Modèles de matrices aléatoires à N grand, groupe de
renormalisation, solutions exactes et universalité
Gabrielle Bonnet
To cite this version:
Gabrielle Bonnet. Modèles de matrices aléatoires à N grand, groupe de renormalisation, solutions
exactes et universalité. Physique mathématique [math-ph]. Université Paris Sud - Paris XI, 2000.
Français. �tel-00004217�
HAL Id: tel-00004217
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1
Universite de Paris Sud
U.F.R. Scienti que d'Orsay
These
presentee
pour obtenir
Le grade de docteur en sciences de
l'Universite Paris XI Orsay
par
BONNET Gabrielle
Sujet : Modeles de matrices aleatoires a N grand, groupe
de renormalisation, solutions exactes et universalite
Soutenue le 16 juin 2000 devant le jury
M. DAVID Francois, directeur
M. ELLWANGER Ulrich
M. KRZYWICKI Andre
M. STAUDACHER Matthias, rapporteur
M. WINDEY Paul, rapporteur
M. ZINN-JUSTIN Jean
2
Table des matieres
1 Introduction
2 Les modeles de matrices en physique
2.1 Physique nucleaire, systemes chaotiques . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Problemes physiques concernes . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Necessite d'un modele simpli e . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Modeles de matrices aleatoires . . . . . . . . . . . . .
2.2 Modeles sur surfaces aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Le modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Interpretation en terme de matrices aleatoires . . . . .
2.2.3 Grandeurs etudiees dans les modeles sur surface aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 QCD et matrices aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Theorie des cordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Gravitation quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 gravite pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 gravite + matiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Charge centrale conforme et modeles de matrices aleatoires .
2.6.1 Rappels sur les theories conformes . . . . . . . . . . .
2.6.2 Theorie discrete et theorie continue . . . . . . . . . . .
2.6.3 Charge centrale conforme associee a une theorie continue conforme donnee . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Methodes de resolution des modeles de matrices
3.1 Methode du col . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Theoreme du col . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Application au modele a une matrice .
3.1.3 Modele a 2 matrices . . . . . . . . . .
3.1.4 Modele a plusieurs matrices . . . . . .
3
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11
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23
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34
36
TABLE DES MATIERES
4
3.2 Methode des polyn^omes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Fonction de partition et fonctions de correlations . . .
3.2.2 Relation de recurrence entre les Pj et calcul des polyn^omes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Methode des equations de boucles . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Limite planaire et theoreme de factorisation . . . . . .
3.3.2 Exemple : resolution explicite du modele cubique . . .
3.3.3 Cas a plusieurs matrices . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Groupe de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Principe de la methode . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Obtention des points et des exposants critiques . . . .
4 Predire l'allure des ots . . .
4.1 La conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Veri cations pour le modele a une matrice . . . . . . . . . . .
4.2.1 Premieres approximations . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Equations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Approximation lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 resolution d'un modele m^elant gravite et termes de
branchements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Generalisation a des modeles plus complexes . . . . . . . . .
5 Modeles de Potts sur reseau aleatoire
5.1 Le modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Le modele de Potts sur reseau xe . . . . . . . . . . .
5.1.2 Le modele de Potts sur surface aleatoire. . . . . . . . .
5.2 Quelle technique utiliser ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Transformation d'un modele en boucle en un modele
en arbre [53, 61] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Principe de la methode de [54] . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Principe de la methode de [55] . . . . . . . . . . . . .
5.3 Les equations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Position du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Invariance par permutations circulaires des traces . . .
5.4 Exemple du modele de Potts-3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Resolvante de Potts-3 avec termes de branchement . .
5.4.2 Determination des lignes et exposants critiques . . . .
5.5 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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71
71
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81
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85
85
TABLE DES MATIERES
5
5.5.2 Equations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5.3 Solution non-perturbative . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 Modeles a plusieurs coupures et limite N ! 1
6.1 Le cas symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Rappels sur l'usage de la methode du col dans le cas
d'un support de valeurs propres non connexe . . . . .
6.1.2 Forme de la fonction a 2 points : calcul classique . . .
6.1.3 Determination de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Cas a plus de deux coupures . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Conclusion
8 Articles
95
96
96
98
100
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111
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6
TABLE DES MATIERES
Remerciements
De nombreuses personnes ont rendu cette these, preparee au Service de
Physique Theorique du CEA Saclay, possible : qu'elles trouvent ici la sincere
expression de ma reconnaissance.
Matthias Staudacher et Paul Windey ont accepte d'^etre mes rapporteurs. Ils m'ont donne de leur temps, et m'ont fait bene cier de leur lecture
attentive ainsi que de leurs precieux commentaires. Qu'ils soient donc ici remercies de leur gentillesse et de leur disponibilite. Ulrich Ellwanger, Andre
Krzywicki et Jean Zinn-Justin ont accepte de faire partie de mon jury. Ils
m'ont eux aussi fait part de leurs remarques avisees. Qu'ils soient donc tous
remercies pour leur contribution a cette these. Francois David a ete un directeur de these remarquable tout au long des trois annees que j'ai passees
avec lui. Sans ses conseils, ses connaissances, sa patience, et son humour,
cette these n'aurait pas ete ce qu'elle a ete. C'est donc a lui que vont mes
remerciements les plus chaleureux. Bertrand Eynard a ete au centre d'une
collaboration fructueuse, depuis son laboratoire de Colombie Britannique,
ainsi que lors de son retour en France. Son travail et sa rigueur ont ete des
atouts precieux pendant cette these. Je voudrais remercier encore Stephane
Nonnenmacher et Marc Bocquet, qui ont partage mon bureau, Marc avec
brio pendant la totalite de ces trois ans, pour leur compagnie et leur amitie.
Mes remerciements vont encore a tout le SPhT, ainsi qu'a tous ceux qui, de
pres ou de loin, pendant ou avant cette these, ont contribue a son existence.
En n, je tiens a remercier tout particulierement ma famille qui m'a donne
les moyens de reussir : mes parents et mes grands-parents, pour leur engagement et leur soutien : il est des remerciements qui ne pourront jamais ^etre
assez dits.
7
8
TABLE DES MATIERES
Chapitre 1
Introduction
Les modeles de matrices aleatoires, d'abord introduits en physique pour
decrire les statistiques de niveaux d'energie en physique nucleaire, ont par
la suite trouve des applications dans des domaines extr^emement varies, du
chaos quantique et de la physique mesoscopique, a la chromodynamique
quantique, la theorie des cordes et la gravite quantique via les modeles de
surfaces aleatoires.
Bien que certains modeles de matrices soient bien compris, il s'agit principalement des cas particuliers de matrices couplees en cha^ne, correspondant
a des theories de gravite quantique ou des theories des cordes de charge centrale conforme inferieure ou egale a un. Ainsi, tout un pan des modeles de
matrices aleatoires, les modeles de matrices de charge centrale c > 1, nous
echappe.
J'ai cherche, au cours de mon travail de these, a mieux comprendre et
a resoudre ces modeles. La methode de groupe de renormalisation nous a
permis, par l'etude de l'evolution des ots en fonction de la charge centrale
conforme, de mieux comprendre le lien entre celle-ci et le comportement
des modeles de matrices [1]. Par la methode des equations de boucles, nous
avons resolu [2, 3] des modeles de matrices couplees deux a deux : les modeles
de Potts-q sur reseau aleatoire. Cette resolution ouvre la voie a celle d'une
classe de modeles plus vaste que les simples modeles de matrices couplees
en cha^ne. En n, bien que dans notre etude nous nous soyons interesses
principalement a la limite planaire, ou la taille N des matrices tend vers
l'in ni, nous avons aussi etudie l'e et, sous-dominant dans la fonction de
partition du modele, de la discretisation des valeurs propres. Nous avons
montre [4] que, dans le cas d'un modele ou le support des valeurs propres
est non-connexe, il n'y a pas de developpement topologique en puissances de
9
10
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
N . L'in uence de la discretisation des valeurs propres devient alors d'ordre
dominant dans les fonctions de correlation a deux points ou au-dela.
Nous allons commencer ici par la signi cation physique des modeles de
matrices, puis nous parlerons des techniques classiques de resolution, en n,
nous decrirons les resultats que nous avons obtenus au cours de cette these.
Chapitre 2
Les modeles de matrices en
physique
2.1 Physique nucleaire, systemes chaotiques
2.1.1 Problemes physiques concernes
Les modeles de matrices ont ete d'abord introduits en 1951 par Wigner
[5] pour decrire les niveaux d'energie de systemes compliques comme des
etats nucleaires hautement excites. Ceux-ci sont formes par l'interaction de
neutrons lents avec des noyaux lourds. On etudie alors les pics de resonance
qui apparaissent dans la section ecace de di usion des neutrons. Les niveaux d'energie des noyaux d'Uranium ou de Magnesium, par exemple, [7]
peuvent ainsi ^etre experimentalement determines.
Les modeles de physique nucleaire sont les premiers a avoir ete interpretes
en terme de matrices aleatoires, mais ce ne sont pas les seuls : les modeles
de matrices vont appara^tre aussi dans l'etude de certains atomes, ou m^eme,
certaines molecules : atome d'hydrogene ou de lithium, molecule de dioxyde
d'azote . . .Les modeles de matrices aleatoires apparaissent lors de l'etude de
regimes bien particuliers, comme lorsqu'on place un atome d'hydrogene en
champ microonde ou encore dans un fort champ magnetique statique.
En n, un grand nombre de systemes classiquement chaotiques pouvant
n'avoir rien a voir avec la physique nucleaire ou atomique peuvent eux aussi
^etre modelises en terme de matrices aleatoires : billard de Sinai, stade de
Bunimovich, billard en forme d'anneau . . .
11
12
CHAPITRE 2. LES MODELES DE MATRICES EN PHYSIQUE
2.1.2 Necessite d'un modele simpli e
L'etat des systemes cites precedemment ne peut ^etre extensivement decrit, en l'etat actuel de nos connaissances, par des calculs exacts. En fait,
seuls l'etat fondamental du noyau ainsi que ses tout premiers niveaux d'energie peuvent ^etre calcules par ce biais, alors que, par l'experience, on peut
en observer un million.
Des resultats experimentaux, cependant, on peut tirer de nombreuses
fonctions statistiques : distribution des niveaux d'energie, correlations entre
niveaux . . .On remarque en particulier une repulsion entre niveaux d'energie
des systemes chaotiques (abondance d'anticroisements de niveaux, cf. gure
2.1) qui n'appara^t pas dans les systemes non-chaotiques. Le calcul exact,
dans l'etat actuel des choses, ne nous permet pas d'esperer retrouver ou
comprendre une seule de ces donnees.
Voila pourquoi il est necessaire de mettre au point un modele simpli e
du systeme, integrant les donnees physiques de base du probleme (systeme
classique ou chaotique, symetries...), et nous donnant, si ce n'est des resultats
exacts, du moins la comprehension des proprietes statistiques du probleme.
2.1.3 Modeles de matrices aleatoires
Une facon simple de modeliser les proprietes statistiques d'un systeme
physique comprenant un grand nombre de niveaux d'energie consiste a considerer les niveaux d'energie eux-m^emes comme des variables aleatoires. La
probabilite d'avoir la con guration d'energie fE g =1
veri e :
i
(fE g) = dE1 : : : dE
dp
i
N
f
i
;:::;N
(fE g)
i
P
ou f (fE g) est une fonction reguliere en les fE g, par exemple e?
.
La loi de distribution des ecarts entre niveaux est alors Poissonnienne
(cf. gure 2.2), et correspond bien aux resultats experimentaux pour des
systemes non-chaotiques.
En revanche, ce modele ne rend pas compte de la repulsion entre niveaux
observee dans le cas de systemes chaotiques. Pour rendre compte du comportement de ces-derniers, il faut alors elaborer un modele plus complexe.
Dans un systeme chaotique, un petit volume d'espace des phases se
deforme jusqu'a remplir densement l'espace aux temps longs. Or, lorsqu'on
a un systeme ergodique, privilegier une base d'etats propres du hamiltonien
par rapport aux autres n'a plus de sens. La fonction de partition ne fera alors
plus intervenir une integration sur toutes les energies possibles, mais plut^ot
une integration sur tous les hamiltoniens possibles. Les variables aleatoires
i
i
N
i Ei
2.1. PHYSIQUE NUCLEAIRE, SYSTEMES CHAOTIQUES
13
2.1 { Di erence entre les niveaux d'energie d'un systeme non-chaotique
(en haut) et d'un systeme chaotique ( gure du bas). Le systeme represente ici
est un atome d'hydrogene en presence de champ magnetique. En ordonnee,
on a les niveaux d'energie et en abscisse le champ magnetique. On remarque
le grand nombre d'anticroisements de niveaux presents dans le cas chaotique
(fort champ magnetique, gure du bas). Figures tirees de [6]
Fig.
14
CHAPITRE 2. LES MODELES DE MATRICES EN PHYSIQUE
2.2 { Distribution des espacements entre valeurs propres voisines, comparaison de la distribution de Poisson et de l'ensemble gaussien orthogonal
avec l'experience [7]. p(x) est la probabilite d'avoir deux valeurs propres
voisines distantes de Nx (N : nombre total de valeurs propres.
Fig.
independantes a considerer sont desormais les elements de matrice du hamiltonien. De plus, la probabilite p(H ) d'avoir le hamiltonien H doit obeir
aux symetries du probleme. Ceci nous amene a considerer
1
2
dp(H ) = dHe?N 2 tr H
ou H est une matrice hermitienne dans le cas d'un systeme non invariant par
renversement du temps (ensemble gaussien unitaire GUE) ou une matrice
symetrique dans le cas d'un systeme invariant par renversement du temps
(ensemble gaussien orthogonal GOE). dH est la mesure plate : produit des
dHij (i j ) dans le cas symetrique, produit des d<Hij d=Hij dans le cas
hermitien.
On obtient, en etudiant le modele de matrices respectant les symetries
du probleme a etudier, une loi d'espacement entre les niveaux ou l'on retrouve bien la repulsion a courte distance entre valeurs propres observee
experimentalement (voir la comparaison entre les donnees experimentales et
l'experience en gure 2.2). Remarquons que l'existence de cette repulsion
vient simplement de la mesure dH : exprimee en terme de valeurs propres,
celle-ci se reecrit comme
Y d Y j ? j dU (U matrice unitaire)
dH =
i
i j
i
i6=j
soit, dans l'action
P nale exprimee en fonction des valeurs propres, un terme
de repulsion en i6=j ln ji ? j j.
2.2. MODELES SUR SURFACES ALEATOIRES
15
La loi de distribution des niveaux, quant a elle, est une loi dite \de
demi-cercle" :
b?a
+
2
2 cos Cette loi n'est pas une loi universelle, contrairement a la loi donnant les
correlations entre niveaux. La loi de demi-cercle ne concorde en effet pas,
pour la plupart des systemes etudies, avec les resultats experimentaux.
En n, notons que l'on peut toujours considerer des systemes respectant
les m^emes symetries mais ayant une action plus complexe (les Hij ne sont
alors en general pas des variables independantes), par exemple e?N tr V (H )
plut^ot que e?N 12 tr H 2 . Ces modeles, qui seront utilises pour decrire la gravite
quantique ou la theorie des cordes [8], donnent des lois de distribution de
niveaux di erentes, mais les fonctions de correlation entre niveaux successifs,
quant a elles, obeissent a la m^eme loi universelle que le modele gaussien.
() =
4
sin()
(b ? a)
ou
=
a+b
2.2 Modeles sur surfaces aleatoires
Nous allons montrer ici comment un modele statistique de ni sur une
surface aleatoire (par exemple, un systeme de spins en interaction sur un
reseau uctuant) peut se reecrire, de facon equivalente, comme un modele
de matrices aleatoires. Ce lien entre les modeles de matrices et les modeles
de surface a ete pour la premiere fois mis en evidence par t'Hooft [9], dans
le cadre de la chromodynamique quantique.
Les modeles sur surface aleatoire appara^tront de plus comme modeles
intermediaires lorsque nous chercherons a interpreter la gravite quantique
bidimensionnelle ou la theorie des cordes en terme de matrices aleatoires.
2.2.1 Le modele
Une surface aleatoire consiste en un reseau de taille et de genre varies,
ou on associe un poids statistique gn a chaque nud relie a n voisins : par
exemple, une surface ou 3 nuds ont 4 plus proches voisins, et 2 nud 3
plus proches voisins, correspondra a un coecient g3 2 g43 dans la fonction
de partition.
Ceci nous donne une action proportionnelle au nombre de nuds de
chaque sorte. De ce fait, si l'on etudie un modele ou l'on n'autorise qu'une
seule sorte de nuds (en mettant tous les autres gn a 0) l'action nale sera
proportionnelle au nombre total de nuds, c'est-a-dire a l'aire de la surface.
16
CHAPITRE 2. LES MODELES DE MATRICES EN PHYSIQUE
2.3 { Exemple de reseau de poids g43 g32. Les liens entre les nuds sont
des propagateurs \epais" composes d'un double trait.
Fig.
Pour que le modele de surface aleatoire soit complet, il faut ajouter un
terme dependant de la topologie de la surface : une surface de genre h (a h
\poignees") aura un poids N 2?2 . On a la relation d'Euler :
h
? + = 2?2
(2.1)
ou n est le nombre de nuds (ou vertex), n le nombre de lignes continues (boucles) et n le nombre de propagateurs reliant deux nuds.
nv
np
nb
h
v
b
p
Le reseau donne precedemment (Figure 2.3) en exemple correspond donc
a une surface de topologie torique, puisque le reseau comporte 5 nuds, 4
lignes continues, et 9 propagateurs.
On peut coupler a ce modele de surface aleatoire un modele de spins sur
reseau, par exemple un modele d'Ising : on a alors des spins up et down, et
une action d'Ising :
~ :S
~ +
S =
JS
(S~ )2
X
i
j
X
<i;j>
i
i
Le modele nal est un modele de spins desordonnes sur reseau; il ne s'agit
cependant pas d'un modele de desordre gele, mais uctuant, sur une surface
elle-m^eme aleatoire, dont la taille, ainsi que la topologie, sont susceptibles
de varier.
2.2.2 Interpretation en terme de matrices aleatoires
Soit un modele de matrices aleatoires : 1 : : : hermitiennes, de taille
N N , de fonction de partition
Z
=
Z
k
1 : : : d e?
d
k
N
2S
(fi g)
2.2. MODELES SUR SURFACES ALEATOIRES
17
S ne depend que de traces de produits des matrices i .
Pour xer les idees, nous prendrons l'exemple suivant :
tr 31 + g tr 32 + tr 21 + tr 22 + c tr 12
S = g1
2
3N
3N
2N
2N
N
Pour retrouver un modele de spins sur reseau, on developpe tout d'abord
la partie non quadratique de l'action S . On ramene ainsi le calcul de la
fonction de partition precedente au calcul de valeurs moyennes du type :
( tr 31 )n1 ( tr 32 )n2 par une action quadratique. Gr^ace au theoreme de Wick,
un tel calcul peut se faire aisement.
On utilise alors les regles diagrammatiques de Feynman : un seul et
m^eme indice sera represente par une ligne continue, un element de matrice
par un demi-propagateur, et tr ni correspondra a un nud a n pattes
de couleur i :
α
γ
α
β
γ
β
α
β
2.4 { Representation d'un element de matrice tr 3 = (a droite)
Fig.
(a gauche) et de
Les valeurs moyennes h tri i i et h tri j i (i 6= j ) (hi i i
est nulle si 6= ou 6= ) sont representees par des propagateurs complets,
de couleurs i et j (Figure 2.5).
Φ 1 αβ Φ 2 αβ
α
β
α
β
2.5 { valeur moyenne h1 2 i ou les elements de matrices de 1
sont representes en bleu, ceux de la matrice 2 en vert.
Fig.
La fonction de partition Z peut alors se reecrire comme une somme
sur toutes les facons possibles de coller des nuds les uns aux autres (i.e.
de fabriquer des propagateurs complets), avec un poids g1 par nud de
couleur 1, et g2 par nud de couleur 2. On retrouve le modele d'Ising sur
reseau lorsqu'on interprete chaque nud de type 1 (resp. 2) comme un nud
portant un spin up (resp. down) : le poids (proportionnel a c) que l'on trouve
CHAPITRE 2. LES MODELES DE MATRICES EN PHYSIQUE
18
pour chaque propagateur reliant deux nuds de m^eme couleur correspond
a une energie d'interaction entre spins identiques. Remarquons en n que,
si l'on s'interesse aux puissances de N apparaissant dans le developpement
de la fonction de partition, on trouve les facteurs N 2?2h pour des surfaces
de genre h (voir de nition donnee au 2.2.1). Dans la limite ou la taille N
des matrices tend vers l'in ni, on selectionne uniquement les surfaces sans
poignee, i.e. celles de topologie planaire.
2.6 { A gauche, une surface ou l'on a assemble des nuds a 3 pattes de
2 couleurs di erentes. A droite, des surfaces ou l'on utilise la representation
duale ou l'on colle des polygones a n c^otes sur chaque nud a n pattes
Fig.
Plut^ot que de representer la surface comme un reseau de nuds, on utilise
souvent la representation duale ou l'on \colle" des triangles equilateraux
sur chaque nud a 3 pattes, des carres si on a un nud a 4 pattes . . .Sur
chaque polygone regulier vit alors un spin de la m^eme \couleur" que le nud
correspondant.
Fig.
2.7 { Triangle equilateral correspondant a un nud a 3 pattes
Selon la facon dont les nuds sont relies les uns aux autres, la surface
obtenue sera plate ou non. Si une boucle est composee de 6 nuds a 3
pattes, par exemple, il faut dessiner 6 triangles equilateraux issus d'un m^eme
2.2. MODELES SUR SURFACES ALEATOIRES
19
sommet, la gure est donc plate. Si par contre on a seulement 3 nuds a
3 pattes dans une boucle, soit 3 triangles equilateraux seulement issus d'un
m^eme sommet, la gure n'est plus plane.
Notons que la fonction de partition obtenue contient toutes les surfaces
possibles, y compris les surfaces non connexes. Pour eliminer ces termes, il
sut de considerer l'energie libre F = ? N12 ln Z qui, quant a elle, ne contient
que des surfaces connexes.
2.2.3 Grandeurs etudiees dans les modeles sur surface aleatoires
On peut calculer le diagramme de phase du modele de surfaces, ainsi
que ses exposants critiques, soit en faisant l'etude du modele de matrices
aleatoires correspondant, soit ou par simulations numeriques. On peut aussi
etudier les proprietes de surfaces de genres varies, avec bord ou sans bord.
Ainsi, quand on se rapproche du point critique g ! gc , le developpement
de Z en puissances de g diverge, et, par suite, ce sont les termes correspondant a une surface de grande taille qui dominent la fonction de partition
(rappelons-nous que le poids g nv est associe a une surface de nv nuds,
c'est-a-dire de \taille" nv ). F = ? N12 ln Z pouvant s'P
ecrire sous la forme
?2h
d'un developpement en puissances de N comme F = 1
h=0 N Fh (g ) ou
h est le genre des surfaces, si l'on passe d'abord a la limite N ! 1 puis
g ! gc , on etudie uniquement les surfaces de topologie planaire. Dans la
limite ou la taille des surfaces devient tres grande devant la taille des polygones qui composent la surface, on peut passer a la limite continue, et on
peut alors retrouver un modele de gravite quantique bidimensionnelle ou de
theorie des cordes (une surface aleatoire correspond a une surface d'espacetemps en gravite quantique bidimensionnelle, ou a la surface balayee par
une corde entre deux instants t1 et t2 . Voir paragraphes suivants).
Pour etudier simultanement les surfaces de tous genres, il faut e ectuer
une double limite. En e et, le terme dominant dans Fh (g ) est (g ? gc ) 52 (1?h) .
20
CHAPITRE 2. LES MODELES DE MATRICES EN PHYSIQUE
Fig.
2.8 { Interaction d'une corde
Par suite, si on prend la limite (aussi appelee 5double limite d'echelle [10])
N ! 1 et g ! gc simultanement avec (g ? gc ) 2 N 2 constant, on trouve une
limite continue qui prend en compte les surfaces de tous h.
Calculer h trn i revient a etudier des surfaces avec bord de largeur n, et
etudier la resolvante ! = h N1 tr z?1 i au voisinage d'une singularite z = zc
et a g = gc revient a s'interesser aux surfaces de taille in nie dont le bord a
une taille qui tend elle aussi vers l'in ni. La aussi, on peut passer a la limite
continue et retrouver un modele de theorie des cordes. Alors qu'une surface
sans bord correspond a la surface balayee par une corde entre sa creation
et son annihilation, le bord d'une surface avec bord correspond a la corde a
l'instant initial et a l'instant nal.
2.3 QCD et matrices aleatoires
La chromodynamique quantique (QCD) est la theorie de jauge qui decrit
les interactions fortes.
En QCD, les hadrons ne sont pas des particules elementaires mais sont
composes de quarks dotes d'une masse, d'une charge electrique, d'une \saveur", ainsi que d'une charge de couleur qui est un objet a trois composantes.
Les interactions fortes entre quarks sont decrites par l'echange de gluons.
Ces interactions, faibles a hautes energies (la theorie est asymptotiquement
libre), sont non-perturbatives au-dela de l'echelle de distance correspondant
a la taille typique d'un hadron. Elles sont decrites par un champ de jauge
qui est, du point de vue des indices de couleur, une matrice hermitienne sans
trace 3 3. Pour completer la theorie, il faut aussi faire intervenir l'operateur
de Dirac ainsi que la masse m des fermions. L'operateur de Dirac est invariant par symetrie chirale, mais cette symetrie est a priori brisee si la masse
m est non-nulle. En fait, il y a brisure spontanee de la symetrie chirale :
ceci peut s'interpreter en terme du spectre de l'operateur de Dirac, comme
2.4. THEORIE
DES CORDES
21
le signe d'une accumulation de valeurs propres au voisinage de 0.
La QCD est une theorie complexe ou de nombreuses choses sont encore
loin d'^etre resolues. En particulier, on ne sait toujours pas expliquer le con nement des quarks de facon rigoureuse. Un certain nombre de procedes, cependant, permettent d'obtenir des resultats interessants. t'Hooft [9], en particulier, a propose de considerer, non pas des matrices de SU(3), mais des
matrices de SU(N), ou le cas N = 3 est considere comme un developpement
perturbatif au voisinage de N = 1. On obtient alors un developpement en
la topologie des diagrammes, la limite N ! 1 correspondant, comme on l'a
vu dans la section precedente, a ne garder que des diagrammes de topologie
planaire. On peut obtenir d'autres resultats dans la limite large N , sur lesquels nous ne nous etendrons pas ici : les resultats sur reseau 2D de Gross
Witten par exemple. Tres recemment, des conjectures ont ete faites et des
resultats obtenus concernant des theories de jauge superconformes, par leur
lien avec les M -theories et la supergravite dans des espaces anti De Sitter
(Groos-Ooguri, Maldacena).
Plus recemment, on [11] s'est interesse au spectre de l'operateur de Dirac
lorsque l'echelle d'energie est grande devant la masse du pion, mais petite
devant la mass typique d'un hadron. On peut alors considerer l'operateur
de Dirac comme une matrice aleatoire obeissant a la symmetrie chirale. La
validite de cette approche a ete con rmee par de nombreuses simulations
numeriques, et un certain nombre d'extensions, en particulier aux cas d'une
temperature et d'un potentiel chimique non nuls on ete faites.
2.4 Theorie des cordes
Les modeles de matrices aleatoires interviennent aussi en theorie des
cordes. Cette-derniere s'utilise pour decrire le comportement des particules
fondamentales.
Lorsqu'on mene des calculs en theorie des champs, on considere que
l'on a des particules ponctuelles. Or, on trouve des divergences a petites
distances. Dans le cas de theories comme le modele standard ou la QCD,
on peut se debarrasser de ces divergences par des methodes de groupe de
renormalisation. Cependant des qu'on a une theorie comme la gravite qui
est non renormalisable, on ne peut pas formuler la theorie sans introduire
une distance minimale (ou cut-o ) arbitraire. Pourtant, le comportement des
particules a petites distances nous interesse d'autant plus que l'on pense que
c'est aux plus petites echelles que l'on aura la physique la plus fondamentale,
i:e: la plus uni ee.
22
CHAPITRE 2. LES MODELES DE MATRICES EN PHYSIQUE
Une des manieres d'eliminer le probleme des divergences ultraviolettes
est de ne plus utiliser des particules ponctuelles mais des objets etendus :
par exemple, des cordes, qui sont des objets de dimension 1.
Lorsque ces objets evoluent dans le temps, ils engendrent des surfaces
de l'espace-temps quadridimensionnel, caracterisees par les coordonnees X
qui dependent de deux parametres : le temps propre et l'abscisse curviligne
le long de la corde.
Pour construire une theorie quantique des cordes, il faut se donner l'action S , et sommer sur toutes les evolutions de la corde (i:e; toutes les surfaces) d'etats initial et nal donnes :
Z=
X
surfaces
e?i ~
S
Deux actions, l'action de Nambu-Goto et celle de Polyakov, donnent la m^eme
limite classique.
L'action de Nambu Goto [12] est simplement determinee par l'aire balayee par la corde entre les instants initiaux et nals :
S (surface) = Z dAire = ? Z d d p? det g
1
2
est la masse lineique de la corde et g la metrique bidimensionnelle induite
sur la surface.
Quant a l'action de Polyakov [13], elle introduit une metrique gab interne
a la surface et vaut :
S (g; X ) =
T
2
Z d d p? det g (g
a
b
ab @X @X
@ a @ b
+ )
ou les X sont les coordonnees de la surface, et T la tension de corde.
Pour calculer la fonction de partition quantique, que ce soit avec l'action
de Nambu-Goto ou celle de Polyakov, il faut introduire un cut-o invariant
par reparametrisation de la surface. On peut ainsi ^etre amene a considerer
des surfaces discretisees, composees de surfaces de base (par exemple des
petits triangles de c^ote a ou a est le cuto ) collees les unes aux autres par
leurs ar^etes.
Ceci justi e l'usage de modeles de surfaces aleatoires, et donc de matrices
aleatoires, dans le domaine de la theorie des cordes.
2.5. GRAVITATION QUANTIQUE
2.5
23
Gravitation quantique
2.5.1 gravite pure
L'action de la relativite generale, dans un espace-temps euclidien de dimension D, est celle d'Einstein-Hilbert :
1
p
S (g ) =
(
?
R + 2) g dD x
16G
qui depend de la geometrie de l'espace-temps via la metrique g et la courbure
scalaire R, et fait aussi intervenir la constante cosmologique et la constante
de Newton G.
Une facon de quanti er la gravite consiste a e ectuer une integration
fonctionnelle sur toutes les metriques g possibles. La fonction de partition
est alors :
Z = dg e?S (g)
Z
Z
Comme il est dicile de de nir le probleme pour un espace-temps de dimension superieure a 2, une des pistes de recherche possibles consiste a
s'interesser d'abord au cas de la gravite quantique bidimensionnelle, en
esperant par la mieux comprendre la gravitation quantique en general.
Dans ce cas, l'action S (g ) s'exprime simplement en fonction de l'aire et
de la topologie de la surface
aire + (4 G)?1 (2 ? 2h)
S=
8G
ou h est le genre, c'est-a-dire le nombre de \poignees" de la surface.
Pour pouvoir e ectuer la sommation sur toutes les metriques g , on a ete
amene, comme dans le cas de la theorie des cordes, a discretiser l'espace.
Par exemple, on recouvre la surface de triangles equilateraux et on ecrit :
Z
=
X?
e
S ( )
ou est une triangulation de l'espace bidimensionnel. Le resultat nal ne
doit pas dependre du type de discretisation : triangulation, quadrangulation... e ectuee (Notons cependant qu'un melange de triangulation et de
quadrangulation, par exemple, revient a ajouter un degre de liberte interne,
non geometrique, a la surface, et ne correspond donc plus toujours a un
simple modele de gravite pure).
24
CHAPITRE 2. LES MODELES DE MATRICES EN PHYSIQUE
L'aire etant proportionnelle au nombre
aire = nv A, on a
Z
=
X(
nv
de triangles de la surface :
1
e 8G A )nv (e 4G )(2?2h)
ce qui est equivalent a un modele de matrices aleatoires, lui-m^eme relie a un
modele de surface sans spins vivant sur cette surface, et dont l'action S est
de la forme
g
1
S = ?N tr 3 + N tr 2
3
2
A
(g est le poids associe a chaque triangle, donc, dans la
avec g = e 8G
version duale, a chaque nud a 3 pattes de la surface) et une taille de
1
matrice N = e 4G . Le systeme ou l'on a des quadrangulations, par exemple,
donc un tr 4 a la place du tr 3 ecrit precedemment doit, dans la limite
continue redonner la m^eme limite.
2.5.2 gravite + matiere
On peut aussi etudier le probleme du couplage entre gravitation et
matiere.
Une facon de faire cela simplement consiste a coupler la gravite a des bosons
libres. On ecrit alors :
S
Z
Z
pdet ( +
=
dx2
g
R
G
+g
@ Xi @ Xi )
ou les Xi sont des \champs de matiere". Il faudra alors, non seulement
sommer sur les surfaces, mais aussi integrer sur les champs de matiere.
Les spins sur surfaces aleatoires decrits precedemment (2.2) sont des
degres de liberte non-geometriques vivant sur ces surfaces, c'est-a-dire qu'ils
peuvent ^etre consideres comme des \toy models" representant de la matiere
dans une theorie de gravite quantique bidimensionnelle. L'etude de modeles
a plusieurs matrices avec une action a priori complexe, traduction matricielle de modeles de spins sur surfaces aleatoires, permet ainsi d'avoir acces
au comportement de modeles de matiere sur surface aleatoire de charges
centrales conformes diverses.
2.6. CHARGE CENTRALE CONFORME ET MODELES DE MATRICES ALEATOIRES25
2.6 Charge centrale conforme et modeles de matrices aleatoires
2.6.1 Rappels sur les theories conformes
Ce sont les theories qui sont invariantes par toute transformation respectant les angles : translations, rotations, homotheties, inversions . . .D'une
facon generale, une transformation conforme pourra s'ecrire comme la composition de translations, rotations, et homotheties locales.
Les theories conformes apparaissent souvent en physique. Lorsqu'on se
place au voisinage d'une transition critique de deuxieme ordre, les longueurs
de correlation divergent. Par suite, en se placant a une echelle grande devant
la longueur minimale (maille du reseau . . .) du modele, on a invariance
d'echelle. Dans un grand nombre de cas, on a m^eme invariance conforme.
Pour une theorie unitaire bidimensionnelle, en particulier, l'invariance d'echelle implique l'invariance conforme. A cette invariance, comme a toute
invariance est associe un certain nombre de proprietes interessantes. Dans le
cas d'une theorie conforme bidimensionnelle, les transformations conformes
locales correspondent aux changements de variables analytiques : z ! w(z ),
z ! w (z). On ecrit alors la reponse d'un operateur (z; z) a une variation
de la metrique g , correspondant au changement de variable z ! w(z )
comme :
T (w)(z; z) =
X+1 (w ? z)?2? L (z; z)
n
n=?1
n
avec
T = ? p2g g
Les Ln veri ent les relations de commutation :
c n(n2 ? 1)
[Lm ; Ln ] = (m ? n)Ln+m + 12
n+m;0
qui de nissent l'algebre de Virasoro. c est appelee la charge centrale conforme de la theorie. Nous verrons qu'un grand nombre de proprietes physiques font intervenir cette charge centrale conforme. En particulier, nous
verrons que l'on peut relier certains exposants critiques du modele a la valeur
de c.
CHAPITRE 2. LES MODELES DE MATRICES EN PHYSIQUE
26
2.6.2 Theorie discrete et theorie continue
Dans le cas de la theorie des cordes ou de la gravitation quantique, la
theorie que l'on modelise par un modele de matrices aleatoires est une theorie
continue ou l'on integre sur toutes les metriques possibles.
On a en particulier ;
Z
=
X Z Dg
topologies
DX e?
RR
dx2
pdetg (+ R +g
G
@ X @ X )
(g : metrique de la surface, : constante cosmologique, G : constante de
Newton, R : courbure de la surface)
pour la gravitation quantique avec des champs de matiere X .
Cette theorie possede un certain nombre de symetries, en particulier, si
la constante cosmologique est nulle, la theorie est invariante conforme. Or,
en passant aux modeles de matrices, on a discretise notre theorie, brisant
ainsi l'invariance conforme.
Si on veut retrouver cette invariance, ainsi qu'une theorie continue en
prenant la limite appropriee, il faut se placer au voisinage des points critiques
de notre modele de matrices, ou on sait que l'on a invariance d'echelle.
Si l'on desire etudier simultanement des surfaces de toutes topologies, on
pourra alors2 e ectuer
une double limite. Prenons l'exemple d'une action
+ g tr4 ) (gravite pure). Sachant que l'on a un developpement
S = N 2( tr2N
4N
P
de la theorie en ln Z = h N 2?2h Fh (g ) ou h est le genre de la surface et
5
Fh (g ) (g ? gc ) 2 (1?h) quand g est au voisinage de gc , en prenant la double
5
limite d'echelle N ! 1 avec x = N 2(g ? gc ) 2 constant, on retrouve une
theorie continue ou le terme en x1?h represente une theorie continue de
gravite sur des surfaces de topologie h.
2.6.3 Charge centrale conforme associee a une theorie continue conforme donnee
Quelle est la valeur de la charge centrale conforme associee a une theorie
continue conforme bidimensionnelle donnee ? Comment la determine-t'on ?
Nous allons nous interesser dans toute la suite a la contribution c des
champs de matiere a la charge centrale. Dans le cadre de la theorie des
cordes, on sait que la charge centrale vaut c = 1 pour chaque champ scalaire
bosonique libre ; on trouve qu'elle vaut 1=2 pour un champ fermionique,
et elle prend des valeurs rationnelles, voire reelles, pour des champs plus
exotiques.
2.6. CHARGE CENTRALE CONFORME ET MODELES DE MATRICES ALEATOIRES27
En terme de gravite quantique, si c = 0, cela signi e pour une theorie
de gravite unitaire que l'on a une theorie de gravite pure, sans champ de
matiere. Par suite, les modeles les plus interessants se situeront a c 6= 0.
D'autre part, on considere parfois c comme une dimension : en effet, en
theorie des cordes, lorsqu'une corde evolue dans un espace-temps de dimension D, les champs X sont les coordonnees de la surface generee par la
corde. On a alors D champs bosoniques, soit une charge centrale c = D. La
encore, on voit que les theories les plus interessantes sont celles ou la charge
centrale est c 1.
Lorsqu'on resout un modele de matrices aleatoires, on determine en particulier la position des points critiques et la valeur des exposants critiques. A
un point critique donne, en passant a la limite continue, on est susceptible de
trouver une theorie continue conforme correspondant. On peut alors relier les
exposants du modele de matrices a la valeur de la charge centrale conforme
de la theorie continue correspondante. L'exposant critique s (exposant de
corde), en particulier, decrit le comportement d'echelle de la fonction de
partition en fonction de l'aire de la surface. Z se comporte, en fonction de
la constante cosmologique :
Z () 2? s
ou encore, si on somme sur les surfaces a aire xee, puis que l'on examine le
comportement de Z (Aire) en fonction de l'aire :
Z (Aire) Aire s?3
On montre, par des considerations de theorie conforme que s vaut, pour
des surfaces de topologie planaire, [22] :
1 (c ? 1 ? p(25 ? c)(1 ? c))
s=
12
On peut ainsi relier les grandeurs de la theorie continue et celles du
modele de matrices.
28
CHAPITRE 2. LES MODELES DE MATRICES EN PHYSIQUE
Chapitre 3
Methodes de resolution des
modeles de matrices
3.1 Methode du col
3.1.1 Theoreme du col
Le theoreme du col nous donne le d
R eveloppement en t, au voisinage de
l'in ni, d'une fonction du type Z (t) = dx e?tf (x). On a :
s
2 (1 + O( 1 ))
?tf
(
x
)
c
Z (t) = e
tf 00 (xc )
t
ou l'on peut aussi si necessaire ecrire explicitement les termes suivants du
developpement. xc est le col de la variable x, c'est-a-dire que l'on a f 0 (xc ) =
0.
