωε
En utilisant l’inégalité de Hölder, on aboutit à
2
0ε
0ε
C k u0ε
3 kH 2 (ωε ) ≤k p3 kL2 (ωε ) k u3 kL2 (ωε ) + k mα kL2 (ωε ) k ∂α u3 kL2 (ωε ) ,
nous avons

 k p3 kL2 (ωε )

(3.4.36)
≤ k p3 kL2 (ω) ,
k mα kL2 (ωε ) ≤ k mα kL2 (ω) ,
on obtient donc d’après (3.4.35), l’estimation a priori suivante
k u0ε
3 kH 2 (ωε ) ≤ C,
(3.4.37)
avec C une constante indépendante de ε.
(ii) Passage à la limite
A partir de l’estimation a priori (3.4.37) et le résultat fondamental de la convergence à
deux échelles (voir la Proposition 2.4.1), on peut aboutir au résultat suivant
Proposition 3.4.1
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
67
∼
(a) Il existe une fonction u3 (x) ∈ H02 (ω), telle que la suite (uε3 )ε>0 converge à deux
échelles vers χ(y)u3 (x).
2
(b) Il existe une fonction u23 (x, y) ∈ L2 [ω; Hper
(Y ∗ )/R], telle que
∼
h ∂2u
i
∂ 2 u23
∂ 2 uε3
3
(x) −→ χ(y)
(x) +
(x, y) au sens double échelle.
∂xδ ∂xτ
∂xδ ∂xτ
∂yδ ∂yτ
Preuve :
∂ 2 uε3 (x)
)ε sont uni∂xδ ∂xτ
formément bornées, et à partir du résultat fondamental de la convergence double échelle,
∂ 2 uε3 (x)
on peut extraire des sous-suites notées en cours par (uε3 (x))ε et (
)ε , qui convergent
∂xδ ∂xτ
au sens de deux échelles vers %(x, .) ∈ L2 [ω; L2per (Y ∗ )/R] et η(x, .) ∈ L2 [ω; L2per (Y ∗ )/R]
respectivement, alors par définition, pour chacune des fonctions tests

∞
Θ(x, y) ∈ C0∞ [ω; Cper
(Y )],





∞
Ψ(x, y) ∈ C0∞ [ω; Cper
(Y )],
(3.4.38)





Θ(x, y) = Ψ(x, y) = 0 si y ∈ Y − Y ∗ ,
A partir de l’estimation a priori (3.4.37), les deux suites (uε3 (x))ε et (
on a
Z
Z Z
x
lim
) dx =
%(x, y) Θ(x, y) dx dy,
ε→0 ω
ε
ω Y∗
ε
Z
Z Z
∂ 2 u0ε
x
3 (x)
lim
Ψ(x, ) dx =
η(x, y) Ψ(x, y) dx dy.
ε→0 ω
∂xδ ∂xτ
ε
ω Y∗
ε
u0ε
3 (x)Θ(x,
(3.4.39)
(3.4.40)
Une intégration par parties, donne
Z
Z
∂ 2 Ψ(x, xε )
∂ 2 u0ε
x
3 (x)
2
2
0ε
ε
Ψ(x, ) dx = ε
u3 (x)
dx,
ε
∂xδ ∂xτ
ωε ∂xδ ∂xτ
ωε
Z
n
∂2Ψ
2
∂ 2 Ψ o x
2 ∂ Ψ
=
u0ε
(x)
ε
+
ε
+
(x, ) dx
3
∂xδ ∂xτ
∂xδ ∂yτ
∂yδ ∂xτ
ε
ωε
Z
2
∂ Ψ
x
+
u0ε
(x, ) dx,
(3.4.41)
3 (x)
∂yδ ∂yτ
ε
ωε
il est clair que
%(x, y) = η(x, y) = 0 si y ∈ Y − Y ∗ .
Par passage à la limite ε → 0 et à l’aide de (3.4.39), (3.4.40) et (3.4.41), on obtient
Z Z
∂2Ψ
0=
%(x, y)
(x, y) dx dy,
∂yδ ∂yτ
ω Y∗
ceci implique que %(x, y) est indépendante de y sur Y ∗ . i.e. il existe u3 (x) ∈ H02 (ω), telle
que :
%(x, y) = χ(y)u3 (x),
68
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
ceci achève la démonstration de la première assertion.
Pour la deuxième assertion, choisissons maintenant des fonctions tests, qui vérifient

2

 ∂ Ψ (x, y) = 0,


 ∂yδ ∂yτ





∂2Ψ
(x, y) = 0.
∂xδ ∂yτ
Une intégration par parties, donne
Z
Z
∂ 2 Ψ(x, xε )
x
∂ 2 u0ε
3 (x)
Ψ(x, ) dx =
u0ε
(x)
.
3
ε
∂xδ ∂xτ
ωε ∂xδ ∂xτ
ωε
En passant à ε → 0 au sens double échelle, on obtient
Z Z
Z Z
∂ 2 Ψ(x, y)
η(x, y)Ψ(x, y) dx dy =
u3 (x)
dx dy.
∂xδ ∂xτ
ω Y∗
ω Y∗
2
Par l’intégration par parties une deuxième fois et pour chaque Ψ(x, y) ∈ L2 [ω; Hper
(Y ∗ )/IR],
2
∂ Ψ(x, y)
(x, y) = 0 sur ∂Y ∗ − ∂Y , on obtient
avec
∂yδ ∂yτ
Z Z h
i
∂ 2 u3
η(x, y) −
(x) Ψ(x, y) dx dy = 0.
∂yδ ∂yτ
ω Y∗
2
D’après Ekeland-Temam [32], il existe u23 (x, y) ∈ L2 [ω; Hper
(Y ∗ )/IR], telle que
i
h
∂ 2 u23
(x, y) ,
η(x, y) = χ(y) u3 (x) +
∂yδ ∂yτ
ceci achève la démonstration de la deuxième assertion.
(iii) Identification des limites à deux échelles
En suivant toujours la méthode alternative développée par G.Nguetseng [64], qui consiste
à multiplier le problème initial par des fonctions tests du type
x
x
v3ε (x) = v3 (x, ) = v30 (x) + ε2 v32 (x, ),
ε
ε
avec
∞
v30 ∈ C0∞ (Ω) et v32 ∈ C0∞ (Ω; Cper
(Y )).
Ce choix est motivé, par le fait que si on applique la méthode des échelles multiples basée
sur un développement asymptotique, on démontre que

u3 = u3 (x),





u13 = u13 (x),
(3.4.42)




 2
u3 = u23 (x, y).
Nous avons
∂2Ψ
∂2Ψ
1 ∂2Ψ
∂2Ψ 1 ∂2Ψ
=
+
+
+ 2
,
∂xδ ∂xτ
∂zδ ∂zτ
ε ∂zδ ∂yτ
∂yδ ∂zτ
ε ∂yδ ∂yτ
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
69
où z est la variable macroscopique et y est la variable microscopique. Pour alléger l’écriture,
nous noterons par la suite la variable macroscopique par x au lieu de z.
A partir d’un développement asymptotique
v ε (x) = v 0 (x, y) + εv 1 (x, y) + ε2 v 2 (x, y) + ε3 v 3 (x, y) + .... |
y=
x,
ε
on obtient
∂2vε
∂xδ ∂xτ
1 ∂2 v0
1 n ∂2 v0
∂2 v0
∂2 v1 o
+
+
+
ε2 ∂yδ ∂yτ
ε ∂xδ ∂yτ
∂yδ ∂xτ
∂yδ ∂yτ
n ∂2v0
∂2 v1
∂2 v1
∂2 v2 o
+
+
+
+
∂xδ ∂xτ
∂xδ ∂yτ
∂yδ ∂xτ
∂yδ ∂yτ
n ∂2 v1
∂2v2
∂2v2
∂2v3 o
+ ε
+
+
+
∂xδ ∂xτ
∂xδ ∂yτ
∂yδ ∂xτ
∂yδ ∂yτ
n ∂2v2
2 3
2 3 o
2 3
∂
v
∂
v
3 ∂ v
2
+ ε
+
+
+ε
+ ...
∂xδ ∂xτ
∂xδ ∂yτ
∂yδ ∂xτ
∂xδ ∂xτ
=
A l’aide du choix proposé dans (3.4.42), la dernière équation se simplifie sous la forme
n ∂2v0
∂ 2 v3ε
∂ 2 v32 o
3
=
+
∂xδ ∂xτ
∂xδ ∂xτ
∂yδ ∂yτ
n ∂2v2
∂ 2 v32 o
3
+ ε
+
∂xδ ∂yτ
∂yδ ∂xτ
2 2
∂ 2 v33
∂ v3
+ ε3
+ ...
+ ε2
∂xδ ∂xτ
∂xδ ∂xτ
Le problème variationnel suivant (voir le système (3.4.22))
Z Z
2 ε
∂ 2 uε3
∂ 2 v3ε
ĉαβδτ
dx =
p3 v3ε + mα ∂α v3ε dx,
∂xδ ∂xτ ∂xα ∂xβ
ωε
ωε 3
s’écrit donc sous la forme
Z
h ∂2v2
2 2 o
2 ε
∂ 2 uε3 nh ∂ 2 v30
∂ 2 v32 i
∂ 2 v32 i
3
2 ∂ v3
ĉ
+
+ε
+
+ε
,
3 αβδτ ∂xδ ∂xτ ∂xδ ∂xτ
∂yδ ∂yτ
∂xδ ∂yτ
∂yδ ∂xτ
∂xδ ∂xτ
ωε
Z n o
0
1
2 2
0
1
2 2
=
p3 v3 + εv3 + ε v3 + mα ∂α v3 + εv3 + ε v3
dx.
(3.4.43)
ωε
En passant à la limite ε → 0 au sens double échelle et en utilisant la Proposition 3.4.1,
on obtient
Z Z
∂ 2 u0
2
∂ 2 u23 ∂ 2 v30
∂ 2 v32 3
ĉαβδτ (x, y)
+
+
dx dy
3
∂xδ ∂xτ
∂yδ ∂yτ
∂xα ∂xβ ∂yα ∂yβ
ω Y∗
Z Z =
p3 v30 + mα ∂α v30 dx dy,
∗
ω
Z Y
0
0
=
θ
p3 v3 + mα ∂α v3 dx.
(3.4.44)
ω
Par la densité des fonctions de C0∞ (ω) dans H02 (ω), l’équation (3.4.44) reste vérifiée pour
2
2
tout v 0 ∈ H02 (ω), Ψ0 ∈ H02 (ω) et pour tout v 2 ∈ L2 [ω; Hper
(Y ∗ )/R], Ψ2 ∈ L2 [ω; Hper
(Y ∗ )/R].
Par l’intégration par parties et en prenant successivement dans l’équation (3.4.44),
0
v3 = 0, et v32 6= 0,
v32 = 0, et v30 6= 0,
70
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
on peut conclure que l’équation (3.4.44), est exactement la formulation variationnelle
associée au problème suivant

Z
h ∂2u
i o
∂ 2 u23
2 ∂2 n

3

−
ĉ
(x,
y)
(x)
+
(x,
y)
dy
=
θ
p
+
∂
m
dans ω,

αβδτ
3
α
α

 3 ∂xα ∂xβ
∂xδ ∂xτ
∂yδ ∂yτ
Y?





−
h ∂2u
io
∂ 2 u23
∂2 n
3
ĉαβδτ (x, y)
u3 +
(x, y)
∂yα ∂yβ
∂xδ ∂xτ
∂yδ ∂yτ
=0
dans ω × Y ∗ .
Pour établir l’existence et l’unicité de ce problème, il suffit de vérifier les hypothèses
du lemme de Lax-Milgram. Pour cela il est clair que sous quelques hypothèses de bornitude et d’ellipticité du tenseur d’élasticité, la forme bilinéaire définie par le membre
gauche de l’équation (3.4.44), est continue et coercive dans l’espace de Hilbert H02 (ω) ×
2
L2 [ω; Hper
(Y ∗ )/R] munis de la norme suivante
Xn
δ,τ
k
o
∂ 2 u3
∂ 2 u23
kL2 (ω) + k
kL2 (ω×Y ∗ ) .
∂xδ ∂xτ
∂yδ ∂yτ
Pour démontrer la coercivité, on a
Z Z
∂ 2 u
∂2u
∂ 2 u23
∂ 2 u23
3
3
(x) +
(x, y)
(x) +
(x, y) dx dy
ĉαβγθ (x, y)
∂xγ ∂xθ
∂yγ ∂yθ
∂xα ∂xβ
∂yα ∂yβ
ω Y∗
Z Z h 2
i
2 2
2
∂ u3
∂ u3
≥
αc
(x) +
(x, y) dx dy.
∂yα ∂yβ
ω Y ∗ ∂xα ∂xβ
Finalement, on peut confirmer que u3 (x) et u23 (x, y) sont solutions de ce problème homogénéisé à deux échelles

Z
h ∂2u
i o
2 ∂2 n
∂ 2 u23

3

−
ĉ
(x)
+
(x,
y)
dy
=
θ
p
+
∂
m
dans ω,

αβδτ
3
α
α

 3 ∂xα ∂xβ
∂xδ ∂xτ
∂yδ ∂yτ
Y?





2
−
∂
∂yα ∂yβ
n
h ∂2u
io
∂ 2 u23
3
ĉαβδτ
(x) +
(x, y)
∂xδ ∂xτ
∂yδ ∂yτ
=0
avec les conditions aux limites suivantes

u (x)
= 0 sur ∂ω,


 3
n
h ∂2u
io
∂ 2 u23

3

 ĉαβδτ (x, y)
(x) +
(x, y) .nβ = 0 sur ∂Y ∗ − ∂Y,
∂xδ ∂xτ
∂yδ ∂yτ
dans ω × Y ∗ ,
(3.4.46)
on a aussi
y −→ u23 (x, y) est Y ∗ − périodique en y.
(3.4.47)
(iv) Calcul des coefficients du tenseur homogénéisé (effectif )
Le but de ce paragraphe, est de découpler le problème (3.4.45)-(3.4.46)-(3.4.47) sous forme
de deux problèmes : un problème homogénéisé et un problème local, qui nous permet par
la suite d’exprimer ce théorème de convergence sous sa forme alternative.
Par linéarité du problème étudié, posons
u23 (x, y) =
∂ 2 u3 (x) γη
χ (y).
∂xγ ∂xη 3
(3.4.45)
(3.4.48)
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
71
En remplaçant l’expression de u23 (x, y) dans cette équation
h ∂2u
io
∂2 n
∂ 2 u23
3
−
ĉαβδτ (x, y)
(x) +
(x, y) = 0 dans ω × Y ∗ ,
∂yα ∂yβ
∂xδ ∂xτ
∂yδ ∂yτ
on obtient
h ∂2u
io
∂2 n
∂ 2 u3
∂ 2 χγη
3
3
−
ĉαβδτ (x, y)
(x) +
(x)
(y) = 0,
∂yα ∂yβ
∂xδ ∂xτ
∂xγ ∂xη
∂yδ ∂yτ
qu’on peut aussi simplifier
−
avec
h
io
∂ 2 χγη
∂2 n
3
ĉαβδτ (x, y) Σδτ
+
(y)
= 0,
γη
∂yα ∂yβ
∂yδ ∂yτ
1
Σδτ
γη = (δδγ δτ η + δδη δτ γ ) est le tenseur unitaire d’ordre quatre.
2
A partir d’un calcul analytique simple, on peut définir les coefficients du tenseur en flexion
homogénéisé (effectif), comme suit
iE
D
h
∂ 2 χγη
3
(y)
,
ĉαβδτ (x, y) Σδτ
+
γη
∂yδ ∂yτ
iE
D
∂ 2 h γη
Π3 + χγη
,
= ĉαβδτ (x, y)
3
∂yδ ∂yτ
Z n
io
∂ 2 h γη
Π3 + χγη
dy,
=
ĉαβδτ (x, y)
3
∂yδ ∂yτ
Y∗
bH
αβγη =
(3.4.49)
γη
1
1
2
avec Πγη
3 (y) = 2 yγ yη et ∂δτ,y (Π3 ) = 2 (δδγ δτ η + δδη δτ γ ).
Sachant que les fonctions locales χγη
3 (y), sont des solutions de ce problème local

h
io
∂2 n

γη
δτ
2

−
ĉαβδτ (x, y) Σγη + ∂δτ,y χ3 (y)
= 0 dans Y ∗ ,



∂y
∂y
α
β





n
h
io


 ∂β,y ĉαβδτ (x, y) Σδτ + ∂ 2 χγη (y) nα
= 0 dans ∂Y ∗ − ∂Y,
γη
δτ,y 3













h
i
γη
δτ
2
ĉαβδτ (x, y) Σγη + ∂δτ,y χ3 (y) nβ
χγη
3
(3.4.50)
= 0 dans ∂Y ∗ − ∂Y,
Y ∗ − périodiques.
Intéressons-nous à montrer l’existence et l’unicité des fonctions locales χγη . L’espace
∼2
H per (Y ∗ ) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire associé à la norme
X
2
k v k ∼2 ∗ =
|∂αβ,y
(v)|L2 (Y ) .
H per (Y )
α,β
Le problème variationnel associé au problème (3.4.50), s’écrit sous la forme
Z
Z
2
γη
2
2
2
¯
c̄αβδτ (x, y)∂αβ,y (χ )∂δτ,y (v) dy =
c̄¯αβδτ (x, y)∂αβ,y
(Πγη
∀v ∈ K(Y ),
3 )∂δτ,y (v) dy,
Y∗
Y∗
(3.4.51)
72
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
or le tenseur c̄¯αβδτ est coercive. Donc la forme bilinéaire définie par le premier membre de
∼2
(3.4.51) l’est également sur H per (Y ∗ ). La forme linéaire définie par le second membre de
∼2
(3.4.51) est continue sur H per (Y ∗ ). En utilisant le théorème de Lax-Milgram, on déduit
∼2
l’existence et l’unicité de χγη dans H per (Y ∗ ).
(v) Propriétés des coefficients homogénéisés (effectifs)
La proposition suivante, est un résultat sur les propriétés du tenseur de flexion B H =
(bH
αβγη )
Proposition 3.4.2
H
Les coefficients bH
défini par (3.4.49), vérifient
αβγη du tenseur de flexion homogénéisé B
:
H
H
H
(a) bH
αβγη = bγηαβ = bβαγη = bαβηγ ,
(b) bH
αβγη est elliptique.
H
La deuxième assertion signifie, qu’il existe ΛH
b 6= Λb (ε) > 0, tel que pour tout tenseur ξαβ
d’ordre 2 symétrique (ξαβ = ξβα ) non nul, on a :
H
bH
αβγη ξαβ ξγη ≥ Λb ξαβ ξαβ .
Preuve :
(a) La symétrie
Il est évident qu’une partie de la symétrie est vérifiée
H
H
bH
αβγη = bβαγη = bαβηγ .
Il nous reste à montrer que
H
bH
αβγη = bγηαβ .
L’idée est de transformer l’expression de coefficients bH
αβγη de manière à obtenir une
formule symétrique. En utilisant la définition 3.4.49 de B H , le tenseur de flexion homogénéisé est évalué de la manière suivante
Z
∂2
γη
H
bαβγη =
ĉαβδτ (x, y)
[Πγη
3 − χ3 ] dy,
∂y
∂y
∗
δ
τ
ZY
∂2
γη
=
ĉζςδτ (x, y)
[Πγη
3 − χ3 ]δαζ δβς dy,
∂yδ ∂yτ
Y∗
Z
2 αβ
∂2
γη ∂ Π3
=
ĉζςδτ (x, y)
[Πγη
−
χ
]
dy,
3
∂yδ ∂yτ 3
∂yζ ∂yς
Y∗
Z
∂2
∂2
γη
αβ
=
ĉζςδτ (x, y)
[Πγη
−
χ
]
[Παβ
3
3
3 − χ3 ] dy,
∂y
∂y
∂y
∂y
∗
δ
τ
ζ
ς
Y
Z
2
2 αβ
∂
γη ∂ χ3
−
ĉζςδτ (x, y))
[Πγη
dy.
(3.4.52)
3 − χ3 ]
∂yδ ∂yτ
∂yζ ∂yς
Y∗
En multipliant le système (3.4.50) par χαβ
3 et en intégrant par parties, on aboutit à
Z
2 αβ
∂2
γη ∂ χ3
ĉζςδτ (x, y)
[Πγη
−
χ
]
dy = 0,
3
∂yδ ∂yτ 3
∂yζ ∂yς
Y∗
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
73
soit
bH
αβγη
=
Z
ĉδηζν (x, y)
Y∗
∂2 ∂ 2 αβ
γη
γη
Π3 − χαβ
(y)
Π
−
χ
(y)
dy,
3
3
3
∂yδ ∂yη
∂yζ ∂yν
(3.4.53)
H
alors à partir de la formule (3.4.53), on a clairement bH
αβγθ = bγθαβ .
(b) L’ellipticité
Pour l’ellipticité du tenseur B H = (bH
αβγθ ), en prenant ξ un tenseur d’ordre 2 symétrique
(ξαβ = ξβα ), alors l’écriture (3.4.53) nous amène à poser
τδη = ξαβ
∂ 2 αβ
Π3 − χαβ
.
3
∂yδ ∂yη
En tenant compte de l’ellipticité uniforme du tenseur ĉλµις (x, y), nous pouvons donc
écrire
Z
Z
H
bαβγη ξαβ ξγη ≥
ĉδηζν τδη τζν dy ≥ αc
τδη τδη dy.
(3.4.54)
Y∗
Y∗
Démontrons par l’absurde, que la deuxième intégrale de (3.4.54) est strictement positive. Supposons donc que
∀ (δ, η) ∈ {1, 2}2 ,
τδη = ξαβ
∂ 2 αβ
Π3 − χαβ
= 0,
3
∂yδ ∂yη
(3.4.55)
soit
αβ
(Παβ
3 − χ3 )ξαβ = aι yι + b aι et b étant des constantes ι = 1, 2.
En effet, si on a une fonction quelconque Φ, telle que
∂2Φ
(y1 , y2 ) = 0,
∂yα ∂yβ
alors
mais
∀ (α, β),
∂2Φ
(y1 , y2 ) = 0 d’où Φ(y1 , y2 ) = a(y2 )y1 + b(y2 ),
∂y1 ∂y1
∂2Φ
(y1 , y2 ) = 0 d’où
∂y2 ∂y1
∂ a(y2 )
= 0,
∂y2
donc a(y2 ) = a1 qui ne dépend pas de yι (ι = 1, 2), ainsi
∂2Φ
(y1 , y2 ) = 0 d’où
∂y1 ∂y2
∂ 2 b(y2 )
= 0,
∂y2 ∂y1
donc b(y2 ) = a2 y2 + b avec a2 et b indépendants de yι (ι = 1, 2).
Donc on a montré que
∂2Φ
Si : ∀ (α, β),
(y1 , y2 ) = 0, alors Φ = aι yι + b,
∂yα ∂yβ
ce qui prouve (3.4.56). Mais on a
αβ
χαβ
3 ξαβ = Π3 ξαβ + aι yι + b.
(3.4.56)
74
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
Un au moins des ξαβ n’étant pas nul, l’égalité précédente contredit la périodicité des
χαβ
3 , le second membre n’étant pas périodique, compte-tenu du fait que
1
Πγτ
3 (y) = yγ yτ .
2
Par conséquent la deuxième intégrale de (3.4.54) est bien strictement positive, ainsi on
a
bH
∀ (ξαβ ) symétrique, non nul.
αβγη ξαβ ξγη > 0
Considérons alors la fonction numérique Ψ définie sur IR4 , par
Ψ(ξαβ ) = bH
αβγη ξαβ ξγη.
Visiblement Ψ est continue sur IR4 muni de la topologie associée à la norme
1
k τ k= (ταβ ταβ ) 2 .
Sur la sphère unité, compacte, elle admet un minimum M , qu’elle doit atteint.
Pour (ξαβ ) tenseur symétrique non nul, nous avons
Ψ(
ξαβ
) ≥ M,
kξk
soit bH
αβγη ξαβ ξγη ≥ M ξαβ ξαβ .
Nous avons donc bien la relation de la coercivité recherchée
bH
αβγη ξαβ ξγη ≥ M ξαβ ξαβ .
(vi) Problème homogénéisé
A partir des sections précédentes, on peut écrire le problème homogénéisé à deux échelles
(3.4.45)-(3.4.46)-(3.4.47), sous sa forme alternative, comme suit

2 ∂2 H
∂2



 − 3 ∂x ∂x bαβγθ ∂x ∂x (u3 ) = θ p3 + ∂α mα dans ω,

α
β
γ
θ




(3.4.57)
u3
= 0
sur ∂ω,






∂u3



= 0
sur ∂ω,
∂xν
ceci achève la démonstration du théorème principal de la convergence (Théorème 3.4.3).
Remarque 3.4.2
La solution du problème limite en flexion limite, vérifie un système différentiel d’ordre quatre.
Celui-ci est défini à l’aide d’un tenseur en flexion homogénéisé qui vérifie les propriétés de
symétrie et d’ellipticité.
3.4.6
Résultat de correcteur pour le problème en flexion
En suivant les mêmes démarches présentées dans la section 2.9, on peut énoncer le résultat
suivant
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
75
Proposition 3.4.3 (Correcteur)
On a les deux convergences fortes suivantes

∼
2 0ε


∂
u
x n ∂ 2 u3
∂ 2 u23
x o
3


(x)
−
χ(
)
(x)
+
(x,
) −→ 0 fortement dans L2 (ω),
 ∂x ∂x
ε
∂x
∂x
∂y
∂y
ε
α
β
α
β
α
β


