1227809

Transport d’une solution saline en cellule de Hele-Shaw Expériences et simulations numériques
Christophe Felder
To cite this version:
Christophe Felder. Transport d’une solution saline en cellule de Hele-Shaw - Expériences et simulations
numériques. Dynamique des Fluides [physics.flu-dyn]. Institut National Polytechnique de Lorraine INPL, 2003. Français. �tel-00006120�
HAL Id: tel-00006120
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00006120
Submitted on 18 May 2004
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INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE LORRAINE
Ecole Nationale Supérieure de Géologie de Nancy
LAboratoire Environnement, Géomécanique & Ouvrages
Ecole doctorale RP2E
THESE
présentée à l'Institut National Polytechnique de Lorraine en vue de l'obtention du grade de
DOCTEUR DE L'I.N.P.L.
Spécialité : Génie Civil - Hydrosystèmes - Géotechnique
par
Christophe FELDER
TRANSPORT D'UNE SOLUTION SALINE EN CELLULE DE HELESHAW
EXPÉRIENCES ET SIMULATIONS NUMÉRIQUES
Soutenue publiquement le 23 octobre 2003 devant la Commission d'Examen
Membres du jury :
Président :
PANFILOV Michel
Rapporteurs :
HULIN Jean-Pierre
ACKERER Philippe
Examinateur :
ROYER Pascale
Directeur de thèse :
BUÈS Michel
Co-Directeur de thèse :
OLTEAN Constantin
QUALITÉS ET SPÉCIALITÉS DES MEMBRES DU JURY
M. Michel PANFILOV
Président
Professeur INPL
LAEGO - ENSG
Rue du Doyen Marcel Roubault, Bât. E, B.P. 40,
54501 VANDOEUVRE-Lès-NANCY
Spécialité : Mécanique des fluides
M. Jean-Pierre HULIN
Rapporteur
Directeur de recherche au CNRS
FAST
UMR 7608 CNRS - UPMC, UPS
Bât. 502 - Campus Universitaire
91405 ORSAY
Spécialité : Hydrodynamique des milieux poreux et fracturés
M. Philippe ACKERER
Rapporteur
Directeur de recherche au CNRS
IMFS
UMR 7507 CNRS - ULP
2 rue Boussingault
67000 STRASBOURG
Spécialité : Hydrodynamique et transferts en milieux poreux
Mme Pascale ROYER
Examinateur
Chargée de recherche au CNRS
3S
UMR 5521 CNRS - UJF, INPG
B.P. 53 -38041 GRENOBLE Cedex 9
Spécialité : Milieux poreux
M. Michel BUÈS
Directeur de thèse
Professeur INPL
LAEGO - ENSG
Rue du Doyen Marcel Roubault, Bât. E, B.P. 40,
54501 VANDOEUVRE-Lès-NANCY
Spécialité : Mécanique des fluides
M. Constantin OLTEAN
Co-directeur de thèse
Maître de conférences INPL
LAEGO - ENSG
Rue du Doyen Marcel Roubault, Bât. E, B.P. 40,
54501 VANDOEUVRE-Lès-NANCY
Spécialité : Milieux poreux
REMERCIEMENTS
Je tiens à adresser ma reconnaissance à Monsieur le Professeur Michel BUÈS et à
Monsieur Constantin OLTEAN qui, par leurs nombreux conseils et le suivi régulier de mon
travail, m'ont encouragé durant cette thèse.
Je remercie Monsieur le Professeur Michel PANFILOV de m'avoir fait l'honneur de
présider mon jury de thèse.
Que les rapporteurs de mon jury de thèse, Messieurs Jean-Pierre HULIN et Philippe
ACKERER, directeurs de recherche au CNRS, soient remerciés pour l'intérêt qu'ils ont porté à
mon travail.
Les travaux présentés dans ce mémoire ont été réalisés au LAboratoire Environnement,
Géomécanique et Ouvrages (LAEGO). Je remercie tous les membres du LAEGO,
permanents, stagiaires ou thésards, pour l'ambiance amicale dans laquelle s'est déroulée cette
thèse.
Je dédie ce travail à Cindy, Amandine, mes parents, Thierry et Marie-Reine, mes frères
et sœur, Laurent, Jérôme et Émeline, mes grands-parents, ma famille, mes amis et les
remercie pour leur soutien et tous leurs encouragements.
RESUME :
Afin d'étudier l'évolution spatio-temporelle d'un polluant miscible à l'eau et non réactif dans un milieu poreux
saturé, un modèle de laboratoire (une cellule de Hele-Shaw transparente) a été développé. La conception de ce
dispositif, les plaques sont réalisées en verre optique, a permis de mettre au point une méthode globale et non
intrusive de mesure de la concentration dans la zone de mélange. Cette méthode est basée sur les propriétés
d'absorption de la lumière par un colorant marquant la solution injectée.
L'analogie entre une cellule de Hele-Shaw et un milieu poreux est basée sur la possibilité d'exprimer la
vitesse moyenne de l'écoulement entre les deux plaques par la loi de Darcy. En outre, le transport moyen d'un
traceur peut être décrit avec un tenseur de dispersion (dispersion de Taylor). Dans le cas d'un fluide hétérogène
(e.g. : contrastes de masse volumique ou de viscosité), les conditions d'analogie sont obtenues par une approche
analytique de type développement asymptotique et homogénéisation pour prendre en compte la variation de la
masse volumique et de la viscosité dynamique en fonction de la concentration. Une nouvelle forme du tenseur de
dispersion est établie.
Suivant le débit volumique et la fraction massique en sel de la solution injectée dans le milieu homogène, des
expériences qualitativement reproductibles montrent que le panache se propage sous la forme d'un ou de deux
doigts. Un critère empirique, basé sur le rapport entre la vitesse gravitationnelle et celle à l'injection, est formulé
pour prédire le type de propagation. Les simulations, réalisées avec un code numérique développé au laboratoire
et incluant la nouvelle forme du tenseur de dispersion, permettent : (i) de reproduire de manière satisfaisante les
résultats expérimentaux obtenus en milieu homogène et hétérogène et (ii) d'analyser les influences de la
diffusion, de la géométrie de l'injection et du type de régime de dispersion sur les distributions numériques du
soluté.
MOTS-CLES : cellule Hele-Shaw, traceur, solution saline, fluide hétérogène, contraste de densité, panache,
digitation, homogénéisation, développement asymptotique, dispersion de Taylor généralisée, contraste de
perméabilité.
Salt solution transport in Hele-Shaw cell − Experiments and numerical simulations
ABSTRACT:
To study the spatio-temporal evolution of a miscible and non-reactive contaminant into a saturated porous
media, a laboratory model (a transparent Hele-Shaw cell) was developed. The carrying out of the experimental
set-up, the plates are made of optical glass, allowed to elaborate a global and non-intrusive method to measure
concentration in the mixing zone. This method is based on light absorption properties by dye marking injected
solution.
The analogy between a Hele-Shaw cell and a porous medium is derived from the fact that the flow velocity
averaged between the two plates is described by Darcy's law. Moreover, the averaged tracer transport is
described by a dispersion tensor (Taylor dispersion). For a heterogeneous fluid (e.g.: density or dynamic
viscosity contrasts), the conditions of analogy are obtained by an analytical approach using asymptotic
development and homogenization to take into account the density and dynamic viscosity variation according to
the concentration. A new structure of the dispersion tensor is obtained.
According to flow rate and salt mass fraction of the injected solution, qualitatively reproducible results show
that the plume propagates with a finger or two fingers shape. An empirical criterion, based on the ratio between
gravitational velocity and that at the injection, is formulated to predict the type of propagation. Simulations,
carried out with a numerical code developed at the laboratory and including the new structure of the dispersion
tensor, allowed to: (i) to reproduce experimental results obtained for homogeneous and heterogeneous media and
(ii) to analyze the influences of the diffusion, the injection geometry or the dispersion regime type on the solute
numerical distributions.
KEYWORDS: Hele-Shaw cell, tracer, salt solution, heterogeneous fluid, density contrast, plume, fingering,
homogenization, asymptotic development, generalized Taylor dispersion, permeability contrast.
___________________________________________________________________________
LAboratoire Environnement, Géomécanique & Ouvrages
Rue du Doyen Marcel Roubault - B.P. 40 - 54501 VANDOEUVRE-lès-NANCY
Table des matières
TABLE DES MATIÈRES
i
Table des matières
TABLE DES MATIÈRES
INTRODUCTION................................................................ ............................ 1
Chapitre 1 - MESURES NON INTRUSIVES EN MILIEUX POREUX DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL ET TECHNIQUE DE MESURE ............. 5
1
Systèmes de mesure non intrusifs et quelques résultats expérimentaux.... 9
1.1 A l'échelle du terrain ................................................................ ................................ ...9
1.2 A l'échelle du laboratoire ................................................................ .......................... 10
1.2.1 Milieux poreux naturels ................................................................ .................... 10
1.2.2 Milieux poreux artificiels ................................................................ .................. 12
1.2.3 Choix du modèle et des systèmes de mesure....................................................... 16
2
Dispositif expérimental................................................................ ........... 18
2.1 La cellule de Hele-Shaw ................................................................ ........................... 18
2.2 Mode opératoire................................................................ ................................ ........ 23
3
Restitution d'un champ de concentration par imagerie ....................... 27
3.1 Principe de la mesure................................................................ ................................ 27
ii
Table des matières
3.2 Système de mesure ................................................................ ................................ ... 29
3.3 Traitements liés à l'utilisation d'un détecteur C.C.D. ................................ ................. 30
3.3.1 Sensibilités spectrales du détecteur C.C.D. ................................ ....................... 31
3.3.2 Fonction de transfert du détecteur C.C.D................................. ......................... 32
3.4 Caractéristique du système d'éclairage ................................................................ ...... 33
3.4.1 Distribution spectrale du flux lumineux............................................................. 33
3.4.2 Distribution spatiale du flux lumineux............................................................... 34
3.4.3 Distribution temporelle du flux lumineux........................................................... 35
3.5 Choix du colorant ................................................................ ................................ ..... 36
3.6 Étude du signal de sortie en fonction de la concentration........................................... 38
3.6.1 Expression du signal en fonction de la concentration ........................................ 38
3.6.2 Sensibilité du signal à la concentration en fonction de la dilution .....................39
3.6.3 Etalonnage du signal ................................................................ ........................ 40
4
Conclusion................................................................ ............................... 42
Chapitre 2 - RÉGIMES DE DISPERSION EN CELLULE DE HELE-SHAW
POUR UN FLUIDE HÉTÉROGÈNE ............................................................ 43
1
Analyse bibliographique ................................................................ ........ 46
1.1 Déplacement d'un traceur dans un tube et entre deux plaques.................................... 46
iii
Table des matières
1.2 Déplacement de deux fluides miscibles hétérogènes entre deux plaques....................49
1.3 Conclusion................................................................ ................................ ................ 51
2
Formulation du problème ................................................................ ...... 52
2.1 Géométrie du domaine d'étude et système d'équations............................................... 52
2.2 Grandeurs caractéristiques et variables adimensionnelles .......................................... 54
2.3 Formulation du problème en variables adimensionnelles........................................... 55
2.4 Spécificités du problème................................................................ ........................... 57
3
Solution asymptotique................................................................ ............ 58
3.1 Homogénéisation du problème................................................................ .................. 58
3.2 Développement asymptotique ................................................................ ................... 59
3.3 Problèmes asymptotiques successifs ................................................................ ......... 60
4
Equation homogénéisée de transport .................................................... 64
4.1 Détermination de la fraction massique à l'ordre 1...................................................... 65
4.2 Equation homogénéisée de transport ................................................................ ......... 65
4.3 Expression du tenseur de dispersion................................................................ .......... 68
4.4 Conclusion - Analogie avec un milieu poreux ? ........................................................ 71
5
Conclusion................................................................ ............................... 74
iv
Table des matières
Chapitre 3 - RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX.......................................... 76
1
Transport d’un "traceur" : influence d’un faible contraste de masse
volumique ................................................................ ................................ ....... 80
1.1 Modélisation numérique du problème expérimental .................................................. 80
1.1.1 Configuration du domaine d'étude ................................................................ .... 80
1.1.2 Modélisation de la dispersion dans la cellule .................................................... 82
1.2 Caractérisation numérique et expérimentale du panache............................................ 83
1.2.1 "Traceur" et solution colorée ................................................................ ............ 83
1.2.2 Influence d'un faible contraste de densité .......................................................... 84
1.3 Influence de la concentration en colorant de la solution marquée ..............................88
1.3.1 Résultats expérimentaux................................................................ .................... 88
1.3.2 Résultats numériques ................................................................ ........................ 89
1.3.3 Conclusions ................................................................ ................................ ...... 91
1.4 Analyse des résultats numériques................................................................ .............. 94
1.4.1 Sensibilité des solutions numériques à la forme du tenseur de dispersion...............94
1.4.2 Analyse des champs des vitesses et des effets diffusifs........................................ 95
2
Infiltration d'une solution saline.......................................................... 101
2.1 Paramètres adimensionnels et choix des conditions expérimentales......................... 101
2.1.1 Paramètres adimensionnels................................................................ ............. 101
v
Table des matières
2.1.2 Conditions expérimentales ................................................................ .............. 102
2.2 Caractérisation expérimentale des panaches ............................................................ 108
2.2.1 Distributions typiques du soluté ................................................................ ...... 108
2.2.2 Influence du débit volumique et de la fraction massique.................................. 110
2.3 Un critère pour la caractérisation des distributions du soluté ................................... 113
3
Conclusion................................................................ ............................. 114
Chapitre 4 - SIMULATIONS NUMÉRIQUES ........................................... 116
1
Caractérisation numérique d'un panache avec et sans digitation ..... 120
1.1 Panache avec digitation................................................................ ........................... 121
1.2 Panache sans digitation ................................................................ ........................... 126
2
Analyse des résultats numériques........................................................ 127
2.1 Distributions spatio-temporelle des concentrations.................................................. 127
2.2 Analyse des champs de vitesse et des effets diffusifs............................................... 134
2.3 Sensibilité des solutions numériques aux régimes de dispersion .............................. 137
3
Influence d'une variation de la perméabilité ...................................... 140
3.1 Variations aléatoires de la perméabilité................................................................ ... 140
vi
Table des matières
3.2 Contraste de perméabilité................................................................ ........................ 142
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES...................................................... 147
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES.................................................... 152
vii
Introduction
INTRODUCTION
1
Introduction
INTRODUCTION
Contexte général du travail de thèse
Stockage en profondeur de déchets industriels, intrusion d'eau de mer, pollution
accidentelle..., toutes ces situations peuvent se trouver à l'origine d'une contamination des
eaux souterraines. Une prédiction sur la propagation spatio-temporelle d’un ou plusieurs
polluants dans l'aquifère est alors nécessaire pour mettre au point des opérations de
restauration ou de protection afin de préserver la qualité des eaux souterraines. Pour un
contaminant miscible et non réactif, l'hétérogénéité de la phase liquide en terme de masse
volumique et/ou de viscosité dynamique couplée à celle du milieu poreux (e.g. : variation de
la perméabilité) conduit généralement à une distribution du soluté et à un écoulement
complexes (e.g. : Schincariol and Schwartz, 1990 ; Swartz and Schwartz, 1998). L’utilisation
des solutions analytiques, d’ailleurs rares dans la littérature, implique souvent des conditions
restrictives (e.g. : Triboix et al., 1975 ; Paschke and Hoopes, 1984). L'outil numérique reste
alors la technique la mieux adaptée pour l'étude de la contamination des eaux souterraines.
Par conséquent, de nombreuses procédures et modèles numériques ont été développés et/ou
améliorés (e.g. : Voss and Souza, 1987 ; Huyakorn et al. 1987 ; Herbert et al. 1988 ; Galeati
et al. 1992 ; Oldenburg and Pruess, 1995 ; Konikow et al., 1997 ; Kolditz et al., 1997 ;
Ackerer et al. 1999 ; Buès and Oltean, 2000 ; Oltean and Buès, 2001). Cependant, la précision
des solutions numériques, habituellement testées sur quelques problèmes classiques (Henry,
1964 ; Elder, 1967) est toujours un sujet controversé (Oltean and Buès, 2001 ; Diersch and
Kolditz, 2002). La confrontation entre les simulations et les expériences étant cruciale pour
tester la robustesse des codes de calcul, l'objectif de ce travail de thèse est de mettre en
évidence et caractériser, expérimentalement et numériquement, le comportement d'un panache
issu d'une source localisée dans un milieu poreux saturé. Deux types de milieu poreux sont
alors envisagés. L'un, homogène, permettra de considérer principalement l'hétérogénéité de la
phase liquide. Cet aspect constitue la plus grande partie de ce travail. L'autre, présentant un
contraste de perméabilité, permettra de prendre en compte le couplage de l'hétérogénéité de la
phase liquide avec celle du milieu poreux.
2
Introduction
Présentation du travail de thèse
L'étude présentée est fondée sur une analyse numérique de données expérimentales
obtenues sur une cellule de Hele-Shaw représentant un modèle analogue d'un milieu poreux
bidimensionnel. Le code de calcul utilisé est basé sur une combinaison entre la méthode des
éléments finis mixtes hybrides et la méthode des éléments finis discontinus.
La présentation de ce travail s'articule sur quatre axes principaux.
Afin de caractériser les propriétés intrinsèques du panache (i.e. : champs de
concentration ou de vitesse), la plupart des méthodes classiques de mesure sont intrusives et
locales. Or, l'analyse de l'évolution spatio-temporelle des panaches, caractérisés par une
grande sensibilité aux perturbations extérieures (capteurs), nécessite l'utilisation de moyens
métrologiques non intrusifs et présentant de bonnes résolutions spatiales. Dans le premier
chapitre et à partir d'une analyse bibliographique, nous énoncerons alors les principaux
dispositifs de mesure globale et non intrusive appliqués en milieu poreux. Les principales
difficultés de leur mise en œuvre seront également évoquées. A partir de cette étude
préliminaire, il a été possible de choisir et de développer un modèle expérimental et le
système de mesure qui correspondrait à nos besoins. La suite de cette partie est alors
consacrée à la description technique de la cellule de Hele-Shaw, au système de mesure basée
sur les propriétés d'absorption de la lumière par un colorant marquant le panache et à la
méthode de restitution des champs de concentration.
Dans le but d'analyser numériquement les résultats expérimentaux, un code numérique,
développé au laboratoire et largement décrit dans Buès and Oltean (2000), est utilisé. Dans la
mesure où ce code a été développé pour des problèmes traitant du transport en milieu poreux,
il était nécessaire de le modifier afin qu'il soit applicable à la cellule de Hele-Shaw. Pour cela,
un développement asymptotique des équations de Navier-Stokes, de continuité et de transport
a été réalisé. Ce développement, exposé dans le second chapitre, prend en compte les
variations de la masse volumique, de la viscosité dynamique et de la diffusion moléculaire
avec la concentration.
Le panache dans le système expérimental est obtenu à partir de l'injection ponctuelle
d'une solution saline. Le système de mesure nécessite l'emploi d'un colorant pour marquer
cette solution afin de déterminer les champs de concentration. Par conséquent, avant de
3
Introduction
réaliser les expériences, une étude, expérimentale et numérique, portant sur le comportement
de la solution colorée injectée dans le système a été réalisée. Ensuite, les résultats
expérimentaux, concernant la solution saline, seront exposés. Leur exploitation permettra
alors de caractériser les différentes morphologies des panaches obtenus en faisant varier les
deux paramètres de contrôle des expériences : le débit volumique à l'injection et la fraction
massique en sel. Ces aspects seront traités dans le troisième chapitre.
L'objectif principal du dernier chapitre, axé principalement sur la modélisation
numérique, est de vérifier si les simulations peuvent reproduire les deux morphologies
typiques du panache mises en évidence expérimentalement et décrites dans la troisième partie.
La comparaison des résultats numériques et expérimentaux permet alors de caractériser
l'influence de la diffusion moléculaire et des conditions d'injection sur la propagation du
panache et de mettre en évidence les mécanismes à l'origine de la dispersion du soluté dans la
cellule. Nous finaliserons la confrontation des résultats expérimentaux et numériques par
l'analyse de l'influence d'une variation de la perméabilité sur la propagation des panaches.
4
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
Chapitre 1
MESURES NON INTRUSIVES EN MILIEUX
POREUX - DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL ET
TECHNIQUE DE MESURE
5
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
NOMENCLATURE
b
Entrefer de la cellule [m]
B
Constante caractérisant la chaîne optique
C(x,y,z)
Concentration en colorant en un point M(x,y,z) situé dans le canal de la
cellule [kg.m-3]
C0
Concentration en colorant de la solution commercialisée [kg.m-3]
Cd
Concentration en colorant après dilution de la solution commercialisée [kg.m-3]
C (x, y , z )
Concentration réduite avec la valeur Cd [-]
C (x , y , z )
Concentration réduite moyenne sur l'ouverture de la cellule de Hele-Shaw [-]
CCD0(x,y)
Valeur du niveau de gris restitué par un élément C.C.D. (Charged Coupled
Device, Dispositif à Transfert de Charges) de l'appareil photographique pour
l'image de référence (C(x,y,z) = 0)
CCD(x,y)
Valeur du niveau de gris restitué par un élément C.C.D. (Charged Coupled
Device, Dispositif à Transfert de Charges) de l'appareil photographique pour
une concentration en colorant non nulle
d
Largeur de la cuve impliquée dans les mesures de transmission de la solution
colorée [m]
e
Epaisseur des plaques de verre [m]
E
Exposition lumineuse [J.m-2]
f
Largeur des cales de la cellule [m]
H
Hauteur de la cellule [m]
I0(x,y,λ)
Flux lumineux monochromatique (longueur d'onde
λ ) à la sortie du système
d'éclairage [W.m-2.m-1]
I(x,y,z,λ)
Flux lumineux monochromatique (longueur d'onde
λ ) au point M(x,y,z)
[W.m-2.m-1]
Ii(x,y)
Flux lumineux polychromatique à la sortie du système d'éclairage [W.m-2]
Imax
Flux maximal monochromatique à la sortie du système d'éclairage [W.m-2.m-1]
itc
Tolérance dimensionnelle sur l'épaisseur des cales [m]
itv
Tolérance de planéité sur les plaques de verre [m]
k
Perméabilité intrinsèque de la cellule de Hele-Shaw [m2]
l
Largeur des plaques de verre [m]
L
Largeur du canal [m]
6
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
S r (λ ) , S v (λ ), S b (λ )
Sensibilités spectrales du détecteur C.C.D. respectivement pour le rouge, le
vert et le bleu [-]
te
Durée d'exposition lumineuse [s]
Tl (λ ) , Tv (λ )
Transmission des éléments optiques de l'appareil photographique et des
plaques de verre optique utilisées pour la cellule [-]
Tr (λ )
Transmission de la solution colorée [-]
x, y, z
Coordonnées verticale, horizontale et transversale
Lettres grecques
γ
Pente de variation logarithmique d'intensité lumineuse relative au détecteur
C.C.D.
β (λ )
Coefficient d'absorption de la lumière par la solution colorée [m2.kg-1]
λ
Longueur d'onde [m]
ρ0
Masse volumique de l'eau distillée à 20°C [kg.m-3]
7
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
Chapitre 1 - MESURES NON INTRUSIVES EN MILIEUX
POREUX - DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL ET TECHNIQUE
DE MESURE
L'une des principales difficultés dans l'étude des mécanismes de transport d'un soluté
dans un milieu poreux saturé est d'établir le parallèle et la complémentarité des informations
entre le système expérimental et le modèle numérique associé. Dans ce contexte, il est apparu
intéressant, pour ce travail de thèse, de mettre l'accent sur la possibilité d'appliquer une
technique de mesure susceptible d'extraire des informations directement comparables à celles
obtenues par un modèle numérique. Le transport et l'écoulement étant deux phénomènes
couplés dans le cas d'un soluté réactif, ces informations doivent porter sur le comportement
spatio-temporel, souvent complexe, de la zone de mélange. Certaines caractéristiques de cette
zone de mélange, comme la concentration, ont déjà été appréhendées expérimentalement par
certains auteurs, soit par l'emploi de capteurs ponctuels (e.g. : Oltean, 1995 ; Buès and
Aachib, 1991), soit par des techniques de prélèvement (e.g. : Paschke and Hoopes, 1984 ;
Istok and Humphrey, 1995). Néanmoins, la grande sensibilité des écoulements aux
perturbations ainsi que la nécessité d'acquérir l'information à des échelles spatiales et
temporelles relativement fines impliquent l'usage des techniques de mesure globales et non
intrusives.
Nous présenterons, dans la première partie de ce chapitre, les travaux mettant en œuvre
certaines de ces techniques ainsi que quelques résultats expérimentaux. L'analyse
bibliographique nous a permis alors de dégager deux principales conditions à remplir par
notre dispositif expérimental. L'une, liée à la conception du modèle, concerne la nécessité de
minimiser les variations locales de perméabilité qui peuvent être à l'origine d'écoulements
gravitationnels instables. L'autre concerne la possibilité de visualiser les panaches dans le
modèle et de mesurer, sans perturber l'écoulement, les champs des concentrations et des
vitesses. Compte-tenu de ces impératifs, notre choix s'est porté sur un dispositif expérimental
de type cellule de Hele-Shaw dont nous décrirons les caractéristiques techniques dans la
deuxième partie de ce chapitre. Représentant un modèle analogue à un milieu poreux
8
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
bidimensionnel, cet outil expérimental permet l'utilisation d'une technique optique de mesure
basée sur les propriétés d'absorption de la lumière par un colorant. En effet, à partir du traçage
de la solution injectée par un colorant et de son éclairage, il est en effet possible d'acquérir des
images du panache au cours de son évolution. La technique de traitement de l'image pour
permettre la restitution des champs spatio-temporels de concentration sera exposée dans la
dernière partie de ce chapitre.
1
SYSTÈMES DE MESURE NON INTRUSIFS ET QUELQUES
RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX
1.1
A l'échelle du terrain
Les principales difficultés pour analyser les écoulements souterrains et les processus
résultant de transport du contaminant sont principalement dues à la pauvreté des informations
spatiales dans l'aquifère. En effet, les informations sont généralement sporadiques et obtenues
à partir de mesures effectuées dans un nombre réduit de points (Kemna et al., 2002). De plus,
les méthodes d'interprétation de ces mesures discrètes sont classiquement basées sur des
hypothèses simplificatrices comme : milieu homogène, horizontalement stratifié, ... . Par
conséquent, ces interprétations demeurent délicates puisque les mesures peuvent intégrer
l'influence d'éventuelles hétérogénéités non connues du milieu poreux sur l'écoulement en
rendant, ainsi, les hypothèses simplificatrices en désaccord avec la réalité. Les caractères
destructeur et intrusif inhérents aux forages compliquent également l'analyse puisque les
écoulements étudiés présentent une grande sensibilité aux perturbations extérieures.
Cependant, des techniques non intrusives et non destructives existent. Parmi ces
techniques, appliquées couramment en hydrogéologie, on peut mentionner celles utilisées par
les géophysiciens. A titre d'exemple, la méthode géoélectrique, basée sur la mesure de la
résistivité du sol, est souvent utilisée pour la facilité de sa mise en œuvre. Néanmoins, elle
nécessite, pour la réalisation d'une image d'une coupe de terrain, l'utilisation d'un grand
9
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
nombre d'électrodes in situ ainsi que l'acquisition de nombreuses mesures et devient alors
coûteuse (Sahbi, 2001).
1.2
A l'échelle du laboratoire
1.2.1
Milieux poreux naturels
A l'échelle du laboratoire et pour des milieux poreux naturels, peu de techniques non
intrusives fournissent les champs de concentration et de vitesse avec une résolution spatiotemporelle relativement fine.
Figure 1. Schéma du système expérimental de Simmons et al. (2002)
Parmi ces techniques, une méthode optique, basée sur les propriétés d'absorption de la
lumière par un colorant, consiste à photographier ou filmer la propagation d'un traceur dans
un réservoir translucide éclairée de l'extérieur. Le champ de concentration est alors obtenu par
une technique de traitement d'image. Néanmoins, la possibilité de traiter les données est
étroitement liée à la qualité de l'uniformité de l'éclairage. A titre d'exemple, on peut citer les
travaux de Simmons et al. (2002) qui ont étudié, à l'aide d'une technique de mesure
comparable, l'infiltration d'une solution saline marquée avec de la rhodamine WT dans un
réservoir (120 x 117.8 x 5.3 cm3) rempli de sable (figure 1). Néanmoins, ils ne purent
10
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
déterminer les champs de concentration en raison de quelques problèmes liés à la nonuniformité spatiale de l'éclairage. Ils portèrent finalement leur analyse sur des propriétés
génériques comme la profondeur de pénétration, le nombre de doigts, ... obtenues à partir de
l'observation du mouvement du traceur à proximité de la surface du réservoir.
Outre les problèmes de non-uniformité de l'éclairage, la méthode de mesure, décrite
précédemment, ne permet pas d'obtenir les champs de concentration en 3D. En effet, du fait
de l'opacité du milieu poreux, seules les zones proches de la paroi éclairée du réservoir sont
accessibles. En outre, rien ne prouve l'existence ou non de chemins préférentiels.
Les techniques permettant alors l'obtention d'informations en 3D concernant
l'écoulement et le transport d'un soluté dans un milieu poreux opaque sont souvent très
coûteuses et présentent de fortes contraintes expérimentales. L'imagerie par résonance
magnétique nucléaire (IRM), essentiellement mise en œuvre dans le domaine médical, est la
plus utilisée. Les principes de cette méthode spectroscopique appliquée aux problèmes
d'écoulement dans les milieux poreux sont détaillés par van As and van Dusschoten (1997). Il
existe deux façons principales de mettre en œuvre cette méthode. L'une est de cartographier
les effets d'une espèce chimique ayant des propriétés magnétiques différentes de celles
environnantes (agent contrastant) et jouant ainsi le rôle de traceur. L'autre permet de mesurer
la vitesse de l'écoulement à partir d'images acquises à des intervalles de temps prédéfinis
(pulsed field gradient magnetic resonance imaging - PFG NMR). Pearl and Magaritz (1993)
ont ainsi utilisé cette méthode afin de visualiser le passage du régime de transport par
diffusion moléculaire à celui par convection libre (digitations) d'une solution saline dans un
milieu poreux constitué de sable. Néanmoins, van Dusschoten et al. (1997) mentionnent que
l'application de l'IRM à des milieux poreux naturels peut être limitée par la présence de
particules métalliques qui peuvent perturber le champ magnétique et, par conséquent,
dégrader le signal enregistré. Ceci explique en partie le nombre plus élevé de travaux mettant
en œuvre des milieux poreux artificiels constitués de bille de verre ou de polystyrène
(Shattuck et al., 1995; Oswald et al., 1997).
Khalili et al. (1998), en utilisant la tomographie par émission de positons (TEP) sur le
