La localisation de la déformation dans les milieux granulaires Jacques Desrues To cite this version: Jacques Desrues. La localisation de la déformation dans les milieux granulaires. Sciences de l’ingénieur [physics]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 1984. Français. �tel-00008343� HAL Id: tel-00008343 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00008343 Submitted on 3 Feb 2005 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. pfésmtée a . T L*UPWERSITÉ SCIENTIFIQUE ET MÉDICALE ET L’INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE obtenir pour te titre de . DOCTEUR ES SCIENCES Jacques DESRUES’ Ingénieur INSA . SUJET LA LOCALISATION DE LA WF~F~MATI~N I DANS LES MATÉRIIAUX GRANULAIRES Soutenue le 29 Juin 1984 devant la Commission M. J.P. GERMAIN . M. . J.L. AURIAULT - M. R. CHAMBON Président Rapporteurs . .M. J. SALENÇON ’ M. 1. VARDOULAKiS M. F. DARVE Examinateurs M. M;P. LUONG GRENOBLE d’Examen THESE de DOCTORAT D%?‘AT Tl’ire de f’ouvrage : LA L6CALISATION.DE LA DEFO-RMATION DANS LEk MATERIAUX GRANULAIRES Nom de l’auteur : J&ques DESRUES &ab/ksement : Znstitut de Mkanique de Grenoble . - pksente u ne &de Ce mhmoire exp&imentale et pique de ta locadisation dans Jes matbriaux granulaifes La premigre partie se phente cornme. une ‘revue des m&odes et tbkories de la mkanique des [email protected] (ou plus g&Cralement, des Aides) ~.I&&MI~ trait, +$$;yw)s ou de loin, i ‘la rupture localMe. Les dik~~~tes”a~~~~~-~~‘sent exami&s sous i’angle.du r4Ye jou4 par khotion de cf&&mation locaW&, Lgs concepts de base de l’analyse de bifurcation par [email protected] sent expos& et les principaux tr;ivaux discutk. ..- 1.. __ , ’ . - ha seconde partie rend compte d%ne &Me exp&ihenia!e * r6alis6e B tressai biaxial, a~ec~~hsualisatioir quantitative de I’apparition et du d&veloppement de la- Iocakation au murs de Pessai. ta methode *sW&oMotogramm&rique est exposhe en d&ail. les r&uttats discut&concernent Ia naiss;an& de fa focaiisation, la faGon -dent elle se pmpage, les variations tie volume au sein de la bande de cisaitlement, ie r6le des imperfections de f’essai. . . La pwtie thhorique concerne l’anaiyse de biftircation par localisation. Aprk avoir rapprochh quelques ‘ktudes con-’ cernant ile mathriau Biastoplastique non standard, et discutc5 . fe rafe de I’angle .de diiatance dans ces @visions, on s’int&esse a l’application du cadre .&ssique aux lois incrbmentalement non iin6aires ; la nhssit6 d”une extension de ce cadre est . :avanche, et fa mise en:czuvre du cadre 6largi sur une loi heuristique permet d’illustrer la pertinence de cette approche g&&ale. . . MQ3SClES Localisktion de la ddftirmation ; Bandes de cisaiilement ; Matkiaux grzinuiaires ; Ruptuice ; Essai biaxiai ; D6formation piane ; StMopho togramm&rie ; Lois de comportement ; Non lMarit6 inahentale TMorie de la bifurcation ; IVkcanique des sols. ; s ‘- . - Avant Lknvironnement Propos scientifique essentiel sur lequel a germe la a été constitué par mes cinq collègues 1 echerche dont j ‘expose ici les fruits Boulon, René Chtion, Félix Darve, Etienne Flavigny de 1 ‘équipe lUGlI?X : ikc et Pi erre Foray. Riche, diverse et en perpétuelle évolution, cette équipe m’a offert chaque jour la palette de ses compétences et de ses terrpéraments. Au sein de cet environnement, c’est à René Charbon que ce travail doit le plus, pour des années de collaboration sur le plan théorique. Plusieurs chapitres de ce mémoire sont les fruits de cette collaboration dont c’est peu dire qu’elle me fut précieuse. Félix Grenoble, sujet et de Darve dans a été 1 ‘équipe ; recherche. ne m’ont jamais Le fait C’est 1 ‘essentiel soutien de propre, que ici En cette soutenance, deux travaux au premier son allant équipe, talonné par pendant une part Qu’on me permette a été de cette de n?on terrps recherche il des sur rang et de la pour localisation la à définitknde son inébranlable optimisme défaut. Benjamin ses membres. 1 ‘initiateur les des état, ma thèse du statut d’autres grande d’en faire soutiens exigences que plus dernière je assumaient, tâches avant d’autres de CI!W?S, j ‘y ai consacré au détriment de leur collectives et contractuelles. et de les en remercier. phase de mon travail, celle du mémoire et de la Messieurs Sa1ençon et ext éri eurs au laboratoire professeurs Vardoulakis, m’ont fait 1 ‘honneur et le plaisir d’accepter d’en être les rapporteurs extérieurs. Leurs remarques ont été précieuses et m’ont permis de reprendre quelques unes des imperfections de ce mémoire. Monsieur Luong, ayant assuré la mission connaissance judicieux de de parrain de mes travaux et recherche, ses n’a dès encouragements jamais précieux souvent d’une fois tifique d’assurer non montage directement confié ; il bienveillants. soutien dans le GIN?Sà mon égard, a eu toujours Monsieur sa dans la traversée nouvelle. du jury, irrpliqué m’a à me manifester expérience la présidence avait 1 ‘origine manqué de mes recherches, le que lui Monsieur prodigué Auriaul t, confiance du désert Gemin et d’apporter le point la spécialité en cause. ses conseils mon directeur dans 1 ‘avancée que constitue a accepté de vue d’un à la scien- ~ jury, de mes d’autres personnes bien reusement vitable En dehors pas de la les citer collègues ont toutes, tentative de donner et de 1 %quipe contribué c’est à bien à chacun lW%!EC, ce A -+ travail. ici que des membres de ce et Je ne peux se manifeste des nombreux acteurs malheu- 1 ‘échec d /une si inélongue entreprise-la plac.e..qui lui revient.- Je ne terminerai pas cependant sans remercier quelques uns d’entre ces acteurs : Jack Lanier, pour les expériences faites ensemble sur le “tri-tri”, et nos nombreuses discussions ; le Professeur Sawczuk, disparu brutalement voici quelques semaines à Grenoble, qui m’a pemnis d’effectuer quelques expériences prometteuses de tomodensitométrie à lbrseill e, avec 1e concours de M. Cagnasso ; Messieurs Gaveriaux et Weloff, du SRJ de Paris, pour m’avoir permis d’utiliser le stéréocorrparateur Traster de leur service, et m’avoir initié à son miement ; les jeunes chercheurs j ‘ai avec conçu qui la j ‘ai chaîne collaboré, de traitement dont notamment Bertrand Duthilleul, stéréophotogratzmetrique ; et avec enfin les qui per- sonnel s du laboratoire, depuis ceux avec qui a été conçue et réalisée la machine d’essai , jusqu ‘à ceux qui ont développé mes plaques photographiques, sans oublier ce1 1 es qui se sont occupé des factures et des courriers. SOMMAIRE -- INTRODUCTION PREMIERE l 7 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee PARTIE: POINTSDE VUE SUR LA LOCALISATION DE LA DEFORMATION 13 1 - 15 l CHAPITRE Les surfaces de rupture 1.1 - Le coin 1.2 - Les caractéristiques 1.3 - Les 1.4 - Le calcul 1.5 - Les CHAPITRE II de Coulomb à la rupture - L’orientation IIe2 - Le débat cipales CHAPITRE sur l - la surface l spécifiée - Généralités l eeee IIIe2 - La propagation l 21 22 avec surface de rupture du l eeee 24 milieu 26 de cisaillement~~~~~~~~~~~~~ coincidence des directions 28 prin29 coincidence vue ? l 30 eeeeeeeeeeeeeeeee de bifur- comme phénomène 34 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee l 17 eeeee eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee bandes : quelle IIIe1 34 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee des d’accélération ondes dans les 37 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee - La localisation en bande équations de base l de cisaillement : les 41 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee IIIe4 - La théorie de la bifurcation IIIe5 - Principaux sols travaux sur l cinématiques eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee l IIIe3 et modélisation La localisation cation solides des ouvrages. eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee des - Les modèles III l calcul 16 avec l et granulaire IIe3 rupture - Localisation IIe1 le eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee numériques méthodes et statiques à la calculs l eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee de Hi11 la bifurcation l 44 eeeeeeeeeeeee dans les 47 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee -l- : DEUXIEME PARTIE LA LOCALISATION A l'ESSA ETUDE EXPERIMENTALE l IV - CHAPITRE IVe1 L’essai biaxial - Généralités l IV l 2 - Conception 2.2 2.3 Les de DePe têtes l l 3.2 - La préparation 3.3 - Adhésion 4.3 l eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 61 faces de de DePeeeeeeeeeeeeeeee 68 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 71 l 71 e*eeeeee*eeee**eee*eeee*ee*eeeeeeeee de l’échantillon l mesure (autres l 71 eeeeeeeeeeeeeeee 74 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee que stéréophotogrammé75 eeeeeeeee*ee*ee*ee*ee*eeeeeeee*e*eeeeeeeeeeee - La planimétrie gammamétrie La 61 sable-membrane - Techniques 4.2 - eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 65 des - Le matériau l l eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 3.1 4.1 58 - La lubrification trie) 58 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee de l’appareil - L’échantillon IVe4 55 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee - Le dispositif 2.1 IVe3 l BIAXIAL : *e**e~eeeeeeeeoeeeeeeeeee eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee l eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 75 - La tomodensitométrie CHAPITRE V - La méthode CHAPITRE VI - Synthèse l eeeee*eeeeeeeee**eeeeee*e*e 76 stéréophotogrammétrique expérimentale VIe1 - La base expérimentale VI.2 - Un exemple VI.3 - Dans VIe4 - Initiation quel 75 l l l l l eeeeeeeeeeeeee 78 eee*e**eeeee*e**eeeeeee*e 105 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 105 e*e*ee*e*ee**eeeee*eeeee*ee*eeeeeee*eee*109 cas et la apparaît-elle localisation propagation 4.1 - Localisation 4.2 - Naissance et 4.3 - Réflexion des et pic l l l eeee 120 158 eeee*eee*ee*eee*e*e**e*ee eeee***eeeeeee*eee*e*eeee*e* développement bandes ? l eeeeeeeeeeeeeeeeeeeee de cisaillement -29 l eeeeeeeeeee 158 160 162 vx.5 - Cinématique de 5.1 - Les 5.2 - Déformation 5.3 - Trois VIe6 - Direction VIe7 - Variations la lignes bande d’extension l l bandes de de volume l - Mesures 7.2 - Mesures locales 7.3 - Evolution 7e4 - Densités globales l l en L’influence fin des VIe9 - Comportement après VIe10 - Largeur VIe11 - Observations VIe12 - des Conclusion bandes pic l VIIe2 - Le matériau élastoplastique VIIe3 - Conclusion l VIII.2 - Rappels l 180 oeeeeeeeeeoee 183 eeeeeeeeeeeoeeeeeeeeeeeo l 189 eeeeeeeoeeeeeeeeeeeee 190 eeeeeeaeeeeeeeeeeeeeeeeeeeae cisaillement l l 194 eemeeeeeeeeeeee 197 eoeeeeoeeoeoeeeeee LOCALISATION COMME PHENOMENE eeeeee*eeee*eeee*eeee*eeeeeeeee de non la DE 207 déformation standard à un 209 eeeeeeeeeeeeeoeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee rigide Introduction volume localisation l’élastoplasticité matériau - de par de Le VIIIe1 178 200 ANALYSE DE LA L’analyse aux lois 177 l l de - - 177 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee VIIe1 VIII 173 eeeeeeeeeeeeee eeeeeeeoeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeoe BIFURCATION potentiel CHAPITRE l eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeoeeeeeoeeeeeee - Bifurcation prévisions VII cisaillement eeemeeeeeeeeeeoeeeeeeeeeaeeeeee l CHAPITRE 168 microstructurelles l 165 oooooeomoooDoooeoooo perturbations - 165 169 d’essai VIe8 oooooeooooo e~eemeeeeeeee**oee~e~eeeee variations des l eeeeeeeeeeeoeeeeeeeeeeeeeeeeeeoe des 7.1 cisaillement nulle localisée remarques TROISIEMEPARTIE: de plastique l l 209 eoeeeeeoeooeooeeeeeee 211 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 219 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee de bifurcation incrémentalement l par non localisation linéaires eemeee 221 223 emmeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee sur la théorie appliquée l classique -3- l meeeeeeeaeeeeoee 224 : VIII.3 - Introduction de 3.1 - Loi 3.2 - Lois “multi 3.3 - Lois non VIIIe4 - Etude VIIIe5 - CHAPITRE IX linéaire l l IXe2 - La 2.2 - Non 2.3 - La CONCLUSION ANNEXE REFERENCES Analyse 227 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeee problème l 228 eeeeeeeeeeeeeeeeeee critère élargi à une loi non linéaire 232 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 232 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 233 l linéarité loi de tangente la l de 3.2 - Discussion 3.3 - La solution tangente 3.4 - La solution générale 3.5 - Bifurcation tangente 3.6 - Comparaison avec 3.7 - Influence Conclusion des l l l 235 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 236 par Etablissement de loi eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee bifurcation de 233 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee - GENERALE l 229 3.1 - 226 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee - Formulation - l l 2.1 IXe3 IXe4 l l eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee du Introduction 225 225 ” du heuristique - oooooooooooooo l eeeeeeee*eeeee*ee*eeeeeeeeeeeeeeeee synthétique IXe1 rhéologique "multi-linéaires" Application loi loi linéaires Conclusion - la localisation générale l’équation générale l’équation l l l l eeeeeeeeeee 239 l eeeeeeeeeee 239 243 eeeeeeeeeeeeee eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 245 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 247 ou bifurcation l’analyse du Hi11 termes corrotationnels générale et Hutchinson l eeeeeeeeeee ? l e 252 253 255 257 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 259 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 263 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 277 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee -40 -59 Déformation à l’essai triaxial un exemple -6- localisée axisymétrique typique. : Introduction INTRODUCTION ************ La localisation de la déformation est un phénomène à la fois banal et fascinant. Banal, matériaux. des Il sols pour métaux, depuis une dans connu dans les poudres, un phénomène majeur lesquels il un large les matériaux que éventail qui dans de situations relèvent les comme du comportement de mécanique céréales de recherche de granulaires des roches, un domaine et la matériaux des ou naturels, constitue ensilées. et de celui extrêmement des actif d’années. il l’est en ceci catastrophique chargement où s’initialise que la de déformation incapacité appliqué la prend dans soudaine lors localisation, -7- apparaître fait brutale- ou à hétérogénéité connue typée, apparition par localisation homogène très et que cette le dans ainsi géométriquement cisaillement, dimension apparaît argiles), un champ structure l'endroit bien dizaine Fascinant, soutenir est comme aussi ment, qu’il (sables, artificiels, C’est parce des , étapes s’il sous le un certain de la douce, de nombre structure bande de de cas une considérée antérieures. Par ailleurs, peut être prévu parfois une à en Introduction raison de discontinuités apparaît envisagé, fine souvent de discerner plutôt que là. caractéristiques sur les typiques, restreinte de est étudié, condition un matériau pensée qu’un que a bien ment des potentiel Elastic phénomène de certaines s’interroge l’on la d’un modélisation d’un de ce processus ont structurelle pour plus, la le théorie pas présenté catastrophes des les et travail régissant potentiel généralement à suppose banale dans par Thompson la tout un types par le problémes système impliquant leur <95> de la dans ouvrage application lesquels le la mécanique d’établir but répertoriées intitulé ‘*A General concerne exclusive- condition d’existence d’un définition. de ce que l’on solide soumis : relevant %atastrophestl de cette localisation solide Hunt dans mais pour de ce solide le et eux-mêmes <94>, vérifiée donc à un domaine des élastiques, précisement l’on par Stability” se trouve réponse diffuse du (Stabilité car y théorie faite Thom et problèmes définissons la été par Revenons Si outil comparative respectivement of Thom constitue l’existence de cette classification Theory permettre granulaire. solides une alors et très analyse dotée au cours naissent René vérifient ne Une application des de référence sur forme, régissent qui qui connus fondée une matérialisation du matériau, équations formes les seule du problème ’ cette <92>); cadre un et limites peut d’une spécifiques les travaux de morphogénèse ici, entre physique l’objet non et la naissance sous-jacents. relations processus à la aux de sollicitation) a entraîné cause On assiste mécanismes Les fait petite conditions aléatoire, structure, (de quelle des a priori comme hétérogénéités des ici évidentes entend le -8- déformation par à une consiste c’est la tout d’abord là. certaine a priori mode et global. histoire en un champ de chargement, de déformation Alternativement, il peut Introduction se produire, dans certaines ou se superpose, mation intense rigides (la : c’est Le Sur du terrain, plus la d’homme, sous l’échantillon testé (voir la est étroite de défor- blocs fertile sensiblement en ce dernier en page qui type jusqu’à complète cadre de rupture des ce mode de rupture, ouvrages en bloc, dans ce contexte qui inclinaison par garde). elle à éliminer des plus grosses causes déformations importantes, du phénomème de localisation. de la conception localisée méthodes a, de calcul en étudiant des depuis qui la ouvrages prennent de laisse résultats important au prix de triaxial qu’au de perturbation de sur apparemment de conduit rapport sol, les plus permettre toutefois en compte, par axes du matériau sans longtemps, stabilité -9- apparu est de déformation champs aux un nombre frottement dû au des rapport localisation, il la traverser de ses de fait, frettage surgit que situation a induit cette homogènes viennent à l’interprétation Et, d’obtenir des Cette d’essai. le voulus étudié, de rupture”, quant visaient conditions ) permettaient développer appelle du matériau élémentaires; ( principalement le des un glissement élémentaires, essais de perplexité la 1Vlimination suppression ou celles de ce qu’on certaine une photo de recherche axisymétrique, des de “plans forme de travaux phénomène à des en évidence jeu la de caractéristiques des le constitutives en terme Dans zone naturelles, pentes relations dans raffinements par au cours suivant l’expérimentateur homogènes, sols fréquemment met c’est les localisation, têtes se substitue, rupture”. de en vue d’établir l’essai une associée des des vastes, laboratoire, l’essai mécanicien rupture ou rnoins “surfaces Au en jeu met de cisaillement), fondamental localisé. d’action de main de zones qui ce mode : le construits mode qu’à différent, mode bande le champ de phénomène des un conditions, l’évidence les concepteurs de facon à des la du à empirique, surfaces de Introduction rupture les spécifiées méthodes à l’avance. tranches, des Ce sont les méthodes de cercles encore appréciées etc, dans de glissement, pratique la bureau de d’étude. Les ont nouveaux permis problèmes une aux tement plus linéaire ou présent, la aux métaux. Dans perte En peu des cette d%nicité particulier est, théorie, la de ce fait, dans vue présentee la est intéréssés localisation problème du élémentaire, condition de plus de en plus - dernière d’unicité. comme un élément 10 - seconde approche a ouvert localisation de la intensif, matériaux, des sols est vue comme une posé. de comportement perte du à laquelle de recherche de sein décennie, de la sortes par <43>. aux limites la loi au la la déformation de soit MASTEC un champ des de discontinui- B. Duthilleul la signica- résultent problème, l’équipe la en compte pré-spécifiés théorique toutes de prise qui M. Boulon; dans devenue par par développement par en compte elle solution et jusqu’à Des progrès du dans apparue au moins soit ) non R. Chambon récente la du problème cruciale par d’années, le l’élasticité localisation majeur. théorique explorées de prise chercheurs de de les de compor- lois sont non-linéarités permettent bifurcation, perspective des des méthodes, attendus, relatifs sont th&se de la être l’analyse qui voies d’une nouvelle réunit dans respectivement déformation. façon ) deux La théorie ces de résoudre le ne apparaître à dire ( glissements l’objet faire pas avec que numériques méthodes moyens concrets sols des cependant d’algorithmes j’appartiens, qui ne les Toutefois, ( c’est déformations a fait de cas réalité peuvent déformations Ces en donnant parfaite. de les reconnue comme un phénomène ce domaine domaine. une à la défaut cinématiques que constituent représentatifs plasticité le l’établissement tés considérable pourtant grandes grandes avancée conformes ont dans des de conception limites déformation, tifs outils L’étude de test Dans le cas intervient de de localisation pour les lois, Introduction et même pourrait intervenir devenir au niveau premières études l’ont été par thèse d’état, un même élément leur de de bifurcation en 1978 Les motivations regroupées en trois de celles-ci, et conception chercheur en France de l’équipe leur de dans MASTEC, à dire c’est ajustement. le Les domaine dans le des cadre sols de sa <29>. de présentée l’étude points, - 1Ymportance calage entreprises Darve, Félix de qui pratique sont de les la dans ces suivants pages être peuvent : sur localisation, laquelle il est inutile de revenir. - l%Aerrogation de la fondamentale et résumée phénomènologie - l’interaction deux niveaux. étroite Le premier de lois par réalité hétérogènes offre second prise en des ordres: le précoces expérimental, puis déroulent. aux on s’est le développement progressif, Cette pour à dégager les visualisation de faux l’occasion, des cadre de questions essai donné en question, aspects ce en ? Le par la comportement de travail, soulevées pour ci-dessus, de de façon tenter sont de physiques quantitative fait nous à permettre - 11 - visualisation les le en évidence phénomènes que une à en observer à mettre relief, façon à réaliser attaché naissante, et au problème lois d’être susceptibles un à au concepteur posé sur ceci théorique. localisation stéréophotogrammétrique développée le dans de la imperfections, se baser et localisation. de réponse et de comportement, sont autour ? fondamental partielle des oeuvre expérimental quantitative peut-on solution de la en éléments plan problème l’élaboration mis lois des centrée phénomène, : Pourquoi élémentaires quand inducteurs le question le essais une dans moyens d’apporter les la suscite l’étude concerne que peut-être par avec : jusqu’à comme Les Sur fait compte identifiés deux le que majeurs appel avons la mise mesure à la en des stades rôle qui s’y méthode oeuvre et champs de Introduction déformation Sur le plan la bifurcation à l’étude en nous avons travaillé par localisation en bande le cadre de l’analyse dans la réflexion de cisaillement; cadre théorique actuel non linéaires, dont description améliorée sur une loi du comportement heuristique, des sols. travaux des Cette et le résultat de menée pour son adaptation <19>, <20>, Darve <31>, <32>) ont montré qu’elles <18>, oeuvre du incrémentalement de lois (Chambon de l’essai. théorique, à suggérer une extension aboutit une au cours incrémentale permettaient extension montre récents est mise 1Yntérêt de la démarche proposée. Le plan un de ce mémoire s'organise aperçu des points déformation visualisation expose les . de vue La seconde jusqu’à éléments la en historiques concerne synthèse théoriques de trois et parties, actuels l'expérience, phénomkologique. ce travail, bifurcation. - 12 - qui la première dont sur la localisation de la depuis la La troisième, relèvent donne de méthode la théorie de enfin, de la Première ******** * * * * * * * ******** Partie ***************** * POINTS DE VUE SUR LA LOCALISATION * * * * DE LA DEFORMATION * * ***************** - 13 - chapitre Chapitre 1 LES SURFACES DE RUPTURE *************************************************** Le point est celui creusé l’appareil inventé l’empirisme, nombre d’oeuvres économie le plans, titre ouvrages. la localisation a On ou la boîte de cisaillement. des ouvrages conception l’efficacité est Toutefois à la a conduit des attestée le recherche des bâtiments par souci de la construit fondé la OUVRAGES d’une bien Des digues, d’avoir se sont essentiellement pérennité d’un rationnalisation de méthodes des avant siècles a relevé la déformation certain et de conception d’une fondées calcul. Le propos calcul sur DES et passé. de moyens CALCUL tranchées desquels dont LE ancien des des ET plus triaxial au cours écoulés, le praticien soutènements, de de vue du 1 de ce bref d’ouvrage à la surf aces particulières ou non, les chapitre rupture, phénomènes est pour qu’elles de d’évoquer discuter la introduisent localisation. - 15 - quelques-unes nature et et qui des méthodes le rôle évoquent, des lignes, à juste de chapitre 1 I-l. Le coin Coulomb , dans tion des règles tifs à l’architecture” sur de sol consiste dans c’est bre et exercée cette réaction dans l’angle cas de la butée, d’être susceptible fonction On doit cède par tion suffisante par le en tout point de la envisageant d’autres localisée conforme ne s’agit par pour par suivant poussée un angle des permet de rechercher, maximum terres. en de cette Inversement, un maximum convient des supposée verticale le donné qu’il suffisante sur les le outre, résultantes force de la minimiser de pour ici d’un long mode d’un comme que cette rupture (et non cette condition On obtient une qu’il serait la surface calcul qui plan une <86>, en à l’expérience. - 16 - pas les pro- une condi- affaiblie contraintes par estimation excès d’affiner possible du en de rupture. établirait ; Coulomb hypothèse démarche est et non pas sur estimation géométries pas de qu’en envisagée. certaine, un tel la de Salençon et surface localisation verticale, l’écran, suite condition donc la L’équili- résultante alors faut son ultime, force de la paroi qu’il sur surface. porte qu’elle de rupture produit on obtient de stabilité) chargement Il contenir à la d’une sur pour la remarquer, énoncé fait de indique la rigide de la et massif envisage sa résistance propre, sur rela- de frottement. l’hypoténuse, Coulomb exercée de l’angle sur l’hypoténuse à exercer minimum le de et poids mur de soutènement force. par applica- d’un qu’il rectangle de cohésion de son poussée de rupture triangulaire une de statique, de la uniquement l’action le dernière varier faisant prisme sur problèmes La cinématique de frottement par “Essai au problème caractérisé sous intitulé à quelques caractéristiques du prisme de cohésion calculer minimis d’un est ses de 1773 s’intéresse glissement par horizontale et essai de soutènement. matériau Le statique forces célèbre <23>, le à dire son de maximis un mur hypoténuse. de coulomb. voit que la seulement de travail rupture la rupture raisonnablement se chapitre Moins célèbre, Coulomb”, est compression la sur une qui lui permet critique bandes facette. fois la Rankine loi sur Coulomb sont d’équations aux sont le critère. travaux admissibles est Les en résultan- de la facette par glisse- se produira en notations principaux actuelles, de l’essai, (pour critère comme se sont la dont l’orientation la des de rupture succédés, sur spécifié la dans cette tangentes aux pour lesquels permet dans d’évaluer critiques facettes le contraintes des hypothèse les de ce critère. base répartition de Coulomb, lignes en fondée. certaine une rupture la au sens de rectilignes. et d’équilibre parallèle à fait de hypothèse L’angle rupture axes la de de frottement-cohésion, de Coulombl’ établie au critère mur. Boussinesq, celles des tout de Coulomb par pose le donc important associée massif; poussée te est loi reformulée fois - [email protected] - la sur y exprime, de rupture. que e 4 comme “solution de contraintes domaine T à nombre un une la axiale indique C’est, de cisaillement) sols, tions Coulomb fréquente Une charge L’auteur du “critère génèse porte qui pilier, du la pour étude, de son inclinée la orientation désignation le et importante de maçonnerie. de calculer cette classique partie plane donné, aussi pilier d’un section est sur tout première simple tes ment mais 1 avec dérivées long à la Ces lignes par Sokolovsky le critère des ligne ne sont différentes, de plasticité; partielles. le desquelles voies atteint plus Les lignes vecteur ceci contrainte droites, - 17 - conduit caractéristiques mais des les équa- à un système de ce système s’exerçant maximum l’inclinaison des combinent sur une autorisée courbes. Les facetpar schémas le chapitre 1 les plus élaborés dans ce cadre de travail zones à caractéristiques téristiques droites courbes par des lignes L'exploitation d'établir problèmes des L’étude que, évoqué jusqu'à caractéristiques Avec présent, atteint mation plastique le dit le le terme de contraintes dans seuil dérivent des contraintes. l’évaluation une avec de exclusivement stati- de lignes d'un potentiel, La coïncidence et : les aux mêmes conclusions. de plasticité. avec succès pour les théorie Malheureusement, il ce qui potentiel en de défor- coïncide, de plasticité les où spécifié les vitesses dans dans l'espace fondamental, du travail de la apparaît : elle est à une situation du vecteur avec la le postulat vitesse de défor- maximal, de Hill, critères de Tresca et de pour les sols par Drucker et Prager <41>, indépendants sont irréalistes indéfinie, métaux est étendue à ces critères ce découle d'un postulat conduit cette que apparaît plastique, que la surface Le Principe Appliquée associé stipule à la surface de volume compte frotte- plastique d’écoulement Cette théorie de potentiel mation théorie les de angles famille déformation (statique) l’équation du la normalité cette pour tenir des nouvelle de Drucker <40>, <42>, qui entraîne de Coulomb. pour butée, (N ) pour la capacité 1 dans un article paru récemment associé au problème, la théorie champ totales. standard, en substituant de à ces coefficients a introduit de de déterminer Von Misès, et a permis laboratoire. de développement le matériau cas poussée méthodes cinématiques. le possibilité ces de coefficients à apporter problème cinématique du en contrainte. par Habib, dues à la localisation, d'après les essais ment de et des tables <49>, propose des corrections des erreurs, obtenues superficielles. fondations de zones de Rankine) et de zones à carac- de coefficients de soutenèment, appel à des juxtapositions de discontinuité des solutions des tables portante (dites font vite entraîne, inconcevable, - 18 - pression moyenne, que certaines d'une part, et d'autre part le critère conséquences de une augmentation elle prédit un chapitre cisaillement sans Drucker apparaît dépense être, mais condition nécessaire localisation de L'idée Bent Hansen Coulomb la déformation d'utiliser nouvel angle V . Cet angle déformation plane, une de condition et propose une point d'accélération, directement est alors de Coulomb, est n’est mais comme par un changement modifié postulat sur le problème de la . de déformation propose <51> ce d’ondes rejoint le interne, discute propagation de non-standard le critère En outre, à frottement <67> parce qu‘elle les vitesses qui représente : Mande1 terme en de plasticité dérivent dont non mécanique. pour les matériaux reviendrons nous travail nécessaire suffisante laquelle de 1 plus celle : le potentiel l’équation de surface d’une fonction de l'angle potentiel des de surface critère de profit au vitesses la différente. le de [email protected] à partir défini introduite d’un déformation en dV ‘*angle de par : El32 si& = - a rec;u par la suite Il . Cl- 0 c2 la dénomination généralement admise dilatance". A partir directions de ce potentiel, principales tenseur de contra-intetotale, partielles mées caractéristiques Parmi associé noter au ceux permettent aux les travaux de rigide-plastique on obtient des avec celles un nouveau système du d'équations caractéristiques sont aux dénom- qui des aux conséquences non associé a établi de l’abandon (matériau un ensemble de non du potentiel standard), théorèmes bornes des chargements limites on doit limites qui pour des problèmes <75>. Dans le cadre que, de déformation dont les lignes consacrés d'un potentiel déterminer de coïncidence cinématiques. de Radenkovic, de l'hypothèse vitesse de établit on hyperbolique, profit limites schéma tenseur du dérivées les et moyennant donc un ces méthodes de calcul et d'une loi d'écoulement double réseau de courbes - 19 - fondées dérivée sur l’application du potentiel caractéristiques, du plasti- respective- chapitre 1 et cinématiques. statiques dans le cas standard, matériau dont on sait l'observe sée (un fait aux rapports lieu, il entre en dehors du cas du la rupture cinématique) tiques constitue statiques tangentes vecteur direct des lignes de rupture une conjecture, à ces caractéristiques telle entre la déformation et le système d'équations éventuel localisée qu'on quelques remarques sont à faire. n'y a aucun lien le rapprochement différentielles localisée subissant statique : avec les caractéris- fondée sur le fait sont celles locali- que les facettes l'obliquité maximale du contrainte. En revanche, pour un matériau localisée les caractéristiques qui obéirait possible. discontinuité partielles, solution En effet, étant les seules lignes peuvent exister les caractéristiques V z décrit que ce sont des lignes construisant le cercle On reviendra contrainte localisée au travers les lignes d'extension par une de rupture. d'équations Or, le aux dérivées des discontinuités caractéristiques inclinées du taux de déformation, (comme peut de de ce système, On montre que ces lignes nulle de rupture se caractérise du domaine pour lesquelles sont effectivement, des lignes de la ligne par un système linéaire principales s'en c'est à à dire assurer en de Mohr des taux de déformation). sur les et de ligne constituent de la plasticité, la rupture cinématiques. des directions cinématiques aux lois du champ de vitesse champ de vitesse 4 est irréaliste et ces réseaux de caractéristiques, En premier -ri--- qu'il sauf purement cohérent incompressible. Si on s'intéresse la Ces deux réseaux sont non-coïncidents, notion d'extension de ligne nulle d'obliquité aux chapitre - 20 - maximum II . du vecteur chapitre I-3 Les calculs Dans la la rupture lignée de angle cohérent, nir des à la notion envisagé. cas frottant, de nouveaux résoudre ajoutant en concernant Une condition dont de Coulomb le normales de de premier et le long de tangentielles (ou il plane), rieur du bloc exemple tranches des doit que toute de (voir réfè- autre spécipar un L’application au cas permet de défipour chaque Si l'on rupture ont des et au tenté de hypothèses la surface, Coussy cercle s'intéresse auteurs de non se caractérisé divers le long surface point facette tenu des ceci introduit de pose ou bien Salençon <24> contraintes de la définies. - 21 - en spécifiée déformations de nouvelles le long l’application de la divers problèmes, en effet simultanément la surface compte donnée, cisaillée; vérifiée lorsque en mouvement; arbitrairement cette condition être répartitions critique. étant en tout à la Par ailleurs, de à par ces auteurs). hypothétique la surface. méthodes à la rupture, en mouvement rupture la ces de Coulomb). surface de contraintes du bloc est d'estimer supposer a priori le plus de calcul à l’avance, sous forme de cercles, à l’hypothèse citées surface L I problèmes se posent, au sein et les références Toutes par rapport des spécifiée est simp lement (critère le cercle la répartition d'équilibre l’état sécurité de méthodes à let xclus ion matériau le spécifiées cherche alors On développées. et une cohésion coefficients de nombreuses résistance, Ainsi, spécifiée. sur une surface été de avec des surfaces surface de Coulomb, ont comportement. frottement de avec un glissement rectiligne, uniquement fication rupture l'oeuvre de impliquant nécessairement rent à la 1 de surface outre, les contraintes il est restrictif en tous les points pas circulaire nécessaires à l’inté- n’est hypothèses, frontières de telles par verticales de chapitre 1 La théorie la signification réelle de contrainte et ce mémoire d’exposer rupture, due des chargements de déformation y sont permet <86>, par ces associés. Il méthodes sortirait des champs du propos mais quelques-unes énoncées en raison de la clarification et l'analyse limite s’appliquent in d’éclairer et extenso, théorie d’être à Salençon obtenus qui cette méritent conclusions à la du calcul de de ses qu’elles apportent. calcul& Le matériaux caractérisés mais (critère), concerne (de du domaine Dans des le approcher la vérifient approche cadre tables, l’espace ments à la du calcul qu’il lui aussi critère. le frontière de la énoncées. stables. spécification et de la connaissance des obtenus des contraintes. par taux des de la (voir de 17ntégrale - 22 - et on peut assuré ces par que ailleurs de la une suppor- cinématiquement d'appui, référence en pas potentiellement du critère ne qui de déformation fonction la limites) chargements permet chargements de déformation de contrain- des n’est rupture de champs On montre minimisation à la on frontière au théorème de ce domaine, Toutefois Le calcul du domaine aux en construisant de l*potentielle- champs conditions convexité llintérieurlV, llextérieurlt, l’espace les règle la grâce à des : elle la de chargements correspondant Du fait conditions montrer à des contraintes d’écoulement définissant on peut deux les s’applique surface un domaine vérifient “par règle lesquels rupture, (ils admissibles une tous pour convexe à la convexe, de la dans pour existe au moyen admissibles dual matériaux les virtuelles seront ‘*par en outre admissibles). les chargements incorpore seconde contraintes statiquement pas admissible de déformation supportables”, violant un domaine vitesse la puissances ment te la par exclusivement normalité des la rupture de <86>) fonction qui constitue plasticité que les d’appui le dans chargesur le chapitre volume sont supportables, ment est nécessairement cinématique ce qui permet l'approche sur les chargements déformation construits précise; fication prévaudront d'obtenir stables, et de plus approche par l'extérieur on n’est rien en revanche, En les n’ont on ne champs pas assuré qu'ils On pour la obtenues, l'ouvrage. de potentielle- de ce domaine. les valeurs excédant réellement particulier en chargements par l'extérieur la rupture cette dans des de de signi- sont ceux qui à la rupture. L’analyse grâce à la propriété limite, résultats des au domaine plus convexe par la structure ciés provoqueront donnée, rien tenant au domaine assuré que les chargements ainsi sait extérieurs 1 aux approches On peut montrer fins. antérieurement défini considérée-; les champs statiques normalité de et que chargements les seront effectivement contrainte de permet stipulée, cinématiques appar- supportés et de déformation alors ont une asso- signification mécanique. En surface revenant maintenant rupture de par l'extérieur, Coulomb règle que par 1Vntérieur les schémas ceux On notera une méthode admissibles quement inférieurs à la rupture enfin que la dispose de Coulomb, pas chargement obtenu méthode des de résultats supportés. effectivement ne sont la par une approche pas le cadre qui caractéristiques, d'être vient prouvés Enfin, être remarques que celles qui viennent tions entre envisagée évoqué appliquée puisqu’elle champs de contrainte ou de champs de déformations de (approche par l'extérieur). cinématique ne de réelle. mêmes la qu’on pour le calcul (approche par l'intérieur) admissibles à frottement seront permet la construction qui à l'approche le cas du problème du coin dans au d'ouvrage avec de calcul s'apparentent qu’elle bien spécifiés entre dans plasticité, si à la rupture) cinématiques méthodes le cas du matériau est violée, (calcul conduiront qui dans chargements les observe on le montre Salençon outre, En normalité de prouvant spécifiée, comme <86>. différentes aux d'être et la - 23 - A ce tiire, exprimées localisation constitue statiquement elle concernant réelle. à la cinématiappelle les les rela- chapitre 1 vaste, dont en cours beaucoup numériques sont aux : pas de lois le en est la prise en développées au ont sein autorisent dans quant l’état méthodes l’étude descrip- ces méthodes de la de localisations de à la actuel, expérimentalement; été donc incorporés localisée. par déforma- spontané d’un Goodman maillage spécifiée même but, mais par citer on local qui sont finis; le d’une plus , de lieu des ces long (pour à l’avance méthodes en premier <45>, d’éléments un découplage être à certaines On peut a été doit qu’elle les supplémentaires. l’initiateur dont épaisseur Boulon en plus On se propose solides, réalistes dans %pontanP observe rupture insérés clair pages. de travail des plus Toutefois, l’on numériques joints, particuliers faible plus une l’introduction, rhéologiques d’algorithmes l’absence à permettre éléments directions permettre développement à ce que Des procédés façon de ces en mécanique du matériau. comparables entend de présentant modèles l’objet de quelques pour employées limites, ne permettent tion ici pas d’applications du comportement tion n’est aux d’activité de développement. Dans les éléments éléments ligne de dont il voir de détails, <ll>). Dans a défini la localisée mention un champ réduite même rupture de faire simplement problèmes constituent l’investigation, de la compte ou numériques méthodes Les le et prise en compte spécifié partie à l’avance. de algorithmes soumis l’frottement développé des algorithmes d’une été à divers négatif” et localisation de types est se propager appliqués de (Desrues, radicalement différentes, Boulon de frottement-glissement, Le glissement 1Ynterface ont des voies la déformation calculé; au cours à l’étude il n’intéresser incréments des chargement axiaux, Thèse de Docteur-Ingénieur ou permettent le long d'un interface peut du comportement - 24 - qui <9> des encore qu’une successifs. pieux au <34>). Ces de fondation phénomène De nouveaux de chapitre développements des sont Thèse Docteur de générale Plus de développement ment et massif, reste complet I dans d’inf Duthilleul tats (Boulon des l'interface sont prometteurs, et quelconque. même prise en compte du massif en des La base rupture de de inspiration, déclenchement du et points local développe- quelconques traitement est le critère cours en le par une méthode complétée finis, sa thèse des de la permet le et les premiers méthode meilleure et le comportement pré-spécifiée, non critère Le d’une <ll>. qui éléments présenté dans de la entre <lO>), direction une luence? a en vue Sciences, localisée la méthode cients es Boulon, encore est une méthode rupture d’une par d'interaction phénomènes (Boulon, menés 1 du numérique de %oeffide Coulomb. docteur-ingénieur <43> un développement exemples en de mise ultérieurs développements oeuvre. Les résul- seront entrepris. ! _1 11 mentionner faut situent dans le cadre enfin, parmi de l’analyse statiques et cinématiques des évoquée au plastiquement chargements admissibles pu obtenir des majorations - 25 - problèmes. qui I-4. pour construire admissibles. sur divers celles paragraphe à la démarche analytique Turgeman <99> à Grenoble ont ainsi améliorées numériques, méthodes limite, démarche numérique est substituée champs les Pastor se La des <74> et et minorations chapitre II Chapitre II LOCALISATION ET MODELISATION ***************************************************** Les granulaires matériaux constitués de grains ser leur comportement visibles DU MATERIAU les nu. sont ainsi de deux démarches de pensée : l'approche macrostructurelle. Sans matériaux, la pensée peut mais manie ignorer Il cet échantillon d’un ces deux particularité la les concepts ici que la prise échantillon sous des mais aussi - et peut-être qui consisterait mécanique du des non seulement à caractériser situés à la frontière exhaustive pour tous les le même temps continus, des la prévision interactions ne de tous du comportement mais ce point en raison du volume des calculs surtout? - en raison 26 - l’oeil où intéressé. chacun des grains - et l'approche dans milieux matériau sont pour modéli- que, quelconques, sollicitations en oeuvre, tâche au fait sables, développés approches existent-elles permettrait irréaliste, travaux les microstructurelle, en compte évidemment comme naturellement discrète donné Les tient de la structure l’évidente est clair les grains doute courants, plus à l’oeil mécanique GRANULAIRE de de vue est à mettre l%normité et leurs de de la positions chapitre relatives initiales. ne se donnent la mise pas en évidence et sous rhéologique recherches sur Dantu contrainte Les possible de la points dans une glissements et dans des à la recherche domaine propos. à partir d’un de ces deux divergents, lien et au sein l’orientation du matériau, des surfaces - 27 - étudié (par l’état de à Grenoble, <96>), s’est cours ou encore, de plus discrètes, déve- < 98>). granulaires niveaux ont de connaissance. d’un côté, plutôt Il sur la entre de façon de rupture. point la n’est parfois commun localisation à dégager ce localisation phénoménologiques, Leurs en ce chapitre, dans développés tous ou de l’autre; de synthétiser, macrostructurelles. phénoménologique réalisées de particules complètement On a tenté sont contacts Thornton matériaux de considérations micro fois des travaux éventuellement élémentaires à prédire les mon de vue, le ributions Trollope <15>, description ont <108>, (modèles à prendre expérimental au niveau <38> mais de la et Wiendieck <28>, (Dantu été qu’ont de Jong dist au macro, fondamentaux, au niveau tant de grains, Cambou du micro continu esprit de Josselin diverses, de classer déformation iques, et <25>,<26>, pas cet microstructurel au niveau de phénomènes numériques moyens priorités d’ailleurs théor tion, des passage de grains, l’évoluti des menées continues dans assemblages assemblages chercheurs pas les les Cundall avec n’est C’est des par tête, un tel qu’analytiquement récemment, sont de caractéristiques à caractériser par qui compréhension Drescher déformation) loppés la <27>, dans attaché but du matériau. exemple, la forme recherches pour donc en compte des Les II réside et une les explica- chapitre II L’orientation II-1 L’orientation la de la est localisation, mène. Et, de cisaillement -rr*E 4 l’autorité ligne d’autres est trainte et (LOM), c’est rées à l’essai triaxial lat, appliqué avec bien des <48> pour directions au laboratoire avec l’ont noté, parmi essais sur sur le matériau la de son (parmi d’autres, sont des des facettes qui ciée à un cisaillement tenu de lignes plein définition, plus c’est nul donnée par Hansen de très répandu. 