∼

x o
x n

2
0ε

−→ 0 fortement dans H 2 (ω).
u3 (x) − χ( ) u3 (x) + u3 (x, )
ε
ε
Preuve :
A partir du problème variationnel associé au problème (3.4.22), on obtient
Z
Z
∼
∼
n ∂ 2 u0ε
x h ∂ 2 u3
∂ 2 u23 ion ∂ 2 u0ε
x h ∂ 2 u3
∂ 2 u23 io
3
3
ĉαβδτ
− χ( )
+
− χ( )
+
dx
∂xα ∂xβ
ε ∂xα ∂xβ ∂yα ∂yβ
∂xδ ∂xτ
ε ∂xδ ∂xτ
∂yδ ∂yτ
ωε
Z Z
h ∂2u
∂ 2 u23 ih ∂ 2 u3
∂ 2 u23 i
3
ε
ε
=
p3 u3 + mα ∂α u3 dx −
ĉαβδτ
+
+
dx
∂xα ∂xβ ∂yα ∂yβ ∂xδ ∂xτ
∂yδ ∂yτ
ωε
ωε
∼
∂ 2 u0ε
x h ∂ 2 u3
∂ 2 u23 i
3
−
ĉαβδτ
χ( )
+
dx −
∂xα ∂xβ ε ∂xδ ∂xτ
∂yδ ∂yτ
ωε
Z
∼
∂ 2 u0ε
x h ∂ 2 u3
∂ 2 u23 i
3
χ( )
+
ĉαβδτ
dx.
∂xδ ∂xτ ε ∂xα ∂xβ ∂yα ∂yβ
ωε
En passant à la limite de ε → 0 et en utilisant le fait que le tenseur de flexion est elliptique, on
aboutit à cette convergence forte (voir la section 2.9)
∼
∂ 2 u0ε
x n ∂ 2 u3
∂ 2 u23
x o
3
(x) − χ( )
(x) +
(x, ) kL2 (ω) = 0,
lim k
ε→0
∂xα ∂xβ
ε ∂xα ∂xβ
∂yα ∂yβ
ε
alors par conséquent, on a la convergence forte suivante
lim
ε→0
3.5
∼
ku0ε
3
x n
x o
2
(x) − χ( ) u3 (x) + u3 (x, ) kH 2 (ω) = 0.
ε
ε
Conclusions et commentaires
Dans ce travail, nous avons réussi à déterminer le comportement asymptotique d’une plaque
piézoélectrique périodiquement perforée. Ainsi on a déterminé tous les tenseurs homogénéisés
(effectifs) pour les déplacements : membranaire et en flexion.
Dans ce chapitre, nous avons étudié le comportement d’une plaque mince lorsque ε < h.
Lorsque h < ε, on reprend ce travail dans son intégralité, en prenant en premier lieu la limte
ε −→ 0, et puis h −→ 0, afin de récupérer à la fin les deux problèmes : membranaire et en
flexion homogénéisés. La situation qu’il nous reste à étudier est dans le cas où ε et h, avec K une
constante réelle, donc il faut prendre les deux limites simultanémment, nous n’avons pas traité
théoriquement cette situation, car elle ne nous intéresse pas numériquement, puisque elle ne se
positionne pas dans les applications industrielles que nous étudierons dans la seconde partie.
L’existence de deux lois de comportement couplées pour l’équation de la piézoélectricité,
nous indique l’importance du choix de type piézoélectrique (isolé ou court-circuité). Ce choix
est important du fait que les coefficients homogénéisés varient en fonction du problème choisi.
76
Chapitre 3. Homogénéisation d’une plaque mince piézoélectrique perforée
Remarquons enfin que d’autres conditions aux limites, par exemple pour le cas d’un matériau
piézoélectrique de court-ciruité, peuvent être envisagées.
Même si théoriquement, on peut envisager une plaque purement piézoélectrique, nous sommes
loin de la réalité puisque jusqu’à présent il est quasiment impossible d’envisager des structures
purement piézoélectriques, à cause de leur fragilité et de leur sensiblité à haute température.
Mais il est nécessaire de passer par la modélisation d’une plaque piézoélectrique afin de mieux
comprendre l’utilité de ce type de matériau dans les applications industrielles.
Chapitre 4
Homogénéisation de coques
piézoélectriques périodiques de type
Koiter
4.1
Introduction
Dans ce chapitre on s’intéresse à l’homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques
de type Koiter. Ces coques sont des milieux continus tridimensionnels où l’ordre de l’épaisseur
est petit par rapport aux deux autres dimensions. Notre but est de se servir de la technique
d’homogénéisation pour comprendre les propriétés effectives de ce type de coques, en utilisant
pour ceci la nouvelle approche dite l’éclatement périodique récemment introduite par Cioranescu, Damlamian et Griso [24]. Le passage à la limite quand l’épaisseur tend vers zéro, pour
obtenir le modèle bidimensionnel a été fait par Haenel dans sa thèse [42], ce passage à la limite, à
partir de la formulation tridimensionnelle d’une coque piézoélectrique a conduit simultanément
à l’identification de deux modèles couplés en fonction de l’espace des déplacements inextensionnels : un problème membranaire (faisant intervenir le tenseur de changement de la surface
moyenne) et un problème en flexion (faisant intervenir le tenseur de changement de courbure).
A partir des résultats obtenus par Haenel [42], on retrouve ainsi le modèle de coques minces de
Koiter décrit par un système de coordonnées curvilignes.
Pour notre travail et en partant des résultats obtenus par Haenel [42], on va homogénéiser
le problème de départ, avec des conditions de Dirichlet sur le bord latéral extérieur, comme
dans le chapitre précédent pour les plaques piézoélectriques perforées. En utilisant la technique d’éclatement périodique, on décrit le problème limite (homogénéisé) associé, ainsi que le
théorème d’existence et d’unicité de sa solution. On donne aussi les expressions des tenseurs
homogénéisés et un résultat de correcteur.
Ce chapitre est essentiellement composé en sept sections organisées de la manière suivante.
Dans la deuxième section, on précise la géométrie de la coque dans laquelle on va travailler, et
dans la section suivante, on présente un bref rappel de la technique d’éclatement périodique.
Dans la quatrième section, on présente le problème de coques piézoélectriques périodiques de
type Koiter notamment dans le cas laminé qui nous intéresse. Dans la cinquième section, on
étudie l’homogénéisation du problème de coques piézoélectriques de Koiter, afin de donner son
problème homogénéisé et les tenseurs homogénéisés, ainsi que leurs propriétés. Dans la section
suivante, on donne un résultat de correcteur pour le déplacement mécanique et le potentiel
électrique. Dans la dernière section on montre que la solution du problème homogénéisé reste
77
78
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
définie comme un point selle d’une fonctionnelle de même type que la fonctionnelle de départ.
Ce travail est fait en collaboration avec M. Ghergu et G. Griso, et fera l’objet des publications
[37] et [38].
Notations : Dans tout ce qui suit, C désigne les différentes constantes positives indépendantes
de ε.
4.2
4.2.1
Géométrie de la coque étudiée
Définition de la coque
Dans cette section, on va préciser la géométrie de la coque piézoélectrique étudiée, on
s’intéresse aux coques qui peuvent se présenter sous la forme d’un produit entre leurs surfaces moyennes et leurs épaisseurs. Soit E 3 l’espace euclidien muni d’un repère orthonormé
(O, ~e1 , ~e2 , ~e3 ). Soit S une surface de l’espace euclidien E 3 . On suppose qu’il existe un domaine
ω du plan E 2 et une application Φ̄S définie sur ω̄ tels que
Φ̄S : ξ = (ξ1 , ξ2 ) ∈ ω̄ → Φ̄S (ξ) ∈ S¯
On suppose que Φ̄S est injective, de classe C 3 (ω) et que les points de S¯ sont réguliers de telle
sorte que les deux vecteurs ~a1 = ∂ ϕ
~ /∂x1 et ~a2 = ∂ ϕ
~ /∂x2 sont linéairement indépendants en
tout point (ξ1 , ξ2 ) de ω. Le couple (~a1 , ~a2 ) forme une base locale du plan tangent à la surface S̄
au point Φ̄S (ξ1 , ξ2 ). On définit le vecteur normal ~a3 , par
~a3 =
~a1 × ~a2
|~a1 × ~a2 |
Le déterminant de la première forme fondamentale (tenseur métrique) est noté par
√
a = det(~aα · ~aβ )
est strictement positif dans ω
4.2.2
Géométrie des microstructures
On suppose que la géométrie de la coque contienne une propriété de périodicité dans sa
forme. Posons ε comme un paramètre associé à une microstructure contenue dans ω, destiné à
converger vers zéro.
4.3
Rappels sur la méthode d’éclatement périodique
Nous décrivons dans cette section brièvement la méthode d’éclatement périodique. Cette
dernière est récemment introduite par Cioranescu, Damlamian et Griso [24], elle s’applique
pour les problèmes d’homogénéisation périodique comme notre problème.
Dans ce qui suit, on précise d’une part, le domaine dans lequel on va travailler et d’autre
part, on introduit l’opérateur d’éclatement périodique T ε et l’opérateur de moyennisation U ε ,
ainsi on donne leurs principales propriétés.
Soit Ω ⊂ R2 un domaine de frontière asssez régulière ∂Ω, notons par Y = [0, 1]2 la cellule
de référence.
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
79
Soit z ∈ R2 , notons par [z]Y l’unique combinaison entière telle que z − [z]Y ∈ Y et soit
{z}Y = z − [z]Y ∈ Y.
Pour chaque x ∈ R2 et ε > 0, on a
x=ε
h x i
ε
Y
+
nxo ε
Y
On définit l’opérateur d’éclatement T ε : L2 (Ω) → L2 (Ω × Y ), par
hxi
T ε (w)(x, y) = w ε
+ εy , pour chaque (x, y) ∈ Ω × Y.
ε Y
Il est clair, que pour chaque v, w ∈ L2 (Ω) on a les propriétés suivantes
x
T ε (w)(x, { }Y ) = w(x)
ε
(4.3.1)
T ε (vw) = T ε (v)T ε (w)
(4.3.2)
T ε (v + w) = T ε (v) + T ε (w)
(4.3.3)
Dans la suite, chaque fonction définie dans L2 (Ω), est prolongée par zéro en dehors de Ω.
Proposition 4.3.1 (Propriétés de T ε ) ([24])
(a) Pour chaque w ∈ L1 (Ω), on a
Z
Z
1
T ε (w) dx dy.
w dx =
|Y |
Ω
(4.3.4)
Ω×Y
(b) Pour chaque w ∈ L2 (Ω), on a
T ε (w) → w
fortement dans
L2 (Ω × Y ).
(4.3.5)
(c) Si (w ε ) ⊂ L2 (Ω), alors on a
w ε → w fortement dans L2 (Ω) =⇒ T ε (w ε ) → w fortement dans L2 (Ω × Y ),
1
T (w ) * w
b faiblement dans L (Ω × Y ) =⇒ w * w =
|Y |
ε
ε
2
ε
Z
Y
wdy
b
faiblement dans L2 (Ω).
Proposition 4.3.2 (Relation avec la convergence double échelle) ([24])
Soit (w ε ) ⊂ L2 (Ω) une suite bornée, alors
T ε (w ε ) * w faiblement dans L2 (Ω × Y ) ⇐⇒ w ε converge au sens double échelle vers w.
Théorème 4.3.1 ([24])
Soit (w ε ) ⊂ H 1 (Ω) une suite bornée telle que
wε * w
faiblement dans H 1 (Ω),
alors on a
1
De plus, il existe w ∈ L
T ε (w ε ) * w
2
1
(Ω; Hper
(Y
faiblement dans L2 (Ω × Y ).
(4.3.6)
)), telle que
T ε (∇x w ε ) * ∇x w + ∇y w 1
faiblement dans L2 (Ω × Y ).
(4.3.7)
80
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
Proposition 4.3.3 (T ε et gradients) ([24])
Pour chaque fonction w ∈ W 1,2 (Ω), on a
∇y (T ε (w)) = εT ε (∇x w).
Si {w ε } ⊂ W 1,2 (Ω) est une suite bornée dans L2 (Ω), avec ε k ∇w ε kL2 (Ω) ≤ C, telle que
T ε (w ε ) * ŵ
faiblement dans
L2 (Ω × Y ),
alors, on a
εT ε (∇x w ε ) * ∇y ŵ
faiblement dans
L2 (Ω × Y ).
Théorème 4.3.2 (Propriétés de T ε )
2
Soit (uε )ε une suite bornée dans H 2 (Ω), alors il existe u ∈ H 2 (Ω) et u2 ∈ L2 (Ω; Hper
(Y )/R)
telle que
T ε (uε ) * u
faiblement dans
L2 (Ω × Y ),
T ε (∇x uε ) * ∇x u
faiblement dans
L2 (Ω × Y ),
T ε (∇2x uε ) * ∇2x u + ∇2y u2
faiblement dans
L2 (Ω × Y ).
(4.3.8)
Preuve :
Puisque (uε ) est bornée dans H 2 (Ω), ceci implique qu’il existe u ∈ H 2 (Ω), tel que (uε ) converge
1
faiblement vers u. En utilisant le théorème 4.3.1, alors il existe u1 ∈ L2 (Ω; Hper
(Y )) telle que
T ε (uε ) * u
faiblement dans L2 (Ω × Y ),
(4.3.9)
et
T ε (∇x uε ) * ∇x u + ∇y u1
faiblement dans L2 (Ω × Y ).
(4.3.10)
De plus, le fait que (uε ) est bornée dans H 2 (Ω), ceci implique que T ε (∇2x uε ) est bornée dans
L2 (Ω × Y ), alors il existe % ∈ L2 (Ω × Y ), telle que
T ε (∇2x uε ) * %
faible dans L2 (Ω × Y ).
∞
Soit ψ ∈ D(Ω; Cper
(Y )), alors on a
Z
Ω
x
∂ 2 uε
ψ x,
dx = −
∂xi ∂xj
ε
Z
Ω
∂uε ∂ψ
1 ∂ψ x +
x,
dx
∂xj ∂xi ε ∂yi
ε
(4.3.11)
(4.3.12)
En utilisant l’opérateur d’éclatement périodique et la propriété (4.3.4) sur l’équation ci-dessus,
on obtient
2 ε ε
Z
Z
∂ u
∂u
∂ψ
∂ψ
ε
ε
ε
T
ψ (x, y) dxdy = −
T
ε
+
(x, y) dxdy.
(4.3.13)
∂xi ∂xj
∂xj
∂xi ∂yi
Ω×Y
Ω×Y
En passant à la limite lorsque ε → 0 dans l’équation (4.3.13) et en utilisant (4.3.10) avec
(4.3.11), on aura
Z ∂u
∂u1 ∂ψ
∞
0=
+
(x, y) dxdy ∀ ψ ∈ D(Ω; Cper
(Y )).
∂xj
∂yj ∂yi
Ω×Y
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
81
∂u ∂u1
+
est indépendant de y. Puisque u1 est Y − périodique par rapport
∂xj ∂yj
au seconde variable, on a u1 (x, y) = u1 (x) et par (4.3.10) on déduit
Ce qui implique que
T ε (∇x uε ) * ∇x u
faiblement dans
L2 (Ω × Y ).
∞
Soit ψ ∈ D(Ω; Cper
(Y )) avec ∇y ψ(x, y) = 0. A partir de (4.3.12), on obtient
Z
Z
x
∂ 2 uε
∂uε ∂ψ x ψ x,
dx = −
x,
dx.
∂xi ∂xj
ε
∂xj ∂xi
ε
Ω
Ω
En utilisant l’opérateur d’éclatement périodique, on a
2 ε ε
Z
Z
∂ u
∂u
∂ψ
ε
ε
T
ψ (x, y) dxdy = −
T
(x, y)dxdy.
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
Ω×Y
(4.3.14)
Ω×Y
En passant à la limite ε → 0, nous obtenons
Z
%ij (x, y)ψ(x, y)dxdy =
Ω×Y
=
−
Z
ZΩ×Y
Ω×Y
∂ψ
∂u
(x, y)
(x, y)dxdy
∂xj
∂xi
∂2u
(x, y)ψ(x, y)dxdy.
∂xi ∂xj
Cette relation implique
Z Ω×Y
∂2u
(x, y) ψ(x, y)dxdy = 0,
%ij (x, y) −
∂xi ∂xj
∞
(Y )) avec ∇y ψ(x, y) = 0.
pour chaque ψ ∈ D(Ω; Cper
2
N
1
Il existe alors ũ ∈ L (Ω; Hper
(Y )/R) , telle que
% − ∇2x u = ∇y ũ.
(4.3.15)
Puisque le second membre de l’équation précédente est symétrique, on peut conclure qu’il existe
2
u2 ∈ L2 (Ω; Hper
(Y )/R) telle que ũ = ∇y u2 , donc l’équation (4.3.15) s’écrit sous la forme
% = ∇2x u + ∇2y u2 .
La démonstration du Théorème 4.3.2 est achevée.
Maintenant, on introduit l’opérateur de moyennisation U ε pour les fonctions définies sur le
domaine éclaté Ω × Y , par
U ε : L2 (Ω × Y ) −→ L2 (Ω)
Φ
7−→ U ε (Φ)
Z
hxi
nxo 1
ε
U (Φ)(x) =
Φ ε
+ εz,
dz.
|Y | Y
ε Y
ε Y
Cet opérateur est essentiel pour les résultats sur la convergence des correcteurs.
(4.3.16)
(4.3.17)
82
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
Proposition 4.3.4 (voir [24])
(i) U ε (φ) → φ fortement dans L2 (Ω), pour chaque φ ∈ L2 (Ω),
(ii) U ε (T ε (φ)) = φ, pour chaque φ ∈ L2 (Ω),
Z
hxi
nxo 1
(iii) T (U (Φ))(x, y) =
Φ ε
+ εz,
dz, pour chaque Φ ∈ L2 (Ω × Y ),
|Y | Y
ε Y
ε Y
Z
Z
1
ε
(iv)
U (Φ)(x)dx =
Φ(x, y) dxdy, pour chaque Φ ∈ L2 (Ω × Y ),
|Y
|
Ω
Ω×Y
Z
1
(v) U ε (Φ) *
Φ(x, y) dy, faiblement dans L2 (Ω), pour chaque Φ ∈ L2 (Ω × Y ).
|Y | Y
ε
ε
(vi) T ε (U ε (Φ)) → Φ fortement dans L2 (Ω × Y ).
Théorème 4.3.3 ([24])
Soit (φε )ε ⊂ L2 (Ω). Les deux assertions suivantes sont équivalentes
(i) T ε (φε ) * φ faiblement dans L2 (Ω × Y ),
(ii) φε − U ε (φ) * 0 faiblement dans L2 (Ω).
On obtient une équivalence similaire, entre les deux dernières assertions, pour la convergence
forte au lieu faible.
4.4
Position du problème
Dans cette section, nous cherchons la limite des déplacements mécaniques et le potentiel
électrique pour le problème de coque périodique, lorsque le paramètre de la périodicité ε tend
vers zéro.
Dans tout ce qui suit, les indices et exposants latins prennent leurs valeurs dans l’ensemble
{1, 2, 3}, les indices et exposants grecs dans l’ensemble {1, 2}. On utilise aussi la convention de
sommation sur les indices et exposants répétés haut et bas. Les caractères gras représentent les
fonctions à valeurs vectorielles.
Considérons l’équation variationnelle bidimensionnelle d’une coque piézoélectrique périodique
de type Koiter, occupant le domaine ω, encastrée sur sa frontière γ, soumise à des forces de
volume f dans ω et soumise à un potentiel nul sur sa frontière.

ε
ε
1
1
2

Trouver
(u
,
ϕ
)
∈
H
(ω)
×
H
(ω)
×
H
(ω)
× H01 (ω), tels que

0
0
0





Z
Z 
√

√

ε
ε
ε
ε
ε

F i viε a dxε
c(u , v ) + e(v , ϕ ) a dx =


ω
ω
(4.4.18)
Z


√


ε
ε
ε
ε

−
e(v
,
ϕ
)
+
d(ϕ
,
ψ
)
a dxε = 0


 ω





∀vε ∈ H01 (ω) × H01 (ω) × H02 (ω), ∀ψ ε ∈ H01 (ω)
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
avec
et
83

h2

ε
ε
ε
ε

c(u
,
v
)
=
c
(u
,
v
)
+
cF (uε , vε )

M


3







cM (uε , vε ) = cαβδτ,ε
γαβ (uε )γδτ (vε )

M


cF (uε , vε )








e(vε , ϕε )







d(ϕε , ψ ε )
= cαβδτ,ε
ραβ (uε )ρδτ (vε )
F
= eαβτ,ε γβτ (vε )∂α ϕε
= dαβ,ε ∂α ϕε ∂β ψ ε
(
γαβ (v) = = sαβ (v) − Γkαβ vk
1
sαβ (v) =
(∂α vβ + ∂β vα ) ,
2
2
ραβ (v) = − ∂αβ
v3 − vρ − ∂β bρα + bγβ Γραγ + bρδ Γδαβ − cαβ v3 + bνα ∂β vν + bνβ ∂α vν − Γδαβ ∂δ v3 .
Z 1
i
i
F = F (x1 , x2 ) =
f i (x1 , x2 , z)dz, avec f = (f i ) ∈ L2 (ω × [−1, 1])
−1
où Γkαβ est le symbole de Christoffel. Rappelons le fait que les trois tenseurs (cαβλµ,ε
), (cαβλµ,ε
) et
M
F
αλ,ε
αβτ
(d ) sont elliptiques et symétriques, et le fait que le tenseur (e ) est symétrique, le problème
bidimensionnel (4.4.18) admet une solution unique via le théorème de Lax-Milgram.
ε
ε
Remarque 4.4.1 Il convient de rappeler que le couple
(4.4.18),
(u , ϕ ) solution du problème
est défini comme un point stationnaire dans l’espace H01 (ω) × H01 (ω) × H02 (ω) × H01 (ω) de la
fonctionnelle suivante
Z
Z
√
√
1
(v, ψ) →
(4.4.19)
[c(v, v) + 2e(v, ψ) − d(ψ, ψ)] a dx − F.v a dx
2 ω
ω
4.5
Résultat de convergence
Enonçons le résultat de convergence pour le problème de coques piézoélectriques de type
Koiter (4.4.18) lorsque le paramètre de la périodicité tend vers zéro.
Théorème 4.5.1 (Résultat de convergence)
Les deux suites (T ε (uε ))ε et (T ε (ϕε ))ε convergent faiblement vers u ∈ H01 (ω) × H01 (ω) × H02 (ω)
et ϕ ∈ H01 (ω) respectivement, tels que (u, ϕ) est l’unique solution du problème homogénéisé
suivant
 Z n
h2 αβνθ

αβνθ
αβν


c̄
γ
(u)
−
N̄
ρ
(u)
+
ē
∂
ϕ
γαβ (v)
νθ
νθ
ν
M


3

ω




Z

o√
√
h2 αβνθ
αβνθ
αβν
+
c̄F ρνθ (u) + N̄
γνθ (u) + Q̄ ∂ν ϕ ραβ (v) a dx =
F i vi a dx(4.5.20)

3
ω





Z 

√
h2 ανθ

αν
ανθ

¯
− ē γνθ (u) − Q̄ ρνθ (u) + d ∂ν ϕ ∂α ψ a dx = 0

3
ω
84
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
αβνθ
pour chaque v ∈ H01 (ω) × H01 (ω) × H02 (ω) et ψ ∈ H01 (ω), avec les tenseurs homogénéisés (c̄M
),
αβν
¯αν ) sont définis par
(N̄ αβνθ ), (ēαβν ), (c̄αβνθ
),
(
Q̄
)
et
(
d
F
Z
1
αβνθ
c̄M
=
[cαβδτ sδτ,y (Σνθ + wνθ ) + eαβτ ∂τ,y ζ νθ ]dy
(4.5.21)
|Y | Y M
Z
1
αβν
ē
=
[cαβδτ sδτ,y (zν ) + eαβτ ∂τ,y (yν + η ν )]dy
(4.5.22)
|Y | Y M
Z
1
αβνθ
c̄F
=
cαβδτ
rδτ (Πνθ + qνθ )dy
(4.5.23)
|Y | Y F
Z
1
αβνθ
N̄
=
cαβδτ
rδτ (wνθ )dy
(4.5.24)
F
|Y | Y
Z
1
Q̄αβν =
cαβδτ
rδτ (zν )dy
(4.5.25)
F
|Y | Y
Z
1
d¯αν =
[−eαβτ sβτ,y (zν ) + dαβ ∂β,y (yν + η ν )]dy
(4.5.26)
|Y | Y
où (wνθ , ζ ν ), (zνθ , η ν ) et (qνθ , λνθ ) sont des fonctions locales Y -périodiques, qui sont solutions
des problèmes locaux suivants
 Z h2

νθ
νθ
νθ


ĉF,y (wνθ , v) dy = 0
ĉ
(Σ
+
w
,
v)
+
ê
(v,
ζ
)
+
M,y
y

 Y
3
1
(4.5.27)
(Ploc
):
Z 



− êy (Σνθ + wνθ , ψ) + dˆy (ζ νθ , ψ) dy
= 0

Y
 Z h2

ν
ν
ν


ĉ
(z
,
v)
+
ê
(v,
y
+
η
)
+
ĉ
(z
,
v)
dy = 0
M,y
y
ν
F,y

 Y
3
2
(Ploc
):
Z 



− êy (zν , ψ) + dˆy (yν + η ν , ψ) dy
= 0

(4.5.28)
Y
 Z h2

νθ
νθ


ĉ
(q
,
v)
+
ê
(v,
λ
)
+
ĉF,y (Πνθ + qνθ , v) dy = 0
M,y
y

 Y
3
3
(Ploc
):
Z 



− êy (qνθ , ψ) + dˆy (λνθ , ψ) dy
= 0

(4.5.29)
Y
où
avec

ĉM,y (v, v) = cαβδτ

M sαβ,y (v)sδτ,y (v) dy






αβδτ

 ĉF,y (v, v) = cF rαβ,y (v)rδτ,y (v) dy



êy (v, ψ)





