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Dualité de Koszul des PROPs
Bruno Vallette
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Bruno Vallette. Dualité de Koszul des PROPs. Mathématiques [math]. Université Louis Pasteur Strasbourg I, 2003. Français. �tel-00004118�
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DE KOSZUL DES PROPS
DUALITE
Bruno Vallette
2003
Adresse: Bruno Vallette
Institut de Re her he Mathematique Avan ee
Universite Louis Pasteur et C.N.R.S. (UMR 7501)
7, Rue Rene Des artes
F-67084 STRASBOURG Cedex
Fran e
Adresse ele tronique : vallettemath.u-strasbg.fr
Page personnelle : http://www-irma.u-strasbg.fr/~vallette/
Un grand mer i a tous eux qui ont rendu possible l'a omplissement de ette these.
Je pense parti ulierement a mon dire teur, Jean-Louis Loday et aux nombreuses heures qu'il a
passees a m'expliquer, ave une passion toujours vive, ette \mathematique bleue" que nous trouvons si belle. Je dois aussi beau oup aux di erents membres de mon jury, notamment pour avoir
lu, relu et ritique ette these.
Deux personnes m'ont soutenu durant e travail, omme elles l'ont fait depuis si longtemps. La
pudeur m'interdit de les nommer i i, mais je sais qu'elles se re onna^tront dans es mots. Cette
these est la v^otre.
\C'est gr^
a e au progres fantastique de la s ien e
que l'on sait maintenant que,
quand on plonge un orps dans une baignoire,
le telephone sonne."
Pierre Desproges
Introdu tion
Le but de ette these est d'etablir une theorie de dualite de Koszul pour les PROPs, 'est-a-dire les
objets qui modelisent les operations a plusieurs entrees et sorties sur di erents types de stru tures
algebriques, omme les algebres et les bigebres par exemple.
La dualite de Koszul des algebres asso iatives est une theorie qui a ete developpee par S. Priddy
[Pr℄ dans les annees 1970 . Elle asso ie a toute algebre quadratique A une ogebre duale A
et un omplexe de ha^nes appele omplexe de Koszul. Lorsque e dernier est a y lique, on dit
que l'algebre A est de Koszul. Une telle algebre, ainsi que ses representations, ont de nombreuses
proprietes ( f. les travaux de Beilinson, Ginzburg et Soergel, entre autres [BGS℄).
Dans les annees 1990, une theorie similaire a ete developpee par V. Ginzburg et M. M. Kapranov
[GK℄ pour les operades algebriques. Une operade est un objet qui modelise les operations d'un type
d'algebre donne et les ompositions de elles- i. La dualite de Koszul des operades a de nombreuses
appli ations : onstru tion d'un \petit" omplexe pour le al ul des groupes d'homologie d'une
algebre, notion d'algebre a homotopie pres, modele minimal d'une operade.
Les operades ne tiennent ompte que des operations a n entrees et une seule sortie. Or, dans le
as des bigebres, on a des operations et aussi des ooperations (a plusieurs sorties) . On doit alors
enri hir la notion d'operade, 'est-a-dire travailler ave des PROPs.
!
Il est naturel d'essayer d'etendre la dualite de Koszul des operades aux PROPs. Plusieurs travaux
existent deja dans ette dire tion par W. L. Gan [G℄, M. Markl et A. A. Voronov [MV℄ mais,
dans le premier as par exemple, l'auteur ne traite qu'une sous- ategorie stri te de PROPs.
P
P
B B
Pour tout PROP quadratique , nous de nissons i i un oPROP dual, note , qui est une
generalisation des notions de ogebre duale et de ooperade duale. En outre, nous generalisons
aux PROPs les notions de bar et de obar onstru tions, notees respe tivement et . Rappelons que dans le adre des algebres et des operades de Koszul, la obar onstru tion fournit une
resolution quasi-libre de l'algebre (ou de l'operade) de depart. Nous etendons e theoreme aux
PROPs.
<
Le prin ipal resultat de ette these est le theoreme suivant qui donne un ritere pour que la obar
onstru tion sur le oPROP dual fournisse une resolution quasi-libre du PROP de depart.
Theoreme (Critere de Koszul des PROPs). Soit
positions suivantes sont equivalentes :
P P
P un PROP di erentiel quadratique. Les pro-
(1) Le omplexe de Koszul < est a y lique.
(2) Le morphisme naturel de PROPs di erentiels gradues par un poids ( < )
quasi-isomorphisme.
Lorsque 'est le as, on dit que
minimal de .
P
B P ! P est un
P est un PROP de Koszul et la resolution (2) fournit le modele
Dans ette these, nous ommenons par generaliser les notions relatives aux anneaux et aux
algebres a toute ategorie monodale. Par exemple, on de nit les notions de module, modules
lineaire et multilineaire sur un monode, de produit relatif, et d'ideal d'un monode. Notons que
INTRODUCTION
es generalisations ne sont pas immediates, notamment lorsque le produit monodal n'est pas bilineaire.
Nous donnons aussi une onstru tion du monode libre. Dans le as ou le produit monodal est
biadditif (ou bilineraire, 'est-a-dire lorsqu'il preserve les oproduits a gau he et a droite), on sait
que le monode libre sur un objet V est donne par les mots en V . Le as general est plus omplique et a ete tres peu etudie. Nous de rivons i i la onstru tion du monode libre dans le as ou
la ategorie monodale preserve les oegalisateurs re exifs. Notons que ette hypothese est assez
peu restri tive. Nous montrons que les fon teurs analytiques s indes preservent les oegalisateurs
re exifs. Comme tous les produits monodaux, que nous etudions dans ette these, induisent des
fon teurs analytiques s indes, ette propriete est veri ee par tous nos exemples. On peut don leur
appliquer la onstru tion proposee i i.
Pour demontrer le theoreme enon e pre edemment, on se pla e dans la ategorie des S-bimodules.
Un S-bimodule est une olle tion de (Sm; Sn)-bimodules, ou Sn est le groupe symetrique. Les Sbimodules servent a representer les operations a n entrees et m sorties sur un ertain type de gebre
(algebre, ogebre, bigebre, et ...) : P (m; n) A n ! A m . Dans e adre, nous introduisons
un analogue au produit tensoriel k des espa es ve toriels sur un orps k et au produit Æ de
omposition des operades, que l'on note . Pour deux S-bimodules Q et P , le produit Q P
represente les ompositions d'operations de P ave elles de Q. Comme e produit n'a pas d'unite,
on ne onsidere que la partie de elui- i qui s'e rit a l'aide de graphes onnexes. Le produit engendre
est unitaire et on le note .
Un PROP est de ni omme une \algebre" pour le produit . Comme toute l'information des
PROPs que nous onsiderons i i s'e rit a l'aide du produit onnexe , nous de nissons un analogue onnexe aux PROPs que nous appelons les properades. Une properade est un monode dans
la ategorie monodale des S-bimodules munie du produit . Des lors, on travaille au niveau des
properades. Ce hoix de presentation permet d'obtenir des resultats un peu plus ns et il n'est
pas redu teur. Les ategories des PROPs et des properades sont reliees par une paire de fon teurs
adjoints. A partir d'un PROP, on de nit une properade en oubliant les ompositions non onnexes.
Ce fon teur admet un adjoint a gau he S base sur le produit de on atenation des S-bimodules
qui est bien onnu, notamment du point de vue homologique. Pour etudier le produit , il suÆt de
faire l'etude sur le produit monodal et d'utiliser et adjoint a gau he. Ainsi tous les theoremes
donnes dans ette these au niveau des properades ont un equivalent au niveau des PROPs.
La diÆ ulte pour generaliser la dualite de Koszul des algebres aux operades vient du fait que le
produit tensoriel k est bilineaire alors que le produit Æ n'est lineaire qu'a gau he et qu'il s'exprime ave des a tions du groupe symetrique. Le produit (et ) introduit i i n'est lineaire ni
a gau he ni a droite et il s'e rit lui aussi ave des a tions du groupe symetrique. A n de surmonter ette diÆ ulte, nous etudions les proprietes homologiques du produit , en generalisant la
demar he on eptuelle de B. Fresse [Fr℄ des operades aux properades. Pour mener a bien ette
etude, on ne peut pas se ontenter de reproduire simplement les demonstrations du as operadique.
L'idee prin ipale que nous ajoutons i i vient du fait que le produit monodal induit des fon teurs analytiques. Et 'est pre isement les graduations induites par es fon teurs analytiques qui
nous permettent de de omposer les di erents omplexes de ha^nes en jeu, et ainsi de on lure les
demonstrations.
Nous etendons le produit (et ) au adre des S-bimodules di erentiels gradues par un poids.
Dans le m^eme hapitre, nous de nissons les notions de P -module quasi-libre et de properade quasilibre et nous en etudions les proprietes. Nous poursuivons ave la generalisation des notions de
bar et de obar onstru tions aux properades (et aux PROPs). Les de nitions de es onstru tions
reposent sur des generalisations naturelles des notions d'edge ontra tion et de vertex expansion
8
INTRODUCTION
donnees par M. Kontsevi h dans la adre de la ( o)homologie des graphes ( f. [Ko℄). Nous montrons
un premier resultat signi atif:
Theoreme (A y li ite de la bar onstru tion augmentee). Pour toute properade di erentielle P ,
le morphisme d'augmentation
P B(P ) ! I
est un quasi-isomorphisme.
Nous utiliserons e resultat homologique pour onstruire des resolutions au niveau des properades.
Pour ela, on demontre les deux lemmes de omparaison suivants.
Theoreme (Lemme de omparaison des modules quasi-libres analytiques). Dans la ategorie
monodale des S-bimodules di erentiels gradues par un poids, on onsidere : P ! P 0 un morphisme de properades augmentees et (L; ) et (L0 ; 0 ) deux modules quasi-libres analytiques sur
P et P 0 de la forme L = M P et L0 = M 0 P 0 . Soit : L ! L0 un morphisme de P -modules
analytiques, ou la stru ture de P -module sur L0 est elle donnee par le fon teur de restri tion .
On pose : M ! M 0 le morphisme de dg-S-bimodules induit par .
!
8 :
<
Si deux des trois morphismes suivants : ::
troisieme est aussi un quasi-isomorphisme.
P ! P0
M ! M0
L ! L0
sont des quasi-isomorphismes, alors le
(Lemme de omparaison des properades quasi-libres). Soient M et M 0 deux dg-Sbimodules gradues par un poids et de degre superieur a 1. Soient P et P 0 deux properades quasilibres de la forme P = L
F (M ) et P 0 = F (M 0 ), munies
L de derivations d et d provenant de
morphismes : M ! s F s (M ) et 0 : M 0 ! s F s (M 0 ) qui preservent la graduation totale venant de elle de M et M 0 . Et soit, un morphisme de dg-S-bimodules : P ! P 0
qui respe te la graduation analytique de F et la graduation totale. Alors, induit un morphisme
: M = F (M ) ! M 0 = F (M 0 ).
Theoreme
0
2
(1)
( )
2
( )
(1)
Le morphisme est un quasi-isomorphisme si et seulement si est un quasi-isomorphisme.
Ces deux lemmes sont des generalisations aux properades de lemmes donnes par B. Fresse [Fr℄ dans
le adre des operades. Comme les objets lies au produit Æ se de rivent a l'aide des arbres, l'auteur
utilise les proprietes des arbres pour onstruire des suites spe trales dont la onvergen e permet
de demontrer les deux lemmes. N'ayant pas de telles proprietes dans le ontexte des PROPs, nous
avons raÆne le raisonnement en introduisant une graduation supplementaire qui vient du nombre
de sommets des graphes onsideres dans le as des properades quadratiques. Un autre avantage
de ette demar he est qu'elle in lut le as des algebres.
Le lemme de omparaison des modules quasi-libres analytiques joint a l'a y li ite de la bar
onstru tion augmentee permet de montrer le theoreme suivant :
Theoreme (Resolution bar- obar). Pour toute properade di erentielle augmentee graduee par un
poids P , le morphisme naturel d'augmentation
est un quasi-isomorphisme.
B (B(P )) ! P
En n, on peut on lure la demonstration du theoreme de dualite de Koszul des properades ave
le lemme de omparaison des properades quasi-libres.
Theoreme (Dualite de Koszul des properades). Soit P une properade di erentielle quadratique.
Les propositions suivantes sont equivalentes
(1) Le omplexe de Koszul P < P est a y lique.
(2) Le morphisme de properades di erentielles graduees par un poids B (P < ) ! P est un
quasi-isomorphisme.
9
INTRODUCTION
Comme le fon teur S qui relie les properades aux PROPs preserve l'homologie et omme, dans
tous les omplexes presents i i, la di erentielle agit omposante onnexe par omposante onnexe,
on generalise tous es resultats au adre des PROPs. Ce i permet d'a hever la demonstration du
theoreme de dualite de Koszul pour les PROPs. En n, on montre qu'un PROP est de Koszul si
et seulement si la properade qui lui est asso iee par le fon teur oubli est de Koszul, e qui justi e,
a nouveau, le fait de travailler au niveau des properades.
Remarquons que les algebres asso iatives et les operades sont des exemples de properades. Ainsi,
les theoremes demontres i i s'appliquent a es deux as parti uliers. On retrouve exa tement les
resultats de B. Fresse [Fr℄ pour les operades. Par ontre, les demonstrations de B. Fresse n'in luent
pas le as des algebres, alors que elles donnees i i les in luent.
Pour pouvoir monter qu'une properade est de Koszul, il reste a montrer que le omplexe de Koszul
est a y lique. En s'inspirant des travaux de T. Fox et M. Markl ( f. [FM℄), on introduit une large
lasse de properades P de nies omme un \melange" de deux properades A et B plus simples.
Nous demontrons que lorsque es deux properades A et B sont de Koszul, la properade P est de
Koszul. Ce resultat permet d'aÆrmer que la properade B iLie des bigebres de Lie ( f. V. Drinfeld
[Dr℄) et la properade "B i des bigebres de Hopf in nitesimales ( f. M. Aguiar [Ag1℄ et [Ag2℄)
sont de Koszul. (Elles sont onstruites a partir de deux operades de Koszul a haque fois). En
interpretant la obar onstru tion sur les duales de telles properades, on peut al uler la ohomologie de ertains graphes au sens de M. Kontsevit h [Ko℄. Dans les as B iLie et "B i, on retrouve
les resultats de [MV℄ sur la ohomologie des graphes lassiques ainsi que des graphes ribbons.
Dans une derniere partie, nous generalisons les de nitions des series de Poin are des algebres
et des operades aux properades. Nous etablissons une equation fon tionnelle qui relie la serie
de Poin are d'une properade de Koszul a elle de sa duale. Ce i nous permet de generaliser aux
operades quadratiques quel onques les resultats obtenus par [GK℄ au niveau des operades binaires.
En appliquant ette equation fon tionnelle a une operade libre parti uliere, nous redemontrons une
formule verifee par la serie generatri e des polytopes de Stashe .
10
Conventions
On travaille sur un orps de base k de ara teristique nulle (sauf au hapitre 3).
0.1. Les di erentes ategories en jeu. La premiere ategorie presente dans ette these
est elle des modules sur le orps k (espa es ve toriels sur k ) que l'on note k -Mod. Munie du
produit tensoriel k , elle forme une ategorie monodale. (Lorsqu'il n'y a pas d'ambigute, on note
e produit ).
W et A des modules sur k et f : V ! W un morphisme de k -modules. L'appli ation
: V k A ! W k A sera souvent note f k A. Et on fera de m^eme dans toutes les
ategories monodales presentes i i.
Soient V ,
f
k idA
On travaillera aussi dans la ategorie des k -modules gradues, notee g-Mod. La graduation est i i
positive et un k -module gradue V est un module sur k qui admet une de omposition de la forme
V =
es f : V ! W est homogene de degre
n2N Vn . On dit qu'un morphisme de modules gradu
d si f (Vn ) Wn+d pour tout n dans N .
L
L
On onsidere la ategorie des k -modules di erentiels gradues, notee dg-Mod. Un k -module di erentiel gradue V est un module sur k qui admet une de omposition de la forme V = n2N Vn et
qui est muni d'une di erentielle Æ : Vn ! Vn 1 , 'est-a-dire un morphisme de degre 1 qui veri e
Æ 2 = 0. La at
egorie g-Mod des modules gradues est une sous- ategorie pleine de la ategorie
dg-Mod des modules di erentiels gradues. Elle orrespond aux modules di erentiels gradues dont
la di erentielle Æ est nulle. On note H (V ) l'homologie du omplexe de ha^nes de nie par V
et jv j = n represente le degre homologique n d'un element v de V . On dit qu'un morphisme
de modules di erentiels gradues f : V ! W est homogene de degre d si f (Vn ) Wn+d pour
tout n dans N et s'il ommute ave les di erentielles respe tives. On appelle quasi-isomorphisme
tout morphisme homogene de degre 0, f : V ! W , qui induit un isomorphisme en homologie
H (f ) : H (V ) ! H (W ).
Un point ru ial dans le present travail est l'utilisation d'une graduation supplementaire donnee
par un poids . Les k -modules V qui admettent une de omposition en fon tion d'un poids V =
()
forment une ategorie notee gr-Mod. Dans le m^eme esprit, on appelle module di erentiel
2N V
gradue par un poids tout module di erentiel V qui se de ompose en une somme dire te de sousmodules di erentiels notes V () . On note la ategorie asso iee gr-dg-Mod. Ces modules sont bigradues par le degre homologique d'une part et par un poids d'autre part. On note la graduation
homologique par Vn et elle donnee par le poids par V () (voire V() ). On dit qu'un fon teur est
exa t lorsqu'il preserve l'homologie.
L
Toutes les in lusions de ategories sont resumees dans le diagramme
k -Mod
/ g-Mod
/ dg-Mod
/ gr-g-Mod
/ gr-dg-Mod:
gr-Mod
CONVENTIONS
L
Toutes es ategories sont munies d'un produit tensoriel. A partir de V et W deux modules
di erentiels, on asso ie la produit V k W , de ni par (V k W )n = i+j =n Vi k Wj et la
di erentielle Æ d'un tenseur elementaire homogene v k w est donnee par Æ (v k w) = Æ (v ) k
w + ( 1)jvj v k Æ (w). On utilise dans e adre les r
egles de signe de Koszul-Quillen: lorsque l'on
doit ommuter deux objets (morphismes, elements, et ...) de degre d et e, on introduit un signe
( 1)de .
A deux modules (eventuellement di erentiels) gradues par un poids V et W , on asso ie le produit
V k W donn
e par la formule analogue (V k W )() = s+t= V (s) k W (t) .
Ces produits monodaux transforment les in lusions pre edentes en in lusions de ategories monodales.
L
0.2. n-uplets. Pour simpli er les e ritures, un n-uplet (i1 ; : : : ; in ) sera note {. On aura a aire
i i a des n-uplets d'entiers stri tement positifs. Et on represente la quantite i1 + + in par j{j.
Lorsqu'il n'y a pas d'ambigute sur les nombres de termes, on note 1 le n-uplet (1; : : : ; 1).
On se sert de la notation { pour representer des produits d'elements indi es par le n-uplet
(i1 ; : : : ; in ). Par exemple, dans le adre des k -modules, V{ orrespond au produit Vi1 k k Vin .
0.3. Groupe symetrique. On note Sn le groupe des permutations de f1; : : : ; ng. On represente une permutation de Sn par la n-uplet ( (1); : : : ; (n)). On prolonge la remarque
pre edente, pour tout n-uplet (i1 ; : : : ; in ), on note S{ le sous-groupe Si1 Sin de Sj{j . A partir
de toute permutation de Sn et de tout n-uplet { = (i1 ; : : : ; in ), on asso ie une permutation de
Sj{j dite permutation par blo s de nie par
{ = i1 ;:::; in = (i1 + + i 1 (1) 1 + 1; : : : ; i1 + + i 1 (1) ; : : : ;
i1 + + i 1 (n) 1 + 1; : : : ; i1 + + i 1 (n) ):
0.4. Suites spe trales asso iees a un bi omplexe. Soit (V; Æh ; Æv ) un bi omplexe. A e
bi omplexe, on asso ie deux suites spe trales qui onvergent vers l'homologie du omplexe total
Æ = Æ h + Æv .
I r (V ) ) H (V; Æ ) et II r (V ) ) H (V; Æ ):
Plus pre isement, on a
(Is;0 t ; d0 ) = (Vs; t ; Æv ); (Is;1 t ; d1 ) = (Ht (Vs; ; Æv ); Æh ) et Is;2 t = Hs (Ht (V; ; Æv ); Æh ):
Et pour la se onde suite spe trale, on a
(IIs;0 t ; d0 ) = (Vs; t ; Æh ) ; (IIs;1 t ; d1 ) = (Hs (V; t ; Æh ); Æv ) et IIs;2 t = Ht (Hs (V; ; Æh ); Æv ):
0.5. Gebre. On regroupe sous le terme generique de gebre touts les di erents types d'algebres, de ogebres, de bigebres, et ... Cette terminologie a ete proposee par Jean-Pierre Serre ( f.
[S℄).
12
CHAPITRE 1
Notions Mono
dales
Le but de e hapitre est d'abord de xer les notions que l'on ren ontre dans di erentes ategories
monodales. La plus utilisee est probablement elle de monode. La notion de monode in lut elles
d'anneau, d'algebre et d'operade. L'utilisation de la notion de ategorie monodale permet de
generaliser les raisonnements e e tues dans le adre des anneaux et des algebres. On donne par
exemple les de nitions de module sur un monode, de produits relatifs, de monode libre et d'ideal
d'un monode.
Il faut ependant faire attention lorsque l'on generalise es notions. Elles viennent toutes d'un adre
tres parti ulier ou le produit monodal est biadditif. Plusieurs generalisations d'une m^eme notion
sont possibles, et ertaines reposent sur e que nous appelons les parties lineaires et multilineaires
du produit monodal. La de nition d'ideal que nous proposons i i entre dans e as de gure. La
generalisation stri to sensu de la notion d'ideal ne permet pas de onserver la propriete que le
quotient d'un monode par un ideal est muni d'une stru ture naturelle de monode. Pour pallier
ette diÆ ulte, nous de nissons les ideaux a partir de la notion plus ne de partie multilineaire.
Il en va de m^eme pour la onstru tion du monode libre. Le as biadditif est onnu depuis longtemps
( f. [Ma L1℄). Pour avoir le monode libre sur un objet V , il suÆt alors de prendre les mots en
V . Le as general a ete tres peu traite. Nous donnons a la se tion 6, une onstru tion dans le as
ou le produit monodal preserve les oegalisateurs re exifs. Cette hypothese est veri ee par tous
les produits ren ontres dans ette these.
1. Cat
egorie mono
dale
On rappelle i i rapidement les de nitions usuelles des ategories monodales. Pour plus de details,
on renvoie le le teur au livre de S. Ma Lane [Ma L1℄ ( hapitre VII). La de nition de ategorie
monodale est inspiree par la ategorie des k modules munie du produit tensoriel sur k .
1.1. Cat
egorie mono
dale stri te.
Definition (Categorie monodale stri te). On appelle
at
egorie mono
dale stri te
toute ategorie
A munie d'un bifon teur 2 : A A ! A asso iatif, 'est-a-dire veri ant l'identite
2(2 idA ) = 2(idA 2) : A A A ! A;
et d'un objet I , unite a gau he et a droite pour le produit monodal 2, 'est-a-dire veri
l'identite
On la note (A; 2; I ).
ant
2(I idA ) = 2(idA I ) = idA :
Exemple : La ategorie des endofon teurs d'une ategorie C munie de la omposition des fon teurs et du fon teur identite (C C ; Æ; idC ) est une ategorie monodale stri te (a ause de la stri te
asso iativite de la omposition).
1.2. Cat
egorie mono
dale. Comme nous venons de le voir, la d
e nition pre edente est trop
rigide pour in lure tous les as que nous aimerions traiter. Pour pouvoir englober plus de as, il
faut rela her les hypotheses et onsiderer l'asso iativite et les unites a isomorphisme pres.
Definition (Categorie monodale). Une ategorie monodale est une ategorie A munie
{ d'un bifon teur 2 : A A ! A et d'une famille d'isomorphismes
: (a2b)2 = a2(b2 )
a; b;
CHAPITRE 1. NOTIONS MONOIDALES
naturels en a; b et , tels que le pentagone suivant ommute pour tout a; b; ; d dans A :
2
(a27 (b2 ))2d
a;b
;d
/
a;b; 2d
ooo
ooo
o
o
oo
a2((b2 )2Pd)
((a2b)2 )2d W
WWWWW
WWaW2Wb;W ;d
WWWWW
WW+
PPPa2 b; ;d
PPP
PPP
'
a;b;
(a2b)2(
2d)
g3
ggg
g2gdggg
a2((b2( 2d))
gggg
ggggg
{ et d'un objet I ainsi que deux isomorphismes a : I 2a = a et a : a2I = a naturels en
a tels que le diagramme triangulaire suivant ommute pour tout a; dans A :
(a2I )2J
a;I;
JJ
JJ
a 2 JJJJ
%
a2
/ a2(I 2 )
t
tt
tt
t
t
ty t a2
et tels que
I = I : I 2I ! I:
On la note (A; 2; I; ; ; ) voire (A; 2; I ).
Definition (Fon teurs monodaux). Tout fon teur entre deux ategories monodales qui preserve
la stru ture monodale est appele fon teur monodal.
1.3. Exemples.
(1) La ategorie des ensembles munie du produit artesien et d'un ensemble a un element
pour unite forme une ategorie monodale notee (Ens; ; fg).
(2) Sur le m^eme modele, la ategorie des espa es topologiques forme une ategorie monodale
pour le produit et un ensemble reduit a un point pour unite (Top; ; fg).
(3) Les groupes abeliens ave le produit tensoriel sur Z et le groupe Z lui-m^eme forment une
ategorie monodale notee (Ab; Z; Z).
(4) Vient ensuite la famille d'exemples formee par les ategories de k -modules. Le plus simple
est elui de la ategorie des modules sur k munie du produit tensoriel lassique k ave k
pour unite. On la note (k -Mod; k ; k ). Puis, en aÆnant la de nition du produit tensoriel
( f. Conventions), on fournit a la ategorie des k -modules gradues et a elle des k modules di erentiels gradues une stru ture de ategorie monodale notees respe tivement
(g-Mod; k ; k ) et (dg-Mod; k ; k ). On peut aussi iter l'exemple des representations
ve toriels sur di erentes stru tures algebriques ( f. D. Calaque et P. Etingof [EC℄).
(5) Un exemple plus omplique, inspire par la theorie des operades ( f. V. Ginzburg et M.M.
Kapranov [GK℄ et J.-L. Loday [L3℄) , est donne par la ategorie des S-modules. Un
S-module est une olle tion (P (n))n2N de modules sur Sn. On munit ette ategorie du
produit Æ de ni par
P ÆQ
(n) =
M
16k6n
i1 ++ik =n
P
(k ) S
k
(i1 ) k k Q(ik )
Q
et de l'unite I = (k; 0; : : :). Elle est notee (S-Mod; Æ; I ). Remarquons que dans tous
les exemples pre edents le produit monodal preserve les oproduits a gau he omme a
droite, alors que et exemple- i ne veri e ette propriete qu'a gau he.
Remarque : Dans la theorie des groupes quantiques, on se sert de la notion de ategorie tensorielle
qui est une ategorie monodale dont les morphismes (Homs) sont munis d'une stru ture de k modules de dimension nie. I i, il nous suÆra de onsiderer seulement une ategorie monodale
abelienne.
14
1. CATEGORIE
MONOIDALE
Definition (Categorie monodale symetrique). Une ategorie monodale est dite
elle possede des isomorphismes a;b : a2b ! b2a naturels en a; b tels que
sym
etrique
si
a;b Æ b;a = idb2a ; b = b Æ b;I ;
et tels que le diagramme suivant ommute :
(a2b)2
a2(b2 )
a;b;
/
a;b 2
a;b2
/ (b2 )2a
b; ;a
(b2a)2
b;a;
/
b2(a2
b2a; /
)
b2( 2a):
Les exemples de (1) a (4) sont des exemples de ategories monodales symetriques.
1.4. Th
eor
eme de oh
eren e de Ma Lane. Gr^
a e au theoreme suivant, on peut souvent
se passer des isomorphismes , et pour ne onsiderer que des ategories monodales stri tes.
C'est pourquoi, on omet souvent en pratique d'e rire es trois isomorphismes.
Theoreme 1 (Theoreme de oheren e de Ma Lane,
equivalente a une
[
f. Ma L1
℄).
Toute
at
egorie mono
dale est
at
egorie mono
dale stri te. (La relation d'
equivalen e est
elle des
at
egories
mono
dales).
Corollaire 2.
Tout diagramme
produits mono
daux est
onstruit ave
les isomorphismes
,
et
,
les identit
es et les
ommutatif.
1.5. Cat
egories mono
dales ab
eliennes. Soit (A; 2; I ) une at
egorie monodale abelienne. Dans l'etude d'une telle ategorie, un des enjeux fondamentaux est de omprendre le omportement du produit monodal vis-a-vis du oproduit. Pour ela, on introduit les deux fon teurs
suivants :
Definition (Fon teurs de multipli ation). Dans une ategorie monodale (A, 2, I ), pour tout
objet A, on appelle fon teur de multipli ation (ou de omposition) a gau he par A (respe tivement
a droite ), le fon teur d
e ni par LA : N 7! A2N (respe tivement, RA : N 7! N 2A).
Definition (Categorie biadditive). On appelle ategorie biadditive toute ategorie monodale
abelienne telle que les fon teurs de multipli ation LA etRA soient additifs pour tout objet A,
'est-a-dire qu'ils preservent le oproduit.
Dans une ategorie biadditive A, on sait onstruire ertains objets importants omme le monode
libre par exemple ( f. se tion 6). Par ontre, le as general est plus omplique et il faut souvent
faire la distin tion entre deux types de notions. Pour ela, on de nit l'objet suivant :
Definition (Partie multilineaire). Soient A; B; X et Y des objets de
X le onoyau de l'appli ation
A2Y 2B A2iY 2B! A2(X Y )2B;
A. On appelle
partie mul-
tilin
eaire en
que l'on note A2(X Y )2B .
Exemples :
{ Dans le as d'une ategorie monodale biadditive, on a toujours A2(X Y )2B =
A2X 2B .
{ Dans le as des S-modules, A Æ (X Y ) orrespond aux elements de la forme A(n) Sn
Z (i1) k k Z (in) ave Z = X ou Y mais ave globalement au moins un X , d'ou la
notation.
Remarque : La partie multilineaire en X de l'expression A2(X Y ) montre le defaut pour le
fon teur RA : Z ! A2Z a preserver les onoyaux. En e et, si e fon teur preserve les onoyaux,
alors la partie multilineaire A2(X Y ) se reduit a A2X . On voit par exemple, que le fon teur
Z ! A Æ Z lie aux S-modules ne preseve en general pas les onoyaux.
15
NOTIONS MONO
IDALES
CHAPITRE 1.
Lemme 3.
Soient
A et B
deux objets d'une
at
egorie ab
elienne
A
. Soient
et
i deux morphismes
i
Bo /A
tels que
i
soit une se tion de
isomorphe au
onoyau de
i.
,
'est-
a-dire
Demonstration. Comme i est
im A ker . Ce qui montre que
Gr^
a e a
Y )2B .
Æi
B
e lemme, on peut e rire la partie multilin
eaire en
X
une se tion de
oker
i ' ker .
La partie multilin
eaire en
X
A2(X Y )2B
Y
est la proje tion
X Y
!Y
,
Alors le noyau de
l'ob jet
Corollaire 4.
o
u
idA .
=
est naturellement
'
A2 X se d
e ompose sous la forme
omme un sous-ob jet de
B
(
orrespond aussi au noyau de l'appli ation
A2Y 2B
! A2Y 2B;
.
Nous aurons besoin plus loin du lemme te hnique suivant.
Lemme 5.
objet de
A
On se pla e dans une
. Alors, le
Demonstration.
onoyau de
On a le diagramme

A2(A O B ) A; 2; I
C
C2 A B
at
egorie mono
dale ab
elienne (
iA 2iA
:
A2A ,! C 2C
est donn
e par
). Soit
(
A B un
A B )2C .
=
)+(
ommutatif suivant :
/ C 2(A B )
OO
/ (C 2C )=(A2A)
O
m6 6
mmm
m
m
m
mmm
mmm

iA 2C
/ / (A B )2C
/ C 2C l
A2O C
O
o7 O
o
o
iA 2iAooo
o
A2iA
C 2iA
ooo
?
?
o  oo iA 2A
?
/ C 2A l
/ / (A B )2A
A2A
O
D'o
u,
C 2C
=
=
C 2A C 2(A B )
A2A (A B )2A C 2(A B )
{z
}
|
oker(iA 2iA ):
De la m^
eme mani
ere,
C 2C
=
A2A A2(A B ) (A B )2C :
{z
}
|
oker(iA 2iA )
Ainsi, C 2(A B ) + (A B )2C ,! (C 2C )=(A2A)
A2(A B ) ,! C 2(A B ).
Remarque :
Le
et l'
egalit
e vient de la pr
e edente
ombin
ee a
iA 2iA
omme un
orollaire pr
e edent montre que le
onoyau de
C 2C . Plus pre isement, le lemme 3 montre que le
noyau de A 2A ( 'est-
a-dire a C 2(A B ) + (A B )2C ).
sous-ob jet de
2. Mono
de
La notion de mono
de est la g
en
eralisation naturelle de
16
peut ^
etre vu
onoyau de
elle d'alg
ebre.
iA 2iA
orrespond au
2. MONOIDE
2.1. De nition.
(Monode). Dans une ategorie monodale (A; 2; I ), un
muni de deux morphismes:
{ une
: M 2M ! M ,
{ une
: I !M
tels que les deux diagrammes suivants soient ommutatifs
/ M 2(M 2M )
(Mr2M )2M
LL
Definition
mono
de
est un objet M
omposition (ou multipli ation)
unit
e
M;M;M
2Mrrr
r
xrrr
M 2M UUU
UUUU
UUUU
UUUUUU
*
M
LLM
LL2L
L&
i M 2M
iiii
i
i
i
i
iiii it iii
2M /
M 2
I 2MJ
M 2M o
M 2I
JJJ
ttt
JJJ
t
t
t
M JJJ% ytttt M
M
On le note souvent (M; ; ).
2.2. Exemples. Dans le as stri t, un monode dans la ategorie (C C ; Æ; idC )) des endofon teurs d'une ategorie C n'est autre qu'une monade.
Dans les exemples de ategories monodales donnes pre edemment, la notion de monode orrespond aux de nitions suivantes:
(1) Dans la ategorie des ensembles, on retrouve la notion lassique de monode.
(2) Dans le as des espa es topologiques, on parle de monode topologique.
(3) La de nition d'un anneau est exa tement elle d'un monode dans la ategorie (Ab, Z
, Z).
(4) Pour les ategories onstruites a partir de k-modules, la de nition de monode est elle
de k-algebre (k-algebre graduee et k-algebre di erentielle graduee).
(5) La donnee d'un monode dans la ategorie des S-modules est elle d'une operade.
Definition (Morphismes de monodes). Un
est un morphisme qui ommute ave les ompositions et les unites des monodes sour e et but.
Ainsi, les monodes de A munis de leurs morphismes forment une ategorie notee MonA.
Dualement, on a la notion de omonode.
Definition (Comonode). On appelle
(C ; ; ") de la ategorie (A; 2; I ), tout monode
dans la ategorie opposee (Aop ; 2op ; I ).
De maniere equivalente un omonode C est la donnee
{ d'un morphisme : C ! C 2C appele omultipli ation,
{ et d'un morphisme " : C ! I appele ounite.
La omultipli ation est oasso iative, e qui se represente (en omettant les isomorphismes naturels)
par le diagramme ommutatif
morphisme de mono
des
omono
de
C
C 2C
C2
2C/
C 2C
C 2C 2C :
/
17
CHAPITRE 1. NOTIONS MONOIDALES
Et la relation de ounite s'e rit
C 2IcHH
C
C
I; 2C
vv
v
vvvv
vv "2C
C 2C :
/
HH
HH
C 2" HHH
Co
2.3. Monode augmente. En n, dans de nombreux as, nous aurons a aire a des monodes
munis d'une ounite.
Definition (Monode augmente). Un monode (M; ; ) est dit augmente s'il possede un morphisme de monodes " : M ! I . Cela signi e que le diagramme suivant ommute :
M 2M
"2" /
I 2I
M
et que
I =I
"
/
M
/I
I
" /
I = idI :
Si, de plus, A est une ategorie abelienne, on pose M = ker ", que l'on appelle ideal d'augmentation
de M .
Proposition 6.
a
M
I
Dans une
at
egorie mono
dale ab
elienne, tout mono
de augment
e est isomorphe
.
Demonstration. Le morphisme est un relevement de la suite exa te
M

