Есев Алексей Вячеславович. Разработка комплекса уроков для подготовки учащихся 10-11 классов к ЕГЭ по информатике на тему: «Решение логических задач» в рамках элективного курса

5
Аннотация
ВКР бакалавра на тему «Разработка комплекса уроков для подготовки
учащихся 10-11 классов к ЕГЭ по информатике на тему: «Решение
логических задач» в рамках элективного курса» содержит страниц текста 123, рисунков - 18, использованных источников - 34.
В данный момент подобная тема востребована в связи с условиями
современной подготовки учащихся к проведению ЕГЭ. Нередко возникает
необходимость выйти за рамки школьного обучения, то есть проявить
дополнительные знания и умения, которые позволят определить степень
систематизации знаний по информатике.
Ключевые слова: элективный курс (предмет), логика, высказывание, истина,
логическое выражение.
Предмет исследования – разработка комплекса уроков для подготовки
учащихся 10-11 классов к ЕГЭ по информатике на тему: «Решение
логических задач».
Объект исследования - процесс преподавания темы «Решение логических
задач»
(профильная
подготовка
обучающихся
10-11
классов
по
информатике).
Цель работы - разработка комплекса уроков на тему «Решение логических
задач» в рамках элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по информатике»
для учащихся 10-11 классов.
Метод исследования. Для исследования применяется такие методы, как
изучение и анализ литературы, синтез, обобщение.
Результаты работы. В ВКР бакалавра разработан комплекс уроков для
подготовки учащихся 10-11 классов к ЕГЭ по информатике на тему:
«Решение логических задач» в рамках элективного курса.
Работа имеет теоретическое и практическое значение, т.к. разработанная
6
программа может применяться для проведения элективного предмета,
связанного с подготовкой школьников к сдаче Единого Государственного
Экзамена, что является актуальным в настоящее время.
7
Содержание
Введение…………………………………………………………………..
9
Глава 1. Анализ содержания и методика организации элективных
курсов (предмета) в соответствии с требованиями ФГОС……………
12
1.1 Цели и задачи элективных курсов (предмета) в соответствии с
ФГОС СОО……………………………………………………………….
12
1.2 Типы элективных курсов (предмета) по информатике с учетом
профильного обучения в старшей школе………………………………
14
1.3 Общие требования к элективным курсам (предмета)…………….
17
1.4 Требования к программам элективных курсов……………………
18
Глава 2. Разработка комплекса уроков на тему: «Решение логических
задач» для подготовки учащихся 10-11 классов к ЕГЭ по
информатике на тему: «Решение логических задач» в рамках
элективного курса (предмета)…………………………………………..
24
2.1 Анализ темы «Алгебра логики» в учебниках разных авторов….
24
2.2 Пояснительная записка ……………………………………………… 26
2.3 Требования к уровню подготовки выпускников…………………..
28
2.4 Содержание элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по
информатике в 10-11 классах»…………………………………………
29
2.5 Календарно-тематическое планирование элективного предмета
«Подготовка к ЕГЭ по информатике» в 10- 11 классах………………
2.6
Календарно-тематическое
планирование
темы
31
«Решение
логических задач» в рамках элективного предмета «Подготовка к
ЕГЭ по информатике» в 10- 11 классах……………………………….
36
2.7 Учебно-методическое обеспечение образовательного процесса…
37
2.8 Составление конспектов уроков для подготовки учащихся 10-11
классов к ЕГЭ по информатике на тему: «Решение логических
задач»…………………………………………………………………….
2.8.1 Примерный конспект урока №1 по теме: Алгебра логики.
38
8
Логические выражения и их преобразование. Построение таблиц
истинности логических выражений. Законы алгебры логики. Знание
основных понятий и законов математической логики……………….
38
2.8.2 Примерный конспект урока №2 по теме: «Решение и разбор
задач №2 из КИМов ЕГЭ»……………………………….……………..
45
2.8.3 Примерный конспект урока №3 по теме: «Запросы для
поисковых систем с использованием логических выражений»……….
52
2.8.4 Примерный конспект урока №4 по теме: «Решение логических
задач №17»……………………………………………………………….
63
2.8.5 Примерный конспект урока №5 по теме: «Решение логических
задач №18»……………………………………………………………….
76
2.8.6 Примерный конспект урока №6 по теме: «Промежуточный тест
по теме: «Основы логики»»……………………………………………..
2.8.7Примерный
конспект
урока
№7
по
теме:
85
«Логические
уравнения. Системы логических уравнений»………………………….
90
2.8.8 Примерный конспект урока №8 по теме: «Решение логических
задач №23»………………………………………………………………..
101
2.8.9 Примерный конспект урока №9 по теме: «Обобщение знаний по
«Алгебре
логики».
Решение
типовых
задач
из
ЕГЭ»………………………………………………………………………
111
2.8.10 Примерный конспект урока №10 по теме: «Итоговый тест по
теме: Решение логических задач»……………………………………….
121
Заключение………………………………………………………………..
129
Литература………………………………………………………………… 130
9
Введение
С переходом на Федеральный Государственный Образовательный
Стандарт модернизация Российского образования предусматривает введение
профильного обучения на старшей ступени школы. Целью профильного
обучения является создание условий для образования старшеклассников с
учётом их склонностей и способностей, для их обучения в соответствии с
профильными интересами и намерениями в отношении продолжения
образования. В настоящее время выделяют следующие основные профили:
естественно - научный, гуманитарный, технологический, социально экономический.
Я считаю эту проблему актуальной, т.к. ни в одном школьном учебнике
не содержится достаточного количества упражнений для формирования
действий, составляющих нестандартные приемы их решения. Поэтому для
более тщательно подготовки учащихся к ЕГЭ, для углубления их знаний по
информатике, учителю необходимо самому отыскивать задания для обучения
их решению. Одним из путей преодоления такого противоречия является
разработка элективного курса по информатике.
Создание элективных курсов (предмета) является важнейшей частью
обеспечения профильного обучения. Разработка программ таких курсов
(предмета) является важной и новой задачей современного школьного
образования.
Объект исследования: методика изучения темы «Решение логических
задач»
(профильная
подготовка
обучающихся
10-11
классов
по
информатике).
Предмет
исследования:
особенности
изучения
содержательно-
методической линии «Подготовка к ЕГЭ по информатике» для учащихся 1011 классов в рамках элективного предмета.
10
Цель: разработка комплекса уроков на тему «Решение логических
задач» в рамках элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по информатике»
для учащихся 10-11 классов.
Задачи исследования:
1. Проанализировать цели и задачи элективных курсов (предмета) в
соответствии с ФГОС ОО.
2. Провести анализ принципов создания элективного курса (предмета);
3. Определить основные требования, которые выдвигаются в целом для
элективных курсов;
4. Разработка комплекса уроков на тему «Решение логических задач» в
рамках элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по информатике» для
учащихся 10-11 классов:
- разработка содержания элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по
информатике»
- разработка календарно-тематического планирования темы «Решение
логических задач» в рамках элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по
информатике» для учащихся в 10-11 классе
- разработка методических рекомендаций по организации изучения
темы «Решение логических задач» в рамках элективного курса (предмета)
«Подготовка к ЕГЭ по информатике» в 10-11 классах
- разработка методических рекомендаций к урокам по теме «Решение
логических задач» в рамках элективного курса (предмета) «Подготовка к
ЕГЭ по информатике» в 10-11 классах
- разработка примерных конспектов темы «Решение логических задач»
в рамках элективного курса (предмета) «Подготовка к ЕГЭ по информатике»
в 10-11 классах
Методы исследования: изучение и анализ литературы, синтез,
обобщение.
Выпускная квалификационная работа состоит из Введения, Двух глав,
Заключения и Литературы.
11
Во
введении
рассматривается
актуальность
выбранной
темы,
формулируются цели, задачи исследования.
В первой главе дается анализ содержания и методика организации
элективных курсов (предмета) в соответствии с ФГОС СОО, определение
элективных курсов (предмета), описываются основные требования, которые
выдвигаются в целом для элективных курсов (предмета).
Во второй главе представлено программно-методическое обеспечение
темы «Решение логических задач» в рамках элективного предмета
«Подготовка к ЕГЭ по информатике» для учащихся 10-11 классов:
1. Пояснительная записка
2 . Требования к уровню подготовки выпускников
3 . Содержание учебного предмета
4 . Календарно-тематическое планирование темы «Решение логических
задач» в рамках элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по информатике»
в 11 классе
5. Методические рекомендации по организации изучения темы
«Решение логических задач» в рамках элективного предмета «Подготовка к
ЕГЭ по информатике» в 10-11 классах. Конспекты уроков
В заключении указываются полученные результаты. Далее приводится
список литературы.
12
Глава 1. Анализ содержания и методика организации элективных
курсов (предмета) в соответствии с требованиями ФГОС
1.1 Цели и задачи элективных курсов (предмета) в соответствии с
ФГОС СОО
Модернизация Российского образования ввела в наши школы новый
вид дифференциации обучения – элективные курсы (предмет). Элективный
курс (предмет) (от лат. electus – избирательный) – это обязательный курс по
выбору учащегося из компонента образовательного учреждения, входящие в
состав профиля обучения.[1]
В 2002 году была принята Концепция профильного обучения на
старшей
ступени
общего
образования,
одобренная
Министерством
образования Российской Федерации, где и появилось впервые понятие
профилизация обучения.[2]
В нормативную базу, регулирующую развитие профильного обучения в
общеобразовательных школах РФ, входит следующие документы:
• приказа Минобразования России от 09.03.2004 г. № 13.12 «Об
утверждении Федерального базисного учебного плана и примерных учебных
планов
для
образовательных
учреждений
Российской
Федерации,
реализующих программы общего образования»;
• Концепция модернизации российского образования на период до 2010
года на старшей ступени общеобразовательной школы, предусматривающей
профильное обучение;
• Распоряжение Правительства РФ от 29 декабря 2001 года № 1756-р
“Об одобрении Концепции модернизации российского образования на
период до 2010 года на старшей ступени общеобразовательной школы,
предусматривающей профильное обучение”;
13
• Распоряжение Минобразования России от 30.09.2002, №970-13 “Об
утверждении плана-графика введения профильного обучения на старшей
ступени общего образования”.[2]
Изучение элективных курсов (предмета) предусматривает следующие
цели:
·
создание
условий
для
самоопределения
каждого
учащегося
относительно профиля обучения и будущего направления деятельности, для
индивидуализации и дифференциации обучения, выбора учащимися разных
категорий индивидуальных образовательных траекторий в соответствии с их
способностями, склонностями, потребностями;
·
расширение
возможностей
социализации
учащихся,
более
эффективная подготовка выпускников к профессиональному и жизненному
самоопределению;
· развитие содержание одного или нескольких учебных предметов;
·
обеспечение
преемственности
общего
и
профессионального
образования.[3]
Задачи элективных курсов (предмета):
· повысить уровень индивидуализации обучения и социализации
личности;
· подготовить учащихся к осознанному и ответственному выбору
сферы будущей профессиональной деятельности;
· содействовать развитию у школьников отношения к себе как к
субъекту будущего профессионального образования и профессионального
труда;
·
выработать
у
учащихся
умения
и
способы
деятельности,
направленные на решение практических задач;
· создать условия для самообразования, формирования у учащихся
умений и навыков самостоятельной работы и самоконтроля своих
достижений.[3]
14
В зависимости от способностей и интересов, учащихся элективные
курсы позволяют:
- внести дополнения в содержание образования, т.е. учащиеся
получают возможность более эффективно подготовиться к освоению
программ профессионального, специального или высшего образования;
- учащиеся имеют равный доступ к полноценному образованию, т.к.
ввести элективные курсы технически легче, чем организовать профильный
класс или класс с углубленным изучением предмета;
-учащиеся получают возможность широкого выбора в выстраивании
индивидуальной образовательной траектории, что повышает их уровень
самообразовательной деятельности;
-учитель может реализовать индивидуальный интерес, творческие
способности и проявить личностные качества;
-школа может использовать свой имеющийся творческий опыт.
1.2 Типы элективных курсов (предмета) по информатике с учетом
профильного обучения в старшей школе
Модель общеобразовательного учреждения с профильным обучением
на
старшей
ступени
предусматривает
возможность
разнообразных
комбинаций учебных предметов, что и будет обеспечивать гибкую систему
профильного обучения.[10]
Профильное
обучение
—
это
средство
дифференциации
и
индивидуализации обучения, позволяющее за счет изменений в структуре,
содержании и организации образовательного процесса, более полно
учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия
для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными
интересами и намерениями в отношении продолжения образования [11]. Это
система специализированной подготовки старшеклассников, направленная на
то,
чтобы
сделать
процесс
их
обучения
на
последней
ступени
15
общеобразовательной школы более индивидуализированным, отвечающим
реальным запросам и ориентациям. При этом существенно расширяются
возможности выбора учеником индивидуальной образовательной траектории
[11]. Более того, данная система способна обеспечить осознанный выбор
школьниками своей профессиональной деятельности.
Эта система должна включать в себя следующие типы учебных
предметов:
• базовые общеобразовательные,
• профильные,
• элективные.
Базовые
общеобразовательные
курсы
(предмет)
отражают
обязательную для всех школьников инвариативную часть образования и
направлены на завершение общеобразовательной подготовки обучающихся.
Профильные курсы (предмет) обеспечивают углубленное изучение
отдельных предметов и ориентированы, в первую очередь, на подготовку
выпускников школы к последующему профессиональному образованию.
Элективные
же
курсы
(предмет)
связаны,
прежде
всего,
с
удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей
и склонностей каждого школьника. Именно они по существу и являются
важнейшим
средством
построения
индивидуальных
образовательных
программ, т.к. в наибольшей степени связаны с выбором каждым
школьником содержания образования в зависимости от его интересов,
способностей,
последующих
жизненных
планов.
Элективные
курсы
(предмет) как бы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные
возможности базовых и профильных курсов (предмета) в удовлетворении
разнообразных образовательных потребностей старшеклассников.[10]
Специфика содержания элективных курсов (предмета) по информатике
определяется рядом факторов. К числу важнейших из них следует отнести,
пожалуй, четыре:
16
1. интенсивный характер межпредметных связей информатики с
другими учебными предметами, широкое использование понятийного
аппарата, методов и средств, присущих этой отрасли научного знания, при
изучении практически всех предметов;
2. значение изучения информатики для формирования ключевых
компетенций
выпускника
современной
школы,
приобретения
образовательных достижений, востребованных на рынке труда;
3. исключительная роль изучения информатики в формировании
современной научной картины мира, которая может сравниться по
значимости в школьном образовании только с изучением физики;
4.
интегрирующая
образования
человека,
роль
информатики
позволяющая
в
связать
содержании
понятийный
общего
аппарат
естественных, гуманитарных и филологических учебных дисциплин.[12]
Концепция
профильного
обучения
исходит
из
многообразия
используемых образовательных методик и технологий их реализации в
школе, в том числе смешанных подходов в организации образовательного
процесса, которые включают в себя новые ИКТ ресурсы, новые формы
обучения, межпредметные связи на основе деятельностных методик
обучения, таких как расширенные практикумы и межпредметные учебные
проекты, в том числе для разновозрастных групп учащихся.[15]
Можно предложить следующие межпредметные связи профильных
элективных предметов с ИКТ в трех направлениях:
* Информационно - математическое (Информационные системы,
Системы программирования, Системное администрирование, Системы
автоматизации
моделирования
информационных
с
цифровыми
процессов,
Средства
датчиками,
компьютерного
Специализированные
инструментальные среды, Медиа коллекции, Виртуальные лаборатории);
* Информационно – технологическое (Элементы САПР, Компьютерная
графика, Компьютерный дизайн, Мультимедиа и анимация, Системы защиты
17
информации,
Сайтостроение,
Электронные
архивы
и
коллекции,
энциклопедии, виртуальные экспозиции);
* Прикладное (Программы-переводчики, Системы распознавания
текстов, Настольные издательские системы, Поисковые системы/машины,
Электронные архивы и коллекции, Интернет-СМИ, Элементы АСУ, СУБД и
БД
(специализированные),
Статистические
системы,
Элементы
ГИС,
Системы медиа презентаций и компьютерной графики, Аудио-видео
монтаж).[15]
1.3 Общие требования к элективным курсам (предмета)
Реализация курсов по выбору в предпрофильной и профильной
подготовке
предполагает
использование
следующих
потенциальных
возможностей повышения готовности учащихся к самообразовательной
деятельности:

самостоятельное изучение основной и дополнительной учебной
литературы, а также иных источников информации;

сочетание обзорных и установочных лекций с лабораторными
работами, семинарами, дискуссиями, творческими встречами;

информационная
поддержка
образовательной
деятель-ности
учащегося с помощью учебных видеофильмов, электронных тестов,
телекоммуникационных средств;

проведение творческих конкурсов, публичных защит проектов,
эвристических контрольных работ;

включение в учебную деятельность экскурсий на предприятия и
специализированные выставки; социальные и профессиональные практики
на адаптационных рабочих местах;

работу в третьем секторе экономики, волонтерство и др.
Требования к курсам по выбору:
18

