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Films minces de cristaux liquides
François Vandenbrouck
To cite this version:
François Vandenbrouck. Films minces de cristaux liquides. Dynamique des Fluides [physics.flu-dyn].
Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2001. Français. �tel-00001559�
HAL Id: tel-00001559
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001559
Submitted on 17 Aug 2002
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A = (R2 + R1) R θ1 θ2
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pα − pβ = γ
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1
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✲❉❀✄
dF = γLV dALV + γLS dALS + γSV dASV
✼✽✕✘✦✖✹✡✱✲✕✞✑◗❂❖▼P✪✢✦✴✣✫✑✧✬❀✕✔✹❁✕✘✻✞✹❁✗✡✣✫✪✢✗❯✹✡✛✢❂✴✦✖✬✘✑✽✑✰✹❁✗✽✭✰✛✢★✞✹❁✗✫✪✢★✿✗✫✑❇❩❇✛✢★✔✪
dALS = −dASV
dF = γLV dALV + (γLS − γSV ) dALS
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1
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6
= π(r2 + H 2),
=
ALS = πr2 .
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dV
dALV
dALS
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θ
= πHr dr +
π 2
(r + H 2 ) dH = 0,
2
❵❀❚✘✵
r2 − H 2
2πr dr (V
),
2
2
r +H
❵❀❚✘✵
= 2πr dr (V
).
=
❩❀❂❖▼P✪✢★✞✩✢❂✖✑■✬✘✑✥✭✰✛✢★✿✗✫✪❇✭✶✗■✬✘✑■❂✖✪✔✩❇✛✢✕✘✗✡✗✫✑✥✹❁✕✘✣✎❂✖✑✥✹✡✛✢❂✴✦✖✬✘✑❇❩✿✱✲✕✘✦✜✑✰✹❁✗✎✗✫✑✶❂❯✱✲✕✞✑
cos θ =
✛✢★❅✛✢✻✘✗✡✦✖✑✶★✿✗✎✱✲✕✞✑✛✕
✲❉ ☎✡
r2 − H 2
,
r2 + H 2
dF = (γLV cos θ + γLS − γSV ) 2πr dr = 0
✁
✲❉
✁
✄
✄
☛■★✠✑✶★✠✬✘✵✰✬❀✕✘✦✴✗✧❂✖✪✔✭✰✛✢★✞✬❀✦✴✗✡✦✖✛✢★❄✬✜▼P✵✰✱✲✕✘✦✴❂✴✦✴✻❀✣✫✑ ✕
cos θ =
✺ ✪✒✣✫✑✶❂✖✪✢✗✡✦✖✛✢★
✁
γSV − γLS
γLV
✁
✲❉ ✪❪
✄
✲❉ ✪❪ ✜✑✰✹❁✗✜✯✞✪✢✻✘✦✴✗✡✕✞✑✶❂✴❂✴✑✶✤✌✑✶★✲✗✞✪✢✙✘✙✜✑✶❂✖✵✰✑❯❂✖✛✢✦❇✬✘✄
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✄
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✗✫✑✶★✞✹❁✦✖✛✢★✞✹✧✦✴★✿✗✫✑✶✣✡✓●✪❇✭✶✦✖✪✢❂✖✑✰✹✧✬✘✑✰✹✎✗✡✣✫✛✢✦✖✹✧✦✴★✿✗✫✑✶✣✡✓●✪❇✭✰✑✰✹✰❉
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•
≥ 1
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< −1
•
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•
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γLV
✁
γSV −γLS
γLV
γSV −γLS
γLV
✆☎
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SV
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S = γSV − (γSL + γLV )
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✪✰✳✲✑✰✭ γ = γ ❉ ☛■★❅✭✰✛✢★✞✹❁✦✖✬✘✸✶✣✫✑✚✱✲✕✞✑✚✬✘✪✢★✞✹■✭✰✑✶✗✡✗✫✑✥✓●✛✢✣✫✭✰✑❇❩✞❂✖✪✮✙✞✪✢✣✡✗✡✦✖✑ S
S + γ(1 − cos θ)
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ϕ
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f (θ, ϕ) = f (θ)
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f (θ)
f (θ)
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1
1
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2
2
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✂ ✣✫✑✶✙✘✣✫✵✰✹✡✑✶★✿✗✫✑✶★✿✗❳✬✘✑✰✹✎✵✶✗✫✪✢✗✫✹✒✙✘✯✿✾❀✹❁✦✖✱✲✕✞✑✶✤✌✑✶★✿✗✎✵✰✱✲✕✘✦✴✳❇✪✢❂✖✑✶★✿✗✫✹✰❩❇❂✖✑■✙✞✪✢✣✫✪✢✤✌✸✶✗✡✣✫✑✥✬✜▼P✛✢✣✫✬❀✣✫✑
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❋
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❀❉
1
Q ( r ) = Q( r )(n n − δ ).