ker "
/M o
"
/
I:
3. Modules sur un monode
Plusieurs generalisations de la notion de module sur une algebre sont proposees i i. Elles sont
toutes equivalentes dans le as d'une ategorie biadditive.
3.1. De nition de module.
Definition (Module sur un monode). Un module a gau he R sur un monode (M; ; ) est la
donnee d'un objet R de A ave un morphisme r : M 2R ! R tels que les diagrammes suivants
ommutent
(M 2M )2R
/ M 2(M 2R)
KKK
KM
KK2Kr
K%
M 2R
iiii
i
i
i
ii
iiii r
it iii
M;M;R
2Rssss
s
ysss
M 2R UUU
UUUU
UUUU
r UUUUUU
*
R
2R /
I 2RI
M 2R
II
II
r
I
R III$ R:
On note la ategorie des modules a gau he sur M par M -Mod.
18
3. MODULES SUR UN MONOIDE
La de nition de module a droite (L; l) est symetrique et on note la ategorie asso iee Mod-M .
En n, on appellera bimodule tout objet B qui est a la fois un module a gau he et a droite et tels
que les deux a tions ommutent. On note ette ategorie M -biMod.
Exemple : Un monode (M; ; ) agit sur lui-m^eme par multipli ation . On parle alors de
representation reguliere.
Remarque : Comme les de nitions entre les modules a gau he et les modules a droite sont similaires, on se ontentera dans la suite de ne detailler qu'un des deux as.
En dualisant la de nition de module sur un monode, on aboutit a elle de omodule sur un
omonode.
Definition (Comodule sur un omonode). Soit (C; ; ") un omonode. Un objet R de A muni
d'un morphisme r : R ! C 2R est appele omodule sur C a gau he si (R; r) est un module a
gau he dans la ategorie opposee (Aop ; 2op; I ).
3.2. Module libre. L'oubli de la stru ture de module de nit un fon teur de la ategorie des
modules (a gau he) sur un monode M vers la ategorie A.
U : (R; r) 7! R:
Ce fon teur admet un adjoint a gau he qui est donne dans la proposition suivante.
Proposition 7. Pour tout objet A de A, l'objet M 2A ave le morphisme
(
)
M 2 M 2A
1
(
/ M 2M
M;M;A
)2A
2A /
M 2A
forment le module a gau he libre sur A.
De la m^eme maniere, on a :
Proposition 8. Pour tout objet A de A, l'objet C 2A ave le morphisme
2A / (C 2C )2A
/ C 2(C 2A)
C 2A
C;C;A
forment le omodule a gau he olibre sur A.
3.3. Modules multilineaire et lineaire. Dans le adre d'une ategorie monodale abelienne, on peut proposer deux autres generalisations de la notion lassique de module sur un anneau,
elles de module multilineaire et de module lineaire.
Definition (Module multilineaire). Un objet R est un module multilineaire a gau he s'il admet
un morphisme r : M 2(M R) ! R veri ant les diagrammes ommutatifs suivants:
/
(M 2k M )2(M R)
M 2(M 2(M R) M 2M )
TT
M;M;(M
M2
2(M kRk)kkk
kkk
ukkk
M R XX
XXXXXX
XXXXXX
X
r XXXXXXXXXX
XX,
(
)
R
R)
TTTM
TT2T(Tr+)
TTTT
T)
e M 2R
e
e
e
e
e
e
eeeeee
eereeee
e
e
e
e
e
eeeee
er eeeee
2R
/ M2 M R
I 2R UUUU / M 2R
UUUU
UUUU
r
U
R UUUUUUU
UU* R:
(
)
On a alors le m^eme type de propoposition pour le module multilineaire libre.
Proposition 9. Pour tout objet A de A, l'objet M 2(M A) muni du morphisme de
omposition
19
ni par la
CHAPITRE 1. NOTIONS MONOIDALES
M 2(M M 2(M
A))
1
M;M;M
A ÆM 2(M 2+M 2(M A))
! (M 2M )2(M A)
2(M A)
! M 2(M A)
forme le module lineaire a gau he libre sur A.
La terminologie de \modules multilineaires" vient du fait que l'on fait agir M sur des elements de
M et de R mais ave au moins un element de R.
Une autre notion, elle de module lineaire, a ete introduite dans le adre de la ohomologie de
Quillen des monodes par H. J. Baues, M. Jibladze et A. Tonks dans [BJT℄. La de nition de
module lineaire se resume en disant que M agit sur des elements de M et de R mais ave un seul
element de R.
Pour pouvoir de nir la partie de M 2(M R) qui s'e rit ave un seul element de R a droite, on
linearise le fon teur R : X ! M 2(M X ).
Definition (E et roise). Soit : A ! A un endofon teur de la ategorie abelienne A. Pour
deux objets X et Y de A, on de nit l'e et roise (X jY ) par le noyau de l'appli ation
( ) ( )
! (X ) (Y ) :
(X jY ) = ker (X Y )
X
L'image de l'e et roise (X jX ) via l'appli ation
Y
(+)
(X jX ) ,! (X X ) ! (X );
orrespond a la partie non additive du fon teur . Il suÆt don de quotienter (X ) par et objet
pour obtenir un fon teur additif.
Proposition 10. Le fon teur add de ni par
add (X )
= oker
(X jX ) ,! (X X )
(+)
! (X )
est un fon teur additif.
De plus, la transformation de fon teurs add : ! add fa torise de maniere unique toute transformation naturelle ! , ou est un fon teur additif.
Lorsque l'on linearise le fon teur R : X ! M 2(M X ), on obtient la partie lineaire en X de
l'expression M 2(M X ).
Definition (Partie lineaire). La partie multilineaire en X de l'expression M 2(M X ) orrespond
a l'image Radd (X ).
On de nit la notion de module lineaire gr^a e a et objet de A.
Definition (Module lineaire). On appelle module lineaire a gau he, tout objet R de A muni d'un
morphisme r : Radd (R) ! R qui veri e le m^eme type de diagrammes ommutatifs que eux des
deux de nitions de modules pre edentes.
Corollaire 11. Lorsque la ategorie A est biadditive, les notions de module, module lineaire et
module multilineaire se onfondent.
Demonstration. Lorsque la ategorie A est biadditive, la partie lineaire et multilineaire en R
de M 2(M R) orrespond a M 2R.
4. Produits mono
daux relatifs
La de nition du produit monodal relatif est la generalisation naturelle de la notion de produit
tensoriel relatif sur une algebre.
A partir de maintenant, nous nous pla erons toujours dans une ategorie monodale abelienne
(A; 2; I ). Soit (M; ; ) un monode de A.
20
4. PRODUITS MONOIDAUX RELATIFS
4.1. De nition et premieres proprietes.
Definition (Produit monodal relatif). Soient (L; l) un M -module a droite et (R; r) un
module a gau he. On de nit le produit monodal relatif L2M R par le onoyau de
l2R
L2M 2R
L2r
//
L2R
M-
oker / / L2 R:
M
On a les premieres proprietes suivantes.
Proposition 12. Pour R un M -module a gau he, on a M 2M R = R.
Et pour un M -module libre a droite A2M , on a (A2M )2M R = A2R.
Demonstration. On montre que r orrespond au onoyau voulu. Deja, la omposition
M 2M 2R
2R /
/ M 2R
M 2r
r
est nulle par de nition de l'a tion r. Ensuite, onsiderons f :
M 2M 2R
2R /
M 2r M 2R
f
//R
M 2R ! A
telle que
/A
soit nulle. L'appli ation (2R) Æ (2M 2R) est un isomorphisme de I 2M 2R vers M 2R. On
regarde alors la omposition
f Æ (2R) Æ ( 2M 2R) = f Æ (M 2r) Æ ( 2M 2R)
= f Æ (2R) Æ (I 2r):
Posons f = f Æ (2R). Alors, aux isomorphismes lies a I pres, f se fa torise en f = f Æ r. Comme
r est un epimorphisme (r Æ = ), on en on lut qu'une telle appli ation f est unique.
4.2. Fon teurs de restri tion et d'extension. Soit un morphisme de monodes : M !
M 0 . On onstruit a partir de deux fon teurs entre les modules sur M et eux sur M 0 .
Definition (Fon teur de restri tion). On appelle fon teur de restri tion induit par , le fon teur
! : M 0 -Mod ! M -Mod de ni par
M 2R0
2R / 0 0
M 2R
0
r0
/ R0 :
Le morphisme induit sur M 0 une a tion a droite par M . On peut de nir un fon teur re iproque
a ! .
Definition (Fon teur d'extension). Le fon teur d'extension issu de est le fon teur ! :
M -Mod ! M 0 -Mod donne par le produit de omposition relatif
! (R) = M 0 2M R:
13.
! :
M 0 -Mod
: ! sont adjoints.
Demonstration. Commenons par de nir les deux transformations suivantes:
{ L'unite d'adjon tion u : idM -Mod ) ! Æ ! est donnee par
uR : R = M 2M R 7! M 0 2M R = 2M R:
{ Quant a la ounite : ! Æ ! ) idM -Mod, elle orrespond au passage au quotient, pour
le produit relatif sur M , du onoyau de nissant le produit relatif sur M 0 de M 0 2R0 . Ce
21
Proposition
Les deux fon teurs
M -Mod o
0
/
CHAPITRE 1. NOTIONS MONOIDALES
qui se resume ainsi:
M 2M ! (R
)
gNg
R0
/ M 0 2M 0 R 0 = R 0
7
NNN
ooo7
o
NNN
o
o
ooo
oker NNNN
ooo oker
7 0 2R0gPgPPP (M 0 2r0 )Æ
oM
PPPPP(M
0
0
0 2R0ooooooo7
PPPPPP2P2R )
oooooo
o
P
P
o
P
(0 2R0 )Æ PPPP
oooooo M 0 2r0
(M 0 22R0 ) P0
0
0
0
M 2M 2R l
M 2M 2R0:
0
0
M 0 22R0
On veri e ensuite les relations voulues:
(1) La omposition
! (R) ! (u) / ! Æ ! Æ ! (R) !(R) / ! (R)
orrespond au morphisme identite id! (R) .
En e et, on a le diagramme ommutatif suivant:
! (u)
M 2O M R
O
0
/
M
oker
0
M02
oker
/
M 0 22R
M 2M 2R
0
0
0
M02
(2) D'autre part, on a
! (R )
0
u(! )
/
0
oker / / M 0 2
2M R )
1
oker
oker
M0
0
! (
)
0
2M R
(M 2MO R) = M 2M R
oker 2R
M 2M 2R
0
M
/
O
M 2(MO
/
! (R)
2M (MO 2M R)
oker
M 2R = M O 2(M 2M R)
0
0
0
0
/
oker
M 2R:
0
0
! Æ ! Æ ! (R ) R / ! (R ) =
/ M 2M R
/R
= idR0 :
R
0
0
0
O
0
0
0
4.3. Quotient inde omposable. Lorsque (M; ; I; ") est un monode augmente ( f. sousse tion 2.3), la o unite " induit un fon teur "! : I -Mod = A ! M -Mod qui fournit une stru ture
de M -module a tout objet de A. On parle alors d'a tion triviale ou d'a tion s alaire . En outre,
on a un fon teur "! : M -Mod ! I -Mod = A tel que "!(R) = I 2M R.
Definition (Quotient inde omposable). Le produit relatif R = I 2M R est appele quotient indeomposable de R.
La bije tion naturelle d'adjon tion s'e rit alors
Hom (R; A) = HomM -Mod (R; "! (A)):
Et, l'unite d'adjon tion devient
A
uR ="2M R/
R = M 2M R
/
I 2M R = R:
Le nom (quotient inde omposable) vient du fait que, dans un adre ensembliste, il
represente les elements du module qui ne peuvent ^etre obtenus omme image d'autres elements
par l'a tion de M .
Remarque :
Rappelons que lorsqu'un monode est augmente, alors on a
A = A2I
A2
/
A2M
22
A2"
/
A
= idA :
5. COEGALISATEURS
REFLEXIFS
Ce i donne la proposition suivante.
Proposition 14. Lorsque le monode M est augmente, on peut identi er le quotient inde omposable de la representation reguliere ave I et elui du module libre M 2A ave A lui-m^eme.
5. Coegalisateurs re exifs
Nous avons vu que, dans l'etude d'une ategorie monodale abelienne, on her hait a omprendre le
omportement du produit monodal vis-a-vis du oproduit. Plus fort en ore, on peut aussi her her
a savoir si le produit monodal preserve les onoyaux. Dans le as du produit tensoriel lassique
a gau he d'autres fon teurs,
k , omme les fon teurs de multipli ation RA et LA sont des adjoints ils sont exa ts a droite. Et omme ils sont additifs, ils preservent les onoyaux. Plus generalement,
un fon teur preserve les onoyaux si et seulement si il preserve les oproduits et qu'il est exa t
a droite. On voit don que, dans une ategorie monodale qui n'est pas biadditive, le produit
monodal n'a au une han e de preserver les onoyaux. C'est pour ela que nous avons introduit
la notion de partie multilineaire qui sert a mesurer le defaut pour les fon teurs de multipli ation
a preserver les onoyaux ( f. se tion 1).
On sait que dans un ategorie abelienne, la notion de oegalisateur orrespond a elle de onoyau.
Par ontre, il existe une notion plus ne, elle de oegalisateur re exif. Cette notion est plus
fa ilement preservee par les fon teurs, notamment les fon teurs de multipli ations. Pour preuve, le
produit monodal Æ preserve les oegalisateurs re exifs ( f. [GH℄). Nous verrons a la se tion 8 que
tout fon teur analytique s inde preserve les oegalisateurs re exifs et que produits monodaux,
que nous onsiderons dans ette these, induisent tous des fon teurs analytiques s indes.
5.1. De nition et premieres proprietes.
Definition (Paire re exive). Une paire de morphismes X1
un morphisme s0 : X0 ! X1 tel que d0 Æ s0 = d1 Æ s0 = idX0 .
d1 /
/
d0
X0 est dite re exive s'il existe
Definition (Coegalisateur re exif). On appelle oegalisateur re exif tout oegalisateur prove-
nant d'une paire re exive.
Proposition 15. Soit : A ! A un endofon teur d'une ategorie abelienne
les oegalisateurs re exifs alors preserve les epimorphismes.
A. Si
preserve
Demonstration. Soit B / C un epimorphisme. Comme on s'est pla e dans une ategorie
abelienne, on sait que orrespond au onoyau de son noyau (que l'on note i)
A
i

/B
//
C:
Le onoyau peut s'e rire omme le oegalisateur re exif de la paire suivante
z
AB
s0
d1
d0
// B
//
C;
ou d0 = i + idB , d1 = idB et s0 = iB .
Comme preserve les oegalisateurs re exifs, on obtient que () est le oegalisateur de ( (d0 ),
(d1 )). En tant que oegalisateur, () est un epimorphisme.
5.2. Lien ave le produit monodal. Nous allons etudier ertaines proprietes veri ees par
un produit monodal lorsque e dernier preserve les oegalisateurs re exifs.
Definition. On dit d'un produit monodal (A; 2; I ) qu'il preserve les oegalisateurs re exifs
si pour tout objet A de A, les fon teurs de multipli ations RA et LA preserve les oegalisateurs
re exifs.
23
CHAPITRE 1. NOTIONS MONOIDALES
A est une ategorie monodale abelienne dont le produit preserve les
oegalisateurs re exifs. Soient
Proposition 16. Soit
s0
z d1
// M0 M / / M
M1
d0
s0
et
z d1
// N0 N / / N
N1
d0
deux oegalisateurs re exifs. Alors M 2N est le oegalisateur de
s0 2s0
z
M1 2N1
d1 2d1
d0 2d0
// M0 2N0 M 2N / / M 2N :
Demonstration. Soit : M0 2N0 ! A un morphisme tel que (d0 2d0 ) = (d1 2d1 ).
L'hypothese que le produit monodal 2 preserve les oegalisateurs re exifs donne que M0 2N est
le oegalisateur de (M0 2d0 ; M0 2d1 ). Comme
(M0 2d0 ) = (d0 2d0 ) Æ (s0 2N1 )
= (d1 2d1 ) Æ (s0 2N1 )
= (M0 2d1 );
on a que se fa torise de maniere unique sous la forme = 1 Æ (M0 2N ), ou 1 : M0 2N ! A.
On veut montrer que 1 (d0 2N ) = 1 (d1 2N ). Pour ela, il suÆt de montrer que 1 (d0 2N ) =
1 (d1 2N ) par e que M1 2N est un oegalisateur (re exif) et don un epimorphisme. On a
1 (d0 2N ) =
=
=
=
=
(d0 2N0 )
(d0 2d0 ) Æ (M1 2s0 )
(d1 2d1 ) Æ (M1 2s0 )
(d1 2N0 )
1 (d1 2N ):
Comme M 2N est le oegalisateur de (d0 2N; d1 2N ), on peut fa toriser de maniere unique 1
en 1 = e Æ (M 2N ) ave e : M 2N ! A. Ainsi, on a pu fa toriser par M 2N , puisque
= e Æ (M 2N ).
Soit = e Æ (M 2N ) une autre fa torisation , on a alors que ( e e) Æ (M 2N ) = 0. D'apres la
proposition 15, M 2N apparait omme une omposition de deux epimorphismes, il s'agit don
d'un epimorphisme, d'ou e = e.
6. Mono
de libre
Dans une ategorie monodale abelienne (A; 2; I ), pour tout objet A, on peut onsiderer les
deux fon teurs de multipli ation ( omposition) a gau he et a droite par A (LA : N 7! A2N et
RA : N 7! N 2A). Lorsque es fon teurs preservent les oproduits, 'est-a-dire qu'ils sont additifs,
alors la des ription du monode libre sur V est assez simple et est donnee par les mots en V ( f.
[Ma L1℄ VII.3).
Dans le as ou seul un de es deux fon teurs est additif, la onstru tion du monode libre peut
s'e rire a l'aide d'une olimite astu ieusement hoisie. ( f. [BJT℄ Appendix B). L'exemple des
operades entre dans e adre. Ainsi, l'operade libre, deja expli itee en terme d'arbres par V.
Ginzburg et M.M. Kapranov dans [GK℄ orrespond a ette olimite.
Par ontre, le as general a ete tres peu traite. Seul E. Dubu propose une solution dans ([D℄) a
l'aide d'un raÆnement trans ni de la onstru tion usuelle. Nous proposons i i, une onstru tion
di erente et plus on rete qui s'applique aux exemples que nous etudierons par la suite.
24
6. MONOIDE LIBRE
On se pla e dans une ategorie monodale abelienne
(A; 2; I ) telle que, pour tout objet A de A, les fon teurs de multipli ations LA et RA preservent
les olimites sequentielles ainsi que les oegalisateurs re exifs.
Soit V un objet de A. On onsidere l'objet augmente V+ = I V , et on pose : I ,! V+ l'inje tion
de I dans 2V0+ et " : V+ I la proje tion de V+ sur I .LOn note Vn = (V+ )2n (par onvention
V0 = (V+ ) = I ) et on appelle FS (V ) l'objet de ni par n>0 Vn .
Remarque : Cette objet est muni de degeneres en es
V 22V
/ (V+ )2i 2V+ 2(V+ )2(n i) = Vn+1 :
i : Vn = (V+ )2i 2I 2(V+ )2(n i)
Et, lorsque V est un monode augmente, FS (V ) est muni de fa es pour donner la bar onstru tion
simpli iale sur V ( f. hapitre 6).
Definition (Les ategories simpli iales et fa e ). La ategorie fa e est une sous- ategorie de
la ategorie simpli iale . Dans les deux as, les objets orrespondent aux ensembles nis ordonnes
[n℄ = f0 < 1 < < ng, pour n 2 N. Les ensembles de morphismes Hom([n℄; [m℄) sont formes
des appli ations roissantes de [n℄ vers [m℄. Pour i = 0; : : : ; n, on de nit les appli ations fa es "i
par
j
si j < i;
"i (j ) =
j + 1 si j i:
Les ensembles de morphismes de fa e sont formes des seules ompositions d'appli ations fa es
(et des identites id[n℄).
Remarque : La ategorie fa e est parfois notee + dans la litterature.
Dans le as ou le produit monodal preserve les oproduits a gau he omme a droite, la olimite de
FS (V ) sur la petite ategorie fa e orrespond aux mots en V et fournit ainsi le monode libre sur
V note F (V ). C'est le as dans les exemples numerotes de (1) a (4) pre edemment ( f. se tion 1).
Ce i explique pourquoi la onstru tion du monode lassique libre ( ategorie , exemple (1)),
de l'anneau libre ( ategorie , exemple (3)) et de l'algebre libre ( ategorie k
, exemple (4))
se fait selon le m^eme s hema.
Dans le as ontraire, la olimite Colimfa e FS (V ) est un objet trop gros pour ^etre un bon andidat au monode libre. Dit autrement, le morphisme de on atenation Vn 2Vm ! Vn+m ne passe
pas a la olimite. On quotiente don les Vn avant de passer a la olimite sur fa e.
Posons : V ! V2 le morphisme de ni par la omposition
6.1. Constru tion du mono
de libre.
i
n i
Ens
Ab
V 1 V 1
-Mod
V 2I i 2i i 2i / (I V )2(I V ) = V2 :
Pour A; B deux objets de A, A2V2 2B s'inje te dans A2(V2 V )2B via le monomorphisme
A2iV2 2B . En onsiderant la partie multilineaire en V de l'objet A2(V2 V )2B , on a
A2(V V2 )2B = A2V2 2B A2(V2 V )2B:
V
On de nit
RA;B
/ I 2V
I
V
V
I
= im A2(V2 V )2B ,! A2(V V2)2B
Definition (Ven ).
On de nit Ven par
Ven
On le note aussi Vn =(Pni=02 Ri;n
= oker
i
2 ).
M2
n
=0
i
RVi ; Vn
25
i 2
(+
A2 idV2
! Vn
!
:
)2B
! A2V2 2B
:
CHAPITRE 1. NOTIONS MONOIDALES
Remarque : Dans le as des operades, le S-module Vn orrespond aux arbres a n niveaux dont
les sommets sont indi es par des elements de VP. Alors que Ln Ven orrespond aux arbres sans
niveaux. En e et,A quotienter par le S-module ni=02 Ri;n i 2 revient a identi er un arbre ave
A }}
pour sous-arbre V au m^eme arbre ave le sous-arbre I @@ ~~ I a la pla e.
Lemme
(1)
(2)
I
17.
V
e
Les morphismes i entre Vn et Vn+1 passent au quotient pour donner des appli ations i
de Vn vers Vn+1 .
Pour tout ouple i; j , les appli ations i et j sont egales.
e
e
e
e
Demonstration.
(1) Il suÆt
a
8 de(Rvoir que) l'on
si j i 2;
< i j; n j 2 Rj; n j 1
i (Rj; n j 2 ) Rj +1; n j 2
si
j i;
: i(Ri 1; n i 1 ) Ri 1; n i + Ri; n i 1 lorsque
i = 1; : : : ; n 1:
(2) Comme (ei ei+1 )(Vn ) Ri; n i 1 , on a ei = ei+1 .
On pose alors,
Definition (F (V )). On de nit l'objet F (V ) par la olimite sequentielle suivante:
I
e = V1 = V +
e
/ V
1
KK
KK
KK
j0 KKK
KK
K%
j1
e
e
e
e e
e
/ V
/ V
/
2
3
k
hh V4
k
h
k
h
s
h
k
hhh
kk
ss
hhhh
kkk
ss
j2 sss j3 kkkk hhhhhhh j4
ss kkk hhh
yss ukkkshhhhhh
F (V ) = ColimN Ven :
Le fait d'avoir quotiente les Vn en Ven a permis de transformer une olimite sur la ategorie fa e
en une olimite sequentielle. L'hypothese que le produit monodal 2 preserve e type de olimite
donne i i la propriete suivante:
Lemme 18. Pour tout objet A de A, les fon teurs de multipli ation a gau he et a droite par A,
LA et RA , preserve la olimite pre edente F (V ). De maniere expli ite, on a
A2 Colim Ven (A2Ven ) et Colim
Ven 2A (Ven2A):
= Colim
= Colim
N
N
N
N
On va maintenant her her a munir l'objet F (V ) d'une stru ture de monode.
L'unite, notee orrespond au morphisme j0 : I ! F (V ). Quant au produit, on le de nit a partir
de la on atenation Vn 2Vm ! Vn+m. Posons
j +
/V
/ / Ve
/ F (V ) :
n; m : Vn 2Vm
n+m
n+m
Posons Rn = Pin=02 Ri; n i 2, on a alors la suite exa te ourte
/ Rn  i / Vn / / Ve
/ 0:
0
n
Proposition 19. Il existe une unique appli ation en; m : Ven2Vem ! F (V ) qui fa torise n; m de
n
n
la maniere suivante
n
n 2m
e e
/ / V 2V
Vn 2VmJ
n
m
JJ
JJ
JJ
en; m
n; m JJJ
% FV:
( )
26
m
6. MONOIDE LIBRE
Demonstration. On e rit les onoyaux Ven omme des oegalisateurs re exifs sous la forme
s0
x d1
Rn Vn
d0
// Vn
n
/ / Ve ;
n
ave d0 = in + idVn , d1 = idVn et s0 = iVn . L'hypothese que le produit monodal 2 preserve les
oegalisateurs re exifs permet d'aÆrmer, gr^a e a la proposition 16, que n 2m est le oegalisateur
(re exif) de (d0 2d0 ; d1 2d1 ). La proposition de oule de la propriete universelle veri ee par les
oegalisateurs. Il suÆt pour ela de montrer que n; m (d0 2d0 ) = n; m (d1 2d1 ). Cette egalite vient
du diagramme suivant
(in +id)2(im +id)
/ Vn 2Vm
/ Vn+m
(Rn Vn )2(Rm Vm )
id2id
n+m
Vn 2Vm
n+m
/ Vn+m
/ Ve
n+m ;
qui est ommutatif en vertu des in lusions (Rn Vn )2Vm ,! Rn; m et Vn 2(Rm Vm ) ,! Rn; m . Lemme 20.
Il existe un unique morphisme
en; rendant le diagramme suivant
ommutatif
Ven 2e
Ven 2e
/ Ve 2Ve
/ Ve 2Ve Ven 2I WWWWW
WWWWW n 1 SSSSS
ggg n 2
g
g
g
g
S
S gg
t WWWWWW
tt
WgggWgWgWgggSSSSS
g
WWWWW SSS
g
en; 0 en; 1 tttt
g
g
WWWWWSSS
ggg
t
+ )
ztsgtgggggggg en; 2
e
F (V ) o
Vn 2F (V ) = ColimN (Ven 2Vem ):
9! en; Demonstration. Deja, les appli ations en; m ommutent ave les Ven 2e
en; m
F
(V ):
Ven 2e
/ Ve 2Ve
n
m+1
qq
q
q
qqq
xqqq en; m+1
Ven 2Vem
Par de nition de la olimite, elles engendrent don une unique appli ation
en; : Colim(Ven 2Vem ) ! F (V )
N
rendant le diagramme de l'enon e ommutatif. On on lut en utilisant le lemme 18 pour justi er
que ColimN (Ven 2Vem ) = Ven 2F (V ):
De la m^eme maniere, on a le lemme suivant.
Lemme 21.
Il existe un unique morphisme
e2F (V )
rendant le diagramme suivant
ommutatif
e2F (V )
/ e
/ Ve 2F (V ) I 2F (V ) XXX
2
XXXXX V1 2F (V ) TTTT
f
f
f
f
f
XXXXX
TTT ffffff
q
X
X
q
f
X
f
T
XXXffXfff
T
qq
ff XXXXXXXTTTTTT
e1; qqqq
e0; fffff
XXXXX TTTT
f
f
f
q
f
X,
*
e2; xqrfqffffffff
o
en 2F (V )):
F (V )
F (V )2F (V ) = ColimN (V
9! Demonstration. Les arguments sont les m^emes.
Remarque : La onstru tion de en ommenant a passer a la olimite par la gau he puis par
la droite donnerait le m^eme morphisme.
Proposition 22. L'objet F (V )
dans la at
egorie (A; 2; I ).
De plus,
muni de la multipli ation
e mono
de est augment
e et on note F
(V )
27
et de l'unit
e
son id
eal d'augmentation.
forme un mono
de
CHAPITRE 1. NOTIONS MONOIDALES
Demonstration. La relation veri ee par l'identite est evidente. L'asso iativite de vient de
elle des n; m .
On de nit la ounite par passage a la olimite des appli ations
Rn
=
P
n 2
i=0
Ri; n
I )2n
/ Vn = (V

i
2
n
e
//
o Vn
o
o
o 9o! "g
2n
o
wo
"2
I 2n
oker
= I:
qui, apres passage a la olimite, donne la ounite " voulue.
Theoreme 23 (Monode libre). Dans une ategorie monodale abelienne qui admet des olimites
sequentielles et telle que le produit monodal preserve e type de olimite ainsi que les oegalisateurs
re exifs, le monode (F (V ); ; ) est libre sur V .
Demonstration. L'unite d'adjon tion est de nie par
:
uV
V

/V
I
j1
/
F (V ):
Quant a la ounite M : F (M ) ! M , pour un monode (M;
a la olimite des appli ations n suivantes :
Rn
=
P
f
n 2
i=0
Ri; n
i
2
/ Mn = (M

I )2n
ou les morphismes n representent n 1 ompositions de : M 2n
par e que n Æ (M + )2n (Ri; n 2 i ) = 0, pour tout i.
On a alors immediatement les deux relations d'adjon tion
F (V ) F uV / F (F (V ))
F (V ) /
)
M
M
u
oker
f
//
n Mn
n
n
n Æ(M + )2n
n nn
n
9! f
wn n
M;
(
de A, on la de nit par passage
; )
/
F (M )
! M . Les fn sont bien de
n
F (V )
=
idF (V )
M
=
idM :
F (M ) /
nis
et
Remarque : Dans le as des S-modules, l'objet F (V ) orrespond a la somme dire te sur les arbres
des S-modules obtenus en indiant les sommets des arbres par des elements de V . On retrouve
l'operade libre donnee par [GK℄ en termes d'arbres (sans niveau) ainsi que la onstru tion de
[BJT℄.
6.2. Comono
de olibre. On a une autre d
e nition equivalente du monode libre. Lorsqu'il
existe, le monode libre sur V est l'unique objet (a isomorphisme pres) qui veri e la propriete
suivante : pour tout morphisme f : V ! M ou M est un monode, il existe un unique morphisme
de monodes f : F (V ) ! M tel que le diagramme suivant soit ommutatif
e
e
/ F (V )
DD
DD
DD fe
f
D" V D
D
M:
On peut dualiser ette de nition pour obtenir elle de omonode olibre.
Definition (Comonode olibre). Soit V un objet de A. Lorsqu'il existe, le omonode olibre est
l'unique objet F (V ) tel que pour tout morphisme f : C ! V , ou C est un omonode, il existe
28
7. IDEAL
un unique morphisme de omonodes fe : C
!F
(V ) rendant le diagramme suivant ommutatif
"e
F (O V )
V obE
EE
EE
E
fe
f EEE
C:
7. Ideal
Rappelons qu'un ideal d'une algebre A est un sous-module de J de A tel que A J ! J et
J A ! J . Lorsque J est un ideal d'une algebre A, le module quotient A=J est naturellement
muni d'une stru ture d'algebre.
Nous avons vu pre edemment ( f. se tion 3) que le as biadditif ne permettait pas de faire la
di eren e entre les di erentes notions de modules. De la m^eme maniere lorsque l'on veut generaliser
la notion d'ideal dans une ategorie monodale quel onque, si on veut onserver la propriete que
l'objet quotient est naturellement muni d'une stru ture de monode, il ne faut pas prendre pour
de nition d'ideal la generalisation stri to sensu A2J ! J et J 2A ! J . La de nition que nous
proposons i i ne repose pas sur le produit A2J mais sur la partie multilineaire A2(A J ).
7.1. De nition et monode quotient. Pour J ,! M un sous-objet de M dans A, on note
M=J le onoyau (quotient) de M par J , soit
J
i

/ M =
oker i /
/ M=J:
Definition (Ideal). Un sous-objet J d'un monode (M; ; ) est appele ideal de M si la omposition Æ Æ ker( 2 ) est nulle
KJ

ker 2
/ M 2M
/M
/ / M=J :
La de nition d'ideal est faite pour avoir la proposition suivante.
Proposition 24.
Dans une
at
egorie mono
dale ab
elienne
pr
eserve les epimorphismes, le quotient
M=J
(A; 2; I ) telle que le produit monodal
est muni d'une stru ture naturelle de mono
de.
Demonstration. D'apres la ondition de l'enon e sur les epimorphismes, 2 est un epimorphisme. Comme A est une ategorie abelienne, 2 = oker(ker( 2 )). Par de nition du onoyau,
il existe un unique morphisme rendant le diagramme suivant ommutatif
M=J 2M=J _ _ _/ M=J
OO
OO
2
/ M
M 2M
O
O
ker( 2 )
i
?
?
KJ
J:
29
CHAPITRE 1. NOTIONS MONOIDALES
On de nit l'unite par = Æ : I
partir de elle de :
/M
/ M=J : On peut montrer l'asso iativite de a
M 2
M 2M 2MTT
TTTT
TTTT
22 TTTTT
T* *
M=J 2
M=J 2M=J 2M=J
2M=J
2M
M 2M
/
mM 2M
m
m
m
mmm
mmm2
m
m
vm
/ M=J 2M=J
M=J 2M=J
j5
j
j
j
2 jjj
jjjj
j
j
j
jj
/ M=J
hQQQ
QQQ
QQQ
QQQ
QQQ / M;
par e que 2 2 est un epimorphisme. On pro ede de la m^eme maniere pour montrer la relation
veri ee par l'unite.
Remarque : Gra^e a la proposition 15, on a que ette proposition est vraie dans toute ategorie
monodale abelienne qui preserve les onoyaux re exifs.
On justi e la terminologie utilisee pour les monodes augmentes par la proposition suivante.
Proposition 25. Soit (M; ; ; ") un monode augmente. Alors l'ideal d'augmentation M est
bien un ideal au sens pre edent.
Demonstration. Par de nition de " morphisme de monodes, on a " Æ Æ ker("2") = I Æ "2" Æ
ker("2") = 0.
Maintenant, le probleme est de savoir a quoi ressemble le noyau KJ = ker( 2 ) pour pouvoir
bien omprendre l'hypothese a veri er.
Proposition 26. Dans une ategorie monodale abelienne (A; 2; I ), soit J un sous-objet de M
tel que le onoyau M=J possede une se tion. Alors, le noyau ker( 2 ) orrespond a l'image de
M 2(M J ) (M J )2M dans M 2M via l'appli ation M 2(M + iJ ) + (M + iJ )2M que nous
noterons KJ = M 2(M J ) + (M J )2M
Demonstration. Cette proposition est une onsequen e dire te de la remarque qui suit le
lemme 5.
Tout e i permet de donner une autre de nition, equivalente dans le as s inde, de la notion
d'ideal.
Corollaire 27. Un sous-objet J i / M d'un monode M , tel qu'il existe un objet N veri ant
J N = M , est un ideal de M si et seulement si
M 2(M +i)
/ M 2M
/J
M 2(M J )
(M +i)2M
/ M 2M
/ J:
(M J )2M

8
<>
>
:
Remarque : Il est equivalent de dire que J est un bimodule multilineaire sur M pour la representation reguliere.
Ce i ressemble plus a la de nition lassique d'un ideal. En e et, dans le as d'un produit monodal
biadditif, ela revient a exiger que
8
< M 2J
: J 2M
30
/J
/ J:
8. FONCTEURS POLYNOMIAUX ET ANALYTIQUES
On re onnait bien la notion d'ideal pour un anneau ou une algebre.
Dans le as des operades ( ategorie des S-modules munie du produit Æ), la de nition devient
8
>
<
>
:
M Sn M (i1 )
|
J ÆM
/
J (ik )
{z
M (in )
}
au moins un J
/
J
J:
On retrouve la de nition donnee dans [GK℄ et par M. Markl dans [Ma1℄.
7.2. Ideal engendre. Supposons maintenant que la ategorie A soit petite et omplete, pour
pouvoir de nir l'interse tion d'un ertain ensemble d'objets ( f. [Ma L1℄).
T
Definition (Ideal engendre). Soit R un sous-objet d'un monode M . On appelle ideal engendre
R, le plus petit ideal de M ontenant R. Ce dernier existe et est donne par l'interse tion J J
pour J ideal de M ontenant R (R ,! J ,! M ). On le note (R)M voire (R) lorsqu'il n'y a pas
d'amibigute.
par
Pour R un sous-objet de M , on onsidere la partie multilineaire en R de M 2(M R)2M 'esta-dire
M 2(M R)2M = oker(M 2M 2M ! M 2(M R)2M ):
Le des ription de l'ideal engendre sur R a l'aide d'une interse tion n'etant pas tres expli ite, on en
donne une autre forme. Comme la de nition d'ideal repose sur la notion de partie multilineaire,
l'ideal libre se onstruit aussi ave ette notion.
Proposition 28.
Soit
R un sous-objet d'un monode M . Alors l'ideal engendre par R
orrespond
a l'image du morphisme
M 2(M R)2M
que l'on notera
2 Æ(M 2(M +i)2M ) /
M
(R).
Demonstration. A l'aide de la deuxieme ara terisation d'un ideal ( orollaire 27), on voit que
(R) est un ideal de M . Puis, pour tout ideal J de M ontenant R, on a que
M 2(M R)2M
T
Don , (R) est in lus dans tout J et ainsi (R) =
2 /
J:
J J.
Remarque : L'ideal libre (R) orrespond au bimodule multilineaire libre engendre par R.
On retrouve le as des anneaux et des algebres
(R) = 2 (A R A);
ainsi que elui des operades. Par exemple, V. Ginburg et M. M. Kapranov dans [GK℄ de rivent
l'ideal engendre par un S-module R ave les arbres dont les sommets sont indi es par des elements
de M , en imposant qu'au moins un sommet soit indi e par un element de R.
8. Fon teurs polynomiaux et analytiques
La notion de fon teur analytique, qui est une olimite de fon teurs polynomiaux, est essentielle
dans le reste de e travail.
Dans la suite de ette these, nous introduirons un nouveau produit monodal que nous etudierons en details. Une propriete fondamentale de e produit est que les fon teurs de multipli ation
induits sont des fon teurs analytiques s indes. Comme les fon teurs analytiques s indes preservent
les oegalisateurs re exifs, on pourra appliquer la onstru tion du monode libre a ette ategorie.
En outre, le fait de re onnaitre sur les produits A B une stru ture analytique permet d'introduire une graduation supplementaire (voire une bigraduation) sur de tels objets. C'est ette idee
31
CHAPITRE 1. NOTIONS MONOIDALES
qui nous permettra de demontrer les lemmes homologiques sur lesquels repose toute ette these.
On se pla e dans une ategorie monodale symetrique abelienne (A
). Soit n le fon teur
diagonal A ! An.
Definition (Fon teurs polynomiaux homogenes). On appelle fon teur polynomial homogene de
degre tout fon teur : A ! A qui s'e rit sous la forme n = n Æ n ave n un fon teur de
An ! A additif en ha une de ses entrees.
Definition (Fon teurs polynomiaux s indes). Un fon teur : A ! A est dit polynomial s inde
s'il se de ompose en somme dire te de fon teurs polynomiaux homogenes = LNn n .
Les fon teurs que nous ren ontrerons par la suite ne s'expriment pas tous a l'aide de sommes nies.
Definition (Fon teurs analytiques s ind
es). On appelle fon teur analytique s inde, tout fon teur
: A ! A qui s'e rit sous la forme = L1n n ou n est un fon teur polynomial homogene
de degre .
Exemple : Le fon teur de S hur SP asso ie a une operade P
1
M
SP ( ) = P ( ) Sn n
n
est un fon teur analytique s inde.
Dans la suite, nous utiliserons la graduation naturelle fourni par de tels fon teurs. Nous la noterons
toujours entre parentheses ( ). Et, par abus de langage, on utilisera dans la suite le terme de
fon teur analytique pour parler de fon teurs analytiques s indes.
Proposition 29. Tout fon teur analytique s inde preserve les oegalisateurs re exifs.
;
n
f
f( )
; k
f
f
f
f
f
f
=0 f( )
=0 f( )
f( )
n
V
n
V
=0
n
s0
Soient
d0
fon teur analytique s inde. Posons
resultat vient de l'egalite
Xn n(
(| {z )( })
z d1
//
X1
Demonstration.
f
i=1
X0 ; : : : ;
d0
d1
ieme
un oegalisateur re exif et = L1n n un
= n Æ n ou n : An ! A est un fon teur -additif. Le
//
X0
n
f( )
f
X
f
X1 ; : : : ; X0
f
) = ( n(
f
n
d0 ; : : : ; d0
)
f
n
(
d1 ; : : : ; d1
)) Æ n( )
X1 :
pla e
L'in lusion est toujours vraie et vient de la formule
Xn
) n(
) = n(
n(
f
=0 f( )
d0 ; : : : ; d0
f
d1 ; : : : ; d1
f
i=1
| {z }
i
d0 ; : : : ; d0 ; d0
)
d1 ; d1 ; : : : ; d 1 :
eme pla e
L'in lusion inverse repose sur le relevement et vient de
(
)( )
)
n(
= n(
( )
) n(
( )
)
= n( ( )
( )
( )) n( ( )
( )
s0
f
X0 ; : : : ; X0 ;
d0
d1
X1 ; X 0 ; : : : ; X 0
f
X0 ; : : : ; d0 X1 ; : : : ; X0
f
d0 s0 X0 ; : : : ; d0 X1 ; : : : ; d0 s0 X0
f
X0 ; : : : ; d1 X1 ; : : : ; X0
32
f
( ))
d1 s0 X0 ; : : : ; d1 X1 ; : : : ; d1 s0 X0
:
CHAPITRE 2
Properades et PROPs
On poursuit i i la m^eme demar he qui a mene a l'introdu tion? des operades. Les operades ont ete
?
de nies pour modeliser les operations a n entrees et une sortie  sur les di erents types d'algebres.
Pour representer algebriquement l'ensemble des operations agissant sur un type algebres A, on
utilise des Sn-modules : P (n) Sn A n ! A.
Dans ertains as, omme eux des bigebres et des big
?e?bres de Lie, on veut pouvoir representer
des operations a plusieurs entrees et plusieurs sorties ?? agissant sur un module A. Pour ela,
on introduit i i la notion de (Sm; Sn)-bimodule : P (m; n) Sn A n ! A m . On de nit ensuite
un produit dans la ategorie des S-bimodules qui represente algebriquement les ompositions
d'operations. Ce produit peut aussi s'e rire a l'aide de graphes diriges.
En partant de l'observation que les di erents types de gebres, que l'on onsidere en pratique, sont
de nies par des generateurs et des relations bases sur des graphes onnexes, il suÆt de prendre
en ompte les ompositions e rites a l'aide de graphes onnexes pour obtenir toute l'information es omptee. On de nit ainsi le produit en se restreignant aux graphes onnexes. A la
di eren e du produit , le produit est un produit monodal dans la ategorie des S-bimodules.
Re iproquement, on retrouve le produit a partir du produit par on atenation.
Nous de nissons une properade omme un monode dans la ategorie monodale des S-bimodules
munie du produit onnexe . Un PROP orrespond a un \monode" pour le produit ave en
plus un morphisme de on atenation des operations. Nous montrons que es deux notions sont
reliees par une paire de fon teurs adjoints.
1. La ategorie des S-bimodules
A n de representer les operations a
objets sont des S-bimodules.
n
entrees et
m
sorties, on introduit une ategorie dont les
1.1. S-bimodules.
Definition (S-bimodule). On appelle S-bimodule, une olle tion de (P (m; n))m; n2N , ou haque
k -module P (m; n) est muni d'une a tion de Sm a gau he et d'une a tion de Sn a droite, telles que
es deux a tions ommutent entre elles.
Un morphisme entre deux S-bimodules P , Q est une olle tion d'appli ations lineaires fm; n :
P (m; n) ! Q(m; n) equivariantes a gau he par Sm et a droite par Sn.
Les S-bimodules et leurs morphismes forment une ategorie que l'on note S-biMod.
Definition (S-bimodule reduit). Lorsqu'un S-bimodule
pour tous les entiers n et m, on dit qu'il est reduit.
P
veri e
P
(0; n) = 0 et
(
P m;
0) = 0
Les S-bimodules servent a oder les operations sur un ertain type de gebre. Il faut maintenant
expliquer omment on represente algebriquement les ompositions entre es operations.
1.2. Permutations onnexes. A la di eren e du as general des PROPs ( f. se tion 3), on
ne onsidere i i que les ompositions d'operations basees sur des graphes onnexes.
On her he a e rire es ompositions a l'aide d'un produit monodal. Et l'e riture algebrique de
e produit repose sur une sous- lasse de permutations de SN .
Definition (Permutations onnexes). Soit N un nombre entier. Soient k = (k1 ; : : : ; kb ) un b = k1 + + kb = j|j = j1 + + ja = N .
uplet et | = (j1 ; : : : ; ja ) un a-uplet tels que jkj
CHAPITRE 2. PROPERADES
ET PROPS
|)- onnexes de SN omme l'ensemble des permutations de SN dont
On de nit les permutations (k;
le graphe est onnexe, si on relie les entrees indi ees par j1 + + ji + 1; : : : ; j1 + + ji + ji+1 ,
pour 0 i a 1, et les sorties indi ees par k1 + + ki + 1; : : : ; k1 + + ki + ki+1 , pour
0 i b 1.
On note et ensemble Sk;
|.
Exemple : Dans S4, onsiderons la permutation (1324) et sa representation geometrique suivante :
1
1
26
3
4
2
3
4:
66 6
6
6
Si on prend k = (2; 2) et | = (2; 2), on relie les entrees 1, 2 et 3, 4 ainsi que les sorties 1, 2 et 3,
4. Ce qui donne le graphe onnexe
??? 
?
 ???