пределах
Одно из важных требований - полнота. Курсы по выбору в
конкретной
образовательной
территории
должны
быть
представлены по всем имеющимся профилям;
Набор предлагаемых курсов должен носить вариативный характер, для
обеспечения реальной свободы выбора курсов учащимися.
- Содержание курсов также должно быть привлекательным для учащихся. Это не значит, что курсы должны превращаться в шоу, ноинтересной,
занимательной форме с включением оригинальных, важных и интересных
для учащихся сведений.
- Курсы не должны быть длительными. Их продолжительность может
варьироваться, но оптимальная находится в пределах 8-16 часов. Таким
образом, создаются условия в организации учебного процесса, которые
позволяли бы ученику менять «пакет курсов», по крайней мере, два раза за
учебный год. (Однако не исключается и возмож-ность проведения
достаточно длительных курсов в течение полугодия объемом 34 часа).
Подготовка программ и проведение занятий в рамках курсов по выбору
должны быть обеспечены учительскими кадрами высокой квалификации.
Содержание курсов предпрофильной подготовки должно быть не
только связанными с обучением по программе того или иного профиля.
Учебные занятия в рамках курсов по выбору должны проводиться
преимущественно в активной форме.
Курсы по выбору должны быть предложены учащимся в конце
учебного года, чтобы к следующему учебному году можно было дать
муниципальную образовательную сеть.
1.4. Требования к программам элективных курсов.
Структура программы:
1. Название программы.
2. Пояcнительная записка.
19
3. Тематичеcкое планирование.
4. Учебно-тематическое планирoвание.
5. cпиcок литературы.
Назвaние прогрaммы.
Нaзвание прогрaммы задается в соответствии с ее содержанием.
Подзаголовок прогрaммы указывает, к кaкому виду элективных курсов
относится данная программа по содержaнию.
Пояснительнaя записка.
Пояснительная записка должна включать:
- цель(-и) и планируемые результаты программы;
- опиcание способa(-ов) оценки планируемых результaтов;
- опиcание оснований для отборa cодержания образования;
- характеристику элективного курса в контексте самоопределения
старшеклассникa (c указанием на то, какой опыт получит учащийся, о чем он
сможет сделaть
выводы, каcающиеся
его
будущей образовaтельной
трaектории);
- описание принципиальных споcобов (техник, методов, технологий и
т.п.)
получения
зaявленных
образовaтельных
результaтов,
способов
организации оcвоения элективного курcа учaщимися;
- характеристику ресурсов, необходимых для реализации курса.
Цель программы.
Под целью курcа понимать следует прогнозируемые результаты
обучения, сформулированные в обобщенной форме с использованием
терминов,
принятых
в
дидaктике
и
одинаково
понимаемых
всеми
участниками образовaтельного процесса.
Цель программы отражать должна запросы учащихся, родителей и
местных сообществ, связанных с «результативными» эффектами от изучения
данного курса. Цель курса не может отражать запросы, предъявленные к
оказанию образовательных услуг.
20
Цель курса покaзывает, что должен cделать педагог, работающий по
программе. При определении цели прогрaммы должны быть использованы
ответственные
формулировки
(нaпример,
«научить»,
«сформировать»,
«передaть технологию» и т.п.); безответcтвенные формулировки (например,
«способствовать», «создать условия для…») недопустимы.
Формулировкa цели не должна включaть указание на средства ее
достижения.
Исходя из специфики содержaния и краткоcрочности элективных
курсов, прогрaмма элективного курcа подчиненa одной цели.
Планируемые образовательные результаты.
Планируемые результаты обучения должны конкретизировать цели
курса. Они должны соcтоять из одной или неcкольких автономно
проверяемых и легко вычленяемых единиц содержaния. Достаточной
считается детализация планируемых образовательных результатов, при
которой каждый результат отличается от остальных и существует
возможноcть зафикcировать фaкт достижения планируемого результата
посредством педaгогического измерения.
Плaнируемый образовательный результaт включается в программу
только в том cлучае, если его доcтижение может быть проверено cредствами
педaгогической диaгностики.
Формулировка плaнируемого образовательного результaта должна:
- опиcывать результат деятельности, а не процесс;
- четко указывать на
каждый элемент содержания, включенный в
результат;
- позволять однозначно представлять деятельность / ситуацию, которая
задается для проверки доcтижения учащимися указанного результата.
Формулировки образовательного результата не могут содержать фраз,
имеющих
двоякое
толковaние
или
требующих
детализации
или
конкретизации. Формулировки результaтов должны быть написаны языком,
доступным для понимания учащихся и их родителей.
21
Планируемый
знаниевый
обрaзовательный
результат
должен
содержать опиcание единицы содержания и общеучебного умения, т.е. того,
какие операции учaщийся будет выполнять с освоенной единицей
содержания
(например,
воспроизводить,
демонcтрировать
понимание,
применять, анализировать, обобщaть, оценивать), чтобы показать, на каком
уровне будет освоено данное cодержание.
Планируемый компетентноcтный образовательный результат следует
определять с помощью описaния конкретной деятельности (операции),
которую cовершает учащийся, демонстрируя тот или иной уровень
cформированности одной из ключевых компетентноcтей в том или ином
aспекте.
Совокупность всех планируемых образовательных результатов должна
автоматически обеспечивать достижение цели курсa.
Образовательные результаты, избыточные для достижения цели курса,
не могут быть запланированы в программе.
Описание способов оценки планируемых результатов.
Пояснительная записка должна задавать предполагаемые формы
контроля и критерии оценки планируемых образовательных результатов.
Должно
быть
приведено
краткое
обоснование
их
адекватности
запланированным результатам.
Здесь
же
должно
быть
приведено
принципиальное
описание
инструмента проверки.
Описание оснований для отбора содержания образования.
В этой части пояснительной записки должно содержаться обоснование
того, что включенные в содержание программы элективного курса
информация и способы деятельности обеспечат достижение планируемых
результатов обучения.
Также необходимо охарактеризовать содержание, обеспечивающее достижение промежуточных результатов, так как качество промежуточных
результатов определяет уровень освоения итоговых.
22
Характеристика ресурсов.
Следует также указать необходимые для реализации программы
ресурсы:
- привести перечень дидактических материалов (учебники, задачники,
справочники и пр. на том или ином носителе), необходимых и достаточных
для достижения планируемых результатов обучения;
- привести перечень материальных ресурсов (оборудование, приборы,
материалы, возможность выхода в глобальную сеть и т.д.), необходимых и
достаточных для достижения планируемых результатов обучения;
- описать организационные ресурсы (определенные требования к
расписанию, графику работы и т.п.), необходимые и достаточные для
достижения планируемых результатов обучения.
Тематическое планирование.
Тематическое планирование включает в себя название тем и
содержание обучения по каждой теме. Программа элективного курса может
представлять собой одну тему, тогда тематическое деление содержания
обучения не проводится.
Содержание обучения.
Содержание обучения представляет собой совокупность информации
(единиц содержания), подлежащей освоению, и видов деятельности
учащегося, позволяющих достичь как промежуточных, так и конечных
результатов.
Если содержание обучения включает в себя многосоставную с точки
зрения умений деятельность учащихся в реальных или модельных условиях,
то
внутри
каждой
темы
выделяется
подзаголовок
«Практическая
деятельность учащихся», где описывается такая деятельность.
При планировании содержания обучения в рамках темы следует
выделять то содержание, которое будет отнесено на самостоятельную работу
учащихся (если таковая предполагается в процессе освоения программы), в
том числе с использованием ИКТ. Виды самостоятельной работы учащихся
23
регламентируются; указывается, обеспечивается ли на каком-либо этапе
работы сопровождение деятельности учащегося работой консультанта и/или
тьютора.
Учебно-тематическое планирование.
Планирование учебного времени должно давать представление о
количестве
часов,
в
том
числе
аудиторной
работы,
консультаций,
самостоятельной работы.
Учебно-тематическое планирование оформляется в виде таблицы. К
аудиторным часам относятся часы, отведенные на занятия всей группы,
осваивающей программу, с преподавателем в классной аудитории. К
внеаудиторным – часы, отведенные на самостоятельную работу в школьной
медиатеке, практикумы в различных организациях, экскурсионные формы
работы, консультации преподавателя (обратная связь по результатам
самостоятельной работы). Все виды и формы работы, включенные во
внеаудиторную работу по реализации программы, должны найти свое
отражение в соответствующем разделе пояснительной записки. Сумма
аудиторных и внеаудиторных часов должна давать итоговое количество
часов по теме.
Часы, выделяемые на практическую деятельность, указываются в
одной колонке, независимо от того, где и каким образом эта практическая
деятельность организована.
24
Глава 2. Разработка комплекса уроков на тему: «Решение
логических задач» для подготовки учащихся 10-11 классов к ЕГЭ по
информатике в рамках элективного курса (предмета).
2.1. Анализ темы «Алгебра логики» в учебниках разных авторов.
У Л. Л. Босовой данная тема изучается в главе 2. «Человек и
информация». Здесь вводятся такие понятия, как «логика», «объект»,
«понятие»,
«анализ»,
«синтез»,
«сравнение»,
«абстрагирование»,
«обобщение», «содержание понятия», «объем понятия», «отношения между
понятиями» (изучаются с использованием кругов Эйлера), «определение
понятия» (§ 2.3. Понятие как форма мышления). В параграфе § 2.4.
Суждение как форма мышления рассматриваются виды суждений,
определяются условия для образования суждений с помощью логических
связок. Параграф § 2.5. Умозаключение как форма мышления посвящен
изучению форм получения умозаключений.
На базовом уровне «Формы мышления» изучаются у Н. В. Макаровой в
теме 24. «Логические основы построения компьютера» в пункте 24.1.
«Основные
понятия
формальной
ключевые
понятия:
«логика»,
логики».
Здесь
рассматриваются
«высказывание»,
«утверждение»,
«рассуждение», «умозаключение», «логическое выражение». Также этот
пункт касается темы «Алгебра высказываний».
Говоря о теме «Логические выражения и таблицы истинности» вновь
вернемся к учебнику Макаровой. В пункте 24.2. «Логические выражения и
логические операции» ученики узнают о том, что такое «конъюнкция»,
«дизъюнкция», «отрицание», «импликация», «эквивалентность» и учатся
составлять «сложные логические выражения» с использованием этих
логических операций. Пункт 24.3. «Построение таблиц истинности для
сложных логических выражений» посвящен примерам построения таблиц
истинности. Так же эта тема рассматривается в учебнике Н. Угриновича за 9
25
класс в главе 2. «Основы алгоритмизации и объектно-ориентированного
программирования» пункте 2.4.3. «Логические выражения». Логические
выражения рассматриваются на примере их использования в ООП. В состав
логических выражений могут входить логические переменные, логические
значения, результаты операций сравнения чисел и строк, а также логические
операции (and, or, not). У И. Семакина за 9 класс логические функции
рассматриваются на примере их использования в электронных таблицах
(§ 22. Логические функции и абсолютные адреса). В электронных таблицах
логические операции (И, ИЛИ, НЕ) рассматриваются как логические
формулы.
Тема «Логические основы устройства компьютера» изучается в
учебнике Н. В. Макаровой – пункт 24.4. «Логические элементы и основные
логические устройства компьютера». Здесь рассматриваются такие
логические элементы, как конъюнктор, дизъюнктор, инвертор. А также
основные арифметико-логические устройства – сумматор и регистр.
Достаточно
большое
количество
учебно-методических
пособий,
направленных на подготовку учащихся к сдаче ЕГЭ, т. к. подготовка к ЕГЭ
является актуальной темой для современного образования.
Информатика. Тренажёр. Крылов С.С., Ушаков Д.М. [11] Тематические
тестовые задания по информатике ориентированы на подготовку учащихся
средней школы к успешной сдаче ЕГЭ. Главное достоинство данного
пособия – оно создано разработчиками ЕГЭ.
Книга содержит множество тематических заданий для отработки
каждого
элемента
содержания
ЕГЭ
по
информатике,
а
также
диагностический и контрольные варианты экзаменационной работы.
Уникальная методика подготовки, созданная разработчиками ЕГЭ,
поможет учащимся научиться оформлять работу правильно, выявлять
критерии оценивания, акцентировать внимание на формулировках ряда
заданий
и
избегать
ошибок,
рассеянностью на экзамене.
связанных
с
невнимательностью
и
26
Одним из плюсов данного пособия является возможность использовать
предлагаемые тестовые задания, как в классе, так и дома. Выполнение
заданий предусмотрено непосредственно в пособии.
Издание предназначено для учителей информатики, родителей и
репетиторов, а также учащихся средней школы.
Однако ни в одном из выше перечисленных школьных учебниках не
содержится достаточного количества упражнений для формирования
действий, составляющих нестандартные приемы их решения. Поэтому для
более тщательно подготовки учащихся к ЕГЭ, для углубления их знаний по
агебре логики, учителю необходимо самому отыскивать задания для
обучения их решению. Одним из путей преодоления такого противоречия
является разработка элективного курса по информатике. В соответствии с
этим во второй главе представлено программно-методическое обеспечение
данной темы с разработкой 9 примерных конспектов, которые могут
проводиться в рамках элективного курса (предмета).
2.2 Пояснительная записка
Программа данного элективного предмета (предмета по выбору
учащихся) ориентирована на систематизацию знаний и умений по предмету
информатики и информационно-коммуникационных технологий (ИКТ) для
подготовки к сдаче единого государственного экзамена (ЕГЭ).
Поскольку предмет предназначен для тех, кто определил информатику
как сферу своих будущих профессиональных интересов либо в качестве
основного направления, либо в качестве использования прикладного
назначения
предмета,
то
его
содержание
представляет
собой
самостоятельный модуль, изучаемый в определенное время учебного года.
Элективный предмет «Подготовка к ЕГЭ по информатике» направлен
на расширение знаний учащихся, повышение уровня подготовки через
решение большого класса задач, включает рекомендации по определению
27
необходимого круга знаний, ключевых понятий и положений предмета;
анализ типов заданий и критериев оценки их выполнения. Материал данного
предмета содержит «нестандартные» методы, которые позволяют более
эффективно решать широкий класс заданий. Данный элективный предмет,
включает в себя обучение «технике сдачи теста». Эта техника включает
следующие моменты:
1) обучение постоянному самоконтролю времени;
2) обучение оценке объективной и субъективной трудности заданий и,
соответственно, разумному выбору этих заданий;
3) обучение прогнозированию границ результатов и минимальной
подстановке как приёму проверки, проводимой сразу после решения задания;
4) обучение приёму «спирального движения» по тесту.
Цели элективного предмета:
- подготовить ученика к ЕГЭ так, чтобы он самостоятельно сумел
набрать максимально возможное для него количество баллов;
- восполнить некоторые содержательные пробелы основного предмета,
придающие ему необходимую целостность;
- показать некоторые нестандартные приёмы решения задач;
- формировать качества мышления необходимые человеку для жизни в
современном информационном обществе.
Задачи элективного предмета:
* научить учащихся выполнять упражнения более высокой, по
сравнению с базовым (обязательным) уровнем, сложности;
* правильно оформлять решения заданий с развернутым ответом;
* эффективно распределять время на выполнение заданий различных
типов;
* помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на
уровне свободного их использования;
*
помочь
ученику
оценить
образовательной перспективы.
свой
потенциал
с
точки
зрения
28
Каждое занятие состоит из двух частей: задачи, решаемые с
учителем, и задачи для самостоятельного (или домашнего) решения.
Основные формы организации учебных занятий: беседа, лекция,
тренинг.
Количество часов в неделю: 1 час в неделю в течение двух лет, всего 68
учебных часов. [15,18]
2.3 Требования к уровню подготовки выпускников
Обучающиеся должны
знать/понимать:
* подсчитать информационный объем сообщения;
* искать кратчайший путь в графе, осуществлять обход графа;
* осуществлять перевод из одной системы счисления в другую;
* использовать стандартные алгоритмические конструкции при
программировании;
* формально исполнять алгоритмы, записанные на естественных и
алгоритмических языках, в том числе на языках программирования;
* формировать для логической функции таблицу истинности и
логическую схему;
* оценить результат работы известного программного обеспечения;
* оперировать массивами данных;
* формулировать запросы к базам данных и поисковым системам.
уметь:
* анализировать однозначность двоичного кода;
* анализировать обстановку исполнителя алгоритма;
* определять основание системы счисления по свойствам записи чисел;
* определять мощность адресного пространства компьютерной сети по
маске подсети в протоколе TCP/IP;
* осуществлять работу с логическими выражениями;
29
* моделировать результаты поиска в сети Интернет;
* анализировать текст программы с точки зрения соответствия
записанного алгоритма поставленной задаче, изменять его в соответствии с
заданием;
* реализовывать сложный алгоритм с использованием современных
систем программирования.
использовать приобретенные знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни для:
* осуществлять поиск и отбор информации;
* создавать и использовать структуры хранения данных;
*
работать
с
распространенными
автоматизированными
информационными системами;
* готовить и проводить выступления, участвовать в коллективном
обсуждении, фиксировать его ход и результаты
с использованием
современных программных и аппаратных средств коммуникаций;
*
проводить
статистическую
обработку
данных
с
помощью
компьютера;
* выполнять требования техники безопасности, гигиены, эргономики и
ресурсосбережения при работе со средствами информатизации.
2.4 Содержание элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по
информатике в 10-11 классах»
1) «Информация и ее кодирование»
Повторение методов решения задач по теме. Решение тренировочных
задач на измерение количества информации (вероятностный подход),
кодирование текстовой информации и измерение ее информационного
объема,
кодирование
графической
информации
и
измерение
ее
информационного объема, кодирование звуковой информации и измерение
30
ее
информационного
объема,
умение
кодировать
и
декодировать
информацию.
2) «Технология обработки графической и звуковой информации»
Повторение принципов векторной и растровой графики, в том числе
способов
компьютерного
представления
векторных
и
растровых
изображений. Решение задач на умение оперировать с понятиями «глубина
цвета»,
«пространственное
графических
устройств»,
и
цветовое
«кодировка
разрешение
цвета»,
изображений
«графический
и
объект»,
«графический примитив», «пиксель».
3) «Системы счисления»
Повторение
и
углубление
знаний
о
двоичном
представление
информации в памяти компьютера, знакомство с приемами перевод из одной
системы счисления в другую, арифметические действия в двоичной,
восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.
4) «Основы логики»
Основные понятия и определения (таблицы истинности) трех основных
логических операций (инверсия, конъюнкция, дизъюнкция), а также
импликации. Повторение методов решения задач по теме. Решение
тренировочных
задач
на
построение
и
преобразование
логических
выражений, построение таблиц истинности, построение логических схем.
Решение логических задач на применение основных законов логики при
работе с логическими выражениями.
5) «Алгоритмизация и программирование»
Основные
понятия,
связанные
с
использованием
основных
алгоритмических конструкций. Решение задач на исполнение и анализ
отдельных алгоритмов, записанных в виде блок-схемы, на алгоритмическом
языке или на языках программирования. Повторение методов решения задач
на составление алгоритмов для конкретного исполнителя (задание с кратким
ответом) и анализ дерева игры.
6) «Моделирование и компьютерный эксперимент»
31
Повторение методов решения задач по теме. Решение тренировочных
задач на моделирование и формализацию.
7) «Технология обработки информации в электронных таблицах»
Основные правила адресации ячеек в электронной таблице. Понятие
абсолютной и относительнойтадресации. Решение тренировочных задач на
представление числовых данных в виде диаграмм.
8) «Телекоммуникационные технологии. Программные средства
информационных и коммуникационных технологий»
Технология адресации и поиска информации в Интернете. Основные
понятия
классификации
программного
обеспечения,
свойств
и
функциональных возможностей основных видов программного обеспечения,
структуры файловой системы, включая правила именования каталогов и
файлов. Решение тренировочных задач по теме.
9) Тематический блок «Технологии программирования»
Решение тренировочных задач на поиск и исправление ошибок в
небольшом фрагменте программы. Решение задач средней сложности на
составление собственной эффективной программы.
10) Треннинг по вариантам: «Единый государственный экзамен по
информатике».
Проведение пробного ЕГЭ с последующим разбором результатов.
2.5 Календарно-тематическое планирование элективного предмета
«Подготовка к ЕГЭ по информатике» в 10- 11 классах
№
урока
Название темы
Информация и ее кодирование (6 часов)
1-2
Восприятие, запоминание и обработка
информации человеком, пределы
чувствительности и разрешающей
способности органов чувств,
УУД
Личностные УУД
Развить у
обучающихся:
учебно-
Коли
честв
о
часов
2
32
№
урока
Название темы
УУД
Коли
честв
о
часов
логарифмические шкалы восприятия. Язык
как способ представления и
передачи информации. Процесс передачи
информации, источник и
приемник информации. Сигнал,
кодирование и декодирование. Умение
кодировать и декодировать информацию
познавательный
интерес к новому
учебному материалу;
мотивационная
основа учебной
деятельности,
включающая
социальные, учебно3
Методы измерения количества
информации: вероятностный и
познавательные и
алфавитный.
внешние мотивы;
Единицы измерения количества
Обучающийся
информации. Знания о методах измерения
получит
количества информации
возможность
4-6
Разбор заданий из демонстрационных научиться:
тестов
пониманию причин
«Технология обработки графической и звуковой успеха в учебной
информации» (3 часа)
деятельности, в том
7-8
Скорость передачи информации и
числе на самоанализ
пропускная способность канала
и самоконтроль
передачи. Умение определять скорость
результата, на анализ
передачи информации при заданной
соответствия
пропускной способности канала, объем
памяти, необходимый для
результатов
хранения звуковой и графической
требования
информации
конкретной задачи.
9
Разбор заданий из демонстрационных
Регулятивные УУД
тестов
Обучающийся
«Системы счисления» (5 часа)
научится: учитывать
10
Знания о системах счисления и двоичном
установленные
представлении информации в памяти
правила в
компьютера. Знание позиционных систем
планировании и
счисления.
11-14 Разбор заданий из демонстрационных
контроле способа
тестов.
решения;
Основы логики (10 часов)
Обучающийся
15
Алгебра логики. Логические выражения и получит
их преобразование. Построение таблиц
возможность
истинности логических выражений.
научиться:
Законы алгебры логики. Знание основных
понятий и законов математической логики. самостоятельно
адекватно оценивать
16
Решение и разбор задач №2 из КИМов
правильность
ЕГЭ.
17
Запросы для поисковых систем с
1
3
1
2
1
4
1
1
1
33
№
урока
Название темы
УУД
использованием логических выражений
Решение логических задач №17
Решение логических задач №18
Промежуточный тест по теме: «Основы
логики»
21
Логические уравнения. Системы
логических уравнений.
22
Решение логических задач №23
23
Обобщение знаний по «Алгебре логики».
Решение типовых задач из ЕГЭ.
24
«Итоговый тест по теме: Решение
логических задач».
«Алгоритмизация и программирование» (15
выполнения
действия и вносить
необходимые
коррективы в
исполнение, как по
ходу его реализации,
так и в конце
действия.
Познавательные
УУД Обучающийся
научится:
часов)
осуществлять анализ
задач, извлекать
информацию,
представленную в
разных формах;
осуществлять анализ
и синтез;
преобразовывать
информацию из
одной формы в
другую; строить
рассуждения;
Обучающийся
получит
возможность
научиться: грамотно
выстраивать
структуру
программы, владеть
общим приемом
решения задач,
систематизировать
изученный материал,
представлять его в
виде схемы.
Коммуникативные
УУД.
Обучающийся
18
19
20
25
26
27
28
29
30
31-32
33-34
Алгоритмы, виды алгоритмов, описание
алгоритмов. Формальное
исполнение алгоритма, записанного на
естественном языке или умение
создавать линейный алгоритм для
формального исполнителя с
ограниченным набором команд
Использование основных алгоритмических
конструкций: следование,
ветвление, цикл. Умение исполнить
алгоритм для конкретного
исполнителя с фиксированным набором
команд
Умение
анализировать
результат
исполнения алгоритма
Знание основных конструкций языка
программирования, понятия
переменной, оператора присваивания
Анализ
алгоритма
(программы),
содержащего цикл и ветвление
Вспомогательные алгоритмы: функции и
процедуры.
Файлы. Умение исполнить рекурсивный
алгоритм
Вспомогательные алгоритмы: функции и
процедуры. Файлы. Умение анализировать
программу, использующую процедуры и
функции
Работа с массивами (заполнение,
считывание, поиск, сортировка, массовые
Коли
честв
о
часов
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
34
№
урока
Название темы
операции и др.)
Рекурсия. Работа с массивами (заполнение,
считывание, поиск, сортировка, массовые
операции и др.)
36-37 Тренинг с использованием заданий с
выбором ответа.
38-39 Умение прочесть фрагмент программы на
языке программирования и
исправить допущенные ошибки
Моделирование и компьютерный эксперимент
(5 часов)
40
Формализация: математические и
логические модели. Умение
представлять и считывать данные в разных
типах информационных
моделей (схемы, карты, таблицы, графики
и формулы)
41-42 Математические модели (графики,
исследование функций). Построение и
использование информационных моделей
реальных процессов
(физических, химических, биологических,
экономических). Умение представлять и
считывать данные в разных типах
информационных
моделей (схемы, карты, таблицы, графики
и формулы)
43-44 Тренинг с использованием заданий с
выбором ответа.
«Технология
обработки
информации
в
электронных таблицах» (5 часа)
45
Основные правила адресации ячеек в
электронной таблице. Понятие абсолютной и относительной адресации.
46
Знание технологии обработки информации
в электронных таблицах и методов
визуализации данных с помощью
диаграмм и графиков
47-49 Решение тренировочных задач на
представление числовых данных в виде
диаграмм.
«Телекоммуникационные технологии.
Программные
средства
информационных и коммуникационных
технологий» (5 часов)
35
УУД
научится: задавать
вопросы,
необходимые для
организации
собственной
деятельности и
сотрудничества с
партнером;
Обучающийся
получит
возможность
научиться: адекватно
использовать
полученные знания
для эффективного
решения
разнообразных
коммуникативных
задач.
Коли
честв
о
часов
1
2
2
1
2
2
1
1
3
35
№
урока
50
Название темы
Знание базовых принципов организации и
функционирования
компьютерных сетей, адресации в сети
51
Поиск информации в Интернет. Умение
осуществлять поиск информации в
Интернете
52
Основные понятия классификации
программного обеспечения, свойств и
функциональных возможностей основных
видов программного
обеспечения, структуры файловой
системы, включая правила именования
каталогов и файлов.
53-54 Решение тренировочных задач.
«Технологии программирования» (10 часов)
55
Повторение: Формальное исполнение
алгоритма, записанного на
естественном языке или умение создавать
линейный алгоритм для
формального исполнителя с ограниченным
набором команд. Умение исполнить
алгоритм для конкретного исполнителя с
фиксированным
набором команд
56
Циклы, функции
57
Массивы
58
Умение прочесть фрагмент программы на
языке программирования и
исправить допущенные ошибки
59-60 Материал для тренинга с использованием
заданий с развернутой формой ответа,
используемых в части 2. Умения написать
короткую (10–15
строк) простую программу на языке
программирования или записать
алгоритм на естественном языке
61-62 Материал для тренинга с использованием
заданий с развернутой формой ответа,
используемых в части 2. Умения создавать
собственные программы (30–50 строк) для
решения задач средней сложности
63-64 Материал для тренинга с использованием
заданий с развернутой формой ответа,
используемых в части 2. Умение
построить дерево игры по
УУД
Коли
честв
о
часов
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2
2
36
№
урока
Название темы
УУД
заданному алгоритму и обосновать
выигрышную стратегию
65-68 Треннинг
по
вариантам:
«Единый
государственный
экзамен
по
информатике» (4 часа).
Всего: 68 часов
2.6
Календарно-тематическое
планирование
Коли
честв
о
часов
4
темы
«Решение
логических задач» в рамках элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ
по информатике» в 10- 11 классах
№
Тема урока
УУД
1
Алгебра логики.
Логические
выражения и их
преобразование.
Построение таблиц
истинности
логических
выражений. Законы
алгебры логики.
Знание основных
понятий и законов
математической
логики.
Решение и разбор
задач №2 из КИМов
ЕГЭ.
Запросы для
поисковых систем с
использованием
логических
выражений
Решение логических
задач №17
Решение логических
задач №18
Промежуточный тест
по теме: «Основы
Личностные УУД
Обучающийся научится:
учебно-познавательный интерес к новому учебному
материалу; мотивационная
основа
учебной
деятельности, включающая социальные, учебнопознавательные и внешние мотивы;
Обучающийся получит возможность научиться:
понимания причин успеха в учебной деятельности, в
том числе на самоанализ и самоконтроль результата,
на анализ соответствия результатов требования
конкретной задачи.
Регулятивные УУД
Обучающийся научится:
учитывать установленные правила в планировании и
контроле способа решения;
Обучающийся получит возможность научиться:
самостоятельно адекватно оценивать правильность
выполнения действия и вносить необходимые
коррективы в исполнение как по ходу
его
реализации, так и в конце действия.
Познавательные УУД
Обучающийся научится:
осуществлять анализ задач, извлекать информацию,
представленную в разных формах; осуществлять
анализ и синтез; преобразовывать информацию из
одной формы в другую; строить рассуждения;
Обучающийся получит возможность научиться:
2
3
4
5
6
Коли
честв
о
часо
в
1
1
1
1
1
1
37
логики»
7
Логические
уравнения. Системы
логических
уравнений.
8
Решение логических
задач №23
9
Обобщение знаний по
«Алгебре логики».
Решение типовых
задач из ЕГЭ.
10 «Итоговый тест по
теме:
Решение
логических задач».
Всего: 10 часов
грамотно выстраивать структуру программы,
владеть
общим
приемом
решения
задач,
систематизировать
изученный
материал,
представлять его в виде схемы.
Коммуникативные УУД
Обучающийся научится:
задавать вопросы, необходимые для организации
собственной деятельности и сотрудничества с
партнером;
Обучающийся получит возможность научиться:
адекватно использовать полученные знания для
эффективного
решения
разнообразных
1
1
1
1
коммуникативных задач.
2.7 Учебно-методическое обеспечение образовательного процесса
Литература
1.
«Готовимся к ЕГЭ по информатике»: учебное пособие / Н.Н.
Самылкина. – 3-е издание - М.:Бином. Лаборатория знаний, 2009.г.;
2.
Информатика. 8 класс. Учебник. Семакин И.Г., Залогова Л.А.,
Русаков С.В., Шестакова Л.В. (2015, 176с.)
3.
Информатика. 9 класс. Учебник. Семакин И.Г., Залогова Л.А.,
Русаков С.В., Шестакова Л.В. (2015, 200с.)
4.
Информатика. 10 класс. Базовый уровень. Семакин И.Г., Хеннер
Е.К., Шеина Т.Ю. (2015, 264с.)
5.
Информатика. 11 класс. Базовый уровень. Семакин И.Г., Хеннер
Е.К., Шеина Т.Ю. (2014, 224с.)
6.
Лапчик М. П., Семакин И. Г., Хеннер Е. К. Методика
преподавания информатики: Учебное пособие / под ред. М. П. Лапчика. М.:
ACADEMIA, 2001.
7.
Демонстрационный вариант ЕГЭ по информатике (2017- 2018
г.г.).
Перечень средств ИКТ, необходимых для реализации программы
Аппаратные средства
38
 Компьютер
 Проектор
 Принтер
 Устройства
вывода
звуковой
информации
—
наушники
для
индивидуальной работы со звуковой информацией
 Устройства
для
ручного
ввода
текстовой
информации
и
манипулирования экранными объектами — клавиатура и мышь.
 Интернет.
Программное обеспечение
 ОС Windows
 Microsoft Office Power Point
2.8 Составление конспектов уроков для подготовки учащихся 10-11
классов к ЕГЭ по информатике на тему: «Решение логических задач»
2.8.1 Примерный конспект урока №1 по теме: Логические
выражения и их преобразование.
Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.
Цель урока: напомнить ученикам и помочь им закрепить полученные
на основных уроках информатики знания о логических выражениях и их
преобразованиях, а также разобрать задания из КИМов ЕГЭ по информатике
на заданную тему.
Задачи урока:
Образовательные:
- в ходе урока организовать работу учеников, направленную на
повторение темы «Логические выражения и их преобразования»;
- в ходе урока закрепить или сформировать заново умения учеников
работать в данной теме;
- проверить и научить преобразовывать логические выражения для
успешной сдачи экзамена.
39
Развивающие:
- развивать и поддерживать мотивацию учеников в работе в течении
урока;
- поддерживать развитие талантов и способностей у учеников, готовых
заниматься данной сферой;
- постараться привлечь в сферу информационных технологий больше
учеников, постараться заинтересовать их и найти каждому интересную тему.
Воспитательные:
- следить за процессом проведения урока и поведением учеников,
поощрять отличившихся и мотивировать отстающих;
- обеспечить положительное отношение к предмету;
- поддерживать культуру взаимоотношений в классе на протяжении
урока и после него;
Планируемые результаты:
Личностные:
- сформировать нужное отношение к предмету и предстоящему
экзамену;
- вовлечь учеников в процесс обучения и обеспечить их возможностью
к самообучению;
Познавательные:
- навыки работы в сфере информационных технологий в целом и в
определенных программах в частности;
- умение ориентироваться в понятиях, темах предмета;
- умение анализировать и решать поставленные задачи в сфере
информационных технологий.
Коммуникативные:
- умение грамотно формулировать цели и задачи;
- планирование деятельности с учителем и учениками для успешного
результата в поставленной задаче;
40
- умение преподносить свою точку зрения и умение аргументировать
свою позицию.
Регулятивные:
- умение корректировать свои действия и действия сверстников, если
подобное требуется;
- умение проявлять свои навыки для достижения поставленных целей;
- умение контролировать себя в процессе работы над поставленной
задачей;
- умение оценивать себя и других в случае необходимости.
Предметные:
- закрепление основного теоретического и практического материала по
теме «Логические выражения и их преобразования»;
- умение работать с данными преобразованиями;
- умение анализировать полученные задания по теме.
Формы деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Формы обучения: смешанная.
Оборудование урока: компьютер учителя, мультимедийный проектор,
интерактивная доска, обычная доска.
Длительность урока – 45 минут.
Ссылки на ЦОР:
Mindmeister
https://www.mindmeister.com
Padlet
https://padlet.com
Ход урока:
1. Организация начала урока
Приветствие, проверка присутствующих. Объяснение хода урока.
2. Подготовка учащихся к усвоению, актуализация опорных
знаний.
41
В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить
равносильные (тождественные) преобразования логических выражений. Мы
с вами уже изучали их, давайте вспомним и решим задачи из ЕГЭ по этой
теме!
3. Теоретическая часть
https://www.mindmeister.com/1122973785?t=ZSdXy7BmFy
Логическое отрицание – одноместная операция, так как в ней
участвует одно высказывание (один аргумент).
Операция обозначается частицей НЕ (НЕ А), знаком: ¬А (¬А) или
чертой над обозначением высказывания (Ā).
Таблица истинности операции логического отрицания
А
Ā
0
1
1
0
Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух
высказываний в одно с помощью союза «или».
42
Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба
высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.
Таблица истинности операции логического сложения
А
В
А В
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух
высказываний в одно с помощью союза «и».
Операция обозначается союзом И, знаком /\ или &, иногда
*(логическое умножение).
Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда
оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание
ложно.
Таблица истинности операции логического умножения.
А
В
А·/\В
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Логическое следование (импликация) образуется соединением двух
высказываний в одно с помощью оборота речи «если….., то…..».
Обозначения: А→В, А
В.
Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из
истинного высказывания следует - ложное.
Таблица истинности операции логического следования.
А
0
0
В
0
1
А
В
1
1
43
1
0
0
1
1
1
Эквивалентность образуется соединением двух высказываний в одно
при помощи оборота речи «….тогда и только тогда, когда…».
Обозначение эквивалентности: А=В; А
В; А~В.
Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда,
когда оба высказывания истинны или оба ложны.
Таблица истинности операции логического равенства.
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
А
В
1
0
0
1
Приоритет операций:
1)
инверсия;
2)
конъюнкция;
3)
дизъюнкция;
4)
импликация и эквивалентность.
Таблица истинности – это таблица, определяющая значение сложного
высказывания при всех возможных значениях простых высказываний.
Алгоритм построения таблиц истинности для сложных выражений
следующий:

