1227045

Noyau et métrique de Bergman dans des formules de
représentations pour les convexes de type fini et
applications
Mathieu Fructus
To cite this version:
Mathieu Fructus. Noyau et métrique de Bergman dans des formules de représentations pour les
convexes de type fini et applications. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III,
2003. Français. �tel-00004225�
HAL Id: tel-00004225
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00004225
Submitted on 20 Jan 2004
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publics ou privés.
Thèse
présentée en vue de l'obtention du
Do torat de l'Université Paul Sabatier de Toulouse
Spé ialité : Mathématiques Pures
par
Mathieu Fru
tus
Noyau et métrique de Bergman dans des
formules de représentation pour les onvexes
de type fini et appli ations
Soutenue le 18 Dé embre 2003
devant le jury omposé de :
P. Bonneau
Do teur d'Etat,
Université de Toulouse III
Examinateur
J. Bruna
Professeur,
Université Autonome de Bar elone
Rapporteur
P. Charpentier
Professeur,
Université de Bordeaux I
Rapporteur
A. Cumenge
Professeur,
Université de Toulouse III
Dire tri e
J. Mi hel
Professeur,
Université du Littoral
Président
P. Thomas
Professeur,
Université de Toulouse III
Examinateur
Laboratoire Emile Pi ard, UMR 5580, UFR MIG, Université Paul Sabatier
118 route de Narbonne, 31062 Toulouse
edex 4, Fran e.
Cette thèse est dédiée à ma
ompagne et à notre enfant.
Remer iements
Je tiens à remer ier vivement Anne Cumenge pour m'avoir soutenu tout au long
de
e travail, pour le temps qu'elle m'a a
ordé et pour
e qu'elle m'a appris sur
e sujet. Sa disponibilité et surtout sa très grande patien e devant mes errements
mathématiques et moraux m'ont été très pré ieux.
Ce travail doit beau oup à un séjour à l'UAB où j'ai béné ié d'ex ellentes
onditions de travail. C'est un grand plaisir de remer ier Joaquim Bruna d'avoir
bien voulu rapporter sur
ette thèse.
Je suis très honoré que Philippe Charpentier ait a
epté d'é rire un rapport sur
e travail et de parti iper au jury.
J'exprime ma plus vive re onnaissan e à Joa him Mi hel pour l'intérêt qu'il a
porté à mon travail et pour avoir a
Je remer ie
epté d'être président du jury.
haleureusement Pas al Thomas et Pierre Bonneau de m'honorer
de leur présen e dans le jury. Je remer ie aussi Pas al Thomas d'être si a tif pour
favoriser la mobilité des jeunes, en parti ulier vers Bar elone.
De nombreux thésards ont parti ipé sous diverses formes à ma formation mathématiques, et don
ier les
d'une
ertaine manière à l'élaboration de
ompagnons d'analyse
e travail. Je dois remer-
omplexe Ni o Mar o, Ni o N'Guyen et Tof Dupont
pour leurs expli ations et en ouragements. Arnaud Hilion et Manu Opshtein ont
aussi grandement
ontribué à ma
ulture mathématiques en organisant les GDTE.
Guy Casale, Julien Keller, Guillaume Rond se sont beau oup impliqués pour dynamiser les thésards du labo, je les en remer ie. Je dois à Mathias Séguy l'apprentissage
du pragmatisme : mer i beau oup,
'est utile. J'ai une pensée parti ulière pour les
Noeuds-noeuds du Goulag pour l'extraordinaire eerves en e qu'ils savaient
Je souhaite aussi remer ier les thésards bar elonnais pour leur
haleureux a
réer.
ueil
qui restera gravé dans ma mémoire.
Je dois remer ier les amis pro hes de leur soutien
onstant et de m'avoir oert
des pauses salutaires : mer i à David, Flo, Fabri e, Sandra, Mar , Karyne, Willy, ...
Je remer ie enn ma famille,
en ouragements
ave
elle dont je viens et
onstants et sans qui
tout mon amour...
elle qui se
rée pour leurs
e travail n'aurait jamais vu le jour. A Stouf,
Introdu tion
Dans un domaine d'holomorphie D, les groupes de ohomologie Hp;q
(D ) s'annulent pour p = 0; :::; n et q = 1; :::; n. Les formules de représentations intégrales ont
permis, dès les annnées 70, de résoudre dans les domaines stri tement pseudo onvexes à bord susamment régulier l'equation :
u = f:
(0.0.1)
Elles ont permis d'obtenir des estimées pour u dans des espa es variés : espa es de
Lebesgue Lp , 1 6 p < 1, espa es de Hölder. Nous rappelons quelques résultats
que notre travail généralise. Dans le as des domaines stri tement pseudo onvexes,
1
S. G. Krantz [18℄ a obtenu une estimation höldérienne 2 de la solution de Henkin
pour f une (0; 1) forme à oe ients bornés (estimation optimale dans l'é helle des
espa es de Lips hitz ). Il rane ainsi le résultat antérieur de G. M. Henkin et A.
Romanov [16℄ qui donnait, sous les mêmes hypothèses, une solution dans l'espa e
12 " (0 < " << 1). Plus ré emment, A. Cumenge [4℄ d'une part et K. Diederi h,
B. Fis her et J. Fornaess [10℄ d'autre part ont généralisé e résultat dans le as des
onvexes de type ni m, autrement dit des domaines onvexes à bord C 1 dont l'ordre
de onta t en tout point du bord et ave toute droite omplexe est majoré par m
(nous dénirons plus pré isément le type et les propriétés asso iées dans le premier
hapitre). Ils obtiennent un opérateur T qui résout l'équation de Cau hy-Riemann
m1
et qui est ontinu de L1
(0;q) dans :
En fait, A. Cumenge [4℄ et B. Fis her [11℄ ont également obtenu des estimations
pour u quand la donnée appartient à l'espa e Lp(0;q) . De plus, même si notre travail
ne porte pas sur e type de problème, nous souhaitons signaler que les estimations
C k dans les domaines stri tement pseudo onvexes obtenues par I. Lieb et M. Range
[21℄ viennent d'être généralisées par W. Alexandre [1℄ dans les domaines onvexes
de type ni.
S. G. Krantz a aussi montré que la solution de (0.0.1) pour une donnée f -fermée
de bidegré (0; 1) à oe ients bornés dans les domaines stri tement pseudo onvexes,
1 ~
1
appartient à l'espa e anisotrope 2 ;~1 (i.e. presque dans 2 ;1 ). Ce résultat a ensuite
été amélioré par P. Greiner et E. M. Stein [13℄ qui ont obtenu sous les mêmes hy1
pothèses une solution dans 2 ;1 . Ces résultats indiquent qu'une meilleure régularité
de la solution est attendue dans les dire tions tangentes omplexes.
Notre travail onsiste alors à obtenir les estimations lips hitziennes optimales des
i
ii
Introdu tion
solutions de (0.0.1) dans les domaines bornés
onvexes de type ni à bord lisse. Pour
ela, nous utilisons des formules de représentations intégrales qui tiennent
de la géométrie de
[2℄ donnent une
ompte
es domaines. En eet, les travaux de Berndtsson et Andersson
onstru tion de noyaux à poids très généraux pour résoudre (0.0.1).
Reprenant une idée d'A. Cumenge [5℄, nous introduisons la métrique de Bergman
dans
es noyaux an de reéter aussi dèlement que possible leur géométrie. Elle
est bien dénie
ar, dans les domaines bornés, la métrique de Bergman est donnée
par une matri e dénie positive. Rappelons que, à moins d'avoir un domaine très
symétrique, le noyau de Bergman ne peut presque jamais être
Nous avons pourtant besoin de
onnaître son
al ulé expli itement.
omportement ainsi que
métrique pour valider les formules d'homotopie. Pour
elui de la
ela, nous nous servons très
largement des résultats de J. M Neal [23℄ [24℄ qui a obtenu des estimations nes
dans les
onvexes de type ni pour le noyau et pour la métrique de Bergman.
Dans la première partie de notre travail, nous reprenons la formule de représentation intégrale
onstruite par A. Cumenge ave
des noyaux de type Berndtsson-
Andersson où le poids dépend du noyau de Bergman. Elle est semi-géométrique
dans le sens où le noyau est
onstruit en partie à l'aide du noyau de Bo hner-
Martinelli qui, bien qu'universel, ne nous permettra pas a priori d'exploiter toute la
géométrie du domaine pour les résultats les plus ns. Dans tous les résultats pré ités sur les estimations de la solution de (0.0.1), la donnée f est dans l'espa e L
1.
C'est ainsi la solution qui porte l'anisotropie induite par la géométrie des stri tement
pseudo onvexes ou des
onvexes de type ni. Il nous a semblé intéressant de donner
aussi une appro he où la donnée appartient à un espa e anisotrope. Pour
utilisons la norme
jjj jjj := sup jj ( )jj
f
où
ela, nous
z
2
f z
jj ( )jj est une norme pon tuelle dénie à partir d'une norme de type Kobayashi
f z
pour les ve teurs introduite dans [3℄. La solution appartient alors à l'espa e de
Zygmund isotrope
1( ) = f 2 C 1( ) t. q. 9 j ( + ) + (
u
C;
u z
h
u z
) 2 ( )j 6 j j
h
u z
C h ; z; z
2 g
h
:
Pour montrer les te hniques usuelles de résolution, et les di ultés d'appro he pour
les estimations de la partie eu lidienne du noyau résolvant, nous donnons aussi un
résultat où la donnée appartient à l'espa e des
(0 1)
;
formes L
1. Ce résultat n'est
pas optimal et nous l'améliorons dans la troisième partie.
La se onde partie donne la
onstru tion d'un noyau entièrement géométrique.
Il ne fait plus intervenir que le noyau et la métrique de Bergman et nous pouvons
espérer être don
à même de l'exploiter pour obtenir les résultats les plus ns. Cette
onstru tion est de type Berndtson-Andersson [2℄ en
hoisissant une se tion du bré
de Cau hy-Leray basée sur la métrique de Bergman et un poids en termes du noyau
de Bergman. Ce noyau permet d'obtenir une formule de représentation valable pour
(
)
les p; q -formes en général et nous l'énon erons sous
ette forme. Le
hoix du poids,
dans le même état d'esprit que dans [5℄, permet l'annulation du terme d'intégration
Enon é des résultats et esquisse des démonstrations
iii
sur le bord qui apparaît dans les formules d'homotopie. Enn, nous voulons souligner
l'intérêt pour notre travail de
hoisir des formules de représentations : elles sont
universelles et permettent d'espérer, si apparaissent des résultats nouveaux sur la
métrique de Bergman dans des domaines faiblement pseudo onvexes plus généraux,
une extension de nos méthodes à
es domaines.
Dans la troisième partie, nous donnons un premier résultat qui utilise e noyau en
améliorant le se ond résultat du premier
mal : pour une donnée dans
L
l'espa e de fon tions anisotropes
espa e de type Lips hitz
de M Neal, don
hapitre. Nous obtenons un résultat opti-
1( ), nous montrons que la solution de (0.0.1) est dans
1
1
m
introduit par M Neal et Stein [25℄. C'est un
m pour une métrique faisant intervenir la pseudométrique
adapté à la géométrie. Dans [25℄, seule une dénition lo alisée
sous forme d'une dé omposition dis rète des fon tions est donnée. Nous avons alors
introduit une dénition dire te, dans l'état d'esprit de
elle de Zygmund.
Bien que plus n, le noyau plus géométrique que nous avons introduit ne simplie
pas l'étude du terme qui porte la singularité maximale,
ar il n'est plus possible
d'utiliser des te hniques du type Hardy-Littlewood. L'étude dire te de
révèle bien plus te hnique que
e terme se
elle d'un noyau de Bo hner-Martinelli standard. Les
autres termes du noyau, eux, à la fois très géométriques et moins singuliers, sont
très simples à estimer et donnent l'estimation optimale souhaitée.
Enn, nous terminons par une se onde appli ation : nous retrouvons le théorème
de Greiner et Stein [13℄ : pour une
existe une solution
u
(0; 1)
forme
fermée à
oe ients bornés, il
de l'équation (0.0.1) qui appartient à l'espa e
2 ;1 dans les do1
maines stri tement pseudo onvexes. Il est assez naturel de pouvoir y arriver puisque
notre obje tif est de dominer, à travers notre solution de (0.0.1), les aspe ts géométriques des domaines. Nous pouvons ainsi illustrer que, même dans
e
adre, notre
noyau permet d'obtenir les résultats optimaux et sans utiliser toute la te hni ité liée
aux groupes de Heisenberg.
Enon é des résultats et esquisse des démonstrations
Soit un domaine onvexe borné, à bord lisse et de type ni m, et
une (0,1)-forme fermée telle que jjjf jjj < +1. Alors il existe u 2 1 ( ) telle
=f .
que u
Théorème 1.
f
Nous
onsidérons un noyau de type Berndtsson-Andersson, ave
Bo hner-Martinelli mais un poids géométrique
une se tion de
omme dans [5℄ pour obtenir notre
solution de l'équation (0.0.1). Cette solution se dé ompose en une somme de
et l'on peut se restreindre à l'étude de trois de
es termes seulement. Le premier fait
l'objet d'une étude dire te ; il s'agit en fait de montrer que
à
1 ,
n termes
R
[BM℄(; z ) appartient
où [BM℄ est le noyau de Bo hner-Martinelli. Pour les deux autres termes,
nous utilisons un lemme standard de Hardy-Littlewood [19℄. C'est-à-dire que nous
dérivons
es termes pour vérier le omportement de leur dérivée se onde en fon tion
de la distan e au bord
d(z ). Si la dérivée se
onde d'une appli ation explose moins vite
Enon é des résultats et esquisse des démonstrations
iv
que ( d(1z) )2 dans un voisinage du bord, nous savons que ette appli ation appartient
à l'espa e de Lips hitz 1 . Pour ela, nous devons nous pla er sur des ouronnes
géométriques P (z; 2`d(z )) n steP (z; 2` 1 d(z )). Il est ainsi né essaire de onnaître le
omportement des diérents termes du noyau après dérivation. Les estimations de
M Neal [23℄ sont ru iales à ette étape.
Soit un domaine onvexe borné, à bord lisse et de type ni m, et
f une (0,1)-forme -fermée telle que k f kL1 < +1. Alors, pour tout 0 < < m1 , il
=f .
existe u 2 ( ) telle que u
Théorème 2.
Nous démontrons e théorème ave le même type de te hniques. Comme nous
n'obtenons pas le résultat optimal, nous n'avons besoin que d'un ritère de type
Hardy-Littlewood d'ordre 1, 'est-à-dire ne faisant intervenir que des dérivées premières. Il faut adapter e lemme de Hardy-Littlewood à une situation anisotrope.
En eet, omparer le omportement de la dérivée près du bord à elui de d(1z) ne
permet pas d'appréhender la géométrie. Nous introduisons pour ela un ritère de
omparaison entre des dérivées dire tionnelles et les v -rayons (z; v; d(z )) introduits
par M Neal. Ces v -rayons sont une sorte de métrique de Kobayashi dire tionnelle
au point z , elles sont don un bon reet des phénomènes géométriques. Nous tenons
à signaler qu'un résultat du même type a été obtenu par B. Fis her [12℄ à l'aide de
la fon tion support de Diederi h-Fornaess, mais qu'il n'est pas optimal non plus.
Nous pouvons raner l'estimation du théorème 2 et prouver que,
pour toute (0,1)-forme f fermée dans , il existe une solution u de l'équation
= f telle que :
u
Remarque 1.
8 ; z 2 ; ju( ) u(z)j . jjf jj1 (; z) m (ln (; z))
1
2
(0.0.2)
Cela n'est ependant pas satisfaisant puisqu'il n'y a pas d'interprétation géométrique
de e logarithme, 'est pourquoi nous préférons énon er le théorème sous sa première
forme.
Nous montrons en fait dans la preuve de es deux théorèmes l'existen e d'un opé f = f pour f une (0; 1)-forme -fermée à oe ients
rateur intégral T tel que : T
bornés dans , T est ontinu de L1
( ) dans ( ), 0 < < m1 et de
(0;1);jj:jjeu l
L1
( ) dans 1 ( ).
(0;1);jj:jj
Le proje teur de Bergman de étant ontinu de l'espa e 1 ( ) dans
lui-même et également de tout espa e ( ) dans lui-même d'après [25℄, la solution
= f dans satisfait les mêmes estimations
anonique v de Kohn de l'équation u
que elles données i i pour u = T f .
Remarque 2.
Dans les estimations de la partie eu lidienne du noyau de l'opérateur T , l'apparition des v -rayons n'est pas naturelle lors des dérivations. Cela semble expliquer
que nous n'arrivons pas à obtenir les estimations optimales via et opérateur. On
Enon é des résultats et esquisse des démonstrations
v
se rend alors ompte de l'intérêt d'introduire la métrique de Bergman. En eet, les
termes qui sont onstruits à partir de ette métrique sont très fa iles à estimer dans
e ontexte. Notre appro he va onsister à her her un autre noyau et 'est e que
nous faisons dans le hapitre 2, où l'on onstruit K (; z ) tel que :
Théorème 3.
Pour toute (p,q)-forme f sur , on a :
f (z ) = ( 1) + +1
p q
pour
q>
Z
0 et
f (z ) = ( 1) +1
p
f ( ) ^ Kp;q (; z ) + z
2
Z
2
f ( ) ^ Kp;0 (; z ) +
Z
2
Z
2
pour q = 0. Kp;q est le terme de K de bidegré (p; q ) en
Il en est de même pour P = dK .
f ( )
f ( )
z
^ Kp;q
1(; z ) (0.0.3)
^ Pp;0(; z)
et (n
p; n
q
(0.0.4)
1) en .
De manière très naturelle, en utilisant une formule de Stokes, on peut démontrer
des formules de représentation intégrale. Pour éliminer le terme au bord, on utilise un
poids qui tend vers 0 quand on se rappro he du bord. Nous ne pouvons pas appliquer
dire tement le résultat de Berndtsson-Andersson. Nous démontrons le résultat en
suivant leur démonstration. Nous avons don besoin d'utiliser les hypothèses sur
le domaine an de pouvoir estimer le omportement du noyau près du bord. Cela
nous permet, même si s ne vérie pas les onditions satisfaites par les se tions
du bré de Cau hy-Leray utilisées d'ordinaire dans les noyaux de type BerndtssonAndersson, de faire onverger les intégrales intervenant dans le noyau. Nous pouvons
alors appliquer e résultat an d'obtenir :
Soit un domaine onvexe borné, à bord lisse et de type ni m, et f
1
une (0,1)-forme -fermée telle que k f kL1 < +1. Alors, il existe u 2 m ( ) telle
=f .
que u
Théorème 4.
Il s'agit i i d'utiliser un ritère de type Hardy-Littlewood d'ordre 2. Cela signie
que, omme pour le théorème 1, nous devons dériver deux fois pour obtenir le résultat
optimal. De plus, omme dans le théorème 2, nous devons l'adapter à des situations
anisotropes en faisant intervenir des v -rayons et des dérivations dire tionnelles. Seul
le terme du noyau ontenant la singularité maximale pose problème puisqu'on ne
peut pas le dériver en gardant un noyau intégrable. Nous devons don trouver un
1
ritère dire t pour e terme et pour ela nous dénissons m . Il existait déjà une
dénition de et espa e dans l'arti le de M Neal et Stein [25℄, mais elle n'était pas
appropriée. En eet, elle était basée sur une dé omposition de type
f
2
m1
() f = bk + gk
Enon é des résultats et esquisse des démonstrations
vi
où b et g doivent vérier de bonnes propriétés. Or, e type de dénition ne permet
guère de faire des véri ations dire tes. Nous montrons l'équivalen e des deux dénitions et nous avons besoin pour ela de fabriquer une approximation de l'unité dont
le support est adapté à la géométrie des domaines onvexes de type ni. La majeure
partie du travail restant est de montrer que u0 vérie ette dénition. En eet, le
reste du noyau est omplètement géométrique et son omportement est bien adapté
pour les dérivations. Tout se démontre alors très naturellement pour es termes là,
e qui était le but.
Enn, dans le as des domaines stri tement pseudo onvexes, ela nous permet
de retrouver le résultat de Greiner et Stein :
k
k
Soit
un domaine stri tement pseudo onvexe borné à bord lisse et
1 ;1
2
. Alors, il existe
une (0,1)-forme -fermée telle que
telle
L1
Théorème 5.
f
que u = f
.
kf k
< +1
u2
Le s héma de la démonstration est le même que pré édemment, il faut ependant adapter en ore une fois un lemme de Hardy-Littlewood à la dé omposition de
l'espa e tangent T ( ), puis estimer le premier terme séparément.
z
Table des matières
Introdu tion
i
Enon é des résultats et esquisse des démonstrations . . . . . . . . . . . . . iii
Notations et Rappels
0.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2 Géométrie des onvexes de type ni . . . . . . .