Ainsi, la permutation (1324) est une permutation onnexe pour (2; 2) et (2; 2), (1324) 2 S(2;2); (2; 2) .
Contre-exemple : On prend toujours la permutation (1324) de S4 mais maintenant k = (1; 1; 2)
et | = (2; 1; 1) ette fois- i. Ce i donne le graphe non onnexe suivant :
??? 
?
 ??
 ?
Citons en n une proposition evidente qui permettra notamment de faire le lien ave les operades.
Proposition 30. Lorsque k est reduit a (N ), k = (N ), toutes les permutations de SN sont
((N ); |)- onnexes, 'est-a-dire S((N);|) = SN .
Et si k est di erent de (N ), on a Sk; (1; :::; 1) = ;.
1.3. Composition verti ale onnexe des S-bimodules. On peut maintenant d
e nir, sur
la ategorie des S-bimodules, la stru ture monodale qui nous interesse.
Pour deux a-uplets | et {, on utilise les onventions d'e riture suivantes. On note P (|; {) le produit
tensoriel P (j1 ; i1 ) k k P (ja ; ia ) et S| l'image du produit dire t des groupes Sj1 Sjb
dans Sj|j .
Definition (Produit monodal ). Soient Q, P deux S-bimodules. Le produit monodal onnexe
de Q et P est le S-bimodule Q P donne par
0M
M
)=
Q P (m; n
N 2N
l; k;
|; {
k [Sm℄
|; {) S{ k
|℄ S| P (
Sl Q(l; k) Sk k [Sk;
1,
[S ℄A
n
;
ou la somme dire te ourt sur les b-uplets l, k et les b-uplets |, { tels que jlj = m, jkj = j|j = N ,
j{j = n et ou la relation d'equivalen e est donnee par
l
q1
1
q
qb
1 (1)
p1
q
1 (b)
pa
k |
!
p(1)
p(a)
l 1 !;
pour 2 Sm, ! 2 Sn, 2 Sk;
| et pour 2 Sb ave k1 ;:::; kb la permutation par blo s orrespondante
( f. onventions), 2 Sa et j1 ;:::; ja la permutation par blo s orrespondante.
Remarque : A ause de la lourdeur de l'e riture, nous omettrons souvent dans la suite les
representations induites. (C'est souvent le as pour les operades).
Proposition 31. L'objet
Q P est bien de
ni.
34
1. LA CATEGORIE
DES S-BIMODULES
Demonstration. Pour l et k deux b-uplets tels que jlj = m et jkj = N , on pose l0 = (l 1 (1) ,
0 = (k 1 (1) ; : : : ; k 1 (b) ) qui veri ent aussi jl0 j = m et jk0 j = N . De plus, toute
: : :, l 1 (b) ) et k
|)- onnexe donne par omposition a gau he ave une permutation par blo s du
permutation (k;
type k et a droite par une permutation par blo s du type | une permutation (k0 ; |0 )- onnexe.
En e et, les representations geometriques de 2 SN et de k | sont homeomorphes et on relie
exa tement les m^emes points. En resume, si 2 Sk;
| on a en ore k | 2 Sk
0; l0 .
Ce produit monodal est de ni ainsi pour orrespondre a la omposition verti ale de graphes
onnexes.
Definition (Graphes diriges). Ce que l'on appelle i i par graphes diriges sont des graphes non
planaires, diriges par un ot, dont les ar^etes entrant et sortant d'un noeud (ou sommet) sont
indi ees par des entiers f1; : : : ; ng, tout omme le sont les entrees et sorties du graphe. On suppose
de plus que haque noeud admette au moins une entree et une sortie.
Definition (Graphes onnexes). On dit qu'un graphe est onnexe s'il est onnexe en tant qu'espa e topologique.
Pour de rire le produit monodal , on se sert des graphes a niveaux onnexes , 'est-a-dire des
graphes dont les noeuds se repartissent sur des niveaux. La gure 1 represente un graphe a deux
niveaux ou les noeuds sont indi es par i .
2
1 @@
'&%$
!"#
1
'&%$
!"#
2
3
4
5
@@
~
@@
@@
~~
~~
@@
@@
~
~~
@@3 ~~~
@@ ~~~
~
~
_ _ 1 _ 1 P_ 2_ _ _ _ _ _ _ _1 _ 2 _ 2 _ _
PPP2
BB1
1 |
2 nnn
PPP
BB
||
nnn
P
n
BB
|
P
n
PPPnn
BB
||
P
|
n
P
B
n
|
P
n
B|B
BB
|n
BB
B
|
||
B
|
|
BB
BB
|
|
BB
BB
||
||
B! }|||
B! }|||
_ _ 1 _ 3 _ 2_ _ _ _ _ _ _ _1 _ 4 _ 2 _ _
3 ~ @@1
@@
1
~~ 2
@@
~
~
@@
~
~~
4
1
2
3
Fig. 1. Exemple de graphe onnexe a deux niveaux.
A l'aide des graphes onnexes a deux niveaux G2 , on onstruit le produit monodal G sur les Sbimodules. Pour un graphe g , on appelle N1 l'ensemble des noeuds appartenant au premier niveau
(en fon tion de la dire tion donnee par le ot global) et N2 l'ensemble des noeuds appartenant au
se ond niveau. Pour un noeud , on onsidere les deux ensembles In( ) et Out( ) omposes des
ar^etes entrant et sortant du noeud. On note jOut( )j et jIn( )j les ardinaux de es ensembles.
Definition (Produit monodal G ). A Q et P deux S-bimodules, on asso ie le S-bimodule QG P
donne par la formule
0M O
Q G P = Q(j
g 2G2 2N2
Out( )j; jIn( )j)
35
O P (j
2N1
1,
( )j)A
Out( )j; jIn ;
CHAPITRE 2. PROPE RADES ET PROPS
ou la relation d'equivalen e est engendree par
>>
>>
>> 2
3
1 >>
=
1 ===3
==
2
==
GG
GG
GG
G(2)
(1) GG# 1
uu
uu
u
uu
uz u (3)
HH
HH (3)
(1) www
HH
w
(2)
w
HH
w
w
H$
w{ w
:
Ce i qui revient a indi er les sommets des graphes a deux niveaux par des elements de et de ,
et a relier les indi es des sorties (resp. entrees) d'un sommet a l'a tion de Sm a gau he (resp. Sn
a droite) sur l'element orrespondant.
Q
P
Par sou i de on ision, on omettra souvent dans la suite d'e rire la relation d'equivalen e. Ainsi, lorsque l'on parlera de graphes indi es par des S-bimodules, on quotientera
impli itement par ette relation d'equivalen e.
Proposition 32.
( ; ) S
G
Remarque :
Pour tout
ouple
Q
de
P
-bimodules, les deux produits Q
P et Q
P
sont naturellement isomorphes.
A tout element q1
q b p1
pa ! de k [Sm℄
(l; k)
k [Sk;
(|; {) k[Sn℄, on asso ie un graphe ( q1
q b p1
pa ! ) dont les
|℄
noeuds sont indi es par les q et les p . Pour ela, on onsidere une representation geometrique
de . On regroupe et reindi e les sorties en fon tion de k et les entrees en fon tion de |. On
indi e les noeuds ainsi rees a l'aide des q et p . Puis pour haque q on onstruit l ar^etes
sortant que l'on indi e par 1; : : : ; l . On pro ede de m^eme ave p et les entrees du graphe.
En n, on numerote les sorties du graphe ave et les entrees ave !. Par exemple, l'element
(4123) q1 q2 (1324) p1 p2 (12435) donne le graphe represente a la gure 2.
Demonstration.
P
Q
1 @@
2
4
3 @@
5
~
~
@@
@@
~~
~~
@@
@
~
~
@@
~
@@2 ~~~
@ ~~~
~ 3
1
1
2
_ _ _ p1 P_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ p2 _ _ _
PPP2
CC2
1{
1 nn
PPP
CC
nnn
{{
n
P
n
CC
{
PPP nnn
{
CC
{
P
P
{
n
P
C
n
{
PC
C{C
nn
C
{
CC
CC
{
{{
{
{
CC
CC
{
{
CC
CC
{{
{{
C! }{{{
C! }{{{
_ _ 1 _ q1 _ 2_ _ _ _ _ _ _ _1 _ q2 _ 2 _ _
1 ~ @@3
@@
1
~~ 2
@@
~
~
@@
~
~~
4
Fig. 2.
Soit (
Image via
1
(4123)
de
q1
q2
2
3
(1324)
p1
p2
(12435)
.
q b p1
pa ! ) la lasse d'equivalen e de ( q1
qb ) pour la relation . Gr^a e a ette relation d'equivalen e, l'appli ation passe
naturellement au quotient k[Sm℄ Sl (l; k) Sk k[Sk; |℄ S| (|; {) S{ k[Sn℄. Quant a la relation
d'equivalen e , elle orrespond a un rearrangement (homeomorphe) dans l'espa e du graphe
engendre. Le graphe ainsi ree etant non-planaire, il est invariant sur les lasses d'equivalen es
pour la relation . On a nalement une appli ation e de vers G . Comme tout graphe
admet une representation de la forme q1
q a p1
pb ! , on peut exhiber
une re iproque a e . Ainsi, les deux produits et G sont naturellement isomorphes et
representent la m^eme information.
36
p1
q1
pa
!
P
Q
Q
P
Q
Q
P
Q
P
P
1. LA CATEGORIE
DES S-BIMODULES
Il reste a de nir l'objet qui jouera le r^ole d'unite dans ette ategorie. On pose
I (1; 1) = k;
I=
I (m; n) = 0 sinon:
Proposition 33.
La
(S-biMod; ; I )
at
egorie
est une
at
egorie mono
dale.
Demonstration. Pour montrer la relation d'unite sur P I (m; n), il faut etudier Sk;
| pour
| = (1; : : : ; 1). Ce dernier est vide sauf si on reunit toutes les sorties, soit pour k = (n). Et dans
e as S(n);(1; :::; 1) vaut Sn ( f. Proposition 30). Ainsi, on a
as I Sn k [Sn℄ S1n k n = P (m; n) k:idn k n = P (m; n):
(Le
P = P est parfaitement sym
etrique.)
Pour montrer la relation d'asso iativite R (Q P ) = (R Q) P du produit , on utilise
le produit G . En e et, il suÆt de voir que les S-bimodules R G (Q G P ) et (R G Q) G P
orrespondent aux graphes a 3 niveaux indi es par des elements de R, Q et P , soit
P
0
M O
I (m; n) = P (m; n)
O
( Out( )j; jIn( )j)
R j
g 2G3 2N3
( Out( )j; jIn( )j)
Q j
2N2
O
1,
In( ) )A
( Out( )j; j
P j
j
2N1
(La omposition verti ale de graphes onnexes donne en ore un graphe onnexe).
:
1.4. Les sous- at
egories mono
dales (k -Mod;
; k ) et (S-Mod; Æ; I ). Les deux ategories monodales k -Mod et S-Mod apparaissent omme des sous- ategories monodales pleines de
la ategories des S-bimodules ave le produit de ni pre edemment.
En e qui on erne la ategorie des modules sur k munie du produit tensoriel lassique, il suÆt
d'asso ier a tout module V le S-bimodule suivant :
V (1; 1) = V;
V (j; i) = 0 sinon:
On retrouve alors le produit tensoriel sur k ar pour V et W deux modules, on a V W (1; 1) =
V k W et omme il n'existe pas de permutations onnexes asso iees a des a; b-uplets de la forme
(1; : : : ; 1) ( f. proposition 30), on a V W (j; i) = 0 pour (j; i) =
6
(1; 1). Et les morphismes entre
deux S-bimodules omposes uniquement d'un (S1; S1)-module orrespondent aux morphismes de
k -modules.
La ategorie des S-bimodules ontient aussi les S-modules lies aux operades. De la m^eme maniere,
a partir d'un S-module P , on de nit un S-bimodule:
P (1; n) = P (n)
pour n 2 N ;
P (j; i) = 0
si j 6= 1:
Nous avons vu a la proposition 30 que S(N);(1; :::; 1) ) = SN . Ce qui se traduit i i par
Q
P
!,
M
M
N n
i1 ++iN =n
(1; n) =
(1; N ) SN k [SN ℄ SN
P (1; {) S{ k [Sn℄
1
;
Q
ou la relation d'equivalen e s'e rit i i
q
p1
pN
q
p(1)
p(N) :
Cette relation revient a prendre les oinvariants pour l'a tion de SN dans l'expression Q(1; N ) k
P (1; i1 )
k k P (1; iN ). On retombe bien sur le produit monodal des S-modules ( f. [GK℄
et J.-P. May [May℄), que l'on onnait plus sous la forme algebrique suivante (en omettant les
induites)
Q
P
(1; n) =
M
M
N n
i1 ++iN =n
!
(1; N )
Q
P
37
(1; i1 )
P
(1; iN )
SN
= Q Æ P (n):
CHAPITRE 2. PROPERADES
ET PROPS
Remarquons qu'ave le produit G , on retrouve la omposition des S-modules e rite a l'aide des
arbres ( f. [GK℄ et [L3℄).
Quant a Q P (j; i), pour j 6= 1, ette omposition orrespond a la juxtaposition d'arbres (for^et)
et repose don sur des graphes non onnexes. Ainsi, Q P (j; i) = 0, pour j 6= 1.
S-bimodules. A n de representer la
1.5. Composition horizontale et verti ale des
on atenation de deux operations, on introduit un produit monodal
Definition (Produit de on atenation ). Soient P ,
de on atenation par la formule suivante :
P Q(
M
)=
m; n
ou
P(
Q( 0 0 ) = [Sm+m ℄
)
m; n
m ; n
k
Q deux S-bimodules. On de
SmSm0
0
nit le produit
P ( 0 0 ) Q( 00 00 )
m ; n
m0 +m00 =m
n0 +n00 =n
de la maniere suivante.
m ; n
P(
)
k
m; n
;
Q( 0 0 )
m ; n
SnSn0 k [Sn+n0 ℄:
Le produit
orrespond a la notion intuitive de on atenation d'operations representee a la
gure 3. Pour e produit on parle de omposition horizontale .
2 CC
3
4
::
CC {{{{
::
CC
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1 : 2 }{{
! 1:
p
1
2 q
1
1
3
2
Fig. 3. Composition horizontale de deux operations.
Proposition 34. Le produit de nit un produit monodal symetrique dans la ategorie des Sbimodules. L'unite est donnee par le S-bimodule k de ni par
k (0; 0) = k;
k (m; n) = 0
sinon:
Demonstration. La relation d'unite vient de l'egalite
P k(m; n) = k[Sm℄ Sm P (m; n) k k Sn k[Sn℄ = P (m; n):
Et l'asso iativite vient de la relation
P (m; n) Q(m0 ; n0 ) R(m00 ; n00 ) = P (m; n) Q(m0 ; n0 ) R(m00 ; n00 ) =
0 0
00 00
k [Sm+m +m ℄
SmSm Sm P (m; n) k Q(m ; n ) k R(m ; n ) SnSn Sn k [Sn+n +n ℄:
L'isomorphisme de symetrie est donne par
0
P(
)
m; n
00
0
00
Q( 0 0 ) !
(1
m ; n
;
0
2)m; m
0
P(
Q( 0 0 ) (1
)
m; n
m ; n
;
0
00
2)n; n = Q(m0 ; n0 )
P(
00
)
m; n :
0
Remarque : Ce produit monodal est bilineaire.
En mimant e que l'on a fait dans les parties pre edentes, on peut de nir un produit qui represente
les ompositions verti ales d'operations mais suivant des s hemas non ne essairement onnexes.
Definition (Produit de omposition ). Soient Q, P deux S-bimodules. On de nit le produit de
omposition Q P par
Q P(
)=
M
m; n
N
2N
0
M
l; k;
|; {
k
[Sm℄ Sl Q(l; k)
Sk
k
[SN ℄
S|
P ( )
ou la relation d'equivalen e est la m^eme que dans le as onnexe.
38
|; {
1,
S{ k [Sn℄A
;
1. LA CATE GORIE DES S-BIMODULES
A la di eren e du produit , le produit represente les
ompositions verti ales
d'operations.
Comme dans le as onnexe, on a une autre e riture de e produit en terme de graphes diriges, a
la di eren e pres qu'i i les graphes ne seront pas supposes onnexes.
On onsidere l'ensemble G2 des graphes diriges a deux niveaux non ne essairement onnexes. On
de nit alors le produit base sur de tels graphes.
Definition (Produit de omposition G ). Soient Q, P deux S-bimodules. On de nit le produit
Q G P par
0M O
Q G P = Q(j
g 2G 2N2
2
Out( )j; jIn( )j)
O P(j
2N1
1,
( )j)A
Out( )j; jIn ;
ou la relation d'equivalen e est la m^eme que dans le as onnexe.
Comme dans le as onnexe, es deux de nitions sont equivalentes.
Proposition 35. Pour tout ouple (Q; P) de S-bimodules, les deux produits de omposition QP
et Q G P sont naturellement isomorphes.
Demonstration. La demonstration est identique. On introduit le m^eme type d'isomorphisme
entre Q P et Q G P.
Par la suite, nous aurons besoin de onsiderer l'ensemble des on atenations possibles d'operations
de P.
Definition (Les S-bimodules T (P) et S (P)). Comme le produit monodal de S-bimodules
est bilineaire, le monode libre sur P pour la on atenation est donne par
P n:
T (P) =
e
M
n2N
Comme P Q est isomorphe a Q P et que l'on on aura a onsiderer un morphisme ommutatif
sur P Q par la suite, on introduit l'algebre symetrique libre tronquee sur P.
S (P) =
(P n )Sn:
M
n2N
Remarque :
onsideree.
On a ex lut l'operation s alaire k(0; 0) de la de nition de l'algebre symetrique
Le fon teur S permet de relier les deux produits de omposition et .
Proposition 36. Soient Q et P deux S-bimodules. On a l'egalite
S (Q P) = Q P :
Demonstration. Le resultat repose sur le fait que tout graphe de G2 peut se de omposer en
produit de graphes onnexes appartenant a G2 et que l'on ne tient pas ompte i i de l'ordre
suivant lequel sont on atenes es graphes onnexes.
Comme le produit monodal est bien onnu, par exemple du point de vue homologique, pour
etudier le produit , il suÆra de faire l'etude sur et de passer a la on atenation a la n. Ce
sera par exemple le as des di erents omplexes de ha^nes introduits dans la suite de ette these
(bar onstru tions, omplexes de Koszul) dont les di erentielles se font omposante onnexe par
omposante onnexe.
Le produit de omposition n'est pas un produit monodal. L'asso iativite ne fait
au un doute. Par ontre, la relation d'unite fait defaut. On a
P I = S (P):
Or, en general, P est di erent de S (P).
39
Remarque :
CHAPITRE 2. PROPE RADES ET PROPS
1.6. Representation des elements de et de . Les produits et sont de nis omme des quotients par la relation d'equivalen e qui permute l'ordre des elements
de et de . A n notamment de pouvoir etudier le omportement homologique de es produits,
on her he des representants naturels des lasses d'equivalen e pour la relation .
Q
P
Q
P
Q
P
Q
P
Q
P
Pour ela on onsidere les ouples de partitions ordonnees de ([m℄; [n℄).
Definition (Partition ordonnee de [n℄). Une partition ordonnee de [n℄ est une suite (1 ; : : : ; k )
d'ensembles qui forment une partition, au sens usuel du terme, de [n℄ = 1; : : : ; n .
Parmi les partitions ordonnees de [n℄, on hoisit elles qui sont roissantes, 'est-a-dire qui veri ent
min(1 ) < min(2 ) < < min(k ).
Soit (m; n) l'ensemble des ouples (1 ; : : : ; b ); (1 ; : : : ; a ) de partitions ordonnees roissantes de ([m℄; [n℄).
Lorsqu'il n'y a pas d'ambigute sur les entiers m et n, on note et ensemble .
Proposition 37. Le produit (m; n) est isomorphe, en tant que (Sm; Sn)-bimodule, a
M
k [Sm℄ S (l; k) S k [Sk; |℄ S (|; {) S k [Sn℄;
((1 ) (1= )) ( )
f
g
0
Q
0
P
l
0 ;:::;
0 ;
;:::;
b
jk j
a
2
|
k
P
{
j|j
o
u l est egal au ardinal de l'ensemble
Dit autrement, tout element de Q
P
1
q11 qbb p
1
((01 ; : : : ; 0b ); (1 ; : : : ; a )) 2 .
0
ave
Q
m; n
0
et i a elui de .
peut se representer sous la forme
1
1
p
a = (q1 ; : : : ; qb ) (p1 ; : : : ; pa );
0
0
a
0
b
a
L'a tion de Sm a gau he sur e module revient a permuter les entiers d'une partition (1 ; : : : ; b ).
Et s'il faut permuter des pour retomber sur une partition ordonnee, on permute de la m^eme
maniere les elements q orrespondant.
Demonstration. On utilise la des ription du produit en termes de graphes dont les entrees et
les sorties sont indi ees par des entiers de 1; : : : ; n et 1; : : : ; m respe tivement. Les partitions
(1 ; : : : ; a ) representent les entrees des operations (p1 ; : : : ; pa) et les partitions (1 ; : : : ; b )
representent les sorties des operations (q1 ; : : : ; qb ).
Cette e riture nous permettra de montrer que le produit monodal veri e ertaines proprietes
homologiques ( f. hapitre 3 se tion 1:2).
0
0
0
f
g
f
g
0
0
Remarque : La premiere operation p1 sur la ligne des p est elle qui reoit l'entree indi ee par
1. Il en va de m^eme pour q1 ave la sortie indi ee par 1. Cette propriete permet notamment de
di eren ier sur haque ligne une operation des autres. Ce i nous permettra de onstruire des homotopies sur les bar et obar onstru tions augmentees ( f. hapitre 4 se tion 3).
On a le m^eme resultat pour le produit .
Proposition 38. Le produit (m; n) est isomorphe, en tant que (Sm; Sn)-bimodule, a
M
k [Sm℄ S (l; k) S k [S k ℄ S (|; {) S k [Sn℄:
((1 ) (1= )) ( )
Q
P
l
0 ;:::;
0 ;
;:::;
b
jkj
a
2
Q
k
j j
|
P
{
m; n
j|j
2. Bifon teurs de S hur
A tout S-bimodule , on peut asso ier un bifon teur dit de S hur. La omposition de tels bifon teurs est liee au produit monodal . Les bifon teurs introduits i i generalisent la notion de
fon teur de S hur des operades.
40
P
2. BIFONCTEURS DE SCHUR
2.1. De nition. Soit P un S-bimodule.
Definition (Bifon teur de S hur omplet). On appelle bifon teur de S hur omplet, asso ie au
S-bimodule P , le fon teur de ni par
S-biMod S-biMod ! S-biMod
7!
(W; V )
W
P
V:
Et on le note S .
Definition (Bifon teur de S hur reduit). On appelle bifon teur de S hur reduit le fon teur suivant
S-biMod S-biMod ! bigr-k-Mod
(W; V ) 7!
k
Sm ((W P V )(m; n)) Sn k
P
M
MM M
M M ( )M( )
m; n
=
m; n
=
m; n
que l'on note S .
N
N
( l; k ;
|; {
P ( )
W
) 2
(( ) ( )) l; k ; |; {
l; k
Sk k [Sk; |℄ S| V (|; {)
( ) Sk k [Sk; |℄ S| P W l; k
V
(|; {);
2
P
Ces deux bifon teurs de S hur induisent un fon teur S (respe tivement S ) entre la ategorie des
S-bimodules et elle des bifon teurs sur S-biMod S-biMod (biFon tS-biMod).
Definition (Fon teur de S hur). On appelle fon teur de S hur, note S , le fon teur
S-biMod ! biFon tS-biMod
P 7! S
P:
2.2. Operations sur les bifon teurs. Nous allons etudier la omportement de e fon teur
ategories S-biMod et biFon t.
S vis-a-vis des operations respe tives des deux
La ategorie des bifon teurs de S-biMod S-biMod vers S-biMod (ou bigr-k -Mod) est munie de
oproduits . En e et, on de nit (F F )(W; V ) par F (W; V ) F (W; V ). Malheureusement, le
fon teur S ne preserve pas toujours les oproduits. La dependan e de S en P est pas lineaire.
0
0
De la m^eme maniere, si on de nit le produit tensoriel de deux S-bimodules Q, P par
(Q P )(m; n) = Q(m; n) k P (m; n);
ou les a tions de Sm et Sn sont les a tions diagonales (a ne pas onfondre ave la on atenation ),
alors la ategorie des bifon teurs est munie d'un produit tensoriel symetrique (F F )(W; V ) =
F (W; V ) F (W; V ). Cette fois- i, le fon teur de S hur S est un fon teur monodal pour le produit
tensoriel . On pose (k )m; n omme etant le S-bimodule ayant k omme module en tout degre.
Cette objet est l'unite dans la ategorie monodale (S-biMod; ). De m^eme, on pose (k )m; n pour le
bifon teur onstant d'image (k )m; n qui est l'unite pour la ategorie monodale (biFon tS-biMod; ).
0
0
Proposition 39. Le fon teur de S hur S est un fon teur monodal entre la ategorie (S-biMod,
, (k )m; n ) et (biFon tS-biMod; ; (k )m; n ).
En e qui on erne la omposition des bifon teurs, on a les relations suivantes.
Lemme 40. Pour tout
S
W; V
Q
(W;
Q P dans S-biMod, les bifon teurs de S hur veri
S ( )) = S (S ( ) ) = S ( )
et
;
P
I; V
Q
P
W; I ; V
Q
P
W; V
Demonstration. Par de nition du bifon teur de S hur on a
SQ (W; SP (I ; V )) = SQ (SP (W; I ); V ) = SQ P (W; V ) = W
41
ent
:
Q P V:
CHAPITRE 2. PROPE RADES ET PROPS
(Fon teur de S hur a droite). On appelle
asso ie a un
la restri tion suivante du bifon teur S
S : S-bimod ! S-bimod
V 7! S (I; V ):
Ave ette de nition, le lemme pre edent s'e rit:
Proposition 41.
S
(S
; ; I)
(F on tS ; Æ; id)
Demonstration. Dit autrement, on a S Æ S (V ) = S (V ) et SI (V ) = V .
Remarque : Cette e riture relie l'asso iativite du produit a elle de la omposition des fon teurs.
Definition
fon teur de S hur a droite
S-bimodule P
P
0
P
P
Le fon teur
et
-biMod
0
est un fon teur mono
dal entre les
at
egories
-biMod
.
0
Q
0
P
0
Q
0
P
3. De nitions des properades et des PROPs
On peut maintenant de nir les notions de
et de
ainsi que elle de
. Une properade nous servira a oder les operations a plusieurs entrees et plusieurs
sorties qui regissent les di erents types de gebres (algebres, ogebres, bigebres, et ...).
prop
erade
PROP
g
ebre sur
une prop
erade
3.1. De nition et premiers exemples de properades.
(Properade). Une
(P ; ; ) est un monode dans la ategorie (S-biMod,
, I ), ou le produit monodal est elui de nit a la se tion 1:3.
Definition
prop
erade
Toutes les properades que nous onsidererons i i seront
P (m; n) = 0 si m = 0 ou n = 0.
, 'est-a-dire qu'elles veri ent
r
eduites
Exemples :
{ Les premiers exemples viennent des sous- ategories monodales pleines k-Mod et S-Mod.
Ainsi, les algebres et les operades sont des properades parti ulieres.
{ Les autres exemples de properades que nous traitons i i viennent de PROPs ( se tion 4.3).
Definition (S-bimodule gradue par un poids). On appelle S
toute
somme dire te, indi ee par 2 N, de S-bimodules, 'est-a-dire M = L N M ().
Les morphismes de S-bimodules gradues par un poids sont les morphismes de S-bimodules qui
preservent ette de omposition. L'ensemble des S-bimodules gradues par un poids muni des morphismes orrespondant forme une ategorie que l'on note gr-S-biMod.
Remarque : On de nit le produit tensoriel k dans la ategorie des S-bimodules gradues par un
poids par
M P (m; n)(s) k Q(m ; n )(t):
(P (m; n) k Q(m ; n ))() =
s+t=
A l'aide de ette generalisation, on peut etendre les produits , et a la ategorie gr-S-biMod.
Definition (Properade graduee par un poids). Une
(P ; ; )
est un monode dans la ategorie (gr-S-biMod; ; I ). Lorsque les elements de degre 0, pour ette
graduation, orrespondent a P (0) = I , on parle de
.
Dualement, on de nit la notion de oproperade.
Definition (Coproperade). Une
est un omonode dans la ategorie (S-bimod; ; I ).
De maniere expli ite, ela signi e que (C ; ; ") est une oproperade si et seulement si : C !
C C est un morphisme de S-bimodules oasso iatif
f.
-bimodule gradu
e par un poids
2
0
0
0
0
prop
erade gradu
ee par un poids
prop
erade
oprop
erade
C
/
C C
C
C C /C C C
C
42
onnexe
3. DEFINITIONS
DES PROPERADES
ET DES PROPS
et " :
C ! I une
ounitee
" C
C " /
I CeJ o
C
C
C I
O
JJJ
t9
t
t
JJJ t
J
ttt 1
C 1 JJ
ttt C
C:
3.2. De nition de PROP. Dans le as des properades, on ne onsidere qu'une omposition,
la omposition verti ale . Dans le as des PROPs, il faut en plus prendre en ompte une autre
omposition, la omposition horizontale.
Definition (PROP). Une stru ture de PROP sur un S-bimodule orrespond aux donnees suivantes :
{ une omposition verti ale asso iative P P ! P ,
{ une omposition horizontale asso iative et ommutative P P on! P ,
{ une unite pour la omposition verti ale S (I ) ! P :
En outre, on impose que les deux ompositions ommutent, 'est-a-dire qu'elles veri ent la relation
d'Inter hange Law
(P P)
(P P)
/
L
m; n; N
S (P )(m; N ) SN k[SN ℄ SN S (P )(N; m)
on
.
on
P P
P P
on
/
P:
Remarque : Le S-bimodules S (I ) est isomorphe au S-bimodule
L
S
n2N k [ n℄.
Proposition 42. Cette de nition de PROP est equivalente a la de nition lassique donnee par
Lawvere et Ma Lane ( f. [La℄ et [Ma L2℄).
Demonstration. La seule di eren e entre les deux de nitions vient de la omposition verti ale.
Dans la de niton de Ma Lane, la omposition verti ale est la donnee d'un morphisme de Sbimodules asso iatif de la forme
Æ : P (m; N ) SN P (N; n) ! P (m; n):
Si on se donne un morphisme P P
!
P , on onstruit une omposition Æ par restri tion
Æ : P (m; N ) SN P (N; n) = P (m; N ) SN k[SN ℄ SN P (N; n) ! P P !
P:
Re iproquement, si on a une omposition de la forme Æ, on de nit par
M
: P P (m; n) =
S (P )(m; N ) SN S (P )(N; n)
LN
on
N 2N
SN on! M P (m; N )
N
SN P (N; n)
Æ P (m; n):
!
Ces deux onstru tions sont inverses l'une de l'autre gr^a e a l'inter hange law.
Remarque : La terminologie de PROP a ete introduite par S. Ma Lane. Elle vient de \PROduits
et Permutations".
A partir d'un PROP P , si on oublie la omposition horizontale et que l'on ne parle que de
ompositions verti ales onnexes, alors on retrouve une stru ture de properade.
Definition (Le fon teur oubli U ). On appelle fon teur oubli U , le fon teur
U : PROPs ! properades
43
CHAPITRE 2. PROPERADES
ET PROPS
qui de nit une properade a partir d'un PROP.
Proposition 43.
donn
e par la
Le fon teur oubli entre les PROPs et les prop
erades admet un adjoint a gau he
S
onstru tion
PROPs
o
U /
S
prop
erades
:
Demonstration. Soit (P ; ; ) une properade, le morphisme de on atenation S (P ) S (P ) !
P est elui donnee par la onstru tion de l'algebre symetrique libre. Quant a la omposition
verti ale e, on la de nit, gr^a e a la proposition 36, par
e : S (P ) S (P ) = S (P
P)
S ()
! S (P ):
S ()
Et l'unite de la properade permet d'obtenir l'in lusion S (I )
! S (P ). Ainsi de ni (S (P ),
e, on , S ( )) forme un PROP. Et on verife fa ilement la relation d'adjon tion.
3.3. L'exemple fondamental End(V ).
Definition (End(V )). On pose End(V ) = fappli ations lineaires : V n ! V m g ou les
a tions de Sm et de Sn se font a la sour e V n et a l'arrivee V m par permutation des va /
riables. La omposition End(V ) End(V )
End(V ) revient a omposer les appli ations
multilineaires suivant le s hema donne par le produit monodal . La omposition horizontale
on
End(V ) End(V )
! End(V ) est exa tement la on atenation des appli ations lineaires. Et,
l'in lusion S (I ) ! End(V ) orrespond aux appli ations lineaires de V n ! V n obtenues par
permutations des variables.
Par exemple, pour p
( q1 qb suivante
V n
2 Homk
p
!
(V i ; V j ) et q 2 Homk-Mod (V k ; V l ), l'appli ation
pa ! ) 2 Homk-Mod (V n ; V m ) orrespond a la omposition
-Mod
1
/ V n p1
pa/
V N
ou l'appli ation p1 pa : V n = V i1
on atenation des appli ations p .
/ V N q1 qb / V m
/ V m;
V ib ! V j1 V jb = V N est la
Ainsi de ni, (End(V ); ; on ; ) est un PROP. Et si l'on se restreint aux ompositions verti ales
onnexes End(V ) End(V ) ! End(V ), on obtient une properade.
3.4. Lien ave les fon teurs de S hur. On a la proposition suivante
Proposition 44.
Si
P
est une prop
erade, alors le fon teur de S hur
a-dire un mono
de dans la
at
egorie
(F on tS-bimod; Æ; id).
S
0
P
est une monade,
'est-
Demonstration. On se sert de la proposition 41. 2
3.5. P -gebre. La notion de gebre sur une properade (ou un PROP) est la generalisation
naturelle de elle d'algebre sur une operade.
Definition (P -gebre). Soit P une properade (respe tivement un PROP). Une stru ture de P g
ebre sur le k -module V est la donn
ee d'un morphisme de properades (respe tivement de PROPs)
P ! End(V ).
Remarque : Une P -gebre est une \algebre" sur une properade P . Mais le terme d'algebre est i i
a prendre dans un sens large. En e et, les P -gebres peuvent aussi ^etre munies de oproduits. C'est
le as des bigebres et des bigebrse de Lie, par exemple.
On onsidere le S-bimodule T (V )(m; n) = V m , ou l'a tion de Sn est l'a tion triviale et elle de
Sm orrespond a la permutation des variables. Un morphisme de S-bimodules V : P V !
T (V ) s'etend en un unique morphisme T (V ) de P T (V ) ! T (V ) par on atenation. En
44
4. PROPERADE
ET PROP LIBRES, QUADRATIQUES
e et, tout element de P T (V ) peut se voir omme la on atenation d'elements de P V . Par
exemple, l'element
_ _ _ v1 v2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ v3 v4 _ _ _
QQQ 2
II 2
1 ww
1 lll
II
QQQ
l
w
l
II
w
Q
l
Q
l
w
Q
l
II
w
l
Q
II
ww
lQQQQ
l
w
l
I
HwH
l
II
u
v
HH
u
v
II
u
v
HH
II
vv
uu
HH
v
u
II
HH
vv
uu
I$
{vv
#
zuu
_ _ _1 _ p1 _ 2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 _ p2 _ 2_ _ _
GG3
1 w
GG
w
1
GG
ww 2
w
GG
w
w
G#
w
{w
4
1
2
3
s'e rit aussi
_ _ _ v1 v3 _ _ _ _ _ _ _ _ _ v2 v4 _ _ _
GG 2
II 2
1 ww
1 uu
GG
II
GG
II
uu
ww
u
w
GG
II
u
w
u
w
G
II
u
w
G
HwwH
IuuI
v
uu
HH
v
I
u
II
u
HH
vv
u
v
I
u
HH
v
II
uu
HH
vv
II
#
{vv2
$
zuuu2
1
1
_ _ _ _ p1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ p2 _ _ _ _
GG3
1 w
GG
1
ww 2
GG
w
GG
ww
w
G#
w
{w
4
1
3:
2
Par exemple, pour P = End(V ), on a naturellement une appli ation : End(V ) V ! T (V )
qui orrespond a l'evaluation d'une appli ation de Homk-Mod (V n ; V m ) par un element de V n .
Par de nition de , on a immediatement le lemme suivant.
Lemme
45. Le diagramme i-dessous est ommutatif
End(V ) End(V ) V
End(V ) /
End(V )
V
T (V )
T ()
End(V ) V
/ T (V ):
Ce lemme se generalise de la maniere suivante.
Proposition 46. Un k -module V est une g
ebre sur P si et seulement si il existe un morphisme
de S-bimodules V : P V ! T (V ) tel que le diagramme suivant ommute
P P
V
P V
/
P
T (V )
V
P
Remarque :
P.
Lorsque
V
T (V )
V
/ T (V ):
P est une operade, on retrouve la notion
lassique d'algebre sur l'operade
4. Properade et PROP libres, quadratiques
4.1. Properade et PROP libres. Le but de ette partie est de de rire la properade libre
sur un S-bimodule V . Pour ela, on utilise le travail plus general, e e tue sur le monode libre, au
45
CHAPITRE 2. PROPE RADES ET PROPS
hapitre 1 se tion 6. Puis en utilisant la proposition 43, on obtient le PROP libre sur V .
Lemme
47.
Pour tout ouple (A; B ) de S-bimodules, le fon teur
A; B : X 7! A X B
est un fon teur analytique ( f. Chapitre 1 se tion 8).
Demonstration. Le S-bimodule A X B est donne par la somme dire te sur les graphes
a 3 niveaux G3 dont les sommets du premier niveau sont indi es par des elements de B , eux du
deuxieme niveau par des elements de X et eux du troisieme niveau par des elements de A. Si on
pose G3n l'ensemble des graphes a trois niveaux ayant n sommets sur le deuxieme niveau, alors le
fon teur A; B s'e rit
A; B (X ) = A X B
=
M M O
n2N
O
=
2N3
M
n2N
g 2G3n 2N1
A(jOut( )j; jIn( )j)
B (jOut( )j; jIn( )j)
.
n
O
i=1
X (jOut(i )j; jIn(i )j)
n (X );
ou n est un fon teur polynomial homogene de degre n.
Proposition 48. La partie multilineaire en Y notee A (X Y ) B orrespond au sous-Sbimodule de A (X Y ) B de ni par la somme dire te sur les graphes onnexes a 3 niveaux
dont les sommets du deuxieme niveau sont indi es par des elements de X et de Y mais ave au
moins un element de Y .
Lemme 49. La ategorie (S-biMod; ; I ) est une ategorie monodale abelienne qui preserve les
oegalisateurs re exifs ainsi que les olimites sequentielles.
Pout tout S-bimodule A, les fon teurs de multipli ation a gau he et a droite
LA et RA par A sont des fon teurs analytiques par le lemme pre edent. Ils preservent don les
Demonstration.
olimites sequentielles et les oegalisateurs re exifs par la proposition 29.
Cette proposition permet d'appliquer les resultats sur le monode libre de la partie 6 du hapitre
1. Donnons les interpretations en termes de S-bimodules de ette partie. Soit V un S-bimodule que
l'on augmente en posant V+ = I V . Ensuite, Vn = (V+ ) n orrespond aux graphes onnexes a
n etages dont les noeuds (sommets)
sont indi espar des elements de V et I .
L
Le S-bimodule Vfn = oker i RVi ; Vn i 2 ! Vn orrespond aux graphes a n niveaux quotientes
par la relation engendree par V I I V , e qui revient a oublier les niveaux.
Theoreme 50. La properade libre sur V , notee F (V ), est la somme dire te sur l'ensemble des
graphes (sans niveau) onnexes
G
0
F (V ) = ou l'on indi e les sommets par V , soit
M O
g 2G 2N
1,
V (jOut( )j; jIn( )j)A
:
Quant a la omposition , elle vient de la omposition des graphes diriges.
Remarque : Dans le as ou V est un S-module, on obtient la onstru tion donnee dans [GK℄ a
l'aide des arbres.
Comme annon e dans l'introdu tion, en on atenant ensuite toutes les operations de F (V ), on
trouve le PROP libre.
Corollaire 51. Le S-bimodule S ((F (V )) est le PROP libre sur V .
46
4. PROPE RADE ET PROP LIBRES, QUADRATIQUES
Demonstration.
On utilise la proposition 43 pour montrer, par omposition, que le fon teur
he de U Æ U
S (F ) est un adjoint a gau
U
PROPs
o
S
/
properades o
U
F
/
S-biMod:
On retrouve bien la m^eme onstru tion que elle du PROP libre exprimee ave des
graphes (non ne essairement onnexes, sans niveau) de B. Enriquez et P. Etingof ( f. [EE℄).
On peut de omposer l'ensemble des graphes en fon tion du nombre total de sommets. Soit G n
l'ensemble des graphes a n sommets. Cette de nition permet d'aÆner l'e riture de la properade
libre (respe tivement du PROP libre). En e et, on a
Remarque :
0M O
1, M0 M O
1,
(V ) = V ( Out( ) ; In( ) )A
:
= V ( Out( ) ; In( ) )A
2G 2N
2N 2G
{z
}
|
F
n
F
j
g
j j
j
j
n
52
:
g
(n)
j j
i
i=1
i
j
(n) (V )
( )
Proposition . Le fon teur F V 7! F V est un fon teur analytique en V , dont la partie de
degre n est notee F(n) V . Cette graduation est stable pour la omposition de la properade libre
(respe tivement pour les ompositions et on du PROP libre). Ainsi, toute properade libre
(respe tivement PROP libre) est graduee par un poids.
( )
e
4.2. Coproperade olibre onnexe. Le S-bimodule sur lequel on de nit une stru ture de
oproperade olibre onnexe est le m^eme
0 que pour la properade libre. On pose
( )=F
F V
1,
O
M
V ( Out( ) ; In( ) )A
:
(V ) = j
g 2G 2N
j j
j
La proje tion sur la omposante engendree par le graphe trivial fournit la ounite " : F (V ) ! I .
Et la omultipli ation repose sur l'ensemble des de oupages en deux des graphes. Sur un element
g(V ) qui represente un graphe g indi e par des operations de V , on de nit le morphisme par
X g (V ) g (V );
(g(V )) =
1
2
(g1 (V ); g2 (V ))
ou la somme ourt sur les ouples (g (V ); g (V )) tels que (g (V ) g (V )) = g(V ). Il faut faire
attention i i que g (V ) (et g (V )) represente une famille de graphes indi es.
Proposition 53. Pour tout S-bimodule V , (F (V ); ; ") est une oproperade graduee par un
1
1
2
1
2
2
poids. Cette oproperade est olibre dans le adre des oproperades onnexes.
Demonstration.
0 X
La relation de ounite vient de
(" id) Æ (g(V )) = (" id) Æ
=
X
(g1 (V ); g2 (V ))
1
g (V ) g (V )A
1
(g1 (V ); g2 (V ))
"(g1 (V )) g2 (V )
= I g(V )
= g(V ):
La relation de oasso iativite vient de
( idX
) Æ (g(V )) = (id ) Æ (g(V )) =
g (V ) g (V ) g (V );
1
(g1 (V );
g2 (V ); g3 (V ))
47
2
3
2
CHAPITRE 2. PROPE RADES ET PROPS
ou la somme ourt sur les triplets (g1(V ); g2(V ); g3(V )) tels que (g1(V ) g2(V ) g3(V )) =
g (V ).
Soient C une oproperade onnexe et f : C ! V un morphisme de S-bimodules. La de omposition
analytique de F (V ), en fon tion du nombre de sommets des graphes utilises, permet par re urren e de de nir un morphisme de oproperades onnexes f : C ! F (V ). Ce morphisme est
entierement determine par f et est l'unique morphimes de oproperades onnexes a faire ommuter
le diagramme
F (O V )
V obEE
EE
EE
EE
f
E
f
C:
Cette onstru tion generalise la onstru tion de la ogebre olibre onnexe donnee
par T. Fox dans [F℄.
Remarque :
4.3. Properades de nies par generateurs et relations, properades quadratiques.
Continuons l'interpretation des notions monodales dans le adre des S-bimodules. Soit R un sousS-bimodule de F (V ). La proposition 49 permet d'appliquer les resultats montres au hapitre 1 qui
aÆrment que l'ideal engendre par R orrespond a la somme sur l'ensemble des graphes, ou l'on
indi e les sommets ave des elements de V , et qui admet au moins un sous-graphe appartenant a
R.
Proposition 54. La properade quotient F (V )=(R) orrespond a la somme dire te des graphes
indi es par des elements de V mais dont au un sous-graphe n'appartient a R.
Demonstration. Il suÆt de voir que R, omme sous-objet de F (V ), se represente ave des
sommes de graphes onnexes et que la substitution d'un sous-graphe onnexe par un autre sousgraphe onnexe dans un graphe onnexe donne toujours un graphe onnexe. 2
Remarque : Dans le as ou V est un S-module, les seuls graphes qui interviennent sont des arbres.
On retrouve alors les onstru tions operadiques donnees dans [GK℄.
Comme nous l'avons vu a la proposition 52, le fon teur F (V ) est analytique. Ce i permet de distinguer une lasse parti ulierement interessante de properades de nies par generateurs et relations.
Definition (Properades quadratiques). On appelle properade quadratique une properade de la
forme F (V )=(R), ou R est un sous-S-bimodule de F(2)(V ) (partie de degre 2 de la properade libre
sur V ).
Exemples : Les premiers exemples viennent en ore une fois des sous- ategories pleines k -Mod et
S-Mod. Les algebres quadratiques, omme les algebres symetriques S (V ) et exterieures (V ), sont
des properades quadratiques. Il en va de m^eme pour les operades quadratiques, itons les operades
des algebres asso iatives As, ommutatives C om, des algebres de Lie Lie, et ...
Exemples : Parmi les exemples nouveaux que ette theorie permet de traiter, itons
{ La properade BiLie odant les bigebres de Lie. Cette properade est engendree par le
S-bimodule
8 V (1; 2) = :k sgn ; 1 2
<
S2
?
?
V = V (2; 1) = :sgnS2 k; = ? sgnS2  ? sgnS2 ;
: V (m; n) = 0 sinon,
1 2
48
4. PROPE RADE ET PROP LIBRES, QUADRATIQUES
ou sgnS2 est la representation signature de S2. Elle est soumise aux relations quadratiques
( 'est-a-dire s'e rivant ave deux ( o)operations)
8
(; 1) (123) + (231) + (312)
>
>
<
(123) + (231) + (312) (; 1)
R =
(; 1) (213) (1; )
>
>
:
(1; )(; 1) (1; )(; 1) (1; ) (132) (; 1)
8
1 2 3
2 3 1
3 1 2
>
??   ??   ??  
>
>

?


