Критерий Коши сходимости несобственного интеграла 1 рода

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ
2 семестр
Лекция 8
Несобственные интегралы на бесконечном
промежутке.
Несобственные интегралы от неограниченных
функций.
Признаки сходимости.
11 апреля 2014 года
Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.
Тищенко Мария Маратовна
1
Несобственные интегралы
Прежде чем переходить к понятию несобственного
интеграла, необходимо вспомнить определение интеграла
по Риману.
Интеграл по Риману
b

f ( x ) dx
a
(или собственный интеграл) предполагает, что
1. a, b - конечные числа,
2. f(x) – ограничена на [a;b] (необходимое условие
интегрируемости),
то есть область задачи ограничена отрезком [a;b] по оси
Ox и отрезком [m;M] по оси Oy, где m=Inf f(x), M=Sup f(x),
x∊[a;b].
2
Несобственные интегралы
b

f ( x )dx
a
Пример определенного интеграла
1,2
M
1
0,8
y
0,6
0,4
0,2
a
-1,5
m
0
-1
-0,5
0
b
0,5
1
1,5
2
2,5
x
3
Несобственные интегралы
Если нарушается условие ограниченности по оси Ox, мы получаем
несобственный интеграл первого рода, он будет записываться
следующим образом


f ( x ) dx
a
Если нарушается условие ограниченности по оси Oy , мы получаем
несобственный интеграл второго рода, он будет записан в виде
b

f ( x )dx
a
но функция f(x) не ограничена в окрестности левого или правого
конца [a,b].
4
b

f ( x )dx
Несобственные интегралы
a
§ 1. Несобственные интегралы первого рода
Определение № 1. Несобственным интегралом первого
рода называется интеграл вида


f ( x ) dx (1)
a
где функция f(x) интегрируема (а, значит, и ограничена) на
каждом отрезке [a;b].
Несобственный интеграл первого рода называется
сходящимся, если существует конечное число I, называемое
пределом этого интеграла, равное
b
I  lim
b  

f ( x ) dx .
a
5
b

f ( x )dx
Несобственные интегралы
a
Несобственный интеграл первого рода
a

f ( x ) dx .

называется сходящимся, если существует конечное число
I, называемое пределом этого интеграла, равное пределу
a
I  lim
c  

f ( x ) dx .
c
6
Несобственные интегралы
b

f ( x )dx
a
Пример несобственного интеграла 1 рода
2,5
2
1,5
f(x)
F(x)
1
0,5
0
-2
0
2
f (x) 
4
6
1
1 x
2
7
Примеры
Пример 1. Сходится ли интеграл? Если сходится, то
найти значение интеграла.

1
 1 x
2
dx
1
Решение. Найдем первообразную для подынтегральной
функции
1
1 x
2
d x  a rctg x  c
Теперь найдем предел интеграла с переменным верхним
пределом

dx
B

lim
(
arctgx

c
)
 lim  arctgB  c  
 2
1
B  
B  
1
x 1
 ( arctg (  1)  c ) 

2
 (

4
)
3
4
Ответ: Интеграл сходится к числу 3π/4.
8
Примеры
Пример 2. Сходится ли интеграл? Если сходится, то найти
значение интеграла.

1

x 2
dx
2
2
Решение. Найдем первообразную для подынтегральной
функции

1
x 2
dx  ln( x 
x  2)  c
2
2
9
Примеры
Теперь найдем предел интеграла с переменным верхним
пределом


2
1
x 2
2

 lim ln( B 
B  

dx  lim ln( B 
B  

2
B  2 )  ln( 2 
2

B  2 )  c  ln( 2 
2  2)  c 
2
6 )  
Ответ: Интеграл расходится, так как не существует
конечного предела ( функция lnB неограниченно
возрастает при B, стремящемся к плюс бесконечности).
10
Примеры
Пример 3. Сходится ли интеграл?


