Хотькин Олег Александрович. Исследование фильтрационных течений в изотропной пористой среде

Оглавление
Введение ......................................................................................................................................... 1
Глава 1. Теоретическая часть. Фильтрация и пористая среда. .................................................. 4
1.1 Модели фильтрационных течений. ........................................................................................ 4
1.2 Основы теории фильтрации. .................................................................................................. 6
1.3 Понятие и параметры пористой среды. ................................................................................. 8
1.4 Скорость фильтрации. Законы фильтрации. ....................................................................... 11
1.5 Уравнение неразрывности. Общая система уравнений. .................................................... 15
1.6 Линейный закон фильтрации, границы применимости. .................................................... 19
1.7 Уравнения потенциального движения для пористой среды............................................. 24
1.8 Замыкающие соотношения систем уравнений. .................................................................. 26
Глава 2. Методы исследований фильтрации............................................................................. 28
2.1 Фильтрация в условии сплошной среды. ............................................................................ 28
2.2 Вывод зависимости градиента давления от скорости фильтрации с помощью теории
размерностей. ............................................................................................................................... 32
2.3 Закономерности изменения проницаемости при фильтрационных течениях. ................ 35
2.4 Взаимосвязь коэффициентов уравнения движения при фильтрации и критериальных
соотношений гидравлического сопротивления. ....................................................................... 42
2.5 Уравнения неустановившихся течений по двучленному закону фильтрации. .............. 47
2.6 Нелинейный закон фильтрации, разрешенный относительно вектора скорости. .......... 49
2.7 Уравнение неустановившегося фильтрационного течения упругой жидкости по
двучленному закону фильтрации. .............................................................................................. 51
Глава 3. Постановка и решение задач. ...................................................................................... 53
3.1 Нестационарная задача фильтрации жидкостей. ............................................................... 53
3.2 Термодинамические тождевства, уравнения неизотермической фильтрации. ............... 58
Заключение................................................................................................................................... 68
Список использованных источников и литературы ................................................................. 69
2
Введение
Актуальность работы заключается - в задаче построения и анализа
законов
фильтрации
для
пористых
сред,
построение
моделей
фильтрационных течений.
Установление факта изотропии проницаемости и ее учет при
моделировании
разработки
гидромеханике,
впоследствии
позволяет
развитие
решать
многие
теоретических
задачи
в
исследований,
представляют собой актуальную задачу для дальнейшего целого развития.
Цель работы
является - исследование фильтрационных течений в
изотропных пористых средах, в числе которых:
Во-первых, используя методы, провести теоретические исследования,
обусловленные изотропией фильтрационных свойств в законах фильтрации.
Во-вторых, создание теоретических основ комплексной методики
лабораторного определения фильтрационных свойств изотропно пористых
сред (коллекторов).
В-третьих, решение нестационарной задачи в пористой среде.
Основные задачи исследования: полнота – содержание достаточного
количества материала признаков реального объекта; непротиворечивость –
признаки
не
должны
противоречить
друг
другу;
реализуемость
–
аналитическое или численное решение, при физической – реализацию в
искусственных условиях;
компактность – процесс сбора информации,
подготовка и реализация модели должны быть максимально просты.
Достоверность результатов и выводов, обоснованность и достоверность
полученных в работе теоретических результатов следует из того, что они
основаны на общих законах механики сплошных сред, теории подземной
гидромеханики и физики.
Полученные в работе законы, модели и описываемые ими эффекты
допускают экспериментальную проверку.
3
Глава 1. Теоретическая часть. Фильтрация и пористая среда.
1.1
Модели фильтрационных течений.
Под фильтрацией воспринимается процесс разделения неоднородных
систем с помощью пористой перегородкой под действием избыточности
давления, пропускающую дисперсную среду и останавливающий твердую
фазу. Перегородка служит основой фильтра, останавливающего твердые
частицы, как своей поверхностью с выделением осадка, так и сложной
внутренней поверхностью каналов.
Под целью процесса назовем выделение полезных компонентов,
образующие при выделении, как твердого материала, так и самой жидкости.
Фильтрование осуществляется с помощью режима постоянной разности
давления, либо режима постоянной скорости, разность которого ниже 0,1
МПа.
Жидкая фаза просачивается через поры перегородки, скапливаясь в
виде фильтрата, как твердая фаза в то время, задерживается на поверхности в
виде осадка и впоследствии чего, удаляется.
Стоит отметить тот факт, фильтрация смесей по сравнению с
движением в каналах и трубах имеет ряд особенностей. Во-первых,
происходит при малых поперечных размерах поровых каналов и при низкой
скорости движения жидкости. Во-вторых, сила трения в пористой среде
огромна, площадь соприкосновения жидкости с твердыми частицами велика.
Моделирование
фильтрационного
течения
относительно
к
пространственным изменениям параметров может осуществляться как в
одномерной, плоской, так и пространственной постановке. Одномерную
можно рассмотреть, когда параметры являются функцией только одной
переменной - течение по прямой или кривой.
Теория фильтрации берет за основу представление породы и
заполняющего её флюида сплошной средой.
4
Понимается это тем, при необходимости сведений как кинематических
и динамических параметров по пространству. Крайне необходимы, являются
элементы систем флюид, при этом достаточно крупными по соотношению с
размерами пустот и зерен породы. Подразумевается, в одном и том же
схематичном объеме содержатся одновременно и порода, и флюид.
Температура флюида будет игнорироваться по причине малой скорости
течения и весомого теплообмена со скелетом пород. Вследствие чего,
превышение над теплоёмкостью флюида и большого по размерам
поверхности
контакта.
Течение
предусматривается изотермическим
процессом, в переводе «равный жар».
Если характерно условия наличие периодов изменения параметров
течения во времени - неустановившиеся (нестационарные), а модели
течения будут нестационарными. И наоборот, описывающие процессы, не
зависящими от времени - стационарные (установившиеся).
Выделяют в
моделях по условиям малых изменений скорости и
уверяемого преобладания сил сопротивления над инерционными силами.
Горные породы, можно и нужно, разделить по упорядоченности
изменений их характеристик в пространстве, выделяя изотропные и
анизотропные
тела.
Изотропия,
в
переводе
«равное
направление» –
независимость изменений физических параметров во всех направлениях,
скажем симметрия по отношению выбора. Анизотропия, в переводе
«неравное направление» – соответственно наоборот, различные свойства по
отдельным направлениям. Степень может быть различна.
Под понятием ориентированности, применительно к коллекторам,
можно связать с геометрией расположения частиц. Имея геометрическую
ориентацию,
частицы
могут
располагаться
упорядочено.
5
как
хаотически,
так
и
1.2 Основы теории фильтрации.
Для
метода
исследования
движения
пользуются
уравнениями
непрерывности, движения и состояния.
Уравнение непрерывности имеет вид:
где m — пористость среды, ρ — плотность флюида, w — скорость
фильтрации.
Уравнение движения в свою очередь образует связь между вектором
скорости фильтрации и полем давления, вызывающего течение.
Уравнения Навье — Стокса описывает течение внутри пор. При
помощи сведений отразим закон сохранения импульса и, в случае
фильтрации ньютоновской жидкости.
В задачах нелинейной фильтрации рассмотрим два способа: большая и
малая скорость. В первом, через формулу Форхгеймера при инерционной
составляющей:
где η — динамическая вязкость жидкости, f — проницаемость среды.
На практике используется закон фильтрации в виде:
где n и с — постоянные, при: 1< n < 2.
Во втором, в проявлении неньютоновских свойств жидкости в
отклонении
связи
касательного
напряжения
и
градиента
скорости
фильтрации. Уравнение прямой линии происходит через начало координат в
направлении перпендикулярном направлению течения от значения:
6
Установлены три класса неньютоновских жидкостей:
1) Стационарно реологические жидкости, напряжение зависит только
от градиента скорости;
2) Нестационарно реологические жидкости, напряжение зависит как от
градиента скорости, так и от времени действия;
3) Вязкоупругие жидкости, среда проявляет свойства, как жидкости,
так и твердого тела, и способные к частичному восстановлению формы после
снятия напряжений.
Принятая система уравнений дополняется уравнениями, связывающая
плотность флюида и параметры с давлением.
7
1.3 Понятие и параметры пористой среды.
Пористой средой, коллектора, изучением занимается петрофизика.
Моделирование и их классификацию можно поделить по двум направлениям:
механическая и геометрическая.
Механическая характеризуется, под изменением сил становится
причиной не только деформацией, но и изменением внутренних напряжений.
По характеру изменений делят: недеформируемые, упругие и пластичные
породы.
В первом случае, изменение объема пор можно пренебречь. В упругой
среде в противовес пластичной (текучая) разница в том, что линейно
изменяется объем пор под действием нагрузки, а затем полностью
восстанавливается после, то последняя деформируется уже с остаточным
изменением объема.
Геометрическая делится на гранулярную (поровая) и трещиноватую, с
точки зрения, пористую среду. Емкость и фильтрация определяется за счет
структуры порового пространства между зернами породы.
Рисунок 1 – Элементы моделей грунта
Для отображения пользуются понятием фиктивного и идеального
грунта (Рис. 1).
Фиктивный грунт состоит из шаров одного размера, уложенных во
всем объёме одинаковым образом по элементам из восьми шаров в углах
ромбоэдра.