?

?? 
>
?
?
>

>
>
>
>
>
>
>
>
>
??
??
??
<
?? ??
?? ??
?? ??
+
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:

1 2
3
+
+
2 3
1 2
1 2
?? 
??
1 2
?
 ?
1
+
1 2
+
2
3
1 2
1
1
?
 ?
2
?? ??

1 2
+
1 2
2
1
?? ??
 :
1 2
Les BiLie-gebres orrespondent aux bigebres de Lie de Drinfeld ( [Dr℄).
{ La properade "Bi odant les bigebres de Hopf in nitesimales. Cette properade est engendree par
8
< V (1; 2) = m:k k [S2℄;
?? 
V = V (2; 1) = :k [S2℄ k; =  ?? ;
:
V (m; n) = 0 sinon,
. Elle est soumise aux8relations
< m(m; 1) m(1; m)
R =
(; 1) (1; )
:
m (m; 1)(1; ) (1; m)(; 1):
8
f.
=
??  
>
?? 
>
>
>

>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
?? ?? 
?? 

??????

?? 
??
?
 ??
  ?
?
 ?
?? ??
 :
Les "Bi-gebres sont des analogues asso iatifs des bigebres de Lie. Elles orrespondent
a e que M. Aguiar appellent les bigebres de Hopf in nitesimales ( [Ag1℄, [Ag2℄ et
[Ag3℄).
{ La properade 21 Bi, analogue degenere de la properade des bigebres. L'espa e generateur V
est le m^eme que elui de "Bi, 'est-a-dire onstitue d'une operation et d'une ooperation.
Quant a elui des relations R, il vaut
8
< m(m; 1) m(1; m)
(; 1) (1; )
R =
:
m
():
8
f.
=
??  
>
?? 
>
>
>

>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
??????

?? 
??
?? ?? 
?? 

?
 ??
  ?
():
Cette exemple a ete introduit par M. Markl dans [Ma3℄ a n de trouver le modele minimal
pour le PROP des bigebres.
49
CHAPITRE 2. PROPE RADES ET PROPS
Contre-exemples :
{ La properade pre edente est un as quadratique issu de la properade Bi des bigebres.
Cette derniere est bien de nie par generateurs et relations mais n'est pas quadratique.
En e et, la de nition de la properade Bi est la m^eme que elle de Bi sauf que la relation
est rempla ee par
0 : m (m; m) (1324) (; )
1
2
?? 

