La localisation de la déformation dans les milieux
granulaires
Jacques Desrues
To cite this version:
Jacques Desrues. La localisation de la déformation dans les milieux granulaires. Sciences de l’ingénieur
[physics]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 1984. Français. �tel-00008343�
HAL Id: tel-00008343
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00008343
Submitted on 3 Feb 2005
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publics ou privés.
pfésmtée
a
.
T
L*UPWERSITÉ
SCIENTIFIQUE
ET MÉDICALE
ET
L’INSTITUT
NATIONAL POLYTECHNIQUE
DE GRENOBLE
obtenir
pour
te titre de
.
DOCTEUR ES SCIENCES
Jacques
DESRUES’
Ingénieur
INSA .
SUJET
LA LOCALISATION DE LA WF~F~MATI~N
I
DANS LES
MATÉRIIAUX GRANULAIRES
Soutenue le 29 Juin 1984 devant la Commission
M. J.P. GERMAIN
. M.
. J.L. AURIAULT
- M. R. CHAMBON
Président
Rapporteurs
. .M. J. SALENÇON
’ M. 1. VARDOULAKiS
M. F. DARVE
Examinateurs
M. M;P. LUONG
GRENOBLE
d’Examen
THESE
de DOCTORAT
D%?‘AT
Tl’ire de f’ouvrage :
LA L6CALISATION.DE
LA DEFO-RMATION
DANS LEk MATERIAUX
GRANULAIRES
Nom de l’auteur : J&ques DESRUES
&ab/ksement
: Znstitut de Mkanique
de Grenoble
.
-
pksente
u ne &de
Ce mhmoire
exp&imentale
et
pique de ta locadisation
dans Jes matbriaux
granulaifes
La premigre
partie se phente
cornme. une ‘revue des m&odes
et tbkories de la mkanique
des [email protected] (ou plus g&Cralement, des Aides)
~.I&&MI~ trait, +$$;yw)s ou de loin, i ‘la
rupture
localMe.
Les dik~~~tes”a~~~~~-~~‘sent exami&s
sous i’angle.du
r4Ye jou4 par khotion
de cf&&mation
locaW&,
Lgs concepts de base de l’analyse de bifurcation
par [email protected] sent expos&
et les principaux
tr;ivaux discutk.
..- 1.. __ , ’ .
-
ha seconde partie rend compte d%ne &Me exp&ihenia!e
*
r6alis6e B tressai biaxial,
a~ec~~hsualisatioir
quantitative
de
I’apparition
et du d&veloppement
de la- Iocakation
au murs
de Pessai. ta methode *sW&oMotogramm&rique
est exposhe
en d&ail.
les r&uttats
discut&concernent
Ia naiss;an& de fa
focaiisation,
la faGon -dent elle se pmpage, les variations tie
volume au sein de la bande de cisaitlement,
ie r6le des imperfections de f’essai.
.
.
La pwtie
thhorique
concerne
l’anaiyse
de biftircation
par localisation.
Aprk
avoir rapprochh
quelques ‘ktudes con-’
cernant ile mathriau
Biastoplastique
non standard, et discutc5
. fe rafe de I’angle .de diiatance dans ces @visions,
on s’int&esse
a l’application
du cadre .&ssique
aux lois incrbmentalement
non iin6aires ; la nhssit6
d”une extension
de ce cadre est
. :avanche, et fa mise en:czuvre du cadre 6largi sur une loi heuristique permet d’illustrer
la pertinence de cette approche g&&ale.
.
.
MQ3SClES
Localisktion
de la ddftirmation
; Bandes de cisaiilement
; Matkiaux
grzinuiaires
; Ruptuice
; Essai biaxiai
; D6formation
piane ; StMopho
togramm&rie
; Lois de comportement
; Non lMarit6
inahentale
TMorie
de la bifurcation
; IVkcanique
des sols.
;
s
‘-
.
-
Avant
Lknvironnement
Propos
scientifique
essentiel
sur
lequel
a
germe
la
a été constitué par mes cinq collègues
1 echerche dont j ‘expose ici les fruits
Boulon, René Chtion,
Félix Darve, Etienne Flavigny
de 1 ‘équipe lUGlI?X : ikc
et Pi erre Foray. Riche, diverse et en perpétuelle
évolution,
cette équipe m’a
offert chaque jour la palette de ses compétences et de ses terrpéraments.
Au sein de cet environnement,
c’est
à René Charbon que ce travail
doit le plus, pour des années de collaboration
sur le plan théorique. Plusieurs
chapitres de ce mémoire sont les fruits
de cette collaboration
dont c’est peu
dire
qu’elle
me fut
précieuse.
Félix
Grenoble,
sujet
et
de
Darve
dans
a
été
1 ‘équipe
;
recherche.
ne m’ont
jamais
Le
fait
C’est
1 ‘essentiel
soutien
de
propre,
que
ici
En cette
soutenance,
deux
travaux
au premier
son
allant
équipe,
talonné
par
pendant
une part
Qu’on me permette
a été
de
cette
de n?on terrps
recherche
il
des
sur
rang
et
de
la
pour
localisation
la
à
définitknde
son inébranlable
optimisme
défaut.
Benjamin
ses membres.
1 ‘initiateur
les
des
état,
ma thèse
du statut
d’autres
grande
d’en faire
soutiens
exigences
que
plus
dernière
je
assumaient,
tâches
avant
d’autres
de
CI!W?S, j ‘y ai
consacré
au détriment
de leur
collectives
et
contractuelles.
et de les en remercier.
phase de mon travail,
celle du mémoire et de la
Messieurs Sa1ençon et
ext éri eurs au laboratoire
professeurs
Vardoulakis,
m’ont fait 1 ‘honneur et le plaisir
d’accepter d’en être les rapporteurs
extérieurs.
Leurs remarques ont été précieuses
et m’ont permis de
reprendre quelques unes des imperfections
de ce mémoire. Monsieur Luong, ayant
assuré
la mission
connaissance
judicieux
de
de parrain
de mes travaux
et
recherche,
ses
n’a
dès
encouragements
jamais
précieux
souvent
d’une
fois
tifique
d’assurer
non
montage
directement
confié
; il
bienveillants.
soutien
dans
le GIN?Sà mon égard, a eu
toujours
Monsieur
sa
dans la traversée
nouvelle.
du jury,
irrpliqué
m’a
à me manifester
expérience
la présidence
avait
1 ‘origine
manqué
de mes recherches,
le
que lui
Monsieur
prodigué
Auriaul
t,
confiance
du désert
Gemin
et
d’apporter
le point
la
spécialité
en cause.
ses
conseils
mon directeur
dans 1 ‘avancée
que constitue
a accepté
de vue
d’un
à la
scien-
~
jury,
de mes
d’autres
personnes
bien
reusement
vitable
En dehors
pas
de la
les
citer
collègues
ont
toutes,
tentative
de donner
et
de
1 %quipe
contribué
c’est
à
bien
à chacun
lW%!EC,
ce
A -+ travail.
ici
que
des membres de ce
et
Je
ne peux
se manifeste
des nombreux
acteurs
malheu-
1 ‘échec
d /une
si
inélongue
entreprise-la
plac.e..qui lui revient.- Je ne terminerai pas cependant sans remercier quelques uns d’entre
ces acteurs
: Jack Lanier, pour les expériences
faites
ensemble sur le “tri-tri”,
et nos nombreuses discussions
; le
Professeur
Sawczuk, disparu brutalement
voici quelques semaines à Grenoble,
qui m’a pemnis d’effectuer
quelques expériences prometteuses de tomodensitométrie à lbrseill
e, avec 1e concours de M. Cagnasso ; Messieurs Gaveriaux et
Weloff, du SRJ de Paris, pour m’avoir permis d’utiliser
le stéréocorrparateur
Traster
de leur service,
et m’avoir initié
à son miement
; les jeunes chercheurs
j ‘ai
avec
conçu
qui
la
j ‘ai
chaîne
collaboré,
de
traitement
dont
notamment
Bertrand
Duthilleul,
stéréophotogratzmetrique
; et
avec
enfin
les
qui
per-
sonnel s du laboratoire,
depuis ceux avec qui a été conçue et réalisée la machine d’essai , jusqu ‘à ceux qui ont développé mes plaques photographiques,
sans
oublier
ce1 1 es qui
se sont
occupé
des
factures
et des
courriers.
SOMMAIRE
--
INTRODUCTION
PREMIERE
l
7
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
PARTIE: POINTSDE VUE SUR LA LOCALISATION
DE LA DEFORMATION
13
1 -
15
l
CHAPITRE
Les
surfaces
de rupture
1.1
- Le coin
1.2
- Les caractéristiques
1.3
- Les
1.4
- Le calcul
1.5
- Les
CHAPITRE
II
de Coulomb
à la
rupture
- L’orientation
IIe2
- Le débat
cipales
CHAPITRE
sur
l
-
la
surface
l
spécifiée
- Généralités
l
eeee
IIIe2
- La propagation
l
21
22
avec
surface
de rupture
du
l
eeee
24
milieu
26
de cisaillement~~~~~~~~~~~~~
coincidence
des
directions
28
prin29
coincidence
vue
?
l
30
eeeeeeeeeeeeeeeee
de bifur-
comme phénomène
34
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
l
17
eeeee
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
bandes
: quelle
IIIe1
34
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
des
d’accélération
ondes
dans
les
37
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
- La localisation
en bande
équations
de base
l
de cisaillement
: les
41
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
IIIe4
- La théorie
de la
bifurcation
IIIe5
- Principaux
sols
travaux
sur
l
cinématiques
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
l
IIIe3
et
modélisation
La localisation
cation
solides
des ouvrages.
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
des
- Les modèles
III
l
calcul
16
avec
l
et
granulaire
IIe3
rupture
- Localisation
IIe1
le
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
numériques
méthodes
et
statiques
à la
calculs
l
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
de Hi11
la
bifurcation
l
44
eeeeeeeeeeeee
dans
les
47
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
-l-
:
DEUXIEME PARTIE
LA LOCALISATION
A l'ESSA
ETUDE EXPERIMENTALE
l
IV -
CHAPITRE
IVe1
L’essai
biaxial
- Généralités
l
IV l 2 - Conception
2.2 2.3
Les
de DePe
têtes
l
l
3.2
- La préparation
3.3
- Adhésion
4.3
l
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
61
faces
de
de DePeeeeeeeeeeeeeeee
68
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
71
l
71
e*eeeeee*eeee**eee*eeee*ee*eeeeeeeee
de l’échantillon
l
mesure (autres
l
71
eeeeeeeeeeeeeeee
74
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
que
stéréophotogrammé75
eeeeeeeee*ee*ee*ee*ee*eeeeeeee*e*eeeeeeeeeeee
- La planimétrie
gammamétrie
La
61
sable-membrane
- Techniques
4.2 -
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
65
des
- Le matériau
l
l
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
3.1
4.1
58
- La lubrification
trie)
58
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
de l’appareil
- L’échantillon
IVe4
55
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
- Le dispositif
2.1
IVe3
l
BIAXIAL :
*e**e~eeeeeeeeoeeeeeeeeee
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
l
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
75
- La tomodensitométrie
CHAPITRE
V - La méthode
CHAPITRE
VI - Synthèse
l
eeeee*eeeeeeeee**eeeeee*e*e 76
stéréophotogrammétrique
expérimentale
VIe1
- La base expérimentale
VI.2
- Un exemple
VI.3
- Dans
VIe4
- Initiation
quel
75
l
l
l
l
l
eeeeeeeeeeeeee
78
eee*e**eeeee*e**eeeeeee*e 105
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
105
e*e*ee*e*ee**eeeee*eeeee*ee*eeeeeee*eee*109
cas
et
la
apparaît-elle
localisation
propagation
4.1
- Localisation
4.2
- Naissance
et
4.3
- Réflexion
des
et
pic
l
l
l
eeee 120
158
eeee*eee*ee*eee*e*e**e*ee
eeee***eeeeeee*eee*e*eeee*e*
développement
bandes
?
l
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
de cisaillement
-29
l
eeeeeeeeeee
158
160
162
vx.5
-
Cinématique
de
5.1
-
Les
5.2
-
Déformation
5.3
- Trois
VIe6
-
Direction
VIe7
-
Variations
la
lignes
bande
d’extension
l
l
bandes
de
de
volume
l
- Mesures
7.2
- Mesures locales
7.3
-
Evolution
7e4
-
Densités
globales
l
l
en
L’influence
fin
des
VIe9
- Comportement après
VIe10
- Largeur
VIe11
- Observations
VIe12
-
des
Conclusion
bandes
pic
l
VIIe2
-
Le
matériau
élastoplastique
VIIe3
-
Conclusion
l
VIII.2
-
Rappels
l
180
oeeeeeeeeeoee
183
eeeeeeeeeeeoeeeeeeeeeeeo
l
189
eeeeeeeoeeeeeeeeeeeee
190
eeeeeeaeeeeeeeeeeeeeeeeeeeae
cisaillement
l
l
194
eemeeeeeeeeeeee
197
eoeeeeoeeoeoeeeeee
LOCALISATION
COMME PHENOMENE
eeeeee*eeee*eeee*eeee*eeeeeeeee
de
non
la
DE
207
déformation
standard à un
209
eeeeeeeeeeeeeoeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
rigide
Introduction
volume
localisation
l’élastoplasticité
matériau
-
de
par
de
Le
VIIIe1
178
200
ANALYSE DE LA
L’analyse
aux lois
177
l
l
de
-
-
177
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
VIIe1
VIII
173
eeeeeeeeeeeeee
eeeeeeeoeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeoe
BIFURCATION
potentiel
CHAPITRE
l
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeoeeeeeoeeeeeee
- Bifurcation
prévisions
VII
cisaillement
eeemeeeeeeeeeeoeeeeeeeeeaeeeeee
l
CHAPITRE
168
microstructurelles
l
165
oooooeomoooDoooeoooo
perturbations
-
165
169
d’essai
VIe8
oooooeooooo
e~eemeeeeeeee**oee~e~eeeee
variations
des
l
eeeeeeeeeeeoeeeeeeeeeeeeeeeeeeoe
des
7.1
cisaillement
nulle
localisée
remarques
TROISIEMEPARTIE:
de
plastique
l
l
209
eoeeeeeoeooeooeeeeeee
211
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
219
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
de bifurcation
incrémentalement
l
par
non
localisation
linéaires
eemeee
221
223
emmeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
sur la théorie
appliquée
l
classique
-3-
l
meeeeeeeaeeeeoee
224
:
VIII.3
-
Introduction
de
3.1
-
Loi
3.2
-
Lois
“multi
3.3
-
Lois
non
VIIIe4
- Etude
VIIIe5
-
CHAPITRE
IX
linéaire
l
l
IXe2
-
La
2.2
-
Non
2.3
-
La
CONCLUSION
ANNEXE
REFERENCES
Analyse
227
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
problème
l
228
eeeeeeeeeeeeeeeeeee
critère
élargi
à
une
loi
non
linéaire
232
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
232
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
233
l
linéarité
loi
de
tangente
la
l
de
3.2
-
Discussion
3.3
-
La
solution
tangente
3.4
-
La
solution
générale
3.5
- Bifurcation
tangente
3.6
- Comparaison
avec
3.7
-
Influence
Conclusion
des
l
l
l
235
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
236
par
Etablissement
de
loi
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
bifurcation
de
233
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
-
GENERALE
l
229
3.1
-
226
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
- Formulation
-
l
l
2.1
IXe3
IXe4
l
l
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
du
Introduction
225
225
”
du
heuristique
-
oooooooooooooo
l
eeeeeeee*eeeee*ee*eeeeeeeeeeeeeeeee
synthétique
IXe1
rhéologique
"multi-linéaires"
Application
loi
loi
linéaires
Conclusion
-
la
localisation
générale
l’équation
générale
l’équation
l
l
l
l
eeeeeeeeeee
239
l
eeeeeeeeeee
239
243
eeeeeeeeeeeeee
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
245
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
247
ou bifurcation
l’analyse
du
Hi11
termes corrotationnels
générale
et
Hutchinson
l
eeeeeeeeeee
?
l
e
252
253
255
257
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
259
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
263
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
277
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
-40
-59
Déformation
à l’essai
triaxial
un exemple
-6-
localisée
axisymétrique
typique.
:
Introduction
INTRODUCTION
************
La localisation
de la
déformation
est
un phénomène
à la
fois
banal
et
fascinant.
Banal,
matériaux.
des
Il
sols
pour
métaux,
depuis
une
dans
connu
dans
les
poudres,
un phénomène
majeur
lesquels
il
un large
les
matériaux
que
éventail
qui
dans
de situations
relèvent
les
comme
du comportement
de
mécanique
céréales
de recherche
de
granulaires
des roches,
un domaine
et
la
matériaux
des
ou naturels,
constitue
ensilées.
et de celui
extrêmement
des
actif
d’années.
il
l’est
en ceci
catastrophique
chargement
où s’initialise
que
la
de déformation
incapacité
appliqué
la
prend
dans
soudaine
lors
localisation,
-7-
apparaître
fait
brutale-
ou à hétérogénéité
connue
typée,
apparition
par
localisation
homogène
très
et que cette
le
dans
ainsi
géométriquement
cisaillement,
dimension
apparaît
argiles),
un champ
structure
l'endroit
bien
dizaine
Fascinant,
soutenir
est
comme
aussi
ment,
qu’il
(sables,
artificiels,
C’est
parce
des , étapes
s’il
sous
le
un certain
de la
douce,
de
nombre
structure
bande
de
de cas
une
considérée
antérieures.
Par
ailleurs,
peut
être
prévu
parfois
une
à
en
Introduction
raison
de discontinuités
apparaît
envisagé,
fine
souvent
de discerner
plutôt
que
là.
caractéristiques
sur
les
typiques,
restreinte
de
est
étudié,
condition
un matériau
pensée
qu’un
que
a bien
ment
des
potentiel
Elastic
phénomène
de certaines
s’interroge
l’on
la
d’un
modélisation
d’un
de ce processus
ont
structurelle
pour
plus,
la
le
théorie
pas
présenté
catastrophes
des
les
et
travail
régissant
potentiel
généralement
à
suppose
banale
dans
par
Thompson
la
tout
un
types
par
le
problémes
système
impliquant
leur
<95>
de la
dans
ouvrage
application
lesquels
le
la
mécanique
d’établir
but
répertoriées
intitulé
‘*A General
concerne
exclusive-
condition
d’existence
d’un
définition.
de
ce que
l’on
solide
soumis
:
relevant
%atastrophestl
de
cette
localisation
solide
Hunt
dans
mais
pour
de ce solide
le
et
eux-mêmes
<94>,
vérifiée
donc
à un domaine
des
élastiques,
précisement
l’on
par
Stability”
se trouve
réponse
diffuse
du
(Stabilité
car
y
théorie
faite
Thom et
problèmes
définissons
la
été
par
Revenons
Si
outil
comparative
respectivement
of
Thom
constitue
l’existence
de cette
classification
Theory
permettre
granulaire.
solides
une
alors
et
très
analyse
dotée
au cours
naissent
René
vérifient
ne
Une application
des
de
référence
sur
forme,
régissent
qui
qui
connus
fondée
une
matérialisation
du matériau,
équations
formes
les
seule
du problème
’
cette
<92>);
cadre
un
et
limites
peut
d’une
spécifiques
les
travaux
de
morphogénèse
ici,
entre
physique
l’objet
non
et
la
naissance
sous-jacents.
relations
processus
à la
aux
de sollicitation)
a entraîné
cause
On assiste
mécanismes
Les
fait
petite
conditions
aléatoire,
structure,
(de
quelle
des
a priori
comme
hétérogénéités
des
ici
évidentes
entend
le
-8-
déformation
par
à une
consiste
c’est
la
tout
d’abord
là.
certaine
a priori
mode
et
global.
histoire
en un champ
de
chargement,
de déformation
Alternativement,
il
peut
Introduction
se produire,
dans
certaines
ou se superpose,
mation
intense
rigides
(la
: c’est
Le
Sur
du
terrain,
plus
la
d’homme,
sous
l’échantillon
testé
(voir
la
est
étroite
de défor-
blocs
fertile
sensiblement
en ce dernier
en
page
qui
type
jusqu’à
complète
cadre
de rupture
des
ce mode
de rupture,
ouvrages
en bloc,
dans
ce contexte
qui
inclinaison
par
garde).
elle
à éliminer
des
plus
grosses
causes
déformations
importantes,
du phénomème
de localisation.
de
la
conception
localisée
méthodes
a,
de calcul
en étudiant
des
depuis
qui
la
ouvrages
prennent
de
laisse
résultats
important
au prix
de
triaxial
qu’au
de perturbation
de
sur
apparemment
de
conduit
rapport
sol,
les
plus
permettre
toutefois
en compte,
par
axes
du matériau
sans
longtemps,
stabilité
-9-
apparu
est
de déformation
champs
aux
un nombre
frottement
dû au
des
rapport
localisation,
il
la
traverser
de ses
de fait,
frettage
surgit
que
situation
a induit
cette
homogènes
viennent
à l’interprétation
Et,
d’obtenir
des
Cette
d’essai.
le
voulus
étudié,
de rupture”,
quant
visaient
conditions
) permettaient
développer
appelle
du matériau
élémentaires;
( principalement
le
des
un glissement
élémentaires,
essais
de
perplexité
la
1Vlimination
suppression
ou celles
de ce qu’on
certaine
une
photo
de recherche
axisymétrique,
des
de “plans
forme
de travaux
phénomène
à des
en évidence
jeu
la
de caractéristiques
des
le
constitutives
en terme
Dans
zone
naturelles,
pentes
relations
dans
raffinements
par
au cours
suivant
l’expérimentateur
homogènes,
sols
fréquemment
met
c’est
les
localisation,
têtes
se substitue,
rupture”.
de
en vue d’établir
l’essai
une
associée
des
des
vastes,
laboratoire,
l’essai
mécanicien
rupture
ou rnoins
“surfaces
Au
en jeu
met
de cisaillement),
fondamental
localisé.
d’action
de main
de zones
qui
ce mode
:
le
construits
mode
qu’à
différent,
mode
bande
le
champ
de phénomène
des
un
conditions,
l’évidence
les
concepteurs
de facon
à des
la
du
à
empirique,
surfaces
de
Introduction
rupture
les
spécifiées
méthodes
à l’avance.
tranches,
des
Ce sont
les
méthodes
de cercles
encore appréciées
etc,
dans
de glissement,
pratique
la
bureau
de
d’étude.
Les
ont
nouveaux
permis
problèmes
une
aux
tement
plus
linéaire
ou
présent,
la
aux
métaux.
Dans
perte
En peu
des
cette
d%nicité
particulier
est,
théorie,
la
de ce fait,
dans
vue
présentee
la
est
intéréssés
localisation
problème
du
élémentaire,
condition
de plus
de
en plus
-
dernière
d’unicité.
comme
un élément
10 -
seconde
approche
a ouvert
localisation
de la
intensif,
matériaux,
des sols
est vue comme une
posé.
de comportement
perte
du
à laquelle
de recherche
de
sein
décennie,
de la
sortes
par
<43>.
aux limites
la loi
au
la
la déformation
de
soit
MASTEC
un champ
des
de discontinui-
B. Duthilleul
la
signica-
résultent
problème,
l’équipe
la
en compte
pré-spécifiés
théorique
toutes
de
prise
qui
M. Boulon;
dans
devenue
par
par
développement
par
en compte
elle
solution
et
jusqu’à
Des progrès
du
dans
apparue
au moins
soit
) non
R. Chambon
récente
la
du problème
cruciale
par
d’années,
le
l’élasticité
localisation
majeur.
théorique
explorées
de prise
chercheurs
de
de
les
de compor-
lois
sont
non-linéarités
permettent
bifurcation,
perspective
des
des
méthodes,
attendus,
relatifs
sont
th&se
de la
être
l’analyse
qui
voies
d’une
nouvelle
réunit
dans
respectivement
déformation.
façon
)
deux
La théorie
ces
de résoudre
le
ne
apparaître
à dire
( glissements
l’objet
faire
pas
avec
que
numériques
méthodes
moyens
concrets
sols
des
cependant
d’algorithmes
j’appartiens,
qui
ne
les
Toutefois,
( c’est
déformations
a fait
de cas
réalité
peuvent
déformations
Ces
en donnant
parfaite.
de
les
reconnue comme un phénomène
ce domaine
domaine.
une
à la
défaut
cinématiques
que constituent
représentatifs
plasticité
le
l’établissement
tés
considérable
pourtant
grandes
grandes
avancée
conformes
ont
dans
des
de conception
limites
déformation,
tifs
outils
L’étude
de test
Dans
le
cas
intervient
de
de
localisation
pour
les
lois,
Introduction
et
même
pourrait
intervenir
devenir
au
niveau
premières
études
l’ont
été
par
thèse
d’état,
un
même
élément
leur
de
de bifurcation
en 1978
Les
motivations
regroupées
en trois
de celles-ci,
et
conception
chercheur
en France
de l’équipe
leur
de
dans
MASTEC,
à dire
c’est
ajustement.
le
Les
domaine
dans
le
des
cadre
sols
de sa
<29>.
de
présentée
l’étude
points,
- 1Ymportance
calage
entreprises
Darve,
Félix
de
qui
pratique
sont
de
les
la
dans
ces
suivants
pages
être
peuvent
:
sur
localisation,
laquelle
il
est
inutile
de revenir.
- l%Aerrogation
de la
fondamentale
et résumée
phénomènologie
- l’interaction
deux
niveaux.
étroite
Le premier
de lois
par
réalité
hétérogènes
offre
second
prise
en
des
ordres:
le
précoces
expérimental,
puis
déroulent.
aux
on s’est
le
développement
progressif,
Cette
pour
à dégager
les
visualisation
de faux
l’occasion,
des
cadre
de
questions
essai
donné
en question,
aspects
ce
en
?
Le
par
la
comportement
de
travail,
soulevées
pour
ci-dessus,
de
de
façon
tenter
sont
de
physiques
quantitative
fait
nous
à permettre
- 11 -
visualisation
les
le
en évidence
phénomènes
que
une
à en observer
à mettre
relief,
façon
à réaliser
attaché
naissante,
et
au problème
lois
d’être
susceptibles
un
à
au concepteur
posé
sur
ceci
théorique.
localisation
stéréophotogrammétrique
développée
le
dans
de la
imperfections,
se baser
et
localisation.
de réponse
et
de comportement,
sont
autour
?
fondamental
partielle
des
oeuvre
expérimental
quantitative
peut-on
solution
de la
en
éléments
plan
problème
l’élaboration
mis
lois
des
centrée
phénomène,
: Pourquoi
élémentaires
quand
inducteurs
le
question
le
essais
une
dans
moyens
d’apporter
les
la
suscite
l’étude
concerne
que
peut-être
par
avec
: jusqu’à
comme
Les
Sur
fait
compte
identifiés
deux
le
que
majeurs
appel
avons
la
mise
mesure
à la
en
des
stades
rôle
qui
s’y
méthode
oeuvre
et
champs
de
Introduction
déformation
Sur le plan
la bifurcation
à l’étude
en
nous avons travaillé
par localisation
en bande
le cadre de l’analyse
dans
la réflexion
de cisaillement;
cadre théorique
actuel
non linéaires,
dont
description
améliorée
sur une
loi
du comportement
heuristique,
des
sols.
travaux
des
Cette
et le résultat
de
menée
pour son adaptation
<19>, <20>, Darve <31>, <32>) ont montré qu’elles
<18>,
oeuvre
du
incrémentalement
de lois
(Chambon
de l’essai.
théorique,
à suggérer une extension
aboutit
une
au cours
incrémentale
permettaient
extension
montre
récents
est
mise
1Yntérêt
de
la
démarche proposée.
Le plan
un
de
ce mémoire s'organise
aperçu des points
déformation
visualisation
expose
les
.
de vue
La seconde
jusqu’à
éléments
la
en
historiques
concerne
synthèse
théoriques
de
trois
et
parties,
actuels
l'expérience,
phénomkologique.
ce travail,
bifurcation.
- 12 -
qui
la première
dont
sur la
localisation
de la
depuis
la
La
troisième,
relèvent
donne
de
méthode
la théorie
de
enfin,
de la
Première
********
*
*
*
*
*
*
*
********
Partie
*****************
*
POINTS DE
VUE
SUR
LA
LOCALISATION
*
*
*
*
DE
LA
DEFORMATION
*
*
*****************
- 13 -
chapitre
Chapitre
1
LES SURFACES
DE RUPTURE
***************************************************
Le point
est
celui
creusé
l’appareil
inventé
l’empirisme,
nombre
d’oeuvres
économie
le
plans,
titre
ouvrages.
la
localisation
a
On
ou la
boîte
de
cisaillement.
des
ouvrages
conception
l’efficacité
est
Toutefois
à la
a conduit
des
attestée
le
recherche
des
bâtiments
par
souci
de la
construit
fondé
la
OUVRAGES
d’une
bien
Des
digues,
d’avoir
se
sont
essentiellement
pérennité
d’un
rationnalisation
de méthodes
des
avant
siècles
a relevé
la
déformation
certain
et
de conception
d’une
fondées
calcul.
Le propos
calcul
sur
DES
et
passé.
de moyens
CALCUL
tranchées
desquels
dont
LE
ancien
des
des
ET
plus
triaxial
au cours
écoulés,
le
praticien
soutènements,
de
de vue
du
1
de ce bref
d’ouvrage
à la
surf aces
particulières
ou non,
les
chapitre
rupture,
phénomènes
est
pour
qu’elles
de
d’évoquer
discuter
la
introduisent
localisation.
- 15 -
quelques-unes
nature
et
et
qui
des méthodes
le
rôle
évoquent,
des
lignes,
à juste
de
chapitre
1
I-l.
Le coin
Coulomb
, dans
tion
des
règles
tifs
à l’architecture”
sur
de sol
consiste
dans
c’est
bre
et
exercée
cette
réaction
dans
l’angle
cas
de la
butée,
d’être
susceptible
fonction
On doit
cède
par
tion
suffisante
par
le
en
tout
point
de la
envisageant
d’autres
localisée
conforme
ne s’agit
par
pour
par
suivant
poussée
un angle
des
permet
de
rechercher,
maximum
terres.
en
de cette
Inversement,
un maximum
convient
des
supposée
verticale
le
donné
qu’il
suffisante
sur
les
le
outre,
résultantes
force
de la
minimiser
de
pour
ici
d’un
long
mode
d’un
comme
que
cette
rupture
(et
non
cette
condition
On obtient
une
qu’il
serait
la
surface
calcul
qui
plan
une
<86>,
en
à l’expérience.
- 16 -
pas
les
pro-
une
condi-
affaiblie
contraintes
par
estimation
excès
d’affiner
possible
du
en
de rupture.
établirait
; Coulomb
hypothèse
démarche
est
et non pas sur
estimation
géométries
pas
de
qu’en
envisagée.
certaine,
un tel
la
de Salençon
et
surface
localisation
verticale,
l’écran,
suite
condition
donc
la
L’équili-
résultante
alors
faut
son
ultime,
force
de la
paroi
qu’il
sur
surface.
porte
qu’elle
de rupture
produit
on obtient
de stabilité)
chargement
Il
contenir
à la
d’une
sur
pour
la
remarquer,
énoncé
fait
de
indique
la
rigide
de la
et
massif
envisage
sa résistance
propre,
sur
rela-
de frottement.
l’hypoténuse,
Coulomb
exercée
de l’angle
sur
l’hypoténuse
à exercer
minimum
le
de
et
poids
mur de soutènement
force.
par
applica-
d’un
qu’il
rectangle
de cohésion
de son
poussée
de rupture
triangulaire
une
de statique,
de la
uniquement
l’action
le
dernière
varier
faisant
prisme
sur
problèmes
La cinématique
de frottement
par
“Essai
au problème
caractérisé
sous
intitulé
à quelques
caractéristiques
du prisme
de cohésion
calculer
minimis
d’un
est
ses
de 1773
s’intéresse
glissement
par
horizontale
et
essai
de soutènement.
matériau
Le
statique
forces
célèbre
<23>,
le
à dire
son
de maximis
un mur
hypoténuse.
de coulomb.
voit
que
la
seulement
de travail
rupture
la
rupture
raisonnablement
se
chapitre
Moins
célèbre,
Coulomb”,
est
compression
la
sur
une
qui
lui
permet
critique
bandes
facette.
fois
la
Rankine
loi
sur
Coulomb
sont
d’équations
aux
sont
le
critère.
travaux
admissibles
est
Les
en résultan-
de la
facette
par
glisse-
se produira
en notations
principaux
actuelles,
de l’essai,
(pour
critère
comme
se
sont
la
dont
l’orientation
la
des
de rupture
succédés,
sur
spécifié
la
dans
cette
tangentes
aux
pour
lesquels
permet
dans
d’évaluer
critiques
facettes
le
contraintes
des
hypothèse
les
de ce critère.
base
répartition
de Coulomb,
lignes
en
fondée.
certaine
une
rupture
la
au sens
de
rectilignes.
et
d’équilibre
parallèle
à fait
de
hypothèse
L’angle
rupture
axes
la
de
de frottement-cohésion,
de Coulombl’
établie
au critère
mur.
Boussinesq,
celles
des
tout
de Coulomb
par
pose
le
donc
important
associée
massif;
poussée
te
est
loi
reformulée
fois
- [email protected]
-
la
sur
y exprime,
de rupture.
que
e
4
comme “solution
de contraintes
domaine
T
à
nombre
un
une
la
axiale
indique
C’est,
de cisaillement)
sols,
tions
Coulomb
fréquente
Une
charge
L’auteur
du “critère
génèse
porte
qui
pilier,
du
la
pour
étude,
de son
inclinée
la
orientation
désignation
le
et
importante
de maçonnerie.
de calculer
cette
classique
partie
plane
donné,
aussi
pilier
d’un
section
est
sur
tout
première
simple
tes
ment
mais
1
avec
dérivées
long
à la
Ces lignes
par
Sokolovsky
le
critère
des
ligne
ne sont
différentes,
de plasticité;
partielles.
le
desquelles
voies
atteint
plus
Les
lignes
vecteur
ceci
contrainte
droites,
- 17 -
conduit
caractéristiques
mais
des
les
équa-
à un système
de ce système
s’exerçant
maximum
l’inclinaison
des
combinent
sur
une
autorisée
courbes.
Les
facetpar
schémas
le
chapitre
1
les plus élaborés
dans ce cadre de travail
zones à caractéristiques
téristiques
droites
courbes par des lignes
L'exploitation
d'établir
problèmes
des
L’étude
que, évoqué jusqu'à
caractéristiques
Avec
présent,
atteint
mation
plastique
le
dit
le
le
terme de contraintes
dans
seuil
dérivent
des contraintes.
l’évaluation
une
avec
de
exclusivement
stati-
de lignes
d'un potentiel,
La coïncidence
et
:
les
aux mêmes conclusions.
de plasticité.
avec succès pour les
théorie
Malheureusement,
il
ce
qui
potentiel
en
de défor-
coïncide,
de plasticité
les
où
spécifié
les vitesses
dans
dans l'espace
fondamental,
du travail
de la
apparaît
: elle
est
à une situation
du vecteur
avec
la
le postulat
vitesse
de défor-
maximal,
de Hill,
critères
de Tresca et de
pour les sols par Drucker et Prager <41>,
indépendants
sont irréalistes
indéfinie,
métaux
est étendue
à ces critères
ce
découle d'un postulat
conduit
cette
que
apparaît
plastique,
que
la surface
Le Principe
Appliquée
associé
stipule
à la surface
de volume
compte
frotte-
plastique
d’écoulement
Cette théorie
de
potentiel
mation
théorie
les
de
angles
famille
déformation
(statique)
l’équation
du
la normalité
cette
pour tenir
des
nouvelle
de Drucker <40>, <42>, qui entraîne
de Coulomb.
pour
butée,
(N ) pour la capacité
1
dans un article
paru récemment
associé au problème,
la théorie
champ
totales.
standard,
en substituant
de
à ces coefficients
a introduit
de
de déterminer
Von Misès,
et
a permis
laboratoire.
de
développement
le matériau
cas
poussée
méthodes
cinématiques.
le
possibilité
ces
de coefficients
à apporter
problème cinématique
du
en contrainte.
par
Habib,
dues à la localisation,
d'après les essais
ment
de
et des tables
<49>, propose des corrections
des erreurs,
obtenues
superficielles.
fondations
de
zones de Rankine) et de zones à carac-
de coefficients
de soutenèment,
appel à des juxtapositions
de discontinuité
des solutions
des tables
portante
(dites
font
vite
entraîne,
inconcevable,
- 18 -
pression
moyenne,
que certaines
d'une part,
et d'autre
part
le
critère
conséquences de
une augmentation
elle
prédit
un
chapitre
cisaillement
sans
Drucker
apparaît
dépense
être,
mais
condition
nécessaire
localisation
de
L'idée
Bent
Hansen
Coulomb
la déformation
d'utiliser
nouvel angle V . Cet angle
déformation
plane,
une
de
condition
et propose une
point
d'accélération,
directement
est alors
de Coulomb,
est
n’est
mais
comme
par un changement
modifié
postulat
sur
le problème de la
.
de déformation
propose
<51>
ce
d’ondes
rejoint
le
interne,
discute
propagation
de
non-standard
le critère
En outre,
à frottement
<67>
parce qu‘elle
les vitesses
qui représente
: Mande1
terme
en
de plasticité
dérivent
dont
non
mécanique.
pour les matériaux
reviendrons
nous
travail
nécessaire
suffisante
laquelle
de
1
plus
celle
: le potentiel
l’équation
de
surface
d’une
fonction
de l'angle
potentiel
des
de
surface
critère
de
profit
au
vitesses
la
différente.
le
de [email protected]
à partir
défini
introduite
d’un
déformation
en
dV ‘*angle
de
par :
El32
si&
= -
a rec;u par la suite
Il
.
Cl-
0
c2
la dénomination
généralement
admise
dilatance".
A partir
directions
de ce potentiel,
principales
tenseur
de
contra-intetotale,
partielles
mées
caractéristiques
Parmi
associé
noter
au
ceux
permettent
aux
les
travaux
de
rigide-plastique
on obtient
des
avec celles
un nouveau système
du
d'équations
caractéristiques
sont
aux
dénom-
qui
des
aux
conséquences
non associé
a établi
de l’abandon
(matériau
un ensemble
de
non
du potentiel
standard),
théorèmes
bornes des chargements limites
on
doit
limites
qui
pour des problèmes
<75>.
Dans le cadre
que,
de déformation
dont les lignes
consacrés
d'un potentiel
déterminer
de coïncidence
cinématiques.
de Radenkovic,
de
l'hypothèse
vitesse
de
établit
on
hyperbolique,
profit
limites
schéma
tenseur
du
dérivées
les
et moyennant
donc
un
ces
méthodes
de
calcul
et d'une loi
d'écoulement
double réseau
de courbes
-
19 -
fondées
dérivée
sur l’application
du potentiel
caractéristiques,
du
plasti-
respective-
chapitre
1
et cinématiques.
statiques
dans le cas standard,
matériau
dont on sait
l'observe
sée (un fait
aux rapports
lieu,
il
entre
en dehors du cas du
la rupture
cinématique)
tiques
constitue
statiques
tangentes
vecteur
direct
des lignes
de rupture
une conjecture,
à ces caractéristiques
telle
entre la déformation
et le système d'équations
éventuel
localisée
qu'on
quelques remarques sont à faire.
n'y a aucun lien
le rapprochement
différentielles
localisée
subissant
statique
:
avec les caractéris-
fondée sur le fait
sont celles
locali-
que les facettes
l'obliquité
maximale
du
contrainte.
En revanche,
pour un matériau
localisée
les caractéristiques
qui obéirait
possible.
discontinuité
partielles,
solution
En effet,
étant
les seules lignes
peuvent exister
les caractéristiques
V
z
décrit
que ce sont
des lignes
construisant
le cercle
On reviendra
contrainte
localisée
au travers
les
lignes
d'extension
par une
de rupture.
d'équations
Or, le
aux dérivées
des discontinuités
caractéristiques
inclinées
du taux de déformation,
(comme
peut
de
de ce système,
On montre que ces lignes
nulle
de rupture
se caractérise
du domaine pour lesquelles
sont
effectivement,
des lignes
de la ligne
par un système linéaire
principales
s'en
c'est
à
à dire
assurer
en
de Mohr des taux de déformation).
sur les
et de ligne
constituent
de la plasticité,
la rupture
cinématiques.
des directions
cinématiques
aux lois
du champ de vitesse
champ de vitesse
4
est irréaliste
et ces réseaux de caractéristiques,
En premier
-ri---
qu'il
sauf
purement cohérent incompressible.
Si on s'intéresse
la
Ces deux réseaux sont non-coïncidents,
notion
d'extension
de ligne
nulle
d'obliquité
aux chapitre
- 20 -
maximum
II
.
du vecteur
chapitre
I-3
Les calculs
Dans
la
la rupture
lignée
de
angle
cohérent,
nir
des
à la
notion
envisagé.
cas frottant,
de nouveaux
résoudre
ajoutant
en
concernant
Une
condition
dont
de Coulomb
le
normales
de
de
premier
et
le long
de
tangentielles
(ou
il
plane),
rieur
du bloc
exemple
tranches
des
doit
que
toute
de
(voir
réfè-
autre spécipar un
L’application
au cas
permet de défipour chaque
Si l'on
rupture
ont
des
et
au
tenté
de
hypothèses
la surface,
Coussy
cercle
s'intéresse
auteurs
de
non
se
caractérisé
divers
le long
surface
point
facette
tenu
des
ceci introduit
de
pose
ou bien
Salençon
<24>
contraintes
de la
définies.
- 21 -
en
spécifiée
déformations
de nouvelles
le long
l’application
de la
divers
problèmes,
en effet
simultanément
la surface
compte
donnée,
cisaillée;
vérifiée
lorsque
en mouvement;
arbitrairement
cette
condition
être
répartitions
critique.
étant
en tout
à la
Par ailleurs,
de
à
par ces auteurs).
hypothétique
la surface.
méthodes
à la rupture,
en mouvement
rupture
la
ces
de Coulomb).
surface
de
contraintes
du bloc
est d'estimer
supposer a priori
le plus
de calcul
à l’avance,
sous forme de cercles,
à l’hypothèse
citées
surface
L
I
problèmes se posent,
au sein
et les références
Toutes
par rapport
des
spécifiée
est simp lement
(critère
le cercle
la répartition
d'équilibre
l’état
sécurité
de
méthodes
à let xclus ion
matériau
le
spécifiées
cherche alors
On
développées.
et une cohésion
coefficients
de nombreuses
résistance,
Ainsi,
spécifiée.
sur une surface
été
de
avec des surfaces
surface
de Coulomb,
ont
comportement.
frottement
de
avec
un glissement
rectiligne,
uniquement
fication
rupture
l'oeuvre
de
impliquant
nécessairement
rent
à la
1
de
surface
outre,
les contraintes
il
est restrictif
en tous
les
points
pas
circulaire
nécessaires
à l’inté-
n’est
hypothèses,
frontières
de
telles
par
verticales
de
chapitre
1
La théorie
la signification
réelle
de contrainte
et
ce mémoire
d’exposer
rupture,
due
des chargements
de déformation
y sont
permet
<86>,
par
ces
associés.
Il
méthodes
sortirait
des
champs
du propos
mais
quelques-unes
énoncées
en raison
de la
clarification
et l'analyse
limite
s’appliquent
in
d’éclairer
et
extenso,
théorie
d’être
à Salençon
obtenus
qui
cette
méritent
conclusions
à la
du calcul
de
de
ses
qu’elles
apportent.
calcul&
Le
matériaux
caractérisés
mais
(critère),
concerne
(de
du domaine
Dans
des
le
approcher
la
vérifient
approche
cadre
tables,
l’espace
ments
à la
du calcul
qu’il
lui
aussi
critère.
le
frontière
de la
énoncées.
stables.
spécification
et
de la
connaissance
des
obtenus
des
contraintes.
par
taux
des
de la
(voir
de 17ntégrale
- 22 -
et
on peut
assuré
ces
par
que
ailleurs
de la
une
suppor-
cinématiquement
d'appui,
référence
en
pas
potentiellement
du critère
ne
qui
de déformation
fonction
la
limites)
chargements
permet
chargements
de déformation
de contrain-
des
n’est
rupture
de champs
On montre
minimisation
à la
on
frontière
au théorème
de ce domaine,
Toutefois
Le calcul
du domaine
aux
en construisant
de
l*potentielle-
champs
conditions
convexité
llintérieurlV,
llextérieurlt,
l’espace
les
règle
la
grâce
à des
: elle
la
de chargements
correspondant
Du fait
conditions
montrer
à des
contraintes
d’écoulement
définissant
on peut
deux
les
s’applique
surface
un domaine
vérifient
“par
règle
lesquels
rupture,
(ils
admissibles
une
tous
pour
convexe
à la
convexe,
de la
dans
pour
existe
au moyen
admissibles
dual
matériaux
les
virtuelles
seront
‘*par
en outre
admissibles).
les
chargements
incorpore
seconde
contraintes
statiquement
pas
admissible
de déformation
supportables”,
violant
un domaine
vitesse
la
puissances
ment
te
la
par
exclusivement
normalité
des
la rupture
de
<86>)
fonction
qui
constitue
plasticité
que
les
d’appui
le
dans
chargesur
le
chapitre
volume
sont
supportables,
ment
est
nécessairement
cinématique
ce qui permet l'approche
sur les chargements
déformation
construits
précise;
fication
prévaudront
d'obtenir
stables,
et
de plus
approche par l'extérieur
on n’est
rien
en
revanche,
En
les
n’ont
on
ne
champs
pas
assuré qu'ils
On
pour la
obtenues,
l'ouvrage.
de
potentielle-
de ce domaine.
les valeurs
excédant
réellement
particulier
en
chargements
par l'extérieur
la rupture
cette
dans
des
de
de signi-
sont
ceux
qui
à la rupture.
L’analyse
grâce à la propriété
limite,
résultats
des
au domaine
plus
convexe
par la structure
ciés
provoqueront
donnée,
rien
tenant
au domaine
assuré que les chargements
ainsi
sait
extérieurs
1
aux approches
On peut montrer
fins.
antérieurement
défini
considérée-;
les champs
statiques
normalité
de
et
que
chargements
les
seront effectivement
contrainte
de
permet
stipulée,
cinématiques
appar-
supportés
et de déformation
alors
ont
une
asso-
signification
mécanique.
En
surface
revenant
maintenant
rupture
de
par l'extérieur,
Coulomb
règle
que
par 1Vntérieur
les
schémas
ceux
On
notera
une
méthode
admissibles
quement
inférieurs
à la rupture
enfin
que
la
dispose
de Coulomb,
pas
chargement obtenu
méthode
des
de
résultats
supportés.
effectivement
ne sont
la
par une approche
pas
le cadre qui
caractéristiques,
d'être
vient
prouvés
Enfin,
être
remarques que celles
qui viennent
tions
entre
envisagée
évoqué
appliquée
puisqu’elle
champs
de
contrainte
ou de champs
de
déformations
de
(approche par l'extérieur).
cinématique
ne
de
réelle.
mêmes
la
qu’on
pour le calcul
(approche par l'intérieur)
admissibles
à frottement
seront
permet la construction
qui
à l'approche
le cas du problème du coin
dans
au
d'ouvrage avec
de calcul
s'apparentent
qu’elle
bien
spécifiés
entre dans
plasticité,
si
à la rupture)
cinématiques
méthodes
le cas du matériau
est violée,
(calcul
conduiront
qui
dans
chargements
les
observe
on
le montre Salençon
outre,
En
normalité
de
prouvant
spécifiée,
comme
<86>.
différentes
aux
d'être
et
la
- 23 -
A
ce tiire,
exprimées
localisation
constitue
statiquement
elle
concernant
réelle.
à la
cinématiappelle
les
les rela-
chapitre
1
vaste,
dont
en cours
beaucoup
numériques
sont
aux
:
pas
de lois
le
en
est
la
prise
en
développées
au
ont
sein
autorisent
dans
quant
l’état
méthodes
l’étude
descrip-
ces
méthodes
de la
de localisations
de
à la
actuel,
expérimentalement;
été
donc
incorporés
localisée.
par
déforma-
spontané
d’un
Goodman
maillage
spécifiée
même but,
mais
par
citer
on
local
qui
sont
finis;
le
d’une
plus
, de
lieu
des
ces
long
(pour
à l’avance
méthodes
en premier
<45>,
d’éléments
un découplage
être
à certaines
On peut
a été
doit
qu’elle
les
supplémentaires.
l’initiateur
dont
épaisseur
Boulon
en plus
On se propose
solides,
réalistes
dans
%pontanP
observe
rupture
insérés
clair
pages.
de travail
des
plus
Toutefois,
l’on
numériques
joints,
particuliers
faible
plus
une
l’introduction,
rhéologiques
d’algorithmes
l’absence
à permettre
éléments
directions
permettre
développement
à ce que
Des procédés
façon
de ces
en mécanique
du matériau.
comparables
entend
de
présentant
modèles
l’objet
de quelques
pour
employées
limites,
ne permettent
tion
ici
pas
d’applications
du comportement
tion
n’est
aux
d’activité
de développement.
Dans
les
éléments
éléments
ligne
de
dont
il
voir
de détails,
<ll>).
Dans
a défini
la
localisée
mention
un champ
réduite
même
rupture
de faire
simplement
problèmes
constituent
l’investigation,
de la
compte
ou
numériques
méthodes
Les
le
et
prise
en compte
spécifié
partie
à l’avance.
de
algorithmes
soumis
l’frottement
développé
des algorithmes
d’une
été
à divers
négatif”
et
localisation
de
types
est
se propager
appliqués
de
(Desrues,
radicalement
différentes,
Boulon
de frottement-glissement,
Le glissement
1Ynterface
ont
des voies
la déformation
calculé;
au cours
à l’étude
il
n’intéresser
incréments
des
chargement
axiaux,
Thèse
de Docteur-Ingénieur
ou
permettent
le long d'un interface
peut
du comportement
- 24 -
qui
<9>
des
encore
qu’une
successifs.
pieux
au
<34>).
Ces
de fondation
phénomène
De nouveaux
de
chapitre
développements
des
sont
Thèse
Docteur
de
générale
Plus
de développement
ment
et
massif,
reste
complet
I
dans
d’inf
Duthilleul
tats
(Boulon
des
l'interface
sont prometteurs,
et
quelconque.
même
prise
en
compte
du massif
en des
La base
rupture
de
de
inspiration,
déclenchement
du
et
points
local
développe-
quelconques
traitement
est le critère
cours
en
le
par une méthode
complétée
finis,
sa thèse
des
de la
permet le
et les premiers
méthode
meilleure
et le comportement
pré-spécifiée,
non
critère
Le
d’une
<ll>.
qui
éléments
présenté dans
de la
entre
<lO>),
direction
une
luence?
a
en vue
Sciences,
localisée
la méthode
cients
es
Boulon,
encore est une méthode
rupture
d’une
par
d'interaction
phénomènes
(Boulon,
menés
1
du
numérique
de %oeffide Coulomb.
docteur-ingénieur
<43> un développement
exemples
en
de mise
ultérieurs
développements
oeuvre. Les résul-
seront
entrepris.
!
_1
11
mentionner
faut
situent
dans le cadre
enfin,
parmi
de l’analyse
statiques
et
cinématiques
des
évoquée
au
plastiquement
chargements admissibles
pu
obtenir
des majorations
- 25 -
problèmes.
qui
I-4.
pour construire
admissibles.
sur divers
celles
paragraphe
à la démarche analytique
Turgeman <99> à Grenoble ont ainsi
améliorées
numériques,
méthodes
limite,
démarche numérique est substituée
champs
les
Pastor
se
La
des
<74> et
et minorations
chapitre
II
Chapitre
II
LOCALISATION
ET MODELISATION
*****************************************************
Les
granulaires
matériaux
constitués
de grains
ser leur
comportement
visibles
DU MATERIAU
les
nu.
sont
ainsi
de deux démarches
de pensée : l'approche
macrostructurelle.
Sans
matériaux,
la
pensée
peut
mais
manie
ignorer
Il
cet
échantillon
d’un
ces deux
particularité
la
les
concepts
ici
que la prise
échantillon
sous
des
mais aussi - et peut-être
qui consisterait
mécanique
du
des
non seulement
à caractériser
situés
à la frontière
exhaustive
pour tous les
le
même temps
continus,
des
la prévision
interactions
ne
de tous
du comportement
mais ce point
en raison
du volume des calculs
surtout?