Si l'on s'interesse a \l'energie libre" du probleme de nie par Z (t) =
e?tF (t) , on voit que le developpement de F (t) quand t est grand est simplement domine par f au col : F ' f (xc ).
3.1.2 Application au modele a une matrice
Position du probleme
La fonction de partition du modele a une matrice est plus complexe que
la fonction Z (t) puisqu'il s'agit d'une fonction de N 2 variables (les parties
reelles et parties imaginaires des elements de matrice de ) :
Z
=
Z
2
d e?N S ()
d =
29
Y
i<j
<ij =ij
Y
i
dii
30CHAPITRE 3. ME THODES DE RE SOLUTION DES MODE LES DE MATRICES
ou est une matrice hermitienne de taille N et S () une action invariante
par transformation unitaire sur la matrice . On prendra, pour xer les
idees,
1
S () = tr V ()
N
.
Nous voulons calculer Z ou F = ? N12 ln Z , dans la limite planaire
(N ! 1), et, le cas echeant, les autres termes du developpement topologique
en N12 (Rappelons qu'en terme de surfaces, les termes en N ?2h dans l'energie
libre correspondent a des surfaces a h poignees).
La generalisation la plus \naturelle" de la methode du col au cas a plusieurs variables semble ^etre de determiner le minimum de la fonction S ()
par rapport a toutes les variables <ij et =ij puis d'assimiler F a S ()col a
l'ordre dominant quand N ! 1. Cette generalisation de la methode du col,
quoique valable pour un modele avec un nombre ni de variables, ne marche
pas lorsque ce nombre tend vers l'in ni aussi rapidement que le terme dans
l'exponentielle.
Supposons que les valeurs propres de sont d'ordre 1,
N tr V () = N
N
X
V ( )
i
i=1
est alors d'ordre N 2 et le nombre de variables est lui aussi d'ordre N 2 .
On peut aisement se convaincre, sur le modele gaussien, par exemple, ou
en revenant a la demonstration du theoreme du col, que la version \intuitive"
de la methode du col ne marche pas ici.
Reecriture en terme de valeurs propres
La solution proposee par [14] consiste a reduire le nombre de variables, en
mettant a pro t l'invariance de l'action par transformation unitaire, avant
d'utiliser la methode du col. Ainsi, on reecrit la fonction de partition comme
une integrale sur les valeurs propres fi g de la matrice et sur les variables
angulaires representees par la matrice unitaire U diagonalisant .
On a :
Z Y Y
P
Z = dU
di ji ? j j e?N V ( )
i
i
i6=j
Q
i
Q
Le jacobien de la transformation d ! dU Qdi est i<j (i ? j )2 et
est le carre du determinant de Vandermonde i<j (i ? j ). En e et, si
31
3.1. METHODE
DU COL
= U U ?1 , ou est la matrice diagonalisee,
d = UdU ?1 + U [U ?1 dU; ]U ?1 = d + [U ?1 dU; ]
car d est invariante par transformation unitaire. Le terme qui va donner
le jacobien de la transformation est dZ = [U ?1 dU; ]. On a
dZij = (j ? i)Uki dUkj
On voit que l'on peut nalement reecrire d sous la forme
d =
Y( ? ) Y d d(U )
i<j
i
j
2
i
i
De l'invariance de d on tire l'invariance de la mesure d(U ) par transformation unitaire. Par suite d(U ) est la mesure de Haar qui sera notee dU
dans toute la suite de cet expose.
Par suite,
Z
Z/
avec
E (fig) =
Y d e?NE (
i
i
i)
X V ( ) ? 1 X ln j ? j
i
i
La methode du col donne alors
2
V 0 ( ) ?
i
X
i
N i=6 j
1
N j =6 i i ? j
j
=0
pour la distribution de valeurs propres au col.
Limite continue et resolvante du modele
On peut se representer le probleme comme un systeme de N valeurs
propres placees dans un potentiel V et se repoussant entre elles.
Si la repulsion (qui vient simplement du jacobien du changement de
variables) n'existait pas, toutes les valeurs propres, dans la limite N in ni,
tomberaient au fond du puits caracterise par V 0 (i) = 0. Comme les valeurs
propres se repoussent, elles se repartissent en fait le longPd'un support [a; b]
de taille nie. Le potentiel e ectif : Veff () = V () ? N2 j 6=i ln j ? j j est
constant le long de ce support.
32CHAPITRE 3. ME THODES DE RE SOLUTION DES MODE LES DE MATRICES
V
a
b
λ
3.1 { Distribution des valeurs propres dans un potentiel cubique V (z ) =
+ 21 z 2 . [a; b] est le support des valeurs propres et Vef f () est constant le
long de [a; b]
Fig.
g 3
3z
En de nissant la densite d'etats
1
() =
N
X(?
i )
i
et en se placant dans la limite continue, on a
0
Z
( ) ? 2PP
V d
()
? = 0
sur le support de , ou PP signi e partie principale. La resolvante ! () est
de nie par :
1
1 i = () 1 d
! () = h tr
N
?
?
Z
On a donc, appartenant au support de ,
V 0 ()
? 2<(!()) = 0
est une fonction analytique dans tout le plan complexe, sauf sur le
support [a; b] de . Ceci sut a determiner la forme de la resolvante :
!
! () =
V 0 ()
p
M ()
+
2
2 ( ? a)( ? b)
33
3.1. METHODE
DU COL
Le developpement de l'expression ci-dessus pour ! au voisinage
R de l'in ni,
1
et la condition ! (tiree de la de nition de ! , sachant que ()d = 1)
susent a determiner M () ainsi que les valeurs de a et b.
Sachant que ! ( + i0) ? ! ( ? i0) = i(), on deduit de l'expression
ci-dessus la distribution de valeurs propres qui, dans le cas gaussien (g = 0)
prend la forme de la loi de demi-cercle donnee en introduction (2.1.3).
Remarquons que ces resultats sont valables uniquement dans la limite
planaire. Pour acceder a des topologies di erentes de la topologie planaire,
il faudrait developper perturbativement au voisinage de l'in ni. Il serait
necessaire d'inclure les termes suivants apparaissant dans la methode du
col, ainsi que les corrections venant du caractere discret des valeurs propres.
Points critiques
Le point critique du modele correspond a la valeur de g pour laquelle
l'energie libre devient singuliere.
Visuellement, cela correspond au moment ou les valeurs propres commencent a \deborder" du puits. On peut alors etudier le comportement
V
a
λ
b
3.22 { Distribution des valeurs propres au point critique du modele :
+ 2
Fig.
3
g3
critique de ! , des bornes a et b de la coupure, ou des valeurs moyennes de
traces. On peut en particulier determiner
la valeur de l'exposant de corde
n
tr
a partir du comportement de h N i au voisinage de g = gc . On a :
s h trNn i (g ? gc)1? s .
34CHAPITRE 3. ME THODES DE RE SOLUTION DES MODE LES DE MATRICES
3.1.3 Modele a 2 matrices
Formule d'Itzykson-Zuber
Soit un modele a 2 matrices :
Z=
Z
2
d1d2e?N [S (1 )+S (2 )? N tr (1 2 )]
compose de deux modeles a une matrice couples via l'action d'interaction
N tr 12 .
Ce modele est seulement invariant par transformation unitaire globale
sur les matrices 1 et 2 . Si U1 et U2 sont les matrices diagonalisant 1 et
2 , et 1 et 2 les matrices diagonalisees correspondantes, on a :
Z=
Z
2
?1
dU1 dU2 d1 d2 2 (1)2(2) e?N [S (1 )+S (2 )? tr (1 2 )]
avec
() =
Y( ? )
i<j
i
j
et
= U1?1 U2
Les elements de matrice de sont les seules variables angulaires intervenant dans l'action. Il est possible d'e ectuer cette integrale [48], par des
techniques que nous ne detaillerons pas ici, et l'on obtient alors l'expression
suivante :
Z/
Z
2
d1 d2 (1) (2) e?N [S (1 )+S (2 )] det[e
1;i 2;j ]
Cas a plusieurs coupures
Avec un potentiel cubique, il est impossible d'avoir deux coupures. Cependant, des que l'on a un potentiel plus complexe, cette possibilite n'est
plus a exclure.
Dans le cas d'un potentiel V () de degre n, avec k coupures, on ecrit
! () =
p
V 0() ? M () ( ? a1)( ? b1) : : : ( ? ak )( ? bk )
2
ce qui fait, n + 2 equations (pour avoir ! 1 ) et n + k + 1 inconnues. Ces
n + 2 e 'quations imposent la constance du potentiel e ectif dans chaque
puits.
Les inconnues restantes doivent ^etre determinees par des considerations
de symetries, ou, dans le cas general, en imposant l'egalite des potentiels
3.1. METHODE
DU COL
35
3.3 { Potentiel et potentiel e ectif dans le cas d'un support a plusieurs
coupures. L'equation du col nous donne la condition pour avoir un minimum
local de l'action seulement ( gure de gauche). Pour avoir un minimum global
il faut rajouter la condition que les potentiels e ectifs sont identiques dans
les di erents puits ( gure de droite).
Fig.
Fig.
3.4 { Point critique d'un exemple de modele a deux coupures
36CHAPITRE 3. ME THODES DE RE SOLUTION DES MODE LES DE MATRICES
R
e ectifs V () ? 2 ln( ? )()d sur tous les segments [a1; b1], . . .[a ; b ]
constituant le support de .
Le point critique du modele quadratique donne en exemple precedemment correspond au moment ou les deux coupures correspondant au support
des valeurs propres fusionnent.
Il correspond aussi, comme nous l'avons vu dans le cas a une coupure, a
un comportement singulier des valeurs moyennes d'operateurs.
k
k
3.1.4 Modele a plusieurs matrices
Le modele a plusieurs matrices est a priori passablement plus complexe.
Les seuls modeles se resolvant assez facilement par la methode du col sont
les modeles de matrices couplees en cha^ne. Pour un modele a k matrices,
on a
?1
X
1X
tr +1
S=
S ( ) ?
N
k
=1
k
i
i
=1
qui peut se reecrire
S=
k
X
=1
Si (i) ?
i
i
i
i
i
i
?1
1X
tr +1 ?1
k
N i=1
i
i
i
i
i
ou les = U ?1 U +1 sont k ? 1 matrices unitaires independantes. On peut
alors utiliser pour e ectuer chaque integration sur la formule de [48] pour
le modele a deux matrices.
Pour un \simple" modele a 3 matrices couplees en boucle, cependant
i
i
i
i
S=
3
X
=1
i
S (i) +
1 tr ( + + )
1 2
2 3
3 1
N
se reecrit comme
S=
k
X
=1
i
S (i) +
1 tr ( ?1 + ?1 + (
1 1 2 1
2 2 3 2
3 1 2 )?1 3( 1 2 ))
N
et ne peut pas en principe s'e ectuer simplement.
Nous verrons dans le chapitre 5 deux methodes permettant de resoudre
ce probleme, l'une basee sur une idee de V. Kazakov et I. Kostov, developpee
par J.M. Daul puis plus recemment par P. Zinn-Justin, l'autre basee sur la
methode des equations du mouvement et developpee (en parallele avec le
travail de P. Zinn-Justin) par Bertrand Eynard et moi-m^eme.
^
3.2. METHODE DES POLYNOMES
ORTHOGONAUX
37
3.2 Methode des polyn^omes orthogonaux
La methode des polyn^omes orthogonaux, tout comme la methode du col,
utilise l'ecriture de Z en fonction des valeurs propres i de la matrice :
Z=
ZY Y
i
di
i6=j
ji ? j je?N
PNi
=1
V (i )
Cependant, c'est une methode exacte pour tout N , et non une methode
semi-classique comme la methode du col.
On remarque que la valeur moyenne d'un operateur trAN() se reecrit en
fonction des i comme
0
12
N
X
V
(
)
i
BY
CC PN A( )
?N
2
< trA() > = 1 Z Y d B
B ji ? j j e i=1
CC i=1 i
N
Z i iB
N
@i<j
A
Par suite, si on note
=
Y
i<j
?N
N
X
V (i)
2
(i ? j )e i=1
on peut ecrire, du moins formellement :
< trA() > = < jA()j >
N
< j >
ou est une fonction d'onde a N particules : (f1 : 1; : : :N : N g).
Ces particules sont des fermions car est antisymetrique en les i .
De plus,
Y
i<j
(i ? j )2
est le carre du determinant de Vandermonde det(ji )i;j 2[1;n].
(fig) est par consequent le determinant de Slatter det( j (i)), les
j j (i) > etant les fonctions d'onde a une particule :
j () = j e?N
V ()
2
38CHAPITRE 3. ME THODES DE RE SOLUTION DES MODE LES DE MATRICES
Le modele a une matrice se reinterprete donc comme un probleme de fermions libres occupant les N premiers niveaux d'energie et dont les fonctions
d'onde sont les (). De ce point de vue, la repulsion entre valeurs propres
proches est simplement l'expression du principe de Pauli.
On peut, par des combinaisons judicieuses de lignes et de colonnes, sans
changer la valeur du determinant, changer la fonction () ( qui vaut
V V e?
) par () = P ()e?
, ou P () est un polyn^ome de degre
j , et de terme dominant .
La methode des polyn^omes orthogonaux consiste, comme l'indique son
nom, a choisir les P () a n que les fonctions () forment une base orthogonale.
j
j
N
( )
2
j
N
j
j
( )
2
j
j
j
j
Z
j ()l()d = j;l hl
On montre qu'on peut exprimer les fonctions de correlation de valeurs
propres en terme des P . La resolution du modele de ramene alors au calcul
des polyn^omes orthogonaux.
j
3.2.1 Fonction de partition et fonctions de correlations
La fonction de partition Z =< j
plement
Z
= N!
>
Y?
N
ou
= det( ( )) s'ecrit simj
i
1
hn
=0
i
De nissons les fonctions d'onde orthonormalisees :
() = 1 ()
p
j
hj
j
la probabilite h tr (1 ? ) : : : ( ? )i d'avoir une valeur propre en
1, . . ., une en s'ecrit
1 (det ( ))2
(1; : : :; ) =
N!
N
N
N
N
j
i
Que l'on peut reecrire
(1; : : :; N ) =
NN
N!
det jK ( ; )j
i
j
^
3.2. METHODE DES POLYNOMES
ORTHOGONAUX
39
ou le noyau K est de ni par :
K (; ) =
On a
(1; : : :; n ) =
Z
?1
1 NX
i () i()
N
i=1
dn+1 : : : dN (1; : : :; N )
Ces fonctions
eexprimer simplement gr^ace a la
R de correlation peuvent se r
relation : d K (; )K (; ) = N1 K (; ) (theoreme de Dyson [40]). En
particulier, la densite de valeurs propres et la fonction a deux points pour
les valeurs propres s'expriment en fonction de K , sous la forme :
() = K (; )
N?1
(; ) = ()() ? K (; )2
N
3.2.2 Relation de recurrence entre les Pj et calcul des polyn^omes orthogonaux
A priori, on peut ecrire ( etant donne que les Pk , k = 1; : : :n +1 forment
une base de l'ensemble des polyn^omes de degre n + 1)
Pn = Pn+1 +
Soit, comme les Pk sont orthogonaux,
Z
n
X
k=1
sn;k Pk
Pn Pk e?NV ()d = hk sk
or Pk = Pk+1 + sk;k Pk + sk;k?1 Pk?1 + : : :, donc l'integrale precedente n'est
non nulle que pour k + 1 n soit k n ? 1.
Par suite, la relation de recurrence entre les Pn se limite en fait a trois
termes, et on peut ecrire :
Pn+1 = ( + n )Pn + n Pn?1
et on a aussi
n
X
@Pn
=
nPn?1 +
iPn?i
@
i=2
40CHAPITRE 3. ME THODES DE RE SOLUTION DES MODE LES DE MATRICES
Le calcul des Pn se ramene alors a celui des
n
et des
n.
On introduit les notations :
jn > pour n(), Q pour l'operateur multiplication par , et P pour
@ .n
l'operateur N1 @
^ sera l'operateur tel que
n^ jn >= njn >
Les n et les
tel que
n
seront notes ^ = (^n) et ^ = (^n). En n, x^ est l'operateur
x^jn >= jn ? 1 >
Alors, les equations precedentes se reecrivent comme :
Q = x^y ^ + ^ + ^x^
1
1 n^
P + V 0 (Q) = x^ + ^k x^k
2
^ N k2
X
Si on developpe tous les termes de l'equation ci-dessus en puissances
(positives et negatives) de x^ , on trouve que les puissances negatives du
developpement de P en x^ sont identiques a celles de ? 21 V 0 (Q). En utilisant
l'antihermiticite de P (qui decoule directement de sa de nition) et sachant
que x^y = x1^ , on peut en deduire la totalite du developpement de P en fonction
de celui de V 0 (Q).
1
P = (V 0 (Q)+ ? V 0 (Q)? )
2
Le signe + (resp. ?) indique que l'on ne prend que les puissances positives
(resp. negatives) du developpement de V 0 (Q) en puissances de x^.
V 0 (Q) pouvant se reecrire en fonction des n et n , on a nalement les
equations :
1 n^
V 0(Q)1 = x^
^ N
V 0(Q)0 = 0
ou V 0 (Q)k est le terme d'ordre k du developpement de V 0 (Q) en puissances de x^.
Ceci nous donne les equations de recurrence pour les n et les n . Leur
calcul permet d'obtenir a leur tour les expressions des polyn^omes orthogonaux.
3.3. METHODE DES EQUATIONS DE BOUCLES
41
Plut^ot que de calculer les n et n pour toutes les valeurs de n, on est
bien souvent interesse seulement par les valeurs de n proches de N , avec
N ! 1. Dans cette limite, il est possible de simpli er les expressions cidessus, et, dans le cas ou le support des valeurs propres est connexe [a; b],
n et n tendent vers des valeurs constantes :
= a ?4 b et
= a +2 b
3.3 Methode des equations de boucles
Soit la fonction de partition :
Z=
ZY
i
die?N 2S(f g)
(3.1)
i
Comme toute integrale, Z est invariante par changement de variable,
pour peu que ce changement de variable ne soit pas singulier. Ainsi, si on
ecrit la transformation in nitesimale
i = 0i + fi (f0j g)
de jacobien
1 + J (f0j g) + O(2 )
on a, en developpant l'integrande au premier ordre en ( N12 ) et en
ecrivant S (fig) = S (f0ig) + S (f0ig) :
ZY
Z=
d0 e?N S(f g)(1 ? N 2(S (f0 g) ? J (f0 g))
i
i
2
0
i
i
i
(3.2)
Ceci nous donne, en comparant a Eq. (3.1), l'equation :
ou hAi represente
hS (fig) ? J (fig)i = 0
R Q d e?N S(f g)A
R Qi di e?N S(f g)
2
i
i
(3.3)
i
2
i
Cette equation est appelee equation du mouvement, ou encore equation
des boucles Elle est la consequence de la conservation de Z par le changement
de variables i ! i + fi (fi g)
42CHAPITRE 3. ME THODES DE RE SOLUTION DES MODE LES DE MATRICES
3.3.1 Limite planaire et theoreme de factorisation
Les equation du mouvement (autant que de changements de variables
in nitesimaux) donnent un grand nombre de relations entre des valeurs
moyennes d'operateurs du modele.
Sont-elles susantes pour calculer ces valeurs moyennes ?
Examinons, pour xer les idees, le cas d'un modele a une matrice
S = 1 tr V ()
N
Le changement de variable
! + n
donne l'equation du mouvement (a priori valable pour tout N )
X
0
n?1 n?1 tr i tr n?1?i
h tr V ()
?
i=0
N
N
N
i=0
(3.4)
Le theoreme de factorisation nous permet d'ecrire, pour un modele de
matrice general, mais dans la limite N ! 1 (limite planaire) uniquement
h tr A tr B i = h tr A ih tr B i
(3.5)
N N
Par suite, on a
X
N
N
0 ()n n?1 tr i tr n?1?i
tr
V
h
i? h
ih
i=0
N
i=0
N
N
(3.6)
qui nous permet de ne faire intervenir dans les equations du mouvement,
dans la limite planaire, que les un = h trNn i. L'equation 3.6 du mouvement
est alors une relation de recurrence reliant, pour un potentiel de degre d,
ud?2+n a des termes d'ordre inferieur.
3.3.2 Exemple : resolution explicite du modele cubique
Soit
V () = 3g 3 + 12 2
On voudrait calculer la resolvante
!(z) = h N1 tr z ?1 i
3.3. METHODE DES EQUATIONS DE BOUCLES
43
du modele, dont le developpement nous donne les valeurs moyennes des
tr n .
Soit le changement de variable :
= 0 + 1 0
z?
On a
0 0 0n
S = tr V ( )
N
En ce qui concerne le jacobien de la transformation,
@ i;j
?n?1 0 k 0n?1?k
@ 0l;m = i;lj;m + k;n z il mj
X
Les seuls termes qui contribuent, a l'ordre 1 en au jacobien sont les termes
diagonaux : i = l et j = m. Celui-ci vaut alors
1 + ( N1 tr z ?1 0 )2 + O(2 )
L'equation du mouvement correspondante est (en remplacant la notation 0
par )
gh N1 tr 2 z ?1 i + h N1 tr z ?1 i ? !(z)2 = 0
soit en simpli ant
(g z 2 + z ) ! (z ) ? g t ? g z ? 1 ? ! (z )2 = 0
avec la notation :
n
tn = h trN i
Ceci nous donne immediatement :
p
(3.7)
2
2
!(z) = (gz + 1)z z (gz +21) ? 4(gz + 1 + gt )
(3.8)
La propriete
!(z) 1z
a l'in ni nous permet de choisir la bonne determination de ! . Il reste cependant une inconnue : t , en fonction de laquelle on peut ecrire tous les tn .
On peut la determiner en ajoutant une condition physique : la coupure de
! correspond au support des valeurs propres de la matrice hermitienne et
44CHAPITRE 3. ME THODES DE RE SOLUTION DES MODE LES DE MATRICES
est donc un segment [a; b] de l'axe reel. Le polyn^ome place sous la racine de
l'expression de ! a donc une solution double ainsi que deux solutions simles
reelles. Ceci sut a determiner totalement ! et t .
Le modele est critique quand t (g ) est singulier. On obtient ainsi gcritique .
On peut aussi remarquer que ! (z ) change elle aussi de comportement en
g = gc :
3
! (z ? b) 2
1
au lieu de (z ? b) 2 Determiner la condition pour laquelle ! se comporte en
puissance 23 peut ^etre une autre methode pour trouver la position du point
critique.
On peut remarquer ici que g = 0 correspond au cas gaussien.pOn a alors,
comme ! (z + i0) ? ! (z ? i0) = i(z ), la formule (z ) = 1 z 2 ? 4. On
retrouve ici la loi de distribution en demi-cercle.
3.3.3 Cas a plusieurs matrices
A priori, dans le cas a plusieurs matrices, le nombre d'operateurs apparaissant dans les equations du mouvement est nettement plus important :
pour un modele a k matrices, pour une trace d'ordre n (contenant n matrices
i ), on a tous les operateurs du type
Y
tr n
=1
i
ou
i
= 1; 2 : : : k
i
Cela fait un nombre d'operateurs de l'ordre de kn .
Certes, le nombre d'equations du mouvement impliquant uniquement des
traces d'ordre inferieur ou egal a n est aussi tres eleve, cependant, il n'existe
pas de technique permettant a priori d'obtenir une relation de recurrence
simple et de calculer, comme dans le cas a une matrice, toutes les valeurs
moyennes de traces, en fonction d'un nombre ni d'inconnues.
3.4 Groupe de renormalisation
3.4.1 Motivations
La methode du col et la methode des polyn^omes orthogonaux utilisent
toutes deux l'expression de la fonction de partition du modele de matrices
en terme de valeurs propres.
Pour cela, on reecrit la mesure en fonction des valeurs propres et des variables angulaires et on integre sur ces-dernieres. Nous avons vu, cependant,
3.4. GROUPE DE RENORMALISATION
45
que ceci n'est aise que si l'on peut se ramener a une serie d'integrations par
la formule de [48] sur des variables angulaires independantes.
Cette condition nous limite a priori a des modeles de matrices couplees
en cha^ne ou en arbre et exclut en principe les modeles, m^eme simples, ou
les matrices sont couplees en boucle. De plus, si les modeles que l'on sait
resoudre (cha^nes et arbres) nous permettent d'avoir acces a des charges
centrales c 1, on n'a jusqu'a present su resoudre, par quelque methode
que ce soit, aucun modele de charge centrale conforme superieure a 1.
Les methodes de groupe de renormalisation ont ete developpees pour
pallier a ces dicultes en o rant une nouvelle technique d'investigation des
modeles de matrices. On espere en particulier acceder, par le biais de cette
methode approchee, a des modeles complexes, qui sont restes jusqu'ici inaccessibles aux methodes exactes. On espere aussi mieux comprendre, et
pourquoi pas depasser, la \barriere" a c = 1.
3.4.2 Principe de la methode
Notations :
Un modele de matrices est caracterise par :
La taille N de sa (ou ses) matrice(s) N
Son action S , que l'on va decrire par l'ensemble de ses constantes de
couplage g = fg1; : : :; gng.
R
On ecrit alors la fonction de partition : ZN (g ) = dN e?N 2 S (N ;g) .
Renormaliser le modele consiste a reexprimer la fonction de partition
ZN +1 (g ) comme ZN (g + g ), fonction de partition d'un modele de m^eme
forme, mais dont la (les) matrice(s) est (sont) de taille inferieure, et dont les
constantes de couplage ont ete modi ees.
Pour passer d'une matrice de taille (N + 1) (N + 1) a une matrice de
taille N N , on ecrit
v
N
N +1 = v ou est un reel et v un vecteur colonne a N composantes, et ou l'on integre
sur v , v et .
On a alors :
ZN +1 (g ) =
Z
2
dN +1 e?(N +1) S (N +1 ;g) =
Z
2
dN dv dv d e?(N +1) S (n ;v;v ; ;g)
soit, apres integration, et en ne gardant que les deux premiers ordre du
46CHAPITRE 3. ME THODES DE RE SOLUTION DES MODE LES DE MATRICES
developpement en
1
N
:
ZN +1(g ) =
Z
2
dN e?N S (N )
0
Pour peu que l'on puisse reecrire la nouvelle action S 0 sous la m^eme forme
que l'action de depart, mais avec des constantes de couplages di erentes
comme S (N ; g +g ), nous obtenons le changement de constante de couplage
g equivalent a un changement de taille de la matrice : N
= ? N1 .
N
3.4.3
Obtention des points et des exposants critiques
On espere que la methode de groupe de renormalisation pourra s'appliquer alors m^eme que l'on ne sait pas resoudre exactement le probleme
car calculer ZN revient a integrer sur les N 2 variables de N , tandis que
renormaliser le modele consiste a integrer sur (2N + 1) composantes reelles
seulement.
La contrepartie de cette simplicite est que l'on obtient un resultat moins
complet que dans le cas des methodes exactes : en particulier, on ne conna^t
pas la valeur de Z .
Cependant, conna^tre l'equation donnant l'evolution de g est susant
pour obtenir les renseignements les plus importants sur le modele : points
critiques, exposants critiques . . .
Expression de l'invariance d'echelle
On sait que, d'une facon generale, il y a invariance d'echelle au voisinage
des points critiques d'un probleme. Dans le cadre des modeles de matrices
aleatoires, on va considerer la taille des matrices comme le facteur d'echelle.
Si l'on exprime cette propriete, on a, dans le cas ou il n'y a qu'une seule
constante de couplage g , le point critique etant note gc :
ZN (g; N ) = ZN ((g ? gc )(
0
0
N0 ) + g c ; N )
N
a une constante de proportionnalite c(g ) pres, ne dependant pas de , et
reguliere en g .
Si on ecrit l'equation d'evolution generale pour l'energie libre du modele
F = ? N12 ln Z , on a [15] :
N
@
F
@N
@
F + r(g )
= i (g ) @g
i
3.4. GROUPE DE RENORMALISATION
ou
i
47
@gi
= N @N
traduit l'evolution des constantes de couplage, et ou r(g ) est une fonction
reguliere en g issue de la constante de proportionnalite c(g ).
Dans le cas ou on peut se ramener a un modele a une seule constante de
couplage, le point critique est un point xe du groupe de renormalisation et
veri e :
(g ) ' (g ? gc ) au voisinage de gc
soit
(gc) = 0
Determination des points critiques a partir des ots
D'une facon plus generale, les points critiques decrivent un changement
dans le comportement du modele. Les lignes de ot du groupe de renormalisation sont l'ensemble des valeurs des constantes de couplages, obtenues
en faisant changer N , a partir d'un ensemble de constantes de couplages de
depart donne. Le long d'une ligne de ot du groupe de renormalisation, le
comportement physique reste le m^eme. La ligne critique marque la transition entre les domaines de couplages ou l'on est attire par des points xes du
groupe de renormalisation di erents. Pour des raisons topologiques simples,
la ligne critique est elle-m^eme une ligne de ots du groupe de renormalisation. Les points de la ligne critique sont attires vers un point xe qui possede
au moins une direction instable : le point xe critique du modele.
g2
ligne critique
point fixe critique
point fixe stable
g1
3.5 { Les points critiques (qui forment ici une ligne critique) marquent
la separation entre les points de l'espace des constantes de couplage attires
vers des points xes di erents.
Fig.
48CHAPITRE 3. ME THODES DE RE SOLUTION DES MODE LES DE MATRICES
Exposants critiques
D'autre part, si on linearise les i(g ) au voisinage d'un point xe gic
du groupe de renormalisation, on a, en fonction des constantes de couplage
linearisees gi : i / i(gi ? gic ) soit
N
@F
@N
@F
= i(gi ? gic ) @g
i
ou les i sont relies aux singularites de F , donc aux exposants critiques
(cf ch 1).
Exemple : modele a un matrice :
au voisinage du point critique,
N
@F
@N
= (g ? gc ) @F
@g
la partie singuliere de F est donnee par la solution de l'equation sans second
membre : Fsing = N 2 (g ? gc )2=
soit
s = 2 ? 2=
e ni au 2.6.3.
s est l'exposant de corde que nous avons d
A present, dans les chapitre 4, 5, et 6 suivants, nous allons decrire le
travail que nous avons e ectue dans les articles inclus a la n de cet ouvrage
(chapitre 8).
Chapitre 4
Predire l'allure des ots . . .
Dans ce chapitre, nous allons tout d'abord expliquer comment on peut
relier [16] l'allure des ots de groupe de renormalisation a la valeur de la
charge centrale conforme. Nous verrons ensuite la methode que nous avons
mise au point [1] pour mettre en uvre les techniques de groupe de renormalisation. Nous verrons en n comment nous avons ameliore la precision
des points et exposants critiques, et nous decrirons ceux de nos resultats qui
viennent a l'appui de la conjecture de [16].
4.1
La conjecture
Les modeles qui nous interessent le plus sont les modeles de matrices correspondant a une charge centrale conforme c > 1 : il a ete en e et jusqu'a
present impossible d'en trouver et d'en resoudre un seul. La physique dans
ce domaine devrait pourtant ^etre plus interessante, que ce soit du point de
vue de la gravitation quantique ou de la theorie des cordes.
Dans toute cette partie, les modeles que nous allons etudier sont des
modeles bien connus de charge centrale conforme c < 1. Cependant, la
connaissance des ots de renormalisation de modeles de charge centrale c 1, m^eme deja resolus par ailleurs, pourrait faire avancer la comprehension
des problemes a c > 1. En e et, F. David [16] a emis une conjecture sur
l'allure des ots des modeles de charge centrale c < 1, ainsi que sur leur
evolution lorsque c ! 1. Il predit aussi le comportement de ces modeles
lorsque c a depasse 1. La veri cation de cette conjecture, ne serait-ce que
pour des modeles de c 1, ferait grandement avancer la comprehension de
la barriere a c = 1.
49
CHAPITRE 4. PREDIRE L'ALLURE DES FLOTS . . .
50
Nous allons a prsent expliquer cette conjecture.
Prenons l'exemple d'un modele simple (introduit pour la premiere fois
dans [46]) :
2
tr4 ? x ( tr2 )2
S = tr
?
g
2N
4N 2 2N
Lorsque x = 0, on retrouve un modele de gravite pure : S = tr2N2 ? g tr4N4
(voir 2.5).
En terme de surfaces aleatoires, resoudre ce modele revient a sommer sur
des surfaces regulieres, discretisees par l'intermediaire de quadrangulations,
avec une action proportionnelle a l'aire de celles-ci.
4.1 { Gravite pure (avec une action en tr 3 ) : dans la limite N ! 1,
seules les surfaces de topologie planaire (a gauche) sont autorisees
Fig.
Lorsque x 6= 0, par contre, le terme en x introduit des singularites dans
la surface. Plus precisement, il signi e que l'on peut avoir des surfaces collees
l'une a l'autre par une ar^ete : le poids d'un tel branchement dans la fonction
de partition est alors x. On dit que x est un terme de branchement.
Fig. 4.2 { Gravit
e et termes de branchement. Lorsque ce-dernier est non nul,
on engendre des surfaces singulieres composees de plusieurs surfaces collees
(\branchees") en un point.
On considerera dans la conjecture des problemes plus generaux, pouvant
4.1. LA CONJECTURE
51
^etre domines, selon les regions de constante de couplage ou l'on se place, soit
par la gravite avec ou sans champ de matiere, soit par les termes de branchement. Cependant, on notera toujours la contante de couplage correspondant
physiquement a la gravite g , et la constante de couplage de branchement x.
Le modele simple dont l'action a ete donnee plus haut est un modele
assez generique, puisqu'il m^ele les deux types de comportement : gravite et
branchements. On peut le resoudre exactement, et sa solution est donnee
par la gure 4.3.
g
0.1
gravity
branching point
0.05
branched polymer
0.25
0.5
0.75
x
4.3 { Solution exacte : ligne 2critique 4et point bicritique
(branching
2 2
tr
tr
x
tr
point) du modele suivant : S = 2N ? g 4N ? 2 ( 2N )
Fig.
Lorsqu'on se place a x = 0 (gravite pure), le point critique du modele est :
= ? 121 . Le point critique du modele a g = 0 (termes de branchement seuls)
correspond a une valeur de x : xc = ? 21 . L'ensemble des points critiques du
plan (g; x) constitue la ligne critique dessinee sur la gure 4.3. Le point
bicritique du modele sera note C.
La solution exacte nous permet aussi d'avoir acces aux exposants critiques du modele : entre le point critique de gravite pure et C, on a s = ? 21 ,
par suite, le comportement est celui de la gravite. Entre C et le point critique
de branchement, par contre s = + 21 , ce qui correspond a un comportement
critique de branchement. En n, en C, s = 13 .
gc
CHAPITRE 4. PREDIRE L'ALLURE DES FLOTS . . .
52
Conjecture quand c < 1
La conjecture nous donne a priori l'allure des ots de groupe de renormalisation d'un modele generique (voir gure 4.4), avec un axe pour le couplage
de la gravite (ici g ), et un axe pour la constante de couplage de branchement (ici x). Les eches indiquent le sens de l'evolution des constantes de
couplage sous l'action du groupe de renormalisation, lorsque N decro^t. La
ligne critique marque la separation entre deux comportements. D'un c^ote,
les ots sont attires par le point xe gaussien (g et x nuls, l'action est alors
quadratique) qui est dans tous les cas un point xe purement attractif du
modele. De l'autre, ils divergent. Sur la ligne critique, on place le point bicritique C dont on sait qu'il represente un point totalement repulsif. On sait
de plus que la variete ou l'on n'a que des termes de branchements (g = 0)
represente une sous-variete xe du probleme.
A
g
C
B
x
4.4 { Allure conjecturee des ots de renormalisation pour un modele
de c < 1 ( gure tiree de [16])
Fig.
On conjecture en n l'existence d'un point xe de gravite A (avec
s
=
? 21 ), vers lequel sont attires tous les points critiques d'exposant de corde
1
s = ?2.
A l'epoque ou cette conjecture a ete faite (1997), les ots de groupe de
renormalisation de ce modele avaient ete calcules de maniere extr^emement
elementaire, ce qui donnait la gure 4.5.
On voit que les calculs etaient trop approches pour con rmer ou in rmer
notre hypothese.
4.1. LA CONJECTURE
53
g
0.2 A
0.1
G
0
B
0.5
x
1
-0.1
C
-0.2
Fig.
4.5 { Premiers calculs approches de ots ( gure tiree de [16])
Evolution des ots pour c ! 1 et cas c = 1
Tout l'inter^et de la conjecture reside dans l'evolution des points A et C
en fonction de la valeur de la charge centrale c.
On sait que l'exposant
p de gravite est relie a la charge centrale par la
formule s = 121 (c ? 1 ? (25 ? c)(1 ? c)) donnee au 2.6.3. (Par exemple, si
c = 0, ce qui correspond a un modele de gravite pure, on retrouve s = ? 12 ).
On peut montrer que, dans la limite planaire (N ! 1), l'exposant 0 au
point C est relie a s par la formule 0 = s?s 1 (soit, quand c = 0, 0 = 31 ).
Lorsqu'on linearise les ots au voisinage des points xes A et C, s et 0
sont relies a l'evolution des constantes de couplage linearisees au voisinage
du point xe (g ; x) par la formule = 2 ? 2= ou N @x
@N = x . En
particulier, si > 0, la direction est repulsive (les ots vont dans le sens des
N decroissants) tandis qu'elle est attractive si < 0.
Lorsque c ! 1, s et 0 tendent tous deux vers 0, donc C = A = 1.
@g = 0g ; 0 > 0 et 0 < 0
D'autre part, si on calcule 0 de ni par N @N
C
A
lorsque c < 1 (ce qui correspond bien au fait que C est totalement repulsif,
et que A a une direction attractive) mais 0C et 0A tendent tous deux vers
0 quand c ! 1.
CHAPITRE 4. PREDIRE L'ALLURE DES FLOTS . . .
54
Ces deux arguments suggerent la conjecture suivante : quand c se rapproche de 1, les points xes C et A se rapprochent.
On a montre que, si tout au moins le point xe A existe bien comme on
l'a suppose, les exposants de A et de C sont confondus lorsque c = 1.
On conjecture donc que, quand c = 1, C et A sont confondus, ce qui
donne l'allure donnee sur la gure 4.6 pour les ots de renormalisation du
probleme.
C’
g
B
x
4.6 { Flots de renormalisation conjectures pour un modele de c = 1
( gure tiree de [16])
Fig.
Flots du modele quand \on depasse c = 1"
En n, en prolongeant ce comportement lorsque c > 1, on obtient la gure
4.7.
La veri cation de cette conjecture serait tres importante (ne serait-ce
que si on la veri e pour c 1) car la gure ci-dessus nous montre que
les ots du modele ainsi decrit sont attires vers l'axe g = 0 (branchements
\purs").
Il n'y a pas de point xe a g 6= 0, et donc pas d'exposant critique qui ne
soit pas un exposant d'un modele de branchements, ni de theorie continue
\interessante" a c > 1 (i.e. une theorie de gravite+matiere bidimensionnelle).
Remarque : on peut toujours imaginer que, m^eme si la conjecture s'avere
vraie, lorsque le mecanisme qui nous donne, \au-dela de c = 1, une theorie
4.2. VERIFICATIONS POUR LE MODELE A UNE MATRICE
55
branched polymer true scaling
c~1 pseudo-scaling
A
g
B
x
Fig.
4.7 { Flots de renormalisation conjectures pour un modele \au-dela de
c = 1" ( gure tiree de [16])
continue peu interessante sera mieux compris, on pourra modi er intelligemment cette theorie pour obtenir, cette fois, une theorie continue de gravite
a c > 1.
4.2 Veri cations pour le modele a une matrice
Les modeles a une matrice sont certainement les mieux connus : on ne
s'interesse donc pas a eux pour trouver la ligne critique ni les exposants
critiques, par exemple, puisqu'on les conna^t deja.