1). du vecteur En con- ici. mesu- de ce postu- à un désaccord dans <84> ou Habib récemment, Jacquet <30> et aussi Schneebeli. par à dire même tenu et Barden indique (et Compte déduite conduit phénomène <82>) à Rowe de déformation une non et inclinée de cisaillement direction développement, nulle, subissent la d’autres, du Roscoe d’extension de bandes mesuré, analogique cinématique au stade plane sables des désignée sur chapitre (cf maximum sera bande facettes est ce postulat d’obliquité phénola être totale. statique des aux donc contrainte qu’elle comme tion dilatance ce terme frottement ailleurs, la ligne de <43> évidence, d’une doit le celle-ci, tangente Elle de la l’angle des Par vérifié. caractéristique une par point se produit sur selon de coulomb, comparaison la Duthilleul est critère s’agit Cependant, cas, le aussi il en tout principales par termes, ligne de laquelle de l’expérimentateur interprétation: une de coulomb acquise au sein “prise” une directions de cisaillement. de cisaillement, première être critère des 2 Une telle la doit le bande bandes se présente d’emblée, lesquelles des de localisation, des expériences les que des normale lignes (voir de rupture perpendiculaires 1), à nulle, en l’occurence). chapitre en de déforma- surfaces incrémentale considérable mise de assoCompte l’angle de : 81 sinV +e2 * = &-A2 on montre ces lignes aisément d’extension à l’aide nulle du cercle (LEN w de Mohr ultérieurement) - 28 - des vitesses sont de déformation inclinées que à -T+v - 2 4 chapitre des directions principales les caractéristiques résulte les surfaces vitesse cinématiques, On notera qui de la qu’il de ne s’agit la de rupture même ne Elles définies au chapitre là conjecture, pas définition de déformation. d’une de l’angle peuvent pas mais être pas coïncident d’une directions aux avec celles (sauf dans associée, cas, standard, dit de CY et i Les “rr à - inclinées postule qui normalité s’applique). plasticité classique, princi n écessa cependant, restrictif envisagé, pour Sur les le ou l’autre le nom de boîte cisaillement de la de cisaillement bofte homogène postulat dQ5coulement directions des classique prin- rainte et et Fernandez plastique et Roscoe simple et non nécessairement - 29 - déforma ( plas matériaux que qu’il , même dans l’isotropie à un cisaillement plan. à établir le a utilisé un est localisé. conçu Il appareil pour faut étude le cas maté- bien-fondé shear simple une granulaires, avec pour (SSP, ceci de dans la direc- des <68>, la par coïncidence compatible <82> décrit tion des quant la Luque de pour (i.e. isotrope des soumis vérifiée bien établissent est Le principe associées que on a cherché en est a priori granulaires En 1967, celle-ci un matériau non-coaxialité expérimental, proposition. coïncident premier à ce probleme. d%coulement M andl matériaux plan lois de ce postulat la le par a directions coïncidence quant 1QZcoulement fondements ces on a V = @ : loi de la et tenseur ire; les lequel penser on peut concernant examinent pour on considère Si des synthétique diffère à des .pales si abandonner bien coaxialité, obéissent Y et faut partagées la - -3 posé. sont matériaux rielle, donc termes, 4 c Le problème est opinions Saint-Venant est il Drucker-Prager). cipales de contrainte, de la le principales évidence en d’autres l rapport avec 1. de dilatance; ne II de l’une connu apparatus), permettre d’ailleurs sous qui un noter II chapitre que, la en dépit de cette déformation traintes dans aux Stroud Reprenant opposée. la concerne les <91> mesures Les dans ce les confirme des de la vingt principaux pour fruits construction de d’un efforts aux limites. les surfaces te). Ceci directions celle propose “dans contruit pour pas cohérent principales des LOM et donc une un élément de con- du matériau par chargement (en un appareil à la seule- conclusion notamment il en ce fait paraissent CT du même type. aboutit laquelle de Drescher appel qui à la aujourd’hui faire coïncidence? (1970), de LEN (lignes à partir d’une de ces position des tenseurs des LEN est reformulation d’un ici massif donc er impossible du critère de sol, sur la surfaces avec k vis à vis - 30 - les sauf matériau sous de rupture forme des vérifiée, standard. se le contrain- coïncidence est la que En revanche, LEN. de la les surfaces des du vecteur coïncidence surface enfin indique forme : la de Coulomb, une et hypothèse la à partir nulle), Roscoe maxi des sur fondée que prise L’un de soutènement, de contrainte d’obliquité et problèmes d’extension est résultats (UK). originale, un champ intérèsse la les d’approche méthode les synthétise Cambridge de concerne des LOM (lignes avec Roscoe laboratoire nous l’identification ne sont est mesures des tenseurs différentes, on détermine Ce qui de une réseau inverse, de LEN est et <39> recherche préalable calcul rupture, cette propose par de au l’auteur duquel, réseau Drescher Lecture Rankine recherche de lesquels effective de débat. dixième ans de principales sur contraintes, II-3 Les modèles : quelle ----II-(I-I)---------------------------------II-- Dans directions techniques localisation au sein ce résultat conclusions une conjointe est en 1976, de en évidence de déplacement coïncidence a utilisé photoélasticimétrie. autorité la question auteur Cet de mesures que met L’utilisation de caractériser conclut En 1971, ment). Roscoe appareil. et permet Roscoe l cet limites radiographie et& conception, Roscoe : développe, le II chapitre long d’un plan qui est rapport de contrainte atteint une valeur (Roscoe, correspondant avec la Cet avis majorité n'est respectives eux par tous plan où le en cet élément de Mohr-Coulomb" devient dont - la déformation de Jong qui a coïncidente de CF et6 est, sur les directions ainsi que mêmes axes. été largement a proposé un "modèle de base c'est la distinc- large Une exploitée. à double glissement et à sont: le à extension long nulle des LOM; successivement le long de conjuguées. éléments cisaillés qui dépend non seulement de l’ensemble de ces par cisaillement de déplacements deux directions l’globalesff les assertions se produit d'incertitude et possible, de Coulomb", principales apparaît, de la au est nécessairement tenseurs raison de contraire, Bien le postulat directions La notion pas contrainte. les auteurs. des Vocales" de Josselin résulte admise. n’a du vecteur rupture de des axes principaux cisaillé "conserver de surface qu’une directions libre" - elle maximum conviennent de combinaisons Ainsi, du domaine, sont à l'intérieur à une rotation soumis des conditions et locales, qui est de ce fait en découle que la déviation libre, à l'instant sur l'enveloppe réellement plan partagé généralement des entre rotation : le LOM. La non-coïncidence par ailleurs, Il à un point d'obliquité pas de considérer une - les clair facette d'entre à dire gamme autre quel n nulle, <82>, ~165). coïncider tion d'extension direction /Q- sur n'importe On ne peut être plus avec une (i.e rigide) mais aussi de la déformation indéterminée des axes principaux de l'éventail matérielle localement. des tenseurs u et & est [email protected]/2,[email protected]/2 9 avec @ angle de frottement du matériau. De Josselin en supposant volume de Jong a présenté l'incompressibilité, (références Le résultat, diverses versions de son modèle, puis en prenant en compte d'abord les variations <58>,<59>,<60>). en ce qui concerne la localisation - 31 - 9 est que la direction de chapitre II des caractéristiques certaine plage Mandl de et tenseurs, fait Luque rupture est (flow <90>, est Arthur et comme sa figure LEN des directions principales matérielle, à @/2 en résulte et et d’autres LOM elle auteurs ne est qu’une des (comme LEN coïncide coïncident pas. identifiée avec direction La à une construit ont <70>, <71>, des diverses en introduisant <72>). collaborateurs et <2> globales. L’angle de direction La surface de sur modèles modifications coïncidence des la (Spencer LOM et des LEN valeur locale les et la distinction entre de V Y largement impliqué dilatance de ce décrits de rupture, très fait différer peut essais introduisent de surfaces de déformation, montrent le Il “active”, Cowin ses vitesse spatiales; déviation caractéristique autres de Jong, discussions en d’une supposée. locales définie sensible notablement par est de variations valeur (référence Roscoe grandeur une aux la les 8Z C globale, >, ~136, 12b). Arthur locale, telle plus, la locaux que ces donc avec soit LEN locale Dans de somme le LOM globale. cette les l’assemblage pas; locales La doit grains peut avec de la une principales si les n’imposent résulter le long matérielle au cours coïncider directions produit rotation coïncidence cependant, des se cisaillement complémentaire des déviations modèle une conditions, au niveau Le que maintenue ne coïncident structure tions suppose coïncidente être la et généralement les une deux dite de 3. Mehrabadi dans la Geniev). nombre idées grandeurs à l'intérieur indéterminée, line). Un certain des fixent comme que les de coïncidence base <68> antérieurement alors LOM, est variation. considérée l’avait une cinématiques pas en une de LEN supposée déformation. De LEN globale. tenseurs des conditions est d’une aux acte limites ou la particulière, déviation de ces coïncidence direc- global. prévoit ainsi une large gamme - 32 - de situations, qui découlent de chapitre la non symétrie au niveau local. de la distribution locaux, laquelle contraintes 0 T --- En elle-même Arthur des surfces des -lr 4 fonction de rupture résumé, - - caractéristiques tiques des cisaillements conditions aux de six suivant les limites et des cas différents; les n- - - 0 à cas, de 4 e - -2 (kf+V)d ans le cas de distribution 4 locaux, suite à des déformations avant rupture v 2 depuis les lignes l'orientation est comprise entre les . le recensement statiques, des dépend - des sées sur la base de considérations possibilités, ou indifférente varient Dans le cas général, T de rupture -ii valeur - - @ et 8 4 des surfaces dénombre pas moins ne cisaillements homogènes. valeurs est 9 avec une z symétrique 4 très plus ou moins symétrique internes. orientations L'orientation II orientations physiques d'obliquité jusqu'aux lignes cinématiques. - 33 - de surfaces conduit à un large maximum du vecteur d'extension rupture de nulle, propo- éventail de contrainte, ou ou caractéris- chapitre III Chapitre III LA LOCALISATION VUE COMME **************************************************** PHENOMENE DE BIFURCATION III-1 Généralités. ----------1>----------- Qu’entend-on de changement présente alternative une Prenons dans l’évolution Un premier d’un liquide de ce processus d’un d’un ou plus à ce mot guère l’évolution ? Au sens entre attribué s’éloigne transition bifurcation direction, de Le sens ne par chemin deux d’un routes dans le processus un cadre il que de comportement à la notion situation où à illustrer théorie de la est se s’applique, l’on bifurcation au considère à un chemin cette idée cours de comme une alternatif. de bifurcation physique. classique, processus réfère à une de la : à ce de façon mot possibles. ordinaire fondamental exemple, est deux sens le généralement, physique, exemples, commun, celui connu, - 34 - de l’ébullition. susceptible L’échauffement d’être décrit chapitre mathématiquement. au sein On n’envisage d’une (rouleaux dépend traduit donnée, de Rayleigh-Bénard). Une fois gazeux. disparition intrégralement transition dans des le milieu ces : conditions de l’eau phénomènes Le deuxième du phénomène élastique une une combinaison imperfections là aussi Il à l'activation changement bien latérale de ici que, du concept à la nature constitutives à complète est consommé que la à la présence d'impuretés il des les celui est possible, états rôle des surfusion de normales de conditions du dans imperfections d’un connu élément linéaire consiste en un que, l’élément, axiale s’agit soumis à se trouve les imperfections dès lors latérale. de flexion une raccourcissement le chargement augmentant, qui et il géométriques de il se soumis à rôle des l'élément, est Le crucial. l'éclairage l’échauffement est initiales, On remarquera équation liquide par ailleurs, d'obtenir fondamental compression de sait, de OoC dans élastique Le chemin déviation qui jusqu’à de chaleur sensible problème, apparaît, rapproche de la mécanique des solides: nous flambage de l*élément. produit autre stoppé, On liquide, qui bifurcation. exemple axiale. du critique, de l’état liquide-solide, à moins un est est de phase liquide de du compression mécanismes température l’ébullition en cause, phase. engendrés de température une (pression), de grande pureté Ceci introduit les atteinte L'apport changement d’écoulement à un gradient la matière de au changement de soumise liquide. deux phénomènes d’échauffement phase par le (par exemple, dans processus la entre pression). de phase Le de les expérimentales conditions le changement l'état ici de liquide des masse pas III nouveau matériau Dans le changement à fait cas restent pourtant sont s'envisager peuvent très du flambage les mêmes, est de nature géométrique. - 35 - de phase, distincte de au décrit celles que quant on assiste contraire, alors sous différents Dans le cas de l’ébullition, tout le phénomènes ils phénomène, propre du liquide. de chemin deux sous-jacentes. constitutive du les bifurcation, de des causes d’un si par une régissant les équations le facteur de chapitre La III localisation d’années d’études pas localisation aux en idées la statique, détail de particulier la la la description les de charge particulièrement général, sont des les <85>, études Mande1 <79>. grande rapport métaux), pour pour avec (Rice été <67>. Après une s’est manifesté les sols, présenter d’irrégularités. - 36 - et Il les ce plus à partir de quasi- des lois grand de nombre est apparu en (règle d’irrégularités précoce. matériaux genre de de normalité l’apparition une localisation période de bifurcation <79>). règle des en 1903 mais d’un prévisions (Rice Rudnicki dans Hadamard des que et par à l’éclosion ainsi conditions exprimées rapide à la adoptée les L’évolution adoptée par de comportement dynamique sensibilité par loi plus lieu Ce n'est généralement solides, non phénomène bifurcation de ont ce sujet 70 a donné entraînaient connus et sur rhéologique important qui dynamique locales, d’un localisée approche Ce du matériau. de la cette dizaine bifurcation. action compatible directe, déviations pour les solution, formulation montré en caractéristiques <53>, <78>, de la une d’hétérogénéités l’entrée dans d’activité années admise surface Hi11 les résultat de déformation de la depuis théorie rhéologique concernant Rice l’objet L’approche d’une <93>, par ont que généralement dans description un mode d’une dans qui d’études, au base donnée comportement les la un regain en sommeil, sur ou de Pémergence Thomas le comme cisaillement. fait de la développé du domaine par puis 1973, si de base relevant <50>, cadre de comportant Les travaux est bande permet limites, mise qui à rechercher <80>). le brutalement de vue du matériau dans envisagé modifie point consiste plastique de contraintes qui le déformation être concentrations physique la intensives pourrait phénomène de de de Ceci est granulaires en déviation et chapitre Dans stat ces ique, pages, avant bifurcation de les dans Il considérations 9 qui existe une statiques en comportement La compression cette moyennant purement à la une condition de P, même la 1, résultat de masse qui, linéique : elle peut poutre compte d’inertie être au-delà, stable. des critique. le en étudiant de surcroît - 37 - de d’Young la en est en le alternatif, calculer l’équilibre trivial aux de la des trivial est poutre la possible fournit limites, simplement solution flexion à une du laquelle L’équilibre E, et peut pour à écrire cas la dépend chemin d’Euler conditions de module 2 ‘TT EI P =z 1 m 9 soumise le non Dans de simple deçà fléchie. 1 et obtenu en consiste des elle exemple La méthode l’équilibre tenu la dynamiques et c’est supposée mais charge 9 un charge la est nulle, complexe, définit qui de la est élastique. stable; les sur La raison phénomènes du flambage est pour localisation statique. Toutefois statique flexion de longueur Le flexion, une section expression appuyée outre est dans correspond P d’Euler de la introduire de la les connexion celui axiale plus charge moments une critique de compression chemin i.e charge encore fois quasi- travaux voir de de la entre du matériau. Bruhns et principaux au sujet purement Cette les et générale théorie Raniecki priori solides générale connexion mécanique. une a relever dynamique sols. des surprenant la s de revue du type des de vue par . matériaux rhéologique donné, élément Je passe Enfin semble po ints récemment de dynamique déformation les quelques paraftre peut d’abord prolongée st andard. non bifurcation être donner de Hill, matériaux qu’il on expose III charge dynamique axiale est: d’une P. La .- chapitre III solution “dynamique de l’équation du mouvement s’écrit des structures", page 318 <22>) (d’après Clough et Penzien, : v(x,t) = qk)ow> avec transversal v déplacement x abscisse t le @ et longitudinale temps Y s’explicitent de la façon y(t) suivante: Yw = - sinwt + Y(O)coswt W Q(x) = Dl sinsx + D2 COS~~ + D3 shEx + D4 chex avec : s = v (a 4 + 2 mw E 1 a4 = où P a 9 ,=- et E = ( a4 + g4/G, Ve - qv2 + ga/ 2 g4/4)“& w étant L’application des constantes, et fournit conditions une aux pulsation. permet limites équation Dl dehors du cas trivial Dl q de déterminer 0 sin (pas 61 0 = 0 de mouvement), on a donc la * vibratoire : Q)(x) si la 6 1 = kT condition En explicitant 6 2 w la EIkw =-m Il apparaît que, lorsque = Dl sinsx est Vérifi&e. t on obtient trois : D2=D3=D4= En la E 1 P augmente, sur la pulsation condition &a at kW 1% la ( -0l2 pulsation - 38 - P ) EI diminue. w : solution des III chapitre Elle s’annulle en premier lieu pour 1 k = 2 T avec : EI P -IIlô où l’on retrouve Ainsi, la charge critique la particulier solution propagation La par rapport une gradients Le d’un des L’onde vitesses, tenseur des des a dans ce cas : et matériau vitesses, qu’on de la vitesse relie considéré la vitesse apparaissent le vecteur orientation est une valeur alors une survient n. Tant des ondes, la observe l'accélération, les aujourd'hui note i Y s'écrit (notations actuelles) de <53> linear). stabilité l’une Il et est des C dans définie ondes ne de et pour toute Dans le cas où se propage le mot suivant les modules, positive se propager. laquelle plus; Hadamard. on a Ceci de C s’annulle. reprend incrémentalement par une équation c'est à dire peuvent stationnaire", le déterminant est décrite élastique, indépendantes C s'annulle, n. de l’onde la forme quadratique ondes en 1962, (piecewise on de laquelle à une forme quadratique du potentiel “discontinuité au cas des lois zones trois lorsque Hill, que propre qui se linéaire. élastique de propagation les dérivées n, par et de contrainte. la direction dans Hadamard montre que la propagation qui cas lieu géométrique dont o(‘9p ag le normal à la surface g dérivée Le surface une déformation de comme en premier étudiée et de part et d'autre ---=nauot F o’a avec n vecteur a été désigne taux obtenue nulle. nombre de variables, ceux gradient à pulsation envisagée certain être peut d'accélération à la matière, discontinuité statique établi des ondes Hadamard en 1903 <50>. déplace problème du régime d’onde d’un d’Euler. le point de vue linéaires, voire s'intérèsse l*unicit& aux Il - 39 - de Hadamard et le généralise même relations définit une multi-linéaires entre par la propagation “expérience mentale”, chapitre III quasi-statique, qui d’accélération, l’onde tive comme tion nécéssaire une réelles indique est vérifiée dans hétérogène. n’est dans son sols, tions <67>, une étude et propagation Coulomb, (par d’équilibre le le Comme dans ici avec les normale au plan dans d’onde, Hadamard et 1= ijkl les la il montre le cas des ondes aux existe limites Yéquation mécanique les condi- ce postulat des n’est frottements nécessaire par Hill, de la discute que condition qui rapport est à un s’écrit la état : à dire: c’est = A A dans Pn;-i de Mandel, et ondes ci-dessus problème laquelle perturbation pour laquelle condition précis plus Il une petite il quadratique de quelconque, limites, le lorsqu’il propose B forme dans de Drucker. d’une notations condi- de trois de propagation cadre le esprit, Bill donnée une limites la certaines par néga- 11). même il ainsi et au développement si mais de stabilité, et donne aux vitesse la racine l’existence garantie localement, page est dans que postulat ondes) stable. et présente, nécessaire pas une condition à la dans est clair <53> en 1964, de stabilité internes est Il rapport qui localisé d’une un problème homogene, il (Hi11 ) solution seulement ensemble Mande1 des un solide déterminée par Considérant de la Cependant pas du matériau. de cisaillement) l’unicité un cisaillement l’existence de stabilité direction. toute entre d’interpréter suffisante (bande que similarité intrinsèque instabilité et pour la et permet de Lüders bandes il montre MO( j k o( sont matrice les des cosinus modules directeurs de incrémentaux la définie ijkl par : l l r =A ij e est la l & ijkl’ kl densité, n la célérité et le vecteur v La propagation de le l’onde, gradient de la . de vitesse perturbation dans devient - 40 - la direction impossible de la lorsquea normale. = 0, c’est chapitre à dire lorsque une propre valeur de B s’annulle. B If il ou encore A entraîne qui : Moi det(dA . Concernant limites, la Mande1 déformations libres contraintes) être se rejoignent élémentaire est pas elle élément stable une et dans un instable problème au sein d’un peuvent s’énoncer être pas élémentaire serait qui condition ne peut (1) problème à dire donc, n’est plus qu’un (c’est peut de Hi11 qui souligne le : W)=O k ijkl entre connexion alors = 0 k 25 1 j 3 s’écrit L’équation =O 1 ijkl III étudiée le problème si l’on Son point sous la ses défini en de vue forme: et celui L’instabilité de l’instabilité globale, du problème indépendamment aux suppose élémentaire massif. suffisante et et dans son l’énoncé le ici les par les ensemble. III-3 La localisation en bande les formulation La général plus grandes équations être trouvé : de base. directe quasi-statique peut de cisaillement la dans a été par donnée référence <79>. Rice; On en reprend lignes. sYntéresse On coordonnées à une actuelles x transformation des points d’un les dont solide, définie coordonnées dans l’état de i référence X . Le gradient sont de déformation est défini par 9 classiquement, 1 = bx F ij est le normale la de contrainte s que Rice pour adopte son analyse j tenseur du tenseur soit . Le tenseur /0x i nominal de Piola-Lagrange. force n dans agissant l’état (voir de Hi11 par Il unité de référence. par est défini de surface Il faut - 41 - exemple comme <55>), le tenseur de référence, noter que, est qui pour le s transposé tel sur une le mode que n-s facette de bifur- de chapitre III cation envisagé, les simplement la déformation envisagé l’instant possible a une à la vitesse est bande en raison Rice de savoir F”, produit condition je discuterai le Une dans deuxième vecteur contrainte continu au passage uniforme en dehors statique incrémental sur direction paralléle déformation vecteur dans la et g avec (chemin 0 SO. est bande d’un le à est champ vecteur n (2) avec et bande, vitesse la dans réalité la bande et (cf être doit parallèle facette direction la n. expérimentale, de ce mémoire entre à la le comme chapitre VI). vérifiée : bande être doit courant milieu le : 00 = n.s’ en raison à lieu localisée celle-là, la frontière de la donner à l’extérieur, expérimentale condition, s?mpose pourrait soumis de déformation de la a1 condition homogène, +gen gradient n.s Cette de 0 = i cohérente partie de la mode lI 1 le est la du : g représente cinématique particularité de contrainte la d’un utilise à un taux prévaut qui l’on de façon et un mode tensoriel l Cette i” si en 80 <80>). qui ce mode, celui de cisaillement vecteur Rudnicki déformé si F Le et identiques d’une de chargement Dans le est à fait de transformation courant qui tout homogène, alternatif). somme du champ normal solide posé (chemin additionnel par (discuté à un incrément problème Le seront de Cauchy, le actuel fondamental) la contrainte considère On équations (3) du fait ne varie celle-ci, que pas mais non l’état de plus, seulement contrainte en son dans sein, la est dans la direction perpendiculaire. Ces matériau. linéaire deux conditions Rice par envisage zones une loi désigne une spécifier comportement de =c ij où à le comportement incrémentalement du multi- : 0 s v s reste posées, vitesse ijkl de contrainte - 42 - 00 D kl objective et D la vitesse de III chapitre déformation. Si on adopte la dérivation l s =L est rotation ijkl la kl partie matérielle. manière de la la pris (2) l 1 s’écrit traiter la bande 1 k i vocabulaire, jusqu’ici, on pose décrite la L’ entraîne la condition : (n n)g 1 L dont la quadratrique ainsi la non solution (nLn) condition ijkl triviale apparaît le s’annulle, classique vecteur tout peut constater à fait avec l’existence d’une la problème que même ne tensorielle), pas se comportement dans constitutif (ou, le cône peut on a : (5) =O (6) k lorsque le déterminant g étant alors vecteur de la forme a On p0pre. : det On le existe, 1 classique i le par -- L triviale l’hypothèse même zone 0 ce qui non (4) kl 0 1 L =L )e entraîne solution est l o F ijkl g = 0 (qui contre à l’extérieur un autre suivant n ) cl envisagée Si par k 1 0 1 = n (L -L ) lorsqu’une généralité et de référence. l 0 triviale solution simplement. de : ijkl apparaît la Dans vitesse : : (F-+gn) kl ijkl L i La localisation la ll 1 alors 1 (n la à dire =L:F = L kl On a toujours c’est kj : F (3) ik F0 l l 1 1 s en appliquant +-ns kj l SO = L0 La condition : configuration générale plus l , pour l et, on a alors -sœn ik de ; est actuel D kl l l antisymétrique L’état On a alors, = C ijkl : F ij où J& de Jaumann, l que le critére condition (nLn) = 0 de localisation à laquelle conduit stationnaire discontinuité - 43 - (7) ainsi l’étude (voir obtenu coïncide dynamique pour paragraphe chapitre III précédent,équation Le traité (1)). problème, <62> incrémentale abordé, l’ont 9 et comporte plus Chambon travaux des grand nombre Rice désigne de chercheurs théorèmes élargie principaux résultats. d’un problème localisation la couvrent en bande dans et cadre une et de cisaillement; (charge(qui ne synthétique, présentée seule la le est Bruhns dans pour raison cadre une a partie la discussion Il J’en été Hi11 fait - 44 - modes perte phénomènes plus diffus, réserve a été Elle à ceux qui d’unicité bifurcation de large les 1958. à dire à la indiquent et en c’est effet maintenant formulée de déformation les 52>, que en sous présente s’intéresse les < un (5), qui due à Hi11 a a motivé existe précoce, plus standards, de ce qui de l’hypothèse <80>. <76>. de Hi11 gamme de modes se veut partie la élastoplastiques limites, et linéaires de l’élastoplasticité, théorie bifurcation <80>, généralisée qui continue” de normalité. condition aux pas nécéssairement Raniecki aux matériaux la envisagés de le peu de Hi11 n’est Cette par théorie s’applique vérifient est restrictives. récemment bifurcation dans été général. nom de “bifurcation bifurcation d’hypothèses La le a Rudnicki zones se trouve problème (4) de l’élastoplasticité linéarité à cette donc à travailler fondamentaux, telle qu’une de la cadre étude, et et deux à non loi Je renvoie de l’analyse sous présentent moi-même, le Rice le dans Une autre concernant La simplification des et La théorie III-4 une linéaires). de ce mémoire. complète lois à l’équation dont premiers les pour second par auteurs, les dont de zones effectuée théorique le correspondant Quelques classique, décharge) été général, présent. jusqu’à Kolymbas plus que la comme le flambage seule ou chapitre le claquage, cette et gamme réel décrit ceci signifie l’on appartiennent antisymétriques au un à la "raide" résultat à par zones (donc zones dans l’espace les linéaire. loi est Dans la plupart : la bifurcation des fidèlement contraintes, à incréments de Le solide par le spécifiée un multi-linéaire); des actuel, relation la Soit comportement serait le correspond à la poursuite linéaire de tenseur de du chargement le cette cas, long réponse est la <73>). est le suivant possible en comoaraison. de de l’état dont qui (Needleman des sont solide zone dont voisinage bifurcation. sans linéaire linéaire définir peut c'est chemin cas et standard, et de déformation associé aucun de solide desquelles, comparaison, Le notion incrémentalement que contraintes moins symétriques élastoplastique l'intérieur du la par une loi modules modes l introduit Hi11 solide divers III avant que le pour le solide linéaire solide réel n’est en de comparaison n’admette une bifurcation. elle effet, mais récemment bifurcation plus à Rudnicki la Rice L1 intérêt donc elle réalistes quant maintenant, <85>, d’une que de est aussi les les microscopiques de métaux toutes les et lois déformation critique. dilatance, moyenne (entre Needleman <73>, Tvergaard <lOO>). extension de la aux matériaux matériaux montré ont des la En développées de localisation ductiles, théorie sévère. permettait comme une à la contrainte sols aux études normalité au niveau dans malheureusement application exclut depuis l’hypothèse sensibilité et toute plus, de vides développement standards priori métaux, de en compte aussi de pour les 1’ abandon ainsi a exclut granulaires; que aux matériaux limitation La prévisions de prend On nucléation et le et on s'intéresse autres exemples, non standard est évident. Une s’applique telle à extension l’élastoplasticité a été réalisée non standard - 45 - par Raniecki à un potentiel. et Bruhns. Cette Elle théorie chapitre III introduit de nouveaux vérifient qui Ceci permet sous la présentent solides linéaires standard), élastoplastiques laire, solides la forme même propriété nécessairement de définir de comparaison que une des bornes d’une perte (qui à un paramètre famille celui à savoir de Hill, d’unicité inférieures des matériaux sont avant du chargement scaque ces réel. le solide qui provoquera la bifurcation. De plus, un second solide linéaire, de Hill) celle du solide de comparaison pour un mode significatifs vitesses par en matériaux ductiles directement Tout prédit térieur majorant un 82, sur sur les en posant la base concepts du chargement d’autres telle inférer non et (5) de la (c’est bande, de bifurcation solutions, une lois à dire dans du solide comme je de ce mémoire. - 46 - qui lois le réel; l’exposerai des effectuée par pour pas cependant que, pas de même que chargement cas potentiel ne sont même cône le définie Gurson, de ne paraît de telles que été de c’est dans les fondées possi- pour bifurcation) à l’in- est un encouragement la le bifurcation constitutif, sans de progrès des fonction standard solide un chemin permettre a déjà à des Bruhns, sur le non-standard et plasticité pour de Raniecki devrait pour (comme réel application du modèle de la est loi l’élastoplasticité L’application l’hypothèse et à l’extérieur Elle de plasticité Une peut-on linéaire solide de critère <lOO>. au plus rechercher cadre la élastoplastique bornes. deux déformation. de Tvergaard second le dans classiquement ble. entre donné, dont troisième partie un à III chapitre III-5 Principaux Une revue générale serait trop vaste; les paragraphes plus les travaux déjà par Mande1 des centrés fait vérifiant pas stabilité en rejoignait la formulation telle premiers Les dans cette et Cambridge <78>. Une première 1975 et <85>, denses). La , loi étudiée modélisation du développement de tion n’est L’étude la loi version de sont possible cas non standard, soit en suivant écrouissage le améliorées, chemin bof i loi en est qu’avec un suivant envisagé. L’étude que le la sont non taux - 47 - des sols, et Rice lieu, les sols à écrouispermet la qui si en les paramè- la bifurca- revanche, en écrouissage paramètres critique en de plasticité nul; à vertex à dilatants standard, vérifiée, des par exposées général en soit les valeurs d%crouissage de effectués matériaux montre que, soit modèle été été la surface dans a lieu du en bande mécanique des le sont taux d'écrouissage négatif, en ce sens qui la normalité bifurcation de optique par Rudnicki élastoplastique que cette ont en ont faite par localisation tels la première directe et d'angularités urcation ne nécessaire que est proposée en second modifiée choisis vu prémisses moyenne (comme une Une tres application est sage isotrope. (vertex). Les Drucker. de en 1976. sur la plasticité à la contrainte sensibles sols. en 1964 élastoplastiques a la formulation le cadre des roches fragiles, dans postulat condition On par Rice donnée d'un symposium présentée et une un peu sols. problème de la bifurcation du des des solides à détailler matériaux propose de le cadre de la mécanique ici les été mis en valeur de l’étude d'ondes. statique développements Rice en 1973 lors il dans ont stabilité à des étude est ces études III-Z entre de propagation qu’elle la bifurcation du type paragraphe au normalité, terme de dans les sols. et je me limiterai les rapports dans la aspects sur les matériaux mention concernant cisaillement, concernant travaux précédents, s'intéresse Mande1 sur la bifurcation les principaux dans Yai travaux de dans le positif la loi t et montre des prévisions est augmenté (ce qui chapitre III correspond à une Cependant, la bifurcation lier, dans référence blement bifurcation précoce, plus en régime de durcissement cas de la compression le subtilités que la description de exclue, (tables prévisions les rhéologique réaliste). comme plus reste axisymétrique <SS>). Les auteurs concluent des considérée particu- en 1,2 et 3 de la considéra- dépendent incrémentale, elles-mêmes encore mal comprises. Vardoulakis à sols, a partir localisation consacré de nombreux articles de en bande perte d’homogénéité axisymétrie est décrit sur l’angle de frottement frottement est faite pour l’angle de angles de localisation conditions 4 principales déviation nulle effectuées Dans la zsb loi . <lOl>, tenseurs aussi la comportement du sol principales; à la elle est déformation, total au pic, (pas interne, de Rowe <83>. prend place la ou antisymétrique du cisaillement dilatance une déviation contrainte c’est et outre, En type coulomb) de bande y avec ou bien -7r+ - 2’ tenseurs, 4 o( est d’angle et vitesse (chargement par des poids, Ces résultats à dire de déformation. alors, sont introduite suivant ou par contraintes déviation maximum (solution sont en bon accord avec des roscoe), type les Les mesures les impo- direcavec d’orienta- par l'auteur. l'article des de la sont maximum. (solution des Le les se déforme en comme une contrainte prévus par l’analyse limites aux T$ des <104>). en fonction est introduite mais symétrique avec écrouissage Coulomb, évoluant de 1978 les directions <101>,<103>), en composantes la localisation que frottement entre tion à la mobilisé l'article Dans plane dans envisagés l’échantillon périodique, écrite La dilatance l’hypothèse tions partielle, sur la base de la théorie spécifiée , cours de laquelle au <102> ou en déformation un bifurcation de (références par une géométrie d’adoucissement). sées) modes de cisaillement par une loi fondée Les diffuse, caractérisé un mode (en 1978. à la bifurcation modules de 1980, l'analyse de cisaillement de bande est reprise en axes - 48 - principaux, et en en incorporant abandonnant à chapitre l’hypothèse état d’angle limite mobilisé plastique. en tangente maximum, Cette de l’angle analyse de la est classique crée à la bifurcation gulaire soumis modes étudiés, réelles à une logie la l’étude quatrième du un degré diffus traction et et de ce type; localisés, déformation en Hi11 Hutchinson et d’un plane. Hutchinson ont Dans utilisé les consa- rectan- bloc tous les de racines une termino- de l’existence permet de classifier qui <54>, régimes en trois : Elliptique avec racine aucune réelle Hyperbolique 4 racines réelles Parabolique 2 racines réelles est bifurcation La de Hi11 se ramène à celle classique, à +b=O modes discussion é-quation désormais classes sous divers de à l’équation restriction 2 +at depuis à un essai une : 4 équation introduisait conduit bande t Cette qui III Elliptique/Hyperbolique en premier (qu’il ne faut (aucun (deux t2 >0, (un lieu t2 éventuellement seul possible confondre >0) t2 à double) >0) frontière la avec le régime parabolique), ou Elliptique/parabolique. La de discussion des Vardoulakis régimes pour l’équation permet de tirer parmi lesquelles - la divers relève on les nombre de de conclusions l’analyse physiques suivantes: apparaît localisation certain un résultant en phase d'écrouissage, c'est a dire avant le pic 0 - l'angle - l'angle 1’ indice <3>, T- +- -(9 2 4 de p signifiant à corroboré Dans partir la n’est bande “picl’; de article est on considérations par des résultats un jamais atteint; c'est approximativement retrouve ici l'angle microstructurales une borne supérieure. I Ïî- 2 - (@p + Vp ) , 4 4 proposé par Arthur et al. (voir chapitre II), et expérimentaux. ultérieur <106>, - 49 - Vardoulakis introduit un paramètre chapitre III d’imperfection au sein dans de la traduite Le bande par spécifié l’analyse la est supposé déformation par un angle résultat où considère on s'amplifier; au moment grande déformation articles Les est plus pour taires pour les sols. (suppression constater que tonneau) être pouvait Vardoulakis pas liée sont les sols; au précédemment la la utilise citées, montre que, phase pression contraire, raît la possible, frontière bande. ou moins résorber se dans la ou bande en raison de la à un observés lors du en cours, dont des essais élémen- de l'essai a permis en aux Les effet le études notamment, en de classi- extrémités, mais par faites genre en ce qui du impor- aussi (par exemple, matériau. premières tout expérimentales conditions aux frottements dûe touchent mais en mode diffus les sont en mode diffus au niveau des têtes) comportement une et superposé au mode homogène dans peut est de la (plus mobilisé localisation, des seulement travaux elle donné concerne France, ceux de polytechnique. Vardoulakis calcul de la à ma connaissance d'autres Loret à l’école le celui du frettage n’était l’état frottement à la bifurcation perte d’homogénéité la au sein suivant activée, de instant relative grand qu'à l'extérieur, raffinement Le diminué que, la compréhension des phénomènes triaxial que de à un est en apparence paradoxal). consacrés problème un peu différent tant indique Le matériau La faiblesse asymptotique cas, l'angle (ce qui faible, totale. l'imperfection bifurcation de la de cisaillement. plus déviatoire car il ce dernier dans en bande légèrement frottement de est remarquable, précoce) plus classique cellule, dans le cas du même formule et considérée, qu’au-delà en pour des échantillons E/H des régimes définis que d’un ses dans mode la bifurcation d’une homogène déformation d’élancement par l’équation - 50 - certaine est références alternatif diffus Dans le cas du triaxial la déformation du biaxial type la condition fondamental. pour la loi d1 écrouissage, de loi axisymétrique, apparaît valeur critique impossible plane, le courant, qui mode qu’au toujours <102>. diffus de Au n’appa- voisinage gouverne la localisa- de chapitre tion; le mode diffus rompu immédiatement Darve, faite mais l'extérieur d’une avec les bandes de cisaillement V (cf = 0, à laquelle l’angle la limite loi au voisinage argile une chaque symposium doit la loi aboutit à à l'intérieur condition au résultat principales condition portant sur de ces que est et à la Le développement Darve applique linéaire infinité à la condi- l’angle des par -ip donné 2 -3 2 4 de localisation la notion La condition de et les termes correctifs introduits. tangente, llintégration dont de zones. sont du Québec; l’analyse qui généralise imposée, homogène prévisions Les les expériences On de triaxiale, est vérifiée. plus du chemin lors compression à une la matrice structurée pas de de Jaumann intervenir fait une de plasticité. non n’est corrotationnelle nul est multi-linéaire constitutive Darve ajoute récent <32>, par passage surface la loi est de dilatance. tensorielle tion limite incrémentalement loi même zone avec les directions Dans un article une de Rice; L’analyse paragraphe 111-3) permet d'aboutir bande expressions tions développée dans le même travail. l’hypothèse la surface de 9 avec a présenté dans sa thèse <29> une étude de localisation classique det(nLn) car son développement est inter- pas, localisation. formulation de la proximité donc incrémentale la zones, classique la en 1978, suivant huit par à la loi appliquée n’apparaîtra III bifurqué). la condition de la loi la poursuite L'étude un est interrompue de localisation est chemin de en déterminant de la pour effectuée de localisation sur zone la dériva- par une linéarisation définie (non de proximité de La condition à est testée élémentaire lorsque à de la condition obtenues sont en bon accord avec . aussi noter les travaux sur les matériaux tion pour une loi de Mohr-Coulomb. élastoplastique L'originalité granulaires non de Vermeer <107>, de Delft standard - 51 - a présenté (82) une étude de de type de la présentation qui classique, réside dans au localisa- avec critère une certaine chapitre III économie de moyens retrouve Vermeer critique, classe <71> auteurs frottant et ont len localisation une que Cette vitesse déviation soit bande. appartenant notamment sont leur trait postulée, commun cinématiques en régime est la d’écrouissage, et avec et rejet le contrainte par spécifiée et standard non avec soit à la Mehrabadi de de type de déformation ex-caractéristiques lom, complètera sur la la coïn- statiques. La l’orientation de Kolymbas Il car de ne faut porte l’hypothèse dans confondre pas études <62>, de qui localisation, du matériau complète de cisaillement. des sur le en les zones ceci problème avec étudié loi. ramène hypothèse étude de l’analyse de rigidité rigide-plastique, d’horizon d’une significative l’hypothèse bande ce tour 11 s’agit aux sols. modification la l’approximation pas la à Pécrouissage quant grossiers, envisagés à écrouissage; référence simplement autres s’agit modèles possible appliquées introduit non des dernière bifurcation posant et Il généralité. 