Определить количество переменных (простых выражений);

Определить
количество
логических
операций
и
последовательность их выполнения.

Определить количество строк:
количество строк = 2ª + строка для заголовка,
где a – количество логических переменных.

Определить количество столбцов: количество столбцов =
количество переменных + количество логических операций;

Заполнить столбцы результатами выполнения логических
44
операций в обозначенной последовательности с учетом таблиц
истинности основных логических операций.
Рассмотрим пример построения таблицы истинности для следующего
сложного (составного) логического выражения:
А & (B V C)
Решение:

Простые выражения (логические переменные): А, В, С; (3)

Количество логических операций:

¬ А - инверсия;

B  C - операция дизъюнкции;

¬ А & (B  C). операция конъюнкции. Всего: 3

Количество строк: на входе три простых высказывания: А,
В, С, поэтому a=3 и количество строк = 2³ +1 = 9.

Количество столбцов: 3+3=6

Заполняем
столбцы
с
логических операций.
https://padlet.com/fridenser/5jf8bq33nq6n
5. Домашнее задание.
Выучить основные понятия урока.
учетом
таблиц
истинности
45
6. Рефлексия.
Подведение итога урока. Выставление оценок.
2.8.2 Примерный конспект урока №2 по теме: «Решение и разбор
задач №2 из КИМов».
Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.
Цель урока: напомнить ученикам и помочь им закрепить полученные
на основных уроках информатики знания о построении таблиц истинности
логических выражений, а также разобрать задания из КИМов ЕГЭ по
информатике на заданную тему.
Задачи урока:
Образовательные:
- в ходе урока организовать работу учеников, направленную на
повторение темы «Построение таблиц истинности логических выражений»;
- в ходе урока закрепить или сформировать заново умения учеников
работать в данной теме;
- проверить и научить строить таблицы истинности логических
выражений для успешной сдачи экзамена.
Развивающие:
- развивать и поддерживать мотивацию учеников в работе в течении
урока;
- поддерживать развитие талантов и способностей у учеников, готовых
заниматься данной сферой;
- постараться привлечь в сферу информационных технологий больше
учеников, постараться заинтересовать их и найти каждому интересную тему.
Воспитательные:
- следить за процессом проведения урока и поведением учеников,
поощрять отличившихся и мотивировать отстающих;
- обеспечить положительное отношение к предмету;
46
- поддерживать культуру взаимоотношений в классе на протяжении
урока и после него;
Планируемые результаты:
Личностные:
- сформировать нужное отношение к предмету и предстоящему
экзамену;
- вовлечь учеников в процесс обучения и обеспечить их возможностью
к самообучению;
Познавательные:
- умение ориентироваться в понятиях, темах предмета;
- умение анализировать и решать поставленные задачи в сфере
информационных технологий.
Коммуникативные:
- умение грамотно формулировать цели и задачи;
- планирование деятельности с учителем и учениками для успешного
результата в поставленной задаче;
- умение преподносить свою точку зрения и умение аргументировать
свою позицию.
Регулятивные:
- умение корректировать свои действия и действия сверстников, если
подобное требуется;
- умение проявлять свои навыки для достижения поставленных целей;
- умение контролировать себя в процессе работы над поставленной
задачей;
- умение оценивать себя и других в случае необходимости.
Предметные:
- закрепление основного теоретического и практического материала по
теме «Построение таблиц истинности логических выражений»;
- умение работать с данными преобразованиями;
- умение анализировать полученные задания по теме.
47
Формы деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Формы обучения: смешанная.
Оборудование урока: компьютер учителя, мультимедийный проектор,
интерактивная доска, обычная доска.
Длительность урока – 45 минут.
Ссылки на ЦОР:
Padlet
https://padlet.com
Ход урока:
1. Организация начала урока
Приветствие, проверка присутствующих. Объяснение хода урока.
2. Подготовка учащихся к усвоению, актуализация опорных
знаний.
В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить
равносильные (тождественные) преобразования логических выражений. Мы
с вами уже изучали их, давайте вспомним и решим задачи из ЕГЭ по этой
теме!
3. Практическая часть.
- Перейдем к разбору задания № 2 из ЕГЭ.
Р-19. Логическая функция F задаётся выражением
((w  y)  x)  ((w  z)  (y  w)).
На рисунке приведён частично заполненный фрагмент таблицы
истинности функции F, содержащий неповторяющиеся строки.
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F
соответствует каждая из переменных x, y, z, w.
?
?
?
?
F
1
1
0
1
0
1
1
0
В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут
соответствующие им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких
разделителей между буквами ставить не нужно.
Решение:
1) запишем выражение в более понятной форме:
F  (( w  y )  x)  ( w  z )  ( y  w)
48
2) попробуем найти все сочетания переменных, при которых функция
равна 0 (их должно быть не очень много)
3) выберем для начальной подстановки переменную, которая чаще
всего встречается в выражении и поэтому подстановка её значения
даст наибольшую информацию; у нас это переменная w
4) подставим сначала w = 0, а затем w = 1, и таким образом построим
все строки таблицы истинности, где функция равна нулю
5) при w = 0 получаем F  ( y  x)  (0  z )  ( y  0)
поскольку 0  z  1 при всех z, имеем F  ( y  x)  ( y  0)
6) для того, чтобы сумма была равна 0, оба слагаемых должны быть
равны 0, так что
( y  x)  0  y  x
( y  0)  0  y  1
7) таким образом, при w = 0 получаем y = 1, x = 0, а значение z может
быть любое; это даёт две строки в таблице истинности:
x
y
z
w
F
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
8) теперь рассмотрим случай, когда w = 1: получаем
F  (1  x)  (1  z )  ( y  1)
поскольку y  1  1 при всех y, имеем F  (1  x)  (1  z )
9) для того, чтобы сумма была равна 0, оба слагаемых должны быть
равны 0, так что
(1  x)  0  x  0
(1  z )  0  z  0
10) таким образом, при w = 1 получаем x = 0, z = 0, а значение y
может быть любое; добавляем ещё две строки в таблицу истинности:
x
y
z
w
F
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
11) сравниваем эту таблицу с таблицей в задании:
1
2
3
4
F
1
1
0
1
0
1
1
0
12) две единицы могут быть только в столбцах y и w, поэтому это
столбцы 1 и 4
49
13) кроме этих столбцов единственная единица может быть в столбце
z, поэтому столбец 3 – это z
14) при z = 1 должно быть y = 1, поэтому столбец 1 – это y, а столбец
4 – это w
15) остаётся столбец 2 – это x
16) Ответ: yxzw.
Р-18. Логическая функция F задаётся выражением (x  y)  (y  z). На
рисунке приведён частично заполненный фрагмент таблицы истинности
функции F, содержащий неповторяющиеся строки. Определите, какому
столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из
переменных x, y, z.
?
?
?
F
0
0
0
0
0
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут
соответствующие им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких
разделителей между буквами ставить не нужно.
Решение:
1)
запишем выражение в более понятной форме: F  ( x  y )  ( y  z )
2)
для решения этой задачи используем свойство операции
«импликация»: a  b  0 тогда и только тогда, когда a = 1 и b = 0
3)
в обеих строках приведённой части таблицы функция равна 0,
поэтому везде