Cependant, precisement parce que l'on possede a leur sujet des resultats
exacts, il est essentiel, avant toute etude plus complexe, de mettre a l'epreuve
les techniques de ot de renormalisation sur un de ces modeles simples et
connus, a n de determiner en particulier le degre de precision auquel on
peut s'attendre.
En n, si les modeles a une matrice auxquels je me suis interessee sont
deja resolus par des methodes exactes, une partie des resultats obtenus ici,
comme l'allure des ots ainsi que l'existence d'un point xe de gravite (le
point xe A du 3) nous restaient inconnues, car ce sont des donnees propres
a la technique de ot de renormalisation. Or ces donnees sont justement
celles que l'on cherche pour etayer en n la conjecture decrite en 3 par des
resultats concrets, \experimentaux".
CHAPITRE 4. PREDIRE L'ALLURE DES FLOTS . . .
56
4.2.1 Premieres approximations
Ecrivons un modele de matrices tres simple, par exemple le modele de
gravite pure ou :
tr2 + g tr 4 ) avec g < 0
S = N 2(
2N
4N
Nous allons calculer la premiere etape de l'evolution de S sous l'action
du groupe de renormalisation. On a
Z
tr4
2 tr2
ZN +1 = dN +1 e?(N +1) ( 2(N +1) +g 4(N +1) )
avec les notations :
est une matrice N N
v
N +1 = v ou v un vecteur colonne
un reel
trn = T = n
et V = S2 = T2 + gT4
n
nN
n
N
Remarque : on montre que Tn , v v , et sont tous d'ordre 0 en 1=N .
Si on calcule, a l'ordre 1 en N1 , tr22 et tr44 en fonction de , v et , on
obtient
avec
Zn+1 =
Z
1
2
de?N ((1+ N )(T2 +gT4 ))
Z
dvdv d f0(v; v ; ; )
(v v)2 2 4
2
2
f0 (v; v ; ; ) = e?N (v (1+g +g +g )v+ 2 + 2 + 4 )
En utilisant la methode du col, on trouve que, lorsque N ! 1,
peut
^etre remplace par sa valeur moyenne. En utilisant ensuite la parite de l'action de notre modele, on a immediatement < >= 0.
Pour le calcul de l'integrale en v :
Z
(v v)2
2
dvdv e?N (v (1+g )v+ 2 )
2
on introduit le champ auxiliaire = v v et on remplace (v 2v) par (v v )? 22
dans l'expression precedente. Une fois l'integrale en v e ectuee, on minimise
par rapport a . On obtient alors = s qui veri e :
tr
1
hN
1 + gs + g 2 ? gsi = 0
4.2. VERIFICATIONS POUR LE MODELE A UNE MATRICE
57
En utilisant les equations du mouvement (voir rappels plus loin), on obtient
s = 2T2.
On a nalement l'equation de renormalisation :
@V
?N @N
= T2 + gT4 + tr ln(1 + g 2 + 2gT2) ? 2gT22
Cette expression engendre de nombreux termes que l'on n'avait pas dans
l'expression initiale : en particulier tous les T2n ; n 2 N , ainsi que des puissances arbitraires de T2. Or le but de la methode de groupe de renormalisation est de conserver une action de m^eme forme que l'action de depart.
Pour resoudre ce probleme, on peut tronquer tous les termes qui ne correspondent pas a la forme initiale, ce qui donne, en ne gardant que les termes
lineaires en T4 et T2 :
@V
?N @N
= (1 + 4g )T2 + gT4
Par le changement de variable
! (1 ? 1 2+N4g )
on obtient
@g
?N @N
= ?g ? 4g 2
soit gc = ? 41 a comparer avec la valeur exacte de gc = ? 121 . Ainsi, si on
tronque les termes qui ne sont pas de la forme de l'action initiale, on obtient
une valeur de gc triple de la bonne valeur [15] !
Si au contraire on essaye de garder les termes engendres par la renormalisation, il faut calculer l'expression de la renormalisation d'un potentiel general
V (Tn ).
Ceci est possible, soit en introduisant de nombreux champs auxiliaires,
soit encore en calculant explicitement la renormalisation du potentiel general.
Dans tous les cas, cependant, les calculs par ordinateur des points xes
d'un modele a partir de ces formules convergent extr^emement lentement.
Ils peuvent m^eme ne pas converger du tout en ce qui concerne les valeurs
des exposants critiques. En e et, on peut constater que, dans le cas d'un
modele de branchements purs par exemple, on obtient, a chaque ordre de
troncation, des dimensions d'echelle entieres, alors que la dimension exacte
est connue et vaut 34 .
58
CHAPITRE 4. PREDIRE L'ALLURE DES FLOTS . . .
4.2.2 Equations du mouvement
Les equations du mouvementn permettent de relier les valeurs moyennes
des operateurs Tn = n =n = trnN entre elles. Gr^ace a elles, nous allons pouvoir simpli er les equations de renormalisation. On ecrit que la fonction de
partition du modele est invariante par changement de variable d'integration :
si
= 0 + 0k Ak (fTn0 g)
on obtient
@V (k + n ? 1)T 0 A (fT g)
V (fTng) = V (fTn0 g) + @T
k+n?1 k n
n
et le jacobien de la transformation est :
?1 i k?1?i d'ou
J = \j @@0 j" = 1 + N 2Ak (fTng)ik=0
Z
Z
@V
2
2 V (fTng)
?
N
d e
= d e?N V (fTng)+Ak ( @Tn k+n?1 ?i k?1?i )
On peut alors ecrire les equations du mouvement generales pour un
modele a une matrice :
+
*
X
@V ?
ik?1?i = 0
k
+
n
?
1
@Tn
i
Ceci signi e que l'on peut ajouter a V toute equation du mouvement
ou somme d'equations du mouvement sans changer la fonction de partition,
puisque cela ne fait qu'exprimer un simple changement de variable.
4.2.3 Approximation lineaire
Il s'agit d'une methode de renormalisation approchee utilisant les equations du mouvement pour reduire le nombre de termes engendres par la
renormalisation. Cette methode a ete mise au point par Higuchi , Itoi, Nishigaki et Sakai [17] et leur a permis de calculer les ots approches de modeles ne comportant pas de terme de branchement (i.e. : pas de carres ou de
puissances plus elevees de traces).
Pour cela, on ecrit les equations du mouvement du modele : pour le
modele de gravite pure V = T2 + gT4, ces equations sont :
g2n+4 + 2n+2 ?
n
X
i=0
2i2(n?i) = 0
4.2. VERIFICATIONS POUR LE MODELE A UNE MATRICE
59
(On rappelle la notation : n = nTn = trNn ). Si on de nit f (z ) =
tr 1 2 , on obtient, par le chagement de variable
N 1+z
= 0 + 1 + 1z 02
une equation quadratique en f qui donne :
p
(g + z ) + (g + z )2 ? 4z 2 (g + z + g2z )
f (z ) =
2z 2
ou on choisit
p la determination de la racine telle que, quand z = 0, la
racine carree g 2 soit jg j = ?g > 0.
L'evolution de V devient alors :
N
@V
@N
= gT4 + T2 + ln(1 + 2gT2) + 2gT22 +
Z ?g
1+g2
0
dz
1 ? f (z )
z
Comme la premiere equation du mouvement est g4 + 2 ? 1 = 0, on
peut ecrire f (z ) en fonction de 4 . L'approximation lineaire consiste a ecrire
2T2 = 1 ? 4gT4 et a ne conserver que les termes lineaires en T4, ce qui donne :
N
@V
@N
= ?g +
Z ?g
1+g
0
?4g2((z + g)2 ? 4z2(z + g + gz))? 21 dz
@V = 0, ce qui donne :
le point critique du modele s'obtient par la relation @N
1 , ce qui fait un erreur de 0:9%.
gc ' ?0:0841. Le veritable gc vaut ? 12
Cette methode permet aussi de calculer l'exposant critique de gravite : on
obtient la valeur propre = 0:76 au lieu de 0:8, soit 5% d'erreur ce qui
donne un exposant s = 2 ? 2 ' ?0:6 au lieu de ?0:5 soit une erreur de
26%.
Comme il fallait s'y attendre, la precision est plus dicile a obtenir pour
les exposants critiques que pour la position des points critiques.
Cette methode a donc permis d'obtenir des resultats quantitatifs et non
plus seulement qualitatifs (1% environ de precision sur le point critique
au lieu de 200% comme dans les premieres approximations ), neanmoins,
elle a permis de trouver des ots approches seulement pour des modeles
de gravite sans branchement. Or, pour veri er la conjecture sur les ots
de renormalisation, ce qui nous interesse c'est d'obtenir des ots pour des
modeles de gravite et branchements. De plus, en se limitant a l'ordre lineaire,
60
CHAPITRE 4. PREDIRE L'ALLURE DES FLOTS . . .
la methode de [17] commet une erreur a priori \incompressible", c'est-a-dire
qu'elle ne comporte pas de technique permettant d'ameliorer la precision
autant qu'on le desire. C'est pour cela que nous avons developpe une autre
technique que nous allons decrire maintenant.
4.2.4 resolution d'un modele m^elant gravite et termes de
branchements
Ambigute des ots de groupe de renormalisation
Les ots de groupe de renormalisation ne sont pas uniquement determines. En e et, les equations du mouvement, dont nous avons deja parle, sont
des relations qui expriment la possibilite de reecrire l'equation de groupe
renormalisation sous une autre forme sans rien changer a la fonction de
partition.
@V = T + T 2 et l'
Ainsi, si j'avais par exemple N @N
equation du mouvement
4
2
@V
T2 = T4, je pourrais ecrire aussi bien N @N = T4 + T42 que T2 + T22. Selon
les cas, le couplage associe a l'operateur T4 varie en fonction de N ou bien
est constant. De ce fait, si je dessine les ots correspondant dans l'espace
des constantes de couplages, leur allure est totalement di erente selon la
formulation choisie.
En particulier, un point xe dans l'espace des constantes de couplages, si
je decide de le reecrire de facon arbitraire en fonction de plusieurs couplages
relies entre eux, pourra ne plus appara^tre comme xe.
Il convient donc, pour utiliser les equations du mouvement de facon
judicieuse, de comprendre tout d'abord ou se trouve la physique lorsque tant
de diagrammes de ots di erents representent pourtant la m^eme fonction de
partition. Nous constatons que l'existence d'operateurs \redondants" (par
exemple si on a la relation T4 = T2) entraine l'existence de sous-varietes sur
lesquelles les ots peuvent evoluer sans que cela represente quoi que ce soit
du point de vue de la physique sous-jacente (dans l'exemple cite plus haut,
tous les points de la courbe (coecient de T4 + coecient de T2 = constante)
representent la m^eme physique).
Ainsi, si C est un point xe dans la representation physique \ideale"
ou on aurait elimine tous les operateurs redondants, il ne sera pas xe dans
toutes les representations. Il sera, dans le cas general, attire vers un nouveau
point xe C' de la sous-variete physiquement equivalente a C dans notre
representation.
On peut ainsi, si l'on sait par exemple que, dans l'ideal, on devrait pou-
4.2. VERIFICATIONS POUR LE MODELE A UNE MATRICE
61
2
voir exprimer les ots du modele V = T2 + gT4 + x T22 exclusivement dans
le plan (g; x), identi er les points xes, lignes et points critiques physiques
a partir des ots que l'on a reussi a obtenir et qui font intervenir un plus
grand nombre de constantes de couplages.
g
C
C’
x
r
4.8 { Evolution des ots dans l'espace des 3 constantes de couplages
g , x, et r o
u r correspond a un operateur redondant. Les lignes et varietes
critiques sont en pointilles, et les ots en trait plein.
Fig.
g
C
x
Fig. 4.9 { Evolution des ots dans l'espace (g; x), d
eduite de ceux obtenus
dans l'espace (g; x; r)
Cas d'un nombre de constantes de couplage in ni
Bien que l'on puisse sans diculte, a partir d'un nombre d'operateurs ni
plus grand que le nombre minimum d'operateurs non redondants possible,
identi er les points et lignes critiques, le cas d'un nombre d'operateurs (et
donc de constantes de couplage) in ni est plus delicat. En e et, obtenir un
62
CHAPITRE 4. PREDIRE L'ALLURE DES FLOTS . . .
nombre in ni d'operateurs, c'est risquer de devoir faire une troncature non
contr^olee dans l'equation de groupe de renormalisation, troncature susceptible de ne pas converger vers l'expression exacte. C'est ce qui se passait dans
le cas du modele de \branchements purs"(voir annexe de [1]), ou, dans les
tout premiers calculs de ots les equations du mouvement n'avaient pas ete
utilisees. On trouvait alors que certains exposants critiques ne convergeaient
pas. L'expression exacte de l'equation de renormalisation, sous sa forme
\brute" (sans usage des equations du mouvement) n'etait pas developpable
en serie entiere. Par consequent, la troncature sous forme de developpement
limite, qui avait paru pourtant raisonnable, ne convergeait pas. Nous avons
donc, dans toute la suite, utilise les equations du mouvement au maximum
de nos possibilites : en plus de la simpli cation notable des ots que cela
occasionne, nous avons pu obtenir, en outre, l'assurance de la convergence
de nos expressions.
Equations de groupe de renormalisation dans le cas avec branchements
Soit a present le modele :
V
2
= T2 + gT4 + xT2 2
Ecrivons les equations du mouvement de ce modele :
g2n+4
+ 2
n+2
(1 + xT2) ?
X
2i2(n?i)
=0
On voit que l'on ne peut pas, par un changement de variable regulier
dans la fonction de partition, exprimer l'integrale exclusivement en fonction
de T4 : en e et, on engendre aussi des termes en T4T2 .
Puisque, de toute facon, on engendre des puissances de T2 dont on ne
peut se debarrasser, nous allons ecrire l'equation de renormalisation d'un
modele plus general mais lineaire en T4 :
n
V
= gT4 + (T2)
ou est la fonction de nie par :
(T2
1
X
)=
j =1
j
hj T2
2 ?1
j
et
h1
= 1;
h2
=x
4.2. VERIFICATIONS POUR LE MODELE A UNE MATRICE
63
Nous pouvons montrer que
N
@V
@N
= gT4 + 2 ? T2U + tr ln(U + 2gT2 + g 2) ? 2gT22
avec
@
@T2
Nous pouvons alors resommer les equations
du mouvement en ecrivant,
1
comme precedemment : f (z ) = tr 1?z2 , et nous avons :
N
@V
@N
=
x
2
x
+
ln
U + ln(1 ? x) + +
2
2
p
Z 2
2
1?x
z ? ? 2z + (z ? ) ? 4z 2(z ? ? zx)
dz
?2z3
0
gT4 + 2 ?
L'introduction des variables x = 2T2U et = ? Ug2 permet de simpli er
les ecritures.
Nous developpons alors cette expression a l'ordre n en g avec tronquee
a l'ordre Y en T2 . Le developpement en g n'est pas un simple developpement
en serie entiere mais comporte aussi des termes en g n ln g et necessite donc
un traitement soigneux. Apres transfomations, l'integrale devient :
p
Z1
(1
?
x)(x ? a) ? 2(1 ? a)2 + (1 ? x) (x ? a)2 + 4a(1 ? a)2
p da
?2(1 ? a)3
x Z p1
0
+
du
p
(1 ? x)x(1 ? u) ? 2(1 ? xu)2 + x(1 ? x) (1 ? u)2 + 4 xu (1 ? xu)2
x
?2(1 ? xu)3
et peut alors se developper a l'aide d'un logiciel de calcul formel.
Resolution numerique
Nous pouvons resoudre numeriquement (en depit de dif cultes techniques) l'equation differentielle ainsi obtenue, qui fait intervenir un nombre Y
de constantes de couplage. Celles qui nous interessent sont g et x, c'est pour
cela que nous nous contenterons generalement de visualiser la projection des
ots de renormalisation sur le plan (g; x).
L'allure des ots met en evidence l'existence de trois points xes du
groupe de renormalisation de nis dans l'espace a Y constantes de couplage.
CHAPITRE 4. PREDIRE L'ALLURE DES FLOTS . . .
64
(A') a une direction repulsive, (C') en a deux, quant a (B'), qui est le point
xe des branchements purs, il a une direction repulsive selon l'axe des x .
En n, pour en revenir aux points du plan (g; x), le point bicritique (C)
marque la separation entre les points de la ligne critique qui sont attires vers
(A') et ceux qui sont attires vers (B'). Nous identi ons aussi le point xe de
la gravite (A).
-g
0.1
0.08
A
A’
0.06
C
C’
0.04
0.02
B
0.1
0.2
0.3
B’
0.4
-x
Fig. 4.10 { Projection des ots de renormalisation dans l'espace (g; x), avec
en abscisse ?x et en ordonnee ?g , calcules a l'ordre n = 5 en g et a l'ordre
Y = 6 en T2 . La ligne critique (en pointill
es sur la gure) est approchee par
des constantes de couplage legerement en-dessus et legerement en-dessous de
cette ligne ( gg ' 10?4 ). L'evolution de ces constantes de couplage sous l'action du groupe de renormalisation est dessinee en tra^t plein : nous voyons
clairement que les evolutions de deux points tres proches de part et d'autre
de la ligne critique sont d'abord presque identiques (les lignes correspondantes semblent confondues sur la gure), puis se separent : d'un c^ote de la
ligne critique, le ot est attire par le point xe gaussien (g; x) = (0; 0), de
l'autre, les constantes de couplage croissent (en fait, elles divergent m^eme
en un temps ni).
4.2. VERIFICATIONS POUR LE MODELE A UNE MATRICE
65
A cet ordre d'approximation assez bas, nous obtenons gc = ?0:087575(25),
ce qui fait 5% d'erreur sur le point critique de gravite pure. (Contre 1% avec
la methode de [17]). Nous avons 18% d'erreur sur la valeur propre de gravite
(contre 5% chez [17]) et 13% sur la valeur propre du point bicritique (resultat
que l'on ne peut obtenir avec la methode de l'approximation lineaire).
Notre methode nous renseigne donc sur les ots dans tout le plan (g; x),
qui etait innaccessible par [17]. De plus, m^eme pour les grandeurs que l'approximation lineaire permet de calculer, notre methode, apres extrapolation,
va s'averer plus precise que cette derniere.
En e et, contrairement a [17] qui obtiennent de bons resultats des le
premier ordre d'approximation (approximation lineaire) mais ne peuvent
pas aller au-dela, notre methode converge plus lentement mais permet theoriquement du moins - d'aller aussi loin qu'on le veut dans le developpement en g et T2 .
Dans la pratique, cela se traduit par des calculs a di erents ordres et
une extrapolation des resultats obtenus.
Par exemple, nous cherchons la valeur extrapolee de gc , point critique
de gravite pure, ou n est l'ordre de developpement en g :
n = 2 g = ?0:095415(5); n = 3 g = ?0:090745(5);
n = 4 g = ?0:088725(5); n = 5 g = ?0:087585(5)
(les resultats sur le point de gravite pure ne dependent pas de Y ).
La valeur extrapolee est gc = ?0:083325(5), sachant que la valeur exacte
est ? 121 , on a 0:016% d'erreur maximum !
En extrapolant les diverses grandeurs cherchees de la m^eme facon, on
trouve d'une facon generale de bonnes valeurs pour la ligne critique : 0:016%
sur le point critique de gravite pure, nous venons de le voir, mais aussi
?0:50037 au lieu de ?0:5 soit 0:07% d'erreur environ sur le point critique
des branchements, 0:02% et 0:5% sur le point bicritique.
Tous ces resultats soulignent l'ecacite de la methode employee.
Cependant, le resultat le plus interessant de notre point de vue est certainement la mise en evidence du point xe (A), attractif dans la direction
de la ligne critique, repulsif dans l'autre direction du plan (g; x).
Nous pouvons trouver sa position sur le graphique (a Y = 6, n = 5,
(g; x) ' (?0:079; ?0:061)) et par extrapolation, une approximation de sa
position reelle (g; x) ' (?0:072; ?0:084). (A) se trouve, comme le predisait
la conjecture, a xA strictement inferieur a xC , et de la position de (A) decoule
l'allure generale des ots (N.B. : on a ici une charge centrale conforme c = 0).
66
CHAPITRE 4. PREDIRE L'ALLURE DES FLOTS . . .
0.094
0.092
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.088
0.086
0.084
4.11 { Extrapolation de la position du point critique de gravite pure.
La valeur de gcritique converge en 1=n.
Fig.
4.3. GENERALISATION A DES MODELES PLUS COMPLEXES
67
Nous pouvons aussi trouver des valeurs approchees des exposants critiques, sachant que = 2 ? 2 , et que exact vaut ? 12 pour la gravite pure,
soit = 0:8, et exact = 31 pour le point bicritique soit = 1:2.
Apres extrapolation, nous avons = 0:7 pour la gravite, soit 12:5%
d'erreur a comparer au meilleur resultat (5% d'erreur) que l'on obtient a
l'approximation lineaire, tandis que nous obtenons 1:25% d'erreur sur la valeur propre du point bicritique, ce qui est plut^ot bon si on se rappelle que
les exposants critiques convergent plus lentement que les points critiques.
Nous avons ainsi pu comparer les resultats de notre methode de groupe
de renormalisation a ceux des techniques exactes sur un modele sur lequel
on peut calculer exactement bon nombre de grandeurs. Nous avons de plus
pu veri er la conjecture (existence de (A), allure des ots) sur ce modele
particulier.
A present, nous allons voir que cette methode peut s'appliquer aussi a
des modeles plus compliques.
4.3 Generalisation a des modeles plus complexes
Le paragraphe precedent nous a permis de nous familiariser avec la
methode de groupe de renormalisation et de constater son ecacite sur
un exemple de modele a une matrice. Nous allons a present nous attacher
a montrer quels sont les problemes qui surgissent dans des modeles plus
generaux et comment on peut dans certains cas les resoudre.
La premiere etape de toute technique de renormalisation consiste a
ecrire l'equation d'evolution de l'action initiale, en laissant a ce stade de c^ote
les equations du mouvement.
Nous pouvons montrer que l'expression des trnN +1 en fonction de , v ,
et fait intervenir les facteurs : trn , v n?2 v , et tout scalaire obtenu en
remplacant en nombres egaux des arbitraires par v et par v (par exemple :
tr6N +1 fait intervenir tr6,v 4v , (v v )(v 2 v ),(v v )2 et (v v )3).
Nous savons integrer sur v et v un terme du type v n v , mais, pour
(v n v )2, par exemple, il faut faire intervenir des champs auxilliaires n
((v n v )2 est alors remplace par 2(v n v )n ? n2 ).
(i)
Nous voyons que, s'il est toujours possible d'ecrire l'equation de groupe
de renormalisation, elle devient cependant vite compliquee. Dans la pratique,
68
CHAPITRE 4. PREDIRE L'ALLURE DES FLOTS . . .
on prefere donc generalement se limiter a des termes en tr, tr2, tr3, voire
tr4.
Pour la veri cation de la conjecture, cependant, il n'est heureusement
pas necessaire de faire intervenir des puissances de trop elevees.
(ii) La deuxieme etape de notre methode consiste a ecrire les equations
@V en fonction d'un nombre
du mouvement, et gr^ace a elles, a exprimer N @N
reduit de traces (sur le modele precedent, nous pouvions tout exprimer en
fonction de puissances de tr2). Il n'est pas evident cependant que nous
reussissions a resommer les equations du mouvement comme nous l'avons
fait tout a l'heure en introduisant f (z ) =tr 1+1z2 .
Nous allons voir dans les deux exemples qui suivent comment nous pouvons resoudre la diculte.
Cas du modele d'Ising en champ exterieur nul (modele a deux
matrices)
Ce modele, en terme de matrices, est de ni par
3
3
2
2
AB
V = tr(A2N+ B ) + g tr(A3N+ B ) ? trN
Les symetries du probleme permettent de l'exprimer en fonction des
matrices:
A
0
0
1
= 0 B , et 1 = 1 0 :
2
tr3 ? tr1 1
soit V = tr
+
g
2N
3N
2N
Notre methode va nous amener a etudier le potentiel plus general :
2 tr11
tr3
;
)
+
g
V = ( tr
2N 2N
3N
de derivees U et ? (qui est desormais
une fonction des traces quadratiques
2
tr
tr
en A et B ) repectivement a 2N et 21N1 .
Si l'on ecrit de la facon la plus naturelle les equations du mouvement
du modele, leur resommation ne semble pas evidente. L'usage de quatre
changements
de variables tres particuliers (le premier des quatre est !
P
+ a=AouB Pa (z I? 1=g + )?1Pa ou PA (resp. PB ) est la projection
sur le sous-espace correspondant a A (resp. B )) permet cependant d'ecrire
4.3. GENERALISATION A DES MODELES PLUS COMPLEXES
69
une equation polynomiale de degre 4 en tr( gzI? 11+g ) qui est l'expression resommee des equations du mouvement. Nous pouvons alors utiliser la
methode que nous avons decrite precedemment et obtenir l'approximation
ci-dessous des ots du modele projetes dans le plan ( ; g ).
−β
Fig.
nul.
4.12 { Flots de renormalisation approches du modele d'Ising en champ
Le modele d'Ising n'est pas un cas exceptionnel : on a pu resommer aussi
les equations du mouvement d'une cha^ne de matrices [65], tout au moins
sans terme de branchement. Ceci donne bon espoir de pouvoir appliquer
notre methode aux modeles de c ! 1 qui nous interessent.
Perspective
Nous voudrions achever de veri er l'hypothese de [16] sur l'allure des ots
de groupe de renormalisation en fonction de la charge centrale conforme.
Pour cela, il faut trouver une suite de modeles de matrices dont la charge
70
CHAPITRE 4. PREDIRE L'ALLURE DES FLOTS . . .
centrale c ! 1. Les modeles de cha^nes de k matrices, ou k ! 1, ou les
modeles de Potts-q , lorsque q ! 4, sont de tels modeles.
Les modeles de cha^nes de k matrices, bien que deja resolus par des
methodes exactes, sont cependant susceptibles de donner lieu pour k grand
a des equations de groupe de renormalisation passablement complexes. Dans
le principe, il est possible de resommer les equations du mouvement, mais
la complexite des equations obtenues rend un important travail de simpli cation necessaire.
Dans la suite de cette these, nous nous interesserons plut^ot aux modeles
de Potts. Cependant, plut^ot que d'aborder ces modeles diciles sous l'angle
des methodes de groupe de renormalisation, nous montrerons comment nous
avons pu les resoudre totalement et de facon exacte en utilisant uniquement
les equation du mouvement. Pour obtenir les informations supplementaires
(allure des ots, position et evolution des points xes en fonction de la charge
centrale conforme...) donnees par la methode de groupe de renormalisation,
il faudrait aller plus loin : les resultats obtenus au cours de cette these sur
les equations du mouvement des modeles de Potts seraient alors un atout
crucial pour mettre en uvre les techniques developpees dans ce chapitre.
Chapitre 5
Modeles de Potts sur reseau
aleatoire
Les modeles de Potts sur surface aleatoire font partie des modeles complexes (de matrices qui ne sont pas couplees en cha^ne) qui ont pousse la
recherche vers la mise au point de techniques approchees de resolution. Nous
avons parle dans le chapitre precedent des resultats que l'on peut obtenir
par la methode de groupe de renormalisation. Cependant, dans ce chapitre,
nous allons voir comment on peut malgre tout resoudre ces modeles directement, de facon exacte, par la methode des boucles. Ceci devrait nous
permettre d'ouvrir la voie a la resolution d'autres modeles complexes. De
plus, la resolution des modeles de Potts devraient aussi nous permettre de
mieux comprendre la barriere a c = 1 puisque la charge centrale conforme
associee tend vers 1 quand q , le nombre de matrices du modele, tend vers 4.
5.1 Le modele
5.1.1 Le modele de Potts sur reseau xe
Il s'agit d'un modele de spins sur reseau ou les spins peuvent prendre q
valeurs di erentes (que l'on appelle aussi des \couleurs") fi gqi=1 . L'energie
du modele est alors donnee par :
E
= ?J
X
<i;j>
i j
Ce modele appara^t lorsqu'on cherche a decrire une grande variete de
phenomenes critiques : percolation, ferromagnetisme, monocouches adsorbees
71
72 CHAPITRE 5. MODE LES DE POTTS SUR RE SEAU ALE ATOIRE
[27] . . .
La fonction de partition correspondante est :
X
J
= e kT
ou p est le nombre de couples de spins plus proches voisins de m^eme couleur,
k la constante de Boltzman et T la temperature, et ou la somme se fait sur
toutes les con gurations de spins possibles.
Z
p
5.1 { Modele de spins sur reseau xe (notons que ce-dernier pourrait
ne pas ^etre regulier). Les spins peuvent prendre q valeurs di erentes mais le
reseau est le m^eme dans toutes les con gurations.
Fig.
Le diagramme de phase du modele de Potts sur reseau xe permet de
mettre en evidence une transition de phase de deuxieme ordre pour q 4,
correspondant a une theorie conforme de charge centrale c 1, avec q = 4
correspondant a c = 1 ; pour q > 4, la transition devient de premier ordre.
5.1.2 Le modele de Potts sur surface aleatoire.
Dans ce modele, les spins vivent sur une surface aleatoire : le poids d'une
con guration de spins sur une surface donnee depend alors non seulement
des valeurs des spins, mais aussi de la taille et du genre de la surface.
En terme de matrices, on a :
S (fig) =
et
X( tr + tr ) ? X tr q
g
i=1
3
3N
i
2
2N
i
i
i=j
6
2N
j
73
5.1. LE MODELE
5.2 { Modele de Potts sur surface aleatoire. Les spins peuvent prendre
valeurs di erentes et vivent sur des con gurations de surfaces de tailles et
de genres varies. Ici une surface de topologie torique.
Fig.
q
Z
avec
=
Z
d =
2
d1 : : :dq e?N S (fi g)
Y
i<j
d<i;j d=i;j
Y
i
di;i
La taille N des matrices donne le poids respectif des divers termes topologiques dans l'energie libre : F = ? N12 ln Z . Le poids pour une surface de
genre h est N ?2h . Les q couleurs du modele sur reseau xe correspondent
aux q matrices di erentes du modele sur surface aleatoire. Avoir inclus dans
l'action des termes en tr 3 indique que chaque spin aura 3 plus proches
voisins. La constante de couplage g est le poids associe a chaque vertex a 3
pattes, on a ainsi un poids g v pour une surface de taille v . En n, la valeur
de indique la probabilite d'avoir 2 spins identiques c^ote a c^ote plut^ot que
2 spins di erents.
Plus precisement, nous avons
Z
=
X
diagrammes
g(
cste
)
3
2
!v
1
!p
v = nombre de nuds / aire de la surface
h = genre de la surface
p = nombre de propagateurs reliant 2 couleurs
N 2(1?h)
identiques
74 CHAPITRE 5. MODE LES DE POTTS SUR RE SEAU ALE ATOIRE
On obtient en outre = e? .
J
kT
Quand = 0; T = 0
5.2
quand = 1; T = 1
Quelle technique utiliser ?
Des que le nombre de matrices q devient superieur a 2, on est confronte
a un modele qui n'est ni une cha^ne, ni m^eme un arbre de matrices, et ou
l'on ne sait donc pas a priori integrer sur les variables angulaires. Tant que
ceci est impossible, l'on ne peut pas utiliser la methode du col ou celle des
polyn^omes orthogonaux.
En ce qui concerne l'usage de la methode des equations du mouvement
(rappelons-nous que, m^eme pour la methode de groupe de renormalisation,
les equations du mouvement sont necessaires pour ameliorer la convergence
des resultats), nous avons vu 3.3 que, des que l'on a plus d'une matrice,
il n'existe pas a priori de relation de recurrence permettant de calculer la
resolvante du modele.
Nous allons voir a present comment on peut contourner ces dicultes.
Une idee de V. Kazakov [53], appliquee aux modeles de Potts par I. Kostov
[61], developpee ulterieurement par J.-M. Daul [54] et, plus recemment par
P. Zinn-Justin [55], permet de transformer le modele de Potts en un modele
de matrices couplees en arbre.
5.2.1 Transformation d'un modele en boucle en un modele
en arbre [53, 61]
Il s'agit de transformer l'ensemble de q matrices couplees 2 a 2 en un
ensemble de q matrices toutes couplees a une m^eme matrice centrale X .
Cela correspond a reecrire
Z=
comme
Z
=
Z
Z
2P
d1 : : : dq e?N [ S0 ( )?
i
i
P
i;j
1
2N tr i j ]
p
2 tr 2 P
d1 : : :dq dX e?N [ 2 + S0 ( )?
X
N
i
i
P
i
tr i X ]
N
En e et, une integration sur X dans la deuxieme fonction de partition
redonne la premiere expression. On peut alors en principe utiliser la formule
d'[48] pour integrer sur les variables angulaires et resoudre le probleme.
5.2.
75
QUELLE TECHNIQUE UTILISER ?
Φ1 Φ2 + Φ1 Φ3 + Φ1 Φ4 + Φ2 Φ3
( Φ1 + Φ 2+ Φ3 + Φ4 ) X - X 2
2
+ Φ2 Φ4 + Φ3 Φ4
2
2
X
4
1
4
1
3
3
5.3 { A gauche modele de Potts-4 : nous avons 4 matrices couplees 2 a
2. A droite la reecriture du modele de Potts-4 sous forme d'un modele a 5
matrices couplees en arbre.
Fig.
Nous allons maintenant rappeler brievrement les methodes qui ont ete
developpees et les resultats qui ont ete obtenus en se basant sur cette
reecriture de Z .
En 95, J.-M. Daul [54] obtint les exposants critiques des modeles de
Potts, pour q < 4, avec S0() = g tr3N3 + tr2N2 cubique, ainsi que la position
du point critique de Potts pour le modele de Potts-3. Il obtint aussi, dans le
cas general, une equation implicite pour une fonction reliee a la resolvante
du modele.
5.2.2 Principe de la methode de [54]
Le modele de Potts-q sur reseau aleatoire se reecrit :
Z
Z = dXe?N 21 tr X 2 I (X )q
en introduisant :
Z
I (X ) = de?N ( 3g tr 3 + 12 tr 2 ?
p tr X )
On peut ecrire une equation du col pour la distribution de valeurs propres
de la matrice X , qui subit l'in uence du potentiel e ectif :
V = tr (X 2 ? q ln I (X ))
Cette equation est :
76 CHAPITRE 5. MODE LES DE POTTS SUR RE SEAU ALE ATOIRE
2<f (x) ? x + qw(x) = 0
pour x appartenant au support des valeurs propres de X , f (x) etant la
resolvante associee, et w(x) = N1 @[email protected] ln I .
De plus, on voit que les valeurs propres d'une des matrices subissent
l'action d'un potentiel dependant de facon explicite uniquement de X (la matrice X elle-m^eme subit l'action des autres matrices i ). En supposant que
la symetrie du modele de Potts n'est pas brisee, on a ainsi une equation du
col pour la distribution de valeurs propres de chaque matrice (la symetrie
implique qu'elles ont toutes la m^eme distribution).
Cette equation s'ecrit :
2<g (y ) ? gy 2 ? y + (y ) = 0
pour y appartenant au support des valeurs propres de la matrice , g (y )
etant la resolvante associee et (y ) = N1 @[email protected] ln J
J () =
Z
1 2
dX e?N tr ( 2 X ?X ) I (X )q?1
[54] obtient ainsi deux equations du col couplees, permettant en principe
d'obtenir les deux distributions de valeurs propres inconnues.
Plut^ot que de resoudre explicitement ces-dernieres, [54] etudie les proprietes analytiques de la resolvante generalisee :
1
1
1 i
F (z; s) = 1 ? h tr
N
s?X z?
Il obtient ainsi l'expression generale des exposants critiques, ainsi qu'une
equation pour une \resolvante" assez complexe, devant en principe permettre de trouver les points critiques d'un modele de Potts general. Il ne l'a
cependant resolue que dans le cas du modele de Potts-3, ou il trouve la valeur de g et de au point critique.
En 99, P. Zinn-Justin [55] s'est interesse a son tour aux modeles de Potts.
Il a etudie le modele de Potts dilue (ou la matrice X a elle-m^eme une action
cubique) et a resolu ce modele dans le cas des modeles de Potts-1,2,3 et 4
dilues. Il a obtenu non seulement les points critiques de ces modeles, mais
aussi une equation algebrique pour la resolvante dans le cas ou q = 1, 2 ou
3.
Nous allons rappeler en quelques mots sa methode.
5.3. LES EQUATIONS DU MOUVEMENT
77
5.2.3 Principe de la methode de [55]
Le modele de Potts dilue peut s'ecrire
Z=
Z
dA eN tr (? 2 A2 + 3 A3 )
Z
dB eN tr (? 2 B2+ 3 B3+AB)
q
Ce modele est reecrit en terme des valeurs propres
Z=
Z Y
i
P
daie?N i ? 2 a2i + 3 a3i [ai]1?q
Nai bi ] e?N Pi
dbi[bi] det
[
e
i;j
i
Y
b ? 12 b2i
0 3
3 i
ou [ai] et [bi] sont les determinants de Vandermonde pour les matrices
A et B respectivement.
[55] ecrit alors les equations du col correspondantes, en faisant intervenir,
plut^ot que les resolvantes classiques
Z dy (y)
Z dx (x)
B
A dx
! (b) =
dy et ! (a) =
B
A
b?y
a?x
les fonctions a(b) et b(a) ayant les m^emes coupures que les resolvantes
ci-dessus mais inverses fonctionnelles l'une de l'autre [55].
En tirant parti de cette propriete, on peut obtenir des equations algebriques
pour les resolvantes des modeles de Potts-1,2,3, et 4 dilues, ainsi que les
points critiques correspondants.
5.3 Les equations du mouvement
La methode que nous allons utiliser dans la suite de ce chapitre est
tres di erente des methodes de [54] et [55]. Nous n'allons pas utiliser la
transformation d'un modele de Potts en modele en arbre, ni la methode du
col.
Nous allons montrer en e et que nous pouvons obtenir [2, 3], par la
methode des equations du mouvement uniquement, non seulement les exposants critiques et une equation implicite generale pour toute valeur de q ,
mais aussi une equation algebrique pour la resolvante du modele pour toutes
les valeurs de q = 2 ? 2 cos rl avec l et r entiers. La solution generale ne
fait pas intervenir de fonction algebrique, mais des fonctions elliptiques.
La methode des equations du mouvement est d'autre part, nous l'avons
vu, un element cle dans la mise en uvre des techniques de groupe de renormalisation. Cette methode o re donc des perspective di erentes de celles
!q
78 CHAPITRE 5. MODE LES DE POTTS SUR RE SEAU ALE ATOIRE
donnees par les methodes precedentes. Notons que le cas q = 2 avait ete
resolu par cette methode dans [63, 64]
5.3.1 Position du probleme
On s'interesse ici au modele cubique, avec des termes de branchement :
X
X
S = 3gN tr 3i + ( 21N tr 2i ; N1 tr ij )
i
j 6=i
Z
Z = d1 : : :dq e?N 2 S
U est la derivee partielle P
de par rapport a 21N tr 2i , et ? sa derivee
partielle par rapport a N1 tr
j 6=i i j .
Exemple : changement de variable et equation associee
Prenons d'abord, pour xer les idees, l'exemple du modele de Potts-2 et
du changement de variable :
1 = 01 + 02 0102
On utilisera la notation :
tA = h trNA i
Reecrivons tout d'abord l'action S (1; 2) en fonction de 01 et 02, a l'ordre
1 en :
S (1; 2) = S (01; 02) + (gt 212 1 2 + Ut1 2 1 2 ? t2 21 2 )
D'autre part, on a
@ ij = + X 0 0
2 il 2 mj
@ 0lm il jm
k
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
et, par suite (seuls les termes diagonaux contribuent tant qu'on se limite a
l'ordre 1 en ), le jacobien
0
1 + ( tr 2 )2 + O(2 )
N
L'equation du mouvement correspondante est :
gt21 2 12 + Ut1 2 1 2 ? t32 1 ? t22 = 0
5.3. LES EQUATIONS DU MOUVEMENT
79
Cas general
D'une facon generale, on peut calculer S et J dans le cas de Potts-q et
du changement de variable :
i ! i + 1 : : : n
L'equation du mouvement correspondante s'ecrit :
gt2i 1 ::: n + Uti 1 ::: n ?