?
 ?
=
G G
wGwG wwGwG Gw
w w
Cette properade n'est ni quadratique (on utilise 4 operations pour e rire le se ond
element), ni homogene.
{ Un autre exemple qui ne rentre pas stri to sensu dans la theorie des properades est
donnee par les bigebres de Hopf in nitesimales unitaires ( f. [L4℄). Leur de nition est
la m^eme que elle des bigebres de Hopf in nitesimales, a la seule di eren e pres que la
troisieme relation est
??
m (m; 1)(1; ) (1; m)(; 1) (1; 1) = ?? ?? ???? :
Cette relation n'etant pas onnexe, on a la un exemple de PROP qui n'est pas une
properade.
Le fait que les relations soient homogenes, 'est-a-dire, toutes de m^eme degre, permet de onserver
la graduation de la properade libre par passage au quotient.
Proposition 55. Soit F (V )=(R) une properade de nie par generateurs et relations. Si R F n (V ) pour un ertain n, alors la properade F (V )=(R) est graduee par un poids donne par le
( )
nombre de sommets.
56. Toute properade quadratique est graduee en fon tion du nombre d'operations.
4.4. PROPs de nis par generateurs et relations onnexes. Au niveau des PROPs, on
onsidere le PROP libre S (F (V )) sur un S-bimodule V soumis a des relations R. Si les relations
ne font pas intervenir la on atenation des operations, 'est-a-dire si R appartient a F (V ), le
PROP quotient S (F (V ))=(R)S F V orrespond a l'algebre symetrique libre pour le produit
sur la properade quotient F (V )=(R)F V
Proposition 57. Soit V un S-bimodule et soit R un sous-S-bimodule de F (V ). Le PROP quotient
S (F (V ))=(R)S F V est naturellement isomorphe au PROP S (F (V )=(R)F V ) onstruit a
partir de la properade quotient F (V )=(R)F V .
Demonstration. On part du morphisme naturel
: S (F (V )) S (F (V )=(R)F V ):
Il admet pour noyau l'ideal libre sur R dans le PROP libre S (F (V )). Cette appli ation induit
don un isomorphisme de S-bimodules. On on lut en remarquant que est un morphisme de
PROP et qu'il en est de m^eme pour .
Cette proposition permet de generaliser aux PROPs quotients tous les resultats obtenus au niveau
des properades.
Proposition 58. Soit S (F (V ))=(R) un PROP de ni par generateurs et relations, ou R est un
sous-S-bimodules de F n (V ). Alors le PROP S (F (V ))=(R) est gradue par le nombre de sommets
Corollaire
(
( ))
(
(
)
( ))
(
(
(
des graphes.
)
( )
Definition (PROPs quadratiques).
S (F (V ))=(R) ave R F(2) (V ).
Corollaire
)
)
On appelle PROP
quadratique
59. Tout PROP quadratique est gradue par un poids.
50
tout PROP de la forme
CHAPITRE 3
Properades et PROPs di erentiels
Nous avons, pour l'instant, de ni les properades et les PROPS en partant de la ategorie monodale
symetrique des k -modules, puis en onsiderant les k -modules qui admettent une a tion de Sm a
gau he et de Sn a droite. Cette demar he est generalisable a toute ategorie monodale symetrique.
On peut don de nir des properades ensemblistes, des properades topologiques, et ... (Cette
de nition est une version properadique de elle donnee par J.-P. May dans [May℄ pour les
operades). Le but du present hapitre est de de nir des properades et les PROPS non plus
lineaires mais di erentiels, 'est-a-dire a valeurs dans la ategorie des omplexes de ha^nes (modules di erentiels gradues), et d'etudier les proprietes homologiques de tels objets.
1. La ategorie des S-bimodules di erentiels gradues
1.1. Les S-bimodules di erentiels gradues et les produits et . On se pla e main-
tenant dans la ategorie des k -modules di erentiels gradues, notee dg-Mod. Rappelons que l'on
munit ette ategorie d'une stru ture monodale en de nissant le produit V k W par
(V
W )d
k
M
=
Vi
k
Wj ;
+j =d
i
et en posant pour di erentielle sur V
Æ (v
w)
k
W
= Æ (v )
w+(
1) v v
Æ (w);
j j
ou v w est un tenseur elementaire. Pour de rire les isomorphismes de symetrie, on utilise les
regles de signes de Koszul-Quillen, a savoir
:
v; w
v
w
7! (
1) v
j jjw j
w
v:
Plus generalement, la ommutation de deux elements (morphismes, di erentielles, objets, et ...)
de degre homologique d et e entra^ne un signe ( 1)de .
Definition (dg-S-bimodule). Un dg-S-bimodule P est une olle tion de modules di erentiels
gradues (P (m; n))m; n2N munis d'une a tion de Sm a gau he et de Sn a droite, es deux a tions
ommutent entre elles et agissent omme des morphismes de dg-modules. On note Pd (m; n), le
sous-(Sm; Sn)-bimodule ompose des elements de degre homologique d du omplexe P (m; n).
Le produit monodal sur les S-bimodules s'etend au as di erentiel. La de nition reste la m^eme,
a la seule di eren e que la relation , basee sur les isomorphismes de symetrie, fait maintenant
intervenir des signes (regle de Koszul-Quillen). Par exemple, on a
( 1)
jqi jjqi
+1 j q1
q1
q q +1 q
q +1 q q
i
i
i
b
i
b
p1
0
p
p1 !
a
pa
!;
ou 0 = (1 : : : i + 1 i : : : a)k .
Remarque : Comme les induites et ! n'in uent pas sur les regles de signes, nous omettrons de
les e rire par la suite pour alleger les notations.
CHAPITRE 3. PROPERADES
ET PROPS DIFFERENTIELS
Pour un element q1
di erentielle Æ par
Æ (q1 b
X
qb
qb
p1
p1
( 1)jq1 j++jq 1 j q1
=1
a
X
=1
pa )
Æ (q
( 1)jq1 j++jqb j+jp1 j++jp 1 j q1
pa
de
Q(l; k)
|; {), on d
e nit la
Sk k [Sk;
|℄ Sl P (
=
)
qb
qb
p1
p1
pa +
Æ (p
)
pa :
Lemme 60. La di erentielle Æ est onstante sur les lasses d'equivalen e pour la relation
.
Demonstration. Comme les transpositions de la forme (1 : : : i + 1 i : : : b) engendrent Sb, il suÆt
de faire les veri ations suivantes
1)jqi jjqi+1 j (q1 ; : : : ; qi+1 ; qi ; : : : ; qb ) 0 (p1 ; : : : ; pa )) =
Æ ((
i 1
X
=1
( 1)jqi jjqi+1 j+jq1 j++jq 1 j (q1 ; : : : ; Æ (q ); : : : ; qi+1 ; qi ; : : : ; qb ) 0 (p1 ; : : : ; pa ) +
( 1)jqi jjqi+1 j+jq1 j++jqi 1 j (q1 ; : : : ; Æ (qi+1 ); qi ; : : : ; qb ) 0 (p1 ; : : : ; pa ) +
( 1)jqi jjqi+1 j+jq1 j++jqi 1 j+jqi+1 j (q1 ; : : : ; qi+1 ; Æ (qi ); : : : ; qb ) 0 (p1 ; : : : ; pa ) +
b
X
=i+2
a
X
( 1)jqi jjqi+1 j+jq1 j++jq 1 j (q1 ; : : : ; qi+1 ; qi ; : : : ; Æ (q ); : : : ; qb ) 0 (p1 ; : : : ; pa ) +
( 1)jqi jjqi+1 j+jq1 j++jqb j+jp1 j+:::+jp 1 j (q1 ; ; qi+1 ; qi ; : : : ; qb ) 0 (p1 ; : : : ; Æ (p ); : : : ; pa ) =1
i 1
X
=1
( 1)jq1 j++jq 1 j (q1 ; : : : ; Æ (q ); : : : ; qi ; qi+1 ; : : : ; qb ) (p1 ; : : : ; pa ) +
( 1)jq1 j++jqi 1 j+jqi j (q1 ; : : : ; qi ; Æ (qi+1 ); : : : ; qb ) (p1 ; : : : ; pa ) +
( 1)jq1 j++jqi 1 j (q1 ; : : : ; Æ (qi ); qi+1 ; : : : ; qb ) (p1 ; : : : ; pa ) +
b
X
=i+2
a
X
( 1)jq1 j++jq 1 j (q1 ; : : : ; qi ; qi+1 ; : : : ; Æ (q ); : : : ; qb ) (p1 ; : : : ; pa ) +
( 1)jq1 j++jqb j+jp1 j++jp 1 j (q1 ; : : : ; qb ) 0 (p1 ; : : : ; Æ (p ); : : : ; pa )
=1
= Æ (q1 ; : : : ; qb ) (p1 ; : : : ; pa ) ;
ou 0 = (1 : : : i + 1 i : : : b)k . Le al ul faisant intervenir des permutations sur les p est similaire.
Proposition 61. La ategorie (dg-S-biMod; ; I ) est une ategorie monodale qui admet la
ategorie (S-biMod; ; I ) omme sous- ategorie monodale pleine.
Demonstration. Tout (Sm; Sn)-bimodule P (m; n) peut ^etre vu omme un (Sm; Sn)-bimodule
di erentiel gradue. Il suÆt pour ela de onsiderer tous ses elements omme etant de degre 0 et
P (m; n) muni d'une di erentielle nulle.
On peut etendre sans diÆ ulte la proposition 37 au adre di erentiel.
Proposition 62. Le produit
M
Q P est isomorphe, en tant que dg-S-bimodule, a
) S k [S ℄ S| P (|; {) S{ k [Sn℄:
k [Sm℄ Sl Q(
l; k
k
k; |
((01 ;:::; 0b ); (1 ;:::; a ))2
jk j=j|j
52
1. LA CATEGORIE
DES S-BIMODULES DIFFERENTIELS
GRADUES
Sur les parties onnexes, on vient de pre iser les regles de signes, les relations d'equivalen es a
onsiderer et les di erentielles. On de nit les m^emes notions pour le produit en generalisant les
regles de Koszul-Quillen du produit tensoriel k au produit .
Soient P et Q deux S-bimodules di erentiels gradues. Pour p q appartenant a Pd (m; n)
Qe (m0 ; n0 ), on pose
Æ (p q ) = Æ (p) q + ( 1)d p Æ (q ):
Les isomorphismes de symetrie s'e rivent i i
p; q : p q 7! ( 1)de q p:
Ave es regles de signes, on de nit une di erentielle naturelle sur le produit Q P .
Proposition 63. Le bifon teur de la at
egorie des S-bimodules s'etend a la ategorie des S-
bimodules di erentiels gradues.
Comme dans le as onnexe, on peut etendre aux dg-S-bimodules la proposition 38.
Proposition 64. Le produit Q P est isomorphe, en tant que dg-S-bimodule, a
M
k [Sm℄ S Q(l; k ) S k [Sjkj ℄ S| P (
|; {) S{ k [Sn℄:
l
((01 ;:::; 0a ); (1 ;:::; b ))20
k
jkj=j|j
1.2. Stru ture di erentielle des produits de dg-S-bimodules. On etudie i i l'homologie des produits de deux S-bimodules di erentiels.
Remarquons d'abord que le omplexe (Q P ; Æ ) orrespond au omplexe total d'un bi omplexe.
En e et, on de nit le bidegre d'un element
(q1 ; : : : ; qb ) (p1 ; : : : ; pa ) de Q(l; k) Sk k [Sk; |℄ S| P (|; {)
par (jq1 j + + jqb j; jp1 j + + jpa j). Et, la di erentielle horizontale Æh : Q P ! Q P est
induite par elle de Q. Quant a la di erentielle verti ale Æv : Q P ! Q P , elle est induite
par elle de P . De maniere expli ite, on a
Æh (q1 ; : : : ; qb ) (p1 ; : : : ; pa ) =
b
X
et
=1
Æv
( 1)jq1 j++jq 1 j (q1 ; : : : ; Æ (q ); : : : ; qb ) (p1 ; : : : ; pa )
(q1 ; : : : ; qb ) (p1 ; : : : ; pa ) =
a
X
=1
( 1)jq1 j++jqb j+jp1 j++jp 1 j (q1 ; : : : ; qb ) (p1 ; : : : ; Æ (p ); : : : ; pa ):
On voit lairement que Æ = Æh + Æv et Æh Æ Æv = Æv Æ Æh .
Comme tout bi omplexe, elui- i donne naissan e a deux suites spe trales I r (Q P ) et II r (Q P )
qui onvergent vers l'homologie totale H (Q P ; Æ ) ( f. Conventions). Rappelons que es dernieres
veri ent
I 1 (Q P ) = H (Q P ; Æv );
I 2 (Q P ) = H (H (Q P ; Æv ); Æh )
et II 1 (Q P ) = H (Q P ; Æh );
II 2 (Q P ) = H (H (Q P ; Æh ); Æv ):
Gr^a e a la proposition 62, on sait que produit monodal Q P s'e rit a l'aide de la somme dire te
M
Q(l; k) S k[S ℄ S| P (|; {):
k; |
k
Cette de omposition est ompatible ave la stru ture de bi omplexe. Ainsi, les suites spe trales se
de omposent de la m^eme maniere
M ) S k [S ℄ S| P (|; {)
l; k
I r (Q P ) =
I r Q(
et
Q P) =
II r (
M
k
II r
Q(l; k)
53
k; |
Sk k [Sk; |℄
S| P (|; {)
CHAPITRE 3. PROPE RADES ET PROPS DIFFE RENTIELS
On a immediatement les deux expressions suivantes.
Proposition 65. Si (l; k) Sk k [S ℄ est un k [S℄-module proje tif (a droite), alors on a
I1
(l; k) Sk k[S ℄ S| (|; {) = (l; k) Sk k[S ℄ S| H ( (|; {)) :
Q
|
k; |
Q
P
k; |
Q
P
k; |
Et si, k [Sk; |℄ S| P (
|; {) est un k [Sk℄-module proje tif (
a gau he), alors on a
(l; k) Sk k[S k; |℄ S| (|; {) = H
II 1
P
Q
(l; k) Sk k[S ℄ S| (|; {):
Q
P
k; |
66. Si k est un orps de ara teristique nulle, on a toujours
I1
(l; k) Sk k[S ℄ S| (|; {) = (l; k) Sk k[S ℄ S| H ( (|; {))
Corollaire
Q
P
k; |
Q
P
k; |
et
(l; k) Sk k[S ℄ S| (|; {) = H (l; k) Sk k[S ℄ S| (|; {):
Demonstration. Par le theoreme de Mas hke, on sait que tous les anneaux k [S℄ sont semisimples. Ainsi, tout k[S℄-module est proje tif.
Proposition 67. Si k est de ara teristique nulle, alors on a
(l; k) Sk k[S ℄ S| (|; {) = II 2 (l; k) Sk k[S ℄ S| (|; {) =
I2
) Sk k[S ℄ S| H (|; {):
H (
l; k
Demonstration. Comme tout k [S℄-module est proje tif, on a immeditatement
(l; k) Sk k[S ℄ S| (|; {) = H (l; k) Sk k[S ℄ S| H ( (|; {)) :
I2
Et on on lut ave la formule de Kunneth
H
(l; k) = H ( (l1 ; k1 )
(l ; k )) =
):
H (l1 ; k1 )
H (l ; k ) = H (
l; k
II 1
Q
P
k; |
Q
P
k; |
|
|
Q
P
k; |
Q
Q
P
k; |
P
k; |
k
Q
P
k; |
Q
Q
Q
Q
P
k; |
Q
a
Q
a
a
a
Q
Soient : M
M 0 et
: N
N 0 deux morphismes de dg-S-bimodules.
0
0
Alors le morphisme : M N M N est un morphisme de bi omplexes. Ainsi,
il induit des morphismes de suites spe trales I ( ) : I (M N ) I (M 0 N 0 ) et
II ( ) : II (M N ) II (M 0 N 0 ).
Remarque :
!
!
!
r
r
r
r
!
r
r
!
De maniere generale, on a la proposition suivante.
Proposition 68. Lorsque le orps k est de ara teristique nulle, on a toujours
M
H ( )(m; n) = H (l; k) Sk k[S ℄ S| H (|; {):
Q
C'est-a-dire, H (Q P
Q
k; |
P
) = (H ) (H ).
Demonstration. C'est une appli ation dire te des theoremes de Mashke (pour les oinvariants)
et de Kunneth (pour les produits tensoriels).
On peut reprendre les m^emes raisonnements dans le as du produit .
P
Q
P
Le omplexe ( ; Æ) est en ore le omplexe total d'un bi omplexe. Les elements de fournissent
la graduation et la di erentielle horizontales et eux de la graduation et la di erentielle verti ales.
En e qui on erne les signes, il faut faire attention aux omposantes onnexes. Par exemple, pour
un objet
(q1 ; : : : ; q ) (p1 ; : : : ; p ) (q10 ; : : : ; q0 ) (p01 ; : : : ; p0 )
de , on a
54
Q
P
Q
P
b
Q
P
Q
P
a
b0
a0
1. LA CATEGORIE
DES S-BIMODULES DIFFERENTIELS
GRADUES
(q10 ; : : : ; qb0 0 ) (p01 ; : : : ; p0a0 )) =
Æh ((q1 ; : : : ; qb ) (p1 ; : : : ; pa )
b
X
=1
( 1)jq1 j++jq
b0
X
=1
1j
(q1 ; : : : ; Æ (q ); : : : ; qb ) (p1 ; : : : ; pa )
(q10 ; : : : ; qb0 0 ) (p01 ; : : : ; p0a0 ) +
0
( 1)jq1 j++jqb j+jp1 j++jpa j+jq1 j++jq
0
1j
(q1 ; : : : ; qb ) (p1 ; : : : ; pa )
(q10 ; : : : ; Æ (q 0 ); : : : ; qb0 0 ) (p01 ; : : : ; p0a0 )
et
(q10 ; : : : ; qb0 0 ) (p01 ; : : : ; p0a0 )) =
Æv ((q1 ; : : : ; qb ) (p1 ; : : : ; pa )
a
X
=1
b0
X
( 1)jq1 j++jqb j+jp1 j++jp
1j
(q1 ; : : : ; qb ) (p1 ; : : : ; Æ (p ); : : : ; pa )
(q10 ; : : : ; qb0 0 ) (p01 ; : : : ; p0a0 ) +
0
0
0
( 1)jq1 j++jqb j+jp1 j++jpa j+jq1 j++jqb0 j+jp1 j++jp
0
1j
=1
(q1 ; : : : ; qb ) (p1 ; : : : ; pa ) (q1 ; : : : ; qb0 ) (p1 ; : : : ; Æ (p ); : : : ; pa0 ):
0
0
0
0
0
On a alors les m^emes resultats que dans le as onnexe.
Proposition 69. Si k est un orps de ara teristique nulle, on a les egalites
I1
Q(l; k)
II 1
Q(l; k)
Sk k [SN ℄ S| P (|; {) = Q(l; k) Sk k [SN ℄ S| H (P (|; {)) et
Sk k [SN ℄ S| P (|; {) = H
Q(l; k)
Sk k [SN ℄ S| P (|; {):
Proposition 70. Si k est de ara teristique nulle, alors on a
I2
Q(l; k)
)
H Q(
l; k
Sk k [SN ℄ S| P (|; {) = II 2
Sk k [SN ℄ S| H P (|; {):
Q(l; k)
Sk k [SN ℄ S| P (|; {) =
Proposition 71. Lorsque le orps k est de ara teristique nulle, on a
Q P ) = (H Q) (H P ):
H (
Corollaire 72. Soient
Q et P deux dg-S-bimodules. On a la relation
H (Q P ) = S (H (Q P )) :
Remarque : Toutes es propositions sont des generalisations des resultats de B. Fresse sur le
produit de omposition Æ des operades aux produits et des properades et des PROPs ( f.
[Fr℄ 2.3.).
1.3. Properades et PROPs di erentiels. On peut donner une version di erentielle a la
notion de properade et de PROP.
Definition (Properades di erentielles). On appelle properade di erentielle un monode (P ; ; )
dans la ategorie (dg-S-biMod; ; I ).
Cela signi e qu'en plus de la donnee d'une properade lineaire, le morphisme de omposition est
un morphisme de dg-modules de degre 0 preservant les a tions de Sm et Sn. Ainsi, on a la relation
55
CHAPITRE 3. PROPE RADES ET PROPS DIFFE RENTIELS
du type derivation:
Æ (((p ; : : : ; pb ) (p ; : : : ; pa ))) =
Xb ( 1) p1 p 1 ((p ; : : : ; Æ(p ); : : : ; pb) (p ; : : : ; p )) +
a
0
1
Xa (
0
1
j
j++j
1) p1
j++j
j
0
0
1
1
=1
=1
j
pb j+jp01 j++jp0
((p ; : : : ; pb) (p ; : : : ; Æ(p ); : : : ; pa)):
1j
0
1
0
1
0
La proposition 68 donne la propriete suivante.
Proposition 73. Lorsque le orps k est de ara teristique nulle, pour toute properade di erentielle
(P ; ; ), l'homologie de ette properade (H (P ); H (); H ()) est une properade graduee.
Definition (S-bimodules di erentiels gradues par un poids). On appelle S-bimoduleLdi erentiel
gradue par un poids toute somme dire te sur 2 N de S-bimodules di erentiels M = N M .
Les morphismes de S-bimodules di erentiels gradues par un poids sont les morphismes de Sbimodules di erentiels qui preservent ette de omposition. L'ensemble des S-bimodulesdi erentiels
gradues par un poids, muni des morphismes orrespondant, forme une ategorie que l'on note grdg-S-biMod.
Remarquons que la graduation est une information supplementaire independante du degre homologique.
L
Proposition 74. Soit f = n f n un fon teur analytique dans la ategorie des S-bimodules.
L
Soit M = N M un S-bimodule gradue par un poids. Alors le S-bimodule f (M ) est bigradue,
2
1
2
=0
( )
( )
( )
d'une part ave la graduation venant du fon teur analytique, d'autre part ave la graduation totale
venant du poids.
Posons f n = fn Æ n ou fn est une appli ation n-lineaire. La premiere graduation s'e rit f (M ) n = fn(M; : : : ; M ). La deuxieme orrespond a
X fn(M i1 ; : : : ; M in ):
f (M ) =
Demonstration.
( )
( )
(
( )
)
(
i1 ++in =
)
Corollaire 75. Toute properade libre (respe tivement PROP libre) sur un S-bimodule M gradue
par un poids est bigradue.
Le fon teur F (respe tivement S (F )) est un fon teur analytique dont les
degres sont donnes par le nombre de sommets des graphes. La premiere graduation est don
donnee par le nombre d'operations de M qui servent a representer un element de F (M ). La
deuxieme graduation est egale a la somme des poids de es operations.
Definition (Properades di erentielle graduees par un poids). Une properade di erentielle graduee
par un poids (P ; ; ) est un monode dans la ategorie (gr-dg-S-biMod; ; I ).
Une telle properade sera dite onnexe si de plus P = I .
Remarque : Duallement, on a la notion de oproperade di erentielle (et di erentielle graduee par
un poids). Une oproperade di erentielle orrespond a une oproperade dont le oproduit est un
morphisme de dg-S-bimodules, 'est-a-dire veri e une relation du type oderivation.
De la m^eme maniere, on peut onsiderer des PROPs di erentiels.
Definition (PROPs di erentiels). On appelle PROP di erentiel la donnee d'une stru ture de
PROP (P ; e; on ; ) dans la ategorie (dg-S-biMod; ; ).
On exige don en plus que les morphismes de ompositions e et on soient des morphismes de
degre 0 de S-bimodules di erentiels, 'est-a-dire qu'ils veri ent des relations du type derivation.
Par exemple, pour la omposition horizontale, on a
Æ ( on (p q )) = on (Æ (p) q ) + ( 1) p on (p Æ (q )):
56
Demonstration.
(0)
j j
2.
P -MODULES LIBRES ET QUASI-LIBRES
On a des versions PROPiques des resultats pre edents. Par exemple, ave la proposition 71, on
montre la proposition suivante.
e
e
Proposition 76. Lorsque le orps k est de ara teristique nulle, pour tout PROP di erentiel
(P ; ; on ), l'homologie de e PROP (H (P ); H (); H ( on )) est un PROP gradue.
On peut aussi de nir la notion de PROP di erentiel gradue par un poids.
Definition (PROP di erentiel gradue par un poids). Un PROP di erentiel gradue par un poids
est la donne d'un PROP dans la ategorie des S-bimodules di erentiels gradues par un poids
(gr-dg-S-biMod; ; ).
Un tel PROP est dit onnexe si P (0) = S (I ).
2. P -modules libres et quasi-libres
Soit P une properade di erentielle. La notion de P -module s'etend naturellement au as di erentiel.
On s'interesse i i plus parti ulierement aux P -modules libres et a une version legerement di erente,
elle des P -modules quasi-libres. On ne traitera i i que les P -modules a droite, le as des P -modules
a gau he etant parfaitement symetrique.
2.1. P -modules di erentiels libres. Les resultats generaux sur les ategories monodales
donnes au hapitre 1, montrent que le P -module di erentiel libre a droite sur un dg-S-module M
orrespond a L = M P . La di erentielle Æ sur L est la di erentielle anonique sur le produit
M P expli it
ee pre edemment.
De la m^eme maniere, si (P ; ; ; ") est une properade di erentielle augmentee, 'est-a-dire que
l'on a en plus un morphisme monodal de dg-S-bimodules " : P ! I , on peut appliquer la
proposition 14. Dans e as, le quotient inde omposable du P -module di erentiel libre L = M P
est isomorphe, en tant que dg-S-bimodule, a M .
2.2. P -modules quasi-libres. Par la suite, nous traiterons des exemples qui ne rentrent
pas stri tement dans le adre des P -modules libres. En e et, dans es as la, la di erentielle Æ
orrespond a la somme de la di erentielle anonique Æ ave un morphisme homogene de degre 1.
Definition (P -module quasi-libre a droite). Un P -module quasi-libre a droite L est un dg-Sbimodule de la forme M P mais ou la di erentielle Æ est la somme Æ + d de la di erentielle
anonique Æ sur le produit M P ave un morphisme homogene de degre 1, d : M P ! M P
tel que
X
d ((m1 ; : : : ; mb ) (p1 ; : : : ; pa ))
b
( 1)jm1 j++jm
1j
=
(m1 ; : : : ; d (m ); : : : ; mb ) (p1 ; : : : ; pa ):
=1
Ainsi, Æ :
M
P ! M P veri
X
X
e la relation de derivation suivante
Æ ((m1 ; : : : ; mb ) (p1 ; : : : ; pa ))
b
( 1)jm1 j++jm
1j
=
(m1 ; : : : ; Æ (m ); : : : ; mb ) (p1 ; : : : ; pa ) +
=1
a
( 1)jm1 j++jmb j+jp1 j++jp
1j
(m1 ; : : : ; mb ) (p1 ; : : : ; Æ (p ); : : : ; pa ):
=1
Comme Æ 2 = 0, l'identite Æ 2 = 0 est equivalente a Æd + d Æ + d 2 = 0.
Si on e rit d (m ) = (m01 ; : : : ; m0b0 ) 0 (p01 ; : : : ; p0a0 ) 2 M P , alors
(m1 ; : : : ; d (m ); : : : ; mb ) (p1 ; : : : ; pa )
57
CHAPITRE 3. PROPE RADES ET PROPS DIFFE RENTIELS
orrespond en fait a
(m1 ; : : : ; m1 ; : : : ; mb ; : : : ;
0
0
0
mb ) 0 ((p01 ; : : : ; p0a0 ) (p1 ; : : : ; pa )) 2 M
On peut remarquer que le morphisme d est determine par sa restri tion sur
Proposition 77. Le morphisme M
seulement si d = 0.
M /M
P
M
P:
M /M
P .
est un morphisme de dg-S-bimodules si et
Cependant si P est une properade di erentielle augmentee, la ondition pour que le morphisme
M " soit un morphisme de dg-module est moins restri tive.
Proposition 78. Soit (P ; ; ; ") une properade augmentee. Le morphisme M P
est un morphisme de dg-S-bimodules si et seulement si
M
P
d
/M
M "
/M
P M " / M = 0:
M "
d
Corollaire 79. Dans le as ou la omposition M P / M P
tient inde omposable de L est isomorphe a M en tant que dg-S-bimodule.
/ M est nulle, le quo-
Dans la suite, les exemples de P -modules quasi-libres que nous aurons a traiter auront souvent
une forme parti uliere.
Definition (P -module quasi-libre analytique). Soit P une properade di erentielle augmentee. Un
P -module quasi-libre analytique a droite est un P -module quasi-libre de la formeLL = (V ) P ,
ou V est un dg-S-bimodule et (V ) un fon teur analytique en V . On pose = n (n) ou (n)
est un fon teur polynomial homogene de degre n tel que (0) = I . En outre, on suppose de V
est gradue par un poids et que V (0) = 0. Comme nous l'avons vu a la proposition 74, (V ) est
bigradue, d'abord par les degres du fon teur analytique puis par la graduation totale venant du
poids de V .
On impose de plus que le morphisme d veri e
d : (V )(n) ! (V ) (I |{z}
P );
| {z }
1
(<n)
ou la graduation (n) est i i la graduation totale venant du poids de V .
De plus, si P est graduee par un poids on exige que le morphisme d preserve globalement la
graduation totale venant des poids de P et de V .
On a immediatement la proposition suivante.
Proposition 80. Soit L = (V ) P un P -module quasi-libre analytique. Le morphisme d veri e
d : (V ) P ! (V ) P :
| {z }
| {z }
(n)
Et,
M
P
d
(<n)
/M
P M " / M = 0:
(V ).
Exemples : Les exemples de P -modules quasi-libres analytiques que nous aurons a traiter se
divisent en deux ategories.
{ Dans le as ou V = P , on trouve la bar onstru tion (V ) = B(P ) = F (P ) ( f.
hapitre 4) ainsi que la bar onstru tion simpli iale (V ) = C(P ) = FS (P ) ( f. hapitre
6). Alors la bar onstru tion augmentee B(P ) P , et la bar onstru tion simpli iale
augmentee C(P ) P sont deux exemples de P -modules quasi-libres analytiques.
{ Si P est une properade quadratique engendree par un dg-S-bimodule V . La properade
duale de Koszul P < est un fon teur analytique en V ( f. hapitre 7). Le omplexe de
Koszul P < P est alors un exemple de P -module quasi-libre analytique.
58
On peut don identi er le quotient inde omposable de L a
3. PROPE RADES ET PROPS QUASI-LIBRES
Proposition 81. Lorsque P est une properade di erentielle augmentee graduee par un poids, tout
P -module quasi-libre analytique L = (V ) P se de ompose en somme dire te de sous- omplexes
() u L() = ((V ) P)() represente le sous-module de L ompose des elements
L=
2N L , o
L
de graduation totale .
Demonstration. Les di erentielles Æ(V ) et ÆP preservent ette graduation sur (V ) et P respe tivement. Et, par de nition, le morphisme d preserve ette graduation globalement.
Definition (Morphisme de P-modules quasi-libres analytiques). Soient L = (V ) P et L0 =
0 (V 0 ) P deux P-modules quasi-libres analytiques. Et soit : L ! L0 un morphisme de Pmodules di erentiels. On dit que est un morphisme de P -modules quasi-libres analytiques si, de
plus, preserve la graduation en V :
: (V ) P ! 0 (V 0 ) P :
| {z }
| {z }
n
n
Si, en outre, la properade di erentielle P est graduee par un poids, omme V et V 0 sont aussi
gradues par un poids, on impose en plus que preserve la graduation naturelle globale de (V )
P:
: L() = ((V ) P)() ! L0 () = (0 (V 0 ) P)() :
On note () la restri tion de au sous- omplexe L() .
Remarque : On a les notions duales de C- omodule di erentiel olibre sur un dg-S-bimodule M
(donne par M C), de C- omodule quasi- olibre et de C- omodule quasi- olibre analytique. La
obar onstru tion aumgentee a droite B (C) C est un exemple de C- omodule quasi- olibre
analytique.
3. Properades et PROPs quasi-libres
Pour expli iter la onstru tion de la properade et du PROP libres dans le as di erentiel, il
reste a omprendre de nir la di erentielle. En outre, omme pour les P-modules, les notions de
properade et de PROP di erentiels libres n'englobent pas tous les as que nous aurons a traiter.
C'est pourquoi, on onsidere les properades et les PROPs quasi-libres, qui apparaissent omme
des properades et des PROPs libres mais dont la di erentielle est la somme de la di erentielle de
la properade libre ave une derivation.
3.1. Properades di erentielles libres. Soit (V; Æ) un dg-S-bimodule. Une appli ation dire te des resultats de la se tion 6 du hapitre 1, sur la onstru tion du monode libre, montre que
le S-bimodule gradue F(V ) est donne par la somme dire te sur les graphes onnexes (sans niveau)
dont les sommets sont indi es par des elements de V ( f. theoreme 50), soit
F(V
0M O
)=
g
2G 2N
(j
( )j j
1,
( )j)A
V Out ; In :
L
Cette onstru tion revient a onsiderer l'objet simpli ial libre FS(V ) = n2N(V+ )n quotiente
par la relation engendree par I V V I . Or, dans la adre di erentiel, pour pouvoir de nir
la di erentielle d'un tel objet, il faut ^etre plus n au niveau des signes. On quotiente alors FS(V )
par la relation engendree par (1 ; ; 2 ) (10 ; 1; 20 ) ( 1)j2 j+j1 j (1 ; 1; 1; 2 ) 0 (10 ; ; 20 ), par
exemple, ou appartient a V (2; 1) i i.
Proposition 82. La di erentielle anonique Æ de nie sur FS(V ) a partir de elle de V , passe
au quotient pour la relation d'equivalen e .
Demonstration. La veri ation des signes est immediate et le al ul est semblable a elui e e tue
pour demontrer le lemme 60.
Theoreme 83. La properade di erentielle F(V ) munie de la di erentielle Æ est la properade
0
di erentielle libre sur V .
59
CHAPITRE 3. PROPERADES
ET PROPS DIFFERENTIELS
Remarque : La de omposition analytique du fon teur F (V ) donnee par la proposition 52 est
stable par la di erentielle Æ . Cette de omposition reste don toujours vraie dans le as di erentiel.
De plus, la proje tion F (V ) ! F(1) (V ) = V permet d'identi er le dg-S-bimodule V ave le quotient inde omposable de F (V ).
Nous allons voir que le fon teur F possede de bonnes proprietes homologiques.
Proposition 84. Lorsque k est un orps de ara teristique nulle, le fon teur F : dg-S-biMod !
dg-properades est un fon teur exa t, 'est-a-dire H (F (V )) = F (H (V )).
Demonstration. La demonstation de ette proposition est essentiellement la m^eme que elle
du theoreme 4 de l'arti le de M. Markl et A. A. Voronov [MV℄ et repose en ore une fois sur le
theoreme de Mashke.
Remarque : On fait exa tement le m^eme raisonnement pour les oproperades olibres puisque le
dg-S-bimodule sous-ja ent F (V ) = F (V ) est le m^eme.
On poursuit la m^eme demar he pour de rire le PROP libre. Pour ela, on onsidere les signes
dus aux regles de Koszul-Quillen dans les isomorphismes de symetrie du produit monodal des
S-bimodules. Ave es regles de signes, on de nit immediatement une di erentielle Æ sur S (F (V )).
Theoreme 85. Le PROP di erentiel libre sur un dg-S-bimodule V est donne par la onstru tion
S (F (V )) munie de la di erentielle Æ.
En utilisant le theoreme de Mashke, on montre que le fon teur S est un fon teur exa t. Et par
omposition de fon teurs exa ts, le fon teur PROP libre est un fon teur exa t.
Proposition 86. Lorsque k est un orps de ara teristique nulle, le fon teur
S Æ F : dg-S-biMod ! dg-PROPs
est un fon teur exa t, 'est-a-dire
(F (V ))) = S (F (H (V ))):
3.2. Properades quasi-libres. Une properade quasi-libre est une properade libre mais dont
la di erentielle est omposee de la somme de deux termes : la di erentielle anonique Æ plus une
derivation.
Definition (Derivation). Soit P une properade di erentielle. Un morphisme d : P ! P homogene de degre jdj de S-bimodules est appele derivation s'il veri e l'identite suivante :
Æ (((p1 ; : : : ; pb ) (p01 ; : : : ; p0a ))) =
H (S
b
X
( 1)(jp1 j++jp
=1
a
X
j jdj((p1 ; : : : ; Æ(p ); : : : ; pb ) (p0 ; : : : ; p0 )) +
1
a
1 )
0
( 1)(jp1 j++jpb j+jp1 j++jp
0
j jdj((p1 ; : : : ; pb ) (p0 ; : : : ; Æ(p0 ); : : : ; p0 )):
1 )
1
=1
a
Par exemple, la di erentielle Æ d'une properade di erentielle est une derivation homogene de degre
1 telle que Æ 2 = 0. Remarquons que si d est une derivation homogene de degre 1 alors la
somme Æ + d est en ore une derivation de m^eme degre. Et dans e as, omme Æ 2 = 0, l'equation
(Æ + d)2 = 0 est equivalente a Æd + dÆ + d2 = 0.
Remarque : Dualement, pour une oproperade di erentielle C , on de nit la notion de oderivation.
On s'interesse maintenant a la forme des derivations sur la properade di erentielle libre F (V ).
Lemme 87. Soit F (V ) la properade libre sur le dg-S-bimodule V . Pour tout morphisme homogene
: V ! F (V ), il existe une unique d
erivation homogene de m^eme degre d : F (V ) ! F (V )
telle que sa restri tion a V F (V ) orresponde
a . Cette orrespondan e est bije tive. De plus,
si : V ! F(r) (V ) alors, on a d F(s) (V ) F(r+s 1)(V ).
60
3. PROPERADES
ET PROPS QUASI-LIBRES
Demonstration. Soit g un graphe a n sommets. On de nit d sur un representant d'une lasse
d'equivalen e pour la relation (depla ement verti al des sommets au signe pres) asso ie au
graphe g . Cela N
revient a hoisir un ordre pour e rire les elements de V qui indi ent les sommets
de g . E rivons ni=1 i e representant, ave i 2 V . On pose alors
d (
n
O
i=1
i )
=
n
X
0
( 1)j1 j++ji 1 j i 1
O
1
j A
0
(i )
j =1
i=1
n
O
1
j A :
j =i+1
Un al ul rapide montre que ette appli ation est bien onstante sur la lasse d'equivalen e pour
la relation (la veri ation est du m^eme que elle du lemme 60 et fait appel aux signes de nis
pour la relation dans le adre di erentiel). En fait, l'appli ation d revient a e e tuer a haque
element de V indiant un sommet du graphe g . (Comme est un morphisme de S-bimodules, entre
autre, l'appli ation d passe bien au quotient pour la relation .)
La surje tivite du produit sur la properade libre F (V ) montre l'uni ite de la derivation d ainsi
que le fait que toute derivation soit de ette forme.
En n, si l'appli ation asso ie a un element de V , des elements de F (V ) qui s'e rivent ave des
graphes a r sommets
( ree r 1 sommets), alors on voit de la forme de d donnee pre edemment
que d F(s) (V ) F(r+s 1) (V ).
On a le lemme dual dans le adre des oproperades.
F
(V ) la oproperade olibre onnexe sur le dg-S-bimodule V . Pour tout morF (V ) ! V , il existe une unique oderivation homogene de m^eme degre
d : F (V ) ! F (V ) telle que sa proje tion sur V orresponde a . Cette orrespondan e est
bije tive. De plus, si : F (V ) ! V est nulle sur toutes les omposantes F(s) (V ) F (V ), pour
s 6= r, alors, on a d F(s+r 1) (V ) F(s) (V ), pour tout s > 0.
Lemme 88. Soit
phisme homogene :
Graphiquement, e e tuer la oderivation d sur un element de F (V ) represente par un graphe g
revient a appliquer a tous les sous-graphes possibles de g .
On peut maintenant donner la de nition d'une properade quasi-libre.
Definition. (Properade quasi-libre)
Une properade quasi-libre P est une properade di erentielle dont le S-bimodule gradue sous-ja ent
est de la forme P = F (V ) mais dont la di erentielle Æ : F (V ) ! F (V ) est egale a la somme de
la di erentielle anonique Æ sur la properade libre ave une derivation d , soit Æ = Æ + d .
Gr^a e au lemme pre edent, on sait que toute derivation d est determinee par sa restri tion sur V ,
: V ! F (V ). Ainsi, l'in lusion V ! F (V ) est un morphisme de dg-S-bimodules si et seulement
si est nul. Par ontre, la ondition pour que la proje tion F (V ) ! V soit un morphisme de
dg-S-bimodules est moins restri tive.
Proposition
L 89. La proje tion
si (V ) r2 F(r) (V ).
F (V ) ! V
est un morphisme de dg-S-bimodules si et seulement
L
Dans e as, on a d (F (V )) r2 F(r) (V ), et alors le quotient inde omposable de la properade
quasi-libre P = F (V ) est isomorphe, en tant que dg-S-bimodule, a V .
En dualisant, on a la notion de oproperade quasi- olibre.
Definition (Coproperade quasi- olibre). Une oproperade quasi- olibre C est une oproperade
di erentielle dont le S-bimodule gradue sous-ja ent est de la forme C = F (V ) mais dont la
di erentielle Æ : F (V ) ! F (V ) est egale a la somme de la di erentielle anonique Æ sur la
oproperade libre ave une oderivation d , soit Æ = Æ + d .
Le lemme pre edent sur les oderivations des oproperades olibres montrent que la proje tion
F (V ) ! V est un morphisme de dg-S-bimodules si et seulement si est nulle. Alors que l'in lusion
V ! F (V ) est un morphisme de dg-S-bimodules si et seulement si est nulle sur F(1) (V ) = V .
61
CHAPITRE 3. PROPE RADES ET PROPS DIFFE RENTIELS
Exemples : Les deux exemples fondamentaux
de oproperades et properades
quasi-libres sont
donnes par la bar onstru tion F P et la obar onstru tion F 1 C reduites. Ces deux
onstru tions sont etudiees en detail dans le hapitre suivant.
3.3. PROPs quasi-libres. On fait la m^
eme etude pour les PROPs quasi-libres.
Definition. Soit P un PROP di erentiel. Un morphisme d : P ! P homogene de degre jdj de
S-bimodules est appele derivation si d est une derivation pour la properade U (P ) et pour l'algebre
(P ; ; on ). Cette derniere ondition s'e rit
Æ ( on (p q )) = on (Æ (p) q ) + ( 1)jpjjdj on (p Æ (q )):
On a le m^eme type de lemme que dans le as des properades.
Lemme 90. Soit S (F (V )) le PROP libre sur le dg-S-bimodule V . Pour tout morphisme homogene
: V ! S (F (V )), il existe une unique d
erivation homogene de m^eme degre d : S (F (V )) !
S (F (V )) telle que sa restri tion a V S (F (V )) orresponde a . Cette orrespondan e est
bije tive. De plus, si : V ! S (F (V ))(r) alors, on a d S (F (V ))(s) S (F (V ))(r+s 1) .
La derivation d appliquee a un element de S (F (V )) represente par un graphe g s'e rit ave une
sommme indi ee par l'ensemble des sommets du graphe g de graphes ou on rempla e l'operation
pla ee au sommet par son image via .
Demonstration. La demonstration est la m^eme que dans le as des properades. 2
Dualement, on la notion de oderivation sur les oPROPs et le lemme suivant.
Lemme 91. Soit S (F (V )) le oPROP olibre sur le dg-S-bimodule V . Pour tout morphisme
homogene : S (F (V )) ! V , il existe une unique oderivation homogene de m^eme degre d :
S (F (V )) ! S (F (V )) telle que sa proje tion sur V orresponde a . Cette orrespondan e est
bije tive. De plus, si : S (F (V )) ! V est nulle sur toutes les omposantes S (F (V ))(s) S (F (V )), pour s 6= r, alors, on a d S (F (V ))(s+r 1) S (F (V ))(s) , pour tout s > 0.
Graphiquement, e e tuer la oderivation d sur un element de S (F (V )) represente par un graphe
g revient a appliquer a tous les sous-graphes possibles de g.
La de nition de PROP quasi-libre est semblable a elle de properade quasi-libre.
Definition (PROP quasi-libre). On appelle PROP quasi-libre, un PROP di erentiel P dont le
S-bimodule gradue sous-ja ent est un PROP libre S (F (V )) et dont la di erentielle Æ est la
somme de la di erentielle anonique Æ et d'une derivation d .
Dualement, on a la notion de oPROP quasi- olibre.
Definition ( oPROP quasi- olibre). Un oPROP quasi- olibre C est un oPROP di erentiel
dont le S-bimodule gradue sous-ja ent est de la forme S (F (V )) mais dont la di erentielle Æ :
S (F (V )) ! S (F (V )) est egale a la somme de la di erentielle anonique Æ sur le oPROP
olibre ave une oderivation d , soit Æ = Æ + d .
Exemples : Les deux prin ipaux exemples de PROPs et de oPROPs quasi-libres sont donnes par
la bar et la obar onstru tions reduites qui font l'objet du hapitre suivant.
62
CHAPITRE 4
Bar et obar onstru tions
On generalise i i les bar et obar onstru tions des algebres et des operades aux properades et aux
PROPs. Pour ela, on etudie d'abord les proprietes des produits et oproduits partiels. Puis, on
de nit la bar et la obar onstru tion en ommenant par leurs versions reduites pour passer ensuite
a la version a oeÆ ients. Ces bar onstru tions possedent de bonnes proprietes homologiques,
elles permettront d'obtenir des resolutions pour les properades et les PROPs di erentiels ( f.
theoreme 125 et le hapitre 7). A n d'etablir es resolutions, nous ommenons par montrer dans
e hapitre que les bar et les obar onstru tions augmentees sont a y liques.
1. Produit et
oproduit de
omposition partiel
Avant de donner la de nition des deux bar onstru tions, nous rappelons e qu'est la suspension
et la desuspension d'un dg-S-bimodule ainsi que les proprietes veri ees par les produits et les
oproduits de omposition partiels.
1.1. Suspension d'un dg-S-bimodule. Soit le S-bimodule gradu
e de ni par
(0; 0) = k:s ou s est un element de degre +1,
(m; n) = 0 sinon.
Definition (Suspension V ). On appelle suspension du dg-S-bimodule V , le dg-S-bimodule
V = V .
Cette operation revient a tensoriser par s de tous les elements de V . A v 2 V 1 on asso ie don
s v 2 (V ) que l'on note souvent v . Ainsi, (V ) est naturellement isomorphe a V 1 . Selon
les prin ipes enon es au hapitre pre edent, la di erentielle sur V est donnee par la formule
Æ (v ) = Æ (v ), pour tout v dans V . La suspension V orrespond don a l'introdu tion d'un
element de degre +1 qu'il faut prendre en ompte lors des permutations faisant intervenir des
signes (regles de Koszul-Quillen).
d
d
d
d
De la m^eme maniere, on de nit 1 par
1
(0; 0) = k:s 1 ou s est un element de degre -1,
1 (m; n) = 0
sinon.
Definition (Desuspension 1 V ). On appelle desuspension du dg-S-bimodule V , le dg-S-bimodule 1 V = 1 V .
1.2. Produit de omposition partiel. Soit (P ; ; ; ") une prop
erade augmentee. Comme
les graphes a deux niveaux sont munis d'une bigraduation en fon tion du nombre de sommets sur
on peut de omposer le produit de omposition de la maniere suivante =
Lhaque niveau,
,
o
2N ( ) u
P ) (I |{z}
P ) ! P:
( ) : (I |{z}
r; s
r; s
r; s
r
s
(Produit de omposition partiel). On appelle produit de omposition partiel la restri tion du produit de omposition a (I |{z}
P ) (I |{z}
P ). Le produit de omposition partiel
Definition
orrespond don au (1 1) pre edent.
;
1
1
CHAPITRE 4. BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS
On peut remarquer que le produit de omposition partiel orrespond au produit ne faisant intervenir que deux elements non triviaux de P .
le adre des operades [GK℄, e produit de omposition partiel n'est autre que
le produit partiel note Æi . Une parti ularite fondamentale des operades est que e produit partiel
engendre le produit global Æ (toute omposition peut s'e rire ave un nombre ni de ompositions
partielles su essives).
Dans le as des dioperades ( f. [G℄), l'auteur ne onsidere que les produits de omposition partiels
ne faisant intervenir qu'une seule bran he entre haque sommet. Et dans le as des 21 -PROPs
( f. [MV℄), les auteurs restreignent en ore les produits partiels aux ouples dont au moins une
operation n'admet qu'une seule entree ou sortie. Deux es deux as, le produit monodal etudie
est elui engendre par les produits partiels.
Notons que le produit de omposition des properades est aussi engendre par les produits partiels
( f. hapitre 6).
Remarque : Dans
Lemme 92. Si (P ; ; ; ") est une properade di erentielle augmentee, alors le produit de omposition partiel (1; 1) induit un morphisme homogene de degre 1
: F(2) (P ) ! P :
Rappelons que si P est un S-bimodule di erentiel, la properade libre F (P ) sur P est bigraduee.
La premiere graduation vient du nombre d'operations de P utilisees pour representer un element
de F (P ). On note ette graduation F(n)(P ). La deuxieme graduation, i i le degre homologique,
est obtenu en e e tuant la somme des degres des operations de P .
Soit (1; : : : ; 1; q; 1; : : : ; 1)(1; : : : ; 1; p; 1; : : : ; 1) un element de degre homologique jqj + jpj + 2 de F(2) (P ). On de nit par
Demonstration.
((1; : : : ; 1; q; 1; : : : ; 1)(1; : : : ; 1; p; 1; : : : ; 1)) =
( 1) q (1; 1) (1; : : : ; 1; q; 1; : : : ; 1)(1; : : : ; 1; p; 1; : : : ; 1):
j j
Et omme P est une properade graduee, e dernier element est de degre jqj + jpj + 1 soit un de
moins que son ante edent.
Au morphisme homogene , on peut asso ier une oderivation d : F (P ) ! F (P ) gr^a e au
lemme 88.
93. La oderivation d veri e les proprietes suivantes :
(1) L'equation Æd + d Æ = 0 est vraie si et seulement si le produit de omposition partiel
Proposition
(1; 1)
est un morphisme de dg-S-bimodules.
(2) On a toujours d 2 = 0.
Demonstration.
(1) D'apres le lemme 88, appliquer d a un element de F (P ) revient a e e tuer a tous les
sous-graphes possibles du graphe representant et element. I i, il suÆt don d'appliquer
a tous les ouples de sommets relies par au moins une bran he et n'admettant au un
sommet intermediaire. Or pour un ouple de sommets indi es par q et p, on a d'une
part
Æ
Æ d ((1; : : : ; 1; q; 1; : : : ; 1)(1; : : : ; 1; p; 1; : : : ; 1)) =
( 1) q Æ (1; 1) ((1; : : : ; 1; q; 1; : : : ; 1)(1; : : : ; 1; p; 1; : : : ; 1)) =
( 1) q +1 Æ (1; 1) ((1; : : : ; 1; q; 1; : : : ; 1)(1; : : : ; 1; p; 1; : : : ; 1))
64
j j
j j
1. PRODUIT ET COPRODUIT DE COMPOSITION PARTIEL
et d'autre part
d Æ Æ ((1; : : : ; 1; q; 1; : : : ; 1) (1; : : : ; 1; p; 1; : : : ; 1)) =
d
(1; : : : ; 1; Æ(q); 1; : : : ; 1)(1; : : : ; 1; p; 1; : : : ; 1) +
( 1) q (1; : : : ; 1; q; 1; : : : ; 1)(1; : : : ; 1; Æ(p); 1; : : : ; 1) =
( 1) q (1; 1) ((1; : : : ; 1; Æ(q); 1; : : : ; 1)(1; : : : ; 1; p; 1; : : : ; 1)) +
(1; 1) ((1; : : : ; 1; q; 1; : : : ; 1)(1; : : : ; 1; Æ(p); 1; : : : ; 1)):
Ainsi, Æd + d Æ = 0 implique
Æ (1; 1) ((1; : : : ; 1; q; 1; : : : ; 1) (1; : : : ; 1; p; 1; : : : ; 1)) =
(1; 1) ((1; : : : ; 1; Æ (q ); 1; : : : ; 1) (1; : : : ; 1; p; 1; : : : ; 1)) +
( 1) q (1; 1) ((1; : : : ; 1; q; 1; : : : ; 1)(1; : : : ; 1; Æ(p); 1; : : : ; 1));
'est-a-dire que le produit de omposition partiel (1; 1) est un morphisme de dg-Sbimodules. Dans l'autre sens, on on lut en remarquant qu'e e tuer Æd + d Æ revient a
faire une somme d'expressions du type pre edent.
j j
j j
j j
(2) Pour montrer que d 2 = 0, il faut s'interesser aux paires de ouples distin ts de sommets
d'un graphe. Deux as de gure sont possibles: soit on a a aire a deux ouples de sommets
dont les quatres sommets sont dis tin ts (a), soit les deux ouples ont un sommet en
ommun (b).
(a) Sur un element de la forme
X q1 p1 Y
q2 p2 Z;
on e e tue deux fois en ommenant par un ouple di erent a haque fois, e qui
donne
( 1) X + q1 ( 1) X + q1 + p1 +1+ Y + q2 + ( 1) X + q1 + p1 + Y + q2 ( 1) X + q1
X (1; 1) (q1 p1 ) Y
(1; 1) (q2 p2 ) Z = 0:
(b) Dans e as, deux on gurations sont possibles
{ Le sommet ommun peut ^etre entre les deux autres sommets (dans le sens du
graphe) ( f. gure 1 ).
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
p
q
r
Fig. 1.
Alors, sur un element de la forme
X r q p
65
Y;
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
CHAPITRE 4. BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS
si on applique deux fois en ommenant par un ouple di erent a haque
fois, on trouve
( 1) X + r ( 1) X + r + q X (1; 1)((1; 1) (r q) p) Y +
( 1) X + r +1+ q ( 1) X + r X (1; 1)(r (1; 1)(q p)) Y = 0;
par asso iativite du produit partiel (1; 1) (qui vient de elle de ).
{ Sinon, le sommet ommun est au-dessus ( f. gure 2) ou en dessous des deux
autres.
j
j
j j
j
j
j j
j
j
j j
j j
j
j j
j
j j
r
||
||
|
|
||
p
q
Fig. 2.
On fait le m^eme al ul que pre edemment pour un element de ette forme
pour obtenir
X + r +1+ q
( 1)
( 1) X + r X (1; 1)(r (1; 1) (q p)) Y +
( 1)( r )+1( q +1)+ X + q +1+ r ( 1) X + q X (1; 1)(q (1; 1) (r p)) Y = 0:
En e et, l'asso iativite de (1; 1) donne
(1; 1) (q (1; 1) (r p)) = ( 1) r q (1; 1) (r (1; 1) (q p)):
On on lut en remarquant que le resultat de l'appli ation d 2 est une somme d'expressions
des deux formes pre edentes.
Remarque : Ce sont les regles naturelles sur les signes qui permettent d'avoir ette proposition. Dans les arti les de [ ℄ et [ ℄, es signes sont exprimes sous la forme de l'operade (resp.
dioperade) Det.
Definition (Sommets adja ents). On appelle sommets adja ents tout ouple de sommets d'un
graphe relies par au moins une bran he et n'admettant au un sommet intermediaire. Ils orrespondent a des sous-graphes de la forme F(2)(V ) et sont les ouples omposables par la oderivation
d .
Remarque : La oderivation d onsiste a omposer les ouples de sommets adja ents. Pour
de nir l'homologie des graphes, M. Kontsevi h avait introduit dans [ ℄ la notion d'edge ontra tion. Cette notion revient a omposer deux sommets relies par une seule bran he. Dans le as des
operades (arbres) et des dioperades (graphes de genre 0), les sommets adja ents sont relies entre
eux par une seule bran he, on retrouve alors ette notion ( f. [ ℄ et [ ℄). La oderivation d est
don la generalisation naturelle de ette notion d'edge ontra tion.
j
j
j j
j j
j j
j j
j
j
j
j
j j
j j
j j
j
j
j j
j jj j
GK
G
Ko
GK
G
On peut dualiser les resultats de la partie pre edente.
Definition (Coproduit partiel). Soit (C ; ; "; ) une oproperade oaugmentee. On appelle
produit partiel la omposition d'appli ations
C ! C C (I |{z}
C ) (I |{z}
C );
1.3. Coproduit partiel.
66
1
1
o-
2. BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS
notee (1; 1)
.
Lemme 94. Pour toute oproperade di erentielle oaugmentee
induit un morphisme homogene de degre 1
0 : 1 C ! F(2) ( 1 C):
(C ; ; "; ), le
oproduit partiel
X
Soit un elelment de C. En s'inspirant des notations de Sweedler, posons
(1; : : : ; 1; 0; 1; : : : ; 1)(1; : : : ; 1; 00; 1; : : : ; 1):
; ( )=
Demonstration.
(1 1)
0
(
X
;
00 )
Alors 0( ) de ni par
( 1)j j(1; : : : ; 1; 0 (
)=
1
1
(
onvient.
0
;
0
1
0 ; 1; : : : ; 1)(1; : : : ; 1; 00 ; 1; : : : ; 1);
1
00 )
Remarque : Le signe apparaissant devant le symbole dans la derniere expression n'est pas essentiel i i. Il deviendra par ontre fondamental dans la demonstration de la resolution bar- obar( f.
theoreme 125).
Gr^a e au lemme 87, au morphisme 0 on peut asso ier une derivation d : F ( C) ! F ( C)
de degre 1 veri ant la proposition suivante:
Proposition 95.
(1) L'equation Æd + d Æ = 0 est vraie si et seulement si le oproduit partiel ; est un
morphisme de dg-S-bimodules.
(2) On a toujours d = 0.
Demonstration. La demonstration du lemme 87 montre qu'e e tuer d sur un element de
F ( C) revient a appliquer 0 a haque sommet du graphe representant le dit element. Ainsi, les
arguments pour montrer ette proposition sont du m^eme type que pour la proposition pre edente.
Notamment le deuxieme point vient de la oasso iativite de ; qui vient de elle de et des
regles de signes.
Remarque : La derivation d revient a e e tuer le oproduit partiel sur toutes les operations
indiant un sommet. Cette derivation est la generalisationnaturelle de la notion de vertex expansion
introduite par M. Kontsevi h [Ko℄ dans le adre de la ohomologie des graphes. Dans le as des
algebres et des operades, la derivation d orrespond a la "vertex expansion" des arbres.
1
0
0
0
0
1
(1 1)
2
0
1
(1 1)
0
0
2. Bar et obar onstru tions
A l'aide des deux propositions pre edentes, on peut maintenant de nir la bar et la obar onstru tion des properades. Puis nous generalisons es deux onstru tions au adre des PROPs.
2.1. Bar et obar onstru tions reduites.
Definition (Bar onstru tion reduite). A tout properade di erentielle augmentee (P ; ; ; "), on
peut asso ier la oproperade quasi- olibre B(P ) = F (P ) munie de la di erentielle Æ = Æ + d ,
ou est le morphisme induit par le produit partiel sur P ( f. lemme 92). Cette oproperade
quasi- olibre est appelee bar onstru tion reduite de P .
L'egalite Æ = 0 vient de Æd + d Æ = 0 et de d = 0.
Si on pose B s (P ) = F s (P ), alors d de nit le omplexe
d / B s (P ) d / B s (P ) d / d / B (P ) d / B (P ):
En raisonnant de maniere duale, on obtient la de nition suivante:
Definition (Cobar onstru tion reduite). A tout oproperade di erentielle oaugmentee (C , ,
", ), on peut asso ier la prop
erade quasi-libre B (C ) = F ( C) munie de la di erentielle Æ =
67
2
2
( )
( )
( )
(
1)
(1)
1
(0)
0
CHAPITRE 4. BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS
+ d , ou est le morphisme induit par le oproduit partiel sur C ( f. lemme 94). Cette properade
quasi-libre est appelee obar onstru tion reduite de C .
A nouveau d de nit un omplexe
B(0)(C ) d / B(1)(C ) d / d / B(s) (C ) d / B(s+1) (C ) d / :
Æ
0
0
0
0
0
0
0
0
Remarque : Lorsque P
(resp. C ) est une algebre ou une operade (resp. ogebre ou une ooperade),
on retombe sur les de nitions lassiques ( f. Seminaire H. Cartan [C℄ et [GK℄).
2.2. Bar onstru tion a oeÆ ients. Soit (P ; ; ; ") une properade di erentielle augmentee. Sur B(P ), on de nit deux morphismes homogenes r : B(P ) ! B(P ) P et l :
B(P ) ! P B(P ) de degre 1 par
r : B(P ) = F (P ) ! F (P ) F (P ) F (P ) (I |{z}
P );
1
et par
l
: B(P ) = F (P ) ! F (P ) F (P ) (I |{z}
P ) F (P ):
1
Remarquons que es deux morphismes reviennent a extraire, un par un, les sommets extremaux
(en haut et en bas) d'un graphe representant un element de F (P ).
Lemme 96. Le morphisme r induit un morphisme homogene dr de degre 1
dr : B(P ) P ! B(P ) P :
Et le dg-S-bimodule B(P ) P muni de la somme de la di erentielle anonique Æ ave la oderivation d de nie sur B(P ) et du morphisme dr est un P -module quasi-libre analytique (a
droite).
Le demonstration du lemme de oule prin ipalement des de nitions du hapitre
3. Seul point diÆ ile, l'equation (Æ + d + dr )2 = 0. On sait deja, gr^a e aux propositions de la
se tion pre edente que (Æ + d )2 = 0. Quant aux equations
(Æ + d )dr + dr (Æ + d ) = 0 et
dr 2 = 0;
elles se demontrent de la m^eme maniere que la proposition 93 en e rivant soigneusement les regles
sur les signes.
On peut remarquer que le morphisme dr revient a e r^eter les sommets se situant en haut des
graphes representant des elements de B(P ) puis a omposer les operations de P ainsi obtenues
ave elle de P issues de la premiere ligne de B(P ) P .
Definition (Bar onstru tion augmentee a droite). Le P -module quasi-libre analytique B(P ) P
est appele bar onstru tion augmentee a droite.
On peut faire exa tement le m^eme raisonnement pour l , dl et la bar onstru tion augmentee a
gau he P B(P ).
Nous demontrons dans la pro haine se tion que, omme dans le as des algebres et des operades,
les deux bar onstru tions augmentees (a gau he et a droite) sont toujours a y liques.
Posons B(P ; P ; P ) = P B(P ) P . De la m^eme maniere que pre edemment, les morphismes
r et l induisent sur B (P ; P ; P ) deux morphismes homog
enes de degre 1 :
dr ; dl : B (P ; P ; P ) ! B (P ; P ; P ):
Ainsi, on de nit sur B(P ; P ; P ) une di erentielle d par la somme de plusieurs termes:
68
Demonstration.
2. BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS
la di erentielle anonique Æ induite par elle de P ,
la oderivation d de nie sur B(P ),
du morphisme homogene dr de degre 1,
du morphisme homogene dl de degre 1.
Lemme 97. Le morphisme d ainsi de ni veri e l'equation d2 = 0.
Demonstration. En ore une fois, la demonstration repose sur les regles de signes. Les al us
sont du m^eme style que eux de la proposition 93.
Definition (Bar onstru tion a oeÆ ients). Soient L un P -module di erentiel a droite et R un
P -module di erentiel a gau he. A toute properade di erentielle augmentee (P ; ; ; "), on peut
asso ier la bar onstru tion a oeÆ ients dans L et R de nie par le dg-S-bimodule B(L; P ; R) :
= L P B(P ; P ; P ) P R muni de la di erentielle induite par d et par elles de L et R notees ÆL
et ÆR.
Proposition 98. La bar onstru tion B (L; P ; R) a oeÆ ients dans les modules L et R est
isomorphe, en tant que dg-S-bimodule, a L B(P ) R muni de la di erentielle d, de nie par la
somme des termes suivants
la di erentielle anonique Æ induite par elle de P sur B(P ),
la di erentielle anonique ÆL induite par elle de L,
la di erentielle anonique ÆR induite par elle de R,
la oderivation d de nie sur B(P ),
d'un morphisme homogene dR de degre 1,
d'un morphisme homogene dL de degre 1.
Il s'agit de bien omprendre omment le morphisme dr donne, apres passage
au produit monodal relatif, un morphisme homogene dR . En fait, le morphisme dR orrespond
a la omposition
er
/ L B(P ) P R L B(P ) r / L B(P ) R;
L B(P ) R
ou le morphisme r est induit par r de la maniere suivante: sur un element de L B(P ) R,
que l'on represente par
Demonstration.
e
e
l1
lb
b1
bs
r1
le morphisme r vaut
s
( 1)jbij(jbi+1j++jbsj)( 1)jl1j++jlbj+jb1j++jbi
X
i=1
l1
lb
b1
bi 1
bi+1
bs
ra ;
1 j+jbi+1 j++jbs j
( )
r bi
r1
rb :
Il en va de m^eme pour dL .
De ette expression de la bar onstru tion a oeÆ ients de oule immediatement le orollaire suivant.
Corollaire 99.
{ La bar onstru tion reduite B(P ) orrespond a la bar onstru tion ave des oeÆ ients
trivaux L = R = I , 'est-a-dire B(P ) = B(I; P ; I ).
{ Le omplexe de ha^nes B(L; P ; P ) = L B(P ) P (resp. B(P ; P R) = P B(P ) R)
est un P -module quasi-libre analytique a droite (resp. a gau he)
2.3. Cobar onstru tion a oeÆ ients. En dualisant les arguments pre edents, on obtient la obar onstru tion a oeÆ ients.
Soit (C ; ; "; ) une oproperade di erentielle oaugmentee et soient (L; l) et (R; r) deux C omodules di erentiels respe tivement a droite et a gau he.
69
CHAPITRE 4. BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS
Ces deux C - omodules induisent les appli ations L0 et R0 suivantes:
r
0 : R!
R
C R (I |{z}
C ) R;
1
0
L
:
L
r
!
L C L (I |{z}
C ):
1
0 et 0 induisent ha une un morphisme homogene de degre
Lemme 100. Les deux appli ations R
L
1 de la forme suivante sur L B (C ) R :
:
0
dR
L
B (C ) R
f/
0
R
L
B (C ) (I |{z}
C ) R
/
1
L
B (C ) (I | {z C}) 1
R
( ) R
L
B
C
B (C ) / L
R;
1
0
L
:
0
dL
:
L
B (C ) R
f
0
L
/ L
(I |{z}
C ) B (C ) R
/
1
L
(I | {z C}) B (C ) 1
R
( ) R
L
B
C
/ L
B (C ) R:
1
Proposition
101. Sur le S-bimodule gradue L B (C ) R, on a une di erentielle d donnee
par la somme des termes suivants :
la di erentielle anonique Æ induite par elle de C sur B (C ),
la di erentielle anonique ÆL induite par elle de L,
la di erentielle anonique ÆR induite par elle de R,
la derivation d de nie sur B (C ),
du morphisme homogene dR de degre 1,
du morphisme homogene dL de degre 1.
0
0
Definition (Cobar onstru tion a oeÆ ients). Le dg-S-bimodule L B (C ) R muni de la
di erentielle d est appele obar onstru tion a oeÆ ients dans L et R et est note B (L; C ; R).
Corollaire 102.
{ La obar onstru tion reduite B (C ) orrespond a la obar onstru tion a oeÆ ients dans
le C - omodule trivial I .
{ Le omplexe de ha^nes B (L; C ; C ) = L B (C ) C (resp. B(C ; C ; R) = C B (C ) R)
est un C - omodule quasi- olibre analytique a droite (resp. a gau he)
2.4. Bar et obar onstru tions des PROPs. Par on at
enation, on etend naturellement
les de nitions pre edentes au adre des PROPs.
Definition (Bar onstru tion reduite d'un PROP). Soit (P ; ; on ) un PROP di erentiel augmente. On appelle bar onstru tion reduite du PROP P le oPROP quasi- olibre de ni par le
S-bimodule S (F (P )) muni de la di erentielle Æ , somme de la di erentielle anonique Æ ave
l'unique oderivation d qui prolonge le morphisme induit par le produit partiel
(1; 1) : (I |{z}
P ) (I |{z}
P ) ! P:
On la note aussi B(P ).
1
1
70
3. ACYCLICITE DES BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS AUGMENTE ES
Etant donne que la oderivation se fait omposante onnexe par omposante onnexe, la bar
onstru tion PROPique est un omplexe obtenu par on atenation de la bar onstru tion properadique.
Proposition 103. On a l'isomorphisme de oPROPs di erentiels suivant
B(P ) = S (B(U (P ))):
Dualement, on de nit la obar onstru tion sur un oPROP.
Definition (Cobar onstru tion reduite d'un oPROP). Soit (C ; ; de on ) un oPROP di erentiel oaugmente . On appelle obar onstru tion reduite du oPROP C le PROP quasi-libre de ni
par le S-bimodule S (F ( 1C)) muni de la di erentielle Æ0 , somme de la di erentielle anonique
Æ ave l'unique d
erivation d qui prolonge le morphisme induit par le oproduit partiel
(1; 1) : C ! C C (I |{z}
C ) (I |{z}
C ):
0
0
1
1
On la note aussi B (C ).
Comme la derivation d preserve les omposantes onnexes, la obar onstru tion d'un oPROP
est l'algebre symetrique libre sur la obar onstru tion de la oproperade asso iee.
Proposition 104. On a un isomorphisme de PROPs di erentiels
B (C ) = S (B (U (C ))):
De la m^eme maniere que pour les properades, on de nit la bar et la obar onstru tions a oeÆients dans un P -module ( omodule) a droite L et un P -module ( omodule) a gau he R ainsi que
les bar et obar onstru tions augmentees.
Proposition 105. Soit (P ; ; on ) un PROP di erentiel augmente. Soient L un P -module di e0
rentiel a droite et
di erentiels
R
un
P -module
L
di erentiel a gau he. On a l'isomorphisme de S-bimodules
B(P ) R = S
L
B(U (P )) R :
3. A y li ite des bar et obar onstru tions augmentees
Lorsque P est une algebre, 'est-a-dire que le dg-S-bimodule P est nul en dehors de P (1; 1) = A,
on sait que la bar onstru tion augmentee (a gau he omme a droite) sur l'algebre unitaire A
est a y lique. Pour demontrer ela, on introduit dire tement une homotopie ontra tante ( f.
Seminaire H. Cartan [C℄). Dans le as des operades, B. Fresse montre que la bar onstru tion
augmentee a gau he P Æ B(P ) est a y lique, a nouveau, en exhibant une homotopie ontra tante.
Cette homotopie repose sur le fait que le produit monodal Æ est lineaire a gau he. Et l'a y li ite
de la bar onstru tion augmentee a droite de oule ensuite du resultat pre edent et des lemmes
de omparaisons sur les modules quasi-libres ( f. [Fr℄ se tion 4:6). Dans le adre general des
properades, omme le produit monodal n'est lineaire ni a gau he, ni a droite, il faut aÆner es
arguments. On ommen e ainsi par de nir une ltration sur le omplexe P B(P ); d. Cette
ltration induit une suite spe trale Ep; q onvergente. En n on montre que les omplexes Ep;0 ; d0
sont a y liques pour p > 0 en introduisant une homotopie ontra tante du m^eme type que dans
le as des algebres et des operades. On pro ede de la m^eme maniere pour montrer que les deux
obar onstru tions oaugmentees a droite et a droite sur une oproperade graduee par un poids
sont a y liques. Et omme le fon teur S est un fon teur exa t, on en on lut l'a y li ite des bar
et obar onstru tions augmentees dans le as PROPique.
3.1. A y li ite de la bar onstru tion augmentee. Le dg-S-bimodule P B(P ) est
l'image du fon teur
P 7! (I P ) F (P ):
Ce fon teur est analytique s inde, 'est-a-dire qu'il est la somme dire te de fon teurs polynomiaux
en P s indes ( f. hapitre 1 se tion 8). Pour voir ela, il suÆt de onsiderer le nombre de sommets
71
CHAPITRE 4. BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS
non reduits (indi es par des elements de P ) qui omposent un representant d'un element de
(I P ) F (P ). On note ette de omposition:
M
P B(P ) =
P B(P ) (s) :
2N
s
On onsidere alors la ltration de nie par
M
Fi = Fi P B(P ) =
P B(P ) (s) :
s i
Ainsi, Fi est omposee des elements de P B(P ) representables par des graphes admettant au
plus i sommets non reduits.
Lemme 106. La ltration Fi du dg-S-bimodule P B(P ) est stable par la di erentielle d de la
bar onstru tion augmentee.
Le lemme 96 donne la forme de la di erentielle d. Celle- i est la somme de trois
termes:
(1) La di erentielle Æ issue de elle de P . Cette derniere laisse invariant le nombre d'elements
de P . Ainsi, on a Æ(Fi ) Fi .
(2) La oderivation d de la bar onstru tion reduite B(P ). Cette appli ation onsiste a
omposer des pairs de sommets. Elle veri e don d (Fi ) Fi 1 .
(3) Le morphisme d . Ce morphisme a pour e et d'e r^eter une operation P de B(P ) par
le bas, pour la omposer ensuite ave des elements de P
P B(P ) ! P (I P ) B(P ) ! P B(P ):
Le nombre global de sommets en P est don de roissant. Ce qui s'e rit d (Fi ) Fi . De e lemme, on obtient que la ltration Fi induit une suite spe trale notee Ep; q , dont le premier
terme vaut
0
Ep;
q = Fp (P B (P ))p+q =Fp 1 (P B (P ))p+q ;
ou p + q represente le degre homologique.
Ainsi,
le module Ep;0 q est donne par les graphes a p
sommets non reduits Ep;0 q = P B(P ) (p) p+q et la di erentielle d0 est la somme de deux
termes d0 = Æ + d0 . Cette derniere appli ation d0 est equivalente a l'appli ation d lorsqu'elle
ne diminue par le nombre global de sommets. De maniere expli ite, le morphisme d0 onsiste a
e r^eter une operation P de B(P ) par le bas et a l'inserer dans la ligne des elements de P , sans
omposition ave des operations de P . (La omposition revient a faire I P ! P ). Dans tous
les autres as ou d exige une omposition non triviale ave des elements de P , d0 est nulle ( f.
gure 3).
Remarquons que e morphisme d0 est homogene de degre 1 (P ! P ).
Demonstration.
l
l
l
l
l
l
l
l
l
La suite spe trale Ep; q se situe dans le demi-plan p 0. On al ule l'homologie des omplexes de ha^nes Ep;0 ; d0 pour montrer que la suite spe trale
degenere au rang Ep;1 q .
1
Lemme 107. Au rang Ep;
q on a
I si p = q = 0;
1
Ep;
=
q
0 sinon:
Demonstration. Lorsque p = 0 on a
I si q = 0;
0
E0; q =
0 sinon:
et la di erentielle d0 est nulle sur les modules E00; q . L'homologie de es modules vaut don
I si q = 0;
E01; q =
0 sinon:
72
3. ACYCLICITE DES BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS AUGMENTE ES
BB
BB
BB
BB
p42
ww
ww
w
ww
ww
p5
zz
zz
z
z
zz
22
22
22
22
22
22
22
p3 D
DD
DD
DD
D
zz
zz
z
z
zz
p13
||
||
|
|
||
||
||
|
|
||
p2
d0l
~
p01
p2
ww BBBB
w
BB
ww
BB
ww
w
w
0
Fig. 3.
Lorsque p > 0, pour haque omplexe de ha^nes Ep;0 ; d0 , on va exhiber une homotopie ontra tante h.
Gr^a e a la proposition 62, on peut representer un element de PB(P ) par (p1 ; : : : ; pr )(b1 ; : : : ; bs ).
Si p1 2 I , on pose
h ((p1 ; : : : ; pr ) (b1 ; : : : ; bs )) = 0;
sinon on de nit h par
h ((p1 ; : : : ; pr ) (b1 ; : : : ; bs )) = ( 1)( p1 +1)( p2 + + pr ) (1; : : : ; 1; p2 ; : : : ; pr ) (b ; bi+1 ; : : : ; bs );
ou b = ( ) (p1 (b1 ; : : : ; bi )) ave b1 ; : : : ; bi les elements de B(P ) relies au sommet indi e
par p1 dans la representation graphique de (p1 ; : : : ; pr )(b1 ; : : : ; bs ). Cette appli ation h ne hange
pas le nombre d'operations P et est de degre homologique +1 (P ! P ). Ainsi, on a h : Ep;0 q !
0
Ep;
a prendre une operation (non triviale) parmi la
q +1 . Intuitivement, l'appli ation h revient ligne de P , a la suspendre et a la remonter d'un ran pour l'in lure dans elles de B(P ). Cette
demar he est la demar he inverse de elle de dl . Veri ons maintenant que h est bien une homotopie
ontra tante, 'est-a-dire que hd0 + d0 h = id .
(1) L'appli ation h anti ommute ave Æ, hÆ + Æh = 0. Le al ul est similaire a eux e e tues
pre edemment. En ore une fois, le resultat vient des regles de signes et de la suspension
p1 .
(2) On a hdl + dl h = id. Deja, on al ule dl :
dl ((p1 ; : : : ; pr ) (b1 ; : : : ; bs )) =
X
( 1) p ( pj+1 + + pr + b1 + + bk )
(p1 ; : : : ; p ; pj+1 : : : ; pr )e(b1 ; : : : ; bk ; bk+1 ; : : : ; bs );
ou bk+1 = ( ) (p bk+1 ). Ensuite, on obtient
hdl ((p1 ; : : : ; pr ) (b1 ; : : : ; bs )) =
X
( 1) p ( pj+1 + + pr + b1 + + bk )+( p1 +1)( p2 + + p + + pr )
(1; : : : ; 1; p2 ; : : : ; p ; pj+1 : : : ; pr )e (b ; bi+1 ; : : : ; bk ; bk+1 ; : : : ; bs ):
73
j
j
j
j
j
j
0
0
0
F
P
0
0
0
0
0
j
0
j
j j
j
j
j
j
j
j
0
0
F
0
0
P
0
j
0
j j
j
0
j
j
j
j
j
j
j
0
0
j
j
j
j
0
j
0
j
j
CHAPITRE 4. BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS
Alors que le al ul de d0l h donne
d0l h ((p1 ; : : : ; pr ) (b1 ; : : : ; bs )) =
(p1 ; : : : ; pr )(b1 ; : : : ; bs )
X
( 1)jp j(jpj+1 j++jpr j+jb1 j++jbk j)+(jp1 j+1)(jp2 j++jp j++jpr j)
(1; : : : ; 1; p2 ; : : : ; p0 ; pj+1 : : : ; pr )e0 (b0 ; bi+1 ; : : : ; bk ; b0k+1 ; : : : ; bs );
le signe 1 vient i i de la ommutation de p0 ave p1 .
L'existen e de ette homotopie permet d'aÆrmer que les omplexes Ep;0 ; d0 sont a y liques
pour p > 0 et don que
1
Ep;
q = 0 pour tout q si p > 0:
0
0
On peut maintenant on lure la demonstration de l'a y li ite de la bar onstru tion augmentee a
gau he.
Theoreme 108. L'homologie du omplexe P B(P ); d est la suivante :
H0 P B(P ) = I;
Hn P B(P ) = 0 sinon:
S
Demonstration. Comme
la ltration Fi est exhaustive P B(P ) = i Fi et bornee inferieure
ment F 1 P B(P ) = 0, par les theoremes lassiques de onvergen e des suites spe trales ( f.
[ ℄ 5:5:1), on sait que la suite spe trale Ep; q onverge vers l'homologie de P B(P )
1
Ep;
q =) Hp+q P B (P ); d :
Et la forme degeneree de Ep;1 q permet de on lure.
Corollaire 109. Le morphisme d'augmentation
W
P B(P )
"P
"
F
(P ) /
I I
=I
est un quasi-isomorphisme.
Ce dernier resultat se generalise de la maniere suivante :
On de nit le morphisme d'augmentation "(P ; P ; P ) par la omposition
P " ( ) P
B(P ; P ; P ) = P B(P ) P
! P I P = P P P P P = P :
Theoreme 110. Soit R un module di erentiel a gau he sur P . Le morphisme d'augmentation
"(P ; P ; R)
F
P
B(P ; P ; R) = P P B(P ; P ; P ) P R P " P ; P ; P P
(
)
P
R
/
P P P P R = R
est un quasi-isomorphime.
On introduit la m^eme ltration que pre edemment en omptant le nombre de
sommets indi es par des operations de P des repesentants des elements de P B(P ) R. Alors,
en utilisant la m^eme homotopie ontra tante on montre que la suite spe trale degenere au rang
1
Ep;
q sous la forme
Hq (R) si p = 0;
1
Ep;
=
q
0
si p > 0:
On on lut ensuite de la m^eme maniere, en utilisant la onvergen e de la suite spe trale.
Pour demontrer l'a y li ite de la bar onstru tion augmentee a droite B(P ) P , on introduit la
m^eme ltration et on de nit l'homotopie ontra tante h par
h((b1 ; : : : ; br ) (p1 ; : : : ; ps )) = 0;
74
Demonstration.
3. ACYCLICITE DES BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS AUGMENTE ES
lorsque p1 2 I , et dans le as ontraire par
h((b1 ; : : : ; br ) (p1 ; : : : ; ps )) =
( 1)jb1 j++jbi j+jp1 j(jbi+1 j++jbr j) (b0 ; bi+1 ; : : : ; br ) 0 (1; : : : ; 1; p2 ; : : : ; ps );
ou b0 = F (P ) ((b1 ; : : : ; bi ) p1 ).
On a alors le m^eme type de resultat pour L un module a droite sur P .
Theoreme 111. Soit L un module di erentiel a droite sur P . Le morphisme d'augmentation
"(L; P ; P )
B(L; P ; P ) = L P B(P ; P ; P ) P P LP "(P ; P ; P )P P / L P P P P = L
est un quasi-isomorphime.
Ces resultats peuvent se reformuler dans le adre des PROPs.
Corollaire 112. Soit P un PROP di erentiel augmente. Les morphismes d'augmentation suivant sont des quasi-isomorphismes :
"P "S
P B(P )
"
B(P ) P S
(F (P ))
! I S (I ) = S (I )
(F (P )) "P
! S (I ) I = S (I ):
Il suÆt de voir que
P B(P ) = S (P B(U (P )))
et que le fon teur S est un fon teur exa t pour pouvoir appliquer les theoremes pre edents. 3.2. A y li ite de la obar onstru tion oaugmentee. De la m^eme maniere, on peut
montrer l'a y li ite de la obar onstru tion augmentee a droite B (C ) C en utilisant des arguments duaux. Par ontre i i, pour des problemes de onvergen e de suites spe trales, on se pla e
dans le as ou la oproperade C est graduee par un poids.
Theoreme 113. Pour toute oproperade oaugmentee graduee par un poids C , l'homologie du
omplexe B (C ) C ; d est la suivante :
H0 B (C ) C = I;
Hn B (C ) C = 0 sinon:
Demonstration. On de nit une ltration Fi par
M
Fi =
B (C ) C (s) :
Demonstration.
s
i
On veri e que ette ltration est stable sous l'a tion de la di erentielle d :
(1) La di erentielle Æ laisse invariant le nombre d'elements de C. Ainsi, on a Æ(Fi ) Fi .
(2) La derivation d0 de la obar onstru tion reduite B (C ) onsiste a de omposer en deux
des operations indiant des sommets. La nombre de sommets augmente don de 1. La
derivation d0 veri e don d0 (Fi ) Fi 1 .
(3) Le morphisme dr0 a pour e et de de omposer un element de C en deux pour in lure une
des deux parties dans B (C ). Le nombre global de sommets en P est don roissant. Ce
qui s'e rit dr0 (Fi ) Fi .
Cette ltration induit don une suite spe trale Ep; q dont le premier terme est donne par
0 = Fp (B (C ) C )p+q =Fp 1 (B (C ) C )p+q = (B (C ) C )
Ep;
( p) p+q :
q
La di erentielle d0 est alors la somme de deux termes : d0 = Æ + d0r0 ou d0r0 orrespond a dr0 lorsque
elle- i n'augmente pas le nombre de sommets indi es par C. Le morphisme d0r0 revient don juste
75
CHAPITRE 4. BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS
a prendre un element C de la premiere ligne (sans le de omposer), a le desuspendre et a l'in lure
dans B (C ).
On montre ensuite de la m^eme maniere que
I si p = q = 0;
1
Ep; q =
0 sinon:
I i l'homotopie ontra tante h est de nie omme l'operation inverse de d0r . Pour un element de
B (C ) C represente par
(b1 ; : : : ; br ) ( 1 ; : : : ; s );
on de nit h en de omposant b1 2 B (C )(n) :
0
/ P b0
1
1 ;
ou b01 2 B (C )(n 1) et 2 C. Si l'operation 1 n'est relie par le haut qu'a des elements de I
alors on la suspend et on l'in lut dans la ligne des elements de C . Un al ul du m^eme type que
pre edemment montre que l'on a bien hd0 + d0 h = id.
Comme la oproperade C est graduee par un poids, on peut de omposer le omplexe B (C ) C
en somme dire te de sous- omplexes a l'aide de la graduation totale induite, e qui donne
M
B (C ) C = (B (C ) C )() :
b1
2N
Cette de omposition est ompatible ave la ltration pre edente, aisni qu'ave l'homotopie ontra tante h. On a don
1
()
= 0 pour tout p; q des que > 0 et
Ep;
q (B (C ) C )
si p = q = 0;
0 sinon:
En n, omme la ltration Fi sur le sous- omplexe (B (C ) C )() est bornee
F0 (B (C ) C )() = (B (C ) C )() et F 1 (B (C ) C )() = 0;
par le theoreme lassique de onvergen e des suites spe trales ( f. [ ℄ 5:5:1), on a que la suite
spe trale Ep; q (B (C ) C )() onverge vers l'homologie de (B (C ) C )() . On obtient alors le
resultat en faisant la somme dire te sur .
Remarque : En introduisant une homotopie du m^eme type, on montre que la obar onstru tion
oaugmentee a gau he est aussi a y lique.
Et de la m^eme maniere, on a le theoreme suivant
Theoreme 114. Soit L un omodule di erentiel a droite sur C . Si C est une oproperade di e1
Ep; q
(B (C ) C )(0) =
I
W
rentielle graduee par un poids, alors l'homologie de la obar onstru tion a oeÆ ients dans
C vaut
L
et
( C ; C ); d = Hn (L; ÆL ):
On a bien sur le m^eme resultat pour les omodules a gau he sur C .
Hn B L;
Comme orollaire, on a l'a y li ite de la obar onstru tion oaugmentee sur un oPROP gradue
par un poids.
Corollaire 115. Pour tout oPROP C oaugmente gradue par un poids, l'homologie du omplexe
B (C ) C ; d est la suivante :
H0 B (C ) C = S (I );
Hn B (C ) C = 0 sinon:
76
DES BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS AUGMENTEES
3. ACYCLICITE
Demonstration. La obar onstru tion PROPique est l'image par le fon teur exa te
obar onstru tion properadique sur la oproperade induite
B (C ) C = S B (U (C )) 77
C
:
S
de la
CHAPITRE 5
Lemmes de omparaison
Nous produisons i i des lemmes te hniques de omparaison entre les P -modules quasi-libres et
entre les properades quasi-libres. Ces lemmes sont les generalisations pour le produit monodal de lemmes lassiques dans le adre du produit tensoriel k . Remarquons que B. Fresse avait deja
generalise es lemmes pour le produit monodal Æ des operades dans [Fr℄. Ce dernier, tout omme
W. L. Gan, dans [G℄ fonde ses demonstrations sur les proprietes des arbres (respe tivement des
graphes de genre 0). Par exemple, le fait qu'un arbre a n feuilles n'admette qu'au plus n 1
noeuds non triviaux s'avere ru ial dans la onvergen e des suites spe trales en jeu. Comme les
graphes de genre quel onque ne possede pas es proprietes, nous avons ete oblige d'utiliser un
autre outil, la graduation naturelle par un poids de ertains dg-S-bimodules ainsi que elles des
P -modules quasi-libres analytiques et des properades di erentielles quasi-libres qu'ils engendrent.
Ces lemmes te hniques nous permettrons, entre autre, de montrer que la onstru tion bar- obar
sur une properade (respe tivement un PROP) graduee par un poids fournit une resolution de la
properade (respe tivement du PROP) de depart.
1. Au niveau des P -modules quasi-libres
Gr^a e a une ltration bien hoisie, nous demontrons les lemmes de omparaison entre les P modules quasi-libres analytiques. Une autre ltration permet de montrer le m^eme type de lemme
pour les C - omodules quasi- olibres analytiques. En n, e dernier resultat permet de montrer que
la onstru tion bar- obar sur une properade (respe tivement un PROP) graduee par un poids en
fournit une resolution.