- en raison
26 -
l’oeil
où
intéressé.
chacun des grains
-
et l'approche
dans
milieux
matériau
sont
pour modéli-
que,
quelconques,
sollicitations
en oeuvre,
tâche
au fait
sables,
développés
approches existent-elles
permettrait
irréaliste,
travaux
les
microstructurelle,
en compte
évidemment
comme
naturellement
discrète
donné
Les
tient
de la
structure
l’évidente
est clair
les grains
doute
courants,
plus
à l’oeil
mécanique
GRANULAIRE
de
de vue est
à mettre
l%normité
et leurs
de
de la
positions
chapitre
relatives
initiales.
ne se donnent
la
mise
pas
en évidence
et
sous
rhéologique
recherches
sur
Dantu
contrainte
Les
possible
de la
points
dans
une
glissements
et
dans
des
à la
recherche
domaine
propos.
à partir
d’un
de
ces
deux
divergents,
lien
et
au sein
l’orientation
du matériau,
des
surfaces
- 27 -
étudié
(par
l’état
de
à Grenoble,
<96>),
s’est
cours
ou encore,
de
plus
discrètes,
déve-
< 98>).
granulaires
niveaux
ont
de connaissance.
d’un
côté,
plutôt
Il
sur
la
entre
de façon
de rupture.
point
la
n’est
parfois
commun
localisation
à dégager
ce
localisation
phénoménologiques,
Leurs
en
ce chapitre,
dans
développés
tous
ou de l’autre;
de synthétiser,
macrostructurelles.
phénoménologique
réalisées
de particules
complètement
On a tenté
sont
contacts
Thornton
matériaux
de considérations
micro
fois
des
travaux
éventuellement
élémentaires
à prédire
les
mon
de vue,
le
ributions
Trollope
<15>,
description
ont
<108>,
(modèles
à prendre
expérimental
au niveau
<38>
mais
de la
et
Wiendieck
<28>,
(Dantu
été
qu’ont
de Jong
dist
au macro,
fondamentaux,
au niveau
tant
de grains,
Cambou
du micro
continu
esprit
de Josselin
diverses,
de classer
déformation
iques,
et
<25>,<26>,
pas
cet
microstructurel
au niveau
de phénomènes
numériques
moyens
priorités
d’ailleurs
théor
tion,
des
passage
de grains,
l’évoluti
des
menées
continues
dans
assemblages
assemblages
chercheurs
pas
les
les
Cundall
avec
n’est
C’est
des
par
tête,
un tel
qu’analytiquement
récemment,
sont
de caractéristiques
à caractériser
par
qui
compréhension
Drescher
déformation)
loppés
la
<27>,
dans
attaché
but
du matériau.
exemple,
la
forme
recherches
pour
donc
en compte
des
Les
II
réside
et
une
les
explica-
chapitre
II
L’orientation
II-1
L’orientation
la
de la
est
localisation,
mène.
Et,
de cisaillement
-rr*E
4
l’autorité
ligne
d’autres
est
trainte
et
(LOM),
c’est
rées
à l’essai
triaxial
lat,
appliqué
avec
bien
des
<48>
pour
directions
au laboratoire
avec
l’ont
noté,
parmi
essais
sur
sur
le
matériau
la
de son
(parmi
d’autres,
sont
des
des
facettes
qui
ciée
à un
cisaillement
tenu
de
lignes
plein
définition,
plus
c’est
nul
donnée
par
Hansen
de
très
répandu.
1).
du vecteur
En
con-
ici.
mesu-
de ce
postu-
à un désaccord
dans
<84>
ou Habib
récemment,
Jacquet
<30>
et
aussi
Schneebeli.
par
à dire
même
tenu
et Barden
indique
(et
Compte
déduite
conduit
phénomène
<82>)
à
Rowe
de
déformation
une
non
et
inclinée
de cisaillement
direction
développement,
nulle,
subissent
la
d’autres,
du
Roscoe
d’extension
de bandes
mesuré,
analogique
cinématique
au stade
plane
sables
des
désignée
sur
chapitre
(cf
maximum
sera
bande
facettes
est
ce postulat
d’obliquité
phénola
être
totale.
statique
des
aux
donc
contrainte
qu’elle
comme
tion
dilatance
ce terme
frottement
ailleurs,
la
ligne
de
<43>
évidence,
d’une
doit
le
celle-ci,
tangente
Elle
de la
l’angle
des
Par
vérifié.
caractéristique
une
par
point
se produit
sur
selon
de coulomb,
comparaison
la
Duthilleul
est
critère
s’agit
Cependant,
cas,
le
aussi
il
en tout
principales
par
termes,
ligne
de laquelle
de l’expérimentateur
interprétation:
une
de coulomb
acquise
au sein
“prise”
une
directions
de cisaillement.
de cisaillement,
première
être
critère
des
2
Une telle
la
doit
le
bande
bandes
se présente
d’emblée,
lesquelles
des
de
localisation,
des
expériences
les
que
des
normale
lignes
(voir
de
rupture
perpendiculaires
1),
à
nulle,
en l’occurence).
chapitre
en
de déforma-
surfaces
incrémentale
considérable
mise
de
assoCompte
l’angle
de
:
81
sinV
+e2
*
= &-A2
on montre
ces
lignes
aisément
d’extension
à l’aide
nulle
du cercle
(LEN
w
de Mohr
ultérieurement)
- 28 -
des
vitesses
sont
de déformation
inclinées
que
à -T+v - 2
4
chapitre
des
directions
principales
les
caractéristiques
résulte
les
surfaces
vitesse
cinématiques,
On notera
qui
de la
qu’il
de
ne s’agit
la
de rupture
même
ne
Elles
définies
au chapitre
là
conjecture,
pas
définition
de déformation.
d’une
de l’angle
peuvent
pas
mais
être
pas
coïncident
d’une
directions
aux
avec
celles
(sauf
dans
associée,
cas,
standard,
dit
de CY et i
Les
“rr
à -
inclinées
postule
qui
normalité
s’applique).
plasticité
classique,
princi
n écessa
cependant,
restrictif
envisagé,
pour
Sur
les
le
ou
l’autre
le
nom de boîte
cisaillement
de
la
de cisaillement
bofte
homogène
postulat
dQ5coulement
directions
des
classique
prin-
rainte
et
et
Fernandez
plastique
et
Roscoe
simple
et non nécessairement
- 29 -
déforma
( plas
matériaux
que
qu’il
, même dans
l’isotropie
à un cisaillement
plan.
à établir
le
a utilisé
un
est
localisé.
conçu
Il
appareil
pour
faut
étude
le
cas
maté-
bien-fondé
shear
simple
une
granulaires,
avec
pour
(SSP,
ceci
de
dans
la
direc-
des
<68>,
la
par
coïncidence
compatible
<82>
décrit
tion
des
quant
la
Luque
de
pour
(i.e.
isotrope
des
soumis
vérifiée
bien
établissent
est
Le principe
associées
que
on a cherché
en
est
a priori
granulaires
En 1967,
celle-ci
un matériau
non-coaxialité
expérimental,
proposition.
coïncident
premier
à ce probleme.
d%coulement
M andl
matériaux
plan
lois
de ce postulat
la
le
par
a
directions
coïncidence
quant
1QZcoulement
fondements
ces
on a V = @ : loi
de la
et
tenseur
ire;
les
lequel
penser
on peut
concernant
examinent
pour
on considère
Si
des
synthétique
diffère
à des
.pales
si
abandonner
bien
coaxialité,
obéissent
Y et
faut
partagées
la
- -3
posé.
sont
matériaux
rielle,
donc
termes,
4
c
Le problème
est
opinions
Saint-Venant
est
il
Drucker-Prager).
cipales
de
contrainte,
de la
le
principales
évidence
en d’autres
l
rapport
avec
1.
de dilatance;
ne
II
de l’une
connu
apparatus),
permettre
d’ailleurs
sous
qui
un
noter
II
chapitre
que,
la
en dépit
de cette
déformation
traintes
dans
aux
Stroud
Reprenant
opposée.
la
concerne
les
<91>
mesures
Les
dans
ce
les
confirme
des
de
la
vingt
principaux
pour
fruits
construction
de
d’un
efforts
aux
limites.
les
surfaces
te).
Ceci
directions
celle
propose
“dans
contruit
pour
pas
cohérent
principales
des
LOM et
donc
une
un élément
de con-
du matériau
par
chargement
(en
un appareil
à la
seule-
conclusion
notamment
il
en ce
fait
paraissent
CT
du même type.
aboutit
laquelle
de Drescher
appel
qui
à la
aujourd’hui
faire
coïncidence?
(1970),
de LEN (lignes
à partir
d’une
de ces
position
des tenseurs
des
LEN est
reformulation
d’un
ici
massif
donc
er
impossible
du critère
de sol,
sur
la
surfaces
avec
k
vis
à vis
- 30 -
les
sauf
matériau
sous
de rupture
forme
des
vérifiée,
standard.
se
le
contrain-
coïncidence
est
la
que
En revanche,
LEN.
de la
les
surfaces
des
du vecteur
coïncidence
surface
enfin
indique
forme
: la
de Coulomb,
une
et
hypothèse
la
à partir
nulle),
Roscoe
maxi
des
sur
fondée
que
prise
L’un
de soutènement,
de contrainte
d’obliquité
et
problèmes
d’extension
est
résultats
(UK).
originale,
un champ
intérèsse
la
les
d’approche
méthode
les
synthétise
Cambridge
de
concerne
des LOM (lignes
avec
Roscoe
laboratoire
nous
l’identification
ne sont
est
mesures
des tenseurs
différentes,
on détermine
Ce qui
de
une
réseau
inverse,
de LEN est
et
<39>
recherche
préalable
calcul
rupture,
cette
propose
par
de
au
l’auteur
duquel,
réseau
Drescher
Lecture
Rankine
recherche
de
lesquels
effective
de
débat.
dixième
ans
de
principales
sur
contraintes,
II-3
Les modèles
: quelle
----II-(I-I)---------------------------------II--
Dans
directions
techniques
localisation
au sein
ce résultat
conclusions
une
conjointe
est
en 1976,
de
en évidence
de déplacement
coïncidence
a utilisé
photoélasticimétrie.
autorité
la
question
auteur
Cet
de mesures
que
met
L’utilisation
de caractériser
conclut
En 1971,
ment).
Roscoe
appareil.
et
permet
Roscoe
l
cet
limites
radiographie
et&
conception,
Roscoe
:
développe,
le
II
chapitre
long
d’un
plan
qui
est
rapport
de contrainte
atteint
une valeur
(Roscoe,
correspondant
avec
la
Cet avis
majorité
n'est
respectives
eux
par tous
plan
où le
en cet
élément
de Mohr-Coulomb"
devient
dont
- la déformation
de Jong
qui
a
coïncidente
de CF et6
est,
sur les directions
ainsi
que
mêmes
axes.
été largement
a proposé un "modèle
de base
c'est
la
distinc-
large
Une
exploitée.
à double
glissement
et
à
sont:
le
à extension
long
nulle
des LOM;
successivement
le
long
de
conjuguées.
éléments
cisaillés
qui dépend non seulement
de l’ensemble
de ces
par cisaillement
de déplacements
deux directions
l’globalesff
les assertions
se produit
d'incertitude
et
possible,
de Coulomb",
principales
apparaît,
de
la
au
est nécessairement
tenseurs
raison
de
contraire,
Bien
le postulat
directions
La notion
pas
contrainte.
les auteurs.
des
Vocales"
de Josselin
résulte
admise.
n’a
du vecteur
rupture
de
des
axes principaux
cisaillé
"conserver
de
surface
qu’une
directions
libre"
- elle
maximum
conviennent
de combinaisons
Ainsi,
du domaine,
sont
à l'intérieur
à une rotation
soumis
des conditions
et
locales,
qui est de ce fait
en découle que la déviation
libre,
à l'instant
sur l'enveloppe
réellement
plan
partagé
généralement
des
entre
rotation
: le
LOM. La non-coïncidence
par ailleurs,
Il
à un point
d'obliquité
pas
de considérer
une
- les
clair
facette
d'entre
à dire
gamme
autre
quel
n
nulle,
<82>, ~165).
coïncider
tion
d'extension
direction
/Q- sur n'importe
On ne peut être plus
avec
une
(i.e
rigide)
mais aussi de la déformation
indéterminée
des axes principaux
de l'éventail
matérielle
localement.
des tenseurs
u
et & est
[email protected]/2,[email protected]/2 9 avec @ angle de frottement
du
matériau.
De Josselin
en supposant
volume
de Jong a présenté
l'incompressibilité,
(références
Le résultat,
diverses
versions
de son modèle,
puis en prenant en compte
d'abord
les variations
<58>,<59>,<60>).
en ce qui
concerne
la
localisation
- 31 -
9 est que la direction
de
chapitre
II
des
caractéristiques
certaine
plage
Mandl
de
et
tenseurs,
fait
Luque
rupture
est
(flow
<90>,
est
Arthur
et
comme
sa
figure
LEN
des
directions
principales
matérielle,
à @/2
en résulte
et
et
d’autres
LOM
elle
auteurs
ne
est
qu’une
des
(comme
LEN coïncide
coïncident
pas.
identifiée
avec
direction
La
à une
construit
ont
<70>,
<71>,
des
diverses
en introduisant
<72>).
collaborateurs
et
<2>
globales.
L’angle
de direction
La
surface
de
sur
modèles
modifications
coïncidence
des
la
(Spencer
LOM
et
des
LEN
valeur
locale
les
et
la distinction
entre
de
V Y largement
impliqué
dilatance
de
ce
décrits
de rupture,
très
fait
différer
peut
essais
introduisent
de surfaces
de déformation,
montrent
le
Il
“active”,
Cowin
ses
vitesse
spatiales;
déviation
caractéristique
autres
de Jong,
discussions
en
d’une
supposée.
locales
définie
sensible
notablement
par
est
de
variations
valeur
(référence
Roscoe
grandeur
une
aux
la
les
8Z
C
globale,
>,
~136,
12b).
Arthur
locale,
telle
plus,
la
locaux
que
ces
donc
avec
soit
LEN locale
Dans
de
somme
le
LOM
globale.
cette
les
l’assemblage
pas;
locales
La
doit
grains
peut
avec
de la
une
principales
si
les
n’imposent
résulter
le
long
matérielle
au cours
coïncider
directions
produit
rotation
coïncidence
cependant,
des
se
cisaillement
complémentaire
des déviations
modèle
une
conditions,
au niveau
Le
que
maintenue
ne coïncident
structure
tions
suppose
coïncidente
être
la
et
généralement
les
une
deux
dite
de 3.
Mehrabadi
dans
la
Geniev).
nombre
idées
grandeurs
à l'intérieur
indéterminée,
line).
Un certain
des
fixent
comme
que les
de coïncidence
base
<68>
antérieurement
alors
LOM,
est
variation.
considérée
l’avait
une
cinématiques
pas
en une
de
LEN
supposée
déformation.
De
LEN globale.
tenseurs
des
conditions
est
d’une
aux
acte
limites
ou
la
particulière,
déviation
de ces
coïncidence
direc-
global.
prévoit
ainsi
une
large
gamme
- 32 -
de situations,
qui
découlent
de
chapitre
la non symétrie
au niveau local.
de la distribution
locaux,
laquelle
contraintes
0
T
---
En
elle-même
Arthur
des surfces
des
-lr
4
fonction
de rupture
résumé,
- -
caractéristiques
tiques
des cisaillements
conditions
aux
de six
suivant
les
limites
et
des
cas différents;
les
n- - - 0 à
cas,
de 4
e
- -2 (kf+V)d ans le cas de distribution
4
locaux, suite
à des déformations
avant
rupture
v
2
depuis les lignes
l'orientation
est comprise
entre
les
.
le recensement
statiques,
des
dépend
-
des
sées sur la base de considérations
possibilités,
ou indifférente
varient
Dans le cas général,
T
de rupture
-ii
valeur
- - @ et 8
4
des surfaces
dénombre pas moins
ne
cisaillements
homogènes.
valeurs
est
9 avec une
z
symétrique
4
très
plus ou moins symétrique
internes.
orientations
L'orientation
II
orientations
physiques
d'obliquité
jusqu'aux
lignes
cinématiques.
- 33 -
de
surfaces
conduit
à un large
maximum du vecteur
d'extension
rupture
de
nulle,
propo-
éventail
de
contrainte,
ou
ou caractéris-
chapitre
III
Chapitre
III
LA LOCALISATION
VUE COMME
****************************************************
PHENOMENE
DE
BIFURCATION
III-1
Généralités.
----------1>-----------
Qu’entend-on
de
changement
présente
alternative
une
Prenons
dans
l’évolution
Un premier
d’un
liquide
de
ce
processus
d’un
d’un
ou plus
à ce mot
guère
l’évolution
? Au sens
entre
attribué
s’éloigne
transition
bifurcation
direction,
de
Le sens
ne
par
chemin
deux
d’un
routes
dans
le
processus
un
cadre
il
que
de comportement
à la
notion
situation
où
à illustrer
théorie
de la
est
se
s’applique,
l’on
bifurcation
au
considère
à un chemin
cette
idée
cours
de
comme
une
alternatif.
de bifurcation
physique.
classique,
processus
réfère
à une
de la
:
à ce
de façon
mot
possibles.
ordinaire
fondamental
exemple,
est
deux
sens
le
généralement,
physique,
exemples,
commun,
celui
connu,
- 34 -
de l’ébullition.
susceptible
L’échauffement
d’être
décrit
chapitre
mathématiquement.
au sein
On n’envisage
d’une
(rouleaux
dépend
traduit
donnée,
de Rayleigh-Bénard).
Une fois
gazeux.
disparition
intrégralement
transition
dans
des
le
milieu
ces
:
conditions
de l’eau
phénomènes
Le deuxième
du
phénomène
élastique
une
une
combinaison
imperfections
là aussi
Il
à l'activation
changement
bien
latérale
de
ici
que,
du concept
à la nature
constitutives
à
complète
est
consommé
que
la
à la présence d'impuretés
il
des
les
celui
est
possible,
états
rôle
des
surfusion
de
normales de
conditions
du
dans
imperfections
d’un
connu
élément
linéaire
consiste
en un
que,
l’élément,
axiale
s’agit
soumis
à
se trouve
les imperfections
dès
lors
latérale.
de flexion
une
raccourcissement
le chargement augmentant,
qui
et
il
géométriques
de
il
se
soumis
à
rôle
des
l'élément,
est
Le
crucial.
l'éclairage
l’échauffement
est
initiales,
On remarquera
équation
liquide
par ailleurs,
d'obtenir
fondamental
compression
de
sait,
de OoC dans
élastique
Le chemin
déviation
qui
jusqu’à
de chaleur
sensible
problème,
apparaît,
rapproche de la mécanique des solides:
nous
flambage
de l*élément.
produit
autre
stoppé,
On
liquide,
qui
bifurcation.
exemple
axiale.
du
critique,
de l’état
liquide-solide,
à moins
un
est
est
de phase
liquide
de
du
compression
mécanismes
température
l’ébullition
en cause,
phase.
engendrés
de
température
une
(pression),
de
grande pureté
Ceci introduit
les
atteinte
L'apport
changement
d’écoulement
à un gradient
la matière
de
au changement
de
soumise
liquide.
deux
phénomènes
d’échauffement
phase
par le
(par exemple,
dans
processus
la
entre
pression).
de phase
Le
de
les
expérimentales
conditions
le changement
l'état
ici
de liquide
des
masse
pas
III
nouveau
matériau
Dans
le
changement
à fait
cas
restent
pourtant
sont
s'envisager
peuvent
très
du flambage
les
mêmes,
est de nature géométrique.
- 35 -
de phase,
distincte
de
au
décrit
celles
que
quant
on assiste
contraire,
alors
sous
différents
Dans le cas de l’ébullition,
tout
le
phénomènes
ils
phénomène,
propre
du liquide.
de chemin
deux
sous-jacentes.
constitutive
du
les
bifurcation,
de
des causes
d’un
si
par une
régissant
les équations
le
facteur
de
chapitre
La
III
localisation
d’années
d’études
pas
localisation
aux
en
idées
la
statique,
détail
de
particulier
la
la
la
description
les
de charge
particulièrement
général,
sont
des
les
<85>,
études
Mande1
<79>.
grande
rapport
métaux),
pour
pour
avec
(Rice
été
<67>.
Après
une
s’est
manifesté
les
sols,
présenter
d’irrégularités.
- 36 -
et
Il
les
ce
plus
à partir
de
quasi-
des
lois
grand
de
nombre
est
apparu
en
(règle
d’irrégularités
précoce.
matériaux
genre
de
de normalité
l’apparition
une localisation
période
de bifurcation
<79>).
règle
des
en 1903
mais
d’un
prévisions
(Rice
Rudnicki
dans
Hadamard
des
que
et
par
à l’éclosion
ainsi
conditions
exprimées
rapide
à la
adoptée
les
L’évolution
adoptée
par
de comportement
dynamique
sensibilité
par
loi
plus
lieu
Ce n'est
généralement
solides,
non
phénomène
bifurcation
de
ont
ce sujet
70 a donné
entraînaient
connus
et
sur
rhéologique
important
qui
dynamique
locales,
d’un
localisée
approche
Ce
du matériau.
de la
cette
dizaine
bifurcation.
action
compatible
directe,
déviations
pour
les
solution,
formulation
montré
en
caractéristiques
<53>,
<78>,
de la
une
d’hétérogénéités
l’entrée
dans
d’activité
années
admise
surface
Hi11
les
résultat
de déformation
de la
depuis
théorie
rhéologique
concernant
Rice
l’objet
L’approche
d’une
<93>,
par
ont
que
généralement
dans
description
un mode
d’une
dans
qui
d’études,
au
base
donnée
comportement
les
la
un regain
en sommeil,
sur
ou de
Pémergence
Thomas
le
comme
cisaillement.
fait
de la
développé
du domaine
par
puis
1973,
si
de base
relevant
<50>,
cadre
de
comportant
Les
travaux
est
bande
permet
limites,
mise
qui
à rechercher
<80>).
le
brutalement
de vue
du matériau
dans
envisagé
modifie
point
consiste
plastique
de contraintes
qui
le
déformation
être
concentrations
physique
la
intensives
pourrait
phénomène
de
de
de
Ceci
est
granulaires
en
déviation
et
chapitre
Dans
stat
ces
ique,
pages,
avant
bifurcation
de
les
dans
Il
considérations
9 qui
existe
une
statiques
en
comportement
La
compression
cette
moyennant
purement
à la
une
condition
de P,
même
la
1,
résultat
de masse
qui,
linéique
: elle
peut
poutre
compte
d’inertie
être
au-delà,
stable.
des
critique.
le
en étudiant
de surcroît
- 37 -
de
d’Young
la
en est
en
le
alternatif,
calculer
l’équilibre
trivial
aux
de la
des
trivial
est
poutre
la
possible
fournit
limites,
simplement
solution
flexion
à une
du
laquelle
L’équilibre
E,
et
peut
pour
à écrire
cas
la
dépend
chemin
d’Euler
conditions
de module
2
‘TT EI
P =z
1
m 9 soumise
le
non
Dans
de
simple
deçà
fléchie.
1 et
obtenu
en
consiste
des
elle
exemple
La méthode
l’équilibre
tenu
la
dynamiques
et
c’est
supposée
mais
charge
9 un
charge
la
est
nulle,
complexe,
définit
qui
de la
est
élastique.
stable;
les
sur
La raison
phénomènes
du flambage
est
pour
localisation
statique.
Toutefois
statique
flexion
de longueur
Le
flexion,
une section
expression
appuyée
outre
est
dans
correspond
P
d’Euler
de la
introduire
de la
les
connexion
celui
axiale
plus
charge
moments
une
critique
de compression
chemin
i.e
charge
encore
fois
quasi-
travaux
voir
de
de la
entre
du matériau.
Bruhns
et
principaux
au sujet
purement
Cette
les
et
générale
théorie
Raniecki
priori
solides
générale
connexion
mécanique.
une
a
relever
dynamique
sols.
des
surprenant
la
s de
revue
du type
des
de vue
par
.
matériaux
rhéologique
donné,
élément
Je passe
Enfin
semble
po ints
récemment
de dynamique
déformation
les
quelques
paraftre
peut
d’abord
prolongée
st andard.
non
bifurcation
être
donner
de Hill,
matériaux
qu’il
on expose
III
charge
dynamique
axiale
est:
d’une
P. La
.-
chapitre
III
solution
“dynamique
de
l’équation
du mouvement
s’écrit
des structures",
page 318 <22>)
(d’après
Clough
et
Penzien,
:
v(x,t) = qk)ow>
avec
transversal
v déplacement
x abscisse
t le
@ et
longitudinale
temps
Y s’explicitent
de la
façon
y(t)
suivante:
Yw
=
-
sinwt
+ Y(O)coswt
W
Q(x)
= Dl
sinsx
+ D2 COS~~
+ D3 shEx
+ D4 chex
avec :
s
= v (a 4 +
2
mw
E 1
a4 =
où
P
a
9 ,=-
et
E = ( a4 + g4/G, Ve - qv2
+ ga/ 2
g4/4)“&
w étant
L’application
des
constantes,
et fournit
conditions
une
aux
pulsation.
permet
limites
équation
Dl
dehors du cas trivial
Dl
q
de
déterminer
0
sin
(pas
61
0
= 0
de mouvement),
on a donc
la
*
vibratoire
:
Q)(x)
si
la
6 1 = kT
condition
En explicitant
6
2
w
la
EIkw
=-m
Il
apparaît
que,
lorsque
= Dl
sinsx
est Vérifi&e.
t on obtient
trois
:
D2=D3=D4=
En
la
E 1
P augmente,
sur la pulsation
condition
&a
at
kW
1%
la
( -0l2
pulsation
- 38 -
P
)
EI
diminue.
w :
solution
des
III
chapitre
Elle
s’annulle
en premier
lieu
pour
1
k =
2
T
avec
:
EI
P -IIlô
où l’on
retrouve
Ainsi,
la charge critique
la
particulier
solution
propagation
La
par rapport
une
gradients
Le
d’un
des
L’onde
vitesses,
tenseur
des
des
a
dans
ce
cas
:
et
matériau
vitesses,
qu’on
de la
vitesse
relie
considéré
la vitesse
apparaissent
le vecteur
orientation
est
une valeur
alors
une
survient
n. Tant
des
ondes,
la
observe
l'accélération,
les
aujourd'hui
note
i Y s'écrit
(notations
actuelles)
de
<53>
linear).
stabilité
l’une
Il
et
est
des
C dans
définie
ondes
ne
de
et
pour toute
Dans le cas où
se propage
le mot
suivant
les modules,
positive
se propager.
laquelle
plus;
Hadamard.
on a
Ceci
de C s’annulle.
reprend
incrémentalement
par une équation
c'est à dire
peuvent
stationnaire",
le déterminant
est décrite
élastique,
indépendantes
C s'annulle,
n.
de l’onde
la forme quadratique
ondes
en 1962,
(piecewise
on
de laquelle
à une forme quadratique
du potentiel
“discontinuité
au cas des lois
zones
trois
lorsque
Hill,
que
propre
qui se
linéaire.
élastique
de propagation
les dérivées
n,
par
et de contrainte.
la direction
dans
Hadamard montre que la propagation
qui
cas
lieu
géométrique
dont
o(‘9p
ag
le
normal à la surface
g dérivée
Le
surface
une
déformation
de
comme
en premier
étudiée
et de part et d'autre
---=nauot
F
o’a
avec n vecteur
a été
désigne
taux
obtenue
nulle.
nombre de variables,
ceux
gradient
à pulsation
envisagée
certain
être
peut
d'accélération
à la matière,
discontinuité
statique
établi
des ondes
Hadamard en 1903 <50>.
déplace
problème
du
régime d’onde
d’un
d’Euler.
le point
de vue
linéaires,
voire
s'intérèsse
l*unicit&
aux
Il
- 39 -
de
Hadamard et le généralise
même
relations
définit
une
multi-linéaires
entre
par
la propagation
“expérience
mentale”,
chapitre
III
quasi-statique,
qui
d’accélération,
l’onde
tive
comme
tion
nécéssaire
une
réelles
indique
est
vérifiée
dans
hétérogène.
n’est
dans
son
sols,
tions
<67>,
une
étude
et
propagation
Coulomb,
(par
d’équilibre
le
le
Comme
dans
ici
avec
les
normale
au
plan
dans
d’onde,
Hadamard
et
1=
ijkl
les
la
il
montre
le
cas
des ondes
aux
existe
limites
Yéquation
mécanique
les
condi-
ce postulat
des
n’est
frottements
nécessaire
par
Hill,
de la
discute
que
condition
qui
rapport
est
à un
s’écrit
la
état
:
à dire:
c’est
= A
A
dans
Pn;-i
de Mandel,
et
ondes
ci-dessus
problème
laquelle
perturbation
pour
laquelle
condition
précis
plus
Il
une
petite
il
quadratique
de
quelconque,
limites,
le
lorsqu’il
propose
B
forme
dans
de Drucker.
d’une
notations
condi-
de trois
de propagation
cadre
le
esprit,
Bill
donnée
une
limites
la
certaines
par
néga-
11).
même
il
ainsi
et
au développement
si
mais
de stabilité,
et
donne
aux
vitesse
la
racine
l’existence
garantie
localement,
page
est
dans
que
postulat
ondes)
stable.
et
présente,
nécessaire
pas une condition
à la
dans
est
clair
<53>
en 1964,
de stabilité
internes
est
Il
rapport
qui
localisé
d’une
un problème
homogene,
il
(Hi11
)
solution
seulement
ensemble
Mande1
des
un solide
déterminée
par
Considérant
de la
Cependant
pas
du matériau.
de cisaillement)
l’unicité
un cisaillement
l’existence
de stabilité
direction.
toute
entre
d’interpréter
suffisante
(bande
que
similarité
intrinsèque
instabilité
et
pour
la
et permet
de Lüders
bandes
il
montre
MO(
j
k
o( sont
matrice
les
des
cosinus
modules
directeurs
de
incrémentaux
la
définie
ijkl
par
:
l
l
r
=A
ij
e
est
la
l
&
ijkl’
kl
densité,
n
la
célérité
et
le
vecteur
v
La propagation
de
le
l’onde,
gradient
de la
.
de vitesse
perturbation
dans
devient
- 40 -
la
direction
impossible
de la
lorsquea
normale.
=
0,
c’est
chapitre
à dire
lorsque
une
propre
valeur
de B s’annulle.
B
If
il
ou encore
A
entraîne
qui
:
Moi
det(dA
.
Concernant
limites,
la
Mande1
déformations
libres
contraintes)
être
se rejoignent
élémentaire
est
pas
elle
élément
stable
une
et
dans
un
instable
problème
au sein
d’un
peuvent
s’énoncer
être
pas
élémentaire
serait
qui
condition
ne peut
(1)
problème
à dire
donc,
n’est
plus
qu’un
(c’est
peut
de Hi11
qui
souligne
le
:
W)=O
k
ijkl
entre
connexion
alors
= 0
k 25 1
j
3
s’écrit
L’équation
=O
1
ijkl
III
étudiée
le
problème
si
l’on
Son point
sous
la
ses
défini
en
de vue
forme:
et
celui
L’instabilité
de l’instabilité
globale,
du problème
indépendamment
aux
suppose
élémentaire
massif.
suffisante
et
et
dans
son
l’énoncé
le
ici
les
par
les
ensemble.
III-3
La localisation
en bande
les
formulation
La
général
plus
grandes
équations
être
trouvé
:
de base.
directe
quasi-statique
peut
de cisaillement
la
dans
a été
par
donnée
référence
<79>.
Rice;
On en reprend
lignes.
sYntéresse
On
coordonnées
à une
actuelles
x
transformation
des
points
d’un
les
dont
solide,
définie
coordonnées
dans
l’état
de
i
référence
X . Le gradient
sont
de déformation
est
défini
par
9 classiquement,
1
= bx
F
ij
est
le
normale
la
de contrainte
s
que Rice
pour
adopte
son
analyse
j
tenseur
du tenseur
soit
. Le tenseur
/0x
i
nominal
de Piola-Lagrange.
force
n dans
agissant
l’état
(voir
de Hi11
par
Il
unité
de référence.
par
est
défini
de surface
Il
faut
-
41 -
exemple
comme
<55>),
le
tenseur
de référence,
noter
que,
est
qui
pour
le
s
transposé
tel
sur
une
le
mode
que
n-s
facette
de bifur-
de
chapitre
III
cation
envisagé,
les
simplement
la
déformation
envisagé
l’instant
possible
a une
à la
vitesse
est
bande
en raison
Rice
de savoir
F”,
produit
condition
je
discuterai
le
Une
dans
deuxième
vecteur
contrainte
continu
au passage
uniforme
en dehors
statique
incrémental
sur
direction
paralléle
déformation
vecteur
dans
la
et
g avec
(chemin
0
SO.
est
bande
d’un
le
à
est
champ
vecteur
n
(2)
avec
et
bande,
vitesse
la
dans
réalité
la
bande
et
(cf
être
doit
parallèle
facette
direction
la
n.
expérimentale,
de ce mémoire
entre
à la
le
comme
chapitre
VI).
vérifiée
:
bande
être
doit
courant
milieu
le
:
00
= n.s’
en raison
à
lieu
localisée
celle-là,
la
frontière
de la
donner
à l’extérieur,
expérimentale
condition,
s?mpose
pourrait
soumis
de déformation
de la
a1
condition
homogène,
+gen
gradient
n.s
Cette
de
0
= i
cohérente
partie
de la
mode
lI
1
le
est
la
du
:
g représente
cinématique
particularité
de contrainte
la
d’un
utilise
à un taux
prévaut
qui
l’on
de façon
et
un mode
tensoriel
l
Cette
i”
si
en 80 <80>).
qui
ce mode,
celui
de cisaillement
vecteur
Rudnicki
déformé
si
F
Le
et
identiques
d’une
de chargement
Dans
le
est
à fait
de transformation
courant
qui
tout
homogène,
alternatif).
somme du champ
normal
solide
posé
(chemin
additionnel
par
(discuté
à un incrément
problème
Le
seront
de Cauchy,
le
actuel
fondamental)
la
contrainte
considère
On
équations
(3)
du fait
ne varie
celle-ci,
que
pas
mais
non
l’état
de
plus,
seulement
contrainte
en son
dans
sein,
la
est
dans
la
direction
perpendiculaire.
Ces
matériau.
linéaire
deux
conditions
Rice
par
envisage
zones
une
loi
désigne
une
spécifier
comportement
de
=c
ij
où
à
le
comportement
incrémentalement
du
multi-
:
0
s
v
s
reste
posées,
vitesse
ijkl
de contrainte
- 42 -
00 D
kl
objective
et
D
la
vitesse
de
III
chapitre
déformation.
Si
on adopte
la
dérivation
l
s
=L
est
rotation
ijkl
la
kl
partie
matérielle.
manière
de la
la
pris
(2)
l
1
s’écrit
traiter
la
bande
1
k
i
vocabulaire,
jusqu’ici,
on pose
décrite
la
L’
entraîne
la
condition
:
(n
n)g
1
L
dont
la
quadratrique
ainsi
la
non
solution
(nLn)
condition
ijkl
triviale
apparaît
le
s’annulle,
classique
vecteur
tout
peut
constater
à
fait
avec
l’existence
d’une
la
problème
que
même
ne
tensorielle),
pas
se
comportement
dans
constitutif
(ou,
le
cône
peut
on a :
(5)
=O
(6)
k
lorsque
le
déterminant
g étant
alors
vecteur
de
la
forme
a
On
p0pre.
:
det
On
le
existe,
1
classique
i
le
par
-- L
triviale
l’hypothèse
même zone
0
ce qui
non
(4)
kl
0
1
L =L )e
entraîne
solution
est
l o
F
ijkl
g = 0 (qui
contre
à l’extérieur
un autre
suivant
n ) cl
envisagée
Si par
k 1
0
1
= n (L -L )
lorsqu’une
généralité
et
de référence.
l 0
triviale
solution
simplement.
de
:
ijkl
apparaît
la
Dans
vitesse
:
: (F-+gn)
kl
ijkl
L
i
La localisation
la
ll
1
alors
1
(n
la
à dire
=L:F
= L
kl
On a toujours
c’est
kj
:
F
(3)
ik
F0
l
l
1
1
s
en appliquant
+-ns
kj
l
SO = L0
La condition
:
configuration
générale
plus
l
,
pour
l
et,
on a alors
-sœn
ik
de ;
est
actuel
D
kl
l
l
antisymétrique
L’état
On a alors,
= C
ijkl
: F
ij
où J&
de Jaumann,
l
que le
critére
condition
(nLn)
= 0
de localisation
à laquelle
conduit
stationnaire
discontinuité
- 43 -
(7)
ainsi
l’étude
(voir
obtenu
coïncide
dynamique
pour
paragraphe
chapitre
III
précédent,équation
Le
traité
(1)).
problème,
<62>
incrémentale
abordé,
l’ont
9
et
comporte
plus
Chambon
travaux
des
grand
nombre
Rice
désigne
de chercheurs
théorèmes
élargie
principaux
résultats.
d’un
problème
localisation
la
couvrent
en bande
dans
et
cadre
une
et
de cisaillement;
(charge(qui
ne
synthétique,
présentée
seule
la
le
est
Bruhns
dans
pour
raison
cadre
une
a
partie
la
discussion
Il
J’en
été
Hi11
fait
- 44 -
modes
perte
phénomènes
plus
diffus,
réserve
a
été
Elle
à ceux
qui
d’unicité
bifurcation
de
large
les
1958.
à dire
à la
indiquent
et
en
c’est
effet
maintenant
formulée
de déformation
les
52>,
que
en
sous
présente
s’intéresse
les
<
un
(5),
qui
due à Hi11
a
a motivé
existe
précoce,
plus
standards,
de ce
qui
de l’hypothèse
<80>.
<76>.
de Hi11
gamme de modes
se veut
partie
la
élastoplastiques
limites,
et
linéaires
de l’élastoplasticité,
théorie
bifurcation
<80>,
généralisée
qui
continue”
de normalité.
condition
aux
pas
nécéssairement
Raniecki
aux matériaux
la
envisagés
de
le
peu
de Hi11
n’est
Cette
par
théorie
s’applique
vérifient
est
restrictives.
récemment
bifurcation
dans
été
général.
nom de “bifurcation
bifurcation
d’hypothèses
La
le
a
Rudnicki
zones
se trouve
problème
(4)
de l’élastoplasticité
linéarité
à cette
donc
à travailler
fondamentaux,
telle
qu’une
de la
cadre
étude,
et
et
deux
à non
loi
Je renvoie
de l’analyse
sous
présentent
moi-même,
le
Rice
le
dans
Une autre
concernant
La simplification
des
et
La théorie
III-4
une
linéaires).
de ce mémoire.
complète
lois
à l’équation
dont
premiers
les
pour
second
par
auteurs,
les
dont
de zones
effectuée
théorique
le
correspondant
Quelques
classique,
décharge)
été
général,
présent.
jusqu’à
Kolymbas
plus
que la
comme le
flambage
seule
ou
chapitre
le
claquage,
cette
et
gamme
réel
décrit
ceci
signifie
l’on
appartiennent
antisymétriques
au
un
à la
"raide"
résultat
à
par zones (donc
zones
dans
l’espace
les
linéaire.
loi
est
Dans
la plupart
:
la bifurcation
des
fidèlement
contraintes,
à
incréments
de
Le solide
par le
spécifiée
un
multi-linéaire);
des
actuel,
relation
la
Soit
comportement serait
le
correspond à la poursuite
linéaire
de
tenseur
de
du chargement le
cette
cas,
long
réponse est
la
<73>).
est le suivant
possible
en
comoaraison.
de
de l’état
dont
qui
(Needleman
des
sont
solide
zone
dont
voisinage
bifurcation.
sans
linéaire
linéaire
définir
peut
c'est
chemin
cas
et
standard,
et de déformation
associé
aucun
de solide
desquelles,
comparaison,
Le
notion
incrémentalement
que
contraintes
moins
symétriques
élastoplastique
l'intérieur
du
la
par une loi
modules
modes
l
introduit
Hi11
solide
divers
III
avant
que
le
pour le solide
linéaire
solide
réel
n’est
en
de comparaison n’admette
une
bifurcation.
elle
effet,
mais
récemment
bifurcation
plus
à
Rudnicki
la
Rice
L1 intérêt
donc
elle
réalistes
quant
maintenant,
<85>,
d’une
que
de
est
aussi
les
les
microscopiques
de
métaux
toutes
les
et
lois
déformation
critique.
dilatance,
moyenne
(entre
Needleman
<73>, Tvergaard <lOO>).
extension
de la
aux matériaux
matériaux
montré
ont
des
la
En
développées
de localisation
ductiles,
théorie
sévère.
permettait
comme une
à la contrainte
sols
aux
études
normalité
au niveau
dans
malheureusement
application
exclut
depuis
l’hypothèse
sensibilité
et
toute
plus,
de vides
développement
standards
priori
métaux,
de
en compte
aussi
de
pour les
1’ abandon
ainsi
a
exclut
granulaires;
que
aux matériaux
limitation
La
prévisions
de
prend
On
nucléation
et
le
et on s'intéresse
autres
exemples,
non standard
est
évident.
Une
s’applique
telle
à
extension
l’élastoplasticité
a
été
réalisée
non
standard
- 45 -
par
Raniecki
à un potentiel.
et
Bruhns.
Cette
Elle
théorie
chapitre
III
introduit
de nouveaux
vérifient
qui
Ceci
permet
sous
la
présentent
solides
linéaires
standard),
élastoplastiques
laire,
solides
la
forme
même propriété
nécessairement
de définir
de comparaison
que
une
des bornes
d’une
perte
(qui
à un paramètre
famille
celui
à savoir
de Hill,
d’unicité
inférieures
des matériaux
sont
avant
du chargement
scaque
ces
réel.
le
solide
qui
provoquera
la
bifurcation.
De plus,
un second
solide
linéaire,
de Hill)
celle
du solide
de comparaison
pour
un mode
significatifs
vitesses
par
en
matériaux
ductiles
directement
Tout
prédit
térieur
majorant
un
82,
sur
sur
les
en posant
la
base
concepts
du chargement
d’autres
telle
inférer
non
et
(5)
de la
(c’est
bande,
de bifurcation
solutions,
une
lois
à dire
dans
du solide
comme je
de ce mémoire.
- 46 -
qui
lois
le
réel;
l’exposerai
des
effectuée
par
pour
pas
cependant
que,
pas
de même que
chargement
cas
potentiel
ne sont
même cône
le
définie
Gurson,
de
ne paraît
de telles
que
été
de
c’est
dans
les
fondées
possi-
pour
bifurcation)
à l’in-
est
un encouragement
la
le
bifurcation
constitutif,
sans
de
progrès
des
fonction
standard
solide
un chemin
permettre
a déjà
à des
Bruhns,
sur
le
non-standard
et
plasticité
pour
de Raniecki
devrait
pour
(comme
réel
application
du modèle
de la
est
loi
l’élastoplasticité
L’application
l’hypothèse
et à l’extérieur
Elle
de plasticité
Une
peut-on
linéaire
solide
de
critère
<lOO>.
au plus
rechercher
cadre
la
élastoplastique
bornes.
deux
déformation.
de
Tvergaard
second
le
dans
classiquement
ble.
entre
donné,
dont
troisième
partie
un
à
III
chapitre
III-5
Principaux
Une revue
générale
serait
trop vaste;
les paragraphes
plus
les travaux
déjà
par Mande1
des
centrés
fait
vérifiant
pas
stabilité
en
rejoignait
la formulation
telle
premiers
Les
dans
cette
et
Cambridge <78>. Une première
1975
et
<85>,
denses).
La
,
loi
étudiée
modélisation
du développement
de
tion
n’est
L’étude
la
loi
version
de
sont
possible
cas non standard,
soit
en
suivant
écrouissage
le
améliorées,
chemin
bof
i
loi
en est
qu’avec
un
suivant
envisagé.
L’étude
que
le
la
sont
non
taux
- 47 -
des
sols,
et
Rice
lieu,
les
sols
à écrouispermet la
qui
si
en
les
paramè-
la bifurca-
revanche,
en écrouissage
paramètres
critique
en
de plasticité
nul;
à vertex
à
dilatants
standard,
vérifiée,
des
par
exposées
général
en
soit
les valeurs
d%crouissage
de
effectués
matériaux
montre que,
soit
modèle
été
été
la surface
dans
a lieu
du
en bande
mécanique
des
le sont
taux d'écrouissage
négatif,
en ce sens
qui
la normalité
bifurcation
de
optique
par Rudnicki
élastoplastique
que
cette
ont
en ont
faite
par localisation
tels
la première
directe
et
d'angularités
urcation
ne
nécessaire
que
est proposée en second
modifiée
choisis
vu
prémisses
moyenne (comme
une
Une
tres
application
est
sage isotrope.
(vertex).
Les
Drucker.
de
en 1976.
sur la plasticité
à la contrainte
sensibles
sols.
en 1964
élastoplastiques
a
la formulation
le cadre des roches fragiles,
dans
postulat
condition
On
par Rice
donnée
d'un symposium
présentée
et
une
un peu
sols.
problème de la bifurcation
du
des
des
solides
à détailler
matériaux
propose
de
le cadre de la mécanique
ici
les
été mis en valeur
de l’étude
d'ondes.
statique
développements
Rice en 1973 lors
il
dans
ont
stabilité
à des
étude
est
ces études
III-Z
entre
de propagation
qu’elle
la bifurcation
du type
paragraphe
au
normalité,
terme
de
dans les sols.
et je me limiterai
les rapports
dans
la
aspects
sur les matériaux
mention
concernant
cisaillement,
concernant
travaux
précédents,
s'intéresse
Mande1
sur la bifurcation
les principaux
dans
Yai
travaux
de
dans le
positif
la
loi
t
et
montre des prévisions
est
augmenté
(ce
qui
chapitre
III
correspond
à une
Cependant,
la bifurcation
lier,
dans
référence
blement
bifurcation
précoce,
plus
en régime de durcissement
cas de la compression
le
subtilités
que
la description
de
exclue,
(tables
prévisions
les
rhéologique
réaliste).
comme plus
reste
axisymétrique
<SS>). Les auteurs concluent
des
considérée
particu-
en
1,2 et
3
de
la
considéra-
dépendent
incrémentale,
elles-mêmes
encore mal comprises.
Vardoulakis
à
sols,
a
partir
localisation
consacré de nombreux articles
de
en bande
perte d’homogénéité
axisymétrie
est décrit
sur
l’angle
de
frottement
frottement
est faite
pour l’angle
de
angles
de localisation
conditions
4
principales
déviation
nulle
effectuées
Dans
la
zsb
loi
.
<lOl>,
tenseurs
aussi
la
comportement du sol
principales;
à
la
elle
est
déformation,
total
au pic,
(pas
interne,
de Rowe <83>.
prend place
la
ou antisymétrique
du cisaillement
dilatance
une
déviation
contrainte
c’est
et
outre,
En
type
coulomb)
de bande
y
avec
ou bien -7r+ - 2’
tenseurs,
4
o( est
d’angle
et vitesse
(chargement par des poids,
Ces résultats
à
dire
de
déformation.
alors,
sont
introduite
suivant
ou par contraintes
déviation
maximum
(solution
sont en bon accord avec
des
roscoe),
type
les
Les
mesures
les
impo-
direcavec
d’orienta-
par l'auteur.
l'article
des
de la
sont
maximum.
(solution
des
Le
les
se déforme en
comme une contrainte
prévus par l’analyse
limites
aux
T$
des
<104>).
en fonction
est introduite
mais
symétrique
avec écrouissage
Coulomb,
évoluant
de 1978
les directions
<101>,<103>),
en composantes
la localisation
que
frottement
entre
tion
à la
mobilisé
l'article
Dans
plane
dans
envisagés
l’échantillon
périodique,
écrite
La dilatance
l’hypothèse
tions
partielle,
sur la base de la théorie
spécifiée
,
cours de laquelle
au
<102> ou en déformation
un
bifurcation
de
(références
par une géométrie
d’adoucissement).
sées)
modes
de cisaillement
par une loi
fondée
Les
diffuse,
caractérisé
un mode
(en
1978.
à la bifurcation
modules
de 1980,
l'analyse
de cisaillement
de bande est reprise
en axes
- 48 -
principaux,
et
en
en
incorporant
abandonnant
à
chapitre
l’hypothèse
état
d’angle
limite
mobilisé
plastique.
en tangente
maximum,
Cette
de l’angle
analyse
de la
est
classique
crée à la bifurcation
gulaire
soumis
modes
étudiés,
réelles
à une
logie
la
l’étude
quatrième
du
un
degré
diffus
traction
et
et
de ce type;
localisés,
déformation
en
Hi11
Hutchinson
et
d’un
plane.
Hutchinson
ont
Dans
utilisé
les
consa-
rectan-
bloc
tous
les
de
racines
une
termino-
de l’existence
permet de classifier
qui
<54>,
régimes
en
trois
:
Elliptique
avec
racine
aucune
réelle
Hyperbolique
4 racines
réelles
Parabolique
2 racines
réelles
est
bifurcation
La
de Hi11
se ramène à celle
classique,
à
+b=O
modes
discussion
é-quation
désormais
classes
sous divers
de
à l’équation
restriction
2
+at
depuis
à un essai
une
:
4
équation
introduisait
conduit
bande
t
Cette
qui
III
Elliptique/Hyperbolique
en
premier
(qu’il
ne faut
(aucun
(deux
t2
>0,
(un
lieu
t2
éventuellement
seul
possible
confondre
>0)
t2
à
double)
>0)
frontière
la
avec le régime parabolique),
ou Elliptique/parabolique.
La
de
discussion
des
Vardoulakis
régimes pour l’équation
permet de tirer
parmi lesquelles
- la
divers
relève
on
les
nombre
de
de
conclusions
l’analyse
physiques
suivantes:
apparaît
localisation
certain
un
résultant
en phase
d'écrouissage,
c'est
a dire avant le
pic 0
- l'angle
- l'angle
1’ indice
<3>,
T-
+- -(9
2
4
de
p signifiant
à
corroboré
Dans
partir
la
n’est
bande
“picl’;
de
article
est
on
considérations
par des résultats
un
jamais
atteint;
c'est
approximativement
retrouve
ici
l'angle
microstructurales
une borne supérieure.
I
Ïî- 2 - (@p + Vp ) ,
4
4
proposé par Arthur et al.
(voir
chapitre
II),
et
expérimentaux.
ultérieur
<106>,
- 49 -
Vardoulakis
introduit
un
paramètre
chapitre
III
d’imperfection
au
sein
dans
de la
traduite
Le
bande
par
spécifié
l’analyse
la
est
supposé
déformation
par un angle
résultat
où
considère
on
s'amplifier;
au moment
grande déformation
articles
Les
est plus
pour
taires
pour les sols.
(suppression
constater
que
tonneau)
être
pouvait
Vardoulakis
pas
liée
sont
les sols;
au
précédemment
la
la
utilise
citées,
montre que,
phase
pression
contraire,
raît
la
possible,
frontière
bande.
ou moins
résorber
se
dans
la
ou
bande
en raison
de
la
à
un
observés lors
du
en
cours,
dont
des
essais
élémen-
de l'essai
a permis en
aux
Les
effet
le
études
notamment,
en
de
classi-
extrémités,
mais
par
faites
genre en ce qui
du
impor-
aussi
(par exemple,
matériau.
premières
tout
expérimentales
conditions
aux frottements
dûe
touchent
mais
en mode diffus
les
sont
en mode diffus
au niveau des têtes)
comportement
une
et
superposé au mode homogène
dans
peut
est
de la
(plus
mobilisé
localisation,
des
seulement
travaux
elle
donné
concerne
France,
ceux
de
polytechnique.