8
Острый угол изменяется в пределах от 600 до 900. Более вероятно,
плотная укладка частиц будет происходить при a = 600, а наименее при a =
900 (вид - куб).
Идеальным грунтом называют представление концепцию в виде
трубочек, расположенных в ребрах элементарного ромбоэдра. Плотность
укладки меняется от угла раствора (вид - ромб).
Пористая среда имеет представление совокупности твердых частиц
разнообразной формы и различных размеров, тесно прилегающих друг к
другу, пространство между которыми может быть заполнено газом или
жидкостью.
Основная
характеристика
–
коэффициент
пористости
m.
Для
однородного пласта m=const, отношением объема пор Vp к общему объему
элемента V:
m = Vp /V.
(1.1)
При неоднородности пласта, формула (1.1) имеет среднюю пористость
в
образце.
Локальная
пористость
становится
скалярной
функцией
пространства m (x1, x2, x3):
m lim
V
предел
V
0
Vп
V
dVп ,
dV
0 принимается в том понимании, объем
(1.2)
V мал по
сравнению с характерными размерами. Примером, мощность пласта,
включающая в себя достаточно большое число пор.
При деформации скелета зависимость будет и от времени, так как
пористая среда преобладает свойствами изменять свои характеристики не
только под внешним воздействием (изменения давления и температуры), так
и при взаимодействии с фильтратом.
9
При определении пористости в расчет учитывают только связанные
между собой поры, которые заполняются жидкостью снаружи, и не
рассматривают объем изолированных пор.
Течение происходит через поверхность, из этого следует, что
необходимо
введения
параметра
связанного
с
площадью.
Данный
геометрический параметр – просветность n, отношение площади просветов Sp
ко всей площади сечения образца S:
n = Sр /S.
(1.3)
Несложно определить равенство просветности к пористости.
Полученные параметры заменим объемными значениями. Даны как
замкнутые, так и тупиковые поры. Во втором случае, движение жидкости не
происходит, означая условия полной пористости, соотношение (1.1).
Вследствие чего введем динамический коэффициент, равный объёму пор
занятых подвижной жидкостью Vpl к объёму образца V:
md = Vpl / V,
(1.4)
За исключением используемых параметров, не менее существенным
является характерный размер порового пространства
a , в качестве которого
можно рассматривать некие средние значения размера трещин, радиус
порового канала или диаметр частицы грунта.
10
1.4 Скорость фильтрации. Законы фильтрации.
Передвижение рассматривается не с точки зрения движения потоков по
отдельным сложным каналам, а распространение расходов жидкости или газа
на всю поперечную площадь. Данная фиктивная скорость и есть – скорость
фильтрации.
Исходная скорость движения в отдельных каналах может превышать
из-за чего, все законы фильтрации, устанавливающая связь между скоростью
фильтрации,
градиентом
давления,
параметрами
и
жидкости
носят
статический характер.
Скоростью фильтрации u называется отношение объемного расхода
жидкости к площади поперечного сечения:
(1.5)
скорость, с которой двигалась жидкость, если бы пористая среда
отсутствовала (m = 1).
Так как m<1, то и скорость фильтрации меньше средней.
Физический смысл скорости заключается в рассмотрении фиктивного
потока:
1) сила гидравлического сопротивления равна силе сопротивления
реального потока;
2) расход через любое сечение равен реальному расходу;
3) поле давлений идентично реальному потоку.
Предполагается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по
объёму и связана со средней действительной скоростью течения равенством.
В самом деле, фильтрация протекает по просветам, действительная
скорость v больше скорости фильтрации, определяя:
(1.6)
11
Для любой точки m (х1, х2, x3) через элементарную площадку
нормалью
n , в единицу времени протекает масса жидкости
вычисляется по объемному Q и плотности жидкости
S с
Qm , расход
:
Qm = Q
Отношение
направлении
Q / S при
0 , называется скоростью фильтрации в
S
n:
wn w n lim
s 0
Q
s
lim
s 0
Qm
s
Акцентируем, расход делится на полную площадь
(1.7)
s . Если рассмотрим
отношение к «истинной» площади течения
sп примем проекцию скорости
движения частиц фильтрующейся жидкости
v в направлении нормали n .
Преобразуем соотношение между скоростью фильтрации и скоростью
движения:
w s(n ) v ,
(1.8)
где s - параметр просветности.
Делая вывод, в случае неоднородной среды просветность будет не
скалярной, и не векторной, а тензорной функцией.
Однако, если среда однородна, равна m и s, зависимость (1.8) примет
вид:
w mv
(1.9)
Связь, вызывая фильтрационное движение, устанавливается законом А.
Дарси, для каждой точки изотропной среды примет вид линейной зависимости:
w
где
(k / ) grad p* = (k / )[ grad p
g]
(1.10)
- вязкость жидкости, p* - приведенное давление с учетом силы
тяжести, p - давление в жидкости, k – проницаемость (размерность площади, не
зависит от свойств жидкости и приходится только геометрической
характеристикой).
12
Для формулировки
параметра, получаем на основе подобии между
пористой средой и системой параллельных трубок (уравнение Козени –
Кармана).
Выражаем проницаемость через удельную поверхность
Km3
k
2
и т:
.
(1.11)
Динамика течения флюида определяется за счет трения флюида о
скелет породы. Введенная удельная поверхность частиц составляющих
пород,
определяется
как
суммарная
площадь
поверхности
Sпор.пр.
содержащихся в единице объёма ко всему объему образца V:
Sпор.пр.
.
V
где k определяется по экспериментальным данным, оказывающую
разную структуру.
Если пористая среда не изотропна, в произвольной ортогональной
декартовой системе координат (х1, х2, х3) компоненты вектора gradp будут
воплощаться через компоненты wi вектора
w:
3
p / xi
cij wj
cij wj
(1.12)
j 1
где cij — некоторый тензор.
Если компоненты тензора cij при безынерционных движений зависят
только от вязкости жидкости
, аналогично:
wi
kij p
xj
(1.13)
где kij — симметричный тензор проницаемости.
При имеющей высокие количественные показатели скорости, когда не
стоит,
не
принимать
во
внимание
инерционную
составляющую
сопротивления движению жидкости, предпосылки, заложенные при
заключении закона Дарси, перестают быть справедливыми.
13
К числу определяющих параметров относят число Рейнольдса:
w a
Re ,
В то время как сам закон фильтрации А. Дарси перестанет являться
линейным.
Запишем в двучленном виде, предложено Ф. Форхгеймером:
k
( ) grad p
k
w
w w
(1.14)
В качестве характерного размера a считается величина
должен быть справедлив закон (1.14). Коэффициент
k , при w
0
является функцией
пористости.
Уравнение (1.14) можно преобразовать к виду:
grad p
где
*
/ k
k
w
*
w w,
- структурный коэффициент, характеризующий
извилистость и непостоянство сечения поровых каналов.
Параметры k и
*
, в целом, воспринимаются независимыми
характеристиками пористых сред, правда, для большего класса пористых
сред между ними можно установить зависимость.
14
1.5 Уравнение неразрывности. Общая система уравнений.
Плотность фаз, участвующих в процессе, диагностируется ничем не
выделяющимся образом, правда с учетом, что каждая занимает свой
собственный объем. Если через среду фильтруется не более одна жидкость,
заполняющая весь объем пор, тогда плотность определяется, масса на
единицу объема жидкости:
lim
(предел V
V
Mж
,
Vп
0
(1.15)
0 принимается при малом объеме V ).
Средняя плотность жидкости
ср , соотношение массы жидкости M ж
на единицу объема образца V :
ср
lim
v
0
Mж
V
(1.16)
Выделим, средняя плотность связана через пористость (1.1):
m.
ср
Для
среднеобъемной
плотности
справедливо
(1.17)
будет
обыденное
уравнение притока массы - уравнение неразрывности:
( m)
div ( mv ) 0 ,
t

Для скорости движения жидкости v и скорости фильтрации w :
( m)
div ( w) 0
t
(1.18)
Частичным случаем является позволение о не сжимаемости жидкости
const, и недеформируемого грунта, в отсутствии реакций и фазовых
переходов между жидкостью и грунтом, становится выводом о постоянстве
пористости
m const .
Уравнению неразрывности в виде:
div (w) 0
(1.19)
При добавлении, к примеру, линейного закона фильтрации в уравнение
15
неразрывности (1.16), придаст к уравнению для расчета
приведенного
давления p*:
div[ (k / ) grad p* ] 0
(1.20)
В предварительном суждении о постоянстве коэффициентов вязкости
(при неизменности температурного режима)
и проницаемости k,
учитывая, гравитационную составляющую намного меньше градиентов
давлений, реализующихся в пласте.
Система преобразуется в уравнение для давления (Лапласа):
2
2
p
х2
p 0
2
p
y2
p
z2
0
(1.21)
Обратим внимание, среди переменных в уравнениях (1.19) и (1.20)
отсутствует время, таким образом, в постановке полученного решения также
не будет зависеть от времени, делая вывод, будет установившимся.
Для нестационарного процесса при отсутствии источников и стоков
получаем, уравнение неразрывности:
( m)

div и 0
t
И уравнение сохранения количества движения:
ρu
div u 2 m gradp* Fc
(1.22)
В виду несерьезных изменений, количества движения во времени, им
можно пренебречь.