1.1. Filtration et suite spe trale asso iees a un
P -module quasi-libre analytique.
Soit P une properade di erentielle et soit L = M P un P -module quasi-libre analytique a droite,
ou M = (V ). Posons Md( ) le sous-module de M ompose des elements de degre homologique
d et de graduation (de omposition polynomiale du fon teur ou graduation totale si V est
gradue par un poids).
Sur L, on de nit la ltration suivante :
Fs (L) =
MM
jdj+j js
)
Md(
|; {);
(l; k) Sk k [Sk; |℄ S| Pe(
ou la somme dire te () porte sur les entiers m; n et N et sur les uplets l; k; |; {.
Lemme 116. La ltration Fs est stable par la di erentielle d de L.
Demonstration. La di erentielle d est omposee de trois termes :
{ La di erentielle ÆM induite par elle de M . Elle a pour e et de diminuer de 1 le degre
homologique jdj ! jdj 1. Ainsi, on a ÆM (Fs ) Fs 1 .
{ La di erentielle ÆP induite par elle de P . Elle diminue le degre homologique jej de 1,
soitjej ! jej 1. Ainsi, on a ÆP (Fs ) Fs .
{ Par de nition d'un P -module quasi-libre analytique, le morphisme d fait baisser la
graduation j j de 1 et le degre homologique jdj d'au moins 1 d'ou d (Fs ) Fs 2 .
CHAPITRE 5. LEMMES DE COMPARAISON
Cette ltration induit don une suite spe trale Es; t , dont le premier terme Es;0 t orrespond au
sous dg-S-bimodule de L suivant :
0
Es;
t
=
s M
MM
( ) (l; k)
|; {);
Sk k [Sk; |℄ S| Pe(
Md
r=0 jdj=s r
jej=t+r
|; {. On peut remarquer que la ltration Fs
ou la premiere somme () porte sur m; n; N et l; k;
ainsi que sa suite spe trale se de omposent toujours gr^a e a ette somme dire te. En reprenant
les notations de la se tion 1.2 du hapitre 3, on a
0
Es;
t
=
s
M
r=0
0
Is0 r; t+r M
j j=r
1
M ( )
PA :
Remarque : Lorsque P est graduee par un poids, on exige que
soit aussi, ainsi le omplexe L
L V le
se de ompose a l'aide de ette graduation sous la forme L =
L() ( f. proposition 81). De plus,
ette de omposition est stable par la ltration Fs . Ainsi, la suite spe trale Es; t se de ompose en
somme dire te suivant la graduation par le poids de L :
;
(L)
Es;
t
=
M
2N
(L() ):
Es;
t
Par de nition de P -module quasi-libre analytique, les elements de V sont de degre au moins 1, on
a alors
0
1
0 (L() ) =
Es;
t
Proposition 117. Soit L
verge vers l'homologie de
L
min(
s; )
M
M
Is0 r; t+r M ( )
P
\ ()
L A:
j j=r
un P -module quasi-libre analytique. Alors la suite spe trale Es; t onr=0
Es;
t
=) Hs+t (L; d):
De plus, la di erentielle d0 sur Es;0 t est donnee par ÆP et la di erentielle d1 sur Es;1 t est donnee
par ÆM . D'ou, Es;2 t est relie a I 2 par la formule
2
Es;
t
Ce qui s'e rit
2
Es;
t
=
=
s
M
r=0
0
Is2 r; t+r s M
M
M
j j=r
M
r=0 j j=r jdj=s
jej=t
r
r
1
M ( )
PA :
)
(H (M ))(
d (H (P ))e:
S
Demonstration. Comme la ltration Fs est exhaustive s Fs = L et bornee inferieurement
F 1 = 0, le th
eoreme lassique de onvergen e des suites spe trales assure que la suite spe trale
t
Es;
onverge vers l'homologie de L ( f. [W℄ 5.5.1).
La forme des di erentielles d0 et d1 vient de l'etude pre edente de l'a tion de la di erentielle
d = ÆM + ÆP + d sur la ltration Fs .
En n, la formule de Es;2 t vient de la proposition 67.
1.2. Lemme de omparaison des P -modules quasi-libres analytiques. Pour pouvoir
demontrer le lemme de omparaison proprement dit, nous avons besoin du lemme te hnique suivant.
Lemme 118. Soit : P ! P 0 un morphisme de properades di erentielles augmentees et soient
(L; ) et (L0 ; 0 ) deux modules quasi-libres analytiques sur P et P 0 . Posons L = M et L0 = M 0 , les
quotients inde omposables respe tifs. Soit : L ! L0 un morphisme de P -modules analytiques,
80
1. AU NIVEAU DES P -MODULES QUASI-LIBRES
ou la stru ture de P -module sur L0 est elle donnee par le fon teur de restri tion ( f. hapitre
1 se tion 4:2).
(1) Un tel morphisme preserve la ltration F et don donne naissan e a un morphisme de
suites spe trales
E () : E (L) ! E (L0 ):
(2) Soit : M ! M 0 le morphisme de dg-S-bimodules induit par . Si de plus, les deux
properades P et P 0 sont graduees par un poids, on a alors que le morphisme E () :
M P ! M 0 P 0 vaut E = .
!
s
0
0
Demonstration.
(1) Soit (m ; : : : ; m ) (p ; : : : ; p ) un element de F (M P ), 'est-a-dire que jdj + j j s.
Comme est un morphisme de P -modules, on a
(m ; : : : ; m ) (p ; : : : ; p ) = Æ (m ; : : : ; m ) (p ; : : : ; p ) =
0 ((m ); : : : ; (m )) ( (p ); : : : ; (p )) :
Si on pose
(m ) = (m ; : : : ; m ) (p ; : : : ; p );
ommeP est un morphisme de dg-S-bimodules, on a d = jd j + je j, d'ou jd j d et
jd j jdj. Et omme est un morphisme dePmodules quasi-libres anlaytiques,
don
il preserve, par de nition, la graduation en ( ), d'ou j j j j. Ainsi, on a
(m ; : : : ; m ) (p ; : : : ; p ) 2 F (L0 ):
(2) L'appli ation E () orrespond au passage au quotient suivant
E : F (L )=F (L ) ! F (L0 )=F (L0 ):
Soit (m ; : : : ; m ) (p ; : : : ; p ) un element de E , 'est-a-dire que j j = r s, jdj =
s r et jej = t + r. On a don
E () (m ; : : : ; m ) (p ; : : : ; p ) = 0
si et seulement si (m ; : : : ; m ) (p ; : : : ; p ) 2 F (L0 ). Or, nous avons vu pre edemment que
(m ; : : : ; m ) (p ; : : : ; p ) = 0 ((m ); : : : ; (m )) ( (p ); : : : ; (p )) :
Ainsi, (m ; : : : ; m ) (p ; : : : ; p ) appartient a F (L0 )nF (L0 ) si et seulement
si (m ) = m = (m ). En e et, si on a (m ) = (m ; : : : ; m ) (p ; : : : ; p ) ave au
moins un p n'appartenant pas a I . Alors, par la de nition de properade graduee par un
poids, le degre pour la graduation par le poids de p est au moins de 1 et par onservation
globale de ette graduation par , on a j j < . Ainsi, le morphisme E () orrespond
bien a P .
Theoreme 119 (Lemme de omparaison des modules quasi-libres analytiques). Soit : P ! P 0
un morphisme de properades di erentielles graduees par un poids augmentees et soient (L; ) et
(L0 ; 0 ) deux modules quasi-libres analytiques sur P et P 0 . Posons L = M et L0 = M 0 les quotients inde omposables respe tifs, 'est-a-dire L = M P et L0 = M 0 P 0 . Soit : L ! L0 un
morphisme de P -modules analytiques, ou la stru ture de P -module sur L0 est elle donnee par le
fon teur de restri tion . Posons : M ! M 0 le morphisme de dg-S-bimodules induit par .
b
1
a
1
b
1
s
a
1
b
1
i
i
bi
1
i
i
i
ai
1
i
i
i
a
1
a
1
i
b
1
i
i
i
i
i
i
b
1
a
1
s
0
s; t
0
s
s; t
b
1
s+t
s
0
b
1
i
i
s
s+t
1
s+t
0
b
b
a
1
a
1
a
1
s
s; t
1
1
b
s+t
a
1
s; t
1
1
s
b
1
a
1
s
i
1
i
i
1
i
j
a
1
s+t
s
i
bi
1
i
s+t
i
i
ai
1
i
j
i
i
0
!
Si deux des trois morphismes suivants
8
<
:
: P ! P 0;
: M ! M 0 ; sont des quasi-isomorphismes, alors le
: L ! L0 ;
troisieme est aussi un quasi-isomorphisme.
81
CHAPITRE 5. LEMMES DE COMPARAISON
Si les properades ne sont pas graduees par un poids et si = , lorsque
et sont des quasi-isomorphismes, est aussi un quasi-isomorphisme. La demonstration est
rapide. On a immeditatement E 0 () = . Comme et sont des quasi-isomorphismes, on
obtient que E 2 () est un isomorphisme par la proposition 117 (d0 = ÆP et d1 = ÆM ). Et toujours
gr^a e a ette proposition, la onvergen e naturelle de la suite spe trale E donne que est un
quasi-isomorphisme entre L et L0 .
Remarque :
Demonstration.
(1) On suppose i i que : P ! P 0 et : M ! M 0 sont des quasi-isomorphismes. En
appliquant le lemme pre edent, on sait que induit un morphisme de suites spe trales
E () : E (L) ! E (L0 ) et surtout que E 0 () = , on en on lut alors le resultat
de la m^eme maniere.
(2) On suppose maintenant que : P ! P 0 et : L ! L0 sont des quasi-isomorphismes.
Nous avons vu pre edemment que la suite spe trale Es; t preservait la de omposition
L() . De plus, on a
!
M () Ms; ) 2
M min(
)
(
2
(
)
Is r; t+r
Md (l; k) Sk k[Sk; |℄ S| Pe (|; {) ;
Es; t (L ) =
r=max(0; t)
ou la deuxieme somme dire te () porte sur j j = r, j j = r, jdj = s r et jej = t + r.
Or, lorsque s , on a pour r = 1
0
!
M () M () C
Is2 ; t+
Md (l; k) Sk k[Sk; |℄ S| Pe( ) (|; {) = Is2 ; t+ B
Md A
=
j j=
jdj=s Hs (M () ) si t = ;
0
sinon:
En resume, on obtient
2 ()
Es; t (L ) = 0
si t < ;
Es;2 (L() ) = Hs (M () ) si s :
On montre ensuite par re urren e sur l'entier que () : M () ! M 0() induit un
isomorphisme en homologie H ( () ) : H (M () ) ! H (M 0() ).
Pour = 0, omme L(0) = M (0), on a (0) = (0) , qui est un quasi-isomorphisme.
Supposons maintenant que le resultat soit vrai pour r < et tous les indi es ainsi
que pour r = et pour les indi es < d, et montrons le pour = d.(Comme tous
les omplexes de ha^nes sont i i nuls en degre stri tement negatif, on a toujours que
Hs ( () ) est un isomorphisme pour s < 0).
Par le lemme pre edent, on a
1
0
min(
s; )
M
M
Es;2 t (() ) =
Is2 r; t+r () A :
r=0
j j=r
Ce qui donne, ave l'hypothese de re urren e, que Es;2 t (() ) : Es;2 t (L() ) ! Es;2 t (L0() )
est un isomorphisme pour s < d + . Montrons que
Ed2+; (() ) : Ed2+; (L() ) ! Ed2+; (L0() )
est en ore un isomorphisme. Pour ela, on introduit le o^ne asso ie au morphisme () :
^one(() ) = 1 L() L0() . Sur e ^one, on de nit la ltration
Fs ( ^one(() )) = Fs 1 ( 1 L() ) Fs (L0() ):
Cette ltration induit une suite spe trale qui veri e
E1; t ( ^one(() )) = o^ne(E1; t (() )):
82
1. AU NIVEAU DES P -MODULES QUASI-LIBRES
Cependant, le o^ne de E1; t (() ) induit une suite exa te longue
Hs E1; t (L0() )
/ Hs+1 o
^ne(E1; t (() ))
/
/ Hs E 1 (L() )
; t
Hs ^one(E1; t (() ))
/
Hs E1; t (() )
Hs 1 E1; t (L() )
/
/
;
e qui donne nalement le suite exa te longue ( ) suivante :
/
Es2+1; t ( ^one(() ))
/
Es;2 t (L() )
2 (() )
Es;
t
/ E 2 (L0() )
s; t
/ Es2 1; t (L() )
Nous avons vu pre edemment que pour tout t < ,
Es;2 t (L() ) = Es;2 t (L0() ) = 0:
La suite exa te longue ( ) montre alors que Es;2 t ( ^one(() )) = 0 pour tout s, lorsque
t < .
De la m^eme maniere, nous avons vu que Es;2 t (() ) etait un isomorphisme pour
s < d + . Gr^a e a la suite exa te longue ( ), on obtient que Es;2 t ( ^one(() )) = 0 pour
tout t, lorsque s < d + .
/
Es;2 t ( ^one(() ))
/
Ces deux resultats permettent de on lure que
2
Ed+; ( ^one(() )) = Ed1+; ( ^one(() ));
Ed2++1; ( ^one(() )) = Ed1++1; ( ^one(() )):
Comme la ltration Fs du ^one de () est bornee inferieurement et exhaustive, on
sait que la suite spe trale Es; t ( ^one(() )) onverge vers l'homologie de e ^one. Comme
() est un quasi-isomorphisme, ette homologie est nulle, d'ou les egalites suivantes :
2
Ed+; ( ^one(() )) = Ed1+; ( ^one(() )) = 0;
Ed2++1; ( ^one(() )) = Ed1++1; ( ^one(() )) = 0:
En reinje tant es egalites dans la suite exa te longue ( ), on a que Ed2+; (() ) est
un isomorphisme.
On on lut en utilisant le fait que Ed2+; (L() ) = Hd (M () ) et que Ed2+; (L0() ) =
Hd(M 0() ). Ainsi, Ed2+; (() ) orrespond a Hd () : Hd (M () ) ! Hd (M 0() ) qui
est don un isomorphisme. Ce qui on lut la re urren e et montre que est un quasiisomorphisme.
(3) Supposons que : L ! L0 et : M ! M 0 sont des quasi-isomorphismes. Nous
utilisons essentiellement les m^emes idees que pre edemment. Comme M (0) = I , on tire
de la relation
Es;2 t (L() ) =
M
min(
s; )
M
r=max(0; t)
Is2 r; t+r
M
)
Md(
(l;
!
k) Sk k[Sk; |℄ S| Pe( ) (|; {) ;
ou la deuxieme somme dire te porte sur j j = r, j j = r, jdj = s r et jej = t + r,
que pour s = 0
E02; t (L() ) = I02; t (Pt() ) = Ht (P () ):
On a immediatement que
Es;2 t (L() ) = 0;
lorsque s < 0.
On montre ensuite, par re urren e sur l'entier , que les morphismes () : P () !
P 0() sont des quasi-isomorphismes.
On fonde la re urren e en remarquant que la de nition de P , P 0 graduees par un
poids impose P (0) = P 0(0) = I , d'ou (0) = idI e st un quasi-isomorphisme.
83
CHAPITRE 5. LEMMES DE COMPARAISON
Supposons maintenant que le resultat soit vrai pour tout r < . Et on montre par
re urren e sur l'entier t que
Ht ( () ) : Ht (P () ) ! Ht (P 0() )
est un isomorphisme. On sait que 'est trivialement vrai pour t < 0. On suppose que
'est en ore vrai pour t < e. Par le lemme pre edent, on a
Es;2 t (() ) =
min(
Ms; )
r=0
Is2
0
B M () r; t+r j j=r
j j= r
1
( ) C
A:
Ave les hypotheses de re urren e, on obtient que Es;2 t (() ) : Es;2 t (L() ) ! Es;2 t (L0() )
est un isomorphisme pour tout s, lorsque t < e. En inje tant e i dans la suite exa te
longue ( ), on montre que Es;2 t ( ^one(() )) = 0 pour tout s, lorsque t < e.
La forme de la ltration Fs ( ^one(() )) = Fs 1 ( 1 L() ) Fs (L0() ) joint au fait
que F 1 (L() ) = 0 montrent que Es;2 t ( ^one(() )) = 0 pour s < 0.
Ces deux resultats, plus la onvergen e de la suite spe trale Es; t ( ^one(() )) vers
l'homologie nulle du ^one de () , permettent de on lure que
E02; e ( ^one(() )) = E01; e ( ^one(() )) = 0
E12; e ( ^one(() )) = E11; e ( ^one(() )) = 0:
En reinje tant es deux egalites dans la suite exa te longue ( ), on obtient que le
morphisme
E02; e (L() )
E02; e (() )
/ E 2 (L0() )
0; e
est un isomorphisme. On on lut en rappelant que E02; e (L() ) = He (P () ), E02; e (L0() ) =
He (P 0() ) et que E02; e (() ) = He ( () ):
En utilisant les m^emes arguments, on demontre le m^eme type de lemme dans le adre des PROPs.
Theoreme 120 (Lemme de omparaison des modules quasi-libres analytiques sur des PROPs).
: P ! P 0 un morphisme de PROPs di erentiels augmentes gradues par un poids et soient
(L; ) et (L0 ; 0 ) deux modules quasi-libres analytiques sur P et P 0 . Posons L = M et L0 = M 0 les
quotients inde omposables respe tifs. Soit : L ! L0 un morphisme de P -modules analytiques,
Soit
ou la stru ture de P -module sur L0 est elle donnee par le fon teur de restri tion !. Posons
: M ! M 0 le morphisme de dg-S-bimodules induit par .
8
< : P ! P 0;
0
Si deux des trois morphismes suivants : :: LM!!LM0 ; ; sont des quasi-isomorphismes, alors le
troisieme est aussi un quasi-isomorphisme.
Demonstration. On applique les m^emes arguments que pre edemment a la ltration
Fs (L) =
M M
jdj+j js
)
Md(
(l; k) Sk k [SN ℄ S| Pe(|; {);
|; {. La seule di eren e
ou la somme dire te () porte sur les entiers m; n et N et sur les uplets l; k;
(0)
intervient lorsque l'on onsidere des expressions de la forme M P = M I = S (M ) au lieu
de M I = M . C'est par exemple le as dans la partie 2 de la demonstration pre edente. On
on lut de la m^eme maniere, en faisant une re urren e sur le poids de M , ar les elements de
S (M )() sont des sommes de produits tensoriels d'elements de poids inferieur ou egal a .
84
1. AU NIVEAU DES P -MODULES QUASI-LIBRES
1.3. Lemme de omparaison des C - omodules quasi- olibres analytiques. On peut
demontrer le m^eme type de resultat pour des omodules quasi- olibres analytiques. Soit C une
oproperade di erentielle graduee par un poids et soit L = M C un C - omodule quasi- olibre
analytique a droite, ou M = (V ). Sur e omplexe on de nit la graduation
M M
Fs0 (L) =
Md(l; k) Sk k [Sk; |℄ S| Ce( ) (|; {);
() jej+j js
ou la somme dire te () porte sur les entiers m, n et N et sur les uplets l, k, |, {, d, e et tels
que jej + j j s.
En appliquant les m^emes arguments que pre edemment a la ltration Fs0 , on obtient le theoreme
suivant :
Theoreme 121 (Lemme de omparaison des omodules quasi- olibres analytiques). Soit
:
C ! C0
un morphisme de oproperades di erentielles oaugmentees graduees par un poids et
soient (L; ) et (L0 ; 0 ) deux omodules quasi- olibres analytiques sur C et C 0 . Posons L = M et
L0 = M 0 les quotients inde omposables respe tifs. Soit : L ! L0 un morphisme de C - omodules
analytiques, ou la stru ture de C - omodule sur L0 est elle donnee par le fon teur de restri tion
! . Posons : M ! M 0 le morphisme de dg-S-bimodules induit par .
8
: C ! C0;
<
Si deux des trois morphismes suivants : M ! M;0 sont des quasi-isomorphismes, alors le
:
: L ! L0 ;
troisieme est aussi un quasi-isomorphisme.
De la m^eme maniere, on a une version PROPique de e theoreme.
Theoreme 122 (Lemme de omparaison des omodules quasi- olibres analytiques sur des oPROPs). Soit : C ! C 0 un morphisme de oPROPs di erentiels oaugmentes gradues par un
poids et soient (L; ) et (L0 ; 0 ) deux omodules quasi- olibres analytiques sur C et C 0. Posons
L = M et L0 = M 0 les quotients inde omposables respe tifs. Soit : L ! L0 un morphisme de
C - omodules analytiques, ou la stru ture de C - omodule sur L0 est elle donnee par le fon teur de
: M ! M 0 le morphisme de dg-S-bimodules induit par .
restri tion ! . Posons 8
: C ! C0;
<
Si deux des trois morphismes suivants : M ! M 0 ; sont des quasi-isomorphismes, alors le
:
: L ! L0 ;
troisieme est aussi un quasi-isomorphisme.
Nous allons utiliser es deux derniers theoremes dans le hapitre suivant pour etablir la resolution
bar- obar.
1.4. Appli ation : la resolution bar- obar. Nous generalisons i i aux properades et aux
PROPs gradues par un poids la proposition de V. Ginzburg et M.M. Kapranov [GK℄ qui aÆrme
que la onstru tion bar- obar sur une operade P fournit une resolution de P .
Commenons par le as des properades. On de nit le morphisme : B (B(P )) ! P par la
omposition
/ / F 1 F (P ) = F (P ) P / P ;
B (B(P )) = F 1 F (P )
(1)
ou le morphisme P orrespond a la ounite dans la demonstration du monode libre ( f. theoreme 23). Ce morphisme revient a omposer entre elles, via , les operations P de F (P ).
Proposition 123. L'appli ation ainsi de nie est un morphisme de properades di erentielles
graduees par un poids.
Demonstration. La de nition de repose sur la omposition des operations de P , ainsi on
montre fa ilement que Æ F ( 1 F (P )) = P Æ ( ), 'est-a-dire que est un morphisme de
properades.
85
CHAPITRE 5. LEMMES DE COMPARAISON
Comme le morphisme est soit nul soit orrespond a des ompositions d'operations, a tions qui
preservent la graduation par le poids de P , alors on a que est un morphisme de properades
graduees par un poids.
Reste a montrer que ommute ave les di erentielles respe tives.
Sur B (B(P )) = F 1 F (P ) la di erentielle d orrespond a la somme de la derivation d de
la obar onstru tion induite par le oproduit partiel de F (P ) ave la di erentielle anonique
ÆB(P ) . Or, la di erentielle anonique ÆB(P ) est la somme de la oderivation d de la bar onstru tion
B(P ) induite par le produit partiel de P ave la di erentielle anonique ÆP .
{ Si tous les sommets de sont indi es par des elements de F(1)(P ) = P , e e tuer la
di erentielle d sur onsiste a n'e e tuer que la di erentielle anonique ÆP . Et omme
la omposition de la properade di erentielle P ommute ave ÆP , on a bien Æ d( ) =
Æ ÆP ( ) = ÆP Æ ( ).
{ Soit un element de F 1 F (P ) qui se represente a l'aide d'un graphe dont au
moins un sommet est indi e par un element de F(s) (P ), ave s 3. Son image par est nulle. En outre, l'image de par la di erentielle d est une somme des graphes dont
au moins un des sommets est indi e par un element de F(s) (P ), ave s 2. Ainsi, on
a d Æ ( ) + Æ d( ) = 0.
{ Si est represente par un graphe dont les sommets sont indi es par des elements de
F(s) (P ) ou s = 1; 2, ave au moins un element de F(2)(P ), son image par est nulle.
Reste a montrer qu'il en est de m^eme pour Æ d. Comme ÆP preserve la graduation
naturelle de F , on a immediatement Æ ÆP ( ) = 0. Regardons l'e et de d + d sur un
element de F(2) (P ). Posons = X 1 (p1 p2 ) Y ou (p1 p2 ) appartient a
F(2)(P ) et X , Y a F ( 1F (P )). En appliquant d , on obtient un terme de la forme
( 1)jX j+1( 1)jp1 j+1 X 1 p1 1 p2 Y;
ou 1 p1 et 1 p2 sont des elements de 1 F(1)(P ). Et, en appliquant d , on
obtient un terme de la forme
( 1)jX j+1( 1)jp1 j X 1 (p1 p2 ) Y;
ou 1 (p1 p2 ) appartient a 1 F(1) (P ). Ainsi, Æ (d + d )( ) est une somme de
termes de la forme
( 1)jX j+jp1 j + ( 1)jX j+jp1j+1 X (p1 p2 ) Y = 0;
d'ou la on lusion.
Remarque : On omprend, gr^a e a ette demonstration, pourquoi on a introduit un signe
supplementaire dans la de ntion de la derivation d de la obar onstru tion.
Si on pose C = B(P ), la oproperade di erentielle oaugmentee de nie par la bar onstru tion sur P , on peut alors onsiderer la obar onstru tion oaugmentee a droite B (C ) C =
B (B(P )) B(P ). Remarquons que la oproperade B(P ) = F (P ) est graduee par un poids
(par la graduation de F , en fon tion du nombre de sommets, joint a elle de P ) et que la obar
onstru tion oaugmentee B (C ) C est un C - omodules quasi- olibre analytique.
Lemme 124. Le morphisme B(P ) : B (B(P )) B(P ) ! P B(P ) entre la obar onstru tion
oaugmentee B (C ) C et la bar onstru tion augmentee P B(P ) est un morphisme de dg-Sbimodules. En outre, il s'agit d'un morphisme de B(P )- omodules quasi- olibres analytiques.
Demonstration. Les appli ations et idB(P ) etant des morphismes de dg-S-bimodules, le morphisme idB(P ) preserve les di erentielles anoniques ÆB (C) + ÆC et ÆP + ÆB(P ) . En outre, le
morphisme dr intervenant dans la de nition de la di erentielle de la obar onstru tion B (C ) C
( f. hapitre 4 se tion 2:2) orrespond bien, via B(P ) au morphisme dl intervenant dans la
de nition de la di erentielle de la bar onstru tion P B(P ). (Le morphisme dr revient a extraire une operation P de B(P ) par le bas pour la omposer, par le haut, a B (B(P )), alors que
dl revient a extraire une operation P de B(P ) par le bas pour la omposer, par le haut, a P .)
86
0
0
0
0
0
1. AU NIVEAU DES P -MODULES QUASI-LIBRES
En n, omme et idB(P ) preservent la graduation par le poids venant de elle de P , on a que
B(P ) est un morphisme de B(P )- omodules quasi- olibres analytiques.
On peut maintenant on lure le theoreme es ompte.
Theoreme 125 (Resolution bar- obar). Pour toute properade di erentielle augmentee graduee
par un poids P , le morphisme
: B (B(P )) ! P
est un quasi-isomorphisme de properades di erentielles graduees par un poids.
On sait d'apres le theoreme 113 que le omplexe B (B(P )) B(P ) est a y lique
( obar onstru tion augmentee). De m^eme, le theoreme 108 aÆrme que le omplexe P B(P ) est
lui aussi a y lique (bar onstru tion augmentee). On en on lut que le morphisme de omodules
quasi- olibres analytiques B(P ) est un quasi-isomorphisme. En posant = idB(P ) et =
(P ), on peut appliquer la partie (2) du theoreme de omparaison des omodules quasi- olibres
B
analytiques, e qui donne que est un quasi-isomorphisme.
Remarque : Nous utiliserons prin ipalement e resultat dans le as ou la properade P est quadratique (don graduee par le nombre de sommets des graphes en jeu). Gra^e au lemme de omparaison
entre les properades quasi-libres, demontre dans la se tion suivante, on montrera au hapitre 7
que, dans le as ou la properade quadratique de depart est de Koszul, la resolution bar- obar peut
se \simpli er" pour donner le modele minimal sur P .
Demonstration.
On peut faire sensiblement le m^eme travail dans le as des PROPs.
Soit (P ; ;
on
) un PROP di erentiel augmente. On de nit le morphisme 0 par la omposition
0
P P;
B (B(P ) S F ( 1 F (P )) = S (F (P )) !
ou 0P = on Æ S ( P ). Cette derniere appli ation revient a e e tuer toutes les ompositions
possibles (verti ales et horizontales) d'operations de P suivant le s hema de omposition donne
par S (F ).
Proposition 126. Le morphisme 0 est un morphisme de PROPs di erentiels gradues par un
poids.
Comme la de nition de 0 repose sur les ompositions et on du PROP P ,
on voit que e morphisme est un morphisme de PROPs.
En outre, le PROP P est un PROP gradue par un poids, e qui implique que les ompositions et on preserve e poids. Il en est don de m^eme pour 0 qui est un morphisme de PROPs gradue
par un poids.
Pour voir que 0 preserve les di erentielles respe tives, on l'e rit omme ompose des morphismes
de S-bimodules di erentiels. Le diagramme suivant est ommutatif.
Demonstration.
0
B (B(P )) = B (S (F (P )))
PO
on
B (F (P )) = S (F ( 1 F (P )))
Lemme
/
S ( )
/S
(P ):
127. Le morphisme 0 B(P ) : B (B(P )) ! P B(P ) est un morphisme de B(P )-
omodules quasi- olibres analytiques.
Demonstration. Comme le morphisme 0 est une version on atenee du morphisme , la demonstration reste la m^eme.
87
CHAPITRE 5. LEMMES DE COMPARAISON
Theoreme
128 (Resolution bar- obar pour les PROPs). Pour tout PROP di erentiel augmente
gradue par un poids, le morphisme
0
: B (B(P )) ! P
est un quasi-isomorphisme de PROPs di erentiels gradues par un poids.
La demonstration est la m^eme que dans le as des properades. On utilise i i
que la bar et la obar onstru tions augmentees sont toujours a y liques dans le as des PROPs.
Et on on lut en utilisant les versions PROPiques des lemmes de omparaison.
Demonstration.
2. Au niveau des properades quasi-libres
On montre i i un lemme de omparaison du m^eme type que les pre edents, mais au niveau des
properades quasi-libres.
Theoreme 129 (Lemme de omparaison des properades quasi-libres). Soient M et M 0 deux
dg-S-bimodules gradues par un poids et de degre au moins 1. Soient P et P 0 deux properades
quasi-libres de la forme P = F (M
) et P 0 = F (M 0 ), munies deLderivations d et d proveL
nant de morphismes : M ! s2 F(s) (M ) et 0 : M 0 ! s2 F(s) (M 0 ) qui preservent
0
la graduation totale venant de elle de M et M 0 . Et soit, un morphisme de dg-S-bimodules
: P ! P 0 qui respe te la graduation de F et la graduation totale. Ainsi, induit un morphisme : M = F(1) (M ) ! M 0 = F(1) (M 0 ).
Le morphisme est un quasi-isomorphisme si et seulement si est un quasi-isomorphisme.
Demonstration. Comme les morphismes et 0 preservent la graduation totale venant de M
et M 0 , on peut deja remarquer que les derivations d et d preservent aussi la graduation totale.
0
Par onsequent, les di erentielles Æ = ÆM + d etL
Æ = ÆM + d pr
eservent L
ette graduation et
on peut don de omposer les omplexes F (M ) = 2N F (M )() et F (M 0 ) = 2N F (M 0 )() en
fon tion de ette graduation.
On introduit la ltration suivante
M F (M ):
Fs (F (M )) =
(r )
0
r
0
0
s
Cette ltration est ompatible ave la de omposition pre edente. Pour des problemes de onvergen e de suites spe trales, on s'interesse plut^ot au sous- omplexe F (M )() et a la ltration
M F (M )():
Fs (F (M )() ) =
(r )
r s
0
Comme les dg-S-bimodules M et M sont de degre stri tement positif pour la graduation par le
poids, on a que F(r)(M )() = F(r) (M 0 )() = 0 des que r > , ainsi
Fs
M
(F (M )() ) =
s r F r (M ) :
( )
( )
On peut voir que la ltration Fs est stable par la di erentielle Æ = ÆM + d . En e et, on a
t . Le premier
ÆM (Fs ) Fs et d (Fs ) Fs 1 . Cette ltration induit don une suite spe trale Es;
terme de ette suite spe trale vaut
()
()
()
0
Es;
t = Fs (F (M )s+t )=Fs 1 (F (M )s+t ) = F s (M )s+t ;
et la di erentielle d0 orrespond a la di erentielle anonique issue de M : ÆM . De ette des ription
et des proprietes de , on tire que Es;0 t () = F( s) ( )s+t .
On peut remarquer que la ltration Fs sur F (M )() est bornee (F 1 = 0 et F0 = F (M )() ),
ainsi par le theoreme lassique de onvergen e des suites spe trales ( f. [W℄ 5.5.1) on obtient que
la suite spe trale Es; t onverge vers l'homologie du sous- omplexe F (M )() .
Demontrons maintenant l'equivalen e souhaitee:
88
2. AU NIVEAU DES PROPE RADES QUASI-LIBRES
(() Si : M ! M 0 est un quasi-isomorphisme, omme le fon teur F est un fon teur exa t ( f.
proposition 84), on obtient que
F( s) ( )s+t = Es;0 t (() ) : Es;0 t (F (M )() ) ! Es;0 t (F (M 0 )() )
est un quasi-isomorphisme, 'est-a-dire E 1 (() ) est un isomorphisme. En n la onvergen e des
suites spe trales en jeu, montre que () : F (M )() ! F (M 0 )() est un quasi-isomorphisme. Ainsi,
le morphisme est un quasi-isomorphisme.
()) Re iproquement, si est un quasi-isomorphisme, alors haque () est un quasi-isomorphisme.
On va montrer par re urren e sur l'entier que () : M () ! M 0() est un quasi isomorphisme.
Pour = 0, on a M (0) = M 0(0) = 0, le morphisme (0) est don un quasi-isomorphisme et la
re urren e est fondee.
Supposons que le resultat soit vrai jusqu'a et montrons le pour + 1. Dans e as, omme
0
(+1)
1
(+1)
Es;
) = F( s) (M )(s++1)
) est un isomorphisme pour tout t, des
t (F (M )
t , on voit que Es; t (
que s < 1.
On va a nouveau utiliser le ^one de l'appli ation (+1) . Pour ela, on de nit la m^eme ltration
sur ^one((+1) ) que sur les F (M )(+1) :
Fs ( ^one((+1) )) = Fs ( 1 F (M )(+1) ) Fs (F (M 0 )(+1) ):
Cette ltration induit une suite spe trale qui veri e
(+1)
0
)) = ^one(Es;0 (+1 )):
Es;
( ^one(
Par le m^eme argument que elui de la demonstration du lemme de omparaison des P -modules
quasi-libres, on a la suite exa te longue
/ Es;1 t+1 (F (M )(+1) ) / Es;1 t+1 (F (M 0 )(+1) ) / Es;1 t ( ^one((+1) ))
/ E 1 (F (M )(+1) )
s; t
/ E 1 (F (M 0 )(+1) )
s; t
/ E1
s; t
1
( ^one((+1) ))
/
:
Comme Es;1 t ((+1) ) est un isomorphisme, lorsque s < 1, ette suite exa te longue montre que
1
Es;
one((+1) ) = 0 pour tout t des que s < 1. En n, la forme de la ltration utilisee donne
t( ^
que Es;1 t ( ^one((+1) )) = 0 pour tout t si s 0. La suite spe trale Es; t ( ^one((+1) )) est don
degeneree au rang E 1 (seule la olonne s = 1 est non nulle). Ce i implique que
E 11; t ( ^one((+1) )) = E 1 1; t ( ^one((+1) )):
En appliquant le theoreme lassique de onverge des suites spe trales, on a que la suite spe trale
t ( ^one((+1) )) onverge vers l'homologie du ^one de (+1) qui est nulle puisque (+1) est
Es;
un quasi-isomorphisme. On a don que E 1 1; t ( ^one((+1) )) = 0, pour tout t, e qui donne, une
fois reinje te dans la suite exa te longue, que
(+1) : M (+1) ! M 0(+1) :
E 0 1; t ((+1) ) = est un quasi-isomorphisme. D'ou le resultat es ompte.
Remarque : Ce th
eoreme generalise aux properades un theoreme de B. Fresse [Fr℄ pour les
operades \ onnexes" ( 'est-a-dire des operades P telles que P (0) = P (1)). Cette hypothese te hnique de onnexite est la pour assurer la onvergen e de la suite spe trale dans la demonstration.
Le probleme est que le resultat de B. Fresse ne s'applique pas aux algebres, alors que le theoreme
que nous proposons i i s'applique aux algebres, aux operades et aux properades. La seule restri tion vient du fait qu'il faille prendre des objets gradues par un poids, e qu'il est le as de tous les
monodes quadratiques ren ontres i i.
On peut etendre e theoreme au adre des PROPs.
89
CHAPITRE 5. LEMMES DE COMPARAISON
130 (Lemme de omparaison des PROPs quasi-libres). Soient M et M 0 deux dgS-bimodules gradues par un poids et de poids au moins 1. Soient P et P 0 deux PROPs quasilibres de la forme P = S (F (M ))Let P 0 = S (F (M 0 )), munis L
de derivations d et d pro0 : M0 !
0
venant de morphismes : M !
F
(
M
)
et
eservent
(
s
)
s2
s2 F(s) (M ) qui pr
Theoreme
0
la graduation totale venant de elle de M et M 0 . Et soit, un morphisme de dg-S-bimodules
0 qui respe te la graduation de S ( ) et la graduation totale. Ainsi, induit un
:
: M = (1)(M ) M 0 = F(1) (M 0 ).
morphisme P!P
F
!
F
est un quasi-isomorphisme si et seulement si est un quasi-isomorphisme.
Demonstration. Dans un sens, on se sert du fait que le fon teur S est un fon teur exa t.
La demonstration de l'impli ation re iproque se montre de la m^eme maniere que dans le as des
properades.
Nous utilisons es theoremes au hapitre 7 lors des demonstrations des prin ipaux resultats de e
papier.
Le morphisme
90
CHAPITRE 6
Bar onstru tion simpli iale
On donne dans e hapitre une autre generalisation de la bar onstru tion des algebres asso iatives dans le adre monodal des properades di erentielles. On montre le m^eme type de resultat
que pour la bar onstru tion (di erentielle) du hapitre 4 (a y li ite de la bar onstru tion augmentee notamment). Puis, on onstruit expli itement un morphisme qui devrait realiser un quasiisomorphisme entre la bar onstru tion et la bar onstru tion simpli iale.
1. De nitions et premieres proprietes
Dans toute ategorie monodale (A; 2; I ), on peut onstruire un omplexe simpli ial a partir d'un
monode M en onsiderant les objets M 2n , pour tout entier n. Dans la ategorie des k -modules, on
obtient sur la bar onstru tion des algebres asso iatives. Dans le as des monades, on retrouve la
bar onstru tion des triples de J. Be k [B℄. On applique ette onstru tion a la ategorie monodale
des S-bimodules di erentiels.
1.1. Bar onstru tion simpli iale a oeÆ ients.
Definition (Bar onstru tion simpli iale a oeÆ ients). Soit P une properade di erentielle.
Soient (L; l) et (R; r) deux P -modules di erentiels a droite et a gau he. On pose
| {z }
Cn (L; P ; R) = L P P R:
n
On de nit les fa es di : Cn (L; P ; R) ! Cn 1 (L; P ; R) par
l'a tion a droite l si i = 0,
la omposition de la ieme ligne, omposee d'elements de P , ave la (i + 1)eme,
l'a tion a gau he l si i = n.
Les degeneres en es sj : Cn (L; P ; R) ! Cn+1 (L; P ; R) sont donnees par l'insertion de l'unite de la properade : L P j P n j R.
On munit C (L; P ; R) de la di erentielle dC , somme des di erentielles anoniques ave la di erentielle simpli iale:
n
dC = ÆL + ÆP + ÆR +
( 1)i+1 di :
i=0
Ce omplexe est appele bar onstru tion simpli iale de P a oeÆ ients dans L et R.
X
Remarque : Lorsque l'on travaille dans la ategorie non di erentielle des S-bimodules, ette
onstru tion est simpli iale au sens stri t du terme.
On de nit un
nique
morphisme d'augmentation " : C (L; P ; R) ! L P R gr^a e a la proje tion
ano-
C0 (L; P ; R) = L R ! L P R:
Comme dans la adre de la bar onstru tion, on a i i une notion de bar onstru tion simpli iale
reduite.
Definition (Bar onstru tion simpli iale reduite). La bar onstru tion simpli iale a oeÆ ients
triviaux C (I; P ; I ) est appelee bar onstru tion simpli iale reduite. On la note C(P ).
CHAPITRE 6. BAR CONSTRUCTION SIMPLICIALE
1.2. Bar onstru tion simpli iale augmentee.
Definition
(Bar onstru tion simpli iale augmentee). Les omplexes de ha^nes C (I; P ; P ) =
C(P ) P et C (P ; P ; I ) = P C(P ) sont appeles bar
droite et a gau he.
onstru tions simpli iales augmentees a
Proposition 131. Pour toute properade P et tout P -module a droite L, la bar onstru tion simpli-
C (L; P ; P ) est un P -module quasi-libre analytique a droite. Et, le morphisme d'augmentation
" : C (L; P ; P ) ! L
est un quasi-isomorphisme de P -modules simpli iaux a droite.
On a evidement le m^eme resultat a gau he pour tout P -module R.
Demonstration. La forme de la di erentielle sur C (L; P ; P ) = L C P montre qu'il s'agit
bien d'un P -module quasi-libre. Le ^ote analytique de la onstru tion vient du fon teur P ! L P
iale
qui est analytique.
Le reste de la demonstration est le m^eme que dans le as des algebres asso iatives unitaires (
[C℄). On introduit une degeneres en e supplementaire
f.
n : L P n P ' L P n+1 I L P
! L P n+1 P ;
qui induit une homotopie ontra tante.
Corollaire 132. Les bar onstru tions simpli iales augmentees a gau he et a droite sont a y+1
sn+1
liques.
1.3. Bar onstru tion normalisee. Comme pour tout module simpli ial, on reduit note
etude au omplexe normalise, omplexe de ha^nes quotient du omplexe de depart mais ayant la
m^eme homologie.
Definition (Bar onstru tion normalisee). La bar onstru tion normalisee orrespond au quotient de la bar onstru tion simpli iale par les images des degeneres en es. On pose
Pn
i
n i R
Nn (L; P ; R) = oker L P (n 1) R i L P P
! L P n R :
Le omplexe de ha^nes N (I; P ; I ), note N (P ), est appele bar onstru tion normalisee reduite.
Remarque : Nous avons vu pre edemment que la bar onstru tion B (L; P ; R) se representait ave
des graphes et que la oderivation d orrespondait a la notion generalisee d'edge ontra tion, qui
revient a omposer les paires d'operations adja entes. Au ontraire, la bar onstru tion simpli iale
se represente par des graphes a niveaux et les fa es di orrespondent a des ompositions entre
deux niveaux d'operations.
1
=0
(
2. Morphisme d'e helonnement
1)
Le morphisme d'e helonnement est un morphisme inje tif entre la bar onstru tion et la bar
onstru tion simpli iale qui induit un isomorphisme en homologie.
2.1. De nition. Soit un element de B(n) (P ) = F(n) (P ) represente par un graphe g a n
sommets ( f. gure 1).
L'element vient d'un graphe gr , a r niveaux passe au quotient par la relation ( f. hapitre 3
se tion 3). Rappelons que la relation revient a hanger une operation de niveau, au signe pres.
Gr^a e a ette relation d'equivalen e, on peut representer ave au moins un graphe a n niveaux et
n sommets ( 'est-
a-dire un sommet par niveau, f. gure 2). Posons, Gn ( ) l'ensemble des graphes
a n niveaux ave un sommet par niveau, qui redonne g apres passage au quotient par la relation
.
Soit g un graphe de Gn ( ). L'element est entierement determine par g et par la suite des operations
p1 pn qui indi ent les sommets de g. Pour pouvoir asso ier a un element de N (P ), il
faut desuspendre les operations de . CePi fait appara^tre des signes et on pose
n
g ( ) = ( 1) i (n i)jpi j g (p1 pn );
92
=1
2. MORPHISME D'E CHELONNEMENT
_ _ _ 1 _ _ _ 2 _ _ _
CC
{
CC {{
C
{ CC
}{{ C! _ _ _ 1 _ _ _ 2 _ _ _
Fig. 1. Un exemple de g .
_ _ _ _ _ _ _
2 _ _ _
_ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _
CC CC
CC
C
C! _ _ _ _ _ _ _ 2 _ _ _
_ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _
Fig. 2. Un exemple de g 2 G4 ( ).
ou g(p1 pn ) orrespond au graphe g dont les sommets sont indi es par les operations
p1 ; : : : ; pn . Ce signe est obtenu en faisant passer toutes les suspensions a gau he.
Definition (Morphisme d'e helonnement). On de nit le morphisme d'e helonnement
e : B(P ) ! N (P )
par e( ) = g2Gn() g( ), pour dans B(n)(P ).
Remarque : Dans la de nition de on a pris garde de respe ter les regles de signes dues aux
ommutations d'elements de P . Gr^a e a e i, le morphisme d'e helonnement e est bien de ni.
P
Comme la de nition de e fait intervenir des permutations de suspensions vers la gau he, on peut
etendre naturellement le morphisme d'e helonnement aux bar onstru tions a oeÆ ients a droite
dans un -module di erentiel R :
e : (I; ; R)
(I; ; R):
2.2. Proprietes homologiques. Nous esperons montrer que le morphisme d'e helonnement
est un quasi-isomorphisme de dg-S-bimodules.
Lemme 133. Soit une properade di erentielle augmentee. Soient R un -module di erentiel a
P
B
P
! N
P
P
P
gau he.
Le morphisme d'e helonnement induit un morphisme inje tif de dg-S-bimodules
e : B(n) (I; P ; R) ! n Nn (I; P ; R):
93
CHAPITRE 6. BAR CONSTRUCTION SIMPLICIALE
Notons dB la di erentielle de B(I; P ; R). Elle est omposee de 4 termes:
dB = ÆP + ÆR + d + dR :
Les deux premiers orrespondent aux di erentielles anoniques issues de P et de R. Le morphisme
d est la od
erivation qui provient du produit partiel sur P . Quant a dR , il vient de l'a tion d'un
seul element de P sur R.
Appelons dN la di erentielle sur n Nn (I; P ; R). Elle est aussi omposee de 4 termes. Sur un
element 0 = n de n Nn (I; P ; R), elle s'e rit:
Demonstration.
dN 0
( ) = ( 1)nn ÆP ( ) + ( 1)n n ÆR ( ) +
n
X1
i=1
( 1)i+1 n
1
( ) + ( 1)n+1 n
di 1
()
dn :
Montrons que dN Æ e( ) = e Æ dB ( ).
{ La ommutativite des di erentielles anoniques
(ÆP + ÆR ) Æ e( ) = e Æ (ÆP + ÆR )( )
vient des bons hoix dans les regles de signes et du respe t des suspensions. (Les al uls
sont du m^eme type que eux des hapitres pre edents.)
{ La oderivation d revient a omposer les operations de P indiant les ouples de
sommets adja ents du graphe representant . Et, di Æ e orrespond a omposer deux
etages ave au total deux operations de P . Il faut distinguer deux as. Posons =
X p q Y .
(1) Si les
P operations p et q sont relies par au moins une bran he, alors la omposante
de in=11 ( 1)i+1 di Æ e( ) faisant intervenir la omposition de p ave q est de la forme
X
"( 1)j +2 n 1 X 0 (p q ) Y 0 ;
ou X 0 = p1 pj , Y 0 = q1 qn j 2 1 r et
Pj
Pn j 2
" = ( 1) i=1 (n i)jpi j+(n j 1)jpj+(n j 2)jqj+ k=1 (n j k 2)jqk j :
Et la omposant de d ( ) faisant intervenir la omposition de p ave q est de la
forme
( 1)jX j+jpjX (p q) Y:
L'image par e d'un tel element donne
X
( 1)jX j+jpj"( 1)jX 0j+jpj n 1 X 0 (p q) Y 0 =
X
"( 1)j n 1 X 0 (p q ) Y 0 :
(2) Si les operations p et q ne sont pas reliees, alors il n'y a au une omposante
de nd qui fait intervenir une omposition entre p et q. Et, la omposante de
P
i+1 d Æ e( ) qui vient de la omposition des deux etages ou se trouvent p
i
i=0 ( 1)
et q est la somme de deux termes:
X
( 1)j n dj+1 "X 0 p q Y 0 + "( 1)(jpj+1)(jqj+1)+jpj+jqjX 0 q p Y 0 =
X
( 1)j n
"X 0
p
q
Y0
Pn
+ "( 1)(jpj+1)(jqj+1)+jpj+jqj+jpjjqjX 0
p
q
Y0
= 0:
Comme l'image de par i=11 ( 1)i+1 di Æ e e Æ d est une somme de termes de la forme
(1) ou (2), on on lut de l'etude pre edente la ommutativite voulue.
{ Le morphisme dR revient a extraire une operation P par le haut et a la faire agir par
la gau he sur R. Or, e onsiste, entre autre, a ne pla er qu'une seule operation P sur la
deuxieme ligne ( elle en dessous de R) et dn la fait agir sur les elements de R. Il ne reste
plus qu'a veri er que les signes orrespondent. Posons = X pn 1 m ou
X = p1 pn 1 . Alors, la omposante de dR ( ) faisant intervenir l'a tion de pn sur
94
2. MORPHISME D'E CHELONNEMENT
les elements 1 ; : : : ; m de R est de la forme ( 1)jX jX r(pn (1 m )). Et son
image par e donne
X( 1)jXj"( 1)jXj+n 1n 1X 0 r(p ( ))
m
X( 1)n+1"n 1X 0 r(p ( n 1));
n
1
m
P
n
ou " = i=1 (n i)pi . De la m^eme maniere, la omposante de ( 1)n+1 dn Æ e( ) faisant
intervenir l'a tion de pn sur les elements 1 ; : : : ; m de R vaut
X
( 1)n+1 "n 1X 0 r(pn (1 m )):
Montrons maintenant l'inje tivite de e. Soit un element de B(n)(P ) = F(n) (P ). Par de nition
de la oproperade olibre, on sait que = 1 + + r ou haque i une somme nie d'elements
de F(n) (P ) qui viennent de l'indiage des sommets d'un m^eme graphe g . On introduit un
morphisme : Nn (P ) ! B(n) (P ). A un element de Nn (P ) represente par un graphe a n
niveaux, on asso ie l'element orrespondant 0 qui vient de la suspension des operations de haque
ligne. On introduit i i le m^eme signe " que elui qui de nit e. L'objet ( ) est donne par la lasse
d'equivalen e de " 0 pour la relation . On a alors Æ e( ) = n1 1 + nr r ou les ni sont des
entiers non nuls. Ainsi, l'equation e( ) = 0 impose n1 1 + nr r = 0. Par identi ation des
graphes sous-ja ents, on obtient i = 0, pour tout i, d'ou = 0.
n
Remarque : La suspension est l
a pour faire ommuter les di erentielles anoniques ave le
morphisme e.
Corollaire 134. Dans le as o
u P et R sont des S-bimodules, 'est-a-dire de di erentielle nulle
et on entres en degre 0, le morphisme d'e helonnement
e : B (I; P ; R) ! N (I; P ; R)
i
est un morphisme inje tif de dg-S-bimodules.
Conje ture. Soit P une prop
erade graduee par un poids.
Le morphisme d'e helonnement
est un quasi-isomorphisme.
e
: B(P ) ! N (P )
En resume, on espere montrer que la bar onstru tion reduite est un sous- omplexe de ha^nes de
la bar onstru tion normalisee reduite qui donne la m^eme homologie.
Remarque : Cette onje ture est une g
eneralisation aux properades d'un theoreme de B. Fresse
[Fr℄ pour les operades.
95
CHAPITRE 7
Dualite de Koszul
A l'aide des resultats des hapitres pre edents, on peut on lure l'etude de la dualite de Koszul
des properades et des PROPs.
Pour ela, on ommen e par de nir les notions de duale de Koszul d'une properade (respe tivement d'une oproperade) et d'un PROP (respe tivement d'un oPROP). On montre ensuite que
ette duale est une oproperade ( oPROP) quadratique (respe tivement une properade (PROP)
quadratique), puis on fait le lien ave les onstru tions lassiques d'algebre et d'operade duales
donnees par S. Priddy dans [Pr℄ et par V. Ginzburg et M. M. Kapranov dans [GK℄.
On de nit la notion de properade (respe tivement PROP) de Koszul et on montre que le modele
minimal de ette properade est donne par la obar onstru tion sur la oproperade duale. On
introduit un petit omplexe, appele omplexe de Koszul, dont l'a y li ite est un ritere qui permet
de determiner si la properade (respe tivement le PROP) est de Koszul ou non. Puis, on montre
qu'un PROP P est de Koszul si et seulement si la properade asso iee U (P ) est de Koszul. Cette
derniere proposition montre que pour etudier un PROP, il suÆt d'etudier la properade qui lui est
asso iee.
En n, on montre que les properades onstruites a partir de deux properade de Koszul et d'une
loi de rempla ement sont de Koszul. En appliquant e resultat, on montre que la properade de
bigebres de Lie et elle des bigebres de Hopf in nitesimales sont de Koszul, et on donne leurs
duales.
1. Dual de Koszul
Pour une properade graduee par un poids P , on de nit sa duale de Koszul omme une sousoproperade de la bar onstru tion reduite sur P . De m^eme pour une oproperade graduee par
un poids C , on de nit sa duale de Koszul omme une properade quotient de la obar onstru tion
reduite sur C .
Soit P une properade di erentielle graduee par un poids augmentee. Cette graduation induit
une graduation totale () sur la bar onstru tion reduite B(P ) = F (P ). Cette derniere est
ompatible ave la de omposition en fon tion du nombre de sommets (s) de la oproperade olibre
M
B(s) (P ) = B(s) (P )() :
2N
On rappelle que la oderivation d , issue du produit partiel sur P , onsiste a omposer les paires
de sommets adja ents, soit
d B(s) (P )() B(s 1) (P )() :
Dans le as ou P est onnexe (P (0) = I ), la bar onstru tion a la forme suivante :
Lemme 135. Soit P une prop
erade di erentielle graduee par un poids onnexe. On a alors les
egalites
(
B (P ) = F (P );
B s (P ) = 0 si s > :
( )
( )
( )
( )
(1)
( )
CHAPITRE 7. DUALITE DE KOSZUL
On a le m^eme resultat pour la obar onstru tion reduite sur une oproperade
di erentielle graduee par un poids onnexe.
Definition (Duale de Koszul d'une properade). Soit une properade di erentielle graduee par
un poids onnexe. On de nit la duale de Koszul de par le S-bimodule di erentiel gradue par un
poids
< =H
()
( )
() ( ) ; d :
Le lemme pre edent donne la forme du omplexe ( )() ; d :
d
/ 0 d / () ( )() d / ( 1) ( )() d /
:
Ce qui donne l'egalite
< = ker d : ( )()
( 1)( )():
()
()
Cette e riture montre bien que <() est un S-bimodule di erentiel gradue par un poids, ou la
di erentielle est induite par elle de a savoir ÆP .
Si la properade est on entree en degre 0, on a
(s)( )()d = (s)( )() si d = s;
0
sinon:
La oproperade duale n'est pas on entree en degre 0 (et sa di erentielle n'est a priori pas nulle)
et veri e
<
() si d = ;
< =
() d
0
sinon:
De la m^eme maniere, on de nit la duale d'une oproperade.
Definition (Duale de Koszul d'une oproperade). Soit une oproperade di erentielle graduee
par un poids onnexe. On de nit la duale de Koszul de par le S-bimodule di erentiel naturellement gradue
< =H
()
()
() ( ) ; d :
La obar onstru tion munie de la derivation d est un omplexe de la forme suivante:
Remarque :
P
P
P
B
P
B
B
P
P
P
B
B
P
P
! B
P
P
P
P
B
B
P
P
P
P
C
C
C
C
B
0
0
( )() d / ()( )() d / 0 :
La duale d'une oproperade veri e don l'egalite
< = oker d : ()
()( )() :
()
( 1) ( )
Le module <() est don un S-bimodule di erentiel gradue par un poids, ou la di erentielle est
induite par elle de a savoir ÆC .
Proposition 136. Soit une properade di erentielle graduee par un poids onnexe. La duale de
Koszul de , notee , est une sous- oproperade di erentielle graduee par un poids de ( (1) ).
C
d0
/ B( 1)
0
0
C
0
B
B
C
C
! B
C
C
C
P
P
P
<
F
P
Soit C une oproperade di erentielle graduee par un poids onnexe. La duale de Koszul de C ,
est une properade di erentielle graduee par un poids quotient de F ( 1 C (1)).
C
<
,
Demonstration. Pour toute properade P di erentielle graduee par un poids onnexe, omme
<
()(P )() ! B( 1)(P )() , on a immediatemment que P <() est un sous-dg-SP () = ker d : B
bimodule naturellement gradue de F() (P (1)). Il reste a montrer que P < est stable par le oproduit
de F (P (1)). Soit un element de P <(), 'est-a-dire 2 F() (P (1)) et d () = 0. Posons
X
() = (11 ; : : : ; a11 ) (12 ; : : : ; a22 );
98
1. DUAL DE KOSZUL
ou la somme porte sur une famille de graphes a deux etages, ave ij 2 F(s )(P (1)). Le fait
que d soit une oderivation signi e que d Æ () = Æ d (). On a don que
a1
XX
d Æ ( ) =
(11 ; : : : ; d (k1 ); : : : ; a11 ) (12 ; : : : ; a22 )
ij
a2
X
+
k=1
k=1
(11 ; : : : ; a11 ) (12 ; : : : ; d (k2 ) : : : ; a22 ) = 0;
ou les ( ) appartiennent a F(s 1)((P (1) P (2))) ave un seul sommet indi e par P (2). Par
identi ation, on a don , pour tout i; j , que d (ij ) = 0.
De la m^eme maniere, on voit que,
pour toute oproperade di erentielle graduee par un poids
onnexe C , sa duale de Koszul C < est un quotient de F ( 1 C (1)). Il reste don a montrer que le
produit sur F ( 1 C (1)) passe a e quotient. Pour ela, on onsidere le produit
( 11 ; : : : ; d ( ); : : : ; 1a1 ) ( 21 ; : : : ; 2a2 ) ;
ou les ji appartiennent a F(s )( 1 C (1)) et a F(s)( 1 (C (1) C (2))) ave un seul sommet indi e
par C (2). Comme les ji sont des elements de F(s )( 1C (1)), on a d ( ji ) = 0. Et, le fait que d
soit une derivation donne i i que
( 11 ; : : : ; d ( ); : : : ; 1a1 ) ( 21 ; : : : ; 2a2 ) = d ( 11 ; : : : ; ; : : : ; 1a1 ) ( 21 ; : : : ; 2a2 ) :
Ainsi, ( 11; : : : ; d ( ); : : : ; 1a1 ) ( 21 ; : : : ; 2a2 ) est nulle dans le onoyau de d , d'ou le resultat.
d ij
ij
0
ij
0
0
0
ij
0
0
0
On de nit les m^emes objets dans le adre des PROPs.
Definition (Dual de Koszul d'un PROP). Soit P un PROP di erentiel augmente gradue par un
poids et onnexe. Son dual de Koszul est donnepar le S-bimodule
di erentiel gradue par un poids
P(<) = H() B (P )() ; d :
On a aussi une notion de dualite pour un oPROP.
Definition (Dual de Koszul d'un oPROP). Soit C un oPROP di erentiel gradue par un poids
et onnexe. Son dual de Koszul est donne par le S-bimodule di erentiel gradue par un poids
C <() = H() B (C )() ; d :
On peut relier les notions de dualite au niveau des PROPs et oPROPs ave elles des properades
et oproperades.
Proposition 137. Soit P un PROP di erentiel augmente gradue par un poids et onnexe. On
rappelle que U (P ) represente la properade asso iee a P . Le dual P de P est isomorphe en tant
que oPROP di erentiel gradue par un poids a S (U (P ) ) et il s'agit d'un sous- oPROP de
S (F (P (1) )).
Demonstration. Tout repose sur l'isomorphisme de oPROPs di erentiels gradues par un poids
B(P ) = S (B(U (P ))):
0
<
<
Proposition 138. Soit C un oPROP di erentiel augmente gradue par un poids et onnexe.
On rappelle que U (C ) represente la oproperade asso iee a C . Le dual C < de C est isomorphe en
tant que PROP di erentiel gradue par un poids a S (U (C )< ) et il s'agit d'un PROP quotient de
S (F ( 1 C (1) )).
La demonstration repose en ore sur l'isomorphisme de PROPs di erentiels
gradues par un poids
B (C ) = S (B (U (C ))):
Demonstration.
99
CHAPITRE 7. DUALITE DE KOSZUL
2. Properade quadratique
Nous montrons i i que le onstru tion duale est une onstru tion quadratique.
Nous avons vu au hapitre 2 qu'une properade quadratique etait une properade de la forme
F (V )=(R) ou R appartenait a F(2)(V ). Ainsi, l'ideal (R) est homogene pour la graduation de
F (V ) en fon tion du nombre de sommets. Une properade quadratique est don graduee par un
poids ( f. hapitre 2 se tion 3).
Re iproquement, toute properade quadratique est entierement determinee par sa graduation P =
L
2N P() , le dg-S-bimodule P(1) et le dg-S-bimodule P(2) ar on retrouve R via la formule R =
ker F(2) (P(1) ) !
P(2) .
Lemme 139. Soit C une oproperade di erentielle graduee par un poids onnexe. Alors C est une
<
properade quadratique determinee par les relations
C < (1) = 1 C (1) et C < (2) = oker 0 : 1 C (2) ! F(2) ( 1 C (1) ) :
< ) ! C < = im(0
<
Demonstration. Posons R = ker F(2) (C(1)
(2)
1 C (2) ). Par de nition, C() est le
quotient de F() ( 1 C (1) ) par l'image de d0 sur B( 1) (C () ). Or, ette image orrespond aux
graphes a sommets dont au moins un ouple de sommets adja ents est l'image d'un element de
1 C (2) via 0 . Ce i orrespond bien a la partie de degre de l'ideal libre engendre par R. Il en
resulte C < = F ( 1 C (1))=(R).
Corollaire 140. Soit C un oPROP di erentiel gradue par un poids et onnexe. Alors son PROP
dual C < est un PROP quadratique determine par les m^emes relations que pre edemment.
Demonstration. De la proposition 138, on a C < = S (U (C )< ). Par le lemme pre edent, on sait
que U (C )< est une properade quadratique. Et, la proposition 57 permet de on lure que S (U (C <))
est un PROP quadratique.
3. Properades et resolution de Koszul
On donne i i les de nitions de properade et de oproperade de Koszul (respe tivement de PROP
et de oPROP de Koszul ). Lorsqu'une properade P , de di erentielle nulle, est de Koszul, alors
P est quadratique, sa duale est en ore de Koszul et sa biduale est isomorphe a P . En outre, on
montre qu'une properade P est de Koszul si et seulement si la obar onstru tion reduite sur la
duale P < est une resolution de P .
3.1. De nitions.
(Properade de Koszul). Soit P une properade di erentielle graduee par un poids
onnexe. On dit que P est une properade de Koszul si l'in lusion P < ,! B(P ) est un quasiisomorphisme.
De la m^eme maniere, on a la de nition de oproperade de Koszul.
Definition (Coproperade de Koszul). Soit C une oproperade di erentielle graduee par un poids
onnexe. On dit que C est une oproperade de Koszul si la proje tion B (C ) C < est un quasiisomorphisme.
Proposition 141. Si P est une properade graduee par un poids onnexe de Koszul, alors sa duale
P est une oproperade de Koszul et P = P .
Demonstration. La properade P est on entree en degre 0 (ÆP = 0 et P0 = P ). Dans e as,
P(<) est un S-bimodule homogene de degre homologique et les elements de degre homologique
nul de B (P < )() orrespondent aux elements de B() (P < )() . Ce i montre que
<
H0 B() (P < )() = H B (P < )() ; d0 = P < () :
La properade P est de Koszul, 'est-a-dire que l'in lusion P < ,! B(P ) est un quasi-isomorphisme.
En utilisant le lemme de omparaison des properades quasi-libres (theoreme 129), on montre que
100
Definition
<
<<
3. PROPERADES
ET RESOLUTION
DE KOSZUL
le morphisme induit B (P < ) ! B (B(P )) est lui aussi un quasi-isomorphisme. (On travaille dans
le adre des S-bimodules gradues par un poids onnexes et toutes les hypotheses du theoreme
sont veri ees). Comme la onstru tion bar- obar est une resolution de P (theoreme 125), la obar
onstru tion B (P < ) est quasi-isomorphe a P . Et omme le S-bimodule P est homogene de degre
0, on a
P () si = 0;
< ()
H B (P )
=
0
sinon:
<
Ces deux resultats sur l'homologie de B (P ) mis bout a bout montrent que P < est de Koszul et
que P < < = P .
Corollaire 142. Soit P une properade graduee par un poids onnexe. Si P est de Koszul alors
P
est ne essairement quadratique.
Demonstration. Si P est de Koszul, par la proposition pre edente, on sait que P = P < < . Et le
lemme 139 montre que P < < est quadratique.
On peut donner les m^emes de ntions dans le as des PROPs.
Definition (PROP de Koszul). Soit P un PROP di erentiel gradue par un poids et onnexe.
On dit que P est un PROP de Koszul si l'in lusion P < ,! B(P ) est un quasi-isomorphisme.
Definition (CoPROP de Koszul). Soit C un oPROP di erentiel gradue par un poids et onnexe.
On dit que C est un oPROP de Koszul si la proje tion B (C ) C < est un quasi-isomorphisme.
Proposition 143. Soit P un PROP di erentiel augmente gradue par un poids et onnexe. Le
PROP P est de Kosuzl si et seulement si la properade U (P ) est de Koszul.
Demonstration.
()) Si P est un PROP de Koszul, ela signi e que le morphisme P < ! B(P ) est un quasiisomorphisme. La proposition 137 montre que P < = S (U (P )< ) et la proposition 103 donne l'isomorphisme B(P ) = S (B(U (P )). De es propositions, on tire que le morphisme S (U (P )< ) !
S (B(U (P ))) est un quasi-isomorphisme. En outre, nous avons vu que la di erentielle sur la bar
onstru tion respe tait les graphes onnexes et que e morphisme orrespondait a l'image du morphisme U (P )< ! B(U (P ) via le fon teur S . Cela donne que e quasi-morphisme se de ompose
en une somme dire te de quasi-isomorphismes (S )(n) (U (P )< ) ! (S )(n) (B(U (P ))). En parti ulier, on a pour n = 1 que U (P )< ! B(U (P )) est un quasi-isomorphisme, 'est-a-dire que U (P )
est une properade de Koszul.
(() Re iproquement, si U (P ) est une properade de Koszul, omme le fon teur S est un fon teur
exa te, on a que P est un PROP de Koszul.
On a le m^eme resultat au niveau des oPROPs et des oproperades.
3.2. Resolution de Koszul et modele minimal. Comme nous l'avons vu pre edemment,
l'in lusion P < ,! B(P ) induit un morphisme B (P < ) ! B (B(P )). Et en omposant e morphisme
ave le morphisme : B (B(P )) ! P de la resolution bar- obar ( f. theoreme 125), on obtient
un morphisme de properades di erentielles graduees par un poids de la forme
B (P < ) ! P :
Theoreme 144 (Resolution de Koszul). Soit P une properade di erentielle graduee par un poids et
onnexe. La properade P est de Koszul si et seulement si le morphisme de properades di erentielles
graduees par un poids B (P < ) ! P est un quasi-isomorphisme.
Demonstration. Nous sommes dans le adre gradue par un poids, et toutes les properades en
jeu sont onnexes. On peut don appliquer le lemme de omparaison des properades quasi-libres.
()) Si P est de Koszul, ela signi e que P < ,! B(P ) est un quasi-isomorphisme. Don B (P < ) !
B (B(P )) est aussi un quasi-isomorphisme. Il en va de m^eme pour B (P < ) ! P , gr^
a e a la resolution
101
CHAPITRE 7. DUALITE DE KOSZUL
bar- obar (theoreme 125).
(() Re iproquement, supposons que le morphisme B (P < ) ! P soit un quasi-isomorphisme.
Comme la onstru tion bar- obar est un quasi-isomorphisme, le morphisme B (P < ) ! B (B(P ))
est aussi un quasi-isomorphime. Et, on on lut en utilisant le lemme de omparaison des properades
quasi-libres.
En re onduisant les m^emes arguments dans le as des PROPs, on montre le theoreme analogue.
Theoreme 145 (Resolution de Koszul d'un PROP). Soit P un PROP di erentiel gradue par un
poids et onnexe. Le PROP P est de Koszul si et seulement si le morphisme de PROPs di erentiels
gradues par un poids B (P ) ! P est un quasi-isomorphisme.
Demonstration. La demonstration est exa tement la m^eme. On utilise la resolution bar- obar
donnee dans le adre des PROPs par la proposition 128 et le lemme de omparaison des PROPs
quasi-libres.
Ces theoremes legitiment la de nition suivante:
Definition (Resolution de Koszul). Lorsque P est de Koszul (properade ou PROP), la resolution
B (P < ) ! P est appellee resolution de Koszul.
Corollaire 146. Lorsque P est une properade ou un PROP de Koszul de di erentielle nulle,
alors B (P ) est le modele minimal de P .
<
Demonstration. Nous sommes en presen e d'une resolution quasi-libre B (P < ) = F ( 1 P ) !
P dont la< di erentielle d< est quadratique puisque, par de nition de la derivation d , on a
d ( 1 P ) F(2) ( 1 P ).
Definition (P -gebre a homotopie pres). Lorsque P est une properade ou un PROP de Koszul,
on appelle P -gebre a homotopie pres toute gebre sur B (P < ). On parle aussi de P1 -gebre.
Cette notion generalise elle d'algebre a homotopie pres (sur une operade).
<
<
0
0
0
4. Complexe de Koszul
Il est equivalent et aussi diÆ ile de montrer qu'une properade (ou qu'un PROP) P est de Koszul
(P < ! B(P ) quasi-isomorphisme), a partir de la de nition, que de montrer que la obar onstru tion sur P < est une resolution de P (B (P < ! P quasi-isomorphisme). On introduit don un petit
omplexe dont l'a y li ite est un ritere pour determiner si P est de Koszul et don pour avoir le
modele minimal sur P .
4.1. Complexe de Koszul a oeÆ ients. De la m^eme maniere que l'on avait de ni la bar
onstru tion a oeÆ ients ( f. hapitre 4 se tion 2:2) et la bar onstru tion simpli iale a oeÆ ients
( f. hapitre 6 se tion 1), on peut de nir le omplexe de Koszul a oeÆ ients.
Definition (Complexe de Koszul a oeÆ ients). Soit P une properade di erentielle graduee par
un poids onnexe et soient L et R deux modules (a droite et a gau he) sur P . On appelle omplexe
de Koszul a oeÆ ients dans les modules L et R, le omplexe de ni sur le S-bimodule L P < R
par la di erentielle d, somme des trois termes suivants :
(1) la di erentielle anonique ÆP induite par elle de P ,
(2) le morphisme homogene dL de degre 1 qui vient de la stru ture de P - omodule a
gau he de P < :
(1) ) P < ;
P < ) P < ! (I P|{z}
l : P < ! P < P < (I |{z}
1
1
(3) le morphisme homogene dR de degre 1 qui vient de la stru ture de P - omodule a droite
de P < :
(1) ):
r : P < ! P < P < P < (I |{z}
P < ) ! P < (I P|{z}
1
102
1
4. COMPLEXE DE KOSZUL
On le note K(L; P ; R).
Tout omme P s'inje te dans la bar onstru tion B(P ), le omplexe de Koszul a oeÆ ients est
un sous- omplexe de la bar onstru tion a oeÆ ients.
Proposition 147. Soit P une properade di erentielle graduee par un poids onnexe et soient L et
R deux modules (
a droite et a gau he) sur P . Le S-bimodule di erentiel K(L; P ; R) = L P R
est un sous- omplexe de la bar onstru tion a oeÆ ients B(L; P ; R) = L B(P ) R.
Demonstration. Tout repose sur le fait que la di erentielle de la bar onstru tion est de nie a
partir du oproduit sur B(P ) = F (P ) et que la di erentielle du omplexe de Koszul est aussi
de nie a partir du oproduit sur P . Comme P est une sous- oproperade di erentielle de B(P )
les di erentielles orrespondent.
L'in lusion P ,! B(P ) induit un morphisme de dg-S-bimodules
L P R ,! B (L; P ; R):
De la m^eme maniere, on de nit le omplexe de Koszul a oeÆ ients pour un PROP.
Definition (Complexe de Koszul a oeÆ ients d'un PROP). Soit P un PROP di erentiel gradue
par un poids onnexe et soient L et R deux modules (a droite et a gau he) sur P . On appelle
omplexe de Koszul a oeÆ ients dans les modules L et R, le omplexe de ni sur le S-bimodule
L P R par la di erentielle d somme des trois m^emes termes que dans le as des properades.
Proposition 148. Le omplexe de Koszul a oeÆ ents K(L; P ; R) = L P R sur un PROP
P est un sous- omplexe de la bar onstru tion a oeÆ ients B(L; P ; R) = L B(P ) R.
4.2. Complexe de Koszul et modele minimal. Tout omme nous avions etudie une bar
onstru tion parti uliere, la bar onstru tion augmentee B(I; P ; P ) = B(P ) P et la bar onstru tion normalisee augmentee N (I; P ; P ) = N (P ) P , on onsidere i i le omplexe equivalent au
niveau des omplexes de Koszul.
Definition (Complexe de Koszul). On appelle omplexe de Koszul le omplexe K(I; P ; P ) =
P P (et P P dans le as des PROPs).
La di erentielle de e omplexe est de nie par le morphisme dr pre edent plus eventuellement
la di erentielle anonique Æ induite par elle de P . Remarquons que le morphisme dr revient
a extraire une operation 2 P de P par le haut, a identi er ette operation omme une
operation de P (puisque P = P ) et nalement a la omposer dans P . Ce qui se resume par
les diagrammes donnes par J.-L. Loday dans [L1℄.
Le prin ipal theoreme de ette these est le ritere suivant.
Theoreme 149 (Critere de Koszul). Soit P une properade di erentielle graduee par un poids et
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
P
<
(1)
(1)
<
(1)
<
(1)
onnexe. Les propositions suivantes sont equivalentes
(1) est de Koszul (l'in lusion < , ( ) est un quasi-isomorphisme)
(2) Le omplexe de Koszul < est a y lique.
(2 ) Le omplexe de Koszul < est a y lique.
(3) Le morphisme de properades di erentielles graduees par un poids
( <)
est un quasi-isomorphisme.
P
P !B P
P P
P P
0
B P !P
Nous avons deja vu l'equivalen e (1) () (3) ( f. theoreme 144).
Par le lemme de omparaison des P -modules quasi-libre (a droite), l'assertion (1) est equivalente
au fait que le morphisme P P ! B(P ) P soit un quasi-isomorphisme. L'a y li ite de la bar
onstru tion augmentee ( f. theoreme 108) permet de voir que la properade P est de Koszul (1)
si et seulement si le omplexe de Koszul P P est a y lique (2).
On pro ede de la m^eme maniere, ave le lemme de omparaison des P -modules quasi-libres a
gau he, pour montrer l'equivalen e (1) () (2 ).
103
Demonstration.
<
<
0
CHAPITRE 7. DUALITE DE KOSZUL
150 (Critere de Koszul pour les PROPs). Soit P un PROP di erentiel gradue par un
poids et onnexe. Les propositions suivantes sont equivalentes
(1) P est de Koszul (l'in lusion P < ,! B(P ) est un quasi-isomorphisme)
(2) Le omplexe de Koszul P < P est a y lique.
(20) Le omplexe de Koszul P P < est a y lique.
(3) Le morphisme de PROPs di erentiels gradues par un poids
B (P < ) ! P est un quasi-isomorphisme.
Theoreme
La demonstration est exa tement la m^eme. On utilise i i l'a y li ite de la bar
onstru tion augmentee sur un PROP et les versions PROPiques des lemmes de omparaison. Proposition 151. On a un isomorphisme de S-bimodules di erentiels gradues par un poids
P P = S (U (P ) P ):
Cette proposition ainsi que le proposition 143 justi ent que lorsque l'on veut montrer que la obar
onstru tion sur le oPROP dual fournit le modele minimal d'un PROP P , il suÆt de prouver
l'a y li ite du omplexe de Koszul asso ie a la properade de nie par P , a savoir P P . La notion
de properade fournit le bon adre d'etude pour la dualite de Kosuzl des PROPs. Toute la theorie
developpee i i montre que l'information essentielle d'un PROP quadratique a relations onnexes
est presente dans la properade asso iee et que 'est plut^ot sur elle qu'il faut travailler en pratique.
Demonstration.
<
<
<
Conje ture. Soit P une properade de Koszul, la omposition suivante est un quasi-isomorphisme
P ! B(P ) ! N (P ):
<
Lorsqu'une properade P est de Koszul, e orollaire devrait permettre de al uler l'homologie
de sa bar onstru tion normalisee reduite. Elle doit orrespondre a la duale de Koszul P . Cette
propriete a permis a B. Fresse [Fr℄ de montrer que l'homologie du poset des partitions etait donnee
par l'operade Lie en interpretant les modules simpli iaux engendres par le poset des partitions
omme la bar onstru tion normalisee reduite de l'operade C om. En utilisant ette methode, nous
avons al ule , dans [V℄, l'homologie d'autres types de posets en les reliant aux operades As, P erm
et Dias. Ainsi es homologies sont donnees par les operades duales, a savoir As, P relie et Dend.
<
4.3. Lien ave les theories lassiques (algebres et operades). La notion de duale de
Kozsul, telle que nous l'avons de nie i i, est en fait une oproperade ou un oPROP ( f. 1), alors
que la duale de Koszul d'une algebre est une algebre et que la duale de Koszul d'une operade est
une operade ( f. [Pr℄ et [GK℄). Pour retrouver es onstru tions lassiques, il suÆt de onsiderer
la duale lineaire, duale de Cze h, de P .
Definition (Dual de Cze h d'un S-bimodule). Soit P un S-bimodule, on de nit le dual de Cze h
P _ par le S-bimodule P _ = L; m; n P _ (m; n), ou
P _ (m; n) = sgnSm k P (m; n) k sgnSn:
Le dual de Cze h revient a onsiderer le dual lineaire tordu par les representations signatures.
Lemme 152. Soit (C ; ; ") une oproperade (repe tivement un oPROP) graduee par un poids
telle que les modules C (m; n) soient de dimension nie sur k, pour tout m, n et . Alors, le S<
( )
( )
( )
( )
bimodule C _ est naturellement muni d'un stru ture de properade (respe tivement PROP) graduee
par un poids.
La omultipli ation se de ompose ave le poids en = L2N . Pour
de nir la multipli ation sur C _, on dualise lineairement haque
(m; n) : C (m; n) ! (C C ) (m; n):
104
Demonstration.
( )
( )
( )
( )
4. COMPLEXE DE KOSZUL
Plus pre isement, on a :
(P P )()(m; n) =
0
M B O
( )
00 P
M BB O
( )
P
g2G2 m; n
=
g2G2 m; n
sommet de g
=
1,
C( ) (jOut( )j; jIn( )j)C
A
1, 1
C( ) (jOut( )j; jIn( )j)C
A CA ;
_
sommet de g
=
_
en utilisant l'hypothese sur la dimension des C()(m; n) et en identi ant invariants et oinvariants
(nous travaillons sur un orps de ara teristique nulle). On de nit alors () par la omposition:
(P P )()(m; n) =
!
00
M BB O
0( ) 0 P
B M B O
( )
P
g2G 2 m; n
g2G 2 m; n
sommet de g
=
sommet de g
=
t
()
1, 1
C CA
) (jOut( )j; jIn( )j)A
1, 1
C CA
) (jOut( )j; jIn( )j)A
_
C(
_
C(
= (C C )_()(m; n) ! C(_)(m; n) = P()(m; n):
La oasso iativite de la omultipli ation induit l'asso iativite de la mutlipli ation . Et la
ounite de C " : C ! I donne, par passage au dual, l'unite de P : " : I ! P .
Dans le as PROPique, on dualise, de la m^eme maniere, la de on ateantion horizontale.
Proposition 153. Soit P une properade (respe tivement un PROP) graduee par un poids (par
exemple quadratique). Posons V = P (1) , le S-bimodule engendre par les elements de poids 1 de P .
S'il existe deux entiers M et N tels que V (m; n) = 0 lorsque m > M ou n > N et si les modules
V (m; n) sont tous de dimension nie sur k, alors la obar onstru tion B (P ) sur P et la duale
de Koszul
P
<
veri ent les hypotheses du lemme pre edent.
Comme P < est une sous- oproperade (sous- oPROP) de la obar onstru tion
B (P ) sur P , il suÆt de demontrer que les modules B (P )() (m; n) sont de dimension nie sur k.
Nous avons vu que B (P )()(m; n) = F()(V )(m; n). Dans le as ou V veri ent les hypotheses
de la proposition, e dernier module est donne par une somme sur l'ensemble des graphes a sommets et tels que haque sommet possede au plus N entrees et M sorties. Cet ensemble etant
ni et les modules V (m; n) etant de dimension nie, on a le resultat es ompte.
Corollaire 154. Pour toute properade (respe tivement
P tout PROP) quadratique engendree par
un S-bimodule V dont la somme des dimensions m; n dimk V (m; n) est nie, le dual de Cze h
Demonstration.
P _ de la duale de Koszul de P est muni d'une stru utre naturelle de properade (respe tivement
<
de PROP).
De plus, si P est de la forme F (V )=(R), alors la properade P < _ est quadratique et de la forme
P < _ = F (V )=(2 R? ). On note ette properade (ou le PROP asso ie) P !.
< = V
On peut remarquer que la properade (ou le PROP) P ! est entierement determinee par P(1)
< = 2 R.
et P(2)
Rappelons que dans le as d'une algebre quadratique A = T (V )=(R), S. Priddy de nit l'algebre
duale A! par T (V )=(R?), lorsque V est de dimension nie sur k. De m^eme, V. Ginzburg et
M. M. Kapranov onstruisent la duale d'une operade quadratique P = F (V )=(R) en posant
P ! = F (V _ )=(R? ), en ore une fois lorsque V est de dimension nie.
Dans le as de la dimension nie, les de nitions on eptuelles des objets duaux donnees i i oin ident ave les de nitions lassiques, a suspension pres ( f. [BGS℄ et [Fr℄). En parti ulier, la duale
105
CHAPITRE 7. DUALITE DE KOSZUL
d'une algebre A n est isomorphe a n A n et la duale d'une operade P n est isomorphe a n P _n .
<
(
<
!
)
(
!
)
Les omplexes de Koszul et les resolutions venant de la obar onstru tion introduits i i orrespondent, dans le as des algebres, a eux donnes dans [Pr℄ et, dans le as des operades, a eux de
[GK℄.
Comme nous n'avons au une hypothese sur les dimensions de modules en jeu, les notions introduites i i sont plus generales.
5. Exemples
La derniere diÆ ulte est de pouvoir montrer que le omplexe de Koszul d'une properade (un
PROP) est a y lique dans des as on rets, omme elui des bigebres de Lie et elui des bigebres
de Hopf in nitesimales par exemple. Pour ela, nous demontrons une proposition aÆrmant que
les properades onstruites suivant un s hema parti ulier sont de Koszul. Cette se tion est une
generalisation aux properades des methodes de T. Fox, M. Markl [FM℄ et W. L. Gan [G℄.
5.1. Loi de rempla ement. Soit P une prop
erade quadratique de le forme
P = F (V; W )=(R D S );
ou R F (V ), S F (W ) et
D (I W ) (I V ) (I V ) (I W ):
(2)
(2)
M
|{z} |{z}
|{z}
1
1
|{z}
1
1
Les deux ouples de S-bimodules (V; R) et (W; S ) induisent des properades que l'on note A =
F (V )=(R) et B = F (W )=(S ).
Definition (Loi de rempla ement). Soit un morphisme de S-bimodules
: (I W ) (I V ) ! (I V ) (I W ):
|{z} |{z} |{z} |{z}
Lorsque le S-bimodule est de ni omme l'image de
M
(
) : ( |{z}) ( |{z}) ! ( |{z}) ( |{z}) ( |{z}) ( |{z})
1
1
1
1
D
id; I
W
1
I
V
1
I
W
I
1
V
I
1
V
1
I
W ;
1
on dit que est une loi de rempla ement et on note D par D .
Les exemples que nous traitons i i sont tous de ette forme. Ils proviennent m^eme d'un \melange"
( f. [FM℄) de deux operades.
Definition (S-bimodule oppose). A partir d'un S-bimodule P , on de nit un S-bimodule oppose
P op par
P op (m; n) = P (n; m):
Prendre l'oppose d'un S-bimodule revient a inverser le sens de par ours du S-bimodule. Soient P
et Q deux S-bimodules, on retrouve ette remarque au niveau du produit P Q, ar on a
(P Q)op = Qop P op :
Lorsque le S-bimodule P est muni d'une stru ture de properade (ou de PROP), le S-bimodule
oppose P op est lui aussi muni d'une stru ture de properade (ou de PROP).
Les properades donnees en exemple i i (bigebres de Lie, bigebres de Hopf in nitesimales) sont
engendrees uniquement par des operations (n entrees et une sortie) et des ooperations (une
entree et m sorties). On peut les e rire sous la forme F (V W )=(R D S ), ou V represente les
operations generatri es (V (m; n) = 0 si m > 1) et ou W represente les ooperations generatri es
(W (m; n) = 0 si n > 1). La properade A = F (V )=(R) est alors une operade et la properade
B op = F (W op )=(S op ) est aussi une operade. Dans e as parti ulier, les lois de rempla ement sont
de la forme
: W k V ! (I V ) (I W ):
|{z}
106
1
|{z}
1
5. EXEMPLES
Pour la properade asso iee aux bigebres de Lie ( f. hapitre 2 se tion 4.3), on a A = B op = Lie et
la loi de rempla ement est donnee par
1 2 2 1 1 2 2 1
1A 2
A}}
: }AA 7! zzDDzz zzDDzz + DDzzDD DDzzDD :
}
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
Dans le as des bigebres de Hopf in nitesimiales ( f. hapitre 2 se tion 4.3), les operades A et B op
orrespondent a l'operade As des algebres? asso iatives et la loi de rempla ement vient de
?
: ?? 7! ?? + ???? :