0.2.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.2 Géométrie des onvexes de type ni . . .
0.2.3 Propriétés des "-bases extrémales . . . .
0.3 Métrique de Bergman . . . . . . . . . . . . . . .
0.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3.2 Spé i ité dans les onvexes de type ni
0.4 Noyaux à poids de type Berndtsson-Andersson .
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3
. 3
. 3
. 3
. 5
. 6
. 9
. 9
. 9
. 10
1
Estimations Höldériennes pour l'équation de Cau hy-Riemann
2
Formule de représentation intégrale en métrique de Bergman
31
3
Appli ation 1 : Estimée anisotrope optimale
1
39
1.1 Préliminaires : noyaux résolvants et estimations élémentaires
1.1.1 Noyau résolvant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Etude des termes élémentaires . . . . . . . . . . . . .
1.2 Résultat optimal en norme Kappa . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Notations-dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Etude du terme u0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Etude du terme u1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Etude du terme un 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Preuve du Théorème 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Une ondition susante . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Estimation de u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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13
13
13
14
17
17
17
20
21
24
24
26
2.1 Formule de type Koppelman-Berndtsson-Andersson . . . . . . . . . . 31
2.2 Changement de oordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Une dénition équivalente de m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
vii
TABLE DES MATIÈRES
3.2
Estimations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.2.1
Rappel des estimations des termes élémentaires
. . . . . . . .
45
3.2.2
Estimations de
et
. . . . . . . .
46
P (z; d(z )),
sur P (z; d(z )),
0
Estimation de u en
. . . . . . . .
50
. . . . . . . .
54
. . . . . . . . . . .
54
3.2.3
3.2.4
3.2.5
4
1
u0
u0
u1
sur
un 1 . . . . . . . . . . . .
as (z; z + h) = jhj : . . . . .
as (z; z + h) = "(z; z + h) :
dehors de P(z,d(z))
Appli ation 2 : autre preuve d'un résultat de Greiner et Stein
57
4.1
57
Petit rappel du
ontexte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Un autre lemme de type Hardy-Littlewood :
4.3
Etude de
4.4
Etude de
u 1 (z )
u0 (z )
. . . . . . . . . . . . . .
58
(z ) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
et
un
1
P (z; d(z )), as jhj 6 d(z ) :
P (z; d(z )), as d(z ) 6 jhj2 :
de P (z; d(z )) : . . . . . . . . .
2
4.4.1
Etude à l'intérieur de
. . . . . . .
60
4.4.2
Etude à l'intérieur de
. . . . . . .
63
4.4.3
Etude à l'extérieur
. . . . . . .
63
2
TABLE DES MATIÈRES
Notations et Rappels
0.1 Notations
Pour = ( 1; :::; n) 2 N n , nous posons :
! = 1!::: n !:
et
j j = 1 + + n:
Soient " > 0 et z un point de C n . Nous notons B (z; ") = f 2 C n ; j zj < "g:
La sphère unité est notée S n .
Soient i1 < < ik ; j1 < < jk des entiers de f1; :::; ng: Les formes
diérentielles dzi1 ^ ^ dzik et dz j1 ^ ^ dz jk de C n sont respe tivement notées
dzI et dz J où I = (i1 ; :::; ik ) et J = (j1 ; :::; jk ).
Soit un ouvert de C n . Son bord est noté .
k (U )
Soit U un ouvert de C n , p; qP2 f1; :::; ng, k un entier > 0. Nous notons Cp;q
l'ensemble des (p; q ) formes f = jI j=p;jJ j=q fIJ dzI ^ dz J où les I et J sont supposés
ordonnés, telles que tous les fIJ soient de régularité C k sur U . Pour z 2 U , nous
posons :
0
0
0
jjf jj1 = sup
z
Nous notons Tz
2
sup jf (z)j
jI j=p;jJ j=q IJ
!
l'espa e tangent réel à au point z 2 . L'espa e tangent
omplexe est noté Tz .
Pour k = (k1; : : : ; kq ) 2 N q et = (1; : : : ; q ), où j 2 S n (j = 1; : : : ; q), nous
notons Dk l'opérateur diérentiel (D1 )k1 :P
: : (Dq )kq .
Pour et z dans , on pose hz; i = zi i
C
0.2 Géométrie des onvexes de type ni
0.2.1 Dénitions
Nous supposerons dans tout e travail que le domaine de C n est un domaine
borné, à bord lisse et onvexe de type ni. Pré isons e que nous entendons par là :
3
Notations et Rappels
4
Dénition 6. Soit 2 C n un domaine. Nous dirons que a un bord diérentiable
de lasse C k , k > 0 éventuellement inni, si, pour tout point p de , il existe un
voisinage U de p et une fon tion à valeurs réelles r 2 C k tels que :
U \ = fx 2 ; r(x) < 0g;
grad(r (x)) =
6 0 pour tout x 2 U \ :
(0.2.1)
La fon tion r est appelée fon tion dénissante lo ale en p. Si U est un voisinage
de , on dit que r est une fon tion dénissante. Nous rappelons le résultat suivant :
Proposition 7. Soit un domaine borné et onvexe à bord C k . Alors il existe une
fon tion r dénissante de lasse C k , onvexe et dénie sur C n tout entier.
Bien qu'ayant donné les dénitions pré édentes dans C n , il s'agit en fait de
notions réelles. Le type ni est par ontre une notion spé iquement omplexe.
Nous nous intéressons i i au type au sens de D'Angelo. Nous reprendrons don [7℄.
Dénition 8. Une ourbe holomorphe est une appli ation holomorphe
z
: U ! Cn :
où U est un ouvert de C .
Dénition 9. Considérons le germe en 0 d'une ourbe lisse non triviale :
z
: (C ; 0) ! (C n ; 0) :
Puisque z est non onstant, il existe un plus petit entier naturel v = v (z ) pour
lequel une dérivation de z ne s'annule pas en zéro. On appelle et entier l'ordre de
multipli ité de z en zéro.
Dénition 10. Soient C n un domaine à bord lisse, p un point de et r une
fon tion dénissante. Pour les germes z qui ont pour image p, si
1 (
v (z r )
) = sup
< 1;
v (z )
z
;p
on dit que le 1-type de est ni en p. On dira que
point p de , 1 ( ; p) 6 m.
est de type ni m si, pour tout
Cette dénition donne l'idée d'ordre de onta t de ave des variétés omplexes
de dimension 1. Dans ette logique, il est naturel d'introduire le type linéaire qui
donne l'ordre de onta t uniquement ave des droites omplexes. On onsidère don
les germes linéaires, 'est-à-dire de la forme fa + b; 2 C g. J. M Neal a démontré
dans [22℄ que es deux dénitions sont équivalentes pour les domaines onvexes de
type ni. Pour ela, il a introduit plusieurs outils géométriques que nous détaillons
dans la se tion suivante.
5
0.2 Géométrie des onvexes de type ni
0.2.2 Géométrie des onvexes de type ni
Soit un domaine borné de C n onvexe, de type ni m et r une fon tion dénissante globale de , de régularité C 1 , dénie et onvexe sur C n et de gradient non nul
dans un voisinage borné U de . Plus pré isément, nous prenons une fon tion dénissante r onstruite à l'aide de la jauge de , 'est-à-dire j (z ) = inf 2R fz 2 g,
en supposant bien sûr que 0 appartient à . Nous posons alors r(z ) = j (z ) 1. Pour
2 R , nous notons := f 2 C n ; r ( ) < g et la normale extérieure unitaire
en z 2 U à r(z) . Enn, on peut hoisir un voisinage U et un " > 0 assez petits
pour que, pour tout z 2 U , r(z)+" soit toujours de type ni m. Pour une dire tion
v 2 C n ; v 6= 0, on pose
) = supf > 0=r(z + v) r(z) 6 "; jj 6 g:
Nous appelons " le rayon et (z; v; ") le v -rayon. Les résultats de J. M
(
z; v; "
Neal sont
valables sur un voisinage U de assez petit. Nous onsidérons e voisinage xé une
fois pour toute. Soit un point z dans U , nous allons onstruire par ré urren e une
"-base extrémale de M Neal en z . Le premier ve teur v1 est simplement le ve teur
unitaire dans la dire tion du gradient réel de la fon tion dénissante (en fait, il
orrespond à la dire tion normale puisque, pour un voisinage assez petit, on peut
supposer que la proje tion de z sur est unique). On note alors p1 le point
d'interse tion de la droite réelle
! z + v ; 2 R
1
ave la surfa e de niveau z;" = f : r( ) = r(z ) + "g: On hoisit alors un point p2
tel que le disque de entre z et de rayon jp2 z j soit in lus dans r(z)+" . De plus,
jp2 zj doit être maximal sous les onditions
( ) = r (z ) + "
r p2
et
(p
z
2
) ? Ve t(v )
1
où l'orthogonalité est dénie pour le produit hermitien standard de C n . Soit v2 le
ve teur unitaire dans la dire tion p2 z . Alors v2 appartient à l'espa e tangent
omplexe de z au point z et (z; v2 ; ") est maximal parmi tous les (z; w; ") où w
unitaire appartient au tangent omplexe à z au point z . Ensuite nous hoisissons
un point p3 tel que le disque de entre z et de rayon jp3 z j soit in lus dans r(z)+" .
De plus, jp3 z j doit être maximal sous les onditions
( ) = r(z) + "
r p3
et
(p
3
z
) ? Ve t(v ; v ):
1
2
Soit w3 le ve teur unitaire dans la dire tion p3 z . On ontinue e pro édé jusqu'à
obtenir une base v = (v1 ; :::; vn ) et n points extrémaux p1 ; :::; pn. Les "- oordonnées
extrémales d'un point par rapport à z sont alors dénies en hoisissant une paramétrisation des droites omplexes passant par z dans les dire tions vj telle que
j = 0 orrespond au point z et que le point pj orrespond à (0; :::; 0; jpj z j; 0; :::; 0)
sur l'axe réel du j -plan.
Notations et Rappels
6
Remarque 3. La dénition d'une telle base n'est pas unique. Dans le as de la boule
unité, par exemple, il existe une innité de telles bases. De plus, quand " ou z varie,
elles peuvent hanger très brusquement. Un exemple de e genre de phénomène est
donné dans [14℄.
Nous noterons vi les ve teurs d'une base extrémale sans référen e au entre z ni
au rayon " lorsqu'ils seront lairs dans le ontexte.
Nous dénissons maintenant le polydisque de M Neal entré en z et de rayon ".
Dénition 11. Pour
z
M Neal en z puis posons
2U
et " > 0. Nous hoisissons une "-base extrémale de
f 2 C ; j j < (z; v ; "); i = 1; :::; ng
n
P (z; ") = i
i
où les oordonnées sont prises dans la base extrémale.
De même que pour les bases extrémales, le omportement des polydisques est
assez haotique. Lorsqu'ils interviennent dans une démonstration, il est don né essaire de bien xer leur entre et leur rayon. Ils possèdent ependant des propriétés
utiles illustrées dans la se tion suivante.
0.2.3
Propriétés des
"-bases
extrémales
Nous allons donner un atalogue des diérentes estimations que vérient les
polydisques et les bases extrémales. Elles dépendent de onstantes universelles ( 'està-dire ne dépendant ni de z ni de ") qu'il est habituel de ne pas é rire. Ainsi, pour
A et B deux réels, s'il existe une onstante C indépendante des paramètres utilisés
dans les expressions de A et B telle que A 6 CB , nous noterons A . B . De même,
A B signiera A . B et B . A. Les propriétés que nous allons énon er sont
données dans les arti les de M Neal [23℄ [22℄ ou dans elui de Bruna-CharpentierDupain [3℄. Enn, ré emment, T. Hefer [14℄ a montré que plusieurs onstru tions
de pseudodistan es de type M Neal-Yu [23℄ [28℄ sont équivalentes et ont des liens
étroits ave le multitype de Catlin. Une propriété très importante est le ontrle des
(z; v; d(z )) pour tout v à l'aide d'une base extrémale :
Proposition 12. Pour " > 0 susamment petit, pour tout z 2 U et pour v ve teur
de C n de oordonnées (a1 ; :::; an ) dans une "-base extrémale en z nous avons :
(z; v; ")
1
X
n
i=1
ja j
i
(z; vi ; ")
:
Preuve de la proposition 12. Il s'agit de la proposition 2.2 de [23℄.
7
0.2 Géométrie des onvexes de type ni
Nous aurons parfois besoin de
omparer les
relatifs à des points distin ts :
Soit z0 2 U . Pour " > 0 susamment petit, pour tout z
et pour v ve teur unitaire de C n nous avons :
Proposition 13.
) (z ; v; "):
(
z; v; "
Preuve de la proposition 13. Intuitivement, les
v -rayons
2 P"(z )
0
(0.2.2)
0
Il s'agit de la proposition 2.3 de [23℄.
donnent la distan e au bord dans
haque dire tion.
Quantitativement, on peut en déduire :
Pour " > 0 susamment petit, pour tout z
nous avons :
Proposition 14.
unitaire de C
n
"
. (z; v; ") . " m :
1
(0.2.3)
Si de plus v est un ve teur tangent omplexe, 'est-à-dire v
1
"2
2 U et pour v ve teur
2 TzC r (z ) ,
alors
. (z; v; ") . " m :
1
Si v est la normale en z
) ":
(
z; v; "
Preuve de la proposition 14. On peut
onsulter le lemme 2.1 et ses
quen es dans [3℄. Pour des résultats plus pré is qui relient les
on lira ave
(
)
z; v; "
onsé-
au multitype,
bonheur [14℄.
Dans le même état d'esprit, nous rappelons aussi le résultat
Proposition 15.
ve teur v on a
Soit R0 susamment petit. Pour
r
R
Si v
(
z; v; R
) . (z; v; r) .
2 TzC (f; r( ) = r(z)g) on a
r 12
R
(
z; v; R
0<r<R<R
r m1
R
(
)
) . (z; v; r):
Pour " > 0 susamment petit, pour tout z
"-base extrémale en z , nous avons :
Proposition 16.
i=1
((z; vi; ")) Vol P (z; "):
2
et pour tout
z; v; R :
Il est naturel de pouvoir relier les polydisques de M Neal et les
n
Y
0
v -rayons
:
2 U et pour (vi )i une
(0.2.4)
Notations et Rappels
8
Preuve de la proposition 16. Voir le lemme 2.2 et ses onséquen es dans [3℄.
en tenant ompte de la proposition 13, il en dé oule :
Proposition 17. Pour
">
0 susamment petit et pour tous z; 2 U
uniformément en les variables z , , " :
nous avons
( ) \ P (; ") 6= ; =) Vol P (z; ") Vol P (; "):
P z; "
Nous pouvons alors dénir plusieurs pseudométriques qui vont reéter la géométrie du domaine
Dénition 18. Pour " > 0 susamment petit et pour tous z; 2 U nous posons
n
M(z; ) = inf
">
0 t.q. 2 P (z; ")
o
:
Nous aurons aussi besoin de pseudométriques qui fassent intervenir la distan e au
bord. En notant une proje tion régulière sur , nous posons :
(
" z; ) = inf
n
">
0 t.q. ; z 2 P ((z); ")
o
:
Les estimations suivantes sont rappelées par exemple dans [25℄, [5℄ :
(
" ; z
) M(; z) + d(z) + d( );
M(; z) + d(z);
M(; z) + d( ):
(0.2.5)
Nous dé omposerons souvent le domaine en ouronnes an de faire des estimations
sur ha une d'entre elle. Ce sont des ouronnes anisotropes dénies par
Dénition 19. Pour z 2 U on pose
et pour ` 2 N ?
C0 =
C` =
2 \ U t.q. M(z; ) < d(z)
2 \ U = 2` 1d(z) M(z; ) < 2`d(z)
:
Enn, nous donnons maintenant la dénition de la pseudodistan e introduite par
M Neal et Stein ([25℄) ave laquelle nous travaillerons
Dénition 20. Pour tous z; 2
(
; z
nous posons
n
) = min j
j; ( )
z " z; o
:
Cela signie moralement que (; z ) mesure la distan e anisotrope quand on est
près du bord, puis se omporte omme la métrique eu lidienne en dehors de e
voisinage.
9
0.3 Métrique de Bergman
0.3
Métrique de Bergman
0.3.1 Rappels
Lorsque l'on onsidère un domaine D dans C , la proje tion orthogonale de
L2 (D ) sur A2 (D ) = L2 (D ) \ H(D ), H(D ) désignant l'ensemble des fon tions holomorphes sur D, est appelée proje tion de Bergman. Pour f dans L2 (D), le projeté
de Bergman de f est donné par :
n
Bf (z ) =
Z
B(; z )f ( )d;
z
2 D;
D
où B(; z ) est le noyau de Bergman holomorphe en z , anti-holomorphe en et vérie
B(; z ) = B (z; ).
Pour D borné, la métrique de Bergman est une métrique hermitienne [17℄ sur D
dénie par la matri e :
gi;j (z )
i;j
=
2
zi z j
lnB (z; z ); z
2D
i;j
Cela signie que le arré de la longueur d'un ve teur tangent w = (w1 ; :::; w
point z 2 D est donné par
jwj2
B;z
=
n
X
i;j
=1
n
) en un
gi;j (z )wi wj :
Les dénitions lassiques de longueur de hemin puis de distan e entre deux points
s'ensuivent. Nous ne les rappelons pas.
De plus, l'hypothèse de pseudo onvexité et de frontière lisse permettent d'assurer
qu'il s'agit d'une métrique omplète [26℄.
0.3.2 Spé i ité dans les onvexes de type ni
Les travaux de M Neal [23℄ ont permis d'avoir des estimations pré ises sur la
fon tion et le noyau de Bergman. Nous les redonnons i i dire tement. Nous notons
naturellement, pour = (1 ; : : : ; ), où 2 S (j = 1; : : : ; q ) et pour k =
(k1; :::; k ) 2 N ,
q
n
j
q
q
(z; ; )k
= (z; 1; ) 1 : : : (z; ; ) q :
Tout p 2 possède un voisinage ouvert U (p) tel que, si z; 2 U (p) \
pour tous multi-indi es k et s, tous multi-ve teurs et 0 :
jD D B(; z )j 6
k
s
0
k
k
q
C (k; s) (; ; "(; z ))
k
(; 0 ; "(; z ))
Vol P (; "(; z))
s
:
, on ait
(0.3.1)
Notations et Rappels
10
Pour la fon tion de Bergman, le résultat est très pré is :
B(; ) Vol P (1; d( )) :
(0.3.2)
On vérie aisément ( f [5℄) l'estimation i-dessous
jB(; z)j . Vol P (; d( )) . d( ) :
B(; ) Vol P (; "(; z)) "(; z)
(0.3.3)
Nous tenons à faire remarquer que, vu les hypothèses sur le domaine, le noyau
de Bergman B ; z est de lasse C 1 sur n où est la diagonale du
bord.
Les estimations pré édentes permettent aussi d'obtenir des résultats sur les gi;j pour près de . Pour vi i une d base extrémale en , on a :
( )
( )
()
()
jg ( )j . ((; v ; d( )))(1 (; v ; d( ))) :
(0.3.4)
i;j
i
j
Enn, nous rappelons un résultat très important :
Théorème.
P
, w=
(J. M Neal [24℄ 2001) Pour iée et pour w dans C
n
X
n
i;j
0.4
=1
n
=1 w v
i
()
i
i
!
2 U , (v )
i
i
()
une d -base extrémale asso-
on a :
1
2
gi;j wi wj
X
n
jw j
i
=1 (; v ; d( ))
i
(0.3.5)
:
i
Noyaux à poids de type Berndtsson-Andersson
Nous allons donner quelques rappels sur la onstru tion des noyaux à poids de
type Berndtsson-Andersson. En eet, nous allons utiliser dire tement leurs résultats
dans le premier hapitre, et la onstru tion de notre noyau dans le se ond hapitre,
même si elle n'est pas une appli ation dire te de leurs travaux, est similaire. Plus
pré isément, onsidérons un domaine D de C n et notons ; z les oordonnées sur
D D . On onsidère trois appli ations, Q, s et F , qui vérient :
Q D D ! C n est une appli ation C 1 , holomorphe en la variable z à xé.
s D D ! C n est telle que, pour un ompa t K de , on a uniformément
en 2 et z 2 K :
( )
:
:
js(; z)j 6 C j
:
F C
!C
j jhs(; z); z et
z
ij > j
est une fon tion holomorphe telle que F
j
z2 :
(1) = 1.