Vardoulakis
calcul
de la
à ma connaissance
d'autres
Loret à l’école
le
celui
du frettage
n’était
l’état
frottement
à la bifurcation
perte d’homogénéité
la
au sein
suivant
activée,
de
instant
relative
grand qu'à l'extérieur,
raffinement
Le
diminué
que,
la compréhension des phénomènes
triaxial
que
de
à un
est en apparence paradoxal).
consacrés
problème un peu différent
tant
indique
Le matériau
La faiblesse
asymptotique
cas, l'angle
(ce qui
faible,
totale.
l'imperfection
bifurcation
de la
de cisaillement.
plus
déviatoire
car il
ce dernier
dans
en bande
légèrement
frottement
de
est remarquable,
précoce)
plus
classique
cellule,
dans
le
cas
du même
formule
et
considérée,
qu’au-delà
en
pour des échantillons
E/H
des
régimes définis
que
d’un
ses
dans
mode
la bifurcation
d’une
homogène
déformation
d’élancement
par l’équation
- 50 -
certaine
est
références
alternatif
diffus
Dans le cas du triaxial
la déformation
du biaxial
type
la condition
fondamental.
pour la loi
d1 écrouissage,
de
loi
axisymétrique,
apparaît
valeur
critique
impossible
plane,
le
courant,
qui
mode
qu’au
toujours
<102>.
diffus
de
Au
n’appa-
voisinage
gouverne la localisa-
de
chapitre
tion;
le mode diffus
rompu immédiatement
Darve,
faite
mais
l'extérieur
d’une
avec
les
bandes
de cisaillement
V
(cf
= 0,
à laquelle
l’angle
la
limite
loi
au voisinage
argile
une
chaque
symposium
doit
la loi
aboutit
à
à l'intérieur
condition
au résultat
principales
condition
portant
sur
de ces
que
est
et
à la
Le développement
Darve applique
linéaire
infinité
à
la
condi-
l’angle
des
par -ip
donné
2 -3
2
4
de localisation
la
notion
La condition
de
et les termes correctifs
introduits.
tangente,
llintégration
dont
de zones.
sont
du Québec;
l’analyse
qui généralise
imposée,
homogène
prévisions
Les
les expériences
On
de
triaxiale,
est vérifiée.
plus
du chemin
lors
compression
à une
la matrice
structurée
pas
de
de Jaumann
intervenir
fait
une
de plasticité.
non
n’est
corrotationnelle
nul
est multi-linéaire
constitutive
Darve ajoute
récent <32>,
par passage
surface
la loi
est
de dilatance.
tensorielle
tion
limite
incrémentalement
loi
même zone
avec les directions
Dans un article
une
de Rice;
L’analyse
paragraphe 111-3) permet d'aboutir
bande
expressions
tions
développée dans le même travail.
l’hypothèse
la surface
de
9 avec
a présenté dans sa thèse <29> une étude de localisation
classique
det(nLn)
car son développement est inter-
pas,
localisation.
formulation
de la
proximité
donc
incrémentale
la
zones,
classique
la
en 1978,
suivant
huit
par
à la loi
appliquée
n’apparaîtra
III
bifurqué).
la condition
de la
loi
la poursuite
L'étude
un
est interrompue
de localisation
est
chemin
de
en déterminant
de
la
pour
effectuée
de localisation
sur
zone
la dériva-
par une linéarisation
définie
(non
de
proximité
de
La condition
à
est testée
élémentaire
lorsque
à
de
la condition
obtenues sont en bon accord avec
.
aussi
noter les travaux
sur les matériaux
tion
pour une loi
de
Mohr-Coulomb.
élastoplastique
L'originalité
granulaires
non
de
Vermeer <107>,
de Delft
standard
- 51 -
a
présenté
(82) une étude de
de type
de la présentation
qui
classique,
réside
dans
au
localisa-
avec critère
une
certaine
chapitre
III
économie
de moyens
retrouve
Vermeer
critique,
classe
<71>
auteurs
frottant
et
ont
len
localisation
une
que
Cette
vitesse
déviation
soit
bande.
appartenant
notamment
sont
leur
trait
postulée,
commun
cinématiques
en régime
est
la
d’écrouissage,
et
avec
et
rejet
le
contrainte
par
spécifiée
et
standard
non
avec
soit
à la
Mehrabadi
de
de type
de déformation
ex-caractéristiques
lom,
complètera
sur
la
la
coïn-
statiques.
La
l’orientation
de Kolymbas
Il
car
de
ne faut
porte
l’hypothèse
dans
confondre
pas
études
<62>,
de
qui
localisation,
du matériau
complète
de cisaillement.
des
sur
le
en
les
zones
ceci
problème
avec
étudié
loi.
ramène
hypothèse
étude
de l’analyse
de rigidité
rigide-plastique,
d’horizon
d’une
significative
l’hypothèse
bande
ce tour
11 s’agit
aux sols.
modification
la
l’approximation
pas
la
à Pécrouissage
quant
grossiers,
envisagés
à écrouissage;
référence
simplement
autres
s’agit
modèles
possible
appliquées
introduit
non
des
dernière
bifurcation
posant
et
Il
généralité.
1.
- -~ (er+W”
4
Une
Les
(de
d’une
apparaît
lr+
-
critique
<l>.
de coaxialité
des
plus
de la
Mande1
de la
modèles
plastiques.
préjudice
par
à l’angle
des
sensitive),
au profit
cidence
étudié
sans
énoncés
quant
rigides
(pressure
totale),
résultats
les
de Anand
de l’hypothèse
mathématique,
Vardoulakis
des modèles
Cowin
et
ainsi
et par
D’autres
au niveau
(3)
l’équation
à la
forme
suivante
:
0
n.s
l
(en
La
effet,
loi
F”=O
et
que
découle
une
loi
est
alors
incrémentale
par
L
n’est
numériquement;
sur
un
chemin
pas
complètement
la
spécifié
condition
donné;
les
non
<18>
Chambon
non
n.(
puisque
(8)
sO=O).
proposées
celles
de (8)
donc
est
de Kolymbas
type
= 0
0
si
est
L:[email protected]
g et
testée
résultats
et Darve
linéaire
généralisée,
<30>.
du même
L’équation
qui
:
) = 0
n ne le
à chaque
montrent
-
linéaire
52 -
(9)
sont
pas.
procède
Kolymbas
pas
d’intégration
une
bifurcation
de la
en
loi
régime
chapitre
9 plus
d’écrouissage
pas
sols,
plus
que
à savoir
la
paragraphe
Il
lois
(chapitres
et
qui
VIII
et
et
de
sont
IX)
est
tous
la
bande
De
certes
auteurs
dans
du même chemin
elle
plus
a
qu’à
le
plane.
mais
restrictive,
autres
les
déformation
qu’en
le
elle
ne
domaine
des
l’extérieur
(cf
d’être
plus
mérite
l’expérience.
non-linéaires,
hypothèses,
développements
par
5).
souhaitable,
incrémentales
l’autre
par
Kolymbas
dans
équation
suggérée
apparaît
faite
poursuite
111-3,
immédiatement
par
celle
axisymétrique
au triaxial
introduite
L’hypothèse
l’est
précoce
III
possible,
le
dans
de s’affranchir
traiter
présentés
le
dans
.
- 53 -
cas
la
cadre
à la
de l’application
fois
général.
partie
théorique
aux
de l’une
C’est
le
de
et
sens
ce
travail
de
des
chapitre
III
- 54 -
Deuxième partie
*************************
*
*
LA LOCALISATION
A L'ESSAI
*
*
ETUDE EXPERIMENTALE
*
*************************
-
55 -
*
BIAXIAL
*
*
*
*
La localisation
laboratoire
comme
lorsqu’elle
apparaît
observer
ques
sur
la
sur
de la
réponse
le
des
surface
évidente,
stades
avancés
de rupture
de garde
page
au contraire,
localisation
n’est
Y qu’à
une
de la
photo
déformation
terrain
comme
de ce phénomène
celui
& l’instant
de son
évolution,
celle
qu’on
où l’on
le
premier
quitte
de
peut
théori-
Les analyses
tout
avant
un essai
que
de ce mémoire).
concernent
naissante,
(telle
dans
stade,
le
chemin
de
quasi-homogène.
la
C’est
mise
au point
mesurer
la
présence
raison
d’une
pour
le
en une
donc
est
moyen
localisation
fourni
par
d’aller
visualisation
et
et
ultérieur,
contrôlées.
quantitative
en
L’étude
de la
localisa-
stéréophotogrammétrique
méthode
à la
observer
son développement
délibérées
la
efforts
quelques
permettant
et
d’imperfections
consiste
consacré
j’ai
expérimentale
de la
éventuellement
dont
laquelle
installation
naissance
expérimentale
tion
de la
de
faux
relief.
Cette
a été
Andrawes
été
sur
en 1970.
sur
de
plomb
à Cambridge
applications,
tions
par
par
billes
d’utiliser
obtenues
et
Roscoe
ses
par
de ces
déplacements
Arthur
de plomb
et
dont
conjointement
le
des
champs
modèle
;
par
rayons
X.
<81>,
déplacement
la
par
a été
Cette
effectué
est
une
connu.
stéréophotogrammétrie
- 56 -
Harkness
incrémentale
a été
a reçu
<57>.
de
une
et le
développée
nombreuses
déforma-
méthode
définie
triangulation
est
de
des
Le calcul
suivant
Il
ont
mesurés
étaient
technique
elle
et
des déplacements
déplacements
et
utilisant
stéréophotogrammé-
Butterfield,
à partir
ces
Bransby
et
expérimentale
de déformation
plane,
le
James
James
La méthode
collaborateurs
notamment
caractérisation
en Angleterre
côté,
dans
la
plane.
en déformation
réparties
à partir
Roscoe,
autre
modèles
radiographies
des
ni
nouvelle,
notamment
D’un
des
pas
en déformation
développée
obtenus
billes
n’est
de déformation
de champs
trique
méthode
sur
évidemment
calcul
la
base
des
tentant
des déforma-
tions
et
Al
; ceci
a été
Hasani
en 1978
bases,
est
conçue
particulier
ment
pour
un esprit
non
une
lequel
résultats
recoupent
ceux
ou les
infirmant,
travaux
novateur
plus
est
mis
tion
et
méthode
des
pas
sur
maximum
; elle
de points
de
oeuvre
pas
de pionnier.
par
les
d’autres
les
mêmes
présente
mesure
une grande
sur
l’apparition
son
d’un
Dans
la
évoqués
ici
en
absolu-
souplesse,
sur
au fur
le
final.
vierge,
plupart
des
les
et
développement
a été
cas,
fait
de
les
confirmant
à mesure.
le
sur
en sera
qui
dans
Ceci
un appareil
terrain
l’exposé
consiste
et
stade
obtenus
là
Dans
seront
présentés
été
expérimentateurs,
complétant.
travaux
sur
ont
ne s’agit
concourant
seulement
fondée
confère
lui
présentés
Il
publiés
essentiellement
non
être
vont
ou encore
antérieurs
ce qui
Andrawes
Mc Gown,
extensive.
plane.
faire
employée,
réseau
d’un
régulier,
qui
pourrait
on
j’ai
notamment
de généralité
utilisation
résultats
dont
que
s’accomoder
pas
en déformation
biaxial
auteurs,
La méthode
de
et
quelques
<69>.
dans
quelconque
Les
le
par
l’avantage
nécessaire
les
fait
L’aspect
que
la
fait,
l’accent
localisa-
grâce
possible
à la
stéréophotogrammétrique.
Cette
partie
seconde
ment
à Pinstallation
enfin
à la
synthèse
comporte
expérimentale,
des
résultats
trois
à la
obtenus.
- 57 -
chapitres,
méthode
consacrés
respective-
stéréophotogrammétrique
et
chapitre
IV
Chapitre
IV
L'ESSAI
BIAXIAL
*****************
IV.1.
Gdhéralités
--~~~~~-1-------~
L'essai
concerné par cette
taire
en déformation
essai
dans lequel
plane,
à chaque
contrainte,
déformation,
en général.
En d'autres
d'homogénéité
l'essai,
sur sable.
l%chantillon
caractérisé
nous dirons
instant
vitesses
il
est un essai
par essai
détermination
un
de matériau
des tenseurs
les variables
d'état
est voulu homogène, mais comme cette
notion
par ailleurs
et de toutes
élémen-
élémentaire
comme un élément
par une seule
de leurs
plutôt
J'entends
est considéré
termes,
recouvre
étude expérimentale
une appréciation
un essai
élémentaire
de la bonne qualité
(type
d'essai),
aussi
de
homo-
gène que possible.
Cet essai
laquelle
Schneebeli,
Tratapel
particulier
j'appartiens,
mais
un matériau
<97> puis
a déjà
toujours
qui par nature
Duthilleul
été utilisé
dans l'équipe
e
sur le sablèbidimensionnel
ne connaît
<43> ont effectué
- 58 -
que la déformation
MASTEC à
de
plane.
un grand nombre d'essais
chapitre
élémentaires
ou de
essentiellement
simulation
le
observations
sur
calage
concernant
ques sur cet aspect
d’une
la
recherche
La déformation
partir
étant
que
données
interdite
la
translation
cette
direction.
des
points
que
Les
de
la
de tout
reillage
pour prise
tation
ultérieure.
géométrie
de
que les
riables
tion
une
cette
de vue
et
nulle
à l'émergence
du champ
de l’échantillon.
à ceux de
de ce
que seule
de
thème
Toute
à un plan,
cette
déformation
à
déformation
on sait
350
en effet
face
D3
1
exploi-
la
ainsi
aux
généralement
imposée
4
mm
visua-
Figure
limites
est
-11;--15----Geometrie
Essai
conditions
et
biaxial
aux
:
limites.
va-
nettement
dans
1.
Para(-.
de dimensions
est
conjointement
à
1 présente
L’échantillon
mais
nombreuses remar-
sont
l’échantillon
,-.lèlépipédique,
complète
L’appa-
conditions
appliquées.
ses
par
avant
de
figure
La
mais
déplacements
permettre
avant,
pour projet
de la cinémati-
parfaite
lisation
de
pour la raison
perpendiculaire
parallèle
l’échantillon.
doit
à faire
choisie
surface
en
reproduit
face
représentatifs
donc
a été
mesurables
vecteur
avait
pour ce matériau,
l’amènent
la détermination
se
de
premier
de Grenoble.
dans la direction
cinématique
rhéologique
loi
ne sont pas étrangers
plane
permet
des
Le
des phénomènes et ses travaux,
au laboratoire
configuration
matériau.
localisation
Darve sur le plan théorique,
de
ce
IV
le
sens
moins
de
épais
que haut
l'épaisseur,
- 59 -
et large.
La déforma-
le plan de déformation
’
chapitre
IV
plane
est
cales
reçoivent
dès
ainsi
la
fabrication
sa
axial
supérieure
et
Tel
:
il
que
t
l’échantillon
parfaites
les
tions
la
lées
obtenu
par
violer
de
même
et
le
cela
comme
(direction
conception
d’un
vers
initial
enveloppé
d’épaisseur.
horizontales
faces
la
à mettre
par
exemple
l’application
figure
les
1).
face
déformation
types
de
Ces diverses
principales
- 60 -
~
(fabrication
: en
être éliminés
(et
plane.
l’effet
(anti-
arrière)
on peut
des
perturbations
caractéristiques
aussi
perturbaaussi
sont
horizontale
exigences
de
Ces conditions
; mais
force
d’une
tel
homo-
d’hétérogénéité
avant
en évidence
maintenant.
soit
pas
asymptotiquement
D’autres
dont
verti-
parfaitement
doivent
la
impose
l’essai.
appareil
est
être
de l’essai
entre
sur
la
des
peut
sol-tête
qu’approchées
3 sur
faces
millimètres
relatif
n’introduise
contact
de façon
de 0,4
essai
au contact
qui
autres
l’autre.
l’état
dispositif
deux
CQ L’échantillon
de latex
chargement
qu’au
être
notée
un tel
que
Les
mouvement
jusqu’ici,
délibérément
résultantes
têtes
l’une
frottements
ne peuvent
envisagées,
des
est
pour
les
imposée,
membrane
et que le
particulier,
l’échantillon.
une
défini
suffit
de
dans
inférieure
de l’échantillon)
frettage)
face
pression
une
L’écrasement
gène
grande
sur
ont
sont
l’une
conduit
détail-
à
chapitre
IV
IV-2. Conception de l'appareil
-----------------------------La
photo
1 montre
principalement
d’une
larges
à l’intérieur
hublots,
tion
la
plane
direction
frontale
ici
dispositif,
sur
aussi
grosse
reçoit
qui
ce
une
d’ensemble
de laquelle
est
et
sur
La photo
la
photo.
le
1Ynstallation.
placé
le
un échantillon
têtes
d’échantillon
perçée
kPa,
à déformation
à la
fin
et
d’un
dans
vue de ce
On observe
essai.
vérin
le
nulle
meilleure
une
de
de déforma-
dispositif
2 permet
s’agit
Il
à 2 000
maintient
avec
les
de
pressurisable
enceinte
l%chantillon
présenté
cliché
vue
supérieur
(vérin
mécanique).
dire
plane
Sur
la
la
c’est
laire
figure
partie),
à dire
une
sous
sur
épaisseur
dispositif
l’ensemble
quer
et
le
représenté
bride
le
est
Pour
inférieure.
chargement
figure
solidaire
axial
dont
par
jugée
du socle,
l’échantillon
soit
par
on voit
plaque
au
suffisante.
Les
vissees,
il
qu’on
bas
la
queue
- 61 -
sur
cours
deux
peut
de ces
de
voir
la
entre
les
têtes
la
le
jeu
la
photo
possibilité
du vérin
4),
soit
l’essai,
parties
sur
offre
(par
rectangu-
apparaît
en place,
le
lléchantil-
négligeable
l’échantillon
à
Déformation
verre
de
déflexion
comme
c’est
derrière
située
une
l’appareil
que
de DP (pour
une
des entretoises
On notera
2 et
garantir
de l’appareil,
fixe
partie
portant
a été
2 présente
la
que
w3 exercée
par
partie
Du dispositif
métallique
dessin).
assemblées
La figure
rieure
n’apparaît
de 50 millimètres
sont
3;
du socle.
contrainte
la
représentée
solidaire
cette
(hachurée
plaques
2 est
reste
qui
dans
lon,
photo
Le dispositif
de déformation
--------(I----(111-------------------
celle
Plane
une
2.1
du
sur
la
photo
4.
supéd’appli-
hydraulique
par
le
haut
I
vérin
ii
~
couplage
vérin
capteur
force
avec
mécani
le
supérieur
de
dispositif
latéral
tête
de chargement
supérieure
y
plaque
arrière
que
de verre
plexiglass
échantillon
tête
vérin
Figure
----------
hublot
2.
Appareil.
Partie
inférieure
hydraulique
fixe.
Figure
--------mm
31. Appareil.
Partie
amovible.
T
a...
”
z
_
I
o\
W
I
Photo
-a-------
1.
Vue d’ ensemble.
Photo
---œ-----
2.
Dispositif
de DP et
échantillon.
chapitre
IV
Photo
3.
--------Dispositif
de DP.
Vue latérale.
Photo
--------- 4.
Dispositif
de DP. Détail
de la partie
inférieure.
- 64 -
chapitre
(vérin
mécanique,
rieure
lors
de l’essai).
trôle
exercé.
Dans
c’est
porté
un
cas
entre
constitue
situé
et
l’enceinte
Pour
avantageux
essais
du point
appliquant
trôlée
les
sur
manière
la
supérieure
par
partie
amovible
le
vérin
mécanique
contrainte
par
C’est
le
par
imposée
le
et
la
à permettre
vérin
le
vérin
de la
moyen
procédé
supé-
type
de con-
et
dans
l’autre
mesurée
par
un
supérieur.
machine
qui
d’essai,
supérieur.
latérale,
le
tête
le
est
il
est
possible
de s’affranchir
les
d’une
qui
a été
et
plus
de l’enceinte
mise
en
en dépression
pour
utilisé
libre
des
têtes
dans
- Rotation
Dans
par
développé
les
empêchée
:
de
la
conditions
échantillon-tête.
n’est
perturbations
des
têtes
diverses
possible
- rotation
à l’interface
l’étude
localisation,
à rendre
réaction
tête
est
à la
con-
les
essais
ce mémoire.
dans
De façon
limites
exercée
isotrope
de lQ5chantillon.
qui
photographique
de vue
couplé
diffèrent
axiale
à faible
contrainte
la
présentés
des
machine
d’essai
le
cette
plan
aux
conditions
ont
été
conçues
de
:
de DP,
autour
configuration,
d’un
aucun
axe
situé
moment
de
tout
au
têtes.
les
horizontales
faces
restent
telles
de l’essai.
- Translation
de réaction
libre
- Essais
sable/tête.
celles
Les
décrites
de la
horizontale
- Translation
que
porte
cellule,
force
une
la
3 montre
de la
chargements
c’est
de force
figure
chapeau
Ces deux
La force
La
force
le
un déplacement.
capteur
long
par
IV
n’est
empêchée
frettés
supérieure
coaxialité
: la
adoptées
loin
dans
le
plan
de DP : aucune
développée.
ou antifrettés
dispositions
plus
tête
concernant
-
des
9 par
pour
la
65 -
têtes
est
imposée.
lubrification
l’antifrettage
lubrification
de l’interface
sont
de la
du même type
face
de DP.
Il
chapitre
faut
IV
noter
cependant
d’ensemble
d’une
perturbés
par
d’une
de
essais
à la
antifrettés,
tête
légèrement
la
tête
est
le
glissement
par
empêché
la
(2 mm),
saillante
supérieure
l’application
même
par
développé
présence
disposée
au
force
d’une
en outre
latérale
sur
d’effectuer
la
structure
en cours
d’essai,
des
tête.
a permis <de mesurer l’effort
glissière
la
permet
de
réaclors
spécialement
localisation.
5 montre
La photo
plaque
de verre
repose
sur
darisée
Les
des
rapport
fritté,
cette
- Enfin,
horizontal
cas
antifrettée.
face
- La glissière
tion
le
par
de bronze
de la
essais
dans
de l’échantillon
pastille
centre
que,
pieds
6 illustre
la
avant
tête
en deux
pas
inférieure,
parties,
de centrage
les
n’a
l’ensemble
possibilités
l’une
qui
vont
échantillon
encore
été
alors
que
solidaire
réaliser
de rotation
+ têtes
avant
un essai.
posée.
On observe
que
l’échantillon
la
supérieure
est
encore
tête
de l’échantillon
et
l’accouplement
sont
et
des
- 66 -
translation
l’autre
visibles.
têtes.
La
désoli-
du vérin.
La photo
chapitre
-
67
-
IV
IV
chapitre
2.3
La
lubrification
La D.P.
de
exige
Yéchantillon
de
sur
effectués
le
a été
définir
la
sais
dans
le
Dans
la
verre.
partie
Dans
partie
membrane
la
la
la
contrainte
tangentielle.
On a fait
varier
étant
70,
106
divers
disposé
et
141
paramètres
kPa),
à densité
et
de la
une
par
par une plaque
de
enveloppé
maximum,
on mesure
: le lubrifiant,
la
on appli-
contrainte
le matériau
de verre
4.
Roite
de cisaillement
de lubrification
-
6a -
modifiée
d’interface.
d’es-
4.
graisse
Figure
--lb-------
Pour
figure
membrane
plaque
lubri-
série
la
considéré,
sable
sur
membrane.
réalisé
le sol est remplacé
le
celui
illustré
comme
essais
latex/verre,
d’une
j’ai
on dispose
Le sable
normale (35,
enveloppé
modifiée,
supérieure,
dont
les
des
de vue.
un contact
impératifs
une
directement
de ce point
de lubrification,
boîte,
tous
frotte
est
des faces
C'est
que
matériau
à lubrifier
un échantillon
de la
choisie.
le
critiquables
de cisaillement
inférieure
dispositif.
du
d’ailleurs
de divers
solution
boîte
notera
sont
contact
avec
verre
lesquelles
en raison
choisi
meilleure
une
dans
au contact
de frottement
de
; on
en verre,
de travailler
fication,
que
d’essai
cas,
de D.P.
totale
plaques
machines
notre
faces
absence
les
type
fût-il
Dans
dans
ce
des
dispositif,
puisqu’il
une
avec
difficultés
des
oour
étude
chapitre
de la
avec
membrane,
son
la graisse
meilleure
essais.
au silicone
lubrification
Chaque
friction
la granulométrie
épaisseur,
que
essai
f consigné
Unisilkon
a
dans
TK44N2
été répété
de quatre
tableau
est
Tableau
------1-e
Essais
Klür,
de
néoprène. Le tableau
le
le
du sable.
le
IV
11 apparaît
le latex
permet
que,
une
1 résume les résultats
à dix
fois.
des
Le coefficient
de
observé.
maximum
1
lubrification
de
I
matériau
e
mm
Comportement
f
& 0.01
.
0.2
0.4
0.2
0.4
; 1.4
shg
sbl
SM
Les
dans
les
dra plus
deux
utilisés
diffèrent
beaucoup
plus
sables
mais
frottant
cohérent
frottant
frottant
cohérent,
deux
cas,
loin
sur les caractéristiques
: le cas frottant,
comportement
cohérent,
0.045
<O.Ol
0.16
0.04
<O.Ol
Shf
Shf
pour lequel
atteint
valeur
max 4 0.08
KPa
granulométrie
: uniforme
pour le sable Shg (on revien-
sables).
pour lequel
une
KPa
par leur
grossière
des
max = 0.08
On distingue
= f
on a T
indépendante
de
deux
types
de
et le cas
x b;r
la charge normale
appliquée.
Le
résultat
considérablement
grains
moyen
du
des
paraît
rapport
est
de
Pour un sable
de sable.
cohérent
important
être atteint
que
la
qualité
l'épaisseur
de
lubrification
la
de la membrane à la
à granulométrie
pour une épaisseur
ressérrée,
dépend
taille
des
le comportement
de membrane égale au diamètre
grains.
Dans
leur
note sur la lubrification
recommandent l'addition
des latex,
d'une charge à la graisse,
- 69 -
en
Arthur
et Dalili
l'occurence
une
<3>
poudre
chapitre
IV
de polytetrafluoroéthylène
l'amélioration
due à la charge
lubrification
ration
pour des temps
serait
d'épaisseur
dispositions
adaptée
Dans
réalisé
le
importants
adoptées
(fluage
publiés
l%volution
de la graisse).
durent
qui
que
de
Cette
moins
d’une
la
amélio-
heure en
de
essais
la charge
supérieur
le capteur
axiale-déplacement
contrôler
axiale
confirmé
ainsi
ici
sur tout
La
partie
obtenues
ayant
ces ne sont pas supérieures
est
que
l’échantillon
donc
place”
: graisse
membrane
au silicone,
dans
l’efficacité
la
par le vérin
en
situé
“en
comparatifs
l'autre.
dans
sont
matériau.
au
but
deux
appliquant
par
résultats
des
principalement
concerne
pour mes essais,
insensible
Les
vérin
ressort
Il
d'écrasement.
phase
j’ai
(téflon).
aux
force
machine
haute
était
(voir
été comparées,
écarts
le frottement
de
inférieur
axiale
de
un
cas,
mesurée dans
figure
il
sur les plaques
- 70 -
dispositions,
déformation
dans
2).
ressort
de répétabilité
est réellement
ces
négligeable.
Les
les
que
verre qui
en
et par le
deux
courbes
de l'essai
de
plane,
cas,
force
les différencourant.
Il
est intégré
chapitre
matériaux
Divers
La majeure
partie
dans
ces
pages
mais
peu
fragiles.
Aux
des
0,8
et
des
fabrication
moule
forme
à occuper
par
à la
d’un
grains.
(de
gros
uniforme
fin,
(Shg).
aussi,
à 0,500
mm).
de ruptures
pas
1,35,
désigné
anguleux,
0,125
produit
correspondant
à
ne diffère
Il
comprise
mais
du
entre
le
en place
L’état
la
lequel
application
uniforme
a rendu
membrane
est
ce moule,
(OJ
mm).
nécessaire
la
mise
dépression
d’une
7 montre
La photo
du sable
plus
dans
constante,
5 : le
figure
dont
le
par
de chute
la
large,
dans
sable.
de taille
sont
en place
et
à l’extérieur
vu ici
du
en cours
de
de l’opération.
fin
par
à elles,
l’échantillon
spécial,
un étranglement
tube
d’Hostun
et
1,63
de verre.
billes
à grains
ne se
d’Hostun
très
quant
désirée
à hauteur
illustrées
travers
sable
des
sable
uniforme
sont
parallèlépipédique
à la
dépôt
le
et
siliceux,
il
minimum
l,OO.
de verre,
La mise
par
très
étude,
et
le
un sable
cette
sa granulométrie,
billes
d’un
démontage
est
sur
est
et
de 0,65
sable
forme
volume
C’est
sables
mm.
Les
maintenue
dans
deux
réalisée
Shf.
maximum
vides
par
que
1,8
sigle
densités
Le second
précédent
testés,
a été
envisagées
Les
indices
le
été
La granulométrie
contraintes
de grains.
essais
des
par
ont
IV
de petit
la
longueur
dense
est
le
quelques
est
déversé
diamètre,
et
spécifie
-
ainsi
avec
sable
obtenu,
volume
pour
71 -
la
le
défini
particularités
de
Shf,
qui
sont
à
à l’intérieur
en pluie
hauteur
effectué
un entonnoir,
depuis
tombe
sable
est
chute
avec
libre
un goulot
des
de
chapitre
IV
diamètre
@ = 4 mm et
chute
h
de
lâche
avec
950
faut
long
surface
et
ceci
la
le
du
est
dépôt
continu
section
l’opération
l’échantillon
de
dépôt.
divers
englobant
ration.
Il
rieur
est
à tous
part
d’une
les
de
la
sont
particulièrement
les
moyenne
être
moyenne
était
sur
Les
procédés
à la
1,62
et
l’écart
répétabilité
: pour
et
dans
l’écart
de ces
deux
initial
est
en
un cas
: pour
type
du sable.
points
et
d’autre
ou de vibration
de piquage
de vue.
a été
décrite
plus
divers
points.
80 points
loin
vérifiée
; elle
A titre
de mesure,
par
permet
d’exemple,
la
densité
0,04.
densité
préparés
12 échantillons
et
de l’échantillon
locale,
de la
type
Dép8t
d’opérateur,
en changeant
de damage
en question
de densité
5.
plan
même
de l’état
de 1,62
annoncé
est
le
critiquables
obtenues
Figure
-------e-1,
supé-
reproductibilité,
mesures
était
vaste,
de prépa-
modes
qu’il
de
après
assez
autres
mesures
Quant
peut
retenu
La technique
des
toute
au cours
L’homogénéité
gammamétrie.
plane,
sur
a été
apparu
de l’homogénéité.
voici
roulerait,
un déplacement
autres
part
d’obtenir
un monti-
rester
expérimentale
étude
éviter
du dispositif
de
plus
hétérogénéités.
par
Le procédé
une
le
sable
doit
obtenu
de
h = 0.
à de fortes
La
manuel
l’état
du dépôt,
duquel
conduisant
hauteur
impérativement
lors
que se forme,
le
mm ;
fl = 15 mm et
Il
cule
une
0,Ol.
- 72 -
globale,
de la
le résultat
même façon,
suivant
la
densité
chapitre
Photo
----e-e--
Le moule
7.
Après
remplissage
enlevé
par aspiration,
plane.
Ceci
glisse
la
une
est
surface
jusqu’à
par
d’aspiration.
supérieure
excès
obtenir
l’usage
Il
inclinée
du volume
est
une
d’une
le matériau
prévu,
surface
surface
même
possible
d’un
petit
angle
est
alors
est
supérieure
de
en excès
voulu
est
parfaitement
référence
de cette
prêt.
sur laquelle
façon,
par rapport
d'obtenir
à l’axe
de
(perturbations).
l’échantillon
La
L’échantillon
par
facilité
tête
L’échantillon
à échantillon.
IV
tête
est
supérieure
mis
manodétendeur à vide.
en
dépression
On peut
placée
et
à - 80 KPa,
démonter le moule
- 73 -
:
Tétanchéité
faite.
par l'intermédiaire
c'est
l'état
montré photo
d’un
7.
chapitre
IV
La
I
préparation
Un maillage
tion
rectangulaire
grossière
projection
permet
voit,
nir
en cours
Les
mesures
relatives
aux
préalable
interne
de la
ment
de fines
premier
que
couches
employée.
effectuées
ces
celui
placé
être
faites
visualisa-
par
obtenu
granulaire
(voir
à être
contrôles
était
et
chapitre
dans
la
plus
du type
On peut
été
il
par
a été
V).
La
machine.
directement
considérer
sur
été
la
- 74 -
décrites
comme
membrane.
d’obtede ceux
sable
sur
ce procédé
sur
encore.
à ces
essentiel
on le
effectués.
de
observée
possible
comme
représentatifs
couche
coloré.
rapport
de celles
donc
ont
démonstratif
préalablement
membrane
donc
de généraliser
n’a
de latex,
de sable
de la
une
sont,
est
sont
différents
différence
est
vont
déplacements
envisagé
membranes
disposition
déplacements
de
un aspect
la membrane. Il
Il
contrôle
cas,
été
de
à coller
aucune
des
qui
a consisté
membrane.
relatif
n’avait
prêt
que
est
confère
l’échantillon.
de
ne sert
en stéréoscopie
fictif
déplacements
Deux
déplacement
aucune
marquage
essentiel
qui
à ce stade,
l’assurance
Le second
transparence
membrane,
le
qui
main,
Le marquage
de déplacement
En réalité,
mesurés.
la
à la
du relief
à l’intérieur.
Le
saire.
sur
avec
sable-membrane
-----II---II---I-II----I
Adhésion
du sable
tracé
l’échantillon
3.3
au
à terme
d’essai.
visualisation
8 montre
menée
est
de peinture
la
photo
est
les
à la
de suivre
couches,
pas
bien
au paragraphe
fidèles
si
face
néces-
déplacements
Grâce
On n’a
la
les
le
relative
déplace-
observé
de
que dans
ce
précédent
mesures
de
chapitre
W-4.
Techniques
La principale
qrammétrie,
chapitre
à elle
de mesure dans ces essais
est un peu longue
seule (chapitre
outre
la stéréo,
non
moins
complexes
local,
cation
technique
Mais
certaines
même
de mesure
la description
dont
je
me contente
que j'en
IV
est
la
stéréophoto-
et m’a semblé
mériter
un
V).
d'autres
techniques
eu aucune
; n’ayant
d’en
ont été mises en oeuvre,
mentionner
le
à
principe
développement,
et d'indiquer
l’appli-
ai faite.
4.1 La planimétrie
-------------Cette
clichés
pris
trique,
les variations
un
appareil
rer
l'aire
en cours d'essai
mécanique
définie
raisonnable
environ
simple
de volume
bien
connu,
absolue
intégrée
sur n'importe
tronçon
complet,
à l'exploitation
contour
sur les
est
permet de mesu-
qui
fermé.
déformations
planimètre
Le
manuelle,
d’un
d'après les
stéréophotogrammé-
de lQ5chantillon.
d’utilisation
la
pour mesurer,
utilisée
globales
l'intérieur
comme
(l'erreur
a été
et destinés
à 0,Ol) et par ailleurs,
volume
lon
très
technique
précision
La
est
se chiffre
volumiques
permet de mesurer la variation
méthode
quel contour
au sein
de bande de cisaillement,
de l%chantillon
autres zones
de
(échantil-
typiques).
4.2 La gammamétrie
------II------gammamétrie
La
rayon gamma
d’un
lonner
du
cette
trajet
<47>,
avec
au
est
de
mesure fondée
d’un
corps.
de manière à en déduire
rayon. Cette
application
méthode
cours de sa traversée
atténuation
du
une
en
une
méthode a été développée
particulier
à l'essai
- 75 -
Il
sur l’atténuation
est
densité
à llIMG
possible
moyenne
d’étale
par Bernard
triaxialaxisymétrique
long
Wack
; la
chapitre
IV
machine
“phogadense”
été l'outil
a
Safwan Labanieh <63>, Didier
lisation
illustré
mon
j'en
que
dans
essai et permettait
données
B 0,02
petite
dimension.
L'erreur
méthodes.
elle
Degny
était
par
L’uticomme
traversée
obtenues
sur la densité
absolue
,
de
avant et après
effectué
de densité
<33>.
consistait,
ponctuelles
Ceci
comparer les variations
par les autres
Eric
particulière;
un peu
Terriez
de Jean-Michel
6, à mesurer des densités
sa
de
recherches
Bouvard <12> et récemment
ai eue était
par la figure
échantillon
des
avec
a été
celles
évaluée
kg/dm3.
4.3 La tomodensitométrie
-11--------1-~~~~~~~
La
tomodensitométrie,
Scanner, est
X, et
images
une
est irradié
l’objet
obtenues
matiquement
d’absorbance
méthode
suivant
un
des
X. La
son
appellation
médicale
incidence,
calculer
est
bien
une
il
coupe
développée
A partir
est
possible
dans
Figure
-- e------ 6. Gammamétrie t Principe.
- 76 -
des
mathé-
en terme
de l’objet,
analyser
source
de
Le rayonnement est ici
grand nombre d’incidences.
de
méthode
sous
la précédente.
pour chaque
cas particuliers)
locale
connue
généralise
transmission
en
(sauf
qui
mieux
le
domaine
chapitre
A. Sawczuk
médical.
Juin
83 une
mécanique
des
Direction
et
(entre
permettre,
autres
choses)
sur
corroborer
pour
est
des
cette
ces
techniques
l’usage
des
et
mes
plane
densités
à la
à cette
apprécier
la
plus
puissance
principales
a été
quantificative
spécifications
ayant
de la
fait
des
été
de l’essai
et à la
appareil
la
mesure
ne m’a pas
tel
outil,
j’ai
notamment
Cette
présentées,
il
stéréophotogrammétrie
déformations.
C’est
- 77 -
biaxial,
reste
application
l’objet
et
différentes
les
à expliciter
pour
la
dans
haut,
tridimensionnelle.
déformation
eu
précisément
En revanche,
d’un
à la
après
tomodensitométrie
inédits.
en
résine
de
conçus
décrites
de résultats
j’ai
à un tel
injecté
été
ayant
la
occasion,
accès
essais,
locales,
technique
du LMA de Marseille
avoir
méthodes
à Udine
à l’étude.
utilisées
qui
de
diverses
application,
résultats
actuellement
issu
par
pris
Marseille,
de
today”
de cette
et Cagnasso,
de déformation
applications
Les
tion
essais
de
apporté,
Clairval
“plasticity
l’application
contacts
à MM Sawczuk
clinique
Les
sur
à des
un échantillon
écrasement.
l’optique
Suite
grâce
de la
au symposium
portant
solides.
tester
d’y
a présenté
communication
de pouvoir,
chance
<87>
IV
obtenir
du chapitre
maintenant
la
V.
visualisa-
pu
chapitre
Chapitre
V
V
LA METHODE
STEREOPHOTOGRAM#ETRIQUE
************************************
Ayant
déjà
été
amené
stéréophotogrammétrique
méthode
à réfléchir
et à trancher
pense
qu’il
n’est
Sans
doute
trouve
vent
utile
dans
retouches
et
son
de la
d’en
état
faites
rédaction
mettre
en
quelques
définif.
de
chantier
petits
J'ai
donc
des déformations,
présenter
ici
regrets
la cohérence d’un
Mais
a posteriori.
façon
sur la
de publications
au calcul
son application
toujours
subsiste-il
figé
de
pas
cours
sur la meilleure
la forme exacte d'un article
rique
au
préféré
récent
publié
dans
le Journal
seront
faites
après l'article,
une
la chose,
autre
lorsqu'un
texte
version.
papier se
souffre
remarques
chapitre.
- 78 -
sou-
donner à ce chapitre
de Mécanique
et Appliquée.
Quelques
je
en fin
de
Théo-
chapitre
V
Jomud de Mécanique théorique et appliquée,
Vol. 3, No 1, 1984, p. 79-103.
Mesure du champ de défomation
d’un objet plan
par la méthode stéréophotogrammétriquede faux relief
Stereophotogrametric method
applied to the determination
of plane strain fields
J. DESRUES * et B. DUTHILLEUL
**
RBuMÉ. - La méthode stéréophotogrammétrique
de faux relief permet de mesurer, avec une précision
remarquable, les déplacements incrémentaux d’un nombre quelconque de points d’un objet plan soumis à une
transformation. Les développements décrits dans l’article permettent, par un traitement numérique approprié
de définir le champ de déformation associé. L’intérêt dans l’étude expérimentale de la localisation de la
déformation plastique est mis en évidence par des exemples d’application.
ABSTRACT.
- The false relief stereophotogrammetric method is a powerful method allowing
incremental displacements for any point of a plane abject subjected to a transformation.
In
describe a numerical procedure which gives the associated strain field. This is of great interest
of experimentai investigation of the localization of plastic deformation, as cari be seen from
given.
one to obtain
the paper we
in the domain
the examples
1. Introduction
.’
La méthode présentée est une méthode de visualisation quantitative du champ de
déformation d’un objet plan; elle a été conçue dans l’idée d’une application à des
champs de déformation non-infinitésimale, éventuellement très hétérogènes, affectant des
matériaux non élastiques. C’est la méthode la plus directe dans son principe, puisqu’elle
consiste à mesurer le champ de déplacement et à en déduire les déformations par
dérivation spatiale; toutefois la mise en œuvre de ce schéma n’est pas sans soulever
quelques problèmes, expérimentaux et numériques, qui sont discutés ici.
La méthode a été élaborée dans le cadre d’une étude portant sur la localisation de la
déformation plastique des matériaux granulaires. Dans ces matériaux,’ comme dans bon
* Attaché de recherche au C.N.R.S., Institut de Mécanique de Grenoble, B.P. no 68, 38402 Saint-Martind’Hères Cedex.
** Chercheur 3’ cycle, Institut de Mécanique de Grenoble, B.P. no 68, 38402 Saint-Martind’Hères
Cedex.
0750-7240/84/01079
25/$ 4.50/@ Gauthier-Villars
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chapitre
V
80
J. DESRUES
ET B. DUTHILLEUL
nombre d’autres solides, apparaissent à partir d’un certain stade de déformation, des
zones de concentration de la déformation, appelées bande de cisaillement. Dans le cadre
de la théorie de la bifurcation, cette localisation peut être vue comme résultant d’une
instabilité propre du matériau; les études dans ce domaine s’attachent à rechercher dans
la description rhéologique du matériau (loi de comportement) les conditions d’apparition
d’un tel phénomène. Le manque de données expérimentales concernant la transition de
la déformation non localisée à la déformation localisée nous ont conduit à mettre au
point des installations expérimentales et des techniques de mesures capables de caractériser
le champ de vitesse de déformation d’un échantillon soumis à un essai élémentaire
(contrainte et déformation supposées homogènes). Ces techniques s’appliquent aussi à
des essais sur modèle en déformation plane.
La stéréophotogrammétrie
de faux relief est une technique qui permet de mesurer le
champ de déplacement d’un objet plan. Elle constitue une branche particulière de la
stéréophotogrammétrie,
dont les applications dans le domaine de la cartographie aérienne
sont bien connues, et ont donné lieu à des développements considérables sur le plan des
matériels comme sur celui des méthodes d’analyse. Il existe aussi un champ d’application
non topographique qui comporte notamment dans le domaine industriel, le contrôle de
structures ou d’ouvrages d’arts (réflecteur d’ondes centimétriques, barrages en terre,
tunnels...), ou bien encore la mesure de l’écoulement des glaciers (Laboratoire de Glaciologie, Grenoble). Dans. tous ces cas on s’intéresse à des déplacements entre deux instants,
que l’on obtient soit par comparaison des trois coordonnées spatiales de points homologues, soit, directement, par la méthode de faux relief, dans le cas de déplacements
contenus dans un plan : la précision est alors considérablement améliorée. La mesure
des déplacements d’un objet plan subissant une déformation relève de ce dernier cas. Elle
a été mise en œuvre par divers auteurs dans le courant des années 1970 dont notamment,
en Angleterre, Butterfield, Harkness et Andrawes [43, en Pologne et en France, Beynet et
Trampczynski [5], Bénéfice et Boehler [6]. Ces différents auteurs ont ainsi obtenus sur
des échantillons ou des modèles plans, les champs de déplacement, par restitution
analogique avec une résolution de l’ordre de 0,Ol mm. L’originalité du travail présenté
ici tient au fait qu’il décrit une méthode, fondée sur la restitution analytique simultanée
des deux composantes de la parallaxe, qui permet d’accéder non seulement aux champs
de déplacement mais aussi à la détermination complète, en grandes déformations, du
champ de déformation; c’est bien là, en définitive, l’aboutissement de la méthode, dans
la mesure où l’interprétation directe des cartes d’isovaleurs conjuguées des composantes
du déplacement se révèle difficile; elle ne donne aucune information par exemple, sur les
variations de volume.
Cet article présente le principe de la méthode, les détails de sa mise en œuvre, et
discute l’application à quelques exemples.
.2. Principe
Soit un objet plan soumis à une transformation (non nécessairement homogène) plane.
Les déplacements des points de l’objet dans le plan caractérisent entièrement la transformation; toute l’information relative à un état peut donc être mémorisée par un cliché pris à
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chapitre
MESURE
DU CHAMP
DE DÉFORMATION
D’UN
OBJET
PLAN
V
81
l’instant correspondant à cet état. L’histoire de la transformation
peut être enregistrée
sous la forme (discrétisée sur le temps) d’une série de tels clichés, obtenus d’un point de
vue fixé dans l’espace. La stéréophotogrammétrie
permet de restituer et d’exploiter cette
information.
11 n’est pas possible, dans le cadre de cet article, d’entreprendre une discussion générale
de la photogrammétrie, et de ses méthodes. L’application qui nous intéresse ici constitue
un sous-ensemble bien particulier de cette discipline; un certain nombre de simplifications
découlent du fait que l’on se situe d’emblée dans le cas dit « normal », la prise de vue
étant faite perpendiculairement au plan de l’objet; en outre, le point de vue étant unique
et l’angle de visée fixe, le problème de l’orientation des gerbes perspectives se simplifie
considérablement. Nous nous limiterons donc à l’énoncé de quelques éléments fondamentaux concernant le lien entre la vision du relief et les différences géométriques existant
entre les deux images observées. Le principe de nos mesures, quant à lui, peut être
entièrement explicité sans faire appel à la notion de relief, phénomène qui n’intervient
dans le présent cas que dans la pratique de l’opérateur qui manoeuvre le stéréocomparateur. Pour plus de détails sur la photogrammétrie,
on pourra se reporter à l’ouvrage de
H. Bonneval, « Photogrammétrie générale » [7].
La perception du relief est un phénomène physiologique, fruit de la vision binoculaire
et du décodage effectué par le cerveau. Considérons ( fig. 1) un segment AB appartenant
à un plan horizontal passant par la ligne des yeux de l’observateur. Ce segment est vu
sous deux angles différents, 8, et E&, par chaque œil. La différence des segments
A; B; et A; B;, proportionnelle à la différence de profondeur AP, est perçue physiquement et produit la sensation de relief.
Si l’on intercale sur le trajet des rayons lumineux deux écrans P, et P,, et que l’on
matérialise sur ces écrans les traces des rayons, on peut enlever l’objet AB sans introduire
de modification dans la perception. Les écrans peuvent être des photographies, on a
alors défini un couple stéréoscopique.
Il s’agit là d’une simplification, dans la mesure où nous faisons abstraction de la
relation entre convergence des yeux et accomodation, phénomène qui rend nécessaire
l’utilisation d’apparèils adéquats, les stéréoscopes. Mais ceci suffit à expliquer qu’une
déformation d’un objet plan puisse être source, en vision stéréoscopique, d’une impression
de relief : si P, et P2 sont deux clichés successifs d’un même objet subissant une
déformation, l’élongation du segment a, 6, en son homologue u1 b, se traduira par la
différence de profondeur fictive Ap.
Supposons maintenant que les points b, et b, n’appartiennent plus aux photos P, et
P,, mais au système optique de l’appareil d’observation des couples de clichés, et qu’on
puisse déplacer ces points par rapport aux photos, dans un mouvement soit couplé, soit
découplé. Soit d’abord un mouvement couplé amenant b, en coïncidence avec a,; le
point b2 ne coïncide pas avec a,, donc le point B apparaît toujours en arrière de A. Soit
ensuite un mouvement découplé qui amène b, en coïncidence avec a,; les points A et B
paraissent alors confondus. La mesure des mouvements couplés donne la coordonnée de
LIN sur P,, et la mesure des mouvements découplés relatifs, la profondeur sous forme
d’une parallaxe, ‘qui est donc une différence de coordonnées. Ceci illustre à la fois le
procédé de mesure, -que l’on appelle le pointé stéréoscopique, et la relation directe que
l’on peut établir avec les déplacements de points matériels homologues, lorsque l’on
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DE MÉCANIQUE
THÉORIQUE
ET APPLIQUÉE
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chapitre
V
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J. DkSRUES
ET B. DUTHILLEUL
s’intéresse à un objet subissant une déformation, au lieu d’un objet rigide vu sous deux
angles différents.
Il reste à éclaircir un point, qui est celui de la mesure des parallaxes dans la direction
perpendiculaire à la ligne des yeux. Cés parallaxes ne donnent pas lieu à une impression
de relief; elles produisent une gêne visuelle, par rapport à laquelle la vue dispose d’une
certaine tolérance. Toutefois, il est possible pratiquement lorsque l’on opère sur un
stéréocomparateur, d’ajuster la parallaxe « y » tout en pratiquant le pointé stéréoscopique,
et ceci avec une précision comparable à celle du pointé (d’après nos mesures, à défaut
d’études connues).
Quantification
Deux voies s’ouvrent, connaissant les principes de base, pour quantifier le relief observé,
vrai ou fictif. La plus immédiate consiste en des séries de pointés ponctuels, suivis d’une
exploitation numérique des mesures obtenues : c’est la restitution analytique. Une autre
voie est celle de la restitution analogique, qui consiste à déplacer continûment le point
fictif à la surface de l’objet, en entraînant un dispositif, mécanique ou autre, capable de
tracer simultanément la courbe de niveau ainsi définie. Ce procédé a été le plus utilisé,
en raison de la solution élégante et efficace qu’il apporte aux nombreux problèmes de
redressement, orientation des faisceaux perspectifs, que nous avons passés sous silence
ici pour la raison qu’il n’apparaissent pas dans l’application envisagée, et qu’ils nécessiteraient des développements considérables. La voie analytique, source de calculs fastidieux,
connaît maintenant un nouvel essor grâce à l’apparition des ordinateurs.
Jusqu’à présent, les auteurs qui ont mis en application la méthode de faux relief pour
la mesure des champs de déplacement ont en général utilisé la méthode analogique. Elle
présente cependant de nombreux inconvénients :
- nécessité de deux opérations complètes pour chaque couple : une pour les parallaxes
horizontales, une pour les verticales, avec en outre la nécessité de corriger, sans pour
autant la mesurer, la parallaxe perpendiculaire à celle que l’on mesure;
- difficulté technique de l’opération, nécessitant une formation professionnelle et un
entraînement très poussé;
- impossibilité de poursuivre le traitement des données au-delà de ce résultat graphique. En particulier, le calcul des déformations est impossible.
En revanche, la voie analytique comporte des avantages, dont le prix est la conception
et la mise au point de la chaîne de traitement. Parmi ces avantages :
- la précision est améliorée (rapport 5/1 cité par Ph. Hottier dans l’ouvrage référencé
- l’appareillage nécessaire se ramène à, un simple stéréocomparateur;
- les deux champs de parallaxe x et y
t obten us en une seule opération;
- la formation de l’opérateur est plus rapide;
- il est possible d’ajuster la densité du semis de points de mesure aux gradients
observés en éclaircissant le semis sur les « plateaux N;
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chapitre
MESURE
DU CHAMP
DE DÉFORMATION
D’UN
OBJET
PLAN
V
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-
enfin toute possibilité reste ouverte concernant le traitement numérique ultérieur,
qui fournira non seulement des courbes de niveau d’iso-déplacement mais aussi des cartes
des différentes composantes de la déformation.
C’est le second procédé, qui est décrit ici. L’appareil de mesure à utiliser est un
stéréocomparateur;
nous avons utilisé notamment un appareil assez simple, le steko
18 x 18 de Zeiss Iena, mais aussi une machine de la dernière génération, le traster de
Matra.
Résultats cherchés
On cherche à obtenir quantitativement
les résultats suivants :
- champs de déplacements totaux et incrémentaux dans deux directions orthogonales;
- champs de déformation pure finie, totaux et incrémentaux (ou champs de vitesse
de déformation) et champs de rotation matérielle associés.
Qualitativement, on s’intéresse à l’observation de structures complexes qui défient la
quantification : gradients extrêmes confinant à la discontinuité, par exemple.
3. Technique photographique
Le sujet doit présenter un aspect visuel permettant l’identification par contexte des
points homologues; suivant les cas, un simple (4 grain » visuel de l’objet pourra suffire
ou au contraire il faudra matérialiser des points, voire même des marques d’identification.
Nous n’aborderons pas ici les techniques de marquage.
Les clichés destinés à l’exploitation stéréophotogrammétrique
doivent satisfaire à un
certain nombre de conditions, qui sont les suivantes :
- qualité de l’image projetée sur la surface sensible : l’absence de distorsion (qui peut
cependant être étalonnée), la définition, la netteté dépendent essentiellement de l’objectif
et du boitier ou banc utilisés. En ce qui nous concerne nous utilisons une chambre
Linhoff équipée d’un objectif de la même firme.