Ces deux lois de rempla ement permettent de permuter verti alement operations et ooperations.
Definition (Loi de rempla ement ompatible). On dit qu'une loi de rempla ement est ompatible ave les realtions R et S si les deux morphismes suivants sont inje tifs
8
A |{z}
B !P
>
< |{z}
A |{z}
B ! P:
>
: |{z}
(1)
(2)
(2)
(1)
Lemme 155. Toute properade de la forme P = F (V; W )=(R D S ) de nie par une loi de
rempla ement ompatible veri e l'isomorphisme de S-bimodules
P = A B:
Demonstration. L'hypothese de ompatibilite de la loi de rempla ement permet de montrer
que le morphisme A B ! P est inje tif ( f. [FM℄).
Ensuite, on montre que e morphisme est surje tif. Pour ela, a tout element de P , on hoisit un
representant dans F (V W ). Ce dernier s'e rit omme un somme nie de graphes indi es par
des operations de V et des ooperations de W . Pour ha un des graphes, on xe arbitrairement
un sommet par niveau ( f. hapitre 6) et on permute operations et ooperations pour pla er
l'ensemble des ooperations au dessus de elui des operations. L'element ainsi obtenu appartient
a F (V ) F (W ) et, une fois proje te dans A B , il fournit l'ante edent voulu.
Dans les deux exemples pre edents e lemme montre que l'on peut e rire tout element de P omme
somme d'elements de A B , 'est-a-dire en mettant toutes les ooperations en haut et toutes les
operations en bas. Au niveau des bigebres de Lie, e resultat etait deja present dans [EE℄ (se tion
6.4).
5.2. Duale de Koszul d'une properade donnee par une loi de rempla ement.
Proposition 156. Soit P une properade de la forme P = F (V; W )=(R D S ) de nie par
une loi de rempla ement ompatible
ave les relations R et S et telle que la somme totale des
P
dimensions de V et W sur k , m; n dimk (V W )(m; n).
La properade duale est alors donnee par
P = F (W _ V _ )=( S ? Dt R? );
'est-a-dire par la loi de rempla ement t . Et la oproperade duale veri e l'isomorphisme de Sbimodules
P < = B < A< :
Demonstration. L'hypothese sur la dimension des S-bimodules generateurs V et W de P , implique que la dimension de F (V _ W _ )(m; n) est nie, pour tous les entiers , m et n. On
en on lut que les dimensions de P (m; n) et de P (m; n) sont aussi nies, d'ou P _ =P.
On e rit R? l'orthogonal de R dans F (V _L
), S ? l'orthogonal de S dans F (W _ ) et D? l'orthogonal de D dans (I |{z}
W _ ) (I |{z}
V _ ) (I |{z}
V _ ) (I |{z}
W _ ). Alors, la properade duale
!
2
2
2
( )
<
!
( )
!
( )
(2)
P est donnee par
!
1
(2)
1
1
1
P = F (V _ W _)=( R? D? S ? ):
!
2
107
2
2
<
DE KOSZUL
CHAPITRE 7. DUALITE
Il suÆt maintenant de remarquer que le S-bimodule D? orrespond a l'image du morphisme
M
(id; t ) : (I |{z}
V _ ) (I |{z}
W _ ) ! (I |{z}
V _ ) (I |{z}
W _ ) (I |{z}
W _ ) (I |{z}
V _ );
1
1
1
1
'est-a-dire que D? = Dt .
En appliquant le lemme pre edent a la properade
B < A< en dualisant lineairement.
1
1
P , on obtient que P = B !
!
!
A puis
!
P =
<
Les deux exemples donnes par les properades des bigebres de Lie et des bigebres de Hopf in nitesimales veri ent les hypotheses de ette proposition. Elles sont toutes les deux engendrees par
??
un nombre ni de generateurs. Comme dans les deux as, au un element de la forme ?? n'apparait
dans les relations, on les retrouve parmi les relations de la properade duale (au sens de Koszul).
Corollaire
157.
(1) La properade duale de Koszul B iLie! de elle des bigebres de Lie est donnee par
BiLie
!
= F (V )=(R);
1
2
?
?
ou V = ?  ? , 'est-a-dire une operation ommutative et une ooperation o ommu-
tative, et
1
2
1
80
>
?
?
?
>
??? ???? A :k[S ℄
>
>
>
1
0
>
>
?
?
>
k[S ℄: ?? ??? ??? A
>
>
>
<
>
> ?? ??  ?? ??  ??
>
??   ??   ??
>
>
>
>
>
>
?
>
: ??? :
1
2
3
1
2
3
3
3
R =
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
3
1
1
2
3
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
?? 
?? ??