3
✺ ✑✎✗✫✑✶★✞✹✡✑✶✕✘✣ Q ✪✚✬✘✑✎✙✘❂✴✕✞✹❯❂✖✪■✙✘✣✫✛✢✙✘✣✡✦✖✵✶✗✫✵✒✬✜▼ ✶✗✡✣✫✑✎✹❁✾✿✤✌✵✶✗✡✣✡✦✖✱✲✕✞✑✒✑✶✗✒✬✘✑✒✗✡✣✫✪❇✭✰✑✎★✿✕✘❂✴❂✖✑❇❉ ✺ ✑
✹✡✭✰✪✢❂✖✪✢✦✴✣✫✑ Q( r ) ✣✫✑✶✙✘✣✫✵✰✹✡✑✶★✿✗✫✑■✬✘✛✢★✞✭■❂❖▼P✪✢✤✮✙✘❂✴✦✴✗✡✕✞✬❀✑❳✬❀✕❄✙✞✪✢✣✫✪✢✤✌✸✶✗✡✣✫✑✥✬✜▼P✛✢✣✫✬❀✣✫✑❇❉
❭✥✵✶✳✲✑✶❂✖✛✢✙✘✙✜✑✶✤✌✑✶★✿✗✒✬✘✑ ✺ ✪✢★✞✬✘✪✢✕✘❋❖✬✘✑✥❍✥✑✶★✘★✞✑✰✹✒✬✘✑■❂❖▼P✵✶★✞✑✶✣✫✩✢✦✖✑❳❂✴✦✴✻✘✣✫✑
•
❭✥✪✢★✞✹✥❂✖✑✮✭✰✪❇✬❀✣✫✑✔✬✜▼◆✕✘★✞✑✷✗✡✯✞✵✰✛✢✣✡✦✖✑✔✬✘✑✔✗❖✾✿✙✜✑ ✺ ✪✢★✞✬✘✪✢✕❯❩❘❂❖▼P✵✶★✞✑✶✣✫✩✢✦✖✑✷❂✴✦✴✻✘✣✫✑✚✙✜✑✶✕✘✗✥✹✡✑✌✬✘✵✶✳✲✑✶❋
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✬✜▼P✛✢✣✫✬❀✣✫✑❇❉❅✼◗✛✢✕✘✣✷❂❖▼P✵✶✗✡✕✞✬✘✑✮✬✘✑✮❂✖✪❞✙✘✯✞✪❇✹✡✑✮★✞✵✶✤✌✪✢✗✡✦✖✱✲✕✞✑❇❩❯❂❖▼P✵✶★✞✑✶✣✫✩✢✦✖✑✷❂✴✦✴✻✘✣✫✑✔✙✜✑✶✕✘✗✷✹✰▼P✵✰✭✶✣✡✦✴✣✫✑
✹✡✛✢✕✞✹✎❂✖✪✷✓●✛✢✣✡✤✌✑✙✕
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F = F + aQ Q + bQ Q Q + c(Q Q ) + dQ Q Q Q
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+k1 ∂i Qjk ∂i Qjk + k2 ∂i Qij ∂i Qij
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✗✡✣✫✪❇✭✰✑✰✹❳✬✘✑❳✗✫✑✶★✞✹✡✑✶✕✘✣✫✹✰❉✽❍■✣✫❛❇✭✰✑✚❱✷❂❖▼P✑✫❚❀✙✘✣✫✑✰✹✡✹❁✦✖✛✢★ ❀❉ ✶❩❀✛✢★✠✙✜✑✶✕✘✗✒✵✰✭✶✣✡✦✴✣✫✑■❂❖▼P✵✶★✞✑✶✣✫✩✢✦✖✑✎❂✴✦✴✻✘✣✫✑
✭✰✛✢✤✮✤✌✑✌✕✘★✞✑✌✓●✛✢★✞✭✶✗✡✦✖✛✢★ ✬✘✑ Q( r ) ❩✧✬✘✑ ∇Q( r ) ❩✧✬✘✑ n ✑✶✗✮✬✘✑❄✹✡✑✰✹✔✬✘✵✶✣✡✦✴✳✲✵✰✑✰✹✰❉❆✼◗✪✢✣
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2
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τ <1
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✣✫✪✢✤✌✸✶✗✡✣✫✑✥✬✜▼P✛✢✣✫✬❀✣✫✑❇❉
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✁ ❀❀❉ ✠ ✄
3 + 9 − 8τ
K=K
4
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☎ ✕✘★✘★✘✦✴★✞✩❄✑✶✗✔✪✢❂❖❉✠✪✢✦✴★✞✹❁✦✧✱✲✕❯▼◆✕✘★❆✗✡✣✫✪❇✭✰✵✮✬✘✑✮❂❖▼P✑✫❚❀✙✘✣✫✑✰✹✡✹❁✦✖✛✢★ ✁ ❀❀❉ ✠ ✄✚✪✰✳✲✑✰✭
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K = 2 pN T − T = 4.25 K
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Temperature (°C)
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26
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Temperature (°C)
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(a)
(b)
1
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Couple surfacique d′ancrage
0.8
Energie d′ancrage
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10 J · m
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Fv (θ1 ) = −
(−S + W1 cos2 θ1 )2
2Kθ12
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☎
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L2 =
K
W1
θ12
S
− cos2 θ1
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W1
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✑
✜
✟
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✆
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✂
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✂
✂
✄
200
Epaisseur (nm)
150
Longueur d′extrapolation: Yokoyama et al.
L : nos mesures
2
Longueur d′extrapolation: Chen et al.
100
50
0
10
15
20
25
30
Temperature (°C)
35
40
✧ ✑✓✞✠✟✮✚✓✩✍✚✓✢☞✌✰✑✓✘ ✂✆✘✮✔✣✩✍✂✄✘☛✑✰✌✄✞✛✂✍✌✆☎✒✩✍✂✍✌✷✎✝✂✄✡✴✪✬✙✗✟✮✚✓✢☞✌✍✌✰✂✆☎✒✩
✯
✂✭✔ ✡☞✂✍✌✄✞✛✂✍✌✆☎✒✩✍✂✍✌✷✎✝✂✄✡☞✚
L2
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✩ ✁✮✑☎✄✝✑❆❅✝✚✓✞✛✚❁✂✭✔ ✚✓✡✁✢ ☛✡ ✄✂✭✔✠✧✸✼✥✂✆✘ ✂✭✔ ✚✓✡✁✢ ✝✆✟✞ ✣✢
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✒
✝
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✂
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Fm = γSV − γSL − γ cos θ = γ(cos θ0 − cos θ)
✥ ✢✓ ✌✙☛ ✔✟★ ✠☞☛ ✔ ✏✒✌✙✛ ✕ ✆ ★ ✌ ✘✩✘ ✌ ✩✘ ★✍✿ ★ ✼✟ ✌ ❀ ✂ ✥☞✏✒✌ ✛ ✬
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Fm ≈ γθ0 (θ − θ0)
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θ0 = 10
θ0 = 0.5
☎
☎
τ ≈ 200ms
τ ∼6h
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☎
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S = γ(cos θ0 − 1)
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✞
S
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✞ T
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T ⋆⋆ ✔
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✞ T = 34.9 ± 0.1 C ✬
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✞ T
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TN I ✬
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☎
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15
10
5
0
30
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40
50
60
Temperature (°C)
70
80
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T < T ⋆⋆
−S = 0
T > T ⋆⋆ −S ∝ (T − T ⋆⋆ )0.5
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✬
2.5
1.5
7
2
−2
S (10 N ⋅m )
2
2
1
0.5
T** = 34.9 °C
↓
0
34
36
38
40
42
Temperature (°C)
44
46
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S