- stabilité dimensionnelle du cliché : le support et l’émulsion ne doivent pas être
sujets à des déformations, au moment du développement notamment. L’usage de plaques
photographiques à support de verre fournit de bonnes garanties à cet égard;
- contraste et définition de l’image obtenue : dépendent du traitement chimique et
de la qualité de l’émulsion;
- la taille de l’image sera aussi grande que possible, sous réserve de la conservation
d’une finesse de détail indispensable à l’opération de stéréorestitution. Nous utilisons des
plaques au format standard 4 x 5 inch (10 x 12,7 cm);
- le référentiel doit être matérialisé par des points parfaitement définis, placés dans
le plan du sujet.
Remarque : l’utilisation
d’un appareil de prise de vue Hasselblad au format 8 x 6 sur film
ordinaire a conduit à des résultats de qualité raisonnable.
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DE MÉCANIQUE
THÉORIQUE
ET APPLIQUÉE
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chapitre
V
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J. DESRUES
ET B. DUTHILLEUL
4. Mesure des déplacements
Que cherche-t-on ?
Définissons quelques notations, soient :
xi coordonnées dans le repère du labo (référentiel) au temps t2;
Xi coordonnées dans le repère du labo (référentiel) au temps tr;
X état de référence, i= 1, 2.
Les déplacements relatifs : xi- Xi=Ui sont les déplacements cherchés. Ils incluent
toute la transformation
matérielle subie entre t1 et ti, c’est-à-dire la combinaison
translation-rotation-déformation.
Que mesure-t-on ?
Sur l’appareil, on mesure :
Xi coordonnées du point sur la photo 1 dans les axes de l’appareil de stéréocomparaison;
pX1 parallaxes, c’est-à-dire différence des coordonnées des points homologues entre les
deux ciichés tels qu’ils sont positionnés dans l’appareil (de stéréocomparaison) dans les
axes de cet appareil.
Sur d’autres appareils (Traster, par exemple), on obtiendra Xi*, et XT, (G et D pour
gauche et droite), c’est-à-dire les coordonnées respectives des points homologues des
clichés 1 et 2, placés 1 à gauche et 2 à droite, dans les axes de l’appareil. Les parallaxes
s’en déduisent directement.
Les points homologues sont les points-image d’un même point matériel; l’identification
sans ambiguïté, par contexte, de ces points homologues n’est pas le moindre avantage de
la méthode.
Transformation
rigide surajoutée
Il n’est pas nécessaire de positionner les clichés de telle façon que les parallaxes des
points fixes du sujet (le référentiel matérialisé par des marques fixes liées à la machine
d’essai) soient strictement nu!les : ce réglage doit être effectué grosso modo pour faciliter
les mesures? mais la méthode décrite ci-après permet de corriger numériquement l’écart
résiduel. On doit donc considérer que les mesures obtenues résultent de la superposition
de deux transformations :
- une transformation
rigide, opératoire, qui n’est pas physique et qu’il convient
d’éliminer;
- la transformation effective, qui est celle qui nous intéresse, et qui peut comprendre
une translation et une rotation, physiques celles-là, en plus de la déformation.
Référentiel
Il est donc nécessaire de disposer sur les clichés d’un référentiel indéformable, matérialisé par des points visibles situés dans le plan de mise au point de l’appareil de prise de
vue, c’est-à-dire dans le plan de la face avant de l’échantillon. On peut alors déduire de
la transformation mesurée la transformation rigide du référentiel, par une opération qui
doit annuler les parallaxes des points du référentiel. En outre, la mesure des distances
relatives de ces points sur le cliché de gauche fournit l’échelle.
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chapitre
MESURE
. -
DU CHAMP
DE DÉFORMATION
D’UN
OBJET
PLAN
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Présentation en axes fixes et à l’échelle
Après déduction de la transformation rigide, il convient d’effectuer une. rotation sur la
partie restante, de façon à présenter les mesures dans des axes liés au référentiel et non
pas dans les axes de l’appareil de stéréocomparaison. Ceci est nécessaire pour pouvoir
comparer les incréments successifs. En outre, on doit remettre à l’échelle les mesures
obtenues par une homothétie de rapport défini d’après le référentiel.
Traitement numérique
Ces tâches sont effectuées, & partir des mesures brutes XT, Xz, PXf, PXZ par un
programme auquel il faut fournir, outre les mesures, l’angle 8 de la rotation rigide, à
déduire, l’angle a de la rotation à effectuer pour présentation en axes fixes, et le coefficient
d’échelle.
Opération 1 : Déduction de la transformation
rigide du sujet par rotation 6 et
translation annulant strictement les parallaxes du point 1 du référentiel.
Opération 2 : Rotation d’angle a.
Opération 3 : Mise à l’échelle de X 1, X,, PX 1, PX,.
L’angle têta peut être déterminé en calculant la valeur de cet angle pour chaque couple
de vecteurs homologues (cliché 1, cliché 2) définis à partir des points du référentiel pris
2 à 2; on prend ensuite la valeur moyenne de l’angle; l’écart-type donne une indication
de la qualité des mesures.
Le semis
Une fois effectuées les opérations 1, 2, 3 ci-dessus décrites, on a obtenu un ensemble
de mesures de déplacements incrémentaux en x et y, associés à des points de coordonnées
Xi sur le cliché 1. Appelons cet ensemble de quadruplets le « semis ».
La densité du semis dépend de la façon dont l’opérateur a pris les mesures lors de
l’opération de restitution. En particulier, il peut tirer bénéfice de la vision stéréoscopique
pour repérer les zones de fort gradient de déplacement (qui seront vues comme des
« talus », voire des « falaises N), et densifier le semis dans ces zones en prenant des
mesures en des points proches.
La représentation des vecteurs déplacement aux points du semis fournit une première
visualisation de l’écoulement. Mais une exploitation plus poussée est nécessaire pour
donner une mesure de l’homogénéité ou hétérogénéité des champs de déformation. Cette
exploitation rend nécessaire l’interpolation.
5. Interpolation
de la fonction déplacement
Soit Ui (Xi>, i, j= 1, 2, la fonction vectorielle de deux variables des déplacements
associés à un point de coordonnées X 1 et X,. Le problème de l’obtention de cette
fonction à partir des valeurs connues, en nombre fini, aux points du semis, est un
problème d’interpolation.
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DE MÉCANIQUE
THBORIQUE
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chapitre
V
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J. DESRUES
Interpolation
ET B. DUTHILLEUL
linéaire
La méthode d’interpolation
retenue est la plus simple : la fonction U, est approchée
par une fonction linéaire par morceaux, définie sur une partition en triangles du domaine
étudié. Les sommets des triangles sont les points du semis, et les données en ces sommets
déterminent entièrement la fonction continue : les dérivées en revanche ne sont pas
continues.
Le maillage
L’opération d’interpolation permet de calculer les valeurs de la fonction approchée en
un nombre fini de points, répartis régulièrement sur le domaine étudié, aux nœuds d’un
maillage dont on définit la taille approximative de la maille. Il va de soi qu’aucun
avantage ne sera obtenu d’un resserrement de la maille au-delà de l’espacement minimal
des points de mesure, mais en revanche, un maillage trop lâche ne permettra pas de tirer
profit de mesures effectuées en des zones de fort gradient, si les distances d’un point à
l’autre sont plus petites que la maille.
Représentations
La représentation de la fonction approchée permet d’étudier les caractéristiques du
champ de déplacement et en particulier ses variations de gradient. Parmi les représentations possibles, les isovaleurs des composantes verticale et horizontale (axes de l’espace
physique) de la fonction sont particulièrement intéressantes; les représentations en perspective (bloc diagrammes) peuvent aussi être jugées utiles quant à la visualisation.
Influence de la triangulation
sur les résultats
Quelques remarques peuvent être faites concernant la précision et la fiabilité de la
méthode.
On a déjà noté, quant à la précision, que celle-ci sera aussi bonne que celle des mesures
dès que le maillage sera pris aussi fin que le semis dans ses zones les plus denses. Sous le
terme H fiabilité » on vise la réponse à la question suivante : de combien s’écarte la
fonction approchée de la réalité ?
Cette question appelle une réponse en plusieurs points. Remarquons d’abord que,
contrairement à beaucoup de méthodes d’interpolation, celle retenue offre l’avantage de
respecter rigoureusement les valeurs expérimentales : si l’on cherche la valeur de Ui en
un point du semis, celle-ci est égale à la donnée expérimentale. Ceci est un avantage
décisif dans notre cas, dans la mesure où les gradients de la fonction sont extrêmement
grands par endroits : une interpolation « adoucissante » obérerait le résultat dans ce qu’il
a de plus caractéristique.
En revanche, il apparaît très vite que le résultat n’est pas indépendant de la partition
en triangle adoptée. Il existe un grand nombre de façons « raisonnables » de partitionner le domaine sur la base du semis expérimental. Aucune n’est strictement équivalente
quant aux valeurs résultantes aux nœuds du maillage et certaines peuvent être très
différentes. Cette difficulté ruinerait la méthode si elle ne pouvait être contournée de la
manière décrite ci-dessous :
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3
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chapitre
MESURE
DU CHAMP
DE DÉFORMATION
D’UN
OBJET
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PLAN
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Le choix de la triangulation
L’idée de base est de respecter les forts gradients détectés expérimentalement. Rappellons que la technique stéréophotogrammétrique
permet de visionner les gradients sous
l’aspect d’un relief fictif. L’appréciation plus ou moins bonne de ce relief fait partie des
qualités d’expérimentateur de l’opérateur et doit se traduire par une densification locale
du semis. Une telle densification, le long d’une bande de cisaillement par exemple, est
donc, en bon usage de la méthode, liée à un gradient fort des déplacements. Le choix
des triangles devra alors être fait de façon telle qu’aucun triangle ne couvre pour partie
une zone de semis dense et pour partie une zone de semis lâche; on sait en effet que, les
gradients étant très différents, entre ces zones, l’approximation
linéaire sur le triangle à
cheval sera très mauvaise. Au contraire, on cherchera à réaliser une partition en triangles
telle que la direction de plus grand allongement des triangles soit parallèle à la direction
générale d’allongement de la zone de densification du semis (si une telle zone existe et si
elle présente un allongement). Dans les zones de faible variation des gradients, les
modifications de la partition n’entraînent que des modifications négligeables de l’interpolation. Ceci permet de lever l’objection d’arbitraire qu’on pourrait opposer à la méthode,
en replaçant l’opération de partition du domaine, opération volontairement manuelle,
dans le domaine de l’initiative de l’expérimentateur; éclairée par l’observation.
6. Calcul des déformations finies entre deux états
(a) Transformation
linéaire tangente, déformation et rotation pures
jànie, transformation
Une transformation finie Y est définie par la donnée d’une fonction vectorielle xi (Xj)
i, i = 1,3 qui définit les coordonnées actuelles xi des points matériels de coordonnées
Xj dans l’état de référence. La transformation
est « finie » si les xi -Xi ne sont pas
infinitésimaux.
On définit la transformation linéaire tangente à la transformation réelle (tlt) comme
l’application linéaire liant les vecteurs dx aux vecteurs dX :
dx=FdX,
(1)
avec :
F II- a9-
(2)
OU
ax
Fij=l,
ax
axi
(Germain, 73, p. 92). Le tenseur F est aussi connu sous le nom de gradient de la
transformation.
La transformation Y peut toujours être considérée comme le produit d’une rotation R
et d’une extension W ou bien d’une extension V et d’une rotation R. Pour la tlt on a :
(3)
F=RW=VR.
On appelle W le tenseur de déformation
JOURNAL
DE MÉCANIQUE
THÉORIQUE
pure à droite (Germain [ 11, p. 87).
ET APPLIQUÉE
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chapitre
V
88
J. DESRUES
ET B. DUTHILLEUL
Les résultats finaux seront exprimés par le tenseur de Hencky, qui se définit à partir
de W de la façon suivante :
- il a mêmes axes principaux,
- ses valeurs propres sont les logarithmiques naturels des valeurs propres de W. Le
critère de tensorialité définit les composantes du tenseur dans les axes principaux.
Nous intéressant à la déformation plane, nous nous plaçons en dimension 2.
Notons :
F xx F XY
F=
F YX F YY
[
1;
de (3) on déduit :
W=RT F,
14)
ou encore :
d’où un système de 4 équations à 4 inconnues : W,,
tenseur de déformation pure est symétrique).
On obtient :
e-(6)
arctg
Wyy, Wxy, 8 puisque W,, = WY, (le
F - F XY
Fyx
xx +F YY
W xx= F, COS8 + F,, sin 8,
W xy= F,, COS0 - F,, sin 8,
W yy= F,,
COS
0 - F,, sin 8.
On peut alors calculer les valeurs propres &, et h, de W, et de là, celles du tenseur de
Hencky Ii = Log hi, ainsi que les différents invariants de ces tenseurs.
(b) Déformation
entre deux états
Supposons donc que nous disposions de clichés de deux états distincts d’un même
corps (à deux dimensions). La méthode stéréophotogrammétrique
de faux relief nous
fournit les données suivantes pour chaque paire de points homologues :
coordonnées du point sur le cliché de gauche X l9 X,,
déplacement relatif entre les deux clichés U,, U,.
Si l’on adopte pour configuration de référence la configuration de l’état 1, la transformation Y d’un état dans l’autre est définie par :
x=lT(X)=X+U,
ou :
Xi=Xi+Ui.
(7)
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chapitre
MESURE
DU CHAMP
DE DÉFORMATION
D’UN
OBJET
PLAN
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Le calcul du champ de déformation pure auquel a été soumis le corps entre ces deux
états nécessite la détermination du champ de gradient de la transformation F défini plus
haut (2).
De (2) et de (7) il découle :
axi
7
avec 6, symbole de Kroneker = 1 si i =j; 0 si i #j.
On a donc besoin des dérivées partielles de la fonction vectorielle U.
(c) Dérivation spatiale
Cette fonction est connue par ses valeurs aux nœuds d’un maillage régulier, elles mêmes
obtenues comme on l’a vu par interpolation à partir des mesures expérimentales aux
points de ce que nous avons appelé le semis.
Bien que régulier, au sens que chaque ligne du maillage comporte le même nombre de
points, le maillage n’est pas strictement orthogonal et équidistant. Il est obtenu, dans le
cas de domaines d’étude non rectangulaires, par transformation
conforme, suivant la
méthode mise en œuvre par Chambon (Chambon [2], p. 57-69). Les mailles sont alors
non pas rectangulaires mais simplement quadrilatérales. Il n’est donc pas possible de
définir simplement les dérivées partielles par rapport aux variables d’espace Xi.
La solution à ce problème consiste à utiliser une technique d’eléments finis quadrilatéraux isoparamétriques à quatre nœuds (Chambon [2], p. 82-83). L’interpolation
des
déplacements sur l’élément est quadratique incomplète; les déplacements sont linéaires
sur les frontières de l’élément. La mise en œuvre de cette technique nous permet d’obtenir
les gradients de la fonction Ui (Xi) au centre de gravité de l’élément quadrilatéral dont
les sommets sont quatre points du maillage, soit les aUi/iTXj cherchés.
Les composantes de Fil au centre de gravité de l’élément considéré sont donc obtenues
immédiatement à partir du champ de déplacement, moyennant une technique de dérivation faisant appel aux éléments finis. Pour plus de détails concernant ces techniques, uoir
par exemple Zienkiewicz [3].
Fij (X,) étant désormais connu, il est possible d’appliquer les résultats (6) et de calculer
les champs de rotation, et de déformation pure.
7. Caractérisation
déformation
complète : histoire des champs de déformation
totale et de vitesse de
Dans le paragraphe 4 on a décrit la méthode permettant de calculer le champ de
déformation finie entre deux états d’un échantillon matérialisés par deux clichés; le
premier de ces états était défini comme état de référence.
Au cours d’un processus expérimental concernant un domaine sur lequel on désire
mesurer l’évolution de la déformation, supposons que l’on ait réalisé n clichés à n états
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DE MÉCANIQUE
THÉORIQUE
ET APPLIQUÉE
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chapitre
V
‘1. DESRUES
90
ET B. DUTHILLEUL
successifs correspondant à n valeurs d’un paramètre d’avancement 5 (qui peut être le
temps).
L’application de la méthode décrite ci-dessus à un couple de clichés successifs (k, k + 1)
fournira un champ de déformation incrémentale, à partir duquel on peut définir une
vitesse si les états sont suffisamment proches. L’état de référence étant pris cokident
avec l’état k, le champ de gradient de transformation obtenu, que nous notons désormais
fij, S'écrit :
.
f
(k)
ij
a%
=
tk f- ‘1
dxj (k)
=6
+
a txi
tk+
ij
lJeTi
axj (k)
tk))
l
Nous notons à partir d’ici les coordonnées d’un point dans l’état correspondant au GliGhé
k : xi(ck) ou encore Xi(k). Il en est de même pour les divers tenseurs. Comment s’écrit
la vitesse de transformation aFij/ac ? Rappelons la relation (9) :
Fij(k)=6,+a,ax
f
où Xj représente l’état de référence et peut s’écrire avec les notations
Xj=Xj (1). On aura donc z
=
1
5 R+I-&
a(Xi(k+
introduites
ici
1)-xi(k)),
axj
Il apparaît clairement que fii (k) - 6ij n’est pas la vitesse de transformation Fij (k), et
qu’en conséquence il n’est pas possible de sommer les f;ï (k) obtenus à partir des couples
(k, k + 1) pour avoir la déformation totale Fij (k). Il est donc nécessaire d’effectuer les
opérations de mesure sur les couples (1, k) pour obtenir l’histoire de la déformation
totale.
Si au cours d’un processus expérimental on s’intéresse à la fois aux champs incrémentaux et cumulés, ceci conduit à un double jeu d’opérations de stéréocomparaison :
l’ensemble des couples (1, k) et l’ensemble des couples (k, k + 1) doivent être exploités.
On peut cependant réduire à un seul jeu ces opérations en employant la méthode décrite
ci-après.
La vitesse de déformation 9 se définit comme la partie symétrique du gradient des
vitesses par rapport à l’état actuel, c7ad:
ou encore :
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3
-
1984 -
No 1
-
90 -
chapitre
MESURE
DU
CHAMP
DE DÉFORMATION
D’UN
OBJET
PLAN
V
91
avec :
(11)
la relation entre a et F s’écrit :
L’opération d’interpolation de la fonction déplacement Ui nous ayant fourni les déplacements, Ui (&) et Ui &+ 1), on peut calculer l’incrément de déplacement :
et on a donc Pij (&) :
pij
W
d5=
&
Wi
(tik+
llvui
(5J);
i
on a en outre Fij (Q :
qui seront évalués en utilisant la technique de dérivation spatiale décrite en 2.4. c.
11 est alors aisé d’obtenir B par application de (12) et de (10).
Comme nous venons de le décrire ci-dessus, à l’aide d’une série de restitutions de
couples (1, i), il est possible de déduire la définition des tenseurs W et 9 pour chaque
couple incrémental (k, k + 1). Ceci nous permet de n’envisager qu’un nombre de mesures
stéréoscopiques nécessaires à la restitution des couples (1, i>, donc une simplification
importante des opérations de mesures, longues et délicates.
8. Exemples d’applica
Les exemples présentés relèvent du domaine de la mécanique des sols, avec le but à la
fois d’illustrer la démarche exposée dans les paragraphes précédents et montrer les
possibilités de la méthode. Dans le cadre d’application qui est le nôtre, l’objectif est de
mettre en évidence et de caractériser l’apparition de la déformation localisée. Les cas
décrits ici sont d’une part un essai élémentaire de déformation plane (sollicitation homogène d’un échantillon homogène à l’appareil biaxial) et d’autre part, une modélisation
sur matériau analogique du comportement d’un mur de soutènement.
8.1. Déplacements et déformations au COUTSde la localisation à l’appareil biaxial
L’essai est réalisé sur un échantillon
parallélépipédique,
de dimension
330 x 165 x 60 mm. Il est constitué d’un empilement de rouleaux parallèles, de diamètres
variés (matériaux granulaires analogiques de Schneebeli). La condition de déformation
plane se trouve naturellement vérifiée dans le plan perpendiculaire aux génératrices des
JOURNAL
DE MÉCANIQUE
THÉORIQUE
ET APPLIQUÉE
-
91
-
chapitre
V
92
J. DESRUES
ET B. DUTHILLEUL
,
r
165
,
r
Fig. 2
Fig.
1
Fig. 1. - l+incipe.
Fig. 1. - Principle.
Fig.
2. -
Géométrie
de l’essai.
Fig. 2. - Test specificntions.
rouleaux. Les conditions aux limites sont définies sur la figure 2 : contrainte imposée On
sur la face latérale verticale, vitesse imposée Y sur la face inférieure. Les têtes supérieure
et inférieure sont libres en rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan de DP et
situé dans le plan de la face. On considère l’incrément au cours duq’uel apparaît la
localisation. Le déplacement imposé au cours de cet incrément est de 3.5 mm, ce qui fait
une déformation axiale globale voisine de 0,Ol. A l’observation en stéréoscopie, le faux
relief fait apparaître deux plateaux séparés par une forte pente. L’opérateur a judicieusement densifié les mesures dans cette zone, ainsi qu’il apparaît sur la figure 3 qui présente
le champ de vecteurs déplacements obtenus (le « semis N). Un maillage régulier de 18 x 37
points étant défini, l’interpolation permet de calculer la fonction déplacement approchée,
sur la base d’une partition en triangles représentée $ la figure 4. Le parti pris quant à la
définition des triangles, justifié plus haut, apparaît clairement. La représentation des
composantes du champ de déplacement sous la forme des isovaleurs de ces composantes,
figures 5 et 6, révèle un champ fortement structuré, avec en particulier une zone allongée
présentant un très fort gradient perpendiculaire à la direction d’allongement : c’est une
bande de cisaillement, qui sépare deux blocs quasi rigides soumis à une rotation et un
déplacement relatif.
Le calcul du champ de déformation permet de préciser les phénomènes. En chaque
point du domaine on obtient les composantes de la rotation matérielle, et de la déformation pure. Parmi les nombreuses représentations possibles, les isovaleurs de composantes,
et les courbes de symboles de taille proportionnelle à la valeur locale d’une composante
sont particulièrement parlantes. On présente ici, à l’aide des isovaleurs, le champ de
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3-
1984-N’
1
- 92 -
chapitre
MESURE
DU CHAMP
DE DÉFORMATION
D’UN
OBJET
V
93
PLAN
Fig. 4
PRll,st,6,?
Fig.
3
Fig. 3. - Vecteurs déplacements aux points de mesure.
Fig. 3. - Measwed displacement vectors.
Fig. 4. - hrtition du domaine en triangles d’interpolation.
Fig. 4. - Partition into triangles for interpolation.
distorsion au sein de l’échantillon (fig. 7), et sous forme de cartes de symboles ce même
champ de distorsion (fis. 8), ainsi que les champs de variation de volume (fig. 9) et de
rotation matérielle ( fig. 10). Les valeurs numériques indiquées réfèrent à la déformation
logarithmique (sans unité) et à la rotation (en radians). Ces figures montrent la complète
localisation de la déformation incrémentale; le matériau ne connaît aucune déformation
sensible en dehors de la zone de rupture. Les variations de volume, bien que très faibles
sur ce matériau, révèlent une tendance à la dilatance dans la zone de forte distorsion
( fig. 9); cette même zone est marquée en outre par des rotations importantes et organisées
( A5 w*
8.2.
Cas d’un modèle de mur de soutènement
Le modèle physique est constitué d’un massif (bidimensionnel par nature) de matériau
analogique décrit plus haut, dont la géométrie et les dimensions sont présentées par la
figure 11. Le mur est assujetti à une translation horizontale vers le massif (butée) ou vers
l’extérieur du massif (poussée). On notera u ce déplacement au début du pas actuel, et
Au l’incrément de ce déplacement.
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DE MÉCANIQUE
THÉORIQUE
ET APPLIQUÉE
- 93 -
,
chapitre
V
94
J. DESRUES
ET B. DUTHfLLEUL
-0.81000
-0.54000
-0.27000
-2.00000
-1.60000
-1.20000
-0.80000
~:27000
0.54000
0.81000
1.08000
1.35000
1.62000
1.89000
2.16000
2.43000
2.70000
2.97000
3.24000
3.51000
3.78000
4.05000
4.32000
-0.40000
0.
:: zE%
1.20000
1.60000
2.00000
2.40000
2.80000
4.59000
PRll-st-6J,dx
PRll-st-6J-dy
(mm)
imm)
Fig. 6
Fig. 5
Fig. 5. Fig. 5. Fig. 6.
Fig. 6.
Isovaleurs de déplacements horizontaux.
Horizontal displacement isovalue curves.
- Isovaleurs de déplacements verticaux.
- Vertical displacement isovalue cutves.
II n’est pas possible de présenter l’ensemble des figures relatives à tous les incréments;
les figures 12 à 17 mettent en valeur, à partir des cartes d’isovaleurs de déplacements
incrémentaux, les phénomènes importants. Le champ de déplacement de la figure 12
montre qu’une partie du massif est entraînée par le mur, l’autre partie demeurant
sensiblement immobile; les figures 14 et 15, relatives au même pas, révèlent la présence
d’une forte localisation de la déformation, caractérisée par des gradients très importants
des deux composantes du déplacement le long d’une même zone : il s’agit d’une bande
de cisaillement, siège de distorsions variations de volume ([email protected] et de rotations
importantes. Le caractère propagatoire de cette structure apparaît par comparaison des
figures 13 et 15, relatives à deux pas pris l’un en début d’essai et l’autre à localisation
complète. Enfin, l’examen des figures 16 et 17, obtenues à localisation complète lors d’un
essai en poussée, montre la grande différence de comportement du massif suivant le sens
de sollicitation : alors que dans ce dernier cas on peut distinguer un bloc quasi rigide en
mouvement vers le bas, dans le premier cas en revanche la partie du massif qui accompagne le mur se Scinde en deux blocs dont l’un (proche du mur) connaît un déplacement
principalement horizontal.
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3 -
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chapitre
MESURE
DU
CHAMP
DE DÉFORMATION
0:
00600
0.01200
0.01800
0.02400
0.03000
0.03600
0.04200
0.04800
0.05400
0.06000
0.
0.00600
0.01200
0.01800
0.02400
0.03000
0.03600
0.04200
0.04800
0.05400
0.06000
/
D’UN
OBJET
PLAN
... ”
”. ”
.-0..
. ”I*... 1
jo . . . .
95
..
* ”
”
0
noo-
0
.
r X[OO.
PRll-zst,6/3,dism
V
-
- L..
-
PRll,st,6,?,dism
Fig.
Fig. 7
Fig. 7. Fig. 7. Fig. 8.
Fig.
8
Isovaleurs de la distorsion.
Distortion isovalue cutves.
- Carte des distorsions.
8. - Distortion map.
9. Précision des résultats
La précision des mesures est bien entendu déterminante pour juger de l’intérêt de la
méthode. Nous présentons ici les résultats de tests de précision réalisés sur nos essais. Il
convient de remarquer que la méthode s’applique à la mesure de champs (de déplacement,
de déformation), ce qui rend nécessaire, pour discuter la précision, de prendre en compte
non seulement la résolution brute de la valeur en un point donné mais aussi la cohérence
du champ, qui permet d’affiner l’appreciation du résultat.
Les essais de répétabilité des mesures effectuées par nos soins ont révélé une erreur
moyenne (écart-type) de 10~ sur l’image. L’incidence sur le sujet dépend de l’échelle.
Une autre mesure de la résolution, accessible pour chaque couple de clichés exploité par
stéréorestitution, est fournie par les parallaxes finales des points du référentiel, qui
idéalement devraient être nulles. Pour des sujets de dimension 350 x 175 mm, les parallaxes résiduelles des points du référentiel ont été trouvées inférieures à OJO mm.
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DE MÉCANIQUE
THÉORIQUE
ET APPLIQUÉE
- 95 -
chapitre
V
96
f. DESRUES
ET B. DUTHILLEUL
-2.45000
-2.10000
- 1.7sooo
- 1.40000
l ~oaoaooooooooo~*\
.00000000m000000n
\
e*o.OPo0DnnnoQo
-~mm00055050505
[email protected]
*.000008aa50500
..
.
.
.
.
.
0
0
0
0
0
0
0
0
-D.oDoa0000oO
-.-•mOOQOOOO
,b
-
l
-
l
0
0
a
0
0
0
0
aaaoooo
PRlL5t-&7,teta
(deg)
Fig.
Fig.
9.
-
Fig.
Fig.
10.
Fig.
Carte
9. i0.
des variations
de volume.
Volume
mtap.
Carte
-
change
des angles
Mahal
10
de rotation.
rotation
map.
Discutons en premier lieu la précision des mesures de déplacement.
Lors de l’utilisation d’un stéréocomparateur,
le facteur personnelest très fort. Un
opérateurprofessionnel,dûment formé et entraîné;est capabled’obtenir une répétabilité
. des mesures de l’ordre de 1 p. Un opérateuroccasionnel devra se contenter d’une précision
plus modeste.
L’autre facteur déterminant de la précision des mesures est la qualité de l’image : la
netteté,qui dépendde la prise de vue mais aussi la finessede détail, qui quant à elle
dépendde l’aspectvisuelde l’objet photographié.
.
L’un et l’autre facteurs sont susceptibles d’amélioration
importante. La taille du
maillage de mesure, en revanche, n’intervient en rien dans cette résolution.
Quelle est l’incidence de telles erreurs sur les champs de déformation calculés ?
Le calculdesdéformationscomportedesdérivationspar rapport aux variablesd’espace.
Si l’on considèredespoints de mesureespacésde 10 mm.0ce qui kst le cas courant dans
notre application, l’erreur absolue sur les déformations
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3 -
1984 -
No
1
- 96 -
avoisinera 0,Ol. L’espacement des
chapitre
MESURE
DU CHAMP
DE DÉFORMATXON
D’UN
OBJET
PLAN
V
97
Fig. 11. - Géométrie du modèle de mur de soutènement.
Fig. 11. - Geometiy of tk retaining wall.
MS023
t-G / 7
AU = Smm
BUTEE
Fig. 12. - Champ de déplacements incrémentaux.
Fig. 12. - Measawed displucement vectors.
points de mesure joue ici un rôle capital : si l’on resserre le maillage de mesure sans
améliorer la résolution sur les déplacements, la résolution sur les déformations s’en
trouvera, paradoxalement, diminuée. A moins bien sûr que l’on ne mette en rouvre une
méthode de lissage, au niveau par exemple de l’interpolation; dans ce cas l’augmentation
de la densité de mesure se traduira, ce qui est naturel, par une amélioration de la
résolution. Il convient cependant de remarquer que, en bon usage de la méthode, la
densité du semis de point est ajustée par l’opérateur en fonction du relief observé. Dans
les zones de faible gradient, les points seront espacés, ce qui, pour une même résolution
sur le déplacement, améliore la résolution sur les déformations. Dans les zones de forts
gradients, par contre, les différences de déplacement sont grandes, et la précision des
mesures de déformation est peu affectée par des résolutions de l’ordre de O,Ol, comparées
à des grandes déformations.
JOURNAL
DE MÉCANIQUE
THl%RIQUE
ET APPLIQUÉE
-97-
.
chapitre
V
98
J. DESRUES
ET B. DUTHILLEUL
Une mesure directe de la résolution a été effectuée de la façon suivante : disposant de
deux clichés pris au « même » instant, donc en principe identiques bien que physiquement
distincts, nous avons procédé à un dépouillement complet de ce couple. Les déformations
obtenues, sont données dans le tableau ci-dessous, en terme de moyenne et écart-type.
TABLEAU
Composante
exx
eYY
l
l
e
IGorsion .
Var. volume.
Valeur moyenne
Ecart-type
1,000 58
l-O,000 17
-0,ooo 74
0,00455 (*)
0,ooo 39
o,oo6
0,002
04
0,002
0,007
(*) La courbe de fréquence de la distorsion est non symétrique, du fait de la valeur absolue qui intervient
dans le calcul; on a en réalité une demi courbe de Gauss, la partie négative étant supprimée. La valeur moyenne
ne peut donc pas être comparée aux autres valeurs du tableau.
L’erreur absolue sur une mesure isolée de la déformation a donc une probabilité de
70 % d’être inférieure à 0,005 (0,007 pour les variations de volume) : ceci donne la
résolution pour un point de mesure, dans le cas considéré (dont il faut signaler qu’il est
le plus défavorable car les clichés utilisés pour ce test ont été réalisés avec un appareil
Hasselblad 6 x 6 sur film ordinaire).
-5.60500
-5.31000
-5.01500
MSOZ,st,3A-dy
(mm)
-4.72000
-4.42500
-4.13000
-3.83500
-3.54000
-3.24500
-2.95000
-2.6SSOO
-2.36000
-2.06500
-1.77000
AU =
- 1.47500
-1.18000
-0.88500
-0.59000
-0.29500
0.
0.29500
BUTEE
Fig.
VOLUME
3-
Fig. 13. - Déplacements horizontaux, u = 3 mm! Au= 5 mm. Butée.
Passive state.
displacements,
u = 3 mm, Au = 5 mm.
13. - Horizontal
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1
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Smm
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V
99
MESURE
DU CHAMP
DE DÉFORMATION
-4.41667
MSO2,
-3.97500
-3.53333
-3.09167
-2.65000
-2.20833
-1.76667
-i,32500
-0.88333
-0.44167
D’UN
OBJET
PLAN
st,62,dx
‘U=1Bmm
k44167
0.88333
Alk5mm
BUTEE
Fig. 14, - Déplacements verticaux, u = 18 mm, Au = 5 mm. Butée.
Passive state.
u = 18 mm, Au = 5 mm.
Fig. 14. - Vertical displacements,
-5.12000
- 4,90000
-4.48000
-4.16000
MSOZ,st-6,Xdy
(mm)
-3.94000
-3.52000
-3.20000
-2.88000
-2.56000
-2.24000
-1.92000
-1.60000
AU=5mm
-1.28000
-0.96000
-0.64000
-0.32000
0.
0.32000
0.64000
0.96000
1.28000
BUTEE
Fig. 15. - Déplacements horizontaux, u = 18 mm, Au= 5 mm. Butée.
Passive state.
displacements,
u = 18 mm, Au = 5 mm.
Fig. 15. - Horizontal
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DE MÉCANIQUE
THÉORIQUE
ET APPLIQUÉE
chapitre
V
100
J. DESRUES
ET B. DUTHILLEUL
0.
0.55833
1.11667
1.67500
2.23333
2.79167
3.35000
3.90833
4.46667
5.02500
5.58333
6.14167
6.70000
MS05-oost,4.5,&
(mm)
AUz4mm
POUSSEE
Fig. 16. - Déplacements verticaux, u = 19 mm, Au=4 mm. Poussée.
Fig. 16. - Vertical displacements, u = 19 mm, Au = 4 mm. Active state.
-0.78iOO
-0.52000
-0.26000
0.
0.26000
0 * 52000
0.78000
MS05st-4,5-dy
(mm)
1.04000
1.30000
1.56000
1.82000
2.08000
2.34000
2.60000
2.86000
3.12000
3.38000
3.64000
3.90000
4.16000
4.42000
AlJ=hmm
POUSSEE
Fig. 17. - Déplacements horizontaux, u = 19 mm, Au = 4 mm. Poussée.
Fig. 17. - Horizontal displacements, u = 19 mm, AU = 4 mm. Active state.
Cette mesure de la précision (ponctuelle) rend mal compte de la fiabilité réelle de la
méthode. Il est frappant en effet de constater sur les cartes de déformation la grande
cohérence des résultats, alors que les déformations globales sont de l’ordre de 0,Ol (voir
Jig. 7 et 8). En réalité, le calcul des déformations fournit une grande densité de mesures,
et c’est la moyenne des mesures dans une zone donnée qui caractérise la déformation de
cette zone dans l’appréciation des résultats. La statistique enseigne que l’écart-type des
VOLUME
3-
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No
1
-
100
-
chapitre
MESURE
DU CHAMP
DE DÉFORMATION
D’UN
OBJET
PLAN
V
101
mesures obtenues comme les moyennes de séries de n tirages est égale à l’écart-type des
mesures isolées divisé par Y/-n. Les erreurs indiquées ici sont donc à diviser par ce facteur
lorsque l’on s’intéresse à la déformation moyenne dans une zone homogène.
On notera enfin que, contrairement à l’usage qui consiste à évaluer la précision d’une
méthode a priori à partir de la résolution théorique des appareils utilisés, l’évaluation
donnée ici résulte d’un véritable test de fiabilité, qui incorpore toutes les sources d’erreurs
possibles. A titre d’exemple un stéréocomparateur Traster a une résolution de 1 p... ce
qui signifie que la précision obtenue sur notre application est susceptible d’amélioration,
et ne doit pas être vue comme la précision ultime de la méthode.
La conclusion de ces mesures de précision est la suivante : la méthode développée, est
tout à fait satisfaisante dans son application aux grandes déformations, en particulier
dans le cas de fortes hétérogénéités. Son application à des champs de déformation peu
contrastés pourrait tirer profit de la mise en œuvre de techniques de lissage, exclues pour
les forts contrastes. Enfin, dans le cas de déformations très petites (inférieures à 10- 3, la
méthode fournira des résultats qualitativement satisfaisants concernant la morphologie
du champ de déformation. Comme il a été dit plus haut, la précision est notablement
fonction de la formation de l’opérateur de stéréorestitution, et l’amélioration à ce niveau
peut être significative.
10. Comparaison avec les méthodes d’analyse des contraintes
L’analyse des déformations est un vocable peu usité; on lui préfère généralement celui
d’analyse des contraintes. La plupart des méthodes expérimentales regroupées sous cette
appellation ont en effet pour but de visualiser et de quantifier les répartitions de contrainte
dans des structures, des assemblages mécaniques ou des pièces isolées. Il est clair cependant que les diverses méthodes disponibles mesurent en réalité des déformations, ou des
phénomènes liés directement aux déformations, alors que le passage aux contraintes ne
peut se faire que dans le cas restrictif de matériaux élastiques linéaires, pour lesquels
existe une relation bijective entre état de contrainte et état de déformation.
La méthode décrite dans ces pages consiste en une application d’une technique photogrammétrique à l’analyse des déformations d’un objet subissant un processus d’écoulement en grandes déformations hétérogènes. Elle s’applique avec succès au cas de matériaux granulaires, pour lesquels il n’existe pas d’autre méthode de mesure des déformations. Comment se situe-t-elle par rapport aux méthodes d’analyse des contraintes ? Elle
ne prétend pas à la précision remarquable ( 10s6) qu’il est possible d’obtenir, dans des
conditions idéales, sur la mesure d’une élongation locale en extensométrie; ni même à la
précision des mesures réalisées, sur des pièces peu déformables, par photoélasticimétrie
ou par les méthodes de moiré (résolutions théoriques voisines de 10w5). Le domaine
d’application de ces méthodes est tout autre : dans le cas de structures ou pièces subissant
des charges telles que le matériau reste élastique, il est possible de construire des modèles
en matériau biréfringent, et d’effectuer une analyse de contraintes par photoélasticimétrie
de transmission; on peut aussi opérer sur la structure réelle, par photoélasticimétrie de
réflexion; il faut cependant que la structure soit suffisamment rigide pour que les
revêtements photoélastiques ne perturbent pas les mesures. De même, les méthodes de
JOURNAL
DE MÉCANIQUE
THÉORIQUE
ET APPLIQUÉE
-101-
’
chapitre
V
102
J. DESRUES
ET B. DUTHILLEUL
moiré sont bien adaptées à des déformations petites de structures peu déformables; leur
mise en œuvre dans le cas de l’écoulement plastique de matériaux très déformables paraît
délicat; en outre, l’enregistrement photographique de réseaux de lignes à 40 ou 80 traits
au millimètre, sur un objet de plusieurs dizaines de centimètres n’est pas sans poser des
difficultés. Une autre méthode applicable dans le domaine de l’analyse des contraintes
est l’interférométrie holographique (Caussignac [SI). C’est une méthode très prometteuse,
dont la résolution dépasse en théorie celle de toutes les autres. Cependant, son application
reste actuellement difficile, et souvent limitée à la mesure d’une seule composante de
déplacement. En outre, elle nécessite des investissements considérables en matériel et en
savoir faire, qui ne peuvent être envisagés que dans des services spécialisés.
11. Conclusion
La méthode stéréophotogrammétrique
de faux relief, décrite dans ces pages, a été
développée dans le but de permettre l’observation et la quantification de structures de
localisation de la déformation, dans les matériaux granulaires du type des sols (matériaux
géotechniques). Elle a permis de caractériser expérimentalement de telles structures, à des
stades de développement inappréciables par observation directe. La prise de vue et
l’exploitation des clichés nécessitent quelques soins, mais la formation nécessaire s’acquiert
aisément. Le choix de la voie analytique pour la restitution des déplacements et les calculs
de déformation confère à la méthode un bon rendement, et permet ainsi la réalisation
d’un grand nombre de couples. Telle qu’elle a été développée pour cette application, la
méthode n’est pas destinée au domaine des très petites déformations, pour lesquelles les
méthodes classiques d’analyse de contrainte sont mieux adaptées. En revanche, elle est la
seule disponible en grandes déformations, et pour tous les matériaux sur lesquels les
techniques de collage de revêtements (photoélastique, moiré) sont inapplicables.
Remerciements
Les auteurs expriment leur reconnaissance à MM. Weloff et Gaveriaux, du Service
Technique de l’Urbanisme (Paris), pour leur avoir permis d’utiliser leur stéréocomparateur
Traster et les avoir initiés à son utilisation.
BIBLIOGRAPHIE
[1]
GERMAIN,
73, Cours de Mécanique
des milieux continus,
t. 1, Masson, Paris, 1973.
[2] CHAMBON,
Application
de la méthode des éléments fmis et d’une loi rhéologique
incrémentale
mécanique
des sols (Thèse de Docteur-Ingénieur,
Université de Grenoble, 1975).
[3] ZIENKIEWICZ,
73, La méthode des éléments finis, Ediscience, Paris, 1975).
[4] BUTTERFIELD
R., HARKNESS R. M. et ANDRAWES K. Z., A Stereo-photogrammetric
Method
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Fields (Géotechnique,
vol. 20, no 3, 1974 p. 308-314).
VOLUME
3-
1984 - No 1
- 102 -
aux calculs
for
Measuring
de
chapitre
MESURE
DU CHA&lP
DE DÉFORMATION
D’UN
OBJET
PLAN
V
103
[q BEYNET J. M. et TRAMPCZYNSW
W., Application de la stéréophotogrammétrie à la mesutt? des dbpkzements
et à l’étude de l’écoulement des matériaux (Matériaux et Constructions, vol. 10, no 59, 1977, p. 281-288).
[6] BÉNÉFICE P. et BQEHLER J. P., The Application of Stereophotogrammetry to the Analysis of Displacement
Fie& in Solid -Mechanics (Pro~. of the I. U. T. A. M. Symposium on Optical Methods in Mechanics of Solids,
A. LAGARDE, éd., Poitiers, 1979).
[q &XWEVAL H., Photogrammetrie (herale, Eyrolles, Paris, 1972.
[8] CAUSSIGNAC J. M., Application de l’holographie à l’andyse des contraintes (Rapport de recherche L.C.P.C.,
no 84, 1978).
(Manuscrit reçu le 11 octobre 1982,
accepté le 17 mai 1983).
JOURNALDEMÉCANIQUETHÉORIQUEETAPPLIQUEE
-
103
-
.
chapitre
V
remarques
Quelques
noter
dois
calcul
en
que
application
déformations
des
de nappes
en tous
les
noeuds
carré
chaque
néité
et tant
sur
des
volonté
la
et générale
des
j’ai
prix
franchement
densité
du
d'une certaine
rendent nécessaire
qui
fonction
déplacement
le semis
des
<37>).
En quelques
procédure
aucune
Enfin,
traitement.
de consignes
ci-dessus
un
elle
de
de
dans
dans
de
triangulation
- 104 -
initiale
être
pu
acquises
l'article
autre
un
du
(il
plus
faut
de
n’est
fonction
qu’une
l'organisation
dans
(cartolab,
uniras...).
automatique,
mais
<37>.
que
(Desrues
une
adopté
de
de la
dense
article
domaine
au niveau
le principe
sur les
des valeurs
après la rédaction
la référence
est rigoureuse
beaucoup
est nécessaire
cartographie
a été construit
n’ont
régulier
C'est d'ailleurs
moduler
de
sur la géométrie
par interpolation,
donnée
inten-
numérique.
importants
avantages
algorithme
et décrit
; en outre,
à la lecture
maillage
est
permet
mais le re-maillage
logiciels
adéquates,
d’un
à peu près des
puisqu’elle
généralité
de
l'hétérogé-
que
mieux à une utilisation
traitement
s'interroger
l'interpolation
pour ses
nombre d'autres
du
réponse
La
les dérivées)
du
et cette
centre
au
tant
des
mesurés
sont
restent
hypothèse
le calcul,
noeuds
mots,
adoptée
informatique
senté
aux
mesures.
pour en définir
tain
de points
complexité
on a pu
prête
hétérogènes,
semis
déplacements
adapté
présenté
contenant
et la déformation
bien
jusqu’au
a1 <69> ont
plans
élémentaires
se
n'introduit
puisqu’elle
Par ailleurs,
raisons
utilisée
mesurés. Cette souplesse
points
qu’au
régulier,
que les carrés
que
champs
Les
Je
D’abord,
poussée
d%chantillons
Ce procédé semble
est légère
méthode
Mc Gown et
ou textiles).
maillage
calculée.
La
sive,
d’un
la stéréophotogrammétrie
déformation
de
sur cet article.
faites
la première.
pas
(métalliques
est
carrés.
être
de
n’est
78 des mesures de champs
inclusions
à
cette
doivent
un
cer-
respectueux
l'article
pré-
chapitre
Chapitre
VI
VI
SYNTHESEEXPERIMENTALE
************************
VI.1
La
La synthèse
sés
par
tion
plane
et
outre
les
essais
de Docteur
divers
aux
Cette
divers
impératifs
sation
et
sur
publiés
de moyens
inférieure
à 100
domaine
de contrainte
par
d’autres
KPa,
:
la
ce qui
pour
quelques
et
de temps
pour
les
on observe
-
105
-
consti-
le
de sa thèse
au fur
cadre
et à mesure
dans
ce domaine.
limitations
compte
donnée
limitation
(notée
matériaux
une
en
bidimensionnel”
priorité
latérale,
interdit,
lequel
de la
La principale
contrainte
de déforma-
V. JU3liserai
dans
chercheurs
comporte
et
“sable
référence
fait
perturbations.
des
(un
IV et
réali-
d’essais
de l’installation
B. Duthilleul
aussi
expérimentale
envisagé
par
un ensemble
chapitres
de Schneebeli
sera
sur
au moyen
aux
effectués
Il
fondée
décrites
matériau
travaux
base
est
matériaux,
empilés),
à 1Wude
contrainte
ici
méthodes
Ingénieur.
discussion
de
des
de rouleaux
tué
présentée
sur
moi-même
expérimentale
base
rupture
asdans
ces
utilisés,
des
tenu
à la
est
de la
visualile
niveau
pages)
l’étude
grains
de
(attri-
est
du
chapitre
VI
.
.
,
ESSAI
4
u3
e
4
,
antifrettage
H/o
tetes
indice
des
vides
(kpa)
9
B bloquées
R rotulées
G gliss.sup
pic
(degrés)
.
SHOO
80
0.65
2
non
B
42
shf00
90
0.74
2
oui
B
45
shf01
90
0.74
2
oui
B
45
shf02
85
0.90
2.2
non
G
36
shf03
90
0.85
2.2
oui
B
34
shf04
80
0.90
3.6
non
B
35
shf05
80
0.66
2
oui
B
49
shf06
80
0.66
2
oui
G
48
shf07
80
0.66
2
oui
B
49
shf08
80
0.66
2
oui
R
48
shf09
80
0.66
2
oui
B
48
shfl0
80
0.66
2
oui
B
48
shfll
80
0.68
2
oui
B
48
shfl2
80
0.66
2
oui
G+T
48
shfl3
80
0.66
2
oui
B
48
shfl4
80
0.66
3.55
oui
B
+T
47
shfl5
80
0.66
3.55
oui
B
+T
46
shf16
80
0.66
3.55
non
B
48
shf17
80
0.66
2
non
B
48
shfl8
80
0.66
3.55
non
B+T
48
shf19
80
0.66
3.55
oui
R+G
48
shf20
80
0.86
2
oui
R+G
39
80
0.39
2
oui
B
37
bvO1
t
1
,
,
106
1
chapitre
Localisation
angle
surf
ace
largeur
surf
ace
observée
(degré)
32
lxl
angle de
dil.
global
avant
10~.
(degré)
h-d
> 10
angle &
dil.
local
ds bande
(degré)
4
5
VI
remarques,
perturbations
frottements
26
6
10
11
hétér.
haut
21
6
14
23
hétér.
bas
26
8
-10
8
32
4à7
-10
10
32
5
22
5
9
25
5
10
23
5
13
23
5
15
20
5
14
20
5
11
20
point
20
5
10
15
point
26
5
13
26
5
13
20
5
14
21
5
14
21
5
16
28
5
22
5
11
20
5
15
28
5
0
30
5
22
107
30
bis
05
mou
dur
force
latérale
25
22
VI
chapitre
tion),
accompagnée
d’une
forte
contractante.
Les
phénomènes
volume observés dans nos essais seront donc exclusivement
du
granulaire
squelette
toujours,
tant
sur chemin
en
phase
triaxial
finale
précédent,
en rappellant
chiffre
s’agit
là
d’un
champs
de
déformations
(pages
vue
significatifs
rapport
d’élancement
(antifrettage,
l’angle
le
hauteur
perturbations),
avant
(Shf
pour sable
d’Hostun
fin,
est
H/D),
les
l’angle
de
Shg
la résolution
des cas à 0,Ol. Il
des
par le tableau
donnée
essai,
des
3
les
vides
initial
eg
de pic
@ pic,
que des indications
(croquis,
angle
sur
des
sur-
par l'identificateur
indiqué
pour sable
gros,
bv
,
de l'essai
frottement
ultime
2
paramètres
particularités
ainsi
est
au chapi-
la grande cohérence
CT 9 indice
en phase
de matériau
Le type
pire
pour chaque
localisation,
observé
de localisation
l'essai
réalisés
sur largeur
apparue).
je renvoie
le
dila-
être présentés.
vont
latérale
pas
n’est
montre
le
légèrement
présentée,
dans
consignés
(contrainte
largeur).
faces,
qui
essais
sont
global
localisation
estimée
comme
des
lequel
de dilatance
faciès
être
peut
incrémentales
têtes,
la
des mesures effectuées,
pessimiste,
dans
globaux
que
de
on observe
étudiées,
comportement
un
variation
dus au réarrangement
contraintes
de
qu'au terme de l'étude
synthétique
1060107),
(tant
précision
la
gammes
axisymétrique,
des mesures de déformation
Une
les
de l’essai
Concernant
tre
; dans
de
de
pour billes
de
verre).
résultats
L’exposé
paragraphes,
tion
dont
apparaît-elle
les
thèmes
influence
des
sont
? Initialisation
direction
cisaillement,
des
perturbations
est organisé
obtenus
les
et
bandes
suivants
:
dans
propagation,
certain
quel
cas
cinématique
nombre
la
localisa-
de la
bande
variations
de cisaillement,
de l'essai,
un
en
comportement
après pic,
de
du volume,
épaisseur
des
surfaces.
Mais
d’un
exemple,
avant
les
d'aborder
phénomènes
cet
exposé,
il
convient
observés et la façon
-
108 -
dont
de
ils
présenter,
à partir
apparaissent.
VI
chapitre
VI-2 Un exemple
---------<II----La figure
Shf06,
par
de la
au
cours
au
répérés
moyen
d’une
ont
Le
permet
été
d’observer
le
du cliché
pas
encore
entrée
montrent
bien
une
observation
des
contacts
sant
la
fait,
pour
remarquer
devenir
sur
droit
de
tête
rigide
dans
les
la
ce dernier
l’échantillon,
supérieure
essais,
la
;
Les
bande
issue
du point
clichés
de cisaillement
sur
comme
les
bande
une
réflexion
au niveau
4 et
5 une
toutefois
révèle
7 et
principale
8.
dans
tout
bande
à
On peut
le
coin
rencontre
couramment
de la
pour
satisfai-
annexe
ce phénomène,
4
observer,
C’est
se
3 et
indiqué
clichés
de cisaillement
où la
aussi
membrane
les
n’est
2,
fonctionnement
dès
sur
supérieur
mieux
de la
et
dévelop-
clichés
été
d’un
l’échantillon
vérin
de l’échantillon.
intense
une
voir
originaux
pleinement
on peut
décèlera,
en bande
cliché
le
eût
preuve
au centre
en plus
par
important
exercé
localisation
peut
sur
de déformation
est
importante
; on reviendra
qu’on
de points
clichés
du champ
hétérogène;
peu
; c’est
de plus
d’essai
portées
enveloppe
d’échantillon.
distorsion
du maillage
des
celle-ci
tête
plus
Un oeil
axial
l’absence
également
qui
supportée
la
d’agrandissement
6 que
membrane
d’appui
une
instants
en cours
explique
globales,
lorsque
avec
tête-échantillon
cliché
qui
aux
force-déplacement
directement
de l’homogénéité
pièce
détaillée,
courbe
à partir
la
apparemment
distorsion
le
sur
en contact
de l’antifrettage.
certaine
sur
1,
pris
été
aux clichés.
de localisation
rapport
qu’un
ce
planimétrie
matérialisé
déformation
une
par
ont
obtenue
correspondent
faciès
Lors
celle
la
de volume
grossièrement
pée.
sur
de l’essai
de l’échantillon
clichés
analogique,
obtenues
maillage
de juger
successifs
Les
variations
Les
expérimentaux
points
est
traçante
table
états
correspondants
courbe
discrets.
figure,
les
numéros
8. Cette
les
écrasement.
de son
les
figure
de mesure
la
7 montre
la
observé
de cisaille-
ment.