(0.4.1)
11
0.4 Noyaux à poids de type Berndtsson-Andersson
Nous faisons les identi ations suivantes
Q : D
D ! C n;
vue omme appli ation dont les omposantes sont les Qj et
Q=
n
X
Qj d(j
zj ):
j =1
et de même pour s. Sous es onditions, on dénit le noyau :
n
X
(n
1
K (; z ) =
n
k!
k =0
(
n(n
1)
1)!
h
F (k) ( Q(; z ); z
i
+ 1)
^ (dQ)k ^ (ds)n
hs(; z); zin k
s(; z )
k
1
(0.4.2)
+1)
.
où n =
n
Nous notons enn dK = P .
(
1)
2
(
Théorème.
on a :
1)!
(Berndtsson-Andersson [2℄, (1982)) Pour toute (p,q)-forme f sur
f (z ) = ( 1)
p+q
Z
2
D
f ( )
Z
2
^ Kp;q (; z)
D
pour
q>0
et
f (z ) = ( 1)
p
Z
2
D
f ( )
f ( ) ^ Kp;q (; z ) + z
Z
2
D
^ Kp; (; z)
f ( )
^ Kp;q
1
(; z )
0
Z
2
D
f ( ) ^ Kp;0 (; z ) +
Z
pour q = 0. Les termes Kp;q signient de bidegré (p; q ) en
. Il en est de même pour P .
2
D
z
f ( )
et (n
^ Pp; (; z)
D,
0
p; n
q
1) en
Normalement, il devrait y avoir un terme supplémentaire dans le se ond membre
de la première formule : en
R eet, l'appli ation du théorème de Stokes impose un
terme supplémentaire en D f ( ) ^ Pp;q (; z ). Cependant, le hoix d'introduire un
poids holomorphe en la variable z assure que Pp;q = 0 si q > 1.
Dans les deux formules de représentations intégrales que nous onsidérons, nous
hoisissons de plus un poids qui s'annule au bord, ou plus exa tement qui, à z 2 K
ompa t xé, tend vers 0 quand se rappro he du bord. Cela nous permet d'annuler
le terme d'intégration sur le bord. Rigoureusement, nous devons d'abord appliquer
le théorème deRBerndtsson-Andersson sur D = fz 2 D; r(z ) < g puis montrer
que l'intégrale D tend vers 0 quand tend vers 0.
12
Notations et Rappels
Chapitre 1
Estimations Höldériennes pour
l'équation de Cau hy-Riemann
1.1
Préliminaires : noyaux résolvants et estimations
élémentaires
1.1.1
Noyau résolvant
Nous onsidérons le noyau suivant :
(
K ; z
n 1
X
) =
=0
n 1
X
k;n
k
:=
k
où N
=0
k;n
B(; z) N
B(; )
K (k) ; z
(
k
j
j ^ Q~ k ^ d j
j zj2n 2k
z2
j
z2
n
)
k
1
(1.1.1)
2 N, Nn nsusamment
grand,
R
1
1
1
et Q~ (; z ) = B(;
) 0 (1 t) B(; + t(z )) dt:
Il s'agit d'un noyau à poids de type Berndtsson-Andersson. En eet, le hoix de
~
Q(; z ) est tel que :
k;n
= ( 1)(
(
2
1)
+1)
N
k
hQ~ (; z); z
; z )
i + 1 = BB((;
)
Le hoix des autres termes est lair F : w 7 ! wN et s(; z ) = z .
Pour f une (0; 1)-forme -fermée à oe ients bornés dans , on a alors T f
où ( f. [5℄),
Z
( )=
Tf z
() (
f K ; z
)
En fait l'expression onsidérée
par A. Cumenge dans [5℄ pour B(; )Q~ est
1
0 t z B(; + t(z ) dt et l'équation u = f y est résolue pour f une
R1
13
= f,
(n; 1)-
14
Chapitre 1.
forme ; le
Estimations Höldériennes pour l'équation de Cau hy-Riemann
hoix légèrement diérent ee tué i i donne de manière stri tement ana-
logue une solution de l'équation
u = f
pour les
(0; 1)-formes et est sans in
iden e
sur la preuve d'estimations de [5℄ que nous utiliserons.
De plus, on notera
u(k) (z )
:=
R
f ( ) ^ K (k) (; z ).
ette même notation si on intègre sur
1.1.2
C
` et non sur
tout entier.
Etude des termes élémentaires
Dans les preuves des théorèmes 1 et 2, le terme
nous ne le dériverons pas. Nous aurons par
(k) d'ordre
des dérivées D u
nous
On gardera éventuellement
= 1 ou 2
ontre à
u0
sera étudié à la main et
onsidérer pour
k = 1; :::; n
1
(k) . Plus pré isément
et allons estimer Dz K
onsidèrerons, en vue de la preuve du théorème 2, et sans perte de généralité,
1 D 2 K (k) (; z ),
Dz;v
où
1 ; 2
2 f0; 1g
dire tion d'un ve teur unitaire donné
et
v.
Dz;v
désigne une dérivation en
z
dans la
Dans la preuve du théorème 1, nous n'aurons pas besoin de xer a
priori une dire tion v de dérivation ; aussi utiliserons-nous systématiquement l'estimation (z; v; ) & (où, suivant les o urren es, = d( ) ; = "(; z ):::). Le as
1 = 2 = 1 n'interviendra par ailleurs que dans la preuve du théorème 1.
Remarque 4.
\ U , nous
0
nous pla erons en fait, pour obtenir des estimées pré ises, dans le polydisque C ou
`
une " ouronne" C ; sauf autre indi ation, les estimations données i-dessous sont
valables pour z 2
\ U , 2 C `(z).
Un point
=
z
e(j`) (z )
z0
(toujours noté
z
pour alléger) étant xé dans
2`d(z)-base extrémale en z, où
telle que l'on ait pour a0 > 0 susamment petit :
Soit
j une
est une
onstante absolue
M(; z) a a0 =) 2 P (z; a):
Les
oordonnées de
dans
ette base seront notées
(
alléger les notations), les dérivations anti-holomorphes en
z
l'analogue ave
les lettres latines
n
(b1; :::; bn ). Nous soulignons que le
de base est unitaire et nous ne pré iserons don
pas les
Les formes diérentielles intervenant, après dérivation en
Dz2 K (k) (; z ), k
e(j`) (z ) j .
et
nouvelle base
Toutefois nous
-
T0
= jf ( ) ej (z)j 6
1
plus loin ( f. Ÿ 1.2.1 ).
z,
dans les termes
1, seront toutes exprimées relativement à
ontinuerons à noter par exemple
meilleure lisibilité.
hangement
oe ients de la matri e de
passage.
Dz;v K (k) (; z )
) (on
`
évite j pour
notées
, et . Et pour
j
1 ; :::;
j
zj
et non
j
bj
ette
pour une
jjjf jjj d( )
simplement d'après les dénitions données
(;e(j`1) (z );d( ))
15
1.1 Préliminaires : noyaux résolvants et estimations élémentaires
- Soit T1;k
=D
1
z;v
D
2
h
B(;z) N
B(; )
k
i
1
j zj2n
2k
.
S'il n'y a au une dérivation, nous utiliserons juste la majoration (0.3.3) pour
estimer T1;k (à laquelle il sera également fait appel pour les autres as).
Nous déduisons immédiatement de (0.3.1), (0.3.2) et (0.3.3)
Dz;v
1
B(; z) .
B(; ) (z; v; "(; z)) ;
= 1 ; = 0, pour ; z 2 \ U
Plus généralement, si 1
jT ;k j .
1
.
jB(; z)j N
B(; )
d( )
"(; z )
N
; z 2
1
k
j
z j2n
j z1j n
2
2k
k
2
(1.1.2)
:
2
k 1
\ U:
Dz;v B(; z )
B(; )
B(; z) Dz;v j zj
B(; ) j zj
2
2
1
1
+
(z; v; "(; z )) j z j
;
(1.1.3)
Lorsque 1 = 2 = 1, nous obtenons après les deux dérivations, en tenant
ompte de l'estimation (z; v; "(; z )) & "(; z ), pour ; z 2 \ U :
jT ;k j .
1
d( )
"(; z )
N
1
k
j
h
z j2n
1
"(; z ) j
2k
zj
1
+ "(; z) + j
2
= D j zj , il est lair que jT j . j
~ k , k 1.
- Etude du terme T ;k = D Dz2 Q
~ = B(; ) ^ R~ + R~ ;
Q
B(; )
B(; )
R
~ = (1 t) (B(; zt)) dt, zt = + t(z ).
où R
- Pour le terme T2
1
z;v
1
z;v
3
2
1
2
zj
1
1
.
i
z j2
;
(1.1.4)
2
1
1
0
D D
1
z;v
2
z
R~ =
Z
1
0
1
t) 1 Dz;v
Dz2 B(; zt ) dt :
(1
Considérant don , en parti ulier pour l'é riture des formes diérentielles, la base
ompte des onventions de notations
pré isées au début de e paragraphe :
(ej` )j , nous obtenons par exemple, en tenant
( )
Dz;v R~ =
n Z
X
1
0
i=1
t
i
DZ;v (B) (; zt)dt d
i
où DZ signie que l'on dérive par rapport à la se onde variable.
Puisque
inf
6t61
0
"(; zt ) & d( ) et
nous déduisons de (0.3.1), (0.2.4)
inf
6t61
0
Vol P (; "(; zt)) & Vol P (; d( ));
16
Chapitre 1.
Estimations Höldériennes pour l'équation de Cau hy-Riemann
1
O(1) d i
:
(`)
Vol
P
(
;
d
(
))
(
;
e
;
d
(
))
i=1
i
Nous pouvons é rire également (en vue de la preuve du théorème 1), en tenant
ompte de (0.3.2) et de la remarque 4
Dz;v R~ =
n
X
(; v; d( ))
Dz;v R~
B(; )
=
n
X
i=1
O(1) d i
(; e(i`) ; d( ))
Z
1
0
t dt
:
"(; zt )
On rappelle ( f [5℄) que, uniformément en t 2 [0; 1℄, z; 2 U \ où U est omme
en (0.3.1)
"(; zt ) & d( ) + t(jr(z )j + jr(z ) r( )j) & d( ) + t(d(z ) + d( ) + jr(z ) r( )j).
Par suite
1
Dz;v
Dz2 R~
B(; )
=
O(1) d i
(; ei ; d( )) [d(z ) + d( ) + jr(z )
n
X
r( )j℄1+2
(`)
i=1
:
Suivant une démar he analogue pour estimer
Z
1
0
(1
1
t) 1 Dz;v
Dz2 B(; zt ) dt
n Z
X
i;j =1
1
=
t
1 +2
0
2
1
DZ;v
DZ2 B (; zt ) dt d
i j
i
^d
j
;
nous obtenons en n de ompte :
T3;k
=
X
jI j=jJ j=k
EI;J d I ^ d
EI;J . (; v;1 d( ))
p
k
Y
;I
= (i ; :::; ik ); J = (j ; :::; jk )
1
1
ave
1
si = 1 et = 0
(; eip ; d( )) (; ej`p ; d( ))
(`)
=1
EI;J
J
. (d(z) + d( ) + jr1(z)
1
( )
r( )j)
k
Y
1 +2
p=1
2
(1.1.5)
1
(1.1.6)
(; eip ; d( )) (; ej`p ; d( ))
(`)
( )
dans les autres as.
R1
Remarque : en fait l'estimation de
t="(; zt )dt n'est pas indispensable ar la
0
présen e du poids dans le noyau K nous permet d'é rire en utilisant (0.3.3) et la
minoration inf 06t61 "(; zt) & d( ), pour 1 ; 2 2 f0; 1g :
jB(; z)j B(; )
1 +2
EI;J
. "(; z1)1
k
Y
+2
p=1
1
:
(; eip ; d( )) (; ej`p ; d( ))
(`)
( )
(1.1.7)
17
1.2 Résultat optimal en norme Kappa
1.2
Résultat optimal en norme Kappa
Dans ette partie, nous démontrons le Théorème 1.
Théorème. Soient
un domaine onvexe borné, à bord lisse et de type ni m, et
jjjf jjj < +1. Alors il existe u 2 1( ) telle
f une (0,1)-forme fermée telle que
que u = f .
1.2.1 Notations-dénitions
( f. [3℄) Pour 2 , v un ve teur unitaire de C n et " un réel > 0,
( ) .
on dénit la norme : (; v; ") = (d;v;"
)
Dénition 21.
Si " est de l'ordre de d( ), on notera simplement (; v ).
( f. [3℄) Pour f (0; 1)-forme sur
jf ( )(v)j jjf ( )jj = supv=
6 0 (;v)
jjjf jjj = sup 2 (jjf ( )jj)
Dénition 22.
on pose :
Dénition 23. Soit u une fon tion bornée dénie sur , on dit que u 2 1 ( ) s'il
existe une onstante C telle que l'on ait : 8z 2 ; 8h 2 C n tels que z h 2 ,
ju(z + h) + u(z h) 2u(z)j 6 C jhj.
jjujj1( ) := jjujj1 + supfju(z + h)+ u(z h) 2u(z)j=jhj ; z; z h 2 ; h 2 C n nf0gg
La démar he de la démonstration sera la suivante :
Des arguments standards de onvexité ( f [18℄, théorème 4.6) permettent de
ne onsidérer que les termes u0 ; u1 et un 1 .
Le terme u0 est traité dire tement à partir de la dénition de 1 .
Pour u1 et un 1 , on se sert d'un lemme d'Hardy-Littlewood. En eet, Dz2 (u(z ))
1 implique que u 2 1 ( f [27℄ ; [19℄ page 405).
d(z )
1.2.2 Etude du terme u0
R
Rappelons que u0 (z ) = f ( ) ^ K (0) (; z ) et notons [BM ℄ le noyau de Bo hnerMartinelli. Nous allons montrer que pour z 2 , 0 < h << 1 ave z + h et z h 2 :
ju0(z + h) + u0(z h) 2u0(z)j . jjf jj1 jhj jjjf jjj jhj:
Si
Z j Z z j . jhj, alors j Z z hj . jhj. E rivons :
=
|
1
=f=j z j<3jhjg
{z
I
}
+
|
2
=f=j z j>3jhjg
{z
II
(1.2.1)
.
}
étude de I : notons u(0)
1 pour les intégrales sur
1 , et majorons dire tement ha un
.
18
Chapitre 1.
Estimations Höldériennes pour l'équation de Cau hy-Riemann
(0)
jB(;zh)j
des termes ju(0)
1 (z )j, ju1 (z h)j. Puisque B(; )
pour le terme u(0)
1 (z + h) :
ju(0)
1 (z + h)j
Z
=
1
B(; z + h) N f ( ) ^ [BM ℄(; z + h)d( )
B(; )
. jjf jj1 j z 1 hj2n
. jjf jj1 jhj . jjjf jjj jhj
Z
1
étude de II : Par
. 1, nous obtenons, par exemple
1 d( )
onvexité et régularité du bord du domaine , on peut onsidérer
lo alement un système de oordonnées omplexes w1 = 1 z1 ; :::; wn = n zn
tel que Re w1 = r( ) r(z ) (l'axe des w1 orrespondant à la dire tion omplexe
normale en z à f ; r( ) = r(z )g) ; nous avons alors "(; z ) & d(z ) + jw1 j. Nous
notons w = (w1 ; w0) 2 C C n 1 . On va alors poser :
fw= 1 > jwj > 3jhjg = 3 [ 4 où
3 = fjwj > 3jhj et jw1 j < jhjg et 4 = fjwj > 3jhj et jw1j > jhjg :
Notant i i pour alléger u0 les intégrales sur 3 , on majore :
ju0(z + h) + u0(z
) 2u0(z)j 6 ju0(z + h)
h
( )j + ju0(z
u0 z
h
( )j :
u0 z
)
An de ne pas alourdir la présentation des al uls, nous gardons par abus la
variable dans les premières étapes des estimations. Nous devons don étudier
(l'autre terme se traitant de manière identique) :
J
=
Z
()
f 3
B(; z + h)
B(; )
N
[BM ℄(; z + h)d( )
B(; z)
B(; )
N
!
[BM ℄(; z)
d( )
;z )
Puisque la fon tion poids BB((;
) est uniformément bornée, nous avons
J
. jjf jj1
+ jjf jj1
Z
Z
3
B(; z + h) B(; z)
B(; )
j1 z1 j<jhj
j zj>3jhj
:= jjf jj1 (J1 + J2):
j
1
z
j
1
jB(; z + h)jk jB(; z)jN
B(; )N 1
k =0
N
X
h 2n 1
+ j
1
j
z 2n 1
1
k
j dz(j2)n
d( )
Pour estimer J1, remarquons simplement que :
jB(; z + h) B(; z)j . jhj Z 1
dt
B(; )
B(; ) 0 "(; z + th) Vol P (; z + th)
. dj(hj) :
(1.2.2)
1
19
1.2 Résultat optimal en norme Kappa
puisque l'on a, uniformément en
:
t; z; B(; ) Vol P (; z + th) & 1 et "(; z + th) & d( ) :
Comme apparaît dans l'intégrande de J1 au moins un terme jB(; z )j=B(; ) ou un
terme jB(; z + h)j=B(; ), nous avons en tenant ompte de (0.3.3) :
.
J1
jhj
Z
+ jhj
Enn,
jhj
jhj
Z3
3
Z
Z
3
(
)j
d( )
(
) j
(
+ h) j
" ; z
" ; z
d
" ; z j
j
z 2n 1
d( )
:
z 2n 1
j
z 2n 1
d(w)
(d(z) + jw1j)(jw1j + jw0j)2n
Z
0
. jhj 1 <jhj d1 (d0 )2 . jhj:
0 >jhj
jw10 j<jhj
jw j>jhj
Nous obtenons le même résultat pour jhj
J2 . jhj est Rimmédiate.
Etude de 4 f ( ) ^ K (0) (; z) :
N
n
X
B
(
; z )
[
BM ℄(; z ) =
f ( ) ^
B(; )
j =1
R
( + )j
j
. L'estimation
N
B
(
; z )
j zj
ste(j; n)fj ( )
B(; ) j zj2n
;z )
Posons pour tout j = 1; :::; n, j (; z ) = BB((;
)
Supposons j z j > 3jhj, h 6= 0 xé, ave
formule de Taylor :
j (; z + h) + j (; z
d
3 " ;z h z 2n 1
1
) 2j (; z) =
h
+
N
z
=1
di di :
i
j zj
j zj2n .
h 2
Z1
Z0 1
0
n
Y
(1
t d2z
(1
t d2z
; nous avons d'après la
) j (; z + th):h(2) dt
) j (; z
th :h(2) dt :
)
2 N , w = z 2 4 , nous avons d'après (0.3.1), (0.2.4), uniformément
en w = z 2 4 , t, z 2 \ U ,h; jhj < 1, pour toute dérivation Dzp d'ordre p en
Pour
z
:
p
20
Chapitre 1.
Estimations Höldériennes pour l'équation de Cau hy-Riemann
Vol P (; d( ))
B(; z)
.
B(; ) zth
Vol P (; "(; z th)) ("(; z th))p
. ("(; z 1 th))p . j z 1j + jhjp :
1
1
Par suite, en tenant toujours ompte de la majoration jB (; z th)j=B (; ) . 1 :
1
1
j
hj2
1
2
(2)
jdz j (; zth):h j . j zj2n 1 j zj2 + j zj(j z j + jhj) + (j z j + jhj)2 :
1
1
1
1
Dzp
Par des al uls immédiats
jhj2
jhj2
1.2.3
Z
jw1 j>jhj
Nous supposons dans
. jhj
Z
(w)
d1
2
.
j
hj
2 . jhj :
2
n
1
2
jwj (jw1j + jhj)
1 >jhj 1
R
\U =[
u1
e paragraphe et les suivants que
seulement les intégrales
(w)
2
n+1
C>jw1 j>jhj jw j
d
d
Etude du terme
Pour
Z
C` .