Xt
j =i
j 1 :::
n
?J =0
(5.1)
6
J est le terme issu du jacobien de la transformation, et fait intervenir
des traces contenant au plus n ? 1 matrices . Par suite, dans l'equation cidessus, le terme de degre le plus eleve en est le premier terme : t2i 1 ::: n
qui contient n + 2 matrices . Les autres termes sont de degre inferieur
ou egal a n + 1. Les equations du mouvement nous permettent donc de
calculer, en fonction de traces de degre inferieur en , a condition de bien
choisir 1 ; : : :; n , n'importe quelle
trace pouvant se reecrire, moyennant
2A
tr
une permutation circulaire : Ni ou A est une fonction quelconque des
f j g.
Cependant, les termes d'ordre inferieur a n + 2 dans l'equation du mouvement 5.1 ne sont pas a priori de la forme t2i A . Il n'existe alors pas de
relation de recurrence permettant de les calculer a leur tour en fonction de
traces de degre inferieur.
Ainsi, il nous reste a priori un nombre in ni de constantes inconnues :
tous les
t 1 ::: n
ou i 6= i+1 8 0 i < n et n 6= 1 .
Nous allons voir dans le paragraphe suivant comment reduire ce nombre
de constantes inconnues.
5.3.2 Invariance par permutations circulaires des traces
Soit le changement de variables :
i ! i + (i A ? Ai )
avec
A = 1 : : :
n
80 CHAPITRE 5. MODE LES DE POTTS SUR RE SEAU ALE ATOIRE
Gr^ace a l'invariance par permutation circulaire des deux premieres traces intervenant dans l'equation du mouvement, les termes en g et U disparaissent,
alors que les termes en sont a priori non triviaux. L'equation du mouvement correspondante est alors :
?
X
j 6=i
(t A ? t A ) ? J = 0
i
j
i
j
ou J est d'ordre n en .
Ainsi, on peut trouver des equations du mouvement reliant entre elles
les traces \inconnues" mises en evidence au paragraphe precedent.
Nous allons montrer a present que, sur l'exemple du modele de Potts-3,
il est possible de se ramener a un nombre ni de traces inconnues.
Nous verrons ensuite le cas general ou il reste un nombre in ni de
constantes inconnues. Nous pourrons cependant reduire susamment leur
nombre pour, en ajoutant des considerations physiques simples sur la resolvante, resoudre totalement le probleme.
5.4 Exemple du modele de Potts-3
Soient les matrices
0
1
[email protected] 0
0 0
2 0
0 0 3
= + + ?
1
00
A ; + = @ 0
1 0
0 1
1 0 0
1
00
A ; ? = @ 1
0 1
0 0
0 1 0
et 0 = Id
Rappelons tout d'abord les notations.
On s'interesse au modele simple de Potts-3 + branchements :
g
3 + ( 1 tr 2 ; 1 tr )
tr
S=
3N
2N
2N
avec
@
@
tr = ?
tr 2 = U
et on notera :
@ 2N
ti1 i2 in k
@ 2N
= 31N htri1 i2 : : : i k i
n
1
A
(5.2)
81
5.4. EXEMPLE DU MODELE
DE POTTS-3
ou i1, : : :, i peuvent valoir +1, ?1 ou 0. Cette trace n'est non nulle que si
n
Xi
n
k
=1
k
= 0 (3)
Rappelons qu'un trace est dite \d'ordre m" si elle contient m matrices
. Par exemple, la trace ci-dessus est d'ordre k + n ? 1.
5.4.1 Resolvante de Potts-3 avec termes de branchement
Calculons a present la resolvante du modele. Soit :
! 1 n = 31N htr 1 : : : n z ?1 i
P
non nulle ssi i = 0 (3).
!0 = ! = h 3trN z ?1 i
est la resolvante habituelle.
i :::i
i
i
(5.3)
k
L'equation du mouvement :
donne :
! + z ?1 (5.4)
z (U + gz) ! ? U ? gz ? g t ? ! 2 ? 2 !+? = 0
(5.5)
! + + ? z ?1 (5.6)
De m^eme, avec
on a l'equation :
z (U + gz) !+? ? (U + gz) t ? g t+? ? ! !+? ? !+0? ? !??? = 0 (5.7)
et on relie !+? a !+0? et !???
L'equation du mouvement :
! + ? z ?1 +
(5.8)
g !+0? + (U ? ) !+? ? z ! ? c = 0
(5.9)
donne (!+? = !?+ pour des raisons de symetrie)
82 CHAPITRE 5. MODE LES DE POTTS SUR RE SEAU ALE ATOIRE
On peut donc calculer
!+0? en fonction de !+? .
Par le biais d'equations du mouvement similaires :
On relie :
!??? a !++?? et !?0??
et !++?? a !+0+?? et !??+??
On peut calculer
!?0?? et !+0+?? , par suite il nous reste uniquement a calculer !??+?? .
Calcul de
!??+??
Ce calcul va s'e ectuer en echangeant les positions de + et ? , moyennant un changement de signe a chaque fois, par le biais d'une equation du
mouvement ou on soustrait des changements de variables di erents et ou
on utilise l'invariance par permutation circulaire des traces. D'une facon
generale, on a :
A(z ? )?1B ? A(z ? )?1 B 2
qui donne
(!B +?A + !B ?+A ) ? J = 0
Plus precisement :
! + [? ? (z ? )?1 ? ? ? ? (z ? )?1 ? 2]
(5.10)
donne
? (!??+?? + !?+??? ? !??0? ? !?0++? ) ? !??? + t !+? = 0 (5.11)
Cette equation, dans la mesure ou nous connaissons !+? , !??? , !??0? et
!?0++? , permet de relier !??+?? a !?+??? .
! + (? ? ? (z ? )?1 ? ? ? ? (z ? )?1 2)
nous permet de relier de la m^eme facon : !?+??? a !+???? .
Nous pouvons aussi changer 3 ? en 3 + via :
! + (? (z ? )?1 + ? + ? ? (z ? )?1 + ? + ) (5.12)
ce changement de variable nous permet de relier !+???? a !+?+++ , et
nous avons !+?+++ = !?+??? vu que les r^oles de + et ? sont totalement
83
5.4. EXEMPLE DU MODELE
DE POTTS-3
symetriques.
Finalement, nous avons :
!?+??? + !?+???
= K (z )
(5.13)
ou K (z ) ne contient que des fonctions ! d'ordre inferieur aisees a calculer.
(Nous les avons calculees explicitement plus haut ou sommes capables de les
calculer gr^ace aux m^emes idees que precedemment et a des equations tres
similaires). Nous pouvons alors ecrire une equation pour !?+??? , et, par
suite, pour !??+?? .
De cette facon-la, nous avons un ensemble ferme d'equations : de !??+?? ,
on deduit !++?? , !??? , !+? . . .et nalement la resolvante ! elle-m^eme.
Nous obtenons une equation algebrique d'ordre 5 pour ! (z ). Nous noterons
cette equation eq (!; z ) = 0.
Cette-derniere ne contient que 4 constantes inconnues (les r^oles des matrices 1 , 2 ,et 3 sont bien s^ur interchangeables) :
1
t = htr i; t
= 1 htr i
:::
t+++
N
1
+?
N
1 2
= N1 htr1 23 i; t++?? = N1 htr1 21 3i
5.4.2 Determination des lignes et exposants critiques
Nous allons maintenant calculer la ligne et les points critiques du modele,
pour le cas U = 1 + 6 tr 2 et constant. Les valeurs des parametres inconnus sont xees par la condition physique que la resolvante a une seule
coupure physique, qui correspond au support des valeurs propres de . On
peut alors calculer le comportement critique du modele.
h
N
La ligne critique issue du point critique de Potts (point critique sans
terme de branchement, i.e. a h = 0) est aisee a calculer. En e et, le comportement d'echelle de la resolvante est alors, en notant [a; b] la coupure
physique de ! (z ) :
! (z ) (z ? a) 2
1
quand z a et ! (z ) (z ? b) 5 quand z b
6
(5.14)
L'exposant correspondant est ? 15 , ce qui correspond a une charge centrale
C = 45 .
Plut^ot que de chercher a calculer la resolvante pour toutes les valeurs
des constantes de couplage, il est plus simple de se limiter au calcul de la
s
84 CHAPITRE 5. MODE LES DE POTTS SUR RE SEAU ALE ATOIRE
resolvante sur la ligne critique ou la presence de l'exposant en 56 nous donne
des conditions simples sur les derivees partielles de l'equation algebrique.
Si l'on porte sur un graphique eq (!; z ) en fonction de ! , les di erentes
intersections !1 (z ); : : :; !5(z ) de la courbe avec l'axe des abscisses correspondent aux di erentes determinations de ! (voir Figure (5.4.2)).
eq(ω)
eq(ω)
z=z0
ω1
Fig.
z=z 0
ω2
ω
ω1= ω2
ω
5.4 { Fusion de deux determinations de ! losque z = z0
En particulier, si la courbe est tangente a l'axe des abscisses, cela signi e
que deux determinations
de ! fusionnent en z = z0 , et ! a une singularite
1
du type ! (z ? z0 ) 2 A + cste au voisinage de ce point.
Plus generalement, la fusion
de n determinations di erentes correspond
1
a une singularite en (z ? z0 ) n . Dans le cas generique, pour des valeurs des
constantes de couplage quelconques, ! se comporte en puissance 21 au voisinage des bords de la coupure, les valeurs des constantes de couplage etant
xees par la condition qu'il n'y a qu'une seule coupure physique, correspondant a deux valeurs de z : a 1et b ou deux determinations de ! fusionnent.
Pour obtenir ! (z ? b) 5 A + cste, il faut que les 5 determinations de !
fusionnent au m^eme point. Cela correspond aux 5 conditions
4
eq(!; z) = 0; @eq(!; z) = 0; : : : @ eq(!; z) = 0
!
@!4
Si on reecrit l'equation eq (!; z ) = 0 en fonction de !~ = ! ? !0 (!0 est un
polyn^ome) :
!~ 5 + P4!~ 3 + P6!~ 2 + P8!~ + P10 = 0
ces conditions correspondent a P4 , P6 , P8 et P10 = 0 ainsi que ! = !0 quand
z = b, ou P2j est un polyn^ome de degre 2j en z.
Pour avoir, avec A et B reguliers, ! (z ?b) 57A(z )+B (z )+ eventuellement
des singularites d'ordre superieur comme (z ? b) 5 , on doit ajouter des conditions supplementaires sur les derivees des P2j .
6
5.5. CAS GENERAL
85
Finalement, on doit avoir :
j +1
2j ; : : : @ P2j g
fP2j ; @P
@x
@xj +1
j = 2; 3; 4; 5
simultanement nuls.
Ces conditions sont polynomiales et simples a resoudre.
Nou trouvons (rappelons que : U = 1 + h tr6N2 , ou h est la constante de
couplage de branchement) :
105 c3 + 4 g 2 = 0
2480625 c2 (?1 ? 4c + 43c2) + 296100 c (15 + 113c) h ? 692968 h2 = 0
(5.15)
Remarquons que, quand h = 0 (pas de terme de branchement) Nous
retrouvons le point critique de Potts-3 :
p
p
p !3
2 ? 47 ; g = 105 ?3 + p 47 2
c=
43
2
41 + 47
Ce point critique avait deja ete obtenu par [54], bien qu'il n'ait pas determine
l'equation algebrique a laquelle obeit alors (a U = 1) la resolvante.
5.5 Cas general
5.5.1 De nitions
On a :
Z=
et
ZY
q
i=1
2
dMi e?N S
X g
1
1 XM M )
tr
Mi3 + ( tr Mi2 ; tr
(5.16)
2N
N j 6=i i j
i 3N
ou les Mi sont des matrices hermitiennes de taille N N .
P
Les derivees partielles de par rapport a trMi2 =(2N ) et tr j 6=i Mi Mj =N
S=
respectivement sont U~ et c~=2, et leurs valeurs moyennes seront notees U et
86 CHAPITRE 5. MODE LES DE POTTS SUR RE SEAU ALE ATOIRE
c.
Ce modele general se ramene au cas du modele de Potts sans terme de
branchement lorsque U~ = 1 et c~ est constante.
Soient les functions :
1 h tr 1 i
=
N
z ?M
1 h tr 1 Mj i
~ (z ) =
W
N z?M 1
1 h tr 1
F (z; z 0 ) =
N z ?M z ?M i
h
1 h tr 1
F~ (z; z 0) = 12 N
z?M z ?1M Mk i + N1 h tr z ?1M z?1M
W (z )
i
i
i
i
0
0
j
0
j
i
j
i
ki
M
Ces expressions ne dependent pas des indices i, j , k, pour peu que i 6= j 6= k.
Par suite, F (z; z 0) et F~ (z; z 0) sont symetriques :
F (z; z 0) = F (z 0 ; z )
et F~ (z; z 0) = F~ (z 0 ; z )
(5.17)
On notera aussi :
f (z ) = W (z )
? gz2 + (c ? U )z
(5.18)
Rappelons que U et c peuvent ^etre des fonctions quelconques des nombres
h Ntr Mi2i et h trN Mi Mj i.
Les moments tk de la resolvante W (z ) sont de nis par le developpement
en puissances de z1
1 t1 + : : : + tk + : : :
W (z ) +
quand z ! 1
z2
z
z
et on de nit :
u
k+1
= c?U
g
5.5.2 Equations du mouvement
Les changements de variable suivants dans Eq. (5.16) donnent les equations
du mouvement :
{ M1 = z?1M1 :
g (z 2W (z )
{
M2
h
? z ? t1) + U (zW (z) ? 1) + c(q ? 1)W~ (z) = W 2(z) (5.19)
i
= 12 z?1M1 z ?1M2 + z ?1M2 z?1M1 :
0
g z 02F (z; z 0 )
0
? z0W (z) ? W~ (z)
5.5. CAS GENERAL
87
(z F (z; z ) ? W (z ))
c (zF (z; z ) ? W (z ))
~ (z; z )
c(q ? 2)F
= W (z )F (z; z )
(5:20)
Nous allons montrer comment on peut eliminer F~ (z; z ), et obtenir ainsi
des equations du mouvement n'impliquant que les matrices Mi et Mj (au
lieu de trois indices i, j , et k di erents), puis comment on peut eliminer
a son tour F (z; z ), pour obtenir ainsi des relations de recurrence entre les
traces de puissances d'une seule matrice.
+
+
+
0
U
0
0
0
0
0
0
0
0
Le principe est le m^eme que dans le cas particulier de Potts-3 : il s'agit
de soustraire des changements de variables di erents :
en soustrayant Eq. (5.20) a l'equation obtenue en echangeant les r^oles
de z et z , et en utilisant Eq. (5.17) nous obtenons :
(f (z )?f (z ))F (z; z ) = g z W (z ) ? zW (z ) + W~ (z ) ? W~ (z ) ? uW (z ) + uW (z )
(5.21)
Si a present nous choisissons z tel que f (z ) = f (z ) et z 6= z , nous avons
la relation :
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(z ? u)W (z ) ? (z ? u)W (z ) + W~ (z ) ? W~ (z ) = 0
(5.22)
Eq. (5.19) nous permet d'eliminer W~ , et on a alors une equation impliquant seulement f , z , et z :
0
0
0
0
( ) = f (z )
c
1
2
2
c (z + z ? u ? q g )f (z ) = (z + z ) ? qzz ? (2 ? q )u(z + z ) + (1 ? q )u ? c
(5.23)
Cette equation est une equation non-locale, a priori compliquee, mais nous
allons voir qu'elle est susante pour obtenir f .
f z
1
0
0
0
0
0
Etude perturbative
Nous avons, au voisinage de l'in ni : f (z ) ?gz 2 , par suite l'equation
f (z ) = f (z ) et z 6= z admet la solution z (z ) telle que z ?z au voisinage
de l'in ni. On peut trouver le developpement complet de z (z ) et on insere
cette expression dans l'equation Eq. (5.23).
On obtient :
gt2 + (cq ? gu)t1
= 0
0
0
0
0
0
88 CHAPITRE 5. MODE LES DE POTTS SUR RE SEAU ALE ATOIRE
2
g t4
+ g (cq ? 2gu)t3 ? gu(cq ? 2gu)t2 ? g (gu3 + 2)t1 + c(1 ? q ) + gu = 0
: : : (5.24)
avec la notation t = h tr M =N i. Remarquons que, dans le cas general,
u et c sont des fonctions de t2 et t1 1 = tr M M =N . Cependant, on peut
exprimer t1 1 (gr^ace a l'equation Eq. (5.19)) en fonction des t seulement :
k
k
i
;
i
j
;
k
( ? 1)t1 1 + gt3 + U t2 ? 1 = 0
c q
;
Par suite, nos equations du mouvement nous permettent de reexprimer n'importe quelle trace de puissances paires d'une des matrices M en fonction de
puissances impaires seulement de cette matrice. Un tel resultat n'est absolument pas evident lorsqu'on considere les equations du mouvement dont nous
sommes partis et qui, a premiere vue, relient les puissances d'une matrice
donnee a des traces plus complexes impliquant toutes les matrices fM g =1 .
Justi ons a present l'apparition de traces paires seulement a l'ordre dominant dans les equations du mouvement obtenues par developpement perturbatif. Si nous ecrivons le developpement de f (z ) :
i
q
j
( ) = ?gz (z ? u) + 1=z
f z
1
X
+
?
ti
1 =z
j
i
2
les coecients des termes en z ? dans l'equation : f (z 0 ) ? f (z ) = 0 s'ecrivent,
comme z 0 = ?z + u + : : : :
i
((?1) ? 1) t ?1 + (?1) ?1 (i ? 1) t ?2 u + : : : = 0
i
i
i
i
Par suite, les equations du mouvement nous permettent de relier les
parties paires et impaires de f (z ).
Ceci est susant pour avoir totalement f (z ) a condition d'ajouter la
condition physique que f (z ) a une coupure seulement dans le feuillet physique.
Soulignons pour nir que ces equations du mouvement, que nous avons
donnees dans le cas general d'un modele de Potts avec branchements seraient
un outil precieux pour toute tentative de resolution du modele par une
methode de groupe de renormalisation.
5.5.3
Solution non-perturbative
Nous allons montrer ici comment l'equation 5.23 pet se reecrire simplement sous une forme semblable a ce que l'on obtient pour le modele O(n)
5.5. CAS GENERAL
89
(modele de spins a n dimensions, ou de facon equivalente, de boucles sur
reseau avec un poids n pour chaque boucle). On peut alors en principe la
resoudre exactement, et la solution generale fait intervenir des fonctions
elliptiques.
Correspondance avec le modele O(n)
La fonction f (z ) solution du modele de Potts-q possede, tout comme la
resolvante W (z ), une seule coupure dans le feuillet physique, correspondant
au support des valeurs propres que l'on suppose connexe. Il est cependant
parfaitement possible que f (z ) possede un certain nombre d'autres coupures
dans les feuillets non-physique.
C'est e ectivement ce que l'on constate lorsqu'on etudie, par exemple,
le modele d'Ising (qui est aussi le modele de Potts-2).
feuillet physique
a
b
a
b
feuillets non-physiques
5.5 { Modele de Potts-2 (Ising). Il y a 3 determinations possibles pour
la resolvante. Dans le feuillet physique, on n'a qu'un seule coupure [a; b].
Cependant, dans les feuillets non physiques, on montre qu'il y a une autre
coupure (non-physique) semi-in nie.
Fig.
D'une facon generale, on verra que tous les modeles de Potts possedent
une coupure semi-in nie non-physique. Les manipulations qui vont suivre,
visant a remplacer f (z ) par ! ( ) dans 5.23, reviennent en fait a \deplier"
f (z ) autour de cette coupure : on remplace la fonction f (z ) singuli
ere le
long de la coupure [c; 1[ par une autre fonction reguliere sur ce segment.
L'equation obtenue pour la fonction ! ( ), qui ne possede pas de coupure
semi-in nie, est alors beaucoup plus \parlante" et aisee a resoudre que celle
pour f (z ).
90 CHAPITRE 5. MODE LES DE POTTS SUR RE SEAU ALE ATOIRE
Voyons a present comment on s'y prend pour \deplier" la coupure semiin nie.
La fonction z (z ), telle que de nie plus haut, veri ant f (z ) = f (z ), est
une fonction involutive au sens des fonctions multivaluees. On a :
0
0
z 0(z 0 (z )) = z
Soit z0 un point xe de cette fonction :
z 0 (z0)
et notons
= z0
p
= f (z0 ) et = f0 ? f
z , conxid
eree comme une fonction de , veri e alors
f0
z0
= z (? )
et z ( ) regulier en = 0. De nissons en n :
1 1 ( 2 ? f ? (2 ? q )cu)
! ( ) = z ( ) +
0
c4?q
5.23 devient alors :
?
! 2( ) + ! 2( ) + (2
? q)!( )!(? ) = R( )
(5.25)
R( ) est un polyn^
ome pair et de degre 4 en .
Cette equation est semblable a celle obtenue dans le cas du modele O(n) :
il sut de faire le parallele 2 ? q ! n. Cependant, les exposants critiques des
deux modeles ne sont pas les m^emes : en e et, la ou l'on avait la resolvante
du modele dans le cas O(n), nous avons a present ! ( ), qui est reliee a la
reciproque z ( ), avec 2 = f ? f0 , de f (z ), plut^ot qu'a la resolvante du
modele de Potts elle-m^eme.
Resolution de l'equation 5.25
Notons :
= 2 ? 2 cos( ) avec 0 1
et [a; b], avec ab > 0 la coupure de la fonction ! ( ).
En ecrivant R( + i0) ? R( ? i0) = 0, on obtient (lorsque appartient
a la coupure, ? n'y appartient pas) :
q
5.5. CAS GENERAL
91
(! ( + i0) ? ! ( ? i0))(! ( + i0) + ! ( ? i0) + 2 cos( )! (? )) = 0
pour tout a b.
Par suite, nous avons l'equation :
+ i0) + ! ( ? i0) ? 2 cos( )! (? ) = 0
(5.26)
Nous allons a present etudier la solution de cette equation dans le cas
rationnel : = rl ou l et r sont deux entiers premiers entre eux.
! (
Cas rationnel
On de nit les fonctions ! ? + et !? :
!+ ( ) = e
i
2
! ( ) + e?
ipi
2
?
!( )
Chaque fois que l'on traverse une coupure, ! est multiplie par une phase
?ei . On voit que le nombre de feuillets n'est ni que dans le cas ou est
rationnel.
on a :
?
!? ( ) = !+ ( )
et on peut reecrire l'equation quadratique en ! comme
!+ ( )!? ( )
L'equation lineaire 5.26 devient
!+ (
+ i0) = ?ei !? ( ? i0)
= R( )
!? (
+ i0) = ?e?i !+ ( ? i0)
On de nit ( ) par :
!+ ( ) =
alors
p
Rei(?
( +1)
)
2
! ( ) =
Le polyn^ome S ( ) de ni par
S ( ) =
!? ( ) =
p
Re?i(?
p
)
? Rsincos(
1 (! r + (?1)r+l ! r )
?
2 +
( +1)
)
2
92 CHAPITRE 5. MODE LES DE POTTS SUR RE SEAU ALE ATOIRE
veri e alors l'equation :
S ( ) = R( ) 2 e?
r
i(r+l)
2
? !(p) sin() )
Tr (
R( )
ou Tr est le polyn^ome de Chebychev : Tr (cos()) = cos r.
L'equation ci-dessus nous permet d'obtenir, pour tout l et r, une equation
algebrique en et ! , et, par suite, en W (z ) (la resolvante du modele) et z .
Le degre de cette equation depend de la parite de r + l : en e et, S est un
polyn^ome pair en quand r + l est pair, donc un polyn^ome en f = f0 ? 2 .
Quand r + l est impair, cependant, S est aussi impair et il faut donc prendre
le carre de l'equation ci-dessus pour obtenir une equation algebrique en f et
z.
On a nalement une equation de degre d en f (z ) :
d = 2r ? 1 si r + l est impair
d = r ? 1 si r + l est pair
Cette equation est facile a resoudre, selon les m^emes principes qui nous
ont permis de resoudre l'exemple du modele de Potts-3, en particulier dans
le cas l = r ? 2. Nous donnons ci-dessous l'evolution du point critique (ici
la valeur de c au point critique) lorsque q ! 4 soit une charge centrale
conforme qui tend vers l'in ni.
On trouve, en particulier, dans la limite r ! 1 c'est-a-dire pour q = 4 :
p
9 ? 4 3(3 + 2) ' ?0:0886148
ccrit =
21 + 16 2
gcrit
=
16 2 [4(129+16 2)p3(3 + 2)?27(57+16 2)] ' ?0:0366283
(21 + 16 2)3
Exposants critiques
Les points critiques des modeles de Potts-q correspondent physiquement
aux points ou les extremites de la coupure physique et de la coupure semiin nie non-physique fusionnent : en terme de la variable , l'extremite de la
coupure semi-in nie, qui corespond a f = f0 , se situe a = 0.
Quant a la coupure du feuillet physique, nous l'avons notee [a; b]. Ainsi,
lorsqu'on se trouve au point critique du modele, on a a = 0. De ceci, et de
5.5. CAS GENERAL
93
q
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-0.05
-0.1
-0.15
c
-0.2
-0.25
-0.3
-0.35
-0.4
5.6 { c critique en fonction de q , pour une suite de cas rationnels ou
q ! 4, ici q = 2 ? 2 cos r?r 2 Fig.
l'equation 5.25, on peut deduire la valeur des exposants critiques du modele.
En e et, ! s'ecrit alors, au voisinage du point critique
! ( ) = C (? ) + partie reguliere
Toutes les valeurs de ne sont pas compatibles avec l'equation 5.25. En
remplacant dans cette equation ! ( ) par son expression au voisinage de
= 0, on trouve la condition :
soit
donne
e2i + 1 + 2 cos( )ei = 0
= + 1 + 2p
! ( ) (fo ? f )
f
avec p 2 Z
nu+1+2p
2
2
(z ? cste) +1+2p
par suite, on a, comme
on s'attend a ce que l'exposant de f soit superieur
2
a 1 f (z ? cste) +1 , soit
94 CHAPITRE 5. MODE LES DE POTTS SUR RE SEAU ALE ATOIRE
(1 )
s = ? (1 )
5.6
Conclusion
Nous avons montre dans ce chap^tre comment la methode des boucles
permet de resoudre de facon elegante des modeles de matrices couplees de
facon complexe : les modeles de Potts-q . Nous avons par cette methode
retrouve les exposants critiques du modele pour q < 4, ainsi que le lien
entre les modeles de Potts et les modeles O(n).
Nous avons de plus montre que la resolvante du modele est la solution
d'une equation algebrique que nous exprimons, pour les modeles de Potts-3
(ce resultat rejoint ceux de [54, 55]) et Potts-1 tout d'abord [2], puis pour
le cas general des modeles de Potts-q avec q = 2 ? 2 cos( ), etant rationel
[3]. Ces resultats nouveaux soulignent l'ecacite de la methode des boucles
qui est, en outre, une premiere etape importante avant toute utilisation de
la methode de groupe de renormalisation.
En n, notre methode, contrairement aux methodes basees sur une equation de col peut, en principe, se generaliser aux termes suivants du
developpement topologique en puissances de N1 .
Ce travail sur les modeles de Potts laisse donc la porte ouverte a de
nombreuses possibilites de travaux de recherche ulterieurs.
Chapitre 6
Modeles a plusieurs coupures
et limite N ! 1
Dans ce chapitre, nous allons nous interesser aux modeles a une matrice
dans le cas ou la distribution de valeurs propres du modele est non-connexe.
Nous verrons que, m^eme dans la limite N ! 1, des comportements non
triviaux surgissent. Nous verrons aussi comment un calcul \naf" de ces
modeles ne permet pas de mettre en evidence ce comportement.
Il est possible, par des methodes valables a N ni, comme la methode
des polyn^omes orthogonaux, d'exprimer les grandeurs d'un modele de matrices en fonction de N . En particulier, il existe, dans le cas bien connu d'un
support connexe de valeurs propres, un developpement topologique en puissances de N12 . Par exemple, l'energie libre F = ? N12 ln Z se reecrit sous la
forme d'un developpement perturbatif : F = F0 + N12 F1 + O( N14 ).
Nous n'allons cependant pas nous etendre ici sur l'inter^et des termes
sous-dominants dans le developpement topologique. Les problemes que nous
allons mettre en evidence surgissent en e et des l'ordre dominant en N12 , et
s'appliquent au cas d'un support non connexe de valeurs propres, des que
l'on cherche a calculer
des fonction de correlation de valeurs propres comme
2F
@
c
(x; y ) = ? @V (x)@V (y) , (x; y; z ) . . ..
Les premiers travaux sur le sujet [31] ont mis en evidence un comportement semblable a celui que l'on a dans le cas d'un support connexe de valeurs
propres. Des travaux ulterieurs [32, 33, 34], cependant, ont montre qu'il faut
ajouter, dans le cas d'un modele a deux coupures symetriques, un terme
oscillant en (?1)N dans la fonction de correlation connexe a deux points
c (x; y ). Ceci montre qu'il n'y a pas, dans ce cas, de developpement topologique a grand N . Des travaux plus recents [35] ont generalise ce resultat a
95
96CHAPITRE 6. MODE LES A PLUSIEURS COUPURES ET LIMITE N ! 1
des coupures quelconques, donnant l'expression des polyn^omes orthogonaux
et de la fonction de correlation d'un tel modele.
J'expliquerai ici le principe de la methode semi-classique que nous avons
mise au point [4], qui permet a la fois de trouver la fonction de partition, les
polyn^omes orthogonaux et les fonctions de correlation, et de mettre clairement en evidence l'origine physique de ce comportement.
6.1 Le cas symetrique
Nous allons ici rappeler comment on peut obtenir la fonction a deux
points dans le cas symetrique, ainsi que la resultat de [34].
6.1.1 Rappels sur l'usage de la methode du col dans le cas
d'un support de valeurs propres non connexe
Si
Z d e?
N 2 tr V ()
Z=
on peut ecrire
Z
Y d e?
Z=
i
i
N2
P V ( )?P = ln j ? j
i
i
j
6
i
i
j
Z
Z
S = ()V ()d ? ()() ln j ? jdd
soit, sous forme continue, une action :
ou () est la densite de valeurs propres du modele.
Le calcul du col par rapport a chacune des variables i dans l'expression
discrete nous donne :
1
1 =0
V 0( ) ?
i
X
N j =6 i j ? i
Si, par contre, on veut utiliser l'expression continue, on minimise S par
rapport a avec la condition :
Z ()d = 1
En introduisant le multiplicateur de Lagrange ?, on a :
6.1. LE CAS SYMETRIQUE
97
F
(z )
soit
V (z )
?2
Z
?? = 0
j ? jd ? ? = 0
() ln z
pour z appartenant au support C des valeurs propres de la matrice.
Pour retrouver la relation habituelle, on derive l'expression ci-dessus, et
on obtient :
()
V (z ) ? 2PP
d = 0
Z
0
z
?
pour tout z appartenant a C .
Cette derniere expression ne sut cependant pas, dans le cas d'un support de valeurs propres non-connexe, a trouver le col. En e et, on ecrit, dans
le cas d'un potentiel de degre d et d'un support C comprenant k composantes
connexes :
V (z ) + M (z ) (z )
! (z ) =
ou deg M = d ? k ? 1
2
0
p
(z ) =
Y( ?
k
z
i=1
ai )(z
?b)
i
Le support des valeurs propres etant donne par :
C = [ =1[a ; b ]
k
i
i
i
Le nombre d'inconnues (coecients du polyn^ome M (z ) et extremites a et b
des coupures) est alors d + k ? 1, tandis que le nombre d'equations est d. Par
suite, pour un support a plus d'une composante connexe, il nous manque
k ? 1 6= 0 equations.
Cette apparente insusance de la methode du col pour obtenir le resultat
complet s'explique par le fait que la seconde relation s'obtient en derivant
l'action par rapport a de petites variations de . Quand on a un support
en plusieurs parties, une petite variation de la valeur de ne permet pas
de faire passer une valeur propre d'une coupure a l'autre, donc de changer
le nombre de valeurs propres presentes dans chaque coupure. On n'a alors
qu'un col local, minimum de l'action pour un nombre de valeurs propres
donne.
i
i
i
i
98CHAPITRE 6. MODE LES A PLUSIEURS COUPURES ET LIMITE N ! 1
Pour obtenir le col global, on utilise la relation non derivee, issue de petite
variations de qui permettent de changer le nombre de valeurs propres de
part et d'autre. A la relation
Veff
= V (z ) ? 2PP
Z
j ? jd
() ln z
constant sur chaque composante connexe du support, on ajoute la constance
du potentiel e ectif sur tout le support.
Ceci ajoute k ? 1 equations aux d precedentes (identite de Veff sur la
ieme
i
coupure et sur la i + 1ieme ), et on a donc a present le m^eme nombre
d'equations que d'inconnues.
6.1.2 Forme de la fonction a 2 points : calcul classique
Soit
=
Z
Avec la de nition
on a :
Z
d e?N
@V ()
@V (z )
(x) =
@F
V (z )
2
tr V ()
= (z ? )
et
! (x) =
Z
()
x
? d
Z
c (; )
=
?
@V (x)@V (y )
@V (y )
(x ? )(y ? ) dd
c (x; y ) n'est non nul que si x et y appartiennent tous deux au support
des valeurs propres, que nous prendrons ici symetrique et forme de deux
composantes connexes seulement : C = [?b; ?a] [ [a; b] du modele.
Comme on a
Z
(x)dx = 1
alors
Z
c (x; y )dy = 0
d'ou
c (x; y ) = ?
@ 2F
@(x)
! c (x; y )
! c (x; y ) =
cste
x2 quand x ! 1
c
cste
! (x; y ) y2 quand y ! 1
(6.1)
(6.2)
(6.3)
6.1. LE CAS SYMETRIQUE
99
D'autre part, ! c (x; y ) n'a de coupure que quand x ou y appartiennent
au support des valeurs propres C .
La methode du col nous donne l'equation
2<! (x) = V (x)
0
soit
@! (x)
d 1
< @V
=
(y ) dx 2 (x ? y )
d'ou
<!c(x; y) = 12 (x ?1 y)2
De la de nition de ! c (x; y ), on tire que ! c n'a pas de raison, pour x et
y hors de C d'^
etre singuliere en x = y .
Ceci signi e que
1 1 (1 ? pN (x; y ) )
! c (x; y ) =
2 (x ? y )2
(x) (y )
avec
(x) = (x2 ? a2 )(x2 ? b2)
et N (x; y ) polyn^ome symetrique en x et y tel que ! c (x; y ) ait le bon comportement (! c (x; y ) x12 quand x ! 1) quand x et y grands et n'ait pas
de p^ole en x = y .
Ceci donne :
N (x; y ) = x2 y 2
? (a2 + b2)xy + a2b2 + C (x ? y)2
C est a priori une constante ind
eterminee.
La partie connexe c(x; y ) de la fonction de correlation des valeurs propres,
lorsque x et y sont d'ordre 1 (nous verrons plus tard que cette expression
n'est pas valable pour les correlations entre valeurs propres voisines), se
deduit simplement de la discontinuite de ! c (x; y ) au voisinage du support
des valeurs propres. On a :
c (x; y ) =
1
1
2 ( ? )
2 x
y 2
pN((xx;)y()y)
Rappelons que
tr (x ? M ) tr (y ? M )i ? h tr (x ? M )ih tr (y ? M )i)
c (x; y ) = N 2(h
N
N
N
N
100CHAPITRE 6. MODE LES A PLUSIEURS COUPURES ET LIMITE N ! 1
tant que jx ? y j = O(1), les positions des valeurs propres sont tres peu
correlees, d'ou le facteur N 2 pour avoir une expression d'ordre 1. Des que
jx ? yj = O( N1 ), cependant, les correlations changent d'ordre de grandeur,
d'ou la divergence qualitativement correcte dans l'expression ci-dessus de la
fonction a deux points.
6.1.3 Determination de C
La methode du col nous donne :
Z c
b
qui implique :
Zc
V 0 (z )
? 2!(z)dz = 0
1
? 2!c(x; y)dy = 0
2
(
x
?
y
)
b
Cette relation nous permet de determiner la valeur de la constante C .
On trouve [31] :
C
E (k)
= ? 12 ((a2 + b2) ? (a + b)2 K
(k) )
ou les integrales elliptiques E (k) et K (k) sont calculees pour
k2
= (a 4+abb)2
Cette methode du col est cependant tributaire d'un grand nombre d'hypotheses. En particulier, on a utilise une representation continue de la densite de valeurs propres et on suppose qu'il existe un developpement topologique a N grand.
[34] ont prefere utiliser la methode des polyn^omes orthogonaux qui, etant
valable pour tout N ni, n'est pas a priori tributaire de la supposition qu'il
existe un developpement topologique en puissances de N12 .
Apres avoir choisi un ansatz pour les Pn (), et en utilisant les proprietes
d'unicite sur les polyn^omes orthogonaux, ils ont trouve la valeur de C . L'expression asymptotique des Pn , pour N ! 1 mais N ? n ni, est :
n
1 cos(N ? (N ? n) + + (?1)n )
f ()
Pn () = e 2 V () p
ou
6.2. CAS GENERAL
101
f () =
2
b2 ? a2 2
0 () =
sin 2()
?()
2
2 b2 )
cos 2() = 2 ?2 (a +
(b ? a2 )
cos 2 () = b cos ()
sin 2 () = a sin()
La constante C vaut alors :
C
On voit que :
= (?1)N ab
1) Cette valeur est di erente de celle trouvee par la methode du col.
2) Elle depend explicitement de N , contredisant ainsi la supposition
qu'il y aurait dans le cas a deux coupures un developpement topologique en
puissances de N .
6.2 Cas general
Les resultats precedents, en mettant en evidence une incompatibilite
entre les resultats obtenus par des methodes de calcul di erentes, posent
beaucoup de questions. Nous allons ici essayer d'y repondre en decrivant
notre travail dans le cas general d'un modele a deux coupures non symetriques.
On va s'attaquer a ce probleme en utilisant la methode du col. Cependant, au lieu de calculer l'energie libre F (pour la deriver par la suite par
rapport a V (x) et V (y ) a n d'obtenir c (x; y )) uniquement au premier ordre
en N12 , nous allons garder certains termes sous-dominants dans F . Nous verrons en e et que ceux-ci, lorsque derives deux fois par rapport au potentiel,
contribuent a l'ordre dominant a c (x; y ).
Soit le modele
Z
=
Z
d e?N tr V ()
102CHAPITRE 6. MODE LES A PLUSIEURS COUPURES ET LIMITE N ! 1
par
ou le potentiel V (z ) est un potentiel a deux puits.
On suppose que le support des valeurs propres est non connexe, donne
C = [a; b] [ [c; d]
a<b<c<d
Soient x1 et x2, x1 + x2 = 1 les proportions de valeurs propres comprises
respectivement entre a et b et entre c et d.
On a
Z
x =
1
[a;b]
()d
On peut, au lieu de calculer directement Z , calculer d'abord Z (n), ou le
nombre n = Nx1 de valeurs propres dans la premiere coupure est xe.
On a alors
Z=
On peut ecrire :
N
n=0
Z
Y d Y( ? ) e? P
Z=
i
et
X Z(n)
i
i
i<j
j
N
2
k V (k )
Z Y Z 1 Y d e? P Y( ? )
E
N!
Z (n) =
d
n!(N ? n)! ?1 in i
+
E
j>n
j
N
k V (k )
k<l
k
l
2
ou E est un nombre arbitraire compris entre b et c.
On montre alors que chacun des
n!(N ? n)!
Z (n)
Z~(n) =
N!
admet un developpement topologique en puissances de N12 .
En e et, on reecrit Z~(n) comme une integrale sur deux matrices di erentes :
M1 de taille n n, matrice carree des n premieres valeurs propres et M2 de
taille (N ? n) (N ? n), matrice carree des (N ? n) valeurs propres restantes.
Z~ (n) est alors :
Z~(n) =
1
Cn CN ?n
Z d[M ] Z d[M ] e?
