Лекция 3. Методы расчета проектных задач.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ГОРНОГО ПРЕДПРИЯТИЯ
Лекция №3
Тема: Методы расчета проектных задач.
Организации, производственные коллективы, проектировщики и отдельные руководители постоянно
сталкиваются с необходимостью принимать решения, т.е. осуществлять выбор наилучшего способа
достижения поставленной цели. Принимая решения, проектировщики часто выполняют эти
ответственные действия, руководствуясь опытом и деловой интуицией. Идея решения инженерной
задачи возникает в голове проектировщика на основе информации, содержащейся в задании на
проектирование, в обзорах технической литературы по проблеме и сборников изобретений, анализа
доступных проектных материалов по аналогичным объектам и нормативно-технической литературы,
личного опыта проектировщика и его коллег.
По мере увеличения сложности ситуации, поиск наилучшего решения становится затруднительным, а
с увеличением числа учитываемых факторов – просто невозможным. В этих случаях необходимо
чтобы решения принимались на основе научных методов.
Выделяют следующие основные методы:
1. Метод аналогий
2. Экспериментальный метод
3. Метод инверсии
4. Статистический метод
5. Метод вариантов
6. Метод теории графов
7. Аналитический, графический и графоаналитический метод
8. Метод моделирования
9. Математическое моделирование
10. Методы линейного, нелинейного и динамического программирования
Метод аналогий основан на сходстве многих процессов и явлений, протекающих в природе,
человеческом обществе, технических системах и т.д. Он успешно используется при проектировании
конструкций, сооружений, машин, строительных технологий и т.п., функционирующих в аналогичных
условиях.
Если, например, бетонная крепь успешно функционировала в какой-либо выработке, то такая же крепь
с определенной вероятностью будет успешно работать в другой выработке при аналогичных условиях.
Метод аналогий широко реализуется в строительстве при использовании типовых проектов путем их
привязки к конкретным условиям очередного объекта, при различных видах моделирования
геомеханических процессов и в других случаях. Метод позволяет быстро и продуктивно решать
разнообразные инженерные задачи при малых затратах средств и труда. Тем не менее, не всегда
удается сделать вероятностную оценку возможного результата. Для этого необходимо создавать
представительные банки данных по успешно действующим объектам с указанием условий их
функционирования.
Экспериментальный метод исследования широко применяется в горном деле и подземном
строительстве в связи с многообразием подземных сооружений способов их строительства, горногеологических и гидрогеологических условий, влиянием тектонических процессов и многих других
факторов. При таких обстоятельствах чисто теоретические исследования, играющие безусловно
важную роль, не всегда способны дать ответ на интересующие проектировщиков вопросы.
Экспериментом называют научно поставленный опыт или наблюдение в натурных или лабораторных
условиях, при которых строго фиксируется влияющие факторы и, по возможности, выявляется роль
(весомость) каждого из них на основании количественной и качественной информации, полученной с
помощью визуальных и инструментальных наблюдений и тщательной их обработки. Результаты
представляют в виде графиков, таблиц, эмпирических формул, гипотез и даже теорий.
Производственно-экспериментальный метод (ПЭМ) ценен тем, что выполняется в естественных
условиях и дает наиболее достоверную информацию. Однако полученные результаты, строго говоря,
справедливы только для данного объекта при конкретных условиях проведения эксперимента. При
больших объемах информации такого рода в разнообразных условиях могут быть выявлены надежные
закономерности явлений и процессов. Это может служить основой для разработки новых научных
теорий или обоснования и подтверждения ранее высказанных гипотез, а также для создания
нормативных документов, инструкций и руководств для проектирования и производства (например,
строительных норм и правил (СНиП)).
ПЭМ используют при изучении горно-геологических и гидрогеологических условий проектирования
и строительства объекта, свойств и состояний массива пород в окрестности выработки зависимости
технических и экономических показателей технологии строительства от изменения ее параметров,
конструкций сооружения, комплексов оборудования, организации работ, технологических схем и т.п.