2 C ` , nous avons en tenant
z
2 \ 21 U et
onsidérons
ompte de (1.1.1), (0.3.3) et du paragraphe
1.1.2 (en parti ulier des estimations (1.1.3), (1.1.4) et (1.1.7) :
D 2 f ( ) ^ K (1) (; z )
. jjjf jjj
z
où
(; ei
(ED) = j 1 zj2
Supposons par exemple
2 C P (z; 2 (z)) :
`
`d
(`)
ou
n X
d( ) N 3
i;j;p=1
j 6=p
"(; z )
d( )
(`)
(; ej (z ); d( ))
(ED)
(z); d( )) (; ep(`)(z); d( )) j
j
1
z j "(; z )
ou
1
"(; z )2
z j2n 3
:
(1.2.3)
j < p. Rappelons les estimations suivantes, valables pour
d( )
= O(1) 8i = 1; :::; n;
(`)
(; ei (z ); d( ))
d( )
. "(;1 z) . 2`d1(z) ;
(`)
"(; z ) (; ej (z ); d( ))
d( )
d( )
(; e(p`) (z ); 2` d(z )) `
(z; ep(`) (z );
(; e(p`) (z ); d( )) & `
2 d(z)
2 d(z)
2`d(z)):
21
1.2 Résultat optimal en norme Kappa
Nous obtenons :
Z
C`
f ( )^D 2 K (1) (; z )
z
Z
1
(d( ))2 d( ) :
(
ED
)
2`d(z) p2 (z; e(p`) (z); 2`d(z)) C
"(; z )2j z j2n 3
X
. jjjf jjj
`
En provenan e de (ED), onsidérons par exemple le terme "(; z ) 2 ; posons pour
tout i, ji zi j ou plutt j i bi j = ri et notons pour alléger i pour (z; e(i`) (z ); 2` d(z )) ;
nous pouvons é rire puisque p 2 :
Z
(d( ))2 d( )
C "(; z )4 j z j2n
`
3
. (2`d1(z))2
.
Z
p :
r1 <1
rp <p
r1 dr1 drp
(1.2.4)
(Nous avons utilisé 1 = (z; e(1`) (z ); 2` d(z )) 2`d(z ) pour la dernière inégalité).
L'intégrale faisant intervenir un terme en (j z j "(; z )) 1 se traite de même,
ave une estimation nale analogue.
Ave toujours les mêmes notations :
Z
Z
(d( ))2 d( ) .
d( )
2
2
n
1
C ("(; z )) j z j
C j z j2n
`
`
.
.
1
Z
rp <p
drp
(1.2.5)
p :
Nous déduisons de (1.2.4), (1.2.4), (1.2.5) et de la dénition de u1 :
. jjjf jjj (d(z))
Dz2 (u1 )
1
(1.2.6)
par suite u1 2 1 ( ) :
1.2.4
Etude du terme
un
1
Bien sûr, dans e as, on suppose n > 3. On va don examiner le terme suivant :
In 1
= Dz2 un 1(z)
=
D2
z
Z
f ( ) ^
j
z j2 ^ Q~
j zj2
n 1 B
(
; z ) N
B(; )
+1
n
:
Les dérivations en z ( elles notées Dj (`k ) i-dessous) peuvent porter sur diérents
fa teurs du noyau K (n 1) ; nous allons en ore intégrer sur haque " ouronne" C (`) .
Suivant la démar he indiquée dans la se tion 1.1.2, nous sommes amenés à estimer
des intégrales des types suivants :
22
Chapitre 1.
In`
=
1
"
X Z
D1 (`0 ) D2 (`0 )
jI j=n C `
jJ j=n
[f ( )
n Z
ej (z)℄ Y
(B(; ))n
Jn`
1
=
Estimations Höldériennes pour l'équation de Cau hy-Riemann
1
1
1
k =2
jI j=n C `
jJ j=n
2
ik 1
0
"
X Z
t)
(1
B(; z) N
B(; )
j2
[(fB((;) e))j n(z)℄
1
D1 (`0 ) D2 (`0 )
Z
1
B(; )
n Z 1
Y
2
k =3
0
t)
(1
1
0
1
j
[D
1 (`k )
B(; z) N
B(; )
1
t)
(1
jk
2
ik #
n+1
1
i2
D1 (`1 ) j
1
#
j
[D
2
D2 (`k ) B(; zt )℄dt d
n+1
zj
i
1
1 (`2 )
z j2 ^d
i1
D1 (`1 ) j
J
z j2
D2 (`2 ) B(; zt )℄dt
D1 (`k ) D2 (`k ) [B(; zt )℄ dt d
jk
I
z j2
I
^d
J
ave les 1 (`k ) ; k = 0; 1; :::; n tous nuls, sauf un et un seul, qui est égal à 1 et la même
ondition vériée pour les 2 (`k ) ; k = 0; 2; :::; n ; I = (i1 ; :::; in ), J = (j1 ; :::; jn ),
d I = d i1 ^ ^ d in , d J = d j1 :::d jn .
Remarque 5.
Les estimations de la se onde intégrale
Jn`
1 seront les mêmes que
elles de
In`
1 ,
nous n'étudierons que la première intégrale.
Nous utilisons les estimations élémentaires obtenues dans la se tion 1.1.2, e qui
donne la majoration suivante :
I
`
n 1
. jjjf jjjk
Z
C`
n
Y
k =2
d( )
"(; z )
N
1
(`)
(; ejk (z ); d( ))
n+1
j 1 zj n
Y
k =2
d( )
(; ej1 (z ); d( ))
1
(`)
(; eik (z ); d( ))
(`)
(1.2.7)
(ED) d I ^ d
J
où (ED) est déni en (1.2.3).
On va utiliser (0.2.4) ave R = 2`d(z ) et r = d( ). Le poids sert à ompenser
`
les fa teurs 2dd((z) ) qui apparaissent, puisque 8` 0 ; "(; z ) & 2` d(z ) si 2 C ` . Nous
omettrons en fait souvent (sans préjudi e) d'é rire la onstante . L'intégrande se
majore alors par des termes de la forme suivante :
n
1
d( )
(ED )
d( ) Y
A=
(`)
(`)
(`)
`
`
`
"(; z ) k=2 (; ej (z ); 2 d(z )) (; ei (z ); 2 d(z )) (; ej (z ); 2 d(z )) j z j
k
k
1
23
1.2 Résultat optimal en norme Kappa
où fj1 ; :::; jn g = f1; :::; ng et i2 ; :::; in sont deux à deux distin ts.
Soit i1 tel que fi1 ; :::; in g = f1; :::; ng ; nous obtenons pour 2 C ` P (z;
en tenant ompte de (0.2.2), (0.2.3) et (0.2.4) :
A.
(z; ei1 ; 2` d(z ))
Vol P (z; 2`d(z ))
2` d(z )),
j(EDz)j 2d`(d()z) :
2
Suivant le terme en provenan e de (ED) intervenant dans l'intégrande A, nous
devrons estimer :
2`d(z) (z; ei1 ; 2` d(z ))
Vol P (z; 2`d(z ))
1
(z; ei1 ; 2`d(z ))
Vol P (z; 2` d(z ))
Z
d( )2d( )
C ` j z j3
Z
1
d( )d( )
`
2 d(z )
C ` j z j2
(z; ei1 ; 2` d(z ))
Vol P (z; 2`d(z ))
2`d(z) 1
Z
(1.2.8)
(1.2.9)
d( )
(1.2.10)
C ` j z j
Comme (1.2.8) et (1.2.9) se traitent de manière similaire, nous n'étudierons que
(1.2.8). Enn, omme les al uls se ramèneront en partie à l'étude de (1.2.10), nous
ommen erons par ette dernière :
Z
d( )
C ` j
.
zj
.
.
Z
Z
d(w)
jwi j<(z;ei ;2` d(z)) jw1j + + jwnj
i < (z;ei ;2` d(z ))
1 d1 :::n dn
i1
Vol P (z; 2` d(z ))
(z; ei1 ; 2`d(z ))
:
Pour l'étude du terme (1.2.8), é rivons
Z
d( )2d( )
C ` j z j 3
Z
) +
=
Z
(
);
(
C ` \fd( )2 1 d(z)g
C ` \fd( )2 1 d(z)g
où 1 1 est une onstante telle que l'on ait pour d( ); d(z ) 0 , (0 pouvant être
hoisi tel que 0 < 0 < 1) : d( ) 1 d(z ) + jr( ) r(z )j .
- Si d(z ) d( )=2 1, alors d( )=j z j = O(1) d'où la première intégrale i-dessus
se ramène à elle de (1.2.10).
- Pour estimer la se onde intégrale, supposons sans perte de généralité que
i1 6= n; n 1 :
Z
C ` \fd( )<2
d( )2d( )
j z j 3
1 d(z )g
Z
1 d1 :::n 2 dn 2 dn 1 dn
i1
.
d(z )
.
Vol P (z; 2` d(z ))
d(z )2
:
(z; en 1 ; 2` d(z )) (z; en ; 2`d(z )) (z; ei1 ; 2` d(z ))
2
i < (z;ei ;2` d(z ))
24
Or
Chapitre 1.
Estimations Höldériennes pour l'équation de Cau hy-Riemann
d(z ) 2` d(z ) t (z; e1 ; 2` d(z )) (z; ei ; 2` d(z )) ; 8 i. D'où l'estimation souhai-
tée pour (1.2.8).
On a montré ainsi que, pour tout
R
` : Dz2 C ` f ( ) ^ K (n
1)
. jjjf jjj(2`d(z))
1.
Par suite
jjun 1jj ( ) . jjjf jjj:
(1.2.11)
1
1.3
Preuve du Théorème 2
Nous le rappelons pour la
ommodité du le teur :
Théorème (2). Soit un domaine onvexe borné à bord lisse de type ni m et f
une (0,1)-forme -fermée telle que k f kL1 < +1. Alors, pour tout 0 < < m1 , il
=f .
existe u 2 ( ) telle que u
1.3.1 Une ondition susante
Dénition 24. Pour 0 < < m1 , on dit que u 2 ( ) s'il existe une onstante C
telle que pour z; 2 ,
ju(z) u( )j C (z; ) :
M Neal et Stein donnent dans [25℄ une
( ) lorsque 0 < < 1=m. Pour prouver
onditions impliquent l'appartenan e à l'espa e ( ) (espa e noté ~ ( )
onditions dis rètes pour les fon tions de
que
es
ara térisation lo alisée en termes de
dans [25℄), les auteurs utilisent en fait seulement des estimations sur les dérivées dire tionnelles d'ordre un. La preuve du résultat
i-dessous est
ontenue impli itement
dans [25℄, mais nous en redonnons les éléments de démonstration an de fa iliter la
le ture.
Proposition 25. Soit 0 < < 1=m et u est une fon tion bornée, de lasse C 1 sur
telle que
jru(z)j . d(z)
d(z )
et 8v 2 C n ; jjv jj = 1, jDv u(z )j . (z;v;d
(z )) .
Alors u appartient à ( ).
1+
Lemme 26. ([25℄)
Soit 0 < < 1=m et u une fon tion dénie sur telle que pour tout k 2 N ,
u = bk + gk ave :
(i) jjbk jj1 . 2 k
(ii) Si jr(z )j < 2 k ; v 2 C n ; jjv jj = 1 : jDv gk (z )j . (z; v; 2 k ) 1 : 2 k
(iii) Si jr(z )j 2 k ; jrgk (z )j . 2k : 2 k :
Alors u appartient à l'espa e ( ).
25
1.3 Preuve du Théorème 2
Preuve du lemme 26. Soit k tel que (; z ) 2 k . On suppose que (; z ) =
"(; z ). Don jr( )j . 2 k et jr(z )j . 2 k . Soit le ve teur unitaire de dire tion
z , i.e. = j zzj ,
ju( )
u(z )j
6 jbk ( )j + jbk (z)j + jgk ( )
. 2 k + jDgk ()jj zj
gk (z )j
pour un dans le segment [; z ℄ d'après l'inégalité de la moyenne. Don ,
ju( ) u(z)j . 2 k + 2 k ((; ; 2 k )) 1(x; ; 2 k );
z j 6 (; ; 2 k ). De plus, d'après la proposition 13, (; ; 2 k ) puisque j
(x; ; 2 k ) puisque appartient au polydisque P (z; 2 k ). Notre hoix de k implique
don que
ju( ) u(z)j . (; z) :
Dans le as où (; z ) = j z j, on suit exa tement le même s héma de démonstration
pour on lure.
Preuve de la proposition 25. nous allons vérier que u satisfait les onditions
du lemme 26.
Soient (Uj ; pj )1j s une famille nie telle que, pour tout j , Uj est voisinage
ouvert de pj 2 b , les pj sont deux à deux distin ts, la réunion V des Uj est un
voisinage de b sur lequel est dénie une proje tion régulière sur b et est tel que
jr(z)j < 1 où 0 < 1 << 1 pour tout z de V ; on peut supposer l'existen e d'une
onstante a > 0 telle que, pour 1 j s, si j désigne la normale intérieure en pj
à b , alors pour tout z de Uj , 0 t a, d(z + tj ) & t et si z 2 12 Uj et 0 t a
alors z + tj 2 Uj ; si z et 2 Uj \ , M(z; ) jz1 1 j + : où les omposantes
de z et sont é rites dans une d(z )-base extrémale de M Neal au point z ( est
déni Ÿ 1.1.2) .
Soit k xé dans N . Suivant [25℄, posons pour z 2 12 V en notant pour simplier
= j si z 2 Uj :
u(z ) = bk + gk ave
Z
2 k
d
(u(z + t )) dt et
=
dt
0
gk = u(z + 2 k ):
ondition d(z + t ) & t impliquent immédiatement la
bk
L'hypothèse sur ru et la
ondition voulue (i) du lemme 26 sur bk .
Supposons jr(z )j < 2 k ; alors pour v ve teur unitaire de C n :
jDv gk (z)j . (z + (2d(kz;+v;2d(z ))+ 2 k )) . (z + 2
Comme z + 2 k 2 P (z; d(z + 2 k )),
k
2
k
k ; v; d(z + 2 k )) :
26
Chapitre 1.
Estimations Höldériennes pour l'équation de Cau hy-Riemann
(z + 2 k ; v; d(z + 2 k )) (z; v; d(z + 2 k )) & (z; v; 2 k )
et l'estimation (ii) du lemme 26 est montrée.
Supposons jr(z )j 2 k ; nous avons
jrgk (z)j . [d(z + 2 k )℄ 1+ . d(z) 1+ . 2k(1 ) :
1.3.2
Estimation de
u
=f
Dans ette partie nous montrerons don que la solution u de l'équation u
qui est la balayée de f par le noyau K ( f (1.1.1)) appartient à des espa es de
Lips hitz anisotropes lorsque f est à oe ients bornés.
u=
n 1
X
k=0
u(k) où u(k) (z ) =
Z
f ( ) ^ K (k) (; z ):
L'estimation de u0 est immédiate ; rappelons en eet que pour jhj << 1 et z près
du bord : jhjm . M(z; z + h) . "(z; z + h). Nous avons en fait montré en (1.2.1)
l'estimation jju0 jj1 ( ) . jjf jj1( jjjf jjj). Par des al uls lassiques (analogues
à eux ee tués au début de la se tion 1.2.2), en utilisant (1.2.2) et l'estimation
R
j[BM ℄(; z + h) [BM ℄(; z)j d . jhjjln jhjj, nous obtenons :
ju0(z + h) u0(z)j . jjf jj1 jhj jlnjhj j pour z; z + h 2 :
Pour l'étude des autres termes, nous utiliserons la proposition 25. Les u(k) pour
k = 0; :::; n 1 sont bornés sur et, si k = 1; :::; n 1, jru(k)(z )j . d(z ) 1+1=m (voir
[5℄ pour les détails de al uls on ernant es résultats).
Nous allons démontrer dans e paragraphe la proposition suivante, e qui on lura
la preuve du théorème 2.
Proposition 27.
jDz;v u(k) (z)j . k f kL1 (z;d(v;z)d(z)) ; 8 ; 0 < < m1 ; 8k = 1; :::; n
1:
Preuve de la proposition 27. Il sut de prouver l'estimation de la proposition
pour k = 1 et k = n
Dz;v
1.
K (n 1) (; z ) = A
A1 =
A2 =
1 + A2 + A3 , ave :
B(; z) N
B(; )
n+1
j z j2
j zj2
B(; z) N
B(; )
n+1
Dz;v
^ Dz;v Q~ n
j z j2
j zj2
1
^ Q~ n
1
27
1.3 Preuve du Théorème 2
A3 = Dz;v
B(; z) N
B(; )
+1
n
!
j z j2
j zj2
^ Q~ n
1
:
R
Il sut d'étudier, toujours pour z 2 \ 21 U , \U f ( ) ^ Aj (; z ) pour j
En eet (1.1.2), (1.1.5), (1.1.7) - ave 1 = 2 = 0 - et (0.3.3) prouvent que
X
As =
A(I;Js) d I ^ d
jI j=jJ j=n 1
pour I = (i1 ; ::; in 1 ); J = (j1 ; :::; jn 1 ) :
jA(1) j .
I;J
(3)
jAI;J j .
d( )
"(; z )
N
d( )
"(; z )
N
jA(2) j .
I;J
n
+1
n
d( )
"(; z )
1
(; v; d( )) j
1
(z; v; "(; z)) j
N
+1
n
j
1
1
1
1
z j2
s = 1; 2; 3
;
J
n
Y
=1
p
1
ave
1
(`)
ip ; d( )) (; ejp ; d( ))
n
Y
z j p=1
(; e(`)
1
1
n
Y
z j p=1
= 1; 2.
(; e(`) ; d( )) (; e(`); d( ))
ip
jp
1
:
(; e(`) ; d( )) (; e(`); d( ))
Comme d( ) . "(; z ) et, pour 2 C ` P (z;
ip
jp
2`d(z)), on a :
(z; v; "(; z )) (; v; "(; z )) & (; v; d( ));
il est inutile de onsidérer A3 .
Nous avons ( f. (0.2.4)), (; v; d( )) & d( )=2`d(z ) (; v;
dans C ` , on a
(; v;
2`d(z)) et, pour 2`d(z)) (z; v; 2`d(z)) & 2`=m (z; v; d(z)):
Utilisant (0.2.4) omme dans la se tion 1.2.4, nous obtenons en notant toujours
j (z; 2` d(z )) ou même j pour (z; e(j`) ; 2`d(z )) :
1
jA(1)
I;J j . `=m
2 (z; v; d(z)) j
1
;
z j p=1 ip (z; 2` d(z )) jp (z; 2` d(z ))
1
z2
\ 21 U ; 2 C `
1
1
; z 2 \ U ; 2 C ` (1.3.1)
`
(z; 2 d(z )) jp (z; 2 d(z ))
2
p=1 ip
où 1 i1 < < in 1 n, 1 j1 < < jn 1 n.
Soient, pour I; J donnés, in; jn tels que fi1 ; :::; ing = fj1 ; :::; jng = f1; :::; ng.
Posons j = j j bj j; 8j = 1; :::; n (ave les notations du paragraphe 1.1.2).
(2)
jAI;J j . j
1
1
n
Y
z j2
n
Y
`
28
Chapitre 1.
Estimations Höldériennes pour l'équation de Cau hy-Riemann
Si in = jn :
Z
C0
jA(1) j
I;J
n
Y1
1
1
. (z; v; d(z)) (z; d(z))2
p=1 i
. (iz;(z;v;dd((zz)))) . (dz;(zv;) d(z)) :
Si in 6= jn :
Z
C0
jA(1) j
1=m
I;J
n
Y1
1
1
. (z; v; d(z)) p=1 i j
p
Y
j <j k6=i ;j
n n
k dk
i
n
di
n
din djn
. (i z;(z;v;dd((zz)))) . (dz;(zv;) d(z)) :
n
Par suite
Z
p
ip dip
j <j
j =1;:::;n p=1
p
n
n
Y1
Z
(0)
I1
:=
Z
C0
1=m
1=m
( ) ^ A1 (; z) . jjf jj1 (dz;(zv;) d(z)) :
(1.3.2)
f Dans l'estimation de I1(`) := C (`) f ( ) ^ A1 (; z ) , nous allons a epter une perte
P
en d(z ) , arbitrairement petit, an d'assurer la onvergen e de la série I1` .
Puisque est borné, et que j z j j z j + 2` d(z ) si 2 C ` , ` 1, nous
obtenons, en supposant in = jn par exemple :
Z
n
Y1
jAI;J j . 2`=m(z; v; d(z)) ( (z; 21`d(z)))2
i
p=1
1
(1)
C`
R
Z
C`
p
n
Y1
(j
j
j ()
z d z
j + 2`d(z))1+
Z
n
Y1
1
1
. 2`=m(z; v; d(z)) ( (z; 2`d(z)))2 (2`d(z)) <
i di di
i
p=1
p
=1
j =1;:::;n
`
(z))
. 2` d((zz;) v; d(z)) :
. 2`=m(z;i v;(z;d2(zd))(2
` d(z ))
uls sont analogues si in 6= jn , en sorte que
1
j
p
j
p
p
1
m
n
Les al
(1.3.3)
. jjf jj1 2` ((z;) v; d(z)) ; > 0; arbitrairement petit :
R
Pour l'étude de I2 := \U f ( ) ^ A2(; z), les dérivations portent sur la partie
(`)
I1
d z
1
m
isotrope (i.e. sur le terme j z j qui représente la distan e eu lidienne dans C n ),
don l'exploitation de la géométrie a peu de han e d'être optimale pour e terme.