1
2
N tr (V (M1 ))?N tr (V (M2 ))+2 tr
ln(M1
I?I M2)
6.2. CAS GENERAL
103
et C ? sont des constantes independantes de V .
On arme que cette integrale matricielle possede bien un developpement
topologique en 12 , dans la limite N ! 1. En e et, on effectue un developpement perturbatif au voisinage du plus petit minimum de V (celui compris
entre a et b) pour M1 , et au voisinage du plus grand minimum (compris entre
c et d) de v pour M2 . On reorganise ensuite le developpement perturbatif
obtenu selon la topologie des diagrammes de Feynman.
On a alors nalement
C
n
N
n
N
Z=
N22
2
N ? 12
1
N
X
N
e?
F (V;N;x1 )
n=0
ou chaque F (V; N; x1) a un developpement asymptotique
F (V; N; x1) =
1
X
N 2?2 F (V; x1)
h
h
n=0
F (V; x1) est une
h
fonction reguliere de x1 = .
n
N
La dependance en E s'exprime par des termes exponentiellement petits
du type
e?
N cste
et est donc non-perturbative. Elle n'apparait donc pas dans le developpement
ci-dessus.
La methode du col consisterait ici a remplacer la somme sur n par une
integrale, puis a assimiler F = ? 12 ln Z , a l'ordre dominant quand N ! 1,
a sa valeur au col que l'on notera x :
N
c
= F0 (V; x )
ou x est la valeur de x1 pour laquelle F0 est minimale :
F
c
c
@F0
(x
@x
c
)=0
et Nx n'est pas a priori entiere.
Or, ici, on a en fait une somme discrete sur n, et un calcul plus precis de
Z donne, en developpant F0 au voisinage de x , et en remarquant que seules
les valeurs de n proches de Nx contribuent (ce qui nous permet d'etendre
la somme a tous les n compris entre ?1 et +1) :
c
c
c
104CHAPITRE 6. MODE LES A PLUSIEURS COUPURES ET LIMITE N ! 1
Z
=
2 N
2
2
N
1
2
N ? 12 e?N F0 (V;xc) e?F1 (V;xc)
+1
X
n=?1
c)
? (n?Nx
2
2
e
@ 2 F0
(V;xc )
@x2
soit, a une constante independante de V pres :
F
= ? N12 ln Z = F0 (V; xc)+ N12 [F1 (V; xc)+ 21 ln(2F000(xc ))?ln 3 (N xc)]+O( N14 )
la fonction
3 (z )
+1
X
=
n=?1
2
ei2nz ein obeissant aux relations de periodicite :
3 (z + 1) = 3 (z )
3 (z + ) = e?i(2z+ ) 3 (z )
;
Et avec
=
2i
@ 2 F0 (x )
@x2 c
F est bien egale, a l'ordre dominant, a sa valeur au col F0 (V; xc). Cependant,
derivee deux fois par rapport a V () et V () pour obtenir c(; ), elle
devient :
2
2
@ F
@xc
@xc
F
00
? @V (@)@V
() = ? @V ()@V () ? @V () @V () [ln (N xc)]
0
3
On obtient donc
c (; ) = ccol (; )
En derivant la de nition de xc :
par rapport a V (), on deduit
? @[email protected](c) @[email protected](c ) [ln( (N xc))]00
@F0
(V; xc) =
@x
3
0
6.2. CAS GENERAL
105
@xc
@()
Q
@V () = ? 2i @x = ? 2i p()
ou Q est une constante, et
!() = V ()?2 M
0
p
() = (2 ? a2)(2 ? b2 )
entraine @[email protected] cste
2 . Par suite,
@ = @ M p = ? @ !() = pQ
@x @x 2i
@x 2i
jj
( )
1
ou Q est un polyn^ome qui ne peut ^etre que de degre 0 en , soit une
constante.
On montre que :
Q=
"Z
b
a
1
p
Rb
#?1
a
= i Rb
et
j j
pjj
c
Et, par suite :
1
p1
00
avec
(Nxc))]
p3
c (; ) = ccol(; ) ? (8c?2(aK)((dm?))b2) [ln(
()()
? b)
m = ((cd ?? aa)()(dc ?
b)
et
K (m) =
Z
2
p
1
d
1 ? m sin2 En terme de fonctions elliptiques, on peut reecrire :
c (; ) =
" p
0
p
2
d ? b)snp
(K (m)(2Nxc + 1))
? 41 2 ( jR(; ()j?+)2jR(; )j) + (c ? a)(p
j()j j()j
a)( ? b)( ? c)( ? d)
R(; ) = (( ?
? a)( ? b)( ? c)( ? d)
#
106CHAPITRE 6. MODE LES A PLUSIEURS COUPURES ET LIMITE N ! 1
= 1 si 2 [a; b]; ?1 si 2 [c; d]; et 0 sinon
La fonction sn2 (K (m)(2Nxc + 1)) est une fonction paire de Nxc , perio-
dique de periode 1, et qui varie entre 0 et 1. Par suite, la fonction a deux
points ne depend que de a, b, c, et d et de la partie fractionnaire de Nxc ,
soit de la distance a une valeur entiere du \nombre" Nxc de valeurs propres
au col dans la coupure [?b; ?a]. Cette fonction est une fonction periodique
de N si xc rationnel, ou quasi-periodique sinon.
Dans le cas symetrique, on a d = ?a, c = ?b et on retrouve bien le
resultat de [34].
Polyn^omes orthogonaux
On trouve de la m^eme facon les expressions des polyn^omes orthogonaux.
Pour cela, il sut d'utiliser la representation integrale (voir references
[39, 42]) :
R
det( ? M ) e?N tr V (M )
Pn () = dMnRndM
nn e?N tr V (M )
ou l'integrale se fait sur des matrices hermitiennes M de taille n n.
Pour obtenir l'expression asymptotique de Pn quand n ? N = O(1), il
sut de reecrire Pn () comme le rapport de deux fonctions de partitions :
2)
Pn () = Z (VZ (+V V+1V+ V
1)
avec
et
V1(M ) = N n? n V (M )
V2(M ) = ? n1 ln(z ? M )
et de calculer celles-ci par la methode utilisee precedemment.
On peut introduire les petits parametres t1 = Nn?n et t2 = n1 , et deriver
l'expression de la fonction de partition par rapport a t1 et t2 .
On trouve alors :
p
Pn () = u0 ()pn (u())eN
R
0 !
6.2. CAS GENERAL
107
avec
n?N
3 (Nx + 2(N ? n)u1 + u ? u1 )1 (2u1 )
1 (u + u1 )
pn (u) = Cn (Nx + 2(N ? n)u ) (u ? u )
1(u ? u1 )
3
1 1
1
ou Cn et 0 sont choisis de facon a ce que Pn () se comporte en n pour
grand.
Ceci est le resultat dans le cas ou se trouve en dehors des coupures :
2= [a; b] [ [c; d].
Si se trouve sur les coupures, cependant, la methode du col met en
evidence l'existence de 2 cols qui contribuent au m^eme ordre dans le resultat.
Pn () est alors donne par une somme de 2 termes :
R
R
p
Pn () = C u0 [pn (u)e?iN d (z)dz + iPn (?u)eiN d (z)dz ]e N2 V ()
avec
C = dN e? N2 V (d) e?N
R
1 (!(z)? z1 )dz
d
Relation de recurrence
Les polyn^omes orthogonaux doivent veri er la relation de recurrence :
?Pn() + Pn () + nPn () + n Pn? () = 0
En divisant l'equation ci-dessus par Pn , et en ajustant les p^oles dans le
+1
1
membre de gauche a n d'obtenir une fonction bi-periodique sans p^ole, donc
une constante, on obtient la valeur de n . En n, on ajuste aussi n de facon
a ce que cette constante vaille bien 0.
On obtient :
1
sn2xn
2
n = 16 ((d ? a) ? (c ? b)) + 4(d ? a)(c ? b)(1 ? m) 2
dn xn
et
n=
avec
(a + d) ? (c ? b) +
d?b
2
2
(xn ?u1 )
1 + dc??bc (1?dn
m)sn2 (xn?u1 )
108CHAPITRE 6. MODE LES A PLUSIEURS COUPURES ET LIMITE N ! 1
xn = Nxc + 2(N ? n)u1
On voit que, dans le cas general, n et n oscillent en fonction de xn .
Les extrema des courbes sur lesquelles ils oscillent sont :
d?a+c?b
d?a?c+b p
n 4
4
d+a c?b
d+a c?b
?
n 2
2
2 + 2
Dans le cas d'une distribution a une coupure, p n est la longueur de la
distribution de valeurs propres, tandis que n en est le centre.
On retrouve ici des resultats similaires, puisque la borne inferieure de n
est la taille de la distribution, et n est centre sur d+a
.
2
Noyau K (; ) et fonction de correlation de valeurs propres
On deduit des polyn^omes orthogonaux l'expression du noyau K (; )
de ni par
K (; ) =
?1
1 NX
n () n ()
N
n=0
et a partir duquel on peut obtenir toutes les fonctions de correlation des
valeurs propres par
NN
det jK (i; j )j
N!
R
On a, avec u = u() = p1 et v = u(), en supposant que et appartiennent a [a; b] [ [c; d] :
RN (1; : : :; N ) =
X
K (; ) = f (u; v )
;;= 1
avec
f (u; v ) =
et
p
p (Nx + u ? u1 ) (Nx + v + u1) e?
(u ? u1 ) (v + u1 )
3
c
3
1
c
1
u0 v 01 (u ? u1 )1(u + u1 )1 (v ? u1 )1 (v + u1 )
N1 (u ? v )1 (u + v )
N i(()+())
6.3. CAS A PLUS DE DEUX COUPURES
() =
Z
d
109
(z )dz
On retrouve, dans le cas ou ? est d'ordre 1, le regime des correlations a
longue distance entre valeurs propres (; ) trouve precedemment, a condition de \lisser" les oscillations.
Quand au regime courte distance : j ? j O( N1 ), on trouve la fonction
de correlation universelle bien connue
sin N ()( ? )
R2(; ) ()() 1 ?
N ()( ? )
2!
6.3 Cas a plus de deux coupures
Le calcul de la fonction de partition du modele dans le cas d'une distribution de valeurs propres a k coupures se fait selon les m^emes principes que
precedemment.
On a un support C = C1 [ : : : [Ck et on de nit, cette fois-ci, les variables
x1 ; : : : ; xk?1; xk avec x1 + : : : + xk = 1 caract
erisant les proportions de
valeurs propres presentes sur chaque coupure. On introduit aussi le vecteur
x = x1 ; : : : ; xk L'energie libre admet a x xe, comme precedemment, un
developpement topologique en puissances de N1 . Pour obtenir l'energie libre
totale, on somme sur le vecteur n = N x et on a :
Z
/
X
n
2
e?N F0 (V;~n)?F1 (V;n)
soit, en notant xc1 ; : : : xck?1 les valeurs au col des x1 ; : : :; xk ,
F
= F0 (V; xc) + N12 (F1 (V; xc) ? ln((N xc; ))) + O( N14 ))
ou est le fonction theta de Riemann en genre k ? 1 de nie par :
(z; ) =
X
n
e?
N 2 (n?z) ?1 (n?z)
2
=
X
n
est la matrice (k ? 1) (k ? 1) de nie par :
?1
ij
2
@ F0
jx=xc
= @x
@x
i
j
ein n e?2inu
110CHAPITRE 6. MODE LES A PLUSIEURS COUPURES ET LIMITE N ! 1
Les fonctions de correlation generales et les expressions des polyn^omes
orthogonaux se deduisent, comme dans le cas a 2 coupures, de la valeur de
l'energie libre F .
Ce dernier travail met en lumiere un certain nombre de subtilites apparaissant, dans la limite N ! 1, dans le cas des modeles a support de valeurs
propres non-connexe. Nous avons montre comment on peut calculer l'energie
libre d'un tel modele, et en deduire les polyn^omes orthogonaux ainsi que les
fonctions de correlation de valeurs propres.
Notre methode met en particulier en evidence le r^ole du caractere discret des valeurs propres dans l'absence, a N grand, d'un developpement
topologique en puissances de N1 . On trouve en e et une dependance quasiperiodique en N , ou le resultat ne depend, dans le modele a deux coupures,
que de la partie fractionnaire de Nxc (xc = proportion de valeurs propres
au col dans une des coupures). Nos resultats se generalisent aux cas a un
nombre quelconque de coupures ainsi qu'au cas des potentiels complexes. On
espere pouvoir les appliquer aussi dans le cas d'autres modeles plus generaux
encore, comme les ensembles symplectiques ou orthogonaux ou les modeles
a plusieurs matrices.
Chapitre 7
Conclusion
A travers cette these, nous avons avance dans la comprehension des
modeles de matrices dans la limite planaire (N ! 1).
Sachant que, par l'etude des ots de groupe de renormalisation, on espere
mieux comprendre pourquoi aucun des modeles de matrices resolus jusqu'a
present ne correspond a une theorie de gravite quantique avec de la matiere
de charge centrale conforme superieure a 1, nous avons tout d'abord travaille a ameliorer les techniques de groupe de renormalisation. Nous avons
ainsi reussi a diviser par plus de 50 l'incertitude sur la position du point
critique du modele cubique, et a assurer la convergence de m^eme qu'une
bonne precision sur les exposants critiques. Nous avons aussi travaille sur
le modele d'Ising et obtenu, la encore, une meilleure precision que les travaux precedents. L'etude des ots de groupe de renormalisation que nous
avons obtenus jusqu'a present concorde en outre avec l'hypothese decrivant
l'evolution des modeles de matrices avec la valeur de la charge centrale
conforme, et selon laquelle on ne pourrait pas retrouver un veritable modele
de gravite avec matiere a c > 1 a partir d'un modele de matrices. Il devrait ^etre possible, en continuant les travaux sur la methode de groupe de
renormalisation, et en particulier en l'appliquant a des suites de modeles de
charge centrale conforme c ! 1, de nir de veri er cette hypothese.
Nous avons aussi montre comment, par la methode des boucles, on peut
resoudre totalement les modeles de Potts-q sur reseau aleatoire, bien que les
matrices soient alors couplees de facon complexe. Nous avons ainsi generalise
les resultats obtenus precedemment pour q = 1; 2; 3 et 4. Outre l'inter^et en
soi de ces modeles (en particulier, la charge centrale conforme tend vers 1
quand q ! 4), les techniques utilisees ouvrent la voie a la resolution d'autres
modeles de matrices non couplees en cha^ne.
111
112
CHAPITRE 7. CONCLUSION
En n, nous nous sommes interesses aux calculs des fonctions de correlation de niveaux d'energie des modeles de matrices. Nous avons etudie
plus particulierement le cas d'un support non-connexe de valeurs propres et
montre que la contradiction entre un tra^tement \naf" de la limite N ! 1
et la solution obtenue par des methodes de polyn^omes orthogonaux vient du
caractere discret des valeurs propres. Nous avons montre comment on peut
obtenir les expressions de l'energie libre, des polyn^omes orthogonaux, et des
fonctions de correlation, par une methode simple et physiquement parlante.
Nous esperons en n pouvoir generaliser tous ces resultats a des ensembles
de matrices di erents, comme les ensembles symplectique ou orthogonal.
Chapitre 8
Articles
113
CHAPITRE 8. ARTICLES
114
Nuclear Physics B 6166 (1999) 1{99
Renormalization group for matrix models with
branching interactions
Gabrielle Bonnet 1;2 , Fran
cois David 3;4
CEA/Saclay, Service de Physique Theorique, F-91191 Gif-sur-Yvette Cedex, France
Received 26 November1998; revised 19 February 1999; accepted 29 March 1999
Abstract
We develop a method to obtain the large-N renormalization group ows for matrix models of
two-dimensional gravity plus branched polymers. This method gives precise results for the critical
points and exponents for one-matrix models. We show that it can be generalized to two-matrix
models and we recover the Ising critical points. c 1999 Elsevier Science B.V. All rights reserved.
PACS: 11.10.-z; 11.10.Hi; 11.15.Pg; 11.25.Pm
Keywords: Non-critical strings; 2D gravity; Random matrices; Large- renormalization group
N
1. Introduction
Randommatrices are useful for a wide range of physical problems. In particular, by the
means of Feynman rules, random matrices can be interpreted in term of two-dimensional
surfaces, which themselves are related to two-dimensional quantum gravity [ 1] . 2D
quantum gravity models can be coupled to matter elds, with a non-zero central charge
C. In term of matrices, this leads to consider multi-matrix models, which, studied near
their critical points, in the scaling limit, allow one to recover a continuous theory.
Some of the random matrices models have been solved exactly [ 2] and the continuous
limitone recovers in the neighbourhood of their critical points has been related to C 6 1
quantum gravity models. Although the behaviour of C 6 1 models is well understood,
AMN
E-mail: [email protected] spht.saclay.cea.fr
3
Physique Theorique CNRS
4
E-mail: [email protected] spht.saclay.cea.fr
1
2
0550-3213/99/$ - see frontmatter c 1999 Elsevier Science B.V. All rights reserved.
115
2
G. Bonnet, F. David /Nuclear Physics B 6166 (1999) 1{99
exact methods have not been able to solve C > 1 models yet. There is a \C = 1
barrier", which prevents us from using C > 1 matrix models as a tool to understand
C > 1 two-dimensional quantum gravity.
Whereas exact technics are unable to deal with C > 1 models, an approximate method
is likely to succeed better. In 1992, Brezin and Zinn-Justin [ 3] introduced a new method
to solve random matrices models: the large-N renormalization group (RG), where the
rescaling parameter N is the size of the matrices. Integrating over part of the matrices to
reduce N one obtains a RG ow in the space of actions. Fixed points should correspond
to critical points of matrix models in the large-N limit and the scaling dimensions of
operators give the corresponding critical exponents. For instance, the scaling dimension
0 of the most relevant operator is related to the \string exponent" s by the relation
s =2 ? 2=0 .
While the large-N renormalization group method was introduced to study directly
C > 1 models, its application to already solved (by exact methods) C 6 1 models is
also useful. Indeed, in [ 4] it was argued by one of the authors that the understanding
of the behaviour of the ows for C 6 1 models would throw light on what happens
at C > 1: taking into account \branching interactions" in matrix models, it is expected
that in addition to the gravity xed point there is another xed point (corresponding to
the \branching" transition between 2D gravity and branched polymer behaviour). The
value of the critical exponents when C ! 1 (known from the exact solutions and KPZ
scaling) support the conjecture of [ 4] that at C =1 these two xed points would merge,
and that there would be generically no gravity xed point for C > 1 models.
In this paper we develop the large-N RG method in order to study precisely matrix
models for 2D gravity + branched polymers. We shall describe rst in Section 2 the
renormalization group method as it was introduced by Brezin and Zinn-Justin, and the
improvements made by Higuchi et al. [ 5] , using the equation of motions. Then we
explain why these methods are not suf cient to study our class of models. We show
in Section 3 that the linear approximation of [ 5] is not suf cient and we propose
a method to go further, and we apply it to the one-matrix model. The method still
requires numerical analysis, which is performed in Section 4, where the resulting RG
ow equations are analysed and the results of the method are compared to the previous
results of [ 5] and to the exact results. Finally in Section 5 we shall consider the
generalizations of our method, in particular to the Ising plus branched polymer twomatrix model.
2. The renormalization group for matrix model
2.1. General idea
We shall consider a matrix model for gravity plus branched polymers. The partition
function is
116
CHAPITRE 8. ARTICLES
117
3
G. Bonnet, F. David /Nuclear Physics B 6166 (1999) 1{99
Z
Z = de?N V ; hermitian matrix N N;
2
(
(1)
)
where
n
(2)
V ( ) = T + gT + h2 T ; Tn = N1 tr n :
In Eq. (2) g is the gravity coupling constant and h is the branched polymer coupling
2
4
2
2
constant. This model can be solved exactly, thus it should be a good test of renormalization group methods. When h is equal to zero, it is the pure gravity model that was
considered by Brezin and Zinn-Justin in [ 3] when they rst tested their renormalization
group (RG) method. The general idea of RG is to start from the potential V ( 0 ) for a
N0 N0 matrix 0 with N0 =N + 1, and to integrate over the last row and the last column of the matrix, leading to an effective action V 0 for the N N remaining matrix .
Performing a linear rescaling of (wave-function renormalization) to keep the tr( )
term unchanged one obtains the renormalized action V ( ) + N? V ( ) and the RG
ow equation in the space of action N @[email protected] V = V .
In [ 3] it was shown that at order g the action (2) (with h =0) stayed closed (up to
a additive shift corresponding to a tr( 1) operator), i.e. no new operators were generated
by the RG. The corresponding beta-function for g was found to have a zero for g < 0,
corresponding to the critical coupling where pure gravity scaling is recovered. However,
at that order the rst numerical result of [ 3] were only very qualitative, since the error
on the critical coupling itself is of order 100%. This method was then developed further
by several authors [ 6] .
Shortly after, Higuchi, Itoi, Nishigaki and Sakai [ 5] improved the RG method by
using the equations of motion of the matrix model (the so-called loop equations) to
eliminate some of the new operators which appear in the RG transformation at higher
orders in g. They rst considered the pure gravity model with cubic action
V ( ) = T + gT
(3)
and showed that in the planar limit, the RG equation for the free energy F ( g) can be
written as
2
1
3
2
3
@F + 2F = G( g;@[email protected]) ;
N @N
(4)
where G is a non-linear function of g, the gravity coupling constant, and of @[email protected] = hT i.
3
This is a non-linear differential equation, at variance with the standard RG equations
which should be linear and of the generic form given in [ 3]
@F ? ( g) @F + ( g) F = r( g)
N @N
(5)
@g
(where ( g) and r( g) are regular functions in g). In order to obtain a standard renormalization group equation the authors of [ 5] truncated G( g;@[email protected]) to the rst-order
in @[email protected] For this problem this approximation is in fact quite good. The results they
obtained for the cubic action (3) are a 0:2% error for the value of the critical coupling
CHAPITRE 8. ARTICLES
118
4
G. Bonnet, F. David /Nuclear Physics B 6166 (1999) 1{99
and a 2:5% error for the eigenvalue corresponding to the string critical exponent .
Moreover, they have generalized this method to a one-matrix model with two couplings:
g T + g T + T and also to the Ising two-matrix model, with in both cases results quite
close to the exact results. In particular for the quartic action ( g =0) the relative errors
on the coupling and the eigenvalue are 1% and 5%.
Nevertheless, the linear approximation method has only been applied up to now
to gravity models without branching interactions. The case of gravity plus branched
polymers, which are the models one has to consider if one wants to verify the scenario
of [ 4] , would be more dif cult to treat. One would have to introduce @[email protected], partial
derivative of F with respect to h, and linearly develop the equations in @[email protected] and @[email protected]
Moreover, the success of the linear approximation method of [ 5] may be attributed to
the fact that the value of the critical coupling for pure gravity, gc ' ?0:22, is in fact
quite small, since the corrections to the linear approximation turn out to be of order g ,
and are therefore small. For branching interactions, we expect that this will not be the
case. Already for the pure branched polymer model ( g =0, x < 0) the critical point is
hc = ?0:5, thus we can guess that the estimates for the general critical points would be
far less precise than those for the pure gravity critical point.
3
3
4
4
2
3
3
2.2. Equations of motion
Since in this paper we shall also use the equations of motion to write RG equations
for matrix models with branching interactions, let us brie y recall the general idea.
If one starts from a simple action V such as (2) (which depends only on the two
operators T and T ) one obtains a variation V which is a function of all the T n
for any n. To take all these terms into account, one can try to write the action of the
renormalization group on the most general partition function. This leads to expressions
with an in nite number of terms which must be truncated in some way. However, we
know no general and natural truncation scheme, and the simplest truncations lead to a
very slow convergence for the value of critical points, while the estimates for the critical
exponents do not converge at all! This can be shown explicitly on the simple example
of the pure branched polymer model with action V ( ) = T + h T (which is in fact a
vector model) as discussed in Appendix A.
Nevertheless one must realize thatnotall the operators are independent. One is free (in
perturbation theory) to include in the RG transformation a non-linear reparametrization
of the eld variable (i.e. the matrix ) in the partition function, of the form
X
Ak[ fTj g] k :
(6)
! + ( ) ; ( ) = N?
2
4
2
2
2
2
2
1
k
This induces an additional variation in the effective action of the form
@V ? @ ( ) :
(7)
V = ( ) @
@
This variation does not change the physical content of the RG equations,
since hV i =0
R
where h: : :i denotes the \vacuum expectation value" (v.e.v.) Z ? d( : : :) e?N V ;
1
2
(
)
119
G. Bonnet, F. David /Nuclear Physics B 6166 (1999) 1{99
5
these are the quantum equations of motion of the model, which express the relations
between the v.e.v. of the traces. This (unphysical) arbitrariness in the RG equations is
known as the problem of the \redundant operators" [ 7] . The idea is that one should use
the equation of motion to simplify the expression of the RG equations and to reduce the
number of operators and of coupling constants involved in the RG ows. This is what
has been done in [ 5] to reduce the RG equation to the form of Eq. (4). In Appendix A
we show how the method applies to the simple branched polymer model.
We are now going to introduce our method, which aims at calculating the renormalization ows of gravity plus branched polymer models.
3. Our method
3.1. The action of the renormalization group
We are now going to explain our method on the example of the one-matrix model:
V ( ) = gT + T + h T (More general cases as the Ising plus branched polymer
model will be considered in Section 5 and we shall discuss then the generalization
of our method). As the use of the equations of motion does not allow us to put the
renormalized action exactly in the same form as the action we would like to study, we
are going to consider a slightly more general model:
V ( ) = ( T ) + g T ;
(8)
where is of the form
1
X
= 2? j? hjTj
(9)
4
2
2
2
2
2
(
4
1)
2
j=1
with h =1 and h = h. We are going to show that when the renormalization group acts
on this model, the renormalized action can be put in the same form, with a renormalized
and a renormalized g, and h always equal to one.
In the following we denote U the derivative of
1
2
1
@ = U( T ) :
@T
(10)
2
2
We start from
v
0
= v
an ( N + 1) ( N + 1) hermitian matrix, is an N N hermitian matrix, v is a vertical
vector, and a real number.
!!#
"
Z
0
0
tr
tr
0
ZN = d exp ?( N + 1) g
(11)
4( N + 1) + 2( N + 1)
+1
2
4
2
120
6
CHAPITRE 8. ARTICLES
G. Bonnet, F. David /Nuclear Physics B 6166 (1999) 1{99
can be rewritten, to the rst-order in 1=N, separating the variables , v, v and , as
Z
d dv dv d exp ?N2 V ( ) + N1 V ( )
with
2
2
4
V = gT4 + 2 ? T2U + g 4 + U 2 + v( U + g 2 + g + g2 ) v + g ( v 2v) :
(12)
Let us introduce rst the auxiliary eld and rewrite the part of the integral containing
the variables v and v as:
Z
2 I = dv dv exp ?N v( U + g 2 + g + g2 + g ) v ? g 2 :
(13)
By integrating over v and v, we obtain
2
I =exp ?N ?g 2 + N1 tr ln( U + g 2 + g + g2 + g ) :
(14)
We then can use a saddle point method and minimize this expression with respect to .
We nd an implicit equation for the value s of :
?
g
g s = 1=N tr U + g + g2 + g + g 2 :
(15)
s
We now have to integrate over . This can also be done by using the saddle point
method. The d s=d s terms disappear thanks to Eq. (15), and the saddle point s
veri es
2
g
+
g
1
s
3
(16)
g s + U s + N tr U + g 2 + g + g =0:
s
s
s
Then we can rewrite, where h: : :i means that the average is done over ,
ZN+1 = exp ?N gT + 2 ? T U + g 4s + g 2s + A ? g 2s
(17)
4
2
ZN
4
2
2
with
?
A = 1=N tr ln( U + g 2s + g s + g2 + g s)
(18)
and use the factorization property which is valid in the large-N limit hABi = hAihBi +
O( N?2) to express the variation of V :
4
2
@V
N @N = gT4 + 2 ? T2U + g h 4si + g h 2si
2
h
i
h
i
1
s
2
2
+ N tr ln( U + gh si + gh si + g + gh si) ? g 2 :
(19)
121
CHAPITRE 8. ARTICLES
122
7
G. Bonnet, F. David /Nuclear Physics B 6166 (1999) 1{99
From the saddle point equation on s, and the parity of the action which leads to
htr i =0 we immediately see that h si =0 is a solution of the averaged saddle point
equation.
Thus
1
s
@V
(20)
? N @N = gT + 2 ? T U + N tr ln( U + g s + g ) ? g 2
with
1
?
(21)
h i = tr( U + g + g ) :
4
s
2
s
N
2
2
2
1
3.2. Equations of motion
As discussed in Section 2.2, one should use the equation of motion and the freedom
to add redundant operators to the RG transformation to simplify the ows. We now
express the equations of motion. The change in variables ! + n , n > 0 leads
to the equation of motion
2 +1
( n + 2) g T
n
2( +2)
+ ( n + 1) U T
n
2( +1)
?2
n
X
i=0
i ( n ? i) T i T n?i
2
2(
)
=0;
where the Tn are de ned as in Eq. (2),
1
nT = tr( n ) :
n
(22)
(23)
N
We introduce the function f ( z ) which is the generating function of the hT ni, f ( z ) =
N htr ?z i (this function f is almost the resolvent of the model). Using Eq. (22)
f ( z ) can be rewritten
p
(
g + Uz ) + ( g + Uz ) ? 4z ( g + Uz + 2gT z ) :
(24)
f(z) =
2z
Noting that
h si = N1 tr ( U + g s + g ) ? = hU +1g i f U +?gg
(25)
s
s
we immediately nd that the solution of the above equation is
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
h si =2hT i:
(26)
2
Integrating f , we also have
1 tr ln( U + g + g ) = ln( U + g ) +
s
s
N
?g=(ZU+g )
s
2
0
f ( z ) ? 1 dz :
z
(27)
123
8
G. Bonnet, F. David /Nuclear Physics B 6166 (1999) 1{99
Finally, denoting
g
=?
hU i ;
x = h2T2U i
2
(28)
we obtain
@V
? N @N
=gT + 2 + ln U ? x2 + ln(1 ? x) + x2
2
4
Z?
1
+
x
dz
z
p
? ? 2z + ( z ? ) ? 4z ( z ? ? zx) :
?2z
2
2
2
3
0
(29)
This expression, if expanded
of T , contains a linear term in T : [email protected] [email protected] (we
P ?inj powers
j
recall that ( T ) = 1
2
h
T
).
We
would like to keep h equal to one. This is
j
j
possible if one subtracts the coef cient of T , multiplicated by the expression appearing
in the rst equation of motion: 4gT + 2T U ? 1. Then we nally obtain a renormalized
action exactly in the same form as the original action.
Beyond this point, we shall suppress, for simplicity reasons, the h: : :i in all our
expressions. Indeed, Eq. (29) means that if we replace [email protected][email protected] in ZN by the righthand part of our equation, the result will be the same.
2
2
=1
1
2
2
1
1
2
4
2
+1
4. Numerical analysis
4.1. Expansion of the integral
We now have obtained a renormalization group equation containing only linear terms
T and powers of T . So, starting from the action gT + ( T ) (with ( T ) =
T + h T + : : :), we can write (at least in principle) the equations for [email protected][email protected] and
[email protected] [email protected]: we just have to expand the above expression in powers of T . This method,
however, leads to very complicated expressions with many non-trivial integrals depending
on the parameter g. To be able to treat our expression easily, it is better to expand it
rst in powers of ( is of order g, as U =1 + hT + : : : is of order one). The last
integral in Eq. (29) is then also expanded in powers of x, and it remains to expand
= ?g=U in powers of T , which is easy.
One should notice that the expansion in is not trivial: one cannot simply expand
the integrand and the bounds of integration, as this would lead to divergent expressions.
In fact, the integral can be expressed as an expansion in n and n ln . What one has
to do to expand the last integral properly is to treat separately the integral between 0
and x = (1 ? x) ? , and between x = (1 ? x) ? and (1 ? x) ? . Let us brie y
describe these operations: the last integral can be expressed as a sum of two integrals,
= Z ?x
p
z ? ? 2z + ( z ? ) ? 4z ( z ? ? zx)
I=
dz = I + I : (30)
?2z
in
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3 2
(1
)
1
3 2
2
2
3
0
1
2
1
2
CHAPITRE 8. ARTICLES
124
9
G. Bonnet, F. David /Nuclear Physics B 6166 (1999) 1{99
The rst one given by
I1 =
1Z=p
x B1 du
0
with
z
2
= 1 ? xx u and
(31)
p
?2(1 ? xu) 2 + x(1 ? x) (1 ? u) + (1 ? u) 2 + 4u(1 ? x) 2=x
B1 =x
?2(1 ? xu) 3
;
(32)
and the second one given by
I2 =
Z1
xp
B2 da
with
z
= 1 ? x a;
(33)
p
?2 (1 ? a) 2 + (1 ? x) ( x ? a) + ( x ? a) 2 + 4a(1 ? a) 2
B2 =
?2(1 ? a) 3
:
(34)
Before expanding the integrand in powers of , up to the order 2n, we have to notice
that, when tends to zero, the bounds of integration in I1 and I2 tend respectively to
1 and 0. Let us take I2 as an example. For u 1=p large, the terms in the expansion
of the integrand are of the form 2n+1u2n. This implies that the integration leads to a
term of order n. Thus, the terms in the expression are really of increasing powers of ,
which justi es our expansion, keeping in mind that expanding the integrand up to order
2n amounts to expand the integral up to order n.
Moreover, when expanding the integrand B1, we obtain expressions of the form
P ( u)((1 ? u) 2 +4u=x) ?m=2 , where P ( u) is a polynomial. The primitives of such terms
lead to logarithmic expressions, and we nally obtain a n and n ln expansion, that is
to say, in term of the coupling g, we have an expansion in gn and gn ln( g). We would
not have realized the existence of these logarithmic terms if we had used a nite number
of equations of motion; they appear here because, by the use of the f ( z ) function, we
have used an in nite number of equations of motion, and expanded properly only after.
This phenomenon should not come as a surprise, it was already observed in [ 9] .
Once the expansion in g has been done, we expand U in powers of T2 and, nally,
we obtain a quite simple expression with two orders of expansion: X in g and Y in T2.
After development in at order X =4 in , for example, the expression of the integral
I = I1 + I2 is
I =
? 32 + x ? ln( ) + 2 ? 12 + 8x ? 6 ln( ) + 4x ln( )
+ 3
?
19
1
665
2
3
2
? 6 + 84x ? 2 x + 6 x ? 50 ln( ) + 36x ln( ) ? 3x ln( )
125
10
G. Bonnet, F. David /Nuclear Physics B 6166 (1999) 1{99
A
0.1
0.08
-g
0.06
C
0.04
0.02
B
0.1
0.2
0.3
0.4
-h
0.5
Fig. 1. Renormalization ows, where ?h is in abcissa and ?g in ordinate. Trajectories may seem to bifurcate:
in fact, these are two distinct trajectories originating from two points near each other but separated by the
critical line.
2960 x ? 174x2 + 4 x3 + 1 x4 ? 490 ln( )
+
+ 4 ? 3437
3
3
3
6
+400x ln( ) ? 60x2 ln( ) + o( 4) :
(35)
Inserting the expansion for I in Eq. (29) we obtain the RG ow equations for the
couplings g and hj ( j 6 Y). These ow equations can easily be integrated numerically.
4.2. The shape of the RG ows
In Fig. 1 we show the results obtained at orders X =5 and Y =6. The axes represented
correspond to the two couplings that interest us: the gravity coupling g and the branched
polymer coupling h = h2. Of course, there are Y ? 2 (=4) other couplings which are
not represented there. The RG ows represented here correspond to the initial condition
hj = 0, for all j > 2, i.e. we study the evolution of the model with initial action
V = gT4 + T2 + h2 T22 as in Eq. (2). It is easy to nd the critical line in the ( g; h) plane: it
separates the domain where one ows towards the Gaussian xed point ( g ! 0; h ! 0)
from the domain where g and h diverge. We have chosen here to show only the ows
for ( g; h) near the critical line, on both sides of it. Since under the RG ows the hj 's
becomes non-zero, and since we project the ows on the ( g; h) plane the ows may
seem to cross; of course, this is unphysical and a projection of what happens in higher
dimensions.
First one recovers the correct phase diagram and critical line (with an average 5%
relative error at this order). The critical line is separated into two parts by a multicritical
point C. Starting from the rightmost part of the critical line the ows are driven towards
a xed point B which lies on the g = 0 plane. Starting from the leftmost part of the
critical line the ows are driven towards a xed point A (with g, h, h3, : : : =
/ 0). We
have represented in Fig. 1 the \pull-back" A of A , i.e. the point on the critical line
which ows in the fastest way towards A (this is equivalent to saying that the leading
subdominant corrections to scaling vanish at A). Both xed points B and A have one
unstable direction. Thus B corresponds to branched polymers and A is the xed point
0
0
0
0
0
0
0
0
CHAPITRE 8. ARTICLES
126
G. Bonnet, F. David /Nuclear Physics B 6166 (1999) 1{99
11
0.094
0.092
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.088
0.086
0.084
Fig. 2. Extrapolating the
h
= 0 critical point
? c as a function of 1
=X.
g
corresponding to pure gravity. Starting from the point C one ows towards a xed point
/ 0) with two unstable directions, which should therefore
=
correspond to the \branching transition" between pure gravity and branched polymer
scaling behaviour. These features of the RG ows are in full agreement with the picture
proposed in Ref. [ 4] . This agreement is con rmed by studying the numerical results
more precisely.
C0 (also with , , 3,
g
h
h
:::
4.3. Quantitative results
At this order of approximation ( = 5, = 5), we obtain for the critical point c
located on the axis =0 a precision which is smaller than the one obtained by Higuchi
et al. Our computations, however, can be performed for several values of and , and
the results can be extrapolated to obtain a very good precision. For example, for c , the
critical value of for =0, we have
X
Y
g
h
X
Y
g
g
h
X
gc
?0 095415( 5)
?0 090745( 5)
?0 088725( 5)
?0 087585( 5)
?0 083325( 5)
2
:
3
:
4
:
5
:
1
:
We then extrapolate these results by a polynomial of degree 3 in ?1 . Fig. 2 shows
that this extrapolation behaves almost as a straight line: the value of c converges as
1 . The extrapolated value for = 1 is ?0 083325(5), while the exact value of c is
? 121 ' ?0 083333(5). We have thus obtained a 0 016% relative error, to be compared
with the 0 9% relative error of Ref. [ 5] .
By the same method, we can obtain the whole critical line in the plane ( ), which
was not obtained in Ref. [ 5] . On the pure branched polymer line ( =0), we obtain for
the branched polymer critical point c ' ?0 50037 instead of the exact value c = ?0 5,
i.e. a 0 07% relative error. For the position of the multicritical point C we obtain for c
and c relative errors of 0 02% and 0 5%, respectively.
X
g
=X
X
:
:
g
:
:
g; h
g
h
:
:
g
h
:
h
:
:
127
12
G. Bonnet, F. David /Nuclear Physics B 6166 (1999) 1{99
Linearizing the RG ow equations in the vicinity of the xed points, we obtain also
good results for the critical exponents. For instance, studying the multicritical xed point
C , we obtain for the largest eigenvalue 0 ? 1:185, i.e. a 1:25% relative error when
compared to the exact result 6=5 =1:2!
It is not surprising that the critical exponents converge less rapidly than the positions
of the critical points. Better but more tedious calculations could be done, for we can go
in principle to any orders X and Y, and the limit X ! 1 and Y ! 1 should give the
exact result, but this is not our purpose here.
0
5. Multimatrix models
Our method can be generalized to a two-matrix model which describes the Ising plus
branched polymer model:
2 + B2 ) 2
2 + B2 )
3
3
tr AB :
tr(
A
tr(
A
h
tr(
A
+
B
)
+
c
(36)
V0 = g 3N + 2N + 2
0
2N
N
A and B are two N N hermitian matrices, g is the gravity coupling constant, h the
branched polymer coupling constant and c corresponds to the temperature of the Ising
model. For simplicity reasons, we have not introduced a external eld, which would
have broken the symmetry in A and B.