Достоверность и надежность информации при ПЭМ в решающей мере зависит от принятой методики
исследований; типа, качества и количества приборов для их проведения, способа и быстроты
обработки информации.
Количество наблюдательных станций и замерных пунктов должно быть достаточным для
статистической обработки получаемых данных (обычно, не меньше 10).
В связи с высокой стоимостью и несомненной важностью ПЭМ в получении информации для
проектирования и строительства сложных и дорогостоящих подземных и других сооружений в сметы
по ним закладывают достаточные средства для проведения таких исследований и приобретения
аппаратуры.
Одним из существенных недостатков ПЭМ является невозможность или малая возможность
изменения количественных значений факторов, влияющих на изучаемый объект или процесс
(невозможно изменить физико-механические свойства массива пород, сложно изменить его
напряженное состояние, размеры выработок и т.п.)
Указанный недостаток может быть частично компенсирован при проведении исследований в
лабораторных условиях.
Лабораторно-экспериментальный метод (ЛЭМ) ценен тем, что позволяет проводить массовые
исследования с регулируемым количественным и качественным изменением факторов, влияющих на
изучаемые объект, процесс или явление. Исследованиям подвергают образцы горных пород,
материалов, машин, механизмов, измерительной аппаратуры; элементы и узлы строительных
конструкций и крепей. На лабораторных моделях исследуют геомеханические проблемы
взаимодействия массивов пород и крепей, смещения в массиве пород и поверхности земли при горных
работах и эксплуатации сооружений.
ЛЭМ незаменим для научных целей и весьма важен для получения исходной информации к
проектированию подземных и других сооружений. Особую ценность в этом плане представляют
методы физического и математического моделирования.
Метод инверсии, состоит в том, что при решении задачи рассматривают традиционный метод, а
поступают наоборот. Задачу пытаются решить с противоположной или измененной позиции.
Например, при проходке выработок буровзрывным способом вначале обычно взрывают центральную
часть, затем промежуточную и периферийную. Существует и обратная схема: вначале взрывают
оконтуривающие шпуры, а затем центральные. Так осуществляется предварительное контурное
взрывание.
Статистический метод. Статистическое исследование массовых повторяющихся событий
начинают со сбора наблюдений с образованием статистической совокупности результатов
наблюдений. Далее результаты наблюдений систематизируют (формируется представительная
выборка) и методами корреляционного или регрессионного анализа выявляют математическую
зависимость между изучаемыми величинами. Полученная зависимость (эмпирическая формула)
анализируется с точки зрения ее объективности, универсальности, надежности.
Эмпирические зависимости отражают прошлое и настоящее объекта, поэтому их применение
ограничивается некоторым периодом времени. Тем не менее, они могут быть полезны при выявлении
взаимосвязей между основными параметрами явления и прогнозировании тенденций развития.
Метод вариантов заключается в том, что проектные решения принимаются путем обоснования
выбора их из ряда составленных вариантов, сравниваемых между собой по присущим им
достоинствам и недостаткам.
После формирования альтернативных вариантов проектных решений выбираются и рассчитываются
критерии их оценки, принимается эффективное, по отношению к другим вариантам, решение. Метод
универсален и широко применяется при проектировании строительства горного предприятия. На
основе сравнения вариантов принимаются решения по вскрытию, подготовке и системам разработки
шахтного поля, выбору технологического оборудования и др.
Обязательным условием метода вариантов является равноценность альтернативных решений.
Например, нельзя считать альтернативными варианты с двухпутевой и однопутевой выработками,
следует сопоставлять двухпутевую выработку с двумя однопутевыми. В зависимости от постановки
задачи выбираются критерии оценки, характеризующие сущность проектируемого объекта, процесса.