Nous pourrions faire apparaître de manière naturelle le terme (z; v; d(z )) dans nos
al uls en é rivant j z j dans une d(z ) base extrémale. Dans e as,
jDz;v (jz
j2 )j 6
n
X
i=1
jvijji
j
zi :
n
29
1.3 Preuve du Théorème 2
Alors, omme
vi
i (z;d(z ))
. (z;v;d1 (z)) on obtient
j2 )j .
jDz;v (jz
ji
n
X
1
(z; v; d(z ))
zi
j
i (z; d(z ))
i=1
:
Cela ne permet ependant pas d'obtenir une meilleure estimation. Pour simplier
la preuve, nous allons don introduire arti iellement le terme (z; v; d(z )) dans
nos al uls : nous utilisons (1.3.1) et la majoration (z; v; d(z )) . d(z )1=m et nous
é rivons, pour I; J tels que in = jn par exemple :
Z
C
0
jA(2) j
I;J
.
.
.
.
n
Y1
d(z )1=m
(z; v; d(z ))
(ip )2
p=1
Z
1
d(z )1=m
(z; v; d(z )) i1
d(z )1=m
1
(z; v; d(z )) j
j:
d(z )1=m ln d(z )
(z; v; d(z ))
i1
Z
n
Y1
Z
1
j <j p=1
di1
i1 <i1
in <in
i1 <i1
(
ip dip
d+i n
i1
in
din
i1 + in
ln(i1 ))di1
(1.3.4)
(Si in 6= jn ou bien si in = jn mais in max1pn 1 ip , nous obtenons une
estimation en : O(1)d(z )1=m = (z; v; d(z ))).
Par des al uls analogues à eux menant à (1.3.3) , en tenant en ore ompte de :
j zj j zj + 2`d(z) si 2 C ` lorsque ` 1 :
Z
d(z )1=m
n
Y1
(z; v; d(z ))
p=1
(2)
C`
jAI;J j .
.
.
(ip
(z; 2` d(z )))2
n
Y1
d(z )1=m
(z; v; d(z )) (2` d(z ))
1
0
d(z ) m 2` (z; v; d(z ))
Z
1
p=1
1
2
ip
C`
j
(
j
d
z + 2` d(z ))2+
n
Y1
Z
j <j =j (z;2` d(z )) p=1
ip dip
d+i n
i1
in
:
Et un résultat analogue si in 6= jn . D'où
I2
1
d(z ) m . jjf jj1 (z; v; d(z)) ;
Les al uls on ernant
Dz;v u1
>0
arbitrairement petit.
(1.3.5)
onduisent à la même estimation pour
Z
f
^ Dz;v K (1)
;
\U
e qui a hève la preuve de la proposition 27, et don la preuve du théorème 2.
30
Chapitre 1.
Estimations Höldériennes pour l'équation de Cau hy-Riemann
Comme nous l'avons dit dans l'introdu tion, nous avons en fait la possibilité
d'améliorer e résultat.
Le terme u0 , omme on l'a énon é au paragraphe 1.3.2, vérie une estimation
meilleure que elle souhaitée.
Pour u1 et u(n 1) , nous utilisons le résultat suivant :
Proposition 28. Si
u
est une fon tion bornée, de
lasse
jru(z)j . d(z)
8v 2 C ; jvj = 1 jDv u(z)j .
ju( ) u(z)j . ((; z)) ( ((; z)) ; ; z 2 :
1
1+ m
n
et
1
m
C1
,
sur
1
telle que
d(z ) m (ln d(z ))2
(z;v;d(z )) , alors
2
ln
pour démontrer ette proposition on adapte le lemme 26 ave , à la pla e des
onditions (i), (ii) , (iii ) :
(i0 )
(ii0 )
(iii0 )
jjbk jj1 . 2 k=m;
si jr(z )j < 2 k ; v 2 C n ; jjv jj = 1 : jDv gk (z )j . k (z; v; 2 k )
si jr(z )j 2 k ; jrgk (z )j . 2k : 2 k=m :
2
1
:
2
k=m
;
Maintenant, nous pouvons utiliser la proposition 28. Nous examinons don les termes
que nous avons étudiés dans la preuve de la proposition 27. Nous pouvons en fait
introduire au numérateur et au dénominateur du ln(j z j) au lieu du j z j. Dans
e as, on obtient une expression en
Z
jAI;J j . jjf jj1 (z;( v;) d(z)) jln(2`1d(z))j
(2)
C`
d z 1=m
Y
n
1
p=1
1
(i j )
p
p
Z
Y
j <j k6=in ;jn
k dk
dj ln(i )di
n
n
n
:
De plus, puisqu'on s'est pla é sur un voisinage du bord U petit, on s'intéresse de
fait aux ` tels que 2` d(z ) 6 1. Don la sommation en ` de es termes impose un
jln(d(z))j de plus au numérateur et on obtient :
I2
1
(
)
. jjf jj1 (z; v; d(z)) jln(jd(z)j)j
d z
m
2
:
Le terme I1 se traite de la même manière et donne même une meilleure estimation.
Nous démontrons ainsi le résultat (0.0.2) Cela n'est ependant pas satisfaisant puisqu'on n'obtient pas le résultat optimal, et la présen e de e logarithme apparait ainsi
plutt omme une limite des possibilités de e noyau.
Chapitre 2
Formule de représentation intégrale
en métrique de Bergman
Nous allons donner une formule de représentation intégrale pour les (p; q )-formes.
Elle sera onstruite sur le modèle de [2℄, 'est-à-dire une formule d'homotopie ave
un noyau à poids. L'intérêt de e noyau est qu'il est intrinsèque d'une part : nous
pouvons utiliser n'importe quel hoix de oordonnées pour l'estimer. Ce sera parti ulièrement utile lorsque nous utiliserons les "-bases extrémales de J. M Neal. D'autre
part, e noyau est géométrique, don approprié pour des estimations ave la pseudométrique . Nous allons ommen er par montrer qu'il nous permet d'obtenir les
solutions de l'équation (0.0.1) :
2.1
Formule de type Koppelman-Berndtsson-Andersson
Nous dénissons une se tion du bré de Cau hy-Leray qui fait intervenir la métrique de Bergman :
Dénition 29.
Pour
; z
(
s ; z
2
XX
)=
, nous posons
n
j
=1
n
k
( )(
)(
gj;k k
zk d j
)
(2.1.1)
zj :
=1
C'est par e hoix de se tion que notre noyau dière de elui du premier hapitre.
Nous reprenons pour fon tion Q :
(
Q ; z
1
) = (Q1; :::; Q ) où Q = B(; )
Où la notation se onde variable.
n
Zj
j
Z
1
0
Zj
B(; + t(z
signie que l'on dérive par rapport à la
31
j ième
))dt:
oordonnée de la
32
Chapitre 2.
Remarque 6.
Formule de représentation intégrale en métrique de Bergman
Nous faisons en ore les identi ations suivantes
Q
: n ! C n ;
vue omme appli ation dont les omposantes sont les Qj et
Q=
n
X
j =1
Qj d(j
zj ):
Nous utilisons le même type d'identi ation pour s, on voit alors que hs(; z ); z i
est une approximation à l'ordre 2 de la distan e géodésique au arré pour la métrique
de Bergman. En eet, on a :
hs(; z); zi =
n
X
i;j =1
gi;j ( )(i
zi )(j
zj ) :
On peut interpréter ette formule omme la norme au arré du ve teur z vu
omme ve teur dans T ( ). Cette norme est une approximation à l'ordre deux de la
longueur L au arré des hemins géodésiques. Plus pré isément, si nous onsidérons
le hemin géodésique démarrant en , de ve teur tangent z en , alors, si nous
le suivons durant un temps 1, on aura (L )2 = hs(; z ); z i + o( z )2 ( f [8℄).
C'est en fait une des raisons pour lesquelles nous avons hoisi s sous ette forme.
De plus, l'expression hs(; z ); z i est en fait le ro het de dualité h; i pour la
métrique innitésimale sur T ( ) où identié à s est une se tion à valeurs dans
le bré otangent des (1; 1) formes ([15℄ [9℄).
Notons que dans [20℄, I. Lieb et J. Mi hel ont hoisi une se tion dénie à l'aide
d'une métrique hermitienne non né essairement égale à la métrique usuelle de C n
pour obtenir une formule généralisée de type Bo hner-Martinelli-Koppelman. Nous
posons :
K (; z )
=
=
n 1
X
k=0
n
X1
k=0
k;n
B(; z) N
B(; )
k
k
n
s ^ dQ ^ d s
hs(; z); zin
k
k
1!
(2.1.2)
K k (; z )
où k;n = ( 1) 2 +1 CNk .
On notera dK = P .
Dans toute la suite, nous onsidérons uniquement e noyau pour résoudre l'équation de Cau hy-Riemann, 'est pourquoi nous gardons la même notation K pour le
noyau. Nous tenons à pré iser que, puisque la fon tion de Bergman est C 1 sur ,
les oe ients gi;j le sont aussi. Don , à l'intérieur de et en dehors d'un voisinage
U de omme pré isé dans la se tion 0.2.2, il existe et réels > 0 tels que,
n(n
1)
33
2.1 Formule de type Koppelman-Berndtsson-Andersson
pour tout dans n U , la matri e (gi;j ( )) ait ses valeurs propres minorées par et
majorées par , i.e. uniformément en v = (v1 ; :::; vn ) dans C n et en dans n U :
n
X
i;j
=1
()
gi;j vi vj
jvj2eu l :
(2.1.3)
Cela signie don que notre se tion est omparable à l'intérieur du domaine à la
se tion de Bo hner-Martinelli.
Nous pouvons voir que e noyau est très pro he de elui donné au premier hapitre
puisque le hoix du poids est le même. Nous ne pouvons pas ependant appliquer
dire tement les résultats de Berndtsson-Andersson. Ils donnent une ondition susante que notre se tion s ne vérie pas. Nous utilisons i i la métrique de Bergman
qui explose quand on se rappro he du bord. Notre se tion s va don vérier la seonde ondition de (0.4.1). En eet, si on se pla e en un point de \ U où U est
un voisinage de , alors, d'après le théorème de J. M Neal (0.3.5), en prenant une
d( ) base extrémale asso iée :
hs(; z); z
i=
n
X
i;j
=1
( )(
gi;j i
)(
zi j
n
X
ji zi j
zj ) (; vi ; d( ))
i=1
!2
(2.1.4)
:
Puisque 1 1 . (;v 1;d( )) 8i 2 f1; :::ng, la se onde ondition de 0.4.1 est bien
(d( ))
vériée. Nous avons plus pré isément :
i
m
9 ; 8 2 \ U; 8 z 2
;
jhs(; z); z
ij > j
j
z2 :
(2.1.5)
Mais il n'y a au une han e qu'on puisse obtenir la première ondition de (0.4.1)
puisque (d(1 )) n'est pas bornée. Nous allons don démontrer de manière dire te le
théorème 3 dont nous rappelons l'énon é :
Théorème (3).
sur , on a :
( ) = ( 1)
f z
pour
q>
Nous reprenons les notations i-dessus. Pour toute (p,q)-forme f
+ +1
p q
Z
0 et
( ) = ( 1)
f z
+1
p
( ) ^ Kp;q (; z) + z
f 2
Z
2
( ) ^ Kp;0(; z) +
f Z
2
Z
2
( ) ^ Kp;q 1(; z) (2.1.6)
f ( ) ^ Pp;0(; z)
(2.1.7)
f pour q = 0. Les termes Kp;q signient de bidegré (p; q ) en
. Il en est de même pour P .
z
et
(n
p; n
q
1) en
34
Chapitre 2.
Formule de représentation intégrale en métrique de Bergman
Preuve du théorème 3. Nous allons démontrer e théorème de manière las-
sique, i.e. en testant ontre une forme test , puis utiliser Stokes pour montrer que :
Z
z
2
f
^=
Z
z
2
^
Z
Z
f ^ K +
2
z
^ 2
Z
f
2
^K
:
Pour ela, il faut supposer en un premier temps que f 2 C 1 ( ) puis appliquer
un s héma lassique d'approximation. Soit une (n p; n q )-forme à support
ompa t dans . Pour un xé, on note = fz 2 ; r(z ) < g. Nous hoisissons
susament petit pour que le support de soit relativement ompa t dans . On
pose alors :
G
=
n f(z; )=j
z
j 6 "g:
" est
G
hoisi assez petit par rapport au support de , de sorte que :
z j = "g) \ (supp ).
Nous appliquons alors le théorème de Stokes à la forme diérentielle f ( ) ^ K (; z ) ^
(z ) sur l'ouvert G. D'où, en notant H (; z ) = f ( ) ^ K (; z ) ^ (z ) :
\ (supp ) = ( [ fj
Z
|
(z; )2 {z
(
H ; z
)
}
I
Z
|
jz j="
(z; )2 (
H ; z
{z
) =
Z
(z; )2G
}
II
=
Z
|
(z; )2G
+ ( 1)
dz; (H (; z ))
(dz; f ( )) ^ K (; z) ^ (z)
+
{z
Z
p q
|
+ ( 1)
}
III
(z; )2G
+ +1
( ) ^ (dz; K (; z)) ^ (z)
f Z
p q
|
{z
IV
(z; )2G
( ) ^ K (; z) ^ (dz (z)) :
f {z
V
R
Pour prouver le résultat, nous devons don montrer que : II tend vers f ^ , que
III , IV , V onvergent quand et " tendent vers 0 et que I tend vers 0 quand tend vers 0. Commençons par déterminer P . La ondition (0.4.1) sert uniquement à
faire onverger les intégrales. Nous pouvons don déduire dire tement des résultats
de Berndtsson et Andersson le
Lemme 30.
dK
=P
où P
=
n;n
B(;z)
B(; )
N
n
dQ
n
}
.
Preuve du lemme 30. Voir [2℄, se tion 2, expression (18) ave F (w) = w N où
B(;z)
w 2 C puisque Q vérie : hQ(; z ); z i + 1 = B(; ) .
}
35
2.1 Formule de type Koppelman-Berndtsson-Andersson
Le vrai travail onsiste don à obtenir dans es intégrales des singularités au
dénominateur qui soient intégrables. Nous allons le montrer à l'aide des estimations
de la métrique de Bergman dans les onvexes de type ni.
Lemme 31.
Pour tout k 2 f0; :::; n
K (k) (; z ) =
B(; z) N
B(; )
k
s
1g ; z 2 L ^ dQ k ^
hs(; z); ds
z
n
i
,
1 k!
n k
2 :
z 1 2n :
= O j
j
(2.1.8)
Preuve du lemme 31. Les hypothèses 0.4.1 permettaient d'obtenir e résultat.
Même si la se tion s ne les vérie plus, le ontrle de la métrique de Bergman par
les v -rayons d'une part, et le ontrle du poids lorsqu'on s'appro he du bord d'autre
part vont permettre la majoration des termes du noyau. Nous savons d'après (0.2.3)
1
1
que (z;v;d
(z)) . d(z) . En le ombinant ave (0.3.4), nous obtenons
jgij ( )j . d(1 )
2
1
et jd (gij ( ))j .
d( )
3
:
Ainsi, les termes de s font apparaître au dénominateur des termes de l'ordre de la
distan e au bord de . Cela empê he a priori l'intégrale de onverger. La présen e
du poids est importante ar il peut ompenser e type de terme quand ! . En
eet, z est dans un ompa t L, et on a :
jB(; z)j . d( ) 6 Cd( ):
B(; )
"(; z )
où C ne dépend que de L et provient de la minoration de "(; z ) puisque z est dans
L xé.
Ainsi, on peut majorer en norme :
s par (jd( ))z j2 ,
ds par (jd( ))z j3 ou par (d(1))2 suivant le terme sur lequel porte la dérivation,
dQ par (d(1))2 . (Deux dérivations du noyau de Bergman interviennent dans
dQ).
On hoisit alors N assez grand (N > 6n sut) pour que le poids absorbe les fa teurs
en (d(1))3 . Il faut alors tenir ompte du dénominateur hs(; z ); z in k où k 2
f0; :::; n 1g. D'après les résultats (2.1.3) et (2.1.5), nous savons qu'il est minoré à
une onstante près par j z j2n 2k et nous obtenons le résultat.
Nous pouvons don faire onverger III et V en " et onsidérer qu'il s'agit d'intégrales sur . Nous faisons alors onverger en et on obtient ainsi des intégrales
sur . Montrons maintenant :
Lemme 32.
lim
!0
Z
(z; )2 ( ) ^ K (; z) ^ (z) = 0
f 36
Chapitre 2.
Formule de représentation intégrale en métrique de Bergman
Preuve du lemme 32. Comme nous venons de le voir, le noyau vérie
jK (; z)j < j dz(j2)n 1 . On peut même mettre une puissan e aussi grande que l'on
veut en d( ) en augmentant la valeur de N. Alors, puisque z 2 L ompa t, il existe
un 0 tel que, pour < 0 , on ait
sup jK (; z)j 6 C:
2
2
z L
On en déduit que I tend vers 0.
Q(; z ) est holomorphe en z , don , d'après le lemme 30, (dK )p;q = 0 pour q > 0.
On obtient ainsi nalement que IV = 0 pour q > 0. Par ontre, on doit garder e
terme pour q = 0.
Pour l'étude de V , nous appliquons le théorème de Stokes par rapport à la variable
z pour obtenir :
Z
Z
Z
d
^ f ^ K = ( 1)p+q+1
^ dz
f
^ K:
Nous pouvons alors faire tendre vers 0 et obtenir des intégrales sur .
Remarque 7. On sait d'après la dénition du noyau 2.1.2 que f ^ K (; z ) ^ est
de degré total n en d et dz . Pour des raisons de bidegré, il est don possible de
rempla er partout d par .
En parti ulier, ette remarque implique que le terme V n'interviendra pas dans
le se ond membre si q = 0.
Il reste enn à onsidérer la limite de II . On a :
Lemme 33.
Z
lim!0 lim"!0
j zj="
(z; )2 (
H ; z
) = lim!0
Z
^f =
Z
^f
Preuve du lemme 33. Pour " assez petit, la ondition j z j = " implique
qu'alors les hypothèses de [2℄ sont vériées dans e as. En eet, appartient à un
voisinage de L, soit VL que l'on peut supposer relativement ompa t dans , don
(0.4.1) est vérié pour les domaines , 0 < << 1. La limite est ainsi la même
que dans [2℄, e qui a hève la démonstration du lemme.
Il ne reste plus qu'à olle ter tous les résultats i-dessus en séparant les as q = 0
et q > 0 pour obtenir le théorème.
2.2 Changement de
37
oordonnées
En toute rigueur, nous savons estimer le omportement de e noyau
uniquement lorsqu'on se trouve dans un voisinage U de assez petit puisque les
résultats de M Neal ne sont valables que dans e voisinage. Cela ne pose pas de
problème ar l'obstru tion pour obtenir les estimations Höldériennes se situent au
bord du domaine : Pour les formes à support ompa t, on peut trouver une solution
de l'équation (0.0.1) à l'aide d'un noyau de Bo hner-Martinelli puisqu'il n'y a pas
de terme au bord et on trouve une solution dans 1 . Une autre manière de régler e
problème est de onsidérer qu'en dehors du voisinage U , la pseudométrique devient
eu lidienne, et les estimations sont de nouveau vériées, ave des onstantes qui
font intervenir le diamètre de et le maximum de la fon tion de Bergman sur un
ompa t de .
Remarque 8.
2.2
Changement de
oordonnées
Nous allons vérier que l'expression
s
Pn
=
j;k =1
gjk ( )(k
par hangement unitaire de base. En eet, un moyen
est d'utiliser des
zk )dj
est invariante
lassique d'estimer une fon tion
ritères de type Hardy-Littlewood en dérivant. I i, pour utiliser
pleinement les résultats géométriques de M Neal dans les
onvexes de type ni,
2 d(z)-bases de M Neal,
`
et d'exprimer les dérivées et les formes diérentielles par rapport à une de es 2 d(z )nous avons besoin de nous pla er su
`
essivement dans des
bases extrémales xée. Nous allons nous assurer à la main que l'expression de
s
est bien intrinsèque.