La
mesurer
le
méthode
champ
stéréophotogrammétrique
de déplacement
permet,
incrémental
-
109
entre
-
à partir
deux
états
des
clichés,
successifs,
de
et
de
chapitre
VI
-
110
-
chapitre
charge
axiale
w
déplacement
I
30
e
Figure
-e---LI----
8. Courbe
calculer
le
résultats
cessifs
les
partir
V
champ
variation
force
champs
2,3
de déformation
3,4
de vecteurs
de l’incrément
l
I
40
50
axial.
- déplacement
Les
associé.
Essai
et
5,6.
déplacements
3,4
et
sup érieur
(mm)
La partie
mesurés,
un évident
pour
supérieure
qui
mécanisme
- 111 -
shfO6.
9 à 12 présentent
figures
stéréophotogrammétrique,
4,5
du plateau
e
de volume
axiale
de l’exploitation
1,2
VI
révèlent
les
de la
des
de glissement
les
suc-
incréments
figure
9 montre
perturbations
bloc
sur
à
bloc
chapitre
dès
VI
l’incrément
partie
champ
de
contour
Le
géométrie.
La
5,6.
de
inférieure
indiquent
des
pointillé
est
directions
est
celui
de
donne
une
principales
fois
l’échelle
représentation
flêchées
dans
la
On
remarque
de
cisaillement
zone
de
la
après déformation.
synthétique
dont
du
branches sont
les
à la grandeur des déformations
et la direction.
signe
cinq
l’échantillon
sous la forme de croix
proportionnelle
le
vecteurs
la figure
de
déformation,
longueur
L’échelle
principales
et en
la rotation
notamment,
des
au cours de Encrément
596 0
figure
La
verticales
(en
l’échantillon
leur.
de
Si,
verticaux
transformation
verticaux
inséré
par B. Duthilleul)
une
au
détermine
rotation
doublée
horizontales
5) et respectivement
Revenant
rigide,
droites
3,4,
isovaleurs
régulièrement
verticales.
Si
des
est
V : dans
le
cinématique
translation
(figure
enfin
la
déplacements
horizon-
envisagé,
de
rigides
3),
ce
horizontaux
3,5
forte
une
analogique
de blocs
espa-
par les figures
donné
cas
des
Schneebeli
qui
subissent
entraine
qui
notés
des
"dx" (figure
pour les IrdyU.
à l’essai
le
d’une
les
isovahomogène
et pour les déplacements
cas
Si
aucune
strictement
les isovaleurs
ce dernier
chapitre
une
de déplacement.
horizontales
des
composantes
n'observerait
on
pour les déplacements
champ
avec les incréments
l'incrément
droites
verticales
de
champ
(observée dans un essai sur le matériau
localisation
traste
rotation
du
des
axes de l'essai,
horizontaux
Un exemple
et 6 de l'article
bas)
à une déformation
aux
des
droites
des
horizontales.
l'incrément
une
d'isovaleurs
rigide,
soumis
seraient
était
(en
parallèles
déplacements
seraient
isovaleurs
était
principales
cées et pour les
chacun
il
cartes
translation
une
en revanche,
déplacements
les
et horizontales
haut)
subissait
directions
taux,
10 représente
Shf06,
la
figure
La complète
5,6.
-
de
est sévèrement
de déplacement
précédents.
10 permet
112
-
localisation
constater
perturbé,
est
que dès
par conévidente
à
chapitre
VI
l
I
O‘I
1
l l-l I
LLI
-
113
-
~
-
-3.60000
-3.60000
1;. :gg
-3: 00000
-2.60000
-2.60000
-2.40000
-2.20000
-2.00000
- 1.60000
- 1.60000
-1.40000
- 1.20000
- 1.00000
-0.80000
-0.60000
-0.40000
-0.20000
-2.26000
-2.16000
-2.04000
-1.92000
:;.g::;
- 1: 56000
- 1.44000
- 1.32000
- 1.20000
-1.09000
-0.96000
-0.64000
-0.72000
-0.60000
-0.49000
-0.36000
-0.24000
-0.12000
:: 20000
:: 12000
shf06-5t-1r2-dg
-0.36000
-0.32500
-0.26000
-0.19500
-0.13ooo
-0.06500
:: 06500
0.13000
5hf06-st-314-dy
(mm)
1.45633
1.25000
1.04167
0.63333
0.62500
0.41667
0.20633
::24,67
.20633
41667
: 62500
63333
:04167
:. zio
0: 96667
1.20933
shf06-st-2,3-dx
I
shf06-st-3,4_dx
(mm)
-
F iqure
10.
Essai
shf06
: isovaleurs
des
et horizontaux
:: 24000
shfO6-5t-4r5-dy
-1.69167
-1.45000
- 1.20933
-0.96667
-0.72500
-0.48333
-0.24167
shf06-st-1,2-dx
*
l
déplacements
(bas).
shf06-st-4r5-dx
verticaux
-4.!mOO
-4.32wO
-4.o6000
-3.64Ow
-3.6Ocm
-3.36000
-3.12Ow
-2.66000
-2.64000
-2.4OooO
-2.16000
-1.92000
-1.69000
-1.44000
-1.20000
-0.96000
-0.72000
-0.48000
-0.24000
(haut)
chapitre
VI
E
n
-+
%
\
c
0
*l-l
u
ti
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- 115 1
chapitre
VI
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L
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i
i
.
i
i
i
.
.
.
chapitre
La représentation
figure
d8
11
donne
(de%- dei) 9 l’une
= 1/2
sation
à la
de
la
ultérieure.
sation
dont
de la
les
extension
déformation
les
est
de la
ment
près
à peu
dans
ce chapitre
tout
,
et
l’initialison
hétérogénéité
une
suivant.
présente
en partie
avec
Les
le
évolution
diffuse
point
de
d’initiali-
conventions
de
signe
: compression
sont
néga-
pour
symboles
déformation
rotation
la
le
champ
materielle
de variation
associée
révèlent
de volume
par
indiqués
hexagonal
donnée,
haute,
une
à la
dilatance
de localisation.
sont
des
basse
variations
Les
zones
signes
échelles
lorsqu’elle
coïncide
et en partie
positives,
les
2,3
de taille
clairement
3,4
: la
maximum
en symboles
montre
à l’incrément
incrémentale.
Les
cas,
Pincrément
maximum
12 enfin,
dans
valeurs
figure
distorsion
la
l’autre
encore
positive.
incrémentale
importante
de
à l’incrément
dès
déformations
La figure
de volume
le
instructive
plus
champ
et
Cette
cisaillement
localisation
pour
adoptées
locale.
observer
On peut
déformation,
tive,
de
du
en isovaleurs
valeur
bande
est
déformations
représentations
deux
proportionnelle
la
des
VI
la
les
sont
forme
valeurs
dans
“depsl
globale
(carré
du symbole
négatives).
indiquées
mention
axiale
la
la
Dans
pour
les
nombre
bon
de
marge
droite
du dessin
la
valeur
de
= . ..*I indique
;
Kncré-
de l’échantillon.
Remarques
1) Lorsque
sur
les
dessins,
grande
plus
centre
de deux
2)
les
Dans
pas
De ce
est
optimisée
seulement
fait,
il
calculée
peut
symboles
une
d’isovaleur
dont
symboles
cartes
des
en avoir
valeurs
à un symbole
isovaleurs
non
échelles
on peut
des
correspond
le
les
la
sur
ne sont
estimation
le
comme
se trouver
dans
serait
égale
manière
marge
la
explicitement
suivante:
gauche
à l’écartement
du
moyen
la
dessin
entre
dessin.
d?sovaleurs,
de façon
indiquées
de la
reportées
taille
pas
la
répartition
à offrir
une
dans
une
.
fonction
les
cas
- 117 -
bonne
(à pas
couverture
de Pécart
de forte
constant)
des
des
du domaine
valeurs
localisation,
et
extrêmes.
que
cer-
VI
chapitre
taines
zones
soient
Dans
ce cas,
pas.
L'isovaleur
tracée
essais
seront
rieur
gauche,
couple”
II
un
suite
de ce mémoire,
les
Le
dernier
significations
sont
déplacement
incrémental
horizontal
dy
déplacement
incrémental
vertical
dism
incrément
de distorsion
VSVO
incrément
de déformation
teta
incrément
de
la
pour des raisons
rotation
forme réduite
présentation
d
par thème
le
les
suivantes
coin
infé-
"numéro de
mentions
rrdxVg,
:
= 1/2 (d 1 - d 2)
volumique
matérielle.
adoptée,
la lisibilité
sous la forme originale
évidentes
dans
- st-
comporte
les
autres
les numéros des figures
apparaît,
champ
des
discutés
de la forme “nom-d’essai”
représenté".
est alors
11).
et
3 indique
figure
le même
sur la liste
t figure
Le tableau
à gauche.
gardant
en
stéréophotogrammétriques
Sur chaque
essai.
dont
valeur
dx
Dans
la
suivent.
identificateur
etc...
à la dernière
la
en haut
ces zones
dans
exploitations
dans
à chaque
indiquées
Shf06-st-3,4-dism
des
présentés
- “élément
11
dY 9 vtdismww
mais
(Exemple
résultats
de valeurs
l’échelle
correspondant
les paragraphes qui
se rapportant
de l’échelle
prolonger
on a dû
en pointillé.
Les
dans
hors
d'encombrement.
- 118 -
(21
des figures
x 30
cm)
n’est
est médiocre
pas
possible
chapitre
Tableau
1---1-1--
VI
3
l
ESSAI
SHOO
incréments
f
11
shf00
shf01
Il
0,3
à 7,8
8,9
à 0,ll
1,3
à 5,6
dy,dism
Il
dism
dx,dy
4
16
4
1,3
[3
20
1
19
22
21
23
I
à 5,6
vsvO,teta
18
17
I
//
: 25
; tout
24
,
5,6
: 26
A-2
A-3
shf02
4,5
à 8,9
27
shf03
1,2
à 4,5
29
30
31
A-20
shf06
1,2
à 5,6
10
11
12
A-5
shfl0
1,2
à 7,8
33
shfll
shf18
II
11
bvO1
7,8
tout
28
34
A-10
à 4,5
35
36
5,6
à 8,9
37
38
à 11,12
39
40
à 4,5
41
1,2
pr17
A-9
: 32
1,2
9,lO
A-19
42
44
1
Tableau
des
- 119
figures.
-
A-17
43
A-23
VI
chapitre
VI.3
Dans quel cas la localisation
1--------------------------------------------------
Sur
la
absolument
Comme
pratiques)
domaine
le
présentés
soient
des
verre
montrent
rapport
des
globale,
sation,
singulièrement
mieux
dans
les
position
aussi
cas
insensible
dense
du pic
bien
contrôlées
aux
aux
et
les essais
: par exemple,
il
et mineure
essais,
2,
s'est
que
ou
le
la
localisation
produite
le frettage
quelles
blocage
de la
ou l'antifret-
on obtient
le
même
d’Hostun
gros,
de Schneebeli
type
sur les
comme
le
à la déformation
l'occurence
que
reportés
essais.
Parmiles
les
essais
sur la figure
de
On
est
courbes
des
indiquent
présentés
affectés
est
l'essai.
ce résultat
l’enveloppe
essais
la locali-
marqué,
de
mais
qui comporte un point
- 120 -
de
extrêmement
présente
points
ShflO
rapportées
en question,
13, qui
que
d'après les courbes
ou aux perturbations
courbes
des
apparaît
par un pic
raffinements
l'essai
lâches)
<43>.
le cas dense
"parfaits"
les
(essais
tableau
matériau,
ce
restriction,
peut constater
la liberté
systématique,
Les
(cf
bidimensionnel
différents
pour les divers
cas,
une
concernant
contractant
sur le sable
fin,
par la figure
lâche.
essais
localisation
du
observerait
on
Des
être
(pour des raisons
exclut
celles-ci,
la nature
l’ensemble
gamme
et on
que
de
majeure
dans
en évidence
la
telles
de B. Duthilleul
en annexe
mis
que
fi
relatives
contraintes
la
. Malgré cette
les
sur le sablz
contraintes
de
dans
denses)
tous
temps
Concernant
et aussi
révèle
globalement
la translation
se traduit
qui
trouvera
cas
dans
outre ce caractere
Mais
axiale
le
d’essais,
de
se
pour lesquelles
(essais
en même
localisation
gamme
préparation
en
observée
les essais
cette
?
au long de l'essai.
sur le sabl e d’Hostun
de phénomène
de
sont
plane
haut,
dilatant
têtes,
Yélancement.
billes
tout
conditions
la
celles
décrivent
notera
les
rotation
du
ici
a été
On
plus
contraintes,
globalement
observée).
effectués,
déformation
dit
comportement
de
cas
tage,
a été
poursuivie
localisation
que
il
essais
en
les fortes
contractante
essais
des
systématique
étudiée.
et
base
apparaît-elle
la
figurent
perturbations
mou (un
cylindre
chapitre
constitué
d’un
de diamètre,
rement
Shfll
plan
de
DP),
l’essai
avec
point
dur
(une
cheville
mise
de 8 mm de
même
disposition),
au cours
duquel
rieure
tale,
dans
10% de la
axiale,
la
dont
le
plan
tifs
essais
face
supérieure
était
sou-
égale
(avec
et
Shf07
était
à
in-
l’axe
de
rotation
les
a
force
de la
Shf06
rapport
à des
supé-
de DP,
En outre,
l
tête
horizon-
du pic
l’échantillon
dite)
la
les
par
clinée
inter-
essais
relaFigure
-1-----1--
de rapport
échantillons
13.
Enveloppe
Essai
d’élancement
sont
H/L
ici
qu’en
globales
de
sont
initiale
de 2 et
confondus.
dépit
On
ces
lâches
cependant,
la
revêt
concerne
final
dans
un fort
les
est
de cette
détail
de la
pic
dans
relative
peu
bande
qu’on
des
variées)
pour
essais
denses;
de cisaillement.
l’observe
- 121
verra
aux
-
plus
phénomènes
une
la
environs
ce qui
de
&t=
les
mais
loin.
(locali-
localisation
en particulier
Pour
densité
dans
globaux
de
courbes
marqué,
pas \ de pic
l’apparition
diversifié,
les
étroit,
comme on le
unicité
très
les
ne montrent
à l’oeuvre,
un aspect
tel
biaxial.
hétéroclites,
relativement
courbes
courbes
l’emplacement
de localisation,
volontairement
observe
localisation
le
VI /V
courbes
3,5
un domaine
au contraire,
systématique,
des
constate
dans
On
A l’inverse
sation
de
conditions
confinées
donnée.
essais
de 8 millimètres
diamè-
latérale
valeur
négligeable,
1 1 essai
de Féchantillon
à une force’
mécanique
perpendiculai-
disposé
rugueuse
tre,
de résistance
au
de bois
Shfl2
matériau
VI
en
est
0,lO
ce
qui
du schéma
à
0,15
3
- t
1
chapitre
VI
(déformation
axiale),
ou deux
bandes
rendent
pour
surface
essais
dans
lâches.
tion,
le
cas
incompatible
est
Nvolution
intéressant
nombre
de compression
mêmes
notamment
initiales
et
moi-même.
des
rugueuses
sation
les
- Dans
observé
de
lorsqu’un
compliquée.
sous
effectués
du rapport
tion
en transla-
rigides
que
si
de nouvelles
deviendrait
ce
que
l’on
peut
triaxiale
ont
sous
la
entre
d’essai
hauteur/diamètre
localisation
en
ce
réalisés
été
essais
sable
g3
fin,
par
3.L.
adoptées,
de 2 et 1,
de ces
certain
un
le
latérale
ont
conditions
but,
sur
contrainte
conditions
conclusions
observer
Dans
été
même
cette
et
concernant
avec
des
la
têtes
locali-
des
échantillons
initialement
soient
tonneau
en
efficace
lorsque
est
cylindrique,
les
conditions
les
utilisé,
jusqu’à
des
lâches,
têtes
la
on n’a
d’essai.
L’échantillon
sont
rugueuses,
déformation
conduit
déformations
jamais
axiales
mais
à une
importantes
0,so).
- Dans
plus
comparaison
classique.
quelque
antifrettage
blocs
les
:
localisation,
sensiblement
i=
(t
cas
le
des
= 0,X,
une
pour
plus)
cependant
&l
2
souvent
libre
clair
de
révolution
d’élancement
Les
est
tableau
plus
(ou
deux
est
delà
au
On a le
mais
une
et
Diverses
suivantes
déformation
une
forme
rapports
adjoints
final.
Il
de cisaillement
l’essai.
et
ou antifrettées.
sont
subit
de
densités
Colliat-Dangus
géométrie
plane
au triaxial
aux
la
d’établir
axisymétriques,
d’essais
au
de
en déformation
systématique
(Shf20).
bien
bande
supérieur
plateau
surface
une
croquis
Les
denses,
le
lorsque
avec
Il
essais
poursuivi
cas
de ce faciès
lorsque
apparaîtraient
bandes
des
les
plus.
essai
qu’une
était
suivant
parfois
Toutefois,
l’écrasement
en jeu
chaque
n’observe
on
met
croisées,
compte,
seule
il
le
cas
des
échantillons
On trouve
diverses
des contraintes
à la
figure
conditions
et
initialement
de la
14 une
d’élancement
variation
axiale.
- 122 -
la
comparaison,
et
pour
d’antifrettage,
de volume
rapportés
situation
des
est
essais
des courbes
à la
défor-
chapitre
VI
6
1
r
Figure
14.
1)---------
Essai
triaxial
axisymétrique
En l’absence
dans
de
tous
la
les
cas,
trace
un pic
brusquement
:
figure
En
sensible
essais
14.
aux
par
attestée
de localisation
c’est
le
outre,
imperfections
l’appareil
forte
une
tient
cas
que
des
la
la
d’essai.
123
-
d’essai.
membrane
au niveau
contraintes-déformation,
de volume
s’annulle
HFDW12 représentés
phénomènes
seule
-
survient
localisation
de la
courbe
HFDW11 et
excentrement
-
conditions
de variation
taux
:
à un léger
de diverses
la
de ces
de l’essai
en début
le
essais
l’apparition
HFDW19
distorsion
sur
;
marqué 9 pendant
en question
HFDW12 dans
d’antifrettage,
de dispositif
du plan
on observe
: comparaison
RI'-
sur
conjugués
différence
de l’échantillon
entre
de
la
est
très
les
deux
1 1essai
I
,
chapitre
VI
Lorsque
lement
avant
l’essai
de très
diffuse
Si
(I~/R
= 2),
seulement
alors
tie
de
rieure
de
montre
té
conique
à la
un
c'est
en
partie
La
15
antifretl’état
(HFDW21)
:
on
de
obser-
haute
Figure
15.
--7------T
de
Essai
antifretté
axisymétrique
le
lQ5chantillon,
mode
ci-dessus,
se
déformation
auquel
concourantes.
diffus,
une
l'élancement
diffuse,
meilleure
raison
partie
est
rogénéité
une
Il
fin
apparaît
importante
faible
intéresse
représentativité
2
ion
d’essai.
une
ultérieure
plus
élancement
vient
superposer
localisée
triaxial
de déformat
Hétérogénéité
diffus
en
encore
localisée
le
figure
essai
final
décrit
non
au
HFDW19.
déformation
Ve9
une hétérogénéité
lJ1té-
:
1’ essai
dense
axisymétrique
peut
par-
lQ5volution
pour
déformation
observe
on
cisail-
partie
rigide
présentée
photo
cas,
la
de
peut
grande
une
de l'essai
cas
ce stade,
bandes
élancé
une
pratiquement
cours
de
de
l'échantillon,
de
laissant
nombre
pas
cylindrique.
ce mode diffus
sur
n’observe
; avant
déformation
d'une
est
développer
bon
déformation
l'échantillon
on
déformations
dans
forme
la
à une
superposée
se
mais
sous
antifretté,
fortes
cylindrique,
être
est
sous
forme
qu’à
nettement
de deux
partir
= l),
pratiquement
des
des courbes montre que plus
du
a cessé
de l'échantillon
(H/R
bandes
la
mesures
faible
- 124 -
du
de se déformer.
(essai
est le rapport
ce qui
HFDW03).
d'élancement,
mode
Lorsque
même affectée
l*échantillon,
obtenues
cisaillement
développement
déformation,
tout
de
d'hétéconduit
La
compa-
moins
à
chapitre
marqué
est
volume
le
pic
en phase
de la
sur
le
rejoignent
de
ceux rapportés
et/ou
au
à la
Barden <84>,
une
méthode
Bishop
le
de
ment
exempts
de plans
axiales
l'émergence
possible
déformation
plane
faites,
le
qu'en
déformation
qu’une
hétérogénéité
à
un
Green
à dire
<77>
intermédiaire
ici
de
uz
L'amélioration
a été décrite
et
d'antifret-
notamment
par
<61>, qui
incrémentales,
5.
a utilisé
très
Labanieh
soignés
labora-
au
axisymétriques
cylindriques
sensiblement
Rowe et
accrue.
triaxiaux
d’essais
plane,
significative
l’homogénéité
essais triaxiaux
mode
antifretté
1 de l'article
présentée
diffus
ce comportement.
indique
pratiquejusqu'à
d’élancement
des
apparaît
vite
plus
localisation
d’une
résultats,
amplitude
obtenus
d'appliquer
sont
des
le
<102>).
trois
séries
d’essais
entre la majeure u 2
en effet,
survient
rhéologiques
mode diffus.
il
a été
souligné
ait
notable
pu
avant
se développer.
triaxiaux
principales
"vrais",
indépendantes
de nos
observations.
en faisant
varier
la
Reades
et
contrainte
et la mineure 0‘3 , ce qui fait
- 125 -
Les
systématiquement
sur des appareils
à rapprocher
montre
la même étude menée en
qu'un éventuel
contraintes
L’étude
article
même
contraire,
ces résultats;
la
diffuse
Au
référencé
dans
faible
axisymétrique
diffuse
que, dans le cadre des hypothèses
corroborent
effectué
triaxial
(figure
cubique,
ont
déformation
grâce aux dispositifs
campagne
des
pour comparai-
ici,
de
de modes de bifurcation
ici
plane,
capables
essais
en évidence
sur un appareil
de
autres
échantillon
vaste
rupture
localisé
mode
présentés
c'est
variation
la
de 0,25.
<104>
essais
Dl
forte
menés
chercheurs.
rhéologiques
de
décrits
en
de nos
pour mettre
l'apparition
à ceux
bifurcation
de
celui
a pu obtenir
a montré
similaires
plus
triaxial,
de l%lancement
lois
Vardoulakis,
(0,6),
et
et Green <7> ou encore par Kirpatrick
des
Grenoble,
déformations
,
axisymétrique
cadre d’une
au calage
toire
que
triaxial
radiographie
de
l'essai
par divers
diminution
Dans
destinés
concernant
matériau
même
l’homogénéite
tage
Es
finale.
Ces résultats
son,
0; /G'-
courbe
VI
varier
chapitre
VI
entre 0 et 1 le paramètre b défini
0
par :
-a.
2
b
3
q
cr
-0‘
3
1
Ces auteurs
avec
ont observé qu'à partir
localisation
contrainte
vrai
ces
et Dunstan <4> rapportent
triaxial
à frontière
constante,
plus
haut,
chemins
de
mation plane).
que
en
des
ce qui
A
Ainsi,
de
la
soins
des
dont
il
jusqu’à
des
obtenue
avec cet appareil
des
du texte
résultats
en page
figure
face
soumise
désignent
cas
en
à
la
présentés
158
ici
plus
une
révolution
être
exempt.
aux
défor-
axisymétrireste
haut.
extrêmement large
dès
plane,
quant
imperfections
plane.
à 6
3
quelque
à
Par contre,
pour la déformation
- 126 -
b
pour tous
localisée
inévitable,
de
paramètre
de la
triaxial
gamme
déformation
.
/
se rapprochent
de
sensible
l'orientation,
du
non
sur
obtenus
localisées
l’essai
dans
particulier
en
est hautement
ruptures
question
triaxial
importantes,
4 montre
où la rupture
en situation
Le
similaires
en fonction
de
apparaît
du matériau.
déformations
leur
certains
a été
chargement et se révèle
initial
résultats
de cisaillement
l’un
globale,
des
l’existence
localisation
l'état
Suite
;
les auteurs
comme
des
cent de déformation
à l’opposé
bandes
indique
contrario,
prix
au
flexible
chargement (parmi lesquels
compression
possible,
chemins
à la
rupture
une
intermédiaire.
d'ailleurs
défini
se produit
il
le long d* un plan perpendiculaire
Arthur
un
de b > 0,15,
lui,
de
pour
soit
peut,
la réponse
de l'essai,
-
127
-
4. i%“o:
4: 50000
4.12500
3.75000
3.37500
3.00000
2.62500
2.25000
1.87500
1,50000
1.12500
0,750oo
0.37500
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). 37500
) .75000
1;. g;gJ
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- 1.53000
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- 1.02000
-0.76500
-0.51000
-0.25500
0.
SHOO-st-0,3-dy
SHGOO-St-315
--
-dy
(mm)
’
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0: 70000
1.05000
1.40000
1.75000
2.10000
SHGOO-St-315
SHOO-st-0,3_dx
Figure
16.
-11
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-1.20833
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1
/ -0.96667
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0: 41667
0.62500
0.83333
1.04167
1.25000
1.45833
1.66667
J
SHOO-st-6r7edy
L
!
/
-2.10000
- 1,750oo
1.40000
- 1.05000
-0.70000
-0.35000
-0.83333
-0.62500
-0.41667
-0.20833
-3.13500
-2.97000
-2.80500
-2.64000
-2.47500
-2.31000
-2.14500
- 1.99000
-1.81500
- 1.65000
- 1.48500
- 1.32000
-1.15500
-0.99000
-0.92500
-0.66000
-0.49500
-0.33000
-0.16500
0.
0.16500
-4.10000
-3.89500
-3.69000
-3.48500
-3.28000
-3.07500
-2.87000
-2.66500
-2.46000
-2.25500
-2.05000
- 1.84500
- 1.64000
- 1.43500
- 1.23000
- 1.02500
-0.82000
-0.61500
-0.41000
-0.20500
0.
-6.75000
-6.37500
-6.00000
5.62500
-5.10000
-4.84500
-4.59000
-4.33500
-4.00000
-3.82500
-3.57000
-3.31500
-3.06000
-2.90500
-2.55000
-dx
-0.24167
0.
0.24167
0.48333
0.72500
0.96667
1.20833
1.45000
1.69167
SHOO_st_6/7_dx
(mm)
Essai SHOO. Isovaleurs
du déplacerrrent
~--~-
vertical
(mm)
-
-- -
- -
(haut)
-
SHGOO-St-T,8
- 1.45000
- 1.20833
-0.96667
-0.72500
-0.48333
-0.24167
0.
0.24167
0.48333
0.72500
0.96667
1.20933
1.45000
SHGOO-St-?,8
et horizontal
-dx
(mm)
(bas).
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SHfOO-st-3,4-v5uO
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.
.
...\
.\
(deg)
SHfOO-st-4,5-teta
SHfOO-st-5,6-teta
L
Figure
----------
24. Essai shfO0.
Variation
de
volune (haut)
et
rotation
matérielle
(bas).
-
137 -
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.18000
.20000
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SHfOl-st-5,6-dism
SHfOlest-516
I
-3.32500
-3.15000
-2.97500
-2.80000
-2.62500
-2.45000
-2.27500
-2.10000
-1.92500
-1.75000
-1.57500
-1.4ooclo
-1.22500
-1.05000
-0.87500
-0.70000
-0.52500
-0.35000
-0.17500
0.
0.17500
-0.09000
-0.06000
-0.03000
0.
0.03000
0.06000
0.09000
0.12000
0.15000
0.18000
0.21000
-2.50833
-2.15000
-1.79167
-1.43333
-1.07500
-0.71667
-0.35833
0.
0.35833
0.71667
1.07500
1.43333
1.79167
SHfOl-st-5,6_vsvO
SHfOl-st-5r6-dy
Figure
-- -------
26. Essai shfO1. Incrément
5,6
: déplacements
SHfOl-zst-5,6-teta
et
d6formations.
-
X
a
4.
4
t
4,
-
140
-
0.
0:00300
0.00600
0.00900
0.01200
0.01500
0.01900
0.02100
0.02400
0.02700
0.03000
Ez
0:01soLl
0.02400
0.03ooo
0.03600
0.04200
0.04mo
0.05400
0.06000
,,,....,..s,..
shf02st-4rLdism
shf02t-6r7-dism
-0.02ow
ZEXE
-0:OOWO
0: 00500
0.01ooo
0.01500
0.02ooo
.
-0.00400
0.
0;00400
:-fi
0:01600
0.02000
-0.03ooo
-0.02400
11
-0.01eoLl
-0.012oa
-0.oo600
klo6oo
0:01200
0. OlBoo
0.02400
0.03000
~:01000
0.02000
0.03000
0.04000
0.05000
“
b,..
shf02-st-4,5-vsv0
-
Figure
-I e-e----28. Essai shfO2. Cartes de symboles : distortion
. . .
..D
DC.
. . . .
. . .
5hf02_st_7,8_vsvO
(haut)
IL
et variation
de volume (bas).
-1.29167
-1.03333
-0.77500
-0.51667
-0.25833
1.
1.25833
1.51667
1.77500
1.03333
1.29167
1.55000
1.80833
shf03-st-3,4-dx
shf03-mst-lr2edx
I
---
~~
-5.80000
-5.51000
-5.22000
-4.93000
-4.64000
-4.35000
-4.06000
k17500
0.35000
0.52500
0.70000
0.87500
1.05000
-~-4.42500
-4.13000
-3.83500
-3.54000
-3.24500
-2.95000
-2.65500
-2.36000
-2.06500
-1.77000
-1.47500
-1.18000
-6.88500
-0.59000
-0.29500
-1.16000
-0.87000
-0.58000
-0.29000
0.
-3.40000-
3.20000
3.04000
~2.88000
.2.72000
-2.56000
-2.40000
-2.24000
-2.08000
-3.23000
-3.06000
-2.89000
-2.72000
-2.55000
-2.38000
-2.21000
-2.04000
-1.87000
-1.70000
-1.53000
-1.36000
-1.19000
-1.02000
-0.85000
-0.68000
-0.51000
-0.34000
-0.17000
0.
-0.48000
-0.32000
-0.16000
0.
1
shf03-5t-4,5-dy
shf03-st-1,2_dy
Figure
-I) ------- 29.
Essai
shfOL
Isovaleurs
du d6placement
vertical
(haut)
et
horizontal
(bas).
/
1
d00~0
0
OoYro’o
00x0’0
Ooa:O’J
oor:
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OOùCO’O
00910’0
00: 10’0
~
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00910’c
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00010’0
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00120’0
00d10~0
OOSl3’0
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003OG
00c00’0
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-0.02800
-0.02400
-0.02000
-0.01600
-0.01200
-0.00800
-0.00400
-0.03000
-0.02500
-0.02000
-0.01500
-0.01000
-0.00500
:*00400
0: 00800
0.01200
0*00500
0:01000
0.01500
0.02000
I
shf03-5t-1,2-us"0
r
~-
-0.04000
-0.03200
-0.02400
-0.01600
-0.00800
0.
0.00800
0.01600
0.02400
0.03200
0.04000
-0.03000
-0.02400
-0.01800
-0.01200
-0.00600
0.
0.00600
0.01200
0.01800
0.02400
0.03000
shf03-st-4r5-vsu
shf03-St.-2,3--vsv0
0
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I
-0.03000
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-0.01800
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-0.00600
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-0.01200
-0.00800
-0.00400
0.
0.00400
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0.01200
0.01600
0.02000
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0.03000
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-0.02000
-0.01500
-0.01000
-0.00500
shf03_st-1,2-teta
Figure
a-L-III- 31.
Essai
shfOL
Variation
de
volune (haut)
et
rotation
mat&ielle
(bas).
c-.
Figure
Figure
-1--e-----
32.
Essai
shfll.
Incrément
32.
7,8.
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5hflO-st-1,2-dx
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shflO-st-5r6-dx
shflO-st-6,?-dx
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- 1.72500
-1.61000
-1.49500
- 1.36000
- 1.26500
-1.15000
- 1.03500
-0.92000
-0.80500
-0.69000
-0.57500
-0.46000
-0.34500
-0.23000
-0.11500
0.
0.11500
-6.32000
-5.92500
-5.53000
-5.13500
-4.74000
-4.34500
-3.95000
-3.55500
-3.16000
-2.76500
-2.37000
- 1.97500
- 1.58000
-1.18500
-0.79000
-0.39500
0.
-
1.68000
- 1.56000
- 1.44000
- 1.32000
- 1.20000
- 1.08000
-0.e6000
-0.84000
-0.72000
-0.60000
-0.4eooo
-0.36000
-0.24000
-0.12000
0.
shflO-st-1,5-dy
Figure
------mm 33.
Essai
shf10.
shflO-&-5,6-dg
Isovaleurs
du
d6placement
Af10.est-6,?-du
vertical
(haut)
5hflO-wst-7r8-du
et
horizontal
bas).
n
0.
0.00200
0.00400
0.00600
0.00900
i: 00090
0.00180
0.00270
0:00#0
0.01200
0.01600
0.02400
0.03ooo
0.03600
0.04200
0.04800
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0.06000
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shflO-st-?r8-dism
shflO-st-5,6_dism
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.
.
-0.02000
-0.01600
-0.01200
-0.00600
-0.00400
fi: 00400
0.00900
0.01200
0.01600
0.02000
shflO-st-lr2-vsv0
lO-st-6,?-vsv0
.
Figure
34.
e--------w
Essai
shf10.
Cartes
de symboles
: distortion
(haut)
et
shflO-st-7,8-vs”0
variation
&
volume
(bas).
.
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-0.60000
-0.70000
-0.60000
-0.50000
-0.40000
-0.30000
-0.20000
-0.10000
0.
0.10000
-0.46000
-0.42000
-0.36000
-0.30000
-0.24000
-0.16000
-0.12000
-0.06000
0.
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0.21667
0.32500
0.43333
0.54167
0.65000
zihf18vst-5,6
-
-dx
Figure
37.
-----11--1-
Essai
shf18-5t-617
I ~f18.
-dy
5hf18-5t-819
-2.97500
-2.55000
-2.
I 2500
- 1.70000
- le27500
-0.85000
-0.42500
0.
0.42500
0.65000
1.27500
1.70000
-0.54167
-0.43333
-0.32500
-0.21667
-0.10833
i: 13333
0.26667
0.40000
0.53333
0.66667
0.60000
0.93333
-5.76000
-5.44000
-5.12000
-4.80000
-4.46000
-4.16000
-3.64000
-3.52000
-3.20000
-2.66000
-2.56000
-2.24000
- 1.92000
- 1.60000
- 1.28000
-0.96000
-0.64000
-0.32000
0.
0.32000
I : * :;;g
- 1.29500
-1.11000
-0.92500
-0.74000
-0.55500
-0.37000
-0.16500
0.
0.16500
0.37000
shf18-5t-617
I
-6.08000
-3.33000
-3.14500
-2.96000
-2.77500
-2.59000
-2.40500
-2.22000
-2.03500
- 1,650OO
-0.64000
-0.76000
-0.72000
-0.66000
-dx
Isovaleurs
- 1. 70633pp
- 1.36667
- 1.02500
-0.68333
-0.34167
0.
0.34167
0.66333
1.02500
1.36667
1.70633
2.05000
2.39167
5hf18-5t-8/9
du d6placement
-dy
~~
vertical
shf18-Tt-7,8
-dx
(haut)
et
horizontal
wdx
(bas).
(mm)
Figure
--------II-
38.
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DO
................
............
...............
................
shf
shf18wst-9rlOeusvO
qure-m-----40.
--
Essai shf18.
Cartes de symboles : distortion
(haut)
18-st-
1
et
variation
de volune
(bas).
__--
:y- ;g;;
- 1: 87000
- 1.76000
- 1.65000
-1.21000
-1.10000
-0.99000
-0.99000
-0.77000
-0.66000
-0.55000
-0.44000
0.
bwOl-st-1,2
-dx
bvOl_st-213
(mm)
Figure
41.
---------m
Essai
BVOL.
-dy
J
(mm)
-dx
Isovaleurs
buOl-st-4,5
bvOl-st-4,5
d4placemnt
(mm)
-dx
(mm)
k 17500
0: 35000
0.52500
0.70000
0.67500
(mm)
du
-dy
- 1.22500
- 1.05000
-0.67500
-0.70000
-0.52500
-0.35000
-0.17500
- 1.25000
-1.04167
-0.93333
-0.62500
-0.41667
-0.20933
0.
0.20933
0.41667
0.62500
0.93333
1.04167
1.25000
-0.63333
-0.47500
-0.31667
-0.15633
0.
0.15933
0.31667
0.47500
0.63333
0.79167
0.95000
1.10933
1.26667
-0.65000
-0.54167
-0.43333
-0.32500
-0.21667
-0.10933
0.
0.10933
0.21667
0.32500
0.43333
0.54167
0.65000
- 1.50000
- 1.42500
- 1.35000
- 1.27500
-1.20000
-1.12500
- 1.05000
-0.97500
-0.90000
-0.82500
-0.75000
-0.67500
-0.60000
-0.52500
-0.45000
-0.37500
-0.30000
-0.22500
-0.15000
-0.07500
0.
bvOl_St-314
bvOl-St-213
tJI
-l=
I
--
-i .97000
- 1.76000
- 1.65000
- 1.54000
- 1.43000
- 1.32000
-1.21000
-1.10000
-0.99000
-0.99000
-0.77000
-0.66000
-0.55000
-0.44000
-0.33000
-0.22000
-0.11000
0.
0.11000
0.22000
I
buOl_St-112
~--
- 1.98000
-2.30000
-2.19500
-2.07000
-1.95500
-1.64000
-1.72500
-1.61000
- 1.49500
- 1.36000
- 1.26500
-1.15000
- 1.03500
-0.92000
-0.90500
-0.69000
-0.57500
-0.46000
-0.34500
-0.23000
-0.11500
0.
-2.20000
vertical
(haut)
et
horizontal
(bas).
Figure
----------
0000000000
0000000000
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.
VI
chapitre
Qu’il
courbe
y ait
tout
plane,
note
que
la
sur
pour
à la
essais
lâches.
Essais
denses
11,
essai
qui
essai,
de ses
au
clair,
le
pic,
(101
,page
observe
qu’on
sur
de déformation
des
long
bandes
Nos résultats,
113>.
la
expérimentale-
expériences
permettent
lumière
avant
dense
donne
3,4,
dont
de nos
le
d’apporter
typique
est
que
localisation
on peut
que
les
l’essai
des
la
essais,
pour
pic
l’évolution
on observe
l’incrément
le
spontanément
pic
de
obtenus
préci-
quelques
relation.
- un
figure
rompt
se
sensiblement
les
le
paraît
suite
stéréophotogrammétrique,
apparaît
s’initialiser
entre
localisation
à la
1Vchantillon
cette
Il
la
et
apparaissant
méthode
sions
relation
Vardoulakis,
au moins.
cisaillement
cet
certaine
contrainte-déformation
ment
par
une
champs
essais
denses
ShfO6.
Si
est
sur
la
un
dense
localisation
déjà
et
encore
plus
la
incrémentale
8 qu’il
pour
apparue
nettement
figure
peut
considère
l’on
distorsion
de
constater
la
est
situé
dès
avant
pic.
- L’essai
courbe
A.9.
rapport
incrémentale
tous
deux
l’instant
(figure
de
placés
Dans
la
no 6 (pris
le
cas
mais
est
on
34,
perturbé
localisation
par
donnée
constate
que
notable
dès
en
le
un point
à la
annexe
champ
de
incréments
les
mou.
La
figure
distorsion
5,6
et
6,7
= 3,5,
le
pic.
de
l’essai
comme
au pic,
d’apparition
38 haut)
figure
une
avant
le
essai
contraintes-déformation
présente
cliché
des
A l’examen
est
ShflO
de
évidente
la
Shf18,
le
montre
localisation,
à l’incrément
- 158 -
dense
la
à élancement
figure
peu
6,7.
A.17),
avancée
H/L
semble
à Pincrément
marquer
5,6
chapitre
- L’essai
Dans
le
cas
ShfOO,
de
Pincrément
ShfOO,
4,5 alors
-
L’essai
peut
3,4
avant
situé
l'incrément
ShfOl,
le
ShfOl,
le
pic
réalisé
apparaît
est
à densité
(figure
23)
au
contemporain
sensiblement
moyenne.
du
cours
de
cliché
5
dimensions
ShfO2
réduites
plus
(figures
essais.
l'oeuvre
de
la
au pic,
25 et A.3 que l'incrément
franche,
de localisation
au contraire
de
que
les
L’essai
essais
28)
sont
6,7
(113
tracées
à la
28 haut
correspond
qui
sur un échantillon
effectué
habituels
sur la figure
montre quant
Shf03
de
lâche,
x 250 mm).
même échelle
que
la
de
cartes
Les
pour les
que
localisation
sur la courbe de la figure
est
à
A.19
à
l'incrément
(figure
à lui
2,3
qui
se situe
de
verre
30) une première
en pleine
localisa-
d'écrouissage
phase
A.20).
-
matériaux
L’essai
A.23 montre
sur billes
(figure
42)
cours de l'incrément
type
de
dénuée
dans
résultat.
est présente
de pic
la
le*sable*
rapportés
Duthilleul
que
présenté
par les figures
se produit
localisation
41,42,
à partir
du
43 et
pic
au
4,5.
- Concernant
sation
localisation
d'écrouissage.
phase
Autres
même
un essai
On constate
au cours
(figure
les figures
pas
est
27 et
l'incrément
dès
tion
revèle
ne
une
lâches
déformation
fin
montre plutôt
à lui,
en examinant
pic
- L’essai
autres
quant
4,5.
Essais
be,
l’essai
localisation
que
constater
puisqu’on
la
la
comme
A.2).
(figure
de
est
VI
La
dès
est
bidimensionnel
sa thèse
figure
de Schneebeli,
de
docteur
44 tirée
de ces
les
premiers
typique
de
incréments
ce matériau
faibles.
- 159 -
Ingénieur
travaux
de
les
<43>,
essais
de B.
montrent
le
montre que la locali-
l'essai
aux variations
la
cour-
de volume
très
PR09 dont
chapitre
VI
Ainsi,
il
peut
contrainte/déformation
réalité,
en
dont
suivra
est
plus
dense,
de la
à la
et
dilatance,
étroit,
la
développement
le
que
de la
du mécanisme
le
dans
antérieurement;
de la
élancé
plus
le
observe
développement
résultat
de glissement
ajouter
première
dans
que
le
matériau
le
conclusion
du matériau,
que,
traduit
localisation
que
dernier
courbes
lâche)
conséquen-
est
dense;
quant
un échantillon
produit
plus
rapidement
de blocs
rigides
auxquels
localisation
les
d’une
La
ce
que
du fait
cas
localisation
local
intense
dans
on peut
(Shfl8).
l’endommagement
d’autant
y voir
propagation
plein
plus
fait
qu’on
palier
l’apparition
vite
est
on peut
le
produite
l’échantillon
le
pic
d’un
plane,
plus
par
seconde,
l’apparition
s’est
d’autant
que le
conclu
déformation
en
s’expliquer
peut
ce
(ou
Pinitialisation
pic
être
plus
le
plein
correspond
pic.
4.2
Naissance
Ceci
propagation
sentés,
que
sera
ce qui
propage
propage
introduit
de
la
la
localisation
la
bande
dans
naissance
a travers
me complet
développement
le
deuxième
localisation.
le
cas
n’apparaît
de
à Nncrément
(incrément
pas
en plein
incréments
avec
deux
blocs
- 160 -
résultats
en tous
les
apparaît
figure
coeur
suivants,
à dire
11
de
pour
quasi-rigides,
la
pré-
points
de
puis
se
en un point
Ceci
à la
c’est
les
s’initialise
point.
Shf06,
3,4,
aux
5,6)
ce
d’après
simultanément
mais
de l’essai
celui-ci
constater
On peut
à partir
de ce paragraphe,
point
de cisaillement,
rectilignement
clairement
prend
et
particulièrement
: la
localisation
195chantillon,
aboutir
ce
et
se
à un mécanismécanisme
deve-
chapitre
nant
stable
pour
Les
ShfOl
(figure
faut
noter
par
lon.
idée
25),
se
l’initialisation
dans
l’échantillon;
les
voir
figure
le
maximum
exemples.
se produit
en est
Dans
le
cas
précisément
coin
le
point
où elle
une
zone
où à Pincré-
la
de l’échantilprend
Les figures
de l’essai
au niveau
de même lorsque
Il
contrairement
distorsion.
de
38).
au
11 que
dans
22 à
37 et
localisation,
nécessairement
a la
(figures
ShfOO
(figures
Shfl8
de l’échantillon,
d'autres
essais
de la
pas
on enregistrait
il
pour
33 et 34),
produit
au milieu
(2,3)
18),
(figure
ShflO
du point
perturbation
inséré
mou
est
23,
dur
un point
Shfll).
Vardoulakis
sur
l’initialisation
on peut
30 en donnent
(essai
que
ne
situé
précédent
s’observent
(figures
ailleurs
est
l’essai.
ShflO
au contraire,
naissance
28 et
de
phénomènes
répandue,
Bien
ment
suite
mêmes
24),
à une
la
VI
le
même sujet,
développement
xial,
<106>
bandes
en utilisant
de
perturbé
la
par
la
localisation
une
des résultats
un échantillon
: les
et
sable
produits
leur
se
pour
de
clichés
aux X par
de l’imperfection
expérimentaux
de radiographie
technique
dure
9 repérables
au voisinage
récemment
dans
inclusion
de cisaillement
raissent
a présenté
le
à l’essai
montrent
biaque
amoindrie,
compacité
propagent
observer
à travers
les
appa-
l%chantil-
lon.
Dans
Wood <88>,
la
jonction
à la
comme
montrent
se produit
ordre
même
réalisés
radiographie
essais
la
le
que
au point
des
deux
d’idées,
boîte
il
noter
faut
de cisaillement
technique
de
sur
de
de discontinuité
des
la
essais
sable,
visualisation
l’initialisation
demi-boîtes.
les
de
localisation
vitesses
et
la
utilisant
et
aussi
localisation.
dans
aux
tel
un
c’est
limites,
se propage
La localisation
de Scarpelli
ensuite
Ces
appareil
à dire
à
à travers
l’échantillon.
Dans
le
cas
concernant
le
immédiate
(essais
revanche,
on assiste
de
développement
Shf02,
dans
nos
essais
de la
lâches,
localisation
figures
27 et 28,
certains
cas,
un nouveau
: si
essai
la
Shf03,
au développement
phénomène
propagation
figures
successif
apparaît,
paraît
plus
29 à 31),
en
ou alterné
- 161 -
chapitre
VI
de plusieurs
devenir
pouvant
est
bandes
de cisaillement
inactive
particulièrement
de l’essai
dans
figure
les
essais
exemple
mis
en évidence
On le
de Duthilleul
figure
la
qu’une
30.
mentionné
développement
surface
de la
bande
de l’une
(figures
4,5,
rencontre
une
figure
réflexion
la
auteurs
observation
Shfll
(figures
Vardoulakis
fait
état
<lOl>
qui
opposées
et
incréments
2,3
; 3,4
et
4,5
quasi-systématique
(voir
bidimensionnel
par
bande
la
ceci
pour
de telles
décrit,
est
par
donné
la
l’essai
à l’incrément
à l’incrément
lieu
le
à rencontrer
évidente
donne
cas,
résultant
suivant
à
sorte
d’une
de
rigide.
dans
33).
de nombreux
se
On peut
constater
la
: c’est
biaxial,
rigides,
- 162 -
essais,
reporter
fréquence
observations
à l’essai
corps
typique
particulière,
frontière
et
celle-ci
conduit
comme
certains
Dans
de cisaillement,
et
grandement,
dépend
l’essai.
Un exemple
bien
32
trois
Ce comportement
localisation
de
se retrouve
observée)
ont
têtes.
supérieure
Cette
en action.
de façon
sable
de cisaillement
: la
sur
bande
le
imperfections
localisation
de
de la
et
tête
aussi
sur
de la
des
22 et 23)
(localisation
bandes
des
rigide
ShfOO
ShflO
haut,
les
l’une
de cisaillement
d’initialisation
plus
par
ou parallèles,
référence).
4.3 Réflexion
des bandes
I--I-I-1--------------IIIII---I-----I--ILe point
entre
retrouve
<43>
39 de cette
croisées
autre
pendant
bien
Shf03,
différentes,
survenant
aussi
dont
au
notamment
tableau
(w’ w
de phénomène.
le
cas
un mécanisme
dans
bon
D’autres
notamment
de
comportant
nombre
2
des
de
ses
chapitre
essais.
On en
publiés
par Rowe et Barden <84>, figure
Id.
essais
Les
3 .L.
que
celui
pas
d’un
point
réflexion
fait
(un mécanisme
d’une
bande
rencontre
qu’elle
ple les figures
plus
si universellement
dans
les
“les
L’idée
est
lesquels
gides
n’est
localisée,
selon
dans
aux
<56>.
accessible
au
pas
Des
spécifiques
localisation,
tel
présentés
ici,
résulte
ci-dessus,
à partir
de
d'une propagation
par
conjuguées
géométrie
la
l'essai
de
ce que montrent
essais
sur son appareil
trace
pas
(1982),
devraient
a
par exem-
sont
d'appareil,
véritablement
observée systématiquement
été
telles
triaxial,
en
- 163 -
<64>
la
(rigide).
la
locali-
triaxiaux
dans
ri-
cours d’essai
en
de
non
que
par le jeu de plaques
après sortie
effectués
Lade
la frontière"
Péchantillon
éventuelle
pas
empêcher
(élancement)
véritablement
imposées
quant à l'état
ont
pourrait
on
couper
appareils
d’une
n’est
pour les mêmes raisons,
laquelle,
les
inédit,
le penser : selon
géométriques
limites
regard;
ne garde généralement
Lanier,
IUTAM
ce type
Dans
n’est
pourrait
qu’on
potentiels
conditions
(Jacobsen)
pas
rupture
impossible
les
: c'est
s’il
du symposium
répandue aussi,
serait
sation
dont
rigide
grâce à des dispositions
de
décrite
mais plutot
unique,
reconnu
compte-rendus
plans
par
22 et23.
Ce mode de rupture
localisation
réalisés
stéréophotogrammétrique,
surfaces
deux
concevable)
une frontière
VI.3,
les résultats
que
finale,
de
de cisaillement
<102> figure
aussi de nombreux exemples
grâce à la méthode
simultané
clichés
HFDW 21).
la configuration
développement
commun
paragraphe
au
remarquer
de
sur des
7 ; ou par Vardoulakis
15 (essai
plane
que
triaxial,
l’essai
en ont fourni
moi-même,
toutefois
d'établir
à
rapportés
déformation
en
aussi
à la figure
convient
permettent
leur
et
présenté
obtenus
trace
triaxiaux
Colliat-Dangus
Il
non
retrouve
VI
l'appareil,
il
localisation.
en
collaboration
avec le but
déformation
plane
de
avec J.
vérifier
dans
si la
mes essais,
chapitre
VI
face
avant
face
arriére
Photo
---o---1-
9.
Localisation
au triaxial
faces
avant,
et
face
existait
aussi,
mémorisation
en déformation
d’une
expérimentale
peinture
essai,
forme
éventuelle
sur
faite
est
d’une
par
déposée
cette
bande
effectivement
une
localisation
fois
réfléchie
dénudée
mon
projection
par
la
qui
met
la
en jeu
une
(photo
-
inspirée
bande
locale
pour
rigides
La technique
164 -
9).
une
une
mince
de l%chantillon
de cisaillement
de la
première
bande
par
si
membrane
d’une
distorsion
typique,
plaques
trace
.
supérieure
de DP :
la
:
arriere
supérieure
appareil.
