Производная и ее применение в науке и технике

Производная и ее применение в
науке и технике
Выполнил: Егоров Даниил,
студент 1-ого курса ЧЭМК
Производная функции









Определение производной
Геометрический смысл производной
Связь между непрерывностью и
дифференцируемостью
Производные основных элементарных функций
Правила дифференцирования
Производная сложной функции
Производная неявно заданной функции
Логарифмическое дифференцирование
Применение производной в науке и технике
Определение производной
Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).
Аргументу x придадим некоторое приращение
xx(a;b)
:x
Найдем соответствующее приращение функции:

y
f(x


x
)
f(x
)
y
Если существует предел
f(x+ Δx )
y
f(x )
0
x
х
x+Δx
х
lim
x  0
то его называют производной
функции y = f(x) и обозначают
одним из символов:
y; f(x);
dy
dx
y
x
Определение производной
Итак, по определению:
f(
x


x
)
f(
x
)

y
lim

x

0

x
Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке
интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом
интервале; операция нахождения производной функции
называется дифференцированием.
Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается
одним из символов:
(x

y
); f(x
); y
0
0
x
0
Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс,
то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический
смысл производной.
Геометрический смысл производной
Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:
Через точки М и М1 проведем
секущую и обозначим через φ
угол наклона секущей.
y
М1
f(x+ Δx )
f(x )
tg 
x
α φ
0
y
М
М
х
x+Δx
х

y
x

f (x  x)  f (x)
x
При x  0 в силу непрерывности функции
также
y
стремится к нулю, поэтому точка М1 неограниченно
приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1
переходит в касательную.
  
lim  
lim
tg
tg

x0

x
0
Геометрический смысл производной
f
(
x


x
)

f
(
x
)
 y

lim

tg


k

x

0

x
Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к

графику функции y = f(x) в точке,yабсцисса
которой равна x.
Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой
коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y

y

к
x
xx
)-x
y

y

f'(
(
x
)(
)
0
0
0 0
0
Уравнение
Уравнение
касательной
нормали
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется
f '(x0 )
нормалью к кривой.
1
1
1
k

 


y

y


(
x

x
)
норм
0
0
k
f'(
x
)
f'(
x
)
кас
0
0
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
функции
Теорема
Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке , то она
непрерывна в ней.
Доказательство:
Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке
х, следовательно существует предел:
y

y
lim f(x) 
f(x
)
(x
) 
x
0
x

x
гд ( x )  0 при x  0
По теореме о связи
е

y
f
(
x
)

x


(
x
)

x
функции, ее предела и
lim
y 0 
бесконечно
малой
x0
функции
Функция y = f(x) – непрерывна.
Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может
не иметь производной.
Производные основных элементарных функций
nZ
 x , тогда функция
Придадим аргументу x приращение
1
y x
n
Степенная функция:
получит приращение:
 x

yx

x
n
n
Формула бинома Ньютона:
n
(
n

1
)n

22


a

b
a
na
b

ab

2
!
n
n
n

1
n
(
n

1
)

(
n

k

1
)n

k k
n

a b


b
k
!
K – факториал
k!1
23
k
Производные основных элементарных функций
По формуле бинома Ньютона имеем:



y

x


x
x

n
n
n
(
n

1
)n

2 2
n
n

(
x

nx

x

x

x




x
)

x
2
!
n
Тогда:
n

1

y n
(
n

1
)n

1n

2
n

1

nx

x

x




x

x
2
!

y 
(
n

1
)

n

1n
n

2
n

1
lim

lim
nx
 x

x




x




x

0

x

0

x
2
!


 nx
n 1

x '  nx
n
n1
Производные основных элементарных функций
2
Логарифмическая функция:y
 ln x
x 

 xx
x


y
ln
x
ln
xln

ln1
x

 x 
x
 
x
ln
1



1 1

y
x


lim lim
 lim x  lim
x0

x

0
0
x  0
x x

x x

x
x
ln x ' 
1
x
x  x

ln1
~
x 
x

придругих
x основных
0
Аналогично выводятся правила дифференцирования
элементарных функций.
Правила дифференцирования
Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором
интервале (a; b) функции, С – постоянная.
(C )  0
(uv) uv

v
  (Cu) Cu
(
u
v
)
u
u
v




(
u

v

w
)

u

v

w

u

v

w

u

v

w

v

uv
u u

 
2
v
v
 

Cv
C
  
2
v
v 
Производная сложной функции
Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с
промежуточным аргументом u и независимым аргументом
x.
Теорема
u x
Если функция u = φ(x) имеет производную
в точке x а
y u
функция y = f(u) имеет производную
в
x
соответствующей точке u , то сложнаяyфункция
имеет
производную
, которая находится по формуле:
yx  yu  ux
Это правило остается в силе, если промежуточных
аргументов несколько:
y

f
(
u
);
u


(
v
);
v

g
(
x
)

y

f
(

(
g
(
x
))
 uv vx
yx yu
Пример
y
Вычислить производную
функции

x
1sin

y  3

 x lnx
1sinx
x lnx
3
3
3


(
1

sin
x
)

(
x

ln
x
)

(
1

sin
x
)

(
x

ln
x
)

2
3
x

ln
x


3
3
3




(
1

(sin
x
)
)