Nous notons
~i
et
z~i
U
le hangement de oordonnées,
s
Le
i
et
zi
sont les an iennes
oordonnées,
les nouvelles. Ainsi :
hangement de
Pn
=
n
X
2
j k
j;k =1
B(; ))k
ln(
oordonnées nous donne
~
d k =
h=1 uhk dh et
=
k
Pn
k
p=1 ukp ~p .
=
Pn
j =1
zk dj
(2.2.1)
ujk ~j ,
e qui entraine :
Puisque le déterminant de la matri e ja obienne asso iée au hangement de oordonnées unitaire est égal à 1, nous avons : B(; ) = B(~; ~).
Remarque 9.
Nous obtenons don
s
=
X
j;k
=
X
j;k
=
X
h;`
X
:
ujpukq
p;q
X
~p ~q
~h ~`
X
B(~; ~)) h
ln(
(ujpuhj )(ukq u`k )
p;q;h;`
2
2
`
2
~p ~q
z~`
i
uhj d~h
h
B(~; ~)) h~` z~` i d~h
ln(
B(~; ~)) h~` z~`i d~h:
ln(
u`k ~`
X
!
!
38
Chapitre 2.
Formule de représentation intégrale en métrique de Bergman
Nous avons bien une expression invariante par
hangement de
pourrions montrer de même que Q est invariant.
oordonnées, et nous
Chapitre 3
Appli ation 1 : Estimée anisotrope
optimale
Nous montrons dans e hapitre omment utiliser le noyau du hapitre pré édent,
en parti ulier nous verrons à quel point il se omporte bien lors des dérivations et
don permet une estimation aisée des termes orrespondants.
3.1
1
Une dénition équivalente de m
Puisque nous avons muni d'une pseudométrique (; z ), il est logique de onsidérer les espa es de Lips hitz asso iés. Nous rappelons la dénition donnée par
M Neal et Stein dans [25℄. (La notation (z; ; )` est rappelée en (0.3.2)).
Dénition 34. Une fon tion u appartient à , 0 < < 1, si, pour tout k 2 N ,
il existe des fon tions bk et gk telles que
(i) u = bk + gk ,
(ii) jjbk jjL1 . 2 k ,
(iii) Si jr(z )j < 2 k , pour = (1 ; :::; N ) où i 2 S n pour i = f1; :::; N g, et pour l
tel que jlj > m
(iv) Si jr(z )j > 2 k ,
jDl gk (z)j . (z; ; 2
k) l
2 k :
jDlgk (z)j . 2jljk 2 k :
On appelle espa e de Lips hitz anisotrope.
Cette dénition est équivalente pour < m1 au ritère naturel ju( ) u(z )j
( f [25℄ ).
Remarque 10. On ne peut pas prendre =
. ((; z))
1 dans ette se onde dénition, sinon
m
on imposerait une ondition trop forte sur toute dire tion de droite de l'espa e tangent Tz C n dont l'ordre de onta t ave r(z) est maximum (i.e. là où le type est
réalisé).
39
40
Chapitre 3.
Appli ation 1 : Estimée anisotrope optimale
Nous avons ependant besoin, pour = m1 , d'une dénition plus dire te sous
la forme de diéren es d'ordre 2. En eet, le terme u0 de la solution de l'équation ne peut pas être dérivé, on obtiendrait sinon une intégrale divergente. Il est
don né essaire de onnaître une expression équivalente pour pouvoir faire le al ul
dire tement. Par analogie ave les ritères des espa es de Lips hitz usuels, où les
dénitions de (0 < < 1) et 1 font apparaître un passage de la diéren e
d'ordre 1 à la diéren e d'ordre 2, nous posons :
Dénition 35. u 2
1
m
si pour tout
x; h tels que x; x + h; x h 2 ,
ju(x + h) + u(x h)
2u(x)j . (x; x + h) m :
1
Remarque 11. Puisque les polydisques sont des domaines symétriques par rapport
au entre, ela entraîne M(x; x + h) = M(x; x h). Ainsi, (x; x + h) (x h; x)
( f (0.2.5)), e qui signie que la dénition posée est bien ohérente.
Cette dénition permet d'éviter le problème indiqué dans la remarque 10, mais
n'impose pas de nouvelles onditions pour les dire tions de droite de Tz dont l'ordre
de onta t ave r(z) n'est pas maximum.
Il est d'ailleurs bien onnu dans le as eu lidien que, pour < 1, les deux
résultats suivants sont équivalents (voir [29℄) :
ju(x + h) + u(x h) 2u(x)j . jhj
ju(x + h) u(x)j . jhj
Vérions maintenant que ette nouvelle dénition est bien équivalente à elle de
M Neal et Stein :
Proposition 36.
1
m
=
1
m
:
Preuve de la proposition 36. ) : Soit k tel que 2 k (x; x + h). On a alors :
ju(x + h) + u(x h) 2u(x)j 6 jbk (x + h) + bk (x h) 2bk (x)j
+ jgk (x + h) + gk (x h) 2gk (x)j:
Supposons que (x; x + h) = "(x; x + h). Alors, jr(x)j . 2 k ; jr(x + h)j . 2 k et
jr(x h)j . 2 k . On peut supposer, sans perte de généralité que es inégalités sont
stri tes (il s'agit d'un hangement de variable k 7 ! k + k ). Posant = jjhhjj , nous
0
obtenons à l'aide du i) de la dénition de
jbk (x + h) + bk (x h)
1
m
:
2bk (x)j 6 3:2
k
m
:
De plus, à l'aide des formules de Taylor :
jgk (x + h) + gk (x h)
2gk (x)j . jD2 gk ( + ):h(2) j + jD2 gk ( ):h(2) j :
1
3.1 Une dénition équivalente de
où 41
m
2 [x h; x℄. Le ii) de la dénition permet d'é rire :
ju(x+h)+u(x
h) 2u(x)j 6 2
k
m
+2
jhj2: max((
k
m:
+ ; ; 2 k ) 2 ; (
; ; 2 k ) 2 ) :
Si nous montrons les deux estimations i-dessous :
Armation 1. (
; ; 2 k ) (x; ; 2 k ) et jhj 6 (x; ; 2 k ).
nous obtenons le résultat souhaité :
ju(x + h) + u(x
h)
2u(x)j . 2
k
m:
Preuve de l'armation 1. Comme (x; x + h) . 2 k , on a M(x; x h) . 2 k
et don x h 2 P (x; 2 k ). Soit : jhj 6 (x; ; 2 k ), e qui est la se onde armation.
Par ailleurs, 2 [x h; x℄, don M(x; ) . 2 k . Ainsi, d'après la proposition 13,
( ; ; 2 k ) (x; ; 2 k ).
Enn, pour on lure la démonstration de l'in lusion , nous devons onsidérer
le as où (x; x + h) = jhj. Pour ela, nous suivons exa tement la même démar he.
L'estimation de jbk (x + h)+ bk (x h) 2bk (x)j est la même. Pour jgk (x + h)+ gk (x
h) 2gk (x)j, si jr(x)j > 2 k ( as iv )), le résultat est dire t. Si jr(x)j < 2 k , nous
utilisons 14 et on se ramène ainsi au as pré édent.
) Une démonstration possible pour donner des propriétés dis rètes des espa es
de Lips hitz lassiques 1 est d'utiliser une approximation de l'unité entrée en 0.
Nous gardons i i le même état d'esprit, en plus te hnique : le ara tère lo al est
donné par une partition de l'unité sur les polydisques et la symétrie provient d'autres
fon tions auxiliaires. Nous jouons alors sur es deux paramètres pour obtenir le bon
gk andidat.
Soit k 2 N , onsidérons les re ouvrements su essifs de pour j 6 k :
pour un voisinage du bord : Soit Vj = fz= 2:2 j < r (z ) < 0g. On hoisit
j
y1 ; :::; ym 2 tels que Vj [m
i=1 P (yi ; 2 ). Les yi dépendent bien sûr de j ,
mais nous ne le noterons pas de manière expli ite pour éviter d'alourdir les
notations. On peut supposer qu'il existe tel que P (yi1 ; 2 j ) \ P (yi2 ; 2 j ) =
;. De plus, pour tout j , il n'y a qu'un nombre ni (indépendant de j ) de
polydisques P (yi ; 2 j ) qui ontiennent un x 2 donné.
Le reste de est re ouvert par des boules eu lidiennes de rayon 2 j qui n'interse tent pas 12 Vj .
Pour re ouvrir , nous hoisissons omme ouverts les interse tions de es polydisques
pour j = 1; :::; k . Nous notons Uk es ouverts. Comme nous nous plaçons sur un Uk
xé, nous supposons que Uk P (yi ; 2 k ) (Rigoureusement, il y a plusieurs Uk
qui sont in lus dans le même P (yi ; 2 k )). Nous allons ommen er par donner une
partition de l'unité asso iée aux polydisques ave de bonnes propriétés :
42
Chapitre 3.
Lemme 37. Il existe
~
i;k
Appli ation 1 : Estimée anisotrope optimale
une partition de l'unité asso iée aux
P (y ; 2
i
k
) de M Neal
telle que :
jD ~ (x)j . (x; v; 2 )
k
v
ave
des
i;k
onstantes indépendantes de
1
et
jD2 ~ (x)j . (x; v; 2 )
k
v
i;k
2
k.
Preuve du lemme 37. La on lusion signie en fait que les fon tions de la
partition doivent avoir un taux d'a roissement de l'ordre de la taille de l'ouvert (à
des onstantes indépendantes de k près). Nous l'interprétons intuitivement omme :
le re ouvrement est onstitué d'ouverts qui ne se re ouvrent pas trop (pas de
passage de 0 à 1 très rapide ar on part de 0 près du entre).
le re ouvrement est onstitué d'ouverts qui ne se re ouvrent pas trop peu
(passage de 0 à 1 très rapide ar on arrive à 1 très près du bord).
Nous savons qu'il existe tel que P (yi1 ; 2 j ) \ P (yi2 ; 2 j ) = ;. Cela permet d'éviter
la première obstru tion.
Pour la se onde obstru tion, il sut d'ajouter des ouverts aux interse tions trop
petites. Ainsi, en rajoutant un ouvert, on évite une roissan e trop rapide. De plus,
la proposition 13 signie que le re ouvrement dans une dire tion est de l'ordre du
v -rayon. Comme on re ouvre ainsi par des ouverts similaires, ela signie que le
nombre d'ouverts que l'on rajoute est de l'ordre du nombre d'ouverts déjà présents
d'une part et que le omportement des dérivées des fon tions dénies dessus est le
même d'autre part. Ainsi, la roissan e de la dérivée est omparable au rayon divisé
par le nombre d'ouverts qui se hevau hent et e nombre est borné.
Nous pouvons bien sûr ee tuer une preuve omplètement similaire pour C n . En
fait, sur l'intérieur de , on re ouvre par des boules eu lidiennes. Il est lair qu'on
peut re ouvrir en vériant le même genre de propriété. (Par exemple dans R 2 , des
boules de rayon 1 entrées sur les points du réseau (Z Z)). Enn, nous sommes
en fait intéressés par une partition de l'unité asso iée à des ouronnes anisotropes.
Nous obtenons ainsi :
Lemme 38. Il existe
Si
P (y ; 2
i
k
jD
v
ave
des
une partition de l'unité asso iée aux
) est de type M Neal :
i;k
(x)j . (x; v; 2 )
1
k
i;k
onstantes indépendantes de
et
jD2
v
i;k
(x)j . 2
k
jD2
telle que :
(x)j . (x; v; 2 )
k,
et
i;k
k
i;k
Sur la partie eu lidienne du re ouvrement :
jD
U
(x)j . 22 :
k
i;k
2
1
3.1 Une dénition équivalente de
Preuve du lemme 38. interse tions su
43
m
Nous
onstruisons notre partition de l'unité sur les
essives par ré urren e : pour
(Uk ;
i;k
)
et
(P (yi; 2
deux partitions de l'unité asso iées aux re ouvrements d'ouverts
alors les fon tions
ouvrement
Uk
+1 .
i;k
~ j;k+1
k
1
); ~ i;k+1)
orrespondants,
forment une partition de l'unité asso iée au re-
En eet, pour obtenir une partition de l'unité sur les inter-
se tions, il sut de multiplier les fon tions des partitions de l'unité asso iées à
(
ha un des re ouvrements. De plus, les hypothèses de dérivation sont assurées
~
i;k j;k
0 ~
i;k ) j;k+1 )+
0
+1 )) = (
~
i;k ( j;k
plus forte puisqu'on lui demandait de
la bonne
ondition.
Nous allons maintenant
ar
0
0
+1 )) . Or, ( i;k ) vérie une ondition
0
roître moins et ( ~ j;k +1 )) vérie exa tement
onstruire des fon tions auxiliaires symétriques :
Il existe i;k des fon tions asso iées aux Ui;k telles que :
i) le support de i;k est in lus dans P (yi ; 2 k ).
ii) i;k (yi x) = i;k (yi + x) (symétrie).
iii) i;k (yi ) = 1.
iv) i;k vérie les mêmes onditions de dérivations que i;k .
Lemme 39.
Preuve du lemme 39. Il s'agit en fait d'une propriété réelle. Nous armons
simplement que l'on peut trouver des fon tions symétriques à support dans un polydisques, dont les dérivées dire tionnelles sont bornées par le rayon. Il est fa ile
de voir que lisser des nes symétriques donne le résultat souhaité. Nous allons
juste expli iter dans
R2 .
respe tifs sont notés
r1
dans
[y1
r1 ; y1 ℄, x2
et
dans
z
=
entre du polydisque est le point (y1 ; y2 ). Les rayons
Le
r2 ,
[y2
1
r1
x1
Il faut prendre les symétriques
r2 ℄,
et . Ainsi,
les
oordonnées sont
r2 ; y2 ℄
+1
:
y1
r1
nous lissons en faisant un produit de
F (x1 ; x2 ; Æ )
Pour
Æ
1
r x +1
2
= exp
0
andidat
assez petit, on obtient une fon tion ave
ile de se
x1
Nous posons, pour
:
[y1
r1 ℄, x2
[y2 ; y2 +
la fon tion :
jjxjj < Æ;
pour jjxjj > Æ:
pour
les propriétés désirées. Il est fa-
C n,
ave
les
P (yi ; 2 k )
polydisques.
Pour
dans
omme ne symétrique. Enn,
onvain re qu'on peut faire de même sur
Nous allons
x1
r2
dans
onvolution ave
Æ2
2
Æ 2 x2
1 x2
y2
2
orrespondants pour
ette fon tion est notre
(x1 ; x2 ).
réer notre approximation de l'unité anisotrope ave
omme
es fon tions.
ela, on pose :
i;k (t) =
Ri;k (t)
i;k . C'est-à-dire que l'on vient de se doter d'une fon tion symé-
trique, d'intégrale
1, et dont le support diminuera quand k augmentera. C'est
notre approximation de l'unité.
44
Chapitre 3.
Appli ation 1 : Estimée anisotrope optimale
Enn, 'est maintenant que l'on va tenir ompte du hoix des interse tions des
~ i;~i;k (x) = i;k (x) ~i;k 1(x). C'est-à-dire
polydisques omme Ui;k : on pose ~ sur une interse tion de polydisques. On notera ~ i;k (x) dans
qu'on fait vivre la suite.
~ i;k . Nous allons alors fabriquer une fon tion
Nous pouvons ainsi poser : ui;k = u uk globale à l'aide de la partition de l'unité. Les propriétés que doit vérier uk sont
données par le lemme suivant :
La dénition de est équivalente à : u =
jjuk jj . 2 k ,
k
jjDl uk jj . (x;2;2 k )l pour x 2 Pi;k Vk ,
jjD l uk jj . 2l k sinon.
Lemme 40.
Preuve du lemme 40. Il sut de poser : gk
=
Pk
1 u où u vérie :
k
k=0 k
P
j =0 uj et fk
=
P
1
j =k+1 uj .
Nous allons maintenant montrer que les uk possèdent les bonnes propriétés. Sur
un Ui;k , on a :
Z
jjui;kjj 6 21 (u(x + t) + u(x t))(~ i;k (t))
Z
1
6 2 ( 2u(x) + u(x + t) + u(x t))(~ i;k (t))
. (2 k ) m1 :
~ i;k , puis R ~ i;k = 0. Enn, omme t et x
En eet, nous avons utilisé la symétrie de t
k
k
sont dans P (yi ; 2 k ), x+
2 est dans P (yi ; 2 ), d'où M(x; x t) M(x; x +k t) . 2 .
Si P est de type M Neal, la distan e au bord de
est inférieure à 2 , et don
"(x; x t) d(x) + M(x; x t) . 2 k . Si P n'est pas de type M Neal, on majore
naturellement par la distan e eu lidienne. De plus,
Z
1
2~
v i;k jj 6 2 (u(t))(Dv i;k (x t))
Z
1
6 2 (u(x + t) + u(x t))(Dv2~ i;k (t))
Z
1
6 2 ( 2u(x) + u(x + t) + u(x t))(Dv2~ i;k (t))
. (2 k ) m1 : (x ; v;1 2 k)2 :
i
En eet, les hypothèses de dérivations sur i;k et ~i;k 1 impliquent les mêmes pro~ i;k . (En faisant intervenir des onstantes, on se ramène aux estimations
priétés pour de i;k ).
jjD2u
Ces estimations sont bien sûr similaires si on onsidère deux ve teurs v et w distin ts. De plus, ave des inégalités de type inégalité de Landau, (on peut voir par
45
3.2 Estimations
exemple [19℄) nous avons aussi la majoration suivante : jjDv ui;k jj . (2 k )
Cela nous permet alors de bien dénir uk ave la partition de l'unité :
uk =
X
U
i;k
1
m
1
(xi ;v;2
ui;k ;
k
)
(3.1.1)
i;k
Nous avons onstruits i;k et ui;k pour qu'ils vérient les bonnes onditions de
dérivations,Pdon les uk les vérient
aussi. Enn, sur une interse tion de polydisques,
R
k
on a : u
u(t)i;k (x t)dt . 2 , don la onvergen e est bien
j =0 uj = u(x)
uniforme. Nous1 avons ainsi vérié toutes les onditions du lemme et don de la
dénition de .
k
m
m
3.2
Estimations
Suivant une te hnique habituelle, il sut d'estimer seulement trois termes. Nous
estimons ainsi u1 et un 1 de manière similaire en dérivant. Nous utilisons la propriété
suivante :
Si jDv Dw u(z )j .
d(z )
, alors u 2
(z; v; d(z )) (z; w; d(z ))
1
m
1
m
:
C'est-à-dire qu'il s'agit d'une propriété de type Hardy-Littlewood dire tionnnel.
Par ontre, u0 est estimé dire tement à l'aide de la dénition 35, puisqu'on ne peut
pas dériver. Cela explique le travail fourni pour trouver une dénition dire te.
3.2.1
Rappel des estimations des termes élémentaires
2` 1d(z )-base extrémale en z où est une onstante telle que :
(`)
Soit vj une
M(; z) > 2`
Pour dans
js j j .
1
d(z ) =) 2
= P (z; 2` 1 d(z )) :
(3.2.1)
C `, les termes élémentaires vont vérier les majorations suivantes :
1
(`)
(;vj ;d( ))
jdk sj j .
(`)
.
1
(`)
(;vj ;d( )) (;vk ;d( ))
.
j donnée en (1.1.2) ne hange pas, ni elle de ses dérivées.
La majoration de jQ
Enn, la diéren e ave le noyau pré édent est le dénominateur. Nous expliquons
brièvement
omment nous allons le traiter : il s'agit de minorer : hs; zi =
P
zj )(k zk ). Pour ela on utilise le théorème de J. M Neal (0.3.5).
j;k gjk ( )(j
Il faut onsidérer wi une d( ) base extrémale et, dans ette base :
X
j;k
gjk ( )(j
zj )(k
zk ) n
X
i=1
ji
zi j
(; wi; d( ))
!2
(; z; d( ))
2
46
Chapitre 3.
Appli ation 1 : Estimée anisotrope optimale
d'après la proposition (12). Nous pouvons alors hanger le rayon d( ) par du 2` 1 d(z ),
puisque ela onduit à une minoration. Nous utilisons de nouveau (12) et nous
obtenons :
X
ji
n
i=1
(; vi`; 2`
zi
!
j
1
2
d(z ))
.
X
gjk ( )(j
zj )(k
zk ) :
(3.2.2)
j;k
Pour ` > 1 et 2 C ` , nous minorons à l'aide de (3.2.1) par 1 et nous obtenons le
résultat souhaité.