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T = 34.9 ±
✜✱◗❄ ✔ ✶✄✘❖✪✗✣✩★ ✥✞✝✯✜✤✘✭✖✢★ ✘✯✞✜ ✝✌✯✝ ★✯✚✢✰✁✜✤✣✩✥ ✔✤✧ ✒✕★✓✘✙✶✙✶✛★✓☞✧ ✝✆❀✔ ❃✯✧✳✚✸✖✢★✓✒✕★✓✣✁✖❙✥✳★✯✚❙✰✁✜✤✘✙✣✁✖✛✚ ★■✱❋ ✰✁✌✏ ✝✓✘✙✒✕★✓✣✎❂
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0.1 C
✟
✖✢✔✤✧✩❋
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✟✔ ✜✌✯✏ ✎ ✥ ✔ ✌ ✬
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✞
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✥ ✏ ✘ ✔ ✏✜✛ ✗✕✔ ✟✜✌ ✘ ✥✷✓✤✛✢✥☞☛ ✔✟★ ✓ ★ ✠☞☛✡✱
✣
☛ ✠ ✸✦✔ ✌✙✛ ✂ ✌✠✟✜✠☞☛✙✆✯✱ ✘✭✲✾✣ ✓✢✥☞✓ ✕ ☛✦✥ ✘ ☛✦✌
✞ ✞
35.5 ± 0.1 C ✬ ✟
✞
✠✪ ✓✤✓✢✌ ✿ ★ ✔✕✲ ✌ ✔ ✓ ✆✕✠☞☛ ✔✟★ ✟ ✣ ✛✢✥ ✸✜✘ ✌ ✌✙☛✑✓ ✣ ✓✢✥ ✘✍✣ ✌ ✬ ✴✆✌ ✔✵✪ ✠ ✓✤✓✢✌ ✔✵✔ ✠☞☛✑✓✵✌✙☛ ✏ ✥ ✔ ✌✷✌✙☛ ★✍✔ ✠☞✓✤✛✢✠☞✏✒✌
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✞
✖
✞
✎
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35.9 ± 0.1 C
✥✳★✲✶✛✔✲✪✎✜✤✧✬✖✭✖✢★ ✜✸❄✍✟❉✔✤✣✎✪✗✶✛★ ✥✳★ ✘✯✜✤✣✁✖✢✔ ✘✸✖ ✎✗✔✤✧✬✖
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5.9
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✞
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☎
6
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4
3
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1
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35.9 ± 0.1 C
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(b)
(a)
1.5
6
1
5
Angle de contact (°)
ln[(θ−1.3)/1.3]
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
4
3
2
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1
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2000
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5000
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0
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☎
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τ = 480 s
6000
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t > 4000 s ✻
5000
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2800 s
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ln (θ−θ∞)/θ∞
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Temps (s)
6000
8000
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35.6 ± 0.1 C
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✡ ❁ ☛✦✠
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✆ ✜
✟ ✌ ✔ ✆✕✠☞☛✙✆✕✌✙☛✑✓✤✛✢✥☞✓ ★ ✠☞☛ ✔ ✟✜✌
✟ ✞ ✛✢✠☞✓✢✥☞✓ ★ ✠☞☛✗✜✟ ✌ ✘✭✲ ✥☞✏✜✏✦✥☞✛✢✌ ★✩✘✒✿ ✞ ✌✵☛✦✠ ✞ ✔ ✞ ✓ ★✩✘✩★✍✔ ✠☞☛ ✔
✟ ✞ ✖ ✠☞✓✢✌ ✞ ✛✮✍
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✟✜✌ ✠
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✓ ★ ☞✠ ☛ ✔ ✟✜✌✏✽✎ ✞
✴ ✡
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Vitesse de rotation en tours par minute
2500
2000
1500
1000
500
0
0
5
10
15
20
25
Tension d′alimentation du moteur (I>0.6 A)
30
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✞
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✒✟ ✑
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☎ ✄ ✖☞
✄
✄
✄
✠☎✖✄
✖ ✠ ✞ ✔ ✥ ☞✠ ☛ ✁✔ ✣ ✓ ✞ ✟ ★✍✣✁✘ ✥ ✔ ✢✓ ✥ ✜✸ ★✩✘✩★ ✓ ✣ ✜✟ ✌ ✜✕ ✘ ✖ ✔ ✟ ✲✾✣ ✏✦✥ ★✍✔✤✔ ✌ ✞ ✛ ✔ ✥☞✛ ★ ✥ ✸✜✘ ✌ ✔ ✭ ✖ ✥ ★✍✔ ✖ ✣✕✔ ✠ ✔ ✆✕✠☞✏ ★✍✿ ✞ ✌ ✔ ✣
❁✚☛✦✠ ✔
✱ ✟ ★✛✹ ✣ ✛✢✌✙☛✑✓✢✌ ✔ ✓✢✌ ✏ ✣ ✛✢✥☞✓ ✛✢✌ ✔✕✬ ✏ ✓✢✌ ✏ ✣ ✛✢✥☞✓ ✛✢✌✗✥ ✸✜★ ✥☞☛✑✓✢✌
T = (20 ± 1) C
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☎
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✥✳★✲✶ ✟ ✘✙✒✕✔✸✪✎★ ★✯✚✸✖❙✥✳★
✟
578 µm × 1017 µm
✜
☛ ✌✙☛✗✟ ✣ ✟ ★ ✓ ✘ ✯
✌ ✛ ✕✣ ✔ ✘ ✓✢✥☞✓ ★ ✏✒✠☞✛✤✓✢✥☞☛✑✓ ✔ ★ ✥☞☛✑✮
✓ ✍
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✖ ✔ ✘ ✔
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✖ ✔ ✘ ✔
✶ ✾✲ ✣ ✏✦✥ ★✍✔✤✔ ✌
✭✘ ✲✾✣ ✓ ✞ ✟✜✌✂✜✟ ✌ ✘ ✥
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✛ ✟ ✕✜✘ ✙✌ ✓ ✘ ✥✆✓✢✌ ✏ ✣ ✛✢✥☞✓ ✛✢✌
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✔ ✓✢✥ ✸✜✩★ ✘✩★ ✓ ✣ ✟✜✌ ✕✜✘ ✖ ✔ ☛ ✣ ✖ ☞✥ ✓ ✍★ ✿ ✞
✏ ✘ ✔ ★ ✙☛ ✆✕✌ ✆
✔ ✔ ✠☞☛✑✓ ★ ☛ ✔ ✢✓ ✥ ✜✸ ✘ ✌ ✔
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✏ ✘ ✔✆✣ ✏✦✥ ★✍✔ ✢✛ ✌ ✔ ✓✢✌✙☛✑✓ ✔ ✓✢✥ ✸✜✘ ✌ ✔✕✬
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✓ ✟✜✠☞☛✙✆✏✟✜✌ ✵
✒ ✏✦✥☞✛✢✥ ✗ ✤✓ ✛✢✌ ✔
✥ ✤✓ ✌ ✛ ✔ ✟✜✥☞☛ ✔
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(33.5 ± 0.5) C
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(34.7 ± 0.5) C
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460 µm × 460µm
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1300 µm × 770µm
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717 µm × 717µm
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✬✁
60
Facteur de structure S(k) (u.a.)
50
40
30
20
10
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Module du vecteur d′onde (u.a.)