хотя бы одна из величин, x или y равна 1, что даёт ( x  y )  1 ;

y и z различны, что даёт ( y  z )  0
4)
поскольку значения в первых двух столбцах в первой строке
равны 0, один из этих столбцов – это x
5)
предположим, что x – это первый столбец:
?
?
F
x
1
0
0
0
2
0
0
тогда в обеих строках получаем F  (0  y )  ( y  z )  0 , откуда сразу
следует,
что
есть
единственная
пара остальных переменных,
удовлетворяющих условию задачи: y = 1, z = 0, и вторая строка олжна быть
копией первой (второй подходящей пары y , z нет!), что противоречит
условию
6)
это значит, что x – это не первый, а второй столбец:
?
?
F
x
50
1
0
0
0
2
0
0
7)
если при этом предположить, что первый столбец – это y, то в
F  (0  0)  (0  z )  1 (при любом z!), что
первой строке получаем
противоречит условию; поэтому первый столбец – это z, а третий – y
8)
на всякий случай проверяем первую строку: F  (0  y )  ( y  0)  0
справедливо при y = 1
9)
во второй строке условие F  ( x  y )  ( y  0)  0 справедливо при x
= 1 и y = 1 (что отличается от варианта в первой строке значением x)
10) Ответ: zxy.
Р-17. Логическая функция F задаётся выражением ¬x  y  (¬z  w). На
рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий
все наборы аргументов, при которых функция F ложна. Определите,
какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из
переменных x, y, z, w.
?
?
?
0
0
0
0
1
0
0
1
1
В ответе напишите буквы x, y, z,
?
F
1
0
1
0
1
0
w в том порядке, в котором идут
соответствующие им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких
разделителей между буквами ставить не нужно.
Решение:
1)
запишем выражение в более понятной форме: F  x  y  z  w
2)
анализ формулы F  x  y  z  w показывает, что для того, чтобы
функция F была ложна, необходимо, чтобы x всегдабыл равен 1, а y
всегдабыл равен 0; поэтому x – это последний столбец в таблице, а y –
первый:
y
0
0
0
?
0
1
1
?
0
0
1
x
1
1
1
F
0
0
0
51
3)
остается разобраться с двумя средними столбцами; обратим
внимание на вторую строчку таблицы, в которой одна из оставшихся
переменных равна 1, а вторая – 0; так как функция равна 0, то z  w  0 , откуда
следует, что z = 1 и w = 0 (иначе произведение будет равно 1)
4)
Ответ: yzwx.
Решение (2 способ, инверсия выражения):
1)
запишем выражение в более понятной форме: F  x  y  z  w
2)
попытаемся свести задачу к уже известной задаче; если при
каком-то наборе аргументов функция F ложна, то обратная её функция, F ,
истинна
3)
построим обратную функцию, используя законы де Моргана:
F  x  y  z  w  x  y  (z  w)
4)
тогда при тех же значениях аргументов функция F истинна
5)
?
?
?
?
F
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
анализ формулы F  x  y  ( z  w ) показывает, что для истинности
функции F необходимо, чтобы x всегдабыл равен 1, а y всегдабыл равен 0;
поэтому x – это последний столбец в таблице, а y – первый:
6)
y
?
?
x
F
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
остается разобраться с двумя средними столбцами; обратим
внимание на вторую строчку таблицы, в которой одна из оставшихся
переменных равна 1, а вторая – 0; так как функция равна 1, то z  w  1 , откуда
следует, что z = 1 и w = 0 (иначе сумма будет равна 0)
Ответ: yzwx.
5. Домашнее задание.
Выполнить задание:
52
Р-16. Логическая функция F задаётся выражением (x  y )  (y  z).
Ниже приведён фрагмент таблицы истинности. Определите, какому столбцу
таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z?
?
?
?
F
1
0
1
1
0
0
1
0
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут
соответствующие им столбцы.
6. Рефлексия.
Подведение итога урока. Выставление оценок.
2.8.3 Примерный конспект урока №3 по теме: «Запросы для
поисковых систем с использованием логических выражений».
Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.
Цель урока: напомнить ученикам и помочь им закрепить полученные
на основных уроках информатики знания о запросах для поисковых систем с
использованием логических выражений, а также разобрать задания из
КИМов ЕГЭ по информатике на заданную тему.
Задачи урока:
Образовательные:
- в ходе урока организовать работу учеников, направленную на
повторение темы «Запросы для поисковых систем с использованием
логических выражений»;
- в ходе урока закрепить или сформировать заново умения учеников
работать в данной теме;
- проверить и научить пользоваться поисковыми запросами с помощью
логических выражений, для успешной сдачи экзамена.
Развивающие:
- развивать и поддерживать мотивацию учеников в работе в течении
урока;
53
- поддерживать развитие талантов и способностей у учеников, готовых
заниматься данной сферой;
- постараться привлечь в сферу информационных технологий больше
учеников, постараться заинтересовать их и найти каждому интересную тему.
Воспитательные:
- следить за процессом проведения урока и поведением учеников,
поощрять отличившихся и мотивировать отстающих;
- обеспечить положительное отношение к предмету;
- поддерживать культуру взаимоотношений в классе на протяжении
урока и после него;
Планируемые результаты:
Личностные:
- сформировать нужное отношение к предмету и предстоящему
экзамену;
- вовлечь учеников в процесс обучения и обеспечить их возможностью
к самообучению;
Познавательные:
- умение ориентироваться в понятиях, темах предмета;
- умение анализировать и решать поставленные задачи в сфере
информационных технологий.
Коммуникативные:
- умение грамотно формулировать цели и задачи;
- планирование деятельности с учителем и учениками для успешного
результата в поставленной задаче;
- умение преподносить свою точку зрения и умение аргументировать
свою позицию.
Регулятивные:
- умение корректировать свои действия и действия сверстников, если
подобное требуется;
- умение проявлять свои навыки для достижения поставленных целей;
54
- умение контролировать себя в процессе работы над поставленной
задачей;
- умение оценивать себя и других в случае необходимости.
Предметные:
- закрепление основного теоретического и практического материала по
теме «Запросы для поисковых систем с использованием логических
выражений»;
- умение работать с данными преобразованиями;
- умение анализировать полученные задания по теме.
Формы деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Формы обучения: смешанная.
Оборудование урока: компьютер учителя, мультимедийный проектор,
интерактивная доска, обычная доска.
Длительность урока – 45 минут.
Ход урока:
1. Организация начала урока
Приветствие, проверка присутствующих. Объяснение хода урока.
2. Подготовка учащихся к усвоению, актуализация опорных
знаний.
В алгебре логики можно пользоваться поисковыми запросами с
использованием логических выражений. Мы с вами уже изучали их, давайте
вспомним и решим задачи из ЕГЭ по этой теме!
3. Теоретическая часть
https://www.mindmeister.com/1127373177?t=TObV7mCWTz
55
- Для начала давайте вспомним, что же нужно знать для использования
поисковых запросов.
1) таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ»;
2) если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции
«НЕ», затем - «И», затем - «ИЛИ»;
3) ввод какого-то слова (скажем, принтер) в запросе поисковой
системы означает, что пользователь ищет Web-страницы, на которых
встречается это слово;
4) операция «И» всегда ограничивает поиск, то есть, в ответ на запрос
принтер И сканер поисковый сервер выдаст меньше страниц, чем на запрос
принтер, потому что будет искать страницы, на которых есть оба этих слова
одновременно;
5) операция «ИЛИ» всегда расширяет поиск, то есть, в ответ на запрос
принтер ИЛИ сканер поисковый сервер выдаст больше страниц, чем на
запрос принтер, потому что будет искать страницы, на которых есть хотя бы
одно из этих слов (или оба одновременно);
6) если в запросе вводится фраза в кавычках, поисковый сервер ищет
страницы, на которых есть в точности эта фраза, а не просто отдельные
слова;
56
Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно
изобразить
отношения
между
подмножествами,
для
наглядного
представления.
4. Практическая часть.
- Перейдем к разбору задания № 17 из ЕГЭ.
Р-08. В таблице приведены запросы и количество найденных по ним
страниц некоторого сегмента сети Интернет. Знак & обозначает
логическую операцию «И», знак «|» – операцию «ИЛИ», и знак «~» –
операцию «НЕ».
Запрос
Количество
(тыс.)
Робот & (Ум | Интеллект)
100
Ум & Робот
60
Ум
210
Интеллект & Робот
70
Интеллект
200
~Робот & Ум & Интеллект
20
страниц
57
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
Ум | Интеллект
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно,
так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся
за время выполнения запросов.
Решение:
1) особенность этой задачи: нет ни одной пары областей, которые не
пересекаются!
2) нарисуем диаграмму Эйлера-Венна для трёх областей (Р – Робот, У
– Ум, И – Интеллект):
Р
У
3
1
2
5
4
6
7
И
3) будем обозначать через Nx число найденных элементов в области с
номером X
4) запишем области, которые фигурируют в запросах, как сумму
непересекающихся
областей,
и
выпишем
равенства,
которые
следуют из данных в таблице:
Запрос
Робот
№
&
(Ум
| 2+4+5
N2 + N4 + N5 =
100
(1)
60
(2)
Интеллект)
Ум & Робот
2+5
N2 + N5 =
Ум
2+ 3 + 5 + 6
N2 + N3 + N5+ 210
(3)
N6 =
Интеллект & Робот
4+5
N4 + N5 =
70
(4)
58
4 + 5 + 6 + 7 N4 + N5 + N6+ 200
Интеллект
(5)
N7 =
~Робот
&
Ум
& 6
N6 =
20
(6)
4 + 5 + 6 + 7 N4 + N5 + N6+ X
(7)
Интеллект
2+3+
Ум | Интеллект
N2 + N3 +
N7 =
5) из таблицы видно, что величину одной области (6) мы уже знаем N6
= 20
6) подставляя (5) в (7), получаем
X = N2 + N3 + N4 + N5 + N6+ N7 = N2 + N3 + 200
7) из (3) находим N2 + N3 = 210 – N5 – N6 = 210 – N5 – 20 = 190 – N5
8) вычитая (4) из (1), получаем N2 = 30, и из (2) находим N5 = 60 – N2 =
30
9) тогда X = N2 + N3 + 200 = 190 – 30 + 200 = 360.
10)
Ответ: 360.
Р-07. В таблице приведены запросы и количество найденных по ним
страниц некоторого сегмента сети Интернет:
Запрос
Количество
страниц
(тыс.)
США | Япония | Китай
450
Япония | Китай
260
(США & Япония) | (США & 50
Китай)
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
США
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно,
так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся
за время выполнения запросов.
59
Решение:
1) заметим, что в силу тождества A  B  A  C  A  ( B  C ) последний
запрос в таблице равносилен такому:
(США & Япония) | (США & Китай)  США & (Япония |
Китай)
2) тогда вводя обозначение для областей
A = США,
B = Япония | Китай,
получаем стандартную задачу с двумя переменными:
Запрос
Количество
страниц
(тыс.)
А | B
450
B
260
А & B
50
А
?
3) имеем по формуле (см. решения ниже)
NA = NA|B - NB + NA&B = 450 – 260 + 50 = 240
4) Ответ: 240
Р-06. В таблице приведены запросы и количество найденных по ним
страниц некоторого сегмента сети Интернет:
Запрос
Количество
страниц
(тыс.)
Ростов & (Орёл & Курск | 370
Белгород)
Ростов & Белгород
204
Ростов & Орёл & Курск & 68
Белгород
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
Ростов & Орёл & Курск
60
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно,
так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся
за время выполнения запросов.
Решение:
1) заметим, что во всех четырёх запросах есть «сомножитель» «Ростов
&», поэтому эта задача равносильна такой:
Запрос
Количество
страниц
(тыс.)
Орёл & Курск | Белгород
370
Белгород
204
Орёл & Курск & Белгород
68
Орёл & Курск
?
2) теперь обозначим A = Орёл & Курск и получим задачу с двумя
областями:
Запрос
Количество
страниц
(тыс.)
A | Белгород
370
Белгород
204
A & Белгород
68
A
?
3) по формуле для задачи с двумя областями (см. задачи, разобранные
ниже)
NA|B = NA + NB - NA&B
получаем
NA = NA|B - NB + NA&B
4) вычисляем: 370 – 204 + 68 = 234.
5) Ответ: 234.
61
Р-05. В таблице приведены запросы и количество найденных по ним
страниц некоторого сегмента сети Интернет:
Количество
Запрос
(тыс.)
Ухо
35
Подкова
25
Наковальня
40
Ухо
страниц
|
Подкова
| 70
Наковальня
Ухо & Наковальня
10
Ухо & Подкова
0
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
Подкова & Наковальня
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно,
так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся
за время выполнения запросов.
Решение (вариант 1, рассуждения по диаграмме):
1) построим диаграмму Эйлера-Венна
Наковальня
Ухо
1
2
3
4
5
Подкова
2) количество сайтов, удовлетворяющих запросу в области i, будем
обозначать через Ni
3) здесь 5 областей, причём известны следующие данные:
N1  N 2  35
N 4  N 5  25
N 2  N 3  N 4  40
N1  N 2  N 3  N 4  N 5  70
N 2  10
62
4) нас интересует область 4. Находим ответ прямой подстановкой:
N1  35  N 2  25
N 5  70  N1  ( N 2  N 3  N 4 )  70  25  40  5
N 4  25  N 5  20
5) таким образом, ответ – 20.
Решение (вариант 2, рассуждения по диаграмме):
1) пп. 1-2 такие же, как в варианте 1
2) заметим, что в прямую сумму величин областей Ухо, Подкова и
Наковальня дважды входят области 2 и 4, поэтому для вычисления
N 4 достаточно вычесть из суммы Ухо+Подкова+Наковальня размер
их объединения (Ухо | Подкова | Наковальня) и величину
области 2 (Ухо & Наковальня).
3) тогда сразу получаем
N 4  (35  25  40)  70  10  20 .
4) ответ – 20.
5. Домашнее задание.
Выучить основные понятия урока. Выполнить задание:
Р-03. В таблице приведены запросы и количество страниц, которые
нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте
Интернета:
Количество
Запрос
страниц (тыс.)
Динамо & Рубин
320
Спартак & Рубин
280
(Динамо | Спартак) & Рубин
430
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
Рубин & Динамо & Спартак
Р-02.
В
таблице
приведены
запросы
к
поисковому
серверу.
Расположите номера запросов в порядке возрастания количества
63
страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для
обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ
|, а для логической операции «И» – &.
1) принтеры & сканеры & продажа
2) принтеры & сканеры
3) принтеры | сканеры
4) принтеры | сканеры | продажа
6. Рефлексия.
Подведение итога урока. Выставление оценок.
2.8.4
Примерный
конспект
урока
№4
по
теме:
«Решение
логических задач №17».
Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.
Цель урока: напомнить ученикам и помочь им закрепить полученные на
основных уроках информатики знания о законах алгебры логики, а также
разобрать задания из КИМов ЕГЭ по информатике на заданную тему.
Задачи урока:
Образовательные:
- в ходе урока организовать работу учеников, направленную на повторение
темы «Законы алгебры логики»;
- в ходе урока закрепить или сформировать заново умения учеников работать
в данной теме;
- проверить и научить упрощать логические выражения с помощью законов
алгебры логики, для успешной сдачи экзамена.
Развивающие:
- развивать и поддерживать мотивацию учеников в работе в течении урока;
- поддерживать развитие талантов и способностей у учеников, готовых
заниматься данной сферой;
64
- постараться привлечь в сферу информационных технологий больше
учеников, постараться заинтересовать их и найти каждому интересную тему.
Воспитательные:
- следить за процессом проведения урока и поведением учеников, поощрять
отличившихся и мотивировать отстающих;
- обеспечить положительное отношение к предмету;
- поддерживать культуру взаимоотношений в классе на протяжении урока и
после него;
Планируемые результаты:
Личностные:
- сформировать нужное отношение к предмету и предстоящему экзамену;
- вовлечь учеников в процесс обучения и обеспечить их возможностью к
самообучению;
Познавательные:
- умение ориентироваться в понятиях, темах предмета;
-
умение
анализировать
и
решать
поставленные
задачи
в
сфере
информационных технологий.
Коммуникативные:
- умение грамотно формулировать цели и задачи;
- планирование деятельности с учителем и учениками для успешного
результата в поставленной задаче;
- умение преподносить свою точку зрения и умение аргументировать свою
позицию.
Регулятивные:
- умение корректировать свои действия и действия сверстников, если
подобное требуется;
- умение проявлять свои навыки для достижения поставленных целей;
- умение контролировать себя в процессе работы над поставленной задачей;
- умение оценивать себя и других в случае необходимости.
Предметные:
65
- закрепление основного теоретического и практического материала по теме
«Законы алгебры логики»;
- умение работать с данными преобразованиями;
- умение анализировать полученные задания по теме.
Формы деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Формы обучения: смешанная.
Оборудование урока: компьютер учителя, мультимедийный проектор,
интерактивная доска, обычная доска.
Длительность урока – 45 минут.
Ход урока:
Деятельно
сть
преподава
теля
Деятельност
ь
обучающихс
я
приветствие присутствующих,
- проверка наличия студентов,
- готовность группы к занятию
Приветств
ует
обучающи
хся
Приветствуют
преподавател
Ориентация в социальных
я,
ролях
демонстриру
ют готовность
к уроку
Формулировка темы занятия
Постановка целей занятия
Создание
условий
для
положител
ьной
мотивации
к обучению
Фиксация
темы занятия
в тетради
Участие в
постановке
целей занятия
Этапы
учебного
занятия
1.Орг.
момент
2.Вступител
ьное слово
учителя.
3. Проверка
домашнего
задания
Элемент занятия, содержание
учебного материала
Вопросы:
1. Как высправились с домашним заданием?
2. Были ли какие-нибудь трудности?
Анализиру
ет и
оценивает
степень
усвоения
учебного
материала
студентам
1. Отвечают
на
вопросы
преподава
теля.
2. Формулир
Формируемые УУД
Положительный настрой на
обучение
Личностные.
- формирование ценностных
ориентиров и смыслов
учебной деятельности на
основе развития
познавательных интересов,
учебных мотивов.
Коммуникативные:
67
и
уют цель
урока
3.Анализиру
ют ответы
одногруппни
ков
4.Выполнен
ие
уч-ся
индивидуал
ьно
и
коллективно
заданий
обобщающег
о
и
систематизи
рующего
хар-ра.
Коллективное выполнение задач №17 из КИМов ЕГЭ
по информатике.
Р-00. В таблице приведены запросы и количество страниц,
которые нашел поисковый сервер по этим запросам в
некотором сегменте Интернета:
Запрос
1
2
3
4
5
6
мезозой
кроманьонец
неандерталец
мезозой | кроманьонец
мезозой | неандерталец
неандерталец & (мезозой |
кроманьонец)
Найдено
страниц
(тыс.)
50
60
70
80
100
20
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
кроманьонец & (мезозой | неандерталец)
Объясняет
с
демонстра
цией
примеров.
Запись в
тетради
методов
решения
задач.
- понимание возможности
различных позиций других
людей, отличных от
собственной, и ориентировка
на позицию партнера в
общении и взаимодействии
Познавательные:
-Умение анализировать,
- Выделение необходимой
информации
-Выделение и
формулирование
познавательной цели
Личностные.
- формирование навыков
логического и образного
мышления, умения
сравнивать и сопоставлять
уже знакомые факты; делать
выводы.
Коммуникативные:
- ориентировка на позицию
партнера в общении и
взаимодействии.
Познавательные:
-Умение анализировать,
- Выделять необходимую
информацию
68
Решение (способ 1, круги Эйлера):
K & (M | Н)
обозначим области «мезозой»,
М
К
«кроманьонец» и «неандерталец»
2
3
1
буквами М, К и Н; пронумеруем
5
4
6
подобласти, получившиеся в
результате пересечений кругов (см.
7
Н
рисунок справа)
через Ni обозначим количество сайтов в области с номером
i
нас интересует результат запроса
кроманьонец & (мезозой | неандерталец)
то есть N2 + N5 + N6 (зеленая область на рисунке)
из первых двух запросов следует, что
(мезозой)
N1 + N2 + N4 + N5 = 50
(кроманьонец)
N2 + N3 + N5 + N6 = 60
складывая левые и правые части уравнений, получаем
(1)
N1 + 2·N2 + N3 + N4 + 2·N5 + N6 = 110
в то же время из запроса 4 получаем
(2)
N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 = 80
(мезозой | кроманьонец)
вычитая из уравнения (1) уравнение (2), отдельно левые и
правые части, получаем
(мезозой & кроманьонец)
N2 + N5 = 30
вспомним, что наша цель – определить N2 + N5 + N6,
поэтому остается найти N6
из запросов 1 и 3 следует, что
(мезозой)
N1 + N2 + N4 + N5 = 50
(неандерталец)
N4 + N5 + N6 + N7 = 70
складывая левые и правые части уравнений, получаем
(3)
N1 + N2 + 2·N4 + 2·N5 + N6 + N7 = 120
69
) в то же время из запроса 5 получаем
(4) N1 + N2 + N4 + N5 + N6 + N7 = 100 (мезозой |
неандерталец)
) вычитая из уравнения (3) уравнение (4), отдельно левые и
правые части, получаем
(мезозой & неандерталец)
(5) N4 + N5 = 20
) теперь проанализируем запрос 6:
неандерталец & (мезозой | кроманьонец)
(6)
N4 + N5 + N6 = 20
) вычитая из уравнения (6) уравнение (5) получаем N6 = 0,
поэтому
N2 + N5 + N6 = N2 + N5 = 30
) таким образом, ответ – 30.
Р-09. В таблице приведены запросы и количество
найденных по ним страниц некоторого сегмента сети
Интернет:
Запрос
Ухо
Подкова
Наковальня
Ухо | Подкова |
Наковальня
Ухо & Наковальня
Ухо & Подкова
Количество
страниц (тыс.)
35
25
40
70
10
0
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
Подкова & Наковальня
Считается, что все запросы выполнялись практически
одновременно, так что набор страниц, содержащих все
70
искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
Решение (вариант 1, рассуждения по диаграмме):
1)
построим диаграмму Эйлера-Венна
Наковальня
Ухо
1
2
3
4
5
Подкова
2)
количество сайтов, удовлетворяющих запросу в
области i, будем обозначать через Ni
здесь 5 областей, причём известны следующие
3)
данные:
N1  N 2  35
N 4  N 5  25
N 2  N 3  N 4  40
N1  N 2  N 3  N 4  N 5  70
N 2  10
нас интересует область 4. Находим ответ прямой
4)
подстановкой:
N1  35  N 2  25
N 5  70  N1  ( N 2  N 3  N 4 )  70  25  40  5
N 4  25  N 5  20
5)
таким образом, ответ – 20.
Р-10. В таблице приведены запросы и количество
найденных по ним страниц некоторого сегмента сети
Интернет:
71
Количество
страниц
(тыс.)
Ростов & (Орёл & Курск |
370
Белгород)
Ростов & Белгород
204
Ростов & Орёл & Курск &
68
Белгород
Запрос
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
Ростов & Орёл & Курск
Считается, что все запросы выполнялись практически
одновременно, так что набор страниц, содержащих все
искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
Решение:
1) заметим, что во всех четырёх запросах есть
«сомножитель» «Ростов &», поэтому эта задача
равносильна такой:
Количество
Запрос
страниц (тыс.)
Орёл & Курск | Белгород
370
Белгород
204
Орёл & Курск & Белгород
68
Орёл & Курск
?
2) теперь обозначим A = Орёл & Курск и получим
задачу с двумя областями:
Запрос
Количество страниц (тыс.)
A | Белгород
370
Белгород
204
A & Белгород
68
A
?
3) по формуле для задачи с двумя областями (см.
72
задачи, разобранные ниже)
NA|B = NA + NB - NA&B
получаем
NA = NA|B - NB + NA&B
4) вычисляем: 370 – 204 + 68 = 234.
5) Ответ: 234.
Р-04. В таблице приведены запросы и количество
страниц, которые нашел поисковый сервер по этим
запросам в некотором сегменте Интернета:
Количество
(тыс.)
3200
&
Запрос
страниц
пирожное
выпечка
8700
пирожное
7500
выпечка
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
пирожное | выпечка
Решение (вариант 1, рассуждения
по диаграмме):
1)
П
В
1
2
3
построим диаграмму Эйлера-
Венна, обозначив области «пирожное»
(через П) и «выпечка» (В) :
2)
количество сайтов, удовлетворяющих запросу в
области i, будем обозначать через Ni
3)
несложно
сообразить,
что
число
сайтов
в