était
sur
la
en évidence,
les
cet
installation
mis
sur
dans
localisation
conservera
couche
ont
plane,
cubique
membrane.
fois
de
de
constatation
couche
avant
sous
la
Ces essais
à ma connaissance,
cisaillement
de
plusieurs
chapitre
On peut constater
sur les
membrane sur la face arrière
pondent,
l'extension
On remarque aussi
intense
3. Lanier
sont
décrits
notamment en symétrie
sons de déformation
Lanier,
supérieure,
et E. Degny ont donné suite
observés,
plane,
Stutz
laissées
la marque laissée
cubique,
<36>).
-
165
-
par
résultats
sur divers
Ces essais
de Degny
très
<33>;
qui se ramènent toujours
ont été commentés
se corres-
perpendiculaires
à ces premiers
révolution.
ingénieur
sur la
de la réflexion.
au triaxial
de
docteur
de
mécanismes de localisation
(Desrues,
sur la face
de la membrane à l'emplacement
dans la thèse
traces
à des plans de rupture
une vaste campagne d'essais
de chargement,
les
que
et sur la face avant de Nchantillon
ce qui prouve qu'on a affaire
à ces faces.
réalisant
figures
VI
les
en
chemins
nombreux
principaux
à des combinai-
dans un article
à paraître
VI
chapitre
VI-5
Cinématique de la bande de cisaillement
-------------------------------------Les mesures
tions
précises
survient
stéréophotogrammétriques
sur la cinématique
au cours de cet
les observations
de l’essai
Il
essai.
faites
avec
la
par localisation
notion
d'autre
nulle
Les
sont
tion
de
a été faite
équipe
cisaillement
de longue
<82>. Les résultats
suggèrent
cependant
quelques
date,
de mes
de
dans
les
de la
d’extension
classiquement
adoptées
des informa-
localisation
en particulier
ligne
des
lignes
dans
qui
comparer
de
nulle
part,
d’une
les
études
essais
commentaires
: cette
d’extension
à Cambridge
notamment
vérifient
de
par Roscoe
cette
proposition,
observaet
son
mais
et précisions.
d'isovaleurs
de composantes
du déplacement
incrémental
pour
les différents
essais produits montrent
que la localisation
développée
se traduit
typiquement
par un réseau très
reserré d'isovaleurs
parallèles
à la
direction
de la bande de cisaillement
:
ceci s'observe sur toutes les figures
présentées. Les composantes
de déplacement mesurées sont
dx et dy, définies
Les
et
d'obtenir
part.
5.1
Les lignes
d’extension
---------I-II-----------IL--L----II
bandes
biaxial
est intéressant
et avec les hypothèsesescinématiques
bifurcation
permettent
cartes
axes
de
l’essai.
Soit
X
2
f
un
repère OXY, tel que 0X coïncide
avec la
normale
à la bande
de cisaillement
(figure 45). Le gradient de la vitesse,
par :
u 9 est défini
i,j
On
peut
vitesse
= 1,2 en DP.
définir
les composantes
de
à partir de nos mesures
;
i
- 166 -
Figure
-----e--e- 45.
Cinématique
de bande
de cisaillement.
chapitre
VI
par :
; 1 dt = dx
i 2 dt = dy
Dans les axes OXY 9 u
u
/
s'écrit
:
=
OXY
et on a par ailleurs
l
x=
l n
i$
1
+
#2en2
+
S2Jll
l
Y
avec n1 = cosoC 9 n2 = sinb(
On peut écrire,
en omettant
=
-~len2
, o(étant
dt
l'angle
(0x1,0X)
de la fig.
qu'on peut prendre égal à l'unité
( car
le temps est ici arbitraire,
pendant de la vitesse de sollicitation
45.
:
puisque le comportement du sable est indéen première approximation)
l
= dxenl + dyen2
X
l
Y
Puisque
les isovaleurs
par rapport
= -dxenl
+ dyen2
de dx et dy sont parallèles
à Y sont nulles.
Le tenseur IA s'écrit
.
à la bande,
les
donc :
l
a
X
3X
Il. / OXY
D'où la vitesse
=
de déformation,
l
bY
définie
-
par a
167 -
= 1/2
(U+X)
:
dérivées
VI
chapitre
Ceci
montre
direction
que
a
d’extension
le
tenseur
IA / OXY
Il
est
aisé
dans
le
soit
encore,
Ajoutons
0x1x2
par
le
donc
que
la
u
en fonction
direction
OY est
une
des
#, et
;C,:
un changement
de base,
que
l’expression
de u
du gradient
de
s’écrit
en posant
que
et
=
de vérifier,
repère
nul,
nulle.
exprimer
On peut
est
YY
b r(i
g.
1
= ---bX
gradient
de la
:
u
vitesse,
,
et
le
taux
la
l
En
conséquence,
actuel,
On
on a
retrouve
matique
111-3)
dans
reliés
F 9 sont
transformation,
si
F-
l’état
1 1, tenseur
=
ici
l’expression
les
études
par
classiquement
de référence
identité,
de ;
de bifurcation
est
d’où
l
- 168 -
relation
pris
coincident
:
avec
1Vtat
:
classiquement
par
la
adoptée
localisation
comme hypothèse
de la
déformation
ciné(cf
chapitre
VI
5.3
Trois
remarques
------1------~~~~~~~
Il
convient
de
La première
remarque
dérivée
la
est
nulle.
de la
devant
ment
développée.
Au cours
porte
vitesse
noter
On doit
ble
celle
Cela
sur
remarques
quelques
cette
la
direction
n’est
pas
de l’increment
Y pour
l’assertion
la
dans
que
dans
considérer
vement
maintenant
concernant
faite
direction
dérivée
les
essais
la
vrai
apparaître
la
localisation,
qu’on
a :
le
en revanche,
dans
approximation
ne décrit
2,3
de l’essai
Cette
elle
le
des
pas
essais
n’infirme
cependant
lâches,
est
début
que
figure
pas
<<I b>i:
1;
dY
observe
:
c’est
effecti-
r des cas où cette
le
cas
de
Pincré-
5.1
et
29.
les
soient
réalité
pleine-
du phénomène.
on peut
-
on peut
la
fidelement
à la
shf03,
remarque
nécéssite
cas
(OY)
ou négligea-
localisation
des
laquel-
bande
nulle
ax
denses,
selon
de la
réellement
n’est
nécessairement
voit
haut,
longitudinale
0X que lorsque
qui
plus
bX
ment
la
observée.
cinématique
le
faire
des paragraphes
conclusions
introduites
5.2
;
précisions
supplémen-
on convient
de considé-
quelques
taires.
Dans
rer
le
les
champ
homogène
études
de bifurcation
de déformation
(FO)
et
conduit
cette
idéalisation
deur
non
Cette
l’hypothèse
nulle
strictement
vaut
pour
négligeable
devant
permet
discussion
classique
comme la
pour
la
le
champ
le
superposition
de deux
par
.
décrit
haut
plus
à imputer
sont
localisation,
localisé,
décrite
à l’extension
que,
actuel
l’autre,
L’idéalisation
par
(dérivée
bande
et
par
localisé.
Les
d’un
à OY
nulle),
cinématique
déviations
champ
l’un
par
homogène,
qui
classi-
rapport
de gran-
localisé.
d’apporter
donc
rapport
à l’hypothèse
à l’existence
champ
F = [email protected]
champs,
quelques
précisions
concernant
:
l
F =iO+g*n
Il
apparaît
localisé
que,
dans
le
g 8) n au moment
cas
d’un
matériau
de l’apparition
lâche,
l’ordre
du phénomène
- 169
-
de grandeur
n’est
du terme
pas nécessairement
à
VI
chapitre
supérieur
Dans
à celui
le
cas
l'apparition
il
de la
sur cette
une
ce résultat
1' instant
brefs,
0,003
au
localisation,
il
faudrait
de la
de déformation
cours duquel,
essais
pouvoir
localisation;
saisir,
dans
attestent
avec certitude
37 et
l'emporte
extrê-
38 (moins
très
un déclenchement
le terme localisé
tendant
incréments
figures
shfl8,
dès
Certes
incrément
un
certains
toutefois
globale),
manifestement,
montrent,
car pour statuer
6,7 de l'essai
axiale
présentés
prépondérance du terme localisé.
avec prudence,
l'incrément
comme
FH .
les divers
dense,
prépondérance
vers zéro,
homogène
matériau
du
considérer
faut
ment
du terme
de
brutal
largement
sur le
terme homogène.
Cette
sur la grandeur relative
discussion
sembler a priori
peut
lumière
du
localisation,
périence
VIII,
l'importance
dont
on vient
de
plane.
cinématique
et n, sont
pour
bande,
champ
avec
Ainsi,
problème,
passage
La
localisé
de
(ce
observer
plane
dans
:
les
le
plan
cette
voit
la
cinématique
de l’ex-
décrit
6quation
composantes
a
F, corres-
de
par les vecteurs
défini
exprimant
en
de
la
valeur.
en
de l’équation
que
&I
problème
sera mise
normale n est nécéssairement
qu’on
mieux
est conforme aux résultats
doit
contenue
du
localisé
un plan
F dans
les
g
déformé
non
axes
de
la
n = (l,O,O)).
quelques
soient
l'émergence
se
tion,
Le plan
nulles.
le
non
et
apparaîtra
question
conséquences
qu’elle
On
homogène
théorique
de cette
déformation
de
à une déformation
pondant
voir
champs
intérêt
son
consacré à l'étude
lequel
en déformation
une
spéculative;
remarque porte sur les
seconde
F = g e n,
priori
chapitre
dans
La
un peu
des
traduit,
ailleurs
les
d'une localisation,
lorsque
B la déformation
dernigre
par
plane
le
champ
telle
localisé
et par l’existence
remarque concerne les
lignes
- 170
-
conditions
que
devient
d’un
d’extension
aux
décrite
limites
par cette
prépondérant,
plan
du
équa-
par
non
déformé.
nulle.
On
un
a montré
VI
chapitre
plus
haut
que
ailleurs
que
les
les
v étant
confondre
par
principales
1) n’ ont
d’ailleurs
ici
est
raison
tout
l’échantillon,
sur
La figure
des
directions
la
sifs.
Les
longueur
proportionnelle
effectivement
port
que
avec
situé
la
de déformation
donc
de cisaillement
nulle
bande
de cisaillement;
est
défini
des
certitude
lignes
ne renseigne
les
l’essai
directions
sont
figurées
par
locale.
On
des
directions
de cisaillement
princisucces-
traits
dont
nulle
à
coïncide
regardant
en
le
principales
sont
la
constater,
d’extension
aussi,
les
shf03,
des incréments
les
que
en compte
angle
au cours
que
bande
cet
bas)
mais
au-dessous,
la
à prendre
p our
et
directions
des
petit
de l’essai.
haut)
distorsion
l’une
dans
conclure,
soient
locale
rien
des
que
I!L2
V
-global
2
des
de la
bande,
comme une
part,
d’une
n’indique
ni
axes,
moyenne
2
principales
n’exclut
v
9
-local
4
directions
est
qu’il
fî
à -2
inclinées
part,
4
(en
cette
présente,
(en
remarque
inclinées
de
par
la
rap-
de l’essai.
On peut
rotation
: elle
deux
aussi
qui
direc-
la
effectivement
axes
aux
nulle
à la
immédiatement
aux axes
propos
d’extension
4,5,
rapport
de déformation
directions
l’incrément
vitesse
par
ces
mais
,
2
erroné
de l’angle
que
sont
localisé,
d’extension
vitesse
est
dessin
lignes
plus
- -
les
suivant
signicativement
direc-
45,
en effet,
3
Par
aux
figure
de 1 ‘essai,
d’autant
sait
= vt.3
4
serait
xl
l’angle
de cisaillement
orientation
46 illustre
De plus,
On
6
o( de la
axes
différer
champ
rapport
(localisée,
les
ceci
par
de l’essai;
avec
peut
LEN.
II-l).
l’angle
axes
des
à savoir
(cf
de déformation
et
le
définie
haut
avec
e
aux
bandes
pour
leur
angle
qui
les
nulle,
plus
considéré.
local,
d’extension
de
défini
rapport
bien
de déformation,
de cohcider
Ainsi,
pales
vitesse
l’incrément
en vitesse.
nullement
bien
orientation
vitesse
l’angle
sur
défini
de la
aucune
soit
une
cet
l’orientation
tions
étaient
de dilatance
de
définit
de cisaillement
du tenseur
l’angle
cependant
la
LEN ont
principales
tions
bandes
que
global
sur
faux
des
de l’essai,
axes
se trouve
ces
étant
l’échantillon.
-
a priori
171 -
bandes
défini,
être
soient
à l’instant
que
nulle;
orientées
de la
les
bandes
sauf
et
d’autre
à
naissance
si
chapitre
VI
c
d)
Uk
x
I
m
i
111
-
172
-
cn
3
chapitre
Direction
VI-6
La question
tion
importante
prévoient
ment
: d’un
une
sur
de vue
de la
puisque
théorique,
l’angle
les
et
de surfaces
et
paragraphes
précédents
cas
les
(essai
légère
localisations
ment
3,4,
diagonale,
de la
bande
que
une
point
de
(chapitre
quesde vue
cisaillement
II)
divers
proposées
points
générale-
interne
les
de
bandes
@ et
donc
De plus,
pour
initialisées
de
attendre
un phénomène
l’fortlw
-
173 -
pas
constater
on peut
des
se confondre
en une
coin
de
4,5
les
même dans
au cours
étude.
néces-
les
temps
mérite
les
sur
figure
l’incrément
de
malgré
développaient
cette
après
qui
ne passaient
sur
sans
de blocs
? On a vu dans
rectilignes,
même
permet-
géométrie
le
en
s’y
système
rejoindre
on voit
encore,
parallèlement
on pourrait
se
généralement
suffirait
Plus
imposées
et
essais
de la
de cisaillement
sont
le
fonction
l’échantillon,
bandes
: les
ou bien
cinématiques
ces
11).
suivante
exclusivement
que
inflexion
la
“propre”,
rigides.
se développent
est
bande
de frottement
est
frontières
indépendantes,
comme
d’un
directions
les
de l’angle
aux
figure
Shf06,
est-il
coins
présentées
où une
que
direction
restrictions
des
dues
figures
ressort
est
aussi
en
exposé
à envisager
telle
une
l’échantillon
restrictions
mais
bifurcation
J’ai
globales
question
observés
par
de cisaillement
pratique,
de
il
bandes
Y.
de définir
sairement
analyses
valeurs
dilatance
des
de vue
dont
aux
de cisaillement
déterminée.
La première
tent-ils
point
question,
liées
de
direction
orientation
la
sont
des bandes
VI
l’échantillon
que
les
l’incré-
de
seule
: la
deux
bande
direction
chapitre
VI
1b
N
fréquence
5
4
3
2
1
0
25
20
Figure
--m-e-----47. Histogramme des orientations
La figure
cisaillement
l'axe
duit
observées
vertical
obtenue à l"
au cours
près).
des orientations
des essais
denses,
La dispersion
et non pas des imprécisions
On observe pour l'essentiel
des bandes de
mesurées
par rapport
dans les résultats,
tra-
de la mesure (laquelle
deux pics,
aux environs
à
est
de 21
degrés.
Pour
éventail
rapport
réel
de bandes. Essatidenses.
l'histogramme
de la machine d'essai.
un éventail
et25
47 présente
degres
35
les
de valeurs
aux essais
essais
lâches,
(moins
de 26 à 33 degrés
nombreux),
: une différence
denses.
- 174 -
on obtient
significative
aussi
un
par
VI
chapitre
Tableau 4.
-0-0-w-e---
Orientation
bandes
cisaillement.
de
o(
(degrés)
Matériau
-r v 9
L;‘e
Shf
dense
21 - 25
Shf
lache
26 - 33
27
45
28
30
34
Billes
de verre
Le tableau
orientations
valeurs
de w 9
testés
39
les résultats
4 synthétise
avec les orientations
ressort
ici
à l'essai
borne inférieure
de la plage
-ri
- - -'0
a
4
expérimentale.
noter
faut
variation
des
- -6
une
bonne
dans
concorde
2
orientations
des
fl et V.
le
pour les
Les
tableau
matériaux
bien
avec
de bande.
la
Les
sont en dehors de la plage
sur le matériau
<43>,
contraire,
au
angles
trouvées
est que,
4T
comparaison
la
aux
être
peuvent
comparaison
que Duthilleul
a observé,
Schneebeli,
reliées
la direction
de
présente
et T- - '4 (fl + v%) par contre,
4
directions
Il
essai
de cette
biaxial,
et
classiques,
fl et V pour chaque
Ce qui
7r
---
des
bidimensionnel
concordance
de
avec la direction
Va 0
4
z
Vardoulakis
de 0-m
"
1
tion
rejoint
4
et
(121+ vs’
terme d’une
Arthur
(Arthur
;
analyse
observe
cette
orientation
par ailleurs
physique
une
plage
corrobore
son
une des orientations
de la
localisation
assez large
de bifurca-
analyse
par Arthur
envisagées
(cf
autour
centrées
plutôt
au
11.3). Expérimentalement,
d'orientations,
T
de -
4
@
T
- à -
z
4
3
- -
z
et a1 <4>).
Scarpelli
tations
<103> a observé des orientations
de
l'ordre
et Wood,
de
celles
à la
bofte
indiquées
mesuré des orien-
de cisaillement,
ont
par Vardoulakis;
la mesure est cepen-
- 175 -
chapitre
dant
VI
indirecte,
directions
en
ceci
principales
de cr et i
L’éventail
seulement
des
prévaut
qui
sée avec
une
droite,
ligne
niveau
de
de mon point
traduit
plutôt
certaine
orientation,
Shf06
que
pas
la
entier.
(figure
avec
n’est
globaux
d’initialisation
bien
la
l’hypothèse
d’orientation
observé
11),
de coïncidence
des
.
de vue,
au point
si
l’échantillon,
globales
paramètres
nécessite
fait
le
de l%chanti.llon
l’essai
mesures
des
l’expression
pas
qu’elle
l’orientation
de l’essai
de la
la
mais
même orientation
aussi
de la
localisation
bande
;
se propage
déterminée
A contrario,
d’une
mes essais
indétermination
d’une
que
direction
dans
localement
indique
exclue.
- 176 -
en
qu’une
mais
dépend
non
fois
locale
initiali-
essentiellement
l’apparition
localisation
physique,
situation
une
n’est
est
conservée
simultanée,
deux
points
influence
en
au
au
cours
différents
des
conditions
de
chapitre
VI-7.
Variations
------------II---------
Depuis
Cambridge
dans
clairement
opaques
les
rayons
aux
<82>,
la
notamment
pour
méthode
dur
Les
ponctuelles,
suivie
par
que
rupture.
ici
classique.
déformation,
la
des
sables
zones
moins
par
Roscoe
rapportés
a appliqué
un essai
cette
perturbé
biaxial
en fournissant
utilisé,
fondée
elle
aussi
méthode
les
variations
à la
triaxial
(essais
variations
pentes
denses).
de volume
des
courbes
sur
la
permet
images
à elle,
à titre
à la
on observe
(sur
déformation
de dilatance,
des
quant
de volume
axisymétrique
phase
précisions
quelques
non
utilise
pas
cumu-
mesures
des
exploratoire,
radiographie
de
la
et
dont
les
prometteuses.
sont
rapportée
d’apporter
La stéréophotogrammétrie
j’ai
Qualitativement,
Les
permettent
Enfin,
localisation
les
dans
quantitatives.
une
essais
les
à
apparaissent
comme
Vardoulakis
localisation
La gammamétrie,
global
qu’au
la
les
récemment,
Plus
radiographie
d’application
mènes
la
23).
(voir
menées
dans
; elles
déformés,
incrémentales.
faibles.
volume
plus
présentés
de
Globalement,
sont
lâches
donc
localisée
importantes
massifs
plane
<106>.
tomodensitométrie,
perspectives
rupture
de volume
X,
en déformation
la
que
de
figure
à la
mais
on sait
en évidence
l’évolution
latives
60,
modèles
radiographies
résultats
inaccessibles
sur
variations
mettre
un point
saisir
années
des
sur
de volume
expériences
les
provoque
denses
par
les
VI
axiale,
rupture
les
courbes
L’apparition
globales
E,, t c, dans
-
177
par
rapide
deviennent
-
la
les
légère
interrompue
de ce
un essai
de
mêmes
en début
le
de
phéno-
d’essai,
développement
phénomène
sensiblement
partie
biaxial
de variation
en annexe),
: contractante
bientôt
pour
dilatance
nulles
de
explique
à la
maximale
chapitre
VI
se tiennent
tail
dans
avec celui
coïncide
essais
un éventail
des
axisymétriques
Cette
coïncidence
riaux
et dans
cela
fournirait
d’autres
plages
été présentée
en 1970
montrent
tant
volume
que
pentes,
aucune
dans
le
présente
en
blage
sphères
de
éloignées
réels,
d'après
cas
de
une étude
1 au-triaxial
contre
centrée,
2c
que
les
de
variation
de
qu’assez
peu.
qualitatif.
On note
courbes
entre la déformation
plane
0,8 en DP (environ)
dans
et
qu’assez
granulaires
particulier
en
EV&
symétrie
la
théoriques,
de
révolution
le cas de l'arrangement
pour l'arrangement
Lee
d'un assem-
bien
sur des matériaux
des
Les
3 et 5).
obtenus
de
Malheu-
la localisation.
prévisions,
les
a
par cet auteur
(figures
0,5
variations
sur le comportement
pentes
3 et 2,5 respectivement
en
Une synthese
présentés
diffèrent
dont
sur le plan
2b et
à mesurer.
concernant
théorique
résultats
(défini
sur les
les courbes
l'ordre
frottantes,
maté-
générale,
classique
de données
ne
sont
intéressantes
assez peu
classique
dense,
des
peu
atteint,
fournie
rigides
ses figures
pas
n’est
comparaison
sont
n’est
latérale.
ordinaires.
résultats
Les
axes, pour les
s'avérait
dilatance
difficiles
donnée
quantitativement
diffèrent
à force
pic
et au triaxial
au biaxial
reusement,
le
<65>.
éven-
sur d'autres
car si elle
d’assez
réputées
plane,
par K.Lee
que
confirmée
de
cet
et contrainte
d'être
l’angle
que
les mêmes
initiale
contrainte
malheureusement
remarquable
dans
axisymétriques
d’essais
en déformation
de volume
compacité
de
est
mesurées,
d'estimer
moyen
On dispose
; il
pentes mériterait
des
un
à 0,7
pentes
à mêmes
à partir
DP seulement)
de 0,5
:
cubique
hexagonal.
7.2
En ce qui
confirment
ment,
suffit
et les
concerne
l'existence
conformément
pour s’en
d’une
aux
les variations
dilatance
observations
convaincre
courbes de variation
de
de volume
importante
dans
radiographiques
comparer les cartes
de volume incrémentale
- 178 -
locales,
les
bandes
mentionnées
de
distorsion
associée,
les résultats
de cisailleplus
haut.
Il
incrémentale
les divers
chapitre
essais
les
symboles
la
la
naissante
même
est
question
32 puis
le
dans
volume
34,
perturbé
par
elles
dernier
cas
(figure
kV plus
de 10 fois
courbes
de variation
toutefois
une
léqère
ressort
une
prédominance
(bas)
incréments
zones
hors
des
te a La dilatance
essais
initiale
légère
vides
réalisé
effectués
et
à 8,9,
la
léqère
le
sur
dilatance
critique
au cours
à la
les
matériau
pression
considérée
préparation
dans
les
en fin
des échantillons.
- 179 -
naissante
grand
à
de volume
On note
même
locale,
il
: on peut observer
2,3
figure
à 4,5.
28
Dans
les
contractan-
surprenante
conditions
car
de
ont
termes,
que
les
voire
essentiellement
mêmes
(0,0027).
montrent
le
d’essai,
pas
de
difficiles
de cisaillement,
n’est
en
figures
Al.9 à A22.
axisymétrique,
plus
dense
globale
comme
; en d’autres
est
On observe
variations
plus
incréments
au triaxial
déformation
de la
zones
cisaille-
Les
des
dans les bandes
bandes
de
bande
i,
cartes
est
sur
l’essai
la
de variation
de volume
dans
latérale
dans
on observe
(haut)
d’exemple
ShfO6.
que
l%chantillon,
les
et
compressible.
de volume
31
grande
en
sur
dilatance
bande
dense
contractants,
dans
figure
même
de la
alors
des
des cartes
variation
de contrainte
6,7),
variation
observée
6,7,
la
à titre
B la déformation
carrés
et
zone
dilatance
se produit
de symboles
bandes,
forte
moyennée
dilatance
6,7
et
globalement
De l’examen
voir,
de l'essai
fournissent
non
indiquent
extrêmement
“mou”
supérieures
à la
légère
5,6
la
de volume
dilatance.
3,4
38 incrément
sont
tendance
qu’une
aussi
lâches
Ces essais
de la
incréments
un point
carrés
On peut
lY.ncrément
de
38 montrent
interpréter.
une
cours
essais
symboles
spectaculaire
figure
Les
les
contractante.
dilatance
au
chose
que
la
hexagonaux
12,
figure
ment
la
Rappelons
présentés.
VI
l’indice
les
densité
montré
l’indice
des
une
des
vides
chapitre
VI
L'évolution
des variations
est bien illustrée
miers
incréments
contractantes
répartie,
Au
par l'essai
montrent
; les
cours des incréments
grandes distorsions
une diminution
voit
en prenant
8,9 à 10,11,
progressive
est le siège d'une dilatance
de variations
les
l'ampleur
distorsion,
de
local
indices
atteint
en grande déformation,
connaît
en haut).La
importante,
que l'ancienne
avec un écoulement
varia-
de
que la nouvelle
des vides
plastique
bande
bien qu'active,
On retrouve
d'un indice
11,12
à la pre-
carte
le fait
de l'existence
de très
L'incrément
montre clairement
alors
6,7.
quant à elle
superposée
de volume significatives.
niveau
à l'incrément
dilatance.
bande de cisaillement
(carte
d'une dilatance
de volume révèle
de la
pre-
légèrement
faibles,
l'apparition
de
trois
Les
la bande de cisaillement
de l'intensité
d'une deuxième
plus
volume
de
4,5 et 5,6 voient
nettement
de volume incrémentale
ne connaît
variations
des
qui demeure active
tion
36 à 40 (bas).
(0,05 à 0,30) ; la variation
l'apparition
mière,
figures
Shf18,
incréments
qui se localise
de volume dans la bande de cisaillement
ainsi
au
critique,
sans variation
de
volume.
Cette
évolution
par une autre voie,
sés à partir
mesures,
0,Ol).
ainsi
locale
constater
volume
peu
contraire,
mais
des clichés
La figure
aussi
qui confirme
une
pris
de volume locales
la planimétrie
en
précision
48 présente,
que
la
zone
de
l'intérieur
cette
adjacente
celles
de
dilatation
les résultats
la
pleins,
enregistrées
plus
subit
haut.
- 180 -
à côté
bande
prend rapidement
énoncés
prix
réali-
d'une répétition
absolue
des
de l'ordre
de
les mesures de planimétrie
juste
à la
bande
Au
(erreur
satisfaisante
en traits
a pu être confirmée
sur des agrandissements
cours d’essais.
dans la bande, et locale
différentes
que
variations
en utilisant
on obtient
globale,
des
connaît
au niveau
de la bande. On peut
des
global
une dilatation
fin
variations
alors
très
de
qu’au
forte
après la localisation,
;
ce
VI
chapitre
d6format
ion
vo lumique
0.06
-B
xX
0
o* --L-I -M
A-C-e*&-h
0 -----a a
0.04
0.02
global (planim,)
local 1
4)
locaI 2
'0
global
(stereo)
local 1
local 2
I
0‘
emen
t
ax ia I-
- 0.02
Figure
e--------- 48. Variations
Accessoirement,
entre
les
on
des
Pour prhiser
donnent
les
variations
globale,
cette
de volume
mesure du rapport
une
fiqure
La
pointille
cliches
et
au
49 montre
local
en
trait
tours
de
l’essai
locales
et globales.
sur cette
notera
mesures olanimetriaues
nhotoaramm6triaues
plus
de volume
et celles
(traits
fiaure
ddduites
st6r6o-
exploitations
est inthessant
il
elle-memes
mais
entre variation
1Vvolution
fonction
L’angle
- 181 -
les
de
angles
l’anqle
considerer
de dilatance
de dilatance
de
local
non
qui
et distorsion.
de volume
de
en
Shf18.
concordance
l’excellente
des
shf06.
oointill&).
analyse,
plein
Essai
la
est
deformation
defini
qlobal
en
axiale
comme
les
chapitre
VI
de dilatance
angle
X-X
V
local
(bande)
o-0
Y global
0.04
0.06
0
0
; 0.02
0.08
0.10
0
- 10
-20
moyennes
Figure
-------1-e 49.
Angles
de dilatance
locaux
et globaux.
Essai
shfO6.
0
sur
les
L’angle
nant
dès
la
fort
sur
cette
un
la
étant
pic
figure
localisation
que
subissant
de dilatance
présente
qu’il
observe
zones
développée,
l’angle
global
Ainsi,
l’évolution
on
le
voit
ici.
il
0,025.
pas
ce
de l’angle
L’anqle
localisation
n’est
Cependant,
complète
&,=
de la
distorsion.
en vitesse,
l’annulation
à
au moment
forte
défini
comme
révèle
plus
dans
et
chute
localisation
atteint
indique
localement
dans
l’existence
la
variations
d’un
de volume
indice
bande.
- 182
-
des
la
bande
~1~s
au cours
vides
que
l’on
de dilatance,
vite
dernier.
des
surpre-
de la
critique
est
plus
que
ce
chapitre
7.4
Densités
en fin
--I------I-I-I)---------
Dans
essai
à des
un certain
mesures
alors
étaient
locale
sous
coupant
figure
de
ont
été
par qammamétrie.
de
Les
l’essai,
cartes
de
et
densité
densité
ont
être
pu
soumis
après
échantillons
transportés
sur
complètes
duréeprohibitive
de la
des
s’est
mesures
; en
réalisés,
le long
et
essai,
de
de localisation.
les profils
de l’échantillon
de l’indice
l’état
échantillons
à l’issue
raison
50 présente
une zone restreinte
la bande dans
zones
les
mesure de
profils
les
L’évolution
vide
La
en
quelques
La
de
densité
l’phogadense’*.
revanche,
ment.
de cas,
quasi-impossible
droites
d’essai
nombre
conservés
l’installation
révélée
de
VI
obtenus
Shf06,
des
vides
avant
au niveau
d’une
est évidente,
et
après
bande
sur
de cisaille-
avec la trace
coïncide
final.
1 irni tes
dans
de
la
bande
1
final
l’état
1.65
densith
m--
initiale
---
(moyenne)
----m
l-
1.60
J
.
10 mm
Figure
---II)-----
50.
Profils
de densité
x-x-x-
--
/
t-
au travers
-
183
d’une
-
b
bande
de
cisaillement.
shf06.
VI
chapitre
?
-
shf 18
kg
I
id m 3
Profil
JKL
densité
avant
/ après
1
4
17
8
16
l
bande
Figure
51.
----11-----
Profil
de densité
dans
La
figure
51 montre
un profil
dense
Shf18,
au cours
à nouveau
section
complet
un ltfossé’f
l’échantillon.
de
sensible
Essai
en travers
shfl8.
de l’échantillon
au niveau
de la
relevé
bande
d’essai.
La
lâche
avec
une
Shf20.
figure
52 donne
On n’observe
une
légère
augmentation
des
bandes
de cisaillement
avec
une
variation
de la
deux
pas
prof ils
d’évolution
(contractante)
indiquées
significative
générale
sur
en travers
complets
la
densité.
- 184 -
figure,
pour
de
le
de l’échantillon
la
profil
ne semblent
densité,
A.
pas
sinon
Les
traces
corrélées
1
densité
bandes
de cisaillement
1.60
1.50
profil
A
1.40
I
‘1 cm
densité
bandes
de
w
cisaillement
ooo~ooo.o*oo
b
après
1.60
-s--T..
-
Il.
<Figure
.-----1---m 52.
Profils
de densité
dans
une
section
de
l’échantillon.
Essai
profil
-
shf20.
.
B
VI
chapitre
Sur
d’essai
le
dans
critiques
plan
les
quantitatif,
bandes
la
doit
pour le confirmer
d'entreprendre
grande ampleur
comparables
que
les
figure
pression
variation
des
indices
Un échantillon
plus
a été
dans
avait
à titre
soumis,
verticales
par calcul
tral
à partir
de
de l’échantillon.
pale,
ainsi
onze
deux
bandes
Ces résultats
dilatance
dans
plane,
ils
les
technique
localisation
sent
bandes
coupes
dans
la
un
ShfOl).
qui corro-
(grâce au concours de
annexes
qui
bande
fructueuse
dans
- 186 -
ainsi
figé
trois
reconstruites
tiers
le
cen-
princi-
de cisaillement
sur la
le cas de la déformation
aux
gammamétrie).
permettre
Les
et
présente
dans
par rapport
planimétrie,
pourrait
Marseille).
antérieurement
dit
; dans
nouveaux
de
gauche.
a été
de cisaillement
10
l’échantillon,
sur la partie
ce qui
photo
réalisées
la
essai tridimensionnel.
espérer une application
: pour une
résultat
Clairval
La
de
nettement
pas d’éléments
seule
observe
: on
avec une résine,
horizontales
(stéréogrammétrie,
est
résultats
à des mesures de
médical
l'épaisseur
dans
corroborent
n'apportent
d’investigation
cette
(essai
On distingue
que
plus
/o de la plage de
de 25
exploratoire,
après essai
déformée
parallèles
d’une
courbes
considéré,
sur un appareil
injecté
configuration
sa
coupes
été
nécessaire
Les seuls
les deux
Mr Sawczuk et de Mr Cagnasso du LMA, et de la clinique
L’échantillon
serait
haut.
par tomodensitométrie,
densité
résultat
Ce
présente sur sa figure
qui
est de plus
différence
pas.
au biaxial
entre
pour le matériau
de vides
notée
<65>
triaxialet
sensible
la
ici.
en fin
densités
spécifique,
présentés
au
avec les
car il
d’essais
de Lee
comparés
de 200 kPa,
bore la discordance
ceux
différence
une
latérale
résultats
sont
critiques
campagne
mesurées
concordent
ne
avec prudence,
une
quelques
à ma connaissance
10 les diagrammes
sur cette
axisymétrique,
être considéré
toutefois
des densités
par gammamétrie
de cisaillement
mesurées au triaxial
négatif
comparaison
une
mise
résultats
ce domaine.
autres
En
Il
revanche,
en évidence
présentés
a été
moyens
ici
constaté
de la
lais-
chapitre
Photo
---III-II
10.
des
résine
: d’une
volume
lors
le
une
trois
part
de la
découpage
meilleure
le
sous
vide,
polymérisation
pour
testé
de façon
et
étude
il
sont
d’indice
des
paraît
ou d’y
de l’utilisation
très
vides
être
de la
-
injection
difficile
comme
Dans
de
variations
ces
est
résine.
de
d’obte-
l’a
révélé
conditions,
impossible.
de réaliser
transporter
prochainement.
attendus
- la7
est
des
tométrie.
en tomodensi
du tomodensitomètre,
des résultats
d’une
de l’échantillon,
quantitative
à s’affranchir
de
tomodensitométrie.
se produise
surtout
vides
terme
en
une
de mesure
des
verticales
à lW5lisation
qu’il
; mais
satisfaisante
paralldles
essai,
par
liées
inévitable
quantitative
champ
en cours
est
de l’échantillon
voie
dans
sérieuses
il
saturation
coupes
apres
shfO1,
difficultés
l’interprétation
est
dans
l’échantillon
cependant
nir
Densités
VI
La
l’essai
l’échantillon
Cette
étude
chapitre
VI
En
resultat
lieu
conclusion,
connu,
suivant
à d’intenses
résultats
nouveaux
variation
de volume
de dilatance
une
l’évolution
locale
variation
cité
d’avant
la
ment
tion;
de contractante
vitesses
toutefois,
en grande
de variation
les
variations
dans
des
lorsque
que
de volume
globale
zones
d’un
lâches,
est
de volume
-
dans
188 -
résultantes
des
que
la
le taux
bande
atteint
aussi
après
ne contribuent
dans
l’état
densité
de compaglobale
de
en densité.
légèrement
dilatantes
de densité
la
de contraintes
on observe
; ainsi,
aussi
s’arrête
la
limite
au niveau
déformation
dans
distordues
que
état
donne
localisation,
demeurent
ressort
il
denses
On a observé
la
matériau
ces
d’où
après
non
le
fournissent
phénomènes.
zones
confirment
matériaux
les
le
les
volume
elles
; mais
représentative
matériaux
de volume
des
du fait
; cependant
pas
les
à zéro
de
rapidement
fin
La variation
localisation,
n’est
phase
prend
revenant
à cette
Dans
localisation
concernant
en raison
l%chantillon
la
de variation
de volume
plus
longue
lequel
limite.
localisation,
mesures
variations
locale
compacité
variation
ces
envisagé,
après
dilatante
les
bandes
au moment
restent
de cisaille-
de la
localisa-
modestes.
la
une
chapitre
L'influence
VI-8.
des
VI
perturbations
--------------------II---------
Le tableau
colonne
dans
appliquées
ces
2 (page
laquelle
ont
n’était
pas
que
les
que
ce
te-déformation,
de contrainte
(légères)
les
soient
les
indique
(cf
que
du niveau
VI.3)
localisation
de cisaillement
conditions
d’essai
de
certaine
délibérées
l’on
a vu
se
qu’elle
toujours
sont
la
plus
plane).
courbe
insensibilité,
déformation
de
déformation
(en
pas
une
de l’influence
et
bandes
une
comporte
perturbations
discuté
n’affectaient
qui
essais,
contrain-
aussi
critique
aux
bien
du
imperfections
de l’essai.
localisation,
et
sont
aux
sensibles
le
le
point
sens
dans
essais
ShfOO
et
moins
homogène
Les
1’ autre
(ShfOO)
et
la
face
supérieure
tat
est
et
que
la
basse
des
que
deux
après
bas
essais
du dépot
localisation
le
second,
donc
été
déclenchée
en
à dire
la
rodée
supérieure
du côté
de façon
inférieure.
haute
le
que
Le résul-
dans
le
premier
perturbé
plus
un
normalement
l’un
tête
des
était
(ShfOl),
partie
lors
légèrement
était
effectués,
sur
posée
c’est
:
de l’échantillon
la face
de la
de cisaillement
mal
de l’échantillon
soit
s’est
bande
encore
; en outre,
ont
l’amorce
exemples
étant
supérieure
le
la
quelques
de sable
retournement
lors
dans
se développe
En voici
partie
la
en densité
irrégulière.
lequel
de dépot
ShfOl,
où appara2t
de lléchantillon
imperfections.
- La technique
chacun
été
les
diverses
d’une
perturbations
En revanche,
cas,
a déjà
puisque
quelles
récapitule
les
l’existence
significative
On a vu aussi
qui
indiquées
Il
sur
manifestées,
peu
été
à 195chantillon.
perturbations
niveau
107),
dans
cas.
- Les
essais
Shf06
affectés
d’une
inclinaison
rapport
à l’axe
bloquée,
ces
de l’essai,
deux
essais
et
Shf07
ont
légère
(environ
l’un
à droite,
ont
donné
été
lieu
- 189 -
sur
effectués
1 degré)
l’autre
à des
de la
; la
de
échantillons
supérieure
face
à gauche
bandes
des
rotule
cisaillement
par
étant
de
chapitre
VI
directions
opposées
- Les
essais
la forme d’un
clairement
Shfl2
a été
appliquée
(voir
et
Shfll,
la valeur
révélé
résultant
croquis
Les
supérieure,
dès
du tableau
essais
la redescente
On dispose
le
pic.
réalisé
après
essais
"brutes",
ment enregistrées
faisceaux
distincts
force
latérale
axiale
a elle-
force
l’action
de l'essai
de blocs
et
perturbation
de
cours
de la
sur
essentiellement
pris
que
jusqu’à
campagne,
cf
Shf18).
n’étaient
le comportement
ont été faites
par comparaison
faite
que
la
au même niveau,
d’un
en fin
portée
de
après
et un essai
a été
phase.
qu'enregistrées
est
été
la mise en évidence
pour discuter
observations
constatation
au
latérale
le mécanisme
de
les clichés
après (sauf
pour cette
la superposition
force
courbe globale
La
sens
a donc
d’éléments
quelques
comparables),
le
cette
où la
principalement
l’attention
de moins
telles
l’instant
de ce point.
d’une
au pic;
8 mm) ont
pic
visaient
;
première
à peu près toujours
présente
fait
spécialement
mentales
des
effectués
du pic et rarement
Cependant,
Une
dans
phase. En particulier,
de ce
axiale
sous
2).
naissante
première
au niveau
par contre,
mais
en place
(diamètre
par l’application
force
mis
des imperfections
l’échantillon
apparaissait
significatif,
s’est
localisation
cette
dans
la force perturbatrice.
de
d’effet
2).
comportaient
qui
de
de l’excédent
Comportement
la
du tableau
été perturbé
a
à la tête
atteint
surface
croquis
ou dur disposé
mou
L’essai
à un dixième
pas
ShflO
point
égale
n’a
les
montré que la localisation
-
même
(voir
chute
correspondent
de
force
en
cours
axiale
expéri-
d'essai
(pour
après pic s'arrête
le montre la figure
53. Cette figure
nombre de courbes brutes
force-déplace-
comme
certain
d’essai
directement
des courbes
(enregistrement
chacun
à une largeur
- 190 -
analogique).
initiale
Les
d’échantillon
deux
force
axiale
chapitre
00
VI
N/mm
60
H-H,( mm)
20
10
Figure
-- -e---e-53.
Courbes
mm pour
élancement
(175
dans
le groupe
élancement
mais
leur
3,5
pente
2,
raison
étroits,
plus
regroupement donne
On
présentent
en
observe
La
100
l’essai
ShfO5
ne peuvent
lieu
bas
déformation
élancement
la force
de
à la
une
(sans
de quelques
essais.
latérale
pas
se
raison
Seuls
se distinguent
connue),
et
perturbatrice.
comparer en force
l’essai
Les essais
à
premiers,
aux
même constatation.
figure
remontée
sensiblement
-
70
3,5).
sur cette
étant
60
50
: comparaison
mm pour
par ailleurs
après ce point
comparable.
40
force-déplacement
supérieur,
ce dernier
Shf12,
30
largement
191
-
que toutes
localisée
les
linéaire,
depuis
courbes
avec une
le
pic,
il
chapitre
VI
serait
de peu
donne
ici
être
de calculer
de sens
courbe$brutes.
des
expliquée
En revanche,
Pinfluence
une
sa
en résulte
il
raideur,
bande,
ler
la
l’on
par
est
de latex,
axiale.
de la
a localisation.
le
53 ; on peut
constater
assez
que
l’hypothèse
En conséquence,
comme
une
d’être
prise
menés
à des
mesure
fidèle
ce
les
pic
pic
sur
bloc
second.
Le facteur
dessus.
On peut
sont
dans
de ne
pas
résiduel
de calcu-
à partir
du moment
à environ
pour
le
sont
tracées
premier
où
60 N
groupe,
sur
la
de membrane
considérer
; cette
essais
d’éventuels
la
la
machine
courbe
et
figure
donne
lieu
le
point
remarque
bas
mérite
de déformation
peut
s’attendre
d’essai,
lorsque
loin,
face-déplacement,
l’apparition
Il
se trouve
bloc
suffisamment
avec
première.
de blocage
aussi
menés
coïncide
recoupe
qui
de glissement
cinématique
essais
nouveau
cisaillement,
de cette
réalité.
frottement
lors
de
plane
pratiques.
fins
un second
de la
d’un
par
membrane,
linéaire,
action
à
de cisail-
de l’épaisseur
considéré,
cas
de cette
prudent
est
en considération
Lorsque
tion
il
le
due
membrane
zone
de la
axiale,
correspondantes
à la
pas
aux limites,
élastique
supérieure
tête
droites
conformes
force
dans
de la
Les
second.
à des prévisions
premier;
aboutit,
de déplacement
35 N/mm pour
à la
la
de l’épaisseur
membrane
la
membrane
Ce calcul
dans
et
soit
Cette
se traduire,
peut
tenu
je
ne peut
force
l’échantillon.
de cisaillement
en supposant
contribution
d’observer
bande
observée
de la
importantes
qui
Compte
de la
possible
millimètre
très
pourquoi
de l%hantillon.
entoure
qui
c’est
pente
remontée
cette
une résistance
de l’angle
il
que
axiale,
la
de section
semble
de force
composante
façons,
à des déformations
soumise
lement,
il
membrane
de la
se trouve
De toutes
un accroissement
par
contrainte
une
semble
peu
être
l’action
à ce que
les
à peu
de bloc.
- 192 -
aussi
d’une
donc
que
empkhé
de la
se développent
liaisons
il
sont
fréquent
est
marqué
seconde
et
cède
membrane,
des effets
incompatibles
le
bande
premier
le
que
de
mécanisme
le
pas
discutée
à un
ci-
de réacavec
la
chapitre
La force
de liaison
enregistrée
au long
progressive
de la reaction
de la
courbe
force
horizontale
de l’essai
au niveau de la tete
Shf18.
La figure
montre
T, en fonction
horizontale
axiale,
54
en surimpression,
supérieure
a été
la mobilisation
de l’écrasement.
de relier
permet
VI
cette
La
évolution
Newtons
\
x
Essai shf18.
\
-\
Figure
-I)
---11--54. Mobilisation
aux pics
mentionnés
ment nulle
jusqu'au
rapidement
pour
d’une réaction
chuter
tout
à l'apparition
correspond
du dépouillement
gures
40).
L’apparition
de la force
a coup lors
que la force
; elle
axiale
du second pic
d’une
de l'essai
stéréo
seconde localisation
comme la conséquence du développement
niveau de la membrane
de la machine d'essai.
mais
aussi
Shf18,
- 193 -
augmente
(voir
alors
axiale
qui
les
aussi
incrément11,12,
fi-
peut donc être
considérée
au premier
mécanisme, au
de résistances
au niveau
T est sensible-
de force
d'une deuxieme bande de cisaillement
les figures
39 et
pic
premier
-
/
1%
% 1
%
\
horizontale
plus haut. On peut constater
I
x
3c
des liaisons
de la machine d'essai.
chapitre
VI
De nombreux
lement
auteurs
être considérée
peut
le matériau.
Des
chiffres
(Vardoulakis
<103>, Roscoe
ce mémoire ont
dans
et confirment
effet,
que
tout
les
(0,8 à 1,8
comme
liée
été
la
sionnel
encore plus
dépendance
l'ordre
larges
bandes
de
Les
cisaillement
sont
présentés
différentes,
aisément,
en
gros
d’Hostun
observées
sur le sable
Le sable
un exemple
d’autant
grains
de
essais
sur le sable
donne
constituent
très
11 par exemple.
par B. Duthilleul,
qui
On constate
que celles
de cisail-
dizaine
tailles
en question.
19 et figure
étudié
de la
de
observées
plus
bandes
grains
des
sur des grains
nettement
gros ; les
de
des
et Wood <88>).
de cisaillement
de Schneebeli
largeur
la
à la taille
avancés,
effectués
(0,125 à 0,5 mm) : figure
fin
que
<82>, Scarpelli
à fait
mm) sont
indiqué
ont
été
bandes
ont
bidimende
grains
larges
plus
(fi-
gure 44).
Il
grammétrie
leur
finesse
Ainsi,
la
noter,
faut
ne donnent
largeur
des
dans
plus
les
probablement
les premiers
stades
de cisaillement
ShfOl
; on peut constater
traversé
(lignes
du maillage).
par la taille
que
très
grandes
surestimées
l'énorme
par la bande
La largeur
a été
du
la
mesure où
maillage
adopté.
surestimée
conduisent
bande
11
aussi
réellement
montre
du cliché
motif,
final
de
matérielle
maille
à
active
un détail
de
l'essai
circu-
initialement
à 6 mm (la
par la
sur l’échantillon
bandes
à la
la rotation
estimée
- 194 -
des
La photo
distorsion
et apprécier
du
distorsions
par agrandissement
obtenu
dans
10 mm est-elle
par rapport
de développement.
bande
laire,
fines
par stéréophoto-
obtenues
épaisseur,
de cette
mesurer la largeur
aussi
; cependant,
cartes
les
est limitée
bandes
On peut
d’essai
largeurs
des
que
majorant
qu’un
description
de
représentation.
en fin
cependant,
considérable
est
de 10 mm)
chapitre
Photo
---------
11.
Détail
de bande
de cisaillement.
- 195 -
essai
shfO1.
VI
chapitre
VI
mais
bilan
il
y a tout
lieu
chiffres
les
à la taille
d'autres
faite
ici
elle
viole
une
les
à échelle
épaisseur
d’une
le
dans
les
des
modèle
zones
divergences
que
remarque,
Scarpelli
et
épaisseur
caractéristique
de similitude.
Si
localisées
qualitatives
les
l’on
éventuelles
de l’échelle.
la
des
grains
a déjà
qui
Wood
règles
dans
supérieure.
borne
Au
paraissent
<88>)
été formulée
mais
qui
de la
en centrifugeuse
utilise
fait,
de
seront
réalité.
L’évolution
du
comportement
et
ceci
modèle
- 196 -
et
réalité.
réel
un
beaucoup
dans
auront
les déformations
peut
d'être
pose
cisaillement
homologues,
entre
bande
par
par exemple,
relatifs
sera donc différente
mérite
le matériau
bandes
De ce
par rapport
de cisaillement
une
réduits,
indépendante
une
moyen
bandes
sur modèles
sées pour des déplacements
dans
des
essais
réduite,
est
le diamètre
la largeur
de
(par exemple
pour les
ce chiffre
la réalité.
appelle
: l’existence
essais
de
dépendance
auteurs
problème
car
estimation
des grains
que
à 30 fois
de 10
donner une bonne
Cette
de penser
moins
localigrandes
du matériau
conduire
jusqu’à
chapitre
VI.11
et
en observer
Quelques
et
d%chantillons
j’ai
moyen
d’une
ainsi
réalisé
résine
les
est
: l’assemblage
par
13 présentent
une
direction
sa position
agrandissement
Il
c’est
avec
une
flèches
zone
lorsqu’on
de certitude,
orientation
matériaux
un peu
peut
grannulaires,
les
effets
dans
une
le
zone
points
un repérage
à la
bandes
de
de la
l’emplacement
emplacement
un léger
relachement
WA!..
de la
modifiée
des
.-
ma
au
minces,
but
d’observer
Le résultat
rigides.
n’appaque
Les
photos
peu
12 et
perpendiculaire
plan
la
les
par
bande,
à la
une
qui
bande
de
rectili-
est
13 montre
La photo
un
supérieure.
flèche
sur
des bandes
qu’on
structure,
peut
et,
les
lames,
distinguer,
peut
être,
grains.
de
ces
examens,
de modifications
macroscopiques
lames
grossissements,
indépendant.
pointe
des
de cisaillement
affectée
cet
conclure
Pour
biaxial,
de cisaillement.
à divers
deux
connait
<66>.
essai
le
dans
aux blocs
dans
de discerner
difficile
seulement
peu
située
Windisch
en France
réaliser
pu
les
taillée
par
donné
séduisante.
en particulier
après
zones
dans
indiquent
de la
les
appartenant
plane,
connue
est
grains
typique,
est
Ce qu’on
duire
lame
Les
j’ai
nu comme
zones
de déformation
cisaillement.
gne;
aux
un état
33).
dans
des
dans
technique
Allemand
en pétrographie,
à l’oeil
rapport
et
échantillons,
microstructure
à l’observation
modifié
et
ces
une
d%chantillons
Sody
utilisées
de la
étonnant
raît,
de
figer
on notera
:
Gandais
(Escil
les
est
méthodes
injections
epoxy
pour
structure
que Luong,
techniques
modifications
des
quelques
A partir
suivant
la
proposé
ont
<109>,
part,
de sol
ultérieurement
auteurs
Soulié
microstructurelles
Observations
L’injection
VI
structurelles
considérables
- 197 -
qu’on
est
qu’il
très
constate
suffit
dans
ténues
lors
de
les
pour
pro-
la
loca-
chapitre
VI
Photo
_-------
12.
liame mince
“C”, taillée
dans la zone affectée
Photo
--------- 13.