0.025
✌☞✝✆✟✞ ✂✼✄✬ ✂ ✌✬✍ ◗✔ ✘✸✖✢★✓☞✧ ✝ ✥✳★✮✚✸✡✖ ✝✓✧✎✘✸✖✙☞✧ ✝✯★✆★✸✖✫✔✁✯✧✳✚✸✖✢★✓✒✕★✓✣✁✖❩✖ ✂✑✏✯✜✞✝✓✘✢✷✓✧✑★ ✜
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γ ≈ 30 mN · m−1
✂
ρ ≈ 103 kg · m−3
✘
✟
✌ ✔ ✓ ✘ ✥✁ ✠☞☛ ✪ ✌ ✛ ✆✕✥☞✏ ★✩✘✩✘ ✥ ★ ✢✛ ✌ ✕✬ ✔ ✛✢✌✙☛✦✠☞☛ ✔✁✘ ✌ ✔ ✠☞✛✒✟✼✛✢✌ ✔ ✟✜✌ ✪ ✛✢✥☞☛☛✟✜✌ ✛ ✔ ★ ✂ ✥☞☛✑✓ ✔
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✥ ✔✤✔ ✌ ✂ ✠ ✘ ★✍✿ ✌
✜✞ ✖ ✞
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✔ ✕✜✘ ✖ ✔
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g ≈ 10m · s−2
H ≈ 50nm
☛ ✌✙☛✗✟ ✣ ✟ ★ ✓ ✿ ✌ −1
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☛✗✌✙☛ ✕✆ ✠☞☛✙✆ ✘ ✓ ✿ ✌
✥ ✠✧✦ ✍ 2 2
✞
✞ κ ≈ 2 mm ✬ ✲
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✍
✂✁☎✄✠☎✝✆ ✞✆✂✆✞✞ ✟✄ ✄✠✟✁☛✡ ✌✂ ☞✎✍✏☞ ✌✞ ✑✓✒ ✔✍✕✑☎✄✖☞ ✖☎ ✠✄ ✞✘✗✝✆✔✍
✁
✛✢✌✙✏✜✛ ✣✕✔ ✌✙☛✑✓✢✌ ✘ ✥ ✟✜✌✙☛ ✔✟★ ✓ ✣ ✠ ✘ ❀
✶ ✾✲ ✣✕✿ ✥☞✓ ★ ✠☞☛ ✭ ✼✄✬ ✂ ✤✫
✣ ✮✰✥ ★ ✓ ★ ☛✑✓✢✌✙✛ ✌✙☛ ★ ✛ ✘ ✥ ✿ ✥☞☛✑✓ ★ ✓ ✣
✞
✞
✞
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✌ ✟ ✲✾✣ ☛✦✌✙✛ ✪☞★ ✌❃✏✒✠☞✓✢✌✙☛✑✓ ★ ✌ ✘✩✘ ✌☎✟ ✕✜✘ ✬ ✴✆✌✙✓✤✓✢✌ ✿ ✥☞☛✑✓ ★ ✓ ✣❃✔✕✲✳★ ✟✜✌✙☛✑✓ ★ ✕ ✌✻✱ ✘✭✲ ✠☞✏✜✏✒✠ ✔✤✣ ✟✜✌ ✘ ✥
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✞ ✖
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✏✜✛✢✌ ✔✤✔✟★ ✠☞☛ ✟✜✌ ✟ ★✍✔ ✓✤✠☞☛✙✆✙✓ ★ ✠☞☛ ✍
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f = −Π(h) ✬
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✭ ✼✬
u(x, z = 0) = 0
✭ ✼✬
w(x, z = 0) = 0
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✎✤✣
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∂u
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✞
✎
u(x, z)
✱✻✏✦✥☞✛✤✓ ★ ✛✖✜✟ ✌✜✕✆ ✌ ✚
✔ ✣✕✿ ✞ ✥☞✓ ★ ✠☞☛ ✔✕✬
w(x, z)
✖
z=h
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✶✁✌ ✪ ✛✢✥☞✟ ★ ✌✙☛✑✓ ☞✠ ✛ ☎★ ✄ ✠☞☛✑✓✢✥ ✘ ✟✜✌ ✏✜✛✢✌ ✔✤✔✟★ ✠☞☛
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☛✷✓✢✌✙☛✦✥☞☛✑✚
✓ ✆✕✠
✣
✖
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✂
✥ ✓
✞
✂
∂p
− ∂x
= γ ∂∂xh3 ✬
✍
3
∂2u
∂ 3 h ∂Π
=
−γ
−
∂z 2
∂x3
∂x
★ ✓ ★ ✠☞☛ ✔ ✭ ✼✄✬ ✂ ✎✤✣ ✌✙✓✓✭ ✼✄✬ ✂ ✟✤✙✣ ❁
✂
✂
"
✠☞☛✻✓✤✛✢✠
✞
✞
✂
✂
∂u
∂ 4 h ∂ 2Π
1
γ 4+
z(z − 2h)
=−
∂x
2η ∂x
∂x2
"
✌✆✥☞✏✜✛ ✕✗ ✔✁★ ☛✑✓ ✣✕✪ ✛✢✥☞✓ ★ ✠☞☛✕✍
✂
✭ ✼✬
#
✴ ✲ ✌ ✔ ✓ ✘ ✥❃✛✢✌ ✘ ✥☞✓ ★ ✠☞☛
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✖
✞
✟✜✌ ✔ ✑★ ✓✢✌ ✔✤✔ ✌ ✔✕✬ ✥ ✌ ✘ ✷
✥ ✛✢✌ ✘ ☞✥ ✓ ★ ✠☞☛✯✭ ✼✄✬ ✂ ✣✙❁✦✠☞✗
☛ ✟ ✣ ✟ ★ ✓✵✍
✞
✂
✤✣
✄
✂
η
1
∂ 3 h ∂Π
u(x, z) = −
γ 3+
z(z − 2h)
2η ∂x
∂x
✭ ✼✄✬ ✂✗✂ ✣ ✿ ★ ✏✒✌✙✛ ✌✙✓ ✟✜✑
✌ ✕✆ ✥ ✘ ✆ ✘ ✌✙✛ ✘✭✲ ✥ ✓✤✛✢✌ ✆✕✠
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✶ ✾✲ ✣✕✿ ☞✥ ✓ ★ ✠☞☛✽✭ ✼✄✬ ✂
✞
#
✖
✂
✄✂
✂
✏✒✠ ✔ ✥☞☛✑✓✢✔
✌ ✟ ✆ ✥ ✏
✞ ✎ ✖
✣
✗✝✝☎✖✠✄ ✞✆✟ ✑ ✟✁ ✑✝☎☎☞ ✘✞ ✗✝✆ ✟✁✁✂ ✌✞ ✑✓✍ ✄✠☎✝✆
✛
✞✆✂✆✞✞✟✄ ✄
✂
✓
✛✄❁ ✆✕✌✙✓✤✓✢✌ ✜✟ ✌✙✛✤☛ ★✓✗ ✛✢✌ ✿ ☞✥ ☛✑✓ ★ ✓ ✣ ☛ ✲ ✌ ✔ ✓✡✥ ✤✓ ✛✢✌ ✿ ✌ ∂w ✬ ✔ ✥☞✛ ★ ☛✑✓ ✕✣ ✪ ✛✢✥☞✓ ★ ✠☞☛✁❁ ✠☞☛ ✌✙☛ ✟ ✣ ✟ ★ ✓