1. - -~ (er+W” 4 Une Les (de d’une apparaît lr+ - critique <l>. de coaxialité des plus de la Mande1 de la modèles plastiques. préjudice par à l’angle des sensitive), au profit cidence étudié sans énoncés quant rigides (pressure totale), résultats les de Anand de l’hypothèse mathématique, Vardoulakis des modèles Cowin et ainsi et par D’autres au niveau (3) l’équation à la forme suivante : 0 n.s l (en La effet, loi F”=O et que découle une loi est alors incrémentale par L n’est numériquement; sur un chemin pas complètement la spécifié condition donné; les non <18> Chambon non n.( puisque (8) sO=O). proposées celles de (8) donc est de Kolymbas type = 0 0 si est L:[email protected] g et testée résultats et Darve linéaire généralisée, <30>. du même L’équation qui : ) = 0 n ne le à chaque montrent - linéaire 52 - (9) sont pas. procède Kolymbas pas d’intégration une bifurcation de la en loi régime chapitre 9 plus d’écrouissage pas sols, plus que à savoir la paragraphe Il lois (chapitres et qui VIII et et de sont IX) est tous la bande De certes auteurs dans du même chemin elle plus a qu’à le plane. mais restrictive, autres les déformation qu’en le elle ne domaine des l’extérieur (cf d’être plus mérite l’expérience. non-linéaires, hypothèses, développements par 5). souhaitable, incrémentales l’autre par Kolymbas dans équation suggérée apparaît faite poursuite 111-3, immédiatement par celle axisymétrique au triaxial introduite L’hypothèse l’est précoce III possible, le dans de s’affranchir traiter présentés le dans . - 53 - cas la cadre à la de l’application fois général. partie théorique aux de l’une C’est le de et sens ce travail de des chapitre III - 54 - Deuxième partie ************************* * * LA LOCALISATION A L'ESSAI * * ETUDE EXPERIMENTALE * ************************* - 55 - * BIAXIAL * * * * La localisation laboratoire comme lorsqu’elle apparaît observer ques sur la sur de la réponse le des surface évidente, stades avancés de rupture de garde page au contraire, localisation n’est Y qu’à une de la photo déformation terrain comme de ce phénomène celui & l’instant de son évolution, celle qu’on où l’on le premier quitte de peut théori- Les analyses tout avant un essai que de ce mémoire). concernent naissante, (telle dans stade, le chemin de quasi-homogène. la C’est mise au point mesurer la présence raison d’une pour le en une donc est moyen localisation fourni par d’aller visualisation et et ultérieur, contrôlées. quantitative en L’étude de la localisa- stéréophotogrammétrique méthode à la observer son développement délibérées la efforts quelques permettant et d’imperfections consiste consacré j’ai expérimentale de la éventuellement dont laquelle installation naissance expérimentale tion de la de faux relief. Cette a été Andrawes été sur en 1970. sur de plomb à Cambridge applications, tions par par billes d’utiliser obtenues et Roscoe ses par de ces déplacements Arthur de plomb et dont conjointement le des champs modèle ; par rayons X. <81>, déplacement la par a été Cette effectué est une connu. stéréophotogrammétrie - 56 - Harkness incrémentale a été a reçu <57>. de une et le développée nombreuses déforma- méthode définie triangulation est de des Le calcul suivant Il ont mesurés étaient technique elle et des déplacements déplacements et utilisant stéréophotogrammé- Butterfield, à partir ces Bransby et expérimentale de déformation plane, le James James La méthode collaborateurs notamment caractérisation en Angleterre côté, dans la plane. en déformation réparties à partir Roscoe, autre modèles radiographies des ni nouvelle, notamment D’un des pas en déformation développée obtenus billes n’est de déformation de champs trique méthode sur évidemment calcul la base des tentant des déforma- tions et Al ; ceci a été Hasani en 1978 bases, est conçue particulier ment pour un esprit non une lequel résultats recoupent ceux ou les infirmant, travaux novateur plus est mis tion et méthode des pas sur maximum ; elle de points de oeuvre pas de pionnier. par les d’autres les mêmes présente mesure une grande sur l’apparition son d’un Dans la évoqués ici en absolu- souplesse, sur au fur le final. vierge, plupart des les et développement a été cas, fait de les confirmant à mesure. le sur en sera qui dans Ceci un appareil terrain l’exposé consiste et stade obtenus là Dans seront présentés été expérimentateurs, complétant. travaux sur ont ne s’agit concourant seulement fondée confère lui présentés Il publiés essentiellement non être vont ou encore antérieurs ce qui Andrawes Mc Gown, extensive. plane. faire employée, réseau d’un régulier, qui pourrait on j’ai notamment de généralité utilisation résultats dont que s’accomoder pas en déformation biaxial auteurs, La méthode de et quelques <69>. dans quelconque Les le par l’avantage nécessaire les fait L’aspect que la fait, l’accent localisa- grâce possible à la stéréophotogrammétrique. Cette partie seconde ment à Pinstallation enfin à la synthèse comporte expérimentale, des résultats trois à la obtenus. - 57 - chapitres, méthode consacrés respective- stéréophotogrammétrique et chapitre IV Chapitre IV L'ESSAI BIAXIAL ***************** IV.1. Gdhéralités --~~~~~-1-------~ L'essai concerné par cette taire en déformation essai dans lequel plane, à chaque contrainte, déformation, en général. En d'autres d'homogénéité l'essai, sur sable. l%chantillon caractérisé nous dirons instant vitesses il est un essai par essai détermination un de matériau des tenseurs les variables d'état est voulu homogène, mais comme cette notion par ailleurs et de toutes élémen- élémentaire comme un élément par une seule de leurs plutôt J'entends est considéré termes, recouvre étude expérimentale une appréciation un essai élémentaire de la bonne qualité (type d'essai), aussi de homo- gène que possible. Cet essai laquelle Schneebeli, Tratapel particulier j'appartiens, mais un matériau <97> puis a déjà toujours qui par nature Duthilleul été utilisé dans l'équipe e sur le sablèbidimensionnel ne connaît <43> ont effectué - 58 - que la déformation MASTEC à de plane. un grand nombre d'essais chapitre élémentaires ou de essentiellement simulation le observations sur calage concernant ques sur cet aspect d’une la recherche La déformation partir étant que données interdite la translation cette direction. des points que Les de la de tout reillage pour prise tation ultérieure. géométrie de que les riables tion une cette de vue et nulle à l'émergence du champ de l’échantillon. à ceux de de ce que seule de thème Toute à un plan, cette déformation à déformation on sait 350 en effet face D3 1 exploi- la ainsi aux généralement imposée 4 mm visua- Figure limites est -11;--15----Geometrie Essai conditions et biaxial aux : limites. va- nettement dans 1. Para(-. de dimensions est conjointement à 1 présente L’échantillon mais nombreuses remar- sont l’échantillon ,-.lèlépipédique, complète L’appa- conditions appliquées. ses par avant de figure La mais déplacements permettre avant, pour projet de la cinémati- parfaite lisation de pour la raison perpendiculaire parallèle l’échantillon. doit à faire choisie surface en reproduit face représentatifs donc a été mesurables vecteur avait pour ce matériau, l’amènent la détermination se de premier de Grenoble. dans la direction cinématique rhéologique loi ne sont pas étrangers plane permet des Le des phénomènes et ses travaux, au laboratoire configuration matériau. localisation Darve sur le plan théorique, de ce IV le sens moins de épais que haut l'épaisseur, - 59 - et large. La déforma- le plan de déformation ’ chapitre IV plane est cales reçoivent dès ainsi la fabrication sa axial supérieure et Tel : il que t l’échantillon parfaites les tions la lées obtenu par violer de même et le cela comme (direction conception d’un vers initial enveloppé d’épaisseur. horizontales faces la à mettre par exemple l’application figure les 1). face déformation types de Ces diverses principales - 60 - ~ (fabrication : en être éliminés (et plane. l’effet (anti- arrière) on peut des perturbations caractéristiques aussi perturbaaussi sont horizontale exigences de Ces conditions ; mais force d’une tel homo- d’hétérogénéité avant en évidence maintenant. soit pas asymptotiquement D’autres dont verti- parfaitement doivent la impose l’essai. appareil est être de l’essai entre sur la des peut sol-tête qu’approchées 3 sur faces millimètres relatif n’introduise contact de façon de 0,4 essai au contact qui autres l’autre. l’état dispositif deux CQ L’échantillon de latex chargement qu’au être notée un tel que Les mouvement jusqu’ici, délibérément résultantes têtes l’une frottements ne peuvent envisagées, des est pour les imposée, membrane et que le particulier, l’échantillon. une défini suffit de dans inférieure de l’échantillon) frettage) face pression une L’écrasement gène grande sur ont sont l’une conduit détail- à chapitre IV IV-2. Conception de l'appareil -----------------------------La photo 1 montre principalement d’une larges à l’intérieur hublots, tion la plane direction frontale ici dispositif, sur aussi grosse reçoit qui ce une d’ensemble de laquelle est et sur La photo la photo. le 1Ynstallation. placé le un échantillon têtes d’échantillon perçée kPa, à déformation à la fin et d’un dans vue de ce On observe essai. vérin le nulle meilleure une de de déforma- dispositif 2 permet s’agit Il à 2 000 maintient avec les de pressurisable enceinte l%chantillon présenté cliché vue supérieur (vérin mécanique). dire plane Sur la la c’est laire figure partie), à dire une sous sur épaisseur dispositif l’ensemble quer et le représenté bride le est Pour inférieure. chargement figure solidaire axial dont par jugée du socle, l’échantillon soit par on voit plaque au suffisante. Les vissees, il qu’on bas la queue - 61 - sur cours deux peut de ces de voir la entre les têtes la le jeu la photo possibilité du vérin 4), soit l’essai, parties sur offre (par rectangu- apparaît en place, le lléchantil- négligeable l’échantillon à Déformation verre de déflexion comme c’est derrière située une l’appareil que de DP (pour une des entretoises On notera 2 et garantir de l’appareil, fixe partie portant a été 2 présente la que w3 exercée par partie Du dispositif métallique dessin). assemblées La figure rieure n’apparaît de 50 millimètres sont 3; du socle. contrainte la représentée solidaire cette (hachurée plaques 2 est reste qui dans lon, photo Le dispositif de déformation --------(I----(111------------------- celle Plane une 2.1 du sur la photo 4. supéd’appli- hydraulique par le haut I vérin ii ~ couplage vérin capteur force avec mécani le supérieur de dispositif latéral tête de chargement supérieure y plaque arrière que de verre plexiglass échantillon tête vérin Figure ---------- hublot 2. Appareil. Partie inférieure hydraulique fixe. Figure --------mm 31. Appareil. Partie amovible. T a... ” z _ I o\ W I Photo -a------- 1. Vue d’ ensemble. Photo ---œ----- 2. Dispositif de DP et échantillon. chapitre IV Photo 3. --------Dispositif de DP. Vue latérale. Photo --------- 4. Dispositif de DP. Détail de la partie inférieure. - 64 - chapitre (vérin mécanique, rieure lors de l’essai). trôle exercé. Dans c’est porté un cas entre constitue situé et l’enceinte Pour avantageux essais du point appliquant trôlée les sur manière la supérieure par partie amovible le vérin mécanique contrainte par C’est le par imposée le et la à permettre vérin le vérin de la moyen procédé supé- type de con- et dans l’autre mesurée par un supérieur. machine qui d’essai, supérieur. latérale, le tête le est il est possible de s’affranchir les d’une qui a été et plus de l’enceinte mise en en dépression pour utilisé libre des têtes dans - Rotation Dans par développé les empêchée : de la conditions échantillon-tête. n’est perturbations des têtes diverses possible - rotation à l’interface l’étude localisation, à rendre réaction tête est à la con- les essais ce mémoire. dans De façon limites exercée isotrope de lQ5chantillon. qui photographique de vue couplé diffèrent axiale à faible contrainte la présentés des machine d’essai le cette plan aux conditions ont été conçues de : de DP, autour configuration, d’un aucun axe situé moment de tout au têtes. les horizontales faces restent telles de l’essai. - Translation de réaction libre - Essais sable/tête. celles Les décrites de la horizontale - Translation que porte cellule, force une la 3 montre de la chargements c’est de force figure chapeau Ces deux La force La force le un déplacement. capteur long par IV n’est empêchée frettés supérieure coaxialité : la adoptées loin dans le plan de DP : aucune développée. ou antifrettés dispositions plus tête concernant - des 9 par pour la 65 - têtes est imposée. lubrification l’antifrettage lubrification de l’interface sont de la du même type face de DP. Il chapitre faut IV noter cependant d’ensemble d’une perturbés par d’une de essais à la antifrettés, tête légèrement la tête est le glissement par empêché la (2 mm), saillante supérieure l’application même par développé présence disposée au force d’une en outre latérale sur d’effectuer la structure en cours d’essai, des tête. a permis <de mesurer l’effort glissière la permet de réaclors spécialement localisation. 5 montre La photo plaque de verre repose sur darisée Les des rapport fritté, cette - Enfin, horizontal cas antifrettée. face - La glissière tion le par de bronze de la essais dans de l’échantillon pastille centre que, pieds 6 illustre la avant tête en deux pas inférieure, parties, de centrage les n’a l’ensemble possibilités l’une qui vont échantillon encore été alors que solidaire réaliser de rotation + têtes avant un essai. posée. On observe que l’échantillon la supérieure est encore tête de l’échantillon et l’accouplement sont et des - 66 - translation l’autre visibles. têtes. La désoli- du vérin. La photo chapitre - 67 - IV IV chapitre 2.3 La lubrification La D.P. de exige Yéchantillon de sur effectués le a été définir la sais dans le Dans la verre. partie Dans partie membrane la la la contrainte tangentielle. On a fait varier étant 70, 106 divers disposé et 141 paramètres kPa), à densité et de la une par par une plaque de enveloppé maximum, on mesure : le lubrifiant, la on appli- contrainte le matériau de verre 4. Roite de cisaillement de lubrification - 6a - modifiée d’interface. d’es- 4. graisse Figure --lb------- Pour figure membrane plaque lubri- série la considéré, sable sur membrane. réalisé le sol est remplacé le celui illustré comme essais latex/verre, d’une j’ai on dispose Le sable normale (35, enveloppé modifiée, supérieure, dont les des de vue. un contact impératifs une directement de ce point de lubrification, boîte, tous frotte est des faces C'est que matériau à lubrifier un échantillon de la choisie. le critiquables de cisaillement inférieure dispositif. du d’ailleurs de divers solution boîte notera sont contact avec verre lesquelles en raison choisi meilleure une dans au contact de frottement de ; on en verre, de travailler fication, que d’essai cas, de D.P. totale plaques machines notre faces absence les type fût-il Dans dans ce des dispositif, puisqu’il une avec difficultés des oour étude chapitre de la avec membrane, son la graisse meilleure essais. au silicone lubrification Chaque friction la granulométrie épaisseur, que essai f consigné Unisilkon a dans TK44N2 été répété de quatre tableau est Tableau ------1-e Essais Klür, de néoprène. Le tableau le le du sable. le IV 11 apparaît le latex permet que, une 1 résume les résultats à dix fois. des Le coefficient de observé. maximum 1 lubrification de I matériau e mm Comportement f & 0.01 . 0.2 0.4 0.2 0.4 ; 1.4 shg sbl SM Les dans les dra plus deux utilisés diffèrent beaucoup plus sables mais frottant cohérent frottant frottant cohérent, deux cas, loin sur les caractéristiques : le cas frottant, comportement cohérent, 0.045 <O.Ol 0.16 0.04 <O.Ol Shf Shf pour lequel atteint valeur max 4 0.08 KPa granulométrie : uniforme pour le sable Shg (on revien- sables). pour lequel une KPa par leur grossière des max = 0.08 On distingue = f on a T indépendante de deux types de et le cas x b;r la charge normale appliquée. Le résultat considérablement grains moyen du des paraît rapport est de Pour un sable de sable. cohérent important être atteint que la qualité l'épaisseur de lubrification la de la membrane à la à granulométrie pour une épaisseur ressérrée, dépend taille des le comportement de membrane égale au diamètre grains. Dans leur note sur la lubrification recommandent l'addition des latex, d'une charge à la graisse, - 69 - en Arthur et Dalili l'occurence une <3> poudre chapitre IV de polytetrafluoroéthylène l'amélioration due à la charge lubrification ration pour des temps serait d'épaisseur dispositions adaptée Dans réalisé le importants adoptées (fluage publiés l%volution de la graisse). durent qui que de Cette moins d’une la amélio- heure en de essais la charge supérieur le capteur axiale-déplacement contrôler axiale confirmé ainsi ici sur tout La partie obtenues ayant ces ne sont pas supérieures est que l’échantillon donc place” : graisse membrane au silicone, dans l’efficacité la par le vérin en situé “en comparatifs l'autre. dans sont matériau. au but deux appliquant par résultats des principalement concerne pour mes essais, insensible Les vérin ressort Il d'écrasement. phase j’ai (téflon). aux force machine haute était (voir été comparées, écarts le frottement de inférieur axiale de un cas, mesurée dans figure il sur les plaques - 70 - dispositions, déformation dans 2). ressort de répétabilité est réellement ces négligeable. Les les que verre qui en et par le deux courbes de l'essai de plane, cas, force les différencourant. Il est intégré chapitre matériaux Divers La majeure partie dans ces pages mais peu fragiles. Aux des 0,8 et des fabrication moule forme à occuper par à la d’un grains. (de gros uniforme fin, (Shg). aussi, à 0,500 mm). de ruptures pas 1,35, désigné anguleux, 0,125 produit correspondant à ne diffère Il comprise mais du entre le en place L’état la lequel application uniforme a rendu membrane est ce moule, (OJ mm). nécessaire la mise dépression d’une 7 montre La photo du sable plus dans constante, 5 : le figure dont le par de chute la large, dans sable. de taille sont en place et à l’extérieur vu ici du en cours de de l’opération. fin par à elles, l’échantillon spécial, un étranglement tube d’Hostun et 1,63 de verre. billes à grains ne se d’Hostun très quant désirée à hauteur illustrées travers sable des sable uniforme sont parallèlépipédique à la dépôt le et siliceux, il minimum l,OO. de verre, La mise par très étude, et le un sable cette sa granulométrie, billes d’un démontage est sur est et de 0,65 sable forme volume C’est sables mm. Les maintenue dans deux réalisée Shf. maximum vides par que 1,8 sigle densités Le second précédent testés, a été envisagées Les indices le été La granulométrie contraintes de grains. essais des par ont IV de petit la longueur dense est le quelques est déversé diamètre, et spécifie - ainsi avec sable obtenu, volume pour 71 - la le défini particularités de Shf, qui sont à à l’intérieur en pluie hauteur effectué un entonnoir, depuis tombe sable est chute avec libre un goulot des de chapitre IV diamètre @ = 4 mm et chute h de lâche avec 950 faut long surface et ceci la le du est dépôt continu section l’opération l’échantillon de dépôt. divers englobant ration. Il rieur est à tous part d’une les de la sont particulièrement les moyenne être moyenne était sur Les procédés à la 1,62 et l’écart répétabilité : pour et dans l’écart de ces deux initial est en un cas : pour type du sable. points et d’autre ou de vibration de piquage de vue. a été décrite plus divers points. 80 points loin vérifiée ; elle A titre de mesure, par permet d’exemple, la densité 0,04. densité préparés 12 échantillons et de l’échantillon locale, de la type Dép8t d’opérateur, en changeant de damage en question de densité 5. plan même de l’état de 1,62 annoncé est le critiquables obtenues Figure -------e-1, supé- reproductibilité, mesures était vaste, de prépa- modes qu’il de après assez autres mesures Quant peut retenu La technique des toute au cours L’homogénéité gammamétrie. plane, sur a été apparu de l’homogénéité. voici roulerait, un déplacement autres part d’obtenir un monti- rester expérimentale étude éviter du dispositif de plus hétérogénéités. par Le procédé une le sable doit obtenu de h = 0. à de fortes La manuel l’état du dépôt, duquel conduisant hauteur impérativement lors que se forme, le mm ; fl = 15 mm et Il cule une 0,Ol. - 72 - globale, de la le résultat même façon, suivant la densité chapitre Photo ----e-e-- Le moule 7. Après remplissage enlevé par aspiration, plane. Ceci glisse la une est surface jusqu’à par d’aspiration. supérieure excès obtenir l’usage Il inclinée du volume est une d’une le matériau prévu, surface surface même possible d’un petit angle est alors est supérieure de en excès voulu est parfaitement référence de cette prêt. sur laquelle façon, par rapport d'obtenir à l’axe de (perturbations). l’échantillon La L’échantillon par facilité tête L’échantillon à échantillon. IV tête est supérieure mis manodétendeur à vide. en dépression On peut placée et à - 80 KPa, démonter le moule - 73 - : Tétanchéité faite. par l'intermédiaire c'est l'état montré photo d’un 7. chapitre IV La I préparation Un maillage tion rectangulaire grossière projection permet voit, nir en cours Les mesures relatives aux préalable interne de la ment de fines premier que couches employée. effectuées ces celui placé être faites visualisa- par obtenu granulaire (voir à être contrôles était et chapitre dans la plus du type On peut été il par a été V). La machine. directement considérer sur été la - 74 - décrites comme membrane. d’obtede ceux sable sur ce procédé sur encore. à ces essentiel on le effectués. de observée possible comme représentatifs couche coloré. rapport de celles donc ont démonstratif préalablement membrane donc de généraliser n’a de latex, de sable de la une sont, est sont différents différence est vont déplacements envisagé membranes disposition déplacements de un aspect la membrane. Il Il contrôle cas, été de à coller aucune des qui a consisté membrane. relatif n’avait prêt que est confère l’échantillon. de ne sert en stéréoscopie fictif déplacements Deux déplacement aucune marquage essentiel qui à ce stade, l’assurance Le second transparence membrane, le qui main, Le marquage de déplacement En réalité, mesurés. la à la du relief à l’intérieur. Le saire. sur avec sable-membrane -----II---II---I-II----I Adhésion du sable tracé l’échantillon 3.3 au à terme d’essai. visualisation 8 montre menée est de peinture la photo est les à la de suivre couches, pas bien au paragraphe fidèles si face néces- déplacements Grâce On n’a la les le relative déplace- observé de que dans ce précédent mesures de chapitre W-4. Techniques La principale qrammétrie, chapitre à elle de mesure dans ces essais est un peu longue seule (chapitre outre la stéréo, non moins complexes local, cation technique Mais certaines même de mesure la description dont je me contente que j'en IV est la stéréophoto- et m’a semblé mériter un V). d'autres techniques eu aucune ; n’ayant d’en ont été mises en oeuvre, mentionner le à principe développement, et d'indiquer l’appli- ai faite. 4.1 La planimétrie -------------Cette clichés pris trique, les variations un appareil rer l'aire en cours d'essai mécanique définie raisonnable environ simple de volume bien connu, absolue intégrée sur n'importe tronçon complet, à l'exploitation contour sur les est permet de mesu- qui fermé. déformations planimètre Le manuelle, d’un d'après les stéréophotogrammé- de lQ5chantillon. d’utilisation la pour mesurer, utilisée globales l'intérieur comme (l'erreur a été et destinés à 0,Ol) et par ailleurs, volume lon très technique précision La est se chiffre volumiques permet de mesurer la variation méthode quel contour au sein de bande de cisaillement, de l%chantillon autres zones de (échantil- typiques). 4.2 La gammamétrie ------II------gammamétrie La rayon gamma d’un lonner du cette trajet <47>, avec au est de mesure fondée d’un corps. de manière à en déduire rayon. Cette application méthode cours de sa traversée atténuation du une en une méthode a été développée particulier à l'essai - 75 - Il sur l’atténuation est densité à llIMG possible moyenne d’étale par Bernard triaxialaxisymétrique long Wack ; la chapitre IV machine “phogadense” été l'outil a Safwan Labanieh <63>, Didier lisation illustré mon j'en que dans essai et permettait données B 0,02 petite dimension. L'erreur méthodes. elle Degny était par L’uticomme traversée obtenues sur la densité absolue , de avant et après effectué de densité <33>. consistait, ponctuelles Ceci comparer les variations par les autres Eric particulière; un peu Terriez de Jean-Michel 6, à mesurer des densités sa de recherches Bouvard <12> et récemment ai eue était par la figure échantillon des avec a été celles évaluée kg/dm3. 4.3 La tomodensitométrie -11--------1-~~~~~~~ La tomodensitométrie, Scanner, est X, et images une est irradié l’objet obtenues matiquement d’absorbance méthode suivant un des X. La son appellation médicale incidence, calculer est bien une il coupe développée A partir est possible dans Figure -- e------ 6. Gammamétrie t Principe. - 76 - des mathé- en terme de l’objet, analyser source de Le rayonnement est ici grand nombre d’incidences. de méthode sous la précédente. pour chaque cas particuliers) locale connue généralise transmission en (sauf qui mieux le domaine chapitre A. Sawczuk médical. Juin 83 une mécanique des Direction et (entre permettre, autres choses) sur corroborer pour est des cette ces techniques l’usage des et mes plane densités à la à cette apprécier la plus puissance principales a été quantificative spécifications ayant de la fait des été de l’essai et à la appareil la mesure ne m’a pas tel outil, j’ai notamment Cette présentées, il stéréophotogrammétrie déformations. C’est - 77 - biaxial, reste application l’objet et différentes les à expliciter pour la dans haut, tridimensionnelle. déformation eu précisément En revanche, d’un à la après tomodensitométrie inédits. en résine de conçus décrites de résultats j’ai à un tel injecté été ayant la occasion, accès essais, locales, technique du LMA de Marseille avoir méthodes à Udine à l’étude. utilisées qui de diverses application, résultats actuellement issu par pris Marseille, de today” de cette et Cagnasso, de déformation applications Les tion essais de apporté, Clairval “plasticity l’application contacts à MM Sawczuk clinique Les sur à des un échantillon écrasement. l’optique Suite grâce de la au symposium portant solides. tester d’y a présenté communication de pouvoir, chance <87> IV obtenir du chapitre maintenant la V. visualisa- pu chapitre Chapitre V V LA METHODE STEREOPHOTOGRAM#ETRIQUE ************************************ Ayant déjà été amené stéréophotogrammétrique méthode à réfléchir et à trancher pense qu’il n’est Sans doute trouve vent utile dans retouches et son de la d’en état faites rédaction mettre en quelques définif. de chantier petits J'ai donc des déformations, présenter ici regrets la cohérence d’un Mais a posteriori. façon sur la de publications au calcul son application toujours subsiste-il figé de pas cours sur la meilleure la forme exacte d'un article rique au préféré récent publié dans le Journal seront faites après l'article, une la chose, autre lorsqu'un texte version. papier se souffre remarques chapitre. - 78 - sou- donner à ce chapitre de Mécanique et Appliquée. Quelques je en fin de Théo- chapitre V Jomud de Mécanique théorique et appliquée, Vol. 3, No 1, 1984, p. 79-103. Mesure du champ de défomation d’un objet plan par la méthode stéréophotogrammétriquede faux relief Stereophotogrametric method applied to the determination of plane strain fields J. DESRUES * et B. DUTHILLEUL ** RBuMÉ. - La méthode stéréophotogrammétrique de faux relief permet de mesurer, avec une précision remarquable, les déplacements incrémentaux d’un nombre quelconque de points d’un objet plan soumis à une transformation. Les développements décrits dans l’article permettent, par un traitement numérique approprié de définir le champ de déformation associé. L’intérêt dans l’étude expérimentale de la localisation de la déformation plastique est mis en évidence par des exemples d’application. ABSTRACT. - The false relief stereophotogrammetric method is a powerful method allowing incremental displacements for any point of a plane abject subjected to a transformation. In describe a numerical procedure which gives the associated strain field. This is of great interest of experimentai investigation of the localization of plastic deformation, as cari be seen from given. one to obtain the paper we in the domain the examples 1. Introduction .’ La méthode présentée est une méthode de visualisation quantitative du champ de déformation d’un objet plan; elle a été conçue dans l’idée d’une application à des champs de déformation non-infinitésimale, éventuellement très hétérogènes, affectant des matériaux non élastiques. C’est la méthode la plus directe dans son principe, puisqu’elle consiste à mesurer le champ de déplacement et à en déduire les déformations par dérivation spatiale; toutefois la mise en œuvre de ce schéma n’est pas sans soulever quelques problèmes, expérimentaux et numériques, qui sont discutés ici. La méthode a été élaborée dans le cadre d’une étude portant sur la localisation de la déformation plastique des matériaux granulaires. Dans ces matériaux,’ comme dans bon * Attaché de recherche au C.N.R.S., Institut de Mécanique de Grenoble, B.P. no 68, 38402 Saint-Martind’Hères Cedex. ** Chercheur 3’ cycle, Institut de Mécanique de Grenoble, B.P. no 68, 38402 Saint-Martind’Hères Cedex. 0750-7240/84/01079 25/$ 4.50/@ Gauthier-Villars - 79 - chapitre V 80 J. DESRUES ET B. DUTHILLEUL nombre d’autres solides, apparaissent à partir d’un certain stade de déformation, des zones de concentration de la déformation, appelées bande de cisaillement. Dans le cadre de la théorie de la bifurcation, cette localisation peut être vue comme résultant d’une instabilité propre du matériau; les études dans ce domaine s’attachent à rechercher dans la description rhéologique du matériau (loi de comportement) les conditions d’apparition d’un tel phénomène. Le manque de données expérimentales concernant la transition de la déformation non localisée à la déformation localisée nous ont conduit à mettre au point des installations expérimentales et des techniques de mesures capables de caractériser le champ de vitesse de déformation d’un échantillon soumis à un essai élémentaire (contrainte et déformation supposées homogènes). Ces techniques s’appliquent aussi à des essais sur modèle en déformation plane. La stéréophotogrammétrie de faux relief est une technique qui permet de mesurer le champ de déplacement d’un objet plan. Elle constitue une branche particulière de la stéréophotogrammétrie, dont les applications dans le domaine de la cartographie aérienne sont bien connues, et ont donné lieu à des développements considérables sur le plan des matériels comme sur celui des méthodes d’analyse. Il existe aussi un champ d’application non topographique qui comporte notamment dans le domaine industriel, le contrôle de structures ou d’ouvrages d’arts (réflecteur d’ondes centimétriques, barrages en terre, tunnels...), ou bien encore la mesure de l’écoulement des glaciers (Laboratoire de Glaciologie, Grenoble). Dans. tous ces cas on s’intéresse à des déplacements entre deux instants, que l’on obtient soit par comparaison des trois coordonnées spatiales de points homologues, soit, directement, par la méthode de faux relief, dans le cas de déplacements contenus dans un plan : la précision est alors considérablement améliorée. La mesure des déplacements d’un objet plan subissant une déformation relève de ce dernier cas. Elle a été mise en œuvre par divers auteurs dans le courant des années 1970 dont notamment, en Angleterre, Butterfield, Harkness et Andrawes [43, en Pologne et en France, Beynet et Trampczynski [5], Bénéfice et Boehler [6]. Ces différents auteurs ont ainsi obtenus sur des échantillons ou des modèles plans, les champs de déplacement, par restitution analogique avec une résolution de l’ordre de 0,Ol mm. L’originalité du travail présenté ici tient au fait qu’il décrit une méthode, fondée sur la restitution analytique simultanée des deux composantes de la parallaxe, qui permet d’accéder non seulement aux champs de déplacement mais aussi à la détermination complète, en grandes déformations, du champ de déformation; c’est bien là, en définitive, l’aboutissement de la méthode, dans la mesure où l’interprétation directe des cartes d’isovaleurs conjuguées des composantes du déplacement se révèle difficile; elle ne donne aucune information par exemple, sur les variations de volume. Cet article présente le principe de la méthode, les détails de sa mise en œuvre, et discute l’application à quelques exemples. .2. Principe Soit un objet plan soumis à une transformation (non nécessairement homogène) plane. Les déplacements des points de l’objet dans le plan caractérisent entièrement la transformation; toute l’information relative à un état peut donc être mémorisée par un cliché pris à VOLUME 3 - 1984 - No 1 - 80 - chapitre MESURE DU CHAMP DE DÉFORMATION D’UN OBJET PLAN V 81 l’instant correspondant à cet état. L’histoire de la transformation peut être enregistrée sous la forme (discrétisée sur le temps) d’une série de tels clichés, obtenus d’un point de vue fixé dans l’espace. La stéréophotogrammétrie permet de restituer et d’exploiter cette information. 11 n’est pas possible, dans le cadre de cet article, d’entreprendre une discussion générale de la photogrammétrie, et de ses méthodes. L’application qui nous intéresse ici constitue un sous-ensemble bien particulier de cette discipline; un certain nombre de simplifications découlent du fait que l’on se situe d’emblée dans le cas dit « normal », la prise de vue étant faite perpendiculairement au plan de l’objet; en outre, le point de vue étant unique et l’angle de visée fixe, le problème de l’orientation des gerbes perspectives se simplifie considérablement. Nous nous limiterons donc à l’énoncé de quelques éléments fondamentaux concernant le lien entre la vision du relief et les différences géométriques existant entre les deux images observées. Le principe de nos mesures, quant à lui, peut être entièrement explicité sans faire appel à la notion de relief, phénomène qui n’intervient dans le présent cas que dans la pratique de l’opérateur qui manoeuvre le stéréocomparateur. Pour plus de détails sur la photogrammétrie, on pourra se reporter à l’ouvrage de H. Bonneval, « Photogrammétrie générale » [7]. La perception du relief est un phénomène physiologique, fruit de la vision binoculaire et du décodage effectué par le cerveau. Considérons ( fig. 1) un segment AB appartenant à un plan horizontal passant par la ligne des yeux de l’observateur. Ce segment est vu sous deux angles différents, 8, et E&, par chaque œil. La différence des segments A; B; et A; B;, proportionnelle à la différence de profondeur AP, est perçue physiquement et produit la sensation de relief. Si l’on intercale sur le trajet des rayons lumineux deux écrans P, et P,, et que l’on matérialise sur ces écrans les traces des rayons, on peut enlever l’objet AB sans introduire de modification dans la perception. Les écrans peuvent être des photographies, on a alors défini un couple stéréoscopique. Il s’agit là d’une simplification, dans la mesure où nous faisons abstraction de la relation entre convergence des yeux et accomodation, phénomène qui rend nécessaire l’utilisation d’apparèils adéquats, les stéréoscopes. Mais ceci suffit à expliquer qu’une déformation d’un objet plan puisse être source, en vision stéréoscopique, d’une impression de relief : si P, et P2 sont deux clichés successifs d’un même objet subissant une déformation, l’élongation du segment a, 6, en son homologue u1 b, se traduira par la différence de profondeur fictive Ap. Supposons maintenant que les points b, et b, n’appartiennent plus aux photos P, et P,, mais au système optique de l’appareil d’observation des couples de clichés, et qu’on puisse déplacer ces points par rapport aux photos, dans un mouvement soit couplé, soit découplé. Soit d’abord un mouvement couplé amenant b, en coïncidence avec a,; le point b2 ne coïncide pas avec a,, donc le point B apparaît toujours en arrière de A. Soit ensuite un mouvement découplé qui amène b, en coïncidence avec a,; les points A et B paraissent alors confondus. La mesure des mouvements couplés donne la coordonnée de LIN sur P,, et la mesure des mouvements découplés relatifs, la profondeur sous forme d’une parallaxe, ‘qui est donc une différence de coordonnées. Ceci illustre à la fois le procédé de mesure, -que l’on appelle le pointé stéréoscopique, et la relation directe que l’on peut établir avec les déplacements de points matériels homologues, lorsque l’on JOURNAL DE MÉCANIQUE THÉORIQUE ET APPLIQUÉE - 81 - chapitre V 82 J. DkSRUES ET B. DUTHILLEUL s’intéresse à un objet subissant une déformation, au lieu d’un objet rigide vu sous deux angles différents. Il reste à éclaircir un point, qui est celui de la mesure des parallaxes dans la direction perpendiculaire à la ligne des yeux. Cés parallaxes ne donnent pas lieu à une impression de relief; elles produisent une gêne visuelle, par rapport à laquelle la vue dispose d’une certaine tolérance. Toutefois, il est possible pratiquement lorsque l’on opère sur un stéréocomparateur, d’ajuster la parallaxe « y » tout en pratiquant le pointé stéréoscopique, et ceci avec une précision comparable à celle du pointé (d’après nos mesures, à défaut d’études connues). Quantification Deux voies s’ouvrent, connaissant les principes de base, pour quantifier le relief observé, vrai ou fictif. La plus immédiate consiste en des séries de pointés ponctuels, suivis d’une exploitation numérique des mesures obtenues : c’est la restitution analytique. Une autre voie est celle de la restitution analogique, qui consiste à déplacer continûment le point fictif à la surface de l’objet, en entraînant un dispositif, mécanique ou autre, capable de tracer simultanément la courbe de niveau ainsi définie. Ce procédé a été le plus utilisé, en raison de la solution élégante et efficace qu’il apporte aux nombreux problèmes de redressement, orientation des faisceaux perspectifs, que nous avons passés sous silence ici pour la raison qu’il n’apparaissent pas dans l’application envisagée, et qu’ils nécessiteraient des développements considérables. La voie analytique, source de calculs fastidieux, connaît maintenant un nouvel essor grâce à l’apparition des ordinateurs. Jusqu’à présent, les auteurs qui ont mis en application la méthode de faux relief pour la mesure des champs de déplacement ont en général utilisé la méthode analogique. Elle présente cependant de nombreux inconvénients : - nécessité de deux opérations complètes pour chaque couple : une pour les parallaxes horizontales, une pour les verticales, avec en outre la nécessité de corriger, sans pour autant la mesurer, la parallaxe perpendiculaire à celle que l’on mesure; - difficulté technique de l’opération, nécessitant une formation professionnelle et un entraînement très poussé; - impossibilité de poursuivre le traitement des données au-delà de ce résultat graphique. En particulier, le calcul des déformations est impossible. En revanche, la voie analytique comporte des avantages, dont le prix est la conception et la mise au point de la chaîne de traitement. Parmi ces avantages : - la précision est améliorée (rapport 5/1 cité par Ph. Hottier dans l’ouvrage référencé - l’appareillage nécessaire se ramène à, un simple stéréocomparateur; - les deux champs de parallaxe x et y t obten us en une seule opération; - la formation de l’opérateur est plus rapide; - il est possible d’ajuster la densité du semis de points de mesure aux gradients observés en éclaircissant le semis sur les « plateaux N; VOLUME 3 - 1984 - No 1 - 82 - chapitre MESURE DU CHAMP DE DÉFORMATION D’UN OBJET PLAN V 83 - enfin toute possibilité reste ouverte concernant le traitement numérique ultérieur, qui fournira non seulement des courbes de niveau d’iso-déplacement mais aussi des cartes des différentes composantes de la déformation. C’est le second procédé, qui est décrit ici. L’appareil de mesure à utiliser est un stéréocomparateur; nous avons utilisé notamment un appareil assez simple, le steko 18 x 18 de Zeiss Iena, mais aussi une machine de la dernière génération, le traster de Matra. Résultats cherchés On cherche à obtenir quantitativement les résultats suivants : - champs de déplacements totaux et incrémentaux dans deux directions orthogonales; - champs de déformation pure finie, totaux et incrémentaux (ou champs de vitesse de déformation) et champs de rotation matérielle associés. Qualitativement, on s’intéresse à l’observation de structures complexes qui défient la quantification : gradients extrêmes confinant à la discontinuité, par exemple. 