 ??

1
2
1
2
2
1
?? ??

1
2
Elle orrespond a la dioperade des algebres de Frobenius ommutatives unitaires. Au
niveau des S-bimodules, on a
BiLie (m; n) = k:
!
(2) La properade duale de Koszul "B i! de elle des bigebres de Hopf in nitesimales est donnee
par
"B i = F (V )=(R);
!
108
5. EXEMPLES
?
?
ou V =  ?? et
R =
8 ???  ??? ??
?
?
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
?????? ????
>
>
>

 
>
>
>
< ?? ? ??
??  ? ??
>
>
>
>
>
>
>
>
?
>
?? ?? ?
>

>
>
??  ??? >
>
>
?
>
:
?? ??

?
?? ?
?
??  ?

?
??  ?
?
?? ?

?
 ??? 
?
?? ? :

Au niveau des S-bimodules, on a
"B i!(m; n) = k[Sm℄ k k[Sn℄:
5.3. Complexe de Koszul d'une properade donnee par une loi de rempla ement.
Proposition 158. Soit P une properade de la forme P = F (V; W )=(R D S)Pde nie par une
loi de rempla ement , telle que la somme totale des dimensions de V et W sur k , m; n dimk (V W )(m; n), soit nie. On de nit les deux properades A et B par A = F (V )=(R) et B = F (W )=(S).
On suppose que W est un S-bimodule de degre homologique nul.
Si A et B sont des properades de Koszul, alors P est aussi une properade de Koszul.
Demonstration. En appliquant le lemme 155 et la proposition 156, on montre que le omplexe
de Koszul de P est de la forme
P P = (B A ) (A B) = B (A A) B:
On introduit la ltration suivante du omplexe de Koszul : Fn (P P ) orrespond au sous-Sbimodule de B (A A) B engendre par les graphes a 4 niveaux presentant au plus n
sommets sur le quatrieme niveau, 'est-a-dire elui indi e par des elements de B . Cette ltration
est stable par la di erentielle du omplexe de Koszul, elle induit don une suite spe trale notee
. Le premier terme de ette suite spe trale E
Ep;
elements de B (A A) B
q
p; q est ompose des de degre homologique p + q et qui se rivent ave exa tement p elements de B . Et la di erentielle
d orrespond a la di erentielle de Koszul de la properade A. Comme A est une properade de
Koszul, on a Ep; q = B B et d est la di erentielle du omplexe de Koszul de la properade B.
Comme elle- i est a y lique, la suite spe trale est degeneree en E . Plus pre isement, on a
I si p = 0 et q = 0;
Ep; q =
0 sinon:
r le theoreme lassique
La ltration est exhaustive et bornee inferieurement, on peut appliquer a Ep;
q
de onvergen e des suites spe trales ( f. [W℄ 5.5.1). On obtient que la suite spe trale onverge vers
l'homologie du omplexe de Koszul de P . Ce omplexe est don a y lique et P est une properade
de Koszul.
<
<
<
<
<
<
<
<
<
0
<
<
<
0
1
<
1
2
2
Corollaire 159. Les properades des bigebres de Lie B iLie et des bigebres de Hopf in nitesimales
"B i sont de Koszul.
Demonstration. Dans le as B iLie, la properade A est l'operade de Koszul des algebres de Lie
Lie et la properade B est l'opposee de Lie, B = Lieop , qui est aussi de Koszul.
Dans le as "B i, la properade A est l'operade de Koszul des algebres asso iatives As et la properade
B est l'opposee de As, B = Asop , qui est aussi de Koszul.
appli ation : La obar onstru tion sur la oproperade B iLie est une resolution de la properade
BiLie. Si on interprete ela en termes de ohomologie des graphes, on retrouve les resultats de
<
M. Markl et A. A. Voronov [MV℄. La ohomologie des graphes " ommutatifs" onnexes est egal
109
DE KOSZUL
CHAPITRE 7. DUALITE
a la properade B iLie. Dans le as de la properade IBi, on trouve que la ohomologie des graphes
\ribbon" onnexes est egale a la properade "B i.
110
CHAPITRE 8
Series de Poin are
On generalise i i une demar he deja utilisee dans le adre des algebres asso iatives ( f. Y. Manin
[M℄) et des operades binaires quadratiques ( f. V. Ginzburg et M.M. Kapranov [GK℄).
Soit P une properade quadratique (issue eventuellement d'un PROP). A P (respe tivement a
<
P ), on asso ie une s
erie de Poin are fP (respe tivement fP < ) dont les oeÆ ients viennent de
dimensions des modules P() (m; n) (respe tivement P(<) (m; n)) lorsque es quantites sont nies.
Au hapitre pre edent, nous avons vu que P est de Koszul si et seulement si le omplexe de Koszul
<
P P est a y lique. Dans e as, la ara t
eristique d'Euler-Poin are du omplexe de Koszul est
nulle et induit une relation fon tionnelle entre fP et fP < .
Dans une premiere se tion nous de nissons les series de Poin are dans le adre general des Sbimodules et nous demontrons le theoreme veri e par les series asso iees aux properades de Koszul. Dans la suite, nous appliquons e resultat aux as parti uliers des algebres asso iatives, des
operades binaires et des operades quadratiques non ne essairement binaires. Dans les deux premiers as, nous retrouvons les equations fon tionnelles donnees par [L1℄ et [GK℄ respe tivement.
Le dernier as est nouveau. Et nous donnons un exemple d'appli ation.
1. Series de Poin are des properades
On se pla e i i dans la ategorie monodale des S-bimodules gradues par un poids munie du produit
( f. hapitre 2 se tion 1:3). On rappelle que toute properade quadratique est graduee par un
poids (qui vient du nombre de sommet des graphes de rivant la properade libre) et que le omplexe
de Koszul se de ompose de la maniere suivante :
Proposition 160. Le omplexe de Koszul asso ie a une properade graduee par un poids (eventuellement quadratique) P se de ompose en somme dire te de sous- omplexes indi es par le nombre
d'\entrees et de sorties" (bigraduation naturelle du S-bimodule P ) et par la graduation totale
venant du poids. Soit
K =
K(d) (m; n);
M
ou
(
m; n; d 0
) orrespond a
K(d) m; n
0 ! P(<d) (m; n) !
|{z} |{z}(
P
<
(d 1)
P
) ! !
m; n
(1)
|{z} |{z} (
P
<
(1)
P
) ! P(d) (m; n) ! 0:
m; n
(d 1)
Remarque : On a la m^eme proposition pour le omplexe de Koszul K0 , version symetrique de K,
ou K(0 d) (m; n) = (P P < )(d) .
L
Lemme 161. Soit V un S-bimodule tel que m; n2N V (m; n) soit de dimension nie sur k . Alors
la dimension de F(d) (V )(m; n) est nie.
Soit P une properade engendree par un tel module V (P = F (V )=(R)). Alors la dimension de
P(d) (m; n) est
nie.
L
Demonstration. L'hyopthese que le module m; n2N V (m; n) soit de dimension nie sur k
implique qu'il existe M et N dans N tels que V (m; n) = 0 si m M ou n N . Comme il n'existe
qu'un nombre ni de graphes onnexes ave moins de d sommets et tels que haque sommet
admette un nombre d'entrees inferieur a M et un nombre de sorties inferieur a N , on obtient le
resultat voulu.
CHAPITRE 8. SE RIES DE POINCARE
Le prin ipal theoreme enon e dans ette these, le ritere de Koszul ( f. theoreme 149), aÆrme
qu'une properade P est de Koszul si et seulement si les omplexes de Koszul K(d) (m; n) sont
a y liques pour d 1 ( e qui est equivalent a l'a y li ite des omplexes de Koszul K(0 d) (m; n)
pour d 1).
Dans e as, la ara teristique d'Euler-Poin are des omplexes de Koszul s'annule pour donner la
formule
d
X
k=0
( 1)k dim(|{z}
P < |{z}
P )(m; n) = 0:
(k)
(d k)
Dans le as ou la properade quadratique P est engendree par un espa e de generateurs de dimension
totale nie, on peut appliquer le lemme 161 qui montre que tous les modules onsideres dans la
formule pre edente sont de dimension nie. On peut don la developper de la maniere suivante :
d
X
k=0
( 1)k dim(|{z}
P < |{z}
P )(m; n) =
X
(k)
S k; j ! !! ! !!
℄
n
m
{ |
k l
(d k)
Po< 1 ( 1
dim
l ; k
<
1 ) : : : dimPob (lb ; kb ): dimPq1 (j1 ; i1 ) : : : dimPqa (ja ; ia );
ou la somme ourt sur les n-uplets {, |, k, l, o et q tels que j{j = n, j|j = jkj, jlj = m, joj = k et
jqj = d k.
Definition (Serie de Poin are asso iee a un S-bimodule). A un S-bimodule gradue par un poids
P reduit ( 'est-a-dire P (m; n) = 0 des que m = 0 ou n = 0), on asso ie la serie de Poin are
dimP(d)(m; n) m n d
y x z ;
m! n!
m;n1
d0
X
P (y; x; z ) =
f
lorsque les modules P(d) (m; n) sont tous de dimension nie sur k.
Si on pose
(
) (
g y; X; z ; f Y ; x; z
b
0 ) = X ℄S k; j Y 1
0
k
=1
k
g
! Xk
(y; 0; z )
a
Y
=1
1
j
j
f
! Y j
(0; x; z 0);
ou la somme 0 ourt sur les n-uplets k et | tels que jkj = jj. On a alors la proposition suivante :
Theoreme 162. Toute properade P de Koszul engendree par un espa e de generateurs de dimension nie veri e
P < (y; X;
Demonstration. On a
f
P < (y; X;
X
0
℄S
b
Y
k; j
=1
d
X X
m; n1
d0
= xy:
k=0
|
z ; f
) P (Y ; x; z ) =
z ; f
1
k
!
( 1)k
k
) P (Y ; x; z ) = xy:
f
P < (y; 0;
f
k
X
X
℄S
k; j
z
)
a
Y
=1
1
!
j
j
j
Y
Pq< (
b
Y
dim
=1
l ; k
l
!k !
{z
=0 pour d1
112
P (0; x; z )
f
)
a
Y
=1
Po (
dim
j
j
!i !
; i
)
y
m xn z d
}
2. SE RIES DE POINCARE DES ALGE BRES QUADRATIQUES
omplexe de Koszul K est a y lique si et seulement si le omplexe K0 est
a y lique, dans le as ou la properade P est de Koszul, on a la formule symetrique
) P(
) =
P(
On va maintenant appliquer e theoreme aux sous- ategories pleine de S-biMod que sont -Mod
et S-Mod.
Remarque : Comme le
f
y; X;
z ; f
<
Y ; x; z
xy:
k
2. Series de Poin are des algebres quadratiques
On se pla e i i dans la sous- ategorie monodale pleine (gr-Mod k ) de (gr-S-biMod, ).
Dans ette sous- ategorie monodale, une properade (un monode) orrespond a la notion lassique
l'algebre asso iative graduee. Dans e as, la properade (algebre) libre sur un espa e orrespond a
l'algebre tensorielle ( ). Et une properade quadratique est une algebre quadratique de la forme
= ( ) ( ), ou 2 ( ) =
. Sa duale de Koszul est donnee par = ( ) ( ? ) =
( ? )? . Si l'algebre est engendree par un module on entre en degre 0, alors n = n . On
se pla e i i dans le as ou est un espa e de dimension nie a n de veri er les hypotheses du
lemme 161.
Proposition 163. Le omplexe de Koszul a i i la forme suivante :
! !
Kn : 0! n ! n
n ! n !0
Dans [L1℄, une algebre est dite de Koszul si les omplexes Kn sont a y liques pour 1. Cette
de nition est equivalente a elle donnee i i ( f. theoreme 149).
Definition (Serie de Poin are asso iee a un -module). La serie de Poin are asso iee a un
-module gradue par un poids est donnee par
X
( n) n
A( ) =
;
; k
; I
V
T V
A
T V
= R
R
R
A
T2 V
V
2
A
A
<
T V
V
A
= R
<
A
<
(
)
V
(
A
)
<
(
A
)
<
(
A(1)
1)
A
<
A(
(1)
A( )
1)
:
n
k
k
A
f
x
n
dim A( ) x ;
0
si tous les modules n sont de dimension nie.
Remarque : Cette de nition orrespond bien a elle donnee dans la se tion pre edente. En
onsiderant omme un S-bimodule, on a la serie de Poin are
X
)=
( n) n
A(
A( )
A
f
y; x; z
n
dim A( ) z
xy:
0
Les deux de nitions sont reliees par la formule
A ( ) = A (1 1 )
Comme orollaire du theoreme 162, on a la formule suivante dans le adre des algebres asso iatives.
Proposition 164. Si est une algebre de Koszul, alors les series de Poin are asso iees veri ent
f
z
f
;
; z :
A
l'equation fon tionnelle :
A(x):fA< (
)=1
En appliquant le theoreme 162, on a i i
( A (1
) A (1
A( ) A ( ) =
= 1
f
Demonstration.
f
z :f
<
z
f
<
x
:
; X; z ; f
; Y;
z
))
:
Dans la litterature, on trouve plut^ot la notion d'alg
ebre duale de nie par = ( ) ( ? ). Nous
avons vu a la n du hapitre pre edent que
= . On a alors l'egalite A ( ) = A ( ), d'ou
A( ) A ( ) = 1
Exemples : L'exemple le plus onnu vient du omplexe original de Koszul onstruit a partir de
l'algebre symetrique ( ) et de sa duale ( ) ( f. J.-L. Koszul [Kos℄).
113
A
A
f
S V
!
x :f
V
A
!
<
x
!
f
:
T V
!
x
= R
f
<
x
CHAPITRE 8. SE RIES DE POINCARE
3. Series de Poin are des operades binaires
Nous reprenons i i le raisonnement e e tue par V. Ginzburg et M. M. Kapranov dans [GK℄ pour
les operades binaires quadratiques.
On se pla e maintenant dans la ategorie monodale (S-Mod; Æ; I ) des S-modules munie du produit
monodal
P Æ Q (n) =
P(k) S Q(i ) Q(i ):
M
k
1kn
i1 ++ik =n
(P ; ; ) est un
k
1
Par de nition, une operade
monode dans ette ategorie monodale. L'operade
libre F(V ) sur V peut ^etre represente par les arbres ou haque sommet a k entrees est indi e par
une operation de V (k). Une operade quadratique est une operade de la forme: P = F(V )=(R),
ave R 2 F (V ). Sa duale, au sens de Ginzburg et Kapranov, est de nie par P = F(V _ )=(R? ).
I i, nous avons de ni sa oduale par P qui orrespond a P _ .
3.1. Cas binaire general. Dans le as ou V est un S -module (de dimension nie), 'est-adire ompose uniquement d'operations binaires, on parle d'operade binaire (toutes les operations
sont engendrees par des operations a deux variables). La graduation en poids est dire tement liee
a la graduation donnee par le S-module P par la formule P
= P(n).
Proposition 165. Dans le adre des operades binaires quadratiques, le omplexe de Koszul or!
(2)
<
!
2
(n
1)
respond a
K (n) : 0 ! P (n) ! (P (n 1) Æ P)(n) ! ! (P (2) Æ P)(n) ! P(n) ! 0:
Dans le as ou l'operade P est de Koszul, la ara terisque d'Euler-Poin are s'annule pour donner:
(n
<
1)
<
X( 1)
<
n
Or, on a
k
k=1
dim((P < (k ) Æ P)(n)) =
1
dim((P < (k ) Æ P)(n)) = 0:
X
i +
+i k
n! dimP < (k ) dimP(i1 ) : : : dimP(ik )
:
k ! i1 ! : : : i k !
=n
Ce i pousse a la de ntion suivante:
Definition (Serie de Poin are asso iee a une operade binaire quadratique). A une operade binaire
quadratique P, on asso ie la serie de Poin are
n)
fP (x) =
( 1) dimnP(
! x:
X
n
n
n
1
Cette de nition apparait omme un as parti ulier des series de Poin are asso iees
aux properades. En e et, si on onsidere P omme une properade, on obitent
dimP(n) y x z :
fP (y; x; z ) =
n!
Remarque :
X
n
n
n
1
1
Et les deux series sont reliees par la formule
fP (x) = fP (1; x; 1):
Proposition 166. Si P est une operade binaire quadratique de Koszul, les series de Poin are
veri ent l'equation fon tionnelle
Demonstration.
On a
fP < (fP (x))
fP < (fP (x)) = x:
= fP (1; fP (1; x; 1); 1)
= (fP (1; X; 1); fP (Y; x; 1)) = x
<
<
114
4. SE RIES DE POINCARE DES OPE RADES QUADRATIQUES
Exemples :
{ Les operades C et L odant les algebres ommutatives et les algebres de Lie sont
des operades binaires, quadratiques et de Koszul. Elles sont duales l'une de l'autre.
Comme C ( ) = , on a C ( ) =
1 et omme dim L ( ) = ( 1)!, on
a L ( ) = ln(1 + ). Ces deux series veri ent bien la relation pre edente. ( f. [GK℄)
{ Un autre exemple est donne par les operades L et Z representant les algebres de
Leibniz et les algebres Zinbiel ( f. [L2℄). Ces deux operades sont binaires, quadratiques et
de Koszul. Elles sont aussi duales l'une de l'autre. On a L ( ) = [S ℄, d'ou L ( ) =
. De m^eme, on sait que Z ( ) = [S ℄, d'ou on tire Z ( ) = 1+ . L'equation
1+
fon tionnelle est en ore veri ee i i.
om
ie
om n
f
k
ie x
f om x
e
x
ie n
n
x
eib
inb
eib n
x
inb n
x
k
f
n
k
f
n
eib x
x
inb x
x
3.2. Cas non-symetrique. Si les operades en question peuvent ^etre de rites sans l'a tion
du groupe symetrique, on parle d'operades non-symetriques ou non-. Soit P une telle operade,
alors le S -module P ( ) est un S -module libre que l'on note P 0( )
[S ℄. Dans e as,
l'objet sous-ja ent a l'operade est juste le -module gradue P 0 . La serie de Poin are devient
P ( ) = 1 ( 1) dim P 0 ( ) et le resultat pre edent reste vrai.
P
n
n
f
x
n
n
k k
n
k
n
n x
n
n
Exemples :
{ L'exemple le plus elebre est elui de l'operade A des algebres asso iatives. Cette operade
est une operade non symetrique binaire quadratique et de Koszul. Elle est autoduale. Et,
sa serie de Poin are vaut A ( ) = 1+ .
{ Un autre exemple de telles operades est donne par les operades D et D representant
les digebres et les algebres dendriformes ( f. [L2℄). Le S -module D ( ) orrespond a
opies de [S ℄, d'ou D ( ) = (1+ )2 . Quant au S -module D ( ), il est isomorphe
a une somme dire te indi ee par les arbres binaires planaires a sommets. Le ardinal
p
de et exemple est egal au nombre de Catalan . On a don D ( ) = 1 2 2+ 1+4 .
s
f
x
s x
x
ias
n
k
f
n
x
ias x
n
end n
n
x
end
ias n
n
f
n
x
end x
x
x
4. Series de Poin are des operades quadratiques
Le as pre edent etait deja onnu et donne dans [GK℄. Cette arti le de rit la theorie de Koszul
des operades binaires quadratiques ( omme A , C , L et ...). Dans e as parti ulier, on s'est
fortement servi de la relation P( 1) = P ( ) pour pouvoir e rire l'equation fon tionnelle veri ee
par les series de Poin are. Pour depasser ette diÆ ulte dans le as general, il faut introduire le
poids dans la de nition de la serie de Poin are. Ce i apparait naturellement lorsque l'on e rit la
serie de Poin are d'une operade gradue par un poids omme une properade.
s
4.1. Cas general.
om
ie
n
n
On reformule la propositon 160 dans le adre des operades.
167. Le omplexe de Koszul se de ompose en somme dire te en fon tion du "nombre
de feuilles" (graduation du S-module) et de la graduation totale venant du le poids
Proposition
K=
MK
0
( )
(d) n
d; n
o
u
K ( ) orrespond a :
K ( ) : 0!P ( )!P
(d) n
(d) n
<
(d)
n
<
(d 1)
|{z}
|{z}
Æ P ( ) ! ! P Æ P ( ) ! P ( ) ! 0
n
<
(1)
(1)
n
d
n
n
|{z}
(d) n
:
(d 1)
On a le m^eme resultat pour le omplexe de Koszul K0 ou
K(0 )( ) : 0 ! P(< )( ) ! P(1)( ) Æ P < ( ) ! ! P(
d
n
n
(d 1)
115
d
1)
|{z}
Æ P ( )!P ( )!0
<
(1)
n
(d) n
:
CHAPITRE 8. SE RIES DE POINCARE
De la m^eme maniere que nous avions de ni une serie de Poin are pour les S-bimodules gradues
pas un poids, on peut le faire pour un S-module gradue par un poids.
Definition (Serie de Poin are asso iee a un S-module gradue par un poids). A tout S-module
gradue par un poids P, on asso ie la serie de Poin are
P ()
P( ) =
!
f
X
x; y
dim
0 1
d
(d) n
y
n
;n
d
n
x :
Remarque : Cette de ntion est bien un as parti ulier de serie de Poin are asso iee a un Sbimodule. En e et, es deux de nitions veri ent la relation
) = P( )
P(
Dans e as parti ulier des operades l'equation fon tionnelle donnee au theoreme 162 se simpli e.
Proposition 168. Soit une operade P quadratique et de Koszul, alors les series de Poin are
f
veri ent les equations
P < (fP (x; y);
yf
x; z :
) = et P ( P ( ) ) =
D'apres le theoreme 162, on a
) = ( P (1
) P(
))
P ( P( )
=
f
Demonstration.
y; x; z
f
< f
x; y ;
y
x
f
y
<
f
f
< x; y ;
; X;
y ; f
y
x:
Y ; x; y
x
4.2. Cas non-symetrique. Comme dans le as binaire, si P est une operade non-symetrique,
on peut simpli er la serie de Poin are en posant
P0 ( )
P( ) =
f
X
x; y
d
dim
n
(d) n y x
d; n
et la proposition pre edente reste vraie.
4.3. Exemple : Cas d'une operade libre engendree par une operation n?-aire
pour
? ??
tout n. On onsidere l'operade non symetrique libre P engendree par l'espa e V = k f ; ; : : :g.
Don P = F( ) et P = .
<
V
k
V
Remarquons que F( )( ) est de dimension nie alors que l'espa e des generateurs est de
dimension in nie.
Proposition 169. L'operade F( ) est de Koszul.
Demonstration. Il s'agit de montrer que K ( ) est a y lique pour 2. Comme P = ,
e omplexe se reduit a :
V
n
V
V
(d) n
<
n
|{z}
Æ |{z}
P ( )!P
k
V
K ( ) : 0 ! 0 ! ! 0 ! P Æ P ( ) ! P ( ) ! 0
<
(1)
(d) n
Or, l'operade P etant sans relation, le morphisme :
d
n
(d) n
n
(d) n
(d 1)
V
:
( ) est un isomorphisme.
(d 1)
D'ou le resultat.
De la forme de P on tire la serie de Poin are asso iee,
= +
P ()
P ( )=
X
<
f
< x; y
0 1
d
dim
<
n d
n x y
(d)
x
;n
D'apres la proposition 168, on obtient
P( )
f
x; y
X
2
n
y
P (x; y)
fP (x; y )
f
2
1
116
=
n
x y
x:
= + 1
x
y
2
x
x
:
DES OPERADES
4. SERIES
DE POINCARE
QUADRATIQUES
Ce qui implique
(y + 1)fP2 (x; y ) (1 + x)fP (x; y ) + x = 0:
Soit Pn (x) le polyn^ome de Poin are du polytope du Stashe
P de dimension n, aussi appele assoiaedre et note K n ou Kn+2 . Ce polyn^ome s'e rit Pn (y ) = nk=0 ℄C elkn :y k ou C elkn represente l'ensembles des ellules de dimension k du polytope de Stashe de dimension n. On pose, fK (x; y ) =
P
n0 Pn (y)xn la serie generatri en asso iee a es polyn^omes.
Les ellules de dimension k de K peuvent ^etre in idees par les arbres planaires a n + 2 feuilles
et n + 1 k sommets. Cette bije tion implique que ℄C elkn = dimPn+1 k (n + 2). Ce qui donne au
niveau des series generatri es:
X nX1
P (x; y) =
x
+
=
x
+
=
x
+ yx2
=
x
+ yx2
f
Pkn k n
dim
n2 k=1
X nX1
n2 k=1
y x
l
n
℄C el
n
XX
n0 k=0
X
n0
P
n
2
2
k
(
1)
y
k xn
nn k yk xn
℄C el
1
y
(xy )n = x + yx2 fK
xy;
1
y
:
En utilisant l'equation veri ee par fP , on en trouve une pour fK
((1 + y )x2 )fK2 (x; y ) + ( 1 + (2 + y )x)fK (x; y ) + 1 = 0:
Ce qui donne la formule suivante :
170. La serie generatri e asso iee aux polytopes de Stashe veri e
p
1 + (2 + y )x
1 2(2 + y )x + y 2 x2
fK (x; y ) =
:
2(1 + y )x2
Remarque : On retrouve i i le m^
eme formule deja que elle de J.-L. Loday et M. Ron o dans
[LR2℄. La methode utilisee dans ette arti le est la m^eme qu'i i mais repose sur l'operade de
Koszul des trigebres dendriformes. Notons que ette egalite se demontre aussi de maniere purement
ombinatoire a l'aide de la formule de re urren e qui donne le nombre d'arbres planaire a n sommets
en fon tion du nombre d'arbres planaires a k sommets, ave k n.
Proposition
117
Bibliographie
[Ag1℄ M. Aguiar, In nitesimal Hopf algebras, Contemporary Mathemati s 267 (2000) 1-30.
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Index
oPROP de Koszul, 101
oPROP quasi- olibre, 62
oproperade, 42
oproperade olibre onnexe, 47
oproperade de Koszul, 100
oproperade di erentielle, 56
oproperade di erentielle graduee par un poids, 56
oproperade quasi- olibre, 61
ritere de Koszul, 103
derivation, 60
desuspension, 63
dg-S-bimodule, 51
dual de Cze h d'un S-bimodule, 104
dual de Koszul, 97
edge ontra tion, 66
e et roise, 20
fon teur d'extension, 21
fon teur de restri tion, 21
fon teur de S hur, 41
fon teur de S hur a droite, 42
fon teur exa t, 11
fon teur oubli U , 43
fon teurs analytiques s indes, 32
fon teurs de multipli ation, 15
fon teurs polynomiaux homogenes, 32
fon teurs polynomiaux s indes, 32
gebre, 12
gebre sur une properade, 44
graduation par un poids, 11
graphes a niveaux, 35
graphes onnexes, 35
graphes diriges, 35
groupe symetrique, 12
ideal, 29
ideal d'augmentation, 18
ideal engendre, 31
inter hange law, 43
lemmes de omparaison, 79
loi de rempla ement, 106
modele minimal, 102
module, 18
module multilineaire, 19
module lineaire, 20
monade, 17
monode, 17
End(V ), 44
P -gebre, 44
P -gebre a homotopie pres, 102
P -module di erentiel libre, 57
P -module quasi-libre, 57
P -module quasi-libre analytique,
58
S-bimodule, 33
S-bimodule di erentiel gradue par un poids, 56
S-bimodule gradue par un poids, 42
S-bimodule oppose, 106
S-bimodule reduit, 33
S-module, 14
CC-
omodule quasi- olibre analytique, 59
omodule di erentiel olibre, 59
n-uplet, 12
a tion s alaire, 22
algebre symetrique libre S (P ), 39
bar onstru tion a oeÆ ients, 69
bar onstru tion augmentee, 68
bar onstru tion normalisee, 92
bar onstru tion reduite, 67
bar onstru tion simpli iale a oeÆ ients, 91
bar onstru tion simpli iale augmentee, 92
bar onstru tion simpli iale reduite, 91
bifon teur de S hur omplet, 41
bifon teur de S hur reduit, 41
bigebres, 50
bigebres de Hopf in nitesimales, 49, 50
bigebres de Lie, 48
bimodule, 19
ategorie biadditive, 15
ategorie monodale, 13
ategorie monodale abelienne, 15
ategorie monodale stri te, 13
ategorie monodale symetrique, 14
ategories simpli iales et fa e , 25
oegalisateur re exif, 23
obar onstru tion a oeÆ ients, 70
obar onstru tion reduite, 67
oderivation, 60
omodule, 19
omonode, 17
omonode olibre, 28
omplexe de Koszul, 103
omplexe de Koszul a oeÆ ients, 102
omposition horizontale, 38
omposition verti ale, 39
oproduit partiel, 66
121
INDEX
monode augmente, 18
monode libre, 24
morphisme d'e helonnement, 93
operade, 17
operade binaire, 114
operade non-symetrique, 115
paire re exive, 23
partie lineaire, 20
partie multilineaire, 15
partition ordonnee de [n℄, 40
permutation par blo s, 12
permutations onnexes, 33
produit de omposition , 38
produit de omposition G , 39
produit de omposition partiel, 63
produit de on atenation , 38
produit monodal G , 35
produit monodal , 34
produit monodal relatif, 21
PROP, 43
PROP onnexe, 57
PROP de Koszul, 101
PROP di erentiel, 56
PROP di erentiel gradue par un poids, 57
PROP libre, 47
PROP quasi-libre, 62
properade, 42
properade onnexe, 42, 56
properade de Koszul, 100
properade di erentielle, 55
properade di erentielle graduee par un poids, 56
properade di erentielle libre, 59
properade graduee par un poids, 42
properade libre, 46
properade quadratique, 48
properade quasi-libre, 61
properade reduite, 42
quasi-isomorphisme, 11
quotient inde omposable, 22
resolution bar- obar, 85
resolution de Koszul, 101
regles de signes de Koszul-Quillen, 51
serie de Poin are, 111
sommets adja ents, 66
suspension, 63
vertex expansion, 67
122
Table des matieres
Introdu tion
7
Conventions
11
Chapitre 1. Notions Monodales
1. Categorie monodale
2. Monode
3. Modules sur un monode
4. Produits monodaux relatifs
5. Coegalisateurs re exifs
6. Monode libre
7. Ideal
8. Fon teurs polynomiaux et analytiques
13
13
16
18
20
23
24
29
31
Chapitre 2. Properades et PROPs
1. La ategorie des S-bimodules
2. Bifon teurs de S hur
3. De nitions des properades et des PROPs
4. Properade et PROP libres, quadratiques
33
33
40
42
45
Chapitre 3. Properades et PROPs di erentiels
1. La ategorie des S-bimodules di erentiels gradues
2. P -modules libres et quasi-libres
3. Properades et PROPs quasi-libres
51
51
57
59
Chapitre 4. Bar et obar onstru tions
1. Produit et oproduit de omposition partiel
2. Bar et obar onstru tions
3. A y li ite des bar et obar onstru tions augmentees
63
63
67
71
Chapitre 5. Lemmes de omparaison
1. Au niveau des P -modules quasi-libres
2. Au niveau des properades quasi-libres
79
79
88
Chapitre 6. Bar onstru tion simpli iale
1. De nitions et premieres proprietes
2. Morphisme d'e helonnement
91
91
92
Chapitre 7. Dualite de Koszul
1. Dual de Koszul
2. Properade quadratique
3. Properades et resolution de Koszul
4. Complexe de Koszul
5. Exemples
97
97
100
100
102
106
Chapitre 8. Series de Poin are
1. Series de Poin are des properades
111
111
123
TABLE DES MATIERES
2. Series de Poin are des algebres quadratiques
3. Series de Poin are des operades binaires
4. Series de Poin are des operades quadratiques
113
114
115
Bibliographie
119
Index
121
124