Разница в перетоках через границы контрольных объёмов также имеют
величины второй малости (в сравнении со скоростью), значит, и вторым
членом можно пренебречь.
Силу сопротивления Fc по аналогии представим в виде:
Fc
c
Re
u2
a
c
u
Из-за чего, уравнение преобразуется в следующее:
gradp*
16
c2
u,
получим линейно связывающую скорость фильтрации с градиентом
давления уравнение.
Равенство широко используется в подземной гидродинамике, является
уравнением фильтрации в форме Дарси:

u
k
gradp* ,
(1.23)
где р*=р+z g, z – вертикальная координата.
В
рассмотренной
системе
уравнений: k=const,
h=const,
среда
изотропна.
Движение
жидкости,
как
было
уже
сказано,
установившейся
(стационарной) и неустановившейся (нестационарной). В первом движении
параметры в каждой постоянны, и не зависят от времени.
m
0,
t
Уравнение неразрывности примет вид:
(1.24)
В вышеприведенных уравнениях:
17
где (a) – декартовые координаты; (b) – сферические координаты; (c) –
цилиндрические координаты.
i, j, k – единичные векторы по осям декартовой системы координат;
e , e , er, ez – по осям сферической системы;
, , r и z – по осям цилиндрической системы;
В сферических координатах – угол
меридианного угла, а угол
определяет изменение
– широтного.
Для несжимаемой жидкости (r=сonst) уравнение (1.15):
(1.25)
18
1.6
Линейный закон фильтрации, границы применимости.
Французским инженером А. Дарси в 1856 г. было установлено понятие
как основной закон фильтрации, считающий линейную связь между потерей
напора Н1 - Н2 и объёмным расходом жидкости Q текущей в трубке с
площадью поперечного сечения F, заполненной пористой средой (рис. 2)
Рисунок 2 – Схема наклонного пласта
Напор для несжимаемой жидкости:
где z – высота положения; р/g – пьезометрическая высота; g – есть
объёмный вес; u – скорость движения жидкости.
При фильтрации скорость обычно мала, то под напором понимается
следующая величина:
гидравлический напор при пренебрежении скоростным напором.
Закон Дарси имеет вид:
,
(1.26)
где с – коэффициент пропорциональности фильтрации и имеющий
размерность скорости.
19
Закон Дарси обращает во внимание, что между потерей напора и
расходом существует линейная связь.
Запишем его в дифференциальной форме, учитывая соотношение
u=Q/F:
(1.27)
В векторной форме:
,
(1.28)
где s – расстояние вдоль оси криволинейной трубки тока.
Коэффициент фильтрации c характеризует одновременно, как среду,
так и жидкость, имея зависимость от размера частиц, формы и степени
шероховатости, также вязкости жидкости, пористости среды.
Коэффициент, как правило, используется в гидротехнических расчетах,
при работе с одной жидкостью – водой. При наличии разных видов
жидкостей использовать крайне неудобно. Из этого следует, закон Дарси
записывается, как правило, в ином виде:
(1.29)
или
,
где h
– коэффициент
динамической
(1.30)
вязкости;
H–
приведённое
давление, равное истинному значению при z = 0.
В системе СИ [k] = м2. В смешанной системе, когда [p] = кГ/см2, [h] =
0,01г/см = 1спз, [s] = 1см, [u] = см/с, k измеряется:
.
(1.31)
Проницаемость определяется геометрической структурой пористой
среды, к примеру, размерами и формой частиц, и системой их упаковки.
20
Насчитывается
установить
подавляющее
зависимость
количество
проницаемости
от
попыток
исходных
теоретически
характеристик,
принимая для ламинарного движения в трубах (из закона Пуазейля), и для
обтекания частиц (из закона Стокса).
Поскольку
реальные
породы
не
укладываются
в
границы
геометрических моделей, то теоретические расчеты будут столь ненадёжны.
Закон А. Дарси справедлив при соблюдении следующих условий:
поровые каналы достаточно узки, и изменение скорости фильтрации вместе с
градиентом давления достаточно малы.
При повышении скорости движения жидкости, закон нарушается из-за
увеличения потерь давления на эффекты, связанные с инерционными силами.
Именуется - верхняя граница.
Не исключено нарушение, и при очень малых скоростях фильтрации в
процессе начала движения жидкости. Из-за проявления неньютоновских
свойств и взаимодействий с твёрдым скелетом пористой среды. Именуется нижняя граница.
Критерием верхней границы справедливости закона определяет
сравнения числа Рейнольдса:
Re=war/μ
с критическим значением Reкр, впоследствии нарушается линейная
связь между потерей напора и расходом.
В выражении для числа Re: w - характерная скорость течения: а характерный геометрический размер пористой среды; r - плотность
жидкости.
Насчитывается ряд представлений чисел Рейнольдса, полученных
авторами при разном обосновании характерных параметров.
Приведем подходящие значения:
1) Павловского, критическое число Рейнольдса, Reкр = 7,5 – 9;
2) Щелкачёва, критическое число Рейнольдса, Reкр = 1-12;
3) Миллионщикова, критическое число Рейнольдса, Reкр = 0,022 - 0,29.
21
Скорость фильтрации uкр, при которой нарушается закон Дарси,
называется критической скоростью фильтрации.
Нарушение происходит из-за силы инерции, возникающие в жидкости
за счёт извилистости каналов и изменения площади сечения.
При u>uкр становятся верны с силами трения.
В анализе экспериментальных данных, для определения критической
скорости используют безразмерным параметром Дарси представляющим
собой отношение сил вязкого трения к силе давления:
(1.32)
В условиях действия закона, исходный параметр равен 1 и
уменьшается при превышении числа Re критического значения.
Нижняя граница не подчиняется при малых скоростях с ростом
градиента давления изменение скорости фильтрации.
Данное утверждение объясняется, при малых скоростях становится
существенным силовое
взаимодействие
между твердым скелетом и
жидкостью за счет образования неестественных систем.
Из всех моделей, наиболее простой считается с предельным
градиентом:
(1.33)
От верной заданной точности используемого закона фильтрации может
зависеть обоснованность данных, и определение самих параметров пласта.
Следовательно, в области нарушения действий необходимо ввести более
общие нелинейные законы фильтрации: одночленные и двухчленные.
Первые составляют степенную зависимость вида:
(1.34)
22
где C и n - постоянные.
Данные не удовлетворяют из-за параметра n, как и в целом случае
зависит от скорости фильтрации. Взамен, опишем двучленную зависимость,
вносящий постепенный переход от Дарси к квадратичному закону:
(1.35)
Коэффициенты - А и B определяются, либо теоретически, или
наоборот, экспериментально:
(1.36)
23
1.7 Уравнения потенциального движения для пористой среды.
Течение,
при
котором
проекция
массовой
скорости
на
ось
ортогональной системы координат является производной некой функции по
направлениям данных осей, называется потенциальным.
Фильтрационное течение в горных породах действует по закону А.
Дарси и, следовательно,
потенциальное. Потенциалом поля скоростей в
данном случае является:
k
dp C .
(1.37)
Равенство (1.30) имея возможность, перепишем в виде:
k
d
dp
(1.38)
grad .
(1.39)
или, учитывая закон А. Дарси:

u
где

u – вектор массовой скорости фильтрации, grad
направленный в сторону возрастания
– градиент ,
.
Данное уравнение – это закон Дарси, записанный для потенциального
течения:
m
t
,
(1.40)
для установившегося течения:
(1.41)
0
Соотношения
(1.40)
относительно функции
и
(1.41)
, а оператор
называют
уравнениями
Лапласа
, соответственно, оператором
Лапласа.
Располагает
двумя
внушительными
свойствами,
имеющее
практическое приложение: сумма частных решений, и произведение частного
решения на константу - являются решениями, свойства которых служит к
принципу суперпозиции.
24
В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид:
div grad
2
2
2
x2
y2
z2
2
2
r r
1
r2
r2
1
r
r r
r
(a)
2
1
2
r 2 sin 2
2
1
ctg
2
r2
2
1 2
2
r2
z2
(b)
(c)
где (a) – декартовые координаты; (b) – сферические координаты; (c) –
цилиндрические координаты.
25
1.8 Замыкающие соотношения систем уравнений.
Для полного замыкания системы уравнений фильтрационного течения
необходимо знание зависимостей , m, k, μ от давления.
Зависимость плотности
от давления, различают жидкость по
структуре:
Несжимаемая:
= соnst.
(1.42)
Упругая за счёт расширения объёма нефти и воды при снижении
давления (нестационарный процесс):
0
e
β f р р0
,
(1.43)
где коэффициент объёмного расширения жидкости:
с
с=
1 dVf
V f dp
(7–30)10-10 Па-1 – для нефти;
с=
1d
dp
Т
(2,7–5)10-10 Па-1 – для пластовой
воды.
Сжимаемая (газ):
р = RT,
(1.44)
где R – газовая постоянная.
До рпл < 9 МПа и
р < 1 Мпа, имеется возможность использовать
уравнение состояния совершенного газа.
Совершенный газ, молекулы которого не имеют объёма и не
взаимодействуют между собой при изотермическом процессе (Т = const)
используют соотношение:
ст
Если рпл > 9 МПа,
p
рст
.