 ˆ
dy (ψ, ψ)
= e
αβδ
(4.5.30)
sαβ,y (v)∂δ,y ψ dy
= eαβ ∂α,y ψ∂β,y ψ dy
1
1
2
rαβ,y (v) = − ∂αβ,y
v3 +bρα ∂β,y vν +bρβ ∂α,y vν , Σνθ = (yν ~eθ +yθ~eν ) où sαβ,y (Σνθ ) = (δνα δθβ +δνβ δθα )
2
2
et Πνθ = 21 yν yθ
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
85
Remarque 4.5.1 Il est visible que le problème homogénéisé (4.5.20) n’a pas la forme d’un
problème de type Koiter, néanmois, on montre à la fin de ce chapitre que la solution de ce
problème reste définie comme un point selle d’une fonctionnelle du même type que la fonctionnelle (4.4.19)
Démonstration :
La démonstration se fait en six étapes
(i) Estimation a priori
Pour obtenir l’estimation a priori, on prend v = uε et ψ = ϕε dans le problème (4.4.18),
on obtient
Z
Z √
√
h2 ε ε ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
F i uεi adxε
cM (u , u ) + cF (u , u ) + e (u , ϕ ) a dx =
3
ω
ω
Z √
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
− e (u , ϕ ) + d (ϕ , ϕ ) a dx = 0
ω
En additionnant les deux équations précédentes, on aboutit à
Z Z
√
√
h2 ε ε ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
cM (u , u ) + cF (u , u ) + d (ϕ , ϕ ) a dx =
F i uεi adxε
3
ω
ω
θ,ε
θ,ε
D’après la coercivité des cαβτ
, cαβτ
et dαλ,ε , nous pouvons écrire
M
F
C
nX
α,β
o
h2
ε
2
ε 2
k γαβ (u )
+ k ραβ (u ) kL2 (ω) + k ϕ kL2 (ω)
3
Z h2
≤
cεM (uε , uε ) + cεF (uε , uε ) + dε (ϕε , ϕε ) dxε
3
ω
ε
k2(L2 (ω))2
En utilisant les inégalités de Korn et de Poincaré, ainsi que le fait que a ∈ L∞ (ω), on
obtient
kuε k(H01 (ω))2 ×H02 (ω) + kϕε kH01 (ω) ≤ C,
(4.5.31)
où C est une constante indépendante de ε.
(ii) Passage à la limite
D’après l’estimation a priori (4.5.31) et par le Théorème 4.3.1, il existe un couple (u, ϕ) ∈
1
[H01 (ω)×H01 (ω)×H02 (ω)]×H01 (ω) et deux vecteurs de correcteurs û ∈ (L2 (ω; Hper
(Y )/R))2 ×
2
2
2
1
L (ω; Hper(Y )/R) et ϕ̂ ∈ L (ω; Hper (Y )), tels qu’on a
T ε (uε ) * u
faiblement dans L2 (ω × Y ; R3 ),
T ε (∇x (uε )) * ∇x u + ∇y û
faiblement dans L2 (ω × Y ; R2 ),
T ε (∇x (ϕε )) * ∇x ϕ + ∇y ϕ̂
faiblement dans L2 (ω × Y ; R2 ).
A partir de la linéarité de l’opérateur T ε , nous en déduisons
T ε (γαβ (uε )) * γαβ,x (u) + sαβ,y (û)
faiblement dans L2 (ω × Y ; R2 ),
T ε (ραβ (uε )) * ραβ (u) + rαβ,y (û)
faiblement dans L2 (ω × Y ; R2 ).
86
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
(iii) Identification des limites
En choisissant des fonctions de tests, de type
 ε
vα (x) = vα1 (x) + εvα2 x, xε , α = 1, 2





v3ε (x) = v31 (x) + ε2 v32 x, xε ,




 ε
ψ (x) = ψ 1 (x) + εψ 2 x, xε ,
avec
 1
∞
(Y )),
 v ∈ D(ωε ); v2 = (vα2 , v32 ) ∈ D(ω; Cper

(4.5.32)
∞
ψ 1 ∈ D(ωε ); ψ 2 ∈ D(ω; Cper
(Y )).
Le choix (4.5.32), nous permet de déduire les convergences
vε (x) → v1 (x)
fortement dans L2 (ω),
∇x vε (x) * ∇x v1 (x) + ∇y v2 (x, y)
faiblement dans L2 (ω × Y ),
T ε (∂α ψ ε ) * ∂α,x ψ 1 + ∂α,y ψ 2
faiblement dans L2 (ω × Y ).
T ε (γρσ (vε )) * γρσ (v1 ) + sρσ,y (v2 )
faiblement dans L2 (ω × Y ),
T ε (ραβ (vε )) * ραβ (v1 ) + rαβ,y (v2 ) faiblement dans L2 (ω × Y )
ρ
2
ρ
avec rαβ,y (v) = − ∂αβ,y v3 + bα ∂β,y vν + bβ ∂α,y vν . Le problème (4.4.18), s’écrit sous la
forme suivante

Z
nh
i
1

ε αβδτ,ε
ε
ε
ε αβτ,ε
ε
ε

T (cM )T (γδτ (u ) + T (e
)T (∂τ ϕ ) T ε (γαβ (vε ))



|Y | ω×Y





Z

o√
√
h2 ε αβδτ,ε ε
ε
ε
ε
(4.5.33)
+ T (cF
a dxdy =
F i viε adx,
)T (ρδτ u ))T (ραβ (v ))

3
ω




Z

n
o√


 1

−T ε (eαβτ,ε )T ε (γβτ (uε )) + T ε (dαβ,ε )T ε (∂β ϕε ) T ε (∂α ψ ε ) adxdy = 0

|Y | ω×Y
Après le remplacement des fonctions tests dans
Z (4.5.32) et
Z en utilisant la linéarité de
1
l’opérateur d’éclatement T ε , avec le fait que
v =
T ε (v) pour chaque v ∈
|Y
|
ω
ω×Y
L2 (ω), on peut passer à la limite quand ε → 0 dans la forme variationnelle (4.5.33), on
obtient
Z

nh
i
1
αβδτ
αβτ


c
(y)
(γ
(u)
+
s
(û))
+
e
(y)
(∂
ϕ
+
∂
ϕ̂)
δτ,x
δτ,y
τ,x
τ,y

M

|Y | ω×Y


o√

h2 αβδτ


1
2
1
2

γ
(v
)
+
s
(v
)
+
c
(y)(ρ
(u)
+
r
(û))(ρ
(v
)
+
r
(v
))
adxdy

δτ,x
δτ,y
αβ,x
αβ,y
αβ,x
αβ,y

Z
3 F


√
=
F i vi1 a dx,
(4.5.34)

ωZ

 1
αβτ


−e (y) (γβτ,x (u) + sβτ,y (û)) + dαβ (y) (∂β,x ϕ + ∂β,y ϕ̂)



|Y | ω×Y





√

∂α,x ψ 1 + ∂α,y ψ 2
adxdy = 0.
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
(iv) Les problèmes locaux
Par la linéarité du problème de coques piézoélectriques, on pose

 û(x, y) = γνθ (u(x, y))wνθ (y) + ∂ν ϕ(x)zν (y) + ρνθ (u(x, y))qνθ (y),

νθ
ν
87
(4.5.35)
νθ
ϕ̂(x, y) = γνθ (u(x, y))ζ (y) + ∂ν ϕ(x)η (y) + ρνθ (u(x, y))λ (y),
où wνθ (y), ζ ν (y), qνθ (y), zνθ (y), η ν (y) et λνθ (y) sont des fonctions Y -périodiques. En
remplaçant les expressions du système (4.5.35) dans le problème (4.5.34), on obtient
Z

h
i
h
i
1


cαβδτ
sδτ (Σνθ + wνθ ) + eαβτ ∂τ ζ νθ γνθ (u) + cαβδτ
sδτ (zν ) + eαβτ ∂τ,y (yν + η ν ) ∂ν ϕ

M
M

|Y | ω×Y




i
h


 + cαβδτ s (qνθ ) + eαβτ ∂ λνθ ρ (u) γ
1
2 √

adxdy
τ
δτ
νθ
αβ,x (v ) + sαβ,y (v )

M







 h2 αβδτ
αβδτ
αβδτ
νθ
νθ
νθ
ν

c
+
ρ
(Π
+
q
)ρ
(u)
+
c
ρ
(w
)γ
(u)
+
c
ρ
(z
)∂
ϕ

ν
δτ
νθ
δτ
νθ
δτ
F
F

3 F




Z



1
2 √
i 1√


 (ραβ,x (v ) + rαβ,y (v )) adxdy = ω F vi a dx,
(4.5.36)




Z
h
i


1
αβτ
νθ
νθ
αβ
νθ


−e
s
(Σ
+
w
)
+
d
∂
ζ
γνθ (u)
βτ,y
β,y


|Y | ω×Y





h
i


αβτ
ν
αβ
ν

+
−e
s
(z
)
+
d
∂
(y
+
η
)
∂ν ϕ
βτ,y
β,y ν






h
i


αβτ
νθ
αβ
νθ
1
2 √

−e
s
(q
)
+
d
∂
λ
ρ
(u)
∂
ψ
+
∂
ψ
adxdy = 0,

α,x
α,y
βτ,y
β,y
νθ






1
2
2 2
∞
1
2
∞
∀v ∈ D(ωε ), ∀v = (vα , v3 ) ∈ D(ω; Cper (Y )), ∀ψ ∈ D(ωε ), ∀ψ ∈ D(ω; Cper (Y )).
En prenant successivement v1 = 0 et ψ 1 = 0 dans le système précédent, et par la suite
en remplaçant sαβ (v2 ) et rαβ (v2 ) par ∂α vβ2 et ∂α vβ2 respectivement, on obtient

Z
h
i
1
αβδτ

νθ
νθ
αβτ
νθ

c
s
(Σ
+
w
)
+
e
∂
ζ
γνθ (u)
τ
δτ

M

|Y | ω×Y





i
h
i
h

√

αβδτ
αβδτ
ν
αβτ
ν
νθ
αβτ
νθ

ρ
+
c
s
(z
)
+
e
∂
(y
+
η
)
∂
ϕ
+
c
s
(q
)
+
e
∂
λ
(u)
∂
v
a dxdy

τ,y
ν
ν
τ
α
δτ
δτ
νθ
β
M
M







h2 αβδτ

αβδτ
αβδτ
νθ
νθ
νθ
ν


+
c
ρ
(Π
+
q
)ρ
(u)
+
c
ρ
(w
)γ
(u)
+
c
ρ
(z
)∂
ϕ
ν
δτ
νθ
δτ
νθ
δτ
F
F


3 F




√
2bρν ∂α vβ a dxdy = 0
(4.5.37)


Z

h
i

1


−eαβτ sβτ,y (Σνθ + wνθ ) + dαβ ∂β,y ζ νθ γνθ (u)


|Y
|

h ω×Y
i


αβτ
ν
αβ
ν


+
−e
s
(z
)
+
d
∂
(y
+
η
)
∂ν ϕ
βτ,y
β,y ν





h
i

√



−eαβτ sβτ,y (qνθ ) + dαβ ∂β,y λνθ ρνθ (u) ∂α,y ψ 2 adxdy = 0,







2
∞
2
∞
∀v D(ψ; Cper (Y )), ∀ψ ∈ D(ψ; Cper (Y )),
88
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
on vérifie que les fonctions de base (w νθ , ζ ν ), (zνθ , η ν ) et (qνθ , λνθ ) sont définies comme
des solutions des problèmes locaux (4.5.27), (4.5.28) et (4.5.29).
En utilisant le lemme de Lax-Milgram, on peut formulé le résultat suivant
Proposition 4.5.1
Chaque problème des problèmes locaux (4.5.27), (4.5.28) et (4.5.29) a une solution unique.
(v) Les tenseurs homogénéisés et leurs propriétés
Suite d’un calcul élementaire, le problème (4.5.36) peut être formulé comme suit
 Z n
αβνθ
αβνθ
αβν

c̄
γ
(u)
+
M̄
ρ
(u)
+
ē
∂
ϕ
γαβ (v)

νθ
νθ
ν
M


ω

Z

o√

√
h2 αβνθ

αβνθ
αβν

c̄F ρνθ (u) + N̄
γνθ (u) + Q̄ ∂ν ϕ ραβ (v) a dx =
F i vi1 adx
 +
3
ω
(4.5.38)





Z 


√


− f¯ανθ γνθ (u) − S̄ ανθ ρνθ (u) + d¯αν ∂ν ϕ ∂α ψ a dx = 0
ω
pour chaque (v, ψ) ∈
comme suit
c̄αβνθ
M
H01 (ω)
=
M̄ αβνθ =
ēαβν =
c̄αβνθ
=
F
N̄ αβνθ =
Q̄αβν =
f¯ανθ =
S̄ ανθ =
d¯αν =
×
H01 (ω)
×
H02 (ω)
× H01 (ω), les nouveaux tenseurs définis
Z
1
νθ
[cαβδτ
+ wνθ ) + eαβτ ∂τ,y ζ νθ ]dy
M sδτ,y (Σ
|Y | Y
Z
1
[cαβδτ sδτ,y (qνθ ) + eαβτ ∂τ,y λνθ ]dy
|Y | Y M
Z
1 αβδτ
[cM sδτ,y (zν ) + eαβτ ∂τ,y (yν + η ν )]dy
|Y
|
Y
Z
1
cαβδτ rδτ (Πνθ + qνθ ) dy
|Y | Y F
Z
1
cαβδτ rδτ (wνθ )dy
|Y | Y F
Z
1
cαβδτ
rδτ (zν )dy
|Y | Y F
Z
1
[eαβτ sβτ,y (Σνθ + wνθ ) − dαβ ∂β,y ζ νθ ]dy
|Y | Y
Z
1
[−eαβτ sβτ,y (qνθ ) + dαβ ∂β,y λνθ ]dy
|Y | Y
Z
1
[−eαβτ sβτ,y (zν ) + dαβ ∂β,y (yν + η ν )]dy
|Y | Y
(4.5.39)
(4.5.40)
(4.5.41)
(4.5.42)
(4.5.43)
(4.5.44)
(4.5.45)
(4.5.46)
(4.5.47)
Maintenant, on va prouver quelques propriétés de ces derniers tenseurs. Commençons par
montrer l’identité ēκνθ = f¯κνθ . Nous prenons (v, ψ) = (zκ , η κ ) dans le problème local
(4.5.27), on obtient
 Z Z
h2

νθ ν
ν
νθ
νθ ν
ν


ĉ (w , z ) + êy (z , ζ ) + ĉF,y (w , z ) dy = −
cαβδτ

M sδτ,y (z )dy
 Y M,y
3
Y
(4.5.48)
Z
Z




− êy (Σνθ + wνθ , η ν ) + dˆy (ζ νθ , η ν ) dy
=
eαβτ ∂τ,y η ν dy

Y
Y
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
89
donc, le coefficient ēαβν est évalué, comme suit
Z αβδτ
αβν
αβν
ν
αβτ
ν
ē
=
e
+ cM sδτ,y (z ) + e ∂τ η dy
ZY =
eαβν − ĉM,y (wνθ , zν ) − êy (zν , ζ νθ )
Y
h2
−
ĉF,y (wνθ , zν ) − êy (Σνθ + wνθ , η ν ) + dˆy (ζ νθ , η ν ) dy
3
(4.5.49)
Nous prennons (v, ψ) = (wνθ , ζ νθ ) dans le problème local (4.5.28), on obtient
 Z Z
h2

ν
νθ
ν
νθ
νθ
ν


ĉ (z , w ) + êy (w , η ) + ĉF,y (z , w ) dy = −
eαβτ sβτ,y (wνθ )dy

 Y M,y
3
Y
(4.5.50)
Z Z




− êy (zν , ζ νθ ) + dˆy (η ν , ζ νθ ) dy
= −
dαβ ∂β ζ νθ

Y
Y
De même, le coefficient f¯αβν est évalué comme suit
Z αβν
f¯
=
eαβν + eαβτ sβτ,y (wνθ ) − dαβ ∂β,y ζ νθ dy
ZY =
eαβν − ĉM,y (zν , wνθ ) − êy (wνθ , η ν )
Y
h2
ĉF,y (zν , wνθ ) − êy (zν , ζ νθ ) + dˆy (η ν , ζ νθ ) dy
−
3
(4.5.51)
Il est alors immédiat d’après les deux expressions (4.5.49) et (4.5.51), qu’on a l’identité
ēκνθ = f¯κνθ
Comme une conclusion à partir de l’identité précédente, on constate qu’on a la symétrie
du tenseur (ēκνθ ), puisqu’on a
Z
κνθ
ē
=
[eκβτ sβτ,y (Σνθ + wνθ ) − dκβ ∂β,y ζ νθ ]dy,
ZY
=
[eκβτ sβτ,y (Σθν + wθν ) − dκβ ∂β,y ζ θν ]dy
= ē
Y
κθν
h2 αβντ
N̄
.
3
dans la première équation du problème local (4.5.29), avec (τ, κ) 6=
Nous allons montrer maintenant l’identité M̄ αβντ = −
Nous prenons v = Πτ κ
(ν, θ), on obtient
 Z h
i
h2



ĉM,y (qνθ , Πτ κ ) + êy (Πτ κ , λνθ ) + ĉF,y (Πνθ + qνθ , Πτ κ ) dy = 0,
3
ZY h
Z
i
h2

αβτ κ
κ
νθ
αβκ
νθ

ĉM sτ κ,y (q ) + e ∂κ λ dy
= −
cαβτ
rτ κ (qνκ )dy,

F
3
Y
Y
à partir de la seconde équation du système précédent, on a clairement l’identité recherchée.
h2
A présent, on va montrer l’indentité S̄ αβν = Q̄αβν , on prend (v, ψ) = (qνθ , λνθ ) dans le
3
90
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
problème local (4.5.28), on obtient
 Z h
Z
i
h2

ν
νθ
ν
νθ
νθ
ν


ĉ (z , q ) + êy (q , η ) + ĉF,y (z , q ) dy =
eντ θ sτ θ (qνθ )dy

 Y M,y
3
Y
Z
Z

h
i


ν
νθ
ν
νθ
ˆ

− êy (z , λ ) + dy (η , λ ) dy
=
dνβ ∂β λνθ dy

Y
Y
le coefficient S̄ αβν sera évalué comme suit
Z αβν
S̄
=
− eαβτ sβτ,y (qνθ ) + dαβ ∂β,y λνθ dy,
ZY h2
ν
νθ
νθ
ν
ν
νθ
ν
νθ
ν
νθ
ˆ
=
− ĉM,y (z , q ) − êy (q , η ) − ĉF,y (z , q ) − êy (z , λ ) + dy (η , λ ) dy.
3
Y
En prenant (v, ψ) = (zν , η ν ) dans le problème local (4.5.29), on obtient
 Z h
Z
i
h2
h2

νθ
ν
νθ
ν
ν
νθ


ĉ (q , z ) + êy (z , λ ) + ĉF,y (q , z ) dy = −
cαβνθ rνθ (zν )dy,

 Y M,y
3
3 Y F
Z h

i


νθ
ν
νθ
ν
ˆ

− êy (q , η ) + dy (λ , η ) dy
= 0,

Y
par conséquent, le coefficient Q̄αβν sera évalué de la manière suivante
Z
h2 αβν
h2
Q̄
=
cαβδτ rδτ (zν )dy
3
3 Y F
Z h
i
h2
=
− ĉM,y (qνθ , zν ) − êy (zν , λνθ ) − ĉF,y (qνθ , zν ) − êy (qνθ , η ν ) + dˆy (λνθ , η ν ) dy
3
Y
alors, on a l’identité recherchée.
A présent, montrons la symétrie du tenseur d’élasticité membranaire c̄αβνθ
M . D’après l’équation
(4.5.39), il est clair qu’on a
βανθ
c̄αβνθ
= c̄αβθν
= c̄M
M
M
il reste seulement à montrer l’identité
c̄αβνθ
= c̄νθαβ
M
M
D’après l’équation (4.5.39), on a
Z
αβνθ
c̄M = [ĉM,y (Σνθ + wνθ , Σνθ ) + êy (Σνθ , ζ νθ )]dy
(4.5.52)
Y
Le deuxième terme du membre de droite de (4.5.52) est évalué de la manière suivante
Z
Z
Z
νθ
νθ
νθ
νθ
êy (Σ , ζ )dy = −
êy (w , ζ ) +
êy (Σνθ + wνθ , ζ νθ ) dy
(4.5.53)
Y
Y
Y
νθ
νθ
De plus, en remplaçant (v, ψ) par (w , ζ ) dans le problème local (4.5.27), on obtient
 Z
Z h2

νθ
νθ
νθ
νθ
νθ
νθ
νθ


ĉ
(w
,
w
)
dy
ĉ
(Σ
+
w
,
w
)dy
=
−
ê
(w
,
ζ
)
+
F,y
M,y
y

 Y
3
Y
(4.5.54)
Z
Z




êy (Σνθ + wνθ , ζ νθ )dy
=
dˆy (ζ νθ , ζ νθ )dy

Y
Y
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
91
En remplaçant (4.5.53) et (4.5.54) dans l’équation (4.5.52), on aboutit à
Z h2
αβνθ
c̄M =
ĉM,y (Σνθ + wνθ , Σνθ + wνθ ) + ĉF,y (wνθ , wνθ ) + dˆy (ζ νθ , ζ νθ ) dy
3
Y
De par la forme de ces coefficients, le tenseur d’élasticité membranaire homogénéisé est
symétrique.
Nous allons à présent étudier les propriétés du tenseur diélectrique homogénéisé ( d¯αβ ).
D’après l’équation (4.5.47), on a
Z
αν
¯
d = [−êy (zν , yα ) + dˆy (yν + η ν , yα )]dy
(4.5.55)
Y
Dans le membre de droite de l’expression précédente, le premier terme est évalué de la
manière suivante
Z
Z
Z
ν
ν
α
−
êy (z , yα )dy = −
êy (z , yα + η )dy +
êy (zν , η α )dy
(4.5.56)
Y
Y
Y
En remplaçant (v, ψ) par (zα , η α ) dans le problème local (4.5.28), on aboutit à
 Z
Z h2

ν
α
ν
α
ν
α

 −
êy (z , yα + η ) =
ĉM,y (z , z ) + ĉF,y (z , z ) dy
3
Z Y
ZY
(4.5.57)

ν
α
ν
α
ˆ

ê
(z
,
η
)dy
=
d
(y
+
η
,
η
)dy

y
y ν
Y
Y
Finalement, en remplaçant (4.5.56) et (4.5.57) dans l’équation (4.5.55), on obtient
Z h2
αν
¯
d =
ĉM,y (zν , zα ) + ĉF,y (zν , zα ) + dˆy (yν + η ν , yα + η α ) dy
3
Y
De la forme précédente, on voit clairement la symétrie du tenseur diélectrique homogénéisé
(d¯αν ).
Nous allons à présent montrer l’ellipticité du tenseur d’élasticité homogénéisé C M =
αβτ θ
(C M
). Soit (Xαβ ) un tenseur d’ordre deux symétrique. (i.e. Xαβ = Xβα ). Pour se
faire, en reprenant la technique déjà utilisée dans le cas tridimensionnel. En utilisant
l’équation (4.5.39), on obtient
Z
Z
√
√
αβτ θ
αβλµ
cM Xαβ Xτ θ =
cM (sλµ,y (W)+Xλµ )Xαβ a dy + eλαβ (∂λ,y Λ)Xαβ a dy, (4.5.58)
Y
Y
où W = wτ θ Xτ θ et Λ = ζ τ θ Xτ θ , qui est la solution du problème suivant
 Z h2

τθ


ĉ (X Σ + W, v) + êy (v, Λ) + ĉF,y (W, v) dy = 0,

 Y M,y τ θ
3
Z 



− êy (Xτ θ Στ θ + W, ψ) + dˆy (Λ, ψ) dy

(4.5.59)
= 0,
Y
1
pour chaque (v, ψ) ∈ H1per (Y )/R × Hper
(Y )/R. Ainsi (W, Λ) est un point selle de la
fonctionnelle
1
I : H1per (Y )/R × Hper
(Y )/R −→ R,
92
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
définie par
Z
√
cαβλµ
(sλµ,y (v) + Xλµ )(sαβ,y (v) + Xαβ ) a dy
M
YZ
√
h2
+
cαβλµ
rλµ,y (v)rαβ,y (v) ady
F
Z6 Y
Z
√
√
1
λαβ
+ e (sαβ,y (v) + Xαβ )∂λ,y ψ ady −
dαλ ∂α,y ψ∂λ,y ψ a dy.
2 Y
Y
1
I(v, ψ) =
2
D’après la définition du point selle, on a l’inégalité suivante
I(W, ψ) ≤ I(W, Λ) ≤ I(v, Λ),
pour chaque
1
(v, ψ) ∈ H1per (Y )/R × Hper
(Y )/R.
En particulier, pour ψ = 0, on a
Z
√
1
I(W, Λ) ≥ I(W, 0) =
cαβλµ
(sαβ (v) + Xαβ )(sλµ,y (v) + Xλµ ) a dy
M
2 Y
Z
√
h2
+
cαβλµ
rλµ,y (v)rαβ,y (v) ady
F
6 Y
> 0
De plus, en remplaçant (v, ψ) = (W, Λ) dans l’équation (4.5.59), on aboutit à
θ
cαβτ
M Xαβ Xτ θ = 2I(W, Λ) > 0.
Considérons la fonction numérique Φ définie sur R4 , par
ξαβ ξγη .
Φ(ξαβ ) = cαβγη
M
Visiblement la fonction Φ est continue sur R4 muni de la topologie associée à la norme
1
k ξ k= (ξαβ ξαβ ) 2 .
Soit
n
o
B = ξ ∈ R4 ; ξ symétrique , kξk = 1 .
Sur la sphère unité, compacte B, Φ atteint un minimum, alors il existe une constante
positive c > 0 tel que Φ ≥ c dans B. Par conséquent pour chaque tenseur d’ordre deux
symétrique non nul, nous avons :
ξαβ
Φ
≥ c.
kξαβ k
Soit
θ
cαβτ
M ξαβ ξτ θ ≥ c ξαβ ξτ θ .
Nous avons donc bien la coercivité du tenseur d’élasticité membranaire homogénéisé C M =
θ
(cαβτ
M ).
ασ
Intéressons nous maintenant à la coercivité de D = (d ). Soit (Xσ ) un vecteur de IR,
d’après l’équation (4.5.47), on obtient
Z
Z
√
√
ασ
αλµ
d Xα Xσ = −
e
sλµ,y (Z)Xα ady +
dαλ (Xλ + ∂λ Θ)Xα ady,
(4.5.60)
Y
Y
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
93
avec Z = zσ Xσ et Θ = η σ Xσ . Sachant que (Z, Θ) est une solution du problème variationnel
suivant
 Z h2