✞
✞
✞ ∂z
✞
❁✼✌✙☛ ✜✏ ✛✢✌✙☛✦✥☞☛✑✓ ✔ ✠ ★ ☛✗✜✟ ✌✯✛✢✌ ✔ ✏✒✌✍✙✆ ✓✢✌✙✛ ✘ ✥✖✕✆ ✠☞☛☛✟ ★ ✓ ★ ✠☞☛✯✭ ✼✄✬ ✂✞✡ ✣ ✬ ✗
☛ ✓✤✛✢✠ ✌✆✍
w(x, z)
✞
✟
✂
✟
1
∂4h ∂2Π 2 z
w(x, z) =
γ 4+
z
−h
2η ∂x
∂x2
3
"
#
✗✝✝☎✖✠✄ ✞✆✟ ✑ ✟✁ ✑✝☎☎☞ ✘✞ ✗✝✆
✶ ✾✲ ✣✕✿ ☞✥ ✓ ★ ✠☞☛ ✿ ★ ✆✕✥☞✛✢✥✞✙✆ ✓ ✣ ✛ ✍★ ✔ ✌ ✘✭✲✳★ ☛ ✔ ✢✓ ✥ ✜✸ ★✩✘✩★ ✓ ✣ ✌
✞
✞
✥☞✓ ✠☞☛
F (x, z, t) = h(x, t) − z = 0 ✘✭✲✾✣✕✿ ✞ ★
✟ ✣ ✕ ☛ ★ ✌ ✌ ✔ ✓ ★ ✟✜✌✙☛✑✓ ★✍✿ ✞ ✌ ✖ ✌✙☛✑✓❃☛ ✞ ✘✩✘ ✌ ✬ ☛ ✥
✴✆✠
✌
✌✙✓
✖❃✖ v = uux + wuz
v ·∇ F✬
✌ ✍
✿ ✞ ✆
✁
✞
✂
✟
✟
✁
✁
✁
✭ ✼✬
∂h
∂h
+ u(z = h)
− w(z = h) = 0
∂t
∂x
✣
✝
✄
✂
✓ ✥☞☛✑✓ ✭✘ ✲✾✣✕✿ ✥☞✓ ★ ✠☞☛ ✭ ✼✄✬ ✂✗✂ ✣✙❁ ✠☞☛ ✏✒✌ ✓ ✣ ✙✆ ✛ ★ ✛✢✌ ✿ ✌
R ∂u ✟ ✬
✞ ✩★ ✘✩★✍✔
✞
✞
✞ −w(z = h) = 0h ∂x
z
✒✏ ✌ ✫
✓ ✥ ✠☞✛ ✌ ✌✍✙✆ ✓ ✙✌ ✛ ✌✝✕✆ ✥ ✘ ✆ ✘✒✔ ★ ✥☞☛✑✮
✓ ✍
✞ ✘ ✔ ✹ ✞ ✘
✞ ✞
✣ ☛
✣
✄✂
✂
✁
✁
✁
✭ ✼✬
✌ ✜✟ ✌ ✘ ✥✷✮✰✥✓✕✒ ✠☞☛ ✔ ★ ✥☞☛✑✓✢✌ ✬ ☛✗☛✦✠☞✓✢✌
✂
✞
✛✤✮✰✥✞✕✆ ✌ ✘✩★✩✸ ✛✢✌ ✬ ✶✁✥ ✮✰✠☞✙☛ ✆✙✓ ★ ✠☞☛
✥ ☛
F ★ ✔✟★
✛✄❁ ✟ ✟ F
✌ ✟
= ∂F
✞ ✟ Ft = 0 ✬
∂t +
t
❁✒✠☞☛❂✠ ✸ ✓ ★ ✌✙☛✑✓ ✕ ☛✦✥ ✘ ✌ ✌✙☛✑✓
∇F = ∂h
u − uz
✖
∂x x
✔ ✓✚✠ ✸ ✓✢✌✙☛
✟✜✌ ✘ ✥ ✔ ✞
✟✜✠☞☛✙✆ ✿
✟
✁
✂
☛
✟
✂
✂
u(z = h)
✠✧✦
Z h
∂h
∂u ✟
∂h
∂(hU )
z + u(z = h)
− w(z = h) =
=
∂x
∂x
∂x
0 ∂x
✍
✱✯✞✛ ✝✞✕✆ ✌✵✱
hU =
h
Z
✟
u(x, z) z
✘✭✲✾✣✕✿ ✞ ✥☞✓ ★ ☞✠ ☛✯✭ ✼✄✬ ✂ ✣✙❁ ✩★ ✘ ✌ ✔ ✓✫✏✒✠ ✔✤✔✟★✩✸✜✘ ✌ ✟✜✌✜✆✕✥ ✘ ✆ ✞ ✘ ✌✙✛ hU
✂
0
h3 ∂ 3 h ∂Π
hU =
γ
+
3η ∂x3
∂x
"
✟
✍
✂
☛ ☞✥ ✛✤✛ ★ ✌✠✟✜✠☞☛✙✆✵✱ ✘✭✲✾✣✕✿ ☞✥ ✓ ★ ✠☞☛ ✔ ★ ✥☞☛✑✓✢✌
✞
✞
✂
#
✍
✂
∂h ∂(hU )
+
=0
∂t
∂x
✿ ✞ ★ ☛ ✲ ✌ ✔ ✓✁✥ ✞ ✓✤✛✢✌ ✿ ✞ ✲ ✞ ✦☛ ✌ ✣✕✿ ✞ ✥☞✓ ★ ✠☞☛✔✟✜✌✚✆✕✠☞☛✑✓
✘ ✥ ✥ ✘ ✌ ✞ ✛✕✜✟ ✌ hU ❁✼✠☞☛ ✠ ✸ ✓ ★ ✌✙☛✑✓ ✭✘ ✲✾✣✕✿ ✞ ✥☞✓ ★ ✠☞☛
✂
★☛
✿
✓ ✥ ✠ ✆ ✌ ✥ ✆✕✥ ✥ ✛✢✌
✣ ✷
☛ ✄✌ ✼✒ ✏ ✘✩★ ✆ ★ ✓✢✥☞☛✑✓
✞ ★ ✣ ✔✤✔ ★✍✣ ✞ ✔ ✘ ★ h ✬
✛ ✓ ☎
✥ ✟✑✑✠ ☛✦✥ ✍★ ✿ ✌ ✜✟ ✌ ✘✭✲✳★ ☛ ✔ ✢✓ ✥ ✜✸ ★✩✘ ★ ✓ ✣✽✬
✞ ★ ✣✕✪☞★ ✘
✖ ✞
∂h
∂3h
∂Π
1
γh3 3 + h3
=0
+
∂t
3η
∂x
∂x
"
#
✭ ✼✬
✂
✄
✂
✣
✂✁☎✄✠☎✝✆ ✞✆✂✆✞✞ ✟✄ ✄✠✟✁☛✡ ✌✂ ☞✎✍✏☞ ✌✞ ✑✓✒ ✔✍✕✑☎✄✖☞ ✖☎ ✠✄ ✞✘✗✝✆✔✍
✁
✴✆✌✙✓✤✓✢✌ ✣✕✿ ✥☞✓ ★ ✠☞☛ ✠☞☛✑✓✤✛✢✌ ✿ ✌ ✘✭✲✾✣☎✂ ✠ ✘ ✓ ★ ✠☞☛ ✟✜✥☞☛ ✔✫✘ ✌✯✓✢✌ ✏ ✔ ✟✜✌ ✘✭✲✾✣ ✏✦✥ ★✍✔✤✔ ✌ ✛ ✘ ✠ ✆✕✥ ✘ ✌✠✟
✞
✖
✞
✞
✖
✞
✞
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✕✜✘ ✖ ✌ ✔ ✓ ✆✕✠☞☛✑✓✤✛✟✗ ✘✍✣ ✌✗✏✦✥☞✛ ✟✜✌ ✞ ✒ ✓✢✌✙✛ ✖ ✌ ✔ ✟ ★✛✹ ✣ ✛✢✌✙☛✑✓ ✔✕✬ ✶✁✌✗✏✜✛✢✌ ✖ ★ ✌✙✛ γ ∂ h3 ∂3 h3 ✌ ✔ ✓ ✞ ☛
3η ∂x
∂x
✓✢✌✙✛ ☎
✌ ✟✜✌ ✌ ✒ ✿ ★ ✓✤✛✢☞✥ ✟ ★ ✓ ☛ ✓✤✛✢✥☞☛ ✔ ✮✰✌✙✛✤✓✠✟✜✌ ✥☞✓ ★✓✗ ✛✢✌☎✜✟ ✌✙✏ ★✍✔✫✘ ✌ ✔ ✛ ✣✕✪☞★ ✠☞☛ ✔ ✠✧✦ ✘ ✥ ✆✕✠ ✛ ❀
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✖ 3η ∂x h ∂x
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✞ ✞
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✛✢✌ ✘✩★✍✣ ✱ ✘ ✥✗✏✜✛✢✌ ✔✤✔✟★ ✠☞☛ ✟✜✌ ✟ ★✍✔ ✓✤✠☞✙☛ ✆✙✓ ★ ✠☞☛ ✬ ✖ ✠ ✔✹✔ ✠ ✘✩★✍✪ ☛✦✠☞☛ ✔✚✘ ✱ ✘✭✲✳★ ✏✒✠☞✛✤✓✢✥☞☛✙✆✕✌ ✆✙✛ ✆ ★ ✥ ✘ ✌ ✿ ✌
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✠☞✓✢✠☞☛ ✆
✓ ✜✟ ✌✂✜✟ ✌ ✒
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✛✣ ★✍✿ ✌✠✟✜✌ ✔✵✔ ✠ ✘ ✓ ★ ✠☞☛ ✔ ✟✜✌