Критерий – мера оценки «качества» решения – определяет диапазоны изменения значений
оптимизируемых параметров. Общепризнанным критерием являются приведенные затраты
П = С + Ен К,
где С – текущие (эксплуатационные) затраты; К – капитальные вложения; Ен – нормативный
коэффициент эффективности (0,12 для горной промышленности или переменная величина, равная
норме платы за капитал).
В экономических расчетах при сравнении вариантов строительства долговременных объектов следует
учитывать фактор времени путем количественной оценки экономического выигрыша в результате
разновременности капитальных вложений. Если по какому-либо объекту часть капитальных вложений
К0 откладывается на несколько лет, то они будут использованы для строительства других сооружений
и к концу первого года дадут экономический эффект, соответствующий нормативному коэффициенту
приведения разновременных затрат Ен.р и превратятся в сумму
К + КЕн.р = К(1 + Ен.р),
а к концу периода из t лет в сумму
Кпр = К(1 + Ен.р)t.
Отсюда следует, что для сопоставления с немедленными (в нулевом году) затратами капитальные
вложения, производимые через t лет, делят на коэффициент приведения затрат, а при приведении к
году окончания строительства – умножают на него.
Коэффициент приведения затрат:
B = (1 + Ен.р)t.
где t – число лет, отделяющее затраты данного года от расчетного года (первого или последнего года
строительства).
Обратная величина 1/(1 + Ен.р)t называется коэффициентом отдаления затрат.
Таким же подходом пользуются и для учета изменений во времени эксплуатационных расходов
(обычно они растут с увеличением мощности предприятия, интенсивности движения и т.п.).
Сумма приведенных затрат с разновременными капитальными вложениями Кt и изменяющимися
нелинейно по годам эксплуатационными расходами Сt рассчитывается по формуле:
t  tc
П = Ен
 (1  E
t0
t  tc
Kt
)
н.р
t

t0
Ct
(1  E н.р )
t
,
где Kt и Сt – капитальные вложения и эксплуатационные расходы в соответствующем году t; tc – год,
ограничивающий период суммирования расходов по проектируемому сооружению.
Оптимальным считается решение, обеспечивающее наименьшую сумму приведенных затрат за
принятый срок tc. (обычно принимают 20-й год).
В случае единовременных, одноэтапных капитальных вложений при нелинейно изменяющихся
эксплуатационных расходах
t t
Ct
П = ЕнK + 
.
t
c
t0
(1  E н.р )
Для приведения к исходному году капитальные затраты и эксплуатационные расходы делят на
коэффициент приведения, а для приведения к конечному расчетному году умножают на него.
Приведение затрат к исходному или расчетному году называют дисконтированием. Норматив для
приведения разновременных затрат может иметь значение от 0,08 до 0,20.
Если, например, тампонаж горного массива с поверхности выполняют в подготовительный период, то
сумма вложенных затрат находится в «замороженном» состоянии весь срок строительства шахты и к
моменту сдачи шахты в эксплуатацию возрастает до максимального значения. Если тампонаж с
поверхности проведен качественно, то скорость проведения ствола будет больше, чем при тампонаже
из забоя ствола. Вложение средств в строительство ствола будет также интенсивнее, и средства будут
находиться в «замороженном» состоянии меньший период.
Затраты на тампонаж из забоя ствола и проведение ствола производят меньшими частями и в течение
большего периода из-за меньшей скорости проведения ствола. Поэтому сравнение способов
тампонажа возможно только после приведения затрат к сопоставимому виду, т.е. в данном случае к
одному моменту времени. Пусть затраты на тампонаж с поверхности земли и из забоя ствола равны
(Сп = Сз = 300), а сметная стоимость проведения ствола К = 3000. При тампонаже с поверхности
продолжительность строительства ствола tс = 2 года, вложение средств по годам проведения Кп1 =
= Кп2 = 1500, продолжительность строительства шахты Т = 7 лет. При тампонаже из забоя ствола
стоимость строительства Кз = 3300 при продолжительности строительства ствола tс = 3 года,
вложение средств по годам проведения Кз1 = Кз2 = Кз3 = 1100, продолжительность строительства
шахты Т = 8 лет. Тогда приведенные к последнему году строительства шахты капитальные затраты на
проведение ствола при тампонаже с поверхности земли и из забоя ствола соответственно
= 1500 х (1+0,08)7-1 + 1500 х (1+0,08)7-2 = 4584;
= 1100 х (1+0,08)8-1 + 1100 х (1+0,08)8-2 + 1100 х (1+0,08)8-3 = 5240.