As previously, we are led to studying a more general model: if we take
= A0 B0 ; 1 = 01 10 ; and 0 =Id = 10 01 ;
the model we are going to study can be expressed as
!
? ? tr 3
tr 2 tr( 1 1 )
V = g 3N +
;
(37)
2N ;
2N
where is, as in the case of one-matrix models, a function of the quadratic terms in .
If
n ) = tr( An + Bn) and T = tr ( 1 1 ) = tr( AB) ;
Tn = tr(nN
AB
nN
2N
N
we note that
@ = U and @ = c:
@T2
@TAB
Here c is a series in TAB and T2, with constant coef cient c0 . The renormalization group
equation reads
@V =gT + 2 ? T U ? cT + g 3 + ( U + 2c) 2
?N @N
3
2
AB
3
2
+trln(( U + g ) 0 + c 1 + g) ;
(38)
CHAPITRE 8. ARTICLES
128
13
G. Bonnet, F. David /Nuclear Physics B 6166 (1999) 1{99
where = T1.
To simplify this expression, we have to use the equations of motion. Similarly to what
was done in [ 5] , we can express, by introducing ! + in : : : i ( z 0 + gc 1 + ) ?1
changes in variables,
?1 W = 1 tr z + c + 1
0
0
N
g 1
as the solution of a quartic polynomial:
W0 ? ( z + c )( U ? gz ) ? c ( U + 2c ? gz ) W2 + 2 c2 + c U ? c z
0
2
g
2g
g2 g2
g
2
( c + gz )( U ? gz ) W0 + c( U ? gz )2T2 + gcTAB ? W40 ? ( z ( U ? gz )
z
c
+ 2g ( U + gz )) W0 ? c + g ( U + 2c ? gz )( c + gz )( U ? gz )
2
(39)
W20 ? ( U ? gz ) z + gc W0 + 2gT2 + 2( U ? gz ) =0:
We then have to integrate
Z1 2 W z ? 0
dz:
U
g
+
z
z
g
Without going through all the details of the procedure, let us note that, to expand W0 ,
we have to be cautious. Indeed, as for the one-matrix model, the integral will have to
be cut into two parts, as U ? gz can be large ( z 1) or small ( z U=g). This will
lead to two different changes of variables in the integral and, once more, to logarithmic
terms in g and in ?c0 .
Let us also stress that one has to expand the integral both in powers of g and of c0 .
The easiest way to do so is to expand simultaneously I in powers of g and c0 , with
g2 c0 . Then, we can compute approximate ows for this model.
Fig. 3 shows approximate RG ows, at x =0, at order X =6 in g (i.e. three in c0 )
and Y =2 in T2, where g is in abcissa and c0 in ordinate.
Here, we recover the pure gravity ( c0 =0, x = 0) critical point at gc ' 0:262, i.e.
with 19:5% error (the exact critical point is 432?1=4 ' 0:219). By extrapolating the
two rst results at X = 2 and X = 3, however, we obtain an extrapolated gc ' 0:222,
that is to say only a 1:2% error! Moreover, we can see in Fig. 3 that we recover the
Ising bicritical point C at c0 ' ?0:14 (the exact value is 0:15), and the shape of the
critical line.
All these results show that we can compute good approximations of the ows, not only
for one-matrix models, but also for multimatrix models. This way we can theoretically
compute the ows of an open chain of k matrices with nearest neighbour coupling, for
k =1, 2(Ising), 3 : : : This series of models is all the more interesting as we know that
129
14
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g
0.05
-0.2
c0
0.1
0.15
0.2
0.25
0.5
C
-0.4
-0.6
-0.8
-1
Fig. 3. Approximation of the ows for the Ising model. g is in abcissa, c0 in ordinate.
when k ! 1, the central charge of the model C ! 1. These models could thus allow
us to verify the evolution of the ows with C and their shape when C is equal to one.
This leads us, however, to a practical problem: though the initial model (the open
chain) has the same coupling constants for all the matrices of the chain, the action of
the renormalization group leads to almost as many coupling constants as matrices. This
comes from the fact that the roles of the matrices of the open chain are not symmetric.
Thus, we do not know if it is practically manageable to study, for example, a k =10
matrices open chain, or if it leads to too long computations. A solution is to study a
symmetric problem: the closed chain, for example (we do not know its exact solution),
or the k-matrix Potts model, where all matrices are coupled. The study of the latter
model could indeed be very interesting: when k > 4, then C > 1 and we would thus
enter the C > 1 domain.
6. Conclusion
In this paper we have developed the large-N renormalization group method to study
matrix models containing interaction terms corresponding to branched polymer interactions. We have shown the analytical basis and the successes of our method. It can deal
with models containing branched polymers, it gives us the shape of the ows, and also
good approximations of the position of the critical points and critical exponents of the
models. We have applied our method to the case of pure gravity plus the branched polymer one-matrix model, and to the case of the Ising two-matrix model. Our method is an
approximation method: the exact expressions must be truncated to a certain order to be
numerically manageable (the ideal case of the in nite chain being the exact solution).
However, the extrapolation of the rst-orders gives good results without taking high
computation times. But, when studying models with a growing complexity ( k-matrix
open chains), we may reach for large k the practical limits of the method, and thus
it would be a good thing to nd more technical simpli cations. We also plan to study
k-matrix Potts models, which are very symmetric models (so technically simpler) but
which would allow us to cross the C > 1 barrier for k > 4, and are thus theoretically
more complex models.
CHAPITRE 8. ARTICLES
130
15
G. Bonnet, F. David /Nuclear Physics B 6166 (1999) 1{99
Acknowledgements
We thank J. Zinn-Justin for his interest and his careful reading of the manuscript.
This work has partial support from European contract TMR ERBFMRXCT960012.
Appendix A. The vector model
The large-N RG method has already been applied to the (very) simple case of the
vector model in [ 8] . This model corresponds to the limit g = 0 of the matrix model
with action (8), since then the U( N)-matrix model becomes an O( N2 ) vector model.
The authors of [ 8] found that if one does not use the equations of motion (i.e. if no
non-linear reparametrization of the elds is performed) the RG ow equation seems
to lead to strange results, with the apparent existence of a one-parameter family of
xed points. However, they showed that when using the equations of motion one can
reduce the RG ows to much simpler ows in a nite-dimensional space of couplings.
Moreover, in that case the ows can be easily calculated exactly and it is found that one
recovers the exact critical points and critical exponents.
The purpose of this appendix is just to present the results of a simple exercise: how
do the results of the RG method change if one does not use the equations of motion, or
if one uses the equations of motion in a approximate way?
We start from the action (8) with g =0 for a N N Hermitian matrix
2
X
(A.1)
T2 = N1 Tr 2 :
( T2) = 2h?1 T2 ;
j
j
j
j
Since we can rewrite T2 = jj2 where is the N2 -dimensional real vector whose
components are the real and imaginary parts of the matrix elements of , the model
reduces to the vector model studied in [ 8] . The RG ow equation for the potential
can be written exactly, either by integrating explicitly over some components of , or
by computing exactly the effective potential at large N and studying its variation with
N. Both methods yield, to rst order in 1=N,
N @ =2 ? 2 T2 0 + ln[ 0] :
(A.2)
@N
This simple RG equation becomes even simpler if we consider instead of its derivative
U = 0 and if we invert the function U ( T2 ) and consider instead the function X = U ?1
de ned as T2 = X( U ) (this is at least possible for T2 small). The RG ow equation
becomes linear for the function X
@ X =2 X ? 1
(A.3)
N @N
U
and is trivial to solve. If we start at N0 from the initial potential 0, i.e. from the initial
function X0 with X0 = U0 ?1 = 0 0?1 we get at N = N0
ij
131
16
G. Bonnet, F. David /Nuclear Physics B 6166 (1999) 1{99
U
U
h = 0.4
1
h = 0.5
1
1
2
X
5
h = 0.8
4
3
U
1
0.5
1.5
2
X
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
X
Fig. A.1. RG ows of U = as a function of h. The initial function U0 is the thick black line, the large-N
limit is the thick dashed line. For > 1 U develops a singularity which moves with along the thin black
curve. The renormalized U are depicted by the thin (colour) curves, from the UV with small (blue) to the
IR with large (red). for h < hc the singularity goes to 1 and U ! 1 goes to the Gaussian xed point.
For h = hc =1=2 U goes to the non-trivial xed point. For h > hc the singularity hits the origin and the RG
ows diverge in a nite time.
0
+ 2 X ( U )
X( U ; N) = 1 ?
0
2U
2
(A.4)
and inverting again T2 = X( U ) we obtain the renormalized derivative of the potential
U ( T2 ; N) = @[email protected] ( T2; N). Performing a linear rescaling ! Z ?1=2 to keep the coefcient h1 of the T2 term xed amounts to changing X0 ( U ) ! ZX0( ZU ) in Eq. (A.4),
with Z = Z ( ) a linear rescaling factor ne tuned such that the constraint 0(0) = h1
(i.e. X( h1) =0) is kept for N =
/ 1.
Firstlet us study the exact ows if one starts from the quartic potential 0 = T2 ? h2 T22 ,
i.e. from the initial function X0 =(1 ? U ) =h. For > 1 small, the function U remains
analytic around the origin, but it develops a square rootsingularity at a nite X = Xs( ),
which starts for = 1 at the zero X = h?1 of U0 , i.e. at the critical point of 0. Of
course the ow can be studied analytically but they are better depicted graphically (see
Fig. A.1)
If 0 < h < hc =1=2, the singularity Xs( N) goes to in nity as N ! 1 and the
function U ( X; N) tends towards the constant function U ( X) = 1, which corresponds to the Gaussian potential = T2 (Gaussian xed point) (Fig. A.1a).
At the critical value hc =1=2 the singularity Xs tends toward a nite value X =
1=2, so that the function U tends toward a non-analytic xed point (Fig. A.1b)
2
CHAPITRE 8. ARTICLES
132
G. Bonnet, F. David /Nuclear Physics B 6166 (1999) 1{99
if X 6 X
U ( X) = 1unde
ned if X > X :
17
(A.5)
For h > hc =1=2, the singularity Xs( N) reaches the origin X =0 in a nite RG
time s =2h=(2h ? 1), the potential becomes singular at the origin and the RG
ow thus diverges in a nite time and reaches no xed point (Fig. A.1c).
This analysis can be extended to general initial potentials. We thus recover (without
using the equations of motion) a sensible picture of the RG ows: the attraction domain
of the Gaussian xed point ( h < hc) is separated from the domain where RG ows
diverge by a critical (unstable) manifold where one is driven towards the non-trivial
xed point U (which corresponds to branched polymers). The only subtle point is that
the non-trivial xed point is non-analytic and cannot be distinguished by a local analysis
around the origin ( T2 = 0) from the Gaussian xed point. This explains the apparent
paradoxes of [ 8] .
Let us mention that if instead of using the potential U ( X) one uses the inverse
function Y( U ) = X( U ) ? 1=2U , the RG ot is very simple: Y( U ) ! 2Y( U ). The
structure of the ow is described by the expansion of the function Y( U ) around the
largest zero U such that Y( U ) =0, and the (only) relevant scaling eld t0 corresponds
to the rst derivative Y0 ( U ) of Y (since the critical manifold corresponds to t0 =0).
This t0 scales with as 2, therefore has scaling dimension 2. However, the mapping
U ( X) ! t0 is highly non-linear, and becomes singular along the critical manifold t0 =0.
Therefore this does not contradict the fact that the real scaling dimension of the relevant
operator is 4=3.
One can try to truncate the RG ow equation (A.2) in the most naive way: we
keep only the couplings hj with dimension j 6 K in , then expand the ln[ 0] in
powers of T2 and truncate this expansion at order K in T2. We thus obtain for xed K
approximate RG ow equations for the K couplings hj, which are of the standard form
@
N @N hj = j [ h] , with the
functions polynomials of order K in the hj 's. At a given
truncation order K the explicitform of these functions is not especially illuminating and
will not be given here. Using computing software the approximate xed points can be
found exactly and the structure of the RG ows studied. We nd indeed a non-trivial
xed point with one unstable direction, which should correspond to the branched
polymer xed point.
The derivative U = 0 is depicted in Fig. A.2 as a function of the order of truncation
K ( U is a polynomial of degree K ? 1). One sees that as K increases the approximated
xed points converge towards the exact (but singular) xed point. However, a more
precise analysis (that we do not reproduce here) shows that the convergence is very
slow, typically as 1=K. The nite K estimates for the critical coupling hc (if all higher
order couplings hj , j > 2 are set to zero) converge towards the exact value 1=2 at the
same rate.
This very slow convergence is insuf cient to obtain good estimates for the critical
exponents. Itturns outthatwithin this approximationscheme, the scaling dimension appr
i
of the scaling elds at the approximate xed point are independent of the truncation
133
18
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U
1
X
.5
•
1
20
16
1.5
8
2
4
Fig. A.2.
order K! Indeed they are found to be integers (1; ?1; ?2; ?3; : : :). The +1 dimension
should correspond to the dimension 0 of the relevant perturbation, which is known
to be 4=3. Thus, although the estimates for the critical points converge towards the
correct result as K ! 1, the estimates for the scaling exponents do not! A procedure
to accelerate the convergence is required. This is precisely what the equation of motions
are doing.
References
[ 1] For general reviews and more references see for instance: F. David, Simplicial quantum gravity and
random lattices, in Gravitation and Quantizations, Les Houches 1992, Session LVII, ed. B. Julia and J.
Zinn-Justin (North-Holland, Amsterdam, 1995);
E. Brezin, Matrix models of two-dimensional gravity, in Gravitation and Quantizations, Les Houches
1992, Session LVII, ed. B. Julia and J. Zinn-Justin (North-Holland, Amsterdam, 1995);
The Large-N Expansion in Quantum Field Theory and Statistical Physics, from Spin Systems to 2Dimensional Gravity, ed. E. Brezin and S.R. Wadia (World Scienti c, Singapore, 1993).
[ 2] E. Brezin, C. Itzykson, G. Parisi and J.B. Zuber, Commun. Math. Phys. 59 (1978) 35.
[ 3] E. Brezin and J. Zinn-Justin, Phys. Lett. B 288 (1992) 54.
[ 4] F. David, Nucl. Phys. B 487 [ FS] (1997) 633.
[ 5] S. Higuchi, C. Itoi, S. Nishigaki and N. Sakai, Phys. Lett. B 318 (1993) 63; Nucl. Phys. B 434 (1995)
283; Phys. Lett. B 398 (97) 123.
[ 6] J. Alfaro and P. Damgaard, Phys. Lett. B 289 (1992) 342;
C. Ayala, Phys. Lett. B 311 (1993) 55;
Y. Itoh, Mod. Phys. Lett. A 8 (1993) 3273.
[ 7] F.J. Wegner, The Critical State, General Aspects, in Phase Transitions and Critical Phenomena Vol. 6,
ed. C. Domb and M.S. Green (Academic Press, London, 1976).
[ 8] S. Higuchi, C. Itoi and N. Sakai, Phys. Lett. B 312 (1993) 88.
[ 9] S. Hikami, Prog. Theor. Phys. 92 (1994) 479.
CHAPITRE 8. ARTICLES
134
hep-th/9904058
Sa lay T99/020
1
Solution of Potts-3 and Potts-
Matrix Models with
the Equations of Motion Method
Gabrielle Bonnet
1 2
CEA/Sa lay, Servi e de Physique Theorique
F-91191 Gif-sur-Yvette Cedex, Fran e
Abstra t
In this letter, we show how one
1
a tions and Potts-
an solve easily the Potts-3 + bran hing inter-
matrix models, by the means of the equations of motion (loop
equations). We give an algebrai
equation for the resolvents of these models, and
their s aling behaviour. This shows that the equations of motion an be a useful tool
for solving su h models.
1 AMN
2 gabonnetspht.sa
lay. ea.fr
135
1 Introdu tion :
Random matri es are useful for a wide range of physi al problems. In parti ular, they
an be related to two-dimensional quantum gravity oupled to matter elds with a nonzero entral harge C [1℄. While C 1 models are relatively well understood, the C > 1
domain remains almost totally unknown : there is a C = 1 \barrier". When studying C 6= 0
models, we are led to onsider multi-matrix models [2, 3℄ whi h are often non-trivial. One
lass of diÆ ult matrix models orresponds to the q-state Potts model (in short: Potts-q)
on a random surfa e. This model is a q-matrix model where all the matri es are oupled
to ea h other, thus making diÆ ult the use of usual te hniques su h as the saddle point
or the orthogonal polynomials method. Moreover, the q ! 4 limit orresponds to C ! 1,
thus, by solving Potts-q models, we shall gain a new understanding of the C = 1 barrier.
In this letter, we show that, ontrary to what was previously thought, one an use the
loop equations to solve the Potts-3 random matrix model, and we nd that the resolvent
(whi h generates many of the operators of the problem) obeys an algebrai equation that
we write expli itely.
We also show that this method applies when one adds bran hing intera tions (gluing
of surfa es, also alled \bran hed polymers") [4℄ and we derive the riti al line of this
extended model. The extension to the model with bran hing intera tions and the study of
its phase diagram is ne essary to verify [5℄'s onje ture about the C = 1 transition.
Finally, we apply the method to the Potts-1 matrix model, whi h orresponds to
C = 1.
As this work was approa hing its ompletion, a paper appeared on the dilute Potts
model [6℄, whi h partially overlaps our present work. In this arti le, the author also has an
algebrai equation for the onventional Potts-3 model. Here, we go further as we onsider
the Potts-3 + bran hing intera tions model. Moreover, his method is quite di erent : while
he uses analyti al onsiderations on the resolvents and large-N te hniques, we solve our
model by the loop equations method, whi h an be extended to nite N problems and is
also more adapted to the use of renormalization group te hniques [7, 8℄.
2 The Potts-3 + bran hing intera tions model :
Let us de ne :
Z
=
Z
e N 2 V ()
d
3
tr2 ; trÆÆ )
+
(
() = g tr
3N
2N 2N
0
0
1
1
0
1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=B
0 2 0 CA ; Æ1 = B
0 0 1C
A; Æ 1 = B
1 0 0C
A
0 0 3
1 0 0
0 1 0
V
1
(1)
(2)
(3)
CHAPITRE 8. ARTICLES
136
Æ
= Æ1 + Æ 1 . We shall also use later the notation Æ0 = Id:
, Æ0 , Æ1 and Æ 1 are (3N ) (3N ) and 1 , 2 , 3 N N hermitean matri es. is a
general two-variable fun
tion, and will mainly appear through its partial derivatives U and
with respe t to tr2N2 and tr2NÆÆ respe tively. If these are onstants, then we re over
the onventional Potts-3 model (no bran hing intera tions). This model was given partial
solution by J.M. Daul [9℄, by onsidering the analyti stru ture of the resolvents. He had
its riti al point and its asso iated riti al exponent. He did not know, however, if the
resolvent obeyed an algebrai equation. We shall give here the expression of this equation
for the onventional and extended Potts-3 model. We also derive the riti al line of the
extended model and he k it orresponds to Daul's result in the parti ular ase of the
onventional model.
Let us note, for onvenien e :
ti1 i2 in k
= 31N htrÆi1 Æi2 : : : Æi k i
(4)
n
where i1, : : :, in an be +1, 1 or 0. This tra e is non-zero if and only if i1 + : : : + in 0
(mod 3). h: : :i is the expe tation value of (: : :) :
h: : :i = 1 d (: : :) e N 2V ()
(5)
Z
Z
A tra e will be said to be \of degree m" if there are m matri es in it. For example, the
above tra e is of degree k + n 1.
Let us now use the method of the equations of motion (or loop equations). If we make
the in nitesimal hange of variables in Z :
! + Æi1 Æi2 : : : Æi
(6)
n
with
+ i2 + : : : + in 0 (mod 3)
then we obtain the expression of the general equations of motion :
g ti1 :::in 2
i1
+ U ti1 :::i + (t(i1 +1)i2 :::(i
n
n
1) + t(i1 1)i2 :::(in +1) )
X1
n
j
=1
ti1 :::ij tij +1 :::in
= 0 (7)
The rst three terms ome from the transformation of V (), and the last one, from the
ja obian of the transformation.
Eq. (7) relates any expe tation value of tra e ontaining a quadrati term (i.e. a 2
term) to expe tation values of tra es of lower degrees. The problem is that we do not
have any re ursion relation for more general expe tation values like ti1 :::i where all the
ik 6= 0. Moreover, when one wants to ompute even a very simple tra e : for example t
n
n
2
137
by using Eq. (7), one obtains, [ 2 ℄ steps later, a n [ 2 ℄ degree ompli ated tra e whi h
does not ontain quadrati terms any more. Thus, the re ursion stops there. In fa t, this
problem an be over ome by a very simple idea : one uses the invarian e of tra es by y li
permutations to get rid of the n + 1 degree term in Eq. (7). Then, one obtains relations
between general tra es, and it is thus possible to ompute the expe tation values of any
tra e in fun tion of the rst ones.
Let us see now how this idea applies to the omputation of the resolvent. We denote :
1 htrÆ Æ : : : Æ 1 i
!12 n =
(8)
n
3N 1 2
z !0 = ! is the usual resolvent. Using the hange of variables :
(9)
! + z 1 we obtain the equation :
n
n
i i :::i
i
( + gz) !
z U
Similarly,
U
i
i
!2
g t
gz
! + Æ1 Æ
1
yields :
( + gz) !1
z U
1
(U + gz) t
g t1 1
1
z
! !1 1
+2
!1 1
=0
(10)
(11)
+
!1 0 1
+
! 1 1 1
=0
(12)
and, by the means of similar hanges in variables, we have the equations :
( + gz) !
=0
(13)
z (U +gz ) !1 1 1 1 (U +gz ) t 1 1 1 g t1 1 1 1 + !1 0 1 1 1 + ! 1 1 1 1 1 ! !1 1 1 1 = 0
(14)
These equations alone are not suÆ ient to ompute !(z). Indeed, if we intend to
al ulate !(z), we generate the fun tion !1 1(z) (Eq. (10)). Then, in turn, we generate
the fun tion ! 1 1 1(z) (Eq. (12)) and so on.
As for ! fun tions ontaining a 0 (i.e. a 2 term) su h as !1 0 1 , they are easy to deal
with : we know how to ompute tra es ontaining 2 . !1 0 1 = 31 trÆ12 Æ 1 1 , will be
seen as 31 tr2 Æ 1 1 Æ1. Then the hange in variables :
z U
(U + gz) t1
1 1 1
1
g t 1 1 1
+
! 10 1 1
+
!1 1 1 1
N
N
z
z
! + Æ
yields (!1 1 = !
!! 1 1 1
11
1
1
z
(15)
Æ1
for symmetry reasons)
g !10 1
+ (U + ) !1 1 +
3
z!
=0
(16)
CHAPITRE 8. ARTICLES
138
and similar hanges in variables lead to the equations :
g! 1 0 1 1
+U!
1 1+ z! 1 1 1
t
=0
(17)
+ ! 1 0 1 1 t ! = 0 (18)
But, to ompute ! 1 1 1 1 1 , as mentionned in the omments to Eq. (7), we have to
substra t two di erent hanges in variables and use y li ity of tra es :
g !1 0 1 1 1
+ U !1 1
1 1 1 + !1 0 1 + z ! 1 1
! + [Æ 1 Æ 1 (z )
1Æ
t1 1
1
(
Æ 1 Æ 1 z
)
1Æ
2
1 ℄
(19)
yields :
(!
1 1 1 1 1+! 1 1 1 1 1
! 1 10 1
! 1011 1
This equation, as we know how to ompute !1 1, !
! 1 1 1 1 1 to ! 1 1 1 1 1 .
! + (Æ 1 Æ 1 Æ 1 (z ) 1
allows us to relate similarly !
11 1 1 1
! + (Æ 1 (z )
to !1
(
Æ 1 Æ 1 Æ 1 z
+!
+ t !1 1 = 0 (20)
(
)
Æ 1 z
11 1 1 1
) 12 )
Then
allows us to relate !1 1 1 1 1 to !1 1 1 1 1 , and we have !1
of Æ1 and Æ 1 are ompletely symmetri .
Finally, as a result of these operations, we have :
! 11 1 1 1
! 1 1 1
1 1 1 , ! 1 1 0 1 and ! 1 0 1 1 1 , relates
1 1 1 1.
1 Æ Æ Æ
1
1 1
)
1111
1 Æ Æ Æ )
1
1 1
=!
11 1 1 1
= K (z)
(21)
as the roles
(22)
where K (z) only ontains easy to ompute ! fun tions. We an then write an equation
for ! 1 1 1 1 1 and thus for ! 1 1 1 1 1 whi h only involves ! fun tions that we either
already know or are able to ompute similarly as was done during the two rst steps of the
pro edure.
That way, our set of equations is losed, and we obtain a degree ve algebrai equation
for !(z). This expression applies to general expressions of U and . For the exa t expression
of this equation see Appendix A. The equation only ontains four unknown parameters :
1 htr i; t = 1 htr i; t = 1 htr i; t
= 1 htr i
t =
N
1
1 1
N
1 2
111
N
1 2 3
1 1 1 1
N
1 2 1 3
(23)
These parameters are also those that would be involved if we used the renormalisation
group method [10, 7, 8℄ to ompute the Potts-3 model. The renormalization group ows
would relate the onventional Potts-3 to the Potts-3 + bran hing intera tions model, with
arbitrary U and ; but the presen e of t111 shows us it would also be related to the dilute
Potts-3 model, where one has a N1 tr(1 +2 +3 )3 term. Finally, the t1 1 1 1 term shows
4
139
us it may also be related to more ompli ated quarti models.
We are now going to derive from our equation the riti al behaviour and riti al line
of the model when U = 1 + htr2 =6 and is a onstant. This is the most ommon type
of extension of a matrix model to bran hing intera tions. The values of the unknown
parameters given in Eq. (23) are xed by the physi al onstraint that the resolvent has
only one physi al ut whi h orresponds to the support of the eigenvalues of . Then, one
an study the riti al behaviour of the model.
It is easy to look for the Potts riti al line. Indeed, the s aling behaviour of the resolvent
is then, if we denote the physi al ut of ! as [a; b℄ :
! (z ) (z
a) 2
1
when z a and !(z) (z
b) 5
6
when z b
(24)
The orresponding exponent s is 51 , whi h orresponds to the C = 54 entral harge of
the model.
Rather than looking for the resolvent for any values of the oupling onstants, it is
easier to sear h for the resolvent only on this riti al line where the presen e of the 56
exponent leads to simple onditions on the derivatives of the algebrai equation.
We obtain :
105 3 + 4 g2 = 0
(25)
2480625 2 ( 1 4 + 43 2) + 296100 (15 + 113 ) h 692968 h2 = 0
Let us note here that, when h = 0 (no bran hing intera tions) we re over the Potts-3
bi riti al point whi h agrees with Daul's result [9℄ :
p
p
p !
3
105 3 + p 47 2
; g=
43
2 41 47
Thus, we have shown that the resolvent for the model of Potts-3 plus bran hing intera tions obeys a degree ve algebrai equation. We have found the riti al line and exponent
of this extended model. This extends the results of Daul [9℄ who had only derived the
position of the riti al point and exponent of the onventional model. Finally, let us re all
that, in a re ent paper [6℄, P. Zinn-Justin obtains independently algebrai equations for
similar problems. His method, though, does not involve loop equations, and is rather in
the spirit of [9℄. Moreover, it does not address the problem of bran hing intera tions and
thus overlaps our results only in the ase of the onventional Potts-3 model.
=2
3
1
The Potts-
47
model :
We are now going to brie y derive the solution for the Potts-1 model, from the equations
of motion point of view. The purpose of this part is mainly to show the eÆ ien y of our
method on this = 1 model. This model was previously studied by Wexler in [11℄.
5
CHAPITRE 8. ARTICLES
140
1
0
1
0 C
B
...
CA, and
Let us denote = B
X
= (1 +
0
We shall de ne the Potts-q partition fun tion as
+q ) N 1
:::
N
q
q
.
q
Z
tr2 trX 2
tr3
() = g 3N + U 2N + 2N
V () is of order q when q ! 1. First, let us use the equations of motion to relate
1 htr 1 i to b(y) = 1 htr 1 i
a(x) =
qN
x
qN
y
X
Let us also denote :
1 i
1 htr 1
d(x; y ) =
qN
x
y X
1
yields
!+ 1
x
y X
(x (gx + U ) + y a(x) b(y) ) d(x; y) + g gy b(y) a(x) b(y) (gx + U ) = 0
Z
=
d e
N V
()
where
V
q
(26)
(27)
(28)
(29)
We an get rid of d(x; y) sin e, when x (gx + U ) + y a(x) ( ) = 0, d(x; y) remains
nite, thus g gy b(y) a(x) b(y) (gx + U ) = 0. This is suÆ ient to relate a(x) to b(y).
Moreover, the value of b(y) is easy to ompute when q = 1.
b y
q
Let us brie y summarize this omputation : we al ulate the value of htrX i in the
q ! 1 limit.
First :
(30)
htrX i = htr1 : : : i + O( 1q )
n
n
n
(re all that all the play the same role).
If we now separate the rst n matri es from the remaining q n (with q n), and
suppose there is a saddle point for the eigenvalues of n+1+ +q , then this saddle point is
(in the q ! 1 limit) independent from the matri es 1 ; : : : ; . Then, in this limit, up
to a hange in variables : ~ = U U 1 , we have n independent matri e ~ 1 : : : ~ . Ea h
of them has the partition fun tion
Z
~ e ( g3 tr~ 3k + U2 tr~ 2k + tr~ k C )
ZC =
d
(31)
i
:::
q
n
k
k
n
N
k
As tr1 : : : = tr~ 1 : : : ~ , we have htrX i = trh~ 1 iC : : : h~ iC where h: : :iC is the
expe tation value obtained with the partition fun tion ZC ( f Eq. (31) ).
The matri es ~ ; k = 1; : : : n all play the same part, and htrX i = tr , thus
n
n
n
n
n
k
n
C
tr = trh~ 1 i
n
C
6
n
(32)
141
This must give us C , provided we al ulate h~ 1 iC in fun tion of C . This is a solvable
problem, but it is mu h faster to note that
C = t 1qN qN
is solution. Thus,
1
qN
htrX ni = (t)n, and b(y) is simply (y
(33)
t ) 1 .
This gives us immediately the solution for a(x) : it obeys a se ond order equation and
reads :
q
1
a(x) = (x(U + gx) + t
(x(U + gx) + t)2 4(U + gx + gt))
(34)
2
The Potts-1 plus bran hed polymers model is thus very similar to an ordinary pure
gravity model. As previously, we ompute the parameter t by imposing that the resolvent
3
a(x) has only one physi al ut. The model is riti al when a(x) behaves as (x x0 ) 2 , x0
being a onstant, and the riti al point veri es (as in [11℄) :
1
1
and
=
(35)
g = p
2
4 2
Let us note nally that the loop equations method used here is appropriate for the
renormalization group method of [10, 7, 8℄.
4
Con lusion
In this letter, we have shown that it is possible to solve the Potts-3 and Potts-1 models
on two-dimensional random latti es through the method of the equations of motion. We
have obtained a losed set of loop equations for the Potts-3 model, whi h was thought to
be impossible. We have shown that the Potts-3 resolvent obeys an order ve equation,
and this new knowledge opens the door to the al ulation of expe tation values of the
operators of the model. We have extended the Potts-3 onventional model to Potts-3 plus
bran hing intera tions, and given the general algebrai equation and the Potts riti al line
of this model. Finally, we have shown our method also applies su essfully to another
Potts model : the Potts-1 model. We hope to generalize soon our method to more general
Potts-q models, in parti ular for large-q Potts + bran hing intera tions models.
A
The equation for the Potts-3 resolvent :
Here is the degree ve equation for the resolvent of this model, where W(x) is related to
! (x) by W(x) = ! (x) gx2 Ux.
24 7 + 4 4 g2 16 t+ 5 g2 12 t111 4 g3 4 t1 1 2 g4 + 8 t11 1 1 3 g4 + 68 6 g t +
2 3 g3 t + 3 2 g4 t2 + 60 6 U + 2 3 g2 U 52 t1 1 4 g2 U + 20 t111 3 g3 U 20 5 g t U
7
CHAPITRE 8. ARTICLES
142
4 2 g 3 t U 36 5 U 2 3 2 g 2 U 2 + 36 t1 1 3 g 2 U 2 36 4 g t U 2 12 4 U 3 + 36 3 g t U 3 +
12 3 U 4 + 28 6 g x + 2 3 g 3 x 12 t1 1 4 g 3 x + 8 t111 3 g 4 x 36 5 g 2 t x 2 2 g 4 t x
52 5 g U x 4 2 g 3 U x + 36 t1 1 3 g 3 U x 18 4 g 2 t U x + 2 4 g U 2 x + 54 3 g 2 t U 2 x +
22 3 g U 3 x 24 5 g 2 x2 2 g 4 x2 + 8 t1 1 3 g 4 x2 + 2 4 g 3 t x2 + 24 7 U x2 + 20 4 g 2 U x2 +
26 3 g 3 t U x2 48 6 U 2 x2 +12 3 g 2 U 2 x2 +24 5 U 3 x2 +24 7 g x3 +6 4 g 3 x3 +4 3 g 4 t x3
64 6 g U x3 + 2 3 g 3 U x3 + 44 5 g U 2 x3 16 6 g 2 x4 + 24 5 g 2 U x4 + 4 5 g 3 x5 + ( 24 5 g
12 t1 1 3 g 3 + 8 t111 2 g 4 36 4 g 2 t 2 g 4 t 40 4 g U 2 g 3 U + 36 t1 1 2 g 3 U
18 3 g 2 t U 10 3 g U 2 +54 2 g 2 t U 2 +26 2 g U 3 +24 7 x 24 4 g 2 x 2 g 4 x+16 t1 1 2 g 4 x+
4 3 g 3 t x 36 6 U x +4 3 g 2 U x +52 2 g 3 t U x +12 5 U 2 x +36 2 g 2 U 2 x 12 4 U 3 x +
12 3 U 4 x 4 6 g x2 + 14 3 g 3 x2 + 12 2 g 4 t x2 36 5 g U x2 + 10 2 g 3 U x2 + 30 4 g U 2 x2 +
22 3 g U 3 x2 40 5 g 2 x3 + 60 4 g 2 U x3 + 12 3 g 2 U 2 x3 + 18 4 g 3 x4 + 2 3 g 3 U x4 ) (x) +
( 12 6 6 3 g 2 +8 t1 1 g 4 +2 2 g 3 t 12 5 U 4 2 g 2 U +26 g 3 t U 12 4 U 2 +18 g 2 U 2 +
12 3 U 3 44 5 g x 2 2 g 3 x +12 g 4 t x +30 4 g U x +20 g 3 U x +26 2 g U 3 x +6 4 g 2 x2 +
2 g 4 x2 + 12 3 g 2 U x2 + 39 2 g 2 U 2 x2 + 20 3 g 3 x3 + 14 2 g 3 U x3 + 2 g 4 x4 ) (x)2 + (
12 4 g 2 g 3 + 4 g 4 t 10 3 g U + 4 g 3 U + 26 2 g U 2 + 20 3 g 2 x + 4 g 4 x + 12 2 g 2 U x +
18 g 2 U 2 x + 22 g 3 U x2 + 4 g 4 x3 ) (x)3 + ( ( 2 g 2 ) + 18 g 2 U + 4 g 3 x + 4 g 3 U x +
4 g 4 x2 ) (x)4 + 4 g 3 (x)5 = 0
W
W
W
W
W
Note that U and may depend, in the most general ase, on t1 1 and t2 , the latter
being related to t through the equation of motion : g t2 + (U + 2 ) t = 0. In this
arti le, we have omputed expli itely the riti al line for the parti ular ase of onstant
and U = 1 + h2 t2 .
B
A knowledgments :
We thank P. Zinn-Justin for dis ussing his ideas with us, and we are grateful to F. David
and J.-B. Zuber for useful dis ussions and areful reading of the manus ript.
Referen es
[1℄ For general reviews and more referen es see for instan e:
The large N Expansion in Quantum Field Theory and Statisti al Physi s, from Spin
Systems to 2-Dimensional Gravity, E. Brezin and S. R. Wadia Eds. (World S ienti ,
Singapore, 1993).
[2℄ M. Stauda her, Phys. Lett. B305 (1993) 332-338
[3℄ B. Eynard, ond-mat/9801075
[4℄ S.R. Das, A. Dhar, A.M. Sengupta, S.R. Wadia, Mod. Phys. Lett. A5 (1990) 1041.
[5℄ F. David, Nu l. Phys. B487 [FS℄ (1997) 633-649.
8
143
[6℄ P. Zinn-Justin, ond-mat/9903385.
[7℄ S. Higu hi, C. Itoi, S. Nishigaki and N. Sakai, Phys. Lett. B 318 (1993) 63, Nu l. Phys.
B434 (1995) 283-318, and Phys. Lett. B398 (1997) 123.
[8℄ G. Bonnet and F. David, Nu l. Phys. B6166 (1999) 1-99
[9℄ J.M. Daul hep-th/9502014.
[10℄ E. Brezin and J. Zinn-Justin, Phys. Lett. B 288 (1992) 54-58.
[11℄ M. Wexler, Nu l. Phys. B410 (1993) 377, J. Ambjorn, G. Thorleifsson, M. Wexler,
Nu l. Phys. B439 (1995) 187-204.
9
CHAPITRE 8. ARTICLES
144
hep-th/9906130
Sa lay T99/060
q
The Potts-
random matrix model : loop equations,
riti al exponents, and rational
B. Eynard
1
y z
and G. Bonnet
2
ase
z
y Department of Physi s and Astronomy, University of British Columbia 6224
Agri ultural Road, Van ouver, British Columbia, V6T 1Z1
z CEA/Sa lay, Servi e de Physique Th
eorique, F-91191, Gif-sur-Yvette Cedex, Fran e
Abstra t
In this arti le, we study the q-state Potts random matrix models extended to
bran hed polymers, by the equations of motion method. We obtain a set of loop
equations valid for any arbitrary value of q. We show that, for q = 2 2 os rl (l, r mutually prime integers with l < r ), the resolvent satis es an algebrai
equation of degree 2r 1 if l + r is odd and r 1 if l + r is even. This generalizes
the presently-known ases of q = 1; 2; 3. We then derive for any 0 q 4 the
Potts-q riti al exponents and string sus eptibility.
1
145
Introdu tion
Random matrix models [1℄ have proven to be a powerful mathemati al tool for the
study of statisti al physi s systems on a u tuating two dimensional latti e [2℄. In
parti ular, the Potts model [3℄ on a random latti e [4℄, whi h was rst partially solved
by Daul [5℄, has re eived a re ent renewed interest [6, 7℄ due to new approa hes to the
problem. It is a q -matri es model where all the matri es are oupled to ea h other,
whi h prevents one from using the formula [8, 9℄ to integrate out the relative angles
between the matri es (they no longer are independent variables) and deal with the
eigenvalues only. In this paper we use the equations of motion method whi h does
not involve integration over angular variables. We obtain non-trivial loop equations
relating even moments to odd moments of a single matrix Mi , and we show how to
extend these relations to the ase of Potts-q plus bran hed polymers (gluing of surfa es).
Su h relations (whi h ould not be obtained by previous methods [5, 6℄) are needed to
apply the renormalization group method [10℄ to Potts-q models with added bran hing
intera tions, whi h is hoped to provide an understanding of the = 1 (q = 4) barrier.
We obtain an O(n)-like equation, the solution of whi h is known [11℄ and involves
ellipti al fun tions [12℄. What was the resolvent in the O(n) model, however, is now
(up to some transformations) the fun tional inverse of the Potts-q resolvent, with n
repla ed by 2 q . When q = 2 2 os( ) with rational, the general ellipti solution
degenerates into an algebrai fun tion. It has already been observed [6, 7℄ that for the
parti ular ases of q = 1, 2 or 3, the resolvent obeys an algebrai equation of degree 2,
3, 5 respe tively. In this arti le, we will derive from the value of , for any \rational
q ", the degree of the algebrai equation obeyed by the Potts-q resolvent. We will also
derive the Potts-q riti al exponent for general values of q , whi h agrees with Daul's
[5℄ expression.
