МСС модуль 2 л8

Численные методы
решения задач механики
сплошных сред
1. Теория упругости и
идеальная среда
Автор курса лекций:
Породнов Борис Трифонович, д. ф.-м. н.,
профессор кафедры молекулярной физики
УГТУ-УПИ
Екатеринбург 2007
1
Модуль 2
ИДЕАЛЬНАЯ
СРЕДА
2007. Численные методы…Лекция 8
2
Лекция 8
Описание физических явлений на
основе уравнения Бернулли.
Влияние сжимаемости среды
2007. Численные методы…Лекция 8
3
Цели изучения:
Установление основных законов для
скорости истечения идеальной несжимаемой
среды из сосуда, а также для распределения
давления в трубе переменного сечения.
Описание наблюдаемых явлений.
Обтекание затупленного тела.
Влияние сжимаемости среды.
2007. Численные методы…Лекция 8
4
Содержание
7.2. Уравнение Бернулли.
7.2.5. Скорость истечения идеальной жидкости из
сосуда.
7.2.6. Распределение давления в трубе переменного
сечения.
7.2.7. Физическое описание наблюдаемых явлений.
7.2.8. Кавитация.
7.2.9. Обтекание затупленного тела.
7.2.10. Трубка Пито.
7.3. Влияние сжимаемости среды.
5
7.2.5. Скорость истечения идеальной
жидкости из сосуда
• Рассмотрим стационарное истечение идеальной несжимаемой жидкости
из сосуда (рис. 7.1). Если сосуд достаточно велик, а отверстие мало, то при
z
истечении уровень жидкости не изменяется заметно в
Р
1
 =0
течение достаточно продолжительного промежутка
времени. На поверхность жидкости в сосуде действует
давление Р0 (например, атмосферное).
z
h
• Пусть струя вытекает в пространство, где внешнее
давление также равно Р0 (истечение в атмосферу). На
2
некоторой гипотетической линии тока выберем две точки:
z

Р
x одну на поверхности жидкости в сосуде (точка 1), а
другую - внутри отверстия (точка 2). Воспользуемся
Рис.7.1
• уравнением Бернулли для несжимаемой среды (7.2.3):
0
1
1
2
2
0

2
2

P

1
2
 gz  const ,
2

P0

2
2
 gz 1 
2

P0

 gz 2 .
• Поверхность жидкости в сосуде предполагается неподвижной, т.е.  1  0 .
Тогда имеем
(7.2.9)
  2 gh , h  z  z .
2
1
2
6
7.2.6. Распределение давления в трубке
переменного сечения
• Рассмотрим стационарное движение идеальной несжимаемой жидкости в трубе
переменного сечения, направленное слева направо на рис.7.2. Действием силы
тяжести можно пренебречь Выберем какую - либо линию тока (например,.
осевую). На этой линии тока рассмотрим две
произвольные точки 1 и 2. Запишем уравнение
2
2
Бернулли

P1  2
P
υ
υ
1
1
2


 2 .
(7.2.10)
2

2

υ
P
Pυ
• Из уравнения следует, что в той точке на линии
S
S
тока, где скорость больше, гидростатическое
давление меньше и наоборот.
Рис.7.2
• Непрерывность движения жидкости в трубе требует выполнения условия не
накопления вещества (не разрывности струи) в любом сечении трубы:
 S  const ,
 1 S 1   2 S 2 .
(7.2.11)
• Поток массы при движении идеальной жидкости в трубе переменного сечения
есть величина постоянная.
• Таким образом, скорость несжимаемой жидкости тем больше, чем меньше
сечение трубы, и она максимальна в самом узком сечении трубы.
• Втягивающее действие струи газа и жидкости
7
1
2
2
1
1
2
2
7.2.7. Физическое описание
наблюдаемых явлений
• Капитанам судов запрещается проводить сближение судов, идущих
параллельным курсом, до некоторого минимального расстояния, т.к. при этом
вода между двумя судами приобретает некоторую дополнительную скорость за
счёт сужения канала, образованного бортами судов, а давление воды между
судами оказывается меньшим, чем вне них. Возникают силы, равные разности
сил давлений на внешние и внутренние борта судов и стремящиеся сблизить
суда, что может привести к их столкновению (Рис.7.3.а).
• Если продувать воздух
P , = 0
P ,  =0
P ,
P ,
между двумя параллельными
0
листами бумаги, то они будут
P ,  =0
стремиться
сблизиться