(1.45)
извлечем обобщённое уравнение состояния
реального газа:
р=z RT
26
(1.46)
В уравнении (1.46) z – коэффициент сверхсжимаемости, являющийся
функцией давления при изотермическом течении.
Зависимость вязкости от давления, при силе меньше давления
насыщения, делая вывод, что вязкость не зависит от давления, а при больших
значениях имеет:
e
a р р0
(1.47)
0
Зависимость пористости от давления, пористость связана, первым
делом, с давлением между частицами
– эффективным давлением
эф,
передающимся через поверхность контакта зёрен породы:
эф
+ рпл = ргорн = const.
где рпл – пластовое давление; ргорн =
горн
(1.48)
gH – горное давление,
образующаяся под действием масс над кровлей пласта средней плотности
горн;
Н – глубина залегания пласта.
При разработке рпл понижается и, согласно (1.48), повышается
Увеличение
эф
эф.
влечет к деформации пласта, а именно, переупаковке
зёрен в сторону уплотнения, и не исключается разрушения:
m m0
где
т
m
р р0 ,
(1.49)
– коэффициент объёмной упругости породы с пределами
изменения (0,3 – 2)10-10 Па-1.
Зависимость проницаемости от давления, по причине уменьшения
пористости из-за этого увеличение давления, по аналогичному закону,
уменьшается проницаемость:
k k0e
При
ak р р0
,
(1.50)
р < 10 МПа показатель меньше 1 и, следовательно, условия
экспоненциальных зависимостей позволено разложить в ряд Тейлора.
Ограничиваясь первыми двумя членами:
0
где
1 a р р0 .
– общее обозначение вышеприведённых параметров.
27
(1.51)
Глава 2. Методы исследований фильтрации.
2.1 Фильтрация в условии сплошной среды.
Проанализировав
ранее,
рассмотрение
физических
явлений
подразумевается работа с движением жидкостей в пористых средах фильтрацией. Если углубиться, тезис произошел от латинского названия
filtrum (войлок), используемый в качестве фильтра.
Зачастую, характерные линейные размеры рассматриваемых задач
намного больше того же характерного размера пор, делая вывод, для
масштабных явлений пористый материал будет рассмотрен как и сплошной
средой.
В тех случаях, к примеру, когда жидкость движется вдоль тонкой
трубки, скорость фильтрации есть вектор u, направленный в сторону
движения жидкости. Величина будет равна объемному расходу жидкости в
расчете на единицу площади полного поперечного сечения трубки.
Обратим внимание, скорость фильтрации не равна скорости движения
отдельных частиц жидкости. Предположим, если S - площадь поперечного
сечения трубки, Sп - часть площади данного сечения, приходящаяся на поры,
то постоянство объемного расхода однородной несжимаемой жидкости:
где Q - объемный расход через трубку, v - среднее значение проеции
скорости частиц на ось трубки, вычисленное по площади сечения
занимаемой порами.
Из этого будет следовать:
Средняя скорость частиц жидкости в 1/n раз больше скорости
фильтрации. Введенная величина n как было уже учтено - просветность, для
пористых сред n ≈ m.
28
Изменение массы жидкости в произвольном объеме V внутри
неподвижной пористой среды происходит за счет притока жидкости через
границу объема:
где p - плотность жидкости, n - внешняя нормаль к поверхности
.
Если плотность жидкости постоянна, а пористая среда не деформируется
(зависимость только от координат), то первое слагаемое обращается в ноль и
закон сохранения массы принимает вид:
В противном случае, когда скорость фильтрации u есть гладкая
функция координат, обретаем само уравнение неразрывности:
div u = 0.
(2.1)
Массовые эксперименты дали понять, при медленном стационарном
движении несжимаемой жидкости в неподвижной изучаемой нашей среде,
скорость фильтрации линейно зависит от градиента давления.
Для движения жидкости в поле силы тяжести данная зависимость:
(2.2)
где p - давление в жидкости, g - ускорение свободного падения, μ коэффициент вязкости жидкости, k - коэффициент пропорциональности
(проницаемость).
Знак минус перед выражением, принимая во внимание, в отсутствие
силы
тяжести,
жидкость
будет
двигаться
из
области
большего
соответственно к меньшему давлению.
Если жидкость в порах пребывает при u = 0, то закон А. Дарси
преобразуется в уравнение равновесия жидкости.
29
Коэффициент k подчиняется только от свойств пористой среды (не от
свойств жидкости), и изменяется, по большей части, геометрией порового
пространства.
Для
неоднородных
сред
коэффициент
является
функцией
пространственных координат:
(2.3)
где z - вертикальная координата рассматриваемой точки (ось Oz
направлена вверх, противоположно g), C - коэффициент фильтрации.
Если пористая среда соприкасается с непроницаемой для жидкости
средой (например, песок с бетонным основанием), следовательно, и
нормальная компонента будет стремиться:
u * n = 0.
(2.4)
На границе с атмосферой заполняющая жидкость имеет возможность
подниматься, как на поверхность, так и стекать вдоль границы.
На поверхности высачивания, давление жидкости совпадает с
атмосферным давлением:
p = pатм.
(2.5)
Предполагается, что жидкость вытекает, что означает на границе u * n
> 0.
В
большинстве
случаев
наблюдаются
границы
со
свободной
жидкостью. Естественно, скорости движения жидкости в водоемах малы,
подразумевая, что давление определяется по гидростатическому закону:
p = pатм.+ pgl.
(2.6)
где l - глубина водоема в рассматриваемой точке границы.
Соотношения (2.1) и (2.2) образуют полную систему уравнений,
описывающих стационарную фильтрацию несжимаемой жидкости.
30
Функции u и p можно найти в системах с использованием
соответствующих граничных условий.
Практика указывает, связь (2.2) верна и для нестационарных
фильтрационных процессов (если не слишком резко), следовательно, система
уравнений в этом случае остается прежней.
Граничные условия в (2.4), (2.5) и (2.6) также сохраняют свой вид,
только с разницей входных величин (pатм или l) завися от времени, как от
параметра.
31
2.2
Вывод
зависимости
градиента
давления
от
скорости
фильтрации с помощью теории размерностей.
В отсутствие массовых сил, за исключением модуля скорости
фильтрации u, величина градиента давления |grad p| зависит, как от свойств
жидкости: плотности p, определяющей инерционные свойства, и вязкости μ,
которую необходимо учитывать. Иначе, в силу парадокса Даламбера не
испытывала бы сопротивления при стационарном движении в тонкой трубке.
Так и от свойств пористой среды - пористости m, характерного размера
пор d и, не исключено, от других скалярных безразмерных параметров ai,
определяющих геометрию порового пространства:
|grad p| = F(u, p, μ, d,m, ai).
Выберем класс систем единиц {L,M,T}. В качестве величин с
независимыми размерностями u, μ и d, на основании П-теоремы:
Первый аргумент функции
укажем числом Рейнольдса Re,
высчитанным по характерному размеру пор d и скорости фильтрации u.
По отношению направления вектора grad p должен быть параллелен
вектору u. На самом деле, в прямоугольной декартовой системе координат
зависимость компонент вектора grad p от компонент вектора скорости
фильтрации u и других определяющих параметров:
Подметим, вид функций
не зависим от выбора системы координат.
Рассмотрим с точки зрения, векторы grad p и u не параллельны.
Направим ось Ох вдоль вектора u, при наличии только одной отличной от
нуля компонента.
32
В таком случае, при повороте системы координат относительно оси Ох,
все аргументы функций
останутся неизменными, а компоненты вектора
grad p будут изменяться, что создаст противоречие, рассуждение опирается
на соображение об изотропности пористой среды.
Делаем вывод, общий вид закона фильтрации несжимаемой жидкости в
изотропной пористой среде:
(2.7)
Зависимость (2.7) существенно упрощается при очень медленном
течении жидкости внутри пор, поскольку функция F не зависит от числа
Рейнольдса. Стационарное ламинарное движение вязкой жидкости в порах
описывается уравнением неразрывности:
и выражениями Навье – Стокса:
Член, стоящий в левой части уравнений, по порядку величины равен
pv2/d, как член в правой части μv/d2, где v - характерное значение скорости
частиц жидкости. Производная
, имея порядок A/L, где L - характерный
масштаб переменной x.
Означает,
отношение
первого
названного
члена
ко
второму,
характеризует отношение инерционных сил к силам вязкого трения, имеет
порядок рvd/μ или рud/μ = Re, по причине характерной скорости частиц
жидкости v и скорости фильтрации u, отличающие лишь множителем
порядка единиц.
Знаем, при Re < 1 в левой части уравнений Навье – Стокса
конвективную
производную
позволено
пренебречь
по
сравнению
с
остальными членами. Получается плотность р не будет входить в постановку
задачи, а значит исключена из числа определяющих параметров.
33
При Re < 1 зависимость (2.7) преобладает:
где k, имеющая размерность квадрата длины, зависит только от свойств
пористой среды, чем сходится с законом Дарси (2) при g=0.
По данным отражают, закон остается справедливым при значениях Re,
не превосходящих нескольких единиц. При больших значениях Re движение
жидкости в порах остается ламинарным, правда, инерцией жидкости при
движении в порах уже нельзя игнорировать.