ĉM,y (Z, v) + êy (v, Xσ yσ + Θ) + ĉF,y (Z, v) dy = 0,

 Y
3
Z 


σ
σ
ˆ

−êy (z , ψ) + dy (yσ + η , ψ) dy
= 0,

Y
1
pour chaque (v, ψ) ∈ H1per (Y )/R × Hper
(Y )/R. De plus, (Z, Θ) est un point selle du
fonctionnel suivant
1
J : H1per (Y )/R × Hper
(Y )/R → R,
définie par
Z
√
h2
dy +
cαβλµ
ραβ,y (v)ρλµ,y (v) a dy
F
6 ZY
Y
√
√
1
+ eλαβ sαβ,y (v)(Xλ + ∂λ,y ψ) a dy −
dαλ (Xα + ∂α,y ψ)(Xλ + ∂λ,y ψ) a dy.
2 Y
Y
Ceci par définition du point selle, implique l’inégalité suivante
1
J(v, ψ) =
Z2
Z
√
cαβλµ
sαβ,y (v)sλµ,y (v) a
M
J(Z, ψ) ≤ I(Z, Θ) ≤ I(v, Θ),
1
pour chaque (v, ψ) ∈ H1per (Y )/R × Hper
(Y )/R.
En prenant ψ = 0 dans l’inégalité précédente, on obtient
Z
√
1
J(Z, Θ) ≥ J(Z, 0) =
dασ (Xα + ∂α,y Θ)(Xσ + ∂σ,y Θ) ady > 0.
2 Y
D’un autre côté, en prenant (v, ψ) = (Z, Θ) dans l’équation (4.5.60), on obtient
ασ
d Xα Xσ = 2I(Z, Θ) > 0.
αβτ θ
De même que la preuve de la coercivité du tenseur d’élasticité homogénéisé C M = (C M
),
ασ
on conclut qu’il existe une constante d > 0 telle que d Xα Xσ ≥ dXα Xσ .
Maintenant, nous allons montrer quelques propriétés concernant le tenseur de flexion
(c̄αβνθ
) homogénéisé.
F
(i) Symétrie :
Il est clair de voir qu’une partie de la symétrie est vérifiée
c̄αβγη
= c̄Fβαγη = c̄αβηγ
F
F
Il suffit de démontrer l’égalité suivante
c̄αβγη
= c̄γηαβ
F
F
Initialement, en prenant la définition (4.5.42) de (c̄αβγη
), le tenseur de flexion hoF
mogénéisé est évalué de la manière suivante
Z
αβγη
cF
=
cαβδτ
ρδτ,y (Πγη + qγη ) dy
(4.5.61)
F
ZY
γη
=
cζςδτ
+ qγη ]δαζ δβς dy
F ρδτ,y [Π
ZY
γη
=
cζςδτ
+ qγη ] ρζς,y (Παβ ) dy
F ρδτ,y [Π
ZY
√
=
cζςδτ
a ρδτ,y [Πγη + qγη ] ρζς,y [Παβ + qαβ ] dy
F
ZY
√
−
cζςδτ
a ρδτ,y [Πγη + qγη ]ρζς,y (qαβ ) dy.
(4.5.62)
F
Y
94
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
Nous choisissons (v, ψ) = (qαβ , λαβ ) dans le problème local (4.5.29), on aboutit à
Z h2
ĉM,y (qαβ , qαβ ) + dˆy (λαβ , λαβ ) + ĉF,y (Παβ + qαβ , qαβ ) dy = 0
3
Y
En utilisant la dernière équation, dans l’expression (4.5.62) des coefficients du tenseur
(cαβγη
), on obtient
F
Z 3
αβγη
cF
=
ĉM,y (Παβ + qαβ , Παβ + qαβ ) + 2 ĉM,y (qαβ , qαβ ) + dˆy (λαβ , λαβ dy
h
Y
(4.5.63)
Il est alors immédiat de par la forme (4.5.63), que les coefficients du tenseur de
flexion homogénéisé (cαβγη
) sont symétriques.
F
(ii) Ellipticité :
Soit (ξαβ )αβ un tenseur symétrique (i.e : ξαβ = ξβα ), non identiquement nul. Posons
τδη = ξαβ rδη,y (Παβ + qαβ ).
Nous obtenons ainsi un tenseur symétrique d’ordre 2. En utilisant maintenant la
coercivité du tenseur CFλµις (x, y) et en utilisant le fait que a 6= 0, on aboutit à
Z
Z
αβγη
δηζν √
C F ξαβ ξγη ≥
CF
aτδη τζν dy ≥ c τδη τδη dy.
(4.5.64)
Y
Y
Montrons que la seconde intégrale dans (4.5.64) est strictement positive si au moins
un des τβη n’est pas nul. Si ce n’était pas le cas, nous aurions
2
αβ
αβ
∀ (δ, η) ∈ {1, 2} , τδη = ξαβ rδη,y Π − q
= 0.
(4.5.65)
C’est-à-dire
rδη,y ξαβ (Παβ − qαβ ) = 0.
Si nous reprenons les mêmes démarches présentées dans la section 3.4, ceci implique
ξαβ (Παβ − qαβ ) = aι yι + b,
aι et b sont des constantes , ι = 1, 2.
Ce qui nous donne
qαβ ξαβ = Παβ ξαβ + aι yι + b.
Puisque ξ 6= 0, alors il existe au moins un couple d’indices (α, β) tel que ξαβ 6= 0.
Dans ce cas, le membre de gauche de l’égalité précédente est Y -périodique, mais celui
de droite ne l’est pas. Ceci est contradictoire. Alors la seconde intégrale de (4.5.64)
est bien strictement positive. Ainsi
cαβγη
ξαβ ξγη > 0
F
∀ (ξαβ ) 6= 0 symétrique, non nul.
A présent, considérons la fonction numérique Ψ : R4 → R, définie par
Ψ(ξαβ ) = cαβγη
ξαβ ξγη .
F
Il est clair que la fonction Ψ est continue sur R4 muni d’une topologie associée à la
norme
1
k τ k= (ταβ ταβ ) 2 .
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
95
Car Φ admet un minimum, sur la sphère unité compacte dans R4 , qu’elle atteint.
Aussi Ψ > 0 pour chaque tenseur symétrique non nul (ξαβ ) 6= 0, on conclut qu’il
existe une constante positive M > 0, telle que
Ψ(
ξαβ
) ≥ M,
kξk
pour chaque tenseur symétrique non nul (ξαβ ) 6= 0.
Soit
cαβγη
ξαβ ξγη ≥ M ξαβ ξαβ .
F
Nous avons donc bien la coercivité du tenseur de flexion homogénéisé.
(vi) Le problème homogénéisé
A partir des identités qu’on a montré et qui relient les neuf nouveaux tenseurs obtenus
entre eux, il est clair qu’il nous reste à la fin que six tenseurs, et par conséquent, le
problème (4.5.38) s’écrit de la manière suivante
 Z n
h2 αβνθ

αβνθ
αβν


ρνθ (u) + ē ∂ν ϕ γαβ (v)
c̄M γνθ (u) − N̄


3

ω
Z

o√
√
h2 αβνθ
αβνθ
αβν
+
F i vi a dx
c̄F ρνθ (u) + N̄
γνθ (u) + Q̄ ∂ν ϕ ραβ (v) a dx =
 Z
3
ω


2

√
h


− ēανθ γνθ (u) − Q̄ανθ ρνθ (u) + d¯αν ∂ν ϕ ∂α ψ a dx = 0

3
ω
(4.5.66)
αβνθ
αβνθ
αβν
αβνθ
ανθ
αν
¯
avec les tenseurs homogénéisés c̄M , ē , c̄F , N̄
, Q̄
et d sont donnés par les
formules (4.5.21), (4.5.22), (4.5.23), (4.5.24),(4.5.25) et (4.5.26) respectivement.
Pour établir l’existence et l’unicité de la solution du problème ci-dessus, il suffit d’appliquer le lemme de Lax-Milgram. Pour çela, il suffit de vérifier l’ellipticité de la forme
bilinéaire associée au problème (4.5.66). Cette ellipticité est une conséquence immédiate
θ
αβτ θ
des propriétés d’ellipticité de chacun des tenseurs homogénéisés (c̄αβτ
) et (d¯αβ ).
M ), (c̄F
Ceci achève complètement la démonstration du Théorème 4.5.1.
4.6
Résultat de correcteur
On a déjà établi les convergences
T ε (γαβ (uε )) * γαβ,x (u) + sαβ,y (û)
faiblement dans L2 (ω × Y ),
(4.6.67)
T ε (∇ϕε ) * ∇x ϕ + ∇y ϕ̂
faiblement dans L2 (ω × Y ),
(4.6.68)
T ε (ραβ (uε )) * ραβ,x (u) + rαβ,y (û)
faiblement dans L2 (ω × Y ).
(4.6.69)
De plus, on opère comme dans l’article de Cioranescu, Damlamian et Griso [24], les convergences
faibles dans (4.6.67) et (4.6.68) deviennent fortes
T ε (γαβ,x (uε )) − γαβ,x (u) − sαβ,y (û) → 0
fortement dans L2 (ω × Y ),
(4.6.70)
T ε (∇x ϕε ) − ∇x ϕ − ∇y ϕ̂ → 0
fortement dans L2 (ω × Y ),
(4.6.71)
T ε (ραβ (uε )) − ραβ,x (u) − rαβ,y (û) → 0
fortement dans L2 (ω × Y ).
(4.6.72)
96
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
Alors maintenant, on peut établir un résultat de correcteur pour le déplacement mécanique et
le potentiel électrique
Théorème 4.6.1 (correcteur)
On a les convergences fortes suivantes
γαβ,x (uε ) − γαβ,x (u) − U ε (sαβ,y (û)) → 0
fortement dans L2 (ω),
(4.6.73)
∇x ϕε − ∇x ϕ − U ε (∇y ϕ̂) → 0
fortement dans L2 (ω),
(4.6.74)
ραβ (uε )) − ραβ,x (u) − U ε (rαβ,y (û)) → 0
fortement dans L2 (ω).
(4.6.75)
Preuve :
En utilisant les convergences (4.6.70), (4.6.71) et (4.6.72), ainsi que le Théorème 4.3.3 on a
γαβ,x (uε ) − U ε (γαβ,x (u)) − U ε (sαβ,y (û)) → 0
fortement dans L2 (ω),
(4.6.76)
∇x ϕε − U ε (∇x ϕ) − U ε (sαβ,y (û)) → 0
fortement dans L2 (ω).
(4.6.77)
ραβ (uε )) − U ε (ραβ,x (u)) − U ε (rαβ,y (û)) → 0
fortement dans L2 (ω),
(4.6.78)
or γαβ,x (u) ∈ L2 (ω), ∇x ϕ ∈ L2 (ω) et ραβ,x (u) ∈ L2 (ω) aussi, donc d’après la Proposition 4.3.4
(i) et (v), on a
U ε (γαβ,x (u)) → γαβ,x (u)
fortement dans L2 (ω),
(4.6.79)
U ε (∇x ϕ) → ∇x ϕ
fortement dans L2 (ω),
(4.6.80)
U ε (ραβ,x (u)) → ραβ,x (u)
fortement dans L2 (ω).
(4.6.81)
Par (4.6.76)-(4.6.81) on déduit les convergences (4.6.73), (4.6.74) et (4.6.75). C’est le résultat
désiré.
4.7
Conclusions et commentaires
Dans ce chapitre, nous avons réussi à déterminer le problème homogénéisé pour le problème
de coque piézoélectrique périodique de type Koiter décrit dans un système de coordonnées curvilignes.
Nous avons d’une part, justifié les convergences des déplacements mécaniques, ainsi que
celui du potentiel électrique. D’autre part, on a déterminé les tenseurs d’élasticité membranaire, d’élasticité en flexion, de piézoélectricité (de couplage) et de diélectricité homogénéisés
et leurs propriétés. Nous avons aussi, établit un résultat de correcteur pour les déplacements
mécaniques et le potentiel électrique.
Chapitre 4. Homogénéisation de coques piézoélectriques périodiques de type Koiter
97
Si on remplace (v, ψ) par (u, ϕ) dans le problème homogénéisé (4.5.20), on obtient
 Z n
h2 αβνθ

αβνθ
αβν


c̄
γ
(u)
−
N̄
ρ
(u)
+
ē
∂
ϕ
γαβ (u)
νθ
ν
νθ
M


3

ω



Z
o√
√
h2 αβνθ
αβνθ
αβν
+
F i vi adx
c̄F ρνθ (u) + N̄
γνθ (u) + Q̄ ∂ν ϕ ραβ (u) a dx =



ω
 Z 3


√
h2 ανθ

αν
ανθ
¯

− ē γνθ (u) − Q̄ ρνθ (u) + d ∂ν ϕ ∂α ϕ a dx = 0.

3
ω
En additionnant les deux équation du système précédent, on aboutit à
Z Z
√
√
h2 αβνθ
αβνθ
αβθ
αβ
¯
c̄M γαβ (u)γνθ (u) + c̄F ραβ (u)ρνθ (u) + 2ē γαβ (u)∂θ ϕ − d ∂α ϕ∂β ϕ a dx =
F i vi adx.
3
ω
ω
En utilisant les mêmes arguments d’analyse convexe présentés dans le premier chapitre, on
montre que le couple (u, ϕ) solution du problème homogénéisé (4.5.20) est défini comme un
point selle de la fonctionnelle suivante
Z
Z
√
√
1
¯ ψ)] a dx − F.v a dx,
(v, ψ) →
[c̄(v, v) + 2ē(v, ψ) − d(ψ,
2 ω
ω
avec

h2


c̄(v,
v)
=
c̄
(v,
v)
+
c̄F (v, v)

M


3







c̄M (v, v) = c̄αβνθ

M γαβ (v)γνθ (v)


c̄F (v, v)








ē(v, ψ)






 ¯
d(ψ, ψ)
= c̄αβνθ
ραβ (v)ρνθ (v)
F
= ēαβθ γαβ (v)∂θ ψ
= d¯αβ ∂α ψ∂β ψ
Deuxième partie
Simulation numérique des structures
piézoélectriques
99
Chapitre 5
Homogénéisation numérique des
matériaux piézoélectriques perforés
5.1
Introduction
Les matériaux piézoélectriques sont souvent utilisés sous forme de capteurs ou d’émetteurs de
signaux acoustiques dans des domaines tels que l’imagerie biomédicale, l’aerospatial, l’ingénierie
civil et l’ingénierie maritime. Actuellement, il y a de nouvelles applications dans le domaine
d’hydrophonie, qui consite à utiliser ces matériaux sous forme de capteurs à basses fréquences
(i.e: la longueur d’onde du signal de pression est beaucoup plus grande que l’espacement entre
les perforations) pour des applications acoustiques. Rappelons que l’utilisation des matériaux
piézoélectriques est néanmoins loin d’être limitée à cet aspect d’application. Nous les trouverons dans de nombreux secteurs d’activités industrielles, liés à plusieurs domaines tels que les
télécommunications et l’électronique.
Les matériaux piézoélectriques sont des matériaux intelligents (adaptatifs), ce qui amène
de nombreux chercheurs à s’intéresser à l’étude des propriétés macroscopiques des matériaux
piézocomposites. En hydrophonique ou en imagerie biomédicale, l’utilisation des matériaux
piézoélectriques se présentent sous forme de fibres dans des matériaux non nécessairement
piézoélectriques. La performance de ces composites a été examinée dans les travaux de Gibiansky et Torquato [39], de Poizat et Sester [71] [72] et le travail de Sigmumd et al. [83].
Ces auteurs se sont servis de la technique des échelles multiples combinée avec l’optimisation
de forme, pour examiner les propriétés effectives des structures étudiées. Actuellement, des
avancées significatives dans les domaines des micro-systèmes électro-mécaniques (Micro Electro
Mechanical Systems MEMS) ont permis d’améliorer le développement de nouveaux capteurs et
actionneurs, qui sont employés dans d’autres domaines notamment la télécommunication.
Les enjeux de la modélisation numérique dans ce domaine sont la détermination des tenseurs
effectifs, ainsi que la compréhension du comportement des matériaux et leur prédimensionnement
en vue de satisfaire à des besoins spécifiques. Une étude complète sur la détermination des expressions des tenseurs homogénéisés a été abordée précédemment, pour les formes : structure
tridimensionnelle (corps), plaque et coque de Koiter. Nous pouvons donc entamer désormais
l’étude numérique des propriétés effectives des matériaux piézoélectriques périodiquement perforés. Dans ce qui suit nous présentons, d’une part, l’influence de la distribution et la géométrie
des perforations sur les propriétés macroscopiques des matériaux et d’autre part, l’influence de
la rotation d’une perforation de géométrie non symétrique.
101
102
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
Afin d’atteindre ces objectifs, on propose deux modèles d’approximation numérique : Le
premier modèle consiste à mettre en œuvre une méthode d’éléments finis inspirée du travail
de Feng et Wu [35] et de celui de Sun et al. [84], dans leurs modélisations des propriétés macroscopiques des composites piézo-céramiques. Cette méthode nous simplifie la résolution des
problèmes cellulaires (locaux) nécessaire à la compréhension du comportement des tenseurs
homogénéisés. Le second modèle se base sur une technique analytique, inspirée des travaux de
Castillero et al. [15] [19] [41] [77], si l’on prend une connexion suivant la classification de Newnham (1978), c’est-à-dire un composite perforé longitudinalement (vertical ou x3 -direction), où
on détermine de façon explicite tous les tenseurs homogénéisés.
D’un point de vue bibliographique, dans le cadre de la modélisation du comportement des
matériaux piézocomposites et de prédimensionnement mécanique, piézoélectrique et électrique
des matériaux piézocomposites, nous trouvons d’autres approches soit numériques, soit analytiques. Nous citons par exemple pour la première approche, une loi des mélanges, les modèles
types Voigt, Reuss, Berthelot et pour la seconde, les méthodes d’Eshelby et de Mori-Tanaka
(voir les travaux de Levin et al. [48], de Dunn et Taya [31], de Feng et Wu [35] et celui de Sun
et al. [84]).
Le coût de fabrication des composites à base de piézoélectriques demeure élevé, c’est pourquoi la modélisation est une solution rentable pour minimiser les dépenses. Pour cela, dans les
applications d’imagerie biomédicale et d’hydrophonique, il faudra optimiser la géométrie de la
structure étudiée afin de maximiser le facteur du couplage hydrostatique et celui du couplage
électromécanique. Cette étude d’optimalité consiste à examiner deux directions, l’une est de
trouver la structure piézoélectrique perforée la mieux adaptée pour les applications industrielles
en hydrophonique et l’autre est de minimiser la fraction volumique du matériau piézoélectrique
qui permettra de maximiser le facteur du couplage hydrostatique, suite au coût très élevé et
aux propriétés physiques des matériaux piézoélectriques (fragilité par exemple).
Ce chapitre est composé principalement de six parties : La première est consacrée au traitement des problèmes cellulaires à l’aide du développement d’une méthode d’éléments finis, dans
le but d’étudier les propriétés des tenseurs homogénéisés. Dans la seconde partie, tout en se
basant sur des arguments d’analyse complexe, nous introduisons une méthode de calcul formel,
qui permettra par la suite de déterminer explicitement les expressions des tenseurs effectifs dans
un cas bien particulier. La validation et l’estimation des performances réalisées à travers les
résultats numériques obtenus à l’aide du code numérique feront l’objet de la troisième partie.
Dans la quatrième partie, nous traiterons l’influence de la distribution des perforations sur les
propriétés effectives. La cinquième partie, sera consacrée à l’étude de l’influence de la géométrie
des perforations. Enfin, nous présenterons un aperçu sur l’influence de la rotation des perforations à géométrie non symétrique sur les propriétés effectives. Le travail de ce chapitre, avec
les démonstrations détaillées et les résultats numériques sur les matériaux perforés, fibrés et
laminés, seront présentés dans des travaux ultérieurs.
5.2
Modélisation numérique par la méthode des éléments
finis
Dans les chapitres précédents, nous avons déterminé les expressions des tenseurs effectifs.
Les résultats obtenus servent donc à développer une méthode des éléments finis tridimensionnels isoparamétriques en introduisant des modes incompatibles, pour examiner les propriétés
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
103
effectives des matériaux piézoélectriques perforés de façon périodique, en trois dimensions d’espace. Il existe dans la littérature plusieurs techniques de modélisation numérique, entre autres
une technique basée sur l’extension de la méthode de l’inclusion équivalente d’Eshelby sur la
piézoélectricité (voir Levin et al. [48]), la méthode de Mori-Tanaka (voir Dunn et Taya [31])
et le modèle type Voigt. Nous avons opté pour la méthode des déplacements incompatibles
introduite dans les travaux de Feng et Wu [35] et de Sun et al. [84], qui sera programmée sous
Matlab avec l’utilisation des codes de maillage de Femlab.
On commence par réécrire les problèmes cellulaires sous une forme matricielle plus commode,
ce qui nous simplifie par la suite l’étude des propriétés des tenseurs homogénéisés. Puis on
détaille l’implémentation de la méthode des éléments finis. Pour la résolution du problème
matriciel final, on utilise la méthode du gradient conjugué. Les résultats numériques obtenus
seront présentés à la fin de cette partie.
5.2.1
Mise sous forme matricielle du problème variationnel
Reprenant ici les approximations (2.6.34) et (2.6.35) qui relient les premiers termes du
développement asymptotique des déplacements mécaniques et le potentiel électrique, avec les
fonctions locales, sous la forme matricielle
 1
  mh


ui (x, y)
wi (y) qin (y)
smh,x (ui (x))

=

,
1
mh
n
Φ (x, y)
ϕ (y) ψ (y)
En,x (Φ(x))
avec
Eδ,x (h) =
∂h
.
∂xδ
D’après l’équation (2.6.42), on a
nh
i
o
kl
σijH (x, y) = cijkl (x, y) τmh
+ skl,y (wmh ) smh,x (u) + skl,y (qn )En,x (Φ)
n
h
o
∂ψ n i
+ ekij (x, y) Ek,y (ϕmh )smh,x (u) + δkn +
En,x (Φ) .
∂yk
De même, de l’équation (2.6.43), on a
nh
i
o
H
kl
mh
n
Di (x, y) = −eikl (x, y) τmh + skl,y (w ) smh,x (u) − skl,y (q )En,x (Φ)
n
h
o
∂ψ n i
mh
+ dij (x, y) Ej,y (ϕ )smh,x (u) + δjn +
En,x (Φ) .
∂yj
(5.2.1)
(5.2.2)
Pour les coefficients des tenseurs d’élasticité et de piézoélectricité, on introduit la notation
tensorielle qui, à toute paire d’indices ou d’exposants pouvant être interchangés, associe un
entier selon le schéma suivant

(11) → 1; (22) → 2,





(33) → 3; (23) → 4,





(31) → 5; (12) → 6.
104
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
Ce qui nous permet d’écrire à partir des deux équations (5.2.1) et (5.2.2), le tenseur des
contraintes mécaniques et le vecteur des déplacements électriques homogénéisés sous la forme
 H

 
C[T + sy (w)] + eEy (q)
e[H + Ey (ψ)] + Csy (φ)
sx
σ
 = 
 ,

−eT [T + sy (w)] + dEy (q) d[H + Ey (ψ)] − eT sy (φ)
Ex
DH

 
T + sy (w) H + Ey (ψ)
sx
C e 


,
=
−eT d
Ey (q)
sy (φ)
Ex

 
T + sy (w) H + Ey (ψ)
sx



,
= D
(5.2.3)
Ey (q)
sy (φ)
Ex
avec
C e
D=
∈ M9×9 (IR),
−eT d
et
C = (cij ) ∈ M6×6 (IR), e = (eij ) ∈ M6×3 (IR), d = (dij ) ∈ M3×3 (IR),
sy (w) = skl,y (wimh ), sy (φ) = skl,y (φn ), sx = smh,x (ui ),
Ey (q) = Ek,y (qimh ), Ey (ψ) = El,y (ψ n ), Ex = En,x (φ),


 H = (δij ), 1 ≤ i, j ≤ 3,

 T = (τ kl ) = 1 (δkm δlh + δkh δlm ), 1 ≤ l, m, k, h ≤ 3.
mh
2
Pour déterminer les valeurs des coefficients homogénéisés, il est nécessaire de calculer tout
d’abord les fonctions locales via la résolution des deux problèmes cellulaires sur la cellule Y ∗