3. Technique photographique Le sujet doit présenter un aspect visuel permettant l’identification par contexte des points homologues; suivant les cas, un simple (4 grain » visuel de l’objet pourra suffire ou au contraire il faudra matérialiser des points, voire même des marques d’identification. Nous n’aborderons pas ici les techniques de marquage. Les clichés destinés à l’exploitation stéréophotogrammétrique doivent satisfaire à un certain nombre de conditions, qui sont les suivantes : - qualité de l’image projetée sur la surface sensible : l’absence de distorsion (qui peut cependant être étalonnée), la définition, la netteté dépendent essentiellement de l’objectif et du boitier ou banc utilisés. En ce qui nous concerne nous utilisons une chambre Linhoff équipée d’un objectif de la même firme. - stabilité dimensionnelle du cliché : le support et l’émulsion ne doivent pas être sujets à des déformations, au moment du développement notamment. L’usage de plaques photographiques à support de verre fournit de bonnes garanties à cet égard; - contraste et définition de l’image obtenue : dépendent du traitement chimique et de la qualité de l’émulsion; - la taille de l’image sera aussi grande que possible, sous réserve de la conservation d’une finesse de détail indispensable à l’opération de stéréorestitution. Nous utilisons des plaques au format standard 4 x 5 inch (10 x 12,7 cm); - le référentiel doit être matérialisé par des points parfaitement définis, placés dans le plan du sujet. Remarque : l’utilisation d’un appareil de prise de vue Hasselblad au format 8 x 6 sur film ordinaire a conduit à des résultats de qualité raisonnable. JOURNAL DE MÉCANIQUE THÉORIQUE ET APPLIQUÉE - 83 - chapitre V 84 J. DESRUES ET B. DUTHILLEUL 4. Mesure des déplacements Que cherche-t-on ? Définissons quelques notations, soient : xi coordonnées dans le repère du labo (référentiel) au temps t2; Xi coordonnées dans le repère du labo (référentiel) au temps tr; X état de référence, i= 1, 2. Les déplacements relatifs : xi- Xi=Ui sont les déplacements cherchés. Ils incluent toute la transformation matérielle subie entre t1 et ti, c’est-à-dire la combinaison translation-rotation-déformation. Que mesure-t-on ? Sur l’appareil, on mesure : Xi coordonnées du point sur la photo 1 dans les axes de l’appareil de stéréocomparaison; pX1 parallaxes, c’est-à-dire différence des coordonnées des points homologues entre les deux ciichés tels qu’ils sont positionnés dans l’appareil (de stéréocomparaison) dans les axes de cet appareil. Sur d’autres appareils (Traster, par exemple), on obtiendra Xi*, et XT, (G et D pour gauche et droite), c’est-à-dire les coordonnées respectives des points homologues des clichés 1 et 2, placés 1 à gauche et 2 à droite, dans les axes de l’appareil. Les parallaxes s’en déduisent directement. Les points homologues sont les points-image d’un même point matériel; l’identification sans ambiguïté, par contexte, de ces points homologues n’est pas le moindre avantage de la méthode. Transformation rigide surajoutée Il n’est pas nécessaire de positionner les clichés de telle façon que les parallaxes des points fixes du sujet (le référentiel matérialisé par des marques fixes liées à la machine d’essai) soient strictement nu!les : ce réglage doit être effectué grosso modo pour faciliter les mesures? mais la méthode décrite ci-après permet de corriger numériquement l’écart résiduel. On doit donc considérer que les mesures obtenues résultent de la superposition de deux transformations : - une transformation rigide, opératoire, qui n’est pas physique et qu’il convient d’éliminer; - la transformation effective, qui est celle qui nous intéresse, et qui peut comprendre une translation et une rotation, physiques celles-là, en plus de la déformation. Référentiel Il est donc nécessaire de disposer sur les clichés d’un référentiel indéformable, matérialisé par des points visibles situés dans le plan de mise au point de l’appareil de prise de vue, c’est-à-dire dans le plan de la face avant de l’échantillon. On peut alors déduire de la transformation mesurée la transformation rigide du référentiel, par une opération qui doit annuler les parallaxes des points du référentiel. En outre, la mesure des distances relatives de ces points sur le cliché de gauche fournit l’échelle. VOLUME 3 - 1984 - No 1 - 84 - chapitre MESURE . - DU CHAMP DE DÉFORMATION D’UN OBJET PLAN V 85 Présentation en axes fixes et à l’échelle Après déduction de la transformation rigide, il convient d’effectuer une. rotation sur la partie restante, de façon à présenter les mesures dans des axes liés au référentiel et non pas dans les axes de l’appareil de stéréocomparaison. Ceci est nécessaire pour pouvoir comparer les incréments successifs. En outre, on doit remettre à l’échelle les mesures obtenues par une homothétie de rapport défini d’après le référentiel. Traitement numérique Ces tâches sont effectuées, & partir des mesures brutes XT, Xz, PXf, PXZ par un programme auquel il faut fournir, outre les mesures, l’angle 8 de la rotation rigide, à déduire, l’angle a de la rotation à effectuer pour présentation en axes fixes, et le coefficient d’échelle. Opération 1 : Déduction de la transformation rigide du sujet par rotation 6 et translation annulant strictement les parallaxes du point 1 du référentiel. Opération 2 : Rotation d’angle a. Opération 3 : Mise à l’échelle de X 1, X,, PX 1, PX,. L’angle têta peut être déterminé en calculant la valeur de cet angle pour chaque couple de vecteurs homologues (cliché 1, cliché 2) définis à partir des points du référentiel pris 2 à 2; on prend ensuite la valeur moyenne de l’angle; l’écart-type donne une indication de la qualité des mesures. Le semis Une fois effectuées les opérations 1, 2, 3 ci-dessus décrites, on a obtenu un ensemble de mesures de déplacements incrémentaux en x et y, associés à des points de coordonnées Xi sur le cliché 1. Appelons cet ensemble de quadruplets le « semis ». La densité du semis dépend de la façon dont l’opérateur a pris les mesures lors de l’opération de restitution. En particulier, il peut tirer bénéfice de la vision stéréoscopique pour repérer les zones de fort gradient de déplacement (qui seront vues comme des « talus », voire des « falaises N), et densifier le semis dans ces zones en prenant des mesures en des points proches. La représentation des vecteurs déplacement aux points du semis fournit une première visualisation de l’écoulement. Mais une exploitation plus poussée est nécessaire pour donner une mesure de l’homogénéité ou hétérogénéité des champs de déformation. Cette exploitation rend nécessaire l’interpolation. 5. Interpolation de la fonction déplacement Soit Ui (Xi>, i, j= 1, 2, la fonction vectorielle de deux variables des déplacements associés à un point de coordonnées X 1 et X,. Le problème de l’obtention de cette fonction à partir des valeurs connues, en nombre fini, aux points du semis, est un problème d’interpolation. JOURNAL DE MÉCANIQUE THBORIQUE ET APPLIQUÉE - 85 - chapitre V 86 J. DESRUES Interpolation ET B. DUTHILLEUL linéaire La méthode d’interpolation retenue est la plus simple : la fonction U, est approchée par une fonction linéaire par morceaux, définie sur une partition en triangles du domaine étudié. Les sommets des triangles sont les points du semis, et les données en ces sommets déterminent entièrement la fonction continue : les dérivées en revanche ne sont pas continues. Le maillage L’opération d’interpolation permet de calculer les valeurs de la fonction approchée en un nombre fini de points, répartis régulièrement sur le domaine étudié, aux nœuds d’un maillage dont on définit la taille approximative de la maille. Il va de soi qu’aucun avantage ne sera obtenu d’un resserrement de la maille au-delà de l’espacement minimal des points de mesure, mais en revanche, un maillage trop lâche ne permettra pas de tirer profit de mesures effectuées en des zones de fort gradient, si les distances d’un point à l’autre sont plus petites que la maille. Représentations La représentation de la fonction approchée permet d’étudier les caractéristiques du champ de déplacement et en particulier ses variations de gradient. Parmi les représentations possibles, les isovaleurs des composantes verticale et horizontale (axes de l’espace physique) de la fonction sont particulièrement intéressantes; les représentations en perspective (bloc diagrammes) peuvent aussi être jugées utiles quant à la visualisation. Influence de la triangulation sur les résultats Quelques remarques peuvent être faites concernant la précision et la fiabilité de la méthode. On a déjà noté, quant à la précision, que celle-ci sera aussi bonne que celle des mesures dès que le maillage sera pris aussi fin que le semis dans ses zones les plus denses. Sous le terme H fiabilité » on vise la réponse à la question suivante : de combien s’écarte la fonction approchée de la réalité ? Cette question appelle une réponse en plusieurs points. Remarquons d’abord que, contrairement à beaucoup de méthodes d’interpolation, celle retenue offre l’avantage de respecter rigoureusement les valeurs expérimentales : si l’on cherche la valeur de Ui en un point du semis, celle-ci est égale à la donnée expérimentale. Ceci est un avantage décisif dans notre cas, dans la mesure où les gradients de la fonction sont extrêmement grands par endroits : une interpolation « adoucissante » obérerait le résultat dans ce qu’il a de plus caractéristique. En revanche, il apparaît très vite que le résultat n’est pas indépendant de la partition en triangle adoptée. Il existe un grand nombre de façons « raisonnables » de partitionner le domaine sur la base du semis expérimental. Aucune n’est strictement équivalente quant aux valeurs résultantes aux nœuds du maillage et certaines peuvent être très différentes. Cette difficulté ruinerait la méthode si elle ne pouvait être contournée de la manière décrite ci-dessous : VOLUME 3 - 1984 - No 1 - 86 - chapitre MESURE DU CHAMP DE DÉFORMATION D’UN OBJET V PLAN 87 Le choix de la triangulation L’idée de base est de respecter les forts gradients détectés expérimentalement. Rappellons que la technique stéréophotogrammétrique permet de visionner les gradients sous l’aspect d’un relief fictif. L’appréciation plus ou moins bonne de ce relief fait partie des qualités d’expérimentateur de l’opérateur et doit se traduire par une densification locale du semis. Une telle densification, le long d’une bande de cisaillement par exemple, est donc, en bon usage de la méthode, liée à un gradient fort des déplacements. Le choix des triangles devra alors être fait de façon telle qu’aucun triangle ne couvre pour partie une zone de semis dense et pour partie une zone de semis lâche; on sait en effet que, les gradients étant très différents, entre ces zones, l’approximation linéaire sur le triangle à cheval sera très mauvaise. Au contraire, on cherchera à réaliser une partition en triangles telle que la direction de plus grand allongement des triangles soit parallèle à la direction générale d’allongement de la zone de densification du semis (si une telle zone existe et si elle présente un allongement). Dans les zones de faible variation des gradients, les modifications de la partition n’entraînent que des modifications négligeables de l’interpolation. Ceci permet de lever l’objection d’arbitraire qu’on pourrait opposer à la méthode, en replaçant l’opération de partition du domaine, opération volontairement manuelle, dans le domaine de l’initiative de l’expérimentateur; éclairée par l’observation. 6. Calcul des déformations finies entre deux états (a) Transformation linéaire tangente, déformation et rotation pures jànie, transformation Une transformation finie Y est définie par la donnée d’une fonction vectorielle xi (Xj) i, i = 1,3 qui définit les coordonnées actuelles xi des points matériels de coordonnées Xj dans l’état de référence. La transformation est « finie » si les xi -Xi ne sont pas infinitésimaux. On définit la transformation linéaire tangente à la transformation réelle (tlt) comme l’application linéaire liant les vecteurs dx aux vecteurs dX : dx=FdX, (1) avec : F II- a9- (2) OU ax Fij=l, ax axi (Germain, 73, p. 92). Le tenseur F est aussi connu sous le nom de gradient de la transformation. La transformation Y peut toujours être considérée comme le produit d’une rotation R et d’une extension W ou bien d’une extension V et d’une rotation R. Pour la tlt on a : (3) F=RW=VR. On appelle W le tenseur de déformation JOURNAL DE MÉCANIQUE THÉORIQUE pure à droite (Germain [ 11, p. 87). ET APPLIQUÉE - 87 - chapitre V 88 J. DESRUES ET B. DUTHILLEUL Les résultats finaux seront exprimés par le tenseur de Hencky, qui se définit à partir de W de la façon suivante : - il a mêmes axes principaux, - ses valeurs propres sont les logarithmiques naturels des valeurs propres de W. Le critère de tensorialité définit les composantes du tenseur dans les axes principaux. Nous intéressant à la déformation plane, nous nous plaçons en dimension 2. Notons : F xx F XY F= F YX F YY [ 1; de (3) on déduit : W=RT F, 14) ou encore : d’où un système de 4 équations à 4 inconnues : W,, tenseur de déformation pure est symétrique). On obtient : e-(6) arctg Wyy, Wxy, 8 puisque W,, = WY, (le F - F XY Fyx xx +F YY W xx= F, COS8 + F,, sin 8, W xy= F,, COS0 - F,, sin 8, W yy= F,, COS 0 - F,, sin 8. On peut alors calculer les valeurs propres &, et h, de W, et de là, celles du tenseur de Hencky Ii = Log hi, ainsi que les différents invariants de ces tenseurs. (b) Déformation entre deux états Supposons donc que nous disposions de clichés de deux états distincts d’un même corps (à deux dimensions). La méthode stéréophotogrammétrique de faux relief nous fournit les données suivantes pour chaque paire de points homologues : coordonnées du point sur le cliché de gauche X l9 X,, déplacement relatif entre les deux clichés U,, U,. Si l’on adopte pour configuration de référence la configuration de l’état 1, la transformation Y d’un état dans l’autre est définie par : x=lT(X)=X+U, ou : Xi=Xi+Ui. (7) VOLUME 3 - 1984 - No 1 - 88 - chapitre MESURE DU CHAMP DE DÉFORMATION D’UN OBJET PLAN V 89 Le calcul du champ de déformation pure auquel a été soumis le corps entre ces deux états nécessite la détermination du champ de gradient de la transformation F défini plus haut (2). De (2) et de (7) il découle : axi 7 avec 6, symbole de Kroneker = 1 si i =j; 0 si i #j. On a donc besoin des dérivées partielles de la fonction vectorielle U. (c) Dérivation spatiale Cette fonction est connue par ses valeurs aux nœuds d’un maillage régulier, elles mêmes obtenues comme on l’a vu par interpolation à partir des mesures expérimentales aux points de ce que nous avons appelé le semis. Bien que régulier, au sens que chaque ligne du maillage comporte le même nombre de points, le maillage n’est pas strictement orthogonal et équidistant. Il est obtenu, dans le cas de domaines d’étude non rectangulaires, par transformation conforme, suivant la méthode mise en œuvre par Chambon (Chambon [2], p. 57-69). Les mailles sont alors non pas rectangulaires mais simplement quadrilatérales. Il n’est donc pas possible de définir simplement les dérivées partielles par rapport aux variables d’espace Xi. La solution à ce problème consiste à utiliser une technique d’eléments finis quadrilatéraux isoparamétriques à quatre nœuds (Chambon [2], p. 82-83). L’interpolation des déplacements sur l’élément est quadratique incomplète; les déplacements sont linéaires sur les frontières de l’élément. La mise en œuvre de cette technique nous permet d’obtenir les gradients de la fonction Ui (Xi) au centre de gravité de l’élément quadrilatéral dont les sommets sont quatre points du maillage, soit les aUi/iTXj cherchés. Les composantes de Fil au centre de gravité de l’élément considéré sont donc obtenues immédiatement à partir du champ de déplacement, moyennant une technique de dérivation faisant appel aux éléments finis. Pour plus de détails concernant ces techniques, uoir par exemple Zienkiewicz [3]. Fij (X,) étant désormais connu, il est possible d’appliquer les résultats (6) et de calculer les champs de rotation, et de déformation pure. 7. Caractérisation déformation complète : histoire des champs de déformation totale et de vitesse de Dans le paragraphe 4 on a décrit la méthode permettant de calculer le champ de déformation finie entre deux états d’un échantillon matérialisés par deux clichés; le premier de ces états était défini comme état de référence. Au cours d’un processus expérimental concernant un domaine sur lequel on désire mesurer l’évolution de la déformation, supposons que l’on ait réalisé n clichés à n états JOURNAL DE MÉCANIQUE THÉORIQUE ET APPLIQUÉE - 89 - chapitre V ‘1. DESRUES 90 ET B. DUTHILLEUL successifs correspondant à n valeurs d’un paramètre d’avancement 5 (qui peut être le temps). L’application de la méthode décrite ci-dessus à un couple de clichés successifs (k, k + 1) fournira un champ de déformation incrémentale, à partir duquel on peut définir une vitesse si les états sont suffisamment proches. L’état de référence étant pris cokident avec l’état k, le champ de gradient de transformation obtenu, que nous notons désormais fij, S'écrit : . f (k) ij a% = tk f- ‘1 dxj (k) =6 + a txi tk+ ij lJeTi axj (k) tk)) l Nous notons à partir d’ici les coordonnées d’un point dans l’état correspondant au GliGhé k : xi(ck) ou encore Xi(k). Il en est de même pour les divers tenseurs. Comment s’écrit la vitesse de transformation aFij/ac ? Rappelons la relation (9) : Fij(k)=6,+a,ax f où Xj représente l’état de référence et peut s’écrire avec les notations Xj=Xj (1). On aura donc z = 1 5 R+I-& a(Xi(k+ introduites ici 1)-xi(k)), axj Il apparaît clairement que fii (k) - 6ij n’est pas la vitesse de transformation Fij (k), et qu’en conséquence il n’est pas possible de sommer les f;ï (k) obtenus à partir des couples (k, k + 1) pour avoir la déformation totale Fij (k). Il est donc nécessaire d’effectuer les opérations de mesure sur les couples (1, k) pour obtenir l’histoire de la déformation totale. Si au cours d’un processus expérimental on s’intéresse à la fois aux champs incrémentaux et cumulés, ceci conduit à un double jeu d’opérations de stéréocomparaison : l’ensemble des couples (1, k) et l’ensemble des couples (k, k + 1) doivent être exploités. On peut cependant réduire à un seul jeu ces opérations en employant la méthode décrite ci-après. La vitesse de déformation 9 se définit comme la partie symétrique du gradient des vitesses par rapport à l’état actuel, c7ad: ou encore : VOLUME 3 - 1984 - No 1 - 90 - chapitre MESURE DU CHAMP DE DÉFORMATION D’UN OBJET PLAN V 91 avec : (11) la relation entre a et F s’écrit : L’opération d’interpolation de la fonction déplacement Ui nous ayant fourni les déplacements, Ui (&) et Ui &+ 1), on peut calculer l’incrément de déplacement : et on a donc Pij (&) : pij W d5= & Wi (tik+ llvui (5J); i on a en outre Fij (Q : qui seront évalués en utilisant la technique de dérivation spatiale décrite en 2.4. c. 11 est alors aisé d’obtenir B par application de (12) et de (10). Comme nous venons de le décrire ci-dessus, à l’aide d’une série de restitutions de couples (1, i), il est possible de déduire la définition des tenseurs W et 9 pour chaque couple incrémental (k, k + 1). Ceci nous permet de n’envisager qu’un nombre de mesures stéréoscopiques nécessaires à la restitution des couples (1, i>, donc une simplification importante des opérations de mesures, longues et délicates. 8. Exemples d’applica Les exemples présentés relèvent du domaine de la mécanique des sols, avec le but à la fois d’illustrer la démarche exposée dans les paragraphes précédents et montrer les possibilités de la méthode. Dans le cadre d’application qui est le nôtre, l’objectif est de mettre en évidence et de caractériser l’apparition de la déformation localisée. Les cas décrits ici sont d’une part un essai élémentaire de déformation plane (sollicitation homogène d’un échantillon homogène à l’appareil biaxial) et d’autre part, une modélisation sur matériau analogique du comportement d’un mur de soutènement. 8.1. Déplacements et déformations au COUTSde la localisation à l’appareil biaxial L’essai est réalisé sur un échantillon parallélépipédique, de dimension 330 x 165 x 60 mm. Il est constitué d’un empilement de rouleaux parallèles, de diamètres variés (matériaux granulaires analogiques de Schneebeli). La condition de déformation plane se trouve naturellement vérifiée dans le plan perpendiculaire aux génératrices des JOURNAL DE MÉCANIQUE THÉORIQUE ET APPLIQUÉE - 91 - chapitre V 92 J. DESRUES ET B. DUTHILLEUL , r 165 , r Fig. 2 Fig. 1 Fig. 1. - l+incipe. Fig. 1. - Principle. Fig. 2. - Géométrie de l’essai. Fig. 2. - Test specificntions. rouleaux. Les conditions aux limites sont définies sur la figure 2 : contrainte imposée On sur la face latérale verticale, vitesse imposée Y sur la face inférieure. Les têtes supérieure et inférieure sont libres en rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan de DP et situé dans le plan de la face. On considère l’incrément au cours duq’uel apparaît la localisation. Le déplacement imposé au cours de cet incrément est de 3.5 mm, ce qui fait une déformation axiale globale voisine de 0,Ol. A l’observation en stéréoscopie, le faux relief fait apparaître deux plateaux séparés par une forte pente. L’opérateur a judicieusement densifié les mesures dans cette zone, ainsi qu’il apparaît sur la figure 3 qui présente le champ de vecteurs déplacements obtenus (le « semis N). Un maillage régulier de 18 x 37 points étant défini, l’interpolation permet de calculer la fonction déplacement approchée, sur la base d’une partition en triangles représentée $ la figure 4. Le parti pris quant à la définition des triangles, justifié plus haut, apparaît clairement. La représentation des composantes du champ de déplacement sous la forme des isovaleurs de ces composantes, figures 5 et 6, révèle un champ fortement structuré, avec en particulier une zone allongée présentant un très fort gradient perpendiculaire à la direction d’allongement : c’est une bande de cisaillement, qui sépare deux blocs quasi rigides soumis à une rotation et un déplacement relatif. Le calcul du champ de déformation permet de préciser les phénomènes. En chaque point du domaine on obtient les composantes de la rotation matérielle, et de la déformation pure. Parmi les nombreuses représentations possibles, les isovaleurs de composantes, et les courbes de symboles de taille proportionnelle à la valeur locale d’une composante sont particulièrement parlantes. On présente ici, à l’aide des isovaleurs, le champ de VOLUME 3- 1984-N’ 1 - 92 - chapitre MESURE DU CHAMP DE DÉFORMATION D’UN OBJET V 93 PLAN Fig. 4 PRll,st,6,? Fig. 3 Fig. 3. - Vecteurs déplacements aux points de mesure. Fig. 3. - Measwed displacement vectors. Fig. 4. - hrtition du domaine en triangles d’interpolation. Fig. 4. - Partition into triangles for interpolation. distorsion au sein de l’échantillon (fig. 7), et sous forme de cartes de symboles ce même champ de distorsion (fis. 8), ainsi que les champs de variation de volume (fig. 9) et de rotation matérielle ( fig. 10). Les valeurs numériques indiquées réfèrent à la déformation logarithmique (sans unité) et à la rotation (en radians). Ces figures montrent la complète localisation de la déformation incrémentale; le matériau ne connaît aucune déformation sensible en dehors de la zone de rupture. Les variations de volume, bien que très faibles sur ce matériau, révèlent une tendance à la dilatance dans la zone de forte distorsion ( fig. 9); cette même zone est marquée en outre par des rotations importantes et organisées ( A5 w* 8.2. Cas d’un modèle de mur de soutènement Le modèle physique est constitué d’un massif (bidimensionnel par nature) de matériau analogique décrit plus haut, dont la géométrie et les dimensions sont présentées par la figure 11. Le mur est assujetti à une translation horizontale vers le massif (butée) ou vers l’extérieur du massif (poussée). On notera u ce déplacement au début du pas actuel, et Au l’incrément de ce déplacement. JOURNAL DE MÉCANIQUE THÉORIQUE ET APPLIQUÉE - 93 - , chapitre V 94 J. DESRUES ET B. DUTHfLLEUL -0.81000 -0.54000 -0.27000 -2.00000 -1.60000 -1.20000 -0.80000 ~:27000 0.54000 0.81000 1.08000 1.35000 1.62000 1.89000 2.16000 2.43000 2.70000 2.97000 3.24000 3.51000 3.78000 4.05000 4.32000 -0.40000 0. :: zE% 1.20000 1.60000 2.00000 2.40000 2.80000 4.59000 PRll-st-6J,dx PRll-st-6J-dy (mm) imm) Fig. 6 Fig. 5 Fig. 5. Fig. 5. Fig. 6. Fig. 6. Isovaleurs de déplacements horizontaux. Horizontal displacement isovalue curves. - Isovaleurs de déplacements verticaux. - Vertical displacement isovalue cutves. II n’est pas possible de présenter l’ensemble des figures relatives à tous les incréments; les figures 12 à 17 mettent en valeur, à partir des cartes d’isovaleurs de déplacements incrémentaux, les phénomènes importants. Le champ de déplacement de la figure 12 montre qu’une partie du massif est entraînée par le mur, l’autre partie demeurant sensiblement immobile; les figures 14 et 15, relatives au même pas, révèlent la présence d’une forte localisation de la déformation, caractérisée par des gradients très importants des deux composantes du déplacement le long d’une même zone : il s’agit d’une bande de cisaillement, siège de distorsions variations de volume ([email protected] et de rotations importantes. Le caractère propagatoire de cette structure apparaît par comparaison des figures 13 et 15, relatives à deux pas pris l’un en début d’essai et l’autre à localisation complète. Enfin, l’examen des figures 16 et 17, obtenues à localisation complète lors d’un essai en poussée, montre la grande différence de comportement du massif suivant le sens de sollicitation : alors que dans ce dernier cas on peut distinguer un bloc quasi rigide en mouvement vers le bas, dans le premier cas en revanche la partie du massif qui accompagne le mur se Scinde en deux blocs dont l’un (proche du mur) connaît un déplacement principalement horizontal. VOLUME 3 - 1984 - NO 1 - 94 - chapitre MESURE DU CHAMP DE DÉFORMATION 0: 00600 0.01200 0.01800 0.02400 0.03000 0.03600 0.04200 0.04800 0.05400 0.06000 0. 0.00600 0.01200 0.01800 0.02400 0.03000 0.03600 0.04200 0.04800 0.05400 0.06000 / D’UN OBJET PLAN ... ” ”. ” .-0.. . ”I*... 1 jo . . . . 95 .. * ” ” 0 noo- 0 . r X[OO. PRll-zst,6/3,dism V - - L.. - PRll,st,6,?,dism Fig. Fig. 7 Fig. 7. Fig. 7. Fig. 8. Fig. 8 Isovaleurs de la distorsion. Distortion isovalue cutves. - Carte des distorsions. 8. - Distortion map. 9. Précision des résultats La précision des mesures est bien entendu déterminante pour juger de l’intérêt de la méthode. Nous présentons ici les résultats de tests de précision réalisés sur nos essais. Il convient de remarquer que la méthode s’applique à la mesure de champs (de déplacement, de déformation), ce qui rend nécessaire, pour discuter la précision, de prendre en compte non seulement la résolution brute de la valeur en un point donné mais aussi la cohérence du champ, qui permet d’affiner l’appreciation du résultat. Les essais de répétabilité des mesures effectuées par nos soins ont révélé une erreur moyenne (écart-type) de 10~ sur l’image. L’incidence sur le sujet dépend de l’échelle. Une autre mesure de la résolution, accessible pour chaque couple de clichés exploité par stéréorestitution, est fournie par les parallaxes finales des points du référentiel, qui idéalement devraient être nulles. Pour des sujets de dimension 350 x 175 mm, les parallaxes résiduelles des points du référentiel ont été trouvées inférieures à OJO mm. JOURNAL DE MÉCANIQUE THÉORIQUE ET APPLIQUÉE - 95 - chapitre V 96 f. DESRUES ET B. DUTHILLEUL -2.45000 -2.10000 - 1.7sooo - 1.40000 l ~oaoaooooooooo~*\ .00000000m000000n \ e*o.OPo0DnnnoQo -~mm00055050505 [email protected] *.000008aa50500 .. . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 -D.oDoa0000oO -.-•mOOQOOOO ,b - l - l 0 0 a 0 0 0 0 aaaoooo PRlL5t-&7,teta (deg) Fig. Fig. 9. - Fig. Fig. 10. Fig. Carte 9. i0. des variations de volume. Volume mtap. Carte - change des angles Mahal 10 de rotation. rotation map. Discutons en premier lieu la précision des mesures de déplacement. Lors de l’utilisation d’un stéréocomparateur, le facteur personnelest très fort. Un opérateurprofessionnel,dûment formé et entraîné;est capabled’obtenir une répétabilité . des mesures de l’ordre de 1 p. Un opérateuroccasionnel devra se contenter d’une précision plus modeste. L’autre facteur déterminant de la précision des mesures est la qualité de l’image : la netteté,qui dépendde la prise de vue mais aussi la finessede détail, qui quant à elle dépendde l’aspectvisuelde l’objet photographié. . L’un et l’autre facteurs sont susceptibles d’amélioration importante. La taille du maillage de mesure, en revanche, n’intervient en rien dans cette résolution. Quelle est l’incidence de telles erreurs sur les champs de déformation calculés ? Le calculdesdéformationscomportedesdérivationspar rapport aux variablesd’espace. Si l’on considèredespoints de mesureespacésde 10 mm.0ce qui kst le cas courant dans notre application, l’erreur absolue sur les déformations VOLUME 3 - 1984 - No 1 - 96 - avoisinera 0,Ol. L’espacement des chapitre MESURE DU CHAMP DE DÉFORMATXON D’UN OBJET PLAN V 97 Fig. 11. - Géométrie du modèle de mur de soutènement. Fig. 11. - Geometiy of tk retaining wall. MS023 t-G / 7 AU = Smm BUTEE Fig. 12. - Champ de déplacements incrémentaux. Fig. 12. - Measawed displucement vectors. points de mesure joue ici un rôle capital : si l’on resserre le maillage de mesure sans améliorer la résolution sur les déplacements, la résolution sur les déformations s’en trouvera, paradoxalement, diminuée. A moins bien sûr que l’on ne mette en rouvre une méthode de lissage, au niveau par exemple de l’interpolation; dans ce cas l’augmentation de la densité de mesure se traduira, ce qui est naturel, par une amélioration de la résolution. Il convient cependant de remarquer que, en bon usage de la méthode, la densité du semis de point est ajustée par l’opérateur en fonction du relief observé. Dans les zones de faible gradient, les points seront espacés, ce qui, pour une même résolution sur le déplacement, améliore la résolution sur les déformations. Dans les zones de forts gradients, par contre, les différences de déplacement sont grandes, et la précision des mesures de déformation est peu affectée par des résolutions de l’ordre de O,Ol, comparées à des grandes déformations. JOURNAL DE MÉCANIQUE THl%RIQUE ET APPLIQUÉE -97- . chapitre V 98 J. DESRUES ET B. DUTHILLEUL Une mesure directe de la résolution a été effectuée de la façon suivante : disposant de deux clichés pris au « même » instant, donc en principe identiques bien que physiquement distincts, nous avons procédé à un dépouillement complet de ce couple. Les déformations obtenues, sont données dans le tableau ci-dessous, en terme de moyenne et écart-type. TABLEAU Composante exx eYY l l e IGorsion . Var. volume. Valeur moyenne Ecart-type 1,000 58 l-O,000 17 -0,ooo 74 0,00455 (*) 0,ooo 39 o,oo6 0,002 04 0,002 0,007 (*) La courbe de fréquence de la distorsion est non symétrique, du fait de la valeur absolue qui intervient dans le calcul; on a en réalité une demi courbe de Gauss, la partie négative étant supprimée. La valeur moyenne ne peut donc pas être comparée aux autres valeurs du tableau. L’erreur absolue sur une mesure isolée de la déformation a donc une probabilité de 70 % d’être inférieure à 0,005 (0,007 pour les variations de volume) : ceci donne la résolution pour un point de mesure, dans le cas considéré (dont il faut signaler qu’il est le plus défavorable car les clichés utilisés pour ce test ont été réalisés avec un appareil Hasselblad 6 x 6 sur film ordinaire). -5.60500 -5.31000 -5.01500 MSOZ,st,3A-dy (mm) -4.72000 -4.42500 -4.13000 -3.83500 -3.54000 -3.24500 -2.95000 -2.6SSOO -2.36000 -2.06500 -1.77000 AU = - 1.47500 -1.18000 -0.88500 -0.59000 -0.29500 0. 0.29500 BUTEE Fig. VOLUME 3- Fig. 13. - Déplacements horizontaux, u = 3 mm! Au= 5 mm. Butée. Passive state. displacements, u = 3 mm, Au = 5 mm. 13. - Horizontal 1984 - No 1 - 98 - Smm chapitre V 99 MESURE DU CHAMP DE DÉFORMATION -4.41667 MSO2, -3.97500 -3.53333 -3.09167 -2.65000 -2.20833 -1.76667 -i,32500 -0.88333 -0.44167 D’UN OBJET PLAN st,62,dx ‘U=1Bmm k44167 0.88333 Alk5mm BUTEE Fig. 14, - Déplacements verticaux, u = 18 mm, Au = 5 mm. Butée. Passive state. u = 18 mm, Au = 5 mm. Fig. 14. - Vertical displacements, -5.12000 - 4,90000 -4.48000 -4.16000 MSOZ,st-6,Xdy (mm) -3.94000 -3.52000 -3.20000 -2.88000 -2.56000 -2.24000 -1.92000 -1.60000 AU=5mm -1.28000 -0.96000 -0.64000 -0.32000 0. 0.32000 0.64000 0.96000 1.28000 BUTEE Fig. 15. - Déplacements horizontaux, u = 18 mm, Au= 5 mm. Butée. Passive state. displacements, u = 18 mm, Au = 5 mm. Fig. 15. - Horizontal JOURNAL DE MÉCANIQUE THÉORIQUE ET APPLIQUÉE chapitre V 100 J. DESRUES ET B. DUTHILLEUL 0. 0.55833 1.11667 1.67500 2.23333 2.79167 3.35000 3.90833 4.46667 5.02500 5.58333 6.14167 6.70000 MS05-oost,4.5,& (mm) AUz4mm POUSSEE Fig. 16. - Déplacements verticaux, u = 19 mm, Au=4 mm. Poussée. Fig. 16. - Vertical displacements, u = 19 mm, Au = 4 mm. Active state. -0.78iOO -0.52000 -0.26000 0. 0.26000 0 * 52000 0.78000 MS05st-4,5-dy (mm) 1.04000 1.30000 1.56000 1.82000 2.08000 2.34000 2.60000 2.86000 3.12000 3.38000 3.64000 3.90000 4.16000 4.42000 AlJ=hmm POUSSEE Fig. 17. - Déplacements horizontaux, u = 19 mm, Au = 4 mm. Poussée. Fig. 17. - Horizontal displacements, u = 19 mm, AU = 4 mm. Active state. Cette mesure de la précision (ponctuelle) rend mal compte de la fiabilité réelle de la méthode. Il est frappant en effet de constater sur les cartes de déformation la grande cohérence des résultats, alors que les déformations globales sont de l’ordre de 0,Ol (voir Jig. 7 et 8). En réalité, le calcul des déformations fournit une grande densité de mesures, et c’est la moyenne des mesures dans une zone donnée qui caractérise la déformation de cette zone dans l’appréciation des résultats. La statistique enseigne que l’écart-type des VOLUME 3- 1984 - No 1 - 100 - chapitre MESURE DU CHAMP DE DÉFORMATION D’UN OBJET PLAN V 101 mesures obtenues comme les moyennes de séries de n tirages est égale à l’écart-type des mesures isolées divisé par Y/-n. Les erreurs indiquées ici sont donc à diviser par ce facteur lorsque l’on s’intéresse à la déformation moyenne dans une zone homogène. On notera enfin que, contrairement à l’usage qui consiste à évaluer la précision d’une méthode a priori à partir de la résolution théorique des appareils utilisés, l’évaluation donnée ici résulte d’un véritable test de fiabilité, qui incorpore toutes les sources d’erreurs possibles. A titre d’exemple un stéréocomparateur Traster a une résolution de 1 p... ce qui signifie que la précision obtenue sur notre application est susceptible d’amélioration, et ne doit pas être vue comme la précision ultime de la méthode. La conclusion de ces mesures de précision est la suivante : la méthode développée, est tout à fait satisfaisante dans son application aux grandes déformations, en particulier dans le cas de fortes hétérogénéités. Son application à des champs de déformation peu contrastés pourrait tirer profit de la mise en œuvre de techniques de lissage, exclues pour les forts contrastes. Enfin, dans le cas de déformations très petites (inférieures à 10- 3, la méthode fournira des résultats qualitativement satisfaisants concernant la morphologie du champ de déformation. Comme il a été dit plus haut, la précision est notablement fonction de la formation de l’opérateur de stéréorestitution, et l’amélioration à ce niveau peut être significative. 10. Comparaison avec les méthodes d’analyse des contraintes L’analyse des déformations est un vocable peu usité; on lui préfère généralement celui d’analyse des contraintes. La plupart des méthodes expérimentales regroupées sous cette appellation ont en effet pour but de visualiser et de quantifier les répartitions de contrainte dans des structures, des assemblages mécaniques ou des pièces isolées. Il est clair cependant que les diverses méthodes disponibles mesurent en réalité des déformations, ou des phénomènes liés directement aux déformations, alors que le passage aux contraintes ne peut se faire que dans le cas restrictif de matériaux élastiques linéaires, pour lesquels existe une relation bijective entre état de contrainte et état de déformation. La méthode décrite dans ces pages consiste en une application d’une technique photogrammétrique à l’analyse des déformations d’un objet subissant un processus d’écoulement en grandes déformations hétérogènes. Elle s’applique avec succès au cas de matériaux granulaires, pour lesquels il n’existe pas d’autre méthode de mesure des déformations. Comment se situe-t-elle par rapport aux méthodes d’analyse des contraintes ? Elle ne prétend pas à la précision remarquable ( 10s6) qu’il est possible d’obtenir, dans des conditions idéales, sur la mesure d’une élongation locale en extensométrie; ni même à la précision des mesures réalisées, sur des pièces peu déformables, par photoélasticimétrie ou par les méthodes de moiré (résolutions théoriques voisines de 10w5). Le domaine d’application de ces méthodes est tout autre : dans le cas de structures ou pièces subissant des charges telles que le matériau reste élastique, il est possible de construire des modèles en matériau biréfringent, et d’effectuer une analyse de contraintes par photoélasticimétrie de transmission; on peut aussi opérer sur la structure réelle, par photoélasticimétrie de réflexion; il faut cependant que la structure soit suffisamment rigide pour que les revêtements photoélastiques ne perturbent pas les mesures. De même, les méthodes de JOURNAL DE MÉCANIQUE THÉORIQUE ET APPLIQUÉE -101- ’ chapitre V 102 J. DESRUES ET B. DUTHILLEUL moiré sont bien adaptées à des déformations petites de structures peu déformables; leur mise en œuvre dans le cas de l’écoulement plastique de matériaux très déformables paraît délicat; en outre, l’enregistrement photographique de réseaux de lignes à 40 ou 80 traits au millimètre, sur un objet de plusieurs dizaines de centimètres n’est pas sans poser des difficultés. Une autre méthode applicable dans le domaine de l’analyse des contraintes est l’interférométrie holographique (Caussignac [SI). C’est une méthode très prometteuse, dont la résolution dépasse en théorie celle de toutes les autres. Cependant, son application reste actuellement difficile, et souvent limitée à la mesure d’une seule composante de déplacement. En outre, elle nécessite des investissements considérables en matériel et en savoir faire, qui ne peuvent être envisagés que dans des services spécialisés. 11. Conclusion La méthode stéréophotogrammétrique de faux relief, décrite dans ces pages, a été développée dans le but de permettre l’observation et la quantification de structures de localisation de la déformation, dans les matériaux granulaires du type des sols (matériaux géotechniques). Elle a permis de caractériser expérimentalement de telles structures, à des stades de développement inappréciables par observation directe. La prise de vue et l’exploitation des clichés nécessitent quelques soins, mais la formation nécessaire s’acquiert aisément. Le choix de la voie analytique pour la restitution des déplacements et les calculs de déformation confère à la méthode un bon rendement, et permet ainsi la réalisation d’un grand nombre de couples. Telle qu’elle a été développée pour cette application, la méthode n’est pas destinée au domaine des très petites déformations, pour lesquelles les méthodes classiques d’analyse de contrainte sont mieux adaptées. En revanche, elle est la seule disponible en grandes déformations, et pour tous les matériaux sur lesquels les techniques de collage de revêtements (photoélastique, moiré) sont inapplicables. Remerciements Les auteurs expriment leur reconnaissance à MM. Weloff et Gaveriaux, du Service Technique de l’Urbanisme (Paris), pour leur avoir permis d’utiliser leur stéréocomparateur Traster et les avoir initiés à son utilisation. BIBLIOGRAPHIE [1] GERMAIN, 73, Cours de Mécanique des milieux continus, t. 1, Masson, Paris, 1973. [2] CHAMBON, Application de la méthode des éléments fmis et d’une loi rhéologique incrémentale mécanique des sols (Thèse de Docteur-Ingénieur, Université de Grenoble, 1975). [3] ZIENKIEWICZ, 73, La méthode des éléments finis, Ediscience, Paris, 1975). [4] BUTTERFIELD R., HARKNESS R. M. et ANDRAWES K. Z., A Stereo-photogrammetric Method Displacements Fields (Géotechnique, vol. 20, no 3, 1974 p. 308-314). VOLUME 3- 1984 - No 1 - 102 - aux calculs for Measuring de chapitre MESURE DU CHA&lP DE DÉFORMATION D’UN OBJET PLAN V 103 [q BEYNET J. M. et TRAMPCZYNSW W., Application de la stéréophotogrammétrie à la mesutt? des dbpkzements et à l’étude de l’écoulement des matériaux (Matériaux et Constructions, vol. 10, no 59, 1977, p. 281-288). [6] BÉNÉFICE P. et BQEHLER J. P., The Application of Stereophotogrammetry to the Analysis of Displacement Fie& in Solid -Mechanics (Pro~. of the I. U. T. A. M. Symposium on Optical Methods in Mechanics of Solids, A. LAGARDE, éd., Poitiers, 1979). [q &XWEVAL H., Photogrammetrie (herale, Eyrolles, Paris, 1972. [8] CAUSSIGNAC J. M., Application de l’holographie à l’andyse des contraintes (Rapport de recherche L.C.P.C., no 84, 1978). (Manuscrit reçu le 11 octobre 1982, accepté le 17 mai 1983). JOURNALDEMÉCANIQUETHÉORIQUEETAPPLIQUEE - 103 - . chapitre V remarques Quelques noter dois calcul en que application déformations des de nappes en tous les noeuds carré chaque néité et tant sur des volonté la et générale des j’ai prix franchement densité du d'une certaine rendent nécessaire qui fonction déplacement le semis des <37>). En quelques procédure aucune Enfin, traitement. de consignes ci-dessus un elle de de dans dans de triangulation - 104 - initiale être pu acquises l'article autre un du (il plus faut de n’est fonction qu’une l'organisation dans (cartolab, uniras...). automatique, mais <37>. que (Desrues une adopté de de la dense article domaine au niveau le principe sur les des valeurs après la rédaction la référence est rigoureuse beaucoup est nécessaire cartographie a été construit n’ont régulier C'est d'ailleurs moduler de sur la géométrie par interpolation, donnée inten- numérique. importants avantages algorithme et décrit ; en outre, à la lecture maillage est permet mais le re-maillage logiciels adéquates, d’un à peu près des puisqu’elle généralité de l'hétérogé- que mieux à une utilisation traitement s'interroger l'interpolation pour ses nombre d'autres du réponse La les dérivées) du et cette centre au tant des mesurés sont restent hypothèse le calcul, noeuds mots, adoptée informatique senté aux mesures. pour en définir tain de points complexité on a pu prête hétérogènes, semis déplacements adapté présenté contenant et la déformation bien jusqu’au a1 <69> ont plans élémentaires se n'introduit puisqu’elle Par ailleurs, raisons utilisée mesurés. Cette souplesse points qu’au régulier, que les carrés que champs Les Je D’abord, poussée d%chantillons Ce procédé semble est légère méthode Mc Gown et ou textiles). maillage calculée. La sive, d’un la stéréophotogrammétrie déformation de sur cet article. faites la première. pas (métalliques est carrés. être de n’est 78 des mesures de champs inclusions à cette doivent un cer- respectueux l'article pré- chapitre Chapitre VI VI SYNTHESEEXPERIMENTALE ************************ VI.1 La La synthèse sés par tion plane et outre les essais de Docteur divers aux Cette divers impératifs sation et sur publiés de moyens inférieure à 100 domaine de contrainte par d’autres KPa, : la ce qui pour quelques et de temps pour les on observe - 105 - consti- le de sa thèse au fur cadre et à mesure dans ce domaine. limitations compte donnée limitation (notée matériaux une en bidimensionnel” priorité latérale, interdit, lequel de la La principale contrainte de déforma- V. JU3liserai dans chercheurs comporte et “sable référence fait perturbations. des (un IV et réali- d’essais de l’installation B. Duthilleul aussi expérimentale envisagé par un ensemble chapitres de Schneebeli sera sur au moyen aux effectués Il fondée décrites matériau travaux base est matériaux, empilés), à 1Wude contrainte ici méthodes Ingénieur. discussion de des de rouleaux tué présentée sur moi-même expérimentale base rupture asdans ces utilisés, des tenu à la est de la visualile niveau pages) l’étude grains de (attri- est du chapitre VI . . , ESSAI 4 u3 e 4 , antifrettage H/o tetes indice des vides (kpa) 9 B bloquées R rotulées G gliss.sup pic (degrés) . SHOO 80 0.65 2 non B 42 shf00 90 0.74 2 oui B 45 shf01 90 0.74 2 oui B 45 shf02 85 0.90 2.2 non G 36 shf03 90 0.85 2.2 oui B 34 shf04 80 0.90 3.6 non B 35 shf05 80 0.66 2 oui B 49 shf06 80 0.66 2 oui G 48 shf07 80 0.66 2 oui B 49 shf08 80 0.66 2 oui R 48 shf09 80 0.66 2 oui B 48 shfl0 80 0.66 2 oui B 48 shfll 80 0.68 2 oui B 48 shfl2 80 0.66 2 oui G+T 48 shfl3 80 0.66 2 oui B 48 shfl4 80 0.66 3.55 oui B +T 47 shfl5 80 0.66 3.55 oui B +T 46 shf16 80 0.66 3.55 non B 48 shf17 80 0.66 2 non B 48 shfl8 80 0.66 3.55 non B+T 48 shf19 80 0.66 3.55 oui R+G 48 shf20 80 0.86 2 oui R+G 39 80 0.39 2 oui B 37 bvO1 t 1 , , 106 1 chapitre Localisation angle surf ace largeur surf ace observée (degré) 32 lxl angle de dil. global avant 10~. (degré) h-d > 10 angle & dil. local ds bande (degré) 4 5 VI remarques, perturbations frottements 26 6 10 11 hétér. haut 21 6 14 23 hétér. bas 26 8 -10 8 32 4à7 -10 10 32 5 22 5 9 25 5 10 23 5 13 23 5 15 20 5 14 20 5 11 20 point 20 5 10 15 point 26 5 13 26 5 13 20 5 14 21 5 14 21 5 16 28 5 22 5 11 20 5 15 28 5 0 30 5 22 107 30 bis 05 mou dur force latérale 25 22 VI chapitre tion), accompagnée d’une forte contractante. Les phénomènes volume observés dans nos essais seront donc exclusivement du granulaire squelette toujours, tant sur chemin en phase triaxial finale précédent, en rappellant chiffre s’agit là d’un champs de déformations (pages vue significatifs rapport d’élancement (antifrettage, l’angle le hauteur perturbations), avant (Shf pour sable d’Hostun fin, est H/D), les l’angle de Shg la résolution des cas à 0,Ol. Il des par le tableau donnée essai, des 3 les vides initial eg de pic @ pic, que des indications (croquis, angle sur des sur- par l'identificateur indiqué pour sable gros, bv , de l'essai frottement ultime 2 paramètres particularités ainsi est au chapi- la grande cohérence CT 9 indice en phase de matériau Le type pire pour chaque localisation, observé de localisation l'essai réalisés sur largeur apparue). je renvoie le dila- être présentés. vont latérale pas n’est montre le légèrement présentée, dans consignés (contrainte largeur). faces, qui essais sont global localisation estimée comme des lequel de dilatance faciès être peut incrémentales têtes, la des mesures effectuées, pessimiste, dans globaux que de on observe étudiées, comportement un variation dus au réarrangement contraintes de qu'au terme de l'étude synthétique 1060107), (tant précision la gammes axisymétrique, des mesures de déformation Une les de l’essai Concernant tre ; dans de de pour billes de verre). résultats L’exposé paragraphes, tion dont apparaît-elle les thèmes influence des sont ? Initialisation direction cisaillement, des perturbations est organisé obtenus les et bandes suivants : dans propagation, certain quel cas cinématique nombre la localisa- de la bande variations de cisaillement, de l'essai, un en comportement après pic, de du volume, épaisseur des surfaces. Mais d’un exemple, avant les d'aborder phénomènes cet exposé, il convient observés et la façon - 108 - dont de ils présenter, à partir apparaissent. VI chapitre VI-2 Un exemple ---------<II----La figure Shf06, par de la au cours au répérés moyen d’une ont Le permet été d’observer le du cliché pas encore entrée montrent bien une observation des contacts sant la fait, pour remarquer devenir sur droit de tête rigide dans les la ce dernier l’échantillon, supérieure essais, la ; Les bande issue du point clichés de cisaillement sur comme les bande une réflexion au niveau 4 et 5 une toutefois révèle 7 et principale 8. dans tout bande à On peut le coin rencontre couramment de la pour satisfai- annexe ce phénomène, 4 observer, C’est se 3 et indiqué clichés de cisaillement où la aussi membrane les n’est 2, fonctionnement dès sur supérieur mieux de la et dévelop- clichés été d’un l’échantillon vérin de l’échantillon. intense une voir originaux pleinement on peut décèlera, en bande cliché le eût preuve au centre en plus par important exercé localisation peut sur de déformation est importante ; on reviendra qu’on de points clichés du champ hétérogène; peu ; c’est de plus d’essai portées enveloppe d’échantillon. distorsion du maillage des celle-ci tête plus Un oeil axial l’absence également qui supportée la d’agrandissement 6 que membrane d’appui une instants en cours explique globales, lorsque avec tête-échantillon cliché qui aux force-déplacement directement de l’homogénéité pièce détaillée, courbe à partir la apparemment distorsion le sur en contact de l’antifrettage. certaine sur 1, pris été aux clichés. de localisation rapport qu’un ce planimétrie matérialisé déformation une par ont obtenue correspondent faciès Lors celle la de volume grossièrement pée. sur de l’essai de l’échantillon clichés analogique, obtenues maillage de juger successifs Les variations Les expérimentaux points est traçante table états correspondants courbe discrets. figure, les numéros 8. Cette les écrasement. de son les figure de mesure la 7 montre la observé de cisaille- ment. La mesurer le méthode champ stéréophotogrammétrique de déplacement permet, incrémental - 109 entre - à partir deux états des clichés, successifs, de et de chapitre VI - 110 - chapitre charge axiale w déplacement I 30 e Figure -e---LI---- 8. Courbe calculer le résultats cessifs les partir V champ variation force champs 2,3 de déformation 3,4 de vecteurs de l’incrément l I 40 50 axial. - déplacement Les associé. Essai et 5,6. déplacements 3,4 et sup érieur (mm) La partie mesurés, un évident pour supérieure qui mécanisme - 111 - shfO6. 