Ставцева Алена Геннадьевна. Задача Коши для дифференциально-разностного параболического уравнения

2
3
4
5
Содержание
Введение ........................................................................................................................... 7
1 Задача Коши для уравнения теплопроводности без последействия ....................... 9
1.1 Уравнение теплопроводности. Принцип максимума ......................................... 9
1.1.1 Основные задачи для уравнения теплопроводности.................................... 9
1.1.2 Принцип максимума в ограниченной области ........................................... 10
1.1.3 Принцип максимума в неограниченной области для класса ограниченных
функций .................................................................................................................... 11
1.1.4 Единственность решения задачи Коши ....................................................... 11
1.2 Построение функции источника для уравнения теплопроводности с
помощью автомодельного решения ......................................................................... 12
1.2.1 Группы преобразований ................................................................................ 12
1.2.2 Автомодельное решение ............................................................................... 13
1.2.3 Функция источника........................................................................................ 15
1.3 Формула Пуассона решения задачи Коши для однородного уравнения
теплопроводности ...................................................................................................... 19
1.3.1 Свертка функций ............................................................................................ 19
1.3.2 Интеграл Пуассона ........................................................................................ 20
1.3.3 Скорость распространения тепла ................................................................. 25
1.4 Принцип Дюамеля для уравнения теплопроводности ..................................... 26
1.4.1 Принцип Дюамеля. Задачи Коши................................................................. 26
1.4.2 Формула Дюамеля ......................................................................................... 27
1.4.3 Метод отражений ........................................................................................... 28
1.4.4 Принцип Дюамеля. Смешанная задача ....................................................... 29
1.5 Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке
метод Фурье. Существование и единственность классического решения .......... 30
1.5.1 Построение формального решения .............................................................. 30
1.5.2 Классическое решение. Примеры ................................................................ 32
6
2 Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения теплопроводности.
Операторный метод....................................................................................................... 41
2.1 Постановка задачи ............................................................................................... 41
2.2 Единственность решения .................................................................................... 41
2.3 Существование решения ..................................................................................... 43
2.4 Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения
теплопроводности на прямой с периодическим начальным условием ................ 45
2.5 Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения
теплопроводности на прямой с непериодическим начальным условием ............ 49
Заключение .................................................................................................................... 53
Список литературы ....................................................................................................... 54
7
Введение
Уравнения параболического типа наиболее часто встречаются при изучении
процессов теплопроводности и диффузии. К этим уравнениям приводят также
задачи о движении вязкой жидкости, например, нефти.
В 60-годах ХХ века началось изучение параболических уравнений с
запаздывающим аргументом, т.е. с учетом последействия системы. Была
исследована
первая
краевая
задача
для
уравнения
теплопроводности
с
запаздывающим аргументом по времени. С помощью функции Грина решение
этой задачи сводилось к решению некоторого интегрального уравнения, которое
решалось затем с помощью последовательных приближений. При этом
производные уравнения не содержали запаздывания. Далее были рассмотрены
задачи, когда в уравнение параболического типа входили члены, содержащие
запаздывания в производных, однако порядок этих производных был ниже
порядка рассматриваемого уравнения [1].
Одной из основных задач для уравнений теплопроводности является задача
на оси (задача Коши). Вопросу единственности решения задачи Коши уделяли
внимание многие математики. Еще в 1924 г. появилась работа Е. Хольмгрена [2],
где был найден класс быстро растущих функций, в котором имеет место
единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Окончательное решение эта задача получила в работах А.Н. Тихонова и С.
Тэклинда [1].
В 1946 г. И.Г. Петровский поставил проблему исследовать вопрос о
единственности решения задачи Коши для введенных им параболических
уравнений и систем и обобщить для них теоремы единственности ТихоноваТэклинда для уравнения теплопроводности.
В дальнейшем в период от середины шестидесятых годов XX века и до
настоящего времени ряд авторов изучал вопрос о единственности решения задачи
Коши для неравномерно параболических уравнений, для вырождающихся
параболических уравнений, для уравнений второго порядка с неотрицательной
8
характеристической формой. Для общих параболических систем этот вопрос
исследовался O.A. Олейник (1974 - 1976 гг.) [2].
В
данной
работе
рассматривается
дифференциально-разностного
методом.