∂ n
∂ϕmh o
∂ 
mh

cijkl (x, y)skl,y (w ) + ekij (x, y)
=
cijmh (x, y) ,
−


 ∂yj
∂yk
∂yj
(5.2.4)

n
mh o

∂
∂ϕ
∂


 −
− eikl (x, y)skl,y (wmh ) + dij (x, y)
=
− eimh (x, y) ,
∂yj
∂yj
∂yj

∂ n
∂ψ n o
∂ 
n

c
(x,
y)s
(q
)
+
e
(x,
y)
=
e
(x,
y)
,
−

ijkl
kl,y
kij
nij

 ∂yj
∂yk
∂yj
(5.2.5)
n

no

∂
∂ψ
∂


− eikl (x, y)skl,y (qn ) + dij (x, y)
=
din (x, y) ,
 −
∂yj
∂yj
∂yj
on peut les réécrire comme suit
mh
∂
cijkl ekij ∂ n skl,y
0
wi (y) qin (y) o
cijmh enij
+
= 0.
(5.2.6)
−eikl dij ∂yj
0 Ek,y
ϕmh (y) ψ n (y)
∂yj −eimh dij
La formulation variationnelle associée à l’équation (5.2.6), s’écrit
mh n mh n Z
skl,y
0
wi
qi
cijkl ekij
skl,y
0
wi
qi
δ
dY ∗
mh
n
mh
0 Ek,y
ϕ
ψ
−eikl dij
0 Ek,y
ϕ
ψn
Y∗
mh n Z skl,y
0
wi
qi
cijkl ekij
+
δ
dY ∗ = 0.
(5.2.7)
mh
n
0
E
ϕ
ψ
−e
d
k,y
ikl
ij
Y∗
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
105
Il est facile de montrer que cette équation est la variation d’ordre 1 de la fonctionnelle du
potentiel suivant
mh n mh n Z wi
qi
skl,y
0
wi
qi
cijkl ekij
ΠP ( mh
) =
dY ∗
mh
n
ϕ
ψn
0
E
ϕ
ψ
−e
d
∗
k,y
ikl
ij
mh n mh n ZY
1 skl,y
0
wi
qi
cijkl ekij
skl,y
0
wi
qi
∗
+
mh
n
mh
n dY .
0
E
ϕ
ψ
−e
d
0
E
ϕ
ψ
k,y
ikl
ij
k,y
Y∗ 2
(5.2.8)
Remarque 5.2.1 Il convient de remarquer que si on définit le tenseur des contraintes extensifs
et le vecteur électrique extensif comme suit
kl mh n ε̂
skl,y
0
wi
qi
=
,
mh
kl
0 Ek,y
ϕ
ψn
Ê
et
ε̂kl
Êkl
=
cijkl ekij
−eikl dij
−1 σ̂ kl
D̂ kl
=C
−1
σ̂ kl
D̂ kl
σ̂ kl
=S
,
D̂ kl
sont des fonctions Y ∗ -périodiques, définies sur la cellule de référence Y ∗ , à partir de ces
dernières notations, on obtient la fonctionnelle de Hellinger-Reissner de deux composantes
ΠHR
T kl kl T mh n kl Z n
1 σ̂ kl
σ̂
σ̂
σ̂
skl,y
0
wi
qi
wimh qin
S
+
=
−
mh
n ,
mh
kl
kl
kl
kl
0 Ek,y
ϕ
ψn
ϕ
ψ
D̂
D̂
D̂
2 D̂
∗
Y
mh n o
skl,y
0
wi
qi
+
C dY ∗ .
(5.2.9)
0 Ek,y
ϕmh ψ n
Bien que les éléments mixtes basés sur le principe de Hellinger-Reissner, peuvent donner une
bonne approximation des déplacements mécaniques et des contraintes (voir Feng et Wu [35],
Sun et al. [84]). Dans notre modélisation numérique, on a opté pour la méthode des éléments
finis qui fait appel aux déplacements basés sur la fonctionnelle du potentiel (5.2.8).
5.2.2
Implémentation de la méthode des éléments finis
Dans la section précédente, nous avons pu écrire les deux problèmes cellulaires (locaux)
(5.2.4) et (5.2.5) sous une forme matricielle (5.2.6) plus commode. On va introduire désormais
les éléments de déplacements, ce qui permet par la suite la mise en œuvre de cette méthode.
Puisque la géométrie de la cellule de base est parallélépipédique, ceci permet de la recouvrir
exactement par des parallélépipèdes de nombre nbt (nbt ∈ IN). Soit Th une famille régulière
de parallélépipèdes. Autrement dit : en subdivisant l’unité de base Y en parallélépipèdes
(Ye )e∈{1,...,nbt} , qui vérifient les propriétés suivantes
(i) Y =
nbt
[
e=1
Ye ,
Ye ∩ Ye0 = ∅,
(ii) ∃δ > 0, ∀Ye ∈ Th ,
hY e
< δ,
ρ Ye
0
∂Ye ∩ ∂Ye0 = See0 (e et e sont deux éléments arbitraires).
n
o
avec hYe = diam(Ye ) et ρYe = sup diam(S), S est le sphère inscrit dans Ye .
106
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
(iii) La quantité h = max hYe vérifie h → 0.
Ye ∈Th
(iv) Soit Ŷ un élément de référence, il existe une fonction affine inversible FYe telle que
FYe : ŷ ∈ Ŷ −→ FYe (x̂) = J x̂ + b,
où J est la matrice Jacobienne inversible et b un vecteur constant. On peut retrouver les
sommets si d’un parallélépipède réel quelconque par l’intermédiaire de la transformation
FYe des sommets ŝi du parallélépipède de référence
FYe (ŝi ) = si ,
i = 1...nbt,
ce qui nous permet d’écrire
Z
φ(y) dy =
Ye
Z
Ŷ
|det(J)|φ̂(ŷ) dŷ.
Les noeuds ŝi et si sont respectivement les sommets des parallélépipèdes (nbt-simplexes)
de Ŷ et Ye .
A chaque triangulation Th on associe l’espace d’éléments finis Xh et on définit ensuite une suite
d’espaces Vh (Y ), par
n
o
Xh =
ηh ∈ C 1 (Y ); ∀Ye ∈ Th , ηh /Ye ∈ Ph ,
(5.2.10)
n
o
Vh (Y ) =
ηh ∈ Xh , ηh = 0 sur ∂Y − ∂Y ∗ ,
(5.2.11)
Vh (Y ) est un espace de dimension finie. On introduit des modes incompatibles
mh npar
l’incorporawi
qi
tion des degrés de liberté internes, ce qui signifie que chaque élément
sera partagé
ϕmh ψ n
mh n mh n wi,λ qi,λ
wi,µ qi,µ
en deux parties : une partie compatible
et une partie incompatible
,
mh
n
ϕmh
ψµn
ϕλ
ψλ
µ
telle que
mh n mh n mh n wi,λ qi,λ
wi,µ qi,µ
wi
qi
=
+
,
mh
n
mh
n
ϕ
ψ
ϕmh
ψµn
ϕλ
ψλ
µ
alors il est clair, qu’on peut écrire la fonctionnelle du potentiel (5.2.8) sous la forme suivante
mh n w mh q n w mh q n wi
qi
i,µ
i,µ
i,λ
i,λ
=
+
ΠP
mh
n
n
ϕmh ψ n
ϕ
ψ
ϕmh
ψ
µ
µ
λ
λ
mh n mh n nbt n Z
X
1 skl,y 0
wi
qi
cijkl ekij
skl,y
0
wi
qi
∗
=
mh
n
mh
n dY
0
E
ϕ
ψ
−e
d
0
E
ϕ
ψ
2
∗
k,y
ikl
ij
k,y
Ye
e=1
mh n Z o
wi,λ qi,λ
skl,y
0
cijkl ekij
∗
+
dY
.
(5.2.12)
0 Ek,y
−eikl dij
ϕmh
ψλn
λ
Ye∗
La condition de stabilité de la fonctionnelle ci-dessus est nécessaire pour l’équilibre des deux
problèmes cellulaires (5.2.4) et (5.2.5). L’équilibre de la traction entre le piézoélectrique et le
vide, serait satisfait que si la condition de test ”patch” (PTC) est a priori vérifiée
mh n Z wi,µ qi,µ
skl,y
0
= 0,
0 Ek,y
ϕmh
ψµn
µ
Ye∗
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
ce qui est équivalent à
I
∂Ye∗
107
mh
n
wi,µ
qi,µ
nj dS = 0.
ϕmh
ψµn
µ
Les fonctions non conformes (incompatibles) proposées dans la condition PTC, nous simplifient
la formulation variationnelle. En effet, si on prend un élément isoparamétrique de 8 nœuds en
trois dimensions d’espace, la valeur du vecteur compatible est reliée par les valeurs nodales
g mh (ayant rapport avec l’ensemble des degrés de liberté du déplacement mécanique) et Λ n
(ayant rapport avec l’ensemble des degrés de liberté du potentiel électrique) par les fonctions
bilinéaires d’interpolation
mh n mh
wi
qi
Ξi
Θni
=N
,
ϕmh ψ n
Λmh Υn
avec
N = [N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 ],
Nι =
1
(1 + ξι ξ)(1 + ηι η)(1 + ζι ζ),
8
ι = 1...8,
où (ξ, η, ζ) représentent les coordonnées isoparamétriques et (ξι , ηι , ζι ) représentent les coordonnées isoparamétriques
du point
ι dont les coordonnées globales (yι1 , yι2 , yι3 ), ι = 1...8.
mh
mh
n
wi,λ qi,λ
Ξi,λ Θni,λ
Le terme incompatible
est relié avec les paramètres de l’élément d’intérieur
ϕmh
ψλn
Λmh
Υnλ
λ
λ
∗
par l’intermédiaire de la fonction de forme Nλ
mh n mh
wi,λ qi,λ
Ξi,λ Θni,λ
∗
= Nλ
.
ϕmh
ψλn
Λmh
Υnλ
λ
λ
Dans ce cas, les termes incompatibles seront employés dans chaque élément (ces termes sont
bien détaillés dans le travail de Sun et al. [84]).
Ξmh Θn mh
2
2
2
∗
i,λ
i,λ
wλ
= [ξ η ζ ] − [ξ η ζ]P Pλ
,
n
Λmh
Υ
λ
λ
Ξmh Θn ∗ ∗
i,λ
i,λ
= Nλ − N P P λ
.
(5.2.13)
n
Λmh
Υ
λ
λ
De l’équation précédente

∂ 
∂y1
 
Z
Z  
l
 ∂  ∗
∗
∗
∗




m N dS =
J−1 dY ∗ ,
P =
∂y2  N dY =

∂Ye∗
Ye∗
Ye∗ 

n
I
∂
∂y3

∂ 
∂y1
 


Z  
Z
l
ξ 0 0
 ∂ 
  Nλ dY ∗ = 2
m Nλ dS =
Pλ =
J−1 0 η 0 dY ∗ .
 ∂y2 
∗
∗
∗
∂Ye
Ye 
Ye

n
0 0 ζ
I
∂
∂y3
108
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
Comme la transformation géométrique choisie est affine, la matrice Jacobienne J qui relie les
éléments est constante par rapport aux variables locales, elle est donnée par


a1 + a4 η + a5 ζ + a7 ηζ b1 + b4 η + b5 ζ + b7 ηζ c1 + c4 η + c5 ζ + c7 ηζ




.
a
+
a
ξ
+
a
ζ
+
a
ξζ
b
+
b
ξ
+
b
ζ
+
b
ξζ
c
+
c
ξ
+
c
ζ
+
c
ξζ
J=
2
4
6
7
2
4
6
7
2
4
6
7




a3 + a5 ξ + a6 η + a7 ξη b3 + b5 ξ + b6 η + b7 ξη c3 + c5 ξ + c6 η + c7 ξη
Les coefficients ai , bi et ci (i = 1...7) sont

−1 1 1


−1 −1 1
a 1 b1 c1

. . .  1
1 1

 
 . . .  =  1 −1 1

 
 . . .  −1 1 1

−1 −1 1
a 7 b7 c7
1 −1 1
reliés avec les coordonnées de l’élément nodal yji , par

−1 −1 1
1 −1 

1
2
3
1 −1 −1 1
1 
y
y
y
1
1
1



1 −1 −1 −1 −1
 . . . 


−1 1 −1 1 −1
 . . . .


−1 1 −1 −1 1 
 .1 .2 .3

1
1
1 −1 −1
y8 y8 y8
−1 −1 1 −1 −1
On aboutit alors à
mh n mh
Ξi,λ Θni,λ
skl,y
0
wi
qi
skl,y
0
=
N
,
0 Ek,y
ϕmh ψ n
0 Ek,y
Λmh
Υnλ
λ
mh
Ξi,λ Θni,λ
= B
,
Λmh
Υnλ
λ
avec
B=
(5.2.14)
skl,y
0
N.
0 Ek,y
L’équation des éléments finis s’écrit sous la forme
mh
Ξi,λ Θni,λ
K
= P,
Λmh
Υnλ
λ
(5.2.15)
avec
K =
P =
Z
1
−1
Z 1
−1
Z
1
−1
Z 1
−1
Z
1
−1
Z 1
BT CB|det(J)| dξdηdζ,
(5.2.16)
BT C|det(J)| dξdηdζ,
(5.2.17)
−1
mh
Ξi,λ Θni,λ
c
e
et C =
∈ M9×9 (IR). Le terme
est résolu à partir de l’équation (5.2.15),
−eT d
Λmh
Υnλ
λ
au delà les tenseurs d’élasticité, piézoélectrique et diélectrique homogénéisés seront déterminés
par les expressions suivantes
Z n
h
i
∂ϕmh o
H
kl
dy,
(5.2.18)
cijmh =
cijkl (x, y) τmh
+ skl,y (wmh ) + ekij (x, y)
∂yk
Y∗
Z n
h
∂ψ n io
H
n
enij =
cijkl (x, y)skl,y (q ) + ekij (x, y) δkn +
dy,
(5.2.19)
∂yk
∗
ZY n
h
∂ψ n io
n
dH
=
−
e
(x,
y)s
(q
)
+
d
(x,
y)
δ
+
dy.
(5.2.20)
ikl
kl,y
ij
jn
in
∂yj
Y∗
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
109
En général, il est impossible de calculer exactement les intégrales intervenants dans les
expressions (5.2.18), (5.2.19) et (5.2.20). C’est pourquoi, on utilise des schémas d’intégration
numérique. Un module d’homogénéisation utilise la méthode des éléments finis combinée avec
l’intégration numérique qui a été développé sous Matlab. Ce module peut être utilisé pour
n’importe quel type de structure comme les structures laminées ou fibrées.
Remarque 5.2.2
D’un point de vue pratique, nous montrons en s’appuyant sur des considérations de symétrie
et de parité (Léné [47]) que les conditions de périodicité peuvent être remplacées par des conditions aux limites appropriées, la cellule élémentaire peut elle-même être réduite dans l’étape de
maillage.
5.2.3
Présentation des résultats numériques
Dans cette section, nous étudions l’influence de la forme des trous et la fraction volumique
θ qui représente la portion du matériau dans la cellule de référence, sur les coefficients des
tenseurs élastique, piézoélectrique et diélectrique homogénéisés.
Pour la modélisation numérique, on considère un matériau piézoélectrique isotrope transverse de classification hexagonale 1 (6mm) comme le PZT. Dans ce type de piézoélectrique, les
matrices des modules élastiques, piézoélectriques (de couplage) et diélectriques se simplifient
de façon à ce qu’il ne reste plus, à la fin, que dix coefficients indépendants. Considérons donc
le matériau piézoélectrique PZT-5A (voir le tableau 5.1) périodiquement perforé par des trous
sous formes cylindriques. Un tel composite est isotrope transverse.


c11
c12
c13
0
0
0
0
0 e31
 c12
c22
c13
0
0
0
0
0 e31 



 c13
c
c
0
0
0
0
0
e
13
33
33


 0
0
0
c44
0
0
0 e15 0 


c
e
 ∈ M9×9 (IR).
0
0
0
0
c
0
e
0
0
M=
=
44
15
T


−e d
 0
0
0
0
0
c66 0
0
0



 0
0
0
0
−e
0
d
0
0
15
11


 0
0
0
−e15
0
0
0 d11 0 
−e31 −e31 −e33
0
0
0
0
0 d33
Nous considérons un maillage grossier par l’intermidiaire du logiciel Femlab. Une fois que
les coefficients de la matrice M sont calculés et en tenant compte de l’intégration numérique
de Gauss, on peut calculer la matrice de rigidité K puis la matrice de force P par les deux expressions (5.2.16) et (5.2.17) respectivement. Rappelons que l’intégration numérique de Gauss,
nous donne l’approximation quadratique
Z
Y∗
ϕ(y) dy '
N
X
ωk,Y ∗ ϕ(bk,Y ∗ ).
k=1
Rappelons aussi que cette approximation quadratique est exacte, pour tout polynôme ϕ de
degré m ≤ 2N − 1 où {ωk,Y ∗ } et {bk,Y ∗ } sont respectivement les poids et les abscisses des points
de Gauss. Après l’assemblage des matrices K et P, on résout le système linéaire des équations
algébriques (5.2.15), ce qui permet de déterminer les fonctions locales, puis en se servant de
1
Pour ces classifications on peut voir l’ouvrage de Dieulesaint et Royer [30].
110
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
l’intégration numérique, on détermine les valeurs des tenseurs d’élasticité, de piézoélectricité et
de diélectricité homogénéisés par les expressions (5.2.18), (5.2.19) et (5.2.20) respectivement.
Remarque 5.2.3 Il convient de signaler que les formules d’intégration numérique ont un sens
que si on pose les hypothèses suivantes sur le schéma d’intégration numérique
i) Les nœuds d’intégration bk,Y ∗ vérifient
bk,Y ∗ ∈ Ȳe∗ , ∀Ye∗ ∈ Th , ∀k = 1, ..., N.
ii) Le schéma est exact pour les polynômes de degré 8, i.e :
Z
Ye∗
P (x) dx −
N
X
k=1
ωk,Y ∗ P (bk,Y ∗ ) = 0, ∀P ∈ P8 , ∀Ye∗ ∈ Th .
Pour les tests numériques, on considère un matériau piézoélectrique PZT-5A ou PZT-7A,
ces deux types de matériaux piézoélectriques sont de classification (6mm), leurs coefficients
sont donnés dans le tableau 5.1, établit par Feng et Wu dans [35]. La permittivité du vide
0 = 8.85 10−12 C 2 /N m2 .
Matériau
PZT-5A
PZT-7A
Élastiques (GP a)
Piézoélectriques (C/m2 ) Diélectriques (C 2 /N m2 )
C11 C12 C13 C33 C44 e31 e33
e15
d11 /0
d33 /0
121 75.4 75.2 111 21.1 -5.4 15.8
12.3
916
830
148 76.2 74.2 131 25.4 -2.1 9.5
9.2
460
235
Tab. 5.1 – Les valeurs des coefficients des matériaux piézoélectriques : PZT-5A et PZT-7A.
Dans la modélisation numérique qui suit, on considère la cellule de référence comme un
parallélépipède unitaire Y = [0, 1]3 , dont la perforation est sous forme cylindrique, parallèle à
l’axe x3 (voir la figure 5.7). En utilisant les propriétés du matériau PZT-5A données dans le
tableau 5.1, on calcule les coefficients de la matrice de rigidité K et la matrice de force P par
les équations (5.2.16) et (5.2.17) respectivement. Comme nous nous intéressons dans ce travail
au comportement macroscopique du composite, nous nous sommes contentés d’implémenter la
méthode des éléments finis sans se soucier de la rapidité du calcul.
La modélisation qui nous intéresse consiste à déterminer les tenseurs effectifs en fonction
des paramètres des différents matériaux qui constituent le composite. Dans notre situation,
nous nous sommes intéressés à l’étude du comportement du composite en fonction de la taille
des trous. Les résultats sont illustrés dans les trois figures ci-dessous, qui présentent une description totale sur l’évolution des tenseurs effectifs des matériaux perforés en fonction de la
fraction volumique. On constate que l’influence de la fraction volumique est déterminante et
que la dépendance des tenseurs homogénéisés à la fraction volumique est forte.
Ne disposant pas de valeurs expérimentales, donc pour valider les valeurs obtenues par le
module numérique de la méthode des éléments finis, nous développons dans la section suivante
une approche analytique qui permet d’avoir des formules explicites pour calculer les tenseurs
effectifs, pour une géométrie simple correspondant au cas d’une structure perforée longitudinalement.
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
Variation of effective piezoelectric constants with the volume fraction
Variation of effective elastic constants with the volume fraction
20
140
C11
C33
C
e13
e
33
e
15
66
15
11
H
10
H
100
H
33
66
Effective elastic coefficient CH , CH , CH (GPa)
2
Effective piezoelectric coefficients e13, e33, e15 (C/m )
120
111
80
60
40
20
0
5
0
−5
−10
−15
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Volume fraction θ
0.6
0.7
0.8
0.9
−20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Volume fraction θ
Variation of effective dielectric constant with the volume fraction
247
dH
33
33
Effective dielectric coefficient dH (C/Nm2)
246
245
244
243
242
241
240
239
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Volume fraction θ
0.7
0.8
0.9
1
Fig. 5.1 – Variation de quelques coefficients des tenseurs élastique, piézoélectrique et
diélectrique homogénéisés en fonction de la fraction volumique θ.
5.3
Implémentation d’une méthode analytique
Dans ce qui suit, on développe une technique de calcul analytique qui nous permettra de
déterminer les expressions des tenseurs effectifs des matériaux piézoélectriques périodiquement
perforés, dans le cas où les perforations sont sous formes cylindriques et ordonnées suivant la
classification de Newnham (1978). Cette technique est inspirée des travaux de Castillero et al.
[15] [19] [41] [77] et repose sur des arguments d’analyse complexe, entre autre sur les fonctionnels des potentiels complexes de Muskhelishvili et les fonctions Zeta de Weierstrass.
En effet cette méthode formelle est introduite pour valider le code des éléments finis, ce qui
permet par la suite de déduire la validation des résultats numériques obtenus dans le cas des
perforations de géométries différentes aux formes cylindriques. Afin de mieux comprendre les
résultats obtenus précédemment, on propose une étude comparative entre les résultats obtenus
112
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
dans la section précédente et les résultats qui seront obtenus à partir des expressions analytiques des tenseurs homogénéisés, qu’on va récupérer dans un cas particulier. Cette étude nous
permettra aussi d’évaluer l’erreur commise par le modèle des éléments finis incompatibles. Ce
calcul analytique est programmé sous Maple.
5.3.1
Présentation de la méthode
On considère une structure piézoélectrique périodiquement perforée par des perforations cylindriques transversales (i.e. parrallèles à l’axe x3 ) et on prend le piézoélectrique symétrique de
type hexagonale (6mm). La détermination analytique des tenseurs homogénéisés est récupérée
à l’aide des séries de fonctions elliptiques de Weierstrass doublement périodiques, ces fonctions
ont été utilisées par Castillero et al. [15], pour déterminer les expressions exactes des tenseurs
effectifs pour les matériaux piézocomposites fibrés unidirectionnels.
A présent, considérons une cellule de référence constituée d’un parallélépipède unitaire
piézoélectrique perforée par un trou sous forme cylindrique, paralèlle à l’axe x 3 . Dans l’éventualité
où le milieu considéré serait homogène, les deux problèmes cellulaires (5.2.4) et (5.2.5) s’écrivent
comme suit
(i) Equations Imh
(ii) Equations In

∂wkmh (y)
∂ϕmh (y) i
∂ h


+
e
(y)
c
(y)

ijkl
kij

 ∂yj
∂yl
∂yk
= 0,


∂ h
∂w mh (y)
∂ϕmh (y) i



− eikl (y) k
+ dij (y)
= 0.
∂yi
∂yl
∂yj

∂ h
∂qkn (y)
∂ψ n (y) i


cijkl (y)
+ ekij (y)


 ∂yj
∂yl
∂yk
(5.3.21)
= 0,


∂ h
∂qkn (y)
∂ψ n (y) i


+
d
(y)
−
e
(y)
= 0.

ikl
ij
∂yi
∂yl
∂yj
(5.3.22)
Afin d’alléger l’écriture, on propose de réécrire les deux problèmes précédents sous la forme
suivante
i
 h
mh
mh

c
(y)w
(y)
+
e
(y)ϕ
(y)
= 0,
kij

k,l
k
 ijkl
j
(5.3.23)
h
i


mh
mh
 − eikl (y)w (y) + dij (y)ϕ (y)
= 0.
k,l
j
i
 h
n
n

c
(y)q
(y)
+
e
(y)ψ
(y)
kij

k,l
k
 ijkl
i
= 0,
j
h
i


 − eikl (y)q n (y) + dij (y)ψ n (y)
k,l
j
i
(5.3.24)
= 0.
L’indice en bas des crochets ou après une virgule dans les indices des tenseurs, représente la
variable de la dérivation. Les solutions des problèmes cellulaires Imh et In sont périodiques en
y1 et y2 , avec les conditions aux limites sur la frontière du trou Υ = ∂Y ∗ − ∂Y
Pour les équations Imh
wkmh |Υ = ϕmh |Υ = 0,
(5.3.25)
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
(σij(mh) + cijmh )nj |Υ = 0,
(Dj(mh) − ejmh )nj |Υ = 0.
(5.3.26)
qkn |Υ = ψ n |Υ = 0,
(5.3.27)
Pour les équations In