Pour ` = 0, il faut étudier séparément les up , (p = 0; 1; n 1) :
pour p = 1 ou p = n 1, on ee tue le hangement de variable suivant dans
l'intégrale : ti = jiizi j .
pour p = 0, puisque nous nous intéressons i i aux (0; 1) formes, nous é rivons
au numérateur s sous la forme :
X
n
gj;k ( )(k
zk )dj
=
X
n
gj;k ( )(k
zk )(j
zj )
j;k
j;k
d j
j
zj
(3.2.3)
:
zi
Nous pouvons majorer le fa teur de dj de s par hjs;
.
j zj j
3.2.2
Estimations de
u1
et
un
1
Pour pouvoir démontrer que les termes u1 et un 1 de notre solution u de l'équa = f appartiennent bien à l'espa e de Lips hitz anisotrope m1 , nous pourtion u
rions utiliser la dénition que nous avons introduite. Nous nous baserons plutt sur
un lemme de type Hardy-Littlewood :
Lemme 41.
Si u est une fon tion bornée, de lasse C 1 sur
telle que
et
jD u(z)j . d(z)
8v; w 2 C n ; jjvjj = jjwjj = 1; jDv Dw u(z)j . z;v;d dz z z;w;d z
2
1
2+ m
1
( )m
(
alors u appartient à
1
m
( )) (
( ))
;
( ).
Preuve du lemme 41. Il s'agit i i d'un résultat similaire à la proposition 25
du premier hapitre. La onstru tion que nous venons de réaliser dans la se tion
pré édente joue alors le rle du lemme 26. Il nous sut don de dé omposer u de la
même manière pour obtenir le résultat.
47
3.2 Estimations
Remarque 12.
Nous ne montrerons pour u1 et un 1 que le ritère :
2 ui j .
jDv;w
1
d(z ) m
(z; v; d(z )) (z; w; d(z ))
:
En eet, d'après le résultat (0.2.3) sur les v -rayons, ela implique la première ondition dans les hypothèses du lemme 41.
Il s'agit d'utiliser les estimations de M Neal sur les dérivées de la fon tion de
Bergman ( f (0.3.1)) pour faire les majorations de
Dv2 u(k) (z ) = Dv2
Z
f ( ) ^ K (k) (; z ) :
Nous tenons à rappeler qu'il s'agit de dérivations en z , ainsi les termes gij ( ) ne
seront pas ae tés par es dérivations. Nous nous plaçons sur les ouronnes C ` , les
oordonnées sont elles d'une 2` d(z )-base extrémale de M Neal. Nous noterons par
ommodité i ("(; z )) pour (z; vi ; "(; z )).
étude de
u1 :
On va bien évidemment se servir des estimations des termes élémentaires pour obtenir le résultat. On ne séparera pas le as P (z; d(z )) des P (z; 2`d(z )). Il sura de
poser ` = 0 dans les al uls.
I`1
"
Z
:=
C`
Dz;v Dz;w
B(; z) N
B(; )
1
f ( )
s
^
ds
n 2
^ hs(; z); ^ Q~
z in 1
!#
:
On ee tue la dérivation en Dz;v . Suivant le terme où porte la dérivation, il apparaît
1
des fa teurs en (z;v;"1(;z)) ou en (;v;d
( )) . Il en est de même pour la dérivation en
Dz;w . De plus, au pire, la puissan e du terme hs(; z ); z in 1 au dénominateur
augmente nalement de 1 après ompensations ave les termes qui sont apparus au
numérateur.
Nous pouvons onsidérer que seuls des fa teurs en (z;vi ;"1 (;z)) (ou (z;v;"1(;z)) , ...)
vont intervenir dans les estimations. En eet, d'après (0.2.4), puisque nous pouvons
é rire :
1
1
"(; z )
.
:
(z; v; d( ))
(; v; "(; z ))
d( )
)
Le poids permet d'absorber les fa teurs "d(;z
( ) qui apparaissent ( f. (0.3.3)). De plus,
d'après la proposition (13) :
(; v; "(; z ))
(z; v; "(; z)) :
48
Chapitre 3.
Appli ation 1 : Estimée anisotrope optimale
Nous pouvons don onsidérer qu'interviennent partout des i ("(; z )). Par ailleurs,
puisque 2 C ` , 2` d(z ) . "(; z ). Nous pouvons ainsi ee tuer les minorations orrespondantes sur les vi -rayons (ou les v -rayons, ...) au dénominateur. Indiquons les
notations que nous prenons dans le al ul qui suit : puisque f est une (0; 1) forme,
il y a un indi e qui n'apparaît qu'une fois lors des estimations. Nous notons et indi e M . Enn, omme nous avons ee tué la simpli ation (3.2.3) pour s, un autre
terme n'apparaît pas non plus, que nous notons i : il s'agit de l'indi e orrespondant
à ji 1 zi j . Enn, dans le terme ds, la dérivation en peut porter sur gi;j . Dans e as,
nous notons 1d le v -rayon qui apparaît lors de ette dérivation. Nous obtenons une
majoration de jI`1 j par des termes de la forme :
Z
C
`
jf ( )j (z; v; "(; z))1(z; w; "(; z))
Q
Q
j
j
j
j
k z k
1
j k d ("(;z )) j zj
P ` z` 2n 2
` ` (;d( ))
1
j k ("(;z ))
j
j
d( )
Il faut pré iser maintenant omment sont formés es produits de vi -rayons. En fait,
omme nous avons une (n; n)-forme en pour l'intégration, haque di ne peut
apparaître qu'une fois. Don , les vi -rayons ne peuvent intervenir que deux fois dans
les estimations : une fois pour di et une fois pour di. Nous pouvons don é rire :
jI` j . jjf jj1:
1
XZ
i;M
C`
1
1
`
(z; v; 2 d(z )) (z; w; 2` d(z ))
(z; 2` d(z)) j
i M
i
1
zi
j
1
Y
n
2n 2
z`
` ` (;d( ))
P
j`
j
j =1
j =M;i
6
1
j2
d( ) :
Enn, on se sert de l'inégalité d( ) . 2` d(z ) pour minorer en ore le dénominateur.
Nous utilisons à nouveau la proposition (13) et pouvons poser uk = kj(z;k 2`zdk(jz)) . Si
` > 1, les bornes de l'intégrales seront, à des onstantes près ( f (0.2.4)), 21 et 1, et
nous avons :
Z
1
du
M (z; 2` d(z ))
n
P
`
1 v (z; 2 (z ))w (z; 2 d(z ))
ui
2
` u`
1
Z
1
1
1
. jjf jj1 2` (z; d(z)) (z; d(z)) d(z) 1 Pdu n :
v
w
2 ui
` u`
jI` j . jjf jj1
1
1
2
`d
2
1
m
m
2
2
Or, ette dernière intégrale onverge évidemment et, de plus, en sommant sur `,
nous obtenons pour l'intégrale de f ( ) ^ K 1 (; z ) sur n P (z; d(z )) :
1
(
)
jI j . jjf jj1 (z; d(z)) (z; d(z)) :
v
w
1
d z
m
(3.2.4)
49
3.2 Estimations
Maintenant, si ` = 0, nous ee tuons les mêmes al uls pour nous ramener à :
jI01 j
1
2
du
1
M (z; d(z ))
2n 2
P
ui
0 v (z; d(z ))w (z; d(z ))
` u`
Z 1
2
1
1
du
jjf jj1 (z; d(z)) (z; d(z)) d(z) m
2n 2 :
P
v
w
0 ui
u
`
`
. jjf jj1
.
Z
La singularité est susamment faible pour assurer la onvergen e en zéro de ette
dernière intégrale. Nous avons don sur P (z; d(z )) le résultat suivant :
1
d(z ) m
jI01 j .
v (z; d(z ))w (z; d(z ))
(3.2.5)
:
Au nal, en ombinant les résultats (3.2.4) et (3.2.5) ave le lemme 41, nous
1
obtenons : u1 (z ) 2 m .
étude de
un
1:
Nous allons utiliser exa tement le même s héma que pré édemment. Nous avons
le même phénomène que dans le premier hapitre : tous les termes, ex epté u0 , se
traitent de la même façon. Nous travaillons en ore une fois sur des ouronnes
C ` = P (z; 2`d(z)) n steP (z; 2` 1d(z)):
I`n
1 =
Z
C`
2
Dz;v;w
"
B(; z)
B(; )
N
n+1
f ( )
^
~ )n 1
s ^ (Q
hs(; z); zi
!#
Contrairement au as pré édent, nous n'avons même pas besoin de séparer les as
` > 0 et ` = 0. En eet, la puissan e du dénominateur est susamment faible pour
qu'on n'ait pas besoin de faire de l'analyse ne. En ee tuant le même hangement
de variable, nous obtenons :
jI
n
`
1j
. jjf jj1
.
.
Z 1
0
jjf jj1 21`
jjf jj1 21`
1
du
M (z; 2` d(z ))
2
P
`
( 2 ( ))w (z; 2 d(z ))
ui
` u`
v z; ` d z
1
Z
1
1
du
1
d(z ) m
2
P
v (z; d(z ))w (z; d(z ))
0 ui
` u`
1
d(z ) m
:
(3.2.6)
v (z; d(z ))w (z; d(z ))
m
1
L'appartenan e de un 1 (z ) à
m
1
m
dé oule en ore du lemme 41.
50
Chapitre 3.
u0
3.2.3
sur
P (z; d(z )),
as
Appli ation 1 : Estimée anisotrope optimale
(z; z + h) = jhj :
Il s'agit de montrer que
ju0(z + h) + u0(z
h)
0
j . ((z; z + h))
2u (z )
1
m
:
dé omposer
l'étude de u0 en plusieurs as. De plus, nous allons dé ouper
ROn va devoir
R
R
en P (z;d(z)) + nP (z;d(z)) . En eet, il faut étudier dire tement sur P (z; d(z )) et
R
R
utiliser
le
ritère
de
dérivation
en
dehors.
On
é
rit
ainsi
= 2 ( ) +
2
R
(1 ( )) où est à support ompris entre P (z; d(z )) et 2P (z; d(z )) et vaut
2
1 sur P (z; d(z )).
R
0
0 pour R (1
Par abus de notation, nous é rivons u pour
(
)
et
u
~
2
2
( )) . L'étude dire te est né essaire ar on ne peut se permettre de dériver le
noyau : on obtiendrait une intégrale divergente. Comme nous travaillons à z et h
xés, il faudra bien entendu vérier que le domaine d'étude dire te ontient les trois
voisinages autour de z , z + h, z h.
Cas
jhj 6 d(z). Etude sur P (z; jhj) :
Nous posons
Z
Z
Z
( ( ))
P z;d z
=
( j j)
}
| {z
(I )
P z; h
jj
jj
+
.
))nP (z;jhj)
| ( ( {z
}
(II )
P z;d z
De plus, omme P (z; h ) ontient z + h et z h, nous pouvons supposer que
P (z + h; h )
steP (z; h ) (et idem pour z
h). Ainsi, nous allons faire l'étude
0
de u (z ) sur P (z; h ), puis, pour les études de u0 (z + h) et u0 (z h), après un
hangement de variable du type z
z
h, nous nous ramenons à l'intégrale de
0
u (z ) sur un domaine plus petit, don les estimations que nous allons obtenir pour
u0 (z ) sont valables pour les trois termes. Considérons alors des h
oordonnées de
jj jj
7! jj
M Neal :
ju0(z)j . jjf jj1:
Or, jk
par des
zk
Z
( j j)
P z; h
jB(; z)j N :
B(; )
Q
Q jk zk j
1
1
( ( )) j k d (;d( )) jj zj j
d( ) :
P
j` z` j 2n 2
` ` (;d( ))
j k ;d j 6 (z; ek ; jhj) < (z; ek ; d(z)). De plus, on peut rempla er les (; d( ))
(le poids absorbe les dd((z )) ), puis par (z; d(z )). (En eet, puisque
2 P (z; jhj) steP (z; d(z )), d( ) . d(z ).) Nous avons ainsi :
!
Z
Y
1
1
1
1
ju0(z)j . jjf jj1:
2n 2 d( ) :
2
P
j
i M (z; d(z )) ji zi j
j
` z` j
P (z;jhj)
j 6=M;i
(; d(z ))
( ( ))
` ` ;d z
51
3.2 Estimations
Nous allons alors ee tuer le hangement de variables suivant : k` = `j(`z;dz(`zj)) .
ju (z)j . jjf jj1:
Z
0
|
(z;jhj)
:
D (0; :(z;d(z )) )
M (z; d(z )):
1
1
:
ki (k1 +
{z
+ kn ) n
2
2
dk
}
I0
. jjf jj1:M (z; jhj)
. jhj m :
(3.2.7)
(3.2.8)
1
Pour obtenir (3.2.7), on se ramène d'abord à deux variables après intégration, i.e.
on a :
Z 1 (z;jhj) Z 2 (z;jhj)
1 (z;d(z))
2 (z;d(z))
1
I0 .
2 (z; d(z )):
d1 2 d2 :
3 1
0
(1 + 2 )
0
On ee tue alors une intégration par partie pour 1 et on obtient :
I0
.
2 (z;jhj)
2 (z;d(z)) 2 (z; d(z ))
Z
2
0
2 d2
D'où le résultat.
Cas
jhj 6 d(z). Etude sur les P (z; 2`jhj) :
Pour l'étude de (II ), on fait d'abord un dé oupage en ouronnes en introduisant
des 2` jhj bases de M Neal tant que l'on a 2`jhj 6 d(z ). Si on appliquait le même
1
pro édé que i-dessus, on obtiendrait du (2` jhj) m . Pour pouvoir faire onverger la
série, nous allons regrouper les termes par deux. Nous ee tuons l'étude sur ju0(z +
h) u0 (z )j: Le terme ju0 (z h) u0 (z )j se traitant évidemment de la même façon.
R
(0)
(0)
;z ) N
On simplie les notations en é rivant u0 (z ) = BB((;
:uK (; z ), où uK (; z ) est
)
n 1
le terme f ( ) ^ hss(^;z(d)s;) zin : Ainsi :
ju (z + h)
0
0
j
u (z )
Z
=
|
Z |
J1
prend des
`
jj
B(; z) N :ju (; z)j
K
B(; )
(0)
{z
}
J1
jB(; z)j N : u (; z + h)
K
B(; )
{z
(0)
uK (; z ) :
}
J2
B(;z+h) N
B(;z) N
B(; )
B(; )
oordonnées de M Neal, on utilise le fait que d( )
se fait en utilisant le fait que
2 h
(0)
+
L'étude de
B(; z + h) N
B(; )
hj
. " j;z
. On
. d(z) pour
(
)
52
Chapitre 3.
Appli ation 1 : Estimée anisotrope optimale
faire le même hangement de variable que pré édemment et des al uls analogues
donnent :
J1
. jjf jj1:jhj:
jj Z
Z
jj
1 (z;2` h )
1 (z;d(z ))
0
2 (z;2` h )
2 (z;d(z ))
2 (z; d(z ))
"(; z )
0
. jjf jj1:jhj: (2z;`j2hjjhj)
. jjf jj1:(2`) :jhj :
:
1
(1 + 2 )3
1 d1 2 d2
`
2
1
1+ m
1
m
D'où le résultat pour J1 .
Il faut maintenant ee tuer l'étude de J2 et onsidérer le terme : u(0)
K (; z + h)
(0)
uK (; z ) . En donner une majoration revient à examiner e qu'il se passe lorsque
l'on dérive. Le pire qui puisse intervenir est l'apparition d'un terme 1i P j1i zi j .
i
Comme d'habitude, on rempla e les d( ) par des d(z ). Nous avons ainsi la majoration
suivante :
J2
.
Z
Y 1
j j n steP (z;2` 1jhj)
6
P (z;2` h )
2
j =M
j
jhj
1
D (z; d(z )) M (z; d(z ))
1
2n
z`
` ` (;d(z ))
P
j`
j
d( )
i zi j
On ee tue alors le hangement de variable désormais usuel : ui = ij(z;d
. On peut
(z ))
passer de i (; d(z )) à i (z; d(z )) ar, omme pré édemment, 2 P (z; 2` jhj) 1
steP (z; d(z )) puisque 2` jhj 6 d(z ) et nous majorons (z;d
par du D (z;12` jhj) .
(z ))
D
Ainsi :
Z
J2
. jjf jj1 Z
jj
n (2` h )
n (d(z ))
jhj
jj
j j D (z; 2` h )
P
n (2` 1 h )
n (d(z ))
du
M (z; d(z )) P
`
On minore D (z; 2` jhj) par 2` jhj et ` u` par
données le vérie. Finalement, nous trouvons :
J2
1
2
u`
2n :
puisqu'au moins une des oor-
. jjf jj1 2j`hjhj j M (z; 2`jhj)
`
. jjf jj1 jhj(22`jjhhjj)
. jjf jj1(2`) jhj :
1
m
1
1+ m
1
m
D'où le résultat pour J2 .
Nous avons ainsi terminé l'étude du sous- as (z; z + h) = jhj, ave jhj 6 d(z )
sur la partie P (z; d(z )). Avant d'ee tuer l'étude de u0 à l'extérieur du polydisque
P (z; d(z )), nous devons examiner le as où (z; z + h) = jhj, mais ave d(z ) 6 jhj.
53
3.2 Estimations
Cas d(z) 6 jhj :
Nous ne faisons pas ette fois d'étude ave des ouronnes C ` , mais juste l'étude
dire te sur le polydisque P (z; d(z )).
Il y a ependant un problème : P (z; d(z )) ne ontient pas for ément z + h et
z
h. Comme nous devons estimer ju0 (z + h) + u0 (z
h)
2u0 (z )j, nous allons
estimer les 3 termes séparément. Des hangements de variable du
zh
R type z 7 !
(0)
permettent de se ramener à l'étude de seulement deux termes : P (z;d(z)) jK (; z )j
R
et P (z+h;d(z+h)) jK (0) (; z )j. Nous prétendons enn que :
Armation 2. Z
K
(0)
(; z )
P (z +h;d(z +h))
.
Z
K (0) (; z ) :
P (z;d(z ))
Cela paraît logique puisque, en intégrant sur un domaine qui ne ontient pas z ,
le terme hs(; z ); z i au dénominateur devient plus grand et permet de minorer
l'intégrale. Dans la preuve que nous en donnerons, nous verrons ependant que nous
utilisons aussi l'hypothèse
de onvexité. La preuve de ette armation sera donnée
R
après l'étude de P (z;d(z)) K (0) (; z ) ar nous nous en servons pour faire la omparaison.
R
Nous nous intéressons don à I = j P (z;d(z)) K (0) (; z )j. En prenant des d(z ) oordonnées de M Neal, on obtient :
Q
jk zk j
N Q
Z
1
1
jB
(; z )j
j k (;d( ))
j k d (;d( )) jj zj j
d( ) (3.2.9)
I . jjf jj1:
P
B(; ) :
j` z` j 2n 2
P (z;d(z ))
` ` (;d( ))
Or, jk
par des
j
jj
De plus, on peut rempla er les (; d( ))
), puis par (z; d(z )). (En eet, on a
(; d(z )) (le poids absorbe les
2 P (z; d(z)) =) d( ) . d(z)). On obtient ainsi :
I
zk = (z; ek ; h ) < (z; ek ; d(z )).
. jjf jj1:
d(z )
d( )
Y
1
Z
2
6
P (z;d(z ))
j =M;i
j
1
j
1
i M (z; d(z )) i
zi
j
1
2n 2
z`
` ` (;d(z ))
P
j`
j
d( ) :
Nous allons alors ee tuer le hangement de variables suivant : k` = `j(`z;dz(`zj)) .
Z
I
1
M (z; d(z )): :
. jjf jj1:
ki (k
D ;
. jjf jj1:M (z; d(z))
. M (z; jhj)
. jhj :
(0 1)
1
1
+
+ kn ) n
2
2
dk
(3.2.10)
1
m
C'est le résultat que nous désirions obtenir. Vérions maintenant que l'armation
2 est vériée :
54
Chapitre 3.
Appli ation 1 : Estimée anisotrope optimale
R
( ), nous suivons
le même s héma. On veut don obtenir une majoration en M (z + h; d(z + h)) omme
dans 3.2.10. Puisque d(z +h) . d(z )+jhj . jhj puisque l'on est dans le as d(z ) . jhj,
Preuve de l'armation 2. Pour étudier
P (z +h;d(z +h))
K (0) ; z
nous pourrions on lure de la même manière. Pour suivre la même démonstration,
il faut rempla er des i (; d( )) par des i (z + h; d(z + h)). Le problème, 'est qu'on
n'est plus sûr a priori que le poids puisse absorber les d(dz(+ )h) . Or, est onvexe, et
l'on veut que z; z h et z +h soient dans . Cela impose bien sûr que d(z +h) 6 2d(z ).