решение
параболического
задачи
уравнения
Коши
для
операторным
9
1 Задача Коши для уравнения теплопроводности без последействия
1.1 Уравнение теплопроводности. Принцип максимума
1.1.1 Основные задачи для уравнения теплопроводности
Перейдем к рассмотрению начальных и начально-краевых задач для
уравнения теплопроводности в
:
(1)
Как и для волнового уравнения, переменная
времени, а
имеет физический смысл
– пространственных координат. Будем считать, что
.
Для уравнения ставятся две основные задачи.
1)
Классическая задача Коши. Пусть
пространстве
переменных
момент
область в
времени,
ограничивающий
и
заданные
наблюдение за процессом распространения тепла;
функции из классов
) и
функцию
соотвественно. Требуется найти в классе
, удовлетворяющую уравнению теплопроводности
и начальным условиям
2)
Смешанная задача. Пусть
границей
классов
,
;
и
),
из
класса
область в
и
,
с кусочно гладкой
заданные функции из
соответственно. Требуется найти функцию
,
удовлетворяющую
уравнению
теплопроводности
начальным условиям
где
и граничным условиям
внешняя единичная нормаль к границе
коэффициенты, определяющие тип граничных условий.
области
, α и β –
10
Замечание 1. В случае, когда
и
, достаточно требовать от функции
принадлежность классам
и
соответсвенно.
Для существования решения смешанной задачи необходимым является
условие согласования
1.1.2 Принцип максимума в ограниченной области
При обсуждении корректности постановок классической задачи Коши и
смешанной задачи для волнового уравнения использовалось энергетическое
неравенство. В случае уравнения теплопроводности для тех же целей оказывается
полезным принцип максимума.
Пусть
причем
ограниченная область в
. Введем следующие обозначения:
. Выделим класс функций
Лемма 1. Пусть функция
(2)
из класса (2) удовлетворяет в
неравенству
(3)
при некотором
из
. Тогда, если
то для произвольной точки
выполняется неравенство
.
(4)
Из лемма 1 вытекает следующая
Теорема 1 (принцип максимума). Если функция
(2) и удовлетворяет в
принадлежит классу
однородному уравнению теплопроводности
(5)
то для произвольной точки
из
, выполняются неравенства
11
(6)
Замечание 2. Усилить принцип максимума (6), поставив строгие знаки
неравенства, нельзя (например, функция
удовлетворяет (6)).
Замечание 3. Можно не требовать выполнение уравнения теплопроводности
(5) при
при
в этом случае нестрогие неравенства (6) останутся справедливыми
в силу непрерывности функции
на
1.1.3 Принцип максимума в неограниченной области для класса
ограниченных функций
Пусть теперь
. Выделив новый класс функций
(7)
(где класс
множество ограничений на
функций)
можно сформировать аналог теоремы 1.
Теорема 2. Пусть функция
принадлежит классу (7) и удовлетворяет в
однородному уравнению теплопроводности (5). Тогда для функции
справедлив принцип максимума
(8)
1.1.4 Единственность решения задачи Коши
Из принципа максимума в неограниченной области вытекает следующая
Теорема 3. Если решение задачи Коши
(9)
(10)
с ограниченными начальными данными
существует в классе функций
, то оно единственное в нем непрерывно зависит от
начальных данных (в равномерной метрике).
Единственность решения можно доказать в более широком классе функций.
12
Определение 1. Будем говорить, что функция
принадлежит классу
функций ограниченного роста тогда и только когда, когда существуют
положительные постоянные
и
такие, что для произвольной точки
выполняется неравенство
Теорема 4. Если решение задачи Коши (9),(10) с начальными данными
ограниченного роста существует в классе функций
(11)
то оно единственное в этом классе.
1.2 Построение функции источника для уравнения теплопроводности с
помощью автомодельного решения
1.2.1 Группы преобразований
Дадим необходимый для дальнейшего набор понятий.
Рассмотрим в области
произвольное уравнение в частных
производных
(12)
Пусть
взаимно однозначное преобразование независимых переменных,
отображающее область
на себя:
(13)
Определение 1. Уравнение (12) называется инвариантным относительно
преобразования
независимых переменных (13), если оно равносильно
уравнению
(14)
то есть функция
является решением уравнения (12) тогда и только тогда, когда
она является решением уравнения (14).
Пусть теперь преобразование
зависит от скалярного преобразования
который может принимать значения из области
преобразование, отвечающее значению параметра
Обозначим:
,
-
13
Определение
2.