9 à 12 présentent figures stéréophotogrammétrique, 4,5 du plateau e de volume axiale de l’exploitation 1,2 VI révèlent les de la des de glissement les suc- incréments figure 9 montre perturbations bloc sur à bloc chapitre dès VI l’incrément partie champ de contour Le géométrie. La 5,6. de inférieure indiquent des pointillé est directions est celui de donne une principales fois l’échelle représentation flêchées dans la On remarque de cisaillement zone de la après déformation. synthétique dont du branches sont les à la grandeur des déformations et la direction. signe cinq l’échantillon sous la forme de croix proportionnelle le vecteurs la figure de déformation, longueur L’échelle principales et en la rotation notamment, des au cours de Encrément 596 0 figure La verticales (en l’échantillon leur. de Si, verticaux transformation verticaux inséré par B. Duthilleul) une au détermine rotation doublée horizontales 5) et respectivement Revenant rigide, droites 3,4, isovaleurs régulièrement verticales. Si des est V : dans le cinématique translation (figure enfin la déplacements horizon- envisagé, de rigides 3), ce horizontaux 3,5 forte une analogique de blocs espa- par les figures donné cas des Schneebeli qui subissent entraine qui notés des "dx" (figure pour les IrdyU. à l’essai le d’une les isovahomogène et pour les déplacements cas Si aucune strictement les isovaleurs ce dernier chapitre une de déplacement. horizontales des composantes n'observerait on pour les déplacements champ avec les incréments l'incrément droites verticales de champ (observée dans un essai sur le matériau localisation traste rotation du des axes de l'essai, horizontaux Un exemple et 6 de l'article bas) à une déformation aux des droites des horizontales. l'incrément une d'isovaleurs rigide, soumis seraient était (en parallèles déplacements seraient isovaleurs était principales cées et pour les chacun il cartes translation une en revanche, déplacements les et horizontales haut) subissait directions taux, 10 représente Shf06, la figure La complète 5,6. - de est sévèrement de déplacement précédents. 10 permet 112 - localisation constater perturbé, est que dès par conévidente à chapitre VI l I O‘I 1 l l-l I LLI - 113 - ~ - -3.60000 -3.60000 1;. :gg -3: 00000 -2.60000 -2.60000 -2.40000 -2.20000 -2.00000 - 1.60000 - 1.60000 -1.40000 - 1.20000 - 1.00000 -0.80000 -0.60000 -0.40000 -0.20000 -2.26000 -2.16000 -2.04000 -1.92000 :;.g::; - 1: 56000 - 1.44000 - 1.32000 - 1.20000 -1.09000 -0.96000 -0.64000 -0.72000 -0.60000 -0.49000 -0.36000 -0.24000 -0.12000 :: 20000 :: 12000 shf06-5t-1r2-dg -0.36000 -0.32500 -0.26000 -0.19500 -0.13ooo -0.06500 :: 06500 0.13000 5hf06-st-314-dy (mm) 1.45633 1.25000 1.04167 0.63333 0.62500 0.41667 0.20633 ::24,67 .20633 41667 : 62500 63333 :04167 :. zio 0: 96667 1.20933 shf06-st-2,3-dx I shf06-st-3,4_dx (mm) - F iqure 10. Essai shf06 : isovaleurs des et horizontaux :: 24000 shfO6-5t-4r5-dy -1.69167 -1.45000 - 1.20933 -0.96667 -0.72500 -0.48333 -0.24167 shf06-st-1,2-dx * l déplacements (bas). shf06-st-4r5-dx verticaux -4.!mOO -4.32wO -4.o6000 -3.64Ow -3.6Ocm -3.36000 -3.12Ow -2.66000 -2.64000 -2.4OooO -2.16000 -1.92000 -1.69000 -1.44000 -1.20000 -0.96000 -0.72000 -0.48000 -0.24000 (haut) chapitre VI E n -+ % \ c 0 *l-l u ti 0 u ul *FI u f - - 115 1 chapitre VI . -~-.-•‘~~~~~‘~~‘~~..~..~ ..,e.acJ-.-:.‘-- -. , . •~~~Q~~.‘~~“~.~.~~’ . .mmmQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a.... . . . . . . . 00Dmmm .m00011 . . . . . . .ii... ..ri:. . . . 1 i. . . . . . . . . . . . . .m.... . . . . . . . . . . . . - l . . . . . . 1 : .r-iibb . , : ;:i;it.oi> o;;:iio 'D 5 < ..mmo* ..a000 . . . 0 0 0 . . . ..O ..OOOD . . - 0 0 0 . . ..mn . . . ... . . . : i i . : i ..,..'. *...** DD..** ODO" .. D,.*-. .. . A;I..: 1 Ao . ’ ~ i ::."&=y 1. .o.oOoo... 1 0 - r~~oo~‘i"~""bbbo... ‘.aOOObi..‘ii”:i~~.. ls.mc., .bbbbb..i-o.Pb job.** ,‘OOtj. ~ 1 0. q bOOOb.6bb 6OOObobb bbbbobb ,o.-.a0 .,OOOa.boo.‘6 oooooOOObbb i bb00000~~00 .0b00000~0~00 *. 06 bbbb i i 5 L : : . . . i i . i i i . . . chapitre La représentation figure d8 11 donne (de%- dei) 9 l’une = 1/2 sation à la de la ultérieure. sation dont de la les extension déformation les est de la ment près à peu dans ce chapitre tout , et l’initialison hétérogénéité une suivant. présente en partie avec Les le évolution diffuse point de d’initiali- conventions de signe : compression sont néga- pour symboles déformation rotation la le champ materielle de variation associée révèlent de volume par indiqués hexagonal donnée, haute, une à la dilatance de localisation. sont des basse variations Les zones signes échelles lorsqu’elle coïncide et en partie positives, les 2,3 de taille clairement 3,4 : la maximum en symboles montre à l’incrément incrémentale. Les cas, Pincrément maximum 12 enfin, dans valeurs figure distorsion la l’autre encore positive. incrémentale importante de à l’incrément dès déformations La figure de volume le instructive plus champ et Cette cisaillement localisation pour adoptées locale. observer On peut déformation, tive, de du en isovaleurs valeur bande est déformations représentations deux proportionnelle la des VI la les sont forme valeurs dans “depsl globale (carré du symbole négatives). indiquées mention axiale la la Dans pour les nombre bon de marge droite du dessin la valeur de = . ..*I indique ; Kncré- de l’échantillon. Remarques 1) Lorsque sur les dessins, grande plus centre de deux 2) les Dans pas De ce est optimisée seulement fait, il calculée peut symboles une d’isovaleur dont symboles cartes des en avoir valeurs à un symbole isovaleurs non échelles on peut des correspond le les la sur ne sont estimation le comme se trouver dans serait égale manière marge la explicitement suivante: gauche à l’écartement du moyen la dessin entre dessin. d?sovaleurs, de façon indiquées de la reportées taille pas la répartition à offrir une dans une . fonction les cas - 117 - bonne (à pas couverture de Pécart de forte constant) des des du domaine valeurs localisation, et extrêmes. que cer- VI chapitre taines zones soient Dans ce cas, pas. L'isovaleur tracée essais seront rieur gauche, couple” II un suite de ce mémoire, les Le dernier significations sont déplacement incrémental horizontal dy déplacement incrémental vertical dism incrément de distorsion VSVO incrément de déformation teta incrément de la pour des raisons rotation forme réduite présentation d par thème le les suivantes coin infé- "numéro de mentions rrdxVg, : = 1/2 (d 1 - d 2) volumique matérielle. adoptée, la lisibilité sous la forme originale évidentes dans - st- comporte les autres les numéros des figures apparaît, champ des discutés de la forme “nom-d’essai” représenté". est alors 11). et 3 indique figure le même sur la liste t figure Le tableau à gauche. gardant en stéréophotogrammétriques Sur chaque essai. dont valeur dx Dans la suivent. identificateur etc... à la dernière la en haut ces zones dans exploitations dans à chaque indiquées Shf06-st-3,4-dism des présentés - “élément 11 dY 9 vtdismww mais (Exemple résultats de valeurs l’échelle correspondant les paragraphes qui se rapportant de l’échelle prolonger on a dû en pointillé. Les dans hors d'encombrement. - 118 - (21 des figures x 30 cm) n’est est médiocre pas possible chapitre Tableau 1---1-1-- VI 3 l ESSAI SHOO incréments f 11 shf00 shf01 Il 0,3 à 7,8 8,9 à 0,ll 1,3 à 5,6 dy,dism Il dism dx,dy 4 16 4 1,3 [3 20 1 19 22 21 23 I à 5,6 vsvO,teta 18 17 I // : 25 ; tout 24 , 5,6 : 26 A-2 A-3 shf02 4,5 à 8,9 27 shf03 1,2 à 4,5 29 30 31 A-20 shf06 1,2 à 5,6 10 11 12 A-5 shfl0 1,2 à 7,8 33 shfll shf18 II 11 bvO1 7,8 tout 28 34 A-10 à 4,5 35 36 5,6 à 8,9 37 38 à 11,12 39 40 à 4,5 41 1,2 pr17 A-9 : 32 1,2 9,lO A-19 42 44 1 Tableau des - 119 figures. - A-17 43 A-23 VI chapitre VI.3 Dans quel cas la localisation 1-------------------------------------------------- Sur la absolument Comme pratiques) domaine le présentés soient des verre montrent rapport des globale, sation, singulièrement mieux dans les position aussi cas insensible dense du pic bien contrôlées aux aux et les essais : par exemple, il et mineure essais, 2, s'est que ou le la localisation produite le frettage quelles blocage de la ou l'antifret- on obtient le même d’Hostun gros, de Schneebeli type sur les comme le à la déformation l'occurence que reportés essais. Parmiles les essais sur la figure de On est courbes des indiquent présentés affectés est l'essai. ce résultat l’enveloppe essais la locali- marqué, de mais qui comporte un point - 120 - de extrêmement présente points ShflO rapportées en question, 13, qui que d'après les courbes ou aux perturbations courbes des apparaît par un pic raffinements l'essai lâches) <43>. le cas dense "parfaits" les (essais tableau matériau, ce restriction, peut constater la liberté systématique, Les (cf bidimensionnel différents pour les divers cas, une concernant contractant sur le sable fin, par la figure lâche. essais localisation du observerait on Des être (pour des raisons exclut celles-ci, la nature l’ensemble gamme et on que de majeure dans en évidence la telles de B. Duthilleul en annexe mis que fi relatives contraintes la . Malgré cette les sur le sablz contraintes de dans denses) tous temps Concernant et aussi révèle globalement la translation se traduit qui trouvera cas dans outre ce caractere Mais axiale le d’essais, de se pour lesquelles (essais en même localisation gamme préparation en observée les essais cette ? au long de l'essai. sur le sabl e d’Hostun de phénomène de sont plane haut, dilatant têtes, Yélancement. billes tout conditions la celles décrivent notera les rotation du ici a été On plus contraintes, globalement observée). effectués, déformation dit comportement de cas tage, a été poursuivie localisation que il essais en les fortes contractante essais des systématique étudiée. et base apparaît-elle la figurent perturbations mou (un cylindre chapitre constitué d’un de diamètre, rement Shfll plan de DP), l’essai avec point dur (une cheville mise de 8 mm de même disposition), au cours duquel rieure tale, dans 10% de la axiale, la dont le plan tifs essais face supérieure était sou- égale (avec et Shf07 était à in- l’axe de rotation les a force de la Shf06 rapport à des supé- de DP, En outre, l tête horizon- du pic l’échantillon dite) la les par clinée inter- essais relaFigure -1-----1-- de rapport échantillons 13. Enveloppe Essai d’élancement sont H/L ici qu’en globales de sont initiale de 2 et confondus. dépit On ces lâches cependant, la revêt concerne final dans un fort les est de cette détail de la pic dans relative peu bande qu’on des variées) pour essais denses; de cisaillement. l’observe - 121 verra aux - plus phénomènes une la environs ce qui de &t= les mais loin. (locali- localisation en particulier Pour densité dans globaux de courbes marqué, pas \ de pic l’apparition diversifié, les étroit, comme on le unicité très les ne montrent à l’oeuvre, un aspect tel biaxial. hétéroclites, relativement courbes courbes l’emplacement de localisation, volontairement observe localisation le VI /V courbes 3,5 un domaine au contraire, systématique, des constate dans On A l’inverse sation de conditions confinées donnée. essais de 8 millimètres diamè- latérale valeur négligeable, 1 1 essai de Féchantillon à une force’ mécanique perpendiculai- disposé rugueuse tre, de résistance au de bois Shfl2 matériau VI en est 0,lO ce qui du schéma à 0,15 3 - t 1 chapitre VI (déformation axiale), ou deux bandes rendent pour surface essais dans lâches. tion, le cas incompatible est Nvolution intéressant nombre de compression mêmes notamment initiales et moi-même. des rugueuses sation les - Dans observé de lorsqu’un compliquée. sous effectués du rapport tion en transla- rigides que si de nouvelles deviendrait ce que l’on peut triaxiale ont sous la entre d’essai hauteur/diamètre localisation en ce réalisés été essais sable g3 fin, par 3.L. adoptées, de 2 et 1, de ces certain un le latérale ont conditions but, sur contrainte conditions conclusions observer Dans été même cette et concernant avec des la têtes locali- des échantillons initialement soient tonneau en efficace lorsque est cylindrique, les conditions les utilisé, jusqu’à des lâches, têtes la on n’a d’essai. L’échantillon sont rugueuses, déformation conduit déformations jamais axiales mais à une importantes 0,so). - Dans plus comparaison classique. quelque antifrettage blocs les : localisation, sensiblement i= (t cas le des = 0,X, une pour plus) cependant &l 2 souvent libre clair de révolution d’élancement Les est tableau plus (ou deux est delà au On a le mais une et Diverses suivantes déformation une forme rapports adjoints final. Il de cisaillement l’essai. et ou antifrettées. sont subit de densités Colliat-Dangus géométrie plane au triaxial aux la d’établir axisymétriques, d’essais au de en déformation systématique (Shf20). bien bande supérieur plateau surface une croquis Les denses, le lorsque avec Il essais poursuivi cas de ce faciès lorsque apparaîtraient bandes des les plus. essai qu’une était suivant parfois Toutefois, l’écrasement en jeu chaque n’observe on met croisées, compte, seule il le cas des échantillons On trouve diverses des contraintes à la figure conditions et initialement de la 14 une d’élancement variation axiale. - 122 - la comparaison, et pour d’antifrettage, de volume rapportés situation des est essais des courbes à la défor- chapitre VI 6 1 r Figure 14. 1)--------- Essai triaxial axisymétrique En l’absence dans de tous la les cas, trace un pic brusquement : figure En sensible essais 14. aux par attestée de localisation c’est le outre, imperfections l’appareil forte une tient cas que des la la d’essai. 123 - d’essai. membrane au niveau contraintes-déformation, de volume s’annulle HFDW12 représentés phénomènes seule - survient localisation de la courbe HFDW11 et excentrement - conditions de variation taux : à un léger de diverses la de ces de l’essai en début le essais l’apparition HFDW19 distorsion sur ; marqué 9 pendant en question HFDW12 dans d’antifrettage, de dispositif du plan on observe : comparaison RI'- sur conjugués différence de l’échantillon entre de la est très les deux 1 1essai I , chapitre VI Lorsque lement avant l’essai de très diffuse Si (I~/R = 2), seulement alors tie de rieure de montre té conique à la un c'est en partie La 15 antifretl’état (HFDW21) : on de obser- haute Figure 15. --7------T de Essai antifretté axisymétrique le lQ5chantillon, mode ci-dessus, se déformation auquel concourantes. diffus, une l'élancement diffuse, meilleure raison partie est rogénéité une Il fin apparaît importante faible intéresse représentativité 2 ion d’essai. une ultérieure plus élancement vient superposer localisée triaxial de déformat Hétérogénéité diffus en encore localisée le figure essai final décrit non au HFDW19. déformation Ve9 une hétérogénéité lJ1té- : 1’ essai dense axisymétrique peut par- lQ5volution pour déformation observe on cisail- partie rigide présentée photo cas, la de peut grande une de l'essai cas ce stade, bandes élancé une pratiquement cours de de l'échantillon, de laissant nombre pas cylindrique. ce mode diffus sur n’observe ; avant déformation d'une est développer bon déformation l'échantillon on déformations dans forme la à une superposée se mais sous antifretté, fortes cylindrique, être est sous forme qu’à nettement de deux partir = l), pratiquement des des courbes montre que plus du a cessé de l'échantillon (H/R bandes la mesures faible - 124 - du de se déformer. (essai est le rapport ce qui HFDW03). d'élancement, mode Lorsque même affectée l*échantillon, obtenues cisaillement développement déformation, tout de d'hétéconduit La compa- moins à chapitre marqué est volume le pic en phase de la sur le rejoignent de ceux rapportés et/ou au à la Barden <84>, une méthode Bishop le de ment exempts de plans axiales l'émergence possible déformation plane faites, le qu'en déformation qu’une hétérogénéité à un Green à dire <77> intermédiaire ici de uz L'amélioration a été décrite et d'antifret- notamment par <61>, qui incrémentales, 5. a utilisé très Labanieh soignés labora- au axisymétriques cylindriques sensiblement Rowe et accrue. triaxiaux d’essais plane, significative l’homogénéité essais triaxiaux mode antifretté 1 de l'article présentée diffus ce comportement. indique pratiquejusqu'à d’élancement des apparaît vite plus localisation d’une résultats, amplitude obtenus d'appliquer sont des le <102>). trois séries d’essais entre la majeure u 2 en effet, survient rhéologiques mode diffus. il a été souligné ait notable pu avant se développer. triaxiaux principales "vrais", indépendantes de nos observations. en faisant varier la Reades et contrainte et la mineure 0‘3 , ce qui fait - 125 - Les systématiquement sur des appareils à rapprocher montre la même étude menée en qu'un éventuel contraintes L’étude article même contraire, ces résultats; la diffuse Au référencé dans faible axisymétrique diffuse que, dans le cadre des hypothèses corroborent effectué triaxial (figure cubique, ont déformation grâce aux dispositifs campagne des pour comparai- ici, de de modes de bifurcation ici plane, capables essais en évidence sur un appareil de autres échantillon vaste rupture localisé mode présentés c'est variation la de 0,25. <104> essais Dl forte menés chercheurs. rhéologiques de décrits en de nos pour mettre l'apparition à ceux bifurcation de celui a pu obtenir a montré similaires plus triaxial, de l%lancement lois Vardoulakis, (0,6), et et Green <7> ou encore par Kirpatrick des Grenoble, déformations , axisymétrique cadre d’une au calage toire que triaxial radiographie de l'essai par divers diminution Dans destinés concernant matériau même l’homogénéite tage Es finale. Ces résultats son, 0; /G'- courbe VI varier chapitre VI entre 0 et 1 le paramètre b défini 0 par : -a. 2 b 3 q cr -0‘ 3 1 Ces auteurs avec ont observé qu'à partir localisation contrainte vrai ces et Dunstan <4> rapportent triaxial à frontière constante, plus haut, chemins de mation plane). que en des ce qui A Ainsi, de la soins des dont il jusqu’à des obtenue avec cet appareil des du texte résultats en page figure face soumise désignent cas en à la présentés 158 ici plus une révolution être exempt. aux défor- axisymétrireste haut. extrêmement large dès plane, quant imperfections plane. à 6 3 quelque à Par contre, pour la déformation - 126 - b pour tous localisée inévitable, de paramètre de la triaxial gamme déformation . / se rapprochent de sensible l'orientation, du non sur obtenus localisées l’essai dans particulier en est hautement ruptures question triaxial importantes, 4 montre où la rupture en situation Le similaires en fonction de apparaît du matériau. déformations leur certains a été chargement et se révèle initial résultats de cisaillement l’un globale, des l’existence localisation l'état Suite ; les auteurs comme des cent de déformation à l’opposé bandes indique contrario, prix au flexible chargement (parmi lesquels compression possible, chemins à la rupture une intermédiaire. d'ailleurs défini se produit il le long d* un plan perpendiculaire Arthur un de b > 0,15, lui, de pour soit peut, la réponse de l'essai, - 127 - 4. i%“o: 4: 50000 4.12500 3.75000 3.37500 3.00000 2.62500 2.25000 1.87500 1,50000 1.12500 0,750oo 0.37500 ). ). 37500 ) .75000 1;. g;gJ - 1: 70500 - 1.53000 - l-27500 - 1.02000 -0.76500 -0.51000 -0.25500 0. SHOO-st-0,3-dy SHGOO-St-315 -- -dy (mm) ’ :* 35000 0: 70000 1.05000 1.40000 1.75000 2.10000 SHGOO-St-315 SHOO-st-0,3_dx Figure 16. -11 ----(11-w -1.20833 _.~~_ ~--~-- ~- 1 / -0.96667 / I::f:$; - :’ 20833 0: 41667 0.62500 0.83333 1.04167 1.25000 1.45833 1.66667 J SHOO-st-6r7edy L ! / -2.10000 - 1,750oo 1.40000 - 1.05000 -0.70000 -0.35000 -0.83333 -0.62500 -0.41667 -0.20833 -3.13500 -2.97000 -2.80500 -2.64000 -2.47500 -2.31000 -2.14500 - 1.99000 -1.81500 - 1.65000 - 1.48500 - 1.32000 -1.15500 -0.99000 -0.92500 -0.66000 -0.49500 -0.33000 -0.16500 0. 0.16500 -4.10000 -3.89500 -3.69000 -3.48500 -3.28000 -3.07500 -2.87000 -2.66500 -2.46000 -2.25500 -2.05000 - 1.84500 - 1.64000 - 1.43500 - 1.23000 - 1.02500 -0.82000 -0.61500 -0.41000 -0.20500 0. -6.75000 -6.37500 -6.00000 5.62500 -5.10000 -4.84500 -4.59000 -4.33500 -4.00000 -3.82500 -3.57000 -3.31500 -3.06000 -2.90500 -2.55000 -dx -0.24167 0. 0.24167 0.48333 0.72500 0.96667 1.20833 1.45000 1.69167 SHOO_st_6/7_dx (mm) Essai SHOO. Isovaleurs du déplacerrrent ~--~- vertical (mm) - -- - - - (haut) - SHGOO-St-T,8 - 1.45000 - 1.20833 -0.96667 -0.72500 -0.48333 -0.24167 0. 0.24167 0.48333 0.72500 0.96667 1.20933 1.45000 SHGOO-St-?,8 et horizontal -dx (mm) (bas). .~ Fiaure 00 . . . . . . . . . . . . . . . .............. ................ ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ ................ ................ ................ . . . . . . . . . . ................ ................ ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ ................ ................ ................ ................ . ............... ................ I 0000000000 0000000000 0000-“---N Nb<DalON~louJO 0000000000 j~ààààààààà + n 88 09 -0 x 7 - 135 - 23. -.,chette .ch.tLe 1 * 0 0 q 00000~0.o~o.....o 0000000.. oo.*. -0.02000 -0.02000 q oomm ~mn..O. .D cl Cl . 00 0.02000 0.02000 . . . .0(-J...* .oa. . ..00 . . . 00. . . . dewl : q O~......O.. l . . . . . . , . 0 . . 0 0) . . . . , * 00 . . . . . ’ 00 l OI -0.0092? , . . . . . 1 q -. Oo....c,oaom oo.~~.lJ~~om~oocl.o. . . . -0.00808 o00000... .000ci.o... -00000..... oooooo...ooo ~00000*.. 04000 cl ( ).04000 * IJOOO... 000 depsl . .o. 00 . 0 . l ..o. ooDmmDOO.0. rlcpsl -0.00779 q DOD.0. ..OD...... n - 3 depsl -0.00919 0 0 : 0 00 oo....m......,. * 00 . ..0. 0.. . . . . . . . 0.00 .O ~.~00~m..o.o0 . . . . ..o... ..oo... . . . . 10. 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I .o depsl moom.OD*0 . . . . . . . .,.... q 000000.o.m0 . . q -0.0092? -0.00808 000000~~.~~00000() 000~00~ 000lJ~0~ . . . l ooo* . -000.” . -000.’ ...00’.. - 0 - . . . . . . . . . . . . ..ooo ....... (J~0Il............ 1. ono.. 1. .m00.. I* * ‘000. .00....... .ooo.o... * -0 m . 00 ...... . . . . . 0 oooooooool 0 *I .I . . 0 .000.0 deps 000000oooo..00000c oooOoo~..*oooooooc ~~000~00 ..oooooooc ~00000.~ 000000. 0 ..oo n q q ooooo.*...~.oooo. q ooooo.-.~.~oooo.. 000000.~.~’ 000000.~~ 000000.~ q 00000........‘... q 0~00tJ0........... q 00~0~0~.......... q oooooooo..~....~q 000000000..~.~~~’ 00000000000.~“” q ooorJoooooD~.““- Cl 3.40000 1.00000 000000m...~.o0000(-J n ..o . ..00 ........ ........ 0000 : dep-rl 1 l * - ~~~ooooc *. -000000 .OO... 00.“. no.... ,’ q om ... ....... (deg) SHfOO-st-3r4-teta (deg) 0 0 0 0 00 .oo 0 0 ... q I....... 0 ......... q lJo~mm.0 ~0...........~..~. q oo..........O.Oo ...... 0 .... ..... ..... ..... D. . . I................. SHfOO-st-1,3_teta : -0.00919 -0.00779 *~~~~oooc ~00000~~~ . ... naoo q 000000 000000 . . . . ........... rJooo0 q - ” ..a - 000. Omoo..m..oe....~. ............ ~00000 depsl ... ............ q 0000..000000 00000.000000 : . . . q *ooooo...... q 0.000.....o...000 0.54000 . ‘.OD...0...0. s 0 0 - . . ...\ .\ (deg) SHfOO-st-4,5-teta SHfOO-st-5,6-teta L Figure ---------- 24. Essai shfO0. Variation de volune (haut) et rotation matérielle (bas). - 137 - , _-_--- -._____.. g&+---. . ~~~.~~.....‘...........“...... . ..maa3s.... .oaOa....-.....,......... . -.. .oaa...-............. _ -.... - - . . . . . •~~p-Jo.-......-.. . ....m.. .aaaa--..... _ __.._.._.__ . _____....-.. _ ______..___... .____-_._... _ _...... -. _.____.._ ._ _._..____.._ _ _ _ . . . . . -_--_ . . . . . ___.____.. - 138 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O[qT-j?J~. _ . tqqy&.& _ . . --. . . . . . . . .._ _ . . 1 _.. . : n . -4 .&7cl..~~~: . . : . oaoE$q-qqc-. . . . . 3 ._ . . . ,. . . . . :i . _ . . . . . . . _ .- . % Ii 3I n : 02000 .04000 .06000 .08000 .10000 .12000 14000 :16000 .18000 .20000 w ul I SHfOl-st-5,6-dism SHfOlest-516 I -3.32500 -3.15000 -2.97500 -2.80000 -2.62500 -2.45000 -2.27500 -2.10000 -1.92500 -1.75000 -1.57500 -1.4ooclo -1.22500 -1.05000 -0.87500 -0.70000 -0.52500 -0.35000 -0.17500 0. 0.17500 -0.09000 -0.06000 -0.03000 0. 0.03000 0.06000 0.09000 0.12000 0.15000 0.18000 0.21000 -2.50833 -2.15000 -1.79167 -1.43333 -1.07500 -0.71667 -0.35833 0. 0.35833 0.71667 1.07500 1.43333 1.79167 SHfOl-st-5,6_vsvO SHfOl-st-5r6-dy Figure -- ------- 26. Essai shfO1. Incrément 5,6 : déplacements SHfOl-zst-5,6-teta et d6formations. - X a 4. 4 t 4, - 140 - 0. 0:00300 0.00600 0.00900 0.01200 0.01500 0.01900 0.02100 0.02400 0.02700 0.03000 Ez 0:01soLl 0.02400 0.03ooo 0.03600 0.04200 0.04mo 0.05400 0.06000 ,,,....,..s,.. shf02st-4rLdism shf02t-6r7-dism -0.02ow ZEXE -0:OOWO 0: 00500 0.01ooo 0.01500 0.02ooo . -0.00400 0. 0;00400 :-fi 0:01600 0.02000 -0.03ooo -0.02400 11 -0.01eoLl -0.012oa -0.oo600 klo6oo 0:01200 0. OlBoo 0.02400 0.03000 ~:01000 0.02000 0.03000 0.04000 0.05000 “ b,.. shf02-st-4,5-vsv0 - Figure -I e-e----28. Essai shfO2. Cartes de symboles : distortion . . . ..D DC. . . . . . . . 5hf02_st_7,8_vsvO (haut) IL et variation de volume (bas). -1.29167 -1.03333 -0.77500 -0.51667 -0.25833 1. 1.25833 1.51667 1.77500 1.03333 1.29167 1.55000 1.80833 shf03-st-3,4-dx shf03-mst-lr2edx I --- ~~ -5.80000 -5.51000 -5.22000 -4.93000 -4.64000 -4.35000 -4.06000 k17500 0.35000 0.52500 0.70000 0.87500 1.05000 -~-4.42500 -4.13000 -3.83500 -3.54000 -3.24500 -2.95000 -2.65500 -2.36000 -2.06500 -1.77000 -1.47500 -1.18000 -6.88500 -0.59000 -0.29500 -1.16000 -0.87000 -0.58000 -0.29000 0. -3.40000- 3.20000 3.04000 ~2.88000 .2.72000 -2.56000 -2.40000 -2.24000 -2.08000 -3.23000 -3.06000 -2.89000 -2.72000 -2.55000 -2.38000 -2.21000 -2.04000 -1.87000 -1.70000 -1.53000 -1.36000 -1.19000 -1.02000 -0.85000 -0.68000 -0.51000 -0.34000 -0.17000 0. -0.48000 -0.32000 -0.16000 0. 1 shf03-5t-4,5-dy shf03-st-1,2_dy Figure -I) ------- 29. Essai shfOL Isovaleurs du d6placement vertical (haut) et horizontal (bas). / 1 d00~0 0 OoYro’o 00x0’0 Ooa:O’J oor: .o OOùCO’O 00910’0 00: 10’0 ~ ~ ooaoo '0 ooroo'0 ‘0 %‘cO 008~0 oo*:o’o ooo:o’c 00910’c 0o:Io’c 00Li00 ootoo’c :i ‘0 ‘C 000f0’0 oos*o ‘0 000t0’0 oosro’o 000c0’0 OOSZO ‘0 00020 ‘0 00510’0 00010’0 wcoo *0 - _..- ‘0 ouoiù OOLZO 00~~0’0 00120’0 00d10~0 OOSl3’0 30~10’0 ooa~~o’o 003OG 00c00’0 0 ‘0 ‘0 ‘0 00013’0 OOr:O’O 0Or;O’O lJo1:o OObl~‘~ oocio’o 0ù2I0 00830 oow3 locoo 0 0 ‘0 0 ‘0 ‘0 -0.02800 -0.02400 -0.02000 -0.01600 -0.01200 -0.00800 -0.00400 -0.03000 -0.02500 -0.02000 -0.01500 -0.01000 -0.00500 :*00400 0: 00800 0.01200 0*00500 0:01000 0.01500 0.02000 I shf03-5t-1,2-us"0 r ~- -0.04000 -0.03200 -0.02400 -0.01600 -0.00800 0. 0.00800 0.01600 0.02400 0.03200 0.04000 -0.03000 -0.02400 -0.01800 -0.01200 -0.00600 0. 0.00600 0.01200 0.01800 0.02400 0.03000 shf03-st-4r5-vsu shf03-St.-2,3--vsv0 0 l: I -0.03000 -0.02400 -0.01800 -0.01200 -0.00600 -0.02000 -0.01600 -0.01200 -0.00800 -0.00400 0. 0.00400 0.00800 0.01200 0.01600 0.02000 -0.10000 -0.08000 -0.06000 -0.04000 -0.02000 1. ).02000 ).04000 ).06000 J.08000 ).10000 ~:00500 0.01000 r 0.01500 0.02000 0.02500 0.03000 :*OOSOO 0:01200 0.01800 0.02400 0.03000 .~~- -- -ppp------- rl -0.02000 -0.01500 -0.01000 -0.00500 shf03_st-1,2-teta Figure a-L-III- 31. Essai shfOL Variation de volune (haut) et rotation mat&ielle (bas). c-. Figure Figure -1--e----- 32. Essai shfll. Incrément 32. 7,8. ~:-~ pso& $277 -1: losoo -1.o2ooo -0.63600 -0.66ooo -0.76500 -0.66ooo -0.56soo . ~O%E 1:: g4 -0: 17ooo -0.o6soo ikOO shf 1 l-t-?,8_dx shfll-st-?,8-dy 0. i:E 0:01600 0.02ooO 0.02400 0.02600 0.03200 0.03600 0.04000 ,,,..A......dd’ . . . . ,,,,........,.r.*O ..*.,..........r.. ,,.,.r.,,,.,,,,.d. , 1,1, - shfll-st-?,8-dis,,, shfll-st-?/8-dis,,, IL shfll-st-?,8-vsv0 - 145 - * . . . . r..,r..*..,d. . . . . OI3 ..r.g - ” -2. -0.e3333 -0.66667 -0.soooO -0.33333 -0.16667 - 1.83333 -1.46667 -1.lOOOa -0.73333 -0.36667 0. 0.36667 0.73333 1.10000 le46667 1% 83333 2.20000 Il 5hflO-st-1,2-dx :: 16667 0.33333 O:E 0.63333 l.OOOOO 1.16667 shflO-5t-1,Xdx shflO-st-5r6-dx shflO-st-6,?-dx shflO-st-7,8-d,‘ -2.1esOO -2.07wO -1.95sOO - 1.84000 - 1.72500 -1.61000 -1.49500 - 1.36000 - 1.26500 -1.15000 - 1.03500 -0.92000 -0.80500 -0.69000 -0.57500 -0.46000 -0.34500 -0.23000 -0.11500 0. 0.11500 -6.32000 -5.92500 -5.53000 -5.13500 -4.74000 -4.34500 -3.95000 -3.55500 -3.16000 -2.76500 -2.37000 - 1.97500 - 1.58000 -1.18500 -0.79000 -0.39500 0. - 1.68000 - 1.56000 - 1.44000 - 1.32000 - 1.20000 - 1.08000 -0.e6000 -0.84000 -0.72000 -0.60000 -0.4eooo -0.36000 -0.24000 -0.12000 0. shflO-st-1,5-dy Figure ------mm 33. Essai shf10. shflO-&-5,6-dg Isovaleurs du d6placement Af10.est-6,?-du vertical (haut) 5hflO-wst-7r8-du et horizontal bas). n 0. 0.00200 0.00400 0.00600 0.00900 i: 00090 0.00180 0.00270 0:00#0 0.01200 0.01600 0.02400 0.03ooo 0.03600 0.04200 0.04800 0. os400 0.06000 f-Jo....*..,..,,.... q . q ...“.‘..““” . . . . . . shflO-st-?r8-dism shflO-st-5,6_dism shflO-st-lr2-dism . . -0.02000 -0.01600 -0.01200 -0.00600 -0.00400 fi: 00400 0.00900 0.01200 0.01600 0.02000 shflO-st-lr2-vsv0 lO-st-6,?-vsv0 . Figure 34. e--------w Essai shf10. Cartes de symboles : distortion (haut) et shflO-st-7,8-vs”0 variation & volume (bas). . . . . . . . . . . P’&-?‘=-f3ljYS (-y’-- on-- &‘Z-F731jYS 00000 ~rJoOO..~.~.ooO M 0” 3.moe..oo.. .mooe..a... 0000. .” .c.o q O. .ODrn . ~~0000. . . .0.*.. 000.000.00.. oo..ooo..o 0...om.. . . ..O . ..ooo .m... .ODD..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . q OOrn . . . ~00~~ . . . . . . . . .m.. 00 q . . . ..OD. . . . . Il-000 .00*.0*... q ..OO.. .000. 00020 ‘0 Cl 000 ooozo ‘O- . 0 O?l=î=- ‘O- : lsdap . DO.. DDDD. . . .mo.aoo 0000ooome. 0* 9EEOO’O- 00020 00020 l *DO.. 000. ooooo... 0 ‘0 .a . . .ooo( . . . . ..o~oo . . 000 1 I ls=‘p cl cl 00020’0- ooozo . . . . . . . . 0 . 8 c+,,q=e EEtOO’O- : 1-3p 00020’0 Cl I .,,q=e ‘O- 0 0 .a .0. I . . l. q?-c(=e . . ..00 . . . . . . ‘0 ..oo. no0 000 .m.. . . ‘O- I ls-p 000 000 00 ..0. EEIOO I ls-p < o( .oa oo..mo . . .ooo.oo oooo.*..ooo oooo....ao.~ 000D. .ooooo.***~. .00000”* . . . .OOoO. . . . . . . . oooom.~ ODO. 0a-J-J ,ooa-Jo.. 1 S-P 86too ~=.~00000:00. . . . ..00000..~ ..DO..DD. .DODD.... .mm.... oo!J0......... .onoa.... 86+00’0- omooooo.oooD~ . . . 30. 000 0000 rnO~O’0.. no(-J0000.oo*.o . . . ..m.. . . . . . . 0. . . ..O ..D O~mO.oooo 00 olJo.oocJ. OD. . . 0. 0 0 OOO~( [email protected] . . . .D..’ ..0000 ooozo . . . . 0 ~0000~0~ .oocxxx>o.. , q,oq=. s9soo 9EEOO’O- I 1-3p ‘O- -0. ~0000000000 ’ TSd?P ‘O- - 1.90000 - 1.80000 -1.70000 - 1.60000 - 1.50000 - 1.40000 - 1.30000 - i .20000 -1.10000 - 1.00000 -0.90000 -0.60000 -0.70000 -0.60000 -0.50000 -0.40000 -0.30000 -0.20000 -0.10000 0. 0.10000 -0.46000 -0.42000 -0.36000 -0.30000 -0.24000 -0.16000 -0.12000 -0.06000 0. 0.06000 0.12000 0.16OOO cl 0 I shf18esL?,8 -dy -0-v -0.66667 -0.53333 -0.40000 -0.26667 -0.13333 k? 10833 0.21667 0.32500 0.43333 0.54167 0.65000 zihf18vst-5,6 - -dx Figure 37. -----11--1- Essai shf18-5t-617 I ~f18. -dy 5hf18-5t-819 -2.97500 -2.55000 -2. I 2500 - 1.70000 - le27500 -0.85000 -0.42500 0. 0.42500 0.65000 1.27500 1.70000 -0.54167 -0.43333 -0.32500 -0.21667 -0.10833 i: 13333 0.26667 0.40000 0.53333 0.66667 0.60000 0.93333 -5.76000 -5.44000 -5.12000 -4.80000 -4.46000 -4.16000 -3.64000 -3.52000 -3.20000 -2.66000 -2.56000 -2.24000 - 1.92000 - 1.60000 - 1.28000 -0.96000 -0.64000 -0.32000 0. 0.32000 I : * :;;g - 1.29500 -1.11000 -0.92500 -0.74000 -0.55500 -0.37000 -0.16500 0. 0.16500 0.37000 shf18-5t-617 I -6.08000 -3.33000 -3.14500 -2.96000 -2.77500 -2.59000 -2.40500 -2.22000 -2.03500 - 1,650OO -0.64000 -0.76000 -0.72000 -0.66000 -dx Isovaleurs - 1. 70633pp - 1.36667 - 1.02500 -0.68333 -0.34167 0. 0.34167 0.66333 1.02500 1.36667 1.70633 2.05000 2.39167 5hf18-5t-8/9 du d6placement -dy ~~ vertical shf18-Tt-7,8 -dx (haut) et horizontal wdx (bas). (mm) Figure --------II- 38. n cn 2 u CU > n -.4 u3 * I fo 2i! Q $c; n 4-J =i a L w GI n u l * I G I n -/ 00000 gssg 00000000 0000 00000000 clg~o”o”o 09ggg . 00000000 . .&cj,,, -kION.. 0,. I. IONLntx----N - 152 - ,chrtLe achetle 1 ocheLLe 1 0 Cl 0.50000 3.30000 b. 20000 s cl . -[ . . ..[ .. * lu . . . .a. .qJJ. depirl * .gT depsl . g deprsl : -0.07739 -0.03053 -0.01396 8 .g$ dB.mn. ‘mo. . 43. .mm . 29 q m- I I shfl8-st-llrlZ-di5m shfl8-Tt-lO,ll-dism echette ~~~ echette 1 s 0 0 -0.20000 -0.04000 0 III 0.10000 0.04000 1 depsl depsl : : -0.03053 -0.01396 ... . ..ODOO ........ .. ..o.~ooo ........ .....orJo ........ .s.oo .... : -0.07739 d ...... ... 00Q ........ dcp-rl ........ ........ ..... ....... . ..a00 ..mm IT I r. .. 0 DO ................ ............ ............... ................ shf shf18wst-9rlOeusvO qure-m-----40. -- Essai shf18. Cartes de symboles : distortion (haut) 18-st- 1 et variation de volune (bas). __-- :y- ;g;; - 1: 87000 - 1.76000 - 1.65000 -1.21000 -1.10000 -0.99000 -0.99000 -0.77000 -0.66000 -0.55000 -0.44000 0. bwOl-st-1,2 -dx bvOl_st-213 (mm) Figure 41. ---------m Essai BVOL. -dy J (mm) -dx Isovaleurs buOl-st-4,5 bvOl-st-4,5 d4placemnt (mm) -dx (mm) k 17500 0: 35000 0.52500 0.70000 0.67500 (mm) du -dy - 1.22500 - 1.05000 -0.67500 -0.70000 -0.52500 -0.35000 -0.17500 - 1.25000 -1.04167 -0.93333 -0.62500 -0.41667 -0.20933 0. 0.20933 0.41667 0.62500 0.93333 1.04167 1.25000 -0.63333 -0.47500 -0.31667 -0.15633 0. 0.15933 0.31667 0.47500 0.63333 0.79167 0.95000 1.10933 1.26667 -0.65000 -0.54167 -0.43333 -0.32500 -0.21667 -0.10933 0. 0.10933 0.21667 0.32500 0.43333 0.54167 0.65000 - 1.50000 - 1.42500 - 1.35000 - 1.27500 -1.20000 -1.12500 - 1.05000 -0.97500 -0.90000 -0.82500 -0.75000 -0.67500 -0.60000 -0.52500 -0.45000 -0.37500 -0.30000 -0.22500 -0.15000 -0.07500 0. bvOl_St-314 bvOl-St-213 tJI -l= I -- -i .97000 - 1.76000 - 1.65000 - 1.54000 - 1.43000 - 1.32000 -1.21000 -1.10000 -0.99000 -0.99000 -0.77000 -0.66000 -0.55000 -0.44000 -0.33000 -0.22000 -0.11000 0. 0.11000 0.22000 I buOl_St-112 ~-- - 1.98000 -2.30000 -2.19500 -2.07000 -1.95500 -1.64000 -1.72500 -1.61000 - 1.49500 - 1.36000 - 1.26500 -1.15000 - 1.03500 -0.92000 -0.90500 -0.69000 -0.57500 -0.46000 -0.34500 -0.23000 -0.11500 0. -2.20000 vertical (haut) et horizontal (bas). Figure ---------- 0000000000 0000000000 C9lDUJNV)~-thO ooo+-.-NCJNn 0000000000 , ;ôôôôôôôôôô 42. ‘ri ig $9 0000000 0000000 DDOOOOD ~~00000 ~000000 D ooooodo 0 q . q . *D~o0 q q m 0000 . . q D . D q ooooo~oo m D q q ~~0000~0 00000000 ~~~000000000 ~~0000000000 OODO 000000000000 q 000~000 oo~-ooo..o. 000..mo 000. -. n . ODO.... lJoo...m ooo.--0000000 0~00000 ~0~0000 0000000000 0000000000 e4blnQ)ONP<DQ)O 0000-----N 0000000000 38888888088 000000~ 0000.. 00 . ~0000000~00~~00000000000~~~~0 0000000000000000000000000~~0~ 000000000000000~~~~~0000 ~uouuuoo~=nnnnooo ~0000000~-J~ q 0 - •0000000~~000~~~~~o00000 ~00000000~~000~~~~~0000000 q 000r~r~~r~ooooo0000000oouooooooooo~~oo 00000~~~00000000000000000~0000~~~~~0 00~000000~0~~~~00000000000000~~~~~~0 . . . a q q 0 00000000f-J~000000 -00~000000000 0.00~0000000.0~~~00~~ ODS.DOD .oooooooo~.~~~~~~~~~~~~ q oo~.~m...’ 00000~mmm. •ooooo~~-~~ - 155 - 0 OO.DDDrn. l 000000000~~~~~~~.0000000 ..ooOOOO~~~Oo”~~DoDDOOOOO ~oooO~~r~r~r~~~O~...~~OO~uo~ ~00000 Elu 0000 0 0000000000000~~0.~. l .. m. 0. DD.DO. .O~DOO .ooo ~000000~~.~ . . .~~ooo~o’.~.000000~.~*~‘~. .ODaD.“’ . . . . . 9 . . . ..-......00 . ..OO..QO. . . . . . . . . . . . ..-.am......... . . . . . . . . .000o... 0000000~ . . ..mmmm.. . . . . . . mn00 D 0 0 m cl0 .oo.mm. ..~aoe.. .000e.. 0000 00000. 0000000 0000000 0000000 0000000 ~0000000 000 000 0 n ~00000000~ I q 00El000000. .ooooooooo...... ..000.000000000o... oo(-Joms. m, . 0 m q ..aooo... ls00000~~ ..0000000.~. mooooo’~ ~o000000~ •0000..-oo0000o~ .oooo .o. . . . . . ..ODrn .ooo.. *ooooo-~ .0000000.~~ oOOo.mm. .000.~~~...0. .ooo..~o..oo 00 .oo .o cz n . . . . . ‘i cl . 1 - - 0. - .oo 0. 0000 0 0000 0000 0000 000. q = 0 0000 0 D . 0 000 . oooo n 2 Ds ooo.am.... 00 00...*. 0..0..00. 0000.....o....oo000. oOOo..ooo~.. oOo.o...~m. -0000 ci 7 ô :i 0’ 00.‘.00~~0 . . ..a0 . ..ooo .00000 iu[ o-0 ~000~~. 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Essais denses 11, essai qui essai, de ses au clair, le pic, (101 ,page observe qu’on sur de déformation des long bandes Nos résultats, 113>. la expérimentale- expériences permettent lumière avant dense donne 3,4, dont de nos le d’apporter typique est que localisation on peut que les l’essai des la essais, pour pic l’évolution on observe l’incrément le spontanément pic de obtenus préci- quelques relation. - un figure rompt se sensiblement les le paraît suite stéréophotogrammétrique, apparaît s’initialiser entre localisation à la 1Vchantillon cette Il la et apparaissant méthode sions relation Vardoulakis, au moins. cisaillement cet certaine contrainte-déformation ment par une champs essais denses ShfO6. Si est sur la un dense localisation déjà et encore plus la incrémentale 8 qu’il pour apparue nettement figure peut considère l’on distorsion de constater la est situé dès avant pic. - L’essai courbe A.9. rapport incrémentale tous deux l’instant (figure de placés Dans la no 6 (pris le cas mais est on 34, perturbé localisation par donnée constate que notable dès en le un point à la annexe champ de incréments les mou. La figure distorsion 5,6 et 6,7 = 3,5, le pic. de l’essai comme au pic, d’apparition 38 haut) figure une avant le essai contraintes-déformation présente cliché des A l’examen est ShflO de évidente la Shf18, le montre localisation, à l’incrément - 158 - dense la à élancement figure peu 6,7. A.17), avancée H/L semble à Pincrément marquer 5,6 chapitre - L’essai Dans le cas ShfOO, de Pincrément ShfOO, 4,5 alors - L’essai peut 3,4 avant situé l'incrément ShfOl, le ShfOl, le pic réalisé apparaît est à densité (figure 23) au contemporain sensiblement moyenne. du cours de cliché 5 dimensions ShfO2 réduites plus (figures essais. l'oeuvre de la au pic, 25 et A.3 que l'incrément franche, de localisation au contraire de que les L’essai essais 28) sont 6,7 (113 tracées à la 28 haut correspond qui sur un échantillon effectué habituels sur la figure montre quant Shf03 de lâche, x 250 mm). même échelle que la de cartes Les pour les que localisation sur la courbe de la figure est à A.19 à l'incrément (figure à lui 2,3 qui se situe de verre 30) une première en pleine localisa- d'écrouissage phase A.20). - matériaux L’essai A.23 montre sur billes (figure 42) cours de l'incrément type de dénuée dans résultat. est présente de pic la le*sable* rapportés Duthilleul que présenté par les figures se produit localisation 41,42, à partir du 43 et pic au 4,5. - Concernant sation localisation d'écrouissage. phase Autres même un essai On constate au cours (figure les figures pas est 27 et l'incrément dès tion revèle ne une lâches déformation fin montre plutôt à lui, en examinant pic - L’essai autres quant 4,5. Essais be, l’essai localisation que constater puisqu’on la la comme A.2). (figure de est VI La dès est bidimensionnel sa thèse figure de Schneebeli, de docteur 44 tirée de ces les premiers typique de incréments ce matériau faibles. - 159 - Ingénieur travaux de les <43>, essais de B. montrent le montre que la locali- l'essai aux variations la cour- de volume très PR09 dont chapitre VI Ainsi, il peut contrainte/déformation réalité, en dont suivra est plus dense, de la à la et dilatance, étroit, la développement le que de la du mécanisme le dans antérieurement; de la élancé plus le observe développement résultat de glissement ajouter première dans que le matériau le conclusion du matériau, que, traduit localisation que dernier courbes lâche) conséquen- est dense; quant un échantillon produit plus rapidement de blocs rigides auxquels localisation les d’une La ce que du fait cas localisation local intense dans on peut (Shfl8). l’endommagement d’autant y voir propagation plein plus fait qu’on palier l’apparition vite est on peut le produite l’échantillon le pic d’un plane, plus par seconde, l’apparition s’est d’autant que le conclu déformation en s’expliquer peut ce (ou Pinitialisation pic être plus le plein correspond pic. 4.2 Naissance Ceci propagation sentés, que sera ce qui propage propage introduit de la la localisation la bande dans naissance a travers me complet développement le deuxième localisation. le cas n’apparaît de à Nncrément (incrément pas en plein incréments avec deux blocs - 160 - résultats en tous les apparaît figure coeur suivants, à dire 11 de pour quasi-rigides, la pré- points de puis se en un point Ceci à la c’est les s’initialise point. Shf06, 3,4, aux 5,6) ce d’après simultanément mais de l’essai celui-ci constater On peut à partir de ce paragraphe, point de cisaillement, rectilignement clairement prend et particulièrement : la localisation 195chantillon, aboutir ce et se à un mécanismécanisme deve- chapitre nant stable pour Les ShfOl (figure faut noter par lon. idée 25), se l’initialisation dans l’échantillon; les voir figure le maximum exemples. se produit en est Dans le cas précisément coin le point où elle une zone où à Pincré- la de l’échantilprend Les figures de l’essai au niveau de même lorsque Il contrairement distorsion. de 38). au 11 que dans 22 à 37 et localisation, nécessairement a la (figures ShfOO (figures Shfl8 de l’échantillon, d'autres essais de la pas on enregistrait il pour 33 et 34), produit au milieu (2,3) 18), (figure ShflO du point perturbation inséré mou est 23, dur un point Shfll). Vardoulakis sur l’initialisation on peut 30 en donnent (essai que ne situé précédent s’observent (figures ailleurs est l’essai. ShflO au contraire, naissance 28 et de phénomènes répandue, Bien ment suite mêmes 24), à une la VI le même sujet, développement xial, <106> bandes en utilisant de perturbé la par la localisation une des résultats un échantillon : les et sable produits leur se pour de clichés aux X par de l’imperfection expérimentaux de radiographie technique dure 9 repérables au voisinage récemment dans inclusion de cisaillement raissent a présenté le à l’essai montrent biaque amoindrie, compacité propagent observer à travers les appa- l%chantil- lon. Dans Wood <88>, la jonction à la comme montrent se produit ordre même réalisés radiographie essais la le que au point des deux d’idées, boîte il noter faut de cisaillement technique de sur de de discontinuité des la essais sable, visualisation l’initialisation demi-boîtes. les de localisation vitesses et la utilisant et aussi localisation. dans aux tel un c’est limites, se propage La localisation de Scarpelli ensuite Ces appareil à dire à à travers l’échantillon. Dans le cas concernant le immédiate (essais revanche, on assiste de développement Shf02, dans nos essais de la lâches, localisation figures 27 et 28, certains cas, un nouveau : si essai la Shf03, au développement phénomène propagation figures successif apparaît, paraît plus 29 à 31), en ou alterné - 161 - chapitre VI de plusieurs devenir pouvant est bandes de cisaillement inactive particulièrement de l’essai dans figure les essais exemple mis en évidence On le de Duthilleul figure la qu’une 30. mentionné développement surface de la bande de l’une (figures 4,5, rencontre une figure réflexion la auteurs observation Shfll (figures Vardoulakis fait état <lOl> qui opposées et incréments 2,3 ; 3,4 et 4,5 quasi-systématique (voir bidimensionnel par bande la ceci pour de telles décrit, est par donné la l’essai à l’incrément à l’incrément lieu le à rencontrer évidente donne cas, résultant suivant à sorte d’une de rigide. dans 33). de nombreux se On peut constater la : c’est biaxial, rigides, - 162 - essais, reporter fréquence observations à l’essai corps typique particulière, frontière et celle-ci conduit comme certains Dans de cisaillement, et grandement, dépend l’essai. Un exemple bien 32 trois Ce comportement localisation de se retrouve observée) ont têtes. supérieure Cette en action. de façon sable de cisaillement : la sur bande le imperfections localisation de de la et tête aussi sur de la des 22 et 23) (localisation bandes des rigide ShfOO ShflO haut, les l’une de cisaillement d’initialisation plus par ou parallèles, référence). 