Sinon, z h sortirait du domaine. On peut don faire la même étude. Il reste le terme
1
2n 2
z`
` ` (;d(z ))
P
j`
j
Comme appartient dans e as au polydisque P (z + h; d(z + h)), on peut minorer e
terme en se entrant en z au lieu de z + h. Finalement, on a majoré le dénominateur
et traité de même les autres termes. Nous avons don globalement majoré :
Z
K
P (z +h;d(z +h))
(0)
(; z) .
Z
(
K (0) ; z
P (z;d(z ))
)
:
3.2.4
u0
sur
P (z; d(z )),
as
(z; z + h) = "(z; z + h)
:
Nous pro édons de manière totalement similaire : une étude sur P (z; d(z )) ave
la méthode dire te. C'est-à-dire que l'on ee tue exa tement les mêmes al uls que
pour le as d(z ) 6 jhj pré édent puisque l'on fait le même dé oupage dire tement.
3.2.5
Estimation de
u0
en dehors de P(z,d(z))
Nous prenons le ritère utilisé pour u1 : le lemme 41. Nous onsidérons le terme u~0 et
nous nous plaçons don sur des ouronnes de type : P (z; 2` d(z )) n steP (z; 2` 1 d(z )).
I` =
"
Z
0
2
C`
Dz;v;w
B(; z) N f ( ) ^ s ^ ds n
B(; )
hs(; z); zin
1
!#
Nous ee tuons don le même type de al ul : après dérivation en Dz;v et Dz;w , nous
pouvons, à l'aide du poids et de la proposition (13), hanger à la fois le entre et le
55
3.2 Estimations
rayon des
jA` j .
v -rayons
Z
0
.
pour obtenir une majoration par des termes de la forme :
1
j
f ( )j
(z; v; "(; z )) (z; w; "(; z ))
C`
Q
Q
j
j
j
j
k z k
1
j k d (;"(;z )) j zj
d
2n
P
` z`
` ` (;d( ))
1
j k (;"(;z ))
j
j
!
Z
Y 1
jjf jj1: ` (z; v; 2`d(z))1(z; w; 2`d(z))
2
C
j 6=M;i j
(z;12` d(z)) j 1 z j P j1` z`j 2n d( ) :
i M
i
i
` (;d( ))
`
Nous posons alors
I`
0
uk
= kj(z;k 2`zdk(jz)
qui varie ainsi entre
1
et
2
1 et nous obtenons pour
la majoration suivante :
.
Z
1
M (z; 2` d(z ))
`
1 v (z; 2 (z ))w (z; 2 d(z ))
2
1
jjf jj1 ` (z; d(z))1 (z; d(z)) d(z) m1 :
w
2m v
jI` j . jjf jj1
0
Nous sommons sur
1
`d
`
pour obtenir sur
n P (z; d(z))
jDz;v Dz;w u~ (z)j . (z; d(z))
v
Ce qui nous donne bien
u
~0(z )
2
u`
2n
1
w
(z; d(z ))
1
m
`
le résultat suivant :
d(z ) m
0
du
P
d'après le lemme 41.
:
(3.2.11)
( )
56
Chapitre 3.
Appli ation 1 : Estimée anisotrope optimale
Chapitre 4
Appli ation 2 : autre preuve d'un
résultat de Greiner et Stein
Nous allons donner dans e hapitre une autre appli ation de la formule de représentation que nous avons obtenue dans le se ond hapitre. Cette fois, nous nous
plaçons dans le adre des domaines stri tement pseudo onvexes et nous retrouvons
le résultat de Greiner et Stein [13℄. D'une ertaine manière, il s'agit de onforter l'intuition que la pseudométrique de M Neal et Stein reète bien, dans haque dire tion,
l'ordre de onta t orrespondant. Les te hniques seront don très similaires à elles
du hapitre pré édent : un lemme de type Hardy-Littlewood eu lidien tangentiel
pour les termes que l'on peut dériver (u1 (z ) et un 1 (z )) ; et l'estimation dire te (et
te hnique) du terme u0 (z ).
4.1
Petit rappel du
ontexte
Avant de retrouver les estimations en
d'espa e nous travaillons.
12 ; ,
1
nous allons dénir dans quel type
Dénition 42. On dit qu'une ourbe , k fois diérentiable appartient à l'espa e
C k si, pour tout t 2 [ 1; 1℄, j 0(t)j 6 1; :::; j (k)(t)j 6 1.
On onsidère un voisinage tubulaire du bord de de telle sorte que haque z
dans e voisinage n'ait qu'une proje tion sur le bord, et que ette proje tion soit
une rétra tion C 1 . Nous avons en haque point du bord de une dé omposition
C n = C P TPC où P est la normale sortante en P. Nous pouvons supposer que
l'appli ation z ! z est C 1 . Cette dé omposition s'étend au voisinage tubulaire et
il est don légitime de dénir :
Dénition 43. Une ourbe de C k appartient à C k si, pour tout t 2 [ 1; 1℄, 0 (t) 2
1
T C(t) .
De plus, pour une fon tion u au moins C 1 , nous notons DT u une dérivation
tangentielle omplexe, 'est-à-dire une dérivation de u le long de ve teurs de TPC .
57
58
Chapitre 4.
Appli ation 2 : autre preuve d'un résultat de Greiner et Stein
Enn, pour formaliser la notion intuitive d'appartenan e à un espa e de Lips hitz
dans la dire tion normale et dans dans toute dire tion tangente omplexe, on
pose :
Dénition 44. u appartient à ; si jjujj + jju Æ
: [ 1; 1℄ ! qui appartient à C1k .
jj < 1 pour toute
ourbe
Puisque nous faisons des études lo ales et près du bord, nous pouvons appliquer
le lemme de Narashiman et onsidérer que nous travaillons dans un domaine borné,
à bord lisse et onvexe de type ni 2. Ainsi, les résultats 1des hapitres pré édents
s'appliquent. Ainsi, nous savons déjà que u(z ) est dans 2 puisque e résultat est
1
plus faible qu'appartenir à m . Nous ne devons don vérier que les estimations
tangentielles omplexes. De plus, en ee tuant une double dérivation tangentielle,
il s'agit en fait d'une dérivation en Dz;v Dz;w où v et w sont des ve teurs tangents
omplexes. Puisqu'on se trouve i i dans le adre d'un domaine stri tement onvexe,
ela signie que
1
(z; v; 2` d(z )) (z; w; 2`d(z )) (2` d(z )) 2 :
4.2
Un autre lemme de type Hardy-Littlewood :
Pour
suivant :
et
deux réels tels que 1
> >
> 0, nous avons le résultat
Lemme 45. Soit u 2 C 1( ) \ L1 ( ) telle que, pour tout z
jDu(z)j . (d(z)) 1+ et jDT2 u(z)j . (d(z)) 1+ . Alors : u 2 ;
22 \ U , on ait :
+1 .
Nous devons don démontrer que u vérie les hypothèses de e lemme pour
= = 21 . En fait, dans notre noyau, nous pouvons dériver les termes u1 , un 1
d'une part et u0 à l'extérieur du polydisque P (z; d(z )) d'autre part. Or, en appliquant
les résultats du hapitre pré édent, nous avons dire tement le résultat pour dans
ha un de es trois as.
Remarque 13. Nous utilisons en ore un ritère de se ond ordre de dérivation ar
il s'agit du bon ritère pour obtenir des espa es de type Zygmund 1
(i.e. ju(z + h) + u(z h) 2u(z )j . jhj).
On adapte la démonstration du lemme 4.7 de S.G.
Krantz [18℄. Il est lair que la première ondition implique l'appartenan e à , le
problème est en fait l'obtention de la ondition tangentielle. Pour 2 +1 < 1, on peut
simplier la preuve en ne onsidérant que l'étude de ju Æ (h) u Æ (0)j. Cependant,
omme nous sommes intéressés par le résultat optimal, on va dire tement onsidérer
ju Æ (h) + u Æ ( h) 2u Æ (0)j. Nous notons zt = (t) et nous posons, pour h que
l'on peut hoisir positif, wt = zt h zt où zt est la normale unitaire sortante au
Preuve du lemme 45. 59
4.2 Un autre lemme de type Hardy-Littlewood :
point (zt ) 2 . Nous ne donnons pas de valeur à a priori. C'est pour obtenir le
meilleur résultat que l'on posera à la n = 2 +1 . On majore alors :
ju(zh) + u(z h) 2u(z )j 6 j|u(wh) + u(w{zh) 2u(w )}j
0
0
I
u(zh) u(wh) + |u(z h) u(w h) +2 |u(z0) u(w0 )
|
{z
}
{z
}
{z
}
II
III
IV
j j
+ j
j
j
Nous majorerons les termes I et II puisque III et IV se traitent exa tement de la
même manière que II . Nous avons :
II
6
Z h
0
Z h
jDu(zh + tz )jdt
h
6
Ct
. h :
1+
0
dt
Suivant S. G. Krantz, [18℄ et [19℄, nous pouvons onsidèrer que le hemin ~ (t) :
t ! wt est dans C11 . Plus pré isément, grâ e à la rétra tion, nous savons que le
ve teur normal au point ~(t) est t . En parti ulier C t est le même, don l'espa e
tangent omplexe aussi. Il s'agit ainsi de montrer que h ~t0 ; t i = 0. Pour ela, nous
al ulons j ~(t)
(t)j2 puis nous le dérivons :
j~(t)
(t)j
=) h(~(t) (t))0; (~(t) (t))i
=)
h(~(t) (t))0; ht i
=)
h~(t)0 ; ht i
2
= h ht; t i
=0
=0
=0
2
Nous avons bien ~t0 2 T~Ct . Ainsi, pour l'étude de I , grâ e à la formule de Taylor nous
pouvons é rire :
I
6
6
.
.
.
h2 sup
h<t<h
h2 jDT2 u(wt )j
h2 d(wt ) 1+
h2+( 1+ )
h2+( 1+ ) :
d2
u(w )
dt2 t
Il ne reste plus qu'à her her le tel que min( , 2 + ( 1 + )) soit aussi grand
que possible (h est petit, et omme on her he la meilleure majoration, il faut que
l'exposant soit aussi grand que possible). Ces deux fon tions de ont des sens de
variation opposés, on obtient don le maximum pour = 2+ ( 1+ ), 'est-à-dire
pour = 2 +1 .
j:
60
4.3
Chapitre 4.
Etude de
Appli ation 2 : autre preuve d'un résultat de Greiner et Stein
u1(z )
et
un 1 (z )
:
Nous allons l'é rire pour u1 puisque les al uls sont similaires pour un 1 . Nous
notons I`1 l'intégrale sur C ` après dérivation :
jI`1 j . jjf jj1 (z; v; 2`Md((zz;))2(dz;(zw;)) 2`d(z))
`
1 12 d(z) 12
. jjf jj1 2` d(z)
12
. 21` d(z) 12 :
Nous sommons sur ` et nous obtenons = 21 .
4.4
Etude de
u0(z )
(4.3.1)
:
Nous allons pro éder de la même manière que dans le hapitre pré édent en
onsidérant le ritère dire t sur le voisinage P (z; d(z )) de z . Puis, en dehors de e
voisinage, nous utiliserons de nouveau le ritère de dérivation. Pour le faire de manière rigoureuse, il faut onsidérer une fon tionR à supportR ompris entre P (z; d(z ))
et 2P (z; d(z )) et séparer en deux intégrales : ( ) + (1 ( )) . De manière générale, nous é rivons par abus de notation u0 dans haque as, le ontexte
étant lair.
Il s'agit de montrer que
j(u0 Æ )(h) + (u0 Æ )( h)) 2(u0 Æ )(0)j . jhj:
Nous posons z = (u0 Æ )(0) et nous notons (u0 Æ ) pour u0 .
4.4.1
Etude à l'intérieur de P (z; d(z )),
as jhj
2
6
d(z ) :
Pour faire l'étude sur e polydisque, on le dé ompose en ouronnes du type
P (z; 2` jhj2 ) n steP (z; 2` 1 jhj2 ). Il faut aussi faire l'étude sur le premier polydisque
P (z; jhj2 ). On ne peut pas utiliser ette dé omposition en ouronnes pour remplir
tout
ar nous avons besoin d'une omparaison entre d( ) et d(z ) au ours de la
démonstration.
Z
Z
Z Z
2
+
+
.
Pour jhj 6 d(z ), on pose
=
P (z;d(z ))nP (z;jhj2 )
n
P (z;d(z ))
P (z;jhj2 )
| {z } |
{z
} | {z }
(I )
(II )
(III )
L'étude de III ne on erne pas ette partie. Nous allons étudier I et II uniquement.
Cependant, omme P (z; jhj2 ) ne ontient a priori ni z + h, ni z h, il faudrait
onsidérer, omme au hapitre pré édent, trois termes a priori. C'est-à-dire ee tuer
4.4 Etude de
u0 (z )
61
:
de plus faire intervenir P (z h; jRhj2 ). La même omparaison
l'armation
R que dans
(0)
(0)
2 du hapitre pré édent donne P (z+h;jhj2) jK (; z )j . P (z;jhj2) jK (; z )j. Nous
n'avons don qu'à estimer e dernier terme.
Le polydisque
P (z; jhj2 )
:
Pour l'étude de (I ), nous nous plaçons dans les jhj2 oordonnées de M Neal,
nous reprenons les notations du hapitre pré édent ( f (3.2.2)) et nous obtenons :
ju0j . jjf jj1:
Z
P (z;jhj2)
jB(; z)j N :
B(; )
Q
Q
jk zk j
1
1
j k (;d( ))
j k d (;d( )) jj zj j
d( ) :
P j` z` j 2n 2
` ` (;d( ))
Or jk zk j 6 (z; ek ; jhj2 ) < (z; ek ; d(z )). De plus, on peut rempla er les j (; d( ))
par les j (; d(z )) (le poids absorbe les dd((z)) ), puis par j (z; d(z )). (en eet, puisque
2 P (z; jhj2 ) P (z; d(z )), d( ) est majoré par d(z ). Nous obtenons ainsi :
ju0j . jjf jj1:
Z
Y 1
P (z;jhj2)
j 6=M;i
2
j
!
1
i M (z; d(z )) ji
1
zi j
P
j`
1
z` j
` ` (;d(z ))
2n 2 d( ) :
Nous allons alors ee tuer, omme au hapitre pré édent dont nous reprenons les
notations, le hangement de variables suivant : k` = `j(`z;dz(`zj)) .
ju0j
. jjf jj1:
Z
1
z;jhj2 ) )
D(0; ::((z;d
(z ))
. jjf jj1:M (z; jhj2 )
. (jhj2) = jhj :
1
M (z; d(z )): :
dk
ki (k1 + + kn )2n 2
(4.4.1)
(4.4.2)
1
2
Nous obtenons don le résultat voulu sur P (z; jhj2 ). Nous pro édons de même
sur P (z + h; jhj2 ) et P (z h; jhj2). Ainsi, nous avons la bonne majoration sur
(P (z + h;
jhj2) [ P (z
h; jhj2 ) [ P (z; jhj2 )) :
Nous allons don nous intéresser maintenant au reste du polydisque :
Les
ouronnes
P (z; 2` jhj2 )
:
Pour le reste de l'étude de l'intégrale sur P (z; d(z )), 'est-à-dire le terme II , on
se sert dire tement de la diéren e se onde.
II
=
ju0 (h) + u0 (
.
jhj2 DT2
Z
h)
2[ h;+h℄
0
j
B(; ( )) N u(0) (;
K
B(; )
2u (0)
Z
2
( ))
:
62
Chapitre 4.
Appli ation 2 : autre preuve d'un résultat de Greiner et Stein
orrespond, omme dans le se ond as du paragraphe (3.2.3),
Où la notation u(0)
K
N
à f ^ K 0 privé du terme B(B;(;())) . Nous onsidérons une dérivation tangentielle
N
puisqu'on dérive le long de . Si on dérive le terme B(B;(;())) , 'est plutt bien,
puisqu'on n'augmente pas l'exposant au dénominateur. Nous allons juste é rire i i
e qui se passe quand on dérive u(0)
K (; ( )). Il apparaît deux termes en (; v; d( ))
(v tangent) au dénominateur et l'exposant du terme du dénominateur augmente de
2. C'est-à-dire que tous les al uls se passent exa tement omme dans le hapitre
pré édent. Plus pré isément, nous allons utiliser le ritère dire t sur des ouronnes
de type P (z; 2`jhj2 ) n CP (z; 2` 1 jhj2 ). En appellant I` l'intégrale orrespondante :
I`
. jhj
Z
2
C`
1
jB(; ( ))j N :jf ( )j
B(; )
(; v; d( )) (; w; d( ))
Q
Q
jk zk j
1
j k d (;d( )) jj zj j
d( )
P j` z` j 2n
` ` (;d( ))
1
j k (;d( ))
:
Ce type d'estimation est très pro he de elle du paragraphe (3.2.5). Nous exploitons
ette similitude en ee tuant le même type de simpli ation. Puisque d( ) 6 d(z ), et
à l'aide du poids, on peut hanger tous les ` (; d( )) en ` (z; d(z )). Nous ee tuons
i zi j
le maintenant lassique hangement de variable ui = ij(z;d
pour obtenir :
(z ))
I`
. jhj jjf jj1
2
Z
i (z;2` jhj2 )
i (z;d(z))
i (z;2` 1 jhj2 )
i (z;d(z))
du
M (z; d(z ))
2n+1 :
P
v (z; d(z ))w (z; d(z ))
u
`
`
(z ))
2
Nous majorons simplement le terme v (z;dM(z())z;d
w (z;d(z )) par (d(z )) . En eet, dans
des domaines stri tement onvexes ave v et w tangents omplexes, nous avons :
1
v (z; d(z )) w (z; d(z )) (d(z )) 2 et M (z; d(z )) . (d(z )) 2 :
1
1
Examinons maintenant omment majorer le reste de l'intégrale :
Z
i (z;2` jhj2 )
i (z;d(z))
i (z;2` 1 jhj2 )
i (z;d(z))
X
`
u`
2n
1
du
.
.
.
n (z;2` jhj2 )
n (z;d(z))
Z
n (z;2` 1 jhj2 )
n (z;d(z))
un 2 dun
n (z; d(z ))
n (z; 2` 1 jhj2 )
d(z )
2` jhj2
1
2
:
Pour pouvoir obtenir e résultat, nous avons hoisi omme dernier paramètre d'intégration une dire tion dans le tangent omplexe, e qui est possible puisque nous
4.4 Etude de
u0 (z ) :
63
onsidérons n > 2, don ave au moins une dire tion tangente omplexe. Nous appliquons alors es deux derniers résultats :
jhj2
d(z )
I .
1
(d(z)) 2 2 jhj2
. jhj 12 :
(2 )
`
1
2
`
`
(4.4.3)
Il ne reste plus qu'à sommer sur ` pour faire onverger et obtenir le résultat.
4.4.2
Etude à l'intérieur de P (z; d(z )),
as d(z )
6
jhj
2
:
Nous allons faire une étude sur P (z; d(z )). Nous appliquons les résultats du
hapitre 3. Dans le paragraphe 3.2.3, on obtient le résultat suivant (ave i i m=2) :
Z
P (z;d(z ))
K (0) (; z )
. (z; d(z)) . d(z)
M
1
2
:
Enn, puisqu'on est dans le as où d(z ) . jhj2 , on obtient :
Z
P (z;d(z ))
. jhj :
K (0) (; z )
C'est le résultat que l'on souhaitait démontrer.
4.4.3
Etude à l'extérieur de P (z; d(z )) :
Nous ee tuons exa tement le même travail qu'au hapitre pré édent. Plutt
que le reprendre, puisqu'on se sert du ritère de double dérivation, on applique les
résultats du hapitre pré édent (m=2) pour obtenir :
jD
2
1
u j . jjf jj1
2
0
z;v;w
`
`
1
2
1
1
d(z ) 2 :
(z; d(z )) (z; d(z ))
v
w
Enn, puisque v et w sont tangents omplexes, nous obtenons :
jD2 u0 (z )j . d(z )
T
1
2
:
(4.4.4)
C'est-à-dire qu'on a = 21 dans le ritère Hardy-Littlewood tangentiel 45. On a bien
1
au nal u0 (z ) 2 2 1 , e qui a hève la démonstration du théorème 5.
;
64
Chapitre 4.
Appli ation 2 : autre preuve d'un résultat de Greiner et Stein
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