P
P ,
P ,
(Рис.7.3.б), т.к. в соответствии
с
уравнением
Бернулли
давление
воздуха
между
а)
б)
в)
г)
листами меньше, где скорость
больше .
Рис.7.3
• Действие пульверизатора. При продувании воздуха около верхнего торца
трубочки давление воздуха уменьшается, а внутри флакона атмосферное
давление сохраняется. За счёт разности давлений жидкость выталкивается
вверх по трубочке и разбрызгивается потоком воздуха (Рис.7.3 в).
• При сильных и порывистых ветрах крыша дома вместе с верхним венцом
бревен поднимается вверх, а затем уже опрокидывается ветром (Рис.7.3 г). Это
происходит за счет разности давлений над и под крышей, где
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0  0 .
8
7.2.8. Кавитация
• Если увеличивать скорость движения жидкости по трубе (рис.7.2) или при
том же самом расходе жидкости уменьшить самое узкое сечение трубы, то
можно в этом сечении получить отрицательное давление.
υ
P
υ
P



,
ρυ S  ρυ S .
(7.2.12)
2
ρ
2
ρ
• Выражение для минимального давления в самом узком сечении трубы :
2
2
ρυ max 
S min 
(7.2.13)
 1 
.
Pmin  P1 
2 
2
S1 
• Если второе слагаемое в правой частипо абсолютной
величине будет
больше, чем Р1 , то минимальное давление окажется «отрицательным», т.е.
частицы жидкости, проходящее сечение трубы с «отрицательным» давлением
будут подвергаться растяжению (такую жидкость называют «растянутой»).
• При падении давления до «отрицательных» значений в жидкости
выделяются пузырьки, заполненные паром жидкости или газом, растворённым
в ней. Возникает явление кавитации – это нарушения сплошности
движущейся среды.
• Практически можно считать, что кавитация возникает тогда, когда в
жидкости давление падает до давления насыщенных паров при данной
P min  P нас .
температуре, т.е. когда
2
1
1
2
max
min
1
1
max
min
9
7.2.9. Обтекание затупленного тела
• При обтекании тупого тела идеальной средой на его поверхности всегда
можно указать точку, в которой вектор скорости набегающего потока направлен
по нормали и в которой скорость равна нулю (точка А на рис.7.4).
• Проведем в эту точку линию тока, которая,
начинается вдали от тела и заканчивается в точке
P
A
P
А, которую называют критической точкой, а

 0
линию тока – критической.
• Для этой линии тока можно записать уравнение
Бернулли
2
2 ( P0  P )
 
2
Рис.7.4
P0 P0  P 
  P
,  
. (7.2.14)


.


0
0
2


2

• Давление Р0 в критической точке определяется суммой давления в
набегающем потоке P и некоторой добавки, обязанной своим возникновением
торможению жидкости в критической точке.
• Добавку, равную  2 / 2 , называют скоростным напором.
• Формулу (7.2.14) можно использовать для измерения скорости движения
среды или скорости движения тела в неподвижной несжимаемой среды.
• Прибор, при помощи которого проводят измерение скорости потока,
используя эту формулу, называют трубкой Пито или трубкой Прандтля.
10
7.2.10. Трубка Пито
• Торцевое отверстие трубки Пито представляет собой «точку» полного
Pполного
торможения потока, в которой давление соответствует давлению
торможения. Другой торец U-образной манометрической трубки воспринимает
через отверстие в боковой поверхности корпуса трубки статистическое
P
давление в потоке .
0
• Разность
давлений P  P уравновешивается
P
давлением столба манометрической жидкости,
равным  ж gh . Из (7.2.14) следует
d
P
 ρ