4.3 Réflexion des bandes I--I-I-1--------------IIIII---I-----I--ILe point entre retrouve <43> 39 de cette croisées autre pendant bien Shf03, différentes, survenant aussi dont au notamment tableau (w’ w de phénomène. le cas un mécanisme dans bon D’autres notamment de comportant nombre 2 des de ses chapitre essais. On en publiés par Rowe et Barden <84>, figure Id. essais Les 3 .L. que celui pas d’un point réflexion fait (un mécanisme d’une bande rencontre qu’elle ple les figures plus si universellement dans les “les L’idée est lesquels gides n’est localisée, selon dans aux <56>. accessible au pas Des spécifiques localisation, tel présentés ici, résulte ci-dessus, à partir de d'une propagation par conjuguées géométrie la l'essai de ce que montrent essais sur son appareil trace pas (1982), devraient a par exem- sont d'appareil, véritablement observée systématiquement été telles triaxial, en - 163 - <64> la (rigide). la locali- triaxiaux dans ri- cours d’essai en de non que par le jeu de plaques après sortie effectués Lade la frontière" Péchantillon éventuelle pas empêcher (élancement) véritablement imposées quant à l'état ont pourrait on couper appareils d’une n’est pour les mêmes raisons, laquelle, les inédit, le penser : selon géométriques limites regard; ne garde généralement Lanier, IUTAM ce type Dans n’est pourrait qu’on potentiels conditions (Jacobsen) pas rupture impossible les : c'est s’il du symposium répandue aussi, serait sation dont rigide grâce à des dispositions de décrite mais plutot unique, reconnu compte-rendus plans par 22 et23. Ce mode de rupture localisation réalisés stéréophotogrammétrique, surfaces deux concevable) une frontière VI.3, les résultats que finale, de de cisaillement <102> figure aussi de nombreux exemples grâce à la méthode simultané clichés HFDW 21). la configuration développement commun paragraphe au remarquer de sur des 7 ; ou par Vardoulakis 15 (essai plane que triaxial, l’essai en ont fourni moi-même, toutefois d'établir à rapportés déformation en aussi à la figure convient permettent leur et présenté obtenus trace triaxiaux Colliat-Dangus Il non retrouve VI l'appareil, il localisation. en collaboration avec le but déformation plane de avec J. vérifier dans si la mes essais, chapitre VI face avant face arriére Photo ---o---1- 9. Localisation au triaxial faces avant, et face existait aussi, mémorisation en déformation d’une expérimentale peinture essai, forme éventuelle sur faite est d’une par déposée cette bande effectivement une localisation fois réfléchie dénudée mon projection par la qui met la en jeu une (photo - inspirée bande locale pour rigides La technique 164 - 9). une une mince de l%chantillon de cisaillement de la première bande par si membrane d’une distorsion typique, plaques trace . supérieure de DP : la : arriere supérieure appareil. était sur la en évidence, les cet installation mis sur dans localisation conservera couche ont plane, cubique membrane. fois de de constatation couche avant sous la Ces essais à ma connaissance, cisaillement de plusieurs chapitre On peut constater sur les membrane sur la face arrière pondent, l'extension On remarque aussi intense 3. Lanier sont décrits notamment en symétrie sons de déformation Lanier, supérieure, et E. Degny ont donné suite observés, plane, Stutz laissées la marque laissée cubique, <36>). - 165 - par résultats sur divers Ces essais de Degny très <33>; qui se ramènent toujours ont été commentés se corres- perpendiculaires à ces premiers révolution. ingénieur sur la de la réflexion. au triaxial de docteur de mécanismes de localisation (Desrues, sur la face de la membrane à l'emplacement dans la thèse traces à des plans de rupture une vaste campagne d'essais de chargement, les que et sur la face avant de Nchantillon ce qui prouve qu'on a affaire à ces faces. réalisant figures VI les en chemins nombreux principaux à des combinai- dans un article à paraître VI chapitre VI-5 Cinématique de la bande de cisaillement -------------------------------------Les mesures tions précises survient stéréophotogrammétriques sur la cinématique au cours de cet les observations de l’essai Il essai. faites avec la par localisation notion d'autre nulle Les sont tion de a été faite équipe cisaillement de longue <82>. Les résultats suggèrent cependant quelques date, de mes de dans les de la d’extension classiquement adoptées des informa- localisation en particulier ligne des lignes dans qui comparer de nulle part, d’une les études essais commentaires : cette d’extension à Cambridge notamment vérifient de par Roscoe cette proposition, observaet son mais et précisions. d'isovaleurs de composantes du déplacement incrémental pour les différents essais produits montrent que la localisation développée se traduit typiquement par un réseau très reserré d'isovaleurs parallèles à la direction de la bande de cisaillement : ceci s'observe sur toutes les figures présentées. Les composantes de déplacement mesurées sont dx et dy, définies Les et d'obtenir part. 5.1 Les lignes d’extension ---------I-II-----------IL--L----II bandes biaxial est intéressant et avec les hypothèsesescinématiques bifurcation permettent cartes axes de l’essai. Soit X 2 f un repère OXY, tel que 0X coïncide avec la normale à la bande de cisaillement (figure 45). Le gradient de la vitesse, par : u 9 est défini i,j On peut vitesse = 1,2 en DP. définir les composantes de à partir de nos mesures ; i - 166 - Figure -----e--e- 45. Cinématique de bande de cisaillement. chapitre VI par : ; 1 dt = dx i 2 dt = dy Dans les axes OXY 9 u u / s'écrit : = OXY et on a par ailleurs l x= l n i$ 1 + #2en2 + S2Jll l Y avec n1 = cosoC 9 n2 = sinb( On peut écrire, en omettant = -~len2 , o(étant dt l'angle (0x1,0X) de la fig. qu'on peut prendre égal à l'unité ( car le temps est ici arbitraire, pendant de la vitesse de sollicitation 45. : puisque le comportement du sable est indéen première approximation) l = dxenl + dyen2 X l Y Puisque les isovaleurs par rapport = -dxenl + dyen2 de dx et dy sont parallèles à Y sont nulles. Le tenseur IA s'écrit . à la bande, les donc : l a X 3X Il. / OXY D'où la vitesse = de déformation, l bY définie - par a 167 - = 1/2 (U+X) : dérivées VI chapitre Ceci montre direction que a d’extension le tenseur IA / OXY Il est aisé dans le soit encore, Ajoutons 0x1x2 par le donc que la u en fonction direction OY est une des #, et ;C,: un changement de base, que l’expression de u du gradient de s’écrit en posant que et = de vérifier, repère nul, nulle. exprimer On peut est YY b r(i g. 1 = ---bX gradient de la : u vitesse, , et le taux la l En conséquence, actuel, On on a retrouve matique 111-3) dans reliés F 9 sont transformation, si F- l’état 1 1, tenseur = ici l’expression les études par classiquement de référence identité, de ; de bifurcation est d’où l - 168 - relation pris coincident : avec 1Vtat : classiquement par la adoptée localisation comme hypothèse de la déformation ciné(cf chapitre VI 5.3 Trois remarques ------1------~~~~~~~ Il convient de La première remarque dérivée la est nulle. de la devant ment développée. Au cours porte vitesse noter On doit ble celle Cela sur remarques quelques cette la direction n’est pas de l’increment Y pour l’assertion la dans que dans considérer vement maintenant concernant faite direction dérivée les essais la vrai apparaître la localisation, qu’on a : le en revanche, dans approximation ne décrit 2,3 de l’essai Cette elle le des pas essais n’infirme cependant lâches, est début que figure pas <<I b>i: 1; dY observe : c’est effecti- r des cas où cette le cas de Pincré- 5.1 et 29. les soient réalité pleine- du phénomène. on peut - on peut la fidelement à la shf03, remarque nécéssite cas (OY) ou négligea- localisation des laquel- bande nulle ax denses, selon de la réellement n’est nécessairement voit haut, longitudinale 0X que lorsque qui plus bX ment la observée. cinématique le faire des paragraphes conclusions introduites 5.2 ; précisions supplémen- on convient de considé- quelques taires. Dans rer le les champ homogène études de bifurcation de déformation (FO) et conduit cette idéalisation deur non Cette l’hypothèse nulle strictement vaut pour négligeable devant permet discussion classique comme la pour la le champ le superposition de deux par . décrit haut plus à imputer sont localisation, localisé, décrite à l’extension que, actuel l’autre, L’idéalisation par (dérivée bande et par localisé. Les d’un à OY nulle), cinématique déviations champ l’un par homogène, qui classi- rapport de gran- localisé. d’apporter donc rapport à l’hypothèse à l’existence champ F = [email protected] champs, quelques précisions concernant : l F =iO+g*n Il apparaît localisé que, dans le g 8) n au moment cas d’un matériau de l’apparition lâche, l’ordre du phénomène - 169 - de grandeur n’est du terme pas nécessairement à VI chapitre supérieur Dans à celui le cas l'apparition il de la sur cette une ce résultat 1' instant brefs, 0,003 au localisation, il faudrait de la de déformation cours duquel, essais pouvoir localisation; saisir, dans attestent avec certitude 37 et l'emporte extrê- 38 (moins très un déclenchement le terme localisé tendant incréments figures shfl8, dès Certes incrément un certains toutefois globale), manifestement, montrent, car pour statuer 6,7 de l'essai axiale présentés prépondérance du terme localisé. avec prudence, l'incrément comme FH . les divers dense, prépondérance vers zéro, homogène matériau du considérer faut ment du terme de brutal largement sur le terme homogène. Cette sur la grandeur relative discussion sembler a priori peut lumière du localisation, périence VIII, l'importance dont on vient de plane. cinématique et n, sont pour bande, champ avec Ainsi, problème, passage La localisé de (ce observer plane dans : les le plan cette voit la cinématique de l’ex- décrit 6quation composantes a F, corres- de par les vecteurs défini exprimant en de la valeur. en de l’équation que &I problème sera mise normale n est nécéssairement qu’on mieux est conforme aux résultats doit contenue du localisé un plan F dans les g déformé non axes de la n = (l,O,O)). quelques soient l'émergence se tion, Le plan nulles. le non et apparaîtra question conséquences qu’elle On homogène théorique de cette déformation de à une déformation pondant voir champs intérêt son consacré à l'étude lequel en déformation une spéculative; remarque porte sur les seconde F = g e n, priori chapitre dans La un peu des traduit, ailleurs les d'une localisation, lorsque B la déformation dernigre par plane le champ telle localisé et par l’existence remarque concerne les lignes - 170 - conditions que devient d’un d’extension aux décrite limites par cette prépondérant, plan du équa- par non déformé. nulle. On un a montré VI chapitre plus haut que ailleurs que les les v étant confondre par principales 1) n’ ont d’ailleurs ici est raison tout l’échantillon, sur La figure des directions la sifs. Les longueur proportionnelle effectivement port que avec situé la de déformation donc de cisaillement nulle bande de cisaillement; est défini des certitude lignes ne renseigne les l’essai directions sont figurées par locale. On des directions de cisaillement princisucces- traits dont nulle à coïncide regardant en le principales sont la constater, d’extension aussi, les shf03, des incréments les que en compte angle au cours que bande cet bas) mais au-dessous, la à prendre p our et directions des petit de l’essai. haut) distorsion l’une dans conclure, soient locale rien des que I!L2 V -global 2 des de la bande, comme une part, d’une n’indique ni axes, moyenne 2 principales n’exclut v 9 -local 4 directions est qu’il fî à -2 inclinées part, 4 (en cette présente, (en remarque inclinées de par la rap- de l’essai. On peut rotation : elle deux aussi qui direc- la effectivement axes aux nulle à la immédiatement aux axes propos d’extension 4,5, rapport de déformation directions l’incrément vitesse par ces mais , 2 erroné de l’angle que sont localisé, d’extension vitesse est dessin lignes plus - - les suivant signicativement direc- 45, en effet, 3 Par aux figure de 1 ‘essai, d’autant sait = vt.3 4 serait xl l’angle de cisaillement orientation 46 illustre De plus, On 6 o( de la axes différer champ rapport (localisée, les ceci par de l’essai; avec peut LEN. II-l). l’angle axes des à savoir (cf de déformation et le définie haut avec e aux bandes pour leur angle qui les nulle, plus considéré. local, d’extension de défini rapport bien de déformation, de cohcider Ainsi, pales vitesse l’incrément en vitesse. nullement bien orientation vitesse l’angle sur défini de la aucune soit une cet l’orientation tions étaient de dilatance de définit de cisaillement du tenseur l’angle cependant la LEN ont principales tions bandes que global sur faux des de l’essai, axes se trouve ces étant l’échantillon. - a priori 171 - bandes défini, être soient à l’instant que nulle; orientées de la les bandes sauf et d’autre à naissance si chapitre VI c d) Uk x I m i 111 - 172 - cn 3 chapitre Direction VI-6 La question tion importante prévoient ment : d’un une sur de vue de la puisque théorique, l’angle les et de surfaces et paragraphes précédents cas les (essai légère localisations ment 3,4, diagonale, de la bande que une point de (chapitre quesde vue cisaillement II) divers proposées points générale- interne les de bandes @ et donc De plus, pour initialisées de attendre un phénomène l’fortlw - 173 - pas constater on peut des se confondre en une coin de 4,5 les même dans au cours étude. néces- les temps mérite les sur figure l’incrément de malgré développaient cette après qui ne passaient sur sans de blocs ? On a vu dans rectilignes, même permet- géométrie le en s’y système rejoindre on voit encore, parallèlement on pourrait se généralement suffirait Plus imposées et essais de la de cisaillement sont le fonction l’échantillon, bandes : les ou bien cinématiques ces 11). suivante exclusivement que inflexion la “propre”, rigides. se développent est bande de frottement est frontières indépendantes, comme d’un directions les de l’angle aux figure Shf06, est-il coins présentées où une que direction restrictions des dues figures ressort est aussi en exposé à envisager telle une l’échantillon restrictions mais bifurcation J’ai globales question observés par de cisaillement pratique, de il bandes Y. de définir sairement analyses valeurs dilatance des de vue dont aux de cisaillement déterminée. La première tent-ils point question, liées de direction orientation la sont des bandes VI l’échantillon que les l’incré- de seule : la deux bande direction chapitre VI 1b N fréquence 5 4 3 2 1 0 25 20 Figure --m-e-----47. Histogramme des orientations La figure cisaillement l'axe duit observées vertical obtenue à l" au cours près). des orientations des essais denses, La dispersion et non pas des imprécisions On observe pour l'essentiel des bandes de mesurées par rapport dans les résultats, tra- de la mesure (laquelle deux pics, aux environs à est de 21 degrés. Pour éventail rapport réel de bandes. Essatidenses. l'histogramme de la machine d'essai. un éventail et25 47 présente degres 35 les de valeurs aux essais essais lâches, (moins de 26 à 33 degrés nombreux), : une différence denses. - 174 - on obtient significative aussi un par VI chapitre Tableau 4. -0-0-w-e--- Orientation bandes cisaillement. de o( (degrés) Matériau -r v 9 L;‘e Shf dense 21 - 25 Shf lache 26 - 33 27 45 28 30 34 Billes de verre Le tableau orientations valeurs de w 9 testés 39 les résultats 4 synthétise avec les orientations ressort ici à l'essai borne inférieure de la plage -ri - - -'0 a 4 expérimentale. noter faut variation des - -6 une bonne dans concorde 2 orientations des fl et V. le pour les Les tableau matériaux bien avec de bande. la Les sont en dehors de la plage sur le matériau <43>, contraire, au angles trouvées est que, 4T comparaison la aux être peuvent comparaison que Duthilleul a observé, Schneebeli, reliées la direction de présente et T- - '4 (fl + v%) par contre, 4 directions Il essai de cette biaxial, et classiques, fl et V pour chaque Ce qui 7r --- des bidimensionnel concordance de avec la direction Va 0 4 z Vardoulakis de 0-m " 1 tion rejoint 4 et (121+ vs’ terme d’une Arthur (Arthur ; analyse observe cette orientation par ailleurs physique une plage corrobore son une des orientations de la localisation assez large de bifurca- analyse par Arthur envisagées (cf autour centrées plutôt au 11.3). Expérimentalement, d'orientations, T de - 4 @ T - à - z 4 3 - - z et a1 <4>). Scarpelli tations <103> a observé des orientations de l'ordre et Wood, de celles à la bofte indiquées mesuré des orien- de cisaillement, ont par Vardoulakis; la mesure est cepen- - 175 - chapitre dant VI indirecte, directions en ceci principales de cr et i L’éventail seulement des prévaut qui sée avec une droite, ligne niveau de de mon point traduit plutôt certaine orientation, Shf06 que pas la entier. (figure avec n’est globaux d’initialisation bien la l’hypothèse d’orientation observé 11), de coïncidence des . de vue, au point si l’échantillon, globales paramètres nécessite fait le de l%chanti.llon l’essai mesures des l’expression pas qu’elle l’orientation de l’essai de la la mais même orientation aussi de la localisation bande ; se propage déterminée A contrario, d’une mes essais indétermination d’une que direction dans localement indique exclue. - 176 - en qu’une mais dépend non fois locale initiali- essentiellement l’apparition localisation physique, situation une n’est est conservée simultanée, deux points influence en au au cours différents des conditions de chapitre VI-7. Variations ------------II--------- Depuis Cambridge dans clairement opaques les rayons aux <82>, la notamment pour méthode dur Les ponctuelles, suivie par que rupture. ici classique. déformation, la des sables zones moins par Roscoe rapportés a appliqué un essai cette perturbé biaxial en fournissant utilisé, fondée elle aussi méthode les variations à la triaxial (essais variations pentes denses). de volume des courbes sur la permet images à elle, à titre à la on observe (sur déformation de dilatance, des quant de volume axisymétrique phase précisions quelques non utilise pas cumu- mesures des exploratoire, radiographie de la et dont les prometteuses. sont rapportée d’apporter La stéréophotogrammétrie j’ai Qualitativement, Les permettent Enfin, localisation les dans quantitatives. une essais les à apparaissent comme Vardoulakis localisation La gammamétrie, global qu’au la les récemment, Plus radiographie d’application mènes la 23). (voir menées dans ; elles déformés, incrémentales. faibles. volume plus présentés de Globalement, sont lâches donc localisée importantes massifs plane <106>. tomodensitométrie, perspectives rupture de volume X, en déformation la que de figure à la mais on sait en évidence l’évolution latives 60, modèles radiographies résultats inaccessibles sur variations mettre un point saisir années des sur de volume expériences les provoque denses par les VI axiale, rupture les courbes L’apparition globales E,, t c, dans - 177 par rapide deviennent - la les légère interrompue de ce un essai de mêmes en début le de phéno- d’essai, développement phénomène sensiblement partie biaxial de variation en annexe), : contractante bientôt pour dilatance nulles de explique à la maximale chapitre VI se tiennent tail dans avec celui coïncide essais un éventail des axisymétriques Cette coïncidence riaux et dans cela fournirait d’autres plages été présentée en 1970 montrent tant volume que pentes, aucune dans le présente en blage sphères de éloignées réels, d'après cas de une étude 1 au-triaxial contre centrée, 2c que les de variation de qu’assez peu. qualitatif. On note courbes entre la déformation plane 0,8 en DP (environ) dans et qu’assez granulaires particulier en EV& symétrie la théoriques, de révolution le cas de l'arrangement pour l'arrangement Lee d'un assem- bien sur des matériaux des Les 3 et 5). obtenus de Malheu- la localisation. prévisions, les a par cet auteur (figures 0,5 variations sur le comportement pentes 3 et 2,5 respectivement en Une synthese présentés diffèrent dont sur le plan 2b et à mesurer. concernant théorique résultats (défini sur les les courbes l'ordre frottantes, maté- générale, classique de données ne sont intéressantes assez peu classique dense, des peu atteint, fournie rigides ses figures pas n’est comparaison sont n’est latérale. ordinaires. résultats Les axes, pour les s'avérait dilatance difficiles donnée quantitativement diffèrent à force pic et au triaxial au biaxial reusement, le <65>. éven- sur d'autres car si elle d’assez réputées plane, par K.Lee que confirmée de cet et contrainte d'être l’angle que les mêmes initiale contrainte malheureusement remarquable dans axisymétriques d’essais en déformation de volume compacité de est mesurées, d'estimer moyen On dispose ; il pentes mériterait des un à 0,7 pentes à mêmes à partir DP seulement) de 0,5 : cubique hexagonal. 7.2 En ce qui confirment ment, suffit et les concerne l'existence conformément pour s’en d’une aux les variations dilatance observations convaincre courbes de variation de de volume importante dans radiographiques comparer les cartes de volume incrémentale - 178 - locales, les bandes mentionnées de distorsion associée, les résultats de cisailleplus haut. Il incrémentale les divers chapitre essais les symboles la la naissante même est question 32 puis le dans volume 34, perturbé par elles dernier cas (figure kV plus de 10 fois courbes de variation toutefois une léqère ressort une prédominance (bas) incréments zones hors des te a La dilatance essais initiale légère vides réalisé effectués et à 8,9, la léqère le sur dilatance critique au cours à la les matériau pression considérée préparation dans les en fin des échantillons. - 179 - naissante grand à de volume On note même locale, il : on peut observer 2,3 figure à 4,5. 28 Dans les contractan- surprenante conditions car de ont termes, que les voire essentiellement mêmes (0,0027). montrent le d’essai, pas de difficiles de cisaillement, n’est en figures Al.9 à A22. axisymétrique, plus dense globale comme ; en d’autres est On observe variations plus incréments au triaxial déformation de la zones cisaille- Les des dans les bandes bandes de bande i, cartes est sur l’essai la de variation de volume dans latérale dans on observe (haut) d’exemple ShfO6. que l%chantillon, les et compressible. de volume 31 grande en sur dilatance bande dense contractants, dans figure même de la alors des des cartes variation de contrainte 6,7), variation observée 6,7, la à titre B la déformation carrés et zone dilatance se produit de symboles bandes, forte moyennée dilatance 6,7 et globalement De l’examen voir, de l'essai fournissent non indiquent extrêmement “mou” supérieures à la légère 5,6 la de volume dilatance. 3,4 38 incrément sont tendance qu’une aussi lâches Ces essais de la incréments un point carrés On peut lY.ncrément de 38 montrent interpréter. une cours essais symboles spectaculaire figure Les les contractante. dilatance au chose que la hexagonaux 12, figure ment la Rappelons présentés. VI l’indice les densité montré l’indice des une des vides chapitre VI L'évolution des variations est bien illustrée miers incréments contractantes répartie, Au par l'essai montrent ; les cours des incréments grandes distorsions une diminution voit en prenant 8,9 à 10,11, progressive est le siège d'une dilatance de variations les l'ampleur distorsion, de local indices atteint en grande déformation, connaît en haut).La importante, que l'ancienne avec un écoulement varia- de que la nouvelle des vides plastique bande bien qu'active, On retrouve d'un indice 11,12 à la pre- carte le fait de l'existence de très L'incrément montre clairement alors 6,7. quant à elle superposée de volume significatives. niveau à l'incrément dilatance. bande de cisaillement (carte d'une dilatance de volume révèle de la pre- légèrement faibles, l'apparition de trois Les la bande de cisaillement de l'intensité d'une deuxième plus volume de 4,5 et 5,6 voient nettement de volume incrémentale ne connaît variations des qui demeure active tion 36 à 40 (bas). (0,05 à 0,30) ; la variation l'apparition mière, figures Shf18, incréments qui se localise de volume dans la bande de cisaillement ainsi au critique, sans variation de volume. Cette évolution par une autre voie, sés à partir mesures, 0,Ol). ainsi locale constater volume peu contraire, mais des clichés La figure aussi qui confirme une pris de volume locales la planimétrie en précision 48 présente, que la zone de l'intérieur cette adjacente celles de dilatation les résultats la pleins, enregistrées plus subit haut. - 180 - à côté bande prend rapidement énoncés prix réali- d'une répétition absolue des de l'ordre de les mesures de planimétrie juste à la bande Au (erreur satisfaisante en traits a pu être confirmée sur des agrandissements cours d’essais. dans la bande, et locale différentes que variations en utilisant on obtient globale, des connaît au niveau de la bande. On peut des global une dilatation fin variations alors très de qu’au forte après la localisation, ; ce VI chapitre d6format ion vo lumique 0.06 -B xX 0 o* --L-I -M A-C-e*&-h 0 -----a a 0.04 0.02 global (planim,) local 1 4) locaI 2 '0 global (stereo) local 1 local 2 I 0‘ emen t ax ia I- - 0.02 Figure e--------- 48. Variations Accessoirement, entre les on des Pour prhiser donnent les variations globale, cette de volume mesure du rapport une fiqure La pointille cliches et au 49 montre local en trait tours de l’essai locales et globales. sur cette notera mesures olanimetriaues nhotoaramm6triaues plus de volume et celles (traits fiaure ddduites st6r6o- exploitations est inthessant il elle-memes mais entre variation 1Vvolution fonction L’angle - 181 - les de angles l’anqle considerer de dilatance de dilatance de local non qui et distorsion. de volume de en Shf18. concordance l’excellente des shf06. oointill&). analyse, plein Essai la est deformation defini qlobal en axiale comme les chapitre VI de dilatance angle X-X V local (bande) o-0 Y global 0.04 0.06 0 0 ; 0.02 0.08 0.10 0 - 10 -20 moyennes Figure -------1-e 49. Angles de dilatance locaux et globaux. Essai shfO6. 0 sur les L’angle nant dès la fort sur cette un la étant pic figure localisation que subissant de dilatance présente qu’il observe zones développée, l’angle global Ainsi, l’évolution on le voit ici. il 0,025. pas ce de l’angle L’anqle localisation n’est Cependant, complète &,= de la distorsion. en vitesse, l’annulation à au moment forte défini comme révèle plus dans et chute localisation atteint indique localement dans l’existence la variations d’un de volume indice bande. - 182 - des la bande ~1~s au cours vides que l’on de dilatance, vite dernier. des surpre- de la critique est plus que ce chapitre 7.4 Densités en fin --I------I-I-I)--------- Dans essai à des un certain mesures alors étaient locale sous coupant figure de ont été par qammamétrie. de Les l’essai, cartes de et densité densité ont être pu soumis après échantillons transportés sur complètes duréeprohibitive de la des s’est mesures ; en réalisés, le long et essai, de de localisation. les profils de l’échantillon de l’indice l’état échantillons à l’issue raison 50 présente une zone restreinte la bande dans zones les mesure de profils les L’évolution vide La en quelques La de densité l’phogadense’*. revanche, ment. de cas, quasi-impossible droites d’essai nombre conservés l’installation révélée de VI obtenus Shf06, des vides avant au niveau d’une est évidente, et après bande sur de cisaille- avec la trace coïncide final. 1 irni tes dans de la bande 1 final l’état 1.65 densith m-- initiale --- (moyenne) ----m l- 1.60 J . 10 mm Figure ---II)----- 50. Profils de densité x-x-x- -- / t- au travers - 183 d’une - b bande de cisaillement. shf06. VI chapitre ? - shf 18 kg I id m 3 Profil JKL densité avant / après 1 4 17 8 16 l bande Figure 51. ----11----- Profil de densité dans La figure 51 montre un profil dense Shf18, au cours à nouveau section complet un ltfossé’f l’échantillon. de sensible Essai en travers shfl8. de l’échantillon au niveau de la relevé bande d’essai. La lâche avec une Shf20. figure 52 donne On n’observe une légère augmentation des bandes de cisaillement avec une variation de la deux pas prof ils d’évolution (contractante) indiquées significative générale sur en travers complets la densité. - 184 - figure, pour de le de l’échantillon la profil ne semblent densité, A. pas sinon Les traces corrélées 1 densité bandes de cisaillement 1.60 1.50 profil A 1.40 I ‘1 cm densité bandes de w cisaillement ooo~ooo.o*oo b après 1.60 -s--T.. - Il. <Figure .-----1---m 52. Profils de densité dans une section de l’échantillon. Essai profil - shf20. . B VI chapitre Sur d’essai le dans critiques plan les quantitatif, bandes la doit pour le confirmer d'entreprendre grande ampleur comparables que les figure pression variation des indices Un échantillon plus a été dans avait à titre soumis, verticales par calcul tral à partir de de l’échantillon. pale, ainsi onze deux bandes Ces résultats dilatance dans plane, ils les technique localisation sent bandes coupes dans la un ShfOl). qui corro- (grâce au concours de annexes qui bande fructueuse dans - 186 - ainsi figé trois reconstruites tiers le cen- princi- de cisaillement sur la le cas de la déformation aux gammamétrie). permettre Les et présente dans par rapport planimétrie, pourrait Marseille). antérieurement dit ; dans nouveaux de gauche. a été de cisaillement 10 l’échantillon, sur la partie ce qui photo réalisées la essai tridimensionnel. espérer une application : pour une résultat Clairval La de nettement pas d’éléments seule observe : on avec une résine, horizontales (stéréogrammétrie, est résultats à des mesures de médical l'épaisseur dans corroborent n'apportent d’investigation cette (essai On distingue que plus /o de la plage de de 25 exploratoire, après essai déformée parallèles d’une courbes considéré, sur un appareil injecté configuration sa coupes été nécessaire Les seuls les deux Mr Sawczuk et de Mr Cagnasso du LMA, et de la clinique L’échantillon serait haut. par tomodensitométrie, densité résultat Ce présente sur sa figure qui est de plus différence pas. au biaxial entre pour le matériau de vides notée <65> triaxialet sensible la ici. en fin densités spécifique, présentés au avec les car il d’essais de Lee comparés de 200 kPa, bore la discordance ceux différence une latérale résultats sont critiques campagne mesurées concordent ne avec prudence, une quelques à ma connaissance 10 les diagrammes sur cette axisymétrique, être considéré toutefois des densités par gammamétrie de cisaillement mesurées au triaxial négatif comparaison une mise résultats ce domaine. autres En Il revanche, en évidence présentés a été moyens ici constaté de la lais- chapitre Photo ---III-II 10. des résine : d’une volume lors le une trois part de la découpage meilleure le sous vide, polymérisation pour testé de façon et étude il sont d’indice des paraît ou d’y de l’utilisation très vides être de la - injection difficile comme Dans de variations ces est résine. de d’obte- l’a révélé conditions, impossible. de réaliser transporter prochainement. attendus - la7 est des tométrie. en tomodensi du tomodensitomètre, des résultats d’une de l’échantillon, quantitative à s’affranchir de tomodensitométrie. se produise surtout vides terme en une de mesure des verticales à lW5lisation qu’il ; mais satisfaisante paralldles essai, par liées inévitable quantitative champ en cours est de l’échantillon voie dans sérieuses il saturation coupes apres shfO1, difficultés l’interprétation est dans l’échantillon cependant nir Densités VI La l’essai l’échantillon Cette étude chapitre VI En resultat lieu conclusion, connu, suivant à d’intenses résultats nouveaux variation de volume de dilatance une l’évolution locale variation cité d’avant la ment tion; de contractante vitesses toutefois, en grande de variation les variations dans des lorsque que de volume globale zones d’un lâches, est de volume - dans 188 - résultantes des que la le taux bande atteint aussi après ne contribuent dans l’état densité de compaglobale de en densité. légèrement dilatantes de densité la de contraintes on observe ; ainsi, aussi s’arrête la limite au niveau déformation dans distordues que état donne localisation, demeurent ressort il denses On a observé la matériau ces d’où après non le fournissent phénomènes. zones confirment matériaux les le les volume elles ; mais représentative matériaux de volume des du fait ; cependant pas les à zéro de rapidement fin La variation localisation, n’est phase prend revenant à cette Dans localisation concernant en raison l%chantillon la de variation de volume plus longue lequel limite. localisation, mesures variations locale compacité variation ces envisagé, après dilatante les bandes au moment restent de cisaille- de la localisa- modestes. la une chapitre L'influence VI-8. des VI perturbations --------------------II--------- Le tableau colonne dans appliquées ces 2 (page laquelle ont n’était pas que les que ce te-déformation, de contrainte (légères) les soient les indique (cf que du niveau VI.3) localisation de cisaillement conditions d’essai de certaine délibérées l’on a vu se qu’elle toujours sont la plus plane). courbe insensibilité, déformation de déformation (en pas une de l’influence et bandes une comporte perturbations discuté n’affectaient qui essais, contrain- aussi critique aux bien du imperfections de l’essai. localisation, et sont aux sensibles le le point sens dans essais ShfOO et moins homogène Les 1’ autre (ShfOO) et la face supérieure tat est et que la basse des que deux après bas essais du dépot localisation le second, donc été déclenchée en à dire la rodée supérieure du côté de façon inférieure. haute le que Le résul- dans le premier perturbé plus un normalement l’un tête des était (ShfOl), partie lors légèrement était effectués, sur posée c’est : de l’échantillon la face de la de cisaillement mal de l’échantillon soit s’est bande encore ; en outre, ont l’amorce exemples étant supérieure le la quelques de sable retournement lors dans se développe En voici partie la en densité irrégulière. lequel de dépot ShfOl, où appara2t de lléchantillon imperfections. - La technique chacun été les diverses d’une perturbations En revanche, cas, a déjà puisque quelles récapitule les l’existence significative On a vu aussi qui indiquées Il sur manifestées, peu été à 195chantillon. perturbations niveau 107), dans cas. - Les essais Shf06 affectés d’une inclinaison rapport à l’axe bloquée, ces de l’essai, deux essais et Shf07 ont légère (environ l’un à droite, ont donné été lieu - 189 - sur effectués 1 degré) l’autre à des de la ; la de échantillons supérieure face à gauche bandes des rotule cisaillement par étant de chapitre VI directions opposées - Les essais la forme d’un clairement Shfl2 a été appliquée (voir et Shfll, la valeur révélé résultant croquis Les supérieure, dès du tableau essais la redescente On dispose le pic. réalisé après essais "brutes", ment enregistrées faisceaux distincts force latérale axiale a elle- force l’action de l'essai de blocs et perturbation de cours de la sur essentiellement pris que jusqu’à campagne, cf Shf18). n’étaient le comportement ont été faites par comparaison faite que la au même niveau, d’un en fin portée de après et un essai a été phase. qu'enregistrées est été la mise en évidence pour discuter observations constatation au latérale le mécanisme de les clichés après (sauf pour cette la superposition force courbe globale La sens a donc d’éléments quelques comparables), le cette où la principalement l’attention de moins telles l’instant de ce point. d’une au pic; 8 mm) ont pic visaient ; première à peu près toujours présente fait spécialement mentales des effectués du pic et rarement Cependant, Une dans phase. En particulier, de ce axiale sous 2). naissante première au niveau par contre, mais en place (diamètre par l’application force mis des imperfections l’échantillon apparaissait significatif, s’est localisation cette dans la force perturbatrice. de d’effet 2). comportaient qui de de l’excédent Comportement la du tableau été perturbé a à la tête atteint surface croquis ou dur disposé mou L’essai à un dixième pas ShflO point égale n’a les montré que la localisation - même (voir chute correspondent de force en cours axiale expéri- d'essai (pour après pic s'arrête le montre la figure 53. Cette figure nombre de courbes brutes force-déplace- comme certain d’essai directement des courbes (enregistrement chacun à une largeur - 190 - analogique). initiale Les d’échantillon deux force axiale chapitre 00 VI N/mm 60 H-H,( mm) 20 10 Figure -- -e---e-53. Courbes mm pour élancement (175 dans le groupe élancement mais leur 3,5 pente 2, raison étroits, plus regroupement donne On présentent en observe La 100 l’essai ShfO5 ne peuvent lieu bas déformation élancement la force de à la une (sans de quelques essais. latérale pas se raison Seuls se distinguent connue), et perturbatrice. comparer en force l’essai Les essais à premiers, aux même constatation. figure remontée sensiblement - 70 3,5). sur cette étant 60 50 : comparaison mm pour par ailleurs après ce point comparable. 40 force-déplacement supérieur, ce dernier Shf12, 30 largement 191 - que toutes localisée les linéaire, depuis courbes avec une le pic, il chapitre VI serait de peu donne ici être de calculer de sens courbe$brutes. des expliquée En revanche, Pinfluence une sa en résulte il raideur, bande, ler la l’on par est de latex, axiale. de la a localisation. le 53 ; on peut constater assez que l’hypothèse En conséquence, comme une d’être prise menés à des mesure fidèle ce les pic pic sur bloc second. Le facteur dessus. On peut sont dans de ne pas résiduel de calcu- à partir du moment à environ pour le sont tracées premier où 60 N groupe, sur la de membrane considérer ; cette essais d’éventuels la la machine courbe et figure donne lieu le point remarque bas mérite de déformation peut s’attendre d’essai, lorsque loin, face-déplacement, l’apparition Il se trouve bloc suffisamment avec première. de blocage aussi menés coïncide recoupe qui de glissement cinématique essais nouveau cisaillement, de cette réalité. frottement lors de plane pratiques. fins un second de la d’un par membrane, linéaire, action à de cisail- de l’épaisseur considéré, cas de cette prudent est en considération Lorsque tion il le due membrane zone de la axiale, correspondantes à la pas aux limites, élastique supérieure tête droites conformes force dans de la Les second. à des prévisions premier; aboutit, de déplacement 35 N/mm pour à la la de l’épaisseur membrane la membrane Ce calcul dans et soit Cette se traduire, peut tenu je ne peut force l’échantillon. de cisaillement en supposant contribution d’observer bande observée de la importantes qui Compte de la possible millimètre très pourquoi de l%hantillon. entoure qui c’est pente remontée cette une résistance de l’angle il que axiale, la de section semble de force composante façons, à des déformations soumise lement, il membrane de la se trouve De toutes un accroissement par contrainte une semble peu être l’action à ce que les à peu de bloc. - 192 - aussi d’une donc que empkhé de la se développent liaisons il sont fréquent est marqué seconde et cède membrane, des effets incompatibles le bande premier le que de mécanisme le pas discutée à un ci- de réacavec la chapitre La force de liaison enregistrée au long progressive de la reaction de la courbe force horizontale de l’essai au niveau de la tete Shf18. La figure montre T, en fonction horizontale axiale, 54 en surimpression, supérieure a été la mobilisation de l’écrasement. de relier permet VI cette La évolution Newtons \ x Essai shf18. \ -\ Figure -I) ---11--54. Mobilisation aux pics mentionnés ment nulle jusqu'au rapidement pour d’une réaction chuter tout à l'apparition correspond du dépouillement gures 40). L’apparition de la force a coup lors que la force ; elle axiale du second pic d’une de l'essai stéréo seconde localisation comme la conséquence du développement niveau de la membrane de la machine d'essai. mais aussi Shf18, - 193 - augmente (voir alors axiale qui les aussi incrément11,12, fi- peut donc être considérée au premier mécanisme, au de résistances au niveau T est sensible- de force d'une deuxieme bande de cisaillement les figures 39 et pic premier - / 1% % 1 % \ horizontale plus haut. On peut constater I x 3c des liaisons de la machine d'essai. chapitre VI De nombreux lement auteurs être considérée peut le matériau. Des chiffres (Vardoulakis <103>, Roscoe ce mémoire ont dans et confirment effet, que tout les (0,8 à 1,8 comme liée été la sionnel encore plus dépendance l'ordre larges bandes de Les cisaillement sont présentés différentes, aisément, en gros d’Hostun observées sur le sable Le sable un exemple d’autant grains de essais sur le sable donne constituent très 11 par exemple. par B. Duthilleul, qui On constate que celles de cisail- dizaine tailles en question. 