Практические

Практическая работа
Тема: Иррациональные уравнения с одной переменной.
Цель работы: Научиться решать иррациональные уравнения по алгоритму: а)
уединять корень; б) возводить в квадрат обе части уравнения; в) делать проверку;
г) записывать в ответ только те корни, которые удовлетворяют исходному
уравнению.
Теоретическая справка
Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют
иррациональными.
Методы решения иррациональных уравнений основаны на возможности
замены иррационального уравнения рациональным уравнением, которое является
его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень.
При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.
При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать
следующее:
1) если показатель корня – четное число, то подкоренное выражение
должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является
неотрицательным;
2) если показатель корня – нечетное число, то подкоренное выражение
может быть любым действительным числом, в этом случае знак корня совпадает
со знаком подкоренного выражения.
При возведении в квадрат обеих частей уравнения могут появиться лишние
корни. Чтобы определить истинность найденных корней, каждый корень
последнего уравнения подставляют в исходное уравнение. Значение переменной,
которые при подстановке не дают истинных равенств, отбрасывают как
посторонние корни.
𝑓(𝑥) = 𝑔2 (𝑥)
√𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⇔ {
𝑔(𝑥) ≥ 0
Пример:
4√5𝑥 − 𝑥 2 − 6 = 𝑥 − 1
4√5𝑥 − 𝑥 2 − 6 = 𝑥 − 1 ⇔
2
2
(𝑥
{16(5𝑥 − 𝑥 − 6) = − 1) ⇔
𝑥−1≥0
2
{17𝑥 − 82𝑥 + 97 = 0
𝑥≥1
𝑥=
41 ± √32
17
Ответ:
41±√32
17
Задания для практической работы
Вариант 1
1. √𝑥 + 2 − 𝑥 = 0
2. √4𝑥 + 6 − 2𝑥 + 1 = 0
3. √3𝑥 2 + 6𝑥 + 1 = 7 − 𝑥
4. √𝑥 − 3 ∗ √2𝑥 + 2 = 𝑥 + 1
5. √𝑥 + 3 − √7 − 𝑥 = √2𝑥 − 8
6. Найти нули функции: 𝑦 = √4 − 3𝑥 2 − 𝑥
Вариант 2
1. √3𝑥 + 2 − 𝑥√2 = 0
2. √(2𝑥 + 3)(𝑥 − 4) − 𝑥 + 4 = 0
3. 2𝑥 + √3𝑥 2 − 11𝑥 + 10 = 8
4. √2𝑥 + √6𝑥 2 + 1 = 𝑥 + 1
5. √𝑥 + 7 − √𝑥 + 2 = √3𝑥 + 19
6. Решить уравнение: √12𝑥 2 + 7𝑥 − 10 − 5 = 4𝑥
Практическая работа
Тема: Степени и корни. Выполнение тождественных преобразований над
степенными выражениями.
Цель работы: Повторить свойства степени с натуральным показателем и
целым показателем. Выработать навык работы со степенями с рациональным
показателем.
Теоретическая справка
Определение: Степенью числа а с натуральным показателем 𝑛(𝑛 > 1)
называется произведение n сомножителей, каждый из которых равен а.
𝑎𝑛 = ⏟
𝑎 ∗ 𝑎 ∗ … ∗ 𝑎 , 𝑎1 = 𝑎
Пример 1
Вычислить:
153 ∗ 212
=
352 ∗ 34
153 ∗212
352 ∗34
3
(3
∗ 5) ∗ (3 ∗ 7)2 33 ∗ 53 ∗ 32 ∗ 72 35 ∗ 53 ∗ 72
=
= 4
= 3 ∗ 5 = 15
(5 ∗ 7)2 ∗ 34
52 ∗ 7 2 ∗ 34
3 ∗ 52 ∗ 72
Степень с целым показателем
Определение: Если 𝑎 ≠ 0, то 𝑎0 = 1. Выражение 00 не имеет смысла.
Определение: Если 𝑎 ≠ 0, и n – натуральное число, то 𝑎−𝑛 =
Выражение 0−𝑛 не имеет смысла.
𝑎𝑚
= 𝑎𝑚−𝑛 , 𝑎 ≠ 0
𝑎𝑛
Пример 2
Вычислить:
18−3 ∗37
2−5
5
7
18−3 ∗ 37 2 ∗ 3
25 ∗ 37
25 ∗ 37
=
=
= 3
= 22 ∗ 3 = 12
−5
3
2
3
6
(2 ∗ 3 )
2
18
2 ∗3
Пример 3
(𝑎𝑏)4
Упростить: (𝑎−2
∗𝑏 3 )−3
(𝑎𝑏)4
𝑎4 ∗ 𝑏 4
𝑎4 ∗ 𝑏 4
𝑏13
= −2 −3
=
= 2 = 𝑎−2 ∗ 𝑏13
(𝑎−2 ∗ 𝑏 3 )−3
(𝑎 ) ∗ (𝑏 3 )−3 𝑎6 ∗ 𝑏 −9
𝑎
1
𝑎𝑛
.
Степень с рациональным показателем
Определение: Если 𝑎 > 0 и x – рациональное число, представленное дробью
𝑚
𝑚
𝑛
, где m – целое и 𝑛 ≥ 2 – натуральное число, то 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑛 = √𝑎𝑚 ; если 𝑎 ≠ 0 и
𝑛
𝑥 > 0, то 𝑎 𝑥 ≠ 0.
2
5
5
3
3
4
Например, 𝑎 = √𝑎2 при 𝑎 ≥ 0; 𝑏 4 = √𝑏 −3 или 𝑏 −4 = √
𝑏>0
4
1
𝑏3
=
1
4
√𝑏3
=
1
3
𝑏4
при