Зависимость градиента давления от скорости фильтрации нелинейная
(считают квадратичной) и необходимо пользоваться законом (2.7).
34
2.3
Закономерности
изменения
проницаемости
при
фильтрационных течениях.
Для обзора пропускной способности режимов фильтрации в качестве
основной характеристики выбираем коэффициент проницаемости.
Существует определенная закономерность изменения проницаемости с
повышением отношения скорости фильтрации и кинематической вязкости
фильтруемой среды, закладывая за основу систем теории фильтраций.
Закон
Дарси
с
двучленным
уравнением,
имея
постоянные
коэффициенты, не согласуются между собой. Значит, носит ограниченный
характер, и не применим в широком диапазоне режимов.
Для одномерного установившегося движения и оценки сопротивления
используют критериальные соотношения и двучленное уравнение с
переменными. Рекомендованные эмпирические соотношения, определяющие
коэффициенты уравнений и критериальные соотношений основных типовых
структур. Однако не было обнаружено надежных объяснений физического
смысла, воспринимая сейчас за результат эмпирических обобщений.
Дополняя, недостаточно исследован вопрос, какой из характеристик
пористой среды следует считать пропускной способностью.
Вдобавок нет единых утверждений о видах течения, которые
реализуются в поровых каналах при фильтрации на отличных друг от друга
режимах.
Проницаемость — свойство пропускания через себя течения под
действием приложенного градиента давления.
Количественно характеризуется потоком фильтруемой среды q,
проходимого через единицу площади образца за единицу времени. Контакт
между градиентом давления и величиной потока q, рассмотрим по итогам
экспериментальных исследований образца цилиндрической формы.
35
Условия одномерной установившейся фильтрации вдоль продольной
оси:
(2.8)
где Δp — перепад давления; h — длина образца; ρ, μ, ν —
соответственно плотность, динамическая и кинематическая вязкость,
определенные по среднему давлению:
где p1 — давление на входе в образец, u — скорость фильтрации, kп —
коэффициент.
Для определения численных значений
исследований
проницаемости
образцов,
kп использованы результаты
и
обобщенных
данных
обнародованные ранее авторами.
Проверки заключались на всех режимах фильтрационных течений,
включая с критическим истечением, в основном при большом количестве
разнообразных цилиндрических образцов от 10 до 150 мм длиной.
Изменения в пределах при давлении p1 приближенно к атмосферному
до 100 МПа, а градиент давления до 1.5 МПа:
плотность — 1.3 < p < 570 кг/м3;
динамическая вязкость — 1.8*10-5 < μ < 5.6*10-5 нс/м-2;
кинематическая вязкость — 8.9*10-8 < v < 1.5*10-5 м2с-1.
Перепады давления во время испытаний по определению kп не
превышают 70% от величины p1 при p1 <16 МПа и 40% при 20 ≤ p1 ≤ 100
МПа.
В итоге, брались данные по всем известным классам проницаемых
структур. Коэффициенты проницаемости, приведенные в таблице №1, в
области линейной фильтрации, как показано, отличаются на 8 порядков.
36
Таблица 1 - структурные виды.
Проведение
исследований
было
вызвано
необходимостью
преумножить и внести ясность представления о фильтрационных течениях.
Результаты определения kп в каждом образце рассматривались:
При моделировании отталкивались от двух параметров:
используемые при обобщениях, связанных с kп и параметром u/ν двумя
соотношениями:
и, вследствие этого, зависимость:
(а)
представляется эквивалентом выражения:
(б)
в зависимости (а) представляются коэффициенты аналогами в
зависимости (б), анализ данных способствуют составить следующие выводы.
37
Зависимость (б) индивидуальна для каждого определенного образца, и
независимо от характера, и особенностей структуры будет одного и того же
вида (рис. 3а). Вдобавок, отдельно взятый режим через конкретный образец
соответствует определенное значение kп.
С увеличением параметра u/ν коэффициент kп сохраняет постоянное
значение (max) в узкой области, в последствии уменьшаясь до значений (min)
достигаемого на режиме с критическим истечением при допустимом (max)
градиенте давления на выходе:
Разброс экспериментальных точек относительно аппроксимирующих
зависимостей (рис. 3а), не превышает + 6%.
Вместе с тем, в (б) прослеживается систематические смещения
относительно друг друга экспериментальных точек, полученных при одном и
том же значении параметра u/ν, правда, при разных значениях давлений p1,
перепадов давлений Δp, градиентов давления.
Относительно, воздействия на характер зависимости (б) вида газ,
жидкости фильтруемой среды считается следующее. Величину в законе
Дарси и величина параметра (u/v)1 не берут в расчет от рода фильтруемой
среды (рис. 3а). Выяснения влияния рода на пропускную способность
пористой среды в области нелинейной фильтрации не проводилось,
ограничиваясь, за счет обстоятельств. Сопротивление при фильтрации на
режиме с определенным значением параметра u/ν жидкости в основном
больше, чем при фильтрации газа.
Анализ показывает, значение параметра μ2/ρ при давлении p для воды
~4р раз больше, чем в случае воздуха.
Принимается во внимание, уравнение (2.8) для осуществления
фильтрации воды потребуются градиенты давления, превышая градиента
давления при фильтрации воздуха в 4р раз (при p = 10 МПа 4р ≈ 400).
38
Высокие градиенты ограничивают область режимов, в основе, области
линейной фильтрации. Из-за чего поставленный вопрос о влиянии рода
фильтрационной
среды
на
характер
зависимости
(б)
выглядит
несущественным и не рассматривается вовсе.
Из перечисленного, допускается вывод, характер зависимости (Кп) не
связан
со
свойствами
характеристикой
фильтруемого
проницаемой
среды
газа,
и
зависимость
конкретно
(б)
будет
определяется
ее
структурой.
Сведения зависимости с соотношением (2.8) позволяет узнать по
давлениям расход фильтруемой среды, или как минимум перепад давления
на образце при определенном расходе.
Практически kп характеризует пропускную способность пористой
среды: при общем градиенте давления Δp/h, чем больше kп, тем больше
расход, и в обратном порядке. Уместно назвать kп коэффициентом
проницаемости пористой среды, а сам k в законе Дарси — коэффициентом
Дарси.
В зависимости (б) (рис. 3а) вправе выделить три характерных участка:
линейный горизонтальный участок I, криволинейный участок II и линейный
наклонный участок III.
В сумме, с аппроксимацией результатов испытаний гладкими
зависимыми положениями возможна аппроксимация с помощью кусочнолинейных функций с изломами в точках №1 и №2.
Отклонения аппроксимаций от данных экспериментов, имеющие
значения (max) в области точек излома, не превышают + 5%.
Далее участки (граница) I, II, III (б) будем находить по точкам излома
№1 и №2, именуя границы по u/ν и через параметры (и/v)1 и (u/v)2.
Изучаемые зависимости (б) опишем в соотношении вида:
(2.9)
39
где i = 1, 2, 3 — соответствие номеру участка, коэффициенты a и b
изменяются, как показано (рис. 3б,в).
На участке II значения a и b возрастают с ростом параметра u/ν
соответственно от значений a1 до a3 и от нуля до b3.
Аналитически зависимость a и b от параметра u/ν, опираясь на [1],
отношение u/ν обозначено через R:
a=a1=const, b=0 при (и/v) < (u/v)1;
a=a3=const, b=b3=const при (и/v) > (u/v)2;
(2.10)
при (u/v)1 < (и/v) < (u/v)2
Рисунок 3 - Вид зависимостей проницаемости kп-1 и характеристик
проницаемости а, b от отношения u/v скорости фильтрации к кинематической
вязкости фильтруемой среды.
40
Далее a и b считаются характеристиками проницаемости пористой
среды. Численные значения коэффициентов для разнообразных пористых
сред определяются по результатам, исходя из соотношения. Понимание о
диапазонах их изменения приведены в таблице 1.
Из чего следует установленное соотношение:
a1 = k-1 < a3
Величина a3 возможна в n-раз превышать значение a1, а область II быть
протяженной:
(и/v)2 (и/v)1-1
у разного рода структур меняется в пределах от 2 до ~50.
Коэффициент kп конкретного образца с увеличением параметра u/ν
может уменьшаться во много раз.
Значит,
установлено,
к
месту
закономерности
изменения
проницаемости пористой среды при течении через нее газа (жидкости),
сводится к тому, приведенный kп уменьшается с ростом отношения u/ν от
значений (max) в области линейной фильтрации на режимах с критическим
истечением (min).
Зависимость преобладает единой для всех пористой проницаемостью
вида (2), a и b, входящие в области параметра u/ν возрастают с ростом u/ν от
(min) до (max) значений, оставаясь постоянными вне этой области.
Установленная закономерность воспроизводит свойство пористой
среды, меняя пропускную способность с изменением единичного числа
Рейнольдса Re:
при d1 - характерного линейного размера.
Обоснованность заключается, для достаточно полного описания
проницаемости пористой среды недостаточно знания одного k.
Необходимо знать пять характеристик: коэффициенты k, a3, b3 и
параметры (и/v)2 и (и/v)1.
41
2.4
Взаимосвязь
фильтрации
и
коэффициентов
критериальных
уравнения
движения
при
соотношений
гидравлического
установившегося
фильтрационного
сопротивления.