Множество
преобразований
называется
однопараметрической группой преобразований, если выполнены следующие
свойства:
1) для любых значений параметров
единственное значение
множестве
2) в
любого
и
из области
такое, что
. Таким образом, на
определена функция :
;
существует единственное значение параметра
из
существует
такое, что для
выполняются равенства
, то есть
суть
тождественное преобразование;
3) для любого
должно существовать единственное
, то есть
- обратное к
такое, что
преобразование.
Заметим, что поскольку композиция преобразований обладает свойством
ассоциативности
, то операция
обладает этим свойством
так же
Следовательно,
есть групповая операция на множестве .
Определение 3. Говорят, что (12) допускает однопараметрическую группу
преобразований
, если для любого
относительно преобразования
Определение
4.
уравнение (12) инвариантно
.
Функция
называется
однопараметрической группы преобразований
инвариантом
, если для любого
выполняется тождество
1.2.2 Автомодельное решение
Рассмотрим теперь однородное уравнение теплопроводности
(15)
и однопараметрическую группу преобразований
(16)
14
где
– постоянная.
Множество
преобразований
Выберем постоянную
(16)
действительно
образует
группу:
так, чтобы уравнение (15) допускало группу (16), то
есть потребуем, чтобы уравнение (15) было равносильно уравнению
которое можно переписать в следующем виде:
(17)
Сравнивая уравнения (15) и (17), находим
(18)
Легко проверить, что
- инвариант группы (16).
Замечание 1. Возможно, в качестве инварианта
функцию
удобнее было бы выбрать
. Первое соображение в пользу такого выбора техническое: в
уравнении (19), которое будет далее, отсутствовал бы коэффициент
. Более
содержательное соображение вытекает из применения метода размерностей,
опирающегося на поиск безразмерной переменной, какой в рассмотренном случае
как раз и является
.
Определение 5. Решение уравнения (12), зависящее только от инвариантов
некоторой допустимой однопараметрической группы преобразований, называется
автомодельным решением.
Попробуем найти автомодельное решение уравнения (15) вида
Подставляя в уравнение (15), находим
или
15
(19)
Ищем решение уравнения (19) в следующем виде:
где
скалярная функция скалярного аргумента, найти которую труда не
составляет:
( )=˗
( ),
откуда
.
Здесь
,
(21)
. – произвольные постоянные.
1.2.3 Функция источника
Полученное автомодельное решение обладает двумя недостатками.
Во-первых, при
функции
функция
поточечно стремится к
= f
, тождественно равной константе. По этой причине автомодельное
решение мало полезно при решении задачи Коши.
Во-вторых, физический смысл имеют лишь решения
уравнения
теплопроводности (15), достаточно быстро убывающие на бесконечности (при
→∞) вместе со своими производными первого порядка. Для таких функций из
класса
, удовлетворяющих уравнению (15), справедлив закон
сохранения
при
,
так как интегрирование обеих частей уравнения (15) по
(22)
даёт
16
Но автомодельное решение закону сохранения (22) не удовлетворяет.
Будем искать решение уравнения (15), удовлетворяющее закону сохранения
тепла, в виде
.
Функции
найдём из равенств (15) и (22), в частности из закона
сохранения (15) для функции
получаем следующее представление:
,
откуда
.
Здесь
(23)
- константа, которая будет выбрана позже.
Уравнение (15) приводит в свою очередь к следующему соотношению:
Разделяя как и ранее переменные
находим
17
или
Учтем выражение (23) для функции
, получаем
Это равенство будет выполнено, если потребовать очевидного тождества
которое можно преобразовать к следующему виду:
откуда
(24)
где
константа. Из условия убывания на бесконечности следует, что
Решая уравнение (24), находим
Здесь константу
можно положить равной единице, поскольку уже есть
произвольный постоянный множитель С.
Итак,
Постоянную
нормировки
С
удобно
выбрать
так,
чтобы
выполнялось
условие
18
то есть
Выпишем окончательный результат:
(25)
Это и есть функция источника для уравнения теплопроводности. Стандартное
обозначение для неё –
Свойства функции источника
1) функция
принадлежит к классу
и удовлетворяет
однородному уравнению теплопроводности (15) в области
2) при
справедливо тождество
3) для любого числа
;
;
существует предел
при
Доказательство свойств.
Свойства 1) и 2) следуют из построения функции
и её вида.