système expérimental présenté sur la figure 2, ont pu visualiser en 3D le transport d'une
propriété scalaire dans un milieu poreux opaque. Le fluide injecté est marqué par un traceur
radioactif dont la distribution est déterminée par un détecteur de photons. Cependant, compte-
11
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
tenu de la difficulté de mettre en œuvre un telle technique, son application à des études
d'écoulement dans des milieu poreux reste relativement réduite (Khalili et al., 1999).
Figure 2. Photographie du système expérimental de Khalili et al. (1998)
1.2.2
Milieux poreux artificiels
Dans de nombreux travaux expérimentaux, le milieu poreux naturel opaque est souvent
remplacé par un milieu poreux artificiel translucide rendant ainsi possible l'utilisation des
techniques de mesure par voie optique. Parmi ces techniques, certaines sont basées sur les
propriétés d'absorption de la lumière par des colorants. Schincariol and Schwartz (1990) ont
ainsi étudié le déplacement d'une solution saline marquée avec de la rhodamine WT et
injectée latéralement dans un réservoir en Plexiglas (116.8 x 71.0 x 5.0 cm3) rempli par des
billes de verre et en présence d'un écoulement ambiant horizontal (figure 3). Par éclairage, ils
ont pu photographier l'évolution du soluté et déterminer, au moyen d'une technique d'analyse
d'images, les distributions de concentration. Néanmoins, suite à des problèmes de non
uniformité de l'éclairage et de variation de l'indice de réfraction entre les billes et le fluide,
seules deux plages de concentration (10 - 25 % - 50 - 100 %) ont pu être détectées. Ainsi,
pour être efficace, l'application des méthodes de mesure par voie optique nécessite de
surmonter le problème de l'hétérogénéité des propriétés optiques entre le milieu poreux et le
fluide qui le sature.
12
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
Figure 3. Photographie du système expérimental de Schincariol and Schwartz (1990)
Pour s'affranchir du problème des variations de l'indice de réfraction, Howle et al.
(1997) ont réalisé des milieux dont les interfaces solide-fluide sont perpendiculaires ou
parallèles au rayon lumineux (figure 4a). A l'aide d'un système expérimental représenté sur la
figure 4b, ils ont pu visualiser par ombroscopie l'arrangement et la structure des cellules
convectives dans ces milieux saturés chauffés par le bas et refroidis par le haut.
a
b
Figure 4. Milieu poreux artificiel (a) et système expérimental (b) utilisés par Howle et al. (1997)
D'autres méthodes optiques sont basées sur la technique d'imagerie de particules. Elles
ont l'avantage de pouvoir donner des informations sur la vitesse de l'écoulement à partir de
13
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
l'analyse de l'évolution spatio-temporelle des particules. Leur utilisation pour des études
concernant les milieux poreux est relativement récente et a été possible par l'amélioration des
éléments optiques, des systèmes d'acquisition et de traitement des images. Leur mise en
œuvre implique généralement la conception d'un milieu translucide où les pores sont remplis
avec un fluide homogène ayant le même indice de réfraction que celui de la matrice solide. Il
existe de nombreuses variantes de cette technique : la PIV (Particle Image Velocimetry), la
PTV (Particle Tracking Velocimetry), la PDT (Particle Displacements Tracking), la PSV
(Particle Streak Velocimetry), ... .
Toutes ces techniques sont basées sur la photographie de particules marquant un fluide
et l'analyse des images pour déterminer la vitesse. Les particules éclairées par une lampe ou
un laser réfléchissent la lumière et créent un point lumineux détectable par une caméra vidéo.
Ces méthodes différent seulement dans la façon de capturer le mouvement de la particule et
d'extraire la vitesse à partir des images. Par exemple, pour la PIV, la vitesse des particules est
déterminée par l'analyse d'une séquence de deux images successives correspondant à deux
flashs lumineux séparés par un intervalle de temps prédéfini. Pour la PTV et la PSV, la source
de lumière émet de façon continue provoquant une trace sur l'image pour chaque particule.
Northrup et al. (1991) et Northrup et al. (1993), en utilisant la PIV (figure 5), ont déterminé la
distribution
des
vitesses
interstitielles
dans
un
cylindre
rempli
de
billes
de
polymethylmethacrylate (PMMA). Pour s'affranchir du problème des réflexions parasites, ils
ont substitué les particules fluorescentes concurremment avec un filtrage spectral aux simples
particules réfléchissantes. Cenedese and Viotti (1996) ont obtenu une description
lagrangienne du mouvement des particules dans un milieu poreux au moyen des données
acquises par PTV en deux dimensions. Moroni and Cushman (2001), en modifiant la PTV
classique (figure 6) et à partir de l'analyse des trajectoires en trois dimensions des particules,
ont étudié la transition entre la dispersion à l'échelle du pore et celle à l'échelle de Darcy.
L'application de ces méthodes pour étudier l'écoulement d'un fluide de masse volumique ou/et
de viscosité dynamique variable est délicate (Saleh et al, 1995). La principale raison est que
l'indice de réfraction du fluide peut varier en fonction, par exemple, de la masse volumique.
D'autres techniques de mesure permettent de restituer les champ de concentration in
situ. Citons, à titre d'exemple, la technique acoustique employée par Berest (1999). Cette
méthode, basée sur la variation de la vitesse du son en fonction des propriétés du fluide, e.g. :
la masse volumique, la viscosité dynamique, a été utilisée afin d'étudier le déplacement d'un
14
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
fluide par un autre de viscosité et/ou de densité différente dans un modèle physique rempli par
des billes de verre.
a
b
Figure 5. Système de mesure (a) et modèle de milieu poreux (b) utilisés par Northrup et al. (1993)
Figure 6. Système de mesure utilisé par Moroni and Cushman (2001)
15
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
1.2.3
Choix du modèle et des systèmes de mesure
Outre les problèmes inhérents aux techniques de mesure et aux traitements du signal, la
qualité des résultats expérimentaux et le degré de confiance concernant leur exploitation
permettant de vérifier un modèle conceptuel et/ou numérique sont fortement conditionnés par
le soin apporté à la conception du modèle de laboratoire.
Afin d'examiner la qualité du compactage du sable et l'homogénéité du milieu, Hoffman
et al. (1996) ont visualisé par IRM l'écoulement dans une colonne remplie de sable lors d'un
essai avec un traceur pour caractériser les paramètres de dispersion. Ils ont montré, ainsi,
l'effet de faibles variations de la conductivité hydraulique sur l'écoulement (écoulements
préférentiels) et son incidence non négligeable sur la fiabilité des résultats expérimentaux.
Néanmoins, lorsqu'il s'agit de l'écoulement d'un fluide hétérogène, l'analyse de l'impact d'un
défaut de conception sur les résultats expérimentaux est plus ambiguë. A titre d'exemple, lors
de la réalisation de leur interface horizontale entre l'eau douce et l'eau salé, Oswald et al.
(1997) précisent que des bulles d'air se forment lors du retrait de la plaque de séparation des
deux fluides. La présences de bulles provoquent alors une perturbation des conditions limites
et initiales dont les conséquences sur le développement de digitations ne sont pas connues.
Compte-tenu des problèmes soulevés précédemment et afin d'utiliser notre code de
calcul pour étudier ce type d'écoulement par comparaison avec des résultats expérimentaux et
numériques, le choix d'un modèle de laboratoire s'est portée sur une cellule de type HeleShaw. En effet, l'écoulement dans une telle cellule, utilisée par Wooding et al. (1997a, 1997b)
dans leur étude de la convection de l'eau souterraine sous un lac salé, est analogue à celui dans
un milieu poreux en deux dimensions sous certaines conditions (Cf. chapitre 2). En outre, ce
système est particulièrement bien adapté à notre étude pour les raisons suivantes :
•
la simplicité de son principe permet une conception et une réalisation mécanique
permettant de minimiser les variation locales de perméabilité et de contrôler les conditions
limites et initiales,
•
moyennant des accès optiques, une visualisation directe du transport du soluté est possible,
16
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
•
l'emploi de certaines techniques optiques non intrusives de mesure peut être envisagé afin
de déterminer les champs de concentrations et de vitesses dans tout le domaine d'étude
avec, en outre, une résolution spatiale très fine.
La suite de ce chapitre est consacrée à la description technique de la cellule, à l'énoncé
des procédures suivies pour préparer et réaliser une expérience et aux méthodes optiques de
mesure utilisées. En effet, l'emploi de plaques en verre pour réaliser la cellule permet des
accès optiques de bonne qualité et la mise en œuvre de deux techniques optiques différentes.
La première, basée sur le phénomène d'absorption de la lumière par un colorant a été
développée afin de déterminer les distributions spatio-temporelles de la concentration. Ce
système de mesure a été validé par une analyse expérimentale et théorique de la relation entre
le signal mesuré et la concentration du colorant dans la cellule de Hele-Shaw. Une seconde
technique optique, la PIV (Particle Image Velocimetry) a été testée afin de déterminer le
champ des vitesses et de caractériser ainsi les zones de recirculation provoquées par
l'infiltration d'une solution saline.
17
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
2
DISPOSITIF EXPERIMENTAL
2.1
La cellule de Hele-Shaw
Il est bien connu que, sous certaines conditions (Cf. chapitre 2-§1.1), la cellule de HeleShaw constitue un modèle analogue d'un milieu poreux bidimensionnel. Cette analogie est
basée sur la possibilité d'exprimer le débit moyen, à travers l'épaisseur b de la cellule, par la
loi de Darcy. Dans ce contexte, la perméabilité équivalente de ce système est proportionnel à
b2.
Les soucis de (i) contrôler cette perméabilité et de minimiser les variations locales de
perméabilité afin d'obtenir un milieu homogène et (ii) pouvoir mettre en œuvre les techniques
de mesure par voie optique ont conditionné les choix des matériaux, des caractéristiques
dimensionnelles, du type d'usinage ou encore d'assemblage.
Ainsi, les deux plaques composant la cellule ont été réalisées en verre optique de haute
qualité (matière B270). De dimensions H = 300 mm, l = 220 mm et e = 10 mm, elles sont
disposées verticalement et sont séparées par deux cales d'épaisseur b et de largeur f = 20 mm
(figure 7a). Afin de répondre aux expériences envisagées, les bords latéraux et le bord
supérieur de la cellule sont imperméables. Le bord inférieur est soumis à une pression
hydrostatique créée à l'aide d'un déversoir à niveau constant. L'ensemble du montage (figure
7b) repose sur des supports comportant une partie filetée permettant de régler précisément
l'horizontalité de la cellule.
18
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
Pompe seringue
Joint
Aiguille d'injection
Déversoir à
niveau
constant
H
L
f
b
e
l
Réservoir
z
y
x
x
a
Aiguille d'injection
Pompe seringue
Cellule
Déversoir
Réservoir
Solution colorée
b
Figure 7. Schéma (a) et photographie (b) du dispositif expérimental
19
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
Les deux cales, disposées verticalement entre les deux plaques de verre, permettent de
créer un canal d'écoulement d'une largeur de L = l - 2f = 180 mm, d'une hauteur de H = 300
mm et d'une ouverture de b. Un système (figure 8) constitué de deux profilés (matière AU4G)
en forme de U situés verticalement de part et d'autre de la cellule permet de serrer les deux
plaques de verre sur les deux cales latérales et de fermer ainsi la cellule. La répartition
régulière des vis de serrage le long de chaque profilé assure une pression uniforme le long des
bords verticaux des deux plaques.
Vis de serrage
Cale
b
e
Plaque de verre
Feutre de laine
(Ep. 2mm)
Profilé U
y
z
Figure 8. Coupe du système de serrage des plaques de verre
Les cales sont découpées dans des feuilles de tissu de verre (alliage d'époxyde et de
silicone d'appellation commerciale : Vetronite). Les feuilles, de par leur méthode
d'élaboration, ont une tolérance dimensionnelle itc sur leur épaisseur nominale b de itc =
± 0.005 mm ( ± 1%b). La matière composite de ces feuilles, ne subissant pas de corrosion, a
des propriétés assurant une bonne stabilité dimensionnelle des cales. En effet, elle n'est pas
poreuse et ne subit pas de gonflement. En outre, elle possède de bonnes qualités mécaniques
limitant sa déformation sous la compression appliquée par le système de serrage.
Pour assurer l'étanchéité de la cellule, une substance (silicone, graisse, ...) ou un joint est
placé entre la cale et la plaque de verre. Ce système d'étanchéité peut évidemment conduire à
20
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
une modification de la dimension de l'ouverture du canal et, par conséquent, de la
perméabilité de la cellule. Afin d'éviter ce problème, deux chanfreins ont été prévus et réalisés
sur les deux plaques en verre. Le joint est alors appliqué dans l'espace formé par ces
chanfreins (figure 9).
Verre
Silicone
Cale
y
Chanfrein
z
Figure 9. Etanchéité de la cellule (détail)
La précision sur la valeur de la perméabilité est également fonction de la tolérance de
planéité itv sur chacune des plaques de verre. Les plaques de verre d'épaisseur e = 10 mm à
l'état brut ayant une tolérance dimensionnelle de +/- 0.4 mm, un usinage de leur surface par
polissage, permettant d'atteindre une tolérance de planéité acceptable sans modifier leur
qualité optique, a été nécessaire. La valeur limite de cette tolérance pour la surface usinée
(300 x 220 mm2) est d'environ 0.005 mm. Le choix de l'ouverture b et de cette tolérance itv a
été déterminé par un calcul d'erreur relative sur la perméabilité
k k [-] à l'aide de
l'expression suivante :
avec
k 2(it c + 2 ⋅ it v )
=
k
b
(1)
k = (k max − k min ) 2 . Les valeurs de cette erreur relative en fonction de la tolérance de
planéité sont reportées sur le graphique de la figure 10 pour différentes valeur de b. Si itv est
égale à 0.01 mm, valeur raisonnable en terme de possibilité d'usinage et donc de coût, la
valeur de b = 0.5 mm semble correcte pour minimiser l'erreur relative (10 %) et pour respecter
une des conditions pour l'analogie Hele-Shaw (Cf. chapitre 2-§1.1) : b l << 1 avec l = 180
21
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
mm. L'épaisseur des cales a donc été choisie égale à b = 0.5 mm conduisant à une valeur de la
perméabilité 2.083 ⋅ 10 −8 m2.
100
b = 0.1 mm
-4
b / l = 5.5 10
b = 0.5 mm
-3
b / l = 2.7 10
b = 1 mm
-3
b / l = 5.5 10
k / k [%]
10
b = 5 mm
b / l = 0.27
1
Valeurs exceptionnelles
0,1
0,001
0,01
Tolérance de planéité it v [mm]
0.05
Valeurs usuelles
0,1
Figure 10. Erreur relative sur la perméabilité en fonction de la tolérance sur la planéité
Bien que cette étude, portant sur le transport d'un soluté dans un milieu homogène
saturé sans écoulement ambiant, constitue la plus grande partie de ce travail de thèse, la
conception du système devrait permettre la réalisation d'autres configurations expérimentales :
milieu avec un écoulement ambiant, milieu hétérogène, ... . Ainsi l'étude de l'écoulement dans
un milieu présentant un contraste de perméabilité a également été envisagé. Ce dernier est
réalisé en diminuant l'ouverture du canal de b à b/2 pour fixer le rapport entre la perméabilité
maximale et celle minimale à 4 (figure 11). Ce saut de perméabilité est techniquement réalisé
par une feuille de verre, d'épaisseur b/2 = 0.25 mm, rapportée sur l'une des deux plaques de
verre. La largeur et la hauteur de cette feuille sont L = 180 mm et H/2 = 150 mm. L'utilisation
de systèmes de mesure par voie optique nécessitant une uniformité des propriétés optiques, la
matière de cette feuille est également du verre optique B270. De plus, pour éviter une
22
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
variation de ces propriétés à l'interface feuille/plaque, l'assemblage de ces deux éléments a
nécessité un collage optique particulier dont la technique n'a pas été dévoilée par le fabricant.
b/2
b
L
Collage optique
H/2
y
x
z
z
Figure 11. Variation de l’épaisseur du canal pour simuler un contraste de perméabilité
2.2
Mode opératoire
L'injection du polluant dans le canal s'effectue au moyen d'une aiguille en acier
inoxydable (diamètre extérieur 0.45 mm, intérieur 0.25 mm) située dans la partie supérieure
centrale de la cellule. L'étanchéité du bord supérieur est réalisée avec un joint, comprimé par
un système vis-entretoise-support joint (figure 12), recouvrant toute la surface du bord et
percé pour le passage de l'aiguille, de l'air et de l'eau. Un ensemble de vis de serrage applique
un réservoir contre le bord inférieur de la cellule par l'intermédiaire d'une entretoise.
L'étanchéité est alors assurée par un joint en caoutchouc comprimé et placé entre le réservoir
et le bord des plaques de verre (figure 13).
De l'eau distillée, de masse volumique ρ 0 = 998.23 kg / m3, est utilisée pour saturer la
cellule. Afin d'éviter la présence de bulles d'air dans le canal :
•
un déversoir, à niveau constant et relié au réservoir, permet un écoulement vertical
ascendant de l'eau distillée dans la cellule,
23
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
•
dans la partie supérieure de la cellule, l'air est évacuée vers l'extérieur par l'ouverture
pratiquée dans le joint et par la rainure usinée dans le support joint.
Une première saturation rapide et incomplète est effectuée afin d'immerger l'extrémité
inférieure de l'aiguille. Les bulles d'air éventuellement présentes à l'intérieur de l'aiguille
d'injection sont ainsi évacuées. La cellule est ensuite vidée progressivement. Pour la seconde
saturation et lorsque le remplissage rapide du réservoir est quasiment terminé, le débit est
fortement diminué afin d'assurer une vitesse verticale de l'écoulement très faible à l'intérieur
de la cellule et d'éviter ainsi le problème de piégeage de bulles d'air. Lorsque l'eau sort par la
rainure supérieure, le manchon fileté contenant l'aiguille d'injection du polluant est mis en
place. La rainure est alors obturée en mettant ainsi le système légèrement sous pression
(vanne ouverte).
Après ces deux étapes préliminaires, l'injection de la solution peut alors commencer.
Les écoulements étudiés étant caractérisés par une forte sensibilité aux propriétés physiques
des fluides en présence, il est nécessaire de prendre soin que le fluide injecté et celui saturant
la cellule soient à la même température. Par conséquent, les expériences ont été réalisées dans
une pièce climatisée. Pour une injection sans sauts de pression, une pompe pousse-seringue
(Kdscientific) assure un débit volumique constant (tolérance de 1% sur la précision et de
0.1% sur la répétabilité). Cette pompe permet de délivrer des débits d'injection de 0.21 l / h
avec une microseringue de volume 10 l à 426 ml / h avec une seringue de 60 ml. Pour nos
expériences, le débit volumique d'injection varie entre 0.2 ml / h et 20 ml / h. Afin d'éviter
l'influence de la limite supérieure du domaine sur la propagation du polluant, l'aiguille,
centrée entre les deux plaques, est enfoncée à 0.85 cm en dessous du bord supérieur de la
cellule. Le rapport des diamètres hydrauliques du canal et de la cavité du réservoir étant de
l'ordre de 0.05, la pression sur le bord inférieur de la cellule peut être considérée comme
hydrostatique durant l'injection.
24
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
Vis de serrage
des plaques
Vers pompe
seringue (raccord
par tuyau souple)
z
x
Entretoise
Aiguille d'injection
Support joint
Profilé U
Joint (fixation et
étanchéité)
Manchon fileté
(obturant la rainure)
Rainure
(trop plein)
Joint caoutchouc
Ouverture
dans le joint
Feutre de laine
Vis de
serrage des
plaques
Plaques de verre
Figure 12. Coupe du système d'injection
25
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
Plaques de verre
Feutre de laine
Vis de serrage
des plaques
Joint
caoutchouc
Profilé U
Réservoir
Entretoise
z
x
Vis de serrage
du réservoir
Vanne
Vers déversoir
Tuyau souple
Figure 13. Coupe du système de fixation du réservoir sur les plaques de verre
26
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
3
RESTITUTION
D'UN
CHAMP
DE
CONCENTRATION
PAR
IMAGERIE
Un des objectifs de ce travail est l'étude de l'évolution d'un panache issu de l'infiltration
d'une solution saline dans la cellule de Hele-Shaw dont l'aspect technique a été décrit dans la
partie précédente. La grande sensibilité aux perturbations extérieures, liées par exemple à
l'utilisation de capteurs de mesure intrusifs, a conduit à s'orienter vers des techniques optiques
de mesure. C'est ainsi que l'une d'entre-elles (Nakamura et al., 1983), basée sur les propriétés
d'absorption de la lumière par un colorant, a été appliquée pour l'étude des panaches. En effet,
cette technique permet, à partir du marquage de la solution saline par un colorant et de son
éclairage, de suivre l'évolution du panache en le photographiant. Un traitement d'image
permet alors d'obtenir une information globale et instantanée relative au champ de
concentration.
Dans cette dernière partie de ce chapitre seront exposés :
•
un bref rappel du phénomène d'absorption de la lumière par un colorant et de sa description
analytique,
•
la mise en œuvre de cette technique sur la cellule de Hele-Shaw,
•
la méthode de restitution d'un champ de concentration basée sur un procédé par imagerie.
3.1
Principe de la mesure
Considérons un système d'éclairage produisant un faisceau lumineux traversant le canal
d'écoulement de la cellule contenant une solution colorée (figure 14). La direction du faisceau
est normale aux plaques de verre. Soit un axe Oz orienté dans cette direction. Sous ces
conditions, l'épaisseur du milieu traversé par ce faisceau est b (chemin optique). Le faisceau
est caractérisé par son flux lumineux I (z , λ ) [W.m-2.m-1] à l'abscisse z et sa longueur d'onde
λ [nm ou m]. A la traversée du milieu, l'énergie lumineuse du faisceau est d'une part
27
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
absorbée par ce milieu et d'autre part diffusée. Pour une couche d'épaisseur dz du milieu, ce
phénomène se traduit par une variation dI (z , λ ) du flux lumineux proportionnelle à I (z , λ ), à
la concentration en colorant et à dz (loi de Beer-Lambert) :
dI (z , λ ) = I (z + dz , λ ) − I ( z , λ ) = − β (λ )C (z )I (z , λ )dz
(2)
où C(z) [kg.m-3] représente la concentration ponctuelle en colorant. β [m2.kg-1], variant avec
la longueur d'onde du rayonnement, est le coefficient caractérisant les propriétés d'absorption
de la lumière par la solution colorée.
En intégrant la relation (2) sur l'épaisseur b du milieu traversé par le faisceau,
l'expression de son flux à la sortie de ce milieu, soit I (b, λ ) , peut être mis sous la forme :
I (b, λ )
= exp(− β (λ )b C (z ) )
I (0, λ )
avec C (z ) =
(3)
1 b
C (z )dz la valeur de la concentration, moyennée sur l'ouverture b de la
b ∫0
cellule. L'expression (3) montre que, pour déterminer la concentration moyenne, il est
nécessaire de quantifier le rapport I (b, λ ) I (0, λ ) .
0
I(0)
C(z)
I(z)
b
I(z + dz)
z
I(b)
Figure 14. Trajet optique du faisceau lumineux traversant la cellule
28
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
3.2
Système de mesure
La figure 15 présente la configuration du système de mesure. Deux tubes fluorescents
(néon) d'une puissance de 8 W chacun ont été choisis comme sources lumineuses. Le flux
lumineux émis par ces sources de puissance modérée évite un échauffement de la cellule et du
fluide. Ces deux tubes sont placés dans un système d'éclairage constitué de surfaces
réfléchissantes diffusantes et d'un filtre diffusif assurant ainsi une distribution spatiale
uniforme du flux lumineux à l'entrée de la cellule. L'ensemble du système est placé dans un
compartiment noir pour éviter l'influence d'une lumière parasite sur les mesures.
Le flux du faisceau lumineux traversant la cellule s'atténue suivant la loi
monochromatique de Beer-lambert (équation 2). L'atténuation est alors quantifiée par un
traitement des images prises avec un appareil photographique numérique (Canon). Son
détecteur, type Charge Coupled Device (C.C.D.), est constitué de 2312 x 1720 cellules
photoconductrices (pixels) de taille 3.125 x 3.125 m2 assurant une bonne résolution spatiale.
Ce détecteur est muni des filtres de couleurs primaires rouge, vert et bleu. L'image du champ
éclairé saisie par l'appareil photographique restitue la valeur codée sur 8 bits (gamme 0-255)
du signal de chaque pixel. Ces valeurs notées par la suite CCD sont stockées dans une matrice
2312 x 1720 correspondant à la définition de l'image. Un traitement des données appliqué a
cette matrice permet de restituer le champ spatial de concentration.
Une détermination des différentes caractéristiques des éléments optiques et
électroniques permet de valider ce traitement et d'optimiser ainsi le choix du colorant en terme
de propriétés optiques et niveau de dilution.
29
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
Composante rouge du signal (codée sur 8
bits) : 0 ≤ CCD(x,y,t) ≤ 255
Capteur C.C.D. avec filtres
couleurs primaires rouge,
vert, bleu (Sr, Sv, Sb)
z
Eléments d'optique (Tl)
b
y
0
x
Cellule Hele-Shaw
Colorant bleu
Verre
optique (Tv)
Ii
Filtre diffusant
Filtre rouge
Source de
lumière
Système
d'éclairage
Surface réflèchissante et diffusante
Figure 15. Système de mesure
3.3
Traitements liés à l'utilisation d'un détecteur C.C.D.
Le détecteur CCD est caractérisé par deux propriétés principales : ses réponses
spectrales pour les différents filtres (rouge, vert et bleu) et sa fonction de transfert.
30
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
3.3.1
Sensibilités spectrales du détecteur C.C.D.
La sensibilité du détecteur, caractérisant le rapport du signal de sortie sur le flux du
rayonnement lumineux incident, dépend de la longueur d'onde. A chaque filtre de couleurs
primaires rouge, vert et bleu correspond respectivement une sensibilité : S r (λ ), S v (λ ) et
S b (λ ) [-]. D'après les données du constructeur (Sony), la sensibilité spectrale du détecteur
dans le rouge présente une largeur de bande passante plus étendue que celle dans le vert ou le
bleu (figure 16). Par conséquent, afin de déterminer la concentration, notre choix s'est porté
sur la composante rouge du signal CCD. Ceci a, évidemment, conditionné le choix sur les
éléments (filtre) constituant le système d'éclairage et le colorant à utiliser.
Figure 16. Sensibilité spectrale du détecteur C.C.D. dans les couleurs bleu, vert et rouge (d'après Sony)
31
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
3.3.2
Fonction de transfert du détecteur C.C.D.
Comme la valeur du signal CCD restituée par un pixel n'est pas linéaire en fonction du
flux lumineux incident I [W.m-2], il est impérativement nécessaire de déterminer la fonction
de transfert du détecteur afin d'exprimer CCD en fonction de I. Cette fonction est déterminée
en faisant varier l'exposition lumineuse E [J.m-2], définie comme étant le produit de la durée
d'exposition te [s] et du flux lumineux incident I de la source lumineuse utilisée dans les
expériences. En gardant I constant ainsi que les différents réglages des éléments optiques de
l'appareil photographique (ouverture de 8), E est directement proportionnelle à la durée
d'exposition. En utilisant la représentation graphique ln(CCD) en fonction de ln(te) (figure
17), on peut alors déterminer le domaine linéaire de la courbe où les caractéristiques se
mettent sous la forme :
ln CCD = A + γ ln t e
(4)
où A est une constante. La valeur γ de la pente caractéristique du détecteur est déterminée par
régression linéaire. Pour 100 < CCD < 250, γ est égale à 0.55 (figure 17). La valeur du
niveau de gris restitué par un élément C.C.D. n'est donc pas linéaire en fonction du flux
lumineux incident I [W.m-2] et se met sous la forme (pour une ouverture de 8 et un temps
d'exposition constant) :
CCD = B ⋅ I γ
où B représente une constante caractérisant la chaîne optique.
32
(5)
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
ln (CCD )
5,6
5,2
4,8
4,4
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
Ln (t e)
Figure 17. Détermination de la pente caractéristique du détecteur
3.4
Caractéristique du système d'éclairage
3.4.1
Distribution spectrale du flux lumineux
Les deux tubes néons produisent des radiations polychromatiques centrées sur plusieurs
raies de largeurs spectrales variables. L'ensemble des surfaces réfléchissantes et diffusantes
ainsi que le filtre diffusif permettent de rendre continue la distribution spectrale du
rayonnement émis à la sortie du système (figure 15). Un filtre rouge centre
approximativement cette distribution sur des longueurs d'onde voisines de 600 nm. Les
radiations ainsi émises se situent dans la plage des longueurs d'onde où la sensibilité du
détecteur C.C.D. est maximale.
La distribution spectrale du flux lumineux incident I 0 (λ ) [W.m-2.m-1] est déterminée
expérimentalement avec un spectrophotomètre (H20 Horiba). Deux séries de mesures, l'une,
avec le système d'éclairage et l'autre, avec une lampe étalon à ruban de tungstène, sont
réalisées pour des longueur d'onde variant de 400 à 800 nm (avec une résolution spectrale
33
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
réglée à 5 nm). La répartition spectrale énergétique du tungstène étant connue, l'énergie
spectrale relative I 0 (λ ) I max du système d'éclairage peut être calculée (figure 18).
1
I o / I max [-]
0,8
0,6
0,4
0,2
0
400
500
600
700
800
Longueur d'onde [nm]
Figure 18. Distribution spectrale du flux lumineux incident du système d'éclairage
3.4.2
Distribution spatiale du flux lumineux
Les composants du système d'éclairage concourent également à uniformiser de façon
∞
satisfaisante la distribution spatiale du flux I i (x , y ) = ∫ I 0 (x , y , λ )dλ [W.m-2] polychromatique
0
émis à sa sortie et donc à l'entrée de la cellule de Hele-Shaw. Les dimensions de la zone
éclairée sont 285 mm et 180 mm suivant les axes Ox et Oy respectivement (figure 15).
Néanmoins, les extrémités de cette zone présentent une diminution du flux du fait de
l'existence d'angle mort dans la conception du système (ombres portées). L'influence de ces
variations de flux (équation 5) sur la distribution spatiale de CCD peut être visualisées sur le
graphique de la figure 19 représenté pour le quart inférieur gauche de la zone éclairée. Les
autres quarts sont symétriques par rapport au centre de la zone. Le traitement du signal pour
déterminer la concentration devra donc tenir compte de ces variations spatiales du flux
lumineux.
34
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
1150
CCD
D istan ce v ertica le x (p ix els)
22 0
21 0
575
20 0
19 0
0
0
36 3
72 6
18 0
D istan ce h orizon tale y (p ix els)
Figure 19. Distribution spatiale de CCD (quart inférieur gauche de la zone éclairée : 726 x 1150 pixels, i.e. :
90 x 142.5 mm2)
3.4.3
Distribution temporelle du flux lumineux
Nous avons également vérifié la stabilité temporelle du flux I i (t ) à la sortie du système
d'éclairage. Pour cela, l'acquisition d'une série d'images séparées par un intervalle de temps
constant de 30 s durant 15 min a été faîte. La moyenne CCD*(ti) des valeurs CCD(x,y,ti) sur
une même zone de 10 x 10 pixels est calculée et relevée pour chaque pas de temps ti. La
valeur CCD* rapportée à la moyenne temporelle CCDmoy de toute les valeurs CCD* est
reportée en fonction du temps sur le graphique de la figure 20. Ce graphique montre que le
flux I i (t ) en vertu de l'équation 5 est relativement stable puisque CCD* / CCDmoy est compris
entre 0.95 et 1.05. Bien que les variations temporelles du flux I i (t ) soient modérées, une
35
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
correction (Cf. §3.6.3) sera cependant effectuée au niveau du traitement du signal, afin
d'extraire la valeur de la concentration.
1,2
CCD moy
1,1
1
CCD*
0,9
0,8
0
300
600
900
Temps [s]
Figure 20. Variation de CCD en fonction du temps
3.5
Choix du colorant
Rappelons que la sensibilité spectrale du détecteur C.C.D. est maximale pour les
longueurs d'onde voisines de 600 nm (figure 16). Le colorant à choisir, pour marquer la
solution injectée dans le modèle, doit donc présenter un absorption maximale pour ces
longueurs d'onde. Sous ces conditions, le choix s'est porté sur un colorant bleu (Brillant Blue
CFC, Duckworth Group). Ce colorant est commercialisé sous la forme d'une solution (dilution
: 1%, correspondant à une concentration en soluté : C0 [kg.m-3]). Cette solution, étant
quasiment opaque à la lumière, doit être diluée (concentration Cd après dilution) afin d'être
exploitable. Au moyen d'un spectrophotomètre (MC2-SAFAS MONACO, résolution spectrale
de 5 nm), des mesures de la transmission Tr [-], en fonction de la longueur d'onde, de la
solution colorée avec deux dilutions différentes (0.01% et 0.005%) ont été réalisées. Les
propriétés d'absorption de ce colorant sont particulièrement pertinentes pour notre système de
36
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
mesure puisqu'il présente une transmission minimale pour une longueur d'onde proche de 600
nm (figure 21). Ces résultats permettent de déterminer les variations de β en fonction de la
longueur d'onde λ par la relation suivante :
β (λ ) = −
200 Tr 0.01%
ln
C 0 d Tr 0.005%
(6)
avec d [m] la largeur de la cuve d'essai (d = 1 cm). Tr0.01% et Tr0.005% sont respectivement les
transmissions pour la solution colorée diluée à 0.01 % et 0.005 %.
Transmission T r [%]
100
80
d= 1cm
60
Flux
incident
0,01%
0,005%
40
Tr =
20
0,01 %
et
0,005 %
Flux
émis
Flux émis
Flux incident
0
400
500
600
700
800
Longueur d'onde [nm]
Figure 21. Transmission de la solution colorée pour deux dilutions différentes
37
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
3.6
Étude du signal de sortie en fonction de la concentration
3.6.1
Expression du signal en fonction de la concentration
A partir de l'équation (5) et des propriétés spectrales de chaque composant du dispositif
expérimental, la relation liant la composante rouge de la valeur du signal de chaque pixel en
fonction de la concentration moyenne en colorant est donnée par :
(
)
∞
CCD (x , y ) = B ∫ Tv2 (λ )Tl (λ )S r (λ )I 0 (x, y , λ )exp − β (λ )C d b C (x, y , z ) dλ 
 0