19 et figure étudié de la de observées plus bandes grains des sur des grains nettement gros ; les de des et Wood <88>). de cisaillement de Schneebeli largeur la à la taille avancés, effectués (0,125 à 0,5 mm) : figure fin que <82>, Scarpelli à fait mm) sont indiqué ont été bandes ont bidimende grains larges plus (fi- gure 44). Il grammétrie leur finesse Ainsi, la noter, faut ne donnent largeur des dans plus les probablement les premiers stades de cisaillement ShfOl ; on peut constater traversé (lignes du maillage). par la taille que très grandes surestimées l'énorme par la bande La largeur a été du la mesure où maillage adopté. surestimée conduisent bande 11 aussi réellement montre du cliché motif, final de matérielle maille à active un détail de l'essai circu- initialement à 6 mm (la par la sur l’échantillon bandes à la la rotation estimée - 194 - des La photo distorsion et apprécier du distorsions par agrandissement obtenu dans 10 mm est-elle par rapport de développement. bande laire, fines par stéréophoto- obtenues épaisseur, de cette mesurer la largeur aussi ; cependant, cartes les est limitée bandes On peut d’essai largeurs des que majorant qu’un description de représentation. en fin cependant, considérable est de 10 mm) chapitre Photo --------- 11. Détail de bande de cisaillement. - 195 - essai shfO1. VI chapitre VI mais bilan il y a tout lieu chiffres les à la taille d'autres faite ici elle viole une les à échelle épaisseur d’une le dans les des modèle zones divergences que remarque, Scarpelli et épaisseur caractéristique de similitude. Si localisées qualitatives les l’on éventuelles de l’échelle. la des grains a déjà qui Wood règles dans supérieure. borne Au paraissent <88>) été formulée mais qui de la en centrifugeuse utilise fait, de seront réalité. L’évolution du comportement et ceci modèle - 196 - et réalité. réel un beaucoup dans auront les déformations peut d'être pose cisaillement homologues, entre bande par par exemple, relatifs sera donc différente mérite le matériau bandes De ce par rapport de cisaillement une réduits, indépendante une moyen bandes sur modèles sées pour des déplacements dans des essais réduite, est le diamètre la largeur de (par exemple pour les ce chiffre la réalité. appelle : l’existence essais de dépendance auteurs problème car estimation des grains que à 30 fois de 10 donner une bonne Cette de penser moins localigrandes du matériau conduire jusqu’à chapitre VI.11 et en observer Quelques et d%chantillons j’ai moyen d’une ainsi réalisé résine les est : l’assemblage par 13 présentent une direction sa position agrandissement Il c’est avec une flèches zone lorsqu’on de certitude, orientation matériaux un peu peut grannulaires, les effets dans une le zone points un repérage à la bandes de de la l’emplacement emplacement un léger relachement WA!.. de la modifiée des .- ma au minces, but d’observer Le résultat rigides. n’appaque Les photos peu 12 et perpendiculaire plan la les par bande, à la une qui bande de rectili- est 13 montre La photo un supérieure. flèche sur des bandes qu’on structure, peut et, les lames, distinguer, peut être, grains. de ces examens, de modifications macroscopiques lames grossissements, indépendant. pointe des de cisaillement affectée cet conclure Pour biaxial, de cisaillement. à divers deux connait <66>. essai le dans aux blocs dans de discerner difficile seulement peu située Windisch en France réaliser pu les taillée par donné séduisante. en particulier après zones dans indiquent de la les appartenant plane, connue est grains typique, est Ce qu’on duire lame Les j’ai nu comme zones de déformation cisaillement. gne; aux un état 33). dans des dans technique Allemand en pétrographie, à l’oeil rapport et échantillons, microstructure à l’observation modifié et ces une d%chantillons Sody utilisées de la étonnant raît, de figer on notera : Gandais (Escil les est méthodes injections epoxy pour structure que Luong, techniques modifications des quelques A partir suivant la proposé ont <109>, part, de sol ultérieurement auteurs Soulié microstructurelles Observations L’injection VI structurelles considérables - 197 - qu’on est qu’il très constate suffit dans ténues lors de les pour pro- la loca- chapitre VI Photo _------- 12. liame mince “C”, taillée dans la zone affectée Photo --------- 13. Détail - parallèlement au plan par la localisation. de la 198 - lame “C”. de DP, chapitre lisation de la d’image, et plus texture 3. et ses ; peut précisément (morphologie Serra des collaborateurs lames qui <89> été serait-il des de possible, outils développée ?) de ces ont être à l’aide mathématique) (provisoire En l’absence l’analyse déformation moyens réalisées. - 199 - spécifiques à PEcole mettre des en évidence t il grâce est difficile de Mines ces VI à l’analyse l’analyse de Paris modifications. d’approfondir de par chapitre VI H-12. Conclusion e------w--m--- 11 ressort les matériaux granulaires particulièrement sont des prévaut se dans à la bandes. Cette essais pas systématiquement, aux résultats en déformation localisation ce expérimentaux, sollicitations en bande à l’essai si les manifeste à des l’essai, de l’orientation soumis systématiquement imperfections des consacré sensibles apparaît phénomène ce chapitre de biaxial, sur n’est est situation axisymétriques, d’inf et différente desquels révèle se peu l’emplacement au cours et de cisaillement. avec assez très plane Ce luence être peut de celle la qui localisation sensible ne imperfec- aux tions. blit pas cette Les expériences d’un coup essais d’une dans cependant global et relevées dans peut un pic directions cours de la de L’examen liée aux cependant, attention localisation. de et les dilatance confirme directions local, ne la une différer des bandes, dispersion, (perturbations) -iià - [email protected] à l’orientation de notable- certaine essai permet vitesse orientations des qu’il de dilatance de peuvent de imper- fait ceci que type cinématiques l’angle de chaque correspond le que ; des aux hypothèses entre montre ce sensible les statistique rigides aussi ; on a vu car particularités qui d’initialisation frontières bande corrobore comparables, conditions principales Une l’angle globales. supposer la a priori bande, ne s’éta- particulièrement relation la localisation y rencontrait dans et la point de de localisation une et des se dégage cinématique de locale, valeurs est analyses l’inclinaison déformation des les d’un qu’on nulle que rencontre révélé d’extension d’établir pas à partir de la ont de la ligne classiques de montrer dY.nitialisation L’examen s’agit qu’on triaxial Le point fections. se propage S’accommode au vrai phénomène. ment mais propagation permis ont 4 ; des 2 l’essai. particulière Divers a été moyens portée d’investigation - 200 - aux variations ont été de volume mis en oeuvre, au chapitre et tous concordent bandes de que moment de la semble atteindre Les importantes la un état légèrement tentative mise d’une n’est de grains Sans doute peu plus dans mène. de ces questions ?Y les les en minimum est d’énergie celui malheureusement on contraire, celui dissipation que ?Il, certaine bandes toute défor- la directe peu zone de à ce niveau, se garder, à densité légères, matériau naissantes. de puisqu’il l’observation au de volume 11 faut testé fort de forte à dégager typique. somme : le sans s’agit dans le moyenne, et que soit pour adaptée morphologie de la pas qui séduisante, d’un plus forte tout aussi aux proposées. qui fait L’expérience - 201 - aux et limites permettrait de prévaut qui interne. un tel mode Dunstan principe ou diffuse, le un du phéno- à un de travail que qui m’étendre vais Arthur appel théoriquement conditions “pourquoi phénoménologique. été localisée bien le des descriptions dissipation de prouver de diverses reste je au niveau de déformation, mode satisfait minimale. ont il lesquelles posée, ce terrain, très ?Il, offrent-elles moins éclairent 9 qui “comment sur suivants, la imagine ?” et théoriques, sur une diverses “quand impossible d’ailleurs, la évident reste n’en produit qui particulier, analyses suggéré ont bien chapitres La question le zones les observations, observations “où Des réponses, <4> ces les aléatoire. A l’issue les : ainsi microstructurale modification de variations, en évidence façons pas les dans difficulté hâtivement matériau il assemblage une très à des variations cependant de caractérisation significatifs part, dans lieu dans est bandes, ensuite critique donnent localisée stéréophotogrammétriques les rapidement chute dilatantes en évidence d’un mesures dans local, réalisés importante Les de compacité de généraliser d’autre denses). mais mais présenté dilatance de dilatance lâches indices cas l’angle met d’une (essais essais localisation doute, point localisation, Une des le cisaillement indiquent mation. sur VI postulat, effectif tout 11 est et soit, en d’infirmer au produisant l’un ou chapitre VI l’autre postulat, - voire Le schéma dans la Lade <64>, dépend le et riche On sait que matériau, sur déviatoire. est irréversibles dès déformation, devenant à une les comportement déjà d’écrouissage triaxial, la variation contrainte appliquée sur s’observe, entre est (pression de volume telle cours au liée nettement déformation d’une déformations des s’écrouissent qu’ils même déformation à la irréversible de chargement. chemin dans le : un même du comportement typiques autre, critique, des grains sans que a1 <4>, granulaires comportements mais le voit conception matériaux connaissent résister de moyenne des compacité charges, petites et d’une des matériaux sols phénoménologique. traits des leur ces que plus plan des (Arthur assurément, montre de domaine de l’arrangement qu’un susceptibles charge le compacité l’évolution enfin le au cisaillement ailleurs conçue. localisation là, compacités, par On sait notable résistance de la On sait matériaux de ces de conséquences encore dans de la s’agit à diverses déposé différenciés. essentiel Il la pas répandu plus auteurs). cruciale de façon ! - n’est le facteur d’autres intéressante deux explicatif dilatance et les le cas où, Ce à l’essai se produit cisaillement à un indice des sans vides initial . donné). Ainsi, isochorique, à la on auquel variation résistance isoler peut s’ajoute (cas lâche) et tion (cas dense). le : cisaillement les s’attendre, même dans vée, à ce qu’un essai sur pied à titre cette obtient compétition, effectivement, sur pensée de produit celle-ci l’hypothèse triaxial type chemin triaxial, chemin et triaxial, - 202 - observe formulation caler une Cell+e-ci prévision une dilata- éventuellement en compétition (cas indéfiniment un pic. la l’assemblage de homogénéité lié s’augmenter mécanismes, présente une à faire contraction à deux d’une ou négatif) lorsqu’on entrent mécanismes écrouissage (positif conduit une un écrouissage heuristique, sur mécanisme premier un un second diminuer On a alors peut mettre ce second réciproquement Lorsque antagonistes. la éventuellement de volume lorsque par On peut analytique sur dense), conseraisément simple des de réponse on essais de ; on compor- chapitre tant dans un pic sitaires le de Génie chemin tre est dans le des autres, vides, elle C’est té déformation ne peut le donc cas que bande taux de durcissement l’apparition de la pour satisfaisant Ce schéma observations des localisation. triaxial lon “contenue” le bien développe les sur cas des de pensée De plus, par c’est le permet considérations les est plaques intéressant dans concernant la d’expliquer les le la suite, limites étant imposées; l’échantillon. de l’hétérogénéi- aussi parties Une autre soit au taux condition qui est de condition supérieur Cette ce le Ceci première certaines du pic, compacte, limite à peu près denses. suivantes qui la d’autres. les localisée. traverser d’écrouissage. au voisinage établies il que que moins par aux à l’endommagement échantillons donc laquelle plus (dense), déformée plus cas à une à l’augmentation conditions, doit à la opposition déformation d’une ) mais mécanisme favorable à être, exposée le paramè- le échantillon serait conditions sensiblement localisation un peu dans lié d’un les de cisaillement, au premier zone certaines ou asymétrique, lié lié siège sous nature, l’endommagement qu’une le (dont par une que à un adoucissement partie et donc d’adoucissement par de dilatance, satisfasse se déforment le plus localisée être univer- ? En ceci conduire est, quelconque que symétrique l’échantillon est fait de bien cependant pas d’une diffuse cas de lui-même, se produire la le résistante, moins s’amplifiant ne peut que de ce journées d’endommaqement dans raison une aux localisation peut processus on conçoit subi potentiellement phénomène : dans pour aurait Un tel d’accumulation tout se trouverait qui qui processus une vides). au sens la envisagé, introduit des concentration, de l’indice d’expliquer d’écrouissage l’indice communication 1980). permet-il monotone, diffusion (IDesrues, Lyon ceci processus sur dense Civil, En quoi second cas VI forte mesure où il dilatance différences : on sait contiennent - 203 - la qu’au une des entre biaxial, contrainte s’appuie zones biaxial sur de et Péchantil- supérieure à chapitre la VI pression liée latérale Vs. à un cisaillement la direction et perpendiculaire tension dans rien n’empêche volume de se distribuer conque entre la facette à la dans direction (figure 55). plus faible riations sait les travaux <108>) que (entre de contacts augmente, pendant déformation plane, donc Bien fructueuse n’étaient des pour contractant. claire, pas suffisamment observées ce qui sur plus qu’une Sur ce dernier mes essais contractants le lâches pour - Wiendieck le de compression à une direction plans, elle trancher en telles que de explique celle nettement n’est Shf04 la une n’explique de l’essai apparaisse Shf03, la de double elle l’expérience (Shf02, l’idée en un concept ; en revanche pic, envisagé, à Fexpérience. vu, à nombre conforme l’a vaOn axisymétrique est on les déformation localisation point, - 204 (notamment ici denses avant non appareils). certains Comme bien pas deux de l’élément qu’en matériaux ces normale parallèle l’évolution faiblesses. les car de formalisée de localisation, que à une direction “affaiblissantel’ soit ne prévoit parfaitement contacts que VI.7.1) à une déformation, soumis parallèle qu’elle localisations matériau plus dans a priori donc (cf de grains assemblage des 2 est observe différentes de normale celui direction la assemblages localisation, au pic Elle les peu à une localisation Shf03. qu’on plus comporte des (Rappellons On en déduit écrouissage, pas dans un tel est facteur dilatance dans que diminue. l’expose sur dans 1 d’extension sont grains) d’extension et nulle globales extension Figure ------m-I)- 55. normale et biaxial. de volume Grenoble 3 déformation qu’au d’après direction facette une 3 quel- à la par de 2 normale d’extension La intégralement locale con- variation et de volume d’exau direction variation la de DP, de façon cette appareil, direction la cisaillée contenue plan triaxial, Au traire, la le à la cet se traduit (local) située nulle. Dans dans pas encore et Shf20) question un de chapitre savoir si la taines expériences pourtant ce n’est préliminaires la dilatance cependant au La dont premier question cette direction, on de président a vu de le domaine Cer- contractant. phase de travaux laissent candidat plus comme le seul; d'autres. haut l'attrition grains des paramètre On (VI.ll) (rupture suivant rejoint d’endommagement, des des directions là l'approche qu’elle ne aspé- livrerait de micropas ses microscope. l'interprétation ouverte; enrichir contractant, qui un bon constituer coup donc en partie turaux dans pour une nouvelle nécessairement en reste domaine ou non le réarrangement peuvent structurelle, est pas grains), des glissement secrets apparaît penser que la réponse est oui. Si rités localisation VI sans à Wcrouissage faudra-t-il, doute et élargir et approfondir phénoménologique de la pour avancer encore dans la base expérimentale, la connaissance dans des notamment phénomènes les matér iaux granulaires. ---oooooooo-- - 205 - localisation dans microstruc- le chapitre VII - 206 - chapitre Troisième Partie ************************* * * ANALYSE DE LA LOCALISATION * * * COMME PHENOMENE DE BIFURCATION * * * Quelques résultats généraux, * * étude du cas des lois non linéaires, * * * ************************* et une application. - 207 - * * * * : * * * * * * * * * VII chapitre VII Dans la première partie de vue sur la localisation de ce mémoire, jr ai présenté, de la déformation, ce phénomène peut être étudié revue les travaux qui relèvent de cette granulaires. résultats, obtenus en collaboration montrer que, dans ce cadre théorique, Dans cette envisage l'étude non linéaires, intéressant Mais troisième un élargissement de l'entreprendre passé domaine j'expose la plus grande généralité en des quelques pour des lois à est nécessaire incrémentalement dont dès 1976 Rice signalait qu'il serait <79>. j'aimerais revenir plus haut, notamment celles plasticité classique, afin sur les effectuées analyses sur des lois de dégager quelques liens de bifurcation relevant de la entre ces études et entre résultats. Cette troisième Le chapitre qui partie, dans lequel J’ai dans le points avec René Chambon, qui nous conduisent présentées leurs approche, de la bifurcation au préalable le cadre théorique comme un phénomène de bifurcation. matériaux lorsqu'on parmi divers relèvent partie comporte trois VII présente de l'analyse chapitres, une synthèse de bifurcation qui sont les suivants des travaux, par localisation anciens : et récents, pour des matériaux élastoplastiques; le chapitre bifurcation VIII pose le problème par localisation aux lois de l'application incrémentalement de l'analyse non linéaires, de et propose une démarche dont le chapitre non linéaire peut pas faire IX expose la mise en oeuvre analytique heuristique, Péconomie ce qui permet de montrer de la généralisation - 208 - complète sur une loi sur cet exemple proposée. qu'on ne chapitre Chapitre VII VII BIFURCATION PAR LOCALISATION DE LA DEFORMATION : ************************************************ PREVISIONSDE L'ELASTOPLASTICITE NON STANDARD A ************************************************************* Les prévisions de la la bifurcation première ; et aussi dite matériau, la comme l’angle que font de dilatance et l’angle du moins pour les partiellement la réalité Considérons comportement bande de la pour du issues de la lois à simple lieu le "matériau" des chargements - 209 - dilatant rigide situés au du cours de paramètres des interne. des matériaux pré- pour une telle explicitement potentiel, pour cisaillement plasticité frottement ~*momentJ critique remarquables apparaître de de le comportement manifestations du comportement en premier est rigide l’angle de lois qu’elles que, est d'écrouissage montre les L’avantage paramétrique ; terme de taux sur ces résultats, l'expérience dont localisation. bien possible l’influence, étude sait en localisation, POTENTIEL. à comparer concernent élastoplastiques d'apparition UN En elles revanche ne on décrivent granulaires. plastique à l'intérieur : de son la chapitre VII surface et plastique de charge, cette atteint l'incrément rigide surface, - parfaitement est donnée déformation dont est est les suivant déformation de charge, matériau tandis que partielles de la = P h de Rice charge, de et que Si le matériau la déformation de écrouissable, 4kl ij 6 est plasti- la vitesse de kl la P donne dir ection la de de la normale extéri eure à la surface de contrainte P et 4 coïncident; fonction l'extérieur. 9> (7 et 4 la di .rection v 6 es t la vitesse est standard, charge, de par : donnée tions plastique vers des contraintes fonction seule la direction DP ij où, la le cas du matériau dans plastique représentatif point est dirigé plastique, mais le l’équation contrainte de lorsque leurs soit corota .tionnelle. le sont les dérivées composantes f (u,.) Si : 13 af 4 = ij 3 u. . 13 Si le matériau est de dérivées -P sont appellée les non potentiel stand ne coincident part ielles plastique d’une a modèle. Il présenté cf nécessairement plan non l’hypothèse si la restriction restriction <79> a montré que, cinématique, déformé cf lyse générale t enu des de niveau standard homologue (lj), VI-5.3) de f, du modèl e ( P II ( --P=Q ), de P correspond rhéologique = 0 ), - 210 - un taux p doit ce d’un contenue n’est nulle, ne peut d'écrouissage dans possible que impose une qui lui-même. la bifurcation qu’avec est tel et (statique à l’existence localisation est un localisation, de ce plan la pour classiques d’une t qui . Ainsi, re bifurcation hypothèses (l'existence intermédiai est satisfaite pour le matériau l’ana dans l’élément propre composantes (3) forme bien l définie une Q ; les ij compte cinématique, au !3 111-3) qui décrive nt l'apparition avoir valeur fonction avec : P Rice plus Lorsque cette se produire, nul : h C = 0. chapitre En revanche, le Les études écrouissables bifurcation corroborent possible, et non plus la normalité que Il plus faut une lors dès critère un diaire n* dans non-standard, il article un qu’on adopte pas raisonnable sur p, ce critère, découle c <l>, n’en homologue intermé- la contrainte que est admis comme une On a donc: bIII) (4) : P La de modèle une fonction granulaires. VI, réfé- cette par Rice, soulignée universellement pour les matériaux 13 il sait on l'article dans dans la bifurcation. plastique en effet, g ( u. .> = g( h positif cependant, de particulier en sur le même type de Anand pour potentiel dans on note soit clair pas rigides-plastiques modèles analyse; que la restriction I d’où des quelque n’est de Mohr-Coulomb; approximation avec h = 0 comme condition ici intervient sols pour toute valeur vérifiée. général cette <71>; impose noter sur P soit en en permet la localisation standard pour les faites Mehrabadi et Cowin rence, à non t pour peu que la condition de h de matériau VII restriction sur P est a 9 = ------ II donc b (5) = 0 CT II automatiquement pour satisfaite ce type de critère. En conclusion, aboutit à d’impossible quelque résultats des restriction le dont à critère il et peu pour le matériau d'écrouissage taux sur la loi pour le matériau assez tranchés dehors du pic en soit pour le matériau l’analyse faut en non noter qu’elle rigide-plastique réalistes : standard, standard, est écrouissable la bifurcation, devient possible réserve sous d’une vérifiée automatiquement de Mohr-Coulomb. VII-2 Le matériau élastoplastique. ----------1---------------------1---- Voyons 1964, a maintenant présenté le cas du matériau une analyse de élastoplastique. la bifurcation - 211 - Mande1 de ce matériau, dans <67>, le en cas chapitre VII d’un critère dont on de Mohr-Coulomb vu qu'elle a laquelle le critère (critére de Mises général Dans cette de la forme suivante une l’étude de l’analyse de propagation mais par Rice le matériau des voies <85>, dans Drucker-Prager un Toutes ces études s?nscrivent donnée Plus parallèle, par par Rudnicki et Rice faite d’onde, localisation). analyse plus un Mohr-Coulomb, généralisé). analyse, de l’étude à donné n'est de l’analyse l’angle équivalente Vermeer <107> a On relève aussi récemment, différentes. plus est (sous le dans cadre <79>. est décrit par une loi comportement de : 1 u. . = E 13 dans laquelle tenseur ijkl la vitesse est de modules (D kl P - h 'rs kl de déformation (élastique les autres variables élastiques, (6) ?s) et étant plastique), définies E le comme plus haut. Cette équation peut s'écrire aussi l 1 h + Q:E:P E:D = - (Q:E:P) - = - - -6.51, - +fi.~ - --de contrainte de Cauchy, et les termes en --u.a -u= où 6 E:D -- - est le taux termes rotation par la dérivation de Jaumann sont ( n les vitesse de (spin)). La notation --A:B indique note le produit critère montre de produit un que, bifurcation où Eb et ib discutée contracté doublement contracté; sont plan le cas où la partie s'écrire Enfin, on de écrira tenseurs, AQbE3-pour les composantes de localisation plus haut en VII-l, équation et est élastique isotrope, le : Qab - O2 ‘ab et b prenant les valeurs Cette produit simplement dans peut h -= G le un tensoriel. Rice dans (7) - introduits additifs : Qbt, / (A+ 2 APaa de P I) et Q - exprimées (le plan non non pas dans 1 et 2. h et G sont exprime de façon très - 212 - dans déformé dont le plan les générale (8) 2G) de des axes contenus l'existence déformation coefficients le critère a plane) été :a de Lamé. d'apparition de chapitre la localisation; orientation donnée elle donne le de la bande (le expressions de Pab et Qab ), ne donne l'orientation pas Rappelons continûment et d'écrouissage deux critère l’on Vermeer le matériau de Coulomb. tient C’est compte d’une rend nécessaire qui Avant de critère donné rechercher discuter >6 dans diminue sera donc le premier expression puisque standard défini comme le l'expression de elle critique. concorder, cas, facteurs de tion l’influence par Rice l’angle de la à du taux tous les partir du montre Vermeer, si fonction correction charge, de pour comparer les en out II des > TII semble intéréssant 8) avec ces résultats. d'orientation $ qui angle dans de contrainte positives en un état ( il paramètres angle (équation et de repor ter cet Considérons 1 différence le revanche, les d'écrouissage une non dans fort. et l'autre doivent effectivement sur ces prévisions, de dilatance u critique le plus élastoplastique En une re 1 ‘angle d’in- critique. clinaison 9 l’un taux d'écrouis sage 0 Vermeer explicite expressi ons des taux (8) à dire résultats l'introduc le pour est inclus d'ecrouissage Le taux donné leurs lequel, possible. chargement, de initial. ont pour est et le taux (8) ), c'est critique; étudient localisation critique (qui satisfasse Mande1 la l’instant d’écrouissage paramètre d'orientation sur un chemin que, depuis rencontré taux VII le taux maximise de frottement de tenter Le de principe et relier d'écrouissage par les valeurs compression - 213 - ). le consiste (8). défini angle principales h donné à chapitre La VII localisation passage à se produit la avec déformation le plane de 3 I telle façon trainte que la direction intermédiaire laire au (figure plan déformation de 1,111 et la direction plane normale à La la appartient de cisaillement plan con- est perpendicu- ci-contre). bande de fait un angle 1 (contrainte 31I au 9 3 avec II principale majeure). Soient la respectivement Ce choix d’un fonction charge de et le potentiel déformation de définis par f et g : plastique partie plastique Soient -P*et de + q u*** (9.1) g( fl. .> = b* + p VIII (9.2) axes * 41 = 1 et entraîne associé, f et à un critère g sont des Mohr-Coulomb, doté de la coaxialité de CT et isotropes fonctions de u de la l par : * * u* non P P1 = = puisque Q* I définis exprimés dans les uij) iJ à un matériau obéissant correspond potentiel f( ij bf a 0. lj as - 3 u. . 13 par : I,II,III * 9 * Qij =- P II * = 4 II = 0 * 9 pIII = P 9 * 4,II (11) = 9 1 + [email protected] avec : P = - (12) 1 - sin Q) 1 + sin 3 q -- -* où Q5 et Il Rice, faut V sont respectivement l’angle noter que P* et Q* ainsi en ceci que ces derniers (13) 1 - sin 3 de définis tenseurs frottement diffèrent et l'angle de P et sont normés alors - 214 - Q que de dilatance. utilisés les premiers par ne chapitre le Sont pas (1~~1~ = liGl11 = 1). P On a : * * 4 Q =- -P = Le taux d’écrouissage la formule h par h défini par (8) à partir 2 *.. où n%kerviennent qu’elles (l+sin Q* est donc que des quantités alors toutes l+sin %)( (l-sin\t it> de P* et sauf * 33 de 0 . Q* dans le plan 2,3 , on constate Q* : 33 2 2 sin 8 + p COS 8 q P* et 33 * 2 2 Q33 = sin 8 + q COS 6 (8) alors conduit * h -=G On 0 + pq COS40 + (p + q) sin26 COS~~ ) (16) 2 G les valeurs a h 4 ( sin A+ (15) à : +G h 4 recherche à ) indépendantes nulles, P L’équation relié (14) exprime les composantes sont et =hx (l-si&) on de P* : h Si VII de 8 qui la dérivée annullent - bh * ae * OC sine Cos30 ( tg28 (2 - p - q) - (2pq - p - q)) (17) ae en dehors de 0 = 0 et . 8 = x2 , on a : 2 2Pq - P - 4 (18) tg e 2-p-q en reportant (12) et (13) dans (18), on obtient : si& + sinV 1+ tg 2 2 8 = (19) [email protected] + sinV l2 d’où il vient : sin Ef + sinV COS 2e = - cm 2 L'orientation ainsi définie est l'orientation - 215 - critique, pour laquelle en chapitre VII premier lieu le taux d’écrouissage la atteint valeur critique permettant la localisation. C’est ensuite l’argumentation valeurs courantes de 8 C l’orientation effectivement par de Vardoulakis de Q) et3 En reportant (20) C dans h résultat (16), montrer que, de (20) une des approximation bonne [email protected]+v) (21) 4 on’ a finalement : (sin 2 @ - sin3) = A+2G sinV ([email protected])(l- exactement celui suivants de Mande1 <67>, cr page 66, avec : (l+sin p3>< l+sin V ) G P 1 E\+G A (coefficient de poisson) d’où A+ 2G = 2(1 -3) 1 - sin @ 1 + sine 1 - sinv 1 k = - /= 4 aussi à la définition f = -) u + sinV 1 confirme h ) x 1 J = - /= d’où tenu ([email protected])(l-sinV) * . suite compte 1 2( r\ + G) Il reprend qui (22) cr de notation = v pour on a à partir G(A+ G) confirme changements Y= <103> Tr -+4 -- * M=h Vermeer, : 8 Ce 9 par obtenue de f )“1 = h de Vermeer, celui * - cr31 et compte g adoptée + $ ( ul (1 + sin Q) )(l par 4 216 - d’un ce dernier + m3 ) sin + sinV) - tenu 8 facteur à introduire : 9 idem g les chapitre L’expression correspond la plus à des tenseurs P II et 1 h Le l’orientation comme élastique isotrope, base Il critique fonction les et les (8 par bien et typiques (coïncidence Q) et V 9 qui 0 suppose constant avec @ et à partie potentiel principales) du la . d’écrouissage taux cours au présente 5 sur défini eux-memes une du tabulation de que, décroît 2 - sinv) (1 + [email protected])(1 croît de leur détail l’élastoplasticité évoluent par établis, le directions et : = immédiatement (23), bien dans variations Le tableau par définie donc à un des les “mobilisés”). 3 de standard non d’examiner ii <(b,w fonction on a : l’équation diverses qu’assez prévisions angles k (@,V), constate qui )2 par apparaissent (20), (sin On celle ) (1 + sir?V) exprimé à plasticité intéressant avec chargement critique de Mohr-Coulomb est est (14), - sinV V (1 + sin2# concourantes étant du critère (si& I\ +2G définie études approche, critique (23) 2 critique différentes taux ; en utilisant G) d’écrouissage taux du Q I normalisés G(A+ -- cr- intéressante VII + sin2J) dans le domaine défini avec V de façon Par Iv1 monotone. < 6 Ainsi, 9 si la on G (A+G) le facteur 9 /i s’exprime qui en fonction du + 2G G coefficient prédit de Poisson par le plus fort peut s’attendre phase modèle que V est d’écrouissage on observe Par 1 a- y) > à critère élastoplastique petit (suivant pour modèle) des essais à des - de Mohr-Coulomb La conséquence (algébriquement). ce le que taux critique ’ bifurcations sur sable 217 - dense, de tout puisque est d’autant ceci est qu’on à la fin de la d’une part le la chapitre VII taux décrouissage d'écrouissage l’angle que On critique est fort; de dilatance le dans est ainsi llprécocitéll être Ce résultat en effet, dans essais de localisation, axiale est en effet la pente localisation que observé semble donc me de déformation se trouve, d'écrouissage après la que le puis dans cesser augmenter élastoplastique cas conséquence leur activité (essai et l’essai, rapportés dans peu avant ce le pic plus tôt effectués sur concordance une essais : dans le brusquement du plein localisation, à la ce sens pendant l'expérience cas des la réaliste essais première La plusieurs que le - limitée 218 - d’une du denses, on amorce de (pic). relevée du mécanis- hypothétique qu’on phase l'écrouissage se comme moins %tablewl surfaces de Le pic ne garantit contraire, apparaît rapport convergence est donc et rien au que et sannulle développement fin d'ailleurs qui shf03). description comme Dans le cas lâche, en cette dans (cf paragraphe VI-k&, localisation, : . (La cr 1 / CT en fonction de la déformation 3 et que c’est au cours du développement de la une de la dense de . courbe varie intrinsèque. poursuit dense ces essais nettement où apparaît pente localisée au moment alors . certains voir de l’instant nulle, plutôt contraire, qu’en généralement dans granulaires de la cette pour phase élevé, faible manifestée classique qu’à d'être loin s’est garder des matériaux observer peut au en shf03) . de Pélastoplasticité comportement lâche résultats obtenue qu’elle se toutefois confirmation a été plus réel) avec les d'écrouissage) phase lâche (cf essai faut accord taux degré d’avancement de du temps le critique un taux "précoce" en terme alors la . D’où plus localisation denses, sur sable essais est relativement indépendant la (vers la moitié Il des part d’autre courant est en bon mémoire; et a nul comprise mesuré par un paramètre le matériau cas une localisation doit les le faible négatif d'écrouissage taux aurait est peuvent contrainte ici à la prévision apparaître continue entre - non l’analyse discutée à chapitre jusqu’ici à ma connaissance essais sur Il est tion élastoplastique d'écrouissage en taux tres simples comme les auteurs matériau angle ce est par rapport que prédit aussi est non standard; précocité fait on ne sait dans pour conclure élargir angle la localisation pas apparaître de dilatance est à l'écrouissage nul (pic), consacrées à l’analyse de et des paramè- mobilisés. Tous dès revanche, en exprimées possible par l’élastoplasticité en lors phase que le le degré de quelest comment de formula- une toujours pas toujours et pas, les pour les autres analyses ne sont pas les contractants. n’utilisent prévisions frottement de sur le qui parallèle et ne font “précoce” fortement lorsqu'elles Les critique, s'accordent d'écrouissage, l'état à ce jour, classique. plus matériaux des mener une étude de présentées localisation . Encore faudrait-il au domaine difficile bifurcation d’une contractant matériau expérimentales données - VII varie il avec initial. VII-3 Conclusion ------------~~~~~~~~ Ces quelques non-standard élastoplastique les d'écrouissage modèle, il et l'orientation est possible conclusions qu’on n'ont valeur qu’une l'expérience. en La peut conforter certaines travail. C’est expérimentale de faire une étude en tirer, notamment prévision particulier, d’une est incitation elles bifurcation stimulante observations une la généralité mais permis en avaient critiques. indicative, bifurcation ont approches qui et de confirmer époques, ctant, à un potentiel entre les diverses liens rentes pages car, rapportées à étendre actuelle. - 219 - pour le matériau mettre de présentées, été résultats des en évidence à diffé- concernant le taux raison de la paramétrique de ces résultats; En sur l’influence supportent possible bien dans dans simplicité de la du dilatance, la confrontation pour le matériau qu’inattendue, la partie cette les contra- elle expérimentale direction à la vient de ce base chapitre VIII Tableau --e----m--- 5. de 17 [email protected] Variations et . -------II-------------------------------II-----------------II---------------I)I)----------~ 50 1,033 0,922 0,807 0,691 0,575 0,360 0,470 0,274 0,198 0,135 0,086 45 0,960 0,850 0,738 0,624 0,513 0,410 0,310 0,229 0,159 0,103 0,061 40 0,880 0,772 0662 0,552 0,447 0,350 0,250 0,182 0,120 0,072 0,038 35 0,793 0,688 0,582 0,477 0,377 0,280 0,200 0,137 0,083 0,044 0,018 30 0,701 0,600 0,499 0,400 0,307 0,220 0,150 0,094 0,050 0,021 0,005 25 0,606 0,510 0,414 0,323 0,238 0,160 0,103 0,056 0,024 0,006 20 0,510 0,419 0,331 0,248 0,174 0,110 0,061 0,026 0,006 15 0,414 0,331 0,251 0,178 0,115 0,065 0,028 0,007 10 0,323 0,248 0,178 0,117 0,067 0,030 0,007 5 0,238 0,174 0,115 0,067 0,030 0,007 0 0 0 0 0,007 0 0,006 0,006 0,024 0,007 0,026 0,056 0,028 0,061 0,103 15 20 25 (Ic -25 -20 -15 -10 -5 0 -II)-----I)------------I------IIII)-------------I--------------II)L------II------LI.--I--------~ - 220 - 5 10 chapitre VIII VIII Chapitre L’ANALYSE DE BIFURCATION PAR LOCALISATION **H*~*********s-s*~*~*~**~* APPLIQUEE AUX LOIS INCREMENTALEMENT NONLINEAIRES JMHC*-lMHHHHHt*H*MN***w*****HwHN-* Toutes granulaires c'est à dire les modélisations peuvent être d’une relation Parmi les différences mises entre linéarité de la description seulement deux zones la décharge (élastique) actuelles sous la forme d’une entre vitesses les lois, on incrémentale linéaires, ; du comportement d'autres l’une de relève celles correspondant distinguent - 221 - description contrainte : certaines des matériaux incrémentale, et de déformation. qui ont trait formulations à la non envisagent à la charge et l'autre à 0 un plus grand nombre de zones VIII chapitre linéaires dans : par sa thèse linéaires, <31> d’état . Le cas potentiels nent exemple, mais non-linéarité est par dans la les lois dans celui loi Chambon n’existe classe <18>, par proposée Darve élastoplastiques où il : à cette continue proposées celles le cas de la cisaillement, quelques aspects généralise le l’analyse été problème dans la et tiel, apporte autres discutée. pour des à n plus de lois Kolymbas Il s’agit CommunicatiorP de la d’un de la de zones appartienet <46>, Darve démarche article <21>, que une présente prise à certains discussion ici journal dans - 222 - sa forme qui pour cadre l’Mechanical publiée. le et plus de poten- toutes toujours pas problème, les celle à simple de l’hypothèse, le pour par Toutefois, dans dont et de Hi11 égards de ce de en considération non-standard relève le mémoire, La théorie valable dans de fond, de ce à ce problème. classique, paru je linéaire en bande problème partie zone opéré choix localisation un élastoplastiques présente VIII pose prolongée lois le loi à l’extérieur. de réponse de lois, Le chapitre extension les par en première et bande, éléments classes une évoqués standard, Bruhns la de du choix élastoplastiques Raniecki bifurcation de linéarité non ont respectivement les général plus huit l Dans lois le une notamment on en dénombre n <29>, et 2 au plus propose général. Research chapitre VIII QUELQUESREMARQUES SUR LE PROBLEME DE LA LOCALISATION EN BANDE DE C ISAILLEMENT René Chambon et Jacques Desrues Institut de Mécanique de Grenoble, 38402 SAINT MARTIN D’HERES CEDEX, 1. # LA 6 CNRS, FRANCE B.P. 68 Introduction de résultats expérimentaux relatifs à des expériences de voulues comme homogènes pour la contrainte et la déformation des ma té riaux étudiés, montrent une perte d’homogénéit6 plus ou moins brutale. Les expériences peuvent être consid6ties comme unidimensionnelles et la perte d’homogén6ité a lieu par création d’une bande de cisaillement localisée.’ On peut citer les expériences de traction sur des éprouvettes métalliques, sur des tôles minces, et en mécanique des sols les expériences de compression et d’extension a l’appareil triaxial ou en déformation plane. Un certain laboratoire, nombre Deux approches première l’associe théorique s ont à l’annulation été avancges de la pour modéliser ce phénomène. La onde d’accélération La seconde, que 1’ on peut qualifier (Hadamard (1) 9 Mande1 (21, Hi11 (3)). d’approche statique repose sur l’écriture de la perte d’unicité du problème Il convient de noter que statique en vitesse (ou plutat en incrément). l’ensemble des conditions aux limites n’ est pas pris en compte, et sur le plan des conditions limites le problème est ainsi unidimensionnel. Cette dernière approche est celle de Rice (4) qui montre par ailleurs que l’approche “dynamiqueI’ conduit aux mêmes équations de base. Naturellement la loi rhéologique adoptée pour le matériau devient cruciale.‘ L’utilisation de ces théories avec des lois de comportement de plus en plus complexes et notamment incrémentalement non linéaires pose des problèmes, le plus souvent non complètement di-sautés, que nous essayons de clarifier dans la suite. Nous limitons le cadre de notre étude aux matériaux non visqueux. - 223 - célérité d’une chapitre VIII 2.Raooels sur. la théorie classiaue On considère un échantillon déformation, et par rapport Ml1 2.1 (5) s Condition Guidé à ses variables transpoçé quant & son état de contrainte, d’une façon générale. La transformation est notée tenseur du la contrainte de nominale de l . que, tandis on suppose est soumis h une vitesse unitaire 9 de Piola-Cagrange) cinématique. par l’expérience, B un vecteur homogène d’état de référence B un état (le supposé ‘0 F cc de transformation Z 9 la vitesse de que l’ensemble 9 dans une transformation de l%zhantillon bande est perpendiculaire : l Fi 9 étant un vecteur cisaillement plan *0 de de se telle superpose sorte cisaillement revient dans la à bande que pour ce champ (perpendiculaire Condition à qu’à dire une vitesse additionnel vitesse de additionnelle de directions les soient n ! la toutes des permet de du lignes statique L’écriture de 19quilibre l’équation d’équilibre avec S” Ces deux la comportement fait Cela nulle. d’extension 2.2 quel.conque. F transformation (1) = que vitesse conditions du milieu incrémental de contrainte étant du matériau, l’état continu : posées, de la reste il par une loi avant bifurcation est homogéne, - donner s & l'extérieur modélisé instant à tout 224 - bande et à introduire G” à l’intérieur. ry la description Compte rhéologique. la loi pourra s’écrire tenu du du d’une générale façon où Nf est On une pourra Dans fonction tensorielle au de tenseur, le paragraphe dépendant de intérieur matériau à la bande 1'6tat. au matériau comme Loi suivant nous examiner allons cette introduction de la loi l 3. Introduction de la loi rhéoloqique 1inGaire. Supposons que quatrième ordre soit f L tel E une que fonction Des équations dont la solution seule solution, (l),(Z), il est ne 1oeut de cisaillement. -a-+ si g=o n’est pas seule y a une infinité existe un tenseur f - du (3) on tire alors g=o qui correspond . y avoir perte c'est à dire pas solution, det il il : et (3) triviale alors linéaire, S=L: rJ a alors homogène, : rhéologique 3.1 VIII : l'appliquer extgrieur chapitre d' autres <z*L.'??) solutions - 225 - : Si à l'homogénéité. d’unicité si par apparition $5 de bande t = 0 qui est 0) correspondent à Y apparition chapitre VIII de de cisaillement bandes avec des déformations plus ou moins comportement comme grandes dans la bande. -Une loi que incrémentalement ne dtats vérifient est pas de ceux voisins Il incrf5mentakment 3.2 des Lois que l u F contenant certaine classe est alors fond : La perte ?