Модульная программа

Модульная программа
Преобразование
тригонометрических
выражений
Учебные элементы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Синус, косинус, тангенс суммы и разности
аргументов.
Формулы двойного аргумента.(теория,
примеры, задания)
Формулы понижения степени.
Преобразование сумм тригонометрических
функций в произведения.
Преобразование произведений
тригонометрических функций в суммы.
Преобразование выражения Asinx+Bcosx
к виду Csin(x+t)
Синус двойного аргумента
Sin 2x = 2 sin x cos x
Доказательство.
Рассмотрим выражение sin 2x.
Sin 2x = sin (x+x) = sin x cos x + cos x sin x=
= 2sin x cos x.
Тождество доказано.
Косинус двойного аргумента
Cos 2x = cos2 x – sin2 x
Доказательство.
Рассмотрим выражение cos 2x.
cos 2x = cos (x+x) = cos x cos x - sin x sin x= cos2 x – sin2 x.
Тождество доказано.
Тангенс двойного аргумента
tg 2 x 
2 tgx
1  tg x
2
Доказательство.
Рассмотрим выражение tg 2x.
tg 2 x  tg ( x  x ) 
Тождество доказано.
tgx  tgx
1  tgx  tgx

2 tgx
1  tg x
2
Примеры
1.
Доказать тождество 1+sin 2x = (cos x + sin x)2
Решение.
Воспользуемся тем, что 1=sin2x+cos2x, и формулой
синуса двойного аргумента. Получим,
1+sin 2x = sin2x + cos2x + 2 sin x cos x = (cos x + sin x)2
Примеры
2. Сократить дробь 1  sin 2 x
Решение. cos 2 x
В числителе дроби
воспользуемся тождеством
1+sin 2x = (cos x + sin x)2,
а в знаменателе
формулой косинуса
двойного аргумента.
Получим,
1  sin 2 x
cos 2 x

(cos x  sin x )
cos
2
x  sin
2
2
x

(cos x  sin x )
2
(cos x  sin x )(cos x  sin x )

cos x  sin x
cos x  sin x
Примеры
3. Вычислить
sin


cos
12
12
Решение.
Заданное выражение представляет собой
правую часть формулы косинуса
двойного аргумента, но только не
хватает множителя 2. Введя его
получим:
sin

12
cos

12
 0 ,5  2 sin

12
cos

12
 0 ,5 sin( 2 

12
)  0 ,5 sin

6
 0 ,5  0 ,5  0 , 25
Примеры
4. Доказать тождество
tgx  сtgx 
2
sin 2 x
Решение.
Преобразуем левую часть доказываемого тождества:
tgx  сtgx 
sin x
cos x

cos x

sin x
sin
2
x  cos x
2
cos x sin x

1
cos x sin x
Умножив и числитель, и знаменатель последней дроби
на 2, получим:
2
2

2 cos x sin x sin 2 x
Что и требовалось доказать.
Примеры
5. Зная, что
сosx 
3
3
, 2  ) вычислить sin 2 x
и что
2
5
Решение.
Значение cosx дано в условии, а значение sinx найдём
следующим образом: sin 2 x  1  cos 2 x  1  ( 3 ) 2  16
x(
4
5
4
25
Это значит, что sin x 
или sin x  
5
5
Аргумент х принадлежит четвёртой четверти, а в ней синус
отрицателен. Это значит надо выбрать sin x   4
5
Теперь можно вычислить sin2x:
sin 2 x  2 sin x cos x  2 
3
5
 (
4
5
)
24
25
Примеры
5. Зная, что
сosx 
3
3
cos 4 x  cos
5
2
x  sin
2
x  (
7
25
, 2  ) вычислить sin(

 4 x)
и что
2
2
Решение.

 4 x )  cos 4 x
Воспользуемся формулой приведения: sin(
2
Применим к выражению cos4x формулу косинуса двойного
2
2
аргумента: cos 4 x  cos x  sin x
Из предыдущих примеров нам известны значения cos2x и sin2x.
Вычисляем:
x(
)  (
2
24
25
)
2
 
527
625
Примеры
6. Решить уравнение sin4x-cos2x=0
Решение.
sin4x-cos2x=0
2 sin2x cos2x – cos2x=0
cos2x (2sin2x-1)=0
cos2x=0 или 2 sin2x-1=0
cos2x=0
2x 

 n; x 
2


4
n
2sin2x-1=0
.
sin 2 x 
2
1
2 x  (  1) arcsin
n
;
2
2 x  (  1)
2
n

 n
6
x  (  1)
Ответ:
x

4

n
2
;
x  (  1)
n

12

n
2
n

12
.
1

n
2
.
 n;
Задания. 1 блок.
sin 2 t
1. Упростите выражение cos t  sin t
Ответы: a) sint; b) cost; c) tgt; d) sin2t
2. Известно, что
5
sin t 
,
13

t 
2
Найдите
tg 2 t
Ответы: a)120/169; b) -120/169; c) 150/333; d) 0
3. Решите уравнение
Ответы: a)
 3
;
4
4
b)
cos 2 x  cos
2
3
;
4
3
c)
n
2
x
d)

2
Задания. 2 блок.
Вычислите
1  cos 25   cos 50 
sin 50   sin 25 
 tg 65 
Ответы: a) 2 b) 0 c) 1 d) -1
Задания. 3 блок.
Решите уравнение
26sinx cosx – cos4x +7=0
Ответы: a)
b)

 2 n ;

2
(  1)

4
k 1

 k .
(  1)
6
c)
(  1)
 n;
k

12
k 1

 k .
6

k
2
d)
.


2
 2 n ;
УРА!!!
ПРАВИЛЬНО .
УВЫ,
НЕПРАВИЛЬНО .
Творческое задание.
Решите уравнение
sin2x + 2sinx =2-2cosx
Задания. 1 блок.
1. Упростите выражение cos 2 t  cos 2 t
Ответы: a) sint; b) cost; c) tgt; d) sin2t
2. Известно, что
5
sin t 
,
13

t 
2
Найдите
sin 2 t
Ответы: a)120/169; b) -120/169; c) 150/333; d) 0
3. Решите уравнение sin 2 x   cos 2 x
Ответы: a)
 3
;
4
4
b)
2
3
;
4
3
c)
 3
;
2
2
d)

2
Задания. 2 блок.
Вычислите
1  cos 40   cos 80 
sin 80   sin 40 
 tg 40 
Ответы: a) 2 b) 0 c) 1 d) -1
Задания. 3 блок.
Решите уравнение
Ответы: a)
2-cos2x+3sinx=0
b)

 2 n ;

2

 n;
4
(  1)
k 1

 k .
(  1)
k 1
6
c)


 k .
6
 2 n ;
2
(  1)

d)


 2 n ;
2
k

6
 k .
(  1)
k 1

6
 k .