Détail
-
parallèlement
au plan
par la localisation.
de la
198
-
lame
“C”.
de DP,
chapitre
lisation
de
la
d’image,
et
plus
texture
3.
et
ses
; peut
précisément
(morphologie
Serra
des
collaborateurs
lames
qui
<89>
été
serait-il
des
de
possible,
outils
développée
?) de ces
ont
être
à l’aide
mathématique)
(provisoire
En l’absence
l’analyse
déformation
moyens
réalisées.
- 199 -
spécifiques
à PEcole
mettre
des
en évidence
t il
grâce
est
difficile
de
Mines
ces
VI
à l’analyse
l’analyse
de Paris
modifications.
d’approfondir
de
par
chapitre
VI
H-12.
Conclusion
e------w--m---
11 ressort
les matériaux
granulaires
particulièrement
sont
des
prévaut
se
dans
à la
bandes.
Cette
essais
pas
systématiquement,
aux
résultats
en déformation
localisation
ce
expérimentaux,
sollicitations
en bande
à l’essai
si
les
manifeste
à des
l’essai,
de
l’orientation
soumis
systématiquement
imperfections
des
consacré
sensibles
apparaît
phénomène
ce chapitre
de
biaxial,
sur
n’est
est
situation
axisymétriques,
d’inf
et
différente
desquels
révèle
se
peu
l’emplacement
au cours
et
de cisaillement.
avec
assez
très
plane
Ce
luence
être
peut
de celle
la
qui
localisation
sensible
ne
imperfec-
aux
tions.
blit
pas
cette
Les
expériences
d’un
coup
essais
d’une
dans
cependant
global
et
relevées
dans
peut
un pic
directions
cours
de la
de
L’examen
liée
aux
cependant,
attention
localisation.
de
et
les
dilatance
confirme
directions
local,
ne
la
une
différer
des
bandes,
dispersion,
(perturbations)
-iià - [email protected]
à l’orientation
de
notable-
certaine
essai
permet
vitesse
orientations
des
qu’il
de dilatance
de
peuvent
de
imper-
fait
ceci
que
type
cinématiques
l’angle
de chaque
correspond
le
que
; des
aux
hypothèses
entre
montre
ce
sensible
les
statistique
rigides
aussi
; on a vu
car
particularités
qui
d’initialisation
frontières
bande
corrobore
comparables,
conditions
principales
Une
l’angle
globales.
supposer
la
a priori
bande,
ne s’éta-
particulièrement
relation
la
localisation
y rencontrait
dans
et
la
point
de
de localisation
une
et
des
se dégage
cinématique
de
locale,
valeurs
est
analyses
l’inclinaison
déformation
des
les
d’un
qu’on
nulle
que
rencontre
révélé
d’extension
d’établir
pas
à partir
de la
ont
de la
ligne
classiques
de montrer
dY.nitialisation
L’examen
s’agit
qu’on
triaxial
Le point
fections.
se propage
S’accommode
au vrai
phénomène.
ment
mais
propagation
permis
ont
4
;
des
2
l’essai.
particulière
Divers
a été
moyens
portée
d’investigation
- 200 -
aux
variations
ont
été
de volume
mis
en oeuvre,
au
chapitre
et
tous
concordent
bandes
de
que
moment
de la
semble
atteindre
Les
importantes
la
un état
légèrement
tentative
mise
d’une
n’est
de grains
Sans
doute
peu
plus
dans
mène.
de ces
questions
?Y
les
les
en
minimum
est
d’énergie
celui
malheureusement
on
contraire,
celui
dissipation
que
?Il,
certaine
bandes
toute
défor-
la
directe
peu
zone
de
à ce niveau,
se garder,
à densité
légères,
matériau
naissantes.
de
puisqu’il
l’observation
au
de volume
11 faut
testé
fort
de forte
à dégager
typique.
somme
: le
sans
s’agit
dans
le
moyenne,
et
que
soit
pour
adaptée
morphologie
de la
pas
qui
séduisante,
d’un
plus
forte
tout
aussi
aux
proposées.
qui
fait
L’expérience
- 201 -
aux
et
limites
permettrait
de
prévaut
qui
interne.
un tel
mode
Dunstan
principe
ou diffuse,
le
un
du phéno-
à un
de travail
que
qui
m’étendre
vais
Arthur
appel
théoriquement
conditions
“pourquoi
phénoménologique.
été
localisée
bien
le
des descriptions
dissipation
de prouver
de diverses
reste
je
au niveau
de déformation,
mode
satisfait
minimale.
ont
il
lesquelles
posée,
ce terrain,
très
?Il,
offrent-elles
moins
éclairent
9 qui
“comment
sur
suivants,
la
imagine
?” et
théoriques,
sur
une
diverses
“quand
impossible
d’ailleurs,
la
évident
reste
n’en
produit
qui
particulier,
analyses
suggéré
ont
bien
chapitres
La question
le
zones
les
observations,
observations
“où
Des réponses,
<4>
ces
les
aléatoire.
A l’issue
les
: ainsi
microstructurale
modification
de variations,
en évidence
façons
pas
les
dans
difficulté
hâtivement
matériau
il
assemblage
une
très
à des variations
cependant
de caractérisation
significatifs
part,
dans
lieu
dans
est
bandes,
ensuite
critique
donnent
localisée
stéréophotogrammétriques
les
rapidement
chute
dilatantes
en évidence
d’un
mesures
dans
local,
réalisés
importante
Les
de compacité
de généraliser
d’autre
denses).
mais
mais
présenté
dilatance
de dilatance
lâches
indices
cas
l’angle
met
d’une
(essais
essais
localisation
doute,
point
localisation,
Une
des
le
cisaillement
indiquent
mation.
sur
VI
postulat,
effectif
tout
11 est
et
soit,
en
d’infirmer
au
produisant
l’un
ou
chapitre
VI
l’autre
postulat,
- voire
Le schéma
dans
la
Lade
<64>,
dépend
le
et
riche
On sait
que
matériau,
sur
déviatoire.
est
irréversibles
dès
déformation,
devenant
à une
les
comportement
déjà
d’écrouissage
triaxial,
la
variation
contrainte
appliquée
sur
s’observe,
entre
est
(pression
de volume
telle
cours
au
liée
nettement
déformation
d’une
déformations
des
s’écrouissent
qu’ils
même
déformation
à la
irréversible
de chargement.
chemin
dans
le
: un même
du comportement
typiques
autre,
critique,
des grains
sans
que
a1 <4>,
granulaires
comportements
mais
le
voit
conception
matériaux
connaissent
résister
de
moyenne
des
compacité
charges,
petites
et
d’une
des
matériaux
sols
phénoménologique.
traits
des
leur
ces
que
plus
plan
des
(Arthur
assurément,
montre
de
domaine
de l’arrangement
qu’un
susceptibles
charge
le
compacité
l’évolution
enfin
le
au cisaillement
ailleurs
conçue.
localisation
là,
compacités,
par
On sait
notable
résistance
de la
On sait
matériaux
de ces
de conséquences
encore
dans
de la
s’agit
à diverses
déposé
différenciés.
essentiel
Il
la
pas
répandu
plus
auteurs).
cruciale
de façon
! - n’est
le
facteur
d’autres
intéressante
deux
explicatif
dilatance
et
les
le
cas
où,
Ce
à l’essai
se produit
cisaillement
à un indice
des
sans
vides
initial
.
donné).
Ainsi,
isochorique,
à la
on
auquel
variation
résistance
isoler
peut
s’ajoute
(cas
lâche)
et
tion
(cas
dense).
le
:
cisaillement
les
s’attendre,
même dans
vée,
à ce
qu’un
essai
sur
pied
à titre
cette
obtient
compétition,
effectivement,
sur
pensée
de
produit
celle-ci
l’hypothèse
triaxial
type
chemin
triaxial,
chemin
et
triaxial,
- 202 -
observe
formulation
caler
une
Cell+e-ci
prévision
une
dilata-
éventuellement
en compétition
(cas
indéfiniment
un pic.
la
l’assemblage
de
homogénéité
lié
s’augmenter
mécanismes,
présente
une
à faire
contraction
à deux
d’une
ou négatif)
lorsqu’on
entrent
mécanismes
écrouissage
(positif
conduit
une
un écrouissage
heuristique,
sur
mécanisme
premier
un
un second
diminuer
On a alors
peut
mettre
ce second
réciproquement
Lorsque
antagonistes.
la
éventuellement
de volume
lorsque
par
On peut
analytique
sur
dense),
conseraisément
simple
des
de réponse
on
essais
de
; on
compor-
chapitre
tant
dans
un pic
sitaires
le
de Génie
chemin
tre
est
dans
le
des
autres,
vides,
elle
C’est
té
déformation
ne peut
le
donc
cas
que
bande
taux
de durcissement
l’apparition
de la
pour
satisfaisant
Ce schéma
observations
des
localisation.
triaxial
lon
“contenue”
le
bien
développe
les
sur
cas
des
de pensée
De plus,
par
c’est
le
permet
considérations
les
est
plaques
intéressant
dans
concernant
la
d’expliquer
les
le
la
suite,
limites
étant
imposées;
l’échantillon.
de l’hétérogénéi-
aussi
parties
Une autre
soit
au taux
condition
qui
est
de
condition
supérieur
Cette
ce
le
Ceci
première
certaines
du pic,
compacte,
limite
à peu
près
denses.
suivantes
qui
la
d’autres.
les
localisée.
traverser
d’écrouissage.
au voisinage
établies
il
que
que
moins
par
aux
à l’endommagement
échantillons
donc
laquelle
plus
(dense),
déformée
plus
cas
à une
à l’augmentation
conditions,
doit
à la
opposition
déformation
d’une
) mais
mécanisme
favorable
à être,
exposée
le
paramè-
le
échantillon
serait
conditions
sensiblement
localisation
un peu
dans
lié
d’un
les
de cisaillement,
au premier
zone
certaines
ou asymétrique,
lié
lié
siège
sous
nature,
l’endommagement
qu’une
le
(dont
par
une
que
à un adoucissement
partie
et donc
d’adoucissement
par
de dilatance,
satisfasse
se déforment
le
plus
localisée
être
univer-
? En ceci
conduire
est,
quelconque
que
symétrique
l’échantillon
est
fait
de
bien
cependant
pas
d’une
diffuse
cas
de lui-même,
se produire
la
le
résistante,
moins
s’amplifiant
ne peut
que
de ce
journées
d’endommaqement
dans
raison
une
aux
localisation
peut
processus
on conçoit
subi
potentiellement
phénomène
: dans
pour
aurait
Un tel
d’accumulation
tout
se trouverait
qui
qui
processus
une
vides).
au sens
la
envisagé,
introduit
des
concentration,
de l’indice
d’expliquer
d’écrouissage
l’indice
communication
1980).
permet-il
monotone,
diffusion
(IDesrues,
Lyon
ceci
processus
sur
dense
Civil,
En quoi
second
cas
VI
forte
mesure
où il
dilatance
différences
: on sait
contiennent
- 203 -
la
qu’au
une
des
entre
biaxial,
contrainte
s’appuie
zones
biaxial
sur
de
et
Péchantil-
supérieure
à
chapitre
la
VI
pression
liée
latérale
Vs.
à un cisaillement
la
direction
et
perpendiculaire
tension
dans
rien
n’empêche
volume
de se
distribuer
conque
entre
la
facette
à
la
dans
direction
(figure
55).
plus
faible
riations
sait
les
travaux
<108>)
que
(entre
de contacts
augmente,
pendant
déformation
plane,
donc
Bien
fructueuse
n’étaient
des
pour
contractant.
claire,
pas
suffisamment
observées
ce qui
sur
plus
qu’une
Sur
ce dernier
mes
essais
contractants
le
lâches
pour
-
Wiendieck
le
de compression
à une direction
plans,
elle
trancher
en
telles
que
de
explique
celle
nettement
n’est
Shf04
la
une
n’explique
de l’essai
apparaisse
Shf03,
la
de double
elle
l’expérience
(Shf02,
l’idée
en un concept
; en revanche
pic,
envisagé,
à Fexpérience.
vu,
à
nombre
conforme
l’a
vaOn
axisymétrique
est
on
les
déformation
localisation
point,
- 204
(notamment
ici
denses
avant
non
appareils).
certains
Comme
bien
pas
deux
de l’élément
qu’en
matériaux
ces
normale parallèle
l’évolution
faiblesses.
les
car
de
formalisée
de localisation,
que
à une direction
“affaiblissantel’
soit
ne prévoit
parfaitement
contacts
que
VI.7.1)
à une déformation,
soumis
parallèle
qu’elle
localisations
matériau
plus
dans
a priori
donc
(cf
de grains
assemblage
des
2 est
observe
différentes
de normale
celui
direction
la
assemblages
localisation,
au pic
Elle
les
peu
à une
localisation
Shf03.
qu’on
plus
comporte
des
(Rappellons
On en déduit
écrouissage,
pas
dans
un tel
est
facteur
dilatance
dans
que
diminue.
l’expose
sur
dans
1
d’extension
sont
grains)
d’extension
et
nulle
globales
extension
Figure
------m-I)- 55.
normale
et
biaxial.
de volume
Grenoble
3
déformation
qu’au
d’après
direction
facette
une
3
quel-
à
la
par
de
2 normale
d’extension
La
intégralement
locale
con-
variation
et
de volume
d’exau
direction
variation
la
de DP,
de façon
cette
appareil,
direction
la
cisaillée
contenue
plan
triaxial,
Au
traire,
la
le
à la
cet
se traduit
(local)
située
nulle.
Dans
dans
pas
encore
et
Shf20)
question
un
de
chapitre
savoir
si
la
taines
expériences
pourtant
ce n’est
préliminaires
la
dilatance
cependant
au
La
dont
premier
question
cette
direction,
on
de
président
a vu
de
le
domaine
Cer-
contractant.
phase
de
travaux
laissent
candidat
plus
comme
le seul;
d'autres.
haut
l'attrition
grains
des
paramètre
On
(VI.ll)
(rupture
suivant
rejoint
d’endommagement,
des
des
directions
là l'approche
qu’elle
ne
aspé-
livrerait
de
micropas
ses
microscope.
l'interprétation
ouverte;
enrichir
contractant,
qui
un bon
constituer
coup
donc en partie
turaux
dans
pour une nouvelle
nécessairement
en
reste
domaine
ou non
le réarrangement
peuvent
structurelle,
est
pas
grains),
des
glissement
secrets
apparaît
penser que la réponse est oui.
Si
rités
localisation
VI
sans
à Wcrouissage
faudra-t-il,
doute
et élargir
et approfondir
phénoménologique
de la
pour avancer encore dans
la base expérimentale,
la
connaissance
dans
des
notamment
phénomènes
les matér iaux granulaires.
---oooooooo--
- 205 -
localisation
dans
microstruc-
le
chapitre
VII
-
206
-
chapitre
Troisième
Partie
*************************
*
*
ANALYSE DE LA
LOCALISATION
*
*
*
COMME PHENOMENE DE
BIFURCATION
*
*
*
Quelques
résultats
généraux,
*
*
étude du cas des lois
non linéaires,
*
*
*
*************************
et
une application.
- 207 -
*
*
*
*
:
*
*
*
*
*
*
*
*
*
VII
chapitre
VII
Dans la première
partie
de vue sur la localisation
de ce mémoire, jr ai présenté,
de la déformation,
ce phénomène peut être étudié
revue
les
travaux
qui
relèvent
de cette
granulaires.
résultats,
obtenus en collaboration
montrer
que, dans ce cadre théorique,
Dans cette
envisage l'étude
non linéaires,
intéressant
Mais
troisième
un élargissement
de l'entreprendre
passé
domaine
j'expose
la plus grande généralité
en
des
quelques
pour des lois
à
est nécessaire
incrémentalement
dont dès 1976 Rice signalait
qu'il
serait
<79>.
j'aimerais
revenir
plus haut,
notamment celles
plasticité
classique,
afin
sur les
effectuées
analyses
sur des lois
de dégager quelques liens
de bifurcation
relevant
de la
entre ces études et entre
résultats.
Cette troisième
Le chapitre
qui
partie,
dans lequel
J’ai
dans le
points
avec René Chambon, qui nous conduisent
présentées
leurs
approche,
de la bifurcation
au préalable
le cadre théorique
comme un phénomène de bifurcation.
matériaux
lorsqu'on
parmi divers
relèvent
partie
comporte trois
VII présente
de l'analyse
chapitres,
une synthèse
de bifurcation
qui sont les suivants
des travaux,
par localisation
anciens
:
et récents,
pour des matériaux
élastoplastiques;
le
chapitre
bifurcation
VIII
pose le problème
par localisation
aux lois
de l'application
incrémentalement
de l'analyse
non linéaires,
de
et
propose une démarche dont
le chapitre
non linéaire
peut pas faire
IX expose la mise en oeuvre analytique
heuristique,
Péconomie
ce qui permet
de montrer
de la généralisation
- 208 -
complète
sur une loi
sur cet exemple
proposée.
qu'on ne
chapitre
Chapitre
VII
VII
BIFURCATION
PAR LOCALISATION
DE LA DEFORMATION
:
************************************************
PREVISIONSDE L'ELASTOPLASTICITE
NON STANDARD A
*************************************************************
Les
prévisions
de la
la
bifurcation
première
; et aussi
dite
matériau,
la
comme
l’angle
que
font
de dilatance
et
l’angle
du moins
pour les
partiellement
la réalité
Considérons
comportement
bande
de
la
pour
du
issues
de la
lois
à simple
lieu
le
"matériau"
des chargements
-
209
-
dilatant
rigide
situés
au
du
cours de
paramètres
des
interne.
des matériaux
pré-
pour une telle
explicitement
potentiel,
pour
cisaillement
plasticité
frottement
~*momentJ
critique
remarquables
apparaître
de
de
le
comportement
manifestations
du comportement
en premier
est rigide
l’angle
de lois
qu’elles
que,
est
d'écrouissage
montre les
L’avantage
paramétrique
;
terme de taux
sur ces résultats,
l'expérience
dont
localisation.
bien
possible
l’influence,
étude
sait
en
localisation,
POTENTIEL.
à comparer concernent
élastoplastiques
d'apparition
UN
En
elles
revanche
ne
on
décrivent
granulaires.
plastique
à l'intérieur
:
de
son
la
chapitre
VII
surface
et plastique
de charge,
cette
atteint
l'incrément
rigide
surface,
- parfaitement
est
donnée
déformation
dont
est
est
les
suivant
déformation
de
charge,
matériau
tandis
que
partielles
de la
=
P
h
de Rice
charge,
de
et que
Si le matériau
la déformation
de
écrouissable,
4kl
ij
6
est
plasti-
la vitesse
de
kl
la
P donne
dir ection
la
de
de
la normale extéri eure à la surface
de
contrainte
P et 4 coïncident;
fonction
l'extérieur.
9>
(7
et 4 la di .rection
v 6 es t la vitesse
est standard,
charge,
de
par :
donnée
tions
plastique
vers
des contraintes
fonction
seule la direction
DP
ij
où,
la
le cas du matériau
dans
plastique
représentatif
point
est
dirigé
plastique,
mais
le
l’équation
contrainte
de
lorsque
leurs
soit
corota .tionnelle.
le
sont les dérivées
composantes
f (u,.)
Si
:
13
af
4
=
ij
3 u. .
13
Si le matériau
est
de
dérivées
-P sont
appellée
les
non
potentiel
stand
ne coincident
part ielles
plastique
d’une
a
modèle.
Il
présenté
cf
nécessairement
plan
non
l’hypothèse
si
la
restriction
restriction
<79>
a montré que,
cinématique,
déformé
cf
lyse générale
t enu
des
de
niveau
standard
homologue
(lj),
VI-5.3)
de f,
du
modèl e
(
P
II
( --P=Q ),
de P
correspond
rhéologique
= 0 ),
- 210 -
un taux
p doit
ce
d’un
contenue
n’est
nulle,
ne peut
d'écrouissage
dans
possible
que
impose
une
qui
lui-même.
la bifurcation
qu’avec
est
tel
et
(statique
à l’existence
localisation
est
un
localisation,
de ce plan
la
pour
classiques
d’une
t qui
. Ainsi,
re
bifurcation
hypothèses
(l'existence
intermédiai
est satisfaite
pour le matériau
l’ana
dans l’élément
propre
composantes
(3)
forme bien l définie
une
Q ; les
ij
compte
cinématique,
au
!3
111-3) qui décrive nt l'apparition
avoir
valeur
fonction
avec
:
P
Rice
plus
Lorsque
cette
se
produire,
nul
: h
C
= 0.
chapitre
En revanche,
le
Les
études
écrouissables
bifurcation
corroborent
possible,
et
non
plus
la normalité
que
Il
plus
faut
une
lors
dès
critère
un
diaire
n*
dans
non-standard,
il
article
un
qu’on
adopte
pas
raisonnable
sur p,
ce critère,
découle
c
<l>,
n’en
homologue
intermé-
la contrainte
que
est
admis
comme
une
On a donc:
bIII)
(4)
:
P
La
de modèle
une fonction
granulaires.
VI,
réfé-
cette
par Rice,
soulignée
universellement
pour les matériaux
13
il
sait
on
l'article
dans
dans
la
bifurcation.
plastique
en effet,
g ( u. .> = g(
h positif
cependant,
de
particulier
en
sur le même type
de Anand
pour potentiel
dans
on note
soit
clair
pas
rigides-plastiques
modèles
analyse;
que la restriction
I
d’où
des
quelque
n’est
de Mohr-Coulomb;
approximation
avec
h = 0 comme condition
ici
intervient
sols
pour toute valeur
vérifiée.
général cette
<71>;
impose
noter
sur P soit
en
en
permet la localisation
standard
pour les
faites
Mehrabadi et Cowin
rence,
à
non
t pour peu que la condition
de h
de
matériau
VII
restriction
sur
P est
a 9
= ------
II
donc
b
(5)
= 0
CT
II
automatiquement
pour
satisfaite
ce
type
de
critère.
En
conclusion,
aboutit
à
d’impossible
quelque
résultats
des
restriction
le
dont
à critère
il
et peu
pour le matériau
d'écrouissage
taux
sur la loi
pour le matériau
assez tranchés
dehors du pic
en
soit
pour le matériau
l’analyse
faut
en
non
noter qu’elle
rigide-plastique
réalistes
:
standard,
standard,
est
écrouissable
la
bifurcation,
devient
possible
réserve
sous
d’une
vérifiée
automatiquement
de Mohr-Coulomb.
VII-2
Le matériau élastoplastique.
----------1---------------------1----
Voyons
1964,
a
maintenant
présenté
le cas du matériau
une analyse
de
élastoplastique.
la bifurcation
- 211 -
Mande1
de ce matériau,
dans
<67>,
le
en
cas
chapitre
VII
d’un
critère
dont
on
de Mohr-Coulomb
vu qu'elle
a
laquelle
le
critère
(critére
de Mises
général
Dans
cette
de la forme suivante
une
l’étude
de
l’analyse
de
propagation
mais
par Rice
le matériau
des
voies
<85>,
dans
Drucker-Prager
un
Toutes ces études s?nscrivent
donnée
Plus
parallèle,
par
par Rudnicki et Rice
faite
d’onde,
localisation).
analyse
plus un Mohr-Coulomb,
généralisé).
analyse,
de l’étude
à
donné
n'est
de l’analyse
l’angle
équivalente
Vermeer <107> a
On relève aussi
récemment,
différentes.
plus
est
(sous
le
dans
cadre
<79>.
est décrit
par une loi
comportement
de
:
1
u. . = E
13
dans
laquelle
tenseur
ijkl
la vitesse
est
de modules
(D
kl
P
- h
'rs
kl
de déformation
(élastique
les autres variables
élastiques,
(6)
?s)
et
étant
plastique),
définies
E le
comme plus
haut.
Cette
équation
peut
s'écrire
aussi
l
1
h + Q:E:P E:D
= - (Q:E:P)
- = - - -6.51,
- +fi.~
- --de contrainte
de Cauchy,
et les termes en --u.a
-u=
où
6
E:D
--
-
est le taux
termes
rotation
par
la dérivation
de
Jaumann
sont
( n
les
vitesse
de
(spin)).
La
notation
--A:B indique
note
le produit
critère
montre
de
produit
un
que,
bifurcation
où Eb et ib
discutée
contracté
doublement
contracté;
sont
plan
le cas où la partie
s'écrire
Enfin,
on
de
écrira
tenseurs,
AQbE3-pour
les
composantes
de localisation
plus haut en VII-l,
équation
et
est
élastique
isotrope,
le
:
Qab -
O2 ‘ab
et b prenant les valeurs
Cette
produit
simplement
dans
peut
h
-=
G
le
un
tensoriel.
Rice
dans
(7)
-
introduits
additifs
:
Qbt, / (A+
2 APaa
de P
I)
et Q
- exprimées
(le
plan
non
non
pas
dans
1 et 2. h et G sont
exprime de façon
très
- 212 -
dans
déformé dont
le
plan
les
générale
(8)
2G)
de
des
axes
contenus
l'existence
déformation
coefficients
le critère
a
plane)
été
:a
de Lamé.
d'apparition
de
chapitre
la
localisation;
orientation
donnée
elle
donne
le
de la
bande
(le
expressions
de Pab et Qab ),
ne donne
l'orientation
pas
Rappelons
continûment
et
d'écrouissage
deux
critère
l’on
Vermeer
le
matériau
de Coulomb.
tient
C’est
compte
d’une
rend nécessaire
qui
Avant
de
critère
donné
rechercher
discuter
>6
dans
diminue
sera donc le
premier
expression
puisque
standard défini
comme le
l'expression
de
elle
critique.
concorder,
cas,
facteurs
de
tion
l’influence
par Rice
l’angle
de la
à
du
taux
tous
les
partir
du
montre Vermeer, si
fonction
correction
charge,
de
pour comparer les
en out
II
des
> TII
semble intéréssant
8)
avec ces résultats.
d'orientation
$
qui
angle
dans
de
contrainte
positives
en
un état
(
il
paramètres angle
(équation
et de repor ter cet
Considérons
1
différence
le
revanche,
les
d'écrouissage
une
non
dans
fort.
et l'autre
doivent
effectivement
sur ces prévisions,
de dilatance
u
critique
le plus
élastoplastique
En
une
re 1 ‘angle
d’in-
critique.
clinaison
9
l’un
taux
d'écrouis sage 0 Vermeer explicite
expressi ons des taux
(8)
à dire
résultats
l'introduc
le
pour
est inclus
d'ecrouissage
Le taux
donné
leurs
lequel,
possible.
chargement,
de
initial.
ont
pour
est
et le taux
(8) ), c'est
critique;
étudient
localisation
critique
(qui satisfasse
Mande1
la
l’instant
d’écrouissage
paramètre d'orientation
sur un chemin
que,
depuis
rencontré
taux
VII
le taux
maximise
de
frottement
de tenter
Le
de
principe
et
relier
d'écrouissage
par les valeurs
compression
- 213 -
).
le
consiste
(8).
défini
angle
principales
h donné
à
chapitre
La
VII
localisation
passage
à
se produit
la
avec
déformation
le
plane
de
3
I
telle
façon
trainte
que
la
direction
intermédiaire
laire
au
(figure
plan
déformation
de
1,111
et
la direction
plane
normale à
La
la
appartient
de cisaillement
plan
con-
est perpendicu-
ci-contre).
bande
de
fait
un angle
1 (contrainte
31I
au
9
3
avec
II
principale
majeure).
Soient
la
respectivement
Ce choix
d’un
fonction
charge
de
et
le
potentiel
déformation
de
définis
par f et g :
plastique
partie
plastique
Soient
-P*et
de
+ q
u***
(9.1)
g(
fl. .> =
b*
+ p
VIII
(9.2)
axes
*
41 = 1
et entraîne
associé,
f et
à un critère
g sont
des
Mohr-Coulomb, doté
de
la coaxialité
de CT et
isotropes
fonctions
de u
de la
l
par :
*
*
u*
non
P
P1 =
=
puisque
Q*
I définis
exprimés dans les
uij)
iJ
à un matériau obéissant
correspond
potentiel
f(
ij
bf
a 0.
lj
as
-
3 u. .
13
par :
I,II,III
*
9
*
Qij
=-
P II
*
= 4 II = 0
*
9 pIII
= P
9
*
4,II
(11)
= 9
1 + [email protected]
avec :
P = -
(12)
1 - sin Q)
1 + sin 3
q -- -*
où Q5 et
Il
Rice,
faut
V
sont
respectivement
l’angle
noter que P* et Q* ainsi
en ceci
que
ces derniers
(13)
1 - sin 3
de
définis
tenseurs
frottement
diffèrent
et l'angle
de P et
sont normés alors
- 214 -
Q
que
de dilatance.
utilisés
les
premiers
par
ne
chapitre
le
Sont
pas
(1~~1~ = liGl11 = 1).
P
On a :
*
*
4
Q =-
-P =
Le
taux
d’écrouissage
la formule
h par
h
défini
par
(8)
à partir
2
*..
où n%kerviennent
qu’elles
(l+sin
Q* est
donc
que
des quantités
alors
toutes
l+sin
%)(
(l-sin\t
it>
de P* et
sauf
*
33
de 0 .
Q* dans
le
plan
2,3
,
on constate
Q*
:
33
2
2
sin 8 + p COS 8
q
P*
et
33
*
2
2
Q33 = sin 8 + q COS 6
(8)
alors
conduit
*
h
-=G
On
0 + pq COS40
+ (p + q)
sin26
COS~~ )
(16)
2 G
les valeurs
a h
4
( sin
A+
(15)
à :
+G
h
4
recherche
à
)
indépendantes
nulles,
P
L’équation
relié
(14)
exprime les composantes
sont
et
=hx
(l-si&)
on
de P*
:
h
Si
VII
de 8
qui
la dérivée
annullent
-
bh
*
ae
*
OC sine
Cos30
( tg28
(2 - p - q)
-
(2pq
- p -
q))
(17)
ae
en
dehors de
0 = 0 et
.
8 = x2
, on a :
2
2Pq - P -
4
(18)
tg e
2-p-q
en reportant
(12)
et
(13)
dans
(18),
on obtient
:
si&
+ sinV
1+
tg
2
2
8
=
(19)
[email protected]
+ sinV
l2
d’où
il
vient
:
sin Ef + sinV
COS 2e
=
-
cm
2
L'orientation
ainsi
définie
est l'orientation
-
215
-
critique,
pour
laquelle
en
chapitre
VII
premier
lieu
le
taux
d’écrouissage
la
atteint
valeur
critique
permettant
la
localisation.
C’est
ensuite
l’argumentation
valeurs
courantes
de
8
C
l’orientation
effectivement
par
de Vardoulakis
de Q) et3
En reportant
(20)
C
dans
h
résultat
(16),
montrer
que,
de
(20)
une
des
approximation
bonne
[email protected]+v)
(21)
4
on’ a finalement
:
(sin
2
@ - sin3)
=
A+2G
sinV
([email protected])(l-
exactement
celui
suivants
de Mande1
<67>,
cr
page
66,
avec
:
(l+sin
p3>< l+sin
V )
G
P
1
E\+G
A
(coefficient
de poisson)
d’où
A+
2G
=
2(1
-3)
1 - sin @
1 + sine
1 - sinv
1
k = - /=
4
aussi
à la
définition
f = -)
u
+ sinV
1
confirme
h
)
x
1
J = - /=
d’où
tenu
([email protected])(l-sinV)
*
.
suite
compte
1
2( r\ + G)
Il
reprend
qui
(22)
cr
de notation
=
v
pour
on a à partir
G(A+ G)
confirme
changements
Y=
<103>
Tr
-+4
--
*
M=h
Vermeer,
:
8
Ce
9
par
obtenue
de f
)“1
= h
de Vermeer,
celui
*
- cr31
et
compte
g adoptée
+ $
( ul
(1 + sin Q) )(l
par
4
216
-
d’un
ce dernier
+ m3 ) sin
+ sinV)
-
tenu
8
facteur
à introduire
:
9
idem
g
les
chapitre
L’expression
correspond
la
plus
à des tenseurs
P
II et
1
h
Le
l’orientation
comme
élastique
isotrope,
base
Il
critique
fonction
les
et
les
(8
par
bien
et
typiques
(coïncidence
Q) et V
9 qui
0
suppose
constant
avec
@ et
à partie
potentiel
principales)
du
la
.
d’écrouissage
taux
cours
au
présente
5
sur
défini
eux-memes
une
du
tabulation
de
que,
décroît
2
- sinv)
(1 + [email protected])(1
croît
de leur
détail
l’élastoplasticité
évoluent
par
établis,
le
directions
et
:
=
immédiatement
(23),
bien
dans
variations
Le tableau
par
définie
donc
à un
des
les
“mobilisés”).
3
de
standard
non
d’examiner
ii <(b,w
fonction
on a :
l’équation
diverses
qu’assez
prévisions
angles
k (@,V),
constate
qui
)2
par
apparaissent
(20),
(sin
On
celle
) (1 + sir?V)
exprimé
à plasticité
intéressant
avec
chargement
critique
de Mohr-Coulomb
est
est
(14),
- sinV
V (1 + sin2#
concourantes
étant
du critère
(si&
I\ +2G
définie
études
approche,
critique
(23)
2
critique
différentes
taux
; en utilisant
G)
d’écrouissage
taux
du
Q
I normalisés
G(A+
--
cr-
intéressante
VII
+ sin2J)
dans
le
domaine
défini
avec
V
de façon
Par
Iv1
monotone.
< 6
Ainsi,
9
si
la
on
G (A+G)
le
facteur
9
/i
s’exprime
qui
en
fonction
du
+ 2G
G
coefficient
prédit
de Poisson
par
le
plus
fort
peut
s’attendre
phase
modèle
que V est
d’écrouissage
on observe
Par
1
a-
y) >
à critère
élastoplastique
petit
(suivant
pour
modèle)
des
essais
à des
-
de
Mohr-Coulomb
La conséquence
(algébriquement).
ce
le
que
taux
critique
’
bifurcations
sur
sable
217
-
dense,
de
tout
puisque
est
d’autant
ceci
est
qu’on
à la
fin
de la
d’une
part
le
la
chapitre
VII
taux
décrouissage
d'écrouissage
l’angle
que
On
critique
est fort;
de dilatance
le
dans
est
ainsi
llprécocitéll
être
Ce résultat
en effet,
dans
essais
de
localisation,
axiale
est
en
effet
la
pente
localisation
que
observé semble
donc
me de déformation
se trouve,
d'écrouissage
après la
que
le
puis
dans
cesser
augmenter
élastoplastique
cas
conséquence
leur
activité
(essai
et
l’essai,
rapportés
dans
peu avant
ce
le
pic
plus
tôt
effectués
sur
concordance
une
essais
: dans
le
brusquement
du plein
localisation,
à la
ce sens
pendant
l'expérience
cas
des
la
réaliste
essais
première
La
plusieurs
que
le
-
limitée
218 -
d’une
du
denses,
on
amorce
de
(pic).
relevée
du mécanis-
hypothétique
qu’on
phase
l'écrouissage
se
comme moins %tablewl
surfaces
de
Le pic
ne garantit
contraire,
apparaît
rapport
convergence
est donc
et rien
au
que
et sannulle
développement
fin
d'ailleurs
qui
shf03).
description
comme
Dans le cas lâche,
en
cette
dans
(cf paragraphe VI-k&,
localisation,
:
. (La
cr
1 / CT en fonction
de la
déformation
3
et que c’est
au cours du développement
de la
une
de la
dense
de
.
courbe
varie
intrinsèque.
poursuit
dense
ces essais
nettement
où apparaît
pente
localisée
au moment
alors
.
certains
voir
de
l’instant
nulle,
plutôt
contraire,
qu’en
généralement
dans
granulaires
de la
cette
pour
phase
élevé,
faible
manifestée
classique
qu’à
d'être
loin
s’est
garder
des matériaux
observer
peut
au
en
shf03) .
de Pélastoplasticité
comportement
lâche
résultats
obtenue
qu’elle
se
toutefois
confirmation
a été
plus
réel)
avec les
d'écrouissage)
phase
lâche (cf essai
faut
accord
taux
degré d’avancement
de
du temps
le
critique
un taux
"précoce"
en terme
alors
la
. D’où
plus
localisation
denses,
sur sable
essais
est relativement
indépendant
la
(vers la moitié
Il
des
part
d’autre
courant
est en bon
mémoire;
et
a nul
comprise
mesuré par un paramètre
le matériau
cas
une localisation
doit
les
le
faible
négatif
d'écrouissage
taux
aurait
est
peuvent
contrainte
ici
à la prévision
apparaître
continue
entre
- non
l’analyse
discutée
à
chapitre
jusqu’ici
à ma connaissance
essais
sur
Il
est
tion
élastoplastique
d'écrouissage
en taux
tres
simples
comme
les auteurs
matériau
angle
ce
est
par rapport
que
prédit
aussi
est non standard;
précocité
fait
on ne
sait
dans
pour conclure
élargir
angle
la
localisation
pas
apparaître
de dilatance
est
à l'écrouissage
nul
(pic),
consacrées à l’analyse
de
et
des
paramè-
mobilisés.
Tous
dès
revanche,
en
exprimées
possible
par l’élastoplasticité
en
lors
phase
que
le
le degré de
quelest
comment
de
formula-
une
toujours
pas
toujours
et
pas,
les
pour les autres analyses
ne sont
pas
les
contractants.
n’utilisent
prévisions
frottement
de
sur le
qui
parallèle
et ne font
“précoce”
fortement
lorsqu'elles
Les
critique,
s'accordent
d'écrouissage,
l'état
à ce jour,
classique.
plus
matériaux
des
mener une étude
de
présentées
localisation
. Encore faudrait-il
au domaine
difficile
bifurcation
d’une
contractant
matériau
expérimentales
données
-
VII
varie
il
avec
initial.
VII-3
Conclusion
------------~~~~~~~~
Ces quelques
non-standard
élastoplastique
les
d'écrouissage
modèle,
il
et l'orientation
est
possible
conclusions
qu’on
n'ont
valeur
qu’une
l'expérience.
en
La
peut
conforter
certaines
travail.
C’est
expérimentale
de
faire
une étude
en
tirer,
notamment
prévision
particulier,
d’une
est
incitation
elles
bifurcation
stimulante
observations
une
la généralité
mais
permis
en avaient
critiques.
indicative,
bifurcation
ont
approches qui
et de confirmer
époques,
ctant,
à un potentiel
entre les diverses
liens
rentes
pages
car,
rapportées
à étendre
actuelle.
- 219 -
pour le matériau
mettre
de
présentées,
été
résultats
des
en
évidence
à diffé-
concernant
le taux
raison
de
la
paramétrique
de
ces résultats;
En
sur l’influence
supportent
possible
bien
dans
dans
simplicité
de la
du
dilatance,
la confrontation
pour le matériau
qu’inattendue,
la partie
cette
les
contra-
elle
expérimentale
direction
à
la
vient
de ce
base
chapitre
VIII
Tableau
--e----m---
5.
de 17 [email protected]
Variations
et
.
-------II-------------------------------II-----------------II---------------I)I)----------~
50
1,033
0,922
0,807
0,691
0,575
0,360
0,470
0,274
0,198
0,135
0,086
45
0,960
0,850
0,738
0,624
0,513
0,410
0,310
0,229
0,159
0,103
0,061
40
0,880
0,772
0662
0,552
0,447
0,350
0,250
0,182
0,120
0,072
0,038
35
0,793
0,688
0,582
0,477
0,377
0,280
0,200
0,137
0,083
0,044
0,018
30
0,701
0,600
0,499
0,400
0,307
0,220
0,150
0,094
0,050
0,021
0,005
25
0,606
0,510
0,414
0,323
0,238
0,160
0,103
0,056
0,024
0,006
20
0,510
0,419
0,331
0,248
0,174
0,110
0,061
0,026
0,006
15
0,414
0,331
0,251
0,178
0,115
0,065
0,028
0,007
10
0,323
0,248
0,178
0,117
0,067
0,030
0,007
5
0,238
0,174
0,115
0,067
0,030
0,007
0
0
0
0
0,007
0
0,006
0,006
0,024
0,007
0,026
0,056
0,028
0,061
0,103
15
20
25
(Ic
-25
-20
-15
-10
-5
0
-II)-----I)------------I------IIII)-------------I--------------II)L------II------LI.--I--------~
-
220 -
5
10
chapitre
VIII
VIII
Chapitre
L’ANALYSE DE BIFURCATION
PAR LOCALISATION
**H*~*********s-s*~*~*~**~*
APPLIQUEE
AUX LOIS INCREMENTALEMENT
NONLINEAIRES
JMHC*-lMHHHHHt*H*MN***w*****HwHN-*
Toutes
granulaires
c'est
à dire
les
modélisations
peuvent
être
d’une
relation
Parmi les différences
mises
entre
linéarité
de la description
seulement
deux
zones
la décharge (élastique)
actuelles
sous la forme d’une
entre
vitesses
les lois,
on
incrémentale
linéaires,
;
du comportement
d'autres
l’une
de
relève
celles
correspondant
distinguent
- 221
-
description
contrainte
: certaines
des matériaux
incrémentale,
et de déformation.
qui
ont
trait
formulations
à la non
envisagent
à la charge et l'autre
à
0
un plus
grand nombre de zones
VIII
chapitre
linéaires
dans
: par
sa
thèse
linéaires,
<31>
d’état
. Le cas
potentiels
nent
exemple,
mais
non-linéarité
est
par
dans
la
les
lois
dans
celui
loi
Chambon
n’existe
classe
<18>,
par
proposée
Darve
élastoplastiques
où il
: à cette
continue
proposées
celles
le
cas
de
la
cisaillement,
quelques
aspects
généralise
le
l’analyse
été
problème
dans
la
et
tiel,
apporte
autres
discutée.
pour
des
à n
plus
de lois
Kolymbas
Il
s’agit
CommunicatiorP
de la
d’un
de la
de zones
appartienet
<46>,
Darve
démarche
article
<21>,
que
une
présente
prise
à certains
discussion
ici
journal
dans
- 222 -
sa forme
qui
pour
cadre
l’Mechanical
publiée.
le
et
plus
de
poten-
toutes
toujours
pas
problème,
les
celle
à simple
de l’hypothèse,
le
pour
par
Toutefois,
dans
dont
et
de Hi11
égards
de ce
de
en considération
non-standard
relève
le
mémoire,
La théorie
valable
dans
de fond,
de ce
à ce problème.
classique,
paru
je
linéaire
en bande
problème
partie
zone
opéré
choix
localisation
un
élastoplastiques
présente
VIII
pose
prolongée
lois
le
loi
à l’extérieur.
de réponse
de lois,
Le chapitre
extension
les
par
en première
et
bande,
éléments
classes
une
évoqués
standard,
Bruhns
la
de
du choix
élastoplastiques
Raniecki
bifurcation
de
linéarité
non
ont
respectivement
les
général
plus
huit
l
Dans
lois
le
une
notamment
on en dénombre
n
<29>,
et 2 au plus
propose
général.
Research
chapitre
VIII
QUELQUESREMARQUES SUR LE PROBLEME DE LA LOCALISATION
EN BANDE DE C ISAILLEMENT
René Chambon
et Jacques
Desrues
Institut
de Mécanique
de Grenoble,
38402 SAINT MARTIN D’HERES CEDEX,
1.
#
LA 6 CNRS,
FRANCE
B.P.
68
Introduction
de résultats
expérimentaux
relatifs
à des
expériences
de
voulues
comme homogènes
pour
la contrainte
et la déformation
des
ma té riaux
étudiés,
montrent
une perte
d’homogénéit6
plus
ou moins brutale.
Les
expériences
peuvent
être
consid6ties
comme
unidimensionnelles
et
la
perte
d’homogén6ité
a lieu
par création
d’une
bande de cisaillement
localisée.’
On
peut
citer
les expériences
de traction
sur des éprouvettes
métalliques,
sur des
tôles
minces,
et en mécanique
des
sols
les
expériences
de
compression
et
d’extension
a l’appareil
triaxial
ou en déformation
plane.
Un certain
laboratoire,
nombre
Deux
approches
première
l’associe
théorique
s ont
à l’annulation
été
avancges
de
la
pour
modéliser
ce phénomène.
La
onde
d’accélération
La seconde,
que 1’ on peut qualifier
(Hadamard
(1) 9 Mande1
(21,
Hi11
(3)).
d’approche
statique
repose
sur l’écriture
de la
perte
d’unicité
du problème
Il
convient
de noter
que
statique
en
vitesse
(ou
plutat
en
incrément).
l’ensemble
des conditions
aux limites
n’ est pas pris
en compte,
et sur le
plan
des
conditions
limites
le problème
est ainsi
unidimensionnel.
Cette
dernière
approche
est
celle
de
Rice
(4)
qui
montre
par
ailleurs
que
l’approche
“dynamiqueI’
conduit
aux
mêmes
équations
de
base.
Naturellement
la
loi
rhéologique
adoptée
pour le matériau
devient
cruciale.‘
L’utilisation
de ces
théories
avec
des lois
de comportement
de plus en plus complexes
et notamment
incrémentalement
non
linéaires
pose
des
problèmes,
le
plus
souvent
non
complètement
di-sautés,
que
nous
essayons
de clarifier
dans la suite.
Nous
limitons
le cadre
de notre
étude
aux matériaux
non visqueux.
- 223 -
célérité
d’une
chapitre
VIII
2.Raooels
sur.
la
théorie
classiaue
On considère
un échantillon
déformation,
et
par
rapport
Ml1
2.1
(5) s
Condition
Guidé
à ses
variables
transpoçé
quant
& son état
de contrainte,
d’une
façon
générale.
La transformation
est notée
tenseur
du
la
contrainte
de
nominale
de
l
.
que, tandis
on suppose
est soumis h une vitesse
unitaire
9
de Piola-Cagrange)
cinématique.
par l’expérience,
B un vecteur
homogène
d’état
de référence
B un état
(le
supposé
‘0
F
cc
de transformation
Z 9 la
vitesse
de
que
l’ensemble
9 dans
une
transformation
de l%zhantillon
bande
est
perpendiculaire
:
l
Fi
9 étant
un
vecteur
cisaillement
plan
*0
de
de
se
telle
superpose
sorte
cisaillement
revient
dans
la
à
bande
que pour ce champ
(perpendiculaire
Condition
à
qu’à
dire
une
vitesse
additionnel
vitesse
de
additionnelle
de
directions
les
soient
n !
la
toutes
des
permet
de
du
lignes
statique
L’écriture
de 19quilibre
l’équation
d’équilibre
avec
S”
Ces
deux
la
comportement
fait
Cela
nulle.
d’extension
2.2
quel.conque.
F
transformation
(1)
=
que
vitesse
conditions
du milieu
incrémental
de contrainte
étant
du matériau,
l’état
continu
:
posées,
de la
reste
il
par une loi
avant bifurcation
est homogéne,
-
donner
s
& l'extérieur
modélisé
instant
à tout
224
-
bande
et
à introduire
G” à l’intérieur.
ry
la description
Compte
rhéologique.
la
loi
pourra
s’écrire
tenu
du
du
d’une
générale
façon
où Nf est
On
une
pourra
Dans
fonction
tensorielle
au
de
tenseur,
le paragraphe
dépendant
de
intérieur
matériau
à
la
bande
1'6tat.
au matériau
comme
Loi
suivant
nous
examiner
allons
cette
introduction
de
la
loi
l
3. Introduction
de la loi
rhéoloqique
1inGaire.
Supposons
que
quatrième
ordre
soit
f
L
tel
E
une
que
fonction
Des équations
dont
la solution
seule
solution,
(l),(Z),
il
est
ne 1oeut
de cisaillement.
-a-+
si g=o n’est pas seule
y a une
infinité
existe
un
tenseur
f
-
du
(3)
on tire
alors
g=o
qui
correspond
.
y avoir
perte
c'est
à dire
pas
solution,
det
il
il
:
et (3)
triviale
alors
linéaire,
S=L:
rJ
a
alors
homogène,
:
rhéologique
3.1
VIII
:
l'appliquer
extgrieur
chapitre
d' autres
<z*L.'??)
solutions
- 225 -
:
Si
à l'homogénéité.
d’unicité
si
par
apparition
$5
de bande
t
= 0
qui
est
0)
correspondent
à
Y apparition
chapitre
VIII
de
de cisaillement
bandes
avec
des
déformations
plus
ou moins
comportement
comme
grandes
dans
la
bande.
-Une loi
que
incrémentalement
ne
dtats
vérifient
est
pas
de ceux
voisins
Il
incrf5mentakment
3.2
des
Lois
que
l u
F
contenant
certaine
classe
est
alors
fond
:
La perte
?+;a?
à la
Il
n’est
une
perte
dans
le
ont
nécéssairement
cas
des
dans
précède
h cet
à
égard
des
lois
les
lois
sont
incrémentale.
?L.rt’
>
( 8
car
.O
= F + z&
appartient
si
qu’une
cadre
ainsi
bande,
considéré,
postérieure
le
borné
telle
perte
cours
la
que
ils
à celle
propre
la
ont
;
on
deux remarques
de
zone
des
associé
infinité
,de
solutions
ne
B la.
valeur
d’appartenance
condition
perte
d’unicité
de
perte
n%tervi.enne
1 t évolution
f’intérieur
montré
correspondant
- 226 -
poursuit
que
cette
& une
pas
une charge
perte
zone
unique.
avant
expérience
classique,
décharge
se
il
pas
d * une
par
d’unicité
peut
En particulier,
zone.
d’unicité
de
ne
incrémentale
de l’élastoplasticité
alors
par
une
(3).
d’une
l’ensemble
vecteur
Pour
type
a cette
apparition
pas B la même
6tudi6
du
zone
définie.
cette
au
des
de faire
précédent
étant
précédemment
convient
par
cas
x sera
aussi
l%space
linéaire
se produit
au
de
expression
mais il
“monozonale”
de la
le
,kR
a priori
Dans
l’extérieur
‘3
F
(ry
précédent,
h;
Y
d’unicité
(6)
une
‘1
NF et rJ?” n’appartenant
évident
modélisée.
Rudnicki
vitesse
dWudier
avec
pas
) la
linéaire
zone
convient
produire
ait
éventuelle
de
qui
simples
petite
infiniment
contrairement
nulle
plus
ce
de l’élastoplasticité
zone’v
au cas
s’écrire
pas
propre
ii)
de 9
mais
pourra
de généraliser
Les
loi
d’unicité
solutions,
en particulier
ce
s
la
ramené
~~Sels,
réversibie,
apparaît.
linéaires.
une
9
matériaux
localisation
classiques
dans
le
les
de tenter
‘fmu3ti-1in6aires11
Supposons
i)
où la
non
théories
décrit
en général
intéressant
donc
issues
linéaire
Rice
et
élastique
à
plastique
di unicité
;
est
chapitre
3.3
Lois
non
Les
lois
envisagées
les
pour
“mul ti-linéaires8f
sols,
stipulant
ne
de
ont
Rice
et
hypo thbes.
On en
conduisant
Approches
La
se passe
dans
déduit
(8),
ait
cette
ont
la
C’est
généraliser
& ce
à une
solution
jour
réalité
pourquoi
alors
révèlent,
au
(Gudehus (7))
récemment
pour tenter
l’étude
moins
un
en
certain
de décrire
préc6dente
Le
pour
de
été
sur la loi.
introduite
d’utilisation
finis.
est identique
(12) pour les lois
ces
développement
l’approximation
étudié
:
reposent
sur
deux
on suppose que ce qui
par rapport
B 1' extérieur
l
Les lois
c'est
Utilis&es
à dire
telles
supposées
sont
être
que pour une direction
d~(~)$/1I1/~
algorithmes
Elle
Elles
<< ll;"u
!i = ---ruL(dir(?*))
*u
a
& ce problème.
Darve (10)).
quf une perturbation
linéarisables,
:
notion
donn6es
le phénoméne
ll3dl
porte
été
double.
(9),
concerne
que ;
en posant
Moyennant
se
6té développées
jus&
bande n’est
la
directionnellement
on
correctement
Vardoulakis
première
La seconde hypothèse
donnée,
(3.2)
?
0
(Rudnicki
précédent
linéaires.