2
The Potts-q matrix model
The Potts-q model with bran hing intera tions (whi h appear if one wants to apply
the renormalization group method) is de ned by the partition fun tion:
Z=
Z
dM1 : : : dMq e
N2
P g
i 3N tr Mi +
3
1 tr M 2 ; 1 tr
i N
N
(2
P
j =i Mi Mj )
6
(2.1)
with Mi hermitian matri es N N .
P
The partial derivatives of with respe t to tr Mi2 =(2N ) and tr j 6=i Mi Mj =N are
~ and ~=2 respe tively, and their expe tation values (whi h are numbers) U and .
U
When U~ = 1 and ~ is a onstant, this redu es to the ordinary Potts-q model.
We will also de ne the following fun tions:
W (z ) =
~ (z ) =
W
F (z; z 0 ) =
F~ (z; z 0 ) =
1
h D
1
E
D
tr z 1Mi
N
E
D
1
1
M
tr
ND
z Mi j E
1
1
1
N tr zE Mi z DMj
1
M + 1 tr
1
0
tr
1
1
1
M
Ei
CHAPITRE 8. ARTICLES
146
(2:2)
whi h do not depend on the indi es provided
F~ (z; z 0 ) are thus symmetri :
F (z; z 0 )
= F (z 0 ; z )
i
6= j 6= k.
F~ (z; z 0 )
;
The fun tion
F (z; z 0 )
= F~ (z 0 ; z )
and
(2.3)
We will also de ne:
f (z )
= W (z )
gz 2
+(
U )z
(2.4)
Re all that U and an be general fun tions of the numbers h tr Mi2 i and h tr Mi Mj i.
The moments tk of the resolvent W (z ) are de ned by the large z expansion:
W (z )
k +:::
z1 + zt12 + : : : + zkt+1
and we de ne:
u
=
when
z
!1
U
g
3 Equations of motion
We are going to work in the large N (planar) limit, where we have the fa torization
property: h trA tr B i = h trAih trB i [13℄. The following hanges of variables in Eq. (2.1)
then give the following equations:
ÆM1
=
1
z M1 :
g (z 2 W (z )
ÆM2
= 21
h
1
1
z M 1 z M2
0
+
+
+
t1 ) + U (zW (z )
z
z 0 W (z )
~ (z )
W
U (z 0 F (z; z 0 ) W (z ))
(zF (z; z 0 ) W (z 0 ))
(q 2)F~ (z; z 0 )
(3:2)
=g
= W (z 0 )F (z; z 0 )
$ z0 ), and using Eq. (2.3) we
z 0 W (z )
~ (z )
zW (z 0 ) + W
~ (z 0 )
W
an get rid of F~ in
uW (z ) + uW (z 0 )
In parti ular, if we hoose z 0 su h that f (z 0 ) = f (z ) and z 0 6= z , then we have:
0
(3.1)
0
g z 02 F (z; z 0 )
f (z 0 ))F (z; z 0 )
~ (z ) = W 2 (z )
1)W
i
+ z 1M2 z 1M1 :
Substra ting Eq. (3.2) with (z
Eq. (3.2):
(f (z )
1) + (q
0
~
~
0
(3.3)
147
~ , and we then have an equation involving only
Eq. (3.1) allows us to eliminate W
or equivalently f :
W
(
( 0 ) = f (z )
1
(z + z 0 u
f z
q
g
)f (z ) = (z + z 0 )2
qzz
0
) ( + z 0 ) + (1
(2
)
q u z
q u
2
1
(3.5)
This seemingly diÆ ult non-lo al equation is suÆ ient to ompute f (z ) .
Let us rst study it perturbatively. When z ! 1, we have f (z ) gz 2 , thus
0
0
0
z z . If we expand z (z ) in powers of z by solving f (z ) = f (z ) perturbatively,
then insert this expansion into the se ond equation of Eq. (3.5), we obtain a set of
equations of motion, the rst of whi h are:
2
g t4
+ g(
2gu)t3
q
(
gu
q
2gu)t2
(
g gu
3
+(
+ 2)t1 + (1
gt2
)
gu t1
q
q
) + gu
= 0
= 0
(3.6)
:::
with t = h tr M =N i. Let us re all that, in the general ase, u and are fun tions of
t2 and t1 1 = tr M M =N . However, we an ompute t1 1 thanks to Eq. (3.1) in fun tion
of the t 's:
(q 1)t1 1 + gt3 + U t2 1 = 0
k
k
i
;
i
j
;
k
;
Finally, our equations, ontrary to ordinary equations of motion, allow us to relate
even tra es of a given matrix M to odd tra es of the same matrix .
Only even tra es appear as the higher order tra es in these equations.PLet us explain
why. If we write the expansion of f (z ) as: f (z ) = gz (z u) + 1=z + 1
2 t 1 =z , the
z
oeÆ ient of the f (z 0 ) f (z ) = 0 equation reads, as z 0 = z + u + : : ::
i
i
i
i
(( 1)
i
1) t
i
1
+ ( 1)
i
1
(i
1) t
i
2u
+::: = 0
Thus, our loop equations give us a relation between the even and odd parts of f (z ),
and f (z ) an be ompletely determined by the requirement that it has only one ut in
the physi al sheet (i.e. f ( z ) is regular along this ut).
Finally, let us stress that these equations of motion, whi h are valid for bran hed
polymers, are a pre ious tool whenever one wants to study Potts-q models by the
renormalization group method [10℄.
4
Corresponden e with the O(n) model
Let us now see how to deal with a non-lo al equation su h as Eq. (3.5).
The fun tion z 0 (z ) de ned above maps one solution of the equation f (z ) =
another. It is involutive in the sense of multivaluated fun tions. We have:
z
Let
z0
be a xed point:
0 (z 0 (z )) = z
0
y
on
CHAPITRE 8. ARTICLES
148
f (z0 ).
and f0 =
Then let us set
=
q
f0
f
and onsider z as a fun tion of . Then we have z 0 = z ( ) and z ( ) is regular at
= 0. Let us set
1 1
( 2 f0 (2 q ) u)
! ( ) = z ( ) +
4 q
Eq. (3.5) rewritten in term of ! ( ) is now an O(n)-like quadrati equation:
! 2 ( ) + ! 2 ( ) + (2
q )! ( )! ( ) = R( )
(4.1)
where the right-hand side of the equation is an even polynomial of degree 4. The
similarity between Potts-q and the O(n) model had already been noted [5, 6℄, but it
had always been said to be unphysi al. We shall show here how one an relate the
results for the O(n) model to those for Potts-q .
Eq. (4.1) an be solved exa tly, as in the ase of the O(n) model [11℄. Here,
we will assume for simpli ity that ! ( ) has only one physi al ut [a; b℄ with ab >
0. Let us denote q = 2 2 os( ), with 0 1. Then we have, by writing
R( + i0) R( i0) = 0:
(! ( + i0)
! (
i0))(! (
+ i0) + ! (
i0) + 2
os( )! (
))
=0
for a b
Thus we have the linear equation:
! (
+ i0) + ! (
i0) + 2
os( )! (
)
=0
(4.2)
The general solution for ! ( ) is known and an be expressed with ellipti al fun tions.
It degenerates, in the rational ase (i.e. when is rational), into the solution of an
algebrai equation. However, ! ( ) is not the resolvent of the model as it is in the
O (n) model. Indeed, it is rather the fun tional inverse of the resolvent for the Potts-q
model, up to some transformations. Thus, the phase diagrams and riti al exponents
of Potts-q , as expe ted, are not the same as for the O(n) model.
5 Rational ase
Here we will assume that is rational: = l=r where l and r are relatively prime
integers. We rst re all how to obtain Eq. (5.4), whi h is an algebrai equation for
! ( ) [11℄.
i
i
If we denote !+ ( ) = e 2 ! ( )+e 2 ! ( ) and ! ( ) = !+( ) , then Eq. (4.1)
reads
!+ ( )! ( ) = R( )
(5.1)
and Eq. (4.2) be omes:
!+ (
+ i0) = ei ! (
i0)
!
( + i0) = e
i
!+ (
i0)
(5.2)
149
If ( ) is de ned by:
!+
=
p
R
ei(
( +1)
)
2
then we have
p
and
! ( )
=
R
=
!
p
R
e
i(
( +1)
)
2
os()
sin Eq. (5.2) shows that
1
(5.3)
= (!+r + ( 1)r+l ! r )
2
has no ut, and behaves as a polynomial at in nity (as does ! ( )), i.e. it is a polynomial.
We thus have the algebrai equation for ! (z ):
S ( )
S ( )
where
Tr
r
= R( ) 2 e
i(r +l)
2
Tr (
is the order r Cheby hev polynomial:
! ( )
q sin() )
R( )
Tr (
(5.4)
os ) = os r.
Let us now examine the degree of this equation. It is polynomial in ! and , but
we have to keep in mind that
the resolvent of our problem is not ! ( ), but W (z ) =
p
1
(f + (2 q ) u).
f (z ) + gz (z u), with = f0 f and ! = z
(4 q )
The right-hand side of Eq. (5.4), seen as a polynomial in and z , is even and of
order 2r in , thus it is also a polynomial in f .
As for the left-hand side of the equation, S ( ) veri es S ( ) = ( 1)r+l S ( ), thus,
when r + l is odd, we have to take the square of Eq. (5.4) to have our nal algebrai
equation for f whi h should be of degree 2r. When r + l is even, however, Eq. (5.4) is
already polynomial in f , and the degree of the equation should be r.
Moreover, it is easy to he k that the order 2r terms on both sides of Eq. (5.4) are
the same. Finally, the degree d in f (z ) of the nal equation is:
d = 2r
d= r
1 if
1 if
r+l
r+l
is odd
is even
(5.5)
while it is of degree d + 1 in z .
This formula generalizes the presently known results [6, 7℄:
for = 1=3;
for = 1=2;
for = 2=3;
= 1; and d = 2
q = 2; and d = 3
q = 3; and d = 5
q
(5.6)
In [6℄, the author investigated the dilute Potts-1,2,3, and 4 ases by the saddle point
method. These models oin ide, when there is no dilution, with the parti ular ase of
our models with no bran hing intera tions. This gave rise to algebrai equations when
q 6= 4 whi h orrespond to our results. However, no general result was given. In [7℄, the
CHAPITRE 8. ARTICLES
150
author used the equations of motion to solve Potts-3 with bran hing intera tions, as
well as for the resolution of Potts-1. But, there again, there was no general expression.
We are now going to derive the general Potts-q exponent from Eq. (4.1). If, when
! ( ) is singular (i.e. is lose to one of the bounds of the physi al ut of ! ), ! ( ) is
not, then ! annot have more omplex singularities than half-integer exponents. Thus,
whereas in the generi ase the physi al ut [a; b℄ veri es ab > 0, when the model is
at the Potts riti al point, a (or b) is equal to zero. This means that the bound of
the unphysi
al semi-in nite ut we have suppressed by hanging variables from f to
p
= f0 f oin ides in that ase with the physi al ut.
Let us express: ! ( ) = C ( ) + regular part Eq. (4.1) shows immediately that
the regular part is equal to zero, and that
e2i + 1 + 2 os( ) ei = 0
thus
= + 1 + 2p
i.e.
2 os( ) = q = 2 + 2 os( )
2
! ( ) (f0
and
f)
+1+2p
2
p2 Z
2
f (z onst) +1+2p
As we expe t the exponent for f to be greater than one, we have the exponent 2+1
for f and the string exponent, using [14℄'s formula, is:
s=1
2
+ 1 =
(1 )
(1 )
6 Con lusion
In this arti le, we have obtained general loop equations for the Potts-q model extended
to bran hed polymers, whi h allow us to relate the even and odd parts of the resolvent.
This relation is then equivalent to an O(n)-like equation, from whi h we derived the
Potts riti al exponents and the degree of the algebrai equation whi h appears in the
rational ase. This last result generalizes the known results for q = 1, 2 and 3 [6, 7℄ to
any q = 2 2 os(l=r ) with l < r integers. Moreover, su h loop equations as we have
obtained are ne essary when one wishes to apply the renormalization group te hniques
to Potts-q . The study of the renormalization group ows near q = 4 may then provide
us with useful information about the C = 1 transition.
Let us also stress that the equations of motion method may be used when N is nite
i.e. on non-planar surfa es, in ontrast to the saddle point method. Furthermore, they
are also less dependent on the analyti stru ture of the resolvent than the saddle point
method of [5, 6℄. Finally, as we know how to solve the O(n) model exa tly for general
values of n, we hope to be soon able to obtain the general expression of the Potts-q
free energy and operators for any value of q .
7 A knowledgments
151
We are grateful to R. Ma Kenzie and I. Kostov for areful reading of the manus ript
and F. David for useful dis ussions, moreover, one of the authors is grateful to the
University of British Columbia Physi s and Astronomy Department, and in parti ular
to G. Semeno . This work was partly supported by a senior s ientist resear h NATO
grant, and by the NSERC.
Referen es
[1℄ Theory of random matri es in mesos opi quantum physi s, P. Mello, Les Hou hes
1994, E. akkermans, G. Montambaux, J.-L. Pi hard, J. Zinn-Justin Ed (NorthHolland, 1995), I. Kostov Nu l. Phys. B (Pro . Suppl.) 10A (1989) 295-322
[2℄ E. Brezin, C. Itzykson, G. Parisi, J.-B. Zuber, Comm. Math. Phys. 59 (1978) 35
[3℄ R. B. Potts, Pro . Cambridge Philos. So . 48 (1952) 106
[4℄ V.A. Kazakov, Modern Phys. Lett. 4A (1989) 1691, V.A. Kazakov Nu l. Phys. B
(Pro . Suppl.) 4 (1998) 93
[5℄ J.M. Daul hep-th/9502014
[6℄ P. Zinn-Justin, ond-mat/9903385
[7℄ G. Bonnet, hep-th/9904058
[8℄ C. Itzykson, J.-B. Zuber, J. Math. Phys. 21(1980) 411.
[9℄ Harish Chandra, Amer. J. Math. 79 (1957), 87
[10℄ G. Bonnet, F. David, hep-th/9811216, S. Higu hi, C. Itoi, S. Nishigaki, N. Sakai,
Phys. Lett. B318 (1993) 63, Nu l. Phys. B434 (1995) 283-318, Phys. Lett. B398
(97) 123, F. David, Nu l. Phys. B487 [FS℄ (1997) 633-649, E. Brezin, J. ZinnJustin, Phys. Lett. B288 (1992) 54-58
[11℄ B. Eynard, C. Kristjansen, Nu l. Phys. B466 (1996) 463-487, Nu l. Phys. B455
(1995) 577, B. Eynard, J. Zinn-Justin, Nu l. Phys. B386 (1992) 558-591
[12℄ Handbook of mathemati al fun tions with formulas, graphs and mathemati al tables, M. Abramovitz, I.A. Stegun, US Department of Commer e, National Bureau
of Standards, Applied Mathemati s Series . 55 (1972)
[13℄ Yu. M. Makeenko, A. Migdal, Phys. Lett. B88 (1979) 135, A. Migdal, Ann. Phys.
109 (1997) 365, Veneziano, Nu l. Phys. B117 (1976) 519, 't Hooft, Nu l. Phys.
B72 (1974) 461
[14℄ I. Kostov, Nu l. Phys. B376 (1992) 539
CHAPITRE 8. ARTICLES
152
ond-mat/0003324
Breakdown of universality in multi- ut matrix models
G.
Bonnet
1
, F.
David
23
, B. Eynard 4
Servi e de Physique Theorique de Sa lay,
F-91191 Gif-sur-Yvette Cedex, Fran e.
Abstra t
We solve the puzzle of the disagreement between orthogonal polynomials methods and
mean eld al ulations for random N N matri es with a dis onne ted eigenvalue
support. We show that the di eren e does not stem from a Z2 symmetry breaking,
but from the dis reteness of the number of eigenvalues. This leads to additional terms
(quasiperiodi in N ) whi h must be added to the naive mean eld expressions. Our
result invalidates the existen e of a smooth topologi al large N expansion and some
postulated universality properties of orrelators. We derive the large N expansion of the
free energy for the general 2- ut ase. From it we rederive by a dire t and easy meaneld-like method the 2-point orrelators and the asymptoti orthogonal polynomials.
We extend our results to any number of uts and to non-real potentials.
1 E-mail:
gabonnetspht.sa lay. ea.fr
ea.fr
4 E-mail:
eynardspht.sa lay. ea.fr
2 E-mail: davidspht.sa lay.
3 Physique Th
eorique CNRS
153
1 Introdu tion
Random Matrix Models have been introdu ed in order to give an approximate statistial des ription of quantum systems involving disorder, haos, omplexity or whatever
prevents from solving the equations of motion exa tly. Those models are des ribed by
a matrix (Hamiltonian, transfer matrix, or s attering matrix) of large size N , whi h is
too ompli ated to be diagonalized exa tly, and for whi h only statisti al observations
of the spe trum are available (see [1, 2℄ for a review on RMT).
Most of the quantities of interest and observables are related to the short range
(in energy s ale) behavior of the spe trum (indeed small energies orrespond to long
time evolution, i.e. to equilibrium thermodynami al properties). This is why the short
range orrelation fun tions are the most studied.
At rst, the simplest models assumed a gaussian weight for the random matrix
and gave good agreement with observations, provided that the ensemble of matries(hermitian, orthogonal, quaternioni ...) has the required symmetries (time reversibility,...) [2, 3℄.
It has been observed that the orrelation fun tions of the spe trum possess universal
properties at sort range, whi h do not depend on the probability weight, gaussian or
not. This universality has been proved for a wide range of models by several approa hes
[3, 4, 5, 6, 7℄, but a very general proof and the exa t hypothesis whi h lead to it are
still under investigations.
Moreover, the long range orrelation fun tions appear to share also some universal
properties, whi h depend on the probability weight only through a few parameters
[8, 7℄. The most striking example is the 2-point orrelation fun tion that we shall
dis uss below.
In the following we will restri t our attention to the so alled Hermitian-One-MatrixModel5 [2, 9℄ (hermiti ity orresponds to a system with broken time reversibility, for
instan e in the presen e of a magneti eld).
We onsider a hermitian matrix M of size N N with a probability law of the
form:
P (M ) = e N tr V (M )
where V is a polynomial potential bounded from below.
We wish to study the statisti al properties of the eigenvalues (1 ; : : : ; N ) of M
in the large N limit, in parti ular the density of eigenvalues (), and the orrelation
fun tion R(; ), whi h measures the probability that two of the eigenvalues take the
values and .
5 The
other ensembles are of
ourse worth
onsidering, but this one is the simplest.
1
CHAPITRE 8. ARTICLES
154
Roughly speaking, the eigenvalues tend to o upy a nite interval entered around
the bottom of the potential well, and in the large N limit, the density of eigenvalues
() is a ontinuous fun tion with a ompa t support.
The simplest ase, where the support is onne ted, known as the \1- ut ase", has
been extensively studied [2℄. It is then found that the density () is not universal,
it depends on the details of the potential V , while the onne ted orrelation fun tion
R (; ) is universal in the short range regime (j j O(1=N )), but also in the long
range regime (j j O(1)) on e the short range os illations (of period O(1=N ))
have been smoothed out.
What happens when the potential V possesses several wells, of approximatively the
same depths? Then the density () has a dis onne ted support, [a1 ; b1 ℄ [ [a2 ; b2 ℄ [ : : : [
[as ; bs ℄, ea h interval [ai ; bi ℄ being entered around one well of the potential V . This
ase is known as the multi ut (or multiband) ase (here s uts).
In the multi ut ase the density is still not universal, whereas the 2-point orrelation fun tion is universal in the short range regime and seems to have some universal
properties in the long range regime after smoothing: in [10℄ an expli it form of the
2-point onne ted orrelation fun tion was given, and is laimed to be universal: indeed, a ording to the authors of [10℄ \it depends only on the number of onne ted
omponents of the support and on the position of the endpoints, but not on the potential". However, more re ently several authors [11, 12, 13℄ have studied the two- ut
ase s = 2: they on entrated on the ase of an even potential V (the two uts are
thus symmetri [a; b℄ and [ b; a℄). Using an ansatz for the asymptoti expression
of orthogonal polynomials in the large N limit, and rederiving the two-point fun tion
from this ansatz, they observed that the onne ted orrelation fun tion is still universal in the short distan e regime (whi h was expe ted), but more surprisingly, that
the smoothed onne ted orrelation fun tion in the long range regime depends on the
parity of N (N being the size of the matrix). This seems to ontradi t the former
result of [10℄ !
In this paper, we will solve this paradox.
We will show that the semi- lassi al method of [10℄ gives the 2-point onne ted
orrelation fun tion only up to an additional non-universal term, whi h is already
present in the free energy, but subdominant at large N in this ase. We orre t the
semi- lassi al argument of [10℄, and give a simple (and physi ally appealing) derivation
of the origin of the additional term, that we ompute expli itly. This allows us to
re over the results of [11, 13℄ for the symmetri ase, and to generalize them to non
symmetri potentials, without using orthogonal polynomials.
2
155
Using the same semi- lassi al argument, we are able to derive large N asymptoti s
for the orthogonal polynomials, re overing the results of [11, 13℄ as well as the general
s uts asymptoti s whi h appeared re ently in the mathemati al literature [14℄, and to
extend these results to the ase of omplex potentials.
The e e t leading to the new term in the semi- lassi al al ulation is simple enough
to be explained brie y in this introdu tory se tion.
In [10℄, the free energy F of the matrix model is derived by a saddle point approximation. In parti ular, one has to extremize the a tion with respe t to variations of
the number ni (i = 1 : : : s) of eigenvalues in ea h onne ted part of the support, or in
other words with respe t to the o upation ratio xi = ni =N :
F
=0
(1.1)
x=x
However, one has here missed the ru ial fa t that ni = N xi are not real numbers but
integers. When N x is not an integer, the extremum of F (x) is never rea hed, and the
saddle point approximation has to be slightly modi ed. Roughly speaking the dis rete
sum annot be approximated by an integral:
Z
X
2
2
g
(n Nx )2
e
= dx e N g(x x )
(1.2)
n
The dis rete sum a tually depends on how far from an integer N x is. For instan e, in
the symmetri ase, we have x = 21 , and the result depends on the parity of N .
We will show that (as expe ted from Eq. (1.2)) in general the result involves ellipti
theta fun tions depending on N x , thus leading to a quasi-periodi dependen e on N .
This e e t is of order N 2 for the free energy, but is of order 1 for the omputation of
the orthogonal polynomials and for the orrelation fun tions. It implies in parti ular
that there is no regular large N topologi al expansion (involving only power series
in N 2 ) for the 2- ut matrix model.
We will nd out that the short range orrelation fun tion is universal, while the
long range smoothed orrelation depends on N quasi-periodi ally.
F
= F (x )
where
x
6
The paper is divided as follows: in se tion 2 we introdu e the method and notations
for the 2- ut model, and we ompute the free energy. In se tion 3 we derive the 2-point
orrelation fun tion, and we re over the expression of [11, 13, 14℄ in the symmetri
ase. In se tion 4, we give an asymptoti expression for the orthogonal polynomials,
whi h we use to rederive the universal short range properties of the spe trum, as well
as the smoothed long range 2-point orrelation fun tion.
The generalizations to a omplex potential or to an arbitrary number of uts are
presented in Appendix B and C. Appendix A is a summary of some relationships
between ellipti al fun tions in ase the reader is not familiar with them.
3
CHAPITRE 8. ARTICLES
156
2 The free energy
2.1
Basi s
We start from the standard Hermitian matrix model de ned by the partition fun tion
Z
Z [V ; N ℄ =
N tr V (M )
dN [M ℄ e
(2.1)
where N is the dimension of the matrix M , V is an analyti { in general polynomial {
and for the moment real { fun tion, and dN [M ℄ is the standard U (N ) invariant measure
over Hermitian matri es
dN [M ℄ =
N
Y
i=1
Y
dMii
i<j N
2 dRe(Mij ) dIm(Mij )
(2.2)
1
Integrating out the "angular part" of M , Z an be rewritten as an integral over the N
eigenvalues 1 ; : : : ; N of M [2℄
Z~ [V ; N ℄ =
Z Y
N
k=1
Z [V ; N ℄ =
d k e
N
P k V k Y
)
k<l
with the measure fa tor
CN
(
CN Z~[V ; N ℄
(k
U(N )
= Vol
U(1)N SN
l ) =
2
Z Y
N
k=1
(2.3)
dk e
N 2 S (1 ;:::;N )
N
(2 )K 1
1 Y
=
N ! K =1 (K )
(2.4)
(2.5)
and with the a tion S (k ):
S (1 ; : : : ; N ) =
N
1X
N
k=1
V (k )
X
1
2 N 2 1k6=lN
ln (k
l )2
(2.6)
In the simplest "one ut" ase, orresponding in parti ular to a on ave potential, it is
known [9℄ that the free energy F de ned as 6
Z [V ; N ℄ =
2 N22
N
e
F [V ;N ℄
(2.7)
has a topologi al large N expansion
F = N 2 F0 + F1 + N
6
Z
2
F2 + : : :
is normalized here so that F is zero for the Gaussian model V = 21 M 2
4
(2.8)
157
obtained for instan e by re-organizing the perturbative expansion a ording to the
topology of the Feynman diagrams. The large N limit (planar limit) an be des ribed
by a "master eld" on guration where the eigenvalues are des ribed by a ontinuous
density () with a onne ted ompa t support C = [a; b℄, with the onstraints
Z
C
d () = 1
and the a tion 2.6 be omes
S [℄ =
Z
C
() 0 if 2 C
(2.9)
dd ()() ln j j
(2.10)
and
dV ()()
Z
CC
The leading term of the free energy F0 an be obtained by the saddle point method:
the e e tive a tion S [℄ is extremized for a ontinuous distribution and we have
simply
F0 = S [ ℄
(2.11)
(up to an additive { potential independent { onstant). To ompute we in lude the
onstraint 2.9 in the e e tive a tion by a Lagrange multiplier
Z
S[℄ = S [℄ + (1
C
The saddle point equation for reads:
Z
S
= V () 2 d () ln(j j)
()
C
)
(2.12)
8 2 C
= 0
(2.13)
whi h simply means that the real part of the e e tive potential
Ve () = V ()
Z
2
C
d () ln ( )
(2.14)
is onstant on the e.v. support C , and equal to . The derivative of 2.13 w.r.t. gives
the well-known equation
Z
1
Re (!0 ()) = d ()
= V 0 ()=2
8 2 C
(2.15)
C
where !0 is the large N resolvent
1
!0 () = lim h Tr
N !1 N
1
M
i
=
Z
C
d
()
(2.16)
Finally let us re all that in the one- ut ase C = [a; b℄, if the potential V is a polynomial
of degree P , ! is of the form
!0 () =
V 0 ()
2
p
M () ()
2
with
5
() = (
a)(
b)
(2.17)
CHAPITRE 8. ARTICLES
158
where M () is a polynomial with degree P 2. a, b and M are entirely determined by
the onstraint that
!0 () = + O( 2 )
1
!1
for
The e.v. density is given by the dis ontinuity of !
p
M () j ()j
i
[! ( + i0+) ! ( i0+)℄ =
() =
2
2
2.2
The 2- ut
(2.18)
(2.19)
ase
2.2.1 Mean eld:
If the potential V is real but has more than one minimum, the large N limit may be
des ribed by an e.v. distribution on several dis onne ted intervals. For simpli ity we
shall rst onsider the ase where there are two intervals
C
= C 1 [ C2 ;
C1 = [a; b℄ ; C2 = [ ; d℄ ; a < b < < d
(2.20)
In this ase, as we shall see, there is no topologi al large N expansion, even for
the free energy F . As shown in [15, 16℄, to des ribe the large N limit, we have to
onsider as an additional variable the "average" proportion of eigenvalues x1 = n1 =N
and x2 = n2 =N in ea h interval C1 and C2 , and introdu e the asso iated Lagrange
multipliers 1 and 2 for the onstraints
x =
Z
() d
C
;
= 1; 2
(2.21)
The e e tive a tion 2.12 now reads, with
x = x1
S[; x℄ = S [℄ +
2
X
Z
(x
=1
C
(2.22)
() d) ; x1 + x2 = 1
(2.23)
with S [℄ given by 2.10 as before. The saddle point equation w.r.t. () gives as before
the equation 2.13, whi h implies that the e e tive potential de ned by 2.14 is onstant
on ea h interval
Ve () =
when
2C
(2.24)
but the orresponding e.v. density () and the e e tive a tion S still depend expli itly of the e.v. proportion x, sin e we have
1
S [x℄ =
2
Z
C
() V () d +
6
X
x
!
(2.25)
159
The saddle point equation w.r.t. x implies the equality of the e e tive potentials for
ea h interval
S
= 1
(2.26)
2 = 0
x
This xes the value of x, and it is known that with this last equation the e.v. density
is uniquely determined in the 2- ut ase. The large N free energy is then given
simply by
F0 = S[ ; x ℄ = S [x ℄
(2.27)
For an expli it polynomial potential V of degree P , and for xed x, the 2- ut mean
eld solution for the resolvent is
!0 (; x) =
p
V 0 ()
M () ()
)( d)
(2.28)
and M () a polynomial with degree P 3. The e.v. density (; x) is still given by
the dis ontinuity of !0 . The oeÆ ients of M and the 4 end-points a; b; ; d are entirely
determined by the onstraint that !0 () ' 1 when ! 1 and by the fa t that x
must be given by
2
with
2
x
Z
=
b
a
Z
()=
1
(; x) d =
2
() = (
Z
b
a
p
2.2.2
b
V 0 ()) =
d (2!0 (; x)
b)(
jM (; x)j j()j d
Finally the equation 2.26 whi h xes x = x writes
0 = Ve (b) Ve
a)(
Z
b
d M (; x)
(2.29)
pj ( )j (2.30)
Dis reteness of number of e.v.'s:
This is suÆ ient if one is interested in the leading term in the large N limit (planar
approximation). However, in order to understand the stru ture of the subdominant
terms of the large N expansion, it turns out that we annot negle t the fa t that the
number of e.v. n = Nx in ea h interval C must be an integer.
Let us onsider the simple ase where the potential V has two separate minima z1
and z2 . What has to be done is rst to x the number of eigenvalues n1 = n (resp.
n2 = N n) in the vi inity of z1 (resp. z2 ) in the partition fun tion 2.5 by writing
Z~ [V ; N ℄ =
where
Z~ [V ; n; N
X
N
n=0
N!
Z~ [V ; n; N
n!(N n)!
Z
Z
Y
Yd
℄ =
d
n
E
1 in
i
+1
E
j>n
7
j e
N
Pk V (k )
n℄
(2.31)
Y(
k<l
k
l )2
(2.32)
CHAPITRE 8. ARTICLES
160
with E a "frontier" b < E < between the two semi- lassi al uts [a; b℄ and [ ; d℄. We
now laim that ea h term of this dis rete sum has a well de ned large N topologi al
expansion. Indeed, we an rewrite 2.32 as a matrix integral over two separate matri es:
a n1 n1 matrix M1 with the n1 = n e.v. < E and a n2 n2 matrix M2 with the
n2 = N n e.v. > E , as
Z
Z
1
~
dn1 [M1 ℄ dn2 [M2 ℄ e Tr ( ( 1 )) Tr ( ( 2 ))+2 Tr (ln( 1 Id+Id 2 ))
Z [V ; n℄ =
C C
(2.33)
This last matrix integral has a topologi al large N expansion of the form 2.8 in the
`t Hooft limit N ! 1, x = n=N xed, obtained by doing a lassi al perturbative
expansion around the smallest minimum z1 of V for M1 and around the largest minimum z2 of V for M2 , and by re-organizing the perturbative expansion a ording to the
topology of the Feynman diagrams. Taking into a ount arefully the measure fa tors
C and C
, and using their large N asymptoti s
N
n
n
N
n
N
V
M
N
V
M
M
M
n
N2
1
1 2 2 43 2
(2 ) N 12 st (1 + O(N 1 )) when N
C =
e
N! N
(easily derived from Stirling formula),we obtain that
N
N
N
Z [V ; N ℄ =
N22
2
N
N
1
12
X
!1
(2.34)
N
e
F [V ;N;x℄
(2.35)
n=0
where ea h F [V ; N; x℄ has a regular large N asymptoti expansion of the form
1
X
N 2 2 F [V; x℄
where
x = n=N
(2.36)
F [V ; N; x℄ =
h
h
h=0
with ea h F [V; x℄ a regular fun tion of x = n=N . In parti ular, the leading large N
term is given (up to an additive { V and x independent { onstant) by the lassi al
e e tive a tion 2.27
F0 = S[ ; x ℄ = S [x ℄
(2.37)
h
Finally, let us stress that although this de omposition depends on the arbitrary parameter E , sin e E is in the interval ℄b; [ where the density of eigenvalues is exponentially
small with N , the integral 2.32 depends on E only through exponentially small terms
of order e st , whi h are \non-perturbative" in the topologi al expansion Eq. (2.36).
N
2.2.3 Beyond mean- eld:
We an now easily al ulate the subleading terms of order O(N 2 ) for the full partition
fun tion. In the large N limit we an approximate the sum 2.36 by
Z [V ; N ℄
/
X
N
e
N
n=0
8
2 F [V ;x℄
0
F1 [V ;x℄+
(2.38)
161
If x denotes the saddle point of F0 [x℄ given by 2.26, the sum is dominated by the n's
su h that
jn N x j = O(1)
(2.39)
X
Thus we an still use a quadrati approximation for F0 [x℄
2
e (N F0 [V ;x ℄+F1[V ;x ℄ + )
/
Z [V ; N ℄
n
(n
e
Nx
)2 F000 [V ;x ℄=2
where F000 = 2 F0 =x2 and where the represent terms of order
sum over n gives simply an ellipti Ja obi theta fun tion 3
X
n
(n
e
Nx
= (2F000 [V ; x ℄)
)2 F000 [V ;x ℄=2
1=2
O(N
(2.40)
2
j
3 (N x )
). The last
(2.41)
with modular parameter given by
=
X
2i
00
F0 [V ; x ℄
(2.42)
and where the theta fun tion is de ned as
j
3 (z )
= 3 (z ) =
n2Z
2 2inz
qn
e
with
q
= ei
(2.43)
It obeys the periodi ity relations
3 (z
+ 1) = 3 (z ) ;
3 (z + )
=e
i (2z + )
3 (z )
(2.44)
(For details on ellipti fun tions see e.g. Refs [24, 25, 23℄). Eventually we have for the
free energy
F [V ; N ℄
=
N2
+
F0 [V; x ℄
ln (3 (N x )) + F1 (V ; x ) +
O(N 2 )
1
2
ln (2F000 [V ; x ℄)
(2.45)
where F1 is the torus ontribution in the topologi al expansion of 2.33. The next terms
of this expansion an be al ulated along the same line.
Let us stress that this is not a topologi al expansion, sin e the se ond term ln (3 (N x )),
seemingly O(1) and ontributing at the torus order, is not regular in N . Indeed, it is
periodi in x with period 1=N . When omputing some observables or quantities of the
matrix model, one must take derivatives of F w.r.t. some parameters of the potential
V . Sin e the saddle point x depends impli itly on V , every derivative will give a fa tor
N , and this term may be ome of the same order than the rst term N 2 F0 [x ℄ given by
the planar limit. Note that the last two terms depend on x and not on N x, and they
will remain subdominant on e we take derivatives of F .
9
CHAPITRE 8. ARTICLES
162
u(c)= τ/2
b
c
d
u
u(d)=0
u(a)=1/2
8
8
8
a
u(b)=1/2+ τ /2
Figure 1: the upper half-plane is mapped onto a re tangle (1=2; =2)
2.3
The modular parameter
Finally, we an express simply the modular parameter de ned by Eq. (2.42) in term
of the end-points a, b, , d of the support of e.v. For this purpose, we introdu e the
fun tion () = ( a)( b)( )( d)
(2.46)
and the fun tion u
where K is
Z
dz
p
= p
K =
j(z)j
(
b
2
a)(d
b)
Z
d
dz
p
(z )
K [m℄
with
1
2K
u() =
(2.47)
m=
(d
(d
a)(
b)(
b)
(2.48)
a)
K [m℄ is the omplete ellipti integral of the rst kind. Similarly we de ne
Zb
2
dz
p
K =
= p
K [m ℄
with
m =1 m
j(z)j
(
a)(d b)
a
0
0
0
(2.49)
We shall show that the modular parameter of Eq. (2.42) oin ides with the standard modular parameter of the torus asso iated to the mapping u, i.e. of the ellipti
urve y 2 = (z ). Indeed, is simply given by
= i
K [1 m℄
K
= i
K
K [m℄
0
(2.50)
So we have
u(d) = 0
;
u(a) =
1
2
;
u(b) =
1+
2
;
u( ) =
2
;
u(1) = u
1
(2.51)
and u maps the upper half -plane onto the half-periods re tangle (1=2; =2) and the
double-sheeted omplex -plane onto the period re tangle (1; ).
10
163
To show Eq. (2.50), we use the fa t that in the two- ut ase, if we x x (the e.v.
ratio in the rst ut) the semi lassi al e.v. density (extrema of the e e tive a tion
S ) is now a fun tion (; x) of and x, and the end-points a, b, , d depend on x.
Therefore the large N resolvent !0 is of the form
p
M(; x) ()
V 0 ()
(2.52)
!0 (; x) =
2
2
with M(; x) a polynomial with degree P 3 in (P being the degree of V ), entirely
xed by the onstraints 2.18 and 2.29. Therefore the partial derivative of !0 (; x) w.r.t.
x is ne essarily of the form
!0 (; x)
C
(2.53)
= p
x
()
with C = C(; x) a priori a polynomial in . Sin e 2.18 still holds independently of x
we must have
!0 (; x)
= O( 2 )
for
!1
(2.54)
x
whi h implies that C(; x) is of degree 0 in , i.e. is a onstant (depending only on x)
C = C(x)
(2.55)
This onstant an be easily determined by using that
Z
Z b
d
!0 (; x)
(; x) d =
x =
C 2i
a
with C 0 a lo kwise ontour en ir ling the interval [a; b℄. Therefore we have
0
Z
d C
x
p
=1=
=
x
2i
()
C
0
CK 0
)
C =
K0
(2.56)
(2.57)
with K 0 the half-period de ned in Eq. (2.49). Now we use Eq. (2.26), Eq. (2.27) and
the de nition of the e e tive potential Ve of Eq. (2.14) to write the derivative of the
free energy w.r.t. x as
Z
F0
d (2!0 () V 0 ())
(2.58)
= Ve (b) Ve ( ) =
x
b
Now we take the derivative w.r.t. x of this equation and obtain
Z
Z
2 F0
!0 ()
C
2K
00
F0 =
=2
d
=2
d p
= 2CK =
2
x
x
K0
()
b
b
Using Eq. (2.42) we thus obtain the result 2.50.
11
(2.59)
CHAPITRE 8. ARTICLES
164
3
2-points
orrelation fun tion
3.1 The basi formula
As a rst appli ation we ompute the large N smoothed onne ted two-point orrelation
fun tion ( rst obtained by [11, 13, 14℄), de ned as
! (; )
=
h Tr
1
Tr
M
1
i
M
h Tr
1
ih Tr
M
1
M
i
(3.1)
Adding sour e terms to the potential of the form
V
=
V (z )
1
V ; (z )
;
z
we have
! (; )
1
=
1
=
V (z )
F [V ; ; N ℄
N 2 z
1
(3.2)
z
(3.3)
= =0
and for the resolvent (one-point fun tion)
! ()
=
1
h Tr
N
1
M
1
i=
N 2 F [V ; N ℄
(3.4)
=0
If the 's are small and the 's not too lose to the uts, the mean- eld solution is still
a two- ut e.v. distribution, with x = x () an expli it fun tion of the 's. So from
Eq. (2.45) for the free energy we have for the two-point fun tion
! (; )
=
F0 [V ; ℄
+
x x
[ln (3 (N x
))℄00
= =0
+
O(N
1
) (3.5)
The rst term in the r.h.s. of 3.5 is the mean- eld ontribution already al ulated in [17,
10℄, the se ond term involving a se ond derivative of an ellipti fun tion, hara terizes
the multi- ut solution.