73
интересующей нас области равно
N1 + N2 + N3 = (N1 + N2) + (N3 + N2) – N2
4)
поскольку нам известно, что по условию
N1 + N2 = 8700
N3 + N2 = 7500
N2 = 3200
сразу получаем
N1 + N2 + N3 = 8700 + 7500 - 3200 = 13000
5)
таким образом, ответ – 13000.
Решение
(вариант
2,
общая
A
В
формула):
1)
сначала выведем формулу, о
которой
идет
речь;
построим
диаграмму Эйлера-Венна для двух переменных A и B:
2)
обозначим через NA, NB, NA&B и NA|B число страниц,
которые выдает поисковый сервер соответственно по
запросам
A,
B,
A
&
B
и
A|B
3)
понятно, что если области A и B не пересекаются,
справедлива формула NA|B=NA+NB
4)
если области пересекаются, в сумму NA+NB область
пересечения NA&B входит дважды, поэтому в общем случае
74
NA|B = NA + NB - NA&B
5)
в данной задаче
NП = 8700, NВ = 7500, NП&В = 3200
6)
тогда находим число сайтов в интересующей нас
области по формуле
NП|B = NП + NB – NП&B = 8700 + 7500 – 3200 = 13000
7)
5.Подведени
е итогов
занятия и
сообщение
домашнего
задания.
таким образом, ответ – 13000.
Преподаватель подводит итоги: говорит о том, что удалось,
что не получилось в выступлениях обучающихся,
выставляет оценки.
Домашнее задание:
1) В таблице приведены запросы и количество страниц,
которые нашел поисковый сервер по этим запросам в
некотором сегменте Интернета:
Количество
Запрос
страниц (тыс.)
250
слон & волк
волк & (слон | рысь)
450
130
рысь & волк & слон
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
Волк & Рысь?
2) В таблице приведены запросы и количество страниц,
которые нашел поисковый сервер по этим запросам в
некотором сегменте Интернета:
Домашнее
задание
Студенты с
большим
интересом
решают
логические
задачи,
выделяя
среди прочих,
задачи на
бытовые
темы.
Личностные.
Умение сориентироваться
при разрешении наиболее
распространенных
проблемных ситуаций, в
которых необходим, чётко
продуманный логически,
вывод, умение логически и
рационально мыслить.
Коммуникативные:
- ориентировка на позицию
партнера в общении и
взаимодействии
Познавательные:
Знание основных логических
операций, законов логики.
Знание роли логики как
науки в жизни человека и
общества
75
Запрос
паркур
конкур
прыжок
паркур | прыжок | конкур
паркур & прыжок
паркур & конкур
Количество
страниц (тыс.)
100
41
104
179
50
0
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
прыжок & конкур?
76
2.8.5
Примерный
конспект
урока
№5
по
теме:
«Решение
логических задач №18».
Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.
Цель урока: напомнить ученикам и помочь им закрепить полученные
на основных уроках информатики знания о построении таблиц истинности
логических выражений, а также разобрать задания из КИМов ЕГЭ по
информатике на заданную тему.
Задачи урока:
Образовательные:
- в ходе урока организовать работу учеников, направленную на
повторение темы «Построение таблиц истинности логических выражений»;
- в ходе урока закрепить или сформировать заново умения учеников
работать в данной теме;
- проверить и научить строить таблицы истинности логических
выражений для успешной сдачи экзамена.
Развивающие:
- развивать и поддерживать мотивацию учеников в работе в течении
урока;
- поддерживать развитие талантов и способностей у учеников, готовых
заниматься данной сферой;
- постараться привлечь в сферу информационных технологий больше
учеников, постараться заинтересовать их и найти каждому интересную тему.
Воспитательные:
- следить за процессом проведения урока и поведением учеников,
поощрять отличившихся и мотивировать отстающих;
- обеспечить положительное отношение к предмету;
- поддерживать культуру взаимоотношений в классе на протяжении
урока и после него;
Планируемые результаты:
Личностные:
77
- сформировать нужное отношение к предмету и предстоящему
экзамену;
- вовлечь учеников в процесс обучения и обеспечить их возможностью
к самообучению;
Познавательные:
- умение ориентироваться в понятиях, темах предмета;
- умение анализировать и решать поставленные задачи в сфере
информационных технологий.
Коммуникативные:
- умение грамотно формулировать цели и задачи;
- планирование деятельности с учителем и учениками для успешного
результата в поставленной задаче;
- умение преподносить свою точку зрения и умение аргументировать
свою позицию.
Регулятивные:
- умение корректировать свои действия и действия сверстников, если
подобное требуется;
- умение проявлять свои навыки для достижения поставленных целей;
- умение контролировать себя в процессе работы над поставленной
задачей;
- умение оценивать себя и других в случае необходимости.
Предметные:
- закрепление основного теоретического и практического материала по
теме «Построение таблиц истинности логических выражений»;
- умение работать с данными преобразованиями;
- умение анализировать полученные задания по теме.
Формы деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Формы обучения: смешанная.
Оборудование урока: компьютер учителя, мультимедийный проектор,
интерактивная доска, обычная доска.
78
Длительность урока – 45 минут.
Ссылки на ЦОР:
http://kpolyakov.spb.ru
Ход урока:
1. Организация начала урока
Приветствие, проверка присутствующих. Объяснение хода урока.
2. Подготовка учащихся к усвоению, актуализация опорных
знаний.
В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить
равносильные (тождественные) преобразования логических выражений. Мы
с вами уже изучали их, давайте вспомним и решим задачи из ЕГЭ по этой
теме!
3. Теоретическая часть.
Как вычислять выражение с поразрядными операциями
В задачах ЕГЭ до настоящего времени использовалась только
поразрядная логическая операция «И» (она обозначается символом &),
которая выполняется между соответствующими битами двоичной записи
двух целых чисел. Не забывайте, что
Результат поразрядной операции между целыми числами – это целое
число!.
Например, найдём результат поразрядной операции 29 & 11:
29 = 111012
11 = 010112
9 = 010012
Серым фоном отмечены биты, которые в обоих числах равны 1. Только они и
будут равны 1 в числе-результате. Таким образом, 29 & 11 = 9.
Теперь найдём результат операции (29 & 11 = 0). Не забывайте, что
Результаты операций (a & b = 0) и (a & b  0) – это логические значения
(истина/ложь)!.
Вычислим значение выражения:
( (x & 26 = 0)  (x & 13 = 0))  ((x & 78  0)  (x & A = 0))
при x = 5, A = 57:
( (5 & 26 = 0)  (5 & 13 = 0))  ((5 & 78  0)  (5 & 57 = 0))
Вычисляем результаты поразрядного И (это числа!):
5 & 26 = 0
5 & 13 = 5
5 & 78 = 4
5 & 57 = 1
Теперь вычисляем логические значения (И – истина, Л – ложь):
79
(5 & 26 = 0) = И
(5 & 13 = 0) = Л
(5 & 78  0) = И
(5 & 57 = 0) = Л
Наконец, подставляем эти логические значения в заданное выражение:
(И  Л)  (И  Л)
ИЛ=Л
При заданных условиях выражение ложно.
4. Практическая часть.
- Перейдем к разбору задания № 18 из ЕГЭ.
Р‐32. Укажите наибольшее целое значение А, при котором
выражение
(y + 2x  99) ∨ (y > A) ∨ (x > A)
истинно для любых целых положительных значений x и y.
Решение:
1)
первое выражение не зависит от выбора A: (y +2x  99)
2)
таким образом, нам нужно выбрать значение A так, чтобы
условие (y > A) or (x > A)
выполнялось при всех x и y, для которых ложно (y +2x  99), то есть
истинно (y +2x = 99) или y = –2x + 99
3)
нарисуем линию y = –2x + 99, а также заштрихуем область (y > A)
or (x > A) для некоторого значения A, например, для A = 50 (конечно, нужно
учесть, что x и y положительны и добавить ещё два ограничения: (x > 0) and
(y > 0)):
y
1000
y = –2 x + 99
(x > A) or (y > A)
75
y=x
50
25
0
4)
25 50
75 100
x
по условию задачи нужно, чтобы все точки отрезка прямой y = –
2x + 99 в первой четверти плоскости оказались в заштрихованной зоне
80
5)
поэтому все точки образовавшегося белого квадрата, в том числе
и его вершина (A, A), должны находиться строго под этим отрезком; такой
квадрат, соответствующий максимальному значению A, выделен на рисунке
зелёной штриховкой
6)
находим координаты вершины зелёного квадрата: находим точку
пересечения прямых y = –2x + 99 и y = x; эта задача сводится к линейному
уравнению x = –2x + 99 решение которого – x = 33
7)
значение A должно быть меньше этого x, поэтому максимальное
значение A = 32
8)
Ответ: 32.
Р‐31. Укажите наименьшее целое значение А, при котором
выражение
(y + 3x < A) ∨ (2y +x > 50) ∨ (4y – x < 40)
истинно для любых целых положительных значений x и y.
Решение:
1)
второе и третье выражения не зависят от выбора A: (2y +x > 50)
or (4y – x < 40)
2)
таким образом, нам нужно выбрать значение A так, чтобы
условие (y + 3x < A)
выполнялось при всех x и y, для которых ложно (2y +x > 50) or (4y – x <
40), то есть истинно
(2y +x  50) and (4y – x  40)
3)
последние два условия можно переписать в виде
(y  – x/2 + 25) and (y  x/4 + 10)
4)
поскольку по условию x и y должны быть положительны,
добавляем ещё два условия:
(y  – x/2 + 25) and (y  x/4 + 10) and (x > 0) and (y > 0)
5)
изобразим схематично на плоскости x – y эту область (она
заштрихована):
81
y
40
30
y = –3x + A
y = –x/2 + 25
20
y = x/4 + 10
10
10
6)
20
30
40
50
60
x
для всех точек этой области должно выполняться условие y + 3x <
A, равносильное условию
y < – 3x +A
7)
это значит, что вся область должна лежать ниже линии y = – 3x
+A; одна такая подходящая линия показана на рисунке сверху
8)
из рисунка видно, что при параллельном переносе вниз,
соответствующем изменению A, она коснётся заштрихованной области в
правой вершине заштрихованного треугольника
9)
найдём эту точку пересечения:
y = – x/2 + 25 = x/4 + 10  x = 20, y = 15
10)
поэтому допустимые значение A определяются условием:
15 < – 320 +A  A > 75
откуда следует, что Amin = 76.
11)
Ответ: 76.
Р‐30. Укажите наименьшее целое значение А, при котором
выражение
(y + 2x < A) ∨ (3y +2x > 120) ∨ (3y – x > 30)
истинно для любых целых положительных значений x и y.
Решение:
1)
второе и третье выражения не зависят от выбора A: (3y +2x > 120)
or (3y – x > 30)
2)
таким образом, нам нужно выбрать значение A так, чтобы
условие (y + 2x < A)
82
выполнялось при всех x и y, для которых ложно (3y +2x > 120) or (3y – x
> 30), то есть истинно
(3y +2x  120) and (3y – x  30)
3)
последние два условия можно переписать в виде
(y  – 2x/3 + 40) and (y  x/3 + 10)
4)
поскольку по условию x и y должны быть положительны,
добавляем ещё два условия:
(y  – 2x/3 + 40) and (y  x/3 + 10) and (x > 0) and (y > 0)
5)
изобразим схематично на плоскости x – y эту область (она
заштрихована):
y
40
y = – 2x/3 + 40
y = –2x + A
30
y = x/3 + 10
20
10
10
6)
20
30
40
50
60
x
для всех точек этой области должно выполняться условие y + 2x <
A, равносильное условию
y < – 2x +A
7)
это значит, что вся область должна лежать ниже линии y = – 2x
+A; одна такая подходящая линия показана на рисунке сверху
8)
поскольку коэффициент наклона этой линии (–2) по модулю
больше, чем коэффициент прямой y = – 2x/3 + 40, при параллельном
переносе
вниз,
соответствующем
изменению
A,
она
коснётся
заштрихованной области не в вершине , а в угловой точке около оси OX
9)
таким образом третье условие не влияет на результат, и для всех
x > 0 и y > 0, удовлетворяющих условию 3y +2x  120, нужно обеспечить
выполнение условия
y < – 2x +A
10)
умножим обе части последнего неравенства на 3: 3y < – 6x +3A
83
11)
теперь, учитывая, что 3y
 –2x
+ 120, получаем, что
максимальное значение 3y, которое нужно «перекрыть», равно –2x + 120
12)
поэтому получаем –2x + 120 < – 6x +3A или 3A > 120 + 4x
13)
максимально возможное значение x, удовлетворяющее условию
3y +2x  120, определяется подстановкой минимального y, равного 1: 3 +2x 
120  2x  117  xmax = 58
14)
поэтому допустимые значение A определяются условием:
3A > 120 + 4xmax = 120 + 458 = 352
откуда следует, что A > 117,(6), то есть Amin = 118.
Ответ: 118.
Р‐29. Укажите наименьшее целое значение А, при котором
выражение
(y + 2x < A) ∨ (x > 20) ∨ (y > 30)
истинно для любых целых положительных значений x и y.
Решение:
1)
второе и третье выражения не зависят от выбора A: (x > 20) or (y >
2)
таким образом, нам нужно выбрать значение A так, чтобы
30)
условие (y + 2x < A)
выполнялось при всех x и y, для которых ложно (x > 20) or (y > 30), то
есть истинно
(x  20) and (y  30)
3)
поскольку по условию x и y должны быть положительны,
добавляем ещё два условия:
(x  20) and (y  30) and (x > 0) and (y > 0)
4)
изобразим схематично на плоскости x – y эту область (она
заштрихована):
84
y
y = –2x + A
30
20
5)
x
для всех точек этой области должно выполняться условие y + 2x <
A, равносильное условию
y < – 2x +A
6)
это значит, что вся область должна лежать ниже линии y = – 2x
+A; одна такая подходящая линия показана на рисунке сверху
7)
очевидно, что минимальное значение A соответствует ситуации,
когда при параллельном переносе показанной линии вниз, соответствующем
изменению
A,
она коснётся правого верхнего угла заштрихованного
прямоугольника, то есть пройдёт через точку (x = 20, y = 30)
8)
поэтому допустимые значение A определяются условием:
30 < – 220 +A
откуда следует, что A > 70, то есть Amin = 71.
9)
Ответ: 71.
5. Домашнее задание.
Выучить основные понятия урока. Выполнить задание:
Р‐28. На числовой прямой даны отрезки A = [70; 90], B = [40; 60] и C =
[0; N] и функция
F(x) = ( (x  A)  (x  B) )  ( (x  C)  (x  A) )
При каком наименьшем числе N функция F(x) истинна более чем для
30 целых чисел x?
6. Рефлексия.
Подведение итога урока. Выставление оценок.
85
2.8.6 Примерный конспект урока №6 по теме: «Промежуточный
тест по теме: Основы логики».
Тип урока: урок проверки знаний.
Цель урока: проверить с помощью теста знания полученные на уроках
при изучении темы «Решение логических задач».
Задачи урока:
Образовательные:
- в ходе урока организовать работу учеников, направленную на
закрепление темы «Решение логических задач»;
- в ходе урока закрепить или сформировать заново умения учеников
работать в данной теме.
Развивающие:
- развивать и поддерживать мотивацию учеников в работе в течении
урока;
- поддерживать развитие талантов и способностей у учеников, готовых
заниматься данной сферой;
- постараться привлечь в сферу информационных технологий больше
учеников, постараться заинтересовать их и найти каждому интересную тему.
Воспитательные:
- следить за процессом проведения урока и поведением учеников,
поощрять отличившихся и мотивировать отстающих;
- обеспечить положительное отношение к предмету;
- поддерживать культуру взаимоотношений в классе на протяжении
урока и после него;
Планируемые результаты:
Личностные:
- сформировать нужное отношение к предмету и предстоящему
экзамену;
- вовлечь учеников в процесс обучения и обеспечить их возможностью
к самообучению;
86
Познавательные:
- навыки работы в сфере информационных технологий в целом и в
определенных программах в частности;
- умение ориентироваться в понятиях, темах предмета;
- умение анализировать и решать поставленные задачи в сфере
информационных технологий.
Коммуникативные:
- умение грамотно формулировать цели и задачи;
- планирование деятельности с учителем и учениками для успешного
результата в поставленной задаче.
Регулятивные:
- умение корректировать свои действия и действия сверстников, если
подобное требуется;
- умение проявлять свои навыки для достижения поставленных целей;
- умение контролировать себя в процессе работы над поставленной
задачей;
- умение оценивать себя и других в случае необходимости.
Предметные:
- закрепление основного теоретического и практического материала по
теме «Решение логических задач»;
- умение работать с данными преобразованиями;
- умение анализировать полученные задания по теме.
Формы деятельности: фронтальная, индивидуальная.
Формы обучения: смешанная.
Оборудование урока: компьютер учителя, мультимедийный проектор,
интерактивная доска, обычная доска.
Длительность урока – 45 минут.
Ссылки на ЦОР:
Learningapps
https://learningapps.org
87
Ход урока:
1. Организация начала урока
Приветствие, проверка присутствующих. Объяснение хода урока.
2. Постановка задач урока.
- Итак, ребята. Мы с вами закончили изучать тему «Решение
логических задач». Для того, чтобы проверить ваши знания по данной теме,
мы проведем небольшое тестирование.
3. Изложение содержания итогового тестирования
- Тест будет представлен из 15 вопросов. Вам необходимо будет
выбрать 1 правильный вариант ответа. На листах записываем сегодняшнее
число и посередине заголовок «Итоговый тест по теме: Решение логических
задач».
На экране вы увидите сами вопросы.
4. Самостоятельная работа.
https://learningapps.org/display?v=p8sdxawb318
88
1. Какие из предложений являются высказываниями?
a. Кто отсутствует?
b. Некоторые мои друзья собирают марки.
c. Музыка Баха слишком сложна.
d. Посмотрите на доску.
e. Понедельник – второй день недели.
2. Даны выражения: А={5>3}, B={3=3}, C={3 C&B Определите
истинность составных высказываний:
а) A => C&B б) Cv (A&B) в) CvB&A.
3. С помощью простых суждений:
А: «Я занимаюсь музыкой.»
В: «Я люблю балет.»
С: «Я буду танцором.»
составьте высказывания на естественном языке, соответствующие
следующим формулам: а) С→(А & В) б) (А &В) →С
4. . Какие из предложений являются высказываниями?
a. Некоторые рыбы – хищники.
b. Невозможно создать вечный двигатель!
c. Посмотрите направо.
d. Прямоугольник - геометрическая фигура.
e. Информатика - наука о термической обработке металлов.
5. Даны выражения: А={7<3}, B={4=5}, C={2<3}. Определите
истинность составных высказываний:
89
а) A => C&B б) AvBv (A&B), в) CvB&A.
6. С помощью простых суждений:
А: «Я ловлю рыбу»;
В: «Я радуюсь солнцу»;
С: «У мня хорошее настроение»
составьте высказывания на естественном языке, соответствующие
следующим формулам:
а) С→(А & В) б) В→ (A v С)
7. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению
(A  (BC)).
a) (AB)  (AC)
b) AB  CA
c) A  (B C)
d) A  (B  C)
8. Укажите значения переменных А, В, С, при которых логическое
выражение A  (B  B)  A  (B  С) ложно. Ответ запишите в виде
строки из трех значений переменных А, В, С ( в указанном порядке) Так
например, строка 101 соответствует тому, что А=1, В=0, С=1.
9. Укажите, какие из логических выражений равносильны выражению
(X  ( YZ )).
a) (X  Y)  (X  Z)
b) (X  Y)  (X  Z)
c) X  Y  Z
d) X  (Y  Z)
10. Какое логическое выражение равносильно ¬ (А \/ ¬B) ?
а) A \/ B б) A /\ B в) ¬A \/ ¬B г) ¬A /\ B
11. Какое логическое выражение равносильно выражению ¬ (¬A \/ B)
\/¬C?
а) (A /\ ¬B) \/ ¬C
90
б) ¬A \/ B \/ ¬C
в) A \/ ¬B \/ ¬C
г) (¬A /\ B) \/ ¬C
12. Для какого числа X истинно высказывание ((X>3) \/(X (X<1)
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
13. Для какого имени истинно высказывание: ¬ (Первая буква имени
согласная → Третья буква имени гласная)?
1) ЮЛИЯ 2) ПЕТР 3) АЛЕКСЕЙ 4) КСЕНИЯ
14. Какое логическое выражение равносильно ¬ (А /\ B)?
а) ¬A /\ B б) A /\ B в) ¬A \/ ¬B г) A \/ B
15. Для какого символьного выражения неверно высказывание: Первая
буква гласная → ¬ (Третья буква согласная)?
1)abedc 2)becde 3) babas 4) abcab
5. Рефлексия.
Подведение итога урока. Выставление оценок.
2.8.7 Примерный конспект урока №7 по теме: «Логические
уравнения. Системы логических уравнений».
Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.
Цель урока: напомнить ученикам и помочь им закрепить полученные
на основных уроках информатики знания о построении таблиц истинности
логических выражений, а также разобрать задания из КИМов ЕГЭ по
информатике на заданную тему.
Задачи урока:
Образовательные:
- в ходе урока организовать работу учеников, направленную на
повторение темы «Построение таблиц истинности логических выражений»;
- в ходе урока закрепить или сформировать заново умения учеников
работать в данной теме;
91
- проверить и научить строить таблицы истинности логических
выражений для успешной сдачи экзамена.
Развивающие:
- развивать и поддерживать мотивацию учеников в работе в течении
урока;
- поддерживать развитие талантов и способностей у учеников, готовых
заниматься данной сферой;
- постараться привлечь в сферу информационных технологий больше
учеников, постараться заинтересовать их и найти каждому интересную тему.
Воспитательные:
- следить за процессом проведения урока и поведением учеников,
поощрять отличившихся и мотивировать отстающих;
- обеспечить положительное отношение к предмету;
- поддерживать культуру взаимоотношений в классе на протяжении
урока и после него;
Планируемые результаты:
Личностные:
- сформировать нужное отношение к предмету и предстоящему
экзамену;
- вовлечь учеников в процесс обучения и обеспечить их возможностью
к самообучению;
Познавательные:
- умение ориентироваться в понятиях, темах предмета;
- умение анализировать и решать поставленные задачи в сфере
информационных технологий.
Коммуникативные:
- умение грамотно формулировать цели и задачи;
- планирование деятельности с учителем и учениками для успешного
результата в поставленной задаче;
92
- умение преподносить свою точку зрения и умение аргументировать
свою позицию.
Регулятивные:
- умение корректировать свои действия и действия сверстников, если
подобное требуется;
- умение проявлять свои навыки для достижения поставленных целей;
- умение контролировать себя в процессе работы над поставленной
задачей;
- умение оценивать себя и других в случае необходимости.
Предметные:
- закрепление основного теоретического и практического материала по
теме «Построение таблиц истинности логических выражений»;
- умение работать с данными преобразованиями;
- умение анализировать полученные задания по теме.
Формы деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Формы обучения: смешанная.
Оборудование урока: компьютер учителя, мультимедийный проектор,
интерактивная доска, обычная доска.
Длительность урока – 45 минут.
Ссылки на ЦОР:
https://prezi.com/view/HQjDZiezHYsBIbezOg6K/
Ход урока:
1. Организация начала урока
Приветствие, проверка присутствующих. Объяснение хода урока.
2. Подготовка учащихся к усвоению, актуализация опорных
знаний.
В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить
равносильные (тождественные) преобразования логических выражений. Мы
с вами уже изучали их, давайте вспомним и решим задачи из ЕГЭ по этой
теме!
93
3. Теоретическая часть
При решении многих логических задач часто приходится упрощать
формулы, полученные при формализации их условий. Упрощение формул в
алгебре
высказываний
производится
на
основе
эквивалентных
преобразований, опирающихся на основные логические законы примерно так
же, как это делается в обычной алгебре. В алгебре высказываний логические
законы выражаются в виде равенства эквивалентных логических формул.
https://prezi.com/view/HQjDZiezHYsBIbezOg6K/
К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ,
принятые в «серьезной» математической логике (, , ¬), неудобны,
интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй.
Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает  и . Поэтому на его
уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения
(поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+»
(логическое
сложение).
В разных учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале
задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (, , ¬), что еще раз
подчеркивает проблему.
Что нужно знать:

условные обозначения логических операций
¬ A, A
A  B, A B
A  B, A  B
не A (отрицание, инверсия)
A и B (логическое умножение, конъюнкция)
A или B (логическое сложение, дизъюнкция)
94
A→B
импликация (следование)
эквиваленция (эквивалентность, равносильность)
A ↔ B, A  B

таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ»,
«импликация», «эквиваленция» (см. презентацию «Логика»)

операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:
A → B = ¬ A  B или в других обозначениях A → B = A  B

операцию «эквиваленция» также можно выразить через «ИЛИ» и
«НЕ»:
A ↔ B = ¬ A  ¬ B  A  B или в других обозначениях A ↔ B =
A  B  A B

если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции
«НЕ», затем – «И», затем
– «ИЛИ», потом – «импликация», и самая
последняя – «эквиваленция»

логическое произведение A·B·C·… равно 1 (выражение истинно)
только тогда, когда все сомножители равны 1 (а в остальных случаях равно 0)

логическая сумма A+B+C+… равна 0 (выражение ложно) только
тогда, когда все слагаемые равны 0 (а в остальных случаях равна 1)

в приведённых задачах операция импликация считается лево-
ассоциативной, то есть операции импликации в цепочке выполняются слева
направо
(соблюдая
принцип
«операции
с
одинаковым
приоритетом
выполняются слева направо»):
A  B  C  D  (( A  B)  C )  D

правила преобразования логических выражений (законы алгебры
логики):
Закон
двойного отрицания
Для И
Для ИЛИ
исключения третьего
исключения
констант
повторения
поглощения
переместительный
A·A0
AA 1
A · 1 = A; A · 0 = 0
A + 0 = A; A + 1 = 1
A·A=A
A · (A + B) = A
A·B=B·A
A+A=A
A+A·B=A
A+B=B+A
AA
95
сочетательный
A + (B + C) = (A + B) +
C
A · (B + C) = A · B + A ·
C
AB  A·B
A · (B · C) = (A · B) · C
распределительный
де Моргана
A + B · C = (A + B) · (A +
C)
A·B  AB
4. Практическая часть.
- Перейдем к разбору задания № 23 из ЕГЭ.
P-44. Дана система логических уравнений
F(x1,x2,x3) F(x4,x5,x6) = 1
F(x4,x5,x6) F(x7,x8,x9) = 1
где x1,x2,…,x9 – логические переменные, F – логическая функция
трёх переменных, принимающая на 23 = 8 всех возможных комбинациях
входных переменных n0 нулевых значений и n1 единичных значений
(очевидно что выполняется условие n0 + n1 = 8). При каком минимальном
значении n0 система имеет 320 решений?
Решение:
1)
используем замену переменных
z1 = F(x1,x2,x3), z2 = F(x4,x5,x6), z3 = F(x7,x8,x9)
2)
свернём два уравнения в одно, перемножив левые и правые
части:
(z1  z2)(z2  z3) = 1
3)
имеющие
это элементарное уравнение, у которого существует 4 решения,
структуру
«все
нули,
потом
все
единицы»
(см.
http://kpolyakov.spb.ru/download/inf-2014-12a.pdf): битовая цепочка Z = z1z2z3,
составленная из логических переменных z1, z2, и z3, может принимать
значения 000, 001, 011 и 111
4)
для перехода к исходным переменным вспомним, что в таблице
истинности функции F(a,b,c), которую представляют переменные z1, z2, и z3,
есть n0 нулевых значений и n1 = (8 – n0) единичных значений
5)
таким
образом,
каждый
ноль
в
Z-решении
увеличивает
количество решений в n0 раз, а каждая единица – в n1 = (8 – n0) раз
96
6)
например, количество X-решений, соответствующих Z-решениям
равно
000  n03 , 001  n02 n1  n02 (8  n0 ) ,
011  n0 n12  n0 (8  n0 ) 2 , 111  n13  (8  n0 )3
7)
общее количество решений равно
N  n03  n02 (8  n0 )  n0 (8  n0 ) 2  (8  n0 )3 ,
8)
раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем
N  16n02  128n0  512 ,
9)
решая уравнение N  16n02  128n0  512  320 , получаем n = {2, 6}.
10)
Ответ: 2
11)
В силу симметрии множества Z-решений относительно 0 и 1
(множество не меняется при замене 0 на 1 и наоборот) имеем N (n0 )  N (8  n0 )
12)
n0* 
Заметим, функция N (n0 )  16n02  128n0  512 имеет минимум при
128
4
2  16
и максимальные значения на отрезке [0; 8] – на его концах.
P-43.
(А.Н. Носкин) Сколько различных решений имеет система
логических уравнений
(x1  y1)  (x2  y2) = 1
(x2  y2)  (x3  y3) = 1
(x3  y3)  (x4  y4) = 1
(x4  y4)  (x5  y5) = 1
x2  y4 = 0
где x1, …, x5, y1, …, y5 – логические переменные? В ответе не нужно
перечислять все различные наборы значений переменных, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество
таких наборов.
Решение (А.Н. Носкин, метод отображений):
97
1)
Составим таблицу истинности и отображения для первой строки
игнорируя
ограничения
x2  y4 = 0. Вычеркнем все значения, которые не подходят по условию.
2)
Условие x2  y4 = 0 истинно при наборе (x2,y4) = (00,01,10), а
ложно при наборе (11).
3)
Для получения ответа составим таблицу всех решений и таблицу,
при котором система ЛОЖНА. Ответом будет разность между этими
значениями.
4)
Ищем общее количество решений:
x1 y 1
x2y2
x4y4
x3 y3
х5y
5
00
1
4
15
57
216
01
1
4
15
57
216
10
1
4
15
57
216
11
1
3
12
45
171
Всех решений: 819.
5)
Ищем количество ложных решений:
x1 y1
x2y2
x3y3
x4y4
х5 y5
00
1
0
7
0
46
01
1
0
7
25
46
10
1
4
7
0
46
11
1
3
4
21
25
98
Ложных решений = 46*3 + 25 = 163
6)
Ответ: 819-163 = 656.
P-42.
Сколько различных решений имеет система логических
уравнений
(x1  y1)  (x2  y2) = 1
(x2  y2)  (x3  y3) = 1
(x3  y3)  (x4  y4) = 1
(x4  y4)  (x5  y5) = 1
x2  y4 = 0
где x1, …, x5, y1, …, y5 – логические переменные? В ответе не нужно
перечислять все различные наборы значений переменных, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество
таких наборов.
Решение (метод отображений):
1)
Составим таблицу истинности и отображения для первой строки
игнорируя ограничения
x2  y4 = 0. Вычеркнем все значения, которые не подходят по условию.
99
2)
Составим таблицу, вычисляя количество пар переменных, при
котором система имеет решение. При этом когда заполняем столбцы Х2Y2 и
Х4Y4 не забываем обнулить ячейки таблицы, где нарушается условие x2  y4
=0
0
1
0
1
3)
x1y1
x2y2
x3 y3
x4y4
х5y5
1
4
8
32
64
1
4
8
0
64
1
0
8
32
64
1
0
8
0
64
Ответ: 256.
P-41.
Сколько различных решений имеет система логических
уравнений
((x1  y1))  (x2  y2) = 1
((x2  y2))  (x3  y3) = 1
((x3  y3))  (x4  y4) = 1
y2 = 0
где x1, …, x4, y1, …, y4 – логические переменные? В ответе не нужно
перечислять все различные наборы значений переменных, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество
таких наборов.
Решение:
1)
упростим первые три уравнения, подставив y2 = 0, откуда
следует, что x2  y2 = 0:
x1  y1 = 0
1 + (x3  y3) = 1
((x3  y3))  (x4  y4) = 1
100
2)
очевидно, что первое уравнение имеет 3 решения: (x1, y1) = (0, 0),
(1, 0) и (0, 1)
3)
поскольку x2 входит в уравнение только в составе выражения x2 
y2 = 0, существует 2 варианта выбора x2 (0 и 1)
4)
из второго уравнения видим, что произведение x3  y3 может быть
равно как 0, так и 1
5)
для случая x3  y3 = 1 (что дает только одна пара (x3 , y3) = (1, 1))
третье уравнение сводится к
(x4  y4) = 1
которое имеет одно решение (x4 , y4) = (1, 1)
6)
для случая x3  y3 = 0 (что дает три пары (x3 , y3) = (0, 0), (0, 1) и
(1, 0)) третье уравнение сводится к
1 + (x4  y4) = 1
которое имеет четыре решения решение (x4 , y4) – любые комбинации
переменных
7)
Общее количество решения по правилам комбинаторики:
3*2*(1*1+3*4) = 78
8)
Ответ: 78.
5. Домашнее задание.
Выучить основные понятия урока. Выполнить задание:
P-40.
Сколько различных решений имеет система логических
уравнений
((x1  y1)  (x3  y3))  (x2  y2) = 1
((x2  y2)  (x4  y4))  (x3  y3) = 1
...
((x6  y6)  (x8  y8))  (x7  y7) = 1
где x1, …, x8, y1, …, y8 – логические переменные? В ответе не нужно
перечислять все различные наборы значений переменных, при которых
101
выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество
таких наборов.
6. Рефлексия.
Подведение итога урока. Выставление оценок.
2.8.8
Примерный
конспект
урока
№8
по
теме:
«Решение
логических задач №23».
Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.
Цель урока: напомнить ученикам и помочь им закрепить полученные
на основных уроках информатики знания о построении таблиц истинности
логических выражений, а также разобрать задания из КИМов ЕГЭ по
информатике на заданную тему.
Задачи урока:
Образовательные:
- в ходе урока организовать работу учеников, направленную на
повторение темы «Построение таблиц истинности логических выражений»;
- в ходе урока закрепить или сформировать заново умения учеников
работать в данной теме;
- проверить и научить строить таблицы истинности логических
выражений для успешной сдачи экзамена.
Развивающие:
- развивать и поддерживать мотивацию учеников в работе в течении
урока;
- поддерживать развитие талантов и способностей у учеников, готовых
заниматься данной сферой;
- постараться привлечь в сферу информационных технологий больше
учеников, постараться заинтересовать их и найти каждому интересную тему.
Воспитательные:
- следить за процессом проведения урока и поведением учеников,
поощрять отличившихся и мотивировать отстающих;
102
- обеспечить положительное отношение к предмету;
- поддерживать культуру взаимоотношений в классе на протяжении
урока и после него;
Планируемые результаты:
Личностные:
- сформировать нужное отношение к предмету и предстоящему
экзамену;
- вовлечь учеников в процесс обучения и обеспечить их возможностью
к самообучению;
Познавательные:
- умение ориентироваться в понятиях, темах предмета;
- умение анализировать и решать поставленные задачи в сфере
информационных технологий.
Коммуникативные:
- умение грамотно формулировать цели и задачи;
- планирование деятельности с учителем и учениками для успешного
результата в поставленной задаче;
- умение преподносить свою точку зрения и умение аргументировать
свою позицию.
Регулятивные:
- умение корректировать свои действия и действия сверстников, если
подобное требуется;
- умение проявлять свои навыки для достижения поставленных целей;
- умение контролировать себя в процессе работы над поставленной
задачей;
- умение оценивать себя и других в случае необходимости.
Предметные:
- закрепление основного теоретического и практического материала по
теме «Построение таблиц истинности логических выражений»;
- умение работать с данными преобразованиями;
103
- умение анализировать полученные задания по теме.
Формы деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Формы обучения: смешанная.
Оборудование урока: компьютер учителя, мультимедийный проектор,
интерактивная доска, обычная доска.
Длительность урока – 45 минут.
Ссылки на ЦОР:
Ход урока:
1. Организация начала урока
Приветствие, проверка присутствующих. Объяснение хода урока.
2. Подготовка учащихся к усвоению, актуализация опорных
знаний.
В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить
равносильные (тождественные) преобразования логических выражений. Мы
с вами уже изучали их, давайте вспомним и решим задачи из ЕГЭ по этой
теме!
3. Практическая часть.
- Перейдем к разбору задания № 23 из ЕГЭ.
P-40.
Сколько различных решений имеет система логических
уравнений
((x1  y1)  (x3  y3))  (x2  y2) = 1
((x2  y2)  (x4  y4))  (x3  y3) = 1
...
((x6  y6)  (x8  y8))  (x7  y7) = 1
где x1, …, x8, y1, …, y8 – логические переменные? В ответе не нужно
перечислять все различные наборы значений переменных, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество
таких наборов.
Решение (Е.А. Мирончик, метод отображений):
104
1)
Пара (xi, yi) встречается только в выражении xi · yi. Делаем замену
zi= xi · yi.
2)
Первые два уравнения имеют общую пару z2, z3.
3)
Построим дерево решения первого уравнения и отображение для
системы
z1
0
z2
z3
0
1
0
1
4)
z1 z2
z2 z3
1
00
00
0
01
01
1
10
10
0
11
11
0
1
1
Проанализируем как изменится отображение при обратной
замене.
Переход по красной стрелке означает
x1·y1, x2·y2
x2·y2, x3·y3
00
00
что на очередном шаге дерево решений
01
01
продолжено выражением x3·y3=0, черные –
10
10
выражение x3·y3=1
11
11
Существует
три
варианта
пары
x3·y3=0 (00, 01, 10) и один вариант при
котором x3·y3=1.
Значит, числа в первой и третьей
строке необходимо умножить на 3, а числа
во второй и четвертой строке умножаются
на 1, т.е. остаются без изменений.
105
5)
Построим итоговую таблицу вычислений. С учетом отображения
и уточняющих множителей в первой и третьей строке, а также разных
начальных значений.
x2·y2,
x1·y1,
x2·y2
00
x3·y3,
x3·y3
3*3=9
x4·y4, x5·y5
x4·y4
3*3=9
12*3=36
x6·y6, x7·y7
x5·y5,
x6·y6
39*3=117
x7·y7,
x8·y8
66*3=198
174*3=522
525*
3=1575
01
3*1=
9
9
36
117
198
522
1*3=
4*3=1
13*3=39
22*3=66
58*3=174
175*3=525
373*
3
10
3
11
2
1*1=
3=1119
4
13
22
58
175
373
1
6)
P-39.
Ответ: 3589.
Сколько
различных
решений
имеет
система
логических
уравнений
(¬(x1  x2)  ¬(y1  y2)) = 1
(¬(x2  x3)  ¬(y2  y3)) = 1
(¬(x3  x4)  ¬(y3  y4)) = 1
(¬(x4  x5)  ¬(y4  y5)) = 1
(x5  y5) = 1
где x1, …, x5, y1, …, y5 – логические переменные? В ответе не нужно
перечислять все различные наборы значений переменных, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество
таких наборов.
Решение:
1)
перепишем систему уравнений в более понятном виде:
( x1  x2 )  ( y1  y 2 )  1
( x2  x3 )  ( y 2  y3 )  1
( x3  x4 )  ( y3  y 4 )  1
( x4  x5 )  ( y 4  y5 )  1
( x5  y5 )  1
106
2)
начнём с общей формы первых четырёх уравнений:
( xi  xi 1 )  ( yi  yi 1 )  1
(*)
предположим, что мы как-то определили значения ( xi 1 , yi 1 ) , тогда в
любом случае левая часть в уравнении (*) сводится к логической сумме:
( xi 1 , yi 1 )  (0,0) : ( xi  0)  ( yi  0)  1  xi  yi  1
( xi 1 , yi 1 )  (0,1) : ( xi  0)  ( yi  1)  1  xi  yi  1
( xi 1 , yi 1 )  (1,0) : ( xi  1)  ( yi  0)  1  xi  yi  1
( xi 1 , yi 1 )  (1,1) : ( xi  1)  ( yi  1)  1  xi  yi  1
3)
логическая сумма истинна в трёх случаях, например, равенство
xi  yi  1 выполняется при ( xi , yi )  (0,0) , ( xi , yi )  (1,0) и ( xi , yi )  (1,1)
4)
таким образом, при известных ( xi 1 , yi 1 ) уравнение (*) имеет 3
решения
5)
теперь рассмотрим систему из первых четырёх уравнений:
( x1  x2 )  ( y1  y 2 )  1
( x 2  x3 )  ( y 2  y 3 )  1
( x3  x 4 )  ( y 3  y 4 )  1
( x 4  x5 )  ( y 4  y 5 )  1
все они однотипные, как мы увидели выше, для каждой пары ( x5 , y5 )
существует три допустимых пары ( x4 , y 4 ) ;
рассуждаем аналогично далее: для каждой пары ( x4 , y 4 ) есть 3
6)
пары ( x3 , y3 ) , поэтому для каждой пары ( x5 , y5 ) – 32 = 9 пар ( x3 , y3 ) , 33 = 27 пар
4
( x2 , y2 ) и 3 = 81 пара ( x1 , y1 )
7)
последнее уравнение имеет два решения: x5  y5  0 и x5  y5  1 ,
поэтому общее число решения заданной системы - 2·81 = 162
8)
P-38.
Ответ: 162.
Сколько
различных
решений
имеет
уравнений
(x1  (x2  y2))  (y1  y2) = 1
(x2  (x3  y3))  (y2  y3) = 1
система
логических
107
...
(x7  (x8  y8))  (y7  y8) = 1
где x1, …, x8, y1, …, y8 – логические переменные? В ответе не нужно
перечислять все различные наборы значений переменных, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество
таких наборов.
Решение:
1)
перепишем систему уравнений в более понятном виде:
( x1  ( x2  y 2 ))  ( y1  y 2 )  1
( x2  ( x3  y3 ))  ( y 2  y3 )  1