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✞✜✖
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☛✦✌ ✥☞✛ ✌ ✥☞✛ ✓ ✟✜✌ ✔ ✠ ✘ ✓ ★ ✠☞☛ ✔✕✬ ✴✆✌✵✮ ✓ ✘ ✌✜✆✕✥ ✔ ✟✜✌ ✬ ✮✜✥☞☛✑✓✢✠☞☛ ✘ ✠☞✛ ✔ ✟✜✌
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✟✑✑✠ ☛✦✥ ✖ ★✍✿ ✞ ✌✧✌ ✔ ✓ ✛ ✣✕✪☞★ ✌✆✏✦✥☞✛ ✞ ☛✦✌ ✣✕✿ ✞ ✥☞✓ ★ ✠☞☛✻✓✢✠ ✞ ✓ ✱✵✮✰✥ ★ ✓ ✔✟★ ✖ ★✩✘ ✥ ★ ✛✢✌✧✱✜✆✕✌ ✘✩✘ ✌ ✿ ✞ ✌✆☛✦✠ ✞ ✔ ✂ ✌✙☛✦✠☞☛ ✔
✟ ✲✾✣ ✓✢✥ ✸✜✘✩★ ✛ ✚✍✌ ✂ ✛ ✬ ✶ ✲ ✥ ✞ ✓✤✛✢✌❃✥ ✂ ✥☞☛✑✓✢✥ ✪ ✌ ✿ ✞ ✌ ✘✭✲ ✠☞☛ ✏✒✌ ✞ ✓✵✓ ★ ✛✢✌✙✛✑✟ ✲ ✞ ☛✦✌ ✣ ✓ ✞ ✟✜✌✻☛ ✞✜✖ ✣ ✛ ★✍✿ ✞ ✌☎✟✜✌ ✔
✔ ✠ ✘ ✞ ✓ ★ ✠☞☛ ✔ ✟✜✌✖✆✕✌✙✓✤✓✢✌ ✣✕✿ ✞ ✥☞✓ ★ ✠☞☛ ✌ ✔ ✓ ✘ ✥❃✏✒✠ ✔✤✔✟★✩✸✜★✩✘✩★ ✓ ✣ ✟✜✌ ✖ ✠ ✟ ✣✙✘✩★✍✔ ✌✙✛✚✥ ✞ ✔✤✔✟★ ✏✜✛ ✣ ✆ ★✍✔✤✣ ✖ ✌✙☛✑✓ ✿ ✞ ✌
✏✒✠ ✔✤✔✟★✩✸✜✘ ✌ ✘ ✥✻✏✜✛✢✌ ✔✤✔✟★ ✠☞☛✗✜✟ ✔
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✓ ✜✟ ✌✵✓✢✌ ✔ ✓✢✌✙✛✚✏ ✘ ✔✟★ ✌ ✛ ✔ ✠ ✟ ✗✙✘ ✌ ✔
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✞ ✞ ✖
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☛ ✕✆ ✠ ✏✜✓✢✌ ✘ ✌ ✔✯★ ☛✑✓✢✌✙✛ ❀
✖
✞✥ ✙✆ ✓ ★ ✠☞☛ ✔ ✱ ✆✕✠ ✞ ✛✤✓✢✌✻✏✒✠☞✛✤✓ ✣ ✌ ✬ ✟ ☛❂✏✒✌ ✞ ✓✵✥ ✞ ✔✤✔✟★✆✣ ✓ ✞ ✟ ★ ✌✙✛✯✏✦✥☞✛ ✂ ✠ ★ ✌❃☛ ✞✜✖ ✣ ✛ ★✍✿ ✞ ✌ ✘✭✲✳★ ☛ ✔ ✓✢✥ ✸✜★✩✘ ★ ✓ ✣
✟ ✣☎✂ ✌ ✘ ✠☞✏✜✏ ✣ ✌❃✌✙✓ ✘ ✌ ✔✷✔ ✓✤✛ ✞ ✆✙✓ ✞ ✛✢✌ ✔✹✔ ✏✦✥☞✓ ★ ✠ ❀ ✓✢✌ ✖ ✏✒✠☞✛✢✌ ✘✩✘ ✌ ✔✵✿ ✞ ✲ ✌ ✘✩✘ ✌✻✏✜✛✢✠ ✟ ✞ ★ ✓✷✌✙☛ ✛✢✌ ✘ ✥☞✓ ★ ✠☞☛ ✥ ✂ ✍✌ ✆
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θf
✞
☎
✣
✣
✥
1
W (θ) = W sin2(θ − θf )
2
✥☞☛ ✔✆✘ ✌✜✆✕✥ ✚
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1
W1 cos2 (θ1 )
2
1
W2 (θ2 ) =
W2 sin2 (θ2)
2
✍
W1 (θ1 ) =
✶ ✾✲ ✣ ✦☛ ✌✙✛ ✪☞★ ✌ ✔ ✛✤✮✰✥✞✆ ✍★ ✿ ✌ ✟ ✲✳★ ☛✑✓✢✌✙✛✢✞✥ ✙✆ ✓ ★ ✠☞☛✡✌✙☛✑✓✤✛✢✌ ✘ ✌ ✔ ✜✟ ✌
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1
1
K(θ2 − θ1 )2
A
P (h) = − sin2 (θ1 ) + W2 sin2 (θ2 ) +
−
2
2
h
12πh2
✗✝✝☎✖✠✄ ✞✆✟ ✑ ✟✁ ✑✝☎☎☞ ✘✞ ✗✝✆ ✟✁✁✂ ✌✞ ✑✓✍ ✄✠☎✝✆
✛
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✠✧✦
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K ✔ ✞
✞
✖
✞
h
✔ ✌ ✞ ✛✕✟ ✞ ✕✜✘ ✖ ✌✙✓ ✘ ✌✂✜✟ ✌✙✛✤☛ ★ ✌✙✛ ✓✢✌✙✛ ✖ ✌ − A 2 ✌ ✔ ✓ ✘ ✌✚✓✢✌✙✛ ✖ ✌✠✟✜✌✚✛✢✞✥ ✆✍✆✕✠☞✒✛ ✟✜✌ ✖ ✌✙☛✑✓✄❁✑✥☞☛✦✥ ✘ ✠ ✪ ✞ ✌✵✱
12πh
☛✦✌ ★ ☛✑✓✢✌✙✛✢✞✥ ✙✆ ✓ ★ ✠☞☛☎✟✜✌✆✓ ✏✒✌ ✥☞☛ ✟✜✌✙✛ ❂✥✽✥ ✘✍✔✕✬ ✶ ✲✾✣ ☛✦✌✙✛ ✪☞★ ✌
✌ ✓ ✟ ✣ ✕ ☛ ★ ✌✧✱ ☛✦✌☞✕✆ ✠☞☛ ✔ ✓✢✥☞☛✑✓✢✌
✞
P (h) ✔
✞
✏✜✛ ✗✕✔ ✍✆✠☞☛ ✥ ✆ ✠ ★✍✔✟★ ✆✕✌✙✓✤✓✢✌ ✆✕✠☞☛ ✔ ✓✢✥☞☛✑✓✢✔
✌ ✟✜✌✯✓✢✌ ✘✩✘ ✌ ✔ ✠☞✛✤✓✢✌ ✿ ✌
✌✔ ✵✛ ✣ ✟ ★✍✔ ✌✵✥ ✓✢✌✙✛ ✌✠✟✜✌
✎
✞ P (h)
✞
✞
✖
✓ ✏✒✌ ✥☞☛ ✟✜✌✙✛ ❂✥✽✥ ✘✍✔ ✘ ✠☞✛ ✔✤✿ ✌ ✘ ✥✔✟ ★✍✔ ✓✤✛ ★✩✸ ✓ ★ ✠☞☛☎✟ ✟ ★ ✛✢✌✍✙✆ ✓✢✌ ✛ ✌ ✔ ✓ ✠ ✠ ✪✤✗ ☛✦✌✕✟✜✥☞☛ ✔ ✘ ✌ ✕✜✘
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ω
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Ã
= − sin2 (θ1) + sin2(θ2 ) +
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x
x
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θ1 θ2
✖
✞
✖
✞
