Готовимся к ЕГЭ, В6

Решение заданий В6
Готовимся к ЕГЭ
Указание
В задачах №1 ‒ №15 рассматриваются прямоугольные
треугольники с острыми углами А и В. А это значит, что
sin A > 0, cos A > 0, tg A > 0, ctg A > 0;
sin B > 0, cos B > 0, tg B > 0, ctg B > 0.
B
C
A
7
1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A =
.
25
Найдите cos A.
Решение
B
: согласно основному
тригономет
рическому
cos
2
A  sin A  1
cos
2
A  1  sin A
2
2
2
cos
C
A
2
тождеству
49
625
49
576
 7 
A1

1





25
625
625 625
625


cos A 
576
625

24
25
Ответ: 0,96.
 0 ,96
√17
2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A =
.
17
Найдите tg A.
Решение : согласно основному
тригономет
B
рическому
cos
2
A  sin A  1
cos
2
A  1  sin A
тождеству
2
2
2
cos
C
A
2
 17 
1
16
 1
A1

 17 
17 17


16
cos A 
tgA 
tgA 
17
4

17
sin A
cos A
17
17
:
4
17
Ответ: 0,25.

17  17
17  4

1
4
 0 ,25
3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A = 7 .
Найдите sin B.
25
Решение
B
: согласно основному
тригономет
рическому
cos
2
A  sin A  1
cos
2
A  1  sin A
тождеству
2
2
2
cos
C
A
2
49
576
 7 
A1

1



25
625
625


cos A 
sin B 
576
625
AC
AB

24
25
 cos A 
Ответ: 0,96.
24
25
 0 ,96
4. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A = 0,1.
Найдите cos B.
B
Решение :
cos B 
BC
AB
C
A
Ответ: 0,1.
 sin A 
ВС
АВ
 0 ,1
5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A = 4 .
Найдите tg B.
√17
Решение
cos B 
:
BC
AB
 sin A 
B
4
17
согласно основному
тригономет
2
рическому
тождеству
2
cos B  sin B  1
2
C
2
sin B  1  cos B

2
sin B  1  

sin B 
tgB 
1
17
sin B
cos B
A
2
16
1


 1
17 17
17 
4


1
17
1
17
:
4
17

1
4
 0 ,25
Ответ: 0,25.
6.В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg A = 7 .
Найдите sin A.
24
Решение
:
согласно тригономет
рическому
тождеству
B
tgA  ctgA  1
ctgA 
1

tgA
24
7
1
2
ctg A  1 
2
sin A
C
2
1
 24 

 1
2
sin A
 7 
576
49
625
49
2
1
1

A
2
sin A
1
2
sin A
sin A 
49
625
 sin A 
49
625

7
25
 0 ,28
Ответ: 0,28.
7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg A = 24 .
Найдите cos A.
7
:
Решение
B
согласно тригономет
рическому
тождеству
1
2
tg A  1 
2
cos
A
2
1
 24 
 1

2
cos A
 7 
576
49
625
49
cos
2
1

cos
2
A
C
1
A
1
cos
A
2
A
49
625
 cos A 
49
625

7
25
 0 ,28
Ответ: 0,28.
8. В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg A = 24 .
Найдите sin B.
7
Решение
:
согласно тригономет
рическому
тождеству
B
1
2
tg A  1 
2
cos
A
2
1
 24 

1



2
7
cos A


576
49
625
49
cos
2
1

cos
2
A
C
A
1
cos
A
sin B 
1
2
A
49
625
AC
AB
 cos A 
 cos A  0 ,28
49
625

7
25
 0 ,28
Ответ: 0,28.
9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg A = 7 .
Найдите cos B.
24
Решение
:
согласно тригономет
рическому
тождеству
B
tgA  ctgA  1
ctgA 
1
24

tgA
7
1
2
ctg A  1 
2
sin A
2
1
 24 

 1
2
sin A
 7 
576
49
625
49
2
2
sin A
1
2
sin A
sin A 
cos B 
A
1
1

C
49
625
BC
AB
 sin A 
 sin A  0 ,28
49
625

7
25
 0 ,28
Ответ: 0,28.
10. В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg A = 2.
Найдите tg B.
B
Решение
tgA 
tgB 
C
A
Ответ: 0,5.
BC
AC
AC
BC
:
2

1
2
 0 ,5
11. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, sin A =7
Найдите AC.
25
Решение
: согласно основному
тригономет
B
2
рическому
тождеству
2
cos A  sin A  1
2
2
cos A  1  sin A
5
2
49
576
 7 
2
cos A  1  

1



25
625
625


C
A
cos A 
cos A 
576
625
AC
AB

24
25
 AC  AB  cos A  5 
Ответ: 4,8.
24
25

24
5
 4 ,8
12. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 8,
sin A = 0,5. Найдите ВC.
B
8
Решение
sin A 
C
BC
AB
:
 BC  AB  sin A  8  0 ,5  4
A
Ответ: 4.
13. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 8,
соs A = 0,5 Найдите AC.
B
8
Решение
cos A 
C
:
AC
AB
 AC  AB  cos A  8  0 ,5  4
A
Ответ: 4.
7
14. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5,cos A =
25
Найдите BC.
Решение
: согласно основному
тригономет
cos
2
рическому
тождеству
B
2
A  sin A  1
2
sin A  1  cos
2
A
5
2
49
576
 7 
sin A  1  

 1
625
625
 25 
2
sin A 
sin A 
576
625
BC
AB

24
C
25
 BC  AB  sin A  5 
24
25

24
5
 4 ,8
Ответ: 4,8.
A
15. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 7, tg A = √33
Найдите AC.
4
Решение
:
согласно тригономет