( x7  ( x8  y8 ))  ( y7  y8 )  1
2)
будем решать задачу методом битовых цепочек;
3)
заметим, что первая скобка в каждом уравнении может быть
переписана в виде произведения двух импликаций, например,
x1  ( x2  y 2 )  1

( x1  x2 )  ( x1  y 2 )  1
x 2  ( x3  y 3 )  1

( x 2  x3 )  ( x 2  y 3 )  1

( x7  x8 )  ( x7  y8 )  1

x7  ( x8  y8 )  1
4)
построим новую эквивалентную систему из трёх уравнений,
сгруппировав сомножители «по вертикали»:
( x1  x2 )  ( x2  x3 )  ...  ( x7  x8 )  1
( y1  y2 )  ( y 2  y3 )  ...  ( y7  y8 )  1
( x1  y 2 )  ( x2  y3 )  ...  ( x7  y8 )  1
в этой системе первые два уравнения независимы, а третье
представляет собой уравнение связи
5)
из первого уравнение сразу следует, что в цепочке X  x1 x2 ...x8
запрещена комбинация 10, то есть все допустимые цепочки X имеют
структуру «все нули, потом – все единицы», их 9 штук (на 1 больше, чем
число переменных):
00000000 00000001 00000011 00000111
108
00001111 00011111 00111111
6)
01111111 11111111
те же самые решения (для цепочек Y  y1 y 2 ...y8 ) будут и у второго
уравнения, которое имеет точно такую же структуру
7)
если бы третьего уравнения не было, система имела бы 81
решение (99) – каждая цепочка X может сочетаться с каждой цепочкой Y
8)
остаётся учесть уравнение связи:
( x1  y 2 )  ( x2  y3 )  ...  ( x7  y8 )  1
из которого следует, что если xi = 1, то нужно выполнить условие yi+1 =
1.
9)
рассмотрим цепочку X = 00000000; в ней нет единиц, поэтому она
сочетается со всеми Y-цепочками (9 решений)
10)
рассмотрим цепочку X = 00000001; в ней одна единица,
уравнение связи требует, чтобы следующий бит Y-цепочки был равен 1, но
такого (9-го) бита в Y-цепочке нет поэтому эта X-цепочка сочетается со всеми
Y-цепочками (9 решений)
11)
рассмотрим цепочку X = 00000011; в ней две единицы, согласно
уравнению связи требуется, чтобы 8-й бит Y-цепочки был равен 1, поэтому
она сочетается только со всеми Y-цепочками, кроме одной – 00000000 (8
решений)
12)
продолжая
рассуждать
тем
же
способом,
находим,
что
следующие X-цепочки дают 7, 6, 5, 4, 3 и 2 решения, всего получается 2 · 9 +
8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 53.
13)
P-37.
Ответ: 53.
Сколько
различных
решений
имеет
уравнений
(x1  (x2  y2))  (y1  y2) = 1
(x2  (x3  y3))  (y2  y3) = 1
...
(x7  (x8  y8))  (y7  y8) = 1
система
логических
109
где x1, …, x8, y1, …, y8 – логические переменные? В ответе не нужно
перечислять все различные наборы значений переменных, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество
таких наборов.
Решение:
1)
перепишем систему уравнений в более понятном виде:
( x1  ( x2  y 2 ))  ( y1  y 2 )  1
( x2  ( x3  y3 ))  ( y 2  y3 )  1

( x7  ( x8  y8 ))  ( y7  y8 )  1
2)
будем решать задачу методом битовых цепочек;
3)
построим новую эквивалентную систему из двух уравнений,
собрав в первое уравнение первые сомножители, входящие в каждое из
исходных уравнений, а во второе уравнение – вторые сомножители:
( x1  ( x2  y 2 ))  ( x2  ( x3  y3 ))  ...  ( x7  ( x8  y8 ))  1
( y1  y2 )  ( y 2  y3 )  ...  ( y7  y8 )  1
4)
из второго уравнение сразу следует, что в цепочке Y  y1 y 2 ...y8
запрещена комбинация 10, то есть все допустимые цепочки Y имеют
структуру «все нули, потом – все единицы»:
00000000 00000001 00000011 00000111
00001111 00011111 00111111
5)
теперь
рассмотрим
01111111 11111111
первое
уравнение,
состоящее
из
сомножителей вида xi  ( xi 1  yi 1 ) , каждый из которых должен быть равен 1;
6)
если yi 1  1 , то логическое выражение xi  ( xi 1  yi 1 )  xi  1  1 , то
есть всегда истинно, при любых значениях xi и xi 1 ; никаких ограничений на
цепочку X  x1 x2 ...x8 это выражение не накладывает
7)
если yi1  0 , то получаем условие xi  xi 1  1 , то есть в цепочке X
запрещена комбинация 10
8)
первому варианту цепочки Y (00000000) соответствует первое
уравнение вида
110
( x1  x2 )  ( x2  x3 )  ...  ( x7  x8 )  1 ,
которое даёт 9 подходящих цепочек X
9)
для второго варианта цепочки Y (00000001) значение x8 может
быть любым, а остальные биты цепочки X связаны первым уравнением
( x1  x2 )  ( x2  x3 )  ...  ( x6  x7 )  1 ,
которое даёт 8 подходящих неполных цепочек x1 x2 ...x7 ; учитывая, что
для каждой из них x8 может быть любым, всего получаем 8 · 2 = 16 цепочек
10)
аналогично рассматриваем все остальные цепочки Y
11)
для цепочки Y
= 00111111 значения битов 1 и 2 связаны
условием x1  x2  1 , это уравнение имеет 3 решения; а остальные 6 битов
цепочки X могут быть любыми, поэтому получаем 3·26 = 192 решения
12)
для последних двух вариантов цепочки Y (01111111 и 11111111)
значения всех битов цепочки X могут быть любыми, поэтому получаем 1·28
решений
13)
общее количество решениё получим, суммируя результаты для
всех возможных цепочек Y: 9 · 1 + 8 · 21 + 7 · 22 + 6 · 23 + 5 · 24 + 4 · 25 + 3 · 26
+ 28 + 28 = 1013.
14)
Ответ: 1013.
4. Домашнее задание.
Выучить основные понятия урока. Выполнить задание:
P-36. Сколько различных решений имеет система логических
уравнений
(x1  x2)  (x1  x3)  (x2  y1) = 1
(x2  x3)  (x2  x4)  (x3  y2) = 1
...
(x6  x7)  (x6  x8)  (x7  y6) = 1
(x7  x8)  (x7  y7) = 1
(y7  y8) = 1
111
где x1, …, x8, y1, …, y8 – логические переменные? В ответе не нужно
перечислять все различные наборы значений переменных, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество
таких наборов.
5. Рефлексия.
Подведение итога урока. Выставление оценок.
2.8.9 Примерный конспект урока №9 по теме: «Обобщение знаний
по «Алгебре логики». Решение типовых задач из ЕГЭ».
Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.
Цель урока: напомнить ученикам и помочь им закрепить полученные
на основных уроках информатики знания о построении таблиц истинности
логических выражений, а также разобрать задания из КИМов ЕГЭ по
информатике на заданную тему.
Задачи урока:
Образовательные:
- в ходе урока организовать работу учеников, направленную на
повторение темы «Построение таблиц истинности логических выражений»;
- в ходе урока закрепить или сформировать заново умения учеников
работать в данной теме;
- проверить и научить строить таблицы истинности логических
выражений для успешной сдачи экзамена.
Развивающие:
- развивать и поддерживать мотивацию учеников в работе в течении
урока;
- поддерживать развитие талантов и способностей у учеников, готовых
заниматься данной сферой;
- постараться привлечь в сферу информационных технологий больше
учеников, постараться заинтересовать их и найти каждому интересную тему.
Воспитательные:
112
- следить за процессом проведения урока и поведением учеников,
поощрять отличившихся и мотивировать отстающих;
- обеспечить положительное отношение к предмету;
- поддерживать культуру взаимоотношений в классе на протяжении
урока и после него;
Планируемые результаты:
Личностные:
- сформировать нужное отношение к предмету и предстоящему
экзамену;
- вовлечь учеников в процесс обучения и обеспечить их возможностью
к самообучению;
Познавательные:
- умение ориентироваться в понятиях, темах предмета;
- умение анализировать и решать поставленные задачи в сфере
информационных технологий.
Коммуникативные:
- умение грамотно формулировать цели и задачи;
- планирование деятельности с учителем и учениками для успешного
результата в поставленной задаче;
- умение преподносить свою точку зрения и умение аргументировать
свою позицию.
Регулятивные:
- умение корректировать свои действия и действия сверстников, если
подобное требуется;
- умение проявлять свои навыки для достижения поставленных целей;
- умение контролировать себя в процессе работы над поставленной
задачей;
- умение оценивать себя и других в случае необходимости.
Предметные:
113
- закрепление основного теоретического и практического материала по
теме «Построение таблиц истинности логических выражений»;
- умение работать с данными преобразованиями;
- умение анализировать полученные задания по теме.
Формы деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Формы обучения: смешанная.
Оборудование урока: компьютер учителя, мультимедийный проектор,
интерактивная доска, обычная доска.
Длительность урока – 45 минут.
Ход урока:
1. Организация начала урока
Приветствие, проверка присутствующих. Объяснение хода урока.
2. Подготовка учащихся к усвоению, актуализация опорных
знаний.
Мы с вами уже изучили решение многих задач из КИМов ЕГЭ, давайте
вспомним и обобщим знания по этой теме!
3. Практическая часть.
- Перейдем к разбору заданий № 2, 17, 18, 23 из ЕГЭ.
Р-17. Логическая функция F задаётся выражением ¬x  y  (¬z  w). На
рисунке
приведён
фрагмент
таблицы
истинности
функции
F,
содержащий все наборы аргументов, при которых функция F ложна.
Определите,
какому
столбцу
таблицы
истинности
функции
F
соответствует каждая из переменных x, y, z, w.
?
0
0
0
?
0
1
1
?
0
0
1
?
1
1
1
F
0
0
0
В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут
соответствующие им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких
разделителей между буквами ставить не нужно.
Решение:
1) запишем выражение в более понятной форме: F  x  y  z  w
114
2) анализ формулы F  x  y  z  w показывает, что для того, чтобы
функция F была ложна, необходимо, чтобы x всегдабыл равен 1, а y
всегдабыл равен 0; поэтому x – это последний столбец в таблице, а y
– первый:
y
0
0
0
3)
?
0
1
1
?
0
0
1
x
1
1
1
F
0
0
0
остается разобраться с двумя средними столбцами; обратим
внимание на вторую строчку таблицы, в которой одна из оставшихся
переменных равна 1, а вторая – 0; так как функция равна 0, то z  w  0 , откуда
следует, что z = 1 и w = 0 (иначе произведение будет равно 1)
4)
Ответ: yzwx.
Р-18. Логическая функция F задаётся выражением (x  y)  (y  z). На
рисунке приведён частично заполненный фрагмент таблицы истинности
функции F, содержащий неповторяющиеся строки. Определите, какому
столбцу
таблицы
истинности
функции
F
соответствует
каждая
из
переменных x, y, z.
?
0
0
?
0
?
F
0
0
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут
соответствующие им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких
разделителей между буквами ставить не нужно.
Решение:
11)
запишем выражение в более понятной форме: F  ( x  y )  ( y  z )
12)
для решения этой задачи используем свойство операции
«импликация»: a  b  0 тогда и только тогда, когда a = 1 и b = 0
13)
в обеих строках приведённой части таблицы функция равна 0,
поэтому везде

хотя бы одна из величин, x или y равна 1, что даёт ( x  y)  1 ;

y и z различны, что даёт ( y  z )  0
115
14)
поскольку значения в первых двух столбцах в первой строке
равны 0, один из этих столбцов – это x
15)
предположим, что x – это первый столбец:
x
0
0
1
2
?
0
?
F
0
0
тогда в обеих строках получаем F  (0  y )  ( y  z )  0 , откуда сразу
следует,
что
есть
единственная
пара
остальных
переменных,
удовлетворяющих условию задачи: y = 1, z = 0, и вторая строка олжна быть
копией первой (второй подходящей пары y , z нет!), что противоречит
условию
16)
это значит, что x – это не первый, а второй столбец:
1
2
17)
первой
?
0
0
x
0
?
F
0
0
если при этом предположить, что первый столбец – это y, то в
строке
получаем
F  (0  0)  (0  z )  1 (при
любом
z!),
что
противоречит условию; поэтому первый столбец – это z, а третий – y
18)
на всякий случай проверяем первую строку: F  (0  y )  ( y  0)  0
справедливо при y = 1
19)
во второй строке условие F  ( x  y )  ( y  0)  0 справедливо при x
= 1 и y = 1 (что отличается от варианта в первой строке значением x)
20)
Ответ: zxy.
Р-01. Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов.
Поисковый сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых
слов для сайтов этого сегмента. Вот ее фрагмент:
Ключевое слово
сканер
принтер
монитор
принтер | сканер
принтер & монитор
сканер & монитор
Количество сайтов, для которых
данное слово является ключевым
200
250
450
450
40
50
Сколько сайтов будет найдено по запросу
(принтер | сканер) & монитор
116
если по запросу принтер | сканер было найдено 450 сайтов, по
запросу принтер & монитор – 40, а по запросу сканер & монитор –
50.
Решение (вариант 1, использованием свойств операций «И» и
«ИЛИ»):
1)
обратим внимание на такой факт1 (справа указано количество
сайтов по каждому запросу)
сканер
200
принтер
250
принтер | сканер
поскольку
450
последнее
число
равно
сумме
двух
предыдущих, можно сразу же придти к выводу, что в этом
(П | С) & M
С
П
сегменте сети нет сайтов, на которых ключевыми словами
являются одновременно принтер и сканер:
принтер & сканер
0
диаграмма Эйлера для этого случая показана на
М
рисунке справа:
2)
с этого момента все просто: для того, чтобы определить, сколько
сайтов удовлетворяют заданному условию
достаточно
просто
принтер
сложить
числа,
&
соответствующие
монитор
запросам
и
сканер & монитор
3)
P-39.
таким образом, правильный ответ: 40 + 50 = 90.
Сколько
различных
решений
имеет
система
логических
уравнений
(¬(x1  x2)  ¬(y1  y2)) = 1
(¬(x2  x3)  ¬(y2  y3)) = 1
1
Как мы увидим далее, при использовании других методов решения, это условие принципиально облегчает
решение данной задачи. Во всех известных автору вариантах подобных задач такое упрощающее условие
было.
117
(¬(x3  x4)  ¬(y3  y4)) = 1
(¬(x4  x5)  ¬(y4  y5)) = 1
(x5  y5) = 1
где x1, …, x5, y1, …, y5 – логические переменные? В ответе не нужно
перечислять все различные наборы значений переменных, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество
таких наборов.
Решение:
1)
перепишем систему уравнений в более понятном виде:
( x1  x2 )  ( y1  y 2 )  1
( x2  x3 )  ( y 2  y3 )  1
( x3  x4 )  ( y3  y 4 )  1
( x4  x5 )  ( y 4  y5 )  1
( x5  y5 )  1
2)
начнём с общей формы первых четырёх уравнений:
( xi  xi 1 )  ( yi  yi 1 )  1
(*)
предположим, что мы как-то определили значения ( xi 1 , yi 1 ) , тогда в
любом случае левая часть в уравнении (*) сводится к логической сумме:
( xi 1 , yi 1 )  (0,0) : ( xi  0)  ( yi  0)  1  xi  yi  1
( xi 1 , yi 1 )  (0,1) : ( xi  0)  ( yi  1)  1  xi  yi  1
( xi 1 , yi 1 )  (1,0) : ( xi  1)  ( yi  0)  1  xi  yi  1
( xi 1 , yi 1 )  (1,1) : ( xi  1)  ( yi  1)  1  xi  yi  1
3)
логическая сумма истинна в трёх случаях, например, равенство
xi  yi  1 выполняется при ( xi , yi )  (0,0) , ( xi , yi )  (1,0) и ( xi , yi )  (1,1)
4)
таким образом, при известных ( xi 1 , yi 1 ) уравнение (*) имеет 3
решения
5)
теперь рассмотрим систему из первых четырёх уравнений:
118
( x1  x2 )  ( y1  y 2 )  1
( x 2  x3 )  ( y 2  y 3 )  1
( x3  x 4 )  ( y 3  y 4 )  1
( x 4  x5 )  ( y 4  y 5 )  1
все они однотипные, как мы увидели выше, для каждой пары ( x5 , y5 )
существует три допустимых пары ( x4 , y 4 ) ;
6)
рассуждаем аналогично далее: для каждой пары ( x4 , y 4 ) есть 3
пары ( x3 , y3 ) , поэтому для каждой пары ( x5 , y5 ) – 32 = 9 пар ( x3 , y3 ) , 33 = 27 пар
4
( x2 , y2 ) и 3 = 81 пара ( x1 , y1 )
7)
последнее уравнение имеет два решения: x5  y5  0 и x5  y5  1 ,
поэтому общее число решения заданной системы - 2·81 = 162
8)
Ответ: 162.
1.1.1 Р‐29. Укажите наименьшее целое значение А, при котором
выражение
1.1.2 (y + 2x < A) ∨ (x > 20) ∨ (y > 30)
1.1.3 истинно для любых целых положительных значений x и y.
Решение:
10)
второе и третье выражения не зависят от выбора A: (x > 20) or (y >
11)
таким образом, нам нужно выбрать значение A так, чтобы
30)
условие (y + 2x < A)
выполнялось при всех x и y, для которых ложно (x > 20) or (y > 30), то
есть истинно
(x  20) and (y  30)
12)
поскольку по условию x и y должны быть положительны,
добавляем ещё два условия:
(x  20) and (y  30) and (x > 0) and (y > 0)
13)
изобразим схематично на плоскости x – y эту область (она
заштрихована):
119
y
y = –2x + A
30
20
14)
x
для всех точек этой области должно выполняться условие y + 2x <
A, равносильное условию
y < – 2x +A
15)
это значит, что вся область должна лежать ниже линии y = – 2x
+A; одна такая подходящая линия показана на рисунке сверху
16)
очевидно, что минимальное значение A соответствует ситуации,
когда при параллельном переносе показанной линии вниз, соответствующем
изменению
A,
она коснётся правого верхнего угла заштрихованного
прямоугольника, то есть пройдёт через точку (x = 20, y = 30)
17)
поэтому допустимые значение A определяются условием:
30 < – 220 +A
откуда следует, что A > 70, то есть Amin = 71.
18)
P-38.
Ответ: 71.
Сколько
различных
решений
имеет
система
логических
уравнений
(x1  (x2  y2))  (y1  y2) = 1
(x2  (x3  y3))  (y2  y3) = 1
...
(x7  (x8  y8))  (y7  y8) = 1
где x1, …, x8, y1, …, y8 – логические переменные? В ответе не нужно
перечислять все различные наборы значений переменных, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество
таких наборов.
Решение:
120
1)
перепишем систему уравнений в более понятном виде:
( x1  ( x2  y 2 ))  ( y1  y 2 )  1
( x2  ( x3  y3 ))  ( y 2  y3 )  1