Для
изложения
одномерного
течения, рекомендовано использовать систему трех уравнений:
(2.11)
где x — координата в направлении фильтрации; α, β — вязкостный и
инерционный коэффициент сопротивления.
Функции f1, f2 решаются по результатам определения проницаемости
пористой среды, удовлетворительно описывая данные по фильтрации через
всякого рода структуры.
Интегрирование уравнения (2.11) с приобщением теории о среднем
значении. В связи независимости α, β от давления p, следует:
(2.11 а)
В котором:
p2 — давление после образца.
При верности уравнений (2.10) справедливо соотношение:
Из чего, с учетом (2.11а), (2.8) и (2.9) сложится, α и β согласованы с a и
b соотношениями:
(2.12)
42
Для инженерных целей предположим:
(2.13)
На самом деле, величины отношений ρ/ρс и μ/μс для реального газа в
прямом случае определяются зависимостями: плотностью, динамической
вязкостью от давления, величиной перепада давления Δp, и величиной
давления p1 пористой среды.
График (Рис. 4) ρ/ρс=f (p2, p1=const), изображающий понимаение о
характере и величине изменения соотношения ρ/ρc в абсолютно разных
условиях при течении воздуха.
Рисунок 4 – изменение соотношений.
Знаем, отношение ρ/ρc близко к единице при более значимых
значениях p1 и Δp.
Величину отношений μс/μ, укажем:
Во всяком случае, отличия в величинах сопротивлений Δp1 и Δp2 при
фильтрации, рассчитанных по равенству (2.11а) с использованием (2.12) или
(2.13):
43
Соотношение для находящего параметра и данные (рис. 4) применимы
для использования оценок степени влияния предпосылки (2.13).
Анализ, показывает, в условиях, проводимости испытания образцов,
значения Δp1 и Δp2 отличаются не более
на 1%, свидетельствуя о
легитимности допущений (2.13).
Из всего значит, вид уравнений (2.11) порожден закономерностью
изменений проницаемости пористых сред, в следствии, вязкостный и
инерционный
коэффициенты
α,β
воспроизводят
характеристики
проницаемости.
Выразим через коэффициент гидравлического сопротивления ξ и
скоростной напор сопротивление Δp образца длиной h при фильтрации
жидкости:
(2.14)
где m — пористость образца, d1 — условный диаметр пор.
Сравнивая (7) с (1), выведем критериальные соотношения:
(2.15)
где a, b — векторные безразмерные коэффициенты, называя
безразмерными характеристиками:
увеличивая с ростом числа Re от 1 до a3, и от нуля до b3.
44
Вклад первого члена соотношения (2.15) в величину коэффициента ξ
мал по сравнению с вкладом второго члена, не превышая 5%:
(2.16)
В области
В сравнении соотношения (2.14) с результатами интегрирования
уравнения (2.11) критериальные зависимости:
(2.17)
Безразмерные коэффициенты, названные вязкостным и инерционным:
Зависимости,
допускают
обобщить
результаты,
соединив
в
среды
на
разнообразие предложенными авторами к одному из (2.11).
Выражение
(2.11)
фиксирует
данные
пористой
полуплоскость, расположенную справа от зависимости ξ = 64/Re, размещая в
ряд с аналогичными зависимостями (рис. 5).
45
Рисунок
5
–
Зависимость
коэффициентов
гидравлического
сопротивления ξ от числа Re.
Однако зависимость ξ = f (Re) конкретного образца занимает вполне
точное положение, предуказывающий величиной
.
Соотношения (2.9) и (2.11) с учетом (2.7) при решении инженерных
задач:
(2.18)
Делаем вывод, критериальные соотношение (2.11) вытекает из
обоснованности изменения проницаемости, в то время, безразмерные
вязкостный и инерционный коэффициенты сопротивления α, β являются
аналогами
.
Заявление о величине чисел Re, имеет место при фильтрационных
течениях, анализируя данные (рис. 5).
Проведенная линия I, с приемлемой для оценок точностью изображает
левую границу области
Граница
построена
.
путем
аппроксимации
данных,
полученных
соотношением (9), и средних значений коэффициентов α3 (см. таблицу №1)
для классов пористой среды. Практика показывает, граница I мало
достижима из-за реализации, требуется большое давление градиента вдоль
направления фильтрации. Все известные данные указаны левее границы I.
Область, представляющая практический интерес, располагается между
зависимостями ξ = 64/Re, I и 3.
46
2.5 Уравнения неустановившихся течений по двучленному закону
фильтрации.
Рассмотрена с более стороны новизны
формулы
Форхгеймера
разрешенная
интерпретация двучленной
относительно
вектора
скорости
фильтрации.
Получены инвариантные векторные уравнения неустановившегося
фильтрационного течения упругой жидкости в упругой пористой среде по
двучленному закону фильтрации, как ранее рассматривались частные случаи
представления
для
одномерных
задач
при
плоскорадиальной
и
плоскопараллельной фильтрации.
В
основном,
эффективных
закладывается
векторных
полей
на
предположении
скорости
фильтрации
существования
wi,
градиента
фильтрационного давления ∇i p.
Общей связью представит:
(2.19)
Соотношение (1) допускается относительно скорости фильтрации:
(2.20)
где: ρ – плотность жидкости, μ − динамический коэффициент вязкости,
χα − инвариантные скалярные параметры, характеризующие пористую среду
и жидкость, Тα − материальные тензоры.
Замысел о линейности зависимостей (2.19) и (2.20) сводится к закону
Дарси:
(2.21)
где Rij и Kij − симметричные тензоры второго ранга.
В теории фильтрации ньютоновской жидкости в недеформируемой
пористой среде полагается, свойства за счет коэффициента вязкости μ, вид
материальных тензоров Тα и Rij и Kij в равенствах (1.19) по (2.21) задается
симметрией порового пространства.
47
В наличии
единственного материального тензора, при физических
свойств, считается метрический тензор, в декартовой системе координат
представляет собой дельту Кронекера δij.
Для разделения свойств жидкости и пористой среды с помощью
методов теории размерности тензоры Rij и Kij:
(2.22)
где rij и kij – симметричные тензоры коэффициентов фильтрационного
сопротивления и проницаемости, соответственно.
Подстановка равенств (2.22) в соотношения (2.21), действует линейный
закон фильтрации, как для изотропных, так и анизотропных сред.
где r и k – коэффициент фильтрационного сопротивления и
проницаемости, соответственно, то получим закон Дарси для изотропных
сред.
48
2.6 Нелинейный закон фильтрации, разрешенный относительно
вектора скорости.
Рассматриваемые рассуждения позволяют представить соотношение:
(2.23)
Равенство относительно вектора скорости фильтрации:
(2.24)
Значит, нужно определить связь между модулями вектора скорости
фильтрации, и градиента давления, чтобы окончательно утвердить формулу
Форхгеймера.
Для нахождения связи по отношению (2.24):
где |∇p| − модуль градиента давления, ni − компоненты орта.
Произведем скалярно равенство на ni , выведем квадратное уравнение
относительно w:
(2.25)
Из двух корней равенства (2.25), возьмется корень со знаком + перед
радикалом.
Выражение (2.25) в равенство (2.24), с помощью преобразований:
(2.26)
Произведем числитель и знаменатель равенства (2.26) на соотношение
сопряженное в знаменателе, разложив полученный радикал в ряд:
(2.27)
49
Соотношение
(2.27)
выражает
нелинейный
закон
фильтрации
относительно вектора скорости.
С
позиций
методов
теории
нелинейных
тензорных
функций
нелинейная связь:
(2.28)
где ϕ (J) – функция от инварианта J = δij∇i p∇j p.
Предположив, что функция ϕ (J):
(2.29)
где |∇p| – модуль градиента давления:
(2.30)
Равенство (2.27) позволяет определить значения с и d.
50
2.7 Уравнение неустановившегося фильтрационного течения
упругой жидкости по двучленному закону фильтрации.
По двучленному закону фильтрации (2.27) в упругой изотропной
пористой среде без учета силы тяжести:
(2.31)
где βж и βс – коэффициенты объемного сжатия жидкости и упругости
пласта.
После подстановки уравнений состояния нелинейного закона в
уравнение неразрывности, система уравнений (2.31) преобразована:
(2.32)
где β∗ = m0βж + βc – коэффициент упругоемкости пласта.
Жидкость слабо - сжимаемая и при βж малом значении, возьмем за
основу Р ≈ ρ0 р, переписав выражение (2.32) в соотношении:
В котором:
(2.33)
где η = k/β∗μ – коэффициент пьезопроводности пласта.
Уравнение (2.33) неустановившейся фильтрационное течение упругой
жидкости в упругой пористой среде по двучленному закону фильтрации в
изотропной
пористой
среде.
Представляется
для
одномерных
фильтрационных течений.
Для прямолинейно-параллельного фильтрационного течения (приток
жидкости к галерее) уравнение (2.33) примет:
51
(2.34)
Для плоскорадиального фильтрационного течения (приток жидкости к
скважине) уравнение (2.32) записывается:
(2.35)
Уравнения (2.34) и (2.35) рассматриваемые случаи.
Полученные формулы позволяют обобщить теорию упругого режима
на случае двучленного закона фильтрации.
52
Глава 3. Постановка и решение задач.
3.1 Нестационарная задача фильтрации жидкостей.