υ   2
gh 
.
(7.2.15)
0 .3 d
ρ


h
8 10d
• Здесь g - ускорение силы тяжести, ρж и ρ плотность манометрической жидкости и
Рис. 7.5
исследуемой среды.
• Помещая трубку Пито в поток движущейся жидкости или газа и измеряя
создаваемый перепад давления каким-либо манометром, можно довольно
просто измерить их скорость.
• В результате экспериментального и теоретического изучения был выработан
определенный стандарт, гарантирующий процентную точность в
оптимальном диапазоне измерения скоростей (рис.7.5).
3d
0
0 .1 d

0

1/ 2
ж

11
Применение трубки Пито
• Давление в отверстии на боковой поверхности трубки равно давлению
вдали от трубки в невозмущенном потоке лишь на расстоянии 3d от торца
трубки (рис.7.5). Любое другое расположение этого отверстия не гарантирует
стандартную точность.
• Помещая трубку Пито на самолете, можно измерить скорость полета
самолета относительно воздуха. В современных приборах для измерения
скорости полета самолета - указателях скорости используется принцип
работы трубки Пито. Однако в них вместо жидкостного манометра
используется гофрированный цилиндрический сильфон, длина которого
изменяется в зависимости от разности давлений P0  P . Смещение подвижной
плоскости сильфона через рычажно-зубчатую систему передач передается
вращающейся на оси стрелке прибора, которая после калибровки показывает
так называемую приборную скорость полёта, соответствующую плотности и
давлению P газа (воздуха) на данной высоте полёта.
• Но давление уменьшается с увеличением высоты полёта. Это уменьшение
учитывается применением анероидной коробочки в виде запаянного с обеих
сторон гофрированного цилиндрического сильфона с вакумноплотно
изолированным воздухом при давлении 760 мм ртутного столба. С
увеличением высоты полёта длина коробочки увеличивается, а смещение её
подвижного торца обеспечивает с помощью механической системы
дополнительный поворот стрелки прибора, увеличивая значение приборной
скорости на некоторую величину-поправку на высоту полёта. Приборную
скорость с поправкой на высоту полёта называют истинной скоростью.
12
7.3. Влияние сжимаемости среды
• Из (7.2.14) видно, что давление P0 в критической точке больше, чем давление
жидкости вдали от тела, на величину скоростного напора  2 / 2 .
• Индивидуальная частица газа или жидкости при движении по критической
линии тока испытывает сжатие. При этом её плотность увеличивается. Это
изменение плотности будет наблюдаться и для частиц, движущихся по другим
линиям тока. Наиболее значительное изменение плотности наблюдается для
частиц на критической линии тока.
• Если учесть сжимаемость среды, то давление в критической точке должно
иметь некоторое другое значение, учитывающее, что плотность среды вдали от
тела и в критической точке не равны. Если среда несжимаема, то давление в
критической точке определяется согласно (7.2.14).
• Для сжимаемой среды необходимо воспользоваться уравнением Бернулли в
форме (7.2.2) в отсутствии поля тяжести и, учитывая изменение энтальпии
единицы массы, запишем его
для критической
линии тока
в виде
2
2
2
υ0
υ
υ
(7.3.1)
 h0    h , υ 0  0 , h0    h .
2
2
2
• Будем полагать, что сжатие индивидуальных частиц, движущихся по
критической линии тока с достаточно большой скоростью, происходит
адиабатически, т.е. без теплообмена с другими частицами, поэтому
1
(7.3.2)
dh 
dP .

13
Давление в точке полного
торможения
• Так как адиабатическое сжатие индивидуальной частицы на критической
линии тока описывается уравнением Пуассона (или уравнением адиабаты), то
очевидны следующие преобразования при вычислении энтальпии h единицы
 1
массы:
P
dP

 2


 const , h  

 const 
d   const  

d .
• Здесь  c p / c v
 показатель адиабаты. Интегрируем с точностью до
несущественной произвольной постоянной интегрирования.