Свойство 3). Выберем и зафиксируем произвольное число
Проследим за следующими преобразованиями:
Из
сходимоти
несобственного
справедливость предельного перехода
интеграла
,
следует
19
Замечание 2. Функции
стремлении
переменной , зависящие от параметра , при
к нулю образуют
образную последовательность, то есть в
пространстве обобщенных функций
имеет место сходимость
Замечание 3. Из свойств функции источника
смысл:
следует её физический
распределение температуры в однородном пространстве в
результате точечного выброса единицы тепла в точке
в момент времени
1.3 Формула Пуассона решения задачи Коши для однородного
уравнения теплопроводности
1.3.1 Свертка функций
Введем основополагающее понятие.
Определение 1. Пусть
и
в функции в
. Если для любой точки
существует несобственный интеграл
то он называется сверткой функций
и
и обозначается
Свойства свертки:
1) коммутативность: если существует свертка
, причем
, то существует свертка
;
2) линейность: если существуют свертки
произвольных постоянных
и
и
существует свертка
, причем
;
, то для
20
3) дифференцирование свертки (по одной из переменных
функции
и
из класса
существует их свертка
и
): пусть
соответсвенно таковы, что
, и для любой точки
окружающий ее шар
из
существует
такой, что несобственных
интеграл
сходится равномерно при
тогда свертка
дифференцируема по переменной
,
, причем
(26)
Доказательство свойств.
Свойства 1) и 2) следуют из свойств интегралов.
Свойство 3). Рассмотрим функцию
. В сделанных
предположениях для нее выполняются свойства
Следовательно,
по
правилу
дифференцирования
неопределенных
интегралов, зависящих от параметра, получаем
(27)
так как интеграл стоящий справа, согласно условиям сходится равномерно в
каждом из шаров, покрывающих все
. Равенство (27) легко переписать в виде
(26).
1.3.2 Интеграл Пуассона
Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности
(28)
с начальными условиями
(29)
Учитывая
физический
смысл
предположить, что для решения
формула
функции
источника
задачи (28), (29) при
,
можно
справедлива
21
*

Теорема 1. Пусть функция
непрерывна и ограничена на
решение задачи Коши (28), (29) в классе
. Тогда
существует,
единственно, бесконечно дифференцируемо при
и непрерывно зависит от
начальных данных в равномерной метрике. При
это решение задается
интегралом Пуассона
(30)
*

Пример 1. Решить задачу Коши для уравнения теплопроводности
(31)
с начальными условиями
(32)
Решение. Прежде всего сведем уравнение (31) однородному
(33)
для чего представим решение
+
задачи (31), (32)в виде
, где
решение уравнения (31), удовлетворяющее
однородным начальным условиям
Для нахождения функции
представима в виде
заметим, что правая часть уравнения (31)
, причем функция
. По этой причине функцию
, где
.
является гармонической
имеет смысл искать в виде
неизвестная функция, которая согласно уравнению (31)
должна удовлетворять равенству
(34)
Более того,
, так как
. Решая задачу Коши для
обыкновенного дифференциального уравнения (34), находим
откуда
22
Найдем теперь функцию
решение задачи Коши для однородного
уравнения теплопроводности (33) с начальными данными (32), вид которых
наводит на мысль о разделении переменных:
Подставим
в равентсва (33) и (32), получим
Эти уравнения будут выполнены, если потребовать чтобы
(35)
(36)
и
(37)
(38)
Для решения задачи (35), (36) воспользуемся теоремой 1:
В показателе экспоненты выделим полный квадрат из членов, содержащих
переменную интегрирования :
и сделаем замену переменных
Тогда
23
Функцию же
отметив,
будем искать в виде
что
собственная
функция
,
оператора
Лапласа,
отвечающая собственному значению -5. Тогда для неизвестной функции времени
, получаем уравнение
и начальное условие
Следовательно,
, откуда
Итак, найдено решение
Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения теплопроводности в
(39)
с начальными условиями
(40)
Решение.
Сначала найдем частное решение
уравнения. Заметим, что функция
неоднородного
является собственной для оператора
,
поэтому частное решение имеет смысл искать в виде
Подставляя
в уравнение (39), получаем уравнение, которому должна
удовлетворять функция :
Существует частное решение этого уравнения, являющееся многочленом
четвертой степени
24
коэффициенты которого легко вычисляются:
Таким образом, найдено частное решение
Тогда решение задачи Коши (39), (40) можно представить в виде суммы
, где
+
решение задачи Коши для однородного уравнения
теплопроводности
с начальными условиями
Решение
, в свою очередь, будем искать в виде суммы двух решений
,
где
функции
и
удовлетворяют
однородному уравнению теплопроводности, причем
и
а) для нахождения функции
введем новую переменную
и будем искать решение в виде
После подстановки в однородное уравнение теплопроводности получаем:
причем
то есть
это найденное в примере 1 решение задачи (35), (36):
Следовательно,
25
б) для нахождения функции
выпишем решение в виде степенного
(относительно переменной ) ряда
(41)
является решением задачи Коши
(42)
(43)
в
предположениях
о
равномерной
сходимости
почленно
продифференцированного ряда (41). Это предположение заведомо справедливо,
когда ряд (41) конечен. В нашем случае
, поэтому
Выпишем общий результат:
1.3.3 Скорость распространения тепла
Из формулы Пуассона (30) можно сделать формальный вывод: скорость
распространения тепла бесконечна. Но такое утверждение противоречит
постулату Эйнштейна о существовании конечной максимальной скорости
распространения энергии.