où C =
γ
(7)
1 b
C ⋅dz avec C = C C d la concentration réduite en colorant. Tl [-] et Tv [-] sont
b ∫0
respectivement les transmissions des éléments optiques de l'appareil photographique et des
plaques en verre optique. On note que, la forme intégrale de l'équation (7) permet de prendre
en compte les variations des propriétés optiques de chaque élément en fonction de la longueur
d'onde. D'après la figure 22, on constate que les variations de ces transmissions en fonction de
la longueur d'onde sont négligeables dans la plage d'intégration de l'équation (7). Sous ces
conditions, cette même équation peut être rendue adimensionnelle et exprimée sous la forme :
(
)
 λ2

CCD (x, y )  ∫λ1 S r (λ )I 0 (x, y , λ )exp − β (λ )C d b C (x , y , z ) dλ 
=

λ2
CCD0 (x, y ) 
S r (λ )I 0 (x, y , λ )dλ

∫
λ1


γ
(8)
où CCD0(x,y,t) représente la valeur du signal pour une concentration en colorant nulle, i.e. :
C =0.
38
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
Figure 22. Transmission du verre optique (B270)
3.6.2
Sensibilité du signal à la concentration en fonction de la dilution
La valeur du niveau de dilution doit être choisie de façon à optimiser la dynamique du
signal en fonction de la concentration. À partir de l'équation (8), la valeur CCD en fonction de
la concentration réduite peut être calculée théoriquement par intégration numérique pour
différentes dilutions (Cd). Le graphique de la figure 23 montre le résultat de cette intégration
pour cinq dilutions : 0.001 % (Cd = C0 / 1000), 0.005 % (Cd = C0 / 200), 0.01% (Cd = C0 /
100), 0.02% (Cd = C0 / 50) et 0.1% (Cd = C0 / 10). Pour les deux dernières dilutions, nous
observons que la valeur CCD quitte le domaine de validité de l'équation 5 dès que C ≥ 0.8
pour 0.02 % et C ≥ 0.2 pour 0.1%. En outre, pour 0.1% et C ≥ 0.4 , le signal tend
rapidement vers une valeur constante traduisant ainsi sa saturation. Par contre, pour des
dilutions relativement faibles, i.e. : 0.001 % et 0.005 %, l'amplitude des variations du signal
est très limitée et son exploitation, pour déterminer la concentration, devient très difficile (le
rapport signal sur bruit est faible). Par conséquent, la valeur de la dilution optimale qui doit
théoriquement conduire à un signal exploitable est de 0.01 %.
39
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
200
0,001 %
CCD [-]
0,005 %
140
0,01 %
0,02 %
80
0,1 %
20
0
0,2
0,4
0,6
C
0,8
1
[−]
Figure 23. Sensibilité du signal à la concentration réduite pour différentes dilutions
3.6.3
Etalonnage du signal
Afin de vérifier la validité de l'équation (8), nous avons réalisé un étalonnage permettant
d'obtenir la valeur CCD pour différentes concentrations réduites correspond à la solution
diluée de 0.01 % (figure 24). Les résultats expérimentaux ainsi que ceux théoriques, calculés
par intégration de l'équation (8), sont reportés sur le graphique de la figure 25. Pour des
concentrations réduites inférieures à 0.8, un bon accord entre ces deux types de résultats est
observé. Par contre, pour des concentrations supérieures à 0.8, les valeurs mesurées mettent
en évidence des propriétés d'absorption de la lumière légèrement plus fortes que celles
obtenues par l'équation (8). Par conséquent, l'utilisation de l'équation (8) implique une
certaine correction. Cette correction est prise en compte avec l'équation de la courbe de
régression quadratique des points expérimentaux (figure 24). La bonne corrélation entre les
résultats théoriques et expérimentaux justifie également le traitement des données pour
prendre en compte les défauts d'uniformité spatio-temporelle du flux lumineux à la sortie du
système d'éclairage. Pour ce traitement, les valeurs CCD0(x,y) de l'équation 8 sont
déterminées par le biais d'une image de référence prise avant le début de l'injection de la
solution colorée ( C (x, y , z ) = 0 ). Moyennant ces corrections, il est alors possible de
40
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
déterminer la concentration réduite moyenne en tout point M(x,y) de la cellule de Hele-Shaw
à partir du signal CCD.
C/Cd = 0.1
C/Cd = 0.2
C/Cd = 0.5
C/Cd = 1.0
Figure 24. Photographies des expériences réalisées pour l'étalonnage du signal CCD en fonction de la
concentration réduite C/Cd de la solution diluée à 0.01%.
41
Chapitre 1 Mesures non intrusives en milieux poreux - Dispositif expérimental et technique de mesure
0,6
-ln(CCD / CCD 0)
Courbe théorique
0,5
Points expérimentaux
0,4
Régression quadratique des
points expérimentaux
0,3
0,2
0,1
0
0
0,2
0,4
C
[−]
0,6
0,8
1
Figure 25. Comparaison entre les valeurs théoriques et expérimentales en fonction de la concentration
4
CONCLUSION
Afin de pouvoir caractériser l'écoulement d'un fluide hétérogène et le transport d'un
soluté dans un milieu poreux, un dispositif expérimental de type cellule de Hele-Shaw,
modèle analogue à un milieu poreux bidimensionnel, a été mis au point. Les choix des types
de matériaux ou encore des techniques de conception de ses composants permettent de
minimiser les variations locales de perméabilité et d'utiliser des techniques optiques de
mesure. Parmi elles, une méthode globale de restitution d'un champ des concentrations, basée
les propriétés d'absorption de la lumière par un colorant, a été développée et appliquée à la
cellule. L'apport de cette technique de mesure sera ainsi indispensable pour la caractérisation
des zones de mélange étudiées.
42
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
Chapitre 2
RÉGIMES DE DISPERSION EN CELLULE DE
HELE-SHAW POUR UN FLUIDE HÉTÉROGÈNE
43
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
NOMENCLATURE
a
Diamètre d'un tube circulaire [m]
b
Ouverture de la cellule [m]
c
Concentration moyennée entre deux plaques ou sur le diamètre de la section
droite d'un tube [kg.m-3]
Cinj
Fraction massique de la solution injectée (modèles expérimental et
numérique) [-]
Cm
Fraction massique du soluté [-]
D
Tenseur de dispersion adimensionnel [-]
D// , D⊥
Coefficients de dispersion longitudinale et transversale par rapport à la
direction principale de l'écoulement [-]
Deff
Coefficient effectif de diffusion dans un tube circulaire ou entre deux plaques
planes et parallèles [m2.s-1]
Dkl
Composante adimensionnelle du tenseur de dispersion [-]
Dkld
Composante adimensionnelle du tenseur de diffusion macroscopique [-]
Dklh
Composante adimensionnelle du tenseur de dispersion hydrodynamique [-]
Dm
Coefficient de diffusion moléculaire [m2.s-1]
Dm∞
Coefficient de diffusion moléculaire à dilution infinie [m2.s-1]
f
Fonction représentant une variable du problème
~
f
Variable du problème dépendant de la fraction massique Cm
f0, f1, f2
Quantités perturbées à l'ordre 0, 1 et 2 de la fonction f
g
Accélération de la pesanteur [m.s-2]
G
Rapport entre la vitesse gravitationnelle et la vitesse caractéristique [-]
Gr
Nombre de Grashoff relatif au transfert de masse [-]
H
Hauteur du canal de la cellule [m]
i, j
Indices (1, 2 ou 3)
k, l
Indices (1 ou 2)
l
Longueur caractéristique [m]
L
Largeur du canal de la cellule [m]
M
Rapport des viscosités des fluides ambiant et injecté [-]
P
Pression [kg.m-1.s-2]
P*
Pression caractéristique [kg.m-1.s-2]
44
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
Pe
Nombre de Péclet [-]
Pe*
Nombre de Péclet modifié [-]
qv
Débit volumique à l'injection de la pompe-seringue [m3.s-1]
Ra
Nombre de Rayleigh [-]
Re
Nombre de Reynolds [-]
S
Superficie du domaine d'injection
t
Temps [s]
t*
Temps caractéristique [s]
V, V
Vecteur vitesse de l'écoulement et sa norme [m.s-1]
Vg
Vitesse gravitationnelle caractéristique [m.s-1]
Vi
Composante suivant l'axe Oxi du vecteur vitesse V de l'écoulement [m.s-1]
Vinj
Vitesse moyenne de l'écoulement à l'injection [m.s-1]
V*
Vitesse caractéristique [m.s-1]
x1, x2, x3 (x, y, z)
Coordonnées verticale, horizontale et transversale d'un point M dans le canal
[m2]
[m]
x
Vecteur position de composantes x1, x2 et x3
y
Vecteur position de composantes x1 et x2
Lettres grecques
Domaine d'injection
Domaine d'étude de l'écoulement
ρ
Masse volumique du mélange [kg.m-3]
ρ a , ρ inj
Masses volumiques des fluides ambiant et injecté [kg.m-3]
µ
Viscosité dynamique du mélange [kg.m-1.s-1]
µ a , µinj
Viscosités dynamiques des fluides ambiant et injecté [kg.m-1.s-1]
ρ*
ε
Contraste de masse volumique entre le fluide injecté et le fluide ambiant [kg.m-3]
Rapport entre l'ouverture et la hauteur du canal [-]
Symboles
-
Valeur adimensionnelle
δ ij
Symbole de Kronecker
Opérateur moyenne selon l'ouverture du canal
45
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
Chapitre 2 - RÉGIMES DE DISPERSION EN CELLULE DE
HELE-SHAW POUR UN FLUIDE HÉTÉROGÈNE
Afin d'analyser les résultats expérimentaux obtenus dans la cellule de Hele-Shaw, des
simulations numériques sont envisagées. Elles seront menées à l'aide d'un code numérique
développé pour les problèmes de transport en milieu poreux (Buès and Oltean, 2000 ; Oltean
and Buès, 2001). En effet, l'approche numérique nous permettra de mieux appréhender et
quantifier les phénomènes observés dans la cellule.
Afin de pouvoir l'appliquer, l'outil numérique a été modifié pour les problèmes
spécifiques rencontrés en cellule de Hele-Shaw. Ces modifications portent essentiellement sur
le tenseur de dispersion obtenu par un développement asymptotique des équations de NavierStokes, continuité et transport. Notre étude porte sur l'écoulement de deux fluides miscibles
de propriétés physiques différentes. Ce développement prend donc en compte les variations
de la masse volumique, de la viscosité dynamique et de la diffusion moléculaire en fonction
de la concentration.
1
ANALYSE BIBLIOGRAPHIQUE
1.1
Déplacement d'un traceur dans un tube et entre deux plaques
Pour le transport d'un traceur dans un tube circulaire ou dans l'espace d'écoulement
d'une cellule de Hele-Shaw, la dispersion longitudinale résulte principalement de l'action
simultanée de deux processus de transport. L'un, dû à la diffusion transversale, provoque le
transport du soluté dans la direction transversale de l'écoulement. L'autre, dû aux variations de
la vitesse longitudinale de l'écoulement dans la section, provoque le transport convectif du
soluté le long du tube ou des plaques.
46
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
Pour un tube circulaire d'axe Ox (diamètre a et longueur l) et un profil des vitesses de
type Poiseuille, l'analyse de Taylor (1953) montre que l'évolution de la concentration
moyenné c selon le diamètre d'une section droite est décrite par une équation de convectiondiffusion :
∂c
∂c
∂ 2c
+ V * = Deff 2
∂t
∂x
∂x
(1)
V* étant la vitesse moyenne constante de l'écoulement et Deff = a 2V *2 192 Dm le coefficient
de diffusion effectif. Taylor (1953) précise également les conditions requises pour la validité
de l'équation (1) :
Deff >> Dm
(2)
a 2V *
Pe* =
<< 1
lDm
(3)
La première permet de négliger l'effet de la diffusion moléculaire Dm suivant l'axe Ox du tube
tandis que la seconde, portant sur le nombre de Péclet modifié Pe*, permet de supposer que
l'effet de la diffusion transverse (temps caractéristique a 2 Dm ) est prépondérant devant celui
de la convection (temps caractéristique l V * ). Cette dernière relation (3) peut être
transformée afin d'obtenir une condition sur le rapport d'aspect géométrique du tube :
a l << Dm aV *
(4)
Les travaux de Taylor (1953) ont été généralisés par Aris (1956). Ils permettent de prendre en
compte aussi bien la diffusion longitudinale que d'autres caractéristiques géométriques.
Lorsqu'il s'agit de deux plaques planes espacées de b et de longueur l, le coefficient
effectif de diffusion dans l'équation (1) prend la forme :
Deff = Dm +
b 2u2
210Dm
avec la condition (3) où le nombre de Péclet modifié Pe* implique la dimension b, i.e :
47
(5)
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
Pe* =
b 2 Dm
<< 1
lV*
(6)
L'interprétation phénoménologique de cette condition (6) est que la diffusion tend à
uniformiser la distribution du soluté entre les deux plaques (figure 1a). L'évolution de la
concentration moyennée selon l'ouverture b étant décrite par un processus Fickien, la largeur
de la zone de mélange est proportionnelle à t1/2. Pour Pe* >> 1, le transport convectif devient
prépondérant devant celui par la diffusion transverse. Dans ce cas, les deux fluides ne se
mélangent quasiment pas (figure 1b). Dans le cas limite d'une diffusion moléculaire nulle
(Pe* infini), le soluté est simplement advecté le long des lignes de courant aux vitesses
données par le profil de Poiseuille. La largeur de la zone de mélange apparente varie ainsi
linéairement avec le temps et son évolution ne peut plus être décrite par un processus Fickien.
Néanmoins, il est possible de déterminer analytiquement l'évolution de l'interface entre le
fluide injecté et le fluide ambiant. La valeur de la concentration moyenne est alors égale à
l'épaisseur de la couche de fluide injecté rapportée à l'ouverture (Lajeunesse, 1999).
0.5
2 x 

L'équation du profil de concentration moyennée c s'écrit alors : c = 1 −
 . Les fronts
3V *t 

de concentration sont ainsi autosimilaires dans la mesure où c ne dépend que du rapport x/t.
(a) - Pe* = 0.5
(b) - Pe* = 512
Figure 1. Résultats des simulations du déplacement d'un traceur inerte entre deux plaques obtenus par
Rakotomalala et al. (1997) avec la méthode de gaz sur réseau. Le profil de concentration moyenné, les
isoconcentrations 0.25, 0.5 et 0.75 et le profil de vitesse (lignes continues) comparé au profil de Poiseuille
(lignes discontinues) sont représentés pour Pe* = 0.5 (a) et Pe* = 512 (b).
48
Chapitre 2
1.2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
Déplacement de deux fluides miscibles hétérogènes entre deux plaques
Dans le cas du déplacement de deux fluides de viscosités différentes, les résultats de
travaux numériques (Rakotomalala et al., 1997) montrent que l'on peut mettre en évidence,
deux situations suivant l'importance relative des effets convectif et diffusif comme dans le cas
du soluté inerte.
•
Pe* <<1 (figure 2-a&c-) :
Le profil des concentrations moyennées se présente sous la forme d'un front diffusif se
déplaçant à la vitesse moyenne de l'écoulement tandis que le profil de vitesse est proche
d'un profil de Poiseuille.
•
Pe* >>1 (figure 2-b&d-) :
Les variations de la concentration, et par conséquent de la viscosité dynamique, suivant
l'ouverture ne sont plus négligeables. Il en résulte que le profil de vitesse ne peut plus être
assimilé à un profil parabolique bien que l'écoulement reste laminaire. De ce fait, la
structure du front des concentrations moyennées dépend du rapport M = µ a µ inj , µ a étant
la viscosité dynamique du fluide déplacé et µ inj celle du fluide injecté. Si M < 1, le
contraste de viscosité a pour effet de stabiliser l'écoulement. Par contre, si M > 1, des
digitations visqueuses peuvent apparaître.
Pour Pe* >>1, Yang et Yortsos (1997) ont développé une équation hyperbolique pour
déterminer l'évolution de la concentration moyenne avec les hypothèses d'un écoulement
visqueux unidirectionnel entre les deux plaques et d'un coefficient de diffusion moléculaire
nul. Cette équation est établie en analysant l'évolution de la forme de l'interface entre les deux
plaques. La solution analytique de cette équation s'écrit : x = V * t
[
3
3 1 + (2 M − 3)c 2 − 2(M − 1)
[
2 1 + (M − 1)c
]
3 2
].
Pour M > 3/2, un choc se forme pour la concentration donnée par la relation :
(2 M − 3)(M − 1)c 3 + 9(M − 1)c − (4 M − 6 ) = 0 . Les solutions déterminées analytiquement par
les mêmes auteurs sont présentées sur la figure 3. La concentration moyenne c ne dépend que
de M et du rapport x / t (front autosimilaire).
49
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
(a) - Pe* = 0.5 (M = 100)
(b) - Pe* = 512 (M = 100)
(c) - Pe* = 0.5 (M = 0.01)
(d) - Pe* = 512 (M = 0.01)
Figure 2. Résultats des simulations du déplacement de deux fluides hétérogènes (a et b : M = 100; c et d : M =
0.01) obtenus par Rakotomalala et al. (1997) avec la méthode de gaz sur réseau. Le profil de concentration
moyennée, les isoconcentrations 0.25, 0.5 et 0.75 et le profil de vitesse (lignes continues) comparé au profil de
Poiseuille (lignes discontinues) sont représentés pour Pe* = 0.5 (a et c) et Pe* = 512 (b et d).
Figure 3. Profils de concentration moyennée en fonction de M d'après Yang and Yortsos (1997)
50
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
Le nombre adimensionnel G = b 2 ρ * g (µ aV *) permet de prendre en compte l'effet
d'une différence de densité
ρ * entre le fluide ambiant et injecté. Il caractérise l'importance
relative des forces de gravité et des forces visqueuses. Pour un écoulement entre deux plaques
verticales, deux situations peuvent se présenter. L'une où le fluide le plus dense se situe audessus du moins dense et l'autre où le fluide le moins dense se situe au-dessus. Dans le
premier cas, l'effet de la différence de densité tend à déstabiliser l'écoulement tandis que dans
le second, il le stabilise. Le déplacement de deux fluides avec un contraste de masse
volumique et de viscosité a été étudié expérimentalement dans un tube vertical par Petitjeans
and Maxworthy (1996) et numériquement dans un tube et une cellule verticales par Chen and
Meiburg (1996). Ces auteurs montrent que l'on peut mettre en évidence, deux situations
suivant l'importance relative des effets convectif et diffusif (Pe* << 1 ou Pe* >> 1) comme
dans le cas de deux fluides de viscosités différentes.
1.3
Conclusion
Depuis, pour la modélisation numérique ou/et les études théoriques, l'approche
classique est de décrire le phénomène de transport d'un soluté dans une cellule par une
équation de convection-diffusion portant sur la concentration et la vitesse moyennées sur
l'ouverture b. Dans cette équation, les termes du tenseur de dispersion dans les directions
principales parallèle D// et transversale D⊥ de l'écoulement s'écrivent :
D// = Dm +
b2 V
2
210Dm
et D⊥ = Dm
(7)
où V représente la norme du vecteur vitesse V de l'écoulement.
Bien que cette approche soit valide pour un profil des vitesses de type Poiseuille et pour
un fluide homogène, elle est généralement adoptée pour les études portant sur l'écoulement
des fluides avec variation des propriétés physiques (que l'on appellera par la suite fluides
hétérogènes). Citons à titre d'exemples, les travaux de Zimmerman and Homsy (1991, 1992)
et ceux de Wooding et al. (1997a, 1997b). Ces derniers ont étudié le passage entre le régime
diffusif et celui convectif de l'eau salée sous l'effet de la gravité tandis que les premiers ont
51
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
analysé l'apparition et le développement de digitations visqueuses lors du déplacement de
deux fluides hétérogènes. L'analyse bibliographique précédente met en évidence que
l'approche classique pour ce type de problème est discutable du fait du couplage entre les
équations d'écoulement et de transport (variations de la masse volumique et de la viscosité
dynamique de l'eau salée en fonction de sa concentration en sel). Moyennant ces
constatations, nous avons analysé théoriquement le phénomène de dispersion dans le cas
général d'une variation de la masse volumique, de la viscosité dynamique et de la diffusion
moléculaire avec la concentration en soluté.
2
FORMULATION DU PROBLEME
2.1
Géométrie du domaine d'étude et système d'équations
Considérons l'écoulement de deux fluides miscibles hétérogènes entre les deux plaques
d'une cellule de Hele-Shaw, l'un injecté avec un débit volumique constant et l'autre
initialement au repos, saturant la veine d'écoulement. La hauteur, la largeur et l'ouverture de la
veine d'écoulement sont notées respectivement H, L et b. Un repère de cordonnées
cartésiennes (0; x1, x2, x3) est attaché à la géométrie du canal. L'axe 0x1 (resp. 0x2, et 0x3) est
orienté suivant la direction verticale (resp. horizontale et l'ouverture du canal). Sous ces
considérations, la zone d'étude de l'écoulement se réduit à un domaine noté
(figure 1) tel
que :
= {0 ≤ x1 ≤ H
; 0 ≤ x2 ≤ L ; 0 ≤ x3 ≤ b}
52
(8)
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
x2 (y)
0
b
x3 (z)
Fluide
injecté
H
g
V*
Fluide
ambiant
x1 (x)
Figure 4. Géométrie du domaine d'étude
L
de l'écoulement de deux fluides miscibles hétérogènes
L'écoulement est décrit par les équations de Navier-Stokes et l'équation de continuité du
fluide. A ces équations s'ajoute l'équation de transport du soluté. Le système à résoudre se
présente donc sous la forme :
∂ρ ∂ (ρVi )
+
=0
∂t
∂x i
 ∂V
∂V
ρ  i + V j i
∂x j
 ∂t
(9)
 ∂P
∂ 2Vi
+
=
µ
+ δ i1 ρg
 ∂x
∂
∂
x
x
i
j
j