Comment
Deux types de réponses
3*3.1
traduire
non-linéaires
des sols.
lois
paragraphe
de zones
lois
comportement
l
le
pas
l’existence
nombre
telles
dans
VIII
par
Charbon
(11)
non-linéaires
de lois
à la
: r3
f + h)
t
notion
de
en
vue
de
réaliser
dans des calculs
linéarisation
des
aux éléments
tangentielle
de
Bazant
endochroniques.
deux
de s
hypothèses
on
se ramène
de la loi
n'est
et
ne
encore
valable
- 227 -
retenant
au
que
problème
que pour
4
le
premier
linéaire.
infiniment
terme
Mais
petit
du
comme
la perte
chapitre
VIII
trouv&
d’unicité
3.3.2
Approche
le repos
solutions
clair
devient
qu’il
étude
comme une
d’aucune
qui
de
et alors
)Y on
suppose
que ;=S
linéaire
donc
ne se déforme
existe
qu'il
cause de wf mais
à
là
du
encore
à
une
laquelle
on
homogène
infinité
3.3.1.
paragraphe
dans
n’y
a aucune
[email protected]?j~et
le fait
que
pas
;
d* autres
en ‘g+
de
Une
l
solutions,
peut encore considérer
On
suppose
I[~&II
analogue à
solution
double
z=?
l’approche
loi
soit
ls
>> Pli
l’extérieur
cela
du paragraphe
-
dWudier
donc
d'ordre
le problhz
H.néarisable
n’est
est :
>
Si
l
une
que
3.3.1
228 -
telle
équation
a une autre
du chemin de contrainte
brusquement
(figure
signifie
différence
directionnellement
( c,T
devient
une
convient
que l’ori.entation
signifie
dans la bande
du chemin
Il
l
à rhoudre
pour ltensemble
, cela
de supposer
raison
lIi”b
la
L’équation
utilité.
déformation)
linéarisable
.
4 >
de la bande le mathiau
conduit
approche
il
entre
est homogéne
solution
double
du probl&ne
générale,
grandeur
général
non
1’ approche
à
4. Etude synthétique
de
solution
:
est
de ce type
contrairement
De façon
d’une
1’ apparition
(en
=o t &z
(
d’unicité
cette
homogène
qu’en dehors
d’équation
est
perte
à
c f 0 .
Le système
Il
en fait
non-linéaire
(13) suppose
Kolymbas
outre
correspond
différente
La
).
Si
si
la
loi
de l’orientakion
l’équation
nous donnerait
est
(ou
(7)
a
une
directionnellement
une
solution.
Une
chapitre
esDace
des
VIII
contraintes
(a)
représentation
figure
Lb
Remarques
vaste
zone
phénomène
ii)
dans
(Desrues
priori.
: i>
dans
linéaire
cas
(14))
où
les
la
loi
est
passe
est
alors
schématAs&
3X),
les
des
a ia
de volume
une
superposition
de champs
soit
une
prépondérance
du champ
les
matériaux
Dans ce dernier
l’instant
d’apparition,
à coup
prgpondérance
sûr
peu
dilatants,
cas,
on
ne
exclusive
en raison
postérieur
les
instant.
-
-
229
(en
et
la
dans
cependant
localisé
à définir
pas
en terme
qui
moyenne)
d’intensités
première
les
a
celles
iocalisé)
La
peut
rejeter
contrainte
localisé.
seconde
à
particulier
et
(global
difficulté
à cet
du
expérimentaux
n’est
initiale
du champ
de la
une
graphique
résultats
décrites
densité
:
reprhentation
d’essai,
conditions
apparaître
schéma.
approches
soit
dans
la
granulaires,
qu’ aucune
variations
et
fait
ou bien
ou l’autre
matériaux
suivant
linéaire,
3.1
l’un
selon
des
effet,
à la
soit
se
qui
paragraphes
indiquent
certitude
qui
cas
se faire
le
comparables,
dilatants.
le
(cf
pourra
observe
apparaît
ce
de
.
En
gouvernent
OIl
graphique
situation
mat4riaux
très
conclure
avec
de vitesse,
un incrément
&
petit
chapitre
VIII
.
5.
Il
Conclusion
nous
équations
semble
indispensable
(5)
(6)
et
que
vraisemblable
(7)
l’équation
qu'il
.
que
n'en
la
d’obtenir
incrémentale
si
la
loi
de même pour
seconde.
L’étude
renseignements
de la
loi
tenter
que
sont
de résoudre
des
des
est
solutions
avant
(5)
compl&te
de la
bifurcation
cruciaux
quant
Èr
des
(7)
Il
est
car
la
la
(dans
les
linéarisable
le
première
forme
puisque
en particulier
directionnellement
l'équation
rheo1Oqique
1’6quation
particuliers.
cas
rhéologique
apparaître
fasse
soit
des
n’en
de
cours
de l’essai)
est
plus
proposée
doit
de
la
générale
permettre
non-linéarité
matériaux.
Références
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
0
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
sur la propagation
des ondes et les équations
de
Hadamard
3. “Leçons
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Chambon R. 9 Renoud-Lias B., “Incremental
non linear
stress-strain
relation-
23û
-
.
chapitre
(12)
(13)
(14)
VIII
ship
for
soils
and integration
by F.E.M",
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~0’1
1,
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Kolymbas
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Wfurcation
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sand sample
with
non linear
constitutive
equation”
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1981.
Desrues
3. “Localisation
de la déformation
plastique
dans les matériaux
granulaires”)
Thése d’état;
Univ.
de Grenoble,
(à paraître).
-
231
-
3.
chapitre
IX
CHAPITRE
IX
APPLICATION
DU CRITEREELARGIA
iHHt~*~-wHHe~-"'-Y"****
LOI
UNE
NON LINEAIREHEURISTIQUE
W-*MJ
wiHHt***
Introduction
-1
IX
Le présent
l’analyse
de
concerne
une
chapitre
loi
non
linéaires”
zone
linéaire.
sorte
que
solution
linéaire
cependant
au
est
l’approche
double)
proposée
au
possible
de mener
classe
cependant
paragraphe
à terme
chapitre
au
les
lois
- 232 -
simplicité
comme
la
voie
choisi
“non
multi-
ne comporte
pas de
de
conduisant
à l’étude
de
analytique.
de
sa formulation
linéarisable,
parallèlement
par
dans
(approche
à la
un exemple,
L’exemple
qu’elle
VIII-3.3.1
calculs
VIII.
désignées
directionnellement
Grâce
sur
simple
; c’est-à-dire
envisagée,
VIII-4.
très
des
paragraphe
être
en oeuvre,
mise
définie
V II I-3.3
du
pourra
la
heuristique,
à la
paragraphe
Elle
objet
générale
bifurcation
appartenant
mais
a pour
telle
à une
synthétique
la
loi,
il
sera
En revanche,
chapitre
cette
loi
donné;
ne cherche
tel
montrer,
n’est
pas
de façon
cadre
le
cadre
comportement
tous
pour
à des
les
les
lois
résultats
calculs
nouveaux,
2.1
la
Il
plutôt
et
s’agit
à la
main,
au chapitre
pertinents,
La
avec
loi
envisagée
moyenne.
décrit
ici
C’est
une
un matériau
loi
définie
s- le
déviateur
de la
contrainte
e- le
déviateur
de la
vitesse
Q
s note
incompressible,
de la
-
la
dérivée
e
Il- II
la
norme
le
biais
d’un
de Jaumann
de eI 9 c’est
changement
simplifier
l’expression
à l’unité.
On a ainsi
(1)
façon
e
XII-II
s
-
de cauchy
u
de déformation
le
précédent
par
rapport
au
non sensible
suivante
:
(1)
D
I
=
:
(2)
v-=-
ij
ij
de contrainte,
d’unité
en choisissant
il
référence
une
est
telle
possible
que
P
de
soit
s’écrit
(3)
:
D .=
ii
contrainte
l’espace
moyenne
des
là
non
contraintes
pas
égal
:
v
-s=el’incompressibilité
à la
de s-
à dire
Ile[~
s’agit
que
loi
0
-s = r- e-
La
de
formulation.
contrainte
Par
granulaire
se font
linéaires
non
matériau
restreint.
IX - 2
et
d’un
ce chapitre.
dans
puisque
défini
effectivement
le
poursuivi
but
manifeste
élargi
d’étude
conduit
pas à modéliser
IX
d’une
n’intervenant
sera
surface
0
pas,
à génératrices
de charge
- 233 -
(4)
la
surface
parallèles
au sens
de
à la
plasticité
trissectrice.
de l%lastoplasticité,
dans
Il
mais
IX
chapitre
de la
surface
Etant
limite
donnée
la surface
Cette
borne
loi
(3),
la
le
domaine
est un cylindre
des états
préciser
on peut
par l’équation
définie
surface
qui
:
physiquement
la surface
de
accessibles.
plasticité.
Soit
1
2
=
Ii Il
x
(5)
circulaire,
de section
de
génératrices
paral-
1
lèles
à la trissectrice,
et de rayon -
dans
le
plan
déviatoire.
x
Montrons
borne les
états
un
Is tel
état
soit
s
si
rieur,
normale
a
la surface
négatif
vs est dirigée
-
correspond
limite
produit
le
est
surface
vers
(l’inté-
la
contient
surface
(5)
l’équation
signe
de la
qui
trice,
Soit
le
vitesse
l'intérieur
accessibles.
Calculons
dont
la
surface
que
vérifiée.
l.
que cette
trissec,
à
plan
déviatoire
1
W~
)
l
exprimant
En
la loi
(3),
on a:
s :S=e:s-
De (5)
pour un état
on déduit,
-
de contrainte
0
S:s=e:ç-
I
-
Le théorème de Schwartz sur les produits
d’où
il
vient
est
il
montré
s est dirigé
9 qui
loi
,s
s situé
2
sur la surface
:
II e II Il ,s Il
scalaires
dans
Rn indique
que
:
:
Ainsi
déviatoire
x II e II
-
admet
donc
égal à - 1
que
quelque
vers l'intérieur
de ce fait
pour
9
surface
est
bien
limite
soit
de (ou
IIe,
l
x
- 234 -
surface
taux
de
contrainte
à) la surface
tangent
la frontière
une
le
des
états
définie
accessibles.
de Von Mises,
de
La
rayon
chapitre
2.2
Non linéarité
La loi
la
envisagée
description
est
loi.
positivement
matériau
d’un
illustrer
peut
de la
IX
homogène
insensible
à la
d’ordre
1 (ce
vitesse
de
qui
correspond
sollicitation).
à
On
*
ceci en remarquant que la réponse à une déformation
e- = H e-
est :
si o( est
positif,
on a :
v*
Is
en
revanche,
La
si o( est
de la
1
la déformation
s-
sauf
diff&re
si
e
de la somme
et
e
2
sont
Ql
sII
Q
S
n’est
pas
lorsqu'on
se manifeste
=
1
e+e
I
V2
+ s-
colinéaires
2
-
1
e+e
w
2
-
Il
:
(et de même sens).
- 235
-
proportionnelle
envisage
0s
‘Q*
qui
loi
2
-e* =e+e
-
b(,
Q*
la réponse sII
négatif,
linéarité
non
=
S
-
la
v
à s- .
réponse
à
chapitre
IX
2.3
La loi
La loi
tangente
tangente
à une
loi
non
précédent
définie
au
chapitre
s'écrit,
en composantes
linéaire
est
qui
eij
constitue
-
'
La loi
étudiée
ici
(6)
llell
‘ij
linéarisation
une
au voisinage
de
par :
à dire
e
X
0
kl
ekl=ekl
:
s .=
iJ
d’où,
a été
direction
:
tangente,
définie
c'est
d’une
(paragraphe VIII-3.3.1).
zij =
La loi
au voisinage
x aU4
-1---cù ekl
a ekl
en développant
11 e\[ = vëiiëii-
s. .>
13
:
(avec
6 ‘0 symbole
1
(Di3--D 3i = 0) 9 suivi
en
déformation
depuis un état
plane
>
Kronecker)
(7)
ekl
la direction
suivant
contrainte
de
de
3
ij
un chemin
kl
ekl=ekl
0
Considérons
x e
0
nulle
jusqu'à
3
l'état
actuel
avec :
e
conditions
En
qui
vertu
0
11
satisfont
de
la loi
=D
0
0
0
=D
linéaire
non
préjuger
12
=D
0
12=0
(6) 9 on a à l’instant
11=-s 22=s
du taux de déformation e.
s
Sans
0
=-a,e
11
22
22
à l'incompressibilité.
=a,e
aux
s'écrit
:
exigences
dY.ncompressibilité
v
S
actuel
:
;s=o 12
et de la contrainte
lj
lement
(8)
et de déformation
11 = e11 - x Il e \\ s
s22 = e27 +N4
s12 = e 12
- 236 -
s
(9)
s.
Ij
plane),
(soumis seula
loi
(6)
chapitre
La loi
tangente
d'après
au voisinage
de la
poursuite
du chemin
IX
s'écrit,
antérieur
(7) et (8) :
A
tl
S=e
11
-
11
S
m-e--0 Ce 11-e 22 >
v-2
x
v
S=e
22
+
22
E12=
S
--m-w
- ( e11-e 22 1
v-2
(11)
e12
ou encore :
s12 =
Sous cette
forme,
celles
qui
définissent
étude
de
bifurcation
déformation
il
plane.
est intéressant
la
loi
incompressible
par les équations
h-=2
12
modules
sont
antérieure,
en
plane.
relations
Les
l'occurence
alors
spécifiées,
notre
à une
soumis
et
<54>
leur
dans
traction
à la
insensible
de
en
contrainte
(13)
D
12
instantanés
sur un chemin
dans
Hutchinson
obtenues
p *(Dll-D22)
2
entre ces modules
que
et
équations
:
Y
des modules
les
rectangulaire
911-a 22=
Les
par Hi11
envisagée
matériau,
rapprocher
de
pour un bloc
Le
est décrit
moyenne,
e12
qui
dépendent
d’extension
homogène
et les variables
loi
tangente
de
(12)
d’état
l'histoire
en déformation
ne
sont
relations
ces
pas
sont
explicites.
Par
matériau
à notre
comparaison
de Hi11
loi
et
équations
Hutchinson
non linéaire,
correspondances
des
(12)
et
(13),
correspond à celui
au voisinage
du chemin
suivantes:
- 237 -
on peut
décrit
explicité
observer
par la loi
plus
haut,
que
le
tangente
avec
les
chapitre
Notre
IX
loi
tangente
deux
comporte
constantes
trois
d’état
:
(13) n’en
comporte que deux,
fait,
mentionné
plus
d’état
ne
La
loi
tangente
à laloi(13),
des
pas
résultats
haut,
:
de l’unité
de
contrainte)
que
mais
cette
les relations
différence
entre
tient
pet
y*
simplement
au
et les variables
explicitées.
(12)
sur le
(définie
et nous reviendrons
de
sont
s .
La loi
sont
qui
p =1 (par changement
: x 9 et
et une variable
paramètres,
l’analyse
de
chemin
à cette
bifurcation.
- 238 -
envisagé)
comparaison
peut
lors
donc
être
de la
compar6e
discussion
chapitre
IX-3
La
Analyse de bifurcation
par
bifurcation
de déformation
chemin
e
La
bande
statique
et
de la
0
0
11 =a
,
e 22
une
de normale
n 9
cinématique
classiques
(k
déformation
au paragraphe
défini
introduit
localisation
de cisaillement
localisation
par
localisation
plane
IX
=-a
t
perte
est
précédent
e
0
12
que
par
sur
le
:
(15)
=O
d’homogénéité
telle
envisagée
sous
vérifiées
sont
forme
la
les
d’une
conditions
:
bij’
-
lj
0
n.
= 0
J
1
0
e..13 = e..1J + ---
( 9 i n.3 +
(16)
(17)
)
9jni
2
où les
indices
3e
ne
.
0
indiquent
reviens
pas
anterieurement
discuté
Explicitons
taux
le
de la
homogène
bien
) VI-5
s’écrire
peut
champ
sur
ici
(III-3
le
La contrainte
le
fondé
p contrainte
moyenne
contrainte
de Cauchy
et s- le
déviateur
lJ
suivant
13
v(7. . = 3.
1J
la
dérivation
conditions,
qui
a
été
bij
:
:
v
0
u. . = s..
et
de ces
t VIII-Z).
6
u. . = s.. + p
1J
13
avec
fondamental.
de
+ Wik
lj
Jaumann,
ij
de CT
- .
+ fi 6
(18)
ij
(19)
dkj + wjk”ik
où
w
-
est
la
vitesse
de
rotation
l
matérielle,
reliée
au taux
du gradient
w=
-
1/2
de déformation
( -; + F,
- 239
-
IF
par
:
(20)
IX
chapitre
Conformément
au
cadre
le
d’introduire,
convient
restriction
aucune
Le
plus
dans
sur
le
combinant
(6),
(HI),
les
$-
(19)
3.
et
=
e
localisé
ij
-
au
(16)
et
chapitre
(17),
la
précédent,
il
complète
sans
loi
e- .
correspondant
(20)
0
défini
conditions
champ
de contrainte
taux
général
au champ
homogène
s%crit,
e”
-
en
:
xleou
sij
+ p” ~ij
+ Bij
;kl
1J
avec
Compte
tenu
de (15),
on a :
0
Il - 1
e
d’où
finalement
.o
CT. . = eyj
-AaE
le
champ
localisé,
la
e
e
11
22
=
sij
+ pobij
avec
équation
On en déduit
donne
:
résultant
2
avec
A = 2a + 2a (gln1-g2n2)
Pour
le
+ g2”1)
= 0
de l’incompressibilité.
Ile
localisé,
(17)
(22)
(23)
(gp2
+ g2n2
:
champ
cinématique
;kl
= Oa + clp2
glnl
dernière
condition
+ Bij
a + ?y1
e 12 = v2
cette
v- 2
:
13
Pour
=a
22
+ glnl+
le
(24.1)
(1 = F
(24.2)
g2n2+
du gradient
taux
de déformation
devient,
par
la
0
condition
cinématique
exprimée
en F :
l
F
Pour
ce même champ,
(18),(19),(20>,(23>,(24),(25)
L’expression
ij
-F
-
.O
ij
+ g.n.
du taux
=
- 240 -
(2%
1 3
de contrainte
est
alors,
par
(6),
chapitre
0
&.
= e..
+
1J
lj
n.
i 3
En reportant
les
(7) 9 on obtient
133
.n .n.
A
s. . par
13
9
(9)
K)
sijnj
on a ainsi
deux
g2nli2)
+hGE
9 2 9 2-
s (g2y-y
gln1n2)
+LE-YA)
nl
/
n
= cotg
donne
x
; gl
en outre
la
(26)
+ gknl)
condition
cinématique
5 13
. .n 3.+ Bijgknlnj
= 0 (27)
dans
lesquelles
on
+ &
nl
= 0
(28)
Ap n2
= o
(2%
+ <p-i”)
équations,
0
kl
peut
-VT)
s nl
s n2 +
= g
(23.4),
exprime
qui
llincompressibilité,
on a :
g (92-
s> +X(aE
- VA ) s cos~
+4p
cos~(
= o
(31.1)
( 1/2+
s) - A(aE
- K
+ Ap
sinM
= o
(31.1)
Ab,
éliminer
multipliant
&? dans la
xi
= 1,2 )
(F
2
en utilisant
Pour
iJ .+ B ij
:
s (91”2”2-
- g cotgM
première
opérons
par
) s sinti
d’abord
une
et
sind
la
combinaison
par
seconde
des
COS~
deux
équations;
y leur
en
soustraction
:
Cette
triviale
de façon
(d’après
localisation
(32)
l’équation
et
une
nécessaire
condition
lorsque
g est
donc
possible
nul;
de localisation;
en effet
elle
on a alors
VA=
est
aE
24.2).
Une
triviale
exprime
équation
vérifiée
99
x(aw-
5
13
5 2 9 1-
En posant
et
(27)
AU A s. .+p
de &.
et
lj
( i,j,k,l
:
de
expliciter
-
expressions
+ g 3.n.n1 3.) +
partir
+ gjni)
IX
qu’il
n’est
est
est
vérifiée.
donc
pas
Mais
il
faut
d’expliciter
possible
g.
-
241 -
si
il
existe
remarquer
g
que
directement
et
A
est
la
o(
tels
fonction
solution
que
de
non
chapitre
IX
En effet,
on peut
transformer
(24.2)
en
2
A = 2a + 4ag
mais
il
n’est
Il
est
solution
pas
possible
possible
telle
en
que
2
/2
perte
’
/sin20(
le radical
de
(33)
fi
généralité,
.
de
rechercher
une
:
avec la restriction
(l+b)
(34)
l12°\\
:
l+b
>/ 0
d'autres
termes,
sur une boule
de
dans
1
d'éliminer
sans
Ilel~=
En
+
COSo(
général
revanche,
en
:
(35)
recherche
on
rayon (l+b)
Fhyperespace
boule
e
11 Ie”I\
de
rayon
(
l+b)
e”
-
des vitesses
de
n+-gmn)
déformation
contre).
est
de
différence
déviatoire
L'intérêt
d’un
permettre
tel
cichoix
d'expliciter
E-aVT:
(par 15 et 24.1)
(figure
la
on a en effet
:
/
d’ou
espace
des
-e
par (34) :
l’équation
(32)
s'écrit
alors
:
3
d’où
g :
(36)
- 242 -
chapitre
La condition
il
une
par
générale
de localisation
orientationw
telle
:
avec
g vecteur
Cette
soit
0
e=e
par
spécifié
d*incompressibilité
(34)
que
donne
la
(33)
:
élever
peut
de g 9 et
La substitution
suivante
:
déviatoire
“existe-t-
e
définie
n + mg>
g, = g donnée
par
préalable
condition
en reportant
(36)
dans
(36),
et
(34)
?IV
(34)
via
l’équation
(33)
:
ar
2a 2 + 4ag COS% + 9
au carré
la
de déformation
(se
vérifie
YA = (l+b)
9 par
qu’on
vitesse
+ l/*
s’expliciter
peut
maintenant
sa composante
(23.4),
équation
la
est
IX
puisque
2
>/ 0
l+b
2
2 9 sind,
l’introduction
(d’après
de la
afi
35).
variable
t telle
que
:
2
1-t
COS 20(
= (l+b)
=
(37.1)
1 + t2
c’est
à dire
permet
t = tgu
dlaboutir
finalement
b2 ( 16s2k!
t2 ( l+t2)
t2(l+t2+2s(l-t’))
3.2
cinématique
spécifiée
s’assortit
Ainsi,
h :
- 2(l+t2)(l+t2+2s(l-t2))2)
+ b ( 16sxy2
Discussion
L’équation
(3,4),
d’une
E la
localisation
et
enfin
condition
localisation
- 4( l+t’+Zs(
résumé,
en
en bande
d’un
1-t’))
générale
de l’équation
résulte,
(38)
de
(37.2)
des
de cisaillement
mode
d’expression
(l+t’))
= 0
\ (38)
(38).
conditions
(16)
de la
statique
et
(17),
solution
de
et
la
(34),
(35).
est
possible
- 243
pour
-
les
valeurs
de b qui
vérifient
loi
qui
chapitre
IX
l'équation
(38) et
l'inéquation
(35);
lorsque
c'est
le
cas,
g est
donné
par (36).
Discutons
maintenant
cette
équation
. On peut l'écrire
sous la forme plus
ramassée :
d'où
qui admet pour solutions
b=O
n
b = - -mm
r
Ainsi,
l'équation
vérifie
solution
sol.
triviale
sol.
non triviale
la condition
correspond
à l'absence
C'est
tionnelle
elle
qu'on obtient
On trouve
chapitre
ici
cette
non linéaire
solution,
cette
homogène, négligeable
aussi conviendra-t-il
conduisant
de la discuter.
- 244 -
direc-
à une solution
%olution
(35)
n'est
opérane soit
devant celui-
du paragraphe
à l'annulation
condition
solution
qu'un g nul (par
que le champ localisé
des conclusions
correspond
la
là d'une véritable
du chemin non localisé,
de la condition
sera désignée comme la
Pour
solution
le terme en
si on opère une linéarisation
solution
(40).
Cette
par (36) à g = 0. Cette
est de n'admettre
: "Approches
générale
conduit
s'agit
intitulé
la solution
générale.
b = 0 (41.1).
au voisinage
la confirmation
Enfin
solution
double b = 0 lorsque
Il
du champ (incrémental)
VIII,
la suite,
(41.2).
la solution
qu'une perturbation
b f 0
(41)
de localisation.
admet une solution
assortie
double si n = 0
(35), et elle
la particularité
d'une loi
b = 0
triviale
dont
nécessairement
vérifiée,
(40)
de b dans (38) s'annulle
(36)).
ci.
b(rb + n) = 0
:
évidemment
de localisation,
tion
(39)
admet une solution
En second lieu,
facteur
2
rb + nb = 0
3.3.1 du
double".
Dans
tangent&
du terme
rbtn
dans
pas nécessairement
chapitre
La solution
double b = 0, ou encore solution
16sxv2
c'est
à dire
t2(1+t2+2s(l-t
deux possibilités
ce
t
2
facteur
2 infini
s'annulle,
s = 1
pour
t
soit
le second slannulle,
le discriminant
c'est
à dire
positif,
n'est
à dire
= 0
:
possible
de ce trinôme
s'écrit
que si
:
:
:
- 2t2(2s\vz
A = 4s
s'annulle
c'est
, d'où une orientation
t4(1-2s)
-1) + 1+2s
(45)
= 0
:
((1+2x2)s
(46)
-ki)
pour
et
de
:
:
nécessairement
étant
avec
il
lorsque
2 )> - 4(1+t 2+2s(l-t 22)> (l+t 2 > = 0
( 16sx\12 t2 - 4(l+t2+2s(l-t2))(l+t2))
existent
le premier
qui,
apparaît
:
(l+t2+2s(l-t2))
soit
tangente,
IX
plus,
il
être vérifiée
La première
pour la valeur
(47.2)
pour
est négatif
entre ces valeurs.
entre ces valeurs
racine
s
0
réelle,
en
de s (elle
(45) ne peut donc pas
2
n'a pas de racine réelle en t ).
dehors de l'état
L'équation
isotrope
s=O t
est rencontrée
:
(48)
-
245 -
chapitre
IX
Les
racines
l'orientation
2
en
t obtenues
t 2= tg 2o( est réelle,
par
définie
à une
ne correspondent
bifurcation
c'est
à
dire
si
que
si
t2
est
positif.
Le
signe
produit
Le
si
de l’équation
et de la somme des racines
résultat
---
racines
des
est le suivant
x 1
< -911.9
v-2
avec
pas
2 racines
négatives
1
/VE
positive,
1 négative
-ic-ji
aisément
que
est
set
=
le déviateur
1
/2
1
< s < ----Eh
xv-2
= 111199.11111
critique
pour la
bifurcation
.
Ml-2
-----11-1+2 A2
<s<
1+2x2
set
racine
de
1 racine
2
1---11---
d’où
partir
:
< s <
0
N--
à
1
conclut
x <
être étudié
:
1
-19
2
On
peut
:
O<s<
1
-91
2
(45)
pas
1
< 1-1
2
de
racine
2 racines
pour
1+2x2
- 246 -
positives
tangente
du
chapitre
On notera
du premier
l'annulation
tardive
1
s = /2 ) équation
en outre que la solution
(si X > l/E
plus critiques
facteur,
> .
(pour
la
Les valeurs
loi
coïncide
avec s
obtenues pour set
tangente)
La solution
La solution
soit
(43),
ct
IX
correspond
soit
'
sont donc
à
est
plus
bien
les
.
générale.
générale s'écrit,
d'après
16slEt2(l+t2+2s(l-t2))
(41) :
- 4(l+t2+2s(l-t2))2(l+t2)
(49)
Comme mentionné
vérifie,
en outre,
plus
haut,
la condition
cette
solution
premier
membre de cette
qu'on notera
acceptable
que
si
elle
de
t
(35) :
b+l
Le
n'est
inéquation
3 0
est une fraction
rationnelle
2
:
Etudions
le
générale
vérifie
signe de Q(t2),
la condition
pour mettre
préalable
en évidence les cas où la
(35).
- 247 -
solution
)
IX
chapitre
2
N(t
) est
t
+
t
+
t
6
4
2
un polynôme
est
envisagé).
X
6 - 8s(2Eh+l)
+ 8s2(2
h2+4v&1)
X
6 - 8s(2y2x-1)
+ 8s2(2
i2-4v?
positif
:
chemin
N(t2)
= 0,
soit
pour
x
Q(t2)
aura
donc
(34),
entrafne
(52)
pour
lieu
0
e..
13
glnl
Réintroduisons
qui
;
M et
+ 1/2
et,
(57)
en reportant
g
g2n2
g tels
que
,-- a
et
=
0
+
g.n.>
par
g f 0 :
sur
à
un
-a
(57.3)
(30)
(55)
0
=
de (56)
(9 p2
+ g2n1)
2
- 248 -
= 0
(57)
(58)
(59)
/ COS cq
= 0
:
:
:
COS 2 q
(56)
9 2 = - g cotg0(
9
9=
g2 dans
li2
2
si
de signe
passage
(54)
(sin
O( - COS M)
9 ---------1----~~~~~
sin W
d’où,
changement
par
=O
;
définis
:
1
que
de S,
(52)
(9 .n.
91 = 9
on a donc Y par
se produire
continues
= 0
1 3
3 1
eo> on a à partir
définit
= -a
fonctions
du chemin
:
e
(15)
des
au début
:
et donc
En utilisant
) sont
à dire
Le premier
= 0.
e
Il -II
d’où
2
ne peuvent
b+l
sachant
:
h-1)
s=O (c’est
de N(i
du polyname
d’où
à s croissant
11 s’écrit
l
(51)
coefficients
de signe
2
2
quelque
Comme les
changements
zéro
en t
2(1-2s)2
2( 1+2s)
Il
degré
X
+
les
du troisième
- 0
chapitre
ce qui
entraîne
Ainsi,
on a :
En
reportant
sur
s :
-ii-
*--
b(
IX
Tr
-+k4
(60)
2
9 = - a2v(60)
et
(61)
dans
(53),
(61)
il
est
possible
d’obtenir
une
condition
1
(62)
s=V?x
En
rappelant
l'expression
la surface
de
limite
(5) :
1
s =II - II
x
et
les
notations
adoptées
en (9)
s
on
voit
que
En
de
c'est
:
à dire
q
22
contraintes
des
conclusion,
1Yntervalle
=-s
s
exprime précisement,
(62)
représentatif
point
11
:
N(t
variation
2
s
12
=o
pour le chemin
sur la surface
) ne peut
des
;
il
du
limite.
changer de signe
contraintes,
l'arrivée
envisagé,
qu’à
l'état
garde le signe
limite;
qu’il
dans
a pour ~0,
1
N(t’)
> 0
Y s
0 9-
(6%
va
***
3.4.2
Signe
de D (t’)
D(t 2 ) est le produit
(1+t2) ) toujours
Négatif
Dans
quelque
ce
cas,
2 t
d’un
trinôme
du second
positif
. Le
trinôme
s'écrit
4
2
(1-2s)
2
soit
D(t
t
2
- 4 t
pour x0,
2
2
(1-4s
il
degré en t 2 par le facteur
:
22
- 4s X)
admet
des
- 2 (l+2s)2
racines
sssg=
Y-L&) est
positif
pour les valeurs
- 249
-
de
en
(64)
t 2 pour :
(6%
t 2 comprises
entre
les
chapitre
IX
racines
(dont
La racine
il
double
D’après
que
Q(t
existe
reste
2
valeurs
des
lorsque
positif
par
donnée
rhultats
(66)
de contrainte
supérieur
telle
que Q(t
générale
solution
supérieur
A
à
partir
possible,
à
Il
convient
La somme et
le
la
que
produit
des
s = s
infini;
pour
donc
localisation
s est
cl
Q(t
que
que
le
racines
l’une
Ce signe
est
donc
positif
à s
; il
2 ) soit
que
Q(t
existe
une
valeur
) est
la
de t
lorsque
nul
bifurcation
l’état
suivant
lorsque
que
signe
la
la
s est
des
par
racines
générale
solution
des racines
au moins
définie
sont
t soit
du trinôme
en
t
est
2
soit
réelle.
(64).
:
et
> 0
sont
inférieur
conclu
telles
vérifiée
x2,
S=-
(1-2s)2
(1-2s)2
racines
2
être
peut
9
l-4s2(l+
P =
Les
2
9 il
suivant
2
(l+Zs)
il
de t
enfin
l’orientation
d’étudier
donc
; pour
n’est
toutefois
sorte
D(t’),
(65).
valeur,
condition
de telle
positive,
par
et
lorsque
nécessaire
acceptable)
défini
9
de cette
N(t2)
positives)
g
).
limite.
(condition
soit
s
surface
la
(35)
) est
positives
t2
est
9
pour
à s
2
sont
orientation
toute
s est
L’inégalité
s = s
nécessairement
(non
atteint
elles
obtenus
pour
négatif
si
pour
obtenue
les
) est
à discuter
toutes
si
deux
de même signe,
celui
de la
somme
.
:
1
(67)
s>
et
négatif
dans
le
cas
2vz
contraire.
- 250 -
2
chapitre
On montre
aiséme nt
que
:
1
1
----------
il
Le déviateur
est
cla
ir que s’ il
cri tique
=
Vx2+
2 v 1+x
Ainsi
IX
exis t
pour la bi f
racines,
9
el les
générale
ion
(68)
S
est
sont
donc
positives.
:
1
=
S
cg
v2(
- 251 -
(69)
chapitre
IX
3.5
Bifurcation
Il
reste
tangente
à
respectivement
examiner,
ou bifurcation
générale ?
à partir
déviateurs
des
dans le cas correspondant
cas général,
laquelle
à la bifurcation
des deux configurations
donne lieu
critiques
obtenus
tangente
et dans le
à la bifurcation
la
plus précoce.
---
si x
1
à --Y2
est inférieur
9 il
1
,
s
Il
s
2
est clair
w-e
1
avec
=-,,
ct
x
si
s
ct
=
cg
V2(
qu’on a toujours
s
< s
cg
dans ce cas.
ct
1
est supérieur
à --y2
Xv-2
=
9 les valeurs
s
1+2x2
cg
vrai
non
précoce
bifurcation
vx
est inférieur
puisque
Conclusion
localisation
sont respectivement
=
cg
ce qui est toujours
critiques
1
et
On peut montrer que s
loi
faut comparer :
dans
:
à s ct tant
que x est supérieur
1
x est supérieur à ‘VT
l
LVtude
de
le cadre gcénéral donne
linéaire
envisagée,
dans
les cas que luétude
tous
dite
bifurcation
YangenteB*
a une
l
- 252 -
lieu,
bifurcation
restreinte
par
pour la
plus
à la
à
1
/2 ,
:
chapitre
Comparaison
On a vu,
linéaire
Hutchinson
coefficients.
La
Hi11
<
di vers
modes
chemins
la
loi
tangente
coïncide
les
notre
avec
coefficient
qu’elle
à la
non
étudiée
par
(14)
entre
*
les
homologue
de
n’est
précisée
chez
générale,
qui
pas
de
Deux
cas
supérieur
sont
diffus
et
frontière*des
localisé
régimes
est
Les
alors
et
P
la
le
<54>
t
premier
mode
deux
citée,
annexe
4.3
la
alors
simultanés.
Dans
et
hyperbolique
qui
sur
compte
tenu
des
que
bifurcation
lg
est
2
E/P
2
*
?
‘P
survient
second
cas,
rencontrée;
est
par
parabolique;
les
c’est
le
la
mode
priviligié.
critiques
être
peuvent
comparés
à nos
résultats
Y/ r
supérieur
a pour
équation
à 1.
(notations
pour
la
HH)
:
(HH4.8)
Y
tenu
la
porte
suivant
au régime
et
études
AII.
p262),
cas,
analyse,
:
--Cas 1 :
l’interface
son
(notamment,
notre
ces
référence
la
bifurcation
dans
entre
de l’équation
sont
très
de
étudié
dans
le
elliptique
déviateurs
tangente
ailleurs
Dans
elliptique
chemin
de
(cf
à 1.
du régime
localisé
4.4
par
modes
comparaison
distingués,
ou inférieur
passage
le
la
développées
divers
que
on considère
l’équation
de bifurcation
analyse
bien
localisation,
discussion
Compte
loi
loi
la
correspondances
alors
à une
aussi
Si
par
considérations
loi
avec
explicite,
procèdent
diffus).
bifurcation
modes
Hutchinson.
explicite
tangente
entre
est
et
Hutchinson.
couvre
la
loi
>,
relation
Ces auteurs
des
qui
cette
54
déviatoire
et
de Hi11
IX-Z.3
que
ici,
et
contrainte
l’analyse
au paragraphe
étudiée
Hi11
avec
IX
des
correspondances
(14),
l’interface
- 253 -
E/P
de l’équation
de Hi11
et
chapitre
IX
est
Hutchinson
donc
rencontrée,
nos
pour
notations,
le
déviateur
critique:
et
la
2
condition
*
conduit
r/
1
s=
/2
(70)
à :
r
(71)
*
--Cas 2
:
2P /
rencontré
l’interface
inférieur
P
est
à 1.
l’interface
(notations
E/H,
d’équation
HH)
:
(HH4.9)
dans
nos
notations,
ceci
conduit
à :
S
sous
la
Les
relations
la
loi
(70)
(381.
loi
Ainsi
chapitre
à notre
VIII
loi
se trouvent
et
le
mis
non
(14)
linéaire,
principe
en oeuvre
la
pour
double
les
fois
de l’élargissement
la
-
et
par
Hutchinson
étudiée
par
ces
parfaitement
bifurcation
b=O de Péquation
résultats
du cadre
ici.
- 254
loi
coïncident
1X-3.3
à la
de Hi11
entre
à la solution
confirmés
(73)
de l’analyse
paragraphe
au
correspondant
et
choisie,
déduites
de correspondance
obtenues
comme
(72)
x > 1‘E
à (73),
tangente
prévisions
définie
:
relations
simples
et
condition
=
de l’analyse
théorique,
les
auteurs
avec
les
"tangente",
générale
pour
proposé
la
au
chapitre
3.7
Influence
Le principe
lois
des
de la
loi
rotation.
de
d'objectivité
grandeur
de
L’importance
l'ordre
dérivée
la dérivée
de ces
On a adopté
de Jaumann
(19),
termes
totale
contrainte
de la surface
ici,
des
termes
par la vitesse
contrainte
de
par rapport
ils
l'écriture
dans
introduit
qui
au taux
limite,
l'écriture
dans
multipliée
par rapport
de la
approche
en compte,
objective.
la contrainte
de
grandeur relatif
de
lorsqu'on
actuel;
impose de prendre
une
l),
(équation
l'ordre
de
termes corotationnels.
des
rhéologiques,
IX
au module
peuvent
jouer
de
dépend
tangent
un rôle
significatif.
Dans
première
les
analyses
. Il
auxquels
qui a été présentée
aboutirait
aurait
dans
équations
(31)
par
et
L*
g/2
intéressant
est
on
On
on convient
expression
tient
si on les
ce cas
B
les negliger
en
de g
= 0 dans
9 (36) deviendrait
g par cette
bifurcation
k2s2
correspond
valeur
sin22
u
les
ces termes sans
de
équations
1
g( /2-s)
préciser
restriction
les
résultats
(22),
et -g cotg0((
(26),
1
/2+s)
et
(27);
les
remplacés
:
dans
-2)
sin
(34)
2O( costi
via
+ b (4 ~SE
à l’annulation
LE
a dire
de
-9/2 cotgb(.
remplacant
c'est
de
négligeait.
ij
les termes
verraient
b2(4
La
compte
9 pour comparaison,
9 = 4ksbaE
En
souvent
approximation.
L'analyse
aucune
bifurcation,
de
(33),
sin22
du coefficient
sin2
20(
:
-1
= 0
(74)
on a l’homologue
M -4)
= 0
de (38):
(75)
de b :
(76)
(77)
- 255 -
chapitre
IX
La valeur
=
o(
-ii
w-1
minimale
de cette
alors
; on a
contrainte
critique
déviatoire
est obtenue
pour
:
4
1
(78)
c'est
à dire
La
la valeur
bifurcation
de s qui
générale
la surface
définit
est obtenue
limite.
pour :
(79)
4x 22s sin 22*
On doit
alors
vérifier
la
condition
(35)
b+l
s'écrit
ce qui
-
2
:
a 0
:
030)
Le
numérateur est positif
discriminant
est
en
positif
ou nul
Or 9
Il
qu'il
-ii-
0 pour Q( = --4
Cette racine
quant
sin22
y avoir
ne peut
n’a
de
racine
que
si
le
o( (sin22
qu’une
*
-1)
racine
correspondant
double,
à
.
1
s = 11------1--~~~
xv- 2 sin2 M
est :
Le dénominateur,
il
:
A=8x2
est donc clair
A=
dehors de ses racines;
à lui,
est
négatif
1
= -----xv-
2
pour tout
s inférieur
à :
1
ainsi,
on
peut
conclure
dehors
du
cas
où
apparaît
que
la
II
o( vaut -40
pour ces valeurs
condition
et s
(79)
vaut
ne
1
-III-xr 2
saurait
;
être satisfaite
l'indétermination
est levée en remarquant que pour sin2w
- 256 -
=
en
qui
1,
chapitre
-VTl2
<2xs
l’équation
(80)
s’écrit
:
IX
z
4x 22
s -2
0
2x s-2 r
ou encore
:
2x
3
+2
S
O
1
d’où
enfin
s&
:
de
de
contrainte,
dérivée
l'approche
critère
la
tangente
de
de
IX-4
dérivation
la
développements
llintérêt
évidence
chapitre
VIII,
ici
à une
qui
solution
outre
en
l'importance
de
choisie
linéaire.
terme de laquelle
considérer
à la
coïncide
l’analyse
exposés
ont
la
pour
unique
fois
dans
dans
avec
le
qualitative
et
bifurcation.
de
en
effet,
rencontrée
n’est
pas
tangente,
On peut
par l’analyse
mais
préciser
au
(le dénominateur
problème
le mathiau
Ceci confirme
la réflexion
il
apparaissait
de
mettre
de la bifurcation
pour décrire
contraire
sur l’exemple
celle
comme
réel
en
par
est
une
présentée
nécessaire,
relève
correspond,
en
au
pour de
- 257 -
la première
restreinte
générale.
remarquant
Ce cas
que
à l’analyse
de l’analyse
en l'occurence,
de b sannulle).
considéré,
correspond
qui
encore ce résultat
générale
du
permis
le problème dans sa généralité.
a pu constater
bifurcation
d'être
synthétique
loi
la
non
au
lois,
On
infinis
voit
viennent
de l’étude
incrémentalement
loi
générale,
corotationnelle
qui
lorsque
localisation,
telles
ainsi
corotationnels
Conclusion
Les
la
On
les termes
aboutit
l'approche
et
(81)
NI- 2
en compte
on
plasticité.
quantitative
loi
prendre
En négligeant
-
que
au cas
spécifique
la
solution
où b et
est
donc
celui
obtenue
g sont
envisagé
à
chapitre
au
IX
paragraphe
gène
rigide.
linéaire
qu’on
C'est
<62>. Il
le plus
critique
ne peut
loi
qui
priori
les
dl
“approche
a été
que
ce
lois
de ce
type;
considérer
comme
suffisante
pour sa loi
non
est nécessairement
cas
mais
homo-
a un comportement
par Kolymbas
faite
conclure
de
linéaire
non
en dehors de la bande
prématuré
pour toutes
résultats
restreinte
une loi
à la
présentés
loi
a pu,
par
additionnels
de
corotationnelle;
plus tardives,
Il
du moins
prouvé
est-il
restreinte
l’analyse
à
vitesse
en
les
pas
incrémentalement
multi-linéarité
pement,
en
posé
le
mettre
de
résultats
coïncide
en
de Hi11
avec
et
on obtient
1Ynfluence
des
pour
tangente.
résultent
qui
pour l’étude
Hutchinson
notre loi
évidence
contrainte
non
mon
linéaires
On
de
termes
des
de
prévisions
discuter
ce cadre,
que,
et que,
guère d’avantages
d'établir
la
pour la description
remarquera simplement
dans
n'offre
propos
regard de la non-linéarité
importait
il
qui
négligeant,
dans
granulaires.
proposées s'inscrivent
formelle
ailleurs,
les
par la comparaison,
la
dérivation
de bifurcation
et indifférenciées.
n'entre
matériaux
avec
linéaire
la
corroborés
sont
tangente,
incrémentalement
On
être
l'approche
a
désignation
matériau
serait
pas
la
tangente.
Les
la
sous
p our lequelle
en g”,
quasi
la
VIII-3.3.2,
hormis
du point
complète.
clairement
problème de la bifurcation
dans
du
de plus
des lois
comportement
en plus,
la bi-linéarité
de vue
de la
contexte
lois
simple,
simplicité
ce
quel
cadre théorique
de
des
les
Dans
par localisation
- 258 -
pertinence
de dévelop-
devait
la déformation.
Conclusion
CONCLUSION GENERALE
*******************
La localisation
phénomène
passionnant.
terrain,
comme
milieux
Les
à ce
certain
chercheur
et
méthodes
jusque
dans
du matériau.
ment
localisation
de rendre
mettre
compte
des
des
travaux
solides.
études
en effet,
le
fait
perte
d’unicité
de
la
la
ont
souligné
non-propagation
capital
locale
de vue
des
pas
la
d’un
que
d’une
que
onde
mécanique
des
ont
fait
une
rupture
un
sols
de
raffinés,
par
ondes
liens
avec
un cadre
de ce
sur
mémoire,
ce sujet
la
par
d’accélération
limites.
n’est
et
de
filiation
localisation
rapport
dans
elle
être
la
nombreux
en plus
partie
élémentaire
d’accélération)
pour
d’étude
de plus
doit
la
comporte-
le
historique;
aux
de
de laboratoire,
en particulier
d?ntérêt
problème
- 259 -
le
persistante
développés
localisation
l’instabilité
sur
surface
première
On retiendra
que
solution
fait
la
de bifurcation
n’est
le
ses
des travaux
propagation
perspective
valeur
Mandel,
points
actuelles
la
sur
offre
dans
rencontre
des
de
en plus
et
et
un
de la
l’occurence
bifurcation
a tenté,
liens.
concernant
Cette
de plus
de la
différents
leurs
évidence
concept
sa nature,
est
la
mécanique
Mais
de cisaillement
approche.On
historique
aux
sur
à cette
en
essais,
La théorie
en bande
trait
ont
les
à s’interroger
conduit
le
de calcul.
qui
granulaires
de matériau.
de la
sur
fondant
milieux
l’application
B ce type
historiques
les
praticien,
dans
rhéologie
en
de
dans
le
investi
de la
phénomène,
nombre
déformation
interroge
Elle
développements
localisation
ont
le
continus
part
de la
vue
Hi11
les
met
en
comme
une
ainsi
que
(caractérisée
pas une
condition
par
Conclusion
suffisante
de
élémentaire
être
l’instabilité
rapport
par
vue
globale.
comme
un
à l’apparition
très
cas
maintenant
d’une
particulier
inconsidéremment
étendues
L’étude
bande
dont
à un problème
classique
de
les
du problème
cisaillement
conclusions
hétérogène
doit
donc
être
ne peuvent
(calcul
d’ouvrage
a porté
sur
par
exemple).
expérimentale
L’étude
élémentaire,
mesure
dans
été
l’essai
un
point
compte
de
cisaillement
qui
de
alors
se propage
résulte
dans
les
L’interprétation
d’un
déformation,
permet
sation;
il
d’expériences
soit
par
zones
la
les
une
divers
dont
immédiat
sur
flexibles.
dans
de contrôle;
la
il
à partir
naissance
importante
dilatance
de
localisation
de ce point.
frontières
moyens
de la
se réfléchir
peut
de méthodes
voisinage
à partir
essai
d’un
d’une
La bande
de
les
frontières
Les
variations
les
bandes
compacité
a
tend
de
vers
localisées.
dilatance
comme
adoucissement
qui
d’avancer
une
dans
facteur
explication
des
l’écrouissage
physique
ces
conditions
du matériau,
d’endommagement
concurrencer
vient
de confronter
cependant
menées
telles
du phénomène
conceptions
le
que
à la
de locali-
résultats
aux
matériau
granulaire
contractant.
En dépit
l’analyse
l’essai
lois
sur
montrent
conviendra
droite
en ligne
s’amortit
de
responsable
prend
au
un
observations
Les
localisation
de ce mécanisme
confirmée
limite
la
naissance
perturbé.
préférentiellement
qu’elle
cisaillement,
une
que
au moyen
à la
ou délibérément
enregistrées
volume
intéressé,
stéréophotogrammétrie,
l’échantillon,
et
localisation
On s’est
établissent
perturbation
rigides
la
“parfait?
essai
rendu
biaxial.
sur
fondées
la
de
classique
élémentaire
de
comportement.
des
réserves
énoncées
à des
problèmes
supposé
parfait
Le
cadre
plus
haut
hétérogènes,
est
d’un
classique,
- 260 -
concernant
cette
intérêt
cependant,
l’application
analyse
certain
appliquée
pour
n’est
pas
l’étude
adapté
de
à
des
à
Conclusion
l’étude
des
lois
s’accompagne
d’une
explicité,
le
incrémentalement
linéarisation,
au chapitre
problème
étude
pour
linéarisation
par
après
A l’évidence,
dans
est
le
la
de compréhension
lois
linéaires
général
sation.
un
leur
par
par
étude
conduire
faudrait
à des
ailleurs,
talement
ici.
alors
d’unicité
de
dynamique
s’avérer
être
le
et
domaine
la
l’application
On a
doit
être
posé
pour
bifurcation,
solution
dans
à des
vaste
progrès
déformation
La
poursuite
tel
et
à la
une
une
loi
non
obtenue
par
précoce,
plus
dans
les
a été
plus
difficile
aux
problèmes
d’ondes
de terrain.
---ooooooooo---
- 261 -
limites.
au bout
l’expérimentation
de
nouveaux
dans
dans
le
le
domaine
prévisions
des
cadre
de
de la
en évidence
de
expérimen-
élémentaire,
de l’étude
pour
de stabilité
et
retour
à l’analyse
d’accélération
pourrait
Le
de laquelle
la
locali-
théoriquement
compte
mis
milieux
développement
au problème
limitée
démarche,
cette
; le
à rendre
propagation
la
de
les
localisation
fois
qu’il
dans
apporter
à la
et
problème
d’un
de
la
rapport
de l’analyse
plus
à l’étude
fructueuse
loi.
bifurcation
devrait
parvenir
du phénomène
dans
la
du phénomène
élémentaire
propagatoire
On sort
clos.
physique
l’aspect
entrer
que
qu’il
pertinence,
effectuée
d’une
de
sujet
la
du comportement
Il
montrent
la
tant
de la
lequel
montrer
a été
contractants
sur
et
devraient
modélisation
dans
d’en
l’apparition
matériaux
de
éléments
non
cadre
localisation
d’être
loin
domaine
moins
générale.
l’analyse
granulaires
général
Afin
résultats
du
ou implicite,
plus
le
selon
les
survient
cadre
linéaire.
non
complète
heuristique;
obtenue
le
loi
linéaires,
explicite
VIII,
une
analytique
linéaire
non
se trouve
peut
- 262
-
Annexe
ANNEXE
******
Courbes
rapport
de contrainte
( Essais
biaxiaux
- déformation
)
- 263 -
Annexe
Ces
courbes
axiale
en
r6sulter-k
fonction
(généralement
après essai
lons
la tête
géométries
donc
n’ont
de sens
dans
pour laquelle
localisation
de cette
Les
en
noter
que
si
reportée
courbes
force
1Vchantillon
effectuées
pourtant
forme,
que
à préférer)
tendance
effectués
plutôt
sur des échantil-
de
ils
cas
d’exploitation
(contraintes,
déformaIl
courbes pour des essais
la
localisation.
tracées
souligner
sur les courbes sont
indiquent
les
présentés
sont
à quel
positive
moment
conventions
de signe
axiale,
notée &l,
des
essais
sur les courbes est la valeur
et
sont
de
les
trop de l’homogénéité.
pas
en évidence
l'esprit
tous
calculées
telles
ici
dans
conçus,
la raison
C’est
en
y a
après
pointillé
le coté purement
la
indicatif
diagramme.
de
notera enfin
(contactance)
de
globales
données
dans
- Pour la déformation
long
comme
on ne sWoigne
mettre
but
numéros portés
essais
de
sous cette
les essais
que,
grandeurs
- Pour la déformation
les
j'aurais
(que
les
complète,
cours d’essai;
On
le
les
portion
mobile
de
stéréophotogrammétrique.
expérimentaux
paradoxe à présenter
un petit
précisément,
résultats
on doit
élémentaire,
tions)
d’excédent
différentes.
En revanche,
d’essai
tête
à l’exploitation
rendre comparables
de
la
mesures
et des mesures planimétriques
destinés
des
des
de
supérieure),
mesures brutes
des
l'avantage
de
l’exploitation
déplacement
sur les clichés
sous celle
offre
du
présentation
La
de
volumique,
dans
le
de
les
numéros des clichés
ces
clichés
adoptées
il
n’y
a pas
raccourcissement
est
donnée
cas contraire
ce mémoire.
- 264 -
été pris.
:
absolue de cette
elle
ont
réalisés
d’ambiguité
axial;
puisque
la grandeur
déformation.
négative
(dilatance),
en compression
comme
tout
au
tous
A-l
A-2
>
l cd
1
w”
d
-t\
1
30
.
\
0
i3
.
0
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