Ошибка формальной трактовки полученного результата состоит в том, что
любой процесс переноса является статическим процессом, а следовательно,
неизбежно
сопровождается
флуктуациями.
По
этой
причине
небольшие
изменения температуры, возникающие на больших расстояниях от начального
возмущения, реально невозможно зарегистрировать. Если же изучать подобные
тонкие эффекты, то следует пользоваться другим уравнением.
Физическое значение имеет следующий результат. Рассмотрим точечный
выброс единицы тепла в начальный момент времени
в начале координат
26
Тогда согласно физическому смыслу функции источника в последующие
моменты времени распределение температуры в пространстве есть гауссовы
кривые
. Дальность распространения тепла удобно характеризовать
шириной этих кривых. Например, можно вычислить среднее значение
квадрата расстояния, на котором сосредоточена энергия в момент времени
Здесь
вспомогательный
параметр, введенный
для
:
вычисления
интеграла.
Таким образом, если принять за среднее значение координаты «теплового
фронта» величину
, получаем, что она пропорциональна
, то есть
скорость распределения тепловой энергии со временем убывает как
. Для
сравнения вспомним, что волновой фронт распределяется с постоянной
скоростью, которая определяется только характеристиками среды. Тепло же
распространяется со скоростью, пропорциональной градиенту температур,
который со временем убывает.
1.4 Принцип Дюамеля для уравнения теплопроводности
1.4.1 Принцип Дюамеля. Задачи Коши
Зная решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности,
моно найти решение и для неоднородного.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности
(44)
с начальными условиями
27
(45)
Из линейности уравнения (44) следует, что решение
представимо в
виде
+
где
решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности
с начальными условиями (45),
решение задачи Коши для уравнения (44)
с однородными начальными условиями
Найдем функцию
из класса
. Для этого рассмотрим
следующую вспомогательную задачу Коши, зависящую от параметра
:
(46)
(47)
Утверждение 1(принцип Дюамеля). Если существует решение
вспомогательной задачи (46), (47) из класса , где
то функция
, где
удовлетворяет поставленным требованиям.
Доказательство утверждения 1. В соответствии с предположением о
гладкости функции
справедливы следующие равенства:
1)
2)
Из 1) и 2) следует утверждение.
1.4.2 Формула Дюамеля
Пусть функция
производные
, а сама функция
принадлежит классу
ограничены по
, причем
при каждом фиксированном
ограниченна на всевозможных множествах вида
28
. В этом случае для нахождения решения
задачи (46),
(47) можно воспользоваться формулой Пуассона (30):
(48)
Обоснуем гладкость функции
, требуемую в сформулированном
выше утверждении 1. Определенные технические проблемы связанны только с
доказательством непрерывности функции
и гладкость
по переменной
на множестве
при
Утверждение 2. В указанных выше предположениях о гладкости и
ограниченности функции
на множестве
функция
непрерывна по переменной
.
Утверждение 3. В указанных выше предположениях о гладкости и
ограниченности
функции
функция
дифференцируема по переменной
дважды
и один раз по переменной при
непрерывно
.
Воспользуемся теперь принципом Дюамеля. Получаем формулу для
решения задачи (44), (45) с непрерывными ограниченными начальными данными
:
(49)
Замечание 1. На практике можно избежать вычисления интеграла Дюамеля,
если удается как-то подобрать частное решение неоднородного уравнения
теплопроводности.
1.4.3 Метод отражений
Рассмотрим
задачу
о
распространении
тепла
в
полуограниченном
однородном стержне с заданной зависимостью от времени температуры на конце:
(50)
(51)
29
(52)
Это смешанная задача для уравнения теплопроводности (50) с начальными
условиями (51) и граничными условиями первого рода (52). Должно выполняться
условие согласования
.