33
16
49
16
cos
тождеству
1
2
tg A  1 
рическому
cos
2
B
A
2
33 
1
 1
2
4 
cos A
1

2
7
1
cos
2
A
cos
A
cos A 
2
A
16
49
AC
AB
A
C
1
 cos A 
16
49

4
7
 AC  AB  cos A  7 
4
7
4
Ответ: 4.
Указание
В задачах №16 ‒ №29 рассматриваются равнобедренные
треугольники АВС с острыми углами А и В, где СН – высота,
медиана, биссектриса этого треугольника.
А это значит, что
АС = ВС; АН = ВН = 0,5АВ; ∠ A = ∠ В;
sin A = sin B > 0; cos A = cos B > 0;
tg A = tg В > 0; сtg А = ctg B > 0,
ACH = BCH – п/у.
C
A
Н
B
16. В треугольнике ABC АC = ВС = 8, cos A = 0,5.
Найдите AВ.
Решение
cos А 
C
cos А 
:
1
2
АН
АС

АН

8
АВ  2 АН  2  4  8
8
A
Н
B
Ответ: 8.
АН
8

1
2
 АН 
8
2
 4
17. В треугольнике ABC АC = ВС = 5, sin A = 7 .
Найдите AВ.
25
C
Решение
:
согласно
основному
тригономет
рическому
cos
2
2
А  sin
cos
2
А  1  sin
тождеству
5
А 1
2
А
2
cos
2
49
576
 7 
А 1

 1
625
625
 25 
cos А 
cos А 
576
625
АН
АС


A
B
Н
24
25
АН
5

АН
5

24
25

АН 
24  5
25

24
5
 4 ,8
АВ  2 АН  2  4 ,8  9 ,6
Ответ: 9,6.
18. В треугольнике ABC АC = ВС = 7, tg A = 33 .
Найдите AВ.
4√33
Решение
:
согласно
тригономет
1
2
tg A  1 




cos
2
A
;
рическому
33
4 33

тождеству
33
C
4
2
33 
1
 1 
2
4 
cos A
33
16
49
16
cos
1
1 

2
7
cos
2
A
1
cos
A 
cos A 
2
A
A
16
49
AH
AC
 cos A 

AH
Н
4
7

AH
7

4
7
 АН  4
7
АВ  2 АН  2  4  8
Ответ: 8.
B
19. В треугольнике ABC АC = ВС = 25, AB = 40.
Найдите sinA.
C
Решение
:
АН  0 ,5 АВ  0 ,5  40  20
В п / у Δ АСН по теореме
25
СН
A
Н
40
2
 АС
СН 
B
sin А 
2
 АН
2
 25
2
 20
225  15
CH
AC

15
25
Ответ: 0,6.

3
5
Пифагора
 0 ,6
2
 225
20. В треугольнике ABC АC = ВС = 5, cos A = 7 .
Найдите высоту CH.
25
C
Решение
:
согласно
основному
тригономет
5
cos
2
А  sin
sin
2
А  1  cos
2
тождеству
А 1
2
А
2
sin
A
рическому
Н
B
2
49
576
 7 
А 1

1



25
625
625


576
sin А 
sin А 
СН 

625
CН
АС
24  5
25


24
25
CН

5
24
5
Ответ: 4,8.
 4 ,8
CН
5

24
25

21. В треугольнике ABC АC = ВС, AB = 16, tg A = 0,5.
Найдите высоту CH.
C
Решение
:
АН  0 ,5 АВ  0 ,5  16  8
tgA 
A
Н
16
tgA 
B
CH
AH

CH
8
1
2
Ответ: 4.

CH
8

1
2
 CH 
8
2
 4
22. В треугольнике ABC АC = ВС, высота СН = 4,
sin A = 0,5. Найдите AC.
Решение
C
sin A 
sin A 
:
CH
AC
1

4
AC

2
4
A
Н
B
Ответ: 8.
4
AC

1
2
 AC  4  2  8
23. В треугольнике ABC АC = ВС, высота СН = 20,
cos A = 0,6. Найдите AC.
Решение
:
согласно
основному
тригономет
рическому
2
тождеству
cos
2
А  sin
sin
2
А  1  cos
sin
2
А  1  0 ,6   1  0 ,36  0 ,64
sin A 
А 1
2
А
20
2
sin А  0 ,8 
sin A 
C
CH
AC
4

4
A
5
20
AC

20
AC

4
5
 AC 
20  5
4
5
Ответ: 25.
 25
Н
B
24. В треугольнике ABC АC = ВС, высота СН = 4,
tg A = 0,5. Найдите AB.
Решение
C
tg А 
tg А 
4
A
Н
CH
AH
1
:

4
AH

2
AB  2 AH  2  8  16
B
Ответ: 16.
4
AH

1
2
 AH  4  2  8
28. В треугольнике ABC АC = ВС, высота СН = 7, AB = 48.
Найдите sinA.
Решение
C
:
АН  0 ,5 АВ  0 ,5  48  24
В п / у Δ АСН по теореме
AC
7
A
Н
48
2
 АH
AC 
sin А 
B
2
 CН
2
 24
2
7
Пифагора
2
 625
625  25
CH
AC

7
25
Ответ: 0,28.

28
100
 0 ,28
29. В треугольнике ABC АC = ВС, высота СН = 4, AB = 16.
Найдите tgA.
C
Решение
:
АН  0 ,5 АВ  0 ,5  16  8
4
tg А 
CH
AH
Н
A
16
B
Ответ: 0,5.

4
8

1
2
 0 ,5