∂ (ρC m ) ∂ (Vi ρC m ) ∂
+
=
∂t
∂xi
∂xi

∂C
 Dm ρ m
∂x i




(10)
(11)
où P [kg.m-1.s-2] représente la pression, Cm [-] la fraction massique du soluté, Vi [m.s-1] la ième
composante du vecteur vitesse (i = 1, 2, 3), g [m.s-2] l'accélération de la pesanteur, δ ij le
symbole de Kronecker (j = 1, 2, 3), Dm [m2.s-1] le coefficient de diffusion moléculaire, ρ
[kg.m-3] la masse volumique, µ [kg.m-1.s-1] la viscosité dynamique et t le temps [s]. On se
place dans le cas où les trois derniers paramètres sont des fonctions de la fraction massique
Cm.
53
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
Pour t > 0, les conditions aux limites du problème se traduisent par :
Vi
x3 =0
= Vi
x3 = b
∫ V dx dx
Cm
1
2
3
=0
(12)
= qv
(13)
= C inj
(14)
x1 =0 ; x2 , x3∈
La relation (12) exprime la condition d'adhérence du fluide sur les parois des deux plaques.
Les relations (13) et (14) sont relatives au condition d'injection. L'injection du fluide avec une
fraction massique Cm = Cinj et un débit volumique qv [m3.s-1] se fait sur une superficie S
appartenant au domaine plan
(0, x2, x3). Aux conditions précédentes s'ajoutent celles liées à
la symétrie du système par rapport au plan médian des deux plaques d'équation x3 = b/2 :
symétrie des profils suivant x3 des variables du problème.
2.2
Grandeurs caractéristiques et variables adimensionnelles
Afin d'écrire le système d'équations (9)-(11) sous forme adimensionnelle, prenons
comme échelles caractéristiques des longueurs la dimension verticale H et l'ouverture b de la
cellule. Si le débit volumique qv à l'injection est connu, la vitesse moyenne Vinj au niveau de
l'injection peut être considérée comme une vitesse caractéristique V* :
V * = Vinj =
qv
S
(15)
Ce qui permet ainsi de définir un temps caractéristique :
t* =
H
V*
(16)
La pression caractéristique choisie est celle correspondant à un écoulement visqueux où le
terme du gradient de pression macroscopique est du même ordre de grandeur que le terme de
diffusion visqueuse locale. L'équilibre de ces deux termes se traduit par la relation :
54
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
P* =
V * Hµ a
b2
(17)
L'indice 'inj' (resp. 'a') désigne le fluide injecté (resp. ambiant). Les valeurs caractéristiques
choisies pour la masse volumique, le contraste de masse volumique, la viscosité dynamique,
la diffusion moléculaire et la fraction massique sont respectivement :
ρa ,
ρ * = ρ inj − ρ a , µ a , Dm∞ , Cinj
(18)
où Dm∞ représente le coefficient de diffusion moléculaire à dilution infinie. A partir de ces
grandeurs caractéristiques, il est possible alors de définir les variables adimensionnelles
suivantes :
xk =
xk
x
P − ρ a gx1
t
ρ
(k = 1,2), x3 = 3 , P =
,t= , ρ=
,
H
b
P*
t*
ρa
V
C
µ
Vi = i , µ =
, Cm = m ,
V*
µa
C inj
2.3
ρ=
ρ
D
, Dm = m
ρ*
Dm∞
(19)
Formulation du problème en variables adimensionnelles
En prenant en compte les deux échelles de longueur H et b comme grandeurs
caractéristiques, le domaine d'étude
(relation 8) devient :
L

= 0 ≤ x1 ≤ 1 ; 0 ≤ x2 ≤
H
î

; 0 ≤ x3 ≤ 1

(20)
Suivant la procédure classique et en utilisant les relations (19), le système d'équations
(9)-(11) est mis sous forme adimensionnelle :
∂ρ ∂ (ρ Vk ) 1 ∂ (ρ V3 )
+
+
=0
∂t
∂x k
ε ∂x3
55
(21)
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
ε 2 ρRe
 ∂V 1 ∂V 
∂Vi
∂P
1 ∂P
+ ε 2 ρReVk i + V3 i  + δ ik
+ δ i3
=
∂t
∂xk
ε ∂x3
 ∂xk ε ∂x3 
 ∂ 2Vi
1 ∂ 2Vi 
 + δ i1G ∆ρ
ε µ 
+ 2
2 
 ∂xk ∂xk ε ∂x3 
(22)
2
∂ (ρ C m ) ∂ (Vk ρ C m ) 1 ∂ (V3 ρ C m ) 1  ∂
+
+
=

∂t
∂x k
ε
∂x3
Pe  ∂x k

∂C
 Dm ρ m
∂x k

 1 ∂ 
∂C m
 + 2
 Dm ρ
∂x 3
 ε ∂x 3 

 (23)

Quatre paramètres peuvent alors caractériser ce problème :
•
un paramètre de forme ε , rapport entre l'ouverture et la hauteur de la veine :
ε=
•
b
H
(24)
le nombre de Péclet Pe, rapport entre le temps caractéristique H 2 / Dm∞ correspondant à
l'effet de diffusion et celui H /V * traduisant l'effet convectif sur l'échelle des longueurs H :
Pe =
•
V *H
Dm∞
(25)
le nombre de Reynolds Re caractérisant l'importance des effets inertiels par rapport à ceux
visqueux :
Re =
•
Hρ aV *
µa
(26)
le nombre G représentant le rapport entre les forces dues à la gravité et celles dues aux
effets visqueux.
ρ *b 2 g
µ aV *
G=
(27)
Ce dernier paramètre peut également être mis sous la forme G = Vg V * avec :
ρ *b 2 g
Vg =
µa
56
(28)
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
la vitesse gravitationnelle caractéristique.
Pour t > 0 , les conditions aux limites (12)-(14) du problème se réécrivent sous la
forme, :
Vi
x 3 =0
= Vi
∫ V dx dx
1
Cm
2.4
2
3
x3 =1
=0
= V * Hbqv
x1 = 0 ; x2 , x3∈
=1
(29)
(30)
(31)
Spécificités du problème
La principale spécificité de la cellule de Hele-Shaw est représentée par le rapport
relativement petit entre l'ouverture b et son étendue vertical H, i.e. :
ε << 1
(32)
Dans ces conditions, le phénomène de convection-diffusion dans la cellule de Hele-Shaw peut
alors être considéré comme un phénomène présentant deux échelles des longueurs séparées :
l'une, faisant référence à l'échelle microscopique (ou locale) et l'autre, à l'échelle
macroscopique. Par conséquent, il peut être inclus dans la catégorie générale des phénomènes
de transport macroscopique (Brenner and Edwards, 1993 ; Yang and Yortsos, 1997). Ces
considérations nous ont conduit à analyser le problème initialement posé à l'aide d'une
méthode asymptotique (Sanchez-Palencia, 1980 ; Allaire, 1992).
57
Chapitre 2
3
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
SOLUTION ASYMPTOTIQUE
3.1
Homogénéisation du problème
Dans la suite de ce chapitre et pour simplifier la notation, les barres sur les variables,
symbolisant le caractère adimensionnel, seront omises.
La faible épaisseur du canal d'écoulement nous permet raisonnablement de considérer
que le déplacement du soluté peut être bien décrit par les valeurs moyennes des grandeurs
intervenant dans les équations de base (21)-(23). Dans ces conditions, il est tout à fait justifié
d'appliquer la technique d'homogénéisation suivant l'axe x3 à l'aide de l'opérateur moyenne •
défini par :
1
∀f ,
f = ∫ f (x , t )dx3
(33)
0
avec f représentant toute grandeur intervenant dans les équations de base du problème et x(x1,
x2, x3) le vecteur position.
La condition de non-adhérence du fluide aux parois x3 = 0 et x3 = 1 (relations 29)
conduisent alors aux relations intégrales suivantes :
Vi
∂Vi
=0
∂x3
(34)
∂V
∂f
=− f i
∂x3
∂x 3
(35)
tandis que les propriétés de symétrie du système par rapport au plan d'équation x3 = 0.5
impliquent :
∂f
=0
∂x 3
58
(36)
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
∂2 f
∂x32
=2
∂f
∂x 3
(37)
x3 =1
En appliquant l'opérateur moyenne (équation 33) aux équations (21) et (23) et en tenant
compte de la propriété (36), les équations (21) et (23) prennent les formes suivantes :
∂ ρ
∂ ρVk
+
=0
∂t
∂x k
(38)
∂ ρC m
∂ Vk ρC m
1 ∂
∂C
Dm ρ m
+
=
Pe ∂x k
∂t
∂x k
∂x k
(39)
Pour estimer les oscillations f - < f > induites par l'homogénéisation, les équations (38)
et (39) sont soustraites respectivement aux équation (21) et (22) :
∂ (ρ − ρ
∂t
∂ (ρC m − ρC m
∂t
1  ∂

Pe  ∂xk
) + ∂ (ρV
k
− ρVk
∂x k
) + ∂ (V ρC
k
m
)
+
− Vk ρC m
∂x k

C
C
 Dm ρ ∂ m − Dm ρ ∂ m

∂x k
∂x k

1 ∂ (ρV3 )
=0
ε ∂x 3
(40)
) + 1 ∂ (V ρC ) =
3
ε
m
∂x 3
 1 ∂ 
∂C
+ 2
 Dm ρ m
 ε ∂x
∂x3
3 




(41)
Le système initial d'équations (21)-(23) est alors remplacé par le système d'équations
(22) et (38)-(41).
3.2
Développement asymptotique
Afin de résoudre le système d'équations non linéaires (22) et (38)-(41), postulons
l'existence d'un développement asymptotique sous forme de séries suivant les puissances du
paramètre de forme ε , limité à l'ordre ε , pour toute fonction f définie dans le domaine
d'étude, i.e. :
f (x, t; ε ) = f 0 (x , t ) + εf 1 (x, t ) +
59
(ε )
2
(42)
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
Les fonctions f indicées par 0 et 1 sont, respectivement, les quantités perturbées à l'ordre 0 et
1 de la fonction f. Si f dépend de la fraction massique Cm (i.e. : ρ , µ et Dm) par
~
l'intermédiaire d'une fonction f , alors :
~
~
f = f (C m ) = f (C m0 + εC m1 +
(ε )),
2
(43)
~
et un développement de Taylor en Cm0 de f conduit à la relation suivante :
[
~
~
f = f (C m ) = f (C m0 ) + εC m1 +
~
df
(ε )
dC m
2
]
(44)
C m =C m0
En égalant les termes de même ordre des équations (42) et (44), on obtient :
~
f 0 = f (C m0 )
~
df
f 1 = C m1
dC m
3.3
(45)
(46)
C m = C m0
Problèmes asymptotiques successifs
Pour la suite de cette étude, supposons deux hypothèses envisageables pour nos
expériences : les nombres de Péclet Pe et de Reynolds Re sont de l'ordre de 1 ε . Cela signifie
que, sur l'échelle b des longueurs (échelle locale), les nombres de Péclet Peb et de Reynolds
Reb locaux, définies par :
bV *
Dm∞
(47)
ρ a bV *
µa
(48)
Peb =
et
Reb =
60
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
sont de l'ordre de 1. Sous ces considérations, en introduisant les développements
asymptotiques (42) dans le système d'équations (22) et (38)-(41) puis, en identifiant les
différents termes en ε d'égales puissances, on obtient les problèmes locaux pour chaque ordre
de grandeur de ε .
•
Approximation à l'ordre 1 ε
Seules les équations (22), (40) et (41) jouent un rôle à cet ordre et donnent respectivement :
∂P0
=0
∂x3
(49)
∂ (ρ 0V03 )
=0
∂x 3
(50)
∂ (V03 ρ 0C m0 ) 1 ∂ 
∂C m0 
 Dm0 ρ 0

=
∂x3
εPe ∂x3 
∂x3 
(51)
L'équation (49) montre que la pression P0 ne dépend que de x1 et x2 :
P0 = P0 (y, t )
(52)
où y représente le vecteur de composantes x1 et x2. Les variations de pression se font
essentiellement à l'échelle macroscopique. L'équation (50) couplée à la condition d'adhérence
du fluide aux parois (29) : V03
x3 = 0
= V03
x3 =1
= 0 , et à la positivité de ρ 0 entraîne :
V03 (x , t ) = 0
(53)
Cette dernière relation (53) permet de simplifier le développement (51) pour aboutir à :
∂C
∂ 
 Dm0 ρ 0 m0
∂x 3 
∂x3

 = 0

(54)
En multipliant cette dernière équation (54) par Cm0 et en appliquant l'opérateur • , il vient
après la simplification engendrée par la relation (36) que :
61
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
∫D
1
0
m0
ρ0
∂C m0 ∂C m0
dx3 = 0
∂x3 ∂x3
(55)
La positivité et la non-nullité du produit Dm0 ρ 0 implique alors :
C m 0 = C m 0 (y , t )
(56)
Par conséquent, la fraction massique Cm0 est constante dans une section suivant l'ouverture de
la cellule et ne dépend que des variables macroscopiques x1 et x2.
Parmi les développements du système d'équations (22) et (38)-(41), seuls ceux qui
présentent un intérêt pour résoudre ce système seront exposés par la suite. Il s'agit des ordres
1, ε et ε 2 .
•
Approximation à l'ordre 1
L'hypothèse Re =
(1 ε )
permet de négliger le terme transitoire et les termes d'inertie à
l'échelle macroscopique dans le développement à l'ordre 1 de l'équation (22), soit :
 ∂V01  ∂P0
∂ 2V01
+
εReρ 0 V03
= µ0
+ G ρ0
∂x3  ∂x1
∂x32

(57)
 ∂V  ∂P
∂ 2V02
εReρ 0 V03 02  + 0 = µ 0
∂x3  ∂x2
∂x32

(58)
 ∂V03  ∂P1
∂ 2V03
+
εReρ 0 V03
= µ0
∂x3  ∂x3
∂x32

(59)
Puisque V03 est nulle (relation 53) - les termes d'inertie à cet ordre et à l'échelle locale
n'existent pas - le système d'équations (57)-(59) se simplifie et donne :
∂P0
∂ 2V01
= µ0
+ G ρ0
∂x1
∂x32
(60)
∂P0
∂ 2V02
= µ0
∂x2
∂x32
(61)
62
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
P1 = P1 (y, t )
(62)
Tout comme P0, le champ de pression P1 ne dépend que des variables macroscopiques. La
présence du paramètre G (défini par la relation 27) dans l'équation (22) nécessite de vérifier la
validité du développement (60), obtenu en supposant implicitement que G =
(1) ,
pour les
différents ordres de grandeur envisageables pour ce terme.
Ainsi, si G =
(ε ) ou G =
(ε ), la convection forcée devient prédominante devant la
2
convection libre (V* >> Vg). Dans ces conditions, il n'est plus nécessaire de tenir compte de la
variation de la masse volumique dans l'équation (60). Par contre, si G =
(ε )ou G = (ε ),
−1
−2
la convection libre est prédominante devant la convection forcée (V* << Vg). Dans ces
conditions, il est nécessaire de redimensionner la valeur de la vitesse caractéristique en
choisissant V * ≈ Vg dans le cas d'un écoulement gravitaire. Ainsi, G = O (1) et l'équation (60)
reste toujours valable.
Notons que pour ce dernier cas et avec V * ≈ Vg , les deux hypothèses Pe =
Re =
(1 ε )
et
(1 ε ) s'identifient, respectivement, à :
Ra =
Gr =
Hb 2 g ρ *
b3 g ρ *
1
=   (ou Rab =
=
µ a Dm∞
µ a Dm∞
ε 
Hb 2 gρ a ρ *
b 3 gρ a ρ *
1
(ou
=
Gr
=
=


µ a2
µ a2
ε 
(1))
(1))
(63,64)
(65,66)
où Ra (resp. Rab) représente le nombre de Rayleigh (resp. local) et Gr (resp. Grb) le nombre
de Grashoff (resp. local) relatif au transfert de masse.
En considérant les simplifications apportées par les relations (45), (53), (56) et en tenant
compte de f (y , t ) = f , les développements des équations (39)-(41) se réduisent à :
∂(ρ 0 C m0 ) ∂ ( V0 k ρ 0 C m0 )
+
=0
∂t
∂x k
(67)
∂[ρ 0 (V0 k − V0 k
∂V13
=−
∂x 3
∂x k
(68)
ρ0
63
)]
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
∂[ρ 0 C m 0 (V0 k − V0 k
∂x k
•
)]
+ C m0 ρ 0
∂V13
∂ 2 C m1 
1 
 Dm0 ρ 0

=
∂x3 εPe 
∂x32 
(69)
Approximation à l'ordre ε
L'équation (39) donne :
∂[C m0 ρ1 + ρ 0 C m1
∂t
] + ∂[ρ
0
V0 k C m1 + C m0 V0 k ρ1 + ρ 0C m0 V1k
1 ∂
εPe ∂xk
•
∂x k
]=
(70)

∂C m0 
 Dm0 ρ 0

∂
x
k


Approximation à l'ordre ε 2
La même équation (39) conduit à :
∂[ρ 0 V0 k C m2 + C m0
1 ∂
εPe ∂xk
∂[ ρ 2 C m0 + ρ 0 C m2 + ρ 1C m1 ]
+
∂t
V0 k ρ 2 + ρ 0 C m0 V2 k + V0 k ρ 1C m1 + C m0 V1k ρ 1 + ρ 0 V1k C m1 ]
= (71)
∂x k

∂ C m1
∂C m0
∂C m0
 Dm1 ρ 0
+ Dm0 ρ 1
+ Dm0 ρ 0
∂x k
∂x k
∂x k




Comme les solutions cherchées pour le problème du transport seront approchées à ε 2
près, il n'est plus nécessaire de considérer les approximations de l'équation (39) aux ordres
supérieurs.
4
EQUATION HOMOGENEISEE DE TRANSPORT
Dans cette partie, nous allons prendre en compte implicitement les simplifications
apportées par les résultats du paragraphe précédent.
64
Chapitre 2
4.1
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
Détermination de la fraction massique à l'ordre 1
Afin de déterminer l'équation homogénéisée de transport à l'ordre 1, il est nécessaire de
déterminer, à partir de l'équation (69), la fraction massique à cet ordre, i.e. : Cm1. La première
étape consiste à déterminer la composante de la vitesse selon x3 à l'ordre 1 : V13. Pour cela, le
développement (68) est introduit dans l'équation (69). Après simplification, on obtient :
(V
0k
)∂C
− V0k
=
m0
∂x k
Dm0 ∂ 2 C m1
εPe ∂x32
(72)
Cette équation étant linéaire, la fraction massique Cm1 peut être cherchée sous la forme
suivante :
C m1 = ψ k (x, t )
∂C m 0
+ C m10 (y , t )
∂x k
(73)
où les fonctions ψ k , symétriques par rapport à x3 = 0.5, sont définies comme :
∂ 2ψ k εPe
(V0 k − V0 k
=
∂x32
Dm 0
ψk = 0
∂ψ k
∂x 3
4.2
)
(74)
( C m1 = C m10 )
(75)
=−
x 3 =0
∂ψ k
∂x3
(76)
x3 =1
Equation homogénéisée de transport
L'homogénéisation des fonctions f au moyen de l'opérateur
•
conduit aux
développements suivants :
f = f 0 + ε f1 +
en explicitant ces fonctions :
65
!
(ε )
2
(77)
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
Vi = V0i + ε V1i +
P = P0 + εP1 +
(ε )
2
"
(ε )
2
"
C m = C m0 + εC m10 +
2
D m = D m0 + ε D m1 +
ρ = ρ 0 + ε ρ1 +
µ = µ 0 + ε µ1 +
"
"
(79)
(ε )
"
"
(78)
(ε )
2
(80)
(81)
(ε )
(82)
(ε )
(83)
2
2
Pour une fonction f dépendant de Cm (i.e. : ρ , µ et Dm) et en appliquant l'opérateur •
~
à l'équation (44), on en déduit que la loi f décrivant les variations de f avec la fraction
massique Cm est identique à celle décrivant les variations de cette fonction homogénéisée f
en fonction de la fraction massique moyenne C m . En d'autres termes, les équations d'état à
l'échelle locale et à l'échelle macroscopiques sont identiques, i.e. :
~
f = f ( Cm
)
(84)
~
f 0 = f (C m0 )
(85)
~
df
dC m
(86)
avec :
f 1 = C m1
C m =Cm0
Pour obtenir l'équation homogénéisée de transport, on somme membre à membre les
résultats des produits par 1 (resp. ε et ε 2 ), respectivement, des équations (67) (resp. (70) et
(71)) (symboliquement : (67) + ε (70) + ε 2 (71)). En tenant compte de (78)-(83), les résultats
sont présentés ci-dessous en détaillant successivement le terme transitoire, le terme convectif
et le terme diffusif de l'équation obtenue :
66
Chapitre 2
•
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
Le terme transitoire Tt
Tt =
•
 ∂ ( ρ 1 C m0 ) ∂ (ρ 0 C m10 ) ∂ ( ρ C m
∂ (ρ 0 C m0 )
+ε
+
=
∂t
∂t
∂t
∂t


)
+
(ε )
2
#
(87)
Le terme convectif Tc
Tc =
∂ ( V0 k ρ 0 C m0 )
∂x k
 ∂ (ρ 0 V0k C m1
+ε
∂x k

)
∂ (C m 0 V0 k ρ 1
+
∂x k
)
+
∂ ( V1k ρ 0 C m0 )

∂x k

(88)
L'équation (73) permet de mettre le terme contenant Cm1 sous la forme (l = 1, 2):
∂ (ρ 0 V0 k C m1
∂x k
)
=
∂ (ρ 0 V0 k C m10 )
∂x k
+
∂
∂x k

∂C m 0 
 ρ 0 V0 kψ l

∂x l 

(89)
Les équations (46), (86) et (73) permettent de mettre le terme qui contient ρ1 sous la forme :
∂ ( V0 k ρ 1 C m0 )
∂x k
=
∂ (C m0 ρ 1 V0k
∂x k
)
+
∂  dρ
∂x k  dC m

C m0 V0kψ l
C m = Cm 0
∂C m 0 
∂x l 

(90)
En injectant ces deux dernières relations (89) et (90) dans l'équation (88), il vient :
Tc =
•
∂ ( Vk ρ C m
∂x k
)+ε
∂
∂x k

d ρ
Cm
 ρ +
d Cm


∂ Cm
 V0kψ l

∂x l


+

#
(ε )
2
(91)
Le terme diffusif Td
Td =

∂C m0
∂C m0
∂C m0
∂C m10
1 ∂ 
+ ε  D m1 ρ 0
+ Dm0 ρ 1
+ D m0 ρ 0
 Dm0 ρ 0
Pe ∂x k 
∂x k
∂x k
∂x k
∂x k

∂ Cm 
1 ∂ 
 Dm ρ
 + Ο (ε 2 )

Pe ∂x k 
∂x k 
En rassemblant les termes (87), (91) et (92), l'équation finale s'écrit :
67

 =

(92)
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
∂ ( ρ Cm
∂t
)
+
∂ ( Vk ρ C m
∂x k
)
=
∂
∂x k
∂ Cm

 ρ Dkl

∂x l


 + Ο (ε 2 )


(93)
où les termes Dkl représentent les composantes du tenseur de dispersion :
Dkl = Dkld + Dklh
(94)
avec :
Dkld =
Dm
Pe
δ kl
(95)
et

d ρ
Dklh = −ε 1 +
d Cm

Cm
ρ

 V0 kψ l


(96)
Dkld représente le terme courant du tenseur de diffusion macroscopique. L'expression de Dklh
montre l'existence de deux phénomènes, provenant de la description à l'échelle macroscopique
du transport convectif du soluté, qui apportent chacun une contribution à cette dispersion.
L'un est lié aux effets couplés de la variation de la vitesse V0k et de la fluctuation de la
concentration par l'intermédiaire des fonctions ψ l (équation 89) et l'autre, semblable au
précédent, fait intervenir la fluctuation de la masse volumique (équation 90). Nous étudierons
l'importance relative de ce dernier terme dans les travaux numériques qui suivent cette étude
théorique.
4.3
Expression du tenseur de dispersion
L'expression finale du tenseur de dispersion nécessite la connaissance du profil des
$
vitesses à l'ordre 0 dans une section du canal. Puisque le contraste de masse volumique
ρ0
et la viscosité dynamique µ 0 ne dépendent que des variables macroscopiques y(x1,x2) de par
les relations (45) et (56), l'intégration des équations (60) et (61) donne :
68
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
V01 =

1  ∂P0

− G ρ 0 (x32 − x3 )
2µ 0  ∂x1

(97)
1 ∂P0 2
(x3 − x3 )
2µ 0 ∂x2
(98)
%
V02 =
En moyennant cette distribution parabolique de la vitesse suivant x3, on obtient une loi
analogue à celle de Darcy :
V0 k = −

1  ∂P0

− δ k1G ρ 0 
12 µ 0  ∂xk

&
(99)
Finalement, la solution à ε près pour le problème de l'écoulement d'un fluide hétérogène dans
une cellule Hele-Shaw s'écrit :
Vk = −
1
12 µ
∂ P

− δ k1G
 ∂x k
Notons qu'outre la condition classique Re =
l'hypothèse Pe =
'
(1 ε ) ,
&
pour avoir

ρ  +

&
(1 ε ) ,
'
'
(ε )
(100)
pour négliger les termes d'inertie,
ρ 0 (y , t ) et µ 0 (y , t ) , est nécessaire pour la validité de
cette loi de Darcy généralisée. En injectant les équations (97)-(99) dans la relation (74) et en
intégrant l'équation résultante en tenant compte des conditions (75) et (76), les fonction ψ k
prennent alors la forme suivante :
ψk =
εPe
24 µ 0 Dm 0
 ∂P0

1

− δ k1G ρ 0   x32 (x3 − 1)2 − 
30 
 ∂x k

&
(101)
A partir de cette dernière relation (101) et des équations (97) et (98), il est possible d'exprimer
la kjème composante du tenseur de dispersion hydrodynamique Dklh en fonction de la vitesse,
i.e. :
Dklh = ε 2
Pe
210 Dm

d ρ
1 +

d Cm

69
Cm 
 Vk Vl
ρ 
(102)
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
En rassemblant les expressions (95) et (102) de Dkld et Dklh dans l'équation (94), l'expression
finale du tenseur de dispersion s'écrit :
Dkl =
Dm
Pe
δ kl + ε 2
Pe
210 Dm

d ρ
1 +

d Cm

Cm
ρ

 Vk Vl


(103)
Rappelons que ce développement a été obtenu pour :
Pe ≈
1
1
<< 2
ε
ε
(104)
b 2V *
<< 1
HDm∞
(105)
soit :
ε 2 Pe =
Si H joue le même rôle que l dans (6), l'hypothèse (104) est consistante avec la condition (6)
émise par Taylor (1953) pour la validité de son modèle. Il est alors possible de comparer les
deux modèles. Pour le cas particulier où :
•
le soluté ne modifie pas la masse volumique du fluide : d ρ d C m = 0 ,
•
le coefficient de diffusion moléculaire est constant : Dm = 1 ,
•
l'écoulement est unidirectionnel ( V2 = 0 ) avec une vitesse constante ( V1 = 1 ),
la composante D11 du tenseur de dispersion (103) s'identifie au coefficient effectif de
diffusion de Taylor-Aris (relation 5) dans sa forme adimensionnelle. Ce modèle est donc une
généralisation de celui de Taylor (1953) et Aris (1956).
Pour Pe =
(
(1),
i.e. : les temps caractéristiques des phénomènes convectif et diffusif
sont équivalents sur l'échelle H, il est aisé de montrer que les développements ont une
structure similaire. Les variables f développées jusqu'à l'ordre ε 2 sont introduites dans le
système d'équations initiales (22) et (38)-(41). Les problèmes locaux de ce système sont ainsi
écrits de l'ordre 1/ε2 à l'ordre ε2. On montre que les fractions massiques Cm0 et Cm1 dépendent
uniquement des variables macroscopiques ( C m 0 (y , t ) et C m1 (y, t )). Les fonctions Ψk sont
70
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
alors, dans ce cas, considérées pour Cm2. En suivant les mêmes procédures que celles décrites
dans les paragraphes (1.4.2) et (1.4.3) de ce chapitre, on montre que les comportements
macroscopiques des variables sont également gouvernés par une équation de convectiondispersion identique à (93) à ε3 près et avec un tenseur de dispersion identique à (103). Par
conséquent, si l'on considère une description à ε 2 près, le modèle s'écrit :
∂ ( ρ Cm
∂t
) + ∂( V
ρ Cm
∂x k
)=
∂
∂x k