В случае, когда граничные условия являются однородными
,
смешанную задачу (50),(51),(52) можно свести к задачи Коши для однородного
уравнения теплопроводности при помощи метода отражений, основу которого
составляет следующая
Лемма 1. Пусть
функция из класса
, являющаяся решением задачи Коши для уравнения
теплопроводности
(53)
с начальными условиями
(54)
где
заданная нечетная функция из класса
Тогда
является нечетной по
функцией, то есть для любых
выполняется равенство
Следствие 1. Пусть
заданная функция из класса
Тогда функция
является решением смешанной задачи (50),(51),(52) из класса
1.4.4 Принцип Дюамеля. Смешанная задача
Решим теперь смешанную задачу (50),(51),(52) в случае однородных
начальных условий:
(55)
30
(56)
(57)
Лемма 2. Пусть функция
принадлежит классу
и является решением смешанной
задачи (55),(56),(57) с граничными данными, тождественно равными единице.
Тогда функция
(58)
принадлежит
классу
и
является
решением смешанной задачи (55),(56),(57) с произвольными непрерывно
дифференцируемыми на
граничными данными
, удовлетворяющими
условию согласовании
Следствие 2. Пусть функция
на множестве
задана и непрерывно дифференцируема
, причем выполнено условие согласования
. Тогда
функция
(59)
является решением смешанной задачи (55),(56),(57) из класса
1.5 Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности на
отрезке метод Фурье. Существование и единственность классического
решения
1.5.1 Построение формального решения
Применим
метод
Фурье
к
смешанной
задаче
для
уравнения
теплопроводности на отрезке.
Рассмотрим в прямоугольной области
смешанную задачу
для уравнения
(60)
31
с начальными условиями
(61)
и однородными граничными условиями первого рода
(62)
Необходимо найти решение
из класса
Как и в случае волнового уравнения, будем искать решение
функционального
ряда по
в виде
собственным функциям
дифференциального оператора
с граничными условиями
(63)
где
неизвестные функции переменной
Пусть функция
принадлежит классу
непрерывная на отрезке
производная
согласования
. Найдем
, существует кусочно
, и выполнены условия
. Тогда ряд Фурье функции
сходится к ней
самой:
(64)
где
коэффициенты Фурье. Причем
ряд
и числовой
сходится.
Аналогично для
существует
фиксированном
функции
предполагаем, что
кусочно непрерывная по
из отрезка
, и
,
функция при любом
. Тогда для каждого
фиксированного значения времени
из отрезка
раскладывается в равномерно сходящийся по
функция
ряд Фурье
(65)
где
и
32
причем постоянная
конечна, так как
,
компакт.
Подставляя ряды (63), (64) и (65) в задачу (60), (61), (63), и учитывая
свойства функций
, получаем:
(возможность почленного дифференцирования ряда будет обсуждаться в
следующем пункте). Потребуем почленное выполнение написанных равенств:
(66)
Решая для каждого натурального числа
, задачу Коши для линейного
неоднородного дифференциального уравнения первого порядка (66), находим
(67)
Отметим, что функции
непрерывны на отрезке
Итак, формально построили ряд
(68)
1.5.2 Классическое решение. Примеры
Покажем, что функциональный ряд (68) сходится равномерно к некоторой
непрерывной на
функции, для чего оценим его -й член следующим образом:
33
Здесь в последнем неравенстве мы воспользовались соотношением между
средним геометрическим и средним арифметическим. Поскольку числовой
мажорирующий ряд
сходится равномерно на
сходится, то функциональный ряд (68)
к некоторой функции
(69)
Более того,
, так как члены ряда
непрерывны на
Теперь докажем возможность почленного дифференцирования в
ряда (68)
в двух случаях:
а) дополнительно потребуем, чтобы
производная
, и существовала
кусочно непрерывная по
функция при любом
фиксированном из отрезка
б) дополнительно потребуем, чтобы
Достаточно доказать равномерную сходимость рядов
в некоторой окрестности произвольной точки
, тогда будет обоснована
возможность почленного дифференцирования, и, поскольку
для любого натурального
сразу получим, что
34
В случае а) для коэффициентов справедливо
где
и
Выберем и зафиксируем произвольное малое
Получили, что ряд
Оценим -й член ряда
мажорируется числовым сходящимся
рядом, следовательно, он сходится равномерно на множестве
силу произвольности
означает существование
Аналогично для ряда
, что в
35
Отметим также, что для членов ряда
справедливо
следующее неравенство:
а модуль
оценили выше.