 (σij(n) + eijn )nj
 (Dj(n) + djn )nj
avec
113
Υ
Υ
= 0,
(5.3.28)
= 0,

mh
σij(mh) = cijkl wk,l
+ ekij ϕmh

,k ,






n
n

+ ekij ψ,k
,
 σij(n) = cijkl qk,l

mh

Dj(mh) = −eikl wk,l
+ dik ϕmh

,k ,






n
Dj(n) = −eikl qk,l
+ dik ψkn ,
(5.3.29)
où nj étant la j-ème composante du vecteur normal sur la frontière du trou Υ. En général,
le nombre des équations Imh et In à résoudre dépend du type de classification de symétrie du
matériau piézoélectrique utilisé. Si on considère un piézoélectrique isotrope transverse d’axe
principal celui des perforations cylindriques, puisque les matériaux sont de symétrie hexagonale (6mm), alors pour déterminer tous les tenseurs homogénéisés, il suffit de résoudre les
cinq problèmes “planaires” similaires Iβ (β = 1, 2, 3), I12 et I3 , ainsi que les deux problèmes
”antiplanaires” similaires suivants I13 et I1 . Rappelons que le matériau de symétrie hexagonale (6mm) est caractérisé par des constantes indépendantes : cinq constantes élastiques
1122
(C1111 = C2222 , C1122 , C1133 = C2233 , C3333 , C2323 = C1313 et C1212 = C1111 −C
), trois
2
constantes piézoélectriques (e311 = e322 , e333 et e113 = e223 ) et deux constantes diélectriques
(d11 = d22 et d33 ).
Dans ce qui suit, nous allons résoudre les problèmes locaux (5.3.23) et (5.3.24), afin de
déterminer les expressions des tenseurs homogénéisés.
1. Problèmes antiplanaires
Considérons le problème I13 . On suppose que les fonctions w313 ≡ w3 et ϕ13 ≡ ϕ sont
indépendantes de y3 et w113 = w213 = 0. Le problème correspondant à I13 peut donc
s’écrire sous la forme


 c1313 w3,KK = 0,
 e113 ϕKK = 0,
et
(5.3.30)


w 3 |Υ
= 0,
ϕ|Υ
= 0,
avec
où
σ3J(13) nJ + c1313 n1
DJ(13) nJ + e113 n1

13
+ e113 ϕ13
 σ3J(13) = c1313 w3,J
J ,

13
DJ(13) = e113 w3,J
− d11 ϕ13
J ,
et
Υ
Υ
= 0,
(5.3.31)
= 0,
(5.3.32)

 σ33(13) = 0,
σIJ(13) = 0,

D3(13) = 0,
(5.3.33)
114
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
avec I, J, K = 1, 2. Les solutions de (5.3.30)-(5.3.31)-(5.3.32) sont représentées à l’aide
des développements analytiques de fonctions harmoniques
n z
o
1
w3 = Re A +
f (z) ,
(5.3.34)
R c1313
n z
o
1
ϕ3 = Re B +
g(z) ,
(5.3.35)
R e113
avec
∞ ∗
X
ζ (k−1) (z)
f (z) =
ak R k
,
(5.3.36)
(k
−
1)!
k=1
g(z) =
∞ ∗
X
bk R k
k=1
ζ (k−1) (z)
,
(k − 1)!
(5.3.37)
où ζ(z) est la fonction Zeta de Weierstrass, et satisfait les conditions de quasipériodicité
ζ(z + 1) − ζ(z) = π, ζ(z + ı) − ζ(z) = −ıπ.
Les constantes A, B, ak et bP
k (k = 1, 3, 5, ...) sont des réels qui seront déterminés à partir
des conditions aux limites. ∗ représente la sommation relative aux indices impairs.
1
1
z o
1 X0 n
+
+ 2 ,
ζ(z) = +
z m,n z − βmn βmn βmn
P
sachant que la sommation m,n 0 porte sur tous les indices m, n à l’exception que quand
m = n = 0, βmn = m + ın, ı2 = −1
En tenant compte de la propriété de la périodicité pour les fonctions w3 et ϕ3 , on trouve
les deux formules qui relient les constantes A et B avec a1 et b1 , soit :
A=−
πR2 a1
,
c1313
B=−
πR2 b1
.
e113
Les conditions (5.3.25) et (5.3.27) de l’interaction entre le piézoélectrique et le vide sur la
surface Υ, nous permettent d’écrire les formules suivantes
t + t̄
1
+
Re{f (z)} = 0,
2R
c1313
t + t̄
1
B
+
Re{g(z)} = 0,
2R
e113
A
c
t − t̄
e113
Im{f (z) + g(z)} +
A−
B + c1313
= 0,
R
R
2ı
e
t − t̄
d11
d11
e113
113
Im{
f (t) −
g(t)} +
A−
B + e113
= 0,
c1313
e113
R
R
2ı
1313
(5.3.38)
(5.3.39)
(5.3.40)
(5.3.41)
avec t = Reıθ , Re et Im représentent la partie réelle et la partie imaginaire respectivement.
Le développement en série de Taylor des fonctions w3 et ϕ au point z = 0, donne
w3
∞ ∗
∞ ∗ ∞ ∗
n A
z p io
1 h X R k X X
= Re z +
ak
+
ak ηkp
,
R c1313 k=1
z
R
p=1 k=1
∞ ∗
∞ ∗ ∞ ∗
n B
z p io
1 hX R k X X
ϕ = Re z +
bk
+
bk ηkp
,
R e113 k=1
z
R
p=1 k=1
(5.3.42)
(5.3.43)
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
115
avec
(−1)k (p + k − 1)! p+k
R Sp+k ,
p!(k − 1)!
X
1
≡
.
p+k
(β
)
mn
m,n
ηkp ≡
Sp+k
(5.3.44)
(5.3.45)
En remplaçant les équations (5.3.34), (5.3.35), (5.3.42) et (5.3.43) dans les conditions
aux limites (5.3.38), (5.3.40), (5.3.40) et (5.3.41), on aboutit à un système d’équations
algébriques suivant pour les constantes ak et bk (k = 1, 3, 5, ...)

∞ ∗
∞ ∗
X
X


2
2

a
+
b
−
a
η
−
πR
a
δ
−
b
η
−
πR
b
δ
= c1313 Rδ1k ,

n nk
1 1k
k
k
n nk
1 1k



n=1
n=1

∞ ∗
∞ ∗
X
d X


e
d
e
113
11
113
11

2
2

an ηnk − πR a1 δ1k +
bn ηnk − πR b1 δ1k
= e113 Rδ1k .

 c1313 ak − e113 bk − c1313
e113 n=1
n=1
(5.3.46)
Puisqu’on a choisi un piézoélectrique de symétrie hexagonale (6mm), les expressions de
c̄1313 et ē113 sont données par
D
E
c̄1313 = c1313 + c1313 w3,1 + e113 ϕ,1 ,
(5.3.47)
D
E
ē113 = e113 + e113 w3,1 − d11 ϕ,1 .
(5.3.48)
Maintenant, en remplaçant les expressions (5.3.42) et (5.3.43) des fonctions w3 et q3 , dans
les expressions (5.3.47) et (5.3.48) des tenseurs effectifs c̄1313 et ē113 , on obtient
c̄1313 = hc1313 i − πR(a0 + Ā) − πR(b0 + B̄),
e113
d11
ē113 = he113 i −
πR(a0 + Ā) −
πR(b0 + B̄),
c1313
e113
2
2
avec a0 ≡ −a1 R π, b0 ≡ −b1 R π, Ā ≡ a1 +
∞ ∗
X
n=1
an ηn1 et B̄ ≡ b1 +
Enfin, en utilisant l’équation (5.3.46) pour k = 1, on obtient
c̄1313 = c1313 − 2π(a1 + b1 ),
e
d11 113
ē113 = e113 − 2πR
a1 −
b1 .
c1313
e113
∞ ∗
X
(5.3.49)
(5.3.50)
bn ηn1 .
n=1
(5.3.51)
(5.3.52)
2. Problèmes planaires
Dans les problèmes Iββ et I12 , on considère que w3ββ = ϕββ = w312 = ϕ12 = 0, par
conséquent, on a
mh
mh
(c1122 + c1212 )wk,ki
+ c1212 wi,kk
= 0,
(5.3.53)
avec k, i = 1, 2 et mh = 11, 22, 33, 12. Les solutions satisfaisant aux conditions aux limites
suivantes
wkmh |Υ = 0,
(σij(mh) + cijmh )nj |Υ = 0,
(5.3.54)
(5.3.55)
116
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
avec
mh
mh
σij(mh) = c1122 (y1 , y2 )δij wkmh + c1212 (y1 , y2 )(wi,j
+ wj,i
), i, j = 1, 2; β = 1, 2, 3
σi3(mn) = 0; σ33(mn) = ν(y1 , y2 ) σ11(mn) + σ22(mn) ,
ν(y1 , y2 ) =
c1133
e311 (y1 , y2 )
, Di(mn) = 0, D3(mn) =
σ33(mn) ,
c1111 + c1122
c1133 (y1 , y2 )
où δij est le symbole de Kronecker. Pour récupérer la formulation du problème I3 , il suffit
de remplacer les fonctions wkmh par ϕ3k dans les équations (5.3.53)-(5.3.54)-(5.3.55) et le
tenseur cijkl par e3ij dans l’équation (5.3.55).
Remarque 5.3.1
La résolution analytique des problèmes planaires associés aux structures renforcées de
fibres isotropes, a été traitée par plusieurs auteurs [15], [41], [40], [44] et [58]. La plupart
de ces auteurs, utilisent les potentiels complexes de Kolosov-Muskhelishvili (pour plus de
détails, on pourra consulter Meguid et Kalamkarov [58]).
Dans notre étude, on utilise les mêmes techniques développées dans [15] et [58], on
détermine par conséquent tous les tenseurs homogénéisés qui nous restent.
Les fonctions wkmh = wk pour les problèmes Iββ , I3 et I12 seront cherchées sous la forme
2c1212 w1 + ıw2 = χΘ(z) − z Θ̄0 (z) − Ψ̄(z),
(5.3.56)
avec χ = 3 − 4ν, les fonctions Θ(z) et Ψ(z) sont des fonctions différentiables pour la
variable complexe z = y1 + ıy2 , leurs expressions s’écrivent comme suit
∞ ∗
X
a0
Θ(z) =
z+
ak Rk ξ (k−1) (z),
R
k=1
∞ ∗
(5.3.57)
∞ ∗
X
X
Q(k−1) (z)
b0
Ψ(z) =
z+
bk Rk ξ (k−1) (z) +
ak R k
,
R
(k
−
1)!
k=1
k=1
sachant que
Q(z) =
X0 n
m,n
(5.3.58)
β̄mn
β̄mn β̄mn o
−
2z
− 2 ,
3
(z − βmn )2
βmn
βmn
où a0 , b0 , ak et bk (k = 1, 3, 5, ...) sont des constantes. Ces constantes sont des nombres
réels pour les problèmes Iββ , I3 et purement imaginaires pour le problème I12 . A partir
de l’équation (5.3.56) on peut exprimer a0 et b0 en fonction de a1 et b1 respectivement, en
prenant en considération les propriétés de périodicité pour les fonctions w1 et w2 . Pour
déterminer les constantes ak et bk il faut utiliser les conditions aux limites et les relations
de σij (i, j = 1, 2) en fonction de Θ et Ψ qui sont données par
σ11 + σ22 = 4Re{Θ0 (z)},
h
i
σ22 − σ11 + 2ıσ12 = 2 z̄Θ00 (z) + Ψ0 (z) .
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
5.3.2
117
Calcul analytique des tenseurs homogénéisés
En suivant la même démarche, pour résoudre les autres problèmes cellulaires entre autre
I1 et I13 . Par conséquent on détermine explicitement les tenseurs homogénéisés de la manière
suivante
A partir du problème Iββ :
c̄11ββ + c̄22ββ = hc11ββ + c22ββ i,
c̄22ββ − c̄11ββ
c̄33ββ
ē3ββ
A partir du problème I3 :
a1
= hc22ββ − c11ββ i + 2γ{(χ + 1) + γ(β)},
R
c1133 − c2233 − 1
= hc33ββ i +
γc1 ,
c1212 R
e311
= he3ββ i +
γc1 .
c1212 R
e311
d¯33 = hd33 i +
γc1 .
c1212 R
(5.3.59)
(5.3.60)
(5.3.61)
(5.3.62)
(5.3.63)
A partir du problème I12 :
c22ββ − c11ββ
c22ββ + c11ββ
, γ1 (β) =
.
2
2
Cette technique formelle est bien adaptée dans le cas où les perforations cylindriques sont
unidirectionnelles c’est-à-dire suivant l’un des trois axes du matériau. Dans ce cas là, on a bien
déterminé de façon explicite tous les tenseurs homogénéisés. On constate que les propriétés
effectives d’un matériau piézoélectrique de symétrie (6mm) perforé sont déterminées par six
coefficients d’élasticités, trois coefficients de couplages et de trois coefficients de diélectricités
différents, ce milieu se comporte donc, de la même façon qu’un matériau de symétrie (4mm) 2
γ = πR2 , γ1 (β) =
5.4
Validation de la méthode des éléments finis
En utilisant la technique formelle développée précédemment, un code de calcul analytique
a été développé et implémenté sous Maple, afin de trouver explicitement les coefficients des
tenseurs homogénéisés, qui seront écris en fonction des sommations des séries. On donne une
modélisation numérique, présentée dans les figures suivantes, à l’aide des caractéristiques du
matériau piézoélectrique PZT-5A caractérisées par les coefficients donnés dans le tableau 5.1.
L’idée consiste à comparer les résultats obtenus après le calcul analytique avec ceux issus
du code d’éléments finis, afin de :
• Valider le code d’éléments finis, ainsi que les résultats numériques qui seront obtenus pour
d’autres géométries.
• Valider le modèle utilisé pour la discrétisation.
Remarque 5.4.1 Il convient de rappeler que cette technique analytique même si elle nous
donne de bonnes simulations sur les propriétés effectives, elle ne reste valable que pour des
géométries particulières. Signalons aussi qu’on peut se servir du même code formel pour d’autres
structures comme des structures purement élastiques perforées, laminées ou fibrées unidirectionnelles.
2
Rappelons que le matériau de symétrie hexagonale (4mm) est caractérisé par cinq constantes élastiques,
trois constantes piézoélectriques et deux constantes diélectriques (Pour ces classifications, on pourra consulter
l’ouvrage de Dieulesaint et Royer [30]).
118
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
Afin de valider la méthode des éléments finis choisie ainsi que de prouver les performances de
cette méthode, nous présentons ci-dessous une comparaison entre les résultats obtenus et ceux
issus de la méthode de calcul formel proposée précédemment. Pour tout calcul numérique, on
utilise les caractéristiques du matériau piézoélectrique PZT-5A caractérisées par les coefficients
donnés dans le tableau 5.1.
Results of perforated domains comparing with AM and EF.
Results of perforated domains comparing with AM and EF.
20
140
eEF
13
33
EF
H
C66
CAM
66
80
10
AM
e33
eEF
13
AM
C11
100
33
15
Effective piezoelectric coefficients eH , eH , eH
11
H
Effective elastic coefficient C11, C66 (GPa)
eEF
CEF
60
40
20
0
AM
e13
15
120
15
5
AM
e15
0
−5
−10
−15
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
−20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Volume fraction θ
Volume fraction θ
Results of perforated domains comparing with AM and EFM.
247
dEF
33
dAM
33
246
2
Effective dielectric coefficient d33 (C/Nm )
245
H
244
243
242
241
240
239
238
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Volume fraction θ
Fig. 5.2 – Comparaison de quelques coefficients homogénéisés calculés par deux méthodes : La
méthode des éléments finis et la méthode analytique.
A partir des graphes de la figure 5.2, nous notons un bon accord entre les courbes des
deux techniques : numérique et formelle. Par conséquent, on constate, effectivement, que les
résultats numériques obtenus à partir du code numérique d’éléments finis sont proches de ceux
obtenus à l’aide des expressions exactes des tenseurs effectifs. Cela nous permet de valider
le code d’éléments finis développé dans la section 5.2. Dans ce travail, nous avons développé
deux approches : l’une est basée sur les éléments finis combinée avec l’intégration numérique
et l’autre, est une approche analytique. Les deux approches servent à la compréhension et au
prédimensionnement des structures piézoélectriques perforées dans les applications industrielles.
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
5.5
119
Influence de la distribution des perforations sur les
propriétés effectives
Dans cette section, on s’intéresse à l’étude de l’influence de la distribution des perforations
sur les propriétés effectives des matériaux piézoélectriques périodiquement perforés. Ces propriétés effectives sont exprimées à l’aide des tenseurs d’élasticité, piézoélectrique et diélectrique
homogénéisés. On considère que les perforations sont de forme cylindrique. A cette fin on a
proposé les deux modèles de distributions les plus fréquemment utilisés dans la littérature
d’ingénierie (voir Guinovart-Dı́az et al. [41], Poizat et Sester [71] [72]) pour l’étude du comportement macroscopique des matériaux fibrés, à savoir le modèle carré et le modèle hexagonale
(voir les figures 5.3 et 5.4).
1. Distribution géométrique carrée (Modèle A) :
x2
y2
PZT
&%&%&% &%&%&%
%& %&
"! "!
"!!""! "!!""!
#$
#$
#$
$
$
$
$#$#$#
#$
## $
#$
#$#
#
#
#$
#$#
$
$
$
#
#
$#
$
#$
#$
$#
#$
#$
$#
# $
# $
# $#$#$#
$
1/2
Trou
−1/2
y1
1/2
−1/2
x1
x3
Fig. 5.3 – Distribution géométrique des perforations de type carré et la cellule de référence.
2. Distribution géométrique hexagonle (Modèle B) :
x2
CD
C
C
)
)
D
D
*
*
.
.
.
+
+
FEFEFE FEFEFE D
,
,
CD
C
C
)
)
D
D
*
*
.
.
.-.-+
+
,
,
C
C
C
)
)
D
D
*
*
.
.
+
+
,
,
C
C
C
)
)
D
D
D
*
*
.
.
.
+
+
FEFE :9 :9 8
,
,
56
34
3
/
/
87 7877 6
65 5655 4
4
0
0
:9:9:9 :9:9:9 78
78
5
3
3
/
/0/
4
0
0
3
3
/
88
6
6
4
4
0
7 87 6
5 65 <
3 43 0
/ 0/
4
[email protected]
?
?
;
;
BABABA BABABA @
@
@
<
=
=
1
1
>
>
2
2
?? @
?? @[email protected]? >
;<
<;<;<; 2
12
121
>= =>== <
2
;
=>
1
? @
? @? =>
;
BA BA @
@
@
<
1 21
>
2
y2
Trou
−1/2
PZT
x1
√
'(
'(
(
(
('(''
'(
'(
'('
'
(
'
(
' ('('
('(
3/2
y1
1/2
√
− 3/2
x3
Fig. 5.4 – Distribution géométrique des perforations de type hexagonal et la cellule de référence.
120
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
Pour chaque modèle, on va faire varier la taille des trous, pour mieux comprendre son
influence sur les propriétés macroscopiques. Les figures ci-dessous, représentent une comparaison
entre l’évolution de quelques tenseurs effectifs, en fonction de la fraction volumique, pour les
deux modèles.
Comparaison between the hexagonal and square model.
140
13
13
11
100
80
60
40
−8
−10
−12
−14
20
0
eA
13
eB
−6
Effective piezoelectric coefficients eH
33
120
Effective elastic coefficient CH , CH
−4
A
C
11
B
C
11
A
C33
B
C33
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Volume fraction θ
0.6
0.7
0.8
0.9
−16
0.1
0.2
0.3
0.4
247
33
0.7
0.8
0.9
1
A
d33
B
d33
246
Effective dielectric coefficients dH (C/Nm2)
0.5
0.6
Volume fraction θ
245
244
243
242
241
240
239
238
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Volume fraction θ
0.7
0.8
0.9
1
Fig. 5.5 – Comparaison de quelques coefficients homogénéisés entre les deux modèles carré et
hexagonal.
Nous constatons à partir des graphes ci-dessus qu’il n’y a pas une grande différence entre
l’utilisation de la distribution carrée et l’utilisation la distribution hexagonale, puisque l’ecart
sur les tenseurs homogénéisés calculés sur les deux modèles est de l’ordre de 10 −3 . Cet écart
découle du fait que notre simulation est faite sur le problème limite obtenu à la suite de l’augmentation du nombre des trous.
Les matériaux piézoélectriques sont utilisés comme des détecteurs, des transmetteurs de signaux acoustiques ou sous forme d’ultrasons dans l’imagerie biomédicale et de capteurs à basses
fréquences dans des applications hydrophoniques. Dans ces applications nous nous intéressons à
augmenter le facteur du couplage des charges électromécaniques k̄t pour une impédance acoustique Z̄ moyennement petite et pour avoir une bonne correspondance acoustique du tissu. Le
facteur du couplage électromécanique et l’impédance acoustique sont exprimés comme suit (ρ 0
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
121
: la densité volumique du vide. Pour plus de détails, on pourra consulter Guinovart-Dı́az et al.
[40])
k̄t =
s
Z̄ =
1−
q
C̄33
D
C̄33
D
C̄33
ρ̄
D
avec C̄33
= C̄33 + ē233 d¯−1
33
avec ρ̄ = θρ + (1 − θ)ρ0
0.9
Square
Hexagonal
The electromechanical coupling constant k
t
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
5
10
15
20
The acoustic impedance Z (Mryl)
25
30
Fig. 5.6 – La variation du facteur de couplage électromécanique k̄t en fonction de l’impédance
acoustique Z̄ en Mrayls. Comparaison entre les deux modèles : carré et hexagonal.
Dans le graphe ci-dessus on constate que les résultats obtenus3 avec le modèle carré sont
plus avantageux que ceux avec le modèle hexagonal du point de vue du rapport entre le facteur
de couplage électromécanique et l’impédance acoustique.
5.6
Influence de la géométrie des perforations sur les
propriétés effectives
Dans cette section on veut comprendre l’influence de la géométrie des perforations sur
les propriétés effectives des matériaux piézoélectriques périodiquement perforés, pour cela on
propose trois géométries différentes des trous : carrée, circulaire et hexagonale (voir les figures
5.7, 5.9 et 5.9).
3
Pour les tests numériques la densité volumique du PZT est ρ = 7600 kg/m3
122
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
1. Perforation circulaire :
y2
1/2
−1/2
Matériau
1/2
δ
y1
Trou (vide)
−1/2
Fig. 5.7 – Cellule de base Y dont la perforation est de type circulaire.
2. Perforation carrée :
y2
1
2
1/2
−δ
Trou (vide)
Matériau
−1/2
1/2
y1
−1/2
Fig. 5.8 – Cellule de base Y dont la perforation est de type carrée.
3. Perforation hexagonale :
x
2
Ωε
y2
Y Matériau
Trou
y
∗
x1
1
La cellule de Base Y
Fig. 5.9 – Structure du domaine perforé Ωε et sa cellule de base Y dont la perforation de type
hexagonale.
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
123
Dans ce qui suit, on étudie les propriétés des tenseurs homogénéisés en fonction de la taille
des trous pour chaque géométrie des trous. Les perforations seront distribuées suivant le modèle
carré. Les graphes 5.10 illustrent l’influence des trois géométries sur les tenseurs homogénéisés.
Comparison between cercle, square and hexagonale models.
Comparison between cercle, square and hexagonale models.
−4
140
Cercle
Square
Hexagonal
13
−6
Effective piezoelectric coefficients eH
100
H
Effective elastic coefficient C11 (Gpa).
120
80
60
40
20
0
Cercle
Square
Hexagonal
−8
−10
−12
−14
−16
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
−18
0.1
0.2
0.3
0.4
Volume fraction θ
0.5
0.6
Volume fraction θ
0.7
0.8
0.9
1
Comparison between cercle, square, hexagonale models.
247
33
Effective dielectric coefficients dH (C/Nm2)
246
245
244
243
242
241
240
239
238
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Volume fraction θ
0.7
0.8
0.9
1
Fig. 5.10 – Variation des coefficients homogénéisés en fonction de la fraction volumique θ dans
un domaine perforé par des trous de trois géométries différentes : carrée, cercle, hexagonale.
5.7
Influence de la rotation des perforations sur les propriétés effectives
Dans cette section, on va étudier la variation des propriétés effectives, par rapport à la
rotation des trous suivant l’axe x1 , ces derniers seront de forme hexagonale. Le choix de la
124
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
forme des trous est motivé par le fait, qu’en comparant l’hexagonale avec le cercle, ce dernier
est symétrique sur lui-même et en le comparant avec le carrée, il possède une rotation d’angle
π, ce qui signifie qu’on a une grande liberté dans les choix des positions. Tandis que le choix de
la rotation suivant l’axe x1 , est pris seulement pour éviter l’axe de l’isotropie x3 du matériau
piézoélectrique.
1. Rotation d’angle α = 0◦ :
x3
α=0
y3
PZT
"!"!
"!"!"!"!"!"!
$#$## $#$##
$$# $$#
−1/2
%
%
%
%
%
&
&
&
&
Trou
%
%
%
%
%
&
&
&
&
%
%
%
%
%
&
&
&
&
%
%
%
%
%
&
&
&
&&&
%
%
%
%
%
&
&
&
%
%
%
%
%
&
&
&
1/2 %%
%%&& %
%&& %
%&& %%&&
x2
y2
1/2
1/2
x1
Fig. 5.11 – Structure perforée Ωε et sa cellule de base Y avec une rotation d’angle α = 0◦ .
2. Rotation d’angle α = 45◦ :
y3
x3
-.
-.
.
.
+,+ -
('('' ('('' *)*)*) *)*)*) *)*)*) +
,,
,
+
-.
+,
(('((' *) *) *) ,
,+,+ -
-.
- .-.+
[email protected]
[email protected]? <
;<
;<;
HGHGG HGHGG BABAA BABAA @
@
<
?
;
[email protected]
;<
HHG HHG BBA BBA @
@[email protected]? <
<;<;
?
;
JIJIIJ JIJIIJ JIJIIJ FEFE FEFE C
CCC DDCCC >
DC
=>
=>=
>
C
D
=
=>
JI JI JI FEFE FEFE CD
DC DDC >
= >=>=
α = 45
/0
/0/ 2
12
121
0
0
2
/0
1
/0/0/0/ 2
12
2121
1
34
34
343
4
4
9:9 4
:9
:
3
3
:9
34
34
9:
:
3 4
3 4343
9 :9:9 4
787 6
56
565
87
8
6
5
87
78
56
8
7 8787 6
5 6565
KL
KL
KL
KL
KLK
L
L
L
L
L
KL
K
K
K
KLKL
KL
KL
KL
KLK
L
L
L
K
K
K
K
K
K
K
K
L
L
L
L
LLKK
K
K
K
K
L
L
L
L
−1/2LKL
K
K
K
L
L
K L
K L
K L
K LLK
L
PZT
1/2
Trou
y2
1/2
−1/2
x2
x1
Fig. 5.12 – Structure perforée Ωε et sa cellule de base Y avec une rotation d’angle α = 45◦ .
3. Rotation d’angle α = 90◦ :
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
y3
x3
$#$#$# $#$#$#
$# $#
125
α = 90
"!"!"! "!"!"! "! "! %
%&
%&
%&
%&%
&%
&
&
&
%%&
%
%
%
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%&
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&
&
%%%
%
%
%
%
%
&%&
%&
%&
−1/2%&
% &&
% &&
% &&%&%
PZT
1/2
Trou
y2
1/2
−1/2
x2
x1
Fig. 5.13 – Structure perforée Ωε et sa cellule de base Y avec une rotation d’angle α = 90◦ .
Comparison between diffirent angles.
Comparison between diffirents angles.
−4
140
α=0°
α=45°
°
α=90
°
α =0
°
α=45
°
α=90
Effective piezoelectric coefficients eH
13
−6
100
11
Effective elastic coefficient CH (Gpa).
120
80
60
40
−8
−10
−12
−14
20
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Volume fraction θ
0.6
0.7
0.8
0.9
−16
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Volume fraction θ
Comparison between diffirent angles.
247
246
α=90°
°
α=45
°
α=0
H
Effective dielectric coefficients d33/ε
0
245
244
243
242
241
240
239
238
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Volume fraction θ
Fig. 5.14 – Variation de quelques coefficients homogénéisés en fonction de la fraction volumique
θ avec trois rotations différentes.
1
126
Angle
α = 0◦
α = 45◦
α = 90◦
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
Élastiques (×1010 N m−2 )
C11
C33
C66
43.320 38.60
56.50
44.107 39.20
57.30
43.807 39.18
53.70
Piézoélectriques (Cm−2 )
e31
e33
-9.11 7.4
-8.6 7.6
-8.8 7.76
Diélectriques (×1010 C 2 N m−2 )
d33 /0
242.8
242.65
242.13
Tab. 5.2 – Les propriétés effectives d’un matériau PZT perforé par des trous en trois rotations
différentes pour une fraction volumique θ = 21 .
The variation of the hydrostatic charge constant d versus volume fraction θ
h
140
α=90
α=45
α=0
120
100
−1
d (p CN )
80
h
60
40
20
0
−20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Volume Fraction θ
0.7
0.8
0.9
1
Fig. 5.15 – Comparaison du coefficient de charges hydrostatiques dh entre les trois rotations.
0.8
α=90
α=45
α=0
The electromechanical coupling constant kt
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
5
10
15
20
The acoustic impedance Z (Mryl)
25
30
Fig. 5.16 – Comparaison du facteur de couplage électromécanique k̄t entre les trois rotations.
Chapitre 5. Homogénéisation numérique des matériaux piézoélectriques perforés
5.8
127
Synthèse et discussion
En conclusion de ce travail, nous avons développé deux techniques pour analyser les propriétés effectives des matériaux piézoélectriques : L’une, une technique analytique adaptée à
des structures particulières. L’autre, une méthode d’éléments finis qui fonctionne dans tous les
cas. Nous avons réalisé une étude paramétrique des propriétés macroscopiques des structures
piézoélectriques perforées en fonction de :
i) La fraction volumique.
ii) La distribution des perforation.
iii) La géométrie des perforations.
iv) La rotation d’une perforation à géométrie non symétrique.
L’étude réalisée montre que quelque soit la distribution ou la forme des trous choisie, la
fraction volumique reste un paramètre influent sur le comportement macroscopique de ces
structures. Lorsque la fraction volumique croı̂t, les coefficients des tenseurs d’élasticité et de
piézoélectricité homogénéisés décroı̂ent. Or, la constante diélectrique effective croı̂t lentement.
Ce qui induit un effet de piézoélectricité moyennement élevé. A la limite, on tend vers un
matériau homogène, où le champ électrique est aussi élevé dans le vide des perforations que
dans le piézoélectrique.
Pour une application en hydrophonique ou en imagerie biomédicale, les résultats numériques
présentés dans ce chapitre, montrent qu’on peut avoir une structure moyennement optimale qui
permet l’amélioration du rendemment des effets piézoélectriques et acoustiques dans les structures piézoélectriques perforées.
L’analyse présentée ici montre que le type de la distribution joue un rôle tout aussi important que la seule hypothèse de distribution périodique ou aléatoire. Dans les applications
industrielles, la difficulté pratique majeure réside dans le fait que la distribution réelle peut rarement être mesurée ou contrôlée, de sorte que les résultats numériques, doivent être considérés
prudemment d’un point de vue quantitatif.
Chapitre 6
Homogénéisation numérique des
matériaux piézocomposites laminés1
6.1
Introduction
Un matériau piézocomposite laminé est consitué d’un empilement périodique de couches
minces de matériaux piézoélectriques et de matériaux non nécessairement piézoélectriques.
Pendant ces dernières années, de nouveaux matériaux piézoélectriques composites ont eté
développés, en améliorant leurs caractéristiques électro/hydro acoustiques, notamment pour
leurs utilisations sous forme de capteurs ou actionneurs. De nombreuses études montrent que
les propriétés macroscopiques de ces matériaux sont susceptibles de s’améliorer, en fonction du
prorata de leurs constituants homogènes. En effet, d’important travaux montrent que ce type
de matériaux dispose de très bonnes propriétés macroscopiques, à titre d’exemple, on peut citer
les travaux de Kalamkarov et al. [43] [44], de Feng et Wu [35] et récemment ceux de Castillero
et al. [15] [19] [41] [77].
Pour étudier les propriétés électroélastiques des matériaux piézocomposites laminés, plusieures techniques ont été utilisées, les plus importantes sont les techniques numériques et
les techniques formelles. Les premières font appel à la méthode des éléments finis ou à celle
des éléments de frontière. Tandis que les méthodes formelles, sont basées sur les calculs explicites dans des cas bien particuliers. Citons les travaux de Castillero et al. [19] et de Kalamkarov et Georgiades [44] qui développent deux techniques de calcul formel pour les expressions des coefficients des tenseurs effectifs. En s’inspirant de ces études, et en se servant
des résultats d’homogénéisation obtenus précédemment, nous pouvons étudier le comportement des matériaux piézocomposites laminés. Un calcul analytique des tenseurs élastique,
piézoélectrique et diélectrique homogénéisés, ainsi que leurs propriétés en fonction de la fraction volumique est illustré dans ce chapitre. On présente également un nouveau modèle d’un
matériau piézocomposite bilaminé constitué de deux plis : un piézoélectrique et un matériau
simple non nécessairement piézoélectrique et périodiquement perforé. Les résultats numériques
obtenus montrent que ce nouveau modèle donne de bonnes caractéristiques hydrostatiques, ce
qui signifie qu’il est bien adapté à des applications industrielles en microélectronique de senseurs intelligents destinés à l’hydrophonique ou à l’imagerie biomédicale de haute qualité dans
les rayons X.
1
Une partie du contenu de ce chapitre a été l’objet de la publication [57]
129
130
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
Ce chapitre est composé principalement de six sections: Dans la deuxième section, les
problèmes cellulaires correspondant au structure laminée, seront posés sous la forme d’équations
différentielles ordinaires résolues explicitement. Ceci afin de déterminer les expressions des tenseurs effectifs. Dans la troisième section, on s’intéresse à l’étude d’un matériau piézocomposite
bilaminé constitué de deux couches minces : l’une est de type piézoélectrique, l’autre est
un matériau simple dont la propriété de la piézoélectricité est inactive. Dans la section suivante, nous utilisons l’étude précédente, pour développer un nouveau modèle de matériau
piézocomposite bilaminé et périodiquement perforé. On montre d’une part son utilité pour
les applications en hydrophonie, et d’autre part, on confirme le choix d’un prototype proposé
par Preumont [73] [74]. Dans la dernière section, on met en évidence numériquement l’effet de
la permutation entre l’épaisseur et la taille des perforations dans le passage à la limite, sur le
comportement macroscopique final, dans le cas des matériaux piézocomposites laminés .
6.2
Problèmes locaux et tenseurs effectifs
Les matériaux piézocomposites sont utilisés pour leur légèreté et leur capacité d’activation.
Mais leur coût de fabrication demeure élevé c’est pourquoi la conception des structures mettant
en œuvre ces matériaux doit prendre en compte les contraintes mécaniques et électriques. Il
devient aujourd’hui nécessaire de pouvoir prédire les propriétés mécaniques et électriques des
composites avant même leur élaboration, grĉe à la simulation numérique.
Pour ce faire, le travail de modélisation des propriétés effectives des milieux piézocomposites
laminés décrit ci-après comporte deux objectifs : la compréhension du comportement des
matériaux et le prédimensionnement de matériaux en vue de satisfaire à des besoins spécifiques.
Seront abordées dans ce travail les modélisations des tenseurs effectifs : mécaniques, diélectriques
et piézoélectriques des structures piézocomposites laminées.
Dans cette section, on considère un milieu piézocomposite bilaminé Ωε (voir la figure 6.1)
composé de deux matériaux piézoélectriques (A) et (B), qui sont superposés suivant la classification de Newhnam (1978), c’est-à-dire en parallèle avec l’axe x3 , dont la cellule de référence
ayant la forme indiquée sur la figure 6.1 et elle est notée par Y .
Pli du piézo A
Ωε
x3
Pli du
piézo B
y3
x2
Y
x1
y1
y2
Fig. 6.1 – La structure du piézocomposite bilaminée Ωε de type 3 − 1 et sa cellule de base Y .
Compte tenu de l’invariance des éléments des tenseurs de rigidité, de piézoélectricité (de
couplage) et de diélectricité par rapport aux coordonnées y1 et y2 , il est clair que les deux
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
131
problèmes cellulaires (2.6.36) et (2.6.37) deviennent deux problèmes monodimensionnels scalaires sous forme d’équations différentielles ordinaires pour la variable y3 ∈]0, 1[ avec des conditions de périodicité aux bords, elles s’écrivent comme suit