∂ Cm
 ρ Dkl
∂xl


 + Ο (ε 2 )

(106)
avec :
Dkl =
Dm
Pe
δ kl
(107)
Dans cette approximation Dkl représente le terme courant d'un tenseur de diffusion
macroscopique puisqu'il ne dépend plus de la vitesse.
Pour Pe =
)
(1 ε ), l'approximation à l'ordre 1 de l'équation (23) :
2
∂(ρ 0C m0 ) ∂ (V0 k ρ 0C m0 ) ∂ (V13 ρ 0C m0 ) ∂ 
∂C
 Dm0 ρ 0 m0
+
+
=
∂t
∂x k
∂x 3
∂x3 
∂x3



(108)
montre qu'il est nécessaire de prendre en compte la structure des conditions limites et initiales
sur les bords de la cellule pour la description de la fraction massique : C m 0 (x, t ) .
4.4
Conclusion - Analogie avec un milieu poreux ?
La résolution successive des problèmes asymptotiques nous a permis ainsi de proposer
un modèle mathématique permettant de décrire à l'échelle macroscopique le transport d'un
soluté réactif. Les hypothèses pour la validité de ce modèle portent sur les nombres (échelle
macroscopique) de Péclet Pe (resp. Ra) et de Reynolds Re (resp. Gr) pour la situation où la
convection forcée (resp. libre) est prédominante, i.e. : V* >> Vg (resp. V* << Vg). Pour le
transport du soluté avec une description à ε 2 près, trois régimes distincts sont mis en évidence
suivant la valeur du nombre de Peclet Pe (resp. Ra). Pour chacun de ces régimes, les
71
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
phénomènes prépondérants à l'origine de la dispersion du soluté sont de natures différentes.
Nous rassemblons, ci-dessous, les principales caractéristiques du modèle pour une description à
ε 2 près et, dans le tableau 1, les expressions du tenseur de dispersion.
•
Régime I : Pe =
(1) (resp.
*
Ra =
*
(1) ) et
Re =
(1 ε ) (resp. Gr = (1 ε ) ).
*
*
- La loi de Darcy généralisée est valide.
- La diffusion macroscopique est principalement à l'origine de la dispersion du soluté :
Dkl = Dkld =
Dklh =
*
*
(1)
(la dispersion hydrodynamique n'est pas prise en compte puisque
(ε )).
2
- Le tenseur de diffusion macroscopique dépend de la fraction massique C m
par
~
l'intermédiaire de la loi Dm = Dm ( C m ).
•
Régime II : Pe =
(1 ε ) (resp.
*
Ra =
*
(1 ε ) ) et
Re =
*
(1 ε ) (resp. Gr = (1 ε ) ).
*
- La loi de Darcy généralisée est valide.
- La diffusion macroscopique et la dispersion hydrodynamique sont à l'origine de la
dispersion du soluté : Dkl = Dkld + Dklh avec Dkld =
*
(ε ) et
Dklh =
*
(ε ) .
- Le tenseur de dispersion hydrodynamique dépend directement de la fraction massique
C m , de la masse volumique ρ et de sa dérivée par rapport à C m .
 1 
 1 
Régime III : Pe =  2  (Resp. Ra =  2  ).
ε 
ε 
*
•
*
- La convection est prédominante à l'échelle locale : la fraction massique varie suivant
l'ouverture de la cellule. Il est nécessaire de prendre en compte la structure des conditions
limites et initiales sur les bords de la cellule pour décrire le transport du soluté.
- La loi de Darcy généralisée n'est plus valide bien que Re (resp. Gr) puisse être de l'ordre
de 1 ε .
72
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
Signalons que la validité de la loi de Darcy généralisée repose sur deux conditions ayant traits à
l'ordre de grandeur des nombres Pe (resp. Ra) et Re (resp. Gr). L'hypothèse sur le nombre Pe
(resp. Ra), n'intervenant pas dans le cas d'un soluté inerte, résulte du couplage des équations de
transport et d'écoulement.
Vinj >> Vg
Vinj << Vg
Pe
Ra
+
,
,
Tenseur de dispersion Dkl
(1)
Dm
Pe
1
 
ε 
Dm
Pe
δ kl + ε 2
Pe
210 D m
 1 
 2
ε 
δ kl

d ρ
1 +
 d C
m

Remarques
Diffusion macroscopique
Cm 
 V k Vl
ρ 
Diffusion macroscopique +
Dispersion hydrodynamique
Convection à l'échelle locale
?
prédominante
Tableau 1. Les différents régimes dans l'analyse asymptotique de la dispersion d'un soluté dans une cellule
Hele-Shaw
La méthode d'homogénéisation est également utilisée afin de modéliser la dispersion en
milieu poreux. Citons, à titre d'exemples, les travaux de Rubinstein and Mauri (1986), Mei
(1992), et Auriault and Adler (1995). Pour terminer cette partie, il est alors intéressant de
comparer nos résultats à ceux d'Auriault and Adler (1995) concernant la dispersion d'un soluté
inerte dans un milieu poreux constitué de cellules périodiques (figure 2). Pour leur analyse,
•
le paramètre ε << 1 considéré est le rapport entre la longueur caractéristique de la cellule et
celle du milieu poreux, i.e. : ε = l L ,
•
l'homogénéisation s'effectue sur le volume de la cellule.
Pour Pe =
-
(1),
ils montrent que l'évolution de la concentration est gouvernée par une
équation macroscopique de convection-diffusion avec un tenseur de diffusion macroscopique
73
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
puisque son expression ne dépend que de la structure géométrique de la cellule. Pour
Pe =
.
(1 ε ) , il s'agit également d'une équation de convection-diffusion, mais avec un tenseur
de diffusion apparent (ou de dispersion) dans la mesure où la convection y apparaît
directement. Enfin, pour Pe =
.
(1 ε ), la convection étant prédominante aux échelles locale
2
et macroscopique, le problème dépend des conditions aux limites. Bien que ces trois régimes
soient analogues à ceux obtenus pour une cellule Hele-Shaw, les structures des tenseurs sont,
méanmoins, différentes dans les deux cas.
Figure 2. Milieu poreux étudié par Auriault and Adler (1995)
5
CONCLUSION
Dans le but de mieux comprendre le comportement de la solution injectée dans la
cellule, les résultats expérimentaux seront analysés numériquement (Cf. chapitre 3-§1 et
chapitre 4). Le code numérique, initialement conçu pour des milieux poreux, a été modifié
pour être adapté à notre problème. De par la faible valeur devant 1 du rapport "ouverture sur
hauteur" de la cellule, le transport d'un soluté non inerte a été analysé par une méthode
asymptotique. Elle conduit au système d'équations classiques utilisées pour l'étude de
l'écoulement et du transport dans un milieu poreux à condition de modifier les composantes
du tenseur de dispersion. Les nouvelles composantes ont été déterminées en supposant que :
74
Chapitre 2
Régimes de dispersion en cellule de Hele-Shaw pour un fluide hétérogène
(i) la masse volumique, la viscosité dynamique et la diffusion moléculaire sont des fonctions
de la fraction massique en soluté,
(ii) le nombre de Péclet Pe (resp. Ra) est de l'ordre de 1 ou 1 ε et le nombre de Reynolds Re
(resp. Gr) de l'ordre de 1 ε dans le cas où la convection forcée (resp. libre) est prédominante.
Pour Pe de l'ordre 1 ε , le transport du soluté ne peut plus être décrit par une équation
2
classique de convection-dispersion.
75
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
Chapitre 3
RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX
76
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
NOMENCLATURE
aL, aT
Dispersivités adimensionnelles longitidinale et transversale [-]
b
Ouverture de la cellule [m]
Cinj
Fraction massique de la solution injectée (modèles expérimental et
numérique) [-]
Cm
Fraction massique du soluté [-]
D
Tenseur de dispersion adimensionnel [-]
D// , D⊥
Coefficients de dispersion longitudinale et transversale par rapport à la
direction principale de l'écoulement [-]
dext, dint
Diamètre extérieur et intérieur de l'aiguille d'injection [m]
Dkl
Composante adimensionnelle du tenseur de dispersion [-]
Dm
Coefficient de diffusion moléculaire [m2.s-1]
Dm∞
Coefficient de diffusion moléculaire à dilution infinie [m2.s-1]
e
Ordre de grandeur de l'extension horizontale du panache [-]
g
Accélération de la pesanteur [m.s-2]
G
Rapport entre la vitesse gravitationnelle et la vitesse caractéristique [-]
Gr
Nombre de Grashoff relatif au transfert de masse [-]
Gr*
Nombre de Grashoff modifié relatif au transfert de masse [-]
H
Hauteur du canal de la cellule [m]
Linj
Largeur de la facette à concentration et débit massique imposés [m]
L
Largeur du canal de la cellule [m]
M
Rapport des viscosités des fluides ambiant et injecté [-]
Pa
Pression hydrostatique imposée [kg.m-1.s-2]
Pe
Nombre de Péclet [-]
Pe*
Nombre de Péclet modifié [-]
Peb
Nombre de Péclet local [-]
PebM
Nombre de Péclet local calculé avec la vitesse au point M(x,y) [-]
Pinj
Profondeur de l’extrémité de l’aiguille d’injection [m]
Qv
Débit volumique à l'injection de la pompe-seringue [m3.s-1]
qm
Débit massique imposé dans le modèle numérique [kg.s-1.m-1]
Ra
Nombre de Rayleigh [-]
Ra*
Nombre de Rayleigh modifié [-]
77
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
Re
Nombre de Reynolds [-]
Re*
Nombre de Reynolds modifié [-]
Reb
Nombre de Reynolds local [-]
RebM
Nombre de Reynolds local calculé avec la vitesse au point M(x,y) [-]
t
Temps [s]
V, V
Vecteur vitesse de l'écoulement et sa norme [m.s-1]
Vg
Vitesse gravitationnelle caractéristique [m.s-1]
Vi
Composante suivant l'axe Oxi du vecteur vitesse V de l'écoulement [m.s-1]
Vinj
Vitesse moyenne de l'écoulement à l'injection [m.s-1]
V*
Vitesse caractéristique [m.s-1]
x, y, z
Coordonnées verticale, horizontale et transversale d'un point M dans le canal
[m]
Lettres grecques
ρ
Masse volumique du mélange [kg.m-3]
ρ a , ρ inj
Masses volumiques des fluides ambiant et injecté [kg.m-3]
µ a , µinj
Viscosités dynamiques des fluides ambiant et injecté [kg.m-1.s-1]
/
0
ρ*
Contraste de masse volumique entre le fluide injecté et le fluide ambiant [kg.m-3]
ρ sel
Contraste de masse volumique entre la solution saline pure et le fluide ambiant
[kg.m-3]
1
ρ trac
Contraste de masse volumique entre la solution colorée marquée et le fluide
ambiant [kg.m-3]
ε
Rapport entre l'ouverture et la hauteur du canal [-]
αL , αT
Dispersivités longitidinale et transversale [m]
Symboles
δ ij
Symbole de Kronecker
Opérateur moyenne selon l'ouverture du canal
78
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
Chapitre 3 - RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX
Avant de considérer les expériences concernant l'injection d'une solution saline, notre
intérêt s'est porté sur la pertinence du choix du colorant utilisé pour déterminer la
concentration au moyen du système de mesure décrit dans le chapitre 1 (§3). En effet, ce
choix a principalement été guidé dans le souci d'obtenir une dynamique correcte du signal en
vu de son exploitation. Il était alors indispensable de vérifier sa qualité de "traceur"
permettant de marquer la solution injectée sans perturber sa propagation.
Il existe un grand nombre de solutés qui peuvent être utilisés comme traceur de par leurs
propriétés chimique et/ou optique (isotopes, anions ou colorants). Néanmoins, injectés dans
un milieu poreux, certains d'entre-eux conduisent à l'apparition de phénomènes inattendus, par
exemple, la pénétration de la zone de mélange (Sudicky et al., 1983 ; Boggs et al., 1992 ou
Istok and Humphrey, 1995). En dépit d'un très faible contraste de masse volumique entre ces
traceurs et le fluide ambiant, un écoulement vertical dû à des effets de densité a été cité
comme une explication plausible de ces phénomènes observés. En prenant en compte cette
interprétation, la première partie de ce chapitre concerne une étude expérimentale et
numérique du comportement de la solution marquée dans la cellule en fonction de la
concentration en colorant. Cette approche, à la fois expérimentale et numérique, nous
permettra :
•
de quantifier l'influence d'un faible contraste de masse volumique sur la propagation du dit
traceur et sur les mécanismes à l'origine de sa dispersion,
•
d'évaluer, sous nos conditions expérimentales, la valeur maximale de la masse volumique
de la solution marquée afin qu'elle puisse avoir des propriétés qui lui confèrent la qualité
de traceur.
La seconde partie de chapitre traitera des résultats expérimentaux concernant
l’infiltration d’une solution saline. Après un bref rappel des paramètres adimensionnels
régissant le problème, les conditions expérimentales choisies seront exposées. L’analyse de
l’ensemble des résultats expérimentaux permettra alors de caractériser deux types d’évolution
79
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
des panaches. Un critère semi-empirique est ensuite formulé afin de prédire le type
d’évolution.
1
TRANSPORT D’UN "TRACEUR" : INFLUENCE D’UN FAIBLE
CONTRASTE DE MASSE VOLUMIQUE
1.1
Modélisation numérique du problème expérimental
1.1.1
Configuration du domaine d'étude
Dans ce paragraphe, le domaine d'étude, sa discrétisation spatiale, les conditions limites
et initiales concernant les simulations numériques des expériences menées sur le dispositif
expérimental seront présentés. Les dimensions horizontale H = 30 cm et verticale L = 18 cm
du domaine rectangulaire maillé sont les mêmes que celles de la veine d'écoulement de la
cellule de Hele-Shaw. Ce domaine d'étude est divisé en 18 957 éléments rectangulaires
correspondant à 19 266 nœuds et 38 222 facettes. La discrétisation n'est pas régulière afin de
privilégier la finesse du maillage dans le domaine d'observation de l'écoulement (figure 1). Le
domaine est assimilé à un réservoir rempli par un milieu poreux homogène et isotrope de
perméabilité intrinsèque b 2 12 = 2.0833 ⋅ 10 −8 m2 et de porosité effective unité. Ce milieu est
saturé en eau distillée (masse volumique ρ a = 998.23 kg.m-3 et viscosité dynamique
µ a = 1.002 ⋅ 10 −3 kg.m-1.s-1). Le déversoir est représenté par une pression hydrostatique
constante Pa = ρ a gH imposée sur la limite inférieure du domaine. Les bords supérieur et
latéraux sont imperméables. La position de l'extrémité de l'aiguille d'injection étant située à
Pinj = 0.85 cm en dessous du bord supérieur de la cellule, la partie centrale supérieure du
domaine présente une zone rectangulaire non maillée de dimensions verticale 0.85 cm (17 x
0.05 cm) et horizontale dext = 0.046 cm (0.0105 + 0.025 + 0.0105 cm) identique au diamètre
extérieur de l'aiguille.
80
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
0.046
0.025
qm
Imperméable
06.0
.0
Cinj
L o n g u eu r y (cm )
8 .0
1 0 .0
1 2.0
18
.0
0.85
0 .0
Imperméable
Imperméable
1.0
2 .0
120 x 0.05
E lév atio n x (cm )
3 .0
4 .0
5 .0
6.0
10 x 0.1
7 .0
32 x 0.25
30 x 0.5
.0
3 80.0
Pa
13 x 0.075
13 x 0.5
21 x 0.05
21 x 0.05
13 x 0.075
1 x 0.452
13 x 0.5
1 x 0.452
Figure 1. Maillage et conditions aux limites du modèle numérique
81
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
Les conditions expérimentales d'injection sont modélisées en imposant une
concentration Cinj et un débit massique qm [kg.s-1.m-1] sur la facette de largeur Linj = 0.025 cm
correspondant au diamètre intérieur dint de l'aiguille et se situant sur le bord inférieur de la
zone non maillée. L'égalité des flux massiques, pour les modèles physique et numérique, se
traduisant par :
Qv ρ inj
qm
=
,
b
(d i 2 )2
(1)
2
le débit massique qm à imposer en fonction du débit volumique Qv [m3.s-1] de la pompe
seringue peut être déterminé.
1.1.2
Modélisation de la dispersion dans la cellule
Le code numérique utilisé a été développé pour des problèmes relatifs au transport de
polluants dans les milieux poreux 2D (Buès and Oltean, 2000 ; Oltean and Buès, 2001). Pour
ces milieux, les termes du tenseur de dispersion dépendent généralement de la vitesse de
l'écoulement. Les coefficients adimensionnels de dispersion longitudinale D// [-] et
transversale D⊥ [-] pris en compte dans l'équation de transport ont les formes classiques
suivantes :
D// =
1
1
+ aL V et D⊥ =
+ aT V
Pe
Pe
(2)
avec a L = α L H et aT = α T H représentant, respectivement, les dispersivités longitudinale
α L et transversale α T rapportées à la hauteur H de la cellule. Pour un milieu isotrope, la forme
finale du tenseur de dispersion est donnée par :
D=
1
V
2
 V1

 V2
− V2   D//

V1   0
0   V1

D⊥  − V2
V2 

V1 
(3)
soit en explicitant le terme courant de D :
V V
 1

Dij = 
+ aT V δ lk + (aL − aT ) l k
V
 Pe

82
(4)
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
Pour les milieux poreux, il est habituel de choisir aL et aT comme des constantes. Afin de
respecter l’analogie entre la cellule de Hele-Shaw et le milieu poreux, une comparaison entre
cette dernière relation (4) et l’expression (103) du chapitre 2 permet de déterminer les
expressions de aL et aT à inclure dans le modèle numérique :
aL = ε 2
1.2
Pe V
210 Dm