Так как стоимость тампонажа в обоих вариантах одинакова и не зависит от продолжительности
строительства, варианты можно сравнивать по приведенным капитальным затратам. Тогда более
эффективным следует считать вариант проведения ствола с предварительным тампонажем горного
массива с поверхности. Если выигрыш во времени от применения тампонажа с поверхности
составляет 0,5 года и менее, то оба способа равноценны или тампонаж из забоя ствола
предпочтительнее. Достоинством метода вариантов является возможность учета большого числа
факторов и довольно точное решение поставленной задачи. Недостаток метода – большой объем
расчетов.
Методы теории графов позволяют исследовать объекты и процессы, представляя их в виде сетевых
структур, в которых отношения между элементами системы и их взаимное расположение
изображается в виде точек, соединенных линиями.
Термины сетевая структура, сетевой график, сетевая модель опираются на понятие ориентированного
графа – множества точек (вершин) и ориентированных дуг, соединяющих эти точки. Область графа,
ограниченная некоторой совокупностью вершин, называется сетью. Сеть, в которой ориентация дуг
соответствует логике (технологии) моделируемого процесса, называется сетевой моделью. Любая
работа (дуга) сетевого графика соединяет два события: непосредственно предшествующее данной
работе и следующее за ним. Термин работа имеет различные значения: в данном случае
действительная работа, реализация которой требует затрат времени и ресурсов, ожидание (временные
затраты), зависимость или фиктивная работа, не требующая затрат времени и ресурсов и
изображающая логическую связь между двумя событиями. Понятием событие обозначается
фактическое свершение всех предшествующих работ и готовность к выполнению последующих работ.
Событие определяет начало и завершение некоторой работы, на него не расходуются ни время, ни
ресурсы. В сетевой модели дуга соединяет вершины графа слева направо в направлении достижения
результата. В сетевых графиках под общим термином дуга обычно понимается прямая линия.
При использовании метода необходимо четко определить состав работ, начальное и конечное события.
Формулировка работы должна максимально полно раскрывать ее сущность, а формулировка события
– точно указывать, чем должна завершаться работа.
Любая последовательность технологически согласованных работ в сетевом графике называется путем.
Главный путь имеет начало в начальном событии, а конец – в завершающем событии сетевого
графика.
Сетевые модели могут иметь детерминированную (упрощенную), вероятностную и смешанную
структуру. При упрощенном (детерминированном) методе продолжительность выполнения работ
принимается на основе норм выработки, опыта строительства аналогичных объектов или личного
опыта исполнителя. При вероятностном подходе осуществляется учет случайных изменений
продолжительности изменения работ путем введения оптимистической (т.е. с некоторым
напряжением), наиболее вероятностной или пессимистической (т.е. с некоторым запасом) оценки
времени выполнения работ.
Методы теории графов применяются в задачах определения рациональных параметров
технологической схемы, формирования сетевого календарного графика строительства, рационального
распределения ресурсов во времени и по объектам строительства, оптимизации продолжительности
выполнения производственных процессов и т.д. Методы теории графов применимы только при
известной последовательности выполнения технологических операций (работ), составляющих
производственный процесс.
Пример. Построение сетевого графика ввода новой панели.
Рисунок 1. Сетевой график горнопроходческих работ.