( x7  ( x8  y8 ))  ( y7  y8 )  1
2)
будем решать задачу методом битовых цепочек;
3)
заметим, что первая скобка в каждом уравнении может быть
переписана в виде произведения двух импликаций, например,
x1  ( x2  y 2 )  1

( x1  x2 )  ( x1  y 2 )  1
x 2  ( x3  y 3 )  1

( x 2  x3 )  ( x 2  y 3 )  1

( x7  x8 )  ( x7  y8 )  1

x7  ( x8  y8 )  1
4)
построим новую эквивалентную систему из трёх уравнений,
сгруппировав сомножители «по вертикали»:
( x1  x2 )  ( x2  x3 )  ...  ( x7  x8 )  1
( y1  y2 )  ( y 2  y3 )  ...  ( y7  y8 )  1
( x1  y 2 )  ( x2  y3 )  ...  ( x7  y8 )  1
в этой системе первые два уравнения независимы, а третье
представляет собой уравнение связи
5)
из первого уравнение сразу следует, что в цепочке X  x1 x2 ...x8
запрещена комбинация 10, то есть все допустимые цепочки X имеют
структуру «все нули, потом – все единицы», их 9 штук (на 1 больше, чем
число переменных):
00000000 00000001 00000011 00000111
00001111 00011111 00111111
6)
01111111 11111111
те же самые решения (для цепочек Y  y1 y 2 ...y8 ) будут и у второго
уравнения, которое имеет точно такую же структуру
7)
если бы третьего уравнения не было, система имела бы 81
решение (99) – каждая цепочка X может сочетаться с каждой цепочкой Y
8)
остаётся учесть уравнение связи:
( x1  y 2 )  ( x2  y3 )  ...  ( x7  y8 )  1
121
из которого следует, что если xi = 1, то нужно выполнить условие yi+1 =
1.
9)
рассмотрим цепочку X = 00000000; в ней нет единиц, поэтому она
сочетается со всеми Y-цепочками (9 решений)
10)
рассмотрим цепочку X = 00000001; в ней одна единица,
уравнение связи требует, чтобы следующий бит Y-цепочки был равен 1, но
такого (9-го) бита в Y-цепочке нет поэтому эта X-цепочка сочетается со всеми
Y-цепочками (9 решений)
11)
рассмотрим цепочку X = 00000011; в ней две единицы, согласно
уравнению связи требуется, чтобы 8-й бит Y-цепочки был равен 1, поэтому
она сочетается только со всеми Y-цепочками, кроме одной – 00000000 (8
решений)
12)
продолжая
рассуждать
тем
же
способом,
находим,
что
следующие X-цепочки дают 7, 6, 5, 4, 3 и 2 решения, всего получается 2 · 9 +
8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 53.
13)
Ответ: 53.
4. Домашнее задание.
Повторить записи в тетради. Подготовиться к итоговому тесту.
5. Рефлексия.
Подведение итога урока. Выставление оценок.
2.8.10 Примерный конспект урока №10 по теме: «Итоговый тест по
теме: Решение логических задач».
Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.
Цель урока: напомнить ученикам и помочь им закрепить полученные
на основных уроках информатики знания о построении таблиц истинности
логических выражений, а также разобрать задания из КИМов ЕГЭ по
информатике на заданную тему.
Задачи урока:
Образовательные:
122
- в ходе урока организовать работу учеников, направленную на
повторение темы «Построение таблиц истинности логических выражений»;
- в ходе урока закрепить или сформировать заново умения учеников
работать в данной теме;
- проверить и научить строить таблицы истинности логических
выражений для успешной сдачи экзамена.
Развивающие:
- развивать и поддерживать мотивацию учеников в работе в течении
урока;
- поддерживать развитие талантов и способностей у учеников, готовых
заниматься данной сферой;
- постараться привлечь в сферу информационных технологий больше
учеников, постараться заинтересовать их и найти каждому интересную тему.
Воспитательные:
- следить за процессом проведения урока и поведением учеников,
поощрять отличившихся и мотивировать отстающих;
- обеспечить положительное отношение к предмету;
- поддерживать культуру взаимоотношений в классе на протяжении
урока и после него;
Планируемые результаты:
Личностные:
- сформировать нужное отношение к предмету и предстоящему
экзамену;
- вовлечь учеников в процесс обучения и обеспечить их возможностью
к самообучению;
Познавательные:
- умение ориентироваться в понятиях, темах предмета;
- умение анализировать и решать поставленные задачи в сфере
информационных технологий.
Коммуникативные:
123
- умение грамотно формулировать цели и задачи;
- планирование деятельности с учителем и учениками для успешного
результата в поставленной задаче;
- умение преподносить свою точку зрения и умение аргументировать
свою позицию.
Регулятивные:
- умение корректировать свои действия и действия сверстников, если
подобное требуется;
- умение проявлять свои навыки для достижения поставленных целей;
- умение контролировать себя в процессе работы над поставленной
задачей;
- умение оценивать себя и других в случае необходимости.
Предметные:
- закрепление основного теоретического и практического материала по
теме «Построение таблиц истинности логических выражений»;
- умение работать с данными преобразованиями;
- умение анализировать полученные задания по теме.
Формы деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Формы обучения: смешанная.
Оборудование урока: компьютер учителя, мультимедийный проектор,
интерактивная доска, обычная доска.
Длительность урока – 45 минут.
Ссылки на ЦОР:
Padlet
https://padlet.com
Ход урока:
1. Организация начала урока
Приветствие, проверка присутствующих. Объяснение хода урока.
2. Подготовка учащихся к усвоению, актуализация опорных
знаний.
124
В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить
равносильные (тождественные) преобразования логических выражений. Мы
с вами уже изучали их, давайте вспомним и решим задачи из ЕГЭ по этой
теме!
3. Практическая часть.
- Перейдем к выполнению итогового тестирования.
1) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических
выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы
истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение
соответствует F?
1) X  ¬Y  Z 2) X  Y  Z 3) X  Y  ¬Z
4) ¬X  Y  ¬Z
2) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических
выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы
X
0
1
1
Y
1
1
0
Z
0
0
1
F
0
1
0
X
0
0
0
Y
0
0
1
Z
0
1
0
F
1
0
0
истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение
соответствует F?
1) ¬X  Y  ¬Z 2) X  Y  ¬Z 3) ¬X  ¬Y  Z 4) X  ¬Y  Z
3) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических
выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы
истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение
соответствует F?
1) X  Y  Z
2) ¬X  ¬Y  Z
3) X  Y  ¬Z
4) ¬X
 ¬Y  ¬Z
4) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических
выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы
истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение
соответствует F?
X
0
0
0
Y
0
0
1
Z
0
1
0
F
1
0
1
125
1) ¬X  ¬Y  Z 2) ¬X  ¬Y  Z
3) X  Y  ¬Z
4) X 
YZ
5) Символом F обозначена логическая функция от двух аргументов (A и B),
заданная таблицей истинности. Какое выражение соответствует F?
1) A → (¬A  ¬B)
2) A  B
3) ¬A → B 4) ¬A  ¬B
6) В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел
поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте
Интернета:
Запрос
Стольник
Рында
Парус
Стольник & Рында
Стольник & Парус
Стольник | Рында | Парус
Количество
страниц
(тыс.)
375
315
290
85
0
840
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
Парус & Рында
7)
В таблице приведены запросы и количество страниц, которые
нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос
Слобода
Пилигрим
Пилигрим & Равелин
Слобода & Равелин
Слобода & Пилигрим
Слобода | Равелин | Пилигрим
Количество
страниц
(тыс.)
515
175
105
70
0
765
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
Равелин
8)
В таблице приведены запросы и количество страниц, которые
нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос
(Суворов & Альпы) | (Суворов & Варшава)
Суворов & Варшава
Суворов & Варшава & Альпы
Количество
страниц (тыс.)
1100
600
50
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
126
Суворов & Альпы
9)
В таблице приведены запросы и количество страниц, которые
нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Количество
страниц (тыс.)
Запрос
(Испания & Америка) | (Испания & Индия)
Испания & Америка
Испания & Индия & Америка
2800
1600
150
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
Испания & Индия
10)
В таблице приведены запросы и количество страниц, которые
нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте
Интернета:
Количество
страниц (тыс.)
Запрос
Китай & (Америка | Испания & Индия)
Китай & Испания & Индия
Китай & Америка
590
180
560
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
Китай & Америка & Испания & Индия
11)
На числовой прямой даны два отрезка: P = [34,84] и Q = [44, 94].
Выберите такой отрезок A, что формула
(x  A) → ( (x  P) → (x  Q) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом
значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот,
который имеет большую длину.
1) [45, 60]
12)
2) [65, 81] 3) [85, 102] 4) [105, 123]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [6, 16] и Q = [30, 50].
Отрезок A таков, что формула
( (x  А) → (x  Q) ) \/ (x  P)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом
значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?
1) 10
2) 20
3) 21
4)30
127
13)
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 40] и Q = [30, 50].
Отрезок A таков, что формула
( (x  А) → (x  Q) ) \/ (x  P)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом
значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?
1) 10
14)
2) 20
3) 30
4)40
На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 42] и Q = [22, 62].
Выберите такой отрезок A, что формула
(x  A) → ( (x  P) → (x  Q) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом
значении переменной х.
1) [3, 14]
15)
2) [23, 32] 3) [43, 54] 4) [15, 45]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 42] и Q = [22, 62].
Выберите такой отрезок A, что формула
((x  P) → (x  Q)) → (x  A)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом
значении переменной х.
1) [3, 14]
16)
2) [23, 32] 3) [43, 54] 4) [15, 45]
Каково наибольшее целое число X, при котором истинно
высказывание
(90 < X·X) → (X < (X-1))
17)
Сколько различных решений имеет уравнение
(K  L  M)  (¬L  ¬M  N) = 1
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно
перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только
количество таких наборов.
18)
Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых
логическое выражение
128
(¬K  M) → (¬L  M  N)
ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений
переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101
соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.
19)
Каково наименьшее целое положительное число X, при котором
высказывание:
(4 > -(4 + X)·X) → (30 > X·X)
будет ложным.
20)
Каково наибольшее целое положительное число X, при котором
истинно высказывание:
((X - 1) < X) → (40 > X·X)
4. Рефлексия.
Подведение итога урока. Выставление оценок.
129
Заключение
В наше время элективные курсы играют огромную роль при
подготовке обучающихся к Единому Государственному Экзамену и
позволяют
выстраивать
индивидуальные
образовательные
траектории,
облегчающие переход от общего к профессиональному информационному
образованию.
В ходе выполнения ВКР были выполнены поставленные задачи:
1. Проанализированы цели и задачи элективных курсов (предмета) в
соответствии с ФГОС ОО.
2. Проведен анализ принципов создания элективного курса (предмета);
3. Определены основные требования, которые выдвигаются в целом
для элективных курсов;
4. Разработан комплекс уроков на тему «Решение логических задач» в
рамках элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по информатике» для
учащихся 10-11 классов:
1) Разработано содержания элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ
по информатике»
2)
Разработано
календарно-тематического
планирования
темы
«Решение логических задач» в рамках элективного предмета «Подготовка к
ЕГЭ по информатике» для учащихся в 10-11 классе
3) Разработаны методические рекомендации по организации изучения
темы «Решение логических задач» в рамках элективного курса (предмета)
«Подготовка к ЕГЭ по информатике» в 10-11 классах
4) Разработаны методические рекомендации к урокам по теме
«Решение логических задач» в рамках элективного курса (предмета)
«Подготовка к ЕГЭ по информатике» в 10-11 классах
5) Разработаны примерные конспекты темы «Решение логических
задач» в рамках элективного курса (предмета) «Подготовка к ЕГЭ по
информатике» в 10-11 классах
130
Список литературы
1.
Андреева
Е.
В.
Математические
основы
информатики.
Элективный курс: Учебное пособие. / Е. В. Андреева, Л. Л. Босова, И. Н.
Фалина. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.
2.
Андреева
Е.
В.
Математические
основы
информатики.
Элективный курс: Методическое пособие. / Е. В. Андреева, Л. Л. Босова, И.
Н. Фалина. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.
3.
Беспалько В.П. Системно-методическое обеспечение учебно-
воспитательного процесса подготовки специалистов. // В. П. Беспалько, Ю. Г.
Татур, - М: «Высшая школа», 1989
4.
Босова, Л. Л. Уроки информатики в 5-6 классах: Методическое
пособие / Босова Л. Л., Босова А. Ю. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний,
2005.
5.
Босова Л. Л., Савельева В. С. Разноуровневые дидактические
материалы по информатике. Кн. II. М.: Образование и информатика, 2001. –
96 с. – Серия «Информатика в школе».
6.
Добрецова Н.В. Возможности дополнительного образования
детей для реализации профильного образования: Учебно-методическое
пocoбие для учителей /под ред. А.П. Тряпицыной. -СПб.: КАРО, 2005. - 160
с.
7.
Ермаков, Д.С. Элективные курсы для профильного обучения /
Д.С. Ермаков // Педагогика. – 2005. №2. – С. 36–41
8.
Зубрилин А.А. Технология разработки элективных курсов / А.А.
Зубрилин, И.С. Паркина // Информатика и образование. – 2006. – №1. - С. 8–
11
9.
Информатика, пособие для подготовки к ЕГЭ, Вовк Е.Т., Глинка
Н.В., Грацианова Т.Ю. и др. 2-е изд., испр. и доп. - М.: 2013. - 322 с
10.
Информатика и ИКТ. Подготовка к ЕГЭ / под ред. Проф. Н.В.
Макаровой. – СПб.: Питер, 2012.
131
11.
Информатика. Тренажёр. Крылов С.С., Ушаков Д.М. М.: 2018. -
12.
Каспржак А.Г. Элективные курсы в профильном обучении//
272 с.
НФПК, 2004 — с.9
13.
Кудинов Д.Н. Перспективы разработки автоматизированных
обучающих систем // Современные проблемы науки и образования. - 2008. №6
14.
Лапчик М. П., Семакин И. Г., Хеннер Е. К. Методика
преподавания информатики: Учебное пособие / под ред. М. П. Лапчика. М.:
ACADEMIA, 2001.
15.
Лыскова В. Ю, Е. А. Ракитина. Логика в информатике:
методическое пособие. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2004. – 160 с., ил.
16.
Министерство образования Российской федерации. Элективные
курсы в профильном обучении//Москва: НФПК , 2004 — с.9,15.
17.
Могилев А. В., Пак Н. И., Хеннер Е. К.. Информатика: учебник
для вузов. М.: Наука, 2000. – с. 689.
18.
Профильное обучение: Нормативные правовые документы//М:ТЦ
Сфера, –2006, с.96, с.11
19.
курс:
Самылкина Н.Н. Готовимся к ЕГЭ по информатике. Элективный
учебное пособие /Н.Н.Самылкина,
С.В.Русаков, А.П.Шестаков,
С.В.Баданина. – М: БИНОМ . Лаборатория знаний, 2008.
20.
Соловов А. В. Проектирование компьютерных систем учебного
назначения: учебное пособие [Текст]. / А. В. Соловов Самара: СГАУ, 1995.
21.
Угринович Н. Д. Информатика и информационные технологии.
Учебник для 10-11 классов. / Н. Д. Угринович. – М.: Бином. Лаборатория
Знаний, 2003. – 512 с., ил.
22.
Угринович Н. Д., Морозов В. В., Нечаев В. И. Преподавание
курса «Информатика и информационные технологии»: Методическое
пособие для учителей. – М.: Бином. Лаборатория Знаний, 2002.
132
23.
Яшанов М. С. Теоретические подходы к организации обучения
информатическим дисциплинам учителей технологий с использованием
электронных образовательных ресурсов // Педагогические науки. - 2014. №117.
24.
LinguaLeo
[Электронный
ресурс].
-
Режим
доступа:
ресурс].
-
Режим
доступа:
ресурс].
-
Режим
доступа:
Режим
доступа:
https://lingualeo.com/ru.
25.
Duolingo
[Электронный
https://www.duolingo.com.
26.
Infourok
[Электронный
https://infourok.ru
27.
Nsportal
[Электронный
ресурс].
-
https://nsportal.ru
28.
Открытый урок [Электронный ресурс]. - Режим доступа:
http://открытыйурок.рф/
29.
Pedportal
[Электронный
ресурс].
-
Режим
доступа:
https://pedportal.net
30.
Pandia [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://pandia.ru
31.
Fipi [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.fipi.ru
32.
Infojournal
[Электронный
ресурс].
-
Режим
доступа:
www.infojournal.ru
33.
Pedsovet
[Электронный
ресурс].
-
Режим
доступа:
ресурс].
-
Режим
доступа:
http://pedsovet.su
34.
Uchportal
www.uchportal.ru
[Электронный