Как
уже
было
обговорено,
среда
фильтрующей
перегородки
деформируется с изменением ее пористости, что вполне убедительно.
На основании изучения и представления закономерности самого
процесса, возникает заключение о
дифференциальном уравнении при
заданных, как начальных, так и граничных условиях.
Знаем,
к
примеру,
металлические
частицы
отхода
продукта,
просачиваются вместе с жидкостью в зону контакта, подвергаются
искажению не только себя, становясь явной причиной влияния на
деформацию материала
поверхности. Последствия порождают наличие
прижогов и трещин.
Для примера, абразивные частицы отхода, в конечном счете, не только
не искажаются, а наоборот, образуют связь при шлифовании, удлиняя уже
абразивные зерна на поверхности круга, продвигаясь в обрабатываемый
участок. Способствуют оставления следов воздействия на слоях деталей,
последствие, доводят до роста шероховатости.
Для устранения при шлифовании и снижения шероховатости,
загрязненные жидкости следует очищать от твердых частиц.
Устанавливаем, использование фильтрации и осветления особенно
рентабельно. С противоположной стороны, в меру особенной структуре
порового пространства, ограничивают рядом специфических явлений,
оказывающих при движении в каналах.
В изучаемой модели процесс суспензии преобладает с постоянным
закупориванием пор фильтрующей перегородки. С постепенным засорением
на перегородку объемом Wф, содержащий слой сырья пористостью П, не
переставая, втекает жидкость со скоростью Wж в минуту, содержащая
твердые частицы, останавливаясь и задерживаюсь внутри, в то время как
отфильтрованная продолжает следовать с неизменной для себя скоростью.
53
Впоследствии, частицы меняют пористость и преобразуют влияние на
длительность процесса.
Допуская изменение пористости пропорционально приросту массы
частиц в слое Wф:
(3.1)
где рТ – плотность твердых частиц.
Поскольку среда непрерывно искажается, то уравнение неразрывности:
(3.2)
Подставим в (3.2) значения:
Преобразуется:
Реальная жидкость по себе слабо сжимаема, значит с достаточной
степенью точности:
(3.3)
где a – модуль упругости жидкости.
Находим значения величин:
уравнение неразрывности для деформируемой среды:
Из (2) преобразовываем выражение в деформируемой среде:
(3.4)
54
Поскольку, суспензии через слой твердых частиц протекают в одном
направлении, значит из (3.4):
(3.5)
Соотношение (3.5) способствует при заданных ранее начальных и
граничных условиях выявить решение.
На принципе закона, изменения области значений 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ z ≤ L:
(3.6)
На поверхности распределение давления применяется как функция
координат и времени Р(z, t).
Распределение давления в начальный момент времени, при t =0 будет
P(z,0) = P1.
Давление во время фильтрации соблюдают постоянной, при z=0 будет
P(0,t) = P1 и при z=L будет P(L,t) = P2
В результате, подходим к постановке нестационарной граничной
задачи, решение (3.5) с начальными и граничными условиями (3.6)
производится за счет метода конечных разностей.
Содержание является искомый набор чисел в соответствующих точках
отдельных множества.
В плане дискретного множества точек Dh, пересечения прямых линий:
z=mh, t=nЧt
при m = 0, ±1, ±2, … n; и n=0,1,2,..[T/τ], где h>0, τ>0 – некоторые
числа.
Согласимся, шаг τ связан с шагом h зависимостью τ=rh2, где r=const.
Значит, сетка Dh зависима только от параметра h. Начальной сеточной
функцией есть таблица [P]h={P (mh, nτ)} значений решения P (z, t)
выражения (6) в точках сетки Dh.
Косвенно
разностная
схема,
соотношением (3.6):
55
приближенная
дифференциальным
(3.7)
(3.8)
В надежде, вычислить значение Pm
n +1
, при m=0,1,2, … L, в курсе
значения Pmn , при m=0,1,2, … L, необходимо решить:
(3.9)
(3.10)
После
умножения
обеих
частей
разностного
соотношения
на
множитель «- τ»:
(3.11)
При m=1,2,3… L-1:
(3.12)
В которых:
Коэффициенты am , bm , cm применимы к условиям: am >0, cm >0,
∣bm∣ > am + cm + d , (d >0). Следовательно, будет преобладать
единственное решение:
Запишем уравнение V0 = a0 системы (3.12):
В котором:
56
Из выражения соответствующего в системе (3.12) номеру m=1:
Исключим значение равенством:
Полученное произведение относительно V0 представим:
в котором:
Процесс исключения будет продолжаться для значений m = 2, 3, 4,...n .
Коэффициенты, принимающие в процессе исключения:
находятся по рекуррентным формулам:
Конечное соотношение принято образом подобия, преобладает:
В силу того, значение VL = b0 , вычисляем:
После всего, выражения будут иметь цикл постоянства при VL-n :
До тех пор, когда не будет определено значение V1.
Осуществив
закономерности
исследования,
процесса,
предоставили
позволили
выявить
установить
закон
и
освоить
изменения
пористости фильтрующей перегородки.
На праве закона изменения пористости - выведено дифференциальное
уравнение движения.
57
3.2 Термодинамические тождевства, уравнения неизотермической
фильтрации.
Расчеты
фильтрационных
движений
обычно
проводятся
для
изотермической фильтрации капельных жидкостей и газов.
Неизотермическая фильтрация сопровождается теплообменом между
пористой средой и фильтруемой жидкостью, что приводит к изменению
температуры жидкости по ходу фильтрации.
Для расчета средней скорости фильтрации используется формулу
Дюпюи:
(1)
Эту формулу можно также записать в виде:
(1 а)
в элементарной технической работе расширения:
связанной с изменением кинетической энергии и с подводом теплоты к
лагранжевой частице (к жидкому объему фильтрующейся жидкости).
В данном случае техническая работа выступает в качестве «потенциала
фильтрации».
Для учета теплообмена в неявном виде можно использовать условие
баротропности движения:
(2)
где n — показатель политропы.
58
Значениям n < k отвечает фильтрационный поток с подводом теплоты
по ходу фильтрации, а значениям n > k — отвод теплоты по ходу
фильтрации. При 1 < n < k подвод теплоты не приводит к нагреванию газа;
при 0 < n < 1 подвод теплоты приводит к нагреванию газа.
С учетом (2) формула (1) может быть записана в одном из двух видов
— через безразмерный перепад давления
температуры
(2) и через безразмерный перепад
(3):
(1 б, в)
Очевидно, при n
1 ± 0, выражение (1в) становится неопределенным:
что приводит к (1б), n = 1.
При n
(1б, в) превращаются в формулы фильтрации для
капельной жидкости.
В фильтрационном движении массовая скорость v = const.
(1 г, д)
В силу (1 б,в) и, на первый взгляд, распределение давления по ходу
фильтрации должно быть линейным при любом, неизотермическом и
изотермическом, течении. Но коэффициент фильтрации k связан с
коэффициентом проницаемости s тождеством:
(3)
59
Для совершенного газа:
Стало быть, в силу (3):
(1 е)
Рис 6 - Распределение безразмерного перепада давления
по
фильтрациям для разных случаев:
(1 – охлаждение газа по ходу фильтрации r > 0, n > 1); (2 – нагревание
газа по ходу фильтрации r < 0, n <1); (3 – постоянная температура r =0, n =1).
Пусть, по рис (6):
.
Тогда в силу (1 е):
(4)
где r > 0 при n > 1 и r < 0 при n <1.
Следовательно, справедлива следующая теорема:
При отводе теплоты или при слабом подводе теплоты, недостаточном
для увеличения температуры фильтрационного потока по ходу фильтрации,
кривая давления имеет выпуклость вниз.
60
Наоборот, при разогреве газа по ходу фильтрации (r < 0, n < 1) кривая
давления имеет выпуклость вверх. И только в случае r = 0 (n = 1) при
изотермическом фильтрационном движении линия давления прямая.
При r
(капельная жидкость) r
0, и линия давления прямая при
любых законах подвода или отвода теплоты.
Теорема имеет простую физическую мотивировку. Пусть газ по ходу
фильтрации охлаждается (либо пористое тело холоднее газового потока, либо
подогрев газа компенсируется падением температуры за счет падения
давления).
Тогда средняя скорость фильтрации падает походу фильтрации,
пористая среда ведет себя как диффузор.
Если же газ подогревается пористой средой, то средняя скорость
фильтрации растет по ходу фильтрации, и пористая среда ведет себя как
конфузор.
В силу (1д) и (3):
для постоянства массовой скорости необходимо:
Пусть
, тогда распределение температуры по ходу
фильтрации имеет вид:
(4 а)
В следующей теореме при n > 1 (охлаждение газа по ходу фильтрации)
кривая температуры имеет выпуклость вверх; наоборот, при n < 1
(нагревание газа за счет теплоотдачи с пористой средой) кривая температуры
имеет выпуклость вниз.
61
При n
, кривая температуры, и при подводе теплоты и при отводе
теплоты — выпукла вниз.
Действительно, при охлаждении газа по ходу фильтрации средняя
скорость фильтрационного потока падает, чем меньше скорость фильтрации,
тем длительнее контакт частицы газа с пористой средой и тем интенсивнее
охлаждение газа.