∂wlmh
∂ϕmh o
∂Ci3mh (y3 )
∂ n


−
C
(y
)
+
e
(y
)
=
,

i3k3 3
3i3 3


∂y3
∂y3
∂y3
∂y3




∂ n
∂wlmh
∂ϕmh o
∂e3mh (y3 )
(6.2.1)
−
−
e
(y
)
+
d
(y
)
= −
,

3k3
3
33
3


∂y3
∂y3
∂y3
∂y3






wmh (0) = wmh (1), ϕmh (0) = ϕmh (1),

∂ n
∂qn
∂ψ n o
∂eni3 (y3 )



−
C
(y
)
+
e
(y
)
=
,
ijk3
3
3ij
3


∂y3
∂y3
∂y3
∂y3




∂ n
∂qn
∂ψ n o
∂d3n (y3 )
−
−
e
(y
)
+
d
(y
)
=
,

ik3 3
i3 3


∂y3
∂y3
∂y3
∂y3






qn (0) = qn (1), ψ n (0) = ψ n (1).
(6.2.2)
Ces équations doivent être comprises au sens des distributions; ceci implique, par exemple la
∂qn
∂ψ n ∂eni3
continuité aux interfaces trou-matrice de Cijk3
+ e3ij
+
. La résolution de ces deux
∂y3
∂y3
∂y3
problèmes (6.2.1)-(6.2.2) permet de calculer explicitement toutes les expressions des coefficients
effectifs, qui seront présentées dans la section suivante.
6.3
Application hydrostatique
Dans cette section, nous nous intéressons à une structure bilaminée, inspirée par ses applications aérospatiales et dans l’imagerie biomedicale, consituée de deux plis : (A) représente un
matériau piézoélectrique de classification hexagonale (6mm) et (B) est un matériau isotrope,
non nécessairement piézoélectrique (pour plus de détails, on pourra consulter Nelli-Silva et al.
[62] et Ruan et al. [79]).
En s’appuyant sur la technique développée précédemment, on résout les problèmes locaux,
qui s’écrivent sous forme d’équations différentielles ordinaires, avec des conditions aux limites
périodiques. Ensuite, on détermine analytiquement les expressions des tenseurs effectifs qui sont
données comme suit
(i) Les coefficients du tenseur de diélectricité homogénéisé :

d¯11 = χ dP11 + (1 − χ) dS11






−1


1−χ
χ

 d¯22 =
+ S
dP22
d22
(6.3.3)



!

−1

2

(e32 )
χ
1−χ
 ¯
2
P
S
2
P −2


+ (1 − χ) d33 − χ (e32 ) C22
+
 d33 = χ d33 + C P
P
S
C22
C22
22
132
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
(ii) Les coefficients du tenseur de couplage homogénéisé :

ē15 = χ e15


−1


χ
1−χ

P −1

 ē24 = χ e24
+
d

22
P

dS22 

d22
−1


χ
1−χ

P −1

ē
=
χ
e
+
C

32
32
22
P
S


C22
C22
(6.3.4)
−1

P
S
P


χ C21 (1 − χ) C21
χ
1−χ
e32 C12
P −1


+
+
χ e32
+
C22
ē31 = χ e31 −

P
P
S
P
S

C22
C22
C22
C22
C22






−1

P
P
S

e32 C23
χ C23
(1 − χ) C23
χ
1−χ

P −1

+
+
χ e32
+
C22
 ē33 = χ e33 −
P
P
S
P
S
C22
C22
C22
C22
C22
(iii) Les coefficients du tenseur d’élasticité homogénéisé :

!
P 2
S
C
C12

12
S
P


+ (1 − χ) C11 − S
C̄11 = χ C11 −

P

C11
C11



2 −1

S
S

χ C12 (1 − χ) C12
χ
1−χ


+
+
+


P
S
P
S

C11
C11
C11
C11





−1


P
S

χ C12
(1 − χ) C12
χ
1−χ


C̄12 =
+
+

P
S
P
S

C11
C11
C11
C11







P
S

C
C

12
12
P
S

C̄13 = χ C13 1 − P + (1 − χ) C12 1 − S



C11
C11

−1

S
P
S
P

(1
−
χ)
C
χ
C
(1
−
χ) C12
χ
1−χ
χ
C

12
13
12


+
+
+
+

P
S
P
S
P
S

C
C
C
C
C
C11

11
11
11
11
11





−1


χ
1
−
χ


C̄22 =
+

P
S


C11
C22





























































C̄23 =
C̄33
P
χ C13
P
C11
χ
1−χ
+
P
S
C44
C44
+
(1
S
− χ) C12
S
C11
χ
1−χ
+
P
S
C11
C11
−1
!
!
P 2
S 2
C
C
P
S
− 13P
= χ C33
+ (1 − χ) C11
− 12S
C11
C11
2 −1
P
S
χ C13 (1 − χ) C12
χ
1−χ
+
+
+
P
S
P
S
C11
C11
C11
C11
C̄44 =
−1
−1
χ (e15 )2
+
− χ (e15 )2 dP22
P
d22
P
S
C̄55 = χ C44
+ (1 − χ) C44
C̄66 =
χ
1−χ
+
P
S
C66
C44
−1
χ
1−χ
+ S
P
d22
d22
−1
(6.3.5)
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
133
R
R
Avec hψi = Y ψ dy = Y ψ dy3 = θψpli1 + (1 − θ)ψpli2 , θ représente l’épaisseur du pli 1. Ces
expressions, nous permettrons de présenter les variations des tenseurs effectifs en fonction de la
fraction volumique du piézoélectrique (voir les figures suivantes). On constate que les propriétés
effectives d’un matériau piézocomposite composé de deux plis : un piézoélectrique de symétrie
(6mm) et un matériau non nécessairement de type piézoélectrique, sont déterminées par neuf coefficients d’élasticités, six coefficients de couplages et trois coefficients de diélectricités différents,
ce qui signifie que ce milieu se comporte de la même façon qu’un matériau de symétrie (6mm)
et ceci quelque soit le type du matériau qui forme la deuxième couche. Cette technique formelle
est valable quelque soit le type de matériaux utilisés.
Pour les tests numériques on utilise les propriétés des céramiques PZT-5A et de l’Araldite
(solide) qui sont données par le tableau 6.1, avec la permittivité du vide 0 = 8.85 10−12 C 2 /N m2 .
Matériau
PZT-5A
Araldite
Élastiques (GP a)
Piézoélectriques (C/m2 )
C11 C12 C13 C33 C44 e31 e33
e15
121 75.4 75.2 111 21.1 -5.4 15.8
12.3
5.46 2.94 2.94 5.46 1.26 0
0
0
Diélectriques
d11 /0 d33 /0
916
830
7.0
7.0
Tab. 6.1 – Les propriétés des matériaux PZT-5A et Araldite.
140
20
C
11
C
22
C
33
C
12
C55
C66
100
15
33
2
Effective piezoelectric coefficients (C/m )
Effective elastic coefficients (GPa)
120
80
60
40
10
5
0
−5
20
0
e
15
e
24
e
32
e
31
e
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Volume fraction θ
0.7
0.8
0.9
−10
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Volume fraction θ
0.7
0.8
0.9
1
−9
9
x 10
d
11
d22
7
22
Effective dielectric coefficient dH , dH (C/Nm2)
8
11
6
5
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Volume fraction θ
0.7
0.8
0.9
1
Fig. 6.2 – Variation des coefficients des tenseurs d’élasticité, de piézoélectricité et de diéléctricité
homogénéisés en fonction de la fraction volumique.
134
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
La modélisation qui nous intéresse consiste à déterminer les coefficients effectifs en fonction des coefficients des différents matériaux qui constituent le composite. Nous nous sommes
intéressés à l’épaisseur de la couche piézoélectrique. Notre objectif est de montrer combien ce
paramètre d’épaisseur est déterminant. Les trois figures précédentes nous donnent une description totale des propriétés macroscopiques des matériaux piézocomposites laminés en fonction de
l’épaisseur de la couche piézoélectrique. On constate que la dépendance des tenseurs élastiques
et piézoélectriques homogénéisés est linéaire en fraction volumique inférieure à θ = 0.8 de
l’épaisseur de la périodicité, et elle est non linéaire au delà de cette valeur.
Il s’agit dans cet exemple de comprendre l’efficacité de l’utilisation des piézocomposites
laminés sous forme de détecteurs passifs sous réserve de conditions hydrostatiques dans l’hydrophonique. Notons par d¯mi : la moyenne du tenseur piézoélectrique, S̄ij : le coefficient de
couplage élastique et par ¯Tmn : la permittivité. Ces paramètres, peuvent être déterminés, en
suivant les formules de Berlincourt (1964) suivantes :
∆ij
S̄ij = (−1)i+j
,
i, j = 1, 2, ..., 6
∆
d¯mi = ehmj S̄ji ,
¯T
= d¯mp eh + ¯mn ,
mn
np
où ∆ est le déterminant de la matrice de rigidité homogénéisé C̄ = (c̄ij ) et ∆ij est le
déterminant de la même matrice en éliminant la i-ème ligne et la j-ème colonne. A partir de
ces derniers paramètres, on détermine les coefficients hydrostatiques suivants :
d¯h = d¯33 + 2d¯31 : coefficient des charges hydrostatiques,
d¯h
gh =
: coefficient hydrostatique.
0 ¯T33
Les graphes ci-dessous indiquent une croissance du coefficient des charges hydrostatiques d h
et nous donnent également la variation des coefficients piézoélectriques longitudinal et transversal d¯33 , d¯31 respectivement, ce qui permet par la suite une croissance dans les valeurs de d¯h . Les
figures 6.3(a) et (b), illustrent une croissance dans le produit d¯hḡh pour une fraction volumique
du matériau piézoélectrique moyennement petite θ = 0.15, ce qui représente un intérêt majeur
pour les applications hydrostatiques puisque ceci montre que cette structure a de bonnes propriétés acoustiques (pour plus de détails, voir Castillero et al. [19], Gibiansky et Torquato [39]
et Sigmumd et al. [83]).
−10
4
x 10
d
33
−d
31
−d
32
d
0.04
dh gh
gh
0.035
h
3
d33, −d31, −d32, dh
dh gh ( * 10−12 m2/N), gh (Vn/N)
0.03
0.025
2
0.02
0.015
1
0.01
0.005
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
(a)
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
(b)
Fig. 6.3 – Variation des coefficients hydrostatiques en fonction de la fraction volumique θ.
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
6.4
135
Remarques et commentaires
i) Le travail présenté dans les sections précédentes, a permis d’assembler des outils analytiques et numériques, existants ou développés dans le cadre de cette étude. Cet ensemble permet de calculer explicitement les tenseurs effectifs mécaniques, électriques et
piézoélectriques des piézocomposites laminés. L’ensemble de ces outils est disponible sous
la forme d’un progiciel, développé dans le cadre de notre travail.
ii) Une application analogue à celle-ci a été développée par Castillero et al. [19] en utilisant
la technique des développements asymptotiques. Avec le même procédé, Kalamkarov et
Georgiades [44] ont déterminé les expressions explicites des coefficients effectifs pour le
cas des matériaux intelligents.
iii) L’approche analytique, développée ici, pour les matériaux piézocomposites est utilisable
par d’autres auteurs dans des situations différentes, tels que le travail de Kalamkarov et
Georgiades [44] pour les matériaux magnetostrictifs ou le travail de Rodriguez el al. [77]
pour les matériaux fibrés unidirectionels, ainsi on peut envisager son application pour
d’autres matériaux dits intelligents.
iv) On pourrait également envisager le calcul explicite des tenseurs effectifs pour des matériaux
laminés constitués d’un nombre quelconque de différents plis de matériaux, rangés en suivant la classification de Newnham (voir [19]).
v) Cette approche pourrait servir à l’étude des ondes acoustiques de surface qui s’appuie
sur les propriétés électroacoustiques des matériaux piézoélectriques tels que : le quartz, le
nioboate de lithium (LiN bO3 ), le tentalate de lithium (LiT aO3 ) et le monoxyde de zinc
(ZnO) (voir Nayfeh [61]).
6.5
Description d’un modèle piézocomposite bilaminé
perforé
Nous proposons dans cette section d’étudier les propriétés effectives d’un nouveau modèle
de matériau piézocomposite bilaminé, constitué de deux couches minces, la première est de type
piézoélectrique tandis que la deuxième est un matériau isotrope dont la propriété du couplage
seulement est inactive, les deux couches sont périodiquement perforées (voir la figure 6.11), on
prend des trous sous forme cylindrique suivant la classification de Newnham et disposés suivant
la distribution carrée.
x3
Perforations
Piézoélectrique
x2
Matériau
x1
Fig. 6.4 – Structure piézocomposite bilaminée Epoxy/PZT-5A de type 1 − 3 perforée Ω ε .
136
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
Pour étudier les propriétés effectives de cette structure, on reprend en premier lieu le passage
de l’épaisseur par zéro, ce qui permet d’utiliser les expressions explicites des tenseurs effectifs du
troisième chapitre, c’est-à-dire au lieu de deux couches minces, on n’aura qu’une seule couche
d’un matériau homogène dont les coefficients des tenseurs d’élasticité, de piézoélectricité et de
diélectricité sont donnés par les expressions (3.3.12) et (3.3.12). En second lieu, on réutilise le
code numérique des éléments finis développé dans la section 5.2, sous une version bidimensionnelle, pour étudier les problèmes cellulaires qui sont nécessaire à l’étude des propriétés effectives
de cette structure.
6.5.1
Application en hydrophonie (imagerie biomédicale)
Une fois les tenseurs effectifs déterminés, nous étudions la variation du coefficient hydrostatique d¯h en fonction de la fraction volumique θ, présentée dans la figure 6.5.1(a). Nous pouvons
observer une amélioration du coefficient hydrostatique d¯h par une croissance de ces valeurs
en fonction de la diminution de la taille des trous. Cette croissance, se traduit par un effet
piézoélectrique très important, ce qui représente un intéret pour les applications industrielles
en l’occurence en hydrophonie (imagerie biomédicale).
The piezocomposite laminated perforated Epoxy/PZT−7A
0.8
160
0.7
140
The electromechanical coupling constant kt
Bilaminated
PZT−7A Fiber
120
80
h
d (p CN−1)
100
60
40
20
0
0.6
0.5
Fibré
Bilaminé
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Volume Fraction θ
0.7
0.8
0.9
0
1
(a)
5
10
15
20
The acoustic impedance Z (Mryl)
25
30
(b)
Fig. 6.5 – (a): Variation du coefficient hydrostatique d¯h en fonction de la fraction volumique θ.
(b)La variation du facteur de couplage électromécanique k̄t en fonction de l’impédance acoustique Z̄ (M rayls).
Nous constatons que le modèle bilaminé perforé permet d’avoir de meilleures propriétés
acoustiques que dans une couche piézoélectrique uniquement, ce qui se traduit par des valeurs
supérieures du facteur de couplage électromécanique k̄t (k̄t ' 0.60−0.70) (voir la figure 6.5.1(b))
comparées aux valeurs obtenues dans le second modèle et ceci en restant toujours au voisinage
des mêmes valeurs de l’impédance acoustique Z̄. Par conséquent, cela permet par la suite de
mieux se servir de ce modèle dans l’ingénierie pour des utilisations hydrophoniques (pour plus de
détails on pourra consulter Guinovart-Diaz et al. [40]). Dans la section suivante, nous essayons
de montrer l’efficacité de ce modèle avec des perforations hexagonales, pour des applications en
filtrage spatial.
Remarque 6.5.1 Il convient de signaler, qu’a partir des figures 6.5.1 (a) et (b), on constate,
que ce nouveau modèle nous donne des propriétés hydrophoniques prochst des résultats obtenus
par Poizat et Sester [71] [72] et Guinovart-Diaz et al. [40] dans le cas fibré, néanmoins ce
modèle a l’avantage d’être facile à réaliser du point de vue technologique.
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
137
Remarque 6.5.2
i) Puisque les perforations sont sous forme cylindrique, il est envisageable de déterminer les
expressions des coefficients des tenseurs homogénéisés de façon explicite.
ii) L’analyse des éléments finis combinée avec le calcul analytique, présentée dans cette section, montre que ce nouveau modèle est clairement adapté aux applications hydrophoniques et en imagerie biomédicale.
iii) L’intérêt de ce modèle est d’apporter une facilité de fabrication du point de vue technologique, comparée à des composites piézoélectriques fibrés comme 0-3, 2-2 et 1-3 (voir les
travaux de Poizat et Sester [71] [72]).
6.5.2
Application en filtrage spatial
Dans cette section, nous nous intéressons à une application d’un contrôle de vibration des
structures, en particulier sur une technologie de réalisation de capteurs distribués avec des
propriétés de filtrage spatial.
Fig. 6.6 – L’image du prototype proposé par A.Preumont [73].
138
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
En gardant le même modèle proposé dans la section 6.5, mais cette fois avec des perforations
sous forme hexagonale. Ce modèle d’une série discrète de capteurs est très flexible, puisque les
capteurs sont reconfigurables, aussi à cause de la porosité variable de ce modèle, les coefficients
piézoélectriques effectifs peuvent être changés, parfois en temps réel, pour réaliser le rendement
désiré.
Fig. 6.7 – Le modèle de A.Preumont [73]: (a) la géométrie du domaine perforé, (b) le détail de
la forme et la distribution des perforations, (c) modèle 1: deux plaques perforées, (d) : modèle
2 : seulement une plaque perforée.
Le but est de mieux contrôler les deux tenseurs piézoélectriques tranverse et longitudinal
effectifs, puisqu’à la suite de ce contrôle, on peut contrôler la charge électrique produite par la
structure, via la formule suivante
Z
Q = (e31 S1 + e32 S2 ) dΩ,
Ω
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
139
où S1 et S2 sont les composantes de contraintes le long des axes d’orthotropies dans le demi-plan
du modèle. Un modèle tridimensionnel équivalent à celui-ci, a été étudié par A.Preumont et al.
[73] [74] en utilisant la méthode des éléments finis. Notre objectif est de faire une comparaison
entre les résultats obtenus par A.Preumont et al. [73] [74] et ceux de notre simulation numérique,
en utilisant le module de l’homogénéisation numérique avec les expressions des tenseurs effectifs
pour les matériaux bilaminés. Pour les tests numériques, on considère que les deux couches sont
des piézoélectriques de type PVDF2 , dont les caractéristiques sont données par le tableau 6.2
établi par Piefort [70].
ρ
Y1
Y2
G12
ν
ε
d31
d32
(kg/m3 )
(GP a)
(GP a)
(GP a)
1800
2.0
2.0
0
0.29
1.062 10−10
2.2 10−11
0
(F/m)
(Cb/N )
(Cb/N )
Tab. 6.2 – Les propriétés de PVDF.
H
31
Effective piezoelectric coefficient e
vs. fraction of electrode area (One−sided electrode)
100
90
FEM
FEM+AHM
Effective piezoelectric coefficient eH
31
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fraction of electrode area
Fig. 6.8 – Comparaison entre les résultats de l’homogénéisation et ceux de A.Preumont du
coefficient piézoélectrique transverse eH
31 .
Le résultat de l’étude comparative3 entre les valeurs numériques du tenseur piézoélectrique
transverse e31 effectif obtenues par notre code et celui de Preumont et al. [73] [74] est illustré
dans la figure 6.8. On peut donc constater qu’ils sont du même ordre de grandeur.
2
Signalons que deux couches piézoélectriques de classification hexagonale (6mm) ont un comportement macrscopique d’un matériau de classification orthorhombique (2mm) (voir Castillero et al. [19], ainsi Dieulesaint
et Royer [30]).
3
FEM : Finite Element Method. AM : Analytical Method.
140
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
Ensuite, en gardant le même modèle et en faisant des perforations sur la première couche
seulement, il est clair que ce modèle est du point de vue technologique plus simple que le
modèle précédent. Dans la figure 6.9, on présente une comparaison entre les résultats obtenus
par le module d’homogénéisation et ceux de A.Preumont et al. [73] [74]. On constate que même
dans ce modèle, nos résultats sont du même ordre de grandeur avec ceux de A.Preumont. Une
autre différence de niveau qu’il reste à expliquer pour le dernier cas. Une véritable comparaison
nécessiterait des investigations supplémentaires.
H
Effective piezoelectric coefficient e31 vs. fraction of electrode area (Two−sided electrode)
100
90
FEM
FEM+AHM
Effective piezoelectric coefficient eH
31
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fraction of electrode area
Fig. 6.9 – Comparaison entre les résultats de l’homogénéisation et ceux de A.Preumont.
L’étude présentée dans cette partie, nous a permis en comparant les résultats obtenus par
notre code et ceux de A.Preumont et al. [73] [74], a montré l’efficacité du filtrage d’une plaque
ou d’une coque avec des films de PVDF pour réduire le crénelage spatial des filtres discrets. Ce
dernier se produit pour tous les modes avec un nombre d’ondes plus important que le nombre
de sondes (pour plus de détails, on pourra consulter les travaux de A.Preumont et al. [73] [74]).
Effective piezoelectric coefficient eH vs. fraction of electrode area (Two−sided electrode)
31
100
90
Hexagonale
Carrée
Effective piezoelectric coefficient eH
31
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Fraction of electrode area
0.8
0.9
1
Fig. 6.10 – Comparaison entre les deux distributions dans le modèle de A.Preumont.
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
141
La figure 6.10 montre clairement que dans le modèle prototype proposé par A.Preumont, on
peut prend aussi une distribution carrée, et dans cette situation on trouve les mêmes résultats
qu’une distribution hexagonale.
6.6
Effet d’ordre des convergences
Dans cette section, on présente un exemple d’un matériau piézocomposite bilaminé d’une
connection de type 2 − 2, constitué de N (N ∈ IN) couches minces où chacune est constituée
de deux plis : un piézoélectrique et un solide simple, disposés orthogonalement par rapport à
l’axe de l’épaisseur (voir la figure 6.11). Le but de cet exemple est de mettre en évidence du
point de vue numérique et analytique, la différence entre l’ordre des deux passages aux limites
: le passage asymptotique (h → 0) et celui de l’homogénéisation (ε → 0).
x1
Piezoceramic
Polymer
x3
h
x2
d
L
Fig. 6.11 – Structure piézocomposite bilaminée 2 − 2 Piezoceramic/Epoxy.
On procède de manière a faire tendre le paramètre de la périodicité ε et l’épaisseur de la
structure h vers zéro, dans cet ordre. Tandis qu’en deuxième lieu on inverse l’ordre entre ces
deux derniers passages, pour vérifier numériquement, pour cette structure, que ces deux situations finissent par deux comportements macroscopiques différents.
Intéressons-nous au premier passage (ε → 0) de la première situation, en utilisant les
problèmes locaux (6.2.1) et (6.2.2 ) pour une périodicité parallèle à l’axe x2 , on calcule les
coefficients des tenseurs d’élasticité, de couplage et de diélectricité effectifs, comme suit
(iii) Les coefficients du tenseur de diélectricité homogénéisé :
 ¯
d11 = χ dP11 + (1 − χ) dS11