2
dx
x  x2
2
Если сходится, то найти значение интеграла.
Решение. Найдем первообразную для подынтегральной
функции
x
dx
2
x2


(( x  2)  ( x  1)) dx
3( x  2)( x  1)

1
(ln | x  1 |  ln | x  2 |)  c
3
Теперь найдем предел интеграла с переменным верхним
пределом
11
Примеры


2
dx
x x2
2
 lim B   

1
3
 lim B   
1
| x 1|
 ln
c
3 |x2|

1
| B 1|

 ln
3 |B2|
(ln 1  ln
1
4
)
2

2




 1
| 2 1|
c   ln
c
 3 |22|
ln 2
3
Так как конечный предел существует, интеграл
сходится к числу
2
ln 2
3
12
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла 1 рода
Для сходимости несобственного интеграла


f ( x ) dx
a
необходимо и достаточно, чтобы
   0  b  b (  )  a :  b   b ,  b   b 
b 

f ( x ) dx  
b
Доказательство:
По определению несобственный интеграл (1) сходится тогда
и только тогда, когда существует конечный предел функции
R
F (R) 
при
R  

f ( x ) dx
a
По критерию Коши существования конечного предела
функции необходимо и достаточно, чтобы
13
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
Иллюстрация к критерию Коши
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-2
-1
0
1
b 2 b‫י‬
3 b‫יי‬
4
5
6
14
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
   0  b  b (  )  a :  b   b ,  b   b  F ( b  )  F ( b )  
Подставим выражение для F( R ) и получим
b 
   0  b  b (  )  a :  b   b ,  b   b 

f ( x ) dx  
b
Таким образом сходимость несобственного интеграла будет
тогда и только тогда, когда существует конечный предел
функции F( R ), что и дает условие Коши.
Как Вам кажется, из сходимости несобственного интеграла
1 рода следует ли, что подынтегральная функция
ограничена?
15
Несобственные интегралы
Замечание.
Рассмотрим b > a. Наряду с интегралом


f ( x ) dx ,
a
можно рассматривать интеграл


f ( x ) dx
b
Из сходимости одного интеграла вытекает сходимость другого
интеграла и имеет место следующее равенство.


a

b
f ( x )dx 

a
f ( x )dx 

f ( x )dx
b
Расходимость одного из указанных интегралов влечет
расходимость другого.
16
Теорема 2
Признаки абсолютной сходимости для
несобственных интегралов 1 рода
Теорема 2. Общий признак сравнения для
несобственных интегралов 1 рода.
Пусть на полупрямой a < x <+∞ заданы две функции,
удовлетворяющие условию:
0  f ( x)  g( x)
Тогда из сходимости интеграла


.
вытекает сходимость интеграла
g ( x )dx
a


f ( x ) dx
a
17
Теорема 2
и, наоборот, из расходимости интеграла


f ( x ) dx
a
следует расходимость интеграла


g ( x )dx
a
Доказательство: 1) Пусть интеграл


g ( x )dx
a
сходится, тогда по критерию Коши
b 
   0  b  b (  )  a :  b   b ,  b   b 
 g ( x ) dx

b
18
Теорема 2
Тогда из заданного в условии неравенства следует, что
b 

b 
f ( x ) dx 
b
 g ( x ) dx
b
и для функции f(x) можно записать, что
b 
   0  b  b (  )  a :  b   b ,  b   b 

f ( x ) dx  
b
То есть по критерию Коши интеграл

сходится.

f ( x ) dx
a
19
Теорема 2
2) Пусть интеграл


f ( x ) dx
a
расходится, тогда по критерию Коши
b 
   0  b  a :  b   b ,  b   b :

f ( x ) dx  
b
Тогда из заданного в условии неравенства следует, что
b 

b
b 
f ( x ) dx 
 g ( x ) dx
b
и для функции g(x) можно записать, что
20
Теорема 2
b 
   0  b  a :  b   b ,  b   b :
 g ( x ) dx

b
То есть по критерию Коши интеграл


g ( x )dx
a
расходится.
21
Теорема 2
Общий признак сравнения
7
6
G(x)
5
F(x)
y
4
3
2
g(x)
1
f(x)
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
x
22
Теорема 2
Указанную теорему можно доказать другим способом, более
наглядным. Если
0  f ( x )  g ( x ), x  [ a ,  )
то рассмотрим их интегралы с переменным
пределом
x
x
F (x) 