d ρ
1 +
 d C
m

Cm
ρ

 et aT = 0


(5)
Caractérisation numérique et expérimentale du panache
1.2.1
"Traceur" et solution colorée
On rappelle que l’un des objectifs de ce travail porte sur une analyse approfondie de
l’évolution spatio-temporelle de la zone de mélange obtenue par l’injection ponctuelle, dans
la veine d’écoulement de la cellule de Hele-Shaw, d’une solution saline à différents débits
et/ou concentrations. D'un point de vue expérimental, la propagation du panache est suivie en
colorant la solution injectée. Bien que les résultats expérimentaux et théoriques décrits dans le
chapitre 1 (§3) aient permis de déterminer le niveau optimal de dilution du colorant afin
d’obtenir une dynamique du signal enregistré exploitable, il nous paraissait indispensable
d’étudier son comportement en tant que traceur.
Ainsi, en utilisant le code numérique décrit précédemment, nous avons simulé
l’expérience prenant en compte le niveau optimal de dilution du colorant, i.e. : 0.01 %. Le
débit volumique injecté est qv = 1 ml/h et le développement de la zone de mélange a été suivi
pendant 20 min. La comparaison entre les résultats expérimental et numérique est présentée
sur la figure 2. Pour la représentation graphique de l’expérience (figure 2a), uniquement la
composante rouge de la photographie initiale a été prise en compte (Cf. chapitre 1-§3.3.1).
Elle est alors codée sur des niveaux de gris. Les zones où le colorant n'est pas présent dans la
veine apparaissent en gris clair : la lumière traverse la cellule sans subir d'absorption. La zone
obscure révélant la présence de colorant correspond au panache issue de l'injection. L'image
montre clairement une diminution de l'intensité du signal résultant d'une variation de la
concentration en colorant sur la zone périphérique du panache. Pour la simulation numérique
83
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
(figure 2b), la solution injectée est identifiée à un "traceur", i.e. : les propriétés physiques du
fluide injecté sont identiques à celles du fluide ambiant (eau distillée) - ρ inj = ρ a = 998.23
kg.m-3. En analysant qualitativement la figure 2 (a et b), on peut remarquer que les résultats
expérimentaux et numériques montrent deux distributions spatiales du soluté très différentes.
Tandis que l’évolution spatiale du panache obtenue expérimentalement présente une forme
pratiquement circulaire, centrée sur l’axe de l’aiguille d’injection, celle donnée par la
simulation numérique est fortement influencée par le bord supérieur qui conduit à un
aplatissement de la zone de mélange. Pour la solution colorée, cette influence est moins
marquée.
Figure 2. Configurations de la zone de mélange à t = 20 min
(a) Résultat expérimental : solution colorée à 0.01 %
(b) Résultat numérique : traceur "idéal"
1.2.2
Influence d'un faible contraste de densité
Bien que les différences entre les distributions expérimentale et numérique puissent être
attribuées aussi bien aux conditions expérimentales qu'à un faible contraste de masse
84
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
volumique entre la solution colorée et l'eau distillée, nous avons opté pour la seconde
hypothèse. Deux raisons peuvent justifier ce choix : d'une part, la valeur de la masse
volumique de la solution colorée donnée par le fabricant ρ inj = 998.28 ± 0.05 kg.m-3 à 20 °C
3
implique une différence de densité
ρ * ρ a = (ρ inj − ρ a ) ρ a comprise entre 0 et 1.0 ⋅ 10 −4 ,
d'autre part, certains auteurs ont pu mettre en évidence une influence non négligeable d'une
faible différence de densité sur l'écoulement d'un traceur pouvant conduire à des artefacts
expérimentaux. Citons, à titre d'exemple, les travaux d'Istok and Humphrey (1995). Ils ont
étudié, dans le cadre d'un test classique pour déterminer les paramètres de dispersion, la
propagation de plusieurs traceurs dans un réservoir rempli avec du sable homogène et isotrope
pour lesquels 0.75 ⋅ 10 −4 ≤ ρ * ρ a ≤ 15.0 ⋅ 10 −4 . Lors de l'analyse 3D des concentrations, ils
3
ont constaté, pour tous les traceurs testés, que le panache plonge et que la distribution de
soluté conduit à une augmentation des dispersions apparentes transversale et longitudinale.
Moyennant ces constatations, nous avons réalisé d'autres simulations numériques afin
de prendre en compte la différence de densité. A l'intérieur de la zone de mélange, on suppose
que la masse volumique du mélange varie de façon linéaire avec la fraction massique, soit
sous forme adimensionnelle :
3
ρ =1+
ρ*
Cm
ρa
(6)
En outre, l'expression du tenseur de dispersion donnée par les équations (4) et (5) est
introduite dans le code. La diffusion moléculaire intervenant dans cette expression a été
choisie constante et égale à 9.0 ⋅ 10 −10 m2.s-1. Etant donné l'incertitude sur la valeur de
ρ * ρ a , plusieurs simulations ont été réalisées en faisant varier ce paramètre et
3
implicitement le débit massique qm de l'injection (équation 1). Les résultats pour
3
ρ * ρ a = 0.68 ⋅ 10 −4 , correspondant à la solution colorée de 0.01 %, sont présentés sur la
figure 3b en terme de lignes d'isoconcentration réduite de la zone de mélange (de 0.1 à 0.9
3
avec un pas de 0.1) au temps t = 20 min. En dépit de la valeur très faible de
3
distribution spatiale du soluté présente une autre configuration que celle pour
ρ * ρ a , la
ρ * ρa = 0
(figure 2b). Sur la même figure (figure 3a), nous avons représenté des lignes
d'isoconcentration réduite expérimentales extraites de l'image de la figure 2a au moyen du
85
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
traitement du signal décrit dans le chapitre 1 (§3). La résolution spatiale étant d'environ 80
4
pixels par cm, l'incertitude sur la position spatiale est de l'ordre de
xk = 6.25 ⋅ 10 −3 cm tandis
4
que l'incertitude relative sur la concentration moyenne
Cm
Cm
est de l'ordre de 5 %.
Sous ces considérations, la figure 3 montre que les résultats numériques semblent reproduire
correctement la configuration spatiale de la zone de mélange expérimentale.
Figure 3. Lignes d'isoconcentration réduite (de 0.1 à 0.9 avec un intervalle de 0.1) du panache à t = 20 min
(a) Résultat expérimental : solution colorée à 0.01 %
(b) Résultat numérique : traceur avec
5
ρ * ρ a = 0.68 ⋅ 10 −4
Pour vérifier quantitativement la conclusion précédente, nous avons également tracé et
analysé les profils de concentration verticaux suivant l'axe de l'aiguille d'injection y = 9 cm
(figure 4a) et horizontaux à x = 1.75 cm (figure 4b) pour t = 10 min et t = 20 min. Les
résultats montrent que l'avancée du front et l'extension horizontale du panache obtenues
numériquement et expérimentalement sont très proches. Cette dernière conclusion pourrait a
priori permettre de conclure que les différences entre les résultats expérimentaux et ceux
numériques avec un traceur "idéal" sont seulement dues au faible contraste de masse
volumique entre l'eau distillée et la solution colorée à 0.01 %.
Cependant, il est évident qu'une seule et unique simulation ne peut pas être considérée
comme représentative. Par conséquent, deux autres simulations sont proposées.
86
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
1 .0
C o n cen tratio n réd u ite
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
y = 9 .0 cm
0.0
0 .0
1.0
2.0
3 .0
4 .0
10 .0
1 1.0
D istan ce x (cm )
(a)
1 0 m in
2 0 m in
E x p érim en tal
N u m ériq u e
1 .0
C o n cen tra tio n réd u ite
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
x = 1 .7 5 cm
0.0
7 .0
8.0
9.0
L o n g u eu r y (cm )
(b )
Figure 4. Profils expérimentaux et numériques de concentration à t = 10 min et t = 20 min pour la solution à
0.01%. Profils verticaux suivant l'axe de l'aiguille d'injection y = 9 cm (a) et horizontaux à x = 1.75 cm (b)
87
Chapitre 3
1.3
Résultats expérimentaux
Influence de la concentration en colorant de la solution marquée
1.3.1
Résultats expérimentaux
Les simulations numériques proposées portent sur deux expériences déjà réalisées lors
de l'étalonnage du système de mesure (Cf. chapitre 1-§3.6.3). Il s'agit de l'injection au même
débit volumique de la solution colorée présentant une dilution de 0.005 % et 0.02%. La
configuration spatiale expérimentale du panache pour chacun de ces deux cas est représentée
sur les images de la figure 5a (0.005 %) et 5b (0.02%) pour t = 20 min.
Figure 5. Configurations expérimentales de la zone de mélange à t = 20 min pour des dilutions en colorant
bleu de 0.005 % (a) et 0.02 % (b)
La diminution de la concentration en colorant de la solution injecté provoque une
diminution du phénomène d'absorption de la lumière traversant la veine. Le panache sur
l'image de la figure 5a apparaît donc plus clair que ceux des figures 2a et 5b. L'analyse de ces
trois images montrent que la pénétration du panache est d'autant plus marquée que la
concentration en colorant est élevée. La structure du panache pour 0.005 % semble
correspondre davantage à celle obtenue numériquement pour le "traceur". Ces observations
88
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
dénotent une forte sensibilité de la propagation du soluté en fonction de sa concentration
initiale dans la solution injectée. Elles corroborent ainsi expérimentalement la conclusion de
l'étude précédente. Dans le paragraphe suivant, nous exposerons les résultats des simulations
numériques de ces deux expériences.
1.3.2
Résultats numériques
De l'équation d'état (6), les expériences avec les solutions colorées à 0.005 % et 0.02%
6
ont été simulées, respectivement, avec
6
pour les simulations avec
ρ * ρ a = 0.34 ⋅ 10 −4 et
ρ * ρ a = 0 ("traceur") et
6
6
ρ * ρ a = 1.36 ⋅ 10 −4 . Comme
ρ * ρ a = 0.68 ⋅ 10 −4 , les débits
massiques qm à imposer et correspondant au débit volumique qv = 1 ml/h sont calculés à partir
de la relation (1). Cependant, il faut noter que les variations du débit massique qm pour les
6
quatre valeurs considérées du paramètres
ρ * ρ a sont infimes. La valeur du coefficient de
diffusion moléculaire demeure constante et identique à celle utilisée dans le paragraphe
précédent ( 9.0 ⋅ 10 −10 m2.s-1).
Les lignes d'isoconcentration réduite des panaches obtenus expérimentalement pour une
6
dilution de 0.005 % (resp. 0.02 %) et numériquement pour
6
ρ * ρ a = 0.34 ⋅ 10 −5 (resp.
ρ * ρ a = 1.36 ⋅ 10 −4 ) sont représentées sur les figures 6a (resp. 7a) et 6b (resp. 7b) à t = 20
min. Concernant le traitement d'images, deux remarques doivent être soulignées. D'une part,
6
bien que l'incertitude sur la mesure de la position reste constante
xk = 6.25 ⋅ 10 −3 cm,
l'incertitude relative sur la concentration moyenne varie du fait de la variation de la
6
dynamique du signal en fonction de la dilution. Ainsi,
Cm
Cm
est de l'ordre de 10 %
(resp. 2.5 %) pour la solution diluée à 0.005 % (resp. 0.02 %). L'incertitude de 10 % se traduit
par des lignes d'isoconcentration irrégulières mais continues (figure 6a) tandis que pour 2.5
%, les lignes sont relativement lisses (figure 5a). Il faut d'autre part ajouter que, pour extraire
la concentration du signal de l'image 5b, une courbe d'étalonnage différente de celle
déterminée pour la solution à 0.01% (Cf. chap. 2-§3.6.3) a été prise en compte.
Globalement, les figures 6 et 7 montrent une bonne adéquation entre les prédictions
numériques et les résultats expérimentaux.
89
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
Figure 6. Lignes d'isoconcentration réduite (de 0.1 à 0.9 avec un intervalle de 0.1) du panache à t = 20 min :
7
(a) Expérience : solution colorée à 0.005 % - (b) Numérique : traceur avec
ρ * ρ a = 0.34 ⋅ 10 −4
Figure 7. Lignes d'isoconcentration réduite (de 0.1 à 0.9 avec un intervalle de 0.1) du panache à t = 20 min :
(a) Expérience : solution colorée à 0.02 % - (b) Numérique : traceur avec
7
ρ * ρ a = 1.36 ⋅ 10 −4
A partir des distributions du soluté, nous avons également tracé des profils verticaux et
horizontaux pour t = 10 min et t = 20 min afin d'analyser plus finement en concentration la
structure des panaches obtenus expérimentalement et numériquement (figure 8 et 9). La
8
solution numérique avec
ρ * ρ a = 0.34 ⋅ 10 −4 semble afficher une pénétration (figure 8a) et
90
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
une extension horizontale (figure 8b) du panache plus importante. Néanmoins, les différences
relatives correspondantes ne dépassent pas 5.2 % (resp. 8.6 %) à t = 10 min (resp. t = 20 min).
Notons que les distances sont mesurées au niveau de la concentration réduite égale à 0.5. Pour
9
ρ * ρ a = 1.36 ⋅ 10 −4 , les profils de la figure 9a montrent que les pénétrations expérimentale et
numérique des panaches sont quasiment identiques. Les profils numériques de la figure 9b
illustre une extension latérale du panache surestimée avec, néanmoins, des différences
relatives inférieures à 7 %. Outre la bonne concordance morphologique des panaches,
l'ensemble des profils numériques des figures 8 et 9 montrent également que les largeurs des
zones de mélange et les gradients de concentration correspondants sont très proches de ceux
observés expérimentalement.
1.3.3
Conclusions
L'étude précédente permet de conclure sur deux points principaux :
•
Le bon accord entre les résultats expérimentaux et numériques pour les différentes
situations envisagées montre clairement que les différences constatées de prime abord entre
les distributions de soluté de la solution coloré et ceux du "traceur" sont dues au faible
contraste de masse volumique entre la solution injectée et l'eau distillée et non aux
conditions expérimentales. Ainsi, la caractérisation du panache dans la cellule en fonction
de la masse volumique de la solution injectée étudiée à la fois expérimentalement et
numériquement rend possible la validation de notre dispositif expérimental.
•
L'étude numérique a permis également d'estimer le coefficient de diffusion moléculaire à
prendre en compte dans le tenseur de dispersion pour décrire de façon satisfaisante la
dispersion du soluté. Sa valeur, constante pour simuler les expériences avec trois
concentrations différentes en colorant de la solution injectée, laisse suggérer que la
dépendance du phénomène de diffusion avec la concentration est relativement faible.
91
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
1.0
C o n cen tratio n réd u ite
0 .8
0.6
0 .4
y = 9 .0 cm
0.2
0.0
0 .0
1 .0
2.0
3 .0
4 .0
D istan ce x (cm )
(a)
1 0 m in
2 0 m in
E x p érim en tal
N u m ériq u e
1 .0
C o n cen tratio n réd u ite
0 .8
0 .6
0 .4
x = 1 .3 5 cm
0 .2
0.0
7 .0
8 .0
9.0
10 .0
1 1.0
L o n g u eu r y (cm )
(b )
Figure 8. Profils expérimentaux et numériques de concentration à t = 10 min et t = 20 min pour la solution à
0.005%. Profils verticaux suivant l'axe de l'aiguille d'injection y = 9 cm (a) et horizontaux à x = 1.35 cm (b)
92
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
1.0
C o n cen tratio n réd u ite
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
y = 9 .0 cm
0.0
0.0
1 .0
2.0
3 .0
4.0
5 .0
D istan ce x (cm )
(a)
1 0 m in
2 0 m in
E x p érim en tal
N u m ériq u e
1 .0
C o n cen tratio n réd u ite
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
x = 2 .2 5 cm
0 .0
7.0
8 .0
9.0
10 .0
11 .0
L o n g u eu r y (cm )
(b )
Figure 9. Profils expérimentaux et numériques de concentration à t = 10 min et t = 20 min pour la solution à
0.02%. Profils verticaux suivant l'axe de l'aiguille d'injection y = 9 cm (a) et horizontaux à x = 2.25 cm (b)
93
Chapitre 3
1.4
Résultats expérimentaux
Analyse des résultats numériques
1.4.1
Sensibilité des solutions numériques à la forme du tenseur de dispersion
Les simulations numériques des expériences, présentées dans les paragraphes
précédents, ont été réalisées avec la forme du tenseur de dispersion suivante :
Dkl =
ρ − 1
1
Pe 
 Vk Vl
δ kl + ε 2
+
1
ρ 
210 
Pe
(7)
Rappelons les deux hypothèses prises en compte pour dériver ce tenseur de dispersion à partir
de celui plus général et décrit par l'équation (103) du chapitre 2 : (i) le coefficient de diffusion
moléculaire est constant et (ii) la variation de la masse volumique du fluide avec la fraction
massique en colorant est linéaire. La première se traduit par Dm = 1 et la seconde, par
d ρ d C m = ρ * ρ . Pour un traceur ( ρ = 1 ), l'équation (7) se simplifie et s'écrit :
:
Dkl =
1
Pe
δ kl + ε 2
Vk Vl
210
Pe
(8)
Cette dernière expression donne le terme courant du tenseur de dispersion habituellement
utilisée dans les études impliquant des géométries du type "cellule de Hele-Shaw" (Cf.
chapitre 2-§1.3). Dans ces conditions, toutes les simulations numériques ont été refaites en
considérant cette forme usuelle du tenseur de dispersion. Les résultats des simulations ont été
comparés à ceux obtenus avec la dispersion décrite par l'équation (7). Tant que la dilution de
:
la solution colorée ne dépasse pas 0.01%, i.e. :
ρ * ρ a ≤ 0.68 ⋅ 10 −4 , la prise en compte de la
variation de la masse volumique dans les termes du tenseur de dispersion ne modifie pas la
distribution du soluté dans la zone de mélange. Par contre, des différences peuvent être
observées lorsque le degré de dilution de la solution colorée est de 0.02%, i.e. :
:
ρ * ρ a = 1.36 ⋅ 10 −4 . Ces différences sont mises en évidence sur la figure 10 où les deux
lignes d'isoconcentration réduite 0.1 et 0.9 de la zone de mélange sont représentées, au même
moment (t = 20 min), pour les deux formes du tenseur. Sur cette figure et sur l'axe vertical de
l'aiguille, une avancée plus importante du panache est discernable pour l'approche avec la
dispersion de Taylor. Cependant, la différence relative entre les deux avancées, calculée au
94
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
niveau de l'isoconcentration 0.1, est estimée à 1.2 %. Dans la mesure où les différences entre
les deux solutions sont faibles, il est délicat de conclure sur l'efficacité de la forme généralisée
du tenseur de dispersion (7) vis-à-vis de celle proposée par Taylor (8), pour décrire les
expériences. Néanmoins, elles laissent suggérer l'existence d'une limite entre les domaines
d'application des deux approches sans pour autant renseigner sur la validité du développement
théorique de la dispersion généralisée. En d'autres termes, l'efficacité de ce tenseur de
dispersion ne peut pas être mise en évidence pour des situations où le contraste de masse
volumique est relativement faible.
Figure 10. Lignes d'isoconcentration réduite (0.1 et 0.9) à t = 20 min : solutions numériques avec la
dispersion de taylor (lignes discontinues) et la dispersion de Taylor généralisée (lignes continues)
1.4.2
Analyse des champs des vitesses et des effets diffusifs
Il est bien évident que, afin d'atténuer les différences de comportement entre la solution
colorée et le "traceur", une faible concentration en colorant doit être utilisée. En effet, l'étude
reportée dans le paragraphe (2.3) de ce chapitre montre que, parmi les solutions injectées,
seule celle correspondant à une dilution de 0.005 %, conduit à des distributions de soluté
relativement proches de celles obtenues numériquement pour le "traceur". Cependant,
l'utilisation de cette solution se traduit par un faible rapport signal sur bruit ce qui conduit à
95
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
une augmentation de l'incertitude relative sur la concentration. Cette incertitude diminue avec
l'augmentation de la concentration en colorant. Cependant, cette augmentation peut provoquer
l'apparition des effets de la gravité sur les écoulements. Comme ces phénomènes ne peuvent
pas être déterminés expérimentalement, nous avons alors utilisé les résultats numériques.
Cette approche est tout à fait justifiée par la bonne concordance entre les données numériques
et expérimentales concernant les distributions de soluté.
Dans un premier temps, nous montrerons l'influence du niveau de dilution de la solution
colorée injectée sur le champ des vitesses. Au moyen des valeurs de ces vitesses et du
coefficient de diffusion moléculaire déterminée préalablement (Cf. chapitre 3-§1.2.2), nous
quantifierons, dans un second temps, les effets diffusifs pour chaque écoulement en fonction
de la concentration.
•
Champs des vitesses
Les distributions spatiales des vecteurs vitesses au temps t = 20 min sont données sur les figures
11a-11d, respectivement, pour les quatre cas envisagés précédemment, i.e. : traceur,
;
ρ * ρ a = 0.34 ⋅ 10 −4 (0.005% ), 0.68 ⋅ 10 −4 (0.01% ), et 1.36 ⋅ 10 −4 (0.02% ) . Pour la lisibilité de
cette figure, les résultats sont présentés pour deux zones carrés P1 et P2, l'une contiguë au point
d'injection ( 0.0 ≤ x ≤ 1.0 cm, 9.0 ≤ y ≤ 10.0 cm) et l'autre définie dans le voisinage de ce même
point (1.0 ≤ x ≤ 2.0 cm, 10.0 ≤ y ≤ 11.0 cm). Tant que le contraste de densité
;
ρ * ρ a ne
dépasse pas 0.34 ⋅ 10 −4 , les modifications de la distribution du champ des vitesses autour du
point d'injection (zone P1) ne sont pas significatives. L'écoulement conserve quasiment la
même configuration radiale semblable à celle obtenue pour le traceur. Certaines modifications
sont néanmoins observables dans la zone P2. D'une part, elles consistent essentiellement en un
changement progressif, avec l'augmentation de la concentration, de l'orientation des vecteurs
vitesses favorisant la pénétration du soluté dans le modèle physique. Elles affectent d'autre part,
dans une moindre mesure, la norme des vecteurs vitesses. L'augmentation du contraste de
densité à 1.36 ⋅ 10 −4 provoque une forte modification de la structure générale de l'écoulement
observée précédemment et ceci autour du point d'injection (P1) et dans son voisinage (P2). En
effet, on observe, dans la partie supérieure du modèle, l'apparition de deux cellules convectives
contrarotatives et symétriques par rapport à l'axe vertical de l'aiguille (y = 9.0 cm). Le centre de
rotation de l'une d'entre-elles se situe dans la zone P2.
96
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
97
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
Quantification des effets diffusifs
La connaissance du champ des vitesses permet de quantifier, en tout point M(x,y) de la
cellule, l'importance relative du transport du soluté par convection sur celui par diffusion dans
les panaches obtenus pour les différentes solutions injectées. Pour accéder à cette information,
le nombre de Péclet local a été évalué avec la valeur de la vitesse au point M(x,y) considéré,
i.e. :
PebM =
b V0
Dm∞
(9)
Les distributions de PebM sont représentées à t = 20 min sur les figures 12 a,b,c,d pour le
traceur et les trois concentrations testées en soluté. Les lignes d'isoconcentration réduite 0.1 et
0.9 sont également tracées afin de situer les limites des panaches. L'examen des quatre
distributions montre que :
•
Dans une zone proche de la source (zones hachurées sur les graphiques), les valeurs des
nombres PebM tendent vers des valeurs de l'ordre de 1 ε (= 600) ce qui correspond au
régime III (Cf. chapitre 2-§5). Par conséquent, le transport du soluté ne peut pas être
modélisé par l'équation (93-chapitre 2) avec le tenseur de dispersion défini par la relation
(103-chapitre 2).
•
En dehors des zones hachurées,
les valeurs de PebM diminuent
fortement
PebM ≤ 20 << 600 , i.e. : PebM = O(1) . De plus, quelle que soit la zone considérée, les
valeurs du nombre de Reynolds local RebM (calculé avec la vitesse V0 de l'écoulement au
point M(x,y)) restent inférieures à 0.2, i.e. : RebM = O(1) . Les valeurs des vitesses sont alors
caractéristiques d'un écoulement laminaire dans la veine. Dans ces conditions, les deux
nombres, PebM et RebM, respectent les hypothèses afférentes au régime I ou II de dispersion
(Cf. chapitre 2-§5). Par conséquent, le modèle numérique, incluant l'équation
macroscopique de convection-dispersion donnée par les relations (93) et (102) du chapitre
2, permet de prendre en compte les phénomènes à l'origine de la dispersion du soluté en
dehors des zones hachurées.
98
Chapitre 3
•
Résultats expérimentaux
Pour une dilution de 0.005 % et 0.01 %, les distributions de PebM sont proches de celle
obtenue pour le traceur. Par contre, pour une dilution de 0.02 %, la structure de la
distribution de PebM présente de fortes variations. D'une part, l'augmentation de la vitesse
verticale de l'écoulement, constatée précédemment sur les champs des vitesses (figure 11),
conduit à une décroissance plus faible de PebM suivant l'axe vertical de l'aiguille. Ceci se
traduit par une augmentation de la surface de la zone hachurée et à des valeurs plus élevées
de PebM au sein du panache. D'autre part, de fortes variations de PebM sur les bords latéraux
du panache sont constatées.
Dans notre cas, bien que l'augmentation du contraste de masse volumique à
<
ρ * ρ a = 1.36 ⋅ 10 −4 affecte la structure de la distribution de PebM, les mécanismes à l'origine
de la dispersion relèvent toujours globalement des régimes I ou II de dispersion. Ce dernier
point est corroboré par de bonnes prédictions numériques concernant les valeurs des
concentrations dans le panache (figure 9).
99
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
Figure 12. Distributions des nombres de Péclet locaux PebM dans les panaches à t = 20 min
100
Chapitre 3
2
Résultats expérimentaux
INFILTRATION D'UNE SOLUTION SALINE
2.1
Paramètres adimensionnels et choix des conditions expérimentales
Dans cette partie, nous nous proposons de rappeler les paramètres adimensionnels
caractérisant nos expériences portant sur l'infiltration d'une solution saline dans une cellule de
Hele-Shaw. L'objectif étant d'étudier l'influence du débit volumique d'injection et/ou de la
fraction massique en sel sur l'évolution spatio-temporelle de la zone de mélange, les valeurs
de ces nombres pour les différentes expériences envisagées sont ensuite exposées.
2.1.1
Paramètres adimensionnels
Rappelons que la formulation du problème en variables adimensionnelles fait apparaître
quatre paramètres adimensionnels caractérisant nos expériences (Cf. chapitre 2-§2.3) :
•
le rapport ε de l'ouverture b sur la hauteur H du canal :
b
,
H
(10)
V *H
,
Dm∞
(11)
ε=
•
Le nombre de Péclet :
Pe =
•
le rapport entre les vitesses gravitationnelle Vg et caractéristique V* :
G=
•
Vg
V*
=
avec Vg =
ρ * b2 g
,
µa
(12)
le nombre de Reynolds :
Re =
Hρ aV *
,
µa
101
(13)
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
où ρ a et µ a sont la masse volumique et la viscosité dynamique du fluide ambiant,
>
ρ * = ρ inj − ρ a est la différence entre la masse volumique du fluide injecté et celle du fluide
ambiant, g est l'accélération de la pesanteur et Dm∞ le coefficient de diffusion moléculaire à
dilution infinie.
Dans le chapitre 2, il a été montré que la dispersion du soluté relève du régime I ou II si
la valeur du nombre de Péclet modifié Pe* satisfait à :
Pe* = ε 2 Pe << 1
(14)
Le cas contraire, elle relève du régime III. Pour le régime I (resp. II), l'évolution de la
concentration moyenne est gouvernée par une équation de convection-diffusion (resp.
convection-dispersion) tandis que, pour le régime III, la structure de l'évolution des fronts de
concentration moyennée dépend du rapport des viscosités entre le fluide ambiant et injecté
M = µ a µ inj et du nombre G. Rappelons également que l'écoulement est laminaire si le
nombre de Reynolds modifié Re* respecte la condition :
Re* = ε 2 Re << 1
(15)
Dans la suite de ce chapitre, nous utiliserons ces deux nombres Re* et Pe* puisqu'ils sont plus
représentatifs pour une description des phénomènes dans une géométrie présentant deux
échelles des longueurs séparées et qu'ils sont à comparer devant 1. La détermination de ces
nombres, i.e.: Re*, Pe*, M et G, en fonction des conditions expérimentales permettra alors
d'apprécier, a priori, la nature de l'écoulement et du transport lors de l'infiltration de la
solution saline dans la cellule.
2.1.2
Conditions expérimentales
Dans notre système expérimental, le panache est issu de l'injection localisée d'une
solution saline à débit volumique constant. D'après les travaux de Wooding (1963) ou encore
de Nield and Bejan (1999), la source peut être caractérisée par son flux massique, la quantité
de mouvement et la flottabilité. Sous ces conditions, trois types d'écoulement peuvent
engendrer le transport convectif d'un soluté :
102
Chapitre 3
•
Résultats expérimentaux
convection forcée prédominante - l'écoulement est principalement généré par la quantité
de mouvement imposée à l'injection,
•
convection libre prédominante - l'écoulement est principalement généré par le contraste de
masse volumique,
•
convection mixte - l'écoulement devient de moins en moins sensible au condition initiale.
L'importance relative de ces trois types d'écoulement dépend des caractéristiques de la source
et des conditions aux limites.
Afin d'appréhender la nature du transport du soluté (régime I, II ou III) et de celle de
l'écoulement (laminaire ou turbulent) pour chaque type d'écoulement, il convient alors de
choisir deux valeurs de la vitesse caractéristique V* pour analyser l'ordre de grandeur des
paramètres adimensionnels décrits dans le paragraphe précédent :
•
Lorsque la convection forcée est prédominante, les caractéristiques de l'écoulement sont
contrôlées par le débit volumique qv de la pompe, la vitesse à l'injection étant :
Vinj =
qv
π (d i / 2 )2
(16)
où di = 0.25 mm est le diamètre intérieur de l'aiguille d'injection. Afin d'estimer les ordres
de grandeur des nombres de Reynolds modifié Re* et de Péclet modifié Pe* pour nos
conditions expérimentales, les propriétés physiques du fluide sont prises à 20 °C. La masse
volumique et la viscosité dynamique de l'eau distillée sont ainsi, respectivement,
ρ a = 998.23 kg/m3 et µ a = 1.002 ⋅ 10 −3 Pas. Le coefficient de diffusion moléculaire du sel
est Dm∞ = 1.5 ⋅10 −9 m2/s. Toutes les expériences en milieu homogène seront réalisées avec
une ouverture du canal b = 0.5 mm et une hauteur de la cellule H = 300 mm, soit un
paramètre de forme ε = 1 600 . Les valeurs de Re* et Pe* sont représentées en fonction de
qv sur la figure 13a. Les valeurs du débit qv considérées pour la représentation graphique
ont été choisies de telle façon que l'écoulement généré uniquement par l'injection reste
laminaire, i.e. : Re* << 1. Ainsi, pour des débits compris entre 0.1 et 100 ml/h, Re* varie
entre 10-4 et 0.1. Il est intéressant de constater que pour cette plage de valeurs du débit, les
nombres de Pe* sont compris entre 0.08 et 100. Le passage entre le régime II et III de
103
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
dispersion n'est donc pas à exclure (chapitre 3-§1.4.2). Sur cette même figure 13a, on a
également tracé le rapport G, i.e. : le rapport entre la vitesse gravitationnelle Vg et celle à
l'injection Vinj, en fonction de qv et de la fraction massique en sel de la solution injectée
Cinj. Le contraste de masse volumique
?
ρ * pour le calcul de G (équation 12) est
déterminé en fonction de Cinj avec les données expérimentales de Weast (1977). La valeur
de G nous permettra de caractériser l'importance relative de la convection forcée et libre (G
= 0 correspondant à la convection forcée pure). Signalons que pour Cinj = 1 % et qv = 1
ml/h, ce rapport est de l'ordre de 10.
•
Lorsque la convection libre est prédominante, la vitesse gravitationnelle Vg est égale à la
vitesse caractéristique, i.e. : V* = Vg. Il convient alors de redéfinir les deux conditions (14)
et (15) en prenant en compte les effets de la gravité. Dans ce cas, Pe* s'identifie à un
nombre de Rayleigh modifié Ra* et la condition (14) devient :
b 2 Hg ρ *
Ra* = ε
<< 1
µ a Dm∞
?
2
(17)
La condition (15), permettant alors d'évaluer l'intensité relative des forces d'Archimède par