+;a? à la Il n’est une perte dans le ont nécéssairement cas des dans précède h cet à égard des lois les lois sont incrémentale. ?L.rt’ > ( 8 car .O = F + z& appartient si qu’une cadre ainsi bande, considéré, postérieure le borné telle perte cours la que ils à celle propre la ont ; on deux remarques de zone des associé infinité ,de solutions ne B la. valeur d’appartenance condition perte d’unicité de perte n%tervi.enne 1 t évolution f’intérieur montré correspondant - 226 - poursuit que cette & une pas une charge perte zone unique. avant expérience classique, décharge se il pas d * une par d’unicité peut En particulier, zone. d’unicité de ne incrémentale de l’élastoplasticité alors par une (3). d’une l’ensemble vecteur Pour type a cette apparition pas B la même 6tudi6 du zone définie. cette au des de faire précédent étant précédemment convient par cas x sera aussi l%space linéaire se produit au de expression mais il “monozonale” de la le ,kR a priori Dans l’extérieur ‘3 F (ry précédent, h; Y d’unicité (6) une ‘1 NF et rJ?” n’appartenant évident modélisée. Rudnicki vitesse dWudier avec pas ) la linéaire zone convient produire ait éventuelle de qui simples petite infiniment contrairement nulle plus ce de l’élastoplasticité zone’v au cas s’écrire pas propre ii) de 9 mais pourra de généraliser Les loi d’unicité solutions, en particulier ce s la ramené ~~Sels, réversibie, apparaît. linéaires. une 9 matériaux localisation classiques dans le les de tenter ‘fmu3ti-1in6aires11 Supposons i) où la non théories décrit en général intéressant donc issues linéaire Rice et élastique à plastique di unicité ; est chapitre 3.3 Lois non Les lois envisagées les pour “mul ti-linéaires8f sols, stipulant ne de ont Rice et hypo thbes. On en conduisant Approches La se passe dans déduit (8), ait cette ont la C’est généraliser & ce à une solution jour réalité pourquoi alors révèlent, au (Gudehus (7)) récemment pour tenter l’étude moins un en certain de décrire préc6dente Le pour de été sur la loi. introduite d’utilisation finis. est identique (12) pour les lois ces développement l’approximation étudié : reposent sur deux on suppose que ce qui par rapport B 1' extérieur l Les lois c'est Utilis&es à dire telles supposées sont être que pour une direction d~(~)$/1I1/~ algorithmes Elle Elles << ll;"u !i = ---ruL(dir(?*)) *u a & ce problème. Darve (10)). quf une perturbation linéarisables, : notion donn6es le phénoméne ll3dl porte été double. (9), concerne que ; en posant Moyennant se 6té développées jus& bande n’est la directionnellement on correctement Vardoulakis première La seconde hypothèse donnée, (3.2) ? 0 (Rudnicki précédent linéaires. Comment Deux types de réponses 3*3.1 traduire non-linéaires des sols. lois paragraphe de zones lois comportement l le pas l’existence nombre telles dans VIII par Charbon (11) non-linéaires de lois à la : r3 f + h) t notion de en vue de réaliser dans des calculs linéarisation des aux éléments tangentielle de Bazant endochroniques. deux de s hypothèses on se ramène de la loi n'est et ne encore valable - 227 - retenant au que problème que pour 4 le premier linéaire. infiniment terme Mais petit du comme la perte chapitre VIII trouv& d’unicité 3.3.2 Approche le repos solutions clair devient qu’il étude comme une d’aucune qui de et alors )Y on suppose que ;=S linéaire donc ne se déforme existe qu'il cause de wf mais à là du encore à une laquelle on homogène infinité 3.3.1. paragraphe dans n’y a aucune [email protected]?j~et le fait que pas ; d* autres en ‘g+ de Une l solutions, peut encore considérer On suppose I[~&II analogue à solution double z=? l’approche loi soit ls >> Pli l’extérieur cela du paragraphe - dWudier donc d'ordre le problhz H.néarisable n’est est : > Si l une que 3.3.1 228 - telle équation a une autre du chemin de contrainte brusquement (figure signifie différence directionnellement ( c,T devient une convient que l’ori.entation signifie dans la bande du chemin Il l à rhoudre pour ltensemble , cela de supposer raison lIi”b la L’équation utilité. déformation) linéarisable . 4 > de la bande le mathiau conduit approche il entre est homogéne solution double du probl&ne générale, grandeur général non 1’ approche à 4. Etude synthétique de solution : est de ce type contrairement De façon d’une 1’ apparition (en =o t &z ( d’unicité cette homogène qu’en dehors d’équation est perte à c f 0 . Le système Il en fait non-linéaire (13) suppose Kolymbas outre correspond différente La ). Si si la loi de l’orientakion l’équation nous donnerait est (ou (7) a une directionnellement une solution. Une chapitre esDace des VIII contraintes (a) représentation figure Lb Remarques vaste zone phénomène ii) dans (Desrues priori. : i> dans linéaire cas (14)) où les la loi est passe est alors schématAs& 3X), les des a ia de volume une superposition de champs soit une prépondérance du champ les matériaux Dans ce dernier l’instant d’apparition, à coup prgpondérance sûr peu dilatants, cas, on ne exclusive en raison postérieur les instant. - - 229 (en et la dans cependant localisé à définir pas en terme qui moyenne) d’intensités première les a celles iocalisé) La peut rejeter contrainte localisé. seconde à particulier et (global difficulté à cet du expérimentaux n’est initiale du champ de la une graphique résultats décrites densité : reprhentation d’essai, conditions apparaître schéma. approches soit dans la granulaires, qu’ aucune variations et fait ou bien ou l’autre matériaux suivant linéaire, 3.1 l’un selon des effet, à la soit se qui paragraphes indiquent certitude qui cas se faire le comparables, dilatants. le (cf pourra observe apparaît ce de . En gouvernent OIl graphique situation mat4riaux très conclure avec de vitesse, un incrément & petit chapitre VIII . 5. Il Conclusion nous équations semble indispensable (5) (6) et que vraisemblable (7) l’équation qu'il . que n'en la d’obtenir incrémentale si la loi de même pour seconde. L’étude renseignements de la loi tenter que sont de résoudre des des est solutions avant (5) compl&te de la bifurcation cruciaux quant Èr des (7) Il est car la la (dans les linéarisable le première forme puisque en particulier directionnellement l'équation rheo1Oqique 1’6quation particuliers. cas rhéologique apparaître fasse soit des n’en de cours de l’essai) est plus proposée doit de la générale permettre non-linéarité matériaux. Références (1) (2) (3) (4) (5) (6) 0 (7) (8) (9) (10) (11) sur la propagation des ondes et les équations de Hadamard 3. “Leçons 1 t hydrodynamique” 9 Paris, 1903. Mande1 3. ,” Conditions de stabilité et postulat de Drucker”, Rhéologie and Soi1 Mechanics, 3. Kravtchenko et P, Sirieys ed. Springer-Verlag, p .5ada, 1966. Hi11 R., “Acculeration waves in solids", 3. Mech. Phys. Solids, vol 10, pp 1-16, 1962 Rice J., "The localization of plastic deformation", Theoretical and Applied Mechanics, W.T. Koiter Ed., North Holland Publishing Camp.) 1976. Hi11 R., “Aspects of invariance in Solids Mechanics”, Advances in Applied Mechanics, vol 18, pp l-75, 1978. Rixe and Rudnicki ,11A Note on mme Features of the Theory of Localization of Deformation”, Int. 3. of Sol. Struct., vol. 16, pp 597-605, 1980. Gudehus G. t Goldscheider M., and Winter M., "Mechanical properties of sand and numerical integration methods : some sources of errors and bounds of accuracy” 9 Finite Element in Geomechanics, pp 121451, Go Gudehus Ed., 3. Wiley .and Sons, 1977. Rudnicki and Rice,” Conditions for the localization of deformation in pressure-sensitive dilatant material” 3. Mech. Phys. Solids, vol. 23, pp 371-394, 1975 Vardoulakis Y., "Rigid granular constitutive mode1 for sand and the influence of the deviatoric flow rule”, Mech. Res. Comm., 8, pp 275-280, 1981. Darve F., “An incrementally non linear constitutive law of second order and its application to localization", Int. Conf. on Const. Laws for Eng. Mat., Tucson, 1983. Chambon R. 9 Renoud-Lias B., “Incremental non linear stress-strain relation- 23û - . chapitre (12) (13) (14) VIII ship for soils and integration by F.E.M", Num. Meth. in Geom., ~0’1 1, pp 405-413, W.Wittke Ed., A. A. Balkema Rotterdam, 1979. 8azant Z., “Endochronic ineslaticity and incremental plasticity", Int. Solids and Struct., VO~ 14, PF) 691-714, 1978. Kolymbas D., Wfurcation analysis for sand sample with non linear constitutive equation” t Ingenieur-Archiv SO pp 131-140, 1981. Desrues 3. “Localisation de la déformation plastique dans les matériaux granulaires”) Thése d’état; Univ. de Grenoble, (à paraître). - 231 - 3. chapitre IX CHAPITRE IX APPLICATION DU CRITEREELARGIA iHHt~*~-wHHe~-"'-Y"**** LOI UNE NON LINEAIREHEURISTIQUE W-*MJ wiHHt*** Introduction -1 IX Le présent l’analyse de concerne une chapitre loi non linéaires” zone linéaire. sorte que solution linéaire cependant au est l’approche double) proposée au possible de mener classe cependant paragraphe à terme chapitre au les lois - 232 - simplicité comme la voie choisi “non multi- ne comporte pas de de conduisant à l’étude de analytique. de sa formulation linéarisable, parallèlement par dans (approche à la un exemple, L’exemple qu’elle VIII-3.3.1 calculs VIII. désignées directionnellement Grâce sur simple ; c’est-à-dire envisagée, VIII-4. très des paragraphe être en oeuvre, mise définie V II I-3.3 du pourra la heuristique, à la paragraphe Elle objet générale bifurcation appartenant mais a pour telle à une synthétique la loi, il sera En revanche, chapitre cette loi donné; ne cherche tel montrer, n’est pas de façon cadre le cadre comportement tous pour à des les les lois résultats calculs nouveaux, 2.1 la Il plutôt et s’agit à la main, au chapitre pertinents, La avec loi envisagée moyenne. décrit ici C’est une un matériau loi définie s- le déviateur de la contrainte e- le déviateur de la vitesse Q s note incompressible, de la - la dérivée e Il- II la norme le biais d’un de Jaumann de eI 9 c’est changement simplifier l’expression à l’unité. On a ainsi (1) façon e XII-II s - de cauchy u de déformation le précédent par rapport au non sensible suivante : (1) D I = : (2) v-=- ij ij de contrainte, d’unité en choisissant il référence une est telle possible que P de soit s’écrit (3) : D .= ii contrainte l’espace moyenne des là non contraintes pas égal : v -s=el’incompressibilité à la de s- à dire Ile[~ s’agit que loi 0 -s = r- e- La de formulation. contrainte Par granulaire se font linéaires non matériau restreint. IX - 2 et d’un ce chapitre. dans puisque défini effectivement le poursuivi but manifeste élargi d’étude conduit pas à modéliser IX d’une n’intervenant sera surface 0 pas, à génératrices de charge - 233 - (4) la surface parallèles au sens de à la plasticité trissectrice. de l%lastoplasticité, dans Il mais IX chapitre de la surface Etant limite donnée la surface Cette borne loi (3), la le domaine est un cylindre des états préciser on peut par l’équation définie surface qui : physiquement la surface de accessibles. plasticité. Soit 1 2 = Ii Il x (5) circulaire, de section de génératrices paral- 1 lèles à la trissectrice, et de rayon - dans le plan déviatoire. x Montrons borne les états un Is tel état soit s si rieur, normale a la surface négatif vs est dirigée - correspond limite produit le est surface vers (l’inté- la contient surface (5) l’équation signe de la qui trice, Soit le vitesse l'intérieur accessibles. Calculons dont la surface que vérifiée. l. que cette trissec, à plan déviatoire 1 W~ ) l exprimant En la loi (3), on a: s :S=e:s- De (5) pour un état on déduit, - de contrainte 0 S:s=e:ç- I - Le théorème de Schwartz sur les produits d’où il vient est il montré s est dirigé 9 qui loi ,s s situé 2 sur la surface : II e II Il ,s Il scalaires dans Rn indique que : : Ainsi déviatoire x II e II - admet donc égal à - 1 que quelque vers l'intérieur de ce fait pour 9 surface est bien limite soit de (ou IIe, l x - 234 - surface taux de contrainte à) la surface tangent la frontière une le des états définie accessibles. de Von Mises, de La rayon chapitre 2.2 Non linéarité La loi la envisagée description est loi. positivement matériau d’un illustrer peut de la IX homogène insensible à la d’ordre 1 (ce vitesse de qui correspond sollicitation). à On * ceci en remarquant que la réponse à une déformation e- = H e- est : si o( est positif, on a : v* Is en revanche, La si o( est de la 1 la déformation s- sauf diff&re si e de la somme et e 2 sont Ql sII Q S n’est pas lorsqu'on se manifeste = 1 e+e I V2 + s- colinéaires 2 - 1 e+e w 2 - Il : (et de même sens). - 235 - proportionnelle envisage 0s ‘Q* qui loi 2 -e* =e+e - b(, Q* la réponse sII négatif, linéarité non = S - la v à s- . réponse à chapitre IX 2.3 La loi La loi tangente tangente à une loi non précédent définie au chapitre s'écrit, en composantes linéaire est qui eij constitue - ' La loi étudiée ici (6) llell ‘ij linéarisation une au voisinage de par : à dire e X 0 kl ekl=ekl : s .= iJ d’où, a été direction : tangente, définie c'est d’une (paragraphe VIII-3.3.1). zij = La loi au voisinage x aU4 -1---cù ekl a ekl en développant 11 e\[ = vëiiëii- s. .> 13 : (avec 6 ‘0 symbole 1 (Di3--D 3i = 0) 9 suivi en déformation depuis un état plane > Kronecker) (7) ekl la direction suivant contrainte de de 3 ij un chemin kl ekl=ekl 0 Considérons x e 0 nulle jusqu'à 3 l'état actuel avec : e conditions En qui vertu 0 11 satisfont de la loi =D 0 0 0 =D linéaire non préjuger 12 =D 0 12=0 (6) 9 on a à l’instant 11=-s 22=s du taux de déformation e. s Sans 0 =-a,e 11 22 22 à l'incompressibilité. =a,e aux s'écrit : exigences dY.ncompressibilité v S actuel : ;s=o 12 et de la contrainte lj lement (8) et de déformation 11 = e11 - x Il e \\ s s22 = e27 +N4 s12 = e 12 - 236 - s (9) s. Ij plane), (soumis seula loi (6) chapitre La loi tangente d'après au voisinage de la poursuite du chemin IX s'écrit, antérieur (7) et (8) : A tl S=e 11 - 11 S m-e--0 Ce 11-e 22 > v-2 x v S=e 22 + 22 E12= S --m-w - ( e11-e 22 1 v-2 (11) e12 ou encore : s12 = Sous cette forme, celles qui définissent étude de bifurcation déformation il plane. est intéressant la loi incompressible par les équations h-=2 12 modules sont antérieure, en plane. relations Les l'occurence alors spécifiées, notre à une soumis et <54> leur dans traction à la insensible de en contrainte (13) D 12 instantanés sur un chemin dans Hutchinson obtenues p *(Dll-D22) 2 entre ces modules que et équations : Y des modules les rectangulaire 911-a 22= Les par Hi11 envisagée matériau, rapprocher de pour un bloc Le est décrit moyenne, e12 qui dépendent d’extension homogène et les variables loi tangente de (12) d’état l'histoire en déformation ne sont relations ces pas sont explicites. Par matériau à notre comparaison de Hi11 loi et équations Hutchinson non linéaire, correspondances des (12) et (13), correspond à celui au voisinage du chemin suivantes: - 237 - on peut décrit explicité observer par la loi plus haut, que le tangente avec les chapitre Notre IX loi tangente deux comporte constantes trois d’état : (13) n’en comporte que deux, fait, mentionné plus d’état ne La loi tangente à laloi(13), des pas résultats haut, : de l’unité de contrainte) que mais cette les relations différence entre tient pet y* simplement au et les variables explicitées. (12) sur le (définie et nous reviendrons de sont s . La loi sont qui p =1 (par changement : x 9 et et une variable paramètres, l’analyse de chemin à cette bifurcation. - 238 - envisagé) comparaison peut lors donc être de la compar6e discussion chapitre IX-3 La Analyse de bifurcation par bifurcation de déformation chemin e La bande statique et de la 0 0 11 =a , e 22 une de normale n 9 cinématique classiques (k déformation au paragraphe défini introduit localisation de cisaillement localisation par localisation plane IX =-a t perte est précédent e 0 12 que par sur le : (15) =O d’homogénéité telle envisagée sous vérifiées sont forme la les d’une conditions : bij’ - lj 0 n. = 0 J 1 0 e..13 = e..1J + --- ( 9 i n.3 + (16) (17) ) 9jni 2 où les indices 3e ne . 0 indiquent reviens pas anterieurement discuté Explicitons taux le de la homogène bien ) VI-5 s’écrire peut champ sur ici (III-3 le La contrainte le fondé p contrainte moyenne contrainte de Cauchy et s- le déviateur lJ suivant 13 v(7. . = 3. 1J la dérivation conditions, qui a été bij : : v 0 u. . = s.. et de ces t VIII-Z). 6 u. . = s.. + p 1J 13 avec fondamental. de + Wik lj Jaumann, ij de CT - . + fi 6 (18) ij (19) dkj + wjk”ik où w - est la vitesse de rotation l matérielle, reliée au taux du gradient w= - 1/2 de déformation ( -; + F, - 239 - IF par : (20) IX chapitre Conformément au cadre le d’introduire, convient restriction aucune Le plus dans sur le combinant (6), (HI), les $- (19) 3. et = e localisé ij - au (16) et chapitre (17), la précédent, il complète sans loi e- . correspondant (20) 0 défini conditions champ de contrainte taux général au champ homogène s%crit, e” - en : xleou sij + p” ~ij + Bij ;kl 1J avec Compte tenu de (15), on a : 0 Il - 1 e d’où finalement .o CT. . = eyj -AaE le champ localisé, la e e 11 22 = sij + pobij avec équation On en déduit donne : résultant 2 avec A = 2a + 2a (gln1-g2n2) Pour le + g2”1) = 0 de l’incompressibilité. Ile localisé, (17) (22) (23) (gp2 + g2n2 : champ cinématique ;kl = Oa + clp2 glnl dernière condition + Bij a + ?y1 e 12 = v2 cette v- 2 : 13 Pour =a 22 + glnl+ le (24.1) (1 = F (24.2) g2n2+ du gradient taux de déformation devient, par la 0 condition cinématique exprimée en F : l F Pour ce même champ, (18),(19),(20>,(23>,(24),(25) L’expression ij -F - .O ij + g.n. du taux = - 240 - (2% 1 3 de contrainte est alors, par (6), chapitre 0 &. = e.. + 1J lj n. i 3 En reportant les (7) 9 on obtient 133 .n .n. A s. . par 13 9 (9) K) sijnj on a ainsi deux g2nli2) +hGE 9 2 9 2- s (g2y-y gln1n2) +LE-YA) nl / n = cotg donne x ; gl en outre la (26) + gknl) condition cinématique 5 13 . .n 3.+ Bijgknlnj = 0 (27) dans lesquelles on + & nl = 0 (28) Ap n2 = o (2% + <p-i”) équations, 0 kl peut -VT) s nl s n2 + = g (23.4), exprime qui llincompressibilité, on a : g (92- s> +X(aE - VA ) s cos~ +4p cos~( = o (31.1) ( 1/2+ s) - A(aE - K + Ap sinM = o (31.1) Ab, éliminer multipliant &? dans la xi = 1,2 ) (F 2 en utilisant Pour iJ .+ B ij : s (91”2”2- - g cotgM première opérons par ) s sinti d’abord une et sind la combinaison par seconde des COS~ deux équations; y leur en soustraction : Cette triviale de façon (d’après localisation (32) l’équation et une nécessaire condition lorsque g est donc possible nul; de localisation; en effet elle on a alors VA= est aE 24.2). Une triviale exprime équation vérifiée 99 x(aw- 5 13 5 2 9 1- En posant et (27) AU A s. .+p de &. et lj ( i,j,k,l : de expliciter - expressions + g 3.n.n1 3.) + partir + gjni) IX qu’il n’est est est vérifiée. donc pas Mais il faut d’expliciter possible g. - 241 - si il existe remarquer g que directement et A est la o( tels fonction solution que de non chapitre IX En effet, on peut transformer (24.2) en 2 A = 2a + 4ag mais il n’est Il est solution pas possible possible telle en que 2 /2 perte ’ /sin20( le radical de (33) fi généralité, . de rechercher une : avec la restriction (l+b) (34) l12°\\ : l+b >/ 0 d'autres termes, sur une boule de dans 1 d'éliminer sans Ilel~= En + COSo( général revanche, en : (35) recherche on rayon (l+b) Fhyperespace boule e 11 Ie”I\ de rayon ( l+b) e” - des vitesses de n+-gmn) déformation contre). est de différence déviatoire L'intérêt d’un permettre tel cichoix d'expliciter E-aVT: (par 15 et 24.1) (figure la on a en effet : / d’ou espace des -e par (34) : l’équation (32) s'écrit alors : 3 d’où g : (36) - 242 - chapitre La condition il une par générale de localisation orientationw telle : avec g vecteur Cette soit 0 e=e par spécifié d*incompressibilité (34) que donne la (33) : élever peut de g 9 et La substitution suivante : déviatoire “existe-t- e définie n + mg> g, = g donnée par préalable condition en reportant (36) dans (36), et (34) ?IV (34) via l’équation (33) : ar 2a 2 + 4ag COS% + 9 au carré la de déformation (se vérifie YA = (l+b) 9 par qu’on vitesse + l/* s’expliciter peut maintenant sa composante (23.4), équation la est IX puisque 2 >/ 0 l+b 2 2 9 sind, l’introduction (d’après de la afi 35). variable t telle que : 2 1-t COS 20( = (l+b) = (37.1) 1 + t2 c’est à dire permet t = tgu dlaboutir finalement b2 ( 16s2k! t2 ( l+t2) t2(l+t2+2s(l-t’)) 3.2 cinématique spécifiée s’assortit Ainsi, h : - 2(l+t2)(l+t2+2s(l-t2))2) + b ( 16sxy2 Discussion L’équation (3,4), d’une E la localisation et enfin condition localisation - 4( l+t’+Zs( résumé, en en bande d’un 1-t’)) générale de l’équation résulte, (38) de (37.2) des de cisaillement mode d’expression (l+t’)) = 0 \ (38) (38). conditions (16) de la statique et (17), solution de et la (34), (35). est possible - 243 pour - les valeurs de b qui vérifient loi qui chapitre IX l'équation (38) et l'inéquation (35); lorsque c'est le cas, g est donné par (36). Discutons maintenant cette équation . On peut l'écrire sous la forme plus ramassée : d'où qui admet pour solutions b=O n b = - -mm r Ainsi, l'équation vérifie solution sol. triviale sol. non triviale la condition correspond à l'absence C'est tionnelle elle qu'on obtient On trouve chapitre ici cette non linéaire solution, cette homogène, négligeable aussi conviendra-t-il conduisant de la discuter. - 244 - direc- à une solution %olution (35) n'est opérane soit devant celui- du paragraphe à l'annulation condition solution qu'un g nul (par que le champ localisé des conclusions correspond la là d'une véritable du chemin non localisé, de la condition sera désignée comme la Pour solution le terme en si on opère une linéarisation solution (40). Cette par (36) à g = 0. Cette est de n'admettre : "Approches générale conduit s'agit intitulé la solution générale. b = 0 (41.1). au voisinage la confirmation Enfin solution double b = 0 lorsque Il du champ (incrémental) VIII, la suite, (41.2). la solution qu'une perturbation b f 0 (41) de localisation. admet une solution assortie double si n = 0 (35), et elle la particularité d'une loi b = 0 triviale dont nécessairement vérifiée, (40) de b dans (38) s'annulle (36)). ci. b(rb + n) = 0 : évidemment de localisation, tion (39) admet une solution En second lieu, facteur 2 rb + nb = 0 3.3.1 du double". Dans tangent& du terme rbtn dans pas nécessairement chapitre La solution double b = 0, ou encore solution 16sxv2 c'est à dire t2(1+t2+2s(l-t deux possibilités ce t 2 facteur 2 infini s'annulle, s = 1 pour t soit le second slannulle, le discriminant c'est à dire positif, n'est à dire = 0 : possible de ce trinôme s'écrit que si : : : - 2t2(2s\vz A = 4s s'annulle c'est , d'où une orientation t4(1-2s) -1) + 1+2s (45) = 0 : ((1+2x2)s (46) -ki) pour et de : : nécessairement étant avec il lorsque 2 )> - 4(1+t 2+2s(l-t 22)> (l+t 2 > = 0 ( 16sx\12 t2 - 4(l+t2+2s(l-t2))(l+t2)) existent le premier qui, apparaît : (l+t2+2s(l-t2)) soit tangente, IX plus, il être vérifiée La première pour la valeur (47.2) pour est négatif entre ces valeurs. entre ces valeurs racine s 0 réelle, en de s (elle (45) ne peut donc pas 2 n'a pas de racine réelle en t ). dehors de l'état L'équation isotrope s=O t est rencontrée : (48) - 245 - chapitre IX Les racines l'orientation 2 en t obtenues t 2= tg 2o( est réelle, par définie à une ne correspondent bifurcation c'est à dire si que si t2 est positif. Le signe produit Le si de l’équation et de la somme des racines résultat --- racines des est le suivant x 1 < -911.9 v-2 avec pas 2 racines négatives 1 /VE positive, 1 négative -ic-ji aisément que est set = le déviateur 1 /2 1 < s < ----Eh xv-2 = 111199.11111 critique pour la bifurcation . Ml-2 -----11-1+2 A2 <s< 1+2x2 set racine de 1 racine 2 1---11--- d’où partir : < s < 0 N-- à 1 conclut x < être étudié : 1 -19 2 On peut : O<s< 1 -91 2 (45) pas 1 < 1-1 2 de racine 2 racines pour 1+2x2 - 246 - positives tangente du chapitre On notera du premier l'annulation tardive 1 s = /2 ) équation en outre que la solution (si X > l/E plus critiques facteur, > . (pour la Les valeurs loi coïncide avec s obtenues pour set tangente) La solution La solution soit (43), ct IX correspond soit ' sont donc à est plus bien les . générale. générale s'écrit, d'après 16slEt2(l+t2+2s(l-t2)) (41) : - 4(l+t2+2s(l-t2))2(l+t2) (49) Comme mentionné vérifie, en outre, plus haut, la condition cette solution premier membre de cette qu'on notera acceptable que si elle de t (35) : b+l Le n'est inéquation 3 0 est une fraction rationnelle 2 : Etudions le générale vérifie signe de Q(t2), la condition pour mettre préalable en évidence les cas où la (35). - 247 - solution ) IX chapitre 2 N(t ) est t + t + t 6 4 2 un polynôme est envisagé). X 6 - 8s(2Eh+l) + 8s2(2 h2+4v&1) X 6 - 8s(2y2x-1) + 8s2(2 i2-4v? positif : chemin N(t2) = 0, soit pour x Q(t2) aura donc (34), entrafne (52) pour lieu 0 e.. 13 glnl Réintroduisons qui ; M et + 1/2 et, (57) en reportant g g2n2 g tels que ,-- a et = 0 + g.n.> par g f 0 : sur à un -a (57.3) (30) (55) 0 = de (56) (9 p2 + g2n1) 2 - 248 - = 0 (57) (58) (59) / COS cq = 0 : : : COS 2 q (56) 9 2 = - g cotg0( 9 9= g2 dans li2 2 si de signe passage (54) (sin O( - COS M) 9 ---------1----~~~~~ sin W d’où, changement par =O ; définis : 1 que de S, (52) (9 .n. 91 = 9 on a donc Y par se produire continues = 0 1 3 3 1 eo> on a à partir définit = -a fonctions du chemin : e (15) des au début : et donc En utilisant ) sont à dire Le premier = 0. e Il -II d’où 2 ne peuvent b+l sachant : h-1) s=O (c’est de N(i du polyname d’où à s croissant 11 s’écrit l (51) coefficients de signe 2 2 quelque Comme les changements zéro en t 2(1-2s)2 2( 1+2s) Il degré X + les du troisième - 0 chapitre ce qui entraîne Ainsi, on a : En reportant sur s : -ii- *-- b( IX Tr -+k4 (60) 2 9 = - a2v(60) et (61) dans (53), (61) il est possible d’obtenir une condition 1 (62) s=V?x En rappelant l'expression la surface de limite (5) : 1 s =II - II x et les notations adoptées en (9) s on voit que En de c'est : à dire q 22 contraintes des conclusion, 1Yntervalle =-s s exprime précisement, (62) représentatif point 11 : N(t variation 2 s 12 =o pour le chemin sur la surface ) ne peut des ; il du limite. changer de signe contraintes, l'arrivée envisagé, qu’à l'état garde le signe limite; qu’il dans a pour ~0, 1 N(t’) > 0 Y s 0 9- (6% va *** 3.4.2 Signe de D (t’) D(t 2 ) est le produit (1+t2) ) toujours Négatif Dans quelque ce cas, 2 t d’un trinôme du second positif . Le trinôme s'écrit 4 2 (1-2s) 2 soit D(t t 2 - 4 t pour x0, 2 2 (1-4s il degré en t 2 par le facteur : 22 - 4s X) admet des - 2 (l+2s)2 racines sssg= Y-L&) est positif pour les valeurs - 249 - de en (64) t 2 pour : (6% t 2 comprises entre les chapitre IX racines (dont La racine il double D’après que Q(t existe reste 2 valeurs des lorsque positif par donnée rhultats (66) de contrainte supérieur telle que Q(t générale solution supérieur A à partir possible, à Il convient La somme et le la que produit des s = s infini; pour donc localisation s est cl Q(t que que le racines l’une Ce signe est donc positif à s ; il 2 ) soit que Q(t existe une valeur ) est la de t lorsque nul bifurcation l’état suivant lorsque que signe la la s est des par racines générale solution des racines au moins définie sont t soit du trinôme en t est 2 soit réelle. (64). : et > 0 sont inférieur conclu telles vérifiée x2, S=- (1-2s)2 (1-2s)2 racines 2 être peut 9 l-4s2(l+ P = Les 2 9 il suivant 2 (l+Zs) il de t enfin l’orientation d’étudier donc ; pour n’est toutefois sorte D(t’), (65). valeur, condition de telle positive, par et lorsque nécessaire acceptable) défini 9 de cette N(t2) positives) g ). limite. (condition soit s surface la (35) ) est positives t2 est 9 pour à s 2 sont orientation toute s est L’inégalité s = s nécessairement (non atteint elles obtenus pour négatif si pour obtenue les ) est à discuter toutes si deux de même signe, celui de la somme . : 1 (67) s> et négatif dans le cas 2vz contraire. - 250 - 2 chapitre On montre aiséme nt que : 1 1 ---------- il Le déviateur est cla ir que s’ il cri tique = Vx2+ 2 v 1+x Ainsi IX exis t pour la bi f racines, 9 el les générale ion (68) S est sont donc positives. : 1 = S cg v2( - 251 - (69) chapitre IX 3.5 Bifurcation Il reste tangente à respectivement examiner, ou bifurcation générale ? à partir déviateurs des dans le cas correspondant cas général, laquelle à la bifurcation des deux configurations donne lieu critiques obtenus tangente et dans le à la bifurcation la plus précoce. --- si x 1 à --Y2 est inférieur 9 il 1 , s Il s 2 est clair w-e 1 avec =-,, ct x si s ct = cg V2( qu’on a toujours s < s cg dans ce cas. ct 1 est supérieur à --y2 Xv-2 = 9 les valeurs s 1+2x2 cg vrai non précoce bifurcation vx est inférieur puisque Conclusion localisation sont respectivement = cg ce qui est toujours critiques 1 et On peut montrer que s loi faut comparer : dans : à s ct tant que x est supérieur 1 x est supérieur à ‘VT l LVtude de le cadre gcénéral donne linéaire envisagée, dans les cas que luétude tous dite bifurcation YangenteB* a une l - 252 - lieu, bifurcation restreinte par pour la plus à la à 1 /2 , : chapitre Comparaison On a vu, linéaire Hutchinson coefficients. La Hi11 < di vers modes chemins la loi tangente coïncide les notre avec coefficient qu’elle à la non étudiée par (14) entre * les homologue de n’est précisée chez générale, qui pas de Deux cas supérieur sont diffus et frontière*des localisé régimes est Les alors et P la le <54> t premier mode deux citée, annexe 4.3 la alors simultanés. Dans et hyperbolique qui sur compte tenu des que bifurcation lg est 2 E/P 2 * ? ‘P survient second cas, rencontrée; est par parabolique; les c’est le la mode priviligié. critiques être peuvent comparés à nos résultats Y/ r supérieur a pour équation à 1. (notations pour la HH) : (HH4.8) Y tenu la porte suivant au régime et études AII. p262), cas, analyse, : --Cas 1 : l’interface son (notamment, notre ces référence la bifurcation dans entre de l’équation sont très de étudié dans le elliptique déviateurs tangente ailleurs Dans elliptique chemin de (cf à 1. du régime localisé 4.4 par modes comparaison distingués, ou inférieur passage le la développées divers que on considère l’équation de bifurcation analyse bien localisation, discussion Compte loi loi la correspondances alors à une aussi Si par considérations loi avec explicite, procèdent diffus). bifurcation modes Hutchinson. explicite tangente entre est et Hutchinson. couvre la loi >, relation Ces auteurs des qui cette 54 déviatoire et de Hi11 IX-Z.3 que ici, et contrainte l’analyse au paragraphe étudiée Hi11 avec IX des correspondances (14), l’interface - 253 - E/P de l’équation de Hi11 et chapitre IX est Hutchinson donc rencontrée, nos pour notations, le déviateur critique: et la 2 condition * conduit r/ 1 s= /2 (70) à : r (71) * --Cas 2 : 2P / rencontré l’interface inférieur P est à 1. l’interface (notations E/H, d’équation HH) : (HH4.9) dans nos notations, ceci conduit à : S sous la Les relations la loi (70) (381. loi Ainsi chapitre à notre VIII loi se trouvent et le mis non (14) linéaire, principe en oeuvre la pour double les fois de l’élargissement la - et par Hutchinson étudiée par ces parfaitement bifurcation b=O de Péquation résultats du cadre ici. - 254 loi coïncident 1X-3.3 à la de Hi11 entre à la solution confirmés (73) de l’analyse paragraphe au correspondant et choisie, déduites de correspondance obtenues comme (72) x > 1‘E à (73), tangente prévisions définie : relations simples et condition = de l’analyse théorique, les auteurs avec les "tangente", générale pour proposé la au chapitre 3.7 Influence Le principe lois des de la loi rotation. de d'objectivité grandeur de L’importance l'ordre dérivée la dérivée de ces On a adopté de Jaumann (19), termes totale contrainte de la surface ici, des termes par la vitesse contrainte de par rapport ils l'écriture dans introduit qui au taux limite, l'écriture dans multipliée par rapport de la approche en compte, objective. la contrainte de grandeur relatif de lorsqu'on actuel; impose de prendre une l), (équation l'ordre de termes corotationnels. des rhéologiques, IX au module peuvent jouer de dépend tangent un rôle significatif. Dans première les analyses . Il auxquels qui a été présentée aboutirait aurait dans équations (31) par et L* g/2 intéressant est on On on convient expression tient si on les ce cas B les negliger en de g = 0 dans 9 (36) deviendrait g par cette bifurcation k2s2 correspond valeur sin22 u les ces termes sans de équations 1 g( /2-s) préciser restriction les résultats (22), et -g cotg0(( (26), 1 /2+s) et (27); les remplacés : dans -2) sin (34) 2O( costi via + b (4 ~SE à l’annulation LE a dire de -9/2 cotgb(. remplacant c'est de négligeait. ij les termes verraient b2(4 La compte 9 pour comparaison, 9 = 4ksbaE En souvent approximation. L'analyse aucune bifurcation, de (33), sin22 du coefficient sin2 20( : -1 = 0 (74) on a l’homologue M -4) = 0 de (38): (75) de b : (76) (77) - 255 - chapitre IX La valeur = o( -ii w-1 minimale de cette alors ; on a contrainte critique déviatoire est obtenue pour : 4 1 (78) c'est à dire La la valeur bifurcation de s qui générale la surface définit est obtenue limite. pour : (79) 4x 22s sin 22* On doit alors vérifier la condition (35) b+l s'écrit ce qui - 2 : a 0 : 030) Le numérateur est positif discriminant est en positif ou nul Or 9 Il qu'il -ii- 0 pour Q( = --4 Cette racine quant sin22 y avoir ne peut n’a de racine que si le o( (sin22 qu’une * -1) racine correspondant double, à . 1 s = 11------1--~~~ xv- 2 sin2 M est : Le dénominateur, il : A=8x2 est donc clair A= dehors de ses racines; à lui, est négatif 1 = -----xv- 2 pour tout s inférieur à : 1 ainsi, on peut conclure dehors du cas où apparaît que la II o( vaut -40 pour ces valeurs condition et s (79) vaut ne 1 -III-xr 2 saurait ; être satisfaite l'indétermination est levée en remarquant que pour sin2w - 256 - = en qui 1, chapitre -VTl2 <2xs l’équation (80) s’écrit : IX z 4x 22 s -2 0 2x s-2 r ou encore : 2x 3 +2 S O 1 d’où enfin s& : de de contrainte, dérivée l'approche critère la tangente de de IX-4 dérivation la développements llintérêt évidence chapitre VIII, ici à une qui solution outre en l'importance de choisie linéaire. terme de laquelle considérer à la coïncide l’analyse exposés ont la pour unique fois dans dans avec le qualitative et bifurcation. de en effet, rencontrée n’est pas tangente, On peut par l’analyse mais préciser au (le dénominateur problème le mathiau Ceci confirme la réflexion il apparaissait de mettre de la bifurcation pour décrire contraire sur l’exemple celle comme réel en par est une présentée nécessaire, relève correspond, en au pour de - 257 - la première restreinte générale. remarquant Ce cas que à l’analyse de l’analyse en l'occurence, de b sannulle). considéré, correspond qui encore ce résultat générale du permis le problème dans sa généralité. a pu constater bifurcation d'être synthétique loi la non au lois, On infinis voit viennent de l’étude incrémentalement loi générale, corotationnelle qui lorsque localisation, telles ainsi corotationnels Conclusion Les la On les termes aboutit l'approche et (81) NI- 2 en compte on plasticité. quantitative loi prendre En négligeant - que au cas spécifique la solution où b et est donc celui obtenue g sont envisagé à chapitre au IX paragraphe gène rigide. linéaire qu’on C'est <62>. Il le plus critique ne peut loi qui priori les dl “approche a été que ce lois de ce type; considérer comme suffisante pour sa loi non est nécessairement cas mais homo- a un comportement par Kolymbas faite conclure de linéaire non en dehors de la bande prématuré pour toutes résultats restreinte une loi à la présentés loi a pu, par additionnels de corotationnelle; plus tardives, Il du moins prouvé est-il restreinte l’analyse à vitesse en les pas incrémentalement multi-linéarité pement, en posé le mettre de résultats coïncide en de Hi11 avec et on obtient 1Ynfluence des pour tangente. résultent qui pour l’étude Hutchinson notre loi évidence contrainte non mon linéaires On de termes des de prévisions discuter ce cadre, que, et que, guère d’avantages d'établir la pour la description remarquera simplement dans n'offre propos regard de la non-linéarité importait il qui négligeant, dans granulaires. proposées s'inscrivent formelle ailleurs, les par la comparaison, la dérivation de bifurcation et indifférenciées. n'entre matériaux avec linéaire la corroborés sont tangente, incrémentalement On être l'approche a désignation matériau serait pas la tangente. Les la sous p our lequelle en g”, quasi la VIII-3.3.2, hormis du point complète. clairement problème de la bifurcation dans du de plus des lois comportement en plus, la bi-linéarité de vue de la contexte lois simple, simplicité ce quel cadre théorique de des les Dans par localisation - 258 - pertinence de dévelop- devait la déformation. Conclusion CONCLUSION GENERALE ******************* La localisation phénomène passionnant. terrain, comme milieux Les à ce certain chercheur et méthodes jusque dans du matériau. ment localisation de rendre mettre compte des des travaux solides. études en effet, le fait perte d’unicité de la la ont souligné non-propagation capital locale de vue des pas la d’un que d’une que onde mécanique des ont fait une rupture un sols de raffinés, par ondes liens avec un cadre de ce sur mémoire, ce sujet la par d’accélération limites. n’est et de filiation localisation rapport dans elle être la nombreux en plus partie élémentaire d’accélération) pour d’étude de plus doit la comporte- le historique; aux de de laboratoire, en particulier d?ntérêt problème - 259 - le persistante développés localisation l’instabilité sur surface première On retiendra que solution fait la de bifurcation n’est le ses des travaux propagation perspective valeur Mandel, points actuelles la sur offre dans rencontre des de en plus et et un de la l’occurence bifurcation a tenté, liens. concernant Cette de plus de la différents leurs évidence concept sa nature, est la mécanique Mais de cisaillement approche.On historique aux sur à cette en essais, La théorie en bande trait ont les à s’interroger conduit le de calcul. qui granulaires de matériau. de la sur fondant milieux l’application B ce type historiques les praticien, dans rhéologie en de dans le investi de la phénomène, nombre déformation interroge Elle développements localisation ont le continus part de la vue Hi11 les met en comme une ainsi que (caractérisée pas une condition par Conclusion suffisante de élémentaire être l’instabilité rapport par vue globale. comme un à l’apparition très cas maintenant d’une particulier inconsidéremment étendues L’étude bande dont à un problème classique de les du problème cisaillement conclusions hétérogène doit donc être ne peuvent (calcul d’ouvrage a porté sur par exemple). expérimentale L’étude élémentaire, mesure dans été l’essai un point compte de cisaillement qui de alors se propage résulte dans les L’interprétation d’un déformation, permet sation; il d’expériences soit par zones la les une divers dont immédiat sur flexibles. dans de contrôle; la il à partir naissance importante dilatance de localisation de ce point. frontières moyens de la se réfléchir peut de méthodes voisinage à partir essai d’un d’une La bande de les frontières Les variations les bandes compacité a tend de vers localisées. dilatance comme adoucissement qui d’avancer une dans facteur explication des l’écrouissage physique ces conditions du matériau, d’endommagement concurrencer vient de confronter cependant menées telles du phénomène conceptions le que à la de locali- résultats aux matériau granulaire contractant. En dépit l’analyse l’essai lois sur montrent conviendra droite en ligne s’amortit de responsable prend au un observations Les localisation de ce mécanisme confirmée limite la naissance perturbé. préférentiellement qu’elle cisaillement, une que au moyen à la ou délibérément enregistrées volume intéressé, stéréophotogrammétrie, l’échantillon, et localisation On s’est établissent perturbation rigides la “parfait? essai rendu biaxial. sur fondées la de classique élémentaire de comportement. des réserves énoncées à des problèmes supposé parfait Le cadre plus haut hétérogènes, est d’un classique, - 260 - concernant cette intérêt cependant, l’application analyse certain appliquée pour n’est pas l’étude adapté de à des à Conclusion l’étude des lois s’accompagne d’une explicité, le incrémentalement linéarisation, au chapitre problème étude pour linéarisation par après A l’évidence, dans est le la de compréhension lois linéaires général sation. un leur par par étude conduire faudrait à des ailleurs, talement ici. alors d’unicité de dynamique s’avérer être le et domaine la l’application On a doit être posé pour bifurcation, solution dans à des vaste progrès déformation La poursuite tel et à la une une loi non obtenue par précoce, plus dans les a été plus difficile aux problèmes d’ondes de terrain. ---ooooooooo--- - 261 - limites. au bout l’expérimentation de nouveaux dans dans le le domaine prévisions des cadre de de la en évidence de expérimen- élémentaire, de l’étude pour de stabilité et retour à l’analyse d’accélération pourrait Le de laquelle la locali- théoriquement compte mis milieux développement au problème limitée démarche, cette ; le à rendre propagation la de les localisation fois qu’il dans apporter à la et problème d’un de la rapport de l’analyse plus à l’étude fructueuse loi. bifurcation devrait parvenir du phénomène dans la du phénomène élémentaire propagatoire On sort clos. physique l’aspect entrer que qu’il pertinence, effectuée d’une de sujet la du comportement Il montrent la tant de la lequel montrer a été contractants sur et devraient modélisation dans d’en l’apparition matériaux de éléments non cadre localisation d’être loin domaine moins générale. l’analyse granulaires général Afin résultats du ou implicite, plus le selon les survient cadre linéaire. non complète heuristique; obtenue le loi linéaires, explicite VIII, une analytique linéaire non se trouve peut - 262 - Annexe ANNEXE ****** Courbes rapport de contrainte ( Essais biaxiaux - déformation ) - 263 - Annexe Ces courbes axiale en r6sulter-k fonction (généralement après essai lons la tête géométries donc n’ont de sens dans pour laquelle localisation de cette Les en noter que si reportée courbes force 1Vchantillon effectuées pourtant forme, que à préférer) tendance effectués plutôt sur des échantil- de ils cas d’exploitation (contraintes, déformaIl courbes pour des essais la localisation. tracées souligner sur les courbes sont indiquent les présentés sont à quel positive moment conventions de signe axiale, notée &l, des essais sur les courbes est la valeur et sont de les trop de l’homogénéité. pas en évidence l'esprit tous calculées telles ici dans conçus, la raison C’est en y a après pointillé le coté purement la indicatif diagramme. de notera enfin (contactance) de globales données dans - Pour la déformation long comme on ne sWoigne mettre but numéros portés essais de sous cette les essais que, grandeurs - Pour la déformation les j'aurais (que les complète, cours d’essai; On le les portion mobile de stéréophotogrammétrique. expérimentaux paradoxe à présenter un petit précisément, résultats on doit élémentaire, tions) d’excédent différentes. En revanche, d’essai tête à l’exploitation rendre comparables de la mesures et des mesures planimétriques destinés des des de supérieure), mesures brutes des l'avantage de l’exploitation déplacement sur les clichés sous celle offre du présentation La de volumique, dans le de les numéros des clichés ces clichés adoptées il n’y a pas raccourcissement est donnée cas contraire ce mémoire. - 264 - été pris. : absolue de cette elle ont réalisés d’ambiguité axial; puisque la grandeur déformation. négative (dilatance), en compression comme tout au tous A-l A-2 > l cd 1 w” d -t\ 1 30 . \ 0 i3 . 0 -0 I: cn 1 ’O0 * OI 1 ‘4 I 1L 0 ‘)0 b1 ! 8 I 88 P 2 - 265 - > 1 A-3 A-4 I 0 \ 0\ 0 \ I- 0 n - 266 - > . A-5 A-6 -1 m b - 267 - A-7 A-8 b CD In U m c\1 -0 0 . I . - 268 - A-9 I . \ \ 1 \ In 1 - 269 - 0 m 0 I A-10 A-11 A-12 Lo 0 m 0 .- l m ?b b > w - b - 270 - A-13 m 04 0 m b CD 1 In bc b I 1 1 1 - 271 1. . - A-14 A-15 A-16 I-1 CD \\ L m ,In 0. -\ 0 - 272 - ‘-tt~-t I bI\ b) t-l1 I - 273 - \ -w In -1 0 A-19 A-20 -w cd I I \ 0 Ii- 0 1 OIn 0 m 0 0 0 0 / 0 / 0 I /I - - 274 - 1, ; (v > cd A-21 - 275 - A-22 A-23 ,ln 0 q 0 ,- - 276 - REFERENCES St********* I 2 ANAND L. “Plane deformatlon of ideal 3. Mech. Phys. Solids, vol 31 no2, ARTHUR J.R.F., “Plastk DUNSTAN T. g AL-AN1 granular material", 1983. ~~105-122, Q.A.J.L. and ASSADI A. deformation and failure in qranular Geotechnique 27, pp 53-74, 1977. ~ 3 4 4 ARTHUR 3.R.F. surfaces” A., “On the lubrification Géotechnique 27, pp 96-98, 1977. BEYNET 3. 7 BISHOP A.W. and GREEN A.E. “The influence BONNEVAL H. Y BOULON,CHAMBON,DARVE,FORAY,MORELOT,PUECH force portante des pieux en milieu Européen de mécanique des sols et Vienne, vol 1.2, 1976. 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