a
f ( t ) dt , G ( x ) 
верхним
 g ( t ) dt
a
Эти интегралы являются положительными монотонно
неубывающими функциями. Для неубывающих функций верна
теорема:
 lim F ( x )  R  F ( x )  ограничена
x  
23
Теорема 2
Если ограничена большая функция G(x), то ограничена
и меньшая F(x) , и значит из сходимости интеграла для g(x)
следует сходимость для f(x).
И, наоборот, из неограниченного возрастания меньшей
функции F(x) следует неограниченное возрастание
большей функции G(x), и значит из расходимости интеграла
для f(x) следует расходимость для g(x) .
Теорема доказана.
24
Примеры
Пример 4. При каких значениях параметра p несобственный
интеграл первого рода

1

x
a
p
dx, a  0
сходится?
Решение. Рассмотрим два случая.
1) p=1. В этом случае первообразная подынтегральной
функции
1
x
p
dx  ln | x |  c
При стремлении верхнего предела к бесконечности
25
Примеры
b
I 
1
lim  x
b  a
p
dx 
lim (ln b  ln a )  lim (ln b )  ln a
b 
b 
предел равен бесконечности, то есть интеграл расходится.
2. p≠1. В этом случае первообразная подынтегральной
функции
1
x
p
dx 

x
p
dx 
x
 p 1
(  p  1)
c
1
(1  p ) x
p 1
c
При стремлении верхнего предела к бесконечности предел
b
I  lim
b  
1
x
a
p
dx  lim
b  
(
1
(1  p ) b
p 1

1
(1  p ) a
p 1
)
lim
b  
(
1
(1  p ) b
p 1
)
1
(1  p ) a
p 1
при p < 1 равен бесконечности, то есть интеграл расходится.
26
Примеры
Предел отношения
1
lim
b  
b
p 1
равен нулю, если знаменатель возводим в положительную степень
(то есть p – 1 > 0, или p > 1 ), и равен бесконечности, если
возводим в отрицательную степень (то есть p – 1 < 0 , или p < 1 ).
Ответ. Если p > 1, то несобственный интеграл первого рода


a
1
x
p
dx, a  0
сходится. Если p ≤ 1, то несобственный интеграл первого рода
расходится.
27
Теорема 3
Теорема 3 (частный признак сравнения
для несобственных интегралов 1 рода.)
Пусть на полупрямой 0 < a < x <+∞ функция f(x)
удовлетворяет условию
c
| f ( x ) |
x
где c, p – постоянные,
p
p > 1,
тогда интеграл


f ( x ) dx
a
сходится абсолютно.
28
Теорема 3
Если существуют постоянные с > 0, p ≤ 1, такие что на
полупрямой 0 < a < x <+∞ функция f(x) удовлетворяет
условию
c
f (x)  p
x
то интеграл


f ( x ) dx
a
расходится.
29
Теорема 3
Доказательство следует из общего признака сравнения и
примера 4, необходимо положить
c
g(x)  p
x
Следствие теоремы 3. Если функция f(x)
c
f ( x)
при x  
p
x
эквивалентна
то при p > 1, интеграл


f ( x ) dx
a
сходится, а при p ≤ 1,
интеграл расходится.
30
Примеры
Пример № 2359. Сходится ли интеграл?