(
x

ln
x
)

(
1

sin
x
)

((
x
)

ln
x

x
(ln
x
)
)

3 2
x

ln
x
 
1
cos
x

x

ln
x

(
1

sin
x
)

(
3
x

ln
x

x
x )
x

3
2


x

ln
x
3
2
3
2
Пример
12
Вычислить производную
ycos(ln
x)
функции
Данную функцию можно представить следующим образом:
y

cos
u
; u

v
; v

ln
x
12
 uv vx
yx yu
12
12



y


sin
u


sin
v


sin
ln
x
u
11
11

u
12
v 12
lnx
1
v 
x
12
11 1



y


sin
ln
x

12
ln
x

x
Коротко:
12
12
12


sin(ln
x
)(ln
x
)
y(cos(ln
x)) 



sin(ln
x
)

12
ln
x

(ln
x
)
12
11
Производная неявно заданной функции
Если функция задана уравнением y = f(х) , разрешенным
относительно y, то говорят, что функция задана в явном
виде.
Под неявным заданием функции понимают задание функции
в виде уравнения не разрешенного относительно y:
F(x; y)  0
Для нахождения производной неявно заданной функции
необходимо продифференцировать уравнение по х,
рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное
выражение разрешить относительно производной.
x y 3
xy
0
3
3

3
3



(
x)
(
y)
3
(
xy
)
0



3
x

3
y

y

3
(
x
y

x
y
)

0

2
2
2
2


x
yy
y

x
y
0
y x
2
y 
y x
2
Логарифмическое дифференцирование
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно
заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем
результат продифференцировать.
Такую операцию называют логарифмическим
дифференцированием.
x4(x

1
) e
y
2
5
x

5
2
3
x

x4(
x

1
) e
ln
y

ln
5


2
x

5
2
3
3
ln
y

2
ln
x

ln(
x

1
)

x

5
ln(
2
x

5
) 
4
 2


y
3
(
x

1
)
(
2
x

5
)



1

5

y x4x

1
2
x

5
3
x
 2 3
y
10 x24 (x
1
) e
y
y  

1

y x4
x

4
2
x

5
2x55
x

Логарифмическое дифференцирование
Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции.
Функция y  u(x)
v( x)
называется степенно – показательной.
Производная такой функции находится только с помощью
логарифмического дифференцирования.
y sin
x
2
x 1

sin
ln
yln
x
2
x
1

sin
 
ln
y
(
x
1
)ln
x
 2
y
2







(
x

1
)

ln
sin
x

(
x

1
)

(ln
sin
x
)
y
2
2

y
cos
x
x 1
2
y 
ysinx 
2
x

ln(sin
x
)

(
x

1
)

y
sin
x
Применение производной
В биологии:
Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t)
2
особей.x(t)3000
. Найти скорость роста

100
t
популяции:
а) в произвольный момент t,
б) в момент t = 1 c.
Решение:
P = x’(t) = 200t;
P(1) = 200 (с).
Ответ: 200 с.
Применение в химии
Пусть количество вещества, вступившего в химическую
реакцию задается зависимостью: р(t) = t2/2 + 3t –3
(моль).
Найти скорость химической реакции через 3 секунды.
Решение:
v (t) = p ‘(t);
v (t) = t + 3;
v (3) = 3+3 = 6.
Ответ: 6 моль\с.
Применение в физике
Колебания. Гармонические колебания
Уравнение гармонических колебаний
xx
sin
(
t

)
m
0
Уравнение скорости колебания

vx

'
(
t
)

x
s
i
n
(t

)'

m
0


x
c
o
s
(t


)

x
s
i
n
(t

 )
m
0
m
0
2
Уравнение ускорения колебания

 




x


s
i
n
(

t


)

x


s
i
n
(

t




)
a
(
tv
)'

(
t
)

v
c
o
s
(
t

)
'

x
c
o
s
(
t

)
'





m
0
m
0
2
m
0
2
m
0
Электростатика. Ток в электрической цепи
Количество электричества
q  q (t )
Характеристика цепи переменного тока – мгновенное
значение силы тока в момент времени t:
q
(
t
)

q
(
t
)
0
I

l
i
ml
I

i
m

q
'
(
t
)
м
г
c
p
0
t

t
t

t
0
0
t

t
0
Пример: В какой момент времени ток в цепи равен нулю, если
количество электричества, протекающего через проводник,
задается формулой
? t  t 1
q
Решение:
1. Закон изменение силы тока:
1
I
(
t
)

q
'
(
t
)

(
t

t1
)
' 1

2
t
2. По условию I=0, получаем уравнение:
1
1
2 t
1
1 1

1
;
2t
1
; t;
t
2 4
2t
Ответ:
0, 25c
0
Линейная плотность тела
Масса стержня есть функция
его длины
m
m
(x),x
[0
;l]
Линейная плотность неоднородного стержня


m
(
x
)

m
(
x
)
0
(
x
)l

i
m

l
i
m

m
'
(
x
)
0
c
p
0
x

x
x

x
0
0
x

x
0
Заключение
В данной работе показано применение производной
как в биологии и химии, так и в таких разделах
физики, как термодинамика, электростатика,
колебания, не только с теоретической точки зрения,
но и с практической, т.е. при решении задач.
Спасибо за внимание