Таким образом, доказали, что в случае а) построенный ряд (68) можно
необходимое число раз почленно диффренцировать и его сумма
принадлежит классу
В случае б) коэффициенты
непрерывно дифференцируемы:
причем
Выберем и зафиксируем произвольное малое
Оценим -й член ряда
36
Здесь для удобства введено обозначение
Получили, что ряд
мажорируется числовым сходящимся
рядом, следовательно, ряд
[0;l] × [
],
сходится равномерно на множестве
. Таким образом, существует
.
Вторая производная по x требует более тонких рассуждений. Для
производной фиксированного
sup
сделаем следующие выкладки:
≤
≤
exp(
)+
x[ 0;l ]
=
+
≤
exp
+
+
Из гладкости функции f(x,t), потребованной при построении формального
решения, следует, что
причем ряд
37
сходится при любом фиксированном t из отрезка [0; T]
Следовательно, справедлива следующая цепочка неравенств:
≤
sup
exp
x[ 0;l ]
≤
+
exp
+
.
Полученный
мажорирующий
ряд
при
фиксированном
числовым и сходится. Следовательно, существует
. Поскольку f(x,t)
, то
=
,
сумма равномерно сходящегося
,
ряда непрерывных функций) и
является
=
] (по построению
[
.
В заключении сформулируем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть функция
задана и непрерывна на отрезке [0; l],
существует кусочно непрерывная на отрезке [0;l] производная
,и
функция f(x,t) задана и удовлетворяет одному из условий:
а) f(x,t)
‒ кусочно непрерывная по x
, существует
функция при любом фиксированном t из отрезка [0; T] и f(0,t) = f(l,t) =0 при всех
t
;
б) f(x,t)
‒ кусочно непрерывная по x функция
, существует
при любом фиксированном t из отрезка [0; T] и f(0,t) = f(l,t) =0 при всех t
Тогда
смешанная
задача
(60),(61),(62)
имеет
в
классе
.
функций
единственное решение, причем ряд (68) сходится равномерно на
к этому решению.
Пример 1. Решить смешанную задачу
,x
u(x,0) =
,t
38
u(0,t) = u(2π,t) = 0.
Решение.
Заметим,
что
функции,
участвующие
в
этой
задаче,
удовлетворяют условиям теоремы 1. По этой причине можно строить решение
u(x,t) в виде ряда (68). Найдём коэффициенты
Фурье функций
и
разложения в ряды
и f(x,t) соответственно:
,
и
N.
При вычислении коэффициентов
мы сделали замену
.
Подставляя полученные коэффициенты в выражение (68) и учитывая, что
находим
Пример 2. Решить смешанную задачу
Решение. Прежде всего, перейдем к смешанной задаче с однородными
граничными условиями, для чего сделаем замену
для неизвестной функции
Тогда
получаем смешанную задачу
(70)
(71)
(72)
39
Найдём собственные функции
граничными условиями
дифференциального оператора
с
и
(73)
(74)
Решение дифференциального уравнения (73), удовлетворяющее условию
при
, есть
условие на правом конце
приводит к
равенству
откуда
Функцию
будем искать в виде ряда
(75)
Получим уравнения на неизвестные функции
, для чего разложим
функцию x, входящую в уравнение (70) по системе
:
(76)
где
=
=
=
.
Далее, поставим ряды (75) и (76) в смешанную задачу (70), (71), (72):
+
=
=
Потребуем почленного выполнения написанных равенств:
при k = 1
,
;
при k = 3
,
;
,
40
при k ≠ 1,3
,
.
Решая полученные задачи Коши для дифференциальных уравнений первого
порядка, находим
,
,
.
Учтём,
что
,
полученные
таким
образом
и
ряды
,
сходятся равномерно на
множество [0;l]×[0;∞], так как для произвольного T ˗ 0 мажорируются на
множестве [0;l]×[0;T] числовым сходящимся рядом
решение u(x,t) можно записать в следующем виде:
. Следовательно,
41
2 Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения
теплопроводности. Операторный метод
2.1 Постановка задачи
Для уравнения
(77)
где
–
переменной
оператор
сдвига
по
– функция Хевисайда,
рассмотрим задачу Коши на прямой
в области
(рисунок 1) с начальным условием
(78)
где
– заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причем
.
Рисунок 1
Под регулярным решением будем понимать функцию
в замкнутой области, имеющую непрерывные производные
непрерывную
,
заданной области.