rapport aux forces de viscosité, s'écrit :
Hb 2 ρ a g ρ
Gr* = ε
<< 1
µ a2
?
2
(18)
où Gr* représente un nombre de Grashof modifié. Pour ce régime, seul ces deux
paramètres Gr* et Ra* régissent les mécanismes d'écoulement et de transport. Leur
variation en fonction de Cinj sont tracée sur la figure 13b. Les valeurs de la concentration
en sel choisies pour la représentation graphique satisfont à la condition (18) afin que les
écoulements, dus à la convection libre, restent laminaires. Nous considérons ainsi des
concentrations en sel Cinj < 10 % pour lesquelles Gr* < 0.1.
104
Pe*
(a)
1,0E+02
1,0E+03
1,0E+01
(b)
1,0E+01
1,0E+02
1,0E+00
Re*, Pe*
1,0E+04
1,0E-01
G (1 %)
1,0E+01
G (10 %)
1,0E+00
1,0E-02
G (C inj=0,05 %)
1,0E-03
1,0E-01
Re*
1,0E-04
0,1
1
10
Ra*
Gr *, Ra *
1,0E+02
Résultats expérimentaux
G = V g / V inj
Chapitre 3
1,0E+00
1,0E-01
1,0E-02
1,0E-02
1,0E-03
1,0E-03
1,0E-04
0,01
100
Gr*
0,1
1
10
C inj (%)
Q v (ml/h)
Figure 13. Variations des nombres adimensionnels Re*, Pe*, G, Gr* et Ra* en fonction du débit volumique qv
et/ou de la fraction massique en sel Cinj de la solution injectée
Cette analyse des ordres de grandeur des paramètres adimensionnels nous a permis de
sélectionner les gammes de valeur des concentrations et des débits pour nos expériences pour
lesquelles les écoulements, dus à la convection forcée ou libre, sont laminaires. Les
caractéristiques de l'ensemble des expériences réalisées en milieu homogène sont reportées
dans le tableau 1. Plusieurs remarques concernant les valeurs de ce tableau sont à noter :
•
Le rapport de viscosité M, défini par :
M=
µa
µ inj
(19)
où µ inj est la viscosité du fluide injecté, reste toujours inférieur à 1. Le contraste de
viscosité a pour effet de stabiliser l'écoulement. De plus, il ne peut pas, à priori, être à
l'origine d'un choc au niveau du front du panache (Cf. chapitre 2-§1.2).
@
•
La valeur du contraste de masse volumique
@
ρ * est calculé avec :
ρ * = ρ sel + ρ trac
@
@
105
(20)
Chapitre 3
A
où
Résultats expérimentaux
ρ sel = ρ sel − ρ a , représentant la différence de masse volumique entre la solution saline
pure et l'eau distillée, est déterminée en fonction de Cinj avec les données expérimentales
de Weast (1977). Le contraste de masse volumique entre la solution colorée marquée et
ρ trac = ρ trac − ρ a = 0.68 ⋅ 10 −4 ρ a , a été estimé dans l'étude numérique et
A
l'eau distillée
A
expérimentale du paragraphe précédent. L'importance relative de cette correction
A
évaluée par le rapport
ρ trac
A
ρ trac ,
ρ * , est d'autant plus modérée devant les autres incertitudes
expérimentales (par exemple la perméabilité : Cf. chapitre 1-§2.1) que la valeur de Cinj est
A
élevée :
•
ρ trac
A
ρ * est de 20.4 % pour Cinj = 0.05 % et de 0.19 % pour Cinj = 5%.
Lorsque le transport du sel par diffusion n'est pas négligeable devant celui par convection,
la détermination des concentrations en sel, par mesure de l'absorption de l'intensité
lumineuse par la solution colorée, peut être à l'origine d'artefacts expérimentaux. En effet,
les fronts de concentration mesurés peuvent ne pas être représentatifs du phénomène de
diffusion du sel dans l'eau. Néanmoins , le coefficient de diffusion moléculaire du colorant
étant proche de celui du sel (Cf. §1.2.2), on peut supposer raisonnablement que la solution
colorée marque convenablement la solution saline. Par conséquent, pour les calculs de Pe*
et Ra*, nous avons utilisé la valeur du coefficient de diffusion moléculaire d'une solution
saline.
Dans le paragraphe suivant, nous tenterons de classer les différentes configurations des
panaches de solution saline obtenus expérimentalement en tenant compte des caractéristiques
reportées dans cette étude préliminaire.
Tableau 1. Valeurs des paramètres en fonction des conditions expérimentales (page suivante)
Cinj et Qv sont la fraction massique en sel et le débit volumique de la solution injectée ;
différence de densité entre la solution injectée et l'eau distillée ;
B
ρ trac
B
B
ρ * ρ a est la
ρ * est le rapport des contrastes de
masse volumique de la solution colorée marquée et de la solution injectée avec l'eau distillée ; M, Gr*, Ra*, G,
Re* et Pe* sont les paramètres adimensionnels définis par les relations (19), (18), (17), (12), (15) et (14),
respectivement ( ε = 1 600 , ρ a = 998.23 kg/m3, µ a = 1.002 ⋅10 −3 Pas, Dm∞ = 1.5 ⋅ 10 −9 m2/s).
106
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
107
Chapitre 3
2.2
Résultats expérimentaux
Caractérisation expérimentale des panaches
2.2.1
Distributions typiques du soluté
Il s'agit ici de présenter les configurations des distributions du soluté dans les panaches
obtenues pour les différentes conditions expérimentales choisies (tableau 1). Pendant la durée
d'observation, la zone de mélange reste éloignée du bord inférieur de la cellule. Chacune des
expériences a été répétée plusieurs fois. Deux types de configuration ont été ainsi détectés :
reproductible et non-reproductible.
Pour Cinj = 5 % avec qv = 20 ml/h (expérience G2), les expériences ne sont pas
reproductibles et font apparaître systématiquement des distributions complexes du soluté
semblables à celles des panaches turbulents. La complexité de ces distributions résulte d'une
succession, dans le temps, de digitations localisées du front du panache. Elles provoquent
ainsi l'ondulation du panache de part et d'autre de son axe vertical. L'une de ces distributions
est représentée au temps t = 0.5 min en terme de lignes d'isoconcentration réduite comprise
entre 0.1 et 0.9 avec un pas de 0.1 sur la figure 14a.
L'ensemble des autres expériences sont globalement reproductibles. Seules des
dissymétries dans les distributions du soluté, liées à la sensibilité des écoulements aux
perturbations ont été constatées (Cf. chapitre 4-§3.1). Dans le cadre des expériences
reproductibles, deux évolutions typiques de la distribution du soluté ont ainsi été mises en
évidence.
•
Panache sans digitation (figure 14b)
La première évolution est caractérisée par une distribution se présentant sous la forme
d'un panache se propageant sous la forme d'un seul doigt quasiment symétrique par rapport à
l'axe vertical y = 9 cm durant toute la durée d'observation. A titre d'exemple, le panache,
obtenu au temps t = 30 min pour Cinj = 0.1 % et Qv = 0.5 ml/h (expérience B1), est représenté
en terme de lignes d'isoconcentration réduite sur la figure 14b. Pour ce panache, une légère
dissymétrie peut être constatée.
108
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
Figure 14. Distributions spatiales typiques du soluté obtenues pour l'ensemble des expériences du tableau 1
•
Panache avec digitation (figure 14c)
Pour la seconde évolution, le panache, présentant initialement les mêmes
caractéristiques décrites précédemment, se propage ensuite en bifurquant et en formant ainsi
deux doigts quasiment symétriques. Afin d'illustrer la distribution du soluté obtenue, le
panache, pour Cinj = 0.05 % et Qv = 2.0 ml/h (expérience A4), est représenté sur la figure 14c
au temps t = 20 min. Par la suite, ce phénomène sera désigné comme étant la digitation du
panache et les termes "branches" et "doigts" seront énoncés sans distinction particulière.
109
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
2.2.2
Influence du débit volumique et de la fraction massique
Comme le débit volumique Qv et la fraction massique en sel Cinj de la solution injectée
sont les seuls paramètres de contrôle de nos expériences, nous mettrons, dans ce paragraphe,
en évidence qualitativement leur influence respective sur l'évolution du panache.
•
Influence du débit volumique
L'augmentation du débit volumique Qv pour une fraction massique Cinj constante et
C inj ≤ 1 %, i.e. : série d'expériences A, B, C, D et E, conduit systématiquement à la digitation
du panache. A titre d'exemple, pour Cinj = 0.2 % (série C), les panaches obtenus au temps t =
10 min sont représentés sur les figures 15a, b, c et d pour, respectivement, Qv = 0.5, 1.0, 2.0 et
5.0 ml/h. Pour Qv = 0.5 et 1.0 ml/h, les panaches ne présente pas de digitations.
L'augmentation du débit à Qv = 2.0 ou 5.0 ml/h entraîne la digitation du panache. La
formation des branches est davantage marquée pour Qv = 5 ml/h. L'augmentation du débit
volumique Qv provoque une augmentation de la pénétration et de l'extension maximale
horizontale du panache. Pour Cinj = 2.0 % et quel que soit le débit volumique Qv considéré
(série F), aucune digitation des panaches n'a été observée.
•
Influence de la fraction massique
Quel que soit le débit volumique Qv constant considéré, la diminution de la fraction
massique Cinj entraîne la digitation du panache. Afin d'illustrer ce phénomène, pour Qv = 1
ml/h (resp. 2 ml/h), les panaches obtenus au temps t = 20 min (resp. 10 min) sont représentés
sur les figures 16a et 16b (resp. 16c et 16d) pour Cinj = 0.2 % et 0.05 % (resp. 0.5 % et 0.2 %).
Ainsi, pour Cinj = 0.2 % (resp. 0.5 %), le panache ne montre pas de digitation. La diminution
de la fraction massique à Cinj = 0.05 % (resp. 0.2 %) s'accompagne d'une digitation du
panache. De plus, la baisse de la fraction massique Cinj, provoque une réduction de la
pénétration et une augmentation de l'extension horizontale du panache.
La diminution de Cinj pour Qv constant et l'augmentation de Qv pour Cinj constante sont
ainsi deux actions conduisant à la digitation des panaches. L'analyse de l'influence respective
de ces paramètres de contrôle sur la distribution du soluté laisse alors suggérer que l'extension
horizontal du panache est un facteur prédominant dans l'apparition du phénomène de
digitation du panache.
110
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
111
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
Figure 16. Influence du contraste de masse volumique sur la distribution du soluté
112
Chapitre 3
2.3
Résultats expérimentaux
Un critère pour la caractérisation des distributions du soluté
L'analyse de l'ensemble des expériences (tableau 1) indiquent que l'occurrence d'une
digitation du panache semble dépendre essentiellement de la valeur du paramètre G. Pour
montrer l'influence de ce paramètre sur la nature de la propagation du panache, la valeur
symbolique "0" ou "1", se référant à un panache sans ou avec digitation, est tracée en fonction
de G sur le graphique de la figure 17. A partir de cette représentation, il est possible d'établir
que si la condition suivante :
G < Gc
(17)
avec Gc = 1.27 représentant une valeur critique pour G, est respectée, il y a digitation du
panache. Le rôle de G dans la prédiction de l'absence ou de l'apparition de digitation du
panache peut être expliqué en se basant sur la nature des phénomènes à l'origine de
l'écoulement de la solution injecté. Le contraste de masse volumique entre le fluide injecté et
le fluide ambiant génère la convection libre tandis que l'injection est responsable de la
convection forcée. L'écoulement de la solution est alors assuré par la convection forcée et
libre. L'importance relative de l'une et l'autre est exprimée par la valeur de G. Hors l'extension
latérale du panache, qui joue à priori un rôle déterminant dans la digitation du panache (Cf.
§2.2), dépend également de ce paramètre. En effet, il est possible d'estimer un ordre de
grandeur e de cette extension horizontale du panache par la relation suivante (Wooding,
1962):
QV
bVg
(18)
πd i2 Vinj
4b V g
(19)
e=
soit, en tenant compte de la relation (16) :
e=
La relation (19) montre ainsi que l'ordre de grandeur e est inversement proportionnel à G. De
ce fait, lorsque G diminue, l'extension latérale du panache augmente entraînant une situation
propice à l'apparition de la digitation. La valeur crique Gc = 1.27 et la relation (18) permettent
alors d'estimer l'ordre de grandeur critique ec de cette extension latérale à ec = 1.85b.
113
Chapitre 3
Résultats expérimentaux
1
D istrib u tio n d u so lu té
D istrib u tio n d u so lu té
0 = san s d ig itatio n
1 = av ec d ig itatio n
0
0 .1
1.0
1 0.0
G
Figure 17. Caractérisation des distributions du soluté en fonction de G
3
CONCLUSION
Dans le but de mieux comprendre le comportement de la solution colorée injectée dans
la cellule, les résultats expérimentaux ont été analysés numériquement à l'aide du code de
calcul modifié pour respecter l'analogie entre la cellule de Hele-Shaw et le milieu poreux. La
bonne concordance entre les résultats expérimentaux et numériques permet de conclure que,
même si la solution colorée est utilisée comme un traceur, elle présente une masse volumique
différente de celle de l'eau distillée. Par conséquent, le contraste de densité résultant ne doit
pas être négligé dans les équations de base décrivant la propagation d'un soluté. Par contre, s'il
ne dépasse pas une certaine valeur ( ρ * ρ a = 1.36 ⋅ 10 −4 dans notre cas), il peut être négligé
C
dans la forme générale du tenseur de dispersion obtenue par homogénéisation. Les résultats
numériques permettent également de :
•
justifier la concentration optimale en colorant de la solution injectée qui sera choisie pour
marquer la solution saline,
114
Chapitre 3
•
Résultats expérimentaux
mettre en évidence, même pour des contrastes de masse volumique très faibles, l'existence
d'écoulements inattendus dus aux effets de la gravité.
Ce dernier point est crucial puisqu'il implique une élévation progressive des valeurs de Péclet
locaux PebM au sein des panaches avec l'augmentation du contraste de masse volumique entre
la solution injectée et le fluide ambiant. Cette augmentation est significative pour
D
ρ * ρ a = 1.36 ⋅ 10 −4 dans notre cas, mais n'est pas suffisante pour passer globalement du
régime II au régime III de dispersion où la convection est prédominante à l'échelle locale.
L'influence d'une augmentation, non négligeable, du contraste de densité obtenu avec une
solution saline ainsi que du débit d'injection, sur la propagation du panache a été analysée
expérimentalement dans la deuxième partie de ce chapitre. Deux types de configurations ont
pu être mis en évidence : reproductible et non-reproductible. Pour les expériences
reproductibles, deux évolutions différentes des distributions du soluté ont été mises en
évidence. Pour l'une, le panache se propage sous la forme d'un seul doigt tandis que, pour
l'autre, il digite pour former deux doigts quasiment symétriques. Une analyse, a l'aide des
paramètres adimensionnels, de l'ensemble des résultats expérimentaux a permis d'établir un
critère empirique, basé sur le rapport entre la vitesse gravitationnelle et celle à l'injection, pour
prédire l'une ou l'autre de ces distributions.
115
Chapitre 4
Simulations numeriques
Chapitre 4
SIMULATIONS NUMÉRIQUES
116
Chapitre 4
Simulations numeriques
NOMENCLATURE
a
Avancée du front du panache [m]
b
Ouverture de la cellule [m]
Cinj
Fraction massique de la solution injectée [-]
dint
Diamètre intérieur de l'aiguille d'injection [m]
Dm∞
Coefficient de diffusion moléculaire à dilution infinie [m2.s-1]
E
Extension horizontale maximale du panache [m]
Ld
Longueur moyenne des doigts [m]
Ldmax
Longueur maximale des doigts [m]
Ldmin
Longueur minimale des doigts [m]
Linj
Largeur de la facette à concentration et débit massique imposés [m]
p
Pénétration maximale du panache [m]
Peb
Nombre de Péclet local [-]
PebM
Nombre de Péclet local calculé avec la vitesse V au point M(x,y) de la cellule
[-]
Pinj
Profondeur de la facette à concentration et débit massique imposés [m]
Qm
Débit massique à l'injection [kg.s-1.m-1]
Qv
Débit volumique à l'injection [m3.s-1]
Sc
Nombre de Schmidt [-]
t
Temps [s]
t
Temps caractéristique de la diffusion visqueuse suivant l'ouverture de la
E
cellule b [s]
tD
Temps caractéristique de la diffusion moléculaire suivant l'ouverture de la
cellule b [s]
V
Vitesse de l'écoulement au point M(x,y) de la cellule [m.s-1]
x (ou x'), y
Coordonnées verticale et horizontale d'un point M dans la cellule [m]
F
T
Contraste de température entre le fluide injecté et le fluide ambiant [K]
Lettres grecques
ρa
Masse volumique du fluide ambiant [kg.m-3]
µa
Viscosité dynamique du fluide ambiant [kg.m-1.s-1]
117
Chapitre 4
ρ*
G
Simulations numeriques
Contraste de masse volumique entre le fluide injecté et le fluide ambiant [kg.m-3]
ε
Rapport entre l'ouverture et la hauteur du canal [-]
β
Coefficient d'expansion thermique de l'eau [K-1]
υa
Viscosité cinématique du fluide ambiant [m2.s-1]
118
Chapitre 4
Simulations numeriques
Chapitre 4 - SIMULATIONS NUMÉRIQUES
L'objectif principal de ce chapitre, axé sur la modélisation numérique, est de vérifier si
les simulations peuvent reproduire les deux modes de propagation de la solution saline, i.e. :
panache sans et avec digitation, mis en évidence pour les expériences reproductibles et décrits
dans le deuxième paragraphe du chapitre précédent.
Dans la première partie du chapitre, nous présenterons les résultats numériques pour
deux expériences typiques. La possibilité de juger de la conformité des simulations
numériques avec les expériences en terme de caractéristiques morphologiques, nous a conduit
à analyser les influences : (i) de la valeur de la diffusion moléculaire ou (ii) de la manière de
modéliser les conditions d'injection, sur les distributions numériques du soluté.
La structure des panaches numériques et expérimentaux exprimée en termes de
distributions de concentration est analysée dans la seconde partie. Les simulations peuvent
être utiles afin d'évaluer l'importance de certains effets physiques qui ne sont pas inclus dans
le modèle numérique mais qui peuvent être présents dans le système réel considéré. Ainsi,
dans notre cas, les mécanismes de transport du soluté relevant du régime III (Cf. chapitre 2§5) n'étant pas pris en compte dans la modélisation, le niveau de concordance entre les
prédictions numériques et les observations expérimentales peut fournir une indication de leurs
importances dans la propagation du soluté. En utilisant la même démarche, l'influence des
mécanismes hydrodispersifs du régime II sur l'évolution du panache ont été également
analysée en ne prenant en compte que la diffusion moléculaire dans le tenseur de "dispersion".
Les expériences ont révélés que la digitation du panache peut être asymétrique. Pour
déterminer les mécanismes susceptibles de provoquer la dissymétrie du panache, les
conditions sur la perméabilité à modéliser pour obtenir une dynamique du panache similaire à
celle obtenue expérimentalement ont été déterminées et sont exposées dans la dernière partie
de ce chapitre. Pour terminer ce chapitre, les résultats numériques et expérimentaux de
l'infiltration d'une solution saline dans un milieu présentant un contraste de perméabilité (ratio
de 4) seront présentés.
119
Chapitre 4
1
Simulations numeriques
CARACTERISATION NUMERIQUE D'UN PANACHE AVEC ET
SANS DIGITATION
Il s'agit dans ce paragraphe de mettre en évidence si les simulations numériques peuvent
prédire, suivant les conditions d'injection, une distribution du soluté avec et sans digitation.
Pour cela, les évolutions de la solution saline dans la cellule de Hele-Shaw pour un
débit d'injection Qv de 1 ml/h et pour des fractions massiques Cinj de 0.05 % (expérience A3)
et 0.2 % (expérience C2) ont été modélisées. En effet, pour Cinj = 0.2 %, les résultats
expérimentaux indiquent que le panache ne présente pas de digitation tandis que pour Cinj =
0.05 %, le panache digite pour former deux "branches".
Le maillage du domaine d'étude est similaire à celui utilisé pour les simulations
concernant la solution colorée (Cf. chapitre 3-§1.1). Du fait d'une plus ample pénétration du
panache, seule la discrétisation suivant l'axe vertical x diffère afin d'étendre la finesse du
maillage vers le bas de la cellule : 120 x 0.05 cm (pour 0 ≤ x ≤ 6 cm), 90 x 0.1 cm (pour
6 ≤ x ≤ 15 cm) et 30 x 0.5 cm (pour 15 ≤ x ≤ 30 cm). Le nombre d'éléments rectangulaires est
alors de 23 743, soient 24 100 nœuds et 47 842 facettes. Les valeurs des paramètres du fluide
ambiant et du milieux poreux sont identiques. Les conditions aux limites restent inchangées
H
excepté pour le contraste de densité
•
pour Cinj = 0.05 % :
•
pour Cinj = 0.2 % :
H
H
ρ * ρ a et le débit massique qm imposés :
ρ * ρ a = 4.02 ⋅ 10 −4 et qm = 0.5548 kg.s-1.m-1,
ρ * ρ a = 15.40 ⋅ 10 −4 et qm = 0.5554 ⋅ 10 −3 kg.s-1.m-1.
La comparaison des résultats expérimentaux et numériques, pour un panache avec
digitation, portera sur les critères suivants (figure 1) :
•
La longueur moyenne des doigts Ld : distance verticale moyenne entre le creux C des deux
doigts et leurs sommets Smax et Smin. Les appellations des deux sommets sont distincts dans
la mesure où leur élévation peut ne pas être identique.
•
La pénétration p : distance verticale entre la source d'injection et le sommet Smax.
•
L'extension horizontale E : étendue horizontale maximale du panache.
120
Chapitre 4
•
Simulations numeriques
L'avancée a : distance verticale entre la source et le creux C des deux doigts.
Pour un panache sans digitation, la comparaison portera uniquement sur l'extension E et la
pénétration p du panache. Les distances sont calculées par rapport au niveau de concentration
réduite égale à 0.1.
O
Pinj
Linj
x
Ligne d'isoconcentration réduite = 0.1
Ld =
a
Ld min + Ld max
2
p
C
Ldmin
Ldmax
Smax
Smin
E
Figure 1. Définitions des caractéristiques morphologiques d'un panache et des conditions d'injection
1.1
Panache avec digitation
Les résultats numériques et expérimentaux pour Cinj = 0.05 % sont présentés sur la
figure 2a1 et 2c en terme de lignes d'isocencentration réduite égale à 0.1 aux temps t = 4, 10,
16, 22 et 28 min.
D'un point de vue qualitatif, la solution numérique indique que le panache se déforme
progressivement pour former finalement deux branches (ou doigts) de part et d'autre de l'axe y
= 9 cm. Cependant la déformation du front, observable sur les figures par une ondulation de la
ligne d'isoconcentration 0.1, ne se produit pas au même temps. Numériquement, elle apparaît
à t = 10 +/- 0.5 min tandis qu'expérimentalement elle apparaît à t = 16 +/- 2 min. Ceci se
121
Chapitre 4
Simulations numeriques
traduit ensuite par une évolution spatio-temporelle du panache simulé différente de celle
obtenue expérimentalement. Ainsi du point de vue numérique, la longueur moyenne des
doigts Ld aussi bien que l'extension horizontale maximale E sont surestimées tandis que la
pénétration p est sous-estimée. Les différences relatives correspondantes sont de 55.5 %, 7.4
% et 13.7 % à t = 28 min (tableau 1).
Il faut noter qu'expérimentalement, une asymétrie de la digitation est observable avec,
néanmoins, une différence relative de longueur des doigts peu élevée, i.e. : (Ldmax − Ldmin )/ Ldmin
= 8.5 % à t = 28 min tandis que numériquement, la distribution du soluté est symétrique (Ldmax
= Ldmin).
Les panaches présentant des morphologies différentes, essentiellement en terme de
longueur moyenne des doigts Ld, la comparaison quantitative des distributions spatiotemporelles de concentration est délicate. Pour ses raisons, une étude de sensibilité de la
solution numérique en fonction de différents paramètres a été réalisée.
•
Influence du coefficient de diffusion moléculaire
Dans un premier temps, plusieurs simulations ont été menées avec différentes valeurs
du coefficient de diffusion moléculaire Dm∞ . Pour des valeurs de Dm∞ supérieures à 1.5 ⋅ 10 −9
m2.s-1, les solutions affichent un retard dans l'apparition de la digitation par rapport au cas
initial. Par exemple, pour Dm∞ = 2.4 ⋅ 10 −9 m2.s-1, l'ondulation de la ligne d'isoconcentration
0.1 n'est plus apparente à t = 10 min (figure 2a2) et la chronologie de la digitation se
rapproche de celle obtenue expérimentalement. En outre, la différence relative des longueurs
moyennes des doigts Ld diminue : 2.7 % au lieu de 55.5 % à t = 28 min (tableau 1). En
contrepartie, celles concernant l'extension E et la pénétration p augmentent, soient
respectivement : 18.5 % au lieu de 7.4 % et 15.6 % au lieu de 13.7 % à t = 28 min. Par
conséquent, la modification de la diffusion moléculaire ne semble pas apporter une
amélioration sur la qualité des prédictions numériques vis-à-vis des résultats expérimentaux,
excepté pour celles ayant trait à la chronologie de la digitation et à la longueur moyenne des
doigts Ld.
122
Chapitre 4
•
Simulations numeriques
Influence des conditions d'injection
Dans un second temps, notre attention s'est portée sur la façon de modéliser les
conditions d'injection. Pour les simulations précédentes, la géométrie du domaine maillé au
niveau de l'injection et la largeur de la facette d'injection prend en compte rigoureusement les
caractéristiques dimensionnelles de l'aiguille et sa position dans le système expérimental (Cf.
chapitre 3-§1.1). L'utilisation des équations (100) et (93) du chapitre 2 suppose alors
implicitement que le profil des vitesses soit parabolique et que la concentration soit constante
suivant l'ouverture du canal à la sortie de l'aiguille. Or les temps pour l'établissement du profil
parabolique des vitesses et pour avoir une concentration constante dans le système réelle sont,
respectivement, de l'ordre de :
t =
I
avec υ a = µ a ρ a
b2
b2
et t D =
υa
Dm∞
la viscosité dynamique [m2.s-1]. t
I
(1,2)
et t D représentent les temps
caractéristiques de dissipation visqueuse et de diffusion moléculaire suivant l'ouverture de la
cellule. Le nombre de Schmidt Sc = t D t étant de l'ordre de 1000, la durée d'établissement
I
d'un profil parabolique des vitesses est négligeable devant celle de la concentration. Par
conséquent, en ne prenant en compte que le phénomène de diffusion et en supposant un
écoulement radial autour d'une source ponctuelle, la zone transitoire peut être assimilée à un
disque de rayon d'environ 1.3 mm. Sous ces conditions, l'injection de la solution saline a été
numériquement réalisée à l'aide d'une source virtuelle placée à 1.5 mm en dessous de la
source réelle, i.e. : Pinj = 1.0 cm. Par contre, afin de déterminer sa largeur Linj, plusieurs
simulations ont été réalisées.
Pour des valeurs de Linj supérieures à dint = 0.25 mm, les solutions affichent un retard
dans l'apparition de la digitation par rapport au cas initial. Ce retard est d'autant plus
important que Linj est élevée. D'ailleurs, une forte sensibilité de la solution à ce paramètre a
été constatée puisque, pour une variation relative de 2.2 % de Linj (de 0.45 mm à 0.46 mm), on
a constaté une variation de la longueur des doigts Ld de 12.5 % à t = 28 min (figure 2b1-2).
Pour Linj = 0.46 mm, la chronologie de la digitation est la plus proche de celle obtenue
expérimentalement. En effet, les déformations du front, remarquables par l'ondulation de la
ligne d'isoconcentration 0.1, se produisent au même temps t = 16 mm (+/- 0.5 mm num. et +/-
123
Chapitre 4
Simulations numeriques
2mm exp.). Outre une bonne concordance temporelle de la digitation, les caractéristiques
morphologiques sont également semblables. Les différences relatives de longueur Ld,
d'extension E et de pénétration p sont, respectivement : 2.8 %, 1.8 % et 12.5 % à t = 28 min.
Cette valeur de Linj = 0.46 min, avec Pinj = 1 cm, a donc été retenue pour réaliser les autres
simulations numériques.
Diff.
relative
∆p p
(%)
∆Ld Ld
(%)
∆E E
(%)
Pinj = 0.85 cm
Linj = 0.25 mm
Dm∞ = 1.5 ⋅ 10 −9 m2.s-1
Cinj = 0.05 % et Qv = 1 ml/h
Pinj = 0.85 cm
Pinj = 1.0 cm
Linj = 0.25 mm
Linj = 0.45 mm
Dm∞ = 2.4 ⋅ 10−9 m2.s-1
Dm∞ = 1.5 ⋅ 10 −9 m2.s-1
Pinj = 1.0 cm
Linj = 0.46 mm
Dm∞ = 1.5 ⋅ 10 −9 m2.s-1
-13.7
-15.6
-12.5
-12.5
+55.5
+2.7
+11.1
-2.8
+7.4
+18.5
+3.7
+1.8
Tableau 1. Différences relatives entre les caractéristiques morphologiques (figure 1) des panaches
numériques et expérimental à t = 28 min
124
Chapitre 4
Simulations numeriques
125
Chapitre 4
1.2
Simulations numeriques
Panache sans digitation
Les résultats numériques et expérimentaux pour Cinj = 0.2 % sont présentés sur la figure
3a et 3b en terme de lignes d'isocencentration réduite égale à 0.1 aux temps t = 4, 10, 15 min.
L'augmentation du contraste de masse volumique entre la solution injecté et le fluide
ambiant conduit à une propagation du soluté sous la forme d'un panache sans digitation. Au
niveau de l'évolution temporelle de la morphologie du panache, les prédictions concernant son
extension horizontale maximale E semblent être en accord avec la distribution expérimentale.
Ainsi, la différence relative d'extension horizontale E est de 7.7 % à t = 15 min (tableau 2).
Cependant, pour ce même temps, les prédictions pour la pénétration p du panache sont moins
bonnes : la différence relative est de 11.6 %. Concernant cette dernière caractéristique, il est
important de noter que pour Cinj = 0.2 %, les prédictions la surestiment (+11.6 %) tandis que
pour Cinj = 0.05 %, elles la sous-estiment (-12.5%). Bien que ces tendances soient opposées,
les différences relatives correspondantes sont du même ordre de grandeur.
Diff. relative
Cinj = 0.2 % et Qv = 1 ml/h
Pinj = 1.0 cm
Linj = 0.46 mm
Dm∞ = 1.5 ⋅ 10 −9 m2.s-1
∆p p ou ∆a a
(%)
∆Ld Ld
(%)
∆E E
(%)
+11.6
-7.7
Tableau 2. Différences relatives entre les caractéristiques morphologiques des panaches numérique et
expérimental à t = 28 min
126
Chapitre 4
Simulations numeriques
Figure 3. Résultats expérimentaux (a-expérience C2) et numériques (b) en terme de lignes d'isoconcentration
0.1 pour Cinj = 0.2 % et Qv = 1 ml/h
2
ANALYSE DES RESULTATS NUMERIQUES
2.1
Distributions spatio-temporelle des concentrations
L’analyse précédente montre une cohérence relativement bonne entre les prédictions
numériques et les résultats expérimentaux concernant aussi bien la configuration de la zone de
127
Chapitre 4
Simulations numeriques
mélange que ses caractéristiques comme l'extension latérale E, la longueur des doigts Ld ou
encore la chronologie de la digitation si c'est la cas. Par contre, les solutions numériques
affichent des pénétrations p sensiblement différentes de celles des résultats expérimentaux.
En tenant compte alors de cette différence de pénétration, il était alors envisageable de
poursuivre cette étude en analysant la structure des panaches du point de vue des
distributions, numériques et expérimentales, de concentration.
•
Panache avec digitation
A partir des champs de concentration numériques et expérimentales, nous avons tracé
les profils de concentration suivant l’axe de l’aiguille d’injection y = 9 cm à t = 10, 16, 22 et
28 min pour Cinj = 0.05 % (figure 4a). Globalement, les solutions numériques permettent de
recouvrir deux tendances de l’évolution des fronts de concentration expérimentaux lors de la
digitation des panaches, à savoir : un raidissement de ces fronts et une diminution de la
vitesse de leur avancée. En outre, concernant ces deux tendances, on constate que :
(i) Les prédictions numériques concernant la largeur de ces fronts, définie par les
concentrations réduites comprises entre 0.8 et 0.2, sont meilleurs après digitation : la
différence relative de largeur passe de 58.3 % au temps t = 10 min (avant digitation) à 20 %
au temps t = 28 min (après digitation).
(ii) Les profils numériques illustrent une avancée a du front sous-estimée. Néanmoins, les
différences relatives restent inférieures à 12.8 % (valeur à t = 28 min).
(iii)L'écart entre les avancées numérique et expérimentale du front n'est pas constant au cours
du temps. Ceci indiquent une différence de vitesse de propagation des fronts expérimental
et numérique. Ainsi, par exemple, la différence relative de vitesse moyenne, entre t = 10 et
t = 16 min, est de 11.1 %.
Concernant ce dernier point, l'ordre de grandeur des vitesses est celui de la vitesse
gravitationnelle Vg = kg∆ρ * µa (Cf. chapitre 2-§2). Par conséquent, cette différence de