4 – квершлаг;
5 – восточный главный откаточный штрек;
6,7 – ходки восточного бремсберга;
8 – восточный бремсберг;
9 – откаточный штрек 1-й лавы;
10 – разрезная печь 1-й лавы;
11 – Ходок восточного бремсберга на участке 1-го яруса
12 - вентиляционный штрек 1-й лавы
Сущность аналитического метода состоит в том, что путем технико-экономического анализа задача
решается в общем виде, т. е. устанавливается расчетная формула и искомое неизвестное находится
подстановкой в формулу исходных числовых значений. При решении задач в горном деле под
аналитическим методом понимают нахождение оптимальных значений искомой величины путем
использования математического анализа. Порядок решения задачи следующий. Путем техникоэкономического анализа устанавливается зависимость между искомой величиной х и стоимостным
показателем S или каким-либо другим экономическим критерием, т. е. S=f(x).
Зависимость имеет непрерывный характер и выражается в виде выпуклой или вогнутой кривой.
Оптимальное значение искомой величины х должно соответствовать экстремальному значению S
(например, минимуму затрат или максимуму прибыли), т. е. решение задачи сводится к нахождению
максимума или минимума функции. Взяв первую производную и приравняв ее к нулю, получим
уравнение
dS
 0,
dx
решив которое, найдем искомую величину. Для определения непрерывности функции необходимо
взять вторую производную. Если последняя не равна нулю, то функция непрерывна и имеет
экстремальное значение. Графическое изображение функции позволяет легко обнаружить ошибку, как
в исходных данных, так и в результатах расчетов.
Графическим называется метод решения задач путем графических построений. Основное
достоинство графического метода заключается в простоте и наглядности решения задачи. Метод с
успехом применяется для приближенного решения задач, уточняемого затем другими методами. Чаще
графический метод применяется для решения некоторых задач совместно с другими методами.
Графоаналитический метод обладает достоинством графического и аналитического методов
(простотой и наглядностью решений и возможностью математического анализа взаимосвязей между
определяющими факторами). Графоаналитический метод применяется для определения объемов и
площадей горной массы и др.
Моделирование предполагает замену реального объекта его моделью при определенном, обычно
безразмерном, соотношении их характеристик, которое устанавливают методами теории подобия.
Различают подобие полное и неполное.
При полном подобии учитывается все многообразие параметров и переменных натурного объекта и
модели.
При неполном подобии принимают во внимание часть параметров и переменных, отражающих в
наибольшей мере интересующие исследователя стороны процесса, явления или состояния.
Соблюдение полного подобия моделируемых объектов чрезвычайно сложно, трудоемко и затратно.
Поэтому при решении подавляющего числа научных и инженерных задач используют моделирование
с неполным подобием («неполные модели»). Из их числа наиболее простыми являются наглядные
трех- или двухмерные модели, имеющие подобие по одному-двум признакам. Чаще всего это
геометрическое и структурное подобие. Такими моделями могут быть: макет подземного или иного
сооружения, крепь горной выработки и ее узлы, модель горной машины, глобус земного шара,
планшет местности и т.п.
Их назначение – создать четкий зрительный образ объекта или процесса. Макетно-модельный метод
проектирования сложных пространственных объектов позволяет обеспечить высокое качество
проектирования и максимально снизить вероятность ошибок, нередких в реальной жизни. К тому же
выявление и исправление ошибок в процессе строительства обходится дорого и часто нарушает
намеченный срок сдачи объекта.
Более сложные физические модели позволяют исследовать явления и процессы с соблюдением не
только геометрического, но и других видов подобия (прочностного, деформационного, временного,
технологического и пр.).