3.2 The mean- eld ontribution
For ompleteness let us rst rederive the mean eld ontribution of [17, 10℄. Taking
the derivative with respe t to we obtain the mean- eld resolvent for the potential
V
F0 [V ; ℄
=0
=
!0 (; V )
(3.6)
whi h must be of the form
1
!0 (z ; V ) =
2
"
V
0 (z )
(z
12
)2
+
M (z )
(z
p
(z )
)2
#
(3.7)
165
with M (z ) a polynomial of degree P 1 (here both the oeÆ ients of M and of depend on and ). In addition to the P 2 onstraints ( oming from 2.18 and 2.30)
!0 (z ; V ) must be regular at z = . This determines entirely M . Taking the derivative
w.r.t. and using the symmetry $ we get
!0 (; )
=
"
1
1
Q(; )
p
1+ p
2
2 ( )
() ()
=
F0
#
(3.8)
with Q(; ) a symmetri polynomial in and in . The onstraints on !0 are: (i)
!0 = O ( 2 ) as ! 1 whi h implies that Q is of degree at most 2; (ii) !0 is regular
at = whi h implies that Q(; ) = (( + )=2) + O(( )2 ); (iii) nally the
equality of the e e tive potential on the two uts implies that
Z
!0 (; ) d
b
=0
(3.9)
Conditions (i) and (ii) x uniquely Q
Q(; )
1
2
=
(
+(
a)(
b)(
a)(
)(
)(
b)(
d)
+
d)
S (
)
2
(3.10)
up to a onstant S xed by ondition (iii), whi h is found to be
S
and where
kind.
3.3
=
K [m℄
1
(
2
and
a)(d
E [m℄
b)
E [m℄
with
K [m℄
m
=
(
(
b)(d
a)(d
a)
b)
(3.11)
are the standard ellipti integrals of the rst and se ond
The non-regular
ontribution
In order to ompute the se ond ontribution to 3.5, we simply need
0
= 0 we an write
xed by the onstraint F
x
x
=
2 F0
x
2 F0
x
is
(3.12)
x2
x
. Sin e
Using the results of subse tion 2.3 we have
2 F0
x2
=
2K
K0
So we have eventually
and
2 F0
x
x
=
=
x
!0 (; x)
1
2K
13
p
()
=
K0
p
1
()
(3.13)
(3.14)
CHAPITRE 8. ARTICLES
166
and the se ond non-regular term is
x x
[ln (3 (N x
j ))℄
=
00
1
1
2K
p
() 2K
p
()
[ln (3 (N x
j ))℄
(3.15)
00
with K de ned by Eq. (2.48). Using standard relations on ellipti fun tions, this an
be rewritten as
(
a)(d b)
E [m℄
2
1
p
p
+ dn (N x + 2 )
(3.16)
K [m℄
4 () ()
with
dn(u) = dn(2K [m℄ujm)
(3.17)
where dn(ujm) is the Ja obi ellipti fun tion dn. Its periods are 2K [m℄ and 4iK [m ℄,
and dn2 (z ) has periods 1 and .
0
3.4 The nal result
Combining 3.8, 3.10, 3.11 and 3.16 we obtain the nal result for the 2-point orrelation
fun tion
! (; )
=
4(
s
"
1
1
)2
(
(
a)(
a)(
b)(
b)(
)(
)(
d)
!
d)
#
+ ( $ )
(
a)(d b)
p
p
sn2 (N x + 21 )
4 () ()
We have used the relation dn2 (u) = 1
(3.18)
m sn2 (u),
where similarly to 3.17 we note
sn(u) = sn(2K [m℄ujm)
(3.19)
Surprisingly, the ratio E [m℄=K [m℄ hara teristi of the mean- eld solution of [17, 10℄
has disappeared.
The smoothed 2-point onne ted density orrelator (; ), de ned as
(; )
= h Tr [Æ (
M )℄
Tr [Æ (
M )℄
i h Tr [Æ(
an be obtained easily from the dis ontinuity of
limit, if and are on the support of e.v.
(; )
=
1
"
4 2 (
+
1
s
)2
" "
(
p
! (; ).
(
(
a)(
a)(d
b)
p
a)(
j()j j()j
14
b)(
b)(
M )℄
ih Tr [Æ(
i
M )℄
(3.20)
One obtains in the large
)(
)(
#
sn2 (N x + 21 )
d)
d)
N
!
+
$
(3.21)
" = 1 if 2 [a; b℄ ;
167
1 if 2 [ ; d℄ ;
(3.22)
and zero otherwise.
The new non-regular term sn2 (Nx + 21 ) is an even periodi fun tion of Nx with
period 1 whi h varies between 0 and 1. Therefore, as N varies, depending on the
rationality or the irrationality of x , the two-point fun tion will be varying with N in
a periodi or quasiperiodi way.
3.5
The symmetri
ase
It is now very easy to re over the results of [11, 13℄ for a symmetri potential. Indeed,
if the potential V is symmetri , the two uts are also symmetri
a=
d ;
b=
(3.23)
x =
1
2
(3.24)
and we have automati ally
so that
sn (Nx + 12 ) =
2
sn2 ( 12 ) = 1 if N is even
sn2 (0) = 0 if N is odd
Eq. (3.18) and Eq. (3.22) be ome
! (; ) =
2(
1
1
(; ) = 2
2
with () = (2
3.6
"
)2
1
(a2
2
p )(pb )
() ()
"
p "p
j()j j()j
a2 )(2
(a2
#
( 1)N
2
)(b2 )
( )2
(3.25)
ab
p
() ()
(3.26)
1)N
(3.27)
p
(
ab
b2 ).
The two-point fun tion as an ellipti
fun tion
It is interesting to onsider the two-point orrelator in terms of the ellipti
de ned by Eq. (2.47)
u = u() ; v = u()
Let us thus onsider
! (u; v ) =
p
p
! (; ) = 2K () 2K () ! (; )
u v
oordinates
(3.28)
(3.29)
It is easy to see (from the properties of ! ) that ! (u; v ) satis es:
1. ! (u; v ) is a doubly periodi fun tion of u (and of v ) with periods 1 and ;
15
CHAPITRE 8. ARTICLES
168
2. ! (u; v ) is regular at u and
v
= u(a); u(b); u( ); u(d) and u1;
3. ! (u; v ) is regular when u = v , but has a double pole at u = v ( orresponding
to the double pole of ! (; ) when = but with in the rst sheet and in
the se ond sheet), with residue 1.
This implies that ! (u; v ) is a Weierstrass ellipti fun tion
!
(u; v )
= }(u + v j ) + onstant
(3.30)
where the onstant depends on N x (} has periods 1 and ). Using lassi al identities
between the Weirstrass } fun tion and the Ja obi ellipti fun tions, it an be easily
al ulated. We nd the remarkably simple result
!
(u; v )
= }(u + v j )
}(N x
+ 2 j )
(3.31)
or equivalently
!
(u; v )
[ln (1 (u + v j ))℄00 + [ln (3 (N x
=
j ))℄00
(3.32)
4 The orthogonal polynomials
Let us brie y re all some basi fa ts about the well-known method of orthogonal polynomials [18℄, whi h is a powerful tool for studying the spe tral properties of random
matri es [2℄. Asymptoti expressions for the orthogonal polynomials have been obtained re ently [14℄ in the mathemati al literature, by solving a Rieman-Hilbert problem. Here we will derive them from the free energy dire tly.
Consider the partition fun tion (2.4):
~=
Z
Z
d1 : : : dN e
N
PV
Y
j )2
(4.1)
= det (Pj 1 (i ))
(4.2)
( i)
i
i<j
(i
The last term is a Vandermonde determinant [2℄:
Y
i<j
(i
j )
= det (i )j
i;j
1
i;j
where the last equality is obtained by linearly mixing olumns of the determinant, and
holds for arbitrary moni polynomials Pn () with leading oeÆ ient Pn () = n + : : :.
The method of orthogonal polynomials onsists in hoosing a family of polynomials
suitable for the omputation of (4.1), namely, the family of polynomials orthogonal
with respe t to the weight exp N V ():
Z
d
Pn() Pm () e
16
NV ()
= hn Ænm
(4.3)
169
With this parti ular
hoi e of polynomials, the integral (4.1) is merely:
Z~ = N !
N
Y1
n=0
hn
(4.4)
and the joint probability density of all the eigenvalues takes the form of a Slater de-
RN (1 ; : : : ; N ) =
n ()
where the wave fun tions
4.1
12
0
terminant:
The Kernel
=
p1h
1
N!
P
[
det
n<N
1iN
0
n n ()e
N V ()
2
n
i )℄A
(4.5)
1(
are orthonormal.
K (; )
The square of a determinant
an be rewritten as the determinant of a produ t:
n
det (
n;i
i ))
"N 1
X
2
=
1(
we are thus led to introdu e the kernel
K (; ) =
det
i;j N
1
n=0
#
n (i ) n (j )
K (; ) [19℄:
1
N
N
X1
n=0
n () n ()
(4.6)
In terms of whi h the joint density of eigenvalues is now a determinant
RN (1 ; : : : ; N ) =
NN
N!
K (i ; j )℄
det [
(4.7)
The orthonormality properties of the polynomials imply the proje tion relations
Z
Z
K (; ) = 1
d
and
K (; )K (; ) =
d
1
N
K (; )
(4.8)
whi h make any partial integration of (4.7) easy to perform (theorem of Dyson [20℄).
In parti ular, the integration over
(1 ) =
and the integration over
R2 (1 ; 2 )
Z
=
1 eigenvalues gives the density of eigenvalues
2 : : : dN RN (1 ; : : : ; N )
d
N
=
N
2 eigenvalues gives the
R
=
K (1 ; 1 )
orrelation fun tion:
3 : : : dN RN (1 ; : : : ; N )
(K (1 ; 1 )K (2 ; 2 )
K (1 ; 2 )K (2 ; 1 ))
d
N
N 1
In short:
() = K (; )
;
(; ) = K (; )K (; )
17
K (; )2
(4.9)
CHAPITRE 8. ARTICLES
170
In addition, the Darboux-Christo el theorem [24, 21℄, asserts that
K (; )
=
PN ()PN
1
N hN
1
PN ()PN
()
1
1
()
e
N (V ()+V ())
(4.10)
2
whi h means that we need to evaluate Pn only for n = N and n = N 1.
Thus, we shall now aim at nding asymptoti expressions for the orthogonal polynomials Pn (), and the kernel K (; ) in the large N limit, and n lose to N . This
has been done in the 1- ut ase [7℄ and in the symmetri 2- ut ase [11, 14, 12℄. Here
we will generalize it to the non-symmetri ase, with the method used in [21℄.
4.2
WKB approximation for the orthogonal polynomials
Pn()
The orthogonal polynomials have the following integral representation (see Appendix
1 of [21℄ or [18℄):
R
det ( M ) e N tr V (M )
(4.11)
Pn() = dMnRndM
N tr V (M )
nn e
where the integral is restri ted to hermitian matri es of size n n.
Thus the orthogonal polynomial is given by the ratio of two matrix integrals of the
same type as the partition fun tion 2.1:
; n℄ e
=
Pn() = Z [VZ+[V ÆV+ ÆV+ ÆV
; n℄
e
1
F [V +ÆV1 +ÆV2 ;n℄
2
1
where
ÆV1 (z )
=
N
n
n
V (z )
and
ÆV2
1
=
n
We have seen in the previous se tion (eq.2.45) that
F [V ; n℄
= n2 F0 [V ; x ℄
(4.12)
F [V +ÆV1 ;n℄
ln (z
)
(4.13)
ln 3 (nx [V ℄) + : : :
(4.14)
We will use the fa t that under a variation ÆV of the potential, the variation of F0 is
[21, 8℄:
I
1
ÆF0 =
! (z )ÆV (z ) dz
(4.15)
2i
where the anti- lo kwise ontour en loses the support of the density of eigenvalues,
and ! (z ) is the resolvent (eq 3.4 and 2.28):
p
1 0
! (z ) =
V (z ) M (z ) (z )
2
It is onvenient to introdu e two sour es t1 and t2 for the variations ÆV1 and ÆV2 of
the potential, and onsider a generalized potential V (z ):
V (z) = V (z) + t ÆV (z) + t ÆV (z) = V (z) + t V (z) + t
1
1
2
2
1
18
2
ln j
z
j
171
Sin e t1 = Nn n and
Taylor's series:
t2
=
are both small of order
1
n
2
1
V (z); n℄ = F [V (z); n℄ + t F + t F + t2 F[
1
1
2
2
11 F
O (N
1
), we will expand
+ t1 t2 12 F +
t22
2
22 F
F
in
+:::
all the derivatives being taken at the point t1 = t2 = 0.
This will give
Pn() en F e N
2 0 (
n)12 F0 e
1 F
2 22 0
3 (nx + (N
n)1 x
3 (nx + (N
n)1 x)
Now, let us ompute the derivatives of F0 and
The method pro eeds similarly to se tion 3.1.
4.2.1
Derivatives of
F0
with respe t to
using (4.15) with (4.13):
F0
t2
1
=
2i
After integration by part, the pole in (z
of ! ():
F0
t2
I
t1
x
=
and
t2
! (z ) ln (z
) pi
=
Z
0
2 x)
x
(1 + O(N 1 )) (4.16)
with respe t to
t1
and t2 .
)dz
ks a residue, and the result is a primitive
! (z )dz
(4.17)
The lower bound of integration 0 is to be hosen su h that en2 F0 !1 n . i.e.
Z1
1
)dz
(4.18)
ln 0 =
(! (z )
z
0
In order to ompute the se ond derivatives 12 F0 and 22 F0 , we will need to di erentiate ! (z ) with respe t to t1 and t2 .
4.2.2
Derivatives of
! (z )
with respe t to
t1
and
t2
The resolvent ! (z ) omputed for the potential V (z ) takes the form:
p
1 0
! (z ) =
V
(z ) M (z ) (z )
2
where M (z ) is analyti . Noti e that when V 0 (z ) has a pole in z = ,
a pole too. ! (z ) obeys a linear equation:
! (z
+ i0) + ! (z
i0)
= V 0 (z )
for
z
(4.19)
M (z )
2 [a; b℄ [ [ ; d℄
may have
(4.20)
Thus its derivatives obey linear equations as well:
1 ! (z
+ i0) + 1 ! (z
i0)
19
= ÆV10 (z ) = V 0 (z )
(4.21)
CHAPITRE 8. ARTICLES
172
2 ! (z + i0) + 2 ! (z
i0) = ÆV20 (z ) =
!1 : The solution of (4.21) is:
z
z
f (z )
(4.23)
(z )
onditions 2.18 imply that f (z )
! 1 and f has no pole, thus f (z) is a polynomial of degree 1:
! (z )
t1
(4.22)
p
1 ! (z ) = ! (z )
where f (z ) is analyti in z . The boundary
1
z
p
= ! (z )
z0
z when
(4.24)
(z )
z0 is determined as a fun tion of a; b; ; d by the derivative of 2.30 with respe t to t1 :
Z
z
b
dz p
z0
=0
(z )
(4.25)
It an be he ked that in term of ellipti theta fun tions we have (see Appendix A, or
[23℄):
z
p
and thus:
(z )
! (z )
t1
!2 :
z0
d
=
ln
dz
1 (u(z ) + u1 )
1 (u(z )
d
= ! (z )
dz
ln
(4.26)
u1 )
1 (u(z ) + u1 )
1 (u(z )
u1 )
Note that the t2 sour e-term is the primitive of the sour e-term of 3.2, and
that
d ! (z )
dz
t2
=
! (z )
2F
1
=
n2 z = ! (z; )
so, !=t2 has already been omputed in 3.8. The se ond derivative 22 F
to z = .
22 F0 = ln
4.2.3
(4.27)
Derivatives of
p
() + 2 ln (1 (u()
(4.28)
orresponds
u1 ))
(4.29)
(z )dz
(4.30)
dz = x + 2u1
(4.31)
x
Z
Re all that
x=
a
b
()d =
using 4.27 we get:
x
t1
=x+
1
2i
Z
1
2i
b
a
z
p
Z
b
a
M (z )
z0
(z )
p
Similarly, from 4.28 and 3.18 or 3.31 (or less tediously, taking the primitive of 3.14),
we get:
x
t2
=
u() + u1
20
(4.32)
173
4.3
Final result
4.3.1
Case
2
= [a; b℄
[ [ ; d℄
Eventually, inserting 4.17,4.27,4.29,4.31, 4.32 into 4.16 we get:
R
p
N
!
u0 () pn (u()) e 0
Pn()2= a;b=[
(4.33)
℄ [ ;d℄
[
where
pn (u) = Cn
n)u1 + u
3 (N x + 2(N
Cn is a normalization su h that
Cn =
p
2KA
n)u1 )1 (u
3 (N x + 2(N
n N +1
A=
with
1
4
! uR + amounts to a nontrivialR
2i
=
2i (1
x), and e
n
(4.34)
jd
N
Z
a
+b
j (2u
3
b
dz
p
(z )
(4.35)
3 (0)
1)
! u + 1 and u ! u + . R Indeed, a shift
ut [ ; d℄. Thus
ir le around the
!
K=
and
2K 1 (2u1 )
N
u1 )
1 (u
10 (0)
1
Note that 4.33 is un hanged under u
d
u1 )
1 (u + u1 )
Pn n for ! 1.
A=
u
u1 )1 (2u1 )
re eives a phase e
fun tions re eive phase fa tors: (v + ) = (v )e
2iN x
2i (v + =2)
! is shifted by
. In the same time, the . One
an easily he k that
the total phase shift is 0.
4.3.2
Case
2 [a; b℄ [ [ ; d℄
Expression 4.34 has been derived by a saddle point approximation of 4.12 when does
[ [ ; d℄.
not belong to [a; b℄
saddle points,
When lies on the
ut [a; b℄
ontributing to the same order. They
nations of the square root
p
(). The asymptoti
[ [ ; d℄, 4.12 a tually has two
orrespond to the two determiexpression for the orthogonal
polynomial is then given by a sum of two terms:
Pn()2 a;b=[
[
C
℄ [ ;d℄
p
u0 pn (u) e
iN ()
u) eiN ()
+ ipn (
N V ()
e2
(4.36)
R
where () = d (z )dz and
C =e
N V (0 )+R d M (z )
2
0
p z dz
( )
2
N
=d e
N V (d)
2
e
R1
N d (! (z )
1 )dz
z
(4.37)
[ [ ; d℄, the wave fun tion n () = Pn ()e N V =
de ays exponentially, and within the support [a; b℄ [ [ ; d℄, it os illates at a frequen y
2
To summarize: When = [a; b℄
of order N .
21
CHAPITRE 8. ARTICLES
174
ψ (λ)
n
a
b
c
λ
d
Figure 2: Typi al behavior of the wave fun tion
4.3.3
Che k of the orthogonality
For ompleteness, let us he k that the fun tions (4.33) are indeed orthogonal (at
leading order in N 1 ). Let us ompute the integral:
Z1
dPn ()Pm ()e N V ()
1
The ontributions of the integral along ℄ 1; a℄ [ [b; ℄ [ [d; 1[ are exponentially small
and do not ontribute at leading order.
Along [a; b℄ [ [ ; d℄, we use expression 4.36, and get a sum of four terms:
C
2
Z
d u0 ()
ipn (u)pm ( u)
+pn(u)pm (u)e
2iN ()
+ipn ( u)pm (u)
pn ( u)pm ( u)e2iN ()
(4.38)
Sin e the two last terms have fast os illations of frequen y N , they are suppressed as
O (1=N ).
The leading ontribution is thus given by the two rst terms of 4.38, whi h an be
rewritten as integrals in the u plane along the ontour depi ted on g.3.a:
Z
PnPm e
NV
where xn and
xn
= i
Z
nm
du
3 (xn + u
u1 )3 (xm
3 (xn )3 (xm )1 (u
+ (u ! u)
nm
u
u1 )
u1 )1 (u + u1 )
1 (u + u1 )
1 (u
u1 )
n
m
(4.39)
are short notations for:
= N x + 2(N
n)u1
and
nm
= C 2 Cn Cm 12 (2u1)
(4.40)
If n > m we may deform the ontour to a ir le around the point u1 ( g.3.b),
and the integral vanishes sin e there is no pole, while if m > n we deform the ontour
to a ir le around +u1 ( g.3. ). Therefore, the integral vanishes for n 6= m.
22
175
c
c
b
d
d
a
c
8
u
8
- u
c
b
a)
c
c
b
d
d
a
d
- u
c
b
a
u
8
c
b
8
c
d
8
u
8
- u
c
c
c
b
c)
b)
Figure 3: Deformation of the ontour integral
When n = m, the integral pi ks a residue:
Z
with (C ,
dPn Pm e
NV ()
= hn Ænm
A, xn are de ned in 4.35, 4.40, 4.37):
(x )
3 (xn+1 )
4
= 4 C 2 3 n+1 A2(n
hn = nn
0
1 (2u1)1 (0) 3 (xn )
3 (xn )
4.3.4
(4.41)
nm ,
N +1=2)
(4.42)
Re urren e equation
It is well known that the orthogonal polynomials satisfy a re urren e equation of the
form [2, 18℄:
Pn () = Pn+1 () + n Pn () + n Pn 1 ()
(4.43)
Here, we nd that (divide 4.43 by
n
=
Pn, and mat h the poles on both sides):
(x ) (x )
hn
= A2 3 n+12 3 n 1
hn 1
3 (xn )
(4.44)
whi h an be rewritten more ompa tly as
n
=
1
((d
16
a) (
b))2 + 4(d a)(
23
b) n2 (xn + 1=2)
(4.45)
CHAPITRE 8. ARTICLES
176
And by taking u = 0 in 4.43 we get :
(x
) (x ) + (x ) (x
d=A
(x ) (x
) (x ) (x
whi h an be rewritten more ompa tly as:
= a + d +2 ( b) ( b) b + d b
n
n+3=2
3
n
3
n+1
n
3
n+1=2
3
n+1
3
3
n
n
3
n+1=2
3
n2 (xn
n 1=2
d
1
u
)
)
+1=2)
(4.46)
(4.47)
The sequen es and are thus quasi-periodi in n. It is interesting to re all that
the behavior of these oeÆ ients has been extensively studied (mainly by numeri al
methods) by several authors in the early 90's [22℄. The general on lusion was that
in the multi- ut ase the general behavior of the re ursion oeÆ ients was \ haoti "
in n (and regular or quasi-periodi only in some spe ial ases). It is lear from our
expressions that in the two- ut ase the behavior is always periodi or quasi-periodi
and never haoti (in the mathemati al sense). This is in fa t true even if the number
of uts is larger than 2 (see appendix C).
In the symmetri ase, x = and u1 = , we have x = n=2 mod1, so that we
re over = 0 and = (a ( 1) b) .
In the general ase, and vary along a periodi urve, between two extrema,
given by:
(d a ( b)) (d a + ( b))
16
16
b
d+a
b
d+a
2
2 2 + 2
Similarly to the one- ut ase, one may relate to square width of the distribution
of eigenvalues, and to the enter of the distribution.
n
n
1
2
n
n
n
1
4
n
1
4
n
2
n
2
2
n
n
n
n
4.4
The kernel
K (; )
We an now evaluate the kernel K (; ) a ording to (4.10). Let us note u = u() and
v = u() and we assume ; 2 [a; b℄ [ [ ; d℄:
p
p
e
(u ! v) (4.48)
C u0 v 0 X p (u)p (v ) e
K (; ) Nh
( )
whi h an be rewritten as a sum of eight terms:
p00
uv
K (; ) =
h (x ) (x ) N ( )
X p (Nx + u u1 ) (Nx + v + u1 )
e
(u u1 ) (v + u1 )
(4.49)
2
N
N
1
N
N i ()
1
N i ()
; = 1
N
1 3
N;N
1
N
3
3
;;= 1
N
3
1
1
24
1
N i ( ()+ ())
177
We will see below that not all the terms ontribute to the same order.
4.4.1
Regime
j
j O(1=N )
The eight terms of (4.49) an be rewritten as four ombinations of the type:
())) f (u;Nv() f(v;) u)
sin (N ( ()
j
j
In the limit j
os (N ( ()
and
j
small, i.e. u
())) g(u;Nv()
g (v; u)
)
v small, the terms with a osine will be proportional
to derivatives of g (u; v ), and there will be an overall
R
1
N
fa tor. Similarly, the term with
a sine and a + sign will be proportional to a derivative of f (u; v ) and will be of order
1=N . Only the term proportional to sin N (z )dz an balan e the 1=N fa tor, and
is dominant in the short range regime. After al ulation we get:
K (; )
j
sin N j
R
(z )dz
N (
O (1=N )
(4.50)
)
As expe ted we have
K (; ) = ()
(4.51)
and we re over the universal short range orrelation fun tion:
(; )
4.4.2
()()
1
sin N ()(
N ()(
)
!
2
(4.52)
)
Long range regime, smoothed os illations
j
When j O(1), K (; ) has high frequen y os illations, and only a smoothed
orrelation fun tion obtained by averaging the os illations an be observed.
Re all that the onne ted 2-point orrelation fun tion is related to K 2 by (4.9):
2 (; ) =
K (; )
2
(4.53)
with K (; ) given by 4.49.
Smoothing out the os illations amounts to kill all terms
ontaining some eiN in
the square of eq 4.49, we thus have:
K (; )2 =
3 (N x + u
2u0 v 0
2
hN
2
NN
2 (xN )32 (xN
1 3
1 u1 )3 (N x
1 (u
1 )N
u
1 u1 )1 ( u
X
1
2
(
)
2
;;1 ;2 = 1
1 2
2 u1 )3 (N x + v + 1 u1 )3 (N x
v + 2 u1 )
2 u1 )1 (v + 1 u1 )1 ( v + 2 u1 )
25
(4.54)
178
Using that (see appendix A, and [23, 25, 24℄):
we get (ij =
ji
= 2A
1 (u
1 (u
CHAPITRE 8. ARTICLES
v )1 (u + v )12 (2u1 )
u1 )1 (u + u1 )1 (v
u1 )1 (v
+ u1 )
= 1):
2u0 v 0 102 (0)
N 2 4 2 34 (N x)12 (2u1 )
2 X
1 (u
u1 )1 (u + u1 )1 (v
u1 )1 (v + u1 )
(ij kl + il kj )
1 (u
v )1 (u + v )
i;j;k;l=1
3 (N x + u
iu1 )3 (N x
u
ku1 )3 (N x + v
ju1 )3 (N x
v
lu1 )
1 (u
iu1 )1 ( u
ku1 )1 (v
ju1 )1 ( v
lu1 )
K (; )2
u
u
(4.55)
=
(4.56)
We see that 4.56 has no pole when u = u1 , it an have (double) poles only when
= v . Thus, 4.56 an be rewritten in terms of Weirstrass fun tions of u + v and
v:
1
0 0
u v (C1 }(u
v ) + C2 }(u + v )
2S )
2N 2 2
Taking u = v and u = v in 4.56, we nd that the residues are C1 = C2 = 1, and
taking a parti ular value of u and v , we nd the onstant S , equal to what we had in
3.31:
K (; )2
K (; )2
=
=
1
0 0
uv
}(u
v ) + }(u + v )
2N 2 2
and we re over the result 3.31 found in se tion 3.6.
2}(N x + )
2
(4.57)
5 Con lusions
In this arti le, we have solved the puzzle raised by [11, 13℄ and understood why the
naive mean- eld method [10℄ and the orthogonal polynomial ansatz [11, 12℄ approa h
used in the symmetri ase disagree.
We have proven here that this e e t has nothing to do with a Z2 symmetry breaking,
as it was sometimes assumed [11℄, it is general as soon as the support of the density is
not onne ted.
The apparent paradox omes from the fa t that when the support of eigenvalues
is not onne ted, the free energy admits no large N expansion in powers of 1=N 2
(topologi al expansion [9℄). This means that the free energy in the multi- ut ase
is not given by a topologi al expansion, i.e. the sum of diagrams with a weight N (=Euler Chara teristi of the diagram).
26
179
The explanation lies in the dis reteness of the number of eigenvalues. For instan e
in the symmetri 2- ut ase, the lassi al approa h assumes that the minimum of the
free energy is rea hed when one half (x = 1=2) of the eigenvalues are in ea h ut.
Obviously, this minimum is never rea hed when the total number of eigenvalues is odd,
and in general, the result depends on the fra tional part of Nx.
At leading order in N only, the free energy is orre tly given by the lassi al saddle
point limit [16, 10℄, but the rst order in N is not suÆ ient to determine the 2-point
(or higher) orrelation fun tion.
Here we have omputed expli itly the two-point onne ted orrelation fun tion. It
ontains a universal part depending only on the number of uts, whi h was obtained
by [10℄, and ontains in addition, a non universal term quasiperiodi in N [22, 14℄.
Let us stress that our al ulation holds for any potential, not ne essarily symmetri ,
and it an also be generalized to a potential with omplex oeÆ ients (appendix. B),
and to an arbitrary number of uts (appendix. C).
We have also reobtained dire tly the asymptoti expressions for the orthogonal
polynomials [14℄, whi h allows in prin iple through the Darboux-Christo el theorem
(eq. 4.10) to ompute any orrelation fun tion of any number of eigenvalues in the
short or long range domain (and one an smooth it afterwards).
The orthogonal polynomial approa h may in turn be used for other random matrix
ensembles, and it would be interesting to apply our results to orthogonal or symple ti
ensembles [2℄.
The authors are thankful to K. Malli k for useful dis ussions, and to the Eurogrid
European Network HPRN-CT-1999-00161 for supporting part of the work. They also
thank E. Kanzieper, O. Le htenfeld and G. Akemann for their interest and for pointing
some missing referen es.
Appendix A
A few useful identities on ellipti
fun -
tions
Here we olle t a few useful identities on ellipti fun tions used through the paper. For
details see [23, 24, 25℄. We start from
() = (
a)(
b)(
)(
d)
;
and the map from the omplex plane to the torus
Z
1 dz
p
u() =
2K d
(z)
27
a<b< <d
(A.1)
(A.2)
CHAPITRE 8. ARTICLES
180
u(c)= τ/2
b
c
d
u
u(d)=0
u(a)=1/2
8
8
8
a
u(b)=1/2+ τ /2
Figure 4: the upper half-plane is mapped onto a re tangle (1=2; =2)
Zp
j
where the half period K is
K =
dz
j
(z )
b
p
=
2
a)(d
(
K [m℄ =
b)
p
j
32 (0 )
a)(d
(
(A.3)
b)
K [m℄ is the standard omplete ellipti integral [23, 24, 25℄, with the modulus m equal
to the biratio of the four points a, b, , d:
m =
(d
a)(
b)(
(d
b)
a)
(A.4)
m is related to the modular parameter of the torus by:
j
j
34 ( )
m = ei 4 2
3 (0 )
and
X
= i
onversely
K [1
m℄
(A.5)
K [m℄
where we have used the Ja obi theta fun tions:
j
1 (z ) = 1 (z ) =
i
(
r2Z+1=2
r r2
1) q
2irz
e
q = ei
with
(A.6)
1
1
3 (z ) = 3 (z ) = q 4 eiz 1 (z + + )
j
and
2
With this mapping u() between the 2
j
(A.7)
omplex plane and the periodi
re tangle
of sides (1; ), we have:
u(d) = 0
;
u(a) =
1
2
;
u(b) =
1+
2
;
u( ) =
2
;
1) = u
u(
1
(A.8)
The inverse mapping an be written in terms of theta fun tions:
d=
p
12 (u)1 (2u1 )
10 (0)
2K 1 (u + u1 )1 (u
() =
102 (0)
u1 )12 (u1 )
1 (2u)1 (2u1 )
4K 2 12 (u
28
u1 )12 (u + u1 )
(A.9)
(A.10)
181
and in terms of the usual trigonometri ellipti fun tions sn, n, dn [23, 24, 25℄ that
we normalize to have periods 1 and , i.e.
sn(u) = sn(2K [m℄ujm)
dn(u) = dn(2K [m℄ujm)
;
;
:::
(A.11)
one has
sn2 (u)
=
2
sn (u1) d
= (d
a = (d
)
a)
n2 (u)
=
2
n (u1 ) ;
1
sn2 (u)
1
sn2 (u
n (u)
2
1
;
sn2 (u)
sn2 (u
1)
p
() = (d
1)
;
r
)(d
a
a)
dn2 (u)
=
2
dn (u1) ;
b = (d
d = (d
b)
)
d
b
dn2 (u)
(A.13)
sn2 (u)
1
sn2 (u
1)
a sn (u)
a 1 snsn22(u(u) )
2
(A.14)
1
b sn(u) n(u) dn(u)
a 1 sn2 (u) 2
d
(A.12)
(A.15)
1)
sn2 (u
and u1 is related to a; b; ; d by any of the following relations:
sn2 (u1) =
d
a
a
;
n2 (u1) =
d
d
a
;
Appendix B Complex potentials
dn2 (u1) =
d
d
b
(A.16)
The ase of omplex potentials, that is to say of a polynomial potential V () with
omplex oeÆ ients, is interesting for some appli ations of the matrix models to 2
dimensional gravity and when studying their onne tions with integrable hierar hies.
In this ase, the mean eld large N solution is known to be given by a ontinuous
distribution of the eigenvalues along ar s in the omplex plane [26℄.
In this appendix we show that our results are only slightly modi ed in this ase.
In the two- ut ase, we an repeat the analysis of se t.2. We x x = n1 =N (the
proportion of e.v. in the rst ut). The resolvent is still of the form 2.28, with the
polynomial M and the end points a; b; ; d determined by the onstraints 2.18 and 2.29,
but they are no more real in general, as well as the resulting mean- eld free energy
F0 (x).
If we now repeat the al ulation of se t.2.2.3 we annot use a saddle-point approximation for the sum over n1 by expanding F0 (x) around the saddle point x0 whi h is
the true extremum of F0 .
F0
(x0 ) = 0
(B.1)
x
29
CHAPITRE 8. ARTICLES
182
Indeed this extremum is at a nite non-zero distan e of the real axis, i.e. Im(x ) =
O(1), while the method of se t.2.2.3 is valid only if Im(x ) = O(1=N ). However, sin e
N is integer, we an expand F around any xk , provided that
0
0
0
( ) = 2i Nk
F00 xk
;
k
(B.2)
2Z
sin e the dangerous os illating term e N x x F x is then a onstant for x = n=N ,
n 2 Z.
Therefore, as in [26℄ we have to onsider the real pseudo saddle-point x su h that
Re(F 0 (x )) = 0 with Im(x ) = 0
(B.3)
and denote
(B.4)
= 2i1 F 0 (x ) = 21 Im(F 0 (x ))
We expand F around some xk de ned by Eq. (B.2) and su h that
xk x = O (N )
(B.5)
and we get for the total free energy (by exa tly the same al ulation as in se t.2.2.3)
F = N F (xk )
ln( (N xk ))
(B.6)
00
+ F (x ) + ln(2F (x )) + O(N )
where is the theta fun tion with modular parameter
2i
(B.7)
= 00
F (x )
Only the rst two terms are important for al ulating the two-point fun tions and the
orthogonal polynomials in the large N limit. This leading term does not depend on k.
Indeed we have
F 0 (xk ) F 0 (x ) = (xk x )F 00 (x ) + O (N )
(B.8)
hen e
(xk x ) = N1 (k N ) + O(N )
(B.9)
and using the periodi ity relations of we an rewrite the leading term for the free
energy as
(B.10)
N F (x )
ln( (N x )) = N F (n =N ) i u ln( (u ))
2(
0
k) 0(
)
0
0
0
0
1
2
0
1
3
1
2
2
0
3
0
0
0
1
0
2
3
2
0
k
3
with
n
2
k
= E[N x ℄
;
2
0
u
30
= [N x ℄
[ ℄
N
3
(B.11)
183
where E[u℄ is the integer part of u (largest integer smaller than u) and [u℄ = u E[u℄
is the fra tional part of u. This does not depend on k up to negligible terms of order
O(N 1 ) (provided that ondition B.5 for k holds).
One an now repeat the al ulation of se t.3 for the 2-point fun tion. Nothing is
hanged but we simply have to repla e x by xk in the intermediate steps and to use
Eq. (B.9) at the end of the al ulation. This amounts to repla e the x in the ellipti
fun tion sn2 by x . The nal result for the two-point resolvent is
! (; ) =
s
"
1
( a)( b)(
( a)( b)(
1
4( )2
( a)(d b) 2
p p sn (N (x
4 () ()
!
#
)( d)
+ ( $ )
)( d)
) + 21 )
(B.12)
Similar results holds for the orthogonal polynomials. We simply have to onsider the
end-points a; b; ; d for the mean- eld real parameter x and to make the repla ement
Nx
! N (x
+ )
(B.13)
in the ellipti fun tions involving Nx . In any ase these terms depend only on the
fra tional parts of Nx and of N .
A nal interesting remark on the periodi ity properties of the non-universal term
2
sn (N (x + )) an be made. From the de nition B.4 orresponds to a \phase
shift" between the two ar s where the density of e.v. is non zero.
1 0
2
F (x ) = 1
(B.14)
2i 0
2i
where N is the ( onstant) e e tive potential on the ar . The two periods 1 and
of the sn2 fun tion orrespond respe tively in term of eigenvalues to (i) transfer a
single e.v. from the rst ar to the se ond one (ÆNx = 1), (ii) or to shift the phase
between the two ar s by 2 (ÆN = 1).
=
Appendix C Multi ut Case
Consider now a support of eigenvalues split into s intervals:
C = C1 [ : : : [ C s
(C.1)
Let ni be the number of eigenvalues in ea h Ci , and xi = ni =N the o upation ratio,
whi h we denote olle tively as a ve tor:
xi =
Z
C
d()
;
i
31
~x = (x1 ; : : : ; xs 1 )
(C.2)
CHAPITRE 8. ARTICLES
184
Note that only s 1 of them are independent sin e x1 + : : : + xs = 1.
As in the two- ut ase (eq. 2.36), the free energy at xed ~n admits a topologi al
large N expansion:
F [V ; ~
n℄
= N 2 F0 [V ; ~x℄ + N 0 F1 [V ; ~x℄ + O(1=N 2 )
(C.3)
and as in 2.38, the partition fun tion an be written as a sum over ~n:
Z
F
=e
=
X
e
F [V;~n℄
(C.4)
~n
The sum is dominated by the vi inity of the extremum ~x of F0 [V ; ~x℄:
Z
X
is the s
e
N 2 (F0 [V;x~ ℄+i( N~n ~x ):
~n
N ~x ))
1(
where
~
x
~n
1s
F0 (~
x)
~x=~x
= ~0
(C.5)
1 matrix de ned by:
ij 1
=
1
2i
2 F0
(C.6)
xi xj ~x=~x
Then, the summation over ~n yields:
Z
e
N 2 F0 [V;~x
℄
j
(N ~
x )
(C.7)
where (~uj ) is Riemann's theta fun tion [27℄ in genus s
j
(~
u )
= (~u) =
X
e
i(~n ~u):
1 (~
n
~u)
=
~n
1:
X
ei~n:~ne
2i~
n:~u
(C.8)
~n
where is a s 1 s 1 matrix, ~u is a s 1 omponent ve tor, and ~n is a ve tor with
integer oordinates.
The fun tion obeys the relations (~k being an arbitrary integer ve tor):
(~
u + ~k ) = (~
u)
(~
u + ~k )
;
=e
i(2~u:~k+~k: ~k)
(~
u)
;
( ~
u)
= (~u) (C.9)
Eventually the free energy at leading orders in N is:
F
N
2
F0 [V; ~
x
℄
1
N2
ln (N x~ j ) +
1
N2
F1 (~
x
)+:::
(C.10)
It is now straightforward but lengthy to rederive the 2-point orrelation fun tion
and the orthogonal polynomials from C.10. One needs to di erentiate C.10 with respe t
to variations of the potential as in 3.3 or 4.16, and express the hyperellipti al fun tions
involved in the al ulation through prime forms (hyperellipti al generalization of the
1 fun tion) [27℄. One should thus obtain expressions similar to those of [14℄.
32
185
Referen es
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