2.2 Единственность решения
Теорема 1. Однородная задача Коши (77)-(78) имеет тривиальное решение.
Доказательство. В области
выполняется тождество:
в
42
Раскроем все скобки и убедимся в правильности данного равенства:
Равенство верно.
Интегрируя данное равенство по области
, применяя формулу Грина [2]:
и условия теоремы в пределе при
, получим
(79)
Так как
43
и
в силу неравенства
то левая часть равенства (79) положительно определена. Поэтому
области
, т.е.
в
в
. Отсюда следует, что однородная задача Коши
(77)-(78) имеет тривиальное решение [1].
2.3 Существование решения
Теорема
2.
Если
функция
, абсолютно интегрируема на
,и
то решение задачи существует.
Доказательство теоремы следует из того, что решение задачи в
операторной форме имеет вид
.
(80)
Найдем интегральное представление решения задачи.
Используя представление экспоненты в форме ряда, выражение для
оператора
, решение (80) запишем в форме
(81)
44
Любая непрерывная функция
финитная может быть представлена на
в виде:
(82)
где
– дельта-функция Дирака.
В силу (82)-(83) свойств функции
то есть
и поэтому из (81) имеем
, из (81) имеем:
(83)
45
Значит,
(84)
где
(85) - функция Грина [1].
2.4 Начально-краевая задача для дифференциально-разностного
уравнения теплопроводности на прямой с периодическим начальным
условием
Рассмотрим уравнение:
(86)
Начальные условия:
где
(87)
– оператор сдвига по переменной
– функция Хевисайда.
46
Рассмотрим задачу Коши на прямой
в области
с начальным условием
,
где
– заданная достаточно гладкая функция, причем
=1.
Решение задачи (86)-(87) в операторной форме имеет вид
(88)
Найдём интегральное представление решения задачи.
Используя представление экспоненты в форме ряда, выражение для
оператора
, решение (88) запишем в форме:
(89)
Любая непрерывная функция
финитная может быть представлена на
в виде:
(90)
где
– дельта-функция Дирака.
В силу (90)-(91) и свойств функции
, из (89) имеем:
(91)
47
=
48
Таким образом, получаем:
49
Из (89)
Ответ:
2.5 Начально-краевая задача для дифференциально-разностного
уравнения теплопроводности на прямой с непериодическим начальным
условием
Рассмотрим уравнение:
(91)
Начальные условия:
(92)
где
– оператор сдвига по переменной
– функция Хевисайда.
Рассмотрим задачу Коши на прямой
с начальным условием
в области
50
,
где
– заданная достаточно гладкая функция, причем
=1.
Решение задачи (91)-(92) в операторной форме имеет вид
(93)
Найдём интегральное представление решения задачи.
Используя представление экспоненты в форме ряда, выражение для
оператора
, решение (93) запишем в форме:
(94)
Любая непрерывная функция
финитная может быть представлена на
в виде:
(95)
где
– дельта-функция Дирака.
В силу (95)-(96), свойств функции
, из (94) имеем:
(96)
51
=
–
=
52
Таким образом, получаем:
Из (94)
Ответ:
53
Заключение
Дифференциальные
уравнения
с
частными
производными,
как
и
обыкновенные дифференциальные уравнения, имеют бесчисленное множество
решений. Чтобы из этого множества выбрать то единственное решение, которое
соответствует реальному физическому процессу, надо задать некоторые
дополнительные условия (начальные). Так получаем задачу Коши, для которой
выполняются теоремы о существовании и единственности решения. Начальнокраевая задача, рассмотренная в данной работе, занимает особое место в общей
теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Практическая значимость работы заключается в возможности применения
полученных результатов к исследованию различных физических и биологических
смешанных процессов, в частности при изучении процессов теплопроводности и
диффузии.
Результаты работы имеют теоретическое значение работы выражается:
- в применении операторного метода к построению решения краевых задач
для дифференциально-разностных параболических уравнений;
- в объяснении основных понятий, связанных с решением краевых задач для
дифференциально-разностного уравнения теплопроводности.
54
Список литературы
1. Зарубин А.Н. Дифференциальные и дифференциально-разностные
уравнения в частных производных. Опорный конспект лекций с примерами,
задачами и заданиями для самостоятельного решения. – Орел: ФГБОУ ВПО
«ОГУ», 2011.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М. : Наука,
1982.
3. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды.
Элементарные функции. М. : Наука, 1981.
4. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм рядом и
произведений. – М.: Физматгиз, 1963.
55
56