✟ ✲ ✥☞☛✙✆✙✛✢✥ ✪ ✌✵✙✌ ✓ ✘ ✌ ✔ ✕✆ ✠ ✞ ✏ ✘ ✌ ✔✫✣✙✘ ✥ ✔ ✓ ★✍✿ ✞ ✌ ✔✧✕✔ ✲✾✣✕✿ ✞ ✩★ ✘✩★✩✸ ✛✢✌✙☛ ✓✆✥ ✞ ☛ ★ ✌✕✥ ✞ ✜✟ ✜
✌ ✆ ✥ ✿ ✌ ★ ☛✑✢✓ ✌✙✛✤✮✰✥✞✕✆ ✌ ✍
✎ ✞
✂
✴✆✠ ✏ ✘ ✌ ✣✙✘ ✥ ✔ ✓ ✍★ ✿ ✌
✞
✞
✴✆✠ ✏ ✘ ✌✂✟ ✲ ✥☞☛✙✆✙✛✢✥ ✪ ✌
✞
☛
z=0
z=h
K(θ2 −θ1 )
h
− K(θ2h−θ1)
1
W1
2
sin(2θ1 )
✓ ✥☞☛ ✓ ✘ ✌ ✫
✔ ✿ ✞ ✥☞☛✑✓ ★ ✓ ✣✕✔✆✔ ✥☞☛ ✔ ✟ ★ ✖ ✌✙☛ ✔✟★ ✠☞☛ ✔ ✆ ★✩❀ ✟✜✌ ✤✔ ✔ ✞ ✔ ❁✑✠☞☛ ✥
✞ ✩★ ✘✩★✍✔
1
θ2 − θ1 + xω sin(2θ2 ) = 0
2
1
θ2 − θ1 + x sin(2θ1 ) = 0
2
☛ ✥ ✘ ✱ ✢✓ ✠ ✓✢✌ ✔✻✘ ✌ ✔ ✟✜✠☞☛✜☛ ✣ ✌
✞
✌ ✟ ✲✳★ ☛✑✢✓ ✌✙✛✢✞✥ ✙✆ ✓ ★ ✠☞☛ ✌✙☛✑✓✤✛✢✌
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− 12 W2 sin(2θ2 )
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θ1 = θ2 = 0 ✞ 2
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2
✆ ★✍✿ ✞ ✌ P̃ ✂ ✥ ✞ ✓ − 1 sin2 (θ ) − 2θ1 ✬ ✟ ☛✡✠ ✸ ✓ ★ ✌✙☛✑✓ ✞ ☛✦✌ ✂ ✥ ✘ ✌ ✞ ✛✁☛ ✣✕✪ ✥☞✓ ★ ✂ ✌✽❁ ✖ ✠☞☛✑✓✤✛✢✥☞☛✑✓ ✿ ✞ ✌✽❁
1
2
sin(2θ1 )
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✔✟★ x > 1 ✘✭✲✾✣✕✿ ✞ ★
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✞ θ1 = θ2 = θ
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− 12 (1 − ω) sin2 θ ✬
✌ ✟✜✥☞☛ ✔✆✘ ✥ ✘✩★ ★ ✓✢✌ ★ ☛ ✂ ✌✙✛ ✔ ✌✯✧✠ ✦
❁✜✠☞☛ ✥
✿ ✞ ✠
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ω≪1
θ = π2 ✬
✥ ✜✟ ✠☞☛✙✆ ☛✦✌✻✓✤✛✢✥☞☛ ✔✟★ ✓ ★ ✠☞☛ ✟ ✟✜✌ ✒ ✓★ ✗ ✌✻✠☞✛✒✟✼✛✢✌✻✏✒✠ ✛
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✞ x = 1✬ ✔ ✞
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✌✙✓✷✱
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ω ≪1
ω ≫ 1✬ ✟
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✓ ✍
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☎
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x=
1
1
− 1 pour ω ≪ 1 et x = 1 − pour ω ≫ 1
ω
ω
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10
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Distordu
1
Homogène planaire
Homogène homéotrope
0.1
0.1
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1
W1 / W2
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10
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L1 = WK1
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L1
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θ1 θ2 ✞
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70
θ
1
60
θ
2
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1
50
2
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40
30
20
10
0
0
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☎
✎✗✜✤✶✄✧✬✖✙✘✢✜✤✣
✄
✂
0.5
1
x = (hW1)/K
✥✳★✯✚ ✔✤✣✎✪✗✶✛★✯✚ ✥✠❉✟ ✔✤✣ ✘✌✝✯✔✸✪✎★
θ1
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hW1
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1.5
★✸✖
2
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W1
✠
★✸✖
W2
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1.2