Математическое моделирование основано на представлении какого-либо объекта его
математической моделью в виде системы уравнений, формализующих процесс функционирования
объекта по ряду его параметров. Моделирование выполняется в виде вычислений (как правило, на
ЭВМ) по упомянутым уравнениям при варьировании в необходимых пределах числовых значений
параметров и переменных. Математическая модель может быть представлена множеством величин,
описывающих функционирование системы, и совокупностями входящих в него подмножеств
(входных и выходных характеристик, внешних и внутренних воздействий, ограничений и т.п.)
Математическое моделирование успешно используют при проектировании трасс протяженных
подземных сооружений, форм и размеров поперечного сечения выработок, конструкций крепи,
технологических схем проходки выработок и т.п.
Линейное, нелинейное и динамическое программирование представляет собой аппарат решения
линейных функций путем выполнения некоторой программы логических и вычислительных
операций, направленной на получение конечных результатов. Горно-экономические сложные задачи,
которые могут быть представлены в виде целевых функций некоторых переменных в первой степени
(линейных), а ограничивающие условия существования целевых функций могут сводиться к системе
линейных равенств и неравенств, успешно решаются данным методом. Задачи линейного
программирования записываются следующим образом:
Требуются определить оптимальное значение целевой функции
Ф(х)=с1х1+ с2х2+…+ сjхj+…+ сnхn
в условиях, когда х1 ≥ 0; х2 ≥ 0; …; хj ≥ 0…; хn ≥ 0 (в общем случае хj ≥ 0);
а11х1+ а12х2+…+ а1jхj+…+ а1nхn≤b1
а21х1+ а22х2+…+ а2jхj+…+ а2nхn ≤ b2
.....
ai1х1+ ai 2х2+…+ ai jхj+…+ ai nхn ≤ bi
.....
am1х1+ am 2х2+…+ am jхj+…+ am nхn ≤ bm
(в общем виде
… i=1,
2, …m).
Значения переменных хj, при которых целевая функция Ф(х) при соблюдении всех ограничений
принимает экстремальное значение, составляют так называемое оптимальное сочетание переменных
задачи. Ограничения сводятся к соблюдению положительными или нулевыми значениями
неизвестных переменных, выполнению некоторых пределов bi материальных средств, времени и т. д.
при любых сочетаниях переменных хj. Содержание коэффициентов ai j может быть самым различным.
Они выражают: показатели удельных расходов сырья, топлива, капитальных средств, стоимостные и
трудовые расценки. Значения ограничений bi выражают некоторые регламентированные объемы
средств, меру качества, меру суммарной стоимости, меру интервала времени и т. д. В одном из
наиболее известных примеров решения задач линейным программированием — транспортной задаче
сij — стоимость перевозки 1 т угля от i-го производителя к j-му потребителю; хj — количество угля,
перевозимого в разных (от i к j) направлениях; bi — предельные объемы перевозок угля данного
качества в каком-либо направлении; ai j — коэффициенты участия отдельных переменных в
формировании итогового качества плана перевозок по какому-то показателю.
Недостаток линейного программирования заключается в том, что иногда решения могут оказаться
неточными. Причина этого в стремлении выразить линейными зависимостями в действительности
нелинейные функции и ограничения, что влечет за собой соответствующую ошибку результата. Чтобы
избежать этого, применяют методы нелинейного программирования, когда хотя бы одно из уравнений
имеет нелинейный вид. Характерной для нелинейного программирования является задача для выбора
оптимальных сечений сети (цепи) горных выработок шахты. Если переменные могут принимать
только целочисленные дискретные значения, то применяются дискретные методы решения задач
программирования.
Если задача требует многостадийного принятия решений, то применяется динамическое
программирование. Сначала рассматривают ряд вариантов многостадийных решений и для каждого
варианта определяют значения принятого критерия оптимальности. Затем находят
последовательность решения, которое обеспечивает установление экстремального значения принятого
критерия оптимальности. Оптимизация проектных решений в пределах этапа требует учета и
сопоставления полных затрат, связанных с реализацией вариантов, т.е. требует специальных
экономико-математических моделей развития шахты на каждом из этапов.