Нагревание газа в пористой среде равносильно охлаждению горячего
газа при обратном направлении фильтрации — от сечения X = 1 к сечению X
= 0.
На (рис. 7) представлены графики изменения давления и температуры,
построенные в соответствии с решениями (4), (4а).
Рисунок 7 - Распределение безразмерного перепада давления
температурного напора
и
по ходу фильтрации: (слева – при нагревании газа
по ходу фильтрации); (справа – при охлаждении газа по ходу фильтрации).
Вместо формулы Дюпюи (1) в качестве «потенциала фильтрации»
предлагается использовать «работу проталкивания» dlf, определяемую:
Или что удобнее «обобщенную работу проталкивания»:
При n = 1 обобщенная работа проталкивания изотермического процесса
совпадает с технической работой.
62
Использование же работы проталкивания в «чистом виде» приводит в
изотермическом движении к парадоксальному результату — v = 0,
исключающему изотермическую фильтрацию.
При n=2 обобщенная работа проталкивания совпадает с работой
проталкивания.
При n
плотность не зависит от давления:
Формула Дюпюи записывается, как для капельной жидкости.
Справедливы равенства, аналогичные равенствам (1а–д):
(5)
и следующие равенства:
(5 а)
Средние скорости, подсчитанные по формулам (1) и (5) отличаются в n
раз. Если n близко к 1, результаты совпадают.
Теоремы, рассмотренные выше, сохраняют силу, кроме того, вместо
равенства (3) выполняется условие:
(3 а)
Определение коэффициента фильтрации зависит от n и совпадает с (3)
только при изотермическом течении.
Получается, для неизотермического течения коэффициент фильтрации
зависит от температуры (через коэффициент вязкости v) и от внешнего
теплообмена (через показатель политропы n).
63
Для
изотермического
течения
постоянство
коэффициента
проницаемости s влечет постоянство коэффициента фильтрации k.
Такое
положение
парадоксально
только
на
первый
взгляд.
Действительно:
1) коэффициент фильтрации определяется и задается с погрешностью в
десятки процентов (в логарифмической шкале), поэтому введение показателя
n в определение коэффициента фильтрации мало что меняет;
2) коэффициент проницаемости определяется для изотермического
фильтрационного движения, n = 1. Теплообмен с пористой средой зависит от
ее плотности.
Пористая среда может иметь плотный скелет (всюду плотное
множество точек скелета) и «тощий» скелет (нигде не плотное множество
точек скелета). Эффективное сечение плотного скелета мало, нигде не
плотного
скелета
—
велико.
Реальные
пористые
среды
образуют
промежуточные фильтры.
Получается так: если k = const, то sn = const, чем меньше n (чем меньше
потери давления в пористой среде), тем больше эффективное сечение (или
коэффициент проницаемости). Для n >1 (капельные жидкости) коэффициент
проницаемости стабильно мал.
Дифференциальное уравнение энергии для фильтрационного движения
имеет вид:
(6)
Учитывая (5а), уравнение (6) можно записать так:
(7)
Очевидно, что уравнение (7) уже учитывает теплообмен с твердым
скелетом через показатель политропы n и коэффициент фильтрации k.
Вместо значения , использовалась переменная:
64
в левой части (7) значение изменено на противоположный знак.
Дробь — некоторое число подобия фильтрационного переноса
теплоты:
Оно учитывает внешний теплообмен по периферии фильтрационного
потока с пористой средой. Число S, очевидно, зависит от
через вязкость:
Это число аналогично числу подобия Рэлея в теории терма
гравитационной конвекции.
Предельные условия для (7):
Решение уравнения (7), удовлетворяющее этим предельным условиям:
(8)
Предельные случаи: S
0, означая, в силу (8):
(8 а)
Следовательно, если фильтрационное число Рэлея мало (например,
интенсивный подогрев), соответственно n
фильтрационного
потока
отслеживает
+0, либо s
температуру
+0, то температура
твердого
скелета
пористой среды: распределение температуры такое же, как и в твердом теле.
При S
, ситуация реализуется при приближении течения к
изотермическому (n
1+0), либо при движении сквозь «тощий» скелет
пористого тела (s >1) .
65
Тогда уравнение (7) допускает решение:
Действительно, в этом случае уравнение (7) регулярно возмущено и его
решения обладают свойством:
Причем сходимость последовательности возмущенных решений
равномерная по X (рис. 8).
Рисунок 8 - Влияние фильтрационного числа Рэлея S на распределение
перепада температуры по ходу фильтрации.
Исходя из полученных результатов, можно сделать следующие
выводы:
При отводе теплоты или при слабом подводе теплоты, недостаточном
для увеличения температуры фильтрационного потока по ходу фильтрации в
однородной изотропной пористой среде, кривая давления имеет выпуклость
вниз.
Наоборот, при разогреве газа по ходу фильтрации кривая давления
имеет выпуклость вверх. И только при изотермическом фильтрационном
движении линия давления прямая. Для капельной жидкости линия давления
прямая при любых законах подвода или отвода теплоты.
При охлаждении газа по ходу фильтрации в однородной изотропной
пористой среде кривая температуры имеет выпуклость вверх.
66
Наоборот, при нагревании газа за счет теплоотдачи с пористой средой
кривая температуры имеет выпуклость вниз. Для несжимаемой (капельной)
жидкости кривая температуры всегда выпукла вниз — и при подводе
теплоты и при отводе теплоты.
В плотной пористой среде изменение температуры по ходу фильтрации
отслеживает изменение температуры твердого скелета.
В неплотной пористой среде изменение температур
фильтрации минимально.
67
по ходу
Заключение
Основными
результатами,
полученными
в
работе,
являются
следующее.
Изучены закономерности фильтрации в изотропно-пористых средах и
выявлены характерные особенности фильтрации при различных значениях
параметра;
Рассмотрены
закономерности
изменения
проницаемости
при
фильтрационных течениях;
Исследована взаимосвязь коэффициентов уравнения движения при
фильтрации и критериальных соотношений гидравлического сопротивления;
На праве закона изменения пористости - выведено дифференциальное
уравнение движения.
Получены
приближенно-аналитические
задачи фильтрации в пористой среде.
68
решение
нестационарной
Список использованных источников и литературы
1.
Карнаухов
М.Л.
Современные
методы
гидродинамических
исследований скважин: справочник инженера по исследованию скважин : уч.
пос. для студ. высших учебных заведений/ М. Л. Карнаухов, Е. М.
Пьянкова.— Москва: Инфра-Инженерия, 2013 .— 432с
2. Мазо А.Б. Гидродинамика: учебное пособие для студентов
нематематических факультетов / А. Б. Мазо, К. А. Поташев; Казан.
(Приволж.) федер. ун-т.— Изд. 2-е .— Казань : Казанский университет, 2013
.— 124 с. URL:http://libweb.ksu.ru/ebooks/publicat/0-772753.pdf
3. Баренблатт Г.И. Движение жидкостей и газов в природных пластах/
Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. М.: Недра, 1984. 201 с.
4. Басниев К.С.. Подземная гидромеханика/ К.С. Басниев, Н.М.
Дмитриев,
Р.Д.Каневская,
В.М.
Максимов.
М.-Ижевск:
Институт
компьютерных исследований, 2005. 496 с.
5. Басниев К.С.. Нефтегазовая гидромеханика/ К.С. Басниев, Н.М.
Дмитриев,
Г.Д.
Розенберг.
-
М.-Ижевск:
Институт
компьютерных
исследований, 2005.-544 с.
6. Голф-Рахт, Т.Д. Основы нефтепромысловой геологии и разработки
трещиноватых коллекторов. – М.: Недра, 1986. – 608 с.
7. Деева Т.А. Гидродинамические исследования скважин: анализ и
интерпретация данных / Деева Т.А., Камартдинов М.Р., Кулагина Т.Е.,
Мангазеев П.В. - Томск, 2009.- 243с.
8.
Мангазеев
П.В.
Гидродинамические
исследования
эксплуатационных и нагнетательных скважин / Мангазеев П.В., Панков М.В.,
Кулагина Т.Е., Камартдинов М.Р. - Томск, 2003.-388с.
9. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде.—
Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 628 с.
69
10.
Молокович
Ю.М.,
Пьезометрия
окрестности
скважин.
Теоретические основы / Ю.М Молокович., А.И. Марков,.,Г.Г. Куштанова.
А.А. Давлетшин. Казань: изд-во «ДАС», 2000. 203 с.
11.
Хасанов
М.М.
Нелинейные
и
неравновесные
эффекты
в
реологически сложных средах/М.М. Хасанов, Г.Т.Булгакова Г.Т.- МоскваИжевск: Институт компьютерных исследований, 2003 г.-288 с
12. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика/ И.А. Чарный. М.Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006. 436 с.
13. Щелкачев В.Н. Избранные труды/В.Н. Щелкачев.-М.: Недра, 1990.
14. Эрларгер Р. Гидродинамические исследования скважин /Р.
Эрларгер.- М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 467 с.
15. Bourdet D. Well test analysis: the use of advanced interpretation
models/D. Bourdet.- Elsevier, 2002.-426 p.
16. Деева Т.А. Гидродинамические исследования скважин: анализ и
интерпретация данных / Деева Т.А., Камартдинов М.Р., Кулагина Т.Е.,
Мангазеев П.В. - Томск, 2009.- 243с.
70
71