✜
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W1 W2 ✔
|θ2 − θ1 |
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✟
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2h2
6πh3
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✞ ✞ ✖
✖
✖
2h2
✌ ✔ ✓ ✣✕✪ ✥ ✘ ❁✦✌✙☛ ✂ ✌✙✛✤✓ ✟✜✌ ✘ ✥ ✟ ★✍✔ ✆ ✔✤✔✟★ ✠☞☛✗✏✜✛ ✣ ✆✕✍✌ ✜✟ ✌✙☛✑✓✢✌✽❁✜✱
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✞ ✖
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✖
✖
✞
✞
✞
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3
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✞
✞
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✟ ✲✾✣✕✿ ✞ ★✩✘✩★✩✸ ✛✢✌ θ ✌ ✔ ✓ ✔ ✓✤✛ ★ ✆✙✓✢✌ ✖ ✌✙☛✑✓ ✏✒✠ ✔✟★ ✓ ★ ✮✟❁✞✕✆ ✌ ✿ ✞ ★ ✆✕✠☞✛✤✛✢✌ ✔ ✏✒✠☞☛☛✟✷✮✰✠☞✛✟✆ ✣ ✖ ✌✙☛✑✓✆✱ ✞ ☛✦✌✫✏✜✛✢✌ ✔✤✔✟★ ✠☞☛
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✟
3
✟
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= −γξ0 h30q 3 cos(qx) + O(ξ02)
∂x3
✟
Π
K∆θ2
A
cos(qx) + O(ξ02)
= h30ξ0q − 3 +
4
x
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✞
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∂3h
Π
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K∆θ2
A
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= 0 q 2 γq 2 +
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3η
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2πh40
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"
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sin(qx)
✞
∂t
t
✓ ★ ✠☞☛ ✭ ✼✬ ✂ ✣✙❁✙✆✕✠☞☛☛✟ ★ ✓✆✱ ✘✭✲✾✣✕✿ ✥☞✓ ★ ☞✠ ☛✯✭ ✼✬ ✗✤✟ ✣ ✿ ★ ✛ ✕✣ ✪☞★ ✓ ✘✭✲✾✣☎✂ ✠ ✘
✞
✞
✞
✞
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✄
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✂
✟
✂
ξ0 h30 2
K∆θ2
A
2
✟ t + 3η q γq + h3 − 2πh
4
0
0
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✞
"
✞
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ξ0 sin(qx) + O(ξ02)
✘ ✥ ✘✩★ ☛ ✣ ✥☞✛ ★✍✔ ☞✥ ✓ ★ ✠☞☛ ✜✟ ✌ ✭✘ ✲✾✣✕✿ ✞ ✥ ❀
✓ ★ ✠☞☛✡✓✢✌ ✏✒✠☞✛✢✌ ✩✘ ✘ ✌ ✜✟ ✌
✖
ξ0(t) ✬
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ξ0 = 0
✭ ✼✬ ✗✟
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✤✣
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K∆θ2
h3
A
s(q) = 0 q 2 γq 2 +
−
3
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✞
❁ ✆✕✌
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✿ ✞ ✖
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A ∼ 10−20 J ✘✭✲✾✣✕✿ ✞ ★
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λm ∼ 30 µm ✬
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λ (µm)
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60
40
20
0
0
50
100
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h (nm)
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