vitesse de propagation des fronts peut être due à une erreur sur la perméabilité et/ou sur le
contraste de masse volumique. Une variation de l’ouverture b de la cellule (Cf. chapitre 1§2.1) peut être à l’origine d’une variation de la perméabilité tandis que deux facteurs
128
Chapitre 4
Simulations numeriques
principaux sont susceptibles de provoquer une variation du contraste de masse volumique
∆ρ * entre la solution saline colorée et l’eau distillée :
(i)
Une erreur sur la mesure de la masse de sel lors de la préparation de la solution saline.
Néanmoins, l’incertitude relative sur cette mesure est faible : de l’ordre de 1 %.
(ii)Une différence de température ∆T entre la solution injectée et l’eau distillée. Ainsi, à titre
indicatif, une incertitude relative de 10 % sur le contraste de masse volumique (et donc sur
la vitesse de propagation des fronts) peut être causée par une différence de température
∆T = 10%
1 ∆ρ *
≈ 0.2° K , où β = 2.1 ⋅ 10 −4 K-1 représente le coefficient d’expansion
β ρa
thermique de l’eau.
Bien que toutes les précautions aient été prises en contrôlant les températures du fluide
ambiant et de la solution injectée, cette faible différence ∆T laisse suggérer qu’elle peut être
à l’origine de la différence de vitesse constatée.
Puisque l’avancée expérimentale a du front est différente de celle obtenue
numériquement, il semble délicat de comparer les distributions pour la même élévation x. Par
conséquent, l’analyse est poursuivie en faisant coïncider, au temps t = 16 ± 0.5 min
correspondant à l’apparition de la digitation, les avancées numérique et expérimentale des
fronts des panaches. Ceci implique une translation des résultats numériques selon l’axe positif
des x d’environ ∆x = 0.675 cm (figure 4b1). Ainsi, afin de faciliter la compréhension de nos
discussions, considérons un nouveau repére Ox' dont l’origine correspond à x – 5.75 cm pour
la solution numérique et x –6.425 cm pour la solution expérimentale. Sous ces considérations,
les différences relatives d'avancée du front deviennent de 1.5 % à t = 22 min (figure 4b2) et de
4.1 % à t = 28 min (figure 4b3). Ces faibles différences laissent suggérer que pour t > 16 min,
une comparaison directe des distributions expérimentales et numériques de la concentration
est alors possible (figure 5).
129
Chapitre 4
Simulations numeriques
Figure 4. Distributions axiales de la concentration réduite (a) et lignes d'isoconcentration 0.1 (b1-3) pour Cinj
= 0.05 % et Qv = 1 ml/h
Cette comparaison, réalisée dans la partie inférieure du panache, porte sur les
distributions des concentrations aussi bien dans des sections verticales (i.e. : y = cst) que dans
des sections horizontales (i.e. : y = cst).
L'analyse des graphiques de la figure 5 montre que :
- Du point de vue des distributions verticales selon l’axe du panache (figure 5a1-2) et
des doigts (figure 5b1-2), les prédictions numériques affichent des gradients de concentration,
au niveau des fronts, surestimés. En dehors de ces fronts, les variations expérimentales de la
130
Chapitre 4
Simulations numeriques
concentration sont proches de celles obtenues expérimentalement. Néanmoins, le niveau des
concentrations expérimentales est plus faible.
- Du point de vue des distributions horizontales en dehors des branches (figures 5c1-2), un
décrochement, peu marqué à t = 22 min (figure 5c1) et s'accentuant à t = 28 min au point
de former pratiquement un plateau (figure 5c2), n'est pas décliné par la solution
numérique. Bien que les variations expérimentales et numériques des concentrations
soient proches, la valeur maximale de la concentration expérimentale dans les sections
considérées en dehors ou au niveau des branches (figure 5d1-2), est toujours inférieure à
celle obtenue numériquement.
Quelle que soit les distributions horizontales ou verticales considérées, la concentration
maximale, obtenue expérimentalement, est toujours inférieure à celle donnée par la solution
numérique. La différence maximale, observée sur la figure 5d1, est de 25 %. Dans le
paragraphe §2.2, nous tenterons d’analyser les causes de ce phénomène en analysant les
champs numériques des vitesses.
En dépit de ces constatations, l'examen de l'ensemble des graphiques de la figure 5
montre que, globalement, les variations expérimentales et numériques de la concentration sont
en bon accord. Ainsi, l'évolution spatio-temporelle de la concentration lors de la digitation du
panache est prédite de façon satisfaisante par la solution numérique.
131
Chapitre 4
Simulations numeriques
132
Chapitre 4
•
Simulations numeriques
Panache sans digitation
Afin de caractériser numériquement et expérimentalement l'évolution de la
concentration pour le panache sans digitation, nous portons, ici, notre analyse sur les résultats
pour Cinj = 0.2 %. Les profils de concentration suivant la section verticale (y = 9 cm) à t = 10
et 15 min sont représentés sur la figure 6.
Bien que, qualitativement, la concentration fournie par la solution numérique suit la
même évolution que celle enregistrée expérimentalement, i.e. : une légère décroissance suivie
d’une légère augmentation avant une forte diminution au niveau du front, d’un point de vue
quantitatif, on constate de fortes différences. Contrairement aux discussions portées dans le
paragraphe précédent (i.e. : Cinj = 0.05 %), l’augmentation de la concentration conduit à une
solution numérique qui présente une plus forte avancée a que celle déterminée
expérimentalement. Ainsi, la différence relative de vitesse moyenne d’avancée a du front
entre les deux temps considérés est de 17.7 %. En outre, les concentrations à la sortie de
l’aiguille ne présentent pas les mêmes valeurs. Si la concentration réduite correspondant à la
solution numérique est unitaire, la concentration enregistrée expérimentalement est d’environ
0.8, ce qui entraîne un gradient vertical en concentration beaucoup plus faible.
Figure 6. Distributions axiales de la concentration réduite pour Cinj = 0.2 % et Qv = 1 ml/h
133
Chapitre 4
Simulations numeriques
2.2
Analyse des champs de vitesse et des effets diffusifs
L'étude reportée dans le paragraphe précédent montre que, pour les cas avec Cinj = 0.05
% et Cinj = 0.2 %, les résultats expérimentaux et numériques concordent de façon
satisfaisante. Néanmoins, une analyse, portant uniquement sur la concentration, ne permet pas
a priori de déterminer la nature exacte des mécanismes de transport du soluté dans la cellule.
Par conséquent, on peut utiliser l'approche numérique afin de déterminer les champs des
vitesses nous permettant de :
•
vérifier la validité des hypothèses prises en compte dans l’approche théorique (Cf. chap.
2-§1.5),
•
étudier l'influence du contraste de masse volumique sur les mécanismes de transport.
Les distributions spatiales du nombre de Péclet local PebM = bV Dm∞ (Cf. chapitre 3-
§1.4.2), évalué avec la valeur de la vitesse V en tout point M(x,y), sont représentées pour Cinj
= 0.05 % à t = 10, 16, 22 et 28 min, respectivement, sur les graphiques a1, a2, a3 et a4 de la
figure 7. Les lignes d'isoconcentration réduite 0.1 (continue) et 0.9 (discontinue) sont
également tracées afin de situer les limites du panache. L'examen successif de ces quatre
graphiques montre que :
•
A t = 10 min (figure 7a1), il existe une zone, située de part et d'autre de l'axe vertical du
panache (zone hachurée sur le graphique), avec des valeurs du nombre PebM comprises
entre 20 et 200. Lors de la pénétration du panache, cette zone s'étend verticalement en
conservant approximativement la même largeur (figures 7a2-4). Notons que, dans chacune
des branches du panache, il existe également une telle zone s'amplifiant avec leur
développement (figures 7a3-4). Théoriquement et dans notre cas, pour Peb =
Peb =
J
(1 ε ) = (600 ) ,
J
J
(1)
et
les mécanismes de transport du soluté relèvent, respectivement,
des régimes II et III de dispersion. Par conséquent, dans la zone hachurée, il existe une
interférence entre ces deux régimes. Cette interférence peut, a priori, être à l'origine (i) de
la décroissance de la concentration suivant l'axe du panache, entre la source et le front,
observée expérimentalement (figure 4a) et (ii) du niveau de concentration plus faible
(figure 5). Cette décroissance n'apparaît pas sur la solution numérique du fait d'une
modélisation avec des équations valides pour le régime II uniquement.
134
Chapitre 4
•
Simulations numeriques
En dehors des zones hachurées, comme les valeurs de PebM sont inférieures à 20, i.e. :
PebM =
K
(1),
le régime II de dispersion est prépondérant devant le régime III. Ainsi, le
modèle numérique, incluant les équations pour le régime II, permet de prendre en compte
correctement la dispersion du soluté dans le système expérimental. Ce dernier point est
corroboré par les prédictions numériques relativement bonne concernant les distributions
de la concentration dans les doigts ou branches.
•
Aux deux cellules convectives déjà présentes avant digitation (figure 7b1-2), s'ajoutent
deux autres cellules se développant progressivement lors de la propagation des branches
(figure 7b3-4). Ces deux cellules, se situant entre les branches, génèrent un champ des
vitesses dont l'effet est de s'opposer à l'avancée du front du panache suivant son axe de
symétrie. Cela se traduit par une diminution de la vitesse d'avancée et un raidissement du
front dans l'axe du panache après digitation. Ces deux phénomènes ont également été
constatés expérimentalement (figure 4a - §2.1). La diminution de la vitesse d'avancée
provoque une forte diminution du PebM entre les branches (figures 7a3-4).
Les distributions de PebM pour Cinj = 0.2 % sont représentées à t= 10 et t = 15 min,
respectivement, sur les graphiques a1 et a2 de la figure 8 en utilisant le même type de
représentation graphique que la figure 7. L'augmentation du contraste de masse volumique
provoque une augmentation des vitesses au sein du panache (figure 8b1-2) de telle sorte que
la zone hachurée recouvre quasiment tout le panache. Par conséquent, en supposant que les
champs des vitesses pour le système expérimental soit proche de ceux obtenus
numériquement, les mécanismes de transport du soluté dans la cellule relève uniquement de
l'interférence des régimes II et III de dispersion. Ce dernier point peut être à l'origine du non
recouvrement des fronts des panaches numérique et expérimental (figure 6).
135
Chapitre 4
Simulations numeriques
136
Chapitre 4
Simulations numeriques
Figure 8. Distributions du nombre de Péclet local (a1-2) et champs de vitesse pour Cinj = 0.2 % et Qv = 1 ml/h
2.3
Sensibilité des solutions numériques aux régimes de dispersion
L'analyse du paragraphe précédent permet de montrer que la propagation du soluté, pour
les deux cas étudiés, se fait sous les régimes II et III de dispersion. Pour Cinj = 0.05 %,
l'interférence avec le régime III est davantage marquée à l'intérieur du panache tandis que les
mécanismes de dispersion au niveau de son front relèvent essentiellement du régime II. De ce
fait, lors de la digitation du front du panache, la dispersion du soluté est régie à la fois par la
diffusion macroscopique et la dispersion hydrodynamique. Néanmoins, il est a priori difficile
d'estimer l'influence de l'une et/ou de l'autre sur le processus de digitation. Par conséquent,
d'autres simulations numériques ont été réalisées en ne prenant en compte que la diffusion
137
Chapitre 4
Simulations numeriques
macroscopique dans le tenseur de dispersion, soit le "régime I" de dispersion (Cf. chapitre 2§1.5).
Pour la fraction massique Cinj = 0.05 % et le régime I de dispersion, les résultats
numériques sont représentés sur les figures 9a1-2 en terme de ligne d'isoconcentration réduite
égale à 0.1 du panache aux temps t = 4, 10, 16, 22 et 28 min. Les lignes d'isoconcentration (en
discontinues) obtenues pour le régime II sont également reportées sur cette figure.
L’analyse de cette figure montre que l’apparition de la digitation est fortement liée aux
effets induits par le terme dispersif. En effet, si l’analyse est portée sur la même
isoconcentration de 0.1, on constate que, pendant les premières minutes (t < 4 min), les
résultats numériques obtenus avec ou sans le terme dispersif sont quasiment identiques. Par
contre, pour t > 4 min, l’isoconcentration de 0.1 correspondant à la simulation menée en
régime I de dispersion subit une forte déformation qui s'atténue au cours du temps pour
aboutir finalement à un seul doigt. Au cours de ce processus, les déformations latérales et
symétriques par rapport à l'axe du panache avortent. La propagation sous la forme d'un seul
doigt implique une augmentation de la pénétration p et une diminution de l'extension
horizontale maximale E du panache. Les différences relatives correspondantes peuvent être
estimées à 17.9 % et 41.9 % à t = 28 min. Les champs des vitesses de l'écoulement pour
chacun des régimes présentent des structures radicalement différentes. Tandis que, pour le
régime II, quatre cellules convectives ont été mises en évidence (figure 7b4), la propagation
du panache, pour le régime I, est assurée uniquement par deux cellules en dépit de la
déformation de son front (figure 9a3-4). Il apparaît donc clairement que, pour les conditions
envisagées ici, le type de régime de dispersion est un facteur prédominant pour l'évolution des
distributions du soluté.
En utilisant le même type de représentation graphique que celui de la figure 9a1, les
solutions numériques pour les régimes I et II avec un fraction massique Cinj = 0.2 % sont
reportées sur la figure 9b. D'un point de vue qualitatif, les résultats montrent que les
évolutions du panache pour les deux régimes sont comparables contrairement au cas
précédent. En effet, chacun des panaches se présente sous la forme d'un seul doigt. En
revanche, la configuration du panache comparée à celle obtenue pour le régime II, présente
une diminution de son extension horizontale maximale E s'accompagnant d'une augmentation
de la pénétration p. Ainsi, les différences relatives correspondantes à t = 10 min sont de 37.5
138
Chapitre 4
Simulations numeriques
% et 20.3 %. L'amplitude de ces différences indiquent que l'élimination du terme
hydrodispersif dans le tenseur de dispersion affecte, de façon non négligeable, la morphologie
et la dynamique du panache.
Figure 9. Influence des régimes I et II de dispersion sur la propagation du panache pour Cinj = 0.05 % (a1-4)
Cinj = 0.2 % (b) avec Qv = 1ml/h
139
Chapitre 4
3
Simulations numeriques
INFLUENCE D'UNE VARIATION DE LA PERMÉABILITÉ
3.1
Variations aléatoires de la perméabilité
Exceptée l'expérience G2, il a été mis en évidence que l'ensemble des expériences, dont
les conditions sont reportées dans le tableau 1 du chapitre 3, étaient reproductibles.
Cependant, pour les expériences présentant des digitations, une certaine dissymétrie sur le
développement de la zone de mélange au niveau de ces digitations a été observée. Dans ce
paragraphe, on se propose au moyen de l'approche numérique d’expliquer ce phénomène, a
priori, inattendu. Pour cette étude, les conditions sur la fraction massique Cinj = 0.05 % et le
débit volumique Qv = 1 ml/h de la solution injectée prises en compte pour les modèles
numérique et expérimental correspondent à celles déjà envisagées dans les paragraphes
précédents. Il sera alors possible de se référer à l'étude de la situation où le panache est
symétrique.
Les résultats expérimentaux avec un panache non symétrique sont présentés sur la
figure 10b en terme de lignes d'isoconcentration réduite égale à 0.1 des zones de mélange aux
temps t = 4, 10, 16, 22 et 28 min. Tandis que, pour t = 4 et 10 min, le panache est quasiment
symétrique et comparable à celui du cas étudié précédemment (figure 2c). Pour t ≥ 16 min,
l'ondulation du front du panache se développe de façon non symétrique (figure 10b).
L'asymétrie de cette ondulation qui se développe au cours du temps afin de former deux
doigts dont les propagations sont complètement différentes. Ainsi, pour t = 28 min, la
différence relative de longueur des doigts (Ldmax − Ldmin )/ Ldmin atteint 75 %. Rappelons que
pour le cas du panache quasiment symétrique, étudié précédemment (Cf. §1.1), cette
différence s'élevait à 8.5 % pour le même temps. Concernant l'extension horizontale maximale
E et la pénétration p, par rapport à celles du panache quasiment symétrique, les différences
relatives correspondantes sont de 7.4% et 5.6% à t = 28 min. Ces comparaisons montrent que
l'asymétrie de l'ondulation se fait ressentir essentiellement sur la différence de longueur des
doigts du panache.
Il semble, expérimentalement, difficile de conclure quant aux origines de la dissymétrie
du panache observée expérimentalement. En effet, un certain nombre de facteurs sont
140
Chapitre 4
Simulations numeriques
susceptibles de perturber les écoulements étudiés. Citons, quelques hypothèses tout à fait
plausibles :
•
les conditions d'injection (inclinaison de l'aiguille d'injection, asymétrie du profil des
vitesses de l'écoulement à la sortie de l'aiguille, ...),
•
existence d'un gradient de température dans les fluides ambiant et/ou injecté,
•
variations locales de la perméabilité dues à des variations de l'ouverture b du canal
(tolérance dimensionnelle des cales et tolérance de planéité des plaques de verre),
Dans la mesure où les deux premiers facteurs sont, autant que possible, contrôlables lors des
expériences, leur influence sur l'écoulement peut être supposée limitée. Bien que la qualité de
la réalisation des plaques et des cales soit exceptionnelle, l'existence d'une faible variation de
l'ouverture de la cellule n'est pas à exclure (incertitudes dimensionnelles - Cf. chapitre 1§2.1).
En supposant alors que des variations locales de l'ouverture puissent être à l'origine de
l'asymétrie du panache, deux autres simulations numériques ont été réalisées en considérant
dans le domaine d’étude une distribution aléatoire des perméabilités. Les résultats sont
présentés sur les figures 10a1-2 avec le même type de représentation graphique que celui de la
figure 10c. Pour chacune des simulations, une valeur "bruitée" de la perméabilité est
distribuée pour chaque maille du domaine. Sa valeur moyenne dans le domaine est ainsi celle
de la perméabilité nominale (b2/12). Les amplitudes maximales des variations aléatoires sont
de ± 0.5 % (figure 10a1) et de ± 1% (figure 10a2). L'analyse de ces figures montre que, pour
chacun des deux cas envisagés, le panache affiche une ondulation asymétrique qui s’amplifie
au cours du temps dès l’apparition de deux branches. Ainsi, à t = 28 min et pour une
amplitude de ± 0.5 % (resp. ± 1 %), les différences relatives d'extension E et de pénétration p,
par rapport au panache numérique symétrique, sont de 1.81 % (resp. 1.1 %) et 2.8 % (4.2 %)
tandis que la différence relative de longueur des doigts est de 23.5 % (resp. 43.3%).
Par conséquent et comme pour les résultats expérimentaux, ce dernier paramètre (i.e. :
variation locale de la perméabilité) semble avoir une forte influence sur le caractère
asymétrique de l'ondulation.
141
Chapitre 4
Simulations numeriques
Figure 10. Résultats numériques (a1-2) et expérimentaux (b) en terme de lignes d'isoconcentration réduite 0.1
Cas d'un panache asymétrique pour Cinj = 0.05 % et Qv = 1 ml/h
3.2
Contraste de perméabilité
Afin de compléter notre étude, une autre expérience a été envisagée. Il s’agit de
remplacer le milieu homogène avec un milieu stratifié, plus proche, évidemment de la réalité.
Par conséquent, l’une des plaques a été remplacée par une autre présentant deux
épaisseurs différentes. Sous ces conditions, la perméabilité intrinsèque du milieu analogue
passe de b2/12, i.e. : la perméabilité initiale, située dans la partie supérieure de la cellule, à
(b/2)2/12 dans la partie inférieure. L'interface horizontale entre les deux milieux se situe à
l'élévation x = 15 cm. Le passage entre les deux ouvertures se fait par un épaulement sur l'une
des plaques (Cf. chapitre 1-§2.1). Le souci de réaliser une interface idéalement lisse a
nécessité la réalisation de deux plaques. En effet, l'épaulement de la première présentait une
rugosité grossière due à des écailles ayant une dimension caractéristique de l'ordre de celle de
142
Chapitre 4
Simulations numeriques
l'ouverture b du canal (figure 11). Pour la seconde, l'épaulement était lisse. Cela nous a ainsi
donné l'opportunité d'étudier l'influence sur la propagation du soluté de deux types
d'interface : l'une rugueuse et l'autre lisse.
Figure 11. Photographie des irrégularités au niveau de l'interface
Du point de vue numérique, l’interface entre les deux milieux de perméabilité
différente, considérée comme lisse, a été imposée à x = 15 cm. Afin d'étendre la finesse du
maillage au delà de cette interface, la discrétisation spatiale du domaine d’étude suivant l'axe
vertical x diffère de la précédente (Cf. §1) : 200 x 0.05 cm (pour 0 ≤ x ≤ 10 cm), 100 x 0.1 cm
(pour 10 ≤ x ≤ 20 cm), 20 x 0.25 cm (pour 20 ≤ x ≤ 25 cm) et 10 x 0.5 cm (pour 25 ≤ x ≤ 30
cm). Le nombre d'éléments rectangulaires est alors de 31 993, soient 32 438 nœuds et 64 430
facettes.
Les paramètres choisis pour les simulations numériques et expérimentales sont Cinj =
0.2 % et Qv = 1 ml/h. On rappelle que pour ces conditions le panache ne présentait pas de
digitation lors de sa propagation dans le milieu homogène. Avec un contraste de perméabilité
(ratio de 4), les distributions expérimentales du soluté obtenues avec une interface rugueuse
(resp. lisse) sont représentées sur les figures 12a (resp. 12b) pour t = 22 et sur les figures 13a
(resp. 13b) pour t = 30 min en terme de lignes d'isoconcentration. Pour ces mêmes temps et
avec le même type de représentation, les résultats numériques sont traçés sur les figures 12c13c.
D’un point de vue qualitatif, la solution numérique présente, au niveau de l’interface,
une distribution proche de celles des résultats expérimentaux., i.e. : la pénétration du soluté
dans la couche inférieure s’accompagne d’une extension horizontale de la zone de mélange.
143
Chapitre 4
Simulations numeriques
Par contre, les prédictions numériques sur le développement de la zone de mélange dans la
couche inférieure différent de celles obtenues expérimentalement. Ainsi, si numériquement, le
panache se propage toujours sous la forme d’un doigt, la distribution expérimentale implique,
quel que soit le type d’interface, l’existence des digitations.
La comparaison expérimentale entre les configurations obtenues avec une interface lisse
et celles obtenues avec une interface rugueuse montre que :
•
Au niveau de l’interface et quel que soit le temps pris en compte, les deux expériences
présentent la même extension latérale : la différence relative d’extension est de 3.3 % à t =
30 min. Par conséquent, la nature de l’interface ne joue pas un rôle sur la dynamique
latérale du panache.
•
L'évolution spatio-temporelle des panaches, dans la couche inférieure, s'effectue de façon
notablement différente suivant la nature de l’interface. Avec l'interface rugueuse, les
irrégularités de l'épaulement provoquent une perturbation sur la propagation verticale du
soluté, dont les conséquences se traduisent par une ondulation du front du panache,
observable, au temps t = 22 min, sur la figure 12a. Cette ondulation s'amplifie
ultérieurement pour former quatre doigts (figure 13a). Avec l'interface lisse, aucune
perturbation du front du panache n'est, a priori, observée après son passage à l'interface
(figure 12b). Néanmoins, le panache subit, par la suite, une digitation pour former deux
branches approximativement symétrique (figure 13b). Les mécanismes à l'origine de cette
digitation semblent être similaires à ceux décrit précédemment pour le cas d'une fraction
massique Cinj = 0.05 % et un débit volumique Qv = 1 ml/h de la solution injectée en milieu
homogène (figure 2c).
144
Chapitre 4
Simulations numeriques
145
Chapitre 4
Simulations numeriques
146
Conclusions et perspectives
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
147
Conclusions et perspectives
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
Afin d'étudier le panache issu d'une source localisée de contaminant miscible et non
réactif dans un milieu poreux saturé homogène ou hétérogène, un système expérimental a été
mis au point. Il s'agit d'une cellule de Hele-Shaw. Considérée comme un modèle analogue à
un milieu poreux bidimensionnel, elle a été choisie pour les raisons suivantes :
•
la simplicité de son principe autorise une conception et une réalisation mécanique
permettant de minimiser les variations locales de la perméabilité et de contrôler les
conditions initiales et aux limites,
•
permet une visualisation directe sur la propagation d'un panache en utilisant des
techniques optiques non intrusives, donc non perturbatrices.
Afin de déterminer les champs de concentration, un système de mesure, basé sur les
propriétés d'absorption de la lumière par un colorant marquant la solution injectée, a été
élaboré. Les caractéristiques optiques du colorant, se présentant sous la forme d'une solution
bleue, ont été choisies en fonction de la sensibilité spectrale du système de détection : un
appareil photographique numérique de haute définition. La relation liant le signal mesuré et la
concentration du colorant dans la cellule a été établie théoriquement en tenant compte des
caractéristiques des composants de la chaîne optique de mesure. Cette relation a permis :
•
de déterminer la dilution optimale du colorant dans la solution injectée,
•
de justifier, par sa validation avec un étalonnage expérimental, le traitement mathématique
permettant d'extraire les champs de concentration en tenant compte d'une éventuelle nonuniformité spatio-temporelle de l'éclairage.
Afin d'analyser les résultats expérimentaux, un code de calcul basé sur une combinaison
entre la méthode des éléments finis mixtes hybrides et la méthode des éléments finis
discontinus a été utilisé. Développé au sein de l'équipe et testé sur des problèmes classiques
de transport en milieux poreux, son application dans le cadre de ce travail a nécessité la
connaissance des conditions d'analogie entre le milieu poreux et la cellule de Hele-Shaw. Par
148
Conclusions et perspectives
conséquent, et dans la mesure où la géométrie de la cellule implique un rapport ε entre
l'ouverture du canal et sa hauteur très petit devant 1, une méthode d'homogénéisation a été
appliquée. Basée sur un développement asymptotique en tenant compte de la variation de la
masse volumique, de la viscosité dynamique et de la diffusion moléculaire en fonction de la
concentration, cette méthode nous a permis de déterminer un nouveau tenseur de dispersion.
En outre, trois régimes (notés I, II et III) de dispersion ont été distingués suivant l'ordre de
grandeur du nombre de Péclet (ou de Rayleigh). Ainsi, pour Pe = O(1) (resp. O(1/ ε )),
l'évolution de la concentration moyennée sur l'ouverture du canal est décrite par une équation
de convection-diffusion (resp. convection-dispersion). Pour ces deux régimes, la seule
différence avec le code de calcul initial consiste donc dans l'évaluation du tenseur de
dispersion. Pour Pe = O(1/ ε 2), le transport convectif du soluté étant prédominant à l'échelle
locale, la concentration ne peut plus être décrite par une équation de convection-dispersion
classique.
Utilisées lors de l'étalonnage du système de mesure, certaines expériences ont
également été simulés et analysées numériquement. Le bon accord entre les résultats
expérimentaux et numériques indique que même s'il s'agit d'un "traceur", le contraste de
densité entre le fluide ambiant et la solution colorée ne doit pas être négligé dans les équations
décrivant la propagation du colorant. Par contre, selon nos conditions expérimentales, si le
contraste de densité reste inférieure à 1.36 ⋅ 10 −2 %, la prise en compte de la variation de la
masse volumique dans la forme générale du tenseur de dispersion obtenue par
homogénéisation n'est plus justifiée.
Concernant l'injection d'une solution saline, les résultats expérimentaux montrent alors
deux types de configurations de la zone de mélange : reproductible et non-reproductible. Pour
les expériences reproductibles et suivant les conditions d'injection (i.e. : débit volumique et
fraction massique en sel), le panache se propage sous la forme d'un seul doigt ou il digite pour
former deux doigts quasiment symétriques. Un critère empirique, basé sur la valeur du rapport
entre la vitesse gravitationnelle et celle à l'injection, a été formulé pour prédire une
propagation avec un ou deux doigts.
Les solutions numériques correspondant à deux cas expérimentaux typiques d'injection
de la solution saline présentent, d'un point de vue qualitatif, les mêmes configurations que les
résultats expérimentaux : panache sans et avec digitation. Du point de vue quantitatif,
149
Conclusions et perspectives
l'analyse des différences observées entre les prédictions numériques et les données
expérimentales a permis de conclure que :
•
la valeur de la diffusion moléculaire et la façon de modéliser géométriquement les
conditions d'injection affectent les solution numériques en termes de chronologie de la
digitation du panache et de sa morphologie,
•
l'augmentation du contraste de masse volumique entre la solution injectée et le fluide
ambiant conduit à une augmentation progressive des valeurs du nombre de Péclet à
l'intérieure de la zone de mélange. Dans les situations étudiées, il semblerait qu'elle ne soit
pas suffisante pour passer globalement du régime II au régime III de dispersion.
Cependant, il existe une interférence entre ces deux régimes qui peut être à l'origine d'une
distribution numérique de la concentration dans l'axe du panache différente de celle
observée expérimentalement,
•
si la dispersion hydrodynamique n'est pas prise en compte dans le tenseur de dispersion,
les panaches évoluent de façon différente. Ainsi, pour le cas du panache subissant une
digitation, les deux branches n'existent plus. Ce panache subit, uniquement, une
déformation évoluant vers la formation d'un seul doigt. Pour le cas du panache se
propageant sous la forme d'un doigt, seule sa morphologie en terme d'extension latérale et
de pénétration est affectée,
•
la prise en compte des variations locales de la perméabilité dans le modèle numérique
conduit à une solution présentant, comme pour certaines expériences, une asymétrie de la
digitation. Cette asymétrie est d'autant plus marquée que l'amplitude des variations est
élevée,
•
avec un contraste de perméabilité, les résultats expérimentaux, avec les interfaces
rugueuse et lisse entre les deux couches de perméabilité différente, affichent un bon accord
qualitatif avec les résultats numériques. Néanmoins, les panaches ne digitent pas de la
même façon lors de leur évolution après le passage de l'interface.
Evoquons maintenant quelques perspectives à ce travail, que ce soit dans le cadre de
l'étude des panaches en cellule de Hele-Shaw ou bien encore du point de vue métrologique :
150
Conclusions et perspectives
•
de caractériser plus finement la dynamique des panaches en utilisant la P.I.V. (Particle
Image Velocimetry) afin de déterminer le champ des vitesses,
•
étudier l'enfouissement du polluant en présence d'un écoulement latéral,
•
d'établir un modèle mathématique pour le régime III de dispersion,
•
approfondir l'étude numérique concernant les conditions d'injection.
151
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