 P
 1
h  const


.
(7.3.3)
 1
 1 
• Подставляя значение h (7.3.3) в уравнение Бернулли (7.3.1), имеем
γ P
γ P
υ
P ρ
γ 1 ρ υ
(7.3.4)


,

1
.
0

γ  1 ρ0
γ  1 ρ
2

2
0

P
ρ0

γ
2

P 2
• Отношение плотностей    0 возможно найти из уравнения Пуассона,
подстановка которого в (7.3.4) позволяет определить давление Р0 в точке

полного торможения потока в виде:
2

  1       1

P0  P  1 
.
(7.3.5)


P
2 
14
Условие несжимаемости среды
• Полагая, что второе слагаемое в (7.3.5) мало по сравнению с единицей,
представим (7.3.5) как бином Ньютона:
2
2

  
1    

P0  P 1 

2 P
2   2 P

2
2



  
  ...   P 1 
2 P




1   
 1 
2  2 P

2


  ... 


• Следовательно, давление Р0 сжимаемой среды в точке полного торможения
равно:
2
2
   
1    
 1 
  ... .
P0  P 
(7.3.6)
2 
2  2 P 
1   
2
 1 .
(7.3.7)
• Если справедливо соотношение (7.3.7), то формула (7.3.6) переходит в
формулу (7.2.14) для несжимаемой среды,
• Т.о., при выполнении неравенства (7.3.7) необходимо среду (жидкость, газ)
рассматривать несжимаемой, и это соотношение можно назвать условием
несжимаемости среды.
2  2 P
15
Скорость звука в среде
• Скорость c l адиабатического распространения продольных волн сжатия в
ньютоновских (   0 ) средах в соответствии с (6.6.4) равна c l  ( k ад / ρ )1 / 2 .
• Так как k ад  V  P /  V  s , есть адиабатический модуль, то имеем:
 P
c  V 
(7.3.8)
 .

V


• Для идеальной среды в адиабатическом процессе производную (  P /  V ) s
можно найти из уравнения адиабаты PV   const . Тогда:
P
2
(7.3.9)
сl  γ
.
ρ
• Скорость c l называют скоростью звука, т.е. скорость звука является
скоростью распространения продольных волн сжатия в среде. Поэтому
условие (7.3.7) можно записать как
2
1 
(7.3.10)
2
l
2
s
4 c
2

 1 .
• Если скорость движения среды значительно меньше скорости звука в ней,
то ее можно рассматривать как среду несжимаемую.
• Например, если воздух (c l  330 м/сек) движется со скоростью   = 70 м/сек,
то максимальная поправка к давлению в критической точке составит  1,1 %,
что можно не учитывать в большинстве инженерных расчётов и
теоретических рассмотрений.
16
Выводы
На основе полученных в предыдущей лекции уравнений описаны
наблюдаемые физические явления:
• Скорость истечения идеальной несжимаемой среды из сосуда.
• Распределение давления в трубе переменного сечения.
• Такие явления, как запрет на сближение судов на малые расстояния,
действие пульверизатора, сближение бумажных листов при продувки
воздуха между ними, разрушение крыш у домов при ураганных ветрах.
• Влияние сжимаемости среды.
• Критерий для учета сжимаемости среды.
Введены основные определения:
• условие не накопления вещества;
• закон наименьшего давления и наибольшей скорости в наименьшем
сечении канала с переменным площадью поперечного сечения;
• кавитация;
• трубка Пито и Прандтля;
• скорость звука.
2007. Численные методы…Лекция 8
17
Информационное обеспечение
лекции
•
•
•
•
Литература по теме:
Ландау Л.Д., Лившиц Е.М.. Гидродинамика. М.:
Наука. 2002. 735с.
Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.:
Наука. 1970. Т.1. 492 с.; Т.2, 568с.
Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. М.: ГИТТЛ. 1950.
814 с.
Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.:
Наука. 1970. 736 с.
2007. Численные методы…Лекция 8
18
Справочные данные
Курс лекций является частью учебно-методического
комплекса «Численные методы расчета задач механики
сплошных сред. 1. Теория упругости и идеальная
среда».
Автор: Породнов Борис Трифонович, д. ф. – м. н.,
профессор кафедры молекулярной физики УГТУ-УПИ.
Учебно-методический комплекс подготовлен на
кафедре МФ ФТФ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ.
электронный адрес: [email protected]
19