−1


1−χ
χ
 ¯
+ S
d22 =
(6.6.6)
dP22 )
d22




−1


−2 χ

χ (e32 )2
1−χ
2

P
S
2
P
¯
 d33 = χ d33 + (1 − χ) d33 +
− χ (e32 ) C22
+
P
S
cP22
C22
C22
142
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
(i) Les coefficients du tenseur de couplage (de piézoélectricité) homogénéisé :

ē15 = χ e15


−1

P
S
S

−1 χ
χ C21
(1 − χ) C21
1−χ

χ e32 C21
P

 ē31 = χ e31 + χ e32
+
C
+
−

22
P
S
P
S
P

C22
C22
C22
C22
C22






−1


χ
1−χ

P −1

+
 ē32 = χ e32 C22
P
S
C22
C22
(6.6.7)



−1
P
P
S


e32 C23
χ C23
(1 − χ) C23
χ
1−χ

P −1

ē
=
χ
e
−
+
χ
e
+
C
+
33
33
32

22
P
P
S
P
S

C22
C22
C22
C22
C22






−1


−1 χ
1
−
χ

P

 ē24 = χ e24 d22
+ S
dP22
d22
(ii) Les coefficients du tenseur de rigidité homogénéisé :

!
!
P 2
P 2
C
C

12
12

S
P

+ (1 − χ) C11
−
C̄11 = χ C11
−

P
S

C
C22

22






2 −1

P
S

χ C12
(1 − χ) C12
χ
1−χ



+
+
+

P
S
S
S

C
C
C
C22

22
22
22





2 −1

P
S

χ
C
(1
−
χ)
C
χ
1
−
χ

23
23

C̄12 =
+
+


P
S
P
S

C22
C22
C22
C22






P P
S
S

C
C
C
C

12
23
12
23
P
S


C̄13 = χ C13 −
+ (1 − χ) C13 −

P
S

C22
C22





−1


P
S
P
S

χ C12
(1 − χ) C12
χ C23
(1 − χ) C23
χ
1−χ


+
+
+
+

P
S
P
S
P
S

C22
C22
C22
C22
C22
C22





−1
(6.6.8)
χ
1−χ

C̄22 =
+

P
S

C22
C22






−1

P
S

χ
C
(1
−
χ)
C
χ
1
−
χ

23
23

+
+
 C̄23 =
P
S
P
S


C22
C22
C22
C22





!
!


P 2
S 2

C
C

P
S

C̄33 = χ C33
− 23P
+ (1 − χ) C33
− 23S



C
C22
22






2 −1


P
S

χ C23
(1 − χ) C23
χ
1−χ


+
+
+

P
S
P
S

C22
C22
C22
C22







P
S

C̄55 = χ C55
+ (1 − χ) C55






−1


χ
1−χ


 C̄66 =
+
P
S
C66
C44
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
143
L’exposant S ou P sur les coefficients, signifie que les coefficients sont liés aux matériaux solide ou piézoélectrique respectivement. A partir de ces dernières expressions, on peut donner une
description totale sur le comportement macroscopique des structures piézocomposites bilaminés
de type 2−2, en fonction de l’épaisseur de la couche piézoélectrique (voir les graphes suivantes).
On constate que ce modèle a quasiment le même comportement macroscopique d’un matériau
piézocomposite laminé de type 3 − 1 étudié dans la section 6.3.
−9
9
140
c
11
c22
c33
c
55
c
120
d
11
d22
8
7
66
Effective dielectric coefficients
100
Effective elastic coefficient
x 10
80
60
6
5
4
3
40
2
20
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Volume fraction θ
Volume fraction θ
20
e
15
e31
e
33
e32
e
15
Effective piezoelectric coefficients
24
10
5
0
−5
−10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Volume fraction θ
Fig. 6.12 – La variation des tenseurs homogénéisés en fonction de la fraction volumique χ pour
un matériau bilaminé 2 − 2. (a) : Les tenseurs élastiques, (b) : Les tenseurs piézoélectriques,
(c) : Les tenseurs diélectriques.
144
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
Pour le deuxième passage de la première situation (h → 0), en se servant des formules
(3.3.12) et (3.3.12) présentées dans le troisième chapitre, on aboutit à

2
P e
C13
33

P 2
e
−

31
P
C13

C33

P
P

Ĉ
=
C
−
+

2
11
11
P

C22

dP33 − (ed33P )


33






P e
P e
C13
C32

33
33

P
P
e
−
e
−
31
P
32
P
C C
C33
C33
P
P
(6.6.9)
Ĉ12
= C12
− 23 P 13 +
2
(e33 )

P
C33

d
−

33
dP

33





2

P e
C32

2
33

P
e
−

32
P
C
C33

P
P


Ĉ22
= C22
− 32P +
2


C33
dP33 − (ed33P )
33



S
S

Ĉ11
= C11
−









S
S
Ĉ12
= C12
−










S
S

= C22
−
 Ĉ22
S 2
C13
S
C33
S
S
C23
C13
S
C33
(6.6.10)
P 2
C32
S
C33
A présent, en remplaçant les expressions (6.6.7), (6.6.8) et (6.6.6) dans les expression
précédentes de Ĉ11 , Ĉ12 et Ĉ22 , on aura

2
2
C̄13 ē33


ē
−
31

C̄13
C̄33


C̄ˆ11 = C̄11 −
+


C̄33

(ē33 )2

¯

d
−

33

d¯33







C̄13 ē33
C̄32 ē33
ē
−
ē
−
31
32
C̄23 C̄13
C̄33
C̄33
(6.6.11)
+
C̄ˆ12 = C̄12 −

2


C̄33

d¯33 − (ēd¯3333)






2


2
C̄32 ē33

ē
−

32
C̄32

C̄33

ˆ

C̄
=
C̄
−
+
22
22

2

C̄33
d¯33 − (ēd¯3333)
Un calcul explicite et un développement en fonction de la fraction volumique de ces trois
derniers coefficients ont été fait sous Maple.
De même, intéressons-nous à présent, à la deuxième situation, où en passant à la limite de
l’épaisseur h → 0 en premier et en deuxième, à ε → 0. En remplaçant maintenant ces deux
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
145
dernières expressions dans les formules des coefficients d’élasticité Ĉ11 , Ĉ12 et Ĉ22 , on obtient



2 
2 

P
S

Ĉ12 
Ĉ12


 P
 S

¯

Ĉ 11 = χ Ĉ11 −

+
(1
−
χ)
Ĉ
−



11

P
S

Ĉ
Ĉ

22
22



!2
!−1



S
P

χ
Ĉ
(1
−
χ)
Ĉ
χ
1
−
χ

12
12

+
+
+


P
S
P
S

Ĉ22
Ĉ22
Ĉ22
Ĉ22

(6.6.12)
!
!−1


P
S
 ¯
χ Ĉ12 (1 − χ) Ĉ12
χ
1−χ



Ĉ 12 =
+
+

P
S
P
S

Ĉ22
Ĉ22
Ĉ22
Ĉ22







!−1



1
−
χ
χ
¯


+

 Ĉ 22 =
P
S
Ĉ22
Ĉ22
Un calcul explicite et un développement en fonction de la fraction volumique de ces trois
derniers coefficients ont été aussi fait sous Maple. A partir des ces derniers calculs analytiques,
on met en évidence le fait que les deux chemins ne nous donnent pas les mêmes résultats.
C’est-à-dire que
¯
¯
¯
C̄ˆ ' Ĉ , C̄ˆ ' Ĉ , C̄ˆ 6= Ĉ
11
11
12
12
22
22
Les figures suivantes, donne une comparaison de quelques coefficients d’élasticités obtenus
par les deux chemins des deux passages aux limites étudiés suivantes :

 ˆ.̄ : ε → 0 puis h → 0
¯
.̂ : h → 0 puis ε → 0
80
1
C11
2
C11
70
Elastic coefficient c11
60
50
40
30
20
10
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Volume fraction θ
¯
1
2
Fig. 6.13 – La comparaison entre les deux coefficients Ĉ11 = C11
et C̄ˆ11 = C11
.
146
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
80
C1
12
C2
12
70
Elastic coefficient C
12
60
50
40
30
20
10
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Volume fraction θ
¯
1
2
Fig. 6.14 – La comparaison entre les deux coefficients Ĉ12 = C12
et C̄ˆ12 = C12
.
80
1
C22
2
C
22
70
Elastic coefficient C
22
60
50
40
30
20
10
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Volume fraction θ
¯
1
2
Fig. 6.15 – La comparaison entre les deux coefficients Ĉ22 = C22
et C̄ˆ22 = C22
.
Chapitre 6. Homogénéisation numérique des matériaux piézocomposites laminés
147
1.2
C11
C
12
C
La difference entre les deux chemins aux limites
1
22
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
La fraction volumique θ
0.7
0.8
0.9
1
¯
Fig. 6.16 – La comparaison entre les deux chemins des deux passges aux limites, Cij = Ĉij − C̄ˆij .
¯
¯
Les deux premières figures montrent que les deux coefficients C̄ˆ11 et Ĉ11 (resp. C̄ˆ12 et Ĉ12 )
du tenseur d’élasticité effectif ont le même comportement quasi-linéaire en fonction de la variation de l’épaisseur de la couche piézoélectrique. Or, à partir de la troisième figure, les deux
¯
coefficients C̄ˆ22 et Ĉ22 du tenseur d’élasticité effectif ont la même variation non-linéaire, mais
dans des proportions différentes.
Par conséquent, la fraction volumique dans ce modèle reste toujours un paramètre important, on constate aussi, que les deux chemins des deux passages aux limites nous donnent des
résultats finaux différents.
Conclusions et perspectives
Dans la première partie du présent travail, nous avons étudié le comportement asymptotique de l’état électromécanique des structures piézoélectriques périodiquement perforées quand
le paramètre des perforations tend vers zéro et ceci pour des structures bidimensionnelles ou
tridimensionnelles. Cette étude a été faite par des méthodes d’homogénéisation périodique, notamment la méthode de la convergence à deux échelles et la méthode de l’éclatement périodique.
Dans la première étude, nous avons décrit le problème homogénéisé et le théorème de l’existence et de l’unicité de la solution, pour un corps piézoélectrique périodiquement perforé, en
utilisant la convergence à double échelle. Nous avons déterminé les coefficients des tenseurs
élastiques, piézoélectriques et diélectriques homogénéisés, ainsi que leurs propriétés. Nous avons
aussi décrit le comportement asymptotique de l’énergie mécanique, électrique et totale. Ensuite,
un résultat de correcteur pour le déplacement mécanique et le potentiel électrique a été obtenu,
ce qui a permis d’avoir des convergences fortes.
Dans la seconde étude, nous avons déterminé le comportement asymptotique d’une plaque
piézoélectrique mince homogène, isolée électriquement et périodiquement perforée, quand les
paramètres d’épaisseur et la taille des perforations dans cet ordre tendent vers zéro. Après le
premier passage à la limite et en adaptant les démonstrations faites par Rahmoune [75] et
Sène [80], on obtient deux problèmes : membranaire et en flexion. En deuxième passage, on
obtient pour chacun d’eux le problème homogénéisé correspondant, de même pour les résultats
de l’existence et de l’unicité, ainsi que ceux des correcteurs correspondants et des tenseurs effectifs, et leurs propriétés. Cette étude pourrait s’adapter facilement, soit à des plaques non
homogène mécaniquement, soit à des plaques non isolée électriquement, entre autre, des plaques
dites de courts-circuité. L’ordre des tenseurs n’est pas pris en considération dans cette étude.
Ce qui ouvre des perspectives de recherche en ajautant l’hypothèse de Caillerie [17] pour les
matériaux purement élastiques, c’est-à-dire en tenant compte que les coefficients des tenseurs
ont des ordres de grandeur différents.
Finalement, en utilisant la technique de l’éclatement périodique récemment introduite par
Cioranescu, Damlamian et Griso [24], nous avons traité le cas d’une coque piézoélectrique
périodique de type Koiter, notamment le cas laminé. Pour se faire, on a homogénéisé le problème
de Koiter établi par Haenel [42], dans un système de coordonées curvilignes. Ainsi, nous avons
également étudié les mêmes points évoqués précédemment pour l’étude de la coque en question.
Les résultats théoriques obtenus dans cette partie, nous ont permis de mieux comprendre les
propriétés macroscopiques des matériaux piézoélectriques, notamment dans le cas des structures
contenant une propriété de périodicité dans leurs géométries et une propriété de microscopie
dans leurs structures.
149
150
Conclusions et perspectives
Le présent travail dans son originalité constitue une réponse mathématique aux questions
liées à l’étude de l’homogénéisation des structures piézoélectriques, notamment, la convergence.
Les travaux ayant abordé ce problème dans le cas de structures laminées (voir Castillero et al.
[19]) ou fibrées (voir les travaux de Feng et Wu [35], Ruan et al. [79] et les travaux de Telega
et al. [14] [36] [87] [88] [89]) sont considérés, donc, comme des cas particuliers de notre étude.
Dans la partie numérique du présent travail, nous avons effectué une modélisation numérique
pour des structures piézoélectriques bien précises telles que les structures perforées, les structures laminées et les structures laminées et perforées. Un code numérique basé sur la méthode
des éléments finis a été développé. Ceci nous a permis d’appréhender les propriétés macroscopiques des structures en question. Dans le cas des matériaux piézoélectriques perforés dont les
perforations sont sous forme cylindriques parallèles à l’axe d’épaisseur et dont les couplages
électromécaniques sont plus simples tels que les matériaux piézoélectriques transversalement
isotropes, une méthode analytique a été développée, ce qui nous a permis de déterminer analytiquement les expressions des tenseurs homogénéisés (effectifs).
Les tests numériques effectués dans les différentes configurations, ont montré que la fraction volumique représente un paramètre crucial des propriétés macroscopiques des matériaux
piézocomposites, ceci quelleque soit la distribution des perforations choisie (carrée ou hexagonle). Egalement, pour une application en hydrophonie ou en imagerie biomédicale, une distribution carrée se montre meilleure qu’une distribution hexagonale. En effet, on fait croitre le
facteur du couplage électromécanique (k̄t ' 0.6 − 0.7) pour une valeur réduite de l’impédance
acoustique (Z̄ ' 17.5 M rayl).
Après un aperçu sur les propriétés macroscopiques des matériaux piézocomposites laminés,
nous avons proposé un nouveau modèle d’un matériau piézocomposite bilaminé périodiquement
perforé. Les performances réalisées par ce modèle montrent son efficacité dans la fabrication des
senseurs intelligents destinés à l’hydrophonie ou à l’imagerie biomédicale de haute qualité dans
les rayons X. Nous avons confirmé le choix de prototype proposé par Preumont et al. [73] [74],
pour des utilisations en filtrage spatial. Finalement, en prenant une structure piézocomposite
bilaminée de type 2 − 2, nous avons mis en evidente l’effet de l’ordre de convergence entre
l’épaisseur et le paramètre de la périodicité.
À partir des résultats théoriques obtenus et des méthodes numériques développées (la
méthode des éléments finis et la technique analytique), de nombreuses autres situations peuvent
être envisagées :
• L’étude des propriétés effectives et de l’optimalité dans le cas de la piézothermoélasticité,
qui consiste à considérer un couplage des champs électrique et thermique avec le vecteur
de déplacement mécanique (pour plus de détails, on pourra consulter Levin et al. [48]).
• L’étude du problème d’une coque élastique munie de composants piézoélectriques ou d’une
coque stratifiée ayant des couches piézoélectriques (Rahmoune [75], Castillero et al. [19]).
D’un autre côté, cette recherche peut s’étendre à l’étude de l’homogénéisation des matériaux
dits intelligents entre autre les matériaux magnétostrictifs (Kalmkarov et Georgiades [44]).
Ainsi cela servira à mieux comprendre le comportement macroscopique d’une structure composée d’une couche de petites pastilles piézocéramiques intégrées dans un composite (on pourra
consulter les travaux de Rahmoune [75], de Canon et Lenczner [18] et de Telega et al. [14] [36]
[87] [88] [89]).
Conclusions et perspectives
151
Les deux approches : théorique et numérique, de ce travail de recherche s’appliquent notamment, en théorie du contrôle, dont :
• Le contrôle des tenseurs homogénéisés dans les structures piézocomposites fibrées (voir
Gibiansky et Torquato [39]), laminées ou perforées.
• L’optimisation de l’emplacement et de la forme d’actionneurs piézoélectriques sur une
structure élastique (voir Rahmoune [75]).
Comme des perspectives qui pourront être sous forme d’un prolongement de cette étude,
citons
• L’étude des propriétés macroscopiques et l’optimisation de forme des matériaux dits intelligents, entre autre des matériaux magnétostrictifs (voir Kalamkarov et Georgiades
[44]). En effet, ces matériaux ont une loi de comportement presque analogue à la loi de
comportement des matériaux piézoélectriques.
• L’étude des plaques comportant des films piézoélectriques et des couches élastiques (voir
Rahmoune [75]). L’optimisation des actionneurs pour le contrôle de torsion des pâles.
• L’homogénéisation des composites thermostructuraux, ainsi que pour le comportement
des céramiques ferroélectriques et ferroélastiques.
• L’étude des problèmes liés aux contrôles actifs ou passifs des vibrations et la détermination
des modes propres de vibration des plaques piézoélectriques multicouches, à la fois pour
les fréquences de résonance et d’antirésonance.
• L’étude des ondes guidées ou les ondes de surfaces dans les matériaux piézocomposites
laminés (voir Nayfeh [61] et Otero et al. [67]).
Bibliographie
[1] Allaire g. (1991). Homogénéisation et convergence à deux échelles. Application à un
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7. Mechkour h. (2005). Asymptotic behavior and homogenization of a thin linearly perforated piezoelectric plates. In preparation.
RÉSUMÉ
Homogénéisation et simulation numérique de structures
piézoélectriques perforées et laminées
Cette thèse est consacrée à l’étude asymptotique et l’homogénéisation de l’équation de la
piézoélectricité, dans le cas de coefficients rapidement oscillants et des structures périodiquement
perforées. L’étude consiste à développer deux approches; théorique et numérique. Dans l’approche théorique, on établit le problème homogénéisé et les tenseurs effectifs, ainsi que leurs
propriétés pour une structure tridimensionnelle perforée, quand la période tend vers zéro. En
se basant sur la même méthodologie, on traite le cas d’une plaque mince et d’une coque de
Koiter périodiques, lorsque l’épaisseur et la période tendent vers zéro.
Le deuxième volet comporte la simulation numérique du comportement macroscopique de
quelques structures piézoélectriques particulières, en l’occurrence : le piézocomposite perforé
et le piézocomposite laminé. Cette simulation trouve un intérêt pour de nouvelles applications
dans ce type de structures, notamment l’hydrophonie, l’imagerie biomédicale et le contrôle des
vibrations (filtrage spatial).
Mot clés. piézoélectrique, piézocomposite, élasticité, analyse asymptotique, homogénéisation,
domaines perforés, convergence à deux échelles, méthode de l’éclatement périodique, coques de
Koiter.
ABSTRACT
Homogenization and numerical simulation for perforated and
laminated piezoelectric structures
This thesis is dedicated to the study of the piezoelectricity equation, with rapidly oscillating
material coefficients and for the periodic perforated structures. In this thesis we have prospected
two approaches; the theoretical and the numerical one. In the theoretical approach, we establish
the homogenized problem and the effective tensors. We also show the properties of these tensors
for a three-dimensional perforated structure as the period tends towards zero. Using the same
method, we deal with the case of a perforated thin plate and a periodic Koiter-type shell, when
the thickness and the period tend towards zero.
The concern of the second constituent of this thesis is the digital simulation of the macroscopic behavior of some particular piezoelectric structures, in the particular: the perforated
piezocomposite and the piezocomposite laminated. The results of these simulations open the
door to new perspectives, in particular, biomedical imagery, hydrophonic and the vibrations
control (spatial filters) applications.
Key words. piezoelectric, piezocomposite, elasticity, asymptotic analysis, homogenization, perforated domains, two-scale convergence, periodic unfolding method, Koiter shells.