1
1
x
3
x 1
dx
2
31
Примеры
Решение. № 2359. Подынтегральная функция
f ( x) 
1
x x 1
3
2
неограниченно возрастает в окрестности точки 0, но эта
точка не входит в промежуток интегрирования.
Единственная особая точка, в окрестности которой
надо проводить исследование – это бесконечность.
32
Примеры
В окрестности бесконечности
1
f ( x) 
x
3
x 1
2
1
xx

2
3
1
x
при x  
5
3
Степень 5/3 больше 1, несобственный интеграл 1 рода
сходится по признаку сравнения со степенной функцией.
Ответ: интеграл сходится.
33
Несобственные интегралы второго рода
§ 2. Несобственные интегралы второго рода
В отличие от интеграла первого рода несобственные
интегралы второго рода
b

f ( x )dx
a
работают с ограниченной областью по x , и
неограниченной функцией, то есть функция f(x) не
ограничена в окрестности левого или правого конца
отрезка [a,b].
34
Несобственные интегралы второго рода
Определение № 2. Несобственным интегралом
второго рода называется интеграл вида
b

f ( x )dx
a
где функция f(x) не ограничена в окрестности правого
конца [a, b], то есть
 M ,    0  c  ( b   , b ) : | f ( c ) | M
но функция f(x) интегрируема ( а значит и ограничена)
на каждом отрезке вида
[a , b   ]
35
Несобственные интегралы второго рода
Несобственный интеграл 2ого рода
10
9
8
7
y
6
5
4
3
f(x)
2
F(x)
1
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
x
f (x) 
2
2 x
x
, F (x) 

f ( t ) dt
0
36
Несобственные интегралы второго рода
Несобственный интеграл второго рода для
функции f(x), неограниченной в окрестности правого
конца отрезка [a, b]
b

f ( x )dx
a
называется сходящимся, если существует конечное
число I,
b 
I 
lim


 0
f ( x ) dx
a
называемое пределом этого интеграла. В случае
сходимости интеграла будем использовать обозначение
b 
b

a
f ( x ) dx 
lim


 0
f ( x ) dx
a
37
Несобственные интегралы второго рода
Аналогично, несобственный интеграл второго рода для
функции f(x), неограниченной в окрестности левого конца
отрезка [a, b]
b

f ( x )dx
a
называется сходящимся, если существует конечное число I,
b
I 
lim


f ( x )dx
 0 a 
называемое пределом этого интеграла. В случае сходимости
интеграла будем использовать обозначение
b

a
b
f ( x )dx 
lim


f ( x )dx
 0 a 
38
Несобственные интегралы второго рода
Для несобственного интеграла второго рода с функцией
неограниченной в окрестности правого конца отрезка
рассмотрим функцию
b 
F ( ) 

f ( x ) dx
a
которая определена на полусегменте
  (0, b  a ]
39
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
Для сходимости несобственного интеграла второго рода
необходимо и достаточно, чтобы
b  2
   0     ( )  0 :   1 ,   2 , 0   2   1   

f ( x ) dx  
b 1
Доказательство:
По определению несобственный интеграл (2) сходится тогда
и только тогда, когда существует конечный предел функции
b 
F ( ) 
при

f ( x ) dx
a
  0
40
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
По критерию Коши существования конечного предела
функции необходимо и достаточно, чтобы
 lim F (  ) 
  0
   0     (  )  0 :   1 ,   2 , 0   2   1    F ( 1 )  F ( 2 )  
По определению функции F(x)
b  2
F ( 1 )  F ( 2 ) 

f ( x ) dx
b 1
Критерий Коши доказан.
41
Несобственные интегралы второго рода
Пример 5. Исследовать сходимость интеграла. Найти
предел, если он существует.
1

1
1
1 x
dx
2
42
Несобственные интегралы второго рода
Решение. Подынтегральная функция
f ( x) 
1
1 x
2
не ограничена в окрестности как правого, так и левого
конца. Разобьем промежуток интегрирования на два,
например, точкой 0.
Рассмотрим два предела
1

1
0
1
1 x
dx  lim
2
  0

 1 
1 
1
1 x
dx  lim
2
  0

0
1
1 x
dx
2
43
Несобственные интегралы второго рода
0
lim
  0
1 
1

 1 
1 x
dx  lim
 lim  arcsin x
  0 


2


  0
2

0
0
 1 
1
1 x
dx 
2
  lim  arcsin x
   0 
1 
0



2
Оба предела существуют и конечны, интеграл сходится .
44
Примеры
Пример 6. При каких значениях параметра p
несобственный интеграл второго рода
b
1
 (b  x )
p
dx
a
сходится?
45
Примеры
Решение. Рассмотрим два случая.
b
1
 (b  x )
p
dx
a
1) p=1. В этом случае первообразная подынтегральной
функции
1
 ( b  x ) dx   ln | b  x |  c
При стремлении верхнего предела к b
46
Примеры
b 
I 
lim


 0
a
1
(b  x )
p
dx 
(  ln 
lim

 ln( b  a )) 
 0
lim (ln  )  ln( b  a )
 0
предел равен бесконечности, то есть интеграл расходится.
2. p≠1. В этом случае первообразная подынтегральной
функции
1
 (b  x )
p
b 
I 
lim


 0
a
dx 
1
(1  p )( b  x )
1
(b  x )
p
dx 
p 1
lim ( 
  0
c
1
(1  p )
p 1

1
(1  p )( b  a )
p 1
)
47
Примеры

 lim (
  0
1
(1  p )
p 1
)
1
(1  p )( b  a )
p 1
Предел при p > 1 равен бесконечности, то есть интеграл
расходится.
Предел отношения
lim


 0
1
p 1
равен бесконечности, если малую величину α в
знаменателе возводим в положительную степень (то есть p
– 1 > 0, или p > 1 ), и равен нулю, если возводим в
отрицательную степень (то есть p – 1 < 0 , или p < 1 ).
48
Примеры
Ответ. Если p < 1, то несобственный интеграл второго рода
b
1
 (b  x )
p
dx
a
сходится. Если p ≥ 1, то несобственный интеграл второго
рода расходится.
49
Несобственные интегралы второго рода
Теорема 4. (частный признак сравнения для
несобственных интегралов 2 рода.)
Пусть на интервале a < x <b функция f(x) удовлетворяет
условию
| f ( x ) |
c
|xb|
где c, p – постоянные,
p
при x  ( a , b ), c  0
p < 1, тогда интеграл
b

f ( x )dx
a
сходится абсолютно.
50
Несобственные интегралы второго рода
Если существуют постоянные с > 0, p ≥1, такие что на
интервале a < x <b функция f(x) удовлетворяет условию
f ( x) 
c
|xb|
p
при x  ( a , b ), c  0
то несобственный интеграл 2-ого рода
b

f ( x ) dx
a
расходится.
51
Несобственные интегралы второго рода
Следствие теоремы 4. Если функция f(x)
f ( x)
c
|xb|
p
эквивалентна
при x  b , c  0
то интеграл для исходной функции и интеграл для
эквивалентной функции сходятся и расходятся
одновременно.
А именно, несобственный интеграл второго рода
b

f ( x )dx
a
сходится при
p<1,
расходится при
p 1
52
Несобственные интегралы второго рода
Доказательство.
Вспомним определение эквивалентных функций. Две
функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при
f ( x)
g ( x ) при x  b
если найдется такая новая функция h(x) , что
f ( x )  g ( x ) h ( x ), lim h ( x )  1 при x  b
Запишем определение, что предел функции h(x) равен 1:
   0    0 :  x  ( b   , b )  | h ( x )  1 | 
1    h( x)  1  
53
Примеры
  0, 5; 0, 5  h ( x )  1, 5
0, 5
c
|xb|
k
 f ( x )  1, 5
c
|xb|
k
Из этого двойного неравенства следует, что интеграл
b

f ( x ) dx
a
сходится или расходится одновременно с интегралом
функции
b
c
|xb|
k
dx
a
54
Примеры
Заметим, что задачи на несобственные интегралы бывают
двух видов:
1) надо найти значение интеграла;
2) надо ответить на вопрос, сходится ли указанный интеграл.
Первая задача предполагает, что удалось найти
первообразную для функции и далее по определению, надо
найти предел. Если этот предел существует, то мы ответили
на вопрос о сходимости и нашли предел, если предел не
существует, то интеграл расходится.
55
Примеры
Вторая задача может быть решена так как описано выше ,
но очень часто первообразную найти не удается, но
ответить на вопрос о сходимости можно, используя
признаки сравнения или какие-то еще теоремы.
56
Вопросы
Верны ли следующие утверждения?
1.
Если сходится несобственный интеграл 1 рода, то
подынтегральная функция стремится к нулю.
2. Если подынтегральная функция стремится к нулю, то
несобственный интеграл 1 рода сходится.
3. Если 1) сходится несобственный интеграл 1 рода, и
2) существует конечный предел подынтегральной
функции, то подынтегральная функция стремится к
нулю.
Вопросы
4. Если 1) сходится несобственный интеграл 1 рода, и
2) подынтегральная функция монотонна,
то подынтегральная функция стремится к нулю.
Вопрос по несобственным интегралам 2 рода:
1. Если подынтегральная функция стремится к
бесконечности при x  b , то несобственный интеграл 2
рода расходится.
Примеры
Рассмотрим примеры.
Пример 7. Сходится ли интеграл? Если сходится, то найти
значение интеграла.


1
dx
x 1 x  x
5
10
Решение. Найдем первообразную для подынтегральной
функции
x
dx
1 x  x
5
10
 xx
dx
5
11 x 1 x
5

10
1
u 


x
du 
5
 5 dx
x

 (  5)
du
1 u  u

2
6
59
Примеры

 (  5)
du
3
4
 (u 
 (  1 5 ) ln | u 
1
2
 (  1 5 ) ln | 1 x 
5


1
2
)
2
1  u  u | c 
2
1
2

11 x 1 x
5
10
| c
Теперь найдем предел интеграла с переменным верхним
пределом


1
dx
x 1 x  x
 lim B   
5

10
 1
5
 ( 5 ) ln | 1 x 

B
1
2 
11 x 1 x
5
10
| c
1



60
Примеры
 lim B  

1
5
(ln
3
 1
5
ln(1
B


 5
 ln
3 2 3
2
2
1
)
2

1
5
11 B 1 B
ln(1 
5
2
10
 1
) 
ln(1 
5

1
2

3) 
)
3
Так как конечный предел существует, интеграл сходится к
числу
1
5
ln(1 
2
)
3
61
Примеры
Пример 8
. Сходится ли интеграл? Если сходится, то найти значение

интеграла.

e
 ax
cos bx dx , a  0
0
Решение. Найдем первообразную для подынтегральной
функции. Будем вычислять интеграл при помощи
интегрирования по частям.
I 

e
e
 ax
cos bx dx 
 ax
a
cos bx 
b
a
e
 ax
e
 ax
a
cos bx 

e
 ax
a
b (  sin bx ) dx 
sin bx dx 
62
Примеры
 ax
 ax
be

cos bx  
sin bx 
a
a  a
e

e
 ax
(  a cos bx  b sin bx )
a
2


b
2
a
2
 ax

b co s bxdx  
a

e
I
Получили выражение для интеграла через него самого, то
есть получили уравнение для нахождения интеграла.
I 
e
 ax
(  a cos b x  b sin b x )
a
(1 
b
a
I 
e
2
)I 
2
 ax
e
 ax
2

b
2
a
2
I
(  a cos b x  b sin b x )
a
2
( b sin b x  a cos b x )
a b
2
2
63
Примеры
Таким образом, найдена первообразная
e
 ax
cos bx dx 
e
 ax
( b sin bx  a cos bx )
a b
2
2
c
Теперь найдем предел интеграла с переменным верхним
пределом

e
0
ax
cos bx dx  lim B   
 e  ax ( b sin bx  a cos bx )

2
2

a b

B
0




64
Примеры
 lim B   

e


(a )
a b
2
2

 aB
( b sin bB  a cos bB )  e
) 
2
2
a b

a0
( b sin 0  a cos 0)
a b
2
2

a
a b
2
2
Ответ примера № 7:
e
 ax
cos bx dx 
a
a b
2
2
65
Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ.
Лекция № 8 завершена.
Следующая лекция № 9 состоится
16 апреля 2014 года
и будет посвящена применению признаков
сходимости и понятиям абсолютной и условной
сходимости.
Спасибо за внимание!